Page 1

CMYK C

3.

Janusz Wolny Łucjan Pytlik

2007/08 – 2015/16

w zakresie czterech przedmiotów: matematyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii. Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http://www.diament.agh.edu.pl/.

Jej organizatorem jest Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej. Największą wartością, którą wynosi się

kierunkach przyrodniczo-technicznych prowadzonych w uczelniach wyższych. Oddajemy w ręce czytelników podręcznik zawierający rozwiązania wszystkich zadań z fizyki, jakie pojawiły się w dotychczasowych edycjach Olimpiady. Rozwiązania uzupełnione są stosownymi komentarzami pozwalającymi na pełne zrozumienie rozważanego problemu fizycznego. Praca z tym podręcznikiem stanowi doskonałe przygotowanie do kolejnych olimpiad oraz do rozpoczęcia studiów technicznych. Zawiera on obszerny materiał z mechaniki, termodynamiki, elektromagnetyzmu, optyki wraz z elementami fizyki współczesnej, pozwalający na samodzielne powtórzenie całego zakresu materiału szkoły średniej.

ISBN 978-83-64506-38-3

9 788364 506383

CMYK

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH

z aktywnego uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do studiów na

OGÓLNOPOLSKA

Olimpiada objęta jest patronatem Ministerstwa Edukacji Narodowej oraz Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego.

fizykA

Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest to trzystopniowy konkurs realizowany

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH OGÓLNOPOLSKA

Fizyka rozwiązania zadań z lat 2007/08 – 2015/16

Wydanie 3.


Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny © Copyright by Janusz Wolny, Łucjan Pytlik Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek

ISBN 978-83-64506-38-3 Wydanie III rozszerzone

www.wydawnictwojak.pl Kraków 2016


OD AUTORÓW

Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest to trzystopniowy konkurs realizowany w zakresie czterech przedmiotów: matematyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii. Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http://www.diament.agh.edu.pl/. Olimpiada objęta jest patronatem Ministerstwa Edukacji Narodowej oraz Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego. Jej organizatorem jest Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej (pełny wykaz kierunków studiów podany jest w stosownej corocznej uchwale Senatu AGH w  sprawie zasad przyjmowania na studia laureatów oraz finalistów olimpiad stopnia centralnego). Jest ona organizowana od roku akademickiego 2007/2008 i cieszy się ogromnym zainteresowaniem młodzieży. Startuje w niej corocznie kilka tysięcy uczniów szkół ponadgimnazjalnych z  całej Polski. Zdecydowana większość uczestników i  laureatów Olimpiady mieszka poza Krakowem, nierzadko w  małych miejscowościach rozsianych po całym kraju. Główną ideą Olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH” jest merytoryczne przygotowanie kandydatów do studiów przyrodniczo-technicznych, co zasadniczo odróżnia ten konkurs od innych olimpiad przedmiotowych. W myśl powyższej idei premiowani są wszyscy uczestnicy dobrze przygotowani z wybranego przedmiotu. Laureatami są osoby, które przekroczyły pułap 70% możliwych do zdobycia punktów. Największą wartością, jaką wynosi się z aktywnego uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do studiów na kierunkach przyrodniczo-technicznych prowadzonych w wyższych uczelniach. Studiowanie w uczelni technicznej wymaga sprawnego rozwiązywania zadań, z czym wielu początkujących studentów ma poważny problem, który często powoduje nawet rezygnację ze studiów. Przygotowanie do Olimpiady i sam udział w niej zdecydowanie zwiększają szanse na pokonanie trudnej drogi prowadzącej do uzyskania stopnia inżyniera. Oddajemy w ręce czytelników podręcznik zawierający rozwiązania wszystkich zadań z fizyki, jakie pojawiły się w dotychczasowych edycjach Olimpiady w latach 2007–2016. Rozwiązania uzupełnione są stosownymi komentarzami pozwalającymi na pełne zrozumienie rozważanego problemu fizycznego. Praca z tym podręcznikiem stanowi doskonałe przygotowanie do kolejnych olimpiad. Zawiera on obszerny materiał z mechaniki, termodynamiki, elektromagnetyzmu, optyki wraz z elementami fizyki współczesnej, pozwalający na samo-

3


dzielne powtórzenie całego zakresu materiału szkoły średniej. Spora część materiału może też być przerabiana na zajęciach przygotowujących do matury z fizyki, kursach wyrównawczych i początkowych zajęciach na studiach technicznych. Wiadomości potrzebne do rozwiązania zadań można znaleźć w ogólnodostępnych podręcznikach, w tym podręcznikach, które powstały na AGH: J. Wolny, Podstawy fizyki w zadaniach, Wydawnictwo JAK, Kraków 2013, http:// www.wydawnictwojak.pl/nauka-i-technika/podstawy-fizyki-w-zadaniach-2013-11-12-detail; oraz Z. Kąkol, Fizyka, http://open.agh.edu.pl/course/view.php?id=99. Janusz Wolny Łucjan Pytlik

