Libro secundaria 2 bloque 4

BLOQUE 4

M. C. Escher “Three intersecting planes” Xilografía, 1954

210

Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.

• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

• Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.

EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Patrones y ecuaciones

Medida

Proporcionalidad y funciones

• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

• Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones.

• Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

Análisis y representación de datos • Resolución de situaciones de medias ponderadas.

• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

211

Patrones y ecuaciones

Recordando lo que ya sabes...

CONTENIDO:

Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión TEMA aritmética de números enteros.

E

n el curso anterior, pudimos analizar varias sucesiones de números naturales, algunas las relacionamos con formas geométricas, pudimos plantear también una regla para encontrar cualquier número dentro de la sucesión.

ACTIVIDAD 1

Junto con un compañero tomen sus regletas café y colóquenlas como se muestra en el siguiente esquema.

• ¿Cuántas regletas usaron?

• ¿Cuántas filas de regletas muestra la figura?

• Si quisiéramos tener sólo 3 filas apiladas, ¿cuántas regletas usarían?

• ¿Y para 10 filas?

• ¿Podrías establecer una regla que te diga la cantidad de regletas que usarías en la fila n de la sucesión?

ACTIVIDAD 2

Construyan ahora con regletas blancas la siguiente sucesión y traten de encontrar la regla que nos define el patrón:

1

2

3

• ¿Qué relación encuentras entre el número de regletas que usaste para cada figura y la posición de la figura dentro de la sucesión?

212

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

Fíjate bien en las siguiente reglas y elige la que corresponde a la secuencia de regletas blancas que construiste.

1

n+3

2

(n +2) +1

3

(3n + 2) +1

4

3n

• ¿Podrías decir cuántas regletas necesitas para construir las figuras 10 y 14 de la sucesión?

• Ahora construye la secuencia que correspondería a las otras tres reglas que te dimos, encuentra los primeros 6 términos y además encuentra el término 12 y 17 de cada una de ellas.

ACTIVIDAD 3

Llamamos sucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el siguiente término.

Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, _ _ _ sigue la siguiente regla: «suma 1 al último término de la sucesión y al resultado multiplícalo por dos».

Vamos a construir sucesiones: Un pequeño submarino no tripulado que hace una investigación en el fondo del mar baja a una razón de 45 metros cada minuto. Recordemos que las medidas bajo el nivel del mar se consideran negativas.

Completa la tabla de acuerdo a la información que tienes: Tiempo

1 minuto 2 minutos 3 minutos 4 minutos 5 minutos

Metros • ¿Cómo obtienes el tercer término de la secuencia?

• ¿Cómo podrías saber a qué profundidad se encuentra el submarino después de 10 minutos de iniciado el descenso?

• ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a un naufragio que está a 200 metros de profundidad para tomar unas fotos?

• ¿Qué observas en la sucesión, va aumentando o disminuyendo?

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

213

• Una sucesión aritmética es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una diferencia constante.

El primer término de la lista se denota por a1 y la diferencia constante por d.

Podemos calcular el nésimo término an de la sucesión usando la fórmula:

an= a1 +d (n -1)

Patrones y ecuaciones

Escribe la regla general que describe a esta sucesión:

• ¿Encuentras alguna constante?

• ¿Qué operación haces con la constante, las sumas o la multiplicas?

A Alexis su papá le da $100 el lunes para sus gastos diarios. Gasta $26 promedio diario en transporte y almuerzo. Llena la siguiente tabla: Día

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Dinero • ¿Le alcanza a Alexis el dinero que le da su papá los lunes para toda la semana?

• ¿Cuántos días puede Alexis cubrir sus gastos con ese dinero?

Una sucesión geométrica es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una razón constante. Es decir, si dividimos

at + 1 at

=r

para cualesquiera dos términos consecutivos de la sucesión.

El primer término de la lista se denota por a1 y la razón constante por r. Podemos calcular el n-ésimo término an de la sucesión usando la fórmula:

• ¿A partir de que día tiene que empezar a pedir prestado para poder cubrir sus gastos?

• ¿Cuánto le tendría que dar a Alexis su papá para que le alcance para la semana?

Encuentra una regla general que describa la sucesión, y la constante que debes usar para que se cumpla.

Como verás, has trabajado con sucesiones que se construyen de diferente manera, en algunas sumas la constante y en otra la multiplicas.

Ejemplo: la sucesión: 4, 7, 10, 13, 16, 19,… es una sucesión aritmética ya que la diferencia entre dos términos consecutivos es 3, es decir a un término se le suma 3 para obtener el término anterior.

La sucesión 2, -6, 18, -54, 162,… es una sucesión geométrica ya que se requiere multiplicar cada término por -3 para obtener el término siguiente.

an = (a1) (r n-1)

214

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

•

A trabajar...

Analiza las siguientes sucesiones para determinar si son geométricas o aritméticas y encuentra la constante que se utiliza en cada una así como la regla general que la describe.

Sucesión

Geométrica o aritmetica

Constante

Regla general

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 7, -14, 21, -28, 35, -42 2, 5, 8, 11,14, 17, 20 1.5, 0, -1.5, -3, -4.5, -6 -4, 1, 6, 11, 16, 21, 26 0, -25, -50, -75, -100

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

215

•

Patrones y ecuaciones

¿Fácil o difícil?

