Libro secundaria 2 bloque 5

BLOQUE 5

M. C. Escher “Manos dibujando” Litografía, 1948

252

Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan.

• Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares.

EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Patrones y ecuaciones

Figuras y cuerpos

Proporcionalidad y funciones

• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros.

Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Medida • Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

• Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

Nociones de probabilidad • Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

• Explica la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.

253

Patrones y ecuaciones

Pongamos en uso lo que hemos aprendido...

TEMA

CONTENIDO: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

A

continuación te planteamos una serie de situaciones, utiliza tus propios métodos y estrategias para encontrar el precio de cada lápiz y cada cuaderno. Puedes usar dibujos, tablas, operaciones básicas o incluso una gráfica para encontrar la solución. Intenta plantear las soluciones tú solo en principio y cuando tengas una alternativa, comparte opciones con tus compañeros.

¿Cuánto cuestan los cuadernos y los lápices?

Diego compró en una papelería un lápiz y un cuaderno por $31 y Paola, su hermana compró en la misma papelería tres lápices y un cuaderno iguales a los de Diego por $47.

Al llegar a casa Jorge, su papá les preguntó cuánto les costó cada lápiz y cada cuaderno. Como no se acordaban de los precios los tuvieron que investigar. ¿Puedes ayudarles a encontrar el precio de un lápiz y un cuaderno con la información que tenemos?

Peras y duraznos Ana fue al mercado y compró fruta. Cuando llegó Mariana vio que había peras y duraznos en la canasta. Si en total había 21 frutas y los duraznos eran 11 más que las peras, ¿cuántos duraznos y cuántas peras compró Ana?

254

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

Ahora uno de discos compactos.

Héctor les preguntó a José Pablo y Lorena cuántos discos tienen entre los dos y le respondieron: si juntamos nuestros discos tenemos diez en total, y si al doble de los de Lorena le restamos los que tiene José Pablo, quedan 8. ¿Puedes saber cuántos discos tiene cada quien?

La ropa para Nicole

Un sistema de ecuaciones es el conjunto

Renata compró ropa para la pequeña Nicole. Le compró mamelucos y camisetas. Sabemos que el costo de dos mamelucos es igual a $300 menos el costo de 3 playeras. Y que un mameluco cuesta $25 pesos más que una playera. ¿Cuánto cuesta cada mameluco y cada playera?

Con tus compañeros, comparte las estrategias que usaron para resolver los problemas y verifiquen si a pesar de haber usado diferentes métodos, las respuestas son las mismas.

de varias ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. La solución del sistema de ecuaciones es el conjunto de valores que las reducen a todas las ecuaciones a igualdades verdaderas.

Diferentes formas de dar solución Como te habrás dado cuenta, hay varias formas de resolver un problema en el que tienes que encontrar dos resultados. La información que te tienen que dar debe de ser más amplia para que tú puedas establecer la relación que tienen ambas incógnitas.

Hemos resuelto situaciones problemáticas por medio de tabulaciones, graficando o estableciendo una ecuación que relacione una incógnita con otra.

Pues entonces manos a la obra.

Tabulación y gráficas Para resolver este tipo de situaciones vamos primero a trabajar con la tabulación y las gráficas.

Trabajemos con el problema de Paola y Diego.

Diego compro un lápiz y un cuaderno por $31 pesos: lápiz + cuaderno = 31 Paola compró 3 lápices y un cuaderno por 47 pesos: 3(lápiz) + cuaderno = 47 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

255

•

Patrones y ecuaciones

De acuerdo… ¿cómo ves si le asignamos literales a los lápices y los cuadernos para hacer más simple el trabajo?

Lápiz

x

Cuaderno

y

Entonces tenemos que: x + y = 31 3x + y = 47 Despejamos y en ambas ecuaciones para poder tabular Tabula y grafica cada una de las ecuaciones y construye una gráfica.

y = 31 - x x

y = 47 - 3x

y

x

y

40 35 30 25 20 15 10 5 0

256

5

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Patrones y ecuaciones

•

El punto donde se intersecan ambas rectas es el que te da la solución al problema, el valor que toma x en dicho punto corresponde al precio de los lápices y el valor que toma y corresponde a los cuadernos.

¿Y si sumamos y restamos?

Resolvamos el mismo problema de Paola y Diego por medio de sumas y restas.

Representa con regletas las ecuaciones que representan lo que compró cada uno:

Paola +

+

x x x

=

y

3x + y

N N N N

=

n

47

Diego +

x

y

x+y

+

=

=

N N N

b

31 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

257

•

Patrones y ecuaciones

Si a lo que compró Paola le raestamos lo que compró Diego, tenemos que:

+

+

x x x

y

x

y

=

N N N N N N N

b

3x + y - (x + y)

=

47 - 31

3x + y - x + y

=

16

2x

=

16

x

=

8

La solución gráfica de un sistema de ecuaciones se obtiene al graficar las ecuaciones y encontrar el punto de intersección de ambas rectas.

n

Entonces ya tenemos que x=8, es decir que un lápiz cuesta $8.

Si sustituimos ese valor en la compra de Diego tenemos que: x + y =31 8 + y = 31 y = 31 -8 y = 23

Un cuaderno cuesta $23.

Verifica que estos precios son verídicos sustituyendo los valores en las ecuaciones que representan las compras de Paola y Diego.

Este tipo de problemas en lo que intervienen dos incógnitas se resuelven estableciendo dos ecuaciones a las que se les llama sistema de ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones será el par de números que verifique las dos ecuaciones.

Existen diferentes formas de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y hasta ahora hemos visto dos de ellas.

Mediante el método gráfico se construye una tabla de valores para cada ecuación y se grafican las rectas correspondientes. La solución 258

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

del sistema es el punto de intersección de ambas rectas.

Otro método es el de suma y resta en el que restamos o sumamos ambas ecuaciones buscando la eliminación de alguna de las incógnitas. Con esto obtenemos una nueva ecuación con una sola incógnita simplificando así el sistema.

Hagamos ejercicios Ahora, retoma los problemas que planteamos desde el principio y ejercítate en la resolución de ellos por el método de suma y resta y por el de gráficas.

Resuelve también los siguientes pares de ecuaciones: 1

2x + y = 14 x= y +1

4

a + b = 135 a – b = 59

2

2x + 2y = 160 x = 3y

5

2m + 12n = -22 8m-12n = 32

3

2x – y =15 x = 2y

La solución analítica de un sistema de ecuaciones se encuentra mediante aplicaciones algebraicas a las ecuaciones. Estos métodos pueden ser:

• Suma y resta • Igualación • Sustitución

¿Podremos resolverlos de otra forma?

Vamos a hacer el planteamiento de otra forma de resolver un sistema de ecuaciones con el problema de la ropa de Nicole que decía que: Renata compró ropa para la pequeña Nicole. Le compró mamelucos y camisetas. Sabemos que el costo de dos mamelucos es igual a $300 menos el costo de 3 playeras. Y que un mameluco cuesta $25 pesos más que una playera. ¿Cuánto cuesta cada mameluco y cada playera?

