Julio Elias Normey-Rico
Rodolfo César Costa Flesch
Daniel Martins Lima
Vinícius Berndsen Peccin
Controle preditivo baseado em modelo Tópicos avançados
3.2.5DMCMIMOparaplantasintegradoras
5Controlepreditivonãolinear167
5.1Controlepreditivonãolinear:umavisãogeral
5.2ControleNMPCdireto ................................
5.2.1CasADi–Generalidades
5.2.2MontandooNMPCemCasADi ......................
5.2.3NMPCdiretocomerrodepredição
5.3ControleAutoadaptativodePrediçãoEstendidaNãoLinear(NEPSAC)
5.3.1Modelodepredição .............................
5.3.2Decomposiçãodasequênciadecontrole
5.3.3Restrições ..................................
5.3.4Extensãoparaocasomultivariável
5.4ControlePreditivoNãoLinearPrático(PNMPC)
5.4.1Obtençãodarespostalivre
5.4.2Obtençãodarespostaforçada
5.4.3Implementaçãoalgorítmica ........................
5.4.4Extensãoparaocasomultivariável
5.5Estudodecaso–CSTR
6.1EntendendooefeitodoatrasonoMPC
6.2InterpretaçãodoGPCcomoumDTC
6.2.1AnálisedoGPCparasistemascomatraso
6.2.2AlgoritmoDTC-GPC
6.3.1DMCcomoumDTC:plantasestáveis
6.3.2DMCfiltrado:plantasestáveis
6.3.3DMCFiltradoMIMO:plantasestáveis
6.3.4GDMC:plantasintegradoraseinstáveis
6.4Casonãolinear
6.5Estudodecaso–Fracionadordeóleopesado
6.6Comentáriosfinais
6.7Exercíciospropostos
7.2.1Métododepontointeriorcombarreiralogarítmica
7.2.3Métodosdeoperadordepartição
Introdução
EstelivroéoVolume2daobraquetemcomoobjetivoprincipalapresentaraos estudantesdeengenhariaedeáreasafinsosfundamentosdocontrolepreditivobaseado emmodelo(MPC,doinglês ModelPredictiveControl),tambémdenominadocontrole preditivo.OMPCéumadasmetodologiasdecontrolemaisusadasnaindústriade processosevemganhandodiversascontribuiçõesteóricasanoapósano.
SeguindoamesmalinhadoVolume1,aquiaabordagemtambéméteórico-prática, apresentandoodesenvolvimentodateoriaclássicadoMPC,aspectosdeimplementação dosalgoritmosdecontroleeestudosdecaso,algunsdelesretiradosdoambienteindustrial,comodosetordeenergiasolaredaindústriadepetróleoegás.Nestevolume,são apresentadasasversõesmultivariáveis(MIMO,doinglês Multi-InputMulti-Output)dos controladoresDMC(doinglês DynamicMatrixControl)eGPC(doinglês Generalized PredictiveControl)estudadosnoVolume1,alémdeoutrasestratégiasdeMPClineare nãolinear.Ainda,analisamosaspectosrelacionadoscomocontroleMPCdeprocessos comatrasoeapresentamososprincipaisalgoritmosdeotimizaçãoutilizadosnocontextodeMPC.
DandocontinuidadeaoapresentadonoVolume1,aquiodesenvolvimentoteórico apresentadosegue,também,umaabordagemnodomíniodotempodiscreto,recorrendo aconceitoseferramentasbásicasdateoriadecontroledigitalclássico,comoequaçõesa diferençasetransformadaZ,eaferramentasdesistemasmultivariáveis,comodescrições emvariáveisdeestadoematrizdetransferência.Olivroéorientadoaestudantes quepossuemconhecimentosbásicosdeteoriadecontroleemtempocontínuoeem tempodiscreto.Alémdisso,paraobomacompanhamentodoconteúdodestevolume,é necessárioqueosleitoresconheçamateoriadecontroleMPCSISOeoscontroladores GPCeDMCnasuaversãomonovariável,sejapormeiodoestudodoconteúdodo Volume1destaobraoudeoutromaterialbibliográfico.Assim,esteVolume2émais orientadoadisciplinasdemestradoededoutorado,mastambémpodeserusadoem cursosdegraduação,nasfasesfinais.
Ospróximoscapítulosestãoorganizadosdaseguintemaneira:
• NoCapítulo2,revisamososprincipaisconceitosdeMPCparaocasomonovariável eanotaçãoempregada.AquelesquejátenhamlidooVolume1destaobranão encontrarãonovidadesnocapítulo,porémencorajamossualeituracasooleitor
Controlepreditivobaseadoemmodelo
tenhaadquiridoconhecimentosdeMPCdeoutrasfontes,comoformadeevitar confusãocomanotaçãoempregada,quepodeserdiferentedeoutroslivrossobre otema.
• NoCapítulo3,éapresentadaageneralizaçãodosalgoritmosDMCeGPCdocaso SISOparaocasoMIMO,masoestudoéiniciadodiscutindoaspectosparticulares dotratamentodesistemascommúltiplasentradasesaídas,quesãoválidospara todotipodesistemadecontroleMIMO.
• OCapítulo4édedicadoaoSSMPC(doinglês State-SpaceModelPredictiveControl),que,assimcomooDMCeoGPC,tambéméumaabordagemmuitousada, principalmentenoestudodeproblemasmaisteóricosdeMPC.OSSMPCéapresentadodiretamenteparaocasoMIMO,sendoossistemasSISOtratadoscomo umcasoparticular.Issosejustificapelasprópriascaraterísticasdarepresentação desistemasemvariáveisdeestado,que,deformaunificada,tratatantosistemas SISOquantoMIMO.
• NoCapítulo5,éapresentadoumpanoramageralsobreoMPCnãolinear(NMPC, doinglês NonlinearModelPredictiveControl)ecomoimplementaralgoritmosque sejampassíveisdeusonapráticaindustrial,naqualmuitosprocessosapresentam dinâmicasnãolineares.Ocapítulotrata,inicialmente,docasoSISOedepois generalizaosresultadosparaocasoMIMO.
• NoCapítulo6,éapresentadooproblemadecontrolepreditivodeprocessoscom atraso.AestruturadoMPCéanalisadadeformaaentendercomoacompensação doatrasodentrodaestruturadocontroladorérealizada.Assim,traçandoumparalelocomasestruturasdecompensadoresdetempomorto(DTC,doinglês DeadTimeCompensators),analisamosdiversosaspectosrelacionadoscomarobustez doMPCearejeiçãodeperturbações.Finalmente,estudamosumaformademodificaropreditorparaconseguircontroladorespreditivoslinearesenãolineares maisrobustosemaissimplesdeajustarquandocontrolamprocessoscomatraso.
• Porfim,noCapítulo7,sãotratadosaspectosrelacionadoscomosalgoritmosde otimizaçãoemetodologiasparapoderimplementaroMPCemsistemasrápidos, queprecisamdeperíodosdeamostragemmuitopequenos.
Parafinsderevisãodosconteúdosapresentados,nofinaldecadacapítulo,são propostosexercícioseatividadesdesimulação.Ainda,nosapêndices,sãoapresentados umaferramentadesimulaçãogratuitas,definiçõesimportantesdeotimizaçãoconvexa eumresumodosalgoritmosMPCdiscutidosnolivro.Oscódigosdosexemplossão disponibilizadospara download napáginawebdolivro.1
1https://danielml.paginas.ufsc.br/livro-mpc/
Comojácomentado,naapresentaçãodoconteúdodestelivroconsideramosqueo leitorconheceateoriadecontrolepreditivoSISO,mas,parafacilitaroentendimento, nestecapítulorevisamosasprincipaisideiasdoMPCSISOapresentadasnoVolume1, assimcomodefinimosalgunsaspectosdenotação,deformatalqueoleitorqueconhece oassuntopossaprosseguircomaanálisedospróximoscapítulossemnecessidadede recorrerconstantementeàquelevolume.Ainda,paramotivaroestudodospróximos capítulos,tambémapresentamosumexemplosimuladodousodocontroleGPCMIMO, quemostraopotencialdoMPC.
2.1MPCSISO–IDEIASBÁSICASENOTAÇÃO
NocasoSISO,consideramosumprocessocomsaídaouvariávelcontrolada ��,variável decontroleoumanipulada �� eperturbaçãomensurável ��.OMPCSISOestudadono Volume1utilizaummodelomatemáticolineareemtempodiscreto,queaproximao comportamentodoprocesso,deformatalquesepodeescrever �� (��) comofunçãode �� (��) e �� (��).Usandoessemodelo,oMPCcalculaasprediçõesdasaídadoprocessoemuma janeladetempofutura(denominadahorizontedepredição)e,usandoumotimizador, encontraasaçõesdecontrolefuturas(nohorizontedecontrole)queminimizamuma determinadafunçãocusto,considerandoasrestriçõesdeoperaçãodoprocesso(por exemplo,valoresmáximosemínimosdasvariáveisenvolvidas).
