Sinus 2P (2021) utdrag

Osnes | Gustafsson | Pedersen Svorstøl | Oldervoll

Sinus 2P MATEMATIKK

STUDIEFORBEREDENDE FELLESFAG VG2 BOKMÅL

Foto og grafikk: Bildene er fargemanipulert.

Omslagsfoto: Unsplash/Adam Birkett Kapittel 1: AdobeStock/phpetrunina14 Kapittel 2: GettyImages/BrilliantEye Kapittel 3: AdobeStock/Andrey Popov Kapittel 4: AdobeStock/Andrey Popov Kapittel 5: AdobeStock/Sasho Bogoev Kapittel 6: Unsplash/Joel Filipe Oppgavedel: AdobeStock/araho Side 8: GettyImages/nadia_bormotova (manipulert), side 13: GettyImages/Jenny On The Moon, side 18: GettyImages/baramee2553 (manipulert), side 19: GettyImages/PrettyVectors, side 23: GettyImages/ nadia_bormotova (manipulert), Side 28: GettyImages/smartboy10, side 31: AdobeStock/nito, side 66: GettyImages/herraez, side 108: AdobeStock/MicroOne, side 145: GettyImages/ThitareeSarmkasat, side 147: GettyImages/ayutaka, side 177: GettyImages/Quarter Studios, side 196: Kart, Statens kartverk.

Nordeca AS, tillatelsesnummer 555819-2021, side 234: GettyImages/Nikolaev, side 259: DigitalVisionVectors/ET-ARTWORKS, side 262: OJOImages/Tom Merton, side 271: GettyImages/fizkes, side 289: iStock/Boarding1Now, side 296: GettyImages/jenyk, side 308: GettyImages/Alex Potemkin, side 315: Kart, Statens kartverk. Nordeca AS, tillatelsesnummer 555819-2021, side 330: Otto Svorstøl © Cappelen Damm AS, Oslo 2021 Sinus 2P følger læreplan (LK20) i praktisk matematikk fellesfag 2P fra 2020, for vg2 studieforberedende utdanningsprogram.

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Dette er en TROY®-innbundet bok. En TROY®-innbundet bok har forsterket omslag. Tester viser at denne innbindingen tåler vesentlig hardere bruk over tid sammenliknet med bøker uten denne forsterkningen.

TROY® er et registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS. Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktører: Bjørn-Terje Smestad og Sigurd Torp Nordby Sats: HAVE A BOOK, Polen 2021 Digital tilrettelegging: Brettboka AS ISBN 978-82-02-69643-6 Utgave nr. 3 Versjon 1, 2021 Papirbok: Utgave nr. 4, opplag nr. 1, ISBN 978-82-02-69636-8 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2020. Læreboka Sinus 2P er skrevet for fellesfaget Matematikk 2P som tilbys ved studieforberedende utdanningsprogram. Boka legger vekt på praktisk og relevant matematikk. Elevene får god trening i å løse oppgaver både med og uten bruk av digitale hjelpemidler. Sinus 2P gir opplæring i bruk av programmene Excel og GeoGebra samt programmeringsspråket Python.

Boka legger spesielt vekt på utforskende matematikk. Når elevene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der elevene selv skal finne fram til egenskaper, sammenhenger og regler innen temaet. Teorien er likevel skrevet slik at den er mulig å lese uten å gjøre de utforskende oppleggene.

Utforskoppleggene er kanskje best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres individuelt. I teoridelen er det mange diskusjonsoppgaver der elevene får trening i å kommunisere ideer og å drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger. Disse oppgavene er fine å jobbe med både i elevgrupper og som utgangspunkt for klassediskusjoner.

Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. Der finner vi også en prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet fra kapittelet også innen andre fagfelt. I andre oppgaver blir elevene introdusert for nye måter å løse problemer på innen det aktuelle temaet. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon.

Bak i boka er det en oppgavedel der oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen heter «Øv mer». Her er oppgavene ordnet etter delkapitlene i teoridelen.

Den andre delen heter «Blandede oppgaver». Her er det oppgaver som skal løses både uten og med digitale hjelpemidler. I denne delen er det lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven kan løse når eleven er ferdig med et delkapittel.

Den tredje delen heter «Åpne oppgaver». Her er det åpne og utforskende oppgaver som er mer sammensatte enn dem i «Blandede oppgaver». Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister.

Til verket hører også www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff.

Alle Python-programmene som brukes i boka, enten i eksempler eller i oppgaver, ligger tilgjengelige og kan kjøres direkte på nettstedet. Dette skal gjøre terskelen lavere for å komme i gang med programmering både for elever og lærere.

I tillegg inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter kapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle.

I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Egil Reidar Osnes – Einar Gustafsson – Terje Andreas Pedersen Otto Svorstøl – Tore Oldervoll

3

s

Innhold 1

Prosent

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosentpoeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eksponentiell vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eksponentiell regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgave: Mordgåten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Likninger og ulikheter

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Løse likninger ved regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uoppstilte likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafisk løsning av likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgave: Babylonske likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 35 40 46 49 56 62 65 66 68

3

Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prisindekser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Konsumprisindeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kroneverdi og reallønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bruttolønn og nettolønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kredittkort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Økonomiske valg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgave: Økonomisk knipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 71 78 84 87 94 97 100 103 107 108 110

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

s

4

.......................................................................

....................................................

4

Statistikk – analyse og presentasjon

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Lese tabeller og diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lage søylediagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lage sektordiagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lage linjediagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Forsterke informasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lage histogrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgave: Spørreundersøkelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 12 14 21 24 29 30 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

113 117 123 126 132 136 143 144 146

5

Sentralmål og spredningsmål

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Gjennomsnitt og typetall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Median i frekvenstabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variasjonsbredde og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vurdering av sentralmål og spredningsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sentralmål i gruppert materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgave: Redd verden med statistikk! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Geometri

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

149 153 156 161 167 171 175 176 178

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Vinkler i formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lengder i formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prisme og sylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosjektoppgave: Flaggstang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 186 192 196 200 204 210 212 213 214

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Likninger og ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Statistikk – analyse og presentasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Sentralmål og spredningsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216 217 235 250 272 290 310

Fasit teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Fasit oppgavedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

5

s

PROSENT Mål for opplæringen er at elevene skal kunne • forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjoner med digitale verktøy

UTFORSK PROSENT Prosent betyr hundredel. Det betyr at 1 % er det samme som én hundredel av noe.

Vi finner 1 % av et tall ved å dele tallet på 100.

STEG 1

Vi kan bruke veien om 1 når vi vil finne p % av noe. a) Finn 1 % av 350 kr. Bruk det til å finne 4 % av 350 kr. b) Hvorfor har vi kalt metoden veien om 1? c) Formuler med egne ord hvordan du kan gå veien om 1 for å finne hvor mye en bestemt prosent utgjør av et tall. Hva er styrkene og svakhetene til metoden?

STEG 2

I steg 1 gikk du veien om 1 % for å finne 4 %. Nå skal vi bruke noen andre metoder. a) Hva må vi dele med for å finne 50 % av noe? Finn 50 % av 400 kr.

400 kr 50 %

b) Hva må vi dele med for å finne 25 % av noe? Finn 25 % av 600 kr.

600 kr 25 %

c) Hva må vi dele med for å finne 10 % av noe? Finn 10 % av 250 kr.

250 kr 10 %

d) Finn 20 % av 250 kr. Beskriv hvordan du går fram.

STEG 3

a) Bruk metodene i steg 2 til å finne 50 %, 25 % og 10 % av 320 kr. b) Bruk svarene fra oppgave a til å finne 75 % og 15 % av 320 kr.

STEG 4

Finn 1 %, 7 % og 14 % av 800 kr uten hjelpemidler.

Forklar hvordan du går fram.

7

s

1.1 Prosentregning I Utforsk prosent gjorde vi prosentregning i hodet. Hvis vi skal finne 36 % av 3280 med hjelpemidler, kan vi regne slik: 36 % av 3280

36 3280 1180, 8 100

Slike utregninger kan vi gjøre på lommeregneren eller i CAS:

Vi finner prosentdelen av et tall ved å regne ut p % av tallet

p hele tallet 100

DISKUTER

Are og Bente skal regne ut 13 % av 6430 kr.

Bente regner slik:

6430 kr · 13 = 835,90 kr 100 Har de funnet rett svar? Hvilken metode liker du best?

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. a) 23 % av 432 kr

b) 1,9 % av 3995 kr

a) Vi regner slik: 23 % av 432 kr

23 432 kr 99, 36 kr 100

b) Vi regner slik: 1,9 % av 3995 kr

s

8

1 | PROSENT

1, 9 3995 kr 75, 91 kr 100

5, 83

0,13 · 6430 kr = 835,90 kr

90

Are gjør det slik:

?

OPPGAVE 1.10

Regn ut. a) 3 % av 1530 kr c) 103 % av 4250 kr

b) 22,4 % av 9582 kr d) 0,4 % av 1 000 000 kr

OPPGAVE 1.11

a) Maya setter 5500 kr i banken, og et år får hun 2,25 % rente.

Hvor mange kroner får Maya i rente? b) Truls har 235 000 kr i studielån og betaler 1,579 % i rente per år.

Hvor mange kroner må Truls betale i rente dette året?

OPPGAVE 1.12

Hvis du skal finne 7 % av 50, får du samme svar om du regner ut 50 % av 7. a) Bruk det du kan om prosent til å forklare hvorfor dette blir riktig. b) Regn ut 7 % av 50 uten hjelpemidler. c) Lag to regneoppgaver som blir lettere å løse ved å bruke en slik metode.

OPPGAVE 1.13

Nedenfor ser du Python-koden til et program.

1 2 3 4

prosent = 23 hele_tallet = 432 prosentdelen = prosent/100 * hele_tallet print(prosent, "% av", hele_tallet, "er", round(prosentdelen, 2))

5

a) Forklar hva hver linje i programmet gjør. b) Bruk programmet til å løse oppgave 1.10.

Noen ganger skal vi finne prosenten. Da kan vi gjøre om andelen til hundredeler. Dersom vi klarer å gjøre det uten hjelpemidler, er det ofte raskere.

EKSEMPEL

En klasse med 30 elever skulle velge elevrådsrepresentant. Valget stod mellom Naomi og Roger. 18 elever stemte på Naomi, Roger fikk 9 stemmer og resten var blanke stemmer. a) Hvor mange prosent av elevene stemte på Naomi? b) Hvor mange prosent av elevene stemte på Roger? c) Hvor mange prosent av elevene stemte blankt?

LØ S N I N G

a) Vi regner ut hvor stor del 18 utgjør av 30, ved å gjøre om til hundredeler.

18 : 3 30 : 3

6 10

60 100

60 %

60 % av elevene stemte på Naomi.

1.1 PROSENTREGNING

9

s

b) 9 er halvparten av 18, så andelen som stemte på Roger, må være halvparten av andelen som stemte på Naomi.

30 % av elevene stemte på Roger.

Vi kunne også regnet slik: 9 30

9:3 30 : 3

3 10

30 100

30 %

c) Resten av elevene stemte blankt. Det utgjør 100 % 60 % 30 % 10 % 10 % av elevene stemte blankt.

Når vi har hjelpemidler tilgjengelig, kan vi regne ut andelen og gange med 100 % for å finne prosenten direkte.

EKSEMPEL

Jenny satte inn 3500 kr i aksjefond. Ett år seinere hadde hun fått 123 kroner i utbytte. Hvor mange prosent tilsvarer dette?

LØ S N I N G

Andelen er 123 100 % 3, 51 % 3500 Utbyttet var 3,51 % av beløpet.

Legg merke til at vi ikke skriver inn prosenttegnet når vi gjør utregningen med CAS eller kalkulator.

?

OPPGAVE 1.14

Et par langrennsski settes ned med 1200 kr under vårsalget. Før salget kostet skiene 4800 kr. Hvor mange prosent er prisen på skiene satt ned med?

OPPGAVE 1.15

2

I en kommune bor det 4000 innbyggere. 500 personer er over 60 år, mens 5 er 30 år eller yngre. Hvor mange prosent av innbyggerne er i aldersgruppene a) 30 år eller yngre b) over 60 år c) 31 til 60 år OPPGAVE 1.16

Ta utgangspunkt i Python-programmet i oppgave 1.13, og lag et tilsvarende program som regner ut andelen i prosent. Test programmet på oppgave 1.14.

s

10

1 | PROSENT

Av og til vet vi både prosenten og prosentdelen. Da kan vi bruke det til å finne hva 100 % av tallet (hele tallet) er.

EKSEMPEL

a) I et skolevalg stemmer 87 % av elevene. Det tilsvarer 522 elever.

Hvor mange elever går på skolen? b) En mobiltelefon har 15 % strøm igjen, og telefonen anslår det til 1 t og 48 min gjenstående batteritid.

Hvor lang batteritid har telefonen med denne bruken når den er fulladet?

LØ S N I N G

a) 522 elever er 87 % av alle elevene. Vi finner da antallet elever ved å gå veien om 1 %.

522 100 600 87 Skolen har 600 elever. b) Først gjør vi 48 min om til timer. Det er

48 = 0,8 timer. 1 time og 48 min er 60

1,8 timer. Det er da 15 % av det hele. Da finner vi batteritida ved å gå veien om 1 %.

1, 8 100 12 15 Telefonen har 12 timers batteritid.

?

OPPGAVE 1.17

a) På en prøve kreves det 25 % riktig for å bestå. 25 % tilsvarer 15 poeng.

Hvor mange poeng er det mulig å oppnå på denne prøven? b) I klassen er 38,7 % av elevene gutter. Dette tilsvarer 12 elever.

Hvor mange elever er det i klassen?

OPPGAVE 1.18

I en bedrift er sykefraværet en tilfeldig dag 8 %. Det tilsvarer 10 personer.

Hvor mange personer arbeider i denne bedriften?

OPPGAVE 1.19

a) Teodor har deltidsjobb og tjener 143 kr i timen. Dette er 81,7 % av lønna til Paula. Hva er timelønna til Paula? b) Teodor jobber 7 timer og 30 minutter i uka. Det svarer til 20 % av full stilling. Hvor mange timer er det i ei full arbeidsuke?

1.1 PROSENTREGNING

11

s

1.2 Prosentpoeng DISKUTER

På en skole går det 1000 elever. En dag er 8 % av elevene borte.

Dagen etter er 10 % borte. Hvor mange prosent økte fraværet med?

Når oppslutningen om et politisk parti øker fra 6 % til 9 %, sier vi at oppslutningen har økt med 3 prosentpoeng. Økningen i prosentpoeng er 9 6 3 Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng.

Når oppslutningen øker fra 6 % til 9 %, er ikke økningen på 3 %. Økningen tilsvarer halvparten av oppslutningen, for 3 % er halvparten av 6 %.

Halvparten er det samme som 50 %. Økningen er altså på 50 %.

EKSEMPEL

For et politisk parti synker oppslutningen fra 12 % til 9 %. a) Hva er endringen i prosentpoeng? b) Hva er endringen i prosent? c) Et annet parti øker oppslutningen fra 20 % til 23 %.

Hva er endringen i prosentpoeng, og hva er endringen i prosent?

LØ S N I N G

a)

12 9 3 Partiets oppslutning går ned med 3 prosentpoeng.

b) Nedgangen er på 3 prosentpoeng. Det tilsvarer 3 1 25 % 12 4 av den opprinnelige oppslutningen på 12 %.

Oppslutningen til partiet synker med 25 %. c) Endringen i prosentpoeng er 23 20 3 Den opprinnelige oppslutningen var 20 %. Da er endringen i prosent 3 0,15 15 % 20 Oppslutning øker med 3 prosentpoeng.

Det svarer til en prosentvis økning på 15 %.

s

12

1 | PROSENT

?

OPPGAVE 1.20

I et land settes styringsrenta opp fra 1 % til 1,25 %. a) Hva er endringen i prosentpoeng? b) Hva er endringen i prosent?

OPPGAVE 1.21

Emil fikk til 75 % av oppgavene på den første matteprøven og 60 % av oppgavene på den andre matteprøven. a) Hva var forskjellen i prosentpoeng? b) Det var 20 oppgaver på den første prøven og 25 oppgaver på den andre.

Hvor mange oppgaver fikk han til på hver prøve?

OPPGAVE 1.22

Ved et valg i en kommune stemmer 2000 velgere.

Partiet «Medvind» får 15 % oppslutning. Ved neste valg får partiet like mange stemmer, men nå har det totale antallet stemmer sunket til 1800. a) Hvor mange prosentpoeng har oppslutningen endret seg? b) Med hvor mange prosent har oppslutningen endret seg?

OPPGAVE 1.23

Et parti fikk 8 % oppslutning i en kommune ved lokalvalget i 2019. a) I en meningsmåling i 2021 hadde partiet økt sin oppslutning med 25 %.

Hvor stor var økningen i prosentpoeng? b) Hvor mange prosentpoeng måtte oppslutningen ha økt med for at den skulle ha økt med 75 %?

OPPGAVE 1.24

Nedenfor ser du et Python-program.

1 2

startprosent = 5.7 sluttprosent = 8.2

3 4 5

prosentpoeng = sluttprosent - startprosent prosent = prosentpoeng/startprosent * 100

6 7 8

print("Endringen i prosentpoeng er:", round(prosentpoeng, 1)) print("Endringen i prosent er:", round(prosent, 1),"%")

9

a) Forklar hva programmet gjør, og hvordan det virker. b) Bruk programmet til å løse oppgave 1.20.

1.2 PROSENTPOENG

13

s

1.3 Vekstfaktor På et treningssenter koster et abonnement 400 kr. Treningssenteret vil sette opp prisen på månedsabonnement med 20 %. Den opprinnelige prisen svarer til 100 %. Den nye prisen er da 120 % av den opprinnelige. Derfor kan vi regne ut den nye prisen slik: 120 % av 400 kr

120 av 400 kr 1, 20 400 kr 100

480 kr

Tallet 1,20 kaller vi vekstfaktoren ved 20 % økning.

Vi finner denne vekstfaktoren slik: 120 100 % 20 % 120 % 1, 20 100 eller slik: 1

20 1 0, 20 1, 20 100

Vekstfaktoren ved p % økning er 1

p 100

Treningssenteret solgte i utgangspunktet 60 abonnementer hver måned.

Da prisen økte, solgte de 10 % færre abonnementer hver måned. Det opprinnelige salget svarer til 100 %. Det nye salget er dermed 90 % av det opprinnelige. Vi kan derfor regne ut det nye salget slik: 90 % av 60

90 60 0, 90 60 54 100

Tallet 0,90 kaller vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang.

Vi finner denne vekstfaktoren slik: 100 % 10 % 90 %

90 100

0, 90

eller slik: 1

10 1 0,10 0, 90 100

Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1

s

14

p 100

1 | PROSENT

EKSEMPEL

a) Finn vekstfaktoren ved 50 % økning. b) Finn vekstfaktoren ved 7,5 % nedgang.

