Robotter på skemaet, kompendium

BIRKERØD GYMNASIUM / STX HF IB & KOSTSKOLE

ROBOTTER PÅ SKEMAET

Indhold

Oversigt over mulige faglige anvendelser af robotter i matematik og fysik. Vi har siden fundet på mange flere! LMFK-bladet 1/2020

Fysikforsøg med luftmodstand. Robotten trækker en heliumballon efter sig.

LMFK-bladet 3/2021

Evaluering af et robotforløb blandt en hel 1g-årgang på Birkerød Gymnasium. Arbejdet med robotterne virker motiverende og er sjovt, siger eleverne, samtidigt med at de godt kan få øje på det faglige indhold.

LMFK-bladet 1/2021

Robotkørsel langs forskellige parameterkurver. Matematikken bag denne tilsyneladende simple robot-opgave er overraskende kompliceret.

LMFK-bladet 4/2021

Artikel i Politiken i anledning af tildelingen af fondsstøtte fra Novo Nordisk Fonden til Birkerød Gymnasiums Robotgruppe (13/12 2019) 04 14 08 20 12 26

Kan man lære matematik og fysik ved at arbejde med robotter?

Ja, det kan man! På Birkerød Gymnasium har vi siden 2016 haft fokus på at udvikle undervisningsforløb i matematik og fysik, hvor dele af den faglighed, der står i læreplanen, foregår gennem programmering af robotter.

Fysikforsøg med konstant acceleration – robotten giver mulighed for en fundamentalt anderledes tilgang til undersøgelsen af acceleration.

LMFK-bladet 1/2021

Eleverne får robotterne til at bevæge sig og køre på bestemte måder ved at anvende og træne den kernefaglighed, de normalt lærer gennem tavleundervisning og opgaveregning. De kommer op af stolen og ud på gulvet, og det har vist sig at være stærkt motiverende for dem at se matematikken og fysikken anvendt til at løse konkrete robot-opgaver.

Samtidig bidrager vi med vores arbejde til den almene dannelse, der nu om dage uomgængeligt må inkludere en forståelse for programmering og for hvordan robotter fungerer.

I dette hæfte har vi samlet nogle af de artikler, Robotgruppen på Birkerød Gymnasium har skrevet til fagfæller i gymnasiet. Udviklingsarbejdet er fra 2020 til 2023 støttet af Novo Nordisk Fonden i projektet ”Robotter på gymnasieskemaet - faglig læring i STEM-fagene gennem arbejde med robotter”. God læselyst!

På robotgruppens vegne, Niels Erik Wegge Birkerød Gymnasium

“Vi er overbeviste om, at der er utallige muligheder for at bruge robotterne til at motivere, understøtte og træne den fagfaglige læring i store dele af matematikog fysikpensum...”

Robotter på skemaet – undersøgelse af luftmodstand

Niels Erik Wegge og Lauritz Carlsen, Birkerød Gymnasium

På Birkerød Gymnasium arbejder vi med at lade robotter og programmering indgå som en integreret del af fysik– og matematikundervisningen, og i denne artikel vil vi gerne præsentere en robot–variant af et forsøg med luftmodstand Man kan læse mere om vores udviklingsarbejde i LMFK–bladene 1/2020 og 1/2021

Undersøgelse af luftmodstand Normalt bruger vi tre forskellige eksperimentelle tilgange til undersøgelsen af luftmodstand:

1 Vi puster luft vandret forbi en bordtennisbold eller et andet objekt med lav densitet, der er ophængt i en tynd tråd (fx i en vindtunnel), og måler udslagsvinklen i forhold til lodret Luftmodstandskraften er proportional med tangens til denne vinkel

2 Vi lader papirkageforme eller andre lavdensitetsobjekter falde fra passende højde og måler terminalfarten Når terminalfarten er nået, er luftmodstandskraften lig med tyngdekraften og dermed proportional med objektets masse

3 Vi filmer et lodret eller skråt kast med en bordtennisbold eller badebold Den numeriske løsning af bevægelsesligningerne (fx udført i Excel) parametertilpasses efterfølgende til en videoanalyse af den faktiske bevægelse

I alle tre tilfælde kan vi eftervise formlen

FCAdv = 1 2 2 (1) for luftmodstanden på et objekt med formfaktor C og eksponeret tværsnitsareal A, når luft med densitet d bevæger sig med den relative fart v i forhold til objektet Formfaktoren C bestemmes empirisk – i metode 1 og 2 ud fra de indgående proportionalitetskonstanter, og i metode 3 ud fra parametertilpasningen