OMPCéumaestratégiadecontrolequeutilizarealimentação,dadoqueomodelo utilizaosvalorespassadosdasvariáveiscontroladasparacalcularaspredições,que, porsuavez,sãousadasparaencontraraaçãodecontrole.Dessaforma,aaçãode controledependedasaídamedida.Poroutrolado,oMPCpodetertambémumaação antecipativa,oudepré-alimentação,casoutilizeinformaçõesdasperturbaçõesmedidas outenhaconhecimentodasreferênciasfuturasqueavariávelcontroladadeveseguir.
Deformageral,oMPCcalculaaaçãodecontroleaseraplicadanoinstanteatual, ��,apartirdaprediçãodocomportamentodaplanta,baseadoemummodelodinâmico dela,emumhorizontefinito ��.Sãocomputados ���� sinaisdecontrolefuturospormeio daotimizaçãodeumafunçãocustoquerepresentaalgumcritériodecomportamentodo sistemaecondiçõesdeoperaçãodaplanta.Apenasaprimeiraaçãodecontroleéaplicada nosistemaeoMPCrecalculaumanovasequênciadecontroleacadanovoinstante
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deamostragem(horizontedeslizante),umavezquenovasinformaçõesdaplantasão adquiridas.
OMPCnãoéumaestratégiadecontroleespecífica,masumafilosofiadecontroleque contemplaumafamíliadeestratégiasoutécnicasdecontrolequetêmalgunselementos emcomum(CAMACHO;BORDONS,2004):
• modelodepredição;
• funçãocusto(oufunçãoobjetivo);
• procedimentoparaaobtençãodaleidecontrole,combaseemumalgoritmode otimização.
Oquediferenciacadatipodetécnicaébasicamentecomoasperturbaçõessão consideradas,omodeloutilizadonaprediçãoeafunçãocusto,comovistonoVolume1 paraoDMCeoGPC.Vamos,aqui,apenasrevisarasideiasprincipais.
ODMCSISOutilizaummodeloderespostaaodegraudoprocesso:
onde Δ�� éoincrementodecontrole,e ���� representacadaumdoscoeficientesdaresposta aodegrauquerelacionaavariávelmanipuladacomasaída.Omodeloutilizadopara asprediçõesconsideraosefeitosdeperturbaçõesnãomedidas, ˆ ��,comasuposiçãode queelassãoconstantesnohorizonte: ˆ ��(�� + �� | ��) = ˆ ��(�� | ��) paratodo �� .Assim,as prediçõespodemserescritas,paraumelemento �� nohorizonte,como:
onde ˆ �� �� + �� | �� éumaprediçãodasaídaemumtempofuturo �� + �� ,dadasasinformaçõesem ��,e ˆ ��(�� | ��) = �� (��)− ˆ ���� (�� | ��),sendo ˆ ���� aestimaçãodasaídadosistemasem correção,obtidaapartirde(2.1).
JáoGPCSISOutilizaummodelodefunçãodetransferênciapararepresentaras relaçõesentreasaídadoprocesso,avariávelmanipulada �� easperturbaçõesnão medidas ��:
com ��, �� e �� polinômiosnooperadoratraso �� 1 e �� oatrasodoprocesso.Asperturbaçõessãomodeladaspor:
com �� (��) umruídobrancodemédianula.Assim,paraumelemento �� nohorizonte,as prediçõessãocalculadasusando:
quepodeserescritacomo:
).Estemodeloéchamadode CARIMA(doinglês ControlledAutoregressiveIntegratedMovingAverage).
AfunçãocustoparaocasoSISO(apresentadanoVolume1eusadatantonoDMC quantonoGPC)édadapor:
onde �� (�� + �� ) éareferênciaem ��
) éoincrementodecontroleem �� + �� , ��( �� ) e ��( �� ) ponderamocomportamentofuturodoerroedoesforçodecontrole, respectivamente, ��1 e ��2 definemumajaneladehorizontedepredição,sendoque �� = ��2 ��1 + 1,e ���� éohorizontedecontrole.
Afunçãocustodescritaem (2.2) busca,porumlado,queasaídadoprocessosiga umadadareferênciae,poroutrolado,ajustaroesforçodecontrolenecessário.Note queocompromissoentreessesdoispontoséajustadoutilizando ��( �� ) e ��( �� ).Nessa funçãocusto, ��1 e ��2 sãousadosparadefiniremquejaneladetempodesejamos consideraroserrosdeseguimentodereferênciaem ��,e ���� definequantosincrementos decontrolefuturossãoconsideradosparaocálculodaaçãodecontroleacadainstante deamostragem.Altosvaloresde ���� permitemmaisflexibilidadeparadefinirossinais decontrole,masaumentamacomplexidadecomputacional.
Controlepreditivobaseadoemmodelo
Afunçãocustopodesercolocadadeformavetorial,definindoosvetoresdeincrementosdecontrolesfuturos Δu ∈ R���� ,dereferênciasfuturas r ∈ R�� ,edepredições futuras ˆ y ∈ R�� :
,
Q�� = diag(��(1),��(2),...,��(��)) e Q�� = diag(��(0),��(1),...,��(���� 1)),sendo diag(·) umafunçãoqueretornaumamatrizdiagonalcompostapeloselementospassadoscomo argumento.Seasponderaçõessãoconstantesnohorizonte, ��( �� ) = �� e ��( �� ) = ��,temos:
sendo I�� e I���� matrizesidentidadededimensão �� e ����,respectivamente.
Paraexpressar �� apenasemfunçãodasvariáveisdedecisão,quesãoosincrementos futurosdaaçãodecontrole,2 tantooDMCcomooGPCusamoconceitoderesposta livreerespostaforçada,quefoiapresentadonoVolume1equeéresumidonasequência.
ParaoDMC,usandoomodelodepredição,osvaloresdasprediçõesnosinstantes �� dajaneladeprediçãopodemserescritosemfunçãodosincrementosdecontrolefuturos epassados.Sesepararmosessasduaspartes,podemosescreverovetordeprediçõesda saídadoprocesso ˆ y como: ˆ y = GΔu +
sendo G amatrizdinâmica,ouderespostaaodegraudosistema,e f arespostalivre, queexpressaadependênciade ˆ y comoscontrolespassados.ComovistonoVolume1, arespostalivreéobtidamantendoosinaldecontrolefuturoconstante,ouseja,todos osincrementosfuturossãonulose,assim, Δu = 0���� e ˆ y = f ,sendo 0���� umvetornulo dedimensão ����.Jáseconsiderarmososistemacomumacondiçãodeequilíbrioinicial ��0 comoscontrolespassadosconstantes, f = ��01�� ,com 1�� umvetordedimensão �� cujoselementossãotodos 1,obtemos ˆ y = GΔu + ��01�� ,quemostraadependência
2Notequeconsideramosoincrementodecontroleatual, Δ�� (��),comoumvalorfuturo,poiselenãoestá disponívelparaocontroladortomarsuadecisãonoinstanteatual, ��.Poroutrolado,amediçãoatual dasaída, �� (��),éconsideradacomovalorpassado,poisocontroladorjáteminformaçãosobreelano instanteatual,vistoqueamediçãoéfeitaantesdocálculodasequênciadecontroleótima.
Naprática,écomumquesenecessitecontrolarsimultaneamentemaisdeuma variáveldeumdadoprocesso,utilizando,paraisso,maisdeumavariávelmanipulada. Secadavariávelmanipuladaapenasafetaumacontrolada,entãooprojetodocontrole podeserrealizadousandovárioscontroladoresmonovariáveisindependentes.Porém, asvariáveisdessesprocessosusualmenteestãoacopladas,ouseja,avariaçãodeuma variávelmanipuladapodecausarefeitosemmaisdeumacontrolada,simultaneamente. Nessecaso,ousodevárioscontroladoresindependentespodenãoseradequadoe, tipicamente,fazmaissentidoconsideraroprocessocomoumsistemamultivariável,que temmúltiplasvariáveismanipuladasemúltiplascontroladassendoconsideradascomo umconjunto,enãocomoauniãodeváriossistemasmonovariáveis.
