Issuu on Google+

CMYK

Janusz Wolny

tych, którzy nie czują się zbyt pewnie w rozwiązywaniu zadań z fizyki. Mogą ją „przerabiać” zarówno uczniowie szkół średnich, przygotowujący się do studiów, jak i studenci rozpoczynający kurs fizyki na studiach techniczno-przyrodniczych. Zawiera ona zestaw kilkuset zadań, poczynając od tych najprostszych, aż do bardziej złożonych zadań z olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH” (z Wprowadzenia).

ISBN 978-83-929749-6-3

CMYK

podstawy fizyki

Książka Podstawy fizyki w zadaniach jest skierowana do przyszłych inżynierów, szczególnie

Janusz Wolny

podstawy fizyki w zadaniach


Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny © Copyright by Janusz Wolny

Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek

ISBN 978-83-929749-6-3

www.wydawnictwojak.pl Kraków 2012

Podstawy Fizyki 2011.indd 2

2011-11-24 13:53:29


Spis treści

1. Aparat matematyczny  ...................................................................... 8 1.1. Wektory: suma, iloczyn skalarny  . .......................................................................... 8 1.2. Wektory: rozkład wektora, iloczyn wektorowy, obroty  . ........................................ 10 1.3. Pochodna funkcji  .................................................................................................... 12 1.4. Całki  . ...................................................................................................................... 14

2. Wielkości fizyczne i układ jednostek  ................................. 16 3.A. Kinematyka  . ............................................................................................ 18 3.1. Tor, droga i przemieszczenie  .................................................................................. 18 3.2. Prędkość  . ................................................................................................................ 20 3.3. Ruch jednostajny prostoliniowy  ............................................................................. 22 3.4. Ruch jednostajnie zmienny  . ................................................................................... 24 3.4.1. 3.4.2. 3.4.3. 3.4.4.

Przyspieszenie  ............................................................................................. Swobodny spadek ciał w polu grawitacyjnym, rzut pionowy  . ................... Rzut poziomy  .............................................................................................. Rzut ukośny  . ...............................................................................................

24 26 28 30

3.5. Ruch po okręgu  . ..................................................................................................... 32

3.B. Dynamika  ................................................................................................... 34 3.6. Pierwsza zasada dynamiki  ...................................................................................... 34 3.7. Druga zasada dynamiki  .......................................................................................... 36 3.8. Trzecia zasada dynamiki  . ....................................................................................... 38 3.9. Prawo powszechnego ciążenia  ............................................................................... 40 3.10. Siła tarcia  ................................................................................................................ 42

Podstawy Fizyki 2011.indd 5

2011-11-24 13:53:29


3.11. Układy nieinercjalne – siły pozorne  ....................................................................... 44 3.12. Dynamika ruchu obrotowego  ................................................................................. 46 3.13. Statyka  .................................................................................................................... 48 3.14. Praca i moc  ............................................................................................................. 50 3.15. Energia kinetyczna i potencjalna  ............................................................................ 52 3.16. Zasada zachowania energii mechanicznej  .............................................................. 54 3.17. Pęd, zasada zachowania pędu  ................................................................................. 56 3.18. Zderzenia  ................................................................................................................ 58 3.19. Moment pędu – zasada zachowania momentu pędu  .............................................. 60 3.20. Ruch w polu grawitacyjnym – energia potencjalna i prędkości kosmiczne  ........... 62 3.21. Prawa ruchu planet  ................................................................................................. 64 3.22. Siła sprężystości – oscylator harmoniczny  ............................................................. 66 3.23. Wahadła  .................................................................................................................. 68