LØ S N I N G

a) En økning på 50 % gir 100 % 50 % 150 % Vekstfaktoren er da 150 1, 50 100 Vi kan også regne slik: 1

50 1 0, 50 1, 50 100

b) En nedgang på 7,5 % gir 100 % 7,5 % 92,5 % Vekstfaktoren er da 92, 5 0, 925 100 Vi kan også regne slik: 1

?

7, 5 1 0, 075 0, 925 100

OPPGAVE 1.30

Finn vekstfaktoren når en størrelse øker med a) 12 % b) 85 % c) 3 % d) 1,5 % e) 0,75 % f) 200 % OPPGAVE 1.31

Finn vekstfaktoren når en størrelse minker med a) 12 % b) 5,5 % c) 52 % d) 1,25 % e) 0,75 % f) 36,5 %

DISKUTER

Hvorfor er vekstfaktoren ved prosentvis økning alltid større enn 1?

Hvorfor er vekstfaktoren ved prosentvis nedgang et tall mellom 0 og 1?

1.3 VEKSTFAK TOR

15

s

På forrige side så vi et eksempel på en eksponentialfunksjon på formen f (x) a k x der k er mellom 0 og 1. Vi ser at grafen til f nærmer seg x-aksen mot høyre. Når x blir stor, nærmer funksjonsverdien seg 0. Det gjelder alle slike eksponentialfunksjoner.

?

OPPGAVE 1.53

Vi kan måle stråling fra et radioaktivt materiale med en geigerteller. La T(x) være tallet geigertelleren viser etter x minutter. Tabellen viser strålingen fra en bariumisotop. x (min) T(x)

0,5

2,0

3,5

5,0

6,5

8,0

2897

2005

1321

992

625

425

a) Bruk regresjon til å vise at den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene fra tabellen, er T(x) = 3322 0,775x b) Hvor mange prosent avtar stålingen med hvert minutt? c) Bruk modellen til å finne strålingen etter ti minutter. d) Hvor lang tid går det før strålingen er halvert?

OPPGAVE 1.54

I 1950 var 8 % av alle nordmenn 67 år eller eldre. I perioden fra 1950 til 2020 har andelen i gjennomsnitt økt med 0,9 % per år. a) Vis at andelen i 2000 var 12,5 %. b) Lag en modell som beskriver andelen personer som er 67 år eller eldre x år etter 2000. c) I 2020 var andelen 15 %. Hvordan passer det med modellen? d) Statistisk sentralbyrå (SSB) anslår at andelen i 2050 vil være 24 %.

Hvordan passer det med modellen?

s

28

1 | PROSENT

SAMMENDRAG Prosentregning p % av tallet

p hele tallet 100

Prosentpoeng Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng.

Vekstfaktor Vekstfaktoren ved p % økning er 1

p 100

Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1

p 100

Prosentvis endring Når vi kjenner vekstfaktoren, kan vi bruke den for å finne ut om en mengde har økt eller minket. Skal vi finne ny verdi etter en prosentvis endring, regner vi slik ny verdi = opprinnelig verdi vekstfaktor Når en størrelse endrer seg med en fast prosent flere ganger, kaller vi det eksponentiell vekst. For en størrelse som vokser med en fast prosent over flere perioder, er verdien etter n perioder n

opprinnelig verdi vekstfaktor

Eksponentielle modeller En eksponentialfunksjon er på formen f (x) a k x der a er verdien når x 0 og k er vekstfaktoren.

Vi kan bruke regresjon til å finne funksjoner som passer godt med et datasett.

Vi må gjøre vurderinger av hvor godt en slik modell passer med virkeligheten.

SAMMENDRAG

29

s

MORDGÅTEN Du jobber som kriminaletterforsker. Det er blitt funnet et lik i en kjeller, og du må estimere drapstidspunktet for å kunne utelukke noen av de mistenkte. Til det kan du bruke Newtons avkjølingslov.

Varme er energi som overføres på grunn av en temperaturforskjell. Varme går naturlig fra et sted med høy temperatur til et sted med lav temperatur. Det er derfor det gjør vondt å legge hånda på ei varm kokeplate. Varmen går fra kokeplata med høy temperatur til hånda med lavere temperatur.

Det er flere faktorer som påvirker hvor fort noe avkjøles. Det har for eksempel noe å si hvor stor overflaten til gjenstanden er, og det har noe å si hvilke materialer den er laget av. For eksempel kjennes det mye kaldere å ta på ei jernstang enn å ta på isopor, selv om begge har stått ute i minusgrader. Det er fordi jernstanga leder varme vekk fra hånda mye bedre enn isoporen gjør. En annen faktor som har betydning for avkjølingen, er hvor stor temperaturforskjell det er mellom gjenstanden og omgivelsene.

Newtons avkjølingslov Den berømte fysikeren Isaac Newton (1643– 1727) klarte å finne en matematisk modell for hvordan avkjølingen avhenger av temperaturforskjellen. Den publiserte han i et tidsskrift i 1701: Hvor fort temperaturen til en gjenstand minker, er proporsjonal med temperaturforskjellen mellom gjenstanden og omgivelsene.

En kopp kakao avkjøles raskest når den har høy temperatur. Etter hvert som temperaturen går ned, vil den avkjøles saktere. Temperaturen i kakaoen kan ikke bli lavere enn romtemperaturen den befinner seg i. Etter hvert som tiden

s

30

1 | PROSENT

går, vil den altså nærme seg romtemperaturen stadig mer.

Newtons modell kan uttrykkes som en matematisk funksjon. Temperaturen ved tiden t er gitt ved t T (t) = T k + To Her er T temperaturforskjellen mellom gjenstanden og omgivelsene ved start, k er avkjølingsfaktoren og To er temperaturen til omgivelsene.

Finne tidspunktet for et mord Mennesker har normalt en kroppstemperatur på ca. 37 °C når de er levende. Når en person dør, vil kroppen etter hvert avkjøles.

Hvor fort det skjer, avhenger blant annet av temperaturen til omgivelsene, størrelsen på kroppen og klærne den døde har på seg.

Mordetterforskerne kan bestemme avkjølingsfaktoren k etter at liket er funnet ved å gjøre temperaturmålinger. Ved å måle temperaturen til omgivelsene også, kan man da bruke Newtons avkjølingslov til å beregne hvor lenge kroppen har ligget død. Slik kan drapstidspunktet tidfestes.

40 35 Temperatur i °C

Fra varmt til kaldt

30 25 20 15 10 5 1

2

3

4 5 6 7 8 Tid i minutter

9 10

PROSJEKTOPPGAVE 1 I denne oppgaven skal du undersøke hvordan kokende vann avkjøles i romtemperatur.

• Tegn opp et koordinatsystem med tid langs førsteaksen og temperatur langs andreaksen. Lag en skisse som viser hvordan du tror temperaturen vil utvikle seg når du setter et beger med kokende vann til avkjøling i et rom.

• Kok vann og sett det til avkjøling i romtemperatur. Ta tiden og mål temperaturen til vannet hvert minutt. Fyll inn verdiene i en tabell.

• Forsøk å finne en funksjon på formen T ( x ) = a k x + c som passer med tallene i tabellen din. Stemmer modellen med Newtons avkjølingslov?

• Hvordan ville funksjonen sett ut om vannet ble avkjølt i et kjøleskap?

PROSJEKTOPPGAVE 2 Mistenkt A Mangler alibi 12:30–15:00

Mistenkt B Mangler alibi 10:00–13:00

Mistenkt C Mangler alibi 15:00–16:45

Liket ble funnet i en kjeller der temperaturen er 15 °C. Kl. 17:00 ble kroppstemperaturen målt til 29 °C. Kl. 18:00 har temperaturen sunket til 25 °C. Nå må du bruke kunnskapene dine til å løse mordgåten.

Estimer drapstidspunktet, og avslør morderen.

MORDGÅTEN

31

s

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

OPPGAVE 5

a) Finn den prosentvise økningen eller nedgangen når vekstfaktoren er 1) 1,03 2) 1,15 3) 0,97 4) 1,003 5) 0,14 6) 2 b) Finn vekstfaktoren ved 1) 5 % økning 2) 0,9 % økning 3) 150 % økning 4) 7 % nedgang 5) 38 % nedgang 6) 0,5 % nedgang

a) En familie hadde et strømforbruk på 20 000 kWh i 2018. I 2019 var forbruket 3 % høyere.

Bruk vekstfaktoren og finn strømforbruket i 2019. b) Familien reduserte forbruket fra 2019 til 2020 med 3 %.

Hvor stort strømforbruk hadde familien i 2020?

OPPGAVE 2

a) Du får 20 % rabatt på ei bukse som kostet 900 kr før salget.

Hva betaler du for buksa? b) Du kjøper ei bukse på salg til 525 kr etter å ha fått 30 % rabatt.

Hva kostet buksa før salget?

OPPGAVE 3

a) Et politisk parti øker oppslutningen fra 20 % til 26 %.

1) Finn økningen i prosentpoeng.

2) Finn økningen i prosent. b) Et annet politisk parti øker oppslutningen med 3 prosentpoeng.

Det utgjør en økning på 15 %.

Hvor stor oppslutning har dette partiet etter denne framgangen?

OPPGAVE 4

Innbyggertallet i en by vokser med 10 000 per år. I en annen by vokser innbyggertallet med 0,5 % per år.

Hvilken by vil ha flest innbyggere på lang sikt hvis utviklingen fortsetter?

s

32

1 | PROSENT

OPPGAVE 6

Zara kjøpte aksjer for 10 000 kr. De første to årene steg verdien av aksjene med 17 % per år, men det neste året sank den med 5 %. Hvilken eller hvilke av påstandene stemmer?

A: Verdien av aksjene er 10 000 1,17 2 0,95 B: Verdien av aksjene er 10 000 1,17 2 1,05 C: Verdien av aksjene er 10 000 0,17 2 0,05 D: Verdien av aksjene har steget med 29 % på de tre årene.

OPPGAVE 7

Are kjøpte seg et hus til 3,2 millioner kroner i 2020. Anta at verdien av huset stiger med 5 % per år i perioden fra 2015 til 2025. a) Hvor mye er huset verdt i 2024? b) Hvor mye var huset verdt i 2017?

Ida kjøpte et hus i 2015 til 2,7 millioner kroner. De første tre årene steg verdien av huset med 7 % per år, men de neste to årene sank verdien av huset med 2 % per år. c) Hva var huset til Ida verdt i 2020?

OPPGAVE 8

Tabellen viser folketallet i Norge i januar noen utvalgte år. Årstall

Befolkning i tusen

2004

4577

2007

4681

2010

4858

2013

5051

2015

5166

2020

5368

a) Hvor mange personer bodde i Norge i januar 2020? b) Finn en eksponentialfunksjon som viser folketallet i Norge x år etter 2000. c) Hvor stor har den årlige befolkningsveksten vært i perioden? d) Hvor mange mennesker vil det bo i Norge i januar 2050 hvis utviklingen fortsetter? e) I januar 1940 var folketallet i Norge 3,0 millioner innbyggere.

Hvordan stemmer det med modellen du fant i oppgave b? f) Hvorfor kan vi ikke bruke denne modellen for å forutsi folketallet i Norge om mange hundre år?

OPPGAVE 9

Kaffe-Lars heller varm kaffe på en termos og drar på tur. Tabellen viser temperaturen T(x) målt i celsiusgrader x timer etter at kaffen ble fylt på termosen. x (timer)

4

6

8

10

16

T(x) (°C) 76,0 68,2 61,2 55,1 40,1

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen T som passer best med tallene i tabellen. b) Tegn grafen til funksjonen.

c) Hvor mye minker temperaturen i prosent per time? d) Hva var temperaturen på kaffen når Lars helte den på termosen? e) Lars liker ikke å drikke kaffen når temperaturen er lavere enn 50 qC. Hvor lenge er kaffen da drikkbar fra den ble helt på termosen?

OPPGAVE 10

I en rapport fra Worl Economics Forum fra 2016 kan vi lese at det var estimert å være 150 millioner tonn plast-søppel i verdenshavene i 2016.

En mulig modell for mengden plast i havet gir at mengden plast øker eksponentielt med 5 % hvert år. En eksponentialfunksjon er på formen f (x) a k x der a er startverdien og k er vekstfaktoren. a) Finn vekstfaktoren og sett opp et uttrykk for mengden plast i havet x år etter 2016 hvis vi følger denne modellen. b) Tegn grafen til denne modellen digitalt. c) Ifølge den samme rapporten kan vi anta at det finnes 812 millioner tonn fisk i havet. Når kommer mengden plast-søppel til å overstige mengden fisk ifølge modellen? d) Vurder hvor realistiske slike beregninger egentlig er.

REPE TISJONSOPPGAVER

33

s

LIKNINGER OG ULIKHETER Mål for opplæringen er at elevene skal kunne • utforske strategier for å løse likninger, likningssystemer og ulikheter og argumentere for tenkemåtene sine

2.1 Likninger Vi kan bruke likhetstegnet på flere måter.

Når vi skriver 2 x 1 x 2x 2 x x 2 bruker vi likhetstegnet for å vise at vi har regnet mot høyre. Vi har kommet fram til at uttrykket 2 x 1 x er identisk med utrykket x 2 for alle x.

I likningen 2 x 1 x 5 bruker vi likhetstegnet for å uttrykke at det som står på venstre side av likningen, skal ha samme verdi som det som står på høyre side. Når vi løser likningen, finner vi den eller de verdiene av x som gjør at uttrykket 2 x 1 x er lik 5. Da regner vi slik: 2 x 1 x 5 x 2 5 x 3 Vi ser at x 3 er en riktig løsning, siden 2 3 1 3 5 Å løse en likning vil si å bestemme verdien til et ukjent tall (ofte x), slik at venstre og høyre side i likningen får samme verdi.

EKSEMPEL

Løs likningen 2 x 1 8.

LØ S N I N G

Hvis 2 x 1 skal bli lik 8, må x 1 være 4, for 2 4 8.

Hvis x 1 skal være 4, må x være 3, for 3 1 4. Vi fører dette slik: 2 x 1 8 x 1 4 x 3

?

OPPGAVE 2.10

Løs likningene. b) 3x 8 2 a) x 3 11

c)

x 4 0 3

d) 7 5 x 2 3

2.1 LIKNINGER

35

s

Hver av likningene på forrige side har nøyaktig én løsning. Andre likninger kan ha flere løsninger eller ingen løsninger.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Løs likningene. a) x 2 x 3

b) x 2 4

c) 2x 6 2 x 3

a) Vi ser på likningen x 2 x 3 Vi må finne et tall x slik at x 2 er det samme som x 3.

Men et slikt tall fins ikke.

Likningen har ingen løsning.

Hvis vi forsøker å løse likningen ved å trekke fra x på begge sider, får vi 2 3. Det stemmer ikke, og derfor har likningen ingen løsning. b) Vi ser på likningen x 2 4 Vi må finne et tall x som opphøyd i andre blir 4. Siden 22 er 4, må x 2 2 være en løsning av likningen. I tillegg er 2 lik 4. Da er også x 2 en løsning av likningen.

Denne likningen har dermed to løsninger: x

2 eller x 2

c) I likningen 2x 6 2 x 3

regner vi først ut det som står på høyre side av likhetstegnet, og får 2x 6 2x 6 Vi ser at det står nøyaktig det samme på venstre og høyre side av likningen. Uansett hvilken x-verdi vi velger, så er venstre side av likningen lik høyre side.

Alle mulige verdier av x er en løsning av likningen.

En likning kan ha ingen løsning, én løsning, to eller flere løsninger, eller uendelig mange løsninger.

s

36

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

?

OPPGAVE 2.11

Hvor mange løsninger har likningene nedenfor? b) x 2 100 a) 2x 3 5 d) 5x 3 2x 3 x 1

c) 2x 8 2x 3 OPPGAVE 2.12

Bestem hvor mange løsninger hver av likningene nedenfor har, og løs likningene. b) 3 2 x 1 5 x 1 7x a) x 2 25 d) x 2 9 c) x 3 8

DISKUTER

Vi ser på likningen 2x 2 8 5x Finn ut om noen av alternativene nedenfor er en løsning av likningen.

1) x 0 2) x 1 3) x 2 Fins det andre løsninger av denne likningen?

Vi kan alltid kontrollere om en løsning av en likning er riktig. Det kaller vi å sette prøve på svaret.

EKSEMPEL

En klasse har fått i oppgave å løse likningen 2 x 1

3

x 2

Marte har fått svaret x 2, og Jens har fått svaret x 4.

Kontroller svarene ved å sette prøve på dem.

LØ S N I N G

Vi setter først prøve på Martes svar. Hun fikk svaret x 2. Vi bytter derfor ut x i likningen med tallet 2. Vi regner først ut venstre side av likningen og deretter høyre side.

Venstre side: Høyre side:

2 x 1

2 2 1

3 3 x 2 2 2 0

2 1 3

2 3

Vi ser at venstre side er ulik høyre side. Da er Martes svar feil. x 2 er ikke en løsning av likningen.

2.1 LIKNINGER

37

s

Jens fikk svaret x 4. Vi bytter vi ut x i likningen med tallet 4.

Venstre side: Høyre side:

2 x 1

2 4 1

3 3 x 2 4 2 2

2 3 3

6 2 3

Vi ser at både venstre og høyre side er lik 2. Da er svaret til Jens riktig. x 4 er en løsning av likningen.

?

OPPGAVE 2.13

Knoll og Tott skulle løse likningen 3 x 4 2x 3 Knoll fikk svaret x 3, og Tott fikk svaret x 5.

Sett prøve på svarene, og bestem hvem som har funnet riktig svar.

OPPGAVE 2.14

Ei gruppe elever fikk i oppgave å løse følgende likning: 5 x 2 54 Hedda, Agnes og Emilie fikk tre ulike svar. Her er svarene de kom fram til: Hedda: x 7 Agnes: x 7 eller x 5 Emilie: x 7 eller x 7 Sett prøve på svarene, og finn ut hvem som løste likningen korrekt.

OPPGAVE 2.15

Likning 1: Likning 2: Likning 3: Likning 4: a) b) c) d)

s

38

x+5=5 x2 + 5 = 14 x+5=x+5 x+5=x+1

Hvilken av likningene ovenfor har nøyaktig én løsning?

Hvilken av likningene ovenfor har nøyaktig to løsninger?

Hvilken av likningene ovenfor har ingen løsninger?

Hvilken av likningene ovenfor har uendelig mange løsninger?

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

UTFORSK SKÅLVEKTMETODEN Vi kan tenke på en likning som ei gammeldags skålvekt. Ei skålvekt er i balanse dersom innholdet i de to skålene veier like mye. En likning er i balanse dersom verdiene på hver side av likhetstegnet er like store.