Med denne artikel præsenterer vi en variant af ovennævnte metode 1 I stedet for en ophængt bordtennisbold benyttes en nedhængt heliumballon, og i stedet for at puste luft forbi den, lader vi en robot trække den gennem luften Luftmodstanden gør, at ballonsnoren danner en vinkel i forhold til lodret; en vinkel som bliver større, jo hurtigere robotten kører Se Fig 1

Under kørslen påvirkes ballonen af tre kræfter: den opadrettede kraft ( F op ) (som er summen af tyngdekraften og opdriften på ballonen), snorkraften ( F snor ) og luftmodstanden ( Fluft ) Når hastigheden er konstant, er den resulterende kraft nul som vist på Fig 2 Opløsning af kræfterne i vandret og lodret retning er ligetil:

3/2021

Figur 1

Robotten kører mod højre og trækker en heliumballon efter sig i en snor. Til venstre: langsomt. Til højre: hurtigere. Der er ophængt lodliner ved væggen, så afbøjningsvinklen kan måles, selvom kameraet ikke er helt lodret, og selvom billedet forvrænges lidt ude siderne.

Figur 2

Kraftligevægt på en heliumballon der trækkes gennem luften af en robot. Robot og ballon bevæger sig mod højre med konstant hastighed  v så den relative hastighed mellem ballon og luft er  v . Den opadrettede kraft, F op , er summen af tyngdekraft og opdrift på ballonen og kan let måles direkte med et newtonmeter før ballonen kobles til robotten.

Figur 3

Ballonkørsel ved 0,28 m/s. Prikkerne er sat på hvert sjette billede i videoen og viser positionen af ballonens øverste punkt og af de to ender af snoren. Selve snoren er så godt som usynlig, men dens vedhæftningspunkter er veldefinerede. De stiplede linjer er parallelle med den nærmeste lodline. Den tilsyneladende vinkel målt ved prik 6 (5,5°) ses at være signifikant større end ved prik 11 (4,0°). Det er vinklen målt ved prik 11, der er den ”rigtige”, jf. Fig. 4.

FF luft snor sin og FF op snor cos (2)

Elimination af snorkraften i (2) giver derfor

FF luft op tan (3)

og da F op er konstant gennem forsøget (vi udfører det så hurtigt, at ballonen ikke taber betydelige mængder helium), er Fluft altså proportional med tan α Gyldigheden af luftmodstandsformlen (1) kan derfor eftervises ved at afbilde tangens til de målte vinkler som funktion af kvadratet på robottens fart I et sådant v 2 ,tan –diagram forventes – hvis (1) gælder – en ret linje gennem (0, 0) Et smugkig på data i Fig 6 afslører, at det virkelig er tilfældet Proportionalitetskonstanten kan, hvis man kender den opadrettede kraft F op samt ballonens eksponerede tværsnitsareal A og luftens densitet d, benyttes til at bestemme ballonens formfaktor C

Målinger

Vi har målt samhørende værdier af ballonens udslagsvinkel α og robottens (luftens) fart v Farten var ikke noget problem, men vinklen voldte os kvaler Vi havde håbet, at et foto af robot og ballon set vinkelret fra siden ville være tilstrækkeligt – og det ville det jo også være, hvis vinklen var konstant under kørslen Imidlertid svajede ballonen en del fra side til side undervejs, sikkert fordi vi havde brugt én snor Næste gang vil vi prøve en bifilar fastgørelse af ballonen. For at undersøge omfanget af svajningen og finde den ”rigtige” vinkel, optog vi en video af hver kørsel Det var let (men omstændeligt) at lave en videoanalyse i LoggerPro af ballonsnorens to endepunkter samt af top og bund af selve ballonen, og bruge punktkoordinaterne til at beregne den tilsyneladende snorlængde og ballonstørrelse som funktion af tiden Fig 3 og 4 viser tydeligt, at begge dele varierer under kørslen Snoren synes længst omkring t = 2,0 s (prik nr 11), så her må svajningsvinklen på tværs af køreretningen være minimal og forhåbentlig nul Både før og efter dette tidspunkt synes ballonen mindre, og må altså have svajet væk fra kameraet Vi skal derfor bestemme α når robotten er ved prik nr 11 på Fig 3, og det gøres med en vinkelmåler direkte på billedet (Det havde været bekvemt, hvis man kunne have brugt videoanalysen til at beregne vinklen – men det ville kræve at lodret på billedet også var helt lodret i virkeligheden, samt at der ikke var vinkelforvrængning i enderne af billedet )

Vi undersøgte fem forskellige hastigheder og optog to videoer ved hver Hver video undergik en analyse som beskrevet ovenfor De målte afbøjningsvinkler faldt mellem nogle få grader og op til 30° Målingerne ses i Fig 5, og lineariseringen i Fig 6 viser, at der som håbet og forventet virkelig er proportionalitet mellem tangens til den målte afbøjningsvinkel og kvadratet på farten – og heraf følger at Fv luft ∝ 2 jf (1) og (3)

Figur 4

Tilsyneladende snorlængde og ballonstørrelse beregnet ud fra videoanalysen i Fig. 3, målt i pixler. Ballonen ser ud til at svaje mindst omkring t ≈ 2,0 s (prik 10–12). Før og efter svajer ballonen væk fra kameraet.

