6.5 Sinussetninga I ein rettvinkla trekant kan vi fi nne vinklar og sider ved hjelp av defi nisjonane av sinus og cosinus. No skal vi lære å fi nne vinklar og sider i ein trekant som ikkje er rettvinkla. Vi teiknar ein trekant ABC. C a b c
A
B
Vi kan bruke arealsetninga med utgangspunkt i kvart av dei tre hjørna i trekanten. Det gir tre ulike uttrykk for arealet av trekanten. Uttrykka er 1 1 1 bc sin A, ac sin B og ab sin C . Alle dei tre uttrykka må gi det same 2 2 2 svaret. Altså er 1 1 1 = bc sin A = ac sin B ab sin C 2 2 2 No multipliserer vi alle tre uttrykka med 2. Det gir bc = sin A ac = sin B ab sin C Deretter dividerer vi alle uttrykka med abc og forkortar: b c sin A a c sin B = = ab c ab c sin A sin B sin C = = a b c
a b sin C a bc
No har vi bevist sinussetninga: Forholdet mellom sinus til ein vinkel og lengda av motståande side er det same for alle vinklane i ein trekant. Det omvende forholdet må òg vere konstant. I trekanten ABC er
218 218
sinn A ssin B sin C = = a b c
(1)
a b c = = sinn A sin B sin C
(2)
Sinus 1T > Trigonometri
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 218
2016-05-16 10:48:54
!
Legg merke til at i kvart forhold har vi ein vinkel og den motståande sida til vinkelen. Dersom det er vinklar vi skal fi nne ved hjelp av sinussetninga, er det best å bruke (1). Dersom vi skal bruke sinussetninga til å fi nne sider, er det best å bruke (2). Vi ser først på eit døme der vi bruker sinussetninga til å fi nne ukjende sider.
DØME I ABC er ∠ A = 30°, ∠ B = 50° og AC = 5. Finn lengda av dei andre sidene i trekanten. C 5 30°
A
50°
B
Løysing: Først fi nn vi BC ved hjelp av sinussetninga.
BC AC = sinn A sin B BC 5 = sinn 30° sin 50° 5 BC = ⋅ sin sin 30° sin 50° BC = 3, 3 Før vi kan fi nne AB, må vi rekne ut ∠C:
∠C = 180° – 30° – 50° = 100°
Sinussetninga gir AB AC = sinn C sin B AB 5 = sinn 100° sin 50° 5 AB = ⋅ sin sin 100° sin 50° AB = 6,, 4
219
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 219
2016-05-16 10:48:54
OPPGÅVE 6 50
?
Finn dei ukjende sidene i ABC. a) ∠ A = 110°, ∠C = 40° og AB = 3 b) ∠ B = 70°, ∠C = 50° og AB = 2,3 m c) ∠ A = 43°, ∠C = 35° og AC = 8,0 m
Når vi bruker sinussetninga til å fi nne ukjende vinklar, må vi hugse på at det er to vinklar mellom 0° og 180° som har same sinusverdien. Derfor kan det vere to løysingar på oppgåva vår.
DØME I ABC er ∠ A = 30°, AB = 6 og BC = 4. Finn dei ukjende vinklane og sidene i trekanten. Løysing: Først lagar vi ei skisse av trekanten. C
4 30°
A
6
B
No fi nn vi ∠C ved hjelp av sinussetninga: sin n C ssin A = AB BC sin n C ssin 30° = 6 4 sin 30° sin C = ⋅6 4 sin n C = 0, 75
Det er to vinklar mellom 0° og 180° som har denne sinusverdien. Vi bruker sin− 1 -tasten på lommereknaren og fi nn vinkelen
220 220
∠C = 48,6°
Sinus 1T > Trigonometri
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 220
2016-05-16 10:48:55
Frå kapittel 6.4 veit vi at det er ei løysing til, og det er
∠C = 180° – 48,6° = 131,4°
∠C kan ha to ulike verdiar, og det er to trekantar som passar med opplysningane i oppgåva. Vi teiknar dei to trekantane. I trekanten til venstre nedanfor er ∠C = 48,6°, og til høgre er ∠C = 131,4°. C 48,6° 4 30°
A
6
B
C
A
30°
131,4°
4
6
B
Vi må rekne ut sidene og vinklane i begge trekantane, og vi tek først trekanten til venstre ovanfor.
