6.5 Sinussetninga I ein rettvinkla trekant kan vi fi nne vinklar og sider ved hjelp av defi nisjonane av sinus og cosinus. No skal vi lære å fi nne vinklar og sider i ein trekant som ikkje er rettvinkla. Vi teiknar ein trekant ABC. C a b c
A
B
Vi kan bruke arealsetninga med utgangspunkt i kvart av dei tre hjørna i trekanten. Det gir tre ulike uttrykk for arealet av trekanten. Uttrykka er 1 1 1 bc sin A, ac sin B og ab sin C . Alle dei tre uttrykka må gi det same 2 2 2 svaret. Altså er 1 1 1 = bc sin A = ac sin B ab sin C 2 2 2 No multipliserer vi alle tre uttrykka med 2. Det gir bc = sin A ac = sin B ab sin C Deretter dividerer vi alle uttrykka med abc og forkortar: b c sin A a c sin B = = ab c ab c sin A sin B sin C = = a b c
a b sin C a bc
No har vi bevist sinussetninga: Forholdet mellom sinus til ein vinkel og lengda av motståande side er det same for alle vinklane i ein trekant. Det omvende forholdet må òg vere konstant. I trekanten ABC er
218 218
sinn A ssin B sin C = = a b c
(1)
a b c = = sinn A sin B sin C
(2)
Sinus 1T > Trigonometri
BOOK JS Sinus 1T Nynorsk.indb 218
2016-05-16 10:48:54