Qed 5 10 bind2 bla i bok

4

Trond Stølen Gustavsen er professor i matematikk ved Høgskolen i Buskerud og Vestfold, Fakultet for utdanningsvitenskap og humaniora.

Kristin Ran Choi Hinna er førstelektor ved Høgskolen i Bergen, Avdeling for lærerutdanning.

Inger Christin Borge har doktorgrad i matematikk fra University of Oxford og er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førsteamanuensis ved Matematisk institutt, førstelektor ved Institutt for lærerutdanning og skoleforskning og fagreferent i matematikk ved Realfagsbiblioteket.

T R O N D S T Ø L E N G U S TAV S E N KRISTIN RAN CHOI HINNA INGER CHRISTIN BORGE PEER SVERRE ANDERSEN

QED 5-10

Peer Andersen er førstelektor i matematikkdidaktikk ved Institutt for lærerutdanningsfag, Høgskolen i Telemark.

Bind 2 ISBN 978-82-02-42098-7

9 788202 420987 www.cda.no

c=a+b

Utvalget av emner til QED 5–10 bøkene er gjort med utgangspunkt i de nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanningen og erfaringer og synspunkter fra forskjellige lærerutdanninger i Norge. Mange sider ved matematikk i skolen og lærerutdanningen er berørt, og bøkene presenterer oppdatert kunnskap om matematikk som undervisningsfag tilpasset behovene i dagens skole og samfunn.

QED 5-10

Boka er inndelt i følgende 12 kapitler: 1. Kalkulus 2. Tallenes hemmeligheter 3. Geometri 4. Statistikk og kvantitativ metode 5. Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning 6. Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 5.–10. trinn 7. Kunnskapskvartetten i matematikk 8. Internasjonale studier i matematikk – design, relevans, resultater og trender 9. Vurdering 10. Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv 11. Problemløsning i matematikk 12. Utematematikk

Gustavsen, Choi Hinna, Borge og Andersen

QED 5–10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen, bind 2 er tilpasset de siste 30 av de 60 studiepoengene i matematikk rettet mot undervisning på 5.–10. trinn. Flere av bokas kapitler bygger videre på temaene i bind 1. De første tre kapitlene tar utgangspunkt i matematikkfaglige emner: funksjoner, tall og geometri. Kapittel 4 handler om statistikk og kapittel 5 handler om forskningsmetode. I kapittel 6 og 7 drøftes matematikklærerens kompetanse, og i kapitlene 8, 9 og 10 arbeides det med kartlegging og vurdering. Kapittel 11 handler om problemløsningens plass i matematikkfaget og i matematikkundervisningen, mens praktisk arbeid med matematikk utendørs er temaet i kapittel 12.

MATEMATIKK FOR GRUNNSKOLELÆRERUTDANNINGEN N Bind 2

Innhold

Kapittel 1

Velkommen til studiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Kalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inger Christin Borge

17

1.1

Funksjoner og reelle tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Funksjon og definisjonsmengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Tallinja og intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4 Diverse funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.5 Begrepet grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.6 Begrepet kontinuitet og de reelle tallene . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.7 Fortegnsskjema og polynomdivisjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.8 Funksjonsdrøfting – definisjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 18 19 23 30 36 43 50

1.2

Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Momentan vekstfart – den deriverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5 Den dobbeltderiverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.6 Funksjonsdrøfting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.7 Maksimums- og minimumsproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 61 68 71 79 80 90

1.3

Integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Areal under en graf – det bestemte integralet . . . . . . . . . .

1.3.2 Integrasjon og antiderivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Antiderivasjon – det ubestemte integralet . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Substitusjon og delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Areal til et område . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Volum til et omdreiningslegeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.7 Overflate til et omdreiningslegeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 94 105 111 116 123 127 133

6

INNHOLD

1.4

Kapittel 2

Eksponentialfunksjoner og differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Logaritmer og eksponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Eksponential- og logaritmefunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3 Derivasjon og integrasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 Differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.5 Første ordens lineære differensiallikninger . . . . . . . . . . . . .

1.4.6 Separable differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.7 Modellering – anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 139 144

Tallenes hemmeligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Olav Gravir Imenes

177

2.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

2.2

Regning med hele tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Velordningsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Lukkethet under operasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Divisjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Delelighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.5 Minste felles multiplum og største felles faktor . . . . . . . .

2.2.6 Euklids algoritme for å finne største felles faktor . . . . . . .

181 181 184 186 192 195 200

2.3

Kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Definisjon av kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Eksempler på kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 Regning med rester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4 Formelle bevis for regneregler i kongruensregning . . . . .

2.3.5 Delelighetsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.6 Feiloppdaging ved hjelp av kongruensregning . . . . . . . . . .

206 206 210 213 218 226 229

2.4

Lineære kongruenslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Løsning med klokkemetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Løsning med multiplikasjonstabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Nulldivisorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.4 Løsning med diofantiske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 233 239 240 245

2.5

Heltallsløsninger av lineære likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 Løsning av diofantiske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Pytagoreiske tripler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 246 258

2.6

Tallenes byggesteiner: Primtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 Eratostenes’ såld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2 Bruk av aritmetikkens fundamentalteorem til å skrive og multiplisere tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3 Bevis av aritmetikkens fundamentalsetning . . . . . . . . . . . .

261 263 265 266

Kryptografi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1 Bokstavkoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.2 Feiloppdagingskoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.3 Koder med offentlig nøkkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270 271 279 284

2.7

151 154 156 165 169

INNHOLD

2.8

Kapittel 3

Kapittel 4

7

Fibonacci-tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Historisk eksempel: Kaninoppdrett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Det gylne snitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.3 I naturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.4 Binets formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.5 Eksponentiell vekst av kaniner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299 299 302 307 309 310

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nils Henry Rasmussen

313

3.1

Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Definisjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Regneregler for vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Metriske egenskaper til vektorer i planet . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.5 Flere anvendelser av skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.6 Projeksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.7 Bevis av setninger i geometrien med vektorregning . . . .

313 313 314 318 330 347 353 359

3.2

Avbildninger i planet og symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Avbildninger i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Sammensetninger av kongruensavbildninger. . . . . . . . . . . .

3.2.4 Odde og like avbildninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.5 Bevis av teoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.6 Symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.7 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.8 Avbildninger som ikke er kongruensavbildninger, og matriser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363 363 364 372 375 382 390 398

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

404

Statistikk og kvantitativ metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Knut Ole Lysø

405

4.1

Stokastiske forsøk og stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Forventet verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

408 409 411

4.2

Normalfordelingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Standard normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Generell normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414 416 419

4.3

Populasjon, utvalg og utvalgsfordelinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1 Ulike typer utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2 Hva vi skal skaffe informasjon om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.3 Utvalgsfordelingen til middelverdien og andeler . . . . . . . .

4.3.4 Grensefordeling og sentralgrenseteoremet . . . . . . . . . . . . .

4.3.5 Utvalgsfordeling til andeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

422 422 424 426 430 435

401

8

INNHOLD

4.4

4.5

4.6

439 439 444 450

Hypoteseprøving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.1 Hypoteser om en binomisk p eller andelen p ¼ S=N – innledende problemstillinger. . . . . . . .

4.5.2 Hypoteser om et populasjonsgjennomsnitt . . . . . . . . . . .

462

453 457

465 480

Hypoteseprøving mellom to populasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.1 Hypoteseprøving mellom to andeler p1 og p2 . . . . . . . . . .

4.6.2 Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt 1 og 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.3 Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt i relaterte stikkprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

488 489

Lineære sammenhenger mellom variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.1 Korrelasjon og korrelasjonskoeffisient. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.2 Hypoteser om korrelasjonskoeffisienten i populasjonen 4.7.3 Enkel regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.4 Hypoteseprøving i modellen enkel regresjon . . . . . . . . . . .

503 504 510 512 517

Statistiske tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

525

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

529

Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning . . . . . . . . . . . . . . . .

Kristin Ran Choi Hinna

531

5.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 Hva er matematikkdidaktikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Hva er forskning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

531 532 532

5.2

Bacheloroppgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1 Eksempler på bacheloroppgaver i matematikkdidaktikk .

534 534

5.3

Ulike tilnærminger til datainnsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Observasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Intervju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Triangulering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Dokumentanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

537 538 542 545 546

5.4

Analyse, tolkning og fortolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

547

5.5

Validitet og reliabilitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Validitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.2 Reliabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

549 549 552

5.6

Etikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

554

4.7

Kapittel 5

Estimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1 Punktestimator og punktestimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.2 Intervallestimat/konfidensintervall for gjennomsnittet 4.4.3 Intervallestimat/konfidensintervall for andelen p . . . . . . .

4.4.4 Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i andeler p1 p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.5 Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i gjennomsnitt 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

495 500

INNHOLD

5.7

Kapittel 6

Kapittel 7

9

Bacheloroppgaven: Forberedelser og skriving . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.1 Forberedelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.2 Skrive en fagtekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

559 559 562

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

565

Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 5.–10. trinn. . . . . .

Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Raymond Bjuland

567

6.1

Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

567

6.2

Undervisningskunnskap i matematikk – UKM. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Ulike deler av UKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

573 576

6.3

Avrunding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

585

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587

Kunnskapskvartetten i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bodil Kleve

589

7.1

De fire 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4

kategoriene i kvartetten – en utdypning . . . . . . . . . . . . . . . .

Foundation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Connection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contingency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

592 592 594 595 596

7.2

Kunnskapskvartetten – hvorfor og hvordan?

Eksempler fra klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Brøk i 5. klasse – eksempel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Brøk i 5. klasse – eksempel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Sammenhengen i matematikktimen (connection) . . . . . . .

7.2.4 Geometri på ungdomstrinnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

597 597 605 612 614

Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

619

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

620

Internasjonale studier i matematikk – design, relevans, resultater og trender. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Liv Sissel Grønmo

621

8.1

Internasjonale komparative undersøkelser i matematikk . . . . . . . .

622

8.2

Kjennetegn på matematikk i norsk skole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.1 Utviklingen i matematikkprestasjoner i Norge fra 1995 til 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

624 628

8.3

Tilbakegang og framgang på ungdomstrinnet i nordiske land . . .

8.3.1 Algebra i Norge, Sverige og Finland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3.2 Eksempler på oppgaver fra TIMSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3.3 Norske elevers prestasjoner i aritmetikk på barnetrinnet . .

630 631 633 634

8.4

Norske elevers prestasjoner i algebra på ungdomstrinnet . . . . . . .

636

7.3

Kapittel 8

10

INNHOLD

8.5

Kapittel 9

Kapittel 10

Norske elevers prestasjoner i matematikk i slutten av videregående skole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

638

8.6

Norske lærerstudenters prestasjoner i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . .

640

8.7

Ulike trender i Norge og Sverige. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

644

8.8

Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

646

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

648

Vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Helga Kufaas Tellefsen

651

9.1

Kontroll eller tilrettelegging for læring? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

652

9.2

Nasjonale og internasjonale tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.1 Internasjonale tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.2 Nasjonale tester – Hva forteller de? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

654 654 656

9.3

Vurdering for læring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.1 Matematisk kompetanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.2 Undervisningskunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.3 Vurdering for læring i klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.4 Undervisningssekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

661 662 663 663 669

9.4

Standpunktvurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

684

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

687

Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Svein Aastrup og Ketil Johnsen

689

10.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

689

10.2

Dynamisk kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.1 Utgangspunkt for kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.2 Hva forteller tradisjonelle kartleggingsprøver, og hva trenger læreren å vite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.3 Fange opp eleven som sliter i matematikk . . . . . . . . . . . . .

10.2.4 Å støtte eleven til mestring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.5 Den dynamiske kommunikasjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.6 Hvem kartlegger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.7 Første gang – forberedelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.8 Erfaringer fra dynamisk kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.9 Å lete etter elevens uformelle matematikkunnskaper. . .

10.2.10 I møte med eleven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.11 Gjennomføring av dynamisk kartlegging – Jonas, 7. trinn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.12 Supplerende kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.13 Hva vi fant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

690 692 695 697 697 699 700 701 702 703 704 705 710 712

INNHOLD

Kapittel 11

11

10.3

Dynamisk undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.1 Planlegging av tiltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.2 Tiltak rettet mot Jonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.3 Oppgaveformer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.4 Struktur og prosess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.5 Samhandling og metakognisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

713 717 718 721 725 734

10.4

Betydningen av vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

739

10.5

Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

740

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

741

Problemløsning i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

George H. Hitching og Hans Wilhelm Mørch

745

11.1

Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1.1 Oversikt over innhold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

745 746

11.2

Hva er 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4

problemløsning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Et relativt begrep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ikke bare e´n løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Holdninger til matematikkfaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Utforskning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

747 748 749 750 751

11.3

Po´lyas strategi for problemløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.1 Fire faser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.2 Eksempler på Po´lyas strategi i praksis – løste problemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.3 Po´lya om heuristikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.4 Misoppfatninger rundt Po´lyas strategi. . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.5 Po´lya på grunnskolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

752 753 755 764 767 769

11.4

Problemløsning og gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.1 Oppgaver til gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.2 Heterogene eller homogene grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.3 Ikke bare gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

770 770 770 771

11.5

Utfordringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.1 Det skal være ekte problemløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.2 Å komme gjennom pensum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.3 Faglig kunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

772 772 772 773

11.6

Problemløsningsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

774

11.7

Kilder med problemløsningsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

776

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

777

12

INNHOLD

Kapittel 12

Utematematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dag Gulaker

779

12.1

Om matematikk ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

785

12.2

Hva gjør vi? Aktiviteter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

786

12.3

Eksempler på tema som kan knyttes til utematematikk. . . . . . . . .

