Radius 5b larerens bok 5 blabok by Cappelen Damm

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET Radius legger til rette for at elevene skal utvikle god tallforståelse og opparbeide seg gode grunnleggende ferdigheter i matematikkfaget.

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

Radius har derfor fokus på at elevene:

• utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver Radius gir i praksis:

• tydelige mål for hvert kapittel • oppstartsoppgaver for refleksjon og klassesamtale • differensierte oppgaver til hvert tema • problemløsingsoppgaver på alle trinn • visuell støtte til oppgavene Komponentene i Radius 5, 6 og 7:

• Grunnbok A og B • Differensiert oppgavebok • Lærerens bok A og B • Radius digital med tavlebok:

radius.cdu.no

Radius følger de reviderte læreplanene for Kunnskapsløftet 2013 i faget matematikk og dekker alle målene fra 1. til 7. trinn.

ISBN 978-82-02-40508-3

www.cdu.no

radiusomslag_5_LB_BM+NN_spiral.indd 2

BOKMÅL/NYNORSK

LÆRERENS BOK

13.03.15 15:22

Hanne Hafnor Dahl • Jan Erik Gulbrandsen • Randi Løchsen • Kristin Måleng May Else Nohr • Vibeke Saltnes Olsen

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

GRUNNBOK

LÆRERENS BOK

BOKMÅL

© Cappelen Damm AS 2015 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Radius dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er laget til bruk på grunnskolens barnetrinn. Illustratør: Magnus Værness Prinsippdesign: AIT Oslo AS Sats/ombrekking: AIT Oslo AS Omslagsdesign: Tank Omslagsillustrasjon: Magnus Værness Forlagsredaktør: Marianne Haanæs Trykk og innbinding: AIT Oslo AS Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-40508-3 www.radius.cdu.no

Forord Til Læreren Lærerens bok har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Radius bygger på og hvordan verket er bygd opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromssamtaler. Videre følger Lærerens bok grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromssamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene. Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse. Til slutt i hvert kapittel er det en test, «Dette har jeg lært i kapittel ...». Denne testen er rask å kopiere og dele ut til elvene og gir et godt bilde av hva elevene har fått med seg i kapitlet. Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har som hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier. Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene og kopieringsoriginaler på nynorsk til «Dette har jeg lært i kapittel ...». De resterende kopieringsoriginalene er på radius.cdu.no. Vi som er forfattere av Radius 5–7, ønsker at Lærerens bok skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine. Lykke til! Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

Forord

Innhold Om Radius Matematikkdidaktiske prinsipper. . . . . I Oppbygningen av Radius. . . . . . . . . . . II Grunnleggende ferdigheter. . . . . . . . . V Utvikling av regnstrategier . . . . . . . . VII Visuelle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker . . . X Mål for 5. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

Kapittel 7 Desimaltall

Repetere desimaltall . . . . . . . . . . . . . . 8 Tideler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Hundredeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Addisjon og subtraksjon . . . . . . . . . . . 22 Oppstilling addisjon . . . . . . . . . . . . . . . 26 Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Regneark – bestemme antall desimaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Dette har jeg lært i kapittel 7 . . . . . . . 37

Kapittel 8 Måling

Lengdemål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Areal til trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Sammensatte figurer . . . . . . . . . . . . . 58 Geometriske figurer i GeoGebra . . . . 60 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Dette har jeg lært i kapittel 8 . . . . . . . 62

4 Innhold

Kapittel 9 Multiplikasjon og divisjon

Repetere multiplikasjon og divisjon . . 66 Dobling og halvering . . . . . . . . . . . . . . 71 Flere regneoperasjoner . . . . . . . . . . . 72 Multiplikasjon med tomt rutenett . . . 76 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Regneark – digitale verktøy . . . . . . . . 84 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Dette har jeg lært i kapittel 9 . . . . . . . 87

Kapittel 10 Mønster i geometri og tall

Repetisjon av symmetri og speiling . . 90 Lage symmetribilder i GeoGebra . . . . 93 Rotasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Forskyvning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Lage figurer med speiling i GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tallmønster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Figurtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Dette har jeg lært i kapittel 10 . . . . . 107

Kapittel 11 Brøk

Kopieringsoriginaler 108

Brøk – del av en hel . . . . . . . . . . . . . . 110 Brøk – del av en mengde . . . . . . . . . 115 Brøk på tallinja . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Fra del til helhet . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Brøker med lik verdi . . . . . . . . . . . . . 123 Addisjon med brøk . . . . . . . . . . . . . . . 126 Subtraksjon med brøk . . . . . . . . . . . . 128 Mer enn en hel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Dette har jeg lært i kapittel 11 . . . . . 135

Kapittel 12 Regning med enheter

Dette har jeg lært i kapittel 6 til og med 12 (nynorsk) . . . . . . . . 153

Fasiter Fasit Grunnbok 5B . . . . . . . . . . . . . . . 160 Fasit Oppgavebok 5 (kapittel 6 til 12) . . . . . . . . . . . . . . . 170 Fasit til elevoppgavene i Lærerens bok 5B . . . . . . . . . . . . . . 179

Kopieringsoriginal 1–8

radius.cdu.no

146

Måleenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Kilogram, hektogram og gram . . . . . 139 Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Dette har jeg lært i kapittel 12 . . . . . 152

Innhold

Matematikkdidaktiske prinsipper Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk. Radius legger vekt på at elevene: •• utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene •• oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger •• løser utforskende og sammensatte oppgaver •• samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Radius skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å •• rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang •• dele opp tall på ulike måter •• utvikle forståelse for plassverdisystemet •• automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 •• automatisere multiplikasjonstabellen •• utforske egenskaper ved tall

Regnestrategier I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre seg erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Sammenhenger i matematikk Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk. Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1 = 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120, osv.

Matematikkdidaktiske prinsipper

Utforskende og sammensatte oppgaver Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Radius legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Konkret – Visuelt – Abstrakt I Radius legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå. Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger. Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene. Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og thinking blocks. Med abstrakter mener vi tallsymbolene. Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Radius legger hele veien opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger. Refleksjon og kommunikasjon Radius tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Oppbygningen av Radius Komponentene i Radius 5, 6 og 7 Grunnbok A og B Oppgavebok Lærerens bok A og B Radius digital med tavlebok

Ulike oppgaver Radius har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver.

Radius Grunnbok Radius gir i praksis •• tydelige mål for hvert kapittel •• oppgaver for refleksjon og klassesamtale •• differensierte oppgaver til hvert tema •• problemløsingsoppgaver •• visuell støtte til oppgaver Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. På den siste siden i hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. I tillegg er det kapittelprøver i Radius digital. Refleksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde og tilhørende spørsmål. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, de får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker. Alle kapitlene har samtaleruter med blått raster. På disse rastrene presenteres nye emner som samtalestoff med forslag til spørsmål som læreren kan bruke for å få engasjement rundt det nye temaet klassen skal i gang med. På gult raster presenterer Radius varierte sammenoppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller i små grupper. Elevene skal samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og begrunne sine løsninger.

Differensierte oppgaver Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som ligner på dem de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins oppgaver på ulikt nivå. Mange av emnene har også oppgaver med visuell støtte, en modell som de elevene som trenger det, kan bruke videre på flere av oppgavene. Noen oppgaver er merket med smilefjes. Dette er ekstra utfordrende oppgaver som det ikke er meningen at alle elevene skal løse. Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene. Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan enten være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med, å anvende den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet. Sant eller usant Alle kapitlene har også en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og ta stilling til om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunk i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til tema.

Oppbygningen av Radius

Radius Oppgavebok Radius Oppgavebok følger de samme temaene som i Radius Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver, mer utfordrende smilefjesoppgaver og egne sider som heter «Veien videre». Der finner du oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har også gode eksempler til alle tema og egner seg derfor også godt til hjemmebok.

Radius Lærerens bok Radius Lærerens bok følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til alle oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerens bok har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter. Den har dessuten elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall. Til slutt i hvert kapittel er det en kapitteltest. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 5A, Oppgavebok 5 (kapittel 1 til 6) og elevoppgavene i Lærerens bok. Øvrige kopieringsoriginaler er på radius.cdu.no.

Radius Digital 5–7 Øvingsoppgaver Nettstedet inneholder interaktive oppgavesett til alle delemner i hvert kapittel. Når elevene arbeider med oppgavene, får de umiddelbar respons på om de har løst oppgavene riktig. Kan du dette? Kan du dette? er en digital kapittelkartlegger som viser elevenes ferdigheter med hensyn til delmålene i kapitlet. Når elevene leverer testen, får de en rapport med forslag til videre arbeid. Rapporten kan skrives ut, og testen kan gjennomføres så mange ganger eleven selv ønsker.

III

Oppbygningen av Radius

Halvårs- og helårskartlegging med Vokal Prøvene ligger klare i Vokal og åpnes for elevene av læreren. Resultatene er knyttet til delmålene i bøkene og dekker hele lærestoffet for hvert halvår og helår. Prøvene gir læreren god oversikt over elevenes grunnleggende ferdigheter, og verktøyet egner seg godt for samtaler med de foresatte og planlegging av elevenes videre arbeid. Elevene får tilgang til prøvene ved å logge seg inn fra nettstedet til Radius. Resultatene sendes direkte til Vokal når elevene leverer prøven. Resultatene lagres, og læreren får oversikt over ferdighetene til den enkelte elev og klassen samlet. For å få tilgang til prøvene må skolen være tilknyttet Vokal. Radius Regnemester Med Radius Regnemester øver elevene først og fremst på ulike regnestrategier. Men her finner de også øvingsoppgaver til alle grunnleggende emner i læreplanen. Radius Regnemester egner seg for øving på grunnleggende ferdigheter, til stasjonsundervisning og til differensiering. Radius Pokal Radius Pokal er utviklet med støtte fra Utdanningsdirektoratet for grunnleggende ferdighetstrening i matematikk. Her trener elevene på alle sentrale emner og samler pokaler i sin egen premiehylle. Progresjonen er rolig og systematisk. Resultatene blir lagret. Radius Pokal har også verksteder for bruk på interaktiv tavle og motiverende spill. Via lærerlisensen får læreren oversikt over resultatene til alle sine elever. Leksehjelp og omvendt undervisning Nettstedet inneholder videoer til alle eksemplene i Radius 5–7. Videoene egner seg for leksehjelp og repetisjon. Elevene trenger ikke å registrere seg for å se videoene. Hvis videoene skal brukes til omvendt undervisning, må læreren først registrere seg på Campus Inkrement (via snarvei fra Radius Digital) og opprette en klasse. Nå kan læreren følge progresjonen til elevene ved at de svarer på kontrollspørsmål underveis i videoene.

Tavlebøker Alle grunnbøkene er tilgjengelig som digitale versjoner for visning på interaktiv tavle og inneholder verktøy som stillbar klokke og tallinje. Læreren kan legge til egne kommentarer og lenker selv. Tavlebøkene egner seg for å samle klassen om sidene i bøkene, for dialog og for gjennomgang av lærestoffet.

Ressurser for interaktiv tavle Ressursene er utviklet for bruk på interaktiv tavle og egner seg blant annet for arbeid med regnefortellinger, trening på klokka og visualisering av regneoperasjoner langs tallinja. Prøver og kopieringsoriginaler Nettstedet inneholder skriftlige halvårs- og helårsprøver og kopieringsoriginaler for utskrift.

Oppbygningen av Radius

Grunnleggende ferdigheter Radius ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk fra revidert læreplan – 2013. «Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.» I Radius innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket. Hvert kapittel inneholder sammen-oppgaver på farget bakgrunn. Disse oppgavene er ofte åpne problemløsingsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller i små grupper. Radius oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsingsoppgavene på sine egne måter og forklare og presentere det de er kommet fram til. «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil det seie å lage teikningar, skisser, figurar, grafar, tabellar og diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Skriving i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle uttrykksformer

Grunnleggende ferdigheter

til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse samanhengar.» Radius legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok. I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på. I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elvene øve seg på presise problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene. «Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.» Radius har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Radius legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet. Gjennom sant-eller-usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står har gyldighet eller ikke. «Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep,

framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem. Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar. Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er. Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og kommunikasjon.» I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Radius legger til rette for at elevene skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

Radius vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning. Elevene lærer også å ta i bruke ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske, dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer. «Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing, simulering og modellering. Vidare vil det seie å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.» Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til bergninger, presentasjoner og simuleringer.

Grunnleggende ferdigheter

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Radius jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi. I Radius jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttegjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Radius vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

VII

Utvikling av regnestrategier

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar. Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Radius kaller regning via tiere. Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Radius vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne bruke gode visualiseringsmodeller. I Radius viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinjen kommer fra Freudenthal-instituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Radius bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Radius bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker. Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

10 7

Eksempel:

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

450 – 302 = 148

Eksempel 1

+ 40

302 310

+ 100

350

450

54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4. Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

– 100

Eksempel 2 302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

– 100

+2 300 302

350

54 : 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24. Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

450

Visuelle modeller

54 30

VIII

Thinking blocks Thinking blocks er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker thinking blocks i Radius, er det som eksempler på hvordan metoden kan brukes. Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut. Thinking blocks har et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner. Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen. 17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger? Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

}

250 kr

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon. Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen. Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24. Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a. 6

Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall. Samme eksempel som over kan se slik ut i et tomt rutenett: 10 7

100

Ved å erstatte rutenettet med et tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse. Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet. Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

Visuelle modeller

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Radius legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klasseromssamtalen og samtale elevene imellom står sentralt gjennom hele verket. I klasseromssamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne elever de andre elevene ser på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite NO answer». Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men allikevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om. Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning. Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i kasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem. Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses. Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler. •• Del ut en lapp til hver elev. •• Be elevene skrive navnet sitt på lappen. •• Skriv det du vil ha elevenes tanker om på tavla. •• Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten. •• Samle inn lappene. •• Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer. •• Ta tak i et svar eller løsningsforslag som innholder en feil eller misoppfatning du har lyst til å få oppklart. •• Skriv løsningsforslaget på tavla. •• Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig. •• Spør så klassen hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene. For å venne elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men oppgaven illustrer at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker ikke nødvendigvis er feil. Eksempel: Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken? Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det finnes tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke. Begynn med det svaret det er flest av, og skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.» Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?» Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul. Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram. I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis én eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen. Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og antageligvis én eller flere med 90 000 og kanskje 99 000.

Lappemetoden

Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret. Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er

det største sifferet som kan stå på titusenerplassen. Bekreft svaret.

Spill som metode / pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp.

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier. Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine.

Spill og lek i matematikkundervisningen, bidrar til at •• tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevenes egen arena •• elevene utvikler strategisk tenking, og at de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse •• elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng. Variasjon i metoder skaper engasjement i faget. Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

Lappemetoden

Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Eksempel fra dette spillet: Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang. Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større. Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage. På den måten utvikles også tallforståelsen.

Kapittel 8 – Måling

Kapittel 7 – Desimaltall

Grunnbok 5 B Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål (i sin helhet)

•• Kunne plassverdisystemet for desimaltall: tideler og hundredeler. •• Kunne addere og subtrahere med desimaltall. •• Kunne gjøre overslag med desimaltall.

•• •• •• ••

Desimaltall Tideler Hundredeler Addisjon og subtraksjon Oppstilling addisjon Oppstilling subtraksjon Avrunding Overslag Regneark

•• beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina •• utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar •• finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

Lengdemål Areal og omkrets Areal til trekanter Sammensatte figurer •• Geometriske figurer i GeoGebra

•• gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er •• forklare oppbygginga av mål for lengd, areal og volum og berekne omkrins, areal, overflate og volum av to- og tredimensjonale figurar

•• •• •• •• ••

•• Kunne velge hensikts messige måleenheter og måleredskaper for lengde, høyde og bredde i praktiske situasjoner •• Kunne gjøre overslag, vurdere og måle lengder i meter, desimeter, centimeter, millimeter. •• Kunne regne om mellom måleenhetene. •• Kunne bruke enhetene cm2 og m2 for areal. •• Kunne regne ut omkretsen til todimensjonale figurer. •• Kunne regne ut arealet av rektangler og trekanter.

•• •• •• ••

Mål for 5. trinn

XII

Kapittel 9 Kapittel 10 XIII

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål (i sin helhet)

•• Kunne forklare multi plikasjon og divisjon som motsatte regneoperasjoner. •• Kunne bruke dobling og halvering for å løse multiplikasjons- og divisjonsoppgaver. •• Kunne løse oppgaver med flere regneoperasjoner i samme regneoppgave. •• Kunne løse tekstoppgaver med multiplikasjon og divisjon.

•• Repetere multiplika sjon og divisjon •• Dobling og halvering •• Flere regneopera sjoner •• Multiplikasjon med tomt rutenett •• Divisjon •• Regneark – digitale verktøy

•• utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar •• finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga •• beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina

•• Repetere symmetri og speiling. •• Kunne beskrive og gjennomføre rotasjon. •• Kunne beskrive og gjennomføre forskyvning. •• Utforske og beskrive strukturer og forandringer i geometriske mønstre. •• Utforske og beskrive strukturer og forandringer i tallmønstre.

•• Repetisjon av symmetri og speiling •• Lage symmetribilder i GeoGebra •• Rotasjon •• Forskyvning •• Lage figurer med speiling i Geogebra •• Tallmønster •• Figurtall

•• utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar •• beskrive og gjennomføre spegling, rotasjon og parallellforskyving •• bruke forhold i praktiske samanhengar, rekne med fart og rekne om mellom valutaer

Mål for 5. trinn

Kapittel 11 Kapittel 12

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål (i sin helhet)

•• Bruke brøk for å angi del av en hel. •• Bruke brøk for å angi del av en mengde. •• Kunne lese av og plassere brøk på tallinja. •• Finne helheten når du vet brøkdelen. •• Kunne sammenlikne brøker. •• Kunne addere og subtrahere brøker med lik nevner.

•• Brøk – del av en hel •• Brøk – del av en mengde •• Brøk på tallinja •• Fra del til helhet •• Brøker med lik verdi •• Addisjon med brøk •• Subtraksjon med brøk •• Mer enn en hel

•• beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina •• finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar •• finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

•• Kunne velge passende måleenheter i praktiske situasjoner. •• Kunne regne om mellom måleenhetene kilogram, hektogram og gram. •• Kunne gjøre om mellom måleenhetene liter, desiliter, centiliter og milliliter. •• Kunne regne ut tiden mellom to ulike tidspunkt.

•• Måleenheter •• Kilogram, hektogram og gram •• Volum •• Tid

•• velje høvelege målereiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv og teknologi og vurdere resultata ut frå presisjon og måleusikkerheit •• gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er •• velje høvelege måleiningar og rekne om mellom ulike måleiningar

Mål for 5. trinn

XIV

Mål •• Kunne plassverdisystemet for desimaltall, tideler og hundredeler •• Kunne addere og subtrahere med desimaltall •• Kunne gjøre overslag med desimaltall

Begreper •• •• •• •• •• ••

Plassverdisystemet Desimaltall Desimaltegn Utvidet form Avrunding Overslag

Introduksjon til kapittel 7 Antall desimaler i måltall Når det gjelder måltall (tall som står foran en måleenhet), er det vanlig å oppgi disse slik at måleusikkerheten ligger i siste desimal. Hvis vi for eksempel oppgir lengden 7,5 m, ligger måleusikkerheten i tidelen (dm). Vi kan ikke si om 7,5 m er større, mindre eller lik for eksempel 7,48 m. 7,5 m som avrundet tall kan være alt fra 7,45 m til 7,54 m. Det kan altså være enten større, mindre eller lik 7,48 m. For å kunne uttale oss om størrelsesforholdet mellom måltall, må de oppgis med samme antall desimaler. En vanlig misoppfatning hos elever om desimaltall er for eksempel at desimaltallet 3,14 er større enn 3,4. Hvis vi oppgir disse tallene med samme antall desimaler vil de derimot se at 3,40 er større enn 3,14. Noen ganger er det nødvendig å oppgi tall med ulikt antall desimaler til sammenligning, for å avsløre om noen elever sliter med slike misoppfatninger. Til slike sammenligninger bør vi bruke rene tallstørrelser, og ikke måltall.

