Sinus 1T (2024) Utdrag

Sinus T MATEMATIKK

STUDIEFORBEREDENDE VG1

BOKMÅL

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Foto og grafikk:

Bildene er fargemanipulert.

Omslagsfoto: Andreafidone / Getty Images

Kapittel 1: adaask / Getty Images

Kapittel 2: BlueBackIMAGES / Shutterstock

Kapittel 3: helloabc / Getty Images

Kapittel 4: Jia Na / Getty Images

Kapittel 5: mf-guddyx / Getty Images

Kapittel 6: nuchao / Getty Images

Kapittel 7: nuchao / Getty Images

Oppgavedel: araho / Adobe Stock

Side 52: Cappelen Damm, side 353: Farbai / iStock

© Cappelen Damm AS, Oslo 2024

Sinus1T følger læreplan (LK20) i teoretisk matematikk fellesfag 1T fra 2020, for vg1 studieforberedende utdanningsprogram.

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne.

Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel.

Kilde for alle eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Disse oppgavene er merket og er gjengitt med tillatelse.

Grafisk formgiver: BØK og Cappelen Damm

Omslagsdesign: Cappelen Damm

Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby

Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops / Cappelen Damm

Redaktør: Bjørn-Terje Smestad

Sats: Have a Book, Polen 2024

Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2024

Utgave nr. 5

Opplag nr. 1

ISBN 978-82-02-82583-6

www.cdu.no

sinus.cdu.no

Forord

Sinus er et matematikkverk utviklet etter læreplanene fra 2024. Boka Sinus1T er skrevet for faget 1T i den videregående skolen. Boka legger vekt på tradisjonell matematikk og legger opp til grundig forståelse av faget, blant annet ved at eleven ser på matematiske problemer fra flere synsvinkler. I teoridelen har hvert kapittel, hvert delkapittel og hver oppgavesekvens økende vanskegrad. Et sammendrag av regler og metoder samt en kapitteltest står bakerst i hvert kapittel.

Læreplanene fra 2020 inneholder krav om at elevene skal kunne kommunisere ideer og drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger med andre. Boka inneholder derfor mange diskusjonsoppgaver der elevene skal øve på dette.

Utforskende matematikk er sentralt i læreplanen. Flere steder i boka er det utforskende opplegg der elevene skal oppdage egenskaper og regler. Disse oppleggene er plassert før temaet blir behandlet i teoridelen. Boka er skrevet slik at det også er mulig å lese teoridelen uten å gjøre utforskingsoppleggene. De er best egnet som gruppearbeid, men kan også gjøres individuelt.

Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. Der finner de også en større prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet i kapittelet innenfor andre fagfelt. I andre oppgaver får elevene lære ny og spennende matematikk. Hvert kapittel blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av stoffet.

Boka inneholder grundige forklaringer på bruk av GeoGebra som grafisk verktøy og som CAS-verktøy. I tillegg lærer elevene å bruke programmeringsspråket Python. Til verket hører også et eget nettsted: sinus.cdu.no. Her finner vi tilleggsstoff, blant annet løsninger av oppgavene i teoridelen.

Oppgavedelen i boka er delt i tre deler: «Øv mer», «Blandede oppgaver» og «Åpne oppgaver». «Øv mer» er repetisjonsoppgaver ordnet etter delkapitlene i teoridelen. «Blandede oppgaver» inneholder både eksamensoppgaver og varierte oppgaver med passende utfordringer for alle elever. Oppgavene er merket, slik at læreren vet hvilke oppgaver elevene kan løse når de er ferdig med et delkapittel. «Åpne oppgaver» inneholder morsomme og utfordrende oppgaver som ikke har noe fast løsningsmønster. Her får elevene brukt kreativiteten sin.

Helt til slutt i boka finner vi fasit og stikkordregister.

I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av boka. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forbedringer.

ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen

TALL OG VARIABLER

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

•formulere og løse problemer ved hjelp av algoritmisk tenkning, ulike problemløsingsstrategier, digitale verktøy og programmering

•identifisere variable størrelser i ulike situasjoner, sette opp formler og utforske disse ved hjelp av digitale verktøy

•utforske strategier for å løse likninger, likningssystemer og ulikheter og argumentere for tenkemåtene sine

•forklare forskjellen på en identitet, en likning, et algebraisk uttrykk og en funksjon

•lese, hente ut og vurdere matematikk i relevante tekster om ulike tema og presentere relevante beregninger og analyser av resultatene

EKSEMPEL

LØSNING

1.1 Regnerekkefølge

DISKUSJON

Her har vi regnet noen oppgaver på to måter. Forklar hva vi har gjort. Hvilken utregning tror dere er riktig?

a) 44202214 325 4312

b) 2 214 3318 4312 246

c) 12210 236 3330 12126

d) 44 2 3317 532 4520

e) 2 35 39 25 2211 22 2

f) 2 36 39 36 2218 22 2

g) 422 24 44 4 1 22 2 : ::

h) 55 25 25 2 2

Lag regler som gjelder for slike uttrykk.

Når vi skal regne ut et uttrykk, gjør vi det i denne rekkefølgen:

1 Regn først ut parentesene.

2 Regn deretter ut potensene.

3 Utfør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4 Utfør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram.

Regn ut 231624423 : . 23162442 248442 248448 8232 2 3 3 : : : 22

Regn ut parentesene først.

Regn deretter ut potensene.

Utfør så ganging og deling. Trekk sammen leddene.

Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ∙ 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 ∙ 23, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at 424832 3

Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive

428512 3 3

Når vi skriver 32, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er

32 9

Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive 3 2 .

39 2

Uttrykket i eksempelet kan vi regne ut digitalt.

Kalkulator

På gode kalkulatorer kan vi regne ut uttrykket uten å dele det opp. Vi taster inn hele uttrykket på én gang.

M Prøv å få til det på din kalkulator.

Python

Med Python bruker vi «/» som delingstegn. For potensen 23 skriver vi 2**3.

Programmet kan da se slik ut:

print(-2*(3+1) - (6+2)/4 + 4*2**3) 1 2

Det gir denne utskriften:

22.0

CAS Vi åpner GeoGebra, klikker på øverst i høyre hjørne og velger Vis . Der merker vi av for CAS. Der skriver vi uttrykket slik det står. Som delingstegn bruker vi tegnet «/» på tastaturet. Vi bruker tegnet «*» som multiplikasjonstegn. For å få fram eksponenten 3 i 23 taster vi Alt+3. Vi kan også taste tegnet «^» etterfulgt av 3. Svaret kommer fram når vi trykker på

Legg merke til at GeoGebra ikke skiller mellom delingstegn og brøkstrek.

?

OPPGAVE 1.10

Regn ut uten og med digitale hjelpemidler.

a) 422 b) 42 2

c) 532 d) 53 2

e) 2322 22 f) 232 22 2

g) 3536 2 h) 3452 3 3

OPPGAVE 1.11

Regn ut uten og med digitale hjelpemidler. a) 2 752 b) 3412232

c) 843 2 d) 231733425 4222

OPPGAVE 1.12

Regn ut uten digitale hjelpemidler.

a) 2 222 2 b) 22 6 6

c) 432323 33 d) 423323 2 5 32 5

UTFORSK PARENTESREGLER

Her skal dere ikke bruke kjente regneregler for parenteser. Dere skal prøve å forstå reglene.

STEG 1

Her har vi regnet ut noen uttrykk på flere måter. Forklar hva vi har gjort i hvert tilfelle. En av utregningene er riktig ut fra det vi lærte i kapittel 1.1. Hvilken er det? Bruk denne til å finne ut hvilke utregninger som må være feil, og hvilke som kan være riktige.

a) 753729

75 37531239

b) 753781

75 3753235

753753231

c) 753725

75 3753231

75 3753235

Hvilke regneregler kan være riktige ut fra dette?

OPPGAVE 1.66

Vil du bruke innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden for å løse likningssettene? Begrunn valget ditt før du løser dem.

a) xy xy 35 532 b) 430 1 xy xy

c) 2 2 1032 xy xy

1.7 Formler

d) 3 42 562 xy xy

En formel gir oss verdien av en variabel ved hjelp av verdien av en eller flere andre variabler. Volumet V av ei kule er gitt ved

Vr 4 3 3

I denne formelen finner vi verdien for V når vi kjenner verdien av variabelen r, som er radien. Variabelen r kaller vi den uavhengigevariabelen, og V kaller vi den avhengigevariabelen. Vi velger verdier for den uavhengige variabelen og regner ut verdien for den avhengige variabelen. Formelen ovenfor inneholder også konstanten 314 , .