Oscontroladoresmonovariáveis,comoosPIDs,quetêmmuitosucessonocontrole desistemasmonovariáveis(controlelocal),emgeral,têmdificuldadesparalidarcomessa interaçãodeformaadequada.Porisso,existemtécnicasparamelhorarodesempenho dosPIDsnocasomultivariável,comoousodedesacopladores,masacomplexidade doprojetodosistemadecontroleaumentaconsideravelmentequandoosistemaéde dimensãoelevada.Alémdisso,nemsempreépossíveldesacoplarcompletamentea respostadeumprocessomultivariávele,emmuitoscasos,desacopladoresintroduzem ganhoselevadosemaltasfrequências,queacabamlevandoaoutrosproblemasdo pontodevistaprático,comoaamplificaçãoderuídos.Nessescasos,técnicasavançadas, comoadecontrolepreditivo,permitem,emgeral,obtermelhoresresultadosqueos obtidoscomcontroladoresPID,dadoque,alémdeseremcapazesdetrataroproblema multivariáveldiretamente,podemincluirdiversosobjetivoserestriçõesnoproblema. CabeaquilembrarqueoMPCtevesuaorigemnocontroledeplantasmultivariáveisno setorindustrialpetroquímico(CUTLER;RAMAKER,1980;RICHALETetal.,1976).
Outroaspectoimportantequedeveserdestacadodossistemasmultivariáveisé que,dependendodascaracterísticasdoprocesso,nemsempreépossívelqueosistema alcanceumpontodeoperaçãoarbitrariamentedefinidopelousuário.Nossistemasde controlemonovariáveisestudadosnoVolume1,mostramosque,sobestabilidadeem malhafechadaecomumcontrolequepossuiaçãointegral,épossívellevarasaídado sistemaparaumareferênciadesejadaconstantecomerrozerocontantoqueaaçãode controlenecessáriaparaissoestejadentrodafaixadeatuaçãodoatuador.Nocasode sistemasmultivariáveis,paraqueessapropriedadesejaverdadeira,precisamosadicionar
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umacondiçãoextra:tergrausdeliberdadesuficientesnocontroleparachegarnas referênciasdesejadas.Porexemplo,seconsiderarmosumsistemalinearestáveldeduas saídaseumaentrada,quetemmodeloestáticodadopor:
nãoépossívelencontrarumvalorde �� capazdelevar ��1 aumareferência ��1 e ��2 auma referência ��2 simultaneamente,amenosque ��1/��2 = ����1/����2.Deformageral,paraum sistemamultivariávelestávelcommodeloestático:
y = K�� u,
umadadareferênciavetorial r somenteseráalcançávelseexisteumcontrole u talque r = K�� u.Assim,principalmentenocasodeplantascommenornúmerodevariáveis manipuladasquecontroladas,areferênciapassadaaocontroladortemqueserfactível quandosedesejaerrodeseguimentonulo.Umaoutraalternativaéqueoobjetivo decontrolesejabuscaropontodeequilíbriomaispróximodareferênciaescolhida. Vejaqueemalgunsproblemaspodeserrequerido,porexemplo,queumaoumais variáveisatinjamumareferênciaenquantooutrasapenassejammantidasemfaixas preestabelecidasdesegurança.
Considerandoadiscussãoapresentada,astécnicasdecontrolepreditivosãocapazes delidarmuitofacilmentecomsistemasmultivariáveis,pois:(i)osconceitosutilizadosna formulaçãodocontrolenãodependemdadimensãodoprocesso;(ii)podemutilizaromodelocompletodoprocessoexplicitamente,assim,asinteraçõesentreasvariáveisficam refletidasnaspredições;(iii)podemserusadascomasmaisdiversasfunçõesobjetivo,o quedámuitaflexibilidadeaocontroladorpara,inclusive,considerarproblemascomoo dechegaraumpontodeoperaçãopróximodeumareferêncianãofactível;e(iv)em termosdesintonia,ainfluênciadosparâmetrosdeajustedocontroladornarespostado sistemaésimilaràquelaobservadanocasomonovariável,apesardequeaquantidadede parâmetrosparaajustarcrescelinearmentecomaquantidadedeentradasedesaídas.
Nestecapítulo,serãoapresentadasasversõesmultivariáveisdosalgoritmosDMCe GPC.Comoasdiferençasentreessasformulaçõesparaumadadafunçãocustosãoas mesmasquenocasomonovariável,istoé,sãodadaspelaformacomosecalculaaresposta livredosistema,iniciamosaapresentaçãodestecapítulomostrandocomoobteraleide controlenocasomultivariávelparadepoisanalisarcadaumadasparticularidadesdos algoritmosnoqueserefereaocálculodasprediçõesedarespostalivre.Posteriormente, noCapítulo4,estudaremosaformulaçãodoMPCparamodelosdadosporequaçõesde estado,tratandooscasosmonovariávelemultivariávelnomesmocapítulo.
Antesdeiniciarcomaspectosmaisformais,vamosintroduzirumexemplodeum sistemamultivariávelsimples,parailustrararelaçãoentreasentradaseassaídasdo processoecomoasprediçõespodemsercalculadas.
Exemplo3.1
Considereumsistemadecontroledevazãoedetemperaturadeáguaem umatubulaçãodeumprocessoindustrial.Aáguacomtemperaturacontrolada éobtidapelamisturadeduasvazõesdeáguacomtemperaturasdiferentes,uma quenteeoutrafria.Duasbombassãousadas,umaparaalinhadeáguaquentee outraparaalinhadeáguafria,eamisturaérealizadaporumaconexãotipoY. Transdutoresdetemperaturaedevazãosãoadequadamenteinstaladosnaseção finaldatubulação,ondeaáguaseráusada.Nessesistema,pode-seatuarnosinalde controledasduasbombas.Logicamente,nesseprocesso,atemperaturaeavazão sãoduasvariáveisacopladasfisicamente,dadoqueumavariaçãoemqualquerum dosatuadorestraráumavariaçãodetemperaturaedevazãonaáguaentregueao próximoprocesso.Assim,esseprocessopodeserconsideradomultivariável.Um modelosimplificadodesseprocesso,funcionandonasvizinhançasdeumpontode operação,foiconstruídousandoequaçõesdiferenciais,obtendo:
considerando ���� e �� �� ,respectivamente,ossinaisdecontroledasbombasdeágua quenteefria,e �� (��) e �� (��),respectivamente,atemperaturaeavazãodaáguano pontodemedição.Ostemposnomodeloestãoemsegundos.
Ummodeloemtempodiscretodesseprocesso,obtidousandoumsustentador deordemzeroeumtempodeamostragemde 1s,édadopor:
Apartirdessemodelo,podemosinferirqueosvaloresfuturosdetemperaturae devazãoserãoafetadospelosvalorespassadosdessasvariáveisepelosvalores passadosefuturosdasvariáveismanipuladas.Ummodeloderespostalivree forçadapoderiaserobtidodeformasimplescomonoestudodoscontroladores preditivosmonovariáveisapresentadosnoVolume1ediscutidosnoCapítulo2 apenasusandooprincípiodesuperposição.Porexemplo,asrespostasforçadasde
Controlepreditivobaseadoemmodelo
�� e �� poderiamserobtidasparaavariávelmanipulada �� �� considerando ���� = 0 e depoispara ���� considerando �� �� = 0.Paracadasaída,osresultadospodem,então, sersomadoscomarespostalivredosistema,obtidacomtodososcontrolesfuturos nulos.Finalmente,podemosorganizarosresultadosobtidosdeformavetorial paraterumavisãodaformamultivariáveldecalcularasprediçõesdasaídadesse processo.
Vamossuporqueescolhemosumhorizontedeprediçãode3amostraspara �� , de2amostraspara �� eumhorizontedecontrolede2amostraspara ���� e �� �� .Assim, usandoosconceitosvistosnocasomonovariávelparaasprediçõesdetemperatura, ˆ �� ,podemoscalcular:
sendo ���� osvaloresdarespostalivredetemperatura.
Jáparaasprediçõesdevazão, ˆ �� :
�� (�� + 1 | ��)
sendo ���� osvaloresdarespostalivredevazão.