X

X

Skålvekta ovenfor viser hvordan vi kan tenke på likningen x 2 5. Posen og to drops veier like mye som fem drops. Vi vil finne vekta til posen x, så vi fjerner de to dropsene fra venstre side. For å opprettholde balansen må vi også fjerne to drops fra høyre side. Vi ser at posen veier like mye som tre drops.

STEG 1

Bruk skålvekta ovenfor til å forklare at likningen x 2 5 har løsningen x 3.

STEG 2

X

X

X

X

Bruk skålvektene til å løse likningen x 3 8 og likningen x 5 2x 3.

STEG 3

Løs likningene ved å tegne skålvekter. b) 5 x 4 a) x 6 9 e) 3x 5 x 11 d) 5 2x 1

c) 9 3 x 4 f) 4x 2 2x 8

STEG 4

Bruk ei skålvekt til å forklare disse regnereglene for likninger: x Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. x Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sider av likhetstegnet dersom tallet ikke er null.

2.1 LIKNINGER

39

s

EKSEMPEL

Fredrik og Vanja er på vei til Oslo. For Fredrik er avstanden fra Oslo i kilometer etter x timer gitt ved y 515 70x For Vanja er avstanden fra Oslo gitt ved y 395 40x Når er Fredrik den av de to som er nærmest Oslo?

LØ S N I N G

Fredrik er nærmest Oslo når han har mindre avstand til Oslo enn Vanja har.

Det gir 515 70 x 395 40 x 70 x 40 x 395 515 30 x 120 30 x 120 !

30 30 x!4

Når vi deler på 30, må vi snu ulikheten.

Fredrik er nærmest Oslo når det har gått mer enn 4 timer.

DISKUTER

Kan dere løse ulikheten i eksempelet ovenfor på en sånn måte at dere ikke trenger å snu ulikhetstegnet?

?

OPPGAVE 2.62

La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer.

Prisen U i kroner er gitt ved U 30x 50 a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 380 kr? b) Hvor langt må vi kjøre hvis prisen skal være større enn 500 kr?

OPPGAVE 2.63

Temperaturen i ei termoflaske er 86 °C og synker med 2,5 °C per time. a) Sett opp et uttrykk for temperaturen T i termoflaska etter x timer. b) Når er temperaturen over 61 °C? c) Når er temperaturen under 71 °C?

s

64

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

SAMMENDRAG Likning Når vi løser en likning, finner vi den eller de verdiene for en ukjent variabel som gjør at uttrykkene på venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi.

Regneregler for likninger Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet.

Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null.

Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.

Uoppstilte likninger Hvis vi vil løse et tekstproblem med en likning, må vi først definere en ukjent variabel (gjerne x). Deretter må vi uttrykke de ulike størrelsene fra tekstproblemet med denne ukjente variabelen. Til slutt setter vi opp en likning og løser denne.

Innsettingsmetoden for å løse likningssett Når vi skal løse to likninger med to ukjente, x og y, med innsettingsmetoden, finner vi et uttrykk for x eller y fra en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent, som vi da løser.

Addisjonsmetoden for å løse likningssett Når vi skal løse to likninger med to ukjente, x og y, med addisjonsmetoden, multipliserer vi om nødvendig likningene med hvert sitt tall, slik at én av variablene forsvinner når vi legger sammen likningene.

Ulikheter Vi bruker de samme regnereglene for ulikheter som for likninger, med ett unntak: Hvis vi multipliserer eller dividerer en ulikhet med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet.

SAMMENDRAG

65

s

BABYLONSKE LIKNINGER Ordet matematikk kan føres tilbake til de greske ordene mathêmatikos og manthanein, som kan bety «vitenskap» eller «glad i å lære». Vi har historiske kilder som viser at mennesker har vært opptatt av matematikk i tusenvis av år. Vi skal gå til noen av de eldste kildene vi har, og forsøke å løse likninger slik de gjorde det i oldtidsriket Babylonia.

Enkel telling og tegning av geometriske former har gjennom historien gradvis utviklet seg til mer abstrakte ideer og teorier. Tallet 0 og negative tall ble faktisk ikke tatt i bruk før omkring år 600. Det kan kanskje bety at å regne med null krever større intelligens enn man først skulle tro? I en oldtidskilde stod det: «20 minus 20 … du vet.»

De eldste matematiske tekstene vi kjenner til, ble skrevet med kileskrift på leirtavler i Mesopotamia for omtrent 4000 år siden. Det var i området rundt elvene Eufrat og Tigris, der Irak ligger i dag. Babylonierne regnet blant annet på astronomi, geometriske konstruksjoner, økonomi og jordareal. Men de hadde ikke formler og likninger slik vi har i dag, og de var kanskje heller ikke så opptatt av å bevise matematikken. Likevel hadde de utviklet regler, blant annet for å løse praktiske problemer, og de førte inn matematiske resonnementer på tavlene.

Vi skal se på hvordan babylonierne fant sidene i et rektangel når de kjente arealet og omkretsen. Det de egentlig gjorde, var å løse et skjult likningssett. x

y

A

y

x Med dagens matematikk kan vi skrive formlene for omkretsen og arealet til et rektangel med sider x og y slik: O 2x 2y A x y For å finne x og y når de kjente A og O, brukte babylonierne denne framgangsmåten:

1) 2) 3) 4) 5)

Regn ut fjerdedelen av omkretsen.

Gang resultatet med seg selv.

Trekk fra arealet.

Finn kvadratroten.

Legg til resultatet fra steg 1 for å finne den ene sidelengden.

6) Ta arealet delt på svaret fra steg 5 for å finne den andre sidelengden.

s

66

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

PROSJEKTOPPGAVE 1 Et rektangelformet jordstykke har areal 72 m2 og omkrets 36 m. a) Bruk babyloniernes framgangsmåte til å regne ut sidelengdene. b) Kontroller svaret ved å løse likningssettet grafisk og med CAS.

PROSJEKTOPPGAVE 2 Bruk babyloniernes framgangsmåte til å regne ut sidelengdene i et rektangel som har areal 6760 m2 og omkrets 364 m. Sett prøve på svaret.

PROSJEKTOPPGAVE 3 Lag et Python-program der du kan skrive inn arealet A og omkretsen O av et rektangel. Programmet skal bruke babyloniernes metode til å regne ut sidelengdene av rektangelet.

PROSJEKTOPPGAVE 4 Bruk babyloniernes framgangsmåte til å løse likningssettet ved å sammenlikne med formlene for areal og omkrets.

2x 2y 40 x y 51 Kontroller om løsningen er riktig.

PROSJEKTOPPGAVE 5 a) Bruk innsettingsmetoden til å vise at likningssettet O 2x 2y A x y kan skrives på formen O 2x 2

A x

b) Bruk babyloniernes metode til å finne mulige løsninger av likningene ved å sammenlikne med formen i oppgave a. Sett prøve på svaret.

1) 12 2x 2

8 x

2) 40 2x

168 x

3) 2x

54 24 x

c) Vis at likningssettet fra oppgave a videre kan skrives på formen x2

O x A 0 2

En likning med x 2 kalles en andregradslikning.

d) Bruk babyloniernes metode til å finne mulige løsninger av andregradslikningen x 2 8x 7 0 ved å sammenlikne med formen i oppgave c. Kontroller svaret grafisk og i CAS.

BABYLONSKE LIKNINGER

67

s

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

OPPGAVE 6

Hvilken eller hvilke av disse likningene har løsningen x 2" A) 4x 5 2x 1 B) 7x 18 2 x 18

3 4 x 25 C) 2 x 2 6

a) Undersøk om likningen er riktig løst.

Kommenter hvilke feil som eventuelt er gjort.

OPPGAVE 2

En elev har løst en likning slik du ser nedenfor. Eleven har gjort en feil.

Finn feilen, og løs deretter likningen slik du mener den skal løses.

6x 4 6 x 4

6x 4 6x 4 12x 0 x 0 OPPGAVE 3

Løs likningene ved regning. Kontroller svaret i CAS. a) 5x 9 x 3 x 1 1 §3 x·

b) 6 4 3 ©¨ 4 3 ¸¹ OPPGAVE 4

Løs likningen både ved regning og digitalt.

2

4x 10 54 OPPGAVE 5

Lise og Henrik er foreldrene til Grete.

Til sammen er familien 108 år. Lise er fire år yngre enn Henrik, og Henrik er akkurat tre ganger så gammel som Grete.

Hvor gamle er de enkelte familiemedlemmene?

s

68

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

2x 1

3 2

1 2 6

Først ganger vi med fellesnevneren, som er 6. Da får vi 2x 6 1 6 1 6

2 3 2 6 4x 3 1 2 4x 1 2 3 4 x 4 4x 4

4 4 x 1 b) Lag en riktig løsning av likningen.

OPPGAVE 7

Kaia får disse tilbudene fra foreldrene sine: Tilbud 1: Du får 700 kr i fast månedslønn. I tillegg får du 50 kr hver gang du klipper plenen.

Tilbud 2: Du får 500 kr i fast månedslønn. I tillegg får du 100 kr hver gang du klipper plenen. a) Sett opp et matematisk uttrykk for tilbud 1 og et matematisk uttrykk for tilbud 2. b) Tegn digitalt i det samme koordinatsystemet en graf som viser hvert av tilbudene. Gi Kaia råd om hvilket tilbud hun bør velge.

OPPGAVE 8

OPPGAVE 11

Løs likningssettet ved å bruke både innsettingsmetoden og addisjonsmetoden.

Løs ulikheten ved regning. Kontroller svaret i CAS. 3 1· § x ! 1 2¨ x ¸ 2 3¹ ©

3x 4y 18 x 2y 4

OPPGAVE 12

Kontroller svaret ved å løse likningssettet i CAS.

Løs likningen x 2 2x 8 2x 4

OPPGAVE 9

a) 2 skruer og 6 muttere veier 70 g.

3 skruer og 4 muttere veier 80 g.

Hvor mye veier 1 skrue, og hvor mye veier 1 mutter? b) Endre opplysningene i oppgave a slik det ikke er mulig å bestemme vekten av skruen og mutteren.

OPPGAVE 10

Figuren nedenfor viser grafene til funksjonene f (x) 2x 8 og g (x) 3x 2 y g

7 6

f

4 2 –3 –2 –1 –2

x 1

2

3

4

5

6

7

8

–4

grafisk.

OPPGAVE 13

Bestefar forteller barnebarna sine at han et år hadde vært julenissens hjelper på Nordpolen. Det hadde vært svært slitsomt. Barnebarna vil gjerne vite hvor mange julegaver bestefar hadde delt ut, og han fortalte: Da jeg la pakkene i hauger på 2 og 2, ble det ingen til overs.

Da jeg la pakkene i hauger på 3 og 3, ble det ingen til overs.

Da jeg la pakkene i hauger på 4 og 4, ble det ingen til overs.

Da jeg la pakkene i hauger på 5 og 5, ble det ingen til overs.

Da jeg la pakkene i hauger på 6 og 6, ble det ingen til overs.

Da jeg la pakkene i hauger på 7 og 7, ble det ingen til overs.

–6 –8 –10

Hvor mange julegaver hadde bestefar minst delt ut?

–12

a) Bruk figuren til å løse ulikheten 2x 8 3x 2. b) Løs ulikheten både ved regning og i CAS.

REPE TISJONSOPPGAVER

69

s

ØKONOMI Mål for opplæringen er at elevene skal kunne • utforske og forklare sammenhenger mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt • vurdere valg knyttet til personlig økonomi og reflektere over konsekvenser av å ta opp lån og å bruke kredittkort

3.1 Prisindekser DISKUTER

– En liter melk kostet i gjennomsnitt 16,00 kr i 2014, mens den kostet 16,90 kr i 2019.

– En gjennomsnittlig husholdning brukte 53 579 kr på matvarer i 2014 og 58 595 kr i 2019.

Har prisen på melk økt mer enn prisnivået på matvarer generelt?

Statistisk sentralbyrå (SSB) samler inn statistikk over prisene på varer og tjenester vi kjøper. Tall som viser en prisutvikling, regner vi om til prisindekser. Da tar vi utgangpunkt i et basisår (grunnlagsår) og setter indeksen lik 100 dette året. I denne boka bruker vi 2015 som basisår hvis ikke annet er sagt.

I basisåret er indeksen 100.

Indeksen er lagd slik at den er proporsjonal med prisen. I 1P lærte du at forholdet mellom proporsjonale størrelser alltid er det samme. Dermed er forholdet mellom indeksen og prisen alltid det samme.

Det gir denne regelen: et år

indeks pris

et annet år

indeks pris

DISKUTER

Vi kan også bruke indeksen til å regne ut prisen. Da kan det lønne seg å snu formelen slik at vi får denne regelen: et år

pris indeks

et annet år

pris indeks

Hvorfor kan vi snu formelen opp ned når vi skal regne ut prisen?

3.1 PRISINDEKSER

71

s

EKSEMPEL

I gjennomsnitt brukte hver husholdning i Norge 58 595 kr på matvarer i 2019.

I basisåret 2015 brukte en husholdning i gjennomsnitt 55 122 kr. I 2012 var prisindeksen for matvarer 93,3. a) Hva var prisindeksen for matvarer i 2019? b) Hvor mange prosent steg prisen på matvarer med fra 2015 til 2019? c) Hvor mye brukte en husholdning i gjennomsnitt på matvarer i 2012? d) Hvor mange prosent steg prisen på matvarer med fra 2012 til 2019?

LØ S N I N G

a) Prisindeksen for matvarer i 2019 (den ukjente) kaller vi x. I basisåret 2015 var indeksen 100. Vi lager en tabell med opplysningene vi har. År Indeks Pris (kr)

2015

2019

100

x

55 122

58 595

Det gir denne likningen, som vi løser i CAS ved å trykke på 100 55 122

:

x 58 595

Prisindeksen for matvarer i 2019 var 106,3. b) Vi kan regne vekstfaktoren for økningen fra 2015 til 2019 slik: 58 595 1, 063 55 122 Den prosentvise økningen fra 2015 til 2019 var 6,3 %.

Når prisindeksen i 2019 var 106,3, vil det si at matvarer som kostet 100 kr i 2015, kostet 106,30 kr i 2019. Prisnivået har da steget med 6,3 % fra basisåret 2015 til 2019. c) Nå er prisen i 2012 ukjent. Vi lager denne tabellen med informasjonen for 2012 og 2015: År

2012

2015

Indeks

93,3

100

x

55 122

Pris (kr)

Vi setter opp likningen fra tabellen og løser den i CAS:

Hver husholdning brukte i gjennomsnitt 51 429 kr på matvarer i 2012.

s

72

3 | ØKONOMI

d) Vi regner ut vekstfaktoren for økningen fra 2012 til 2019 slik: 58 595 1,139 51 429 Vi kan også regne den ut slik: 106, 3 1,139 93, 3 Prisen på matvarer steg med 13,9 % fra 2012 til 2019.

DISKUTER

Mia regner oppgave b og d i eksempelet foran. Hun ser at hun kan regne ut 106,3 100 6,3 og få riktig svar i b. Hun forstår ikke hvorfor regnestykket 106,3 93,3 13,0 i oppgave d ikke gir riktig svar.

Kan dere hjelpe Mia med å forstå forskjellen på de to oppgavene?

?

OPPGAVE 3.10

En liter melk kostet 17,40 kr i 2020. I basisåret 2015 kostet melka 15,70 kr. a) Finn prisindeksen for melk i 2020. b) Hvor mange prosent har prisen på melk økt fra 2015 til 2020?

OPPGAVE 3.11

I 2012 brukte en gjennomsnittsfamilie 24 495 kr på møbler og husholdningsartikler. Prisindeksen i 2012 var 92,6. Prisindeksen i 2019 var 107,7. a) Hvor mye brukte familien på møbler og husholdningsartikler i 2019? b) Med hvor mange prosent steg prisen fra 2012 til 2019?

OPPGAVE 3.12

I 2000 var prisindeksen for klær og skotøy 175,9. I 2019 var indeksen 101,8. a) Har prisnivået på klær og skotøy gått opp eller ned i perioden fra 2000 til 2019? Hvor stor er den prosentvise endringen? b) I 2000 brukte en husholdning i gjennomsnitt 16 278 kr til klær og sko.

Hvor mye brukte gjennomsnittshusholdningen i 2019?

OPPGAVE 3.13

En flybillett fra Tromsø til Paris kostet 2414 kr i 2015. I 2019 kostet den samme flybilletten 1736 kr. a) Finn prisindeksen for denne flybilletten i 2020. Bruk 2015 som basisår. b) Hvor mange prosent har prisen endret seg fra 2015 til 2020?

3.1 PRISINDEKSER

73

s

Prisindekser alene forteller oss ikke hva prisen på noe er, men de gir oss informasjon om utviklingen i prisene over tid. Indekser gjør det også mulig å sammenlikne utviklingen til flere typer varer eller tjenester selv om prisen er ulik.

EKSEMPEL

Utvikling av boligpriser

Indeks 140

124,4 125,5

130 120

115,5

110

103,5

100 96,2 90 80 70

79,9

86,6

106,0

91,7 94,6

90,7 85,5 88,2

97,1

110,5 111,0

104,0 100

106,9 98,6 97,8 94,1

130,4 111,4 97,8

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Oslo med Bærum

Trondheim

Stavanger

Diagrammet viser utviklingen i boligprisene i Oslo, Stavanger og Trondheim.

Oscar, Turid og Carina diskuterer diagrammet.

Oscar Prisutviklingen i Trondheim var veldig jevn fram til 2017. Etter dette har prisene stabilisert seg.

Turid Prisene i Stavanger økte først med 9,8 % fra 2011 til 2013, så sank de med 11,9 % fram til 2016. Fra 2016 til 2017 var det en liten økning på 3,7 %.

Prisene i Oslo økte med 24,8 % fra 2014 til 2016.

Carina Boliger i Oslo var billigere enn i både Stavanger og Trondheim i 2011, men i 2019 var de dyrest. I 2015 var det like dyrt å kjøpe bolig i Oslo, Stavanger og Trondheim.

Bruk diagrammet og vurder utsagnene.

s

74

3 | ØKONOMI

LØ S N I N G

Oscar: En jevn prisutvikling vil si at prisene endrer seg omtrent like mye fra ett år til det neste. Ei rett linje viser en slik prisutvikling. Grafen for Trondheim er ganske rett og stiger nokså jevnt i starten. Grafen flater ut etter 2017. Det betyr at økningen avtar, og at prisene har stabilisert seg.

Oscar har rett i uttalelsen sin.

Turid: Turid regner ut differansen i indekstallene og mener det er det samme som økningen i prosent. Det er feil når hun ikke tar utgangspunkt i basisåret, hvor indeksen er 100. Vi viser dette ved å se på de to første endringene i Stavanger.

Prosentvis økning fra 2011 til 2013: 106, 0 96, 2 96, 2

9, 8 | 0,102 10, 2 % 96, 2

Indeksen i 2011 er 96,2, altså mindre enn 100. Da blir den prosentvise økningen større enn tallverdien indeksen øker med.