Noen ganger trenger vi verdier for to variabler for å regne ut den tredje. Volumet V av en sylinder er gitt ved

Vrh 2

Her må vi kjenne både radien r og høyden h for å kunne finne volumet V. I dette tilfellet har vi to uavhengige variabler og én avhengig. h

Elfrid har nettopp ladet opp elsparkesykkelen sin. Strømmengden på sykkelen er da 600 Wh (wattimer). Når hun har kjørt x kilometer, er strømmengden i wattimer gitt ved

y 600 – 12x

a) Hvor mye strøm er det på batteriet når hun har kjørt 15 km?

b) Hvor langt har hun kjørt når det er 300 Wh igjen på batteriet?

c) Hvor langt kan hun kjøre før batteriet er tomt?

a) Når hun har kjørt 15 kilometer, er x 15. Strømmengden er da y 6001215600180420

Det er 420 Wh igjen på batteriet.

b) Når det er 300 Wh igjen på batteriet, er y 300. Det gir denne likningen:

Elfrid har kjørt 25 km.

c) Batteriet er tomt når strømmengden er 0 Wh. Det gir denne likningen:

Hun kan kjøre 50 km.

1.9 Figurtall

Et figurtall er en følge av tall som vi kan få fram ved hjelp av geometriske figurer eller mønstre. Her ser vi de fire minste trekanttallene:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

Vi ser at for eksempel det tredje trekanttallet, T3, består av 3 kuler i bredden og 3 i høyden. Hvis vi summerer radvis fra toppen, ser vi at

T T T 2 3 4 123 1236 123410

Når vi skal finne T5, kan vi legge en ny rad med 5 kuler under figuren med T4. Da blir

T T 5 1234515 4

Tallene 1, 2, 3, 4, … kaller vi de naturligetallene. Vi bruker symbolet om mengden av dem. Trekanttall nr. n blir summen av de naturlige tallene opp til og med n.

Tn n 1234...

Vi lager nå et pythonprogram som skriver ut de 10 minste trekanttallene.

sum = 0

print("Ferdig") 1 2 3 4 5 6 7 8

for n in range(1, 11):

sum += n

print(f"Trekanttall nr. {n} er {sum}.")

Her har vi ei for-løkke. I linje 3 blir n alle hele tall som er større enn eller lik 1 og mindre enn 11. Den største verdien til n blir dermed 10. Programmet går så gjennom de to linjene med innrykk med n-verdier fra og med 1 til og med 10. I linje 4 legger programmet n til variabelen sum. I linje 5 skriver vi ut nummeret og trekanttallet. Linje 7 blir først utført etter at programmet har gått gjennom linje 3 til 5 ti ganger.

Programmet gir denne utskriften:

Trekanttall nr. 1 er 1.

Trekanttall nr. 2 er 3.

Trekanttall nr. 3 er 6.

Trekanttall nr. 4 er 10.

Trekanttall nr. 5 er 15.

Trekanttall nr. 6 er 21.

Trekanttall nr. 7 er 28.

Trekanttall nr. 8 er 36.

Trekanttall nr. 9 er 45.

Trekanttall nr. 10 er 55.

Ferdig

Vi kan også lage et program som skriver ut alle trekanttallene som er mindre enn 100.

n = 1

sum = 1

while sum < 100:

print(f"Trekanttall nr. {n} er {sum}.")

n += 1

sum += n

print(f"Ferdig, for neste trekanttall er {sum}.") 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Her har vi ei while-løkke. Her blir linjene med innrykk som kommer etter linja med while, utført så lenge variabelen sum er mindre enn 100. I linje 6 øker n med 1. I linje 7 øker sum med n.

Her er siste delen av utskriften:

Trekanttall nr. 11 er 66.

Trekanttall nr. 12 er 78.

Trekanttall nr. 13 er 91.

Ferdig, for neste trekanttall er 105.

DISKUSJON

Endre tallet 100 til 104 i linje 4 i koden over og kjør programmet. Endre så til 105, og til 106.

Forklar hva som skjer.

SAMMENDRAG

Regnerekkefølge

1.Regn ut parentesene.

2. Regn ut potensene.

3.Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4.Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Regneregler ved brøkregning

Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.

Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.

Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er.

Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er.

Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren.

Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken.

Kvadratrot

Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x.

xaaxa dersom 2 0 og

Tredjerot

Tredjerota av x er det tallet som opphøyd i tredje potens er lik x.

xaax 3 3 dersom

Å løse opp parenteser

Når vi løser opp en parentes med minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn.

En parentes med plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noen fortegn inne i parentesen.

Multiplikasjon med parentes

Når vi skal multiplisere et tall med et uttrykk i en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd i parentesen.

Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

Identitet

I en identitet har venstre og høyre side av likhetstegnet samme verdi for alle verdier av variabelen.

Likning

Når vi løser en likning, finner vi den eller de verdiene for variabelen som gjør at uttrykkene på venstre og høyre side av likhetstegnet blir like.

Regneregler for likninger

Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet.

Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null.

Vi kan skifte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.

Regneregler for ulikheter

Vi kan legge til og trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet.

Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet.

Vi kan multiplisere og dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

Innsettingsmetoden

Når vi skal løse to likninger med to ukjente x og y med innsettingsmetoden, finner vi et uttrykk for x eller y fra en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent, som vi da løser.

Addisjonsmetoden

Når vi skal løse to likninger med to ukjente x og y med addisjonsmetoden, multipliserer vi om nødvendig likningene med hvert sitt tall slik at en av variablene forsvinner når vi legger sammen likningene.

Figurtall

Et figurtall er en følge av tall som vi kan få fram ved hjelp av geometriske figurer eller mønstre.

MATEMATIKK VED

VALG

I Norge har vi valg hvert andre år. I 2025, 2029, … er det stortingsvalg, og i 2027, 2031, … er det kommunestyre- og fylkestingsvalg. Landet blir delt opp i valgkretser der hver valgkrets har et bestemt antall mandater. Et mandat er for eksempel en plass på Stortinget. Når alle stemmene er talt opp, blir mandatene fordelt etter stemmetallene til partiene i valgkretsen. Mange land bruker Sainte-Laguës metode til å bestemme fordelingen av mandater.

Sainte-Laguës metode

For å fordele mandater med Sainte-Laguës metode lager vi en tabell. I tabellen har hvert parti en kolonne med navnet på partiet og stemmetallet øverst. Nedover i kolonnen deler vi stemmetallet med 1, 3, 5 og så videre. Vi deler altså med oddetallene. Deretter finner vi de største tallene i tabellen.

Vi ser på et valg der vi skal fordele 5 mandater blant de tre partiene A, B og C. Parti A fikk 60 000 stemmer, B fikk 26 000 stemmer, og C fikk 14 000 stemmer. Tabellen blir slik:

Deletall 60 00026 00014 000 1160 00026 00014 000 2 3

Mandatfordeling i Norge

I Norge bruker vi Sainte-Laguës metode med en liten endring. Det første deletallet er 1,4 i stedet for 1.

Ved kommunevalg kan velgerne også gi personstemmer. Dette påvirker vanligvis bare hvilke personer som skal representere et parti, og ikke hvor mange mandater et parti får.

Ved stortingsvalg har vi utjevningsmandater i tillegg til de vanlige mandatene. Utjevningsmandatene fordeles slik at det blir større samsvar mellom antall stemmer og antall mandater et parti får i landet sett under ett. Et parti kan bare få utjevningsmandater hvis det kommer over en sperregrense. Ved stortingsvalget i 2021 var sperregrensa 4 %, som betyr at et parti må ha minst 4 % av stemmene i landet for å få utjevningsmandater.

6115 4552 36 4 1 273 7134 6152 0001 077

I kolonnen til A står stemmetallet 60 000 i rosa. Den oransje delen i kolonnen starter med 60 000, 20 000 og 12 000. Tallene får vi ved å dele stemmetallet 60 000 med henholdsvis 1, 3 og 5.

Nå ser vi på den oransje delen av tabellen for alle partiene. Det største tallet er 60 000. Det står i kolonnen til A. Da får A det første mandatet. Det andre mandatet går til B fordi 26 000 er det nest største tallet. De siste tre mandatene går til A (20 000), C (14 000) og A (12 000).

Totalt ender altså A med 3 mandater. B og C får 1 mandat hver.

Sainte-Laguës metode har navn etter den franske matematikeren André Sainte-Lagüe (1882–1950).

PROSJEKTOPPGAVE 1

Se på eksempelet i teksten. Se bort fra personstemmer og utjevningsmandater.

a) Hvilke partier hadde fått det 6. og 7. mandatet hvis det var 7 mandater i valgkretsen?

b) Hvor mange mandater måtte det vært totalt for at C skulle fått minst to mandater?

c) Hvordan ser tabellen ut hvis vi bruker den norske varianten av Sainte-Laguës metode? Får vi en annen fordeling av mandatene i valgkretsen da?

PROSJEKTOPPGAVE 2

Lag et regneark eller et program dere kan bruke for å regne ut mandatfordeling i en valgkrets ved kommunevalg i Norge. Dere kan for eksempel starte et regneark slik:

Bruk regnearket eller programmet på en valgkrets ved det forrige valget i Norge.

