Libro secundaria 2 bloque 2

BLOQUE 2

M. C. Escher “Dado con cintas mágicas” Litografía, 1957.

104

Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados • Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios.

• Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Establece relaciones de variación entre dichos términos.

EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Problemas aditivos

Medida

Proporcionalidad y funciones

• Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.

• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

• Construcción de triángulos con base en ciertos datos.

Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Nociones de probabilidad

• Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.

Problemas multiplicativos • Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

105

Problemas aditivos

Utilizando todas las operaciones

TEMA

CONTENIDO: Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.

L

as matemáticas tienen muchos usos, uno de ellos es resolver problemas y otro es interpretar situaciones diversas. Es como otro idioma y debemos aprender a interpretarlo, escribirlo y verbalizarlo.

Por ejemplo, interpretemos lo siguiente: Para comer a la hora de recreo, en casa te has preparado un sandwich (emparedado) con los siguientes ingredientes: · 2 rebanadas de pan · 1 rebanada de jamón · 2 cucharadas de mayonesa Estos ingredientes son los comunes para preparar un sólo sandwich, lo cual lo podríamos interpretar de la siguiente manera:

1 sandwich =

2 rebanadas de pan

+

1 rebanada + 2 cucharadas de jamón de mayonesa

¿Te das cuenta cómo ya usamos algunos símbolos matemáticos para interpretar ésta situación? El símbolo de la suma.

Pero también te darás cuenta que es muy larga su interpretación con palabras, así que abreviaremos de la siguiente manera: Interpretación común

106

Interpretación matemática

1 sandwich

1s

2 rebanadas de pan

2p

1 rebanada de jamón

1j

2 cucharadas de mayonesa

2m

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas aditivos

•

Pues bien, ahora expresemos lo anterior aún más reducido para ahorrar escritura:

1s = 2p + 1j + 2m Los matemáticos se han enfrentado a este tipo de situaciones y para no confundir a quienes leen estas matemáticas, deciden usar diferentes letras para diferentes significados.

Por ejemplo, para referirse a un número específico pero desconocido, lo más común es usar “x” y para referirse a otro número diferente podrían usar “y”, de manera que por lo regular usan las últimas letras del abecedario.

Usemos un ejemplo diferente: Para hacer un jugo energético en la tienda de la escuela usan los siguientes ingredientes: · 2 zanahorias · 1 limón (jugo) · 3 apios · 2 vasos de jugo de naranja · 1 rebanada de piña En la siguiente tabla escribe una interpretación más abreviada y matemática como en la tabla anterior y completa ambas columnas para un jugo energético: Interpretación común

Interpretación matemática

2 zanahorias 1l 3 apios

3a

2 vasos de jugo de naranja 1 rebanada de piña

Así que ahora ya puedes interpretar lo siguiente: 1j = 2 z + 1l + 3a + 2n + 1p Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

107

•

Problemas aditivos

Muy bien, ahora sabes que puedes interpretar ciertas situaciones con literales y que en matemáticas se usa mucho esta estrategia. ¡Vamos a usar tus regletas!

ACTIVIDAD 1

Tomemos 3 regletas de diferente color, por ejemplo: rojo, verde claro y rosa y expresemos la suma en literales:

r+v+R=A Tú conoces el valor de las regletas y sabes que la regleta r= 2, v= 3, R= 4 y A= 9. Pero si en este ejemplo tuviéramos mas regletas rojas, por ejemplo:

r+v+R+r Podríamos expresarlo de la siguiente manera:

r + v + R + r = 2(r) + v + R Te das cuenta que las regletas rojas las podemos agrupar, de manera que si tuviéramos más regletas rojas quedarían expresadas de forma agrupada, por ejemplo:

r + v + R + r + r + r + r + r = 6(r) + v + R Ahora en los siguientes ejercicios sólo agrupa según te convenga, no es necesario resolver: 1

R+v+A+R=

2

V+V+v+c+n=

3

N+a+n+N+r+r+a=

4

c+n+n+c+n+a+A=

5

b+r+v+R+b+r+v+R=

Bien, ya agrupaste términos iguales, a éstos términos los llamaremos también términos semejantes.

108

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas aditivos

•

Hagamos ejercicios: 1

Resuelve

a

2x – y + 5x + 4 =

b

p + 2p + 1 =

c

m+m+2+n=

d

4m + n – m + 2 – 1 =

e

3x + 20 + 2x – y =

f

6m + 35 – 4a – 34 =

g

–2x + 2y – 3x + 3y + 8 =

h

–2x – 2y – 2z – 3a – 4b – 5c + x + y + z + 3b + 4c =

Como verás las matemáticas no tienen límites y se pueden usar las literales en muchos tipos de situaciones, por ejemplo: 2

La fórmula del área del rectángulo es: A = b ( a )

Altura = a

Base = b ¿Te das cuenta, cómo usas desde la primaria las literales para expresar diferentes situaciones?

• Y si la base de rectángulo midiera “x” y la altura “y”... ¿Cómo escribirás la fórmula? (Puedes usar paréntesis) A = ____________________

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

109

• 3

Problemas aditivos

Ahora expresa los siguientes perímetros: p

p

y

y

n x P = ________________

n m

P = ________________

Expresa de manera general y simplificada, cada una de las siguientes situaciones:

110

1

La suma de tres números consecutivos _______________________

2

La suma de cuatro números consecutivos _____________________

3

La suma de cinco números consecutivos ______________________

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas aditivos

•

Juguemos con expresiones algebraicas Completa la siguiente tabla.

Expresiones en palabras

Expresiones en álgebra

Escoge un número cualquiera

x

Suma 5 a ese número

x+5

Escoge otro número diferente Resta 5 a ese número Escoge un número natural

n

Duplica ese número natural

2n

Ahora quítale 5 al número natural que ya habías duplicado A la expresión anterior súmale 3 A lo que quedó de lo anterior quítale 2

Muy bien, ¿te fijaste cómo puedes sumar o restar a la expresión algebraica?

Veamos en la siguiente situación cómo podríamos restar usando los datos para elaborar un jugo: Para hacer un jugo verde se necesitan los siguientes ingredientes: 2 zanahorias 1 limón 2 apios 2 vasos de jugo de naranja 1 rebanada de piña

Expresa el jugo en forma algebraica (expresión original) Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

111

•

Problemas aditivos

• Y si decidimos quitar sólo un “apio”, ¿cómo quedaría la expresión?

• Y si sólo hacemos medio vaso de jugo verde, ¿cómo quedaría la expresión algebraica original?

• Y si quitamos una zanahoria de la expresión original, ¿cómo quedaría ahora?

• A la expresión original réstale un limón, un vaso de naranja y un apio, ¿cómo queda escrita ahora la expresión original?

Bien, ahora veamos que podemos quitar o sustraer algunas partes de las expresiones algebraicas, pero antes practiquemos con tus regletas y tu tablero de signos.

Quita o resta 2r de las siguientes expresiones

En esta columna escribe el resultado expresado en regletas. (no resultado numérico)

3v + 3r – 5a 4R – 5a + 2r - 3V 2r + 3v – 2N + 3R 3N + 8b – 7n + 5r 3r + 7n – 2A

Bien, te habrás dado cuenta que en cada caso es sencillo quitar las 2 regletas rojas y escribir correctamente las expresiones.

112

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas aditivos

•

Resuelve las siguientes expresiones algebraicas, recuerda que no buscamos el resultado numérico: 1

3v + 3r – 5a – 2r =

2

4R – 5a + 2r – 3V – 2r =

3

2r + 3v – 2N + 3R – 2r =

4

3N + 8b – 7n + 5r – 2r =

5

3r + 7n – 2A – 2r =

ACTIVIDAD 2

Hagamos unos pequeños cambios y escribe las nuevas respuestas.

Aplica las leyes de sumas.

1

3v – 3r – 5a – 2r =

2

4R – 5a – 2r – 3V – 2r =

3

+ 2r + 3v – 2N + 3R – 2r =

4

3N + 8b – 7n – 5r – 2r =

5

– 3r + 7n – 2A – 2r =

a

¿Cuáles fueron los términos que agrupaste en cada ejercicio?

b

¿Cuáles son los términos que no usaste para agrupar en cada ejercicio?

c Describe la estrategia de agrupación que realizaste para cada ejercicio:

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

113

•

Problemas aditivos

En el banco Imagina que vas al banco y abrirás una cuenta de ahorros. El gerente te explica que cuentan con diversas planes de inversion, así que la situación queda de la siguiente forma:

Plan 1 El dinero inviertas en tu cuenta se duplicará si resultas ganador en una rifa que el banco realiza este mes. Como aún no sabes cuanto dinero vas a invertir, pensemos en un número cualquiera al que le llamaremos “x”.

• ¿Cómo expresarías esta situación en un lenguaje algebraico?

Ahora que tienes el doble de tu dinero, el banco te regala $50 si mantienes todo tu dinero intacto en un mes. Esto quiere decir que al dinero que ya duplicaste le agregarás $50 en ese mes.

Expresa esta situacion en lenguaje algebraico.

También te explican que te quitarán cierta cantidad de dinero que aún se desconoce por concepto de impuestos. No sabes si es mucho o si es poco, así que pensaremos en esta cantidad desconocida como un numero “y”.

Ahora tienes el doble del dinero que invertiste más los $50 que te regalarán y además deberás quitar “y”. Expresa esta situación en un lenguaje algebraico:

Plan 2 Inicias con una inversión que es igual al triple de “x” cantidad.

Expresa esta situación en un lenguaje algebraico: En este plan el banco planea quitarte sólo $25 por manejo de tu cuenta, así que a lo que llevas ahorrado ahora deberás restarle $25.

Expresa esta situación en un lenguaje algebraico: Ahora compara con tus compañeros la expresion final de cada plan.

114

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas aditivos

•

Si hay diferencias entre las expresiones, busquen por qué y coméntenlas con tu maestro.

Sumando y restando expresiones Considera las siguientes expresiones: a

2x + 50 - y

b

3x - 25 + 2y

Si sumas ambas expresiones algebraicas, ¿cómo expresarías esta suma?

1

2

Si a la expresión

a

le restas

b

, ¿cómo expresarías esta resta­?

3

Si a la expresión

b

le restas

a

, ¿cómo expresarías esta resta­?

Ahora escribe los resultados de las anteriores expresiones: 1

____________________________________

2

____________________________________

3

____________________________________

Compara con tus compañeros tus resultados. Si tienes dudas, pregunta a tu maestro (a). Ahora responde: • ¿Cómo haces la suma de las expresiones algebraicas?

• ¿Qué pasa si tienes 2x + 3 y quieres sumarle “4”?

• ¿Qué pasa si tienes 2x + 3 y quieres sumarle “x”?

• ¿Qué pasa si tienes 2x + 3 y quieres sumarle x + 4?

• ¿Cómo haces las sumas anteriores?

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

115

•

Problemas aditivos

• ¿Qué términos son los que sumas y por qué?

• Si “x” es un valor de un número desconocido, ¿lo puedes sumar con el valor de otro número desconocido como “y”?

Veamos...

• ¿Qué resultado nos dará la suma de: 3x + 2x = • ¿Qué resultado nos dará la suma de: 3x + 2= • ¿Qué resultado nos dará la suma de: 3x + 2x + 2= • ¿Qué resultado nos dará la resta de: 3x - 2x= • ¿Qué resultado nos dará la resta de: 3x -2 = • ¿Qué resultado nos dará la resta de: 3x - 2x - 2 =

Hagamos ejercicios 1

116

Reduce las siguientes expresiones algebraicas:

a

4x + 2 – y +3 =

b

– 3x + 5 + 9 - 4z =

c

–x2 + 7 + 2y2 =

d

4xy – 8y2 =

e

8x -3y + 7x =

f

3x + 9y –2x –6y =

g

7a – 15b + 5b + 9a – 4b =

h

3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =

i

0.01 b2c – 0.2 c2b – 0.8 c2b + 0.99 b2c=

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas aditivos

•

j

7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =

k

35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =

l

24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =

m

3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p =

n

4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r =

o

2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 =

p

7a - 1.8 b + 5 c - 7.2a + 5a - 6.1b - 8a + 12b =

q

8a + 5.2 b - 7.1a + 6.4 b + 9a - 4.3b + 7b - 3a =

r

3m -

2 5

n + 5m - 7n + 5

1 2

n + 3n -

2 5

p - 5n + 8p =

2 Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en las siguientes expresiones: a

(10b + 4) + (6 – 9b) – (3b-7) =

b

20 + (-7 +2x) - (-3x -7) =

3

Dadas las expresiones:

A

2b2c – 3b + 6c

B

4b – c2b + 12 b2c

C

4 – 2c

Realiza las siguientes operaciones: a

A+B=

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

117

• b

A-B=

c

A+C=

d

A-C=

e

B-A=

f

B-C=

g

C-A=

h

C-B=

i

B+C=

Problemas aditivos

Ahora en equipos de 3 compañeros inventen 4 polinomions y sumenlos y restenlos entre ellos para ejercitar lo que has aprendido.