Este problema ya lo habías resuelto con métodos propios y además por el método gráfico y por suma y resta. Ahora te propondremos un nuevo método. a

Establecemos las ecuaciones:

2x= 300 -3y X = y + 25

b

Despejamos x de ambas ecuaciones:

x = 300 - 3y 2 x = y + 25 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

259

• c

Si tenemos dos igualdades para x, entonces se deduce que:

300 - 3y 2 d

Patrones y ecuaciones

= y + 25

Despejemos y para encontrar su valor:

300 -3y= 2(y + 25) 300 -3y=2y + 50 300 -50 = 2y + 3y 250= 5y y= 250/5 y= 50 Esto implica que una camiseta cuesta $50, y ahora hay que calcular el precio del mameluco: x = y + 25 x = 50 + 25 x =75

Un mameluco cuesta $75

Este método es el de igualación y consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes con lo cual se obtiene una sola ecuación con una sola incógnita.

Por último vamos a trabajar una forma más de resolver este tipo de problemas. Volvamos a considerar el problema de la ropa de Nicole, para que veas que obtendremos el mismo resultado. a

Tenemos que las ecuaciones que nos describen la situación son:

2x= 300 -3y x = y + 25 Vamos a tomar el valor de x de la segunda ecuación y lo vamos a sustituir en la primera. b

2(y+25)=300-3y c

Y resolvemos

2y + 50=300 -3y 2y + 3y = 300 -50 5y=250 y=50 260

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

Como verás llegamos al mismo valor de y, y si lo sustituimos en la primera ecuación tenemos que: d

x= y + 25 x=50 + 25 x= 75

Entonces un mameluco cuesta $75 y una camiseta cuesta $50

Este método de resolver un sistema de ecuaciones es el método de sustitución. En él puedes elegir de una de las ecuaciones, una incógnita y despejarla. El despeje que obtienes lo sustituyes en la otra ecuación lo que te simplifica el sistema a una sola ecuación con una incógnita...el resto ya lo sabes hacer.

En resumen te ofrecemos cuatro alternativas diferentes para resolver un sistema de ecuaciones. Lo que tienes que hacer ahora para que te hagas un experto es ejercitarte en ellos lo más que puedas...así que aquí te ponemos una serie de ejercicios a resolver:

Hagamos ejercicios Juan Carlos compró para su oficina seis plumones y tres lápices por $60. Si cada plumón le costó el doble de cada lápiz, ¿cuánto le costó cada plumón y cada lápiz?

1

Pilar fue a comprar mangos y peras. Preguntó cuánto pesaba un mango y el tendero le dijo: el peso de un mango es igual al peso de una pera más 150 gramos y el peso de dos mangos es igual al peso de tres peras más 150 gramos. ¿Cuánto pesa cada mango y cada pera suponiendo que todos los mangos y todas las peras pesan lo mismo?

2

La suma de dos números es 10 y su diferencia es 2. ¿Cuáles son los números?

3

Guillermo cortó un bastón de madera de 2.16 m de largo en dos trozos tales que uno de ellos mide el triple del otro. ¿Cuánto mide cada parte?

4

Emilio compró tres bolsas iguales de clavos y cuatro paquetes de tachuelas que juntos pesan 14.5 kg. Si tres bolsas de clavos y dos paquetes de tachuelas pesan 9.5 kg, ¿cuánto pesa un paquete de clavos y cuánto pesa un paquete de tachuelas?

5

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

261

•

Patrones y ecuaciones

Ahora resuelve los siguientes sistemas eligiendo el método que más te convenga.

6

a

b

c

d

e

2x + 6y = - 40 3x + 5y = 24 m+n=5 m - 3n = -11 u - 3v = 5 u + v = -3 x + y = 25 2x - y = 29 x+y=2 2x - 3y = 1

f

g

h

i

j

x+y=6 x-y=2 3x - 2y = 15 x + y = 20 x - 3y = 38 4x + 6y = 26 x=y+4 y = 3x - 14 x + 3y = 38 4x - 6y = 26

Intercambia con tus compañeros los resultados que obtuviste y verifica si todos coinciden aun cuando usaron diferentes métodos de resolución.

A continuación te damos dos sistemas de ecuaciones para los que queremos que inventes un problema que se adapte a ellos.

7

a

b

x+y=1 x + 2y = 5 x + y = 20 3x - 2y = 15

Comparte la redacción de tu problema con tus compañeros.

262

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

E

n el tema 1 de este bloque trabajamos con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolvimos sistemas por cuatro métodos diferentes: suma y resta, igualación, sustitución y gráficas.

En este tema vamos a retomar la resolución de sistemas de ecuaciones por medio de gráficas.

Recuerda que ya también sabes que cuando una ecuación es de la forma y= mx + b podemos trazar la gráfica que te representa la recta sin necesidad de construir una tabla por medio de la pendiente y la ordenada al origen.

Es importante que apliques todas las herramientas que te vamos dando, en tus ejercicios y actividades.

Resuelve por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones: 1

CONTENIDO: Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros.

Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Patrones y ecuaciones

Hagamos gráficas

TEMA

ACTIVIDAD 1

2x + y = 8 x - y = -2 y

x

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

263

•

Patrones y ecuaciones

• ¿Cuál es el punto donde se cortan las rectas?

• ¿Cuál es el valor de x en el sistema?

• ¿Cuál es el valor de y?

2

x+y=5 x–y=1 y

x

• ¿Cuál es el punto donde se cortan las rectas?

• ¿Cuál es el valor de x en el sistema?

• ¿Cuál es el valor de y?

La representación gráfica de un sistema de ecuaciones y las coordenadas (x, y) del punto de intersección de las rectas, deben de coincidir con la solución del sistema por cualquiera de los métodos algebraicos que ya conoces.

264

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

¿Todos los sistemas tienen solución?

ACTIVIDAD 2

Ahora resuelve el siguiente sistema: 3

4x – y = -5 4x – y = -10 y

x

• ¿Qué características tienen las rectas que se generaron?

• ¿En qué punto se intersectan las rectas?

• ¿Cuál es entonces la solución del sistema?, ¿por qué?

• ¿Qué significa que las rectas de un sistema de ecuaciones no se crucen?

La resolución gráfica de un sistema de ecuaciones nos permite ver si el sistema tiene solución o no. Si en la gráfica aparecen líneas paralelas, significa que entre las rectas nunca habrá una intersección y entonces el sistema no tiene solución.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

265

•

Patrones y ecuaciones

Resuelve por el método gráfico el siguiente sistema: 4

2x + 2y = 20 3x + 3y = 30 y

x

• ¿Qué observas en las rectas que trazaste?

• ¿Tienen algún punto de intersección las rectas?

Lo que tienes en este sistema es un par de ecuaciones que representan la misma recta, por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones ya que cualquier punto de una de las rectas, pertenece también a la otra.

Como habrás visto, un sistema de ecuaciones puede tener una solución, o muchas o ninguna, dependiendo del tipo de rectas que se trate.

266

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

Analiza los siguientes sistemas de ecuaciones para determinar si tienen o no solución: 1

x+y=3 2x + 2y = 6

2

2x + y = 1 4x + 2y = 2

3

2x + y = 1 4x + y = 2

4

2x + y = 1 2x + y = 4

5

x + 2y = 7 2x + y = 8

6

x+y=3 2x - y = 6

ACTIVIDAD 3

Observa y analiza las pendientes de las rectas que representan a cada sistema y responde: • ¿Cómo son la pendiente y la ordenada al origen de las rectas en un sistema que sí tiene un punto de intersección?

• ¿Cómo son entre sí las pendientes y la ordenada al origen de las rectas de un sistema que no tiene solución pues dichas rectas son paralelas?

• ¿Cómo son entre si las pendientes y las ordenadas al origen de las rectas de un sistema que tiene infinitas soluciones?