Forklaring Hensikten med dette oppslaget er å aktivisere de kunnskapene elevene har om desimaltall. I den forbindelse kan det være nyttig å bruke «lappemetoden» (se side X i innledningen). Da vil du som lærer få et godt bilde av hvilke elever som sliter med misoppfatninger og manglende kunnskaper om desimaltall før dere tar fatt på kapitlet. Mange av disse elevene vil nok også få ryddet opp i sine misoppfatninger og/eller gjenoppfrisket sine kunnskaper ved å arbeide med spørsmålene på denne måten.

Desimaltall 16,5

17,5 18 17 18

Begynn gjerne med spørsmålet om stilkarakterer, det omhandler bare hele og halve. Dette er det området som de fleste mestrer. Spørsmålene om skiløypene vil avsløre hvem som behersker desimaltall med én desimal. Spørsmålet om hvilken løype som er nærmest 3,0 km, avslører om de kan disse desimaltallene. Elever som svarer 3,5 ser sannsynligvis bare på tallet foran komma.

Hvilken skiløype er nærmest 3,0 km? Hvor mye lengre er grønn skiløype enn blå? Hvem av elevene på bildet fikk gull, sølv og bronse i snøballkastingen? Hvor langt unna 43 m var Noor i snøballkastingen? Hva er den laveste og den høyeste stilkarakteren gutten i gul genser fikk for dette hoppet? Lag spørsmål og oppgaver til hverandre.

Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 6

Kapittel 7 Desimaltall

Klaus 41,23 m

12.02.15 09:28

Lappemetoden og desimaltall. Vi har skrevet om lappemetoden på side X. Denne metoden er spesielt godt egnet til å avsløre misoppfatninger om desimaltall. Les om metoden, og vær nøye med hvordan du stiller spørsmål til elevene.

tall mellom 2 og 3. Disse elevene har mangelfull forståelse for desimalsystemet, og det er nødvendig å jobbe mye med dette. Du kan også oppleve at 1 noen elever skriver 2,2 2 (to komma to og en halv). Samtal om svarene, og ta en runde til for å se om misoppfatningene oppklares.

Til samtalen på side 8 kommer vi med et forslag til en måte å bevisstgjøre elevene på hva et desimaltall egentlig er, altså tallene som ligger mellom de hele tallene på tallinja: «Skriv et tall mellom 1 og 2.» Noen elever sier kanskje at det ikke er noen tall mellom 1 og 2, disse vil nok komme på at det fins desimaltall i løpet av samtalen. Hvis majoriteten av elevene skriver 1,5, kan det være lurt, etter første samtale, å ta en runde til med: «Skriv et tall mellom 1,5 og 2.» Legg spesielt merke til om noen av de elevene som ikke fant noen desimaltall i første runde, finner et å skrive nå. Ved å jobbe etter denne metoden kan de aller fleste få tidelene på plass. Neste steg blir tallene som ligger mellom tidelene, altså hundredelene. «Skriv et tall mellom 2,2 og 2,3.» Her kan det igjen stoppe opp for noen elever, de mener det ikke fins noen tall mellom 2,2 og 2,3 fordi det ikke er noen hele

Når dere har jobbet med tideler og hundredeler, kan du bruke lappemetoden for å sjekke om noen har misoppfatninger når de skal forholde seg til tall med ulikt antall desimaler. Vær på vakt med hensyn til hvilke tall du bruker til sammenligning, slik at det ikke er tvil om hvilket tall som er størst hvis tallet med to desimaler rundes av til én desimal. Spør for eksempel: «Hvilket tall er størst av 3,14 og 3,4?»

Forklaring På dette oppslaget er det en del eksempler på situasjoner hvor elevene møter desimaltall. Spør elevene om i hvilke andre sammenhenger de kjenner til at vi bruker desimaltall.

Mål for kapitlet

Kunne plassverdisystemet for desimaltall: tideler og hundredeler Kunne addere og subtrahere med desimaltall Kunne gjøre overslag med desimaltall

+ 1

• • •

Rød løype ...... 2,9 km Blå løype ....... 3,5 km Grønn løype .. 7,0 km

Vilde 40,75 m

Noor 42,30 m

Samira 40,57 m

Ole 40,90 m

Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 7

12.02.15 09:28

Desimaltall

Å lese desimaltall med to desimaler Det er vanlig å lese et desimaltall med to desimaler, for eksempel 3,14 som «tre komma fjorten». I arbeid med elever som har misoppfatninger, eller for å unngå at slike dannes, kan det også være lurt å lese desimaltall med plassverdibenevnelse på desimaldelen. I dette eksemplet vil det bli «tre hele, én tidel og fire hundredeler». I norsk skole er det også mange som leser dette forenklet som «Tre komma én fire» med elevene. Lær elevene at tallet heter «tre komma fjorten», som betyr «tre hele, én tidel og fire hundredeler». Når de skal sammenligne to desimaltall, må de først se hvor mange hele de ulike tallene inneholder. Hvis dette er likt, må de se hvor mange tideler tallene inneholder. Hvis dette også er likt, må de se på antall hundredeler osv. Da kan det være greit å lese tallene litt forenklet og si for eksempel: «Tre komma én fire».

Desimaldiktat Lag en diktat hvor du leser tall med én og to desimaler på ulike måter. Varier mellom «tre komma fjorten», «tre hele, én tidel og fire hundredeler» og «tre komma én fire».

Desimaltall og tilhørende brøker som elevene bør kunne. Vi skal senere jobbe med sammenhengen mellom brøk og desimaltall. Men allerede nå er det viktig at elevene kjenner til at samme størrelse kan utrykkes på begge måter. Her viser vi noen brøker og tilhørende desimaltall som vi mener det er viktig at elevene kjenner til. Skriv gjerne disse på ukeplanen, slik at eleven lærer dem. Skriv brøken og desimaltallene på hver sine lapper, og få elevene til å pare dem.

Forklaring Repetere desimaltall

Samtale Vi bruker desimaltall når vi har behov for å uttrykke tall mellom de hele tallene. Nedenfor ser du tallinja mellom 0 og 1 forstørret.

7.1

For å visualisere ytterligere hva en tidel egentlig er, kan du tegne en figur på tavla som deles i ti like deler, og spørre elevene om hvor stor del av figuren som er en tidel.

7.2

Skriv = 0,1 på tavla. Velg et nytt desimaltall og gjør det samme. Dette er viktig både for forståelsen av hva en tidel er, og som forberedelse til å forstå sammenhengen mellom brøk og desimaltall.

Desimaltall

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Hvor mange like deler er det mellom 0 og 1 på denne tallinja? Kan du lese desimaltallene? Hvilket tall står midt mellom 0 og 1? Kan du uttrykke dette tallet med ord?

Deretter kan dere samtale i klassen om tallinjene på rasteret og arbeide med spørsmålene. Det siste spørsmålet er: «Kan du uttrykke dette tallet med ord?» Hvis ingen foreslår en halv, kan du spørre om de vet et annet navn vi kan bruke på desimaltallet 0,5.

1 10

7 • Desimaltall

Samtale Før dere åpner boka og starter denne samtalen, kan du dele ut en lapp til hver elev og be dem skrive et tall mellom 1 og 2. Selv om dere jobbet med desimaltall i kontekst på side 6 og 7, kan det være interessant å se om alle med en gang kommer med et desimaltall på sin lapp. Du vil også se om elevene bruker én eller flere desimaler når de kommer med forslag. Les mer om hvordan du kan bruke lappemetoden i arbeid med desimaltall på side X.

Bruk tallene du ser til høyre. a ) Skriv alle tallene som har større verdi enn 10.

b) Skriv alle tallene som har mindre verdi enn 10. c ) Hvilke av tallene har lik verdi?

1,7 1,0

1,70 17

9,9 1

10,01

0,10

Les tallene på tallinja inni deg. 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 a) Skriv et desimaltall som har mindre verdi enn 1,5. b) Hvilket desimaltall kommer etter 0,9 på denne tallinja?

8 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 8

12.02.15 09:28

1 2

= 0,5

1 4

= 0,25

3 4

= 0,75

1 10

= 0,1

1 100

Hvis du vil ha kontroll på spredningen av tallene, kan du forberede oppgaven med at du selv har skrevet de tallene som du vil bruke til oppgaven på lapper.

= 0,01

1 1000 1 5

Sammen Hver elev får en lapp og skriver hvert sitt hele tall eller desimaltall på denne. Alle lappene samles i en eske. Elevene deles i grupper, trekker hver sin lapp og stiller seg i rekkefølge innbyrdes i gruppa. Etterpå kan hele klassen stille seg i rekkefølge etter tallene på lappene.

= 0,001

= 0,2

Forklaring 7.3

7.4

Skriv tallene som mangler. a)

0,90

2,7

2,8

0,50

1,00

2,00

0,50

0,75

1,25

1,10

Oppgave 7.1 a) og b) Elevene skal sortere tallene i de som er større og de som er mindre enn 10. c) Så lenge dette ikke representerer måltall, ser vi bort fra måleusikkerhet.

1,20

2,9

Skriv tallene nedenfor med ord. a) 3,25 b) 2,10

Oppgave 7.2 Legg merke til om noen elever skriver 1,1 som svar på oppgave b). Noen elever kan si at 1,0 ikke er et desimaltall fordi det ikke har noen desimaler. Samtal om dette, at 1,0 er et desimaltall, men at sifferet etter komma er 0.

c ) 0,41

Fem komma tretten eller fem komma en tre.

7.5

Hvilket desimaltall passer til tegningen? a)

0,5 1,0 1,5

Oppgave 7.3 Enkle tallfølger med desimaltall. Oppgave d) er litt mer utfordrende enn de andre.

3,25 3,14 3,4

Sammen • Skriv et helt tall eller et desimaltall på en lapp. Putt alle lappene i en eske. Fem elever trekker hver sin lapp fra esken og stiller seg i rekkefølge fra tallet med minst verdi til tallet med størst verdi. • Snakk om tallenes rekkefølge. Hvordan vet vi hvilken rekkefølge tallene kommer i?

Oppgave 7.4 Om å lese/skrive desimaltall med ord, se kommentarer over samtalesidene.

9 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 9

Oppgave 7.5 Elevene skal gjenkjenne enkle brøker som desimaltall. Bruk gjerne litt tid på dette. Se forslag over.

12.02.15 09:28

Desimaltall 9

Desimaltall og misoppfatninger Mange elever har vanskelig for å forstå hva desimaltall egentlig er. De kan danne seg mange ulike misoppfatninger. Noen av de vanligste misoppfatningene er: •• At et desimaltall består av to hele tall. Eksempel: 3,45 består av to hele tall, 3 og 45. •• At tallet er større jo flere desimaler det har. Eksempel: 0,452 er større enn 0,52 fordi 452 er større enn 52. •• At tallet er mindre jo flere desimaler det har. Altså er et tall som har tusendeler, mindre enn et som bare har hundredeler. Eksempel: 0,452 er mindre enn 0,42 •• At når vi setter nuller på desimalplassene, endrer tallet verdi. Eksempel: 0,4 er ikke det samme som 0,40 •• At det ikke fins noen tall mellom 0,2 og 0,3 fordi det ikke fins noe helt tall mellom 2 og 3. Lappemetoden er en god metode for å identifisere hvilke misoppfatninger elevene måtte ha om desimaltall. Ved å bruke denne metoden gjentatte ganger kan elevene selv bli i stand til å oppklare sine misoppfatninger og klare å bli kvitt dem.

Plassverdisystemet for desimaltall Å forstå plassverdisystemet (posisjonssystemet) er grunnleggende i arbeid med matematikk. Undersøkelser viser at elever på mellomtrinnet som strever med matematikk, ofte mangler denne grunnleggende forståelsen (Neumann 1989). Disse elevene får også problemer med måleenhetene som er bygd opp rundt titallsystemet, og de får problemer med desimaltallene. Titallsystemet har fire karakteristiske trekk som det er viktig at elevene utvikler en forståelse for: •• Plassen et siffer står på, avgjør verdien. •• Vi har en gruppering av tiere. •• Vi bruker 0 som plassholder. (Den markerer en mengdeangivelse. Når sifferet 0 står på for eksempel tierplassen, markerer det at vi ikke har noen tiere.) •• Vi kan finne et talls verdi ved å addere alle plassverdiene. Når vi går over til desimaltall, markerer vi skillet mellom heltallsdelen og desimaldelen med et desimaltegn. I Norge bruker vi komma.

Forklaring 7 • Desimaltall

Oppgave 7.6 En øvelse i å identifisere og skrive desimaltall. Oppgave 7.7 Number bonds. En øvelse i å dele opp en hel i to desimaltall. Oppfordre elevene til å tegne number bonds i bøkene sine og fylle inn det desimaltallet som mangler.

Tideler

Eksempel Når vi deler en hel i ti like deler, får vi tideler. Hver rute er en tidel av en hel. 5 tideler = 0,5 0,1

7.6

Samtale En samtale om desimaltall med én desimal, hva sifrene betyr. Bruk gjerne lappemetoden og be elevene skrive hvor mange tideler det er i hele tallet. Da vil du få et bilde av om elevene klarer å overføre kunnskapen om at det er ti tideler i én hel, til et hvilket som helst desimaltall. I samtalen kan dere gå tilbake til eksemplet og se at det er ti tideler i én hel. Etter samtalen kan du prøve lappemetoden en runde til med et annet desimaltall, for eksempel 3,4, og se om alle nå henger med.

7.7

0,1

Desimaltall

0,2

0,1

0,3

0,1

0,4

0,1

0,5

0,1

0,6

0,1

0,7

0,1

0,8

0,1

0,9

1,0

Hvor mange tideler er fargelagt? Skriv som desimaltall. a)

a)0,1

0,1

b)0,1

0,1

c )0,1

0,1

En hel til sammen. Skriv desimaltallet som mangler. a)

1 0,3

1 ?

1 0,5

0,6

1 ?

0,9

10 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 10

0,1

12.02.15 09:28

De karakteristiske trekkene for desimaltallene, som det er viktig at elevene uvikler forståelse for, er: •• Sifrene på begge sider av komma utgjør til sammen ett tall. Dette tallet består av en heltallsdel og en desimaldel •• Sifrene til venstre for komma representerer heltallsdelen, og sifrene til høyre for komma utgjør desimaldelen. •• For hver plass du beveger deg mot vestre, øker verdien på plassen med en tierpotens, og for hver plass du beveger deg mot høyre, minker verdien på plassen med en tierpotens, på begge sider av komma.

Spill: Klarer du 9,9? Et spill for 2–4 elever. Elevene kaster terning etter tur. Hver gang velger de enten enerverdien eller tidelsverdien av det terningen viser. Eksempel: Terningen viser tre, eleven velger om han/hun skriver 0,3 eller 3,0 i sin tabell. Etter fem kast summeres tallene. Den som er nærmest 9,9, har vunnet.

, , , , ,

Forklaring Samtale

Oppgave 7.8 Elevene skal finne og skrive desimaltallene som er illustrert. Bruke gjerne base-10-materialet og lag flere tall. Skriv også tall på tavla som elevene kan illustrere med base-10-materialet.

2,3 enerplassen tidelsplassen desimaltegn Hvor mange hele og hvor mange tideler er det i 2,3?

7.8

Hvor mange tideler er fargelagt? Skriv som desimaltall. a) b) c)

7.9

Oppgave 7.9 Oppfordre elevene til å skrive de oppgitte desimaltallene i boka si og sette strek under eller ring rundt sifferet på tidelsplassen.

Hvilket siffer står på tidelsplassen? a) 1,5 b) 2,7 d) 0,6 e ) 10,28

Differensiering De elevene som trenger ekstra utfordringer, kan få i oppgave å skrive sifferet som tidel. Eksempel: 1,5 – tidelen i dette tallet er 0,5.

c ) 1,9 f ) 3,05

1,5

11 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 11

12.02.15 09:28

Desimaltall 11

Telling For at elevene skal få på plass systemet med desimaltall, er det å telle en god aktivitet. Tell med ulike intervall, og start på ulike steder. Begynn med rekketelling med én desimal, og se om elevene automatisk går over til nytt heltall etter sifferet 9 som desimal, eller om de sier komma ti. Eksempel: 2,7 – 2,8 – 2,9 – 3,0 – 3,1 … Tell forlengs og baklengs til alle behersker denne overgangen. Fortsett å telle med andre intervaller. Eksempel: 0,2 - 0,4 - 0,6 … 8,0 - 8,5 - 9,0 – 9,5 … 4,2 - 4,5 - 4,8 … Ikke glem å telle baklengs.

Telleaktivitet Elevene står i ring, læreren starter å telle og tar eleven til høyre for seg på skulderen. Denne eleven teller videre, tar neste elev på skulderen, denne igjen teller videre, osv.

Når elevene er kjent med aktiviteten, kan en elev eller læreren velges ut til å si «switch». Den som teller, må da «skifte retning». Teller vedkommende forlengs, må han/hun begynne å telle baklengs, og omvendt. Tellingen fortsetter rundt i ringen.

Tallinje Å bruke tallinje er en god metode for å visualisere tallene mellom de hele tallene. Skriv ulike hele tall og desimaltall på lapper. Bruk et tau som tallinje, og be elevene legge lappene på riktig plass på tallinja, eller heng opp snorer og la elevene feste lappene med klesklyper.

Spill: Stige med 8 trinn Spillet går ut på å lage tall med ett heltall og én desimal i stigende rekkefølge. Hvert elevpar trenger: To terninger og hver sin søyle med 8 ruter.

Forklaring 7 • Desimaltall

Oppgave 7.10 Vær spesielt oppmerksom på hva elevene svarer fra oppgave c) og utover. Oppgave d), e), f), og i): Legg merke til om de øker tidelen, eller om de skriver sifferet 2 på hundredelsplassen. Oppgave c), f), g) og h): Legg merke til om de får med seg overgangen til nytt heltall.

7.10

Øk tallenes verdi med to tideler. 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 a) 1,2 d) 4,20 g) 7,9

7.11

Oppgave 7.11 Elevene skal analysere desimaltallene. Elevenes løsninger på denne oppgaven vil gi deg et godt bilde av om elevene har forståelse for desimaltall.

b) 1,5 e ) 0,70 h) 3,8

c ) 1,9 f ) 1,80 i ) 5,30

Velg riktig tall.

2,2

7,7

5,2

6,9

3,8

3,1

1,2

4,3

4,8

10,1

a) Skriv tallet som har lavest verdi, og tallet som har høyest verdi. b) Skriv alle tallene som har lavere verdi enn 3,9. c ) Skriv alle tallene som har sifferet 2 på tidelsplassen. d) Hvilket tall er nærmest 4 i verdi? e) Hvilke to desimaltall blir til sammen et helt tall? Det er flere løsninger.

Oppgave 7.12 Legg merke til om elevene husker å ta hensyn til heltallet og ikke bare sorterer etter hvilket tall som har høyest siffer på tidelsplassen.

7.12

Skriv tallet med høyest verdi. 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 a) 3,2 eller 2,7 d) 1,9 eller 1,2 g) 2,3 eller 3,2

b) 2,9 eller 2,1 e ) 0,9 eller 0,8 h) 2,8 eller 3,7

c ) 4,6 eller 6,4 f ) 5,7 eller 6,2 i ) 1,4 eller 4,1

12 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 12

Desimaltall

12.02.15 09:28

Regler •• Spiller A slår to terninger og velger hvilken terning som representerer heltallet, og hvilken som representerer desimalen. •• Hvis spilleren for eksempel slår 2 og 5, velger han/hun om slaget skal telle 2,5 eller 5,2. •• Det tallet som spilleren velger, skrives inn på ett av trinnene i stigen. •• Spiller B gjør det samme. •• Spillerne skifter tur, slår terning, velger tall og skriver tallet inn i stigen. •• Hvis en spiller ikke får dannet et tall som det er plass til i stigen, er det den andre spillerens tur. •• Den som først får fylt sin stige med tall i stigende rekkefølge, har vunnet.

Forklaring 7.13

Hvilket desimaltall beskriver hvor stor del av figuren som er skravert? a)

0,2 0,5 0,8

Oppgave 7.14 Oppgave med desimaltall i kontekst. Legg spesielt merke til hvordan elevene forholder seg til at to fisker har samme vekt (masse).

0,5 0,1 0,3

2,0 0,2 0,8

7.14

Oppgave 7.13 Elevene skal identifisere rett desimaltall ut fra figurene.