Ahora te vamos a dar la regla de varias sucesiones y tú encuentra los ocho primeros términos de cada una así como el término 15 y el 30:

Regla

Los ocho primeros términos

Término 15

Término 30

n+5 4n -5n 2n-15 -2n+8 6n+8 15n -2n +1 -3n -2n-2 ½ n n2 -4n-5 n-21 4n+5 • Con un compañero inventa tres reglas y construyan las secuencias.

Después intercambia con otra pareja de compañeros sus secuencias, sin darles la regla y descubran las reglas. Comenten los resultados.

216

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

D

Tomate

on José Luis tiene una tienda de abarrotes, y su hijo Santiago le escondió las pesas de la balanza. Ahora se le ha complicado un poco las ventas porque le es difícil determinar el peso de las cosas.

Lo que hace es colocar diferentes cosas en los platos de la balanza para tratar de encontrar su peso.

Quiere saber el peso de una lata de tomate y se da cuenta de que la balanza queda nivelada si coloca objetos de los que si conoce su peso para equilibrarla de la siguiente forma:

1 kg 1 kg 1 kg

3 kg

5 kg

CONTENIDO:

Patrones y ecuaciones

La balanza de don José Luis Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, TEMA utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

• ¿Que te parece si utilizamos o tu tablero de positivos y negativos para representar cada uno de los platos de la balanza y representamos con regletas el problema de José Luis?

Representaremos el valor de lo que no conocemos con cualquier cosa.

Puedes hacer regletas de algún color de papel que no tenga el tamaño de ninguna de tus regletas.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

217

•

Tomate

Patrones y ecuaciones

b b b

v

=

a

• ¿Qué podemos hacer para encontrar el valor peso de la lata de tomate?

Analiza las siguientes preguntas y responde: • ¿Qué pasa si paso las tres regletas blancas de un plato al otro?

• ¿Qué pasa si agrego 4 kilos a cada plato?

• ¿Qué pasa si le quito lo mismo a cada plato?

• ¿Qué pasa si paso algo del plato de la derecha al de la izquierda?

• ¿Qué es lo que pasa si sumo lo mismo a cada lado?

• ¿Qué pasa si quito a ambos lados algo pero diferente?

• ¿Qué tengo que hacer para que mi balanza se mantenga en equilibrio?

Lo que tenemos en los platos podemos representarlo con una expresión matemática en la que el equilibrio lo representaremos como una igualdad.

Lata de tomate + 3b= a + v Si te parece, para no tener que escribir “lata de tomate” cada vez que lo necesitemos lo representaremos como “x” Entonces la representación matemática de nuestro problema quedaría

x + 3b = a + v • ¿Cómo podemos encontrar ahora el peso de la lata de tomate?

Vamos a quitar ahora lo mismo a cada plato para que el equilibrio no se pierda.

218

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

x

•

b b b

=

a

v

EL principio de la balanza nos sirve para mantener el equilibro o balance en una ecuación. Toda operación que se realiza en un lado de la igualdad, debe de realizarse también del otro lado para que ésta se conserve.

x + 3b = a + v Damos valor numérico a las regletas:

x+3 = 5+3 Quito 3 de cada lado de mi balanza.

x

b b b v

=

a

v v

x+3 -3 = 5+3-3

x

=

a

x = 5 ¡ Ya tengo el peso de la lata de tomate !

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

219

•

Patrones y ecuaciones

A la representación algebraica que acabas de construir se le llama ecuación.

Una ecuación es una igualdad que contiene cantidades desconocidas, por ejemplo:

En una ecuación intervienen símbolos cuyos valores son conocidos y símbolos cuyos valores son desconocidos o incógnitas.

Por ejemplo, la expresión:

x+x+4=x+6

x + 6 = 20

Tiene símbolos con valores conocidos como el 4 y el 6 y símbolos que se desconocen como x, y ó z que se llama incógnita.

Representemos la ecuación en tu tablero de positivos y negativos.

x x

R

x

=

V

x + x +4 = x+6 2x + 4 = x + 6 La incógnita es el símbolo literal cuyo valor se desconoce.

Generalmente se denotan a la incógnita usando las últimas letras del alfabeto:

t, u,v, x, y, z.

Resolvamos la ecuación: Una vez que tenemos representada y escrita la ecuación podemos manipular y sustituir nuestras regletas para hacer que nos quede una regleta incógnita sola en un plato de la balanza y así conocer su valor.

Describe a continuación los pasos a seguir para poder encontrar el valor de x en la ecuación: Paso 1 x x x

R

=

x x

2x - x + 4 = x - x + 6 220

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

V

Patrones y ecuaciones

• Paso 2

x

R

V

=

x+4 =6 Paso 3 x

R R

=

R

V

x+4-4=6-4 Paso 4 x

=

r

x=2 Lo que acabamos de hacer es resolver la ecuación. Cuando resolvemos una ecuación intervienes operaciones en cierto orden para lograr despejar la incógnita.

Hagamos ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones representándolas primero con regletas en tu tablero, registra los pasos que vas haciendo en tu cuaderno de centímetro cuadrado escribiendo el proceso que haces en cada paso: 1

X+8=8+6

2

3+x+10= 22+3 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

221

• 3

X+2=19

4

3x + 5 = 2x + 9

5

2x +12= x - 12

6

4x + 2= 3x +8

7

7x +1= 4x +16

Patrones y ecuaciones

¿Y si encuentro un paréntesis?