Como verás, analizando las pendientes y las ordenadas al origen de las rectas de un sistema de ecuaciones puedes anticipar si el sistema tiene o no solución.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

267

Figuras y cuerpos

Simetría en todos lados CONTENIDO:

Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiTEMA láteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

E

n tu clase de historia has estudiado las culturas prehispánicas que se desarrollaron en el altiplano mexicano. En todas estas culturas vemos obras de arquitectura monumentales muchas de las cuales están decoradas con grecas y gráficos que representan alguna deidad, algún pensamiento o algún evento histórico o geográfico. En muchos de estos diseños sumamente armoniosos y exactos, se ha observado simetría.

• ¿Recuerdas qué es la simetría?, lo estudiaste en la primaria....veamos si lo recuerdas.....

Observa la siguiente figura y analiza si tiene o no simetría. Si encuentras simetría, trázala con una línea:

Detalle del Palacio principal de Labná, mascarón del dios de la lluvia, que como en la mayoría de las ciudades mayas, es la imagen central del culto religioso. Labná, Yucatán.

Lo que verás en el esquema de la siguiente página, es un fragmento del Códice Trocortesiano de los mayas: La Cruz de los cuatro rumbos del Universo.

El doblez que ves al centro, es una marca del tiempo, pues el códice estuvo doblado por mucho tiempo. Vamos a aprovecharlo y tomémoslo como eje de simetría.

268

Eje: Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

•

¿Qué figuras tienen simetría respecto a este eje?

Simetría en la artesanía ¿Has oído hablar del papel picado?

El papel picado es una artesanía mexicana que se elabora con papel recortado y ha sido usada desde las antiguas civilizaciones de nuestro país, por ejemplo los aztecas hacian sus adornos y vestimentas sagradas con papel al que le podían dar la forma que ellos querían, decorarlo, pintarlo y en donde representaban las imagenes de sus dioses; ellos pintaban figuras y símbolos sobre el papel con hule derretido. Después con la llegada de los españoles y otras culturas, hubo más formas de recortar el papel.

• ¿Cómo hacer papel picado?

doblez para colgar

Recorta cuadrados de papel de 15 x 15 cm o del tamaño y forma que gustes.

Haz un doblez en uno de los lados del papel, más o menos de tres centímetros, porque de ahí lo vas a colgar.

Después coloca el papel de tal manera que el doblez quede al frente y une la parte opuesta al doblez hasta su límite.

Eje: Forma, espacio y medida

269

•

Figuras y cuerpos

doblez para colgar

Haz un nuevo doblez para que el papel quede doblado en 4.

Comienza por trazar las figuras que tú quieras en los lado del papel, menos el lado donde hiciste el doblez para colgar.

Haz triángulos, cuadrados, semicírculos, etc. deja un espacio entre ellos y recórtalos.

Vuelve a doblar el papel hacia arriba hasta el doblez y repite el procedimiento anterior.

Desdobla tu papel y listo, ya quedó decorado.

La simetría es la propiedad que presentan algunas figuras geométricas y consiste en una correspondencia en la forma, el tamaño y la secuencia de las partes que la componen respecto de una línea o punto.

Ya para terminar, en la parte del doblez pon el hilo o lazo y pégalo, haz lo mismo con cada uno de los papeles que hiciste, dejando un espacio entre ellos hasta terminar el lazo o hilo, recuerda dejar también un espacio en los extremos para poder colgarlo.

Cuando un objeto geométrico presenta simetría respecto a una línea recta, se dice que tiene simetría axial.

• ¿Qué características deben cumplir los diseños para que tengan simetría?

Esa recta se llama eje de simetría de la figura.

Una de las características de las figuras con simetría es que si, trazamos un eje correctamente y doblamos la figura sobre ese eje, entonces las figuras se enciman perfectamente.

Cuando una figura tiene simetría respecto a un eje, decimos que la simetría es axial.

Puedes tomar también un trozo de papel, doblarlo a la mitad y trazar en él cualquier diseño como lo muestra el dibujo:

Corta alrededor del diseño que trazaste:

¡ Y desdobla !

270

Eje: Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

•

La línea de doblez de tu hoja es el eje de simetría y la figura que recortaste es simétrica respecto a ese eje.

Creando y buscando simetrías Vamos a trabajar con tu geoplano. Divide tu geoplano en dos partes iguales con una liga.

Traza una figura en una de las mitades de tu geoplano y pide a tu compañero que trace, en la otra mitad del geoplano una figura simétrica a la que tu construíste. Regístrenla en sus cuadernos de registro rectilíneo.

Intercambien geoplanos con otros compañeros y analicen si las figuras que trazaron son realmente simétricas respecto al eje.

Traza en tu geoplano las siguientes figuras, busca su figura simétrica y regístrala: 1

2

3

4

5

6

ACTIVIDAD 1

Eje: Forma, espacio y medida

271

•

Figuras y cuerpos

Traza en tu geoplano la siguiente figura, traza su simétrico y asígnales las letras A´, B´, C´, a los puntos que correspondan simétricamente a A,B y C. A B D C

Ahora responde: Si dos figuras son simétricas respecto a un eje, a cada punto de un lado de dicho eje, le corresponde un punto del otro lado. A estos puntos se les conoce como puntos homólogos.

Fig. 1

• ¿Cuál es la distancia que hay de B al eje de simetría?

• ¿Cuál es la distancia de B a B´?

• ¿Cómo son las distancias entre el eje y B y el eje y B´?

• ¿Cómo es la figura ABCD respecto al A´B´C´D´?

• ¿Cómo son los lados de la figura ABCD y el A´B´C´D´?

Para identificar un ángulo en una figura se escriben tres letras, donde la letra que queda en en centro es la que representa el vértice del ángulo.

Por ejemplo, el ángulo ABC es el que tiene B en el vértice.

Siguiendo esta nomenclatura, responde: • ¿Cómo es el ángulo ABC respecto al ángulo A´B´C´?

• ¿Y el ángulo BCD respecto a B´C´D´?

Como podrás ver, para que una figura sea siméA A’ trica con respecto a un eje, debe cumplir varias B B’ condiciones.

Para cada punto existe un simétrico, a la misD D’ ma distancia del eje, medida sobre su perpenC C’ dicular y en sentido contrario.

Y además un punto de la figura que coincide con el eje de simetría es simétrico a sí mismo, Fig. 2 por eso A y A´ son el mismo punto y D y D´ también (fig. 2).

Los puntos simétricos entre sí se llaman puntos homólogos. A´es homólogo de A, B´es homólogo de B, etc.

272

Eje: Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

•

Construye las siguientes figuras en tu geoplano circular, marca con ligas sus ejes de simetría, regístralas en tu cuaderno de registro anotando sus lados, sus ejes de simetría, puntos homólogos y después llena la tabla:

Figura

Número de lados

Triángulo equilátero

3

Número de ejes de simetría

Cuadrado Hexágono Octágono Dodecágono Círculo

ACTIVIDAD 2 Vamos ahora a trabajar con triángulos isósceles en tu geoplano rectilíneo. Construye los siguientes triángulos en tu geoplano. Traza su eje de simetría y encuentra pares de lados iguales y pares de ángulos iguales.

1

2

3

Hagamos ejercicios • Con lo que ya has aprendido acerca de la simetría, vamos a trabajar ahora en tu cuaderno de centímetro cuadrado.