PROSJEKTOPPGAVE 3

I et valg skal 7 mandater fordeles. Parti A får over halvparten av stemmene med 52 %, parti B får 25 %, og parti C får 23 %.

Bruk regnearket eller programmet til å regne ut fordelingen av mandater i dette valget. Hvorfor tror dere parti A vil mene at denne fordelingen ikke er rettferdig?

PROSJEKTOPPGAVE 4

I Norge bruker vi varianten av Sainte-Laguës metode der det første deletallet er 1,4 i stedet for 1.

Er dette en fordel for små partier eller for store partier?

PROSJEKTOPPGAVE 5

Mandater kan også fordeles proporsjonalt med stemmetallene: Et parti som får 30 % av stemmene, får også 30 % av mandatene. Hvordan ville mandatfordelingen blitt i eksempelet i teksten da? Ser dere noen ulemper med denne metoden?

PROSJEKTOPPGAVE 6

I noen land bruker man D’Hondts metode for å bestemme fordelingen av mandater. Metoden er som Sainte-Laguës metode, men med deletallene 1, 2, 3 og så videre. Sammenlikn D’Hondts metode med de to variantene av Sainte-Laguës metode.

PROSJEKTOPPGAVE 7

Ordningen med utjevningsmandater ved stortingsvalg bygger også på matematiske beregninger med stemmetallene. Finn ut mer om ordningen og lag en presentasjon der dere forklarer hovedtrekkene.

REPETISJONSOPPGAVER

OPPGAVE 1

Løs likningene ved regning.

a) 42533 xxx

b) 3 2 1 1 2 12 xx c) 1 2 2 1 3 1 1 3 1 2 4 xxx

OPPGAVE 2

En elev har løst en likning på denne måten:

OPPGAVE 5

Når Sander skal besøke Sandra, tar han buss halve strekningen. Det er 1 km å gå hjemmefra og til bussholdeplassen. Etter at han går av bussen, gjenstår 1 6 av avstanden mellom dem.

Hvor langt unna bor Sandra?

OPPGAVE 6

Bestem a slik at likningen blir en identitet. 21365 2 xxaxxa

OPPGAVE 7

Løs likningssettet ved å bruke både innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. 3222 431 xy xy

3x - 12 - 2x + 2 = 4x - 1 + 1x 3x - 2x - 4x - 1x = 12 - 2 - 1 -4x = 9 = - x

Finn feil i løsningen. Løs likningen riktig.

OPPGAVE 3

Lise og Henrik er foreldrene til Grete. Til sammen er familien 108 år. Lise er fire år yngre enn Henrik, og Henrik er akkurat tre ganger så gammel som Grete. Hvor gamle er de enkelte familiemedlemmene?

OPPGAVE 4 Løs ulikheten ved regning.

OPPGAVE 8

Finn a uttrykt ved de andre størrelsene i formelen. A abh 2

OPPGAVE 9

a) Løs likningssettet ved regning og i CAS.

b) Ved en videregående skole opplyste 1 3 av jentene og 1 4 av guttene at de hadde snust, mens 373 av elevene svarte at de aldri hadde snust. På skolen var det 24 flere jenter enn gutter. Vis at likningssettet i oppgave a kan brukes til å finne hvor mange gutter og jenter det er på skolen.

OPPGAVE 10

a) Lag et program i Python som regner ut lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant når lengdene av katetene er gitt.

b) Lag et program i Python som regner ut lengden av en katet når både lengden av hypotenusen og lengden av den andre kateten er gitt.

OPPGAVE 11

Regn ut uten bruk av hjelpemidler.

OPPGAVE 12

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig uten bruk av hjelpemidler.

OPPGAVE 13

En elev løste ulikheten

på denne måten:

+4x-3x

Vurder besvarelsen og løs ulikheten riktig.

OPPGAVE 14

Tenk på et tall. Legg til 5.

Gang svaret med 2. Trekk fra 4.

Del på 2. Trekk fra tallet du tenkte på.

a) Hvilket tall får du?

b) Begynn med et negativt tall.

Hvilket svar får du nå?

c) Begynn med en brøk.

Hvilket svar får du nå?

d) Kall det tallet du tenker på, for x, og bevis at du alltid vil få det samme svaret til slutt.

OPPGAVE 15

Oscar bruker grønne brikker for å lage figurer etter et bestemt mønster. Nedenfor ser du figur nr. 2, nr. 3 og nr. 4.

Figur 2Figur 3Figur 4

a) Hvor mange brikker vil det være i figur nr. 5, figur nr. 6 og figur nr. 7? Forklar.

b) Sett opp en formel som forteller hvor mange brikker det er i figur nr. n.

c) Lag et program i Python som skriver ut hvor mange brikker det er i hver av de ti første figurene.

d) Gjør endringer i programmet slik at du kan regne ut hvor mange brikker det er til sammen i de ti første figurene.

e) Hvor mange figurer kan Oskar lage til sammen hvis han har 3000 brikker? Hvor mange brikker har han da til overs?

RETTE LINJER OG FAKTORISERING

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

•formulere og løse problemer ved hjelp av ulike problemløsningsstrategier og digitale verktøy

•identifisere variable størrelser i ulike situasjoner, sette opp formler og utforske disse ved hjelp av digitale verktøy

•utforske strategier for å løse likninger, likningssystemer og ulikheter og argumentere for egne tenkemåter

•forklare forskjellen på en identitet, en likning, et algebraisk uttrykk og en funksjon

•lese, hente ut og vurdere matematikk i relevante tekster knyttet til tverrfaglige tema og presentere relevante beregninger og analyser av resultatene

UTFORSK RETTE LINJER

STEG 1

Nedenfor har vi tegnet ei linje med likningen yx 2

a) Bruk grafen til å finne ut om punktet 24 , ligger på linja.

Undersøk deretter om koordinatene x 2 og y 4 passer i likningen yx 2.

b) Undersøk ved tegning om punktet 12 , ligger på linja.

Undersøk deretter om koordinatene x 1 og y 2 passer i likningen.

c) Undersøk ved tegning om punktene ligger på linja, og ved regning om koordinatene passer i likningen.

1) 12 , 2) 35 , 3) 31 ,

d) Undersøk ved regning om punktet 69 , og punktet 1922 , ligger på linja.

e) Hva må y være for at 6, y skal ligge på linja?

f) Hva må x være for at x ,10 skal ligge på linja?

STEG 2

Ei linje har likningen yx 2 5.

Undersøk om punktene 21 , , 30 , , 55 , og 28 , ligger på linja, uten å tegne linja.

STEG 3

a) Ei linje har likningen yax 4.

Bestem tallet a når vi vet at punktet 22 , ligger på linja.

b) Ei linje har likningen yxb 3 .

Bestem tallet b når du får vite at punktet 25 , ligger på linja.

c) Ei linje har likningen yxb 2 .

Bestem tallet b når du får vite at punktet 15 , ligger på linja.

STEG 4

Ei linje har likningen yaxb .

a) Bestem tallene a og b når vi vet at 11 , og 35 , ligger på linja.

b) Bestem tallene a og b når vi vet at 17 , og 21 , ligger på linja.

DISKUSJON

I flytskjemaet bruker vi fire ulike geometriske figurer. Hva tror dere at de ulike figurtypene skal inneholde?

Her er et program som er lagd med utgangspunkt i flytskjemaet.

from math import sqrt

# Dette programmet løser andregradslikningen ax^2 + bx + c = 0

# Skriv verdier for a, b og c

a = 1

b = -4

c = 3

if a == 0:

print("Med a = 0 blir det ikke en andregradslikning.")

else:

d = b**2 - 4*a*c

if d < 0:

print("Ingen løsning")

elif d == 0:

x1 =-b/(2*a)

print("En løsning x =", round(x1,2))

else:

x1 = (-b + sqrt(d))/(2*a)

x2 = (-b - sqrt(d))/(2*a)

print("To løsninger x =", round(x1,2), "og x =", round(x2,2))

OPPGAVE 3.54

Løs likningene i Python.

a) xx 2 430

b) 2 10100 2 xx

c) 3630 2 xx

d) xx 2 450

OPPGAVE 3.55

Programmet på forrige side skriver ut løsningene som desimaltall selv om løsningene er heltall. Gjør endringer i programmet slik at det skriver ut løsninger som heltall når løsningen er et helt tall. (Hint: Funksjonen int(x) runder av desimaltallet x nedover til et heltall. Hvis x er et heltall, er int(x) x.)

OPPGAVE 3.56

I en butikk får vi 10 % rabatt hvis vi handler for over 1000 kr. Rabatten øker til 15 % hvis vi handler for over 1500 kr. Vi skal lage et program som skriver ut hva vi skal betale når vi kjenner beløpet vi handler for.

a) Lag et flytskjema.

b) Lag programmet i Python.

DISKUSJON

a) Hvilke strategier for å løse andregradslikninger uten hjelpemidler kjenner dere til?

b) Hvordan ville dere løst disse andregradslikningene uten å bruke hjelpemidler?