12.3.1 Nedbør og måling av nedbør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.2 Vann, vannforbruk og vann som ressurs . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.3 Besøk et kraftverk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.4 Aktiviteter med vann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.5 Måling av avstander og høyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.6 Hvor mange liter er et tre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.7 Geometriske former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.8 Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.9 Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.10 Mål og spiss vinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.11 Regn med avfallet vårt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.12 Synslengde, siktlinje og høyde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.13 Lengde- og breddegrader, GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.14 Strikk og funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.15 Rasvinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.16 Trafikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.17 Fangst/gjenfangst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.18 Lyd, trafikkstøy og måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.19 Den matematiske turen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.20 Sola, himmelretning og tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

788 788 792 796 796 797 800 802 804 806 810 811 813 814 816 817 818 819 821 821 822

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

826

Presentasjon av redaktører og forfattere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

827

Bildeliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

833

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

835

Velkommen til studiet Forord Det er med glede vi presenterer QED 5–10, bind 2 og dermed ferdigstiller QED 5–10 for grunnskolelærerutdanningen 5.–10. trinn. Arbeidet med QED-serien startet høsten 2009 parallelt med at ulike utvalg arbeidet med planene for grunnskolelærerutdanningens oppstart høsten 2010.

En viktig del av visjonen for QED 5–10-bøkene har vært å lage et mest mulig komplett læreverk for matematikklærere på 5.–10. trinn. Innholdet er valgt med utgangspunkt i de nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanningen og innholdet i grunnskolelærerutdanningen ved forskjellige lærerutdanninger i Norge. QED 5–10, bind 1 og bind 2 ivaretar 60 studiepoeng matematikk i grunnskolelærerutdanningen 5.–10. trinn.

Redaksjonsgruppen og de 15 forfatterne har sammen en omfattende og sammensatt kompetanse. Det gjør at mange sider ved matematikk i skolen og lærerutdanningen er berørt. Selv om de ulike studiestedene vil vektlegge temaene forskjellig, vil en vesentlig del av dette bindet være obligatorisk lesning for alle som skal undervise på 5.–10. trinn i grunnskolen. Boka presenterer oppdatert kunnskap om matematikk som undervisningsfag tilpasset behovene i dagens skole og samfunn.

Blant de mange som har bidratt til utgivelsen av denne boka, vil redaksjonsgruppen særlig takke kapittelforfatterne. Uten deres spisskompetanse og formuleringsevne hadde det ikke vært mulig å lage boka.

Forfatternes kompetanse representerer denne bokas viktigste verdi, men den hadde likevel ikke blitt til uten initiativet fra forlaget. Redaksjonsgruppen vil rette en stor takk til forlagsredaktør Bjørn O. Aa. Hansen.

Uten Bjørns energi og drivkraft hadde ikke bøkene blitt realisert.

Redaksjonsgruppen ønsker også å takke fagkonsulentene, språkkonsulent Siv Rekve og typograf Vegard Brekke for fremragende arbeid med manuskriptet.

Redaksjonsgruppen, Drammen/Bergen/Oslo/Kongsberg

14

VELKOMMEN TIL STUDIET

Innledning Denne boka er nummer to i QED 5–10-serien. Sammen med QED 5–10, bind 1 er boka ment å dekke 60 studiepoeng i matematikk rettet mot undervisning på trinnene 5–10.

Hvis du har brukt QED 5–10, bind 1, vil du kjenne deg igjen. Typografi og oppsett er det samme, og du vil kjenne igjen en del av temaene som blir behandlet. Boka bygger videre på og utdyper temaer fra bind 1.

For et godt læringsutbytte må du ha arbeidet grundig med stoffet i den første boka, og forhåpentligvis vil du da se bind 2 som en naturlig fortsettelse av læringen du er i gang med.

Mens mye av bind 1 er viet dybdeforståelse av matematikken du skal undervise i, inneholder bind 2 også faglige emner som kan beskrives som horisontkunnskap, se kapittel 6. Når du tilegner deg denne kunnskapen, vil du se skolematematikken i en større sammenheng, og du vil forstå mer av matematikkens egenart. Forskrift om rammeplan for grunnskolelærerutdanningene for 1.–7. trinn og 5.–10. trinn1 sier at en lærer på 5.–10. trinn skal kjenne sine undervisningsfag som skolefag og som forskningsfag. Mens matematikk som skolefag var i fokus i bind 1, vil en del av fokuset i bind 2 være på matematikk som vitenskapsfag og på hvordan skolematematikken henger sammen med mer avanserte faglige temaer.

Det forskes mye på hvordan matematikkundervisning kan gjøres best mulig, og hva som skal til for å bli en god matematikklærer. Vi har engasjert forfattere som skriver med utgangspunkt i inngående forskningsbasert kunnskap innen utvalgte emner som er viktige for matematikklærere.

Boka har 12 kapitler. De første tre kapitlene, Kalkulus, Tallenes hemmeligheter og Geometri tar utgangspunkt i matematikkfaglige temaer.

Gjennom disse kapitlene vil du få en dypere innsikt i sentrale temaer med tilknytning til skolematematikken. Kapittel 1 handler om analyse av funksjoner, et tema som er særlig understreket i de nasjonale retningslinjene. I kapittel 2 blir det fokusert på sentrale egenskaper til hele tall, og i kapittel 3 på vektorregning og symmetri.

1

http://www.regjeringen.no/pages/2263054/Forskrift_rammeplan_grunnskolelaererutdanningene.pdf (20.11.2013)

INNLEDNING

15

Kapittel 4 handler om statistikk og sannsynlighet. Dette er både et faglig og et metodisk kapittel. Du vil videreutvikle din kunnskap om statistikk som fag samtidig som du får et verktøy som kan brukes til statistiske undersøkelser. Siden algebra inngår i flere av kapitlene, vil de fire første kapitlene sammen videreutvikle dine kunnskaper innenfor alle hovedområdene i gjeldende læreplan.

Kapittel 5 markerer overgangen til kapitlene som handler om matematikkdidaktisk forskning og praksis. Det er et mål at du som matematikklærer skal kunne gjøre bruk av forskning i ditt arbeid som lærer, og du skal også ha kjennskap til hvordan man kan framskaffe forskningsbasert kunnskap. Dette kapittelet handler om kvalitative forskningsmetoder og vil blant annet gi deg innsikt i og tips om hvordan du kan skrive bacheloroppgaven din. Sammen med metoder for å bearbeide kvantitative data i kapittel 4 gir dette en forståelse av hvordan man kan få forskningsbasert kunnskap om læring og undervisning av matematikk. Kapittel 5 er supplert med to delkapitler som er tilgengelige på nettsiden til QED-bøkene: ett om ulike forskningstradisjoner i kvalitative studier og ett om ulike filosofiske baktepper for kvalitative metoder.

Kapittel 6 og 7 tar for seg matematikklærerens kompetanse. Forskningen som presenteres, gir et godt bilde av hva som kjennetegner en god matematikklærer. Disse to kapitlene vil blant annet gi deg en ramme for hvordan du kan videreutvikle deg som matematikklærer.

I kapittel 8, 9 og 10 er temaene kartlegging og vurdering. PISA, TIMSS og andre internasjonale undersøkelser har blitt viktige premissleverandører for utdanningspolitikken. Kapittel 8 handler om internasjonale undersøkelser i matematikk. Kapittel 9 handler om vurdering. Å gi tilbakemelding på elevenes arbeid er en av lærerens viktigste oppgaver, og vurdering er derfor noe du bør ha inngående kunnskap om. Kapittel 10 handler om dynamisk kartlegging og oppfølging av elever som møter utfordringer i matematikklæringen.

Kapittel 11 tar for seg problemløsningens plass i matematikkfaget og i matematikkundervisningen. Kapittelet utdyper og bygger på det du har lært om problemløsning i bind 1. Gjennom eksempler på problemløsningsoppgaver vil kapitlet videreutvikle din matematikkdidaktiske kompetanse. «Utematematikk» er temaet i Kapittel 12. Her vil du finne mange eksempler på hvordan du kan gi elevene erfaring med praktisk bruk av matematikk.

Ditt studiested har sine egne mål for undervisningen. Det er sannsynlig at ikke alle kapitlene vil bli like mye vektlagt. Det er også stor sannsynlighet for at du vil arbeide med artikler og annen litteratur i tillegg

16

VELKOMMEN TIL STUDIET

til denne boka. Det kreves mye kunnskap for å være en god matematikklærer. Du må ha kunnskap innen matematikk, matematikkdidaktikk og pedagogikk. Læreryrket krever en matematikkforståelse som går ut over det å kunne det samme som elevene. Læreren må blant annet være i stand til å finne gode eksempler og aktiviteter, kunne begrunne og svare på spørsmål, se potensialet i og bygge videre på barns tanker om matematikk, ha et egnet ordforråd, kjenne til forklaringer som er forståelige for barn, kunne lese læreplaner, og kunne evaluere og vurdere barns matematikkforståelse, for bare å nevne noe. Du blir ikke fullt utlært i dette ved å lese QED 5–10, men målet med boka er at du skal få et solid fundament som du kan bygge videre på når du arbeider som lærer.

Kalkulus Inger Christin Borge

1

1.1 Funksjoner og reelle tall 1.1.1

Innledning

I dette kapittelet av boka skal vi ta for oss den delen av matematikken som kalles kalkulus, som bygger videre på læren om funksjoner (se for eksempel QED 5–10, bind 1, del I, kapittel 3). Kalkulus handler om å derivere og integrere funksjoner, og vi vil gjennomgå teori og metoder for dette i henholdsvis kapitlene 1.2 og 1.3.

Vi vil også se på anvendelser av derivasjon og integrasjon i disse kapitlene, slik som maksimums- og minimumsproblemer. Dessuten vil vi utlede noen kjente formler for volum og overflate av geometriske størrelser, noe som er motivasjonen for å ha med en del integrasjonsteori.

Når vi har lært om derivasjon og integrasjon, vil vi kunne analysere/ drøfte oppførselen til ulike typer funksjoner, og vi vil være i stand til å løse flere typer problemer. Vi skal ende opp med å løse problemer som kan beskrives/modelleres ved hjelp av såkalte differensiallikninger i delkapittel 1.4. Disse likningene henger nært sammen med eksponentialfunksjoner som igjen henger sammen med såkalte logaritmefunksjoner, som vi skal definere ved hjelp av integrasjon. Vi understreker i denne forbindelsen at i matematikk henger alt sammen i et stort byggverk.

Vi starter imidlertid med delkapittelet kalt «Funksjoner og reelle tall», der vi plukker opp en del tråder fra QED 5–10, bind 1, del I, spesielt fra kapittel 3 som handler om funksjoner. Samtidig tar vi for oss flere definisjoner og forklaringer rundt begrepet funksjon som danner grunnlaget for temaet kalkulus. For å studere funksjoner må vi se på egenskaper til de reelle tallene, noe som tas underveis. Dette delkapittelet er spesielt relevant for undervisning i hovedområdet Funksjoner.

De andre delkapitlene vil ta for seg temaer utover læreplanmålene på trinn 5–10. Temaene vi skal gjennomgå, vil både ta deg videre inn

18

KAPITTEL 1 KALKULUS

i matematikkens verden, og også forklare litt nærmere hvorfor du kan bruke matematikken slik du gjør. Det vil gi deg et større spillerom i undervisningssituasjonen – blant annet i form av forklaringer og aktiviteter du kan gi elevene – hvis du vet mer om hvordan faget du skal undervise i, er bygget opp.

I bind 1 av QED 5–10 har du jobbet mye med tall, algebra, funksjoner og geometri, og satt matematikken du selv kunne fra før inn i et undervisningsperspektiv. I bind 2 dreier det seg om å sette matematikken du kan, inn i en større sammenheng, å lære deg mer matematikk og å gi en forståelse av hvordan matematikken henger sammen. Temaet kalkulus vil gi deg et perspektiv på læreplanens hovedområde Funksjoner, men også på hovedområdene Tall og algebra, og Geometri.

Målet er dermed ikke å gi direkte didaktiske tips til hvordan du kan undervise stoffet, men å gi deg en dypere forståelse for matematiske ideer og matematisk tankegang. Husk allikevel at framstillingsmåtene vi har valgt, kan ha overføringsverdi til din undervisning.

Matematikk handler om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som må løses. Jo vanskeligere problem, jo mer matematikk trengs. Vi får nå bruk for matematikken du allerede har lært, og bygger videre på den.

1.1.2

Funksjon og definisjonsmengde

Vi starter med å minne om hva vi mener med en funksjon.

Definisjon 1

Funksjon

En funksjon er en regel som til hvert element i en mengde gir ett, og bare ett, element i en annen mengde.

Eksempel 1

Funksjon

Regelen som til hver elev i 10. klasse gir oss matematikkarakteren eleven fikk på forrige matematikkprøve, er en funksjon, siden hver elev får e´n, og bare e´n, karakter. Her består den ene mengden av alle elevene i 10. klasse, og den andre mengden består av alle karakterene. Regelen er illustrert i figur 1.

Figur 1

Elever

Karakterene

1.1 FUNKSJONER OG REELLE TALL

19

En funksjon får gjerne en bokstav som navn, ofte f . Både små og store bokstaver kan brukes, og som alltid når vi innfører symboler i matematikken, gjør det oss i stand til å sette opp matematiske uttrykk og formler. Det gjør oss dermed i stand til å regne videre for å løse problemer.

Når vi kjenner en funksjon, vet vi hva den gjør med elementene i en eller annen mengde. Denne mengden kalles definisjonsmengden til funksjonen (QED 5–10, bind 1, del I, definisjon 3.7.8). Hvis funksjonen heter f , skriver vi Df for definisjonsmengden til f .

