Matematikk 10 fra Cappelen Damm Grunnbok utdrag

MATEMATIKK 10 fra CAPPELEN DAMM Grunnbok

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Bokmål

Fotografier: Unsplash: Laura Cleffmann s. 27, CHUTTERSNAP s. 37, Joe Ciciarelli s. 75, Joel Fulgencio s. 79, kilarov zaneit s. 84, Jon Tyson s. 85, Tobias Tullios s. 86, Daniel Sessler s. 87, freestocks s. 118, Precious Madubuike s. 121, Rod Long s. 124, Kirk Thornton s. 139, SpaceX s. 146 og s. 150, Milo Weiler s. 158, Jarand K. Løkeland s. 165, Fusion Medical Animation s. 166, Isaac Smith s. 173, Daniel Moqvist s. 176, Thomas Millot s. 183, Harley-Davidson s. 195, Jörg Angeli s. 213, Joe Caione s. 229, Peter Moers s. 277, Chris Curry s. 285, Julie Ricard s. 289.

Getty Images/iStock: Elena_Danilenko s. 51, wattanaphob s. 54, Katerinasergeevna s. 71, Givaga s. 76, Kasia2003 s. 81, Vchal s. 83, Shaunl s. 105, Amriphoto s. 113, Westend61 s. 127, Cristian_Kirshbom s. 130, Rpeters86 s. 140, Dmytro Varavin s. 157, Yana Tatevosian s. 171, Felipe Dupouy s. 185, Yuri De Mesquita Bar s. 197, Anawat_s s. 219, Kertu_ee s. 224, Bernie Photo s. 235, Simpson33 s. 243, Bhofack2 s. 250, Silverjohn s. 254, SAKDAWUT14 s. 257, ferrantraite s. 258, SeppFriedhuber s. 262, Vladimir Mladenovic s. 265, chokchaipoomichaiya s. 287, oonal s. 288.

ESL/A. Sznajder: s. 69.

NTB/Shutterstock/1684861: s. 133.

NTB/Håkon Mosvold Larsen: s. 263. © CAPPELEN DAMM AS, Oslo 2021 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Matematikk 10 Grunnbok fra Cappelen Damm er lagd til fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens ungdomstrinn.

Illustrasjoner: Maciej Sidorowicz Design: Bøk Oslo AS Omslagsdesign: Tank Design AS / Maciej Sidorowicz Sats og teknisk illustrasjon: AiT Bjerch AS, Arnvid Moholt Forlagsredaktør: Asbjørn Hageli Bilderedaktør: Asbjørn Hageli Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia, 2021 Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-56134-5 www.skolen.cdu.no Dette er en TROY®-innbundet bok. En TROY®-innbundet bok har forsterket omslag. Tester viser at denne innbindingen tåler vesentlig hardere bruk over tid sammenliknet med bøker uten denne forsterkningen. TROY® er et registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS.

Hei til deg som skal bruke Matematikk 10!

Dette er Matematikk 10 grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok hvor du kan trene mer på de ulike emnene i grunnboka.

Her ser du Arkimedes og Platon, som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet.

Gjennom hele boka vil du finne noen fellesoppgaver som er merket med symbolene og

.

Dette er spørsmål som stilles til deg som elev, eller til klassen, og er spørsmål som bør diskuteres.

Hvert kapittel i grunnboka består av tre deler: Lærestoff og oppgaver Underveisvurdering

Det er lov å hoppe mellom vanskelighetsgradene dersom du synes oppgavene blir for lette eller for vanskelige.

Oppgave til tverrfaglig tema Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av regneark og GeoGebra.

Noen av oppgavene i grunnboka og alle oppgaver i oppgaveboka er merket med disse symbolene: Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære!

Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!

Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innhold

4

1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Funksjoner og grafer . . . . . . 88

Algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . . 8 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . 9 Forkorting . . . . . . . . . . . . . . . 12 Sammentrekking av uttrykk med parenteser. . . . . . . . . . . 15 Sammentrekking av brøkuttrykk . . . . . . . . . . . . . . 18 Multiplikasjon av polynom. . . . . . 22 Kvadratsetningene . . . . . . . . . . . 30 Første kvadratsetning . . . . . . 31 Andre kvadratsetning . . . . . . 32 Tredje kvadratsetning . . . . . . 33 Å løse likninger. . . . . . . . . . . . . . 38 Kvadratiske likninger . . . . . . . 43 Proporsjoner . . . . . . . . . . . . . 50 Likninger med flere brøker . . 56 Likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Grafisk løsing av likningssett . 66 Utforskning og problemløsing . . . 72

Funksjon og graf. . . . . . . . . . . . . 90 Koordinatsystem . . . . . . . . . . 91 Sammenhengen mellom funksjon og graf . . . . . . . . . . 95 Tegne lineære grafer . . . . . . . 99 Stigningstall . . . . . . . . . . . . 102 Konstantledd . . . . . . . . . . . . 106 Lineære funksjoner . . . . . . . . . . 110 Grafen til lineære funksjoner 114 Brøkfunksjoner . . . . . . . . . . . . . 122 Grafen til brøkfunksjoner . . . 126 Andregradsfunksjoner . . . . . . . . 134 Grafen til andregradsfunksjoner . . . . . 140 Ekstremalpunkt . . . . . . . . . . 147 Eksponentialfunksjoner . . . . . . . 152 Eksponentiell vekst . . . . . . . 157 Matematiske modeller . . . . . . . . 162 Regresjonsanalyse . . . . . . . . 172

Underveisvurdering 1 . . . . . . . . . 80 Tverrfaglig oppgave 1 . . . . . . . . . 84

Underveisvurdering 2 . . . . . . . . 179 Tverrfaglig oppgave 3 . . . . . . . . 184

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

3 Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Kjøp og salg . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosentvis endring . . . . . . . .

Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . Å finne prosenten . . . . . . . . .

Avgift på varer . . . . . . . . . . . . . .

Merverdiavgift . . . . . . . . . . . .

Toll og merverdiavgift på varer fra utlandet . . . . . . . . . Å finne merverdiavgiften . . . .

Sparing og lån . . . . . . . . . . . . . .

Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Serielån. . . . . . . . . . . . . . . . .

Kredittkort . . . . . . . . . . . . . .

Bruk av graftegner . . . . . . . .

Inntekter og utgifter . . . . . . . . . .

Lønn og skatt . . . . . . . . . . . .

Utgifter . . . . . . . . . . . . . . . . .

Budsjett og regnskap . . . . . .

Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Utforskende arbeid . . . . . . 266

188 189 194 198 203 204

Arbeid med matematikk . . . . . .

Moped og sertifikat . . . . . . .

Bolig og økonomi . . . . . . . .

Jorda og beregninger . . . . .

Kryptering . . . . . . . . . . . . . .

Ulike tallsystem . . . . . . . . . .

205 210 214 215 220 225 230 234 240 241 245 250 253

Tverrfaglig oppgave 4 . . . . . . . . 286

Underveisvurdering 3 . . . . . . . . . 259 Tverrfaglig oppgave 3 . . . . . . . . . 262

268 269 272 276 280 282

Manual for digitale verktøy . . 290 Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Kapittel Kapittel Kapittel Kapittel

1 2 3 4

................. ................. ................. .................

300 308 323 333

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

5

1

Algebra

MÅL

BEGREPER

I dette emnet skal du få lære om . regning med ulike algebraiske uttrykk . faktorisering av ulike algebraiske uttrykk . faktorisering og forkorting . kvadratsetningene . likninger, proporsjoner og likningssett . utforskning og problemløsing

. . . . . . .

faktorisering forkorting kvadratisk likning kvadratsetningene likningssett proporsjon grafisk løsing

Kan flere ha regnet riktig, eller er det bare ett riktig svar?

Algebraiske uttrykk Et algebraisk uttrykk inneholder variabler, eller variabler og tall. De regnereglene vi bruker for tall, gjelder også for regning med variabler.

Når vi regner med uttrykk som inneholder flere regnearter, regner vi alltid i denne rekkefølgen: 1) potenser, kvadratrøtter og parenteser 2) multiplikasjon og divisjon 3) addisjon og subtraksjon

8

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Faktorisering Tall og algebraiske uttrykk kan ofte faktoriseres. Faktorisering er et nyttig verktøy å bruke når vi skal forenkle, finne fellesnevner eller forkorte uttrykk som inneholder brøker. Når vi faktoriserer, skriver vi uttrykket som en multiplikasjon av ulike faktorer. Hvis alle faktorene er primtall, kaller vi det primtallsfaktorisering.

Naturlige tall som ikke er primtall, kaller vi for sammensatte tall.

Slike tall kan vi faktorisere og skrive som et produkt av primtall på denne måten: 6 ¼2 3 24 ¼ 2 2 2 3 42 ¼ 2 3 7 På samme måte som vi faktoriserer tall, kan vi også faktorisere algebraiske uttrykk. Slike uttrykk kan vi skrive som et produkt av primtall og variabler på denne måten: 6xy ¼ 2 3 x y 24a2 b ¼ 2 2 2 3 a a b 42x2 ¼ 2 3 7 x x

Forklar forskjellen på partall, oddetall, primtall og sammensatte tall.

1 ALGEBRA

9

Vi kan også benytte oss av faktorisering når vi har uttrykk med flere ledd. Uttrykket 5x 4x2 er et uttrykk der begge leddene har x som felles faktor. Dette ser vi om vi faktoriserer leddene hver for seg.

5x 4x2 ¼ 5 x 2 2 x x Den felles faktoren x kan vi da sette utenfor en parentes, og da kan vi skrive uttrykket slik: 5 x 2 2 x x ¼ xð5 4xÞ Uttrykket 5x 4x2 kan altså faktoriseres til xð5 4xÞ.

Vi kan kontrollere om vi har faktorisert riktig, ved å multiplisere x inn i parentesuttrykket. xð5 4xÞ ¼ x 5 x 4x ¼ 5x 4x2 Vi ser at de to uttrykkene 5x 4x2 og xð5 4xÞ er likeverdige.

EKSEMPEL 1.1 Faktoriser uttrykkene. a) 30x2 y b) 4x2 10x Løsning

a) 30x2 y ¼ 2 3 5 x x y b) 4x2 10x ¼2 2 x x 2 5 x ¼ 2xð2x 5Þ

10

2x er felles faktorer ktorer i begge ledd.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.1

Skriv som produkt av primtall. a) 8 c) 42 b) 36 d) 210

1.2

Faktoriser uttrykkene.

1.3

1.4

a) 10xy

c) 24ab3

b) 15ab

d) 32xy2

a) 24x2 y2

c) 81a2 b2

b) 45x3 y

d) 120xy2 z

a) 100x2

c) 200a2 b3 c2

b) 124x3 y3

d) 720x3 y

Faktoriser uttrykkene. a) 12x2 y

b) 25a2 b

c) 45a2

a) 51a3 b

b) 12x2 y

c) 4x 6

a) 91x2 y3

b) 4x2 32x

c) 8a3 þ 16a2

Regn ut parentesuttrykkene. a) 2ðx þ 2Þ b) 3xðx 2Þ

c) 2að3 þ 2aÞ

1.5

Faktoriser uttrykkene og sammenlikn svarene med oppgave 1.4.

Hva oppdager du? a) 2x þ 4 b) 3x2 6x c) 4a2 þ 6a

1.6

Faktoriser uttrykkene. a) 2x þ 4

b) 5a þ 15

c) 4x2 8x

a) 3x þ 6

b) 15a þ 3a2

c) 25x2 5x

a) x x2

b) 4x3 8x2 þ 2x

c) 8a3 þ 8a2 8a

1 ALGEBRA

11

Forkorting Når vi forkorter brøker, dividerer vi teller og nevner med samme tall, variabel eller variabeluttrykk. Det er ofte lettere å se hva vi kan forkorte med, hvis vi faktoriserer teller og nevner. I Matematikk 8 lærte du om forkorting av brøker ved å dividere teller og nevner med samme tall, slik: 10 10 : 10 1 ¼ ¼ 20 20 : 10 2 Forkortingen ovenfor kan også gjøres ved hjelp av faktorisering, slik: 10 2 5 1 6 2 6 5 1 ¼ ¼ ¼ 20 2 2 5 2 6 2 6 5 2 Vi kan forkorte alle brøker hvor faktorene i teller og nevner er like, og faktorene kan da være både tall og variabler. Eksempler på slike forkortinger er: 30x 2 3 5 x 6 2 6 3 5 6 x 5 ¼ ¼ ¼ 42x 2 3 7 x 6 2 6 3 7 6 x 7 6xy 2 3 x y 6 2 3 x 6 y 3x ¼ ¼ ¼ 2 8y 2 2 2 y y 6 2 2 2 6 y y 4y Husk at faktorenes orden er likegyldig!

12

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Det betyr at 2xx = 2 · x = x · 2

Hvis brøken har flere ledd, bør vi først finne felles faktorer for leddene og sette dem utenfor et parentesuttrykk før vi forkorter: 12x 2x2 2 2 3 x 2 x x ¼ 2 8x þ 6x 2 2 2 x xþ2 3 x 2xð6 xÞ ¼ 2xð4x þ 3Þ 6 x ¼ 4x þ 3

2x er felles faktor for begge ledd.

Fordi 2x er felles faktor for begge leddene i nevneren og begge leddene i telleren, kan vi sette 2x utenfor et parentesuttrykk og forkorte brøken med 2x.

EKSEMPEL 1.2 Forkort uttrykkene så mye som mulig.

18 a) 24 4x2 b) 6xy 3x 6 c) 5x2 10x Løsning

a)

18 3 6 3 6 6 3 ¼ ¼ ¼ 24 4 6 4 6 6 4

b)

4x2 2 2 x x 6 2 2 6 x x 2x ¼ ¼ ¼ 6xy 2 3 x y 6 2 3 6 x y 3y

c)

3x 6 3 x 2 3 ¼ 5x2 10x 5 x x 2 5 x 3ðx 2Þ ¼ 5xðx 2Þ 3 ðx 2Þ ¼ 5x ðx 2Þ 3 ¼ 5x

Vi forkorter brøken med 6: Vi forkorter brøken med 2 og x:

Vi forkorter brøken med ðx 2Þ:

1 ALGEBRA

13

OPPGAVER 1.7

1.8

1.9

Forkort brøkene så mye som mulig.

5 40 6 a) b) c) 10 4 24 Forkort brøkene så mye som mulig.

2x 4a 6a2 b) c) a) 12a 4 4

d)

12 36

d)

4x3 18x

Forkort brøkene så mye som mulig.

5x a) 10 b)

8a 12

d)

4a2 2a

a)

4x2 6xy

c)

14a2 b2 21ab

b)

2xy2 2xy

d)

2x þ 4 xþ2

c)

10a 15 8a 12

d)

4x 8 8x2 16x

15ab3 a) 20a2 b b)

12x2 þ 6x 4x2 þ 2x

Husk at 2x = 1!

2x

2x c) 2x

1.10 Forkort brøkene så mye som mulig.

14

a)

2x 4x

b)

4a 12a

c)

2a2 b 4ab

a)

4x þ 4 6x þ 2

b)

3x2 x 6x2 x

c)

ðx þ 3Þðx 3Þ 2x þ 6

a)

að3a 2Þ 6a2 4a

b)

12x2 þ 6x 5 þ 10x

c)

x2 þ 8x þ 16 ðx þ 4Þðx þ 4Þ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Sammentrekking av uttrykk med parenteser Når vi regner med algebraiske uttrykk med parenteser, bruker vi de samme regnereglene som gjelder for regning med tall. Når vi skal multiplisere et uttrykk eller et tall med en parentes som inneholder flere ledd, multipliserer vi uttrykket eller tallet med hvert av leddene inne i parentesen.

Dette kan vi vise ved hjelp av to arealtegninger.

Her er sidene 4 og 4 þ 6 lange.

4

Her er sidene x og x þ 6 lange.

6

x

6

4

x

Vi finner arealet slik:

Vi finner arealet slik:

1

2

4ð4 þ 6Þ ¼ ð4 4 þ 4 6Þ ¼ ð16 þ 24Þ ¼ 40

2

1

Vi multipliserer 4 med hvert av leddene inne i parentesen.

xðx þ 6Þ ¼ x x þ x 6Þ ¼ ðx þ 6xÞ 2

¼ x þ 6x 2

Vi multipliserer x med hvert av leddene inne i parentesen.

Dette bruker vi når vi skal trekke sammen større sammensatte parentesuttrykk.

1 ALGEBRA

15

EKSEMPEL 1.3 Regn ut, og trekk sammen til så enkelt svar som mulig. a) 2ð3 yÞ þ 4y b) 2ðx 2Þ 3xð2x 4Þ Løsning

a) 2ð3 yÞ þ 4y ¼ ð2 3 2 yÞ þ 4y ¼ 6 2y þ 4y

Vi multipliserer 2 inn i parentesen.

¼ 6 þ 2y b) 2ðx 2Þ 3xð2x 4Þ ¼ ð2 x 2 2Þ ð3x 2x 3x 4Þ

¼ ð2x 4Þ 6x2 12x

Vi multipliserer 2 og 3x inn i parentesene.

Vi forandrer fortegn når vi løser opp parentesen

¼ 2x 4 6x þ 12x 2

¼ 6x2 þ 14x 4

med minus foran.

Når vi løser opp en parentes med negativt fortegn, bytter vi fortegnet til hvert ledd inne i parentesen.

Forklar hvorfor uttrykket 2xð2x þ 3Þ xðx 2Þ også kan skrives som xð3x þ 8Þ.

16

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.11 Lag først parentesuttrykk som viser arealet av figurene, og skriv etterpå uttrykkene så enkelt som mulig.

a)

b)

6

x + 10

x+4

6

1.12 Arealet A av et rektangel er A ¼ l b. Bruk formelen til å finne et uttrykk for arealet A av rektanglet når a) l ¼ 2 og b ¼ x þ 4 b) l ¼ 8 og b ¼ a þ 10 c) l ¼ x og b ¼ x 4 d) l ¼ 6 þ 5x og b ¼ 2x 1.13 Regn ut, og trekk sammen til så enkelt svar som mulig. a) 2ðx þ 2Þ þ 3x b) 2ð2x 1Þ 2x c) 4a þ 2ða 4Þ 1.14 Regn ut, og trekk sammen til så enkelt svar som mulig. a) 3ð3 þ xÞ

b) 4xðx 4Þ

a) 2ða bÞ þ 3ða þ 2bÞ

b) aða þ bÞ að a þ bÞ

a) 3ðx 2yÞ 2ðx yÞ

b) xðx yÞ xð x yÞ 2x2

1.15 Regn ut, og trekk sammen til så enkelt svar som mulig. a) 8ða þ 2Þ b) 2ða þ 2bÞ þ 2b

c) 4xðx þ 2Þ 4x2 d) 2ð2x yÞ 2x þ 2y

a) 3ðx þ 2Þ þ 4ðx 2Þ c) 3ð2x 3Þ 9 þ 4x 2

b) 2xð 2x yÞ x 4xy d) ðx yÞ þ 2ðx yÞ a) 2xðx 4Þ xðx þ 4Þ b) að2a bÞ 3ð2b aÞ

c) 4að2a bÞ þ 4a2 2ab d) xð y 2xÞ yð 2x yÞ

1 ALGEBRA

17

Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøker med variabler på samme måte som vi trekker sammen brøker med tall. Før vi trekker sammen uttrykkene, må vi alltid sørge for at brøkene har en fellesnevner. Vi kan finne fellesnevneren ved å multiplisere nevnerne med hverandre, eller ved hjelp av utviding eller forkorting.

5x 2 þ er nevnerne 12x og 4. Hvis vi multipliserer 12x 4 12x med 4, får vi 48x.

Det betyr at én fellesnevner kan være 48x.

I regnestykket

5x 2 þ 12x 4 5x 4 2 12x þ ¼ 12x 4 4 12x 20x 24x þ ¼ 48x 48x 44x ¼ 48x 11 6 4 6 x 11 ¼ ¼ 12 6 4 6 x 12

Vi utvider bøkene slik at fellesnevneren blir 48x.

Vi trekker sammen på én brøkstrek.

Vi faktoriserer og forkorter svaret.

Forklar hvordan vi kan kan finne andre fellesnevnere enn 48x i eksemplet ovenfor.

I større uttrykk bør vi analysere nevnerne hver for seg for å finne en fellesnevner. La oss undersøke uttrykket nedenfor. x 4 þ 3x þ 3 2x þ 2 Her er nevnerne 3x þ 3 og 2x þ 2.

Hvis vi faktoriserer hver av nevnerne, får vi disse uttrykkene: 3x þ 3 ¼ 3ðx þ 1Þ 2x þ 2 ¼ 2ðx þ 1Þ En fellesnevner må inneholde de faktorene vi finner når vi faktoriserer hver av nevnerne.

Fellesnevneren blir da 2 3 ðx þ 1Þ ¼ 6x þ 6.

Vi utvider den første brøken med 2 og den andre brøken med 3 for at nevnerne skal bli 6x þ 6: x 4 þ 3x þ 3 2x þ 2 x 2 4 3 þ ¼ ð3x þ 3Þ 2 ð2x þ 2Þ 3 2x 12 þ 6x þ 6 6x þ 6 2x þ 12 ¼ 6x þ 6

Vi utvider slik at brøkene får fellesnevner 6x þ 6.

¼

¼

6 2ðx þ 6Þ xþ6 ¼ 6 2ð3x þ 3Þ 3x þ 3

Vi trekker sammen på én brøkstrek.

Vi faktoriserer og forkorter svaret.

EKSEMPEL 1.4 Trekk sammen

6 1 9 þ og skriv svaret så enkelt som mulig.

3 2x 6x

Løsning

En fellesnevner er 6x, siden 6 1 9 þ 3 2x 6x 6 2x 1 3 9 þ

¼ 3 2x 2x 3 6x 12x 3 9 þ ¼ 6x 6x 6x 12x 6 ¼ 6x 6 6ð2x 1Þ 2x 1 ¼ ¼ 6 6ðxÞ x

6x er delelig med både 3 og 2x.

Vi utvider slik at brøkene får fellesnevner 6x: Vi trekker sammen på én brøkstrek.

Vi faktoriserer og forkorter svaret.

EKSEMPEL 1.5 Trekk sammen

2x 5x þ og skriv svaret så enkelt som mulig.

3x 5x2

Løsning

En fellesnevner er 15x2 , siden 2x 5x þ 3x 5x2 2x 5x 5x 3 þ ¼ 3x 5x 5x2 3 10x2 15x þ ¼ 15x2 15x2 10x2 þ 15x ¼ 15x2 5xð2x þ 3Þ 2x þ 3 ¼ ¼ 3x 5xð3xÞ

20

15x2 er delelig med både 3x og 5x2 .

Vi utvider brøkene slik at fellesnevneren blir 15x2 : Vi trekker sammen på én brøkstrek.

Vi faktoriserer og forkorter svaret.

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.16 Forkort brøkene så mye som mulig.

12 4x 4x2 a) b) c) 6xy 18 12

d)

2a þ 4 2

1.17 Trekk sammen og skriv svaret så enkelt som mulig.

2 1 2x 4x 3x 3x 2x x b) þ c)

d) þ a) þ 3 9 3 9 5 10 9 6 1.18 Trekk sammen og skriv svaret så enkelt som mulig. a)

1a 5a þ 6 6

b)

x 2x þ 2 4

c)

2a 2a

4 3

a)

2a 4a þ 5 2

b)

3a 4a 5a þ 4 9 6

c)

2 3 þ x 4x

a)

2 1

3x 6x

b)

1 3 1 þ 3a 4a 6a

c)

3x x 22xx þ þ x 1 x 1 x 1

1.19 Trekk sammen og skriv svaret så enkelt som mulig. a)

2 2 þ x 3x

b)

1 2

x 4x

c)

x 2x þ 2x 8x

a)

3 3 þ 8a 2a

b)

2a 4a a þ þ 5 3 10

c)

2 3 5 þ 3a 2a 6a

a)

2 2 þ 4x 16 3x 12

b)

a þ 1 2a þ 2 þ 2a þ 2 3a þ 3

c)

3 x 1 1 þ

3x 3 2x 2 x 1

1 ALGEBRA

21

Hvordan kan dere vise arealet av figuren ved hjelp av et algebraisk uttrykk?

Multiplikasjon av polynom Arealet av figurer kan vi vise ved hjelp av algebraiske uttrykk med flere ledd. Vi kaller disse uttrykkene for et polynom.

Figuren er satt sammen av rektangler med sidelengder a, b, c og d.

Vi tegner de fire rektanglene hver for seg. Arealet av figuren kan da regnes ut ved å summere arealet av de fire delene. a

b c

a·c

b·c a·d

b·d

d

Arealet av hele figuren blir da en sum som er et polynom med fire ledd: a c þ a d þ b c þ b d ¼ ac þ ad þ bc þ bd

22

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

(a + b)

(c + d)

Siden lengden av de to sidene i figuren kan uttrykkes ved hjelp av ða þ bÞ og ðc þ dÞ, kan arealet også regnes ut ved hjelp av uttrykket ða þ bÞ ðc þ dÞ. Det betyr at vi får denne sammenhengen: ða þ bÞ ðc þ dÞ ¼ ac þ ad þ bc þ bd Denne utregningen kan vi vise slik: 2

1

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

4

1 ALGEBRA

23

EKSEMPEL 1.6 a

3+a

a

a) Lag et uttrykk som viser arealet A av figuren. b) Regn ut uttrykket og skriv svaret så enkelt som mulig.

Løsning

a) Figuren har sidene ða þ 3 þ aÞ og a.

A ¼ ða þ 3 þ aÞ a b) A ¼ ða þ 3 þ aÞ a ¼ ð2a þ 3Þ a ¼ 2a2 þ 3a

Polynom betyr flere ledd.

Monom betyr ett ledd.

24

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.7 x

8 x

5

a) Lag et uttrykk som viser arealet A av figuren. b) Regn ut uttrykket og skriv svaret så enkelt som mulig.

Løsning

a) Figuren har sidene x þ 8 og x þ 5.

A ¼ ðx þ 8Þ ðx þ 5Þ b) A ¼ ðx þ 8Þ ðx þ 5Þ ¼x xþx 5þ8 xþ8 5 ¼ x2 þ 5x þ 8x þ 40

2

1

(x + 8) · (x + 5) 3

4

¼ x2 þ 13x þ 40

Hva blir omkretsen og arealet av figuren i eksemplet ovenfor hvis x ¼ 4?

1 ALGEBRA

25

OPPGAVER 1.20 Regn ut arealet av rektanglene.

a)

b)

(4 + 4) cm

(4 + 3) cm

(2 + 3) cm

(2 + 3) cm

1.21 Se på figuren når du svarer på oppgaven. x

10 x

4

a) Lag et uttrykk som viser arealet A av figuren. b) Regn ut uttrykket og skriv svaret så enkelt som mulig. c) Bruk uttrykket og regn ut arealet av figuren når x ¼ 2.

1.22 Se på figuren når du svarer på oppgaven. Uttrykkene viser arealet av fargede områder. a2

a·b

a) Hvor lange er sidene i hele rektanglet uttrykt med a og b? b) Hva blir omkretsen av hele rektanglet uttrykt med a og b? c) Regn ut areal og omkretsen av hele rektanglet når a ¼ 5 cm og b ¼ 8 cm.

HUSK Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen 2

1

slik: (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

26

4

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.23 Figuren er et stort kvadrat som er delt inn i to rektangler og to kvadrater. Uttrykkene viser arealet av hver del av hele kvadratet.

22

2·3

3·2

32

a) Hva blir arealet av hele figuren? b) Hvor lange er sidene i hele figuren? c) Hva blir omkretsen av hele figuren?

1.24 Se på figuren når du løser oppgavene.

3x

8 x

2

a) Hva blir arealet av det gule rektanglet? b) Hva blir omkretsen av det gule rektanglet? c) Finn et uttrykk for omkretsen av det blå rektanglet. a) Finn et uttrykk for arealet av det sorte og grønne området. b) Uttrykk omkretsen av hele figuren ved hjelp av et parentesuttrykk. c) Bruk uttrykket og regn ut omkretsen av hele figuren når x ¼ 1. a) Finn ett uttrykk for omkretsen av hele figuren. b) Finn ett uttrykk for arealet av hele figuren. c) Bruk uttrykkene og regn ut omkretsen og arealet av hele figuren når x ¼ 1.

28

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.25 Lag et uttrykk som viser arealet av rektanglene.

a)

c)

x+2

3x – 4 x–2

x+1

b)

d)

x+2

2x + 5

x–3

x–2

1.26 Sett inn x ¼ 6 cm og regn ut arealet av rektanglene i oppgave 1.25.

1.27 Regn ut og trekk sammen. a) 2ðx þ 2Þ b) aaðða þ 1Þ c) 2a 2aðða þ 2Þ a) ð2a þ 3Þ ða 1Þ b) ðx 3Þ ð2x þ 1Þ c) ð2x 1Þð3x 2Þ a) ð2x 4Þ ð2 xÞ b) ð4a þ 1Þða 1Þ 2a c) ðx þ 3Þ2 6x

1 ALGEBRA ALGE AL GEBR BRA BRA

29 2 9

Hvordan vil dere uttrykke arealet til de forskjellige figurene?

Kvadratsetningene Vi har tidligere i dette kapittelet sett på hvordan vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nå se hva resultatet blir i tre spesielle tilfeller. a

b

ac

bc

c

ad

bd

d

Generelt gjelder dette: 2

1

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

30

4

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Første kvadratsetning a+b a

b

ab

b2

b a+b

a2

ab

a

Figuren er et kvadrat med sider som er (a + b) lange.

Arealet av kvadratet er ða þ bÞða þ bÞ ¼ ða þ bÞ2 .

Vi regner ut dette slik: ða þ bÞða þ bÞ ¼a aþa bþb aþb b ¼ a2 þ ab þ ab þ b2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Det betyr at ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Vi kan også vise denne sammenhengen geometrisk ved å trekke sammen de fire delene i kvadratet slik:

(a + b)2

=

a2

+

ab

+

ab

+

b2

Dette gir oss første kvadratsetning: ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2

1 ALGEBRA

31

Andre kvadratsetning a a–b

b b2

b a

(a – b)2

a–b

Det store kvadratet har sider som er a lange. Kvadratets sider er delt i to med lengdene b og a b.

Arealet av det mørke kvadratet er ða bÞða bÞ ¼ ða bÞ2 .