4

5

Calcular el perímetro de la siguiente figura: 2x + x 2x + 1

x+3

P = __________________

3x + x - 3

6 El perímetro del siguiente rectángulo es 8x –6 y uno de sus lados es 3x +7. ¿Cuánto mide el otro lado?

118

A

D

B

C

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

R = __________________

L

as matemáticas son muy amplias y el álgebra es un expresión de diversas cosas, en esta ocasión veremos como el álgebra puede llegar a expresar parte de la geometría.

ACTIVIDAD 1

Iniciemos con un caso real:

La maestra Virginia, coordinadora de preescolar de un importante colegio, acondiciona su nueva oficina para poder trabajar cómodamente.

Cuenta con un gran ventanal el cual tiene de altura 1.5 m y de base 3 m.

Y quiere colocar unas persianas para evitar que a cierta hora del día le entre mucha luz.

CONTENIDO: Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Problemas multiplicativos

Expresando la geometría con álgebra

TEMA

Ventana

1.5 m Figura 1

3m Escribe cómo obtendrías el área de esta ventana: Después de mucho investigar encuentra un proveedor que le vende las persianas justamente en la medida de lo alto de su ventana, pero le comenta que colocar una persiana de 3m de largo, hará que esta sea muy fragil y le sugiere dividir la ventana en dos partes y colocar 2 persianas de la siguiente manera.

Álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números reales a través de su abstracción en forma de polinomios y funciones.

Ventana

1.5 m

Figura 2

2

1

Figura 2

3m Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

119

•

Problemas multiplicativos

La primera sección es de 2 m de largo y la segunda sección es de 1 m de largo.

Así tenemos que la ventana se cubre con 2 persianas una de 2(1.5m) y otra de 1(1.5m) es decir (2+1) (1.5m) Esta respuesta compárala con tus compañeros y discútanla en el salón de clases.

Seguro encontrarán dos formas de resolver el problema ¿Qué pasaría si desconocieramos la altura de la ventana?

Es decir que la altura es “x” Ventana

x 2m

1m

3m • ¿Cuál es el área de la ventana?

•¿Qué área tendriamos para cada persiana?

La primera forma es tomar en cuenta el largo de cada sección y multiplicarlo por la altura de la ventana. Por ejemplo: 2x + 1x, donde 2x sería 2m por la altura “x”, y 1x sería 1 m de la segunda sección por la altura “x”, quedando 2x + 1x = 2x + x. a

La segunda forma es multiplicar la altura “x” por la suma de ambas secciones.

Es decir, (2 + 1) x, donde la suma (2 + 1) es la suma de ambas secciones y “x” el precio desconocido. Por tanto queda solamente (2 + 1) x. b

Así que compara tus respuestas anteriores con estas expresiones.

• ¿A cuál de las dos se parece más tu expresión?

• ¿Ambas formas serían equivalentes?

Explica y justifica tu respuesta.

120

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas multiplicativos

•

Trabajemos con las regletas ACTIVIDAD 2 Ahora usemos tus regletas para expresar más situaciones que implican geometría, pues ya vimos cómo un ejemplo sencillo puedes expresarlo con álgebra.

Con 5 regletas cafés forma un rectángulo. Registra tu dibujo en tu cuaderno de centímetro cuadrado (sólo el contorno de la figura).

1

Ahora haremos crecer el rectángulo en 2 cm a lo largo, coloca las regletas que gustes para esto y registra el dibujo.

2

Ahora hagamos más ancho en 2 cm este rectángulo, coloca las regletas que gustes para esto y registra el dibujo.

3

Te darás cuenta que a la figura le hace falta una parte para ser rectángulo. Completa esta última parte con las regletas que creas conveniente para que la figura quede formada sólo por 4 lados y tenga forma rectangular.

4

Ahora observa tu dibujo, deberás observar 3 rectángulos de diferentes medidas y un cuadrado pequeño en una esquina.

5

Dentro de cada figura escribe la multiplicación que calcularía el área de cada sección.

6

Con los datos anteriores completa la siguiente tabla:

Figura Rectángulo grande

Medidas 8 (5)

Rectángulo mediano Rectángulo chico Cuadrado

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

121

•

Problemas multiplicativos

Ahora veamos la siguiente figura que es muy parecida a la anterior, sólo que le hace falta una medida, ésta medida faltante se han expresado con la letra x.

8

2

x

Rectángulo 1

Rectángulo 3

2

Rectángulo 2

Cuadrado

Figura 3

Completa la siguiente tabla a partir de la Figura 3.

Figura

Medidas

Rectángulo 1 Rectángulo 2 Rectángulo 3 Cuadrado Escribe la suma de las áreas en una sola expresión algebraica

Ahora que ya usaste literales para expresar una distancia y a su vez el área de las anteriores figuras geométricas, expresemos más geometría con álgebra.

122

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas multiplicativos

•

ACTIVIDAD 3 En los siguientes ejercicios escribe las expresiones algebraicas que determinen el área total de cada figura...

A

B

a

a a

b

Área = ____________

C

Área = ____________

D

a b

b x x

Área = ____________

a

x x x x

Área = ____________

Después de hacer el ejercicio anterior, de manera individual compara con tus compañeros las respuestas y escriban verdadero o falso según corresponda en los siguientes ejercicios.

Si no aciertas, revisa tu procedimiento hasta que lo logres. Comparte tu respuestas con tus compañeros y justificalas.

Verdadero o Falso En la figura A la expresión que indica el área podría ser: a2 En la figura B la expresión que indica el área podría ser: a + b En la figura C la expresión que indica el área podría ser: (a + x)(b + x) En la figura D la expresión que indica el área podría ser: ab + 4bx En la figura C la expresión que indica el área podría ser: ab + ax + bx + x2

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

123

•

Problemas multiplicativos

Más figuras geométricas Para cubrir la pared de una cocina se tienen azulejos de las siguientes formas y medidas.

a

a

a

1

Área = (a)(a) = a2

Área = (a)(1) = a

1 Área = (1)(1) = 1

Jorge, el colocador de azulejos, combina algunos azulejos para hacer diversos diseños:

Figura A. 1. Área = a2 + a 2. Área = (a + 1)(a)

Figura B. 1. Área = 2a2 + 2a 2. Área = (a + a + 1 +1)(a) = (2a +2)(a)

Fíjate bien que en esta combinación de azulejos, En el renglón 1 de cada figura se están sumando las áreas de cada figura, pero en el renglón 2 se están multiplicando los lados de la figura general.

Por ejemplo, en la figura A vemos cómo el área se puede obtener de dos formas que deberán ser equivalentes: (a2 + a). Donde “a2 ” es el área del cuadrado y donde “a” es el área del rectángulo. Sumados dan el área total.

1

124

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas multiplicativos

•

(a + 1)(a). Donde (a + 1) es lo que mide la base del rectángulo y (a) es lo que mide de altura. Si multiplicamos base por altura para obtener el área, nos da esa expresión.

2

A continuación deberás responder las siguientes preguntas referentes a la Figura B: 1

ACTIVIDAD 4

Por medio de bases y alturas...

• ¿Cuánto mide la base total?

• ¿Cuánto mide la altura total?

• Escribe el área del rectángulo general: 2

Ahora por medio de suma de áreas...

• ¿Qué expresión matemática determina el área de uno de los cuadrados?

• ¿Qué expresión matemática determina el área de los dos cuadrados?

• ¿Qué expresión matemática determina el área de uno de los rectángulos?

• ¿Qué expresión matemática determina el área de los dos rectángulos?

• ¿Qué expresión matemática determina el área total de la figura, o sea los dos cuadrados y los dos rectángulos?

3

Ahora por número de veces...

• ¿Cuántas veces es más grande la Figura 2 respecto a la Figura 1?

Escribe el área total de la Figura 1 y multiplícala por el número de veces que sea necesario para obtener el área de la Figura 2:

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

125

• 4

Problemas multiplicativos

De las tres formas anteriores que desarrollaste:

• ¿Son equivalentes dichas expresiones?

Discute tu respuesta y su justificación en grupo con la guía de tu profesor (a).

Determina la figura geométrica que representa cada una de las siguientes expresiones y además escribe una equivalencia como en los anteriores ejercicos: 5

126

a

n(n + 4) =

b

4x2 + 2x =

c

2x2 + x =

d

2a2 + ab =

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas multiplicativos

•

Hagamos ejercicios Resuelve el siguiente ejercicio: El señor Juárez compró un terreno cuadrado con las dimensiones que se muestran en la Figura 1, en el cual construyó su casa.

x x Figura 1 Años después, pudo conseguir que le vendieran 3 m de excedente que quedaron en 2 de los lados de su casa, así como el espacio comprendido entre los dos terrenos, los cuales dividió como se muestra en la Figura 2. +3 x x

+3

Figura 2 Una de las superficies la utilizó para cochera; otra para jardín, y el espacio restante para colocar una gran fuente.

Para poder pagar el impuesto predial del nuevo terreno, necesita calcular la superficie de todo el terreno, por lo cual quedaría expresado de la siguiente manera: Área del terreno: (x + 3)(x + 3) Sin embargo la expresión no convence a los encargados de la dependencia y le solicitan al señor Juárez que determine las cuatro superficies por separado. El dueño del terreno se ve en un gran problema y solicita la ayuda de un amigo.

Ayuda al señor Juárez calculando el área de cada terreno, y determina qué resultado obtuvo su amigo.

1

(x + 3) (x + 3) = Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

127

Medida

Construyamos con regletas

TEMA

CONTENIDO: Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

ACTIVIDAD 1

Toma 4 regletas negras y construye con ellas un prisma como el que se muestra en la figura.

Para que el prisma no se desbarate y lo podamos manipular sin problema, te sugerimos que amarres tus regletas con una liga o que las pegues con un poco de cinta.

Recordarás que en primaria construiste prismas y conociste sus partes.

Vamos a recordar las partes de un prisma y a describirlas.

Un cuerpo geométrico es una figura sólida

ACTIVIDAD 2

En la siguiente figura, escribe donde corresponde el nombre de cada una de las partes del prisma, y en las líneas que te damos más abajo, haz una descripción de las características de cada una de ellas.

de tres dimensiones limitada por superficies planas como en los prismas y poliedros, por curvas como en la esfera y por planos y curvas como en los cilindros.

Base Cara Aristas Vértice 128

Eje: Forma, espacio y medida

Medida

•

Los poliedros que no son regulares se clasifican en dos: prismas y pirámides y tienen como componentes esenciales las caras, las aristas y los vértices.

Los prismas son cuerpos con bases paralelas iguales y caras laterales formadas por paralelogramos. Es decir que sus caras laterales están formadas por cuadriláteros que tienen lados paralelos dos a dos.

Los prismas con los que trabajaremos son los que conocemos como prismas rectos y son aquellos cuyas bases forman ángulos rectos con las caras laterales.

Un poliedro es un sólido geométrico formado por caras planas.

Si todas sus caras son el mismo polígono regular se llaman poliedros regulares.

Los poliedros regulares son: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Bien, habiendo dejado claro todos estos conceptos que ya conocías, vamos a poner manos a la obra.

Describiendo prismas...

Para esta actividad vamos a trabajar en parejas de la siguiente forma:

ACTIVIDAD 3

• Toma las regletas que quieras de un solo color y con ellas construye un prisma. amárralo con una liga o pégalo con cinta para que lo podamos manipular libremente.

• Una vez que ya construyeron su prisma, no dejen que lo vean sus compañeros de los otros equipos, y en una hoja de papel describan las características del prisma que construyeron.

Un prisma es un poliedro con dos caras poligonales idénticas y paralelas, y las demás caras siendo paralelogramos.

• Guarden su prisma e intercambien con otra pareja de compañeros la descripción de los prismas. No se permite hacer preguntas ni dar información adicional acerca del prisma que se describe. Traten de construir el prisma que está descrito en la hoja que les dieron sus compañeros y una vez que lo hayan construido, verifiquen si construyeron e prisma correcto, es decir verifiquen si el prisma que construyeron es igual al que habían descrito sus compañeros.

• Intercambien sus descripciones con varios equipos y comenten qué características en las descripciones son las que les permitieron construir el mismo prisma y cuáles no les ayudaron en la descripción.

Eje: Forma, espacio y medida

129

•

Medida

• Definan entre todos y junto con su maestro, qué características de los prismas deben de incluir forzosamente en una descripción para poder asegurar que quien lea las características, podrá construir el prisma.

• Ahora en “Mi cuaderno de registro CIME” construyan los desarrollos planos de los prismas de cada equipo.

• ¿Puedes ahora calcular el volumen de tus prismas?

• Explica a tus compañeros cómo encontraron el volumen de sus prismas.

• ¿Cuántos y cuáles dimensiones están involucradas en éste cálculo?

• ¿De qué forma trabajas con ellas para encontrar el volumen?

• Dejen sin pegar una de las bases de los prismas y la base de las pirámides.

Para encontrar el volumen de cualquier prisma basta con multiplicar el area de la base del prisma por su altura.

En la primaria trabajaste con el cálculo de volumen de prismas. Ahora utiliza la fórmula que ya conoces para verificar que los volumenes que calculaste son correctos.

V=(ABASE)(altura)

Hasta ahora hemos trabajado con prismas cuadrangulares y rectangulares. Pero ¿qué sucede si la base del prisma tiene otra forma?

• Analiza con tus compañeros y tu maestro si puedes calcular el volumen de cualquier prisma (triangular, pentagonal, octagonal, etc.) con esta fórmula.

130

Eje: Forma, espacio y medida

Medida

•

Prismas y pirámides En las páginas recortables encontrarás las plantillas para construir algunas pirámides y prismas. Te sugerimos que cortes las páginas con cuidado, no las arranques para no maltratar tu libro y pegues cada una de las figuras en un papel más rígido, cartulina o cartón delgado y que las construyas. Te ponemos un prisma cuadrangular, un prisma triangular, un prisma hexagonal. También una pirámide cuadrangular, una triangular y una hexagonal.

Una pirámide es un sólido geométrico con un polígono como base y triángulos isósceles con un vértice común como las demás caras del sólido.

Constrúyelas todas, o bien, formen equipos de tres compañeros y que cada quien construya dos de ellas.

Ahora que ya tienen las pirámides construidas, observen sus características y analicen sus partes.

Las pirámides...

En la siguiente figura, escribe donde corresponde el nombre de cada una de las partes de una pirámide y más abajo, haz una breve descripción de ellas.

Base Cara Vértice Arista Cúspide Eje: Forma, espacio y medida

131

•

Medida

La pirámide es un poliedro que está limitado por una base poligonal y por caras triangulares laterales cuyas bases son los lados del polígono. Todas estas caras triangulares coinciden en un vértice común llamado cúspide.

Las pirámides rectas son aquellas en las que las caras triangulares son triángulos isósceles iguales.

Comparen sus prismas y pirámides y observen qué características comparten y cuáles no.

Completen ahora la siguiente tabla:

Cuerpo

Área de la Base

Medida de la altura

Prisma cuadrangular Pirámide cuadrangular Prisma triangular Pirámide triangular Prisma hexagonal Pirámide hexagonal

¿ Y el volumen de las pirámides ?

Sigamos trabajando en equipos.

• Tomen un prisma cuadrangular y la pirámide de base cuadrangular.

• Llenen la pirámide con azúcar, harina, arena, sal, etc. y vacíen el contenido en el prisma.

132

Eje: Forma, espacio y medida

Medida

•

• ¿Cuántas veces creen que cabe el contenido de la pirámide dentro del prisma?

• Realicen la misma actividad con la pirámide triángular y el prisma de misma base.

• ¿Sucedió lo mismo?

• ¿Sucederá esto mismo en todos los casos en que el prisma y la pirámide tienen la misma base?

• ¿Cómo deben ser las alturas del prisma y de la pirámide para que se cumpla esto ?

El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del volumen del prisma de misma base y altura.

V=(

1 Ab)(a) 3

• Si cambiamos las alturas, ¿se cumplirá lo que has analizado?

• ¿Qué relación encuentras entre el volumen de un prisma y de una pirámide si tienen la misma base y la misma altura?

• ¿Podrías encontrar una fórmula para calcular el volumen de cualquier pirámide?

• Comenta con tus compañeros y tu maestro la fórmula que propone tu equipo y concluyan una fórmula para el grupo.

Eje: Forma, espacio y medida

133

Medida

A jugar con el volumen...

TEMA

CONTENIDO: Estimaciรณn y cรกlculo del volumen de cubos, prismas y pirรกmides rectos o de cualquier tรฉrmino implicado en las fรณrmulas. Anรกlisis de las relaciones de variaciรณn entre diferentes medidas de prismas y pirรกmides.

Y

a construiste y trabajaste con prismas y pirรกmides. Ya conoces las fรณrmulas para encontrar el volumen de cualquier prisma o pirรกmide.

Ahora vamos a aplicar lo aprendido y a jugar con las fรณrmulas que construiste.

ACTIVIDAD 1

Con todo lo que ha aprendido acerca de los cubos, los prismas y las pirรกmides, completa las siguientes tablas.

Cuerpo

Datos de la base Largo (cm)

Ancho (cm)

Prisma cuadrangular

Volumen

10

360

(cm)

(cm3 )

Prisma cuadrangular

3

360

Prisma cuadrangular

4

240

Prisma cuadrangular

9.6

Prisma rectangular

8

Prisma rectangular

5

Prisma rectangular Prisma rectangular

134

Altura del cuerpo

Eje: Forma, espacio y medida

2

2 5

3

240 160

10

160

20

180 180

Medida

•

ACTIVIDAD 2 Organizados en equipos, hagan una tabla como la anterior y con las mismas dimensiones de la base y altura de los prismas, calculen el volumen de las pirámides. Pueden usar calculadora.

Cuerpo

Datos de la base Largo (cm)

Ancho (cm)

Pirámide cuadrangular

(cm)

3

Pirámide cuadrangular

4

Pirámide cuadrangular

(cm3 )

9.6

Pirámide rectangular

8

Pirámide rectangular

5

Pirámide rectangular

2 10 2

5

20

3

Ahora encuentren las dimensiones de las pirámides, si queremos que conserven el mismo volumen de los prismas.

Cuerpo

Volumen

10

Pirámide cuadrangular

Pirámide rectangular

Altura del cuerpo

Datos de la base Largo (cm)

Ancho (cm)

Pirámide cuadrangular

ACTIVIDAD 3

Altura del cuerpo

Volumen

10

360

(cm)

(cm3 )

Pirámide cuadrangular

3

360

Pirámide cuadrangular

4

240

Pirámide cuadrangular

9.6

Pirámide rectangular

8

Pirámide rectangular

5

Pirámide rectangular Pirámide rectangular

2

2 5

3

240 160

10

160

20

180 180

Eje: Forma, espacio y medida

135

•

Medida

• ¿Qué medidas tuviste que modificar para conservar el volumen de las pirámides?

• ¿Qué observas en estos cambios?

• ¿Podrías establecer alguna relación?

• Comenta con tus compañeros.

Hagamos ejercicios Ahora si ya conocemos los prismas, las piramides y los cubos. También como encontrar el volumen y la capacidad de todos ellos.

Un tanque de almacenamiento de agua instalado en una comunidad tiene forma de un cubo y una capacidad de 8000 litros, ¿puedes calcular cuánto mide su arista?

1

Paloma encontró en la cocina de su casa un envase de forma de prisma rectangular cuya base mide 5cm por 4 cm. En la etiqueta dice que el envase contiene 240 cm3 de aceite. ¿Puedes decirnos cuál es la altura del envase?

2

Supongamos ahora que el envase es piramidal, con la misma base que el envase que encontró Paloma en su cocina.

Si la altura de la pirámide y el prisma se mantienen iguales, ¿cuánto aceite cabe en el envase piramidal?

Si queremos que el envase sea piramidal pero con la misma capacidad de 240 cm3 y la misma base, ¿qué medida debemos cambiar?

César tiene un caballo que se llama Brisa. Su papá Alonso le compra alimento cada 6 meses. Tiene que ir donde les venden el alimento y piden la cantidad que quieren, empacado en costales.

Cuando llegaron a comprar el alimento de Brisa, César vio el silo donde se almacena el grano y donde se llenan los costales.

3

136

Eje: Forma, espacio y medida

Medida

•

¿Qué es eso, papá? Preguntó César.

-Se llama silo y es contenedor para el alimento y de ahí se llenan los costales de alimento para los caballos.

Si la estructura está montada en una base cúbica de 4 metros de lado, ¿qué volumen tiene el silo? a

b

¿Cómo lo calculaste?

c

¿Puedes decirnos qué forma geométrica tiene el silo?

d

¿Qué forma tiene la base de la figura geométrica?

e

¿Qué parte del silo ocupa el cubo?

César le peguntó al dueño del silo, cuántos costales pueden llenarse con el silo lleno.

-Calcúlalo tú, César. Te doy una pista para que lo calcules: con cada metro cúbico de alimento puedo llenar 12 sacos.

f

¿Cuántos sacos se llenan si usamos toda la capacidad del silo?

g

Si cada saco pesa 40 kg, ¿cuántos kg caben en el depósito?

Si el papá de César compra 20 costales cada 6 meses, ¿cuánto pesa el alimento de Brisa para 6 meses? h

Eje: Forma, espacio y medida

137

• i

Medida

¿Puedes decir cuánto come el caballo de César al mes?

Si cada costal cuesta $ 600.00, ¿cuánto gasta el papá de César para alimentar a Brisa cada 6 meses? j

Con tus compañeros inventen dos problemas en los que puedas encontrar volumen y capacidad.

Ahora, en equipos desarrollen algún ejercicio similar al del silo que ya resolvieron. Proponganle al resto de la clase su ejercicio para que lo resuelvan y analicen cuál equipo desarrollo el ejercicio más completo, más interesante y que más se relaciona con algo de tu vida cotidiana.

138

Eje: Forma, espacio y medida

CONTENIDO:

E

n el curso pasado trabajaste por medio del álgebra, tablas y gráficas, con las relaciones de proporcionalidad directa, además de que en el quinto bimestre resolviste problemas de relación inversamente proporcional entre cantidades.

Ahora veamos y recordemos como aplicar esto en diversas situaciones.

Cuadrados equivalentes Juan y Pedro están trabajando en un ejercicio en el cual deben dibujar en una cuadrícula un cuadrado de 3 x 3 unidades.

El punto es que Juan lo ha dibujado de un tamaño y Pedro de otro, sin embargo ambos dicen que su dibujo es correcto.

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

Proporcionalidad y funciones

Proporcionalidad

TEMA

• ¿Cómo podría ser esto cierto?

3x3 3x3

Juan Pedro

Eje: Manejo de la información

139

•

Proporcionalidad y funciones

• ¿Cuál figura es más grande?

Cuando dos razones son equivalentes, decimos que entre ellas existe una proporción.

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

• ¿Cuál es el área de la figura de Juan?

• ¿Cuál es el área de la figura de Pedro?

•¿Cuánto miden los lados en cada figura?

Si Juan quiere dibujar su figura del mismo tamaño que la figura de Pedro, ¿qué le debería hacer a la medida de cada uno de sus lados?

Si Pedro quiere dibujar su figura del mismo tamaño que la figura de Juan, ¿qué le debería hacer a la medida de cada uno de sus lados?

Si te das cuenta, no son del mismo tamaño; sin embargo, ellos dicen que son semejantes. ¿Cuál es tu opinión?

El número oculto Traza la figura de Juan y la de Pedro en tu cuaderno de cm2 Si Juan quisiera hacer su dibujo del tamaño del dibujo de Pedro, debe hacer algo con las medidas de los lados., ¿No crees?

Observa que en un dibujo la medida de un lado es de 3cm y en el otro es de 6cm.

• ¿Cómo se relacionan estos números?

• ¿Qué debe hacer Juan con su figura para que le quede del mismo tamaño que la de Pedro?

Pedro

¡Claro! la medida de los lados del dibujo de Juan debe multiplicarse por 2 para obtener el dibujo de Pedro.

• Pero... ¿qué debe hacer Pedro para que su figura sea del mismo tamaño que la de Juan?

Juan

6

3

3x2=6 140

Eje: Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones

•

• ¿Por cuánto debe multiplicar el 6 para obtener el 3?

Estos números que encontraste son llamados factor de proporcionalidad, pues con ellos puedes obtener otro dibujo a partir de ciertas medidas con sólo aplicarlos.

El factor que buscábamos al momento de pasar de la figura de Juan a la de Pedro es un factor de proporcionalidad directa, pues nos ayuda a encontrar la siguiente figura más grande.

6 Se puede expresar de la siguiente manera: =2

3

Este factor, es un factor de proporcionalidad directa.

Hagamos ejercicios a

Cuando dos cantidades están en proporción directa significa que al crecer una de las cantidades, la otra crece la misma cantidad de veces.

A este número que nos indica la cantidad de veces que crece o decrece un número se le llama factor de proporcionalidad.

Dibuja un cuadrado de 2cm de lado.

Usa el factor de proporcionalidad de Juan y construye el cuadrado con la medida que obtuviste. b

c

Ahora traza un cuadrado de 4cm de lado.

Usa el factor de proporcionalidad de Juan y construye el cuadrado con la medida que obtuviste. d

e

¿Cuánto miden los lados de este nuevo cuadrado?

f

¿Cuál es el área de este nuevo cuadrado?

Construye un cuadrado de 4cm2 y construye los siguientes 3 cuadrados usando el factor de proporcionalidad igual a 3. g

Usa ahora un factor de proporcionalidad igual a 4, inicia con un rectángulo de 3 x 2 y construye los siguientes 3 rectángulos. h

i

Observa el área y perímetro de estos nuevos rectángulos.

Ahora vamos de regreso El factor que buscábamos al momento de ir de la figura de Pedro a la de Juan es diferente, no nos agranda la figura; no la amplía, sino que la reduce.

Dicho de otra forma, vamos de reversa, de vuelta.

Eje: Manejo de la información

141

• Cuando dos cantidades están en proporción de manera que al crecer una de las cantidades, la otra decrece de la misma forma, entonces las cantidades están en proporción inversa.

Proporcionalidad y funciones

Se puede expresar de la siguiente manera:

3 = 1 = 0.5 6 2 Este factor, es un factor de proporcioanlidad inversa.

Esto nos reduce la medida de una figura dada una medida o magnitud al momento de aplicar el factor de proporcionalidad inverso.

Hagamos ejercicios En tu cuaderno de cm2 dibuja un cuadrado de 6 cm2 de largo por lado.

Aplica el factor de proporcionalidad que debió usar Pedro para llegar a la figura de Juan a esta magnitud y traza la nueva figura.

1

Usa el factor de proporcionalidad de 2 cm y traza la figura.

2

1 3

a partir de un cuadrado de 36

Partiendo de un cuadrado de 6 cm de cada lado, aplica un factor de proporcionalidad inverso de 16 y traza la nueva figura.

3

Construye en tu registro un rectángulo de 4 cm x 6 cm y aplica el factor de proporcionalidad de 12 = 0.5 para construir un nuevo rectángulo.

4

Construye en una hoja en blanco un triángulo isósceles con base y altura de 10 cm. (Usa tu compás y escuadra) Sobre él, aplica el factor de proporcionalidad inverso de 15 = 0.2 para construir un nuevo triángulo.

5

Vuelve al triángulo original del ejercicio 5 y aplica un factor de proporcionalidad inverso de 12 = 0.5 y construye un nuevo triángulo.

6

Buscando aplicaciones para proporcionalidad Martín fue a un centro de copiado para reducir una fotografía, que le tomaron cuando salta en su patineta con sus amigos.

Observa la foto y toma sus medidas.

142

Eje: Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones

•

Alto =

Ancho = La reducción que le dieron tiene 6cm de alto. ¿Cuál fue el factor de proporcionalidad que aplicó el encargado de las copias? ¿Se aplicó proporcionalidad directa o inversa?

Como puedes obervar, el factor que buscamos en la primera pregunta es aquel que al multiplicar por 8 nos resulte 6.

Pues 8 es la medida original y 6 la medida que nos dió en la reducción.

8x?=6 a

¿Cuánto debe valer el signo de interrogación?

b

¿Qué pasa si multiplicas por

6 8

?

c

¿Qué pasa si multiplicas por

3 4

?

Así pues, a fin de cuentas 8 multiplicado por 68 ó 34 por 0.75 nos da los 6 cm que buscábamos en la reducción. Por tanto el factor de proporcionalidad es de 68 = 34 = 0.75. Este es el factor de reducción que aplicó el encargado.

8 x 3 = 6 (8 x 6 = 6) 4 8

¿De qué medida crees que quedo el ancho de la foto en la reducción? ¿Como lo calculaste?

Eje: Manejo de la información

143

•

Proporcionalidad y funciones

Hagamos ejercicios 1 Construye en tu cuaderno un romboide que mida 7 cm en su base y 4 cm de altura, elige la medida de sus ángulos.

Encuentra el factor de proporcionalidad que requieres para reducir la figura de tal forma que su base sea de 3cm.

Construye la figura reducida con este nuevo factor. ¿Cuánto mide su altura?

Construye en tu cuaderno un rombo de 14 cm de lado, define las medidas que quieras en sus diagonales.

2

Ahora encuentra el factor de proporcionalidad que requieres para reducir la figura a un rombo de 8 cm por lado.

Con este factor construye la nueva figura.

3 Construye en tu cuaderno un triángulo isósceles que tenga 6 cm de base y 9 de altura.

Construye una reducción de este mismo aplicando un factor de proporcionalidad de 0.7.

En la escuela se va a festejar el día del estudiante. La directora necesita saber cuántos refrescos necesitan comprar. Si para 15 estudiantes se requieren 6 litros de refresco: 4

a

¿Cuántos litros se requieren para 20 estudiantes?

b

¿Y para 25?

c

¿Cuánto refresco requieren comprar para 100 estudiantes?

5 En la secundaria se organiza un campamento cultural a las ruinas de Teotihuacán. En total asistirán 30 alumnos y la excursión durará 6 días. Los organizadores llevan comida suficiente para los 6 días con 30 alumnos.

El último día se inscriben 4 alumnos más.

¿Para cuántos días les alcanza con la comida que llevan, si se integran al grupo los 4 estudiantes? a

144

Eje: Manejo de la información

E

n algún otro tema de tu libro habíamos hecho juegos con dados.

Vamos a volver a utilizar los dados o bien las regletas a las que les habías puesto puntitos como si fueran dados.

Haz equipo con un compañero y van a lanzar sus dados diez veces cada uno, anotando los resultados de lo que obtiene en las siguiente tabla, pon tu nombre y el de tu compañero en la tabla correspondiente.

Nombre: Dado 1

Nombre: Dado 2

Dado 1

CONTENIDO: Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

Nociones de probabilidad

Vamos a lanzar los dados

Dado 2 TEMA

• ¿A quién de los dos le salió par en ambos dados en alguno de sus tiros?

• ¿Cuántas veces?

• ¿A quién de los dos le salió el mismo número en ambos dados en alguno de sus turnos? ¿Cuántas veces?

• ¿A alguno de los dos, en algún turno, le salió que la suma de las caras de los dados fuera 10?

• Y que la suma de sus caras sea 10 ó 6?

Eje: Manejo de la información

145

•

Nociones de probabilidad

Vamos a encontrar la probabilidad de que obtengan diversos resultados pero para poder calcularla primero necesitamos determinar el espacio muestral.

ACTIVIDAD 1

Llena el siguiente arreglo rectangular para determinar todas las posibilidades que existen y además nos sirve para encontrar el espacio muestral.

1

2

3

4

5

6

1 (1,1) (1,2) 2

(2,3)

3 4

(3,6) (4,4)

5 6

(6,5)

Ahora responde: a

¿Cuál es el espacio muestral?

b

¿Cuál es la probabilidad de que en los dos dados caiga par?

¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número? c

d

¿Cuál les la probabilidad de que la suma de las caras sea 10?

e

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras sea 10 ó 6?

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10 pero además que en ambas caras aparezca el mismo número? f

Bien, con la información que obtuvieron llenen la siguiente tabla donde van a expresar el resultado de cada uno de los incisos anteriores en fracción, en decimal y en porcentaje.

146

Eje: Manejo de la información

Nociones de probabilidad

Inciso

Fracción

Decimal

•

Porcentaje

a b c d e f

Ahora un dado y una moneda Vamos a lanzar ahora un dado y una moneda al aire. Haz algunos lanzamientos y regístralos.

• ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un águila y un número 1?

• Si dejamos fija la moneda en águila, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un número 1?

La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes es igual al producto de la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos.

• Si volvemos a lanzar el dado y la moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un sol y un número par menor que cuatro?

• Analiza con tus compañeros las probabilidades de diferentes opciones, definan el espacio muestral y elaboren preguntas donde las probabilidades sean diferentes.

• Si sólo lanzáramos una moneda al aire, ¿Cuál sería la probabilidad de que cayera águila?

• Si lanzamos un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 3?

• Ahora si lanzamos una moneda y un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 3 y un águila?

• ¿Podrías encontrar una forma de obtener rápidamente la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes sin necesidad de construir un diagrama de árbol o una tabla?

Eje: Manejo de la información

147

•

Nociones de probabilidad

Comenta con tus compañeros qué podrían hacer y resuelvan los siguientes ejercicios: En la escuela de Jimena, se va a elaborar una rifa y se han emitido 200 boletos. Mariel compró los boletos 71, 73, 75 y 77. Ramón compró lo boletos 122, 124 y 126. Todos los boletos se meten en una urna y ganará el primer boleto que salga. ¿Qué probabilidad tiene Mariel de ganar?, ¿y Ramón?

1

Irma también comprará boletos, pero ella quiere tener un 25% de probabilidades de ganar, ¿cuántos boletos debe comprar?

2

Renata y Gabi quieren hacer un juego y han puesto en una bolsa canicas de colores. Pusieron dos canicas amarillas, tres rojas y una verde. Cada vez que saquen una canica, ésta será devuelta a la urna. ¿Cuál será la probabilidad de que Gabi saque una canica amarilla y Renata una roja? ¿Y de que las dos saquen canica roja? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas saquen una canica verde?

3

148

Eje: Manejo de la información

Síntesis

•

Síntesis:

A

hora ya terminaste los temas correspondientes al bloque 2. Te presentamos la síntesis con la que de manera rápida podrás encontrar definiciones y conceptos, tanto para tu repaso bimestral como para reforzar cualquier contenido que requieras.

Lenguaje algebraico: Las expresiones algebráicas pueden ser de diferentes tipos: Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: a0 +a1x +a2x2 +_ _ _+anxn donde n es un número entero, que se conoce como el grado del polinomio.

Los coeficientes a0,a1,a2, _ _ _ ,an ,son números reales y an es diferente de 0.

El nombre particular que recibe cada polinomio depende del número de términos que lo formen.

Un monomio es un polinomio que tiene exactamente un término.

Por ejemplo, la expresión 7 x2 y4 es un monomio.

Trabajando con álgebra Álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números reales a través de su abstracción en forma de polinomios y funciones.

El álgebra propone el uso de símbolos literales números y signos para expresar situaciones diversas. A estas expresiones se les conoce como expresiones algebraicas.

Con estas expresiones algebraicas se crean las ecuaciones que son modelos con los cuales podemos representar relaciones entre variables.

Síntesis • Bloque 2

149

•

Síntesis

Cuerpos geométricos, fórmulas para volumen Un cuerpo geométrico es una figura sólida de tres dimensiones limitada pos superficies planas como en los prismas y poliedros, por curvas como en la esfera y por planos y curvas como en los cilindros.

Un poliedro es un sólido geométrico formado por caras planas.

Los poliedros pueden ser regulares si las caras que lo forman son el mismo polígono, y existen cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Recordarás que un prisma es un poliedro con dos caras poligonales idénticas y paralelas, y las demás caras siendo paralelogramos, y que una pirámide es un sólido geométrico con un polígono como base y triángulos isósceles con un vértice común como las demás caras del sólido.

Para encontrar el volumen de un prisma basta con calcular el área de la base del prisma y multiplicarla por la altura del mismo.

A=(AB)(a) Ya comprobaste también en clase que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma que la contiene. Es decir, de la base que comparten y la altura.

1

V = 3 (AB)(a) V = (AB)(a) 3

150

Síntesis • Bloque 2

Síntesis

•

Relación de proporcionalidad Cuando dos razones son equivalentes, decimos que entre ellas existe una proporción.

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Cuando dos cantidades están en proporción directa significa que al crecer una de las cantidades, la otra crece la misma cantidad de veces.

A este número que nos indica la cantidad de veces que crece o decrece un número se le llama factor de proporcionalidad Cuando dos cantidades están en proporción de manera que al crecer una de las cantidades, la otra decrece la misma cantidad de veces, entonces las cantidades están en proporción inversa Existe proporcionalidad múltiple si una magnitud es directamente proporcional a otras magnitudes, entonces el producto de éstas, también será directamente proporcional a la primera.

Probabilidad: Analizamos que la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes es igual al producto de la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos.

Síntesis • Bloque 2

151

•

Evaluación

Evaluación Construye un rectángulo cuyas dimensiones sean 3x + 2 y 2x + 5, encuentra su área.

1

Alonso quiere comprar un terreno rectángular cuyas dimensiones son 4x2 + 10x. Si sabe que el ancho del terreno es de 2x, ¿puedes ayudarle a encontrar el largo del mismo?

Construye un rectángulo que te muestre las dimensiones.

2

Un terreno tiene forma de trapezoide y las medidas de sus lados son: Lado A= 3x + 2 Lado B= 6x - 12 Lado C= 18 - 4x Lado D= 14 - x Construye la expresión algebraica que representa el perímetro de la figura.

Después reduce y simplifica la expresión que encontraste.

3

152

Evaluación • Bloque 2

Evaluación

•

En el siguiente prisma coloca el nombre de cada una de sus partes donde corresponde y describe brevemente cada una de ellas.

4

b) a)

c) d)

Nombre

Breve descripción

a b c d

Determina el volumen de una pirámide cuadrangular que tiene 12cm de altura, sabiendo también que el largo de su base es de 3.8 cm. Traza una figura que presente la pirámide y describe brevemente los pasos que seguiste.

5

Evaluación • Bloque 2

153

•

Evaluación

Luis tiene una caja que mide 3 dm de largo 2 dm de ancho y 4 dm de alto. Ana tiene una caja que tiene un volumen de 30 dm3 y sólo una de las medidas de su caja es diferente a las medidas de la caja de Luis. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de Ana? ¿Hay un crecimiento proporcional entre ambas cajas?

6

7 Si lanzas un dado numerado del 1 al 6, ¿qué probabilidad hay de que te salga un número par?

¿Qué probabilidad hay de que ese número par además sea múltiplo de 3? a

8 En la escuela de Mariana se está organizando una rifa. ¿Cuántos boletos debe de comprar uno de los maestros si quiere tener un 30% de probabilidades de ganar si en total se emitieron 150 boletos?

154

Evaluación • Bloque 2

Evaluación

•

Ahora formen 7 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 7 apartados de este bloque.

9

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.

10

Evaluación • Bloque 2

155