1) xx 2 40

2) 1 2 20 2 xx

3) xx 2 680

4) xx 2 690

5) xx 2 6100

6) xx 2 46

c) Hvilke strategier for å løse andregradslikninger med hjelpemidler kjenner du til?

d) Hvilke av likningene i oppgave b ville du brukt hjelpemidler for å løse?

BEVIS

Bevis for andregradsformelen.

Vi skal nå bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen

axbxc 2 0

er a, b og c tre tall der a 0 . Vi løser likningen og går fram nøyaktig slik vi gjorde i eksempelet på side 121. Først flytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet.

axbxc 2

Deretter deler vi alle leddene med tallet a, som står foran x 2 .

x b a x c a 2

Nå danner vi et fullstendig kvadrat ved å legge til b a2 2 på begge sidene av likhetstegnet.

x

der dbac 2 4 . Tallet d kaller vi diskriminanten til likningen. Tallet d avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d . Da får vi

Vi setter inn diskriminanten d og får

bbac a 2 4 2

Vi har bevist andregradsformelen.

DISKUSJON

a) Forklar at aa 2 når a 0, og at aa 2 når a 0.

b) I beviset på forrige side erstattet vi d a4 2 med d a2

Forklar hvorfor dette er riktig for både positive og negative verdier for a.

UTFORSK FAKTORISERING

Når vi har faktorisert et andregradsuttrykk, kan vi bruke faktoriseringen til å finne nullpunktene. Men hvis vi kjenner nullpunktene, kan vi da bruke dem til å faktorisere uttrykket?

STEG 1

a) Andregradsuttrykket xx 2 68 har de to nullpunktene x 2 og x 4 . Hvis xx 2 68 skal la seg faktorisere, må det finnes to tall d og e slik at

xxxdxe 2 68

Vi vet at xx 2 68 0 når x 2, og når x 4. Da må xdxe 0 når x 2, og når x 4.

Hva kan dere da si om tallene d og e?

Bruk dette til å faktorisere xx 2 68.

b) Finn nullpunktene til uttrykket xx 2 65 og bruk dem til å faktorisere uttrykket.

c) Finn nullpunktene til uttrykket xx 2 23 og bruk dem til å faktorisere uttrykket.

STEG 2

a) Andregradsuttrykket xx 2 44 har bare ett nullpunkt x 2. Hvis xx 2 44 skal la seg faktorisere, må det finnes to tall d og e slik at

xxxdxe 2 44

Hvorfor må både d og e være lik 2 når xx 2 44 bare har ett nullpunkt x 2?

Faktoriser xx 2 44.

Hvilken regel tror dere gjelder?

b) Finn nullpunktet til uttrykket xx 2 69 og bruk det til å faktorisere uttrykket.

Nå skal vi lære å finne nullpunkter for en funksjon f ved hjelp av en numerisk metode. Vi skal bruke newton-raphson-metoden. Da tegner vi grafen til f og velger en verdi x 0 for x som ikke ligger for langt fra det nullpunktet vi vil finne. Deretter trekker vi tangenten i punktet xfx00,() som vist her:

Skjæringspunktet mellom tangenten og x-aksen ligger nærmere nullpunktet til f enn x0. Vi skal finne x-koordinaten x1 til skjæringspunktet. Fra figuren ser vi at stigningstallet til tangenten må være

Men vi vet at stigningstallet til tangenten også er gitt ved fx() 0 . Da er

Tallet x1 ligger nå nærmere nullpunktet enn x0. Men nå kan vi gjenta dette. Vi kan trekke tangenten i punktet med x-verdien x1 og finne skjæringspunktet mellom denne tangenten og x-aksen. Det gir oss en ny x-verdi x2 som ligger enda nærmere nullpunktet, som vist på grafen på neste side.

Tallet x 2 finner vi på samme måten som vi fant x1. xxfx fx 21 1 1 () ()

Denne prosessen kan vi fortsette med og regne ut xxfx fx 32 2 2 () ()

Som eksempel bruker vi funksjonen gitt ved fxxx () 2 21

Det er grafen til den funksjonen vi har tegnet ovenfor. Vi setter x 0 1 og bruker CAS til å finne tallene xxx 123 ,og . Det gjør vi slik:

Etter dette er x 041422 , en tilnærmingsverdi for det ene nullpunktet. Dette kan vi sammenlikne med den verdien CAS gir ved numerisk løsning:

Det er 5 riktige siffer i svaret vårt. Vi kan lett finne flere korrekte desimaler ved å gjenta prosessen flere ganger.

Når vi skal finne det andre nullpunktet til f, må vi velge en verdi for x 0 som ligger nær det punktet. Fra grafen ser vi at vi for eksempel kan velge x 0 2.

Nå endrer vi bare verdien for x 0 i CAS og lar resten være uendret. Det gir dette resultatet:

Vi har nå også fått 5 riktige siffer.

DISKUSJON

Hva skjer hvis vi velger x 0 1 i eksempelet?

OPPGAVE 6.80

ved hjelp av newton-raphson-metoden og CAS. ?

Finn tilnærmingsverdier for de to nullpunktene til funksjonen

fxx () 2 2

OPPGAVE 6.81

Finn tilnærmingsverdier for de tre nullpunktene til funksjonen

fxxxx () 32 133

ved hjelp av newton-raphson-metoden og CAS.

OPPGAVE 6.82

Lag en funksjon og bruk newton-raphson-metoden til å finne 8 riktige desimaler i 3 .

Python er godt egnet til å løse likninger numerisk ved hjelp av newtonraphson-metoden. Da får vi bruk for det vi har lært om løkker. Som eksempel bruker vi funksjonen gitt ved

fxxx () 2 21

Programmet kan se slik ut:

def f(x):

return x**2 + 2*x - 1 #Funksjonsuttrykket

def d(x):

return 2*x + 2

x = 1

#Den deriverte

#Startverdien

while abs(f(x)) > 0.0000001:

x = x - f(x)/d(x)

print(f"Løsningen er x = {round(x,5)}.")

Uttrykket abs f (x) i linje 7 betyr absoluttverdien eller tallverdien av f (x).

Det er tallet uten fortegn, slik at for eksempel abs 33.

Programmet gir denne utskriften:

Løsningen er x = 0.41421.

Deretter endrer vi startverdien til x 2 . Da blir utskriften slik:

Løsningen er x = -2.41421.

Nå har vi funnet begge nullpunktene.

DISKUSJON

Forklar hvordan dette programmet fungerer.

a) Lag et program i Python som finner en tilnærmingsverdi for 2 ved hjelp av newton-raphson-metoden.

b) Juster programmet slik at det finner tilnærmingsverdien for kvadratrota av et fritt valgt tall a og skriver ut teksten «Kvadratrota finnes ikke» hvis a 0.

a) Det positive nullpunktet til funksjonen fxx () 2 2 er x 2 . Dermed kan vi bruke programmet fra forrige side til å finne 2 . Vi justerer koden som vist her:

def f(x):

return x**2 - 2

def d(x):

return 2*x

x = 1

#Funksjonsuttrykket er endret her

#Den deriverte er endret her

#Startverdien

while abs(f(x)) > 0.0000001:

x = x - f(x)/d(x)

print(f"Kvadratrota av 2 er {round(x,5)}.") #Utskriften er endret

Vi kjører dette programmet og får denne utskriften:

Kvadratrota av 2 er 1.41421.

b) Nå må vi bruke funksjonen fxxa () 2 , der a er tallet vi skal finne kvadratrota av. I koden nedenfor blir linje 10 utført hvis a 0, ellers blir linjene 12 til 15 utført. Det er innrykkene som bestemmer hvor mye som skal gjøres i hvert av tilfellene. I utskriftene i linje 10 og 15 bruker vi teksten svar og ikke desimaltallet a, for da får vi skrevet ut tallet nøyaktig slik vi skriver det inn.

svar = input("Hvilket tall vil du finne kvadratrota av?") a = float(svar)

def f(x):

return x**2 - 2 #Funksjonsuttrykket

def d(x):

return 2*x

if a < 0:

#Den deriverte

print(f"Kvadratrota av {svar} finnes ikke.") else:

x = 1

while abs(f(x)) > 0.0000001:

x = x - f(x)/d(x)

print(f"Kvadratrota av {svar} er {round(x,5)}.")

Vi kjører nå programmet noen ganger og får disse utskriftene:

Hvilket tall vil du finne kvadratrota av? 5 Kvadratrota av 5 er 2.23607.

Hvilket tall vil du finne kvadratrota av? 13.47 Kvadratrota av 13.47 er 3.67015.

Hvilket tall vil du finne kvadratrota av? -3 Kvadratrota av -3 finnes ikke.

OPPGAVE 6.83

Finn tilnærmingsverdier for de to nullpunktene til funksjonen fxxx () 2 55

ved hjelp av newton-raphson-metoden og Python.

OPPGAVE 6.84

Finn tilnærmingsverdier for de tre nullpunktene til funksjonen fxxxx () 32 133

ved hjelp av newton-raphson-metoden og Python.