Vi regner ut dette slik: ða bÞða bÞ ¼a a a b b aþb b ¼ a2 ab ba þ b2 ¼ a2 2ab þ b2 Det betyr at ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Vi kan også vise denne sammenhengen geometrisk ved å trekke sammen de fire delene i kvadratet ovenfor slik:

(a – b)2

=

a2

–

ab

–

ab

+

Dette gir oss andre kvadratsetning: ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Vis at utregningen ovenfor er riktig ved å sette inn a ¼ 5 og b ¼ 2 i likningen og regne ut ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 .

32

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

b2

Tredje kvadratsetning Tredje kvadratsetning kalles også konjugatsetningen og er ikke like lett å vise geometrisk. Vi skal multiplisere uttrykkene ða þ bÞ og ða bÞ.

Utregningen blir slik: ða þ bÞða bÞ ¼a a a bþb a b b ¼ a2 ab þ ba b2

Vi trekker sammen de

¼a b

to leddene i midten: ab þ ba ¼ ab þ ab ¼ 0

2

2

Dette gir oss tredje kvadratsetning: ða þ bÞða bÞ ¼ a2 b2 Vi kan altså faktorisere uttrykket a2 b2 slik: a2 b2 ¼ ða þ bÞða bÞ Denne metoden blir ofte brukt i forkorting av algebraiske uttrykk med brøk.

Vis ved hjelp av tredje kvadratsetning hvorfor uttrykket x2 16 kan skrives ðx þ 4Þðx 4Þ

HUSK De tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 Andre kvadratsetning: ða bÞ2 ¼ a2 2ab þ b2 Tredje kvadratsetning: ða þ bÞða bÞ ¼ a2 b2

1 ALGEBRA

33

EKSEMPEL 1.8

a) ðx þ 3Þ2 b) ða 5Þ2 c) ðx þ 2Þðx 2Þ Løsning

a) ðx þ 3Þ2 ¼ x2 þ 2 x 3 þ 32 ¼ x2 þ 6x þ 9 b) ða 5Þ2 ¼ a2 2 a 5 þ 52 ¼ a2 10a þ 25 c) ðx þ 2Þðx 2Þ ¼ x2 22 ¼ x2 4

HUSK Den kommutative lov gjelder ved multiplikasjon. Det betyr at a b ¼ b a.

34

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.9 Faktoriser uttrykkene. a) a2 25 b) 2x2 8 Løsning

a) a2 25 ¼ a2 52 ¼ ða þ 5Þða 5Þ b) 2x2 8 ¼ 2ðx2 4Þ ¼ 2ðx2 22 Þ ¼ 2ðx þ 2Þðx 2Þ

OPPGAVER 1.28 Regn ut arealet av kvadratene på to forskjellige måter.

a)

b)

(4 + 2) cm

(8 – 2) cm

(4 + 2) cm

(8 – 2) cm

1.29 Finn et uttrykk for arealet av kvadratene.

a)

b)

(x + 3) cm (x + 3) cm

(a – 5) cm (a – 5) cm

1 ALGEBRA

35

1.30 Bruk tredje kvadratsetning til å faktorisere og forkorte uttrykkene. a) x2 82

b) x2 49

c) a2 100

a)

ðx2 42 Þ ðx þ 4Þðx 4Þ

b)

ðx 4Þðx þ 4Þ 2x2 32

c)

3x2 27 3x þ 9

a)

27 þ 3x2 3x þ 9

b)

2x2 50 20 þ 4x

c)

x2 þ 7x 2x2 98

1.31 Regn ut og trekk sammen. a) ða þ 2Þ2

b) ða þ 3Þ2

c) ðx þ 4Þðx 4Þ

1.32 Figuren viser et kvadrat som er delt opp i to kongruente rektangler og to mindre kvadrater. ?

?

x2

8x

?

8x

64

?

a) Hva blir arealet av det minste kvadratet hvis x ¼ 6? b) Hva blir omkretsen av det minste kvadratet hvis x ¼ 6? a) Hvor lange er sidene i det nederste kvadratet? b) Hva blir arealet av ett rektangel hvis x ¼ 6? a) Finn et uttrykk for omkretsen av hele figuren. b) Finn to uttrykk for arealet av hele figuren.

1.33 Regn ut og trekk sammen.

36

a) ðx þ 2Þ2

b) ðx 2Þ2

c) ðx þ 2Þðx 2Þ

a) ð3a þ 1Þ2

b) ð5x 2Þ2

c) ð3a þ 2Þð3a 2Þ

a) ð2x þ 2Þ2 4

b) ðx 1Þ2 2x

c) ða þ 4Þ2 2ða 2Þ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Hva vil det si at en likning har en ukjent?

Å løse likninger En likning forteller oss at to uttrykk er like. Det vil si at verdien av venstre side av likhetstegnet er lik verdien av høyre side. Å løse en likning vil si å finne verdien av en ukjent variabel i likningen slik at den fortsatt er i balanse. Når vi skal løse en likning, har vi to operasjoner vi kan utføre for å hjelpe oss å finne den ukjente.

38

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Addisjon og subtraksjon Vi kan addere eller subtrahere med samme tall eller variabel på begge sider av likhetstegnet.

3x 3 ¼ 2x þ 12 3x 3 þ 3 ¼ 2x þ 12 þ 3 3x ¼ 2x þ 15 3x 2x ¼ 2x 2x þ 15 x ¼ 15

Vi legger til 3 på begge sider.

Vi trekker fra 2x på begge sider.

Multiplikasjon og subtraksjon Vi kan multiplisere eller dividere alle ledd med samme tall eller variabel. Husk at ledd skilles med symbolene: þ, og ¼.

20 ¼5 x 20 6 x ¼5 x 6x 20 ¼ 5x 20 6 5x ¼ 5 65 4¼x x¼4

Vi multipliserer alle ledd med x og forkorter.

Vi dividerer alle ledd med 5 og forkorter.

Når vi skal løse likninger, må vi noen ganger bruke begge metodene ovenfor. Det er ofte smart å begynne med å samle variabler på den ene siden av likhetstegnet og tall på den andre. Hvis likningene inneholder parentesuttrykk, bør vi først løse opp parentesene.

Hva skjer hvis vi multipliserer eller dividerer alle ledd i en likning med 1 eller þ1?

1 ALGEBRA

39

EKSEMPEL 1.10 Løs likningene. a) 5x ¼ 4x 12 b) 3ðx 5Þ ¼ 2ðx 1Þ Løsning

a)

5x ¼ 4x 12 5x 4x ¼ 4x 4x 12

Vi trekker fra 4x på begge sider.

x ¼ 12 b)

3ðx 5Þ ¼ 2ðx 1Þ 3x 15 ¼ 2x 2 3x 15 þ 15 ¼ 2x 2 þ 15 3x ¼ 2x þ 13 3x 2x ¼ 2x 2x þ 13

Vi løser opp parentesene.

Vi legger til 15 på begge sider.

Vi trekker fra 2x på begge sider.

x ¼ 13

Begrunn hvorfor en av likningene ikke passer inn.

2x ¼ 12

40

xþ2¼8

x 4¼2

x ¼ 3x 6

EKSEMPEL 1.11 x Løs likningen 2x ¼ 5 þ .

3 Løsning

2x ¼ 5 þ

x 3

2x 3 ¼ 5 3 þ

x 6 3 63

6x ¼ 15 þ x 6x x ¼ 15 þ x x 6 5x 15 ¼ 65 5 x¼3

Vi multipliserer alle ledd med 3 og forkorter.

Vi trekker fra x på begge sider.

Vi dividerer alle ledd med 5 og forkorter.

HUSK Husk at du alltid kan sette prøve på en likning for å kontrollere om likningen er i balanse. Det vil si at du undersøker om løsningen på likningen er riktig.

41

OPPGAVER 1.34 Løs likningene. a) x þ 10 ¼ 15

b) 12 ¼ 15 þ x

c) 3x ¼ 2x þ 3

1.35 Løs likningene. a) x þ 29 ¼ 12 b) x þ 10 ¼ 2x c) 3x þ 4 ¼ 2x 8 a) 5x þ 2 ¼ 4x þ 8 b) 3x 2 ¼ 2x þ 5 c) 5x 1 ¼ 5 þ 3x a) 2x 8 ¼ 3x 2 b) 12 þ 7 ¼ 3x þ 8 x c) 8 þ 3x ¼ 2x 2 1.36 Løs likningene. a) 5x ¼ 40 a) 8x ¼ 160 a)

3x ¼5 7 5

x ¼7 4 x b) ¼ 2 5 3x b) 8 þ ¼ 14 4 b)

x 3 x c) 2 þ ¼ 10 3 x c) 5 ¼ 9 3 c) 8 ¼

1.37 Løs likningene.

42

a) x ¼ 3ð2 þ 2Þ b) 3 ¼ 1ðx 4Þ

c) xð5 3Þ ¼ 40 d) 2ðx 3Þ ¼ 4

a)3x þ ðx 4Þ ¼ 8 b) 2ð3x 3Þ ¼ 12

c) 4ðx þ 2Þ ¼ 4 þ 3x d) 2xð2 1Þ ¼ 8 þ x

a) 4x 11 ¼ 3ð3x 2Þ b) 2ðx 1Þ ¼ 3ðx þ 3Þ

c) 31x ¼ 2ð15x þ 8Þ d) 2ð3 xÞ ¼ 2x 3ðx 9Þ

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Kvadratiske likninger Arealet A av et kvadrat med sider s er A ¼ s2 . Hvis vi vet hvor stort arealet A er, kan vi finne s ved å regne ut kvadratroten av A slik: pffiffiffiffi s¼ A Det betyr at vi kan finne sidene i et kvadrat dersom vi vet arealet av kvadratet.

A = 25 A = 36

A = 16 A=9 A=4

Likninger ger som inneholder x2 , kaller vi for kvadratiske likninger eller radslikninger. andregradslikninger.

1 ALGEBRA

43

Figuren til høyre består av et kvadrat og et rektangel. Arealet av de to firkantene er til sammen 59 cm2 . Når vi kjenner arealet, kan vi ved hjelp av en likning finne sidelengden x cm i kvadratet.

2 cm

5 cm x cm

Vi får likningen x x þ 2 5 ¼ 59 og løser den slik: x x þ 2 5 ¼ 59 x2 þ 10 ¼ 59 x2 þ 10 10 ¼ 59 10 x ¼ 49 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x2 ¼ 49 x¼7

Vi trekker fra 10 på begge sider.

2

Vi finner kvadratroten på begge sider.

Altså er sidelengden i kvadratet 7 cm.

Vi kan kontrollere svaret ved å sette x ¼ 7 inn i likningen og se om den fortsatt er i balanse. x x þ 2 5 ¼ 59 7 7 þ 2 5 ¼ 59 49 þ 10 ¼ 59 59 ¼ 59 tre side er lik Vi ser at verdien av venstre verdien av høyre side. Daa er x ¼ 7 en. riktig løsning på likningen.

44

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.12 Figuren er satt sammen av små kongruente kvadrater.

Omkretsen av hele figuren er 36 cm.

a) Kall lengden av sidene i de små kvadratene for x cm og sett opp et uttrykk som viser omkretsen av hele figuren. b) Hva er arealet av hele figuren?

Løsning

a) Omkretsen av figuren har til sammen 12 små kvadratsider.

Lengden av hver av dem er x. Vi får da uttrykket: 12x b) Siden omkretsen er 36 cm, kan vi sette opp en likning og finne x.

12x ¼ 36 12x 36 ¼ 12 12 x¼3

Vi dividerer alle ledd med 12 og forkorter.

Vi finner arealet A av hele figuren, som består av 6 kongruente kvadrater.

A ¼ s2 6 ¼ 3 cm 3 cm 6 ¼ 54 cm2

1 ALGEBRA

45

EKSEMPEL 1.13 Figuren er satt sammen av fem kongruente kvadrater. Arealet av hele figuren er 45 cm2 .

a) Hva blir arealet av et lite kvadrat? b) Hvor lange er sidene i de små kvadratene?

Løsning

a) Figuren består av 5 kvadrater som er like store. Arealet av ett kvadrat blir: 45 cm2 ¼ 9 cm2 5 b) Arealet A av ett kvadrat med side s er 9 cm2 . Da kan vi finne s slik: s2 ¼ 9 pffiffiffiffi pffiffiffi s2 ¼ 9 s¼3

Vi finner kvadratroten av begge sider av likhetstegnet.

Sidene er 3 cm lange.

46

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

OPPGAVER 1.38 Regn ut lengden av sidene i kvadratene. c)

a)

A = 56,25 cm2

A = 81 cm2

b)

d) A = 1,21 dm2 A = 0,04 m2

1.39 Figuren består av de tre kvadratene A, B og C. Forholdet mellom sidelengdene i de tre kvadratene er 1 : 2 : 4.

Arealet av kvadrat C er 256 cm2 .

8 cm

C B A

28 cm

a) b) c) d) e)

Regn ut arealet av det mellomste kvadratet.

Hvor lange er sidene i det største kvadratet?

Regn ut arealet av hele figuren.

Regn ut omkretsen av hele figuren.

Bruk Pytagoras-setningen og regn ut lengden av den stiplede linja.

1 ALGEBRA

47

1.40 Arealet av en håndballbane er 800 m2 der langsiden er dobbelt så lang som kortsiden.

a) Hvilken geometrisk form har en banehalvdel? b) Hvor lange er sidene til banen? c) Hvor lang er diagonalen som er tegnet inn som en stiplet linje?

1.41 André legger fyrstikker som vist på figuren slik at det dannes fire små kvadrater inne i et stort kvadrat. a) Regn ut omkretsen av et lite kvadrat hvis omkretsen av det store kvadratet er 16 cm. b) Hvor mange fyrstikker trenger han hvis han skal lage et stort kvadrat som består av 9 små kvadrater? a) Regn ut arealet av et lite kvadrat hvis arealet av det store kvadratet er 36 cm2 . b) Hvor mange fyrstikker trenger han hvis han skal lage et stort kvadrat som består av 16 små kvadrater? a) Hvor lange er sidene i de små kvadratene hvis diagonalen i det store kvadratet er 8,5 cm langt. b) Hvor mange fyrstikker trenger han hvis han skal lage 25 små kvadrater?

48

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.42 Figuren består en halvsirkel, et kvadrat og en rettvinklet, likebeint trekant. Radien i halvsirkelen er 5 cm.

r

Regn ut arealet av halvsirkelen.

Regn ut arealet av hele figuren.

Regn ut omkretsen av hele figuren.

1.43 Figuren består av et kvadrat med sider på 2x der en mindre kvadratisk del er fjernet. Delen som er fjernet, har sider som er x lange.

2x

Lag et uttrykk som viser omkretsen av figuren.

Lag et uttrykk som viser arealet av figuren.

Sett opp en likning og finn lengden av sidene til det opprinnelige kvadratet når arealet av figuren er 108 cm2 .

1 ALGEBRA

49

Proporsjoner En proporsjon sier at to forhold mellom størrelser er like store.

Dette kan vi bruke til å finne en ukjent størrelse.

I en oppskrift på kyllinggryte står det at vi skal bruke 500 g kyllingfilet til fire personer. Mengden av filet vi bruker, står i forhold til antall personer vi skal lage gryta til. Dette kan vi vise ved å sette opp en proporsjon som viser at forholdet mellom mengde kyllingfilet og antall personer er konstant.

Hvis vi bruker 500 g til fire personer, kan vi beskrive hvor mye vi må bruke til seks eller elleve personer, slik: 6 personer 500 x ¼ 4 6

11 personer x er antall gram kyllingfilet 500 x ¼ vi trenger.

4 11

Vi løser proporsjonene som en likning slik: 6 personer 500 x ¼ 4 6 500 6 x 6 6 ¼ 4 66 3000 ¼x 4 750 ¼ x

11 personer 500 x ¼ 4 11 500 11 x 11 ¼ 4 11 5500 ¼x 4 1375 ¼ x

Det betyr at vi trenger 750 g kyllingfilet til seks personer og 1375 g til elleve personer.

Vi kan også gå veien om én. Det betyr at vi finner ut hvor mye vi trenger til 1 person først.

500 g 500 g til 4 personer til 1 person: ¼ 125 g/person 4 personer Når vi vet at vi trenger 125 g til 1 person, kan vi multiplisere dette tallet med antall personer.

50

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.14 Regn ut den korteste siden BC i det minste rektanglet når rektanglene er formlike.

D

C

H

G

x cm 8 cm A

6 cm

B E

12 cm

F

Løsning Metode 1 Forholdet mellom samsvarende sider i formlike rektangler er konstant. Vi får da denne proporsjonen:

BC AB ¼ FG EF

x 6 ¼ 8 12

Vi løser som likning: x 6 ¼ 8 12 x 6 8 6 8 ¼ 68 12 48 x¼ 12 x¼4

Vi multipliserer alle ledd med 8 og forkorter.

Den korteste siden BC i det minste rektanglet er 4 cm.

52

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Metode 2 Forholdet mellom ensliggende sider i formlike rektangler er konstant. Vi kan da bruke forholdstallet fra det store rektanglet til å finne den ukjente siden i det lille.

Forholdet mellom EF og FG er: FG 8 cm 2 ¼ ¼ EF 12 cm 3 2 Da er forholdet mellom BC og AB også .

3 2 Vi multipliserer siden AB med forholdstallet .

3 2 12 6 ¼ ¼4 3 3 Den korteste siden BC i det minste rektanglet er 4 cm.

Undersøk hva som skjer dersom du multipliserer slik pilene viser: x 8 ¼ 6 12

HUSK Vi kan alltid bruke regning med proporsjoner når vi skal finne sider i formlike figurer.

1 ALGEBRA

53

OPPGAVER 1.44 En sementblanding består av 5 bøtter sement og 20 bøtter sand.

I en annen sementblanding med samme blandingsforhold er det 24 bøtter sand.

Sett opp en proporsjon og regn ut hvor mange bøtter sement det er i den andre blandingen.

1.45 Forholdet mellom de lengste og de korteste sidene i to formlike rektangler er likt.

6 cm 4 cm 9 cm

Sett opp en proporsjon og regn ut hvor lang den korteste siden i det minste rektanglet er.

1.46 Øivind kjører 140 km med en gjennomsnittsfart på 70 km/h.

Bente kjører med en gjennomsnittsfart på 60 km/h. Hun bruker like lang tid som Øivind.

Sett opp en proporsjon og regn ut hvor langt Bente kjører.

54

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.47 Regn ut x i proporsjonene. a)

x 50 ¼ 5 10

b)

x 90 ¼ 8 6

c)

250 x ¼ 10 12

a)

2800 x ¼ 100 8

b)

5 10 ¼ x 6

c)

12 2 ¼ x 3

a)

15 10 ¼ 6 x

b)

15 3 ¼ 10 x

c)

15 x ¼ 6 4

1.48 På en skole er forholdet mellom antall jenter og antall gutter 5 : 4. Det er 108 gutter på skolen.

Sett opp en proporsjon og regn ut hvor mange jenter det er på skolen.

1 ALGEBRA

55

Likninger med flere brøker Når vi skal løse likninger med flere brøker, multipliserer vi alle ledd med en fellesnevner til brøkene. Hvis det er mulig, bør du først trekke sammen like ledd før du multipliserer med fellesnevneren.

4 3 2 Likningen ¼ kan løses på to måter. x 5 5 Trekke sammen like ledd først 4 3 2 ¼ x 5 5 4 3 3 2 3 3 þ ¼ þ Vi legger til på begge sider. x 5 5 5 5 5 4 5 ¼ x 5 4 6 x ¼ 1 x Vi multipliserer alle ledd med x og forkorter.

6x 4¼x x¼4 Multiplisere med en fellesnevner først Hensikten med å multiplisere med en fellesnevner er å kunne forkorte brøkene slik at vi får x alene til slutt. Da må vi først finne en fellesnevner. I denne oppgaven er både 5 og x nevnere. Da må vi multiplisere med både x og 5 for å kunne forkorte alle brøkene.

Fellesnevneren blir da 5x ¼ 5 x.

4 3 2 ¼ x 5 5 4 5 6 x 3 6 5 x 2 6 5 x

¼ 6x 65 65 20 3x ¼ 2x 20 3x þ 3x ¼ 2x þ 3x 20 6 5x ¼ 5 65 4¼x

Vi multipliserer alle ledd med 5 x og forkorter.

Vi legger til 3x på begge sider.

Vi dividerer alle ledd med 5 og forkorter.

x¼4

56

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.15 Løs likningen.

2 3 1 þ ¼ 10 5x x Løsning

En fellesnevner er 10x, siden 10x er delelig med både 10, 5x og x.

Fellesnevneren blir da 10x ¼ 2 5 x.

2 3 1 þ ¼ 10 5x x 2 6 2 6 5 x 3 2 6 5 6 x 1 2 5 6 x þ ¼ 6 2 6 5 6 5 6 x 6x 2x þ 6 ¼ 10 2x þ 6 6 ¼ 10 6 6 2x 4 ¼ 62 2 x¼2

Vi multipliserer alle ledd med 10x ¼ 2 5 x Vi trekker fra 6 på begge sider.

Vi dividerer alle ledd med 2 og forkorter.

1 ALGEBRA

57

OPPGAVER 1.49 Løs likningene.

1 6 a) x þ ¼ 5 5

3 1 b) þ x ¼ 2 2

c)

x 8 ¼ 2 2

a)

x 15 ¼1 5 5

b)

10x 2x ¼ 40 þ 3 3

c)

x 4x þ5¼ 3 3

a)

2x 2 ¼4 3 3

b)

3 x þ3¼ 2 3

c)

x 4 x þ ¼ 6 3 2

1.50 Noen venner skal finne ut hvor mye hver av dem skal betale, 1 etter at de har spist pizza. Nadia spiste pizza, Hassan spiste 4 1 1 pizza, Emil spiste pizza, mens Sigurd var usikker på hvor 5 3 mye pizza han spiste. De spiste pizza for 330 kr til sammen.

Hvor mye må Emil betale?

Hvor mange brøkdeler pizza spiste Sigurd?

Kall Sigurds andel for x, og finn ut hvor mye Sigurd skal betale ved å stille opp og løse en likning.

1.51 Løs likningene. a) 6 þ

3x ¼ 18 2

b)

x 2 ¼ 3 3

c) 2 ¼ 1 þ

20 2 þ ¼4 x 3

c)

a)

4x 4¼4 3

b)

a)

3x 21 6¼ 4 2

1 10 b) ¼ 3 3 x

6 x

10 2 þ2¼ x 6

5 3 4 c) þ ¼ þ x 2 3

1.52 Løs likningene. a)

x ¼2þ3 3

b)

x þ3¼5 1 2

x c) 3 þ þ 2 ¼ 7 4 x a) 8 þ 10 ¼ 6 3 b)

2x þ3¼6 1 5

c)

12 2¼5 4 x

a)

x 5 ¼ þ7 5 2

b)

12 10 þ4¼ x 3

c)

6 8 10 þ ¼ x 3 x

1 ALGEBRA

59

Hvor lange kan sidene i rektanglet være?

Likningssett Vi har tidligere lært å løse likninger med én ukjent, men vi kan også løse likninger med flere ukjente. Vi skal først se nærmere på et rektangel hvor arealet er 48. Formelen for arealet A av et rektangel med sidene l og b er A ¼ l b. Her blir l b ¼ 48, det vil si en likning med to ukjente, l og b.

Ved hjelp av faktorene til 48 kan vi finne mange mulige løsninger slik at produktet blir 48.

48 ¼ 1 48 48 ¼ 2 24 48 ¼ 4 12 48 ¼ 6 8

Kan du finne andre løsninger for lengden og bredden til rektanglet ovenfor som gir 48 til svar?

60

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Vi tenker oss et rektangel der sidene er x og y lange, og omkretsen til rektanglet er 60. Vi kan tegne opp rektanglet på et kladdeark slik:

O = 60

y

x

Omkretsen til rektanglet kan uttrykkes ved hjelp av en likning på denne måten: 2x þ 2y ¼ 60 Likningen har to ukjente og viser sammenhengen mellom sidene og omkretsen i rektanglet. Hvis x og y representerer hele tall, er dette noen løsninger: 2 1 þ 2 29 ¼ 60 2 2 þ 2 28 ¼ 60 2 3 þ 2 27 ¼ 60 2 4 þ 2 26 ¼ 60 Vi ser at likningen 2x þ 2y ¼ 60 har mange løsninger. Den har faktisk uendelig antall løsninger. Hvis slike likninger bare skal ha én løsning, må vi ha like mange likninger som vi har ukjente. Så her må vi ha én likning til.

Hvis vi i tillegg får opplyst at side y er 20 lengre enn side x, kan vi uttrykke side y som en likning slik: y ¼ x þ 20 De to likningene danner nå et likningssett.

I) 2x þ 2y ¼ 60 II) y ¼ x þ 20

1 ALGEBRA

61

Vi skal nå se på hvordan vi kan løse et likningssett ved hjelp av innsettingsmetoden.

Vi skal løse dette likningssettet.

I) 2x þ 2y ¼ 60 II) y ¼ x þ 20 I begge likningene ovenfor står x og y for de samme tallene. Vi kan derfor sette uttrykket for den ene ukjente inn i det andre uttrykket.

Vi setter likning II inn i likning I. 2x þ 2y ¼ 60 2x þ 2ðx þ 20Þ ¼ 60 2x þ 2x þ 40 ¼ 60 4x þ 40 40 ¼ 60 40 4x ¼ 20 6 4x 20 ¼ 64 4 x¼5

Vi setter inn ðx þ 20Þ i stedet for y.

Vi trekker fra 40 på begge sider.

Vi dividerer alle ledd med 4 og forkorter.

Vi har nå funnet ut at x ¼ 5, og vi kan sette x ¼ 5 inn i en av likningene for å finne verdien av y. Her er det lettest å sette x inn i likning II. y ¼ x þ 20 y ¼ 5 þ 20

Vi setter inn 5 i stedet for x.

y ¼ 25 Vi har nå funnet at x ¼ 5 og y ¼ 25.

Hvordan kan vi undersøke om løsningen på et likningssett er riktig?

62

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

EKSEMPEL 1.16 Frode og bestemoren hans er 82 år til sammen. Bestemor er 50 år eldre enn Frode. a) Kall alderen til Frode for x og alderen til bestemoren for y, og sett opp et likningssett på grunnlag av opplysningene. b) Løs likningssettet og finn ut hvor gamle Frode og bestemoren hans er.

Løsning

a) Siden de er 82 år til sammen, kan summen av alderen deres beskrives med likningen x þ y ¼ 82.

Siden bestemoren er 50 år eldre enn Frode, kan vi uttrykke alderen hennes med likningen y ¼ x þ 50. Vi har nå to likninger som danner følgende likningssett.

I) x þ y ¼ 82 II) y ¼ x þ 50 b) Vi setter y ¼ x þ 50 fra likning II inn i likning I: x þ y ¼ 82 x þ ðx þ 50Þ ¼ 82 2x þ 50 ¼ 82 2x þ 50 50 ¼ 82 50 2x ¼ 32 6 2x 32 ¼ 62 2 x ¼ 16

Vi setter inn ðx þ 50Þ i stedet for y.

Vi trekker fra 50 på begge sider.

Vi dividerer alle ledd med 2 og forkorter.

Når vi vet verdien av x, setter vi x ¼ 16 inn i likning II: y ¼ x þ 50 y ¼ 16 þ 50 y ¼ 66 Frode er 16 år, og bestemoren hans er 66 år.

1 ALGEBRA

63

OPPGAVER 1.53 Tegningene illustrerer likningssett. a)

+

= 46 kr

+

= 36 kr

Hvor mye koster et eple? b) +

= 23 kr

+

= 13 kr

Hvor mye koster en appelsin?

1.54 Løs likningssettene. a) I) x þ y ¼ 15 II) y ¼ x þ 1

b) I) y ¼ x 3 II) y þ x ¼ 21

I noen akvarier er det til sammen 48 gullfisker, og det er like mange fisker i hvert akvarium.

Hvor mange akvarier kan det være?

64

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.55 Mette og Simon sykler hver uke. En uke sykler Mette 15 km lenger enn Simon. Til sammen sykler de 195 km denne uken.

Likningssettet M ¼ S þ 15 og M þ S ¼ 195 viser situasjonen uttrykt som to likninger.

Løs likningssettet og regn ut hvor langt hver av dem syklet.

1.56 Maria kjøper 2 kg poteter og 1 kg gulrøtter. Hun betaler 39 kr til sammen. Potetene koster 3 kr mindre per kilogram enn gulrøttene. a) Kall prisen for 1 kg poteter for x og prisen for 1 kg gulrøtter for y, og sett opp et likningssett. b) Løs likningssettet og finn kiloprisen for både poteter og gulrøtter.

1.57 Løs oppgaven ved å bruke det du har lært om likningssett.

Xander og Yvon er 28 år til sammen. Xander er to år eldre enn Yvon. Likningssettet x þ y ¼ 28 og y þ 2 ¼ x viser sammenhengen mellom alderen til Xander (x) og alderen til Yvon (y).

Løs likningssettet og finn alderen til Xander og Yvon.

Zara kjøper en bolle og en flaske brus. Hun betaler 50 kr til sammen. Edvin kjøper fire boller og en flaske brus. Han betaler 86 kr til sammen.

Sett opp et likningssett og finn prisen på en bolle og en flaske brus.

To poser mel og tre poser sukker veier 8,5 kg til sammen.

Tre poser mel og en pose sukker veier 7,5 kg.

Hvor mye veier en pose mel og en pose sukker?

1 ALGEBRA

65

Grafisk løsing av likningssett Vi kan løse likninger og likningssett grafisk. Hvis x og y er de variable størrelsene, bruker vi et koordinatsystem og kaller førsteaksen for x-akse og andreaksen for y-akse. Det betyr at vi finner verdien av x på x-aksen og verdien av y på y-aksen. y-akse 3

(2, 3)

origo 2

x = 2 og y = 3

1 x-akse –5 –4 –3 –2 –1

1

2

3

4

5

x

–1 (–3, –2) x = –3 og y = –2

–2 –3

Vi skal nå se hvordan vi kan finne alderen til Frode ogg bestemoren hans grafisk. sk. Vi fikk vite at Frode og il sammen 82 år, og at bestemoren bestemoren hans var til var 50 år eldre enn Frode. ode.

Vi fikk da dette likningssettet: ngssettet: I) x þ y ¼ 82 II) y ¼ x þ 50

HUSK Du må alltid markere skjæringspunktet og ha med navn på akser når du løser likningssett ved hjelp av GeoGebra.

Se bak i boka hvis du trenger hjelp.

66

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Vi framstiller de to likningene grafisk i samme koordinatsystem ved å skrive inn de to uttrykkene hver for seg. y 80 70 60

f: x + y = 82 A(16, 66)

50 40

g: y = x + 50

30 20 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x

Siden vi vet at x-verdiene og y-verdiene er de samme i begge likningene, vil skjæringspunktet mellom grafene være den eneste løsningen på likningssettet. Skjæringspunktet her har koordinatene (16, 66). Det betyr at x ¼ 16 og y ¼ 66.

Det gir oss at Frode er 16 år og at bestemor er 66 år.

Når du skriver inn likninger i GeoGebra, trenger du ikke å gjøre om likningene med hensyn på x eller y. Du kan bare skrive inn de to likningene hver for seg, så vil grafene komme fram. Skjæringspunktet mellom grafene vil være løsningen på likningssettet. Husk at du alltid kan sette prøve for å kontrollere om svaret ditt er riktig.

André, Hanna og Sara selger lodd. Hanna selger 15 flere lodd enn Sara, og Andre selger 20 færre lodd enn Hanna.

Hvor mange lodd kan de tre ha solgt? Finn minst tre løsninger.

1 ALGEBRA

67

EKSEMPEL 1.17 Emil og Mari trener til en e-sportkonkurranse. Uka før konkurransen trener de 55 timer til sammen, og Emil trener 5 timer mer enn Mari. a) Lag et likningssett med to likninger der det går fram at Emil trener i y timer og Mari trener i x timer. b) Løs likningssettet grafisk for å finne ut hvor mange timer hver av dem trener.

Løsning

a) Når de trener 55 timer til sammen, kan vi sette opp likningen y þ x ¼ 55 ettersom Emil trener y timer og Mari trener x timer.

Når Emil trener 5 timer mer enn Mari, får vi likningen y ¼ x þ 5.

Vi får da likningssettet: I) y þ x ¼ 55 II) y ¼ x þ 5 b) Vi tegner de to grafene slik i GeoGebra: Vi skriver inn y þ x ¼ 55 i inntastingsfeltet og trykker Enter.

II Vi skriver inn y ¼ x þ 5 i inntastingsfeltet og trykker Enter.

III Vi justerer grafikkfeltet og aksene ved hjelp av justeringsverktøyet.

IV Vi markerer skjæringspunktet mellom grafene ved hjelp av skjæringspunkt-verktøyet.

V Vi setter navn på aksene og skjæringspunktet A. Grafene skjærer hverandre i punktet (25, 30).

Det vi si at x ¼ 25 og y ¼ 30.

I

y 60 g 50 40 30

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

A(25, 30)

20 10

Mari trener i 25 timer, og Emil trener i 30 timer.

68

C(25, 30)

f B(25, 0) 10 20 30 x

OPPGAVER 1.58 Løs likningssettene grafisk. a) I) y ¼ x þ 2 II) y ¼ x þ 14

b) I) y ¼ x þ 3 II) y ¼ 7 x

1.59 Bruk graftegner når du løser oppgavene.

Evy er 3 år eldre enn søsteren sin. De er 29 år til sammen. Hvis vi setter Evys alder til x år og søsterens alder til y år, får vi dette likningssettet: I) x þ y ¼ 29 II) x ¼ y þ 3 Hvor gamle er de?

På en klassefest kjøper Hanna 2 pølser og 3 flasker brus. Hun betaler 84 kr til sammen. Herman kjøper 4 pølser og 2 flasker brus. Han betaler 96 kr til sammen. En pølse koster x kr, og en flaske brus koster y kr. a) Sett opp to likninger med to ukjente ut fra opplysningene ovenfor. b) Løs likningene grafisk. c) Hvor mye koster en pølse, og hvor mye koster en flaske brus?

Sana og Stephen planter hver sin plante i hagen. Planten til Sana er 5 cm høy, og den vokser 3 cm per uke. Planten til Stephen er 8 cm høy og vokser 2 cm per uke.

Etter x uker er plantene like høye.

De er da y cm høye. a) Sett opp to likninger med to ukjente ut fra opplysningene ovenfor. b) Løs likningene grafisk. c) Hvor mange uker gikk det før plantene var like høye, og hvor høye var de da?

70

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.60 Klasse 10A skal på busstur til Lofoten. De fikk to pristilbud: Tilbud 1: fast pris på 5000 kr pluss 200 kr per elev.

Tilbud 2: fast pris på 4000 kr pluss 250 kr per elev. a) Sett opp et likningssett av to likninger der antall elever er x og samlet pris er y kr. b) Løs likningssettet grafisk og finn ut hvor mange elever som må være med på turen når de to tilbudene gir samme pris.

1.61 På en parkeringsplass var det x biler og y motorsykler. Det var 25 kjøretøy til sammen. Kjøretøyene hadde 90 hjul til sammen. a) Sett opp to likninger med to ukjente og løs likningssettet grafisk. b) Hvor mange motorsykler og biler var det på parkeringsplassen?

1 ALGEBRA

71

Hvilke former bør dere vurdere for å få størst mulig areal?

Utforskning og problemløsing Lukas skal sette opp et gjerde rundt en rektangelformet plass. Gjerdet skal være 48 m langt, og lengden på plassen skal være dobbelt så lang som bredden.

Lukas kan sette opp en likning for å finne ut hvor lang og hvor bred plassen skal være, gjerne supplert med en tegning.

Hvis bredden er x m, så er lengden 2x m.

Vi kan da sette opp en likning og løse den: 2x þ x þ 2x þ x ¼ 48 6x ¼ 48 6 6x 48 ¼ 66 6 x¼8

2x m

Vi dividerer alle ledd med 6 og forkorter.

Bredden er 8 m, og lengden er 2 8 m ¼ 16 m.

72

xm

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Det er mange måter å løse praktiske oppgaver eller problemer på. Det er ofte en fordel å lage en tegning som kan illustrere problemet. Andre ganger kan det være lurt å sette opp en likning eller et likningssett for å løse oppgaven.

EKSEMPEL 1.18 Jon Morten kjøpte tre kinobilletter, og godteri for 60 kr.

Han betalte 420 kr til sammen.

Hvor mye kostet én kinobillett?

Løsning

Én kinobillett koster x kr. Da koster tre billetter 3x kr. I tillegg betalte han 60 kr for godteriet. Da får vi denne likningen: 3x þ 60 ¼ 420 Vi løser likningen.

3x þ 60 ¼ 420 3x þ 60 60 ¼ 420 60 3x ¼ 360 6 3x 360 ¼ 63 3 x ¼ 120

Vi trekker fra 60 på begge sider.

Vi dividerer alle ledd med 3 og forkorter.

Én kinobillett koster 120 kr.

1 ALGEBRA

73

EKSEMPEL 1.19 En tegning av en liten drone er satt sammen av et kvadrat, to halvsirkler og to rettvinklede og likebeinte trekanter.

Sidene i kvadratet er 2r lange. a) Finn et uttrykk for arealet av figuren uttrykt med r. b) Bruk uttrykket til å finne arealet av figuren når r ¼ 5 cm.

Løsning

a) I figuren blir . sidene s i kvadratet ¼ 2r .

radien r i sirkelen ¼ r

.

sidene g og h i trekanten ¼ 2r

Tegningen består av følgende geometriske figurer Figur Et kvadrat: To trekanter: To halvsirkler:

Uttrykk for areal 2r 2r ¼ 4r2 2r 2r 2r 2r þ ¼ 2r2 þ 2r2 ¼ 4r2 2 2 r2 r2 2 r2 þ ¼ ¼ r 2 2 2 2

Uttrykk for arealet totalt blir: 4r2 þ 4r2 þ r2 ¼ 8r2 þ 3,14r2 ¼ 11,14r2 b) Vi setter inn r ¼ 5 cm og regner ut arealet.

A ¼ 11,14r2 ¼ 11,14 5 cm 5 cm ¼ 278,5 cm2

74

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

2r

OPPGAVER 1.62 Lotte kjøper ny hodelykt og fire batterier.

Hodelykta koster 850 kr. Hun betaler 910 kr til sammen. Sett opp en likning for å regne ut hvor mye ett batteri koster.

1.63 Figuren nedenfor viser et svømmebasseng i tre dimensjoner (lengde, bredde, høyde).

De stiplede linjene viser hvordan bassenget er delt opp i tre seksjoner (deler).

25 m 1,2 m A 2,5 m

C

B

15 m

10 m 10 m

a) Regn ut arealet av vannoverflaten til hele bassenget. b) Regn ut volumet av den dypeste seksjonen (A). a) Regn ut volumet av seksjonen som er 1,2 m dyp. b) Vis at lengden av det skrå gulvet i seksjon 2 er omtrent 5,2 m. a) Regn ut volumet av hele bassenget. b) Hvor mange kvadratmeter er bassengets fire sidevegger og bunn til sammen?

Ortakoy-moskeen i Istanbul, Tyrkia

1.64 Hanna, Herman og Sara diskuterer hvor mye penger de har igjen etter ferien i Tyrkia. Hanna har dobbelt så mye som Sara, og Herman har tre ganger så mye som Sara. De har 180 kr igjen til sammen. Hvor mange kroner har hver av dem igjen etter ferien?

1.65 Skissen viser en figur som består av en likesidet trekant ABC, en halvsirkel AC med sentrum i E og et sirkelsegment.

Sirkelsegmentet er det området som er avgrenset av linjestykket BC og buen BC, og som er skravert. Sirkelen som buen BC er en del av, har sentrum i A. a) Regn ut omkretsen av halvsirkelen. b) Regn ut arealet av halvsirkelen. a) Vis at høyden i trekanten blir ca. 8,7 cm. b) Regn ut omkretsen av hele figuren. a) Regn ut omkretsen av hele figuren. b) Regn ut arealet av hele figuren.

76

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

C 60° E

60° A

60° 10 cm

B

1.66 Sett opp likninger når du løser oppgavene.

Tante Klara og onkel Karl er like gamle. Martin er 28 år yngre enn dem. Til sammen er de 104 år.

Hvor gamle er tante Klara og onkel Karl?

Lotte jogger noen turer hver uke. En uke jogget tre av vennene hennes 2 km lenger enn Lotte, og fire av vennene hennes jogget 3 km kortere enn henne. Til sammen jogget de 114 km.

Hvor mange kilometer jogget Lotte denne uka?

Simen, Hanna og Herman har spart penger til ferien i SørøstAsia. Hanna har spart 200 kr mer enn Simen, mens Herman har spart 100 kr mindre. Simen bruker alle sparepengene, Hanna bruker halvparten av sparepengene sine, og Herman bruker en tredel av sparepengene sine. Til sammen bruker de 1900 kr.

Hvor mye sparepenger hadde Simen?

1.67 I den likesidete trekanten er det tegnet inn og fargelagt noen små likesidete trekanter. a) Hvor mange små trekanter er det tegnet inn langs den ene siden i den store trekanten? b) Hva blir omkretsen av den store trekanten hvis sidelengden i en liten trekant er 2 cm? c) Hvor mange små trekanter er det plass til i den store trekanten?

Vil et batteri veie mer, mindre eller være uforandret når batteriet er tomt for energi?

1 ALGEBRA

77

1.68 Verdens kanskje mest kjente formel er E ¼ m c2 . Den viser sammenhengen mellom energi, masse og lyshastighet. Den gir uttrykk for at energi er masse i bevegelse. a) Gjør om formelen med hensyn til massen m. b) Gjør om formelen med hensyn til lyshastigheten c.

1.69 Se på figuren når du løser oppgaven der diameteren i den lille sirkelen er lik radien i den store sirkelen.

r

Regn ut arealet av den lille sirkelen når radien i den store sirkelen er 5 cm.

Regn ut arealet av det lilla området når radien i den store sirkelen er 5 cm.

Uttrykk arealet av det lilla området ved hjelp av r.

A

B

Hvilke påstander er riktige? Begrunn svaret for en medelev eller i klassen.

A: Område A har størst omkrets.

B: Område B har størst omkrets.

C: Område B har større areal enn A. D: Område A har større areal enn B. E: A og B har samme areal.

F: A og B har samme omkrets.

78

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

UNDERVEISVURDERING 1 1

2

Faktoriser uttrykkene. a) 6xy2 b) 5x 15

c) 6x2 þ 20xy

Regn ut, og trekk sammen til så enkelt svar som mulig. a) 3ðx 2Þ b) 3ða 2Þ þ a c) Finn et uttrykk for arealet av rektanglet, og skriv det så enkelt som mulig. (x – 3) 4

3

Forkort brøkene så mye som mulig.

3x 6x2 y 3x þ 6 b) c) a) 9 3xy xþ2

4

Trekk sammen og skriv svaret så enkelt som mulig.

2 1 8x 4x 3 x 1 b) þ c) þ a) þ 5 10 9 6 3x þ 3 2x þ 2

5

Se på figuren når du svarer på oppgaven. x

7 x

4

a) Lag et uttrykk som viser arealet A av figuren, og skriv det så enkelt som mulig. b) Regn ut og trekk sammen uttrykket ð2a 2Þða þ 3Þ. c) Regn ut og trekk sammen uttrykket ðx þ 3Þ2 .

80

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

6

Bruk tredje kvadratsetning når du forkorter brøkene. a2 36 xþ7 2x2 50 b) 2 a) c) ða þ 6Þða 6Þ x 72 2x þ 10

7

Løs likningene. a) x þ 12 ¼ 2 b) 7x 1 ¼ 11 þ 5x c) 8x 2ð2x 3Þ ¼ 12 2x

8

På figuren er det tegnet et lite kvadrat inne i et større kvadrat. Arealet av det minste kvadratet er x2 , og sidelengden i det største kvadratet er 2x. x2 a) Hva blir arealet av det minste kvadratet hvis x ¼ 3 cm? b) Hva blir omkretsen av det største kvadratet hvis arealet av det minste kvadratet er 49 cm2 ? c) Hvor mange ganger større er arealet av det største kvadratet enn arealet av det minste kvadratet? d) Regn ut arealet av det hvite området hvis arealet av det store kvadratet er 144 cm2 .

9

2x

I en fiskesuppe skal det være 500 g fisk til 4 personer. Morten skal lage fiskesuppe til 7 personer.

Sett opp en proporsjon, og regn ut for å finne hvor mye fisk Morten trenger til 7 personer.

1 ALGEBRA

81

10

11

Løs likningene.

4 1 a) x ¼ 5 5

b)

1 x þ2¼ 2 4

c)

3 13 2 ¼ 2 x 3

p p 1 flaske vann.

Finn prisen på

+

= 95 kr

+

= 55 kr

12

Joakim og David er i samme butikk og handler. Joakim kjøper to T-skjorter og tre par sokker. Han betaler 435 kr til sammen.

David kjøper én T-skjorte og to par sokker. Han betaler 240 kr til sammen.

Sett opp et likningssett og finn prisen på en T-skjorte og et par sokker.

13

Yasmin og Xander er på tyttebærtur. Yasmin plukker 2 kg mer enn Xander. De plukker 12 kg tyttebær til sammen. Hvis Xander plukker x kg og Yasmin plukker y kg, får vi dette likningssettet: I) y ¼ x þ 2 II) x þ y ¼ 12 Hvor mange kilogram tyttebær plukker hver av dem?

Løs likningssettet grafisk eller ved regning.

82

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

14

I et borettslag leser beboerne av strømforbruket til gulvvarmen.

I en periode bruker Allan 70 kWh mer enn Beate, og Beate bruker 120 kWh mer enn Camilla. De tre bruker 2320 kWh til sammen.

Sett opp en likning og finn ut hvor stort strømforbruket var til hver av dem.

15

Formelen for arealet A av en sirkelsektor med gradtall x er r2 x . Bruk dette når du løser oppgavene nedenfor.

A¼ 360 r x

a) Regn ut arealet av en sirkelsektor på 4° med radius r ¼ 5,0 cm. b) Lag en formel for gradtallet x med hensyn til A og r. c) Bruk formelen og regn ut gradtallet når A ¼ 19,625 cm2 og r ¼ 5,0 cm.

1 ALGEBRA

83

Tverrfaglig oppgave 1 FNs bærekraftsmål består av 17 hovedmål og gjelder for alle land i verden.

Målene skal hjelpe oss med å gjøre verden til et bedre sted for alle mennesker som lever, nå uten å ødelegge for dem som kommer senere. Det kaller vi bærekraftig utvikling.

Mål 10:

Redusere ulikhet i og mellom land

Fattigdom handler om mer enn å ha for lite penger. Fattigdom er mangel på livsviktige ressurser og goder. Fattigdom i et land begrenser menneskers muligheter til å leve et rettferdig og verdig liv.

Noen utvalgte land (tall fra 2020)

Antall innbyggere i millioner

BNP per innbygger

Barnedødelighet per 1000

Antall barn per kvinne

Andel som er underernært

Antall tonn CO2 -utslipp per person

32,9

6 454

75

5,2

25 %

1,29

Sierra Leone

7,6

1 476

109

3,9

26 %

0,19

Honduras

9,3

4 737

17

2,3

13 %

1,06

Indonesia

273,5

11 609

24

2,2

8%

1,82

Bolivia

11,7

7 234

26

2,6

17 %

1,91

Georgia

4,0

10 005

10

2,0

8%

2,42

331,0

57 638

7

1,8

?

16,5

5,5

58 790

2

1,7

?

9,27

Angola

USA Norge

Tabellen viser noen verdier som kan sammenliknes for å påvise fattigdom eller urettferdighet blant verdens land. Norge og USA er tatt med som referanseland.

84

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Du finner flere data om andre land på hjemmesiden til FN-sambandet. . Finn antallet som er underernærte i de seks øverste landene i tabellen. .

Hvor mange ganger høyere er BNP per innbygger i Norge enn i Angola?

.

Hvor mange prosent høyere er BNP per innbygger i Norge enn i Sierra Leone? . Hvor mange prosent høyere CO2 -utslipp har USA enn Norge? .

Hvor mange prosent høyere barnedødelighet har USA og Sierra Leone enn Norge? . Bruk dataene ovenfor til å lage ulike diagram. .

Lag egne spørsmål og oppgaver ut fra informasjonen dere finner.

Presenter dem for medelever eller for klassen.

TVERRFAGLIG OPPGAVE

85

Mål 11:

Gjøre byer og lokalsamfunn inkluderende, trygge, robuste og bærekraftige.

Verden urbaniseres i en fart som vi aldri før har sett maken til. I dag bor rundt 56 % av jordens befolkning i byer, og andelen kommer til å ligge på omkring 60 % i år 2030. Byene står for omkring 75 % av alle klimautslipp, og store slumområder hindrer fordeling av goder og bedre levekår. I 2021 var det omkring 7,8 milliarder mennesker i verden.

Befolkning i milliarder

5 4,5 4 3,5 3

Rural

2,5 2 1,5 1

Urban

0,5 1950

86

1960

1970

1980

1990

MATEMATIKK 10 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

2000

2010

2020

2030

Diagrammet viser utviklingen av verdens befolkning som bor i byer (urban) og utenfor byer (rural). I dag lever over 1 milliard mennesker i slumområder i og rundt byer, og dette tallet forventes å være 2 milliarder i 2030 og 3 milliarder i 2050. Et slumområde er et område som er fattig, overbefolket og som mangler tilfredsstillende tilgang til trygt drikkevann, sanitærforhold, offentlige tjenester og grunnleggende infrastruktur (veier, havner, flyplasser, strømnett, m.m.) . Hvor mange mennesker bor totalt i byområder i dag? .

Omtrent når var det like mange mennesker som bodde i byer som bodde på landet? . Beskriv utviklingen til de to linjene (urban og rural) i diagrammet. .

Hvordan tror du de to linjene (urban og rural) vil utvikle seg i årene mot år 2100? Begrunn svaret. . Hvor mange mennesker vi det være i verden i 2030 og 2050 hvis befolkningen øker med 1,1 % årlig? . Lag et funksjonsuttrykk som beskriver økningen i verdens befolkning og tegn grafen til funksjonen når den årlige økningen er 1,1 %. . Lag egne spørsmål og oppgaver ut fra informasjonen. Presenter dem for medelever eller for klassen.

Bosco Verticale i Milano, Italia

TVERRFAGLIG OPPGAVE

87