J. Wolny Podstawy fizyki w zadaniach

Z. Kąkol Fizyka


SPIS TREŚCI Zadania z lat 2007/2008.................................................................................................. 7 etap I ............................................................................................................................... 9 etap II ............................................................................................................................... 16 etap III ............................................................................................................................... 21

Zadania z lat 2008/2009.................................................................................................. 27 etap I ............................................................................................................................... 29 etap II ............................................................................................................................... 34 etap III ............................................................................................................................... 39

Zadania z lat 2009/2010.................................................................................................. 45 etap I ............................................................................................................................... 47 etap II ............................................................................................................................... 52 etap III ............................................................................................................................... 57

Zadania z lat 2010/2011.................................................................................................. 63 etap I ............................................................................................................................... 65 etap II ............................................................................................................................... 70 etap III ............................................................................................................................... 75

Zadania z lat 2011/2012.................................................................................................. 81 etap I ............................................................................................................................... 83 etap II ............................................................................................................................... 88 etap III ............................................................................................................................... 93

 

5


Zadania z lat 2012/2013.................................................................................................. 99 etap I ............................................................................................................................... 101 etap II ............................................................................................................................... 106 etap III ............................................................................................................................... 111

Zadania z lat 2013/2014.................................................................................................. 117 etap I ............................................................................................................................... 119 etap II ............................................................................................................................... 124 etap III ............................................................................................................................... 129

Zadania z lat 2014/2015.................................................................................................. 135 etap I ............................................................................................................................... 137 etap II ............................................................................................................................... 142 etap III ............................................................................................................................... 147

Zadania z lat 2015/2016.................................................................................................. 153 etap I ............................................................................................................................... 155 etap II ............................................................................................................................... 162 etap III ............................................................................................................................... 167

Tematyczny spis zadań.............................................................................................. 171 Mechanika .......................................................................................................................... 171 Termodynamika.................................................................................................................. 181 Elektromagnetyzm.............................................................................................................. 186 Optyka + fale ..................................................................................................................... 192


ZADANIA Z LAT

2015/2016


2015/2016-I-1 Stojący przy drodze patrol drogowy postanawia zatrzymać samochód ciężarowy jadący ze stałą szybkością v1 = 72 km/h. Kiedy ciężarówka nie zatrzymała się na wezwanie, po upływie czasu t0 = 3 s od chwili minięcia patrolu, radiowóz zaczyna gonić ciężarówkę poruszając się ze stałym przyspieszeniem a1 = 2 m/s2. Z chwilą dogonienia ciężarówki, patrol daje sygnał do zatrzymania się i zaczyna hamowanie z przyspieszeniem a2 = -5 m/s2 (znak minus oznacza ruch opóźniony). Ciężarówka, po zauważeniu sygnału, hamuje z odpowiednim opóźnieniem a3, takim, że oba pojazdy zatrzymują się w tym samym miejscu. Który z pojazdów zatrzymał się jako pierwszy? Jaką drogę pokonał radiowóz w czasie pościgu? Jaką maksymalną szybkość osiągnął radiowóz podczas pościg? Zrób wykresy, szybkości i drogi, od czasu, wspólnie dla ciężarówki i radiowozu. ROZWIĄZANIE

v1

Dane: v1 = 72 km/h = 20 m/s, a1 = 2 m/s2, t0 = 3 s, a2 = -5 m/s2 Szukane: s, v2

t0

a (t − t )2 s 1 = v1 t1 = 1 1 0 2 D = 4 v1 ( v1 + 2 a1 t 0 );

S1

A

a3

t1

S2

B

C t2

v2

a1

t3

a2

⇒ a1 t12 − 2 ( v1 + a1 t 0 ) ⋅ t1 + a1 t 02 = 0 D = 50 , 6

m ; t 1' = 0 , 35 s, s

(1)

t''1 = 25, 65 s = t1

(2)

v2 = 9 , 06 s; a2

(3)

(t'1 < t0 więc odrzucamy) v 2 = a1 ( t1 − t 0 ) = 45, 3

s 1 = v1 t1 = 513 m; s 2 =

a2 t 22 = 205, 2 m; 2

t3 =

2 s2 = 20 , 6 s; v1

s1

pa sta

pro

ciężarówka

bola

v1 t2 t1

t0

(4)

s = s1 + s2 = 718 , 2 m

para

la

bo

a ar

p

0

b

ra

s2

t2 =

v v2

s a ol

m ; s

t2

t

t3 radiowóz

0

t0

t1

t3

t

Pierwszy zatrzyma się radiowóz (t2 < t3).

