Issuu

6.5 Sinussetningen I en rettvinklet trekant kan vi fi nne vinkler og sider ved hjelp av defi nisjonene av sinus og cosinus. Nå skal vi lære å fi nne vinkler og sider i en trekant som ikke er rettvinklet. Vi tegner en trekant ABC. C a b c

Vi kan bruke arealsetningen med utgangspunkt i hvert av de tre hjørnene i trekanten. Det gir tre ulike uttrykk for arealet av trekanten. Uttrykkene er 1 1 1 bc sin A, ac sin B og ab sin C . Alle de tre uttrykkene må gi det samme 2 2 2 svaret. Altså er 1 1 1 = bc sin A = ac sin B ab sin C 2 2 2 Nå multipliserer vi alle tre uttrykkene med 2. Det gir bc = sin A ac = sin B ab sin C Deretter dividerer vi alle uttrykkene med abc og forkorter: b c sin A a c sin B = = ab c ab c sin A sin B sin C = = a b c

a b sin C a bc

Vi har nå bevist sinussetningen: Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er det samme for alle vinklene i en trekant. Det omvendte forholdet må også være konstant. I trekanten ABC er

218 218

00 Sinus 1T book.indb 218

sinn A ssin B sin C = = a b c

(1)

a b c = = sinn A sin B sin C

(2)

Sinus 1T > Trigonometri

2016-06-02 09:59:39

Legg merke til at hvert forhold inneholder en vinkel og den motstående siden til vinkelen. Hvis det er vinkler vi skal fi nne ved hjelp av sinussetningen, er det best å bruke (1). Hvis vi skal bruke sinussetningen til å fi nne sider, er det best å bruke (2). Vi ser først på et eksempel der vi bruker sinussetningen til å fi nne ukjente sider.

EKSEMPEL I ABC er ∠ A = 30°, ∠ B = 50° og AC = 5. Finn lengden av de andre sidene i trekanten. C 5 30°

50°

Løsning: Først fi nner vi BC ved hjelp av sinussetningen.

BC AC = sinn A sin B BC 5 = sinn 30° sin 50° 5 BC = ⋅ sin sin 30° sin 50° BC = 3, 3 Før vi kan fi nne AB, må vi regne ut ∠C:

∠C = 180° – 30° – 50° = 100°

Sinussetningen gir AB AC = sinn C sin B AB 5 = sinn 100° sin 50° 5 AB = ⋅ sin sin 100° sin 50° AB = 6,, 4

219

00 Sinus 1T book.indb 219

2016-06-02 09:59:40

OPPGAVE 6 .50

Finn de ukjente sidene i ABC. a) ∠ A = 110°, ∠C = 40° og AB = 3 b) ∠ B = 70°, ∠C = 50° og AB = 2,3 m c) ∠ A = 43°, ∠C = 35° og AC = 8,0 m

Når vi bruker sinussetningen til å fi nne ukjente vinkler, må vi huske på at det er to vinkler mellom 0° og 180° som har samme sinusverdi. Det kan derfor være to løsninger på oppgaven vår.

EKSEMPEL I ABC er ∠ A = 30°, AB = 6 og BC = 4. Finn de ukjente vinklene og sidene i trekanten. Løsning: Først lager vi en skisse av trekanten. C

4 30°

Nå fi nner vi ∠C ved hjelp av sinussetningen: sin n C ssin A = AB BC sin n C ssin 30° = 6 4 sin 30° sin C = ⋅6 4 sin n C = 0, 75

Det er to vinkler mellom 0° og 180° som har denne sinusverdien. Vi bruker sin− 1 tasten på lommeregneren og fi nner vinkelen

220 220

00 Sinus 1T book.indb 220

∠C = 48,6°

Sinus 1T > Trigonometri

2016-06-02 09:59:40

Fra kapittel 6.4 vet vi at det er en løsning til, nemlig

∠C = 180° – 48,6° = 131,4°

∠C kan ha to ulike verdier, og det er to trekanter som passer med opplysningene i oppgaven. Vi tegner de to trekantene. I trekanten til venstre nedenfor er ∠C = 48,6°, og til høyre er ∠C = 131,4°. C 48,6° 4 30°

30°

131,4°

Vi må regne ut sidene og vinklene i begge trekantene og begynner med trekanten til venstre ovenfor.