0,1 1,0 10,0

Petter, Ole, Tore, Heidi og Sara deltok i isfiskekonkurranse. Tabellen viser størrelsen på den tyngste fisken hvert barn fisket i konkurransen. Navn

Petter

Ole

Tore

Heidi

Sara

Størrelse

0,9 kg

1,7 kg

0,5 kg

1,7 kg

2,0 kg

a ) b) c ) d)

Skriv tallet med høyest verdi. Hvem fikk fisken som veide mest? Hvem fikk en fisk som veide mer enn 1,5 kg? Lag en resultatliste for isfiskekonkurransen.

13 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 13

12.02.15 09:29

Desimaltall 13

Desimaltall på utvidet form Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. På mellomtrinnet, også i Radius 5B, sier vi at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusener, hele hundrere, hele tiere og enere. Eksempel: 6 723 = 6 000 + 700 + 20 + 3 Når man skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi, ser man tydelig hvordan et flersifret tall er bygd opp av sifre og plassverdier. Eksempel: 6 723 = 6 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1 I enkelte tilfeller skrives også et tall på utvidet form ved bruk av tierpotenser for plassverdiene. Eksempel: 6 723 = 6 · 103 + 7 · 102 + 2 · 10 + 3 · 100 Det samme systemet kan vi bruke for å skrive desimaltall på utvidet form. Eksempel: 0,4372 = 0,4 + 0,03 + 0,007 + 0,0002 Skrevet som addisjonsstykke der leddene er produkter av de enkelte sifrene og deres plassverdi: 0,4372 = 4 · 0,1 + 3 · 0,01 + 7 · 0,001 + 2 · 0,0001

Skrevet med tierpotenser for plassverdi: 0,4372 = 4 · 10-1 + 3 · 10-2 + 7 · 10-3 + 2 · 10-4 Et blandet tall, for eksempel 532,489 skrevet på de tre formene blir da slik: 532,489 = 500 + 30 + 2 + 0,4 + 0,08 + 0,009 532,489 = 5 · 100 + 3 · 10 + 2 · 1 + 4 · 0,1 + 8 · 0,01 + 9 · 0,001 532,489 = 5 · 10² + 3 · 10 + 2 · 100 + 4 · 10-1 + 8 · 10-2 + 9 · 10-3 Vi ser tydelig at for hver plass vi beveger oss mot vestre, øker verdien på plassen med en tierpotens, og for hver plass vi beveger oss mot høyre, minker verdien på plassen med en tierpotens, på begge sider av komma.

Lage desimaltall med to desimaler Del elevene i grupper. Hver gruppe trenger et ringspill eller en blink og et antall ringer eller erteposer. Bruk for eksempel et ringspill hvor den midterste pinnen representerer heltallet, to av armene representerer tidelene og to av armene representerer hundredelene.

Forklaring 7 • Desimaltall

Oppgave 7.15 Elevene er kjent med hvordan tall skrives på utvidet form, men her møter de det for første gang med desimaltall.

7.15

Utvidet form. a) Skriv som desimaltall: 30 + 5 + 0,2 =

10 10

0,1 0,1

b) Skriv som desimaltall: 40 + 0,3 =

Bruk gjerne denne oppgaven til å samtale med elevene om hvordan desimaltall skrives på utvidet form. Oppgave 7.16 og 7.17 I denne oppgaven møter elevene null på enerplassen og tidelsplassen i oppgave d), e) og f). Elevene vil kanskje skrive for eksempel d) som: 30 + 0 + 0,7. Det er ikke vanlig å skrive leddet med null, men ikke rett på dem som gjør det. Det er ingen feil med forståelsen til dem som gjør det, snarere tvert imot.

10 10

0,1 0,1

10 10

0,1

c ) Skriv som desimaltall: 20 + 6 + 0,5 =

10 10

Oppgave 7.18 Tallene er skrevet på utvidet form, elevene skal skrive tallene som desimaltall.

0,1 0,1 0,1

0,1 0,1

7.16

Skriv tallet på utvidet form. a) 3,7 b) 9,8 d) 30,7 e ) 14,0

7.17

Skriv tallet på utvidet form. a) 35,7 b) 91,4 c ) 30,6 d) 24,9 e) 123,4 f ) 102,5

c ) 25,1 f ) 0,5

Utvidet form: 31,7 = 30 + 1 + 0,7

14 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 14

Desimaltall

12.02.15 09:29

Elevene kaster for eksempel fem ringer hver og skriver tallet som deres treff representerer.

RE ND HU

Hvis dere ikke har ringspill, kan dere tegne en stor blink hvor den indre sirkelen representerer heltallet, neste sirkel tidelene og den ytterste sirkelen hundredelene. Blinken ligger på gulvet, og elevene kaster for eksempel fem (eller hvor mange dere måtte ønske) erteposer mot blinken.

LER

L DE

TIDE

ER L TAL HEL

L TAL HEL

RE ND HU

LER

TIDE

L DE ER

Etter for eksempel tre runder kan elevene summere resultatene sine og se hvem som fikk den høyeste verdien.

HELTALL

TIDELER

HUNDREDELER

Forklaring 7.18

7.19

7.20

7.21

Regn ut. a) 2 + 0,7 = d) 40 + 3 + 0,6 =

b) 10 + 5 + 0,3 = c ) 20 + 0,9 = e ) 100 + 5 + 0,1 = f ) 300 + 40 + 0,2 =

Oppgave 7.19 Elevene skal identifisere hvilket tall som mangler når desimaltallene er skrevet på utvidet form.

Tallene er skrevet på utvidet form. Skriv tallene som mangler. a) 35,7 = 30 + 5 +

b) 91,4 = 90 + 1 +

c) 30,6 = 30 +

d) 24,9 = 20 + 4 +

e ) 65,2 = 60 + 5 +

f ) 93,7 = 90 + 3 +

Skriv tallene med siffer. a) En komma tre

b) Seks komma sju

c) To komma fire

d) Tre komma tre

e) Atten komma tre

f ) Nittini komma ni

Oppgave 7.20 Elevene skal lese tallene og skrive desimaltallet. Oppgave 7.21 Denne oppgaven har mange svar.

Lag addisjonsstykker av to og to desimaltall slik at de blir hele tall.

15,3

5,8 6,2

16,9

17,4 8,6

1,1

2,3 0,7

Differensiering Denne oppgaven differensierer seg selv, de svakeste elevene kan for eksempel lage to eller tre addisjoner. De kan bruke de samme tallene flere ganger.

3,1 5,7 1,9

Sammen • Tenk på et desimaltall med mindre verdi enn 10. Skriv ned tallet. De andre skal stille spørsmål for å finne ut hvilket tall du tenker på. De kan stille ti spørsmål før de må gjette tallet. Du har bare lov til å svare ja eller nei. • Bytt roller.

Oppfordre de elevene som trenger ekstra utfordringer til finne løsninger med flere enn to tall i addisjonene. Sammen Elevene arbeider i læringspar eller i små grupper.

15 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 15

12.02.15 09:29

Desimaltall 15

Tideler og hundredeler på brøkform og desimalform Vi har tidligere skrevet om å skrive desimaltall på utvidet form. Det kan også være nyttig å lære elevene å skrive desimaltallene på brøkform. Det er med på å synliggjøre hva desimalene egentlig er, og vil gjøre forståelsen for sammenhengen mellom brøk og desimaltall enklere. I USA leses desimaltall alltid med benevning av den plassen som det siste desimalet står på. For eksempel leses 2,4 (2.4 som de skriver i USA) som «two and four tenths», altså «to og fire tideler» på norsk. 2,45 vil da bli lest som «to og førtifem hundredeler» og 2,456 som «to og 456 tusendeler». I USA leser de altså desimalene som om det var en brøk. I Norge kutter vi denne benevningen, vi leser altså bare telleren. Dette kan være en av grunnene til at norske elever ser på tallet etter komma, desimalene, som et heltall og tror at 0,254 er større enn 0,54 fordi 254 er større enn 54. Bruk gjerne litt tid på å lese desimaltall på engelsk med elevene, det kan bidra til å bevisstgjøre hva desimalene i tallene egentlig representerer.

Det er derfor en nyttig øvelse å la elevene skrive desimaltall som brøk. Skriv noen desimaltall på tavla og be elevene skrive tallene som brøk, med 10 eller 100 som nevner. Eksempel: 0,3 – 0,03 – 0,33 – 0,5 – 0,05 – 0,55 osv. Velg også noen tilfeldige desimaltall, og bland tall med én og to desimaler. Eksempel: 0, 7 – 0,35 – 0, 48 – 0,2 osv. Noen elever trenger ekstra utfordringer. Utfordre disse elevene til å skrive for eksempel 0,7 – 0,3 osv. som hundredeler.

Forklaring

Spør elevene hvor mange hundredeler de tror det er i en tidel. Vis på tavla. Hvordan skriver vi ti hundredeler som brøk, og hvordan skriver vi ti hundredeler som desimaltall? Snakk om at disse tallene har samme verdi. Gå til spørsmålet om hvor mange ruter som må fargelegges for å vise 0,36. Hvordan kan vi skrive 0,36 som brøk? Spør hvordan desimaltallet ville se ut hvis dere hadde to hele og 36 hundredeler. Skriv tallet på tavla. Videre snakker dere om hva de ulike sifrene i dette tallet representerer, som vist i boka.

7 • Desimaltall

Samtale Start med å snakke med elevene om hva som skjedde da dere delte en hel inn i ti like store deler. Figuren på denne siden er delt inn i 100 like store deler. Hvordan skriver vi en tidel? Hvordan skriver vi en hundredel? Skriv både brøkene og desimaltallene på tavla. Hvordan leser vi 0,1? Hvordan leser vi 0,01? 1 1 Hvordan leser vi 10 ? Hvordan leser vi 100 ? 1 Les også 0,1 er det samme som 10 . Les 0,01 er det 1 samme som 100 .

Hundredeler

Samtale Når vi deler en hel i 100 like store deler, får vi 100 hundredeler. Når vi deler en hel i 100 like store deler, får vi 100 hundredeler. 1 = 0,01 100 Vi leser det slik: Én hundredel er lik null komma null én. Hvor mange ruter må vi fargelegge for å vise 0,36? enerplassen

7.22

Hvor mange hundredeler er fargelagt? Skriv som desimaltall. a)

7.23

Desimaltall

hundredelsplassen tidelsplassen

desimaltegn

Hvor mange ruter må fargelegges for å vise desimaltallet? a) 0,08 b) 0,10 c) 0,45 d) 0,99

16 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 16

2,36

12.02.15 09:29

Skriv desimaltallene som brøk 1 0,1 = 10

Skriv brøkene som desimaltall

35 0,35 = 100

3 10

0,7 =

0, 42 =

7 10

0,3 =

0, 17 =

9 10

0,4 =

0,83 =

35 100

0,2 =

0, 53 =

49 100

0,5 =

0,21 =

25 100

0,8 =

0,95 =

7 100

0,9 =

0, 08 =

1 100

Forklaring 7.24

Hvilket tall passer ikke til tegningen?

Oppgave 7.22 Elevene skriver det tilhørende desimaltallet.

a) 0,02

To tideler

0,20

Oppgave 7.24 Elevene skal finne ut hvilket av de oppgitte tallene som ikke svarer til illustrasjonen. Denne oppgaven egner seg godt som sammenoppgave. Elevene kan først bli enige to og to om hvilket tall som skal ut. Da får de øvelse i å begrunne og argumentere for det de mener er rett.

b) 1,7

1,07

En hel og sju hundredeler

1,32

En hel og trettito hundredeler

0,32

1,0

Hundre hundredeler

Oppgave 7.25 Oppfordre elevene til å skrive de oppgitte desimaltallene i boka si og sette strek under eller ring rundt sifferet på hundredelsplassen.

imaltall. d) 10

Eller oppfordre dem til å skrive sifferet som hundredel. Eksempel: 1,43 – hundredelen i dette tallet er 0,03.

allet?

7.25

Hvilket siffer står på hundredelsplassen? a) 1,43 b) 5,12 d) 12,35 e ) 9,98 g) 7,26 h) 16,01

c ) 1,50 f ) 10,25 i ) 100,01

17 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 17

12.02.15 09:29

Desimaltall

Telling Se side 12 om telling med desimaltall. Tell også med hundredeler med elevene, varier hvor du begynner, og tell med ulikt intervall. Eksempel: 0,10 – 0,20 – 0,30 osv. 0,25 – 0,30 – 0,35 osv. 0,28 – 0,48 – 0,68 osv. Husk å telle både forlengs og baklengs. Se også telleaktivitet side 12.

Halvering og dobling, muntlig aktivitet Denne aktiviteten passer godt å gjøre først som lærerstyrt aktivitet i hele elevgruppa. Etterpå kan elevene få lignende utfordringer som sammenoppgaver i grupper.

Hva skjer ved halvering av et desimaltall med tideler når tallet på tidelsplassen er et partall, og når det er et oddetall? Be eleven om å halvere noen desimaltall, for eksempel: 0,4 – 0,5 – 2,6 – 3,2 – 4,5 – 5,7 osv. Tall med oddetall både som heltall og desimaltall er svært utfordrende å halvere. Avpass vanskelighetsgraden til de enkelte elevene/ elevgruppene. Dobling av desimaltall er enklere, men gjør allikevel noen av de samme øvelsene med doblinger.

Hva vet elevene om partall og oddetall? Halvering av partall er greit, det gir alltid et heltall. Halvering av oddetall gir ikke heltall, men et desimaltall. Be elevene om å halvere noe oddetall, for eksempel 3, 11, 25 osv.

Forklaring 7 • Desimaltall

Samtale Her visualiseres hundredeler ved hjelp av tallinje. Bruk spørsmålene i boka. Telleøvelsen er viktig for å få med seg overgangene fra 0,9 til 1,0. Tell på samme måte fra 0,01 til 0,10.

Samtale

1,5

1,6

1,7

Hvilket desimaltall har høyest verdi av 1,08 og 1,10?

7.26

Hvilket tall skal stå der pila peker? b) a)

1,10

7.27

2,9

7.28

1,20

Hvilket tall skal stå der pila peker? b) a) 2,95

c) 3,0

Desimaltallet øker med en hundredel. Skriv tallet. a) 0,12 b) 1,50 c ) 2,29 d) 10,89 e) 6,99 f ) 9,99

18 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 18

Desimaltall

1,4

Hvor mange hundredeler er det i en tidel? Hvor mange hundredeler er det i en hel? Tell i kor fra 0,1 til 1,0.

Oppgave 7.28 og 7.29 I oppgavene e) og f) blir det overgang til nytt heltall. Disse kan være utfordrende for noen elever. Oppgaven gir et godt bilde av hvilke elever som har forståelsen for desimaltall.

1,3

1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

Oppgave 7.26 og 7.27 Elevene skal identifisere hvilke tall som skal stå ved pilene på tallinja. Oppfordre elevene til å tegne tallinjene i boka si og skrive på tallene som det spørres etter.

Oppgave 7.30 Her møter elevene tall med både én og to desimaler som skal sorteres i rekkefølge. Oppgaven gir et godt bilde av om elevene skiller på tideler og hundredeler, for eksempel om de ser at 1,70 er mindre enn 1,8.

1,0 1,10 1,2

0,9

12.02.15 09:29

Halvparten

Dobbelt

Halvparten

Dobbelt

0,4

0,5

2,4

0,05

0,6

0,3

1,6

0,03

0,8

0,9

0,08

4,9

Forklaring 7.29

7.30

Desimaltallet minker med en hundredel. Skriv tallet. a) 0,61 b) 6,70 c ) 9,01 d) 12,1 e ) 5,00 f ) 32,0

Skriv tallene i rekkefølge. Start med tallet som har lavest verdi. a) b)

1,0 1,8 1,9

7.31

Oppgave 7.31 En øvelse i å sette komma på rett plass.

1,70 1,05 1,20

0,19 0,40 0,20

Skriv som desimaltall. a) tiere

enere

tiere

enere

Differensiering. De elevene som har god forståelse for desimaltall, kan oppfordres til å skrive som desimaltall den verdien det understrekede sifferet representerer. Eksempel: oppgave a) 0,05

tideler hundredeler

Oppgave 7.32 Denne oppgaven gir et godt bilde av elevenes forståelse for posisjonssystemet for desimaltall.

0,3 0,8 0,35

tiere

enere

tiere

enere

tideler hundredeler

d) tideler hundredeler

tideler hundredeler

Oppgave 7.33 La de svakeste elevene skrive hva det nye tallet blir når sifferet 4 byttes ut med sifferet 9.

7.32

Hvilken verdi har sifferet som er understreket? a) 4,35 b) 3,78 c ) 9,5 d) 21,77 e ) 88,62 f ) 35,56

7.33

Hvor mye øker verdien til tallet dersom sifferet 4 øker til 9? a) 142,21 b) 10,4 c ) 1,04 d) 4,54 e ) 73,44 f ) 444,44

19 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 19

12.02.15 09:29

Desimaltall 19

Hemmelige tall Desimaltall er vanskelig å forstå, det er derfor ekstra viktig at elevene får arbeide muntlig med dette temaet. Del elevene i grupper, og gi oppgaver med hemmelig tall. For å sikre at alle på gruppa blir delaktig i oppgaven, kan de ulike opplysningene skrives én og én på lapper. Lappene fordeles mellom elevene i gruppa. Elevene skal ikke gi fra seg lappen sin, men kan lese sin opplysning så mange ganger som gruppa trenger det, for å løse oppgaven. Når gruppa har kommet fram til et tall, leser de alle opplysningene én gang til. Hvis det stemmer, kan de ta fatt på neste oppgave som de løser på samme måte.

Hemmelig tall 1 ••Tallet er større enn 20 og mindre enn 50. ••Sifferet på tierplassen er halvparten av sifferet på tidelsplassen. ••Sifferet på tierplassen er et oddetall. ••Sifferet på hundredelsplassen er én mer enn sifferet på tierplassen. ••Sifferet på enerplassen er det dobbelte av sifferet på hundredelsplassen.

Forklaring 7 • Desimaltall

Oppgave 7.34 og 7.35 Desimaltall på utvidet form. I oppgave 7.34 c) møter elevene null på tierplassen, enerplassen og tidelsplassen. La de elevene som trenger det, få skrive nullene på de representative plassene på utvidet form.

7.34

Skriv tallet på utvidet form. a) 24,18 b) 142,96 c ) 100,02 d) 9,5

7.35

Skriv desimaltallet. a) 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,09 b) 500 + 20 + 90 + 0,9 + 0,04 c ) 200 + 3 + 0,07 d) 1000 + 40 + 5 + 0,8 + 0,05

7.36

5A har snøballkastekonkurranse. I tabellen ser du resultatet til de seks beste. Lag resultatliste til tabellen.

Utvidet form: 32,19 = 30 + 2 + 0,1 + 0,09

Oppgave 7.36 Oppgave med desimaltall i kontekst hvor elevene skal sortere tallene i synkende rekkefølge. Oppgave 7.37 Oppgaven viser om elevene har forståelse for plassverdisystemet for desimaltall.

7.37

Eva

Jon

Ivar

Sara

Omar

Paul

30,20 m

30,07 m

30,10 m

29,98 m

30,15 m

30,70 m

Bruk sifrene til å lage tall med to desimaler.

Oppgave 7.38 Differensiering. De elevene som syns denne oppgaven er vanskelig, kan oppfordres til å tegne tallinje.

a ) Hva er den høyeste verdien du kan lage? b ) Hva er den laveste verdien du kan lage? c ) Lag to ulike tall med sifferet 5 på tierplassen og sifferet 2 på hundredelsplassen.

7.38

Skriv tre desimaltall mellom a) 0,8 og 1,2 b) 1,98 og 2,02

c ) 31,57 og 31,61

20 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 20

Desimaltall

12.02.15 09:29

Hemmelig tall 2 •• Sifferet på enerplassen er tre ganger så stort som sifferet på tierplassen. •• Sifferet på hundredelsplassen er én mer enn sifferet på enerplassen. •• Sifferet på hundredelsplassen er et oddetall. •• Sifferet på tidelsplassen er det samme som sifferet på enerplassen i tallet 10.

Hemmelig tall 3 ••Produktet av sifrene på tierplassen og enerplassen er lik 12. ••Sifferet på enerplassen er mindre enn sifferet på tierplassen. ••Differansen mellom sifferet på tierplassen og sifferet på enerplassen er større enn 1. ••Verdien av sifrene på tidelsplassen og hundredelsplassen er lik . 1 4

Forklaring 7.39

Skriv tallene som mangler. a)

0,26

0,28

0,10

1,05 0,16

7.40

Oppgave 7.39 Tallfølger med desimaltall.

0,34

0,24

0,12

0,13

1,10

1,15

Oppgave 7.40 Differensiering Dette er en utfordrende oppgave. Se om flere får den til hvis prisen endres til 20 kr per meter.

0,48

Pappaen til Jørgen kjøper planker. Hvor mye må han betale for 10,5 m med plank? 19 kr per m

Sammen Dette er en utfordrende og tidkrevende sammenoppgave. La gruppene presentere løsningene sine for hverandre. Da får de øvelse i å begrunne og argumentere for sine løsninger.

Sammen Omar bygger hytte sammen med vennene sine. Han får fire planker av faren sin. 5,01 m 4,02 m

1,87 m 3,58 m

Hvordan bør Omar sage plankene når han trenger • • • •

to planker som er 2,34 m seks planker som er 0,25 m en planke som er 3,80 m tre planker som er 0,75 m

De betaler faren til Omar 2 kroner per meter for plankene. Hvor mye betaler de til sammen?

21 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 21

12.02.15 09:29

Desimaltall 21

Addisjon og subtraksjon av tideler – hoderegningsstrategier

Begge eksemplene viser den strategien som vi her i kapitlet har kalt regning via tiere.

Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan eleven bruke ved addisjon av desimaltall. 2,5 + 2,5 = 5,0. Dette kan de igjen bruke til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi.

Brukt på desimaltall blir eksemeplet slik: 3,8 + 2,7 = (3,8 + 0,2) + (2,7 – 0,2) = 4,0 + 2,5 = 6,5 eller (3,8 – 0,3) + (2,7 + 0,3) = 3,5 + 3,0 = 6,5

Eksempel: 2,6 + 2,5 = 2,5 + 2,5 + 0,1= 5,0 + 0,1 = 5,1. Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den.

Tiervenner pluss/minus 1 Tiervennene er vel de tallvennene som de aller fleste elevene kan aller best. Disse er også fine å bruke ved addisjon av tideler, da synliggjøres overgangen til nytt heltall. Eksempel: 0,7 + 0,4 = 0,7 + 0,3 + 0,1 = 1,0 + 0,1 = 1,1

Denne strategien kan også kalles «Regne via hel tier». For å holde styr på oppdelingen av desimaltall kan det være til stor hjelp for elevene å bruke «Number bonds». Eksempel: 4,7 + 5,5 = 4,7 + 0,3 + 5,2 = 5,0 + 5,2 = 10,2

5,5 0,3

5,2

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 eller (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65

Forklaring 7 • Desimaltall

Samtale Snakk sammen om at addisjon av tideler i prinsippet er det samme som addisjon av små tall. Repeter sammen med elevene hvilke regnestrategier som kan være lure å bruke når man skal addere små tall.

Addisjon og subtraksjon

Samtale Hvor mange tideler er det til sammen? 0,4 + 0,4 =

I det første eksemplet her er det naturlig å bruke dobling. Snakk videre om hva dere i tillegg må passe på når dere adderer tideler.

0,1

0,5 + 0,6 = 0,1

0,1

7.41

Finn eksempler på addisjon og subtraksjon av tideler i praktiske situasjoner, eller bruk oppgavene 7.41 til 7.43 som eksempler.

Desimaltall

0,1

Jon heller opp 0,7 L vann, og Per heller opp 0,2 L vann. Hvor mye får de til sammen?

7.42

Eva og Hanne lager 4,0 L vaffelrøre til sammen. Eva lager 1,7 L. Hvor mye vaffelrøre lager Hanne?

7.43

I en vaffeloppskrift skal det være 0,9 L melk og 0,4 L rømme. Hvor mye melk og rømme skal det være til sammen?

7.44

Regn ut. a) 0, 5 + 0,3 = 0,4 + 0,5 = 0,6 + 0,4 =

b) 0,7 + 0,3 = 0,5 + 0,6 = 0,9 + 0,4 =

c ) 1,0 + 0,5 = 2,0 + 0,9 = 3,0 + 1,2 =

22 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 22

0,1

Hvordan skriver vi ti tideler? Hvordan skriver vi tolv tideler?

I det andre eksemplet kan både dobling, pluss minus én og tiervenner pluss én brukes. Noen vil sikkert også ha automatisert at 5 + 6 = 11 direkte. I dette eksemplet møter elevene overgang til heltall. Dette er et springende punkt i behandling av desimaltall. Bruk god tid på dette, og la elevene komme med eksempler.

Oppgave 7.41–7.43 Addisjon og subtraksjon av tideler i kontekst. Oppfordre elevene til å bruke hoderegningsstrategier.

0,1

12.02.15 09:29

Strategier for subtraksjon Det kan være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25, det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24 Som desimaltall blir dette: 5,0 – 2,5 = 2,5 og 5,0 – 2,6 = 5,0 – 2,5 – 0,1 = 2,4 Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 Som desimaltall blir dette: 8,4 – 0,9 = 8,4 – 1,0 + 0,1 = 7,5

Hemmelig tall 4 ••Sifferet på enerplassen er i 7-gangen. ••Summen av sifrene på tidelsplassen og hundredelsplassen er lik sifferet på enerplassen. ••Sifferet på hundredelsplassen er én mer enn sifferet på tidelsplassen. ••Tallet er større enn 10 og mindre enn 20.

Forklaring 7.45

Doblin g 6 + 6 = 12 0,6 + 0 ,6 = 0,06 + 0 1,2 ,06 = 0 ,12

Regn ut. a) 4 + 4 = 0,4 + 0,4 = 0,04 + 0,04 =

b) 7 + 7 = 0,7 + 0,7 = 0,07 + 0,07 =

7.46

Regn ut. a) 14 - 7 = 1,4 - 0,7 = 0,14 - 0,07 =

b) 32 - 16 = 3,2 - 1,6 = 0,32 - 0,16 =

7.47

Adil hopper 3,2 m på miniski. Faren hans hopper dobbelt så langt. Hvor langt hopper faren til Adil? Adil

Oppgave 7.44 Addisjon av desimaltall med én desimal. Mange av oppgavene har overgang til nytt heltall.

c ) 50 - 25 = 5,0 - 2,5 = 0,5 - 0,25 =

Oppgave 7.45 og 7.46 I disse oppgavene ser elevene tydelig at strategien dobling og halvering lar seg overføre til addisjon og subtraksjon av desimaltall både med tideler og hundredeler (én og to desimaler).

3,2 m

Faren til Adil ?

7.48

Oppgave 7.47 og 7.48 Oppgaver i kontekst hvor elevene kan bruke strategien dobling av desimaltall større en 1. De tegnede modellene er med og tydeliggjør dette.

Jens går 1,8 km, og Nora går dobbelt så langt. Hvor langt går Nora? Jens

1,8 km

Nora ?

7.49

Oppgave 7.49 Dette er en vanskelig oppgave, men ved å tegne modeller bør den være løsbar for de fleste elevene.

Tia hopper 0,8 m på miniski. Tom hopper 1,5 m lenger enn Julie. Julie hopper 0,7 m lenger enn Tia. Hvor langt hopper Julie og Tom? Tia Julie Tom

0,8 m

Denne oppgaven er godt egnet til å bruke som sammenoppgave.

0,7 m 1,5 m

23 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 23

12.02.15 09:29

Desimaltall 23

Addisjon og subtraksjon av desimaltall og tallinje Mange elever opplever addisjon og subtraksjon av desimaltall som vanskelig. Vi har tidligere vist hvordan de kan overføre regnestrategier som de behersker for tosifrede tall, til å gjelde for desimaltall. Allikevel syns mange det er enda vankeligere å regne med tall som har desimaler. Det kan være til god hjelp for elevene å bruke tallinje og tom tallinje når de arbeider med addisjon og subtraksjon av desimaltall. Etter å ha regnet litt på tallinje vil de fleste kunne gå raskt over til å bruke tom tallinje. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. Tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler. De velger selv hvilke sprang de bruker på tallinja.

Ved den visualiseringen som den tomme tallinjen gir, blir det også lettere for elevene å finne sprang som er hensiktsmessige. Eksempel: 1,5 + 2,2 = 3,7 + 2,0

+0,2

1,5

3,5 3,7

Eksempel: 3,7 – 2,2 = 1,5 Noen elever vil telle nedover, og noen elever vil telle oppover for å finne svaret. - 0,2

- 2,0

1,5 1,7

+ 1,0

3,7

2,2

+ 0,5

3,2 3,7

Forklaring 7 • Desimaltall

Eksempel side 24 og 25 Bruk gjerne disse eksemplene til samtale med elevene. Tegn tallinjer på tavla, og samtal om hva som skjer.

Eksempel 1,8 + 1,5

Oppgave 7.50 Mange av elevene vil regne disse addisjonsoppgavene direkte uten besvær, men de elevene som strever med addisjon av desimaltall, vil ha god nytte av å bruke tallinje.

1,8

1,5

3,3

+ 1

+ 0,5

1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3

Oppgave 7.51 Oppgave med desimaltall i kontekst. I oppgave b) brukes svaret fra oppgave a) til videre beregning. Modellen viser multiplikasjon som gjentatt addisjon.

7.50

Regn ut. a) 1,5 + 1,3 = d) 2,5 + 1,6 =

7.51

Mona går 0,7 km til skolen om morgenen. a) Hvor lang er skoleveien fram og tilbake?

b) 1,5 + 2,2 = e ) 1,5 + 2,6 =

c ) 2,5 + 1,4 = f ) 2,7 + 3,4 =

b) Hun går fram og tilbake hver skoledag. Hvor mange kilometer går hun i løpet av en uke? 1 dag

5 dager

24 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 24

Desimaltall

12.02.15 09:29

Skriv tallene som mangler Skriv tallene som mangler 1,3 +

= 2,0

3,5 -

= 1,5

1,4 +

= 2,9

4,8 -

= 4,0

2,5 +

= 5,1

7,0 -

= 3,5

7,7 +

= 9,0

8,1 -

= 7,9

5,7 +

= 7,2

7,2 -

= 3,8

0,9 +

= 8,3

11,4 -

= 10,2

0,9 +

= 18,3

25,5 -

= 20,0

36,3 -

= 19,5

12,4 +

= 24,8

Forklaring Eksempel 2,7 - 1,4

2,7

1,4

Oppgave 7.52 Mange av elevene vil regne disse subtraksjonsoppgavene direkte uten besvær, men de elevene som strever med subtraksjon av desimaltall, vil ha god nytte av å bruke tallinje.

1,3

- 0,4

-1

Oppgave 7.53 En sammensatt oppgave med behandling av desimaltall i kontekst. La gjerne elevene løse denne oppgaven som sammenoppgave. Spesielt oppgave c) egner seg godt for samtale og diskusjon.

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

7.52

Regn ut. a) 2,6 - 1,1 = d) 5,0 - 2,1 = g) 14,3 - 5,0 =

7.53

Familien Hamre pusser opp. a ) Stian skal kappe 0,2 m av en planke som er 1,0 m. Hvor lang blir den andre delen?

b) 5,8 - 4,6 = e ) 5,2 - 3,8 = h) 21,0 - 5,1 =

c ) 6,7 - 3,4 = f ) 10,1 - 7,5 = i ) 19,9 - 11,6 =

b )

Moren skal skru plater på en vegg som er 2,18 m høy. Platene skal dekke veggen fra gulv til tak. Hver plate er 2,45 m lang. Hvor mye må hun kappe av hver plate for at de skal passe til veggen?

c )

Veggen mamma spikrer på, er 4,0 m lang. Hver plate er 0,6 m bred. Hvor mange plater trenger hun til veggen?

25 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 25

12.02.15 09:29

Desimaltall 25

Oppstilling av addisjon og subtraksjon med desimaltall Addisjon og subtraksjon med desimaltall følger samme framgangsmåte som addisjon og subtraksjon med flersifrede hele tall. Når vi stiller opp addisjons- og subtraksjonstykker med flersifrede hele tall, må vi være nøye med å få sifrene med samme plassverdi rett under hverandre. Det samme gjelder for desimaltall, og da blir kommane også stående rett under hverandre. Det er viktig å poengtere nettopp dette overfor elevene, at det er plassverdiene som må stå rett under hverandre. I praksis har vi lett for å si, som en huskeregel, at kommane må stå under hverandre, men forståelsen ligger i at det er sifrene med lik plassverdi som må stå under hverandre. At kommane da blir stående under hverandre, er en naturlig følge av dette.

Oppstilling av addisjon med standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, slik at sifrene med lik plassverdi blir stående under hverandre. Sifrene på de ulike plassverdiene adderes hver for seg med minnetall. Eksempel: 12,78 + 31,46 = 1 1

12,78 + 31,46 = 44,24

Oppstilling av subtraksjon med standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, slik at sifrene med lik plassverdi blir stående under hverandre. Sifrene på de ulike plassverdiene subtraheres hver for seg. Der det er nødvendig må vi veksle. Eksempel: 3,64 – 2,56 10

3,64 – 2,56 = 1,08

Forklaring 7 • Desimaltall

Eksempel side 26 og 27 Bruk disse eksemplene til samtale med elevene for å repetere oppstilling av addisjon og subtraksjon med minnetall og veksling.

Oppstilling addisjon Eksempel Start med hundredelene. 1

Husk at desimaltegn alltid skal plasseres under hverandre.

1 2,7 8 + 3 1,4 6 = 4 4,2 4

Oppgave 7.54 Elevene skriver av de oppstilte stykkene og regner ut. 7.54

Oppgave 7.55 En sammensatt oppgave i kontekst, oppgavene c) og d) er mer utfordrende og er merket med smilefjes. c) For å få flere elever til å prøve seg på denne oppgaven, oppfordre dem til å bruke tallinje eller modell. d) En sammensatt oppgave, la gjerne elevene løse denne oppgaven sammen.

7.55

Regn ut. a)

2 3,3 4 + 1 7,8 8

3 6,5 4 + 2 3,5 1

4 2,0 9 + 2 3,9 8

1 2 3, 4 5 f) + 3 4 5, 7 5

1 9,6 7 + 1 8,7 6 2 4 7, 3 6 + 2 5 4, 8 2

Ida er 1,35 m høy, Even 1,54 m og Anne 1,48 m. a ) Skriv høyden til barna i rekkefølge fra høyest til lavest. b) Jens er 0,25 m høyere enn Anne. Hvor høy er han?

1,54

c ) Moren til Ida er 1,70 m høy. Hvor mye må Ida vokse for å bli like høy som moren sin? d) Omar er 0,18 m høyere enn Ida. Hvor mye høyere eller lavere er han enn Even?

26 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 26

Desimaltall

12.02.15 09:29

Spill: Hvem kommer nærmest 99,99? 2–3 spillere Elevene trenger en terning, papir og blyant. Elevene kaster terningen etter tur. Hver gang plasserer de tallet som terningen viser i en fritt valgt rute. Når alle spillerne har kastet terningen 8 ganger hver, adderer de de to desimaltallene som de har fått og ser hvem som kom nærmest 99,99.

Eksempel: 4

+ 3

= 7

Forklaring Oppstilling subtraksjon

Oppgave 7.56 Elevene skriver av de oppstilte stykkene og regner ut.

Eksempel

3 ,6 4 - 2 ,5 6 = 1 ,0 8

7.56 9 6 7 8 7 6 4 7 3 6 5 4 8 2

7.57

Husk at desimaltegn alltid skal plasseres under hverandre.

Oppgave 7.57 Addisjon og subtraksjon av desimaltall i kontekst. Oppgave 7.58 Elevene skriver av oppgavene og finner ut hvilke tall som mangler.

Regn ut. a)

4 6,4 - 2 6,9

4 2,1 1 - 3 8,3 7

1 6,3 2 - 1 1,5 4

1 2 4 , 4 5 f) 8 7,3 6

3 5,2 4 - 2 3,9 2

1 0 2,3 8 9 1,2 4

Verdensrekorden på 60 m er 6,39 sekunder. a ) Ole løper 60 meter på 8,60 sekunder. Hvor mange sekunder er han fra verdensrekorden? b) Peter løper 0,23 sekunder raskere enn Ole. Hva er tiden til Peter? 60 m

7.58

Skriv tallene som mangler. a)

3, 1 5 + 3 6, 5 1 = 5 ,6

2 ,7 4 + 2 ,8 = 6 8 ,6 3

4 ,1 2 - 2 3, 6 2 = 1, 5

27 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 27

12.02.15 09:29

Desimaltall

Tallvenner I alle oppgaver med addisjon og subtraksjon er det en fordel at elevene har automatisert tallvennene opp til 20. Sett gjerne øvingsoppgaver med tallvenner på ukeplanen som «ukas tallvenner». Nedenfor finner du tre eksempler på hvordan det kan gjøres. Eksempel 2 er ment for de elevene som har tallvennene på plass. Slik får de øvelse i å overføre dette til desimaltall.

Eksempel 1 Ukas tallvenn er 13

= 13

11 +

= 13

12 +

= 13

10 +

= 13

Forklaring 7 • Desimaltall

Oppgave 7.59 I denne oppgaven skal elevene hente opplysninger i tabellen. Videre i oppgaven møter de ulike måter å behandle desimaltall på. Disse måtene har de arbeidet med tidligere i dette kapitlet.

7.59

Under OL i Beijing 2008 vant Andreas Thorkildsen gull i spydkast. Andreas Thorkildsen

90,57 m

Ainārs Kovals

86,64 m

Tero Pitkämäki

86,16 m

a) Hvor langt kastet Andreas? b) Hvilken verdi har de ulike sifrene i lengden 90,57 m? c ) Skriv lengden for alle deltakerne på utvidet form. d) Hva er differansen mellom 1. og 3. plass?

Oppgave 7.60 I denne oppgaven møter elevene subtraksjon som å finne forskjell. Noen vil løse den som en oppstilt subtraksjonsoppgave, mens andre kanskje vil se forskjellen og skrive den direkte.

e) Hvor mange meter lenger må Andreas kaste for å treffe 100-metersmerket?

7.60

Husk! 32,12 = 30 + 2 + 0,1 + 0,02

Verdensrekorden i lengde for menn er 8,95 m (1991). Verdensrekorden i lengde for kvinner er 7,52 m (1988). a) Hvor mye lenger må mennene hoppe for at rekorden skal bli 9,00 m? 8,95 b) Hvor mye lenger må kvinnene hoppe for at rekorden skal bli 8,00 m?

7,52 c ) Hvor stor er differansen mellom rekorden for damer og rekorden for menn?

28 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 28

Desimaltall

12.02.15 09:29

Eksempel 2

Eksempel 3 og eksempel 4

Ukas tallvenn er 1,3

Ukas tallvenn er 15 (1,5) Skriv minst fem addisjonstykker som blir 15 (1,5), og finn ut hvilke subtraksjonstykker som hører til.

0,1 +

= 1,3

0,2 +

= 1,3

0,5 +

= 1,3

0,8 +

= 1,3

1,1 +

= 1,3

0,3 +

= 1,3

0,7 +

= 1,3

0,4 +

= 1,3

1,2 +

= 1,3

0,9 +

= 1,3

0,6 +

= 1,3

1,0 +

= 1,3

Eksempel 3:

Eksempel 4:

13 + 2 = 15

1,3 + 0,2 = 1,5

15 – 2 = 13

1,4 – 0,2 = 1,3

15 – 13 = 2

1,5 – 1,3 = 0,2

Forklaring 7.61

St. Topp skole har idrettsdag. Elevene prøver å ta friidrettsmerket. Nedenfor ser du noen av merkekravene fra Norsk Friidrett. Øvelse

Gutter 10–13 år Gull

Sølv

Bronse

Gull

Sølv

Bronse

Høyde

1,25 m

1,10 m

0,90 m

1,15 m

1,00 m

0,80 m

Lengde

3,80 m

3,20 m

2,80 m

3,50 m

3,00 m

2,50 m

Liten ball

45 m

35 m

25 m

35 m

28 m

20 m

Kule✽

7 m

5 m

4 m

7 m

5,5 m

4,5 m

✽

Oppgave 7.61 Dette er en oppgave med mange problemstillinger og spørsmål. Den gir god trening i å finne opplysninger i tabell. Oppgaven egner seg godt som sammenoppgave.