Construye las siguientes figuras y encuentra su simétrico respecto al eje, encuentra también sus puntos homólogos, los lados iguales y los ángulos iguales.

Eje: Forma, espacio y medida

273

•

Figuras y cuerpos

• En tu cuaderno de cm2 construye 3 figuras, traza un eje de simetría y encuentra sus simétricos, los puntos homólogos, los lados iguales y los ángulos iguales.

Ahora que ya conoces las principales propiedades de la simetría y has trabajado con ellas en tu geoplano y en tu cuaderno de centímetro cuadrado, utiliza tus instrumentos de medición (escuadras, transportador y compás) para trabajar los siguientes ejercicios.

• Considerando la recta L como eje de simetría construye una figura simétrica a la figura ABCDE. D

C

E

B A 274

Eje: Forma, espacio y medida

L

Figuras y cuerpos

•

• En la siguiente figura se nos perdieron los puntos B, D, A´, y C´. ¿Puedes reconstruir la figura con su simétrico apoyándote en los datos que no se nos perdieron?

A B’ D’ C

• Ahora lo que se nos perdió fué el eje de simetría con algunos puntos. Encuentra primero el eje de simetría y después reconstruye la figura simétrica.

A B’ B

C

• Ya vimos que el hexágono regular tiene 6 ejes de simetría... ¿Puedes construir un hexágono irregular que tenga sólo 3 ejes de simetría? ¿Y uno con 2 ejes de simetría? Inténtalo en tu geoplano.

• En tu cuaderno de hojas blancas inventa 3 problemas parecidos a los que has trabajado en los que puedas aplicar lo que has aprendido acerca de la simetría.

Eje: Forma, espacio y medida

275

Medida

Ángulos inscritos y centrales CONTENIDO:

Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así TEMA como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

1

Considerando los datos de la figura 1, encontrar el valor de siendo O el centro de la circunferencia.

OAB,

C

O 60oo 60

A

Fig. 1

B

• Organízate con tus compañeros en binas para resolver el problema.

Explica los procedimientos que utilizaron:

• Al terminar compartan sus resultados y procedimientos.

A D

B

E

60o

O C Fig. 2

2

Dados los arcos AD = 75o, AE = 45o y BC = 120o, encontrar los valores de los siguientes ángulos: BAC = OCA = 276

Eje: Forma, espacio y medida

BOC = ABO =

Medida

•

• Explica los procedimientos usados: • Compara tus resultados con los compañeros que también hayan terminado y corrijan si hay diferencias.

3

Una cabra está atada en la esquina de un corral con una reata de 4 metros de largo. El mencionado corral es de forma cuadrada, y cada lado mide 6 metros.

6m

4m

Fig. 3 a

¿Cuál es el área en que puede pastar la cabra?

b

¿Cuál es la medida del arco en el que puede desplazarse el animal?

c Si la pastura está valorada a $5.00 por metro cuadrado, ¿Cuánto pagará el dueño de la cabra por la parte sombreada?

4

Si la cabra estuviera atada en la esquina de un corral de forma hexagonal, con lados regulares de 6 metros y con una reata de 2 metros de 6m largo.

2m

120o

H

Fig. 4

a

¿Cuál sería la medida del arco en la que podría desplazarse?

b

¿Cuál sería la medida del área en que podría comer?

5

Un perro se encuentra amarrado a una estaca colocada en el piso al centro de una barda y su correa tiene una longitud de 3 metros.

Eje: Forma, espacio y medida

277

•

Medida

3m

8m

a

Fig. 5

¿Cuál es su área disponible para moverse?

Si alargaran la correa a 4 metros: ¿Cuál es la medida del máximo arco en que puede desplazarse? b

c

¿Cuál sería el área para moverse?

d

¿Cuál sería la longitud máxima del arco para desplazarse?

6

La figura 6 representa un barandal en forma de escuadra en donde está sujeto un perro con una correa de tres metros de largo. La correa está asegurada al tubo del barandal con una argolla, lo que facilita que el perro pueda desplazarse de A a C, o viceversa.

G

H

A

F

6m

B

3m

E

4m C

J

D

Fig. 6

a Hay que considerar que en los puntos A y C la argolla ya no puede avanzar, por lo que el perro solo puede desplazarse por los sectores CDJ y AGH.

Al pasar la argolla por el punto B, el perro al tirar de la cuerda al máximo para desplazarse, formará el arco EF, y al apoyar la argolla en los puntos A y C, formará los arcos HG y DJ. b

c

¿Cuál es el área total por la que puede desplazarse el perro?

d ¿Cuál es la medida de la trayectoria que sigue el perro al tirar de la correa a su máxima longitud para desplazarse del punto G al punto H? 278

Eje: Forma, espacio y medida

Medida e

•

¿Cuál es la máxima distancia que puede recorrer la argolla?

Resolución de problemas 1

Calcular el área de la región sombreada de la figura 7.

8m

Fig. 7 2 La figura 8 representa una plaza de un pueblo. Las áreas circulares las van a cubrir con mosaico que cuesta $75.00 el metro cuadrado, y las áreas no circulares las van a cubrir con adoquín que cuesta $50.00 el metro cuadrado.

¿Cuál es el costo del espacio de color azul ya construido, si el albañil cobra de mano de obra $75.00 el metro cuadrado por las áreas circulares y $60.00 el metro cuadrado por las que no son circulares?

8m

Fig. 8

La figura 9 representa un jardín, y las áreas azules son los espacios en donde han sembrado pasto. Si por cada metro cuadrado de pasto sembrado cobraron $25.00, ¿cuál fue la cantidad pagada?

3

8m

Fig. 9

Eje: Forma, espacio y medida

279

•

Medida

4 La figura 10 representa un jardín con cuatro sectores circulares con un radio de 30 metros, cada sector está repartido en dos secciones de coronas de 10 metros de ancho cada una, y un sector circular de 10 metros de radio, y como medida angular un ángulo recto.

30 m

Fig. 10

Considerados los datos que creemos suficientes, resuelve los siguientes cuestionamientos: En el sector azul se va a plantar pasto a razón de $45.00 el metro cuadrado; en el sector gris plantarán flores de diferentes variedades con un costo de $40.00 el metro cuadrado; en cada uno de los sectores circulares de color blanco colocarán 9 bancas de fierro; cada banca tendrá un costo de $3,000.00. Los accesos al centro del jardín que miden 5 metros de ancho por 30 metros de largo serán construidos con mosaico cuyo valor es de $110.00 el metro cuadrado y por último, al centro del jardín instalarán una fuente de cantera con un valor de $25,000.00. a

Hay que considerar que el metro cuadrado de pasto para trasplantar tiene un precio de $25.00; el total de plantas para el sector gris cuestan $5,000.00; por construir los pisos de los accesos cobran $100.00 el metro cuadrado y por la instalación de la fuente el costo será de $15,000.00. b

¿A cuánto asciende el gasto por pago de mano de obra?

c

¿De cuánto es el gasto por pago de materiales?

d

¿A cuánto asciende el gasto total?

• Puedes organizarte en equipo de tres integrantes y comparar resultados con otros equipos que vayan terminando para discutir diferencias en resultados y procesos utilizados en la resolución del problema.

5 La figura 11 representa un pastizal de 48 m2, y el círculo blanco, un área devo-

rada por un borrego amarrado en el punto o con una cuerda de 2 metros de largo, ¿De cuántos metros cuadrados es el área que no alcanza a comerse?

6 4 2

o 2

280

Eje: Forma, espacio y medida

4

6

8

Fig. 11

Medida

โ ข

Dados los arcos AB = 90o y BC = 45o, encontrar la medida de los siguientes รกngulos: 6

ACD =

ADC =

BCD = B

C

A

O 60o

Fig. 12

D 7

Escribe la medida del siguiente รกngulo: BAC = B

90 o

O

A

C Fig. 13

Dados el XYP = 30o y el arco PZ = 15o,encontrar las medidas de los siguientes รกngulos: 8

XOP = PMZ =

XOY = OXY =

YPM = X P

30o o 60

Z

O

Y M

Fig. 14

Eje: Forma, espacio y medida

281

Proporcionalidad y funciones

Diferentes formas de representar lo mismo CONTENIDO: Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

TEMA

C

omo recordarás, ya hemos visto que una manera de representar el comportamiento de alguna situación en la que un valor depende de otro es estableciendo una relación entre los valores. A esta relación se le llama función, ya que uno de los valores está en función de cómo cambien el otro valor. Se puede representar mediante una ecuación que te describe la relación que hay entre los valores pero también se puede representar con una tabla de números y una gráfica entre otras.

Esto es muy importante para lo que a continuación vas a trabajar. Las funciones que hemos venido trabajando se llaman funciones lineales porque su representación gráfica es una línea, sólo que la posición de la línea varía dependiendo de la relación que se establezca entre las variables dependiente e independiente.

Cómo puede variar el precio La función es la relación que se establece entre dos cantidades que pueden variar. La función es la regla de correspondencia entre ambas cantidades.

Observa bien las siguientes gráficas que nos determinan el costo de servicio de taxi en una ciudad. El costo del servicio está en función del kilometraje recorrido.

Observa ambas funciones la de “Taxis El ejecutivo” y la de “Servitaxis Don José”. Llena las tablas correspondientes de acuerdo a las gráficas para que después puedas responder las preguntas: Taxis “ El ejecutivo ”

cambia de valor.

En la función y = 2x, la variable independiente es la variable en la cual sustituimos los valores, generalmente se representa con x. Es la variable que va cambiando su valor.

Costo del viaje

Una variable es una literal que se supone

21

Km

18

0 1

15

2

12

6

9

9

6

11

3

15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Km

282

Eje: Manejo de la información

Costo

Proporcionalidad y funciones • ¿Cuánto cobra cada taxi al iniciar el recorrido? (el famoso “banderazo”)

• “Servitaxis Don José ”

24

• ¿Qué taxi te conviene tomar para un recorrido de 15 km?, ¿por qué?

Costo

0

18 Costo del viaje

• ¿Cuesta lo mismo subirse a un taxi que a otro?

Km

21

• ¿Cuánto cobra cada taxi por kilómetro recorrido?

1

15

2

12

6

9

9

6

11

3

15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Km

• ¿Qué taxi te convien tomar para un recorrido de 3 km?

• ¿A partir de cuantos kilómetros de recorrido, te conviene tomar un taxi de “Servitaxis Don José?, ¿porqué?

• ¿Cuál sería la función que te representa el costo de viaje de taxis “El Ejecutivo”? y = • ¿Cuál sería la función que te describe el costo de viaje de “Servitaxis Don José”? y = Observa y compara las dos ecuaciones que obtuviste.

• ¿Por qué crees que son diferentes?

La función que nos describe la gráfica de Taxis “el Ejecutivo” es una función de la forma y=mx , en donde y es el costo del viaje, x es el kilometraje recorrido y m es la constante.

Por otra parte, la variable dependiente es el valor que la función toma, usualmente se representa con y. El valor de la variable dependiente, como su nombre lo indica, depende del valor que toma la variable independiente.

Una función lineal es una función que puede reducirse a una ecuación de la forma:

y =m x +b La gráfica de una función lineal es una línea recta.

• ¿Cuánto vale la constante m en este caso? ¿Qué la determina?

La función que describe la gráfica de “Servitaxis Don José” es una función de la forma y=mx +b , en donde y es el costo del viaje, x es el kilometraje recorrido, m es la constante que multiplica al kilometraje y b es también constante.

• ¿Cuánto vale la constante m en este caso?, ¿qué la determina?

La ecuación

y=mx representa una función lineal cuya gráfica es una línea que pasa por el origen.

Eje: Manejo de la información

283

• La ecuación

y=mx+b representa una función lineal cuya gráfica es una línea que no pasa por el origen.

Proporcionalidad y funciones

• ¿Cuánto vale b? ¿Qué determina el valor de b?

• Si comparas ambas ecuaciones y ambas gráficas, ¿dónde puedes encontrar el valor de b?

• En la gráfica 1, ¿qué valor crees que tenga b?

¿Qué precio tienen los chocolates?

En una tienda de dulces venden por kilo chocolates de diferentes tipos. Si quieres puedes elegir que te los pongan para regalo, en una canasta pero tiene un costo extra.

Analiza las siguientes gráficas que nos indican cuánto cuesta el chocolate y llena la tabla.

Chocolates sin canasta 180

Peso / grs.

160

100

140

150

120 Precio

Costo

300

100

400

80

700

60

850

40

1000

20

1500 100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

gramos

Precio

Chocolates en canasta 180

Peso / grs.

160

100

140

150

120

300

100

400

80

700

60

850

40

1000

20

1500 100

200

300

400

500

600

gramos

284

Eje: Manejo de la información

700

800

900

1000

Costo

Proporcionalidad y funciones

•

• ¿Cuánto cuestan 100 grs de chocolate sin canasta?

• ¿Cuánto cuestan 100 grs de chocolate con canasta?

• ¿Cuánto están cobrando en la dulcería por la canasta?

Establece una ecuación para cada una de las gráficas.

• ¿En qué varían las ecuaciones?

• Determina cuál es el factor constante respecto al precio del chocolate.

• ¿Qué te determina el factor constante b para la ecuación de la compra de chocolates con canasta?

Ahora construye tú las gráficas: En una fábrica, los empleados trabajan bajo dos condiciones diferentes: - En una se les paga $75 por hora trabajada y ellos elijen libremente cuántas horas quieren trabajar al día.

- En la segunda opción se les da un sueldo base de $200 pesos por las primeras cuatro horas y las horas extras se les pagan a $80 cada una.

• Construye dos gráficas, una para los que deciden trabajar sólo por horas y otra para los que deciden tener un sueldo base y cobrar horas extras.

Para cada una de las situaciones, encuentra la ecuación que describe la relación entre las horas trabajadas y el sueldo, una tabla para graficar y después responde las preguntas: Sin sueldo base

y= Horas trabajadas

900 800

Pago

700

PAGO

600 500 400 300 200 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Horas trabajadas

Eje: Manejo de la información

285

•

Proporcionalidad y funciones

Con sueldo base

y= Horas trabajadas

900

Pago

800 700

PAGO

600 500 400 300 200 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Horas trabajadas

• ¿A partir de cuántas horas de trabajo conviene la opción 1?

• ¿Hasta qué momento conviene la opción 2?

• ¿Cuántas horas se requiere trabajar en cada opción para recibir $ 600?

• Con tu maestro y compañeros describan situaciones conocidas para ustedes que puedan representarse con una gráfica y una función lineal como las que hemos trabajado.

286

Eje: Manejo de la información

H

asta ahora hemos estado trabajando con funciones dos tipos diferentes y = mx y y = mx + b.

Las gráficas solamente las hemos trazado en el primer cuadrante, pero en ralidad, una vez que tienes al menos dos puntos por donde pasa la recta que te representa la función con la que estas trabajando, puedes alargar la línea en cualquier sentido y conocer su funcionamiento en cualquiera de los 4 cuadrantes del plano cartesiano... ¡te invitamos a que lo intentes!

En una pastelería, como oferta especial de febrero hornearán pasteles miniatura, con un costo de $10 cada uno y ofrece también varias posibilidades de empaque. a

Bolsa de papel sin costo

b

Caja de cartón con un costo de $5

c

Caja de acrílico con un costo de $15

d

Caja con forma de corazón con un costo de $25

CONTENIDO: Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

Proporcionalidad y funciones

¡Vamos a la pastelería!

TEMA

• ¿Cuál seria la función que te representa cada tipo de empaque?

a

y=

b

y=

c

y=

d

y=

Eje: Manejo de la información

287

• ACTIVIDAD 1

a

Ahora llena las siguientes tablas para calcular el precio de los pasteles de acuerdo al empaque que pida el cliente.

y= x

Proporcionalidad y funciones

y=

b

y

c

x

y=

y

y=

d

x

y

x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4

4

4

4

5

5

5

5

y

Haz la gráfica para cada una de las funciones con los datos que obtuviste y alárgalas con tu regla para que veas el comportamiento que toman.

Haz cada línea de un color diferente para que después puedas responder algunas preguntas: 80 70 60 50 40 30 20 10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80

288

Eje: Manejo de la información

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Proporcionalidad y funciones

•

Observa las rectas, la inclinación que tiene respecto a la horizontal, la posición que tiene una respecto a otra y responde: • ¿Cómo son las rectas entre sí?

En la ecuación

• ¿Mantiene la misma inclinación respecto a la horizontal?

• ¿Qué encuentras en común en todas las funciones?

y=mx+b

• ¿Qué encuentras en común en todas las rectas?

• ¿Qué varía en todas las funciones?

• ¿En qué punto del plano cartesiano, corta cada una de las rectas el eje de las ordenadas? a

_________________________

c

_________________________

b

_________________________

d

_________________________

Se conoce a la constante b como la ordenada al origen, es decir, es el punto en el que la recta corta al eje de las ordenadas: (0, b)

Busca una relación entre el par ordenado de cada cruce y la función de la recta.

De una función podemos obtener mucha información para poderla graficar.

Esto significa que el punto donde x toma el valor de cero, y toma el valor de b y en el plano cartesiano es el punto (0, b) Verifica si en las gráficas que has hecho a lo largo de este tema y el anterior, se cumple que b nos da el punto donde la recta cruza el eje de las ordenadas.

1

¿Qué pasa si en la ecuación

y=mx +b

le damos a “x” el valor de cero?

En las siguientes funciones encuentra la ordenada al origen y en tu cuaderno de centímetro cuadrado construye las gráficas correspondientes.

1

y = 2x + 1

( 0,

)

4

y = 2x - 4

( 0,

)

2

y = 2x - 1

( 0,

)

5

y = 2x + 1/2

( 0,

)

3

y = 2x + 3

( 0,

)

Eje: Manejo de la información

•

Proporcionalidad y funciones

En resumen tenemos entonces que en las expresiones de la forma y= mx+b al valor de b se le conoce como ordenada al origen debido a que es el valor que toma la y cuando x vale cero y determina también el punto (0,b) donde la recta corta al eje de las ordenadas.

Observa las gráficas… encuentra la función Observa las siguientes gráficas y encuentra la ecuación que le corresponde.

a

y=

b

y=

c

y=

d

y=

e

y=

10 9 8 7 6

(d)

5 4

(e)

3

(a)

2 1

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3

(c)

-4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

290

Eje: Manejo de la información

(b)

5

6

7

8

9

Proporcionalidad y funciones

•

Ahora en el siguiente plano cartesiano traza tres rectas; intercambia con un compañero tu trazo para que él encuentre la función correspondiente y encuentra tu la función de las rectas que trazarán tus compañeros.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Eje: Manejo de la información

291

Proporcionalidad y funciones

Ayuda a los alpinistas CONTENIDO: Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

TEMA

R

ealiza esta actividad en parejas. Cada uno de ustedes va a representar a uno de los alpinistas del siguiente ejercicio.

Dos alpinistas, Ramón y Manuel van a subir diferentes montañas y lo único que conocen es la inclinación que tiene cada una de ellas.

En sus geoplanos construyan la línea que marca la inclinación de cada una de las montañas Ramón

Manuel

8

8

6

6

4

4

2

2

0

2

4

6

0

8

2

4

6

8

Llena la tabla que te indica los pares ordenados de cada una de las montañas y establece la función que las describe.

x

Ramón y=

292

Eje: Manejo de la información

y

x

1 2 3

1 2 3

4

4

5 6 7 8

5 6 7 8

Manuel y=

y

Proporcionalidad y funciones

•

• ¿Cuál es la diferencia que hay entre las dos montañas?

• ¿Cuál de las dos montañas tiene mayor inclinación?

• ¿Cuál de las dos montañas tiene más pendiente?

Imagínate ahora que pudiéramos ponerle escalones a las montañas que subirán Ramón y Manuel tal y cómo lo marcan los siguientes geoplanos.

Ramón

Manuel

8

8

6

6

4

4

2

2

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

• Con ligas, marquen en sus geoplanos los escalones que tienen las montañas.

Observa bien los escalones que construiste y responde: • Para la montaña que subirá Ramón, por cada unidad que avanza en el eje de x, ¿cuánto sube en el eje de las y?

Podríamos entonces establecer una relación entre lo que sube (y) y lo que avanza (x):

y = 1 = 1 1 x Esta relación nos va marcando la inclinación o pendiente de la montaña.

Vamos ahora a analizar la montaña que subirá Manuel.

• Por cada unidad que Manuel avanza en el eje de las x, ¿cuánto sube en el eje de las y?

Podríamos establecer también una relación entre lo que sube y lo que avanza:

y = 2 = 2 1 x La relación que existe entre lo que se sube de la montaña con lo que se avanza de manera horizontal es lo que nos marca la pendiente de la montaña.

Eje: Manejo de la información

293

•

Se llama pendiente de una recta a la relación de cambio que existe entre el valor de y y el valor de x. Se encuentra representado con la letra m y es el coeficiente de x en la ecuación que describe a la recta.

y = mx + b pendiente

m= y x

Proporcionalidad y funciones

Entonces tenemos que para la montaña que subirá Ramón la pendiente es 1 y para la montaña que subirá Manuel la pendiente es 2.

Observa muy bien tus gráficas, las pendientes que acabamos de calcular y las funciones que te describen cada montaña.

• ¿En qué parte de la ecuación puedes encontrar los mismos valores de la pendiente?

En la función y = x tenemos el valor de 1 como coeficiente de la x y es el mismo valor que tiene la pendiente de la montaña correspondiente.

En la función y = 2x tenemos el valor de 2 como coeficiente de la x y es el mismo valor que tiene a pendiente de la montaña correspondiente.

En una ecuación de la forma y= mx la pendiente está representada por m.

Montañas con diferente inclinación Vamos a analizar las gráficas de montañas que tienen diferente inclinación o diferente pendiente.

A Paco y Alfredo les enviaron las ecuaciones que representan las montañas que ellos quieren escalar.

Para Paco la ecuación es y = 3x y para Alfredo al ecuación es y= ½ x Construye en tu geoplano las gráficas de cada ecuación con su respectiva tabulación y encuentra la pendiente de las montañas.

Paco y = 3x

8

x

6 4 2

0

294

Eje: Manejo de la información

2

4

6

8

y

Proporcionalidad y funciones

•

Alfredo y = 1/2 x

8

x

6

y

4 2

0

2

4

6

8

• ¿Qué montaña de las 4 que has trabajado con los alpinistas tiene más pendiente?

Montañas diferentes A veces es posible subir en coche o en camionetas hasta cierto punto de la montaña de tal manera que los alpinistas no tengan que iniciar el ascenso desde el nivel de inicio de la montaña.

En tu geoplano construye las montañas que quieren subir Jorge y José Antonio en las próximas vacaciones.

Jorge

José Antonio

8

8

6

6

4

4

2

2

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

• ¿Cómo es la pendiente de la montaña que va a subir Jorge?

• ¿Y la pendiente de la que subirá José Antonio?

Eje: Manejo de la información

295

•

Proporcionalidad y funciones

En el siguiente plano cartesiano vamos a representar la gráfica de la montaña de Ramón y la de Jorge para que las comparemos.

10

Jorge: y = x + 2

9 8

Ramón y = x

7 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

• ¿Cuál es la pendiente de ambas montañas?

• ¿Cuál es la diferencia entre la montaña que subirá Ramón con la que subirá Jorge?

• ¿A partir de qué punto empezará Jorge a subir la montaña?

La única diferencia es que Jorge subirá un poco la montaña en coche y empezará a subir a pie un poco más arriba que Ramón.

• Observa bien ambas ecuaciones: y = x José Antonio y = 2x + 2 Manuel y = 2x

10 9

y = x+2

• ¿Encuentras alguna relación entre “lo más arriba” que va a empezar a subir Jorge y la ecuación que describe la montaña?

8

• Vamos ahora a hacer lo mismo entre las montañas que subirán Manuel y José Antonio

7 6 5

• Observa ahora las ecuaciones y = 2x y =2x +2

4 3 2 1

1

296

2

3

Eje: Manejo de la información

4

5

6

7

8

9

10

• ¿Qué relación hay entre el punto donde José Antonio va a empezar a subir la montaña y la ecuación que la describe?

Proporcionalidad y funciones

•

En una ecuación en la que se establece una relación entre x y y, de la forma y=mx +b Tenemos que m nos da la pendiente de la ecuación y está determinada por la relación que mantiene y respecto a x:

m = y x Y tenemos también que b nos indica el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas o eje y y se llama ordenada al origen (0, b) • Con toda esta información que se puede obtener de una ecuación de la forma y= mx + b, ¿crees poder graficarla sin necesidad de tabularla?

Hagamos ejercicios

Inténtalo y con ayuda de tus compañeros y tu maestro, grafica las siguientes ecuaciones: a b c

y = 2x + 3 y = 6x y= x-3

d e

y = -x + 1 y = 2/3x + 2

En algunas ocasiones tendremos que el coeficiente de x es negativo, es decir que la pendiente m es negativa. Veamos qué sucede en esos casos.

Tabula y grafica la siguiente función: a

y= -3x + 2

x

y

Eje: Manejo de la información

297

•

Proporcionalidad y funciones

• ¿Qué observas en la gráfica que obtuviste?

• ¿Qué diferencia encuentras respecto a las rectas que habíamos venido trabajando?

• ¿Qué es lo que cambia cuando la pendiente es negativa?

En las siguientes ecuaciones encuentra la pendiente de la recta, la ordenada al origen y determina, junto con tus compañeros y maestro qué es lo que cambia cuando se cambia el signo de m y de b a

y= x+2

b

y = -x + 2

c

y = x -2

d

y = - x -2

Ahora, ya con toda la información que tienes, en tu cuaderno, traza un plano cartesiano y tres rectas, en la posición que quieras y con la inclinación que quieras. Intercambia tu cuaderno con un compañero y encuentra la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las rectas que tu compañero trazó y con esa información construye la ecuación que las describe.

298

Eje: Manejo de la información

V

amos a realizar una actividad en equipos de cinco integrantes.

Tomen una moneda cada uno y láncenla 10 veces al aire, registren cuántos soles y cuántas águilas caen en sus lanzamientos y con esa información completen la siguiente tabla, registrando cuántos soles y cuántas águilas obtiene cada uno de los participantes y los porcentajes de acuerdo a los 50 lanzamientos.

CONTENIDO: Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

Nociones de probabilidad

Comparando gráficas

TEMA

Nombre del integrante

Lanzamientos

Águila

% Fracción Decimal

Sol

% Decimal Fracción

Totales

Eje: Manejo de la información

299

•

Nociones de probabilidad

Con base a los datos obtenidos en la tabla elaboren una gráfica de barras:

40 35 30 25 20 15 5 0

Águila

Sol

Sin ver las gráficas de los demás equipos, ¿en qué creen que vayan a coincidir y en que van a diferir las gráficas de los otros equipos con la suya?

Copien sus gráficas en un papel grande para que puedan colocarla en el pizarrón o el algún lugar donde se puedan ver bien para compararlas.

• ¿Son iguales todas las gráficas?

• ¿En qué se parecen?

• ¿En qué son diferentes?

• Cuando lanzas al aire una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?, ¿y de que caiga sol?

Entre todos elaboren una gráfica de barras en la que se indique la probabilidad en los resultados del lanzamiento de una moneda y compárenla con las gráficas de cada equipo.

• ¿Qué observan en las gráficas?

300

Eje: Manejo de la información

Nociones de probabilidad

•

• ¿Coincide en los resultados de los lanzamientos?

La probabilidad frecuencial es aquella que se fundamenta en los datos obtenidos por encuestas o preguntas o por el resultado de algún experimento, en general estos resultados son los de la probabilidad real.

La probabilidad teórica es aquella que se determina por las reglas de la probabilidad sin que necesariamente se haya realizado el experimento.

Al repetir el experimento bajo las mismas condiciones y a mayor cantidad de repeticiones, la probabilidad frecuencial tiende a establecerse con un valor que coincide con la probabilidad teórica del evento.

La probabilidad real se entiende como el número de modos posibles en que puede suceder u evento comparado con todos los resultados posibles.

Resolvamos otro ejercicio: Ahora se trata de lanzar dado, ¿de acuerdo?

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad teórica de que caiga un número?

Elaboren una gráfica que represente estos resultados.

Tabla de Probabilidad teórica del lanzamiento de un dado

6/6 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 1

2

3

4

5

6

Eje: Manejo de la información

301

•

Nociones de probabilidad

Ahora de manera grupal lancen los dados 90 veces (organícense para hacer de forma grupal los lanzamientos), completen la siguiente tabla y con los resultados, elaboren también la gráfica.

Resultados obtenidos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6 Total Tabla de Probabilidad frecuencial del lanzamiento de un dado

6/6 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 1

2

3

4

5

6

Comparen ambas gráficas y respondan: • ¿Qué coincidencias hay entre ambas gráficas?

Si aumentáramos la cantidad de lanzamientos del dado, ¿Qué creen que pase? Justifiquen sus respuestas y arguméntenlas entre ustedes.

Como podrán darse cuenta, mientras más veces se realice el experimento más se acerca la probabilidad frecuencial a la probabilidad real.

Busquen más situaciones en las que crean que esto ocurre y coméntenlas en el grupo.

302

Eje: Manejo de la información

Síntesis

•

Síntesis:

L

legamos al final del bloque 5 y con él, también llegamos al final de tu segundo año de secundaria. Vamos a darte ahora un resumen de lo que trabajamos en éste último bloque para que tengas, como en los bloques anteriores un resumen de lo que trabajaste en el bimestre.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

Un sistema de ecuaciones es el conjunto de varias ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. La solución del sistema de ecuaciones es el conjunto de valores que las reducen a todas las ecuaciones a igualdades verdaderas.

Existen dos formas de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones: solución gráfica y solución analítica.

La solución gráfica de un sistema de ecuaciones se obtiene al graficar las ecuaciones y encontrar el punto de intersección de ambas rectas.

La solución analítica de un sistema de ecuaciones se encuentra mediante aplicaciones algebraicas a las ecuaciones. Estos métodos pueden ser: Suma y resta Igualación Sustitución

Simetría axial: Se conoce como simetría a la propiedad que presentan algunas figuras geométricas que mantienen una correspondencia en la forma, el tamaño y la secuencia de las partes que la componen respecto de una línea o punto.

Cuando un objeto geométrico presenta simetría respecto a una línea recta, se dice que tiene simetría axial.

Si dos figuras son simétricas respecto a un eje, llamado eje de simetría, a cada punto de un lado de dicho eje, le corresponde un punto del otro lado. A estos puntos se les conoce como puntos homólogos.

Síntesis • Bloque 5

303

•

Síntesis

Gráfica de una función: Como recordarás una función es la relación que se establece entre dos cantidades que pueden variar. La función es la regla de correspondencia entre ambas cantidades.

Una variable es una literal que se supone cambia de valor.

Las variables pueden ser dependientes o independientes: En la función y = 2x, la variable independiente es la variable en la cual sustituimos los valores, generalmente se representa con x. Es la variable que va cambiando su valor.

Por otra parte, la variable dependiente es el valor que la función toma, usualmente se representa con y. El valor de la variable dependiente, como su nombre lo indica, depende del valor que toma la variable independiente.

Una función lineal es una función que puede reducirse a una ecuación de la forma: y =m x +b La gráfica de una función lineal es una línea recta.

La ecuación y=mx representa una función lineal cuya gráfica es una línea que pasa por el origen.

La ecuación y=mx+b representa una función lineal cuya gráfica es una línea que no pasa por el origen.

Esta ecuación, puede darte mucha información acerca de la línea que la representa: y=mx+b Se conoce a la constante b como la ordenada al origen, es decir, es el punto en el que la recta corta al eje de las ordenadas: (0, b) También puedes encontrar la pendiente de la recta, es decir la relación de cambio que existe entre el valor de y y el valor de x. Se encuentra representado con la letra m y es el coeficiente de x en la ecuación que describe a la recta.

y = mx + b pendiente

m= y x 304

Síntesis • Bloque 5

Síntesis

•

Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica: La probabilidad frecuencial es aquella que se fundamenta en los datos obtenidos por encuestas o preguntas o por el resultado de algún experimento, en general estos resultados son los de la probabilidad real.

La probabilidad teórica es aquella que se determina por las reglas de la probabilidad sin que necesariamente se haya realizado el experimento.

Al repetir el experimento bajo las mismas condiciones y a mayor cantidad de repeticiones, la probabilidad frecuencial tiende a establecerse con un valor que coincide con la probabilidad teórica del evento.

Síntesis • Bloque 5

305

•

Evaluación

Evaluación En los siguientes ejercicios establece un sistema de ecuaciones adecuado para la resolución del problema. Después resuélvelo por el método algebraico para resolución de sistemas de ecuaciones que tú prefieras. Por último, grafica el sistema. (Maestro: tome cada inciso como un punto, de tal manera que cada ejercicio tenga un valor de 3 puntos).

Andrés compró un libro y tres cuadernos, pagó por ellos $180.00.

Su amigo Luis le preguntó cuánto le costó cada cuaderno pero Andrés no lo recuerda. Sólo recuerda que el libro le costó el doble de lo que le costaron los tres cuadernos juntos.

1

a

Establece el sistema de ecuaciones:

b

Resolución

c

Gráfica

Ecuación 1: x

306

Evaluación • Bloque 5

Ecuación 2: y

x

y

Evaluación

•

Si Julio suma su edad con la de su papá, el resultado es de 55 años. El papá tiene el triple de la edad de Julio más 10 años.

2

a

Establece el sistema de ecuaciones:

b

Resolución

c

Gráfica

Ecuación 1: x

Ecuación 2: y

x

y

Evaluación • Bloque 5

307

•

Evaluación

En la siguiente figura se nos borró el eje de simetría. Localízalo y completa la figura simétrica.

3

A B B´ C

D 4

Calcula el área sombreada de la corona y cuadrilátero curvilíneo e inventa un problema cuyos simuladores correspondan a dichas figuras.

R= r=

5u

R = 5u r = 2u

3.5u R

308

Evaluación • Bloque 5

120o

r

Evaluación

•

5

Si prolongamos el segmento AC ¿en cuáles diagramas, este segmento es secante de la circunferencia? Justifica tus respuestas. R:

a

b

A

A

75o

39o

25o

B

C

18o

B

C

La siguiente gráfica determina el precio de una taza de café: 6

Elige la respuesta que determine el costo de 30 tazas de café.

a

$200 $100 $50 $150 ninguna de las anteriores

b c d e

20 15 10 5

1

2

3

4

5

Tazas de café

Evaluación • Bloque 5

309

•

Evaluación

Considerando el problema anterior, si el precio de la taza de café se duplica, la gráfica tiende a: 7

a b c d e

posicionarse más a la horizontal ser curva posicionarse más a la vertical sería TOTALMENTE vertical

ninguna de las anteriores

En una ecuación de la recta del tipo y=mx+b, encierra el inciso que mejor determine el comportamiento de la gráfica anterior si...

8

...La pendiente es NEGATIVA:

a

e

la recta es totalmente horizontal la recta es totalmente vertical la recta es inclinada a la derecha la recta es inclinada a la izquierda ninguna de las anteriores

9

...La pendiente es POSITIVA:

a

e

la recta es totalmente horizontal la recta es totalmente vertical la recta es inclinada a la derecha la recta es inclinada a la izquierda ninguna de las anteriores

10

...La pendiente es CERO:

a

la recta es totalmente horizontal la recta es totalmente vertical la recta es inclinada a la derecha la recta es inclinada a la izquierda ninguna de las anteriores

b c d

b c d

b c d e

Realiza un experimento en el que lances dos dados y sumes los puntos obtenidos en cada lanzamiento. Determina el número de lanzamientos que quieras realizar.

11

310

Evaluación • Bloque 5

Evaluación

•

Primero construye una gráfica donde registres los resultados de la probabilidad teórica del experimento.

Después construye una tabla donde anotes tus resultados y después una gráfica donde registres tus resultados.

Compara tu gráfica con tus compañeros y analicen la diferencia entre la gráfica de probabilidad teórica, con las gráficas de los que decidieron hacer pocos lanzamientos y los que hicieron más lanzamientos.

Comenten sus resultados e intercambien opiniones.

Ahora formen 7 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 7 apartados de este bloque.

12

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.

13

Evaluación • Bloque 5

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