Prosentvis nedgang fra 2013 til 2016: 106, 0 94,1 11, 9 | 0,112 11, 2 % 106, 0 106, 0 Indeksen i 2016 er 106,0, altså mer enn 100. Da blir den prosentvise endringen mindre enn tallverdien indeksen avtar med.

Turid har rett i når prisene øker og avtar, men blander sammen endringen i tallverdi med endringen i prosent.

Carina: Vi kan ikke vite noe om prisnivået bare ved å se på prisindeksen.

Prisindeksen sier noe om utviklingen i prisnivået. Det er fortsatt boliger i Stavanger som er dyrere enn boliger i Oslo i 2019.

Hvis vi derimot ser på boliger som kostet nøyaktig det samme i de tre byene i 2015, og prisene til disse boligene følger prisindeksen, ville boligene i Oslo vært billigere enn dem i Stavanger og Trondheim i 2011, men dyrest i 2019.

Carina har ikke forstått at prisindeks handler om utvikling, og ikke nivå.

3.1 PRISINDEKSER

75

s

?

OPPGAVE 3.14

Diagrammet nedenfor viser prisindeksene i tre ulike kategorier – klær og sko, helsepleie og utdanninng – i perioden 2000 til 2019.

Prisindekser for klær og sko, helsepleie og utdanning 190 170

175,9

150

130,9

130 90 70

120,2 106,7

110 76,3

68,7

71,0

50 54,6

100

88,6

108,4 101,8

84,4

Klær og sko Helsepleie Utdanning

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020

Ta utgangspunkt i diagrammet og vurder påstandene.

1 Klær og sko var billigere i 2019 enn i 2000.

2 Prisnivået på klær og sko har gått ned med omtrent 75 % i denne perioden.

3 Helsepleie og utdanning har hatt jevn prisutvikling.

4 Prisnivået på utdanning har økt med omtrent 20 % fra 2015 til 2019.

5 Utdanning var billigere enn helsepleie i 2000, men dyrere i 2019.

OPPGAVE 3.15

I et land vet vi følgende om noen prisindekser: • Basisåret er 2010.

• Indeksen for boligpriser var 85 i 2005 og 90 i 2015. Indeksen økte med 20 % fra 2015 til 2020.

• Indeksen for matvarer økte jevnt fra 2005 til 2020, den var høyere enn boligprisindeksen i 2005 og lavere enn boligprisindeksen i 2020.

• Indeksen for helsetjenester avtok med 10 % fra 2005 til 2010, men økte deretter med 2 % per år i årene fra 2010 til 2015 og med 5 % per år i årene fra 2015 til 2020.

Gjør beregninger, og finn ut hvilke tall som kan eller skal stå i de blå rutene i tabellen nedenfor. ÅR

Boligprisindeks

2005

85

2010 2015 2020

s

76

3 | ØKONOMI

90

Matvareindeks

Indeks for helsetjenester

UTFORSK REALLØNN OG KONSUMPRISINDEKS Tabellen viser timelønna til Kim og prisen for 1/2 L cola noen utvalgte år.

Timelønn Prisen for 1/2 L cola Antall cola per timelønn

2012 150 kr 15 kr

2015 200 kr 19 kr

2020 250 kr 25 kr

STEG 1

a) Fyll ut den nederste raden i tabellen.

Hvilket år fikk Kim kjøpt mest cola per timelønn? b) Har Kim fått bedre råd fra 2012 til 2020?

Kim brukte også litt av pengene sine på potetgull. La oss anta at han brukte 70 % av det han tjente, på cola, og 30 % på potetgull. For å undersøke hvor mye cola og potetgull han kunne få for lønna si, skal vi bruke denne tabellen: Timelønn Prisen for 1/2 L cola Prisen for en pose potetgull Godteriprisen Timelønn Godteriprisen

2012 150 kr 15 kr 15 kr

2015 200 kr 19 kr 18 kr

2020 250 kr 25 kr 19 kr

STEG 2

a) Fyll ut den neste raden i tabellen ved å regne ut godteriprisen slik: godteriprisen 0,7 colaprisen 0,3 potetgullprisen b) Fyll ut den nederste raden ved å dele timelønna med godteriprisen. c) Hvilket år fikk Kim kjøpt mest godteri for pengene sine?

I virkeligheten bruker vi pengene vi tjener, på veldig mange forskjellige ting, ikke bare cola og potetgull. Målet for det samlede prisnivået kalles konsumprisindeks (KPI). For å se hvilket år vi fikk mest for pengene våre, må vi dele lønna vår på KPI. Timelønn KPI Timelønn KPI

2012 150 kr 93,9

2015 200 kr 100

2020 250 kr 112,2

STEG 3

Finn ut om Kim fikk mest for pengene sine i 2012, 2015 eller i 2020, ved å fylle ut tabellen.

3.1 PRISINDEKSER

77

s

ØKONOMISK KNIPE Du skal ta på deg jobben som økonomisk rådgiver. Nedenfor finner du et brev fra Snorre, som har havnet i økonomisk knipe. Skriv et brev tilbake, og svar på alt han lurer på. Vis utregninger, og forklar begrepene for ham. Husk at Snorre kan lite, så du må forklare enkelt og tydelig. Her får du bruk for alt du har lært om økonomi, og kanskje må du søke opp mer informasjon for å hjelpe Snorre.

Økonomiske råd Til: Privøko rådgiving Emne: Økonomiske råd Kjære økonomiske rådgiver Mitt navn er Snorre. Jeg trenger hjelp! De ringte nettopp fra banken og sa de ville sende meg til inkasso om jeg ikke betaler regningene mine!! Jeg skjønner ingenting av dette. Kan du hjelpe meg med å rydde opp?

Jeg har fast jobb og skal egentlig tjene 29 000 kr i måneden. Men jeg får sjelden noe særlig mer enn 20 000 på konto. Skjønner du hvorfor? Jeg er medlem av en fagforening, så de trekker visst medlemskontingent fra lønna. Men det kan vel ikke være flere tusen kroner i måneden?! Jeg bor alene og leier en liten leilighet som koster 12 500 kr i måneden, inkl. strøm osv. Resten av lønna forsvinner til mat, bussbillett, klær og andre ting jeg trenger.

For fem år siden handlet jeg en del med kredittkortet mitt, og tenkte ikke over at jeg tok opp lån. Så plutselig oppdaget jeg at jeg hadde handlet for 150 000 kr, som jeg ikke har betalt tilbake enda. Renta var jo bare på 1,8 % per måned, så jeg tenkte det gikk fint å vente litt. Men nå vil banken liksom ha helt sjukt mye.

For ikke så lenge siden fikk jeg også en SMS fra Skatteetaten. Det var en sånn skattemelding. Jeg vet ikke helt hva det er, eller hva jeg skal gjøre med den. Har jeg gjort enda mer feil? Kan ikke du bare forklare meg disse greiene og hjelpe meg ut av knipa?

Med vennlig hilsen Snorre Snurr

s

108

3 | ØKONOMI

Oppsummering og skatteberegning Dette er en oppsummering av Skatteetatens forhåndsutfylte opplysninger, og de endringene du eventuelt selv har gjort i skattemeldingen. Alle tallene er foreløpige frem til du sender inn skattemeldingen og mottar oppdatert skatteoppgjør.

INNTEKT Lønn, naturalytelser m.v.

Renter av bankinnskudd SUM INNTEKTER

348 012 49 348 061

FRADRAG Minstefradrag i egen inntekt Fagforeningskontingent Premie til pensjonsordning Renter av gjeld SUM FRADRAG

104 450 3 850 6 960 84 309 199 569

ALMINNELIG INNTEKT INNTEKT ETTER FRADRAG (Alminnelig inntekt)

148 492

SÆRFRADRAG SUM GRUNNLAG FOR INNTEKTSSKATT

148 492

FORMUE Bankinnskudd SUM FORMUE (Bruttoformue)

9 037 9 037

GJELD Gjeld til kredittinstitusjoner SUM GJELD

437 479 437 479

NETTOFORMUE FORMUE ETTER GJELD (Nettoformue)

– 428 442

SKATTEBEREGNING Inntektsskatt Inntektsskatt til staten, fellesskatt Inntektsskatt til kommune og fylke Inntektsskatt til staten, trinnskatt av personinntekt Trygdeavgift FORELØPIG BEREGNET SKATT OG AVGIFT

GRUNNLAG

SKATT OG AVGIFT

148 492 148 492 348 012 348 012

8 213 13 169 5 328 28 537 55 247

Husk at du må sende inn skattemeldingen på nytt om du endrer noe.

Send inn nye opplysninger

Gå ut av skattemeldningen

ØKONOMISK KNIPE

109

s

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

OPPGAVE 3

Bruk indeksene fra tabellen nedenfor når du løser denne oppgaven

Konsumprisindeksen var 108,4 i 2018 og 112,2 i 2020. I 2018 hadde Ulrik 700 000 kr i årslønn.

Hvor mye måtte Ulrik hatt i lønn i 2020 hvis han skulle beholdt samme kjøpekraft som i 2018?

År KPI

1950 2000 2010 2015 2017 2019 5,3

75,5 92,1

100 105,5 110,8

a) En genser kostet 449 kr i 2000.

Hvor mye hadde denne genseren kostet i 2019 hvis den hadde fulgt konsumprisindeksen? b) Ole kjøpte ei bukse for 899 kr i 2019.

Bestefaren til Ole betalte 60 kr for ei tilsvarende bukse i 1950. Ole synes dette var veldig billig, men bestefar er uenig.

Hvem av de to har rett? Begrunn svaret med utregninger.

OPPGAVE 2

Jenny tjente 450 000 kr i 2014. Den nominelle lønna hennes har økt med 2 % hvert år. Konsumprisindeksen (KPI) i basisåret 2015 er 100. År 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

KPI 97,9 100 103,6 105,5 108,4 110,8 112,2

Nominell lønn (kr) 450 000

a) Sett opp tabellen ovenfor i et regneark. Bruk formler og bestem hvilke tall som skal stå i de tomme rutene. b) Finn ut hvilket år Jenny hadde minst kjøpekraft. c) Hvor mye måtte Jenny tjent i 2020 for at kjøpekraften skulle vært den samme som i 2014?

s

110

3 | ØKONOMI

OPPGAVE 4

Fra 2010 til 2019 steg konsumprisindeksen med 20,3 %. Konsumprisindeksen var 92,1 i 2010. a) 1) Hvor mange prosent steg da prisene i gjennomsnitt på de varene som konsumprisindeksen bygger på?

2) Finn konsumprisindeksen i 2019.

I 2010 hadde Emilie 215,00 kr i timelønn.

Fra 2010 til 2019 gikk reallønna hennes ned med 1,2 %. b) 1) Finn reallønna til Emilie i 2010.

2) Hvilken timelønn hadde Emilie i 2019?

OPPGAVE 5

Maren vil kjøpe en motorsykkel som koster 82 000 kr. Hun har 30 000 kr.

Resten må hun låne i banken. Hun velger et annuitetslån og betaler ned lånet over fire år med én termin per år.

Det årlige terminbeløpet er på 14 056 kr.

Hun må betale 3,2 % rente per år. Maren lager et regneark, som vist nedenfor.

Lag et regneark med det samme oppsettet som Maren har brukt. Sett inn formler for å fylle ut nedbetalingsplanen.

OPPGAVE 6

OPPGAVE 8

Anton ønsker å reise på en lang ferie og har funnet ut at han trenger 45 000 kr.

Derfor har han bestemt seg for å begynne å spare.

Aurora er 17 år og arbeider av og til i en butikk. I mars 2020 arbeidet hun 33 timer og tjente 5775 kr. Hun fikk ikke noe overtidstillegg eller tillegg for ubekvem arbeidstid. a) Hva var timelønna til Aurora?

x H an har opprettet en sparekonto.

Banken gir 0,20 % i fast årlig rente. x Han satte inn en startkapital på 20 000 kr 1. januar 2020. x Han planlegger å sette inn 5000 kr på kontoen ved begynnelsen av hvert år. a) Lag et regneark likt det du ser nedenfor, og sett inn formler i de blå rutene slik at regnearket viser hvor mye det er på sparekontoen fram til og med 2025.

Oppgi hvilke formler du har brukt.

Frikortbeløpet for 2020 var 55 000 kr.

Det er det beløpet vi kan tjene før vi må betale skatt. b) Vi går ut fra at Aurora har den samme timelønna hele året.

Hvor mange timer kan Aurora arbeide før hun har tjent mer enn beløpet på frikortet?

Aurora jobbet mer enn planlagt. Hun bestilte derfor et skattekort med 30 % prosenttrekk på det beløpet som var høyere enn 55 000 kr. I alt tjente Aurora 84 000 kr dette året. c) Hvor mye hadde Aurora betalt inn i skatt da året var omme?

OPPGAVE 9

b) Når har Anton råd til å reise hvis han følger planen? c) Anton har lyst til å reise i 2023, men han har ikke råd til å spare mer enn 5000 kr i året.

Hvor stor måtte den årlige renta vært for at han skal kunne dra allerede da?

OPPGAVE 7

Lag et program i Python der brukeren kan skrive inn konsumprisindeksen og reallønna. Programmet skal da regne ut nominell lønn.

En familie kjøper et hjemmekinoanlegg til 18 600 kr. Familien bruker et kredittkort med 1,7 % rente per måned.

De betaler ikke avdrag. a) Hvor mye skylder familien etter ett år? b) Hvor mange prosent har gjelden vokst med det første året? c) Familien fikk redusert skatten med 22 % av det de hadde betalt i renter.

Hvor mye reduserte de skatten med? d) Familien setter opp denne likningen: 18 600 1,017x 25 000 Løs denne likningen grafisk. Forklar hva den gir svar på.

REPE TISJONSOPPGAVER

111

s

STATISTIKK – ANALYSE OG PRESENTASJON Mål for opplæringen er at elevene skal kunne • analysere og presentere funn i datasett fra lokalsamfunn og media

4.1 Lese tabeller og diagrammer Statistikk handler blant annet om innsamling og presentasjon av tall fra datamateriale. Et datamateriale kan bestå av tall fra flere målinger, eller datasett. Slik informasjon kan vi presentere på flere ulike måter.

En tabell er én måte å framstille informasjonen i et datasett. Da får vi vist fram de eksakte tallene. I tabellen nedenfor ser du hvor mange nyfødte som ble gitt navnene Astrid og Emma noen utvalgte år.

Fødte 1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

Astrid

382

257

126

84

78

82

103

191

Emma

7

0

6

22

73

381

513

362

Fra tabellen ser vi for eksempel at 382 nyfødte barn fikk navnet Astrid i 1950.

Samme år var det bare sju som fikk navnet Emma. I 2000 var det derimot 82 som fikk navnet Astrid, mens hele 381 ble hetende Emma. Populariteten til navnene har altså endret seg i løpet av disse 50 årene. For å oppdage denne utviklingen må vi imidlertid se gjennom mange tall.

Nedenfor er den samme informasjonen som i tabellen tegnet som et linjediagram. Fra det ser vi raskt at navnene Astrid og Emma har endret popularitet. Den grønne linja viser at Emma ble mer og mer populært frem til toppunktet i 2010. Den rosa linja viser at navnet Astrid var minst populært rundt 1990, men navnet ser ut til å ha en økende popularitet de siste årene.

Antall fødte 500 400

Emma

300 200

Astrid

100 1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020 År

Linjediagram bruker vi ofte til å vise en trend, altså hvordan noe endrer seg over tid. Vi ser ikke nøyaktig hvor mange som fikk hvert av navnene slik vi gjorde i tabellen. Det må vi i så fall lese av på andreaksen (y-aksen).

I linjediagrammer trekker vi rette linjer mellom målepunktene. Det kan vi bruke til å anslå at det var omtrent 450 nyfødte som fikk navnet Emma i 2005. Det er ikke et nøyaktig tall, men et rimelig anslag basert på utviklingen vi ser.

4.1 LESE TABELLER OG DIAGRAMMER

113

s

DISKUTER

Millioner

Nedenfor ser dere antall Netflix-abonnenter noen år i og utenfor USA. Hva forteller utviklingen? Er det lettest å se utviklingen ut fra tabellen eller diagrammet?

?

175 150 125 100 75 50 25 0

Netflix-abonnement USA Resten av verden 58,5 52,8 43,4 27,4 2015

47,9 41,2 2016

61,0

106,1 80,8

57,8 2017

2018

2019

Netflix-abonnement Resten av USA Årstall verden 2015 27,4 43,4 2016 41,2 47,9 2017 57,8 52,8 2018 80,8 58,5 2019 106,1 61,0

OPPGAVE 4.10

Nedenfor ser vi et værvarsel fra yr.no presentert som diagram og tabell. °C 13

mm 5

12

4

11

3

10

2

9

1

8

0 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Kl

Tid

Temp

Nedbør

Tid

Temp

kl 05 kl 06

11 qC

0 mm

kl 13

11 qC

10 qC

0 0,1 mm

kl 14

11 qC

0,3 1,6 mm

kl 15

1,8 4,9 mm

kl 16

11 qC

0,1 1,5 mm

kl 17

11 qC

0 0,1 mm

kl 18

11 qC

kl 07 kl 08

9 qC

kl 09

9 qC

kl 10

10 qC

kl 11

10 qC

kl 12

s

2,4 3,4 mm

Nedbør 0,2 0,8 mm 0,1 1,1 mm

0,9 1,7 mm

kl 19

11 qC

0 0,2 mm

1,4 2,9 mm

kl 20

11 qC

0 0,1 mm

a) I tabellen mangler det noen verdier.

Bruk diagrammet til å fylle inn verdiene som mangler. b) Hvilken informasjon kan du lese ut av værvarslet presentert som diagram? c) Hvilken informasjon kan du lese ut av værvarslet presentert som tabell? d) Hvilken av de to framstillingene synes du gir best informasjon om været?

Begrunn svaret 114

4 | STATISTIKK – ANALYSE OG PRESENTASJON

Når vi skal hente ut informasjon fra et diagram, må vi passe på at vi forstår hva det viser. Vi bør for eksempel merke oss hva som står langs aksene i et diagram, og ofte er det viktig informasjon som står på, over eller under diagrammet.

Pasienter

EKSEMPEL

6000 5000

Menn

4000

Kvinner

3000 2000 1000 < 55 år

55–64 år

65–74 år

75–84 år

85+ år

Kilde: Hjerte- og karregisteret, Folkehelseinstituttet

Figuren ovenfor viser antall nye pasienter som fikk påvist hjertesykdommen atrieflimmer i 2014 fordelt på kjønn og alder. a) Omtrent hvor mange menn og hvor mange kvinner fikk atrieflimmer i 2014? b) Hva forteller diagrammet om hvem som får atrieflimmer?