4. Termodynamika i fizyka cząsteczkowa  .............................. 70 4.1. Ciśnienie cieczy i gazów, siła wyporu  .................................................................... 70 4.2. Rozszerzalność termiczna ciał  . .............................................................................. 72 4.3. Energia wewnętrzna, ciepło i praca  ........................................................................ 74 4.4. Gaz doskonały – równanie stanu  ............................................................................ 76 4.5. Przemiany gazowe: izotermiczna i izobaryczna  . ................................................... 78 4.6. Przemiany gazowe: izochoryczna i adiabatyczna  .................................................. 80 4.7. Zasada ekwipartycji energii  .................................................................................... 82 4.8. Silniki cieplne  ......................................................................................................... 84 4.9. Bilans cieplny  ......................................................................................................... 86

5. Elektromagnetyzm  . ......................................................................... 88 5.1. Oddziaływanie elektrostatyczne ładunków punktowych  ....................................... 88 5.1.1. Prawo Coulomba, pole elektryczne  . ........................................................... 88 5.1.2. Strumień pola elektrycznego, prawo Gaussa  .............................................. 90 5.2. Potencjał elektryczny, dipol  . .................................................................................. 92 5.3. Kondensatory  . ........................................................................................................ 94 5.4. Natężenie prądu elektrycznego i prawo Ohma  . ..................................................... 96 5.5. Prawa Kirchhoffa  . .................................................................................................. 98 5.6. Moc prądu  . ............................................................................................................. 100

Podstawy Fizyki 2011.indd 6

2011-11-24 13:53:29


5.7. Elektroliza  . ............................................................................................................. 102 5.8. Indukcja magnetyczna wokół przewodnika z prądem  . .......................................... 104 5.9. Oddziaływanie pola magnetycznego na poruszający się ładunek  .......................... 106 5.10. Oddziaływanie pola magnetycznego na przewodniki z prądem  ............................ 108 5.11. Indukcja elektromagnetyczna  ................................................................................. 110 5.12. Prąd przemienny  ..................................................................................................... 112

6. Optyka  . ....................................................................................................... 114 6.1. Prawo odbicia, zwierciadła  . ................................................................................... 114 6.2. Załamanie  ............................................................................................................... 116 6.3. Soczewki  . ............................................................................................................... 118 6.4. Dyfrakcja i interferencja  ......................................................................................... 120

7. Fizyka atomowa i jądrowa  . ........................................................... 122 7.1. Dualizm korpuskularno-falowy promieniowania elektromagnetycznego  . ............ 122 7.2. Fale materii, wytwarzanie promieniowania rentgenowskiego  ............................... 124 7.3. Atom wodoru  .......................................................................................................... 126 7.4. Rozpady promieniotwórcze  .................................................................................... 128 7.5. Teoria względności  ................................................................................................. 130

Wielkości fizyczne  ...................................................................................... 132 Rozwiązania zadań  ...................................................................................... 133 ZADANIA DODATKOWE....................................................................................... 147 Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH”. Zadania z lat 2007–2011.................................................................................... 155

Podstawy Fizyki 2011.indd 7

2011-11-24 13:53:29


1.  Aparat matematyczny 1.1.  Wektory: suma, iloczyn skalarny W fizyce spotykamy zarówno wielkości skalarne (np. masa, objętość, droga, czas, ładunek, napięcie elektryczne, praca, moc), jak i wektorowe (np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola). Wielkości skalarne posiadają tylko wartość, wektorowe – wartość, kierunek, zwrot i  punkt przyłożenia. W zadanym układzie wektor definiowany jest poprzez podanie jego współrzędnych: a = ( a1 , a2 , a3 )

Suma wektorów: a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę wektorów obrazuje druga przekątna (patrz rysunki).

b

b

a+b a

a–b a

Iloczyn skalarny: a ⋅ b ≡ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = = a ⋅ b ⋅ cos a ≡ a ⋅ b b b b

a

Jest on zatem równy iloczynowi długości wektora a i składowej wektora b, równoleg­ łej do a (b||). Na przykład praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia. 8  •  Aparat matematyczny

Podstawy Fizyki 2011.indd 8

2011-11-24 13:53:30


Przykład 1.1 Sprawdź, że wektory {u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1)} są do siebie prostopadłe. Rozwiązanie: Dla wektorów wzajemnie prostopadłych iloczyny skalarne są równe zeru, a zatem: u – v  1 1 0  0,

u – w  0 0 0  0,

v–w 0 0 0 0

czyli wektory u, v, w są wzajemnie prostopadłe.

