322
KAPITTEL 3 GEOMETRI
Eksempel 1
De åtte aksiomene for vektorer i planet
Vi gir her noen regneeksempler på hvordan disse aksiomene er oppfylt for vektorer i planet. La oss f.eks. sette u ¼ ½2, 4 , v ¼ ½5, 1 , w ¼ ½ 1, 3 . Da sier aksiom 1 på forrige side rett og slett at u þ ðv þ wÞ ¼ ½2, 4 þ ½5, 1 þ ½ 1, 3 ¼ ½2 þ 5 1, 4 1 3 ¼ ½6, 0 er det samme som ðu þ vÞ þ w ¼ ½2, 4 þ ½5, 1 þ ½ 1, 3 ¼ ½2 þ 5 1, 4 1 3 ¼ ½6, 0 : Merk at dette er analogt til hvordan vi i tallregningen har 2 þ ð5 1Þ ¼ ð2 þ 5Þ 1. Begge deler blir 6. I det første uttrykket regner vi først ut 5 1, før vi deretter legger på 2. I det andre uttrykket legger vi først sammen 2 og 5, før vi til slutt trekker fra 1. (Se for øvrig QED 5–10, bind 1, del 1, kapittel 1.4, setning 1.) Aksiom 2 forteller oss at u þ v ¼ ½2, 4 þ ½5, 1 ¼ ½2 þ 5, 4 1 ¼ ½7, 3 er det samme som v þ u ¼ ½5, 1 þ ½2, 4 ¼ ½5 þ 2, 1 þ 4 ¼ ½7, 3 . Dette er en direkte konsekvens av hvordan vi i tallregningen har 2 þ 5 ¼ 5 þ 2. Rekkefølgen for addisjon spiller ingen rolle. Det samme gjelder altså for vektorer. Figur 7 uþv¼vþu
v u
v+u u+v
u v u+v=v+u
I det plane tilfellet refererer aksiom 3 til vektoren 0 ¼ ½0, 0 , altså vektoren som gir oss «ingen forflytning». Vi ser her at f.eks. 0 þ u ¼ ½0, 0 þ ½2, 4 ¼ ½0 þ 2, 0 þ 4 ¼ ½2, 4 ¼ u. Tilsvarende for u þ 0. Nullvektoren spiller her akkurat samme rolle som tallet 0 i tallregningen, hvor vi har 0 þ a ¼ a for ethvert tall a.