الرياضيات التعليم الفنى اول ثانوى فصل 2

‫‪ ‬‬ ‫ﻓﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻟﻠﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﻔﻨﻰ‬ ‫) ‪( ‬‬

‫إﻋﺪاد‬ ‫أﺣﻤﺪ ﻋﯿﺴﻰ‬ ‫ﻣﺪرس أول اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

  ––    

 – –

( ٠١ ) A.E

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ﺱ‪ ، ١‬ﺹ‪ ، ( ١‬ﺏ ) ﺱ‪ ، ٢‬ﺹ‪ ، ( ٢‬ﺝ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ (‬ ‫‪ ‬ﺝ ﻱ ﺍﺏ‬

‫ﻡ‪ ١‬ﺱ‪ + ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺱ‪١‬‬ ‫ﺱ=‬ ‫ﻡ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻡ‬ ‫‪٢ ١‬‬ ‫‪ ‬ﺝ ﻱ ﺍﺏ‬

‫ﻡ‪ ١‬ﺱ‪ - ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺱ‪١‬‬ ‫ﺱ=‬ ‫ﻡ‬ ‫‬‫ﻡ‬ ‫‪٢ ١‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻡ‪١‬‬

‫ﺍ ﺝ ‪ :‬ﺝ ﺏ = ﻡ‪ : ١‬ﻡ‪٢‬‬

‫ﺍ‬

‫ﻡ‪١‬‬

‫ﺍ ﺝ ‪ :‬ﺝ ﺏ = ﻡ‪ : ١‬ﻡ‪٢‬‬

‫‪ ،‬ﺹ = ﻡ‪١‬ﺹ‪ - ٢‬ﻡ‪٢‬ﺹ‪١‬‬ ‫ﻡ‪ - ١‬ﻡ‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، (٤ ، ٣-‬ﺏ ) ‪ ، ( ١ ، ٣‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ﺍﻟﱴ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ١ : ٢‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﺱ = ‪ ، ١ = ٣-×١ + ٣×٢‬ﺹ = ‪٢ = ٤×١ + ١×٢‬‬ ‫‪١+٢‬‬ ‫‪١+٢‬‬

‫ﺏ‬

‫ﺝ‬

‫‪ ،‬ﺹ = ﻡ‪١‬ﺹ‪ + ٢‬ﻡ‪٢‬ﺹ‪١‬‬ ‫ﻡ‪ + ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫‪ ،‬ﺝ ﻳ ﺍﺏ ‪،‬‬

‫ﻡ‪٢‬‬

‫ﻡ‪٢‬‬

‫ﺍ‬

‫ﺝ‬

‫ﺏ‬

‫ﺗﺪرﯾﺐ‪:‬‬ ‫ﺍ ) ‪ ، (٥ ، ٢‬ﺏ ) ‪ ( ٣ ، ٧‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ‬

‫ﺝ ﺍﻟﱴ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ٣ : ٤‬ﻣﻦ ﺍﳋﺎﺭﺝ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ ﻓﺈن ﺱ = ﺱ‪ +١‬ﺱ‪٢‬‬ ‫‪ ،‬ﺹ = ﺹ‪ +١‬ﺹ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ) ‪ ، ، (٣ ، ٢‬ﺏ ) ‪ . ( ١- ، ٢‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ﺍﻟﱴ ﺗﻨﺼﻒ ﺍﺏ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﺱ = ‪ ، ٢ = ٢ + ٢‬ﺹ = ‪١ = (١-)+٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ‪:‬‬

‫‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، ( ٢ ، ٣‬ﺏ ) ‪ ( ٢ ، ٦‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٥ : ٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﻣﻦ ﺍﳋﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٢ : ٣‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ‬ ‫‪ (٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، ( ٥ ، ٣‬ﺏ ) ‪ ، ( ١٢ ، ٤ -‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺝ ﻱ ﺍﺏ‬

‫ﲝﻴﺚ ‪٤‬ﺍﺏ = ‪٣‬ﺏ ﺝ‬

‫واﺟﺐ رﻗﻢ ‪ ٤ ، ٣‬ﺻﻔﺤﺔ ‪١١‬‬

‫‪( ٢ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﲤﺮﻳﻦ ‪ :١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، ( ٦ ، ٠‬ﺏ ) ‪ ، ( ٣ ، ٣ -‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ‪ ،‬ﺩ ﺍﻟﱴ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺟﺰﺍﺀ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﰱ ﺍﻟﻄﻮﻝ ‪.‬‬

‫‪۲‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﺃﻭﻻﹰ ‪ :‬ﺝ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ٢ : ١‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺱ = ‪ ، ١- = ٠×٢ + ٣-×١‬ﺹ = ‪٥ = ٦×٢ + ٣×١‬‬ ‫‪٢+١‬‬ ‫‪٢+١‬‬

‫‪١‬‬ ‫ﺍ‬

‫‪٠‬‬ ‫ﺝ‬

‫‪٠‬‬ ‫ﺩ‬

‫ﺏ‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎﹰ ‪ :‬ﺩ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ١ : ٢‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺱ = ‪ ، ٢- = ٠×١ + ٣-×٢‬ﺹ = ‪٤ = ٦×١ + ٣×٢‬‬ ‫‪١+٢‬‬ ‫‪١+٢‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ [١‬ﻹﯾﺠﺎد ﻧﺴﺒﺔ اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ وﻧﻮﻋﮫ ﻧﺴﺘﺨﺪم إﺣﺪى اﻟﻌﻼﻗﺘﯿﻦ ‪ :‬ﺱ = ﻡ‪ ١‬ﺱ‪ + ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺱ‪ ١‬ﺃﻭ ﺹ = ﻡ‪١‬ﺹ‪ + ٢‬ﻡ‪٢‬ﺹ‪١‬‬ ‫ﻡ‪ + ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫ﻡ‪ + ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫ﰒ ﻧﻮﺟﺪ ﻡ‪ : ١‬ﻡ‪ ٢‬ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﳋﺎﺭﺝ‬ ‫‪ [٢‬ﻹﯾﺠﺎد ﻧﺴﺒﺔ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ‪:‬‬ ‫■ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺴـﯿﻨﺎت ﺣﯿﺚ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ) ﺱ ‪ ( ٠ ،‬ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻌﻼﻗﺔ‬

‫ﻡ‪ ١‬ﺹ‪ + ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺹ‪٠ = ١‬‬

‫■ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺣﯿﺚ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ) ‪ ، ٠‬ﺹ ( ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻌﻼﻗﺔ‬

‫ﻡ‪ ١‬ﺱ‪ + ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺱ‪٠ = ١‬‬

‫ﲤﺮﻳﻦ ‪ :٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ) ‪ ، ، (٣ ، ٢‬ﺏ ) ‪ . ( ٥ ، ٣-‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﱴ‬ ‫ﺗﻨﻘﺴﻢ ‪‬ﺎ ﺍﺏ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﺎ ﻣﻊ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻣﺒﻴﻨﺔ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻘﺴﻢ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﰈ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺇ ﻡ‪ ١‬ﺱ‪ + ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺱ‪٠ = ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻡ‪١‬‬ ‫=‬ ‫ﺇ ﻡ‪ + ٣- × ١‬ﻡ‪ ٠ = ٢ × ٢‬ﺇ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻡ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺇ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﰈ ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻣﻮﺟﺒﺎﹰ‬

‫واﺟﺐ رﻗﻢ ‪ ٦‬ﺻﻔﺤﺔ ‪١١‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، (٢ ، ٣-‬ﺏ ) ‪( ٤ ، ٦‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﱴ ﺗﻨﻘﺴﻢ ‪‬ﺎ ﺍﺏ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﺎ ﻣﻊ‬ ‫ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻣﺒﻴﻨﺔ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﺗﻨﺒﻴﻪ ‪ :‬ﺍﺳﺘﺨﺪﻣﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻡ‪ ١‬ﺹ‪ + ٢‬ﻡ‪ ٢‬ﺹ‪٠ = ١‬‬

‫‪( ٣ )A.E‬‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‪ :١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، ( ٣ ، ٤‬ﺏ ) ‪ ، ( ٣ ، ٢ -‬ﺝ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ٢ : ١‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‪ :٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺏ ) ‪ ، ( ٣ ، ١-‬ﺝ ) ‪ ، ( ٧ ، ٣‬ﺩ ﺗﻘﺴﻢ ﺏ ﺝ ﻣﻦ ﺍﳋﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ٣ : ١‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫ﺍﺧﺘﺒﺎﺭ‪ :٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، ( ٢- ، ٥‬ﺏ ) ‪ ( ٦ ، ٣ -‬ﻓﺎﻭﺟﺪﻯ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﱴ ﻳﻘﺴﻢ ‪‬ﺎ ﺍﺏ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ‪ ،‬ﻭﻧﻮﻉ ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪( ٤ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬ﺱ‪ ١‬ﺹ‪،١‬‬

‫ﺹ – ﺹ‪١‬‬ ‫ﺱ – ﺱ‪١‬‬

‫ﺹ – ﺹ‪١‬‬ ‫ﺱ – ﺱ‪١‬‬

‫= ﻡ‬

‫ﻡ = ﺹ‪ – ٢‬ﺹ‪١‬‬ ‫ﺱ‪ – ٢‬ﺱ‪١‬‬

‫‪‬‬

‫ﻭﻣﻴﻠﻪ‬

‫ﻡ‬

‫‪  ‬ﺱ‪ ١‬ﺹ‪ ،١‬ﺱ‪ ٢‬ﺹ‪٢‬‬

‫ﺃﻯ ﺃﻥ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺴﺎﻭﻯ ) ﻓﺮﻕ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ( ÷ ) ﻓﺮﻕ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ (‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ﺍ ) ‪ ، (٥ ، ٢ -‬ﺏ ) ‪( ٧ ، ٣‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﻡ = ‪J = ٥ - ٧‬‬ ‫‪٢+٣‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٢‬ﺱ ‪ ٥ = ٤ +‬ﺹ ‪٢٥ -‬‬

‫= ﺹ‪ – ٢‬ﺹ‪١‬‬ ‫ﺱ‪ – ٢‬ﺱ‪١‬‬

‫ﺹ‪٥-‬‬ ‫ﺱ‪٢+‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٥ -‬ﺹ ‪٠ = ٢٩ +‬‬ ‫= ‪J‬‬

‫ﺗﺪرﯾﺐ‪:‬‬ ‫ﺇﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ٧‬ﻭﻣﻴﻠﻪ •‬

‫‪ [١‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﺴﺎوى ﻇﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ) ﻡ = ﻇﺎ ﻩ (‬ ‫‪ [٢‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮ اﻟﺴﯿﻨﺎت ﯾﺴﺎوى ﺻﻔﺮ ‪،‬‬

‫وﺗﻜﻮن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ﺹ = ﺹ‬

‫ﺑﯿﻨﻤﺎ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف ‪ ،‬وﺗﻜﻮن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬ ‫‪ [٣‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ل‪ ، ١‬ل‪: ٢‬‬

‫‪١‬‬

‫ﺱ= ﺱ‬

‫ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻓﺈن ﻣﯿﻼھﻤﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن أى ﻡ‪ = ١‬ﻡ‬

‫ﻩ‬

‫ﻩ‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﺈن ﻣﯿﻞ أﺣﺪھﻤﺎ = ‪ -‬ﻣﻌﻜﻮس اﻵﺧﺮ أى ﻡ‪ ×١‬ﻡ‪١ - = ٢‬‬ ‫ ﻤﻌﺎﻤل ﺱ‬‫أى أن ﻡ = ‪ -‬ﺍ‬ ‫‪ [٤‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ) ﺍ ﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ ‪ +‬ﺝ = ‪ ( ٠‬ﯾﺴﺎوى‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺹ‬ ‫‪‬‬

‫‪ (١‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ١ -‬وﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ھﻰ ﺹ = ‪٢‬‬ ‫‪ (٢‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٥ ، ٣‬وﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ھﻰ ﺱ = ‪٣‬‬ ‫‪ (٣‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٢‬س ‪ ٣ -‬ص ‪٠ = ١ +‬‬

‫ھﻮ ‪ H‬وﻣﯿﻞ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮫ ‪n -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬ ‫أوﺟﺪى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ - ، ٠‬وﻋﻤﻮدﯾﺎً ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٣‬ﺱ ‪ ٤ -‬ﺹ ‪٠ = ١ +‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪ :‬ﰈ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻌﻠﻮم = ‪o‬‬ ‫ﺇ‬

‫ﺹ‪٢+‬‬ ‫ﺱ‪٠-‬‬

‫= ‪–-‬‬

‫ﺇ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ = ‪– -‬‬

‫ﺗﺪرﯾﺐ‪ :‬رﻗﻢ ‪٧‬‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ ‪١٨‬‬

‫‪ ٤‬ﺱ‪ ٣+‬ﺹ‪٠=٦+‬‬

‫‪( ٥ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ [١‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ٣‬ﻭﻣﻴﻠﻪ ‪٥ -‬‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ [٢‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳋﻂ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ، ( ٧ ، ٥‬ﻭﻋﻤﻮﺩﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻴﻠﻪ –‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ [٣‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٤ ، ٣‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ -‬ﺹ ‪٠ = ١ +‬‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ [٤‬ﺃﻛﻤﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪، ( ٢ ،١-‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻫﻮ ‪ ، .........‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٥ ، ٣‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ‬