I eksempel 1 består definisjonsmengden av alle elevene i 10. klasse.

For de funksjonene vi skal treffe i kalkulus, vil imidlertid definisjonsmengden gjerne være mengden av alle reelle tall, eller et intervall av reelle tall.

Oppgave

1.

Avgjør om følgende regler er en funksjon. Begrunn svaret. a) Regelen som til hver person gir høyden til denne personen. b) Regelen som til hver rette linje gir stigningstallet til linja. c) Regelen som til hver karakter gir elevene som fikk denne karakteren på siste matematikkprøve. d) Regelen som til hver temperatur gir tidspunktene du opplevde denne temperaturen.

1.1.3

Tallinja og intervaller

Vi må se litt nærmere på de reelle tallene, og vi minner om at vi skriver ° (en matematisk stor R) for mengden av de reelle tallene.

En måte å tenke på mengden av de reelle tallene på er (som kjent) som mengden av alle punktene på ei rett linje, kalt tallinja. Vi sier ofte bare «tall» når vi mener «reelt tall».

Et punkt a på tallinja tilsvarer altså et tall, og når vi merker av hvor tallet 0 er på linja, får vi delt inn tallinja i en positiv del med positive tall og en negativ del med negative tall. Tallinja har en retning, og tallene vokser i størrelse når vi beveger oss i positiv retning. I figur 2 har vi tegnet tallinja og markert den positive retningen med en pil.

20

KAPITTEL 1 KALKULUS

0

Figur 2

–

+

°

Vi bruker ulikheter til å angi størrelsesforhold mellom ulike tall på tallinja, for eksempel er 3,15 < 3,14, og vi bruker et fortegn til å angi om et tall er positivt eller negativt. Et tall består dermed av en absoluttverdi, også kalt tallverdi, og et fortegn. For eksempel består tallet 12 av et negativt fortegn og absoluttverdien 12 .

Absoluttverdien til et tall er positiv. Vi bruker to vertikale streker, en på hver side av tallet, som notasjon for absoluttverdien til tallet.

Vi har følgende definisjon:

Definisjon 2

Absoluttverdi

Absoluttverdien til tallet a skrives jaj og er definert ved

a hvis a 0 jaj ¼ a hvis a < 0

ð1:1Þ

For eksempel er j4j ¼ 4 og j 4j ¼ ð 4Þ ¼ 4. Geometrisk kan vi tenke på absoluttverdien til et tall som avstanden fra tallet til tallet 0.

Vi ser at både 4 og 4 har absoluttverdi lik 4, og begge tallene ligger i avstand 4 fra 0. Vi vil bruke absoluttverdibegrepet flere ganger i dette kapittelet.

De reelle tallene inneholder uendelig store tall, både positive og negative.

Symbolet 1 er skrivemåten for begrepet uendelig.

Vi kan skrive ° som et intervall fra 1, minus uendelig, til 1, pluss uendelig, dvs.

° ¼ ð 1, 1Þ Vi merker oss at en annen parentesnotasjon for intervaller er å bruke parentesene h og i for henholdsvis ( og ), dvs. vi kan også skrive ° ¼ h 1, 1i.

Intervallet ð 1, 1Þ er ubegrenset, siden det inneholder uendelig store tall, både positive og negative. Vi har også andre ubegrensede intervaller av reelle tall. La a være et reelt tall, dvs. et punkt på tallinja.

1.1 FUNKSJONER OG REELLE TALL

21

Vi har: Intervallet ð 1, a er mengden som består av alle tall som er mindre enn eller lik a. Tallet a kalles et endepunkt for intervallet. Vi skriver ð 1, aÞ (rund parentes etter a) hvis vi ønsker det samme intervallet av tall, men der endepunktet a ikke er med. Dette er ubegrensede intervaller siden de inneholder uendelig store negative tall.

Tilsvarende som over kan vi danne intervallene ½a, 1Þ og ða, 1Þ.

Disse er også ubegrensede siden de inneholder uendelig store positive tall. I det første intervallet er endepunktet a med; i det andre er det ikke med.

Vi har også begrensede intervaller. La a og b være to tall slik at a < b, dvs. la a og b være to punkter på tallinja der a ligger til venstre for b.

Intervallet ½a, b er et begrenset intervall siden det består av alle tallene som er større enn (eller lik) a og mindre enn (eller lik) b, dvs. tallene i intervallet er begrenset av a og b. Intervallet kalles lukket siden endepunktene a og b er med.

Tilsvarende som over er intervallet ða, bÞ også begrenset. De runde parentesene brukes når vi ikke ønsker å ha med endepunktene a og b, dvs. vi har et åpent intervall.

Vi kan også danne de begrensede intervallene ða, b eller ½a, bÞ der kun det ene endepunktet er med (henholdsvis b og a). Slike intervaller kalles for øvrig halvåpne.

Vi legger merke til at hvert av intervallene nevnt ovenfor inneholder uendelig mange tall!

Eksempel 2

Intervaller

Intervallet ð 1, 3 består av alle tall fra minus uendelig (uendelig store negative tall) til og med tallet 3. Vi kan markere intervallet på tallinja som vist i figur 3.

Figur 3

0

1 (–∞, 3]

2

3 ]

°

22

KAPITTEL 1 KALKULUS

Intervallet 1, 32 består av alle tallene fra og med 1 til (og ikke med) 32 .

Det fins uendelig mange tall i dette intervallet, og vi kan markere intervallet på tallinja som vist i figur 4.

Figur 4

–1

[

0

1

3 2

)

2

[–1, ) 3 23

°

Definisjonsmengden Df til en funksjon f vil ofte være et intervall av den typen vi nå har sett. Størrelsen vi kaller variabelen til funksjonen, vil variere innenfor definisjonsmengden. Vi skriver ofte x for variabelen, men andre bokstaver kan også brukes.

Oppgaver

2.

Finn absoluttverdien til tallet. a) 12,1 pffiffiffi d) 2 2

3.

3 4 pffiffiffi e) 3 3 þ 1 b)

c) 3 þ

Angi intervallet med intervallnotasjon. Husk at «større enn» betyr ekte større enn, dvs. ikke lik. Tilsvarende for «mindre enn». a) Tallene større enn 5 og mindre enn eller lik 7. b) Tallene mindre enn 100. c) Tallene med absoluttverdi større enn eller lik 0. d) Tallene med absoluttverdi mindre enn 2.

4.

I oppgave 3 d) løste du ulikheten jxj < 2, siden du fant tallene med absoluttverdi mindre enn 2. Vi kan skrive løsningen slik: x 2 ð 2, 2Þ, som betyr at x er et tall i intervallet ð 2, 2Þ. Symbolet 2 leses for øvrig «element i». Løs følgende ulikheter, og marker løsningsintervallet på tallinja: 1 b) jxj 12 c) jxj < 1 a) jxj < 2 d) jx 1j < 1 e) jx 1j < 2 (hint: bruk c))

1.1 FUNKSJONER OG REELLE TALL

5.

23

Når vi skal beskrive en mengde av tall, bruker vi ofte ordene «og» eller «eller». I oppgave 3 a) ser du blant annet eksempel på en slik bruk av «og». Bruken av ordet «og» er i betydningen «både og».

Et eksempel på bruk av «eller» til å beskrive mengder er «tallene mindre enn 2 eller større enn 4».

Notasjonen for ordet «og» i denne sammenhengen er \, som leses snitt, mens notasjonen for ordet «eller» er [, og leses union (se QED 5–10, bind 1, del I, definisjon 7.6.13). Vi kan dermed skrive tallene mindre enn 2 eller større enn 4 som unionen av tallene mindre enn 2 og tallene større enn 4, dvs. ð 1, 2Þ [ ð4, 1Þ.

I oppgave 3 a) har vi brukt at ð 5, 1Þ \ ð 1, 7 ¼ ð 5, 7 , dvs. tallene som både ligger i intervallet ð 5, 1Þ og i intervallet ð 1, 7 er tallene i intervallet ð 5, 7 . Merk at ordet «eller» i oppgaveteksten gjør at vi har med endepunktet 7.

Angi følgende tallmengder med intervallnotasjon: a) Tallene mindre enn 1 og større enn 2. b) Tallene mindre enn eller lik 1 og større enn 1 .

2 3 c) Tallene med absoluttverdi større enn 1. pffiffiffi d) Tallene med absoluttverdi større enn eller lik 2. e) Tallene mindre enn 4 og absoluttverdi større enn 3.

1.1.4

Diverse funksjoner

En funksjon f vil ofte være gitt ved en formel f ðxÞ ¼ . . ., som gir oss funksjonsverdien f ðxÞ for hver verdi av x. Hvis ikke definisjonsmengden er oppgitt, er det underforstått at Df er mengden av alle x slik at formelen gir mening.

Eksempel 3

Definisjonsmengde I

La f være funksjonen gitt ved f ðxÞ ¼ 3x 2.

Uttrykket 3x 2 gir mening for alle reelle tall: Hvis x er et reelt tall, kan vi alltid multiplisere tallet med 3 og subtrahere 2 fra svaret.

Tallet vi da får, er funksjonsverdien f ðxÞ. For eksempel hvis x ¼ 2, så er f ðxÞ ¼ f ð2Þ ¼ 3 2 2 ¼ 4. Vi har altså at Df ¼ °.

24

KAPITTEL 1 KALKULUS

Eksempel 4

Definisjonsmengde II

La g være funksjonen gitt ved pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Uttrykket x 1 gir kun mening når x 1 er større enn eller lik 0, siden vi ikke har definert hva roten til negative tall er. Vi kan kun regne ut gðxÞ når x er større enn eller lik 1, og vi får derfor at Dg ¼ ½1, 1Þ.

Vi kan visualisere en funksjon f ved å tegne grafen til f , som er mengden av alle punktene ðx, f ðxÞÞ der x er i definisjonsmengden til f . Et slikt punkt kan vi tegne i et koordinatsystem som vist i figur 5.

Husk at punktet der aksene møtes tilsvarer punktet ð0, 0Þ, og kalles origo. °

Figur 5

(x, f (x))

f (x) origo

x

°

Når vi tegner alle punkter ðx, f ðxÞÞ for en funksjon f , får vi et bilde av funksjonens oppførsel. Vi vet blant annet at grafen til en lineær funksjon, dvs. f ðxÞ ¼ ax þ b, er ei rett linje, og at grafen til en kvadratisk funksjon, dvs. f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c der a 6¼ 0, er en parabel (QED 5–10, bind 1, del I, definisjon 3.8.10). I figur 6 har vi tegnet grafen til funksjonen g i eksempel 4.

Figur 6

g(x)

2

g(x) = ÷x – 1

1 1

2

3

x

Vi har flere funksjoner enn de lineære og kvadratiske. For eksempel er funksjonen i eksempel 4 hverken lineær eller kvadratisk. Vi skal nå se nærmere på en del typer funksjoner. Først tar vi med et spesialtilfelle av lineære funksjoner:

1.1 FUNKSJONER OG REELLE TALL

Definisjon 3

25

Konstant funksjon

La b være et reelt tall. En konstant funksjon er en funksjon f gitt ved f ðxÞ ¼ b for alle x, dvs. funksjonsverdien er den samme for alle x.

Grafen til en konstant funksjon er ei horisontal linje siden stigningstallet er lik 0.

Absoluttverdifunksjonen Funksjonen f som til hver x gir absoluttverdien til x, kalles absoluttverdifunksjonen og er gitt ved f ðxÞ ¼ jxj. Siden vi kan regne ut absoluttverdien til alle tall, har vi at Df ¼ °. Fra definisjon 2 får vi uttrykt f ðxÞ ved

x hvis x 0 f ðxÞ ¼ x hvis x < 0 Dette er et eksempel på en funksjon gitt ved en delt forskrift, dvs. funksjonen er gitt ved forskjellige formler på forskjellige intervaller. Et punkt der funksjonen skifter formel, kalles et bruddpunkt til funksjonen.

Absoluttverdifunksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x på intervallet ½0, 1Þ og f ðxÞ ¼ x på intervallet ð 1, 0Þ. Punktet x ¼ 0 er et bruddpunkt til f .

Grafen til f på intervallet ½0, 1Þ er den rette linja gjennom origo med stigningstall 1, og grafen til f på intervallet ð 1, 0Þ er den rette linja gjennom origo med stigningstall 1. Vi har at f ð0Þ ¼ 0, og de to linjene henger sammen i dette punktet. Vi har også at f ðxÞ er positiv for alle x.

(Absoluttverdien til et tall er positiv.) Figur 7 viser grafen til absoluttverdifunksjonen for x mellom 2 og 2. f (x)

Figur 7

2 f (x) = |x |

1

–2

–1

1

2

x

Geometri Nils Henry Rasmussen

3

3.1 Vektorregning 3.1.1

Innledning

Vektorregning oppfattes av mange som et skritt i mer abstrakt retning av matematikken. Man snakker om addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av vektorer, men man må hele tiden ha i bakhodet at det er andre regler som gjelder, og at resultatet enten kan være en ny vektor eller en skalar.

Selv om det er utfordrende for enkelte elever og studenter å bli vant til denne nye teorien, er den essensiell for å kunne regne med størrelser som fart, akselerasjon, magnetfelt og gravitasjon i fysikk og ingeniørarbeid, og det meste av ren og anvendt matematikk på universitetsnivå.

Som i alle andre deler av matematikken hersker det også innenfor vektorregningen misoppfatninger og manglende forståelse. Dette feltet er riktignok et mindre kartlagt område innenfor matematikkdidaktikken, men i Nguyen & Meltzer (2003) gjøres det et forsøk på å tegne et bilde av hva det er innenfor vektorregningen som oppleves som vanskelig blant studenter ved universitetet.