Jenter 10–13 år

Gutter 3 kg, jenter 2 kg

a) Isak hopper 0,95 m i høyde. Har han klart bronsekravet for gutter? b) Amir kaster 29,73 m med liten ball. Hvilket krav har han klart? c ) Hanna hopper 2,29 m i lengde og Nadia 2,81 m. Hvem av jentene hopper lengst? d) Hvor stor er differansen mellom lengdehoppet til Hanne og lengdehoppet til Nadia? e) Ola kaster tre ganger med liten ball. Til sammen måler kastene 106,93 m. Ett av kastene er over gullkravet, ett er over sølvkravet, og ett er over bronsekravet. Hvor lange var kastene? f ) Noor kastet 31,46 m med liten ball. Klarte hun kravet til sølv eller bronse i denne øvelsen? Hvor mye lenger måtte hun ha kastet for å greie kravet til gull?

29 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 29

12.02.15 09:29

Desimaltall 29

Avrundingsregler for desimaltall Når du skal runde av et desimaltall til et helt tall eller til et tall med færre desimaler, gjelder følgende regler:

Eksempel: 42,3628 skal rundes av til et tall med to desimaler. 42,3628 ≈ 42,36

Når du skal avrunde et desimaltall til et helt tall, se på tidelen når du runder av.

Eksempel: 75,2483 skal rundes av til et tall med to desimaler.

Når tidelen er 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes heltall og desimalene sløyfes.

75,2483 ≈ 75,25

Eksempel: 354,31 ≈ 354 Når tidelen er 5, 6, 7, 8 eller 9, økes heltallet med 1 og desimalene sløyfes. Eksempel: 523,72 ≈ 524 Når du skal runde av et desimaltall til et tall med færre desimaler, må du se på sifferet på plassen til høyre for det antall desimaler du skal runde av til.

I disse eksemplene er det tusendelen som bestemmer om hundredelen skal beholdes eller økes med 1. Noen ganger kan vi se at elevene blir i tvil når de for eksempel skal runde av 5,4998 til nærmeste hele tall. Men regelen gjelder også her. Det er sifferet 4 som bestemmer at heltallet beholdes, selv om tidelen ville blitt 5 om man rundet av til et tall med én desimal først. 5,4998 ≈ 5

Er sifferet på plassen til høyre 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes forrige siffer. Er sifferet på plassen til høyre 5, 6, 7, 8 eller 9, økes forrige siffer med 1.

Forklaring Avrunding Samtale

443,2 m

7 • Desimaltall

Samtale Snakk med elevene om avrunding. Hvordan tror de gutten tenker? Er det sant det han sier? Tegn tallinja på tavla. Hvilket desimaltall ligger midt mellom 443 m og 444 m? Er det noen som husker hvordan man skal runde av 443,5?

Høyden til bygningen er omtrent 443 meter. Jeg runder av til nærmeste hele tall.

Når vi runder av til nærmeste hele tall, ser vi på antall tideler. Eksempel: 443,2 er nærmere 443 enn 444. Derfor blir 443,2 rundet av til 443.

Skriv tegnet ≈ (tilnærmet lik) på tavla, og snakk sammen om hva det betyr og når det brukes.

443 m

Gjenta det samme i eksemplet med å runde av hundredeler til tideler.

444 m

Vi skriver: 443,2 ≈ 443 Hvordan skal vi runde av 0,5?

Når vi runder av til nærmeste tidel, ser vi på antall hundredeler. Eksempel: 1,88 er nærmere 1,9 enn 1,8. Derfor blir 1,88 rundet av til 1,9.

1,80

1,90

Vi skriver: 1,88 ≈ 1,9

30 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 30

Desimaltall

12.02.15 09:29

Grublis 1 Klasse 5A øver til idrettsmerket.

Grublis 2 Klasse 6A øver til idrettsmerket.

Siri og Salma løper 60 meter’n. Læreren runder av tiden deres til nærmeste hele sekund og sier at begge løp på 12 sekunder. Han sier at Salma løp 7 tideler raskere enn Siri. Hvilke tider kan de ha løpt på? Det er flere mulige løsninger.

Knut og Kebir hopper lengde. Læreren runder av til nærmeste halvmeter og sier at begge hoppet 3,5 m. Han sier at Knut hoppet 8 cm lenger enn Kebir. Hvor langt kan guttene ha hoppet? Det er flere mulige løsninger.

Forklaring 7.62

7.63

Rund av til nærmeste hele tall. a) 18,9 b) 29,4 c ) 9,5 d) 25,3 e) 82,2 f ) 436,7

Rund av til nærmeste hele tall. a) 1,01 b) 4,92 c ) 61,83 d) 8,71 e) 45,97 f ) 193,27

7.64

Rund av til nærmeste tidel. a) 1,24 b) 8,93 d) 67,56 e ) 34,77 g) 45,55 h) 351,97

7.65

Eli handler matvarene nedenfor. a) Rund av prisene til nærmeste hele tall, og regn ut omtrent hvor mye varene koster til sammen.

For sifrene 1, 2, 3 og 4 runder jeg av nedover. For sifrene 5, 6, 7, 8, og 9 runder jeg av oppover.

Oppgave 7.62–7.64 Øvingsoppgaver i avrunding. Oppgave 7.65 Denne oppgaven er en overslagsoppgave. La elevene bruke den som sammenoppgave. I oppgave b) kan de finne ut om det blir noen forskjell om de runder av hver pris før de adderer, eller om de adderer først og runder av prisen til slutt.

2,5 ≈ 3,0

b) Eli betaler med en 200-kroneseddel. Omtrent hvor mye får hun tilbake? c ) Terje betaler med en 100-kroneseddel 87,99 kr per kg og får igjen 45 kr. Han kjøper to 1 L melk og én ting til. Hva er den siste matvaren han kjøper?

c ) 5,58 f ) 24,32 i ) 105,12

12,

29,90 k

r 3,30 kr

12,

25 k

31 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 31

12.02.15 09:29

Desimaltall 31

Overslagsregning Når vi skal regne overslag, gjelder ikke så eksakte regler som ved avrunding. Vi må ta hensyn til situasjonene hvor vi bruker overslag, og hvilken regneart vi skal bruke. Hvis vi for eksempel er i butikken og lurer på om vi har nok penger, kan det være lurt å runde prisene oppover for å være helt sikker på å få nok. I matematikkoppgaver kan vi bruke overslag før vi løser oppgaven for å få en idé om omtrent hva svaret vil bli, eller vi kan bruke overslag etter en utregning for å sjekke om svaret kan være riktig. Hensikten med overslag i matematikkoppgaver er å forenkle tallene slik at vi kan regne ut i hodet.

Addisjon Det kan være lurt å runde annethvert ledd opp og ned. 12,42 + 17,10 + 7,90 + 3,50 + 213,64 ≈ 13 + 16 + 8 + 3 + 214 = 254

Eksakt sum er 254,56. Vi kom altså ganske nær ved å runde av annet hvert ledd opp og ned. For å gjøre et raskt overslag i hodet, kunne vi runde av alle leddene til nærmeste tier ved å bruke avrundingsreglene. 10 + 20 + 10 + 0 + 210 = 250 Dette er også et godt overslag.

Subtraksjon Det kan være lurt å runde av alle ledd opp eller alle ledd ned. Eksempel: 542,75 – 26,23 = For å gjøre utregningen lett i hodet kan vi, i dette eksemplet, runde av til nærmeste femmer. 542,75 – 26,23 ≈ 540 – 25 = 515 eller 545 – 30 = 515. Nøyaktig svar er 516,52. Dette overslaget ga et svar som ligger nær nøyaktig utregning.

Forklaring 7 • Desimaltall

Samtale Utfordre elevene til å skrive i kladdeboka si hvordan de vil gjøre overslag over disse prisene. La elevene gjøre rede for sine overslag og begrunne dem.

Overslag

Samtale Noen ganger trenger vi ikke være helt nøyaktige når vi skal regne ut noe. Da kan vi gjøre et overslag. 4,5

14,50 k

Tog nr

Mandag-Fredag

Snakk sammen om hensiktsmessige måte å gjøre overslag på.

9 kr

103

12 kr

M-F

7.66

Oppgave 7.66 Etter at elevene har løst denne oppgaven, kan dere sammenligne overslagene og se om det er mange som tenker forskjellig, og om resultatene blir noenlunde like.

Søndag

M-F

113

115

117/ 395 M-F

M-F

121

141

M-F

0600

0700

0800

0900f

0900

1000d

1100d

1200d

1300

1400

1500

1530

0622p

0723p

0822f

0922p

1022p

1122p

1222p

1322p

1422p

1622p

1043d

1143d

1243d

1343

1443

1543

1050d

1150d

1250d

1350b

1450b

1550b

Råde

0656

0757

0856f

0956f

0956

1056d

1155d

1256d

1356

1456

1556

1624

Fredrikstad

0709

0810

0910f

1009f

1009

1109d

1209d

1309d

1409

1509

1609

1637

Sarpsborg

0729

0825

0925f

1024f

1024

1124d

1224d

1324d

1424

1523

1623

1653

1044 1044f Mandag

1144d

1244d

1344d

1444

1543

16463

1719

Trollhättan

1009e

Göteborg

1052e

2,37 km

1450

1050

Tirsda g 5, 1127 47 km O ns da g 1003 3 ,9 9 km To rs da 1209e g 9 ,2 3 km 1252e

1526 1602 1608e 1653e

Bare påstigning.

Sammen Tog nr 113 115 117/ 117 119 121 141 395 Se på tegningene nedenfor. Vurder i hvilke situasjoner vi kan runde av, og i hvilke situasjoner vi må være nøyaktige. Mandag-Fredag M-F M-F M-F M-F M-F M-F Skriv ned eksempler der vi må være nøyaktige, og forklar Lørdag L L L L L hvorfor vi må være det.

119

Ski

2,1 ml

117

Oslo S

0945f 0825 0749 Halden Hanne har vært på skiferie. Hun har skrevet 0851 Halden ned hvor mye hun har gått på ski hver dag. 0927 Ed 1003 Oxnered Omtrent hvor langt har hun gått til sammen?

Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 32

Desimaltall

M-F L

Søndag

M-F

Lørdag

Hvordan tenker dere når dere skal gjøre overslag? 0943 0843f 0946f 0744 0643 Moss I hvilke situasjoner kan det være lurt å gjøre overslag? 0650b 0751b 0850b 0950f 0950b Rygge

Se på 7,65, snakk om hva som skjedde ved avrunding.

Sammen Denne oppgaven viser til en del situasjoner som elevene skal vurdere konsekvensene av ved avrunding. Be elevene finne flere eksempler hvor det er viktig å være nøyaktig, og hvor det er greit å bruke avrunding.

105/Jeg tenker 107 109 109/ 111 39115 + 5 + 10 + 15 = 45 393

123

143

M-F

Oslo S

11.00

1200d

1300

1400

1500

1530

1600

Ski

11.22

1222p

1322p

1422p

1622p

1623p

Moss

11.45

1243d

1343

1443

1543

Rygge

11.50

1250d

1350b

1450b

1550b

Råde

11:55

1256d

1356

1456

15 kg 2,Fredrikstad

I 37,9 0C

1632 I

1644

1651b

1720c

1556

1624

1657

1726

12:09

1309d

1409

1509

1609

1637

1711

1739

Sarpsborg

12:24

1324d

1424

1523

1623

1653

1725

1753

Halden

12:44

1344d

1444

1543

16463

1719

1746

1818

Halden

1450

1526

Oxnered

1602

Trollhättan

1608e

Göteborg

1653e

Bare påstigning.

12.02.15 09:29

Divisjon Det kan være lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned til tall som gjør at divisjonen går opp. Eksempel: 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4 = 3 eller 15 : 5 = 3. Nøyaktig utregning gir 3,16279 …

Da endrer A1 seg til:

Begge overslagene ligger nær nøyaktig svar. Multiplikasjon Det kan være lurt å runde én faktor opp og én ned. Her har vi også rundet av til nærmeste femmer for å gjøre utregningen lett i hodet. 89 · 19 ≈ 100 · 15 = 1500 eller 80 · 20 = 1600. Nøyaktig svar er 1691.

Vi går tilbake til det opprinnelige skjermbildet og merker alle tre cellene. Klikk en gang på knappen «Reduser desimaler». Da blir skjermbildet slik:

Begge svarene er innenfor det vi mener er akseptabelt for et overslag.

Å endre antall desimaler i regnearket Nedenfor har vi tastet inn tre desimaltall i celle A1–A3. Hvis vi ønsker å redusere antall desimaler til tre i tallet 2,3258, merker vi cellen og klikker en gang på knappen «Reduser desimaler», slik det er vist i figuren.

Legg merke til at 25,67, som i utgangspunktet har to desimaler, nå har fått tre, det ble lagt til en null på tusendelsplassen. Det blir likt antall desimaler i alle tre cellene.

Forklaring Regneark – bestemme antall desimaler

Eksempel Eksemplet viser hvordan vi kan øke og redusere antall desimaler i regneark.

Eksempel I et regneark kan vi bestemme hvor mange desimaler vi vil ha. Skriv inn 2,4567 i celle A1, og klikk på redusere antall desimaler.

+ 15 = 45

eller

for å øke eller

Prøv med flere tall!

7.67

Skriv tallene nedenfor i kolonne A. Start i celle A1. 32,28 45,54 23,07 41,23 a) Marker tallene. Klikk på

Oppgave 7.68 Øvelse i å taste inn i regneark og endre desimaltall til heltall.

, slik at tallene får bare én desimal.

b) Marker tallene igjen, og klikk på

7.68

Oppgave 7.67 Øvelse i å endre antall desimaler og å bruke autosummer-funksjonen.

. Hva skjer?

Skriv listen nedenfor i et regneark. Begynn med å skrive Varer i celle A1 og Pris i kr i celle B1. Fortsett videre med matvarene i kolonne A og prisene i kolonne B: Pris i kr

37,9 0C

Summer prisene på alle matvarene, og juster sluttsummen slik at den blir i hele kroner.

33 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 33

12.02.15 09:29

Desimaltall 33

Når vi regner med penger, er det fint å bruke formatet «Regnskap» i regnearket.

Enda enklere er det å merke alle cellene i kolonnen og trykke på knappen for Regnskapsnummerformat. Da endres tallene i kolonnen til kr og angis med to desimaler.

Da merker vi alle cellene i kolonnen som inneholder priser, drar ned rullegardinen for formatering av celler og velger «Regnskap». Da blir skjermbildet slik:

Vi kan nå redusere antall desimaler ytterligere ved å trykke på knappen «Reduser desimaler». Skjermbildene blir da slik: Etter ytterligere en gang får de én desimal:

Forklaring Finn ut

Finn ut La elevene arbeide i læringspar eller i små grupper. Etterpå kan de sammenligne svarene sine og se om de har fått samme resultat. Hvis det er ulike svar, kan de argumentere for svarene sine.

Familien Olsen er på fottur. Petter går foran, og etter 800 meter kommer han til et veikryss. Han husker ikke hvor de skal, men han husker litt fra samtalen mellom ham og foreldrene før de gikk. Hjelp Petter å finne ut hvilken vei han skal gå. • Faren sa de skulle gå lenger enn i går, og i går gikk de 4,5 kilometer. • Moren syntes det var for langt å gå mer enn dobbelt så langt som dagen før.

Spill Førstemann til 10 Nå det står «alle rutene» i oppgaven, henvises det til de seks rutene over streken. Dette er et strategisk spill som elevene vil ha nytte av å spille flere ganger.

• Da Petter spurte hvor langt de skulle gå, svarte moren at det var like langt som de gikk i går, pluss turen inn til Målia. • Hvilket skilt skal Petter følge?

Seteren 7,8

Lang, lang rekke La elevene gjøre denne aktiviteten flere ganger, og se om de klarer å forbedre seg.

m Skihytta 8,3 k

Målia 3,8 km Snøkalotten 1,5 km P 800 m

Bruk kopieringsoriginal 2.

34 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 34

Desimaltall

12.02.15 09:29

Hvis du klikker en gang til, blir det hele tall i cellene.

Øvingsoppgave med priser i regneark. I denne oppgaven skal vi bruke disse varene med tilhørende priser: Sjokolade 13,50 kr Fiskekrok 0,95 kr Poteter 23,35 kr Ost 42,06 kr Avis 20 kr

Norske kroner i regnearket Ofte bruker vi regneark til å regne med priser. Vanligvis oppgis priser med to desimaler. I regnearket nedenfor har vi tastet inn en «kassalapp». Der ser du at prisen for is, som er 18,50 kr, blir stående som 18,5 i regnearket. Dette har ingen betydning for utregningen, men det ser litt rart ut.

a) Tast varer og pris inn i et regneark. Merk cellene, og formater slik at de angis som kr med to desimaler. b) Summer ved hjelp av Autosummer-funksjonen. c) Kopier og lim prisene inn i en ny kolonne. Bruk «Reduser desimaler» slik at alle prisene rundes av til hele kr, og summer ved hjelp av Autosummer-funksjonen.

Før formatering

Forklaring Spill «Tettest på 10» Utstyr: En terning og en kladdebok

+ =

Antall spillere: To eller flere

, ,

Slik spiller dere Førstemann kaster terningen og velger så hvor han/hun vil plassere sifferet som øynene på terningen viser. Nestemann gjør det samme, og slik fortsetter dere til alle rutene er fylt med tall. Da legger dere sammen og finner summen for hver av dere.

Etter formatering

Vinner Den som har sum nærmest 10,00 «Lang, lang rekke»

KOPI

Utstyr Desimaltallkort og stoppeklokke/vende-ur Antall spillere To eller flere Slik spiller dere Start med likt antall kort. Legg så mange kort du klarer, i stigende rekkefølge i løpet av 2 minutter. Eksempel 0,51

0,7

1,0

2,59

2,6

Etter avrunding til hele kroner

Vinner Den som har lagt flest kort innen tidsfristen

35 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 35

12.02.15 09:29

Desimaltall 35

Forklaring Sant eller usant Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka.

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne i boka si. Legg spesielt merke til om noen elever skriver setningen: «3,25 har større verdi enn 3,3.» Disse elevene kan ha en manglende forståelse av desimaltall.

• Tierplass og tidelsplass er det samme. • Hundredeler er mindre enn tideler. • Når vi bruker oppstilling for å addere og subtrahere desimaltall, skal desimaltegnene alltid stå over/under hverandre. • 0,5 er til venstre for 0,61 på tallinja. • 3,25 har større verdi enn 3,3. • Det er riktig å runde av 7,2 til 7 og 7,8 til 8. • Det er riktig å runde av 8,5 til 8 og 11,1 til 12.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Oppsummering • Når vi deler en hel i ti like store deler, er hver del en tidel. 0,1

0,1

1 • En tidel kan skrives som 0,1.

36 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 36

12.02.15 09:29

• Når vi deler en hel i 100 like store deler, er hver del en hundredel. • En hundredel kan skrives som 0,01. • Når vi runder av, ser vi på nærmeste siffer til høyre for det antallet desimaler vi skal avrunde til. Eksempel: Hvis vi skal runde av til nærmeste ener, ser vi på tallet på tidelsplassen: 1,7 ≈ 2

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Er sifferet som vi skal ta bort 0, 1, 2, 3 og 4, runder vi av nedover – ved at sifferet til venstre for sifferet som tas bort, beholder sin verdi. Er sifferet som skal fjernes 5, 6, 7, 8 og 9, runder vi av oppover – ved at sifferet til venstre for sifferet som tas bort, økes med 1. • Symbolet for tilnærmet lik ser slik ut: ≈ • Noen ganger er det svært viktig å måle presist, for eksempel når vi måler hvor mye medisin som skal gis. • Når du adderer eller subtraherer, skal henholdsvis alle tiere, enere og tideler plasseres under hverandre. Eksempel 1

2 4,3 + 8,9 = 3 3,2

37 Radius 5B_BM_kapittel 7_til trykk 12.2.15.indd 37

Desimaltall

12.02.15 09:29

Navn:

Dette har jeg lært i kapittel 7 1 Skriv tallene som mangler i tallfølgene. 3,2

3,3

3,4

5,2

5,4

5,6

0,36

0,37

1,80

1,8

2 Skriv desimaltallet som mangler.

3 Skriv tallet som mangler.

0, 7 +

= 1,0

20 + 4 + 0,8 =

0,4 +

= 1,0

10 +

1,2 +

= 2,0

47,3 = 40 + 7 +

4 Regn ut.

5 Regn ut.

3+3=

+ 0,2 = 15,2

12 – 6 =

0,3 + 0,3 =

1,2 – 0,6 =

0,03 + 0,03 =

0,12 – 0,06 =

6 Regn ut.

7 Regn ut.

–

– =

Kapittel 7 Desimaltall

– =

Mål •• Kunne velge hensiktsmessige måleenheter og måleredskaper for lengde, høyde og bredde i praktiske situasjoner •• Kunne gjøre overslag, vurdere og måle lengder i meter, desimeter, centimeter, millimeter •• Kunne regne om mellom målenhetene •• Kunne bruke enhetene cm² og m² for areal •• Kunne regne ut omkrets av todimensjonale figurer •• Kunne regne ut arealet av rektangler og trekanter

Begreper •• •• •• •• ••

Areal Omkrets Kvadratcentimeter, cm² Kvadratmeter, m² Sammensatte figurer

Introduksjon til kapittel 8 Det metriske system og SI-systemet Det metriske systemet oppsto i Frankrike etter den franske revolusjonen. Det baserer seg på desimalsystemet, og den første meteren ble definert som en ti-milliondel, 10-7, av avstanden mellom Nordpolen og ekvator på meridianen som går gjennom Paris. I 1795 ble det laget en arkivmeter i bronse. Denne ble erstattet av en meterprototyp av platina og iridium som ble brukt fram til 1960. Senere er denne meterstandarden blitt endret flere ganger, senest i 1983, da ble den omdefinert og knyttet til lyses hastighet. SI-systemet (etter den fransk Système international d’unités) er et internasjonalt system for måling av fysiske enheter. Det bygger på det metriske målesystem fra Meterkonvensjonen av 20. mai 1875 og er en videreføring av denne. Norge ble for øvrig det første landet som sluttet seg til meterkonvensjonen, da Stortinget vedtok tilslutningen enstemmig den 26. mai samme år. Det metriske systemet ble omfattende revidert i 1960 for å danne SI-systemet, som er basert på syv

Forklaring Samtal om ulike måleredskaper. Bildet gir en del eksempler på tradisjonelle måleredskaper som meterstokk, høydemåler og målebånd. På maleriet er det en som måler med en loddsnor. I tillegg kjenner sikkert eleven til for eksempel meterstokk (tommestokk), målehjul, skyvelære osv. I tillegg kan det hende at noen også kjenner til moderne måleredskaper som avstandsmåler med laserstråle. Snakk sammen om når det er hensiktsmessig å bruke de ulike måleredskapene, og kanskje også litt om hvem som bruker dem og i hvilke situasjoner.

Måling

1 cm 1 cm

1 cm2

1 m = 1000 mm 1 m = 100 cm 1 m = 10 dm

Hvis dere vil jobbe praktisk med dette, kan du ta med et hyssingsnøre og be hver elev klippe seg en snor som de tror er 1 meter lang. Etterpå kan de måle snorene sine og finne ut hvor mange cm deres meter mangler eller er for lang i forhold til 1 m.

Hvilke redskaper kan vi måle lengde, høyde og bredde med? Hvilke enheter for lengde kjenner du til? Når bruker du de ulike enhetene? Kan du gi noen eksempler på hva slags mål man brukte i gamle dager? Vet du om det er noen land som bruker andre måleenheter enn Norge? =

Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 38

Kapittel 8 Måling

12.02.15 09:31

grunnenheter og er det mest utbredte målesystemet i verden i dag. 1. Meter for lengde 2. Kilogram for masse 3. Sekund for tid 4. Ampere for elektrisk strøm 5. Kelvin for temperatur 6. Mol for stoffmengde 7. Candela for lysstyrke

det hengt opp en snor med knute for hver alen, slik at alle kunne bruke samme mål for alen.

I tillegg til grunnenhetene bruker SI-systemet prefikser for multiple enheter, for eksempel desimeter, centimeter og millimeter. De forholder seg til grunnenheten meter på denne måten: 1 meter = 10 desimeter = 100 centimeter = 1000 millimeter.

I Norge hadde vi blant annet disse måleenhetene: Tomme, håndsbredde, fot, alen og favn. Sammenhengen mellom disse var slik: 1 håndsbredde = 4 tommer 1 fot = 3 håndsbredder 1 alen = 2 fot 1 favn = 3 alen

Arealenheter og volumenheter er også avledet fra lengdeenheten meter. Gamle måleenheter for lengde i Norge I gamle dager var det vanlig å ta utgangspunkt i kroppsdeler når lengder skulle angis. Dette var usikre mål som varierte fra sted til sted. Det ble gjort ulike forsøk på å standardisere disse målene. Det ble for eksempel bestemt at målet for en fot var foten til en bestemt person i bygda. Ved enkelte kirker ble

Etter hvert ble det viktig å ha like lengdemål i alle bygder og i alle land. I Sverige ble det støpt en alenstav av messing i 1604. Denne ble gjort til felles enhet for hele landet. I Norge ble det i 1824 bestemt at en tomme skulle være 2,61 cm. Men i England var en tomme 2,54 cm, slik den er på tommestokken i dag.

Når større avstander skulle angis, ble de ofte definert ut fra dagligdagse hendelser. Noen eksempler på slike lengeangivelser er: Dagsreise = den avstanden man kunne ro eller seile i båt i løpet av en dag Pilskudd = avstanden man kunne skyte med pil og bue Steinkast = avstanden man kunne kaste en nevestor stein

Forklaring =

Mål for kapitlet

• Kunne velge hensiktsmessige måleenheter og måleredskaper for lengde, høyde og bredde i praktiske situasjoner • Kunne gjøre overslag, kunne vurdere og kunne måle lengder i meter, desimeter, centimeter og millimeter • Kunne regne om mellom måleenhetene • Kunne bruke enhetene cm2 og m2 for areal • Kunne regne ut omkrets til todimensjonale figurer • Kunne regne ut arealet til rektangler og trekanter

Spør elevene hva de vet om meteren. Vet noen noe om hvilke måleenheter som ble brukt i Norge i gamle dager? Du finner en del fakta om dette øverst på siden. Hvordan er det nå i dag? Bruker de meter som målenhet i alle land i hele verden? Noen elever vet sikker noe om dette. Du finner også en del fakta om dette øverst på neste side.

de med?

kte i gamle dager? enheter enn Norge?

Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 39

12.02.15 09:31

Måling 39

Måleenheter for lenge i andre land Egentlig er SI-systemet vedtatt som standard for hele verden. Og innen vitenskap er det bare dette som brukes. Men det er fortsatt noen få land som bruker andre måleenheter i praktiske situasjoner i dagliglivet. Det imperiske målesysemet brukes fortsatt i land som for eksempel Storbritannia, USA, Irland, India, Australia, New Zealand og noen flere. Noen av disse målenhetene er: 1 inch = 2,54 cm 1 foot = 30,479 cm 1 yard = 91,44 cm 1 mile = 1609,344 m = 1,6 km

Måleenheten desimeter. I Norge bruker vi nesten ikke måleenheten desimeter, vi sier at en gjenstand er 10 cm eller 20 cm, ikke at den er 1 dm eller 2 dm, som de ville sagt for eksempel i Sverige. Elevenes linjaler er delt opp i cm, men ikke i dm. Det er viktig at elevene får et bevisst forhold til måleenheten desimeter da denne er viktig for å forstå sammenhengen mellom dm³ og liter. For at elevene skal få et bevisst forhold til måleenheten desimeter, anbefaler vi at dere gjennomføre denne aktiviteten. For å bli kjent med desimeter som egenmåleenhet er det lurt at elevene lager seg hvert sitt desimetermål i kartong. Med dette desimetermålet kan elevene måle ulike ting i klasserommet.

Som vi ser, har vi nesten samme ord for to ulike lengdeangivelser. Mile i det imperiske systemet, og mil som avledet lengdeenhet i SI-systemet. Men lengdene de angir er forskjellig. Når vi sier en mil, mener vi 10 km, mens en fra USA for eksempel mener 1,6 km når han sier 1 mile.

1 dm La for eksempel elevene velge seg fem ting som de skal måle i desimeter, og oppgi målene i en tabell. For noen gjenstander vil det bli nødvendig å oppgi målene i dm og cm. Før dere måler, snakk med

Forklaring 8 • Måling

Samtale Gjennom denne samtalen presenteres elevene for måleenhetene meter, desimeter, centimeter og millimeter og forholdene mellom disse.

Lengdemål Samtale

1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

Grunnenheten for lengde er meter. Målesystemet «det metriske system» har fått navnet sitt fra meteren.

Gi eksempler på noe som har omtrent følgende lengder: 1 km, 100 m, 10 m, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1 mm

8.1

Elevene kjenner sikkert også til måleenheter for store lengder, som kilometer og mil. Snakk med elevene om at kilo betyr tusen, at 1 km = 1000 m, og at 1 mil = 10 km, altså 10 000 m.

Hvor mange a) centimeter er det i en meter? b) millimeter er det i en meter? c)

millimeter er det i en centimeter?

d) desimeter er det i en meter?

8.2

Mål linjestykkene, og skriv svarene i centimeter og millimeter. A

40 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 40

Måling

1 dm = 10 cm 0 1 1 cm

Les om måleenheten desimeter øverst på siden, og la elevene gjøre de oppgavene som er beskrevet der.

10 mm

Snakk sammen om at desi betyr tidel, centi betyr hundredel og milli betyr tusendel. I forrige kapittel jobbet dere med desimaltall. Bruk kunnskapen fra dette, utfordre eleven til å skrive desimeter, centimeter og millimeter som deler av en meter. 1 dm = 0,1 m, 1 cm = 0,01 m og 1 mm = 0,001 m.

La elevene komme med eksempler på noe som har lengde 1 km, 100 m, 10 m, 1m, 1 dm, 1 cm og 1 mm.

12.02.15 09:31

elevene om at hver desimeter inneholder 10 cm. Få fram hvor mange cm det er i en halv desimeter. Hvis noen har valgt å måle en gjenstand som er mer enn ti desimeter kan du utfordre dem til å gjøre om målene til meter, desimeter og centimeter. Tabellen står på side 43. Om forståelsen av lengde Vi bruker uttrykk for lengdemål når vi måler både gjenstander, avstander og høyde. Når vi skal sammenlikne noe, må vi bruke samme måleenhet. En viktig kompetanse som elevene skal få med seg, er at når vi snakker om at en gjenstand er for eksempel 5 desimeter lang, så betyr dette at gjenstanden har samme lengde som 5 desimetermål som ligger etter hverandre. Her er måleenheten desimeter. (Når vi her snakker om desimetermål så mener vi de målene i papp som elevene lagde i aktiviteten på side 40). Dette er en forståelse som skal føre til at elevene forstår at når de leser av 7 cm på en linjal, betyr det at lengden er 7 stykker av måleenheten cm.

En fortelling om måleenheter Fortellingen fins på neste side. Den mangler måleenheter. Elevene skal lese fortellingen og fylle inn riktige måleenheter. Etterpå kan dere lese fortellingen sammen og la elevene komme med forslag og argumentere for sine valg av måleenheter. Line er en jente som er 132 cm lang. En dag gikk hun tur i skogen sammen med hunden sin, Fant, som er 5 dm og 2 cm høy. Line leide Fant i et bånd som var 18 dm langt. Fant stoppet ved et stort tre som var 8 m høyt. Plutselig hørte de et brak. Line ville snu, men Fant sto helt stille. Line trodde at det kanskje var et trehodet troll som var minst 5 m høyt. Men Fant visste hva det var. Det var et stort dyr som var 2 m, 6 dm og 4 cm langt. Dyret hadde store horn, og de var 140 cm brede. Men halen var liten og kort, bare 13 cm lang. Hvilket dyr tror du Line og Fant møtte i skogen?

Sammen Etter at elevene har løst denne oppgaven, kan de komme med sine løsninger. Kommer det mange ulike forslag? La elevene argumentere for hvordan de ville gjøre det i praksis.

Forklaring 8.3

8.4

Tegn linjestykkene. a) 2 cm d) 7,5 cm

b) 6 mm e) 15 mm

desimeter meter

8.5

Oppgave 8.1 Oppgaven har spørsmål som kontrollerer om elevene har forstått det dere har snakket om i samtalen.

Gi eksempler på hva vi kan måle med de ulike enhetene. kilometer

1 dm = 10 cm

c ) 1 dm f ) 0,1 dm

millimeter

Oppgave 8.2 Det er mulig å oppgi måleresultatene på tre ulike måter: 3 cm og 4 mm eller 3,4 cm eller 34 mm.

centimeter

Tegn a) et linjestykke som har lengden 4 cm

Oppgave 8.3 Elevene skal tegne linjestykker i boka si. De er oppgitt med ulike måleenheter og både i heltall og desimaltall.

b) et nytt linjestykke som er dobbelt så langt c)

et linjestykke som er 2,5 cm kortere enn 10 cm

d) et linjestykke som er halvparten av 1,4 dm

Sammen Hvilket av hoppetauene er lengst?

Oppgave 8.4 Denne oppgaven er fin å bruke til samtaleoppgave. La først elevene skrive eksempler i boka si. Elevene presenterer forslagene sine og argumenterer med hvorfor de vil bruke gjeldende måleenhet på sine gjenstander.

• Hvordan kan dere måle lengden til hoppetauene? • Hvordan kan dere måle omkretsen til et tre? • Hvordan kan du måle hvor lang en katt er?

41 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 41

Oppgave 8.5 I denne oppgaven må elevene både tegne og beregne lengder.

12.02.15 09:31

Måling 41

Line er en jente som er 132

lang. En dag gikk hun tur i skogen sammen

med hunden sin, Fant, som er 5 bånd som var 18

høy. Line leide Fant i et

og 2

langt.

Fant stoppet ved et stort tre som var 8

høyt. Plutselig hørte de et brak.

Line ville snu, men Fant sto helt stille. Line trodde at det kanskje var et trehodet troll som var minst 5

høyt. Men Fant visste hva det var. Det var et stort

dyr som var 2

og 4

langt. Dyret hadde store horn,

og de var 140

brede. Men halen var liten og kort, bare 13

lang.

Hvilket dyr tror du Line og Fant møtte i skogen?

Forklaring 8 • Måling

Oppgave 8.6 og 8.7 Elevene skal identifisere hvilken lengdeangivelse som passer best til de to oppgitte gjenstandene.

8.6

Hvor lang kan en skolisse være? a) 50 dm b) 50 cm

c ) 50 mm

8.7

Hvor bred kan en buss være? a) 2,55 m b) 25 cm

c ) 250 mm

Oppgave 8.8 og 8.9 Øvingsoppgaver i omgjøring mellom lengdeenheter. Oppgavene krever også at elevene bruker den kompetansen de har om desimaltall, og om multiplikasjon og divisjon med 10 og 100.

Eksempel 30 mm er like langt som 3 cm. Husk! 10 mm = 1 cm 10 cm = 1 dm 10 dm = 1 m 1000 m = 1 km

0 mm 10mm 20 mm 30 mm 40 mm 50 mm

0 cm

Oppgave 8.10 Elevene skal oppgi svarene på omgjøringene her i meter og centimeter. Eksempel: 172 cm = 1 m og 72 cm

8.8

8.9

8.10

1 cm

2 cm

3 cm

4 cm

Gjør om til centimeter. a) 40 mm b) 1 m d) 7,3 dm e) 2,1 m

5 cm

c) 2 m f ) 1 dm

Gjør om til meter. a) 2 km b) 10 dm e) 0,52 km f ) 801 cm

c) 35 cm g) 950 mm

d) 5 dm h) 505 cm

Gjør om til meter og centimeter. a) 172 cm b) 15 dm e) 3, 48 m f ) 72,2 dm

c) 2,42 m g) 5,4 m

d) 201 cm h) 1,01 m

42 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 42

Måling

12.02.15 09:31

Finn sju forskjellige gjenstander som du vil måle med desimetermålet ditt. Jeg skal måle lengden av

Mål i dm og cm

Mål i cm

Forklaring 8.11

Se på tegningene.

Oppgave 8.11 a) Denne oppgaven kan gi flere svar, alt etter hva slags fisk elevene har erfaring med eller tolker tegningen som. Fiskens plass blir ulik om den tolkes til å være en stor laks eller en liten sardin. b) Lengdene er oppgitt i ulike måleenheter, og det kan bli noe diskusjon om svarene. La elevene få argumentere, og let gjerne opp dokumentasjon på hvor lange de ulike dyrene er i virkeligheten. Da gir fiskens lengde seg selv. c) Elevene må gjøre om alle målene til cm før de løser oppgaven. d) og e) er smilefjesoppgaver. Bruk gjerne disse også som muntlige oppgaver hvor elevene får argumentere for meningene sine.

a) Ranger dyrene etter lengde slik den er i virkeligheten. b) Marie skriver dyrenes lengde på lapper. Hvilke dyr og hvilke lapper passer sammen? 2,50 m c)

75 cm

60 mm

44 cm

20 cm

Marie legger lappene på bordet og regner ut at lengden på dyrene er 351 cm til sammen. Hvilken lapp har falt på gulvet?

d) Blåhvalen er verdens største pattedyr. Den kan bli opptil 30 m lang. Omtrent hvor mye lengre er blåhvalen enn deg? e) Blåhvalen kan svømme 3–6 km/t. Hvis den svømmer 4 km/t, hvor langt har den svømt etter 2,5 timer?

43 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 43

12.02.15 09:31

Måling 43

Å lese lengdemål på ulike måter I oppgavene i denne boka angir vi lengdemål på ulike måter. For eksempel kan lengden 152 cm skrives som 1,52 m eller 1 meter og 52 cm. I muntlig tradisjon har vi ulike måter å angi lengder på alt etter hva vi snakker om. Hvis du spør en person om hvor høy han er, vil han sannsynligvis ikke svare verken «én meter og femtito centimeter» eller «ett hundre og femtito centimeter». Han vil bare si: «Jeg er én femtito.» Selv om dette er vanlig angivelse for en persons høyde i dagligtale, er det viktig at vi er nøye med å angi måleenheten i matematikktimen. Da er en person enten én meter og femtito centimeter, én komma femtito meter eller ett hundre og femtito centimeter. Vær også nøye med at elevene skriver måleenheten når de arbeider med måltall.

Flaskehoppbakke Dette er en gammel lek. Elevene måler og samler sitt eget tallmateriale til videre bearbeiding. Elevene trenger hver sin «hoppbakke», hver sin tomme halvliters brusflaske, en blyantstump, ispinne eller lignende til å måle med og et resultatskjema (se eksempel).

Del elevene inn i grupper på 4–6 elever. Hver gruppe lager seg en flaskehoppbakke på egnet sted. Etterpå gjennomfører de en hoppkonkurranse med for eksempel tre omganger. La gjerne elevene eksperimentere med forskjellige tyngder på flaska, tom, fylt med snø, fylt med vann osv. La elevene måle hoppene med en «måleenhet» (blyantstump, ispinne eller lignende). Videre kan dere gjøre så mye ut av resultatene som dere vil. Eksempler: •• Gi elevene følgende utfordring: Etter hvilken regel måtte hopprennet vært holdt for at du skulle ha vunnet? (Se eks.) •• Måleenheten kan måles i cm og hoppresultatene regnes om. •• Lage resultatliste over hoppkonkurransen for hele klassen •• Forske videre på tallmaterialet, hvor var det jevnest resultat, størst forskjell, hva kan det komme av …

Forklaring 8 • Måling

Oppgave 8.12 Elevene skal forholde seg til måleenhetene mm, cm og m i en oppgave som inviterer til å tenke praktisk.

8.12

Perlene på snora nedenfor er 10 mm brede.

a) Hva er lengden av perlene til sammen? Skriv svaret i centimeter og i millimeter.

Denne oppgaven er fin å oppsummere i fellesskap for å få en oversikt over hvilke strategier elevene brukte for å komme fram til svaret.

b) Hvor lang ville snora vært hvis perlene var halvparten så brede? c)

Pernille lager et armbånd som er 12 cm langt, og der annenhver perle er 10 mm bred og 5 mm bred. Hvor mange av hver type perle trenger Pernille?

d) Hvor mange perler med bredde 9,5 mm er det plass til på en snor med lengde 1 m? e) Forklar hvordan du tenkte da du regnet ut oppgaven.

Sammen Tidligere i kapitlet har vi forslag til praktiske øvelser med 1 meter og 1 desimeter. Hvis elevene har gjort disse, bør de komme ganske nær riktige lengder denne gangen.

Sammen

Når dere har kontrollert trådene, kan dere bruke dem til å finne ut hvor lange dere er!

Oppgave 8.13 Dette er en praktisk oppgave hvor elevene skal anslå lengdemål og sjekke sine antagelser med nøyaktig mål. Se teori øverst på siden.

• Uten å måle skal dere klippe til tre tråder som dere tror er 1 cm 1 dm 1 m • Sammenlign med resten av klassen, og se hvem som kom nærmest målene.

44 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 44

Måling

12.02.15 09:31

•• Studere den hoppbakken som hadde best resultater, vinkel, lengde på ovarenn/unnarenn, flasketyngde… osv. •• Brøk og prosent, hvor stor del av «unnarennet» hoppet de forskjellige flakehopperne? •• Lage søylediagram over resultatene. •• Regneark med autosum

Eksempel på hvem hadde vunnet: Etter hvilken regel hadde Per Pepsi vunnet? Lengste hopp i runde 2. Etter hvilken regel hadde Caroline Cola vunnet? Like lange hopp i runde 2 og 3. Etter hvilken regel hadde Frank Fanta vunnet? Lenger og lenger for hvert hopp. Etter hvilken regel hadde Sandra Solo vunnet? Lengst sammenlagt.

En ferdig ufylt resultatliste kan for eksempel se slik ut: Nr

Navn

hopp 1

hopp 2

hopp 3

sammenlagt

Per Pepsi

Caroline Cola

Frank Fanta

Sandra Solo

Forklaring 8.13

Gjett og mål i klasserommet. a) Tegn av tabellen, og skriv inn det du gjettet og det du målte.

Oppgave 8.14 Elevene skal finne hvilken måleenhet som passer i utsagnene. Oppgave a), se teori øverst på siden. I oppgave b) kan det være vanskelig å vite om det skal stå km eller mil for elever som bor i andre deler av landet.

b) Regn ut, og fyll inn forskjellen mellom det du gjettet og det du målte. Gjettet mål

Målt

Forskjell

Klasserom Dør Bok Pennal ?

Oppgave 8.15 Sammenligning av lengder oppgitt i ulike måleenheter og på ulike måter. Elevene må ta i bruk alt de vet om omgjøring mellom måleenheter.

? ?

8.14

Fullfør setningene med riktig benevning. a) En mann kan være 1,80 __ høy.

180 cm

b) Fra Oslo til Lillestrøm er det 18 __. c)

En bil kan være 420 __ lang.

Differensiering Utfordre elevene til å sette opp de tre målene i hver oppgave i stigende rekkefølge, ikke bare finne den korteste.

d) En vei kan være 3000 ___bred. e) Et bord kan være 7 ___høyt.

8.15

Hvilken lengde er den korteste? a) 2 m 6 cm

260 cm

b) 6 dm

70 cm

5 dm 9 cm

c) 490 cm

4900 mm

4,8 m

d) 3 cm 50 mm

3 dm

0,2 m

45 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 45

12.02.15 09:31

Måling 45

Å forstå hva areal er Vi vet at elever ofte knytter areal og omkrets til regneartene. Når vi ber elevene regne ut arealet av en figur, opplever vi ofte at de spør: «Er det pluss eller gange?» Da vet vi at denne eleven ikke har forståelsen av hva verken areal eller omkrets egentlig er.

Be elevene tegne rundt hånden sin med samlede fingre på et slikt ruteark. Omtrent hvor stor flate dekker elevens hånd? De kan først telle opp hvor mange hele ruter (cm²) hånden dekker, så må de anslå omtrent hvor mange ruter (cm²) til sammen resten av hånden dekker. Det er greit om de som gjennomsnitt teller de øvrige rutene som halve.

Arealbegrepet kan være vanskelig å forstå for noen elever. Det er viktig å arbeide med begrepet areal som størrelsen på den flaten som figuren dekker. Vi bruker begrepet flate i dagligtale når vi for eksempel snakker om gulvflaten i et rom eller grunnflaten i et hus eller en leilighet. Det er viktig at elevene får et forhold til at en flate ikke nødvendigvis behøver å være horisontal. Snakk sammen om hvor stor flate og hvor stort areal for eksempel døra eller vinduene i klasserommet har. Når vi snakker om areal, har vi lett for å tenke på rektangulære figurer. Det er nok i den forbindelsen at noen elever blir hengende i forståelsen av flate som «lengde ganger bredde». Det er fint å arbeide med å estimere flater av ikke-regulære figurer. Bruk arkene med 1 cm ∙ 1 cm ruter, kopieringsoriginal 1, til å eksperimentere med dette.

Forklaring 8 • Måling

Samtale Elevene kjenner begrepene omkrets og areal fra tidligere. Men som vi poengterer i teoridelen øverst på denne siden, er det viktig å arbeide grundig med forståelsen av disse begrepene.

Areal og omkrets Samtale

Omkrets er den samlede lengden av en figurs eller flates ytterkant.

1 cm 1 cm

1 cm2

Areal er et mål for hvor stor flate et område eller en gjenstand dekker.

Figurene på dette rasteret framstår som oppdelte figurer, men poengter overfor elevene at det er hele figurer som bare er merket tydelig for at det skal bli lett å se sammenhengen.

Hvor langt er det rundt figurene? Finn omkretsen. Hvor stor flate har figurene? Finn arealet. Hva oppdager dere?

Når elevene svarer på spørsmålene under illustrasjonen, er det viktig at de bruker benevningen når de angir svaret, ikke bare tallet.

8.16

Mål langs kantene og finn ut hvor langt det er rundt hvert svømmebasseng. Hvor stor omkrets har hvert basseng dersom 1 cm på tegningen svarer til 1 m i virkeligheten?

Eksempel: Omkretsen til den øverste figuren er 14 cm. Ikke godta svaret 14 uten å spørre: 14 hva for noe? Arealet er 6 cm² (kvadratcentimeter). Det er feil å svare cm eller uten benevning.

46 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 46

Måling

12.02.15 09:31

Sammenhengen mellom areal og omkrets I oppgave 8.20 på side 48 får elevene erfaring med at to figurer kan ha samme areal, men ulik omkrets, og at to figurer kan ha samme omkrets, men ulikt areal. Dette er viktige erfaringer å ha med seg for å utvikle forståelse for omkrets og areal. Arealet bestemmes av den flaten en figur dekker, uavhengig av fasong. Beholdes arealet fast, vil omkretsen variere etter figurens form. Omkretsen bestemmes av lengden rundt en figur. Beholdes omkretsen fast, vil arealet variere etter figurens form.

bredde 2 cm og lengde 10 cm? Osv. … Figurene har fast omkrets 24 cm. Hvilken figur har størst areal? Gjør det samme med en figur som skal ha fast areal 36 cm². Lag en figur som er 1 cm ∙ 36 cm, så en som er 2 cm ∙ 18 cm, 3 cm ∙ 12 cm, 4 ∙ 9 cm og 6 cm ∙ 6 cm. Hvilken figur med fast areal 36 cm² får størst omkrets? Kan vi trekke noen konklusjon ut fra disse erfaringene? La eleven prøve å sette ord på det de har erfart.

Dette er ikke lett å forstå, så det er fint om elevene gjør praktiske erfaringer med dette. Sammenoppgaven på side 49 er et eksempel på dette, hvor elevene får gjøre frie erfaringer med omkrets og areal. I tillegg anbefaler vi at dere arbeider systematisk med dette. Bruk ruteark med 1 cm² ruter. Be elevene tegne rektangler som har omkrets 24 cm. Hvor stort areal får figuren hvis den har bredde 1 cm og lengde 11 cm? Hvor stort areal får figuren hvis den har

Forklaring 8.17

Tegn figurene i kladdeboka di, og regn ut omkretsen. a) Rektangel med sidelengder 6 cm og 5 cm.

Oppgave 8.16 Elevene skal måle og finne omkrets. Det er ikke alltid lett å måle helt nøyaktig, så godta litt ulike svar. Hovedhensikten er at de skal forstå at de skal måle hver sidelengde og addere disse for å finne omkretsen.

b) Kvadrat med sidelengde 4 cm. c)

8.18

8.19

Tegn en figur som har omkrets 12 cm.

I tabellen regner vi omkretsen av forskjellige trekanter. Finn lengdene som mangler. Lengde side 1

Lengde side 2

5 cm

10 cm

7 cm

400 cm

5,5 m

Lengde side 3

Omkrets 15 cm

Oppgave 8.17 I oppgave c) er omkretsen oppgitt. Elevene skal tegne en figur som har den oppgitte omkretsen. Be elevene skrive sidelengdene på figuren de har tegnet. Utfordre elevene til å finne flere løsninger på oppgave c).

7 cm 16,3 m

Se på tegningen av rektanglet og svar på oppgavene.

5 cm

Oppgave 8.18 Elevene skal finne ut hvilken lengde som mangler i hver av oppgavene. Legg merke til om elevene husker å skrive benevning.

7 cm

a) Hvor stor omkrets har rektanglet? b) Hvor stort areal har rektanglet? c)

Tegn et nytt rektangel med dobbelt så lange sider. Blir arealet dobbelt så stort?

d) Er omkretsen dobbel så lang som i det første rektanglet?

47 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 47

Oppgave 8.19 En oppgave hvor elevene skal se sammenhengen mellom hvordan areal og omkrets endrer seg når sidelengdene dobles.

12.02.15 09:31

Måling

1 m² er ikke bare et kvadrat med sider 1 m. Elevene får raskt en forståelse av at arealet 1 m² er et kvadrat med side 1 m. For å forsterke forståelsen av at 1 m² er størrelsen på en flate som kan ha andre former enn et kvadrat, er det nyttig å la elevene arbeide praktisk med størrelsen 1 m². Dere trenger en bunke gamle aviser, sakser, tape, hyssing og meterstav. Del elevene i grupper på 3–4 elever i hver gruppe. En elev fra hver gruppe klipper en snor som er nøyaktig 1 meter. Utfordre elevgruppene til å lage hvert sitt kvadrat som er 1 m ∙ 1 m, ved hjelp av avispapir og tape. Alle gruppene har nå et kvadrat med areal 1 m² og omkrets 4 m Hver gruppe får nå i oppgave å omforme kvadratet sitt. De kan klippe det i biter og lage en ny figur ved å tape sammen bitene. Presiser at det er viktig at de bruker alle bitene, og at de tapes sammen kant i kant uten overlapping.

Spør elevene hvor stort areal den nye figuren har. Noen vil raskt forstå et den må være 1 m² fordi det er samme flate som bare har skiftet fasong, mens andre kanskje vil mene at det blir vanskelig å finne ut. La de elevene som forstår at den nye figuren må ha areal på 1 m², få argumentere for hvorfor det må være slik. Utfordre elevene til å bruke meterhyssingen sin til å finne ut omtrent hvor lang omkrets den nye figuren har. Ble det stor forskjell på figurenes omkrets?

Tangram og 1 dm² Dere kan gjøre tilsvarende aktivitet som beskrevet over med tangrambrikker. Et standard sett tangrambrikker danner et kvadrat med sider 10 cm. Dette er også målet på kopieringsoriginal 28 til 5A. Husker elevene hvordan de skal pusle sammen brikkene til et kvadrat? La dem gjøre det og eventuelt hjelpe hverandre. Nå kan de måle sidene med linjal eller med desimetermålet som de har lagd, og finne ut hvor stort areal kvadratet har. Det er 100 cm² = 1 dm².

Forklaring 8 • Måling

Oppgave 8.20 En øvingsoppgave i å identifisere areal og omkrets på ulike figurer, ved opptelling i rutenett. Resultatene føres inn i en tabell som elevene tegner i bøkene sine. Når eleven svarer på spørsmålene som ledsager oppgaven, vil de oppdage at to av figurene (B og D) har likt areal, men ulik omkrets, og to figurer (A og B) har lik omkrets, men ulikt areal. Samtal med elevene om dette.

8.20

Hvor stort areal og hvor stor omkrets har figurene? Fyll ut tabellen under. 1 cm

1 cm2

1 cm

Oppgave 8.21 Det samme som 8.20, men i tillegg skal elevene tegne sine egne figurer på rutenett. Figur

Bruk ruteark med 1 cm ∙ 1 cm ruter til denne oppgaven. Se kopieringsoriginal 1.

Areal

Omkrets

cm2

1 cm 1 cm

1 cm2

a) Hvilken figur har det minste arealet? b) Hvilken figur har det største arealet? c)

Har noen av figurene samme omkrets?

d) Har noen av figurene samme areal?

48 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 48

Måling

12.02.15 09:31

Nå kan elevene for eksempel prøve å pusle noen av figurene som vi viser eksempler på her, eller de kan lage figurer som de selv finner på. Arbeid med forståelsen av at samme hva slags figur de lager, bare de bruker alle brikkene, så har figuren et areal på 100 cm² = 1 dm².

Figurer uten hjelpestreker:

La elevene pusle sammen til et kvadrat igjen. Snakk med elevene om hvilke brikker de kan bruke hvis de nå skal lage en figur som har areal 50 cm² = 0,5 dm². Hvilke brikker kan de bruke? Kan de lage en figur med to av brikkene og en figur med resten av brikkene? Eksempel på figurer: Figurer med hjelpestreker:

Hval

Hus

Løpende mann

Forklaring 8.21

Hvor stort areal og hvor stor omkrets har figurene? Fyll ut tabellen nedenfor. A 1 cm

Sammen En praktisk samarbeidsoppgave hvor elevene gjør erfaringer med areal og omkrets av rektangler. De bør være minst fem elever på gruppa når de skal gjennomføre aktiviteten med hyssing, én elev til å markere hvert hjørne i rektangelet og én eller to til å måle.

1 cm

1 cm2

Figur

Areal

cm2

Omkrets

a) Hvilken av figurene har størst omkrets? b) Tegn fire figurer med areal 10 cm2 og mål omkretsen. Hva ser du?

Sammen • Bruk en hyssing som er 2 m lang. Lag forskjellige rektangler ved hjelp av hyssingen. Hvor stor omkrets får rektanglene som du lager? Hvor stort areal har hvert rektangel? • Tegn så mange rektangler dere klarer med omkrets 18 cm. • Hva skjer med omkretsen når du dobler lengden og bredden av sidene?

49 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 49

12.02.15 09:31

Måling 49

Beregning av areal av rektangler Elevene har til nå beregnet areal ved opptelling av kvadrater. I eksemplet på denne siden tanker vi at elevene skal assosiere beregning av areal med multiplikasjon i rutenett og videre i tomt rutenett (oppgave 8.23). Dvel litt ved dette da dette er med å styrke forståelsen av areal. Det kan også være gunstig å gi elevene repetisjonsøvinger i multiplikasjonstabellen på ukeplanen.

Eksempler på ukelekseøvinger i multiplikasjon 5 ∙ 6 =

2∙7=

2 ∙ 6 =

5∙7=

8 ∙ 6 =

1∙7=

3 ∙ 6 =

6∙7=

7 ∙ 6 =

9∙7=

1 ∙ 6 =

7∙7=

9 ∙ 6 =

10 ∙ 7 =

4 ∙ 6 =

4∙7=

10 ∙ 6 =

3∙7=

6 ∙ 6 =

8∙7=

Forklaring 8 • Måling

Samtale Snakk med elevene om dette eksemplet. Se om elevene ser sammenhengen mellom multiplikasjon i rutenett og beregning av areal av rektangler.

Eksempel Per har tegnet et rektangel med lengde 5 cm og bredde 3 cm. Hvor mange kvadratcentimeter (cm2) er rektanglet? Arealet av rektanglet er lengden multiplisert med bredden. 1 cm 1 cm

5 cm ∙ 3 cm = 15 cm2

1 cm2

Svar: Arealet er 15 cm2.

Oppgave 8.22 Eleven skal finne lengde og bredde og beregne arealet av rektanglene. Resultatene fører de opp i en tabell som de tegner i kladdeboka si.

8.22

Bruk rektanglene nedenfor og fyll ut tabellen. 1 cm

1 cm 1 cm2

D E

Rektangel

Lengde

Bredde

Areal

cm2

50 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 50

Måling

12.02.15 09:31

3 ∙ 8 =

4∙9=

5 ∙ 9 =

2∙7=

5 ∙ 8 =

7∙9=

3 ∙ 8 =

4∙9=

8 ∙ 8 =

3∙9=

2 ∙ 6 =

5∙6=

9 ∙ 8 =

9∙9=

5 ∙ 7 =

7∙8=

1 ∙ 8 =

6∙9=

8 ∙ 6 =

6∙7=

6 ∙ 8 =

1∙9=

8 ∙ 8 =

3∙9=

10 ∙ 8 =

5∙9=

3 ∙ 7 =

6 ∙8 =

4 ∙ 8 =

10 ∙ 9 =

9 ∙ 9 =

9∙6=

2 ∙ 8 =

2∙9=

7 ∙ 6 =

9∙7=

7 ∙ 8 =

8∙9=

9 ∙ 8 =

6∙9=

Forklaring 8.23

Regn ut arealet av rektanglene. a) b)

Oppgave 8.23 Beregningsoppgaver. Elevene bør stille opp som multiplikasjon og skrive svarsetning som i eksemplet på side 50.

2 cm

4 cm

7 cm 6 cm

5 cm

6 cm

4 cm

8.24

Oppgave 8.24 Dette er en mer utfordrende oppgave. Elevene skal finne bredden når lengen og arealet er oppgitt. La dem stille det opp som en multiplikasjon med en manglende faktor.

8 cm

5 cm

3 cm

Arealet av gulvet på Pippis rom er 18 m2. Lengden av gulvet er 6 m.

Eksempel: 6 m ∙ ___m = 18 m²

d) Er merket med smilefjes, her skal elevene forholde seg til det rommer som er tegnet på figuren, og den bredden som de regnet ut i oppgave a).

a) Hvor bredt er rommet?

Areal cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

b) Hvor lang er omkretsen av gulvet? c)

Tenk deg at gulvet har lengde 9 m og areal 18 m2. Hvor bredt er da gulvet?

d) Pippi kjøper et teppe og nye gulvlister til rommet sitt. Teppet koster 250 koner per kvadratmeter (m2) og listene 30 kroner per meter. Hvor mye betaler hun?

51 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 51

12.02.15 09:31

Måling 51

for de svakeste elevene. De trenger kanskje flere enkle oppgaver å øve seg på.

En del enklere treningsoppgaver i arealberegning Oppgavene på dette oppslaget kan fort bli vaskelige Alternativ til oppgave 8.25

Stue

Gang

Kjøkken 2m

Soverom

4 m

2 m

Her ser du tegningen av leiligheten til bestemor. a) Hvor stort areal har leiligheten til bestemor? b) Hvor stort areal har hvert av rommene i leiligheten? Forklaring 8 • Måling

Oppgave 8.25 Elevene skal hente opplysninger på plantegningen og regne ut arealer og omkretser. Oppgave f) er merket smilefjes, her møter elevene på målestokk. Repeter dette med elevene før de løser denne oppgaven og oppgave 8.26.

8.25

Huset til Line har form som et rektangel. Nedenfor ser du plantegningen av huset. 5m

Stue

Lasses rom

Lines rom

Kjøkken

Differensiering Dette kan være ganske krevende for en del elever. De som trenger enklere oppgaver, kan regne de oppgavene som står øverst på siden.

Bad

2m 10 m

a) Hvor mange kvadratmeter (m2) er gulvet i Lines rom? b) Hvor mange kvadratmeter er gulvet i Lasses rom?

Oppgave 8.26 Elevene skal lage en tilsvarende tegning som den i oppgave 8.25 av sitt «fantasihus», eller en leilighet.

Hvor stor er omkretsen til Lines hus?

d) Hvor mange kvadratmeter er huset til Line? e) Huset til Even har 15 m2 større areal enn Lines. Hvor mange kvadratmeter areal har huset til Even? f)

8.26

Tegn et forslag til hvordan huset til Even ser ut. La 1 m i virkeligheten tilsvare 1 cm på tegningen.

Lag en plantegning som i 8.25. Hvordan vil du at ditt hus skal være? La 1 cm på tegningen tilsvare 1 m i virkeligheten. a) Sett mål på huset. b) Regn ut arealet av rommene.

52 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 52

Måling

12.02.15 09:31

Forslag til flere multiplikasjonsøvinger til ukeplanen I disse øvingene trener elevene på multiplikasjonstabellen på samme måte som i oppgave 8.27.

14 2

16 28

40 5

•8

•7 49

63 35

64 48

Forklaring 8.27

Arealet står i midten av figuren. Hvor lang er den ukjente siden? a) b) ?

21 cm2 7 cm

3 cm d)

? 16 cm2 4 cm

8.28

Oppgave 8.27 Dette er en mer utfordrende oppgave. Elevene skal finne bredden når lengen og arealet er oppgitt. La dem stille det opp som en multiplikasjon med en manglende faktor. Eksempel: 7 cm ∙ ___ cm = 21 cm².

? 12 cm2

3 cm

18 cm2 ?

Tegn et rektangel som har 20 cm i omkrets. a) Hvor stort areal har figuren? b) Tegn et annet rektangel som også har 20 cm i omkrets. c)

Hvor stort areal har rektanglet du tegnet i b)?

d) Sammenlign rektanglene. Har rektanglene med like lang omkrets like stort areal?

Sammen

Oppgave 8.28 Elevene skal tegne sine egne rektangler som har omkrets 20 cm, og beregne arealet. Bruk ruteark med ruter på 1 cm ∙ 1 cm til denne oppgaven. Se kopieringsoriginal 1.

Sammen La elevene bruke ruteark med 1 cm² kvadratiske ruter når de løser denne sammenoppgaven. Se kopieringsoriginal 1. Samtal om oppgaven etter at elevene har løst den, og la dem få argumentere for hva slags form figuren med lengst omkrets bør ha.

• Tegn ulike figurer der hver flate har areal 32 kvadratcentimeter (cm2). Hvor mange ulike figurer klarer dere å tegne? • Regn ut omkretsen av figurene. Er den lik på alle figurene? • Hvordan mener dere at en figur med samme størrelse bør se ut, for å kunne ha så stor omkrets som mulig?

53 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 53

12.02.15 09:31

Måling 53

Teori om areal av trekanter Det første elevene møter her er arealet av en rettvinklet trekant. Elevene gjør også en praktisk øvelse hvor de deler et rektangel i to like trekanter etter diagonalen (c). De får erfare i praksis at arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av arealet av et rektangel med samme sidelengder som trekantens kateter (a og b).

Forklaring 8 • Måling

Samtale Denne samtalen ledsages av en praktisk aktivitet. Elevene får utdelt hvert sitt ark med ruter på 1 cm². Kopieringsoriginal 1. Hver elev tegner sitt rektangel, de bestemmer selv rektangelets lengde og bredde. Poengter at de tegner et rektangel som har hele ruter både som lengde og bredde.

Areal av trekanter

Samtale Tegn ulike rektangler på ruteark (1 cm ∙ 1 cm). Del arkene i to, slik at dere får to like store trekanter. 1 cm 1 cm

Hvor stort areal har rektanglene? Hvordan kan dere finne ut hvor stort areal trekantene har?

Nå skal elevene klippe ut rektangelet. Be dem finne hvor stor flate rektangelet dekker, rektangelets areal. Be elevene tegne en av diagonalene i rektangelet og klippe det i to etter denne diagonalen. Hva kan de si om de to trekantene de nå har fått? Et av svarene bør være at den har en rett vinkel, og et annet at trekantene er like store. Spør så om de da kan fortelle hvor stor flate en av disse to trekantene dekker, arealet av trekanten.

8.29

Hvor stort areal har trekantene? 1 cm

1 cm

Måling

54 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 54

1 cm2

Kan dere sammen utforme en regel om hvordan dere kan finne arealet av en trekant som har en rett vinkel? I kvadratet på rasteret, og hvis noen av elevene har laget seg et kvadrat, er det lett å sjekke at dette stemmer ved å telle ruter og halve ruter i kvadratet.

Alle rektangler kan deles i to like store trekanter. Da blir arealet av trekanten halvparten av arealet av rektanglet.

1 cm2

12.02.15 09:31

I sammenoppgaven på side 55 skal elevene finne ut hvordan de kan beregne arealet av en likebeint trekant. Det er ikke like lett å se ved å brette, slik som teksten foreslår. Hvis elevene i stedet klipper langs de røde linjene som er stiplet på illustrasjonen i boka, får de tre trekanter, en likebeint trekant og to like rettvinklede trekanter. Elevene kan nå legge de to rettvinklede trekantene oppå den likebeinte trekanten og se at disse dekker hverandre helt. Altså har de samme areal. Arealet til den likebeinte trekanten er derfor halve arealet av rektangelet. Trekantens høyde er den samme som rektangelets bredde, og trekantens grunnline er lik rektangelets lengde.

b b

Sammen Se teori til denne sammenoppgaven øverst på siden. Etter at elevene har jobbet med oppgaven, kan dere sammen utforme en regel for hvordan man kan finne arealet av en trekant som ikke har en rett vinkel.

Forklaring 8.30

Regn ut arealet av rektanglene først og trekantene etterpå. a)

4 cm

5 cm 7 cm

5 cm

8.31

Regn ut arealet av trekantene.

Arealet av rektanglet: 7 cm ∙ 4 cm = 28 cm2

Arealet av trekanten: 28 cm2 : 2 = 14 cm2

b) 5 cm 5 cm

8.33

Oppgave 8.30 I denne oppgaven har ikke elevene støtte av rutenettet, men må forholde seg til de oppgitte lengdene.

4 cm

e har?

8.32

Oppgave 8.29 I denne oppgaven kan elevene bruke den regelen dere kom fram til i samtalen for å regne ut arealet av trekantene.

7 cm

Tegn rektangler med areal b) 18 cm2 a) 20 cm2

c) 8 cm2

Tegn trekanter med areal b) 9 cm2 a) 10 cm2

c) 4 cm2

Oppgave 8.31 Her er trekantene til de samme rektanglene som elevene møter i 8.30. De fleste elevene vil se at arealet blir det samme uten å regne ut. Oppgave 8.32 og 8.33 I oppgave 8.32 skal elevene tegne rektangler med et gitt areal. Bruk ruteark med ruter på 1 cm² til denne oppgaven. I 8.33 skal de tegne trekanter med det halve arealet, altså kan de halvere rektanglene fra oppgave 8.32.

Sammen Tegn rektanglet til høyre på et ark, og brett langs den stiplede linja. • Hvor stor er trekanten i forhold til rektanglet? • Regn ut arealet av trekanten. • Hvordan regnet dere ut arealet?

5 cm

4 cm

55 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 55

12.02.15 09:31

Måling 55

Hoderegningsoppgaver med halvering, partall og oddetall Halvparten

Det dobbelte

40 400 8 80 800 12 120 20 2000

Forklaring 8 • Måling

Oppgave 8.34 I oppgave c) må elevene bruke erfaringene fra sammenoppgaven på side 55 og regelen som dere laget til denne aktiviteten.

8.34

Regn ut arealet av figurene. a) 1 cm 1 cm 1 cm2

Hvordan kan jeg løse oppgave c)?

Oppgave 8.35 Bruk ruteark med ruter på 1 cm ∙ 1 cm til denne oppgaven. Se kopieringsoriginal 1.

Oppgave 8.36 Elevene skal oppdage at alle de tre figurene har samme areal. Bruk ruteark med ruter på 1 cm ∙ 1 cm og utfordre elevene til å tegne de rektanglene som trekantene er en del av. Spør hva de oppdager da. Rektanglene er også like store, selv om lengde og bredde er byttet om.

8.35

a) Lag et rektangel som har et areal på 16 cm2. b) Del rektanglet i to like trekanter slik at hver trekant har et areal på 8 cm2.

8.36

Regn ut arealet av figurene. Hva oppdager du? 1 cm

1 cm 1 cm2

56 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 56

Måling

12.02.15 09:31

Halvparten

Det dobbelte

5 50 500 7 70 700 25 250 15 1500

Forklaring 8.37

Ayla skal male en husvegg. Én liter maling dekker 7 m2.

5m 3m

2,5 m

Oppgave 8.37 Dette er en litt mer krevende oppgave. I a) må elevene regne ut arealet av veggen som en sammensatt figur og deretter subtrahere det oppgitte arealet av de to vinduene.

5m 2,5 m2

Sammen La elevene bruke ruteark med ruter på 1 cm² til denne oppgaven. Oppsummer i klassen, og la gruppene få presentere hvilke figurer de har lagd. La også elevene argumentere for hvilken figur som har størst omkrets.

a) Hvor stort areal har husveggen utenom vinduene? b) Hvor mange liter trenger Ayla for å male denne veggen?

Sammen

• Klipp ut fire like rettvinklede trekanter. Sett trekantene sammen til et rektangel. Regn ut arealet av trekanten og av rektanglet. • Sett sammen andre figurer ved hjelp av de fire trekantene. Hvor stort areal får hver av figurene dere lager? • Hvilken figur har størst omkrets?

57 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 57

12.02.15 09:31

Måling

Areal av sammensatte figurer På dette oppslaget skal elevene regne ut arealet av ikke-regulære figurer. De skal gjøre erfaringer med å dele opp figurene fornuftig i kjente figurer som de kan regne ut arealet av. Ved til slutt å summere arealene av disse figurene finner de arealet av den opprinnelige figuren. De fleste oppgavene kan deles på forskjellige måter. Det kan være fornuftig å la elevene få presentere for hverandre hvordan de har delt de ulike figurene, og hvordan de har gått fram for å finne arealet. Det å kunne dele opp en figur i kjente figurer for så å regne ut arealet av de kjente figurene, er gode øvelser for å forsterke forståelsen av arealbegrepet. Elevene får en kompetanse som er viktig for å kunne løse mer kompliserte oppgaver som de vil møte lenger fram i skoleløpet. Det norske flagget Nedenfor finner du en tegning av det norske flagget med hver av fargene oppgitt i riktig forhold. Oppgave A er enkel, de svakeste elevene kan tell ruter hvis de vil. I oppgave B må elevene forstå at en rute som er 2 cm ∙ 2 cm, har et areal på 4 cm², eller de kan doble alle lengdene fra A og regne ut arealene etter det. Oppgave C er en utfordrende oppgave for de flinkeste elevene.

Oppgave A a) Hvor stort areal har flagget hvis hver av rutene er 1 cm ∙ 1 cm? b) Hvor stort areal har den røde fargen hvis hver av rutene er 1 cm ∙ 1 cm? c) Hvor stort areal har den hvite fargen hvis hver av rutene er 1 cm ∙ 1 cm? d) Hvor stort areal har den blå fargen hvis hver av rutene er 1 cm ∙ 1 cm? Oppgave B a) Hvor stort areal har flagget hvis hver av rutene er 2 cm ∙ 2 cm? b) Hvor stort areal har den røde fargen hvis hver av rutene er 2 cm ∙ 2 cm? c) Hvor stort areal har den hvite fargen hvis hver av rutene er 2 cm ∙ 2 cm? d) Hvor stort areal har den blå fargen hvis hver av rutene er 2 cm ∙ 2 cm?

Forklaring 8 • Måling

Samtale Før denne samtalen er det en fordel om dere har gjort aktiviteten med tangram som står beskrevet på side 48. Snakk sammen om det dere gjorde da, og om arealet forandret seg når alle tangrambrikkene ble satt sammen til ulike figurer.

Sammensatte figurer Samtale

Hvordan kan vi regne ut arealet av en sammensatt figur? 12 cm KOPI

6 cm

4 cm Det er flere måter 3 cm å dele figuren på. Hvordan vil dere dele inn figuren?

La elevene få utdelt en kopi av figuren på rasteret. Kopieringsoriginal 3. Be elevene dele figuren i trekanter og rektangler ved å tegne på figuren eller ved å klippe. La elevene beskrive hva slags figurer de kan dele opp denne sammensatte figuren i. Spør også hva de må vite for å kunne regne ut arealet av figuren. Spør videre om arealet vil endre seg hvis de setter sammen den oppklipte figuren på en annen måte.

8.38

8.39

4 cm

Sekskanten til høyre er satt sammen av 6 trekanter. Hver trekant har arealet 11 cm2. Hvor stort areal har sekskanten?

Bruk figuren til høyre. a) Hva slags geometriske former er figuren satt sammen av?

11 m 9m

b) Regn ut omkretsen av figuren. c)

Oppgave 8.38 I denne oppgaven er sammensetningen gitt, og elevene skal regne ut arealet av den sammensatte figuren.

8.40

Regn ut arealet av figuren.

Regn ut arealet og omkretsen av figuren.

5m 2m

2m 3m

1m 8m

58 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 58

Måling

12.02.15 09:31

Nedenfor ser dere det norske flagget.

Oppgave C Ola har et flagg som er 110 cm langt og 80 cm høyt. a) Hvor stort areal har dette flagget?

b) Hvor stort areal har hver av de tre fargene i dette flagget?

Forklaring 8.41

Bruk figuren til høyre. a) Regn ut arealet.

b) Regn ut omkretsen. c)

d) Regn ut arealet av figuren du tegnet i c).

8.42

8m 4m 8m

Skriv setningene med riktig benevning. a) Arealet av et papirark kan være 600 … . b) Omkretsen av et håndkle kan være 4 … . c)

Oppgave 8.38 og 8.39 Elevene må selv dele opp figurene i flere figurer før de regner ut arealet. Det er flere måte å dele figurene på.

Tegn en ny sammensatt figur med omkrets 20 cm.

cm2 m2

Oppgave 8.41 Her skal elevene i tillegg lage en figur med gitt omkrets. La gjerne elevene bruke 1 cm² ruteark til denne oppgaven.

cm m

Arealet av en hustomt kan være 600 … .

d) Omkretsen av en side i en matematikkbok kan være 90 ... .

Oppgave 8.42 Elevene skal finne ut hvilken benevning i ruten ved siden av som passer til de ulike utsagnene.

Sammen Nedenfor ser dere en rettvinklet trekant, et kvadrat og et rektangel. Tegn figurene, og klipp dem ut. 7,1 cm 5 cm

5 cm

5 cm 5 cm

Sammen Denne aktiviteten er i prinsippet den samme som aktiviteten med tangramfigurene. Elevene gjør den samme erfaringen med arealet av de ulike sammensatte figurene, men her gjør de i tillegg erfaringer med omkretsen av figurene.

9 cm

• Lag en sammensatt figur ved hjelp av figurene dere har klippet ut. Hvor stort areal får den sammensatte figuren? Hvor stor er omkretsen av figuren? • Lag en ny sammensatt figur. Regn ut arealet og omkretsen av denne figuren. • Diskuter i klassen om arealet og omkretsen kan forandre seg når man lager en ny figur.

59 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 59

12.02.15 09:31

Måling 59

Forklaring 8 • Måling

Samtale Denne samtalen er en repetisjon av hvordan programmet GeoGebra brukes for å tegne trekanter og måle sidene i trekanten.

Geometriske figurer i GeoGebra Samtale

Husker du disse knappene i GeoGebra? Klikk på og lag en trekant. Hvis du vil måle lengden til et av og . linjestykkene i trekanten, klikker du på Når du nå klikker på endepunktene til det valgte linjestykket, vises avstanden:

Oppgave 8.43 En åpen oppgave. Elevene velger selv hva slags figur de vil tegne. Oppgave 8.44 Elevene skal tegne regulære mangekanter. Oppfordre elevene til å navngi figurene. Oppgave 8.45 Ettersom elevene her tegner rektangler og kan bruke kalkulator, kan de i tillegg til å regne ut omkretsen av rektangelet også regne ut arealet.

8.43

Åpne GeoGebra. Klikk på pilen til høyre i skjermbildet og velg til å tegne ulike Grunnleggende geometri. Bruk knappen mangekanter. Velg Fil og Ny for hver nye figur.

8.44

I en regulær mangekant er alle sidene like lange. til å tegne ulike Bruk knappen regulære mangekanter i GeoGebra.

8.45

Oppgave 8.46 Elevene skal tegne rektangler med målsatte sider og, regne ut areal og omkrets av disse.

Tegn et rektangel i GeoGebra. a) Mål sidene i rektanglet med to desimaler. b) Regn ut omkretsen av rektangelet. Du kan bruke kalkulator.

8.46

For å velge antall desimaler, klikk på Innstillinger og Avrunding.

Tegn tre rektangler. Regn ut omkretsen og arealet av hver figur. Du kan bruke kalkulator.

60 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 60

Spill Spillerne starter ved skipet når de tegner første Geometriske figurer strek. Bruk kopieringsoriginal 4. i GeoGebra Samtale

Finn ut La elevene søke etter informasjon på internett. Oppfordre eleven til å oppgi kilde (internettadressen) for de opplysningene de kommer med.

Spill

12.02.15 09:31

KOPI

«Øykamp» Utstyr: Blyant, viskelær, linjal, to terninger og kopieringsoriginal av spillet Antall spillere: To elever per gruppe Hva spillet går ut på: Målet er å erobre øyer. Spillerne kaster terningene og tegner etter tur. Spiller A kaster terningene og tegner en strek som er så mange centimeter lang som øynene på terningen viser. Spiller B gjør det samme. Neste kast starter målingen der streken sluttet. Spilleren må lande på øya for å erobre den. Det er ikke lov å tegne over en øy. Kommer en spiller til en øy som ingen eier, markerer spilleren denne øya med navnet sitt. Noen øyer gir flere poeng enn andre. Vinner: Spilleren som oppnår flest poeng

Finn ut I gamle dager brukte man andre måleenheter enn dem som fins i det metriske system. Noen av enhetene man brukte, var tommer, fot og alen. • Hvor lang er henholdsvis en tomme, en fot og en alen i centimeter? • Hvilken av disse måleenhetene blir også brukt i dag, og i hvilken sammenheng blir den brukt?

61 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 61

Måling

12.02.15 09:31

Forklaring Sant eller usant

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne, i boka si. Legg spesielt merke til om noen elever skriver setningen: cm og cm² er det samme.

Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka. • 1 m er det samme som 100 cm. • Centi betyr en hundredel. • Omkrets og areal er det samme. • Omkretsen er et mål for lengden til ytterkanten av en figur eller et område. • Forkortelsene cm og cm2 betyr det samme.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Oppsummering I det metriske systemet er meter en grunnenhet for lengde. Vi måler lengde i millimeter, centimeter, desimeter, meter og kilometer. Ord

kilo

hekto

desi

centi

milli

Betydning

tusen

hundre

Tall

1000

100

tidel 1 10

hundredel 1 100

tusendel 1 1000

Omkrets Omkrets er lengden til ytterkanten av en figur eller et område. Se for deg en flat plen som du skal gjerde inn. Omkretsen av plenen forteller hvor mange meter gjerde du trenger. Vi regner ut omkretsen til mangekanter ved å legge sammen lengdene av sidene i mangekanten. 7,2 m 3,5 m

3,8 m 8,8 m

62 62 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 62

12.02.15 09:31

Eksempel Omkretsen av figuren er: 8,8 m + 3,5 m + 7,2 m + 3,8 m = 23,3 m Omkretsen er 23,3 m. Areal Arealet av et område forteller hvor stor flate området dekker. Arealet av en fotballbane forteller altså hvor stor flate banen dekker. Det er naturlig å oppgi arealet av en fotballbane i kvadratmeter (m2). Andre enheter for areal kan være kvadratcentimeter (cm2) eller kvadratkilometer (km2). 2 cm 7 cm Arealet av rektanglet er: 7 cm ∙ 2 cm = 14 cm2 Arealet av rektanglet er 14 cm2. Arealet av en trekant Nedenfor ser du tre tilfeller der arealet av trekanten er halvparten av arealet av rektanglet.

63 Radius 5B_kapittel 8_til trykk 12.2.15.indd 63

12.02.15 09:31

Måling 61

Dette har jeg lært i kapittel 8

Navn:

1 Mål linjestykkene og skriv svarene i cm og i mm.

2 Tegn linjestykkene. 4,3 cm

37 mm

3 Gjør om. 23 mm =

12,4 cm =

47 cm =

8,2 dm =

126 cm =

11,3 m =

4 Mål figuren og regn ut omkretsen.

Omkretsen er:

Kapittel 8 Måling

5 Hvor stort areal og hvor stor omkrets har figurene?

{

1 cm

{

1 1 A cm cm2

Omkrets:

Areal:

6 Regn ut arealet av rektangelet.

5 cm

Areal:

7 Regn ut arealet av trekanten.

4 cm

8 cm

9 cm

Regn her:

8 Regn ut arealet av den sammensatte figuren. 5 cm

Regn her:

2 cm 8 cm

Kapittel 8 Måling