En algunas ecuaciones te vas a encontrar paréntesis, ¿recuerdas tu jerarquía de operaciones? De acuerdo a la jerarquía debemos trabajar primero el paréntesis y eliminarlo para poder trabajar después con las demás operaciones.

Por ejemplo: Resolvamos en tu tablero 4(x+1) = 20

x x x

Representamos:

x

N N

=

4 veces (x + 1 ) = 20 4 (x + 1 ) = 20 4x + 4 = 20

Ahora sí, ya no tenemos paréntesis y podemos despejar la x como o habíamos venido haciendo:

x x x x

222

R R

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

=

N N R

4x + 4 - 4 = 20 - 4

Patrones y ecuaciones

• Buscamos una regleta que me divida al 16 en 4 partes iguales:

x x x

V

x

N

=

x x x x

R R R R

=

4x = 16 4 4

Entonces:

x=4

Hagamos más ejercicios Resuelve ahora las siguientes ecuaciones. Recuerda que la incógnita puede estar representada por diferentes letras (x, y, z) pero el proceso para encontrar su valor es el mismo. Represéntalas en tu tablero de regletas si es necesario y no olvides la jerarquía de operaciones: 1

3(x+2)= 30 +x

5

5(x-4)=24

2

8+2(y-5)= 14

6

X+4(x-3)=28

3

6(y-1)=7y-12

7

25-(3x-5)= -60

4

4(2x+6)= 96

8

5(x-3)+x=21

¿Están bien mis resultados?

Para comprobar que el resultado que obtuviste al resolver una ecuación, debes sustituir el valor encontrado en donde esté la incógnita para verificar el resultado. Por ejemplo: Resolver: a

5 (x - 3 ) + x = 21

Quitamos paréntesis:

5x - 15 + x = 21 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

223

•

Patrones y ecuaciones

b

Sumamos los términos semejantes:

6x - 15 = 21

c

Sumamos 15 a cada miembro:

6x - 15 + 15 = 21 + 15

d

Reducimos:

6x = 36

e

Dividimos todo entre el mismo número:

6x = 36 6 6

f

Encontramos el valor de x:

x=6

Ahora comprobamos la ecuación:

5 (x - 3 ) + x = 21

a

Sustituimos x = 6

5 (6 - 3 ) + 6 = 21

b

Reducimos el paréntesis:

5 ( 3 ) + 6 = 21

c

Quitamos el paréntesis:

15 + 6 = 21

d

Reducimos nuevamente:

21 = 21

Si se cumple la igualdad, el valor de x que obtuvimos es correcto.

Regrésate hasta el principio del tema y comprueba que todos los resultados que habías obtenido fueron ciertos.

Y con las fracciones... ¿qué hacemos?

Cuando encontramos una ecuación que tiene una fracción, debemos de buscar la forma de eliminar los denominadores para poder resolverla.

No olvides que la ecuación es como una balanza en equilibrio y la única forma de mantener el equilibrio es hacer exactamente lo mismo en ambos platos de la balanza.

Recuerda también que lo que necesitamos para resolverla es dejar a la incógnita sola en un miembro de la igualdad para que en el otro miembro nos quede su valor. Los pasos a seguir son diferentes dependiendo de la situación pero las operaciones que podemos hacer a ambos miembros de la igualdad son suma, resta, multiplicación, división y en su momento verás que también habrá veces en que te convenga elevar a una cierta potencia e incluso sacar raíz.

Veamos un ejemplo: 224

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

Ecuación:

•

x =2 5 5 ( x ) = 5(2) 5

a

Podemos multiplicar ambos miembros por 5

b

Eliminamos paréntesis:

5x = 10 5

c

Simplificamos:

x = 10

Comprobamos:

x =2 5

a

Sustituimos x:

10 = 2 5

b

Resolvemos:

2=2

Como verás no es tan complicado, sólo hay que encontrar la operación adecuada para cada caso.

En resumen: • ¿Qué operación debes hacer a ambos miembros de la igualdad si quieres eliminar una cantidad que se está sumando?

• ¿Y para quitar una que se está restando?

• ¿Qué operación debes realizar para eliminar una cantidad que esté multiplicando a tu incógnita?

• ¿Y para eliminar una fracción?

Más ejercicios Resuelve ahora las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados: 1

X =6 2

3

4 =7 3

2

20 = 5 X

4

4x = 4 9

También se pueden resolver con un producto cruzado o regla de tres que has venido manejando desde la primaria, ¿recuerdas?

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

225

• Ecuación:

Patrones y ecuaciones

x =3 7

Sabemos que el denominador de un número entero es 1.

x = 3 7 1

Resolvemos como producto cruzado:

x = 3 1 7 1x = 7 (3) x = 21

Otro ejemplo:

7-x = 3+x 3 7

Hacemos productos cruzados:

7-x = 3+x 3 7

No olvides poner paréntesis:

3 (3 + x ) = 7 (7 - x )

Eliminamos paréntesis:

9 + 3x = 49 - 7x

Sumamos 7x a ambos miembros:

9 + 3x + 7x = 49 - 7x + 7x 9 + 10x = 49

Restamos 9 a ambos miembros:

9 - 9 + 10x = 49 - 9 10x = 40

Dividimos todo entre 10:

Reducimos: 226

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

10x = 10 x=4

40 10

Patrones y ecuaciones

•

Comprobamos:

7-x = 3+x 3 7

Sustituimos el valor de x:

7-4 = 3+4 3 7 3 = 3

Reducimos:

3 3

1=1

Resolvemos:

Conforme vayas avanzando en el curso, las ecuaciones se harán más complicadas per si tú sigues los pasos que hasta ahora has ido descubriendo, no vas a tener problema.

Recuerda siempre tu jerarquía de operaciones que te indica qué hacer primero, y las operaciones inversas que te van ayudando a resolver una ecuación.

Otra vez hagamos ejercicios Resuelve y comprueba: 1

9-b 5

=

5-b 2

2

4-x 2

=

7+x 4

3

y-1 6

=

-y+6 8

4

4x - 7 2+x = 3 2

¿En donde aplicaré las ecuaciones?

A nosotros nos interesa que todo lo que aprendas de matemáticas tenga una aplicación en tu vida cotidiana. Las ecuaciones pueden usarse para resolver problemas, pero una parte muy importante de la resolución de dichos problemas es que te tomes el tiempo necesario para analizar y distinguir la información que es importante en el planteamiento que se te hace, así como identificar tus incógnitas y las operaciones que debes hacer para resolverlas.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

227

•

Patrones y ecuaciones

Vamos a trabajar un poco con esto: La edad de Paloma es 4 veces la de su sobrina Luna. Si se le quita la edad de Sebastián, que es de 16 años, entonces queda el doble de la edad de Luna. ¿Qué edad tiene Luna?

1

Ramón tiene un negocio de reparación de ropa, en la que hacen dobladillos, pegan botones, cambian cierres rotos, etc. Las ventas del mes de diciembre fueron tres veces mayores que las de noviembre, pero apenas la mitad de las ventas de enero. Si en total las ventas de los tres meses fue de $55 000. ¿Cuánto se vendió en cada mes?

2

Un rectángulo tiene un perímetro de 72 cm. Si uno de sus lados mide x+5 y el otro mide x+1, ¿cuál es el valor de x?, ¿cuánto mide cada lado del rectángulo?, ¿qué área tiene el rectángulo?

3

Tenemos dos figuras cuyos perímetros son iguales, calcula la medida del lado que desconocemos.

4

x 2 cm 8 cm

10 cm

Si el área de las siguientes figuras es de 64cm2, encuentra la altura del rectángulo.

5

64 cm2

x 16 cm

Junto con un compañero inventa un problema en el que se tenga que establecer una ecuación para su resolución. Intercambia tu problema con otro equipo para que lo resuelvan y analicen si la redacción fue correcta y pudieron expresar lo que querían.

6

228

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

C

omo ya hemos trabajado con el geoplano circular, sabemos que la circunferencia está repartida en 24 arcos de 15o cada uno, lo cual nos lleva a la conclusión de que el círculo de nuestro geoplano se compone de 24 ángulos centrales, haciendo un total de 360o.

CONTENIDO:

Medida

Ángulo central e inscrito en la circunferencia Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus TEMA relaciones.

ACTIVIDAD 1

Resuelve lo que se te pide.

1

En la figura 1 el arco AB mide 15o, por lo tanto el AOB mide 15o por ser un ángulo central. Este ángulo tiene su vértice en el centro del círculo.

A

B C

O D E Fig. 1

F

a

¿Cuántos grados miden los siguientes ángulos?

AOC = BOC = BOD = AOD =

COD = COF = AOE = AOF =

Eje: Forma, espacio y medida

229

• 2

Medida

En el círculo de la figura 2 traza los radios OA y OB.

Considerando los líneas del AB, AO y OB como los lados de un triángulo ¿Qué tipo de triángulo es? a

b

¿Cuántos grados mide el

c

¿Cuántos grados suman los ángulos interiores de un triángulo?

Si ya tienes el valor del tar los del triángulo AOB?

AOB?

AOB, ¿Cuántos grados faltan para comple-

d

En relación a su longitud, ¿cómo son los lados OA y OB del triángulo AOB? e

f

¿Cuánto grados mide el

OBA?

g

¿Cuánto mide el

h

¿Por qué crees que los dos ángulos son iguales?

OAB?

3

A

C

B

D

O

O G H

Fig. 2

Fig. 3

E

F O

Fig. 4

En la figura 2, traza los radios OH y OG y escribe las medidas de los siguientes ángulos: a

GOH = GHO = HGO = En las figuras 3 y 4 traza los radios OC, OD, OE y OF, y escribe las medidas de los ángulos: b

230

Eje: Forma, espacio y medida

Medida COD = ODC = OEF =

•

OCD = EOF = OFE =

4

En la figura 5 tenemos ángulos centrales compartiendo el mismo arco con ángulos inscritos, los vértices de estos últimos hacen contacto con la circunferencia. a

Escribe si los ángulos son centrales o inscritos: AOB es: ADC es: AOD es: AOC es: BDC es:

A B

BOC es: O

C D

Fig. 5

b

¿Cuántos grados mide el

AOB?

c

¿Cuántos grados mide el

BOD?

Si el BOD mide 180o, entonces en función de la amplitud de sus lados, ¿De qué ángulo se trata? d

5

El AOB comparte el arco AB con el ADB, pero no tienen la misma medida en grados porque la amplitud de los ángulos es diferente. Para encontrar el valor del ADB nos apoyaremos en el BOD que mide 180o por ser ángulo colineal.

El AOB mide 30o ya que el arco AB tiene dos espacios de 15o cada uno. Sumando AOB + AOD = 180o por ser ángulos suplementarios. a

Sustituyendo valores: 30o + Despejando:

AOD = 180o

AOD = 180o - 30o AOD = 150o

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o, al AOD hay que agregarle los valores de los ángulos OAD y ODA que suman entre los dos 30o. b

Eje: Forma, espacio y medida

231

•

Medida

El triángulo AOD es isósceles por tener dos lados iguales OA y OD, lo OAD = ODA, y que cada ángulo mide 15o. Por lo que significa que ADB mide 15o, o sea la mitad del ángulo central AOB. tanto el c

d

En la figura 6 podemos observar que el ODA = AOE, y que AOE = ½ del AOB.

6

En la figura 6 el

BOC y el

BDC comparten el arco BC. A

E

B

O C D Fig. 6 a

¿Cuántos grados mide el arco BC?

b

¿Cuántos grados mide el

BOC?

c

¿Cuántos grados mide el

BOD?

d

¿Por qué?

e

¿Cuántos grados mide el

COD?

f

¿Cuántos grados mide el

ODC?

g

¿Cuántos grados mide el

OCD?

7

En la figura 7 hay varios ángulos inscritos compartiendo el arco AF con el AOF. ¿Cuántos grados mide cada ángulo?

AOF = ABF = ACF = ADF = AEF = 8

C

D E

F

B

O

A

Fig. 7

Trata de definir con tus propias palabras el procedimiento para encontrar la medida de los ángulos inscritos.

232

Eje: Forma, espacio y medida

CONTENIDO:

E

n tu geoplano rectilíneo coloca 2 ligas como se te indica e imagina que son los ejes de coordenadas de una gráfica.

Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Análisis y representación de datos

El plano cartesiano

TEMA

• ¿Cómo se le llama al eje vertical?

• ¿Con qué literal se representa normalmente?

• ¿Cómo se le llama al eje horizontal?

• ¿Con qué literal se representa?

• ¿Cómo se le llama al punto donde se intersectan los ejes de coordenadas?

• ¿Cómo se representa el punto de intersección?

Localiza en tu geoplano los siguientes puntos:

( 0,1 )

( 3,3 )

( 4,3 )

( 2,4 )

( 0,2 )

( 2,0 )

( 3,1 )

( 1,3 )

( 1,0 )

( 2,2 )

Eje: Manejo de la información

233

•

Proporcionalidad y funciones

• ¿Recuerdas qué nombre se le da a cada pareja de números?

Plano cartesiano Sistema de coordenadas en el cual los ejes son mutuamente perpendiculares y ambos utilizan la misma unidad de medida.

• ¿Qué representa el primer número en un par ordenado?

El plano cartesiano utiliza un sistema de coordenadas cartesianas (rectangulares) para determinar las coordenadas de los puntos.

Al plano cartesiano también se le llama «plano coordenado».

El plano cartesiano está formado por el eje de las abscisas (que comúnmente se representa con x), el eje de las ordenadas (que se representa normalmente con y) y los pares ordenados (x,y), que nos permiten ubicar cada punto.

• ¿Qué representa el segundo número en un par ordenado?

Al conjunto de todas estas representaciones se le llama plano cartesiano.

El plano cartesiano tiene 4 cuadrantes que se forman con la prolongación de los ejes hacia abajo y hacia la izquierda del origen.

Ya has trabajado con ellos en la primaria, ¿recuerdas?

y 5

Cuadrante II

4

Cuadrante I

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1

2

3

4

5

x

En el plano cartesiano podemos hacer gráficas de funciones para poder observar e incluso pronosticar el comportamiento de un fenómeno de acuerdo al tipo de variación que presente.

Podemos ver si la variación es proporcional, intervalos entre un punto y otro, y muchas cosas más.

-2

Cuadrante III

-3

Cuadrante IV

-4 -5

A CTIVIDAD 1

Vamos a trabajar ahora en equipos de 4 compañeros.

Cada uno va a ser un cuadrante del plano cartesiano y colocará las ligas de los ejes de coordenadas en la posición correcta, con respecto al origen.

A continuación te damos una lista de pares ordenados y ustedes tienen que decir a qué cuadrante corresponden y ubicarlos en sus geoplanos de acuerdo al cuadrante que cada uno represente.

234

Eje: Manejo de la información

( -1, 2 )

( 3, 4 )

( 0, 0 )

( 3, -2 )

( -4, -1 )

( -3, 4 )

( 1, 2 )

( 4, -2 )

( -1, -1 )

( -4, -2 )

( 1, -1 )

( 2, -3 )

( 1, 1 )

( 1, -2 )

( -1, 1 )

•

Proporcionalidad y funciones

Ahora cada uno de ustedes, por turnos, señale un punto en su cuadrante y que sus compañeros de equipo digan el par ordenado al que pertenece.

Describe brevemente cómo reconoces a qué cuadrante corresponde un par ordenado.

En un sistema de coordenadas rectangulares, el plano queda dividido en 4 regiones. Cada una de esas regiones es un cuadrante.

Cuadrante I: Cuadrante II: Cuadrante III: Cuadrante IV: ACTIVIDAD 2

En el siguiente plano cartesiano localiza los siguientes pares ordenados: y A

( 3, 1 )

B

( 5, 3 )

C

( 3, 5 )

D

( 1, 3 )

5 4 3 2 1 -5 -4

-3 -2

-1

0 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Une con color negro los puntos ABCD para formar un cuadrilátero.

Con color rojo, traza una figura A’B’C’D’ simétrica a ABCD respecto al eje vertical.

Traza una figura A’’ B’’ C’’ D’’ simétrica a ABCD respecto al eje horizontal.

Localiza los pares ordenados de cada punto: A

B

C

D Eje: Manejo de la información

235

•

Proporcionalidad y funciones

A’

B’

C’

D’

A’’

B’’

C’’

D’’

A’’’

B’’’

C’’’

D’’’

Hagamos ejercicios Doña Tere vive en el Distrito Federal y últimamente a habido mucha escasez de agua.

El gobierno del Distrito Federal le mandó una notificación de los días que recibirá agua y las cantidades que serán suministradas.

1

Diego, su nieto, le hizo unas gráficas de cuánta agua tendría en la cisterna durante esos días. Diego tomó en cuenta también la cantidad de agua que había los días en que la cisterna no estaba vacía al iniciar el día.

Lunes 550

Agua en la cisterna (litros)

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

1

2

3

Horas 236

Eje: Manejo de la información

4

5

6

Proporcionalidad y funciones

•

MiĂŠrcoles 550

Agua en la cisterna (litros)

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

1

2

3

4

5

6

4

5

6

Horas

Viernes 550

Agua en la cisterna (litros)

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

1

2

3

Horas Eje: Manejo de la informaciĂłn

237

•

Proporcionalidad y funciones

Sábado 550

Agua en la cisterna (litros)

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

1

2

3

Horas

4

5

6

• ¿Durante cuántas horas se hará el suministro de agua?

• ¿En qué día había más agua en la cisterna al iniciar el día?

• La cantidad de agua que entra por hora depende de la presión con la que se bombea el suministro. ¿En qué día de los que graficó Diego el agua tenía más presión?

• ¿En qué día el suministro de agua no fue constante? ¿Por qué?

• ¿En qué días el suministro de agua y la cantidad de agua en la cisterna mantienen una relación directamente proporcional?

• ¿Qué características tienen las gráficas que mantienen una proporción directa?

• Construye una tabla que represente el suministro de agua y el tiempo de cada una de las gráficas.

• Indica qué tablas son directamente proporcionales y justifica tu respuesta.

• Establece una expresión algebraica para las gráficas que puedas.

238

Eje: Manejo de la información

E

n este tema veremos de qué forma se aplican las ecuaciones que estuviste trabajando en el tema anterior a problemas relacionados no sólo con las matemáticas, sino con otras materias.

Por ejemplo: En economía y finanzas, se requiere de ecuaciones para calcular la conversión de monedas como dólares a pesos mexicanos y estos a su vez a euros, etc. También usamos ecuaciones para calcular las tasas de interés y el rendimiento de una inversión de dinero en un banco.

En medicina, las ecuaciones son de suma importancia pues nos ayudan a calcular la dosis de medicamento que se debe de dar a un individuo de acuerdo a su peso y estatura, no podemos dar la misma dosis a un bebé que a un niño de 8 años o a un adulto.

Los veterinarios también necesitan calcular la cantidad de medicamento que le dan a un becerro o a un toro.

En física la conversión de escalas de temperaturas, el movimiento de un cuerpo, la velocidad, la aceleración, entre otras muchas cosas se calculan mediante ecuaciones.

CONTENIDO: Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

Proporcionalidad y funciones

Aplicación de las ecuaciones

TEMA

Eje: Manejo de la información

239

•

Proporcionalidad y funciones

Cómo se alarga un resorte En la central de abastos, tienen un resorte para pesar los costales de naranjas.

El resorte tiene 10 cm de longitud cuando no tiene peso, y por cada medio kilo que se le cuelga de peso se extiende un centímetro Completa la siguiente tabla para que veas la relación entre la longitud del resorte y el peso que se le cuelga.

Peso

Longitud total del resorte Cuánto se alarga

0

10 centímetros

0

1/2 kg

11 centímetros

1

1 kg 2 kg 3 kg

• Si el alargamiento máximo que aguanta el resorte es de 10 centímetros, ¿cuál es el peso máximo que se puede colgar?

• ¿Si aumentamos el peso que está colgado al doble, el alargamiento del resorte también es del doble?

• Establece la ecuación que te describe el problema.

Qué tan rápido viaja un automóvil En un viaje que hicieron Mariel y Ramón de Puebla a Oaxaca por carretera hicieron un recorrido de 344 km. De Puebla a San José Miahuatlán, el recorrido es de 152 km, mismos que pudieron recorrer a una velocidad constante de 110 km/h ya que salieron temprano de casa. Se detuvieron a desayunar y tardaron 35 minutos en el desayuno. Cuando retomaron la carretera ya había más tráfico y viajaron a una velocidad constante de 95 km/h.

Establece la ecuación que nos ayuda a encontrar el tiempo que tardaron de Puebla a San José y de San José a Oaxaca.

240

Eje: Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones

•

• ¿Puedes calcular ambos tiempos con la misma ecuación?

• ¿Por qué?

• Calcula el tiempo parcial de cada recorrido, el tiempo total del viaje y a qué hora llegaron a Oaxaca si salieron de Puebla a las 6 de la mañana.