Gjennom en rekke oppgaver som ble gitt til over 2000 førsteårsstudenter ved et amerikansk universitet, kommer det fram at det hersker stor forvirring omkring den grafiske framstillingen av vektorer (altså vektorer presentert som en pil i planet). En tredel av studentene på første semester trodde at to vektorer må være parallelle for å kunne ha samme lengde.

Mellom 23 og 45 % i alle klassene viste manglende forståelse av når to vektorer peker i samme retning. På den halvdelen av kursene som involverte minst krevende matematikk, var det mellom 27 og 42 % som

314

KAPITTEL 3 GEOMETRI

ikke klarte å addere to parallelle vektorer som pekte i motsatt retning. Flere av studentene hadde svart ved å tegne et linjestykke med en pilspiss i hver ende og lagt til forklaringer om at «vektoraddisjon handler rett og slett om å legge sammen de to vektorene». v v+w w

I oppgaven om vektorsubtraksjon varierte feilprosenten i klassene fra 32 til 82 %, og mye av forvirringen var sentrert rundt hva lengden av differansen måtte være. Men så var det også mange studenter som hadde blandet sammen vektoraddisjon og -subtraksjon.

En forklaring på resultatene som kom fram, er at flere av studentene hadde anvendt vektorer i fysikkurs de hadde hatt på videregående skole, og der har vektorene en fast plassering (f.eks. som gravitasjonskraften og normalkraften til et stasjonært objekt). Studentene er dermed ikke vant til at vektorene kan flyttes rundt, f.eks. ved addisjon og subtraksjon, og misoppfatningen skaper dermed problemer når slike oppgaver skal besvares.

Dette avslører et problem ved vektorregningen som man kanskje tidligere ikke har vært så bevisst på, nemlig at vektorenes rolle er annerledes i de ulike anvendelsene.

3.1.2

Definisjoner

I bind 1 ble vektorer introdusert i del 1, kapittel 4.9.1, definisjon 21; og i kapittel 4.19.5 ble de mest grunnleggende regnereglene introdusert.

I denne og neste seksjon gir vi en repetisjon av disse reglene før vi går litt videre med teorien.

En vektor i planet er en forflytning i en gitt retning og lengde. Hvis vi f.eks. har punktet ð3, 2Þ og ønsker å forflytte oss til punktet ð5, 6Þ, er dette en forflytning 2 til høyre og 4 oppover. Denne forflytningen representerer vi da ved vektoren ½2, 4 .

Figur 1 Vektoren ½2, 4

y 6 5 4

[2, 4]

3 2 1 –1 –1

1

2

3

4

5

x

3.1 VEKTORREGNING

315

Slike forflytninger er uavhengige av hvor vi befinner oss i planet. (Det er nettopp dette som gjør vektorregningen litt abstrakt og dermed vanskelig for enkelte elever og studenter.) Så forflytningen fra f.eks. ð100, 85Þ til ð102, 89Þ vil dermed bli representert ved den samme vektoren ½2, 4 , fordi vi også her har beveget oss 2 til høyre og 4 opp.

Hvis vi beveger oss til venstre eller nedover, representeres dette som negative koordinater i vektorene. For eksempel er forflytningen 5,2 til venstre og 4,7 opp representert ved ½ 5,2, 4,7 , og forflytningen 3 til høyre og 0,5 ned er representert ved ½3, 0,5 .

Hvis vi har et punkt ð15, 7Þ og ønsker å forflytte oss langs vektoren ½3 , 0,5 , kan dette gjøres ved å addere 3 til 15 og 0,5 til 7, slik at vi dermed forflytter oss til ð15 þ 3 , 7 0,5Þ ¼ ð18, 6,5Þ.

Merk forskjellen i notasjon: Vi representerer punkter ved runde parenteser, f.eks. ð3, 2Þ, og vektorer ved hakeparenteser, f.eks. ½3, 2 .

Figur 2 Punktet ð3, 2Þ og vektoren ½3, 2

y 6 ]

,2

[3

]

,2

[3

4 , [3

2]

2

(3, 2) ]

,2

[3

–4

–2

2

4

6

8

10

x

–2 ]

,2

[3

–4

Følgende boks gir en definisjon på vektorer i planet:

Definisjon 1

Vektor

En vektor i planet er en forflytning i en gitt lengde og en gitt retning.

En vektor representeres som regel som en pil fra ett punkt til et annet.

Merk at det også finnes vektorer i andre typer sammenhenger i matematikken. Vektorer finnes først og fremst i flerdimensjonale rom, og er dermed også i disse sammenhengene definert som en forflytning i en gitt

316

KAPITTEL 3 GEOMETRI

lengde og retning. Men det finnes også sammenhenger der man ønsker å ta i bruk vektorregning hvor det ikke umiddelbart går så klart fram hva «forflytning» eller «lengde» vil si. I de sammenhengene definerer man da en vektor til å være «et element i et vektorrom», og så definerer man heller hva «vektorrom» vil si. Et vektorrom er et rom der elementene (kalt «vektorer») kan adderes, og der det er definert en multiplikasjon med skalarer (som i vårt tilfelle er reelle tall). Videre er det definert noen regneregler som skal gjelde for disse vektorene (disse presenteres i neste seksjon).

Kort fortalt har man altså fullstendig klart å unngå det vanskelige problemet med å definere vektorer i de generaliserte tilfellene ved heller å definere egenskapene istedenfor.

Vektorer vil i denne boken bli henvist til i form av fete typer, f.eks. u, ! eller som to etterfølgende punkter, f.eks. AB , hvor i så tilfelle vektoren ! er representert ved forflytningen fra A til B. (Merk her at vektoren AB ikke bare representerer forflytningen fra A til B, men like gjerne kan være en tilsvarende forflytning et annet sted i rommet.) En vektor i planet som går a enheter i x-retning og b enheter i y-retning, vil bli henvist til som vektoren ½a, b .

I annen litteratur, og i håndskrift, brukes ofte notasjonen ! u istedenfor u.

Oppgaver

1.

For følgende punkter P og vektorer u, finn ut hvilket punkt vi ender opp på hvis vi forflytter oss fra P i retning u: a) P ¼ ð1, 2Þ, u ¼ ½3, 7 b) P ¼ ð0, 4Þ, u ¼ ½ 1, 5 c) P ¼ ð 2, 3Þ, u ¼ ½0, 6

Følgende oppgaver skal gjøres i GeoGebra (www.geogebra.no). Pass på at både aksene, algebrafeltet, inntastingsfeltet og aksene er synlige. (Aksene kan gjøres synlige ved å gå inn på «Vis», «Utforming», det andre menyvalget fra venstre, og «Vis akser».)

2.

I denne oppgaven skal vi bare bli kjent med hvordan man kan definere vektorer i GeoGebra. a) Merk av punktene A ¼ ð1, 2Þ og B ¼ ð5, 4Þ i GeoGebra.

Velg deretter «Vektor mellom to punkt» fra menyen.

Hva har du fått opp her? Hvordan er vektoren representert i algebrafeltet? Pass på at vektoren har fått navnet u.

(Dette kan evt. gjøres ved å høyreklikke på vektoren og velge «Gi nytt navn».)

3.1 VEKTORREGNING

317

b) Merk av et nytt punkt C ¼ ð5, 1Þ. Velg «Vektor fra punkt» ! i menyen. Klikk på C og deretter på vektoren AB . Hva får du opp da? Hva er koordinatene til den nye vektoren du har fått opp? Pass på at vektoren har fått navnet v. ! c) Merk av et nytt punkt D ¼ ð2, 6Þ. Lag vektoren BD ved hjelp av «Vektor mellom to punkt». Pass på at vektoren har fått navnet w.

Skriv inn i algebrafeltet «z ¼ u þ w». Hva har du fått opp her?

Hvordan forklarer du den nye vektoren z som du har fått opp? d) Høyreklikk på z, gå inn på «Egenskaper», «Posisjon», og velg A som startpunkt. Hvordan forklarer du den nye posisjonen til z? ! e) Merk av et nytt punkt E ¼ ð7, 5Þ, og lag vektoren CE . Pass på at vektoren har fått navnet a. Skriv så inn i algebrafeltet «b ¼ a v». Hva har du fått opp nå? f) Høyreklikk på b, gå inn på «Egenskaper», «Posisjon» og velg C 0 som startpunkt. Hvordan forklarer du den nye posisjonen til b? g) Lag en regel for hvordan man kan forstå subtraksjon av vektorer, med utgangspunkt i det du fant i oppgave f). Eksperimenter gjerne litt mer i GeoGebra hvis du har problemer med å finne fram til en regel.

3.

I denne oppgaven skal vi bli kjent med nullvektoren.

Gå på «Fil» og velg «Ny» i GeoGebra før du begynner. a) Lag et rektangel ABCD bestående av vektorene ! ! ! !

AB , BC , CD og DA . ! ! b) Bruk vektoraddisjon for å tegne inn diagonalene AC og BD . ! ! ! ! c) Bruk GeoGebra for å regne ut AB þ BC þ CD þ DA .

La musepilen hvile over origo, og du vil da se at vektoren befinner seg der. Hva er denne vektoren? Hvordan ser den ut? d) Vektoren vi fant i oppgave c) kalles nullvektoren og betegnes som !

0 (evt. 0 hvis man skriver for hånd). Hvor mange andre måter kan du legge sammen vektorer på i denne figuren for å komme fram til nullvektoren?

318

KAPITTEL 3 GEOMETRI

3.1.3

Regneregler for vektorer

Akkurat som i tallregningen kan vektorer adderes, subtraheres og multipliseres med skalarer (altså tall). I tillegg gjelder også parentesreglene fra tallregningen for vektorer.

Vektoraddisjon er definert ved at man adderer førstekoordinatene med hverandre og andrekoordinatene med hverandre. Hvis vi f.eks. har vektorene u ¼ ½2, 5 og v ¼ ½4 , 3,5 , betyr dette at u þ v ¼ ½2 þ 4, 5 þ ð 3,5Þ ¼ ½6, 1,5 .

Men hva betyr dette? Vi kan tenke på vektorene som f.eks. forflytningen fra ð1, 0Þ langs u til ð1 þ 2, 0 þ 5Þ ¼ ð3, 5Þ, og videre langs v til ð3 þ 4, 5 þ ð 3,5ÞÞ ¼ ð7, 1,5Þ. Dette betyr at vi totalt sett har forflyttet oss fra ð1, 0Þ til ð7, 1,5Þ, en forflytning tilsvarende vektoren ½6, 1,5 .

Vektoraddisjon betyr altså hvor mye de to forflytningene utgjør til sammen.

Figur 3 Addisjon av to vektorer

v u

u+v u = [2, 5]

v = [4, –3,5]

Merk at vi her har plassert forflytningene etter hverandre. Enden på den første forflytningen markerer begynnelsen på den andre forflytningen.

Dette er noe ganske annet enn det studentene hadde gjort i undersøkelsen vi så i seksjon 3.1.1. Da studentene la sammen pilene slik at de pekte ut fra det samme utgangspunktet, var det mye som tydet på at de ikke var bevisste på at pilene symboliserer forflytninger.

En skalar (altså et tall) multiplisert med en vektor kan i like stor grad som i tallregningen tenkes på som gjentatt addisjon. For eksempel kan 2 v tenkes på som v þ v, hvilket blir ½4, 3,5 þ ½4, 3,5 ¼ ½8, 7 .

Men dette er det samme som å multiplisere 2 med hver av koordinatene i v. Dette gir oss 2 v ¼ 2 ½4, 3,5 ¼ ½2 4, 2 ð 3,5Þ ¼ ½8, 7 .

Vi kaller dette for skalarmultipler av vektorer, og disse skal egentlig forstås som forlengelser av vektorene. Skalarmultippelet 2 v skal forstås som vektoren med samme retning som v, men som er dobbelt så lang.

3.1 VEKTORREGNING

319

Figur 4 2v

v

2v

v

Men hvis vi betrakter 3 ½4, 3,5 , er dette lik ½ 12, 10,5 . Denne vektoren er tre ganger så lang som v, men peker i motsatt retning.

Multiplikasjon med en negativ skalar snur altså vektoren samtidig som vektoren forlenges.

Figur 5 3v

–v –3 v

–v

–v

Definisjon 2

Skalarmultippel

La v være en vektor. Et skalarmultippel av v er en vektor kv, der k er et reelt tall. Vi kaller de reelle tallene for skalarer.

Med dette som utgangspunkt kan vi nå innføre parentesregler i vektorregningen. For eksempel kan vi si at 2 ðu þ vÞ er det samme som 2u þ 2v. Begge deler representerer en forflytning 2 ð2 þ 4Þ ¼ 2 2 þ 2 4

langs x-aksen, og en forflytning 2 5 þ ð 3,5Þ ¼ 2 5 2 3,5 langs y-aksen.

320

KAPITTEL 3 GEOMETRI

Figur 6 2ðu þ vÞ ¼ 2u þ 2v

v v

u

u

2( u + v) u+v u+v

v u

v u

2 u + 2v

2(u + v) = 2 u + 2v

I tillegg gjelder f.eks. ð2 þ 5Þ u ¼ 2u þ 5u og ð2 5Þu ¼ 2 ð5uÞ.

I begge tilfeller kan vi tenke oss flere kopier av u etter hverandre.

Under presenterer vi disse regnereglene samlet, sammen med et knippe andre regler som involverer multiplikasjon med 1, vektorversjonen av addisjon med 0, og to parentesregler som umiddelbart kan virke ganske opplagte.

