اال�ســـــم : الفـــ�سل : املدر�ســة:
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
ت�أليف �أ /كمال يون�س كب�شة �أ.د /عبد �ل�شافى فهمى عبادة �أ� /أ�شامة جابر عبد �حلافظ
الطبعــة األولى 2017/2016
رقم اإليـــداع 2016 / 8707
الرقــم الدولى
978 - 977 - 706 - 035 - 6
�أ.د /نبيل توفيق �ل�شبع �أ /جمدى عبد �لفتاح �ل�شفتى
المقدمة بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم ىف ضوئها بناء املادة التعليمية ونوجزها فيمايىل:
يشهد عالم اليوم تطو ًرا علميًّا مستم ًرا ،وجيل الغد يلزمه أن يتسلح بأدوات تطور عرص الغد؛ حتى ً وانطالقا من هذا املبدأ سعت وزارة الرتبية والتعليم إىل يستطيع مواكبه االنفجار الهائل يف العلوم املختلفة، تطوير مناهجها عن طريق وضع املتعلم يف موضع املستكشف للحقيقة العلمية باإلضافة إىل تدريب الطالب عىل البحث العلمى يف التفكري؛ لتصبح العقول هى أدوات التفكري العلمى وليست مخازن للحقائق العلمية. ونحن نقدم هذا الكتاب « التفاضل والتكامل» للصف الثالث الثانوى؛ ليكون أداة مساعدة يستنري بها أبناؤنا عىل التفكري العلمى ،ويحفزهم عىل البحث واالستكشاف . وفى �شوء ما �شبق روعى فى كتاب « �مليكانيكا » مايلى:
تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة ،لكل منها مقدمة توضح مخرجات التعلم املستهدفة ومخططٌ يوضح الهدف من تنظيمى لها ،واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ،ومقسمة إىل دروس َّ تدريسها للطالب تحت عنوان (سوف تتعلم) .ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس ،وروعى عرض املادة العلمية من السهل إىل الصعب ،ويتضمن الدرس مجموعة من األنشطة التى تربطه باملواد األخرى والحياة العملية ،والتى تناسب القدرات املختلفة للطالب ،وتراعى الفروق الفردية من خالل بند (اكتشف الخطأ ملعالجة بعض األخطاء الشائعة لدى الطالب) ،وتؤكد عىل العمل التعاونى ،وتتكامل مع املوضوع ،كما يتضمن الكتاب بعض القضايا املرتبطة بالبيئة املحيطة وكيفية معالجتها. كما ُقدِّم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب ،وتشمل مستويات التفكري املتنوعة ،مع تدريبات عليها تحت عنوان (حاول أن تحل) ،وينتهى كل درس ببند «تمارين» ،ويشمل مسائل متنوعة ،تتناول املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف الدرس. تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة ،يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة ،وتمارين عامة تشمل مسائل متنوعة عىل املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف هذه الوحدة. تُختم وحدات الكتاب باختبار تراكمى ،يقيس بعض املهارات الالزمة لتحقيق مخرجات تعلم الوحدة. ينتهى الكتاب باختبارات عامة ،تشمل بعض املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب.
وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا ،ولمصرنا العزيزة. وال� �له من وراء القصد ،وهو يهدى إلى سواء السبيل
�لمحتويات اوال :االستاتيكا
الوحدة األولى :االحتكاك
1-1 2-1
اتزان جسم على مستوى أفقى خشن
اتزان جسم على مستوى مائل خشن
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ملخص الوحدة تمارين عامة
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الثانية :العزوم
1-2 2-2
عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثنائى االبعاد عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثالثى االبعاد
ملخص الوحدة تمارين عامة اختبار تراكمى
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الثالثة :القوى المتوازية المستوية
1-3 2-3
محصلة القوى المتوازية المستوية
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ملخص الوحدة تمارين عامة
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الرابعة :االتزان العام
1-4
اتزان جسم جاسىء
ملخص الوحدة تمارين عامة اختبار تراكمى
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الخامسة :االزدواجات
1-5 2-5
4 13 20 21
االزدواجات
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
االزدواج المحصل
تمارين عامة اختبار تراكمى
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
24 33 38 39 41 44 54 60 61 64 73 74 75 87 86 96 97
�لمحتويات الوحدة السادسة :مركز الثقل
1-6 2-6
مركز الثقل
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
طريقة الكتلة السالبة
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ملخص الوحدة تمارين عامة
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
100 112 121 123
ثانيًا :الديناميكا
الوحدة األولى :الحركة فى خط مستقيم
1-1 2-1
تفاضل الدوال المتجهة
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
تكامل الدوال المتجهة
تمارين عامة
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الثانية :قوانين نيوتن للحركة
1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2 7-2
كمية الحركة
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
القانون األول لنيوتن
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
القانون الثاني لنيوتن
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
القانون الثالث لنيوتن
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
حركة جسم على مستوى مائل أملس حركة جسم على مستوى خشن البكرات البسيطة
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ملخص الوحدة تمارين عامة
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الثالثة :الدفع والتصادم
1-3 2-3
الدفع
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
التصادم
ملخص الوحدة تمارين عامة اختبار تراكمى
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
الوحدة الرابعة :الشغل ،القدرة ،الطاقة
1-4 2-4 1-4 2-4
الشغل
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
طاقة الحركة
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
طاقة الوضع
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
القدرة
تمارين عامة
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
128 139 146 150 156 163 174 182 187 192 210 212 222 230 238 239 241 238 250 289 266 275
أوال اإلستاتيكا
االحتكاك Friction
الوحدة
1
مقدمة الوحدة قوة االحتكاك قديمة منذحقب طويلة فقد اعتمد عليها المصريون القدماء وفقا لألسلوب الهندسى والعلمى المتاح لديهم ،وقد استخدم العمال القدماء مجموعة متنوعة من األدوات لقطع الكتل الحجرية المستخدمة فى بناء األهرامات حيث كان يتم سحبها من مكان إلى آخر على دعامات مشحمة حتى تقل قوة االحتكاك بين الكتل وتلك الدعامات .وفى عهد انتصارات اإلمبراطورية الرومانية قام المهندسون الحربيون بتزييت اآلالت العسكرية أثناء الحصار وذلك لتقليل قوة االحتكاك بين هذه األجزاء .وأول من وضع األسس العلمية لعلم االحتكاك فى عصر النهضة هو العالم االيطالى ليوناردو دافنشى 1462( Leonardo da Vinciم 1519 -م) الذى عَ رف مفهوم االحتكاك كقيمة لقوة االحتكاك ،ومن التجارب العملية التي قام بها العلماء لوحظ أن قوة االحتكاك لألجسام الساكنة أكبر من قوة االحتكاك لألجسام المتحركة .وهذا شيء نالحظه في حياتنا العملية حيث يحتاج الشخص إلى قوة كبيرة في بداية األمر لتحريك صندوق خشبي على األرض ولكن بعد أن يتحرك الصندوق نالحظ أن القوة الالزمة أصبحت أقل من ذي قبل وهذا ألن الجسم أصبح متحركا ً وبالتالي فإن قوة االحتكاك تصبح أقل .لهذا السبب يمكن تقسيم االحتكاك إلى نوعين هما االحتكاك السكوني static frictionواالحتكاك الحركي .. kinetic frictionوسوف نتناول فى هذه الوحدة مفهوم االحتكاك وخواصه ،وشروط اتزان جسم على مستوى أفقى خشن وأخر على مستوى مائل خشن وسوف نختم هذه الوحدة ببعض التطبيقات الحياتية على االحتكاك.
أهداف الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:
يميز بين السطوح الملساء والسطوح الخشنة . يتعرف على مفهوم االحتكاك وخواصه .
يتعرف قوة االحتكاك وقوة االحتكاك النهائى .
يحدد معامل االحتكاك ،وزاوية االحتكاك والعالقة بينهما . يحدد شروط اتزان جسم على مستو أفقى خشن .
2
الصف الثالث الثانوى
يحدد شروط اتزان جسم على مستو مائل خشن .
يستنتج العالقة بين قياس زاوية االحتكاك وقياس زاوية ميل المستوى على األفقى عند وضع جسم على مستوى مائل خشن بشرط أن يكون على وشك االنزالق تحت تأثير وزنه فقط . يحل تطبيقات حياتية على االحتكاك .
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñاالحتكاك
Friction
Ñسطح أملس
Smooth Surface
Ñسطح خشن
Rough Surface
Ñرد الفعل العمودي
Reaction Normal
Ñقوة االحتكاك السكونى
Static Friction
Ñقوة االحتكاك الحركى
Ñقوة االحتكاك السكونى النهائى
Limiting Static Friction
Ñرد الفعل المحصل
Resultant Reaction
Ñزاوية االحتكاك
Angle of Friction
Ñمستوى أفقى خشن
Horizontal rough plane
Ñمستوى مائل خشن
Inclined rough plane
Kinetic Friction
األدوات والوسائل
دروس الوحدة ( :)1- 2اتزان جسم على مستوى أفقى خشن.
آلة حاسبة علمية .
( :) 2- 2اتزان جسم على مستوى مائل خشن.
مخطط تنظيمى للوحدة االحتكاك السطوح ملساء
قوة االحتكاك قوة االحتكاك النهائى
خشنة
معامل االحتكاك
االتزان
زاوية االحتكاك
السكونى مستوى أفقى خشن
مستوى مائل خشن
الحركى
تطبيقات حياتية على االحتكاك تعيين معامل االحتكاك
كتاب الرياضيات التطبيقية
3
الوحدة األولى
1-1
اتزان جسم على مستوى أفقى خشن Equilibrium of a body on a horizontal rough plane
ماذا سيحدث لو أن االحتكاك في لحظة ما قد اختفى من العالم ،إذا اختفى االحتكاك سنجد أن السيارات والقطارات وجميع وسائل المواصالت لن تستطيع التحرك ألنها سوف تتعلم السطوح امللساء والسطوح تتحرك اعتما ًدا على االحتكاك بين األرض والعجالت .وحتى لو تحركت فإنها لن اخلشنة . تستطيع أن تتوقف ،ألن الفرامل تعتمد أساسا على االحتكاك .كما لن يستطيع الناس مفهوم االحتكاك السير أو حتى الوقوف وقفة سليمة ،وكأنهم واقفون على أرضية جليدية .ولن يستطيعوا قوة االحتكاك السكونى أمساك األشياء المختلفة ألنها ستنزلق من أيديهم .كما ستتفتت الجبال ولن يبقى عليها قوة االحتكاك احلركى أي غطاء من التربة.و لن تبقى أي أبنية سليمة بل ستتهدم .وستتفكك الحبال المربوطة. العالقة بني معامل االحتكاك كل هذا بسبب االنزالق وانعدام االحتكاك .باختصار فإن الحياة مستحيلة بدون قوى وظل زاوية االحتكاك االحتكاك.لذلك فإن لالحتكاك فوائد هامة ؛ فهو يجعل عجالت السيارة تتحرك على خواص االحتكاك الطريق ،ويجعل عجالت القاطرة ُتمسك بقضبان السكك الحديدية .وهو يسمح اتزان جسم عىل مستوى للسير الناقل بأن يدير البكرة دون انزالق .وأنت ال تستطيع السير دون االحتكاك أفقى خشن . لتمنع حذاءك من التزحلق على الرصيف .ولهذا فمن الصعب السير على الجليد ؛ المصطلحات األساسية Frictionحيث أن السطح األملس ال يسبب احتكاكاً ،وبذلك ال يسمح للحذاء باالنزالق. االحتكاك سطح أملس Smooth Surfaceويثبت التربة على سطح الجبال ويثبت البنايات سطح خشن Rough Surfaceويجعلها قائمة.ويجعل الحبال المربوطة تبقى رد الفعل العمودي ثابتة .باإلضافة إلى العديد من الفوائد األخرى . Normal Reaction
قوة االحتكاك السكونى Static Friction
قوة االحتكاك احلركى Kinetic Friction
قوة االحتكاك السكونى النهائى Limiting Static Friction
رد الفعل املحصل Resultant Reaction
زاوية االحتكاك
رد الفعل: تعلمنا فيما سبق نوعا من القوى ينشأ عند تالمس جسمين يطلق عليه اسم رد الفعل .فإذا وضعت كرة على نضد فإن النضد يؤثر على الكرة عند نقطة التماس بقوة تسمى برد فعل النضد على الكرة .كما تؤثر الكرة على النضد بقوة مضادة تسمى: ضغط الكرة على النضد والقوتان متساويتان فى المقدار ومتضادتان فى االتجاه ،ينص على ذلك القانون الثالث لنيوتن من قوانين الحركة .
Angle of Friction
مستوى أفقى خشن Horizontal rough plane
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
4
الضغط المؤثر على النضد شكل ()1 الصف الثالث الثانوى
رد الفعل المؤثر على الكرة شكل ()2 كتاب الطالب
����� ���� ��� ������ ����� ���
1 1
ال�شطوح المل�شاء وال�شطوح الخ�شنة : يفسر العلماء منشأ قوى االحتكاك بين األجسام إلى وجود نتوءات وتجويفات مجهرية فى سطوح األجسام مهما بلغت نعومتها وينتج عن تداخل هذه النتوءات والتجويفات لكل من السطحين المتالمسين ما يسمى بقوة االحتكاك ،وبالتالى نجد مقاومة عند محاولة تحريك أحد السطحين على السطح األخر ،ويعتبر معامل االحتكاك مقياسا لدرجة خشونة األسطح ،فإذا ازدادت قيمة معامل االحتكاك ازدادت الخشونة والعكس صحيح ،وإذا ساوى معامل االحتكاك الصفر انعدمت قوى االحتكاك تماماً . يتوقف رد الفعل على طبيعة الجسمين المتالمسين كما يتوقف على القوى المؤثرة األخرى على الجسم ،ففى حالة السطوح الملساء يكون رد الفعل عمود ًيا على: سطح التماس المشترك للجسمين المتالمسين ،أما إذا كان الجسمان خشنين فيكون لرد الفعل مركبة فى اتجاه سطح التماس تسمى باالحتكاك السكونى ،كما يكون لرد الفعل مركبة عمودية على سطح التماس تسمى برد الفعل العمودى.
Smooth Surfaces and Rough Surfaces
رد الفعل
رد الفعل
رد الفعل فى حالة السطوح الخشنة
رد الفعل فى حالة السطوح الملساء
شكل ()4
شكل ()3
تجربة عملية: ضع قطعة مستوية من الخشب على نضد أفقى واربطها بخيط يمر على بكرة ملساء عند حافة النضد ويتدلى الخيط رأس ًيا منته ًيا بحامل للصنج كما بالشكل. ش ش
S
Iس و1
و2
شكل ()5
صغيرا تالحظ أن القطعة الخشبية التتحرك : ال ضع اثقا ً ال مناسبة على القطعة الخشبية وضع فى حامل الصنج ثق ً ً ومعنى ذلك أن قوة االحتكاك التى اثرت على القطعة الخشبية كانت كافية لمنع الحركة رغم وجود الشد ش فى الخيط وكما هو معروف ،فإن مقدار هذا الشد يساوى وزن الحامل ووزن الصنج الموضوعه فيه معا . زد الصنج الموضوعة على الحامل بالتدريج نالحظ أن القطعة الخشبية تبدأ فى التحرك على النضد عندما تصل االثقال الموضوعة فى الحامل إلى حد معين. ويعنى هذا أن مقدار قوة االحتكاك السكونى يتزايد كلما تزايد الشد وانه يصل إلى حد معين اليتعداه .فإذا زاد الشد عن هذا الحد لم يستطع االحتكاك موازنته ويبدأ الجسم فى الحركة ويالحظ انه لو زدنا االثقال الموضوعة على القطعة الخشبية فإننا نحتاج إلى زيادة الثقل الموضوع فى حامل الصنج حتى تصبح القطعة الخشبية على وشك الحركة. كتاب الرياضيات التطبيقية
5
�كت�الا
خوا�ص قوة االحتكاك ال�شكونى: ( )1تعمل قوة االحتكاك السكونى ( )Iعلى معاكسة االنزالق فتكون فى اتجاه مضاد لالتجاه الذى يميل الجسم إلى االنزالق فيه. ( )2تكون قوة االحتكاك السكونى ( )Iمساوية فقط للقوة المماسية التى تعمل على تحريك الجسم واليمكن ان تزيد عن هذه القوة. ( )3تتزايد قوة االحتكاك السكونى ( )Iكلما تزايدت القوة المماسية التى تعمل على إحداث الحركة فتكون دائ ًما مساوية لها فى المقدار مادام الجسم متزنًا. ( )4تتزايد قوة االحتكاك السكونى إلى حد التتعداه وعند ذلك يكون الجسم على وشك االنزالق ويسمى االحتكاك فى هذه الحالة باالحتكاك السكونى النهائى ويرمز له بلرمز ( Iس). ( )5النسبة بين االحتكاك السكونى النهائى ورد الفعل العمودى ثابتة وتتوقف هذه النسبة على طبيعة الجسمين المتالمسين وليس على شكليهما او كتلتهما وتسمى هذه النسبة بمعامل االحتكاك السكونى ويرمز لها بالرمز مس. I أى أن مس = S
س حيث Iس االحتكاك السكونى النهائى
ويالحظ أن معامالت االحتكاك السكونى فى اغلب األحيان يكون فيها < 0مس < 1الصحيح إال أنه فى بعض الحاالت الخاصة قد تزيد على الواحد الصحيح . قوة االحتكاك الحركى إذا تحرك جسم على سطح خشن فإنه يخضع لقوة احتكاك حركى(Iك) يكون اتجاهه عكس اتجاه حركته ،وتعطى قيمتها بالعالقة I :ك = مك Sحيث : حيث مك هو معامل االحتكاك الحركى S ، Coefficient of Kinetic Frictionرد الفعل العمودى
Friction Kinetic
أى أن :قوة االحتكاك الحركى تساوى حاصل ضرب معامل االحتكاك الحركى فى قوة رد الفعل العمودية . ومن ذلك يمكن تعريف معامل االحتكاك الحركى على أنه النسبة بين قوة االحتكاك الحركى وقوة رد الفعل العمودى. أى أن :مك =
Iك
S
حيث Iك قوة االحتكاك الحركى
رد الفعل المح�شل () / S ال على سطح التماس حيث أنه يعتبر محصلة رد الفعل في حالة السطوح الخشنة فإن رد الفعل المحصل يكون مائ ً العمودي وقوة االحتكاك السكونى .ويسمى رد الفعل المحصل أو رد الفعل الكلي.
Resultant Reaction
تعريف
رد الفعل المحصل ( ) /Sهو محصلة رد الفعل العمودى Sوقوة االحتكاك السكونى I
6
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
1 1
����� ���� ��� ������ ����� ���
زاوية االحتكاك إذا كان ل هو قياس الزاوية المحصورة بين رد الفعل العمودي ورد الفعل المحصل . فأننا نالحظ أن قيمة ل تتزايد كلما تزايد مقدار قوة االحتكاك (بفرض ثبوت مقدار قوة رد الفعل العمودي) وأن هذه القيمة تصل إلى نهايتها العظمى عندما يصبح االحتكاك نهائياً .وتسمى الزاوية في هذه الحالة (زاوية االحتكاك) واألشكال التالية توضح ذلك.
Angle of Friction
S
S
ق1
ل1
S
/
ق2
ح1
و
S
/
S
ل2 ح2
ل
قس
و
شكل ()6
S
/
حس
و
شكل ()8
شكل ()7
من شكل ( ، )1شكل ( )2نجد أن :متجه رد الفعل المحصل /Sهو محصلة رد الفعل العمودى Sوقوة االحتكاك + 2Sح2 Iأى أن= /S : ومن شكل ( )3عندما يكون االحتكاك نهائ ًيا: + 2Sح2س aحس = م س= /S ` S ` = /S
2S+ 2Sم2
س
` S = /S
+ 1م2
س
العالقة بين معامل االحتكاك وزاوية االحتكاك : فى حالة االحتكاك النهائى من شكل (: )8 نجد أن :ظال =
حس
S
ولكن
حس
S
= مس
أى أن :مس = ظا ل
أى أنه عندما يكون االحتكاك نهائيا فإن معامل االحتكاك يساوى ظل زاوية االحتكاك تفكير ناقد :قارن بين قياسى زاويتي االحتكاك السكونى واالحتكاك الحركى. اتزان ج�شم على م�شتوى اأفقى خ�شن إذا وضع جسم وزنه و على مستوى أفقى خشن وأثرت عليه قوة مقدارها ق تميل على األفقى ألعلى بزاوية قياسها ه ْـ فإن الجسم فى وضع التوازن يكون متزنا تحت تأثير القوى : S X
Equilibrium of a body on a rough horizantal plane
/
هـ
)1قوة الوزن و رأسيا ألسفل ومقدارها و / )2قوة رد الفعل المحصل /SومقدارهاS )3القوة Xومقدارها Xوالشكل ( )9يوضح ذلك .
و
وبتحليل القوة Xإلى مركبتين فى االتجاه األفقى واالتجاه العمودى عليه فإن مقدارهما يكون Xجتا هـ X ،جا هـ .
وبتحليل /Sإلى مركبتين متعامدين هما رد الفعل العمودى Sومقداره ، S وقوة االحتكاك ح ومقدارها ح والشكل ( )10يوضح ذلك .
شكل ()9
S
Xجا هـ Xجتا هـ
كتاب الرياضيات التطبيقية
ح
و شكل ()10
7
�كت�الا
فتكون معادلتا اتزان الجسم هما :ح = Xجتا هـ X + S ،جا هـ = و مثال القوة املؤثرة عىل جسم يدفع كريم صندوقا ممتلئا بالكتب إلى سيارته ،فإذا كان وزن الصندوق والكتب 124نيوتن ومعامل االحتكاك السكونى بين الطريق والصندوق 0.45فما مقدار القوة التى يدفع بها كريم الصندوق حتى يكون على وشك الحركة. الحل
S
بإعتبار أن و = 124نيوتن ،مس = 0.45 من شروط اتزان جسم على مستوى أفقى فإن : ()1 أى أن 124 = S : =Sو ومن ( )1تكون 55.8 = 124 × 0.45 = X :نيوتن = Xمس S
ح
X
حاول أن تحل
و
شكل ()11
وضعت كتله وزنها 32نيوتن على مستوى افقى خشن وأثرت عليه قوة أفقية Xحتى أصبحت الكتلة على وشك الحركة أ اذا كانت 8 = Xنيوتن اوجد معامل االحتكاك السكونى بين الكتلة والمستوى ب اذا كان مس = 0.4أوجد X مثال
قوة االحتكاك
2وضع جسم وزنه 8نيوتن على نضد أفقى وربط بخيط أفقى يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند حافة النضد ويتدلى من طرفه ثقل مقداره 1.5نيوتن .فإذا كان الجسم متزنًا على النضد فأوجد قوة االحتكاك .وإذا ُعلم أن معامل االحتكاك السكونى بين الكتلة والنضد يساوى . 14هل يكون الجسم على وشك الحركة؟ فسر إجابتك.
الحل
القوة التى تعمل على تحريك الجسم على النضد هى قوة الشد فى الخيط األفقى ومقدارها 1.5نيوتن ,وتكون
قوة االحتكاك فى االتجاه المضاد لقوة الشد كما فى الشكل المقابل .
S
من دراسة اتزان الجسم نجد أن :
ش = 1.5نيوتن ،ح = 1.5نيوتن 8 = S ،نيوتن
لمعرفة ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ،نعين قيمة
أقصى حس aحس = مس S
ممكنه
لمقدار
قوة
االحتكاك
` حس = 2 = 8 × 14نيوتن.
السكونى
ش
1٫5نيوتن
ش
ح و
شكل ()12
` ح < حس لذلك فإن االحتكاك غير نهائى وال يكون الجسم على وشك الحركة.
8
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
����� ���� ��� ������ ����� ���
1 1
حاول أن تحل
2وضع جسم وزنه 20نيوتن على مستوى أفقى خشن ،فإذا كان معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى 14أوجد : أ مقدار القوة األفقية التى تكفى لجعل الجسم على وشك الحركة . ب القوة التى تميل على المستوى بزاوية قياسها c30وتجعل الجسم على وشك الحركة .
مثال زاوية االحتكاك 3وضع جسم وزنه 57ث كجم على مستوى أفقى خشن وأثرت على الجسم قوتان مقدارهما 3 ، 2ث كجم ويحصران بينهما زاوية قياسها c60بحيث كانت القوتان أفقيتين واقعتين فى نفس المستوى األفقى مع الجسم ،فإذا أصبح الجسم على وشك الحركة فأوجد معامل االحتكاك بين الجسم والمستوى وكذلك قياس S زاوية االحتكاك. الحل
2
Iس
19
S
القوى المؤثرة على الجسم هى : 57 ( )1مقدار وزنه 57ث .كجم رأسياًألسفل . 57 ( )2مقدار رد الفعل Sالعمودى على المستوى . شكل ()14 شكل ()13 ( )3قوتان مقدارهما 3 ، 2ث كجم وتعمالن فى نفس المستوى ويحصران بينهما زاوية قياسها . c60 ( )4قوة االحتكاك ح وتقع فى المستوى األفقى . aمجموع المركبات الجبرية للقوى فى االتجاه العمودى على المستوى = صفر ` 57 = Sث كجم القوى المستوية والمتزنة I ، 3 ، 2ث كجم تكون Iمساوية ومضادة لمحصلة القوتين 3 ، 2ث كجم .
I aس =
2X 1X2 + 22X + 12Xجتا ى
3
قانون محصلة قوتين متالقيتين فى نقطة
19 = 1 * 3 * 2 * 2 + 9 + 4ث .كجم ` Iس = 2 aالجسم متزن ` مس57 = S ، 19 = S ` وبقسمة المعادلتين ` :م = 1 س aمس = ظا ل
حاول أن تحل
3 ` ظا ل = 1 3
c60
Iس
` c(Xل) = c 30
3وضع جسم مقدار وزنه 6نيوتن على مستوى أفقى خشن وأثرت عليه فى نفس المستوى قوتان مقدارهما 4 ، 2نيوتن تحصران بينهما زاوية قياسها c120فظل ساكنا .أثبت أن قياس زاوية االحتكاك (ل) بين الجسم والمستوى يجب أن ال تقل عن . c30 وإذا كانت c(Xل) = c45وبقى اتجاه القوتين ثابتا ،كما بقيت القوة 4نيوتن دون تغيير ،فعين مقدار القوة األخرى لكى يكون الجسم على وشك أن يبدأ الحركة. كتاب الرياضيات التطبيقية
9
�كت�الا
مثال الربهنة النظرية 4وضع جسم وزنه و نيوتن على مستوى أفقى خشن وكان قياس زاوية االحتكاك بين الجسم والمستوى ل .شد الجسم بقوة تميل على المستوى األفقى بزاوية قياسها هـ فأصبح الجسم على وشك الحركة .اثبت أن مقدار و جا ل هذه القوة يساوى جتا ( هـ -ل)
،ثم أوجد مقدار أقل قوة تكفى لتحريك الجسم والشرط الالزم لذلك. S
الحل
X
aقياس زاوية االحتكاك = ل جا ل ` معامل االحتكاك السكونى (مس) = ظا ل = جتا ل
Xجا هـ
Xجتا هـ هـ
جا ل ` مقدار قوة االحتكاك النهائى حس = مس* S = S جتا ل
و
شكل ()15
وبتحليل القوة Xإلى مركبتين فى اتجاهين متعامدين مقدارهما Xجتا هـ X ،جا هـ ` معادلتا االتزان هما X :جتا هـ = مسS جا ل
( ، )1( .................................................ألن مس = طا ل)، ` Xجتا هـ = * S جتا ل X + Sجا هـ = و )2( ......................................................................................
ق جتا هـ جتا ل ومن (= S )1 جا ل ق جتا هـ جتا ل +ق جا هـ = و ` جا ل
وبالتعويض فى ()2
` ق (جتا هـ جتا ل +جا هـ جا ل) = و جال و جا ل `= X جتا ( هـ -ل)
حس
تذكر �أن
جتا (هـ -ل) = جتاهـ جتا ل +جاهـ جا ل جتا (هـ +ل) = جتاهـ جتا ل -جاهـ جا ل
` Xجتا هـ جتا ل X +جا هـ جا ل = و جا ل ` Xجتا (هـ – ل) = و جا ل
وحيث أن المطلوب هو إيجاد مقدار اقل قوة فهذا يستلزم أن يكون جتا (هـ -ل)
أكبر ما يمكن .أى أن جتا (هـ -ل) = 1 ` مقدار أقل قوة تكفى لجعل الجسم على وشك الحركة يساوى = Xو جا ل وذلك عندما جتا (هـ -ل) = 1أى أن :هـ -ل = c0أى أن :هـ = ل ` الشرط الالزم هو أن يكون قياس زاوية ميل القوة على األفقى يساوى قياس زاوية االحتكاك حل آخر
/S aهى محصلة القوتين I ، Sس: ` الجسم متزن تحت تأثير ثالث قوى هى: بتطبيق قاعدة المى : و X = ` جا ( - c180ل) جا [( - c90هـ -ل)] و X = a ل جا جتا (هـ -ل)
X
و جا ل ` =X جتا (هـ -ل)
،
و S ،
/
aالمطلوب هو أقل قوة ،فيكون المقدار جتا (هـ – ل) أكبر ما يمكن
0
الصف الثالث الثانوى
S
X
S
ل
هـ و
شكل ()16 كتاب الطالب
/
ك
����� ���� ��� ������ ����� ���
1 1
والشرط الالزم هو : ` = Xو جا ل ` جتا (هـ – ل) = 1 ` هـ = ل ` هـ – ل = 0 جتا (هـ – ل) = جتا 0 ` الشرط الالزم هو أن تكون قياس زاوية ميل القوة على األفقى يساوى قياس زاوية االحتكاك حاول أن تحل
4وضع جسم وزنه (و) ث كجم على مستو أفقى خشن قياس زاوية االحتكاك بين الجسم والمستوى (ل) ،شد الجسم بقوة تصنع مع األفقى زاوية قياسها (2ل) ألعلى جعلت الجسم على وشك الحركة .أثبت أن مقدار هذه القوة يساوى و ظا ل .
تمــــاريــن 1 - 1
�أوال � :أكمل م� ي�أتى :
تسمى القوة التى تظهر عند انزالق سطحين متالمسين خشنين بقوة تنعدم قوى االحتكاك ويكون معامل االحتكاك مساويا للصفر فى السطوح ................................................. عندما تصل قوة االحتكاك السكونى إلى قيمتها العظمى فإن الجسم عندها يكون ...................................... قوة االحتكاك الحركى تساوى حاصل ضرب معامل االحتكاك الحركى فى قوة ............................................ محصلة قوة رد الفعل العمودى وقوة االحتكاك السكونى النهائى تسمى .................................................................... قوة االحتكاك السكونى أقل من أو تساوى حاصل ضرب معامل االحتكاك السكونى فى قوة ................................................. إذا كان معامل االحتكاك السكونى بين كتلة مقدارها 40كجم وسطح األرض يساوى 0.45فإن مقدار القوة األفقية التى تؤثر على الكتلة وتجعلها على وشك الحركة تساوى ................................................. إذا وضع جسم وزنه 6نيوتن على مستوى أفقى خشن وكان مقدار قوة االحتكاك السكونى 4نيوتن فإن معامل االحتكاك السكونى يساوى ................................................. ............................................................................
2 3 4 5 6 7 8
ث�ني� � :أجب عن �الأ�سئلة �الآتية : 9يدفع فتى حجرا وزنه 56نيوتن بقوة أفقية مقدارها 42نيوتن على رصيف فكان الحجر على وشك الحركة . أوجد معامل االحتكاك السكونى بين الحجر والرصيف.
0جسم وزنه 240ث كجم وضع على ٍ مستو أفقى خشن ويراد شده بحبل يميل على األفقى ألعلى بزاوية قياسها ، c30فإذا كان معامل االحتكاك السكونى يساوى 0.3فأوجد مقدار الشد الذى يلزم لجعل الجسم على وشك الحركة . وضع جسم وزنه 39ث جم على مستوى أفقى خشن ،أثرت عليه قوتان أفقيتان مقدارهما 8 ، 7ث جم وتحصران بينهما زاوية قياسها c60فأصبح الجسم على وشك الحركة .أوجد معامل االحتكاك السكونى .
2وضع جسم وزنه 12نيوتن على نضد أفقى وربط بخيط أفقى يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند حافة النضد كتاب الرياضيات التطبيقية
�كت�الا
ويتدلى من طرفه ثقل مقداره 4نيوتن .فإذا كان الجسم متزن على النضد فأوجد قوة االحتكاك .وإذا ُعلم أن معامل االحتكاك السكونى بين الكتلة والنضد يساوى . 13هل يكون الجسم على وشك الحركة ؟ فسر إجابتك .
ُ 3شد صندوق وزنه (و) ث كجم موضوع على مستوى أفقى خشن بواسطة حبلين الشد فيهما 8 ، 6ث كجم ويحصران بينهما زاوية قياسها ، c90فإذا كان معامل االحتكاك السكونى بين الصندوق والمستوى يساوى 1 4
فأوجد وزن الصندوق (و) إذا كان الصندوق على وشك الحركة.
4وضع جسم وزنه 39نيوتن على مستو أفقى خشن وكان ظل زاوية االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى ، 13شد الجسم بقوة تصنع مع األفقى زاوية جيبها 45جعلت الجسم على وشك الحركة .اوجد :
أوال :مقدار قوة الشد .
ثانيا :مقدار قوة االحتكاك السكونى
2
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
اتزان جسم على مستوى مائل خشن Equilibrium of a body on an Inclined rough plane
الوحدة األولى
2-1
سبق أن درسنا اتزان جسم وزنه (و) على مستوى أفقى خشن تحت تأثير قوة (ق) تميل على األفقى ألعلى بزاوية هـ وعلمنا أن الجسم فى وضع االتزان يكون متزنا تحت سوف تتعلم تأثير القوى اآلتية. رشوط اتزان جسم عىل ½ قوة الوزن و ½ قوة رد الفعل المحصل /S مستوى مائل خشن ½ القوة
X
/S
وفى هذا الدرس سوف ندرس اتزان جسم على ح
مستوى مائل خشن . نعتبر أن جسما متزنا على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ . يتزن الجسم على المستوى تحت تأثير قوتين :
العالقة بني قياس زاوية االحتكاك وقياس زاوية ميل املستوى عىل األفقى .
S
ل هـ و
( )1قوة وزنه و وتعمل رأسياً ألسفل وليكن مقدارها (و)
و جا هـ
هـ
شكل ()1
( )2قوة رد الفعل المحصل وليكن مقدارها ( )/S
تعيني معامل االحتكاك بني سطحني متالمسني (نشاط).
المصطلحات األساسية مستوى مائل خشن
Inclined rough plane
رد الفعل العمودى
ومن �شروط �التز�ن نجد �أن :
Normal Reaction
رد الفعل املحصل
قوة رد �لفعل �لمح�سل تعمل ر�أ�سي ً� الأعلى .
ويكون = /S :و )1( ............................................... يمكن االن تعيين قوتى االحتكاك ورد الفعل العمودى باعتبارهما مركبتى قوة رد الفعل المحصل فى اتجاهين أحدهما يوازى المستوى واآلخر عمودى عليه كما فى الشكل المقابل .
قوة �الحتك�ك .
Resultant Reaction
زاوية االحتكاك Angle of Friction
معامل االحتكاك Coefficient of Friction
ح = و جا هـ )2( ............................................................. وتعمل هذه القوة عكس اتجاه الحركة المحتملة ،أى أنها توازى خط أكبر ميل وتكون موجهة ألعلى المستوى .
قوة رد �لفعل �لعمودى .
= Sو جتا هـ )3(.............................................................
�لعالقة بين قي��س ز�وية �الحتك�ك �ل�سكونى وقي��س ز�وية ميل �لم�ستوى على �الأفقى .
إذا وضع جسم على مستو مائل خشن وكان الجسم على وشك الحركة فإن قياس زاوية األدوات المستخدمة االحتكاك السكونى يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى . آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
كتاب الرياضيات التطبيقية
3
�كت�الا البرهان :
aاالحتكاك نهائى ` قوة رد الفعل المحصل تصنع مع العمودى على المستوى زاوية قياسها يساوى قياس زاوية االحتكاك السكونى وليكن قياسها (ل) . ومن الشكل السابق نجد أن :هـ = ل كما يمكن صياغة هذه المتساوية بداللة معامل االحتكاك كاآلتى : ظا ل = م
أو
م = ظا هـ
فمثال : ٍ مستو مائل خشن وكان على وشك الحركة بتاثير وزنه فقط عندما كانت زاوية ميل المستوى إذا وضع جسم على على االفقى قياسها . c30فإن معامل االحتكاك السكونى م = ظا 1 = c30
نشاط
3
تعيني معامل االحتكاك السكونى بني سطحني متالمسني
الهدف من النشاط : تعيين معامل االحتكاك بين سطحين متالمسين معلومين باستخدام المستوى المائل .
األدوات المستخدمة فى النشاط : مستوى خشن – كتلة خشبية أحد أوجهها مستوى واآلخر المقابل به حفرة مستطيلة الشكل -حامل كابستان بماسك – محور ارتكاز – منقلة – خيط رصاص .
خطوات إجراء النشاط : ( )1أربط محور االرتكاز بماسك الحامل وثبت فيه المستوى . ( )2ثبت المنقلة فى المستوى بحيث ينطبق قطرها على حافة المستوى كما فى الشكل المقابل . ( )3علق خيط الرصاص من مسمار عند مركز المنقلة ويراعى أن يمر بمنتصف تدريج المنقلة عندها يكون المستوى أفقيا . شكل ()2 ( )4أجعل المستوى فى وضع أفقى وضع عليه الكتلة الخشبية بوجهها المستوى ثم ضع ثقال مناسبا فى الحفرة . ( )5أَ ِمل المستوى تدريجيا حتى تبدأ الكتلة فى االنزالق عند طرقها طرقاً خفيفاً . ( )6أقرأ تدريج المنقلة عند نقطة انطباق الخيط عليها ومن ذلك أوجد قياس زاوية ميل المستوى على األفقى وليكن (ى) . ( )7كرر الخطوتين ( )6( ، )5السابقتين مع تغيير الثقل الموضوع فى الحفرة وتعيين قياس زاوية ميل المستوى فى كل مرة وسجل النتائج فى كل مرة .ماذا تالحظ عن قياسات الزوايا التى حصلت عليها فى المرات السابقة .
من �لن�شاط �ل�شابق نجد �أن :
4
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
����� ���� ��� ������ �ل�� ���
½ قياسات الزوايا التى حصلنا عليها فى المرات السابقة متساوية القياس على وجه التقريب .
1 1
½ متوسط قياسات الزوايا هو قياس زاوية االحتكاك .
½ ظل هذه الزاوية هو معامل االحتكاك بين السطحين المتالمسين . مثال وضع جسم وزنه 3نيوتن على مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها c30ومعامل االحتكاك السكونى بينه وبين الجسم يساوى . 23أثرت على الجسم قوة تعمل فى خط أكبر ميل للمستوى وألعلى ومقدارها 2نيوتن ، فإذا كان الجسم متزنا .عين قوة االحتكاك عندئذ وبين ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ؟ الحل
بتحليل وزن الجسم و إلى مركبتين فى اتجاه المستوى والعمودى عليه . )1المركبة المماسية فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى إلى أسفل ومقدارها و جا هـ = 3جا 32 = c30نيوتن )2المركبة العمودية على المستوى ومقدارها و جتا هـ = 3جتا 3 2 3 = c30نيوتن وبالمقارنة بين مقدار المركبة المماسية للوزن و جا هـ = 32نيوتن ،مقدار القوة المؤثرة على الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى = 2نيوتن نجد أن > X :و جا هـ. لذلك فإن الجسم يميل إلى التحرك ألعلى المستوى ولذلك يجب أن تكون قوة االحتكاك ح فى عكس االتجاه أى فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى ألسفل وبذلك يكون : ` =2ح3 + ` ح = 12نيوتن = Xح +و جا هـ 2 = Sو جتا هـ
` 3 = Sجتا c30
مقدار االحتكاك = 12نيوتن ويعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألسفل 2 وللتعرف على ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال
` 3 32 = Sنيوتن
نوجد مقدار قوة االحتكاك النهائى Iس = مس 3 = 3 32 * 23 = Sنيوتن c30 فنجد أن :ح < Iس أى أن االحتكاك غير نهائى 3جتا c30 ` الجسم ال يكون على وشك الحركة . 3
حاول أن تحل
S
3جا c30
c30ح
شكل ()3
وضع جسم وزنه 2ث كجم على مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها c 30ومعامل االحتكاك السكونى بينه وبين الجسم يساوى . 0.9أثرت على الجسم قوة تعمل فى خط أكبر ميل للمستوى وألعلى ومقدارها 2.5 نيوتن ،فإذا كان الجسم متزنا .عين قوة االحتكاك عندئذ وبين ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال ؟
تفكير ناقد :إذا وضع جسم على مستوى مائل يميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ) وكان قياس زاوية االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى (ل) – ماذا تتوقع أن يحدث للجسم إذا كان : ب هـ) > ل أ هـ < ل كتاب الرياضيات التطبيقية
5
�كت�الا
مثال 2وضع جسم وزنه 10ث كجم على مستو مائل خشن تؤثر عليه قوة فى اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى المستوى، فإذا علم أن الجسم يكون على وشك الحركة إلى أعلى المستوى عندما ق = 6ث كجم ويكون على وشك الحركة إلى اسفل المستوى عندما 4 = Xث كجم .أوجد : أ قياس زاوية ميل المستوى على األفقى . ب معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى . الحل
عندما 6 = Xث كجم يكون الجسم على وشك الحركةإلى أعلى المستوى ويكون االحتكاك السكونى نهائيا ويعمل إلى أسفل المستوى . 10 = 6 ،جاهـ +مس 1Sوبحذف 1Sمن المعادلتين : ` 10 = 1Sجتا هـ ` 10جا هـ 10 +مس جتا هـ = )1( .................................... 6 عندما 4 = Xث كجم يكون الجسم على وشك الحركةإلى أسفل المستوى ويكون االحتكاك السكونى نهائيا ويعمل إلى ألعلى المستوى . ` 10 = 2Sجتا هـ + 4 ،مس 10 = 2Sجا هـ وبحذف 2S 1S 6 من المعادلتين : ` 10مس جتا هـ = 10جا هـ )2( ......................................4 - 10جا هـ هـ من (: )2( ، )1 هـ 10جتا هـ مس1S ` 10 = 6جا هـ 10 +جا هـ – 20 ` 4جا هـ = 10 10 شكل ()4 ` جا هـ = 1 ` هـ = c30 2 2S 4 م 4 – c30 جا 10 = c30 جتا م 10 ` ()1 رقم فى وبالتعويض S س س 2 1 = 3 ` 10 * 3م = 4 – 5 ` مس = 3 5 15 2 معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى = 3 15 2
2
2
حاول أن تحل
10جا هـ
هـ
10جتا هـ
10
هـ
شكل ()5
ٍ مستو مائل خشن لوحظ أن الجسم يكون على وشك االنزالق إذا كان 2وضع جسم مقدار وزنه 30نيوتن على المستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c30فإذا أريد زيادة ميل المستوى إلى c60فأوجد مقدار : أ أقل قوة تؤثر فى الجسم موازية لخط أكبر ميل فى المستوى وتمنعه من االنزالق . ب القوة التى تؤثر فى الجسم موازية لخط اكبر ميل فى المستوى وتجعله على وشك الحركة إلى أعلى المستوى .
6
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
����� ���� ��� ������ �ل�� ���
1 1
مثال 3وضع جسم وزنه 2ث كجم على مستوى افقى خشن ثم اميل المستوى تدريجيا حتى أصبح الجسم على وشك االنزالق اسفل المستوى عندما كان قياس زاوية ميل المستوى على األفقى c30أوجد معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى ،وإذا ربط الجسم عندئذ بخيط ثم شد الخيط فى اتجاه يميل بزاوية قياسها c60على األفقى حتى أصبح الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى فأوجد : أ مقدار قوة الشد
ب مقدار قوة االحتكاك السكونى
الحل
Xجتا X 30
ال a :الجسم على وشك االنزالق ألسفل المستوى تحت تأثير وزنه فقط أو ً 1 ` مس = ظا = c30 3
من ()2( ، )1
1 3
مسS
c30 2جتا 30
c30
2جا 30
شكل ()6
` ، )1( .................................... X 12 - 3 = S )2( ........................................... S2 + 3 2 = X 3 ` S
)X 12 - 3 (2 + 3 2 = X3
` 3 4=X4
وبالتعويض فى ( 3 12 = 3 12 - 3 = S ` )1ث كجم ` قوة االحتكاك السكونى = مس 12 = 3 12 * 1 = Sث كجم
حاول أن تحل
c30
Xجا 30
2
ثان ًيا a :الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى :
معادالت االتزان هى : X + Sجا 2 = c30جتا c 30 Xجتا 2 = c 30جا + c 30
S
` 3 = Xث كجم
3
3جسم وزنه 20نيوتن موضوع على مستو مائل خشن لوحظ أن الجسم يكون على وشك االنزالق إذا كان جيب زاوية ميل المستوى على األفقى = 12فإذا زيد ميل المستوى بحيث كان جيب زاوية ميل المستوى على األفقى = : 1 2 أ أوجد مقدار أقل قوة تؤثر على الجسم موازية لخط أكبر ميل للمستوى تمنعه من االنزالق ب القوة التى تجعله على وشك الحركة ألعلى المستوى وموازية لخط أكبر ميل.
تمــــاريــن 2 - 1
�أوال� :سع عالمة (�) �أو عالمة (�):
يتوقف معامل االحتكاك بين جسمين على شكليهما وكتلتيهما. 2تسمى النسبة بين مقدارى قوة االحتكاك السكونى النهائى ورد الفعل العمودى بمعامل االحتكاك. كتاب الرياضيات التطبيقية
7
�كت�الا
3 4 5 6
ظل زاوية االحتكاك السكونى يساوى النسبة بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل العمودى إذا وضع جسم على مستوى مائل خشن وكان على وشك االنزالق فإن معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى. إذا وضع جسم على مستوى مائل خشن وكان على وشك االنزالق فإن قياس زاوية االحتكاك يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى. زاوية االحتكاك هى الزاوية المحصورة بين قوة االحتكاك النهائى وقوة رد الفعل المحصل.
ث�ني�� :ختر �الج�بة �ل�سحيحة من بين �الج�ب�ت �لمعط�ة
7فى الشكل المقابل:إذا كان الجسم على وشك االنزالق ألسفل فإن قوة االحتكاك النهائى تساوى : أ 3 ب 3 2 د 9 ج 3 3
م = 1 س 3
6نيوتن
8فى الشكل المقابل :الجسم على وشك االنزالق إلى أسفل المستوى 6متر فيكون قياس زاوية االحتكاك السكونى يساوى : ب c41.41 أ c36.87 د c53.13 ج c48.59
9فى الشكل المقابل: الجسم على وشك األنزالق أسفل المستوى فيكون c(Xهـ) = ب c14.48 أ c14.04 د c75.87 ج c75.52
c30
مس = 0.25
8متر
هـ
ث�لث�� :أجب عن �الأ�سئلة �التية
0وضع جسم وزنه 39نيوتن على مستو أفقى خشن وكان ظل زاوية االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى ، 13شد الجسم بقوة تصنع مع األفقى زاوية جيبها 45جعلت الجسم على وشك الحركة .اوجد : ب مقدار قوة االحتكاك أ مقدار قوة الشد.
جسم وزنه 38ث .كجم يكون على وشك الحركة تحت تأثير وزنه إذا وضع على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية ظلها ، 14فإذا وضع هذا الجسم على مستوى أفقى فى نفس خشونة المستوى المائل وأثرت عليه قوة شد إلى أعلى تصنع مع األفقى زاوية ظلها 34وتقع فى مستوى رأسى فجعلته على وشك الحركة .اوجد مقدار هذه القوة ومقدار رد الفعل العمودى . 2وضع جسم وزنه 400ث .جم على مستوى يميل على األفقى بزاوية قياسها ْ 30ومعامل االحتكاك بينه وبين الجسم يساوى . 3أثرت على الجسم قوة مقدارها 50ث جم فى خط أكبر ميل للمستوى وألعلى .إذا كان 4 الجسم متزنا فعين قوة االحتكاك وبين ما إذا كان الجسم على وشك الحركة أم ال . 3وضع جسم كتلته 4كجم على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ْ 30ومعامل االحتكاك بينه
8
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
����� ���� ��� ������ �ل�� ���
1 1
وبين المستوى . 3بين ما إذا كان الجسم ينزلق على المستوى أو يكون على وشك االنزالق أو أن االحتكاك 2 غير نهائى ،واوجد مقدار واتجاه قوة االحتكاك عندئذ .ثم اوجد مقدار القوة التى تؤثر على هذا الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل بحيث يكون الجسم على وشك الحركة إلى اعلى المستوى . 4وضع جسم وزنه 3 20نيوتن على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها c30ثم شد الجسم إلى اعلى بواسطة خيط واقع فى المستوى الرأسى المار بخط أكبر ميل وفى اتجاه يصنع زاوية قياسها c30مع المستوى ،فإذا كان معامل االحتكاك يساوى 0.25فأوجد أقل قيمة للشد فى الخيط تمنع الجسم من الحركة إلى أسفل المستوى . 5وضع جسم وزنه (و) على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ) فوجد أن أقل قوة توازى خط أكبر ميل للمستوى وتجعل الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى تساوى 2و جا هـ .اثبت أن : ب مقدار رد الفعل المحصل = و أ قياس زاوية االحتكاك = هـ 6
7
8
9
20
2
وضع جسم وزنه 25ث .كجم على مستوى مائل خشن تؤثر عليه قوة ق فى اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى المستوى .فإذا علم أن الجسم يكون على وشك الحركة إلى أعلى المستوى عندما ق = 15ث .كجم ويكون على وشك الحركة إلى أسفل المستوى عندما ق = 10ث .كجم فأوجد : ب معامل االحتكاك السكونى أ قياس زاوية ميل المستوى على األفقى 5 13شد الجسم بقوة أفقية مقدارها وضع جسم وزنه (و) نيوتن على مستو مائل خشن يميل على األفقى بزاوية جيبها 22نيوتن واقعة فى المستوى الرأسى المار بخط اكبر ميل للمستوى جعلت الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى ،فإذا كان معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى هو ، 12فأوجد مقدار وزن الجسم (و). وضع جسم وزنه 8ث .كجم على مستوى افقى خشن ثم اميل المستوى تدريجيا حتى أصبح الجسم على وشك االنزالق اسفل المستوى عندما كان قياس زاوية ميل المستوى على األفقى . c30أوجد معامل االحتكاك بين الجسم والمستوى ،وإذا ربط الجسم عندئذ بخيط ثم شد الخيط فى اتجاه يميل بزاوية قياسها c30على المستوى حتى أصبح الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى فأوجد : ب مقدار رد الفعل العمودى أ مقدار قوة الشد وضع جسم وزنه 3ث كجم على مستو خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها c60وكان معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى . 3بين مع ذكر السبب أن هذا الجسم ال يمكن أن يبقى ساكنا ثم أوجد 9 قيمة اكبر واصغر قوة أفقية (واقعة فى المستوى الرأسى المار بخط اكبر ميل) تؤثر فى الجسم ويبقى متزنا . كتلتان 5 ، 3كجم متصالن بخيط خفيف وموضوعتان على مستوى مائل خشن وكان معامل االحتكاك السكونى بين المستوى والجسمين 45 , 23على الترتيب .بين أى الجسمين يوضع أسفل الجسم اآلخر حتى يتحرك الجسمان معاً ،ثم أثبت أن ظل زاوية ميل المستوى على األفقى عندما يكون الجسمان على وشك الحركة 3 4 تفكير إبداعى :جسم وزنه (و) موضوع على مستو مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ) وزاوية االحتكاك بينه وبين الجسم قياسها ل .اثرت فى الجسم قوة مقدارها ( )Xوتميل على المستوى ألعلى بزاوية قياسها (ى) .اوجد اصغر مقدار للقوة ( )Xبحيث تجعل الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى . كتاب الرياضيات التطبيقية
9
�كت�الا
السطوح الملساء :تنعدم قوى االحتكاك فيها تماما ويكون معامل االحتكاك = صفرا. السطوح الخشنه :تظهر فيها قوى االحتكاك ويكون معامل االحتكاك فيها يساوى عدداً حقيقيا موجبا أكبر من الصفر. رد الفعل:
Áفى حالة السطوح الملساء يكون رد الفعل عمودياً على سطح التماس المشترك للجسمين المتالمسين.
Áفى حالة السطوح الخشنة يكون رد الفعل غير معلوم االتجاه إذ يتوقف على طبيعة السطحين المتالمسين كما يتوقف على القوى األخرى المؤثرة على الجسم . قوة االحتكاك السكونى :تظهر عند انزالق سطحين متالمسين أو يكونا على وشك الحركة ويكون اتجاهها معاكسا التجاه القوة وتعطى قيمتها بالمتباينة I H 0س Hمس Sحيث مس هو معامل االحتكاك السكونى . قوة االحتكاك السكونى النهائى :عندما تصل قوة االحتكاك السكونى النهائى (Iس) إلى قيمتها العظمى يكون الجسم عندها على وشك الحركة (دون أن يتحرك) ويكون االحتكاك عندها نهائيا ويرمز له بالرمز (Iس). وتكون I :س = مسS
قوة االحتكاك الحركى :إذا تحرك جسم على سطح خشن فإنه يخضع لقوة احتكاك حركى يكون اتجاهه عكس اتجاه حركته ،وتعطى قيمتها بالعالقة I :ك = مك Sحيث مك هو معامل االحتكاك الحركى . مالحظات على معامل االحتكاك السكونى والحركى:
Áمس ،مك يعتمد كل منهما على طبيعة الجسم والسطح ،لكنه ال يعتمد على مساحة السطوح المتماسة أو كتلة الجسم المتحرك. Áمعامل االحتكاك السكونى (مس)> معامل االحتكاك الحركى (مك)
رد الفعل المحصل :رد الفعل المحصل ()/Sهو محصلة رد الفعل العمودى ر وقوة االحتكاك
حس
زاوية االحتكاك :الزاوية المحصورة بين رد الفعل العمودي ورد الفعل المحصل ،و تصل إلى قيمتها العظمى عندما يصبح االحتكاك نهائياً . العالقة بين معامل االحتكاك وزاوية االحتكاك :عندما يكون االحتكاك نهائيا فإن معامل االحتكاك يساوى ظل زاوية االحتكاك العالقة بين قياس زاوية االحتكاك وقياس زاوية ميل المستوى على األفقى :إذا وضع جسم على مستو مائل خشن وكان الجسم على وشك االنزالق فإن قياس زاوية االحتكاك يساوى قياس زاوية ميل المستوى على األفقى.
20
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�ختر �الإج�بة �ل�سحيحة من بين �الإج�ب�ت �لمعط�ه : زاوية االحتكاك هى : أ الزاوية المحصورة بين رد الفعل المحصل ورد الفعل العمودى فى حالة االحتكاك النهائى. ب الزاوية المحصورة بين رد الفعل المحصل وقوة االحتكاك النهائى. ج النسبة بين رد الفعل العمودى وقوة االحتكاك النهائى. د النسبة بين معامل االحتكاك السكونى ومعامل االحتكاك الحركى.
2معامل االحتكاك يتوقف على : أ مساحة سطح التالمس. ج طبيعة مادة الجسمين.
ب شكل الجسمين. د كل ماسبق.
3إذا كان مس ،مك هما معاملى االحتكاك السكونى والحركى على الترتيب لجسمين متالمسين فإن : ج ب أ د التوجد عالقة بينهما . مس > مك مس < مك مس = مك
�جب عن �ال�سئلة �الآتية :
ٍ مستو أفقى خش معامل االحتكاك بينهما ، 23أثرت على الجسم قوة أفقية 4وضع جسم وزنه 13.5ث كجم على مقدارها 7.5ث كجم .بين هل الجسم يكون على وشك الحركة ؟ فسر إجابتك . 5جسم وزنه 45ث كجم موضوع على مستوى أفقى خشن معامل االحتكاك بينه وبين الجسم يساوى . 3 3 أوجد: أ مقدار أقل قوة تكفى لتحريك الجسم على المستوى. ب مقدار واتجاه رد الفعل المحصل. 6وضع جسم وزنه 26نيوتن على مستو أفقى خشن واصبح الجسم على وشك الحركة عندما أثرت عليه قوتان أفقيتان مقدارهما 8 ، 7نيوتن وتحصران بينهما زاوية قياسها . c60أوجد معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى .
ٍ مستو يميل على االفقى بزاوية قياسها c30فكان الجسم على وشك االنزالق. 7وضع جسم وزنه 10ث كجم على أوجد القوة التى تعمل فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى لتجعل الجسم على وشك الحركة إلى اعلى المستوى. 8وضع جسم وزنه 6نيوتن على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية جيب تمامها 45وكان قياس زاوية االحتكاك بين الجسم والمستوى . ْ 45بين أن الجسم يبقى متزنا ثم أوجد مقدار أقل قوة تؤثر على الجسم فى اتجاه خط اكبر ميل للمستوى ألسفل وتجعله على وشك الحركة . لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات التطبيقية
2
العزوم Moments
الوحدة
2
مقدمة الوحدة اعتمد اإلنسان منذ القدم على فكرة الروافع لتمكنه من حمل ونقل االشياء من مكان آلخر .والجهاز الحركى لإلنسان يشبه إلى حد كبير الفكرة التى تقوم عليها الروافع .فالعظام هى األجسام الصلبة المادية التى تؤثر عليها القوة العضلية المرتبطة بها لتدور حول نقطة ثابتة (مركز). وهذا يحتم علينا فهم التأثير الدورانى للقوة (عزم القوة) .وفى هذه الوحدة سوف نلقى الضوء على مفهوم عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثنائى أو ثالثى االبعاد.
أهداف الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:
يتعرف ويوجد عزم قوة بالنسبة لنقطة فى الفراغ. يوجد معيار واتجاه عزم قوة بالنسبة لنقطة.
يوجد عزوم القوى المستوية بالنسبة لنقطة واقعه فى مستويها.
22
الصف الثالث الثانوى
يتعرف النظرية العامة للعزوم «إذا كانت لمجموعة من القوى المستوية المؤثرة على جسم متماسك محصلة فإن المجموع الجبرى لعزوم القوى حول نقطة يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة». يحل تطبيقات متنوعة على العزوم.
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñعزم
Ñمركبة العزم
Moment
Ñمركز العزم
Ñعكس اتجاه دوران عقارب الساعة
Moment centre
Ñمحور العزم
Ñالقياس الجبرى للعزم
Moment arm
Ñدوران
Ñمعيار العزم
Rotation
Ñمحصلة
Anti clockwise
Ñفى اتجاه دوران عقارب الساعة
Moment axis
Ñذراع العزم
Moment component
Clockwise Algebraic measure of the moment Norm of the moment
Resultant
األدوات والوسائل
دروس الوحدة ( :)1- 2عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثنائى االبعاد.
آلة حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب.
( :) 2- 2عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثالثى االبعاد.
مخطط تنظيمى للوحدة العزوم
عزم قوة حول نقطة فى
عزم قوة حول نقطة فى
نظام احداثى ثنائى البعد
نظام احداثى ثالثى األبعاد معيار العزم
عزم قوة حول نقطة القياس الجبرى للعزم
المركبات االحداثية لعزم قوة حول نقطة فى الفراغ
نظرية فارينون
النظرية العامة للعزوم
كتاب الرياضيات التطبيقية
23
الوحدة الثانية
1-2
سوف تتعلم
عزم قوة بالنسبة لنقطة.
عزوم القوى املستوية بالنسبة لنقطة ىف مستوهيا.
عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثنائى األبعاد Moment of a force about a point in 2D-coordinate system
تعلمت ساب ًقا أن القوة قد تنتج من تأثير جسم طبيعى على جسم طبيعى آخر .وهذا التأثير ينتج عنه صور مختلفة (تأثير حركة -تأثير شكلى .)...فإذا تحرك الجسم من موضع إلى تأثيرا حرك ًيا انتقال ًيا .وإذا تحرك الجسم حركة دورانية آخر فإن تأثير القوة هنا يكون ً حول نقطة فإن تأثير القوة فى هذه الحالة يكون تأثير حرك ًيا دوران ًيا .وهنا نقول أن القوة قادرة على احداث دوران للجسم حول نقطة وهو ما يعرف بعزم القوة حول نقطة. ويعتمد هذا التأثير الدورانى للقوة (العزم) على مقدار القوة وعلى ُبعد خط عمل القوة عن هذه النقطة.
فكر و
المصطلحات األساسية
عزم
مركز العزم حمور العزم
Moment Moment centre Moment axis
ذراع العزم
ناقش
مركز الدوران
( )1الشكل المقابل يوضح طفالن على ارجوحه متزنة فى وضع أفقى. أى الطفلين (األثقل -األخف) يكون أقرب إلى مركز الدوران. إذا أراد الطفل األثقل أن يجعل االرجوحة تدور حيث يرتفع الطفل األخف العلى .فما الذى يفعله؟ ( )2الشكل المقابل ليد شخص يحاول أن يربط ماسورة .فإن انسب موضع للقوة Xالحكام الربط هو ،C( ..ب ،جـ)
ق
C
ب
جـ
تعلم عزم قوة حول نقطة فى نظام احداثى متعامد ثنائى االبعاد Moment of a force about a point in 2D-coordinates system
يعرف عزم القوة Xحول نقطة و بأنه مقدره القوة على احداث دوران للجسم حول X نقطة و .ويمكن حساب هذا التأثير الدورانى C ر جو من العالقة جو = X * S و حيث Sمتجه موضع نقطة Cعلى خط عمل مركز العزم القوة بالنسبة للنقطة و .تسمى النقطة (و) مركز العزوم .ويسمى المستقيم المار بالنقطة و عمود ًيا على المستوى الذى يحوى القوة Xوالنقطة و ،بمحور العزم ونالحظ أن محور العزم
األدوات المستخدمة
آله حاسبة علمية.
24
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
��� ��� �������� ����� �� ���� ������ ����� ������
2 2
عزم القوة هو كمية متجهه .وطب ًقا لقاعدة اليد اليمنى للضرب االتجاهى يكون اتجاه عزم القوة بالنسبة لنقطة و و عمود ًيا على المستوى الذى يحوى القوة Xوالنقطة و. تفكير ناقد :هل يتوقف عزم القوة 1C Cعلى خط عمل القوة؟ مفاهيم اساسية (عزم قوة -معيار العزم -القياس الجبرى للعزم -وحدة قياس مقدار العزم) X
بالنسبة لنقطة و على موضع النقطة
1S
X
2S
2C
3C
( )1عزم قوة بالن�سبة لنقطة
من تعريف الضرب االتجاهى لمتجهين فإن
جو
جو = (|| || X || || Sجا ) iى
ى
ل
حيث ى متجه وحدة عمودى على مستوى S , Xبحيث يكون الدوران من Sإلى Xفى اتجاه المتجه ى iهى قياس الزاوية بين X ، S وبفرض || || S || , X = || Xجا = iل حيث ل طول العمود الساقط من و على خط عمل القوة ( Xل يسمى ذراع العزم) فإن عزم هو جو = ( Xل) ى ()1 و
3S
i
ر
i
X
X
حول نقطة و
( )2القيا�س الجبرى للعزم
وإذا كانت القوة Xتعمل على الدوران حول و فى و و عكس اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبرى ل ل لمتجه العزم موج ًبا (متجه العزم فى اتجاه المتجه ى ) وإذا كانت القوة Xتعمل على الدوران حول و فى اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبرى لمتجه العزم سال ًبا (متجه العزم فى اتجاه المتجه -ى ) و ( )3معيار العزم ويكون معيار العزم هو|| جو || = Xل ()2 ( )4عزم قوة حول نقطة على خط عملهما = صفر X
-
+
X
( )5وحدة قيا�س مقدار العزم
وحدة قياس مقدار العزم = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس الطول ومنها نيوتن.متر ،داين.كم ،ث كجم.متر ...
X خط عمل القوة يمر بالنقطة و ` جو = صفر
مثال
إذا كانت , N , Mع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة وكانت القوة النقطة )3 ،1-( Cمن جسم أوجد: أ عزم القوة Xبالنسبة لنقطة األصل و ()0 ،0 ب طول العمود الساقط من النقطة و على خط عمل القوة X
M3 = X
)4 ،3( = X
N 4 +تؤثر فى ص
)3 ،1-( C
الحل
أ = Sو - C = Cو
= ()3 ،1-( = )0 ، 0( - )3 ،1-
س كتاب الرياضيات التطبيقية
و
S
25
����ل�
جو = = ( )3 * 3 - 4 * 1-( = )4 ،3( * )3 ،1-ع = 13-ع X * S
معيار العزم = 13وحدة عزم ،القياس الجبرى لمتجه العزم = 13-وحدة عزم
تفسير الناتج :أى أن القوة اتجاه -ع )
X
تحدث دورانًا للجسم حول نقطة و فى اتجاه دوران عقارب الساعة (اتجاه العزم فى
ب اليجاد طول العمود المرسوم من و على خط عمل القوة || aجو || = Xل
`ل=
|| جو || X
13
=
X
24 + 23
حاول أن تحل
13وحدة طول. = 5
إذا كانت , N , Mع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة وكانت القوة النقطة )3 ،2( Cأوجد: أ عزم القوة Xبالنسبة للنقطة ب ()1 ، 2 ب طول العمود الساقط من النقطة ب على خط عمل القوة.
X
=
M
N 2 -تؤثر فى
تفكير ناقد :إذا تالشى عزم قوة حول نقطة .فماذا يعنى ذلك؟
تعلم مبداأ العزوم (نظرية فارينون) عزم القوة
X
)Principle of moments (Varignons theorm
بالنسبة لنقطة يساوى مجموع عزوم مركبات هذه القوة بالنسبة لنفس النقطة.
بفرض القوة X = Xس X + Mص Nتؤثر فى نقطة C
متجه موضعها بالنسبة للنقطة و هو
جو = = (س ،ص) * ( XسX ،ص) X * S
S
Xص
X
= (س ،ص) فإن
C
Xس
= (س Xص) ع -( +ص Xس) ع
ص
عزم Xص حول و +عزم Xس حول و C
مثال
متر
S
س
ص
و
c30
2فى الشكل المقابل: أوجد القياس الجبرى لعزم القوة بالنسبة لنقطة و
26
1 2
س
الصف الثالث الثانوى
200نيوتن
2متر
و
كتاب الطالب
��� ��� �������� ����� �� ���� ������ ����� ������ الحل األول:
12متر
200 = 1Xجتا30
نحلل القوة 200نيوتن إلى مركبتين 200 = 1Xحتا 3 100 = 30نيوتن 200 = 2Xجا 100 = 30نيوتن وطب ًقا لنظرية فارينون يكون ج =1* X-2* X- 1 و 2 2 = 1 * 100 - 2 * 3 100 - 2 = ( )50 - 3 200-نيوتن .متر
c30
200
c30 2متر
200 = 2Xجا30
و 12متر c30 c30
c30
الحل الثانى:
طول العمود الساقط من و على خط عمل القوة = ل حيث ل = 2حتا 12 + 30جا ) 14 + 3 ( = 30متر aالقوة تعمل على الدوران حول و فى اتجاه دوران عقارب الساعة ` القياس الجبرى لعزم القوة يكون سالب ` جو = )50 - 3 200-( = ) 14 + 3 ( * 200 -نيوتن .متر
200
ل
2متر c30
و 100نيوتن
حاول أن تحل
c40
2فى الشكل المقابل :احسب القياس الجبرى لعزم القوة 100نيوتن بالنسبة لنقطة C
1.4متر
نظرية
مجموع عزوم عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة بالنسبة ألى نقطة فى الفراغ يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها
0.4متر
البرهان
بفرض X ،... ، 2X ، 1Xن مجموعة محدودة من القوى تؤثر فى نقطة C
وبفرض و النقطة المطلوب إيجاد العزوم عندها ` = SوC مجموع عزوم القوى بالنسبة للنقطة و = * S + ... + 2X * S + 1X * S = + 1X ( * S
= * Sح
2 2
2X
X + ... +ن )
Xن
= عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها و
ح
2X
Xن
1X
و
كتاب الرياضيات التطبيقية
C
S
27
C
����ل�
مثال
(عزوم القوى املستوية املتالقية ىف نقطة)
3تؤثر القوى N 4 + M 4 = 3X ، )3 ،1( = 2X , N 2 + M = 1Xفى النقطة )1 ،2-( Cأوجد مجموع عزوم هذه القوى حول نقطة ب ( )2 ،0ثم أوجد عزم محصلة هذه القوى حول نقطة ب .ماذا تالحظ؟ الحل
2X
= ب= C
S
ج* S = 1
1X
-ب = ()1- ،2-
C 1X
= ()2 ،1( * )1- ،2-
ب
S
3X
C
= ( )1 + 4-ع = 3-ع
ج )1 + 6-( = )3 ،1( * )1- ،2-( = 2X * S = 2ع = 5-ع ج )4 + 8-( = )4 ،4( * )1- ،2-( = 3X * S = 3ع = 4 -ع
` مجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة ب = ج + 1ج+ 2
ج3
= 3-ع 5 -ع 4 -ع = 12-ع
محصلة القوى:
ح = + 2X + 1X
` عزم المحصلة = * Sح
3X
= ()9 ،6( = )4 ،4( + )3 ،1( + )2 ،1
= ()9 ،6( * )1- ،2- = ( )6 + 18-ع = 12-ع نالحظ أن مجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة يساوى عزم محصلة القوى بالنسبة للنقطة نفسها.
النظرية العامة للعزوم
نظرية
المجموع الجبرى لعزوم مجموعة من القوى حول نقطة ما يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة.
حاول أن تحل
3تؤثر القوى N 3 - M 2- = 2X , N - M 3 = 1Xفى النقطة .)4 ،1-( Cاوجد مجموعة عزوم هذه القوى حول نقطة ب( )1 ،1ثم أوجد عزم محصلة هذه القوى حول نقطة ب.
28
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
��� ��� �������� ����� �� ���� ������ ����� ������
2 2
مثال C 4ب جـ Eمستطيل فيه Cب = 6سم ،ب جـ = 8سم اثرت قوى مقاديرها 3 ،3 ،5 ،4نيوتن فى اتجاهات Cب ،ب هـ E ،جـ E C ،حيث هـ ∈ ب جـ ،ب هـ = 6سم .اثبت أن محصلة هذه القوى تمر بالنقطة هـ. الحل
مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لنقطة هـ = = 6 * 3 + 2 * 3 + 6 * 4-صفر وطب ًقا لنظرية العزوم فإن عزم المحصلة بالنسبة للنقطة هـ يساوى = صفر أى أن المحصلة تمر بالنقطة هـ
4
3
C
E 3
6سم
ب
هـ
6سم
5
جـ
2سم
حاول أن تحل
C 4ب جـ Eمربع طول ضلعه 6سم ،هـ ∈ ب جـ حيث ب هـ = 1سم ,اثرت قوى مقاديرها X ،4 ،3 ،2 ،1نيوتن فى Cب ،ب جـ ،جـ C ، C E ، Eجـ على الترتيب .فإذا كان خط عمل المحصلة يمر بالنقطة هـ أوجد قيمة X مثال
5تؤثر القوة 2 - = X جـ ()2 ،1-(E ،)4 ،1 الحل 1S
= ب= C
M
3+
N
C
-ب = ()4- ،1
C
-جـ = ()7- ،3
C
= ()5- ،5
فى النقطة .)3- ،4( Cأوجد عزم
X
بالنسبة لكل من النقط ب(،)1 ،3 ()4 ،1
2S
3S
=
2
ب
=
CE
-
` ج )10 - 15( = )3 ،2-( * )5- ،5( = X * 2S = Eع = 5ع
4
C
3
)2 ،1-( E
1
()1 ،3
` ججـ = )14 - 9( = )3 ،2-( * )7- ،3( = X * 2Sع = 5-ع E
جـ
4 3
` جب = )8 - 3( = )3 ،2-( * )4- ،1( = X * 1Sع = 5-ع
= جـ= C
5
X
2
3- 2- 11-
1
23-
()3- ،4
من المثال السابق نستنتج أن:
4-
( )1إذا كان عزم قوة حول نقطة ب = عزم هذه القوة حول نقطة جـ كان خط عمل القوة //ب جـ
( )2إذا كان عزم قوة حول نقطة ب = -عزم هذه القوة حول نقطة Eكان خط عمل القوة ينصف حاول أن تحل
5تؤثر القوة
X
28ع أوجد
فى النقطة )2 ،3-( Cفإذا كان عزم X
.
X
بE
حول كل من النقطتين ب ( ،)1 ،3جـ ( )4 ،1-يساوى
كتاب الرياضيات التطبيقية
29
����ل�
تعميم االستنتاج السابق
إذا أثرت عدة قوى مستوية على جسم وكانت ,Cب نقطتين فى نفس المستوى.
( )1فإذا كان مجموع عزوم القوى حول = Cمجموع عزوم القوى حول ب فإذا خط عمل المحصلة C //ب .
( )2إذا كان مجموع عزوم القوى حول - = Cمجموعة عزوم القوى حول ب فإن خط عمل المحصلة يمر بمنتصف Cب
مالحظة :أما إذا كان مجموع عزوم القوى حول نقطة ما ولتكن جـ ينعدم فإما جـ تقع على خط عمل المحصلة أ، أن المحصلة هى المتجه الصفرى مثال 6تؤثر القوى 2 = 1Xس -ص 5 = 2X ،س 2 +ص 3- = 3X ،س 2 +ص فى النقطة )1 ،1(Cبرهن باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازى المستقيم المار بالنقطتين ب( ، )1 ،2جـ ()4 ،6 الحل aح = N 3 + M 4 = 3X + 2X + 1X
= 1Sب - C = Cب = ( )0 ،1-ج ب = * 1Sح = ( 3- = )3 ،4( * )0 ،1-ع = 2Sجـ - C = Cجـ = ( )3- ،5-ج جـ = * 2Sح = ( 3- = )3 ،4( * )3- ،5-ع
aج ب = ج جـ ،ح ! 0
` خط عمل ح //ب جـ
حاول أن تحل
6تؤثر القوى = 1Xس 2 +ص 3 = 2X ،س -ص فى النقطة )3 ،2-( Cبرهن باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة ينصف القطعة المستقيمة المرسومة بين النقطتين ب( ،)5 ،1-جـ()2 ،1 C
حاول أن تحل
7فى الشكل المقابل C :ب تمثل رافعة لرفع البضائع إذا كان الشد فى الخيط يساوى 140نيوتن ،ووزن الصندوق 125نيوتن .أوجد مجموع عزمى القوتين بالنسبة للنقطة ب
12م 125
4م
30
الصف الثالث الثانوى
ب
5م
كتاب الطالب
ش
140
��� ��� �������� ����� �� ���� ������ ����� ������
2 2
تمــــاريــن 1 - 2
اأكمل ما ياأتى
قوة مقدارها 50نيوتن وتبعد عن نقطة Cمسافة 8سم فإن معيار عزم القوة حول نقطة Cيساوى ..........................نيوتن .سم
2فى الشكل المقابل :معيار عزم القوة حول نقطة األصل (و) يساوى
18سم
...............................
3قوة N 4نيوتن تؤثر فى نقطة متجه موضعها بالنسبة إلى نقطة األصل يساوى M 5متر فإن عزم القوة حول نقطة األصل يساوى.... صفرا فإن ذلك يعنى 4إذا كان عزم قوة حول نقطة ما يساوى ً
30
..................
ب
..................
0
قوة رأسية السفل مقدارها 70نيوتن .فإن معيار عزم القوة حول نقطة C
سم
6الشكل المقابل :قضيب مثبت بمفصل عند Cاثرت على الطرف ب
10
5إذا كان عزم القوة ثاب ًتا فإن مقدار القوة يتناسب عكس ًيا مع
70نيوتن
يساوى ...............................نيوتن .متر
c60 C
اختر الجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاه:
7الشكل المقابل يمثل باب متصل بمفصل عند . Cاثرت عليه قوة لها أكبر عزم عند C Cج Cب أ X
X
X
أى من األشكال اآلتية تكون القوة د
C
X
اثرت على نهايته االخرى قوة مقدارها Xوتميل على القضيب بزاوية قياسها iإذا كانت
يجب أن تكون عمودية على القضيب فعلى أى
ل
i
9إذا كان عزم قوة
أ C = Xب
ج C // Xب
مركز الدوران
X
ُبعد من مركز الدوران يمكن أن تؤثر Xبحيث يكون لها نفس العزم ج ل ب ل حتا i أ ل جا i X
X
C
X
8قضيب طول ل يمكنه الدوران بسهوله حول نقطة عند أحد نهايتيه. X
و
د ل طا i
حول النقطة Cيساوى عزمها حول النقطة ب فإن ب Xتنصف Cب د التوجد عالقة بين Cب ،
.....................................................................
كتاب الرياضيات التطبيقية
X
3
����ل�
اأجب عن الأ�سئلة الآتية
0تؤثر القوتان = 1Xم = 2X , N 2 + Mل N - Mفى النقطتين )2- ،1-( 2C ،)1 ،1( 1Cعلى الترتيب. عين قيمة كل من الثابتين م ،ل بحيث ينعدم مجموع عزمى هاتين القوتين حول نقطة األصل وبالنسبة للنقطة ب ()3 ،2 القوى N 2 + M 3 -= 3X , N 2 + M 5= 2X , N - M 2 = 1Xتؤثر فى النقطة .)1 ،1( Cبرهن باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازى المستقيم المار بالنقطتين ()4 ،6( ، )1 ،2
2الشكل المقابل يمثل شخص يحمل بيده ثقل .فإذا كان معيار عزم الثقل حول نقطة Cيساوى 80نيوتن متر أوجد عزم الثقل حول نقطة C
35سم
c30
c40
27سم
C
3فى كل من األشكال اآلتية أوجد القياس الجبرى لعزم القوة حول النقطة و 10سم ج ب أ 30سم 40نيوتن
و
c20
20سم
30سم
و
و
c45 40نيوتن
40نيوتن
ص
32
الصف الثالث الثانوى
C
4م
4تؤثر القوة Xفى المستوى س ص على المثلث Cو ب .فإذا كان القياس الجبرى لعزم Xبالنسبة للنقطة و يساوى 84نيوتن .م ،والقياس الجبرى لعزمها بالنسبة للنقطة Cيساوى 100 -نيوتن .م ،والقياس الجبرى لعزمها بالنسبة للنقطة ب يساوى صفر. عين X
س
ب
3م
ب
و
كتاب الطالب
عزم قوة بالنسبة لنقطة فى نظام احداثى ثالثى األبعاد Moment of a force about a point in 3D- Coordinate system
الوحدة الثانية
2-2
تعلمت فى الدرس السابق إيجاد عزم قوة بالنسبة لنقطة فى مستويها .وفى هذا الدرس سوف تتعلم إيجاد عزم قوة بالنسبة لنقطة في الفراغ. سوف تتعلم
عزم قوة حول نقطة ىف الفراغ.
تعلم عزم قوة حول نقطة فى الفراغ moments of a force about a point in space
إذا كانت X( = Xس X ،ص X ،ع) تؤثر فى النقطة ( Cس ،ص ،ع) التى متجه موضعها بالنسبة للنقطة و()0 ،0 ،0 ع X هو ر = (س ،ص ،ع) فإن عزم القوة X حول نقطة و يساوى جو =
C
ر * X M
=
س
ص
ع ع
N
ص
Xس Xص
س
S
و
ع
المصطلحات األساسية
ص
Xع
س
تؤثر القوة 3 + N - M 2 = Xع فى النقطة .)2 ،1 ،3-( Cأوجد عزم القوة نقطة ب ( )1- ،2 ،2ثم احسب طول العمود الساقط من ب على خط عمل القوة
X
الحل
جب = )3 ،1- ،2( = X = ( )3 ، 1 - ، 2( * )3 , 1 - , 5 - = (M )1 - * 3 - 3 * 1 - = N Mع 3 1- 5 N )2 * 3 - 3 * 5 -( - 3 1- 2 )1 - * 2 - 1 - * 5 -( +ع = 7 + N 21ع وحدة عزم ل =
27 + 221 + 20
23 + 2)1-( + 22
حول
Components Rotation
حمور
Axis
S
X * S
|| || X
مركبات
Space
)2 ،1 ،3-( C
= Sب - C = Cب = ()1- ،2 ،2( - )2 ،1 ،3- = ()3 ، 1 - ، 5 -
|| جب ||
فراغ
دوران
مثال
=
املركبات االحداثية لعزم قوة بالنسبة لنقطة ىف الفراغ.