∠C = 48,6° ∠ B = 180° − ∠ A − ∠C = 180° − 30° − 48,6° = 101,4°

Sinussetningen gir lengden av AC. AC 4 = sinn 101, 4° sin 30° 4 AC = ⋅ sin sin 101,4 , 4° sin 30° AC = 7, 8 I den største trekanten er ∠ B = 101,4°, ∠C = 48,6° og AC = 7,8. I trekanten til høyre ovenfor er

∠C = 131,4° ∠ B = 180° − ∠ A − ∠C = 180° − 30° − 131,4° = 18,6°

Sinussetningen gir lengden av AC: AC 4 = sinn 18, 6° sin 30° 4 AC = ⋅ sin sin 18,6 , 6° sin 30° AC = 2, 6 I den minste trekanten er ∠ B = 18,6°, ∠C = 131,4° og AC = 2,6. Sammenlikn dette eksempelet med eksempelet på side 65-66. Der konstruerte vi de to trekantene ved hjelp av GeoGebra.

221

00 Sinus 1T book.indb 221

2016-06-02 09:59:41

OPPGAVE 6 .51

Finn de ukjente sidene og vinklene i ABC. Undersøk spesielt hvor mange trekanter det er som passer med beskrivelsen. a) ∠ A = 105°, AB = 5 og BC = 8 b) ∠ A = 40°, AB = 5 m og BC = 4 m c) ∠ B = 65°, BC = 9 cm og AC = 8 cm OPPGAVE 6 .52

I PQR er ∠ Q = 60°, QR = 4 og PR = a. For hvilke verdier av a er det 0, 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?

6.6 Cosinussetningen I en rettvinklet trekant er hypotenusen den motstående siden til den rette vinkelen. Vi fi nner lengden a av hypotenusen ved hjelp av pytagorassetningen a2 = b2 + c2 der b og c er lengden av katetene. Nå skal vi se på en tilsvarende setning som vi kan bruke også for trekanter som ikke er rettvinklede. Vi kaller den cosinussetningen. Regelen beviser vi på slutten av dette delkapittelet. Hvis vi i en trekant kjenner lengden b og c av to sider og vinkelen v mellom de to sidene, er lengden a av den motstående siden til vinkelen v gitt ved a2 = b2 + c2 − 2bc cos v

b v

a c

Når v = 90°, er cos v = 0. Cosinussetningen gir da a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ 0 a 2 = b2 + c2 Dette er pytagorassetningen, som dermed er et spesialtilfelle av cosinussetningen. Cosinussetningen blir derfor også kalt den utvidede pytagorassetningen.

222 222

00 Sinus 1T book.indb 222

Sinus 1T > Trigonometri

2016-06-02 09:59:41

EKSEMPEL C

I ABC er ∠ A = 50°, AB = 4 og AC = 3. Finn lengden av BC.

3 50°

Løsning:

Cosinussetningen gir

BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A BC 2 = 42 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 50° BC 2 = 9,57 BC = 3,1

OPPGAVE 6.60

Finn de ukjente sidene og vinklene i ABC. a) ∠ A = 45°, AB = 6 m og AC = 5 m b) ∠ B = 120°, AB = 5,2 cm og BC = 4,8 cm

Vi kan også bruke cosinussetningen til å finne en vinkel når vi kjenner alle de tre sidene i en trekant.

EKSEMPEL I ABC er AB = 7, AC = 5 og BC = 4. Finn vinklene i trekanten. C 5

223

00 Sinus 1T book.indb 223

2016-06-02 09:59:41

Løsning: Først fi nner vi ∠ A.

BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A 42 = 72 + 52 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ cos A 16 = 49 + 25 − 70 ⋅ cos A 70 cos A = 49 + 25 − 16 70 cos A = 58 cos A =

58 70

∠ A = 34,0°

For å fi nne ∠ B kan vi bruke enten sinussetningen eller cosinussetningen. Sinussetningen kan noen ganger gi to løsninger der det bare fi ns én. Det problemet unngår vi hvis vi bruker cosinussetningen. AC 2 = AB2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos B 52 = 72 + 42 − 2 ⋅ 7 ⋅ 4 ⋅ cos B 56 cos B = 49 + 16 − 25 56 cos B = 40 cos B =

40 5 = 56 7

∠ B = 44,4°

Når vi skal fi nne ∠C, utnytter vi at vinkelsummen i en trekant er 180°. ∠C = 180° − ∠ A − ∠ B = 180° − 34,0° − 44,4° = 101,6°

OPPGAVE 6 .61

Finn vinklene i PQR. a) PQ = 4, PR = 3 og QR = 4 b) PQ = 5,2 m, PR = 3,7 m og QR = 7,5 m c) PQ = 12,1 m, PR = 7,4 m og QR = 4,4 m OPPGAVE 6 .62

I  ABCD er ∠ B = 85°, ∠ D = 120°, AB = 7 og AD = 5. Diagonalen BD har lengden 6. Finn de ukjente sidene og vinklene i  ABCD.

I kapittel 2.5 og 2.6 lærte vi å tegne og å fi nne lengder og vinkler i alle mulige trekanter ved hjelp av GeoGebra. Nå skal vi se hvordan vi kan fi nne sider og vinkler i trekanter med andre digitale hjelpemidler. Her bruker vi Sinustrekantløseren, som vi fi nner på nettsidene til Sinus. Når vi skal løse

224 224

00 Sinus 1T book.indb 224

Sinus 1T > Trigonometri

2016-06-02 09:59:42

oppgaven i eksempelet på forrige side med dette programmet, skriver vi først navnet på hjørnene og deretter lengden av sidene.

Legg merke til at det i det blå feltet står hvordan du kan regne ut vinklene. Når vi løser oppgaven i eksempelet på side 220–221, får vi dette resultatet:

OPPGAVE 6.63

Finn ukjente vinkler og sider i ABC digitalt når a) AB = 8, BC = 7 og AC = 6 b) ∠ A = 40°, AB = 6 og AC = 5 c) ∠ A = 50°, ∠ B = 56° og AB = 5,5 d) ∠ A = 30°, AC = 8 og BC = 5 e) ∠ A = 30°, AC = 8 og BC = 3

225

00 Sinus 1T book.indb 225

2016-06-02 09:59:42

BEVIS FOR COSINUSSETNINGEN

I ABC tenker vi oss at vi kjenner ∠ A og de to sidene AB og AC. Vi skal fi nne lengden av BC. Vi forutsetter her at ∠ A ≤ 90°. Vi kan gå fram på tilsvarende måte hvis ∠ A er mellom 90° og 180°. C

La D være fotpunktet for normalen fra C ned på AB. Da er DB = AB − AD BDC er rettvinklet, og vi kan bruke pytagorassetningen. BC 2 = DC 2 + DB2 = DC 2 + (AB − AD)2 Vi bruker andre kvadratsetning og får BC 2 = DC 2 + AB2 − 2 AB ⋅ AD + AD2 BC 2 = (AD2 + DC 2) + AB2 − 2 AB ⋅ AD ADC er rettvinklet. Da er AD2 + DC 2 = AC 2 Videre er AD = AC ⋅ cos A Vi setter dette inn i uttrykket ovenfor og får BC 2 = AC 2 + AB2 − 2 AB ⋅ AC ⋅ cos A Når vi nå setter BC = a, AC = b, AB = c og ∠ A = v, har vi bevist cosinussetningen.

226 226

00 Sinus 1T book.indb 226

Sinus 1T > Trigonometri

2016-06-02 09:59:42