OPPGAVE 6.85

a) Bruk newton-raphson-metoden og Python til å finne a 3 for et vilkårlig valgt tall a.

b) Bruk newton-raphson-metoden og Python til å finne na for et vilkårlig valgt tall a. Skriv ut en feilmelding hvis na ikke eksisterer.

SAMMENDRAG

Vekstfarten til en lineær funksjon

Vekstfarten til en lineær funksjon er lik stigningstallet til linja.

Gjennomsnittlig vekstfart

Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f fra xa til xb (i intervallet a, b ) er y x fbfa ba ()()

Grenseverdi

Grenseverdien av et rasjonalt uttrykk der både telleren og nevneren er polynomer som går mot null, finner vi ved å faktorisere og forkorte uttrykket.

Derivert

Den deriverte til en funksjon f er definert som en grenseverdi:

xx ()lim ()() 0

Tolkning av den deriverte

fa() gir den momentane vekstfarten når xa . fa() gir stigningstallet til tangenten i punktet afa,() .

Hvis fx()0 når xab , , er f voksende i intervallet ab , .

Hvis fx() 0 når xab , , er f minkende i intervallet ab , .

Derivasjonsregler axba

xnx nn 1 kuxkux ()()

uxvxuxvx ()()()()

Stasjonært punkt

I et stasjonært punkt er fx()0 .

Toppunkt og bunnpunkt

Hvis fx() 0 0 og fx() skifter fortegn i xx 0, er xfx00,() et toppunkt eller et bunnpunkt for f.

Newton-raphson-metoden

Når vi skal finne en tilnærmingsverdi for et nullpunkt for fx() ved hjelp av newton-raphson-metoden, velger vi en startverdi xx 0 som ligger nær et nullpunkt til f. Deretter regner vi ut

Da får vi x-verdier som ligger stadig nærmere nullpunktet.

HALVERINGSMETODEN

Vi har metoder for å finne eksakte nullpunkter til første- og andregradsfunksjoner. For mange andre funksjoner har vi ikke slike metoder. Da kan vi finne omtrentlige nullpunkter til funksjonen med en tilnærmingsmetode. En slik metode er halveringsmetoden. Vi starter med et intervall vi vet inneholder et nullpunkt. Deretter halverer vi intervallet på en slik måte at det fortsatt inneholder et nullpunkt. Dette gjentar vi til intervallet er så lite at vi har en god tilnærmingsverdi for nullpunktet.

Skjæringssetningen

Grunnlaget for halveringsmetoden er skjæringssetningen:

En funksjon f har et nullpunkt på intervallet [v, h] hvis to betingelser er oppfylt:

1. Grafen til f er sammenhengende på [v, h].

2. f (v) og f (h) har motsatt fortegn.

Halveringsmetoden med et eksempel

Vi kan bruke halveringsmetoden til å finne et nullpunkt til en funksjon hvis betingelsene i skjæringssetningen er oppfylt. Det er de hvis f (x) = x 2 – 2 på intervallet [0, 2], for grafen til f er sammenhengende, og f (0) = –2 og f (2) = 2 har motsatt fortegn. Da vet vi at f har et nullpunkt på [0, 2].

Vi bruker halveringsmetoden til å finne et nullpunkt ved å gjenta det samme steget i flere runder.

Steg og runde 1: Vi finner funksjonsverdien i midtpunktet på [0, 2]. Midtpunktet er 1 og f (1) = –1. Da har f (1) og f (2) motsatt fortegn. Det betyr at f har et nullpunkt på [1, 2]. Vi har halvert intervallet [0, 2] til [1, 2].

Runde 2: Vi gjentar det samme steget på det nye intervallet [1, 2]: Midtpunktet er 1,5, og f (1,5) = 0,25>0. Siden f (1)<0, har f et nullpunkt på [1, 1,5].

Runde 3: Midtpunktet er 1,25, og f (1,25)<0. Siden f (1,25)>0, har f et nullpunkt på [1,25, 1,5].

Vi kan gjenta steget flere ganger for å få et mindre intervall med et nullpunkt. Midtpunktet i det siste intervallet vi finner er en god tilnærming til et nullpunkt til funksjonen.

def f(x):

return x**2 - 2

v, h = 0, 2

bredde = h - v

grense = 0.0001

while bredde > grense:

m = (v + h)/2

#Funksjonsuttrykket

#De to endepunktene

#Regner ut midtpunktet if f(v)*f(m) < 0:

h = m

#Setter høyre endepunkt lik midtpunktet else:

v = m

bredde = h - v

#Setter venstre endepunkt lik midtpunktet

#Regner ut bredden av det nye intervallet

print(f"{(v + h)/2} er et tilnærmet nullpunkt.")

Dette programmet bruker halveringsmetoden på funksjonen i eksempelet.

PROSJEKTOPPGAVE 1

a) Forklar at dersom f (v) og f (h) har motsatt fortegn, er ()()0 f v f h .

b) Forklar hvordan programmet ovenfor virker.

c) Bruk eksempelet og programmet ovenfor til å beskrive halveringsmetoden som en algoritme.

d) Utvid programmet slik at det også skriver ut intervallet vi er sikre på at inneholder et nullpunkt, og antall steg.

PROSJEKTOPPGAVE 2

Tredjegradsfunksjonen gitt ved 32 ()399 gxxxx har ett nullpunkt. Bruk halveringsmetoden til å finne nullpunktet med 4 desimaler. Sammenlikn med den eksakte verdien: 33 124 .

PROSJEKTOPPGAVE 3

a) Forklar at nullpunktet vi fant i eksempelet i teksten, er en tilnærming til 2.

b) Bruk halveringsmetoden på en passelig funksjon til å finne en tilnærmingsverdi til 5 100.

PROSJEKTOPPGAVE 4

Finn et nullpunkt til funksjonene på de gitte intervallene med halveringsmetoden. Forklar hvilke problemer dere støter på, og foreslå løsninger på dem.

a) 3 ()31 axxx på intervallene 2,2 og 2,3 .

b) 1 ( 3 ) 2 x x b x på 0,4.

PROSJEKTOPPGAVE 5

a) Forklar at vi kan finne løsningene til likningene 2 530 x x og 2 17 x ved å finne nullpunktene til funksjonene ()253 x fxx og ()217 x gx .

b) Forklar hvordan vi kan bruke halveringsmetoden til å finne løsninger av likninger.

c) Finn løsningen av likningen 217 x med 5 desimalers nøyaktighet.

REPETISJONSOPPGAVER

OPPGAVE 1

a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan C 4 9 .

b) I DEF er EDE908 , og

tan. D 3 4

Tegn trekanten og finn lengden av DF.

OPPGAVE 2

Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler.

a) Figuren viser en likesidet trekant

ABC der alle sidene har lengde 2.

Punktet D er midtpunktet på AB.

60°60° 60° 2 2 2

D

1) Finn lengdene av AD og CD.

2) Bruk figuren til å finne eksakte verdier for sin60 , cos60 og

tan60 .

b) I DEF er DEDF43 , og D 60.

1) Finn arealet av DEF.

2) Finn lengden av EF

OPPGAVE 3

Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler. Om ABC og DEF får du vite dette:

AD 90 , coscosBE 12 13 og

DFAC 1 2 .

a) Lag en skisse som viser hvordan ABC kan se ut.

b) Bestem sin B og tan B.

c) Lag en skisse som viser hvordan DEF kan se ut.

OPPGAVE 4

Bestem a slik at arealet av trekanten blir 10.

A

a + 3

OPPGAVE 5

Finn en eksakt verdi for s. Løs oppgaven digitalt.

OPPGAVE 6

En sidevegg i en garasje har form som vist på figuren.

v 6,0 m 2,0 m 2,6 m

a) Bruk målene på figuren og finn arealet av sideveggen.

b) Finn vinkelen v og lengden DC.

c) En bil er 2,10 m høy og 4,50 m lang. Undersøk om den får plass i garasjen.

OPPGAVE 7

I ABC er ACBC813 , og B 30.

a) Tegn trekanten digitalt, og finn A og lengden av AB.

I PQR er PRQR1216 , og PR 20.

b) Bruk pytagorassetningen og vis at Q   90 .

c) På forlengelsen av PR ligger S slik at RS  12. Finn lengden av QS

OPPGAVE 8

Tonje vurderer å kjøpe en stor, flat eiendom ABCD og ønsker å regne ut arealet av eiendommen. Hun gjør noen målinger og finner at AB 140 m, AD 88 m, BD 115 m, C 95 og

D 150

a) Finn ADB.

b) Finn BC

c) Finn arealet av eiendommen. Rund av svaret til nærmeste hundre kvadratmeter.

OPPGAVE 9

I et trekantet grøntområde er lengdene på sidene 36,0 m, 22,0 m og 45,0 m.

a) Bestem A, B og C. b) Bestem arealet av grøntområdet.