LØ S N I N G

Vi ser at kategoriene langs førsteaksen er aldersgrupper. Øverst til høyre i diagrammet ser vi at de blå søylene er for menn og de røde er for kvinner.

På andreaksen har vi antall pasienter. a) Vi leser av høydene for søylene og bruker overslagsregning.

For menn: 2500 3500 5500 3500 1000 16 000 For kvinner: 1000 1500 3000 3000 2000 10 500 Omtrent 16 000 menn og omtrent 10 500 kvinner fikk diagnosen atrieflimmer i 2014 b) Diagrammet forteller at det er flere menn enn kvinner som får diagnosen.

For menn er det flest som får sykdommen i aldersgruppa 65–74 år. For kvinner er flest som får diagnosen i alderen 65–84 år, fordi det er omtrent like mange i gruppa 65–74 år som 75–84 år.

4.1 LESE TABELLER OG DIAGRAMMER

115

s

SENTRALMÅL OG SPREDNINGSMÅL Mål for opplæringen er at elevene skal kunne • bruke og vurdere valg av formålstjenlige sentralmål og spredningsmål for statistisk datamateriale

5.1 Gjennomsnitt og typetall Et sentralmål er en verdi som forteller oss noe om hvor hovedvekten i et datamateriale ligger. I dette og det neste delkapittelet skal vi se på de vanligste sentralmålene.

Skiskytter Marte Bø skjøt i alt 10 skyteserier i noen renn hun var med på.

Antallet treff var 5, 4, 5, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 3 Marte vil gjerne finne til ett tall som beskriver disse 10 observasjonsverdiene.

Det enkleste er å bruke typetallet. Det er det antallet som forekommer flest ganger. Her er det 5.

Typetallet er den observasjonsverdien som forekommer flest ganger.

Marte kan også bruke gjennomsnittet. Da må hun legge sammen alle treffene og dele på antallet skyteserier. Det er 5 4 5 3 4 5 5 4 5 3 10

43 10

4, 3

Gjennomsnittet er 4,3 treff.

Gjennomsnittet er summen av alle observasjonsverdier delt på antall observasjoner.

DISKUTER

Hvilket tall synes dere beskriver skyteseriene til Marte best? Typetallet eller gjennomsnittet?

?

OPPGAVE 5.10

I oktober et år spilte håndballspilleren Sander Løke 12 kamper. Antallet mål han skåret, var 5, 2, 3, 0, 4, 1, 6, 2, 7, 2, 0, 2 a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittet.

5.1 GJENNOMSNIT T OG T YPE TALL

149

s

OPPGAVE 5.11

På en prøve fikk 25 elever disse karakterene: 3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2 a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittet.

OPPGAVE 5.12

Ida skåret til sammen 42 mål. Det var i gjennomsnitt tre mål per kamp hun spilte. a) Hvor mange kamper spilte hun? b) Hvorfor kan vi ikke finne typetallet ut fra disse opplysningene?

Nedenfor ser du frekvenstabellen som viser karakterene på prøven i 2P-1 fra kapittel 4.2. x

Frekvens, f

1

2

2

5

3

8

4

7

5

4

6

1

DISKUTER

Se på frekvenstabellen ovenfor og diskuter spørsmålene: a) Hvor mange elever deltok på prøven? b) Hvor mange elever besto prøven? c) Hva er typetallet, og hvordan finner vi det i en frekvenstabell? d) Hvordan kan vi finne gjennomsnittet?

Nå skal vi bruke regneark til å finne gjennomsnitt i frekvenstabeller. For å finne gjennomsnittet av karakterene i en frekvenstabell må vi regne ut summen av karakterene og dele det på antall elever.

Først finner vi antall elever ved å legge inn frekvenstabellen i regnearket og summere frekvensene. I celle B8 i regnearket øverst på neste side har vi brukt formelen «=SUMMER(B2:B7)». Vi ser at det er 27 elever i klassen.

s

150

5 | SENTRALMÅL OG SPREDNINGSMÅL

Så finner vi summen av karakterene. Det gjør vi ved å gange sammen karakteren med antall ganger denne karakteren ble gitt. Med andre ord ganger vi sammen observasjonsverdien x med frekvensen f. I celle C2 skriver vi da «=A2*B2» og kopierer formelen nedover kolonnen. I celle C8 summerer vi alle karakterene med formelen «=SUMMER(C2:C7)».

Gjennomsnittet er summen av alle observasjonsverdier antall observasjoner Derfor finner vi gjennomsnittskarakteren ved å bruke formelen «=C8/B8» i regnearket. Nå ser regnearket vårt ut slik som på skjermbildene nedenfor. Til venstre ser du regnearket med tall. Til høyre ser du regnearket med formler.

I skjermbildene ovenfor ser du at vi også har funnet typetallet. Det kan vi enklest gjøre ved å se hvilken karakter som har høyest frekvens. Det er ikke nødvendig å bruke formel for typetallet, slik vi har gjort.

DISKUTER

Hvorfor kan vi ikke bruke formelen =GJENNOMSNITT direkte for å finne gjennomsnittet i en frekvenstabell?

I regnearket med formler ser du at vi brukte en med formel i celle. B11 for å finne typetallet. Hvordan fungerer formelen?

5.1 GJENNOMSNIT T OG T YPE TALL

151

s

GEOMETRI Mål for opplæringen er at elevene skal kunne • utforske og forklare hvordan formlikhet, målestokk og egenskaper ved geometriske figurer kan brukes i beregninger og praktisk arbeid

UTFORSK FORMLIKHET De fire trekantene nedenfor har samme form, men ulik størrelse. Vi sier at de er formlike.

T4 T2

T3 T1

STEG 1

Bruk gradskive og mål alle vinklene i trekantene ovenfor.

Ser du noen sammenheng?

STEG 2

Bruk linjal og mål lengdene av alle sidene i hver av trekantene.

Kan du finne noen sammenheng?

STEG 3

a) Regn ut forholdet mellom den lengste siden i T2 og den lengste siden i T1.

Husk at vi finner forholdet mellom to tall ved å dele dem på hverandre. b) Regn ut forholdet mellom den korteste siden i T2 og den korteste siden i T1. c) Regn ut forholdet mellom den nest lengste siden i T2 og den nest lengste siden i T1. Kan du finne noe mønster?

STEG 4

Sjekk om det samme mønsteret gjelder når du regner ut forholdene mellom sidene i trekantene T3 og T4, mellom T3 og T2 og mellom T1 og T4.

STEG 5

Tegn en trekant der alle sidene er dobbelt så lange som sidene i T3.

Mål vinklene i denne trekanten. Hva oppdager du?

STEG 6

Tegn flere formlike trekanter. Gjelder det samme forholdet mellom lengdene av sidene i trekantene?

UTFORSK FORMLIKHE T

181

s

6.1 Vinkler i formlike figurer Figuren til høyre nedenfor er en forminskning av figuren til venstre. Figurene er dermed formlike. u v

Når vi endrer størrelsen, speilvender eller dreier figurer, endrer vi ikke vinkler. Vinklene u og v ligger her på tilsvarende sted i de to figurene, og vi kaller dem samsvarende vinkler. De er like store.

I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store.

Trekanten til høyre nedenfor er lagd ved at vi forminsket figuren til venstre.

Vi har også dreid og speilvendt den. Da er de formlike selv om det kanskje ikke ser slik ut ved første øyekast. Eksempler på slike formlike trekanter så vi også i Utforsk formlikhet.

Legg merke til hvordan vi markerer hvilke vinkler som er samsvarende.

Vi tegner vinklene med små buer og markerer buene med én, to eller tre streker for å marker hvilke som hører sammen. Når en vinkel er 90 grader, bruker vi et lite kvadrat for å markere vinkelen.

EKSEMPEL

Firkantene ABCD og EFGH er formlike.

D

C H

120°

G 105°

45° A

B

E

F

a) Hvilke vinkler er samsvarende i de to firkantene? b) Hvor store er B og C? c) Regn ut summen av vinklene i ABCD.

s

182

6 | GEOME TRI

LØ S N I N G

a) EFGH er forminsket og speilvendt i forhold til ABCD. A er samsvarende med F, B er samsvarende med E, C er samsvarende med H og D er samsvarende med G. b) Ettersom figurene er formlike, er B E 90q C H 105q c) Summen av vinklene i ABCD er A B C D 45q 90q 105q 120q 360q

?

OPPGAVE 6.10

Vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader. ABCD og EFGH er formlike. Størrelsene til noen av vinklene er markert i figuren.

G H 129° C D

A

63°

108° B

E

F

Finn de ukjente vinklene i de to firkantene.

Noen ganger må vi selv finne ut om to figurer er formlike. Da bruker vi noen regler som kan være til hjelp. Om trekanter vet vi dette: Summen av vinklene i en trekant er alltid 180q.

To trekanter er formlike hvis to av vinklene i den ene trekanten er like store som to av vinklene i den andre trekanten.

DISKUTER

Hvorfor er det nok å vite at vi har to – og ikke tre – like store vinkler for å kunne si at to trekanter er formlike?

6.1 VINKLER I FORMLIKE FIGURER

183

s

OPPGAVER • Oppgavene i delkapittel.

ØV MER

gir ekstra trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert

BLANDEDE OPPGAVER og ÅPNE OPPGAVER inneholder ofte stoff • Oppgavene i fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.

• I blandede oppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger og flervalgsoppgaver.

• De åpne oppgavene er større og mer omfattende. Her får du trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger selv lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier som modellering, utforsking og programmering. I disse oppgavene er det meningen at du skal bruke litt mer tid, og de legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan derfor være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.

1

Prosent ØV MER

Oppgave 1.113

1.1 PROSENTREGNING

Oppgave 1.110

a) Regn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpene uten å bruke hjelpemiddel.

1) 80 kr 2) 150 kr 3) 1800 kr b) Regn ut med hjelpemiddel.

1) 30 % av 120 2) 13 % av 600 3) 40 % av 800 4) 8 % av 175 Oppgave 1.111

Hvilken figur passer til prosenten? a) 80 % b) 55 % c) 25 % d) 15 % A

B

C

D

E

F

Gunn har to kontoer i banken som står urørte. På den ene kontoen står det 24 000 kr, og på den andre står det 106 000 kr. Hun får 0,10 % rente per år på kontoen med lavest innskudd og 0,15 % rente per år på den andre. a) Hvor mange kroner mer står det på hver av disse kontoene etter ett år? b) Hvor mye har hun til sammen på disse to kontoene etter ett år?

Oppgave 1.114

Guro og Henrik er på et kjøpesenter.

Guro ønsker å kjøpe ei ny bukse, mens Henrik har planlagt kjøp av nye sko.

Begge har 500 kr å handle for. a) Guro ser på ei bukse til 750 kr og kan få 40 % avslag i prisen.

Har hun nok penger til å kjøpe buksa? b) Henrik ser på et par sko til 1250 kr og kan få 25 % avslag i prisen.

Forklar Henrik at han ikke har nok penger til å kjøpe skoene. c) Hvor mange prosent avslag må Henrik få for å kunne kjøpe skoene?

Oppgave 1.115

Oppgave 1.112

a) En radio koster 1200 kr. Så blir prisen satt opp 20 %.

Hvor mange kroner blir prisen på radioen satt opp med? b) En klokke koster 2400 kr før den blir blir satt ned 15 %.

Hvor mange kroner blir prisen på klokka satt ned med?

a) Elevtallet på en skole var et år 600. Året etter var det 15 flere elever på skolen.

Hvor mange prosent gikk elevtallet opp? b) Elevtallet på en annen skole var 750. Året etter hadde elevtallet gått ned med 30 elever.

Hvor mange prosent hadde elevtallet gått ned?

1 | PROSENT

217

s

Oppgave 1.116

Kasper, Jesper og Jonathan skal dele en pengesum på denne måten: • Kasper får 825 kr.

• Jesper får 20 % av pengesummen.

• Jonathan 55 % av pengesummen.

Hvor mye får Jesper og Jonathan?

Oppgave 1.117

Tove og Fredrik er på handletur og er innom hver sin butikk. Tove har fått 25 % avslag i prisen på en kjole. Det svarer til 300 kr. a) Hva var den opprinnelige prisen på kjolen? b) Hvor mye betalte Tove for kjolen?

Fredrik fikk tilbud om 30 % rabatt på ei ny klokke. Det svarte til 870 kr. c) Hva kostet klokka før den ble nedsatt? d) Fredrik hadde bare 2000 kr å bruke på ei ny klokke. Forretningen bestemte seg for at Fredrik skulle få kjøpe klokka for denne summen.

Hvor mange prosent avslag fikk Fredrik i alt?

Oppgave 1.118

a) Hva er det dette programmet gjør?

Forklar hva som skjer i hver linje.

1 2

tall = 250 prosent = 1

3 4 5 6

7

while prosent <= 100: utregning = tall*prosent/100 print(prosent, "% av", tall, "er", round(utregning, 2)) prosent = prosent + 1

8

b) Gjør endringer i programmet ovenfor slik at det bare skriver ut prosenten av et tall når prosentene er 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 %, 60 %, 70 %, 80 %, 90 % og 100 %.

s

218

1 | PROSENT

1.2 PROSENTPOENG

Oppgave 1.120

a) På en meningsmåling gikk oppslutningen om partiet Venstre ned fra 6,0 % til 5,1 %.

Hvor mange prosentpoeng sank oppslutningen om Venstre med? b) Noe seinere gikk oppslutningen om Venstre opp 1,2 prosentpoeng.

Hvor mange prosent var oppslutningen om Venstre da?

Oppgave 1.121

På nettsidene til Statistisk sentralbyrå stod dette å lese 14. august 2020: Renta på nye lån til husholdninger med pant i bolig falt med 0,08 prosentpoeng til 1,80 prosent i juni 2020. Renta på utestående boliglån hadde et litt mindre fall med 0,05 prosentpoeng til 1,97 prosent. a) Hvor høy hadde renta på nye lån med pant i bolig vært før den ble satt ned? b) Hvor høy hadde renta på utestående boliglån vært før den ble satt ned?

Oppgave 1.122

For fem år siden deltok 35 % av elevene på en skole på en dagstur til en fjelltopp.

I år sank deltakelsen til 21 %. a) Hvor mange prosentpoeng er nedgangen på?

De siste årene har elevtallet hele tiden vært på 540 elever. b) Hvor mange elever deltok på turen for fem år siden? c) Hvor mange elever deltok nå?

Oppgave 1.123

I 2020 bodde 30 % av elevene på en skole mindre enn 5 km fra skolen. I 2021 steg dette tallet til 35 %. a) Hvor mange prosentpoeng var økningen på?

Elevtallet på skolen var 260 både i 2020 og i 2021. b) Hvor mange elever bodde mindre enn 5 km fra skolen i 2020? c) Hvor mange elever bodde mer enn 5 km fra skolen i 2021?

Oppgave 1.124

På en skole er det 400 elever. I januar var det gjennomsnittlige fraværet 4,5 %. Måneden etter hadde dette fraværet økt til 6,0 %. I mars sank det gjennomsnittlige fraværet til 4,0 %. a) Hvor mange var borte fra skolen i gjennomsnitt per dag i hver av månedene januar og februar? b) Hvor mange prosentpoeng økte fraværet med fra januar til februar? c) Hvor mange prosentpoeng avtok fraværet med fra januar til mars? d) Hvor mange prosent økte det gjennomsnittlige dagfraværet med fra januar til februar?

Oppgave 1.125

En skole har 650 elever. Torsdag er 30 elever fraværende og fredag 45. a) Hvor mange prosentpoeng økte fraværet med fra torsdag til fredag? b) Hvor mange prosent økte fraværet med fra torsdag til fredag?

1.3 VEKSTFAKTOR

Oppgave 1.130

Finn vekstfaktoren når a) verdien øker med 31 % b) verdien minker med 31 % c) verdien minker med 2,5 % d) verdien øker med 2,5 % e) verdien øker med 100 % f) verdien minker med 50 %.

Oppgave 1.131

Finn den prosentvise endringen når vekstfaktoren er a) 1,28 b) 1,007 c) 2 d) 0,60 e) 0,99 f) 0,008 Oppgave 1.132

a) Bordtennisklubben «Serve» hadde i fjor 240 medlemmer. I år har medlemstallet økt med 15 %.

Hvor mange medlemmer har klubben nå? b) I går kostet en liter bensin 14,50 kr.

I dag har prisen gått ned med 6 %.

Hva betaler Frank for 40 L bensin som han kjøper i dag?

Oppgave 1.133

a) Skobutikken «Vi skor deg» har tilbud på sko. Skoene kostet opprinnelig 800 kr, men de blir nå solgt med 30 % rabatt. I en annen butikk kostet skoene opprinnelig 700 kr, men nå blir de solgt med 20 % rabatt.

Hvilket tilbud er det beste? b) Per Mekker har kjøpt en gammel bil som han pusser opp. Han selger bilen for 90 000 kr. Det er 25 % mer enn det han ga for den.

Hvor mye betalte Per for bilen?

1 | PROSENT

219

s

Oppgave 1.134

Oppgave 1.138

Ei bukse koster 600 kr. Den blir først satt ned med 20 %. Salget går dårlig, og prisen settes ned med ytterligere 30 %. a) Hva koster buksa nå? b) Hvor mange prosent ble buksa satt ned i alt? c) Hvorfor blir det ikke riktig å si at prisen på buksa gikk ned med 20 % 30 % 50 %?

I en matematikktime fikk elevene denne oppgaven:

Oppgave 1.135

a) Marie kjøper en aksje og selger den for 352 kr. Det er 10 % mer enn hun ga for aksjen.

Hva var kjøpsprisen på aksjen? b) Gustav kjøpte en myntsamling og solgte den noe seinere for 3960 kr.

Det var 12 % mindre enn det Gustav ga for samlingen.

Hva betalte Gustav for myntsamlingen?

Til et kurs i strikking var det påmeldt 100 deltakere. Av erfaring vet arrangøren at deltakerantallet synker med 20 % den første måneden og 15 % den andre måneden.

Hvor mange deltakere kan arrangøren regne med det slutter i alt de to første månedene?

Her er en av besvarelsene:

Det er 20 % som slutter den første måneden og 15 % som slutter den andre måneden. I alt blir det 35 % som slutter. Antall deltakere som slutter, er da 100 0,35 = 35

Oppgave 1.136

Det er salg i en møbelforretning.

Tabellen viser prisavslaget på noen av møblene.

Ordinær pris (kr)

Salgspris (kr)

Sofa

12 000

10 500

Stol

8900

Puff

Avslag i prosent 15

2960

20

Skriv av og fyll ut tabellen.

Oppgave 1.137

a) Ei skjorte koster 490 kr på salg. Den opprinnelige prisen er da redusert med 30 %.

Hva var den opprinnelige prisen? b) Ei populær jakke hadde gått opp i pris med 8 % til 2430 kr.