Podemos,agora,agruparasprediçõesemumvetor ˆ y,osincrementosdecontrole emumsegundovetor Δu easrespostaslivresemumterceirovetor f ,definidos como:
MPCemespaçodeestados
Arepresentaçãodesistemasporespaçodeestadosempregaummodelonodomínio dotempoquedescrevediretamenteasequaçõesdiferenciais(emtempocontínuo)ou asequaçõesadiferenças(emtempodiscreto)deumsistemausandoumaequação diferencial(ouadiferenças)vetorialdeprimeiraordem.Éummodelonaturalmente multivariávele,poressemotivo,nestelivro,apresentamosocasomonovariávelcomo umcasoparticulardomultivariável.Nestecapítulo,apenasconsideramosmodelos linearesdetempodiscreto,determinísticoseinvariantesnotempo.Assim,aequaçãoque modelaumprocessode �� entradasdecontrole, ���� perturbações, �� saídascontroladase ���� estados,naformadenominadaespaçodeestadosé:
onde x ∈ R���� representaovetordevariáveisdeestado, u ∈ R�� éovetordesinaisde controle, y ∈ R�� éovetordesaídas, A ∈ R���� ×���� éamatrizdeestados, B ∈ R���� ×�� éa matrizdeentrada, B�� ∈ R���� ×���� éamatrizdeperturbação, C ∈ R��×���� éamatrizde saídae C�� ∈ R��×���� éamatrizdesaídadaperturbação.Essemodelo,assimcomono casodoDMCedoGPC,consideraquenãohárespostainstantâneanosinaldecontrole. Destaforma,asaídadosistemaem �� somentedependedoscontrolesaté �� 1.Observe queseaperturbaçãotemefeitoinstantâneonasaída,amatrizmatriz C�� seránãonula. Vejaqueaestruturadomodelonoespaçodeestadosnãosofremodificaçõesindependentementedonúmerodesaídasouentradasconsideradas,oqueéumavantagem emrelaçãoaoutrostiposdemodelos.Apenasasdimensõesdosvetoresematrizesse alteram,sendoque �� = �� = 1 nocasomonovariável,eadimensãodovetordevariáveis deestado ���� égeralmentemenorquenocasomultivariável.Osmodelosemvariáveisde estadopodemserobtidosapartirdasequaçõesdiferenciaisquerepresentamfenomenologicamenteoprocessoouapartirdemodelosdematrizdetransferênciaouderesposta aodegrau.Ainda,casoosestadossejammedidos,omodelopodeserobtidousandométodosdeidentificaçãodeparâmetros.Estasituação,naqualosestadossãotodosassociadosavariáveisfísicasdoprocesso,nãoéamaiscomumnaprática.Defato,namaioria dasaplicações,omodeloéconstruídocommuitosestadosnãotendoqualquersentido físico.Nãoéobjetivodestelivroestudarcomdetalhesessetipodemodelo,masconsiderarasuautilizaçãonocontextodeMPC.Assim,nasequência,apresentamosdoisexem-
Controlepreditivobaseadoemmodelo
plosdecálculodomodeloemvariáveisdeestadodosistema.Noprimeirocaso,omodeloéobtidoapartirdasequaçõesdiferenciaisquerepresentamfenomenologicamente oprocesso.Nosegundo,eleéobtidoapartirdeummodelodefunçãodetransferência.
Exemplo4.1
Considereosistemadecontroledeníveldedoistanquesacoplados.Otanque1 recebeáguadeumabombaacionadapelosinaldecontrole ��1.Asaídadotanque1 fluilivrementeparaotanque2,oqualrecebeáguatambémdeumasegundabomba, comacionamento ��2.Finalmente,umaválvulaéusadaparacontrolarasaídade águadotanque2.Essaválvulaécontroladapeloprocessoajusantee,portanto, causaperturbaçõesnoníveldostanques.Considerandoqueavazãodasbombas1 e2éproporcionalaoseusinaldecontrole ��1 e ��2,equeocomportamentodonível naregiãodeoperaçãopodeserconsideradolinear,podemosescreverummodelo simples:
com ℎ1 e ℎ2 sendoosníveisdostanques, �� sendoaaberturadaválvuladesaída,e ���� sendocoeficientesquedependemdascaraterísticasdasbombas,doperíodode amostragemedaaceleraçãodagravidade.Essemodelopodeserescritodeforma compactaconsiderandoosníveis ℎ1 e ℎ2 comoestadosdosistema,ossinaisde acionamento ��1 e ��2 comoentradasdecontroleeaabertura �� comoperturbação. Omodeloresultantenestecasoé:
comavariáveldeestadodefinidacomo
Nesteexemplo,comoassaídassãoosprópriosestados,amatriz C éaidentidade.
Exemplo4.2
Considereumaturbinaavapordaindústriaqueteveseumodelodeterminado comexperimentosdeidentificação,obtendo,assim,umafunçãodetransferência relacionandoasvariaçõesdaaberturadaválvuladevapor �� (��) easvariaçõesde velocidade �� (��) nasvizinhançasdeumpontodeoperaçãodadopor:
mostrandoumcomportamentoderespostainversaaodegrau.Aequaçãoadiferençasdestesistemapodeserescritacomo:
e,nestecaso,trata-sedeumsistemamonovariável.Umapossívelrepresentação desteprocessoemvariáveisdeestadoé:
Nestesistema,omodeloemespaçodeestadoséobtidoutilizandoaformaconhecida comocanônicadecontrolabilidade,ummétodoparaseobterarepresentaçãoem espaçodeestadosapartirdafunçãodetransferência.Noentanto,osestados perdemsentidofísicoe,porconsequência,nãosãomensuráveis.Valeressaltar quenãoexisteumaúnicarepresentaçãodeestadosparaumadadafunçãode transferência.Épossívelmostrarqueháumainfinidadedemodelosemespaçode estadosdiferentesqueresultamnamesmafunçãodetransferência(LATHI,2006; FRANKLIN;POWELL;EMAMI-NAEINI,2013).
AformulaçãodoMPCcommodeloporespaçodeestadosrequerqueosestadossejam medidosou,nomínimo,estimados.Comocomentado,naprática,raramenteépossível medirtodososestadosdosistemadevidoaoaltocustoassociadoaossensores,oudevido
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àimpossibilidadepráticadesemedirdiretamentecertasvariáveis.Porexemplo,em colunasdedestilação,asconcentraçõesdosdiferentesprodutosextraídosdacoluna tipicamentesãoasvariáveisdeestadodosistema,mas,naprática,devidoaoaltocusto dosequipamentos,osestadosnãosãomedidos.Emumsistemadeaquecimentodeágua comenergiasolar,atemperaturadatubulaçãometálicaedaáguasãovariáveisdeestado dosistema,mas,normalmente,oequipamentonãotemtransdutordetemperaturana paredemetálica,apenasparaatemperaturadaágua.
Parasolucionaresseproblemadafaltadeinformaçãosobrealgunsoutodosos estados,écomumousodeobservadoresdeestados,estruturasqueestimamosestados dosistemadetalformaquesejapossívelaimplementaçãodesistemasdemonitoramento econtrole.Noentanto,essesobservadoresadicionamdinâmicasnarealimentação,de formasimilaràadiçãodeumfiltronasaída,dificultandoasintoniadocontroladore afetandosuarobustezecapacidadederejeitarperturbações.
Aliteraturadeobservadoresdeestadosébastanteextensaenãoserátratadaneste livro.Sugerimosaconsultade(HENDRICKS;JANNERUP;SØRENSEN,2008;CHEN, 2013)paramaisdetalhes.Nosdesenvolvimentosdestelivro,assumiremosqueasmediçõesdosestadosestãodisponíveisdealgumamaneira,sejapormediçãodiretaoupor meiodoempregodeobservadores.
AformulaçãodoMPCemespaçodeestados(SSMPC,doinglês State-SpaceMPC)é apresentadanaSeção4.1,seguidapelaadaptaçãodomodeloparaincluiraçãoantecipativa,detalhadanaSeção4.2.Ocapítuloseguecomaapresentaçãodaformadeseobter aleidecontrole(Seção4.3),exemplosdeusodaformulaçãoSSMPC(Seção4.4),forma deobtençãodocontroladorequivalente(Seção4.5)eumestudodecaso,queconsidera umCSTR(Seção4.6).Comofeitonosdemaiscapítulos,estecapítuloseencerracom comentáriosfinaiseexercíciospropostos.
4.1FORMULAÇÃODOSSMPC
NaliteraturadeMPC,SSMPCfazreferênciaatodososalgoritmosdeMPCqueutilizamummodeloemespaçodeestados,nãoindicandoprecisamenteumalgoritmo específico.Porexemplo,diferentesSSMPCpodemusartiposdefunçãocustooude modelosdeperturbaçõesdistintos.Assim,oalgoritmodecontrolee,porconsequência,ascaracterísticasdosistemaemmalhafechadasãodiferentes.Dessaforma,aoleitorésugeridosempreanalisarcomcuidadooalgoritmoSSMPCsendoestudadonas diferentesfontesdaliteratura.Nestecapítulo,utilizaremosomesmotipodefunção custodoDMCeGPC.