ب
()1- ،2 ،2
األدوات المستخدمة آلة حاسبة علمية
برامج رسوم ثالثية األبعاد
= 35وحدة طول كتاب الرياضيات التطبيقية
33
����ل� حاول أن تحل
أوجد عزم القوة Xبالنسبة لنقطة األصل حيث 5 + N 3 + M 2- = Xع وتؤثر فى نقطة Cمتجه موضعها حول نقطة األصل هو + N + M = Sع ثم أوجد طول العمود المرسوم من نقطة األصل على خط عمل القوة X
المركبات االحداثية لعزم قوة بالن�سبة لنقطة
ع
بفرض القوة X = Xس X + Mص X + Nع ع تؤثر فى نقطة C
متجه موضعها حول نقطة األصل فإن عزم القوة
يساوى
X
X * S M
=
س
S
= (س ،ص ،ع)
حول نقطة األصل و
N
ص
Xس Xص
Xع Xص
ص
ع ع
C
ع
S Xس
و
س
س
ص
Xع
س
= (ص Xع -ع Xص) ( + Mع Xس -س Xع) ( + Nس Xص -ص Xس) ع
أى أن عزم القوة Xله 3مركبات يمكن تفسير كل منهم كاآلتى: مركبة العزم فى اتجاه Mيمكن حسابها بإيجاد عزم المركبات Xس X ،ص X ،ع حول محور س. المركبة Xس ليس لها عزم دورانى حول محور س ألنها توازى المحور .بينما المركبة Xص تعمل على الدوران حول محور س فى اتجاه دوران عقارب الساعة فيكون عزمها -ع * Xص . بينما المركبة Xع تعمل على الدوران حول محور س فى اتجاه عكس دوران عقارب الساعة فيكون عزمها X * Nع فيكون مجموع عزوم المركبات حول محور س يساوى X * Nع -ع * Xص بالمثل لباقى مركبات العزم فى اتجاه ، Nع مثال 2إذا كانت القوة = Xك - N 4 + Mع تؤثر فى نقطة Cمتجه موضعها بالنسبة لنقطة األصل هو )2 ، 2 ، 1( = Sوكان مركبة عزم القوة Xحول محور ص يساوى 7وحدات عزم أوجد قيمة ك ثم أوجد ع طول العمود المرسوم من و على خط عمل X الحل X
Xع
= (كX # )1- ، 4 ،س = ك X ،ص = X ، 4ع = 1 -
# )2 ، 2 ،1( = Sس = ،1ص = ،2ع = 2 مركبة عزم القوة حول محور = Nع Xس -س Xع ` 2ك 7 = )1-( 1 -
34
الصف الثالث الثانوى
ع
ص
س
Xس
س كتاب الطالب
2 2
��� ��� �������� ����� �� ���� ������ �ل�� ������
` 2ك # 7 = 1 +ك = 3 ` جو =
N
M
2
1
ع = 2 - N 7 + M 10 -ع 2
1- 4 3 ` طول العمود المرسوم من و على خط عمل القوة = (2)2-( + 2)7( + 2)10- 442 3 = 2وحدة طول 26 )1-( + 24 + 23
|| جو ||
|| X
||
حاول أن تحل
2إذا كانت القوة = Xك + Mم 2 - Nع تؤثر فى نقطة Cمتجه موضعها بالنسبة لنقطة األصل هو )1 ، 1 ، 3( = Sفإذا كانت مركبتا عزم Xحول المحورى س ،ص هما 8 - ، 1 -على الترتيب أوجد قيمة كل من ك ،م ع
مثال
C
3تؤثر القوى 13 6 = 1Xنيوتن 61 = 2X ,نيوتن فى اتجاهات Cب C ،جـ كما بالشكل .أوجد أ مجموع عزوم القوى حول نقطة و ب عزم محصلة القوتين حول نقطة و .ماذا تستنتج
4م
4م
من هندسة الشكل احداثيات النقط هى ، )6 ، 0 ، 0( Cب ( ،)0 ، 4 ، 0جـ ()0 ، 3 - ، 4 Cب = ب -
2X
1X
الحل
ص
6م
ب
جـ
و س
3م
= ()6 - ، 4 ، 0( = )6 ، 0 ، 0( - )0 ، 4 ، 0
C
Cب ) = )6- ،4 ،0( * 13 6 = ) )6 - ، 4 ، 0( ( 13 6 (1 X = 1 X 2)6-( + 24 + 20 13 2 || Cب ||
` )18- ،12 ،0( = 1X Cجـ = جـ -
C
= ()6 - ، 3 - ، 4( = )6 ، 0 ، 0( - )0 ، 3 - ، 4
Cجـ ) = ) )6- ،3- ،4 ( ( * 61 = ) 2 )6- ،2 3- ، 4(2 ( 61 (2 X = 2 X 61 )6-( + )3-( + 4 || Cجـ ||
`
2X
= ()6- ،3- ،4
عزم القوة
1X
بالنسبة لنقطة و = و)18 - ، 12 ، 0( * )6 ، 0 ، 0( = 1X * C =
M
N
0
12
0
0
ع = 72- 6
M
18-
كتاب الرياضيات التطبيقية
35
����ل�
عزم القوة
2X
بالنسبة لنقطة و = و)6 - ، 3 - ، 4( * )6 ، 0 ، 0( = 2X * C =
M
N
4 أ مجموع عزوم القوى حول و = 72 -
3-
0
0
M
18 +
ع 6
6-
M
= 18 24 +
M
N
24 +
N
= 54 -
M
محصلة القوتين ح = )6 - ، 3 - ، 4( + )18 - ، 12 ، 0( = 2X + 1X = ( )24- ،9 ،4وتؤثر فى نقطة C
ب عزم المحصلة حول النقطة و = و * Cح = ()24- ،9 ،4( * )6 ،0 ،0 =
M
N
4
9
0
0
ع = 54 - 6
M
24 +
N
24 +
N
()1
()2
24-
من 2 ،1نالحظ أن مجموع عزوم القوى حول نقطة فى الفراغ يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها
تمــــاريــن 2-2 إذا كانت , N , Mع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة .وكانت القوة - N 3 + M 2 = Xع
تؤثر فى نقطة )4 ،1- ،1(Cأوجد أ عزم القوة
X
ب عزم القوة
X
X
=2
2إذا كانت يساوى 2
M
4+
حول نقطة األصل و ()0 ،0 ،0
حول نقطة ب ( )1 ،3- ،2ثم استنتج طول العمود المرسوم من ب على خط عمل القوة M N
+ل
N
-ع تؤثر فى النقطة أ ( )0 ،2- ،4وكان عزم
X
16 +ع فما قيمة ل.
حول نقطة األصل ع
3فى الشكل المقابل قوة مقدارها 130نيوتن تؤثر فى القطر Cب
فى متوازى مستطيالت ابعاده 3م4 ،م12 ،م كما بالشكل
أوجد عزم القوة Xحول النقطة E
36
الصف الثالث الثانوى
C ص E
و
X
ب
4م
12م
3م
جـ
كتاب الطالب
س
��� ��� �������� ����� �� ���� ������ �ل�� ������
4فى الشكل المقابل حبل مثبت فى النقطة Eيمر على بكره ملساء
3م
عند Cويتدلى من الطرف اآلخر للخيط زورق صغير .فإذا كان
مقدار الشد فى الحبل
CE
فى الحبل حول النقطة جـ.
5قوة
األصل يساوى 21
6إذا كانت القوة
X
7 +ع أوجد . X
=2
2م C
يساوى 29 10نيوتن أوجد عزم الشد
Xتؤثر فى النقطة )3 ،1- ،2(Cفإذا كان عزم X N
ع
M
+ب
)2- ، 3 ، 1- ( Cوكانت مركبة عزم
X
N
بالنسبة لنقطة
2 2
ص
E
4م
جـ
س
+ع تؤثر فى النقطة
حول محور س يساوى 3-وحدات عزم .أوجد قيمة ب .ثم أوجد طول
العمود المرسوم من نقطة األصل على خط عمل القوة.
C 7ب جـ Eشبه منحرف قائم الزاوية فى ب ،
EC
//ب جـ C ،ب = 8سم ،ب جـ = 15سم9 = E C ،سم .رسم
Eهـ = مستوى شبه المنحرف حيث Eهـ = 12سم .اثرت قوة مقدارها 75نيوتن فى Cهـ .أوجد عزم القوة
حول النقطة ب .
8إذا كان عزم القوة - N 3 + M 2 = Xع حول نقطة األصل و يساوى ج = - N 3 + M 5 -ع و
وإذا كانت هذه القوة تمر بنقطة االحداثى ص لها يساوى . 2أوجد االحداثيي س ،ع للنقطة وكذلك أوجد
طول العمود المرسوم من نقطة االصل على خط عمل القوة. 9قوة
X
= 15
M
25 -
N
40 +ع تؤثر فى نقطة )2 ،3- ،3-( Cأوجد مركبة عزم Xحول محور ص .
كتاب الرياضيات التطبيقية
37
����ل�
1عزم قوة بالنسبة لنقطة يعرف عزم القوة Xالمؤثرة على جسم حول النقطة و بأنه مقدرة القوة Xعلى احداث دوران للجسم حول نقطة و ويحسب عزم القوة Xمن العالقة جو = X * Sحيث Sمتجه موضع نقطة على خط عمل القوة بالنسبة للنقطة (و) ويكون اتجاه العزم عمودى على المستوى الذى يحوى كل من
S، X
2معيار عزم قوه بالنسبة لنقطة إذا كان Xيمثل معيار القوة ، Xل يمثل طول العمود الساقط من النقطة و على خط عمل القوة فإن معيار عزم Xحول النقطة و يحسب من العالقة || جو || = Xل
3القياس الجبرى لعزم قوة بالنسبة لنقطة إذا كانت القوة تعمل على دوران الجسم حول نقطة و، ل ل فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة فإن القياس الجبرى لمتجه عزم القوة يكون موج ًبا وإذا كانت القوة تعمل على دوران الجسم حول نقطة و ،مع اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبرى لمتجه العزم سال ًبا || جو || 4طول العمود المرسوم من نقطة و على خط عمل القوة Xهو ل حيث ل = || || X 5إذا تالشى عزم قوة بالنسبة لنقطة فإن خط عمل القوة يمر بهذه النقطة 6مبدأ العزوم (نظرية فارينون) عزم القوة Xبالنسبة لنقطة يساوى مجموع عزوم مركبات هذه القوة بالنسبة للنقطة نفسها 7نظرية مجموع عزوم عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة بالنسبة ألى نقطة فى الفراغ يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها 8إذا كان مجموع عزوم عدة قوى مستوية حول نقطة = Cمجموع عزوم هذى القوى حول نقطة ب كان خط عمل المحصلة مواز ًيا Cب 9إذا كان مجموع عزوم عدة قوى مستوية حول نقطة - = Cمجموع عزوم هذه القوى حول نقطة ب كان خط عمل المحصلة ينصف Cب 10عزم قوة بالنسبة لنقطة فى الفراغ جو = X * S X
M
=
س
N
ص
Xس Xص
+
و
و
-
ع
ع حيث Sمتجه موضع نقطة على خط عمل القوة بالنسبة للنقطة و
Xع
11مركبات عزوم قوة فى اتجاه المحاور إذا كانت بالنسبة لنقطة األصل ر = ( س ،ص ،ع) فإن: (ص Xع -ع Xص) #مركبة عزم Xفى اتجاه محور س X
(ع Xس -س Xع) #مركبة عزم
X
(س Xص -ص Xس) #مركبة عزم
38
X
= (Xس X ،ص X ،ع) قوة تؤثر فى نقطة متجه موضعها
فى اتجاه محور ص
X
فى اتجاه محور ع
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
00
X
إذا كان عزم القوة األفقية Xحول نقطة و يساوى عزم القوة الرأسية 50نيوتن حول نقطة و فما قيمة X
c70
1 سم
50نيوتن
و
ع
2فى الشكل المقابل احسب عزم القوة 5 14 = Xنيوتن حول النقطة و
C X
ب
2م
1م
ص
2م
و
س
3قوة 7 = Xص تؤثر فى النقطة ( )0 ،3-أوجد عزم القوة بالنسبة للنقطة ()2- ،1 4القوة N + M 2 = 1Xنيوتن تؤثر فى نقطة متجه موضعها N 2 + M 2متر وقوة اخرى M 5 = 2Xنيوتن تؤثر فى نقطة متجه موضعها N + M 2 -متر أوجد مجموع عزوم هذه القوى حول نقطة األصل
5إذا كانت ، N ، Mع مجموعة يمينية من متجهات الوحدة
وكانت القوة + M 3 = Xك 4 + Nع تؤثر فى النقطة )1 - ، 0 ، 1( C وكان عزم القوة
X
بالنسبة للنقطة ب ( )3 ،1- ،2يساوى 4-
6فى الشكل المقابل أوجد القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى بالنسبة للنقطة جـ
3
س
N8 - M
5ع .فما قيمة ك.ص
300نيوتن
600نيوتن
4م
4
3م
2.5م
2م
و
جـ
1.5م
c30
6م 800نيوتن
كتاب الرياضيات التطبيقية
39
����ل�
7فى الشكل المقابل اثبت أن محصلة القوتين 100نيوتن 2 80 ،نيوتن تمر بالنقطة جـ
100نيوتن
8فى الشكل المقابل أوجد القياس الجبرى لعزم القوة 100نيوتن حول نقطة و
C
20سم
2 80
نيوتن
c45
جـ
ب
25سم
100نيوتن
4م
4م
c45
و ع X
9فى الشكل المقابل
15م
أوجد عزم القوة 11 15 = Xنيوتن حول نقطة و 5م
ص
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
40
الصف الثالث الثانوى
5م
و
س
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الطالب
اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:
Cب جـ قائم الزاوية فى ب C ،جـ = 10سم c (X ،ب جـ i = ) Cفإن ب جـ = د 5 ج 10ظا i ب 10جتا i أ 10جا i 2البعد بين النقطتين ( )3 ، 1- ( ، )1- ، 2يساوى د 2 ب 5 أ 4 ج 5 3جيوب تمام االتجاه للمتجه ( )1 ،2 ،2-هى: ب 1 ، 2 ، 2- أ 1- ، 2- ، 2 3
3
ج 1 ،2 ،2 3 3 3
3
د
1 ، 2 ، 25 5 5
C 4ب جـ مثلث فيه Cب = 8سم Cc (X ،ب جـ) = c70فإن طول العمود المرسوم من Cعلى ب جـ يساوى: ج 8ظا 70 ب 8جا 70 أ 8جتا 70 د 8 5إذا كان أ 7
C
= ( ، )1- ، 2ب = ( )2 ، 3فإن ب 65
C
:ب = ج 4
6إذا كان ، )3 ، 2 ، 1-( = Cب = ( )1 ، 2 ، 2فإن * Cب = ج ( )6- ،7 ، 4- ب ( )6- ،7- ،4- أ ( )6- ،7 ،4 7إذا كان أ 7
X
= ( ، )4 ، 3- ، 2تؤثر فى النقطة ( )1 ، 1 ، 1فإن مركبة عزم ج 5- ب 2-
X
اأجب عن الأ�سئلة الآتية :
د 8 د 5
حول محور س يساوى د 2
C 8ب جـ Eمربع طول ضلعه 10سم .اثرت قوى مقاديرها 2 5 ،8 ،5 ،3ث .كجم فى اتجاهات Cب ،ب جـ ، جـ C ، Eجـ على الترتيب .أوجد القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى: ب بالنسبة للنقطة ب أ بالنسبة للنقطة C c60 ج بالنسبة لمركز المربع 9الشكل المقابل يمثل تأثير قوة 15نيوتن على ذراع مثبتة بمفصل عند . Cأوجد القياس الجبرى لعزم القوة بالنسبة لنقطة. C
0فى الشكل المقابل الشد فى الخيط Cب مقداره 150نيوتن أوجد القياس الجبرى لعزم قوة الشد بالنسبة للنقطة و.
15 = Xنيوتن
ش C
C
ب 60سم
5 4س
c30
5م
م
و
إذا كان العزم الالزم لدوران المسمار حول و يساوى 400نيوتن.سم أوجد اقل قيمة للقوة Xوقيمة iالتى تحقق دوران المسمار. كتاب الرياضيات التطبيقية
X
و
i
20سم
4
القوى المتوازية المستوية Parallel coplanar forces
الوحدة
3
مقدمة الوحدة في دراستنا السابقة لمجمموعة القوى المستوية المؤثرة علي نقطة مادية ،كانت خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة مادية واحدة ،وبالتالى فإن خط عمل محصلة هذه القوى يمر بنقطة واحدة هى نقطة التالقى المشتركة لهذه المجموعة من القوى. وفى هذه الوحدة سوف نتناول مجموعة القوى التى تؤثر علي جسم متماسك حيث أن خطوط عمل هذه القوى التتالقى فى نقطة واحدة بالضرورة ،وستقتصر دراستنا فى هذه الوحدة على تلك القوى التى تتوازى خطوط عملها وتقع جميعها فى مستو واحد وهو مايطلق عليه بالقوى المتوازية المستوية ،وسوف نتناول فى دراستنا لهذه الوحدة عرض القوى المتوازية المستوية عندما يطلب إيجاد محصلتها من حيث اتجاهها ومقدارها ونقطة تأثيرها.
أهداف الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: يتعرف القوى المتوازية المستوية
يعين خط عمل محصلة قوتين متوازيتين عندما تكونان فى اتجاه واحد أو في اتجاهين مختلفين. يعين احدى قوتين متوازيتين إذا علمت القوة اآلخرى والمحصلة . يوجد عزوم مجموعة من القوى المتوازية المستوية حول نقطة.
يوجد محصلة مجموعة من القوى المتوازية المستوية.
42
الصف الثالث الثانوى
يستنتج أن مجموع عزوم عدة قوى متوازية حول نقطة يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة. يستنتج أن مجموع عزوم عدة قوة متوازية حول نقطة يساوى صفر إذا كانت محصلتهما تمر بهذه النقطة. يستنتج أن مجموع عزوم مجموعة من القوى المتوازية حول نقطة يساوى صفر إذا تالشت محصلة هذة القوى.
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñقوى متوازية
Parallel forces
Ñمحصلة
Resultant
Ñمقدار
Magnitude
Ñمعيار
Norm
Ñنقطة تأثير
Point of action
Ñرد فعل
Reaction
Ñوزن
Weight
Ñمتوازيان
Parallel
Ñحامل (وتد)
Support
Ñسقالة
Beam
Ñشد
Tension
Ñيكرة
pully
األدوات والوسائل
دروس الوحدة
آلة حاسبة علمية .
( :)1- 3محصلة القوى المتوازية المستوية. ( :) 2- 2اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية.
مخطط تنظيمى للوحدة القوى المتوازية المستوية
محصلة القوى المتوازية المستوية
اتزان القوى المتوازية المستوية
محصلة قوتين
محصلة عدة قوى
مجموع عزوم
محصلة القوى
متوازيتين
متوازية ومستوية
القوى حول أى
تساوى صفرا
نقطة يساوى صفر يعمالن فى
يعمالن فى
نفس االتجاه
اتجاهين متضادين
كتاب الرياضيات التطبيقية
43
الوحدة الثالثة
1-3
محصلة القوى المتوازية المستوية Resultant of a parallel coplanar forces
سوف تتعلم
حمصلة قوتني متوازيتني وىف نفس االجتاه. حمصلة قوتني متوازيتني وىف اجتاهني متضادين. حمصلة عدة قوى متوازية ومستوية.
عمل تعاونى 7
قوى متوازية حمصلة
Resultant
مقدار
Magnitude
معيار
نقطة تأثري
Norm Point of action
3
شكل ( )1يوضح مسطرة خشبية مدرجة من 1إلى 7موضوع عليها حجران متماثالن عند طرفى المسطرة. ( )1عين موضع نقطة على المسطرة يمكن تعليق المسطرة منها .بحيث تتزن افق ًيا. شكل ()1
( )2إذا وضع ثقالن عند أحد 4 5 6 7 الطرفين شكل (.)2 شكل ()2 هل يتغير موضع نقطة التعليق؟ عين موضع نقطة التعليق الجديدة إذا تغير الموضع؟ ا ً أوال :مح�صلة قوتين متوازيتين ومتحدتى االتجاه
المصطلحات األساسية Parallel
6
5
4
2
1
2
3
1
Resultant of two parallel forces having the same direction
تعلمت أن محصلة عدة قوى مستوية X ،... ، 2X ، 1Xن متالقية فى نقطة واحدة هو
قوة ح حيث ح =
X + ... +ن وتمر بنفس النقطة .وفى هذا الدرس
2X + 1X
سوف تتعلم إيجاد محصلة عدة قوى متوازية ومستوية .
نبدأ بإيجاد محصلة قوتين متوازيتين ومستويتين ولهما نفس االتجاه.
بفرض
1X
،
2X
قوتان متوازيتان ويعمالن فى نفس االتجاه ويؤثران فى جسم
متماسك فى نقطتين ,Cب فتكون محصلة القوتين هى ح حيث: ح = . 2X + 1X
X
ولتحديد موضع نقطة تأثير
المحصلة
متساويتان
نفرض فى
قوتان
X
المقدار
ومتضادين فى االتجاه تؤثران
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
ح1
عند ،Cب وهذا لن يغير من تأثير القوتين . 2X ، 1X يمكن إيجاد محصلة
ولتكن ح 1كذلك
القوتين 1X
و
،
C
X 1X
جـ
ب
2X
2X
1X
ح 2محصلة القوتين X
.عند Cوالتى تمثل قطر متوازى االضالع 2X ،عند ب.
وبفرض أن خطى عمل المحصلتين ح ، 1ح 2يتقاطعان عند نقطة و.
44
الصف الثالث الثانوى
ح2
شكل ()3
ح
X
X
كتاب الطالب
يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
فيمكن استبدال القوة ح 1بمركبتيها االصليين ، 1X
القوى المؤثرة عند نقطة (و) هى:
والقوتان
X
،
1X
،
2X
X
كذلك يمكن استبدال القوة ح 2بمركبتيها االصليين ، 2X
3 3 X
.
وتعمالن فى اتجاه و جـ (الموازى لخط عمل القوتين االصليتين)
Xوتعمالن فى اتجاهين متضادين حيث يمكن حذفهما دون حدوث أى تغير فى تأثير القوتين 1X
2X ،عند نقطة و) .القوتان 2X ، 1Xالمؤثرتان عند نقطة( و) تعمالن فى اتجاه و جـ يكون لهما نفس تأثير القوتين أيضا فى اتجاه و جـ 2X ، 1Xالمؤثرتان عند ، Cب وبالتالى فإن محصلتهما هى ح = 2X + 1Xوتؤثر ً
وحيث أن القوى ، 2X ، 1Xح متوازية فإن X
1X
Cجـ = و جـ
بقسمة ( )2على ()1 ومن ذلك فإن :
()1
فإن :
X
2X
*
1X X
X ب جـ = ، و جـ 2X ب جـ و جـ أى أن * = و جـ Cجـ
C * 1Xجـ = * 2Xب جـ
()2
1X 2X
ب جـ = Cجـ
C
فى شكل ( )4يأخذ متجه وحدة ى فى اتجاه القوتين فإن :
1X
1X = 1Xى 2X = 2X ،ى
جـ
ب
ى
2X
` ح = ( ) 2X + 1Xى مما يعنى أن المحصلة تكون فى اتجاه القوتين ويساوى معيارها مجموع معيارى القوتين أى أن:
ح
شكل ()4
محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتى اإلتجاه هى قوة فى إتجاههما ويساوى معيارها مجموع معيارى القوتين ويقسم خط عملها المسافة بين خطى عمل القوتين بنسبة عكسية لمعياريهما. مثال تعيني محصلة قوتني متوازيتني تعمالن ىف نفس االتجاه قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما 7 ، 5نيوتن تؤثران فى نقطتين , Cب حيث Cب = 36سم أوجد محصلة القوتين الحل
نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه القوتين ` 5 = 1Xى 7 = 2X ،ى
5
C
مقدار واتجاه المحصلة :
نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة جـ ∈ Cب
جـ
36سم
7
ى
ب
شكل ()5
ح = 5 = 2X + 1Xى 7 +ى = 12ى
تعيين نقطة ت�أثير المح�صلة
ح
` Cجـ = 7أى أن Cجـ = 7 C - 36جـ 5 جـ ب 5
` C 5جـ = C 7 - 252جـ أى أن Cجـ = 21سم أى أن مقدار المحصلة يساوى 12نيوتن ويعمل اتجاهها فى نفس اتجاه القوتين وتؤثر فى نقطة تبعد عن Cبمقدار 21سم كتاب الرياضيات التطبيقية
45
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم حاول أن تحل
قوتان متوازيتان يعمالن فى نفس االتجاه مقدارهما 6 ،4نيوتن تؤثران فى نقطتين ,Cب حيث Cب = 25سم. أوجد محصلة القوتين تفكير ناقد :إذا كانت القوتان متساويتان فأين تقع نقطة تأثير المحصلة.
تعلم مح�صلة قوتين متوازيتين ومت�صادين فى االتجاه ح
Resultant of two parallel forces having opposite directions
بالمثل فى شكل ( )6إذا كان 2X ، 1Xقوتان متوازيتان وغير متساويتان وتعمالن فى اتجاهين متضادين وتؤثران فى نقطتين ، Cب من جسم
متماسك وكانت محصلتهما ح فإن :ح =
2X + 1X
1X
جـ
وتؤثر فى نقطة
C
جـ التى تقسم Cب من الخارج بنسبة عكسية بمعيار القوتين . Cجـ إذا كان 2X > 1Xفإن ب جـ
=
2X 1X
ب شكل ()6
2X
أى أن C * 1X :جـ= * 2Xب جـ
أى أن :محصلة قوتين متوازيتين ومتضادتين فى اإلتجاه وغير متساويتى المعيار هى قوة فى إتجاه القوة األكبر معيارا ويساوى معيارها الفرق بين معياريهما ويقسم خط عملها المسافة بين خطى عمل القوتين من الخارج ً معيارا بنسبة عكسية لمعياريهما. من ناحية القوة األكبر ً تعيني محصلة قوتني متوازيتني يعمالن ىف اتجاهني مختلفني مثال 2قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدارهما 100 ، 40نيوتن والمسافة بين خطى عمليهما 240سم. أوجد محصلتهما. ح
الحل
نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه القوة الكبرى ` 100 = 1Xى 40 - = 2X ،ى
جـ
مقدار واتجاه المحصلة
100
240سم C
ب 40
شكل ()7
` ح = 100 = 2X + 1Xى 40 -ى = 60ى
جـ C 40 تعيين نقطة تأثر المحصلة نفرض أن المحصلة تؤثر فى نقطة جـ ∈ ب Cحيث جـ ب = 100 جـ C = 2 ` C 5جـ = C 2 + 480جـ ` Cجـ = 160سم ` + 240جـ 5 C
أى أن مقدار المحصلة يساوى 60نيوتن واتجاهها نفس اتجاه القوة 100نيوتن وتعمل فى نقطة∈ ب Cوتقع خارج Cب وتبعد عن Cمسافة 160سم
46
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ى
يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
3 3
حاول أن تحل
2أوجد محصلة قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدارهما 12 ،7نيوتن تؤثران فى ,Cب حيث Cب = 20سم
تفكير ناقد :ماذا تقول عن محصلة قوتين متساويتين و متوازيتين ومتضادين فى االتجاه ؟
نظرية
«مجموع عزوم أى عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لنقطة يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة لنفس النقطة»
البرهان (ال يمتحن فيه الطالب) نبدأ باثبات هذه النظرية فى حالة خاصة عندما تكون المجموعة مكونة من قوتين فقط.
( )1اإذا ك�نت القوت�ن متحدتى االتج�ه
نعتبر نقطة مثل (و) واقعة فى مستوى القوتين ونقيم منها عمو ًدا مشتركًا على خطى عمل القوتين 2X ، 1Xفيقطعهما فى النقطتين ,Cب على الترتيب ويقطع خط عمل المحصلة فى نقطة جـ فيكون المجموع الجبرى لعزوم القوى بالنسبة لنقطة و
1X
= * 1X -و جـ C * 1X +جـ * 2X-وجـ * 2X -جـ ب
ولكن:
2X 1X
جـ C شكل ()8
و
= * 1X -و * 2X - Cوب = ( 1X -و جـ C -جـ) ( 2X -وجـ +جـ ب) ب جـ = Cجـ
ح
2X
ب
()1
= أى أن C * 1Xجـ = * 2Xب جـ
` جو = * 1X -و جـ * 2X -و جـ بالتعويض فى ()1 = * )2X + 1X( -و جـ = -ح * وجـ = عزم المحصلة بالنسبة للنقطة و
2X
( )2اإذا ك�نت القوت�ن مت�ص�دتين فى االتج�ه
بفرض 2X > 1Xفيكون المجموع الجبرى لعزوم القوى بالنسبة لنقطة و = * 1Xو * 2X - Cو ب = ( 1Xوجـ +جـ( 2X - )Cوجـ +جـ ب) = * 1Xوجـ * 1X +جـ * 2X - Cوجـ * 2X -جـ ب ولكن
1X 2X
جـ ب = جـ C
أى أن * 1Xجـ * 2X = Cجـ ب
` جو = * 1Xو جـ * 2X -و جـ = * )2X - 1X( -و جـ = ح * و جـ = عزم المحصلة بالنسبة للنقطة و
و
جـ
C
ح
1X
()2
ب شكل ()9
وبالتعويض فى ()2
كتاب الرياضيات التطبيقية
47
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
( )3اأم� اإذا ك�نت المجموعة تتكون من اأى عدد محدود من القوى (اأكثر من قوتين) والتى التنعدم مح�صلته�
فيمكن إثبات النظرية بتحصيل أى قوتين من قوى المجموعة على التوالى حتى يتم تحصيل كافة قوى المجموعة إلى قوتين وتطبيق النظرية عليها. مثال
تعيني إحدى قوتني متوازيتني إذا علمت األخرى واملحصلة
3قوتان متوازيتان مقدارهما X ، 20نيوتن تؤثران فى نقطتين ، Cب ومقدار محصلتهما 35نيوتن والبعد بين خطى عمل القوة المعلومة والمحصلة يساوى 15سم .أوجد Xفى كل من الحالتين: أ القوة المعلومة والمحصلة فى نفس االتجاه.
ب القوة المعلومة والمحصلة فى عكس االتجاه. ح
الحل
أ نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه المحصلة ` ح = 35ى 20 = 1X ،ى
aح = 2X + 1Xأى أن 35ى = 20ى ` 15 = 2Xى
1X
2X +
2X
15سم C
ى
جـ
شكل ()10
ب
أى أن القوة 2Xمقدارهما 15نيوتن واتجاهها نفس اتجاه القوة المعلومة والمحصلة aمجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة جـ يساوى عزم المحصلة بالنسبة لنقطة جـ = صفر ` * 15 - 15 * 20ب جـ = صفر ` ب جـ = 20سم أى أن القوة 2Xتؤثر فى نقطة ب على بعد ح 2X 35سم من C ب نفرض ى متجه وحدة فى اتجاه المحصلة ` ح = 35ى 20 - = 1X ،ى
` ح = 2X + 1Xأى أن 35ى = 20 -ى ` 55 = 2Xى
جـ 2X +
ى C
ب
15سم
شكل ()11
1X
أى أن القوة Xمقدارها 55نيوتن واتجاهها نفس اتجاه القوة المحصلة aمجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة جـ يساوى عزم المحصلة بالنسبة لنقطة جـ = صفر 60سم ` * 55 - 15 * 20ب جـ = صفر أى أن ب جـ = 11 105سم من C أى أن القوة 2Xتؤثر فى نقطة ب على بعد 11
حاول أن تحل
3قوتان متوازيتان مقدار محصلتهما 350نيوتن ومقدار إحدى القوتين 500نيوتن وتعمل على بعد 51سم من المحصلة .أوجد القوة الثانية والبعد بين خطى عمل القوتين إذا كانت القوة المعلومة والمحصلة تعمالن ً ثان ًيا :فى اتجاهين متضادين أوال :فى اتجاه واحد
48
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
3 3
يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
عزوم مجموعة من القوى املتوازية املستوية حول نقطة مثال 4الشكل المقابل يمثل مجموعة من القوى المتوازية 5نيوتن العمودية على Cب أوجد القياس الجبرى لمجموعة عزوم 4سم هذه القوى بالنسبة إلى جـ C ب نقطة جـ أ نقطة C
4نيوتن 5سم
E
7سم
6نيوتن
الحل
ب 2نيوتن
أ القوة 5نيوتن تؤثر فى نقطة Cفيكون عزمها بالنسبة لنقطة Cمساوى صفر
وبمراعاه اتجاه دوران القوى بالنسبة لنقطة ( Cمع أو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة) فإن القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة C
= 20 = 16 * 2 + 9 * 4 - 4 * 6نيوتن 0سم
ب القوة 6نيوتن تؤثر فى نقطة جـ فيكون عزمها بالنسبة لنقطة جـ مساوى الصفر. ويكون القياس الجبرى لمجموع عزوم القوى بالنسبة لنقطة جـ
= 24 = 12 * 2 + 5 * 4 - 4 * 5نيوتن 0سم حاول أن تحل
4الشكل المقابل يمثل مجموعة من القوى المتوازية العمودية على Cب أوجد القياس الجبرى لمجموع عزوم هذه القوى بالنسبة أ نقطة C
3نيوتن 2سم C
ب نقطة منتصف Cب
4نيوتن
جـ
6نيوتن
1سم
E
1سم
1سم
ب
هـ
5نيوتن 1نيوتن
محصلة مجموعة من القوى املتوازية واملستوية مثال ، C 5ب ،جـ ، E ،هـ نقط تقع على خط مستقيم واحد بحيث: Cب :ب جـ :جـ E : Eهـ = 7 : 4 : 3 : 2اثرت خمس قوى متوازية وفى نفس االتجاه مقاديرها 40 ،70 ،20 ،50 ،30نيوتن فى النقط ، Cب ،جـ ، E ،هـ على الترتيب .أوجد محصلة هذه القوى ى
الحل
بفرض Cب = 2س ،ب جـ = 3س جـ 4 = Eس E ،هـ = 7س وبفرض ى متجه وحدة فى اتجاه القوى
30
50
20
70
40
C
ب
جـ
E
هـ
` ح = = 30ى 50 +ى 20 +ى 70 +ى 40 +ى = 210ى نيوتن أى أن مقدار المحصلة 210نيوتن فى نفس اتجاه القوى 5X + 4X + 3X + 2X + 1X
كتاب الرياضيات التطبيقية
شكل ()12
49
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
وإليجاد نقطة تأثير المحصلة ،نفرض أن المحصلة تؤثر فى نقطة و ∈ Cهـ
aمجموع عزوم القوى حول Cيساوى عزم المحصلة حول C
1470س = 7س سم `Cو = 210
` 2 * 50 -س 5 * 20 -س 9 * 70 -س 16 * 40 -س = C * 210 -و
Cو = 7س = 7 16أى أن المحصلة تؤثر فى نقطة (و) التى تقسم Cهـ من الداخل بنسبة 16 : 7من جهة C 16س Cهـ
حاول أن تحل
5إذا كانت جـ ، E ،هـ ∈ Cب بحيث Cجـ :جـ E : Eهـ :هـ ب = 7 : 5 : 3 : 1أثرت قوى متوازية وفى نفس االتجاه ومتساوية فى المقدار فى النقط ،Cجـ ،E ،هـ ،ب برهن أن المحصلة تقسم Cب بنسبة 5 : 3 محصلة عدة قوى متوازية مثال 6فى الشكل المقابل (شكل ، C )13ب ،جـ ،E ،هـ خمس نقط تقع على خط مستقيم واحدا أثرت القوتان 30 ،20نيوتن رأس ًيا ألعلى عند النقطتين ب E ،واثرت القوتان 60 ،40نويتن رأس ًيا ألسفل عند النقطتين ، Cجـ .أوجد مقدار واتجاه ونقطة تأثيرة المحصلة.
30
20
4سم 2سمجـ 3سم 2سم هـ ب E
C 40
ى
60
شكل ()13
الحل
بفرض ى متجه وحدة ألسفل كما فى شكل ()13 ` ح =
4X + 3X + 2X + 1X
= 30-ى 60 +ى 20 -ى 40 +ى = 50ى
نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة على القضيب تبعد س سم من C
` س = 0٫2
aمجموع عزوم القوى حول = Cعزم المحصلة حول C
* 50 = 4 * 20 - 6 * 60 + 9 * 30سأى أن المحصلة تؤثر فى نقطة على القضيب وعلى بعد 0٫2سم من C حاول أن تحل
6الشكل المقابل يوضح قضيب خفيف Cب .أثرت عليه القوى المتوازية الموضحة بالشكل فإذا كانت مقدار المحصلة 300 نيوتن وتعمل ألعلى وتؤثر فى نقطة على القضيب تبعد 4متر من .C أوجد , Xك مثال
200
ب
ك
3سم
4سم
3سم
Xشكل ()14
الربهنة النظرية
C
100
2X , 1X 7قوتان متوازيتان ويعمالن فى نفس االتجاه تؤثران فى نقطتين ،Cب ومحصلتهما ح إذا تحركت القوة 2Xموازية لنفسها فى اتجاه Cب مسافة س سم اثبت أن محصلة القوتين تتحرك فى اتجاه Cب مسافة مقدارها
(
2X
2X + 1X
50
)س
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم الحل
فى الحالة األولى: نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة جـ aعزم المحصلة عند = Cمجموع عزوم القوى عند C ` ح * Cجـ = C * 2Xب
1X
C
()1
ح
َح
جـ
جـَ شكل ()15
2X
ب
3 3 2X
س
َب
فى الحالة الثانية:
إذا تحركت القوة 2Xموازية لنفسها فى اتجاه Cب مسافة س سم. نفرض المحصلة تؤثر فى ج َـ aعزم المحصلة عند = Cمجموع عزوم القوى عند C
` ح * Cج َـ = َ C * 2Xب بطرح ( )1من ()2
()2
` ح ( Cج َـ C -جـ) = َ C( 2Xب C -ب) ` ح * جـ ج َـ = * 2Xس ` جـ ج َـ =
حاول أن تحل
2X
ح
*س=(
2X
2X + 1X
)س
7قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما X2 ,Xتؤثران فى نقطتين ،Cب إذا تحركت القوة X 2موازية نفسها فى اتجاه Cب مسافه س سم اثبت أن محصلة القوتين تتحرك فى نفس االتجاه مسافه قدرها 23س
مثال 8تؤثر القوتان ،N 3 - M 2 = 1X محصلة القوتين ونقطة تأثيرها.
N 6 - M 4 = 2Xفى النقطتين ، )3 ،1(Cب ( )9 ،4على الترتيب .أوجد
الحل
ح = N 9 - M 6 = 2X + 1X
نالحظ أن 1X 2 = 2Xأى أن القوتين متوازيتان وفى نفس االتجاه نفرض المحصلة تؤثر فى نقطة جـ ∈ Cب حيث Cجـ = 2 C 1
جـ ب م ص +م ص م س +م س ومن قانون نقطة التقسيم جـ =( ) 1 2 2 1 ، 1 2 2 1 م + م 2 1 م + 1م2 3 * 1 + 9 * 2 1* 1 + 4 * 2 ) = ()7 ،3 ، ` جـ = ( 1+ 2 1+ 2
()3 ،1
2
1
جـ
ب
()9 ،4
حاول أن تحل
8تؤثر القوتان N 3 + M 9 - = 2X ،N - M 3 = 1Xفى النقطتين ، )0 ،1- (Cب ( )2 ،1على الترتيب .أوجد محصلة القوتين ونقطة تأثيرها. كتاب الرياضيات التطبيقية
5
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
تمــــاريــن 1 - 3
اختر االإج�بة ال�صحيحة من بين االإج�ب�ت المعط�ه :
قوتان متوازيتان ومتضادين فى االتجاه مقدارهما 12 ،7نيوتن فإن مقدار محصلتهما يساوى: د 5نيوتن ج 7نيوتن ب 12نيوتن أ 19نيوتن
2قوتان متوازيتان ومتحدتا االتجاه مقدارهما 10 ،7نيوتن تؤثران فى النقطتين ،Cب حيث Cب = 51سم. فإذا كانت محصلتهما تؤثر فى نقطة جـ فإن Cجـ = د 12سم ج 21سم ب 27سم أ 30سم 3قوتان متوازيتان ومتحدتا فى االتجاه مقدارهما 7 ،5نيوتن فإن مقدار محصلتهما تساوى د 1 ج 2 ب 6 أ 12
اجب عن االأ�صئلة االآتية:
فى التمارين 6 - 4قوتان 2X ، 1Xمتوازيتان وتؤثران فى النقطتين ، Cب فإذا كانت محصلتهما ح تؤثر فى نقطة جـ ∈ Cب 4أوجد مقدار واتجاه المحصلة وطول Cجـ فى كل مما يأتى (القوتان فى نفس االتجاه) أ 9 = 1Xنيوتن 17 = 2X ،نيوتن C ،ب = 13سم ب 23 = 1Xنيوتن 15 = 2X ،نيوتن C ،ب = 57سم ج 16 = 1Xنيوتن 10 = 2X ،نيوتن C ،ب = 30سم 5إذا كانت 2X ، 1Xفى نفس االتجاه اجب عما يأتى: أ 8 = 1Xنيوتن ،ح = 13نيوتن C ،جـ = 10سم أوجد C ، 2Xب ب 6 = 2Xنيوتن C ،جـ = 24سم C ،ب = 56سم أوجد ، 1Xح ج 6 = 1Xنيوتن C ،جـ = 9سم ،جـ ب = 8سم أوجد ، 2Xح
6إذا كانت 2X ، 1Xمتضادان فى االتجاه اجب عما يأتى: أ 15 = 1Xنيوتن ،ح = 20نيوتن C ،جـ = 70سم أوجد C ، 2Xب ب 6 = 2Xنيوتن C ،جـ = 24سم ،جـ ∉ Cب C ،ب = 56سم أوجد ، 1Xح ج 6 = 1Xنيوتن C ،جـ = 9سم ،جـ ∉ Cب ،جـ ب = 8سم أوجد ، 2Xح 7فى كل مما يأتى أوجد مقدار واتجاه المحصلة و ُبعد نقطة تأثيرها عن نقطة C 9نيوتن
C
7سم
شكل ()16
52
7نيوتن
5نيوتن
9سم
C
ب
8نيوتن
4نيوتن
شكل ()17
الصف الثالث الثانوى
ب
4سم C
شكل ()18
6نيوتن
كتاب الطالب
يوةسم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
3 3
8قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدارهما 9 ،4نيوتن تؤثران فى نقطتين ، Cب حيث Cب = 15سم. أوجد محصلتهما. 9إذا كانت محصلة القوتان المتوازيتان 7ى 5 ،ى نيوتن تؤثر فى نقطة تبعد 2 13متر عن خط عمل القوة الصغرى .أوجد المسافة بين خطى عمل القوتين
0قوتان متوازيتان صغراهما 30نيوتن وتؤثر فى الطرف Cمن قضيب خفيف Cب والكبرى تؤثر فى الطرف ب فإذا كان مقدار محصلتهما 10نيوتن ويبعد خط عملها عن الطرف ب بمقدار 90سم ،فما طول القضيب؟
،Cب ،جـ ،E ،هـ نقط تقع على خط مستقيم واحد بحيث Cب = 4سم ،ب جـ = 6سم ،جـ 8 = Eسم ، Eهـ = 10سم .اثرت خمس قوى مقاديرها 40 ، 80 ، 50 ، 30 ، 60ث كجم فى النقط ، Cجـ ، E ،ب ،هـ على الترتيب وفى اتجاه عمودى على Cهـ بحيث كانت القوى الثالث األولى متحدة االتجاه ،والقوتان االخريان فى االتجاه المضاد .عين محصلة المجموعة
2فى شكل ( )19وضعت أربعة اثقال مقدارها 3 ، 5 ، 7 ، 1ث كجم على قضيب خفيف كما بالشكل .عين نقطة تعليق على القضيب بحيث يظل القضيب افق ًيا. C
1متر
1ث كجم
1متر
7ث كجم
1متر
5ث كجم
شكل ()19
C
3ث كجم
3قوتان متوازيتان ومتحدتا االتجاه مقاديرها 8 ،5نيوتن تؤثران فى نقطتين ،Cب حيث Cب = 39سم .إذا اضيف للقوة األولى قوة أخرى مقدارها Xفى نفس االتجاه فإن المحصلة تتحرك 8وحدات .أوجد X ، C 4ب ،جـ ثالث نقط تقع على مستقيم افقى حيث Cب = 1متر C ،جـ = 3متر ب ∈ Cجـ .اثرت القوى التى مقاديرها 12 ،2نيوتن رأس ًيا السفل فى النقطتين ،Cجـ على الترتيب كما اثرت قوة مقدارها 4نيوتن فى نقطة ب رأس ًيا ألعلى .أوجد مقدار واتجاه المحصلة وبعد نقطة تأثيرها عن نقطة C
كتاب الرياضيات التطبيقية
53
الوحدة الثالثة
2-3
اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية Equilibrium of a system of coplanar parallel forces
فكر و
سوف تتعلم
اتزان جسم حتت تأثري جمموعة من القوى املتوازية.
ناقش
X
½ إذا أثر على الجسم قوتان متساويتان فى المقدار ومتضادان فى االتجاه وعلى نفس خط العمل . هل يتزن الجسم؟
X
شكل ()20 X
½ إذا اثر على الجسم قوتان متساويتان فى المقدار ومتضادان فى االتجاه وليسا على نفس خط العمل .هل يتزن الجسم؟
X 3X
1X
المصطلحات األساسية
رد فعل وزن
متوازيان
حامل (وتد)
Reaction Weight Parallel Support
سقالة شد
Beam Tension
بكرة
دوران
Pulley Rotate
½ إذا أثر على الجسم عدة قوى متوازية ومستوية بحيث تنعدم محصلة هذه القوى .هل يتزن الجسم؟
شكل ()21
2X
شكل ()22
4X
نشاط
اتزان مجموعة من القوى املتوازية املستوية الهدف من النشاط :التحقق من أنه إذا أتزن جسم متماسك تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية ،عددها أكثر من ثالث ،فإن : صفرا. 1مجموع القياسات الجبرية لهذه القوى يساوى ً صفرا. 2مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة في مستويها يساوى ً األدوات المستخدمة :مسطرة خفيفة مدرجة -حامال كابستان -ميزانان زنبركيان - أثقال -خيوط خفيفة. ش1
ش2
األدوات المستخدمة
آله حاسبة علمية.
2X
معمل ميكانيكا
Xن
1X
شكل ()23
54
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
لتسلل
ةصزم تم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
3 3
تنفيذ النشاط : 1علق الميزانين الزنبركيين فى حاملى كابستان ثم علق فيهما المسطرة بواسطة خيطين واضبط الجهاز بحيث يصبح الميزانان والخيطان رأسيين كما فى شكل (.)23
2علق عد ًدا من األثقال المناسبة فى المسطرة بواسطة خيوط وعدل فى مواضع هذه األثقال وفى مقاديرها حتى تتزن المسطرة فى وضع أفقى .ولتكن مقادير األثقال X،...،2X ،1Xن ( هذه القوى موجهة رأس ًيا إلى أسفل) 3عين قراءة كل من الميزانين لتعيين قوتى الشد ،وليكن ش ، 1ش 2معيارى الشدين (هاتان القوتان موجهتان رأس ًيا إلى أعلى ) نجد أن: ش + 1شX +... + 2X + 1X = 2ن 4عين أبعاد األثقال عن نقطة من نقط المسطرة (تؤخذ عادة نقطة منتصفها)
5عين المجموع الجبرى لعزوم كافة القوى :ولتكن مقادير األثقالX،.. ،2X ، 1Xن ،ش ،1ش 2المؤثرة على صفرا. المسطرة حول النقطة المختارة فنجد أنه يساوى ً 6كرر التجربة عدة مرات مع تغيير األثقال ونقط تعليقها فنحصل فى كل حالة على النتيجة التالية : إذا اتزن جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية فإن : صفرا . -1مجموعة القياسات الجبرية لهذه القوى = ً صفرا أستنا ًدا إلى النشاط - 2مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة فى مستويها = ً السابق يمكن صياغة القاعدة التالية :
قاعدة
إذا اتزن جسم متماسك تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية فإن : صفرا . -1مجموع القياسات الجبرية لهذه القوى ( بالنسبة لمتجه وحدة يوازيها) يساوى ً ( المحصلة = صفر). صفرا. - 2مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة فى مستويها يساوى ً
مثال
اتزان جسم تحت تأثري مجموعة من القوى املتوازية املستوية
الشكل المقابل يوضح لوح خشبى كتلته 30كجم لكل متر من طوله يرتكز فى وضع أفقى على حاملين ، Cب ويحمل صندوق كتلته 240كجم .أوجد الضغط الواقع على كل حامل.
2م
C
4م
شكل ()24
كتاب الرياضيات التطبيقية
ب
55
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم الحل
CS
حيث أن اللوح منتظم فإن وزنه يؤثر فى نقطة منتصفه كتلة اللوح = 180 = 6 * 30كجم ` وزن اللوح = 180ث كجم C رد الفعل عند كل حامل يساوى الضغط عليه مجموع القياسات الجبرية للقوى فى االتجاه العمودى على القضيب = 0 240 ` S + C Sب = S + C S 180 + 240ب = )1( 420 مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول نقطة ب = صفر = 6 * C S + 4 * 240 - 3 * 180صفر أى أن 250 = C Sث كجم` بالتعويض فى ()1تكون Sب = 170ث كجم تفكير ناقد :ماذا يحدث لرد الفعل عند كل من ، Cب كلما اقترب الصندوق من نقطة C 2م
حاول أن تحل
رجالن , Cب يحمالن لوح من الخشب طوله 2متر ووزنه 16ث كجم يؤثر عند منتصفه يحمل صندوقا وزنه 24ث كجم كما موضحا فى شكل ( )26أوجد الضغط على كتف كل رجل ثم هو ً عين على أى نقطة من اللوح يكون موضع كتف الرجل ب حتى يتساوى الضغطين.
Sب
4م
ب شكل ()25
180
20سم 60سم
C
20سم
شكل ()26
ب
مثال اتزان مجموعة من القوى املتوازية املستوية C 2ب قضيب منتظم طوله 90سم ووزنه 60نيوتن معلق فى وضع أفقى بخيطين رأسيين من طرفيه ، Cب اين يعلق ثقل مقداره 150نيوتن حتى يكون مقدار الشد عند Cضعف مقداره الشد عند ب. ش
2ش
الحل
45سم E
45سم
نفرض أن الثقل 150نيوتن معلق من نقطة تبعد عن Cمسافة س ب C س سم وأن الشد عند ب = ش ،الشد عند 2 = Cش شكل ()27 ` مجموع القياسات الجبرية للقوى = صفر 150 ` 2ش +ش = 60 - 150 -صفر ومنها ش = 70نيوتن 60 aمجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول Cيساوى صفر ` * 150س - 45 * 60 +ش * = 90 صفر س = 24سم ` 150س = 3600 وبالتعويض عن ش = 70 جـ
حاول أن تحل
C 2ب لوح خشبى منتظم كتلته 10كجم وطوله 4متر يرتكز فى وضع أفقى على حاملين أحدهما عند Cواآلخر عند نقطة تبعد 1متر عن ب .بين على أى ُبعد يقف على اللوح طفل وزنه 50ث كجم لكى يتساوى ردى الفعل على الحاملين.
56
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
لتسلل
ةصزم تم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
3 3
مثال C 3ب لوح خشبى غير منتظم طوله 4متر يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند جـ E ،بحيث Cجـ = 1متر ، ب 1 12 = Eمتر .فإذا كانت أقصى مسافة يستطيع أن يتحركها رجل وزنه 780نيوتن على اللوح من Cإلى ب دون أن يختل توازن اللوح هى 3متر وأقصى مسافة يستطيع أن يتحركها نفس الرجل من ب إلى Cهى 3 12متر .عين وزن اللوح ونقطة تأثيره. الحل
نفرض وزن اللوح يساوى( و) نيوتن ويؤثر فى نقطة تبعد عن الطرف Cمسافة س متر.
الحالة األولى: عندما يقطع الرجل اقصى مسافة 3متر من Cإلى ب يصبح اللوح على وشك الدوران حول .Eأى أن رد فعل الحامل عند جـ ينعدم. aمجموع عزوم القوى حول = Eصفر
S
C
1
- 12 * 780و ( - 2 12س) = صفر
` و ( - 2 12س) = 390
س
3
1 2 E
جـ
شكل ()28
و
()1
الحالة الثانية: عندما يقطع الرجل أقصى مسافة 3 12متر من ب إلى Cيصبح اللوح على وشك الدوران حول جـ .أى أن رد فعل الحامل عند = Eصفر aمجموع عزوم القوى حول جـ = صفر ` و (س 0 = 12 * 780 - )1- ()2
S
C
1 2
780
1
32
س
1 2جـ
780
1
ب
E
و
ب شكل ()29
` و (س 390 = )1- من ()2( ، )1 1 ` س - 2 2 = 1 -س ومنها س = 1٫75متر وبالتعويض فى ( )2نجد أن و = 520نيوتن أى أن وزن اللوح يساوى 520نيوتن ويؤثر فى نقطة تبعد عن الطرف Cمسافة 1٫75متر.
حاول أن تحل
3يرتكز قضيب Cب طوله 90سم ووزنه 50نيوتن ويؤثر فى نقطة منتصفه فى وضع أفقى على حاملين ، احدهما عند الطرف Cواآلخر عند نقطة جـ تبعد 30سم عن ب ويحمل ثقال مقداره 20نيوتن عند نقطة تبعد ايضا مقدار الثقل الذى يجب تعليقه من الطرف ب 15سم عن ب عين قيمة الضغط على كل حامل .وأوجد ً بحيث يصبح القضيب على وشك الدوران وماهى قيمة الضغط على جـ عندئذ. كتاب الرياضيات التطبيقية
57
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
تمــــاريــن 2 - 3
فى كل من االأ�صك�ل االآتية .ق�صيب خفيف متزن اأفقيً� اأوجد معي�ر كل من القوى ق ،ك ،البعد �س 7نيوتن
4نيوتن
س
جـ 16سم
C
Xنيوتن
2
6سم
ب
C
شكل ()34
C
7نيوتن
2م
E
2م
6نيوتن
شكل ()36
ب
12سم
C
35سم
12نيوتن
شكل ()35
4نيوتن
ك نيوتن
30سم هـ30سم 20سم
جـ 10نيوتن
ب
E
Xنيوتن
4
X
س جـ
جـ
9سم
15نيوتن
Xنيوتن
3
ك نيوتن
E 5نيوتن
شكل ()37
ب
10نيوتن
اأجب عم�ي�أتى :
5قضيب منتظم طوله 2متر وكتلته 75كجم يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند طرفيه .علق ثقل مقداره 15ث كجم من نقطة على القضيب على بعد 50سم من احد طرفيه .أوجد رد الفعل عند كل حامل. 6قضيب منتظم طوله 3متر وكتلته 4كجم ويحمل جسمين كتلتاهما 5كجم 1٫5 ،كجم عند طرفيه .أوجد موضع نقطة تعليق على القضيب لكى يتزن القضيب فى وضع أفقى. C 7ب قضيب غير منتظم طوله 120سم ،إذا ثبت عند طرفه ب ثقل قدره 1نيوتن وعلق من Cثقل قدره 16نيوتن فإن القضيب يتزن فى هذه الحالة عند نقطة تبعد 30سم من ، Cوإذا أنقص الثقل الموجود عند Cوصار 8نيوتن فإن القضيب يتزن عند نقطة تبعد 40سم من .Cأوجد وزن القضيب وبعد نقطة تأثير وزنه عن . C
58
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
لتسلل
ةصزم تم ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
8فى شكل ( )38يوضح دراجة نارية كتلتها 200كجم ووزنها يؤثر فى الخط الرأسى المار بمنتصف المسافة بين العجلتين وكانت كتلة راكب الدراجة 84كجم ووزنه يؤثر فى الخط الرأسى الذى يبعد 1متر خلف العجلة األمامية أوجد رد فعل األرض على كل من العجلتين فى كل من الحاالت اآلتية : أ الدراجة بدون الراكب ب الدراجة مع وجود الراكب.
70سم
3 3
70سم
شكل ()38
9يرتكز قضيب Cب طوله 60سم ووزنه 400ث جم يؤثر عند نقطة منتصفه على وتد يبعد 20سم من Cحفظ القضيب أفق ًيا فى حالة إتزان بواسطة خيط خفيف رأسى يتصل بطرفه ب أوجد : أ مقدار كل من الشد فى الخيط ورد فعل الوتد. ب مقدار الثقل الذى يلزم تعليقه من Cليجعل الشد فى الخيط على وشك أن ينعدم.
0قضيب متنظم Cب طوله 60سم ووزنه 10ث.جم ويؤثر عند منتصفه معلق فى وضع أفقى بواسطة خيطين رأسيين أحدهما مربوط فى نقطة Cواآلخر مربوط فى نقطة جـ حيث Cجـ = س سم ،علق ثقل قدره 12ث .جم فى نقطة Eحيث 25 = E Cسم .فإذا كان أقصى شد يتحمله كل خيط هو 15ث .جم ،فأوجد القيم التى تقع بينها س ،وأوجد أيضا أكبر وأقل قيمة للشد فى كل من الخيطين. Cب قضيب غير منتظم طوله 120سم ،إذا ثبت عند طرفه ب ثقل قدره 1نيوتن وعلق من Cثقل قدره 1نيوتن وعلق من Cثقل قدره 16نيوتن فإن القضيب يتزن فى هذه الحالة عند نقطة تبعد 30سم من ،Cوإذا أُنقص الثقل الموجود عند Cوصار 8نيوتن فإن القضيب يتزن عند نقطة تبعد 40سم من Cأوجد وزنالقضيب وبعد نقطة تأثير وزنه عن .C
2يحمل رجالن ,Cب جسما كتلته 90كجم معلق من قضيب معدنى متين وخفيف ،فإذا كانت المسافة بين الرجلين 60سم وكانت نقطة تعليق الجسم تبعد 20سم من ،Cفما مقدار ما يتحمله كل رجل من هذا الثقل؟ وإذا كان الرجل ب ال يمكنه أن يحمل أكثر من 50ثقل كجم ،فعين أكبر مسافة من Cيمكن تعليق الثقل عندها حتى يتمكن الرجل ب من االستمرار فى حمل القضيب.
3تؤثر القوى المستوية المتزنة والمتوازية 4X ، 3X ، 2X ، 1Xفى النقط ،)1- ،2( = Cب ( ، )3- ،4-جـ = ()5 ،3 )0 ،1- ( = E ،على الترتيب ،فإذا كانت 20 = || 2X || ، N 4 + M 3 = 1Xنيوتن فى نفس اتجاه . 1Xأوجد كال من 4X ، 3Xإذا كانتا تعمالن فى اتجاه مضاد التجاه . 1X
كتاب الرياضيات التطبيقية
59
ل ةصز لالصل حم لا ةلصحم
1محصلة قوتين متوازييين وفى نفس االتجاه 1X
= 1Xى ،
2X
= 2Xى تؤثران فى ، Cب فإن
Cجـ المحصلة ح = 2X + 1Xوتؤثر فى نقطة جـ∈ Cب بحيث = جـ ب
2محصلة قوتين متوازيتين ومتضادين فى االتجاه
=
2X 1X
1X = 1Xى 2X - = 2X ،ى ( )2X > 1Xتؤثران فى ، Cب فإن : Cجـ ح = )2X - 1X( = 2X + 1Xى وتؤثر فى نقطة جـ ∈ ب Cبحيث = جـ ب =
3عزوم القوى المتوازية المستوية :
2X 1X
نظرية ( مجموع عزوم أى عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لنقطة يساوى عزم محصلة هذه القوى بالنسبة لنفس النقطة ) .
4محصلة عدة قوى متوازية :
إذا كانت القوى ح=
1X
2X + 1X
،
2X
..... +
X ،.....ن متوازية وتؤثر فى النقط C ... ، 2C ، 1Cن فإن محصلتها هى ح حيث
Xن
وتؤثر فى نقطة جـ حيث 1Cجـ =
5اتزان مجموعة من القوى المتوازية المستوية
|| ح ||
قاعدة
إذا اتزن جسم متماسك تحت تأثير مجموعة من القوى المتوازية المستوية فإن : صفرا . -1مجموع القياسات الجبرية لهذه القوى ( بالنسبة لمتجه وحدة يوازيها) يساوى ً ( المحصلة = صفر). صفرا. - 2مجموع القياسات الجبرية لعزوم هذه القوى حول أى نقطة فى مستويها يساوى ً
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
60
|| مجموع عزوم القوى حول ||1C
الصف الثالث الثانوى
www.sec3mathematics.com.eg كتاب الطالب
اأكمل : قوتان متوازيتان وفى اتجاهين متضادين مقدارهما 15 ،10نيوتن تؤثران فى ، Cب على الترتيب حيث Cب = 35سم فإن المحصلة تؤثر فى نقطة جـ حيث Cجـ =
2مجموع عزوم عدة قوى متوازية ومستوية حول نقطة يساوى
......................
......................
3قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما ق2 ،ق وتؤثران فى النقطتين ، Cب بالترتيب حيث Cب = 39سم فإن المحصلة تؤثر فى نقطة جـ حيث Cجـ = ......................
اأجب عم�ي�أتى :
4قوتان متوازيتان مقدار محصلتهما 250نيوتن ومقدار احدى القوتين 150نيوتن وتعمل علي بعد 40سم من المحصلة .أوجد مقدار القوة الثانية والبعد بين خطى عمل القوتين إذا كانت القوة المعلومة والمحصلة تعمالن: ثان ًيا :فى اتجاهين متضادين. أوالً :فى اتجاه واحد.
، C 5ب ،جـ E ،اربع نقط تقع على خط مستقيم واحد حيث Cب = 32سم ،ب جـ = 40سم ،جـ 8 = Eسم اثرت القوتان المتوازيتان 10 ، 8نيوتن فى ، Cجـ على الترتيب واثرت القوتان 3 ، 7نيوتن فى ب E ،فى اتجاه مضاد للقوتين عند ، Cجـ .عين محصلة هذه المجموعة وبعد نقطة تأثيرها عن . C 6وضعت األوزان 5 ،4 ،3 ،2ث كجم على قضيب خفيف بحيث تبعد عن احدى طرفيه 5 ،4 ،3 ،2سم على الترتيب .أوجد بعد نقطة تعليق القضيب عن هذا الطرف بحيث يتزن القضيب افق ًيا .
C 7ب قضيب منتظم طوله 100سم ووزنه 10نيوتن يؤثر فى منتصفه يرتكز افق ًيا على حاملين أحدهما عند C
واآلخر عند نقطة على بعد 25سم من ب اوجد الثقل الذى يجب تعليقه من الطرف ب من القضيب ليكون قيمة رد الفعل الحامل القريب من الطرف ب مساو ًيا ستة امثال قيمة رد فعل الحامل عند . Cثم أوجد رد فعل كل حامل فى هذه الحالة.
C 8ب قضيب غير منتظم طوله 80سم ووزنه 20ث كجم ،يرتكز فى وضع أفقى على حاملين عند جـ E ،حيث Cجـ = ب 10 = Eسم .علق من Cثقل قدره 40ث كجم فأصبح القضيب على وشك الدوران حول جـ .أوجد بعد نقطة تأثير وزن القضيب عن Cثم أوجد اكبر ثقل يمكن تعليقه من ب دون أن يختل التوازن مع رفع الثقل المعلق من . C C 9ب جـ Eقضيب غير منتظم يرتكز في وضع افقى على حاملين املسين عند ب ،جـ بحيث Cب = 6سم ، جـ 7 = Eسم ونقطة تأثير وزن القضيب تقسمه بنسبة 3 : 2من جهة الطرف . Cوجد انه لو علق من الطرف Cثقل قدره 120 ث جم او من الطرف Eثقل قدره 180ث جم كان القضيب على وشك الدوران ،اوجد وزن القضيب والبعد بين الحاملين.
C 0ب قضيب منتظم طوله 120سم ووزنه 60نيوتن يؤثر عند نقطة منتصفه ،يرتكز القضيب فى وضع أفقى على حامل عند طرفه ب ،ويحفظ فى حالة توازن بواسطة خيط رأسى مثبت من نقطة ويحمل ثقال مقداره 20نيوتن عند نقطة تبعد 20سم من . Cعين قيمة كل من الشد فى الخيط والضغط على الحامل ،وما هو مقدار الثقل الذى يجب تعليقه فى الطرف Cحتى يصبح القضيب على وشك االنفصال عن الحامل ،وما هى قيمة الشد فى الخيط عندئذ. كتاب الرياضيات التطبيقية
6
االتزان العام General Equilibrium
الوحدة
4
مقدمة الوحدة االتزان هو أحد فروع علم الميكانيكا؛ حيث يتناول دراسة الشروط التي يجب أن تحققها مجموعة ما من القوى ،بحيث إذا أثرت هذه القوى فى نقطة مادية أو فى جسم جاسئ بقيت تلك النقطة أو الجسم فى حالة سكون . ولقد اهتم اإلنسان منذ القدم بموضوع االتزان قبل غيره من فروع علم الميكانيكا األخرى ،فطالئع تطبيقات هذا العلم ترجع إلى آالف السنين قبل الميالد ،حين استفاد البابليون والمصريون القدماء من مبادئ االتزان وقوانين اآلالت البسيطة فى رفع األثقال إلى علو شاهق فى أثناء تشييد المعابد واألهرامات ،بيد أن حسب ما هو متوافر من معلومات يوضح أن بدايات ما ُخ َّ ط فى هذا الموضوع كان من قبل أرشميدس فى القرن الرابع قبل الميالد. وقد تم صياغة هذا العلم بشكله الحالي فى القرن السابع عشر الميالدي ،حين تكاملت الصياغة النظرية لعلم الميكانيكا فى عهد نيوتن . وقد حظي علم الميكانيكا -والسيما بحوث التوازن -باالهتمام الكبير فى ظل الحضارة العربية اإلسالمية ،فلقد تم نقل بعض الكتب اليونانية فى الميكانيكا إلى العربية ،ومن هذه الكتب كتاب «الفيزياء »Physicsوبعد دراسة المؤلفات المنقولة دراسة دقيقة ،ت ّم إدخال تعديالت على بعضها ،وتوسيع بعضها اآلخر ،وإجراء إضافات أساسية أسهمت فى تطوير هذا العلم .وممن نبغ فى هذا العلم ابن الهيثم وأبو سهل القوهي ،والبيروني وابن سينا والخيام وغيرهم ،وقد ألفوا كتبا ً فى مراكز األثقال ،وفي البكرات وفي توازن الموائع. وسوف نتعرف فى هذه الوحدة على شروط اتزان مجموعة من القوى مع حل بعض التطبيقات الحياتية التى تتطلب ذلك .
أهداف الوحدة
بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها من المتوقع أن يكون يحل تطبيقات متنوعة على اتزان ُسلم أو قضيب على أرض الطالب قاد ًرا على أن: أفقية خشنة وحائط رأسى أملس. يحدد الشروط العامة لالتزان فى المستوى . يحل تطبيقات حياتية على اتزان ُسلم أو قضيب على أرض يحدد الشروط العامة التزان جسم تحت تأثير مجموعة من أفقية خشنة وحائط رأسى خشن. القوى المستوية .
62
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñاالحتكاك
Ñمركبة أفقية
Friction
Ñاالتزان العام
Ñمركبة رأسية
General Equilibrium
Ñرد فعل عمودى Ñالمحصلة
Horizontal Component Vertical Component
Ñاتزان جسم جاسئ
Vertical Reaction
Equilibrium of original body
Ñمثلث قوى
Resultant
Ñمركبة جبرية
triangle of force
األدوات والوسائل
دروس الوحدة ( :)1- 4االتزان العام.
آلة حاسبة علمية .
مخطط تنظيمى للوحدة االتزان العام
اتزان جسم تحت تأثير عدة قوى متالقية فى نقطة االتزان العام مجموع المركبات األفقية = 0
مجموع المركبات الرأسية = 0
تطبيقات على االتزان العام
الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى المستوية
مجموع المركبات األفقية = 0
تجارب علمية باستخدام تكنولوجيا المعلومات
مجموع المركبات الرأسية = 0 مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لنقطة واحدة = 0
كتاب الرياضيات التطبيقية
63
اتزان جسم جاسىء
الوحدة الرابعة
1-4
سوف تتعلم
انعدام عزم جمموعة القوى بالنسبة ألى نقطة الرشوط الكافية والالزمة التزان جمموعة من القوى املستوية .
المصطلحات األساسية
االتزان العام
General Equilibrium
رد فعل عمودى reaction Vertical
مركبة أفقية Horizontal Component
مركبة رأسية Vertical Component
اتزان جسم جاسئ Equilibrium of original body
مثلث قوى
triangle of force
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
64
Equilibrium of original body
سبق أن علمت إنه إذا أثرت قوتان ،أو أكثر متالقيتان فى نقطة فى جسم جاسئ ولم يتغير وضعه ،قيل أن هذا الجسم متزن. وقد سبق لك أن درست اتزان جسم جاسئ تحت تأثير ر قوتين ثم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ،وتعرفت م ق على قاعدة مثلث القوى وقاعدة المى ،ثم درست اتزان جسم جاسئ تحت تأثير عدة قوى مستوية متالقية فى و نقطة .يوضح الشكل المقابل اً مثاال لالتزان فى بعدين، فلكى يكون الجسم ساك اًنا تحت تأثير القوى األربع الموضحة بالشكل يجب أن كل من المركبات األفقية والرأسية للقوى مساو اًيا للصفر .وبتطبيق يكون مجموع ٍّ شرط االتزان وهو أن مجموع كل من المركبات األفقية والرأسية للقوى تساوى صفر – Sو = – X ، 0م = 0باعتبار أن االتجاه الموجب إى اليمين وإلى اعلى .
فكر و
ناقش
فى الشكل المقابل :كيف يمكنك إيجاد مقدار قوى الشد المؤثرة على هذا الجسم ؟
c35
c55
وزن الجسم يؤثر فى االتجاه الرأسى إلى أسفل ومقداره
400نيوتن ،وطب اًقا لتعريف الشد يجب أن يكون اتجاها
القوتين األخريين على استقامة الحبلين ،بحيث تكونا
مبتعدتين عن الجسم ،وبفرض أن الشد فى الحبلين ش، 1 ش 2نرسم المخطط البيانى كما فى شكل (. )2
كال كيف يمكنك كتابة مركبات ش ، 1ش 2؟ نحلل اًّ
400نيوتن شكل ()1
ش1
ص
من ش ، 1ش 2إلى مركبتين فى اتجاهين متعامدين ،ثم نكتب معادالت االتزان . c55 ش 1جتا = c55ش 2جتا c 35 س ` 0.57ش0.82 = 1ش، )1( ............. 2 شكل ()2 ش 1جا +c55ش 2جا 400 = c35 400 ` 0.82ش0.57 +1ش)2( .... 400 = 2 وبحل المعادلتين نجد أن :ش 328.81 - 1نيوتن ،ش 228.52 - 2نيوتن
الصف الثالث الثانوى
ش2
c35
كتاب الطالب
����� ���� ����� هل يمكنك التحقق من صحة النتائج التى حصلت عليها ؟
4 4
يمكن استخدام قانون إيجاد محصلة القوتين 2X ، 1Xاللتين تحصران بينهما زاوية قياسها ى على النحو التالى :
=I
2X 1X 2 +2 2X + 2 1Xجتا ى
وعلى ذلك فإن 400 - 2)228.52( + 2)328.81( = I :وهذا يتفق مع وزن الجسم. ماذا تتوقع إذا كانت مجموعة القوى السابقة غير متالقية فى نقطة واحدة ؟ S فى هذه الحالة يكون الشرط السابق وهو أن يكون مجموع كل من المركبات األفقية والرأسية للقوى مساوية للصفر Xٍ كاف ،ومن الممكن أن يتحرك الجسم حتى إذا تحقق غير هذا الشرط ،ذلك أن هناك شرطااً ثانيااً ال بد من تحققه حتى يكون الجسم فى حالة اتزان استاتيكى .ففى شكل ( )3نجد أن المسطرة متزنة تحت تأثير وزنها رأس اًّيا ألسفل (و) ورد الفعل العمودى ()S؛ حيث ر = و ،فإذا دفعت المسطرة و بقوتين متساويتين فى المقدار ومتضادين فى االتجاه (، X - )Xفلن تبقى ساكنة إذ تبدأ فى الدوران ،رغم تحقق الشرط شكل ()3 األول .لذلك كان من الضرورى البحث عن شرط آخر يتعلق بالدوران حتى يكون الجسم فى حالة اتزان.
X
انعدام عزم مجموعة القوى بالن�سبة لأى نقطة تعريف : تتوازن عزوم الدوران المؤثرة على جسم فى اتجاه دوران عقارب الساعة مع عزوم الدوران فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حتى يكون الجسم فى حالة اتزان. من ذلك نجد أن: يكون الجسم الواقع تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية فى حالة اتزان استاتيكى إذا تحقق الشرطان التاليان: ( )1أن ينعدم متجه محصلة القوى للمجموعة ( ح = ) 0 ج ( )2أن ينعدم عزوم القوى بالنسبة لنقطة ( ج = ) 0 وهذه الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى المستوية ع الشكل ( : )4يبين مجموعة متجهات الوحدة المتعامدة ( ، N ، Mع ) N بحيث تقع N ، Mفى مستوى القوى ،وبالتالى يكون ع عمود اًّيا على ح M هذا المستوى . وبذلك يمكن تحليل متجه المحصلة ح فى اتجاهى ، N ، Mبينما شكل ()4 متجه العزم ج يوازى متجه الوحدة ع لذلك فإن :ح = س + Mص ، Nج = ج ع حيث :س = مجموع المركبات الجبرية لقوى المجموعة فى اتجاه ، M كتاب الرياضيات التطبيقية
65
�ع���� �تا�ا
ص = مجموع المركبات الجبرية لقوى المجموعة فى اتجاه ، N ج = مجموع القياسات الجبرية لعزوم قوى المجموعة فى اتجاه ع . ومن ذلك نجد أنه إذا كان س = ، 0ص = ، 0ج = 0فإن :ح = ، 0ج = 0 وحيث إننا لم نحدد اتجاهى N ، Mفى المستوى ،فإنه يمكن التوصل إلى الصياغة التالية : الشروط الكافية والالزمة التزان جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية لكى تتوازن مجموعة من القوى المستوية يلزم ويكفى أن تتحقق الشروط التالية : ( )1ينعدم مجموع المركبات الجبرية للقوى فى اتجاهين متعامدين واقعين فى مستويهما . ( )2ينعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لنقطة واحدة فى مستويها . ويمكن التعبير رياضيا عن هذه الشروط كاآلتى : ج = صفر ، ص = صفر ، س = صفر مثال
جـ
اتزان قضيب أفقى مثبت ىف مفصل
ب
الحل
66
الصف الثالث الثانوى
مفصلة 60سم
40سم 20سم
أ
4 3 نيوتن نيوتن شكل ()5 ص
5
هـ
ش
4
د
3
جـ 160سم
شكل ( )6يمثل المخطط البيانى للمثال ،القضيب متزناًا تحت تأثير أربع قوى هى : وزن القضيب 4نيوتن رأس اًّيا ألسفل . رأسا ألسفل . الثقل 3نيوتن اً قوة الشد فى الخيط ش ويعمل فى اتجاه ب جـ ،ويصنع خط عملها مع األفقى زاوية قياسها هـ . قوة رد فعل المفصل ،ويمثلها المركبتان المتعامدتان س ، 1ص 1كما بالشكل. بكتابة شروط االتزان: س = ، 0ص= ، 0ج =0 س ` س = 1ش جتاهـ ()1 ` س 35 = 1ش ......... ،ص + 1ش جا هـ = 4 + 3 ()2 ` ص 45 + 1ش = .......... 7
160سم
متصال منتظما طوله 120سم ووزنه 4نيوتن الشكل ( )5يمثل قضي اًبا اً اً بحائط رأسى عن طريق مفصلة ،علق فى القضيب الوزن 3نيوتن وربط طرفه الحر بواسطة حبل إلى نقطة على الحائط ،فإذا كان القضيب فى حالة اتزان استاتيكى افق اًيا ،أوجد مقدار الشد فى الحبل؟ ثم أوجد مقدار واتجاه رد فعل المفصل.
هـ س ب 40سم 20سم 60سم 1أ 3
4
شكل ()6
كتاب الطالب
ص1
4 4
����� ���� �����
120* 160
– 0 = 80*3 - 60*4 `ش * aج =0 200 C نيوتن 5 = ش ` 480 = ش ` 96 S وبالتعويض فى ()2( ، )1 ل ` س 3 = 5 * 35 = 1نيوتن ، C س1 ` ص 3 = 1نيوتن ص7 = 5 * 45 + 1 وبذلك يمكن تعيين مقدار واتجاه قوة رد فعل المفصل ،وبفرض أن Sهو مقدار هذه القوة ،ل قياس زاوية ميل خط عملها Cس = S aس + 12ص 2 3 = 9 + 9 = 12نيوتن ص ،ظا ل = ` 1 = 33 = 1ل = c45 س1 أى أن :مقدار قوة رد فعل المفصل = 2 3نيوتن ،وتصنع زاوية قياسها c45مع Cس . ص1
حاول أن تحل
متصال بحائط رأسى عن شكل ( : )7يمثل قضي اًبا مهمل الوزن طوله 210سم اً طريق مفصلة،علق فى القضيب الوزن 120نيوتن ،فإذا كان القضيب فى حالة اتزان استاتيكى أفق اًيا أوجد مقدار الشد فى الحبل ؟ ثم أوجد مقدار واتجاه رد فعل المفصل .
مفصلة c40 150سم
60سم
شكل ()7
120نيوتن
مثال اتزان قضيب مائل مثبت فى مفصل منتظما Cب وزنه 20نيوتن ،يميل على األفقى بزاوية قياسها 2شكل ( )8يمثل قضي اًبا اً ، c30علق من طرفه ب ثقل مقداره 10نيوتن ،وشد بحبل ب جـ يميل على األفقى بزاوية قياسها ، c30فإذا كان القضيب فى حالة اتزان استاتيكى ،أوجد مقدار الشد فى الحبل ؟ ثم أوجد مقدار واتجاه رد فعل المفصل .
ب
c30 مفصلة
الحل
شكل ( )9يمثل المخطط البيانى للمثال ( .الحظ أن مثلث Cب جـ متساوى األضالع) القضيب متزن تحت تأثير أربع قوى هى : وزنه 20نيوتن ويعمل رأس اًّيا ألسفل عند منتصف القضيب الثقل 10نيوتن ويعمل رأس اًّيا ألسفل عند طرف القضيب الشد فى الحبل ش ويعمل فى اتجاه ب جـ رد فعل المفصل الذى مركبتاه المتعامدتان س ، 1ص. 1 وبتطبيق شروط االتزان وهى : (بفرض أن طول القضيب = 2ل) س=،0ص=،0ج =0 C 0 = م C * 10 – E C * 20 – ك C * ش ` aج =0 س C ` ش = 20نيوتن ` ش × 3ل = 3 * 20ل 3 * 10 +ل 2
كتاب الرياضيات التطبيقية
جـ
c30
أ
10نيوتن 20نيوتن شكل ()8 ص B
A
ش
c30 c30
D
J 10
K c30 E س 1
20
ص1
C
شكل ()9
67
�ع���� �تا�ا
،س = 1ش جتا 3 10 = 3 × 20 = c30نيوتن 2 ` ص 20 = 12 * 20 – 30 = 1نيوتن ،ص + 1ش جا 20 + 10 =c30 س + 2ص 2 ` 7 10 = 400 + 300 = Sنيوتن =S a 1 1 ص 2 = 1.1547 aظا ل = = 1 3 /س1 ` ل = ( c49 6حيث ل هى زاوية ميل رد فعل المفصل مع األفقى) حاول أن تحل
C 2ب قضيب منتظم طوله 60سم ووزنه 8نيوتن ،يتصل طرفه Cبمفصل مثبت فى حائط رأسى ،علق ثقل قدره 6 نيوتن فى نقطة من القضيب تبعد 40سم عن الطرف . Cاتزن القضيب فى وضع أفقى بواسطة خيط خفيف يتصل أحد طرفيه بالطرف ب من القضيب ،وثبت الطرف اآلخر للخيط فى نقطة على الحائط تبعد 80سم رأس اًّيا أعلى . Cأوجد الشد فى الخيط ورد فعل المفصل . مثال
اتزان سلم عىل مستويني متعامدين أحدهما خشن
3سلم منتظم وزنه 20ث كجم يرتكز بأحد طرفيه على أرض أفقية خشنة وبالطرف اآلخر على حائط رأسى أملس ,أتزن السلم فى مستو رأسى ،وكان قياس زاوية ميله على األفقى ،c60فإذا علم أن معامل االحتكاك بين السلم واألرض يساوى 1 .اثبت أن أقصى مسافة تستطيع فتاة وزنها 60ث كجم أن تصعدها 3 2 على السلم تساوى نصف طول السلم . الحل
السلم متزن تحت تأثير القوى : وزن السلم 20ث كجم ،ويعمل رأس اًّيا ألسفل عن منتصفه. وزن الفتاة 60ث كجم ويعمل رأس اًّيا ألسفل على بعد س من قاعدة السلم. رد فعل األرض الخشنة على الطرف Cومركبتيه الرأسية 1Sواألفقية م . 1S رد فعل الحائط األملس 2Sويكون عمود اًّيا على الحائط . وبتطبيق شروط االتزان وهى : س س = ، 0ص = ، 0ج0 = C وبفرض أن طول السلم = ل ، وأن أقصى مسافة تصعدها الفتاة = س فيكون القضيب على وشك الحركة 80 = 60 + 20 = 1S aثكجم ، 1 S = 2S 1 3 2 1 `= S 3 2 2
aج =0
�لل
�س س ْ◌ 06
(��� ) 01
2S
س 1S
c60 S 1 J C شكل ()11
60 20
* 40 = 80ث كجم ()1 3
C
68
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ص
D
����� ���� �����
ل ` * 20 2
4 4
جتا × 60 + c60س جتا × 2S – c60ل جا )2( ...... 0 = c60
من ()2( ، )1 ` 5ل 30 +س –
3ل * 0 = 40
2 3 15ل = 12ل ` 30س – 15ل = 0 ` س = 30 ` المسافة القصوى التى تصعدها الفتاة تساوى نصف طول السلم .
حاول أن تحل
C 3ب سلم منتظم وزنه 30ث كجم ،وطوله 4أمتار ،يرتكز بطرفه Cعلى مستو أفقى أملس ،وبطرفه اآلخر ب على حائط رأسى أملس ,اتزن السلم فى مستو رأسى وكان قياس زاوية ميله على األفقى c45بواسطة حبل أفقى يصل الطرف Cبنقطة من المستوى األفقى ،تقع رأس اًّيا أسفل ب تما اًما ،فإذا صعد رجل ونه 80ث كجم على هذا السلم ،فأثبت أن مقدار الشد فى الحبل يزداد كلما صعد الرجل .وإذا كان الحبل ال يتحمل شدااً يزيد مقداره على 67ث كجم ،فأوجد طول أكبر مسافة يمكن أن يصعدها الرجل دون أن ينقطع الحبل . مثال
اتزان قضيب عىل مستويني متعامدين خشنيني
2S
الحل
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
4قضيب منتظم يرتكز بطرفه العلوى على حائط رأسى معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى ، 12وبطرفه السفلى على مستوى أفقى ،معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى . 34أوجد ظل زاوية ميل القضيب على / 2S J األفقى عندما يكون على وشك االنزالق . القضيب متزن تحت تأثير القوى : وزن القضيب (و) ويعمل رأس اًّيا ألسفل. 1S رد فعل الطرف Cعلى المستوى األفقى ومركبتاه المتعامدتان ، 1Sم .1S هـ xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx رد فعل الطرف ب على الحائط الرأسى ومركبتاه المتعامدتان ، 2 Sم.2S / 1S J C و وبفرض أن طول القضيب ل ،ويميل على األفقى بزاوية هـ وبتطبيق شروط االتزان وهى : س = ، 0ص = ، 0ج0 = C = 2S aم + 1S ، 1S 34 = 2S ` 1Sم = 2S/و ` =2S 12 + 1Sو 3 3 ` ( 34 = 2Sو – )2S 12 ` 4 = 2Sو – 2S 8 6 11و ` = 2S
34 = 2S 11و ` 8 ل جتا هـ * 2S-ل جا هـ * 2S 12 -ل جتا هـ = 0بقسمة الطرفين على ل جتا هـ ثم الضرب * 2 aج= ` 0و* 2 C ` و – 2S2ظا هـ – 0 = 2S ` 2( 2Sظا هـ = )1 +و )2( .......................... من ()2( ، )1 ..........................
()1
5 11 6 ` 11و × ( 2ظا هـ = )1 +و ` 2ظا هـ ` 6 = 1 +ظا هـ = 12
كتاب الرياضيات التطبيقية
69
�ع���� �تا�ا حاول أن تحل
C 4ب قضيب منتظم مقدار وزنه 40نيوتن ،يرتكز بطرفه Cعلى حائط رأسى ،معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى 12وبطرفه ب على أرض أفقية معامل االحتكاك بينها وبين القضيب تساوى ، 13فإذا كانت أقل قوة أفقية تجعل الطرف ب للقضيب على وشك الحركة نحو الحائط تساوى 60نيوتن ،فأوجد فى وضع االتزان قياس زاوية ميل القضيب على األفقى ،علما بأن القضيب يتزن فى مستوى رأسى . مثال
اتزان ساق عىل مستوى أفقى خشن ووتد أملس
C 5ب ساق منتظمة وزنها 5ث كجم وطولها 30سم ،ترتكز بطرفها Cعلى أرض أفقية خشنة ،وترتكز عند إحدى نقطها جـ على وتد أملس ،يعلو عن سطح األرض بمقدار 12.5سم ،فإذا كانت الساق على وشك االنزالق عندما كانت تميل على األرض األفقية بزاوية قياسها c30وتقع فى مستوى رأسى .أوجد : اً أوال :مقدار قوة رد فعل الوتد . ثان اًيا :معامل االحتكاك بين الطرف Cواألرض . الحل
2S
نالحظ أن Cجـ = 25سم
2Sجتا 30 ب
°30
وزن الساق 5ث كجم ويعمل رأس اًّيا ألسفل .
