Sinus 2P-Y (LK20) utdrag cdu.no by Cappelen Damm

Sinus 2P-Y MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE VG3 NYNORSK Gustafsson | Osnes | Oldervoll | Svorstøl

Foto og Omslagsfoto:grafikk: Unsplash/Victor Garcia Side 6: AdobeStock/phpetrunina14, Side 10: GettyImages/nadia_bormotova, side 15: GettyImages/ TopVectors, side 16: GettyImages/Jenny On the Moon, side 17: GettyImages/IconicBestiary, side 21: GettyImages/Angela Kostell, side 22: GettyImages/baramee2554, side 23: GettyImages/PrettyVectors, side 25: GettyImages/nadia_bormotova, side 28: GettyImages/Irina_Strelnikova, side 30: GettyImages/ nadia_bormotova, side 33: GettyImages/pedrojperez, side 34: GettyImages/warrengoldswain, side 35: GettyImages/Hanna Siamashka, side 36: AdobeStock/Comel, side 59: GettyImages/matejmo, side 62: AdobeStock/besjunior, side 65: GettyImages/Veronika Karpenko, side 67: GettyImages/Medesulda, side 78: GettyImages/TopVectors, side 81: GettyImages/Vect0r0vich, side 83: GettyImages/Irina_ Strelnikova, side 86: GettyImages/sorbetto, side 88: GettyImages/Natalia Zimicheva, side 91: GettyImages/ferrantraite, Side 94: AdobeStock/Andrey Popov, side 110: GettyImages/elenabs, side 141: GettyImages/ThitareeSarmkasat, Side 144: AdobeStock/salajean, side 154: GettyImages/Aleksandr Kharitonov, side 165: GettyImages/piloL39, side 176: Aurora Gustafsson, side 181: GettyImages/ bluebearry, side 182: GettyImages/PCH-Vector, side 185: Wikimedia/Michelangelo (falt i det fri), Side 188: GettyImages/Tanawat Thipmontha, side 196: GettyImages/sabelskaya, side 204: GettyImages/ elenabs, side 221: GettyImages/Godruma, GettyImages/Alfadanz, GettyImages/PCH-Vector, side 240: AdobeStock/araho, side 256, 257, 267, 288, 316: GettyImages/Sudowoodo, side 262: Wolfgang Rattay/ Reuters/NTB, side 263: GettyImages/traveler1116, GettyImages/Tetiana Garkusha, side 264: GettyImages/GaborBalla, side 269: GettyImages/35mmf2, side 275: GettyImages/LaserLens, side 278: GettyImages/Chimpinski, side 279: GettyImages/AnatolyM, side 280: GettyImages/technotr, side 281: GettyImages/monkeybusinessimages, side 285: GettyImages/rubynurbaidi, GettyImages/Denira777, side 336: Lucas Ninno, side 361: GettyImages/drogatnev Bileta er manipulerte.

publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverklova. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er eksemplarframstilling og tilgjengeleggjering berre tillate dersom det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndraging og kan straffast med bøter eller fengsel. Dette er ei TROY®-innbunden bok. Ei TROY®-innbunden bok har forsterka omslag. Testar viser at bøker med denne innbindinga toler vesentleg hardare bruk over tid enn bøker utan denne forsterkinga. TROY® er eit registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS. Grafisk formgivar: BØK / Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Sigurd Torp Nordby Nynorsk omsetjing: Gry Vikesland, Språkverkstaden Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgåve nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-74073-3

3 s

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen og er utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus 2P-Y er skriven for fellesfaget matematikk 2P-Y for påbygging til generell studiekompetanse. Boka legg vekt på praktisk og relevant matematikk, og elevane får god trening i å løyse oppgåver både med og utan bruk av digitale hjelpemiddel. Sinus 2P-Y gir opplæring i bruk av programma Excel og GeoGebra og i programmeringsspråket Python.

kapittel er det eit samandrag av viktige reglar og metodar. Her er det òg ei større prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver får elevane lære ny og spennande matematikk. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon. Boka har i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. I nokre oppgåver står det om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver kan elevane velje metode sjølve. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva oppgåver elevane kan løyse når dei er ferdige med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og Tilstikkordregister.verkethøyrer det òg ein nettstad: www.sinus.cdu.no. Her er det løysingsforslag, interaktive oppgåver og andre relevante tilleggsressursar for elevar og lærarar. Alle Python-programma som blir brukte i boka, anten i døme eller oppgåver, er tilgjengelege og kan køyrast direkte på nettstaden. Dette håper vi vil gjere terskelen for å komme i gang med programmering lågare. I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av boka. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om endringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønskjer alle lykke til i arbeidet med faget.

Einar Gustafsson – Egil Reidar Osnes – Tore Oldervoll – Otto Svorstøl

I tråd med fagfornyinga legg boka spesielt vekt på utforskande matematikk for at elevane skal forstå lærestoffet betre. Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane sjølve skal finne fram til samanhengar og eigenskapar før temaet blir behandla. Teorien er likevel skriven slik at elevane kan lese han utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men kan òg gjerast individuelt.

Teoridelen har fleire diskusjonsoppgåver der elevane får trening i å kommunisere matematikk gjennom å drøfte matematiske problem, strategiar og Tilløysingar.sluttikvart

4s 1InnhaldProsent ....................................................................... 6 1.1 Prosent og prosentdel 8 1.2 Finne prosenten og det heile .............................................. 10 1.3 Prosentpoeng 14 1.4 Vekstfaktor ................................................................... 17 1.5 Prosentvis endring 21 1.6 Prosentvis vekst i fleire periodar ......................................... 27 Samandrag ................................................................... 31 Prosjektoppgåve: Sparing i bank og aksjefond 32 Repetisjonsoppgåver 34 2 Potensar og røter 36 2.1 Potensar ...................................................................... 39 2.2 Potensane a0 og a n 41 2.3 Fleire reknereglar for potensar ............................................ 44 2.4 Tal på standardform 46 2.5 Kvadratrøter ................................................................. 50 2.6 Røter av høgare orden 53 Samandrag 57 Prosjektoppgåve: Digital informasjon 58 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 60 3 Variable storleikar ......................................................... 62 3.1 Variablar 64 3.2 Formelrekning ............................................................... 68 3.3 Variablar og figurar 75 3.4 Proporsjonale storleikar ................................................... 79 3.5 Omvendt proporsjonale storleikar 85 Samandrag 89 Prosjektoppgåve: Matematisk jakt på romvesen 90 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 92 4 Statistikk .................................................................... 94 4.1 Søyle-, sektor- og linjediagram 96 4.2 Å lage digitale diagram ..................................................... 101 4.3 Gjennomsnitt og typetal 106 4.4 Median ....................................................................... 110 4.5 Median i frekvenstabell 114 4.6 Variasjonsbreidd og standardavvik ....................................... 117 4.7 Å vurdere sentralmål og spreiingsmål 123 4.8 Gruppert materiale 126 4.9 Sentralmål i gruppert materiale 134 Samandrag 139 Prosjektoppgåve: Spørjeundersøking .................................... 140 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 142

5 s 5 Lineære funksjonar ....................................................... 144 5.1 Rette linjer 146 5.2 Digital grafteikning 151 5.3 Å finne likninga til ei rett linje 155 5.4 Grafisk avlesing 162 5.5 Lineære funksjonar 166 5.6 Lineær vekst 171 5.7 Lineær regresjon 178 Samandrag ................................................................... 183 Prosjektoppgåve: Armlengd og det gylne snittet ....................... 184 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 186 6 Matematiske modellar 188 6.1 Andregradsfunksjonar 190 6.2 Polynomfunksjonar 197 6.3 Polynomregresjon 200 6.4 Eksponentialfunksjonar 205 6.5 Eksponentialregresjon 209 6.6 Potensfunksjonar og potensregresjon 216 6.7 Kjenneteikn ved funksjonar ............................................... 223 6.8 Gjennomsnittleg vekstfart 228 6.9 Momentan vekstfart ........................................................ 233 Samandrag ................................................................... 235 Prosjektoppgåve: Månemodellering ...................................... 236 Repetisjonsoppgåver 238 Oppgåver 240 1 Prosent ....................................................................... 241 2 Potensar og røter 258 3 Variable storleikar ......................................................... 268 4 Statistikk 290 5 Lineære funksjonar 320 6 Matematiske modellar 337 Fasit – teoridel ......................................................................... 362 Fasit – oppgåvedel 370 Stikkord ................................................................................. 386

PROSENT Mål for opplæringa er at eleven skal kunne •forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

STEG 3 a) Bruk metodane i steg 2 til å finne 50 %, 25 % og 10 % av 320 kr.

a) Finn 1 % av 350 kr. Bruk det til å finne 4 % av 350 kr.

STEG 4 Finn 1 %, 7 % og 14 % av 800 kr utan hjelpemiddel. Forklar korleis du går fram. 1.1 PROSENT OG PROSENTDEL

b) Kva må vi dele med for å finne 25 % av noko? Finn 25 % av 600 kr. 600 kr 25 %

b) Kvifor kallar vi metoden vegen om 1?

c) Kva må vi dele med for å finne 10 % av noko? Finn 10 % av 250 kr. 250 kr 10 % d) Finn 20 % av 250 kr. Beskriv korleis du går fram.