OPPGAVE 10

I ABCD er AB 43 , BC 35 , , AD 8, A 30 og D 120 . Bruk trigonometri til å finne ut mest mulig om ABCD. Vis mest mulig matematisk kompetanse.

OPPGAVE 11

På toppen av en kolle er det plassert ei antenne som er 50 m høy. Bestem høyden h av kollen.

OPPGAVE 12

Ei huske er 2,50 m lang. Når huska henger i ro, er den ved punktet D, som ligger 30 cm over bakken.

a) Amalie drar huska ut slik at C 236,.

1) Finn lengden av AB. 2) Hvor høyt over bakken er huska da?

b) Olav drar huska ut til siden slik at den er 80 cm over bakken.

1) Finn C.

2) Finn lengden av AB i dette tilfellet.

c) Olav vil ha stor fart på huska. Farten er størst når den passerer punktet D, og er avhengig av høyden over bakken da Olav startet. Farten i D er vh44,0,3

der h er høyden over bakken i meter og v er farten målt i meter per sekund (m/s). Olav oppnår en gang farten 4,0 m/s.

Hvor stor er da C når han startet å huske?

OPPGAVER

•Oppgavene i Ø V M E R gir mer trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert delkapittel.

•Oppgavene i BLA N DEDE OPP G AV E R og ÅP N EOPP G AV E R inneholder ofte stoff fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.

•I blandedeoppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger.

•De åpneoppgavene er ofte større og mer komplekse. Her får du blant annet trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier, som modellering, utforsking og programmering. Disse oppgavene legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster, og det er meningen at du skal bruke litt mer tid på dem. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.

Tall og variabler

Ø V MER

1.1 REGNEREKKEFØLGE

Oppgave 1.110

Regn ut.

a) 34 5 b) 534

c) 6 5432 d) 412623 :

Oppgave 1.111

Regn ut.

a) 2 3234223

b) 325521245

c) 2 34621

d) 43172324

Oppgave 1.112

Regn ut uten å bruke hjelpemidler. Løs deretter oppgaven i CAS.

a) 6 22

b) 323 22

c) 2 3252

d) 33223

Oppgave 1.113

Regn ut uten bruk av hjelpemidler.

a) 323232 22

b) 435351 2

c) 243212 3

d) 121132 4

Oppgave 1.114

Regn ut uten bruk av hjelpemidler. 2

Oppgave 1.115

Med ett addisjonstegn, ett subtraksjonstegn, ett multiplikasjonstegn og én parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir

a) 9 b) 14 c) 11

Oppgave 1.116

Bruk gangetegn sammen med plusstegn eller minustegn og sett sammen tallet 17 ved å bruke tallene 3, 4 og 5. Det kan gjøres på to måter.

Oppgave 1.117

Bruk tallene 5, 6 og 7 sammen med eventuelle plusstegn, minustegn, multiplikasjonstegn og parenteser på en slik måte at svaret blir

a) 37 b) 77 c) 12

1.2 VARIABLER OG PARENTESER

Oppgave 1.120

Trekk sammen uten å bruke hjelpemidler.

a) 2 3534 xxyyx

b) 2 332 ababa

c) 5234 xyxy

d) 6 253 abab

Oppgave 1.121

Trekk sammen uten å bruke hjelpemidler.

a) 3 121 xx

b) 42332 xx

c) abba23

d) abbabb 122 2

Oppgave 1.122

Trekk sammen uten å bruke hjelpemidler.

a) 2 343 ababba

b) aaaaa 23323

c) babababab 3

d) 21212121 xxxx

Oppgave 1.123

Multipliser ut og trekk sammen uten å bruke hjelpemidler. Løs deretter oppgaven i CAS.

a) 2 3 33aba

b) 3 4 1 3 4 3 abab

Oppgave 1.124

a) Trekk sammen uttrykket

aaaa261323 2

b) Sett a 3 inn i det forenklede uttrykket og regn ut svaret.

c) Sett a 3 inn i det opprinnelige uttrykket og regn ut svaret.

d) Undersøk hva som skjer hvis du setter inn en annen verdi enn a 3.

Oppgave 1.125

I denne oppgaven skal du bare bruke

tallene 2, 3 og 4.

Finn x, y og z når xxyzxz 21

Oppgave 1.126

Hvilke faktorer kan stå i de åpne rutene?

yxyxxy 22

Oppgave 1.127

Gjør utregningene i punktene nedenfor.

• Tenk på et tall.

• Legg til 4.

• Doble svaret.

• Trekk fra 6.

• Halver svaret.

• Trekk fra 1.

a) Hvilket svar får du? Prøv med minst to ulike tall.

b) La x være det tallet du tenker på, og forklar at alle utregningene til sammen svarer til uttrykket x 42 6 2 1

c) Vis ved hjelp av algebra at når du gjør utregningene i punktene ovenfor, får du til slutt alltid det tallet du tenkte på.

1.3 BRØKREGNING

Oppgave 1.130

Regn ut uten hjelpemidler. a) 25 16 32 50 b) 3 7 15 28 : c) 2 5 3 1 2 7 30 d) 1 3 5 6

Oppgave 1.131

Regn ut uten hjelpemidler. a) 1 5 12 7 18 b) 2 1 2 2 5 c) 1 4 2 3 1 12 d) 1 2 2 3 33 2 xx xx

Oppgave 1.132

Regn ut uten hjelpemidler.

a) 4 1 2 1 4 1 2 2 3 4 b) 1 9 74 1 6 1 3 2 5 6

Oppgave 1.133

Brøkene 1 2 , 1 3 , 1 6 og 1 12 er gitt. Velg minst to av brøkene. Bruk addisjon eller subtraksjon mellom brøkene på en slik måte at svaret blir

a) 1 4 b) 1 c) 3 4

Oppgave 1.134

Skolen skulle ha aktivitetsdag. Elevene kunne velge mellom slalåm, skitur og aking.

2 5 av elevene valgte slalåm.

3 10 av elevene valgte skitur.

3 15 av elevene valgte aking.

Hvor stor del av elevene var ikke med på aktivitetsdagen?

Oppgave 1.135

Ved et terminoppgjør fikk 2 5 av alle elevene i en førsteklasse 4 eller bedre i matematikk, mens 2 3 av klassen fikk 4 eller bedre i naturfag. 4 15 av elevene fikk 4 eller bedre i begge fagene.

Hvor stor del av elevene fikk 4 eller bedre i minst ett av fagene?

Oppgave 1.136

Trekk sammen uten å bruke hjelpemidler.

Oppgave 1.137

Trekk sammen både uten og med hjelpemidler.

a) yyy 4 1 3 2 6

Oppgave 1.138

Regn ut uten å bruke hjelpemidler.

Oppgave 1.139

Regn ut både uten og med hjelpemidler.

B LANDEDE OPPGAVER

Oppgave 4.200

321 –15 4

Grafen til andregradsfunksjonen f er tegnet nedenfor. 4 2 1 –2 –1 3 y f x

a) Finn nullpunktene til f

b) Finn toppunktet til f.

c) Finn verdimengden til f.

d) Funksjonsuttrykket til grafen kan skrives på formen fxaxbxc (), 2 der a, b og c er konstanter.

Bestem funksjonsuttrykket.

Oppgave 4.201

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon. Funksjonsuttrykket kan skrives på formen

fxxaxb () 1 2 2

Bestem a og b, og skriv opp funksjonsuttrykket. Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler.

Oppgave 4.202

En funksjon f er gitt ved

fxaxbxc () 2

Grafen til f skjærer y-aksen i y 1.

Funksjonen har nullpunktene x 1 2 og x 1.

B estem funksjonsuttrykket uten bruk av hjelpemidler.

Oppgave 4.203

Tidevannseffekten kan få vannhøyden til å variere mye. Et sted var vannhøyden h(t) målt i centimeter t timer etter midnatt

httt (),,018216100 32

for t 012,.

Når er vannhøyden h på det laveste? Hva er vannhøyden da?

Oppgave 4.204

Funksjonen f er gitt ved

fxxx () 32 2

Hvilken av grafene nedenfor viser grafen til f ?

Graf 2

Graf 1 x y x y

Graf 3Graf 4

Oppgave 4.205

Bestem funksjonsuttrykket til f når vi forutsetter at polynomet har grad 4, og at koeffisienten foran x 4 er 1 2 . 3 2 1 y f x

–4 4 135

Oppgave 4.206

Konjugatsetningen sier at vi kan faktorisere differansen mellom to kvadrater: ababab 22 ()()

Vi har ikke en tilsvarende faktorisering for summen av to kvadrater ab22 .

Noen ganger kan vi likevel faktorisere slike summer.

a) Forklar at x 4 4 er summen av to kvadrater.

b) Vis at xxxx 4422 4444

c) Skriv x 4 4 som et produkt av to andregradspolynomer.

d) Faktoriser ab44 4 . ▲ 4.1

Oppgave 4.207

Utfør polynomdivisjonen

xxxx 32462 :

Oppgave 4.208

Utfør polynomdivisjonen

xxxxx 32 2 43223 :

Oppgave 4.209

Når vi dividerer de to polynomene

xxx a 3 21 og xxax 43 72

med x 1, får vi den samme resten.