Hva kostet jakka før prisoppgangen?

s

220

1 | PROSENT

Kommenter denne løsningen. Vis hvordan du mener oppgaven bør løses.

1.4 EKSPONENTIELL VEKST

Oppgave 1.140

Hanne hopper høyde. Hun har i dag en personlig rekord på 1,60 m. Hun har som mål å øke den personlige rekorden sin med 3 % per år. a) Hvor høyt regner Hanne med å hoppe neste år? b) Hvor høyt regner Hanne med å hoppe om 3 år? c) Med hvor mange prosent forbedrer hun rekorden på 3 år hvis hun når målet sitt?

Oppgave 1.141

Oppgave 1.145

En fabrikk forurenser lufta med utslipp av CO2. I år var det samlede utslippet 50 tonn per år. Fabrikken bestemmer seg for å redusere utslippet med 12 % hvert år. a) Hvor stort blir da utslippet per år om 2 år og om 5 år? b) Hvor mange prosent er utslippet da redusert med i løpet av 5 år?

Stine setter 8200 kr på en sparekonto.

Banken gir en fast årsrente på 0,10 %. a) Hvor mye har hun på kontoen etter 5 år hvis renta holder seg konstant? b) Finn et uttrykk for hvor mye Stine har på kontoen etter x år. c) Tegn en graf som viser hvor mye Stine har på kontoen 40 år framover. d) Finn når Stine har 8500 kr på kontoen.

Oppgave 1.142

Oppgave 1.146

Verdien av en bolig har steget med 7 % per år siden den var ny. I dag er boligen verdt 2,80 millioner kroner. a) Regn ut hvor mye boligen vil være verdt om 8 år hvis stigningen fortsetter. b) Regn ut hvor mye boligen var verdt for 8 år siden.

I begynnelsen av et forsøk er det 145 bakterier i en løsning. Den prosentvise økningen per time er 33,0 %. a) Hvor mange bakterier er det i løsningen etter 8 timer? b) Finn et funksjonsuttrykk f (x) som gir bakterietallet etter x timer. c) Tegn grafen til f digitalt. d) Etter hvor mange timer er det 10 700 bakterier dersom utviklingen fortsetter på den samme måten?

Oppgave 1.143

Ei uke økte bensinprisen med 1 % per dag fra mandag til fredag. På onsdag kostet bensinen 14,28 kr per liter. a) Hvor mye kostet bensinen på fredag denne uka? b) Hvor mye kostet bensinen på mandag denne uka? c) Hvor mange prosent økte bensinprisen fra mandag til fredag?

Oppgave 1.144

En smittsom sykdom sprer seg slik at t uker etter at sykdommen ble oppdaget, var tallet på smittede personer gitt ved N(t) 60 1,23t a) Hvor mange personer var smittet da sykdommen ble oppdaget? b) Hvor mange personer var smittet etter 14 dager? c) Tegn grafen til N og finn når 600 personer var smittet.

Oppgave 1.147

Til en konsert ble det lagt ut 50 000 billetter for salg. Etter én time var det solgt 4000 billetter. a) Forklar at modellen f (x) 50 000 0,92x viser hvor mange billetter det er igjen etter x timer når antallet billetter avtar med en fast prosent per time. b) Arrangøren får et pålegg fra brannvesenet om ikke å selge mer enn 42 000 billetter.

Trude Lutten forsøker å kjøpe billetter 20 timer etter at billettene er lagt ut. Får Trude kjøpt billetter?

1 | PROSENT

221

s

BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.200

a) Tegn en figur med 15 ruter. Fargelegg 40 % av figuren. b) Hvor mange flere ruter må du fargelegge for at 80 % av figuren skal bli fargelagt?

Oppgave 1.203

a) Hvor mye mat kaster norske forbrukere hvert år? Hent opplysninger i teksten nedenfor. b) Hvor mye kaster vi til sammen av bakervarer, middagsrester og frukt og grønnsaker?

Oppgave 1.201

Utklippet nedenfor er hentet fra Aftenposten 9. september 2020.

44 prosent født i utlandet Av de 728 nye smittetilfellene forrige uke, var 309 født i utlandet.

45 var født i Afghanistan, 18 i Pakistan, og 12 i Kuwait og Polen.

Dette betyr at 44 prosent av de nye tilfellene var utenlandsfødte, noe som er en økning fra de siste ukene. Økningen skyldes trolig det store utbruddet i Østfold.

De fleste blir smittet av familiemedlemmer.

Av de 515 sakene hvor smittested er kjent, ble 29 prosent smittet i privat husstand, 23 prosent på jobb eller universitet mens 13 prosent ble smittet på et offentlig arrangement.

Kilde: https://www.aftenposten.no/norge/i/x3AxLV/ nye-fhi-tall-antallet-nye-smittede-oekte-90-prosent

a) Undersøk ved regning om overskriften «44 prosent født i utlandet», stemmer. b) I hvor mange prosent av tilfellene er smittestedet ukjent?

Oppgave 1.202

Ulrik påstår at to av disse alternativene gir det samme avslaget. Har Ulrik rett?

1) 2) 3) 4)

s

224

30 % avslag Halvparten av halv pris 75 % avslag Kjøp 3, betal for 2

1 | PROSENT

https://www.melk.no/Melkekilden/Kosthold/Matsvinn/ Hvor-mye-mat-kaster-nordmenn-hvert-aar

Oppgave 1.204

Eli-Trine har spart 12 000 kr, og av disse pengene bruker hun 4000 kr til ergometersykkel og 1550 kr til klær. a) Hvor mange prosent av sparepengene bruker hun?

En venninne av Eli-Trine sier: «Du har jo brukt halvparten av sparepengene dine på å kjøpe sykkel og klær.» b) Hvor mange prosent mindre måtte Eli-Trine da ha spart for at påstanden stemmer?

Oppgave 1.205

Adresseavisen skrev 10. mai 2020:

WHO anslår at 780 millioner har hatt korona Verdens samlede befolkning anslås av FN å være 7,795 milliarder.

Hvor mange prosent av verdens befolkning hadde da vært smittet?

Oppgave 1.206

Oppgave 1.210

En spade koster 210 kr på salg. Da er den opprinnelige prisen redusert med 30 %.

Hva var den opprinnelige prisen på spaden?

Peder Felgen har lagt ut fire dekk for salg, men han får ingen respons. Han setter derfor ned prisen med 15 %.

Prisavslaget er på 300 kr.

Hva koster dekkene etter at Peder setter ned prisen?

Oppgave 1.207

I en bolle er det 15 grønne, 4 gule og 1 blå kule.

Hvor mange prosent av kulene er ikke grønne?

Oppgave 1.211

Oppgave 1.208

1) Forretningen Sporten kan gi henne 18 % på utsalgsprisen, som er 3800 kr.

2) På en sportsmesse kan hun få kjøpt brettet med en rabatt på 23 %. Prisen uten rabatt er 3899 kr.

3) Gjennom idrettsklubben Aktiv kan hun få kjøpt brettet med et avslag på 22 %. Det svarer til en rabatt på 902 kr på den opprinnelige prisen.

a) Hvor mange prosent av figuren er fargelagt?

b) Hvor mange ruter må være fargelagt for at 60 % av figuren skal bli fargelagt? c) Hvor mange ruter er ikke fargelagt hvis 40 % av figuren er fargelagt?

Oppgave 1.209

Forretningen «Løp og kjøp» har denne annonsen: Kjøp 3 skjorter, og vi betaler den billigste for deg! a) Thomas kjøper tre skjorter. De koster 299 kr, 399 kr og 499 kr.

Hvor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? b) Geir kjøper fire skjorter som alle har den samme prisen.

Hvor mange prosent avslag får Geir på skjortene?

Randi har tenkt å kjøpe seg et nytt snøbrett. Hun får tre ulike tilbud på det snøbrettet hun ønsker seg.

Finn ut hvor Randi bør kjøpe snøbrettet.

Oppgave 1.212

På en skoletur er 40 % av elevene gutter.

60 % av jentene overnatter i telt. Ingen gutter gjør det.

Hvor mange prosent av elevene overnatter i telt?

Oppgave 1.213

På en skoletur er 40 % av elevene gutter.

60 % av jentene overnatter i telt. I alt er det 40 % av elevene som overnatter i telt.

Hvor mange prosent av guttene overnatter i telt?

1 | PROSENT

225

s

Oppgave 1.214

Oppgave 1.217

I en skål med nonstop er 25 % grønne.

Beate legger like mange grønne nonstop oppi skålen som det var der fra før.

Hvor mange prosent nonstop i skålen er nå grønne?

For bedriften «Jojo» har markedsandelene gått ned fra 16,2 % i 2019 til 14,9 % i 2021.

Hvilke eller hvilken av disse påstandene stemmer? Grunngi svarene.

1) Tilbakegangen til «Jojo» er 8,0 %.

2) Tilbakegangen til «Jojo» er 8,7 %.

3) Tilbakegangen til «Jojo» er 1,3 %.

4) Tilbakegangen til «Jojo» er 1,3 prosentpoeng.

Oppgave 1.215

En skole gjennomførte en spørreundersøkelse der elevene ble spurt om de liker engelsk eller matematikk best. Elevene kunne velge mellom tre svar: «engelsk best», «matematikk best» og «vet ikke».

20 % av elevene svarte «vet ikke». Av de resterende svarte 120 elever «matematikk best» og 80 elever «engelsk best».

Hvor mange prosent av de elevene som deltok på spørreundersøkelsen, svarte «matematikk best»?

Oppgave 1.216

Elida har begynt å lage et dataprogram som ser slik ut: 1 2

prosent = 25 kroner = 1750

3 4

pris = kroner*100/prosent

5 6

print(pris)

7

a) Hva er det dette programmet regner ut? b) Elida er ikke fornøyd med programmet sitt selv om det gir riktig svar på oppgavene det skal løse.

Gjør endringer i programmet slik at det også skriver ut en forklarende tekst til svaret. ▲ 1.1

s

226

1 | PROSENT

Oppgave 1.218

Ved Stortingsvalget i 2013 fikk partiet MDG 2,8 % av stemmene. I 2017 fikk partiet 3,2 % av stemmene.

Hvilke eller hvilken av disse påstandene stemmer? Grunngi svarene.

1) Fremgangen til MDG er 4 %.

2) Fremgangen til MDG er 14,3 %.

3) Fremgangen til MDG er 0,4 %.

4) Fremgangen til MDG er 0,4 prosentpoeng.

Oppgave 1.219

a) På avdelingen for logistikk ved Høgskolen i Molde gikk strykprosenten opp fra 7,9 % våren 2019 til 9,3 % våren 2020.

Hvor mange prosentpoeng var økningen på? b) Hvor mange prosent høyere var strykprosenten ved Høgskolen i Molde i 2020 enn i 2019? ▲ 1.2

Oppgave 1.220

Oppgave 1.224

Onsdag 28. oktober 2020 skrev FHI dette på nettsidene sine:

En vare selges i to forskjellige butikker.

Prisen er den samme i begge butikkene.

I butikk A settes prisen opp med 20 %.

I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til. Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene.

Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer.

I siste uke ble det meldt 1686 tilfeller av covid-19, som er en økning på 79 prosent fra uke 42.

Hvor mange tilfeller av covid-19 ble meldt i uke 42?

Oppgave 1.221

Et maleri koster 50 000 kr. Verdien øker med 8 % per år.

Finn verdien av maleriet om 5 år.

Oppgave 1.222

En båt er i dag verdt 306 000 kr. Verdien av båten har avtatt med 10 % det siste året. Vi antar at verdien også vil avta med 10 % neste år. a) Hvor mye vil båten være verdt om ett år? b) Hvor mye var båten verdt for ett år siden?

Oppgave 1.223

Beate setter 18 000 kr i banken. Hun lar pengene stå urørt i banken i to år. Det første året får hun 0,10 % rente, mens hun får 0,15 % rente det andre året. a) Sett opp et uttrykk som viser hvor mye Beate har i banken etter to år.

Bjarne setter 18 000 kr i en annen bank.

Også han lar pengene stå urørt i banken i to år. Banken gir 0,15 % rente det første året og 0,10 % rente det andre året. b) Hvem har mest penger i banken etter to år?

Oppgave 1.225

Lise driver med turorientering og finner poster. Hun har laget et diagram som viser hvor mange poster hun har funnet de siste tre årene. Diagrammet er tilsølt.

Antall poster 200 1 75 1 50 120

125 100

108

75 50 25 2018

2019

2020

År

a) Hvor mange prosent færre poster fant Lise i 2020 enn i 2019? b) Lise fant 25 % færre poster i 2019 enn i 2018.

Hvor mange poster fant hun i 2018?

Oppgave 1.226

Medlemsavgiften på treningssenteret «Trim» er 300 kr per måned. Medlemsavgiften på «Mosjon» er 200 kr per måned.

Hvor mange prosent dyrere er det å trene på Trim enn på Mosjon?

1 | PROSENT

227

s

Oppgave 1.237

Oppgave 1.238

Gunnar har fått en infeksjon og skal ta tabletter med et virkestoff mot infeksjonen. Når han har tatt en tablett, er mengden virkestoff i milligram M(t) etter t timer gitt ved

Anna plasserer ut kaniner på ei øde øy. Hun regner med at tallet K(t) på kaniner etter t måneder er gitt ved

M (t ) 120 0, 97t , 0 d t 12 a) Hvor mange milligram virkestoff er det i en tablett? b) Hvor mange milligram av virkestoffet er igjen i kroppen etter 5 timer? c) Hvor mange prosent blir virkestoffet i kroppen redusert med hver time? d) Tegn grafen til M for t mellom 0 og 12. e) Hvor lang tid går det før Gunnar har 90 mg virkestoff i kroppen?

Gunnar tar én ny tablett hver 12. time. f) Hvor mange milligram virkestoff har Gunnar i kroppen rett før og rett etter at han tar tabletten etter 12 timer? g) Tegn i samme koordinatsystem som i oppgave d en graf som viser mengden virkestoff i kroppen i tidsrommet mellom 12 og 24 timer.

K(t) 100 1,105t a) Hvor mange kaniner plasserer Anna ut på øya? b) Hvor mange kaniner kan vi regne med det er på øya etter 2 år? c) Hvor mange prosent øker tallet på kaniner hver måned? d) Tegn en graf som viser utviklingen av tallet på kaniner de to første årene. e) Hvor lang tid tar det før tallet på kaniner er 500?

Anna synes etter hvert at kaninbestanden er altfor stor, og hun bestemmer seg for å drive jakt på kaninene. Hun regner med at tallet på kaniner om t måneder da er gitt ved K(t) 1000 10 1,16t f) Hvor mange kaniner er det på øya når Anna begynner jakten? g) Finn grafisk hvor lang tid det tar før kaninbestanden er utryddet med denne modellen. ▲ 1.5

s

230

1 | PROSENT

ÅPNE OPPGAVER Oppgave 1.300

Teksten nedenfor er hentet fra hjemmesiden til Folkehelseinstituttet (FHI), der det blir presentert noen hovedpunkter fra uke 43 i 2020 om koronasituasjonen.

Noen hovedpunkter fra uke 43: • I uke 43 ble det meldt 1686 tilfeller, en 79 % økning fra 941 tilfeller i uke 42 (49 per 100 000 innbyggere for uke 42 og 43 samlet mot 36,9 per 100 000 innbyggere for uke 41 og 42 samlet).

• I uke 43 ble 98 041 personer testet, en økning på 10 % fra uka før. Andelen positive blant de testede gikk opp fra 1,05 % i uke 42 til 1,72 % i uke 43.

• Median alder i uke 43 var 33 år mot 38 år siden starten av epidemien. Antall meldte tilfeller gikk opp i alle aldersgruppene og økte mest i aldersgruppa 13–19 år (fra 53 i uke 42 til 151 i uke 43(34 per 100 000 i uke 43) +184 %).

• I løpet av uke 43 var det en økning i antall meldte tilfeller fra alle fylker bortsett fra Agder som meldte om færre tilfeller enn uka før. Flest tilfeller ble meldt fra Oslo (468 tilfeller i uke 43 mot 302 tilfeller i uke 42, 111 tilfeller per 100 000 innbyggere for uke 42 og 43 samlet). Totalt 209 kommuner meldte ingen tilfeller i uke 43, og av de 147 som meldte tilfeller var det 93 som meldte færre enn 5 tilfeller. Det var dermed 54 kommuner som meldte om 5 eller flere tilfeller i uke 43.

• Informasjon om smitteland mangler for 50 % (1301 av 2627) av tilfellene meldt i uke 42-43. Dette skyldes at klinikermeldinger til MSIS mangler for mange av tilfellene. Der vi har informasjon ser vi at andelen smittet i utlandet har økt fra 17 % i uke 41 til 25 % i uke 43. Alle de 310 som var registrert smittet i utlandet i uke 42-43, kom fra land som utløser karantene ved innreise til Norge. Mest vanlig smitteland siste to uker var Polen (190), Romania (16), Russland (7) og Sverige (7).

• Smittesituasjonen er foreløpig avklart for 976 av 1 016 (96 %) som er kjent smittet i Norge i uke 42–43. Mest vanlig antatt smittested privat husstand (387; 40 %), jobb/universitet (152; 16 %), arrangement privat (116; 12 %) og serveringssted/bar/utested (61; 6 %). For 148 tilfeller (15 %) var antatt smittested ukjent.

a) Hvor mange meldte koronatilfeller var det i uke 42? b) Hvor mange prosent av kommunene hadde ingen meldte koronatilfeller i uke 43? c) Hvor mange prosent av de kommunene som meldte koronatilfeller, hadde færre enn 5 tilfeller? d) Hvor mange prosentpoeng økning har det vært i andelen som er smittet i utlandet fra uke 41 til uke 43? e) Lag to spørsmål til teksten og bytt med en medelev. Lag også løsningsforslag til spørsmålene.

1 | PROSENT

231

s

Oppgave 1.301

Fjellsjøen er forurenset av et giftstoff som er oppløst og godt blandet i vannet. Firmaet A/S Miljøgift har fått i oppdrag av kommunen å redusere forurensningen. Tabellen viser giftmengden f (t) i milligram (mg) per tonn vann t uker etter at tiltak ble iverksatt. t (uker)

0

10

25

35

45

52

f (t) (mg)

400

351

280

236

210

194

a) Finn ut mest mulig om hvordan giftmengden utvikler seg. Presenter resultatene for kommunen.

Kommunen synes at det tar for lang tid å redusere giftmengden. Det settes inn ytterligere tiltak etter 1 år, og deretter viser det seg at g(t) 194 0,975t 20 er en god modell for giftmengden i innsjøen t uker etter at nye tiltak ble iverksatt. b) Finn ut mest mulig om hvordan giftmengden nå utvikler seg. Presenter resultatene for kommunen.

Oppgave 1.302

Den 8. august 2019 hadde Aftenposten en sak som handlet om uhell med sparkesykler. Illustrasjonen nedenfor er basert på denne.