Hvis vi også havde tænkt på at få målt den opadrettede kraft F op og ballonens tværsnitsareal A, ville proportionalitetsfaktoren 0,60 s2/m2 fra Fig 6, som allerede nævnt, kunne være brugt til at bestemme ballonens formfaktor C Det vil vi huske at få gjort næste gang vi – eller nogle af vores elever – laver forsøget! Og samtidig vil vi arbejde videre med at stabilisere ballonen, så man kommer lettere igennem vinkelbestemmelsen og databehandlingen

Det beskrevne luftmodstandsforsøg har både fordele og ulemper i sammenligning med et almindeligt vindtunnelforsøg:

• I en vindtunnel skal luftens fart måles separat, og det er ikke helt nemt Dels er fartfeltet i vindtunnelen ikke homogent, dels er de fleste vindmålere både upræcise og bøvlede at få ind i vindtunnelen lige på det sted, hvor der skal måles Med robotten undgår man helt disse problemer – v er jo simpelthen den fart, man har programmeret robotten til at køre med

• Det er vanskeligt at opnå tilstrækkeligt stor fart med robotten Vores system (fra Shape Robotics) er designet til at køre med en maksimal fart på ca 0,3 m/s Vi har fået laserskåret nogle større hjul, og har dermed tunet topfarten til 1,0 m/s – stadig ikke ret meget i forhold til en vindtunnel

• Det er betydeligt vanskeligere at måle vinkeludslaget på den kørende heliumballon end på den stationære bordten-

nisbold i vindtunnelen Man undgår ikke at fotografere eller filme robotten, og den efterfølgende billedanalyse er, som det fremgik, ikke helt simpel

• En robot, der kører henad gangen med en ballon på slæb, vil måske efterlade et større fagligt indtryk på eleverne end en bordtennisbold i en vindtunnel – og det alene er al umagen værd!

Lille efterskrift om brug af robotter i fysikundervisningen Som et første skridt hen imod en egentlig didaktik for brugen af robotter i fysikundervisningen vil vi foreslå at der opdeles i tre kategorier: den hjælpsomme, den målende og den pædagogiske robot I matematik kan der være nogle andre kategorier I det ovenfor beskrevne forsøg med heliumballonen ser vi et eksempel på ”den hjælpsomme robot”. Robotten hjælper os bare med at etablere en fysisk situation, vi kan måle på Selve robotten er uinteressant, og programmeringen af den er ganske simpel På Birkerød Gymnasium har vi også haft glæde af hjælpsomme robotter i forsøg med gnidningskraft, projektilkast, konisk pendul, dopplereffekt og resonanssvingninger. Og der er sikkert flere forsøg, robotterne kan hjælpe med!

”Den målende robot” bruger sine indbyggede sensorer til selv at udføre målinger Vores robotsystem kan umiddelbart måle lysintensitet (fx i en undersøgelse af afstandskvadratloven), farve, infrarød stråling og kraftmoment

5

Afbøjningsvinklen i forhold til lodret vokser med farten. Usikkerheden på vinkelmålingerne vurderes til ±1°.

Figur 6 Lineariseringen af data viser, at tangens til ballonens afbøjningsvinkel i det undersøgte fartinterval som ventet er proportional med kvadratet på farten.

”Den pædagogiske robot” kan bruges til dels at repræsentere eller modellere forskellige fysiske systemer; dels illustrere fysiske metoder og begreber Alle de nedenstående eksempler kan selvfølgelig nemt realiseres på skærmen med allehånde ”black box” computersimulationer, men vi mener, at der er øget læring i den fysiske, meget håndgribelige tilstedeværelse af robotterne i klasseværelset Vi tror også at eleverne kommer til at forstå fysikken bedre, når de selv skal programmere robotterne for at få dem til at gøre, hvad de skal

Eksempler på modellering/repræsentation af fysiske systemer vha robotterne:

• Random walk Hvor mon robotten ender efter en lang række faste køredistancer, hver efterfulgt af en tilfældig drejning?

• Planetbevægelser . Robotten kan programmeres til at vise en planets epicykelbevægelse i det geocentriske verdensbillede I den heliocentriske model kan robotten vise, at Mars’ retrograde bevægelse netop opstår, når Jorden overhaler Mars inden om, og den kan samtidig illustrere problemet med at bestemme en anden planets omløbstid, mens den observeres fra Jorden (synodiske og sideriske omløbstider)

• Kinematik Kan en accelererende robot (leopard) indhente en anden robot (gazelle), der kører med konstant fart og har fået et vist forspring? Og hvor lang tid er en S–togsrobot om at køre mellem to stationer, når der skal accelereres og decelereres?

• Øjets farvesyn Robottens farvesensorer har overlappende bølgelængdekarakteristikker, ligesom øjets lysfølsomme celler

Eksempler på illustration af fysiske metoder og begreber vha robotterne:

• Kalibrering Hvordan afhænger den faktiske robotfart af den programmerede fartparameter?

• Feedbackmekanismer Få robotten til at blive på den blå stribe eller køre væk fra det stærke lys

• Albedo. Hvor godt reflekteres forskellige farver fra forskellige overflader?

• Kinematik Få robotten til at køre med konstant acceleration

• Mekanisk energi Få den tunge og den lette robot til at køre med samme kinetiske energi

• Mekanisk effekt. Hvor mange hestekræfter har robotten egentlig?

• Nyttevirkning Hvor meget mekanisk arbejde kan robotten udføre på én opladning af batteriet?

Vi fortsætter arbejdet med at sætte robotterne på gymnasieskemaet, både i fysik og matematik, og vi inviterer til vidensdeling og ideudvikling Kontakt os gerne på nw@birke-gym dk

Figur

Niels Erik Wegge og Ole Dünweber, Birkerød Gymnasium

På Birkerød Gymnasium har vi gennem de sidste par år udviklet et fyldigt katalog over anvendelser af robotter i forbindelse med undervisningen i matematik og fysik. Med denne artikel vil vi præsentere et af de mere fagligt ambitiøse projekter: at få en robot med hjul til at køre langs forskellige parameterkurver. Vi har brugt f orløbet som et element i undervisningen i vektorfunktioner på MatA.

Begrebet krumning er – selvom det ikke er en del af kernepensum – centralt for forløbet. Det er nemlig formler for krumningsradius, der kan få robotten til at køre langs banekurven for en vektorfunktion.

I forløbet bliver eleverne udsat for differentiation af ret komplicerede funktioner (udregning af krumningsradius og fart), for symbolsk algebra (opstilling og kombination af formler for farten af robottens to hjul), og de opnår en særdeles håndgribelig forståelse af krumningsbegrebet og af kinematikken i en parameterfremstillet banekurve.

Programmeringen af vores robotter (Fable-systemet fra Shape Robotics) foregår i blok-programmering, som har en meget lav indgangstærskel. De nødvendige programmer ender dog med at være temmelig komplekse, og elevernes evne til algoritmisk tænkning og programmering bliver således i høj grad udfordret og styrket.

Kørsel i cirkler (konstant krumning)

For at få en vogn rundt i en kurve, skal hjulene i den ene side af vognen køre lidt hurtigere end hjulene i den anden side – ellers kører man jo ligeud. Vi starter derfor med at finde ud af hvilken fart hvert af robottens to hjul skal have, for at den kører i en cirkel med en bestemt radius.

Farten af robottens midtpunkt benævnes �� , og vi vælger at måle den cm/s. Farten på de to hjul, �� og �� , kan skrives

�� = �� + Δ�� og �� = �� Δ�� (1) hvor Δ�� fortæller hvor meget �� er større end �� og �� er mindre end �� . Hvis Δ�� = 0, kører robotten selvfølgelig bare lige ud med fart �� .

Vi vil finde en formel for radius, �� , i den cirkel, som robottens midtpunkt følger, og for den tid, �� , som en hel tur rundt i cirklen varer. Hvis afstanden mellem (midten) af de to hjul er �� , vil det yderste og det inderste hjul køre i cirkler med radius hhv. �� + �� 2 og �� 2 . På vores Spin-modul er �� ca. 12 cm. A-siden af robotten kører i en cirkel med radius �� + �� 2 . Derfor er �� = 2�� (�� + �� 2 ) Tilsvarende fås for B-siden, at �� = 2�� (�� 2 ) Elimination af �� giver cirklens radius

= �� + ��

�� 2 (2)

Da robottens fart er gennemsnittet af hjulenes fart, �� = 1 2 (�� + �� ), og da �� = 2Δ�� , kan (2) omskrives til et mere bekvemt udtryk:

(3)

Bemærk at denne udregning af �� ikke afhænger af hvilken enhed farterne �� og Δ�� regnes i – når blot de begge har samme enhed. I programmeringen angives fart som et tal mellem 100 og 100; altså som en procentdel af robottens maksimale fart, som er 33 cm/s. Men i (3) man kan altså bruge dette programmeringstal for farten i stedet for den faktiske fart målt i m/s eller cm/s, og det er praktisk!

Figur 1 Spin-modul set oppefra. Venstre hjul kører hurtigere end højre, og derfor drejer robotten mod højre. Robottens midtpunkt kører med hastigheden �� = 1 2 ( �� + �� ) Afstanden mellem hjulene er �� ≈ 12 cm.

Figur 2 Robottens A-hjul og B -hjul kører med ”programmeringsfart” hhv. 60+15 og 60-15. Det svarer til 75 ⋅ 0,33 = 24 cm/s på A-hjulet og 45 0 33 = 15 cm/s på B-hjulet. Fortegnsvalget i linje 3 og 4 får den til at dreje venstre om (positiv omløbsretning).

Man får også brug for at beregne den Δ�� -værdi, der skal til for at opnå en bestemt cirkelradius �� , når robotten kører med fart �� : Δ�� = �� 2�� (4)

Hvis vi fx ønsker at robotten skal køre med farten �� = 20 cm s i en cirkel med radius �� = 75 cm, så skal Δ�� indstilles til værdien Δ�� = �� 2�� = 20cm s 12 cm 2 75 cm = 1,6 cm s . Ved ”fuld fart” kører vores robotter 33 cm/s, så tallene for �� og �� i programmet i Fig. 2 skulle så være �� = 20 33 ⋅ 100 = 60 61 og �� = 1 6 33 ⋅ 100 = 4,85.

Formel (4) er, som vi skal se, helt central for robottens kørsel, også når den skal ud langs mere komplicerede banekurver.

Kørsel langs parameterkurver (variabel krumning)

Figur 3 Krumning er et mål for hvor skarpt vejen drejer. Kurven krummer først mod højre og så mod venstre. I punktet P er krumningen lille (cirklen er stor) og i punktet Q er krumningen stor (cirklen er lille).

Vi bruger nu erfaringen fra cirkelkørslen til at få robotten til at køre langs mere generelle parameterkurver. Ideen er simpel: robotten skal bare programmeres til hele tiden at justere radius i den cirkel (nemlig kurvens krumningsradius) som parameterkurven kan approksimeres på det sted, hvor robotten er. For parameterkurven ��(�� ) = (�� (��) ��(�� )) er denne krumningsradius (til tiden �� ) givet ved

(��)

′′ (��)| (5)

Her er �� = |�� (��)| den øjeblikkelige banefart �� = √(�� ′ (��))2 + (�� ′ (��))2 (6)

Efterhånden som tiden går, og robotten er nået frem til punktet (�� (��), ��(��)), opdateres farten iflg. (6) og den aktuelle krumningsradius beregnes efterfølgende med (7). Og så skal der ”drejes på rattet”: hjulenes individuelle farter justeres i henhold til formlerne (4) og (1).

Generel metode for at få en robot til at køre langs parameterkurven ��(��) = (��(�� ) ��(��)):

a. Brug først kurvens parameterfremstilling til at opstille regneudtryk for ��′(��), ��′(��), �� ′′ (��) og �� ′′ (��)

b. Beregn herefter

• farten �� (målt i cm/s): �� = √(��′(��))2 + (��′(��))2

• krumningsradius �� (målt i cm): �� = ��3 |�� ′ (��)�� ′′ (��) �� ′ (��)��′′ (��)|

c. Brug herefter disse og hjulafstanden �� til at beregne den nødvendige fartforskel mellem de to hjul (målt i cm/s): Δ�� = �� 2��

d. Beregn farten (målt i cm/s) for hvert af de to hjul vha. regnestykket �� ± Δ��

e. Omregn til sidst farten for hjulene fra cm/s til programmeringstal ved at dividere med kalibreringsfaktoren 0,33 cm/s (således at max-farten 33 cm/s svarer til 100)

f. Check at programmeringstallet for farten ikke kommer udenfor det tilladte interval fra -100 til 100.

I det særlige tilfælde at parameterkurven er grafen for en funktion �� , kan man vælge at bruge den simple parameterfremstillingen �� (��) = ( �� (��)), hvor der altså parametriseres med �� i stedet for �� Lidt upræcist kan man sige, at �� bruges som tiden �� Det en så en god opgave for eleverne at udlede formlerne for krumningsradius og banefart: �� = (1+(��′ (��))2 ) 3 2 |��′′ (��)| (7) �� = √1 + (��′(�� ))2 (8)

Vi ser nu på to konkrete eksempler: en parabel (en graf) og en ellipse (ikke en graf)

Parabel

Standardparablen �� = �� 2 kan parametriseres med parameterfremstillingen �� (��) = ( �� 2 ), hvorved robotten kommer til at køre med den konstante og langsomme fart 1 cm/s i x -aksens retning og med varierende fart i yaksens retning. For at kunne speede x-farten op til en selvvalgt parameter ��0 og for at kunne variere hvor spredte parablens ben skal være, vælger vi i stedet at køre langs parablen �� = �� 2 med parameterfremstillingen ��(�� ) = ( ��0 �� 02 �� 2 ) (9)

Vi følger opskriften i boksen:

a. De afledte:

b. Fart og krumningsradius: �� = √�� ′ (��)2

c. Fartforskel mellem hjulene: Δ�� = �� 2�� = ��03

e. Programmeringstal for farten af hvert hjul (mellem 100 og 100): �� = (�� + Δ�� )/0,33 og �� = (�� Δ�� )/0,33

f. Programmeringstallet skal være mellem 100 og 100: Man ser let, at dette opnås, når

Bemærk at forskellen med de to hjuls fart, Δ�� , bliver mindre og mindre med tiden. Det er ikke overraskende: parablen bliver jo mindre og mindre krum, jo længere man kommer væk fra toppunktet, og derfor skal der køres mere og mere lige ud. Et forslag til programmering af parabelkørslen ses i Fig. 4.

Figur 4 Robotkørsel langs parablen �� = �� 2 med �� = 1 10 og med grundfart ��0 = 4 cm/s langs x-aksen. Graferne viser udviklingen af �� og Δ�� . Man ser på den røde graf, at robotten starter og slutter med farten 33 cm/s (robottens max-fart), og at den næsten går stå, når den efter 10 s skal rundt i svinget ved toppunktet. Her krydse r den grønne graf op over den røde i et par sekunder – i dette tidsrum kører hjulene hver deres vej for at få robotten rundt i det skarpe sving.

Programmet i Fig. 4 får robotten til at køre langs parablen �� = 1 10 �� 2 i 20 sekunder, startende ved �� = 10 s Da farten i x-aksens retning er sat til ��0 = 4 cm/s, svarer det til parabelstykket fra �� = 40 cm til �� = 40 cm. Robotten starter altså i punktet (��, ��) = (��, 1 10 �� 2 ) = ( 40, 1 10 (40)2 ) = ( 40 160), målt i cm, og kører ned langs parablens venstre ben til (0,0) og videre op ad det højre ben indtil den når (40,160), igen målt i cm

Ellipse

I dette afsnit viser vi et eksempel på, hvordan robotten kan programmeres til at køre langs generelle parameterkurver (som ikke nødvendigvis er grafer) Fremgangsmåden er igen som beskrevet i boksen.

Da cirklen med radius �� kan parametriseres ved ��(��) = (�� cos(��0 ��) �� sin(��0 ��) ), hvor ��0 = 2�� er vinkelfarten for banegennemløbet, kommer det ikke som en overraskelse, at ellipsen med halvakser �� og �� (se Fig. 5) tilsvarende kan parametriseres ved

�� (��) = (�� cos(��0 ��)

�� sin(��0 ��) ) (13)

I programmeringen bruger vi ��0 -parameteren til at opnå en passende fart rundt i ellipsen.

Figur 5 Ellipse med storakse 2�� og lilleakse 2��

Vi følger metoden fra boksen og beregner fart, krumningsradius og fartforskel:

(16)

Bemærk den herligt simple formel (15) for krumningsradiussen. Hvor er det heldigt at sin2 + cos 2 = 1! Bemærk også at enheden for krumningsradius passer: hvis �� og �� måles i cm og �� i cm/s, så kommer �� ud i enheden cm.

Programmet forventer at input til sinus og cosinus er i grader, og da vi selvfølgelig regner i radianer, må vi lave omregningen med faktoren 180 �� ”i hånden”. Kodningen af cos ��0 �� kan se således ud:

Sjovere at lære fysik

og matematik med robotter

Sjovere at lære fysik og matematik med robotter

Birkerød Gymnasium har netop modtaget en donation på 800.000 kr. fra Novo Nordisk Fonden til at udvikle undervisningen med Shape Robotics Fable robotter.

Fable er navnet på en danskudviklet undervisningsrobot, som kan bruges fra 3. klasse til universitetsniveau. Ophavsmanden er David Christensen, direktør for en stab på 23 medarbejdere Shape Robotics Farum.

Fable er navnet på en danskudviklet undervisningsrobot, som kan bruges fra 3. klasse til universitetsniveau. Ophavsmanden er David Christensen, direktør for en stab på 23 medarbejdere Shape Robotics i Farum.

En af de første kunder var Birkerød Gymnasium, som siden 2017 har arbejdet på at finde alternative veje til faglig læring. I dag er robotterne en fast del af undervisningen det såkaldte naturvidenskabelige grundforløb og matematik for alle i 1g Birkerød, og de dukker også mere og mere op 2g og 3g.

dem nemme at bygge, og så kan vi hurtigt komme gang med de faglige målinger og beregninger, siger Niels Erik Wegge, matematikog fysiklærer og en del af teamet bag Birkerød-projektet.

En af de første kunder var Birkerød Gymnasium, som siden 2017 har arbejdet på at finde alternative veje til faglig læring. dag er robotterne en fast del af undervisningen det såkaldte naturvidenskabelige grundforløb og matematik for alle 1g Birkerød, og de dukker også mere og mere op 2g og 3g.

- Vi valgte tidligt at arbejde med Shapes

for at forske i, hvordan robotterne kan skabe bedre læring i matematik og fysik.

for at forske i, hvordan robotterne kan skabe bedre læring matematik og fysik. Birkerød-projektet kan desuden komme andre gymnasier i landet til gavn.

for at få robotterne til at gøre det, de skal.

dem nemme at bygge, og så kan vi hurtigt komme gang med de faglige målinger og beregninger, siger Niels Erik Wegge, matematikog fysiklærer og en del af teamet bag Birkerød-projektet.

- Flere elever blomstrer op, når de opdager, at matematikkens tal og tørre teori kan bruges spændende øvelser med robotterne, siger han.

Birkerød-projektet kan desuden komme andre gymnasier landet til gavn.

- Den 29. maj 2020 inviterer vi til den første årlige konference for gymnasielærere

- med foredrag og workshops om, hvordan robotprogrammering kan være med til at opfylde de krav, vi skal leve op til på et moderne gymnasium, siger Niels Erik Wegge.

- Flere elever blomstrer op, når de opdager, at matematikkens tal og tørre teori kan bruges spændende øvelser med robotterne, siger han.

Støtte til udvikling

- Vi valgte tidligt at arbejde med Shapes

Fable robotter, fordi de er større og mere robuste end andre på markedet. Det gør

I kraft af en donation på 800.000 kr. fra Novo Nordisk Fonden kan teamet over de næste tre år fortsætte det uformelle samarbejde med Shape Robotics om at udvikle flere undervisningsprojekter til robotterne. Donationen giver også mulighed

Støtte til udvikling I kraft af en donation på 800.000 kr. fra Novo Nordisk Fonden kan teamet over de næste tre år fortsætte det uformelle samarbejde med Shape Robotics om at udvikle flere undervisningsprojekter til robotterne. Donationen giver også mulighed

- Den 29. maj 2020 inviterer vi til den første årlige konference for gymnasielærere - med foredrag og workshops om, hvordan robotprogrammering kan være med til at opfylde de krav, vi skal leve op til på et moderne gymnasium, siger Niels Erik Wegge.

Fokus på faglig læring Eleverne Birkerød har bl.a. skullet lave en kalibreringskurve over den fart, en robot på hjul kan køre med, sådan at robottens procentuelle fartangivelse blev oversat til fart, målt meter pr. sekund. andre øvelser har eleverne brug for deres viden fra matematiktimerne om lineære funktioner og trigonometriske funktioner

Fakta om Fable

Eventyret om Fable-robotten begyndte i 2011 på Danmarks Tekniske Universitet, hvor David Johan Christensen som lektor og robotforsker i samarbejde med Moises Pacheco påbegyndte udviklingen af et robotsystem, som skulle være utrolig let at bruge.

I 2015 etablerede bl.a. David og Moises virksomheden Shape Robotics. Målet er fortsat at gøre Fable så tilgængelig som muligt for studerende i hele verden. I dag sælges Fable i over 20 lande med Storbritannien, Holland, Italien, USA og Rusland foruden Danmark som de største aftagere.

Eventyret om Fable-robotten begyndte i 2011 på Danmarks Tekniske Universitet, hvor David Johan Christensen som lektor og robotforsker i samarbejde med Moises Pacheco påbegyndte udviklingen af et robotsystem, som skulle være utrolig let at bruge. I 2015 etablerede bl.a. David og Moises virksomheden Shape Robotics. Målet er fortsat at gøre Fable så tilgængelig som muligt for studerende i hele verden. I dag sælges Fable i over 20 lande med Storbritannien, Holland, Italien, USA og Rusland foruden Danmark som de største aftagere.

Se mere på: www.shaperobotics.com/da/

for at få robotterne til at gøre det, de skal. - Robotterne kan også indgå i fysikforsøg, og de bidrager til den almene digitale dannelse, som undervisningen også må tage højde for, siger han og fortsætter:

- Robotterne kan også indgå i fysikforsøg, og de bidrager til den almene digitale dannelse, som undervisningen også må tage højde for, siger han og fortsætter:

- Netop forpligtelsen til at klæde eleverne på til at navigere et tiltagende digitalt samfund var den oprindelige motivation og vision hos rektor Anders Kloppenborg, da han satte projektet gang på Birkerød Gymnasium.