Grunnen til at vi inkluderer disse reglene, er at de har en ganske spesiell plass innen denne vektorregningen. Som nevnt i seksjon 3.1.2 finnes det mange forskjellige områder i matematikken der man tar i bruk denne teorien. Vi snakket også om hvordan man har lykkes med å unngå å definere hva en vektor er i de generaliserte tilfellene, og heller har tatt utgangspunkt i vektorrommet og definert hvilke grunnleggende regneregler som skal gjelde for disse. Disse grunnleggende regnereglene kalles aksiomer, og alle setninger som gjelder generelt for vektorer, stammer fra disse. (Se bind 1, del 1, kapittel 5.11.2, for mer informasjon om aksiomer.)

Etter presentasjonen av disse regnereglene gir vi flere eksempler på hvordan disse er oppfylt for vektorer i planet.

Gitt et vektorrom. Da gjelder følgende grunnleggende regneregler gitt på neste side.

3.1 VEKTORREGNING

Aksiom 1

321

Assosiativ lov for addisjon

u þ ðv þ wÞ ¼ ðu þ vÞ þ w for alle vektorer u, v og w.

(Dette kalles den assosiative loven for addisjon.)

Aksiom 2

Kommutativ lov for addisjon

u þ v ¼ v þ u for alle vektorer u og v.

(Dette kalles den kommutative loven for addisjon.)

Aksiom 3

Nullvektor

Det finnes en vektor 0 (kalt «nullvektoren») slik at 0 þ u ¼ u þ 0 ¼ u for alle vektorer u.

Aksiom 4

Additiv invers

For enhver vektor v eksisterer det en vektor v (kalt den additive inversen til vÞ slik at v þ ð vÞ ¼ 0.

Aksiom 5

Distribusjon under vektoraddisjon

For alle vektorer u og v, og ethvert reelt tall a, gjelder aðu þ v Þ ¼ auþav. (Dette kalles distribusjon under vektoraddisjon.)

Aksiom 6

Distribusjon under addisjon av skalarer

For enhver vektor u, og alle reelle tall a og b, gjelder ða þ bÞu ¼ auþbu.

(Dette kalles distribusjon under addisjon av skalarer.)

Aksiom 7

Assosiativ lov for skalarmultiplikasjon

For enhver vektor u, og alle reelle tall a og b, gjelder aðbuÞ ¼ ðabÞu.

Aksiom 8

Identitetselementet ved skalarmultiplikasjon

For enhver vektor u gjelder 1u ¼ u.

322

KAPITTEL 3 GEOMETRI

Eksempel 1

De åtte aksiomene for vektorer i planet

Vi gir her noen regneeksempler på hvordan disse aksiomene er oppfylt for vektorer i planet.

La oss f.eks. sette u ¼ ½2, 4 , v ¼ ½5, 1 , w ¼ ½ 1, 3 .

Da sier aksiom 1 på forrige side rett og slett at

u þ ðv þ wÞ ¼ ½2, 4 þ ½5, 1 þ ½ 1, 3 ¼ ½2 þ 5 1, 4 1 3 ¼ ½6, 0 er det samme som

ðu þ vÞ þ w ¼ ½2, 4 þ ½5, 1 þ ½ 1, 3 ¼ ½2 þ 5 1, 4 1 3 ¼ ½6, 0 : Merk at dette er analogt til hvordan vi i tallregningen har 2 þ ð5 1Þ ¼ ð2 þ 5Þ 1. Begge deler blir 6. I det første uttrykket regner vi først ut 5 1, før vi deretter legger på 2. I det andre uttrykket legger vi først sammen 2 og 5, før vi til slutt trekker fra 1.

(Se for øvrig QED 5–10, bind 1, del 1, kapittel 1.4, setning 1.)

Aksiom 2 forteller oss at u þ v ¼ ½2, 4 þ ½5, 1 ¼ ½2 þ 5, 4 1 ¼ ½7, 3 er det samme som v þ u ¼ ½5, 1 þ ½2, 4 ¼ ½5 þ 2, 1 þ 4 ¼ ½7, 3 .

Dette er en direkte konsekvens av hvordan vi i tallregningen har 2 þ 5 ¼ 5 þ 2. Rekkefølgen for addisjon spiller ingen rolle. Det samme gjelder altså for vektorer.

Figur 7 uþv¼vþu

v u

v+u u+v

u v u+v=v+u

I det plane tilfellet refererer aksiom 3 til vektoren 0 ¼ ½0, 0 , altså vektoren som gir oss «ingen forflytning». Vi ser her at f.eks.

0 þ u ¼ ½0, 0 þ ½2, 4 ¼ ½0 þ 2, 0 þ 4 ¼ ½2, 4 ¼ u. Tilsvarende for u þ 0. Nullvektoren spiller her akkurat samme rolle som tallet 0 i tallregningen, hvor vi har 0 þ a ¼ a for ethvert tall a.

3.1 VEKTORREGNING

323

I aksiom 4 på side 321 er u i det plane tilfellet gitt ved å sette minustegn foran hver av koordinatene. Så hvis u ¼½2, 4 , er u ¼ ½ 2, 4 . Vi ser tydelig at u þ ð uÞ ¼ ½2, 4 þ ½ 2, 4 ¼ ½2 2, 4 4 ¼ ½0, 0 ¼ 0. Dette er analogt med det negative fortegnet i tallregningen, hvor f.eks. ! a þ ð aÞ ¼ 0 for ethvert tall a. Merk at hvis vi skriver u ¼ AB , ! er u ¼ BA . (Se for øvrig bind 1, del 1, kapittel 1.4, eksempel 35, og kapittel 2.5, definisjon 4 og setning 2.)

Figur 8 u

B

B

–u

u

A

A

Vi ser nå et eksempel på aksiom 5. Hvis vi her f.eks. setter a ¼ 6, får vi at

aðu þ vÞ ¼ 6 ½2, 4 þ ½5, 1 ¼ 6 ½2 þ 5, 4 1 ¼ 6 ½7, 3 ¼ ½6 7, 6 3 ¼ ½42, 18 , som er det samme som au þ av ¼ 6 ½2, 4 þ 6 ½5, 1 ¼ ½6 2, 6 4 þ ½6 5, 6 ð 1Þ ¼ ½12, 24 þ ½30, 6 ¼ ½42, 18 : I tallregningen fungerer dette som f.eks. 6 ð2 þ 5Þ ¼ 6 2 þ 6 5, som begge deler blir 42. I det første uttrykket legger vi først sammen 2 og 5 før vi multipliserer med 6, mens vi i det andre uttrykket multipliserer 6 med 2 og 6 med 5, før vi etterpå adderer sammen.

Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 5.–10. trinn

6

Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Raymond Bjuland

E

n lærer skal legge til rette for at alle elever lærer matematikk, og for å gjøre dette trenger læreren ulike typer fagkunnskap.

I dette kapittelet vil vi sette matematikklæreres undervisningskunnskap inn i en teoretisk sammenheng. Vi vil presentere en teori som kan være til hjelp når ulike aspekter av matematikklæreres kunnskap skal diskuteres og videreutvikles. Vi vil belyse undervisningskunnskap i matematikk i tilknytning til noen sentrale emner som det undervises i på 5.–10. trinn.

Diskusjonen blir særlig knyttet til fem episoder fra klasserommet relatert til likhetstegnets betydning og til brøkregning. I tillegg diskuteres en episode hvor elevene samtaler om matematikk som ligger utenfor pensum på elevenes klassetrinn. Spørsmål fra klasserommet, som «når 9. klassingen spør hvorfor 34 : 12 ¼ 34 2, hva må da læreren kunne?», vil tillegges stor vekt.

6.1 Innledning Innholdet i lærerutdanningen generelt, og innholdet i lærerutdanningens kurs i matematikk og matematikkdidaktikk spesielt, diskuteres stadig.

Disse diskusjonene skjer både i faglige og skolerelaterte fora og i massemedia. Et spørsmål som ofte går igjen, er: Hva må matematikklæreren kunne? Mange har meninger om dette, og diskusjoner knyttet til læreres kunnskap dukker med jevne mellomrom opp i media. For eksempel kunne en våren 2013 lese en fredagskronikk i Dagens Næringsliv som konkluderte med at dersom lærerutdanningen ikke klarer å tiltrekke seg de faglig sterke studentene, kan den like godt nedlegges, og framtidige lærere kan rekrutteres fra andre utdanninger (Kvaløy, 2013). Hva det innebærer å være faglig sterk, ble relatert til karakterer fra videregående

568

KAPITTEL 6 UNDERVISNINGSKUNNSKAP I MATEMATIKK FOR LÆRERE PÅ 5.–10. TRINN

skole, og ikke til hvilken kunnskap en framtidig lærer faktisk trenger for at elevene vedkommende møter, skal lære mest mulig og få best mulig resultater. «Signaliseringsmodellen», som er utgangspunkt for Kvaløys kronikk, baseres på at det ikke er hva en student lærer som er viktigst, men at verden får se hva vedkommende er i stand til å lære. I de gjeldende nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanningens matematikkurs for studenter som vil utdanne seg til lærere for elever på 5.–10. trinn, er utgangspunktet en annen modell enn signaliseringsmodellen. Her er vekten lagt på hva studenter skal tilegne seg gjennom sin utdanning. De skal: [. . .] utvikle undervisningskunnskap i matematikk. Dette innebærer at de må ha en solid og reflektert forståelse for den matematikken elevene skal lære og hvordan denne utvikles videre på de neste trinnene i utdanningssystemet. Videre kreves matematikkfaglig kunnskap som er særegen for lærerprofesjonen. Slik kunnskap omfatter, i tillegg til selv å kunne gjennomføre og forstå matematiske prosesser og argumenter, også å kunne analysere slike som foreslås av andre med tanke på å vurdere deres holdbarhet og eventuelle potensial. Undervisningskunnskap innebærer også å ha didaktisk kompetanse som gjør at studentene kan sette seg inn i elevenes perspektiv og læringsprosesser, og gjennom variasjon og tilpasning kunne tilrettelegge matematikkundervisning for elever med ulike behov og med ulik kulturell og sosial bakgrunn på en slik måte at matematikk framstår som et meningsfullt fag for alle elever.

(Kunnskapsdepartementet, 2010, s. 34, vår utheving)

Matematikkfaglig kompetanse, målt ved karakterer fra videregående skole, er et godt grunnlag for å utvikle undervisningskunnskap, men undervisningsarbeidet fordrer ulike typer matematisk kunnskap. Det en matematikklærer trenger for å undervise i faget, dreier seg altså ikke bare om å kunne selve fagstoffet bedre enn elevene – hva nå «bedre» måtte innebære. Undervisningskunnskap i matematikk handler om en type kunnskap som er forskjellig fra den matematikkunnskapen elevene skal tilegne seg.

Undervisningskunnskap i matematikk vil i dette kapittelet belyses ved å trekke fram og diskutere relevante episoder fra grunnskolens 5.–10. trinn, og den første episoden omhandler likhetstegnet.

6.1 INNLEDNING

Episode 1

569

Lise, som er lærer i en 5. klasse, ba elevene sine om å finne tallet på den tomme linja i følgende oppgave: 8 þ 15 ¼

þ9

Hun observerte at ikke alle elevene kom fram til det korrekte tallet 14.

En elev skrev 23, mens en annen skrev 32. Disse svarene følger vanlige feilmønstre, og Lise var forberedt på at de kunne dukke opp som mulige elevsvar. Hun hadde også planlagt hvordan hun eventuelt kunne hjelpe elever som kom fram til disse svarene.

Før du leser videre: Tenk over spørsmålene under, og diskuter dem med en medstudent.

Hvordan tenker elevene som får svarene 23 og 32?

Hva er det elevene forstår og ikke forstår?

Hvordan kan Lise vite at disse feilsvarene vil forekomme? Hvilken kunnskap er det Lise baserer sine antagelser på?

Hvordan vil du som lærer møte elevene som svarer 23 og 32, og vil du møte dem på samme måte? Hvilken type oppgaver ville du eksempelvis gi dem? Hvilke spørsmål ville du stilt?

En utfordring i oppgaven Lise ga elevene, relateres til forståelse for likhetstegnet. Det å skrive 23 på den tomme linja er et vanlig feilmønster som indikerer at elevene har det som kalles en operasjonell forståelse for likhetstegnet; de ser på det som et tegn på at «nå kommer svaret» (Kieran, 1981). De summerer rett og slett 8 og 15 og overser 9-tallet på høyre side av likhetstegnet. Elever som skriver 32, ser på likhetstegnet som et tegn for at «nå skal noe gjøres» (Kieran, 1981) – adderes i dette tilfellet – og så adderer de tallene som inngår i oppgaven ð8 þ 15 þ 9 ¼ 32Þ.

En som derimot skriver 14 på den tomme linja, indikerer en relasjonell forståelse for likhetstegnet. På samme måte vil en elev uten relasjonell forståelse kunne skrive 7 på den tomme linja i følgende oppgave: 29 ¼ 22 þ 6 ¼ 28. Med friskt mot vil eleven fylle inn først 4 og så 11 når vedkommende møter følgende oppgave: 6 2¼ þ7¼ þ 5 ¼ 16 uten å forstå at det er matematisk problematisk. Episode 1 oppleves kanskje som noe som hører til på småskoletrinnet. Grunnlaget for å forstå likhetstegnet skal riktignok legges der, men hva skal en gjøre dersom mange elever kommer inn i en 5. klasse uten god forståelse for dette viktige matematiske tegnet? Da er det avgjørende at læreren i 5. klasse har en dyp forståelse for likhetstegnet,

570

KAPITTEL 6 UNDERVISNINGSKUNNSKAP I MATEMATIKK FOR LÆRERE PÅ 5.–10. TRINN

kunnskap om elevers (mis)forståelse av likhetstegnet og hvordan en som lærer kan få kjennskap til elevenes tenkning, og om hvordan en skal undervise for at elevene får god forståelse for likhetstegnet. Hva skal Lise foreta seg om mange elever i hennes 5. klasse skriver 23 eller 32, og ikke 14, på den tomme linja i den første oppgaven – eller 4 og 11 på de tomme linjene i den siste oppgaven ovenfor? Dette er kunnskap en potensiell lærerstudent med gode karakterer fra videregående skole ikke nødvendigvis har. Hvis det er slik at undervisning er årsaken til at elever ikke har utviklet relasjonell forståelse for likhetstegnet (f.eks. Asquith, Stephens, Knuth, & Alibali, 2007; Behr, Erlwanger, & Nichols, 1980; Kieran, 1981), og elever flest kan utvikle en relasjonell forståelse for likhetstegnet om de gis relevant erfaring i en støttende undervisningskontekst (Seo & Ginsburg, 2003), kan det argumenteres for at læreres kunnskap relatert til likhetstegnet er viktig – også på høyere trinn. I tillegg viser det seg at begrenset forståelse for likhetstegnet er en viktig årsak til elevers utfordringer i algebra (Carpenter, Franke, & Levi, 2003; Knuth, Stephens, McNeil, & Alibali, 2006).

Episode 2 er hentet fra en 7. klasse og beskriver også en situasjon hvor mangelfull forståelse for likhetstegnet er sentral.

Episode 2

I en arbeidsøkt med fokus på likninger skal elevene til Per løse likningen 7x þ 11 ¼ 25. Per observerer at flere av elevene løser likninger uten å bruke likhetstegnet riktig, og en av elevene løser likningen på følgende måte: 7x þ 11 ¼ 25 ¼ 7x ¼ 14 ¼ x ¼ 2 Per – som er fersk lærer i klassen – er overrasket over at dette forekommer i 7. klasse.

Før du leser videre: Tenk over spørsmålene under, og diskuter dem med en medstudent.

Hvordan tenker elever som får svaret x ¼ 2 på denne måten?

Hva er det elevene forstår og ikke forstår?

Hvordan kunne Per ha forutsagt at denne typen feil bruk av likhetstegnet kan forekomme? Hvilken kunnskap kunne Per ha basert sine antagelser på?

Hvordan vil du som lærer møte elevene som svarer x ¼ 2?

656

KAPITTEL 9 VURDERING

9.2.2

Nasjonale tester – Hva forteller de?

Kartleggingsprøver Formålet med kartleggingsprøver er å avdekke behovet for individuell oppfølging og tilrettelegging på individ- og skolenivå. Kartleggingsprøver skal brukes for å finne ut hvem som trenger ekstra oppfølging i opplæringen i grunnskolen, og i begynnelsen av videregående opplæring.

I grunnskolen gjennomføres det obligatoriske kartleggingsprøver i leseferdighet på 1., 2. og 3. trinn og i tallforståelse og regneferdighet på 2. trinn. I tillegg tilbys det frivillige kartleggingsprøver i tallforståelse og regneferdighet på 1. og 3. trinn og i engelsk på 3. trinn.

I videregående opplæring, Vg1, er det obligatoriske kartleggingsprøver i lesing og regning, og det tilbys en frivillig prøve i engelsk.

Resultatene fra kartleggingsprøver skal ikke rapporteres til myndighetene, men skal brukes lokalt for at lærerne skal kunne avdekke hvilke elever som trenger ekstra oppfølging, slik at det kan bli iverksatt tiltak overfor disse. Det er viktig at resultatene fra kartleggingsprøvene sees i sammenheng med relevant informasjon om eleven.

Kartleggingsprøver skal være et pedagogisk verktøy for læreren og gi kunnskap om hvem av elevene som trenger særskilt oppfølging. I enkelte kommuner er det utarbeidet egne kartleggingsprøver, som blant annet Osloprøven. Osloprøvene er ment som læringsstøttende prøver som skal brukes som et verktøy i evalueringen av elevenes ferdigheter, og skal inngå i prøveregimet ved skolen, men det finnes ikke slike prøver i matematikk.

Osloprøven må likevel ikke sammenlignes med nasjonale prøver som er prøver på nasjonalt nivå.

Nasjonale prøver i regning Nasjonale prøver i regning er ikke prøver i matematikkfaget, men i de grunnleggende ferdighetene i alle fag. Prøvene i regning tar derfor ikke bare utgangspunkt i kompetansemålene i matematikk, men også i andre fag der mål for regning er integrert. Prøvene skal kartlegge i hvilken grad elevenes regneferdigheter er i samsvar med kompetansemål der regneferdigheter er integrert.

Formålet med de nasjonale prøvene er å vurdere i hvilken grad skolen har klart å utvikle ferdighetene til elevene i regning. Resultatene skal brukes av skoler og skoleeiere som grunnlag for en kvalitetsutvikling i opplæringen. Prøvene er en del av underveisvurderingen og skal gjennomføres om høsten på 5., 8. og 9. trinn. Å kunne regne handler om å beherske tallforståelse, måleferdighet og tallbehandling knyttet til et bredt spekter av oppgaver og utfordringer

9.2 NASJONALE OG INTERNASJONALE TESTER

657

i faglige og daglige sammenhenger (QED 5–10, del II kap. 2.2.3).

Regneferdigheter handler også om å kunne tolke og lage grafiske og andre kvantitative framstillinger.

Prøvene er elektroniske, og innholdet er knyttet til tre områder – tall, måling og statistikk.

1. Tall sier noe om hvordan tall inngår i systemer og mønstre, relasjoner mellom tall og kvantifisering av mengder og størrelser. Det omfatter videre det å bruke tall og foreta beregninger i praktiske sammenhenger og vurdere svarenes rimelighet.

2. Måling handler om å sammenligne og knytte tallstørrelser til objekter og mengder. Måling dreier seg også om vurdering av resultater og framstilling av data fra observasjoner og målinger. Temaer som vekt, lengder, flater, tid, rom, priser og valuta hører med i dette området.

3. Statistikk omfatter det å organisere, analysere, presentere og vurdere data og grafiske framstillinger. I analyse av data hører det med å beskrive generelle trekk ved datamaterialet.

Her er fem eksempler på oppgaver hentet fra nasjonale prøver i regning 2008 og 2011. Eksempel 1 og 2 er fra 2008, hvorav den ene oppgaven omhandler måling og den andre tall. Begge oppgavene ble gitt både på 5. trinn og 8. trinn. Eksemplene 3–5 er hentet fra 2011. Det viser seg at elevene mestrer området statistikk bedre enn tall og måling. Svarene som er gitt i prosent, er resultatene på landsbasis. Det interessante her vil jo være å analysere svarene. Hvorfor svarer elevene som de gjør?

Eksempel 1

Nasjonal prøve

Et TV-program starter kl. 18.25 og slutter kl. 19.05.

Hvor lenge varer TV-programmet?

Tabell 1 Nasjonal prøve 2008, 5. trinn, oppg. 27 / 8. trinn, oppg. 3.

5. trinn

8. trinn (åpen)

Mulige årsaker Adderer minuttene, 25 þ 5 ¼ 30.

A

30 min

22 %

B

40 min

50 %

C

60 min

12 %

19 18 ¼ 1, 1 time er 60 min.

D

90 min

16 %

19 18 ¼ 1, 1 time er 60 min.

Adderer minuttene, 25 þ 5 ¼ 30 60 þ 30 ¼ 90.

62 %

Riktig svar.

658

KAPITTEL 9 VURDERING

Eksempel 2

Nasjonal prøve

Hvor stor er forskjellen mellom 8 18 og 18 7?

Tabell 2 Nasjonal prøve 2008, 5. trinn, oppg. 22 / 8. trinn, oppg. 9.

5. trinn A

1

8. trinn

29 %

6%

B

8

21 %

17 %

C

10

16 %

6%

D

18

32 %

70 %

Mulig årsak Ser på differansen mellom 8 og 7.

Tenker «8-gangen» i stedet for «18-gangen».

18 8 ¼ 10. Faktoren blir 10?

Riktig svar.

Oppgave

1.

Eksempel 3

I eksempel 1 og 2 er det forsøkt å nevne årsaker til feilsvar som kan ha med misoppfatninger å gjøre. Prøv å tenke gjennom hvordan du vil veilede elevene som svarer feil på disse oppgavene.

Diskuter med medstudenter eller praksisgruppen din.

Nasjonal prøve

Figur 2 Nasjonal prøve 2011, 5. trinn, oppg. 45.

Svar: 700 kroner, 16% riktig

Oppgave

2.

Hvilke svaralternativer vil du forvente på oppgaven i eksempel 3?

Riktig svar hadde en svarprosent på bare 16 %.

Hva tror du vanskeligheten i denne oppgaven er?

9.2 NASJONALE OG INTERNASJONALE TESTER

Eksempel 4

659

Nasjonal prøve

Figur 3

Tabell 3 Nasjonal prøve 2011, 5. trinn:

Eksempel 5

Svaralternativer

Svarprosent

8

42 %

12

15 %

4

37 %

Nasjonal prøve

Figur 4

Tabell 4 Nasjonal prøve 2011, 8. trinn: Svaralternativer

Svar

1 3

30 %

2 3

9%

1 12

36 %

2 12

25 %

Oppgave

3.

Hvilke årsaker tror du ligger bak feilsvarene i eksempel 4 og 5?

660

KAPITTEL 9 VURDERING

De nasjonale prøvene i regning skal ta utgangspunkt i hvordan elevene kan anvende regning i ulike faglige og daglige sammenhenger. Dette innebærer at de forstår og reflekterer over hvordan de best kan løse en gitt utfordring, at de kan løse problemet ved hjelp av regneoperasjoner, og vurdere om resultatene er rimelige.

Eksempler på kompetansemål på 4. og 7. årstrinn som kan være utgangspunkt for nasjonale prøver i regning i de tre ulike temaene i faget matematikk, kan være: velje rekneart og grunngje valet, bruke tabellkunnskapar om rekneartane og utnytte enkle samanhengar mellom rekneartane samle, sortere, notere og illustrere data med teljestrekar, tabellar og søylediagram, og kommentere illustrasjonane gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid, og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar (UD, 2010).

Det har siden de nasjonale prøvene ble innført, vært diskutert og debattert hvorvidt de har innfridd intensjonen om at skoleeier og lærere skal bruke prøvene til å forbedre opplæringen. Det hevdes at prøvene i for stor grad brukes som rangering i mange kommuner. De fleste skoleeiere, rektorer og lærere støtter bruken av nasjonale prøver og mener de gir nyttig informasjon. Likevel hevder mange, 7 av 10 ifølge Respons Analyse (Utdanningsforbundet, 2012), at kommunen de jobber i, bruker prøvene til å sammenligne og rangere. Dette forsterkes av de tilbakemeldingene lærere fra videreutdanningen gir. De rapporterer også at prøvene er av en slik art at elevene ofte ikke gidder å sette seg inn i hva oppgavene går ut på. Oppgavene skal gjøres elektronisk slik at elevene bare krysser av uten å tenke over hva de gjør.

Standardiserte prøver, normerte prøver og skriftlige gruppeprøver er alle prøver som brukes til å vurdere elevenes kunnskaper innen et fag eller emneområde på et bestemt tidspunkt. Prøvetypen kjennetegnes ved at utvelging og utprøving av oppgaver har fulgt en bestemt framgangsmåte for å sikre et visst nivå av gyldighet (validitet) i kap. 5.5.1 og pålitelighet (reliabilitet) i kap. 5.5.2.

9.3 VURDERING FOR LÆRING

661

9.3 Vurdering for læring I dette kapittelet skal vi diskutere vurdering for læring og vise hvordan dette kan gjennomføres i praksis. Hovedfokus er vurderingsprosesser som kan gjøres av lærer og elev i klasserommet, og som har til hensikt å fremme læring. Vurdering for læring er en del av lærerens profesjonelle kompetanse (ARG, 2002).

Det foreligger lite norsk forskning når det gjelder sammenhengen mellom fagdidaktisk tilnærming og vurdering. Betydningen av å se vurdering for læring i tilknytning til fag påpekes både nasjonalt (Dobson og Engh, 2010) og internasjonalt (Bennett, 2011). All vurdering som skjer, bør være faglig relatert. Arbeid med fag er det sentrale, der elevene skal få effektiv tilbakemelding om egen utvikling, og der elevene selv skal være aktivt med i egen læring og vurdering av egen læring (Smith, 2009).

Tilbakemeldingene som elevene får, og kvaliteten på disse, er avgjørende for elevers læring. Dette fagdidaktiske perspektivet er svært sentralt i et vurderingsarbeid. Vurdering er og bør være en del av undervisning og læring. Mye av det lærere og elever gjør i klasserommet, kan beskrives som vurdering. Men hva betyr det? Hvilke prinsipper bør en da ta hensyn til?

God vurdering er forankret i høy fagkompetanse. Det er i det faglige arbeidet elevene skal få læringsfremmende respons og være aktivt med i vurdering av egen læring. Ifølge Hattie (2009) vil elevene lære mer dersom læringsmålene er synlige for dem, og dersom elevenes læring og utvikling er synlig for læreren. Så hvordan gjøre læringen mer synlig?

ARG, som i stor utstrekning forsker på ulike vurderingsformer, har skissert 10 punkter som viktige for vurdering. Disse ti punktene er sammenfattet til tre prinsipper (Martinussen og Tellefsen, 2011): 1. Være tydelig på hva som skal læres – hvordan er undervisningen planlagt?

2. Legge til rette for situasjoner som kan bidra til at elevene blir kjent med egen læring, og gi elevene mulighet til refleksjon og å justere for egen læring.

3. Finne ut om elevenes læring og utvikling underveis bidrar til videre læring, og om de er på rett vei – hvordan du som lærer vurderer elevene, og bruker denne informasjonen for å hjelpe eleven samt justere undervisningen.

662

KAPITTEL 9 VURDERING

Dette krever at læreren kan faget sitt og kjenner målene i LK06, dvs. at lærerne må vite hvordan de ser etter kjennetegn hos elevene i lys av kompetansemålene (Engh, Dobson og Høihilder, 2007). Dette krever igjen høy grad av undervisningskunnskap. Før vi belyser hva det vil si å ha undervisningskunnskap i matematikk, som beskrevet i kapitlene 6 og 7, må vi se på hva det vil si å kunne matematikk.

Niss og Højgaard Jensen (2002) har utarbeidet komponenter som sammen utgjør det vi kaller matematikkompetanse. Vi velger å bruke momenter som mange lærere bruker og er fortrolige med når de skal bryte ned målene i Kunnskapsløftet, nemlig anvendelse, ferdigheter og forståelse.

9.3.1 Figur 5

Matematisk kompetanse Anvendelse

Ferdighet

Forståelse

Problemløsningskompetanse

Representasjonskompetanse

Resonnementskompetanse

Modelleringskompetanse

Symbol- og formalismekompetanse

Tankegangskompetanse

Hjelpemiddelkompetanse

Alle målene i Kunnskapsløftet er kompetansemål. Hvert mål omfatter tre komponenter som til sammen utgjør kompetansen. Ferdigheter vil si å kunne bruke regneoperasjoner og symboler. Forståelse handler om begreper og det å kunne tenke, resonnere og kommunisere. Anvendelse er å kunne løse problemer og å kunne modellere. Alle komponentene spiller sammen og utgjør en helhetlig matematisk kompetanse (Kleve og Tellefsen, 2009).

Matematikksenteret har i forbindelse med nasjonale prøver utviklet kompetansemålene til å omhandle åtte delkompetanser. I tillegg til kompetanseområdene over har de med kommunikasjonskompetanse som en egen delkompetanse.

Kompetanse i kommunikasjon inneholder å kunne sette seg inn i og fortolke andres matematikkholdige skriftlige, muntlige eller visuelle utsagn og «tekster», og å kunne utrykke seg om matematiske forhold på ulike måter (Matematikksenteret, Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen21) 21

http://matematikksenteret.no/content/307/Kompetanser-i-matematikk-Niss-2002 (08.11.2013)

9.3 VURDERING FOR LÆRING

9.3.2

663

Undervisningskunnskap

Det finnes mange studier av lærerkompetanse knyttet til elevers læring.

I dag er undervisningskunnskap et viktig bidrag med tanke på læring, og det er gjort omfattende forskning på undervisningskunnskap i matematikk. Dette er utdypet i kapittel 6 og omtales som UKM. I tillegg er Rowlands kunnskapskvartett beskrevet i kapittel 7.

Studien til Nordenbo et al. (Nordenbo, Larsen, Tiftikci, Wendt og Østergaard, 2008, s. 56) viser at i tillegg til kompetanser som er av betydning for overordnede mål som motivasjon og autonomi, må læreren ha didaktisk kompetanse knyttet til undervisningsinnholdet generelt sett og i det enkelte fag: «Lærerens undervisningshandlinger er den faktor, der i størst udstrækning forklarer elevenes tilvækst i læring, og er viktigere enn både klassestørrelse og niveauspredning». Spesielt gjaldt dette faget matematikk.

Generelt kan vi si at undervisningskunnskap i matematikk er: å kunne matematikk å kunne undervise i faget å vite hvordan man underviser for å oppnå best mulig læring i faget

9.3.3

Vurdering for læring i klasserommet

En underkommunisert side ved det å være en god lærer, er lærerens vurderingspraksis i klasserommet og evnen til å justere undervisningen ut fra erfaringer. Dette viste seg bl.a. i prosjekt Bedre vurderingspraksis.

Gjennom diskusjoner og spørsmål med deltakende lærere ble det tydelig at fagkompetanse betydde mye for å forstå målene i LK06 og ut fra disse lage funksjonelle kjennetegn på måloppnåelse (Martinussen og Tellefsen, 2010). Uten slik kompetanse vil arbeidet med å utvikle kjennetegn kunne resultere i en snever form for fagopplæring (Engh, 2011).

Nå skal vi se på et eksempel hentet fra en sekvens som forfatter observerte i 2010. Transkripsjonen er fra en time på 10. trinn hvor fokus var vurdering for læring. Det er viktig å ha både prinsipper for vurdering og undervisningskunnskap i bakhodet når du leser dette.

Temaet var likninger. Læreren hadde 60 studiepoeng i matematikk og var relativt ny som lærer. Elevgruppen var betegnet som faglig sett gjennomsnittlig. Det var 22 elever i klassen. Klassen hadde jobbet med likninger tidligere.

664

KAPITTEL 9 VURDERING

Her står L for lærer og E for elever. Læreren introduserer: L: Brøk med likninger eller likninger i brøk. Brøklikninger, likning i brøk.

Skriver: Figur 6

L: Her har vi noen brøk, og vi kan ha x i både teller og nevner, noe som gjør det ekstra ille for oss. Ekstra frustrerende. Som vi lærte i brøk.

Nå har vi to forskjellige nevnere. Hvordan finner man en fellesnevner – eller hva er en fellesnevner?

E: Minste felles multiplum.

L: Hva er en fellesnevner for noe?

E: Det er et tall som alle nevnerne går opp i.

L: Som alle nevnerne går opp i, ja. Sagt på en annen måte: Hvilke tall er det både togangen og tregangen treffer hverandre?

Hvor er det de skjærer hverandre?

E: I 6.

L: I 6, ja. Det er det første stedet de møtes. Så da kan jeg gange alle ledd med 6. For å bli kvitt den brøken. Jeg vil ikke ha brøk.

Sier og skriver: Gang alle ledd med fellesnevner ¼ 6.

L: (skriver samtidig): Jeg ganger med 6. Første ledd 6 ganger med x, hva får vi da?

E: 6.

L: Ja, og her kan vi forkorte. 6 delt på 2, da får du 3, altså 7 ganger 3.

7 ganger 3 er lik 21. Minus 21 står det nå. Pluss – her skal vi også (. . . ? 3 ?)

Pluss 2x. Halvparten av 6 er 3, minus 6 gange 2 er lik 12, 12x.

Har nå: 6x 21 þ 2x ¼ 3 12x.

L: Og som jeg sa i stad, vi kan tenke motsatt. Så slipper vi det der med å dele på begge sider. Eller gange på begge sider. Alt det der greia der.

Så mange linjer. Så mye frustrasjon og tårer. Nå tar vi heller og samler

Problemløsning i matematikk

11

George H. Hitching og Hans Wilhelm Mørch

11.1 Innledning Se på de følgende oppgavene: 1. Ola jobber med hagearbeid om sommeren og tjener 250 kroner per dag.

Han har jobbet tre hele uker a` fem arbeidsdager, samt fire enkelte dager og tre halve dager. Hvor mye har han tjent på hagearbeid i løpet av sommeren?

2. Kari skal kopiere et diagram og ønsker å forstørre det slik at det blir lettere å lese. Kopimaskinen hun bruker, kan kopiere i 80 %, 100 % og 150 %. Hva er det minste antall kopieringer Kari trenger for å forstørre diagrammet til 324 % av original størrelse?

For de fleste ungdomsskoleelever vil en metode for å løse oppgave 1 være nokså opplagt. Å finne en metode for å løse oppgave 2, kan imidlertid være mer krevende. Oppgaver der løsningsmetoden er kjent, er det vanlig å omtale som ferdighetstrening. Vi kaller oppgaver der metoden er ukjent, for problemløsningsoppgaver.

Problemløsning er vektlagt i Kunnskapsløftet. I «Føremål» med faget matematikk står følgende (Utdanningsdirektoratet, 2013): Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. . . Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening.

Dessuten finner vi i Utdanningsdirektoratets Vurderingsveiledning for skriftlig eksamen etter 10. trinn (Utdanningsdirektoratet, 2012, s. 7): [Eksamens del 2] inneholder oppgaver som prøver bredden og dybden i elevenes matematiske kompetanse. Det kan forekomme temaer som ikke alle elever har forkunnskaper om.

746

KAPITTEL 11 PROBLEMLØSNING I MATEMATIKK

Dette medfører at kunnskaper i problemløsning vil stå sentralt i enkelte deler av skriftlig eksamen.

Matematikkfagets egenart gir en annen motivasjon for å arbeide med problemløsning i grunnskolen. I matematikken har vi ikke tilgang til «laboratorieforsøk» på samme måte som i naturvitenskapene. Matematikkfagets oppbygging hviler på bevis for abstrakte fakta og sammenhenger.

Oppdagelser blir gjort gjennom utforskning, gjerne med papir og blyant.

Dette fører til antagelser, som senere bevises, eventuelt etter justering.37 Under både utforskning og bevisføring oppstår det bestandig «logiske gåter» som må løses før man kan gå videre. Problemløsning er en vanlig arbeidsmåte for matematikere.

Dette aspektet ved faget kommer imidlertid sjelden til syne i fagbøker og faglige foredrag. Her formidles ofte bare sluttproduktet av en lang tanke- og problemløsningsprosess. Derfor er det desto viktigere at lærere vektlegger problemløsning i undervisningen. På denne måten vil elevene oppnå en mer realistisk oppfatning av hva det innebærer å arbeide med faget matematikk. Det var nettopp slike betraktninger som motiverte George Po´lya til å sette opp et begrepsapparat for problemløsning (Po´lya 1990, s. xxii).

11.1.1

Oversikt over innhold

I dette kapitlet presenterer vi først noen grunnleggende ideer vi kan få nytte av i arbeidet med problemløsning. Deretter gjør vi rede for strategien den ungarske matematikeren George Po´lya presenterer i boka How to Solve it, først utgitt i 1945. Vi tar for oss tre problemstillinger som er løst ved hjelp av Po´lyas ideer. Vi ser også på noen misoppfatninger som kan oppstå rundt bruk av strategien.

Mot slutten av kapitlet diskuterer vi gruppearbeid som arbeidsmåte i problemløsning. Vi tar så opp noen utfordringer læreren vil møte hvis han vil bruke problemløsning i undervisningen.

Vi viser til en god del problemløsningsoppgaver underveis. Vi anbefaler at du som leser, prøver deg på oppgavene før du ser på løsningsforslagene.

Som vi senere skal komme inn på, er Po´lyas strategi noe erfaringsbasert.

Man utvikler seg til en bedre problemløser gjennom praktisk arbeid.

Vi avslutter med noen kilder med problemløsningsoppgaver både for elever og lærere.

37

Oppdagelsesprosessen i matematikken ble beskrevet av matematikeren Jacques Hadamard (Skott, Jess, & Hansen, 2008, s. 523).

11.2 HVA ER PROBLEMLØSNING?

747

En stor takk til ungdomsskolelærerne May Britt Hagen, Bjørnegård skole, og Tom Foshaug og Karin Østby, Gjøklep ungdomsskole, som har delt av sine rike erfaringer med problemløsning på ungdomstrinnet, og gjort oss oppmerksomme på mange fine oppgaver og oppgavekilder.

Vi har ikke gitt en spesifikk kildehenvisning for hver oppgave i dette kapitlet. Oppgavene kommer fra de ovennevnte lærerne, fra bøkene i litteraturlisten, og fra nettsidene omtalt i «Kilder med problemløsningsoppgaver» (s. 776).

11.2 Hva er problemløsning?

En problemløsningsoppgave vil for oss bety en oppgave med de følgende trekkene (sammenlign med Wilson mfl., 1993): 1. Oppgaven har et klart definert og etterprøvbart mål.

2. Løsningsmetoden er ukjent for den som skal løse den.

3. Den som skal løse oppgaven, har en ekte interesse for å finne en løsning.

Merk at et klart definert mål kan være et fasitsvar, men trenger ikke å være det. Oppgave 2 b) i delkapittel «Utforskning» (s. 751) er en problemløsningsoppgave uten fasitsvar.

Den siste betingelsen er mindre vanlig å ha med, men virker naturlig med tanke på skolematematikken. Man må ha energi, og ekte interesse, for å finne en løsning på en oppgave der man ikke har en metode som garanterer et svar. Hvis ikke eleven er tilstrekkelig interessert, vil det være vanskelig å mobilisere den nødvendige energien.

I henhold til Mogens Niss’ modell for kompetanse i matematikk38 kan en problemløsningsoppgave kjennetegnes ved at den i betydelig grad stiller krav til kompetansegruppen «det å spørre og svare i, med og om matematikk», særlig problembehandlingskompetanse. Oppgaver i ferdighetstrening vektlegger oftest kompetansegruppen «det å omgås språk og redskaper i matematikk», spesielt symbol- og formalismekompetanse.

38

QED 5–10, bind 1, del II, kapittel 2.2.4.

748

KAPITTEL 11 PROBLEMLØSNING I MATEMATIKK

11.2.1

Et relativt begrep

Det kommer fram av betingelsene 2 og 3 over at «problemløsningsoppgave» er et relativt begrep. Om en oppgave utgjør et problem, er avhengig av den enkeltes forkunnskaper og interesse. For eksempel kan det å løse likningen 4x þ 3 ¼ 19 være problemløsning for en person som ikke har kjennskap til likninger. Tekstoppgaver blir ofte presentert som «problemløsning»: Eksempel 1

Hvor mye koster en kaffe og vaffel?

Per og Astrid betaler 22 kroner for to kopper kaffe og en vaffel.

Pernille, Beate og Kristoffer betaler til sammen 38 kroner for to kopper kaffe og tre vafler. Hvor mye koster en kopp kaffe, og hvor mye koster en vaffel?

Trener man mye på slike oppgaver, vil man, uten å «tenke på nytt» hver gang, kunne lære å oversette en tekst til likninger. Metoden i slike oppgaver kan altså bli noe kjent. Da er ikke lenger disse oppgavene problemløsning.

Hvis for eksempel en elev er fortrolig med løsning av lineære likninger, bør eleven få prøve seg på enkle annengradslikninger som x2 25 ¼ 0 eller x2 þ 4x ¼ 0 (uten at læreren gir en løsningsmetode). Matematiske ferdigheter må også øves på (Po´lya, 1990, s. 171 ff.), men for at oppgaven skal være problemløsning, må den ha en metodisk utfordring som eleven ikke har møtt før.

For øvrig: Ifølge vår definisjon vil det være visse oppgaver som ikke blir «problemløsningsoppgaver» for enkelte elever, fordi eleven ikke har ekte interesse for å finne en løsning. Merk at «ekte interesse» godt kan komme fra ytre motiverende faktorer. I «Problemløsning og gruppearbeid» (s. 770) diskuterer vi konkurranse som en måte å engasjere elever på.

11.2 HVA ER PROBLEMLØSNING?

11.2.2

749

Ikke bare e´n løsningsmetode

Det at en oppgave har et klart definert mål, medfører ikke at det bare finnes e´n løsningsmetode. Her er en oppgave med to kvalitativt forskjellige løsningsmetoder: Eksempel 2

To kvalitativt forskjellige løsningsmetoder

Bevis at summen av to påfølgende potenser av 9 alltid er delelig med 10.

Løsninger

E´n metode: Vi begynner med å skrive opp noen eksempler: 90 þ 91 ¼ 1 þ 9 ¼ 10 91 þ 92 ¼ 9 þ 81 ¼ 90 92 þ 93 ¼ 81 þ 729 ¼ 810 Vi prøver oss med noen høyere potenser: 95 þ 96 ¼ 59 049 þ 531 441 ¼ 590 490 I hvert tilfelle legger vi merke til at nierpotensene som adderes, har sifrene 1 og 9 på enerplassene. Summen av to slike tall må være i tiergangen.

Hvis vi kan bevise at dette er tilfellet for ethvert par av påfølgende potenser av 9, vil vi ha løst oppgaven. Hvordan kan vi gjøre dette?

For å komme fra en potens av 9 til den neste, multipliserer vi med 9.

Generelt, siden 9 9 ¼ 81, er det slik at hvis vi multipliserer 9 med et tall som har en 9 på enerplassen, får vi et tall med 1 på enerplassen.

(Hvis ikke du ser dette med en gang, er det en fin oppgave å kontrollere det!) Videre, hvis vi multipliserer 9 med et tall med 1 på enerplassen, får vi et tall med 9 på enerplassen. Siden 91 ¼ 9, vil alle potenser av 9 derfor vekselvis ha 1 og 9 på enerplassen. Dermed er oppgaven løst!

En annen metode: Det som også kommer fram av eksemplene over, er et mønster blant de tiermultiplene som oppstår i summene. Fra eksemplene ser det ut til at summen av to påfølgende potenser av 9, er 10 ganger den minste av potensene. La oss se om dette stemmer: 9n þ 9n þ 1 ¼ 9n þ ð9 9n Þ ¼ 9n ð1 þ 9Þ ¼ 9n 10: Det var nettopp dette vi skulle vise!

786

KAPITTEL 12 UTEMATEMATIKK

12.2 Hva gjør vi? Aktiviteter Det er ikke mulig eller ønskelig å gi en «oppskrift» på hvordan vi skal realisere matematikk ute. Rammefaktorene er forskjellige, og den enkelte lærer må finne ut hva som passer, og hva som er mulig. Utfordringene kan være mange og store, men for å lykkes med matematikk ute må den enkelte lærer skaffe seg erfaring. Enkle utprøvinger bør gjøres først.

Ta utgangspunkt i det matematiske innholdet, og se dette i sammenheng med mål i læreplanen. Hva kan elevene lære minst like godt utenfor klasserommet? E´n erfaring er at lærere som har hatt utematematikk som en del av sin utdanning, videreutdanning eller etterutdanning, oftere selv vil bruke uteområdet som arena for læring av matematikk. For den læreren som våger å ta i bruk uteområdet, er det gode muligheter for en rikere matematikk både for lærer og elev. Elever og lærere kan lære matematikk ute, og elevene kan samle data eller gjøre utprøvinger ute utenfor skoletid for videre behandling i matematikktimene på skolen.

Lærere som vil prøve ut utematematikk, må ofte gå noen ekstra runder om sin tenkning knyttet til klasseledelse. Faget matematikken skal stå sentralt, og det som gjøres av aktivitet, skal støtte opp under læringen i faget. Læreren vil naturlig nok miste noe av «kontrollen» med klassen.

Størrelsen på uteklasserommet gjør at elevene sprer seg, og læreren må ha klart for seg hva de skal gjøre. Dette må så føre til at elevene har med seg en klar bestilling på hva de skal gjøre når de kommer ut. Elevene må også lære at matematikk ute og inne er to sider av samme sak. De må få oppleve at matematikken blir en helhet som kan brukes til å svare på praktiske spørsmål. Læreren må ha forventninger til hva slags resultater og sluttprodukter elevene skal komme fram til. Disse forventningene må hele tiden signaliseres til elevene. Elever som undersøker, måler eller gjør andre utprøvinger ute, må ha som arbeidsinstruks at de noterer resultater, lager skisser, tar bilder og gjennom dette dokumenterer sine funn skikkelig. Å arbeide videre inne med resultatene fra det som er funnet ute, er alltid en naturlig del av læringsprosessen. Det som blir gjort ute, følges opp av muntlige diskusjoner inne og ofte også av skriftlige presentasjoner.

Denne bearbeidingen av det som har skjedd ute, er viktig både faglig og metodisk. Signalet blir at ute finner vi matematikk som er viktig i skolefaget matematikk. Etterarbeidet viser også at læreren har forventninger om at det skal skje læring i matematikk på grunnlag av det elevene har gjort ute.

Modelleringskompetanse er en av åtte matematiske kompetanser slik dette skisseres i en rapport av Mogens Niss (QED 5–10, del II, kap. 2.2.4).

12.2 HVA GJØR VI? AKTIVITETER

787

Å kunne bygge en matematisk modell i en gitt situasjon er ofte en aktuell problemstilling i utematematikk. Dette krever mye mer enn bare å kunne regne. Situasjonen vi vil studere, skal kunne oversettes til et kjent område innen matematikken. Matematikken som skal brukes, må beherskes, modellen skal kunne vurderes og utsettes for kritisk gjennomgang, og den skal kunne forklares og forsvares. Å kunne noe om modellering kan derfor være nyttig for en lærer som vil arbeide med matematikk ute.

Gjennom skisser av noen ulike tema presenteres noen ideer som du og elevene dine kanskje kan bruke til videre utforskning og bearbeiding.

Felles for temaene er at deler av arbeidet kan gjøres ute. Temaene er fra forskjellige områder av matematikkfaget, og ikke alle er beskrevet like detaljert. Det ligger ikke noen vurdering av vanskegrad eller viktighet i dette. Ingen av disse temaene er uttømmende beskrevet her. Dette er ikke ønskelig, og i de fleste tilfeller heller ikke mulig. Målet er å vise noen ideer som kan være en kilde der du som lærer skal kunne hente inspirasjon til å utvikle disse eller andre ideer videre i din klasse, gjerne sammen med dine kolleger. Gjennomføringen må tilpasses det du som fagperson ser er mulig. Det er du som må gjøre de nødvendige prioriteringer, det er du som må skaffe deg nødvendig kunnskap, og det er du som må trekke elevene inn i opplegget. Det kan være lurt å gjøre notater både i forkant og underveis. Dette gjør det enklere å dokumentere hva som ble gjort, og det gjør det mulig å danne et grunnlag for videre utvikling av arbeid med temaet. Det er et poeng at slik dokumentasjon bearbeides og gjøres tilgjengelig for andre på skolen, og kanskje også på nettet eller i form av et innlegg i Tangenten, som er et norsk tidsskrift for matematikkundervisning.

En skisse av momenter i en slik dokumentasjon kan være: 1. Hvilke mål har du satt på forhånd?

2. Hva trengs av utstyr, og hvilke rammefaktorer må du ta hensyn til?

3. Hva ble gjort?

4. Hva hadde du som lærer forventet at skulle skje?

5. Hva skjedde?

6. Kan du identifisere årsaker til at det gikk godt? (Suksessfaktorer) 7. Kan du identifisere årsaker til at det ikke gikk godt?

8. Bør noe gjøres annerledes neste gang?

9. Hvordan tar du vare på det som ble gjort? (Skisser/bilder/film)

788

KAPITTEL 12 UTEMATEMATIKK

12.3 Eksempler på tema som kan knyttes til utematematikk 12.3.1

Nedbør og måling av nedbør

Spørsmål: Hva betyr det når noen sier at det har regnet, og at det har kommet 12 millimeter nedbør? Hvordan kan dette brukes videre i læring av matematikk?

Figur 4 Nedbørmåler/ regnmåler

Oppgave

3.

Formuler et svar på det første spørsmålet i innledningen, og skriv ned svaret. Forsøk å ta det i to etapper. Skriv både det du umiddelbart tenker og det du vil svare hvis du skal være mer presis.

Sammenlign svarene dine med svar fra andre studenter. Bruker dere samme forklaring? Hvilke matematiske begreper bruker dere?

Veien videre i arbeid med nedbør og måling av nedbør kan ta mange retninger. Her følger noen av mange mulige spørsmål som kan si litt om dette: Hvordan kan nedbør måles? Hvordan ser en nedbørmåler ut?

Hvorfor ser den slik ut? Hvem måler nedbør? Hvor måles nedbør?

Måles det mange steder i Norge? Hvor ofte registreres nedbøren på et sted?

Kan du og klassen din måle nedbør en periode? Er 12 mm regn mye eller lite? Blir du våt av 12 mm nedbør? Hvilken betydning har det om nedbøren kommer over 8 timer, eller om alt kommer i løpet av 15 minutter? Hvor mye nedbør kommer det i løpet av en måned der vi bor?

I løpet av et år? Hvordan er det andre steder? Er det store eller små forskjeller i nedbør mellom ulike steder? Hvorfor er det forskjeller i nedbørmengdene på ulike steder? Hvilken betydning har dette?

Hvordan varierer nedbøren gjennom året der du bor? Hva er ei rotbløyte?

Hva om nedbøren kommer som snø?

12.3 EKSEMPLER PÅ TEMA SOM KAN KNYTTES TIL UTEMATEMATIKK

789

Oppgave

4.

Hvilke kompetansemål i matematikk er det aktuelt å arbeide med når temaet er nedbør?

Vi ser på en enkel aktivitet for å få kunnskap om nedbør og måling av antall millimeter nedbør: Figur 5

Bøtta har et volum på 10 liter. Plastarket er totalt 1 kvadratmeter, og det er laget slik at vi ser inndelingen i kvadratdesimeter og kvadratcentimeter.

Fyll bøtta med vann, og hell alt ut på kvadratmeterarket. Finn ut hvor mange mm nedbør dette tilsvarer. Gjenta med ulike mengder vann, og forklar for hverandre hvor mange mm nedbør dette tilsvarer. Hvordan tenker du? Diskuter måter å regne dette ut på. Finnes det gode tankemodeller som gjør at vi kommer raskt fra antall liter eller bøtter til antall millimeter nedbør?

Her er et forslag til en formell formulering: Det er kommet n millimeter nedbør et sted hvis det i et tett kar med rette vegger kan måles en vannhøyde på n millimeter.

For bruk i meteorologi måles nedbør over ett døgn (døgnnedbøren), og måletidspunktet er fra kl. 06 UTC (engelsk: Coordinated Universal Time, norsk normaltid er UTC þ1) e´n dag og fram til kl. 06 UTC dagen etter.

Det er altså nedbøren over 24 timer som registreres.

790

KAPITTEL 12 UTEMATEMATIKK

Det er også viktig hvor intens nedbøren er. Dette kan måles med et instrument som heter pluviometer. Vi får da registrert hvor lang tid det tar før det har kommet en bestemt nedbørmengde. Dette er i prinsippet en vippe som vipper over etter å ha samlet opp en viss nedbørmengde, og der tiden på denne oppsamlingen registreres. Kraftig regn gir oftere tømminger/vippinger.

Figur 6 Målestasjon for registrering til meteorologisk bruk.

Formuler og arbeid med egne oppgaver knyttet til nedbør og måling av nedbør. Det er mange mulig retninger dere kan gå i, for temaet er stort.

Her kommer noen forslag til aktuelle oppgaver: Eksempel 1

Oppgaver

1. I hvilke sammenhenger kan vi lese eller høre om antall millimeter nedbør?

2. Hvilke måleenheter er det mulig å trekke inn når temaet er måling av nedbør?

3. Se på bildet av nedbørmåleren (figur 4). Hvordan virker den?

Hvorfor har den en slik utforming? Du får oppgitt at diameteren lengst oppe på måleren er 18 cm, og at diameteren i den sylinderformede delen av måleren er 8 cm. En dag ble det på måleren registrert 15 mm nedbør. Hvor høyt står da væskenivået i sylinderen?

4. Lag deres egen enkle nedbørmåler. Hva slags materiale vil dere bruke?

Begrunn utformingen ut fra formuleringen av hvordan nedbør måles.

Prøv måleren over en uke. Sammenlign deres målinger med tall fra nærliggende målestasjoner. Blir resultatene like? Kan forskjeller forklares?