Y en la medicina, ¿qué podemos calcular? ¿Sabes cuánta sangre tenemos en nuestro cuerpo? ¿Crees que todos tenemos la misma cantidad? Se calcula que un adulto sano tiene aproximadamente un litro de sangre por cada 10 kg de masa.

• ¿Puedes establecer una ecuación que nos ayude a calcular la cantidad de sangre que tiene cualquier persona adulta si conocemos su masa?

• ¿Cuánta sangre tiene un hombre que tiene una masa de 68.2 Kg? • ¿Puedes calcular cuánta sangre tienes aproximadamente en tu cuerpo?

Los ingenieros civiles también usan ecuaciones Se construyó una presa con una capacidad de 150 000 000 000 m3. El río que la alimenta tiene un caudal de aproximadamente unos 70 000 litros por minuto.

Escribe una ecuación que nos indique el llenado de la presa en función del tiempo considerando la presa vacía.

• Si la presa tuviera 3 000 000 de litros de agua, ¿cuál sería la ecuación que describe el llenado?

• ¿Cuánto tiempo se tomará en ambos casos el llenado de la presa?

Como verás las ecuaciones tienen muchas aplicaciones en muchas materias. Toma tu libro de física y busca al menos dos situaciones en las que se aplica una ecuación para la resolución del problema.

Eje: Manejo de la información

241

Análisis y representación de datos

¿Todos cuentan igual?

CONTENIDO: Resolución de situaciones de medias ponderadas.

TEMA

E

En temas anteriores ya has trabajado con el promedio o media aritmética. ¿Recuerdas cómo resolvías problemas de este tipo?

Veamos: En un elevador viajan 9 personas, cuyos pesos son 77, 85, 65, 75, 68, 77, 72, 68 y 43 kg respectivamente.

1

• ¿Puedes cuál es el peso promedio de estas siete personas?

• ¿Qué te representa este promedio?

• ¿Cuál es el proceso que seguiste para encontrar este promedio?

Resolvamos otro ejercicio, es importante que analices bien primero los datos que se te dan antes de resolverlo.

A un conjunto de 6 números cuya media aritmética es de 8.17 se le añaden los números 3.82 y 5.45.

2

• ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

Compara tus resultados con tus compañeros, analicen lo que hicieron para resolverlo. Si los resultados son diferentes, analicen los pasos que siguieron para encontrar en dónde está la diferencia en sus procesos.

242

Eje: Manejo de la información

Análisis y representación de datos

•

Respondan las siguientes preguntas: • ¿Cuáles son los datos del problema?

• ¿Tiene todos estos datos el mismo peso dentro de la resolución del problema? ¿Por qué?

• ¿Qué propones para que se pueda nivelar la diferencia entre el peso de los datos dentro del problema?

Comenten entre ustedes y con su maestro, qué es lo que deben hacer para resolver el problema de manera correcta.

Lo que estamos haciendo es ponderar los datos para encontrar de forma correcta la media aritmética. ¿Qué significa ponderar? Ponderar significa determinar el peso de algo, equilibrar. Es decir, ponderar implica dar a cada uno de los elementos del conjunto con el que se trabaja el peso o importancia que se requiere.

En el caso del ejercicio que acabas de resolver, lo que debes hacer es obtener una media ponderada.

La media ponderada se utiliza cuando no todos los elementos de los que se requiere encontrar la media aritmética o promedio tienen la misma importancia.

Resolvamos otro ejercicio:

Dentro de un elevador van 10 personas. Seis de ellas son hombres y cuatro mujeres. El promedio de peso de los hombres es de 80 kg y el promedio de peso de las mujeres es de 50 kg.

3

La media ponderada es una medida de tendencia central, que se determina en un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular, considerado su peso. Con los resultados de cada uno de los datos, se obtiene la media aritmética de todos los productos anteriores.

• ¿Cuál es el peso promedio de las 10 personas que van en el elevador?

Justifica tu respuesta.

Eje: Manejo de la información

243

•

Análisis y representación de datos

• ¿Tienen los datos del problema el mismo peso en la solución?

• ¿Todos los datos representan la misma contribución al promedio general?

• ¿Crees que requieras aplicar una ponderación para resolver el problema?

Hagamos un análisis: • ¿Qué porcentaje de las personas que van en el elevador pesa 80 kg?

• ¿Qué porcentaje pesa 50 kg?

• Si sumamos los porcentajes que obtuviste, tendremos el 100%, ¿cierto?

Representa ahora los porcentajes en decimales: Porcentaje de personas que pesan 80 kg = ____ % =_____ Porcentaje de personas que pesan 50 kg = ____ % =_____ Ahora multiplicamos estos porcentajes por el peso de las personas para obtener el promedio ponderado: 80kg (_____) + 50kg (_____) = ________ ¡Este resultado es el promedio ponderado!

• ¿Coincide con el resultad que obtuvieron tus compañeros y tú por el método individual de cada uno?

Comparen resultados y compartan sus comentarios con su maestro.

244

Eje: Manejo de la información

Análisis y representación de datos

•

Hagamos ejercicios Vamos a ejercitarnos ahora: Una empresa tiene 80 empleados, de los cuales 65 ganan $10.00, x hora y 15 ganan $14.00 x hora ¿Cual será la ganancia promedio por hora de los empleados?

1

Las siguiente tabla muestra los 4 exámenes que presento un alumno en su curso de Historia. Cada examen tiene un peso diferente en la calificación final. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes y las calificaciones que el alumno obtuvo: 2

Examen

Pesos

Calificación

1°

20%

9

2°

40%

6

3°

15%

10

4°

25%

8

• ¿Cuál será su calificación promedio en el curso de historia?

Diego juego Hockey sobre pasto. En un partido el equipo gana 3 puntos por cada partido ganado, 2 puntos por cada partido empatado y 1 punto por cada partido perdido.

3

Si durante la temporada el equipo de Diego ganó 8 partidos, empató 7 y perdió 5 partidos; ¿Cuál es el promedio ponderado de los puntos obtenidos en la temporada?

Eje: Manejo de la información

245

•

Análisis y representación de datos

4 Una constructora le paga a sus empleados del turno 1 $25 x hora, a los del turno

2 $20 x hora y a los del turno 3 $30 x hora. Si hay 12 empleados en el turno 1, 16 en el turno 2 y 12 en el turno 3. ¿Cuál es el salario medio ponderado por hora que se les paga a los empleados en la constructora?

En un camión de pasajeros viajan 4 personas, 30 adultos y 10 niños. Si la edad promedio de los adultos de 40 años y la de los niños es de 6 años, ¿cuál es la edad promedio de las 40 personas que viajan en el autobús?

5

Para la calificación final de matemáticas, el maestro de Macarena les informó que se considerarán los siguientes aspectos: examen individual, trabajo en equipo, participación individual en clase, tareas completas, calificación del cuaderno.

7

Macarena tiene un promedio de 8 en el examen individual y la calificación del cuaderno y un promedio de 7 en los demás aspectos a considerar.

El maestro dice a Macarena que tiene un promedio de 7.4 y que en el redondeo baja a 7 pero según ella su promedio es de 7.5 y en el redondeo sube a 8.

• ¿Quién tiene la razón?

Justifica tu respuesta.

Ahora vamos a trabajar en equipos de 4 ó 5 compañeros. Cada equipo invente dos situaciones cuya resolución requiera calcular un promedio ponderado.

Expongan algunas de las situaciones que inventaron a los demás compañeros, resuélvanlas de forma grupal y comenten sus resultados.

246

Eje: Manejo de la información

Síntesis

•

Síntesis: A continuación te damos la síntesis para el bloque 4, para que recuerdes los conceptos más importantes con los que trabajamos en este bloque. Es importante que los leas y los recuerdes pues los utilizarás a lo largo de tu formación secundaria.

Series y sucesiones:

Llamamos sucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el siguiente término.

Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, _ _ _ sigue la siguiente regla: «suma 1 al último término de la sucesión y al resultado multiplícalo por dos».

Una sucesión puede ser geométrica o aritmética.

La sucesión aritmética es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una diferencia constante.

El primer término de la lista se denota por a1 y la diferencia constante por d.

Podemos calcular el n-ésimo término an de la sucesión usando la fórmula: an = a1 +d (n -1) Mientras que la sucesión geométrica es la lista de números que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una razón constante.

Es decir, si dividimos at + 1 at

=r

para cualesquiera dos términos consecutivos de la sucesión.

El primer término de la lista se denota por a1 y la razón constante por r. Podemos calcular el n-ésimo término an de la sucesión usando la fórmula: an = (a1) (r n-1)

Ecuaciones:

En este bloque conociste el principio de la balanza que nos sirve para mantener el equilibro o balance en una ecuación. Toda operación que se realiza en un lado de la igualdad, debe de realizarse también del otro lado para que ésta se conserve.

Se conoce como ecuación es una igualdad que contiene cantidades desconocidas, por ejemplo: x + 6 = 20 Síntesis • Bloque 4

247

•

Síntesis

Ángulo central e inscrito en la circunferencia El ángulo central es el que está formado por dos radios A

B

O

El ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco de un ángulo central.

D

A

A

A B

B

B C

O

O

O

La media ponderada La media ponderada es una medida de tendencia central, que se determina en un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular, considerado su peso. Con los resultados de cada uno de los datos, se obtiene la media aritmética de todos los productos anteriores.

248

Síntesis • Bloque 4

Evaluación

•

Evaluación Encierra la respuesta correcta.

1

Encuentra los primeros 6 términos de las siguientes sucesiones:

a

n-1

b

1/n

c

(1/n)+1

d

1/(n+1)

2 Calcular los ángulos que se te solicitan a partir de los datos registrados en la figura.

C

Ángulo A________ Ángulo B________ Ángulo C________

D 130o A

Evaluación • Bloque 4

249

•

Evaluación

En la secundaria regional se organizó un torneo de futbol. El grupo de 2ºC fue encomendado para un experimento. Ellos deben generar una ecuación que determine el consumo del agua de sabor con los siguientes datos: 3

Lts (y)

Personas (x)

1/4

1

1/2

2

3/4

3

1

4

1 + 1/4

5

Elabora una ecuación que te represente el consumo de agua.

En una tienda se venden durante una semana 30 paquetes de frijol de $23.00 el paquete, 50 paquetes de frijol de $18.00 el paquete y 20 paquetes de frijol de $20.00. ¿Cuál es el costo medio de los 100 paquetes?

4

250

Evaluación • Bloque 4

Evaluación

•

Ahora formen 6 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 6 apartados de este bloque.

5

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.

6

Evaluación • Bloque 4

251