B estem a. Hvor stor er resten?

Oppgave 4.210

Vi har gitt likningen

xxxxxaxb 323682()()()

Bestem a og b slik at likningen blir en identitet. Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler.

Oppgave 4.211

a) Vis at x 1 er en løsning av likningen xxx 43 10 .

b) Har likningen andre løsninger?

Oppgave 4.212

Bestem a slik at divisjonen går opp. Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler.

2351 322 xaxxax :

Oppgave 4.213

Finn hvilken verdi a må ha for at divisjonen

axxxx 32 3 2 262 :

skal gå opp. Utfør deretter divisjonen når a har denne verdien. Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler.

Oppgave 4.214

Bestem tallene a og b slik at begge disse divisjonene går opp. Løs oppgaven uten bruk av hjelpemidler.

axbxxx xaxbxx 32 32 451 22 : :

Oppgave 4.268 (V-23 uten hjelpemidler)

Gitt likningen

xxxxxaxb 3258121()()()

Bestem a og b slik at likningen blir en identitet.

Oppgave 4.269 (H-23 uten hjelpemidler)

Funksjonene f og g er gitt ved fxx x gx x xx () () ()() 28

a) Hvilken av grafene nedenfor er grafen til f ?

b) Hvilken av grafene nedenfor er grafen til g?

Husk å argumentere for at svarene dine er riktige.

Oppgave 4.270 (H-23 uten hjelpemidler) Funksjonen f er gitt ved fxxxx () 32256

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen x-aksen?

Oppgave 4.271 (H-23 med hjelpemidler) x = 1 y x g fQ P

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved fxx gxxxx () () 28 48 32

Linja x 1 skjærer grafen til f i punktet P og grafen til g i punktet Q.

a) Bestem avstanden fra P til Q.

Sara skal tegne ei ny linje xa der a 13 , i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linja og grafen til f for R og skjæringspunktet mellom linja og grafen til g for S.

b) Bestem a slik at avstanden fra R til S blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.

ÅPNE OPPGAVER

Oppgave 4.300

Vi skal nå undersøke sammenhengen mellom antallet punkter på en sirkel og antallet områder sirkelen blir inndelt i, når vi trekker linjestykker mellom punktene. I hvert skjæringspunkt skal bare to linjer krysse hverandre.

På figurene ovenfor ser vi at to punkter gir to områder, tre punkter gir fire områder og fire punkter gir åtte områder.

a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor ved først å tippe hvor mange områder det blir med fem punkter og med seks punkter på sirkelen.

Punkter (x)23456

Områder (O(x))248

b) Kontroller om det du har tippet, stemmer, ved at du tegner en figur og teller antallet områder for fem og seks punkter på sirkelen. Vær nøyaktig med tellingen. Kanskje du blir overrasket over resultatet.

c) Vi kan vise matematisk at tallet O(x) på områder der x er antallet punkter på sirkelen, kan skrives som

Undersøk om uttrykket stemmer med opplysningene i tabellen i oppgave a.

d) Hvor mange områder blir det dersom vi har åtte punkter langs sirkelen?

Oppgave 4.301

Mange regner Leonhard Euler (1707–1783) som en av de største matematikerne i historien. Han oppdaget at andregradspolynomet gitt ved

pnnn () 2 41

er et primtall for mange heltallige verdier for n. For eksempel er p()243 og p()20421 begge primtall.

a) Finn et heltall n slik at p(n) ikke er et primtall.

b) Vis at det finnes uendelig mange heltall n slik at p(n) ikke er et primtall.

FASIT TEORIDEL

1

1.10

a) 16 b) 16 c) 4 d) 4

e) 9 f) 1 g) 0 h) 37

1.11

a) 6 b) 42 c) 13 d) 6

1.12

a) 8 b) 0 c) 7 d) 7

1.20

a) 52 1 xy

b) 2 2 2 aa

c) 2 22 xxy

d) xyxyxy 22

1.21

a) 7 x b) 2ab c) 4 x d) a 2

1.22

a) 2 8 x b) 26 t c) 1 d) 15 5 x

1.23

a) 27ab b) 0

c) 2 3 2 xx d) 6 2 2 tt

1.24

a) 31 2 x

b) 15x c) 426 2 xx

1.25 a) 31 2 x b) 15x c) 426 2 xx

1.30

a) 2 3 b) 3 5 c) 6 7 d) 7 9

1.31

a) 19 36 b) 1 27 c) 3 16

d) 41 12 e) 5 4 f) 36 5

1.32

a) 5 4 b) 11 30 c) 1 d) 17 40

1.33 a) a b) 1 a c) 13 6 x 1.34

a) 4 b) 5 6 xy c) 6 d) 3 5 1.35

a) x 2 4 b) a 7 6

c) x x 8 6 d) 1 6 1.40

a) x 2 H.s. v.s. 5

b) x 3 2 H.s. v.s. 7 2

c) x 1 H.s. v.s. 0

d) x 1 H.s. v.s. 4 1.41 a) x 2 b) x 14 9 c) x 10 1.42 a) x 4 b) x 15 2 c) x 0 1.43

a) x 4 b) x 15 2 c) x 0 1.44

a) Ja b) Nei c) Ja d) Nei 1.45

a) Anne er 8 år, Berit 16 år og Cathrine 18 år.

b) Abel 9 år, Bjarne 7 år, Cato 14 år og David 6 år.

c) Adam er 16 år og Xeres er 6 år. 1.50

a) x 2 b) x 2

c) x 1 2 d) x ≤ 4

1.51 a) x 3 b) x 7 5 c) x 2 3

d) x 2 9 e) x 1 2 1.52

a) Mindre enn 11 km

b) Mer enn 15 km 1.53

a) Etter mindre enn 10 timer

b) Etter mer enn 6 timer

1.60 xy21 og

1.61 Epler koster 30 kr/kg. Pærer koster 40 kr/kg.

1.62

a) xy31 og

b) xy11 og

c) xy23 og

d) xy20 og

1.63 xy21 og

1.64

a) xy31 og

b) xy11 og

c) xy23 og

d) xy20 og

1.65

a) xy11 og

b) xy 2 3 4 3 og

c) xy 12 5 23 10 og

d) xy22 6 og, 1.66

a) x 7 6 og y 23 18

b) x 3 7 og y 4 7

c) x 1 4 og y 3 2

d) x 2 og y 2

6.223 fxxx () 324 2

6.224 a 5

6.225

a) 6

b) Bunnpunkt: 2 22 3 ,

Toppunkt: 3 27 2 ,

6.226

a) x 2 og x 3

b) yx310

c) f ()23

e) 1 2 25 4 ,

6.227 fxxx () 247 2

6.228

a) xx03 ,

b) fxxx () 3 2 2 3

c) Bunnpunkt: 22 , Toppunkt: 00 ,

e) yx 9 2 5 2

6.229 bc821 og

6.230

a) x 0 og x 6

b) –10

f (x) 123456 x 00

c) –10

f' (x) 123456 x 00

d) yx 3 2 e) 3 2

6.231

a) fxxx () 2 22

b) Den minste verdien til stigningstallet er 1.

c) 1 4 3 ,

6.232

Alternativ 3 er riktig.

6.234

a) f ()43, f ()21

b) x 1 2 c) x 1

d) y 2 e) yx31

f) f ()03 g) 25 ,

h)

f '(x )

–5–15 x

6.235

a) a 4 b) a 5

c) a 3 d) a 4

6.236

a) 1) abc000100592 ,, , og 2) 3,1 millioner

c) Vekstfarten er 0,08.

d) ck2103 og ,

f) Modellen gitt ved funksjonen g.

6.237

a) gxx ' () 33 2

b) Bunnpunkt: 13 ,

c) Toppunkt: 11 ,

d) Minimumsverdi: 19

e) Maksimumsverdi: 17

f) g vokser når 11 x .

g avtar når 31 x , og når 13 x . g) y 3

6.238

a) f vokser når x 1, og når x 0. f avtar når 10 x

b) Toppunkt: 1 1 2 , Bunnpunkt: 00 ,

c) y=x 6 7 2

d) yx610

f) 35245 ,,,

g) 7 2 49 2 ,

6.239

a) xx 2 4 ,

c) fxx () 3 2 2 6

Toppunkt: (,) 20

Bunnpunkt: (,) 216

d) yx68

6.240

b) xx03 og

c) Toppunkt 24 , og bunnpunkt 00 , d) yx927

e) a 1

6.241

a) Funksjonen er voksende når 1 1 3 x , og når 2 4 x .