2015/2016  •  etap I

155


2015/2016-I-2 Zabawka o nazwie „yo-yo” (szpulka) składa się z walca o masie m = 100 g i promieniu r = 1 cm oraz dwóch, przyklejonych współosiowo do jego podstaw, krążków o promieniu R = 5 cm i masie M = 200 g każdy. Na walcu nawinięta jest ściśle cienka i nierozciągliwa nitka z zamocowanym końcem, tak, że nitka nie ślizga po powierzchni walca. Drugi koniec nitki jest trzymany nieruchomo ponad szpulką. W  pewnym momencie puszczamy szpulkę, która porusza się pionowo w  dół. Odwijająca się nitka powoduje ruch obrotowy szpulki. Oblicz przyspieszenia, liniowe i kątowe, szpulki. Dla uproszczenia załóż, że masa nitki jest zaniedbywalnie mała, a odwinięta nitka w czasie opadania szpulki zachowuje ułożenie pionowe. ROZWIĄZANIE

Dane: m = 100 g, r = 1 cm, M = 200 g, R = 5 cm Szukane: a, e

ε N

r

1 I 1 = m r 2 = 5 ⋅ 10 −6 kg ⋅ m 2 2 I2 =

a

(5)

1 M R 2 = 2 , 5 ⋅ 10 −4 kg ⋅ m 2 2

(6)

I = I 1 + 2 I 2 = 5, 05 ⋅ 10 −4 kg ⋅ m 2

Q

(7)

Q − N = ( m + 2 M ) ⋅ a  r ⋅ N = I ⋅ e  e = a  r

(8)

Stąd: a =

e =

156

m+2M m+2M +

I r2

⋅ g = 0 , 09 g = 0 , 9

m s2

a 1 = 90 2 r s

(9)

(10)

2015/2016  •  etap I


2015/2016-I-3 Naczynie szklane, o masie m = 200 g, wypełnione jest wodą o temperaturze początkowej T1 = 0°C. W wodzie zanurzona jest miniaturowa grzałka elektryczna o mocy P = 20 W, za pomocą której podgrzewany jest cały układ. Masa wody wynosi M = 1 kg. Dla rozpatrywanego układu ilość ciepła wymieniana z otoczeniem w przedziale czasu ∆t zależy od różnicy temperatur między układem a otoczeniem, tak, że ∆Q/∆t = a⋅∆T, gdzie a = 1 W/K. Temperatura otoczenia jest stała i wynosi T0 = 20°C. Oblicz szybkości wzrostu temperatury wody w kolbce podczas podgrzewania grzałką dla dwóch różnych temperatur wody: na początku grzania, tj. dla temperatury układu równej T1, i po pewnym czasie grzania, gdy temperatura układu zrówna się z temperaturą otoczenia, T0. Do jakiej maksymalnej temperatury podgrzeje się woda w tym naczyniu? Ciepła właściwe wody i szkła wynoszą odpowiednio: cw = 4,2 kJ/(kg K), csz = 730 J/(kg K) ROZWIĄZANIE

Dane: m = 200 g, T1 = 0°C, P = 20 W, M = 1 kg, a = 1 W/K, T0 = 20°C, cw = 4,2 kJ/(kg K), csz = 730 J/(kg K) Szukane: DT/Dt, Tmax Q 1 = P ⋅ D t ; Q2 = a ( T − T0 ) ⋅ D t

(11)

D Q = Q1 − Q2 = ( M ⋅ c w + m ⋅ csz ) ⋅ D T

(12)

P − a(T − T0 ) D T = Dt M ⋅ c w + m ⋅ csz

(13)

DT Dt DT Dt

=

P − a(T1 − T0 ) K K = 9 , 2 ⋅ 10 −3 = 0 , 55 M ⋅ c w + m ⋅ csz min s

(14)

=

P K K = 0 , 46 ⋅ 10 −3 = 0 , 28 M ⋅ c w + m ⋅ csz min s

(15)

T1

T0

T max : Q1 = Q2

⇒ Tmax = T0 +

P = 40°C a

2015/2016  •  etap I

(16)

157


2015/2016-I-4 Trzy małe, jednakowe i stykające się ze sobą kulki metalowe o masie m = 1 g każda, zwisają na jednakowych nitkach o długości l = 50 cm, zawieszonych w jednym punkcie. Jakim ładunkiem Q0 należy naładować każdą z kulek, aby rozeszły się one, tworząc wierzchołki trójkąta równobocznego o długości boku d = 10 cm? Następnie ładunek jednej z kulek neutralizujemy do zera. O ile należy zmienić ładunki dwóch pozostałych kulek, aby ich odległość była taka sama jak poprzednio? ROZWIĄZANIE

Dane: m = 1 g, l = 50 cm, d = 10 cm Szukane: Q0, Q1 α

d

tg a =

2

3l − d

Fw = 2 F1 cos( 30° ) =

k

Q02 2

d

l

(17)

= 0 ,116

2

F1

⋅ 3 = mg tg a

(18)

Fw

Stąd

Q0 Q0

x d

F2

Q0

mg

Q 0 =

mg tg a

(19)

≈ 27 nC

k 3

Po uziemieniu jednej z kulek, pozostałe dwie będą w odległości x1 = d, tworząc kąt a1: Fw 1

sin a1 =

Fw21

+ ( mg )

2

=

x1 / 2 l

(20)

Stąd:

α1

2 4 2 4 k Q1 + ( mg ) 2 x12 = 4 l 2 k Q1 x12 x14

(21) Fw1

x1

Rozwiązaniem powyższego równania jest: Q1 = 4

m 2 g 2 x16 k

2

(4 l

2

x12

)

D Q = Q1 − Q0 = 6 nC

158

≈ 33 nC

(22) mg

(23)

2015/2016  •  etap I

Q1

Q1


2015/2016-I-5 Kąt łamiący (wierzchołkowy) pryzmatu wynosi f. Promień monochromatycznego światła pada z powietrza pod kątem a na jedną ze ścian wierzchołkowych pryzmatu. Po załamaniu, dochodząc do drugiej ściany wierzchołkowej pryzmatu, promień pada na nią pod kątem granicznym, ulegając całkowitemu wewnętrznemu odbiciu od tej ściany. Wszystkie kąty leżą w jednej płaszczyźnie. Współczynnik załamania materiału, z którego wykonany jest pryzmat, wynosi n = 1,5. Oblicz kąt padania, a, na pierwszą ścianę pryzmatu. Wykonaj obliczenia i rysunki biegu promienia dla dwóch różnych wartości kąta f: 30° oraz 60°. Czy istnieje rozwiązanie dla kąta f = 90°? ROZWIĄZANIE

Dane: n = 1,5, f = 60° lub f = 30° Szukane: a

φ β

α

A) a gr = 1 sin n

φ

αgr

(24)

⇒ a gr ≈ 41, 8°

b + a gr = f ⇒ b = f − a gr

(25)

sin a = n ⋅ sin b

(26)

sin a = n ⋅ sin( f − a gr )

(27)

Rozwiązując powyższe równanie dla f = 60° otrzymujemy aA = 27,9°

(28)

B)

φ α

Dla f = 30° otrzymujemy a B = −17 , 9°

(29)

αgr

C) Dla kąta f = 90° otrzymujemy sprzeczność: sin a C = 1,12

(30)

– brak rozwiązania

2015/2016  •  etap I

159


OPTYKA + FALE 2007/2008-I-3

11

Na osi optycznej soczewki o ogniskowej f1 = 10 cm, w odległości x = 5 cm od jej środka, znajduje się źródło światła (żarówka o  małym włóknie). Światło po przejściu przez soczewkę tworzy wiązkę rozbieżną. Mamy do dyspozycji drugą soczewkę skupiającą o  ogniskowej f2  = 20  cm. Gdzie należy ustawić tę soczewkę, aby po przejściu przez obie soczewki światło tworzyło wiązkę równoległą? Czy da się napisać ogólny wzór podający ogniskową układu dwóch cienkich soczewek umieszczonych w odległości d od siebie?

2007/2008-I-7

15

Przeprowadź graficzną konstrukcję obrazu, jeżeli przedmiot świecący znajduje się w odległości 75 cm od zwierciadła wklęsłego o promieniu krzywizny 1 m.

2007/2008-II-5

20

Oblicz, w jakiej odległości od przedmiotu należy ustawić soczewkę skupiającą o ogniskowej równej 6 cm, aby uzyskać dwukrotne powiększenie obrazu. Rozważ dwa przypadki, kiedy powstają obrazy: rzeczywisty lub urojony. Oblicz położenia obrazów i przedstaw stosowne konstrukcje obrazów na rysunkach. Oblicz współczynnik załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka, jeżeli jej promienie krzywizny są sobie równe i wynoszą 5 cm.

2007/2008-III-5

25

Mamy do dyspozycji akwarium, w którym odległość między przeciwległymi ścianami wynosi l = 1 m. Na wewnętrznej stronie jednej ze ścianek naklejono przesłonę z centralnym otworem w kształcie koła o promieniu r = 1 cm. Akwarium wypełniono wodą o bezwzględnym współczynniku załamania nw = 4/3. Zadaniem eksperymentatora jest utworzenie ostrego obrazu otworu przesłony na przeciwległej ścianie akwarium za pomocą soczewki wykonanej ze szkła o  bezwzględnym współczynniku załamania nsz = 3/2. a) Ile razy wzrośnie ogniskowa soczewki po zanurzeniu jej w wodzie? b) Ile wynosi minimalna zdolność skupiająca soczewki w powietrzu, aby zadanie dało się wykonać? c) Jeżeli w tym doświadczeniu użyjemy soczewki o ogniskowej w powietrzu fp = 6 cm, to w jakiej odległości od przesłony należy ustawić soczewkę w celu wykonania postawionego zadania? Oblicz średnicę otrzymanego obrazu.

2008/2009-I-5

33

Dwuwypukła soczewka o jednakowych promieniach krzywizny wynoszących 15 cm wykonana jest ze szkła o  współczynniku załamania 3/2. Przedmiot ustawiony w  pewnej odległości od soczewki tworzy w powietrzu obraz rzeczywisty. Po zalaniu całego układu wodą obraz tego samego przedmiotu powstaje w odległości pięć razy większej niż w powietrzu. Współczynnik załamania wody wynosi 4/3. Oblicz: a) ogniskowe soczewki w powietrzu i w wodzie, b) odległość przedmiotu od soczewki, c) odległości i powiększenia obrazów powstających w powietrzu oraz w wodzie.

192

•  OPTYKA + FALE   •


Przedstaw (na oddzielnych rysunkach) konstrukcję obrazu powstającego w obydwu przypadkach, tj. w powietrzu oraz w wodzie.

2008/2009-II-5

38

Po oświetleniu siatki dyfrakcyjnej promieniem lasera o długości fali l0  = 650  nm, padającym prostopadle do jej powierzchni, prążek pierwszego rzędu ugięcia powstaje dla kąta a0 = 30°. Laser zastępujemy wiązką światła emitowaną z żarówki energooszczędnej, dla której najkrótsza długość fali wynosi l1 = 408 nm, a najdłuższa l2 = 690 nm. W jakim zakresie kątów pojawią się linie (a) pierwszego oraz (b) drugiego rzędu ugięcia dla widma tej żarówki?

2008/2009-III-5

43

Świecący przedmiot umieszczono na osi optycznej cienkiej soczewki płasko-wypukłej o promieniu krzywizny R = 7,5 cm. Jaka musi być odległość tego przedmiotu od środka soczewki, aby zarówno w powietrzu, jak i po zanurzeniu układu w wodzie obraz przedmiotu (rzeczywisty lub pozorny) znajdował się w takiej samej odległości od soczewki? Oblicz położenie i powiększenie tego obrazu (liczone w skali bezwzględnej). Narysuj bieg promieni wraz z konstrukcją obrazu powstającego w powietrzu oraz w wodzie. Współczynnik załamania szkła, z którego wykonana jest soczewka, wynosi nsz = 3/2. Współczynnik załamania wody wynosi nw = 4/3.

2009/2010-I-5

51

Lornetka złożona jest z soczewki obiektywu o ogniskowej f1 = 20 cm i soczewki okularu o ogniskowej f2 = 2 cm. Aby użyć tej lornetki do obserwacji na ekranie powiększonego obrazu Słońca, jej soczewki trzeba ustawić tak, by ich wzajemna odległość była większa od sumy ogniskowych. Przy odpowiednim dobraniu tej odległości na ekranie ustawionym za soczewką okularu tworzy się ostry obraz Słońca. Jaka będzie średnica tego obrazu, jeżeli ekran znajduje się w odległości L = 50 cm od soczewki okularu, a średnica kątowa Słońca wynosi a = 31′28′′ (0,00915 rad)?

2009/2010-II-5

56

Światło o długości fali w próżni równej l0 = 0,6 µm pada pod kątem a = 30° na płasko-równoległą płytkę szklaną o grubości d = 4 mm. Oblicz czas biegu promienia wewnątrz płytki. Prędkość światła w próżni wynosi c  = 3·108 m/s, a długość fali w szkle jest równa l = 0,4 µm.

2009/2010-III-5

61

Dwa prostokątne lustra o szerokości L = 50 cm każde, stojące pionowo na podłodze, połączono wzdłuż wspólnego pionowego boku tak, że płaszczyzny odbijające luster utworzyły ze sobą kąt  90°. Połączony układ luster ustawiono symetrycznie naprzeciwko ściany (powierzchnie odbijające luster zwrócone są do ściany pod kątem 45°). Na ścianie, w  płaszczyźnie symetrii całego układu, wisi żarówka, traktowana jako punktowe źródło światła. Odległość między żarówką a wspólnym bokiem luster wynosi d1 = L√2, tak więc rzuty pionowe krawędzi luster i żarówki na podłoże wyznaczają wierzchołki kwadratu o boku L. W wyniku odbicia światła żarówki od luster oświetlony zostaje pewien pas ściany. Oblicz szerokość tego pasa. Narysuj przekrój poziomy układu i zaznacz na nim bieg promieni świetlnych dla krańcowych punktów oświetlonego pasa ściany. Jak wyglądałby rysunek, gdyby wspólna krawędź luster została odsunięta od ściany dwa razy dalej, tj. na odległość d2 = 2d1?

•  OPTYKA + FALE   •

193


2010/2011-I-5

69

Na ławie optycznej ustawiono w kolejności jeden za drugim następujące obiekty: zwierciadło płaskie, przedmiot świecący, soczewkę skupiającą o ogniskowej f oraz ekran. Przedmiot świecący, znajdujący się pomiędzy zwierciadłem a soczewką, umieszczono dokładnie w ognisku soczewki oraz w odległości d od zwierciadła. Ekran służy do obserwacji powstającego obrazu rzeczywistego. Oblicz położenie obrazu oraz jego powiększenie. Zrób wykres zależności powiększenia od stosunku d/f.

2010/2011-II-5

74

Soczewkę wypukłą o jednakowych promieniach krzywizny, R1 = R2 = 6 cm, wykonano z materiału, którego współczynnik załamania wynosi n = 6/5. Oblicz ogniskową soczewki po zanurzeniu jej w wodzie (nw = 4/3). W którym miejscu powstaje obraz przedmiotu umieszczonego również w wodzie na osi optycznej soczewki, jeżeli odległości przedmiotu od soczewki jest równa długości tejże ogniskowej? Przedstaw na rysunku bieg promieni świetlnych i konstrukcję obrazu.

2010/2011-III-5

79

Cienka soczewka płasko-wypukła została zrobiona ze szkła o współczynniku załamania n = 1,5. Promień krzywizny powierzchni wypukłej soczewki wynosi R  =  50  mm. Płaska powierzchnia soczewki ściśle dotyka podstawy walca wykonanego z tego samego szkła. Długość walca wynosi L. W jakiej odległości f od płaskiej powierzchni soczewki skupi się wiązka promieni równoległych do osi optycznej, padająca od strony wypukłej powierzchni soczewki? Rozważ dwa przypadki: a) długiego walca (duże L), tj. gdy punkt skupienia promieni znajduje się wewnątrz walca, b) krótkiego walca, kiedy promienie skupiają się po wyjściu z walca. Przeprowadź obliczenia dla promieni przyosiowych, dla których kąty padania i załamania są na tyle małe, że spełniają relacje: sina ≈ tga ≈ a [rad]. Ile wynosi ogniskowa cienkiej soczewki, tj. dla L = 0? Zrób wykres zależności f (L).

2011/2012-I-5

87

Aparat fotograficzny z obiektywem o  ogniskowej f = 80  mm ma zakres regulacji odległości soczewki obiektywu od kliszy (matrycy CCD) pozwalający na otrzymanie ostrego obrazu dla przedmiotów znajdujących się w zakresie odległości od x1 = 0,5 m do nieskończoności. W celu uzyskania możliwości „ostrego” fotografowania obiektów leżących bliżej niż 0,5 m do soczewki obiektywu dołącza się dodatkową soczewkę skupiającą (przystawkę do makrofotografii). W jakim zakresie odległości będzie można zrobić ostre zdjęcie, jeżeli dodatkowa soczewka ma ogniskową fd = 120 mm? Jakie będzie powiększenie obrazu dla najbliższej dopuszczalnej odległości obiektu? Należy założyć, że soczewki możemy traktować jako cienkie i  ustawione bardzo blisko siebie (proste sumowanie zdolności skupiających).

2011/2012-II-5

92

Mikroskop projekcyjny składa się z dwóch soczewek, każda o ogniskowej f = 5 cm, ustawionych na wspólnej osi optycznej w odległości l = 20 cm od siebie. W jakiej odległości od pierwszej soczewki (obiektywu) należy umieścić żarówkę, aby obraz włókna żarówki został ostro odwzorowany na ekranie odległym od drugiej soczewki (okularu) o d = 2 m?

194

•  OPTYKA + FALE   •


2011/2012-III-5

97

Podczas przygotowań do imprezy muzycznej dwa głośniki umieszczono tuż przy krawędzi sceny, w odległości a = 4 m od siebie, orientując je w tym samym kierunku, prostopadłym do krawędzi sceny. Z obu głośników emitowany jest dźwięk z jednego źródła o zadanej częstotliwości f. Słuchacz stoi dokładnie naprzeciwko jednego z głośników w odległości l = 10 m od niego. Wiadomo, że przy emisji dźwięku z każdego głośnika oddzielnie amplituda słyszanego w tym miejscu sygnału dźwiękowego jest jednakowa i  wynosi A. Jaki będzie w  tym miejscu zakres zmian amplitudy sygnału  wypadkowego (nałożonego od obu głośników) przy płynnej zmianie częstotliwości emitowanego dźwięku? Jakie będą trzy najniższe częstotliwości, dla których dźwięki całkowicie się wygaszą? Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi v0 = 340 m/s.

2012/2013-I-5

105

Fotokomórka składa się z elektrody reagującej na światło (fotokatody) i  elektrody zbierającej wybite elektrony (anody). Mamy do dyspozycji dwa lasery: czerwony (l1 = 650 nm) oraz zielony (l2 = 530 nm). Po oświetleniu fotokatody czerwonym laserem napięcie między anodą i katodą ustawiamy tak, aby zredukować prąd do zera (napięcie hamowania). O ile trzeba będzie zwiększyć wartość napięcia hamowania po zmianie oświetlającego lasera z  czerwonego na zielony? Jaki warunek musi spełniać praca wyjścia materiału fotokatody, aby przeprowadzenie eksperymentu było możliwe?

2012/2013-II-5

110

Pod wpływem padającego na płytkę cynkową promieniowania ultrafioletowego o nieznanej długości fali (l) wybijane są fotoelektrony. Uformowana za pomocą przesłon wiązka fotoelektronów wpada następnie w prostopadłe do ich ruchu stałe pole magnetyczne o indukcji B = 10-3 T. Oblicz długość użytego w doświadczeniu promieniowania ultrafioletowego, jeżeli najszybsze elektrony poruszają się po łuku okręgu o promieniu R = 10 mm. Praca wyjścia dla cynku wynosi W = 4,33 eV, ładunek elektronu e = 1,6·10-19 C, masa elektronu m = 9,1·10-31 kg, stała Plancka h = 6,63·10-34 J ·s, prędkość światła c = 3·108 m/s.

2012/2013-III-5

115

Zwierciadło wklęsłe o promieniu krzywizny R = 50 cm zostało ustawione tak, że jego oś optyczna jest skierowana pionowo. Do kulistej czaszy zwierciadła nalano wody, tak że jej największa głębokość w centralnym punkcie zwierciadła wynosi H = 20 cm. Oblicz ogniskową takiego układu. Współczynnik załamania dla wody wynosi n = 4/3.

2013/2014-I-5

123

Wiązka promieni słonecznych pada prostopadle na odbijającą powierzchnię płyty DVD o odległości między rowkami zapisu d = 740 nm. Po odbiciu wydzielamy wiązkę promieniowania ultrafioletowego poprzez wybranie przesłonami kąta odbicia od płyty a = 30° (liczonego do normalnej). Wiązka ta pada na katodę fotokomórki o pracy wyjścia W = 2,5 eV, wybijając z niej fotoelektrony. Jakie napięcie hamowania będzie potrzebne do zatrzymania najszybszych wybitych fotoelektronów? Zakładamy, że w wiązce odbitej dominuje światło z pierwszego rzędu odbicia dyfrakcyjnego.

•  OPTYKA + FALE   •

195


2013/2014-II-5

128

Mikroskop optyczny składa się z dwóch soczewek skupiających, obiektywu i okularu. Soczewka obiektywu ma zdolność skupiającą 40 dioptrii. Zdolność skupiająca soczewki okularu wynosi 50 dioptrii. Oblicz powiększenie mikroskopu, jeżeli oglądany przedmiot znajduje się w odległości 3 cm od soczewki obiektywu, a odległość dobrego widzenia wynosi 25 cm (obraz pozorny). Ile wynosi odległość między soczewkami? Narysuj konstrukcję obrazu powstającego w mikroskopie.

2013/2014-III-5

133

Na wspólnej ławie optycznej znajdują się dwie soczewki: rozpraszająca, o ogniskowej f1 = -6 cm, i  skupiająca, o  ogniskowej f2 = 10  cm. Soczewki są rozsunięte względem siebie na odległość d = 10  cm. Przed soczewką rozpraszającą (po przeciwnej stronie niż soczewka skupiająca) ustawiono świecący przedmiot w odległości x1 = 12 cm, którego obraz rzeczywisty powstaje po przejściu promieni świetlnych przez obie soczewki, najpierw rozpraszającą, a następnie skupiającą. W jakiej odległości od soczewki skupiającej powstaje ten obraz? Ile wynosi powiększenie obrazu? Przedstaw na rysunku bieg promieni świetlnych dla tego układu optycznego.

2014/2015-I-5

141

Równoległa do głównej osi optycznej wiązka promieni pada na zwierciadło kuliste wklęsłe o pro­ mieniu krzywizny R = 10 cm. Po odbiciu od zwierciadła promienie wiązki przecinają oś optyczną w  różnych miejscach, co powoduje, że ognisko jest rozmyte (aberracja sferyczna). Ile wynosi rozmycie odległości ogniskowej, jeżeli szerokość wiązki padającej symetrycznie względem osi optycznej zwierciadła wynosi d = 4 cm?