AssimcomonocasodoGPC,podemosalteraromodeloemespaçodeestados (4.1) paraconsideraroefeitodeperturbaçõesnãomedidas.Inicialmente,nãoconsideramos
Controlepreditivonãolinear
ComomostramosnoCapítulo1,afilosofiadoscontroladoresMPCpodeseraplicada aqualquertipodeprocessosemprequeomodelousadonocontroladorrepresenteadequadamenteasrelaçõesentreasprincipaisvaráveisdosistema:manipuladas,controladaseperturbações.Sabemosqueamaioriadossistemasreaistêmdinâmicanãolinear, logoénaturalpensaremutilizarumaestratégiadeMPCcommodelosdeprediçãonão lineares.Porém,comoécomumosprocessosoperaremnumapequenafaixaaoredor deumpontodeoperação,asdinâmicastipicamentepodemseraproximadasdemodo satisfatóriousandomodeloslineares,oquemotivaodesenvolvimentodetécnicasMPC queutilizammodeloslineares,comoaquelasvistasnoscapítulosanteriores.Doponto devistaprático,seummodelolinearforsuficienteparaobterumbomdesempenhodo controlador,nãoparecejustificávelcomplicaroprojetousandomodelosmaiscomplexos.Porém,quandoosprocessostêmdinâmicamuitonãolinearouquandooprocesso trabalhaemváriasfaixasdeoperação,oempregodemodelosnãolinearesnoprojetodo controletendeamanterodesempenhodesejadoparaosistemaemmalhafechada.
Dopontodevistaconceitual,ocontrolepreditivonãolinear(NMPC,doinglês NonlinearMPC)nãoapresentadificuldades.ONMPCtipicamenteconsideraamesma funçãocustoquenocasolinear,ummodelonãolinearparaocálculodaspredições, eoobjetivoconsiste,novamente,emencontrarocontrolequeminimizeafunção custonumalgoritmodehorizontedeslizante.Jádopontodevistaprático,sãováriasasdificuldadesencontradasnesteproblema:(a)adeterminaçãodeummodelo nãolineardeumprocessoapartirdedadospormétodosdeidentificaçãoémais complexa;(b)aobtençãodosinaldecontrolerequer,emgeral,asoluçãodeumproblemaotimizaçãonãoconvexo;(c)todaaanáliseteóricadosistemaemmalhafechada,comoestudosdeestabilidadeerobustez,tornam-semaisdifíceisdeseremfeitos; (d)asimulaçãointernausadapeloMPCnaprópriaimplementaçãodocontroladorparao cálculodasprediçõestorna-semaiscomplexa.Poressesmotivos,oNMPCéumcampo abertoparapesquisastantonaáreadedeterminaçãodemodeloscomonosprocedimentosealgoritmosdeotimizaçãoparaocálculodocontrole.
Nestecapítulo,estudaremosalgumasdastécnicasdisponíveisnaliteraturapara asoluçãodoproblemaNMPC,focandoaquelasquepodemsermaissimplesdeusar naprática,tantocomoobjetivodeusonoambienteacadêmicoquantonoindustrial. Ocapítuloéiniciadocomaapresentaçãodeumavisãogeraldoconjuntodetécnicas
Controlepreditivobaseadoemmodelo
existentesnaliteratura,naSeção5.1.Nasequência,naSeção5.2,apresentamosa formulaçãodeumNMPCpropriamentedito,queresultananecessidadederesolver umproblemadeotimizaçãonãolineargeral.Duasalternativasquefazemusode aproximaçõesparapoderresolverumproblemadeprogramaçãoquadráticoconvexo aoinvésdeumproblemanãolinearsãoapresentadasnasSeções5.3e5.4.Ocapítuloé finalizadocomumestudodecasoempregandoumCSTR,comentáriosfinaiseexercícios propostos.
5.1CONTROLEPREDITIVONÃOLINEAR:UMAVISÃOGERAL
ExisteumagrandequantidadedetécnicasMPCquediretaouindiretamentetratam sistemasnãolineares.Umapossívelclassificaçãodessastécnicasasdivideemtrêsgrupos:
(a) asqueutilizamdiretamenteummodelonãolineargenéricoeumalgoritmode otimizaçãonãolineardepropósitogeralparacalcularaaçãodecontrole;
(b) asqueutilizammodelosnãolinearesparticularesemétodosdeotimizaçãoespecíficosparaomodeloescolhido;
(c) asqueutilizammodeloslinearespararepresentarpartedo(outodoo)comportamentodoprocessoe,portanto,resolvemumouváriosproblemasdecontrole preditivocommodeloslinearesparacalcularaaçãodecontrole.
Evidentemente,asvantagensdeumaoudeoutraalternativaestãodiretamenterelacionadasaocompromissodesempenho-custocomputacional.
Édesesuporquetécnicasqueutilizemmodelosmaiscomplexosapresentemmelhordesempenhoemtermosderespostadosistemaemmalhafechada,porémelas tendemarequerermaiorcustocomputacional.Alémdisso,cabedestacarquepodeser necessárioaumentaroperíododeamostragemparaqueumaabordagemmaiscomplexa possaconvergirantesdapróximaamostra,oquepodeprejudicarodesempenhodessa estratégiadecontroleefazercomqueabordagensmaissimplesacabemapresentando respostasemmalhafechadamelhoresdoqueasapresentadasportécnicasmaiscomplexas.Porfim,merecedestaqueofatodequeaformulaçãodiretacommodelosnão linearespodelevaraproblemasdeotimizaçãoquenãoconvergemouqueconvergema mínimoslocais.Nestaseção,asvantagensedesvantagensdealgumasdessastécnicas sãodiscutidas,comumavisãoprática,parafornecersubsídiosaoestudanteouprojetistanahoradeescolherumaououtrametodologia.
Umaabordagemnaturaléautilizaçãodasprediçõesnafunçãocustoempregandoo modelonãolineardoprocesso,quechamaremosdeNMPCdireto.Nestecaso,aminimizaçãodafunçãocustoérealizadacomprogramasdeotimizaçãoespecializadosna
soluçãodefunçõesnãolineares,comoprogramaçãonãolinearouprogramaçãoquadráticasequencial,porexemplo.Comparandocomoproblemadeotimizaçãoquadrática (QP)jáapresentado,aquisãopreservadasascaracterísticasdehorizontedeslizanteea repetiçãodaotimizaçãoacadaperíododeamostragem,masaformulaçãonãolinear apresentaasvantagensdepoderconsiderarrestriçõesefunçõescustonãolinearesno problema.Dopontodevistaprático,aprincipalvantagemdessemétodoresidenouso deummodelonãolinearquepermite,emgeral,obterprediçõesmuitopróximasdas saídasreaisdaplanta,oquetipicamentepermitemelhorarodesempenhodosistema emmalhafechada.Comodesvantagenspodemoscitar:
(i) oelevadotempodecômputoquandocomparadoaoMPClinear,geralmentedevido aograndenúmerodeiteraçõesusadasnosmétodosdeotimizaçãonãolinear;
(ii) maiorincertezanotempoqueoalgoritmolevaparaentregarumasoluçãodo problemaemcadaamostragem,quandocomparadoaumproblemaQP;
(iii) osproblemasdeconvergênciadosalgoritmos,quepodem,porexemplo,chegara soluçõesquesejammínimoslocais.
TodosessesfatoresfazemcomqueautilizaçãodoNMPCdiretosejaaindapouco difundidanasaplicaçõespráticasdecontroleparaaplicaçãoon-line,emespecialaquelas comrequisitosdetemporeal.
Umaformadeobterumasoluçãomaissimplesqueacorrespondenteaomodelo nãolineargenéricoconsisteemutilizarclassesdemodelosnãolinearesparticulares, porexemplo,sériesdeVolterraoumodelosdeHammerstein.Essasalternativassão interessantesnapráticaquandooprocessoqueestásendoestudadoenquadra-sebemna aproximaçãoselecionada.Ocompromissoentrecomplexidadedecálculoedesempenho é,novamente,ofatordeterminanteparaaescolha.Nessescasosparticularesdemodelo, aotimizaçãopodesermaissimplesquenocasogeral.Dopontodevistaprático,é importantenotarqueousodeummodelomaiscomplexosomentetrarábenefícioquando oerrodemodelagem,devidoaoutrascausasquenãoestãodiretamenteassociadasànão linearidade,forpequeno,ouseja,eleconsiga,defato,representarmelhoradinâmicado processoreal.Casocontrário,adessintoniadocontroladornecessáriaparamantera robustezpodeeliminaravantagemdousodeummodelomaiscomplexo.Porexemplo, seumprocessotemdinâmicanãolineareumatrasodetransportedominanteeincerto, oajustedeumcontrolerobustodeveráconsiderar,principalmente,oefeitodaincerteza noatrasonocomportamentodemalhafechada.Assim,ofatodeconsiderarummodelo nãolinearcomatrasoprovavelmentetrarápoucavantagemparaocomportamentode malhafechadaemrelaçãoaousodeummodeloaproximadolinearcomatraso.