Funksjonen er minkende når 1 3 2 x

b) Toppunkt: 1 3 100 27 , Bunnpunkt: 29 ,

c) Maksimumsverdi: 35

Minimumsverdi: 9

6.242

a) 100 cm

c) 10. april og 20. april

d) fxx(),0812

e) 15. april, 60 cm

f) Snødybden avtok mellom 31. mars og 15. april. Snødybden økte etter 15. april.

6.243

b) Ca. 4 kg (3993,75 g)

c) 1 m

d) 172,5. Når laksen er 75 cm lang, vokser den med 172,5 g/cm.

e) x 616,. Laksen vokser med 100 g/cm når den er 61,6 cm lang.

6.244

a) 19,6 m b) 120 m

6.245

a) 500 medlemmer

b) Etter 5 år, 625 medlemmer

c) MM(),() 7549784

Etter 7 år er medlemstallet 549. Medlemstallet er i ferd med å minke med 84 medlemmer per år.

d) Etter 1 år og etter 4 år

e) 600 medlemmer

7.249

a) AADB2729 , b) AB 1833 ,

7.250 x 40399(,)

7.251

a) ASC og BCS er likebeinte.

b) 1) BCS 40 og BSC  100

2) ASC  80

c) ASC er dobbelt så stor som B

7.252 1260 m2

7.253 31 min

7.254

a) 5929,6 m2

b) ADAC CDADC ACD 601318 8531294 206 mm, m, ,, ,, , ,

7.256

b) 126 c) 15

7.257 3,9 km

7.258 BC 6

7.260 AC 8

7.261

b) 2 32 2 6 2 a aa

c) a 62

7.262

Første spørsmål: nei Andre spørsmål: ja Tredje spørsmål: ja

7.263

a) a 3237

7.264

a) 2 3 b) 6 2

7.266

a) De kan ha fått opplysninger om at trekanten har lengder på 14 og 16. Dessuten er cosinus til den ene vinkelen lik 0,5, og det betyr at denne vinkelen er 60 .

b) xx610 , c) 8 3

7.268 Arealet er 50,8.

7.269 r 22

7.271

Trekanten med vinkelen 32 har størst areal.

7.272

Arealet er 38,6.

7.300

1) BC 9cm, BC 18 cm

2) 9 18 cmcm BC 3) BC 9cm

7.302

a) 3, 4 og 5

6, 8 og 10 9, 12 og 15 12, 16 og 20 15, 20 og 25 5, 12 og 13 8, 15 og 17 7, 24 og 25

c) Ja, bortsett fra for k 1

7.303

b) De er rettvinklede.

7.304

a) Designet til høyre bruker mindre papp.

7.305

Brikkene i figuren til høyre passer egentlig ikke i rektangelet med sider 21 og 8.

STIKKORD

A addisjonsmetoden 31 algebraisk uttrykk 13 algoritme 22 andre kvadratsetning 79 andregradsformelen 125 – bevis 132 – Python 130 andregradsfunksjon 107 ff andregradslikning 113 – grafisk løsning 113 ff – løsning ved regning 118 ff – ordnet 115 andregradsulikhet 142 ff arealsetningen 311 ff – bevis 311, 314-315 asymptote 182 ff – horisontal 184 – vertikal 183 avhengig variabel 34

B bevis – andregradsformelen 132 – arealsetningen 311, 314-315 – cosinussetningen 324 – nullpunktsfaktorisering 137 – sinussetningen 320 blandede tall 17 bruddpunkt 182 brøkregning 15 ff bunnpunkt 107 – i GeoGebra 110

C

CAS (Computer Algebra System) – se GeoGebra cosinus 295, 296 cosinussetningen 324

D definisjonsmengde 102 derivasjon 264 ff – i GeoGebra 271 – regler 264, 265, 268 deriverbar 264 derivert 261 digital graftegning 67 ff diskriminant 132 dividere med brøk 15

E

eksponent 205

eksponentialfunksjon 228 ff

eksponentialregresjon 230 ff eksponentiell

– modell 228

– vekst 228

ekstremalpunkt 108 ff element i ( ) 102

F

faktorisere 81 ff

– andregradsuttrykk 81, 85, 89, 135

– med GeoGebra 83 figurtall 44 ff

fjerdegradsfunksjon 153 ff fjerderot 42 forkorte

– brøk 15

– rasjonale uttrykk 92 ff formel 34 ff fortegnslinje 142 fortegnsskjema 143 fullstendig kvadrat 87

– -metoden 89 funksjon

– andregrads- 107 ff

– eksponential- 228 ff

– fjerdegrads- 153 ff

– lineær 221

– minkende 274

– polynom- 153 ff

– potens- 234 ff

– rasjonal 182 ff

– tredjegrads- 154

– voksende 274 funksjons

– -begrepet 101 ff

– -drøfting 273 ff

– -uttrykket 101

– -verdi 102 første kvadratsetning 79

G

GeoGebra

– andregradsulikhet 146

– asymptote 183

– bunnpunkt 110

– derivasjon 271

– ekstremalpunkt 110

– faktorisering 83, 168

– glider 112

– gradtegn 296

– grafisk løsning av likning og likningssett 74 ff

– grafisk løsning av ulikhet 144, 145

– graftegning 67 ff

– linje gjennom to punkt 63

– løse likning 23, 24, 123, 191

– løse likningssett 33, 140

– løse ulikhet 27, 146

– nullpunkt 109

– polynomdivisjon 159

– rasjonal funksjon 183 ff

– røtter 42

– skjæring mellom to objekt 74

– stigningstall 255

– tangent 255

– til å finne vinkler 300 ff

– toppunkt 110

– variabelnavn 83

gjennomsnittlig vekstfart 249 ff grad til polynom 153 grafisk avlesing 67 ff grafisk løsning

– andregradslikning 114

– likningssett 72 grenseverdi 257 ff

– vekstfart 259 ff grunntall 205

H horisontal

– asymptote 184

– linje 60 hosliggende

– katet 294

– side 294 hypotenus 294

I identiske uttrykk 23 identitet 23

ikke-lineært likningssett 138 ff innsettingsmetoden 29 intervall 102

K katet 294 ff

– hosliggende 294

– motstående 294 konjugatsetningen 79 konstant 34

konstantledd 59 ff, 153, 175 kubikkrot 41 kvadratrot 40 kvadratsetningene 79

L

ledd 10

likning 20 ff

– andregrads- 113 ff

– CAS 23, 24, 123, 191

– lineær 29 – rasjonal 191 ff – regneregler 51 likningssett 29 ff – grafisk løsning 75

– ikke-lineære 138 ff likningssystem 29 lim (limit) 258 lineær – funksjon 221 – likning 29 – modell 217 ff

– regresjon 221 ff – ulikhet 25 ff – vekst 217 listeform (mengde) 105 løse opp parenteser 111

M maksimal

– -punkt 273 ff

– -verdi 273 ff matematisk modell 217 ff minimal – -punkt 273 ff – -verdi 273 ff minkende funksjon 274 modell

– eksponentiell 228 ff – lineær 217 ff momentan vekstfart 253 ff monotoniegenskap 274 motstående – katet 294 – side 294 multiplisere med brøk 15

N

naturlig tall 44 nullpunkt 107 ff

O

ordnet andregradslikning 115

P

parabel 107 parenteser

– løse opp 11 polynom 153 ff

– -funksjon 153 ff

– grad 153

– regresjon 224 ff potens 7, 205 ff

– brøk som eksponent 208, 210

– -funksjon 234 ff

– i Python 8

– regneregler 206

– -regresjon 238 produktregelen 119 prosent – -faktor 211

– -regning 211 ff Python – andregradsformelen 130

– newton-raphson-metoden 283

– potenser 8

R

rasjonal

– funksjon 182 ff

– likning 191 ff

– ulikhet 195 ff rasjonalt uttrykk 18 regnerekkefølge 7 ff regresjon

– eksponential- 230 ff – lineær 221 ff – polynom- 224 ff – potens- 238 rektangeltall 46 rett linje 58 ff

– stigningstall 65 røtter 40

S sinus 295 ff sinussetningen 320 ff stasjonært punkt 275 stigningstall 59 ff

– linje gjennom to punkt 65

– til tangent 254 ff summere brøker 15

T tangens 306 ff tangent 253 ff terrassepunkt 275 toppunkt 108 ff

– i GeoGebra 110 tredje kvadratsetning 79 tredjegradsfunksjon 154 tredjerot 41 trekanttall 44 trigonometri 295 ff

U uavhengig variabel 34 ubestemt trekant 316 uekte brøk 17 ulikhet 25

– andregrads- 142 ff

– lineære 25 ff

– med GeoGebra 27, 146 utvide brøk 15

V variabel 10

– avhengig 34

– uavhengig 34 vekst

– eksponentiell 228

– lineær 217 vekstfaktor 211 ff vekstfart 249 ff

– gjennomsnittlig 249 ff

– momentan 253 ff

– som grenseverdi 259 ff verdimengde 103 vertikal

– asymptote 183

– linje 60, 61 voksende funksjon 274