6.5 Sinussetningen I en rettvinklet trekant kan vi fi nne vinkler og sider ved hjelp av defi nisjonene av sinus og cosinus. Nå skal vi lære å fi nne vinkler og sider i en trekant som ikke er rettvinklet. Vi tegner en trekant ABC. C a b c
A
B
Vi kan bruke arealsetningen med utgangspunkt i hvert av de tre hjørnene i trekanten. Det gir tre ulike uttrykk for arealet av trekanten. Uttrykkene er 1 1 1 bc sin A, ac sin B og ab sin C . Alle de tre uttrykkene må gi det samme 2 2 2 svaret. Altså er 1 1 1 = bc sin A = ac sin B ab sin C 2 2 2 Nå multipliserer vi alle tre uttrykkene med 2. Det gir bc = sin A ac = sin B ab sin C Deretter dividerer vi alle uttrykkene med abc og forkorter: b c sin A a c sin B = = ab c ab c sin A sin B sin C = = a b c
a b sin C a bc
Vi har nå bevist sinussetningen: Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er det samme for alle vinklene i en trekant. Det omvendte forholdet må også være konstant. I trekanten ABC er
218 218
00 Sinus 1T book.indb 218
sinn A ssin B sin C = = a b c
(1)
a b c = = sinn A sin B sin C
(2)
Sinus 1T > Trigonometri
2016-06-02 09:59:39