Ta utgangspunkt i illustrasjonen og vis din kompetanse i prosentregning.

Lag problemstillinger og vis utregninger.

Uhell med el-sparkesykler I juli ble 149 personer i Oslo skadd etter uhell under bruk av elsparkesykkel. Oslo legevakt har hatt 337 legevaktbesøk etter uhell med slike sykler i perioden april til juli.

22 413 Alle typer skader

Antall skader registrert på Oslo legevakt 149 april–juli etter uhell med 107 elektrisk sparkesykkel 34

337 (1,5 %) av skadene forårsakes av uhell med elsparkesykkel

46

april mai

Flest menn 61 % menn juni

juli

49 % kvinner

Lettere skader

245

Moderate skader Alvorlige skader

s

232

1 | PROSENT

71 21

Kilde: Oslo Universitetssykehus

Oppgave 1.303

Ungdata er lokale ungdomsundersøkelser der skoleelever over hele landet svarer på spørsmål om hvordan de har det, og hva de driver med på fritiden.

Fra 2010 og fram til sommeren 2019 har 628 700 ungdommer deltatt i undersøkelsen. Studer presentasjonen av resultatene nedenfor og se deretter påstandene øverst på neste side.

Prosentandel som har skulket skolen siste år – etter kjønn og klassetrinn Gutter

19

53 26

36

30

Jenter

42 26

30

34

42

48

16

8.

9.

10. Vg1 Vg2 Vg3 trinn trinn trinn

10. Vg1 Vg2 Vg3 9.

8. trinn trinn trinn

Flere enn før skulker skolen Generelt er det et mindretall av ungdom som skulker skolen. Skulking er samtidig et fenomen som tiltar gjennom ungdomsårene. Mens under to av ti har skulket skolen det siste året på 8. trinn, gjelder det om lag halvparten av elevene på Vg3. De fleste som skulker gjør det fra en til fem ganger. Andelen som har skulket mer enn det er fire prosent på ungdomstrinnet og ni prosent på videregående.

Det er små kjønnsforskjeller i omfanget av skulking. På ungdomsskolen er skulking noe mer vanlig blant ungdom fra lavere sosiale lag, mens dette jevner seg ut på videregående. De fleste fylkene

ligger på landsgjennomsnittet for skulking, men er minst utbredt i Innlandet og mest utbredt i Oslo og i de nordligste fylkene.

Fram til 2015 ble det registrert en svak nedgang i hvor mange ungdomsskoleelever som skulket skolen. Etter det har andelen som skulker på ungdomsskolen økt en god del – fra rundt 20 prosent i 2015 til rundt 25 prosent i 2018. Tallene for videregående viser en litt annen utviklingsprofil, med en nedgang fra 2015 til 2017. Dette kan ha sammenheng med innføring av nye fraværsregler i videregående. Samtidig viser årets undersøkelse en liten økning fra i fjor.

Prosentandel som har skulket skolen siste år – etter kjønn, skoleslag og tidspunkt Jenter Gutter

46

23

22

22

21

22

20

20

20

20 20

21 21

23

25

22

24

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Ungdomsskolen

43

40

41

42

40

40

41

2015 2012 2017 2018 Videregående

1 | PROSENT

233

s

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer eller ikke.

1) Om lag 50 % av elevene på vg3 har skulket det siste året.

2) 52 % av jentene i vg3 har ikke skulket skolen.

3) 13 % av elevene har skulket mer enn fem ganger.

4) I perioden fra 2015 til 2018 har det vært en økning på om lag 5 % i antall elever som har skulket på ungdomsskolen.

5) I perioden fra 2015 til 2018 har det vært en nedgang på om lag 5 prosentpoeng i antall jenter som har skulket på videregående.

6) Flere gutter enn jenter skulket skolen i 2018.

7) Andelen gutter som skulker skolen, har økt med 34 prosentpoeng fra 8. trinn til vg3.

8) Mer enn 20 % av elevene på 8. trinn har skulket skolen minst en gang.

Oppgave 1.304

Tabellen viser folketallet i to kommuner for perioden 2016–2020. Årstall

2016

2017

2018

2019

2020

Kommune A

12 000

12 251

12 498

12 756

12 995

Kommune B

15 000

14 550

14 102

13 681

13 279

Sammenlikn befolkningsutviklingen i de to kommunene.

Oppgave 1.305

Folketallet i en by øker med 0,8 % per år. a) Hvor lang tid tar det før folketallet er dobbelt så stort? b) Er det noen sammenheng mellom vekstfaktoren og hvor lang tid det tar før folketallet dobles? Undersøk for ulike vekstfaktorer. c) Utforsk hvor lang tid det tar å halvere folketallet, hvis folketallet synker.

Undersøk for ulike vekstfaktorer.

s

234

1 | PROSENT

2

Likninger og ulikheter ØV MER

Oppgave 2.114

Likningene nedenfor har løsningene 2.1 LIKNINGER

x 1, x 1, x 2 og x 3

Oppgave 2.110

Forklar hvorfor uttrykket nedenfor ikke er en likning.

6 4x 2x 10 Oppgave 2.111

Hvilke av disse likningene har x 2 som løsning?

A) 3x 4 2 B) 2x 4 6 x 1 19 C) 2 x 2 3 3 D) x 2x 3x 2x x 6 Oppgave 2.112

Ellinor har løst likningen x 2 45 4 på denne måten: x 2 45

4

x2

4 45

x2 x

49 7

Har Ellinor løst likningen riktig?

Finn ut hvilken likning som har hvilken løsning. b) x 4 6 x a) 2x 5 1 d) 6 3x 2x 4 c) 5 2x 3 Oppgave 2.115

Gunnar skal lage en likning der løsningen skal bli x 5. Han begynner med å skrive 6 3x 2x 4 men ser at dette gir en helt annen løsning.

Gjør endringer i likningen slik at løsningen blir x 5.

Oppgave 2.116

• • • • •

Tenk på et tall.

Legg til 5.

Trekk fra 2.

Trekk fra det tallet du først tenkte på.

Multipliser svaret du nå har, med 3.

Oppgave 2.113

Du får nå 9 til svar.

Hvordan kan jeg vite det?

Erling har løst likningen x 2 16 9 på denne måten:

Oppgave 2.117

x 2 16

Flytt en fyrstikk slik at regnestykket blir riktig.

9

x2

16 9

x x x

16 4 3 7

9

Har Erling løst oppgaven riktig? Forklar hvordan han har tenkt.

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

235

s

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 3.203

I tabellen har vi gjengitt konsumprisindeksen for noen utvalgte år.

Oppgave 3.200

Prisindeksen for en vare steg med 12 % fra basisåret.

Hva var den nye indeksen?

Oppgave 3.201

I 2017 kostet en vare 100 kr. Indeksen for denne varen var da 110. I 2020 kostet varen 120 kr.

Hva var indeksen for varen i 2020?

Oppgave 3.202

År

2015

2016

2017

2018

2019

KPI

100

103,6 105,5 108,4 110,8

a) Hvor mange prosent steg levekostnadene fra basisåret til 2019?

Håndballaget «Avkast» har en avtale med kommunen om at leia laget betaler for idrettsanlegget, skal følge konsumprisindeksen. b) I 2015 var leia 120 000 kr.

Hvor stor var leia 4 år senere?

Oppgave 3.204

I januar 2000 kostet én liter bensin ifølge SSB 9,59 kr. I januar 2010 var prisen 12,38 kr, og i januar 2020 var prisen 15,92 kr. Diagrammet nedenfor er hentet fra Dinside.no og viser timelønna og bensinprisen for perioden 2000–2016.

Timelønn Bensinpris

300 kr 250 kr 200 kr 150 kr 100 kr 50 kr

2000 2003 2006 2009

2012

2015

2016

Kilde: https://www.dinside.no/motor/bensinprisenskulle-vaert-24-kroner/71515402

Vurder denne påstanden: «Bensinen blir stadig dyrere». ▲ 3.1

s

262

3 | ØKONOMI

Hanne Hansen leier ut en hybelleilighet.

Tabellen nedenfor viser den månedlige husleia i perioden 2017 2019. Ifølge husleieloven kan ikke husleieøkningen (i prosent) være større enn økningen i konsumprisindeksen (KPI) etter siste leiefastsetting. År

2017

2018

2019

Husleie (kr)

7600

7800

8000

KPI

105,5

108,4

110,8

a) Undersøk om husleia har økt mer eller mindre enn konsumprisindeksen 1) fra 2017 til 2018 2) fra 2018 til 2019 b) Hva er den høyeste husleia Hanne Hansen kan ta i 2019 ut fra husleieloven?

Oppgave 3.205

Tabellen viser konsumprisindeksen for noen år med 2015 som basisår. Tidligere var 1998 basisåret. År

1998

2005

2015

2020

71,5

82,3

100

112,2

Indeks med 1998 som basisår Indeks med 2015 som basisår

Finn ut hva indeksene i tabellen vil være med 1998 som basisår.

Oppgave 3.206

Idar har en nevø, og 1. januar 2000 ga han nevøen en nyttårsgave på 1000 kr.

Dette skapte god stemning, og han ønsket å fortsette med dette som en nyttårstradisjon. Han bestemte seg for at beløpet skulle følge konsumprisindeksen. År 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

KPI 75,5 77,7 78,7 80,7 81,0 82,3 84,2 84,8 88,0 89,9 92,1 93,3 93,9 95,9 98,9 100,0 103,6 105,5 108,4 110,8

a) Hvor mye ga Idar i nyttårsgave i 2019? Rund av svaret til nærmeste hele krone. b) Idar har god råd og tenkte at han i 2019 heller burde gi en gave som var i samsvar med lønnsutviklingen hans.

Hvor mange prosent måtte Idar da minst hatt i lønnsøkning fra 2000 til 2019 for at beløpet skulle bli enda høyere? c) Bruk regneark og finn hvor mye nevøen har fått i alt fra 2000–2019. d) Hvor mye måtte onkel Idar ha gitt som nyttårsgave i 2000 hvis nevøen til sammen skulle fått 30 000 kr i perioden fram til 2019? e) Gå ut fra at onkel Idar etter 2000 har økt gavens verdi med 3 % hvert år.

Hvor mye har nevøen fått til sammen fra 2000–2019? ▲ 3.2

Oppgave 3.207

I 2018 hadde Erlend en reallønn på 500 000 kr. Konsumprisindeksen i 2019 var 110,8.

Hvor mye måtte Erlend da hatt i nominell lønn i 2019 hvis han skulle ha beholdt samme kjøpekraft som i 2018?

Oppgave 3.208

Tabellen nedenfor viser utviklingen av konsumprisindeksen (KPI) i perioden fra 2015 til 2019. År

2015

2016

2017

2018

2019

KPI

100

103,6 105,5 108,4 110,8

1 2018 var reallønna til Sofia 650 000 kr.

I 2019 gikk reallønna hennes ned med 0,9 %.

Hvor stor var den nominelle lønna hennes i 2019?

3 | ØKONOMI

263

s

Oppgave 3.209

Oppgave 3.212

I 2012 tjente Robert 410 000 kr. Det året var konsumprisindeksen 93,9. I 2019 var konsumprisindeksen 110,8. a) Hva var reallønna til Robert i 2012? b) Hvor mye måtte Robert tjene i 2019 for å ha samme reallønn som i 2012?

Synnøve tjente 420 000 kr i 2017. Fra 2017 til 2019 gikk lønna hennes opp slik at hun fikk en reallønnsvekst på 2,5 %.

Kroneverdien var 0,9479 i 2017 og 0,9025 i 2019. a) Finn ved regning konsumprisindeksene for 2017 og 2019. b) Med hvor mange prosent endret kroneverdien seg fra 2017 til 2019? c) Finn reallønna til Synnøve i 2017.

Rund av svaret til nærmeste hundre kroner. d) Finn reallønna til Synnøve i 2019.

Rund av svaret til nærmeste hundre kroner. e) Vis ved regning at lønna til Synnøve i 2019 ble ca. 452 000 kr.

Oppgave 3.210

Vibeke og Jonas diskuterer lønn.

Vibeke Fra 2018 til 2019 fikk jeg 2,0 % i lønnsøkning. I den samme perioden økte konsumprisindeksen fra 108,4 til 110,8.

Jonas Gikk reallønna da opp eller ned?

Oppgave 3.213 Vibeke Det er jeg usikker på, for jeg husker ikke hvor mye jeg tjente i 2018.

Vurder svaret fra Vibeke.

Oppgave 3.211

I 2018 hadde Helge en månedslønn på 45 500 kr. I 2020 var månedslønna hans 46 300 kr. Konsumprisindeksen var 108,4 i 2018 og 112,2 i 2020. a) Finn reallønna til Helge i 2018 og i 2020. Rund av svarene til nærmeste krone. b) Med hvor mange prosent gikk lønna opp? c) Med hvor mange prosent gikk reallønna ned?

s

264

3 | ØKONOMI

Lønna til Solveig steg på noen år fra 175,00 kr per time til 206,50 kr per time. a) Med hvor mange prosent steg lønna? b) Konsumprisindeksen var 93,9 da Solveig tjente 175,00 kr per time.

Hva var konsumprisindeksen da Solveig tjente 206,50 kr per time, når reallønna var den samme?

Oppgave 3.214

Konsumprisindeksen var 25,9 i 1979 og 110,8 40 år seinere. a) Finn kroneverdien i 1979 og i 2019. b) Med hvor mange prosent steg konsumprisindeksen fra 1979 til 2019? c) Tonje var 40 år i 2019 og tjente 520 000 kr i året. Faren til Tonje var 40 år i 1989 og tjente 120 000 kr i året.

Hvem hadde høyest reallønn av Tonje og faren hennes da de var 40 år gamle?

Oppgave 3.215

Oppgave 3.218

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for 2013 og 2019.

Lag en oppgave som kan løses ved å bruke programmet nedenfor.

Forklar hvordan programmet virker.

År

2013

2019

KPI

95,9

110,8

1 2

Cecilie tjente 580 000 kr i 2019. Hun hadde samme reallønn i 2013 og 2019, Hvor mye tjente hun i 2013?

3

nominell = 490000 kpi = 110.8 reallønn = nominell*100/kpi

4 5

print("Reallønna er", round(reallønn))

6

Oppgave 3.216

Undersøk om denne påstanden er riktig: Kroneverdien regnet i prosent går alltid like mye ned mellom to år som det konsumprisindeksen regnet i prosent går opp i samme periode.

▲ 3.3

Oppgave 3.219

I april var bruttolønna til Kari 42 350 kr, mens nettolønna hennes var 27 473 kr.

Hvor stort var skattetrekket i prosent?

Oppgave 3.217

Nettavisen presenterte i 2018 tabellen nedenfor. Der finner du utviklingen for lønnsvekst, prisvekst (KPI) og reallønnsvekst for perioden 2010–2018. År

Lønnsvekst

KPI

Reallønn

2010

3,6 %

2,4 %

1,2 %

2011

4,1 %

1,3 %

2,8 %

2012

4,0 %

0,6 %

3,4 %

2013

3,9 %

2,1 %

1,8 %

2014

3,0 %

2,1 %

0,9 %

2015

2,8 %

2,1 %

0,7 %

2016

3,6 %

1,7 %

1,9 %

2017

2,2 %

1,8 %

0,4 %

2018

2,8 %

3,5 %

0,7 %

Kilde: https://www.nettavisen.no/nyheter/nordmennfikk-mindre-a-rutte-med-i-2018/3423590801.html

Studer tabellen. I hvilke år var det en nedgang i reallønna?

Overskriftene sier «KPI» og «Reallønn».

Er det dette som er regnet ut der? Har du et bedre forslag til overskrifter?

Oppgave 3.220

Marius tjener 175 kr per time. For arbeid etter kl. 17.00 får han 50 % tillegg, og for arbeid etter kl. 20.00 får han 100 % tillegg. Ei uke leverer han denne timelista: Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag

08.00–16.00 12.00–19.00 15.00–22.00 09.00–17.00 16.00–21.00

Hvor mye tjener Marius denne uka?

Bruk regneark når du løser oppgaven.

Oppgave 3.221

Henrik arbeider på en bensinstasjon.

Han får 160 kr i timelønn. I desember arbeidet han 150 timer til sammen. Av disse timene var 20 timer kveldsskift med 20 % tillegg i timelønna og 10 timer søndagsvakt med 50 % tillegg. a) Hvor stor ble bruttolønna i desember? b) Henrik fikk utbetalt 17 808 kr.

Hvor mange prosent skatt av bruttolønna har han betalt?

3 | ØKONOMI

265

s

Oppgave 3.303

Ida Helene kjøpte en leilighet i Trondheim for 2 500 000 kr i 2015. Hun hadde 15 % egenkapital fra oppsparte midler. For å betale resten av boligen tok hun opp et serielån med 1,3 % rente per år og en nedbetalingstid på 20 år. I 2020 vurderer Ida å flytte til en enebolig på Hamar i Innlandet fylke. Prisene på en enebolig der ligger på rundt 5 millioner kroner.

Tabellen nedenfor viser årslønna til Ida Helene, konsumprisindeksen, boligprisindeksen i Trondheim og boligprisindeksen i Innlandet fram til 2020. År

Brutto årslønn

KPI

Boligprisindeks (Trondheim)

Boligprisindeks (Innlandet)

2015 2016 2017 2018 2019 2020

kr 535 200 kr 548 040 kr 558 960 kr 573 960 kr 593 760 kr 596 748

100 103,6 105,5 108,4 110,8 112,2

100,0 105,3 109,4 108,6 109,7 112,7

100,0 104,8 112,7 115,1 116,5 120,4

Gjør nødvendige utregninger, og lag egnede diagrammer som viser utviklingen av økonomien til Ida Helene i denne perioden.

Oppgave 3.304

Studer figuren nedenfor, og finn ut hvordan forbrukets sammensetning har endret seg fra 1980 til 2017. Begynn for eksempel med å se på andelen av utgifter til klær og skotøy.

Forbrukets sammensetning. Utgiftsandeler i 1980, 2000 og 2017 Bolig, lys og brensel Transport Matvarer og alkolholfri drikke Kultur og fritid Utenlandskonsum Overnatting og servering Møbler og husholdningsartikler Klær og skotøy Alkoholholdige drikker og tobakk Egenandeler til helse Post- og teletjenester Utdanning

1980 2000 2017 0

5%

10 %

15 %

20 %

25 %

Kilde: Statistisk sentralbyrå

s

270

3 | ØKONOMI

Oppgave 3.305 Espen kjøpte bil da han flyttet til Bergen.

Utgiftene til bensin, bompenger, forsikringer og verkstedregninger er til sammen 4500 kr i måneden. Espen har lån på bilen, og han betaler i alt 2500 kr per måned i rente og avdrag. Espen handler klær på nettet for ca. 2000 kr i måneden.