Zadanie 1.1.1 Znaleźć współczynniki α, β, γ przedstawienia wektora a = (3,2,1) poprzez kombinację liniową wektorów u, v, w z przykładu 1.1. Jakie kąty tworzy wektor a z wektorami u, v, w? Rozwiązanie: dane: u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1), a = (3,2,1) szukane: α, β, γ,   u, a ,   v , a ,   w , a a  B–u C–v H –w u u 2  v ;

w  1,

a – u  B – u C – v H – w – u  B – u2

a  9 4 1  14  B

a – v  .................................  .............  C 

a–u 3 2 0 5   2 2 u2

1 a–v  ..................  2 2 v

a – w  .................................  ..............  H  ..........  ..................  1 a – u  a – u – cos   u, a    u, a  arc cos

a–u 5  arc cos z 19,1o a– u 2 7

  v , a  ............................  arc cos

1 z ...................... 2 7

  w , a  ............................  .............................. z 74, 5o

Zadanie 1.1.2 Wykaż, że: a > b š a b  a b Uwaga: skorzystaj z porównania kwadratów sumy i różnicy wektorów: (a b)2  a2 2 a – b b2

oraz

(a b)2  a2 2a – b b2

!PARATMATEMATYCZNY r 


 %,%+42/-!'.%49: /DDZIAÂ?YWANIEELEKTROSTATYCZNEÂ?ADUNKĂ?WPUNKTOWYCH  0RAWO#OULOMBA POLEELEKTRYCZNE IstniejÄ… dwa rodzaje Ĺ‚adunkĂłw: dodatnie i ujemne. Potarta laska szklana Ĺ‚aduje siÄ™ dodatnio, natomiast laska ebonitowa – ujemnie. JednÄ… z najbardziej fundamentalnych zasad ďŹ zyki jest sformuĹ‚owana przez B. Franklina w 1747 roku zasada zachowania Ĺ‚adunku, stwierdzajÄ…ca, Ĺźe w ukĹ‚adzie zamkniÄ™tym wypadkowy Ĺ‚adunek bÄ™dzie wielkoĹ›ciÄ… staĹ‚Ä…. Ĺ adunki róşnych znakĂłw mogÄ… siÄ™ kompensować. R.A. Millikan wykazaĹ‚ doĹ›wiadczalnie, Ĺźe Ĺ‚adunek swobodny jest wielokrotnoĹ›ciÄ… Ĺ‚adunku elementarnego e ≈ 1,602 ¡ 10–19 C Prawo Coulomba: dwa Ĺ‚adunki róşnoimienne przyciÄ…gajÄ… siÄ™, a rĂłwnoimienne odpychajÄ… siÄ™ z siĹ‚Ä… proporcjonalnÄ… do iloczynu wielkoĹ›ci tych Ĺ‚adunkĂłw i odwrotnie proporcjonalnÄ… do kwadratu ich wzajemnej odlegĹ‚oĹ›ci: qq r F  k – 1 22 – r r gdzie staĹ‚a k ≈ 9 ¡ 109 N ¡ m2/C2 CzÄ™sto staĹ‚Ä… k zastÄ™pujemy przenikalnoĹ›ciÄ… elektrycznÄ… próşni: 1 C2 z 8, 85 –10 12 F0  4Q k N – m2 Natęşenie pola jest stosunkiem siĹ‚y do wartoĹ›ci tzw. Ĺ‚adunku prĂłbnego, i dla Ĺ‚adunku punktowego Q wyraĹźa siÄ™ worem: F 1 Q r E  – 2– q 4PE  r r Natęşenie pola jest skierowane od Ĺ‚adunku dodatniego do ujemnego.  r %LEKTROMAGNETYZM


Przykład 5.1.1 Dwie małe, jednakowe kulki zawieszono na dwóch identycznych nitkach, zaczepionych w jednym punkcie. Kulki te naładowano sumarycznym ładunkiem Q. Dla jakiego rozkładu ładunków między kulkami kąt, jaki utworzą nitki, będzie maksymalny? Rozwiązanie: dane: Q szukane: q1, q2







 

Ponieważ siła ciężkości P = mg jest stała, maksymalny kąt będzie odpowiadał maksymalnej wartości siły F wzajemnego oddziaływania ładunków. Z kolei siła F jest proporcjonalna do iloczynu q1 i q2. Załóżmy, że q1 = q, to: q2 = Q − q, wtedy:



q1 – q2  q (Q q )  max  q 

Q 2

 q1  q2 

Q 2

Zadanie 5.1.1.1 Dwa ładunki, 10–5 C i 4 · 10–5 C, znajdują się w odległości 10 cm od siebie. W którym punkcie natężenie pola elektrycznego jest równe zeru? Rozwiązanie: dane: q1 = 10–5 C, q2 = 4 · 10–5 C, a = 10 cm szukane: x Z uwagi na wektorowy charakter, natężenia pola elektrycznego mogą się kompensować tylko na linii łączącej obydwa ładunki.  







q1 q2 k– 2 2 (a x) x 2 Stąd: q2 ⋅ x = ................................................... W punkcie A: k –



oraz: (q2 − q1) ⋅ x2 + ........................................ = 0

%  ............................................................... 

%  2a q1q2

Dodatni pierwiastek równania: q1q2 q1

a  .................... q2 q1 Dla ujemnego pierwiastka równania natężenia pól są zgodnie skierowane, więc się dodają. x  ................................................... 

Zadanie 5.1.1.2 W narożach kwadratu znajdują się jednakowe ładunki o wartościach 5 · 10–5 C. Jaki ładunek należy umieścić w środku kwadratu, aby układ był w równowadze?

%LEKTROMAGNETYZM r 


7)%,+/i#)&):9#:.%

Wielkość

Symbol

Wartość

Prędkość światła w próżni

C

2,99792458 ⋅ 108 m ⋅ s−1

Przenikalność magnetyczna

N0

4π ⋅ 10−7 H ⋅ m−1

F0 

1 N 0c 2

k=

1 4QF 0

8,9876 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2

Stała Plancka

h

6,6261 ⋅ 10−34 J ⋅ s

Elektryczny ładunek elementarny

e

1,6022 ⋅ 10−19 C

Masa spoczynkowa elektronu

me

9,1094 ⋅ 10−31 kg

Masa spoczynkowa protonu

mp

1,6726 ⋅ 10−27 kg

Masa spoczynkowa neutronu

mn

1,6749 ⋅ 10−27 kg

Stała Rydberga

R

1,0974 ⋅ 107 m−1

Liczba Avogadro

NA

6,0221 ⋅ 1023 mol−1

Stała Boltzmanna

k

1,3807 ⋅ 10−23 J ⋅ K−1

R = NA · k

8,3145 J ⋅ mol−1 ⋅ K−1

Przenikalność elektryczna próżni

Stała w prawie Coulomba

Stała gazowa Stała grawitacji

G

Stała Faraday’a

F = NA · e

Średnia odległość Księżyca od Ziemi

RZK

8,8542 ⋅ 10−12 F ⋅ m−1

6,6726 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2 9,6485 ⋅ 104 C ⋅ mol−1 3,84 ⋅ 108 m

u

1,6605 ⋅ 10−27 kg

Objętość molowa gazu doskonałego

Vm

22,414 dm3/mol

Masa Ziemi

MZ

5,97 ⋅ 1024 kg

Średni promień Ziemi

RZ

6,38 ⋅ 106 m

Atomowa jednostka masy

 r 7IELKOyCIFIZYCZNE


2/:7)‚:!.)!:!$!® 1.1.2 dane: a, b, |a + b| = |a − b|; (a + b)2 = (a − b)2 ⇔

szukane: ∠(a, b)

a⋅b=0

a ⊥ b (a ≠ 0, b ≠ 0)

1.2.2 dane: a = (0, 1, 2), b = (2, 1, 1);

szukane: V

1 1 0 V  a – (b s c)  0 1 2  1 4 2  3 2 1 1 1.3.2 dane: r01 = (–3, 0) cm, r02 = (0, –3) cm, v1 = (2, 0) cm/s, v2 = (0, 3) cm/s szukane: r2 – r1, t a)

r1 = r01 + v1t = (−3 + 2t, 0);

r2 = r02 + v2t = (0, −3 + 3t);

Δr = r2 − r1 = (3 − 2t, −3 + 3t) b)

d%r 15  0  t1  s dt 13 r1(t1) ≈ (−0,69, 0) cm;

r2(t1) ≈ (0, 0,46) cm;

1.4.2 2 ¥ 2Pt dane: P0 = 200 W, T = 0,02 s, P (t )  P0 sin ¦ § T

´ µ; ¶

szukane: W





 T

T

°

°





T

1 ¨ 1 T ¥ 2P ´ ¥ 4P ´ · W  P(t ) dt  P0 sin 2 ¦ t µ dt  P0 ©t sin ¦ t µ ¸  P0T  2 J 2 ª 4P § T ¶ § T ¶¹ 0 2 0 0

2OZWI–ZANIAZADAÎ r 


2010/11 11. Na ławie optycznej ustawiono w kolejności jeden za drugim następujące obiekty: zwierciadło płaskie, przedmiot świecący, soczewkę skupiającą o ogniskowej f oraz ekran. Przedmiot świecący znajdujący się pomiędzy zwierciadłem a soczewką, umieszczono dokładnie w ognisku soczewki oraz w odległości d od zwierciadła. Ekran służy do obserwacji powstającego obrazu rzeczywistego. Oblicz położenie obrazu oraz jego powiększenie. Zrób wykres zależności powiększenia od stosunku d/f. 12. Soczewkę wypukłą o jednakowych promieniach krzywizny, R1 = R2 = 6 cm, wykonano z materiału, którego współczynnik załamania wynosi n = 6/5. Oblicz ogniskową soczewki po zanurzeniu jej w wodzie (nw = 4/3). W którym miejscu powstaje obraz przedmiotu umieszczonego również w wodzie na osi optycznej soczewki, jeżeli odległości przedmiotu od soczewki jest równa długości tejże ogniskowej? Przedstaw na rysunku bieg promieni świetlnych i konstrukcję obrazu. 13. Cienka soczewka płasko-wypukła została zrobiona za szkła o współczynniku załamania n = 1,5. Promień krzywizny powierzchni wypukłej soczewki wynosi R = 50 mm. Płaska powierzchnia soczewki ściśle dotyka podstawy walca wykonanego z tego samego szkła. Długość walca wynosi L. W jakiej odległości f od płaskiej powierzchni soczewki skupi się wiązka promieni równoległych do osi optycznej, padająca od strony wypukłej powierzchni soczewki? Rozważ dwa przypadki: (a) długiego walca (duże L), tj. gdy punkt skupienia promieni znajduje się wewnątrz walca oraz (b) krótkiego walca, kiedy promienie skupiają się po wyjściu z walca. Przeprowadź obliczenia dla promieni przyosiowych, dla których kąty padania i załamania są na tyle małe, że spełniają relacje: sin(α) ≈ tg(α) ≈ α [rad]. Ile wynosi ogniskowa cienkiej soczewki, tj. dla L = 0? Zrób wykres zależności f (L).

 r /LIMPIADAa/$IAMENTOWY)NDEKS!'(q


Podstawy fizyki w zadaniach