رد فعل الطرف Cعلى األرض مركبتاه المتعامدتان ، 1Sم . 1 S
1S
رد فعل الوتد على القضيب ، 2Sويكون عمود اًّيا على القضيب
15
سم
°30
1S J
12٫5سم
الساق متزنه تحت تأثير القوى :
2Sجا 30 م
جـ
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
C
عند نقطة التماس جـ .
5
وبتطبيق شروط االتزان وهى :س = ، 0ص = ، 0ج = 0 C
aج =0 C
` 15 * 5جتا 0 = 25 * 2S – c30
ومن معادلتى االتزان :س = ، 0ص = 0
` 2Sجا – c30م 0 = 1S
`3 3 = S 2 2
` 2 = 2Sم 1S
)1( ......... وبالتعويض من ()1
`م3 3 = S `2م3 3 = S 1 1 4 2 ` 5 = 2S 32 + 1Sوبالتعويض من ()1 2S + 1S ،جتا 5 = c30 9 11ث كجم . ` 5 = 3 2 3 * 32 + 1S ` 4 = 4 – 5 = 1S
)2( ............
وبالتعويض عن قيمة 1Sفى المعادلة ( )2إليجاد قيمة م .
= 11 ` م* 4
70
3 3 4
`=J
3 3 11
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
����������������
4� �4
حاول أن تحل
Cب قضيب منتظم وزنه 20نيوتن وطوله 60سم ،يرتكز بطرفه Cعلى مستوى أفقى خشن ،ويرتكز عند إحدى نقطه جـ على وتد أملس ،يعلو 25سم عن المستوى األفقى ،وكان القضيب على وشك االنزالق عندما كانت زاوية ميله على األفقى .c30أوجد رد فعل الوتد ،وكذلك معامل االحتكاك بين القضيب والمستوى ،عل ًما بأن الساق تقع فى مستوى رأسى.
تمــــاريــن 1 - 4
� اً أول � :ضع عالمة (✓) �أو عالمة (✗):
لكى تتزن مجموعة من القوى المستوية غير المتالقية فى نقطة يلزم ويكفى أن ينعدم متجه مجموع القوى .
لكى تتوازن مجموعة من القوى المستوية المؤثرة على جسم ما ،يلزم ويكفى أن ينعدم مجموع المركبات كل من اتجاهين متعامدين واقعين فى مستويها. الجبرية للقوى فى ٍّ إذا انعدم مجموع المركبات الجبرية للقوى لمجموعة ما ،وانعدم عزمها بالنسبة لنقطة واحدة فى مستويها كانت هذه المجموعة متزنة .
يتزن السلم إذا ارتكز بأحد طرفيه على أرض أفقية ملساء وبطرفه اآلخر على حائط رأسى خشن .
ث�نياً�� :أكمل م�ي�أتى:
الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى هى
..............................................................................................................................................
إذا استند قضيب بإحدى نقطه على وتد أملس ،فإن اتجاه رد الوتد على القضيب يكون
...............................................................
إذا وضع جسم وزنه 6نيوتن على مستوى أفقى خشن ،معامل االحتكاك بينه وبين الجسم ، 13فإن مقدار القوة األفقية التى تجعل الجسم على وشك الحركة تساوى ...........................................................................................................................................................
ث�ل اًث� � :أجب عن �لأ�ضئلة �لأتية
Cب قضيب منتظم وزنه 4نيوتن وطوله 120سم يتصل أحد طرفيه بمفصل مثبت عند طرفه ،Cوالمفصل مثبت فى حائط رأسى .علق ثقل قدره 6نيـوتن من نقطة على القضيب تبعد 20سم عن طرفه Cثم حفظ القضيب فى وضع أفقى بواسطة حبل رفيع ب جـ مثبت طرفه جـ بنقطة على الحائط تقع رأس ًّيا فوق Cتما ًما وتبعد عن C مسافة 90سم .أوجد مقدار الشد فى الحبل ومقدار واتجاه رد فعل المفصل. ثقال ساق منتظمة وزنها 4ث كجم ،يتصل طرفها Cبمفصل مثبت فى حائط رأسى ،وتحمل عند طرفها اآلخر ب ً قدره 2ث كجم .حفظت الساق فى وضع تميل فيه على األفقى ألعلى بزاوية قياسـها c30بواسطة حبل مساو لها فى الطول ويتصل أحد طرفيه بالطرف ب للساق ،ويتصل طرفه اآلخر بنقطة جـ من الحائط تقع رأس ًّيا أعلى Cوعلى بعد منها يساوى طول الساق .أوجد مقدار الشد فى الحبل ومقدار قوة رد فعل المفصل .
1قضيب منتظم وزنه (و) يرتكز بطرفه العلوى على حائط رأسى ،معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى 12وبطرفه السفلى على مستوى أفقى معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى ، 34أوجد ظل الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى عندما يكون على وشك االنزالق . كتاب الرياضيات التطبيقية
�ع���� �تا�ا
سلم منتظم وزنه 64ث كجم ،يرتكز بأحد طرفيه على حائط رأسى أملس وبطرفه اآلخر على مستوى أفقى أملس ،وحفظ السلم فى مستوى رأسى فى وضع يميل فيه على األفقى بزاوية قياسها ،c45بواسطة حبل مثبت فى قاعدة السلم وفى نقطة من المستوى تقع رأس اًّيا أسفل قمة السلم .وقف رجل وزنه يســاوى وزن السلم على موضع من السلم يبعد 34طول السلم من ناحية القاعدة .ع ِّين قوة الشد فى الحبل وردى فعل الحائط والمستوى.
2فى الشكل المقابل :يرتكز قضيب منتظم وزنه 24ث كجم بأحد طرفيه على أرض أفقية خشنة وبطرفه اآلخر على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها .c60إذا كان القضيب على وشك االنزالق عندما كان قياس زاوية ميله على األفقى ،c30فأوجد معامل االحتكاك بين القضيب كل من المستوى واألرض. واألرض ورد فعل ٍّ
الق
ضيب
°60
°30
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
3يرتكز سلم منتظم وزنه 10ث كجم بطرفه Cعلى مستوى أملس وبطرفه ب على حائط رأسى أملس .حفظ السلم فى مستوى رأسى فى وضع يميل فيه على األفقى بزاوية قياسها c45بواسطة حبل أفقى يصل الطرف C بنقطة من المستوى األفقى رأس اًّيا أسفل ب .يصعد رجل وزنه 80ث كجم هذا السلم .أوجد: اً أوال :قوة الشد فى الحبل عندما يكون الرجل قد قطع 34طول السلم. علما بأنه يكون على وشك االنقطاع عندما يصل الرجل إلى قمة السلم. ثان اًيا :أقصى قيمة للشد التى يتحملها الحبل اً 4يرتكز قضيب منتظم وزنه 40نيوتن بطرفه Cعلى أرض أفقية خشنة وبطرفه ب على حائط رأسى أملس ،بحيث يكون القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ،ويميل على األرض األفقية بزاوية قياسها .c45أوجد علما بأن مقدار أقل قوة أفقية تؤثر عند الطرف Cللقضيب؛ لكى تجعلها على وشك االنزالق اً بعيدا عن الحائط اً معامل الحتكاك بين القضيب واألرض 0.75 5قضيب منتظم يرتكز فى مستوى رأسى بطرفه العلوى على حائط رأسى أملس ،وبطرفه السفلى على مستوى خشن أفقى؛ بحيث يصنع القضيب مع األفقى زاوية ظلها 32أوجد معامل االحتكاك بين القضيب والمستوى األفقى عندما يكون على وشك االنزالق.
C 6ب قضيب منتظم وزنه 56نيوتن يرتكز بأحد بطرفه Cعلى حائط رأسى أملس وبطرفه ب على أرض أفقية خشنة ،بحيث يقع فى مستوى رأسى ويميل على األفقى بزاوية قياسها . c45أثبت أنه فى حالة اتزان القضيب معامل االحتكاك , 0.5 Gوإذا كان معامل االحتكاك = 0.75فعين القوة األفقية التى تؤثر عند ب وتجعله على وشك الحركة : اً بعيدا عن الحائط أوال :نحو الحائط ثان اًيا :اً 7قضيب منتظم وزنه «و» يتصل أحد طرفيه بمفصل ،ويتصل طرفه اآلخر بخيط مربوط فى نقطة فى نفس ٍ مساو هـ. المستوى األفقى المار بالمفصل ،بحيث كان قياس زاوية ميل كل من القضيب والخيط على األفقى و ظتا 2هـ 9 + أثبت أن رد فعل المفصل يساوى
72
4
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين ،فإنه يمكن نقل نقطة تأثير أى من القوتين إلى نقطة أخرى على خط عملها دون أن يؤثر ذلك فى اتزان الجسم.
إذا اتزنت ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة ،ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط عمل القوى ،فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة .
إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية وغير متوازية ،فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة. شروط اتزان جسم تحت تأثير عدة قوى مستوية ومتالقية فى نقطة:
Áالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س = صفر Áالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر
انعدام عزم مجموعة القوى بالنسبة ألى نقطة تتوازن عزوم الدوران المؤثرة على جسم فى اتجاه دوران عقارب الساعة مع عزوم الدوران فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حتى يكون الجسم فى حالة اتزان .
الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى المستوية؛ لكى تتوازن مجموعة من القوى المستوية يلزم ويكتفى أن تتحقق الشروط التالية :
Áينعدم مجموع المركبات الجبرية للقوى فى اتجاهين متعامدين واقعين فى مستويهما . Áينعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لنقطة واحدة فى مستويها . Áويمكن التعبير رياض اًّيا عن هذه الشروط كاآلتى :س = صفر ،
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
ص = صفر ،
ج = صفر
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات التطبيقية
73
�ع���� �تا�ا
2
3
4
5
6
يرتكز قضيب غير منتظم Cب طوله 140سم بطرفه ب على أرض أفقية، كل من األرض وبطرفه Cعلى حائط رأسى ،إذا كان معامال االحتكاك بين القضيب و ٍّ والحائط يساوى 13 ، 12على الترتيب ،وكان القضيب على وشك االنزالق عندما كان قياس زاوية ميله على األفقى ، c45فأوجد بعد مركز ثقل القضيب عن الطرف ب . Cب قضيب منتظم طوله 260سم ومقدار وزنه 43نيوتن يرتكز بطرفه Cعلى حائط رأسى وبطرفه ب على كل من الحائط واألرض يساويان 12 ، 14على الترتيب ،وكان أرض أفقية وكان معامال االحتكاك بين القضيب و ٍّ الطرف ب يبعد 100سم عن الحائط .أوجد مقدار القوة األفقية التى إذا اثرت فى الطرف ب جعلت القضيب على وشك الحركة نحو الحائط . يرتكز سلم منتظم وزنه 40ث كجم بأحد طرفيه على حائط رأسى أملس وبطرفه اآلخر على أرض أفقية خشنة بحيث يقع فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ويميل السلم على األفقى بزاوية قياسها . c45صعد ولد وزنه يساوى وزن السلم ،فأصبح السلم على وشك االنزالق عندما يقطع الولد مسافة 34طول السلم ،أوجد معامل االحتكاك بين األرض والسلم .وإذا أراد الولد أن يتم صعود السلم ،فأوجد أقل قوة أفقية تؤثر على الطرف السفلى للسلم حتى يتمكن الولد من ذلك . Cب قضيب منتظم وزنه 15ث كجم يرتكز بطرفه Cعلى أرض أفقية خشنة ،وبطرفه ب على حائط رأسى أملس بحيث يقع القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ويميل القضيب على األفقى بزاوية قياسها ،c45 أثرت قوة أفقية Xعند نقطة جـ من القضيب؛ حيث Cجـ يساوى 14طول القضيب فأصبح الطرف Cعلى وشك الحركة نحو الحائط إذا كان معامل االحتكاك بين القضيب واألرض يساوى 12أوجد القوة Xورد فعل الحائط. سلم منتظم يرتكز بأحد طرفيه على حائط رأسى خشن وبطرفه اآلخر على أرض أفقية خشنة ،وكان معامل االحتكاك بين السلم وكل من الحائط واألرض يساوى . 12فإذا اتزن السلم فى مستوى رأسى عمودى على رجال وزنه يساوى ضعف وزن السلم اليمكنه الحائط فى وضع يميل فيه على الحائط بزاوية ظلها . 34برهن أن اً الصعود اكثر من 12طول السلم دون أن يختل التوازن . قضيب منتظم وزنه (و) يستند بأحد طرفيه على حائط رأسى خشن وبطرفه اآلخر على أرض أفقية خشنة وكان معامل االحتكاك بين القضيب والحائط يساوى 1ومعامل االحتكاك ين القضيب واألرض يساوى 1 3 4 فإذا اتزن القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط فأوجد ظل زاوية ميل القضيب على الرأسى عندما يكون القضيب على وشك االنزالق.
7يتزن سلم منتظم فى مستو رأسى على حائط رأسى وأرض أفقية ،إذا كان قياس زاوية األحتكاك بين السلم وكل من الحائط واألرض هى ل فأثبت أن قياس زاوية ميل السلم على الرأسى عندما يكون على وشك األنزالق هـ = 2ل . C 8ب قضيب منتظم وزنه 10ث كجم يستند بطرفه Cعلى أرض أفقية خشنة وبطرفه ب على حائط رأسى أملس؛ بحيث يكون القضيب فى مستوى رأسى عمودى على الحائط ويميل على األرض األفقية بزاوية قياسها c45 فإذا كان معامل االحتكاك بين القضيب واألرض يساوى . 34أوجد مقدار أقل قوة أفقية تؤثر عند الطرف C بعيدا عن الحائط ،ومقدار رد فعل الحائط. للقضيب ،وتجعله على وشك االنزالق اً
74
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
2 3 4
5
6
7
8
9
0
ثالث قوى مستوية مقاديرها 6 ، 5 ، 4نيوتن تؤثر فى نقطة مادية ،فإذا كانت المجموعة متزنة .فما قياس الزاوية بين القوتين األخيرتين . أزيحت كرة بندول وزنها 600ث.جم حتى صار الخيط يصنع زاوية قياسها c30مع الرأسى تحت تأثير قوة على الكرة فى اتجاه عمودى على الخيط ,أوجد مقدار القوة ومقدار الشد فى الخيط . علق ثقل وزنه 26نيوتن بخيطين طولهما 25سم 60 ،سم ,وثبت الطرفان اآلخران للخيطين فى نقطتين من خط كل من الخيطين . أفقى ،البعد بينهما 65سم .أوجد الشد فى ٍّ علق جسم وزنه (و) نيوتن بواسطة خيطين يميالن على الرأسى بزاويتين قياسيهما هـ c30 ، cفاتزن الجسم عندما كان الشد فى الخيط األول 12نيوتن والشد فى الخيط الثانى 9نيوتن .أوجد قيمة الوزن (و) وقياس الزاوية هـ . كرة مصمتة منتظمة وزنها 30ث.جم تستند بسطحها على مستويين ،فإذا كانت الكرة فى حالة اتزان بين مستويين أملسين أحدهما رأسى ،واآلخر يميل على الرأسى بزاوية قياسها .c60أوجد مقدار قوتى الضغط كل من المستويين . على ٍّ قضيب منتظم طوله 100سم ووزنه 20نيوتن ( يؤثر فى منتصفه ) ،علق القضيب من طرفيه بخيطين خفيفين، ثبت طرفاهما من نقطة فى سقف حجرة .إذا كان الخيطان متعامدين وطول أحدهما 60سم ،فأوجد مقدار حرا وفى حالة توازن . الشد فى كل من الخيطين عندما يكون القضيب معل اًقا تعلي اًقا اًّ Cب قضيب منتظم (وزنه يؤثر فى منتصفه) مثبت بطرفه Cفى حائط رأسى بواسطة مفصل ،جذب القضيب أفقيا بقوة مقدارها ق ث كجم حتى اتزن القضيب فى وضع يصنع فيه زاوية قياسها c30مع الرأسى .أوجد ق، ورد فعل المفصل . قضيب منتظم يرتكز فى مستوى رأسى بطرفه العلوى على حائط رأسى أملس وبطرفه السفلى على مستوى أفقى معامل االحتكاك بينه وبين القضيب يساوى . 14أوجد ظل الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى عندما يكون على وشك االنزالق . Cب سلم منتظم وزنه 14ث كجم ،يرتكز بطرفه Cعلى أرض أفقية خشنة ويرتكز بطرفه ب على حائط رأسى خشن ،وكان معامل االحتكاك بين السلم واألرض 37ومعامل االحتكاك بين السلم والحائط ، 13فإذا اتزن السلم فى مستوى رأسى عمودى على الحائط عندما كان يميل على األفقى بزاوية c45فأوجد مقدار أقل قوة أفقية تؤثر عند الطرف Cمن السلم لتجعله على وشك الحركة نحو الحائط . Cب سلم منتظم طوله 10متر ووزنه 20ث كجم يستند بطرفه Cعلى أرض أفقية خشنة معامل االحتكاك بينها وبين السلم ، 14ويرتكز بطرفه ب على حائط رأسى أملس .اثبت أن السلم ال يمكن أن يتزن عندما يكون الطرف ب على بعد 8متر من سطح األرض. Cب سلم منتظم وزنه 9ث كجم يستند بطرفه Cعلى أرض أفقية خشنة وبطرفه ب على حائط رأسى خشن ،فإذا كان معامال االحتكاك عند ، Cب هما 12 ، 56على الترتيب ثم شد الطرف Cللسلم بقوة أفقية ق جعلت السلم بعيدا عن الحائط ،وكان السلم يصنع مع األفقى زاوية قياسها .c45أوجد مقدار القوة ق على وشك االنزالق اً (السلم فى مستوى رأسى عمودى على الحائط). كتاب الرياضيات التطبيقية
75
االزدواجات Couples
الوحدة
5
مقدمة الوحدة تناولنا فى الوحدات السابقة تحصيل قوتين متوازيتين متضادتين فى االتجاه وذلك بإبدالهما إلى قوتين تتالقيان فى نقطة ،والحظنا أن ذلك يكون ممكنًا ما دامت القوتان غير متساويتين ،أما إذا كانت القوتان المتوازيتان متساويتين فى المقدار ،فإنه ال يمكن االستعاضة عنهما بقوتين غير متوازيتين ،بل نحصل دائمً ا على قوتين متوازيتين متساويتين فى المقدار ومختلفتين فى االتجاه ،وبذلك ال يمكن تحصيل مثل هاتين القوتين فى قوة واحدة. من ذلك نرى أن المجموعة المركبة من قوتين متوازيتين متساويتين فى المقدار ومتضادتين فى االتجاه تكون مسمى جديدًا فى علم اإلستاتيكا يعرف باالزدواج ،وتتناول هذه الوحدة مفهوم باالزدواج وتعريفه وحساب عزمه ،ثم اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين ،وعزم األزدواج المحصل ،وتنتهى الوحدة بدراسة مجموع أى عدد محدود من االزدواجات.
أهداف الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن يكون قاد ًرا على أن:
يتعرف مفهوم االزدواج. يوجد عزم االزدواج.
يستنتج أن عزم االزدواج هو متجه ثابت.
يتعرف على تكافؤ ازدواجين واتزان ازدواجين.
يتعرف مفهوم اتزان جسم تحت تأثير ازدواجين مستويين. يوجد محصلة عدة ازدواجات.
مقدارا القوى حول ثالث نقط ليست على استقامة واحدة = ً ثابتًا ! صفر)
ازدواجا باستخدام يثبت أن مجموعة من القوى تكافئ ً التعريف. يتعرف النظرية التى تنص على أن ( مجموعة القوى المؤثرة ازدواجا ).. فى أضالع مضلع فى اتجاه دورى واحد تكافئ ً يحل تطبيقات متنوعة على االزدواجات.
يثبت أن مجموعة من القوى تكافئ ازدواج ( المحصلة = صفر ،العزوم حول أى نقطة ! صفر) أو ( مجموع عزوم
76
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñازدواج
Couple
Ñخط عمل
Line of action
Ñاتزان
Ñجسم متماسك (جاسئ)
Rigid body
Ñتكافؤ
Equivalent
Equilibrium
األدوات والوسائل
دروس الوحدة ( :)1-5االزدواجات
آلة حاسبة علمية.
( :)2-5االزدواج المحصل
مخطط تنظيمى للوحدة مفهوم االزدواج تعريف عزم االزدواج محصلة عدة ازدواجات
تكافؤ ازدواجين اتزان ازدواجين اتزان جسم تحت تأثير
نظام من القوى المؤثرة فى
ازدواجين
جسم تكافئ ازدواجـًا
كتاب الرياضيات التطبيقية
77
االزدواجات
الوحدة الخامسة
1-5
سوف تتعلم
االزدواج -عزم االزدواج تكافؤ ازدواجني
اتزان جسم حتت تأثري ازدواجني أو أكثر.
COUPLES
صفرا مقدمة :قد يظن البعض أنه إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوى ً فإن هذا الجسم يظل ساك ًنا ،ولكن إذا نظرت إلى الشكل المقابل تجد قوتين متساويتين فى المقدار ومتضادتان فى االتجاه (محصلتهما تساوى صفر) ترى أن هذا الجسم سوف يتحرك حركة دورانية حول (و) وتعتمد سرعة الدوران على عدة اشياء يمكن أن يكتشفها الطالب من العمل التعاونى اآلتى: X و
X
عمل تعاونى المصطلحات األساسية
ازدواج
خط عمل
Couple Line of action
اتزان
جسم متامسك تكافؤ
Equilibrium Rigid body Equivalence
الشكل المقابل يمثل مسطرة مدرجة يؤثر على طرفيها قوتان متوازيتان متضادتان فى االتجاه ،مقدار كل منها 15نيوتن .استعن بزمالئك فى إيجاد مجموع عزوم القوتين حول كل من النقط ،Cب ،جـ ،E ،هـ ،و ،ز وضع النتائج فى الجدول اآلتى: َ مجموع عزوم القوى
C
ب
جـ
15
C
ز
5
6
هـ
و
3
4
E 2
جـ
ب
1
15
هـ
E
ز
و
ماذا تالحظ من نتائج الجدول؟
تعلم االزدواج
آلة حاسبة علمية معمل ميكانيا
78
تعريف
األدوات المستخدمة
couple 20سم
االزدواج :هو نظام من القوى ،يتكون من قوتين متساويتين فى المعيار ومتضادين فى االتجاه وال يجمعهما خط عمل واحد.
الصف الثالث الثانوى
20سم
X
X
كتاب الطالب
زجاودزالا
5 5
عزم االزدواج
يعرف عزم االزدواج بأنه مجموع عزوم قوتى االزدواج حول أى نقطة فى الفراغ ،ومعياره يساوى حاصل ضرب معيار إحدى القوتين فى البعد بينهما ،ويرمز له بالرمز ج = || ج || ` || ج || = * Xل حيث ، || X || = Xل يسمى ذراع االزدواج مثال
ل
X
أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج فى كل من األشكال اآلتية: ب 40نيوتن أ
20نيوتن
50نيوتن
80سم
100سم
50نيوتن
40نيوتن
8سم
4سم
20نيوتن
40نيوتن
X
40نيوتن
الحل
أ القياس الجبرى لكال العزمين فى شكل ( أ ) يساوى 4000 -نيوتن .سم ب القياس الجبرى لكال العزمين فى شكل (ب) يساوى 160نيوتن .سم الحظ زيادة البعد بين القوتين ونقصان معيار القوتين وثبوت معيار العزم.
حاول أن تحل
أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج فى الشكل اآلتى: c45 70نيوتن
0
10
سم
70نيوتن c45
شكل ()1
نظرية
عزم االزدواج هو قيمة ثابتة ،ال تعتمد على النقطة التى ننسب إليها عزمى قوتيه.
البرهان (ال يمتحن فيه الطالب) نفرض أن القوتين X - ، Xتؤثران فى النقطتين ، Cب على الترتيب ،ونفرض أن نقطة و نقطة عامة فى الفراغ. نوجد مجموع عزوم القوى حول نقطة و X ب ج = و + X * Cوب * X -
= ( و - Cو ب ) * X
C
S C
aو - Cوب = والصورة األخيرة للعزم توضح أن عزم االزدواج ال يعتمد على موضع نقطة و التى تنسب العزوم إليها. بC
` ج = بX * C
X-
كتاب الرياضيات التطبيقية
Sب
و
79
زجاودزالا
مثال ازدواجا وتؤثران فى النقطتين إذا كانت القوتان + M 2 = 1Xب N 5 - M C = 2X ، Nتكونان ً ، )3 ، 1-( Cب ( )2 ، 2على الترتيب .أوجد قيمة كل من ، Cب ،ثم أوجد عزم االزدواج. الحل
ازدواجا aالقوتان تكونان ً ` ، 2- = Cب = 5 عزم االزدواج = عزم 1Xحول ب = ب 1X * Cحيث ب = C = ()5 ، 2( * )1 ، 3- = ( )2 - 15-ع = 17-ع
-ع
` . 2X - = 1X
1X
)3 ،1-( C C
-ب
ب
()2 ،2 2X
حاول أن تحل
إذا كان 2X ، 1Xقوتى ازدواج بحيث N 2 + M 3- = 1Xتؤثر فى النقطة 2X ، )1 ، 1( Cتؤثر فى النقطة ب ( )2 ، 1-أوجد 2Xثم أوجد عزم االزدواج وكذلك طول العمود المرسوم من أ على خط عمل 2X
اتزان ج�سم متم��سك تحت ت�أثير ازدواجين م�ستويين اأو اأكثر
تعريف
يقال لجسم متماسك إنه متزن تحت تأثير ازدواجين مستويين إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفرى.
إذا كان ج ، 1ج 2عزمى االزدواجين ،فإن شرط اتزان الجسم تحت تأثير االزدواجين هو ج + 1ج = 2و
وعموما إذا أثر على الجسم عدة ازدواجات مستوية عزومها هى ج ، 1ج ، ... ، 2جن فإن شرط توازن الجسم ً تحت تأثير هذه االزدوجات هو ج + 1ج + ... + 2جن = و
نتيجة
يتزن الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر إذا انعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم االزدواجات.
مثال Cب قضيب خفيف تؤثر فيه القوى الموضحة بالشكل. أثبت أن القضيب متزن. الحل
250
C
ازدواجا القوتان 10 ،10تكونان ً القياس الجبرى لعزمه ج 70- = 7 * 10- = 1نيوتن .متر القوتان 3 40 ، 3 40تكونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه
80
الصف الثالث الثانوى
نيوتن
جـ1م
2م 10
1م 2 E c60م
c60
3 40
نيوتن
3 40نيوتن 10
نيوتن
1م
250
نيوتن
ب
نيوتن
كتاب الطالب
5 5
زجاودزالا
ج 3 * 3 40- = 2جا 180- = 60نيوتن .متر القوتان 250 ،250تكونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه ج 250 = 1 * 250 = 3نيوتن .متر aج +1ج + 2ج = 250 + 180 - 70- =3صفر
` القضيب متزن.
حاول أن تحل
فى الشكل المقابل C :ب جـ Eمستطيل هـ ،ومنتصفات ب جـ ،
EC
على الترتيب Cب = 6سم ،ب جـ = 16سم .فإذا
كانت القوى المؤثرة بالنيوتن ومقاديرها واتجاهاتها كما بالشكل .أثبت أن المجموعة متزنة.
32و
C 18
E 20
20
ب
هـ
32
18
جـ
مثال Cب قضيب مهمل الوزن معلق أفق ًيا من مسمار فى منتصفه ،أثرت فيه قوتان مقدار كل منهما 7٫5نيوتن فى طرفيه إحدهما رأسية إلى أعلى واألخرى رأسية إلى أسفل كما ُشد بخيط يميل على القضيب بزاوية قياسها c60من نقطة عليه مثل جـ أوجد مقدار واتجاه ونقطة تأثير القوة التى إذا أثرت على القضيب مع القوى السابقة علما بأن مقدار الشد فى الخيط يساوى 10نيوتن وأن طول القضيب 30سم. حفظته فى حالة توازن وهو أفقىً ،
الحل
10 = Rنيوتن
القوتان 7٫5 ، 7٫5نيوتن عند ، Cب تكونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه ج 225- = 30 * 7٫5- = 1نيوتن .سم c60 E لكى يتزن القضيب يجب أن تكون قوة الشد فى الخيط والقوة C و هـ جـ األخرى ازدواج القياس الجبرى لعزمه 225نيوتن .سم ` القوة األخرى = Xش = 10نيوتن ،هـ = c 60ويكون 7٫5نيوتن X * 10جـ Eجا 225 = 60 أى أن نقطة Eتبعد عن نقطة جـ مسافة 3 15سم على القضيب. ` جـ 3 15 = Eسم
7٫5نيوتن
ب
حاول أن تحل
Cب جـ Eهـ و سداسى منتظم أثرت القوى 2X , 9 ، 3 ، 1X ، 9 ، 3ث جم فى االتجاهات Cب ،ب جـ ، Eجـ E ،هـ ,هـ و C ،و على الترتيب أوجد قيمة كل من 2X ، 1Xلكى تتزن المجموعة. مثال Cب جـ Eصفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع طول ضلعه 60سم ووزنها 200ث جم يؤثر عند نقطة تالقى القطرينُ ،علقت الصفيحة فى مسمار من ثقب صغير بالقرب من الرأس Cبحيث كان مستواها رأس ًّيا وأثر فيه ازدواج فى مستواها معيار عزمه 2 3000ث جم .سم أوجد فى وضع االتزان قياس زاوية ميل Cجـ على الرأسى. كتاب الرياضيات التطبيقية
8
زجاودزالا الحل
2 3000ب
فى وضع التوازن تكون الصفيحة تحت تأثير قوتين هما وزن الصفيحة ورد فعل المسمار عند Cباإلضافة إلى االزدواج الخارجى. نفرض أن االزدواج الخارجى يعمل فى اتجاه عكس دوران عقارب الساعة (كما فى الشكل) وحيث إن االزدواج ال يتزن إال مع ازدواج مثله .فعلى ازدواجا القياس الجبرى لعزمه ذلك رد الفعل عند نقطة Cوالوزن ُيك َِّونان ً ج C * 200- = 2م جا هـ حيث Cم = 2 30 2 30 * 200 - 2 3000جا هـ = صفر ج + 1ج = 2صفر ومنها جا هـ = 1 هـ = c30أو c150 2
C
هـ
م
E
جـ
200ث جم
حاول أن تحل
قضيب طوله 40سم ووزنه 2٫4ث كجم يؤثر عند منتصفه ،يمكنه الدوران بسهولة فى مستوى رأسى حول مفصل ثابت عند طرفه .أثر على القضيب ازدواج معيار عزمه 24ث كجم .سم واتجاهه عمودى على المستوى الرأسى الذى يمكن للقضيب الدوران فيهَ .ع ِّين مقدار واتجاه رد فعل المفصل وزاوية ميل القضيب على الرأسى فى وضع االتزان.
تكاف�ؤ ازدواجين
Equivalent couples
تعريف
يقال الزدواجين مستويين أنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهى عزميهما.
X 2-
X2
ل 2
ح
ح
ح
XX
XX
ل
ل
ح ل
XX
مثال C 6ب جـ Eمستطيل ،فيه Cب= 12سم ،ب جـ = 16سم أثرت قوتان مقدار كل منهما 96نيوتن فى اتجاهات Cب ، جـ Eأوجد مقدار كل من القوتين المتساويتين والمؤثرتين فى ،Cجـ فى اتجاه يوازى ب Eبحيث يتكافأ و المك َْون من القوتين األخريين. االزدواج المكون من القوتين األوليين واالزدواج ُ الحل
C
ازدواجا القياس الجبرى لعزمه القوتان 96 ،96نيوتن تكونان ً ج 1536- = 16 * 96- = 1نيوتن .سم لكى يتكافأ األزدوجان فإن القوتين عند ،Cجـ يعمالن على الدوران
8
الصف الثالث الثانوى
X
96
ب
E
12سم
هـ
16سم
كتاب الطالب
96
جـ
X
زجاودزالا
فى اتجاه عقارب الساعة (كما بالشكل). ` ج * X - = 2جـ و ` ج19٫2 * X - = 2 aاالزدواجين متكافئان ` ج = 1ج2 ` 1536 - = 19٫2 * X - ` 80 = Xنيوتن
5 5
من نظرية إقليدس جـ ب * جـ E جـ هـ = بE
جـ هـ = * 16 9٫6 = 1220سم جـ و = 2جـ هـ جـ و = 19٫2سم
حاول أن تحل
Cب قضيب خفيف ،طوله 50سم ،تؤثر قوتان مقدار كل منهما 30نيوتن فى ،Cب فى اتجاهين متضادين .أثرت قوتان أخريان مقدار كل منهما 100نيوتن فى اتجاهين متضادين فى نقطتين جـ E ،من القضيب ،حيث جـ E ازدواجا يكافئ االزدواج المكون من القوتين األوليين .أوجد قياس زاوية ميل القوتين يكونان ً = 30سم بحيث ِّ األخريين على القضيب.
تمــــاريــن 1 - 5
اختر االإج�بة ال�سحيحة من بين االإج�ب�ت المعط�ة:
االزدواج هو: أ قوتان متوازيتان ومتساويتان فى المقدار متحدتا االتجاه. ب قوتان متعامدتان ومتساويتان فى المقدار. ج قوتان متوازيتان ومتساويتان فى المقدار وعلى خط عمل واحد. د قوتان متوازيتان ومتساويتان فى المقدار و متضادتان فى االتجاه وليستا على خط عمل واحد.
أى من الشروط اآلتية ال تغير من تأثير االزدواج على الجسم: ب ازاحة االزدواج إلى مستوى آخر يوازى مستواه أ ازاحة االزدواج إلى موضع جديد فى مستواه. د كل ما سبق. ج دوران االزدواج فى نفس مستواه.
القوتان المؤثرتان على عجلة قيادة السيارة وتحدثان دورانًا لعجلة القيادة تكونان: ب ازدواجا. أ احتكاكًا. ً د محصلة غير صفرية. ج قوة عمودية على عجلة القيادة. إلحداث ازدواج من قوتين يجب أن تكون القوتان: أ متساويتين فى المقدار. ج ليسا على خط عمل واحد.
ب متضادتين فى االتجاه. د كل ماسبق.
إذا كان ج ،1ج 2هما القياسان الجبريان لعزمى ازدواجين ،وكان ج + 1ج = 2صفر فإن: ب االزدواجين غير متزنين أ االزدواجين متكافئان د االزدواجين يكافئان قوة ج االزدواجين متزنان كتاب الرياضيات التطبيقية
8
زجاودزالا
6حاصل ضرب معيار إحدى قوتى االزدواج فى ذراع االزدواج يسمى: ب عزم االزدواج. أ محصلة االزدواج. د ال شىء مما سبق. ج عزم إحدى قوتى االزدواج.
ازدواجا فإن ( ،Cب) = 7إذا كان - M 3 = 1Xب N 5 - M C = 2X ، Nتكونان ً د ( )5- ،3- ج ( )5 ،3- ب ( )5 ،3 أ ( )4- ،3
8إذا كان ازدواج معيار عزمه 350نيوتن .م ومعيار إحدى قوتيه 70نيوتن ،فإن طول ذراع عزم االزدواج يساوى: د 24500سم. ج 5سم. ب 5أمتار مترا أ ً 50
اجب عن اال�سئلة االآتية :
9الشكل المقابل يوضح قوتين مقدار كل منهما 40نيوتن ،تؤثران على طرفى صفيحة مستطيلة الشكل أبعادها س ،ص سم .أوجد عزم ازدواج القوتين فى كل من الحاالت اآلتية: أ س = 3سم ،ص = 4سم = i ،صفرc ب س = ص = 6سم r = i ،
40
i
س ص
4 جـ س = ، 0ص = 5سم c30 = i ،
i
40
د س = 6سم ،ص = c 60 = i ، 0 5 هـ س = 5سم ،ص = 12سم ،ظا 12 = i ب
0الشكل المقابل يوضح قوتين معيار كل منها 50نيوتن ،تؤثران على رافعة Cب أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج بطريقتين: أ باستخدام البعد العمودى بين القوتين. ب بإيجاد مجموع عزوم القوتين بالنسبة لنقطة C
50 نيوتن 40سم
60سم
c35
جـ
50نيوتن
c65
C
أثرت القوتان ( ) N 5 + M 3-( ، ) N 5 - M 3نيوتن فى النقطتين ،Cب على الترتيب ،متجها ازدواجا وأوجد عزمه. موضعهما ( ) N + M 4( ، ) N + M 6متر برهن أن المجموعة تكافئ ً
أثرت القوتان ( + M Cب ) N 2 - M 5( ، ) Nنيوتن فى النقطتين جـ E ،على الترتيب ازدواجا .أوجد قيمة كل من ،Cب ،ثم أوجد عزم حيث جـ( )1 ،3 (E ،)1 ،2-فإذا كانت القوتان تكونان ً أيضا البعد العمودى بين خطى عمل القوتين. االزدواج ،وأوجد ً
8
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
زجاودزالا
الشكل المقابل يمثل قضي ًبا متزنًا تحت تأثير أربع قوى ،أوجد قيمة .X
10داين
5 5
X
c30 C
2سم ب
X
4سم
1سم جـ c30 10داين
Cب جـ Eمستطيل فيه Cب = 8سم ،ب جـ = 6سم ،س ،ص ،ع ،ل منتصفات األضالع Cب ،ب جـ ،جـ C E ، E
على الترتيب ،أثرت القوى التى مقاديرها 6 ، 6 ، X ، X ، X ، Xنيوتن فى االتجاهات Cس ،جـ ع ، ص س ,ل ع ،جـ ص C ،ل على الترتيب إذا اتزن المستطيل ،أوجد قيمة .X
Cب قضيب طوله 60سم ووزنه 18نيوتن ،يؤثر عند منتصفه ،يمكن للقضيب الدوران بسهولة فى مستوى رأسى حول مسمار أفقى ثابت يمر بثقب صغير فى القضيب عند النقطة جـ التي تبعد 15سم عن ،Cفإذا استند وشد الطرف Cأفق ًيا بحبل حتى أصبح رد فعل النضد مساو ًيا لوزن القضيب بطرفه ب على نضد أفقى أملس ُ علما بأن القضيب يتزن فى وضع يميل فيه على األفقى بزاوية القضيب .أوجد الشد فى الحبل ورد فعل المسمار ً قياسها .c60
C 6ب جـ Eصفيحة رقيقة على هيئة مستطيل فيه Cب = 18سم ،ب جـ = 24سم ووزنها 20نيوتن ،ويؤثر فى نقطة تالقى القطرينُ ،علقت الصفيحة فى مسمار رفيع من ثقب صغير بالقرب من الرأس د بحيث كان مستواها رأس ًّيا .فإذا أثر على الصفيحة ازدواج معيار عزمه يساوى 150نيوتن .سم واتجاهه عمودى على مستوى الصفيحة .فأوجد زاوية ميل Eب على الرأس فى وضع االتزان. C 7ب جـ Eمربع طول ضلعه 10سم أثرت القوتان 60 ،60نيوتن فى اتجاهات ب E ، Cجـ ،أوجد قوتين ازدواجا يتكافئ مع االزدواج المكون من وتكونان متساويتين فى المقدار تؤثران فى ،Cجـ توازيان ب E ً ِّ القوتين األوليين.
كتاب الرياضيات التطبيقية
8
االزدواج المحصل
الوحدة الخامسة
2-5
Resultant couple
فكر و
سوف تتعلم
جمموع ازدواجات مستوية (االزدواج املحصل) رشط جمموعة من القوى ازدواجا. املستوية تكافئ ً
)1 )2 )3 )4
ناقش
إذا وقع جسم تحت تأثير ازدواج .ما التأثير الحادث على هذا الجسم نتيجة ذلك االزدواج؟ هل يتحرك الجسم الواقع تحت تأثير ازدواج حركة خطية أم حركة دائرية؟ إذا كانت محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة تساوى صفر .هل يمكن ازدواجا؟ أن تمثل هذه القوى ً إذا كانت محصلة عدة قوى مستوية وغير متالقية فى نقطة تساوى صفر .هل ازدواجا؟ يمكن أن تمثل هذه القوى ً
تعلم المصطلحات األساسية
ازدواج حمصل
Resultant
couple
يكافئ
Equivalent
ازدواجا نظام الق�ى الم�ست�ية الذى يكافئ ً ازدواجا إذا تحقق يقال لعدة قوى مستوية X ، ... ، 2X ، 1Xن إنها تكافئ ً الشرطان اآلتيان م ًعا: )1انعدام محصلة القوى (أو مجموع المركبات الجبرية للقوى فى أى اتجاه= صفر) )2مجموع عزوم القوى حول أى نقطة ال ينعدم ازدواجا فالقوى ملحوظة :تح ُّقق أحد الشرطين فقط اليكفى إلثبات أن المجموعة تكافئ ً ازدواجا. المتالقية فى نقطة إذا انعدمت محصلتها فإن المجموعة تكون متزنة والتكافئ ً 15نيوتن
مثال
Cب قضيب خفيف أثرت عليه القوى الموضحة بالشكل أثبت أن مجموعة ازدواجا وأوجد القياس القوى تكافئ ً الجبرى لعزمه.
ب
جـ 9سم
7نيوتن
5سم 8نيوتن
الحل
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية.
86
C
بفرض أن ى متجه وحدة فى اتجاه القوة 15نيوتن ` ح = 15ى 8 -ى 7 -ى = 0 أى أن المحصلة تنعدم ازدواجا ،لذلك نوجد مجموع عزوم ` إما أن تكون المجموعة متزنة أو تكافئ ً القوى حول أى نقطة (ولتكن)C
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
زجاودزج زدزالا
ج 138 - = 14 * 7 - 5 * 8- = C ازدواجا ،القياس الجبرى لعزمه يساوى 138 -نيوتن.سم ` المجموعة تكافئ ً
تفكير ناقد :أوجد مجموع عزوم القوى حول كل من ب ،جـ ماذا تالحظ؟ حاول أن تحل
ازدواجا فى الشكل المقابل أثبت أن المجموعة تكافئ ً وأوجد القياس الجبرى لعزمه.
C 4سم
11نيوتن
جـ
5سم
5 5
6نيوتن
ب
3 Eسم
10نيوتن 7نيوتن
قاعدة
وم َّثلها تمثي ً تاما أضالع مثلث ال ًّ إذا أثرت ثالث قوى مستوية وغير متالقية فى نقطة فى جسم متماسك َ مأخوذة فى ترتيب دورى واحد كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواج معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المثلث فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال.
البرهان (غير مطلوب من الطالب) ال تا ًّما، تمثل القطع المستقيمة الموجهة Cب ،ب جـ ،جـ Cالقوى الثالث تمثي ً واتجاها وخط عمل وبفرض أن م تمثل مقدار القوة لوحدة األطوال مقدارا أى ً ً أى م =
1X
Cب
=
2X
ب جـ
=
3X
Cجـ
C
3X
1X
ب
C aب +ب جـ +جـ = Cو
جـ
2X 3X-
= 3X + 2X + 1Xو
` - = 2X + 1X
E
3X
أى أن محصلة القوتين 2X ، 1Xهى قوة ( ) 3X -وتؤثر فى نقطة ب -لذلك فإن المجموعة تكافئ القوتين ازدواجا. وتعمل عند جـ ) 3X -( ،وتعمل عند ب ،أى أنها تكافئ ً لتعيين معيار عزم هذا االزدواج نرسم عمو ًدا من ب على Cجـ فيقطعه فى نقطة .E
معيار عزم االزدواج = || * || 3Xب E
ولكن || C = || 3Xجـ * م معيار عزم االزدواج = Cجـ * م * ب E = ( Cجـ * ب * ) Eم = م * ضعف مساحة سطح المثلث Cب جـ
كتاب الرياضيات التطبيقية
87
3X
زجاودزالا
مثال Cب جـ مثلث ،فيه Cب = ب جـ = 17سم C ،جـ = 16سم أثرت قوى مقاديرها 320 ، 340 ، 340نيوتن فى ازدواجا وأوجد معيار عزمه. Cب ،ب جـ ،جـ Cعلى الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ ً
الحل
340 340 20 = 320 حيث إن 16 = 17 = 17 ` مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال يساوى 20نيوتن وحيث إن 340 القوى مأخوذة فى ترتيب دورى واحد ` المجموعة تكافئ االطوال ب معيار عزم االزدواج = ضعف مساحة C9ب جـ * مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال إليجاد مساحة 9نرسم ب C = Eجـ فينصفه ` ب 15 = 28 - 217 = Eسم ` معيار عزم االزدواج = 4800 = 20 * 15 * 16 * 12 * 2نيوتن .سم
C
17سم
340
E
16سم
320
جـ
17سم
حاول أن تحل
Cب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب فيه Cب = 30سم ،ب جـ = 40سم أثرت قوى مقاديرها 10 ،8 ،6نيوتن فى ازدواجا وأوجد معيار عزمه. Cب ،ب جـ ،جـ Cعلى الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ ً
ال تا ًما أضالع مضلع مقفل مأخوذة فى ترتيب تعميم :إذا أثرت عدة قوى مستوية فى جسم متماسك ومثلها تمثي ً ازدواجا معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع دورى واحد ،كانت هذه المجموعة تكافئ ً فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال. مثال Cب جـ Eشكل رباعى فيه Cب = 20 = ECسم ،ب جـ = جـ 7 10 = Eسم c120 = )C c(X ،أثرت قوى ممثلة بالقطع المستقيمة الموجهة Cب ،ب جـ ،جـ CE ، Eفإذا كانت المجموعة تؤول إلى ازدواج معيار عزمه جـ 3 180نيوتن .سم فى االتجاه Cب جـ Eأوجد مقدار القوى المؤثرة فى أضالع الشكل. الحل
88
الصف الثالث الثانوى
7سم 10
aالقوى تؤثر فى أضالع المضلع ومأخوذة فى ترتيب دورى واحد ` معيار االزدواج = ضعف مساحة الشكل * م ب ()1 ضعف مساحة الشكل * م = 3 180 من هندسة الشكل C 9ب جـ E C 9 /جـ من قانون جيب التمام فى C 9ب جـ
2X
10
7
سم
20
3X
سم
1X
c60 c60 C
20سم
كتاب الطالب
E
زجاودزج زدزالا
(ب جـ)C( = 2ب) C( + 2جـ)C 2 - 2ب * Cجـ * جتا (ب Cجـ) ` ( C( + 220 = 2) 7 10جـ) C * 20 * 2 - 2جـ * جتا 60 ` C( + 400 = 700جـ) C 20 - 2جـ ` ( Cجـ) C 20 - 2جـ = 300 -صفر ومنها Cجـ = 30 ` ( Cجـ C( )10 +جـ 0 = )30 - مساحة الشكل Cب جـ * 2 = Eمساحة C 9ب جـ = C * 12 * 2ب * Cجـ * جا 60 = * 30 * 20جا 3 300 = 60سم2 بالتعويض فى ()1 3 ` * 3 300 * 2م = 3 180ومنها م = 10 = 1X a Cب
2X
ب جـ
=
3X
جـ E
5 5
= = 4Xم CE
` 3 = 4X = 3X = 2X = 1X 10 20 20 7 10 7 10
ومنها 6 = 1Xنيوتن 7 3 = 2X ،نيوتن 7 3 =3X ،نيوتن 6 = 4X ،نيوتن
حاول أن تحل
Cب جـ Eشبه منحرف فيه // E Cب جـ C ،ب = ب جـ C ،ب = 6سم ،ب جـ = 9سم 3 = E C ،سم ال تا ًّما بالقطع المستقيمة الموجهة ، CEجـ ، Eب جـ ، أثرت القوى ، 4X ، 3X ، 2X ، 1Xممثلة تمثي ً ازدواجا معيار عزمه 360نيوتن .سم فى االتجاه Cب جـ E Cب على الترتيب ،فإذا كانت المجموعة تكافئ ً فأوجد مقدار كل من 4X ، 3X ، 2X ، 1X
قاعدة
إذا كان مجموع القياسات الجبرية لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثالث نقط فى مستواها ازدواجا مقدارا ثابتًا اليساوى الصفر ،كانت هذه المجموعة تكافئ ليست على استقامة واحدة يساوى ً ً القياس الجبرى لعزمه يساوى هذا المقدار الثابت.
البرهان (ال يمتحن فيه الطالب) أى مجموعة من القوى اما أن تؤول إلى قوة واحدة Xأو تؤول إلى ازدواج أو تكون متزنة. واضح أن القوى غير متزنة ألن مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول نقطة ما الينعدم ،نفرض أن المجموعة تكافئ قوة واحدة مقدارها Xوان النقط الثالث هى ، Cب ،جـ وان ابعادها عن خط عمل القوة هى ل ، 1ل ، 2ل3 ` * Xل * X = 1ل * X = 2ل = 3المقدار الثابت على الترتيب ب وبالقسمة على Xحيث ! Xصفر ` ل = 1ل = 2ل3 أى أن النقط ، Cب ،جـ تقع على مستقيم واحد يوازى خط عمل Xوهذا يتنافى مع الفرض جـ C ` مجموعة القوى التكافئ قوة ل ل 3 3 ل3 ` المجموعة تكافئ ازدواجا القياس الجبرى لعزمه يساوى المقدار الثابت X
كتاب الرياضيات التطبيقية
89
زجاودزالا
مثال Cب جـ Eشبه منحرف فيه // E Cب جـ c(X ،ب) = C ،c 90ب = 12سم ،ب جـ = 18سم = E C ، 9سم ،أثرت القوى التى مقاديرها 13 300 ، 1200 ، 500 ، 600 ، 200ث كجم فى ب ، Cب جـ ،جـ E ازدواجا وأوجد عزمه. C ، C Eجـ على الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ ً
الحل
نحسب مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى بالنسبة لثالث نقط ليست على استقامة واحدة ولتكن ،Cب ،جـ ج = C * 500 - 12 * 600 -و C و حيث Cو = 9جا 7٫2 = 12 * 9 = i 15 سم كجم. ث 10800 = 7٫2 `ج = * 500 - 12 * 600 - 9سم1200 E C C ل هـ ب * 300 + ل ب * 500 12 * 1200= 13 هـ جب 15سم 0 0 سم 12 3 3 14٫4 = 12 500 12 1 حيث ب ل = 18جا15 * 18 = i 200
،ب هـ = 36 = 18 * 12 13 6 13 36 ` جب = * 13 300 + 14٫4 * 500 - 12 * 1200- 13
ب
i 600
18سم
جـ
= 10800-ث كجم .سم ` ججـ = 12 * 1200 - 18 * 200 = 10800 -ث كجم.سم ازدواجا يعمل على الدوران فى اتجاه دوران عقارب الساعة ،معيار عزمه 10800ث كجم.سم ` المجموعة تكافئ ً
حاول أن تحل
Cب جـ Eمربع طول ضلعه 10سم ،هـ ∈ جـ ب ،و ∈ جـ ، Eبحيث كان جـ هـ = جـ و = 30سم .أثرت قوى مقاديرها 2 ،30 ،20 ،10 ،40ث كجم فى Cب ،ب جـ ،جـ ، C E ، Eهـ و على الترتيب .أثبت أن ازدواجا وأوجد عزمه. المجموعة تكافئ ً
االزدواج المح�سل يعرف مجموع ازدواجين مستويين على أنه االزدواج الذى عزمه يساوى مجموع عزمى هذين االزدواجين
Resultant couple
ازدواجا) ج = ج + 1ج 2ويسمى مجموع ازدواجين مستويين باالزدواج المحصل ( المجموعة تكافئ ً 200نيوتن 200نيوتن
مثال فى الشكل المقابل أوجد القياس الجبرى لالزدواج المحصل
100نيوتن 4سم 100نيوتن
80سم
500نيوتن
90
الصف الثالث الثانوى
150سم
500نيوتن
كتاب الطالب
زجاودزج زدزالا
5 5
الحل
ازدواجا القياس الجبرى لعزمه القوتان 200 ، 200نيوتن تكونان ً ج 160 = 0٫8 * 200 = 1نيوتن .متر ازدواجا القياس الجبرى لعزمه القوتان 500 ، 500تكونان ً ج 1150- = 2٫3 * 500 - = 2نيوتن.متر ازدواجا القياس الجبرى لعزمه القوتان 100 ، 100تكونان ً ج 4- = 0٫04 * 100- = 3نيوتن.متر االزدواج المحصل =ج + 1ج + 2ج3 = 994- = )4-( + )1150- ( + 160نيوتن.متر
حاول أن تحل
الشكل المقابل يمثل صفيحة منتظمة على شكل مثلث متساوى األضالع تؤثر عليها القوى كما بالشكل أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل.
80نيوتن 2متر
100نيوتن 2متر
80نيوتن
100نيوتن 2متر
مثال
150نيوتن
150نيوتن
C 6ب جـ Eمربع طول ضلعه 10سم ،أثرت قوتان مقدار كل منهما 40ث كجم فى ، E Cجـ ب وقوتان مقدار كل منهما 70ث كجم فى Cب ،جـ ، Eأوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل. الحل
ازدواجا القياس الجبرى لعزمه القوتان ُ 40 ،40تك َِّونان ً 10سم ج 400 = 10 * 40 = 1ث كجم .سم 70 القوتان ُ 70 ، 70تك َِّونان ازدواج القياس الجبرى لعزمه ج 700 - = 10 * 70- = 2ث كجم.سم ب االزدواج المحصل = ج + 1ج 300 - = )700- ( + 400 = 2ث كجم.سم C
حاول أن تحل
40ث كجم
E 70ث كجم
40ث كجم
جـ
10سم
C 6ب جـ Eمستطيل ,فيه Cب = 60سم ،ب جـ = 160سم ،س ،ص منتصفات ب جـ E C ،على الترتيب,
أثرت القوى التى مقاديرها X , X ، 400 ، 400 ، 200 ، 200نيوتن فى االتجاهات Cب ،جـ ، Eجـ ب ، ، E Cس ، Cص جـ ،على الترتيب ,إذا كان القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل يساوى 6400نيوتن .سم. أوجد قيمة.X :
كتاب الرياضيات التطبيقية
9
زجاودزالا
تمــــاريــن 2 - 5 ازدواجا وأوجد القياس الجبرى لعزمه: بين أى نظم القوى اآلتية تكافئ ً ج ب 10نيوتن 5نيوتن أ 2متر
C
ب
ب
C
10نيوتن
5نيوتن
د
3م
C
جـ
3م
C
15نيوتن
ز
E 12سم
12نيوتن 16سم
ب
6نيوتن
C
نيوتن
C
3ث كجم 5نيوتن
ب
E
1م
ط
5نيوتن 5نيوتن 10سم
جـ
4م
C
5ث كجم E
30ث كجم
و
ب
10سم
8
جـ
ح
8
نيوتن
1م جـ
2م
2م
C
3م
ب
4نيوتن 2ث كجم
6ث كجم
ه
ب
12نيوتن
6نيوتن
10نيوتن
5نيوتن
10نيوتن
جـ
2م 2 Eم
10ث كجم
ب
20ث كجم C
15نيوتن
ب
c60
15نيوتن c60
c60 15نيوتن 10سم
جـ
Cب جـ Eمربع طول ضلعه 3أمتار تؤثر القوى التى مقاديرها 2 ،5 ،2 ،5نيوتن فى اتجاهات ب ، Cب جـ ، ازدواجا وأوجد معيار عزم ًها. Eجـ ، C E ،على الترتيب .بين أن المجموعة تكافئ ً
Cب جـ Eمستطيل فيه Cب = 6سم ،ب جـ = 8سم أثرت قوى مقدار كل منها 7ث .كجم فى كل من Cب ، ازدواجا وأوجد معيار عزمه. ب جـ ،جـ C E ، Eعلى الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ ً Cب جـ Eمستطيل فيه Cب = 30سم ،ب جـ = 40سم أثرت القوى التى مقاديرها 30 ،15 ،30 ،15ث.جم فى ازدواجا وأوجد عزمه ،ثم ب ، Cب جـ E ،جـ ، ، C E ،على الترتيب ،أثبت أن هذه المجموعة تكافئ ً أوجد قوتين تؤثران فى ، Cجـ عموديتين على Cجـ ،بحيث تتزن المجموعة.
Cب جـ Eمعين طول ضلعه 10سمc(X ،ب Cجـ) = c120أثرت القوى التى مقاديرها 15 ، 20 ، 15 ، 20 ازدواجا وأوجد معيار ث كجم فى Cب ،ب جـ ،جـ C E ، Eعلى الترتيب ،أثبت أن المجموعة تكافئ ً عزمه .ثم أوجد القوتين اللتين تؤثران فى ب E ،عموديتين على ب Eبحيث تتزن المجموعة.
9
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
زجاودزج زدزالا
6الشكل المقابل يمثل قنطرة تؤثر عليها القوى الموضحة بالشكل إذا كان القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل يساوى 3 200 - 200نيوتن .متر أوجد .X
2متر
X c30 1متر
جـ
ب
5 5
2متر 200نيوتن 4 5 3 C
c30
4 5 3
X
200نيوتن
C 7ب جـ Eشبه منحرف متساوى الساقين فيه // E Cب جـ 9 = E C ،سم Cب = Eجـ = 15سم ،ب جـ = 33سم أثرت القوى 27 ،45 ، 99 ،45فى االتجاهات Cب ،ب جـ ،جـ C E ، Eعلى الترتيب ،أثبت أن المجموعة ازدواجا وأوجد معيار عزمه. تكافئ ً C 8ب جـ Eهـ و مسدس منتظم طول ضلعه 15سم ،أثرت قوى مقاديرها 30 ،50 ،40 ،30 ،50 ،40نيوتن فى Cب
،جـ ب ،جـ E ، Eهـ ،و هـ ،و Cعلى الترتيب .عين عزم االزدواج المحصل.
C 9ب جـ Eهـ خماسى منتظم طول ضلعه 15سم .أثرت قوى مقدار كل منها 10ث كجم فى Cب ،ب جـ ، ازدواجا وأوجد معيار عزمه. جـ E ، Eهـ ،هـ Cعلى الترتيب أثبت أن المجموعة تكافئ ً
C 0ب جـ مثلث فيه Cب = ب جـ = 6سم Cc(X ،ب جـ) = c120أثرت قوى مقاديرها 3 18 ،18 ،18فى Cب
ازدواجا وأوجد معيار عزمه. ،ب جـ ،جـ Cعلى الترتيب ،أثبت أن المجموعة تكافئ ً
Cب جـ Eمربع طول ضلعه 60سم أثرت قوى مقاديرها 50 ،80 ،20 ،10نيوتن فى Cب ،ب جـ ،جـ ، E C Eعلى الترتيب واثرت قوتان مقدارهما 2 20 ، 2 50نيوتن فى Cجـ E ،ب على الترتيب برهن أن ازدواجا معيار عزمه 4800نيوتن.سم المجموعة تكافئ ً 1متر 1متر
فى الشكل المقابل أوجد Xالتى تجعل القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل يساوى 3 500 - 150
4 5 3
c30 250نيوتن X
4 5 3
C
كتاب الرياضيات التطبيقية
X
ب
2متر 250نيوتن 2متر c30 2متر
9
زجاودزالا
تعريف االزدواج :هو نظام من القوى يتكون من قوتين متساويتين فى المعيار ومتضادتين فى االتجاه وال يجمعهما خط عمل واحد.
عزم االزدواج :يعرف عزم االزدواج بأنه مجموع عزمى قوتى االزدواج حول أى نقطة فى الفراغ ومعياره يساوى حاصل ضرب معيار إحدى القوتين فى البعد بينهما. نظرية :عزم االزدواج هو متجه ثابت ال يعتمد على النقطة التى ينسب إليها عزمى قوتيه.
اتزان ازدواجين :يقال الزدواجين إنهما متزنان إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفرى.
اتزان جسم تحت تأثير عدة ازدواجات إذا أثر على الجسم عدة ازدواجات مستوية متجهات عز،مها هى ج، 1 ج ، ... ، 2جن فإن شرط اتزان الجسم تحت تأثير هذه االزدواجات هو ج + 1ج + .. + 2جن = و
تكافؤ ازدواجين :يقال الزداوجين مستويين إنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهى عزميهما.
ازدواجا إذا نظام القوى المستوية التى تكافئ ازدواج :يقال لعدة قوى مستوية 1X .. ، 1X ، 1Xإنها تكافئ ً تحقق الشرطان اآلتيان م ًعا: - 1محصلة القوى تساوى المتجه الصفرى ( X + .. + 2X + 1Xن = و ) - 2مجموع عزوم القوى حول أى نقطة فى الفراغ ال ينعدم.
ال تا ًّما أضالع مثلث قاعدة :1إذا أثرت ثالث قوى مستوية وغير متالقية فى نقطة فى جسم متماسك ومثلها تمثي ً ازدواجا معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف مأخوذة فى ترتيب دورى واحد ،كانت هذه المجموعة تكافئ ً مساحة سطح المثلث فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال. تعميم :إذا أثرت عدة قوى مستوية فى جسم متماسك ومثلها تمثيال تا ًّما أضالع مضلع مقفل مأخوذة فى ترتيب ازدواجا معيار عزمه يساوى حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع دورى واحد ،كانت هذه المجموعة تكافئ ً فى مقدار القوة الممثل لوحدة األطوال.
قاعدة :2إذا كان مجموع القياسات لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثالث نقط فى مستواها ليست ازدواجا القياس الجبرى مقدارا ثاب ًتا ال يساوى الصفر كانت هذه المجموعة تكافئ على استقامة واحدة يساوى ً ً لعزمه يساوى هذا المقدار الثابت. االزدواج المحصل :يعرف مجموع ازدواجين مستويين على أنه االزدواج الذى عزمه يساوى مجموع عزمى هذين االزدواجين ( ج = ج + 1ج) 2
9
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل فى كل من األشكال اآلتية: ج 50نيوتن ب أ ب 50نيوتن سم 40سم
C
40
ب
6نيوتن
c30
c30
C
50نيوتن
C
4نيوتن 3م
2م
ب
10نيوتن
50نيوتن
الشكل المقابل يوضح صفيحة على شكل متوازى أضالع أثر عليها ازدواجان ،أوجد: أ القياس الجبرى لعزم االزدواج المكون من القوتين 7 ، 7 ب القياس الجبرى لعزم االزدواج المكون من القوتين 5 ، 5
7نيوتن 5نيوتن
5نيوتن
10سم i
7نيوتن 16سم
نيوتن عندما .c60 = i ج إذا كان القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل يساوى 30نيوتن.سم فما قيمة i؟ د إذا اتزنت الصفيحة فما قيمة i؟
Cب قضيب منتظم طوله 20سم ،يمكنه الدوران فى مستوى رأسى حول مسمار أفقى ثابت يمر بثقب صغير فى القضيب عند نقطة جـ ∈ Cب حيث Cجـ = 5سم ،إذا اتزن القضيب فى وضع أفقى تحت تأثير قوتين مقدار كل منها 50نيوتن وتؤثران فى طرفيه ، Cب فى اتجاهين متضادين وتصنعان مع القضيب زاوية قياسها .c30 أوجد وزن القضيب ومقدار رد فعل المسمار.
Cب جـ Eمستطيل فيه Cب = 30سم ،ب جـ = 40سم أثرت قوى مقاديرها 5 ،6 ،4 ،2 ،1ث.كجم فى Cب ، ازدواجا وأوجد معيار عزمه. ب جـ ،جـ C ، C E ، Eجـ على الترتيب ،برهن أن المجموعة تكافئ ً عين معيار عزم االزدواج المؤثر فى كل من األشكال اآلتية: 0٫8سم ب 200نيوتن أ 250نيوتن
5 4 3
60سم
ب
250نيوتن
ج 2متر
2متر 60سم
400نيوتن
C 3 4 5
0٫5متر
300نيوتن
300نيوتن
ب 400نيوتن
كتاب الرياضيات التطبيقية
9
C
زجاودزالا
6فى الشكل المقابل صفيحة على شكل مثلث قائم الزاوية ،تؤثر عليها القوى كما بالشكل أوجد القياس الجبرى لعزم االزدواج المحصل.
700نيوتن
400نيوتن
2
700نيوتن
متر
400نيوتن
c30
300نيوتن
300نيوتن
C 7ب جـ Eمربع طول ضلعه 20سم ،أثرت القوى التى مقاديرها 5 ،3 ،5 ،3ث كجم فى ب ، Cب جـ E ،جـ ، C Eعلى الترتيب كما أثرت قوتان مقدار كل منها 2 4ث كجم فى النقطتين ،Cجـ فى اتجاه بE ، Eب على الترتيب أوجد معيار االزدواج المحصل الذى يكافئ المجموعة. 8قوتان + M 5 - = 2X ، N 3 - M C = 1Xب Nتؤثران فى النقطتين جـ( ،)1- ،2د ( )2- ،0على ازدواجا .أوجد قيمة كل من أ ،ب ثم أوجد عزم االزدواج وطول البعد العمودى بين القوتين. الترتيب وتكونان ً 9أثرت القوة N 6 = 1Xفى نقطة االصل كما أثرت القوة N 6 - = 2Xفى النقطة ( )0 ،2بين أن مجموع عزوم القوى بالنسبة ألى نقطة (س ،ص) اليعتمد على س ،ص.
0أثرت القوى N 7 + M 3- = 3X ، N 3 - M = 2X ، N 4 - M 2 = 1Xفى النقط ازدواجا وأوجد ،)1 ،1- ( Cب ( ،)3 ،2-جـ ( )1 ،0على الترتيب .برهن أن هذه المجموعة من القوى تكافئ ً معيار عزمه نيوتن نيوتن الشكل المقابل يوضح مجموعة من القوى الموثرة على قضيب E C
تكون ازدواج القياس الجبرى لعزمه يساوى 75-نيوتن .م .أوجد قيمة كل من ،Xك.
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
96
الصف الثالث الثانوى
5
X
C
3م
ب ك نيوتن
4م جـ
5م
E
15نيوتن
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الطالب
اختر االج�بة ال�سحيحة من بين االإج�ب�ت:
إذا كانت قوتان مقدارهما 8 ،4نيوتن تؤثران فى نقطة وقياس الزاوية بينهما 120فإن مقدار محصلتهما يساوى: ب 4 أ 12 د 3 8- ج 3 4
إذا كانت قوتان متوازيتان ومتحدتا االتجاه مقدارهما 7 ،5نيوتن تؤثران فى نقطتين ،Cب فإن مقدار محصلتهما يساوى: ب 2 أ 12 د 24 ج جـ 74 إذا كانت القوة N 3 - M 2 = Xتؤثر فى النقطة )2- ،1( Cفإن عزم Xبالنسبة للنقطة ب ( )4 ،1-يساوى: د 22ع ج 22ع ب 6ع أ 6-ع إذا كانت القوة 3 - N 2 + M = Xع تؤثر فى النقطة )3 ،1- ،2( Cفإن عزم Xبالنسبة لنقطة األصل يساوى: ب + N2- M-ع أ 5 + N 9 + M 3-ع د + N5- M2ع ج 5 - N 9 - M3ع إذا اتزنت ثالث قوى مستوية ومتساوية فى المقدار ومتالقية في نقطة فإن قياس الزاوية بين أى قوتين فيها يساوى: Xنيوتن د c120 ج c90 - ب c 60 أ c30
اأجب عن اال�سئلة االآتية:
منتظما Cب فى حالة اتزان تحت 6الشكل المقابل يوضح قضي ًبا ً تأثير القوى الموضحة أوجد ق .ك.
50سم
7إذا كانت = Xل + Mم Nتؤثر فى النقطة أ ( )2- ،3فإذا كان عزم القوة Xبالنسبة لنقطة األصل يساوى 0وبالنسبة للنقطة ب ( )2 ،1-يساوى 8-ع أوجد قيمة كل من ل ،م.
ك نيوتن
50سم c30 20نيوتن
8إذا كانت القوة + M = Xب + Nجـ ع تؤثر فى نقطة )2 ،1 ،2-( Cوكانت مركبتا عزم Xبالنسبة لمحورى ص ،ع هما 3- ،2على الترتيب أوجد قيمة كل من ب ،جـ.
C 9ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه (Xب) = C ،c120جـ = 3 12سم أثرت قوى مقاديرها 3 8 ،7 ،6نيوتن فى Cجـ ،جـ ب C ،ب على الترتيب أوجد مجموع عزوم القوى حول نقطة منتصف ب جـ . ،C 0ب ،جـ ثالث نقط على استقامة واحدة حيث Cب = 6سم ،ب جـ = 4سم ،جـ∈ Cب .أثرت قوتان متوازيتان فى النقطتين ،Cب مقدار محصلتهما يساوى 24نيوتن ،وتؤثر فى نقطة جـ .أوجد مقدار كل من القوتين. تؤثر القوى المتوازية 4X ، 3X ، 2X ، 1Xفى النقطة ،)1 ،1(Cب( ،)1 ،2-جـ( )0 ،2- ( E ،)3 ،3على الترتيب .فإذا كانت القوى متزنة وكان 5 2 = || 2X || ، N 2 + M = 1Xنيوتن فى عكس اتجاه ، 1X أوجد ًّ كال من 4X ، 3X ، 2X كتاب الرياضيات التطبيقية
97
مركز الثقل Center of Gravity
الوحدة
6
مقدمة الوحدة
بالرغم من اختالف األجسام (التى تتكون من عدد كبير من الجزيئات) من حيث الشكل والمظهر الخارجى وإن كانت متساوية الوزن ،فإنها تتأثر بقوة جذب األرض لها والتى يعمل اتجاهها عادة رأسيًّا ألسفل (باتجاه مركز األرض) ،وقد وجد العلماء أن محصلة القوى المؤثرة فى جميع األجزاء التى يتكون منها الجسم تساوى وزن الجسم ،كما وجدوا أن محصلة هذه القوى المؤثرة فى الجسم تتمركز فى نقطة واحدة وعليه يكون مركز ثقل الجسم الجاسىء هو تلك النقطة الثابتة لهذا الجسم والتى تمر بها خط عمل محصلة قوى الجاذبية األرضية لنقط الجسم المذكور عند أى وضع له فى الفراغ ،وجدير بالذكر أن مركز الثقل هو نقطة هندسية قد تقع خارج الجسم كما فى حالة الحلقة .وأجزائه متمركزة فيها ،وقد أمكن تحديد مركز ثقل بعض األجسام المنتظمة بسهولة حيث ت ُكون هذه النقطة هى موقع مركزها الهندسى (كالصفائح الهندسية المنتظمة واألقراص والكرات وغيرها .)...أما بالنسبة لألجسام غير المنتظمة (مثل جسم اإلنسان) فإن طريقة تحديد مركز ثقلها يتم من خالل أسس علمية مختلفة ،ومن الجدير بالذكر أنه تم تحديد مركز ثقل جسم اإلنسان باستخدام بعض البرامج الحاسوبية التى تغذى الحاسب بمعلومات عن وزن الجسم ووزن كل جزء من أجزائه وأبعاد مراكز ثقلها فى األنظمة اإلحداثية المتعامدة. ومن الدراسات التى اهتمت بذلك هى دراسة (براون وفيشر) التى حددت ارتفاع مركز ثقل جسم اإلنسان بـ % 54.8من طوله مقاسا من أسفل القدم ،كما أشار (كروسكى) إلى أن مركز الثقل عند الرجال أعلى منه عند النساء .وتظهر أهمية دراسة مركز الثقل فى الحركة الرياضية فى مجال التحليل الحركى (الميكانيكا الحيوية الرياضى )Biomechanics of sportsوسوف نتناول ذلك من خالل أنشطة هذه الوحدة. وفى هذه الوحدة سوف نتعرف مركز ثقل نظام من الجسيمات ،وإيجاد مركباته فى األنظمة اإلحداثية المتعامدة مع تعيين مركز ثقل الجسم الجاسئ والصفائح المركبة ،كما سنتناول بعض التطبيقات على مركز الثقل فى مجاالت حياتية مختلفة.
أهداف الوحدة
حرا. بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن يستنتج مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ
يكون قاد ًرا على أن:
يستنج مركز ثقل نقطتين ماديتين بينهما مسافة ل.
يتعرف مركز ثقل الجسم الجاسئ.
يتعرف العالقة بين ثقل الجسم ومركز الثقل واالتزان والجاذبية األرضية. يتعرف مركز ثقل نظام من الجسيمات.
يتعرف متجه موضع مركز الثقل للجسم الجاسئ بالنسبة لنقطة األصل. يستنتج مركبات مركز الثقل فى نظام اإلحداثيات الديكارتية المتعامدة.
98
الصف الثالث الثانوى
يستنتج مركز ثقل قضيب رفيع منتظم.
يستنتج مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل متوازى أضالع. يستنتج مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث.
يتعرف طريقة الكتل السالبة لحساب مركز ثقل جسم بعد حذف جزء منه. يتعرف مركز ثقل بعض األجسام التى لها خصائص تماثل. كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñكتلة سالبة
Negative Mass
Ñتماثل
Symmetry
Ñمركز الثقل
Center of Gravity
Ñجسيم نقطة مادية
two-dimensional system
Ñنظام ثنائى األبعاد
Three-dimensional system
Ñنظام ثالثى األبعاد Ñتعليق حر
free suspension
Physical point
األدوات والوسائل
دروس الوحدة ( :)1- 6مركز الثقل
.
آلة حاسبة علمية.
(:)2- 6طريقة الكتلة السالبة
مخطط تنظيمى للوحدة مركز الثقل
التعليق الحر للجسم الجاسئ
تعريف
مركز ثقل نقطتين ماديتين
ثقل الجسم
مركز الثقل
مركز ثقل قضيب منتظم مركز ثقل صفيحة على
متجه الموضع بالنسبة لنقطة األصل
شكل متوازي أضالع مركز ثقل صفيحة
المركبات فى األنظمة اإلحداثية
طريقة الكتلة السالبة
أشكال هندسية منتظمة
التماثل
على شكل مثلث
مجسمات هندسية منتظمة كرة مصمتة
سلك منتظم
صفيحة دائرية
قشرة أسطوانية أسطوانة قائمة متوازي مستطيالت منشور قائم منتظم
كتاب الرياضيات التطبيقية
99
مركز الثقل
الوحدة السادسة
1-6
تمهيد
سوف تتعلم
مركز ثقل اجلسم اجلاسئ ثقل اجلسم ومركز ثقله واجلاذبية األرضية.
مركز ثقل نقطتني ماديتني.
متجه موضع مركز ثقل اجلسم اجلاسئ.
مركز الثقل ىف نظام
التعليق احلر للجسم اجلاسئ. مركز ثقل قضيب رفيع منتظم.
مركز ثقل صفيحة منتظمة عىل شكل متوازى أضالع.
مركز ثقل صفيحة منتظمة عىل شكل مثلث.
المصطلحات األساسية مركز الثقل Center of Gravity
جسيم
Particle Physical point
نظام ثنائى األبعاد
-
two dimensional system
نظام ثالثى األبعاد
-
Three dimensional system
تعليق حر
free suspension
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
100
من خالل دراستك السابقة لحركة أو سكون األجسام الحظت أننا لم نعط حجوم أو أبعاد تلك األجسام اهتما ًما. واكتفينا بتمثيلها فى أغلب األحيان بنقطةأو دائرة صغيرة أو مستطيل على فرض أن القوة المؤثرة فى الجسم تمر بنقطة واحدة تقع فى منتصفه.
J
شكل ()1
مركز ثقل الج�سم الجا�سئ:
اإلحداثيات املتعامدة.
نقطة مادية
Center of Gravity
إذا نظرنا إلى األجسام الكبيرة التى تتحرك بشكل انتقالى فقط لوجدنا أن كل نقطة فيها تتحرك بنفس الشكل تما ًما ،وبالتالي فإن اعتبار هذا الجسم مكاف ًئا لنقطة واحدة ممكن فى هذه الحالة .إال أنه لو كان لدينا جسم كبير يتحرك عشوائ ًّيا (كانتقال فمثال عند قذف مضرب ودوران) لتحركت كل نقطة منه بشكل مختلف عن غيرهاً ، تعقيدا من حركة كرة فلزية ويعود كرة فى الهواء ،فإن حركته صعو ًدا وهبوطًا أكثر ً ذلك إلى وجود الحركة الدورانية للمضرب أثناء حركته االنتقالية ؛ أي إن كل نقطة فى المضرب لها حركتها المختلفة عن غيرها من النقاط ،وفى الشكل ( )2سنجد أن هناك نقطة معينة على المضرب تتحرك على المسار المعروف لدينا للجسم المقذوف؛ أي كحركة الكرة الفلزية الصغيرة عند قذفها فى الهواء. من الواضح أن هذه النقطة تتحرك كما لو أن كتلة المضرب تتركز فى هذه النقطة؛ ووزن المضرب يؤثر فقط فى هذه النقطة. إن هذه النقطة المعينة تسمى مركز الثقل Center of Gravityوالتي تبدو وكأن كل الجسم متجمع عندها .أى أن مركز الثقل هو نقطة افتراضية تعبر عن محصلة أثقال أيضا نقطة عناصر الجسم الجاسئ ،وهي ً االتزان ،كما نستطيع القول إنها النقطة التى تتوزع حولها ثقل الجسم بالتساوي شكل ()2 من جميع الجهات.
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
لقثل زكرم
6 6
تعريف
مركز ثقل جسم جاسئ هو نقطة ثابتة فى الجسم ،يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها الجسم ،وال يتغير موضعها بالنسبة للجسم ,مهما تغير وضعه بالنسبة لألرض.
ثقل الج�سم ومركز ثقله والجاذبية الأر�سية : إذا اعتبرنا أن الجسم بوجه عام (غاز ًيا أم ً سائال أم صل ًبا) مجموعة من النقط المادية ،فإن تأثير الجاذبية األرضية عليه بقوة وزنه تكون عند كل نقطة من هذه النقاط ،وإذا اعتبرنا أن األرض كرة متجانسة ،فإن َع ِمل وزن كل نقطة يعمل فى المستقيم الواصل بين هذه النقطة ومركز األرض ،ولما كانت األجسام التى تقابلنا فى حياتنا اليومية وتدخل نظرا لبعدها الكبير عن مركز األرض ،فإنه يمكن اعتبار خطوط عمل فى نطاق دراستنا صغيرة ًّ جدا بالنسبة لألرض و ً أوزان النقط المادية المكونة لجسم ما متوازية .وبذلك يمكن تركيبها فى قوة واحدة تساوى من حيث المقدار مجموع أوزان هذه النقاط وتعمل رأس ًّيا إلى أسفل نحو األرض. من الطبيعى أن الجاذبية األرضية تؤثر فى جميع أجزاء الجسم ،ولكن عند أخذ العزوم تؤثر قوة الجاذبية األرضية (وزن الجسم) فى نقطة واحدة فيه تسمى بمركز ثقل الجسم. مركز ثقل نظام من الج�سيمات : إذا اعتبرنا .......، 3C ، 2C ، 1Cمجموعة من الجسيمات المكونة لجسم جاسئ وأن و ، 1و ، 2و .......، 3هى أوزان هذه الجسيمات على الترتيب وتؤثر رأس ًّيا ألسفل كما فى شكل (.)3 ½ محصلة القوتين المتوازيتين و ، 1و 2المؤثرتين عند 2C ،1Cعلى الترتيب وتمر بالنقطة 1Jهى (و + 1و)2 لذلك فإن :و = 1J 1C * 1و 1J 2C * 2مهما كان وضع الجسم بالنسبة لألرض وذلك ألن البعد بين النقطتين 2C ، 1Cثابت ألن الجسم جاسئ ،وبالتالى تظل م 1ثابتة.
Center of gravity of a system of particles
C
1
و1
1J
(و + 1و)2
2J
C
2
و2
C
3
و3
(و + 1و + 2و )3
شكل ()3
½ محصلة القوتين المتوازيتين (و + 1و ، )2و 3هى (و + 1و + 2و )3ونفرض أن نقطة تأثيرها هى نقطة .2Jلذلك فإن :و( = 2J 3C × 3و + 1و 2J 1J × )2وتظل المسافة 1J 3Cثابتة.وبالتالى فإن 2Jنقطة ثابتة مهما كان وضع الجسيمات عند النقاط .3C ، 2C ، 1C ½ بتكرار العمل السابق بالنسبة ألوزان جميع الجسيمات المكونة للجسم ،نحصل على وزن الجسم ،ونجد أنه يساوى مجموع جميع أوزان الجزيئات ،ويمر دائما بنقطة ثابتة الوضع.
الحظ أن :مركز ثقل الجسم الجاسئ يتغير بتغير شكله ،وذلك لتغير األبعاد بين الجسيمات المكونة له.
الج�سم المنتظم الكثافة :
هو الجسم الذى تكون كتلته وحدة األطوال أو المساحات أو الحجوم المأخوذة من أى جزء منه ثابتة. كتاب الرياضيات التطبيقية
101
لقثل زكرم (Center of gravity of two points (particles
مركز ثقل نقطتين ماديتين (ج�سيمين( : إذا كانت كتلة الجسيمين هما ك ، 1ك 2فى الموضعين س ، 1س 2على محور السينات على الترتيب بالنسبة لراصد موجود عند نقطة األصل و كما بالشكل ( ، )4فإن مركز ثقل هذين الجسيمين بالنسبة للراصد تتحدد بالعالقة : س= J
ك 1س + 1ك 2س2
ك1
ك2
ك + 1ك2
س2
س1
شكل ()4
( مجموع عزوم القوى المستوية المتوازية حول نقطة يساوى عزم المحصلة حول نفس النقطة) مثال
مركز ثقل نقطتني ماديتني
1جسيمين ماديين كتلة كل منهما 2نيوتن 4 ،نيوتن والمسافة بينهما 3أمتار .أوجد مركز ثقل الجسيمين بالنسبة للجسيم 2نيوتن. الحل
باعتبار أن الخط الواصل بين الجسيمين يقع على محور السينات وباعتبار أن نقطة األصل تقع عند الجسم 2نيوتن فيكون :س ، 0 = 1س ، 3 = 2ك ، 2 = 1ك4 = 2 باستخدام العالقة :س= J
ك 1س + 1ك 2س2 ك + 1ك2
3*4+0*2 س= J 4+2
فإن :
2 = 12 = 6
4نيوتن
س3=2
2نيوتن
3متر
شكل ()5
س0=1
أى أن :مركز ثقل الجسيمين الماديين يقع على بعد 2متر من الجسم 2نيوتن. حاول أن تحل
1جسيمين ماديين كتلة كل منهما 3نيوتن 5 ،نيوتن والمسافة بينهما 8أمتار .أوجد مركز ثقل الجسيمين بالنسبة للجسيم 3نيوتن. متجه مو�سع مركز الثقل للج�سم الجا�سئ بالن�سبة لنقطة الأ�سل إذا كانت و ، 1و ، 2و ، .......، 3ون أوزان الجسيمات المكونة للجسم الجاسئ ، .......، 3S ، 2S ، 1S ، متجهات مواضع هذه الجسيمات منسوبة إلى نقطة األصل
فإن متجه الموضع Sلمركز ثقل الجسم الجاسئ منسو ًبا إلى نقطة األصل يتحدد من العالقة: = JS
و+ 1S 1و+ 2S 2و +....+ 3S 3ون Sن
و + 1و + 2و +......+ 3ون
)1( ...............