Espen flyttet til Bergen for ett år siden.

Han leier en leilighet og betaler 9000 kr i husleie hver måned. Espen er nettopp ferdig utdannet fysioterapeut. Bruttolønna hans er 41 360 kr per måned, og han får utbetalt 28 952 kr hver måned.

Espen kjøper oftest mat i kantina på jobben, og både på vei til og fra jobb er han innom en kiosk og handler. Totalt utgjør dette 6500 kr i måneden.

Espen tar seg gjerne en tur på kino med gode venner, de går på konserter, og spiser ofte mat på en restaurant de liker.

I alt bruker Espen 3500 kr på dette hver måned.

Favorittlaget til Espen er Leeds. Vennene foreslår at de skal ta en tur dit, og dette har han svært lyst til. Sparing har ikke vært hans sterke side, så han har ikke spart til en slik tur. Espen tenker at «alt ordner seg» og blir med vennene på tur.

Turen koster 15 000 kr, og den blir betalt med kredittkort som har 20 % rente per år. Hver måned må han betale et minstebeløp på kredittkortet. Det utgjør 450 kr hver måned.

Espen har lyst til å ta opp lån slik at han kan kjøpe egen leilighet i løpet av de neste fem årene. Han har ikke spart opp noe egenkapital. Kan han få råd til å kjøpe en leilighet på 2,5 millioner?

Espen har en gammel tv som blir ødelagt.

Han trenger ny tv, og han har sett seg ut en til 10 000 kr. Han mener at han da får mye for pengene.

Espen trenger din hjelp: • Sett opp en oversikt over hvilke utgifter og inntekter Espen har.

• Hvor mye bør han klare å betale ned på kredittkortgjelden hver måned?

• Hva tenker du om kjøp av tv?

• Er det realistisk at Espen kan kjøpe bolig de neste fem årene?

• Har du noen råd å gi til Espen? Lag en oversikt som viser hvordan den økonomiske situasjonen blir hvis han følger rådene.

Gjør nødvendige utregninger, og lag en realistisk spareplan for Espen.

Vis så mye kompetanse som mulig.

3 | ØKONOMI

271

s

4

Statistikk – analyse og presentasjon ØV MER

Dagligrøykere (%) etter kjønn, 16–24 år 9

4.1 LESE TABELLER OG DIAGRAMMER

8

Oppgave 4.110

6

7

Linjediagrammet viser nedbøren målt i millimeter et år i Oslo.

Nedbør i Oslo

millimeter 180

5 4 3 2 1

160

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

140

Menn

120

Kvinner

100

Kilde: ssb.no

80 60

Oppgave 4.112

40

Studer diagrammet nedenfor.

20 jan feb mar apr mai juni juli aug sept okt nov des

a) I hvilken måned kom det minst nedbør, og i hvilken måned kom det mest nedbør?

Anslå nedbørsmengden i disse månedene. b) I hvor mange måneder var nedbøren over 80 mm? c) Omtrent hvor mye nedbør kom det til sammen dette året?

Dagligrøykere (%) etter kjønn, i alt 16–74 år 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Menn

Kilde: ssb.no

Oppgave 4.111

Studer diagrammet øverst i høyre spalte.

Hvilken informasjon kan du hente ut av diagrammet? Se på for eksempel hvem som røyker mest av kvinner og menn, hvordan er utviklingen i antall personer som røyker osv.

s

272

Kvinner

a) Hvilken informasjon kan du hente ut av diagrammet? b) Sammenlikn diagrammet med diagrammet i oppgave 4.111.

Hvilken ny informasjon kan vi da hente ut?

4 | STATISTIK – ANALYSE OG PRESENTASJON

Oppgave 4.113

Oppgave 4.115

En illustrasjon lik den nedenfor ble brukt i Dagsavisen 3. mai 2019. Illustrasjonen viser antall tonn CO2-utslipp fra personbiler per innbygger over 18 år for de største byene i Norge.

Studer diagrammet nedenfor.

Skader med elsparkesykkel behandlet ved Oslo skadelegevakt 250

1,2

200

1,0

150

0,8

235

2019

2020 194 179 155 122 107

100

0,6

50

83 34

38

46

0,4 0

0,2

April

Mai

Juni

0

Bergen Tromsø Trondheim Drammen Stavanger Oslo Kristiansand

Kilde: BFK

Hvilken informasjon kan du hente ut av diagrammet?

4.2 LAGE SØYLEDIAGRAMMER

Oppgave 4.120

Diagrammet viser resultatet av en studie av når 292 ungdommer avbrøt videregående opplæring.

Tabellen er en oppsummering av elevfraværet i en vg2-klasse i ei tilfeldig uke.

45

Gutter YF

40 35 30

Elever

0

13

1

7

2

4

Jenter STF

3

3

4

2

5

1

43 37

Gutter STF 24 21

20

20 18

15 7 5 4 3

Fraværsdager

Jenter YF

25

5

Hvilken informasjon kan du hente ut av diagrammet?

Oppgave 4.114

45

10

Juli August Kilde: aftenposten

4

5 1

17 5

7 5

6 6

3 32 1 Første Over- Andre Over- Høsten Våren året gang 1 året gang 2 år 3 år 3

a) Lag digitalt et søylediagram over fordelingen. b) Hvor mange elever er det i klassen? c) Hvor mange prosent av elevene hadde ikke fravær denne uka?

Kilde: Skolelederen 8. oktober 2020

a) Var det flest gutter eller jenter som sluttet på videregående? b) Sluttet det flest elever på yrkesfag eller på studiespesialiserende? c) Når sluttet flest elever?

4 | STATISTIKK – ANALYSE OG PRESENTASJON

273

s

ÅPNE OPPGAVER Oppgave 6.300

Finn ut mest mulig om lengder og areal på figuren nedenfor. x

34 m

73 m

34 m

Oppgave 6.301

Figuren viser inngangspartiet til en speiderleir. To lange tømmerstokker er bundet sammen slik at UABC blir likesidet. Avstanden AB 5,0 m.

C

A

B

Gjør utregninger og finn ut om en stor lastebil kan komme seg gjennom inngangspartiet.

Oppgave 6.302

Figuren viser et kvadrat ABCD med sider 6,0 cm. I kvadratet er det innskrevet en sirkel, og i denne sirkelen er det innskrevet et nytt kvadrat.

Gjør utregninger og finn ut mest mulig om arealene.

D

A

s

328

6 | GEOME TRI

C

B

Oppgave 6.303

Helle har vært på skitur, og kartet viser løypen hun gikk.

«Hvor langt gikk du, og hvor lang tid brukte du?», spør Trond.

«Jeg brukte om lag 2 timer på de 17 kilometerne», svarer Helle.

Gjør nødvendige antakelser og undersøk hvilken målestokk kartet kan ha.

Oppgave 6.304

Det ligger en kvadratisk duk på et rundt bord og en rund duk på et kvadratisk bord. Undersøk hvilken duk som dekker størst del av bordet.

Oppgave 6.305

Undersøk om det er noen sammenheng mellom størrelsene på kvadratene.

6 | GEOME TRI

329

s

Oppgave 6.306

Ann Heidi og Otto skal innrede et soverom og har fått utarbeidet denne perspektivtegningen.

Rommet er 3,55 m langt og 3,50 m bredt. Langs den korteste veggen skal det plasseres skuffeseksjoner slik tegningen viser. De tre seksjonene i midten har alle bredden 55,0 cm, mens bredden på skuffeseksjonene til venstre og til høyre for dem er 90,0 cm. Senga er 2,00 m lang og 1,60 m bred. Du står fritt til å plassere den.

Tegn en plantegning av rommet i målestokken 1 : 15.

Oppgave 6.307

Nina har en 10 m lang hønsenetting. Hun vil bruke den til å lage en innhegning i hagen til marsvinene sine.

Gjør utregninger og finn hvilken form Nina bør velge for at marsvinene skal få størst mulig plass.

Oppgave 6.308

En elevbedrift skal produsere juicekartonger. Hver kartong skal romme 2,5 L. De ønsker at grunnflaten skal ha form som et kvadrat, og høyden skal være mellom tre og seks ganger så stor som lengden av sidekanten i kvadratet.

Finn mulige utforminger av en slik juicekartong.

s

330

6 | GEOME TRI

FASIT TEORIDEL 1 1.10 a) 45,90 kr b) 2146,37 kr c) 4377,50 kr d) 4000 kr 1.11 a) 123,75 kr

b) 3710,65 kr

1.12 b) 3,5 1.14 25 % 1.15 a) 40 % c) 47,5 % 1.17 a) 60 poeng

b) 12,5 %

b) 31 elever

1.18 125 1.19 a) 175 kr

b) 37,5 timer

1.20 a) 0,25 prosentpoeng b) 25 % 1.21 a) 15 prosentpoeng b) 15 på begge prøvene.

1.22 a) 1,7 prosentpoeng b) 11 % 1.23 a) 2 prosentpoeng b) 6 prosentpoeng 1.30 a) 1,12 b) 1,85 c) 1,03

d) 1,015 e) 1,0075 f) 3

1.31 a) 0,88 c) 0,48 e) 0,9925

b) 0,945 d) 0,9875 f) 0,635

332

1.33 a) 25 % økning b) 12,5 % økning c) 25 % nedgang d) 12 % nedgang e) 2,05 % økning f) 1,5 % nedgang g) 7,25 % nedgang h) 115 % økning i) 100 % nedgang 1.35 a) Dagskort: 72 kr Ukeskort: 200 kr Månedskort: 480 kr b) Dagskort: 425 Ukeskort: 504 Månedskort: 990 1.36 a) 0,763

b) 23,7 %

1.37 a) 1,40

b) 3,2 kg

1.38 a) 7600 b) 5 % c) 0,25 % nedgang

1.52 a) f (x ) 27 1,14 x b) 14 % c) Høsten 2004 (x 4,75) d) Modellen gir et altfor høyt tall (99,6 %) 1.53 b) 22,5 % c) 260 d) 2 min og 43 sek (2,72 minutter) 1.54 a) 8 1, 00950 | 12, 5 b) f (x ) 12, 5 1, 009 x c) Modellen passer bra (14,95 %) d) Modellen gir et altfor lavt tall (19,6 %) REPETISJONSOPPGAVER 1

1.40 a) 6144 kr

b) 59 %

1.41 a) 628 kg

b) 21,5 %

1.42 a) 19,3 timer b) 67 kg 1.43 a) 2,33 millioner kr b) 11,2 % 1.44 a) ca. 13 300 c) 9 år

1.51 a) f (x ) 1510 1, 0135x b) 1,35 % c) Modellen gir et litt for høyt tall (4,134 millioner) d) Modellen gir et altfor høyt tall (11,332 millioner)

b) ca. 3950

1.50 a) f (x ) 2, 25 1, 007 x b) Bra, modellen gir et litt for lavt tall i forhold til 1960 og 1980, litt for høyt i forhold til 2000. c) 0,7 % d) 6,57 millioner

Oppgave 1 a) 1) 3 % økning 2) 15 % økning 3) 3 % nedgang 4) 0,3 % økning 5) 86 % nedgang 6) 100 % økning b) 1) 1,05 2) 1,009 3) 2,5 4) 0,93 5) 0,62 6) 0,995 Oppgave 2 a) 720 kr

b) 750 kr

Oppgave 3 a) 1) 6 prosentpoeng 2) 30 % b) 23 % Oppgave 4 I byen med prosentvis vekst.

6.167 a) 6300 m3 c) 3142 m2

6.207 Trekantene er ikke formlike.

6.224 17,4 cm2

6.208 19,4 m

6.225 a) 58 × 58 cm b) 226 cm

6.209 Trekanten er ikke rettvinklet.

6.226 a) 88,3 m2

b) 38,8 m

6.227 a) 40 cm3

b) 76 cm2

b) 905 cm

6.210 c) DE 33,6 m, AE 25,2 m d) 48,5 m

b) 139

6.211 5,5 m

b) 315 lass

6.168 a) 6,4 m b) 388 m3 3 c) ca. 1200 m (hele overflaten dekket med 1,0 m tykt lag) d) 50 lass 6.170 a) 4,5 dm2

3

6.171 a) 42 6.172 ca. 49 ganger

6.212 a) 6,03 m b) Ja, bilen får plass.

6.173 a) 4,5 m b) 0,74 m3 (0,735 m3) c) Ja. Volumet av sandhaugen er 1,07 m3.

6.213 a) 670 m c) 236 m

b) 412 m

6.174 a) 4,19 dm3 b) 12,6 dm2 c) r 10 cm og h 20 cm d) 6,28 dm3 e) 18,8 dm2

6.214 a) 19 lengder b) 1 : 500

6.200 B 143q, C 12q, D 25q, E 143q

6.216 a) 21 km c) 7 cm

6.201 a) C 65q b) ABD 65q c) UABC og UADB og UDBC er formlike. d) DBC 25q

6.217 a) 2,72 nautiske mil b) 1 : 25 000

6.202 a) BC 10 b) 38 c) A 53q, ABC 127q, BCD 53q, D 127q d) EBC 53q, BCE 37q

6.219 129 cm tilsvarer 215 cm på skulpturen.

51 cm tilsvarer 85 cm på skulpturen.

90,7 cm tilsvarer 151,2 cm på skulpturen.

6.203 a) AB 7,6 cm, DF 3,1 cm b) 3,3 cm fra A mot B. 6.204 b) 10,9 m

350

b) 1 : 20 000 b) 15 cm

6.218 1 : 60

6.220 a) 2,15 m

b) 13,5 m

6.221 38,9 cm2, 41,1 cm

6.205 b) 5,3 6.206 a) 2,25 m

6.215 a) 20 cm

6.222 13,7 cm2, 25,1 cm b) 0,76 m

c) 35q

6.223 a) 4,24 cm

b) 173,8 cm2

6.228 Ja, kjøleskapet dekker kravene.

Det rommer 634 L. 6.229 a) 5 cm, 150 cm2 b) 64 cm3 6.230 a) 125 cm3 b) 4,4 cm c) Prismet. Overflatearealet av prismet er 150 cm2, mens det for sylinderen er 139,5 cm2.

6.231 a) 36 dm3

b) 84 dm2

6.232 Samlet volum av de to kjeglene er 393 cm3.

6.233 En femmerball 6.234 a) 524 cm3

b) 10,4 cm

6.235 Ja, de har samme volum, 33,5 cm3.

6.236 33,3 % 6.237 Omkretsen er størst.

6.238 Terningen har størst overflate.

6.240 a) Volum: 250,1 cm3 Overflateareal: 219,9 cm2 6.241 a) 1,8 dL c) 52 timer 6.242 a) 3,1 L

b) 5,0 cm

b) 32 kopper

STIKKORD A addisjonsmetoden 58 akkordlønn 84 algoritme – likninger 42 annuitetslån 97 areal 200 ff – formler 201 arealenheter 200 avdrag 97 B basisår 71 betalingsanmerkning 102 boligsparing for ungdom 92 bruttolønn 87 BSU 92 D datamateriale 113 ff datasett 113 debetkort 100 diagram – forsterke informasjon 132 ff – kake- 123 – kurve 126 – linje- 113, 126 ff – sektor- 123 ff – stolpe- 118 – søyle- 118 ff diameter 201 digitale diagrammer 120, 123-124, 127-128, 130, 138 ff E eksklusiv merverdiavgift 147 eksponentialfunksjoner 24 eksponentiell – modell 24 – regresjon 24 – vekst 21 ff enheter – areal 200 – volum 204

F formel – for prosentvis endring 21 – for vekstfaktor 18 formlikhet 182 ff formue 92 forskuddsskatt 89, 92 fradrag 92 frekvens 117 frekvenstabell 117 frikort 89 G gjeld 97, 100 gjennomsnitt 149 ff – digitalt 151 – gruppert materiale 171 – Python 152 grafisk løsning – digitalt 50, 52 – likning 49 – likningssett 55 gruppert materiale 136 – gjennomsnitt 171 – median 173 – sentralmål 171 H histogram 136 ff, 138 – digitalt 138-140 I indeks 71 ff inkassoselskap 102 innsettingsmetoden 56 inntekt 92 intervall 136 – bredde 137 K kakediagram 123 kjøpekraft 86 konsum 78 konsumprisindeks 78 KPI 78 kredittkort 100 ff kroneverdi 84 ff kule 210 ff kumulativ frekvens 156 kurvediagram 126

L likning 35 ff – blokkmetoden 44 – CAS 43 – grafisk 49 – regneregler 40 – sette prøve 37 – uoppstilt 46 – ved regning 40 ff likningssett 56 ff – digitalt 60 linjediagram 113, 126 ff – digitalt 127-128 liter 204 lønn 87 ff – akkord- 87 – brutto- 87 – netto- 89 – nominell 86 – provisjons- 87 – real- 86 – time- 87 lønnsslipp 89 løse likninger 35 ff, 65 lån 97 ff – annuitets- 97 – serie- 97 M matematisk modell 24 median 153 ff – digitalt 155, 157, 158 – gruppert materiale 173 – i frekvenstabell 156 målestokk 196 ff N nettolønn 89 nominell lønn 86 normalfordelt 162 O observasjon 117 observasjonsverdi 117 omkrets 201 ff overflateareal 206 ff – kule 210 – sylinder 208 overtid 87

351

P parallellogram 201 pensjonsinnskudd 92 prisindeks 71 ff prisme 205. 206 prosent 7, 8 ff prosentkort 89 prosentpoeng 12 ff prosentregning 8 ff prosentvis endring 14, 21 prosentvis nedgang 14 prosentvis økning 14 provisjonslønn 87 pytagorassetningen 192 R radius 201 reallønn 86 regresjon 24 rektangel 201 relativ kumulativ frekvens 173 renter 97 – i flere perioder 94, 100 restskatt 92 rettvinklet trekant 192

S samsvarende – sider 186 – vinkler 182 – vinkler ved parallelle linjer 185 sektordiagram 123 ff – digitalt 123 – for hånd 122 sentralmål 149 – i gruppert materiale 171 ff serielån 97 sette prøve 37 sirkel 201 skatt 89 – forskudd 89 – rest-92 skattekort 89 skattemelding 92 skattetrekk 89 ff sparekonto 94 sparing 94 ff spredningsmål 161 spørreundersøkelser 144 standardavvik 162 – digitalt 163, 165 statistikk 113 ff stolpediagram 118 sylinder 205, 206 søylediagram 118 – digitalt 120

T tabellkort 89 terminbeløp 97 ff timelønn 87 ff toppvinkel 184 trapes 201 trekant – areal 201 – rettvinklet 192 trend 113 typetall 149 U ulikheter 62 ff – digitalt 63 ulikhetstegn 62 uoppstilte likninger 46 ff V varians 160 variasjonsbredde 161 vekstfaktor 14 ff vinkelsum i trekant 183 volum 204 ff – kule 210 – prisme 206 – sylinder 206 Ø økonomiske valg 103 ff

352