Fokus på faglig læring Eleverne i Birkerød har bl.a. skullet lave en kalibreringskurve over den fart, en robot på hjul kan køre med, sådan at robottens procentuelle fartangivelse blev oversat til fart, målt i meter pr. sekund. I andre øvelser har eleverne brug for deres viden fra matematiktimerne om lineære funktioner og trigonometriske funktioner

- Netop forpligtelsen til at klæde eleverne på til at navigere i et tiltagende digitalt samfund var den oprindelige motivation og vision hos rektor Anders Kloppenborg, da han satte projektet gang på Birkerød Gymnasium.

Skolen har fra starten afsat tid og rammer til, at lærerne Christian Balsløv, Ole Dünweber, Lauritz Carlsen og Niels Erik Wegge løbende kan brainstorme om, hvordan robotterne kan gøre undervisningen interessant og involverende på endnu flere områder.

- Det er ikke ligetil at didaktisere robotprogrammering, og vi havde ikke opnået den samme succes uden vores tværfaglige

teamwork, hvor alle vores kompetencer kommer spil, siger Niels Erik Wegge.

En robot til leje

Man kan komme gang med Fable for få tusinde kroner, mens et klassesæt koster ca. 35.000 kr. Det er en investering som flere ungdomsuddannelser tøver overfor.

Let at programmere

Man kan komme i gang med Fable for få tusinde kroner, mens et klassesæt koster ca. 35.000 kr. Det er en investering som flere ungdomsuddannelser tøver overfor.

Shape Robotics har netop gjort det muligt at leje en robot stedet for at købe.

- Vi håber den fleksible løsning kan få endnu flere til at arbejde med Fable, siger David Christensen.

Let at programmere

- Som underviser på SDU og DTU har jeg oplevet, hvor svært det kan være at fastholde de studerendes opmærksomhed ved forelæsninger, og uanset elevernes alder, at det er lettere at lære, når man får mulighed for at eksperimentere og kan se det virke i praksis, siger David Christensen.

- Som underviser på SDU og DTU har jeg oplevet, hvor svært det kan være at fastholde de studerendes opmærksomhed ved forelæsninger, og uanset elevernes alder, at det er lettere at lære, når man får mulighed for at eksperimentere og kan se det virke praksis, siger David Christensen.

- Vi håber den fleksible løsning kan få endnu flere til at arbejde med Fable, siger David Christensen.

Foreløbig har over 500 grundskoler og ungdomsuddannelser fra flere end 20 lande investeret robotterne med tilhørende undervisningsmateriale. Shape Robotics fortsætter med at udvikle på robotten, og David Christensen forventer at endnu flere får blik for det moderne undervisnings-

Foreløbig har over 500 grundskoler og ungdomsuddannelser fra flere end 20 lande investeret i robotterne med tilhørende undervisningsmateriale. Shape Robotics fortsætter med at udvikle på robotten, og David Christensen forventer at endnu flere får blik for det moderne undervisningsværktøj.

De modulære Fable-robotter kan programmeres både med enkle blokke af koder og med det mere avancerede tekstsprog, Python, så det kan anvendes på mange klassetrin.

- Ved at gøre programmering mere enkel, styrker vi elevernes evne til at være innovative, hvilket på langt sigt kan gavne fx velfærdsteknologien plejesektoren, klimaindsatsen, affaldshåndteringen og meget mere, siger David Christensen.•

På billedet af robotgruppen ses fra venstre Christian Balsløv, Ole Dünweber, Niels Erik Wegge, Lauritz Carlsen.

Elever fra 1g, som arbejder med

På billedet af robotgruppen ses fra venstre Christian Balsløv, Ole Dünweber, Niels Erik Wegge, Lauritz Carlsen.

Elever fra 1g, som arbejder med robotterne i matematik (lydmåler).

“Robotterne giver os nye repræ-

sentationsformer til matematiske begreber som fx rette linjer og mere indviklede kurver. Og i fysik kan robotter både hjælpe os ved selv at udføre målinger med de indbyggede sensorer, og ved at etablere fysiske situationer som vi

kan måle på...”

Robotgruppen på Birkerød Gymnasium:

Niels Erik Wegge nw@birke-gym.dk

Ole Dünweber old@birke-gym.dk

Lauritz Carlsen lac@birke-gym.dk

Nathan Hugh Barr nab@birke-gym.dk

Birkerød Gymnasium

Søndervangen 56

DK–3460 Birkerød Denmark

+45 45 16 82 20 mail@birke-gym.dk birke-gym.dk

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook