Przykład 1.1 Sprawdź, że wektory {u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1)} są do siebie prostopadłe. Rozwiązanie: Dla wektorów wzajemnie prostopadłych iloczyny skalarne są równe zeru, a zatem: u ⋅ v = 1 − 1 + 0 = 0,
u ⋅ w = 0 + 0 + 0 = 0,
v⋅w =0+0+0 =0
czyli wektory u, v, w są wzajemnie prostopadłe.
Zadanie 1.1.1 Znaleźć współczynniki α, β, γ przedstawienia wektora a = (3,2,1) poprzez kombinację liniową wektorów u, v, w z przykładu 1.1. Jakie kąty tworzy wektor a z wektorami u, v, w? Rozwiązanie: dane: u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1), a = (3,2,1) szukane: α, β, γ, ∠ ( u, a ) , ∠ ( v , a ) , ∠ ( w , a ) a = a⋅u +b⋅v + g ⋅w u =u= 2 = v ;
w = 1,
a ⋅ u = (a ⋅ u + b ⋅ v + g ⋅ w ) ⋅ u = a ⋅ u2
a = 9 + 4 + 1 = 14 ⇒ a=
a ⋅ v = ................................. = ............. ⇒ b =
a⋅u 3+ 2 + 0 5 = = 2 2 u2
a⋅v 1 = .................. = 2 v2
a ⋅ w = ................................. = .............. ⇒ g = .......... = .................. = 1 a ⋅ u = a ⋅ u ⋅ cos ∠ ( u, a ) ⇒ ∠ ( u, a ) = arc cos
5 a⋅u = arc cos ≈ 19,1° a⋅ u 2 7
∠ ( v , a ) = ............................ = arc cos
1 ≈ ...................... 2 7
∠ ( w , a ) = ............................ = .............................. ≈ 74, 5°
Zadanie 1.1.2 Wykaż, że: a ⊥ b ⇔ a + b = a − b Uwaga: skorzystaj z porównania kwadratów sumy i różnicy wektorów: 2 2 2 (a + b)2 = a2 + 2 a ⋅ b + b2 oraz (a − b) = a − 2a ⋅ b + b
Aparat matematyczny • 9
Podstawy Fizyki V 2020.indd 9
27.10.2020 14:44:55