∠C = 48,6° ∠ B = 180° − ∠ A − ∠C = 180° − 30° − 48,6° = 101,4°
Sinussetninga gir lengda av AC. AC 4 = sinn 101, 4° sin 30° 4 AC = ⋅ sin sin 101,4 , 4° sin 30° AC = 7, 8 I den største trekanten er ∠ B = 101,4°, ∠C = 48,6° og AC = 7,8. I trekanten til høgre ovanfor er
∠C = 131,4° ∠ B = 180° − ∠ A − ∠C = 180° − 30° − 131,4° = 18,6°
Sinussetninga gir lengda av AC: AC 4 = sinn 18, 6° sin 30° 4 AC = ⋅ sin sin 18,6 , 6° sin 30° AC = 2, 6 I den minste trekanten er ∠ B = 18,6°, ∠C = 131,4° og AC = 2,6. Samanlikn dette dømet med dømet på side 65–66. Der konstruerte vi dei to trekantane ved hjelp av GeoGebra.
221
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 221
2016-05-16 10:48:55
OPPGÅVE 6 51
?
Finn dei ukjende sidene og vinklane i ABC. Sjå spesielt etter kor mange trekantar det er som svarar til omtalen. a) ∠ A = 105°, AB = 5 og BC = 8 b) ∠ A = 40°, AB = 5 m og BC = 4 m c) ∠ B = 65°, BC = 9 cm og AC = 8 cm OPPGÅVE 6 52
I PQR er ∠ Q = 60°, QR = 4 og PR = a. For kva verdiar av a er det 0, 1 og 2 trekantar som svarar til omtalen?
6.6 Cosinussetninga I ein rettvinkla trekant er hypotenusen den motståande sida til den rette vinkelen. Vi fi nn lengda a av hypotenusen ved hjelp av pytagorassetninga a2 = b2 + c2 der b og c er lengda av katetane. No skal vi sjå på ei tilsvarande setning som vi kan bruke også for trekantar som ikkje er rettvinkla. Denne setninga kallar vi cosinussetninga. Regelen beviser vi på slutten av dette delkapittelet. Dersom vi i ein trekant kjenner lengda b og c av to sider og vinkelen v mellom dei to sidene, er lengda a av den motståande sida til vinkelen v gitt ved a2 = b2 + c2 − 2bc cos v
b v
a c
Når v = 90°, er cos v = 0. Cosinussetninga gir då a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ 0 a 2 = b2 + c2 Dette er pytagorassetninga, som dermed er eit spesialtilfelle av cosinussetninga. Cosinussetninga blir derfor òg kalla den utvida pytagorassetninga.
222 222
Sinus 1T > Trigonometri
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 222
2016-05-16 10:48:56
DØME C
I ABC er ∠ A = 50°, AB = 4 og AC = 3. Finn lengda av BC.
3 50°
Løysing:
A
Cosinussetninga gir
4
B
BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A BC 2 = 42 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 50° BC 2 = 9,57 BC = 3,1
?
OPPGÅVE 6.60
Finn dei ukjende sidene og vinklane i ABC. a) ∠ A = 45°, AB = 6 m og AC = 5 m b) ∠ B = 120°, AB = 5,2 cm og BC = 4,8 cm
Vi kan òg bruke cosinussetninga til å finne ein vinkel når vi kjenner alle dei tre sidene i ein trekant.
DØME I ABC er AB = 7, AC = 5 og BC = 4. Finn vinklane i trekanten. C 5
A
4
7
B
223
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 223
2016-05-16 10:48:56
Løysing: Først fi nn vi ∠ A.
BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A 42 = 72 + 52 − 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ cos A 16 = 49 + 25 − 70 ⋅ cos A 70 cos A = 49 + 25 − 16 70 cos A = 58 cos A =
58 70
∠ A = 34,0°
For å fi nne ∠ B kan vi bruke anten sinussetninga eller cosinussetninga. Sinussetninga kan nokre gonger gi to løysingar der det berre fi nst éi. Det problemet unngår vi dersom vi bruker cosinussetninga. AC 2 = AB2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos B 52 = 72 + 42 − 2 ⋅ 7 ⋅ 4 ⋅ cos B 56 cos B = 49 + 16 − 25 56 cos B = 40 cos B =
40 5 = 56 7
∠ B = 44,4°
Når vi skal fi nne ∠C, utnyttar vi at vinkelsummen i ein trekant er 180°. ∠C = 180° − ∠ A − ∠ B = 180° − 34,0° − 44,4° = 101,6°
OPPGÅVE 6 61
?
Finn vinklane i PQR. a) PQ = 4, PR = 3 og QR = 4 b) PQ = 5,2 m, PR = 3,7 m og QR = 7,5 m c) PQ = 12,1 m, PR = 7,4 m og QR = 4,4 m OPPGÅVE 6 62
I ABCD er ∠ B = 85°, ∠ D = 120°, AB = 7 og AD = 5. Diagonalen BD har lengda 6. Finn dei ukjende sidene og vinklane i ABCD.
I kapittel 2.5 og 2.6 lærde vi å teikne og å fi nne lengder og vinklar i alle moglege trekantar ved hjelp av GeoGebra. No skal vi sjå korleis vi kan fi nne sider og vinklar i trekantar med andre digitale hjelpemiddel. Her bruker vi Sinustrekantløysaren, som ligg på nettsidene til Sinus. Når vi skal løyse
224 224
Sinus 1T > Trigonometri
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 224
2016-05-16 10:48:56
oppgåva i dømet på førre sida med dette programmet, skriv vi først namnet på hjørna og deretter lengda av sidene.
Legg merke til at i det blå feltet står det korleis du kan rekne ut vinklane. Når vi løyser oppgåva i dømet på side 220–221, får vi dette resultatet:
?
OPPGÅVE 6.63
Finn ukjende vinklar og sider i ABC digitalt når a) AB = 8, BC = 7 og AC = 6 b) ∠ A = 40°, AB = 6 og AC = 5 c) ∠ A = 50°, ∠ B = 56° og AB = 5,5 d) ∠ A = 30°, AC = 8 og BC = 5 e) ∠ A = 30°, AC = 8 og BC = 3
225
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 225
2016-05-16 10:48:57
BEVIS FOR COSINUSSETNINGA
I ABC tenkjer vi oss at vi kjenner ∠ A og dei to sidene AB og AC. Vi skal fi nne lengda av BC. Vi går her ut frå at ∠ A ≤ 90°. Vi kan gå fram på tilsvarande måte dersom ∠ A er mellom 90° og 180°. C
A
D
B
La D vere fotpunktet for normalen frå C ned på AB. Då er DB = AB − AD BDC er rettvinkla, og vi kan bruke pytagorassetninga. BC 2 = DC 2 + DB2 = DC 2 + (AB − AD)2 Vi bruker andre kvadratsetning og får BC 2 = DC 2 + AB2 − 2 AB ⋅ AD + AD2 BC 2 = (AD2 + DC 2) + AB2 − 2 AB ⋅ AD ADC er rettvinkla. Då er AD2 + DC 2 = AC 2 Vidare er AD = AC ⋅ cos A Vi set dette inn i uttrykket ovanfor og får BC 2 = AC 2 + AB2 − 2 AB ⋅ AC ⋅ cos A Når vi no set BC = a, AC = b, AB = c og ∠ A = v, har vi bevist cosinussetninga.
226 226
Sinus 1T > Trigonometri
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 226
2016-05-16 10:48:57