‫ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻫﻮ‬

‫‪..............‬‬

‫‪( ٦ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻴﻠﻪ ﻡ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺟﺰﺀﺍﹰ ﻣﻦ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻃﻮﻟﻪ ﺝ‬

‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﳝﺮ ﲟﺤﻮﺭﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ) ﺍ ‪ ، ٠ ) ، ( ٠ ،‬ﺏ (‬

‫ﺱ‬ ‫ﺍ‬

‫ﺹ = ﻡ ﺱ‪ +‬ﺝ‬

‫ﺹ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺏ‬

‫= ‪١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪ ١‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻘﻄﻊ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﰱ ﻧﻘﻄﺔ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﻬﺎ ﺍﻟﺴﻴﲏ ‪ ، ٣‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﰱ ﻧﻘﻄﺔ ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﻬﺎ ﺍﻟﺼﺎﺩﻯ ‪٢-‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﰈ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﳝﺮ ﺑﻨﻘﻄﱴ ) ‪( ٢ - ، ٠ ) ، ( ٠ ، ٣‬‬

‫‪٢‬ﺱ ‪٣+‬ﺹ‬‫‪٦-‬‬

‫= ‪١‬‬

‫ﺇ‬ ‫ﺇ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ‬

‫ﺱ‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺹ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٢-‬‬

‫= ‪١‬‬

‫‪ ٣‬ﺹ ‪ ٢-‬ﺱ ‪٠ = ٦+‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪ ٢‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻘﻄﻊ ‪ ٤‬ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻭﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭﻫﺎ ‪ ٤٥‬ﻣﻊ ﺍﻻﲡﺎﻩ ﺍﳌﻮﺟﺐ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﰈ ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ = ﻇﺎ ‪١ = ٤٥‬‬

‫ﺇ ﺹ = ‪ ×١‬ﺱ ‪٤-‬‬

‫ﺇ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ﺹ ‪ -‬ﺱ ‪٠ = ٤+‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ [١‬ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﳝﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ) ‪( ٢ ، ٠ ) ، ( ٠ ، ٥‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪.............................................................................................................................:‬‬ ‫‪....................................................................................................................................‬‬ ‫‪ [٢‬ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ‪ ٢‬ﺱ‪ +‬ﺹ = ‪ ٣ ، ٤‬ﺱ ‪ -‬ﺹ = ‪ ١‬ﻭﻳﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻘﺪﺍﺭﻫﺎ ﻁ ﻣﻊ ﺍﻻﲡﺎﻩ ﺍﳌﻮﺟﺐ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪.............................................................................................................................:‬‬ ‫‪....................................................................................................................................‬‬ ‫‪ [٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍ )‪ ، ( ٣ ، ٢‬ﺏ ) ‪ ، ( ١ - ، ٣‬ﺝ ) ‪ ( ٥ ، ٣ -‬ﻓﺎﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺍ ﻭﲟﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺝ‬

‫ﺍﳊﻞ ‪.............................................................................................................................:‬‬ ‫‪....................................................................................................................................‬‬ ‫‪( ٧ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﻝ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳌﻌﻠﻮﻣﺔ ) ﺱ‪ ، ١‬ﺹ‪ ( ١‬ﺍﱃ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﻌﻠﻮﻡ ) ﺍ ﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ ‪ +‬ﺝ = ‪( ٠‬‬ ‫| ﺍﺱ‪ + ١‬ﺏ ﺹ‪ + ١‬ﺝ|‬ ‫ﺣﯿﺚ "| |" ﺗﺴﻤﻰ ﺑﻌﻼﻣﺔ اﻟﻤﻘﯿﺎس وھﻰ‬

‫ﻝ =‬

‫ﻫﻮ‪:‬‬

‫ﺗﻌﻨﻰ أﺧـﺬ اﻟﻘﯿـﻤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒـﺔ ﻟﻤﺎ ﺑﺪاﺧﻠﮭﺎ‬

‫] ﺍ@‪ :+ :‬ﺏ‪:@:‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪ ١‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٥ ، ٢ -‬ﺍﱃ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻝ =‬

‫| ‪| ٦ + ٥×٤ + ٢-×٣‬‬ ‫]‬

‫‪٢٠‬‬ ‫‪٥‬‬

‫=‬

‫‪/ ١٦/+/ ٩‬‬

‫‪٣‬ﺱ‪٤+‬ﺹ‪٠=٦+‬‬

‫= ‪ ٤‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪ :‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ٠‬ﺍﱃ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ ‪٠ = ١١ -‬‬

‫} ﺍﳉﻮﺍﺏ‪ /٥ ] :‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ {‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪ ٢‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﱴ ﺗﻘﻊ ﰱ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ﺑﲔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﲔ )‪ ( ٦ ، ٥ - ) ، ( ٢ ، ٣‬ﻋﻦ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﺱ = ‪ ٣‬ﺹ ‪٥ -‬‬ ‫‪(٥ - )+٣‬‬ ‫‪٦+٢‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﺇﺣﺪﺍﺛﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ‪ :‬ﺱ‪ ، ١ - = ٢ = ١‬ﺹ‪= ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺇ ﻝ =‬

‫| ‪| ٥ + ٤×(٣-) +(١-)×٢‬‬

‫‪/ ٩ / +/ ٤‬‬

‫]‬

‫‪٩‬‬

‫=‬

‫] ‪/١٣‬‬

‫= ‪ ، ٤‬ﻭﺣﻴﺚ ﺃﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٣ -‬ﺹ ‪٠ = ٥ +‬‬

‫ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ‪ ‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪ :‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﺑﻌﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ - ، ٢‬ﻋﻦ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ٤‬ﺱ ‪ ٥ +‬ﺹ ‪٠ = ٣٩ -‬‬

‫} ﺍﳉﻮﺍﺏ‪ /٤١ ] :‬ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ {‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪ ٣‬ﺍﺛﺒﱴ ﺃﻥ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ﺱ ‪ ٢ +‬ﺹ ‪ ٤ ، ٠ = ٣ -‬ﺹ ‪ ٢ +‬ﺱ ‪ ٠ = ١ +‬ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻭﺃﻭﺟﺪﻯ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻡ‪= ١‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪ ،‬ﻡ‪= ٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٤‬‬

‫=‬

‫‪١-‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ﺹ = ‪ ٠‬ﰱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻷﻭﻝ ﺱ = ‪٣‬‬ ‫ﺇ ﻝ =‬

‫| ‪| ١ + ٠ ×٤ + ٣ ×٢‬‬ ‫]‬

‫‪/ ١٦/+/ ٤‬‬

‫ﰈ ﻡ‪ = ١‬ﻡ‪٢‬‬

‫ﺇ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ‬

‫ﺇ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﲔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٠ ، ٣‬ﻭﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺜﺎﱏ ‪ ٢‬ﺱ ‪ ٤ +‬ﺹ ‪ ٠ = ١ +‬ﻫﻮ‬ ‫=‬

‫‪٧‬‬

‫] ‪/٢٠‬‬

‫‪( ٨ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ‪ :‬ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑﻘﻮس ﻓﯿﮭﺎ وﻧﺼﻔﻰ اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ اﻟﻤﺎرﯾﻦ ﺑﻄﺮﻓﻰ ذﻟﻚ اﻟﻘﻮس‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى = ! ل × ﻧﻖ = ! ھـ د × ﻧﻖ‬

‫‪٢‬‬

‫م‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪:‬‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع‬

‫= ل ‪ ٢ +‬ﻧﻖ‬

‫ھـ‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪ ٢‬ط ﻧﻖ‬

‫ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ل = ھـ د × ﻧﻖ‬

‫ﻧﻖ‬

‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮى‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة = ط ﻧﻖ‬

‫‪٢‬‬

‫ل‬

‫ﻣﺜﺎل ‪:١‬‬ ‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ ‪ ١٠‬ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ‪ ١٢‬ﺳﻢ أوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ وﻣﺤﯿﻄﮫ‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع = ! ل ﻧﻖ = ! × ‪٦ × ١٠‬‬ ‫= ‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع = ل ‪ ٢ +‬ﻧﻖ = ‪١٢ + ١٠‬‬ ‫= ‪ ٢٢‬ﺳﻢ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:١‬‬ ‫ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺍﻟﺬﻯ‬ ‫ﻃﻮﻝ ﻗﻮﺳﻪ ‪ ٦‬ﺳﻢ ﻭﻃﻮﻝ ﻧﺼﻒ ﻗﻄـﺮ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ‪ ٥‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ٢‬‬ ‫اوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﺬى ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ ‪ ْ ٦٠‬ﻓﻰ داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ھـ‬

‫د‬

‫= سْ × ط‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:٢‬‬

‫= ‪ × ٦٠‬ط = ‪١٫٠٤٧٢‬‬

‫د‬

‫‪١٨٠‬‬

‫ﺇ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع = ! ھـ د × ﻧﻖ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ‪ ٨‬ﺳﻢ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳـﺔ‬ ‫‪١,٢‬‬

‫ﺩ‬

‫= ! × ‪٦٤ × ١٫٠٤٧٢‬‬ ‫= ‪ ٣٤‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫واﺟﺐ رﻗﻢ ‪ ٣ ، ٢ ، ١‬ﺻﻔﺤﺔ ‪٢٦‬‬ ‫‪( ٩ )A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ ‪ :‬ھﻰ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑﻘﻮس ﻓﯿﮭﺎ ووﺗﺮ ﻣﺎر ﺑﻨﮭﺎﯾﺘﻰ ذﻟﻚ اﻟﻘﻮس‬ ‫م‬ ‫ھـ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ = ! ﻧﻖ‪ ) ٢‬ھـ د – ﺟﺎ ھـ ْ (‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﺔ ‪:‬‬

‫ﻧﻖ‬

‫ﻗﻄﻌﺔ داﺋﺮﯾﺔ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ! ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮﻟﻰ أى ﺿﻠﻌﯿﻦ × ﺟﺎ ) اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ (‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪:١‬‬ ‫أوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﻌﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ‪ ١٠‬ﺳﻢ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ‪ْ ١٣٥‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﰈ ﺱ ْ = ﻫـ‬ ‫‪ْ ١٨٠‬‬ ‫ﻁ‬

‫ﺩ‬

‫ﺇ ھـ د =‬

‫‪ × ١٣٥‬ﻁ‬ ‫‪ْ ١٨٠‬‬

‫= ‪٢٫٣٥٦٢‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:١‬‬ ‫ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﺍﻟـﱴ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ = ! ﻧﻖ‪ ) ٢‬ھـ د ‪ -‬ﺟﺎ ھـ ْ (‬ ‫= ! × ‪ - ٢٫٣٥٦٢ ) ١٠٠‬ﺟﺎ ‪ ٨٢٫٤٥ = ( ْ ١٣٥‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮ‪‬ﺎ ‪ ١٦‬ﺳـﻢ ﻭﻗﻴـﺎﺱ‬ ‫ﺯﺍﻭﻳﺘﻬﺎ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ‪. ْ ٦٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ٢‬‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮭﺎ ‪ ٢٢‬ﺳﻢ أوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ ﻷﻗﺮب ﺳﻢ‪. ٢‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﰈ ھـ د =‬

‫ل‬ ‫ﻨﻕ‬

‫ﺱْ‬ ‫ﻫـ‬ ‫=‬ ‫ﰈ‬ ‫ﻁ‬ ‫‪ْ ١٨٠‬‬

‫ﺩ‬

‫ﺇ ھـ‬

‫د‬

‫‪٢٢‬‬ ‫=‬ ‫‪١٠‬‬

‫= ‪٢٫٢‬‬

‫د‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:٢‬‬ ‫ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﻌﺔ ﺩﺍﺋﺮﻳـﺔ ﻃـﻮﻝ‬

‫د‬ ‫ﺇ س ْ = ھـ ×‪ْ ١٢٦ = ١٨٠‬‬

‫ﻁ‬

‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮ‪‬ﺎ ‪ ٢٠‬ﺳـﻢ ﻭﻗﻴـﺎﺱ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ = ! ﻧﻖ‪ ) ٢‬ھـ د ‪ -‬ﺟﺎ ھـ ْ (‬

‫ﺯﺍﻭﻳﺘﻬﺎ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ‪٢,٢٤‬‬

‫ﺩ‬

‫= ! × ‪ - ٢٫٢ ) ١٠٠‬ﺟﺎ ‪ ٧٠ = ( ْ ١٢٦‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫واﺟﺐ رﻗﻢ ‪ ١‬ﺻﻔﺤﺔ ‪٢٩‬‬ ‫‪(١٠)A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫رﻣﺰھﺎ وﻗﯿﻤﺘﮭﺎ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫اﻟﺠﯿﺐ‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﺰاوﯾﺔ ﺟـ‬ ‫ﺟﺎ ﺟـ =‬ ‫ﻃﻮل وﺗﺮ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫ﻣﻘﻠﻮﺑﮭﺎ‬ ‫أ‬

‫ﻗﺘﺎ ﺟـ‬

‫ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم‬

‫ﺟﺘﺎ ﺟـ =‬

‫ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺠﺎور ﻟﺰاوﯾﺔ ﺟـ‬ ‫ﻃﻮل وﺗﺮ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫ﻗﺎ ﺟـ‬

‫اﻟﻈﻞ‬

‫ﻇﺎ ﺟـ =‬

‫ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑـﻞ ﻟﺰاوﯾﺔ ﺟـ‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺠﺎور ﻟﺰاوﯾﺔ ﺟـ‬

‫ﻇﺘﺎ ﺟـ‬

‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬

‫ب‬

‫اﻟﻮﺗﺮ‬

‫اﻟﻤﺠﺎور‬

‫‪ ‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﺟﺎ ھـ = ‪ ٩‬ﻓﺎوﺟﺪى ﺑﺎﻗﻰ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ھـ ‪ ،‬ﺛﻢ اﺛﺒﺘﻰ أن ﺟﺎ ھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ھـ = ‪١‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻗﺎ ھـ ‪ -‬ﻇﺎ ھـ = ‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﰈ ﺟﺎ ھـ = ‪ ˆ ، ٥‬ﻗﺘﺎ ھـ = ‪٣‬‬ ‫وﺑﺮﺳﻢ ھﺬه اﻟﻨﺴﺒﺔ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪ ،‬وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮﯾﺔ‬ ‫ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث ﻹﯾﺠﺎد ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺠﺎور ﻟﺰاوﯾﺔ ھـ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‬

‫‪٥‬‬ ‫ھ‬

‫؟‬

‫ˆ )ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺠﺎور( = )‪ ˆ ١٦ = (٣ ) – (٥‬ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺠﺎور‬ ‫؛ ﻇﺎ ھـ = ‪ ، ٣‬ﻇﺘﺎ ھـ = ‪٤‬‬ ‫‪ ،‬ﻗﺎ ھـ = ‪٥‬‬ ‫ˆ ﺟﺘﺎ ھـ = ‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟﺎ ھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ھـ = ‪ ، ١ = ٢٥ = ١٦ + ٩‬ﻗﺎ ھـ ‪ -‬ﻇﺎ ھـ = ‪١ = ٩ - ٢٥‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫= ‪٤‬‬

‫‪‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫‪ْ ٣٠‬‬

‫‪ْ ٦٠‬‬

‫‪ْ ٤٥‬‬

‫ﺟﺎ ‪Sin -‬‬

‫!‬

‫‪C‬‬ ‫ــــــ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫ــــــ‬ ‫‪B‬‬

‫ﺟﺘﺎ ‪Cos -‬‬

‫‪C‬‬ ‫ــــــ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ــــــ‬ ‫‪C‬‬

‫!‬

‫‪١‬‬ ‫ــــــ‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻇﺎ ‪Tan -‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ْ٠‬‬

‫‪ْ ٩٠‬‬

‫‪ْ ١٨٠‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠‬‬

‫؟‬

‫‪٠‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫‪ ‬ﺟﺎ )زاوﯾﺔ ( = ﺟﺘﺎ )ﻣﺘﻤﻤﺘﮭﺎ ( ‪ ..‬ﺣﯿﺚ أن ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺰاوﯾﺘﯿﻦ اﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎن ‪ ، ْ ٩٠‬ﺑﯿﻨﻤﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺰاوﯾﺘﯿﻦ اﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﯿﻦ ‪ْ ١٨٠‬‬ ‫‪ ،‬ﻇﺎ ھـ = ‪١‬‬ ‫‪ ،‬ﻗﺎ ھـ = ‪١‬‬ ‫‪ ‬ﻗﺘﺎ ھـ = ‪١‬‬ ‫ﻇﺘﺎھـ‬ ‫ﺟﺘﺎھـ‬ ‫ﺟﺎھ‬

‫‪(١١)A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺟﺎ‪٢‬ھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ھـ = ‪١‬‬

‫ﻇﺎ‪٢‬ھـ ‪ = ١ +‬ﻗﺎ‪٢‬ھـ‬

‫ﻇﺘﺎ‪٢‬ھـ ‪ = ١ +‬ﻗﺘﺎ‪٢‬ھـ‬

‫ﺟﺎ‪٢‬ھـ = ‪ - ١‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ھـ‬

‫ﻇﺎ‪٢‬ھـ = ﻗﺎ‪٢‬ھـ ‪١ -‬‬

‫ﻇﺘﺎ‪٢‬ھـ = ﻗﺘﺎ‪٢‬ھـ ‪١ -‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪٢‬ھـ = ‪ - ١‬ﺟﺎ‪٢‬ھـ‬

‫ﻗﺎ‪٢‬ھـ ‪ -‬ﻇﺎ‪٢‬ھـ = ‪١‬‬

‫ﻗﺘﺎ‪٢‬ھـ ‪ -‬ﻇﺘﺎ‪٢‬ھـ = ‪١‬‬

‫ﻛﺬﻟﻚ ‪:‬‬

‫ﺟﺎ ﻩ ﻗﺘﺎ ﻩ = ‪١‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺟﺘﺎ ﻩ ﻗﺎ ﻩ = ‪١‬‬

‫ﻇﺎ ﻩ ﻇﺘﺎ ﻩ = ‪١‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪:١‬‬ ‫إﺛﺒﺘﻰ أن ) ﺟﺎ ھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ھـ (‪ ۲ = ٢‬ﺟﺎ ھـ ﺟﺘﺎ ھـ ‪١ +‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:١‬ﺃﻛﻤﻠﻰ‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫‪ o‬ﻗﺎ ﻩ × ‪١ = ................‬‬

‫اﻟﻄﺮف اﻷﯾﻤﻦ = ﺟﺎ‪٢‬ھـ ‪ ۲ +‬ﺟﺎھـ ﺟﺘﺎھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ھـ‬ ‫= ‪ ۲ + ١‬ﺟﺎھـ ﺟﺘﺎھـ‬ ‫= اﻟﻄﺮف اﻷﯾﺴﺮ‬

‫‪ o‬ﺟﺎ‪ + ٣٦ ٢‬ﺟﺘﺎ‪= ٣٦ ٢‬‬

‫‪..................‬‬

‫‪ o‬ﺟﺘﺎﺱ ﻗﺘﺎﺱ ﺟﺎﺱ ﻗﺎﺱ =‬

‫‪..............‬‬

‫‪ o‬إذا ﻛﺎن ﻗﺎﺏ ‪ -‬ﻇﺎﺏ = ‪٢‬‬ ‫ﻓﺈن ﻗﺎﺏ ‪ +‬ﻇﺎﺏ =‬

‫‪...................‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ٢‬‬ ‫إﺛﺒﺘﻰ أن ﺟﺘﺎ‪٢‬ب ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ب ﻇﺎ‪٢‬ب = ‪١‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﻄﺮف اﻷﯾﻤﻦ = ﺟﺘﺎ‪٢‬ب ) ‪ + ١‬ﻇﺎ‪٢‬ب (‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪ :٢‬ﺍﺛﺒﱴ ﺃﻥ‬ ‫ﺟﺘﺎ‪٢‬ﺏ ‪ -‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ﺃ = ﺟﺎ‪٢‬ﺃ ‪ -‬ﺟﺎ‪٢‬ﺏ‬

‫= ﺟﺘﺎ‪٢‬ب × ﻗﺎ‪٢‬ب‬ ‫=‬

‫‪١‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ٣‬‬ ‫إﺛﺒﺘﻰ أن ﺟﺎھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎھـ ﻇﺘﺎھـ = ﻗﺘﺎھـ‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﺟﺘﺎھـ‬ ‫اﻟﻄﺮف اﻷﯾﻤﻦ = ﺟﺎھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎھـ ×‬ ‫ﺟﺎھـ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= ﻗﺘﺎھـ‬ ‫= ﺟﺎ ھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ھـ =‬ ‫ﺟﺎھـ‬ ‫ﺟﺎھـ‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪ :٣‬ﺍﺛﺒﱴ ﺃﻥ‬ ‫ﻇﺎ ﺝ ﻗﺘﺎ ﺝ = ﻗﺎ ﺝ‬

‫‪(١٢)A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺠﯿﺐ ‪:‬‬ ‫أﻃﻮال أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍ ‪ ،‬ﺏ ‪ ،‬ﺝ ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ﺟﯿﻮب اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ ﻗ ﻃﻮل ﻧﺼـــﻒ ﻗﻄــﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤـﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜـﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ‬

‫ﺍ‬ ‫ﺟﺎ ﺍ‬

‫=‬

‫ﺏ‬ ‫ﺟﺎﺏ‬

‫=‬

‫ﺝ‬ ‫ﺟﺎﺝ‬

‫= ‪۲‬ﻗ‬

‫‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ! ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب أى ﺿﻠﻌﯿﻦ × ﺟﯿﺐ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ‬ ‫‪ ‬ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ‬ ‫‪ ‬ﻏﺎﻟﺒﺎً ﻣﺎ ﯾﺘﻢ اﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺠﯿﺐ إذا ﻋﻠﻢ زاوﯾﺘﯿﻦ وﺿﻠﻊ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪:١‬‬ ‫ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺝ = ‪ ١٩‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻕ )ﺍ( = ‪ ، ْ ١١٢‬ﻕ )ﺏ( = ‪ْ ٣٢‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:١‬‬

‫أوﺟﺪى ﺏ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺨﺎرﺟﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ‬

‫ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ إذا ﻛﺎن ﺏ = ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬ﻕ )ﺏ( = ‪ْ ٣٥‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﰈ ﻕ )ﺝ( = ‪ْ ٣٦ = ( ٣٢ + ١١٢) - ١٨٠‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫ﺇ ﺏ =‬ ‫ﺟﺎ‪٣٦‬‬ ‫ﺟﺎ‪٣٢‬‬ ‫‪ ۲ = ١٩ ،‬ﻗ‬ ‫ﺟﺎ‪٣٦‬‬

‫ﺇ ﺏ = ‪ ×١٩‬ﺟﺎ‪ ١٧٫١٣ = ٣٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﺟﺎ‪٣٦‬‬

‫ﺇ ﻗ =‬

‫‪١٩‬‬ ‫‪۲‬ﺟﺎ‪٣٦‬‬

‫‪ ،‬ﻕ )ﺝ( = ‪ْ ٦٥‬‬ ‫ﺍ ‪ ،‬ﺝ‬

‫أوﺟﺪى ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫]اﻟﺠﻮاب ‪ ١٣٫٧ :‬ﺳﻢ ‪ ١٢٫٦ ،‬ﺳﻢ [‬

‫= ‪ ١٦٫١٦‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ٢‬‬ ‫أوﺟﺪى ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍ ﺏ ﺝ ﻷﻗﺮب ﺳﻨﺘﯿﻤﺘﺮ اﻟﺬى ﻓﯿﮫ‬ ‫ﺍ = ‪٥‬ﺳﻢ‬

‫‪،‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:٢‬‬

‫ﻕ )ﺏ( = ‪ ، ْ ٣٨‬ﻕ )ﺝ ( = ‪ْ ٤٦‬‬

‫أوﺟ ﺪى ﻣﺤ ﯿﻂ وﻣ ﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠ ﺚ‬ ‫ﺱ ﺹ ﻉ اﻟ ﺬى ﻓﯿ ﮫ ﺹ = ‪ ٨‬ﺳ ﻢ ‪،‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫‪ ،‬ﻕ ) ﺱ( = ‪ ، ْ ٦٠‬ﻕ ) ﻉ ( = ‪ْ ٣٠‬‬ ‫]اﻟﺠﻮاب ‪ ١٨٫٩ :‬ﺳﻢ ‪ ٢٧٫٧ ،‬ﺳﻢ‪[ ٢‬‬

‫ﰈ ﻕ ) ﺍ( = ‪ْ ٩٦ = ( ٤٦ + ٣٨) - ١٨٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺇ ﺏ =‬ ‫ﺟﺎ‪٩٦‬‬ ‫ﺟﺎ‪٣٨‬‬

‫ﺇ ﺏ = ‪ ×٥‬ﺟﺎ‪٣٨‬‬ ‫ﺟﺎ‪٩٦‬‬

‫ﺕ ‪ ٣‬ﺳﻢ‬

‫‪ ،‬ﺝ = ‪٥‬‬ ‫ﺟﺎ‪٤٦‬‬ ‫ﺟﺎ‪٩٦‬‬

‫ﺇ ﺝ = ‪ ×٥‬ﺟﺎ‪٤٦‬‬ ‫ﺟﺎ‪٩٦‬‬

‫ﺕ ‪ ٤‬ﺳﻢ‬

‫ﺇ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ‪ ١٢ = ٤ + ٣ + ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪(١٣)A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺍ @ = ﺏ @ ‪ +‬ﺝ @ ‪ ۲ -‬ﺏ ﺝ ﺟﺘﺎﺍ‬

‫ﻗﺎﻋﺪة ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم‪:‬‬ ‫ﺍ‪،‬ﺏ ‪،‬ﺝ‬

‫ﻓﻰ أى ﻣﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ‬

‫ﺏ @ = ﺝ @ ‪ +‬ﺍ @ ‪ ۲ -‬ﺝ ﺍ ﺟﺘﺎﺏ‬

‫ﻓﺈن‬

‫ﺝ @ = ﺍ @ ‪ +‬ﺏ @ ‪ ۲ -‬ﺍ ﺏ ﺟﺘﺎﺝ‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﺏ‪٢‬‬

‫ﺟﺘﺎﺍ =‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ - ٢‬ﺍ‪٢‬‬

‫‪ +‬ﺝ‬ ‫‪ ٢‬ﺏ ﺝ‬

‫ﺟﺘﺎﺏ =‬

‫‪،‬‬

‫ﺝ‪٢‬‬

‫ﺍ‪ - ٢‬ﺏ‬

‫‪+‬‬ ‫‪ ٢‬ﺝ ﺍ‬

‫‪٢‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺟﺘﺎﺝ =‬

‫ﺍ‪٢‬‬

‫‪ +‬ﺏ ‪-‬ﺝ‬ ‫‪٢‬ﺍﺏ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻗﯿﺎس أﻛﺒﺮ زاوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻛﺒﺮ ﺿﻠﻊ ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫‪ ‬ﻏﺎﻟﺒﺎً ﻣﺎ ﯾﺘﻢ اﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻧﻮن ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم إذا ﻋﻠﻢ ﻃﻮل ﺿﻠﻌﺎن وزاوﯾﺔ أو ﺛﻼﺛﺔ أﺿﻼع‬ ‫‪ ‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ! ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب أى ﺿﻠﻌﯿﻦ × ﺟﯿﺐ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ١‬‬ ‫أوﺟﺪى ﻗﯿﺎس أﻛﺒﺮ زاوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍ ﺏ ﺝ اﻟﺬى ﻓﯿﮫ‬ ‫ﺍ = ‪٧‬ﺳﻢ‬

‫‪،‬‬

‫ﺏ = ‪ ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪،‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:١‬‬

‫ﺝ = ‪ ١٠‬ﺳﻢ‬

‫أوﺟﺪى ﻗﯿ ﺎس أﺻ ﻐﺮ زاوﯾ ﺔ ﻓ ﻰ اﻟﻤﺜﻠ ﺚ‬ ‫ﺍﺏ ﺝ اﻟ ﺬى ﻓﯿ ﮫ ﺍ = ‪٧‬ﺳ ﻢ ‪،‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﰈ ﺝ أﻛﺒﺮ ﺿﻠﻊ ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫ﺏ = ‪ ٥‬ﺳــﻢ ‪ ،‬ﺝ = ‪ ١٠‬ﺳــﻢ‬ ‫]اﻟﺠﻮاب ‪[ْ ٢٧ َ ٤٠ :‬‬

‫ﺇ ﺗﻘﺎﺑﻠﮫ أﻛﺒﺮ زاوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس‬

‫ﺟﺘﺎ ﺝ = ﺍ‪ + ٢‬ﺏ ‪ - ٢‬ﺝ ‪١٠٠ - ٢٥ + ٤٩ = ٢‬‬ ‫‪٥×٧×٢‬‬ ‫‪٢‬ﺍﺏ‬ ‫ﺇ ﻕ )ﺝ( = ‪ْ ١١١ َ ٤٨‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ٢‬‬ ‫ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺍ = ‪ ٤‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﺏ = ‪ ٥‬ﺳـﻢ ‪ ،‬ﺝ = ‪ ٣‬ﺳـﻢ ‪.‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:٢‬‬

‫أوﺟﺪى ﻕ ) ﺍ ( ‪ ،‬ﺛﻢ اوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ ﻷﻗﺮب ﺳﻢ ﻣﺮﺑﻊ‬

‫ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠ ﺚ ﻓﯿ ﮫ ﺍ = ‪١٣‬ﺳ ـﻢ ‪،‬‬ ‫ﺝ = ‪ ١٥‬ﺳ‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫ﺏ‪٢‬‬

‫ﺝ‪ - ٢‬ﺍ‪٢‬‬

‫‪+‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ﺍ =‬ ‫‪ ٢‬ﺏ ﺝ‬ ‫ﺇ ﻕ ) ﺍ( = ‪ْ ٥٣ َ ٨‬‬

‫أوﺟ ﺪى ﺏ ﻷﻗ ﺮب ﺳ ﻢ ‪ ،‬ﺛ ﻢ اوﺟ ﺪى‬

‫= ‪١٦ - ٩ + ٢٥‬‬ ‫‪٣×٥×٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ! × ‪ × ٥ × ٣‬ﺟﺎ ) ‪٦ = ( ْ ٥٣ َ ٨‬‬

‫ـﻢ ‪ ،‬ﻕ ) ﺏ ( = ‪. ْ ٦٠‬‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ‬ ‫]اﻟﺠﻮاب ‪١٤ :‬ﺳﻢ ‪ ٤٢ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫ﺳﻢ‪٢‬‬

‫‪(١٤)A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ‪‬ﻤﻮﻉ ﻭﻓﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﲔ‬ ‫ﺟﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫ﺍﳉﻴﺐ‬

‫ﺟﺎ ) ﺍ ‪ -‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ -‬ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫ﺟﻴﺐ‬

‫ﺟﺘﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ -‬ﺟﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‬

‫ﺟﺘﺎ ) ﺍ ‪ -‬ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬ ‫ﻇﺎ ) ﺍ‪ +‬ﺏ ( = ﻇﺎ ﺍ ‪ +‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ ﺍ ﻇﺎ ﺏ‬

‫ﺍﻟﻈﻞ‬

‫‪،‬‬

‫ﻇﺎ ) ﺍ‪ -‬ﺏ ( = ﻇﺎ ﺍ ‪ -‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ ﺍ ﻇﺎ ﺏ‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻀﻌﻒ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺟﺎ‪۲‬ﺍ = ‪۲‬ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺍ‬ ‫ﺟﺘﺎ‪۲‬ﺍ = ﺟﺘﺎ‪٢‬ﺍ ‪ -‬ﺟﺎ‪٢‬ﺍ‬

‫= ‪ ۲‬ﺟﺘﺎ ﺍ ‪١ -‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ‪ ۲ - ١‬ﺟﺎ‪٢‬ﺍ‬

‫ﻇﺎ ‪ ۲‬ﺍ = ‪ ۲‬ﻇﺎ ﺍ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ‪ ۲‬ﺍ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ : ١‬ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ‪ :‬ﺟﺎ ‪ ، ١٥‬ﺟﺘﺎ ‪٧٥‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﺟﺎ ‪ = ١٥‬ﺟﺎ ) ‪( ٣٠ - ٤٥‬‬

‫= ﺟﺎ ‪ ٤٥‬ﺟﺘﺎ ‪ - ٣٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤٥‬ﺟﺎ ‪٣٠‬‬ ‫= ‪- C × ١‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟﻨﺎ ‪ = ٧٥‬ﺟﺘﺎ ) ‪( ٣٠ + ٤٥‬‬

‫‪× ١‬‬

‫‪B‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ﺟﺘﺎ ‪ ٤٥‬ﺟﺘﺎ ‪ - ٣٠‬ﺟﺎ ‪ ٤٥‬ﺟﺎ ‪٣٠‬‬ ‫= ‪- C × ١‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪× ١‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:١‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ اوﺟﺪي ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ ، ١٥‬ﻇﺎ ‪١٠٥‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ : ٢‬ﺑﺪﻭﻥ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺍﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ‪ :‬ﺟﺎ ‪ ٥٥‬ﺟﺘﺎ ‪ - ٢٥‬ﺟﺘﺎ ‪ ٥٥‬ﺟﺎ ‪٢٥‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ :‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺎ ) ‪ = ( ٢٥ - ٥٥‬ﺟﺎ ‪! = ٣٠‬‬ ‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ : ٣‬ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺍﻭﺟﺪﻯ ﺟﺘﺎ‪ - ١٥ ٢‬ﺟﺎ‪١٥ ٢‬‬ ‫ﺍﳊﻞ‬

‫ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ اوﺟﺪي ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ ٤٣‬ﺟﺘﺎ ‪ - ١٧‬ﺟﺎ ‪ ٤٣‬ﺟﺎ ‪١٧‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪ :‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺘﺎ ‪ = ١٥ × ٢‬ﺟﺘﺎ ‪= ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ : ٤‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻇﺎ ﺏ = ‪o‬‬

‫ﺍﳊﻞ ‪:‬‬

‫ﻓﺎﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ ﻇﺎ ‪٢‬ﺏ‬

‫ﻇﺎ ‪٢‬ﺏ = ‪ ۲‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ‪۲‬ﺏ‬

‫= ‪o×۲‬‬ ‫‪¡-١‬‬

‫= ‪٣r‬‬

‫ﺗﺪﺭﻳﺐ ‪:٣‬‬ ‫اﺛﺒﺘﻰ أن‬ ‫ﻇﺎ ‪= ٥٠‬‬

‫‪ + ۱‬ﻇﺎ ‪۵‬‬ ‫‪ - ۱‬ﻇﺎ ‪۵‬‬

‫‪(١٥)A.E‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺪراﺳﻰ اﻷول‬

‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ [١‬إﺛﺒﺘﻰ أن ﻇﺎ ‪= ٥٣‬‬

‫‪ + ١‬ﻇﺎ ‪٨‬‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ ‪٨‬‬

‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ [٢‬اﺧﺘﺼﺮى ‪ :‬ﺟﺎ ‪٥‬ط ﺟﺘﺎ ط ‪ +‬ﺟﺘﺎ ‪٥‬ط ﺟﺎ‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪١٨‬‬

‫ط‬ ‫‪١٨‬‬

‫‪C‬‬ ‫}‬ ‫‪٢‬‬

‫{‬

‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ [٣‬أوﺟﺪى ﻗﯿﻤﺔ‬

‫ﺟﺘﺎ‪ ٤٠‬ﺟﺘﺎ ‪ + ١٠‬ﺟﺎ‪ ٤٠‬ﺟﺎ‪١٠‬‬ ‫‪ ٢‬ﺟﺎ‪ ١٥‬ﺟﺘﺎ‪١٥‬‬

‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ [٤‬إذا ﻛﺎن ﺟﺎ ﺍ = ‪ ، o‬ﺟﺘﺎ ﺍ = ½ ‪ ،‬ﻓﺎوﺟﺪى ﻗﯿﻤﺔ ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬ﺍ ﺟﺘﺎ ﺍ ‪ +‬ﺟﺎ ‪ ٣‬ﺍ ﺟﺎ ﺍ‬ ‫‪...............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪..............................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪( ١٦ )A.E‬‬

 

 

( ١٧ ) A.E

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫اﻟﺴﺆال اﻷول ‪-:‬‬ ‫أﻛﻤﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬إذا ﻛﺎن ﺍ = ) ‪ ، ( ۲- ، ٥‬ﺏ = ) ‪ ( ٦ ، ٣ -‬ﻓﺈن اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﮭﺎ ﺍ ﺏ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ھﻰ‬ ‫‪ (٢‬ﺟﺘﺎ ‪ ْ ٦٥‬ﺟﺘﺎ ‪ - ْ ٢٥‬ﺟﺎ ‪ ْ ٦٥‬ﺟﺎ ‪= ْ ٢٥‬‬

‫‪.............‬‬

‫‪........................‬‬

‫‪ (٣‬إذا ﻛﺎن ﺍ ﺱ ‪٣ -‬ﺹ ‪ ٦ ، ٠ = ٥ +‬ﺱ ‪ ٨ +‬ﺹ ‪ ٠ = ١١ +‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫‪ (٤‬ﻣﺤﯿﻂ ﻗﻄﺎع داﺋﺮى = ‪ ٢٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ =‬

‫ﺍ=‬

‫‪........................‬‬

‫‪........................‬‬

‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ ‪-:‬‬ ‫‪ (١‬اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ ھﻰ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑـ ‪................ ، .................‬‬ ‫‪ (٢‬أوﺟﺪى إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺍ ﺏ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ۲: ١‬ﺣﯿﺚ ﺍ = ) ‪ ، ( ٣ ، ٤‬ﺏ = ) ‪( ٣ ، ۲-‬‬ ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪-:‬‬ ‫‪ (١‬إذا ﻛﺎن ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺍ = ) ‪ ، ( ۲- ، ٣‬ﺏ = ) ‪ ، ( ٥ ، ۲‬ﺝ = ) ‪ . (٣- ، ٤-‬أوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪ (٢‬ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ أوﺟﺪى ﻗﯿﻤﺔ‬

‫ﻇﺎ ‪ - ْ ٦٣‬ﻇﺎ ‪ْ ١٨‬‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ ‪ ْ ٦٣‬ﻇﺎ ‪ْ ١٨‬‬

‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ ‪-:‬‬ ‫‪ (١‬ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ أ = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ق ) ﺟـ ( = ‪ ْ ٨٧‬أوﺟﺪى ﺟـ ﻷﻗﺮب ﺳﻢ ﺛﻢ اوﺟﺪى ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪ (٢‬اوﺟﺪى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ ( ٤ ، ٣‬وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﯿﻠﮫ ‪n‬‬ ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ ‪-:‬‬ ‫‪ (١‬إﺛﺒﺘﻰ أن ‪:‬‬

‫ﺣﺎ‪٣‬ﺝ ‪ +‬ﺣﺎ ﺝ ﺣﺘﺎ‪٢‬ﺝ‬ ‫ﺣﺘﺎ ﺝ‬

‫= ﻇﺎ ﺝ‬

‫‪ ( ٢‬ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ‪ ْ ٣٠‬وﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ‪ ١٤‬ﺳﻢ اﺣﺴﺒﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع ﻷﻗﺮب‬

‫ﺳﻢ‪٢‬‬

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ ‪ ..‬ﻣﻊ ﺃﻃﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﻨﻴﺎﺕ ﺑﺎﻟﺘﻮﻓﻴﻖ‬ ‫‪( ١٨ )A.E‬‬

    ‫اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬      

........................