Umaterceiraabordagemconsisteemutilizarumaversãolinearizadadomodelopara asíntesedocontrolador.Asformulaçõesdestaclasseutilizamdiferentestécnicas,como
Controlepreditivobaseadoemmodelo
procedimentosdelinearizaçãoemváriospontosdeoperaçãoeumatécnicadeescolhado modeloaserusado(oudeponderaçãoentremodelos),oulinearizaçõessobreatrajetória, porexemplo.Nastécnicasdeponderaçãodemúltiplosmodeloslineares,calculam-se váriosmodeloslinearesemdiferentespontosdeequilíbriodosistemaeemprega-se umaestratégiaquedecidequemodelodeveserusadoemcadaamostra.Essaestratégia usaalgumcritério,quepodeser,porexemplo,adistânciadopontoatualdeoperação emrelaçãoaosdiferentespontosusadosnalinearização.Essemesmocritériopode serusadotambémparaobterummodelocalculadocomoumacombinaçãolineardos modeloslinearesencontradosnosdiferentespontosdeoperação.Ocustocomputacional eodesempenhodessesmétodosestãodiretamenterelacionadosaonúmerodemodelos necessárioseaosprocedimentosdeponderação,que,emgeral,nãosãosimplesde generalizar.Nastécnicasdelinearizaçãosobretrajetória,muitousadas,porexemplo, emrobóticaouemveículosautônomos,calcula-seummodelolinearizadogenérico deformaqueosparâmetrosdomodelolinearsãoescritoscomofunçõesdopontode operaçãodosistema.Porexemplo,emumveículo,elessãoescritoscomofunçãoda posição,davelocidadeedaorientaçãodomesmo.Comessemodelolinearaparâmetros variáveis(LPV,doinglês LinearParameterVarying),aplica-sequalqueralgoritmode MPClinearque,nestecaso,teráumamatrizdinâmicavariávelnotempo,deacordo comopontosobreatrajetória.Observeque,aousarosmodelosLPV,omaiscomum éfixarosparâmetrosquandocalculamosaspredições,dadoquenãoconhecemosa trajetóriafuturaparapodercalcularexatamenteosparâmetrosdomodelolinearao longodohorizonte.Hádiferentesabordagenspararesolveresteproblema.Umadelasé calcularumaaproximaçãodessatrajetóriacomdadosatuais,porexemplo,usandouma aproximaçãoporTaylordoparâmetro.Mastambémépossívelutilizarumalgoritmo iterativoparacalcularmelhoraspredições,juntocomavariaçãodosparâmetros,mas issoadicionaaindamaiscomplexidadecomputacional.
Umaoutraformadeusarmodeloslinearesemumprocessonãolinearéutilizar linearizaçõesdomodelonãolinearacadainstantedeamostragem,oqueajustamelhor arespostadomodeloaocomportamentonãolineardosistema,diminuindooerrode aproximaçãoaocustodeumaumentodacargacomputacional.Nestecaso,tambémse resolve,deformaaproximada,oproblemadeotimizaçãonãolinear,usandoumproblema dotipoQP.Umadessastécnicas,denominadaNEPSAC(NonlinearExtendedPredictive Self-AdaptiveController)(DEKEYSER;LAZAR,2003),usaummodelolinearparao cálculodarespostadomodelo,separandoemduaspartesessaresposta,denominadas respostasbaseeótima.Noalgoritmo,ambasasrespostassãorecalculadasusandoum procedimentoiterativo,buscandoqueasoluçãoachadasejamuitopróximadanãolinear. Assim,oproblemadeotimizaçãonãolinearpodesertransformadonumasequênciade problemasdeotimizaçãoquadrática.Essametodologiafuncionabememmuitoscasos
MPCparasistemascomatraso
Nestecapítulo,estudaremosemmaisdetalhesasparticularidadesdaaplicaçãodo MPCparasistemascomatraso.Mostraremoscomo,nocasosemrestrições,oMPC podeseranalisadocomoumcompensadordetempomorto(DTC,doinglês DeadTimeCompensator)comcontroleprimáriodedoisgrausdeliberdade(controlepor realimentaçãocomfiltrodereferência).Issopermitequeutilizemosaspropriedadesdos DTCsparaanalisaraspropriedadesdoMPCparaessetipodeprocesso,principalmente aquelasrelativasàrobustezeàrejeiçãodeperturbações.Apresentaremos,inicialmente, esseestudoparaoDMCeGPCpara,posteriormente,discutirocasonãolinear,com basenoNEPSACenoPNMPC.
6.1ENTENDENDOOEFEITODOATRASONOMPC
Comojáfoicomentadonestaobra,oMPCpodetratardesistemascomatrasode formanatural,dadoqueomodelousadoparaasprediçõespodeincluiratraso.Deforma geral,aformulaçãoeoajustedoMPCsãorealizadoscomonocasodesistemassem atraso,considerandoqueohorizontedeprediçãoinicialdeumacertavariávelcontrolada �� é ��1 = �� + 1,sendo �� oatrasodomodeloquerelacionaavariávelmanipuladacom �� OMPCfaz,implicitamente,umacompensaçãodoatraso,dadoqueocontroladortem informaçãodoefeitodoatrasonasprediçõesusadasnafunçãocusto.Vamosilustrar essapropriedadecomumexemplocomparativoSISOentreumDMC,umGPCeuma estruturaclássicadecontroleDTCbaseadanopreditordeSmith(PS).Entretanto,antes revisaremososconceitosprincipaisdaestratégiaDTC.
OPSéumaestruturadecompensaçãodeatrasopropostaem1957porOttoSmith (SMITH,1957)equefoiprecursoranodesenvolvimentodosDTCs.Nasuaversãoem tempodiscreto,oPSéusadoparacontrolarprocessosrepresentadosporumafunção detransferênciadotipo ��(��) = �� (��)�� �� ,com �� (��) livredeatraso.Comopodeser observadonaFigura6.1,oPSpossuiduaspartes:(i)umpreditor,compostoporum modelonominaldoprocessosemoatraso �� �� (��) eummodelonominaldoatraso �� ���� ; e(ii)umcontroladorprimário �� (��),queatuasobreoerroentreosinaldereferênciaea saídapredita �� �� .Opreditorcalculaaprediçãodasaídadoprocessosematrasoutilizando �� �� (��) eaprediçãodasaídadoprocessocomatrasoutilizando �� �� (��)�� ���� .Quando temosummodeloperfeito(�� (��)�� �� = �� �� (��)�� ���� )enãoháperturbaçõesexternas, �� ��
Controlepreditivobaseadoemmodelo
Preditor
Figura6.1 DiagramadeblocosdopreditordeSmith(PS).
éumaantecipaçãodarespostadosistemaem �� + ��,ouseja, �� �� (��) = �� (�� + ��) e,então, ocontroleprimáriopodeserajustadoconsiderandoumadinâmicadoprocessosem atraso,jáqueaaçãodecontroleédadapor:
emque �� (��), ��(��) e ���� (��) são,respectivamente,astransformadasZdossinais �� (��), �� (��) e �� �� (��).
Noentanto,comosempreexistirãoperturbaçõesediferençasentreomodelonominal eaplanta,énecessáriocorrigirasprediçõesparalevaremcontaosefeitosdessas diferenças.Assim,ovalorpredito �� �� enviadoaocontroladorprimárioécorrigidocom oerroentreovalordasaídarealdoprocessoeasaídadomodelocomatraso,oque permiteaocontroladorterinformaçãosobreasaídarealdoprocesso.Matematicamente, issoadicionaosdoisúltimostermosàdireitadaequação:
Noteque,seomodeloéperfeitoenãoháperturbação, �� (
eosdois termosdadireitaseanulam.
Dessaforma,utilizandooPS,oajustedocontroleésimplificadoeseobtémumafunçãodetransferênciaemmalhafechadanominalcujospolosnãodependemdoatraso.As
relaçõesentreasaída �� (��) eareferência ��(��),eentreasaídaeaperturbação �� (��) emmalhafechada,considerandoummodeloperfeitonopreditor (��(��) = ���� (��) = �� �� (��)�� ���� ),sãodadaspor:
Assim,idealmente,oatrasonãoafetaadinâmicadarespostadeseguimentode referênciadepoisde �� + �� e,teoricamente,ocontroleprimáriopodeserajustadodemodo independentedovalorde ��.Ainda,teoricamente,seconseguirmospolosmuitorápidos dafunçãodetransferência
(comcontroladordeganhoalto),deformaque
entãotemosque �� (��)≈ �� (�� ��),queéarespostaidealdeumsistemacomatrasoem malhafechada,jáqueasaídanãopoderesponderaumestímuloantesdoefeitooatraso terpassado.
Paraaperturbação,temospropriedadesumpoucodiferentes.Ospolosdomodelo emmalhaabertadoprocessoaparecemem �� ( �� ) �� ( �� ) ,oqueresultanasseguinteslimitações: (i)oPSsomentepodeserusadocomplantasestáveis;e(ii)arespostaemmalhafechada paraaperturbaçãosempreserámaislentaqueemmalhaaberta.Notequeafunçãode transferênciaécompostapelostermos �� (��)�� �� e
e,portanto,otempo derespostaserásempremaiordoquecadaumdostermosindividualmente.Ainda,para aspertubaçõesnaentradadoprocesso,comoéocasoaquianalisado,sempreteremos dois“atrasos”entreomomentodaentradadaperturbaçãoeoefeitodaaçãodecontrole nasaídadoprocesso.Observequemesmocomumcontroladordeganhoinfinito,como qualobteríamos
,asaídaparaumaperturbaçãoseriadadapor:
oqueimplicaquedurante �� amostrasnãoháresposta,durantemais �� amostrasasaída reageemmalhaabertaàperturbação ��,esomentedepoisdessesdoisintervalosa perturbaçãocomeçaaserrejeitada,poisosegundotermocomeçaacancelaroefeito doprimeirotermoe,emregimepermanente,osdoisseanulam.Essecomportamento ébastantelógico,poisaperturbaçãoestásendoconsideradanaentradadoprocesso, entãoelademora �� instantesdetempoatécomeçaraaparecernasaída.Pormaisqueo controladortenhaumaaçãodecontrolerápida,umaaçãodecontroleaplicadaem �� + ��
Controlepreditivobaseadoemmodelo
sóteráefeitonasaídaem (�� + ��)+(�� + 1).Alémdisso,omodelodemalhaabertaaparece diretamentenarespostaderejeiçãodeperturbação,entãomesmoumcontroladorcom respostainstantâneaparareferêncianãotemcomoapresentarumarespostaderejeição deperturbaçãomaisrápidaqueadinâmicademalhaabertadoprocesso.
Nocasoreal,comcontrolenãoinfinito,otransitóriodarejeiçãodeperturbaçãodependedoajustedocontroleutilizado,sejaestequalfor.Assim,observequeocomportamentodocontroleemmalhafechadadeumprocessocomatrasoeperturbaçãona entradasomentepodeseranalisadodepoisdeumtempodedoisatrasosapartirdaaplicaçãodaperturbação.Qualquercontroladorseminformaçãoexplícitasobreaexistência daperturbação,pormelhorqueeleseja,nãoserácapazdealterarocomportamentoda saídadoprocessoantesdepassadoumtempoigualaduasvezesoatrasocasoaperturbaçãoatuenaentradadosistema.Vamosilustraressaspropriedadescomumexemplo.
Exemplo6.1
Considereocontroledetemperaturadeumtrocadordecalorágua-vapor.Nesse sistema,manipula-seavazãodevapor �� econtrola-seatemperaturadaáguana saída �� .Aprincipalperturbaçãoéatemperaturadaentradadaáguanotrocador ���� .Omodelodoprocessofoideterminadoexperimentalmentenasvizinhançasde umpontodeoperaçãocomo:
095
,905
comperíododeamostragem ���� =0,15min.Assim,asvariáveisrepresentamvalores incrementaiscomrelaçãoaopontodeoperação.Observeque,nesteexemplo,o ganhoestáticodatemperaturadesaídaparaosinaldecontroleeparaatemperatura deentrada(perturbação)sãounitários(nasunidadescorrespondentes).
Nesteexemplo,consideramosduassituaçõesdiferentesdeoperaçãodependendo dalocalizaçãodosensordetemperatura,oqueresultaematrasosdiferentes.No primeirocaso,temos �� = 10,quecorrespondeaumatrasoigualàconstantede tempodosistema.Nosegundocaso,temos �� = 50,querepresentaumatrasomais dominante.OPSéajustadocomumcontroladorprimáriodotipoPI,dadopor:
,
���� =1,5min e ���� = 5,discretizadocom
=0,15min pelométododeTustin. Esseajustebuscaumarespostaàreferência5vezesmaisrápidaquearespostado sistemaemmalhaaberta.Oatrasodomodelodopreditoréconsiderado,neste exemplo,igualaodoprocesso,ouseja,nãoháerrodemodelagem.
AlgoritmosMPCedeotimização
ComovimosnoscapítulosanterioresemaisespecificamentenaSeção3.1,seo MPCforimplementadoparaocasocomrestrições,aobtençãodosinaldecontrole sedápormeiodocálculodeumproblemadeotimizaçãoqueprecisaserresolvido numericamente.Deformageral,paraasformulaçõeslineares,comooDMCeoGPC, oproblemadeotimizaçãoseapresentacomoumproblemademinimização,noqual desejamosobterovalordovetor Δu queminimizaafunçãocustoeestásujeitoa restrições.Matematicamente,oproblemaéapresentadocomo:
.Essetipodeproblemaéconhecidonaáreadeotimização comoumproblemadeprogramaçãoquadrática(QP,doinglês QuadraticProgramming problem),porterumafunçãocustoquadráticaerestriçõeslineares.Osdetalhese asdiscussõesparaaobtençãodasmatrizesevetoresquecompõemoproblemade otimizaçãoparacadatipodeformulaçãoMPCsãoapresentadosnasSeções3.2e3.3para oDMCeoGPC,respectivamente.Aformaderepresentaçãodasrestriçõesébastante genéricaetambémfoidiscutidapreviamente.Dessaforma,adescriçãodostermosé omitidaaqui.
Apartirdoproblema (7.1),verificamosqueénecessáriaaimplementaçãodeumalgoritmodeotimizaçãojuntoaocontrolador.Muitasvezes,osengenheirosdecontrole utilizamootimizadorcomoumacaixapreta,ouseja,apenasutilizamaferramentasem entraremdetalhesdoquesepassainternamente.Hámuitasbibliotecasdeotimização quadráticaemdiferenteslinguagensquepodemserutilizadassemconhecimentoaprofundadosobresuaestruturainterna.Algunsexemplossão:QPOases(C++) 15,quadprog (MATLAB)16,qpsolvers(Python)17 eOSQP(váriaslinguagens)18
Entretanto,orecursocomputacionalpararesolveroproblemadeotimizaçãoemum períododeamostragempequeno,jáqueénecessárioobteraaçãodecontroleacada 15<https://github.com/coin-or/qpOASES> 16<https://www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html> 17<https://pypi.org/project/qpsolvers/> 18<https://osqp.org/>
Controlepreditivobaseadoemmodelo
iteração,éumpontoquerequeratençãoparaaimplementaçãodoMPC.Portanto,a escolhadootimizadordoMPCéumatarefacríticaparaseobterumalgoritmoeficiente. ApesardeoMPCserummétododecontroleavançadorelevantenaindústria,emgeral, émaisutilizadoemprocessosdedinâmicalentacomgrandesperíodosdeamostragem erecursoscomputacionaismaiores.Issopodeserexplicado,emparte,pelotempo decômputodoproblemadeotimizaçãodeprogramaçãoquadrática.Essaquestão motivoupesquisasparaencontraralternativasquepermitamaaceleraçãodotempo decomputaçãodosalgoritmosdeMPCesuasimplementações.Recentemente,como avançonadisponibilidadedesistemacomputacionaisdealtodesempenho,aaplicaçãode algoritmosdeMPCemprocessoscomdinâmicasrápidasestásetornandoumarealidade.
Ademandaporalgoritmoseficientesdecontroleéaumentadapelanecessidadede controladoresavançadosnosníveismaisbaixosdapirâmidedeprodução,que,consequentemente,devemoperarcomperíodosdeamostragemmaisrápidos,porexemplo, daordemdemilissegundos.
Paraqueumalgoritmodecontrolesejaconsideradoeficienteparaumaimplementaçãoembarcada,podemosdestacaralgumascaracterísticasimportantes:
1. sercapazdecomputarasaçõesdecontroleemumperíododeamostragempreviamentedefinido,comumpiorcasodetempodeexecução(WCET,doinglês Worst CaseExecutionTime)previsível,demodoaatenderrequisitosdetemporeal;
2. necessitardepoucamemóriaparaguardarosdadosquedefinemoproblemade otimizaçãoeocódigoqueimplementaasolução;
3. resultaremumcódigodecontrolequesejasimplesosuficienteparaserverificado,validadoecertificado,alémdeserfácildeentenderedesinalizarclaramente emcasodefalhas,especialmenteemaplicaçõescríticas.