2014/2015-II-5

146

Kula metalowa o promieniu R = 5 cm została dokładnie rozładowana a następnie umieszczona na nieprzewodzącej elektrycznie podpórce. Kula zrobiona jest z cynku, dla którego praca wyjścia W = 4,33 eV. Powierzchnia kuli oświetlona została promieniowaniem ultrafioletowym o długości fali l = 200 nm, które powoduje wybijanie z powierzchni cynku elektronów w tzw. zewnętrznym zjawisku fotoelektrycznym. Wybijanie elektronów powoduje dodatnie ładowanie się kuli i  zwiększanie jej potencjału względem uziemienia (względem punktu w  nieskończoności). Do jakiego maksymalnego potencjału można naładować kulę za pomocą takiego procesu? Jaka będzie wtedy wartość ładunku dodatniego zgromadzonego na powierzchni kuli? Ładunek elektronu e = 1,6∙ 10-19 C, stała Plancka h = 6,63∙10-34 J∙s, prędkość światła c = 3∙108 m/s.

2014/2015-III-5

152

Na głównej osi optycznej zwierciadła wklęsłego umieszczamy zapaloną świeczkę i uzyskujemy obraz pozorny, którego powiększenie wynosi p1  = -2 (znak minus w tym zapisie oznacza obraz pozorny). Następnie przesuwamy przedmiot o odległość d = 20 cm i uzyskujemy obraz rzeczywisty, powiększony dwa razy, p2 = +2. Oblicz ogniskową zwierciadła oraz położenia przedmiotu i obrazu w obu przypadkach. Przedstaw na rysunkach konstrukcję obrazu w rozpatrywanych przypadkach.

2015/2016-I-5

159

Kąt łamiący (wierzchołkowy) pryzmatu wynosi f. Promień monochromatycznego światła pada z powietrza pod kątem a na jedną ze ścian wierzchołkowych pryzmatu. Po załamaniu, dochodząc

196

•  OPTYKA + FALE   •


do drugiej ściany wierzchołkowej pryzmatu, promień pada na nią pod kątem granicznym, ulegając całkowitemu wewnętrznemu odbiciu od tej ściany. Wszystkie kąty leżą w jednej płaszczyźnie. Współczynnik załamania materiału, z którego wykonany jest pryzmat, wynosi n = 1,5. Oblicz kąt padania, a, na pierwszą ścianę pryzmatu. Wykonaj obliczenia i rysunki biegu promienia dla dwóch różnych wartości kąta f: 30° oraz 60°. Czy istnieje rozwiązanie dla kąta f = 90°?

2015/2016-II-5

164

Mamy do dyspozycji zwierciadło wklęsłe o ogniskowej f  =  10  cm, umieszczone w  odległości L = 4 m od ekranu. Na osi tego zwierciadła umieszczamy źródło światła, złożone z czterech diod LED, tworzących kwadrat o boku a = 1 cm, ustawiony prostopadle do osi optycznej układu. W jakiej odległości od zwierciadła należy umieścić ten przedmiot (świecący kwadrat) na osi optycznej układu, aby uzyskać jego ostry obraz na ekranie? Jaki będzie rozmiar obrazu (bok kwadratu) na ekranie? Co będzie się działo z obrazem na ekranie, jeżeli przedmiot przybliżymy nieznacznie z  położenia początkowego do zwierciadła, o  ∆ x1  =  -3 mm? Czym to się różni od przypadku niewielkiego oddalenia przedmiotu od zwierciadła, o ∆x2 = +3 mm. Uwaga: Przeanalizuj położenia nowych obrazów kwadratu względem ekranu.

2015/2016-III-5

169

Równanie zwierciadła podaje zależność między odległościami przedmiotu (x) i obrazu (y) od zwierciadła a jego ogniskową (f). Wprowadzając nowe zmienne, x′ = (x -f ) oraz y′ = (y - f ), okreś­ lające odpowiednio odległości przedmiotu i obrazu od ogniska, wyprowadź równanie określające wartość iloczynu nowych zmiennych, x′∙ y′, nazywane wzorem Newtona. Jak będzie się teraz wyrażać powiększenie jako funkcja odległości przedmiotu od ogniska x′. Zastosuj otrzymane wzory do zwierciadła o promieniu krzywizny R = 50 cm i oblicz położenie obrazu i powiększenie dla dwóch odległości przedmiotu od ogniska: x1′ = +25 cm oraz x2′ = -25 cm. Narysuj bieg promieni dla tych dwóch sytuacji.

•  OPTYKA + FALE   •

197

Profile for Wydawnictwo JAK

Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH. Fizyka  

Fizyka zadania z rozwiązaniami dla kandydatów na wyższe uczelnie

Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH. Fizyka  

Fizyka zadania z rozwiązaniami dla kandydatów na wyższe uczelnie

Advertisement

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded