EivindEriksen
Matematikk forøkonomi ogfinans
2.utgave
Forord
DennelærebokenerskrevetforkursetMatematikkforøkonomer,matematikkfagetsominngåribachelor-studietiøkonomiogadministrasjon.Dendekker temaeneidennasjonalerammeplanenfordettestudiet.
LærebokenerogsåtilpassetkursetMatematikkforsiviløkonomer,somtilbys påsiviløkonomstudietvedHandelshøyskolenBI.Detdekkertilsvarendeemner, mengårlittgrundigeretilverksoginneholderogsånoenmeravanserteemner.
Bokenbørogsåværegodtegnetforsiviløkonom-ogfinansstudiervedandre lærestederhvorstudentenetrengerendypereforståelseformatematikk.
Oppgaveneerensværtviktigdelavenhverlærebokimatematikk,ogmange oppgaveravvarierendevanskelighetsgraderinkludertiboken.Løsningavalle oppgaveribokenfinnesienegenarbeidsbok, Matematikkforøkonomiogfinans. Oppgaverogløsningsforslag.Deninneholderogsåflereøvingsoppgavermedløsning.
Andreutgave
Denandreutgavenavlærebokenkommerutåtteåretteratførsteutgaveble publiserti2016.Imellomtidenharbokenværtbruktsomlærebokforstudentene påsiviløkonomstudietvedHandelshøyskolenBI,ogdethargittmegmange tilbakemeldingersomharværtnyttigei arbeidetmeddenandreutgaven.Takktil allesomharkommetmedtilbakemeldingeromtrykkfeilogandremangleriden førsteutgaven!OgspesielttakktilminkollegaRunarIle,somharundervist studentenepåsiviløkonomstudietsammenmedmegidisseårene,ogsomhar kommetmedmangenyttigekommentarer.Hanharogsågitttillatelsetilåta medenavsineeksamensoppgaveriboken.
Idenneandreutgavenharvektorerogvektorregningfåttenmyemersentral plassogermyegrundigerebehandlet.Kapitlenesomdekkerkjernetemaene, erutvidetmedgrundigereforklaringerogflereillustrasjoner,eksemplerog oppgaver.Spesielterstoredeleravkapittel1omfinansmatematikkskrevetom forågjørestoffetletteretilgjengeligforstudentene,ogkapittel6omlineære likningssystemer,vektorerogmatrisererskrevetomforågjøreplasstilnytt stoffomvektorer.Ikapittel7harjegintrodusertgradientenibehandlingenav funksjoneritovariabler.
Oslo,19.april2024
EivindEriksen
Hvordanbrukedennelæreboken
Jegønskeråleggetilretteforenundervisningsplansomernoeannerledesenn densomervanlig.Tankenbakdetteeratstudenteneikkekunskalmøte repetisjonavskolematematikkeniførstedelavboken,ogåleggetilretteforat deraskerekommertilstoffsomernyttogrelevantforøkonomistudiet.
Kapittel0omalgebraogalgebraiskeuttrykkermentsomenkortrepetisjon avdemestgrunnleggendeemneneogegnersegtilselvstudium.Kjernestoffet ibokenutgjøresavkapittel1–7,ogermentåforelesesikronologiskrekkefølge.
Undervisningsplan
Selvstudium
Kapittel0:Algebraogalgebraiskeuttrykk
Kjernestoff Kapittel1:Finansmatematikk
Kapittel2:Likningerogulikheter
Kapittel3:Funksjoneroggrafer
Kapittel4:Derivasjon
Kapittel5:Integrasjon
Kapittel6:Lineærelikningssystemer,vektorerogmatriser
Kapittel7:Funksjoneriflerevariabler
Deleravtekstenermerketmedenoransjestrekog«Teori».Detteermer teoretiskeforklaringersommanfintkanhoppeover,mensomvilværenyttig forstudentersomønskeråforstådetteoretiskegrunnlagetbedre.
Etterhvertdelkapittelerdetenrekkeøvingsoppgaveravvarierendevanskelighetsgrad.Viharvalgtåtamedsvarpåoppgaveneikapittel0idenneboken, mensløsningavalleandreoppgaverfinnesienegenarbeidsbok, Matematikk forøkonomiogfinans.Oppgaverogløsningsforslag .Idennebokenfinnesogså noeneksamensoppgavermedfullstendigløsning.
Alternativeundervisningsplaner
Itilleggtilkapittel0ermyeavstoffetikapitel1–3repetisjonavskolematematikken, ogmangeforelesereervantmedogforetrekkeratdettegjennomgåestidlig. Bokenertilpassetenslikalternativundervisningsplan.
Vedendellærestederinngårikkelengerstoffetikapittel6idetførste matematikk-kurset.Detgårfintanåtilpassedennelærebokentilenslikunder-
visningsplanvedåtabortkapittel6oggjøresmåendringerihvordanman brukerkapittel7:Hesse-matrisenbrukesblantannettilåformulereandrederivert-testenitovariabler,mendenalternativeversjonenutenbrukavmatriser erogsånevnt.Mankandessutenbrukestigningstallettiltangentlinjenistedet forgradiententilåforklareLagrangesmultiplikatormetodeutenbrukavvektorer ogindreprodukt.
Alternativundervisningsplan
Selvstudium Kapittel0:Algebraogalgebraiskeuttrykk
Repetisjon
Kjernestoff
Kapittel1.1–1.3:Potenser,prosent-ogrenteregning Kapittel2:Likningerogulikheter
Kapittel1.4–1.9:Finansmatematikk
Kapittel3–7:Restenavkjernestoffet ellerKapittel3–5,7:Restenavkjernestoffet
HVORDANBRUKEDENNELÆREBOKEN 8
Oversikt
DelI–Forberedendestoff
Kapittel0Algebraogalgebraiskeuttrykk
DelII–Kjernestoff
Kapittel1Finansmatematikk
Kapittel2Likningerogulikheter
Kapittel3Funksjoneroggrafer
Kapittel4Derivasjon
Kapittel5Integrasjon
Kapittel6Lineærelikningssystemer,vektorerogmatriser
Kapittel7Funksjoneriflerevariabler
DelIII–Eksamensoppgaver
Kapittel8Eksamensoppgaver
15
41
83
109
151
199
233
293
343
Innhold
DelI–Forberedendestoff
Kapittel0Algebraogalgebraiskeuttrykk 15
0.1Tall 16
0.2Brøker 20
0.3Potenser 23
0.4Røtter 24
0.5Parenteser 25
0.6Algebraiskeuttrykk 27
0.7Algebraiskelover 28
0.8Kvadratsetningene 30
0.9Likninger 31
DelII–Kjernestoff
Kapittel1Finansmatematikk 41
1.1Relativvekstogvekstfaktorer 42
1.2Potenserogpotensregning 45
1.3Renteregning 50
1.4Nåverdiavkontantstrømmer 53
1.5Endeligerekker 59
1.6Annuiteterogannuitetslån 65
1.7Uendeligerekkeroggrenseverdier 70
1.8Eulerstallogkontinuerligforrentning 76
1.9Meromgrenseverdier 80
Kapittel2Likningerogulikheter 83
2.1Lineærelikninger 84
2.2Kvadratiskelikninger 85
2.3Likningermedparametre 90
2.4Polynomialelikninger 92
2.5Polynomdivisjon 95
2.6Faktoriseringavpolynomer 98
2.7Andrealgebraiskelikninger 101
2.8Ulikheter 105
Kapittel3Funksjoneroggrafer 109
3.1Funksjoner 110
3.2Grafentilenfunksjon 113
3.3Lineærefunksjonerog denrettelinjen 118
3.4Kvadratiskefunksjonerogparabelen 121
3.5Inntekts-ogkostnadsfunksjoner 124
3.6Sirklerogellipser 127
3.7Polynomfunksjonerognullpunkter 131
3.8Rasjonalefunksjoneroghyperbelen 133
3.9Kontinuitet 138
3.10Sammensatteogomvendte funksjoner 141
3.11Eksponentialfunksjoner 145
3.12Logaritmer 148
Kapittel4Derivasjon 151
4.1Tangenterogdenderiverte 152
4.2Denderivertefunksjonen 157
4.3Derivasjonsregler 158
4.4Funksjonersomikkeerderiverbare 165
4.5Implisittderivasjon 168
4.6Funksjonsdrøftingogdenderiverte 171
4.7Denandrederiverteogkonveksitet 177
4.8L’Ho ˆ pitalsregel 183
4.9Økonomiskeanvendelser 185
4.10Taylor-polynomer 189
Kapittel5Integrasjon 199
5.1Antiderivasjonogubestemte integraler 200
5.2Integrasjonsregler 203
5.3Substitusjon 206
5.4Delvisintegrasjon 209
5.5Delbrøksoppspaltning 211
5.6Bestemteintegralerogarealberegning 216
5.7Økonomiskeanvendelser 225
Kapittel6Lineærelikningssystemer, vektorerogmatriser 233
6.1Likningssystemer 234
6.2Lineæresystemerog Gauss-eliminasjon 238
6.3Antallløsningeravlineæresystemer 247
6.4Determinanter 252
6.5Vektorerogvektorregning 264
6.6Matrisemultiplikasjon 271
6.7Inversematriser 279
6.8Indreproduktavvektorer ogortogonalitet 286
Kapittel7Funksjoneriflerevariabler 293
7.1Funksjoneritovariabler 294
7.2Noenklasseravfunksjoner 299
7.3Partiellderivasjon 303
7.4Optimeringitovariabler 309
7.5Tangententilennivåkurve 315
7.6Gradienten 320
7.7Optimeringmedbibetingelser 324
DelIII–Eksamensoppgaver
Kapittel8Eksamensoppgaver 343
Matematikkforsiviløkonomer (BIdesember2022) 344
Matematikkforsiviløkonomer (BImai2023) 346 Løsningaveksamensoppgaver 348
Stikkord 359
INNHOLD 12
KAPITTEL 4
Derivasjon
Dettekapittelethandleromderivasjon.Denderivertetilenfunksjonietgittpunkt innføressomstigningstallettiltangentenipunktet.Dettegjøratvikantolkeden derivertegeometrisk.Vigårgjennomhvordanvikanfinnedenderiverte,bådefra definisjonen,somengrenseverdi,ogvedhjelpavderivasjonsreglene.Vigårogså gjennomimplisittderivasjon.
Viserpåenrekkeanvendelseravdenderiverte.Ifunksjonsdrøftingerbrukerviden derivertetilåbestemmefunksjonensmonotoniegenskaperogtilåfinnemaksimumsogminimumspunkter.Vigårogsågjennomendelandreanvendelser,somL’Ho
pitals regelforåbestemmegrenseverdienavendelubestemteuttrykk,ogøkonomiskeanvendelsersomelastisitet,grenseinntektoggrensekostnad.
Vigårogsågjennomhøyereordensderiverte,ogviserhvordanvikanbrukeden andrederiverteifunksjonsdrøftinger,bådetilåbestemmevendepunktogtilåavgjørenår funksjonenerkonveks,ognårdenerkonkav.
TilsluttikapitteletservipådenlineæreapproksimasjonentilenfunksjonogTaylorpolynomeravhøyeregrad,ogviserpåhvordandissekanbrukestilåtilnærme funksjonermedpolynomer.ViserpåNewtonsbinomialformelsometspesialtilfelle.
Emnerikapittel4
Derivasjon
Denderiverte,tangenter,derivasjonsregler,implisittderivasjon Funksjonsdrøfting Monotoniegenskaper,maks/min-problemer,vendepunkt, krumning,konvekseogkonkavefunksjoner
Andreanvendelser L’Ho ˆ pitalsregel,elastisitet,grenseinntektoggrensekostnad, Taylor-polynom,Newtonsbinomialformel
ˆ
4.1Tangenterogdenderiverte
La f ðx Þ væreenfunksjonsomerdefinertietpunkt x ¼ a oginærhetenav dettepunktet.Daligger ða, f ðaÞÞ pågrafentil f ,ogvikansepåderettelinjene gjennomdettepunktet.Blantdisserettelinjenefinnesdetvanligvise ´ nsomgir denbestetilnærmingenavgrafentil f inærhetenav x ¼ a.Dennerettelinjen kallesda tangenten til f i x ¼ a.Eteksempelervistifigur4.1.Viserat tangenten«følgerretningen»somgrafentil f hari x ¼ a. y = f(x) x a y f(a)
Figur4.1 Grafentilfunksjonen f ogtangententil f i x ¼ a
Tangententil f i x ¼ a erenrettlinjegjennompunktet a, f ðaÞ oger derforbestemtavsittstigningstall.Viskriver f 0ðaÞ fordettestigningstallet, ogdefinerer denderiverte tilfunksjonen f i x ¼ a tilåværestigningstallet f 0ðaÞ. Sidentangentengårgjennompunktet a, f ðaÞ ogharstigningstall f 0ðaÞ, girettpunktsformelenatlikningentiltangentener
y f ðaÞ¼ f 0ðaÞ ðx aÞ
Denderiverte f 0ðaÞ kallesogsåden momentaneveksthastigheten til f i x ¼ a.
Denderivertesomstigningstallettiltangenten
Denderiverte f 0ðaÞ tilfunksjonen f i x ¼ a erstigningstallettiltangenten til f i x ¼ a,og y f ðaÞ¼ f 0ðaÞ ðx aÞ erlikningentildennetangenten.
Vibørtenkepådettesomenførstetilnærmingtildenderiverte.Foreløpighar videfinerttangententil f i x ¼ a somdenrettelinjensombesttilnærmer funksjonen f inærhetenav x ¼ a.Dettegiretgodtintuitivtoggeometrisk bildeavtangentenogdermedavdenderivertesomtangentensstigningstall.
DELIIKJERNESTOFF 152 4
Definisjonavdenderivertevedhjelpavsekanter Laosssepådenrettelinjengjennompunktet a, f ðaÞ ogetannetpunktpå grafentil f .Ensliklinjekallesen sekant.Dersom h 6¼ 0,kanviforeksempel sepåpunktetmed x ¼ a þ h og y ¼ f ða þ hÞ.Detteeretannetpunktpå grafentil f .Sekantengjennom a, f ðaÞ og a þ h, f ða þ hÞ ervistifigur4.2.
Stigningstallettildennesekantenergittved y x ¼ f ða þ hÞ f ðaÞ h
ogkallesden gjennomsnittligeveksthastigheten til f påintervallet ½a, a þ h . x aa + h
(a + h)
(a)
f(a) y = f(x)
y = f(a + h)
Figur4.2 Grafentilfunksjonen f ogensekant
Dersom jhj6¼ 0eretlitetall,erdetnyepunktet a þ h, f ða þ hÞ pågrafentil f nærdetopprinneligepunktet a, f ðaÞ .Daersekantengjennompunkteneen godtilnærmelsetilgrafentil f iintervallet ½a, a þ h ,ogsekantenerderfor ganskenærtangententil f i x ¼ a.Dissetilnærmelseneerdessutenbedrejo mindre jhj er.
Ifigur4.3viservisekantentilfunksjonen f ðx Þ¼ xp gjennompunktenemed x ¼ 1og x ¼ 1,44.Detsvarertilat a ¼ 1,ogat h ¼ 0,44.Vikanfinneengod tilnærmingtildenderiverte f 0ð1Þ vedåleseavstigningstallettildennesekanten.
Foråfåmestmulignøyaktigavlesning,lønnerdetsegåbrukepunkterpå sekantensomikkeliggeraltfornærhverandre.Istedetforåbrukepunktet x y y = x
Figur4.3 Grafentilfunksjonen f ðx Þ¼ xp ogsekantengjennompunktene x ¼ 1og x ¼ 1,44
y f
f
D
D
x = h
−
153 DERIVASJON 4
med x ¼ 1,44(detandremarkertepunktet),harvilestavetnyttpunktmed x ¼ 4og y 2,35vedhjelpavrutenettetpåtegningen(medmaskebredde0,2).
Stigningstallettilsekantenblir y x ¼ y2 y1 x2 x1 2,35 1 4 1 ¼ 0,45
Vifinnerdermedtilnærmelsesverdien f 0ð1Þ 0,45fordenderivertetilfunksjonen f ðx Þ¼ xp i x ¼ 1.Forenfunksjon f medmarkertepunkter x ¼ a og x ¼ a þ h der jhj6¼ 0eretlitetall,vetviatstigningstallettilsekanten gjennomdemarkertepunkteneer
y x ¼ f ða þ hÞ f ðaÞ h
Dennesekantengirengodtilnærmelsetiltangententil f i x ¼ a,ogtilnærmelsenerbedrejomindre jhj er.Denderiverte f 0ðaÞ til f i x ¼ a kandermed defineressomgrenseverdienavuttrykketovenfornår h ! 0,sidendenne grenseverdiengirstigningstallettiltangenten.
Denderivertesomengrenseverdi
Denderiverte f 0ðaÞ tilfunksjonen f ipunktet x ¼ a ergrenseverdien
f 0ðaÞ¼ lim h ! 0
f ða þ hÞ f ðaÞ h
Dersomdennegrenseverdienikkeeksisterer,sierviat f ikkeer deriverbar i x ¼ a.
Eksempel4.1
Denderivertetilfunksjonen f ðx Þ¼ x 2 þ 1i x ¼ 1kanviregneutvedåse påsekantengjennompunktenemed x ¼ 1og x ¼ 1 þ h der jhj6¼ 0eret litetall.Siden f ð1Þ¼ 2og f ð1 þ hÞ¼ð1 þ hÞ2 þ 1 ¼ 1 þ 2h þ h2 þ 1 ¼ 2 þ 2h þ h2 ,harviat y x ¼ f ð1 þ hÞ f ð1Þ h ¼ ð2 þ 2h þ h2 Þ 2 h ¼ 2 þ h
Setterviinnenlitenverdifor h,sliksom h ¼ 0,001,finnervientilnærmet verdi f 0ð1Þ 2 þ h ¼ 2,001.Foråregneutdeneksakteverdien f 0ð1Þ kanvi beregnegrenseverdien
f 0ð1Þ¼ lim h ! 0 f ð1 þ hÞ f ð1Þ h ¼ lim h ! 0 ð2 þ hÞ¼ 2
Dermeder f 0ð1Þ¼ 2.Nårviregnerutdenderivertepådennemåten,siervi atviregnerutdenderiverte fradefinisjonen.
DELIIKJERNESTOFF 154 4
Eksempel4.2
Denderivertetilfunksjonen f ðx Þ¼ xp i x ¼ 1erlittvanskeligereåregneut fradefinisjonen.Viharimidlertidat
Setterviinnenlitenverdifor h,som h ¼ 0,001,kanvifinneen tilnærmingsverdifordenderiverte
1
Vikansammenlignedettemedtilnærmelsesverdien f 0ð1Þ 0,45,somvifant tidligerevedåbrukefigur4.3.Skalvifinnedenderivertefradefinisjonen, måviregneutgrenseverdien
Iovergangenfraførstetilandrelinjeharviutvidetbrøkenmed 1 þ h p þ 1 ogderetterbruktkonjugatsetningenitelleren.Vifinneraltsåatdeneksakte verdientildenderiverteer f 0ð1Þ¼ 1=2når f ðx Þ¼ xp .Viserogsåattilnærmelsesverdien f 0ð1Þ 0,4999erengodtilnærmelse.
Oppgavertildelkapittel4.1
Oppgave4.1.1
Finnengrovtilnærmingsverditildenderiverte f 0ð1Þ vedåtegnetangententil f i x ¼ 1ogleseavdensstigningstallnår
a) f ðx Þ¼ 2x þ 1b) f ðx Þ¼ 2 x 2 c) f ðx Þ¼ ln x d) f ðx Þ¼ 1=x
Oppgave4.1.2
Finndengjennomsnittligeveksthastighetentil f påintervallet ½1,2 når
a) f ðx Þ¼ 2x þ 1b) f ðx Þ¼ 2 x 2 c) f ðx Þ¼ ln x d) f ðx Þ¼ 1=x
Oppgave4.1.3
Finnentilnærmingsverditildenderiverte f 0ð1Þ vedåregneutden gjennomsnittligeveksthastigheteniintervallet ½1,1 þ h når h ¼ 0,01:
a) f ðx Þ¼ 2x þ 1b) f ðx Þ¼ 2 x 2 c) f ðx Þ¼ ln x d) f ðx Þ¼ 1=x
y x ¼ f ð1 þ hÞ f ð1Þ h ¼ 1 þ h p 1 h
f 0ð1Þ 1,001p 1 0,001 0,4999
f 0ð
Þ:
f 0ð
lim h ! 0 1 þ h p 1 h ¼ lim h ! 0 1 þ h p 1 h 1 þ h p þ 1 1 þ h p þ 1 ¼ lim h ! 0 ð1 þ hÞ 1 hð 1 þ h p þ 1Þ ¼ lim h ! 0 1 1 þ h p þ 1 ¼ 1 2
1Þ¼
155 DERIVASJON 4
Oppgave4.1.4
Regnutdenderiverte f 0ð1Þ fradefinisjonennår
a) f ðx Þ¼ 2x þ 1b) f ðx Þ¼ 2 x 2 c) f ðx Þ¼ ln x d) f ðx Þ¼ 1=x
Oppgave4.1.5
Grafentilfunksjonen f ervistifigur4.4.Forhvilkeavdemarkertepunktene erdenderivertenull,positivognegativ? a b c d x y
Figur4.4 Grafentilfunksjonen f
Oppgave4.1.6
Grafentilfunksjonen f ervistifigur4.4.Hvilkeutsagnersanne?
a) f 0ðaÞ > f 0ðd Þ b) f 0ðaÞ > f 0ðbÞ c) f 0ðaÞ > f 0ðcÞ
Oppgave4.1.7
Lagengrovskisseavtoulikefunksjoner f somhar
a) f 0ð1Þ¼ 0, f ð1Þ¼ 0b) f 0ð1Þ¼ 0, f ð1Þ < 0c) f 0ð1Þ¼ 0, f ð1Þ > 0
Oppgave4.1.8
Lagengrovskisseavtoulikefunksjoner f somhar
a) f 0ð1Þ > 0, f ð1Þ¼ 0b) f 0ð1Þ > 0, f ð1Þ < 0c) f 0ð1Þ < 0, f ð1Þ > 0
Oppgave4.1.9
Funksjonen f oppfyller f ð0Þ¼ 3og f ð 2Þ¼ f ð2Þ¼ 0.Tenkdeghvordan grafentil f kanseut,ogskissertoulikealternativernår a) f 0ð0Þ¼ 2b) f 0ð0Þ¼ 1c) f 0ð0Þ¼ 0d) f 0ð0Þ¼ 1
DELIIKJERNESTOFF 156 4
4.2Denderivertefunksjonen
Viharsålangtsettpådenderiverte f 0ðaÞ tilfunksjonen f ietbestemtpunkt x ¼ a.Ieksempel4.1regnetviforeksempelutat f 0ð1Þ¼ 2når f ðx Þ¼ x 2 þ 1. Vikanselvsagtregneutdenderivertetil f iandrepunkterogså,ogvikanfor eksempelfinne f 0ð2Þ og f 0ð3Þ påtilsvarendemåte.
Istedetforågjøredettepunktforpunktkanvifinne denderivertefunksjonen. Denderivertefunksjonenharenfunksjonsverdi f 0ðx Þ forenhververdiav x , ogdenergittved
f 0ðx Þ¼ lim h ! 0 f ðx þ hÞ f ðx Þ h
Definisjoneneraltsådensammesomviharbrukttidligere,bortsettfraatvi ikkesetterinnnoebestemttall a for x .Vikantenkepå f 0ðx Þ somdenderiverte ietgenereltpunkt,derverdienav x ikkeerspesifisert.
Laossregneut f 0ðx Þ når f ðx Þ¼ x 2 þ 1someteksempel.Sekantensomgår gjennomdetopunktenemed x -koordinater x og x þ h,harstigningstallet y x ¼
Dermedblirdenderiverte f 0ðx Þ ietgenereltpunktgittved f 0ðx Þ¼ lim h ! 0 f ðx þ hÞ f ðx Þ h ¼ lim h ! 0 ð2x þ hÞ¼ 2x
Viseraltsåatdenderivertefunksjonenergittved f 0ðx Þ¼ 2x når f ðx Þ¼ x 2 þ 1. Nårviharregnetutdenderivertefunksjonen,kanvilettfinnedenderiverte til f iethvertpunkt x ¼ a vedåsetteinn a for x .Foreksempeler f 0ð1Þ¼ 2, f 0ð2Þ¼ 4og f 0ð3Þ¼ 6når f ðx Þ¼ x 2 þ 1,siden f 0ðx Þ¼ 2x .
Detfinnes derivasjonsregler somfortellerosshvordanvikanfinneden derivertetilmangevanligefunksjoner.Dissederivasjonsreglenebeskrivervi idelkapittel4.3,ogdegireneffektivmetodeforåberegnedenderiverte funksjonen.
Oppgavertildelkapittel4.2
Oppgave4.2.1
Finndenderivertefunksjonenvedåbrukedefinisjonennår
a) f ðx Þ¼ 2x þ 1b) f ðx Þ¼ 2 x 2
c) f ðx Þ¼ ln x d) f ðx Þ¼ 1=x
hÞ
þ 1
Þ
f ðx þ hÞ f ðx Þ h ¼ ðx þ
2
ðx 2 þ 1
h ¼ 2hx þ h2 h ¼ 2x þ h
157 DERIVASJON 4
Oppgave4.2.2
Skissergrafentildissefunksjonene,ogfinndenderivertefunksjonenihvert tilfellevedåbrukedefinisjonen.Hvakandusiomsammenhengenmellom grafene?Hvilkenbetydninghardettefordenderivertefunksjonen? a) f ðx Þ¼ 2 x 2
g ðx Þ¼ x 2 c) hðx Þ¼ 4 x 2
Oppgave4.2.3
Finntoandrefunksjonersomharsammederivertefunksjonsom f når a) f ðx Þ¼ 2x þ 1b) f ðx Þ¼ 2 x 2 c) f ðx Þ¼ ln x d) f ðx Þ¼ 1=x
4.3Derivasjonsregler
Derivasjonsreglene gireneffektivmetodeforåfinnedenderivertefunksjonen f 0ðx Þ.Vigåridettedelkapitteletgjennomdeviktigstederivasjonsreglene. Meddissereglenekanvideriveresværtmangefunksjoner.
Derivasjonsreglenebevisesvedåbrukedefinisjonenavdenderiverte,ogvi gårgjennomnoenavbeviseneisluttenavdelkapittelet(menikkealle).Deter selvsagtikkenødvendigåbevisederivasjonsreglenehvergangvibrukerdem.
Detbrukesflereulikeskrivemåterfordenderivertefunksjonen,ogdeter nyttigåkjennetildisse.Laosssepåfunksjonen f ðx Þ¼ x 2 þ 1someteksempel. Noenavskrivemåtenefordenderivertefunksjonentil f er
Skrivemåtendf =dx kallesLeibniz’notasjon.Denerspesieltnyttigiforbindelse medsammensattefunksjoner.Detkommerjoklartframatvideriverermed hensyntilvariabelen x .Deterimidlertidviktigåhuskepåatdf =dx ikkeer envanligbrøk,menbetyrdenderivertetilfunksjonen f .
Potensregelen
Denderivertefunksjonentilenpotensfunksjon f ðx Þ¼ x n er ðx n Þ0 ¼ nx n 1 forallereelletall n.
b)
f 0ðx Þ¼ 2x , f 0 ¼ 2x , ðx 2 þ 1Þ0 ¼ 2x , df dx ¼ 2x , d dx x 2 þ 1 ¼ 2x
DELIIKJERNESTOFF 158 4
Potensregelengirforeksempelat ðx 2 Þ0 ¼ 2x og ðx 3 Þ0 ¼ 3x 2 .Vikanogsåbruke potensregelentilåderivere x n når n eretnegativtheltallellerenbrøk.Noen viktigeeksemplerer
Vikanogsåderiverefunksjonene f ðx Þ¼ 1=x 2 og g ðx Þ¼ x xp vedhjelpav potensregelen.Vimådaskriveomfunksjonsuttrykkenesompotensene f ðx Þ¼ x 2 og g ðx Þ¼ x 3=2 .Finnselvdederivertetil f og g
Derivasjonsreglerforsummer,differanserogkoeffisienter
Når u ¼ uðx Þ og v ¼ v ðx Þ erfunksjonerog c erenkonstantkoeffisient,er
Nårviderivereruttrykkmedflereledd,kanviifølgederivasjonsregleneovenfor derivere leddforledd,ogkonstantekoeffisientergårutenforderivasjonen:
Foratenkoeffisientskalgåutenforderivasjonen,mådenværeenkonstant.
Nårvikombinererregneregleneovenfor,kanviderivereallepolynomer(ogen goddelandrefunksjoner).Foreksempeler
Deterenvanligfeilåtroat ðu v Þ0 erlik u 0 v 0 ,ogat ðu=v Þ0 erlik u 0 =v 0 .Dette erikkeriktig.Sjekkselvatdetikkestemmeridetsisteeksempelet.Skalvi derivereproduktet u v ellerbrøken u=v ,brukerviprodukt-ogkvotientregelen.
Produkt-ogkvotientregelen
Denderivertefunksjonentilproduktet u v ogkvotienten u=v ergittved ðu v Þ0 ¼ u 0 v þ uv 0 u v 0 ¼ u 0 v uv 0 v 2
når u ¼ uðx Þ og v ¼ v ðx Þ erfunksjoner.
0
1 Þ0 ¼ x 2 ¼ 1 x 2 xp 0 ¼ x 1 2 0 ¼ 1 2 x 1 2 ¼ 1 2 xp
1 x
¼ðx
ðu þ v Þ0 ¼ u 0 þ v 0 ðc uÞ0 ¼ c u 0 ð
¼ u 0 v 0
u v Þ0
ð
3x 2 þ x Þ0 ¼ðx 3 Þ0 3ðx 2 Þ0 þðx Þ0 ¼ 3x 2 3 2x þ 1 ¼ 3x 2 6x þ 1
x 3
x 3 2x þ 5 0 ¼ðx 3 Þ0 2ðx Þ0 þð5Þ0 ¼ 3x 2 2 1 þ 0 ¼ 3x 2 2 x 4 x þ 1 x 2 0 ¼ x 2 x 1 þ x 2 0 ¼ 2x þ x 2 2x 3 ¼ 2x þ 1 x 2 2 x 3
159 DERIVASJON 4
Medkvotientregelenkanvideriverefunksjonerderfunksjonsuttrykketer enbrøk,sliksomfunksjonene
f ðx Þ¼ x 1 x 2 þ 3 og g ðx Þ¼ xp x 1
Derforkalleskvotientregelennoengangerbrøkregelen.Medproduktregelen kanviselvsagtderivereprodukter,sliksom
Vivisernoeneksemplerpåbrukavproduktregelenogkvotientregelen:
Idetsisteeksempeletharviutvidetbeggeleddtilbrøkermedfellesnevner2 xp .
Oftevilbrukavkvotientregelengietresultatsomerunødvendigkomplisert, omviikkepasserpååforkortemestmuligunderveis.Dettegjelderspesielt nårnevnerenerenpotens.Foreksempeler
Viharidetteeksempeletregnetut ðx 3Þ2 Þ 0 vedåbrukekvadratsetningen.
Viseratresultateter2x 6 ¼ 2ðx 3Þ.Siden ðx 3Þ erenfaktoribådeteller ognevner,kanviforkortebrøken,ogdetgjøratvikanskriveresultatetpå enmyeenklereform.
Kjerneregelen
Densammensattefunksjonen f ðx Þ¼ h uðx Þ medkjerne u ¼ uðx Þ og ytrefunksjon hðuÞ harderivert f 0ðx Þ¼ h0 uðx Þ u 0ðx Þ eller df dx ¼ dh du du dx
f ð
x 2 þ 1 p og g ðx Þ¼ xp ðx 2 þ 3x 4Þ
x Þ¼ x
1
2 þ 3 0 ¼ 1 ðx 2 þ 3Þ ðx 1Þ 2x ðx 2 þ 3Þ2 ¼ x 2 þ 2x þ 3 ðx 2 þ 3Þ2 xp ðx 2 þ 3x 4Þ 0 ¼ 1 2 xp ðx 2 þ 3x 4Þþ xp ð2x þ 3Þ ¼ ðx 2 þ 3x 4Þþ 2x ð2x þ 3Þ 2 xp ¼ 5x 2 þ 9x 4 2 xp
x
x
x ðx 3Þ2 !0 ¼ 1 ðx 3Þ2 x ðx 2 6x þ 9Þ0 ðx 3Þ4 ¼ ðx 3Þ2 x ð2x 6Þ
x 3Þ4 ¼ ð
3 2x Þ ðx
Þ4 ¼ x 3
x
x þ
ð
x 3Þðx
3
ð
3Þ3 ¼
3 ðx 3Þ3
DELIIKJERNESTOFF 160 4
Kjerneregelenbrukestilåderiveresammensattefunksjoner.Eteksempelpå ensammensattfunksjoner f ðx Þ¼ x 2 þ 1 p med kjerneu ¼ x 2 þ 1ogytre funksjon hðuÞ¼ up ,slikat f ðx Þ¼ h uðx Þ .Denderiverteervedkjerneregelen f 0ðx Þ¼ h
Herer h0ðuÞ¼ 1=ð2 up Þ denderiverteavdenytrefunksjonen f ðuÞ¼ up ,og u 0 ¼ 2x erdenderiverteavkjernen uðx Þ¼ x 2 þ 1.Viharsattinn u ¼ x 2 þ 1 foråuttrykkedenderivertevedhjelpavvariabelen x
Mangefunksjonerkanvibetraktesomsammensattefunksjonerpåen naturligmåte.Eksemplerpådetteerfunksjonene x 2 1 3 p , ðx þ 1Þ3 og1=ðx 2Þ2 . Sjekkdetteselvvedåfinnedennaturligekjernen u ¼ uðx Þ ihverttilfelle.
Endelsammensattefunksjonerkanskrivesomslikatvikanderiveredem utenåbrukekjerneregelen.Foreksempeler f ðx Þ¼ðx
ogvikanderiveredetteuttrykketleddforledd.Dettegir f 0ðx Þ¼ 3x 2 þ 6x þ 3. Tilsvarendekanviskrive
Deterimidlertidikkealltidmuligåskriveomsammensattefunksjonerpå dennemåten,såiendeltilfellerkanviikkeunngååbrukekjerneregelen.
Kjerneregelenersværtnyttigogbrukesofte,ogsåitilfellerderdensammensattefunksjonenkanskrivesom.Foreksempelerdetenklereåderivere f ðx Þ¼ðx þ 1Þ3 vedhjelpavkjerneregelenennåmultiplisereutsomvi gjordeovenfor.Medkjerne u ¼ x þ 1girkjerneregelen f 0ðx Þ¼ 3ðx þ 1Þ
Herer hðuÞ¼ u3 denytrefunksjonen,med h0ðuÞ¼ 3u2 ,ogkjernen uðx Þ¼ x þ 1 harderivert u 0ðx Þ¼ 1.Sjekkselvatdettegirsammesvarsomovenfor.
Envanligfeileråglemmeåmultipliseremeddenderiverteavkjernennår manderiverer.Foreksempelerdenderivertetil f ðx Þ¼ð1 2x Þ5 ikkelik
5ð1 2x Þ4 ,men5ð1 2x Þ4 ð 2Þ¼ 10ð1 2x Þ4 ,siden u 0 ¼ð1 2x Þ0 ¼ 2.
0
ð
0ð
1 2 uðx Þ p 2x ¼ 1 2 x 2 þ 1 p 2x ¼ x
u
x Þ u
x Þ¼
x 2 þ 1 p
1Þ3 ¼ x 3 þ 3
2 þ 3x þ 1,
1 ðx 2Þ2 !0 ¼ 1 x 2 4x þ 4 0 ¼ 0 ðx 2 4x þ 4Þ 1 ð2x 4Þ ðx 2 4x þ 4Þ2 ¼ ð
Þ ðx 2 4x þ
Þ
þ
x
2x 4
4
2
2 1 ¼ 3ðx þ 1Þ2
161 DERIVASJON 4