VáriasdasbibliotecasdeotimizaçãoparaoQPsãodepropósitogeralenãosãofocadasemterumdesempenhocomputacionalbaixoosuficienteparaaimplementaçãoem sistemasembarcadosecomtempodecálculoreduzido.Paraimplementaçõesembarcadasparaaplicaçãoemsistemascomdinâmicasrápidas,tipicamentenãosãoempregadas bibliotecasgenéricas,dadoqueelasnãoatendemaospontoselencadosanteriormente.
UmaabordageméreformularoQPcomoumproblemadeprogramaçãoparamétrica eposteriormentecalcularumasoluçãooff-linebaseadaemregiões.Essaabordagemé chamadadeMPCexplícito(PISTIKOPOULOSetal.,2015).Entretanto,nessaabordagem onúmeroderegiõescrescemuitorapidamentecomonúmerodeestadosdosistemae, consequentemente,amemórianecessáriaparaoarmazenamentodosdadostambém cresce.Em(BORRELLIetal.,2010)eem(KVASNICAetal.,2015),soluçõesdeSSMPC
explícitosemregiõessãoapresentadas,comoalternativasparamitigaressaquestão. Nessesmétodos,ageraçãoderegiõescríticaséevitadaesubstituídapelaenumeração deconjuntosativosótimos,oquereduzamemóriarequeridaparaarmazenamento. Entretanto,seuusoaindaélimitadoaproblemascompoucasrestrições,umavezqueo númerodepossíveiscombinaçõesdasrestriçõesativasaumentaexponencialmentecom onúmeroderestrições(AHMADI-MOSHKENANI;JOHANSEN;OLARU,2018).
Entreassoluçõesdecomputaçãoon-line,ométododeconjuntoativo(CIMINI; BEMPORAD,2017;HERCEG;JONES;MORARI,2015),ométododebarreiralogarítmica (ROLDAO-LOPESetal.,2009;WILLS;MILLS;NINNESS,2011)eosmétodosdeprimeira ordemmerecemserdestacados.Paraosmétodosdeprimeiraordem,umasolução baseadanométododegradienteprojetadoaceleradodual(GPAD)paraaformulaçãodual doQPdoMPCéapresentadaem(PECCINetal.,2021).Soluçõesqueempregamométodo dooperadordepartiçãochamadamétododosmultiplicadoresemdireçãoalternada (ADMM,doinglês AlternatingDirectionMethodofMultipliers)sãoapresentadasem (O’DONOGHUE;STATHOPOULOS;BOYD,2013;PECCINetal.,2020).Entretanto,uma desvantagemcomumdosmétodosdeprimeiraordeméqueodesempenhonuméricoé dependentedascaracterísticasdoproblemaaserresolvido,ouseja,podesernecessário umgrandenúmerodeiteraçõesparaoalgoritmoconvergirechegaraumarespostacom tolerânciapequena(FERREAUetal.,2017).Outraquestãoéadiferençanonúmerode iterações,quepodevariarbastanteentreoscasosderestriçõesativaseinativas.Dessa forma,comonocontextodeMPCodeterminismoéimportante,aanálisedoWCET deveserlevadaemconsideração.
Nestecapítulo,sãoapresentadostrêsalgoritmosdeotimizaçãoadequadosàscaracterísticasdoMPCecustomizadosparaotipodeQPapresentadoem (7.1).Oprimeiroé ummétodoclássicodesegundaordemchamadométododebarreiralogarítmicaeosoutrosdois,menoscustososcomputacionalmente,sãoométododeprojeçãodegradiente aceleradodualeométododosmultiplicadoresemdireçõesalternadas.Essesmétodos podemserutilizadosemplantascomdinâmicasmaisrápidaseatémesmoserimplementadosemmicrocontroladorescomrecursoscomputacionaismaismodestos.
Primeiramente,naSeção7.1,sãoapresentadasopçõesdealgoritmoseficientespara aimplementaçãodoGPCeDMC,deixandoachamadaparaootimizadordeforma genérica.Posteriormente,naSeção7.2,sãotratadosespecificamenteosalgoritmosdos métodosdeotimização.
Notação: nosalgoritmosapresentadosaseguir,osímbolo ← denotaaassociação deumvaloraumavariável, v(��) representao ��-ésimoelementodovetor v e v(�� : ��) representaumsubvetorcompostopeloselementos �� até �� dovetor v.Paraumamatriz M ∈ R��×�� , M��,�� denotaoelementona ��-ésimalinhae �� -ésimacoluna, M(�� : ��,�� : ��) representaumasubmatrizcompostapeloselementoscorrespondentesaointervaloentre
Controlepreditivobaseadoemmodelo
aslinhas �� e �� ecolunas �� e �� damatriz.Umamatrizidentidadededimensão �� × �� é denotadapor I��×��.Umvetoremquetodososelementossãoiguaisazeroédenotado por 0,comdimensõesapropriadas.Atranspostadeumamatriz M édenotadapor M�� Paraumamatrizpositivadefinida M, ��max (M) e ��min (M) denotamomaioreomenor autovalorde M,respectivamente.Paravetores,osoperadoresmax,min, ≥ e ≤ são definidosparaserelementoporelemento.Anormaeuclidianadeumvetor v édenotada por ∥v∥,enquantoanormaespectraldeumamatriz M édenotadapor ∥M∥.Paraum sinalamostrado ��, �� (��) éovalorno ��-ésimoinstanteamostrado.Paraumavariável ��, ���� denotaa ��-ésimainstânciadamesmavariável.
7.1ALGORITMOSMPC
PercebaqueosalgoritmosparaaimplementaçãodeumMPCpodemserdivididos emduaspartes:aprimeiraéresponsávelpelaobtençãodasmatrizesquecompõem ocontroladoreasegundapelométododeotimização.Dessasduaspartes,podemos dividirtambémoquepodesercomputadopreviamenteequenãomudaduranteo ciclodecontrole,quechamaremosdecômputooff-line,eoquevariaduranteociclo decontrole,quechamaremosdecômputoon-line.Ofocoprincipalseráemreduziro custocomputacionaldosalgoritmosqueparticipamdocômputoon-lineequeafetam diretamenteotempodecômputodaaçãodecontrole.
7.1.1AlgoritmoDMCrecursivo
AformarecursivaparaaimplementaçãodoDMCapresentadaparaocasoSISOno Volume1egeneralizadaparaocasoMIMOnaSeção3.2.3destevolumeémaisadequada paraaimplementaçãocomputacionaldoalgoritmoDMCqueaversãotradicional.Isso ocorreporqueessaformulaçãorequermenosespaçodememóriaparaarmazenaras variáveisquemodelamoproblemadeotimizaçãoeumnúmeromenordeoperações matemáticas.Assim,ocômputodarespostalivreficamaiseficiente.
UmapropostadealgoritmoparaoDMCrecursivoparaocasoSISOéapresentada noAlgoritmo1.Percebaqueasvariáveisdeentradasãoovetordecoeficientes g,que representaomodelodaplantautilizadoparaapredição,easrestriçõesdesejadas,jána suarepresentaçãomatricial,com R e r.Osdadossãoosparâmetrosutilizadosparaa sintonizaçãodocontrolador,comooshorizonteseasponderações.
Avaliandooalgoritmo,percebemosque,entreaslinhas1e9,asvariáveissão inicializadaseamatriz H doDMCédefinida.Essapartedoalgoritmorepresentao cômputooff-lineenãoécríticaparaotempodecômputodaaçãodecontrole.Jáa parteentreaslinhas10e23representaaparceladecômputoon-line.Percebaqueé
Este livro, o Volume 2 de um conjunto de dois volumes, apresenta aos estudantes de engenharia e áreas afins tópicos avançados de controle preditivo, com aplicações em sistemas multivariáveis e não lineares.
Além disso, aborda algoritmos de otimização para a implementação dos controladores.
O controle preditivo é uma das metodologias de controle mais utilizadas na indústria de processos, sendo, depois do PID, a estratégia mais difundida e que proporciona maior satisfação aos usuários. Assim, esta obra adota uma abordagem teórico-prática, com enfoque no desenvolvimento de teorias avançadas de controle preditivo e aborda aspectos de implementação, com estudos de caso extraídos do ambiente industrial e baseados em situações reais.
O livro explora tanto controladores preditivos lineares como alguns algoritmos não lineares, todos voltados para sistemas multivariáveis. Também são apresentados algoritmos de otimização, que permitem obter a ação de controle ótima com os diferentes algoritmos estudados. A obra é acompanhada por códigos dos controladores abordados, disponibilizados na web.