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻷول‬ : ‫أﻛﻤﻠﻰ‬ = ‫( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬١ ........................

........................ ........................

= ْ ٣٥ ٢‫ ﺟﺘﺎ‬+ ْ ٣٥ ٢‫( ﺟﺎ‬٢

= ‫ ﺳﻢ‬١٠ ‫ وﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٠ ‫( ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﺬى ﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬٣

= ‫ ﻓﺈن إﺣﺪاﺛﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻡ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍ ﺏ‬، ( ٤ ، ٣ ) = ‫ ﺏ‬، ( ٢ ، ١ ) = ‫( إذا ﻛﺎن ﺍ‬٤ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ H ‫ ( وﻋﻤﻮدﯾﺎً ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﯿﻠﮫ‬١ - ، ٣ ) ‫( أوﺟﺪى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬١

‫ ﺝ‬، ‫ أوﺟﺪى ﻛﻼ ﻣﻦ ﺏ‬، ‫ ﺳﻢ‬٣٫٥ = ‫ ﺍ‬، ْ ٥٣ = ( ‫ ﻕ ) ﺏ‬، ْ ٤٧ = ( ‫ ﻕ ) ﺍ‬، ‫( اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ‬٢ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ٢ : ١ ‫ أوﺟﺪى إﺣﺪاﺛﻰ ﺝ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬، ( ٢ ، ٥-) = ‫ ﺏ‬، ( ۲ ، ٤ ) = ‫( إذا ﻛﺎن ﺍ‬١ ْ ٣٢ ‫ ﻇﺎ‬+ ْ ١٣ ‫ﻇﺎ‬ ْ ٣٢ ‫ ْ ﻇﺎ‬١٣ ‫ ﻇﺎ‬- ١

‫( ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ أوﺟﺪى ﻗﯿﻤﺔ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ‬ ٠ = ١ - ‫ ﺹ‬٤ + ‫ ﺱ‬٣ ‫ ( اﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬٣ ، ١ ) ‫( أوﺟﺪى ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ 

١ + ‫ ﺟﺎ ھـ ﺟﺘﺎ ھـ‬۲ = ٢( ‫ ﺟﺘﺎ ھـ‬+ ‫( إﺛﺒﺘﻰ أن ) ﺟﺎ ھـ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ 

( ْ ٤٥ + ْ ٣٠ ) ‫( ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ أوﺟﺪى ﻗﯿﻤﺔ ﺟﺎ‬١

‫ أوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺔ ھﺬه اﻟﻘﻄﻌﺔ‬، ْ ١٣٥ ‫ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٠ ‫( ﻗﻄﻌﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ‬٢ ‫ ﻣﻊ ﺃﻃﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﻨﻴﺎﺕ ﺑﺎﻟﺘﻮﻓﻴﻖ‬.. ‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬ ( ١٩ ) A.E

    ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ اﻟﺼﻒ‬    

.....................

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻷول‬ : ‫أﻛﻤﻠﻰ‬ = ‫( اﻹﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬١ ........................

........................

=‫ﺍ‬

= ْ ١٥ ‫ ْ ﺟﺎ‬٧٥ ‫ ﺟﺎ‬+ ْ ١٥ ‫ ْ ﺟﺘﺎ‬٧٥ ‫( ﺟﺘﺎ‬٢

‫ ﻓﺈن‬، ‫ ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬٠ = ١١ + ‫ ﺹ‬٦ + ‫ ﺱ‬٩ ، ٠ = ٥ + ‫ﺹ‬٢ - ‫( إذا ﻛﺎن ﺍ ﺱ‬٣

........................

= ‫ ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬، ‫ ﺳﻢ‬٩ = ‫ وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬، ‫ ﺳﻢ‬٢٥ = ‫( ﻣﺤﯿﻂ ﻗﻄﺎع داﺋﺮى‬٤ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ١٠ ‫ ْ ﺟﺎ‬٥٥ ‫ ﺟﺎ‬+ ْ ١٠ ‫ ْ ﺟﺘﺎ‬٥٥ ‫( أوﺟﺪى ﺟﺘﺎ‬١

( ٣ ، ۲- ) = ‫ ﺏ‬، ( ٣ ، ٤ ) = ‫ ﺣﯿﺚ ﺍ‬۲: ١ ‫( أوﺟﺪى إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺍ ﺏ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬٢ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ٠ = ٦ + ‫ ﺹ‬٤ + ‫ ﺱ‬٣ ‫ ( إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬٥ ، ٢ - ) ‫( أوﺟﺪى ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ ْ ١٨ ‫ ﻇﺎ‬- ْ ٦٣ ‫ﻇﺎ‬ ْ ١٨ ‫ ْ ﻇﺎ‬٦٣ ‫ ﻇﺎ‬+ ١

: ‫( ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ أوﺟﺪى ﻗﯿﻤﺔ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫ ﺛﻢ اوﺟﺪى ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬، ‫ ْ أوﺟﺪى ﺝ‬٨٧ = ( ‫ ﻕ ) ﺝ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٢ = ‫ ﺏ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٥ = ‫( ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺍ‬١ ‫ أوﺟﺪى ﻣﺴﺎﺣﺔ ھﺬا اﻟﻘﻄﺎع‬. ‫ ﺳﻢ‬٨ ‫ وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬، ‫ ﺳﻢ‬٢٠ ‫( ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ ‫ ﺝ‬، ‫ أوﺟﺪى ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍ‬، ‫ ﺳﻢ‬٨٫٧ = ‫ ﺏ‬، ْ ٦٥ = ( ‫ ﻕ )ﺝ‬، ْ ٣٥ = ( ‫( ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﻕ )ﺏ‬١ ْ ٩٠ ‫ﺍ ﺁ‬

‫ْ ﺁ‬٠

‫ﺣﯿﺚ‬

— = ‫إذا ﻛﺎن ﺟﺘﺎ ﺍ‬



( ٢٠ ) A.E

‫ﺍ‬٢ ‫( أوﺟﺪى ﺟﺎ‬٢

    ‫ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬       : ‫ أﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻷﻗﻮاس‬-: ‫اﻟﺴﺆال اﻷول‬ [ ٦= ‫ ﺱ‬، ٥ = ‫ ﺹ‬، ٤ = ‫ ﺹ‬، ١ = ‫] ﺱ‬

..........

‫( و ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ھﻰ‬٥ ، ١) ‫ ( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬١

[ ١ ، ٢٧ ٢‫× ﺟﺘﺎ‬٢٧ ٢‫ ﺟﺎ‬، ٥٤ ، ٢٧ ٢‫] ﻇﺎ‬

..........

[ ‫ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف‬، ١ - ، ‫ ﺻﻔﺮ‬، ١ ] ٢

..........

= ٢٧ ٢‫ ﺟﺘﺎ‬+ ٢٧ ٢‫ ( ﺟﺎ‬٢

= ‫ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬٣

‫ ﺳﻢ‬.......... = ‫ ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع‬، ‫ ﺳﻢ‬٨ ‫ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬، ‫ ﺳﻢ‬٢٤ ‫( ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬٤

[ ٢٤ ، ١٩٢ ، ٤٨ ، ٩٦ ]

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ (٥- ، ٤ )= ‫ ﺏ‬، ( ٧ ، ٣-) = ‫ ﺣﯿﺚ ﺍ‬٣ : ٢ ‫( أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺍ ﺏ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬١ ‫ ﺱ = ﺣﺎ ﺱ‬٢‫ ﺣﺎ ﺱ ﺣﺘﺎ‬+ ‫ ﺱ‬٣‫ﺣﺎ‬

‫( إﺛﺒﺖ أن‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

٤= ‫ ( وﻣﯿﻠﮫ‬٤ ، ٣ ) ‫( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ ٣

‫ﺍ‬٢ ‫( إذا ﻛﺎن ﺟﺎ ﺍ = — ﺣﯿﺚ ﺍ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة أوﺟﺪ ﺟﺘﺎ‬٢

( ‫ أوﺟﺪ ق ) ﺝ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٣= ‫ ﺝ‬، ‫ ﺳﻢ‬٧ = ‫ ﺏ‬، ‫ ﺳﻢ‬٨ = ‫( ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺍ‬٣ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫د‬

‫ ﻩ‬، ‫ أوﺟﺪ ﻗ‬. ‫ ﺳﻢ‬٢٠ ‫ وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬، ٢‫ ﺳﻢ‬١٢٠ ‫( ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬١ ٢٢‫ ﺟﺎ‬٥٢‫ ﺟﺘﺎ‬- ٢٢‫ ﺟﺘﺎ‬٥٢‫ ﺟﺎ‬: ‫( ﺑﺪون آﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ ٠ = ٤ + ‫ ﺹ‬٤ + ‫ ﺱ‬٥ ‫ ( إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬٤ ، ١ ) ‫( أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ ‫= ﻇﺎ ﺍ‬

(ٍ‫ ﺏ‬- ‫ ﺟﺘﺎ ) ﺍ‬+ ( ‫ ﺏ‬+ ‫÷ ﺃﺟﺘﺎ ) ﺍ‬

(ٍ‫ ﺏ‬- ‫ ﺟﺎ ) ﺍ‬+ ( ‫ ﺏ‬+ ‫ ﺃﺟﺎ ) ﺍ‬: ‫( إﺛﺒﺖ أن‬٢



( ٢١ ) A.E

      ‫ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬     -: ‫اﻟﺴﺆال اﻷول‬ : ‫اﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ١ = ............. × ‫( ﺟﺘﺎ ﺍ‬١

[ ‫ ﻇﺎ ﺍ‬، ‫ ﺟﺎ ﺍ‬، ‫ ﻗﺘﺎ ﺍ‬، ‫] ﻗﺎ ﺍ‬ [ ! ، ‫ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف‬، ٠ ، ١ ]

..............

[ ‫ ﺻﻔﺮ‬، ١ ، ٤ ، ٢ ]

= ‫( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬٢ ........................

........................

= ‫ ﺍ‬٢‫ﺟﺘﺎ‬٢ + ‫ ﺍ‬٢‫ ﺟﺎ‬٢ (٣

‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﯾﻜﻮن ﻣﯿﻠﮫ‬: ‫( أﻛﻤﻞ‬٤

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬. ‫ ﺳﻢ‬٢٠ ‫ و ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬، ‫(د‬٠٫٥ ) ‫ ( ﻗﻄﺎع داﺋﺮى ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ‬١ ( ‫ ﺏ‬+ ‫؛ ﻓﺎوﺟﺪ ﺟﺎ )ﺍ‬

] ‫ﻁ‬٢ ، ٠ [ ‫ ﺏ ﻱ‬، ‫؛ ﺍ‬

‫؛‬١!‫؛‬٣@ = ‫ ﺟﺘﺎ ﺏ‬، p = ‫( إذا ﻛﺎن ﺟﺎ ﺍ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ْ ١٥ ‫( ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﺟﺘﺎ‬١ ‫ أوﺟﺪ‬. (٤- ، ١ ) = ‫ ﺝ‬، ( ۲ ، ٣) = ‫ ﺏ‬، ( ٥ ، ۲-) = ‫( إذا ﺍ‬٢ ‫ )ﺛﺎﻧﯿﺎً( ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ ﺍ ﻋﻠﻰ ﺏ ﺝ‬،

‫)أوﻻً( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﺏ ﺝ‬

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫ ْ أوﺟﺪ ﺝ ﻷﻗﺮب ﺳﻢ ﺛﻢ اوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬٨٧ = (‫ ﻕ )ﺝ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٢ = ‫ ﺏ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٥ = ‫( ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺍ‬١ ‫ ﻩ = ﺟﺘﺎ ﻩ‬٣‫ ﺟﺘﺎ‬+ ‫ ﻩ‬٢‫( اﺛﺒﺖ أن ﺟﺘﺎ ﻩ ﺟﺎ‬٢ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ ‫ ﺳﻢ‬٧ = ‫ ﺝ‬، ‫ ﺳﻢ‬٣ = ‫ ﺏ‬، ‫ ﺳﻢ‬٥ = ‫( أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس أﻛﺒﺮ زاوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ اﻟﺬى ﻓﯿﮫ ﺍ‬١ ( ٤ ، ٩ ) = ‫( اﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ‬١- ، ١- ) = ‫( اوﺟﺪ اﺣﺪاﺛﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺝ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻨﺪ ﺧﻤﺲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍ‬٢

( ٢٢ ) A.E

‫ ﻣﻊ ﺃﻃﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﻨﻴﺎﺕ ﺑﺎﻟﺘﻮﻓﻴﻖ‬.. ‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬

      ‫ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬    

........................

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻷول‬ : ‫أﻛﻤﻞ‬ = ٣٠ ‫ ﺟﺎ‬٦٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬+ ٣٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬٦٠ ‫( ﺟﺎ‬١

‫ ھﻮ‬٠ = ٥ + ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٦ ‫( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬٢

........................

........................ ........................

= ْ ٢٥ ٢‫ ﺟﺘﺎ‬+ ْ ٢٥ ٢‫( ﺟﺎ‬٣

= ‫ ﺳﻢ‬٨ ‫ ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬٦ ‫( ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﺬى ﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬٤

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ٠ = ٤ + ‫ ﺹ‬٣ + ‫ ﺱ‬٤ ‫ ( إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬٤ ، ١ ) ‫( أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ ١ = ‫ﺏ‬٢‫ﺏ ﻇﺎ‬٢‫ ﺟﺘﺎ‬+ ‫ﺏ‬٢‫( إﺛﺒﺖ أن ﺟﺘﺎ‬٢ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺝ‬٢ : ١ ‫ ﺝ ﺗﻘﺴﻢ ﺍ ﺏ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬، ( ٣ ، ۲-) = ‫ ﺏ‬، ( ٣ ، ٤ ) = ‫( إذا ﻛﺎن ﺍ‬١ ‫ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس أﻛﺒﺮ زاوﯾﺔ‬. ‫ ﺳﻢ‬٧ = ‫ ﺟـ‬، ‫ ﺳﻢ‬٣ = ‫ ب‬، ‫ ﺳﻢ‬٥ = ‫( ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ أ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ‬ . ْ ٨٠ ‫ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٦ ‫( أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ‬١ ‫ﻁ‬ ٤

> ‫ > ﺏ > ﺍ‬٠ ‫ﺣﯿﺚ‬

& = ‫ ﻇﺎ ﺏ‬،

p = ‫( إذا ﻛﺎن ﺟﺎ ﺍ‬٢

ْ ٤٥ = ( ‫ ﺏ‬+ ‫اﺛﺒﺖ أن ﻕ ) ﺍ‬ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ‬

٠ = ٥ + ‫ ﺹ‬٢- ‫ ﺱ‬٣ ‫ ( وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬٤ ، ٣ ) ‫( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ - = ‫ ﻇﺎ ﺏ‬، ] ‫ ﻁ‬، ٠ [ ‫ ﺣﯿﺚ ﺍ ﻱ‬o = ‫( إذا ﻛﺎن ﺟﺘﺎ ﺍ‬٢ ] ‫ ط‬، ‫ﻁ‬٢ [ ‫ ﺣﯿﺚ ﺏ ﻱ‬١٢ ٥ ٢ ‫ ﺏ‬٢ ‫ ﺟﺎ‬، ( ‫ ﺏ‬+ ‫ﻓﺎوﺟﺪ ﺑﺪون اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺟﺘﺎ ) ﺍ‬

(٢٣) A.E

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬

      ‫ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬    

........................ ........................

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻷول‬ : ‫أﻛﻤﻞ‬ ‫ ھﻮ‬٠ = ١ + ‫ ﺹ‬٤ + ‫ ﺱ‬٣ ‫( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬١ = ‫ ﺳﻢ‬٦ ‫ ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬٤ ‫( ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﺬى ﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬٢ ........................ ........................

= ْ ٣٠ ٢‫ ﺟﺘﺎ‬+ ْ ٣٠ ٢‫( ﺟﺎ‬٣

= ٤٠ ‫ ﺟﺎ‬٥٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬+ ٤٠ ‫ ﺟﺘﺎ‬٥٠ ‫( ﺟﺎ‬٤ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

٢ : ١ ‫ أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ﺗﻘﺴﻢ ﺍ ﺏ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬، ( ٠ ، ٤ ) = ‫ ﺏ‬، ( ٣ ، ٢- ) = ‫( إذا ﻛﺎن ﺍ‬١ ‫ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس أﺻﻐﺮ زاوﯾﺔ‬. ‫ ﺳﻢ‬١٤ = ‫ ﺟـ‬، ‫ ﺳﻢ‬١٠ = ‫ ب‬، ‫ ﺳﻢ‬٦ = ‫( ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ أ‬٢

-: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ٠ = ٣٥ - ‫ ﺹ‬٣ - ‫ ﺱ‬٤ ‫ ( إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬١- ، ٣ ) ‫( أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ ٢ = ٢( ‫ ﺟﺘﺎ ﺱ‬- ‫ ) ﺟﺎ ﺱ‬+ ٢( ‫ ﺟﺘﺎ ﺱ‬+ ‫( اﺛﺒﺖ أن ) ﺟﺎ ﺱ‬٢ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺮاﺑﻊ‬ . ْ ٨٠ ‫ وﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ‬، ‫ ﺳﻢ‬٨ ‫( أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ‬١ ] ١٨٠ ، ٩٠ [ ‫ ﺏ ﻱ‬، ٥- = ‫ ﺟﺘﺎ ﺏ‬، ] ٩٠ ، ٠ [ ‫ ﺍ ﻱ‬، ١٣

p = ‫( إذا ﻛﺎن ﺟﺎ ﺍ‬٢

‫ﺍ‬٢‫ ﺟﺘﺎ‬، ( ‫ ﺏ‬+ ‫أوﺟﺪ ﺟﺎ ) ﺍ‬ -: ‫اﻟﺴﺆال اﻟﺨﺎﻣﺲ‬

n = ‫ ( وﻣﯿﻠﮫ‬٤ ، ٣ ) ‫( أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬١ . ‫ ﺳﻢ‬٧ ‫ ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ‬١٠ ‫( أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﺬى ﻃﻮل ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬٢

‫ﺍﻧﺘﻬﺖ ﺍﻷﺳﺌﻠﺔ‬ (٢٤) A.E

‫رﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﺘﺮم اﻷول‬

‫ﻣﺪرﺳﺔ اﻷﻣﻞ اﻟﺜﺎﻧﻮﯾﺔ اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ ﺑﻨﺎت ﺑﺎﻟﺴﻮﯾﺲ‬

‫‪ ‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :١‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ٣‬ﻭﻣﻴﻠﻪ ‪٥ -‬‬ ‫ﺹ‪٢-‬‬ ‫‪٥‬‬‫=‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺱ‪٣-‬‬ ‫ﺹ ‪ ٥ +‬ﺱ ‪٠ = ١٧ -‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻰ‬

‫اﻟﺪرس اﻷول ‪ :‬ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ) ‪ ٣‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ (‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ ) ﻡ‪١‬ﺱ‪ +٢‬ﻡ‪٢‬ﺱ‪١‬‬ ‫ﻡ‪ + ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﺘﻘﺴﻴﻢ ﻣﻦ ﺍﳋﺎﺭﺝ ) ﻡ‪١‬ﺱ‪ -٢‬ﻡ‪٢‬ﺱ‪١‬‬ ‫ﻡ‪ - ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﻧﻘﻄﺔ ﺍﳌﻨﺘﺼﻒ‬

‫) ﺱ‪ +١‬ﺱ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻡ ﺹ ‪+‬ﻡ ﺹ‬ ‫‪(١ ٢ ٢ ١ ،‬‬ ‫ﻡ‪ + ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫ﻡ ﺹ ‪-‬ﻡ ﺹ‬ ‫‪(١ ٢ ٢ ١ ،‬‬ ‫ﻡ‪ - ١‬ﻡ‪٢‬‬ ‫ﺹ‪ +١‬ﺹ‬ ‫‪(٢‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٢‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ) ‪( ٤ ، ٢ ) ، (١- ، ١‬‬ ‫‪١+٤‬‬ ‫ﺹ‪١+‬‬ ‫=‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﺱ‪١-‬‬ ‫‪١-٢‬‬ ‫ﺹ‪١+‬‬ ‫=‬ ‫ﺇ‬ ‫ﺱ‪١-‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻰ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :١‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، (٢ ، ٤‬ﺏ )‪ ، ( ٢ ،٥ -‬ﺇﻭﺟﺪﻯ‬ ‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ﺍﻟﱴ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ٢ : ١‬ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﺧﻞ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫×‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫×‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫×‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‬‫×‬ ‫‪١‬‬ ‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫)ﺱ‪،‬ﺹ(= )‬ ‫‪٢+١‬‬ ‫‪٢+١‬‬ ‫= ) ‪( ٢ ، ١‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٣‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻴﻠﻪ – ‪ ٦‬ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺟﺰﺀ ﻃﻮﻟﻪ‬ ‫ﺛﻼﺙ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻣﻦ ﺍﻻﲡﺎﻩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٤‬ﺇﻭﺟﺪﻯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٥ ، ٢-‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ‪:‬‬

‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﺝ ﺍﻟﱴ ﺗﻘﺴﻢ ﺍﺏ ﻣﻦ ﺍﳋﺎﺭﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٢ : ٣‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫×‬ ‫‪٢‬‬ ‫‬‫‪١‬‬ ‫‬‫×‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫×‬ ‫‪٢‬‬ ‫‬‫‪٧‬‬ ‫×‬ ‫‪٣‬‬ ‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫)ﺱ‪،‬ﺹ(= )‬ ‫‪٢-٣‬‬ ‫‪٢-٣‬‬ ‫= ) ‪( ١٣ - ، ١٧‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪ ( i‬ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬

‫‪ (ii‬ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬

‫‪ (i‬ﺹ = ‪٥‬‬

‫‪ (ii‬ﺱ = ‪٢-‬‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ " :‬ل " ﻃﻮل ﻋﻤﻮد ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، ( ٤- ، ٥‬ﺏ ) ‪ ، ( ١٠ ، ١-‬ﺇﻭﺟﺪﻯ‬ ‫‪١٠ + ٤‬‬‫‪٢‬‬

‫ل =‬

‫| ﺍﺱ‪ + ١‬ﺏ ﺹ‪ + ١‬ﺝ|‬ ‫] ﺍ@‪ :+ :‬ﺏ‪:@:‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﳌﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ٣‬ﺇﱃ‬

‫(‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪ :‬ل =‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺜﺎﻧﻰ ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ) ﻗﺎﻧﻮﻧﯿﻦ (‬ ‫ﺹ ﺹ‬ ‫– ‪ = ١‬ﻡ‬ ‫‪ ‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ﺱ – ﺱ‪١‬‬ ‫‪ ‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﻨﻘﻄﺘﲔ ﺹ – ﺹ‪ = ١‬ﺹ‪ –٢‬ﺹ‪١‬‬ ‫ﺱ‪ – ٢‬ﺱ‪١‬‬ ‫ﺱ – ﺱ‪١‬‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺞ ‪ - i :‬ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻯ ﻣﻴﻠﻪ ﻡ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﺟﺰﺀ ﻃﻮﻟﻪ ﺝ ﻣﻦ ﺍﻻﲡﺎﻩ‬

‫=‬ ‫ﺃﻛﻤﻠﻰ‪:‬‬

‫‪٥‬ﺱ‪٤+‬ﺹ‪٠=١-‬‬

‫| ‪| ١ - ٢×٤ + ٣×٥‬‬ ‫]‬

‫‪٢٢‬‬

‫] ‪/٤١‬‬

‫‪/ ١٦/+/ ٢٥‬‬ ‫ﻭﺣﺪﺓ ﻃﻮﻝ‬

‫ﺱ‪ ، ٣ =١‬ﺹ‪٢=١‬‬ ‫ﺍ=‪٥‬‬ ‫ﺏ=‪٤‬‬ ‫ﺝ = ‪١-‬‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﳌﺘﻮﺍﺯﻳﺎﻥ ﻣﻴﻼﳘﺎ ‪ ....‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻣﻴﻼ ﺍﳌﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ ‪....‬‬

‫ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻳﻌﲎ ﺃﻧﻪ ﳝﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ -‬ﺝ ‪( ٠ ،‬‬

‫ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﻮﺍﺯﻯ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ = ‪ ،...‬ﺍﳌﻮﺍﺯﻯ ﶈﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ = ‪...‬‬

‫‪ - ii‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﺎﺭ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ﺱ‪ ، ١‬ﺹ‪ ( ١‬ﻭﻳﻮﺍﺯﻯ ‪:‬‬

‫ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺹ = ﺹ‪ ، ١‬ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺱ = ﺱ‪١‬‬

‫ﺹ ‪ ٦ +‬ﺱ ‪٠ = ١٨ +‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪ :‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻰ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ‪ ، (٥ ، ٢‬ﺏ ) ‪ ، ( ١- ، ٧‬ﺇﻭﺟﺪﻯ‬

‫ﺇﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‬‫‪+‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)ﺱ‪،‬ﺹ(= )‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ) ‪( ٣ ، ٢‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺹ‪٥-‬ﺱ‪٠=٦+‬‬

‫ﻹﳚﺎﺩ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻊ ﳏﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻧﻀﻊ ‪ = ....‬ﺻﻔﺮ‬

‫‪( ١ ).E‬‬

‫‪A‬‬

‫رﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫ﻣﺪرﺳﺔ اﻷﻣﻞ اﻟﺜﺎﻧﻮﯾﺔ اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ ﺑﻨﺎت ﺑﺎﻟﺴﻮﯾﺲ‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺮاﺑﻊ ‪ :‬اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى ‪ ،‬اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ‬ ‫ﺃﻭﻻﹰ ‪:‬ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ‬

‫ﺩ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ! ﻝ × ﻗ ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ = ! ﻩ × ﻗ‬ ‫ﺩ ﻝ‬ ‫ﳏﻴـﻄﻪ = ﻝ ‪ ٢ +‬ﻗ ‪،‬‬ ‫ﻩ = ﻧﻖ‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺴﺎدس ‪ :‬ﻗﺎﻋﺪﺗﻰ اﻟﺠﯿﺐ وﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم‬ ‫ﺃﻭﻻﹰ ‪:‬ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﳉﻴﺐ ) ﻏﺎﻟﺒﺎﹰ ﻣﺎ ﻳﺘﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻪ ﻣﻊ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻭﺿﻠﻊ (‬

‫ھـ ﻧﻖ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍ‬ ‫ﺟﺎ ﺍ‬

‫ل‬

‫ﺇ‬

‫‪٣٦‬‬

‫ﺍ = ‪ ٣,٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺜﻠﺚ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﻕ ) ﺝ ( = ‪ْ ٨٠ = ( ٥٣ + ٤٧) - ١٨٠‬‬

‫ﺳﻢ‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٢‬ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪ ٣٦‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﻭﺯﺍﻭﻳﺘﻪ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ) ‪(٠,٥‬‬ ‫ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ؟‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﰈ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ = ! ﻩﺩ × ﻗ‬

‫ﺩ‬

‫= ! × ‪ × ٠,٥‬ﻗ‬

‫ﺇ ﺏ = ‪× ٣,٥‬ﺟﺎ‪ ٥٣‬ﺕ ‪ ، ٣,٨‬ﺝ = ‪× ٣,٥‬ﺟﺎ‪ ٨٠‬ﺕ ‪٤,٧‬‬ ‫ﺟﺎ‪٤٧‬‬ ‫ﺟﺎ‪٤٧‬‬ ‫ﺇ ﳏﻴﻂ ﺍﳌﺜﻠﺚ = ‪ ١٢ = ٤,٧ + ٣,٨ + ٣,٥‬ﺳﻢ‬

‫ﺇ ﻗ = ‪١٢‬ﺳﻢ‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎﹰ ‪:‬ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ‬

‫ھـ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ = ! ﻗ‪ ) ٢‬ﻩﺩ ‪ -‬ﺟﺎ ﻩ ْ (‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎﹰ ‪:‬ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ) ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻣﻊ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻭﺿﻠﻊ ﺃﻭ ‪ ٣‬ﺃﺿﻼﻉ (‬

‫ﻧﻖ‬

‫ﻹﳚﺎﺩ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ‪:‬‬

‫ﻗﻄﻌﺔ‬

‫‪t‬‬ ‫ﺗﺬﻛﺮﻯ‪ :‬ﻟﻠﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﺳﺘﻴﲎ ﻟﺪﺍﺋﺮﻯ ﺱ × ‪١٨٠‬‬ ‫ﻣﻦ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻟﺴﺘﻴﲎ ﻩﺩ × ‪١٨٠‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﺍﻟﱴ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺩﺍﺋﺮ‪‬ﺎ ‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﻬﺎ ﺍﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ‪ْ ١٣٥‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‪to‬‬ ‫ﻩﺩ = ‪× ١٣٥‬‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫ﺇ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ = ! × ‪ - t o ) ١٠٠‬ﺟﺎ ‪( ١٣٥‬‬ ‫= ‪٨٢,٤٥‬‬

‫ﻹﳚﺎﺩ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺔ ‪:‬‬

‫ﺟﺘﺎﺍ =‬

‫ﺏ‪٢‬‬

‫‪ - ٢‬ﺍ‪٢‬‬

‫‪ +‬ﺝ‬ ‫‪ ٢‬ﺏ ﺝ‬

‫‪ ،‬ﻕ ) ﺝ ( = ‪ْ ٤٢‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﺝ ‪ × ٢٩,٨ × ٣٤,٤ × ٢ - ٢(٢٩,٨) + ٢(٣٤,٤) = ٢‬ﺟﺘﺎ ‪ْ ٤٢‬‬ ‫= ‪٥٤٧,٧٧‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺇ ﺝ = ‪ ٢٣,٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(٣٤,٤) - (٢٣,٤) + (٢٩,٨‬‬

‫ﺟﺘﺎﺍ =‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٢٣,٤ × ٢٩,٨×٢‬‬ ‫ﺇ ﻕ ) ﺍ ( ﺕ ‪ ، ْ ٨٠‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﱃ‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺨﺎﻣﺲ ‪ :‬اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‬ ‫ﺟﺎ‪٢‬ﻩ ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ﻩ = ‪ ، ١‬ﻗﺎ‪٢‬ﻩ = ﻇﺎ‪٢‬ﻩ ‪ ، ١ +‬ﻗﺘﺎ‪٢‬ﻩ = ﻇﺘﺎ‪٢‬ﻩ ‪١ +‬‬

‫‪ ‬ﻇﺘﺎ ﺱ × ‪  ، ١ = ......‬ﺟﺎ‪ + ٢٨ ٢‬ﺟﺘﺎ‪= ٢٨ ٢‬‬ ‫‪ ‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ﻩ ‪  ، ١ = ...... +‬ﻇﺎ ﻩ ﻇﺘﺎ ﻩ ‪ -‬ﺟﺎ ﻩ ﻗﺘﺎ ﻩ‬

‫= ‪......‬‬

‫= ‪٠,١٨١٨٦٣‬‬

‫ﻕ ) ﺏ ( ﺕ ‪ْ ٥٨‬‬

‫ﺍﳌﻘﺼﻮﺩ ﲝﻞ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺇﳚﺎﺩ ﲨﻴﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮﻩ ﺍﻟﺴﺘﺔ ) ‪ ٣‬ﺯﻭﺍﻳﺎ ‪ ٣ ،‬ﺃﺿﻼﻉ (‬

‫ﺃﻛﻤﻠﻰ‪:‬‬

‫‪......‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ‪:‬‬

‫ﻛﺬﻟﻚ‪ :‬ﺟﺎ ﻩ ﻗﺘﺎ ﻩ = ‪ ، ١‬ﺟﺘﺎ ﻩ ﻗﺎ ﻩ = ‪ ، ١‬ﻇﺎ ﻩ ﻇﺘﺎ ﻩ = ‪١‬‬

‫‪‬‬

‫ﺍ @ = ﺏ @ ‪ +‬ﺝ @ ‪ ۲ -‬ﺏ ﺝ ﺟﺘﺎ ﺍ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ﺣﻞ ِﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﺏ ﺝ ﺍﻟﺬﻯ ﻓﻴﻪ ﺍ = ‪ ٣٤,٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺏ = ‪ ٢٩,٨‬ﺳﻢ‬

‫ﺳﻢ‪٢‬‬

‫‪ = ...... + ١‬ﻗﺘﺎ‪٢‬ﺱ ‪  ،‬ﺟﺎ ﻩ ﺟﺘﺎ ﻩ ﻗﺎ ﻩ ﻗﺘﺎ ﻩ‬

‫ﺝ‬ ‫ﺏ =‬ ‫‪= ٣,٥‬‬ ‫ﺟﺎ‪٨٠‬‬ ‫ﺟﺎ‪٥٣‬‬ ‫ﺟﺎ‪٤٧‬‬

‫ﺇ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫=‬

‫ﺏ‬ ‫ﺟﺎﺏ‬

‫=‬

‫ﺝ‬ ‫ﺟﺎﺝ‬

‫= ‪۲‬ﻗ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :‬ﺍﺏ ﺝ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ ﻕ ) ﺍ( = ‪ ، ْ ٤٧‬ﻕ )ﺏ ( = ‪ْ ٥٣‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :١‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﻄﺎﻉ ﺩﺍﺋﺮﻯ ﻃﻮﻝ ﻗﻮﺳﻪ ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ﻭﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﺗﻪ ‪ ١٦‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﻄﺎﻉ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻯ = ! × ‪٩٦ = ٨ × ٢٤‬‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﺘﺮم اﻷول‬

‫ﻗﻴﺎﺱ ﺃﻛﱪ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﰱ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻳﻘﺎﺑﻠﻬﺎ ﺃﻛﱪ ﺿﻠﻊ ﰱ ﺍﳌﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ = ! ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺃﻯ ﺿﻠﻌﲔ × ﺟﺎ)ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ(‬ ‫ﳏﻴـﻂ ﺍﳌﺜﻠﺚ = ﳎﻤﻮﻉ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻋﻪ ‪.‬‬

‫= ‪......‬‬

‫‪( ٢ ).E‬‬

‫‪A‬‬

‫رﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻨﺎﻋﻰ‬

‫ﻣﻨﮭﺞ اﻟﺘﺮم اﻷول‬

‫ﻣﺪرﺳﺔ اﻷﻣﻞ اﻟﺜﺎﻧﻮﯾﺔ اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ ﺑﻨﺎت ﺑﺎﻟﺴﻮﯾﺲ‬

‫اﻟﺪرس اﻟﺴﺎﺑﻊ ‪ :‬دوال ﻣﺠﻤﻮع وﻓﺮق زاوﯾﺘﯿﻦ ‪ ،‬وﺿﻌﻒ زاوﯾﺔ‬ ‫ﺃﻭﻻﹰ ‪ :‬ﺩﻭﺍﻝ ﳎﻤﻮﻉ ﻭﻓﺮﻕ ﺯﺍﻭﻳﺘﲔ ‪:‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎﹰ ‪ :‬ﺩﻭﺍﻝ ﺿﻌﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ‪:‬‬

‫ﺟﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫ﺟﺎ‪۲‬ﺍ = ‪۲‬ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺍ‬

‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫ﺟﺎ ) ﺍ ‪ -‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ -‬ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫‪٤٥ ، ٦٠ ، ٣٠‬‬

‫ﺟﺘﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ -‬ﺟﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٨٠ ، ٠ ، ٩٠‬‬

‫ﺟﺘﺎ ) ﺍ ‪ -‬ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬ ‫ﻇﺎ ) ﺍ‪ +‬ﺏ ( = ﻇﺎ ﺍ ‪ +‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ ﺍ ﻇﺎ ﺏ‬

‫ﻁ = ‪ْ ١٨٠= t‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪ :٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺎﺍ = ‪ ، p‬ﺟﺘﺎﺏ =‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ! )‪ ٢‬ﺟﺎ‪ ١٥‬ﺟﺘﺎ‪ ! = ( ١٥‬ﺟﺎ ‪# = ٣٠‬‬ ‫‪ ‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺘﺎ ‪ = ١٥ × ٢‬ﺟﺘﺎ ‪C = ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﻇﺎ ‪ = ( ْ ٢٢ َ ٣٠) × ٢‬ﻇﺎ ‪١ = ٤٥‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺎﺍ ﺟﺘﺎﺍ = ‪ J‬ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ ‪:‬‬

‫ﺟﺎ‪٣‬ﺍ ﺟﺘﺎﺍ ‪ -‬ﺟﺘﺎ‪٣‬ﺍ ﺟﺎﺍ‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫ﺟﺎ‪٣‬ﺍ ﺟﺘﺎﺍ ‪ -‬ﺟﺘﺎ‪٣‬ﺍ ﺟﺎﺍ = ﺟﺎ ) ‪ ٣‬ﺍ ‪ -‬ﺍ (‬ ‫= ﺟﺎ ‪ ٢‬ﺍ‬ ‫= ‪ ٢‬ﺟﺎ ﺍ ﺟﺘﺎ ﺍ‬ ‫= ‪— = J ×٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ‪  :٣‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺘﺎ ﺍ = — ﻓﺎﻭﺟﺪﻯ ﺟﺎ ‪ ٢‬ﺍ‬

‫‪ ،‬ﻓﺎﻭﺟﺪﻯ ﺟﺎ ) ﺍ‪ +‬ﺏ (‬ ‫‪‬‬

‫ﺍ‬

‫‪ ‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺘﺎﺝ = ‪ ٠,٢ -‬ﻓﺎﻭﺟﺪﻯ ﺟﺘﺎ ‪٢‬ﺝ‬

‫ﺍﳊﻞ‪:‬‬

‫‪١٣‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪ ‬ﺟﺎ ‪٢‬ﺍ = ‪ ٢‬ﺟﺎ ﺍ ﺟﺘﺎ ﺍ = ‪— × p × ٢‬‬

‫ﺏ‬

‫‪٢‬‬

‫= ‪× p‬‬

‫‪= Å × —+‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ‬ﺟﺘﺎ ‪٢‬ﺝ = ‪ ۲‬ﺟﺘﺎ ﺝ ‪١ - (٠,٢- ) ٢ = ١ -‬‬

‫ﺟﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍ ﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ﺍ ﺟﺎ ﺏ‬

‫@‪٣‬؛!‪١‬؛‬

‫‪ ٢‬ﻇﺎ ‪ْ ٢٢ َ ٣٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ‪ْ ٢٢َ ٣٠ ٢‬‬

‫= ﺟﺎ ‪١ = ٩٠‬‬ ‫= ﺟﺘﺎ ﻁ = ‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ﻇﺎ ‪١ = ٤٥‬‬

‫@‪٣‬؛!‪١‬؛‬

‫ﻇﺎ ﻩ =‬

‫ﺟﺎ ﻩ‬ ‫ﺟﺘﺎ ﻩ‬

‫‪ ٢ ‬ﺟﺘﺎ‪١ - ١٥ ٢‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :٢‬ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺟﺎ ‪ ٤٠‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٥٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤٠‬ﺟﺎ ‪٥٠‬‬ ‫‪ ‬ﺟﺘﺎ ‪٥‬ﻁ ﺟﺘﺎ ﻁ ‪ -‬ﺟﺎ ‪٥‬ﻁ ﺟﺎ ﻁ‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪ ‬ﻇﺎ ‪ - ٦٣‬ﻇﺎ ‪١٨‬‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ‪ ٦٣‬ﻇﺎ‪١٨‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪۲‬ﺍ = ‪ ۲ - ١‬ﺟﺎ‪٢‬ﺍ‬

‫ﻇﺎ)ﺍﳊﺎﺩﺓ( = ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ÷ ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ‬

‫ﺟﺘﺎ)ﺍﳊﺎﺩﺓ( = ﺍ‪‬ﺎﻭﺭ ÷ ﺍﻟﻮﺗﺮ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :١‬ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺟﺎ ‪ ١٥‬ﺟﺘﺎ ‪١٥‬‬

‫= ﺟﺎ ‪ ٤٥‬ﺟﺘﺎ ‪ + ٦٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤٥‬ﺟﺎ ‪٦٠‬‬ ‫= ‪C × ١ + ١ × ١‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪۲‬ﺍ = ﺟﺘﺎ ﺍ ‪ -‬ﺟﺎ ﺍ‬

‫ﺟﺎ)ﺍﳊﺎﺩﺓ( = ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ÷ ﺍﻟﻮﺗﺮ‬

‫ﻇﺎ ‪ ۲‬ﺍ = ‪ ۲‬ﻇﺎ ﺍ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ‪ ۲‬ﺍ‬

‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ :١‬ﺑﺪﻭﻥ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﳊﺎﺳﺒﺔ ﺃﻭﺟﺪﻯ ﻗﻴﻤﺔ ﺟﺎ ‪٧‬ﻁ‬ ‫‪١٢‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪١٨٠ × ٧‬‬ ‫ﻁ‬ ‫‪٧‬‬ ‫= ﺟﺎ ‪١٠٥‬‬ ‫= ﺟﺎ‬ ‫ﺟﺎ‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ﺟﺎ ‪ = ١٠٥‬ﺟﺎ ) ‪( ٦٠ + ٤٥‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪۲‬ﺍ = ‪ ۲‬ﺟﺘﺎ‪٢‬ﺍ ‪١ -‬‬

‫ﻇﺎ ) ﺍ‪ -‬ﺏ ( = ﻇﺎ ﺍ ‪ -‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ ﺍ ﻇﺎ ﺏ‬

‫‪ ‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺎ ) ‪( ٥٠ + ٤٠‬‬ ‫‪ ‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﺟﺘﺎ ) ‪٥‬ﻁ ‪ +‬ﻁ (‬ ‫‪١٢ ١٢‬‬ ‫‪ ‬ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ = ﻇﺎ ) ‪( ١٨ - ٦٣‬‬

‫ﻣﻦ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺎﺕ ‪-:‬‬ ‫ﰱ ﺃﻯ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‪:‬‬

‫^‪٥‬؛‪٦%‬؛‬

‫! ‪! ‬‬

‫‪( ٣ ).E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪Mr : Ahmed Eissa‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‪ :‬ﺱ =‬

‫ﻡ ﺱ ‪+‬ﻡ ﺱ‬ ‫‪١ ٢ ٢ ١‬‬

‫‪،‬ﺹ=‬

‫ﻡ ‪+‬ﻡ‬ ‫‪٢ ١‬‬

‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﺏ ‪ :‬ﺱ =‬

‫ﺱ ‪+‬ﺱ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻡ ﺹ ‪+‬ﻡ ﺹ‬ ‫‪٢ ٢ ١‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻡ ‪+‬ﻡ‬ ‫‪٢ ١‬‬ ‫ﺹ ‪+‬ﺹ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ،‬ﺹ=‬

‫‪،‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج‪ :‬ﺱ =‬

‫؛‬

‫ﻡ ﺱ ‪-‬ﻡ ﺱ‬ ‫‪١ ٢ ٢ ١‬‬ ‫ﻡ ‪-‬ﻡ‬ ‫‪٢ ١‬‬

‫ﻡ ﺹ ‪-‬ﻡ ﺹ‬ ‫‪٢ ٢ ١‬‬

‫‪،‬ﺹ=‬

‫ﻡ ‪-‬ﻡ‬ ‫‪٢ ١‬‬

‫ﻹﯾﺠﺎد ﻧﺴﺒﺔ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺴـﯿﻨﺎت‪ :‬ﻡ ﺹ ‪ +‬ﻡ ﺹ = ‪٠‬‬ ‫‪١ ٢ ٢ ١‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻡ ﺱ ‪+‬ﻡ ﺱ =‪٠‬‬ ‫‪١ ٢ ٢ ١‬‬

‫ﻹﯾﺠﺎد ﻧﺴﺒﺔ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‪:‬‬

‫ﻣﯿﻞ وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ وﻃﻮل ﻋﻤﻮد ﻋﻠﯿﮫ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺤﺪدة ‪:‬‬ ‫ﺹ‪ – ٢‬ﺹ‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) ﺱ‪ ، ١‬ﺹ‪ ) ، ( ١‬ﺱ‪ ، ٢‬ﺹ‪ ( ٢‬ھﻮ ﻡ = ﺱ ﺱ‬ ‫‪١ –٢‬‬ ‫ﺹ ﺹ‬ ‫– ‪١‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ) ﺱ‪ ، ١‬ﺹ‪ ، ( ١‬ﻭﻣﻴﻠﻪ ﻡ ھﻮ‬ ‫ﻡ= ﺱ ﺱ‬ ‫– ‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫)ﻣﻴﻞ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ = ﻓﺮﻕ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ÷ ﻓﺮﻕ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ(‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت = ‪٠‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻮازى ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف‬

‫ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد"ل"ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ ) ﺱ‪ ،١‬ﺹ‪ (١‬اﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻌﻠﻮم ) ﺍﺱ ‪ +‬ﺏ ﺹ ‪ +‬ﺝ = ‪ ( ٠‬ھﻮ ل =‬ ‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى واﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ ‪:‬‬

‫| ﺍﺱ‪ + ١‬ﺏ ﺹ‪ + ١‬ﺝ|‬ ‫] ﺍ@‪ :+ :‬ﺏ‪:@:‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى =‬

‫!‪٢‬؛‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ =‬

‫!‪٢‬؛‬

‫ﻧﻖ‪ ) ٢‬ھـ د – ﺟﺎ ھـ ْ (‬

‫‪٢‬‬

‫ﻧﻖ‬

‫ھـ‬

‫ھـ ﻧﻖ‬

‫ل × ﻧﻖ = !‪٢‬؛ ھـ د × ﻧﻖ‬

‫‪١‬‬

‫ﻗﻄﻌﺔ‬

‫ل‬ ‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى‪:‬‬ ‫ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳ ﻄﺢ داﺋ ﺮة ﻣﺤ ﺪود ﺑﻘ ﻮس ﻓﯿﮭ ﺎ‬ ‫وﻧﺼﻔﻰ اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ اﻟﻤﺎرﯾﻦ ﺑﻄﺮﻓﻰ ذﻟﻚ اﻟﻘﻮس‬

‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ‪:‬‬ ‫ھﻰ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤ ﺪود ﺑﻘ ﻮس‬ ‫ﻓﯿﮭﺎ ووﺗﺮ ﻣﺎر ﺑﻨﮭﺎﯾﺘﻰ ذﻟﻚ اﻟﻘﻮس‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟﺎ ھـ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ھـ = ‪١‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة ﺟﯿﺐ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﺍ‬ ‫ﺟﺎ ﺍ‬

‫=‬

‫ﺏ‬ ‫ﺟﺎﺏ‬

‫=‬

‫ﺝ‬ ‫ﺟﺎﺝ‬

‫= ‪۲‬ﻗ‬

‫‪،‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻗﺎ ھـ ‪ -‬ﻇﺎ ھـ = ‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻗﺘﺎ ھـ ‪ -‬ﻇﺘﺎ ھـ = ‪١‬‬

‫‪،‬‬

‫؛ ﺟﯿﺐ ﺗﻤﺎم اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺍ @ = ﺏ @ ‪ +‬ﺝ @ ‪ ۲ -‬ﺏ ﺝ ﺟﺘﺎﺍ‬ ‫ﺏ @ = ﺝ @ ‪ +‬ﺍ @ ‪ ۲ -‬ﺝ ﺍ ﺟﺘﺎﺏ‬ ‫ﺝ @ = ﺍ @ ‪ +‬ﺏ @ ‪ ۲ -‬ﺍ ﺏ ﺟﺘﺎﺝ‬

‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ‪‬ﻤﻮﻉ ﻭﻓﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺯﺍﻭﻳﺘﲔ‬ ‫ﺍﳉﻴﺐ‬ ‫ﺟﻴﺐ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻈﻞ‬

‫ﺟﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ ‪ ،‬ﺟﺎ ) ﺍ ‪ -‬ﺏ ( = ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ -‬ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬ ‫ﺟﺘﺎ ) ﺍ ‪ +‬ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ -‬ﺟﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ ‪ ،‬ﺟﺘﺎ ) ﺍ ‪ -‬ﺏ ( = ﺟﺘﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺏ ‪ +‬ﺟﺎ ﺍﺟﺎ ﺏ‬

‫ﻇﺎ ) ﺍ‪ +‬ﺏ ( = ﻇﺎ ﺍ ‪ +‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ ﺍ ﻇﺎ ﺏ‬

‫ﻣﻦ اﻷﺳﺎﺳﯿﺎت ‪:‬‬

‫ﺟﺎ ﻩ‬ ‫ﺟﺘﺎ ﻩ‬

‫‪ ،‬ﻇﺎ ) ﺍ‪ -‬ﺏ ( = ﻇﺎ ﺍ ‪ -‬ﻇﺎ ﺏ‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ ﺍ ﻇﺎ ﺏ‬

‫= ﻇﺎ ﻩ ‪ ،‬ﺟﺎ ﻩ ﻗﺘﺎ ﻩ = ‪، ١‬‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻀﻌﻒ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﺟﺎ‪۲‬ﺍ = ‪۲‬ﺟﺎ ﺍﺟﺘﺎ ﺍ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟﺘﺎ‪۲‬ﺍ = ﺟﺘﺎ ﺍ ‪ -‬ﺟﺎ ﺍ = ‪ ۲‬ﺟﺘﺎ ﺍ ‪١ -‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ‪ ۲ - ١‬ﺟﺎ ﺍ‬

‫ﻇﺎ ‪ ۲‬ﺍ = ‪ ۲‬ﻇﺎ ﺍ‬ ‫‪ - ١‬ﻇﺎ‪ ۲‬ﺍ‬

‫ﺟﺘﺎ ﻩ ﻗﺎ ﻩ = ‪ ، ١‬ﻇﺎ ﻩ ﻇﺘﺎ ﻩ = ‪١‬‬ ‫! ﻣﻊ أﻃﯿﺐ ﺗﻤﻨﯿﺎﺗﻰ ﺑﺎﻟﻨﺠﺎح واﻟﺘﻔﻮق !‬

‫‪  ‬‬

‫ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺍ ) ﺱ‪ ، ١‬ﺹ‪ ، ( ١‬ﺏ ) ﺱ‪ ، ٢‬ﺹ‪ ، ( ٢‬ﺝ ) ﺱ ‪ ،‬ﺹ (‬

‫ﻓﺈن ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺍﺏ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺝ ﺑﻨﺴﺒﺔ ﻡ‪ : ١‬ﻡ‬ ‫‪٢‬‬