7 s

b) Bruk svara i oppgåve a til å finne 75 % og 15 % av 320 kr.

a) Kva må vi dele med for å finne 50 % av noko? Finn 50 % av 400 kr. 400 kr 50 %

UTFORSK PROSENT Prosent betyr hundredel. Det betyr at 1 % er det same som éin hundredel av noko. Vi finn 1 % av eit tal ved å dele talet på 100. STEG 1 Vi kan bruke vegen om 1 når vi vil finne p % av noko.

STEG 2 I steg 1 gjekk du vegen om 1 % for å finne 4 %. No skal vi bruke andre metodar.

c) Forklar med dine eigne ord korleis du kan gå vegen om 1for å finne kor mykje ein bestemt prosent utgjer av eit tal. Kva er dei sterke og dei svake sidene ved metoden?

8 1 | PROSENTs LØYSINGDØME 1.1 Prosent og prosentdel I Utforsk prosent repeterte vi at 1 % er det same som éin hundredel av noko. Derfor er 15 % det same som 15 hundredelar: 15 %,15100015 Å finne halvparten av noko er det same som å finne 50 % av noko. Det kan vi vise slik: 21 250100150 50 50 % Vi gjer om frå desimaltal til prosent ved å gonge med 100 %, slik: 0,3 0,30 100 % 30 % a) Skriv 254 og 0,455 som prosent. b) Skriv 37,5 % som desimaltal og brøk. c) Bruk brøken til å finne 37,5 % av 80. a) 254 25444 10016 16 % 0 455100455, %, % b) 375, % = 0,375 375 375100 375125100125 83, % , ,:,:, c) 37,5 % av 80 er 83 80 3808 31030 OPPGÅVE 1.10 Skriv som prosent utan å bruke hjelpemiddel. a) 10034 b) 203 c) 14 d) 0,4 e) 0,04 f) 81 Når vi skal finne prosentdelen av eit tal, kan vi bruke denne regelen: p p% av eit taltalet100 ?

91.1 PROSENTOGPROSENTDEL s LØYSINGDØME Dersom vi skal finne 36 % av 3280 med hjelpemiddel, kan vi derfor rekne slik: 36 av ,%3280 10036 328011808 Slike utrekningar kan vi enkelt gjere på lommereknaren eller i CAS: Rekn ut. a) 23 % av 432 kr b) 1,9 % av 3995 kr a) Vi reknar slik: 23 % av 432 kr kr, kr10023 4329936 b) Vi reknar slik: 1,9 % av 3995 kr , kr, kr10019 39957591 OPPGÅVE 1.11 Rekn ut. a) 3 % av 1530 kr b) 22,4 % av 9582 kr c) 103 % av 4250 kr d) 0,4 % av 1 000 000 kr OPPGÅVE 1.12 a) Maya set 5500 kr i banken og får 2,35 % rente på eitt år. Kor mange kroner får Maya i rente? b) Truls har 235 000 kr i studielån og betaler 1,579 % i rente per år. Kor mange kroner må Truls betale i rente dette året? OPPGÅVE 1.13 Dersom du skal finne 7 % av 50, får du det same svaret som når du reknar ut 50 % av 7. a) Bruk det du kan om prosent, til å forklare kvifor dette blir rett. b) Rekn ut 7 % av 50 utan hjelpemiddel. c) Lag to rekneoppgåver som blir lettare å løyse ved å bruke denne metoden. ?

10 1 | PROSENTs OPPGÅVE 1.14 Nedanfor ser du Python-koden til eit program. prosent = heile_talet23= 432 prosentdelen = prosent/100 * heile_talet print(prosent, "% av", heile_talet, "er", round(prosentdelen, 2))54321 a) Forklar kvar linje i programmet. b) Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.11. DISKUTER Are og Bente skal rekne ut 23 % av 6430 kr. Are gjer det slik: 0 ,236430147890kr, kr Bente reknar slik: 6430100 23 147890 kr , kr Har dei komme fram til rett svar? Kva er forskjellen på dei to metodane? 1.2 Finne prosenten og det heile I delkapittel 1.1 rekna vi ut prosentdelen av eit tal. No skal vi finne prosenten når vi veit prosentdelen av talet. I ein klasse med 15 elevar er det 6 jenter. Andelen jenter er då 156 15363 25:: Vi seier at andelen jenter er 25 , eller at 25 av elevane er jenter. Sidan prosent er det same som hundredel, kan vi finne prosenten ved å gjere om andelen til hundredelar. Omgjord til hundredelar blir andelen jenter 25 220520 10040 40 % 40 % av elevane er jenter. Vi har utvida brøken med 20 i teljaren og nemnaren for å få hundredelar. 1478,90

a) Kor mange prosent er 80 kr av 400 kr?

183303 106

a) Vi reknar ut kor stor del 18 utgjer av 30 ved å gjere om til hundredelar. 6010060:: % 60 % av elevane stemte på Naomi.

b) Kor mange prosent av elevane har stemt på Roger?

Ein klasse med 30 elevar skal velje elevrådsrepresentant. Valet står mellom Naomi og Roger. 18 elevar stemmer på Naomi, Roger får 9 stemmer, og resten er blanke stemmer.

a) Kor mange prosent av elevane har stemt på Naomi?

b) 9 er halvparten av 18, så andelen som stemte på Roger, må vere halvparten av andelen som stemte på Naomi. 30 % av elevane stemte på Roger. Vi kunne òg ha rekna slik: 30 : :

c) Resten av elevane stemte blankt. Det utgjer 100 % 60 % 30 % 10 % 10 % av elevane stemte blankt. OPPGÅVE 1.20

c) Kor mange prosent av elevane stemte blankt?

309 30393 103 10030

111.2 F INNE PROS ENTEN OG DET HEILE s LØYSINGDØME

b) Kor mange prosent utgjer 12 elevar av 50? OPPGÅVE 1.21 I ein quiz er det 30 spørsmål. Mari klarer 12 av spørsmåla, og Petter klarer 15. Kor mange prosent av spørsmåla klarer kvar av dei? Spesielt når vi har hjelpemiddel tilgjengeleg, er det nyttig med ein formel for å rekne ut prosenten direkte. Då kan vi bruke denne: Vi finn kor mange prosent eit tal er av det heile, ved å rekne ut dettaletheile %100

c) Kvifor blir ikkje den totale prisauken 10 %?

Kvifor blir det slik?

b) Kva blir den totale endringa i prosent? Har prisen på vara noko å seie for dette?

b) Kva kostar vara etter den den andre, tredje, fjerde og femte auken?

STEG 2 I butikk B blir prisen på vara først sett ned med 10 %.

Etter ei stund blir prisen sett opp med 10 %.

a) Kva kostar vara etter den første prisauken?

Etter ei stund blir prisen sett ned med 10 %.

c) Samanlikn svaret i steg b med svaret i steg 3.

a) Kostar vara meir, mindre eller like mykje etter dei to endringane? Kva er det første du tenkjer? Gjer utrekningar og grunngi svaret.

STEG 5 I butikk E aukar dei prisen på vara med 2 % fem gonger.

c) Kva blir den totale endringa i prosent? Har prisen på vara noko å seie for dette?

b) Kva blir den totale endringa i prosent? Har prisen på vara noko å seie for dette?

a) Kva kostar vara etter den første prisauken?

STEG 6 Kva konklusjonar kan vi trekkje etter det vi har funne ut i steg 1–5?

Korleis kan det å rekne med vekstfaktor hjelpe oss å finne eit mønster?

c) Samanlikn svara i steg a og b med svara i steg 1.

b) Kva kostar vara etter den andre prisauken?

Kvifor blir det slik?

STEG 1

STEG 4 I butikk D aukar prisen på vara først med 6 % og deretter med 4 %.

a) Kostar vara meir, mindre eller like mykje etter dei to endringane? Kva er det første du tenkjer? Gjer utrekningar og grunngi svaret.

26 1 | PROSENTs UTFORSK PROSENTVIS ENDRING I FLEIRE PERIODAR Ei vare kostar 100 kr.

I butikk A blir prisen på vara først sett opp med 10 %.

STEG 3 I butikk C aukar prisen på vara først med 4 % og deretter med 6 %.

a) Kva kostar vara etter den første prisauken?

271.6 PROSENTVIS VEKST I FLEIRE PERIODAR s 1.6 Prosentvis vekst i fleire periodar I Utforsk prosentvis endring i fleire periodar rekna vi på prisen til ei vare som endra seg fleire gonger. No skal vi sjå korleis vi reknar når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger. Ein kommune har 5000 innbyggjarar. Kommunen reknar med at folketalet vil auke med 2 % per år dei neste ti åra. Vekstfaktoren1002102er 100102 102,%%% Etter eitt år er 50001025100innbyggjartalet, I byrjinga av det andre året er det 5100 innbyggjarar i kommunen. Ved slutten av det andre året har innbyggjartalet vakse til Ved51001025202,sluttenavdettredje året er innbyggjartalet Legg52021025306,merketilatviòg kan rekne innbyggjartalet etter to år slik: NårEtter5000102102500010252022,,,treårharinnbyggjartaletaukatil500010253063,viskalfinneinnbyggjartaletetterti år, er den siste metoden raskast. Då treng vi berre éi Når50001026095utrekning:10,einstorleikendrarsegmed same prosent i fleire periodar, bruker vi denne regelen for å finne storleiken etter ei tid: For ein storleik som veks med ein fast prosent i fleire periodar, har verdien etter n periodar vakse til opphavleg verdi vekstfaktorn

28 1 | PROSENTs LØYSINGDØME Merk at vi òg kan bruke denne regelen når ein storleik minkar med ein fast prosent. Då er vekstfaktoren mellom 0 og 1. Verdien av ein elektrisk sparkesykkel minka med 7 % kvart år. Sparkesykkelen kosta 15 000 kr då han var ny. Kva var sparkesykkelen verd etter 5 år? Her er den opphavlege verdien 15 000 kr. Vekstfaktoren ved 7 % nedgang 100793er 10093 093,%%% Det er 5 periodar, altså er n 5. Det set vi inn i formelen på førre Etter1500009310435side:5,5årvarsparkesykkelen verd 10 435 kr. OPPGÅVE 1.60 I 2016 kjøpte Mathea ein spelkonsoll til 4000 kr. Ho gjekk ut frå at verdien ville minke med 15 % kvart år. a) Kor mykje kan Mathea rekne med å selje spelkonsollen for i 2022? b) Kor mange prosent har då verdien av spelkonsollen minka med? OPPGÅVE 1.61 Restauranten Bordets gleder jobbar for å redusere matsvinnet. I desember 2020 kasta dei 800 kg mat. I 2021 klarte bedrifta å redusere det gjennomsnittlege matsvinnet med 2 % per månad. a) Kva var matsvinnet i desember 2021? b) Kor mange prosent minka matsvinnet med totalt frå desember 2020 til desember 2021? OPPGÅVE 1.62 I 2015 kjøpte Ahmed eit hus for 2,1 millionar kroner. Verdien på huset steig med 5 % kvart av dei neste tre åra for deretter å minke med 2 % dei neste to åra. a) Kva var huset verdt i 2020? b) Kor mange prosent auka verdien av huset frå 2015 til 2020? ?

c) 2030 er 10 år etter 2020. Derfor set vi inn n 10. 4,6 0,9810 3,8 Plastforbruket i 2030 er 3,8 tonn.

LØYSINGDØME

c) Finst det nokon grenser for kor lenge auken i oppgåve a og b kan halde fram? Kva må vi eventuelt vite for å bestemme det? Når vi vil rekne bakover i tid, kan vi òg bruke formelen opphavleg verdi vekstfaktorn Då bruker vi negative verdiar for n. Ei bedrift kuttar plastforbruket med 2 % kvart år i perioden frå 2015 til 2030. I 2020 var det årlege plastforbruket 4,6 tonn.

OPPGÅVE 1.63

a) Ole er svømmar. Han trener 12 timar i veka og har ein plan om å auke treningsmengda med 10 % per år dei neste åra. Kor mange timar i veka trener Ole om 5 år dersom han følgjer denne planen?

b) Mia trener styrke. Ho tek 50 kg i benkpress og har som mål å auke med 5 % per månad i eit halvt år. Kor mykje tek Mia i benkpress om eit halvt år dersom ho når målet sitt?

291.6 PROSENTVIS VEKST I FLEIRE PERIODAR s

a) Vekstfaktoren for 2 % nedgang er 0,98, og utgangsverdien i 2020 er 4,6 tonn. Då er plastforbruket i tonn n år etter 2020 gitt ved 4,6 0,98n b) 2015 er 5 år før 2020. Derfor set vi inn n 5. 4,6 0,98 5 5,1 Plastforbruket i 2015 var 5,1 tonn.

a) Finn eit uttrykk for plastforbruket n år etter 2020.

b) Kva var plastforbruket i 2015? c) Kor mykje plast vil bedrifta forbruke i 2030?

30 1 | PROSENTs OPPGÅVE 1.64 Cornelia har ei årslønn på 405 000 kr. For tre år sidan gjorde ho ein avtale om at lønna skulle auke med 2,5 % per år. Kva var lønna til Cornelia for tre år sidan? OPPGÅVE 1.65 Victor har 30 000 følgjarar på SnikkSnakk. Dei siste åra har talet på følgjarar auka med 50 % kvart år. a) Kor mange følgjarar hadde Victor for to år sidan? b) Kor mange følgjarar hadde han for fem år sidan? c) Dersom utviklinga held fram, kor mange år går det før han har over 1 million følgjarar? OPPGÅVE 1.66 a) Kva reknar programmet nedanfor ut? folketal = 4000 verdi = whileårvekstfaktorfolketal=1.025=0verdi<folketal*2:verdi=verdi*vekstfaktorår=år+1print(round(verdi,0))print(år)121110987654321 b) Kva blir skrive ut i dei to siste linjene? OPPGÅVE 1.67 Tabellen nedanfor viser utviklinga i omsetninga til ei bedrift frå 2017 til 2021. FinnÅrstalOmsetning2017500 0002018550 0002021605 0002020665 5002021732 050denprosentviseendringa frå kvart år til det neste. ?

31 sSAMANDRAG SAMANDRAG Prosent Prosent betyr hundredel. Vi gjer om andelen av tal skrive som brøk eller desimaltal til hundredelar for å finne prosenttalet. Prosentdel p % av talet p 100 heile talet Å finne prosenten av det heile dettaletheile %100 Å finne det heile Dersom eit tal er p % av det heile (100 %), er det heile talet p 100 Prosentpoeng Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng. Vekstfaktor Vekstfaktoren ved p % auke er 1 100 p Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1 100 p Prosentvis endring Skal vi finne ein ny verdi etter ei prosentvis endring, reknar vi slik: ny verdi = opphavleg verdi vekstfaktor Prosentvis endring i fleire periodar Når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger, er verdien etter n periodaropphavleg verdi vekstfaktorn Dersom vi skal finne verdien bakover i tid, bruker vi negative verdiar for n.

s 32 1 | PROSENT SPARING I BANK OG AKSJEFOND

I perioden 2000 til 2021 auka indeksen på Oslo Børs frå 190 poeng til 1200 poeng. Det svarer til ein auke på over 500 %. Grafen nedanfor viser denne utviklinga. Vi ser at i enkelte periodar har det vore nedgang, sjølv om utviklinga over tid har vore positiv. Det er spesielt to tydelege nedgangar dei siste 20 åra: under finanskrisa i 2008 og under starten av koronapandemien i 2020. Etter finanskrisa tok det omtrent seks år før indeksen var tilbake på same nivå som før.

Det er lurt å setje av noko av inntekta til sparing, anten til uføresette utgifter på kort sikt eller til langsiktig sparing. Slik kan det til dømes bli lettare å kjøpe leilegheit, hus eller bil. Men korleis lønner det seg å spare pengane? Å spare i banken Å ha pengane i banken er ein sikker måte å spare på. Banken gir oss renter. Renta varierer, men vanlegvis lite over tid. SSB har laga ei historisk oversikt over den gjennomsnittlege renta sidan 1953. Den høgaste renta hadde vi i 1987. Då var ho 11,3 %. Dei siste åra har renta vore låg, til dømes var ho 0,8 % i 2016. Det betyr at dersom vi sette 10 000 kr i banken i 1987, kunne vi rekne med at beløpet på kontoen eitt år seinare hadde vakse til 11 130 kr. Dersom vi gjorde det same innskotet i 2016, ville vi eitt år seinare sitje igjen med 10 080 kr. Når vi skal vurdere verdien av sparepengane, bør vi ta høgd for den generelle prisstiginga i samfunnet. Den blir beskriven av konsumprisindeksen (KPI). I 2015 var KPI 100, i 2016 var han 103,6. Det betyr at varer som kosta 10 000 kr i 2015, kosta 10 360 kr i 2016. I 2016 tapte vi dermed på å la pengane stå i banken. Verdien blei mindre i løpet av året fordi prisane steig meir enn rentene vi fekk av beløpet vi hadde sett i banken. Å spare i fond Ei anna spareform er aksjefond. Ein aksje er ein eigarpart av eit selskap, og fondet forvaltar eigarpartar i mange bedrifter. Indeksfond er aksjefond med låge kostnader som prøver å gi deg som kunde lik avkasting som marknaden i ein viss periode. Avkasting er pengar vi tener ved å investere i marknaden. Dersom aksjeselskapa gjer det godt, vil vi kunne få meir igjen enn om vi set pengane i banken, men vi vil òg kunne tape pengar dersom utviklinga er negativ.

20052010 2015 2020 100060040020008001200

Konsumprisindeksen auka i åra mellom 2000 og 2021 frå 75 til 118. Det er ein auke på 57 %. Auken i verdiane på Oslo Børs har altså vore mykje større enn auken i konsumprisindeksen. Dersom vi investerte 10 000 kr på aksjar i år 2000 og avkastinga følgde indeksen, ville beløpet i 2021 ha vakse til over 63 000 kr. Dersom vi tar omsyn til kroneverdien, ville det ha svart til omtrent 40 000 kr i 2000, omtrent fire gonger meir enn vi investerte.Iden same tidsperioden var den gjennomsnittlege årlege innskotsrenta under 3 %. Dersom vi sette inn 10 000 kr på kontoen i 2000 og fekk 3 % per år i rente, ville vi hatt 18 600 kr i 2021, utan å ta omsyn til kroneverdien.

• Finn fram til nokre indeksfond. Kva har den historiske avkastinga vore i desse fonda dei siste fem åra? Kor store er gebyra? Kvifor kan ikkje historisk avkasting garantere framtidig avkasting?

s33SPARING I BANK OG AKSJEFOND Å finne den månadlege renta Mange sparer litt kvar månad. Bankane reknar som regel med årlege renter, men vi kan rekne ut den månadlege renta dersom vi kjenner den årlege renta. Dersom vekstfaktoren per månad er x, vil vekstfaktoren per år vere x12 . Dersom den årlege renta er 1,5 %, finn vi den månadlege renta ved å løyse likninga x12 = 1,015. Då blir: 12 1,0151,0012x Den månadlege renta er altså 0,12 % når den årlege renta er 1,5 %. ssb.noKjelder:– gjennomsnittleg utlånsog innskotsrente i bankane per 31. desember, besøkt januar 2022 live.euronext.com – NO0007035327XOSL, besøkt januar 2022 PROSJEKTOPPGÅVE I denne oppgåva skal du undersøkje korleis sparing i bank og sparing i indeksfond kan utvikle seg over tid. Kulepunkta nedanfor skal hjelpe deg med å komme i gang.

• Ta utgangspunkt i at du set av 1000 kr kvar månad i tre år.

• Lag ei oversikt som viser korleis utviklinga kan bli over tid. Ta utgangspunkt i ulike, men sannsynlege renter og avkastingar basert på det du har funne ut ovanfor.

• Korleis kan vi gå ut frå at konsumprisindeksen påverkar sparinga vår?

• Finn ut kva innskotsrenter nokre bankar tilbyr på sparekontoar. Rekn om til månadleg rente.

Bruk gjerne rekneark til å løyse denne oppgåva.

s 34 1 | PROSENT REPETISJONSOPPGÅVER

OPPGÅVE 1 Ein kommune hadde 12 560 innbyggjarar. Året etter var innbyggjartalet minka til 12 230. Finn vekstfaktoren. Kva fortel han i dette tilfellet? OPPGÅVE 2 I ein matbutikk kostar 1 kg eple vanlegvis 24,00 kr. a) Ein dag var prisen på eple sett ned 15,0 %. Kva var kiloprisen på eple denne dagen? b) Ein annan dag var prisen på eple 29,90 kr. Kor mange prosent var prisen på eple sett opp i forhold til normal pris denne dagen?

OPPGÅVE 3 Ein dag var literprisen på bensin 18,20 kr på bensinstasjonen «Full tank» og 16,80 kr på bensinstasjonen «Tom tank». Den eine bensinstasjonen auka då prisen med det same beløpet som den andre bensinstasjonen sette prisen ned med. Kor mange prosent måtte literprisen endrast på kvar av bensinstasjonane for at prisen skulle bli

den same begge stader? OPPGÅVE 4 Eit politisk parti aukar oppslutninga frå 23 % til 26 %. a) Finn auken i prosentpoeng. b) Finn auken i prosent. OPPGÅVE 5 Utsalsprisen på ein bil auka med 16 800 kr frå eit år til det neste. Det svarer til ein prisauke på 4 %. Finn utsalsprisen på bilen for begge åra. OPPGÅVE 6 Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 23. september 2021 og viser lista over dei mest besøkte filmane på kino helga før. Topp 10-lista over mest besøkte filmar på kino sist helg Kjelde: Film og Kino Dune Paw Shang-ChiPatrol Clue:IngentingMaltesergåtenåleavAfterWeFellCroodsFreeGuyMalignantSpaceJam 42 690 12 523 8 411 6 204 5 129 4 273 4 026 2 115 1 736 1 671 a) Kor mange prosent høgare var besøket på «Ingenting å le av» enn på «Croods»? b) Kor mange prosent lågare var besøket på «Space Jam» enn på «Malignant»? c) Kor mange prosent av kinobesøket var på «Dune»?

OPPGÅVE 7 Ei bedrift har dei siste åra måtta nedbemanne. I dag har bedrifta 500 tilsette, men talet har minka med 8 % kvart år. Kva for eit uttrykk kan vi bruke for å rekne ut talet på tilsette for 3 år sidan? Forklar kvifor kvart av dei andre uttrykka er feil.

1) A 500 1,08 3 2) A 500 0,923 3) A 500 0,92 3 4) A 500 1,083 OPPGÅVE 8 Sofia fekk til saman 25 000 kr i gåver då ho blei fødd. Pengane blei sett på ein konto med 3,0 % fast rente per år. a) Kor mykje vil Sofia ha på kontoen på 18-årsdagen dersom pengane blir ståande urørt? b) Kor mykje vil Sofia ha på kontoen på 18-årsdagen dersom ho tek ut 10 000 kr på 16-årsdagen sin? OPPGÅVE 9 Kåre Kubick har nettopp kjøpt ein brukt skuter. Skuteren er 4 år gammal. «Kor mykje kosta denne skuteren då han var ny?» spør Kari. «Verdien gjekk ned 30 % det første året, 20 % det andre året og 10 % kvart av dei to neste åra», svarer Kåre. «Eg betalte 12 700 kr. Då kan du sjølv rekne ut kva han kosta som Hjelpny.»Kari med å rekne ut svaret.

35REPETISJONSOPPGÅVER s

OPPGÅVE 10 VINNER! I byrjinga av 2016 vann Anne Lise i Lotto. Ho kjøpte ein ny bil til 340 000 kr og kunst for 80 000 kr. Vi reknar med at bilen minkar i verdi med 13 % per år, mens verdien av kunsten aukar med 8 % kvart år. a) Kor stor var den

samla verdien av bilen og kunsten etter 5 år? b) Lag eit rekneark som viser både verdien av bilen og verdien av kunsten kvart år i 10 år. c) Utvid reknearket i oppgåve b slik at det òg viser den samla verdien av bilen og kunsten i 10 år. OPPGÅVE 11 Forklar kva som skjer når programmet nedanfor blir køyrt. Kva fortel dei to tala som blir skrivne ut i linje 10 og 11? beløp = vekstfaktor5000= 1.02 år = while0beløp < 100000: år = år + 1 beløp = beløp * vekstfaktor beløp = beløp + 10000 print(round(beløp, 0)) print(år)121110987654321

• bruke i og problemløysing knytt til funk sjonar, og diskutere

• planleggje , utføre og presentere sjølvstendigg arbeid kny tt til moddelleringg og fufnk sjonarr innanfor samfunnsffaglege tema

MATEMATISKEløysinganeMODELLAR

• planleggje, utføre og presentere sjølvstendig arbeid knytt til modellering og funksjonar

• bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane Mål for oppplæræingaa err at eleven skal kunne

b) Undersøk om det er nokon samanheng mellom verdiane til a, b og c og x-verdien til topp- eller botnpunktet til grafen.

Ein andregradsfunksjon er ein funksjon på forma f (x) a x 2 b x c Her kan a, b og c vere kva tal som helst (bortsett frå a 0). Vi skal no utforske slike funksjonar nærmare ved å sjå på kva som skjer når vi endrar verdiane av konstantane a, b og c.

b) Dra i glidaren og endre på verdien til a Kva skjer når a blir negativ, og kvifor kallar vi det ikkje ein andregradsfunksjon dersom a 0?

STEG 1

189 s6.1 ANDREGRADSFUNKSJONAR

b) Lag glidarar for a, b og c. (Skriv inn «a» i algebrafeltet og trykk Enter. Gjenta for «b» og «c».)

STEG 3

a) Opne algebrafeltet og grafikkfeltet i GeoGebra.

a) Kan du finne ein samanheng mellom a, b og c og talet på nullpunkt?

UTFORSK ANDREGRADSFUNKSJONAR

a) Dra i glidaren og endre på verdien til c. Korleis påverkar det grafen?

Når du skal skrive x 2 i GeoGebra, kan du skrive «x^2».

c) Teikn grafen til funksjonen f (x) a x 2 b x c

STEG 2

c) Dra i glidaren og endre på verdien til b. Kva skjer med grafen?

190 6 | MATEMATISKE MODELLARs 6.1 Andregradsfunksjonar Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 4x 3 og er eit døme på ein andregradsfunksjon. Vi vel nokre verdiar for x og reknar ut funksjonsverdiane. Det gir denne tabellen: x 1012345 f (x)830 1038 Nedanfor har vi markert punkta i eit koordinatsystem og trekt ei glatt kurve gjennom dei. 108642 y f x –2 –2 46 NullpunktBotnpunktNullpunkt (2, –1) Grafen til ein slik andregradsfunksjon kallar vi ein parabel. Punkta på x-aksen der grafen kryssar aksen, kallar vi nullpunkta til funksjonen. Nullpunkta er bestemte ved at f x () 0 Funksjonen ovanfor har dermed nullpunkta x 1 og x 3. Funksjonen har eit botnpunkt i punktet der x 2 og y 1. Botnpunktet har koordinatane 2, 1 . I eit botnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunkta.

1916.1 ANDREGRADSFUNKSJONAR s Funksjonen g er gitt ved g xxx() 2 65 og har denne grafen: –135421 y g x –1 4 ToppunktNullpunkt263(3,4) Denne funksjonen har to nullpunkt, x 1 og x 5. Han har eit toppunkt med koordinatane 3, 4 . Eit toppunkt er eit punkt der funksjonsverdien er større enn i alle Toppunktnabopunkta.ogbotnpunkt kallar vi med eit felles ord for ekstremalpunkt. Eit ekstremalpunkt er dermed anten eit botnpunkt eller eit toppunkt. OPPGAVE 6.10 Nedanfor ser du grafen til funksjonane f (x) x 2 6x 8 og g(x) x 2 2x 3 x f g y 1–1 –11234 23 456 a) Finn nullpunkta til f. b) Finn botnpunktet til f. c) Finn nullpunkta til g. d) Finn toppunktet til g. ?

192 6 | MATEMATISKE MODELLARs No skal vi sjå korleis vi kan teikne grafen til andregradsfunksjonar digitalt, og korleis vi då kan finne funksjonsverdiar, nullpunkt og ekstremalpunkt. Som døme bruker vi funksjonen f frå side 190, der f xxx() 2 43 Når vi skal skrive x 2 i GeoGebra, kan vi skrive «x^2». Dersom vi ikkje skriv «f (x) » framfor uttrykket, vel GeoGebra automatisk eit namn for oss. No tilpassar vi koordinatsystemet og får fram denne grafen: x -1-1 1223344515 y -1-111223344004 ff Dersom vi vil finne funksjonsverdien f ()4, kan vi skrive «f(4)» i algebrafeltet. Altså er f ()43 For å finne nullpunkta skriv vi «Nullpunkt(f)» i algebrafeltet. Då får vi dette: Funksjonen har nullpunkta x 1 og x 3.

1936.1 ANDREGRADSFUNKSJONAR s Topp- eller botnpunktet får vi fram på tilsvarande måte. Då bruker vi fellesnamnet ekstremalpunkt og skriv «Ekstremalpunkt(f)». Funksjonen har ekstremalpunktet 2, 1 . I grafikkfeltet ser vi at dette er eit Punktabotnpunkt.fårautomatisk namna A, B og C. Vi markerer punkta, opnar menyen og vel «Verdi» i menyen under A A . Då får vi dette resultatet: x -1-1 1212334455 y-1-11122334400 3 4 (1,0)(1,0) (3,0)(3,0) (2,-1)(2,-1) Av og til får vi bruk for å teikne grafar til funksjonar med ei bestemt Fordefinisjonsmengd.åfåteiknagrafen til f berre i definisjonsmengda x 04, skriv vi «Funksjon(f, 0, 4)». Då blir det teikna ein ny graf som startar ved x 0 og sluttar ved x 4. OPPGÅVE 6.11 Funksjonen f er gitt ved f xxx() 2 23 a) Teikn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunkta til f c) Finn botnpunktet til f. ?

b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høgast? Kva var temperaturen då? Av og til kan vi bruke andregradsfunksjonar til å beskrive samanhengar i samfunnsfag. Vi skal no sjå nærmare på ein slik matematisk modell. I ein by er det ein bomring. Det er 50 000 bilar som køyrer gjennom bomringen kvart døgn. Kvar passering gir 30 kr i inntekter til myndigheitene. Politikarane vurderer å setje opp prisen per passering for å få ned biltrafikken. Dei hevdar at for kvar krone prisen går opp, går trafikken ned med 400 bilar per døgn.

a) Forklar at den lineære funksjonen b(x) 50 000 400x gir talet på bilar som passerer bomringen kvart døgn, dersom x er prisauken i kroner.

194 6 | MATEMATISKE MODELLARs DØME OPPGÅVE 6.12 Funksjonen f er gitt ved f xxx() 2 43 a) Teikn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunkta til f. c) Finn toppunktet. OPPGÅVE 6.13 Ein vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timar etter midnatt gitt ved T xxxx (),3821213522 8, 20 a) Teikn grafen til T.

b) Vis at inntekta I i kroner er gitt ved andregradsfunksjonen I(x) x 30 50 000 400x c) Teikn grafen til I digitalt når x er mellom 0 og 80. d) Kva er den størst moglege inntekta i denne bomringen med denne modellen? Kva er prisen, og kor mange køyrer gjennom bomringen då?

1956.1 ANDREGRADSFUNKSJONAR s LØYSING a) Ettersom trafikken går ned med 400 bilar for kvar krone prisen aukar, går han ned med 400 x dersom vi aukar prisen med x kroner. Talet på bilar er no 50 000. Då blir talet på bilar dersom vi aukar prisen med x kroner, b(x) 50000 400x. b) Dersom prisen blir sett opp med x kroner, blir den nye prisen 30 x kroner. Talet på passeringar er b(x). Inntekta blir produktet av desse. Det gir: Ixxbxxx ()()303050000400 c) No teiknar vi grafen i GeoGebra: x 10102020303040405050606070708080(kr) y (kr) 2500000250000020000002000000150000015000001000000100000050000050000000 (47.5, 2402500) d) No skal vi finne toppunktet. Då skriv vi «Ekstremalpunkt(I )» i algebrafeltet.Denhøgaste inntekta er 2402500 kr per døgn. Det er når prisen er 30kr 47,50kr 77,50 kr Talet på bilar per døgn er då b(47,5) 50000 400 47,5 31 000

e) Kva blir inntekta dersom dei aukar prisen med 5 kr?

Vi ser meir på byen der det dagleg køyrer 50 000 bilar gjennom bomringen.

e) Kor mange kilogram karbondioksid slepper vi ut når vi køyrer frå Bergen til Oslo i 75 km/h? Set avstanden mellom Oslo og Bergen til 500 km.

b) Kor mange bilar køyrer gjennom bomringen dersom dei aukar prisen med 10 kr?

d) Kva for ein fart gir lågast mogleg utslepp, og kor stort er utsleppet då?

g) Kva er den størst moglege inntekta i denne bomringen med denne modellen? Kva er prisen, og kor mange køyrer gjennom bomringen då?

OPPGÅVE 6.15

00456753930120,,2,,

Det kostar 30 kr per passering. Ein politikar trur at for kvar krone prisen går opp, går trafikken ned med 500 bilar per døgn.

Kor mange kilogram bensin bruker bilen på turen frå Bergen til Oslo? Korleis kan du forklare at utsleppet veg meir enn forbruket av bensin? ?

a) Lag eit funksjonsuttrykk B(x) som viser antalet bilar der x er prisauken i kroner.

Ein bensinbil køyrer med farten v målt i kilometer per time. Utsleppet av karbondioksid målt i gram per kilometer er då gitt ved Cvvvv ()

196 6 | MATEMATISKE MODELLARs

d) Set opp eit uttrykk for inntekta I(x) når dei aukar prisen med x kroner.

c) Kva må prisen vere dersom antalet bilar skal bli 40 000 per døgn?

c) Kor stor er farten når utsleppet er 200 g/km?

f) Teikn grafen til I digitalt.

f) Bilen bruker 0,8 L bensin per mil. Ein liter bensin veg omtrent 0,8 kg.

OPPGÅVE 6.14

a) Teikn grafen til C digitalt.

b) Kor stor er utsleppet per kilometer når farten er 50 km/h?

DISKUTER Teikn grafen til fleire forskjellige polynomfunksjonar i GeoGebra der polynomet har ulik grad. Finn ein samanheng mellom det maksimale talet på nullpunkt og graden til Finnpolynomet.einsamanheng mellom det maksimale talet på ekstremalpunkt (toppog botnpunkt) og graden til polynomet. Funksjonen f er gitt ved f (x) x 3 3x Teikn grafen til funksjonen digitalt og finn nullpunkta og ekstremalpunkta til f Nårgrafisk.viskal teikne grafen, skriv vi x 3 3x i algebrafeltet. Funksjonen får då automatisk namnet f. Vi får fram x 3 ved å skrive «x^3». Deretter skriv vi «Nullpunkt( f )» i algebrafeltet. Då får vi fram tre nullpunkt med namna A, B og C. Deretter skriv vi «Ekstremalpunkt( f )» i algebrafeltet og får fram eit toppunkt D og eit botnpunkt E. No markerer vi punkta i algebrafeltet, opnar menyen , trykkjer på A A og vel Verdi. Då får vi fram koordinatane til alle punkta i grafikkfeltet.

1976.2 POLYNOMFUNKSJONAR s LØYSINGDØME 6.2 Polynomfunksjonar Uttrykka 2x 3 og x 2 3x 5 kallar vi polynom. Uttrykket 2x 3 er eit polynom av første grad, og andregradsuttrykket x 2 3x 5 er eit polynom av andre grad. Den høgaste eksponenten til variabelen i eit polynom kallar vi graden til polynomet. Uttrykket 2x 3 3x 2 6x 4 er dermed eit tredjegradspolynom, og x 4 2x 2 4 er eit fjerdegradspolynom. No skal vi sjå på eigenskapane til funksjonar der funksjonsuttrykket er eit polynom. Slike funksjonar kallar vi polynomfunksjonar. Alle andregradsfunksjonar er dermed døme på polynomfunksjonar. Funksjonen gitt ved P xxxx() 26204832 er eit anna døme på ein polynomfunksjon. Ettersom funksjonsuttrykket er eit tredjegradspolynom, er dette ein tredjegradsfunksjon.

i BLANDA OPPGÅVER og OPNEOPPGÅVER inneheld ofte stoff frå fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

•I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn òg oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver.

•Oppgåvenedelkapittel.

•Dei opne oppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du mellom anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Av og til må du sjølv lage problemstillingar som du undersøkjer ved hjelp av strategiar, som modellering, utforsking og programmering. Det er meininga at du skal bruke litt meir tid på desse oppgåvene, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

ØV MEIR gir meir trening i grunnleggjande rekneteknikkar frå kvart

•OppgåveneOPPGÅVERi

241 s1 | PROSENT 1 Oppgåve 1.113 Gunn har to kontoar som står urørte i banken. På den eine kontoen står det 24 000 kr, og på den andre står det 106 000 kr. Ho får 0,10 % rente per år på kontoen med lågast innskot og 0,15 % rente per år på den andre. a) Kor mange kroner har kvar av desse kontoane auka med etter eitt år? b) Kor mykje har Gunn til saman på desse to kontoane etter eitt år? Oppgåve 1.114 Ein liter bensin kostar 17,50 kr. Prisen på bensinen blir først sett opp med 4 %. Dagen etter blir prisen sett ned med 4 Kor%. mykje har bensinprisen gått ned i alt etter desse to prisendringane? Oppgåve 1.115 a) Kva gjer dette programmet? Forklar kva som skjer i kvar linje. tal = prosent250= 1 while prosent <= 100: utrekning = tal*prosent/100 print(prosent, "% av", tal, "er", round(utrekning, 2)) prosent = prosent + 187654321 b) Gjer endringar i programmet ovanfor slik at det berre skriv ut prosenten av eit tal når prosentane er 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 %, 60 %, 70 %, 80 %, 90 % og 100 %. Prosent ØV MEIR 1.1 PROSENT OG PROSENTDEL Oppgåve 1.110 a) Rekn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpa utan å bruke hjelpemiddel. 1) 80 kr 2) 150 kr 3) 1800 kr b) Rekn ut med eit hjelpemiddel. 1) 30 % av 120 2) 13 % av 600 3) 40 % av 800 4) 8 % av 175 Oppgåve 1.111 Kva for ein figur passar til prosenten? a) 80 % b) 55 % c) 25 % d) 15 % DEFABC Oppgåve 1.112 a) Ein radio kostar 1200 kr. Så blir prisen sett opp 20 %. Kor mange kroner blir prisen på radioen sett opp med? b) Ei klokke kostar 2400 kr og blir sett ned 15 %. Kor mange kroner blir prisen på klokka sett ned med?

Kor mange prosent avslag får Oda på den ordinære prisen?

Oppgåve 1.126 Vemund kjøper ein mobiltelefon på sal. Han får 700 kr i avslag på den ordinære prisen. Det svarer til 20 % avslag. Kor mykje betaler Vemund for mobiltelefonen?

1 | PROSENT242s 1.2 FINNE PROSENTEN OG DET HEILE Oppgåve 1.120 a) Eit år var elevtalet på ein skule 600. Året etter var det 15 fleire elevar på Korskulen.mange prosent gjekk elevtalet opp? b) Elevtalet på ein annan skule var 750. Året etter hadde elevtalet gått ned med 30. Kor mange prosent hadde elevtalet gått ned? Oppgåve 1.121 I eit glas eplesyltetøy veg innhaldet 510 g. På etiketten står det at det er tilsett 20 g sukker per 100 g bær. Kor mange prosent sukker er det tilsett i eplesyltetøyet? Oppgåve 1.122 Illustrasjonen viserkor mange som heia på laga Manchester United og West Ham United under ein fotballkamp. 2. omg. ManchesterUnited West Ham United 0 – 1 Manuel Lanzini 9’ Kven heiar du på? 14 964 MNU + Kampinfo WHU 5 371 82:09 0 – 1 a) Kor mange prosent heia på West Ham United? b) Kor mange fleire måtte ha heia på West Ham United for at svaret i oppgåve a skulle ha vore 50 %? Oppgåve 1.123 Guro og Henrik er på eit handlesenter. Begge har 500 kr å handle for. a) Guro ser på ei bukse til 750 kr og kan få 40 % avslag i prisen. Har ho nok pengar til å kjøpe buksa? b) Henrik ser på eit par sko til 1250 kr og kan få 25 % avslag i prisen.

c) Kvifor får vi ikkje det same svaret i oppgåve a og b?

b) Kor mange prosent mindre betaler Ola enn Ida?

Forklar Henrik at han ikkje har nok pengar til å kjøpe skoa.

c) Kor mange prosent avslag må Henrik få for å kunne kjøpe skoa? Oppgåve 1.124 a) Ei skulderveske kostar ordinært 699 kr. Andrine får 15 % avslag på Korveska.mykje betaler ho? b) Litt seinare betaler Oda 559 kr for same type veske.

Oppgåve 1.125 a) Ola og Ida kjøper nye hovudtelefonar. Ola betaler 570 kr for sine, og Ida betaler 790 kr for Korsine.mange prosent meir betaler Ida enn Ola?

Tove har fått 25 % i avslag på prisen på ein kjole. Det svarer til 300 kr.

• Jonathan får 55 % av pengesummen. Kor mykje får Jesper og Jonathan? 1.3

b) Fredrik hadde berre 2000 kr å bruke på ei ny klokke. Seljaren bestemte seg for at Fredrik skulle få kjøpe klokka for denne summen. Kor mange prosent avslag fekk Fredrik i alt? Oppgåve 1.129 Kasper, Jesper og Jonathan skal dele ein pengesum på denne måten: • Kasper får 825 kr.

Fredrik fekk tilbod om 30 % rabatt på ei ny klokke. Det svarte til 870 kr.

a) Kva var den opphavlege prisen på kjolen?

a) Kva kosta klokka før ho blei nedsett?

b) Kor mykje betalte Tove for kjolen? Oppgåve 1.128

b) Litt seinare oppslutningagjekkom Venstre opp 1,2 prosentpoeng. Kor mange prosent var oppslutninga om Venstre då? Oppgåve 1.131 Frå nettsidene til Statistisk sentralbyrå 14. august 2020: Renta på nye lån til hushald med pant i bustad fall med 0,08 prosentpoeng til 1,80 prosent i juni 2020. Renta på uteståande bustadlån hadde eit litt mindre fall med 0,05 prosentpoeng til 1,97 prosent.

Oppgåve 1.127

a) Kor høg hadde renta på nye lån med pant i bustad vore før ho blei sett ned? b) Kor høg hadde renta på uteståande bustadlån vore før ho blei sett ned? Oppgåve 1.132 For fem år sidan deltok 35 % av elevane på ein skule på ein dagstur til ein fjelltopp. I år gjekk deltakinga ned til 21 %. a) Kor mange prosentpoeng er nedgangen på? Dei siste åra har elevtalet heile tida vore på 540 elevar. b) Kor mange elevar deltok på turen for fem år sidan? c) Kor mange elevar deltok no? Oppgåve 1.133 I 2021 budde 30 % av elevane på ein skule mindre enn 5 km frå skulen. I 2022 steig dette talet til 35 %.

a) Kor mange prosentpoeng var auken Elevtaletpå? på skulen var 260 både i 2021 og i 2022. b) Kor mange elevar budde mindre enn 5 km frå skulen i 2021? c) Kor mange elevar budde meir enn 5 km frå skulen i 2022?

1 | PROSENT 243 s

• Jesper får 20 % av pengesummen.

a) På ei meiningsmåling gjekk oppslutninga om partiet Venstre ned frå 5,0 % til 4,1 %. Kor mange prosentpoeng minka oppslutninga om Venstre med?

PROSENTPOENG

Oppgåve 1.130

Undersøk om det blei selt minst 3000 hytter i same periode året før. Oppgåve 1.202 Ei bedrift hadde ein marknadsdel på 25 %. Året etter hadde marknadsdelen auka med 5 prosentpoeng. Kor mange prosent auka marknadsdelen med? Oppgåve 1.203 a) Teikn ein figur med 15 ruter. Fargelegg 40 % av figuren. b) Kor mange fleire ruter må du fargeleggje for at det skal dekkje 80 % av figuren? Oppgåve 1.204 Ulrik påstår at to av desse alternativa gir det same avslaget. 1) 30 % avslag 2) Halv av halv pris 3) 75 % avslag 4) Kjøp 3, betal for 2 Har Ulrik rett?

Så langt i år er det selt 3900 hytter, ein oppgang på 27,1 % samanlikna med same periode i fjor.

1 | PROSENT248s BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 1.200 Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 19. juni 2021. Han gir mellom anna ei oversikt over kor mange av skuledagane som var på raudt nivå i Oslo frå januar til juni i 2021. FEBRUARJANUARMARSAPRILMAIJUNI FredagMåndagSkuledagar under pandemien Raudt nivå Gult HeildigitalFerie/frinivå Enkelte påstod at nærmare 40 % av skuledagane hadde vore på raudt nivå. Undersøk om påstanden stemmer. Oppgåve 1.201 Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 19. juni 2021.

Oppgåve 1.207 Prisen på ein spade er sett ned til 210 kr. Då er den opphavlege prisen redusert med 30 %. Kva var den opphavlege prisen på spaden? Oppgåve 1.208 I ein bolle er det 15 grøne kuler, 4 gule kuler og 1 blå kule. Kor mange prosent av kulene er ikkje grøne? Oppgåve 1.209 a) Kor mange prosent av figuren er fargelagde? b) Kor mange fleire ruter må du fargeleggje for at det skal dekkje 60 % av figuren? c) Kor mange ruter er ikkje fargelagde dersom 40 % av figuren er fargelagde? Oppgåve 1.210 Forretninga «Løp og kjøp» har denne annonsen: KJØP 3 SKJORTER, og vi betaler den billigaste for deg!

https://www.melk.no/Melkekilden/Kosthold/Matsvinn/grønsaker?Hvor-mye-mat-kaster-nordmenn-hvert-aar

a) Kor mykje mat kastar norske forbrukarar kvart år? Hent opplysningar frå teksten nedanfor.

a) Thomas kjøper tre skjorter. Dei kostar 299 kr, 399 kr og 499 kr. Kor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? b) Geir kjøper fire skjorter som alle har den same prisen. Kor mange prosent avslag får Geir på skjortene?

Oppgåve 1.205

Oppgåve 1.206 Eli-Trine har spart 12 000 kr, og av desse pengane bruker ho 4000 kr til ergometersykkel og 1550 kr til klede. a) Kor mange prosent av sparepengane bruker ho? Venninna til Eli-Trine seier: «Du har jo brukt halvparten av sparepengane dine på å kjøpe sykkel og klede.»

1 | PROSENT 249 s

b) Kor mykje kastar vi til saman av bakarvarer, middagsrestar og frukt og

b) Kor mange prosent mindre måtte Eli-Trine ha spart for at denne påstanden skal stemme?

3) Fredrik sit barnevakt og får 150 kr i timelønn. Dessutan får han dekt reiseutgiftene. Lønn og antal timar er då proporsjonale storleikar.

Oppgåve 3.233 Avgjer om desse påstandane er sanne eller usanne. Grunngi svaret.

2) Ein butikk set ned prisane på ein del varer med 20 %. Den nye prisen er omvendt proporsjonal med den opphavlege prisen.

1) Ein vennegjeng leiger ei hytte. Dei deler utgiftene likt. Utgiftene per person og antal personar er proporsjonale storleikar.

3) Bensinforbruket til ein bil i liter er y 0,60x der x er talet på mil. Proporsjonalitetskonstanten 0,60 fortel då at farten er 60 km/h.

3 | VARIABLE STORLEIKAR286s Oppgåve 3.231 Ein butikk set opp prisane sine med ein fast prosent. Tabellen viser prisen x før prisstiginga og prisen y etter prisstiginga for nokre varer. Alle prisane er utan meirverdiavgift. x (kr)255075100125 y (kr)275481108135 a) Vis at y er proporsjonal med x b) Finn proporsjonalitetskonstanten. Kva gir han uttrykk for her? c) Kor mange prosent blei prisen på varene sett opp? d) Alle dei nye prisane y skal i tillegg ha 15 % Utvidmeirverdiavgift.tabellenogfinn prisane med meirverdiavgift. Rund av svara til nærmaste krone. Oppgåve 3.232 Avgjer om desse påstandane er sanne eller usanne. Grunngi svaret. 1) Prisen på 1 kg appelsin er 24 kr. Pris og vekt er då proporsjonale storleikar. 2) Frida har 200 kr i timelønn. Timelønn og antal timar er då proporsjonale storleikar.

4) I gjennomsnitt et nordmenn 6 kg frosenpizza i året. Antal nordmenn gjennomsnittsforbruketog er då proporsjonale storleikar.

5) Når y x 1 er x og y omvendt proporsjonale storleikar.

▲ 3.5

4) Når y x er x og y proporsjonale storleikar.

mest

Ta utgangspunkt i tabellen og vis kompetansen din i proporsjonalitet. Lag problemstillingar og vis utrekningar. Oppgåve 3.301

60003000200010004000500070008000Utslepp g 160010203040320048006400Strekning km

3 | VARIABLESTORLEIKAR 287 s OPNE OPPGÅVER Oppgåve 3.300 «Utsikta» og «Øya» driv hytteutleige. Tabellen viser korleis prisen for utleige blir rekna ut. «Utsikta»«Øya» Pris per døgn (kr)12001500 Vask av hytte (kr)500Gratis

Figuren viser utsleppet av karbondioksid frå ein bil som køyrer med jamn fart. Søylene viser utsleppet ved forskjellige tilbakelagde strekningar. Ta utgangspunkt i figuren og vis kompetansen din i proporsjonalitet. Lag problemstillingar og vis utrekningar. Oppgåve 3.302 Du har kjøpt eit glas med pulverkaffi. På glaset står det at 100 g pulver er nok til 50 koppar kaffi. Bruk dette til å lage oppgåver om proporsjonalitet. Lag òg løysingar til oppgåvene. Legg vekt på å vise mogleg kompetanse.

Ta utgangspunkt i diskusjonen og forklar Andrine og Anders kva vi meiner med at to storleikar er omvendt proporsjonale. Legg vekt på å vise mest mogleg kompetanse.

Anders Eg slit med å forstå kva vi meiner med omvend proporsjonalitet. Eg hugsar at læraren sa at to storleikar er omvendt proporsjonale når ein storleik blir større når ein annan blir mindre. Men eg veit ikkje om eg blei så mykje klokare av det.

3 | VARIABLESTORLEIKAR288s Oppgåve 3.303 Andrine Det gir meining. Dersom vi leiger ei hytte og betaler 2000 kr for henne, blir det 1000 kr å betale på kvar av oss.

Solveig Du treng då ikkje hugse alle! Ta til dømes formelen , der v er farten, s er tilbakelagd strekning, og t er tida vi bruker på strekninga. Du berre byter om to og to variablar innbyrdes. Preben Eg synest formelrekning er vanskeleg. Det er så mange variantar av ein og same formel. Det er umogleg for meg å hugse alle. Preben Meiner du at eg kan byte om om v og t slik at eg får ? Solveig Ja, nettopp! Preben Hm, nei, de forklaringa held vel ikkje. Då kan eg jo bytte om s og v slik at eg får , og det stemmer ikkje med formlane eg har pugga. s v t s t v v t s Ta utgangspunkt i diskusjonen og forklar korleis vi gjer om slike formlar. Vis kompetansen din i formelrekning. Lag problemstillingar og vis utrekningar.

Oppgåve 3.304

Anders Ja, eg skjønner at 1000 kr er mindre enn 200 kr. Storleiken minkar. Men her er det jo ingen storleik som aukar. Summen på 2000 kr er jo den same heile tida.

Samanhengen mellom maksimal puls M (slag/min) og alder A (år) er gitt ved formelen M 211 0,64 A Ta utgangspunkt i formelen, lag problemstillingar og vis utrekningar. Vis mest mogleg kompetanse i formelrekning.

15913 1026 3711 1284

c) Finn arealet A2 av kvadratet som er sett saman av det vesle kvadratet i midten og to omgangar med remser, dvs. kvadrat nr. 1 og remse nr. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

d) Finn arealet A3 av kvadratet på figuren som er sett saman av det vesle kvadratet i midten og tre omgangar med remser.

3 | VARIABLE STORLEIKAR 289 s

På figuren er det 12 remser, nummererte frå 2 til 13. Dei er sydd saman rundt det vesle kvadratet i midten. Når vi skal lage eit veggteppe eller eit sengeteppe, syr vi saman mange slike kvadratiske motiv. Vi reknar her med at det vesle kvadratet i midten har sider som er 1 tomme, og at alle remsene er 1 tomme breie.

Oppgåve 3.306

a) Finn arealet i kvadrattommar av remse nr. 2, 3, 4, …, 13.

b) Finn arealet A1 av kvadratet som er sett saman av det vesle kvadratet i midten og éin omgang remser, dvs. kvadrat nr. 1 og remse nr. 2, 3, 4 og 5.

Figuren viser eit tømmerkoiemotiv som er sydd i lappeteknikk. Det er ein av dei mest kjende amerikanske lappeteknikkane. Namnet kjem av at metoden minner om lafting av tømmerhytter. Kvadratet i midten er pipa på hytta, og remsene rundt skal minne om tømmerveggane.

e) Tenk deg no eit kvadratisk tømmerkoiemotiv som er sett saman av det vesle kvadratet i midten og n omgangar med remser, der n er kva for eit naturleg tal som helst. Kall arealet av dette kvadratet for An. Finn An uttrykt ved n.

Oppgåve 3.305

362 1.31 a) 15 prosentpoeng b) 15 på begge 1.32 a) 2 prosentpoeng b) 6 prosentpoeng 1.33 a) 1,67 prosentpoeng auke b) 11,1 % auke 1.40 a) 1,12 b) 1,85 c) 1,03 d) 1,015 e) 1,0075 f) 3 1.41 a) 0,88 b) 0,945 c) 0,48 d) 0,9875 e) 0,9925 f) 0,635 1.43 a) 25 % b) 12,5 % c) 2,05 % d) 0,31 % e) 57 % f) 115 % 1.44 a) 25 % b) 12 % c) 1,5 % d) 7,25 % e) 75 % f) 100 % 1.46 VekstfaktorProsentvis endring 1,07 +7 % 0,92 –8 % 0,26 –74 % 2,15 +115 % 1.50 a) Dagskort: 72 kr Vekeskort: 200 kr Månadskort: 480 kr b) Dagskort: Månadskort:Vekeskort:425504990 1.51 a) 0,763 b) 23,7 % 1.52 a) 1,40 b) 3,2 kg 1.53 a) 7600 b) 5 % c) 0,25 % nedgang 1.54 a) 47 kr b) 84 kr 1.55 a) 600 elever b) 25 elevar 1.56 a) 20 % b) 12,5 % 1.57 T-skjorter: 1800 Bukser: 900 Jakker: Genserar:360540 1.60 a) 1509 kr b) 62,3 % 1.61 a) 628 kg b) 21,5 % 1.62 a) 2,33 millionar kr b) 11,2 % 1.63 a) 19,3 timar b) 67 kg 1.64 376 083 kr 1.65 a) ca. 13 300 b) ca. 3950 c) 9 år 1.67 10 % mellom alle. 1 1.10 a) 34 % b) 15 % c) 25 % d) 40 % e) 4 % f) 12,5 % 1.11 a) 45,90 kr b) 2146,37 kr c) 4377,50 kr d) 4000 kr 1.12 a) 129,25 kr b) 3710,65 kr 1.13 a) 7 10050 50 1007 b) 3,5 1.20 a) 20 % b) 24 % 1.21 Mari: 40 % Petter: 50 % 1.22 25 % 1.23 a) 35,9 % b) 35,1 % c) 28,9 % 1.25 a) 175 kr b) 37,5 timar 1.26 a) 75 poeng b) 18 jenter 1.27 a) 125 1.30 a) 0,25 prosentpoeng b) 25 % FASIT TEORIDEL

363 REPETISJONSOPPGÅVER 1 Oppgåve 1 0,974, vekstfaktoren fortel at folketalet har minka med 2,6 %. Oppgåve 2 a) 20,40 kr b) 24,6 % Oppgåve 3 «Full tank» måtte setje ned prisen med 3,8 %. «Tom tank» måtte setje opp prisen med 4,2 %. Oppgåve 4 a) 3 prosentpoeng b) 13,0 % Oppgåve 5 Pris det første året: 420 000 kr, pris det andre året: 436 800 kr. Oppgåve 6 a) 27,4 % b) 3,7 % c) 48,1 % Oppgåve 7 Uttrykk 3 Oppgåve 8 a) 42 560,83 kr b) 31 951,83 kr Oppgåve 9 27 998 kr Oppgåve 10 a) 287 009 kr 2 2.10 a) 35 b) 210 c) 54 d) 1010 e) 108 2.11 a) 2 b) 100 c) 4 d) 9 e) 3000 2.12 a) 9 b) 9 c) 27 d) 27 e) 81 f) –81 2.13 a) 50 b) 40 c) 6 2.20 a) 1 b) 1 c) 15 d) 161 e) 1001 f) 1 g) 1 10 000 2.21 a) 3 b) 2 c) 43 d) 2 2.22 a) 21 b) 3 c) 1 d) 3 e) 1 f) a 2 2.30 a) 81 b) 278 c) 0,001 d) 1681 2.31 a) 54x 4 b) 273 x c) 26 36 2.32 a) 8 b) 20 c) x42 d) 3x 4 2.33 a) 1 000 000 b) 0,0004 c) 9 d) 1,5 2.34 a) a 8 b) x 2 c) x d) 1 x 2.40 a) 2,3 106 b) 1,8 108 c) 3,0 103 d) 7,81 105 2.41 a) 2300 b) 0,071 c) 8 440 000 d) 0,0000292 2.42 a) 1,53 10 4 b) 1,43 104 c) 9,37 108 d) 2,75 10 6 2.43 a) 2,4 102 b) 3,0 103 c) 2,3 1015 d) 2,0 10 14 2.44 a) 0,015 b) 0,1 c) 40 d) 1,5 2.45 a) 8 10 2 b) 2,4 105 c) 8,0 106 d) 5 1015 2.46 a) 3,4 102 m/s b) 3,0 108 m/s 2.47 a) 5,3 1023 m b) 2,4 1022 m 2.50 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289 2.51 a) 6 b) 8 c) 11 d) 14 e) 15 2.52 a) 154 b) 507 c) 14512 d) 20014 2.53 a) 15387, b) 50707, c) 1451204, d) 2001414, 2.54 a) 54 b) 78 c) 111 d) 73 2.56 a) 33 b) 53 c) 9 2 2.60 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

386 ASTIKKORD andel 10 andregradsfunksjon 190 ff, 223, 235 B botnpunkt 190, 235 D datamateriale 96 ff datasett definisjonsmengda96 166 diagram –digitale139101 ff –kake- 98 –kurve–linje-100100 ff –sektor- 98 ff –stolpe- 97 –søyle- 97 ff digital grafteikning 151 ff digitale diagram 101 ff E eksponent 39 eksponentialfunksjon 205 ff, 225, ekstremalpunkt–vekst–regresjon–modelleksponentiell235205209205ff 191, 235 F figurtal 75 fjerdegradsfunksjon 201 fjerdegradspolynom 197 fjerderot 54, formelrekning5768 ff, 89 frekvens frekvenstabell96 96 funksjon 166 ff, 183 –andregrads- 190 ff, 223, 235 –eksponential- 205 ff, 225, 235 –lineær 168, 183 –polynom- 216 ff, 224, 235 –potens- 216 ff, funksjonsomgrepet235 166 funksjonsnamn funksjonsverdifunksjonsuttrykk166166166 gjennomsnitt 106 ff, 139 digitalt –gruppert108materiale 134, 135 –Python 109, gjennomsnittleg113vekstfart

228 ff, graden235 til eit polynom 197 grafen til funksjon 167 grafisk avlesing 162 grafisk løysing av likningssett grunntal164 39 gruppert materiale 126 ff –gjennomsnitt 134, 135 –median 136 ff –sentralmål 134 ff H histogram 128 ff, 139 digitalt –søylehøgd128–130127 I intervall 126, 166 intervallbreidd 127 K kakediagram 98 kjenneteikn ved funksjonar 223 ff konstantledd 148, 149 koordinatar 190 kubikkrot 53, 57 kubikktal kumulativ53frekvens 114 kurvediagram 100 kvadratrot 50, 57 kvadrattal 50 L likninga til rett linje 146, 183 finne likninga 155 ff, 183 lineær funksjon 168, 183 lineær modell 178 lineær regresjon 178, 183 lineær vekst 171 ff, 183 linjediagram 100 ff –digitalt 104, 105 loddrett linje 149 M matematisk modell 178 lineær modell 178 median 110 ff, 139 –gruppert materiale 136 –i ei sortert liste 111 –i frekvenstabell 114 ff –Python 113, 115 momentan vekstfart 233, 235 N naturleg tal 41 normalfordelt 118 nullpunkt 190 O observasjon 96 observasjonsverdi 96 omvendtstorleikarproporsjonale85ff,89 P parabel 190 polynom polynomfunksjon235 197 ff, 235 polynomregresjon 200 ff potens potensfunksjon39 216 ff, 224 potensregresjon 218 proporsjonale storleikar 79 ff, 89, 171, proporsjonalitetskonstant183 79, 85, prosent898 ff, 31