Sن
و = 1كE 1 و = 1كE 2 ون = كنE
وبكتابة كل من األوزان و ، 1و ، 2و ، .....، 3ون كحاصل ضرب الكتلة المناظرة فى مقدار عجلة الجاذبية األرضية وقسمة كل من البسط والمقام على Eنحصل على العالقة:
102
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
لقثل زكرم
= JS
ك+ 1S 1ك+ 2S 2ك +....+ 3S 3كن Sن
ك + 1ك + 2ك +......+ 3كن
6 6
)2( ...............
ويمكن كتابة العالقات االتجاهية السابقة بداللة المركبات فى اتجاه محورى االحداثيين المتعامدين و س ، و ص فنحصل على اآلتى : س= J
ك 1س + 1ك 2س +2ك 3س + ............ +3كن سن ك + 1ك + 2ك + ............ + 3كن
،ص= J
ك 1ص + 1ك 2ص +2ك 3ص + ............ +3كن صن
مثال
ك + 1ك + 2ك + ............ + 3كن
مركز ثقل نظام ثنائى األبعاد
2فى شكل ( : )6أوجد موضع مركز ثقل ثالثة أوزان مقاديرها 3 ، 2 ، 1نيوتن موضوعة عند رؤوس مثلث متساوى األضالع طول ضلعه 12سم.
2نيوتن
ص
12سم س
3نيوتن
1نيوتن
شكل ()6
الحل
يمكن وضع بيانات المسألة فى جدول على النحو التالى على أعتبار المحاور المتعامدة كما بالشكل (:)5 الثقل
1نيوتن
2نيوتن
3نيوتن
ص
0
3 6
0
س
aس= J
6
0
12
ك 1س + 1ك 2س +2ك 3س3 ك + 1ك + 2ك3
` س 8 = 12 * 3 + 6 * 2 + 0*1 = Jسم 3+2+1 ك 1ص + 1ك 2ص +2ك 3ص3 aص= J ك + ك + ك 3 2 1
`ص = 0*3+ 3 6*2+0*1 J 3+2+1 موضع مركز الثقل للمجموعة هو () 3 2 ، 8
= 3 2سم
تفكير ناقد :
هل يتغير موضع مركز الثقل للنظام فى المثال السابق بتغير مواضع المحاور المتعامدة ؟ فسر إجابتك. كتاب الرياضيات التطبيقية
103
لقثل زكرم حاول أن تحل
C 2ب جـ مثلث متساوى األضالع ،طول ضلعه 4ديسيمترات ،النقط ، Eهـ ،و منتصفات أضالعه ب جـ ، جـ C ، Cب على الترتيب ،وضعت األثقال 6 ، 4 ، 2 ، 3 ، 1 ، 5ث كجم عند النقط ، Cب ،جـ ، E ،هـ ،و ،على الترتيب .أوجد موضع مركز ثقل المجموعة من ب.
مالحظة هامة :التعليق الحر للج�سم الجا�سئ : حرا فإن مركز ثقله يقع على الخط الرأسى المار بنقطة التعليق وذلك إذا علق جسم جاسئ من إحدى نقطه تعلي ًقا ً ب ش ألن الجسم فى هذه الحالة يكون متزنًا تحت تأثير القوتين المبينتين فى الشكل ( )6وهما :
( )2ثقل الجسم رأس ًيا إلى اسفل ( )1الشد فى الخيط ، وعلى ذلك فالبد أن تتساوى هاتان القوتان فى المقدار وتتضادا فى االتجاه وتتحدا فى خط العمل . لذلك البد وأن يقع مركز ثقل الجسم م على امتداد الخط الرأسى ب C مركز ثقل الق�سبان وال�سفائح المنتظمة : -1مركز ثقل قضيب منتظم الكثافة عند نقطة منتصفة.
C J
و شكل ()6
-2مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة المحدودة على شكل متوازى األضالع يقع عند مركزها الهندسى (نقطة تقاطع القطرين)
-3مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بمثلث يقع عند نقطة تالقى متوسطات هذا المثلث. -4مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة محدودة بدائرة يقع فى مركزها. مثال
مركز ثقل قضيب منتظم
حرا ،فإذا كان ب جـ أفق ًّيا ُنى قضيب منتظم Cجـ طوله 2ل من نقطة منتصفه ب ،ثم ُعلق من الطرف Cتعلي ًقا ًّ 3ث َ فى وضع االتزان .فأثبت أن جتا(Ccب جـ) = . 13 الحل
نفرض أن وزن القضيب Cب يساوى (و) يؤثر فى نقطة منتصفه ، 2Jوزن القضيب ب جـ يساوى (و) ويؤثر فى C منتصفه 1J ل 2
(الحظ أن C :ب = ب جـ) ،وأن Cc(Xب جـ) = ى
aالقضيب متزن وهو معلق من نقطة Cفى وضع يكون فيه ب جـ أفق ًّيا. ` مركز الثقل يمر بالخط . E C ` و × = E1Jو * ن E
` = E1Jن)1( .......E
جـ
1J
2J
Eن
ى
و 2و و شكل ()7
104
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ل 2
ب
لقثل زكرم
6 6
من هندسة الشكل : 2J // E C aن 2J ،منتصف Cب ` ن منتصف ب E ` Eن = ب ن)2( ......................
ومن ()2( ، )1
ل ل ` = E1Jن = Eب ن = = * 13 6 2
aجتاى = ن ب = ل ÷ ل = ل * 1 = 2 ل 3 6 2 ب6 2J
حاول أن تحل
3سلك رفيع منتظم السمك والكثافة على شكل شبه منحرف Cب جـ Eفيه Cب = 15سم ،ب جـ = 12سم ، جـ 10 = Eسم Cc(X ،ب جـ) = c(Xب جـ .c90 = )Eأوجد ُبعد مركز ثقل هذا السلك عن الضلعين Cب ،ب جـ مثال 4صفيحة رقيقة منتظمة على شكل متوازى أضالع Cب جـ Eفيه Cب = 40سم ،ب جـ = 20سم c( X ،ب جـ)C = ُ .c90علقت الصفيحة من نقطة (هـ) على جـ Eفاتزنت عندما كانت جـ Eأفق ًّيا .أوجد طول جـ هـ . الحل
aالخط الرأسى المار بنقطة التعليق ال بد وأن يمر بمركز ثقل الصفيحة
هـ
E
J
` هـ م هو الخط الرأسى
C
aجـ Eأفقى ` c(Xم هـ جـ) = .c90
` Jجـ = 3 10سم
` جـ هـ = Jجـ جتا c30 حاول أن تحل
،
هـ
جـ
20سم
ب
40سم شكل ()9
من المثلث Cب جـ نجد أن Cc(X :جـ ب) = ،c90 ب جـ = C 12ب ` c(Xجـ Cب) = ،c30
ش
Cجـ = 3 20سم
c(X aم جـ هـ) = c30 ` جـ هـ = * 3 10
15 = ) 3سم.
2
حرا من الرأس Cوثبت عند الرأس ب ثقل وزنه 14و .أثبت أن ُ 4علقت صفيحة مربعة منتظمة وزنها (و) تعلي ًقا ًّ 1 ظل زاوية ميل القطر Cجـ على الرأسى فى وضع االتزان يساوى . 5 كتاب الرياضيات التطبيقية
105
لقثل زكرم تفكير ناقد:
أثبت أن مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث ينطبق مع مركز ثقل ثالث كتل متساوية موضوعة عند رؤوس المثلث. مثال
إيجاد مركز ثقل صفيحة مثلثة
5صفيحة رقيقة منتظمة كتلتها 3كجم على هيئة المثلث Cب جـ الذى فيه Cب = Cجـ ،ب جـ = طول ارتفاع المثلث = 6سم .ثبتت الكتل 4 ، 3 ، 2 ، 3كجم عند النقط ،Cب ،جـ E ،على الترتيب حيث Eمنتصف Cب . حرا فأوجد عين مركز ثقل المجموعة وأثبت أنه يبعد عن جـ مسافة 4سم .وإذا ُعلقت الصفيحة من جـ تعلي ًقا ًّ ص فى وضع االتزان قياس زاوية ميل كل من جـ ب ،جـ Cعلى الرأسى. الحل
4 C 4 3
يمكن و�سع بيانات الم�ساألة فى جدول على النحو التالى:
الكتلة �س �س
عند C
عند ب
عند جـ
4
3
4
4
6
0
0
3
3
6
JJ
ب
عند E
0
د
` Jجـ =
106
الصف الثالث الثانوى
4
4.5
الخ ط ا لرأ بنق سي ا ل طة الت مار ع ليق
س
ص
شكل ()11
` )2.4 ، 3.2( = J
` بعد مركز الثقل م عن جـ وليكن Jجـ ( 4 = 2)2.4( + 2)3.2سم
جـ
شكل ()10
aس 3.2 = 4.5 * 4 + 0 * 4+6 * 3 + 3 * 4 = Jسم ، 4+4+3+4 aص2.4 = 3 * 4 + 0 + 0 + 6 * 4 = Jسم ، 4+4+3+4
6سم
باعتبار أن االتجاهين المتعامدين جـ س ،جـ ص وبذلك تكون نقطة جـ هى نقطة األصل. نوزع كتلة الصفيحة 3كجم عند الرؤوس ، Cب ،جـ إلى ثالث كتل متساوية كتلة كل منهما 1كجم وبذلك تصبح الكتل المثبتة عند ، Cب ،جـ E ،هى 4 ، 4 ، 3 ، 4 كجم كما هو موضح بالشكل. س
ب
C
J هـ
ك ن
شكل ()14
ل
كتاب الطالب
جـ
لقثل زكرم
اإيجاد قيا�س زاوية ميل جـ Cعلى الراأ�سى :
6 6
نرسم جـ م فيكون هو الخط الرأسى المار بنقطة التعليق (جـ) وباعتبار أن ل هى قياس زاوية ميل جـ ب على جـ م ،ونرسم م ك = جـ ب . 2.4 مك = ` ظا ل = ك جـ 3.2
=0.75
اإيجاد قيا�س زاوية ميل جـ Cعلى الراأ�سى:
Cن نحسب قياس زاوية Cجـ ب ولتكن هـ حيث ظاهـ = ن جـ
` هـ = c63 /26 // 6
` ل = c36 /52 /12 = 2 = 63 ص
` قياس زاوية ميل جـ Cعلى الرأسى جـ = Jهـ -ل = c26 /33 // 54= c36 /52 // 12 -c63 /26 // 6 حاول أن تحل
جـ
5فى شكل ( )12صفيحة رقيقة كتلتها 300جم على شكل مثلث متساوى األضالع Cب جـ ،طول ضلعه 12سم ،ألُصقت كتلة 100جم فى الصفيحة عند نقطة تثليث Cب .عين مركز ثقل المجموعة بالنسبة للمحورين المتعامدين Cس C ،ص . مثال
س
ب
100
إيجاد مركز ثقل صفيحة عىل شكل مربع
C
شكل ()12
6صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع Cب جـ Eطول ضلعه ل ،فيها هـ ،و منتصفا الضلعين Cب E C ،على الترتيب .ثُ َنى المثلث Cهـ و حول الضلع هـ و بحيث انطبقت Cعلى مركزالمربع ى .عين مركز ثقل الصفيحة فى وضعها الجديد. ص الحل
باعتبار أن كتلة الصفيحة (4ك) ،و /منتصف الضلع ب جـ فى الوضع الجديد.
وباعتبار اأن ال�سفيحة مكونة من ثالثة اأجزاء كالآتى:
س
½ الصفيحة المثلثة (المكونة من طبقتين) و هـ ى كتلتها تساوى ربع كتلة الصفيحة أى (ك) وليكن مركز ثقلها 1J ½ الصفيحة المربعة هـ ب و
/
ى وكتلتها (ك) ،وليكن مركز ثقلها 2J
و
C هـ
ز
1J
2J
ب
½ الصفيحة المستطيلة و و /جـ Eوكتلتها (2ك) ،وليكن مركز ثقلها .3J
د
ى
3J
و شكل ()13 /
وبالتالى تصبح الصفيحة فى وضعها الجديد تكافئ مجموعة مكونة من ثالث كتل ..كتلة (ك) عند ، 1Jوأخرى مساوية لها عند 2Jوكتلة (2ك) عند 3Jكما هو مبين بشكل (.)16 كتاب الرياضيات التطبيقية
107
جـ
لقثل زكرم
وباعتبار ى س ،ى ص اتجاهين متعامدين بحيث يمر المحور األول بالنقطة هـ ،والمحور الثانى بالنقطة و كما هو مبين بنفس الشكل نفسه .وباعتبار النقطة ز منتصف هـ و فإن: ز ى = C 12ى = = 12
=1 2
ل2
+
4
(C
ل2
هـ)( + 2هـ ى)2
=1 2
4
1
` ى 23 = 1Jز ى = * 23 2 2
ل2
2
ل=
= 1
1
2 2
ل
ل
2 3
ل ل 1 1 ل جا ، ( = )c45 ل جتا ، c45 `(= J 6 6 2 3 2 3 1
)
ل -ل ويقع مركز الثقل 2Jللصفيحة المربعة هـ ب و /ى فى مركز المربع أى أن ، ( = J : 4 4 2 لأيضا أى أن ( = J : ويقع مركز الثقل 3Jللصفيحة المستطيلة وو /جـ Eفى مركزها ً 4 3
ولإيجاد مركز ثقل ال�سفيحة فى و�سعها الجديد ن�ستخدم المركبات الآتية : aس= J `س= J
)
)0 ،
ك1س + 1ك 2س +2ك 3س + ......+3كنسن ك + 1ك + 2ك + ......+ 3كن
ل ل ل ك * + 6ك * 2 +ك * (- 4 4
)
1 48ل =-
ك +ك 2 +ك ك 1ص + 1ك 2ص +2ك 3ص +.......+ 3كن صن ك + 1ك + 2ك + ......+ 3كن
aص= J
ل ل ك * +ك * ( 2 +) -ك * صفر 1 = 48 -ل ` ص= J 4 6
ك +ك 2 +ك
حل آخر :
فى شكل ( )14ومن خالل جدول البيانات تحدد المركبات اآلتية: ص
و
C هـ
ب
108
4J
1J
2J
د
1J
2J
3J
4J
الكتلة
ك
ك
ك
ك
�س
ل 6
ل 4
64
ى 3J
َو
شكل ()13
�س جـ
الصف الثالث الثانوى
ل 6
ل4
ل4
ل4 ل 4
كتاب الطالب
لقثل زكرم س = Jك * ص = Jك *
ل ل ل ل 4 - 4- 4 + 6
4ك
ل ل ل ل 4 + 4- 4 - 6
4ك
6 6
1 48ل =- 1 48ل =-
حاول أن تحل
6صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مستطيل Cب جـ Eفيه Cب = 6سم ،ب جـ = 10سم ،هـ∈ E Cبحيث Cهـ = 6سم ،ثنى المثلث Cب هـ حول الضلع ب هـ حتى انطبق Cب على ب جـ تما ًما عين موضع مركز ثقل الصفيحة بعد ثنيها بالنسبة إلى جـ ب ،جـ . E
تمــــاريــن 1 - 6
ا اً أول � :سع عالمة (✓) اأو عالمة (✗) لكل عبارة مما ياأتى:
1مركز ثقل الجسم الجاسئ يكون ثاب ًتا وال يقع بالضرورة على أحد جسيمات هذا الجسم. حرا فإن الخط الرأسى المار بنقطة 2إذا ُعلقت صفيحة غير منتظمة ومحدودة بمثلث من أحد رؤوسها تعلي ًقا ًّ التعليق يمر بنقطة تالقى المستقيمات المتوسطة للمثلث. 3إذا ُوضعت ثالث كتل متساوية عند منتصفات أضالع مثلث متساوى األضالع فإن مركز ثقلها يقع على نقطة تقاطع متوسطات المثلث. 4مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بمثلث ينطبق مع مركز ثقل ثالث كتل متساوية موضوعة عند رؤوس هذا المثلث. ِ ُطريه. 5مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بشكل متوازى أضالع يقع عند نقطة تقاطع ق 6إذا ُوضعت أربع كتل متساوية عند رؤوس شبه منحرف متساوى الساقين فإن مركز ثقل المجموعة يؤثر عند ِ ُطريه. نقطة تالقى ق 7إذا ُعلق جسم جاسئ تعلي ًقا حرا فإن الخط المستقيم الرأسى المار بمركز ثقل الجسم يمر بنقطة التعليق. 8مركز ثقل نقطتين ماديتين تفصل بينهما مسافة ثابتة يقع على القطعة المستقيمة المرسومة بينهما ويقسم طولها بنسبة تساوى النسبة بين كتلتيهما. حرا ، 9إذا ُعلقت صفيحة منتظمة السمك والكثافة ومحدودة بمثلث متساوى األضالع من أحد رؤوسها تعلي ًقا ًّ كان الضلع المقابل لهذا الرأس أفق ًّيا. 10إذا وضعت أربع كتل متساوية عند رؤوس متوازى أضالع فإن مركز ثقل المجموعة يؤثر عند نقطة تالقى قطرى متوازى األضالع.
كتاب الرياضيات التطبيقية
109
لقثل زكرم
ثانياًا :اأجب عن الأ�سئلة الآتية: 11 12
13
14
أوجد مركز ثقل جسيمين ماديين كتلة كل منهما 4نيوتن 6 ،نيوتن والمسافة بينهما 5متر. أين يقع مركز ثقل نظام مؤلف من ثالث كتل موزعة على النحو التالى : ك 1 = 1كجم عند الموضع ، )0 ، 0( 1Jك 1 = 2كجم عند الموضع ، )0 ، 3( 2Jك 2 = 3كجم عند الموضع .)4 ، 3( 3J أوجد مركز ثقل التوزيع اآلتى: ق 3 = 1نيوتن عند ( ، )1 - ، 4ق 5 = 2نيوتن عند (، )3 ، 0 ق 4 = 3نيوتن عند ()3 ، 2 - عين مركز ثقل كل من المجموعات اآلتية حسب البيانات المعطاة فى الجدول: ب
جـ
الكتلة المو�سع
ب
12سم
شكل ()14 15سم
20جم عند C
د
20سم
شكل ()15
30جم
عند ب
C
20سم جـ
C
40جم
60سم
عند جـ
ك
الكتلة المو�سع
ك
ك
عند جـ عند هـ
عند C
ك
عند و
ص و
جـ
50سم
الكتلة المو�سع
110
هـ
50سم
شكل ()16 س
ب
50سم
C
ب
4جم عند C
د 12سم
5جم
عند ب
C
3جم
عند جـ
الصف الثالث الثانوى
50سم
جـ
شكل ()17
الوزن المو�سع
8ث جم 3ث جم 2ث جم 2ث جم عند C
عند جـ
عند هـ
عند و
كتاب الطالب
لقثل زكرم
ص
C
د
10سم
س
شكل ( )18س
ب
20جم
الكتلة المو�سع عند C
30جم
عند ب
جـ
10جم
عند جـ
ب
هـ جـ
40جم
عند E
10جم
الكتلة المو�سع عند C
مسدس منتظم
C
و
6 6
د
شكل ()19
15جم
عند جـ
5جم
عند E
20جم عند و
ثالثا :اأجب عن الأ�سئلة التية
C 15ب قضيب منتظم ،طوله 90سم وكتلته 5كجم ،جـ E ،نقطتا تثليثه من ناحية الطرف .Cوضعت كتل مقاديرها 4 ،3 ، 2 ، 1كجم عند النقط ، Cب ،جـ E ،على الترتيب عين بعد مركز ثقل المجموعة عن الطرف .C C 16ب قضيب غير منتظم طوله 30سم ،وزنه 500ث جم .ثُبت ثقالن مقدارهما 200 ، 100ث جم من الطرفين ، Cب للقضيب على الترتيب فاصبح مركز ثقل المجموعة فى نقطة منتصف القضيب عين موضع مركز ثقل القضيب بالنسبة للطرف .C C 17ب جـ صفيحة على شكل مثلث متساوي األضالع كتلتها 3كجم J ،مركز ثقلها ،وضعت كتل مقاديرها2 ، 2 11 ،كجم عند الرؤوس ، Cب ،جـ على الترتيب .برهن أن مركز ثقل المجموعة يقع عند نقطة منتصف م جـ . حرا من الرأس Cوثبت عند الرأس ب ثقل قدره ُ 18علقت صفيحة مربعة منتظمة الكثافة وزنها 40ثقل جرام تعلي ًقا ًّ 10ثقل جرام .أوجد قياس زاوية ميل القطر Cجـ على الرأسى فى وضع االتزان. 19شكل (C : )24ب سلك رفيع منتظم الكثافة ثنى عند ب ،جـ .أوجد ُبعد C مركز الثقل عن كل من Cب ،جـ ب ،ثم أوجد فى وضع االتزان قياس حرا. زاوية ميل Cب على الرأسى إذا ُعلق السلك من Cتعلي ًقا ًّ E 12سم C 20ب جـ Eمربع طول ضلعه ل رسم على ب جـ ،مثلث متساوى الساقين 6سم ب جـ هـ بحيث يقع الرأس هـ خارج المربع .أوجد مركز ثقل الصفيحة ب جـ منتظمة السمك والكثافة المحدودة بالشكل الناتج عل ًما بأن طول ضلع 12سم شكل ()24 المربع يساوى ضعف طول ارتفاع المثلث. 21تتكون صفيحة منتظمة الكثافة من جزءين :مستطيل Cب جـ Eفيه Cب = 12سم ،ب جـ = 16سم ومثلث متساوى الساقين جـ هـ Eفيه Eهـ = 10سم والرأس هـ خارج المستطيل .عين مركز ثقل الصفيحة. C 22ب جـ Eصفيحة منتظمة السمك والكثافة على شكل مستطيل فيه Cب = 12سم ،ب جـ = 16سم ،هـ نقطة ِ ُطريه Cجـ ،ب Eفصل المثلث Cهـ Eوثبت فوق المثلث ب هـ جـ .أوجد مركز ثقل الصفيحة فى هذه تقاطع ق حرا من نقطة جـ ،فأوجد ظل زاوية ميل جـ ب على الرأسى. الحالة .وإذا ُعلقت الصفيحة تعلي ًقا ًّ كتاب الرياضيات التطبيقية
111
الوحدة السادسة
2-6
Negative Mass Method
تمهيد
سوف تتعلم
طريقة الكتلة السالبة. Negative Mass Method
مركز ثقل بعض األجسام التى هلا خصائص متاثل. مركز الثقل ىف جمال امليكانيكا احليوية.
المصطلحات األساسية
كتلة سالبة
طريقة الكتلة السالبة
Negative Mass
متاثل
Symmetry
سبق أن علمنا أن مركز ثقل الجسم الجاسئ هو نقطة ثابتة فى الجسم يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها هذا الجسم ،ثم أوجدنا مركبات مركز الثقل فى نظام ثنائى األبعاد وآخر ثالثى األبعاد فى نظام اإلحداثيات المتعامدة، حرا يقع على المستقيم الرأسى ثم علمنا بأن مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ المار بنقطة التعليق. وسوف ندرس فى هذا الدرس طريقة الكتلة السالبة لحساب مركز ثقل جسم بعد انتزاع جزء منه ،كما سنتعرف مركز ثقل بعض األجسام التى لها خصائص تماثل. طريقة الكتلة ال�سالبة: جسما كتلته ك ومركز ثقله ، Jفإذا باعتبار أن ً اقتطعنا منه الجزء األيسر كما فى (شكل )20 وكان 1Jمركز ثقل الجزء المقتطع 2J ،مركز ثقل الجزء األيمن المتبقى ،فإذا كان ، 2S ، 1S JSمتجهات موضع J ، 2J ، 1Jعلى الترتيب بالنسبة لنقطة األصل (و) وباعتبار أن كتلة الجسم األصلى (ك) والجزء المقتطع (باعتبار أن كتلته سالبة) هو ( -ك )1فإن كتلة الجزء المتبقى (ك – ك)1لذلك فإن JSتعطى بالعالقة : = Sك(+ 1S 1ك -ك)1 J ك
2S
ك = JSك( + 1S 1ك -ك)1 األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
112
أى أن ( :ك -ك = 2S )1ك لذلك فإن = S :ك 2
2J
2S
J Sم
1J 1S
و
شكل ()20
وبضرب الطرفين فى ك فإن:
2S
- JSك1S 1
- JSك1S 1
ك -ك1
بالتعويض عن 1S ، JSبداللة مركباتها الجبرية فى اتجاه المحاور المتعامدة المتعامدة و س ،و ص ،نحصل على احداثيات الجزء المتبقى وهما : الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�ق�ر ز��� ز���ز�
6 6
-ك 1ص1
كص كس -ك س ، 1 1ص= 2 س= 2 ك ك ك ك 1 1 حيث ( س ،ص) مركز ثقل الجسم األصلى وكتلته ك ( ،س ، 1ص ) 1مركز ثقل الجسم المقتطع وكتلته ك1 وهذه القاعدة تعنى أنه عند إيجاد مركز ثقل الجسم المتبقى ينظر اليه كما لوكان مكونًا من جسمين هما: ( )1الجسم األصلى ( )
( )2الجسم المتقطع باعتبار كتلته ( -ك )1لذلك سميت طريقة الكتلة السالبة. مثال ص
1وضعت أربع كتل متساوية مقدار كل منها 100جرام عند رؤوس المربع Cب جـ .E أول :عين مركز ثقل المجموعة بالنسبة إلى Cب . E C ، جـ ثان ًيا :إذا رفعت الكتلة الموجودة عند الرأس جـ فعين مركز ثقل المجموعة المتبقية.
E
الحل
ً أوال :بفرض أن طول ضلع المربع = ل سم وان نقطة هـ هى مركز المربع Cب جـ س C ، Eهى نقطة األصل كما فى شكل (.)21
الكتلة س ص aس= J
عند أ 100 0 0
عند ب 100 ل 0
ك1س + 1ك 2س +2ك 3س + 3ك4س4
عند جـ 100 ل ل
عند د 100 0 ل
هـ ب
شكل ()21
ك + 1ك + 2ك + 3ك4
* 100 + 0* 100ل *100+ل0*100+ = 2ل سم ` س= J 100+ 100 + 100 + 100 ك 1ص + 1ك 2ص +2ك 3ص + 3ك 4ص4 aص= J ك + ك + ك + ك 4 3 2 1 * 100+ 0 * 100 + 0* 100ل*100+ل = 2ل سم ` ص= J 100+ 100 + 100 + 100
احداثى مركز ثقل المجموعة هى ( 2ل 2 ،ل ) أى عند مركز المربع عند نقطة هـ ثان ًيا :بعد رفع الكتلة الموجودة عند جـ أى 100جرام يكون : ل ل مركز ثقل المجموعة األصلية ( حيث الكتلة ك = 400جرام) هو نقطة هـ = ( س ،ص) = ( ) 2 ، 2 مركز ثقل الكتلة المرفوعة ك 100 = 1جرام عند الرأس جـ هى ( ل ،ل) كتاب الرياضيات التطبيقية
113
C
لقثل زكرم
مركز ثقل الجزء المتبقى ليكن م ( = 2س ، 2ص ) 2يتعين من : -ك 1س1
كس س= 2 ك -ك1
ل * 400 2 =
100 - 400
ل ك ص -ك 1ص* 400 1 2 = ص= 2
ك
* 100 -ل
* 100 -ل
100 - 400
-ك1
` مركز ثقل المجموعة المتبقية هو ( 3ل 3 ،ل )
= 3ل سم = 3ل سم
حاول أن تحل
1هل يمكنك حل مثال ( )1بطرق أخرى عرفتها من الدرس السابق؟ وضح ذلك واكتب هذه الطرق األخرى إن وجدت. ص
مثال 2فى شكل (C : )22ب جـ مثلث متساوى األضالع، طول ضلعه 20سم E ،نقطة تقاطع متوسطاته ،هـ نقطة منتصف ب جـ ،ثبتت كتل مقاديرها ، 20 ، 10 50 ، 30 ، 30جم عند النقط ، Cب ،جـ ، E ،هـ على الترتيب .عين مركز ثقل هذه المجموعة .وإذا رفعت الكتلة المثبتة عند ب فأين يقع مركز ثقل المجموعة المتبقية بالنسبة للرأس جـ. س
2سم
10 C
0
30 E
20 ب
الحل
هـ 50 شكل ()22
تعيين مركز ثقل المجموعة:
نأخذ جـ س ،جـ ص اتجاهين متعامدين باعتبار أن جـ نقطة األصل. Cهـ = 20جا E ، 3 10 = c60هـ = 3 10 3
بتكوين جدول الإحداثيات الآتى:
عند جـ الكتلة �س �س
30 0 0
عند هـ عند ب 50 10 0
20 20 0
65 10 * 30 + 10 * 10 + 20 * 20 + 10* 50 ` سم = = 7 30+ 10 + 20 + 50 + 30
صم =
3 10 * 30 + 3 10 *10 3 30 + 10 + 20 + 50 + 30
عند C
10 10
3 10
عند E
30 10
3 10 3
= 3 10 7
) 3 10 ، 65من نقطة جـ. أى أن احداثيى مركز الثقل هما ( 7 7
114
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
30 جـ
�ق�ر ز��� ز���ز�
عند رفع الكتلة الموجودة عند ب : ` س= J ص= J
ك س - Jك 1س1 ك -ك1
ك ص - Jك 1ص1 ك -ك1
=
=
20* 20 - 65 7 *140 20 - 140
0* 20 - 3 10 *140 7 20 - 140
6 6
15 = 2 =3 5 3
) 3 5 ، 15 ` مركز الثقل الجديد بعد رفع الكتلة 20عند ب هو ( 2 3
حاول أن تحل
ِ ُطريه وطول ضلع 2وضعت 5كتل متساوية عند الرؤوس ، Cب ،جـ ، E ،هـ لمربع Cب جـ Eحيث هـ ملتقى ق ثقل المجموعة المربع 12سم .عين مركز ثقل المجموعة ،وإذا ُرفعت الكتلة الموجودة عند ب فعين مركز َ المتبقية بالنسبة للمحورين Cب . E C ، مركز ثقل بع�ص الأج�سام التى لها خ�سائ�ص تماثل
Center of gravity of some symmetric bodies
تماثل صفيحة هندسية رقيقة منتظمة الكثافة باعتبار Cب محور تماثل للصفيحة قسم الصفيحة إلى جزأين متماثلين تما ًما من حيث الشكل المنتظمة لذا فهو ُي ِّ وبالتالى من حيث الكتلة كما فى شكل (.)23
وباعتبار أن 2J ، 1Jمركزى ثقل هذين الجزأين فمن الواضح أن محور التماثل يقطع القطعة 2J1Jعلى التعامد من منتصفها. وحيث أن مركز ثقل الصفيحة هو نفسه مركز ثقل كتلتين متساويتين موضوعتين عند ، 2J ، 1Jفإنه يقع عند نقطة منتصف ، 2J1Jأى على محور التماثل.من ذلك نستطيع أن نستنتج اآلتى:
إذا وجد محور تماثل هندسى لصفيحة رقيقة منتظمة الكثافة ،فإن مركز ثقلها يقع على هذا المحور.
C 1J
2J
ب شكل ()23
1J
بع�س المج�سمات الهند�سية المنتظمة الكثافة تماثل المجسمات الهندسية يماثل تما ًما تماثل األشكال الهندسية بعد االستعاضة عن محور التماثل بمستوى التماثل ،وشكل ( )24يوضح ذلك. لذلك نستطيع أن نستنتج أنه:
2J
شكل ()24
إذا ُوجد مستوى تماثل هندسى لمجسم منتظم الكثافة ،وقع مركز ثقله فى هذا المستوى. كتاب الرياضيات التطبيقية
115
لقثل زكرم
من التماثل السابق للشكل الهندسى المنتظم والمجسم الهندسى المنتظم يمكننا تحديد بعض الحاالت الخاصة لمركز الثقل على النحو التالى : - 1مركز ثقل سلك منتظم الكثافة على هيئة دائرة يقع فى مركز الدائرة.
- 2مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة على شكل دائرة يقع فى مركز الدائرة. - 3مركز ثقل قشرة كروية منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة. - 4مركز ثقل كرة مصمتة منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة.
- 5مركز ثقل مجسم منتظم الكثافة على هيئة متوازى مستطيالت يقع فى مركزه الهندسى.
- 6مركز ثقل قشرة أسطوانية دائرية قائمة منتظمة الكثافة ،يقع عند نقطة منتصف محورها.
- 7مركز ثقل أسطوانة دائرية قائمة مصمتة منتظمة الكثافة يقع عند نقطة منتصف محورها.
- 8مركز ثقل منشور قائم منتظم يقع عند نقطة منتصف المحور الموازى ألحرفه الجانبية والمار بمركزى ثقل قاعدتيه ،باعتبارهما صفيحتين رقيقتين منتظمتى الكثافة. مثال 3لوح رقيق دائرى منتظم مساحته 200سم , 2ثُقب ثق ًبا دائر ًّيا مساحته 40سم ، 2فإذا كان ُبعد مركز الثقب عن مركز اللوح 4سم .عين مركز ثقل الجزء المتبقى من اللوح. الحل
الكتلة
بعد مركز الثقل عن هـ
15ك 45ك
4
ك
اللوح الثقب الجزء المتبقي
بفرض أن كتلة اللوح ك aمساحة اللوح = 200سم ، 2مساحة سطح الثقب = 40سم.2 ` كتلة الثقب = 15 -ك. ` س =2
ك س – Jك 1س1 ك -ك1
1 = ك * 5 - 0ك * 4 - = 4ك 5ك-ك ك 15 -ك
=1-
` مركز ثقل الجزء الباقى يبعد عن هـ بمقدار 1سم فى اتجاه و هـ .
116
الصف الثالث الثانوى
0
س
س
و
4سم
هـ
شكل ()25
كتاب الطالب
�ق�ر ز��� ز���ز�
6 6
حاول أن تحل
3صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل قرص دائرى مركزه نقطة األصل وطول نصف قطره 6 وحدات طول ،قُطع منه قرصان دائريان مركز أحدهما ( )3- ، 1-وطول نصف قطره وحدة طول واحدة ومركز اآلخر ( )2 ، 1وطول نصف قطره 3وحدات طول .أوجد مركز ثقل الجزء الباقى من القرص األصلى. مثال 4صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل Cب جـ Eالذى فيه Cب = 30سم ،ب جـ = 80سم ،قُطع منها المثلث حرا من الرأس جـ .عين قياس زاوية ميل الضلع Cب هـ حيث هـ منتصف ، E Cثم علق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ جـ ب على الرأسى فى وضع االتزان .وإذا كانت كتلة الصفيحة هى ك فما الكتلة التى يجب وضعها عند الرأس Eحتى يميل ب جـ بزاوية c45مع الرأسى فى وضع التوازن؟ الحل
ا اً أول :اإيجاد قيا�س زاوية ميل ال�سلع جـ ب على الراأ�سى:
` كتلة المستطيل Cب جـ = Eك ،كتلة C 9ب هـ = 14 -ك
نن�سئ جدول الإحداثيات كالآتى: الكتلة
الم�ستطيل
المثلث
ك
14 -ك
�س �س
40 15
3
ب
شكل ()26
ك * 1 - 40ك* 200 3 4 ` س= J ك 14 -ك
200 = 40 + 80 + 80 3 3
30+ 30 + 0
س
= 20
ظا ى = ص = 3 = 280 ÷ 40 س 7 9 3
د 30سم
1 مساحة سطح المثلث Cب هـ = 1 = 40 * 30* 2 4 80 * 30 مساحة سطح المربع Cب جـ E
الرأس C ي
40سم
هـ
40سم
ى
جـ
= 280 9
ك ك * 40 20* 4 - 15 ص= J = 3 ك 14 -ك
` c( Xى) = c23 /12
ثانياًا :عند تعليق ثقل مقداره و عند Eحتى ي�سبح ميل ب جـ على الراأ�سى بزاوية c45فى و�سع التوازن. ص aظاى = س ص `=1 س
ص ` ظا = c45 س
`ص=س كتاب الرياضيات التطبيقية
117
لقثل زكرم
الم�ستطيل الكتلة
ك
�س
15
�س
40
المثلث
الثقل عند و
14 -ك
و
20
30
200 3
0
aس = Jص
J
200ك ` 40ك12 - = 34ك +و 40ك = 30و ` 3
15ك 5-ك 30+و 34ك +و
` و = 49ك.
حاول أن تحل
4صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل Cب جـ Eالذى فيه Cب = 6سم ،ب جـ = 8سم ،قُطعت منها قطعة مربعة الشكل من الرأس ب طول ضلعها 4سم ،أوجد ُبعد مركز ثقل الجزء الباقى عن كل من جـ ، Eجـ ب حرا من الرأس جـ فأوجد فى وضع التوازن ظل زاوية ميل جـ ب على الرأسى. ثم إذا ُعلق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ
118
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�ق�ر ز��� ز���ز�
6 6
تمــــاريــن 2 - 6
ا اً أول :اأكمل ما ياأتى: 1تسمى النقطة الثابتة فى الجسم التى يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها الجسم ,مهما تغير وضعه بالنسبة لألرض بـ ............................................. حرا على الخط المستقيم الرأسى المار بـ 2يقع مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ 3مركز ثقل قضيب رفيع منتظم الكثافة يقع عند
.............................................
.............................................
4مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بشكل متوازى األضالع يقع عند 5مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بمثلث يقع عند نقطة تالقى
.............................................
.............................................
6إذا ُوجد محور تماثل هندسى لصفيحة رقيقة منتظمة الكثافة ،فإن مركز ثقلها يقع على 7إذا ُوجد مستوى تماثل هندسى لمجسم منتظم الكثافة ،وقع مركز ثقله فى 8مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة محدودة بدائرة يقع فى 9مركز ثقل كرة مصمتة منتظمة الكثافة يقع فى
.............................................
.............................................
.............................................
.............................................
10مركز ثقل مجسم منتظم الكثافة على هيئة متوازى مستطيالت يقع فى
.............................................
11مركز ثقل قشرة أسطوانية دائرية قائمة منتظمة الكثافة ،يقع عند نقطة
.............................................
ثانياًا :اأجب عن الأ�سئلة الآتية: 12وضعت 4كتل متساوية عند الرؤوس ، Cب ،جـ E ،لمربع طول ضلعه 80سم ثم أضيفت كتلة خامسة مساوية لها عند مركزه .عين مركز ثقل المجموعة ،وإذا رفعت الكتلة الموجودة عند Cعين مركز ثقل المجموعة باستخدام طريقة الكتلة السالبة. 13صفيحة رقيقة منتظمة على شكل قرص دائرى طول نصف قطره 30سم .اقتطع منها جزء على شكل قرص دائرى طول نصف قطره 10سم ويبعد مركزه عن مركز الصفيحة 20سم .أوجد مركز ثقل الجزء المتبقى. C 14ب جـ مثلث متساوى األضالع ،طول ضلعه 12سم J ،مركز ثقله .اقتطع منه المثلث م ب جـ .عين مركز ثقل الجزء المتبقى.
كتاب الرياضيات التطبيقية
119
لقثل زكرم
15صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث متساوى الساقين Cب جـ فيه Cب = Cجـ E C ،هو ارتفاع المثلث وطوله 45سمُ .رسم مستقيم ٍ مواز للقاعدة ب جـ ويمر بمركز ثقل الصفيحة فقطع Cب C ،جـ فى النقطتين هـ ،و على الترتيب .أثبت أن مركز ثقل الشكل الرباعى هـ ب جـ و يقع على E Cويبعد 7سم عن نقطة .E 16سلك منتظم طوله 100سم ثنى على هيئة خمسة أضالع من مسدس منتظم Cب جـ Eهـ و .عين بعد مركز ثقله حرا من طرفه ، Cفعين قياس زاوية ميل Cب على الرأسى فى وضع عن مركز المسدس .وإذا ُعلق السلك تعلي ًقا ًّ االتزان. 17صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بالمستطيل Cب جـ Eحيث Cب = 30سم ،ب جـ = 60سم ،هـ منتصف ، E C حرا من النقطة ب فأوجد ن منتصف Eجـ ،فإذا فُصل المثلث هـ Eن من الصفيحة و ُعلق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ فى وضع التوازن ظل الزاوية التى يصنعها ب جـ مع الرأسى. تقاطع قُطراه فى Jونصفت Eم 18صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مربع Cب جـ Eطول ضلعه 36سم، َ
فى نقطة هـ وفُصل منها المثلث هـ .E Cعين مركز ثقل الجزء الباقى من الصفيحة .وإذا ُعلقت الصفيحة تعلي ًقا خالصا من نقطة Cحتى اتزنت فى مستوى رأسى فأوجد ميل Cب على الرأسى. ً
19صفيحة منتظمة على شكل مربع Cب جـ Eطول ضلعه 8سم ،فصل منها قرص دائرى طول نصف قطره 2سم ويبعد مركزه 3سم عن كل من Cب ،ب جـ .عين بعد مركز ثقل الجزء الباقى عن كل من Eجـ . E C ،
20صفيحة رقيقة منتظمة محدودة بالمربع Cب جـ Eالذى طول ضلعه 40سم ،ثقبت ثقباً دائريا مساحته 100 2 حرا من سم ومركزه عند نقطة على القطر ب Eوتقسمه من الداخل بنسبة 4 : 1من ناحية ب ،ثم ُعلقت تعلي ًقا ًّ الرأس .Cعين قياس زاوية ميل الضلع Cب على الراسى فى وضع االتزان.
120
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ُم َّ �ص ال َو ْحدَ ة لخ ُ )1مركز ثقل جسم جاسئ :هو نقطة ثابتة فى الجسم يمر بها خط عمل محصلة أوزان الجسيمات التى يتكون منها الجسم ،وال يتغير موضعها بالنسبة للجسم ,مهما تغير وضعه بالنسبة لألرض. )2مالحظات على مركز الثقل :
مركز ثقل الجسم الجاسئ يتغير بتغير شكله ،وذلك لتغير األبعاد بين الجسيمات المكونه له. الجسم المنتظم الكثافة :هو الجسم الذى تكون كتلة وحدة األطوال أو المساحات أو الحجوم المأخوذة من أى جزء منه ثابتة.
)3متجه موضع مركز الثقل للجسم الجاسئ بالنسبة لنقطة األصل:
إذا كانت ك ، 1ك ، 2ك .......، 3كتل الجسيمات المكونة للجسم الجاسئ ، .......، 3S ، 2S ، 1S ، متجهات مواضع هذه الجسيمات منسوبة إلى نقطة األصل ،فإن متجه الموضع Sم لمركز ثقل الجسم الجاسئ منسو ًبا إلى نقطة األصل يتحدد من العالقة: Sن
= JS
و+ 1S 1و+ 2S 2و +....+ 3S 3ون Sن
و + 1و + 2و +......+ 3ون
ويُعبر عنها بدللة مركبات مركز الثقل فى نظام الإحداثيات الديكارتية المتعامدة كالآتى: سم = صم =
)4 )5 )6 )7 )8
ك + 1M1ك +2M 2ك + ......+3M 3كنMن ك + 1ك + 2ك +......+ 3كن
ك + 1N1ك +2N 2ك + ......+3N 3كنNن ك + 1ك + 2ك +......+ 3كن
،
حرا على الخط المستقيم الرأسى التعليق الحر للجسم الجاسئ :يقع مركز ثقل الجسم الجاسئ المعلق تعلي ًقا ًّ المار بنقط التعليق. مركز ثقل قضيب رفيع منتظم :مركز ثقل قضيب رفيع منتظم الكثافة يقع عند نقطة منتصفه. مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل متوازى أضالع :مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بشكل متوازى األضالع يقع عند مركزها الهندسى (نقطة تقاطع القطرين). مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث :مركز ثقل الصفيحة المنتظمة المحدودة بمثلث يقع عند نقطة تالقى متوسطات هذا المثلث. طريقة الكتلة السالبة :وباعتبار أن كتلة الجسم األصلى (ك) والجزء المقتطع (باعتبار أن كتلته سالبة) هو ( -ك )1فإن كتلة الجزء المتبقى (ك – ك )1لذلك فإن ُ 2Sتعطى بالعالقة: = Sك 2
- JSك1S 1
ك -ك1
ويمكن كتابة العالقة االتجاهية السابقة بداللة المركبات فى اتجاه محاور اإلحداثيات المتعامدة: كتاب الرياضيات التطبيقية
121
لقثل زكرم
و س ،و ص فنحصل على اآلتى: س= 2
ك س -Jك 1س1 ك -ك1
،ص= 2
ك ص -Jك 1ص1 ك -ك1
)9تماثل صفيحة هندسية رقيقة منظمة الكثافة :إذا ُوجد محور تماثل هندسى لصفيحة رقيقة منتظمة الكثافة ،فإن مركز ثقلها يقع على خط هذا المحور. )10تماثل مجسم هندسى منظم الكثافة :إذا ُوجد مستوى تماثل هندسى لمجسم منتظم الكثافة ،وقع مركز ثقله فى هذا المستوى. )11بعض الحاالت الخاصة لمركز الثقل :
½ مركز ثقل سلك منتظم الكثافة على هيئة دائرة يقع فى مركز الدائرة.
½ مركز ثقل صفيحة منتظمة الكثافة محدودة بدائرة يقع فى مركز الدائرة. ½ مركز ثقل قشرة كروية منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة. ½ مركز ثقل كرة مصمتة منتظمة الكثافة يقع فى مركز الكرة.
½ مركز ثقل مجسم منتظم الكثافة على هيئة متوازى مستطيالت يقع فى مركزه الهندسى.
½ مركز ثقل قشرة أسطوانية دائرية قائمة منتظمة الكثافة ،يقع عند نقطة منتصف محورها. ½ مركز ثقل أسطوانة دائرية قائمة مصمته منتظمة الكثافة يقع عند نقطة منتصف محورها.
½ مركز ثقل منشور قائم منتظم يقع عند نقطة منتصف المحور الموازى ألحرفه الجانبية والمار بمركزى ثقل قاعدتيه ،باعتبارهما صفيحتين رقيقتين منتظمتى الكثافة.
122
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
اأولاً :اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:
1مركز ثقل ثالث كتل متساوية قيمة كل واحدة 2كجم موضوعة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية طول ضلعى القائمة 3سم 4 ،سم هو: ب () 3 ، 2 أ () 4 ،1 3
ج ( )1 ، 43
2
د ( )2 ، 33
ص جـ
س
3سم
ب 4سم شكل ()35
C
2مركز ثقل نقطتين ماديتين تفصل بينهما مسافة ثابتة يقع على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما ويقسم طولها بنسب: د ثابتة. ج عشوائية. ب عكسية. أ طردية. 3مركز ثقل النظام التالى :ك 1 = 1كجم عند ( ، )3 ، 2ك 2 = 2كجم عند ( )1 ، 2 -ك 3 = 3كجم عند ( )1 ، 0هو: أ () 43 ، 13 -
ب ( ) 43 ، 76
ج ( ) 23 ، 13-
د ()1 ،0
أ 3متر
ب 4متر
ج 5متر
د 6متر
أ 3 2سم
ب 3 4سم
ج 6سم
د 3 6سم
أ c22.5
ب c30
ج c45
د c 60
ج ()5 ،3
د د ()8 ،4 شكل ()36
4مركز ثقل نظام مؤلف من كتلتين 9 ، 6ث كجم بينهما مسافة 10أمتار ،يبعد عن الكتلة األولى مسافة: 5بعد مركز ثقل صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث متساوى األضالع طول ضلعه 12سم عن أحد رؤوس المثلث يساوى .: 6إذا ُعلقت صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مثلث متساوى األضالع بخيط من نقطة على أحد أحرفها تقسمه بنسبة 2 : 1فإن زاوية ميل هذا الحرف على الرأسى تساوى : 7فى الشكل المقابل C :ب جـ Eسلك طوله 32سم فيه Cب = 2ب جـ = 2جـ 16 = Eسم فإن بعد مركز ثقل السلك عن كل من ب جـ ،ب Cعلى الترتيب هو: أ ()3 ،3
ب ()4، 4
ثانياًا :اأجب عن الأ�سئلة الآتية :
C جـ
ب
C 8ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب ،فيه Cب = 3سم ،ب جـ = 4سم .وضعت ثالث كتل متساوية ،مقدار كل منها ك عند ب ،نقطة منتصف Cب ،نقطة منتصف Cجـ أوجد مركز ثقل هذه الكتل الثالث.
كتاب الرياضيات التطبيقية
123
لقثل زكرم
9صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة محدودة بالمثلث Cب جـ القائم الزاوية فى ب فيه Cب = ب جـ = 9سم .إذا فصل حرا من النقطة ب فأوجد ظل زاوية ميل المثلث Cب م حيث م مركز ثقل الصفيحة وعلق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ ب جـ .على الرأسى فى وضع التوازن.
C 10ب قضيب منتظم طوله 24سم وكتلته 2كجم .ثُبتت كتلة مقدارها 2كجم عند نقطة Cوثبتت كتلة أخرى مقدارها 3كجم عند نقطة جـ واقعة على القضيب وتبعد 8سم عن نقطة ب .أوجد بعد مركز ثقل المجموعة عن ب. C 11ب جـ Eمربع طول ضلعه 4سم ثُبتت الكتل 2 ، 3 ، 4 ، 6جرام عند ،Cب ،جـ E ،على الترتيب ،كما ثُبتت كتلة مقدارها 10جرام عند منتصف Cب .عين بعد مركز ثقل المجموعة عن كل من جـ ، Eجـ ب .
12سلك رفيع منتظم السمك والكثافة ثنى على شكل مثلث Cب جـ قائم الزاوية فى ب فيه Cب = 3سم ،ب جـ = 4 سم .أوجد بعد مركز ثقل السلك عن كل من ب ، Cب جـ ثم أوجد بعده عن ب. 13سلك رفيع منتظم السمك والكثافة طوله 40سم ثنى على شكل شبه منحرف Cب جـ Eفيه Cب = 16سم ، جـ 8 = Eسم 6 = CE ،سم CE(X ،ب) = c(Xجـ .c90= )CEأوجد ُبعد مركز ثقل هذا السلك عن الضلعين E C Cب وإذا ُعلق السلك تعلي ًقا حراًمن Cفأوجد ظل الزاوية التى يصنعها Cب مع الراسى فى وضع االتزان. 14صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل شبه منحرف Cب جـ Eفيه ،c90 = )Ec(X = )Cc(X جـ 40 = Eسم 60 = EC ،سم C ،ب = 120سم .عين بعد مركز ثقل الصفيحة عن كل من C ، E Cب . 15سلك منتظم السمك والكثافة طوله 120سم وكتلته 600جرام ،ثُنى على شكل مثلث Cب جـ قائم الزاوية فى حرا من الرأس ب فاتزن ب حيث Cب = 30سم ،إذا ثُبتت كتلة ك جرام عند الرأس ، Cثم ُعلق السلك تعلي ًقا ًّ عندما كانت Cجـ أفقية فأوجد ك. 16صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل قرص دائرى مركزه نقطة األصل وطول نصف قطره 24سم، قُطع منه قرصان دائريان مركز أحدهما ( )12 - ، 2 -وطول نصف قطره 4سم ومركز اآلخر ( )10 ، 6وطول نصف قطره 12سم .عين مركز ثقل الجزء الباقى من القرص. C 17ب جـ Eصفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل فيه Cب = 40سم ،ب جـ = 60سم ،تقاطع قطراه فى م ،قطع حرا من الرأس جـ .عين ظل زاوية ميل جـ ب على الرأسى منها المثلث ب جـ م ثم ُعلِّق الجزء الباقى تعلي ًقا ًّ فى وضع االتزان C 18ب جـ Eصفيحة رقيقة منتظمة على شكل مربع طول ضلعه 48سم وكتلتها 40جم .النقطتان ل ،م منتصفا Cب
E C ،على الترتيب .قطع المثلث Cل م ثم ثُبتت عند كل من جـ E ،كتلة تساوى كتلة المثلث المقطوع وثبت حرا من النقطة جـ .أوجد ظل عند ب كتلة تساوى ضعف كتلة المثلث المقطوع ،فإذا ُعلقت المجموعة تعلي ًقا ًّ زاوية ميل ب جـ على الرأسى فى وضع االتزان.
124
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
C 19ب جـ صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على هيئة مثلث قائم الزاوية فى ب حيث Cب = 12سم ، ب جـ = 20سم وكانت س ،ص ،ع منتصفات Cب ،ب جـ ،جـ Cعلى الترتيب .قطع المثلث جـ ص ع وطبق حرا من النقطة ب .أوجد ظل زاوية ميل ب جـ على الرأسى على المثلث ص ب س فإذا ُعلقت المجموعة تعلي ًقا ًّ فى وضع االتزان. 20صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل المثلث Cب جـ المتساوى الساقين حيث Cب = Cجـ = 26 سم ،ب جـ = 20سم .رسم = E Cب جـ ويقطع ب جـ فى ، Eفإذاكانت هـ منتصف E Cوفصل المثلث هـ ب جـ .أوجد بعد مركز ثقل الجزء الباقى عن النقطة هـ. 21صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل مربع Cب جـ Eطول ضلعه 48سم ،م نقطة تقاطع قطريه. قُطع المثلث جـ م Eثم لصق على المثلث جـ م ب بحيث انطبق م Eعلى م ب .أوجد بعد مركز ثقل الصفيحة عن كل من ب ، Cب جـ . 22صفيحة رقيقة منتظمة السمك والكثافة على شكل مستطيل Cب جـ Eمركزه م حيث Cب = 16سم ، ب جـ = 20سم .أخذت النقطتان هـ ،و على Cب حيث Cهـ = ب و = 3سم ،إذا قُطع المثلث م هـ و فأوجد حرا من Eفأوجد فى وضع بعد مركز ثقل الجزء الباقى عن كل من جـ . E C ، Eوإذا ُعلق هذا الجزء تعلي ًقا ًّ التوازن ظل الزاوية التى يصنعها C Eمع الرأسى. 23ثبتت كتل مقاديرها 40 ، 10 ، 30 ، 10 ، 20 ، 10كجم عند الرؤوس ، Cب ،جـ ، E ،هـ ،و على الترتيب لمسدس منتظم طول ضلعه 60سم .أوجد بعد مركز ثقل هذه المجموعة عن مركز المسدس. 24صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مستطيل Cب جـ Eالذى فيه Cب = 25سم ،ب جـ = 16سم .فرضت نقطة هـ∈ ب جـ ،و∈ ب Cبحيث ب هـ = 10سم ثم فصل المثلث ب هـ و ووضعت الصفيحة فى مستو رأسى بحيث انطبق حرفها جـ هـ على نضد أفقى أملس فكانت الصفيحة على وشك الدوران حول (هـ) .أوجد طول ب و . لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع اللكترونى
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات التطبيقية
125
الحركة فى خط مستقيم
ثانيا الديناميكا
Rectilinear Motion
الوحدة
1
مقدمة الوحدة فى هذه الوحدة سوف ندرس الحركة الخطية لجسيم متحرك وتحليل هذه الحركة ودراسة الموضع واإلزاحة ومتجه السرعة وعجلة الحركة للجسيم ،ويتم تحديدها عند أى لحظة خالل حركة الجسيم على الخط المستقيم سواء كانت الحركة منتظمة أو منتظمة التغير مستخدمين فى ذلك طرق التكامل والتفاضل الستنتاج عناصر الدراسة وسيتم تحليل الحركة الخطية بيانيًّا من خالل منحنيات الحركة ،واستخدام ذلك فى حل المسائل المختلفة ،ولن تقتصر الدراسة على الجسيم المتحرك فقط ولكن سيؤخذ فى االعتبار األجسام األخرى المختلفة كالسيارات والقطارات والطائرات وغير ذلك. مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:
يستخدم للتعبير عن السرعةإذا كانت اإلزاحة دالة فى الزمن Eف
(ع = Eن ) يستخدم للتعبير عن العجلة إذا كانت السرعة دالة فى Eع
الزمن(جـ = Eن )
يعبر عن العجلة كدالة فى اإلزاحة إذا كانت السرعة دالة فى Eع
اإلزاحة (جـ = ع Eف )
126
الصف الثالث الثانوى
إذا كانت كل من ف .ع .جـ اً دوال فى الزمن فإن: Eف
ع = Eن +عEن= Eف `ف= عEن Eع
جـ = Eن +جـ Eن = Eع ` ع = جـ Eن
إذا كانت جـ دالة فى اإلزاحة فإن: جـ = ع
Eع Eف
+جـ Eف = ع Eع
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñالحركة فى خط مستقيم
Rectilinear Motion
Ñموضع
Position
Ñإزاحة
Displacement
Ñمسافة
Distance
Ñمتجه السرعة المتوسطة
Average Velocity
Ñالسرعة المتوسطة
Average Speed
Ñمتجه السرعة
Velocity
Ñالسرعة
Speed
Ñالعجلة المتوسطة
Average Acceleration
Ñالعجلة
Acceleration
األدوات والوسائل
دروس الوحدة
Ñآلة حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب.
( :)1- 1تفاضل الدوال المتجهة. ( :)2- 1تكامل الدوال المتجهة.
مخطط تنظيمى للوحدة الحركة فى خط مستقيم
باستخدام التفاضل
باستخدام التكامل
الموضع دالة فى
السرعة دالة فى
العجلة دالة فى
العجلة دالة فى
الزمن
اإلزاحة
اإلزاحة
الزمن
العجلة دالة فى اإلزاحة
السرعة دالة فى اإلزاحة
اإلزاحة دالة فى الزمن
السرعة دالة فى الزمن
السرعة دالة فى
اإلزاحة دالة فى
الزمن
الزمن
العجلة دالة فى الزمن
كتاب الرياضيات التطبيقية
127
الوحدة األولى
تفاضل الدوال المتجهة
1-1
فكر و ناقش
سوف تتعلم إذا كانت ف
فإن:
Differentiation of vector functions
كل من األشكال البيانية اآلتية تمثل منحنى السرعة -الزمن لجسيم يتحرك فى خط دالة ىف الزمن مستقيم.
ع = Eف
ع
Eن
Eع
جـ = Eن إذا كانت ع دالة ىف
االزاحة ف فإن جـ =
Eع ع Eف المصطلحات األساسية
احلركة ىف خط مستقيم
Rectilinear motion
موضع اجلسيم Position of the porticle
اإلزاحة Distance املسافة Speed الرسعة Velocity متجه الرسعة متجه الرسعة املتوسطة Displacement
Average velocity
متجه الرسعة اللحظية Instantaneous velocity
العجلة املتوسطة Average acceleration Accelertion
األدوات المستخدمة
آله حاسبة علمية.
18 12
ن
ن
4
3
6
5
4
3
2
4
12
1
24
ن
0 4-
7
6
5
4
3
2
8-
1
0 1224-
12-
0
36-
بعد دراسة هذه المنحنيات، 1هل يمكنك تعيين سرعة الجسيم ع عند بداية الحركة ثم بعد 2ثانية ،بعد 4ثوان من بدء الحركة؟ 2كيف يمكنك حساب إزاحة الجسيم عند ن = ،2ن = 4؟ هل يمكن تعيين عجلة الحركة للجسيم المتحرك؟
تعلم -1الحركة فى خط م�ستقيم: إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم فيقال إنه يتحرك حركة خطية.
Rectilinear motion
-2مو�سع الج�سيم: عندما يتحرك جسيم حركة خطية فإنه عند أى لحظة ن سيشغل موضع معين على الخط المستقيم ،ولتعيين الموضع س لجسيم متحرك عند أى لحظة زمنية ن ،نختار نقطة ثابتة "و" على الخط المستقيم كنقطة أصل ونحدد اتجاه موجب على طول الخط.
Position of the particle
على سبيل المثال: عندما يكون الجسيم عند الموضع( )Cعلى الخط المستقيم فإن س = 5ى ى
C
برامج رسومية للحاسب
حيث ى متجه وحدة فى اتجاه و ، C
128
2
6
1
12
36
8
30
إذا كانت ع دالة ىف الزمن فإن:
العجلة
ع
36 24
ع
الصف الثالث الثانوى
و
س
كتاب الطالب
ةهجتمل لاو ل لضافت
بينما إذا كان الجسيم عند الموضع ب على الخط المستقيم فإن س = 3-ى ى
C
و
ب س
الحظ أن موضع الجسيم كمية متجهة ويمكن التعبير عنه كدالة فى الزمن ن أى أن س = د (ن) ويقاس معيار س فى النظام الدولى للوحدات بالمتر. الإزاحة:تعرف إزاحة الجسيم ف بأنها التغير فى موضعه. C
Displacement
و
C Δس /
1 1
س
س
إذا تحرك الجسيم من الموضع Cإلى الموضع Cعلى الخط المستقيم فإن:
اإلزاحة ف = 9س حيث 9س = س - /س ،فى هذه الحالة 9س تكون موجبة حيث أن موضع الجسيم /
النهائى Cعلى يمين الموضع االبتدائى للجسيم ، Cوإذا كان الموضع النهائى للجسيم على يسار الموضع االبتدائى للجسيم فإن 9س ستكون سالبة. Áإزاحة الجسيم ف كمية متجهة ويمكن التعبير عنها كدالة فى الزمن ن أى ف (ن) ،واإلزاحة ف تتميز عن المسافة المقطوعة بواسطة الجسيم ،وعلى وجه التحديد المسافة كمية قياسية موجبة تمثل طول المسار الكلى المقطوع بواسطة الجسيم. Áيمكن استخدام الرموز س ،ف للتعبير عن القياس الجبرى لمتجه الموضع س ولإلزاحة ف Áإذا كان موضع الجسم عند بداية قياس الزمن عند نقطة األصل فإن س = ويكون ف = س
-4متجه ال�سرعة:
Velocity
إذا كانت ف = 9س هى إزاحة الجسيم خالل فترة زمنية 9ن فإن متجه السرعة المتوسطة ع يساوى خارج س (ن 9 +ن) -س (ن) 9ن
قسمة اإلزاحة على الزمن أى ع = 9س = م 9ن ويعرف متجه السرعة اللحظية ع عند أى لحظة زمنية ن بالعالقة:
م
س (ن 9 +ن) -س (ن) 9ن
ع = نهــــــا 9س = نهــــــا 9ن!0 9ن! 9 0ن ومن تعريف المشتقة يمكن استنتاج أن :ع = Eس (ميل المماس لمنحنى الموضع -الزمن) Eن وحيث أن س متجها ثابتًا فإن :متجه السرعة يساوى معدل تغير اإلزاحة بالنسبة للزمن ع = ً
Eف Eن
(ميل المماس لمنحنى اإلزاحة -الزمن) ويحسب معيار متجه السرعة بوحدة م /ث فى النظام الدولى للوحدات. كتاب الرياضيات التطبيقية
129
يقتت ط ى ةمضحلا
Áيمكن استخدام الرمز ع للتعبير عن القياس الجبرى لمتجه السرعة ع . -5ال�سرعة:
Speed
إذا كانت ع (ن) متجه سرعة جسيم يتحرك فى خط مستقيم فإن السرعة هى الكمية القياسية التى تعبر عن معيار متجه السرعة أى أن السرعة =|| ع || = || Eس || = || Eف ||
Eن Eن Eف Eس | |= | وإذا كان ع هو القياس الجبرى لمتجه السرعة ،س هو القياس الجبرى للموضع فإن السرعة = |ع| = | Eن Eن
مثال
1
قذف حجر رأسيا ألعلى ،وكان ارتفاعه س بعد ن ثانية من قذفه يعطى بالعالقة س = 49ن 4٫9 -ن2
حيث س بالمتر.
ًّ
أ أوجد أقصى ارتفاع يبلغه الجسم المقذوف. مترا ،ثم أوجد سرعته عندئذ. ب أوجد القياس الجبرى لمتجه السرعة عندما يكون الحجر على ارتفاع ً 78٫4
كال من منحنى الموضع -الزمن ومنحنى السرعة -الزمن واستخدمه فى تحليل الحركة. جـ ارسم ًّ
الحل
فى النظام اإلحداثى للحركة فى خط مستقيم نعتبر س تقيس االرتفاع (الموضع) عن نقطة القذف، ع تكون موجبة فى حالة الحركة ألعلى. aع (ن) = Eس Eن
aس (ن) = 49ن 4٫9 -ن2
أ يبلغ الحجر أقصى ارتفاع له عندما ع = 0 `ن=5ث ` 9٫8 - 49ن = 0 ` أقصى ارتفاع س ( 122٫5 = 25 * 4٫9 - 5 * 49 = )5متر
` ع (ن) = 9٫8 - 49ن
ب يكون الحجر على ارتفاع 78٫4متر عندما س = 78٫4 ` 49ن 4٫9 -ن78٫4 = 2
` 4٫9ن 49 - 2ن 0 = 78٫4 +
` (ن ( )2 -ن 0 = )8 -
` ن = 2ث أو ن = 8ث
بقسمة طرفى المعادلة على 4٫9نجد أن :ن 10 - 2ن 0 = 16 + ` ع ( 29٫4 = 2 * 9٫8 - 49 = )2م/ث
` ع ( 29٫4- = 8 * 9٫8 - 49 = )8م/ث
صاعدا بعد 2ث ومرة هابطًا بعد 8ث أى أن :الحجر يكون على ارتفاع 78٫4متر مرة ً القياس الجبرى لمتجه السرعة إما 29٫4أو 29٫4 -
` سرعة الحجر فى الحالتين = |! 29٫4 = |29٫4م /ث
1 0
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
1 1
ةهجتمل لاو ل لضافت
جـ من منحنى الموضع -الزمن نجد أن:
س (ن)
½ الحجر يبلغ أقصى ارتفاع له 122٫5متر عندما ن = 5ث
107٫8 98
(نقطة رأس المنحنى).
88٫2 78٫4
½ يعود الحجر لنقطة القذف مرة أخرى عندما ن = 10ث
68٫6 58٫8
(النقطة ب ()0 ، 10
49
½ مرحلة الصعود استغرقت 5ثوان ،ومرحلة الهبوط استغرقت 5ثوان أخرى.
½ الحجر كان على ارتفاع 78٫4متر عندما ن = 2ث ، ن=8ث
39٫2 29٫4 19٫6 9٫8
10
9
الزمن (ن)
8
7
5
6
4
3
1
2
0
49
39٫2
-1السرعة االبتدائية للحجر كانت 49م /ث وأخذت فى
29٫4
التناقص خالل الفترة الزمنية ] [5 ، 0حتى سكن لحظ ًّيا
سرعته فى التزايد فى االتجاه المضاد فى الفترة الزمنية
0
1-
ع (ن) ل
من منحنى السرعة -الزمن نجد أن:
عندما ن = 5وعندها وصل ألقصى ارتفاع له ثم أخذت
117٫6
19٫6
10
9
الزمن (ن)
8
7
6
C
5
4
] [10 ، 5حتى عاد مرة أخرى لنقطة القذف عندما ن = 10ث بنفس سرعة القذف 49م /ث.
3
2
1
0
0
9٫8
و
19٫8-
19٫629٫439٫249-
-2يمكن حساب أقصى ارتفاع للحجر من خالل منحنى السرعة -الزمن بإحدى طريقتين: ½ أقصى ارتفاع = مساحة 9و Cل = 12و * Cو ل = 122٫5 = 49 * 5 * 12متر مربع ½ بحساب التكامل وسنبحث هذه الطريقة بشكل مفصل الح ًقا.
تفكير ناقد :كيف تحسب من المنحنى السابق السرعة -الزمن فى مثال ( )1المسافة المقطوعة خالل رحلة الحجر حتى عودته إلى نقطة القذف ،وكذلك إزاحته خالل هذا الزمن؟ حاول أن تحل:
1جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان موضعه س عند أى لحظة زمنية ن يعطى بالعالقة س (ن) = (ن4 - 2ن )3 +ى حيث س مقاسه بالمتر ،ن بالثانية ،ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسيم. أ أوجد إزاحة الجسيم خالل الثوانى الثالث األولى ب أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم عندما ن ∈ [ ]2 ،0
جـ أوجد متجه سرعة الجسيم عندما ن = 4 د من خالل منحنى السرعة-الزمن ،منحنى الموضع -الزمن قم بتحليل حركة الجسيم ،وبين متى يغير الجسيم اتجاه حركته كتاب الرياضيات التطبيقية
1 1
يقتت ط ى ةمضحلا
-6العجلة: إذا كانت 9ع تعبر عن التغير فى متجه السرعة خالل فترة زمنية 9ن فإن العجلة المتوسطة جـ تعطى بالعالقة
Acceleration
9ع جـ = م 9ن
م
ع (ن 9 +ن) -ع (ن) أى أن جـ = م 9ن
اختصارا) عند أى لحظة زمنية ن وتعرف العجلة اللحظية جـ (العجلة ً بالعالقة جـ = نهــــــا
9ن!0
ع (ن 9 +ن) -ع (ن) 9ن
Eع ومن تعريف المشتقة يمكن استنتاج أن :جـ = Eن
أى أن العجلة هى معدل تغير متجه السرعة بالنسبة للزمن(ميل المماس لمنحنى السرعة -الزمن)
ويحسب معيار متجه العجلة بوحدةم /ث /ث (م/ث )2فى النظام الدولى للوحدات
مما سبق نجد أن :إذا كانت س (ن) موضع الجسيم وهى دالة فى الزمن ن ،فإن متجه السرعة ع = E س ،من Eن
ذلك يمكن استنتاج أن العجلة جـ = Eع = 2Eس Eن2 Eن
تنبيه :عند اإلشارة إلى القياسات الجبرية لكل من الموضع ومتجه السرعة والعجلة فإننا نستخدم على الترتيب الرموز س ،ع ,جـ. ع2
القيا�س الجبرى لمتجه ال�سرعة والعجلة: -1إذا كانت جـ > 0فإن ع تتزايد ،وهذا يعنى أن الجسيم يتحرك بشكل
ب جـ > 0
أسرع فى االتجاه الموجب شكل ( )1أو أن الجسيم يتحرك ببطء
جـ > 0
-2إذا كانت جـ < 0فإن ع تتناقص وهذا يعنى: أن الجسيم يتحرك ببطء أكثر فى االتجاه الموجب شكل ( )3أو أن الجسيم يتحرك بشكل أسرع فى االتجاه السالب شكل (.)4
ع2
C
ب
C
()2
ب ع2
ع1
()1
C
ع1
أكثر فى االتجاه السالب شكل ( )2فى الحالتين 9ع > 0
-3فى كل من الحالتين ( )3( ، )2يقال إن الجسيم يتحرك بتقصير، بينما فى كل من الحالتين ( )4( ، )1يتحرك الجسيم بتسارع (بتحرك أسرع).
ع1
ب
ع2
ع1
C
جـ < 0
()4
جـ < 0
أى أن :الجسم يتحرك حركة متسارعة إذا كان ع ،جـ لهما االتجاه نفسه (ع جـ > صفر) ويتحرك حركة تقصيرية إذا كان ع ،جـ متضادين فى االتجاه (ع جـ < صفر)
1 2
الصف الثالث الثانوى
()3
كتاب الطالب
ةهجتمل لاو ل لضافت
1 1
مثال 2إذا كان القياس الجبرى إلزاحة جسيم يتحرك فى خط مستقيم يعطى بالعالقة ف = ن6 - 3ن9 + 2ن حيث ف مقاسه بالمتر ،ن بالثانية أ أوجد عجلة الجسيم عند انعدام السرعة ب أوجد سرعة الجسيم عندما تنعدم العجلة
جـ أوجد المسافة المقطوعة بواسطة الجسيم خالل الفترة من ن = 0إلى ن = 2 الحل
aف = ن 6 - 3ن 9 + 2ن Eع ` جـ = Eن
= 6ن 12 -
` ع= E ف = 3ن 12 - 2ن 9 + Eن
أ تنعدم سرعة الجسيم عندما 3ن 12 - 2ن 0 = 9 + ` ن 4 - 2ن 0 = 3 + (ن ( )1 -ن 0 = )3 -
جـ
12 10
ع
8 6
ف
عندما ن = ، 1ن = 3
4 2 4
3
2
0 1
جـ ( 6- = 12 - )1( 6 = )1م/ث2 جـ ( 6 = 12 - )3( 6 = )3م/ث2
ب تنعدم عجلة الجسيم عندما 6ن 0 = 12 -
246-
` ن=2
السرعة = |ع( 3 = |9 + 2 * 12 - 4 * 3| = |)2م/ث
8-
1012-
جـ من دراسة منحنى السرعة -الزمن لحركة الجسيم أو بدراسة إشارة ع (ن) نجد أن الجسيم يتحرك فى االتجاه الموجب فى الفترة H 0ن < 1ثم يغير اتجاه حركته ويتحرك فى االتجاه المضاد فى الفترة <1ن<.3 ` المسافة المقطوعة من ن = 0إلى ن = 2خالل الثانيتين األولى والثانية = |ف ( - )1ف (| + |)0ف ( - )2ف (|)1 = | 6 = |4 - 2| + |0 - 4أمتار
تفكير ناقد :مستعي ًنا بالشكل السابق بين فترات التسارع وفترات التقصير لحركة الجسيم حاول أن تحل
2إذا كان متجه سرعة جسيم ع يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ع (ن) = ( -ن 6 - 2ن )5 +ى
حيث ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسيم. أ متى يغير الجسيم اتجاه حركته؟ ب متى تزداد سرعة الجسيم ،ومتى تتناقص؟ جـ أوجد عجلة حركة الجسيم عندما تنعدم سرعته
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
ميقتس ط ى ةكرحلا تفكير ناقد:
الشكل المرفق يبين سرعة جسيم ع = د(ن) يتحرك فى خط مستقيم. أ متى يتحرك الجسيم لألمام ومتى يتحرك للخلف؟ ومتى تتزايد سرعته ومتى تتباطأ؟
ع (ن) 2
ن 9
1 8
7
6
5
4
3
2
1
0
ب متى تكون عجلة الحركة موجبة ؟ ومتى تكون سالبة؟
0 1-
1-
2-
ومتى تنعدم؟
جـ متى تصل سرعة الجسيم إلى قيمتها العظمى؟
د متى يتوقف الجسيم لمدة أكثر من ثانية واحدة؟
ا�ضتنتاج العجلة عندما يكون متجه ال�ضرعة دالة فى المو�ضع: إذا كانت ع = د (س) ،س = د(ن)
Eع Eع Eس : = فباستخدام قاعدة السلسلة يمكن استنتاج أن: Eن Eس Eن Eع أى أن :جـ = ع : Eس
وهى صورة أخرى للعجلة يمكن استخدامها عندما يكون متجه السرعة ع دالة فى الموضع س
مثال جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لمتجه سرعته ع يعطى
بالعالقةع = 1 - 400( 20س )2حيث س تعبر عن القياس الجبرى للموضع س ،أوجد القياس الجبرى لعجلة
الحركة جـ عندما س = 15 الحل
Eع ` Eس = 110-س
aع= 1 - 400( 20س)2 Eع aجـ = ع Eس
جـ = 1- 200س ( - 400س)2
عندما س = 15وحدة طول.
` جـ = 1- )225 - 400( 15 * 200
حاول أن تحل
105وحدة عجلة جـ = 8 -
جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت العالقة بين ع ،س تعطى فى الصورةع = 5+ 4س حيث ع مقاسة بوحدة م /ث ،س مقاسة بوحدة متر .أوجد عجلة الحركة عندما س = 2متر.
1 4
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ةهجتكل ملاومل ملرافس
1 1
مثال 4يتحرك جسيم فى خط مستقيم بحيث كانت العالقة بين ع ،س تعطى فى الصورة ع - 9( 5 = 2س)2 أوجد عجلة الحركة عند انعدام السرعة عل ًما بأن السرعة مقاسة بوحدة م/ث ،س مقاسة بوحدة المتر. الحل
aع - 9( 5 = 2س)2 ` 2جـ = 10-س تنعدم السرعة عندما ع = 0 جـ ( 15 - = 3 * 5- = )3م/ث2
Eع = 10 -س `2ع Eس ` جـ = 5 -س
أى - 9( 5س0 = )2 جـ ( 15 = 3- * 5- = )3-م/ث2
`س=!3
حاول أن تحل
4يتحرك جسيم فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لمتجه سرعته ع فى عالقة مع القياس الجبرى 1 2أوجد جـ بداللة س حيث جـ هو القياس الجبرى لعجلة الحركة، موضعه س معطاة بالصورةع= 2 - 4( 8س ) ثم أوجد أصغر سرعة للجسيم المتحرك.
تمــــاريــن 1 - 1
تخير الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة: 1عندما يتحرك جسيم فى خط مستقيم بسرعة ثابتة فإن معيار عجلته ج ثابت ال يساوى الصفر ب يتناقص أ يزداد ..............
التغير فى متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم يعرف بأنه ج متجه السرعة ب المسافة أ اإلزاحة
د صفر
..............
د متجه العجلة
جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت ع = 3هـ ن 2+فإن سرعته االبتدائية تساوى د هـ2 ج 3هـ2 ب هـ أ 3
..............
4جسيم يتحرك فى خط مستقيم ،ومعادلة حركته س =طا ن فإن عجلة الحركة حـ تساوى د عس ج 2ع س ب 2قان أ قا2ن
..............
جسيم يتحرك فى خط مستقيم وكانت معادلة حركته س = + 2لو (ن )1 +فإن هـ ب دائما. تتزايدان كة الحر وعجلة سرعته دائما. ً أ سرعته وعجلة الحركة تتناقصان ً ..............
ج السرعة تتناقص وعجلة الحركة تزداد.
د السرعة تتزايد وعجلة الحركة تتناقص.
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
يقتت ط ى ةمضحلا
6أي من األشكال التالية تمثل جسي ًما تتزايد سرعته : ف
ن
ف
جـ
ن
ن
شكل ج
شكل د
7أي من األشكال التالية تمثل جسي ًما يتحرك بتقصير منتظم: ع
ن
ع
ع
ع
ن
ن
ن
شكل ب
شكل أ
E
ن
شكل ب
شكل أ
ف
ف
شكل ج
شكل د
8فى كل من المنحنيات المرسومة (منحنى الموضع -الزمن) حدد إشارة القياس الجبرى لمتجه السرعة ،ثم عين ما إذا كان الجسيم يتحرك بتسارع أو يتباطأ (يتحرك ببطء). س
س
س 5
3
2
ن
4
3
2
0 1
شكل ()1
1 6
2
6 4
3 1
3 5
4
ن
1 7
6
5
4
3
5
4
3
شكل ()2
الصف الثالث الثانوى
13-
1 2
2
1
0
2-
2
ن
4
4-
0 1
شكل ()3
كتاب الطالب
1 1
ةهجتمل لاو ل لضافت
9فى كل من المنحنيات المرسومة (منحنى السرعة -الزمن) حدد إشارة العجلة ،وبين إذا كان الجسيم يتحرك بتسارع أو يتحرك بتباطؤ. ع
ع
3
3
2
ن
5
3
4
5
6
3
4
0 1
2
12-
2
1
ن
0 1
2
4
ن
ع
3-
1 5
6
شكل ()1
4
3
4-
0 1
2
شكل ()3
شكل ()2
10أمامك ثالثة منحنيات ( )3( ، )2( ، )1كل منها تمثل منحنى الموضع -الزمن وثالثة منحنيات (، )5( ، )4 ( )6كل منها تمثل منحنى السرعة -الزمن .صل كل منحنى من المجموعة األولى بالمنحنى المناظر له من المجموعة الثانية. س
ن
س
4
4
3
3
4
2
2
3
1
2
1 3
4
1
2
س
ن
4
1-
3
2
1
1-
2-
1
ن
5
2-
شكل ()2
شكل ()1
2
1-
شكل ()3
المجموعة األولى ع
4
3
1
9 8 7
ع
6 5
4
4
3
3
2
ن
1 5
4
3
2
1
1-
2
ن
4
3
2
0 1
2-
شكل ()4
1 0
ن
ع 4
3
2
0 1
3-
2-
المجموعة الثانية كتاب الرياضيات التطبيقية
12-
1-
شكل ()5
1
4-
شكل ()6
1 7
يقتت ط ى ةمضحلا
11إذا كانت ع = 3س فأوجد جـ بداللة س ثم أوجد جـ عندما س = 2
12يتحرك جسيم فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لمتجه السرعة ع فى عالقة مع القياس الجبرى 1 س ،أوجد عجلة الحركة عندما س = 2حيث س مقاسة بالمتر ،ع للموضع س يعطى بالصورةع = س + مقاسة بوحدة م/ث. 1جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لسرعته ع يعطى فى عالقة مع القياس الجبرى للموضع س بالصورة ع = ، 1أوجد حـ بداللة س ،ثم أوجد حـ عندما س = 1 2 2 س
14جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى للسرعة ع يعطى فى عالقة مع القياس الجبرى للموضع س بالصورة ع 9 - 16 = 2جتا س ،أوجد أقصى سرعة للجسيم وعجلة الحركة عندئذ. 15جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث تكون معادلة حركته تعطى بالصورة س (ن) = 3جتا ن 4 +جا ن حيث س مقاسة بالمتر ،ن مقاسة بالثانية. أ أوجد القياس الجبرى لإلزاحة ف عندما ن = ، rن = r 2 r ،ن =r ب أوجد القياس الجبرى لمتجه السرعة ع عندما ن= ، 0ن = 2
جـ أوجد أقصى إزاحة للجسيم.
16جسيم يتحرك فى خط مستقيم تب ًعا للعالقة س = Cجا ك ن حيث س يعبر عن القياس الجبرى للموضع ،ن الزمن، ، Cك ∈ ح. أ أوجد العالقة بين ع ،س حيث ع القياس الجبرى لمتجه السرعة. ب أوجد ع عندما س = . C 2
C-
ج أوجد الزمن المستغرق حتى يكون س = 2وأوجد عجلة الحركة عندئذ.
1 8
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
تكامل الدوال المتجهة Integration of vector functions
المنحنى المرسوم يمثل منحنى السرعة -الزمن ،منحنى العجلة -الزمن فى شكل بيانى واحد؛ بين أن المساحة تحت منحنى العجلة -الزمن خالل أى فترة زمنية [ ، 0ن] يساوى سرعة الجسيم عند الزمن ن ع (ن)
ن
4
3
8 7
5
6
جـ (ن)
4
2
9
6
0 1
2 1 0
2
1-
1
4
شكل ()1
3
س=
عEن
ع= جـ Eن
إذا كانت العجلة دالة ىف املوضع فإن جـ Eس =
عEع
4 3
ن
إذا كانت كل من حـ ،ع دوال ىف الزمن فإن:
5
3
جـ (ن)
2-1
سوف تتعلم
عمل تعاونى
ع (ن)
الوحدة األولى
2
0 1
0
المصطلحات األساسية تكامل
Integration
شكل ()2
يمكن استخدام المنحنيات المرسومة أو باستخدام أى برامج رسومية إنشاء منحنيات أخرى تثبت من خاللها ما هو مطلوب منك.
تعلم -1التكامل المحدد:
ب د( /س) E :س = د(ب) -د( ) C C 2 4 اً فمثل( 1 :س 2 +س = )1 -س 3 = [ س 2 +س = ]1 -س
3 س3 1 64 4 2 = [ +س -س] 33 = ]1 - 1 + [ - ]4 - 16 + [ = 1 3 3 3
وسوف يدرس التكامل المحدد فى علم التفاضل
-2ا�ستنتاج ال�سرعة والإزاحة: Eع ( )iإذا كانت جـ = Eن
فإن جـ Eن = Eع
` ع = جـ Eن
()1 - 1
تذكر �أن الرموز حـ ،ع ،س تستخدم لتدل على القياسات الجبرية لكل من العجلة ،متجه السرعة والموضع على الترتيب.
كتاب الرياضيات التطبيقية
األدوات المستخدمة آله حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
139
يقتت ط ى ةمضحلا
ولتعيين عجلة حركة وحيدة تطابق العجلة المعطاة جـ (ن) يجب وضع الشروط االبتدائية لكل من السرعة ع االبتدائية :والموضع االبتدائى س: وذلك عند ن = ،0ويمكن استبدال التكامل غير المحدد التكامل المحدد مع حدود التكامل المناسبة فيكون لدينا. ع
ن
:
ع
Eع=
ن
:
` ع -ع : = :جـ Eن = المساحة تحت منحنى العجلة -الزمن ن وإذا كانت العجلة جـ ثابتة فإن :ع -ع = :جـ E :ن ` ع = ع + :جـ ن
جـ Eن
()2 - 1 ()3 - 1
الحظ أن:
ال يمكن استخدام المعادلة ( )3 - 1إال فى حالة العجلة الثابتة أما إذا كانت العجلة دالة فى الزمن نستخدم المعادلة ( )1 - 1أو ( )2 - 1حسب معطيات المسألة. Eس ( )iiإذا كانت ع = Eن ` س= عEن
فإن :ع Eن = Eس
ومع استخدام التكامل المحدد وحدود التكامل المناسبة نجد أن: س:
س
Eس=:
ن
ن
عEن
()1 - 2
()2 - 2
(الحظ أن س -س = :ف) ` س -س : = :ع Eن = المساحة تحت منحنى السرعة -الزمن وإذا كانت العجلة ثابتة يمكن بالتعويض عن السرعة ع من المعادلة ( )3 - 1نجد أن: `
س -س: = :
ن
` س-س =ع ن1 + : : 2
(ع + :جـ ن) Eن
` س = س +ع ن 1+ 2 : : Eع ( )iiiإذا كانت حـ = ع Eس
جـ ن2
فإن :جـ Eس = ع Eع
جـ ن2
()1 - 3
وباستخدام التكامل المحدد ومع حدود التكامل المناسبة نجد أن: ع:
ع
ع
Eع = س:
س
جـ Eس
س
( 12ع- 2ع = ) :2س :جـ Eس = المساحة تحت منحنى العجلة -اإلزاحة
وعند ثبوت العجلة حـ يكون :ع - 2ع 2 = :2جـ ` ع = 2ع 2 + :2جـ (س -س):
140
الصف الثالث الثانوى
()2 - 3 س:
س
Eس
(الحظ أن س -س = :ف) ()3 - 3 كتاب الطالب
ةجج ل لاو ل لضافت
1 1
مثال 1بدأ جسيم حركته فى خط مستقيم من نقطة األصل بسرعة ابتدائية قدرها 8م/ث وكانت عجلة الحركة بعد كال من سرعة الجسيم وإزاحته بعد 2ث من بدء الحركة. ن ثانية تعطى بالعالقة ( 3ن )2-أوجد ًّ الحل
aجـ = 3ن 2 - aع 8 = :م/ث
` ع = ( 3ن E )2 -ن ` ع = 8م/ث عندما ن = 0
` ع = 32ن 2 - 2ن 8 + aع = 32ن 2 - 2ن 8 +
` س = 12ن - 3ن8 + 2ن +ث aس = 0عندما ن = 0
` ع = 32ن 2 - 2ن +ث ` ث=8
` ع ( 10 = 8 + 2 * 2 - 4 * 32 = )2م/ث
/
` س = ( 32ن 2 - 2ن E )8 +ن
` س = 12ن - 3ن 8 + 2ن
` ث0 = /
ف( = )2س ( - )2س ( 16 = )2(8 + 2)2( - 3)2( 12 = )0متر
حل آخر:
aجـ = 3ن 2 - `
8
ع
Eع = :
ن
( 3ن E )2-ن
` ع = 32ن 2 - 2ن 8 + aف=
ن
:
عEن
Eع ` Eن ` ع 32 = 8 -ن 2 - 2ن
=3ن2-
` ع( 10 = 8 + 2 * 2 - 4 * 32 = )2م/ث ` ف(: = )2
` ف( 12 [ = )2ن - 3ن 8 + 2ن] 16 = )2( 8 + 2)2( - 3)2( 12 = 02متر
2
( 32ن 2 - 2ن E )8 +ن
حاول أن تحل
1جسيم يتحرك فى خط مستقيم مبتدأ من السكون وعلى بعد 8أمتار من نقطة ثابتة على الخط المستقيم فإذا كانت جـ = 6ن 4 -حيث جـ مقاسة بوحدة م/ث 2فأوجد العالقة بين السرعة والزمن ،كذلك العالقة بين اإلزاحة والزمن. مثال 2جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى لسرعته ع يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ع = 6ن 24 - 2حيث ع مقاسة بوحدة (م/ث) أوجد متى تصل سرعة الجسيم 72م/ث ،ثم أوجد مقدار عجلة الجسيم عندما تبلغ سرعته 30م/ث ثم أوجد مقدار إزاحة الجسيم خالل الفترة ن ∈ []4 ، 1 الحل
aع = 6ن24 - 2 -1عندما تبلغ سرعة الجسيم 72م/ث ` 6ن96 = 2 ` 6ن72 = 24 - 2
ن16 = 2 كتاب الرياضيات التطبيقية
ن=4ث
141
يقتت ط ى ةمضحلا
-2عندما تبلغ سرعة الجسيم 30م /ث ` 6ن54 = 2 ` 6ن30 = 24 - 2
ن9 = 2
Eع
aجـ = 12ن aجـ = Eن -3مقدار اإلزاحة خالل الفترة الزمنية ن ∈ []4 ، 1 4
ف= 1عEن مترا ف = (ً 54 = )24 - 2( - )4 * 24 - 64 * 2
جـ ( 36 = )3م /ث2 ف=1
4
ن=3ث
(6ن E )24 - 2ن = [2ن 24 - 3ن]4
1
حاول أن تحل
2بدأت سيارة الحركة من السكون فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط ويعطى القياس الجبرى لمتجه كال من سرعتها بعد زمن ن بالعالقة ع = 3ن 2 + 2ن حيث ع مقاسة بوحدة م/ث ،ن مقاسة بالثانية .أوجد ًّ عجلة الحركة وإزاحة السيارة عند ن = 2 مثال بدأت سيارة حركتها من السكون فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط ويعطى القياس الجبرى لمتجه كال من متجه سرعتها بعد زمن ن بالعالقة ع = 3ن 6 - 2ن حيث ع مقاسة بوحدة م/ث ،ن مقاسة بالثانية .أوجد ًّ السرعة المتوسطة والسرعة المتوسطة خالل الفترة الزمنية H 0ن 3٫5 H الحل
+ `ع = 3ن (ن )2 - aع = 3ن6 - 2ن ن= 2ن=0 نجد أن السيارة تغير اتجاه حركتها بعد 2ث ويوضح ذلك بحث إشارة ع (ن) أو منحنى السرعة -الزمن `ف=:
3٫5
ع Eن =0
3٫5
( 3ن 6 - 2ن) Eن
` ف = [ ن 3 - 3ن49 = 2)3٫5( 3 - 3)3٫5( = 3٫5 ]2 : 8 49 ` متجه السرعة المتوسطة ع = 8ى = 1٫75ى م 0- 3٫5 حيث ى متجه وحدة فى اتجاه الحركة ،ويكون القياس الجبرى لمتجه السرعة
المتوسطة يساوى 1٫75م/ث
ع
15 12 9 6
ن
3 4
3
2
0 1
المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية ن ∈ [ ]3٫5 ، 0 = |:
2
عEن|2|+
3٫5
49 3٫5 2 3 2 2 3 113متر ع Eن| = | [ن 3 -ن ][| + | 0ن 3 -ن ]8 = 4 + 8 + 4 = | 2
113 8 4٫04 - 113م/ث ` السرعة المتوسطة = 28 = 0- 3٫5
142
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
3-
ةجج ل لاو ل لضافت
1 1
حاول أن تحل
بدأت سيارة حركتها من السكون فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على هذا الخط ،ويعطى القياس الجبرى لمتجه السرعة ع بعد زمن ن بالعالقة ع = 4ن 3 -ن 2حيث ع مقاسة بوحدة م/ث ،ن مقاسة بالثانية أوجد خالل كال من السرعة المتوسطة ومتجه السرعة المتوسطة .متى تصل سرعة السيارة الفترة الزمنية ن حيث ن∈ [ًّ ]4 ، 0 إلى قيمتها العظمى؟ وأوجد مقدار العجلة عندئذ. مثال
4جسيم يتحرك فى خط مستقيم يبدأ حركته من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كان القياس الجبرى لعجلته جـ يعطى بداللة القياس الجبرى لموضعه س بالعالقة حـ = 2س 5 +عل ًما بأن سرعة الجسيم االبتدائية 2م/ث فأوجد: ب أوجد سرعة الجسيم عندما س = 1 أ ع 2بداللة س جـ أوجد س عندما ع = 4م/ث الحل
أ aجـ = 2س 5 + `:
س
(2س E )5 +س = 2
ع
` س 5 + 2س = ( 12ع)4 - 2
عEع
aجـ Eس = ع Eع 2 ` [س 5 +س] :
س
ع
1 2 = [ 2ع ] 2
` ع 2 = 2س 10 + 2س 4 +
ب عندما س = 1نجد أن: ` السرعة = |ع| = 4م/ث ع16 = 2 جـ عندما ع = 4م/ث نجد أن: 2 = 16س 10 + 2س 4 + (س ( )6 +س 0 = )1 -
` س 5 + 2س 0 = 6 - س = 6 -متر أو س = 5متر
حاول أن تحل
4سيارة تتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية 12م/ث من موضع يبعد 4أمتار فى االتجاه الموجب من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت حـ = س 4-فأوجد: ب أوجد سرعة السيارة عندما جـ = 0 أ ع 2بداللة س مثال 5جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية قدرها 8م /ث من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت جـ = 40هـ -س ،أوجد: ب أوجد س عندما ع = 10م/ث أ ع 2بداللة س جـ عين أقصى سرعة للجسيم.
كتاب الرياضيات التطبيقية
14
يقتت ط ى ةمضحلا الحل
أ a
جـ = 40هـ -س
` 40
س
:
هـ -س Eس = س
8
ع ع
1 2 س` [ 40 -هـ ][ 2 = :ع ]8 ` ع 80 - 144 = 2هـ -س
عEع
ب عندما ع = 10م/ث نجد أن:
aجـ Eس = ع Eع ` ( 80-هـ -س = )1 -ع64 - 2 80هـ -س = 44
` هـ س = 20 11
80 جـ aع- 144 = 2 هـ س 80 ` س 0 #عندما هـ س ∞ # هـ
لو 20متر ` س = 11 هـ
aهـ س > 0لجميع قيم س ` أقصى سرعة = 12م/ث
حاول أن تحل
5جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية مقدارها 2م/ث من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت جـ = هـ س ،أوجد ع 2بداللة س ثم أوجد ع عندما س = 4متر ،س عندما ع = 20م/ث.
تمــــاريــن 2 - 1 فى جميع المسائل اعتبر أن الجسيم يتحرك فى خط مستقيم ،س ،ع ،جـ هى القياسات الجبرية لكل من الموضع ،متجه السرعة ،العجلة على الترتيب:
اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة: 1إذا كان ع = 3ن2 - 2ن ،وكانت س = 1عندما ن = 0فإن: ب س = 3ن2 - 2ن 1 +ج س = ن - 3ن1 + 2 أ س = 6ن 2 -
2إذا كان ع = + 1جا ن ،وكانت س = 3-عندما ن = 0فإن: ج س = ن -جتا ن 2 + ب س = ن -جتا ن أ س = ن +جتا ن إذا كان ع = 3ن ، 2 -فإن ف خالل الفترة []2 ، 0 ب 2وحدة طول أ 1وحدة طول
ج 3وحدة طول
4إذا كان ع = 3ن2 - 2ن ،فإن المسافة المقطوعة خالل []2 ، 0 أ 4 ج 112وحدة طول ب 4وحدة طول 27وحدة طول 27
د س = ن - 3ن 1 - د س = ن -جتا ن 2- د 4وحدة طول د 116وحدة طول 27
5إذا كانت ع = ن 3 - 3ن2 + 2ن ،فإن المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية []3 ، 0 د 11وحدة طول ج 94وحدة طول ب 12وحدة طول أ 14وحدة طول 4
144
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
1 1
هجتمل لاو ل لماكت
إذا كانت حـ = ، 3ع = 1-فإن ف خالل الفترة الزمنية [.]2 ، 0 0 ج 25وحدة طول ب 4وحدة طول أ 1وحدة طول 6
6
6
6
د 13وحدة طول 3
إذا كانت حـ = ، 3ع 1- = :فإن المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية [.]2 ، 0 ج 25وحدة طول ب 4وحدة طول أ 1وحدة طول من منحنى السرعة -الزمن المقابل فإن مقدار االزاحة
د 13وحدة طول 3 ع
..............
أ 3وحدة طول ب 5وحدة طول ج 7وحدة طول
3 2
ن
7
6
5
4
3
2
0
1
3-
من منحنى السرعة -الزمن المقابل ،فإن المسافة المقطوعة =
ج 13٫5وحدة طول
12-
د 8وحدة طول
أ 4٫5وحدة طول ب 10٫5وحدة طول
1 0
..............
ع
3 2
ن
10
1
9
8
7
6
5
4
3
2
د 19٫5وحدة طول
0 1
0
123-
1قذف جسيم رأس ًّيا ألعلى بسرعة ابتدائية قدرها 5٫6م/ث من نقطة على أرتفاع 24٫5متر من سطح األرض أوجد كل من ع ،س بداللة ن ثم أوجد أقصى ارتفاع يصل إليه الجسيم عن سطح األرض. جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية 2م /ث من نقطة ثابتة بحيث كانت حـ = 2ن 6 - حيث حـ مقاسة بوحدة م /ث 2أوجد بداللة ن كل من ع ،س ثم أوجد س عندما ع = 18م/ث 1
جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على المستقيم مبتدأ من السكون بحيث كانت حـ = 2 - 8ن2
حيث جـ مقاسة بوحدة م/ث 2أوجد أقصى سرعة للجسيم وزمن الوصول ألقصى سرعة والمسافة المقطوعة حتى هذا الزمن.
1جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على المستقيم مبتدأ من السكون بحيث كانت حـ = 38س2حيث جـ مقاسة بوحدة م/ث ، 2س بالمتر .أوجد سرعة الجسيم عندما يكون س = 2متر ،ثم أوجد موضعه عندما تكون ع=8م/ث 1جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية 3م/ث من نقطة ثابتة بحيث حـ = 6س 4 +حيث جـ مقاسة بوحدة م /ث ، 2س بالمتر أوجد ع 2بداللة س ،أوجد سرعة الجسيم عندما س = 2ثم أوجد س عندما ع87 = 2 كتاب الرياضيات التطبيقية
15
يقتت ط ى ةمضحلا
اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الجابات المعطاة
1إذا كان س = ن3 - 2ن 2 +فإن الجسيم يغير اتجاه حركته عندما: ج ن = 1٫5 ب ن=1 أ ن = ،1ن =2
د ن=2
إذا كانت ع (ن) = 9٫8ن 5 +حيث س ( ، 10 = )0فإن س ()10 ج 540 ب 530 أ صفر
د 550
2إذا كان س = 6ن -ن 2فإن المسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية H 0ن 6 Hتكون د 36 ج 18 ب 9 أ صفر
4إذا كانت ع (ن) = 2جتا 2 iن ` ،كانت س ( 1 = )2rفإن س (ن) r
أ
2جا 2 iن ` 1 +
r
r
r
ب 2جا 2 iن ` 1 - r
ج جا 2 iن ` 1 +
r
د جا 2 iن ` 1 - r
r
5إذا كان حـ (ن) = 4-جا 2ن ،كان ع ( ، 2 = )0س ( 3- = )0فإن س ()r ج 2 ب 0 أ 3-
6المنحنى المرسوم بالشكل المقابل يمثل موضع جسيم ومتجه سرعته وعجلة الحركة فأى االختيارات اآلتية تمثل على الترتيب منحنيات الموضع -الزمن، السرعة -الزمن ،العجلة -الزمن. أ 1 ،2 ، 3 ب 2 ،3 ،1 ج 2 ،1 ،3
د 3 1
24 20 16
2
12 8
3 3
د 3 ،2 ،1
2
4 0
0 1
4812-
7المنحنى المرسوم بالشكل المقابل يمثل موضع جسيم ومتجه سرعته وعجلة الحركة فأى االختيارات اآلتية تمثل على الترتيب منحنيات الموضع -الزمن ،السرعة -الزمن ،العجلة -الزمن. 1 1 ب 3 ،2 ،1 أ 1 ،2 ، 3 0 2 3 0 1 د 2 ،1 ،3 ج 1 ،3 ،2 2 8جسيم يتحرك فى خط مستقيم طب ًقا للعالقة س = 4جتا ن حيث س مقاسة بوحدة سنتيمتر ،ن بالثانية ،أوجد : أ ع عندما ن = r ب جـ عندما ن = r 2
146
الصف الثالث الثانوى
12-
3-
3
كتاب الطالب
9جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط المستقيم طب ًقا للعالقة ع = جا ن -جتا ن ،أوجد س ( ) r 2
10جسيم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كان القياس الجبرى إلزاحته ف يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف = ن6 - 3ن 9 + 2ن حيث ف مقاسة بالمتر ،ن بالثانية . أ أوجد عجلة الحركة عند لحظات انعدام السرعة. ب أوجد سرعة الجسيم عندما تكون جـ = 0 ج حدد متى تتزايد سرعة الجسيم ومتى تتناقص ؟ د أوجد المسافة المقطوعة خالل الخمس ثوان األولى .
11جسيم يتحرك فى خط مستقيم طب ًقا للعالقة حـ (ن) = 2-بسرعة ابتدائية قدرها 3م/ث من نقطة ثابتة على كال من اإلزاحة والمسافة المقطوعة خالل الفترة الزمنية []4 ، 1 الخط المستقيم أوجد ًّ
كال من: 12جسيم يتحرك فى خط مستقيم طب ًقا للعالقة ف = ن 3 -3ن2حيث ف مقاسة بالمتر ،ن بالثانية أوجد ًّ أ عجلة الحركة عندما تنعدم السرعة ب سرعته المتوسطة ،متجه سرعته المتوسطة خالل الفترة الزمنية [. ]5 ، 0
1جسيم يتحرك فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية قدرها 2-م /ث ،ومن موضع يبعد 3أمتار فى االتجاه الموجب من نقطة ثابتة على الخط المستقيم بحيث كانت حـ = 2ن 1 +فأوجد س عند لحظات انعدام السرعة.
مبتدءا من النقطة Cفى اتجاه Cب بحيث كان ، C 14ب نقطتان على خط مستقيم واحد تحرك جسيم من السكون ً القياس الجبرى لسرعته يعطى بالعالقة ع = 0٫4ن 0٫9 +ن 2حيث ع مقاسة بوحدة م/ث ،ن بالثانية وبعد
ثانيتين من تحرك الجسيم األول تحرك جسيم آخر مبتدءا من النقطة ب فى اتجاه ب Cمن السكون بعجلة ثابتة
قدرها 0٫2م/ث 2فتقابل الجسمان بعد 5ثوان من تحرك الجسم األول فأوجد البعد بين ، Cب ب
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
C
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات التطبيقية
147
قوانين نيوتن للحركة Newton's laws of motion
الوحدة
2
مقدمة الوحدة
يعود الفضل فى اكتشاف قانون الجذب العام إلى العالم اإلنجليزى إسحق نيوتن ( )1727 - 1642الذى يعد أحد رموز الثورة العلمية فى مجال علم الميكانيكا الحديث ،ثم جاء العالم األلمانى يوهان كبلر ( )1630 - 1571ومن قبله فوضع بعض القواعد الرياضية التى تحكم حركة الكواكب حول الشمس ،بناء على ارصاد العلماء المسلمين التى ترجمت واجريت خالل القرون السابقة وقد أسس العالم اإليطالى جاليليو جاليلى (1564م 1642م) علم الحركة ،حيث أجرى الكثير من التجارب على األجسام الساقطة أو المقذوفة ،كذلك األجسام المتحركة أفقيًّا ،وقد اكتشف من خاللتجاربه الكثير من الخصائص المهمة لحركتها ،ويرجع له الفضل فى اكتشاف أن األجسام التى تتحرك على سطوح أفقية بدون مقاومة تستمر فى حركتها بسرعة منتظمة ،ويُعتقد أن جاليليو كان قد توصل من خالل تجاربه إلى القانون األول والثانى من قوانين الحركة لنيوتن .ولقد جمع إسحق نيوتن مجمل أبحاثه فى كتابه اسماه "برنسبيا" أى المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية ،ويعد هذا الكتاب من أهم الكتب العلمية التى ظهرت فى العصر الحديث ،وفيه صاغ نيوتن قوانينه الثالثة .ولقد أوضح قانون الجذب العام لنيوتن مفهوم أن القوة يمكن أن تحدث تأثي ًرا عن بُعد ،فاألجسام تجذب بعضها البعض ،حتى وإن لم تكن متالمسة ،فعلى سبيل المثال تجذب األرض األجسام بقوة تسمى " قوة الوزن" . أما بشأن الكتلة فنالحظ أن تعريفها االستاتيكى ال يسمح بتعيين كتل األجسام ،ولكن فقط بمقارنة الكتل فيما بينها عن طريق مقاومة أوزانها، كما يمكن إعطاء تعريف ديناميكى للكتلة عن طريق دراسة حركة االجسام وتتناول هذه الوحدة دراسة الكتلة ،وكمية الحركة ،وقوانين نيوتن للحركة ،مع تطبيقات على هذه القوانين تتناول الحركة على المستوى األملس والخشن ،ودراسة حركة البكرات البسيطة.
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: يتعرف مفهوم كمية الحركة ووحدات قياسها -التغير فى كمية الحركة. يتعرف على قوانين نيوتن (األول -الثانى -الثالث). يتعرف العالقة بين القوة والعجلة: إذا كانت القوة ق دالة فى الزمن ن أى أن = Xد(ن) فإن :
Eع =Xك Eن
أى أن
EXن = ك Eع
إذا كانت القوة Xدالة فى اإلزاحة ف أى = Xد(ف) فإن :
Eع
أى أن E Xف = ك ع Eع = Xكع Eف يطبق قوانين نيوتن للحركة فى مواقف حياتية مثل: جسم موضوع داخل مصعد متحرك بعجلة منتظمة (حركة األجسام المتصلة بخيوط أو سالسل).
148
الصف الثالث الثانوى
حركة البكرات البسيطة. حركة جسم على مستوى أملس (أفقى -مائل). يتعرف الحركة على مستوى خشن ( أفقى -مائل) حركة مجموعة مكونة من جسمين يتدليان رأس ًّيا من طرفى خيط يمر على بكرة ملساء. حركة مجموعة مكونة من جسمين مربوطين فى طرفى خيط يتحرك أحدهما على نضد أفقى خشن واآلخر رأس ًّيا. حركة مجموعة مكونة من جسمين مربوطين فى طرفى خيط أحدهما يتحرك على مستوى مائل أملس واآلخر يتحرك رأس ًّيا. حركة مجموعة مكونة من جسمين مربوطين فى طرفى خيط أحدهما يتحرك على مستوى مائل خشن واآلخر يتحرك رأس ًّيا. كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñكمية الحركة
Ñكمية الحركة الخطية
Momentum
linear momentum
Ñكتلة
Mass
Ñمتجه السرعة Ñ
Velocity
التغير فى كمية الحركة Change of momentum
Ñالقانون األول لنيوتن
Newton's first law
Ñالقصور الذاتى
Ñمبدأ القصور الذاتى
Inertia Inertia principle
Ñالقوة
Force
Ñالقانون الثانى لنتوتن.
Newton's second law
Ñمعادلة الحركة
Equqtion of motion
Ñالوزن
weight
Ñالقانون الثالث لنيوتن
Newtons third law
Ñالضغط
Pressure
Ñرد الفعل
Reaction
Ñحركة المصاعد
Lift motion
Ñميزان الزنبرك
Ñميزان معتاد
balance
Ñمستوى مائل
Inclined plane
Ñمستوى أملس
Smooth plane
Ñمستوى خشن
Rough plane
Ñاحتكاك ديناميكي
Kinetic friction
Ñاحتكاك استاتيكي
static friction
Ñبكرة ملساء
Pulley
Spring scale
Ñميزان الضغط
Pressure scale
دروس الوحدة ( :)1 - 2كمية الحركة.
( :)5 - 2حركة جسم على مستوى مائل
( :)2 - 2القانون األول لنيوتن
( :)6 - 2حركة جسم على مستوى خشن
( :)3 - 2القانون الثانى لنيوتن
( :)7 - 2البكرات البسيطة
األدوات والوسائل آلة حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب.
( :)4 - 2القانون الثالث لنيوتن
مخطط تنظيمى للوحدة قوانين نيوتن للحركة
كمية الحركة
القانون األول لنيوتن
الحركة على مستوى أملس
جسمان مربوطان بخيط يمر على بكرة ويتدليان رأسيًّا
القانون الثانى لنيوتن
الحركة على مستوى خشن
القانون الثالث لنيوتن
األجسام المتصلة بخيوط
حركة جسمين أحدهما على مستوى أفقى واآلخر يتدلى رأسيًّا
كتاب الرياضيات التطبيقية
حركة المصاعد
حركة جسمين أحدهما على مستوى مائل واآلخر يتدلى رأسيًّا
149
الوحدة الثانية
كمية الحركة
1-2
Momentum
فكر و
سوف تتعلم
ناقش
1ما تأثير وضع حجر كبير على سقف منزل؟ وما تأثير انطالق رصاصة من فوهة مفهوم كمية احلركة. بندقية على هذا السطح؟ وحدات قياس كمية احلركة. التغري ىف كمية احلركة. 2ما تأثير وضع حبة رمل على كف يدك؟ وما تأثير هذه الحبة من الرمل إذا تحركت فى عاصفة تجاه سيارة تتحرك مسرعة نحو هذه العاصفة؟
المصطلحات األساسية
كمية احلركة
Momentum
كمية احلركة اخلطية linear momentum
كتلة
Mass
متجه الرسعة
Velocity
التغري ىف كمية احلركة Change of momentum
الحظ من هذه األمثلة أن: - 1إطالق الرصاصة رغم صغر كتلتها على سقف المنزل ستغوص فيه لمسافة ما ألن سرعة الرصاصة أكبر بكثير من سرعة الحجر . - 2حبة الرمل رغم صغر كتلتها يمكن أن تخدش زجاج السيارة ألنها اكتسبت جدا كمية حركة بالنسبة للسيارة ،وأن متجه كمية حركتها أصبح كبيرا ًّ ً نتيجة ِ كبر متجه سرعتها النسبية.
تعلم كمية الحركة كمية حركة جسم متحرك هى كمية متجهة لها نفس اتجاه سرعة هذا الجسم ومقدارها عند لحظة ما ُيقدر بحاصل ضرب كتلة هذا الجسم فى سرعته عند هذه اللحظة و ُيرمز لمتجه كمية الحركة بالرمز . W
Momentum
= Wك ع
وفى حالة الحركة الخطية يكون كل من ، Wع مواز ًيا للخط المستقيم الذى تحدث عليه الحركة ،ويمكن التعبير عن كل من ، Wع بداللة القياس الجبرى لكل منهما: = Wكع
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية.
150
حيث ، Wع هما القياسان الجبريان لمتجهى كمية الحركة والسرعة على الترتيب. وحدات قيا�س كمية الحركة وحدة معيار كمية الحركة = وحدة كتلة * وحدة سرعة وفى النظام الدولى للوحدات ُيقاس معيار كمية الحركة بوحدة كجم .م/ث أى أن( W :كجم .م /ث) = ك (كجم) * ع (م/ث).
Units of momentum
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
مرحك ةيمك
2 2
الحظ أن :عند ثبوت كتلة الجسم يتناسب Wمع ع وتكون العالقة بينهما خطية؛ لذلك تسمى كمية الحركة فى هذه الحالة بكمية الحركة الخطية. مثال تعريف كمية الحركة 1احسب كمية حركة دراجة كتلتها 35كجم تتحرك بسرعة ثابتة قدرها 12م/ث فى اتجاه الشرق. الحل
aم = كع ` م = 420 = 12 * 35كجم .م/ث كمية حركة الدراجة = 420كجم .م/ث فى اتجاه الشرق.
شكل ()1
حاول أن تحل
1احسب كمية حركة قطار كتلته 40ط ًّنا يتحرك فى اتجاه الشمال بسرعة ثابتة قدرها 72كم/س. احسب كمية حركة سيارة كتلتها 800كجم تتحرك فى اتجاه الجنوب الغربى بسرعة ثابتة قدرها 126كم/س. مثال استخدام املتجهات سيارة كتلتها 2طن تتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت س = (3ن4 - 2ن )1 +ى حيث ى متجه وحدة اتجاه حركة السيارة ،إذا كانت س مقيسة بوحدة المتر فأوجد مقدار كمية حركة السيارة عند بدء الحركة ثم بعد 3ث من بداية الحركة.
الحل
aس = (3ن4 - 2ن )1 +ى
`ع =
Eس Eن
= (6ن )4 -ى
( )1عند بدء الحركة ن = ، 0ع = 4 -ى aم =ك ع
مقدار كمية الحركة = 8000كجم .م/ث
شكل ()2
` م = 4 - ( 2000ى ) = 8000 -ى
( )2عندما ن = 3ث ،فإن ع = ( )4 - 3 * 6ى = 14ى aم =ك ع
مقدار كمية الحركة = 28000كجم .م/ث.
` م = 14( 2000ى ) = 28000ى
حاول أن تحل
سيارة كتلتها 1200كجم تتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت ف = ن 12 - 3ن 2حيث ف مقيسة بالمتر، أوجد كمية حركة السيارة بعد 4ث من بداية الحركة. كتاب الرياضيات التطبيقية
151
كو نل نحوين نينيمك
التغير فى كمية الحركة إذا كان متجها سرعة جسم متحرك عند لحظتين زمنيتين متتاليتين ن ، 1ن 2على الترتيب هما ع ، 1ع 2فإن التغير فى كمية حركة الجسم يتحدد بالعالقة: = W 9ك 9:ع
The change of momentum
حيث ك كتلة الجسم المتحرك 9 ،ع التغير الحادث فى قيمة سرعته ` التغير فى كمية حركة الجسم = W 9ك ( ع - 2ع) 1 وإذا كانت جـ (ن) هى عجلة الجسم المتحرك فإن: = W9ك
ن1
ن
2جـ Eن
مثال التغري ىف كمية الحركة سقطت كرة من المطاط كتلتها 200جم من ارتفاع 90سم على سطح أفقى فارتدت إلى ارتفاع 40سم .احسب بوحدة كجم.م/ث مقدار التغير فى كمية حركة الكرة نتيجة للتصادم.
الحل
نعتبر ى متجه وحدة فى اتجاه الحركة رأس ًّيا ألسفل. دراسة حركة الكرة فى مرحلة السقوط. aع = 2ع E 2 + 20ف ` ع 90 * 980 * 2 + 0 = 21 ع 420 = 1سم /ث =E ` ع 420 = 1ى
دراسة حركة الكرة فى مرحلة االرتداد. aع = 2ع E 2 + 20ف ` = 0ع 40 * 980 * 2 - 22 ع 280 = 2سم /ث ` ع 280 - = 2ى التغير فى كمية الحركة =. W 9ك ( ع - 2ع) 1
ع=0
ى
=E
980سم/ث2
ف = 90سم
ع=0 980 -سم/ث2
ف=40سم ع1
ع2
شكل ()3
= 200 )4٫2 - 2٫8 -( 1000ى = 1٫4 -ى
` مقدار التغير فى كمية الحركة = 1٫4كجم .م/ث حاول أن تحل
4حجر كتلته 800جم يسقط من السكون لمدة ثانيتين ثم يصطدم بسطح بركة ،ويغوص فى الماء بسرعة مترا فى ٍ 3 ثوان ،أوجد التغير فى كمية حركة الحجر نتيجة لتصادمه بسطح الماء. منتظمة فيقطع ً 12
15
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
مرحك ةيمك
2 2
مثال استخدام التكامل 4جسم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت عجلة حركته حـ ُتعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة حـ = 2ن 6 -حيث حـ مقاسة بوحدة م/ث ،2الزمن ن بالثانية ،احسب التغير فى كمية حركة الجسم فى الفترة الزمنية G 5ن 3 Gإذا كانت كتلة الجسم 8كجم. الحل
= W9aك ` 8 = W9
ن1
3
ن2
5
جـ Eن
(2ن E )6 -ن = [ 8ن6 - 2ن ]
5 3
= 32 = ])18 - 9( - )30 - 25([ 8كجم .م/ث
` 32 = W 9ى حيث ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسم.
حاول أن تحل
5سيارة كتلتها 1٫5طن ،تتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت حـ (ن) تعطى بالعالقة حـ = 12ن - حيث جـ مقيسة بوحدة م/ث ،2الزمن ن مقيس بالثانية أوجد: أ التغير فى كمية حركة السيارة خالل الثوانى الست األولى. ب التغير فى كمية حركة السيارة خالل الفترة الزمنية []14 ، 2
ن2
تفكير ناقد:
فى لعبة البلياردو عندما تضرب الكرة البيضاء إحدى الكرات األخرى نجد أن حركة كل من الكرتين تتغير ،فتتباطأ حركة الكرة البيضاء وربما يتغير اتجاهها ومن ثم تتناقص كمية حركتها ،بينما تبدأ الكرة األخرى فى الحركة،
ومن ثم تزداد كمية حركتها .فسر ذلك.
شكل ()4
تمــــاريــن 1 - 2
اختر الإج�بة ال�صحيحة من بين الإج�ب�ت المعط�ة فى كل مم� ي�أتى: 1كمية حركة رصاصة كتلتها 100جم تتحرك بسرعة 240م/ث. ب 24كجم .م/ث أ 3 - 10 * 24جم .م/ث .
ج 310 * 24جم .م/ث
د 310 * 24كجم .م/ث
ج 30000كجم .م/ث
د 108000كجم .م/ث
كمية حركة سيارة كتلتها 2طن تتحرك فى خط مستقيم بسرعة 54كم /س. ب 3000كجم .م/ث أ 108طن .م/ث
كتاب الرياضيات التطبيقية
15
كو نل نحوين نينيمك
جسم كتلته 500جم يسقط من ارتفاع 4٫9أمتار عن سطح األرض ،كمية حركة الجسم لحظة وصوله لألرض. ب 4٫9كجم.م/ث أ 2٫45كجم.م/ث ج 2450كجم.م/ث
د 4900كجم.م/ث
4صاروخ كتلته 4طن بما فيه من وقود ،إنطلق بسرعة 200م/ث ،ويقذف الوقود بمعدل ثابت قدره 100كجم كل ثانية مع بقاء كمية الحركة ثابتة فإن سرعة الصاروخ بعد 10ثوان بوحدة كم/س. أ 800 ب 600 3
ج 800
د 960
5قذيفة كتلتها 1كجم تنطلق بسرعة 720كم/س نحو دبابة كتلتها 50طن تتحرك نحو المدفع بسرعة 20م/ث فإن: ( )1مقدار كمية حركة القذيفة بالنسبة للدبابة: أ 200كجم .م/ث ج 710كجم .م/ث
( )2مقدار كمية حركة الدبابة بالنسبة للقذيفة: أ 200كجم .م/ث ج 710كجم .م/ث
اأجب عن الأ�صئلة الآتية:
ب 220كجم .م/ث د 710 * 1٫1كجم .م/ث ب 220كجم .م/ث د 710 * 1٫1كجم .م/ث
كرة كتلتها 200جم تتحرك أفق ًّيا بسرعة ثابتة قدرها 40م/ث ،اصطدمت بحائط رأسى وكان مقدار التغير فى كمية حركة الكرة نتيجة التصادم 12كجم.م/ث ،احسب سرعة ارتداد الكرة.
سقط جسم كتلته 90جم وبعد ٍ 3 ثوان من سقوطه اصطدم بسطح سائل لزج فغاص فيه بسرعة منتظمة فقطع 2٫2متر فى نصف ثانية احسب التغير فى كمية الحركة نتيجة للتصادم.
8جسم من المطاط كتلته 100جم يتحرك أفق ًّيا بسرعة 120سم/ث عندما اصطدم بحائط رأسى وارتد فى اتجاه عمودى على الحائط بعد أن فقد ثلثى مقدار سرعته .احسب التغير فى كمية حركة الجسم المطاطى نتيجة التصادم. 9من نقطة أسفل سقف حجرة بمسافة 240سم قُذفت كرة كتلتها 40جم بسرعة 980سم/ث رأس ًّيا إلى أعلى فاصطدمت بالسقف وتغيرت لذلك كمية حركتها بمقدار 0٫4كجم .م/ث ،أوجد سرعة ارتداد الكرة.
10سقطت كرة من المطاط كتلتها 12كجم من ارتفاع 8٫1أمتار عن أرض أفقية فارتدت الكرة رأس ًّيا ألعلى إلى ارتفاع 3٫6أمتار بعد اصطدامها باألرض .احسب التغير فى كمية حركة الكرة نتيجة للتصادم باألرض. 11عربة سكة حديد كتلتها 15ط ًّنا تتحرك أفق ًّيا بسرعة مقدارها 40م/ث اصطدمت بالحاجز فى نهاية الخط فارتدت للخلف بسرعة 30م/ث .احسب التغير فى كمية حركتها.
154
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
مرحك ةيمك
2 2
1قذف جسم كتلته 1كجم رأس ًّيا ألعلى بسرعة 58٫8م/ث .فاحسب التغير فى كمية حركته فى الفترات الزمنية اآلتية: ج []11 ، 7 ب []8 ، 4 أ []5 ، 2 1جسم متحرك فى خط مستقيم كتلته عند أى زمن ن بالثانية تساوى ( 15ن )5 +كجم ،وكانت إزاحته عند أى زمن ن ُتعطى بالصورة ف = ( 12ن4 - 2ن )3 +ى حيث ى متجه وحدة فى اتجاه حركة الجسم ،ومعيار ف ُيعطى بالمتر.
أ أوجد كمية حركة الجسم عند أى لحظة زمنية ن.
ب أوجد التغير فى كمية حركة الجسم خالل الفترة الزمنية []5 ، 2
14جسم كتلته 12كجم يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت ف ُتعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف = ن ( - 6ن) ى حيث ى متجه وحدة فى اتجاه الحركة ،إذا كان معيار ف بوحدة المتر ،ن بالثانية فأوجد التغير فى كمية حركة الجسم فى الفترات الزمنية اآلتية: ج []6 ، 4 ب []5، 2 أ []2 ، 1 15جسم يتحرك فى خط مستقيم بعجلة منتظمة حـ = 3 -م/ث 2وبسرعة ابتدائية 5م/ث .إذا كانت كتلة الجسم 18كجم فأوجد مقدار التغير فى كمية الحركة فى الفترات الزمنية اآلتية: ب []2، 1 أ []3 ، 0 1جسم كتلته 48جم ،يتحرك فى خط مستقيم بحيث كانت جـ = (3ن )12 -م/ث . 2احسب التغير فى كمية الجسم خالل الفترة الزمنية اآلتية: ب []5، 3 أ []3 ، 1
كتاب الرياضيات التطبيقية
155
الوحدة الثانية
القانون األول لنيوتن
2-2
Newton's first law
مقدمة : نتعامل فى حياتنا اليومية مع العديد من أنواع القوى المختلفة التى قد تؤثر على األجسام المتحركة فتغير من سرعتها مثل شخص يدفع عربة أو يسحبها أو أن تؤثر القوة على األجسام الساكنة لتبقيها ساكنة مثل الكتاب الموضوع على المكتب أو الصور المعلقة على الحائط ،ويكون تأثير القوة مباشر Contact forceمثل سحب زنبرك أو دفع صندوق، ويمكن أن يكون تأثير القوة عن بعد Action -at - a distanceمثل تنافر أو تجاذب قطبى مغناطيسى ،و ُيعرف الجسيم الساكن بأنه فى حالة اتزان equilibrium صفرا . عندما تكون محصلة القوى المؤثرة عليه تساوى ً يوجد العديد من أنواع القوة الموجودة فى الطبيعة وهى أما أن تكون ميكانيكية أو جاذبية أو كهربية أو مغناطيسية أو نووية ،وسندرس فى هذه الوحدة النوع األول والثانى فقط. أنواع من القوى
سوف تتعلم
القانون األول لنيوتن. مبدأ القصور الذاتى.
المصطلحات األساسية
القانون األول لنيوتن Newton's first law القصور الذاتى
Inertia
مبدأ القصور الذاتى Inertiaprinciple
القوة
Force
ميكانيكية
جاذبية
كهربية
مغناطيسية
نووية
ولدراسة القوى الميكانيكية سنبدأ بدراسة قوانين نيوتن للحركة Newton's first law
القانون الأول لنيوتن وصف نيوتن من خالل هذا القانون ما الذى يحدث لجسم عندما تكون محصلة القوى المؤثرة عليه تساوى صفر.
كل جسيم يحتفظ بحالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية تغير من حالته.
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
15
نالحظ من القانون األول لنيوتن اآلتى : ( )1الجسم الساكن يظل ساك ًنا ما لم تؤثر عليه قوة تحاول تحريكه ،والجسم المتحرك حركة منتظمة يظل متحركًا بها ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حركته. ( )2يقصد بتعبير "القوة" فى صياغة القانون محصلة جميع القوى المؤثرة على تخليدا لذكراه. الجسم ،وتقاس القوة بوحدة النيوتن ً
( )3يضع القانون حالتى السكون والحركة المنتظمة فى خط مستقيم فى وضع متكافئ، وتمثل كلتاهما" الحالة الطبيعية" للجسم ،عندما تكون محصلة القوى المؤثر عليه مساوية للصفر. الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو ألا ننحوين
2 2
( )4يبين القانون أن الجسم الساكن أو المتحرك حركة منتظمة فى خط مستقيم (أى عندما يكون فى حالته الطبيعية) ال يمكنه تغيير حالته هذه تلقائ ًّيا ،بل البد أن تؤثر عليه قوة فتخرجه من هذه الحالة .ولهذا السبب سمى القانون األول لنيوتن" قانون القصور الذاتى ". الق�صور الذاتى من القانون األول لنيوتن يمكن استنتاج أن األجسام لها ميل طبيعى للمحافظة على حالتها من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم وتعرف هذه الممانعة والمقاومة للتغيير بالقصور الذاتى.
Inertia
مبدأ القصور الذاتى: كل جسم قاصر أو عاجز بذاته عن تغيير حالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم.
نشاط
العالقة بني الكتلة والقصور الذاتى
1يبين النشاط التالى أن الكتلة هى مقياس لكمية القصور الذاتى.
2أحضر كرتين إحداهما كرة جولف تزن حوالى 500ث جم ،وكرة بولينج وزنها تقري ًبا 5ث كجم.
3
أى من الكرتين تحتاج قوة أكبر لتتحرك؟
شكل ()5
4دون شك تحتاج كرة البولينج إلى قوة أكبر لتبدأ الحركة من القوة التى تحتاجها كرة الجولف.
نظرا لكتلتها الكبيرة 5يرجع ذلك إلى ميل كرة البولينج للحفاظ على وضع السكون ،أى أن قصورها الذاتى كبير ً التى تقدر بعشرة أضعاف كتلة كرة الجولف. القوة يتضمن القانون األول لنيوتن تعري ًفا للقوة بأنها المؤثر الذى يغير أو يعمل على تغيير حالة الجسم من سكون أو حركة منتظمة فى خط مستقيم.
Force
مثال (الجسم ىف حالة سكون) 1يوضح الشكل المقابل جسم ساكن تؤثر عليه مجموعة القوى .أوجد . 2X ، 1X الحل
aالجسم فى حالة سكون ` 70 = 40 + 2X ` 30 = 2Xنيوتن aالقوى األفقية متزنة ` 50 = 1Xنيوتن
` القوى الرأسية متزنة ` 20 = 1X
2X +
40نيوتن
2X
20نيوتن
1X
2X
70نيوتن
شكل ()6 كتاب الرياضيات التطبيقية
15
كو نل نحوين نينيمك حاول أن تحل
1X
1يوضح الشكل المقابل جس ًما ساك ًنا تؤثر عليه مجموعة من القوى .أوجد .2X ، 1X
150نيوتن
مثال (الجسم ىف حالة حركة) يوضح الشكل المقابل جس ًما يتحرك أفق ًّيا فى االتجاه الموضح بسرعة ثابتة قدرها 8م/ث ،أوجد .2X ، 1X
الحل
aالجسم فى حالة حركة منتظمة ` القوى األفقية متزنة ` 120 + 300 = 90 + 1X2 ` 165 = 1Xنيوتن aالقوى الرأسية متزنة ` 400 = 2X + 240 ` 160 = 2Xنيوتن
حاول أن تحل
2X
90نيوتن شكل ()7
30نيوتن 50نيوتن 400نيوتن 1X 2
300نيوتن 120نيوتن
90نيوتن
جسما متحركًا رأس ًيا ألعلى بسرعة يوضح الشكل المقابل ً ثابتة تؤثر عليه مجموعة من القوى .أوجد .2X ، 1X
240نيوتن
شكل ()8
2X
2X
450نيوتن
40 + 1X 3نيوتن
310نيوتن
800نيوتن
مثال قطار كتلته 200طن ،يتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع سرعته .فإذا كانت هذه المقاومة 9٫6ث.كجم لكل طن من كتلة القطار عندما كانت سرعة القطار 72كم /ساعة .فأوجد أقصى سرعة للقطار إذا كانت القاطرة تجره بقوة ثابتة مقدارها 4٫32ث طن.
شكل ()9
معطيات
م9٫6 = 1
*
200
= 1920ث كجم
ع 72 = 1كم /س
الحل
نفرض أن المقاومة = م 1عندما تكون سرعة القطار ع.1
المقاومة = م 2عندما تكون سرعة القطار ع.2
aالمقاومة تتناسب مع مربع السرعة
158
الصف الثالث الثانوى
شكل ()10 كتاب الطالب
نوينو ألا ننحوين
` م= 1 2
2 ع 1 2 ع 2
=
2 ع 1 2 ع 2
م
2 2
يبلغ القطار أقصى سرعة له عندما تكون المقاومة مساوية تما ًما لقوة َج ِّر القطار ` م 4320 = 2ث كجم فإذا كانت ع 2أقصى سرعة للقطار فإن م 4٫32 = 2ث طن
`
م1 م2
حاول أن تحل
72 * 72 = 1920 2 4320 ع 2
` ع 108 = 2كم/ساعة.
طن تجره قاطرة بقوة ثابتة مقدارها 12ث طن ،فإذا كانت المقاومة لحركة القطار تتناسب قطار كتلته ًّ 240 مع مربع سرعته ،وكانت المقاومة 8ث كجم لكل طن من الكتلة المتحركة عندما كانت سرعة القطار 45كم /س .احسب أقصى سرعة للقطار. مثال
4يهبط أحد جنود المظالت رأس ًّيا ومظلته مفتوحة ،فإذا كان وزن الجندى ومعداته 90ث كجم ،وكانت مقاومة الهواء تتناسب مع مربع سرعته ،وكانت أقصى سرعة هبوط للجندى 15كيلومتر /ساعة فأوجد مقاومة الهواء للجندى عندما كانت سرعته 10كيلو متر /ساعة. الحل
يبلغ الجندى أقصى سرعة هبوط عندما تكون المقاومة مساوية لوزن الجندى ومعداته. إذا كانت م 1هى مقاومة الهواء عندما كانت سرعة الجندى ع1
عندما ع 15 = 1كم /س ` م 90 = 1ث كجم واذا كانت م 2هى مقاومة الهواء عندما كانت سرعة الجندى ع2
عندما ع10 = 2كم /س ` م = 2؟ aالمقاومة تتناسب مع مربع السرعة `
م1 م2
=
2 ع 1 2 ع 2
15 * 15 90 ،م40 = 2ث كجم ` = م10 * 10 2
شكل ()11
حاول أن تحل
4رجل مربوط إلى مظلة نجاة يهبط هو والمظلة رأس ًّيا ،فإذا كانت مقاومة الهواء تتناسب طرد ًّيا مع مربع سرعته ومقاومة الهواء تساوى 49من وزن الجندى ومعداته عندما كانت سرعته 12كم /س .أوجد أقصى سرعة هبوط للجندى. مثال 5يتحرك جسم فى خط مستقيم تحت تأثير ثالث قوى O 3 + M 4 = 1X
بحيث كان متجه إزاحته ف ُيعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف =
2X ،
2ن M
-
=
كتاب الرياضيات التطبيقية
N4 + M -
نN
، O 15 -
3X
O +فأوجد معيار . 3X
159
كو نل نحوين نينيمك الحل
Eع E ` ع = ف = ، N - M 2جـ = Eن Eن
aف = 2ن - Mن O + N
` الجسم يتحرك بسرعة ثابتة قدرها 5وحدة سرعة ` 0 = 3X + 2X + 1X ` 2X - 1X - = 3X )15 ، 4 - ، 1 ( + )3 - ، 0 ، 4 - ( = 3X O 12 + N 4 - M 3 - = 3X 13 = 144 + 16 + 9 = || 3X || = 3Xوحدة قوة.
= 0
حاول أن تحل
5
جسم يتحرك بسرعة منتظمة تحت تأثير مجموعة القوى 3X ، 2X ، 1X
حيث = 1X من ، Cب ،حـ..
MC
-
N5
،O7 +
2X
= 3-
M
+ب، N
3X
=
N4 + M 2
كال +جـ ، Oأوجد ًّ
تمــــاريــن 2 - 2
اختر الإج�بة ال�صحيحة من بين الج�ب�ت المعط�ة فى كل مم� ي�أتى:
1سيارة كتلتها 4أطنان تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة ،إذا كانت قوة المحرك 120ث كجم قإن مقاومة الحركة لكل طن من الكتلة. د 480ث كجم ج 120كجم ب 30ث كجم أ 4ث طن تحرك جسم فى خط مستقيم بسرعة منتظمة تحت تأثير القوتين 2X
=
أ 4
+ M 6بN
هـ Oفأوجد + Cب +هـ .ب 3
1X
= 2
MC
ج 3-
-
N3
4 +ع ،
د 4-
إذا كان جسم وزنه 20ث كجم يهبط بسرعة منتظمة على مستوى مائل على األفقى بزاوية قياسها 30فإن مقاومة المستوى بثقل الكيلو جرام: د 20 ب 10 أ صفر ج 3 10 4جسم يتحرك بسرعة منتظمة تحت تأثير ثالث قوى 3X ، 2X ، 1Xحيث 2X
=
N5
، O 49 +فإن مقدار . 3X
أ 49وحدة قوة .
ب 54وحدة قوة.
ج 85وحدة قوة.
1X
=
N7 + M 5
، O 35 +
د 103وحدة قوة.
5جندى مظالت يهبط رأس ًّيا وكانت مقاومة الهواء لحركته تتناسب مع مربع سرعته وكانت ع 1سرعته عندما 9 كانت مقاومة الهواء له تعادل 25
أ 25 : 9
1 0
من وزنه ،ع 2أقصى سرعة هبوط للجندى .احسب ع : 1ع2
ب 9 : 25
الصف الثالث الثانوى
ج 5:3
د 3:5
كتاب الطالب
نوينو ألا ننحوين
2 2
اأجب عن الأ�صئلة الآتية:
فى كل من المواقف اآلتية الجسم فى حالة سكون تحت تأثير مجموعة من القوى. أ
50نيوتن
40نيوتن
X
ك
70نيوتن
ب 32نيوتن
X شكل ()12
شكل ()13
X
ك
ج
48نيوتن
25نيوتن
X
د
49نيوتن
40نيوتن
شكل ()14
شكل ()15
أوجد مقدار القوة المجهولة فى كل حالة. فى كل من المواقف اآلتية :الجسم متحرك بسرعة منتظمة ع تحت تأثير مجموعة من القوى. 20نيوتن
أ
ك
X
18نيوتن
ب
20نيوتن
75نيوتن
64نيوتن
شكل ()17
شكل ()16
ج
24نيوتن 2ك
X3
18نيوتن 68نيوتن
84نيوتن شكل ()18
ك
30نيوتن
X
أوجد مقدار القوة المجهولة فى كل حالة.
د X شكل ()19
8سيارة كتلتها 8أطنان تتحرك بسرعة منتظمة تحت تأثير مقاومة ثابتة مقدارها 6ث كجم لكل طن من كتلة السيارة .فما قوة محرك السيارة؟ كتاب الرياضيات التطبيقية
1 1
كو نل نحوين نينيمك
9قطار كتلته 240ط ًّنا يتحرك بسرعة منتظمة ،وكانت قوة محرك القطار 4ث طن ،أوجد مقدار المقاومة لكل طن من كتلة القطار؟
10سيارة كتلتها 3أطنان تتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع سرعة السيارة ،فإذا كانت هذه المقاومة 8ث كجم لكل طن من كتلة السيارة عندما كانت سرعتها 36كم/س ،فأوجد أقصى سرعة للسيارة إذا كانت قوة آالت جر السيارة 120ث كجم. 11قطار كتلته 200طن يتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع سرعته ،فإذا كانت هذه المقاومة 8ث كجم لكل طن من كتلة القطار عندما كانت سرعة القطار 70كم/س .فأوجد أقصى سرعة للقطار إذا كانت القاطرة تجره بقوة ثابتة مقدارها 6٫4ث طن. 1قطار كتلة 300طن تجره قاطرة بقوة ثابتة مقدارها 810ث كجم تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع السرعة، فإذا كانت أقصى سرعة للقطار تساوى 30م/ث .فأوجد معدل المقاومة لكل طن من كتلة القطار عندما تكون سرعة القطار 90كم/س. 1وزن جندى مظالت ومعداته 80ث كجم ،ومقاومة الهواء لحركته تتناسب مع مربع سرعته ،فإذا كانت هذه المقاومة تساوى 45ث كجم عندما كانت سرعة الجندى 4٫5كم/س فأوجد أقصى سرعة يكتسبها الجندى أثناء هبوطه.
14وزن جندى ومعداته 90ث كجم ،ومقاومة الهواء لحركته تتناسب مع مربع سرعته ،فإذا كانت أقصى سرعة هبوط للجندى 12كم /س ،فأوجد مقاومة الهواء عندما كانت سرعته 8كم /س. منحدرا 15قاطرة كتلتها 30ط ًّنا وقوة آالتها 51ثقل طن تجر عدد من عدد العربات كتلة كل منها 10أطنان لتصعد ً يميل على األفقى بزاوية قياسها c30بسرعة منتظمة ،فإذا كانت مقاومة لحركة القاطرة والعربات 10ثقل كجم لكل طن من الكتلة فما هو عدد العربات. 1قطار كتلته 300طن يصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 240فى اتجاه خط أكبر ميل ،فإذا كانت ً أقصى سرعة للقطار 108كم/س وقوة آالت الجر تساوى 3500ث كجم ،وإذا كان مقدار المقاومة يتناسب مع مربع مقدار السرعة فأوجد المقاومة التى يالقيها القطار عندما يتحرك بسرعة قدرها 72كم/س.
1
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
القانون الثانى لنيوتن Newton's second law
فكر و
ناقش
نعلم من القانون األول لنيوتن أن محصلة القوى المؤثرة على جسم متحرك بسرعة صفرا ،فإن منتظمة تنعدم ،أما إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على الجسم ال تساوى ً الجسم سيتحرك بعجلة . ½ هل توجد عالقة بين مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الجسم ومقدار عجلة الحركة؟ ½ هل يمكنك استنتاج هذه العالقة؟
الوحدة الثانية
3-2
سوف تتعلم
القانون الثانى لنتوتن. وحدات القوة. الوزن والكتلة.
تعلم Newton's second law
- 1القانون الثانى لنيوتن
معدل التغير فى كمية الحركة يتناسب مع القوة المحدثة له، ويحدث فى اتجاه القوة E E Eن (ك ع ) Xأى أن Eن (ك ع ) = X C
وعند ثبوت كتلة الجسم أثناء الحركة فإن : Eع ك Eن
(حيث Cثابت التناسب)
المصطلحات األساسية
القانون الثانى لنتوتن. newton's second law معادلة احلركة Equqtion of motion
(حيث Cثابت التناسب)
=X C
وتكون ك جـ = X C
القوة
force
الكتلة الوزن
mass weight
وإذا عرفنا وحدة القوى بأنها القوة التى إذا أثرت على جسم كتلته وحدة الكتل ألكسبته وحدة العجالت ،وبالتعويض فى المعادلة السابقة نجد أن: `1=C 1*1*C=1 ك جـ = X ونأخذ المعادلة السابقة الصورة وتسمى هذه المعادلة بمعادلة الحركة لجسم ثابت الكتلة ،وتعتبر المعادلة األساسية لعلم الديناميكا .إذ يمكن تطبيقها على جميع األجسام المتحركة ثابتة الكتلة باعتبار هذه األجسام نقطًا مادية. األدوات المستخدمة من معادلة الحركة السابقة نجد أن كل من
جـ فى اتجاه معين لزم قياس الحركة فى الصورة :
X
X
،جـ لهما نفس االتجاه ،فإذا قيست
آلة حاسبة علمية.
فى االتجاه نفسه ؛ لذلك من األنسب كتابة معادلة ك جـ =
X
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
كو نل نحوين نينيمك
على الترتيب،
وإذا كانت جـ X ،تعبر عن القياس الجبرى لكل من جـ ، فإن معادلة الحركة لجسم ثابت الكتلة تأخذ الصورة: ك جـ = X
X
حيث ك كتلة الجسم المتحرك ،جـ عجلة الحركة X ،تعبر عن القياس الجبرى لمحصلة مجموعة القوى المؤثرة على الجسم ،أى أن: ك جـ = X اما إذا كانت كتلة الجسم ك متغيرة فإن معادلة حركة الجسم تأخذ الصورة X
`
E
E = Xن (ك ع)
E
= Eن (ك ع )
معادلة الحركة با �صتخدام التفا�صل
Use of calculus to determine the equation of motion
مع�دلة حركة ج�صم ث�بت الكتلة ك ُتعطى ب�ل�صورة = Xك جـ Eع فإذا كانت جـ = Eن
Eع أما إذا كانت جـ = ع Eف
Eع فإن = Xك Eن
Eع فإن = Xك ع Eف
`
ن1
`
ف1
ن2
E Xن = ك
ف2
ع1
E Xف = ك
ع1
ع2
Eع
ع2
ع Eع
وتأخذ معادلة الحركة الصورة اآلتية إذا كانت الكتلة متغيرةEE = X :ن (ك ع) حيث كل من ك ،ع دوال قابلة لالشتقاق فى ن وحدات القوة والكتلة عند استنتاج معادلة الحركة لجسم متحرك اخترنا وحدات محددة لكل من القوة والكتلة والعجلة ،حتى يكون ثابت التناسب مساو ًيا للواحد الصحيح ،وتصبح معادلة الحركة على الصورة ك جـ = ،Xلذلك عند استخدام معادلة الحركة ،فإننا نستخدم الوحدات المطلقة للقوة مثل النيوتن ،الداين
units of force and units of mass
ك * جـ = X
1كجم * 1م /ث 1 = 2نيوتن 1جم * 1سم /ث 1 = 2داين
تذكر اأن 1ث كجم = 9٫8نيوتن 1ث جم = 980داين
الوزن والكتلة وزن الجسم هو قوة جذب األرض للجسم ،فإذا كان لدينا جسم كتلته 1كجم ،فإن وزنه طب ًقا لمعادلة الحركة يساوى 1ث كجم 9٫8 = Xنيوتن = 1ث كجم ` X = 9٫8 * ١ aك جـ = X the weight and the mass
1 4
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
2 2
مثال 1أثرت قوة مقدارها 10نيوتن على جسم ساكن كتلته 8كجم ،فحركته فى اتجاهها بعجلة منتظمة ،احسب المسافة المقطوعة بعد 12ث وسرعته عندئذ. S الحل
10 = Xنيوتن ك = 8كجم
،
مع�دلة حركة الج�صم
ع0 = 0 ن = 12ث
ك جـ = X
جـ = 54م/ث aع = ع + 0جـ ن
aف=ع ن1 + 0 2
X
` 8جـ = 10 جـ ن2
حاول أن تحل
` ع = 15 = 12 * 54 + 0م/ث ` ف = 90 = 144 * 54 * 12 + 0متر
كE شكل ()20
1فصلت العربة األخيرة من قطار سكة حديد وكتلتها 24٫5ط ًّنا ،عندما مترا، كانت سرعتها 54كم /س ،فتحركت بتقصير منتظم وتوقفت بعد ً 125 أوجد مقدار المقاومة التى أثرت على العربة المنفصلة بثقل الكيلوجرام. مثال
شكل ()21
سقط جسم كتلته 3كجم من ارتفاع 10أمتار على أرض رملية فغاص فيها مسافة 5سم ،أوجد مقاومة الرمل علما بأن الجسم تحرك بعجلة منتظمة داخل الرمل للجسم بثقل الكيلو جرام ً
الحل
مرحلة ال�سقوط الحر
ع = 2ع E 2 + 02ف ع10 * 9٫8 * 2 + 0 = 2 ع = 14م/ث
مرحلة الغو�ص فى الرمل
ع = 2ع2 + 2جـ ف 2 + 2)14( = 0جـ * 0,05 جـ = 1960 -م/ث2
مع�دلة الحركة
ك جـ = ك - Eم - 9٫8 * 3 = 1960 - * 3م ` م = 1960 * 3 + 9٫8 * 3 م = 5909٫4نيوتن م = 603ث كجم
كتاب الرياضيات التطبيقية
1 5
كو نل نحوين نينيمك حاول أن تحل
صندوق كتلته 100كجمُ ،يرفع رأس ًّيا ألعلى بحبل بعجلة منتظمة قدرها 25سم /ث .2أوجد قوة الشد فى الحبل مع إهمال المقاومة. مثال قطار كتلته 220طن ،يتحرك فى طريق أفقى مستقيم بسرعة منتظمة مقدارها 29٫4م/ث ،وأثناء حركته انفصلت منه العربة األخيرة وكتلتها 24ط ًّنا ،وتحركت بتقصير منتظم فوقفت بعد دقيقة واحدة من لحظة انفصالها ،أوجد:
اً أوال :مقدار المقاومة لكل طن من كتلة القطار بفرض ثبوتها.
شكل ()23
ثان اًيا :مقدار قوة آلة جر القطار. علما بأن باقى ثال اًثا :المسافة بين الجزء الباقى من القطار والعربة المنفصلة لحظة سكون العربة المنفصلة ً القطار تحرك بعجلة منتظمة.
الحل
ا اً أول :درا�سة حركة العربة المنف�سلة من قوانين الحركة فى خط م�ستقيم: ع = ع + 0جـ ن
60 + 29٫4 = 0جـ
0٫49 -م /ث2
ك = 24طن ع=0
` جـ = من معادلة حركة العربة المنفصلة - = 0٫49 - * 1000 * 24م ك جـ = -م ` م = 1200ث كجم م = 11760نيوتن. م = 50ث كجم /طن المسافة التى تحركتها العربة المنفصلة خالل دقيقة واحدة بعد االنفصال ف = ع ن 1 +جـ ن2 . 2 = 2)60( * 0٫49 * 1 - 60 * 29٫4 2 ف = 882متر
ثانياًا :درا�سة حركة القطار قبل النف�سال
aالقطار كان متحركًا بسرعة منتظمة قبل االنفصال ` القوة المحركة = المقاومات الكلية ` 11000 = 220 * 50 = Xث كجم
1
الصف الثالث الثانوى
ع 29٫4 = 0م/ث ن = 60ث
ك = 220طن المقاومة /طن = 50ث كجم
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
ثال اًثا :درا�سة حركة باقى القطار بعد انف�سال العربة الأخيرة
2 2
معادلة الحركة ك = 196طن ك جـ = - Xم 11000 = Xت كجم 1000 * 196جـ = (9٫8 * )196 * 50 - 11000 جـ = 3م/ث2 المقاومة/طن = 50ث كجم 50 من قوانين الحركة ف = ع ن 1 +جـ ن2 . 2 = 2)60( * 3 * 1 + 60 * 29٫4 50 2 ف = 1872متر المسافة بين باقى القطار والعربة المنفصلة لحظة سكونها = 882 - 1872 = 990متر تفكير ناقد :ارسم منحنى يمثل المسافة بين باقى القطار والعربة المنفصلة منذ لحظة انفصالها حتى تتوقف ،ثم من خالل المنحنى أوجد: ب المسافة بينهما بعد 40ثانية من انفصال العربة. أ متى تكون المسافة بينهما 110متر؟ حاول أن تحل
منطاد كتلته 105كجم ،يتحرك رأس ًّيا ألسفل بعجلة منتظمة مقدارها 98سم /ث .2أوجد مقدار قوة رفع الهواء المؤثرة على المنطاد بثقل الكيلو جرام ،وإذا سقط من منطاد جسم كتلته 35كجم ،عندما كانت سرعة المنطاد 490سم/ث ،أوجد المسافة بين المنطاد والجسم المنفصل عنه 20ثانية من لحظة االنفصال. بعد 7
شكل ()24
مثال
4يتحرك جسم كتلته الوحدة تحت تأثير القوى الثالث ، N + M C = ١X
+ M = 2Xب – N 2 + M = ٣X ، O 3 + Nهـ ، Oفإذا كان متجه اإلزاحة ف يعطى بالعالقة ف = ن 12 ( + Mن + 2ن) O 5 + Nفأوجد قيمة كل من ، Cب ،هـ
الحل
( + M )2 + C( = ٣X + ٢X + ١X = X aب – 3( + N )3 +هـ) O aف = ن 12 ( + Mن + 2ن) O 5 + N
Eف ع = Eن
= ( + Mن N )1 +
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
كو نل نحوين نينيمك
Eع جـ = Eن
aك جـ = X
= N
0=2+C 2– = C
` ( + M )2 + C( = Nب – 3( + N )2 +هـ) O
– 3هـ = 0 هـ = 3
،ب 1 = 3 + ،ب = –2
حاول أن تحل
، N - M 2 = ٢X
4يتحرك جسم كتلته 3كجم بتأثير ثالث قوى مستوية هى N + M C = ١X
+ M 3 = ٣Xب Nحيث N ، Mمتجها وحدة متعامدان فى مستوى القوى ،فإذا كان متجه اإلزاحة يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ف = (ن2( + M )1 + 2ن , N )3 + 2ع ِّين قيمة كل من ، Cب. مثال
5أثرت قوة Xعلى جسم ساكن كتلته 1كجم ،يتحرك فى خط مستقيم مبتد ًئا من نقطة أصل "و" على الخط المستقيم ،وكانت 5 = Xس 6 +حيث س بعد الجسم عن "و" مقيسة بالمتر X ،بالنيوتن. أوجد: أوال سرعة الجسم ع عندما س = 4متر ثان اًيا إزاحة الجسم عندما تكون ع = 9م/ث الحل
5 =X aس 6 + ` ك جـ = 5س 6 + Eع aجـ = ع Eس ،ك = 1كجم
C شكل ()25
ا اً أول:
Eع = 5س 6 + `ع Eس ع 4 2 5 2 1 ` [ ع ] [ = 0س 6 +س]0 2 2
ثانياًا:
ع128 = 2
Eع aع Eس = 5س 6 + س 92 1 2 5 ] ] ` [2ع 2[ = 0س 6 +س 0 ` 5س12 + 2س – 0 = 81
(5س ( )27 +س – 0 = )3
1 8
الصف الثالث الثانوى
س
`
0
ع ع Eع =
4
0
و
( 5س E )6 +س
` 12ع0 - )4 * 6 + 16 * 52 ( = 2 ` ع = ! 2 ٨م/ث `
0
9
ع Eع = 0س ( 5س E )6 +س
52 = 81س6 + 2س – 0 ` 2 ` س=3
،
س = – 27 5 كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
2 2
حاول أن تحل
5أثرت قوة Xعلى جسم كتلته 3كجم ،يتحرك فى خط مستقيم مبتد ًئا بسرعة قدرها 2م/ث ،وكانت 3 = Xحيث ع سرعة الجسم بعد زمن قدره ن ،متى تكون سرعة الجسم 6م/ث. 2ع 1 +
مثال قوة تؤثر على جسم كتلته 250جم ،يتحرك فى خط مستقيم مبتد ًئا من السكون من نقطة أصل "و" على الخط المستقيم ،وكانت 5( = Xن – 4 + M )2ن N كال من السرعة ع ،اإلزاحة ف بداللة الزمن ن إذا كانت Xمقيسة بوحدة النيوتن ،ن بالثانية ،أوجد ًّ
الحل
5( = X aن 4 + M )2 -ن N
` 14جـ = (5ن 4 + M )2 -ن N
Eع aجـ = Eن `
0
ع
Eع
=0
ن
`
0
ف
Eف =0
ن
` جـ = (20ن 16 + M )8 -ن N
Eع ` Eن
[( 20ن 16 + M )8 -ن E ] Nن
` ع = (10ن 8 - 2ن) 8 + MنN 2
Eف aع = Eن
= X aك جـ حيث ك = 14كجم = (20ن 16 + M )8 -ن N
Eف ` Eن = (10ن 8 - 2ن) 8 + MنN 2
[( 10ن8 - 2ن ) 8 + Mن E ] N 2ن
10ن 4 - 3ن 83 + M )2نN 3 ` ف =(3 حاول أن تحل
قوة Xثؤثر على جسم ساكن كتلته 12كجم مبتد ًئا حركته من نقطة ثابتة "و" على خط مستقيم ،وكانت مقيسا بالنيوتن ،أوجد عندما ن = 2ثانية، مقيسا بالثانية ،ق ً 4( = Xن N 4 + M )1 -حيث ن الزمن ً سرعة الجسم ،وبعده عن و. مثال يتحرك جسم متغير الكتلة ،كتلته ك = 2ن 1 +فى خط مستقيم ثابت ،وكان متجه إزاحته ُيعطى بالعالقة: ف = ( 12ن + 2ن) Mحيث Mمتجه وحدة مواز للخط المستقيم . أوجد كمية حركة هذا الجسم واستنتج قانون القوة المؤثرة عليه. الحل
ك = 2ن 1 + متجه السرعة ع =
Eف
Eن = EEن ( 12ن+ 2
ن) ( = Mن M )1 + كتاب الرياضيات التطبيقية
1 9
كو نل نحوين نينيمك
متجه كمية الحركة = Wك ع = ( 2ن ( )1 +ن 2( = M )1 +ن3 + 2ن M )1 + من القانون الثانى لنيوتن نجد أن :
E = Xن (ك ع ) = E
=
WE
Eن
E Eن (2ن3 + 2ن 4( = M )1 +ن M )3 +
أى أن القوة المؤثرة على الجسم تكون فى اتجاه المتجه Mويساوى مقدارها ( 4ن )3 + حاول أن تحل
كرة معدنية كتلتها 100جم تحركت بسرعة منتظمة 10م/ث وسط غبار يلتصق بسطحها بمعدل ثابت يساوى 0٫6جم فى الثانية .أوجد كتلة الكرة والقوة بالداين المؤثرة عليها عند أى لحظة.
تمـــــــاريـــن 3 - 2 اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة فى كل مما يأتي: 1جسم كتلته 5كجم يكون وزنه: أ ج 49نيوتن ب 5نيوتن 25نبوتن. 49
د 49ث كجم
جسم كتلته ك كجم يتحرك تحت تأثير القوة 3 = Xك 4 + Mك , Nحيث Xبالنيوتن ،فإن مقدار عجلة الحركة بوحدة م/ث:2 د 7 ج 5 ب 4 أ 3
جسم كتلته الوحدة يتحرك تحت تأثير القوة 5 = Xى فإذا كان متجه سرعته ع = (Cن + 2ب ن) ى ،فإن +Cب 7 5 ج ب X د 5 أ 0 2 2
4جسم كتلته 8كجم يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة منتظمة جـ تحت تأثير قوة تعمل فى اتجاه الحركة مقدارها 12ت كجم .فإن جـ بوحدة م /ث:2 أ 1 ب 3 د 14٫7 ج 4٫9 2 2
و
شكل ()26
5أُطلقت رصاصة كتلتها 7جم أفق ًّيا من فوهة مسدس بسرعة 245م/ث على حاجز رأسى من الخشب فغاصت فيه 12٫25سم قبل أن تسكن .احسب مقاومة الخشب للرصاصة عل ًما بأنها تحركت بتقصير. د 1715ث كجم ج 175ث كجم ب 175نيوتن أ 17,15نيوتن إذا تحرك جسم كتلته ك(2ن )3 +كجم يتحرك فى خط مستقيم ،وكان متجه إزاحته كدالة فى الزمن ُيعطى بالعالقة ف = ( 32ن2 + 2ن) ى ،ف مقاسه بالمتر ،ن بالثانية فإن مقدار القوة المؤثرة عليه بالنيوتن هى : د 6ن 13 + ج 12ن 13 + ب 12ن 3 + أ 2ن 3 +
1 0
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
2 2
فى كل من الحاالت اآلتية ،القوة Xتؤثر على الجسم الذى كتلته ك كجم ،وتكسبه عجلة حركة منتظمة واتجاها ،أوجد X مقدارا موضحة بالشكل ً ً X S
X
جـ =
2م/ث2
ك = 10كجم
35نيوتن ك = 5كجم
و
جـ =
شكل ()27
و
X
جـ = 2م/ث2
ك = 10كجم
15نيوتن
53نيوتن
2م/ث2
شكل ()28
و
شكل ()29
8فى كل من الحاالت اآلتية القوة ق تؤثر على الجسم الذى كتلته ك كجم ،وتكسبه عجلة حركة منتظمة موضحة واتجاها ،أوجد ك مقدارا بالشكل ً ً 76نيوتن
جـ =
6م/ث2
S
50نيوتن
ك و
1و 3
ك
جـ =
شكل ()30
9نيوتن
و
3م/ث2
شكل ()31
25نيوتن
جـ = 1٫3م/ث2
ك و شكل ()32
9فى كل من الحاالت اآلتية ،القوة Xتؤثر على الجسم الذى كتلته ك كجم ،وتكسبه عجلة منتظمة جـ مقاسة بوحدة م/ث ،2أوجد جـ 72نيوتن
جـ = ؟
60نيوتن
24نيوتن 16نيوتن
ك = 15كجم
ك = 6كجم
ك = 8كجم
و
و
و
شكل ()33
شكل ()34
10جسم كتلته 150جم ،أثرت عليه قوة مقدارها 4500داين ،أوجد العجلة الناتجة.
شكل ()35
11كتلة مقدارها 20كجم موضوعة على مستوى أفقى أملس ،أثرت عليها قوة أفقية مقدارها Xفحركتها بعجلة منتظمة مقدارها 49م/ث ،أوجد ق. 1سيارة ساكنة كتلتها 4٫9طن ،أثرت عليها قوة فأصبحت سرعتها 27كم /س خالل دقيقة واحدة ،أوجد القوة التى أثرت على السيارة بثقل الكجم. كتاب الرياضيات التطبيقية
1 1
كو نل نحوين نينيمك
1إذا كانت قوة آلة قاطرة تساوى 2٫5ث طن ،وكانت كتلة القطار والقاطرة 200طن ،وبدأ القطار يتحرك من السكون ،أوجد سرعة القطار بعد نصف دقيقة.
14أوجد قوة مقاومة الفرامل لحركة قطار مقدرة بثقل الكيلوجرام لكل طن من كتلته ،إذا كانت سرعته مترا ،أوجد الزمن الالزم لذلك. 72كم/س وأوقفته الفرامل بعد أن قطع ً 250
15دفع رجل سيارة ساكنة كتلتها 980كجم بقوة ثابتة ،فأصبحت سرعتها 45سم/ث بعد ٍ 5 ثوان ،أوجد بثقل الكيلوجرام القوة التى دفع بها الرجل السيارة إذا كانت المقاومة 50ث كجم.
1أوجد القوة األفقية التى ُتشد بها قاطرة قطار كتلته 245ط ًّنا لتزيد سرعته إلى 18كم/س بعد أن قطع مسافة كيلومتر واحد على طريق أفقية إذا كانت قوة المقاومة 4ت كجم /طن.
1أثرت قوة أفقية ثابتة مقدارها 1ث طن على سيارة كتلتها 4أطنان تسير على طريق أفقى ،فإذا بدأت السيارة حركتها من السكون وبلغت سرعتها 4,9م/ث فى ٍ 10 ثوان ،أوجد مقدار المقاومة التى أثرت على السيارة. 18جسم كتلته 2كجم تؤثر عليه القوى N + M - = ٢X ، N2 + M 4 = ١Xحيث معيار Xبالنيوتن، أوجب معيار جـ
19أثرت قوة Xعلى جسم كتلته 500جم ،فأكسبته عجلة جـ حيث جـ = N 2 + M 5فإذا كانت جـ بوحدة م/ث ،2فأوجد مقدار Xبوحدة نيوتن.
0أوجد متجه عجلة الحركة جـ التى اكتسبها جسم كتلته 2كجم ،إذا أثرت عليه القوى 4 + N 3 - M 2 = ١Xع 2 + N 5 + M = ٢X ،ع إذا كانت Xبوحدة نيوتن. =4
=4
=4
=4
1القوى + M C = ١Xب + Nجـ O + N 3 - M 2 = ٢X ، Oأثرت على جسم كتلته 2كجم، =4
=4
=4
=4
فأكسبته عجلة جـ = ، O + M 4أوجد ،Cب ،جـ ،إذا كانت Xبوحدة نيوتن ،جـ بوحدة م/ث.2 =4
=4
يتحرك جسم كتلته 3كجم بتأثير ثالث قوى مستوية - M 2 = ١Xب ، N + M C = ٢X ، N =4
=4
N 2 + M 3 = ٣Xحيث N ، Mمتج ًها وحدة متعامدين فى مستوى القوى ،فإذا كان متجه اإلزاحة =4
=4
ُيعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ف = (ن2( + M )1 + 2ن N )3 + 2عين الثابتين ،Cب. =4
=4
جسم كتلته ك = ( 2ن )5 +كجم ومتجه موضعه 12 ( = Sن + 2ن )5 -ى حيث متجه ى وحدة ثابت ، =4
=4
Sمقاسة بالمتر ،ن الزمن بالثانية .أوجد :
اً أوال :متجهى السرعة والعجلة للجسم عند أى لحظة زمنية ن. ثان اًيا :مقدار القوة المؤثرة على الجسم عند ن = 10ثانية
1
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
2 2
4كرة معدنية كتلتها 150جم تحركت بسرعة منتظمة 12م/ث وسط غبار يلتصق بسطحها بمعدل ثابت 0٫5 جم فى الثانية .أوجد كتلة الكرة والقوة بالداين المؤثرة عليها عند أى لحظة زمنية ن. 5كرة معدنية كتلتها 10جم تتحرك فى خط مستقيم داخل وسط محمل بالغبار الذى يلتصق بسطحها بمعدل جرام واحد كل ثانية ،فإذا كانت إزاحة هذه الكرة فى نهاية فترة زمنية ن هى ف = (ن3 + 2ن) Mحيث =4
Mمتجه وحدة فى اتجاه حركتها فأوجد القوة المؤثرة على الكرة عند أى لحظة ن واحسب معيارها عند ن = 3ثوانى إذا علم أن معيار اإلزاحة يقاس بالسنتيمتر. يتحرك جسم متغير الكتلة فى خط مستقيم وكانت كتلته عند أى لحظة زمنية ن تساوى ك = ( 4ن )1+جرام
وكان متجه إزاحته يعطى بالعالقة ف = (ن2 + 2ن) Mحيث Mمتجه وحدة ثابت مواز للخط المستقيم ، ن الزمن بالثانية ،ف المسافة بالسنتيمتر أوجد : - 1متجه كمية الحركة لهذا الجسم - 2 ،معيار القوة المؤثرة على الجسم عندما ن = .4 =4
أثرت قوة 3 = Xن 1 +على جسم ،ساكن كتلته 4كجم مبتد ًئا حركته من نقطة أصل "و" على خط مستقيم. أ أوجد ع عندما ن = 2ثانية. علما بأن Xبوحدة نيوتن. ب أوجد ف عندما ن = 2ثانية, . ً
شدا 8أوجد أقل عجلة ينزلق بها رجل كتلته 75كيلوجرا ًما على حبل النجاة من الحريق إذا كان الحبل ال يتحمل ًّ علما بأن عجلة الحركة منتظمة. متراً ، يزيد عن 50ثقل كيلوجرام ،ثم أوجد سرعة الرجل بعد أن يهبط ً 30 9رصاصة كتلتها 20جرا ًما اصطدمت بحاجز ثابت من الخشب عندما كانت سرعتها 700متر /ثانية ،فغاصت فيه مسافة 5سم .احسب بثقل الكيلوجرام مقاومة الخشب بفرض أنها ثابتة. 0سقط جسم كتلته 2كجم من ارتفاع 10أمتار نحو أرض رملية ،فغاص فيها مسافة 5سم ،احسب بثقل الكيلوجرام مقاومة الرمل بفرض ثبوتها. 1قطار كتلته 245ط ًنا ( بمافى ذلك القاطرة ) يتحرك بعجلة منتظمة مقدارها 15سم/ث 2على طريق مستقيم أفقى فإذا كانت مقاومة الهواء واالحتكاك 75ث.كجم لكل طن من كتلة القطار فأوجد بثقل الكيلو جرام قوة آالت القاطرة .وإذا انفصلت العربة األخيرة وكتلتها 49ط ًنا بعد أن تحرك القطار من السكون لمدة 4٫9دقيقة فأوجد الزمن الذى تأخذه العربة المنفصلة حتى تقف.
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
الوحدة الثانية
4-2
الضغط ورد الفعل. حركة املصاعد.
المصطلحات األساسية
القانون الثالث لنيوتن
Newtons third law
الضغط
pressare
رد الفعل
reaction
حركة املصاعد
liltmotion
ميزان الزنربك
spring scale pressare scale
ميزان معتاد
balance
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية. ميزان معتاد
ميزان زنربكى ميزان ضغط
1 4
Newton's Third law
عمل تعاونى
سوف تتعلم
ميزان الضغط
القانون الثالث لنيوتن قم مع زميل لك بإحضار ميزان ضغط وضعه فى أرضية مصعد ،ثم قف على الميزان والمصعد ساكن ،ودع زميلك يسجل قراءة الميزان لدى وقوفك على ميزان الضغط ،واجعل المصعد يتحرك ألعلى وزميلك يسجل أى تغير يحدث فى شكل ()36 قراءة الميزان ،ثم أوقف المصعد وسجل القراءة مرة أخرى، ثم اجعل المصعد يهبط ألسفل وزميلك يسجل قراءة الميزان عند حدوث أى تغير فى القراءة ،ثم كرر التجربة بالتبادل مع زميلك. سجل قراءة الميزان حال وقوف كل منكما على الميزان فى كل مرحلة من مراحل سكون المصعد أو الحركة ألعلى أو الحركة ألسفل. بماذا تفسر اختالف قراءة الميزان فى كل الحاالت؟
تعلم - 1القانون الثالث لنيوتن: ٍ مساو له فى المقدار ومضاد له فى االتجاه. لكل فعل رد فعل
Newtns third law
ال�صغط ورد الفعل:S جسما كتلته ك على مستوى أفقى عندما نضع ً ساكن ،فإن الجسم يؤثر على المستوى بقوة ضغط تساوى فى هذه الحالة وزن الجسم ،وتنشأ عن ذلك قوة رد فعل للمستوى تؤثر على الجسم وهى تساوى تما ًما ضغط الجسم على المستوى والقوتان ض متضادتان فى االتجاه ،ولكنهما متساويتان فى شكل ()37 المقدار تما ًما ،ويتغير ضغط الجسم على المستوى كلما تحرك المستوى صعو ًدا أو هبوطًا ،ويعرف الضغط فى هذه الحالة بالوزن الظاهري.
pressure and reaction
حركة الم�ساعدLift motion :
وتعتبر حركة المصاعد من أشهر تطبيقات الفعل ورد الفعل ،عندما يقف شخص كتلته ك داخل مصعد كتلته ك /فإن هناك مجموعة من القوى المؤثرة على كل منهما. شكل ()38 الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
القوى الموؤثرة على ال�سخ�ص داخل الم�سعد
the forces acting on the person inside the lift
يؤثر على الشخص داخل المصعد قوتان. - 1وزن الشخص = ك ( Eويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد) - 2رد فعل المصعد على الشخص
2 2
S
=S
(ويؤثر رأس ًّيا ألعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد).
معادلة حركة ال�سخ�ص:
equation of the motion of the person
عندما يكون المصعد ساك ًنا أو متحركًا حركة منتظمة (سرعة ثابتة ألعلى أو ألسفل) فإن ك S = E
عند الحركة ألعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة الشخص ك جـ = - S
كE
كE
عند الحركة ألسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة الشخص ك جـ = ك - E
شكل ()39
S
تفكير ناقد :ماذا تتوقع أن يكون رد فعل المصعد على الرجل إذا سقط المصعد بعجلة مساوية لعجلة الجاذبية؟ ش
القوى الموؤثرة على الم�سعد فقط وال�سخ�ص بداخله (�سكل )40 The forces acting on the lift
يؤثر على المصعد ثالث قوى عندما يكون الشخص بداخله: - 1وزن المصعد فقط = ك( E /ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد) - 2ضغط الشخص على أرضية المصعد = ض (ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد) - 3الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد = ش (ويؤثر رأس ًّيا ألعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد)
معادلة حركة الم�سعد
equation of the motion of the lift
ض
كE / ش ()40 شكل
عند الحركة ألعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد ك /جـ = ش -ض -كE / عند الحركة ألسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد ك /جـ = ك + E /ض -ش
القوى الموؤثرة على الم�سعد والرجل معاًا (�سكل )41
the forces acting on the aysfem
يؤثر على المصعد والرجل م اًعا قوتان: - 1وزن المجموعة (الرجل والمصعد) = (ك +كE )/ (ويؤثر رأس ًّيا ألسفل مهما كان اتجاه حركة المصعد) - 2الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد = ش (ويؤثر رأس ًّيا ألعلى مهما كان اتجاه حركة المصعد) كتاب الرياضيات التطبيقية
(ك +كE )/ شكل ()41
1 5
كو نل نحوين نينيمك ملحوظة:
ضغط الرجل على أرضية المصعد يساوى ويضاد رد فعل المصعد على الرجل
مع�دلة حركة المجموعة:
equation of the motion of the aysfem
عند الحركة ألعلى بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد
عند الحركة ألسفل بعجلة قدرها جـ تكون معادلة حركة المصعد
ميزان الزنبرك
(ك +ك )/جـ = ش ( -ك +كE)/
(ك +ك )/جـ = (ك +ك - E )/ش Spring Scale
عندما يعلق جسم كتلته ك فى سلك ميزان زنبرك مثبت فى سقف مصعد، فإن قراءة الميزان تعبر عن الشد الحادث فى سلك الميزان.
pressure )health) scale
ميزان ال�سغط
شكل ()42
عندما يوضع جسم كتلته ك على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد، فإن قراءة الميزان تعبر عن ضغط الجسم على الميزان.
S
ش
شكل ()43
كE
كE شكل ()44
شكل ()45
- 1إذا كانت قراءة الميزان > الوزن الحقيقي
ش > ك > S ،EكE
- 2إذا كانت قراءة الميزان < الوزن الحقيقي
ش< ك < S ، Eك E
- 3إذا كانت قراءة الميزان = الوزن الحقيقي
ش = ك = S ،EكE
صاعدا ألعلى بعجلة تزايدية أو هابطًا ألسفل بعجلة تقصيرية. فإن المصعد يكون ً صاعدا ألعلى بعجلة تقصيرية. فإن المصعد يكون هابطًا ألسفل بعجلة تزايدية أو ً
الحظ أن
فإن المصعد يكون ساك ًنا أو متحركًا بسرعة منتظمة. قراءة ميزان الضغط أو ميزان الزنبرك تسمى الوزن الظاهري.
إذا تحرك مصعد ألعلى بعجلة منتظمة وتحرك ألسفل بالعجلة نفسها، فإن قراءة الميزان حال الصعود +قراءة الميزان حال الهبوط = ضعف الوزن الحقيقي.
1
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
الميزان المعتاد ذى الكفتين
2 2
balance
الميزان المعتاد ذى الكفتين هو الوحيد الذى يقيس الوزن الحقيقى فى كل الظروف واألجواء مثال
شكل ()46
1رجل كتلته 80كجم يقف داخل مصعد ،احسب بثقل الكيلوجرام ضغط الرجل على أرضية المصعد فى كل من الحاالت اآلتية: صاعدا بعجلة منتظمة قدرها 49سم /ث.2 -1 ً - 2متحركًا بسرعة منتظمة قدرها 80سم /ث. - 3هابطًا بعجلة منتظمة قدرها 98سم /ث.2 الحل
ضغط الرجل على أرض المصعد يساوى فى المقدار رد فعل المصعد على الرجل - 1المصعد يتحرك ألعلى بعجلة قدرها 0٫49م /ث.2 ` ك جـ = - Sك د 9٫8 * 80 - S = 0٫49 * 80 ` 9٫8 * 80 + 0٫49 * 80 = S 84 = Sث كجم 823٫2 = Sنيوتن - 2المصعد يتحرك بسرعة منتظمة. ` جـ = 0 80 = Sث كجم ` = SكE - 3المصعد يتحرك ألسفل بعجلة منتطمة قدرها 0٫98م/ث.2 ك جـ = ك S - E S - 9٫8 * 80 = 0٫98 * 80 705٫6 = Sنيوتن. 0٫98 * 80 - 9٫8 * 80 = S
S
كE شكل ()47
72 =Sكجم
حاول أن تحل
1شخص كتلته 60كجم يقف داخل مصعد ،احسب بثقل الكيلوجرام ضغط الرجل على أرضية المصعد فى كل من الحاالت اآلتية: - 1إذا كان المصعد ساك ًنا. - 2المصعد يتحرك ألعلى بعجلة تزايدية قدرها 49سم/ث.2 - 3المصعد يتحرك ألسفل بعجلة تزايدية قدرها 49سم/ث.2
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
كو نل نحوين نينيمك
مثال ُعلق جسم بواسطة خيط فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد يتحرك رأس ًّيا ،فإذا كان مقدار الشد فى الخيط أثناء الصعود بعجلة تزايدية قدرها 2٫45م/ث 2يساوى 50ث كجم. أوجد كتلة الجسم ،وإذا هبط المصعد بالعجلة نفسها فما مقدار الشد فى الخيط؟ الحل
أوال :المصعد يتحرك ألعلى بعجلة 2٫45م/ث2
معادلة الحركة :ك جـ = ش -ك E
ك * - 9٫8 * 50 = 2٫45ك * 9٫8 ك (9٫8 * 50 = )9٫8 + 2٫45 ثان اًيا :المصعد يتحرك ألسفل بعجلة 2٫45م/ث.2 معادلة الحركة :ك جـ = ك - Eش - 9٫8 * 40 = 2٫45 * 40ش ش = )2٫45 - 9٫8( 40
ش
ك = 40كيلو جرام
كE شكل ()48
ش = 30ث كجم
ش = 294نيوتن
حاول أن تحل
جسم وزنه الحقيقى 240ث جم ُمعلق فى سلك ميزان زنبركى ُمثبت فى سقف مصعد ،ووزنه الظاهرى 276ث جم كما يعينه الميزان الزنبركى ،بين أن عجلة الحركة للمصعد لها قيمتان ،فأوجدهما وعين اتجاه الحركة . مثال مصعد يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة منتظمة قدرها 140سم/ث.2 يقف رجل بداخل المصعد ،وكان ضغطه على أرضية المصعد يساوى 72ث كجم. ِ ضغطه على أرضية المصعد حال هبوطه بنفس العجلة. احسب كتلة هذا الرجل ،ثم أوجد مقدار الحل
اً أوال :المصعد يتحرك ألعلى بعجلة جـ = 1٫4م/ث.2 معادلة الحركة :ك جـ = - Sك E ك * - 9٫8 * 72 = 1٫4ك * 9٫8 ` ك = 63كجم ثان اًيا :المصعد يتحرك ألسفل بعجلة جـ = 1٫4م/ث.2 معادلة الحركة :ك جـ = ك S - E S - 9٫8 * 63 = 1٫4 * 63 529٫2 = S )1,4 - 9٫8( 63 = Sنيوتن 54 = Sث كجم
1 8
الصف الثالث الثانوى
S
كE شكل ()49
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
2 2
حاول أن تحل
رجل كتلته 70كجم يقف على أرضية مصعد كهربى كتلته 420كجم فإذا تحرك المصعد رأس ًّيا ألعلى بعجلة مقدارها 70سم/ث.2 أوجد بثقل الكجم مقدار كل من الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد وضغط الرجل على أرضية المصعد. مثال
4جسم معلق فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد ،لوحظ عند تحرك المصعد إلى أعلى بعجلة جـ م /ث ،2أن قراءة الميزان 8ث كجم وعندما تحرك المصعد إلى أسفل بعجلة 2جـ م/ث 2كانت قراءة الميزان 5ث كجم. احسب قيمة جـ ،وإذا كان الحبل الصلب الذى يحمل المصعد ال يتحمل شدًّ ا أكثر من 1٫2ث طن، علما بأن كتلة المصعد وهو فارغ فأوجد أقصى حمولة يمكن أن يحملها المصعد وهو صاعد بالعجلة جـ اً تساوى 600كجم. الحل
أوال :المصعد يتحرك ألعلى بعجلة جـ معادلة الحركة :ك جـ = ش -ك E ك جـ = - 9٫8 * 8ك * 9٫8 ك جـ = ( - 8ك) * 9٫8 ثان اًيا :المصعد يتحرك ألسفل بعجلة 2جـ معادلة الحركة ك جـ = ك - Eش 2ك جـ = ك * 9٫8 * 5 - 9٫8 2ك جـ = (ك 9٫8 * )5 - من ( )2( ، )1نجد أن 2ك جـ (ك 9٫8 * )٥ - ك جـ = ( - 8ك) * 9٫8 = 2ك5- -8 1ك
()1
ش كE شكل ()48
()2
3ك = 21
ك 2 - 16 = 5 -ك ` ك = 7كجم من ( )1نجد أن جـ = 1٫4م/ث.2 7جـ = 9٫8 ثال اًثا: نفترض أن أقصى حمولة يمكن أن توضع فى المصعد كتلتها ك كجم عندئذ يكون الشد فى الحبل الذى يحمل المصعد يساوى 1200ث كجم معادلة الحركة( :ك +ك )/جـ = ش ( -ك +كE )/ كتاب الرياضيات التطبيقية
ش
(ك +كE )/ شكل ()51
1 9
كو نل نحوين نينيمك
` (ك ( - 9,8 * 1200 = 1,4 * )600 +ك 9,8 * )600 + ` (ك 9,8 * 1200 = 11,2 * )600 + ك = 450كجم ك 1050 = 600 + حاول أن تحل
صاعدا ُ 4علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد ،فسجل القراءة 17ث كجم ،عندما كان المصعد ً بعجلة منتظمة 1٫5جـ م /ث ،2وسجل القراءة 16ث.كجم عندما كان المصعد هابطًا بتقصير منتظم مقداره جـ م/ث ،2أوجد كتلة الجسم ومقدار جـ .
تمـــــــاريـــن 4 - 2
اأكمل اًّ كل مم� ي�أتي:
1جسم كتلته 70كجم موضوع على ميزان ضغط على أرضية مصعد متحرك بعجلة منتظمة 1٫4م/ث 2ألسفل، فإن قراءة الميزان ..........................ث كجم. صاعدا ُعلق جسم فى خطاف ميزان زنبركى معلق فى سقف مصعد فسجل القراءة 390ث جم عندما كان ً ألعلى: إذا كانت عجلة الحركة 70 -سم/ث ،2فإن كتلة الجسم ..........................جم. إذا كانت كتلة الجسم 350جم ،فإن عجلة الحركة ..........................سم/ث.2
شخص يقف على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد ،فسجل الميزان القراءة 75ث كجم ،عندما كان متحركًا ألعلى بعجلة جـ م/ث ،2وسجل القراءة 69ث كجم عندما كان متحركًا ألسفل بالعجلة نفسها ،فإن وزن الشخص الحقيقي ..........................ث كجم.
4يقف طفل على ميزان ضغط داخل مصعد متحرك ألسفل بعجلة 1٫4م/ث.2 إذا كانت قراءة الميزان 30ث كجم ،فإن وزن الطفل = ..........................ث كجم إذا كان وزن الطفل 49ث كجم ،فإن قراءة الميزان ..........................ث كجم
اأجب عن الأ�صئلة الآتية:
5يقف شخص كتلته 80كجم على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد ،أوجد قراءة الميزان فى كل من الحاالت اآلتية: أ المصعد يتحرك بسرعة منتظمة. ب المصعد يتحرك ألعلى بعجلة تقصيرية مقدارها 44٫1سم/ث.2 ج المصعد يتحرك ألسفل بعجلة تزايدية مقدارها 29,4سم/ث.2
180
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
نوينو نثين ننحوين
2 2
جسم كتلته ك ،معلق فى سلك ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد ،أوجد ك فى كل من الحاالت اآلتية: أ المصعد يتحرك ألعلى بعجلة تزايدية قدرها 98سم/ث ،2قراءة الميزان 44ث جم ب المصعد يتحرك ألسفل بعجلة تزايدية قدرها 140سم/ث ،2قراءة الميزان 210ث جم. ج المصعد ساكن وقراءة الميزان 100ث جم.
مصعد كهربائى يتحرك رأس ًّيا ألعلى حركة تقصيرية بعجلة منتظمة مقدارها جـ م/ث ،2مثبت فى سقفه ميزان زنبركى يحمل جس ًما كتلته 35كجم ،فإذا كان الوزن الظاهرى الذى يبينه الميزان قدره 30ث كجم ،فأوجد قيمة جـ .
ُ 8وضع جسم على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد ،فسجل القراءة 14ث كجم ،عندما كان المصعد ساك ًنا. أوجد بثقل الكجم قراءة الميزان عندما يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة منتظمة قدرها 70سم/ث.2
9جسم كتلته 94٫5كجم وضع فى صندوق كتلته 52٫5كجم ،ثم رفع رأس ًّيا إلى أعلى بواسطة حبل متحرك بعجلة قدرها 1٫4م/ث ،2أوجد مقدار ضغط الجسم على قاعدة الصندوق ،ومقدار الشد فى الحبل الذى يحمل الصندوق ،وإذا قُطع الحبل ،فأوجد ضغط الجسم على قاعدة الصندوق عندئذ
10مصعد كهربى وزنه 350ث كجم يهبط رأس ًيا إلى أسفل بعجلة تقصيرية مقدارها 49سم/ث 2وبه رجل وزنه 70ث كجم .أوجد مقدار كل من ضغط الرجل على أرضية المصعد والشد فى الحبل الذى يحمل المصعد بثقل الكجم. 11علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد فسجل الميزان القراءة 7ث كجم عندما كان المصعد ساك ًنا ثم سجل القراءة 8ث كجم عندما تحرك المصعد رأس ًيا بعجلة منتظمة .أوجد مقدار واتجاه العجلة التى يتحرك بها المصعد. صاعدا ُ 1علق جسم فى ميزان زنبركى مثبت فى سقف مصعد فسجل القراءة 16ث جم ،عندما كان المصعد ً بعجلة مقدارها جـ سم/ث ،2وسجل القراءة 11ث جم عندما كان المصعد هابطًا بعجلة مقدارها 1٫5جـ سم أيضا قراءة الميزان عندما يكون المصعد هابطًا بتقصير منتظم /ث .أوجد كتلة الجسم والعجلة جـ ،واحسب ً قدره 12جـ سم/ث.2
كتاب الرياضيات التطبيقية
181
الوحدة الثانية
5-2
سوف تتعلم
حركة جسم عىل مستوى مائل
المصطلحات األساسية
مستوى مائل
inclined plane
مستوى أملس Smooth plane
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
18
حركة جسم على مستوى مائل أملس Motion of a body on a smooth inclined plane
فكر و
ناقش
إذا ُوضع جسم كتلته ك كجم على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ ،وأثرت عليه قوة مقدارها Xنيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى المستوى، فحدد اتجاه حركة الجسم وعلى ما يتوقف اتجاه الحركة؟ حركة ج�صم على م�صتو مائل اأمل�س جسما كتلته ك يتحرك على مستو أملس يميل على األفقى بزاوية إذا فرضنا أن ً قياسها هـ تحت تأثير قوة مقدارها Xتعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى إلى أعلى فإننا نالحظ أن الجسم يكون واق ًعا تحت تأثير القوى الثالث اآلتية: S - 1القوة المعلومة وتؤثر فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى إلى أعلى ومقدارها .X X - 2وزن الجسم ويؤثر رأس ًّيا إلى أسفل ك E ج هـ ا هـ ومقداره ك .E - 3رد فعل المستوى ويؤثر فى اتجاه عمودى ك Eجتا هـ هـ على المستوى إلى أعلى ومقداره S وبتحليل الوزن إلى مركبتين إحداهما فى كE شكل ()52 اتجاه المستوى ألسفل واألخرى فى االتجاه العمودى عليه. المركبة فى اتجاه المستوى = ك Eجا هـ المركبة فى االتجاه العمودى على المستوى = ك Eجتا هـ وتكون لدينا ثالث حاالت تعتمد على المقارنة بين ، Xك Eجا هـ بنفس الوحدة . الحالة األولى :إذا كانت > Xك Eجا هـ S فإن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة جـ ألعلى X المستوى ،وتكون معادلة حركته ك E ج ك جـ = - Xك Eجا هـ هـ ا هـ وإذا أ ُبطل عمل القوة Xبعد مرور زمن ن ك Eجتا هـ هـ من بداية الحركة فإن الجسم يتحرك ألعلى المستوى ( نفس اتجاهه السابق) ولكن بعجلة كE شكل ()53 تقصيرية جـ /حيث جـ E - = /جا هـ الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�يمك ���� �ي ����و� �ي�� ل�ي�
ويصل الجسم حت ًما إلى سكون لحظى ثم يغير اتجاه حركته ألسفل المستوى بعجلة تزايدية قدرها Eجا هـ. S الحالة الثانية :إذا كانت < Xك Eجا هـ فإن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة جـ ألسفل المستوى ،وتكون معادلة حركته X ك جـ = ك Eجا هـ X - كE ج ا هـ هـ الحالة الثالثة :إذا كانت = Xك Eجا هـ فإن الجسم يظل محتفظًا بحالة السكون على المستوى ،أما إذا أكسب الجسم ك Eجتا هـ هـ سرعة منتظمه ع فى اتجاه المستوى ألعلى أو ألسفل فإن الجسم يتحرك على المستوى فى اتجاه ع بسرعة منتظمة طب ًقا للقانون األول لنيوتن. كE
مثال
2 2
شكل ()54
1جسم كتلته 12كجم موضوع على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c30أثرت قوة مقدارها 88٫8نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى المستوى ،أوجد سرعة هذا الجسم بعد 14ثانية من بدء الحركة، إذا أوقفت القوة المؤثرة على الجسم عند هذه اللحظة ،أوجد المسافة التى يتحركها الجسم على المستوى بعد ذلك حتى يسكن الحل
= 88٫8نيوتن X a aك Eجا هـ = 1 * 9٫8 * 12 X 2 = 58٫8نيوتن > Xك Eجا هـ ` الجسم يتحرك ألعلى المستوى بعجلة منتظمة جـ معادلة الحركة: ك جـ = - Xك Eجا هـ ك Eجتا هـ 12جـ = 58٫8 - 88٫8 = 2٫5م/ث2 جـ aع = ع + 0جـ ن = 35 = 14 * 2٫5 + 0م/ث / بعد إيقاف تأثير القوة يتحرك الجسم فى نفس اتجاهه السابق بتقصير منتظم جـ معادلة الحركة: ك جـ - = /ك Eجا هـ = 4٫9 - = 1 * 9٫8 -م/ث2 / جـ 2 يقطع الجسم مسافة ف حتى يصل لسكون لحظى حيث ع = 2ع 2 + 02جـ /ف 4٫9 * 2 - 2)35 ( = 0ف ف = 125متر كتاب الرياضيات التطبيقية
S
هـ كE
ك
هـ
Eج
ا هـ
شكل ()55
18
كو نل نحوين نينيمك حاول أن تحل
، 12أثرت 1جسم كتلته 32٫5كجم موضوع على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ ،حيث جتا هـ = 13 عليه قوة مقدراها 83٫5نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى ،أوجد مقدار واتجاه عجلة الحركة ،ثم أوجد سرعة الجسم بعد 8ثواني من بدء الحركة. مثال ُوضع جسم كتلته 25كجم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ ،حيث ظا هـ = ، 43أثرت عليه قوة أفقية نحو المستوى مقدارها 30ث كجم ،ويقع خط عملها فى المستوى الرأسى المار بخط أكبر ميل للمستوى .أوجد العجلة الناشئة ومقدار قوة رد فعل المستوى.
الحل
Xجتا هـ = 18 = 35 * 30ث كجم و جا هـ = 20 = 45 * 25ث كجم X aجتا هـ < و جا هـ
` الجسم يتحرك ألسفل المستوى بعجلة منتظمة جـ حيث ك جـ = ك Eجا هـ X -جتا هـ 25جـ = ( 9٫8 * )18 - 20 = 98م/ث2 جـ 125 X = Sجا هـ +ك Eجتا هـ = 39 = 35 * 25 + 45 * 30ث كجم
4 3
ك
هـ
Xجا هـ ك Eجتا هـ
هـ
S
Xج تا هـ هـ
X
حاول أن تحل
5
هـ كE
Eج
ا هـ
شكل ()56
يتحرك جسم كتلته 2كجم على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل على األفقى بزاوية c 60تحت تأثير قوة مقدارها 1ث كجم موجهة نحو المستوى ،وتصنع مع األفقى زاوية قياسها c30ألعلى ،أوجد مقدار قوة رد فعل المستوى على الجسم ،وكذلك عجلة الحركة. مثال يتحرك جسم كتلته 30كجم إلى أعلى مستوى مائل املس يميل على األفقى بزاوية قياسها c30تحت تأثير قوة مقدارها Xنيوتن فى اتجاه خط اكبر ميل ألعلى بعجلة مقدارها 1٫5م/ث .2أوجد العجلة التى يتحرك بها هذا الجسم على نفس المستوى تحت تأثير قوة مقدارها X 12وتؤثر فى اتجاه خط اكبر ميل ألعلى . X
الحل
معادلة الحركة فى الحالة األولى ك جـ = - Xك Eجا هـ ` 1 * 9٫8 * 30- X = 1٫5 * 30 2 ومنها 192 = Xنيوتن
184
الصف الثالث الثانوى
S
ك Eجتا هـ
5
30
ك
Eج ا هـ
كE
كتاب الطالب
�يمك ���� �ي ����و� �ي�� ل�ي�
معادلة الحركة فى الحالة الثانية ك جـ - X 12 = /ك Eجا هـ ` 30جـ1 * 9٫8 * 30 - 96 = / 2 ` جـ 1٫7- = /م/ث2
S
X1
2
ك Eجتا هـ
حاول أن تحل
2 2
5
30
ك
Eج ا هـ
يتحرك جسم كتلته 200كجم اعلى مستوى مائل املس يميل على األفقى بزاوية قياسها c30تحت تأثير قوة مقدارها نيوتن فى اتجاه خط اكبر ميل ألعلى بعجلة مقدارها 2م/ث 2وإذا نقصت هذه القوة إلى النصف فإن الجسم يتحرك ألسفل المستوى بعجلة مقدارها 1٫45م/ث 2أوجد مقدار . X كE
تمـــــــاريـــن 5 - 2 X
اأكمل ك اًّل مم� ي�أتي: 1فى الشكل المرسوم :الجسم الموضوع على المستوى األملس كتلته 2كجم ،بدأ حركته من السكون تحت تأثير القوة Xالتى مقدارها 1٫5 ث كجم 2 أ عجلة الحركة = ..........................م /ث واتجاهها .......................... ب سرعة الجسم بعد ٍ 4 ثوان من بدء الحركة ج رد فعل المستوى = ..........................ث كجم. فى الشكل المرسوم :الجسم الموضوع على المستوى األملس كتلته ك = 12كجم ،بدأ حركته من السكون تحت تأثير القوة Xالتى مقدارها 8ث كجم. أ عجلة الحركة = ..........................م/ث ،واتجاهها .......................... ٍ ثوان من بدء ب المسافة التى يقطعها الجسم على المستوى فى 3 الحركة ..........................متر
ج رد فعل المستوى = ..........................ث كجم
c30 كE
شكل ()58
هـ
X
هـ
هـ
كE 3 4
اختر من بين الإج�ب�ت الإج�بة ال�صحيحة :
هـ
شكل ()59
يسير راكب دراجة كتلته هو والدراجة 85كجم بعجلة منتظمة مقدارها 0٫5م/ث 2فإن القوة التى يستخدمها الحداث هذه العجلة هى : ب 42٫5نيوتن أ /42٫5ث كجم د 170نيوتن. ج 170ث كجم كتاب الرياضيات التطبيقية
185
كو نل نحوين نينيمك
4تسير سيارة على طريق مهمل المقاومات بعجلة مقدارها 1٫47م/ث 2فإذا كانت قوة المحرك 150ث كجم فإن كتلة السيارة تساوى : أ 102كجم ج 1000كجم
ب 100كجم
د 220٫5كجم.
5إذا تحرك جسم على مستوى مائل املس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ تحت تأثير وزنه فقط فإن عجلة حركته تساوى : أ E
ب Eجتا هـ
هـ
د صفر. ج Eجا هـ إذا تحرك جسم على مستوى مائل أملس تحت تأثير وزنه فقط فإن عجلته تتوقف على : ج زاوية ميل المستوى د رد فعل المستوى. ب وزنه أ كتلته
اأجب عن الأ�صئلة الآتية:
ُوضع جسم كتلته 10كجم على مستوى أملس ،يميل على األفقى بزاوية جيبها ، 3أثرت قوة مقدارها 80نيوتن 5 فى اتجاه خط أكبر ميل إلى أعلى .أوجد مقدار واتجاه العجلة الناشئة ومقدار رد الفعل العمودي.
8وضع جسم كتلته 1كجم على مستوى أملس ،يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c30أثرت عليه قوة مقدارها 10 نيوتن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى ،أوجد عجلة الحركة ورد فعل المستوى على الجسم. 9وضع جسم كتلته 16كجم على مستوى أملس ،يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c45أثرت قوة أفقية نحو المستوى ومقدارها 24نيوتن ،ويقع خط عملها فى المستوى الرأسى المار بخط أكبر ميل للمستوى ،أوجد مقدار عجلة الحركة ورد فعل المستوى.
10تفكير ابداعى :
C
فى الشكل المقابل C :م نصف قطر رأسى Cب C ،جـ وتران يمثالن طريقين أملسين فى الدائرة حيث Cجـ > Cب انزلقت خرزتان من السكون من نقطة Cاحدهما على الوتر Cب فوصلت ب بعد زمن ن1 واألخرى على الوتر Cجـ فوصلت جـ بعد زمن ن 2أوجد قيمة النسبة ن : 1ن. 2
18
الصف الثالث الثانوى
جـ
م
كتاب الطالب
ب
حركة جسم على مستوى خشن Motion of a body on a rough plane
مقدمة: علمت من دراستك السابقة لدرس االحتكاك أنه عند محاولة تحريك جسم على مستوى خشن تظهر قوة االحتكاك كقوة مقاومة ،تعمل فى اتجاه مضاد لالتجاه الذى يميل الجسم إلى الحركة فيه ،وتظل مساوية تما ًما للقوة المماسية التى تعمل على تحريك الجسم ،وكلما ازدادت القوة المماسية التى تعمل على تحريك الجسم تزداد قوة االحتكاك حتى تظل مساوية لها ،إلى أن تصل إلى حد ال تتعداه ،وتصل إلى أقصى قيمة لها وعندئذ يصبح الجسم على وشك الحركة ،فإذا ازدادت القوة المماسية التى تعمل على تحريك الجسم ،واستطاعت تحريك الجسم تغيرت قوة االحتكاك عندئذ، ونقصت قيمتها حال حركة الجسم ،وتسمى قوة االحتكاك عندئذ باالحتكاك الحركى، ويكون معامل االحتكاك فى هذه الحالة هو معامل االحتكاك الحركى.
تعلم
الوحدة الثانية
6-2
سوف تتعلم
احلركة عىل مستوى خشن.
المصطلحات األساسية مستوى خشن
الحركة على م�صتوى خ�صن إذا كان الجسم متزنًا على مستوى خشن تحت تأثير قوة تعمل على تحريكه فإن قوة االحتكاك هى قوة االحتكاك السكونى ،ومعامل االحتكاك فى هذه الحالة هو معامل االحتكاك السكونى مس ،أما إذا تحرك الجسم على مستوى خشن ،فإن قوة االحتكاك عندئذ هى قوة االحتكاك الحركى ومعامل االحتكاك عندئذ هو معامل االحتكاك الحركى مك.
Motion on a rough plane
Rough plane
احتكاك ديناميكي Kinetic friction
احتكاك استاتيكي static friction
مثال 1مستوى مائل خشن طوله 250سم ،وارتفاعه 150سمُ ،وضع عليه جسم فى حالة سكون فانزلق الجسم إلى أسفل المستوى ،وكانت عجلة الحركة تساوى 196 سم/ث ،2أوجد معامل االحتكاك الحركى ،ثم أوجد سرعة الجسم بعد أن يقطع 200سم على المستوى. األدوات المستخدمة آلة حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
كتاب الرياضيات التطبيقية
18
كو نل نحوين نينيمك الحل S
= ك Eجتا هـ = 4كE
ك جـ
= ك Eجا هـ -مك S
196
= - 980 * 35مك * 980 * 45 = 1 2
ع2
= 200 * 196 * 2 + 0
S
5
م
aالجسم يتحرك ألسفل بعجلة منتظمة 196ك = 3ك - Eمك * 4ك E 5 5
` a
مك ع2
ه
ك
هـ ك Eجتا هـ
= ع 2 + 2جـ ف
` ع
ا تجا
4
= 280سم /ث
Eج ا هـ
كE
5
3
هـ
الح
ركة
شكل ()61
هـ
حاول أن تحل
مترا ،وارتفاعه 9أمتار ،أوجد سرعة 1تنقل الصناديق فى أحد المصانع بانزالقها على مستوى مائل طوله ً 15 الصندوق الذى بدأ حركته من السكون عند قمة المستوى ،وذلك عند قاعدة المستوى إذا كان المستوى خش ًنا، ومعامل االحتكاك الحركى يساوى . 14 مثال
جسم كتلته 12كجم ،موضوع على مستوى أفقى خشن ،معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى 3بينما معامل االحتكاك الحركى يساوي 3احسب القوة التى تجعل الجسم على وشك الحركة،
يساوى
3
4
ثم أوجد القوة التى تجعله يتحرك بعجلة قدرها 3 49م/ث 2إذا كانت القوة تميل على األفقى بزاوية قياسها 20
.c30
الحل
اً أوال :القوة تجعل الجسم على وشك الحركة X + Sجا = 30و = ( )X 12 - 12ث كجم S = مس S X aجتا 30 `
X 3
2
X3 X4
X
188
= = = =
)X 12 - 12( 3 3 X - 24 24 6ث كجم
الصف الثالث الثانوى
S X Xجتا c30
Xجا c30 مس S
c30
كE
شكل ()62
كتاب الطالب
2 2
�يمك ���� �ي ����و� ���ن
ثانيا :القوة تحرك الجسم بعجلة قدرها 3 49 اً 20 1 = S aك X - Eجا 30أى أن )X 2 - 9٫8 * 12 (= Sنيوتن = Xجتا - 30مك S aك جـ م/ث2
3 49 * 12 20 3 49 * 12 20
= )X 12 - 9٫8 * 12( 3 - 3 * X 2
4
= 9٫8 * 3 3 - X 3 5
94٫08 = Xنيوتن
8
حاول أن تحل
1فى المثال السابق احسب مقدار القوة Xإذا كانت القوة المؤثرة على الجسم أفقية. مثال جسم وزنه 800نيوتن ،موضوع على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c25وكان معامل االحتكاك السكونى بين الجسم والمستوى يساوى ،0٫35ومعامل االحتكاك الحركى يساوى 0٫25 أوجد القوة ق فى كل من الحاالت اآلتية: S أ Xتجعل الجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى. X ب Xأقل قوة تحرك الجسم ألعلى المستوى. م ج Xتمنع الجسم من االنزالق. سS
حيث Xتؤثر فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى المستوى.
هـ
الحل
أ aالجسم على وشك الحركة ألعلى المستوى = S ،ك Eجتا هـ = مس + Sك Eجا هـ X = * 0٫35ك Eجتا هـ +ك Eجا هـ = 800 * 0٫35جتا 800 + 25جا 25 = 591٫86نيوتن
ب أقل قوة تحرك الجسم ألعلى المستوى = م ك + Sك Eجا هـ X = * 0٫25ك Eجتا هـ +ك Eجا هـ = 800 * 0٫25جتا 800 + 25جا 25 519٫36 -نيوتن
ك Eجتا هـ
كE
هـ
ج
ا هـ
شكل ()63
كE
S X م
ك
هـ ك Eجتا هـ
كتاب الرياضيات التطبيقية
كE
S
هـ
كE
ج ا هـ
شكل ()63
189
كو نل نحوين نينيمك
ج القوة Xتمتع الجسم من االنزالق = ك Eجتا هـ S + Xمس = Sك Eجا هـ * 0٫35 + Xك Eجتا هـ = ك Eجا هـ = 800جا 800 * 0٫35 - 25جتا 25 X = 84٫33نيوتن X
X
م
س
S S كE
هـ
حاول أن تحل
فى المثال السابق احسب مقدار القوة Xإذا كانت أفقية فى جميع الحاالت.
ك Eجتا هـ
هـ
ج ا هـ
شكل ()64
كE
تمـــــــاريـــن 6 - 2 1فى كل من األشكال اآلتية جسم كتلته 5كجم موضوع على مستوى أفقى خشن ،معامل االحتكاك الحركى بينه وبين الجسم مك ،احسب مك فى كل حالة ،ح قوة االحتكاك. أ
جـ = 2م/ث2
S
24نيوتن
ب
جـ = 1٫1م/ث2
30نيوتن
ح
190
E5
شكل ()66
S جـ = 3م/ث2
ح
c30
10نيوتن
ح
E5
شكل ()65
40نيوتن
جـ = 1م/ث2
ح
E5
د
S
ج
29 Sنيوتن
ه
جـ = 3م/ث2
40 Sنيوتن
ح
و
جـ = 2م/ث2
S
ح
c60 c45
E5
E5
شكل ()68
شكل ()69
الصف الثالث الثانوى
شكل ()67
2 39نيوتن
E5
شكل ()70
كتاب الطالب
2 2
�يمك ���� �ي ����و� ���ن
ز
S
ح
جـ =
ح 2م
/ث 2
2 2نيوتن
S جـ =
c45
1م
/ث 2
c30 c30
E5 E5
شكل ()72
شكل ()71
يراد سحب جسم كتلته 1طن على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث ظا هـ = 3بواسطة 4 قوة توازى المستوى فى اتجاه خط أكبر ميل ألعلى ،أوجد معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى إذا كانت أقل قوة تحرك الجسم على المستوى مقدارها 1400ث كجم. جسم كتلته 2كجم موضوع على مستوى أفقى خشن ،معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى ، 1 2 أوجد القوة األفقية التى تجعله يتحرك بعجلة منتظمة جـ حيث: أ جـ =
5م/ث2
ب جـ =
1م/ث2
4جسم وزنه 10ث كجم موضوع على مستوى أفقى خشن ،أثرت عليه قوة قدرها 37نيوتن ،فحركته على المستوى األفقى بعجلة منتظمة قدرها 54م/ث ،2أوجد معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى. 5جسم كتلته 2كجم موضوع على مستوى مائل خشن ،يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c30أثرت عليه قوة أفقية مقدارها 20نيوتن نحو المستوى ،فتحرك الجسم بسرعة منتظمة ،أوجد معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى.
ينزلق جسم على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها ،c45فإذا كان معامل االحتكاك الحركى بين الجسم والمستوى يساوى . 34أثبت أن الزمن الذى يقطع فيه الجسم أى مسافة يساوى ضعف الزمن الذى يقطع أملسا ،وبفرض أن الجسم بدأ االنزالق من السكون فى الحالتين. فيه نفس المسافة لو أن المستوى كان ً
كتاب الرياضيات التطبيقية
191
البكرات البسيطة
الوحدة الثانية
7-2
Simple pulley
مقدمة: تستخدم البكرات فى أغراض عدة منها :تقليل القوة الالزمة لرفع سوف تتعلم جسم وتسهيل الحركة وتغيير اتجاه القوة ،ومنها ما هو ثابت ،ومنها البكرات البسيطة. حركة جمموعة مكونة من ما هو متحرك ،وفى هذا الدرس سنتناول نظام بكرات مكون من جسمني يتدليان رأس ًّيا من بكرة واحدة ثابتة. طرىف خيط يمر عىل بكرة وعندما تكون البكرة صغيرة وملساء يكون الشد على جانبى ملساء. البكرة متساو. حركة جمموعة مكونة من جسمني يتحرك أحدمها عىل والشكل اآلتى يوضح القوى المؤثرة عند رفع حقيبة (جسم) باستخدام البكرة. نضد أفقى أملس واآلخر يتحرك رأس ًّيا.
القوى المؤثرة على البكرة.
حركة جمموعة مكونة من جسمني يتحرك أحدمها عىل نضد أفقى خشن واآلخر يتحرك رأس ًّيا. حركة جمموعة مكونة من جسمني يتحرك أحدمها عىل مستوى مائل أملس واآلخر يتحرك رأس ًّيا. حركة جمموعة مكونة من جسمني يتحرك أحدمها عىل مستوى مائل خشن واآلخر يتحرك رأس ًّيا.
ش ش
القوة المؤثرة على طرفى الخيط (الحبل) قوة الشد فى الحبل تؤثر على الحقيبة
قوة الشد فى الحبل تؤثر على الحقيبة
الشد فى الحبل
عندما تكون البكرة صغيرة فأننا نهمل وزن البكرة
وزن الحقيبة كE
الشد على جانبى البكرة متساو
شكل ()74
تعلم حركة مجموعة مكونة من ج�صمين يتدليان راأ�ص ًّيا من طرفى خيط يمر على بكرة مل�صاء Motion of system of two bodion connected by a string passing over a smooth pully
حركة ج�سمين مربوطين بخيط يمر على بكرة مل�ساء ويتدليان راأ�س ًّيا األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
19
إذا ُر بط جسمان كتلتاهما ك ،1ك 2فى طرفى خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء ،ويتدليان رأس ًّيا ،وكانت ك > 1ك 2فإن المجموعة تبدأ الحركة من السكون بعجلة منتظمة قدرها جـ.
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
2 2
ن��ي � ن���ح�ك
مع�دلت الحركة
ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش -كE 2 بجمع المعادلتين بحذف الشد ،ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة ( ك + 1ك )2جـ = ( ك - 1كE )2 وبالتالى من أى من المعادلتين نوجد الشد فى الخيط ش
ش
ش
عند قطع الخيط :
كال من الجسمين يتحرك فى إذا قطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن ،فإن ًّ اتجاهه السابق نفسه قبل قطع الخيط. )1الكتلة ك 1تتحرك ألسفل بسرعة ابتدائية ع (هى نفس السرعة لحظة قطع الخيط) وتحت تأثير عجلة الجاذبية األرضية. )2الكتلة ك 2تتحرك ألعلى بسرعة ابتدائية ع (هى لحظ اأن نفس السرعة لحظة قطع الخيط) إلى أن تصل إذا بدأت المجموعة الحركة لسكون لحظي ،وذلك تحت تأثير عجلة الجاذبية والكتلتين فى مستوى أفقى حرا. األرضية ،ثم تسقط سقوطًا ًّ واحد ،وكانت المسافة
ال�سغط على البكرةThe pressure on the pulley :
عند تعليق الكتلتين من طرفى الخيط المار على البكرة يصبح الخيط مشدو ًدا ونتيجة للشد الحادث فى الخيط تتولد قوة ضغط على محور البكرة تساوى محصلة قوتى الشد فى الخيط. ض = 2ش
حاالت مشابهة ()1 فى الحالة المرسومة إذا كان ( ك + 1ك >) 3ك ، 2وكانت ك < 1ك2 (ك + 1ك ) 3جـ = (ك + 1ك - E ) 3ش ك 2جـ = ش -كE 2
كE2 كE1
المقطوعة بعد زمن قدره ن، تساوى ف وحدة طول ،فإن المسافة الرأسية بين الكتلتين عند نفس الزمن تساوى 2ف وحدة طول.
شكل ()75
ش
ض
ش
شكل ()76
ش
ش
فإن معادالت الحركة
ك2
ك1 ك3
(ك + 1كE )3
عند انف�سال الكتلة الإ�سافية
كE 2
شكل ()77
وإذا انفصلت الكتلة ك 3بعد زمن قدره ن ثانية ،فإن المجموعة تتحرك فى نفس اتجاهها السابق ،ولكن بعجلة تقصيرية إلى أن تسكن لحظ ًّيا ،ثم تغير اتجاه حركتها ،وإليجاد عجلة الحركة التقصيرية بعد انفصال الكتلة ك3 نوجد معادالت الحركة / ك 1جـ = /ك - E 1ش ك 2جـ = /ش - /كE 2 كتاب الرياضيات التطبيقية
19
كو نل نحوين نينيمك
والمجموعة بعد انفصال ك 3الكتلة تتحرك بسرعة ابتدائية هى السرعة التى اكتسبتها لحظة االنفصال ،وتصل إلى سكون لحظي ،ثم تغير اتجاه حركتها ،وترتد لتكون الكتلة ك 2هى القائدة ش
ال�سد فى الخيط بين الكتلتينThe tension of the string :
فى الشكل السابق إذا كانت الكتلتان ك ، 1ك 3مربوطتين بخيط آخر ،فتكون الشدود كما هى موضحة فى شكل ( )78ومعادالت الحركة هي: ك 1جـ = /ك + E 1ش - /ش / ك 3جـ = /ك - E 3ش
حاالت مشابهة ()2 إذا كانت ك = 1ك = 2ك شكل ()79 أى أن الكتلتين متساويتان ،وفى هذه الحالة لن تتحرك المجموعة ،أما إذا أضيفت كتلة مقدارها ك /إلى إحدى الكتلتين ،فإن المجموعة تتحرك فى اتجاه الكتلتين (ك +ك )/ومعادالت الحركة (ك +ك )/جـ = (ك +ك - E )/ش ك جـ = ش -ك E
ك1
ش
/
كE 1 ش ك3
كE 3
ش
ش ك
شكل ()78
ك
ك
/
عند انفصال الكتلة اإلضافية: وإذا فُصلت الكتلة اإلضافية ك /بعد زمن قدره ن ثانية، (ك +ك E )/شكل ()79 فإن المجموعة تتحرك فى نفس اتجاهها السابق بسرعة منتظمة ،هى السرعة التى اكتسبتها خالل ن ثانية (السرعة لحظة انفصال الكتلة ك)/ كE
ش
ش
حاالت مشابهة ( )3شكل ()80 إذا ُعلقت الكتلتان ك ، 1ك 2فى طرفى الخيط وكنا ال نعلم أ ًّيا من الكتلتين أكبر من األخرى، ك2 ك1 واكسبنا الكتلة ك 1سرعة قدرها ع ألسفل وتحركت المجموعة فإننا أمام ثالث حاالت )1إذا عادت المجموعة إلى موضعها األصلى بعد زمن قدره ن ،نستنتج من ذلك أن كE 2 ك < 1ك , 2وأن المجموعة تحركت بعجلة تقصيرية إلى أن سكنت لحظ ًّيا ،ثم كE 1 شكل ()80 غيرت اتجاه حركتها ،ويمكن استنتاج عجلة الحركة من البيانات المعطاة حيث ن السرعة االبتدائية هى السرعة التى اكتسبتها الكتلة ك ،1السرعة النهائية = صفر ،الزمن = 2 )2أما إذا تحركت المجموعة حركة منتظمة بسرعة ثابتة هى السرعة التى اكتسبتها الكتلة ك 1نستنتج من ذلك أن الكتلتين متساويتان ك = 1ك , 2وأن الحركة تتبع القانون األول لنيوتن )3وإذا تحركت المجموعة بعجلة منتظمة تزايدية ,نستنتج من ذلك أن ك>1ك , 2ويمكن دراسة الحركة بإيجاد معادالت الحركة ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش -كE 2
194
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك
2 2
مثال ُ 1علق جسمان كتلتاهما ك ،1ك ،2حيث ك >1ك 2فى طرفى خيط يمر على بكرة ملساء ،وكانا على ارتفاع واحد من سطح األرض عند بدء الحركة ،وبعد ثانية واحدة كانت المسافة الرأسية بينهما 20سم ،أوجد ك : 1ك2 الحل
عند بدء الحركةكانا الجسمان فى مستوى أفقى واحد وبعد ثانية كانت المسافة الرأسية بينهما 20سم. ` ف = 10 = 20سم 2 aف = ع ن 1 +جـ ن2 . 2 1 * + 0 = 10جـ * 1 2 = 20سم /ث2 جـ معادالت الحركة ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش -كE 2 بالجمع نجد أن (ك + 1ك )2جـ = (ك - 1كE )2 ( 20ك + 1ك( 980 = )2ك - 1ك)2 = ( 49ك - 1ك)2 ك + 1ك2 = 49ك 49 - 1ك2 ك + 1ك2 = 48ك1 50ك2 25 ك1 = 24 ك2 = 24 : 25 ك : 1ك2
ش
ش
ك1
كE 1
ك2
كE 2
شكل ()81
حاول أن تحل
ُ 1علق جسمان كتلتاهما 21جم 28 ،جم من طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ،فإذا تحركت المجموعة من السكون ،فأوجد عجلة المجموعة ومقدار الشد فى الخيط وسرعة المجموعة بعد ثانيتين من بدء الحركة. مثال جسمان كتلتاهما 105جم 70 ،جم مربوطان فى طرفى خيط خفيف ثابت الطول ،يمر على بكرة صغيرة ملساء ،ويتدليان رأس ًّيا ،فإذا بدأت المجموعة الحركة من السكون عندما كانت الكتلتان فى مستوى أفقى واحد ،فأوجد مقدار عجلة حركة المجموعة ،وإذا اصطدم الجسم األول باألرض بعد أن قطع مسافة 50سم، فأوجد الزمن الكلى الذى يستغرقه الجسم الثانى من بدء الحركة حتى يسكن لحظ ًّيا.
كتاب الرياضيات التطبيقية
195
كو نل نحوين نينيمك الحل
معادالت الحركة: 105جـ = - 980 * 105ش 70جـ = ش 980 * 70 - ش بجمع المعادلتين نجد أن ش 175جـ = 980 * 35 = 196سم/ث2 جـ 70 عند لحظة اصطدام الجسم 105جم باألرض يكون استغرق زمنا ن1 105 ع = 2ع 2 + 20جـ ف ع50 * 196 * 2 + 0 = 2 980 * 70 ع = 140سم/ث 980 * 105 ع = ع + 0جـ ن شكل ()82 196 + 0 = 140ن ن = 5ثانية 7 عند اصطدام الجسم 105جم باألرض ،فإن الجسم 70جم ،يتحرك رأس ًّيا ألعلى بعجلة الجاذبية مبتد ًئا بالسرعة ع140 = 0سم /ث .فيسكن لحظ ًيا بعد زمن ن2 aع = ع E + 0ن ` 980 - 140 = 0ن = 1ثانية ن 7 ` الجسم 70جم يستغرق من بدء الحركة زم ًنا قدره ن حتى يصل إلى سكون لحظي حيث ن= ن + 1ن 67 = 17 + 57 = 2ثانية
حاول أن تحل
خيط خفيف يمر على بكرة مثبتة ملساء ،ويتدلى من أحد طرفيه جسم كتلته 90جم ،ومن الطرف اآلخر جسم كتلته 70جم ،وبدأت المجموعة حركتها من السكون عندما كانت الكتلة 90جم على ارتفاع 245سم من سطح األرض: أ أوجد الزمن الذى يمضى حتى تصل الكتلة 90إلى سطح األرض. ب أوجد الزمن الذى يمضى بعد ذلك حتى يصبح الخيط مشدو ًدا مرة أخرى. مثال
جسمان كتلتاهما 5كجم 3 ،كجم مربوطان فى طرفى خيط خفيف ،يمر على بكرة ملساء ،بدأت المجموعة حركتها من السكون عندما كان الجسمان فى مستوى أفقى واحد على ارتفاع 245سم من سطح األرض ،وبعد ثانية واحدة من بدء الحركة قُطع الخيط ،أوجد عجلة الحركة وسرعة كل من الجسمين عند وصوله لألرض.
19
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك
2 2
الحل
معادالت الحركة: 5جـ = - 9٫8 * 5ش ()1 3جـ = ش )2( 9٫8 * 3 - بالجمع نجد أن 8جـ = 9٫8 * 2 ` جـ = 2٫45م/ث2 عند لحظة قطع الخيط = ع + 0جـ ن ع = 2٫45 = 1 * 2٫45 + 0م/ث = ع ن 1 +جـ ن2 ف . 2 = 1٫225 = 1 * 2٫45 * 12 + 0متر بعد قطع الخيط الجسم 5كجم يتحرك رأس ًّيا ألسفل ع 2٫45 = 0م/ث 9٫8 = E ،م/ث ، 2ف = 1٫225 = 1٫225 - 2٫45متر aع = 2ع E 2 + 02ف ` ع1٫225 * 9٫8 * 2 + 2)2٫45 ( = 2
ش
ش 3 5
9٫8 * 5
9٫8 * 3
شكل ()83
` ع = 5 2049م/ث الجسم 3كجم يتحرك رأس ًّيا ألعلى حرا من نقطة على بعد ف من سطح األرض ليصل إلى سكون لحظى ثم مارا بنقطة بدء الحركة الحرة ثم إلى سطح األرض. يعود ً ع 2٫45 = 0م/ث 9٫8 - = E ،م/ث ، 2ف = 3٫675 - = )1٫225 + 2٫45( - aع = 2ع E 2 + 02ف = ( 3٫675 - * 9٫8 - * 2 + 2)2٫45
ع
= 13 49م/ث
حاول أن تحل
20
يمر خيط خفيف ثابت الطول على بكرة صغيرة ملساء مثبتة ،ويحمل من طرفيه كتلتين 12 ،20جم تتدليان رأس ًّيا ،أوجد عجلة حركة المجموعة والشد فى الخيط ،وإذا كانت المجموعة قد بدأت حركتها من السكون، وقُطع الخيط بعد مرور ثانيتين من لحظة بدء الحركة ،عين أقصى ارتفاع تصل إليه الكتلة 12جم عن موضعها األصلى عند بدء الحركة. مثال
4خيط خفيف يمر على بكرة رأسية ملساء ،علق فى أحد طرفيه ،جسم كتلته 40جم ،وفى الطرف اآلخر كتاب الرياضيات التطبيقية
19
كو نل نحوين نينيمك
جسمان كتلة كل منهما 30جمُ ،تركت المجموعة لتتحرك من سكون ،وبعد ثانية واحدة من بدء الحركة، انفصلت إحدى الكتلتين الصغيرتين عن المجموعة ،أوجد المسافة التى تصعدها الكتلة 40جم من بدء الحركة حتى تصل لسكون لحظي. الحل
معادالت الحركة: 60جـ = - 980 * 60ش 40جـ = ش 980 * 40 - ش بجمع المعادالت نجد أن 100جـ = 980 * 20 = 196سم/ث2 جـ لحظة انفصال الكتلة الصغرى = ع + 0جـ ن ع 980 * 40 = 196 = 1 * 196 + 0سم/ث شكل ()84 = ع ن 1 +جـ ن2 0 ف1 2 = 98 = 1 * 196 * 12 + 0سم بعد انفصال الكتلة الصغرى معادالت الحركة 40جـ = /ش980 * 40 - / ش / 30جـ - 980 * 30 = /ش بجمع المعادالت نجد أن 70جـ = 980 * 10 - = 140 -سم/ث2 جـ أى أن المجموعة تتحرك فى نفس اتجاهها السابق قبل انفصال الكتلة الصغرى، 980 * 40 ولكن بعجلة تقصيرية إلى أن تصل لسكون لحظى بعد أن تقطع مسافة ف ،2ثم شكل ()85 تغير اتجاه حركتها. aع2 = ع 2 + 02جـ ف 2 ` ف 137٫2 = 2سم 0 = ( 140 * 2 - )196ف2 ` الكتلة 40جم تصعد مسافة ف قبل أن تسكن لحظ ًّيا؛ حيث ف = ف + 1ف235٫2 = 2سم
ش
980 * 60
ش
980 * 30
حاول أن تحل
4خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء ،ويحمل فى أحد طرفيه ثقلين 20 ،235جم متصلين بخيط بحيث كان الثقل 20أسفل الثقل ،230وفى الطرف اآلخر ثقل قدره 235جم ،احسب العجلة المشتركة إذا تحركت المجموعة من سكون .وإذا قطع الخيط الذى يحمل الثقل 20جم بعد أن قطعت المجموعة مسافة 45سم ،وكان الثقل 235جم الهابط على مسافة 90سم من سطح األرض عندئذ ،فاحسب الزمن الذى يأخذه هذا الثقل حتى يصل إلى سطح األرض.
198
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك
2 2
حركة مجموعة مكونة من ج�صمين يتحرك اأحدهما على ن�صد اأفقى والآخر يتحرك راأ�ص ًّيا لأ�صفل Motion of system of two bodies connected by astring, one of which is hanging free and the other lying an a smooth horizontal plane
إذا ُربط جسمان كتلتاهما ك ،1ك 2فى طرفى خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء بحيث كان الجسم ك 2موضوع على مستوى أفقى والجسم ك 1يتدلى رأس ًّيا. ش
اأولاً :الم�ستوى الأفقى اأمل�صSmooth horizontal plane:
ك2
معادالت الحركة ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش ك 1 بجمع المعادلتين يحذف الشد ،ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة شكل ()86 (ك + 1ك )2جـ = كE 1 وبالتالى من أى من المعادلتين نُ ِ وجد الشد فى الخيط ش. كE 1 عند قطع الخيط كال من الجسمين يتحرك فى نفس اتجاهه السابق قبل قطع إذا قُطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن ،فإن ًّ الخيط. -1الكتلة ك 1تتحرك ألسفل بسرعة ابتدائية ع (هى السرعة نفسها لحظة قطع الخيط) ،وتحت تأثير عجلة الجاذبية األرضية -2الكتلة ك 2تتحرك على المستوى بسرعة منتظمة ع (هى السرعة نفسها لحظة قطع الخيط). الضغط على البكرة ش عند تعليق الكتلتين من طرفى الخيط المار على البكرة يصبح الخيط مشدو ًدا ونتيجة للشد الحادث فى الخيط تتولد قوة ضغط على محور البكرة تساوى محصلة قوتى ض الشد فى الخيط. ش شكل ()87 الضغط على البكرة = 2ش ش
ثانياًا :الم�ستوى الأفقى خ�سن
S
Rough horizontal plane
إذا كان مك هو معامل االحتكاك الحركى فإن = كE 2 S معادالت الحركة ش ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش -مكS ك 1 بجمع المعادلتين بحذف الشد ،ومن ثم يمكن حساب عجلة الحركة ( ك + 1ك )2جـ = ك - E1مكS وبالتالى من أى من المعادلتين نُ ِ وجد الشد فى الخيط ش كE 1
ش
كتاب الرياضيات التطبيقية
مك S
ك2
كE 2
شكل ()88
199
كو نل نحوين نينيمك
عند قطع الخيط. كال من الجسمين يتحرك فى نفس اتجاهه السابق قبل قطع إذا قُطع الخيط الواصل بين الجسمين بعد زمن ن ،فإن ًّ الخيط. 1الكتلة ك 1تتحرك ألسفل بسرعة ابتدائية ع (هى نفس السرعة لحظة قطع الخيط) وتحت تأثير عجلة الجاذبية األرضية. 2الكتلة ك 2تتحرك على المستوى بسرعة ابتدائية ع (هى نفس السرعة لحظة قطع الخيط) وبتقصير منتظم إلى أن تسكن ،ويمكن استنتاج عجلة الحركة التقصيرية من معادلة الحركة. ك 2جـ - = /مكS مثال 5جسم كتلته 45جرا ًما موضوع على نضد أفقى أملس ،ومربوط بخيط يتصل طرفه اآلخر بجسم كتلته 4 جرامات يتدلى رأس ًّيا ،ويمر الخيط على بكرة ملساء عن حافة النضد ،أوجد العجلة المشتركة للمجموعة والشد فى الخيط والضغط على البكرة. الحل
معادالت الحركة = - 980 * 4ش ()1 4جـ ()2 45جـ = ش بجمع المعادلتين نجد أن 49جـ = 980 * 4 = 80سم /ث2 جـ من ( )2ش = 80 * 45داين ` ش = 3600داين الضغط على البكرة = 2ش = 2 3600داين
S ش ش 4
980 * 45
شكل ()89 980 * 4
حاول أن تحل
5جسم كتلته 400جرام ،موضوع على نضد أفقى أملس ،ثم وصل بخيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء عن حافة النضد ،وحمل فى طرفه جس ًما آخر كتلته 90جرا ًما يتدلى رأس ًّيا ،أوجد العجلة المشتركة للجسمين والشد فى الخيط والضغط على البكرة. مثال جسم كتلته 60جم موضوع على مستوى أفقى خشن ،ومربوط بخيط يمر على بكرة ملساء عند حافة المستوى ومعلق بالطرف الخالص للخيط جسم كتلته 38جم ،فإذا تحركت المجموعة من السكون وقطعت مسافة 70 سم فى ثانية واحدة ،فاحسب معامل االحتكاك ،وإذا قُطع الخيط عندئذ ،فاحسب المسافة التى تتحركها الكتلة األولى بعد ذلك على المستوى حتى تسكن.
00
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك الحل
aف ` 70 جـ
=عن1 + 0 2 1 = * 2 + 0جـ * 1 جـ ن2
140سم/ث2
= = 980 * 60داين S معادالت الحركة = - E 38ش 38جـ - 980 * 38 = 140 * 38ش ()1 = ش -مكS. 60جـ = 140 * 60ش -م ك * 980 * 60 من ( )2( ، )1بالجمع نجد أن - 980 * 38 = 140 * 98مك * 980 * 60 ` م = 2 ك 5
S
()2
ش
ك2
م كS
ش ك1
عند لحظة قطع الخيط ع = ع + 0جـ ن = 1 * 140 + 0 E 38 ع = 140سم/ث بعد قطع الخيط الكتلة 60جم ،تتحرك بعجلة تقصيرية على المستوى الخشن حتى تسكن. معادلة الحركة ك جـ - = /مكS 60جـ= / / = جـ ع2 = ` = 0 ` ف =
2 2
E 60
شكل ()90
980 * 60 * 25 392سم /ث2ع 2 + 02جـ ف ( 392 * 2 - 2)140ف 25سم
حاول أن تحل
ور بط بخيط أفقى يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة عند ُوضع جسم كتلته 63جم على نضد أفقى خشنُ ، وربط فى الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته 35جم على ارتفاع 280سم من سطح األرض ،فإذا حافة النضد ُ كان معامل االحتكاك الديناميكى بين الجسم والمستوى يساوى ، 13فأوجد السرعة التى تصل بها الكتلة 35جم إلى سطح األرض والمسافة التى تتحركها الكتلة 63جم حتى تسكن. كتاب الرياضيات التطبيقية
01
كو نل نحوين نينيمك
مثال جسم كتلته 400جرام موضوع على نضد أفقى أملس ومربوط من جهتيه بخيطين يمر أحدهما على بكرة ملساء مثبتة فى حافة النضد التى تبعد عن الجسم مسافة 150سم ،ويتدلى منه رأس ًّيا جسم كتلته 100جم، بحيث كانت البكرتان والجسم بينهما على استقامة واحدة ،وبدأت المجموعة الحركة من السكون ،ثم قُطع الخيط الذى يحمل الكتلة 200جم بعد ثانية واحدة من بدأ الحركة ،فأوجد متى تصل الكتلة 400جم إلى حافة النضد. الحل
معادالت الحركة 200جـ = - 980 * 200ش1 400جـ = ش - 1ش2 ش1 ش2 100جـ = ش980 * 100 - 2 980 * 400 بجمع المعادالت نجد أن 100جم 200جم 700جـ = 980 * 100 = 140سم/ث2 جـ شكل ()91 عند لحظة قطع الخيط 980 * 100 980 * 200 = ع + 0جـ ن ع = 140 = 1 * 140 + 0سم/ث = ع ن 1 +جـ ن2 ف 0 2 = 70 = 1 * 140 * 12 + 0سم أى أن الكتلة 400جم قد أصبحت على بعد 80 = 70 - 150سم من حافة النضد. بعد قطع الخيط تتحرك المجموعة بعجلة تقصيرية ،يمكن استنتاجها من معادالت الحركة الجديدة وهي / 400جـ = -ش2 100جـ = /ش980 * 100 - 2 ` 500جـ980 * 100 - = / = 196 -سم/ث2 / جـ aع2 = ع 2 + 02جـ ف = ( 196 * 2 - 2)140ف `0 = 50سم ف = ع + 0جـ ن ع = 196 - 140ن 0 57 = 140ثانية ن2 = 196 ش1
0
الصف الثالث الثانوى
ش2
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك
2 2
أى أن الكتلة 400جم تسكن لحظ ًّيا بعد 57ثانية من لحظة قطع الخيط ،وهى على بعد قدره 30 = 50 - 80 سم من الحافة وعلى بعد قدره 200 = 50 + 70 + 80سم من الحافة األخرى. واآلن تغير المجموعة اتجاه حركتها وتتحرك فى االتجاه المضاد بعجلة مبتدئة من السكون. aف = ع ن 1 +جـ ن2 0 2 10 1 2 ` 196 * 2 + 0 = 200ن ` ن7 = 3 22 10 5 ` الكتلة 400تصل للحافة بعد زمن قدره 7 = 7 + 7 + 1ثانية
حاول أن تحل
جسم كتلته 14كجم موضوع على مستوى أفقى خشن ،معامل االحتكاك الحركى بينهما ُ ، 17ربط الجسم من جهتيه بخيطين خفيفين ،يمر أحدهما على بكرة ملساء عند حافة المستوى ،ويتدلى منه رأس ًّيا جسم كتلته 35 كجم ،ويمر الخيط الثانى على بكرة ملساء أخرى عند حافة المستوى المقابلة ،ويتدلى منه رأس ًّيا جسم كتلته 21كجم ،بحيث كانت البكرتان والجسم بينهما على استقامة واحدة ،فإذا تحركت المجموعة من سكون وجميع أجزاء الخيط مشدودة عندما كانت الكتلة 35كجم على ارتفاع 21سم من سطح األرض ،فأوجد سرعتها عندما تصطدم باألرض.
حركة ج�صمين مربوطين بخيط يمر على بكرة مل�صاء اأحدهما على م�صتو مائل والآخر يتدلى راأ�ص ًّيا Motion of system of two bodies connected by a string one of which is hanging free and the other lying on inclined plane
إذا ُر بط جسمان كتلتاهما ك ،1ك 2فى طرفى خيط خفيف غير ش مرن ،يمر على بكرة صغيرة ملساء ،بحيث كان الجسم ك،2 ش ى موضو ًعا على مستوى مائل يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ، والجسم اآلخر يتدلى رأس ًّيا ،فإذا كان ك > 1ك 2فإن الجسم ك ك1 2 E ج هـ ا هـ الموضوع على المستوى يتحرك ألعلى المستوى ،وتكون معادالت هـ كE 1 الحركة ك E 2جتا هـ كE 2 شكل ()92 ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش -ك E 2جا هـ وبجمع المعادالت يحذف الشد ،ويمكن الحصول على عجلة الحركة جـ ومن ثم يمكن إيجاد الشد فى الخيط .عند قطع الخيط الواصل بين الجسمين ،تتحرك الكتلة ك 1رأس ًّيا ألسفل بعجلة الجاذبية األرضية مبتدئة بالسرعة لحظة قطع الخيط .أما الكتلة ك 2فإنها تتحرك على المستوى المائل فى نفس اتجاه حركتها السابق بعجلة تقصيرية مبتدئة بالسرعة لحظة قطع الخيط حتى تسكن لحظ ًّيا ،ثم تغير اتجاه حركتها. S
الم�ص�فة الراأ�صية بين الكتلتين:
إذا بدأت المجموعة حركتها ،وكانت الكتلتان ك ،1ك 2فى مستوى أفقى واحد ،وقطعت المجموعة مسافة ف ،فإن المسافة الرأسية بين الكتلتين تساوى ف ( + 1جا هـ ) حيث هـ زاوية ميل المستوى على األفقي كتاب الرياضيات التطبيقية
0
كو نل نحوين نينيمك
ال�سغط على البكرة.
إذا كان الشد فى الخيط ش ،وكانت هـ قياس زاوية ميل المستوى على األفقي ،فإن الضغط على محور البكرة هو محصلة الشدين المتساويين فى الخيط ى - 90هـ ) = 2 + 2جا هـ ش = 2ش جتا ( ض = 2ش جتا مثال
2
2
ش ض
ش
شكل ()93
8جسم كتلته 3كجم ،موضوع عند أسفل نقطة فى مستوى مائل أملس ،طوله 210سم وارتفاعه 140سم ،يتصل هذا الجسم بجسم آخر كتلته 4كجم بواسطة خيط طوله 210سم منطبق على خط أكبر ميل للمستوى، ويتدلى الجسم اآلخر عند حافة المستوى العليا ،وبدأت المجموعة حركتها من السكون حتى وصلت الكتلة الكبرى إلى األرض ،واستقرت على حالة السكون .أوجد المسافة التى تتحركها الكتلة الصغرى على المستوى قبل أن تقف بفرض أن حركتها لم تتأثر بتصادم الكتلة الكبرى مع األرض. الحل
S
E 3 > E 4 aجا هـ ش ` اتجاه الحركة كما هو موضح على الرسم شكل ()94 معادالت الحركة للمجموعة: هـ 4جـ = - E 4ش E4 3جـ = ش E 3 -جا هـ E 3جتا هـ بجمع المعادلتين نجد أن كE 9٫8 * ) 140 7جـ = ( 210 * 3 - 4 = 2٫8م/ث2 جـ 140 نحسب سرعة وصول الجسم 4كجم لسطح األرض ع2 = ع 2 + 02جـ ف = 1٫4 * 2٫8 * 2 + 0 = 2٫8م/ث ع بعد وصول الجسم 4كجم لسطح األرض يتحرك الجسم 3ك على المستوى بعجلة تقصيرية. معادلة حركة الجسم المتحرك على المستوى المائل 3جـ E 3 - = /جا هـ ` جـ 98 - = /م/ث2 15 نوجد المسافة التى يتحركها على المستوى حتى يسكن. ع2 = ع 2 + 02جـ ف 2 98ف 0 = ( 15 * 2 - )2٫8 = 0٫6متر ف ` الكتلة 3كجم تسكن لحظ ًّيا على بعد مترين من قاعدة المستوى المائل. ش
04
الصف الثالث الثانوى
E3
هـ
شكل ()94 210 هـ
كتاب الطالب
ج ا هـ
ن��ي � ن���ح�ك
2 2
حاول أن تحل
2 وربط بخيط خفيف 8مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية جيبها ُ ، 3وضع عليه جسم كتلته 210جمُ ، يمر على بكرة صغيرة ملساء عند قمة المستوى ،ويحمل فى طرفه اآلخر كفة ميزان كتلتها 70جم ،وعليها جسم كتلته 210جم ،إذا بدأت المجموعة حركتها من السكون ،فأوجد الشد فى الخيط والضغط على الكفة مقدرين بوحدة ثقل جرام ،وإذا أبعد الجسم من الكفة بعد ٍ 7 ثوان من بدء الحركة ،فأثبت أن المجموعة تسكن لحظ ًّيا بعد مضى ٍ 8 ثوان أخرى.
مثال
9وضع جسم كتلته كيلوجرام واحد على مستوى مائل خشن ،يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث جا هـ = ، 13ومعامل االحتكاك الديناميكى بين الجسم والمستوى يساوى ، 2ربط الجسم بخيط ينطبق 2 حامال فى نهايته جسم على خط أكبر ميل للمستوى ،ويمر على بكرة ملساء عند قمة المستوى ،ويتدلى رأس ًّيا ً كتلته 3كجم ،أوجد الضغط على محور البكرة ،وإذا بدأت المجموعة حركتها من السكون وبعد أن قطعت الكتلة 1كجم مسافة 1٫8متر على المستوى قُطع الخيط الواصل بين الكتلتين. أوجد المسافة الكلية التى قطعتها الكتلة 1كجم على المستوى قبل أن تسكن لحظ ًّيا. الحل
E > E 3 aجا هـ ` اتجاه الحركة كما هو موضح على الرسم شكل ()95 = Eجتا هـ S = 2 2 * 9٫8 3
= 2 98نيوتن 15
معادالت الحركة 3جـ = - E 3ش جـ = ش -مك E - Sجا هـ بجمع المعادلتين نجد أن 4جـ = - E 3مك E - Sجا هـ 2 2
S
ش
ش
م
3كجم
حS
هـ
E3 Eجتا هـ
()1 ()2
Eجا
هـ E 1
شكل ()95 3 هـ
2 2
1 * 9٫8 - 2 98 3 15
4جـ = - 9٫8 * 3 = 4٫9م/ث2 جـ من ( )1نجد أن ش = 14٫7نيوتن ض = 2ش + 1جا هـ = 6 49 = 2 * 2 14٫7نيوتن 5 3 عند لحظة قطع الخيط ع = 2ع 2 + 20جـ ف = 1٫8 * 4٫9 * 2 + 0 ع = 4٫2م/ث كتاب الرياضيات التطبيقية
هـ
05
كو نل نحوين نينيمك
بعد قطع الخيط الجسم المتحرك على المستوى يتحرك بعجلة تقصيرية إلى أن يسكن لحظ ًّيا. معادلة حركة الجسم المتحرك على المستوى المائل. = -م ك - Sك Eجا هـ ك جـ 2 2
* 2 98 15
1 * 9٫8 * 13
* 1جـ- = / = 9٫8 -م/ث2 / جـ ع2 = ع 2 + 20جـ ف ` ف = 0٫9متر = ( 9٫8 * 2 - 2)4٫2ف 0 a ` الكتلة تقطع مسافة قدرها 2٫7 = 0٫9 + 1٫8متر حتى تسكن لحظ ًّيا
حاول أن تحل
9جسم كتلته كيلوجرام واحد موضوع على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ ،حيث جا هـ = 45ومربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء فى قمة المستوى ،حيث يتدلى من الطرف اآلخر للخيط كفة ميزان كتلتها 400جرام موضوع بها كتلة مقدارها 100جرام ،فإذا كان معامل االحتكاك بين الجسم والمستوى يساوى ، 13وتركت المجموعة للحركة من سكون والخيط منطبق على خط أكبر ميل للمستوى. فأوجد ضغط الكتلة على الكفة ،وإذا وضعت بالكفة كتلة أخرى مقدارها 100جرام بعد ثانية واحدة من بدء الحركة ،فأوجد الضغط على الكفة عندئذ والمسافة التى تتحركها المجموعة فى الثوانى الثالث التالية:
تمـــــــاريـــن 7 - 2
اأكمل م�ي�أتى : 1جسمان كتلة كل منهما 3كجم ،مربوطان فى طرفى خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة صغيرة ملساء ،إذا اكسبت المجموعة سرعة قدرها 2م/ث فإن : أ عجلة الحركة جـ = ..........................م/ث2 ب الشد فى الخيط س = ..........................ث /كجم ج المسافة التى قطعتها إحدى الكتلتين خالل ثانية واحدة من بدء الحركة مترا. ً ..........................
ش
ش
كE
شكل ()96
فى الشكل المقابل :إذا تحركت المجموعة من السكون فإن: ..........................م/ث2
أ عجلة المجموعة = ب سرعة المجموعة بعد 2ث = ..........................م/ث ج إذا انفصلت الكتلة 2ك عن المجموعة بعد 2ثانية فإن المجموعة تتحرك بعد ذلك بعجلة =
..........................
د المسافة التى قطعتها الكتلة ك فى ٍ 5 ثوان من بداية الحركة =
..........................
كE
ش
ش ك
ك
2ك
شكل ()97
0
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك
كتلتان مقدار كل منهما 420جم إحداهما موضوعة فى كفة ميزان كتلتها 140جم. وتحركت المجموعة من السكون فان: أ عجلة الحركة =
ش
ش
..........................سم/ث2
2 2
ب الشد فى الخيط = ..........................ث جم
420
ج الضغط على محور البكرة = ..........................ث جم
420
د الضغط على كفة الميزان = ..........................ث جم
شكل ()98
شكل ()98
4فى الشكل المقابل :جسمان كتلتاهما ك 2 ،ك مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء وتحركت المجموعة من السكون عندما كان الجسمان فى مستوى أفقى واحد. أ عجلة الحركة =
..........................م/ث2
ب الضغط على البكرة = ..........................ث كجم
ش
ج سرعة المجموعة بعد 32ثانية من بدء الحركة = ..........................م/ث
د المسافة الرأسية بين الجسمين بعد 32ثانية من بدء الحركة = ..........................متر.
2ك
هـ إذا قُطع الخيط بعد 32ثانية من بدء الحركة فإن الكتلة ك تصل للسكون اللحظى بعد زمن قدره ..........................ثانية
و إذا كانت المسافة بين الجسمين بعد زمن ن ثانية بعد قطع الخيط أصبحت مترا فإن ن = ..........................ثانية ً 12٫25 5فى الشكل المقابل: أ جـ =
..........................م/ث2
ب ش = ..........................ث كجم
ج الضغط على البكرة = ..........................ث كجم
د المسافة المقطوعة بعد 2ثانية = ..........................متر
ش
ش
ش 2كجم
2كE
ك كE
شكل ()99
S 5كجم E5
شكل ()100
هـ سرعة المجموعة بعد 2ثانية = ..........................م/ث
كتاب الرياضيات التطبيقية
0
كو نل نحوين نينيمك
فى الشكل المقابل: الجسم 3كجم موضوع على المستوى المائل ومتصل بخيط بالجسم 4كجم المتدلى رأس ًّيا .أكمل: أ عجلة المجموعة = .........................م/ث2
S
4 c30
E4
ب الشد فى الخيط = .........................نيوتن
c30
E3
ج الضغط على البكرة = .........................نيوتن
شكل ()101
اأجب عن الأ�صئلة الآتية :
فى كل من األشكال اآلتية أوجد : أ عجلة الحركة.
ب الشد فى الخيط.
ج الضغط على البكرة.
ش
ش
ش
ش
ش
ش
500جم
900جم
5كجم
5كجم
5كجم
E 500
E 900
E5
E5
E5
شكل ()102
شكل ()103
2كجم
شكل ()104
E2
ُ 8ربط جسمان كتلتاهما 5كجم 3 ،كجم فى نهايتى خيط يمر فوق بكرة صغيرة ملساء ،وحفظت المجموعة فى حالة اتزان وجزءا الخيط رأسيان إذا تركت المجموعة لتتحرك فأوجد مقدار عجلتها والضغط على البكرة، عين كذلك سرعة الجسم الذى كتلته 5كجم عندما يكون قد هبط 40سم. ُ 9علق جسمان كتلتاهما ك ،1ك 2حيث ك > 1ك 2فى طرفى خيط يمر على بكرة ملساء ،إذا كانت المجموعة تتحرك بعجلة 196سم/ث 2فأوجد ك :1ك2
ُ 10ربطت كتلتان 3ك ،ك جرام فى نهايتى خيط خفيف يمر على بكرة ملساء ،وحفظت المجموعة فى حالة اتزان وجزءا الخيط رأسيان ،فإذا تركت المجموعة تتحرك من سكون عندما كانت المسافة الرأسية بين الكتلتين 160سم والكتلة ك أسفل الكتلة 3ك .أوجد الزمن الذى تصبح فيه الكتلتان فى مستوى أفقى واحد. ُ 11علقت كفتا ميزان كتلة كل منهما 210جم فى طرفى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا ،وضع فى إحدى الكفتين جسم كتلته 700جم وفى الكفة األخرى جسم كتلته 840جم .أوجد عجلة الحركة للمجموعة والضغط على كل من الكفتين . ُ 1ربطت كتلتان 5ك 2 ،ك كجم فى نهايتى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء وحفظت المجموعة فى حالة اتزان ،وجزءا الخيط رأسيان ،فإذا تركت المجموعة تتحرك من سكون .فأوجد عجلة حركة المجموعة، وإذا كان الضغط على محور البكرة يساوى 112نيوتن ،فأوجد قيمة ك.
08
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ن��ي � ن���ح�ك
2 2
1جسمان كتلتاهما 420جم 560 ،جم مربوطان فى طرفى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء ،بدأت المجموعة الحركة من السكون عندما كان الجسمان فى مستوى أفقى واحد ،وبعد مرور ثانية واحدة قُطع الخيط الواصل بينهما ،فاحسب المسافة بين الكتلتين بعد مرور ثانية أخرى من قطع الخيط.
14جسم كتلته 4كجم موضوع على مستوى خشن يميل على األفقى بزاوية قياسها c30ويتصل بخيط يمر على بكرة صغيرة ملساء عند أعلى المستوى ويتدلى من الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته ك ،فإذا تحركت الكتلة 4كجم من سكون على المستوى إلى أعلى مسافة 560سم فى 2ثانية .فأوجد مقدار ك عل ًما بأن معامل االحتكاك الديناميكى بين الجسم والمستوى يساوى 3 وأيضا أوجد مقدار الضغط على محور البكرة. ً 2
15جسم كتلته 400جم ،موضوع على نضد أفقى أملس ،تم ُو ِص َل بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة فى حافة النضد ،ويحمل فى طرفه جس ًما آخر كتلته 90جم ،أوجد عجلة المجموعة والشد فى الخيط والضغط على البكرة. ، C 1ب جسمان كتلتاهما 200جم 45 ،جم على الترتيبُ ،وضع الجسم Cعلى نضد أفقى أملس ارتفاعه 90سم وعلى بعد 270سم من حافة النضد ووصل بخيط خفيف طوله 270سم يمر على بكرة صغيرة مثبتة عند كافة النضد ووصل الجسم ب بالطرف اآلخر للخيط عند حافة النضد ،فإذا أُزيح الجسم ب بهدوء ليسقط من حافة النضد ،فأوجد الزمن الذى يستغرقه Cبعد ذلك ليصل إلى حافة النضد. 1وضع جسم كتلته 200جم على نضد أفقى خشن معامل االحتكاك الديناميكى بينهما ، 12ثم ُربط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة عند حافة النضد ويتدلى من الطرف اآلخر للخيط جسم كتلته 200جم على ارتفاع متر واحد من سطح األرض ،فإذا بدأت المجموعة الحركة من سكون فاحسب: أ الضغط على البكرة بالنيوتن. ب سرعة اصطدام الكتلة المدالة بسطح األرض. ج المسافة التى تتحركها الكتلة الموضوعة على النضد حتى تسكن.
كتاب الرياضيات التطبيقية
09
كو نل نحوين نينيمك
1
2
3 4 5 6 7
كمية حركة جسم عند لحظة ما هى كمية متجهة مقدارها يساوى حاصل ضرب كتلة هذا الجسم فى سرعته عند هذه اللحظة واتجاهها هو اتجاه السرعة نفسه `= Xك ع التغير فى كمية حركة جسم = ك ( ع - 2ع) 1 ن2 9م = ك ن 1جـ Eن إذا كانت العجلة جـ دالة فى الزمن ن القانون األول لنيوتن :كل جسم يحتفظ بحالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية تغير من حالته، مبدأ القصور الذاتى :كل جسم قاصر أو عاجز بذاته عن تغيير حالته من حيث السكون أو الحركة المنتظمة فى خط مستقيم. القوة :القوة هى المؤثر الذى يغير أو يعمل على تغيير حالة الجسم من سكون أو حركة منتظمة فى خط مستقيم. القانون الثانى لنيوتن :معدل التغير فى كمية الحركة يتناسب مع القوة المحدثة له ويحدث فى اتجاهها. معادلة حركة جسم كتلته ك ويتحرك بعجلة منتظمة جـ ك جـ = حيث
X
Xمحصلة القوى المؤثرة على الجسم
Eع ½ إذا كانت جـ = Eن
فإن معادلة الحركة تأخذ الصورة :
Eع ½ إذا كانت جـ = ع Eف
ن1
ن2
EXن = ك
ع1
ع2
فإن معادلة الحركة تأخذ الصورة: ف2
ع2
ف E 1ف = ك ½ إذا كانت الكتلة متغيرة فإن معادلة الحركة تأخذ الصورة: =X
8الوحدات المستخدمة مع معادلة الحركة
ع1
E
Eن
Eع
عEع
( ك ع)
ك(كجم) .جـ ( م/ث = )2ق ( نيوتن) ك(جم) جـ (سم/ث = )2ق(داين
9القانون الثالث لنيوتن
ٍ مساو له فى المقدار ومضاد له فى االتجاه. لكل فعل رد فعل
10
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
10حركة المصاعد
ش
ش
S
كE
القوى المؤثرة على الشخص داخل المصعد شكل ()105
ض
(ك +ك )/د
ك /د
القوى الموثرة على المصعد والشخص م اًعا
القوى الموثرة على المصعد والشخص بداخله
شكل ()107
شكل ()106
البكرات البسيطة:
½ معادالت الحركة ك 1جـ = ك - E 1ش ك 2جـ = ش -كE 2 الضغط على البكرة = 2ش
ش
ش
ك1
ك2
شكل ()108
½ معادالت الحركة ك1جـ = ك - E1ش ك 2جـ = ش الضغط على البكرة = ش 2
كE 1 ش
ك2
ش ك1
½ معادالت الحركة ك1جـ = ك - E1ش ك 2جـ = ش -ك E2جا هـ ى الضغط على البكرة = 2ش جتا = ش 2 + 2جا هـ 2
شكل ()109
كE 1 ش ك1
كE 2
ى
كE 1
ش
ك
2
هـ
ك E 2جا
شكل ()110 كتاب الرياضيات التطبيقية
11
هـ
كو نل نحوين نينيمك
اأكمل م� ي�أتى:
1جسم كتلته 40كجم يكون وزنه: أ بثقل الكيلوجرام .......................... ب بالنيوتن ..........................
مترا. جسم يتحرك بسرعة قدرها 135كم/س فإنه يقطع فى الثانية الواحدة ً .......................... مستوى مائل طوله 200سم وارتفاعه 150سم يكون جيبا زاوية ميله على األفقى
..........................
4جسم كتلته 8أطنان يتحرك بسرعة منتظمة وكانت المقاومة التى يالقيها لكل طن من الكتلة 4٫5ث كجم فإن القوة المحركة بالنيوتن.......................... 5جسم كتلته 35كجم ،موضوع على ميزان ضغط مثبت فى أرضية مصعد يتحرك بسرعة قدرها 4م/ث وكانت قراءة الميزان 343نيوتن فإن المسافة التى يقطعها المصعد فى ٍ 7 ثوان ..متر 147نيوتن =
..........................
ث كجم
1ث كجم = ..........................نيوتن
اأجب عن الأ�صئلة الآتية:
8كرة من المطاط كتلتها 200جم قُذفت أفق ًّيا بسرعة 30م/ث اصطدمت بحائط رأسى فارتدت بسرعة 26م/ث فأوجد التغير الحادث فى كمية حركة الكرة نتيجة للتصادم بوحدة كجم .م/ث 9سيارة كتلتها 6أطنان تتحرك تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع السرعة فإذا كانت المقاومة 5ث كجم لكل طن عندما كانت سرعتها 36كم/س أوجد قوة محرك السيارة إذا كانت أقصى سرعة لهذه السيارة 40م/ث.
10قطار كتلته 160ط ًّنا ،بدأ من السكون من إحدى المحطات وكانت قوة المحرك تزيد بمقدار 4ث طن عن المقاومة الكلية لحركة القطار وعندما بلغت سرعته 44٫1كم/س استمر يسير بهذه السرعة مدة من الزمن ثم ضغط على تقصيرا مقداره 17٫5سم/ث ،2ووقف الفرامل فأكسبته ً القطار فى المحطة التالية التى تبعد 4998متر عن المحطة التى تحرك منها القطار ،أوجد الزمن المستغرق فى قطع المسافة بين المحطتين.
11يمر خيط خفيف على بكرة صغيرة ملساء ،ويتدلى من أحد طرفيه جسم كتلته 800جم ومن الطرف اآلخر ميزان زنبركى كتلته 400جم ،معلق به جسم كتلته ك جم .إذا تحركت المجموعة من السكون وكانت قراءة الميزان أثناء الحركة 160ث جم ،فأوجد قيمة ك .
1
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
1كتلتان 600 ،1300جم موضوعتان على مستوى أفقى أملس ومتصلتان بخيط مشدود بينهما طوله 50سم، ثم ربطت الكتلة 600جم بخيط آخر على استقامة األول يمر على بكرة ملساء مثبتة فى حافة المستوى القريب من الكتلة الثانية و ُعلق فى الطرف اآلخر للخيط كتلة قدرها 100جم تتدلى رأس ًّيا أوجد مقدار عجلة المجموعة ومقدار الشد فى كل من الخيطين ،وإذا قُطع الخيط الواصل بين الجسمين األولين بعد 2ث من بدء الحركة ،فما المسافة بين الجسمين بعد 1ث من لحظة قطع الخيط؟ 1جسمان كتلتاهما 350جم،ك جم مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا ،بدأت المجموعة الحركة من سكون عندما كانت الكتلتان فى مستوى أفقى واحد ،وكان الضغط على محور البكرة 200ث/جم أوجد ك والمسافة الرأسية بين الجسمين بعد ثانية واحدة من بدء الحركة.
ُ 14علق جسمان كتلة كل منهما ك كجم من طرفى خيط خفيف يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبتة رأس ًّيا ،وكان جزءا الخيط يتدليان رأسيا وعند إضافة جسم كتلته 2كجم ألحد الجسمين أصبحت قيمة الشد فى الخيط 8 ًّ 7 قيمته فى الحالة األولى ،أوجد ك. 15خيط خفيف ثابت الطول يمر على بكرة صغيرة ملساء مثبت فى أحد طرفيه جسم كتلته 60جم وفى الطرف اآلخر جسمان كتلتاهما 40جم 50 ،جم ،إذا بدأت المجموعة الحركة من سكون فأوجد عجلة الحركة والشد فى الخيط الذى يصل الكتلتين 40جم 50 ،جم إذا انفصل الجسم الذى كتلته 50جم بعد ثانيتين من بدأ الحركة فأثبت أن المجموعة تسكن لحظ ًّيا بعد ثانيتين من لحظة االنفصال. 1جسمان كتلتاهما 260جم 230 ،جم ،مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا، بدأت المجموعة الحركة من سكون عندما كانت الكتلة الكبرى على ارتفاع 270سم من سطح األرض ،أوجد عجلة المجموعة والشد فى الخيط والزمن الذى يمضى حتى تصل الكتلة الكبرى لألرض . 1جسمان كتلتاهما 260جم 230 ،جم ،مربوطان فى طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء ويتدليان رأس ًّيا فى مستوى أفقى واحد على ارتفاع 70سم من سطح األرض ،فإذا بدأت المجموعة حركتها من السكون وقطع الخيط بعد ثانية واحدة من بدء الحركة فاحسب السرعة التى يصل بها كل من الجسمين إلى سطح األرض.
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات التطبيقية
1
الوحدة الثالثة -الدفع والتصادم Impulse and Collisiom
الوحدة
3
مقدمة الوحدة سبق أن درسنا بعض الكميات الفيزيائية التى بواسطتها نستطيع أن نصف حركة األجسام ،مثل السرعة والتسارع ،الكتلة .وفى هذه الوحدة سوف نتعرف على كميات أخرى تشارك فى وصف حركة األجسام. فى بعض األحيان ،نلحظ اً مثل أن هناك سهولة فى أن نوقف حركة خرزة صغيرة تتدحرج ،عن أن نوقف كرة بولينج ،بالرغم من أن الجسمين يتحركان بالسرعة نفسها .فنجد أن اً كل الجسمين يتحرك حركة انسحابية فى خط مستقيم. وهناك ملحظة اخرى ،وهى أن الشاحنة الكبيرة تبذل جهداًا كبي اًرا لكى يوقف الشاحنة فجأة ،بالرغم من أن سرعتها قد ال تكون كبيرة فى حين يستطيع سائق السيارة الصغيرة أن يوقف سيارته خلل مسافة أقل رغم أن سرعتها قد تكون كبيرة. طا اً من الملحظتين السابقتين يتضح أن السرعة والكتلة مرتبطتان معاً ا أرتبا اً وثيقا وهو ما يعرف بكمية الحركة ،ونظرا لثبوت كتلة الجسم فى معظم الحاالت فإن السرعة هى التى تتغير ،والتغير فى السرعة يعنى حدوث تسارع للحركة ،والتسارع يعنى أن هناك قوة محصلة وعليه ،فإن أى تغير فى السرعة يغير كمية الحركة. كما أن هناك عامل آخر مهم وهو الفترة الزمنية التى تؤثر خللها القوة فى الجسم المتحرك ثم أن القوة والزمن عاملن ضروريان إلحداث تغير فى كمية الحركة ،ويكون حاصل ضربهما هو ما يعرف بالدفع .Impulse . ويعتبر تصادم االجسام تطبيقا عملياًا لكمية الحركة؛ فحينما يتصادم جسمان فى غياب أى مؤثر خارجى نجد أن محصلة كمية الحركة لكل من الجسمين قبل التصادم وبعده متساوية وعليه فإن محصلة كمية الحركة قبل التصادم تساوى محصلة كمية الحركة بعد التصادم. وهناك صور عديدة للتصادم فهنالك تصادم مرن وآخر غير مرن ،وذلك سوف نتعرف عليه من خلل دراستنا لهذه الوحدة.
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: يتعرف مفهوم الدفع
يستنتج العالقة بين الدفع والتغير فى كمية الحركة.
يتعرف التصادم المرن.
يستنتج أن مجموع كميتى الحركة لجسمين قبل التصادم يساوى مجموع كميتى الحركة لنفس الجسمين بعد التصادم
214
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñالدفع
Impulse
Ñكمية الحركة
Momentum
Ñالقوى الدفعية
Ñالتصادم المرن
Ñتصادم الكرات الملساء
Collision smooth balls
Impulsive forces
دروس الوحدة ( :)1 - 3الدفع
Elastic
األدوات والوسائل .Impulse
آلة حاسبة علمية .
(:) 2 - 3التصادم collision
مخطط تنظيمى للوحدة
الدفع والتصادم
كمية الحركة
الدفع
التصادم
العالقة بينهما تصادم مرن
القوة الدفعية
تصادم غير مرن
وحدات القياس
كتاب الرياضيات التطبيقية
215
الدفع
الوحدة الثالثة
1-3
سوف تتعلم
يتعرف مفهوم الدفع
يستنتج العالقة بني الدفع والتغري ىف كمية احلركة
Impulse
تمهيد :ماذا تالحظ عند: قذف كرة فى اتجاه حائط رأسى. تصادم السيارات على الطرق السريعة. تصادم عجالت الطائرات بأرض المطار أثناء الهبوط.فى مثل هذه الحاالت تكون دراسة حركة األجسام عملية شاقة للغاية نتيجة تشابك العوامل المؤثرة عليها ولصغر الفترات الزمنية المتناهية .وسوف ندرس فى هذا الدرس بعض المعلومات الخاصة بذلك لربط حالة الجسم قبل وبعد حدوث التغير فى متجه سرعته من خالل هذا النشاط.
نشاط
نوع الكرة
األدوات :مسطرة خشبية طويلة يزيد ........................ 2متر طولها عن متر ،مجموعة من الكرات كرة بلياردو المختلفة مثل كرة جولف ،كرة تنس ، ........................ 2متر كرة تنس كرة بلياردو ،كرة من الصلصال... ، ........................ 2متر كرة خشبية العمل :قم بإسقاط هذه الكرات تبا ًعا ........................ 2متر كرة جولف من ارتفاع ثابت وليكن 2متر على أرضية ........................ 2متر غرفة من الرخام أو السيراميك وسجل كرة بولينج ........................ 2متر كرة طاولة االرتفاع الذى ترتد إليه كل كرة. ........................ 2متر المالحظة واالستنتاج :هل الحظت كرة صلصال أختالفًا فى االرتفاعات التى ترتد إليها الكرات المختلفة؟ هل يمكنك ترتيب الكرات حسب مسافة االرتداد لكل منها ترتي ًبا تنازل ًيا؟ يرجع اختالف مسافة االرتداد إلى عدة عوامل منها التغير فى كمية حركتها نتيجة تصادم الكرة باألرض. ابحث فى شبكة المعلومات الدولية عن كل من الدفع وكمية الحركة. كرة زجاجية
المصطلحات األساسية الدفع
Impulse
كمية احلركة
Momentum
القوى الدفعية Impulsive forces
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
االرتفاع أقصى ارتداد 2متر
........................
ا اً أول :الدفع إذا أثرت قوة Xثابتة المقدار على جسم خالل فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة، ونرمز له بالرمز د يعرف بأنه حاصل ضرب متجه القوة فى زمن تأثيرها أى أن: د = Xن
216
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
عفدلا
3 3
يتضح من هذا التعريف أن الدفع د كمية متجهة لها نفس اتجاه متجه القوة X
ويمكن كتابة العالقة بين القياس الجبرى للدفع د والقياس الجبرى للقوة Xكاآلتى: د = Xن
وحدات قيا�س مقدار الدفع: من تعريف الدفع نجد أن: وحدة قياس مقدار الدفع = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس الزمن أيضا أن يقاس بحاصل ضرب أى وحدة قوة ففى النظام الدولى للوحدات يقاس مقدار الدفع بوحدة نيوتن .ث ويمكن ً فى أى وحدة زمن. كما يمكن التعبير عن وحدات قياس مقدار الدفع بطريقة اخري بمالحظة أن: كجم.م/ث ،جم.سم/ث ... ، لذلك نجد أن :إذا كانت الكتلة بالكيلو جرام و السرعة متر/ثانية فإن وحدة مقدار الدفع تكون كجم.م/ث وهى نفس الوحدة نيوتن.ث وعندما تكون الكتلة بالجرام والسرعة سم/ث فإن وحدة مقدار الدفع تكون جم.سم/ث وهى نفس الوحدة داين.ث مثال عىل تعريف الدفع 1 10ثانية ،أوجد دفع القوة على الجسم بوحدة نيوتن .ث 1أثرت قوة مقدارها 25ث كجم على جسم لفترة زمنية قدرها الحل
الدفع = : Xن 1 24٫5 = 10نيوتن .ث = * 9٫8 * 25
حاول أن تحل
1أثرت قوة مقدارها 1210داين على جسم لفترة زمنية 5 - 10ثانية ،أوجد دفع القوة على الجسم بوحدة نيوتن .ث مثال إيجاد مقدار الدفع 2أثرت القوى + N 3 - M 4 = 1Xع 2 + M = 2X ،ع - N 4 = 3X ،ع على جسم لفترة زمنية قدرها 5ثوان ،أوجد مقدار دفع القوة إذا كان مقدار القوى يقاس بوحدة نيوتن. الحل
+ 2X + 1X = X = ( + N 3 - M 4ع ) 2 + M ( +ع ) - N 4( +ع ) 3X
= 2 + N + M5ع ، aد = * Xن = 2 + N + M 5( 5ع ) (2)10( + 2)5( + 2)25 مقدار الدفع = = 30 5نيوتن .ث
كتاب الرياضيات التطبيقية
217
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف����� حاول أن تحل
2أثرت القوى M 5 - N = 2X ، N 3 + M 2 = 1Xعلى جسم لمدة ثانية واحدة ،أوجد مقدار دفع القوة على الجسم إذا كان معيار القوة يقاس بوحدة نيوتن.
ثانياًا :الدفع وكمية الحركة حيث أن دفع قوة ثابتة المقدار Xعلى جسم لفترة زمنية ن يساوى Xن ومن القانون الثانى لنيوتن نجد أن : الدفع = ك جـ :ن ` الدفع = ك ( ع -ع): حيث ع ،:ع هما القياسان الجبريان لمتجهى السرعة االبتدائية والسرعة بعد زمن ن على الترتيب أى أن الدفع يساوى التغير فى كمية الحركة. أما إذا كانت القوة متغيرة فإن الدفع يعطى بالتكامل اآلتى : الدفع =
`
ن
0
ن
0 ن 0
ن
ن
0
E Xن
E Xن
E Xن E Xن
= 0
ن
=ك
aع = ع + :جـ ن ` ع -ع = :جـ ن
ك جـ Eن ن
0
تذكر اأن
ن
Eع )Eن ( Eن
=كE 0ع ن =ك[ع] 0
EX 0ن = ك ( ع -ع): على وجه العموم الدفع يساوى التغير فى كمية الحركة X
5
القوة ثابتة المقدار
5 K
4
الدفع =
218
3 ن1
2 ن2
X
القوة متغيرة المقدار
4
1
5 4
3
3
2
2
1
1
0
EXن الصف الثالث الثانوى
5 K
4
الدفع =
3 ن1
2 ن2
1
0
EXن كتاب الطالب
عفدلا
3 3
مثال الشكل المقابل يمثل منحنى القوة -الزمن حيث ( + 1 = Xن 2)2-أوجد : أ دفع القوة Xخالل الثوانى الثالث األولى . ب دفع القوة Xفى الثانية الخامسة.
الحل
حيث مقدار القوة Xبالنيوتن ،الزمن ن بالثانية ( + 1 = Xن 2 )2- = Xن4 - 2ن 5 + أ الدفع خالل الثوانى الثالث األولى
=0 =0
3
3
= [1 3
ن
EXن
(ن4 - 2ن E )5+ن
ن2 - 3ن2
= 6نيوتن .ث
ب الدفع خالل الثانية الخامسة
=4
5
0 1 2 3 4 5
X 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5 +ن]0
3
قEن
= ( 5 4ن 4 - 2ن E )5 +ن = [1 3 22 = 3نيوتن .ث
ن2 - 3ن 5 + 2ن]5
حاول أن تحل
4
الشكل المقابل يمثل منحنى القوة -الزمن أوجد مستخد ًما التكامل .
أ دفع القوة Xخالل الثانية األولى ب دفع القوة Xخالل الثوانى الخمسة األولى حيث مقدار القوة Xبالنيوتن ، الزمن ن بالثانية .
ن
0 1 2 3 4 5
X 5 4 3 2 1
القوى الدفعية تغيرا القوى الدفعية هى قوة كبيرة جدا تؤثر لفترة زمنية صغيرة للغاية وتحدث ً تغيرا يذكر فى موضعه والحركة ً هائال فى كمية حركة الجسم دون أن تحدث ً الناتجة عند تأثير هذه القوى تسمى حركة دفعية كمثال على ذلك كرة البيسبول صغيرا للغاية مع أن متوسط عندما ُتضرب فإن زمن التالمس بين المضرب والكرة ً كبيرا بما يكفى ليغير كمية حركة الكرة دون تغير يذكر فى موضع الكرة القوة المؤثرة على الكرة كبير ً جدا ويكون الدفع ً عند تأثير قوة دفعية على جسم يكون ك ع . X + 1ن = ك ع 2حيث ن فترة زمنية صغيرة للغاية. ك ع2
=
:Xن
+ كتاب الرياضيات التطبيقية
ك ع1
219
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
مثال الدفع و كمية الحركة 4جسم ساكن كتلته 4كجم موضوع على مستوى أفقى أملس ،أثرت عليه قوة أفقية مقدارها 5نيوتن لمدة 8ثانية .أوجد مقدار الدفع على الجسم ومقدار سرعة الجسم بعد 8ثانية. الحل
aالدفع = ق .ن ` الدفع = 40 = 8 * 5نيوتن .ث aالدفع = التغير فى كمية الحركة = 40ك (ع -ع). ( 4 = 40ع )0 - ع = 10م/ث حاول أن تحل
1 49ثانية ،فغيرت سرعته من 3م/ث إلى 54كم/س فى 4أثرت قوة ثابتة مقدارها Xعلى جسم كتلته ك لمدة
اتجاه القوة ،وكان دفع القوة يساوى 4٫8نيوتن .ث فأوجد كتلة الجسم ومقدار القوة بثقل الكجم.
مثال التعبري عن الدفع و كمية الحركة باستخدام املتجهات 5أثرت قوة N 7 + M 2 = Xعلى جسم كتلته 5كجم لمدة 10ثانية عندما كان متجه سرعته ع = ، N 2 - Mأوجد سرعته بعد تأثير القوة إذا كان مقدار القوة بوحدة نيوتن ،السرعة بوحدة م/ث. الحل
aالدفع = التغير فى كمية الحركة ` : Xن = ك ( ع -ع) 0
` (5 = ) N 7 + M 2( 10ع -ع) 0
` ع -ع) N 7 + M 2( 2 = 0
`` ع = N 2 - M + N 14 + M 4
`` ع = N 12 + M 5
` ع = ) N 2 - M ( + ) N 7 + M 2( 2
` || ع || =
13 = 144 + 25م /ث
حاول أن تحل
5جسم كتلته 3كجم يتحرك بسرعة ع = ، N 2 - M 5أثرت عليه قوة ثابتة لمدة زمنية ن وكان دفع القوة على الجسم يساوى ، N 9 + M 6أوجد سرعة الجسم بعد تأثير القوة إذا كانت السرعة بوحدة م/ث، مقدار الدفع بوحدة نيوتن .ث.
220
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
عفدلا
اتجاه الحركة
الحظ أن ½ عند سقوط جسم وزنه «و» رأس ًيا على سطح األرض فإن:
S
+
ضغط الجسم على األرض = رد فعل األرض على الجسم = + Xو
3 3
X و X
½ عند قذف جسم وزنه « و » رأس ًيا وأصطدامه بسقف حجرة فإن:
+
اتجاه الحركة
ضغط الجسم على السقف = رد فعل السقف على الجسم = - Xو
½ عند قذف جسم وزنه « و » أفق ًيا وأصطدامه بحائط رأسى فإن:
+
S و
اتجاه الحركة
ضغط الجسم على الحائط = رد فعل الحائط على الجسم = X
S
حيث Xهو مقدار القوة الدفعية فى كل من الحاالت السابقة
X
و
مثال الحركة الرأسية 6سقطت كرة من المطاط كتلتها 14كجم من ارتفاع 10متر عن سطح األرض فارتدت بعد اصطدامها باألرض إلى ارتفاع 2٫5متر ،أوجد الدفع الناتج عن تصادم الكرة على األرض وعين رد فعل األرض على الكرة إذا كان زمن تالمس الكرة مع األرض 1 10ثانية.
الحل
دراسة مرحلة السقوط aع = 2ع E 2 + 2.ف ` ع10 * 9٫8 * 2 + 0 = 21 `ع 14 = 1م /ث وهى سرعة الكرة قبل مالمستها لألرض مباشرة.
الدفع = التغير فى كمية الحركة = ك (ع - 2ع)1
دراسة مرحلة االرتداد aع = 2ع E2 + .2ف ` = 0ع2٫5 * 9٫8 * 2 - 2 2 ` ع7 = 2م /ث ` سرعة االرتداد = 7م /ث رأسيا إلى أعلى
= 5٫25 = ])14 - ( - 7[ 14كجم .م/ث 1 aالدفع = . Xن ` 10 * X = 5٫25
= 54٫95 = 9٫8 * 14 + 52٫5نيوتن
اتجاه الحركة
+
` 52٫5 = Xنيوتن
رد فعل األرض على الكرة = القوة الدفعية +وزن الكرة
ع0 = 0 ع=0 E
= 9٫8 -م /ت2
ف = 2٫5م
كتاب الرياضيات التطبيقية
ع2
ف = 10م =E
9٫8م /ت2
ع1
221
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف����� حاول أن تحل
6جسم كتلته 300جم قذف رأس ًيا ألعلى بسرعة 840سم/ث من نقطة تقع أسفل سقف حجرة بمقدار 110سم فاصطدم بالسقف وارتد إلى أرض الحجرة بعد 12ثانية من االرتداد .أوجد دفع السقف للجسم عل ًما بأن ارتفاع السقف 272٫5سم ،وإذا كان زمن تالمس التالمس 1 10ثانية فأوجد القوة الدفعية.
تفكير ناقد:
كرة من الصلصال كتلتها 1كجم سقطت من ارتفاع 40سم على ميزان ضغط وكان زمن الصدمة 17ثانية فأوجد قراءة الميزان عل ًما بأن الكرة لم ترتد بعد الصدمة.
مثال الحركة األفقية 7كرة كتلتها 100جم تتحرك أفق ًيا بسرعة 9م /ث .أصطدمت بحائط رأسى وارتدت بسرعة قدرها 7٫2كم /س فإذا 1 10من الثانية فأوجد دفع الحائط للكرة ثم أوجد ضغط الكرة على الحائط. كان زمن تالمس الكرة مع الحائط الحل
باعتبار أن اتجاه األرتداد هو اإلتجاه الموجب للحركة 5 2 = 18م/ث `ع9 - = 1م/ث ،ع* 7٫2 = 2 aد = ك (ع - 2ع)1 ` د = 100 0٫11 = ])9 - ( - 2 [ 1000كجم .م/ث 1 aد=*Xن ` 10 * X = 0٫11
+ ` 1٫1 = Xنيوتن
ع9 = 1م /ث
اتجاه الحركة ع 7،2 = 2كم /س
حاول أن تحل
7كرة تنس كتلتها 40جم تتحرك أفق ًيا بسرعة 50سم /ث أصطدمت بالمضرب فارتدت فى االتجاه المضاد 1 49من بسرعة 110سم/ث .أوجد مقدار دفع المضرب على الكرة .وإذا كان زمن تماس الكرة مع المضرب الثانية فما مقدار قوة دفع المضرب على الكرة؟
تمــــاريــن 1 - 3
اأول :اأختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة:
1إذا أثرت قوة مقدارها 16ث كجم على جسم لمدة ربع ثانية فإن مقدار دفع القوة على الجسم بوحدة نيوتن .ث تساوى. د 64 ج 49 ب 32 أ 4 2إن كان مقدار دفع قوة Xعلى جسم لمدة 4 - 10ثانية يساوى 10نيوتن .ث فإن مقدار Xيساوى: د 510نيوتن ج 310نيوتن ب 510داين أ 3 10داين
إذا أثرت القوتان 7 + N 5 + M = 1Xع 2 - N - M 2 = 2X ،ع على جسم لفترة زمنية قدرها 2ثانية فإن مقدار دفع القوى بوحدة نيوتن .ثانية يساوى: د 2 100 ج 2 50 ب 2 10 أ 2 5
222
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
عفدلا
ج 20
د 50
Kبالثانية
0 1 2 3 4 5 6 7
Xبالنيوتن
4إذا أثرت قوة ثانية المقدار على جسم لفترة زمنية كما هو معطى فى الشكل فإن مقدار الدفع بوحدة نيوتن .ثانية تساوى. ب 12 أ 8
5 4 3 2 1 0
3 3
5إذا أثرت قوة مقدارها 90نيوتن على جسم كتلته 10كجم لمدة 5ثوان ،فإن مقدار التغير فى سرعة الجسم فى اتجاه القوة نفسه يساوى. د 120م/ث ج 90م/ث ب 50م/ث أ 45م/ث
ج 3000
ثانيا :اجب عن الأ�صئلة الآتية :
د 4000
Xبالنيوتن
6جسم كتلته 20كجم موضوع على مستوى أفقى أملس فإذا تحرك هذا الجسم تحت تأثير قوة اتجاهها ثابت ويتغير مقدارها مع الزمن كما هو موضح بالشكل فإن مقدار الدفع لهذه القوة بعد 40ثانية بوحدة نيوتن ،ثانية يساوى: ب 2000 أ 1000
100
Kبالثانية
40
30
20
10
7أطلقت رصاصة كتلتها 20جم من بندقية أفقيا ،فإذا إستمر مسارها داخل البندقية لمدة 0٫5ثانية وكان مقدار قوة دفع البندقية عليها 20نيوتن أوجد سرعة خروج الرصاصة من فوهة البندقية. 8مدفع سريع الطلقات يطلق الرصاصات رأسيا ألعلى ،كتلة الواحدة منها 500جم فإذا كان متوسط قوة دفع الغاز فى إسطوانة المدفع على الرصاصة هو 250نيوتن وتؤثر على الرصاصة لمدة 0٫2ثانية حتى لحظة خروج الرصاصة من فوهة المدفع احسب زمن وصول الرصاصة إلى أقصى ارتفاع مستخدما العالقة بين الدفع وكمية الحركة. 9سقطت كرة من المطاط كتلتها 20جم من إرتفاع 6٫4متر من سطح األرض فارتدت رأس ًيا إلى أعلى فإذا كان متوسط القوة التى تبذلها األرض على الكرة 410 * 182داين وأن زمن تالمس الكرة باألرض 0٫02من الثانية فأوجد. ب أقصى إرتفاع وصلت إليه الكرة بعد إرتدادها أ مقدار دفع األرض للكرة
10تتحرك كرة ملساء كتلتها 200جرام فى خط مستقيم على أرض أفقية ملساء بسرعة 10م/ث فإذا إصطدمت الكرة بحائط رأسى أملس وارتدت بسرعة 4م/ث أوجد: أ مقدار دفع الحائط على الكرة ب مقدار قوة دفع الحائط للكرة إذا كان زمن تالمس الكرة على الحائط 0٫05من الثانية.
كتاب الرياضيات التطبيقية
22
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
11عربة سكة حديد كتلتها 10طن تسير بسرعة 18كم/س صدمت حاجز األصطدام وارتدت بسرعة 9كم /س أوجد مقدار دفع الحاجز للعربة. 12عربة ساكنة كتلتها 1طن دفعت فى اتجاه حركتها بقوة 200ث كجم لمدة 5ثوان ثم تركت العربة وشأنها فعادت إلى حالة السكون مرة أخرى بعد 15ثانية أوجد مقدار المقاومة بفرض ثبوتها فى الحالتين وكذلك أقصى سرعة وصلتها العربة مستخدما العالقة بين الدفع وكمية الحركة. 1قذفت كرة كتلتها 1كجم رأسيا ألعلى وباتجاه سقف يرتفع عن نقطة القذف مسافة 360سم بسرعة مقدارها 14م /ث فإذا إصطدمت الكرة بالسقف وارتدت بسرعة 10م/ث أوجد مقدار قوة دفع السقف على الكرة إذا كان زمن تالمس الكرة مع السقف 0٫02من الثانية.
14مدفع سريع الطلقات يطلق 600رصاصة فى الدقيقة .كتلة كل واحدة منها 39٫2جرام بسرعة 1260كم/س إحسب قوة رد الفعل المؤثر على المدفع بثقل الكيلو جرام. 15كرة كتلتها 1500جرام سقطت من إرتفاع 2٫5متر على سطح سائل لزج فغاصت فيه بسرعة منتظمة وقطعت مسافة 70سم فى 0٫2من الثانية احسب مقدار دفع السائل على الكرة.
16أثرت القوى + M 3 = 2X ، N - M C = 1Xب N 2 + M C = 3X ، Nعلى جسم لمدة 12ثانية وكان دفع هذه القوى على الجسم يعطى بالعالقة د = N 4 + M 2أوجد قيمة ، Cب. 17جسم كتلته 20جم سقط من ارتفاع 40سم عن سطح بركة من الماء فغاص فى الماء وقطع مسافة 210سم خالل ثانية واحدة بعجلة 2٫1م /ث 2أوجد مقدار دفع الماء على الجسم.
224
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
التصادم
الوحدة الثالثة Collision
2-3
مقدمة : يعتبر تصادم األجسام تطبي ًقا عمل ًيا لكمية الحركة ،فحين يتصادم جسمان فى غياب سوف تتعلم أى مؤثر خارجى ،فإن كل جسم سيغير كمية حركة الجسم اآلخر وطبقا لقانون نيوتن الثالث فإن القوتين متساويتان فى المقدار ومتضادتان فى األتجاه ونتيجة لتصادمهما فإن التغير فى حركة الجسمين يبقى ثاب ًتا وهذا ما يعرف بقانون الحفاظ على كمية الحركة .وبأعتبار أن التصادم لحظ ًيا «أى أنه استغرق وقتًا متناه ًيا فى الصغر» فإن دفع الجسم األول على الثانى يكون مساو ًيا فى المقدار ومضاد فى االتجاه لدفع الجسم الثانى على األول. صورا عديدة للتصادم منها التصادم المرن واآلخر غير المرن. وهناك ً
اأو اً ل :الت�صادم المرن إذا لم يحدث تشوه أو توليد حرارة نتيجة تصادم جسمين (لم يحدث فقد فى طاقة فمثال عندما تصطدم كرة بلياردو متحركة بكرة المصطلحات األساسية الحركة) ،يقال أن هذا التصادم مرنً ، ساكنة لها الكتلة نفسها نجد أن الكرة األولى تصبح ساكنة فى حين تتحرك الكرة الثانية بسرعة ابتدائية تساوى سرعة الكرة األولى االبتدائية من هذا المثال ،نالحظ أن كمية الحركة قد أنتقلت كل ًيا من الكرة األولى إلى الكرة الثانية. Elastic Collision
ت�صادم الكرات المل�صاء: يالحظ أنه خالل عملية التصادم بين األجسام ،أن المجموع األتجاهى لكميات الحركة قبل التصادم وبعده ،يكون متساو ًيا.
Collision smooth balls
بعد التصادم
التصادم
قبل التصادم
(أ) (ب) (جـ)
فى الشكل المقابل: باعتبار أن كتلة الكرة األولى ك 1وكتلة الثانية ك 2وأن د هو دفع الكرة األولى على الثانية فيكون -د هو دفع الكرة الثانية على األولى.
الكرة الثانية
الكرة األولى
د
-د
ك1
األدوات المستخدمة آله حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
ك1
كتاب الرياضيات التطبيقية
225
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
ونفرض أن ع ، 1ع 2هما متجها سرعة الكرتين قبل التصادم مباشرة ، التصادم مباشرة. بالنسبة للكرة األولى: aالتغير فى كمية حركة الكرة = الدفع المؤثر عليها ` ك 1ع - 1 /ك 1ع - = 1د
aالمتجهين ع - ، 1د يوازيان خط المركزين
` المتجه ع 1/يوازى خط المركزين أيضا.
` ك 2ع - 2 /ك 2ع = 2د
aالمتجهين ع ، 2/د يوازيان خط المركزين
ع1 /
اأ�صف اإلى معلوماتك التصادم المباشر تكون فيه السرعتان قبل التصادم مباشرة توازيان خط المركزين عند لحظة التصادم.
()1
(ألن التصادم مباشر) ع1
بالنسبة للكرة الثانية:
aالتغير فى كمية حركة الكرة = الدفع المؤثر عليها
،ع 2/هما متجها سرعة الكرتين بعد
()2
+
ى
ع2
ك1
ع
(ألن التصادم مباشر)
قبل التصادم مباشرة ك2
/
بعد التصادم مباشرة ع
/
1
2 ك2
ك1
` المتجه ع 2/يوازى خط المركزين أيضا ،بجمع (: )2( ، )1 `
(ك 1ع 1 /
-ك 1ع+ ) 1
(ك 2ع 2 /
-ك 2ع0 = ) 2
/ / ()3 ` ك 1ع + 1ك 2ع = 2ك 1ع + 1ك 2ع2 أى أن :مجموع كميتى الحركة بعد التصادم مباشرة = مجموع كميتى الحركة قبل التصادم مباشرة وبالتالى فإنه إذا تصادمت كرتان ملساوان فإن مجموع كميتى حركتهما ال يتغير نتيجة للتصادم.
ا�صتخدام القيا�صات الجبرية: يمكن استخدام القياسات الجبرية لمتجهات السرعة والدفع وعلى ذلك فإنه يمكن إعادة صياغة العالقات الثالث السابقة على النحو اآلتى: ك1ع - 1/ك 1ع - = 1د ك 2ع - 2 /ك 2ع = 2د ك 1ع + 1 /ك 2ع= 2 /
ك 1ع + 1ك 2ع2
مثال 1تتحرك كرتان ملساوان كتلة كل منهما 200جم فى خط مستقيم على مستو أفقى أملس األولى بسرعة 4متر /ث والثانية بسرعة 6متر/ث فى نفس اتجاه األولى فإذا تصادمت الكرتان فعين سرعة كل منهما بعد التصادم مباشرة علما بأن مقدار دفع الكرة الثانية على األولى يساوى 410 * 5داين .ثانية.
226
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
عف����� الحل
الكرة األولى
3 3
الكرة الثانية
نتخذ متجه وحدة ثابت ى فى اتجاه السرعتين قبل التصادم مباشرة ونعتبره االتجاه الموجب. قبل 200جم 200جم التصادم a ،دفع الكرة الثانية على الكرة األولى يكون فى +ى االتجاه الموجب. ع 6 = 2متر/ث ع 4 = 1متر/ث ` د = 410 * 5داين .ث ،دفع الكرة األولى على الثانية يكون فى االتجاه السالب. عند ` د = 410 * 5 -داين.ث التصادم دد بالنسبة للكرة األولى: ` ( 200 = 410 * 5ع)400 - 1/ aد = ك ( 1ع - 1/ع)1 ` ع 650 = 1/سم/ث = 6٫5متر/ث ` = 250ع400 - 1/ بالنسبة للكرة الثانية: ` ( 200 = 410 * 5 -ع)600 - 2/ aد = ك ( 2ع - 2/ع)2 ` ع 350 = 2/سم/ث = 3٫5متر/ث ` = 250 -ع600 - 2/ أى أن الكرتين تتحركان بعد التصادم فى نفس اتجاههما :األولى بسرعة 6٫5متر/ث والثانية بسرعة 3٫5متر/ث
حاول أن تحل
1تتحرك كرتان ملساوان كتلة كل منهما 200جم فى خط مستقيم واحد على أرض أفقية األولى بسرعة 5متر/ث والثانية بسرعة 9متر/ث فى نفس اتجاه األولى .فإذا تصادمت الكرتان فعين سرعة كل منهما بعد التصادم مباشرة علما بأن مقد ار دفع الكرة الثانية على األولى يساوى 510 * 0٫6داين .ث مثال (تصادم الكرات) 2كرتان كتلتاهما 100جرام 50 ،جرام تتحركان فى خط مستقيم أفقى واحد فى اتجاهين متضادين .تصادمت الكرتان عندما كانت سرعة الكرة األولى مقدارها 50سم/ث وسرعة الكرة الثانية مقدارها 30سم/ث فإذا إرتدت الكرة الثانية عقب التصادم مباشرة بسرعة 40سم/ث أوجد مقدار واتجاه سرعة الكرة الثانية بعد التصادم مباشرة ومقدار دفع أى من الكرتين على اآلخرى. ى الحل
أوال: نعتبر أن أتجاه سرعة الكرة األولى قبل التصادم فى اتجاه متجه الوحدة ى aمجموع كميتى الحركة قبل التصادم = مجموع كميتى الحركة بعد التصادم / / ` ك 1ع + 1ك 2ع = 2ك 1ع + 1ك 2ع 2 100 = 30 * 50 - 50 * 100ع40 * 50 + 1/
ع 15 = 1/سم/ث فى اتجاه متجه الوحدة ى نفسه
50سم/ث
قبل التصادم لحظة التصادم بعد التصادم
كتاب الرياضيات التطبيقية
+
30سم/ث
100جم
100جم
50جم
50جم
40سم/ث 100جم
50جم
227
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
ثان ًيا: نوجد دفع الكرة األولى على الكرة الثانية دفع الكرة األولى على الكرة الثانية = التغير فى كمية حركة الكرة الثانية د = ك ( ع - 2 /ع )2 د = 3500 = ))300( - 40( 50جم .سم/ث ثان اًيا :الت�صادم غير المرن: يقصد بالتصادم غير المرن ،أن يحدث تشوه أو تتولد حرارة أو تلتحم األجسام ،نتيجة لعملية التصادم (يحدث فقد فى طاقة الحركة). وبالرغم من كل هذا فإن كمية الحركة قبل التصادم وبعده ،تبقى كما هى دون تغير. وتكون معادلة األحتفاظ بكمية الحركة على الصورة ( :فى حالة إلتحام الكتلتين)
Inelastic collision
ك 1ع + 1ك 2ع( = 2ك+ 1
ك )2ع 2
(باستخدام المتجهات)
(باستخدام القياسات الجبرية) ك 1ع + 1ك 2ع( = 2ك + 1ك )2ع ومن األمثلة العملية للتصادم غير المرن تصادم عربات القطار وتصادم المطرقة التى تسقط على وتد يستعمل فى حفر األساس عند البناء. مثال تصادم عربات القطار عربة قطار كتلتها 10طن تسير بسرعة 20م/ث إصطدمت بعربة قطار أخرى ساكنة كتلتها 10طن فإذا سارت العربتان بعد التصادم مباشرة كجسم واحد إحسب سرعتهما المشتركة حينئذ
الحل
نفرض أن كتلة العربة المتحركة ك1
10000كجم وسرعتها ع1
ساكنة
ع 20 = 1متر/ث
10طن
10طن
فيكون ك 10 = 1طن = حيث :ع 20 = 1م/ث وكتلة العربة الساكنة ك2 ك 10 = 2طن = 10000كجم وسرعتها ع = 2صفر. نعتبر أن اتجاه سرعة الجسم األول قبل التصادم موجبا وأن السرعة المشتركة للجسمين بعد التصادم مباشرة ع aمجموع كميتى الحركة قبل التصادم = مجموع كميتى الحركة بعد التصادم ك 1ع + 1ك 2ع( = 2ك + 1ك )2ع * 10000 + 20 * 10000صفر = ( * )10000 + 10000ع ` ع = 10م/ث فى إتجاه حركة العربة األولى نفسه 20000 = 200000ع حاول أن تحل
2عربة قطار كتلتها 6طن تسير بسرعة 25م/ث إصطدمت بعربة قطار أخرى ساكنة كتلتها 3طن فإذا سارت العربتان بعد التصادم مباشرة كجسم واحد إحسب سرعتها المشتركة حينئذ.
228
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
عف�����
3 3
مثال 4تسقط مطرقة من الحديد كتلتها 210كجم من إرتفاع 90سم على عمود من أعمدة األساس كتلته 140كجم فتدفعه فى األرض مسافة 18سم فإذا تحركت المطرقة والعمود كجسم واحد بعد التصادم مباشرة أوجد السرعة المشتركة لهما ثم أوجد بثقل الكيلو جرام متوسط مقاومة األرض بفرض أنها ثابتة. الحل
أوال :سرعة وصول المطرقة لعمود األساس ع = 2ع E 2 + 02ف ع0٫9 * 9٫8 * 2 = 2 ع = 4٫2م/ث
ثانيا :لحظة التصادم ك 1ع + 1ك 2ع( = 2ك + 1ك )2ع * 140 + 4٫2 * 210صفر = 350ع ` ع = 2٫52م/ث
المطرقة 90سم عمود االساس 18سم
سطح األرض
ثالثا :بعد التصادم الجسمان يكونان جسما واحدا يتحرك بعجلة جـ مسافة 0٫18م سرعته األبتدائيةع 2٫52 = /م/ث ،سرعته ع = 2ع 2 + 02جـ ف ` صفر = ( * 2 + 2)2٫52جـ * 0٫18 النهائية = صفر جـ = 17٫64 -م/ث2 اليجاد متوسط مقاومة األرض: (ك + 1ك - E )2م = ك جـ - 9٫8 * 350م = 17٫64- * 350 م = 17٫64 * 350 + 9٫8 * 350 ` م = 980ث كجم ` م = 9604نيوتن
حاول أن تحل
تسقط مطرقة من الحديد كتلتهما 2٫1طن من إرتفاع 1٫6متر على عمود من أعمدة األساس كتلته 350كجم فتدفعه فى األرض مسافة 12سم فإذا تحركت المطرقة والعمود بعد التصادم كجسم واحد رأس ًيا إلى أسفل أحسب مقدار السرعة المشتركة لهما بعد التصادم ثم إحسب مقدار مقاومة األرض بفرض أنها ثابتة.
كتاب الرياضيات التطبيقية
229
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
اأو ًل :اأكمل:
تمــــاريــن 2 - 3
1إذا أثرت قوة Xعلى جسم ثابت الكتلة خالل فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة يساوى
.....................
2إذا أثرت قوة ثابتة على جسم لفترة زمنية متناهية فى الصغر فإن التغير فى كمية حركة الجسم خالل هذه الفترة يساوى ..................... إذا قيست الكتلة بالكيلو جرام ومقدار السرعة بالمتر /ثانية فإن وحدة مقدار الدفع تقاس بـ .....................أو
.....................
4إذا تصادمت كرتان ملساوان وكانت سرعتاهما قبل التصادم مباشرة توازيان خط المركزين عند لحظة التصادم فإن هذا التصادم يسمى ..................... 5إذا تصادمت كرتان ملساوان فإن مجموع كميتى حركتهما قبل التصادم يساوى
.....................
ثانيًا :اأختر الإجابة ال�صححية من بين الإجابات المعطاة: 6مقدار الدفع بوحدة (داين .ث) الذى تؤثر به قوة على جسم كتلته 20جم لتغير سرعته من 10سم/ث إلى 18سم/ث فى نفس االتجاه يساوى : د 560 ج 280 ب 160 أ 80 7إذا أثرت قوة مقادرها 8نيوتن على جسم ساكن كتلته 4كيلو جرام ،فإن السرعة التى يكتسبها الجسم فى نهاية 5ثوان من بدأ الحركة يساوى: د 40م/ث ج 20م/ث ب 10م/ث أ 6٫4م/ث 8إذا أثرت قوة على جسم كتلته 700جم فغيرت سرعته من 30سم /ث إلى 65سم/ث فى نفس االتجاه وكان زمن تأثيرها 10ثوان فإن مقدار هذه القوة بوحدة ثقل الجرام تساوى : د 2445 ج 1225 ب 25 أ 2٫5 9جسم كتلته 400جم ،إثرت عليه قوة فغيرت سرعته من 25سم/ث إلى 55سم /ث فى نفس االتجاه أوجد مقدار دفع هذه القوة. 10أثرت قوة على جسم كتلته 150جم يتحرك بسرعة 20سم/ث فغيرت اتجاه حركته إلى 10سم/ث فى عكس اتجاه حركته األولى .أوجد مقدار دفع هذه القوة على الجسم. 11سقطت كرة كتلتها 800جم من ارتفاع 2٫5متر على سطح سائل لزج فغاصت فيه بسرعة منتظمة مقدارها 2م/ث .أحسب دفع السائل على الكرة.
2 0
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
عف�����
3 3
12تتحرك كرة ملساء كتلتها 300جم فى خط مستقيم على أرض أفقية بسرعة 8م/ث فإذا اصطدمت هذه الكرة بحائط رأسى أملس وارتدت بسرعة 5م /ث .أوجد مقدار دفع الحائط على الكرة ،وإذا كان زمن التالمس 1 20من الثانية .فما مقدار قوة دفع الحائط للكرة. الكرة مع الحائط 1تتحرك كرتان كتلتاهما 30جرام 90 ،جرام فى خط مستقيم على نضد أفقى وفى إتجاهين متضادتين فاصطدمت الكرتان عندما كانت سرعتاهما 50سم/ث ،ع سم/ث على الترتيب وكونا جسما واحدا تحرك بعد التصادم مباشرة بسرعة 10سم/ث فى اتجاه الكرة الكبرى احسب مقدار ع واذا كانت مقاومة الحركة للجسم الجديد هى 300داين أوجد المسافة التى يقطعها قبل أن يسكن
14سقطت مطرقة كتلتها طن واحد من إرتفاع 4٫9متر رأسيا على عمود من أعمدة األساس كتلته 400كجم فدكته رأسيا فى األرض مسافة 10سم فاذا تحركت المطرقة والعمود كجسم واحد بعد التصادم مباشرة أوجد سرعتهما المشتركة ثم أوجد مقاومة األرض بفرض ثبوتها بثقل الكيلوجرام. 15إصطدمت كرتان تتحركان فى خط مستقيم أفقى فى إتجاهين متضادين األولى كتلتها 5كجم وسرعتها 40سم/ث والثانية كتلتها 6كجم وسرعتها 50سم/ث فإذا تحركت الكرة األولى فى عكس إتجاه حركتها بسرعة 20سم/ث فأثبت أن الكرة الثانية تسكن بعد التصادم مباشرة وما مقدار دفع الكرة الثانية على الكرة األولى. 16كرتان ملساوتان كتلة األولى 50جرام وكتلة الثانية 40جرام وإزاحة األولى ف300 = 1ن Mوإزاحة جسما الثانية ف150 - = 2ن Mحيث ف مقيسة بالسنتيمتر والزمن بالثانية فإذا تصادمت الكرتان وكونتا ً واحدا عقب التصادم مباشرة احسب السرعة المشتركة لهذا الجسم ثم إحسب قوة التضاغط بين الكرتين إذا كان زمن التصادم 16من الثانية.
17تتحرك كرة صغيرة كتلتها 30جرام فى خط مستقيم بسرعة منتظمة مقدارها 13م/ث وبعد 4ثوان من مرورها بموضع معين تحركت كرة أخرى كتلتها 10جرام من هذا الموضع وفى نفس إتجاه حركة الكرة األولى بسرعة إبتدائية 4م/ث وبعجلة 2م/ث 2فإذا كونتا جسما واحدا بعد التصادم مباشرة إحسب السرعة المشتركة للجسم واذا القى هذا الجسم مقاومة ثابتة على المستوى األفقى مقدارها 4ثقل جرام احسب متى يسكن هذا الجسم؟ 18جسم كتلته 1كجم موضوع على سطح أفقى أملس أثرت عليه قوة مقدارها 8نيوتن لمدة 12ثانية وأثناء إنقطاع تأثير القوة إصطدم هذا الجسم بجسم آخر ساكن كتلته 2كجم فإذا إرتد الجسم األول بسرعة 2م/ث أوجد سرعة الجسم الثانى بعد التصادم مباشرة.
كتاب الرياضيات التطبيقية
2 1
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
1الدفع:
إذا أثرت قوة Xعلى جسم ثابت الكتلة خالل فترة زمنية ن فإن دفع هذه القوة، ونرمز له بالرمز د يعرف بأنه حاصل ضرب متجه القوة فى زمن تأثيرها أى أن :د = Xن 2وحدات قياس مقدار الدفع:
وحدة قياس مقدار الدفع = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس الزمن أيضا أن يقاس بأى وحدة قوة فى وحدة زمن. ففى النظام الدولى للوحدات يقاس مقدار الدفع بوحدة نيوتن .ث ويمكن ً الدفع وكمية الحركة :الدفع = التغير فى كمية الحركة أى أن * Xن = ك ( ع - 2ع)1 منحنى القوة -الزمن: ن2 يمكن تمثيل الدفع بالمساحة أسفل منحنى القوة -الزمن ويتحدد بالعالقة الدفع = ن ق Eن 1
3القوى الدفعية
هائال فى كمية حركة الجسم دون تغيرا ً القوى الدفعية هى قوة كبيرة جدا تؤثر لفترة زمنية صغيرة للغاية وتحدث ً تغيرا يذكر فى موضعه والحركة الناتجة عند تأثير هذه القوى تسمى حركة دفعية كمثال على ذلك كرة أن تحدث ً صغير للغاية مع أن متوسط القوة المؤثرة على الكرة البيسبول عندما ُتضرب فإن زمن التالمس بين المضرب والكرة ً كبيرا بما يكفى ليغير كمية حركة الكرة دون تغير يذكر فى موضع الكرة . كبير ً جدا ويكون الدفع ً 4التصادم المرن :
اليحدث تشوه أو توليد حرارة نتيجة أصطدام جسمين واليحدث فقد فى طاقة الحركة ك 1ع + 1 /ك 2ع = 1 /ك 1ع + 1
ك 2ع1
أى أن :مجموع كميتى الحركة بعد التصادم مباشرة = مجموع كميتى الحركة قبل التصادم مباشرة وبالتالى فإنه إذا تصادمت كرتان ملساوان فإن مجموع كميتى حركتهما ال يتغير نتيجة للتصادم. ويمكن استخدام القياسات الجبرية علي النحو اآلتى : ك 1ع + 1ك 2ع2
ك 1ع + 1 /ك 2ع= 2 / ك1ع - 1/ك1ع - = 1د ك 2ع - 2ك 2ع = 2د / / حيث د القياس الجبرى لدفع الكرة الثابتة على األولى ع ، 1ع 2القياس الجبرى للسرعة قبل التصادمع ، 1ع 2 السرعة بعد التصادم. التصادم المباشر :تكون فيه السرعتان قبل التصادم مباشرة توازيان خط المركزين لحظة التصادم. 5التصادم غير المرنInelastic collision :
يقصد بالتصادم غير المرن ،أن يحدث تشوه أو تتولد حرارة أو تلتحم األجسام ،نتيجة لعملية التصادم ويحدث فقد فى طاقة الحركة ويكون:
ك 1ع + 1ك 2ع( = 2ك + 1ك )2ع
ك 1ع + 1ك 2ع( = 2ك + 1ك )2ع
2 2
(باستخدام المتجهات) (حالة اإللتحام) (باستخدام القياسات الجبرية)
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
اأول :
كال من الدفع وكمية الحركة واذكر العالقة بينهما 1عرف ً
كال من التصادم المرن والتصادم غير المرن وأعط ً مثاال لكل منهما. 2عرف ً
وضح كيف يمكن بواسطة استخدام مفهوم كمية الحركة ،األقالل من حوادث المرور.
ثانيا :اأختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة
4إذا قيست الكتلة بالكيلواجرام والسرعة بالمتر/ث فإن وحدة قياس الدفع تكون : د نيوتن .متر/ث. ج داين.ث ب نيوتن.ث أ كيلو جرام.ث 5الدفع هو:
أ التغير فى القوة المؤثرة على الجسم ج التغير فى سرعة الجسم
كال من: ُ 6تعرف كمية الحركة بأنها حاصل ضرب ً أ كتلة الجسم وسرعته ج كتلة الجسم وزمن تأثير القوة
ب فترة تأثير القوة على الجسم. د التغير فى كمية حركة الجسم. ب كتلة الجسم وعجلة حركته د كتلة الجسم والمسافة التى قطعها.
7إذا أثرت قوة على جسم كتلته 300جم ،فغيرت سرعته من 20سم/ث إلى 45سم/ث فى نفس اإلتجاه فإن مقدار دفع هذه القوة بالجسم جم .سم /ث يساوى: د 610 * 2٫94 ج 510 * 2٫7 ب 310 * 7٫5 أ 210 * 7٫5 مباشرا بحائط رأسى فأثر 8اصطدمت كرة كتلتها 300جم ومتحركة على أرض أفقية بسرعة 60سم/ث تصاد ًما ً عليها بدفع مقداره 48000داين .ث فما سرعة ارتداد الكرة من الحائط بوحدة سم/ث؟ د 500 ج 220 ب 120 أ 100 9إذا أثرت القوتان N 2 + M 3 = 2X ، N 14 - M 2 = 1Xوكل من 2X ، 1Xبوحدة النيوتن على جسم لفترة زمنية مقدارها 12ثانية فإن مقدار دفع القوى بوحدة نيوتن .ثانية يساوى: د 13 ج 9 ب 71 أ 61 2
ثال ًثا :اأجب عن الأ�صئلة الآتية:
2
10كرة من المطاط كتلتها 500جم تتحرك أفقيا فى خط مستقيم اصطدمت بحائط رأسى وارتدت بسرعة 150سم/ث على نفس المستقيم فإذا كان متوسط القوة بينها وبين الحائط 10ث كجم وزمن التالمس بينهما 1 50ثانية فأوجد سرعة الكرة قبل لحظة اصطدامها بالحائط مباشرة. 11سقطت كرة من المطاط كتلتها 200جم من ارتفاع 3٫6مترا عن سطح األرض فارتدت بعد الصدمة إلى ارتفاع 2٫5مترا .أوجد مقاومة األرض للكرة بثقل الكيلو جرام إذا علم أن زمن الصدمة باألرض 17ثانية. كتاب الرياضيات التطبيقية
2
عف��د� عف��ف�� عفدلا �عف�����
12سقطت كرة من المطاط كتلتها 1كيلو جرام من ارتفاع 4٫9متر على سطح أرض أفقية صلبة فارتدت إلى أقصى ارتفاع لها وهو 2٫5متر احسب مقدار التغير فى كمية حركتها نتيجة اصطدامها باألرض ،ثم أوجد مقدار رد فعل األرض على الكرة بالنيوتن إذا كان زمن تالمسها باألرض 0٫1ثانية.
1كرة كتلتها 400جم تتحرك بسرعة 70سم/ث ،صدمت كرة أخرى ساكنة كتلتها 800جم ،فبدأت تتحرك عقب الصدمة مباشرة بسرعة 35سم/ث فى نفس اتجاه حركة األولى .أثبت أن الكرة األولى تسكن عقب الصدمة ،ثم أوجد قوة الصدمة على أى من الكرتين مقدرة بثقل الجرام إذا كان زمن الصدمة 17ثانية
14كرتان كتلتاهما 100جم 50 ،جم تتحركان فى خط مستقيم أفقى فى اتجاهين متضادين ،تصادمت الكرتان عندما كانت سرعة الكرة األولى مقدارها 50سم/ث وسرعة الكرة الثانية مقدارها 30سم/.ث ،فإذا ارتدت الكرة الثانية عقب التصادم مباشرة بسرعة مقدارها 40سم/ث .أوجد مقدار واتجاه سرعة الكرة األولى عقب التصادم مباشرة ،ثم أوجد مقدار دفع أى من الكرتين لألخرى. 15أطلقت رصاصة كتلتها 20جم بسرعة أفقية مقدارها 50٫5م/ث على قطعة خشبية كتلتها 2كجم موضوعة واحدا أوجد سرعة هذا لجسم بعد التصادم مباشرة ،وإذا أرتد جسما على نضد أفقى فاستقرت فيها وكونتا ً ً هذا الجسم بسرعة 2سم/ث بعد اصطدامه بحاجز ثابت على النضد وعمودى على اتجاه الحركة فاوجد دفع الحاجز على الجسم علما بأن المقاومة الكلية تساوى 1٫01نيوتن وأن الحاجز يبعد 24سم عن موضع القطعة الخشبية قبل إطالق الرصاصة. 16تسقط مطرقة من الحديد كتلتها 210كجم من ارتفاع 90سم على عمود من أعمدة األساس كتلته 140كجم فتدفعه فى األرض مسافة 18سم ،فإذا تحركت المطرقة والعمود كجسم واحد بعد التصادم مباشرة فأوجد السرعة المشتركة لهما ثم أوجد بثقل الكيلو جرام متوسط مقاومة األرض بفرض أنها ثابتة. 17يتحرك جسم Cكتلته 10جم رأسيا إلى أسفل ،صدم جسم آخر ب كتلته 4جم متحرك رأسيا إلى أعلى عندما كانت سرعة Cهى 200سم/ث وسرعة ب هى 800سم/ث ،فارتد الجسم ب رأسيا إلى أسفل بسرعة 100سم/ث بينما ارتد Cرأسيا إلى أعلى وبعد 17ثانية اصطدم الجسم Cبجسم آخر جـ كتلته 100جم متحرك رأسيا إلى أسفل بسرعة 13سم/ث وكونا جسما واحدا .أوجد السرعة المشتركة للجسمين ، Cجـ بعد التصادم. C 18ب خط أكبر ميل لمستوى مائل أملس طوله 9٫8متر يميل على األفقى بزاوية قياسها C ،c30هى أعلى نقطة فى المستوى ،ب أسفل نقطة فيه .وضعت كرة ملساء عند Cكتلتها 700جم لتتحرك من سكون على Cب فاصطدمت بحاجز رأسى عمودى أملس عند ب فأثر عليها بدفع مقدارها 11٫76نيوتن .ثانية فارتدت الكرة. احسب أقصى مسافة تصعدها الكرة على ب . C لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
2 4
الصف الثالث الثانوى
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الطالب
1إذا قذفت جسم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة 49م/ث. أوجد زمن وصوله إلى أقصى أرتفاع والمسافة التى وصل اليها.
2تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 75كم/س .فإذا تحركت على الطريق نفسه دراجة بخارية بسرعة 35كم/س .أوجد السرعة النسبية للدراجة بالنسبة للسيارة فى كل من الحالتين. ثانيا :الدراجة تتحرك عكس إتجاه حركة السيارة. أوال :الدراجة تتحرك فى اتجاه السيارة نفسه قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 18كم/س ثم عاد على نفس الطريق فقطع 20كم فى األتجاه المضاد بسرعة 15كم/س .أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.
4تحرك جسيم من السكون بعجلة منتظمة فى اتجاه ثابت فبلغت سرعته 36كم/س فى نهاية 20ثانية .أوجد مقدار عجلته بالمتر /ث.2 5إذا كان متجه موضع جسيم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة :ر = (ن )2 + 3ى .فأوجد متجهات اإلزاحة والسرعة والعجلة ثم أثبت أن الحركة تكون متسارعة عند أى لحظة زمنية ن > 0متى يكون معيار العجلة مساو ًيا 12وحدة؟ 6قذف جسيم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة ع . 0أكتب القانون الذى يعطى سرعته بداللة الزمن ثم استنتج أن معدل تغير كمية حركته بالنسبة للزمن هو متجه ثابت وأوجد معياره.
7يتحرك جسيم كتلته الوحدة تحت تأثير القوتين + M 2 = 2X ، N + M C = 1X :ب N حيث N ، Mمتجها الوحدة األساسيان ، C ،ب ثابتان ،فإذا علم أن متجه إزاحة الجسيم كدالة فى الزمن
هو :ف = ( + Mن + 2ن) Nفأوجد الثابتين ، Cب.
صاعدا بعجلة 8مصعد بقاعدته ميزان ضغط وقف رجل على الميزان فسجل 75ث كجم عندما كان المصعد ً منتظمة مقدارها جـ .وسجل الميزان 60ث كجم عندما كان المصعد هابطًا بعجلة منتظمة مقدارها 2جـ .أوجد مقدار كل من العجلة جـ ،كتلة الرجل.
9علق جسمان كتلتاهما 120 ، 125جم على الترتيب من طرفى خيط يمر على بكرة صغيرة ملساء .عين عجلة المجموعة والضغط على محور البكرة ،وإذا بدأت المجموعة الحركة من سكون والجسمان فى مستوى أفقى واحد ،فما المسافة الرأسية بينهما بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحركة؟
10مستوى مائل خشن طوله 4٫5متر وارتفاعه 2٫7متر وضع جسم عند قمة المستوى وبدأ الجسم الحركة من السكون .أحسب سرعة الجسم عند وصوله إلى قاعدة المستوى والزمن الالزم لذلك حيث معامل األحتكاك = . 12
11سيارة Cكتلتها 4طن تتحرك بسرعة منتظمة مقدارها 5م/ث فى خط مستقيم على مستوى أفقى أملس صدمت سيارة أخرى ب ساكنة كتلتها 3طن وبعد التصادم مباشرة كانت سرعة السيارة ب بالنسبة للسيارة Cهى 2م/ث. أوجد مقدار السرعة الفعلية لكل من السيارتين بعد التصادم. كتاب الرياضيات التطبيقية
2 5
الشغل ،القدرة ،الطاقة Work , Power & Energy
الوحدة
4
مقدمة الوحدة فى دراستنا للوحدات السابقة وجدنا أنه عندما تؤثر محصلة عدة قوى على جسم فإنه يتحرك بشكل أو بآخر ،وإذا تساءلنا اآلن ما الفائدة من حركة وتحريك األجسام؟ تأتى اإلجابة فى شقين؛ أولهما أن اإلنسان بفضوله الدائم يسعى لتفسير الظواهر الطبيعية وأسبابها وما ينتج عنها. وثانيها أن اإلنسان يريد األستفادة مما أنعم الله عليه وسخره لنا ،فهو يريد سيارة تنقله من مكان آلخر ومصابيح كهربائية إلنارة المدن والقرى وغير ذلك ،وبالطبع فإن كل ذلك لن يتحقق ما لم نعرف كيف نتحكم باألشياء ونستفيد من حركاتها سوا ًء أكانت أجهزة كهربائية والكترونية أو وسائل مواصالت مختلفة أو أجسام كونية تسبب دوران األرض وتعاقب الليل والنهار. لذلك سوف ندرس فى هذه الوحدة حركة األجسام فنتعرف على الشغل وكيف نستفيد من تحريك األجسام ثم نتعرف على طاقة الحركة وطاقة الوضع ثم نربط بين هذه الكميات القياسية (غير المتجهة) وحدات قياسها المختلفة والعالقة بينها ونتعرف بعد ذلك على القوى التى تحافظ ً وصوال لمبدأ الشغل والطاقة ثم نتعرف على أبسط اآلالت التى استخدمها األنسان ونقارن بينها بحساب على الطاقة وتلك التى ال تحافظ عليها القدرة الناتجة عن كل واحدة ومردوداتها المختلفة فى الحياة اليومية.
أهداف الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:
يتعرف الشغل المبذول بواسطة قوة ووحدات قياس الشغل. يتعرف مفهوم القدرة ووحدات قياسها.
يتعرف طاقة حركة الجسيم ووحدات قياسها. يتعرف مبدأ الشغل والطاقة.
يتعرف طاقة الوضع ووحدات قياسها وتطبيقاتها.
236
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
المصطلحات األساسية Ñالشغل
Ñقوة ثابتة
Ñكمية قياسية Ñمتجه إزاحة
Ñمتجه موضع
Ñجول
Work Constant force Scalar quantaty Displacement vector Position vector
Ñقوة متغيرة
Variable force
Ñإرج
the work – energy principle
Erg
Ñطاقة الحركة
Kinetic energy
Ñطاقة لوضع
potential energy
Ñالتغير في طاقة الوضع
Joule
Ñمبدأ الشغل والطاقة Ñثبات الطاقة Ñالقدرة
Ñقوة الحصان
Power Horse power
change in potential energy
األدوات والوسائل
دروس الوحدة ( :)1- 4الشغل
آلة حاسبة علمية .
( :)2- 4طاقة الحركة ( :)3- 4طاقة الوضع ( :)4- 4القدرة
مخطط تنظيمى للوحدة
الشغل والقدرة والطاقة
الشغل
مبدأ الشغل والطاقة طاقة الحركة
القدرة
الطاقة طاقة الوضع
وحدات القياس
كتاب الرياضيات التطبيقية
237
الوحدة الرابعة
1-4
الشغل Work
مقدمة: إن مفهوم الشغل من األمور الهامة فى علم الكيناتيكا ( )Kineticألنه يعتمد على مفاهيم القوة التى وضعها نيوتن فى القوانين الثالثة ،ويجدر بالذكر أن الشغل والطاقة كميات خصوصا قياسية وبالتالى فإن التعامل معها سيكون أسهل من استخدام قوانين نيوتن للحركة ً متغيرا كذلك. متغيرا وبالتالى فإن متجه العجلة سيكون عندما يكون متجه القوة ً ً وفى هذا الدرس سوف نوضح مفهوم الشغل الذى هو حلقة الوصل ما بين القوة والطاقة. والشغل قد يكون ناتجا من قوة ثابتة Constant forceأو من قوة متغيرة . Varying force كال من النوعين فى هذا الدرس. وسوف ندرس ً
سوف تتعلم
الشغل املبذول من قوة ثابتة.
بعض احلاالت املختلفة ملتجهى القوة واإلزاحة. وحدات قياس الشغل. الشغل املبذول من قوة متغرية.
ا اً أول :ال�شغل المبذول من قوة ثابتة: باعتبار أن جسما يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير قوة ثابتة Xوأنه أنتقل من الموضع Cإلى الموضع ب وكان متجه إزاحته Cب = ف كما فى شكل ()1
Work done by a constant force
المصطلحات األساسية
الشغل
Work
قوى ثابتة
Constant force
كمية قياسية
Scalar quantaty
ب
ف
C
شكل ()1
تعريف
متجه إزاحة
Displacement vector
متجه موضع
X
Position vector
جول
Joule
إرج
Erg
يعرف الشغل المبذول بواسطة القوة الثابتة Xفى تحريك جسم من موضع إبتدائى إلى موضع نهائى ويرمز له بالرمز (ش) على أنه يساوى حاصل الضرب القياسى لمتجه القوة فى متجه اإلزاحة بين الموضعين ش= : Xف
يتضح إذاً أن الشغل هو كمية قياسية قد تكون موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر تبعا التجاه ومقدار كل من المتجهين ، Xف مثال األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
تحرك جسيم على خط مستقيم تحت تأثير القوة N 8 + M 6 = Xمن النقطة )4- ، 3 ( Cإلى النقطة ب ( )2 ، 7إحسب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة.
الحل
متجه األزاحة ف = Cب = ب -
ف = N 6 + M 4
238
الصف الثالث الثانوى
C
= () N 4 - M 3( - ) N 2 + M 7
كتاب الطالب
�����
4 4
نطبق تعريف الشغل مع مالحظة أن القوة المعطاة ثابتة ش = :Xف
ش = ( 72 = 6 * 8 + 4 * 6 = ) N 6+ M 4( : ) N 8 + M 6وحدة قياس شغل حاول أن تحل
تحرك جسم على خط مستقيم تحت تأثير القوة N 2 + M 5 = Xمن النقطة )2 ،5( Cإلى النقطة ب ()1 ، 3 إحسب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة
بع�ض الحالت المختلفة لمتجهى القوة والإزاحة
وحيث أنه يمكن إعادة كتابة معادلة تعريف الشغل ش = : Xف بصورة أخرى وهى ش =|| || || Xف || جتا هـ حيث هـ قياس أصغر زاوية بين متجه القوة Xومتجه اإلزاحة ف باعتبارهما خارجين من نقطة واحدة. ٍ مواز إلتجاه األزاحة أى أن ق ( هـ ) = صفر عندئذ يصبح الشغل أ إذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها ش =|| || || Xف || جتا صفر =|| || || Xف || ويكتب:
ش=*Xف
وشكل ( )2يوضح ذلك
ف X
X
شكل ()2
ب إذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها يميل على اتجاه األزاحة بزاوية قياسها أقل من 90عندئذ يصبح الشغل ش =|| || || Xف || جتا هـ
ويكون الشغل فى هذه الحالة يساوى المركبة األفقية للقوة Xمضرو ًبا فى المسافة ف. X Xجتا هـ
X
X
هـ
Xجتا هـ
هـ
هـ ف
X
شكل ()3 كتاب الرياضيات التطبيقية
هـ ف
239
����� � ������ � �����
ج إذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها عمودى على إتجاه األزاحة أى أن ( Xهـ) = c90عندئذ يصبح الشغل ش =|| || || Xف || جتا = 90صفر وشكل ( )4يوضح ذلك.
و
فالسيارة المتحركة افقي ًا وزنها ال يقوم بأى شغل في مسار الحركة
د اذا كانت القوة ثابتة وإتجاهها يميل على إتجاه األزاحة بزاوية قياسها أكبر من c 90عندئذ يصبح الشغل ش =|| || || Xف || جتا ( - 180هـ)
ويكون الشغل سالبا ويسمى مقاو ًما ومثال ذلك الشغل الذى تبذله قوة المقاومة أو قوة األحتكاك. مثال
تحرك جسيم على خط مستقيم تحت تأثير القوة N 3 - M 5 = Xمن النقطة )0 ،1( Cإلى النقطة ب ( )3 ،3حيث ينسب التحليل إلى مجموعة محاور ديكارتية متعامدة وس ،وص .عين الشغل المبذول
الحل
يبين شكل ( )5موضع كل من النقطتين ، Cب بالنسبة للمحاور. لحساب متجه اإلزاحة ف : ف = وب -
`
وC
ف = (N )0 - 3( + M )1 - 3
aش
=N 3+ M 2
= : Xف
= () N 3 + M 2(:) N 3- M 5
ب
ف
(قاعدة طرح المتجهات) س
(تعريف الشغل)
C1 2 3
ص
3 2 1
شكل ()5
= 1 = )3( * )3-( + 2 * 5وحدة قياس شغل. حاول أن تحل
2يتحرك جسيم تحت تأثير القوتين N + M 5 = 2X ، N 3 - M 2 = 1Xمن النقطة )1 ،2( Cإلى النقطة ب ( )0 ،3حيث N ، Mمتجها الوحدة األساسية .احسب الشغل المبذول.
تفكير ناقد:
أثبت أنه إذا حدث للجسم إزاحتان متتاليتان تحت تأثير قوة ما ،فإن الشغل المبذول خالل اإلزاحة المحصلة يساوى مجموع الشغلين خالل كل من اإلزاحتين.
240
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�����
4 4
مثال أثرت القوة N 5 + M 3 = Xعلى جسم فحركته من النقطة )4 ،2( Cعلى خط مستقيم إلى النقطة ب ()3 ،5 ثم إلى النقطة جـ ( )2- ،8إحسب الشغل بواسطة هذه القوة خالل كل من األزاحتين ثم حقق أن مجموع الشغلين يساوى الشغل المبذول خالل األزاحة المحصلة.
الحل
ً أوال :متجه األزاحة األولى Cب = ب -
C
= ()1- ،3( = )4 ،2( - )3 ،5
ص
الشغل المبذول خالل األزاحة األولى ش : X = 1ف) N - M 3( : ) N 5 + M 3( = 1
ب
C
ش 4 = 5 - 9 = 1وحدة قياس شغل
متجه األزاحة الثانية ب جـ = جـ -ب = ()5- ،3( = )3 ،5( - )2- ،8
الشغل المبذول خالل األزاحة الثانية
ش : X = 2ف) N 5 - M 3(:) N 5 + M 3( = 2
س1 2 3 4 5 6 7 8 9
جـ
5 4 3 2 1
12-
ش 16- = 25 -9 = 2وحدة قياس شغل
الشغل المحصل = مجموع الشغلين ش = ش + 1ش 12- = 16 - 4 = 2وحدة قياس شغل ثانيا :األزاحة المحصلة Cجـ = جـ -
C
= ()6- ، 6 ( = )4 ، 2( - )2- ، 8
` الشغل خالل األزاحة المحصلة ش = : Xف = () N 6- ، M 6( : ) N 5 + M 3 ش = 12- = 30 -18وحدة قياس الشغل حاول أن تحل
3أثرت القوة N 7 - M 5 = Xعلى جسم فحركته من النقطة )1- ،5( Cعلى خط مستقيم إلى النقطة ب ( )3 ،1-ثم إلى النقطة جـ ( )6 ،4إحسب الشغل بواسطة هذه القوة خالل كل من األزاحتين ثم حقق أن مجموع الشغلين يساوى الشغل المبذول خالل األزاحة المحصلة.
تعبير شفهى :إذا تحرك جسيم على خط مستقيم من موضع ما ثم عاد إلى نفس هذا الموضع تحت تأثير نفس القوة فما مقدار الشغل المبذول خالل هذا المسار؟
كتاب الرياضيات التطبيقية
24
����� � ������ � �����
مثال أثرت قوة N 3 + M 2 = Xعلى جسيم فكان متجه موضع الجسيم عند لحظة زمنية ن تتعين من العالقة :ر (ن)= (ن ( + M )5 +ن N )4 + 2حيث N ، M متجها الوحدة األساسيين ،احسب الشغل المبذول من القوة من ن = 1إلى ن = 5
الحل
`
ف
aش
C ال يتوقف الشغل على المسار
الموضع Cإلى الموضع ب بل
ر0
= (N 24 + M 4 = ) N + M ( - ) N 25 + M 5
` ش
ب ف
الذى يسلكه الجسم من
اإلزاحة الحادثة من ن = 1إلى ن = 5هى ف = ر- 5
لحظ اأن
يتوقف على اإلزاحة Cب
(من تعريف الشغل)
= : Xف
= ( 80 = 72 + 8 =)24 ، 4( : )3 ، 2وحدة شغل.
حاول أن تحل
4إذا كان متجه موضع جسيم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة :ر (ن) = (ن ( + M )4 +ن N )3 + 2حيث N ، Mمتجها الوحدة األساسية .أثرت على الجسم قوة N 2 + M 3 = X أحسب الشغل المبذول من القوة Xمن ن = 1إلى ن = 3
وحدات قيا�ض ال�شغل:
من تعريف الشغل نستنتج ان: وحدة قياس الشغل = وحدة قياس مقدار القوة * وحدة قياس اإلزاحة
ومن وحدات قيا�ض ال�شغل: aالجول :يعرف الجول بأن مقدار الشغل الذى تبذله قوة مقدارها نيوتن واحد في تحريك جسم ما مسافة متر واحد . فإذا أخذنا|| 1 = || Xنيوتن || ،ف || = 1متر فإن:
الجول = 1نيوتن * 1متر أى الجول = نيوتن .متر الجول هو الوحدة الدولية لقياس الشغل
aاإلرج :يعرف اإلرج على أنه مقدار الشغل الذى تبذله قوة مقدارها داين واحد فى تحريك جسم ما مسافة سنتيمتر واحد. فإذا أخذنا|| 1 =|| Xداين ||،ف || = 1سم فإن:
اإلرج = 1داين * 1سم أى اإلرج = داين .سم
242
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�����
4 4
aث كجم.متر :هو مقدار الشغل الذى تبذله قوة مقدارها 1ث كجم فى تحريك جسم ما مسافة متر واحد. فإذا أخذنا|| 1 = || Xث كجم || :ف || = 1متر فإن ث كجم .متر = 1ث كجم * 1متر ويمكن التحويل بين وحدات الشغل على النحو اآلتى: 1جول = 1نيوتن * 1متر
1ث كجم .متر = 1ث كجم * 1متر
= 510داين * 100سم
= 9٫8نيوتن .متر
= 710داين * سم
ث كجم.متر = 9٫8جول
جول = 710إرج
مثال يتحرك جسيم على خط مستقيم وكانت تؤثر عليه قوة مقاومة تساوى فى المقدار 100نيوتن .أحسب الشغل الذى تبذله هذه القوة خالل أزاحة معيارها 300متر.
الحل
بما أن القوة هى مقاومة .إذن فهى تعمل عكس اتجاه متجه اإلزاحة ،وإذا كان ى متجه وحدة فى اتجاه اإلزاحة، فإنه يمكن التعبير عن كل من اإلزاحة والقوة بالقياسات الجبرية. ف =ف ى X -= X ،ى
فى حالتنا:
من شكل ()6
ف ش
ى
= 300 +متر 100 = X ،نيوتن = X -ف = ()300( * )100- = 410 * 3-نيوتن .متر = 410 * 3-جول
ف
X
(شكل )6
مثال شغل الوزن ورد الفعل العمودى واألحتكاك ينزلق جسم كتلته 10كجم مسافة 6متر على مستو خشن معامل األحتكاك الحركى بينهما 0٫2ويميل هذا كال من: المستوى على األفقى بزاوية قياسها .c30أوجد بوحدة ث كجم.متر الشغل الذى تبذله ً ً أوال :قوة وزن الجسم ثانيا :رد فعل المستوى ثال ًثا :قوة األحتكاك
الحل
ً أوال :الشغل المبذول من قوة الوزن وزن الجسم (و) = ك E ` و = 98 = 9٫8 * 10نيوتن
S
c30
و
كتاب الرياضيات التطبيقية
c30
243
����� � ������ � �����
aالزاوية المحصورة بين و ،ف تساوى c60 ومن تعريف الشغل: ش = و * ف جتا c60 ` ش = 294 = 12 * 6 * 98جول = 30ث كجم .متر
حل آخر:
يمكن إيجاد مركبة الوزن التى تعمل فى نفس اتجاه اإلزاحة ويكون الشغل المبذول ش = ك Eجا هـ * ف ` ش = 294 = 6 * 12 * 9٫8 * 10جول = 30ث كجم .متر
ثان ًيا:
aقوة رد فعل المستوى ( )Sتكون دائ ًما عمودية على المستوى الذى يتحرك عليه الجسم لذا تكون الزاوية بين ، Sف مساوية .c90 ` شغل رد فعل المستوى ش = صفر .
ثال ًثا :الشغل المبذول من قوة األحتكاك: نعلم أن قوة األحتكاك الحركى = مك (حيث مك معامل األحتكاك الحركى) ` * 9٫8 * 10 * 0٫2 = جتا 3 49 = c 30نيوتن aالشغل المبذول من المقاومة ش = * -ف ` ش = 3 294 - = 6 * 3 49 -جول = 3 30 -ث كجم.متر حاول أن تحل
1 98ضد مقاومات تعادل 10ث كجم لكل منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها سيارة كتلتها 6طن تصعد ً
طن من الكتلة فاكتسبت سرعة 54كم /س خالل 30ثانية ،فإذا بدأت السيارة حركتها من السكون فأحسب بالجول مقدار الشغل المبذول من: ً ثان ًيا :قوة المقاومة أوال :قوة محرك السيارة ثال ًثا :وزن السيارة
ثان اًيا :ال�شغل المبذول من قوة متغيرة سبق أن استخدمنا مفهوم الشغل فى التعامل مع الحركة -عندما تكون القوة منتظمة ويمكن توضيح ذلك من خالل المثال التالى:
Work done by a varying force
X
مثال توضيحى:
15
باعتبار أن قوة ثابتة مقدارها 10نيوتن تؤثر على جسم ليتحرك من Cإلى ب كما هو موضح فى شكل ()8 وبالتالى تكون االزاحة من Cإلى ب = 20متر ولتمثيل ذلك بيان ًيا نرسم محور القوة ومحور اإلزاحة كما هو مبين فى الشكل وبالتالى تكون القوة ممثلة على مستقيم أفقى يوازى محور اإلزاحة ف.
244
الصف الثالث الثانوى
10 5
الشغل ف
25
ب
20
15
10
شكل ()8
5 C
كتاب الطالب
�����
الشغل = Xف = 200 = )5-25( 10جول
وهو عبارة عن المساحة أسفل المنحنى وتمثل بمساحة المستطيل الذى عرضه 10نيوتن وطوله 20متر. أما حالة أن تكون القوة متغيرة خالل اإلزاحة كما هو موضح فى شكل ()9 فتكون المساحة تحت المنحنى تتحدد من العالقة: ش=
ب
C
4 4 X
ف
EXف
ب
وفى هذه الحالة نأخذ إزاحة صغيرة قدرها9ف حتى تكون القوة المؤثرة لهذه اإلزاحة منتظمة ويكون الشغل المبذول عندها يعطى بالعالقة:
9ف
شكل ()9
C
9ش = Xف 9ف
وإذا قسمنا منحى القوة إلى إجزاء صغيرة وحسبنا الشغل المبذول خالل كل جزء وأوجدنا مجموعهم ،فإنه يمكن التعبير عن ذلك بالعالقة: ب Xف9ف ش= C
وعندما تكون اإلزاحة9س أصغر ما يمكن (أى تؤول إلى الصفر) لكى نحصل على قيم أدق فى المعادلة السابقة فإن المعادلة السابقة تتحول إلى : ب ش=X Cف Eف وهذه هى الصورة العامة للشغل (الحظ أن X :ف = Xجتا( iتمثل مركبة القوة فى اتجاه اإلزاحة) ش=
C
ب
Xف
Eف
مثال شكل ( )8يوضح تأثير قوة متغيرة على جسم احسب الشغل المبذول باإلرج بواسطة هذه القوة فى الحاالت اآلتية:
ً أوال :عندما يتحرك الجسم من ف = 0إلى ف = 8
ثان ًيا :عندما يتحرك الجسم من ف = 8إلى ف = 12
ثال ًثا :عندما يتحرك الجسم من ف = 0إلى ف = 12
X
12
C
8
E ف 12
هـ
10
جـ
4
ب
8
6
4
و
2
48-
شكل ()10
كتاب الرياضيات التطبيقية
24
����� � ������ � ����� الحل
ً أوال :ش = 1
0
ثان ًيا :ش= 2
8
ثال ًثا :ش= 3
0
8
E Xف = المساحة تحت المنحنى من ف = 0إلى ف = 8
12
E Xف = -المساحة تحت المنحى من ف = 8إلى ف = 12
= مساحة سطح 9و Cب = 48 = 12 * 8 * 12جول
= -مساحة سطح 9ب جـ 12 - = 6 * 4 * 12 = Eجول 12
E Xف = المساحة تحت المنحنى =
0
8
= مساحة سطح9و Cب -مساحة سطح9ب جـ E
E Xف
8+
12
E Xف
= 36 = 6 * 4 * 12 - 12 * 8 * 12جول
حاول أن تحل
6الشكل المقابل يوضح تأثير قوة متغيرة على جسم احسب الشغل الكلى المبذول بواسطة هذه القوة فى الحاالت اآلتية: ً أوال :من ف = 0إلى ف = 10 ثان ًيا :من ف = 8إلى ف = 14
Xبالنيوتن
ف بالمتر
2 4 6 8 10 12 14
8 6 4 2
و
شكل ()11
مثال
أثرت قوة متغيرة ( Xمقيسة بالنيوتن) على جسم حيث 3 = Xف .4 - 2أوجد الشغل المبذول من هذه القوة فى الفترة من ف = 2متر إلى ف = 5متر؟
الحل
3 = X aف ، 4- 2ش = ` ش =
2
5
C
ب
EXف
(3ف E )4 - 2ف = [ف3
4 -ف]2
5
` ش = [( 105 = ])8 - 8( - )20 - 125جول حاول أن تحل
7أثرت قوة متغيرة ( Xمقاسة بالداين) على جسيم حيث Xتعطى بالعالقة: 4 = Xف2 - 3ف . 1+أوجد الشغل المبذول من هذه القوة فى الفترة من ف = 0إلى ف = 4
246
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
�����
4 4
تمــــاريــن 1 - 4
ا اً أول :اإختر الإجابة ال�شحيحة من بين الإجابات المعطاة: إذا تحرك جسم فى خط مستقيم من نقطة األصل إلى النقطة )2، 3 ( Cتحت تأثير القوة N 5 - M 3 = X
فإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة = .....................وحدة شغل . ج صفر ب 1- أ 4-
د 1
2إذا تحرك جسم فى خط مستقيم من النقطة )2 ،3-( Cإلى النقطة ب ( )3- ،5تحت تأثير القوة N 8 + M 5 = Xفإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة = .....................وحدة شغل د 80 ج 40 ب 40- أ صفر Xبالنيوتن
3الشكل المقابل يوضح تأثير قوة ( )Xعلى جسم يتحرك مسافة (ف) فإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة ليتحرك الجسم من ف = 0إلى ف = 6 متر يساوى .....................جول ب أ ج د
1 2 3 4 5 6
ف بالمتر
5 4 3 2 1
و
4الشغل المبذول فى رفع كتلة مقدارها 200جرام موضوعة على سطح األرض مسافة 10أمتار عن سطح األرض يساوى .....................جول د 29٫4 ج 19٫6 ب 9٫8 أ صفر إذا تحرك جسم فى خط مستقيم وكانت تؤثر عليه قوة مقاومة تساوى فى المقدار 400نيوتن فإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة خالل إزاحة ف حيث || ف ||= 350متر يساوى ......جول د 410 * 14 ج 410 * 7 ب 410 * 7- أ 410 * 14-
ثانيا :اأكمل:
6رجل يتسوق فى متجر (سوبر ماركت) يدفع عربة تسوق بقوة مقدارها 35نيوتن تميل هذه القوة على األفقى بزاوية قياسها c25لتتحرك العربة مسافة 50متر فإن الشغل المبذول بواسطة الرجل = .....................إرج 7الشغل المبذول فى تحريك كتلة مقدارها 600جرام مسافة 4أمتار بعجلة مقدارها 20سم /ث 2يساوى .....................إرج
كتاب الرياضيات التطبيقية
247
�����������������������
الشكل المقابل يوضح قوة مقدارها 16نيوتن تميل على األفقى بزاوية قياسها c25تؤثر على جسم كتلته 2٫5كجم ليتحرك على نضد أفقى أملس مسافة 220سم فإن: أ الشغل المبذول بواسطة القوة = ............................جول ب الشغل المبذول بواسطة رد فعل النضد = ............................جول ج الشغل المبذول بواسطة وزن الجسم = ............................جول
S
X c25
و
د الشغل الكلى بواسطة القوى المؤثرة على الجسم = ............................جول
ثالثا :اأجب عن الأ�سئلة الآتية: تحرك جسيم فى خط مستقيم تحت تأثير القوة N 3 - M 6 = Xمن التعويض )2 ، 1-( Cإلى النقطة ب ( )4 ، 3حيث N ، Mمتجها الوحدة األساسيان إحسب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة.
1أثرت القوى N - M 3 = 3X ، N 4 - M 2 = 2X ، N 3 + M 4 = 1Xعلى جسم فانتقل من النقطة )3 ، 2( Cإلى النقطة ب ( )4 ، 4أحسب الشغل المبذول من محصلة هذه القوى خالل األزاحة Cب
يتحرك جسم كتلته 1كجم ومتجه إزاحته ف = (3ن3( + M )2ن + 2ن) Nما هى القوة المحركة احسب الشغل المبذول من القوة المحركة خالل 5ثوان من بدء الحركة علما بأن ف مقيسة بالمتر X ،بالنيوتن ،ن بالثانية.
1متجه موضع جسيم كتلته 3كجم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة 3( = Sن4( + M )2 + 2ن N )3+ 2حي ث N ، Mمتجها وحدة متعامدان فى المستوى أثبت أن الجسيم يتحرك تحت تأثير قوة ثابتة ثم إحسب الشغل المبذول من هذه القوة من ن = 1إلى ن = 5 1عربة ترام ساكنة شدت بحبل يصنع مع شريط الترام زاوية قياسها c60فإذا كانت قوة الشد 500ث .كجم وتحركت العربة بعجلة 5سم/ث 2لمدة 30ثانية احسب الشغل الذى بذلته قوة الشد.
1عامل بناء كتلته 70كجم يحمل على كتفه كمية من الطوب صاعدا أعلى سلم إرتفاع قمته عن سطح األرض 12 ً متر فإذا بذل شغال قدره 11760جول حتى بلوغه قمة السلم أوجد كتلة الطوب.
1أثرت قوة على جسم ساكن كتلته 50كجم فاكسبته عجلة منتظمة 0٫7م/ث 2فإذا كان الشغل المبذول بواسطة هذه القوة يساوى 350ث .كجم .متر أوجد المسافة التى تحركها الجسم. 1قذف حجر كتلته 4كجم رأسيا ألعلى من على سطح األرض فإذا كان الشغل المبذول ليصل إلى أقصى إرتفاع 1176جول أوجد أقصى إرتفاع وصل إليه الحجر. 1أحسب بالجول مقدار الشغل الالزم بذله لرفع 5متر مكعب من الماء ألرتفاع 10أمتار.
11
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
������
4� �4
سيدة تدفع أمامها عربة بها طفل من حالة سكون علي طريق أفقى بقوة قدرها 2ثكجم وتميل على األفقى ألسفل بزاوية قياسها c60ضد مقاومات قدرها 0٫95ث كجم ،فإذا كانت كتلة العربة والطفل 18كجم فأوجد بثقل كجم.متر مقدار الشغل المبذول خالل دقيقة واحدة من : ب قوة السيدة أ وزن العربة والطفل
ج مقاومة الطريق.
قطار كتلته 200طن يصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 100بسرعة ثابتة فإذا كان الشغل المبذول من آالت القطار يساوى 510 * 15ث.كجم متر حتى وصل إلى أعلى المنحدر والشغل المبذول ضد المقاومات 510 * 5ث.كجم متر أوجد: ثانيا :المقاومة لكل طن من كتلة القطار أوال :طول المنحدر
11سيارة كتلتها 4طن تصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 100ضد مقاومات تعادل 5ث.كجم لكل طن من كتلة القطار فاكتسبت سرعة 54كم/س خالل 12دقيقة فإذا بدأت السيارة حركتها من السكون احسب بالجول الشغل المبذول من: ثانيا :قوة المقاومة أوال :قوة محرك السيارة رابعا :ضد وزن السيارة ثالثا :من وزن السيارة
1جسيم يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير القوة (Xنيوتن) حيث 0٫4 = Xف ،ف مقاسة بالمتر .أحسب الشغل المبذول من القوة Xعندما يتحرك الجسيم من : أ ف = 0حتى ف = 10 ب ف = 1حتى ف = 5
11جسيم يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير القوة (Xنيوتن) حيث = Xجا 2ف حيث ف مقاسة بالمتر، أحسب الشغل المبذول من القوة Xعندما يتحرك الجسيم من : أ ف = 0حتى ف = r 2 ب ف = r-حتى ف = r 4 4 ج ف = rحتى ف = r3 4
4
كتاب الرياضيات التطبيقية
11
طاقة الحركة
الوحدة الرابعة
2-4
Kinetic energy
تمهيد
سوف تتعلم
طاقة احلركة
وحدات قياس طاقة احلركة مبدأ الشغل والطاقة
فى الدرس السابق علم ًنا بأن القوة هى المسبب األساسى للحركة ،وفى هذا الدرس سوف ندرس المصدر الذى تستمد منه القوة فى تحريك األجسام وهذا المصدر هو الطاقة وبالتالى يمكن تعريف الطاقة بأنها مقياس قدرة الجسم على بذل شغل. وتظهر الطاقة فى حياتنا العملية فى عدة صور منها الطاقة الميكانيكية والطاقة الحرارية والطاقة الكهربائية والطاقة الضوئية ....ألخ وسوف ندرس من هذه الصور الطاقة الميكانيكية المتمثلة فى حركة األجسام وهى نوعان طاقة الحركة وطاقة الوضع. طاقة الحركة طاقة حركة جسم هى الطاقة التى يكتسبها الجسم بفضل سرعته وتقدر عند لحظة ما بنصف حاصل ضرب كتلة هذا الجسم فى مربع سرعته عند هذه اللحظة ويرمز لها بالرمز ط. فإذا كانت ك كتلة الجسيم ،ع متجه سرعته ،ع القياس الجبرى لهذا المتجه فإن:
Kinetic energy
المصطلحات األساسية
طاقة احلركة
Kinetic energy
ط = 1ك|| ع ||1 = 2 2 2
ك ع2
()1
وبما أن|| ع || = 2ع ⊙ ع ،فإنه يمكن التعبير عن طاقة الحركة كاآلتى: ط = 12ك ( ع :ع )
()2
يتضح من التعريف أن طاقة حركة الجسيم هى كمية قياسية غير سالبة ،وتنعدم فقط عندما ينعدم متجه السرعة .كما يبين التعريف أن طاقة حركة الجسيم قد تتغير من لحظة زمنية ألخرى أثناء حركته تب ًعا لمقدار سرعته. األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية
وحدات قيا�ض طاقة الحركة:
حيث أن الشغل هو صورة من صور الطاقة فإن : وحدة قياس طاقة الحركة = وحدة قياس الشغل
ً فمثال ،إذا قيست الكتلة بالكيلوجرام والسرعة بالمتر /ثانية فإن:
2 0
متر متر متر كجم = * وحدة قياس طاقة الحركة = كجم * ث2 ث ث
الصف الثالث الثانوى
* متر = نيوتن .متر كتاب الطالب
ك�� �ةقا
وإذا قيست الكتلة بالجرام والسرعة بالسنتيمتر /ثانية فإن: سم سم * وحدة قياس طاقة الحركة = جم * ث ث
= جم *
سم
ث2
4 4
* سم = داين * سم = إرج
مثال يتحرك جسم كتلته 100جم بسرعة ع = N 12 + M 5حيث N ، Mمتجها وحدة متعامدين ومقدار السرعة مقيس بوحدة سم/ث ،احسب طاقة حركة هذا الجسم أوال :باألرج ثانيا :بالجول الحل
نوجد معيار السرعة ع = N 12 + M 5
|| ع || = 13 = 2 12 + 25سم/ث
`|| ع ||169 =2
أوال :طاقة حركة الجسم = 12ك || ع || 8450 = 169 * 100 * 12 =2إرج 8450 ثانيا :طاقة الحركة = 710
= 4-10 * 8٫45جول
حاول أن تحل
يتحرك جسم كتلته 200جرام بسرعة ع = N 80 - M 60حيث N ، Mمتجها وحدة متعامدين ومقدار السرعة مقيس بوحدة سم/ث احسب طاقة حركة هذا الجسم ثانيا :بالجول. أوال :باألرج مثال قذف جسم كتلته 1كجم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة 49م/ث ،أوجد أ طاقة حركة الجسم بعد 6ثانية من قذفه ب طاقة حركة الجسم عندما يصبح على ارتفاع 102٫9متر من نقطة القذف الحل
` ع = 9٫8- = 6 * 9٫8 - 49م/ث أ aع = ع E + 0ن ` الجسم يكون هابطًا بسرعة مقدارها 9٫8م/ث2 ط = 12ك ع 48٫02 = 2)9٫8(*1* 12 = 2چول
ب aع = 2ع E 2 + 02ف ` ع384٫16 = 2 حاول أن تحل
`ع102٫9 * 9٫8 * 2 - 2)49 ( = 2 ط = 12ك ع 192٫08 = 384٫16 * 1* 12 = 2چول
2سقط جسم كتلته 500جم رأس ًيا إلى أسفل من أرتفاع 78٫4متر عن سطح األرض ،أوجد : أ طاقة حركة الجسم بعد 2ثانية من سقوطه ب طاقة حركة الجسم لحظة مالمسته لسطح األرض. كتاب الرياضيات التطبيقية
2
����� � ������ � �����
مثال قذف جسم كتلته 200جم بسرعة 280سم/ث على خط أكبر ميل لمستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 140وألعلى المستوى ،أوجد طاقة حركة هذا الجسم بوحدة اإلرج فى كل ممايأتى: أ بعد نصف دقيقة من قذفه. ب عندما يكون على بعد 24٫5متر من نقطة قذفه.
الحل
معادلة حركة الجسم المتحرك ك جـ = -ك Eجا هـ = 7- = 1 * 980 -سم/ث2 ` جـ 140 أ ع
ب
S
هـ
= ع + 0جـ ن
ع
= 70 = 30 * 7 - 280سم/ث
ع2
= ع 2 + 20جـ ف = (44100 = 2450 * 7 * 2 - 2)280 = ! 210سم/ث = 12ك ع 410 * 441 = 2)210( * 200 * 12 = 2إرج
كEجتاهـ
ط = 12ك ع 410 * 49 = 2)70( *200 * 12 = 2إرج ع2
ع ط
م هـ
كE جاهـ
كE
حاول أن تحل
1 20أبطل محركها ووقفت بعد أن قطعت 3سيارة كتلتها 1طن تصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها مسافة 20مترا من لحظة إبطال المحرك فإذا كان قوة مقاومة المنحدر 15وزن السيارة إحسب طاقة حركة
السيارة بوحدة الجول.
مبداأ ال�شغل والطاقة: إذا كانت Xثابتة : جسما كتلته (ك) يتحرك مسافة (ف) تحت تأثير باعتبار أن ً محصلة القوى ( )Xبحيث تتغير سرعته من (ع )1إلى (ع ) X 2 فيكون :الشغل المبذول بواسطة محصلة هذه: ش=*Xف
Principle of work and energy
ع2
اتجاه الحركة X
ع1
ف شكل ()1
aع = 2ع 2 + 20جـ ف وباعتبار أن ع ، 1ع 2هما السرعتان األبتدائية والنهائية على الترتيب ` ع - 22ع 2 = 12جـ ف بضرب طرفى العالقة فى 12ك 12ك ( ع - 22ع = )12ك جـ ف
2 2
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ك�� �ةقا
4 4
` 12ك ( ع - 22ع = ) 12ق .ف حيث Xقوة ثابتة المقدار ` التغير فى طاقة الحركة يساوى الشغل المبذول إذا كانت Xقوة متغيرة ، aط = 1ك ع2 2 `
Eع E (ط) = ك ع Eن Eن Eف E (ط) = X Eن Eن ط
E
Eن ف
` ط ( E 0طح) = فE X 0ف ` التغير فى طاقة الحركة = الشغل المبذول
(ط) = ك جـ ع
أى أن ط -ط = 0ش
تعبر العالقة األخيرة عن مبدأ الشغل والطاقة والذى ينص على اآلتى:
«التغير فى طاقة حركة الجسيم عند انتقاله من موضع ابتدائى إلى موضع نهائى يساوى الشغل المبذول بواسطة القوة المؤثرة عليه خالل اإلزاحة بين هذين الموضعين». ويالحظ أنه عند استخدام العالقات السابقة يجب أن تكون وحدات قياس طاقة الحركة هى نفسها وحدات قياس الشغل.
تفكير ناقد:
أثبت أنه إذا بدأ جسيم حركته من موضع ما ثم عاد إلى نفس الموضع ،فإن طاقة حركته النهائية تساوى طاقة حركته االبتدائية ،ثم استنتج من ذلك أنه فى حركة المقذوف الرأسى تحت تأثير الجاذبية األرضية الثابتة تكون سرعة المقذوف أثناء مرحلة الصعود عند نقطة ما تساوى سرعته أثناء مرحلة الهبوط عند النقطة نفسها. مثال
اطلقت رصاصة كتلتها 200جم بسرعة 400متر/ث على حاجز سميك فاستقرت فيه على عمق 20سم ،أوجد مقدار قوة مقاومة مادة الحاجز لحركة الرصاصة باعتبار هذه القوة ثابتة. الحل
ليكن Cموضع دخول الرصاصة إلى داخل الحاجز ،ب الموضع الذى مقدرة بوحدة الداين لدينا Cب = 20سم، أستقرت فيه ،م قوة المقاومة َّ بما أن قوة المقاومة تعمل فى عكس اتجاه االزاحة.
20سم
ب
فإن الشغل الذي تبذله هذه القوة يكون سال ًبا ويحسب كاآلتى: ش = C-ب * م = 20 -م
ف شكل ()6
م
طاقة حركة الرصاصة عند الدخول إلى الحاجز : ط = 1110 * 1٫6 = 2)100 * 400( * 200 * 12إرج (الحظ تحويل السرعة إلى وحدة سم/ث).
كتاب الرياضيات التطبيقية
2 3
C
����� � ������ � �����
طاقة حركة الرصاصة عند الموضع ب :طب = صفر ألن الرصاصة ساكنة فى هذا الموضع. التغير فى طاقة حركة الرصاصة :ط ب -ط 1110 * 1٫6- = Cارج aطب -ط = Cش ` 20- = 1110 * 1٫6 -م ` م=
1110* 1٫6-
حاول أن تحل
20-
= 910 * 8داين
4أطلقت رصاصة على هدف سمكه 9سم وخرجت من جانبه األخر بنصف سرعتها التى دخلت بها .فما هو أقل سمك الزم لهدف من نفس المادة حتى ال تخرج منه نفس الرصاصة لو أطلقت عليه بسرعتها السابقة نفسها. مثال
ترك جسم كتلته 20كجم ليهبط على خط أكبر ميل لمستو يميل على األفقى بزاوية قياسها . c30أوجد سرعة الجسم بعد أن يكون قد قطع مسافة 5أمتار على المستوى باستخدام مبدأ الشغل والطاقة. الحل
القوة الوحيدة التى تبذل شغال هى مركبة قوة الوزن الموازية لخط أكبر ميل الذى تحدث عليه الحركة ،وتكون هذه القوة موجهة ألسفل المستوى ومقدارها ك Eجا 30حيث ك كتلة الجسم E ،مقدار عجلة الجاذبية األرضية c30 شكل (.)7 شكل ()7 الشغل الذى تبذله هذه القوة أثناء االزاحة المعطاة: ش = (ك Eجا * ) c30ف = ( 490 = 5 * ) 12 * 9٫8 * 20جول aالتغير فى طاقة الحركة = الشغل المبذول ` 12ك ع - 2صفر = ش ` * 20 * 12ع490 = 2 ` ع49 = 2 ` ع = 7متر /ث وهى سرعة الجسم بعد أن يكون قد قطع 5أمتار من موقعة االبتدائى.
ى
ك د حا c30
حاول أن تحل
قذف جسم كتلته 2كجم بسرعة 3متر/ث إلى أسفل على خط أكبر ميل لمستوى أملس طوله 10أمتار وأرتفاعه 2متر أوجد طاقة حركة هذا الجسم عند وصوله إلى قاعدة المستوى. مثال
وضع جسم كتلته 300جم عند قمة مستوى مائل ارتفاعه 1متر .أحسب السرعة التى يصل بها هذا الجسم إلى قاعدة المستوى علما بأن مقدار الشغل الذى بذلته قوة مقاومة المستوى للحركة يساوى 1٫59جول.
2 4
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
4 4
ك�� �ةقا الحل
مقيسا بالمتر ،هـ قياس زاوية ميله على األفقي ،تؤثر ليكن ف طول المستوى ً على الجسم قوتان توازيان اتجاه الحركة؛ مركبة الوزن ،وتعمل فى خط أكبر ميل ألسفل ومقدارها ك Eجا هـ وقوة مقاومة المستوى لحركة الجسم عليه وتعمل فى خط أكبر ميل ألعلى وليكن مقدارها م.
م 1متر
ك Eجا c30
شكل ()8
هـ
الشغل المبذول أثناء حركة الجسم من قمة المستوى حتى قاعدته: ش = (ك Eجا هـ -م) * ف 1 = ( - * 9٫8 * 0٫3م) * ف = - 9٫8 * 0٫3م ف ف
ولكن م ف = 1٫59جول هو الشغل الذى بذلته قوة المقاومة. ` ش = 1٫35 = 1٫59 - 9٫8 * 0٫3جول ` ط -ط = :ش ` 0٫3 * 12ع - 2صفر = 1٫35 ` ع = 3متر /ث ` ع9 = 2 حاول أن تحل
6وضع جسم كتلته 200جرام عند قمة مستوى مائل إرتفاعه 3أمتار .إحسب السرعة التى يصل بها هذا الجسم إلى قاعدة المستوى علما بأن مقدار الشغل الذى بذلته قوة مقاومة المستوى للحركة 4٫48جول. مثال
جسم كتلته 1كجم يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها 12م/ث ،أثرت عليه قوة مقاومة فى اتجاه مضاد التجاه حركته مقدارها 6س( 2نيوتن) حيث س المسافة التى يقطعها الجسم تحت تأثير المقاومة (بالمتر). أ أوجد الشغل الذى تبذله المقاومة عندما س = 4ب أوجد سرعة الجسم وطاقة حركته عندما س = 2 الحل
4
أ ش =E X 0س 4 6س E 2س = [2 -س4 ] 3=0 0 = 128 -جول
ب aالتغير فى طاقة الحركة = الشغل المبذول 2 12ك (ع - 2ع E X 0 = )20س ( 1* 12ع= )144 - 2
0
2
6 -سE 2س
( 12ع)144 - 2
= [ 2 -س3
ع2
= 112
( 12ع)144 - 2
ع
= 16-
]0
2
= 7 4م/ث
ط = 12ك ع 56 = 112 * 1 * 12 = 2جول كتاب الرياضيات التطبيقية
2
����� � ������ � �����
تمــــاريــن 2 - 4
ا اً أول :اأكمل : طاقة حركة قذيفة كتلتها 13كجم وتتحرك بسرعة 300متر/ث يساوى ...................جول.
2طاقة حركة جسم كتلته 40جرام يتحرك بسرعة 20متر/ث يساوى ...................جول
3سيارة كتلتها 1٫5طن وطاقة حركتها 168750جول فإن سرعة السيارة ...................م/ث
4جسم كتلته 200جرام يتحرك بسرعة ع = N 40 + M 30حيث N ، Mمتجها وحدة متعامدان ومقدار السرعة مقيس بوحدة سم/ث فإن طاقة حركة هذا الجسم = ...................إرج N، M
جسم يتحرك بسرعة ع = N 100 + M 50حيث ع مقيس بوحدة سم/ث ، متجها وحدة متعامدان فى إتجاهى وس ،وص وكانت طاقة حركة هذا الجسم تساوى 3٫9جول فإن كتلة الجسم = ..................جرام.
6إذا ترك جسم كتلته 30جرام ليسقط من إرتفاع 10أمتار من سطح األرض فإن طاقة حركة هذا الجسم = جول عندما يكون وشك اإلرتطام باألرض.
...................
ثان ًيا:
7إصطدمت رصاصة كتلتها 32جرام وسرعتها 400م/ث بقالب خشبى فسكنت بعد أن قطعت داخل القالب مسافة 5سم إحسب الزمن الذى تستغرقه الرصاصة داخل القالب (مستخدما مبدأ الشغل والطاقة). 8أطلقت رصاصة كتلتها 25جم بسرعة أفقية على قطعة خشبية كتلتها 1٫35كجم موضوعة على نضد أفقى واحدآ تحرك مسافة 10سم نتيجة للتصادم .احسب سرعة انطالق الرصاصة خشن فاستقرت فيها وكونتا جسما ً مستخد ًما مبدأ الشغل والطاقة إذا كان معامل االحتكاك الحركى بين قطعة الخشب والنضد يساوى . 14
9قوة مقدارها 12نيوتن ثابتة األتجاه تقوم ببذل شغل على جسم تحرك فإذا كانت إزاحته تعطى بالعالقة ف = N 4 - M 3حيث ف بالمتر إحسب قياس الزاوية بين ، Xف إذا كان التغير فى طاقة الحركة للجسم. أوال :يساوى 30جول ثانيا :يساوى 30-جول
0الشكل المقابل يوضح تأثير مركبة قوة فى األتجاه الموجب إتجاه لمحور السينات على جسم كتلته 2كجم فإذا كانت سرعة الجسم عند س = 0يساوى 4م/ث أوال :أوجد التغير فى طاقة حركة بين س = ، 0س = 5متر.
2 6
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
4 4
ك�� �ةقا
ثانيا :احسب مقدار طاقة حركة الجسم عند س = 3
ص ق (نيوتن)
ثالثا :عند أى قيمة لـ س يكون مقدار طاقة الحركة 8جول ترك جسم كتلته 200جرام ليتحرك من سكون من قمة مستوى أملس طوله 1 10أوجد طاقة حركة هذا الجسم 25متر ويميل على األفقى بزاوية جيبها عندما يصل إلى قاعدة المستوى.
4
3 2
س
ف (متر) 5
1 4
2 3
1
123-
2قذف جسيم كتلته 5كجم على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل على 1 ، 10وألعلى بسرعة 4متر/ث .إحسب التغير الذى األفقى بزاوية جيبها يطرأ على طاقة حركة هذا الجسيم بعد إنقضاء ثانية واحدة على لحظة قذفه ثم عندما يعود إلى موضع القذف. 3مستوى مائل خشن طوله 20متر وإرتفاعه 5أمتار أوجد أصغر سرعة يقذف بها جسم من أسفل نقطة فى المستوى المائل وفى اتجاه خط أكبر للمستوى لكى يصل بالكاد إلى أعلى نقطة فى المستوى علما بأن الجسم يالقى مقاومات تساوى 14وزنه. 4أطلقت قذيفة مدفع بسرعة ع = N 360 + M 105حيث N ، Mمتجها وحدة متعامدان ومقدار السرعة مقاس بوحدة م/ث ،فإذا كانت طاقة الحركة للقذيفة تساوى 610*1٫125جول فأوجد كتلة القذيفة بالكيلو جرام.
يتحرك جسم كتلته 2كجم تحت تأثير القوى 2 = 2X ، N 2 + M = 1X = N 5 + M 3مقدرة كل منها بالنيوتن حيث N ، Mمتجها وحدة متعامدين فإذا كان متجه األزاحة كدالة فى الزمن يعطى بالعالقة ف = Cن - M 2ب (ن - 2ن) Nومعيار األزاحة بالمتر أوجد: 3X , N + M
ً اوال :قيمة كل من الثابتين ، Cب
ثان ًيا :الشغل المبذول من هذه القوة بعد 2ثانية من بدء الحركة
ثال ًثا :طاقة الحركة فى نهاية زمن قدره 2ثانية
6أطلقت رصاصة أفق ًيا بسرعة 540كم/س على قطعة من الخشب فاستقرت فيها على عمق 20سم ،فإذا أطلقت نفس الرصاصة بنفس السرعة على هدف ثابت من نفس نوع الخشب سمكه 15سم ،فما هى السرعة التى تخرج بها الرصاصة من الهدف بفرض ثبوت المقاومة. 7هدف رأسى مكون من طبقتين من معدنين مختلفين ،سمك األول 7سم وسمك الثانى 14سم فإذا أطلقت رصاصتان متساويتان فى الكتلة فى إتجاهين متضادين وعموديين على الهدف وبسرعة واحدة فأخترقت الرصاصة األولى الطبقة األولى وسكنت فى الثانية بعد أن غاصت فيها مسافة 5سم وأخترقت الرصاصة الثانية الطبقة الثانية وأستقرت فى الطبقة األولى بعد أن غاصت مسافة 1سم أوجد النسبة بين مقاومة المعدنين. كتاب الرياضيات التطبيقية
2 7
����� � ������ � �����
8كرتان ملساويتان كتلتاهما 100جرام200 ،جرام تتحركان فى خط مستقيم فى إتجاهين متضادتان تصادمت الكرتان عندما كانت سرعتاهما 8م/ث 12 ،م/ث على الترتيب فإذا إرتدت الكرة األولى بعد التصادم مباشرة بسرعة 2م/ث إحسب طاقة الحركة المفقودة نتيجة التصادم بالجول. 9سقطت كرة كتلتها 100جرام من إرتفاع 3٫6متر على أرض أفقية فاصطدمت بها وأرتدت رأسيا إلى أعلى فإذا بلغ النقص فى طاقة حركة الكرة نتيجة إصطدامها باألرض 1٫96جول .احسب المسافة التى إرتدتها الكرة عقب تصادمها باألرض . 20سقط جسم مطاطى من السكون من قمة برج فبلغت كمية حركته قبل التصادم مباشرة 1092جم .متر/ث ، طاقة حركته 1014ث جم .متر احسب كتلة هذا الجسم وارتفاع البرج وإذا إرتد الجسم بعد إصطدامه باألرض مسافة 4٫9متر فأوجد مقدار دفع األرض للجسم. 2سقطة جسم ( )Cكتلته 1٫8كجم من السكون من أرتفاع ما عن سطح األرض ،وفى نفس اللحظة قذف جسم جسما (ب) كتلته 1٫14كجم رأس ًيا من سطح األرض ألعلى بسرعة 49م/ث ليصطدم بالجسم ( )Cويكونا م ًعا ً واحدا ،إذا علم أن سرعة الجسم ( )Cقبل التصادم مباشرة 28م/ث فاحسب: ً
ً اوال :السرعة المشتركة للجسمين بعد التصادم مباشرة.
ثان ًيا :طاقة الحركة المفقودة بالتصادم .ثال ًثا :الدفع الواقع على الجسم ()C
22سقطت مطرقة كتلتها 800كجم من أرتفاع 6٫4متر رأس ًيا على عمود من أعمدة األساس كتلته 320كجم فتدكه رأس ًيا فى األرض لمسافة 10سم .أوجد :
ً اوال :السرعة المشتركة للمطرقة والجسم بعد التصادم مباشرة. ثان ًيا :طاقة الحركة المفقودة نتيجة للتصادم .
ثال ًثا :مقاومة األرض للجسم مقدرة بثقل الكيلو جرام.
2 8
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
طاقة الوضع
الوحدة الرابعة
Potential energy
3-4
تمهيد: لقد درست فيما سبق طاقة الجسم المرتبطة بحركته ،والتي تسمى بطاقة الحركة ،سوف تتعلم طاقة الوضع. وفي هذا الدرس سوف ندرس طاقة وضع الجسم التي ترتبط بمكان وجوده ،ويمكن العالقة بني الشغل والتغري تعريف عدة أنواع من طاقة الوضع بحيث يرتبط كل نوع بقوة ما ،وتعد طاقة وضع يف طاقة الوضع. جذب األرض لألجسام من أكثر طاقات الوضع شيو ًعا. مبدأ الشغل والطاقة – ثبات الطاقة.
تعلم
طاقة وضع جسم تؤثر عليه قوة متغرية.
طاقة الو�شع عندما يتحرك جسيم على خط مستقيم تحت تأثير قوة ثابتة توازى هذا الخط فإن الوضع الوضع الوضع طاقة وضع الجسيم طو عند لحظة ما هى الشغل الثابت االبتدائى النهائى المبذول بواسطة القوة المؤثرة لجسيم لو أنها حركته و ب C المصطلحات األساسية من موضعه إلى موضع أخر ثابت على الخط المستقيم طاقة الوضع potential energy Cب كما فى الشكل المجاور. potential energy
إذا كانت القوة Xتوازى Cب وكانت (و) هى الموضع الثابت ، C ،ب وضعين مختلفين للجسم على هذا الخط فإن : طاقة الوضع عند C : X = CVو ،طاقة الوضع عند Vب = : Xب و ، وباستخدام الرمز ∙ Nللتعبير عن طاقة الوضع نجد أن :
التغري يف طاقة الوضع
change in potential energy
مبدأ الشغل والطاقة the work – energy principle ثبات الطاقة
aطاقة الوضع عند (و) = 0ألن طاقة الوضع عند و = = 0 : Xصفر a
باعتبار أن ، Cب هما الموضعان االبتدائى والنهائى للجسم المتحرك N ،CN ،ب
هما طاقتى الوضع عند ، Cب علي الترتيب فإن :
Vب : X ( = CV-ب و ) C : X ( -و )
= (: Xب و C -و )= ( : Xب) C =C : X -ب
ولكن C : X :ب = ش
األدوات المستخدمة
2
من
2
Vب - = CV-ش كتاب الرياضيات التطبيقية
آله حاسبة علمية.
برامج رسومية للحاسب.
2 9
������ � ������ � �����
أى أن :التغير في طاقة وضع الجسم عند إنتقاله من موضع ابتدائى إلى موضع نهائى يساوى سالب الشغل المبذول بواسطة القوة خالل الحركة. بقاء الطاقة إذا أنتقل جسم من موضع Cإلى موضع آخر ب دون أن يالقى أى مقاومة فإن مجموع طاقتى الحركة والوضع عند C يساوى مجموع طاقتى الحركة والوضع عند ب . من مبدأ الشغل والطاقة نجد أن طب -ط = Cش
ومن العالقة السابقة التى تربط الشغل بطاقة الوضع نجد أن: Vب - = CV -ش ` `
ط ب -طC
طب V +ب
= V[ -ب ]CV -
= طCV + C
مجموع طاقتى الحركة والوضع يظل ثاب ًتا أثناء الحركة وحدات قياس طاقة الوضع :من تعريف طاقة الوضع نجد أن وحدات قياسها هى نفسها وحدات قياس الشغل وطاقة الحركة مثال أثرت القوة N 2 + M 6 = Xعلى جسم فحركته من الموضع Cإلى الموضع ب فى زمن 2ثانية ،وكان متجه الموضع للجسم يعطى بالعالقة 3( = S :ن2 ( + M )2 + 2ن N)1+ 2احسب التغير فى طاقة الوضع للجسم حيث معيار Xمقيس بالنيوتن ،معيار Sبالمتر ،ن بالثانية.
الحل
a
ف
= 0S - S
= (3ن2( + M )2 + 2ن) N + M 2( - N )1+ 2
= 3ن2 + M 2ن C = N 2ب
` التغير في طاقة الوضع = : Xب C : X ( - = Cب ) = 3( :)2 ،6( -ن2 ، 2ن)2
= 18( -ن4 + 2ن22 - = )2ن2
= 88 - = 4 * 22-جول حاول أن تحل
أثرت القوة N 5 + M 4 = Xعلى جسم فحركته من الموضع Cإلى الموضع ب فى زمن 2ثانية ،وكان متجه الموضع للجسيم يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة 2( = Sن4 ( + M )3+ 2ن . N )1+احسب التغير فى طاقة الوضع للجسيم حيث معيار Xمقيس بالنيوتن ،معيار Sبالمتر ،ن بالثانية.
260
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ك�� �����
4 4
مثال جسم كتلته 300جم موضوع على ارتفاع 10أمتار من سطح األرض ،أوجد طاقة وضع الجسم ،وإذا سقط الجسم رأس ًيا فأوجد مجموع طاقتى الحركة والوضع للجسم عند أى لحظة أثناء سقوطه .ثم أوجد طاقة حركته عندما يكون علي ارتفاع 3متر عن سطح األرض.
الحل
طاقة وضع الجسم عند :C طاقة وضع الجسم عند = Cك * Eل = 29٫4 = 10 * 9٫8 * 0٫3جول 10متر ` طاقة حركته = صفر aالجسم ساكن عند C = 29٫4جول ` طCV + C aمجموع طاقتى الحركة والوضع يظل ثاب ًتا أثناء الحركة ` مجموع طاقتى الحركة والوضع للجسم عن أى لحظة أثناء سقوطه = 29٫4جول
C
ب
3متر
طاقة الحركة وطاقة الوضع عند ب: ` طاقة وضع الجسم = ك * Eل = 8٫82 = 3 * 9٫8 * 0٫3جول = ط CV + C aطب V +ب ` طب = 20٫58 = 8٫82 - 29٫4جول = 29٫4 ` طب 8٫82 +
حاول أن تحل
2سقط جسيم كتلته 100جم من ارتفاع 4متر عن سطح األرض .أوجد مجموع طاقتى الحركة والوضع للجسم واحد من سطح األرض. متر ً عند أى لحظة أثناء سقوطه ،ثم أوجد طاقة حركته عندما يكون على ارتفاع ً مثال
جسم كتلته 3كجم موضوع عند Cأعلى نقطة من مستوى مائل أملس طوله 20متر ويميل على األفقى بزاوية قياسها .c30احسب طاقة وضع الجسم ،وإذا هبط الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى .أحسب سرعة الجسم لحظة وصوله إلى أسفل نقطة فى المستوى .
الحل
طاقة الحركة الجسم عند ب: =ك*Eل CV = 20 ( 9٫8 * 3جا )c30 = 294جول ط 294 = 294 + 0 = CV + Cجول
C
ل
0
2 مت ًرا
كE
جاهـ
c30
( ألن الجسم ساكن عند )C كتاب الرياضيات التطبيقية
26
ب
����� � ������ � �����
طاقة الحركة وطاقة الوضع عند ب: = 294جول طب V +ب 12ك ع0 + 2
2 * 294 2 `ع = 3
= 294 = 196
` *3 * 12ع2994 = 2 ` ع = 14متر/ث
حاول أن تحل
،C 3ب نقطتان علي خط أكبر ميل فى مستوى مائل خشن بحيث ب أسفل ، Cبدأ جسم كتتله 500جم الحركة من واحدا وسرعة الجسم عندما يصل إلى ب تساوى مترا ً السكون من نقطة ، Cفإذا كانت المسافة الرأسية تساوى ً 4م/ث .أوجد بالجول : ثان ًيا :الشغل المبذول من المقاومات أوالً :طاقة الوضع المفقودة مثال جسما كتلته 4جم يتدلى رأس ًيا وبتذبذب بندول بسيط يتكون من قضيب خفيف طوله 80سم ويحمل فى طرفه ً فى زاوية قياسها . c120أوجد : أوالً :زيادة طاقة الوضع في نهاية المسار عنها في منتصف المسار ثان ًيا :سرعة الجسم عند منتصف المسار. الحل
من هندسة الشكل: الكتلة تتحرك فى قوس دائرى مركزه النقطة م ونصف قطره = 80سم. Cc(X aم جـ) = c120 ` Cc (Xم c60 = )E aالمثلث Cو م ثالثينى ستينى ` م و = 40سم ،ب و = 40سم
زيادة طاقة الوضع عند Cعنها عن ب: V - C Vب = ك Eل - 1ك Eل = 2ك( Eل - 1ل = )2ك * Eب و = 156800 = 40 * 980 * 4إرج إليجاد سرعة الجسم عند منتصف المسار: من مبدأ ثبات الطاقة طب V +ب = طCV + C ` * 4 * 12ع156800 + 0 = 0 + 2 ` ع = 280سم/ث ` ع78400 = 2
262
الصف الثالث الثانوى
c60 C كE
c30
م و
ب
كتاب الطالب
جـ
ك�� �����
C
ف
كE
م
هـ
ب
ع
جـ
12ك (ع - 2ع = )02ك Eجا هـ * ف -م * ف
12ك (ع - 2ع = )02ك C * Eب -م * ف
التغير في طاقة الوضع
ع0
ج
12ك (ع - 2ع ( = )02ك Eجا هـ -م ) * ف
motion on rouph inclined plane
اهـ
الحركة على م�شتوى مائل خ�شن إذا هبط جسم على مستوى مائل خشن تحت تأثير وزنه فقط من الموضع Cإلى الموضع جـ فإن التغير في طاقة الوضع = التغير في طاقة الحركة +الشغل المبذول ضد المقاومات. اإلثبات: نفرض أن المسافة التي تحركها الجسم على المستوى (ف) فتكون المسافة الرأسية Cب التي هبطها الجسم Cب = ف جا هـ التغير في طاقة الحركة من Cإلى ب = الشغل المبذول بواسطة ( ك Eجا هـ – م)
4 4
كC*Eب
= 12ك (ع - 2ع + )02م * ف
= التغير في طاقة الحركة +الشغل المبذول ضد المقاومات.
الحظ أن :يمكن تعميم القاعدة السابقة سواء كانت الحركة رأسية أو على مستوى مائل كاآلتي: إذا سقط أو قذف جسم رأس ًّيا في وسط به مقاومة أو هبط على مستوى مائل خشن فإن:
التغير فى طاقة الوضع = التغير في طاقة الحركة +الشغل ضد المقاومات.
مثال
في الشكل المقابل مكعب من الخشب عند C
4متر
الحركة عىل مستوى خشن
E
C
كتلته 2كيلو جرام ،ينزلق على سطح (كما هو مبين بالشكل) حيث Cب ،جـ Eسطحان أملسان .السطح األفقي ب جـ خشن ،طوله 30متر ،معامل االحتكاك الحركى له 15فإذا بدأ مكعب الخشب الحركة من سكون وهو على ارتفاع 4متر ،على أي مسافة على ب جـ يسكن مكعب الخشب؟ جـ
30متر
ب
الحل
المكعب ينزلق على القوس Cب
وتب ًعا لمبدأ ثبات الطاقة
ط = C V + Cط ب V +ب
صفر = 4 * 9٫8 * 2 +طب +صفر ` طب = 78٫4جول.
كتاب الرياضيات التطبيقية
263
����� � ������ � �����
وحيث إن المكعب يتحرك على المستوى ب جـ خشن.
التغير في طاقة وضع الجسم = التغير في طاقة الحركة +الشغل ضد المقاومات = ( + )78٫4- 0مك ر * ف صفر ` ف = 20متر * 2 * 9٫8 * 15ف = 78,4
ن مك
و
حاول أن تحل
4تهبط عربة من السكون أسفل منحدر ،ولما قطعت مسافة 180متر ،وجد أنها هبطت مسافة 10متر ،فإذا علم أن 34طاقة الوضع فقدت نظير التغلب على المقاومات ضد الحركة ،وأن هذه المقاومات ظلت ثابتة طوال حركة العربة ،فأوجد سرعة العربة بعد قطعها مسافة 180متر السابقة.
تمــــاريــن 3 - 4
ا اً أول :اأكمل:
سقط جسم كتلته 0٫2كجم من أرتفاع 5أمتار عن سطح األرض . أ طاقة وضع الجسم لحظة سقوطه = ............................جول ب طاقة حركة الجسم لحظة سقوطه = ............................جول
ج مجموع طاقتى الحركة والوضع لحظة وصوله لسطح األرض = ............................جول 2جسم كتلته 350كجم على ارتفاع 20متر من سطح األرض ،فإن طاقة وضع الجسم = ............................جول.
3طائرة عمودية وزنها 3500ث كجم تهبط رأس ًّيا ألسفل من ارتفاع 250متر إلى ارتفاع 150متر من سطح األرض فإن مقدار الفقد في طاقة وضعها = ............................جول. 4جسم وزنه 2ث كجم صعد مسافة 200سم على خط أكبر ميل لمستوى أملس يميل على األفقي بزاوية قياسها ،c30فإن الزيادة في طاقة وضعه = ............................جول وضع جسم عن قمة مستو مائل أملس أرتفاعه 90سم فإن سرعته عندما يصل إلى قاعدة المستوى = متر/ث
............................
6يتحرك جسم من الموضع )3 ،2( Cإلى الموضع ب ( )6 ،7تحت تأثير القوة N 4 + M 3 = Xفإن التغير في طاقة وضع الجسم = ............................جول؛ حيث ف بالسنتيمتر X ،مقاسة بالداين. 7أثرت قوة N 5 + M 4 = Xعلى جسم فحركته من الموضع Cإلى الموضع ب في زمن 2ثانية ،وكان متجه الموضع للجسم يعطى كدالة في الزمن بالعالقة = 2(= Sن 4( + M )3+ 2ن N )1+فإن التغير في طاقة الوضع للجسم = ......جول؛ حيث Xبالنيوتن || S || ،بالمتر ،ن بالثانية
264
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
ك�� �����
4 4
اأجب عن الأ�شئلة الآتية:
8جسم كتلته 300جرام موضوع على ارتفاع 10أمتار من سطح األرض ،أوجد طاقة وضع الجسم ،وإذا سقط الجسم رأس َّيا ،فأوجد طاقة حركته عندما يكون على ارتفاع 3متر من سطح األرض. مترا عن سطح األرض ،احسب التغير في 9قذف جسم كتلته 140جرام رأس ًّيا ألعلى من قمة برج ارتفاعه ً 25 مقدرا بالجول. طاقة حركة الجسم من لحظة قذفه حتى وصوله إلى سطح األرض ً
متر/ثانية أوجد مجموع طاقتى الحركة والوضع بعد 0قذف جسم كتلته 2كجم رأس ًيا إلى أعلى بسرعة ً 70 5ثوان ،وإذا كانت طاقة حركته بعد زمن ما هو 125٫44جول فأوجد هذا الزمن وأوجد طاقة وضعه عندئذ. جسم كتلته 100جم سقط من ارتفاع 5أمتار على أرض رخوة فغاص فيها 20سم أوجد : ً أوال :مقدار ما فقد من طاقة الوضع بالجول قبل لحظة اصطدامه باألرض مباشرة. ثان ًيا :متوسط مقاومة األرض بثقل الكيلو جرام.
1 مترا .أحسب 2تحرك رجل كتلته 72كيلو جراما ً صاعدا طري ًقا يميل علي األفقى بزاوية جيبها 6فقطع ً 120 التغير فى طاقة وضع الرجل
ٍ مستو مائل أرتفاعه 2متر إلى قاعدة 3احسب السرعة التى يصل بها جسم كتتله 300جم موضوع عند قمة المستوى إذا كان مقدار الشغل المبذول ضد المقاومة يساوى 2٫13جول.
، C 4ب نقطتان على خط أكبر ميل لمستوى مائل خشن بحيث ب أسفل ، Cبدأ جسم كتلته 500جم الحركة من واحدا وسرعة الجسم عندما يصل إلى ب تساوى مترا ً السكون من نقطة ، Cفإذا كانت المسافة الرأسية تساوى ً 4م/ث .أوجد بالجول : ً اوال :طاقة الوضع المفقودة. ثان ًيا :الشغل المبذول من المقاومات .
فى الشكل المجاور :بندول بسيط طول خيطه 130سم ،يبدأ البندول الحركة من 5 . 12 حرا ليتذبذب فى زاوية قياسها 2هـ حيث طا هـ = السكون من النقطة Cويتحرك ً أوجد سرعة الكرة عند منتصف المسار.
6حلقة كتلتها 12كجم ،تنزلق على عمود أسطواني رأسي خشن ،فإذا كانت سرعتها 6٫3 متر/ث بعد أن قطعت مسافة 4٫8متر من بدء حركتها باستخدام مبدأ الشغل والطاقة، احسب الشغل المبذول من المقاومة أثناء الحركة.
كتاب الرياضيات التطبيقية
م
هـ هـ C
ب
26
جـ
القدرة
الوحدة الرابعة
4-4 سوف تتعلم
Power
فكر و
القدرة.
ناقش
شغال قدره شغال قدره 200ثقل كجم.متر فى 4دقائق وبذلت آلة أخرى ً إذا بذلت آلة ً 100ثقل كجم.متر فى دقيقة واحدة. فأى من اآللتين أقدر (آكفأ) من األخرى؟ شغال أكثر. قد يبدو لك أن اآللة األولى هى األقدر من اآللة الثانية ألنها بذلت ً 50 = 200ثقل كجم.متروما بذلته ولكن ما بذلته اآللة األولى فى الدقيقة الواحدة = 4 اآللة الثانية 1فى الدقيقة الواحدة = 100ثقل كجم.متر من ذلك نستنتج أنه لقياس قدرة آلة البد من معرفة ما تبذله هذه اآللة من شغل فى وحدة الزمن
المصطلحات األساسية
القدرة
احلصان
Power Horse power
تعريف
القدرة :هى المعدل الزمنى لبذل شغل
أيضا كاآلتى: ويصاغ هذا التعريف ً «القدرة هى الشغل المبذول فى وحدة الزمن» القدرة = )Q( E Eن وحيث أن : X = Qف ` القدرة = : X ( Eف ) Eن
وإذا كانت القوة Xثابتة فإن Eف
القدرة = E : Xن
= : Xع = Xع جتا هـ
األدوات المستخدمة
آله حاسبة علمية.
266
وإذا كانت ع لها نفس اتجاه القوة Xفإن القدرة = Xع
من ذلك نجد أن القدرة كمية قياسية تتعين عند كل لحظة زمنية بمعلومية ق ،ع وتحدد قيمتها بالمعدل الزمنى لبذل الشغل عند هذه اللحظة . الحظ أن القدرة تتعين لحظ ًيا (عند لحظة معينة) خالفًا للشغل الذى يحسب دائ ًما بين لحظتين زمنيتين. الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
������
4 4
القدرة المتوسطة: شغال قدرة Qخالل فترة زمنية 9ن = ن - 2ن 1فإن: إذا بذلت القوة ً Q
Q
= القدرة المتوسطة = 9ن ن - 2ن1
استخدام التكامل فى إيجاد الشغل aالقدرة = ، )Q( E
`=Q
Eن
ن1
ن2
(القدرة ) Eن
القدرة المتغيرة وأقصى قدرة عند ثبوت مقدار القوة Xفإن مقدار القدرة يتغير طرد ًيا مع مقدار سرعة الجسم ع ويكون Xثابت التغير حيث القدرة ع عند ثبوت X القدرة = Xع وكلما تغير مقدار السرعة تغير مقدار القدرة ونحصل على أقصى قدرة عند ما تصبح السرعة أقصى مايمكن ويطلق على القدرة فى هذه الحالة قدرة اآللة (بوجه عام)
وحدات قيا�ض القدرة:
بما أن القدرة تساوى المعدل الزمنى لبذل الشغل.
وحدة قياس الشغل
` وحدة قياس القدرة = وحدة قياس الزمن = وحدة قياس القوة * وحدة قياس السرعة
ومن وحدات قياس القدرة :الوات (نيوتن .م/ث) ،ث كجم .م/ث -ارج /ث ،الحصان
aالنيوتن -متر/ثانية (نيوتن .متر/ث) :يعرف النيوتن -متر/ثانية على أنه قدرة قوة تبذل شغال بمعدل زمنى ثابت مقداره نيوتن -متر واحد فى كل ثانية. ويطلق أيضا على وحدة النيوتن -متر /ثانية (جول /ثانية) إسم «الوات» aثقل كيلوجرام .متر/ثانية (ث .كجم .متر/ث) :يعرف ثقل كيلوجرام .متر/ثانية على أنه قدرة قوة تبذل شغال بمعدل زمنى ثابت مقداره كيلو جرام -متر واحد فى كل ثانية. aاإلرج/ثانية (إرج/ث) :يعرف اإلرج/ثانية على أنه قدرة قوة تبذل شغال بمعدل زمني ثابت مقداره إرجا واحدا فى كل ثانية. شغال قدره 75ث كجم .م كل ثانية. aالحصان :يعرف الحصان على أنه قدرة اآللة التى تبذل ً
فيمايلى قواعد التحويل بين مختلف وحدات القدرة. ½ 1ث كجم .متر/ث = 9٫8نيوتن .متر/ث ½ 1نيوتن .متر/ث = 1وات = 710إرج/ث
كتاب الرياضيات التطبيقية
267
����� � ������ � �����
كما أن هناك وحدات أخرى للقدرة مثل الكيلو وات والحصان. 1 aكيلو وات = 1000وات = 1000نيوتن .متر/ث = 1010إرج/ث 1 aحصان = 75ث كجم .متر/ث = 9٫8 * 75نيوتن .متر/ث = 735نيوتن .متر/ث ( وات) = 0٫735كيلو وات مثال شخص كتلته 50كجم يصعد سلم برج إرتفاع البرج 441متر فى زمن قدره 15دقيقة إحسب القدرة المتوسطه له بوحدة الوات. الحل
القوه ()X
= ك 490 = 9٫8 * 50 = Eنيوتن
المسافة 0٫49 = 60441م/ث = سرعة الرجل المتوسطة = *15 الزمن
القدرة المتوسطة = القوة * السرعة = * Xع = 240٫1 =0٫49 * 490وات حاول أن تحل
محرك طائرة يعطى قوة مقدارها 410 * 32٫2نيوتن عندما تكون سرعة الطائرة 900كم/س إحسب قدرة المحرك بالحصان مثال سيارة كتلتها 2طن تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة مقدارها 108كم/س ضد مقاومات تعادل 15ث.كجم لكل طن من الكتلة إحسب قدرة آلتها بالحصان. الحل
الجسم يتحرك بسرعة منتظمة «تبعا للقانون األول لنيوتن فتكون 30 = 2 * 15 = J = Xثقل كيلوجرام 5 30 = 18م/ث سرعة السيارة = * 108 ` القدرة = * Xع = 900 = 30 * 30ث كجم .م/ث 12 = 900حصان ` القدرة = 75
حاول أن تحل
2شاحنة كتلتها 6طن تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة مقدارها 54كم/س عندما تكون قدرة محركها 30حصان ،احسب مقاومة الطريق بثقل الكيلوجرام لكل طن من الكتلة.
268
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
4 4
������
مثال سيارة كتلتها 9طن تصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 125بأقصى سرعة مقدارها 45كم/س ضد مقاومات تعادل 20ثقل كيلوجرام لكل طن من الكتلة ،إحسب قدرة محركها بالحصان الحل
الحركة ألعلى المستوى معادلة الحركة X
ات
X
= م +ك Eجا هـ = 1 * 9٫8 * 310 * 9 + 9٫8 * 9 * 20 125نيوتن = 252ث.كجم
ع
5 25م/ث = 2 = 18 * 45
X
أقصى سرعة تصعد بها السيارة على المنحدر
جا
S
X
كEجتاهـ
هـ
م هـ
ها لح
كE
ركة
جاهـ
كE
25 * 252 42 = 2حصان ` أقصى قدرة للسيارة = * Xع = 75
حاول أن تحل
3فى المثال السابق إذا هبطت السيارة بعد ذلك على نفس المستوى بعد تحميلها ببضائع كتلتها 3طن ،أحسب أقصى سرعةللهبوط بالكم/س علما بأن المقاومة عن كل طن من الكتلة لم تتغير .
منتظما (ثاب ًتا) فإن : الحظ أن :اذا كان معدل بذل الشغل ً مثال
الشغل القوة * المسافة = القدرة = الزمن الزمن
عامل وظيفته تحميل صناديق على شاحنة كتلة الصندوق الواحد 30كجم فاذا كان إرتفاع الشاحنة ٫9متر احسب عدد الصناديق التى يستطيع العامل تحميلها فى زمن قدره 1دقيقة اذا كانت قدرته المتوسطة تساوى 0٫6حصان. الحل
الشغل الكلى عدد الصناديق * الشغل الالزم لتحميل صندوق واحد = القدرة = الزمن الزمن
القدرة * الزمن ` عدد الصناديق الالزم تحميلها فى زمن قدرة 1دقيقة = الشغل للصندوق الواحد 735 * 0٫6 = 53 = 0٫9 * 9٫8 * 30صندوق لكل ثانية عدد الصناديق
عدد الصناديق
= 100 = 60 * 53صندوق لكل دقيقة
كتاب الرياضيات التطبيقية
269
����� � ������ � ����� حاول أن تحل
4فى المثال السابق احسب عدد الصناديق اذا كانت قدرة العامل 352٫8وات مثال قطار كتلته 200طن يصعد منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 200بسرعة منتظمة مقدارها 27كم/س ً ضد مقاومات للحركة موازية التجاه خط أكبر ميل للمستوى بمعدل 18ثقل كجم لكل طن من الكتلة .فما قدرة القاطرة بالحصان؟ وإذا هبط القطار على المنحدر بنفس السرعة فكم تكون قدرة القاطرة فى هذه الحالة بفرض ثبوث مقاومات الحركة فى الحالتين؟ الحل
ً أوال:
`
a ` a `
قوة
عندما يكون القطار صاعدً ا المنحدر: نتخذ متجه وحدة ى في اتجاه الحركة أى إلى أعلى المستوى مقاومات الحركة = 3600 = 18 * 200ثقل كجم 1 مركبة وزن القطار في اتجاه المستوى = 200 * 1000 * 200 = 1000ثقل كجم القطار يصعد بسرعة منتظمة قوة المحرك = المقاومات +مركبة الوزن = 4600 = 1000 + 3600ثقل كجم = 1Xع حيث 1Xقوة المحرك ،ع السرعة القدرة 5 = 18 * 27 * 4600ثقل كجم .متر/ث القدرة 1 5 460 = 75حصان = * 18 * 27 * 4600
ال مح
ى
رك
ا
لمق
ا وما
ت +مر
كبة
هـ
ال وزن
ثان ًيا :عندما يكون القطار هاب ًطا المنحدر: وم نتخذ متجه وحدة ى فى اتجاه الحركة أى إلى أسفل المستوى ات ق aالقطار يهبط بسرعة منتظمة وة ال م ح ر ك ` قوة المحرك +مركبة الوزن = المقاومات +مر ك ب ة ال ` قوة المحرك 3600 = 1000 + هـ وزن ` قوة المحرك = 2600ثقل كجم حيث 2Xقوة المحرك ،ع السرعة ( ألنها لم تتغير) aالقدرة = 2Xع 1 5 260 = 75حصان ` القدرة = * 18 * 27 * 2600 ال مقا
ى
حاول أن تحل
1 قاطرة كتلتها 28طن تجر عربة كتلتها 56طن بعجلة ثابتة أسفل منحدريميل على األفقى بزاوية جيبها 100
ولما بلغت قدرة محركها 84حصان أصبحت سرعتها 21م/ث احسب عجلة الحركة اذا علمأن المقاومة 10ث كجم لكل طن من الكتلة
270
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
������
4 4
مثال يتحرك جسيم كتلته 1كجم تحت تأثير القوة N 4 + M 3 = Xبحيث كانت إزاحته ف كدالة فى الزمن تعطى بالعالقة ف = 3ن 6 + M 2ن Nحيث N ، Mمتجها وحدة متعامدين أوجد الشغل المبذول من القوة ثم أوجد القدرة عندما ن = 2ثانية إذا كانت ق مقيسة بالنيوتن ،ف مقيسه بالمتر ،ن بالثانية . الحل
⊙ X=Q aف ` 3 (⊙ )4 ،3 ( = Qن6 ، 2ن) = 9ن 24 + 2ن E
aالقدرة = عندما ن = 2ثانية Eن
(ش)
` القدرة = 18ن 24 + القدرة = 60چول
حاول أن تحل
6أثرت قوة ثابتة Xعلى جسيم بحيث كان متجه إزاحته يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف = (3ن+ 2ن) 4 - Mن Nحيث N ، Mمتجها وحدة متعامدين .أوجد Xإذا كانت قدرة القوة علما Xتساوى 75إرج/ث عندما ن = 4ثانية ،وكانت قدرة القوة Xتساوى 165إرج/ث عندما ن = 9ثانية ً بأن ف مقيسة بالسنتيمتر X ،مقيسة بوحدة اإلرج. مثال مقاسا بالثوانى يساوى (9ن4 + 2ن) فأوجد الشغل المبذول من اآللة خالل الثوانى إذا كانت قدرة آلة عند أى زمن ن ً الثالث األولى ثم أوجد الشغل المبذول خالل الثانية الرابعة. الحل
Eش aالقدرة = Eن
ن2
` = Qن( 1القدرة ) Eن 3 ( 9ن4 + 2ن) Eن الشغل المبذول خالل الثوانى الثالث األولى = 0 = [3ن2 + 3ن3 ]2 0 = 99وحدة شغل
الشغل المبذول خالل الثانية الرابعة
4
= 9 ( 3ن4 + 2ن) Eن 4 2 3 = [ 3ن 2 +ن ] 3 = 125وحدة شغل
كتاب الرياضيات التطبيقية
27
����� � ������ � �����
مثال أوجد الزمن الذى تستغرقه سيارة كتلتها 1200كجم لتصل سرعتها إلى 126كم/س من السكون إذا كانت قدرة المحرك ثابتة وتساوى 125حصان.
الحل
a a ` `
ن
` =Q
ن
( 0 = Qالقدرة ) Eن 735 * 125 = Qن ` 12ك ( ع - 2ع 735 * 125 = )20ن الشغل = التغير فى طاقة الحركة 5 735 * 125 = )0 - 2 ) 18ن * 126 ( ( 1200 * 12 ` ن=8ث 735 * 125 = 1000 * 735ن 0
( E )735 * 125ن
حاول أن تحل
شغال بمعدل يعطى خالل الفترة الزمنيةن∈ [ ]5 ،0بالعالقة 144ن 26 -ن ، 2وإذا 7إذا كانت قوة محرك سيارة تبذل ً كانت كتلة السيارة 980كجم وسرعتها فى نهاية الثانية الثالثة 90كم/س فأوجد سرعتها فى نهاية الثانية الرابعة.
تمــــاريــن 4 - 4 اأكمل
جسيم يتحرك تحت تأثير قوة N 4 +M 3 = Xبحيث كانت إزاحته ف = ن ( +Mن + 2ن) ص فإن قدرة القوة Xعند اللحظة ن = 3ثانية تساوى ................................داين .سم/ث حيث Xبالداين ،ف بالسنتيمتر.
2قطار كتلته 375طن وقدرة محركه 625حصان يتحرك على أرض أفقية بأقصى سرعة ك وقدرها 90كم/س فإن المقاومة التى يالقيها عن كل طن من كتلة القطار = ................................ث كجم 3تتحرك سيارة كتلتها 4طن وقدرة محركها 10حصان فى خط مستقيم علي أرض أفقية فكانت أقصى سرعة لها 75كم/س فإن مقدار مقاومة الطريق لحركة السيارة = ................................ث كجم 4قطار كتلته 108طن يتحرك بسرعة منتظمة على طريق أفقى بسرعة 30كم/ساعة فإذا كانت المقاومات تعادل 10٫5ثقل كجم لكل طن من كتلته فأوجد قدره القاطرة بالحصان عندئذ.
قطار قدرة آلته 504حصان وكتلته 216طن يتحرك على طريق أفقى بأقصى سرعة له ضد مقاومات تعادل 5ثقل كجم لكل طن من الكتلة ،أوجد أقصى سرعة له بالكيلو متر/ساعة
6يتحرك منطاد تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مربع سرعته ،فإذا كانت المقاومة تعادل 800ثقل كجم عندما كانت سرعته 20كم/ساعة وكانت قدرة المنطاد 200حصان عندما يتحرك بأقصى سرعة له .فأوجد هذه السرعة بالكم/ساعة
272
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
������
4 4
7تتحرك سيارةكتلتها 1500كجم وقدرة محركها 120حصان على طريق مستقيم أفقى بأقصى سرعة وقدرها 72 منحدرا يميل على األفقى بزاوية كم/س .ما هى أقصى سرعة يمكن لهذه السيارة أن تصعد بها طري ًقا مستقيما ً جيبها 1عل ًما بأن المقاومة واحده على الطريقين؟
10
8سيارة كتلتها 3طن تسير على طريق أفقى بسرعة منتظمة قدرها 37٫5كم/ساعة وعندما وصلت إلى قمة منحدر يميل على األفقى بزاوية جيبها ٫03أوقف السائق المحرك وتحركت السيارة أسفل المنحدر بسرعتها السابقة نفسها فإذا كانت مقاومة المنحدر 23مقاومة الطريق األفقى فأوجد: ثانيا :قدرة محرك السيارة على الطريق األفقى. أوال :مقاومة المنحدر بثقل الكيلو جرام.
منحدرا يميل على األفقى بزاوية 9تحركت سيارة كتلتها 6طن .بأقصى سرعة وقدرها 27كم/س صاعدة طري ًقا ً جيبها 1 ، 10عادت السيارة وهبطت على الطريق نفسه بأقصى سرعة لها وقدرها 135كم/س .عين مقدار قوة مقاومة الطريق للحركة بفرض أنه لم يتغير طوال الوقت ثم أوجد قدرة محرك السيارة.
0طائرة قدرة محركها 1350حصانًا عندما تتحرك أفق ًيا بسرعة ثابتة قدرها 270كم/س أوجد مقاومة الهواء لحركة الطائرة عندئذ .وإذا كانت مقاومة الهواء تتناسب مع مربع سرعتها ،أوجد قدرة المحرك عندما يسير أفق ًيا بسرعة ثابتة قدرها 180كم/ساعة. قطارا بأقصى سرعة وقدرها 72كم/س على أرض أفقية .إحسب المقاومة لحركة تجر قاطرة قدرة آلتها 400حصان ً منحدرا يميل على القطار ،إذا كانت كتلة القطار والقاطرة م ًعا 200طن ،أوجد أقصى سرعة يصعد بها القطار طري ًقا ً األفقى بزاوية جيبها 1 200على فرض أن مقاومة الطريق للحركة لم تتغير.
2راكب دراجةكتلته مع دراجته 80كجم ،وأكبر قدره له 45حصان فإذا كانت أقصى سرعة له على طريق أفقى منحدرا يميل على األفقى بزاوية هى 18كم/ساعة ،فاحسب مقاومة الطريق بثقل كجم ،واذا علم أنه صعد ً جيبها 3 40بأقصى سرعة له فإحسب هذه السرعة بالكم/ساعة.
3عربة نقل كتلتها 5طن تتحرك على طريق أفقى بسرعة منتظمة قدرها 144كم/س ،عندما كانت قدرة آلتها 120 حصان .أوجد مقاومة الطريق لكل طن من الكتلة بثقل كجم ،وإذا كانت المقاومة تتناسب مع السرعة ،فأوجد قدرة المحرك بالحصان عندما تصعد العربة منحدرا يميل على األفقى بزاوية جيبها 3 200بسرعة منتظمة قدرها 96كم/س ً 4هبطت شاحنة كتلتها 2طن على طريق منحدر يميل على األفقى بزاوية جيبها 1 100من موقع ( أ ) الى موقع (ب) بأقصى سرعة وقدرها 90كم/س .إحسب قدرة محرك السيارة إذا علمت أن مقاومة الطريق لحركتها تقدر بنسبة ٪13من وزن السيارة ،حملت السيارة عند وصولها إلى الموقع (ب) شحنة كتلتها 12طن ثم تحركت صاعدة الطريق الى موقع ( أ ) بأقصى سرعة ،أوجد هذه السرعة إذا ظلت المقاومة على نفس نسبتها من الوزن.
قطار كتلته (ك) طن يتحرك على طريق أفقى بأقصى سرعة له وقدرها 60كم/س .فصلت منه العربة األخيرة وكتلتها 15طن ،فزادت أقصى سرعة له بمقدار 7٫5كم/س .أوجد قدرة اآللة بالحصان .وكذلك كتلة القطار، علما بأن المقاومة تساوى 9ثقل كجم عن كل طن من الكتلة. ً كتاب الرياضيات التطبيقية
273
����� � ������ � �����
6جسيم يتحرك تحت تأثير القوة N 4 + M 3= Xوكان متجه إزاحته ف يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة ف = ن 12 ( + Mن + 2ن ) ، Nأوجد إذا كانت Xمقيسة بالنيوتن ،ف بالمتر ،ن بالثانية. ب متوسط القدرة خالل الثوانى الثالث األولى أ الشغل المبذول خالل الثوانى الثالث األولى ج قدرة القوة Xعند ن = 3ث
7يتحرك جسيم كتلته الوحدة تحت تأثير قوة 2= Xن5 + M 1-ن N 2+بحيث كان متجه إزاحته يعطى كدالة فى الزمن بالعالقة ف =( 3ن + 2ن) 4 + Mن ، Nأوجد إذا كانت Xمقيسة بالنيوتن ،ف بالمتر ،ن بالثانية. أ الشغل المبذول خالل الثوانى الثالثة والرابعة والخامسة ب القدرة المتوسطة خالل الثوانى الثالثة والرابعة والخامسة. ج قدرة القوة عند ن = 5ث
8جسم كتلته 3كجم يتحرك تحت تأثير قوة Xوكان متجه موضع الجسم عند أى لحظة زمنية ن يعطى بالعالقة س (ن)= ن+ M 3ن N 2حيث س مقيسة بالمتر X ،بالنيوتن ،ن بالثانية .أوجد : ب أوجد قدرة القوة Xبداللة الزمن ن. أ القوة المؤثرة Xبداللة ن. ج أوجد الشغل المبذول من القوة Xخالل الفترة الزمنية H0ن 2 H
1 20ن )2حيث ن الزمن بالثوانى ،ن∈ [ ]120 ،0أوجد : 9إذا كانت قدرة آلة (بالحصان) تساوى ( 6ن - ب الشغل المبذول خالل الفترة الزمنية [.]30 ،0 أ قدرة اآللة عندما ن = 90ث.
ج أقصى قدرة لآللة .
20جسم كتلته 5كجم يتحرك تحت تأثير قوة Xبحيث كان متجه موضعه عند الزمن ن يعطى بالعالقة س (ن) = ن + Mن N 2إذا كانت Xمقيسة بالنيوتن ،س بالمتر .فأوجد : مستخد ًما التكامل الشغل المبذول من القوة Xفى الفترة الزمنية [. ]2 ،0 2جسم كتلته 3كجم يتحرك تحت تأثير قوة Xبحيث كان متجه سرعته ع يعطى بالعالقة ع = ( - 1جا 2ن ) + 1- ( + Mجتا 2ن ) Nإذا كانت Xمقيسة بالنيوتن ،ع بوحدة م/ث فأوجد: ب طاقة الحركة ط عند الزمن ن. أ القوة Xبداللة الزمن ن. ج أثبت أن معدل تغير طح يساوى القدرة الناتجة عن القوة . X
274
الصف الثالث الثانوى
ح
كتاب الطالب
قذف جسيم كتلته 200جم إلى أعلى مستوى أملس يميل على األفقى 8 49وفى اتجاه خط اكبر ميل بسرعة 30سم/ث .أحسب بزاوية جيبها التغير الذى يطرأ على طاقة وضع هذا الجسيم عندما تصبح سرعته 18سم/ث.
2أثرت قوة مقدارها 48ث جم على جسم ساكن موضوع على مستوى أفقى لفترة زمنية ما ،فاكتسب الجسم فى نهايتها طاقة حركة قدرها 18900ث جم.سم وبلغت كمية حركته عندئذ 176400جم.سم/ث ،ثم رفعت القوة فعاد الجسم إلى السكون مرة أخرى بعد أن قطع مسافة 10٫5متر من لحظة رفع القوة .أوجد كتلة الجسم ومقدار مقاومة المستوى لحركته بغرض ثبوتها .كذلك أوجد زمن تأثير القوة. 3سيارة كتلتها 1800كجم تسير على طريق أفقى بسرعة ثابتة قدرها 54كم/س ،فإذا كان مقدار المقاومة لحركة السيارة يعادل 0٫25من وزن السيارة فأوجد قدرة اآللة فقى هذه الحالة بالحصان.
4تسقط مطرقة كتلتها طن واحد مسافة 4٫9متر رأس ًيا على جسم حديدى كتلته 400كجم فتدكه رأس ًيا فى األرض لمسافة 10سم عين السرعة المشتركة للمطرقة والجسم بعد االصطدام مباشرة .عين طاقة الحركة المفقودة بالتصادم ومقدار مقاومة األرض بفرض ثبوتها. 1 98قذف عليه جسم كتلته 2كجم فى اتجاه خط أكبر ميل مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية جيبها للمستوى وإلى أعلى بسرعة 1٫4م/ث .أحسب الشغل المبذول من الوزن حتى يسكن لحظ ًيا.
6يتحرك جسم كتلته 2كجم تحت تأثير قوة ثابتة Xحيث N 8 +M 4 = Xحيث Xمقيسة بالنيوتن ،فإذا بدأ الجسم حركته من السكون من نقطة متجه الموضع عندها ، N 5 + M 2فأوجد متجه موضع الجسم بعد أيضا مقدار الشغل الذى بذلته هذه القوة خالل هذه الفترة الزمنية ،وأوجد القدرة المتولدة عندما 3ثوان ،وأوجد ً ن = 3ت.
7راكب دراجة كتلته هو والدراجة 98كجم يتحرك على أرض أفقية خشنة من السكون فبلغت سرعته أقصى قيمة لها وقدرها 7٫5م/ث بعد زمن قدره دقيقة واحدة .وعندما أوقف حركة قدميه على بدالة الدراجة سكنت مترا أحسب أقصى قدرة لهذه الرجل خالل هذه الرحلة بالحصان. الدراجة بعد أن قطعت مسافة قدرها ً 15 مترا .فإذا 8يهبط جسم كتلته 60كجم من السكون على خط أكبر ميل لمستوى مائل طوله ً 20 مترا وارتفاعه ً 12 3 بدأ الجسم الحركة من أعلى نقطة فى المستوى وكان معامل األحتكاك بين الجسم والمستوى 16فأوجد طاقة حركة الجسم عندما يصل إلى قاعدة المستوى. 7 24وأثرت عليه قوة فى اتجاه 9وضع جسم كتلته 5كجم على مستوى مائل خشن يميل على األفقى بزاوية ظلها خط أكبر ميل للمستوى فحركته ألعلى المستوى بسرعة منتظمة مسافة 75سم فإذا كان معامل االحتكاك بين 5 12فأوجد : الجسم والمستوى هو أ مقدار الشغل المبذول ضد مقاومة المستوى. ب مقدار الشغل المبذول من القوة. كتاب الرياضيات التطبيقية
27
����� � ������ � �����
شغال بمعدل ثابت قدره 5كيلو وات وكتلة السيارة 1200كجم فإذا كانت السيارة تسير فى 0محرك سيارة تبذل ً طريق أفقى ضد مقاومة ثابتة مقدارها 325نيوتن فأوجد : أ مقدار عجلة حركة السيارة عندما تكون سرعتها 8م/ث. ب أقصى سرعة للسيارة. تتحرك سيارة كتلتها 5طن بسرعة منتظمة مقدارها 36كم/س صاعدة طريق منحدر يميل على األفقى بزاوية 1 40ضد مقاومة تعادل ٪2٫5من وزن السيارة .أوجد قدرة محرك السيارة عندئذ بالحصان ،وإذا زادت جيبها قدرة المحرك فجأة إلى 50حصانًا فأوجد مقدار عجلة السيارة بعدها مباشرة.
2يتحرك قطار بسرعة ثابتة قدرها 72كم/س ،فصلت العربة األخيرة وكتلتها 16طن فزادت سرعة القطار إلى 96 علما بأن القطار يالقى مقاومة ثابتة كم/س .إذا كانت قدرة آالت القطار ثابتة فأوجد قدرة اآللة وكتلة القطار ً قدرها 6ث كجم لكل طن من الكتلة المتحركة.
3جسيم يتحرك فى خط مستقيم تحت تأثير قوة متغيرة Xحيث 15 = Xس ( نيوتن ) حيث س بالمتر هو بعد الجسيم عن نقطة أصل ثابتة على خط المستقيم ،أوجد الشغل المبذول من Xفى كل من الحاالت اآلتية : أ عندما يتحرك الجسيم من س = 0حتى س = .10 ب عندما يتحرك الجسيم من س = 1حتى س = .5 24س 4سقط جسم كتلته 1كجم من السكون رأس ًيا إلى أسفل تحت تأثير عجلة الجاذبية ضد مقاومات قدرها 25 ( نيوتن) حيث س بعد الجسم عن نقطة السقوط بالمتر عند أى لحظة .أوجد الشغل المبذول من الجسم ضد المقاومة منذ لحظة السقوط حتى يقطع مسافة 10متر أسفل نقطة السقوط وأوجد سرعته عند هذه اللحظة.
قوة ثابتة مقدارها ق تميل على األفقى بزاوية ظلها تجر سيارة معطلة كتلتها 1400كجم بسرعة منتظمة قدرها 22٫5م/ث على طريق أفقى خشن معامل االحتكاك بين الطريق والسيارة 0٫3أوجد : أ قدرة القوة فى هذه الحالة. ب الشغل المبذول من القوة لتحريك السيارة لمدة دقيقة واحدة. لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
276
الصف الثالث الثانوى
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الطالب
�ختب���ت ع�م
اأول :ال�شتاتيكا الختبار الأول اجب عن ال�شوؤال الآتى:
السؤال األول :اختر االجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة اذا كانت iهى قياس الزاوية بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل المحصل فإن معامل االحتكاك السكونى يساوى: د ظتا i ج جتا i ب جا i أ ظا i
2الشكل المقابل يمثل قضيب فى حالة اتزان فإن = X ب 16نيوتن أ 28نيوتن د 4نيوتن ج 2نيوتن
12نيوتن X 2م
20نيوتن 4م
2م
3قوة N 5 - M 3 = Xتؤثر فى النقطة )1 ، 1-( Cفإن عزم القوة Xبالنسبة لنقطة االصل يساوى: أ 2-ع
ب 2ع
ج 8ع
د 8-ع
4قوتان تكونان ازدواج ،مقدار احدهما 15نيوتن وعزم االزدواج المحصل منهما 45نيوتن .سم فإن البعد العمودى بينهما يساوى د 30سم ج 3سم ب 60سم أ 675سم اذا اتزنت مجموعة من القوى المستوية فإن مجموع عزومها حول أى نقطة فى المستوى يساوى: أ ثابت غير صفرى
ب صفر
ج محصلة هذه القوى
د الواحد الصحيح
6مركز ثقل جسمين ماديين كتلة كل منهما 3نيوتن 6 ،نيوتن والمسافة بينهما 15سم يبعد عن الجسيم 3نيوتن مسافة ..........سم د 9 ج 7٫5 ب 10 أ 5 ثانيا :اأجب عن ثالثة اأ�شئلة مما ياأتى:
السؤال الثانى الشكل المقابل يوضح شداد Cب يؤثر على عمود مائل جـ . E اوجد معيار عزم قوة الشد بالنسبة للنقطة E 2وضع جسم وزنه (و) على مستوى خشن يميل على االفقى بزاوية قياسها (هـ) فإذا كان قياس زاوية االحتكاك هو (ل) فاوجد مقدار واتجاه القوة تجعل الجسم على وشك الحركة الى اعلى.
جـ
220
1متر
نيوتن
ب
C
E
30سم
كتاب الرياضيات التطبيقية
2متر
277
�ختب���ت ع�م
السؤال الثالث قوتان متوازيتان وفى نفس االتجاه مقدارهما 15 ، 10نيوتن تؤثران فى نقطتين ، Cب حيث Cب = 75سم .اوجد محصلة القوتين.
C 2ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه Cب = Cجـ = 13سم ،ب جـ = 10سم اثرت قوى مقاديرها 65 ،X ،65نيوتن فى Cب ،ب جـ ،جـ Cعلى الترتيب فإذا كانت مجموعة القوى تكافئ ازدواج فما قيمة Xومعيار عزم االزدواج
السؤال الرابع
Cب قضيب رفيع خفيف طوله 2ل معلق فى مستوى رأسى من طرفيه ، Cب بخطين يميالن على الرأسى بزاويتين °60 ،°30على الترتيب .علق فى القضيب الثقالن 8 ، 2نيوتن على بعد من Cيساوى 15ل 65 ،ل. اوجد فى وضع التوازن مقدار الشد فى الخيطين وقياس زاوية ميل القضيب على االفقى.
C 2ب جـ مثلث متساوى االضالع طول ضلعه 10سم اثرت االوزان 9 ، 6 ، 3نيوتن فى رؤوسه .عين موضع مركز ع ثقل المجموعة. هـ
السؤال الخامس
فى الشكل المقابل قوة 6 25نيوتن تؤثر فى هـ م .اوجد مركبات عزم القوة بالنسبة لمحاور االحداثيات.
ب م ص
10سم
C
و E
10سم
10سم
س
2صفيحة رقيقة منتظمة الكثافة على شكل مستطيل Cب جـ Eفيه Cب = 5سم ،ب جـ = 12سم ،هـ∈ E Cبحيث Cهـ= 5سم .ثنى المثلث Cب هـ حول الضلع ب هـ حتى انطبق Cب على ب جـ تما ًما .عين موضع مركز ثقل الصفيحة بعد ثنيها بالنسبة الى جـ ب ،جـE
الختبار الثانى اأول :اجب عن ال�شوؤال الآتى:
السؤال األول :اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاة يؤثر على الجسم ازدواجان ،األول مقدار احدى قوتيه 20ث كجم وذراع العزم 12متر واتجاه دورانه فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة والثانى مقدار احدى قوتيه 30ث كجم وذراع العزم 1متر واتجاه دورانه فى اتجاه دوران عقارب الساعة فإن االزدواج المحصل يساوى : أ 20ث كجم .م واتجاه دورانه فى اتجاه دوران عقارب الساعة ب 20كجم.م واتجاه دورانه فى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة
278
الصف الثالث الثانوى
كتاب الطالب
اختبارات عامة
ج 40ث كجم.م واتجاه دورانه فى اتجاه دوران عقارب الساعة. د 40ث كجم.م واتجاه دورانه فى اتجاه عكس دوران عقارب الساعة.
زاوية االحتكاك هى: أ الزاوية المحصورة بين رد الفعل العمودى ورد الفعل المحصل. ب النسبة بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل العمودى. ج النسبة بين معامل االحتكاك السكونى ومعامل االحتكاك الحركى. د الزاوية المحصورة بين قوة االحتكاك النهائى ورد الفعل المحصل.
الشكل المقابل يوضح تأثير قوة مقدارها Xعلى طرف قضيب .قياس الزاوية iالتى تولد اكبر عزم حول نقطة ب هو: ب °90 أ °0 د °30 ج °45
X
i
ب
قوتان متوازيتان ومتضادان فى االتجاه مقدار احدهما 7نيوتن ومقدار محصلتهما 10نيوتن فإن مقدار القوة االخرى يساوى. د 6نيوتن ج 27نيوتن ب 17نيوتن أ 3نيوتن فى الشكل المقابل: اذا كانت ل هى زاوية االحتكاك بين االرض والقضيب فإن ظا هـ .ظا ل = ب 1 أ 2 2 د 3 ج 1
ب
Sب
S
C
C
تؤثر الكتلة 5كجم فى النقطة ( ) 1- ، 2وتؤثر الكتلة 7كجم فى النقطة ( ) 2 ، 1فإن مركز ثقل الكتلتين يؤثر فى النقطة.... ب ج () 13 ، 19 ) 34 ، 17 أ ()9 ، 17 ( 12
ث�ن ًي� :اأجب عن ثالثة ا�سئلة مم�ي�أتى :
هـ
مS C
و
د ) 14 ، 19 ( 12
السؤال الثانى اذا كانت القوة 3 + N - M 5 = Xع تؤثر في نقطة )1 ، 2 ، 1-( Cاوجد: اً أوال :عزم القوة Xبالنسبة لنقطة االصل. ثان اًيا :طول العمود المرسوم من نقطة االصل على خط عمل . X
برهن أن :اذا وضع جسم على مستوى مائل خشن وكان الجسم على وشك االنزالق فإن قياس زاوية االحتكاك يساوى قياس زاوية ميل المستوى على االفقى. كتاب الرياضيات التطبيقية
79
�ختب���ت ع�م
السؤال الثالث وضعت ثالثة اجسام أوزانها 11 ، 7 ، 5ث كجم على قضيب خفيف كما بالشكل .عين نقطة تعليق على القضيب بحيث يظل القضيب أفق ًّيا. C 2ب جـ Eمستطيل فيه Cب = 6سم ،ب جـ = 8سم ،هـ∈ ب جـ ،و∈ E Cبحيث ب هـ = Eو = 6سم اثرت قوى مقاديرها X ، X ، 7 ، 7 ،5 ، 5ث كجم فى اتجاهات Cب ،جـ ، Eب جـ ، C Eهـ ، Cو جـ ،على الترتيب فإذا كانت المجموعة تكافئ ازدواج معيار عزمه 10ث كجم .سم فى اتجاه جـ ب E Cاوجد .X السؤال الرابع فى الشكل المقابل ترتكز احدى نهايتى سلم منتظم وزنه (و) على حائط i رأسى أملس وترتكز النهاية االخرى على أرض خشنة تميل على األفقى بزاوية قياسها (هـ