Podstawy fizyki w zadaniach

CMYK

Janusz Wolny

tych, którzy nie czują się zbyt pewnie w rozwiązywaniu zadań z fizyki. Mogą ją „przerabiać” zarówno uczniowie szkół średnich, przygotowujący się do studiów, jak i studenci rozpoczynający kurs fizyki na studiach techniczno-przyrodniczych. Zawiera ona zestaw kilkuset zadań, poczynając od tych najprostszych, aż do bardziej złożonych zadań z olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH” (z Wprowadzenia).

podstawy fizyki

Książka Podstawy fizyki w zadaniach jest skierowana do przyszłych inżynierów, szczególnie

Janusz Wolny

podstawy fizyki

w zadaniach

ISBN 978-83-67115-14-8

ISBN 978-83-929749-6-3

9 788367 115148 Wydanie VI • Kraków 2023

CMYK

Okladka Podstawy fizyki VI.indd 1

11.10.2023 21:22:15

Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny © Copyright by Janusz Wolny

Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek

wydanie VI uzupełnione ISBN 978-83-67115-14-8

www.wydawnictwojak.pl Kraków 2023

Podstawy Fizyki VI 2023.indd 2

29.09.2023 15:31:15

Wprowadzenie Podstawy fizyki w zadaniach są kontynuacją książki zatytułowanej Podstawy fizyki, wydawanej systematycznie od roku 1998 w Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Książka ta od kilkunastu lat jest używana jako podręcznik tzw. roku zerowego. Rok zerowy jest akcją prowadzoną pod auspicjami AGH w bardzo wielu szkołach średnich, niemal z całej Polski.

W ramach tej akcji prowadzone są 30-godzinne kursy z matematyki lub fizyki przygotowujące kandydatów na studia techniczne oraz matematyczno-przyrodnicze. Pod nadzorem wykładowców z AGH zajęcia kursowe odbywają się w szkołach średnich, które podpisały stosowną umowę z Uczelnią. Raz w roku, przy okazji wręczania indeksów laureatom olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH”, nauczyciele prowadzący zajęcia kursowe spotykają się celem wymiany doświadczeń.

Książka jest wykorzystywana w nauczaniu fizyki na niektórych kierunkach studiów pierwszego stopnia (inżynierskich), zarówno studiów stacjonarnych, jak i niestacjonarnych. Dzięki zdobywanemu doświadczeniu kolejne wydania podręcznika są systematycznie poprawiane i uzupełniane.

Studia techniczne wymagają od kandydatów stosownego przygotowania z fizyki. Chodzi głównie o umiejętność rozwiązywania zadań, co wymaga odpowiedniego treningu. Wielu studentów rozpoczynających studia techniczne napotyka poważne problemy z zaliczeniem przedmiotów podstawowych, w tym fizyki, co stanowi dużą barierę w zdobyciu stopnia inżyniera. Spora część absolwentów szkół średnich nie nabyła bowiem umiejętności samodzielnego rozwiązywania zadań i nawet proste zadania stanowią dla niej poważne wyzwanie.

Książka Podstawy fizyki w zadaniach jest skierowana do przyszłych inżynierów, szczególnie tych, którzy nie czują się zbyt pewnie w rozwiązywaniu zadań z fizyki. Mogą ją „przerabiać” zarówno uczniowie szkół średnich, przygotowujący się do studiów, jak i studenci rozpoczynający kurs fizyki na studiach techniczno-przyrodniczych. Zawiera ona zestaw kilkuset zadań, poczynając od tych najprostszych, aż do bardziej złożonych zadań z olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH”.

Celem prezentowanej książki jest nauczenie rozwiązywania zadań z fizyki. Stanowi ona rodzaj podręcznika interaktywnego. Dla ułatwienia zrozumienia treści zadań na początku każdego rozdziału znajduje się krótkie repetytorium teoretyczne – jest to przeważnie przypomnienie podstawowych praw fizyki, najczęściej stosowanych wzorów i wyjaśnienie użytych w książce symboli. W dobie Internetu stosunkowo łatwo można znaleźć opis zjawiska, dużo trudniej rozwiązać zadanie – i właśnie na tym skupia się zasadnicza treść książki. Do każdego rozdziału przygotowane są trzy zadania. Pierwsze zadanie, oznaczone jako przykład, jest całkowicie rozwiązane. Rozwiązanie drugiego zadania wymaga pewnych uzupełnień do

Podstawy Fizyki V 2020.indd 3

27.10.2020 14:44:43

przedstawionego schematu rozumowania. Trzecie zadanie jest przeznaczone do samodzielnego rozwiązania, przy czym wiele cennych uwag i wskazówek można znaleźć w końcowej części książki zawierającej rozwiązania zadań.

Osoby, które nie mają zbyt dużego doświadczenia w rozwiązywaniu zadań, powinny starannie przestudiować zamieszczone w książce przykłady. W ramach utrwalenia wiadomości mogą one skorzystać z zadań testowych stanowiących uzupełnienie niniejszego podręcznika.

Na stronie OpenAGH (https://open.agh.edu.pl/zasob/testy-z-fizyki/) umieszczony został program interaktywny wraz ze wieloma zadaniami testowymi. Do każdego zadania sformułowane zostały cztery pytania dotyczące kolejnych etapów rozwiązania. Poprawną odpowiedź należy wybrać z zaproponowanego zestawu kilku propozycji. Wybrany zestaw odpowiedzi przesyłany jest do automatycznego sprawdzenia, a analiza poprawności dokonanych wyborów przedstawiona jest na ekranie monitora. Testy są tak skonstruowane, że wymagają równoległego rozwiązywania zadania przez zdającego. Zaliczenie testu na chybił trafił jest bardzo mało prawdopodobne – prawdopodobieństwo takiego sukcesu wynosi poniżej 0,4%. Korzystanie z Testów z fizyki na stronie OpenAGH może być szczególnie pomocne przy prowadzeniu nauczania zdalnego.

Dla osób mających już doświadczenie w rozwiązywaniu zadań przewidziane są zadania do samodzielnego rozwiązania (trzecie zadanie z każdego rozdziału) oraz 13 zestawów zadań znajdujących się w końcowej części podręcznika. Zestawy zadań są tak przygotowane, że mogą również posłużyć jako sprawdziany umiejętności z poszczególnych działów fizyki (mechanika – trzy zestawy zadań, termodynamika i fizyka cząsteczkowa – dwa zestawy, elektromagnetyzm – dwa zestawy, optyka – dwa zestawy, fizyka atomowa i jądrowa – jeden zestaw, uzupełnione trzema zestawami mieszanymi).

Na końcu książki znajdują się zadania z wielu lat ogólnopolskiej olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH”. Zadania te są specjalnie polecane dla dociekliwych oraz uczniów przygotowujących się do uczestnictwa w tej olimpiadzie. Obszerne rozwiązania zadań olimpijskich są wydane w oddzielnej pozycji J. Wolny, Ł. Pytlik, P. Armatys, R. Strzałka Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH. FIZYKA (www.wydawnictwojak.pl/olimpiadafizyka).

Autor

QR CODE

Wygenerowano na www.qr-online.pl

Podstawy Fizyki VI 2023.indd 4

11.10.2023 20:56:01

Spis treści

1. APARAT MATEMATYCZNY ...................................................................

8

1.1. Wektory: suma, iloczyn skalarny . ..........................................................................

8

1.2. Wektory: rozkład wektora, iloczyn wektorowy, obroty . ........................................ 10 1.3. Pochodna funkcji .................................................................................................... 12 1.4. Całki . ...................................................................................................................... 14

2. WIELKOŚCI FIZYCZNE I UKŁAD JEDNOSTEK . ........................... 16 3.A. KINEMATYKA ............................................................................................ 18 3.1. Tor, droga, przemieszczenie ................................................................................... 18 3.2. Prędkość . ................................................................................................................ 20 3.3. Ruch jednostajny prostoliniowy ............................................................................. 22 3.4. Ruch jednostajnie zmienny . ................................................................................... 24 3.4.1. Przyspieszenie .............................................................................................

3.4.2. Swobodny spadek ciał w polu grawitacyjnym, rzut pionowy . ...................

3.4.3. Rzut poziomy ..............................................................................................

3.4.4. Rzut ukośny . ...............................................................................................

24 26 28 30

3.5. Ruch po okręgu . ..................................................................................................... 32

3.B. DYNAMIKA .................................................................................................. 34 3.6. Pierwsza zasada dynamiki ...................................................................................... 34 3.7. Druga zasada dynamiki .......................................................................................... 36 3.8. Trzecia zasada dynamiki . ....................................................................................... 38 3.9. Prawo powszechnego ciążenia ............................................................................... 40 3.10. Siła tarcia ................................................................................................................ 42

Podstawy Fizyki V 2020.indd 5

27.10.2020 14:44:43

3.11. Układy nieinercjalne – siły pozorne ....................................................................... 44 3.12. Dynamika ruchu obrotowego ................................................................................. 46 3.13. Statyka .................................................................................................................... 48 3.14. Praca i moc ............................................................................................................. 50 3.15. Energia kinetyczna i potencjalna ............................................................................ 52 3.16. Zasada zachowania energii mechanicznej .............................................................. 54 3.17. Pęd – zasada zachowania pędu ............................................................................... 56 3.18. Zderzenia ................................................................................................................ 58 3.19. Moment pędu – zasada zachowania momentu pędu .............................................. 60 3.20. Ruch w polu grawitacyjnym – energia potencjalna i prędkości kosmiczne ........... 62 3.21. Prawa ruchu planet ................................................................................................. 64 3.22. Siła sprężystości – oscylator harmoniczny ............................................................. 66 3.23. Wahadła .................................................................................................................. 68

4. TERMODYNAMIKA I FIZYKA CZĄSTECZKOWA . ........................ 70 4.1. Ciśnienie cieczy i gazów, siła wyporu .................................................................... 70 4.2. Rozszerzalność termiczna ciał . .............................................................................. 72 4.3. Energia wewnętrzna, ciepło i praca ........................................................................ 74 4.4. Gaz doskonały – równanie stanu ............................................................................ 76 4.5. Przemiany gazowe: izotermiczna i izobaryczna . ................................................... 78 4.6. Przemiany gazowe: izochoryczna i adiabatyczna .................................................. 80 4.7. Zasada ekwipartycji energii .................................................................................... 82 4.8. Silniki cieplne ......................................................................................................... 84 4.9. Bilans cieplny ......................................................................................................... 86

5. ELEKTROMAGNETYZM ........................................................................ 88 5.1. Oddziaływanie elektrostatyczne ładunków punktowych ....................................... 88 5.1.1. Prawo Coulomba, pole elektryczne . ........................................................... 88 5.1.2. Strumień pola elektrycznego, prawo Gaussa .............................................. 90 5.2. Potencjał elektryczny, dipol . .................................................................................. 92 5.3. Kondensatory . ........................................................................................................ 94 5.4. Natężenie prądu elektrycznego i prawo Ohma . ..................................................... 96 5.5. Prawa Kirchhoffa .................................................................................................... 98 5.6. Moc prądu . ............................................................................................................. 100

Podstawy Fizyki V 2020.indd 6

27.10.2020 14:44:43

5.7. Elektroliza . ............................................................................................................. 102 5.8. Indukcja magnetyczna wokół przewodnika z prądem . .......................................... 104 5.9. Oddziaływanie pola magnetycznego na poruszający się ładunek .......................... 106 5.10. Oddziaływanie pola magnetycznego na przewodniki z prądem ............................ 108 5.11. Indukcja elektromagnetyczna ................................................................................. 110 5.12. Prąd przemienny ..................................................................................................... 112

6. OPTYKA ........................................................................................................ 114 6.1. Prawo odbicia, zwierciadła . ................................................................................... 114 6.2. Załamanie ............................................................................................................... 116 6.3. Soczewki . ............................................................................................................... 118 6.4. Dyfrakcja i interferencja ......................................................................................... 120

7. FIZYKA ATOMOWA I JĄDROWA . ........................................................ 122 7.1. Dualizm korpuskularno-falowy promieniowania elektromagnetycznego . ............ 122 7.2. Fale materii, wytwarzanie promieniowania rentgenowskiego ............................... 124 7.3. Atom wodoru .......................................................................................................... 126 7.4. Rozpady promieniotwórcze .................................................................................... 128 7.5. Teoria względności ................................................................................................. 130

WIELKOŚCI FIZYCZNE . .................................................................................. 132 ROZWIĄZANIA ZADAŃ .................................................................................... 133 ZADANIA DODATKOWE..................................................................................... 147 OLIMPIADA „O DIAMENTOWY INDEKS AGH”.

ZADANIA Z LAT 2007–2023 ................................................................................. 155

Podstawy Fizyki V 2020.indd 7

27.10.2020 14:44:44

1. APARAT MATEMATYCZNY 1.1. Wektory: suma, iloczyn skalarny W fizyce spotykamy zarówno wielkości skalarne (np. masa, objętość, droga, czas, ładunek, napięcie elektryczne, praca, moc), jak i wektorowe (np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola). Wielkości skalarne mają tylko wartość, wektorowe – wartość, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia.

W zadanym układzie wektor definiowany jest poprzez podanie jego współrzędnych: a = ( a1 , a2 , a3 )

Suma wektorów: a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )

Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Różnicę wektorów obrazuje druga przekątna (patrz rysunki).

b

b

a+b a

a–b a

Iloczyn skalarny: a ⋅ b ≡ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = = a ⋅ b ⋅ cos a ≡ a ⋅ b b b b

a

Jest on zatem równy iloczynowi długości wektora a i składowej wektora b, równoleg­ łej do a (b||). Na przykład praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.

8 • Aparat matematyczny

Podstawy Fizyki V 2020.indd 8

27.10.2020 14:44:53

Przykład 1.1 Sprawdź, że wektory {u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1)} są do siebie prostopadłe.

Rozwiązanie: Dla wektorów wzajemnie prostopadłych iloczyny skalarne są równe zeru, a zatem: u ⋅ v = 1 − 1 + 0 = 0,

u ⋅ w = 0 + 0 + 0 = 0,

v⋅w =0+0+0 =0

czyli wektory u, v, w są wzajemnie prostopadłe.

Zadanie 1.1.1 Znaleźć współczynniki α, β, γ przedstawienia wektora a = (3,2,1) poprzez kombinację liniową wektorów u, v, w z przykładu 1.1. Jakie kąty tworzy wektor a z wektorami u, v, w?

Rozwiązanie: dane: u = (1,1,0), v = (1,–1,0), w = (0,0,1), a = (3,2,1) szukane: α, β, γ, ∠ ( u, a ) , ∠ ( v , a ) , ∠ ( w , a ) a = a⋅u +b⋅v + g ⋅w u =u= 2 = v ;

w = 1,

a ⋅ u = (a ⋅ u + b ⋅ v + g ⋅ w ) ⋅ u = a ⋅ u2

a = 9 + 4 + 1 = 14 ⇒ a=

a ⋅ v = ................................. = ............. ⇒ b =

a⋅u 3+ 2 + 0 5 = = 2 2 u2

a⋅v 1 = .................. = 2 v2

a ⋅ w = ................................. = .............. ⇒ g = .......... = .................. = 1 a ⋅ u = a ⋅ u ⋅ cos ∠ ( u, a ) ⇒ ∠ ( u, a ) = arc cos

5 a⋅u = arc cos ≈ 19,1° a⋅ u 2 7

∠ ( v , a ) = ............................ = arc cos

1 ≈ ......................

2 7

∠ ( w , a ) = ............................ = .............................. ≈ 74, 5°

Zadanie 1.1.2 Wykaż, że: a ⊥ b ⇔ a + b = a − b Uwaga: skorzystaj z porównania kwadratów sumy i różnicy wektorów: 2 2 2 (a + b)2 = a2 + 2 a ⋅ b + b2 oraz (a − b) = a − 2a ⋅ b + b

Aparat matematyczny • 9

Podstawy Fizyki V 2020.indd 9

27.10.2020 14:44:55

7.4. Rozpady promieniotwórcze Jądra atomowe składają się z proto­ nów i neutronów związanych siłami jądrowymi. Neutron i proton mają prawie taką samą masę i nazywamy je nukleonami. Jądra definiujemy przez podanie liczby nukleonów (jest to liczba masowa A) oraz liczby protonów (liczba atomowa Z), co dla jądra o nazwie X zapisujemy w postaci AZ X. Istnieją trzy rodzaje promieniowania, które nazywamy α, β, γ. Promieniowanie α to jądra helu, promieniowanie γ to fotony o dużej energii, a promieniowanie β to elektrony (β–) lub pozytony (β+, antycząstka dla elektronu). Rozpadowi β zawsze towarzyszy neutrino (ν) – rozpad β+, lub antyneutrino ( n ) – rozpad β–. Neutrina są cząsteczkami elementarnymi o niemal zerowej masie i zerowym ładunku.

Przykładem jest rozpad β– swobodnego neutronu, z czasem połowicznego zaniku 12 minut, na proton, elektron i antyneutrino: 1 0n

→

1 0 1 p + −1 b + v

Rozpad α zapisujemy następująco: 238 92 U

→

234 4 90Th + 2 a + 4, 2 MeV

Przykład rozpadu γ: 1 238 0 n + 92 U

239 → 239 92 U* → 92 U + γ

Prawo rozpadu: liczba jąder pierwiastka promieniotwórczego w chwili t wyraża się wzorem: t

N = N 0e

− lt

 1 T = N0   2

gdzie N0 – początkowa liczba jąder, λ – stała rozpadu, T – czas połowicznego rozpadu (zwany też okresem połowicznego zaniku).

128 • Fizyka atomowa i jądrowa

Podstawy Fizyki V 2020.indd 128

27.10.2020 15:05:36

Przykład 7.4 Narysuj wykres zależności liczby jąder promieniotwórczych od czasu. Zaznacz na tym wykresie czas połowicznego zaniku. Wyznacz relację między stałą rozpadu a czasem połowicznego rozpadu.

Rozwiązanie: dane: λ szukane: T, rysunek N(t) N = N 0 ⋅ e − lt t

N / N0

 1 T N = N0   2

1

Stąd:

0,5

−

t

e − lt = 2 T 0

T

t

−lt = − T=

t ⋅ ln 2 T ln 2 l

Zadanie 7.4.1 Jaka objętość helu w warunkach normalnych wydziela się w czasie 420 dni na skutek rozpadu 0,42 g polonu 210Po, z czasem połowicznego rozpadu 140 dni? Objętość jednego mola gazu w warunkach normalnych wynosi 22,4 dm3. Masa molowa polonu wynosi 210 g/mol.

Rozwiązanie: dane: t = 420 dni, T = 140 dni, m = 0,42 g, µ = 210 g/mol, V0 = 22,4 dm3/mol szukane: VHe m ⋅ NA ; N0 = m VHe =

t

 1 T N Po = N 0 ⋅   ; 2

N He = N 0 − N Po = ............................

N He ⋅ V0 = .................................................................... ≈ 39 cm 3 NA

Zadanie 7.4.2 60 Izotop 27 Co ulega rozpadowi β– z czasem połowicznego rozpadu 5 lat. Napisz schemat rozpadu. Oblicz, ile jąder niklu powstanie w preparacie po 15 latach, jeżeli masa początkowa preparatu kobaltu wynosiła 3 mg?

Fizyka atomowa i jądrowa • 129

Podstawy Fizyki V 2020.indd 129

27.10.2020 15:05:54

7.5. Teoria względności Eksperymentalnie zweryfikowana niezależność prędkości światła w próżni od układu odniesienia (wynosi ona dokładnie c = 299 792 458 m/s i jest zastosowana do definicji metra) prowadzi do innych, niż używane w fizyce klasycznej, transformacji. Jednym z wyników jest wzór na dodawanie prędkości wzdłuż wybranego kierunku, który przyjmuje postać: v1 + v2 vv 1 + 1 22 c Jak łatwo zauważyć, dodanie dwóch prędkości dowolnie bliskich prędkości światła daje prędkość mniejszą od c. Innym rezultatem teorii względności jest zależność masy ciała od prędkości: m0 m= 2 v 1− 2 c v=

gdzie m0 – masa spoczynkowa, oraz równoważność masy i energii, którą zapisujemy w postaci wzoru Einsteina: E = mc2 Z praktyczną weryfikacją tego wzoru spotykamy się w reakcjach jądrowych: syntezy jąder lekkich lub rozszczepienia jąder ciężkich, kiedy to ułamek masy składników reakcji zamienia się w energię, produkowaną np. w elektrowniach jądrowych, nazywanych również elektrowniami atomowymi.

130 • Fizyka atomowa i jądrowa

Podstawy Fizyki V 2020.indd 130

27.10.2020 15:06:00

Przykład 7.5 Oblicz prędkość cząstki, której energia całkowita jest trzy razy większa niż energia spoczynkowa. Ile wynosi stosunek energii kinetycznej tej cząstki do jej energii spoczynkowej?

Rozwiązanie: dane: E = 3E0; szukane: v, E = mc 2 =

EK E0

m0 c 2

oraz

v2 1− 2 c

E = 3E0 = 3m0 c2

Zatem: m0 c 2 1−

v c2 2

= 3 m0 c

2

⇒ v=

2 2 m c ≈ 2, 8 ⋅108 3 s

E K = E − E0 = 3 E0 − E0 = 2 E0

⇒

EK =2 E0

Zauważ, że dla prędkości relatywistycznych nie można używać klasycznego wzoru na mv 2 energię kinetyczną w postaci .

2 Zadanie 7.5.1 Jakiej różnicy potencjałów należy użyć w akceleratorze liniowym, w którym przyspieszane są elektrony do prędkości równej 0,99 prędkości światła? Jaką energię kinetyczną będą miały elektrony opuszczające akcelerator?

Rozwiązanie: dane: v = 0,99c, e = 1,6 · 10–19 C, m0 = 9,1 · 10–31 kg szukane: U, EK E = m0 c 2 + e ⋅ U

oraz

E = m c2 =

m0 c 2 1−

v2 c2

Stąd: U = ...................................................................... ≈ 3,1 MV EK = mc2 - m0c2 = ............................... ≈ 5 ⋅ 10-13 J = ............. MeV lub też prościej: EK = e ·U ≈ 3,1 MeV Zadanie 7.5.2 Zakładając, że podczas rozszczepienia jednego jądra 235 92 U wyzwala się energia 200 MeV, oblicz maksymalną moc elektrowni atomowej zużywającej 0,1 kg czystego 235 92 U na dobę.

Załóż, że sprawność elektrowni wynosi 100%.

Fizyka atomowa i jądrowa • 131

Podstawy Fizyki V 2020.indd 131

27.10.2020 15:06:13

WIELKOŚCI FIZYCZNE

Wielkość

Symbol

Wartość

Prędkość światła w próżni

c

2,99792458 ⋅ 108 m ⋅ s−1

Przenikalność magnetyczna próżni

µ0

4π ⋅ 10−7 H ⋅ m−1

Przenikalność elektryczna próżni

e0 =

1 m 0c 2

8,8542 ⋅ 10−12 F ⋅ m−1

Stała w prawie Coulomba

k=

1 4pe 0

8,9876 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2

Stała Plancka

h

6,6261 ⋅ 10−34 J ⋅ s

Elektryczny ładunek elementarny

e

1,6022 ⋅ 10−19 C

Masa spoczynkowa elektronu

me

9,1094 ⋅ 10−31 kg

Masa spoczynkowa protonu

mp

1,6726 ⋅ 10−27 kg

Masa spoczynkowa neutronu

mn

1,6749 ⋅ 10−27 kg

Stała Rydberga

R

1,0974 ⋅ 107 m−1

Liczba Avogadra

NA

6,0221 ⋅ 1023 mol−1

Stała Boltzmanna

k

1,3806 ⋅ 10−23 J ⋅ K−1

Stała gazowa

R = NA · k

8,3145 J ⋅ mol−1 ⋅ K−1

Stała grawitacji

G

Stała Faradaya

F = NA · e

6,6738 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2 9,6485 ⋅ 104 C ⋅ mol−1

Średnia odległość Księżyca od Ziemi

RZK

3,84 ⋅ 108 m

Atomowa jednostka masy

u

1,6605 ⋅ 10−27 kg

Masa Ziemi

MZ

5,97 ⋅ 1024 kg

Średni promień Ziemi

RZ

6,37 ⋅ 106 m

132 • Wielkości fizyczne

Podstawy Fizyki V 2020.indd 132

27.10.2020 15:06:17

ROZWIĄZANIA ZADAŃ 1.1.2 dane: a, b, |a + b| = |a - b|; (a + b)2 = (a - b)2 ⇔

szukane: ∠(a, b)

a⋅b=0

⇔

a ⊥ b (a ≠ 0, b ≠ 0)

1.2.2 dane: a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 2), c = (2, 1, 1);

1.3.2

szukane: V

1 1 0 V = a ⋅ (b × c) = 0 1 2 = 1 + 4 − 2 = 3 2 1 1 dane: r01 = (–3, 0) cm, r02 = (0, –3) cm, v1 = (2, 0) cm/s, v2 = (0, 3) cm/s szukane: r2 – r1, t a)

r1 = r01 + v1t = (-3 + 2t, 0);

r2 = r02 + v2t = (0, -3 + 3t);

Dr = r2 - r1 = (3 - 2t, -3 + 3t) b)

dDr 15 = 0 ⇒ t1 = s dt 13 r1(t1) ≈ (-0,69, 0) cm;

r2(t1) ≈ (0, 0,46) cm;

1.4.2 2  2πt  dane: P0 = 200 W, T = 0,02 s, P (t ) = P0 sin  ;  T 

szukane: W

P

P0

0 T

T

T

t

T

1  1 T  2π   4π   W = P(t ) dt = P0 sin 2  t  dt = P0 t − sin  t   = P0T = 2 J 2  4π  T   T  0 2 0 0

∫

∫

Rozwiązania zadań • 133

Podstawy Fizyki V 2020.indd 133

27.10.2020 15:06:34

2.1.2 kp = r

= v dane:

k RT ; m

J ⋅K m mol ⋅ K = kg s mol

Pa m = ; kg s 3 m 3.1.2

szukane: analiza wymiarowa

dane: h1 = 2 m, h2 = 0,7 m, x1 = 0,8 m, x2 = 0,6 m; x12 + h12 + x22 + ( h1 − h2 ) = 2

s= Dr =

( x1 + x2 ) + h22 = 2

szukane: s, |∆r|

( 0,8 + 2 + 0, 6 + 1, 3 ) m ≈ 3, 59 m 2

2

2

2

(1, 4) 2 + (0, 7) 2 m ≈ 1, 57 m

3.2.2 dane: v1 = 3 m/s, v2 = 4 m/s; v = v12 + v22 = 32 + 4 2

szukane: v

m m =5 s s

3.3.2 dane: d = 30 km, v1 = 6 km/h, v2 = 24 km/h; szukane: t′, t″, v′śr, v″śr równe drogi: t ′ =

2v1v2 km d1 1  = 9, 6  +  = 187, 5 min; vsr′ = h 2  v1 v2  v1 + v2

równe czasy: t ′′ =

v +v 2d km = 120 min; vsrśr′′ = 1 2 = 15 2 h v1 + v2

3.4.1.2 dane: a = const.;

szukane:

sn s1

sn =

at n2 a (t n − Dt ) Dt   ; − = a Dt  t n − 2 2 2  

sn =

a Dt (2n − 1) = s1 (2n − 1) ⇒ 2

2

2

t n = n ⋅ Dt

sn = 2n − 1 s1

134 • Rozwiązania zadań

Podstawy Fizyki V 2020.indd 134

27.10.2020 15:06:58

ZADANIA DODATKOWE

Zestaw 1 (mechanika)

Zadanie 1 Kamień o masie 0,1 kg rzucony ukośnie upada po czasie 1,5 s w odległości 10 m od miejsca wyrzutu. Oblicz pracę wykonaną podczas wyrzucania kamienia.

Zadanie 2 Oblicz przyspieszenie windy, która porusza się ruchem jednostajnie zmiennym, a czas spadania ciała puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest dwukrotnie większy niż w windzie stojącej. Ile razy zmieni się, w stosunku do windy stojącej, czas spadania ciała, gdy winda zacznie się poruszać z tym samym co do wartości przyspieszeniem, lecz przeciwnie skierowanym?

Zadanie 3 Na bloczku o średnicy 20 cm i momencie bezwładności 1 kg · m2, osadzonym na stałej poziomej osi obrotu, nawinięta jest nieważka nić, do końca której przymocowano ciężarek o masie 0,5 kg. Po jakim czasie ciężarek opadnie o 2 m? Ile wynoszą energie kinetyczne ciężarka i bloczka po tym czasie? Co można powiedzieć o energii mechanicznej tego układu?

Zadanie 4 Pocisk o masie 20 g i prędkości 500 m/s uderza centralnie w kulkę drewnianą zawieszoną swobodnie na nitce o długości 1 m i grzęźnie w niej. Jaki warunek musi spełniać masa kulki, aby po zderzeniu mogła ona wykonać pełną pętlę w płaszczyźnie pionowej?

ZADANIA DODATKOWE

Zestaw 2 (mechanika)

Zadanie 1 Dwa pociągi o długościach 60 metrów każdy jadą po równoległych torach z prędkościami: 36 km/h i 45 km/h. Oblicz czas mijania się pociągów, gdy zwroty ich prędkości są przeciwne, oraz czas wyprzedzania, jeśli zwroty prędkości są zgodne. Jaką drogę przebędzie szybszy pociąg w czasie wyprzedzania?

Zadanie 2 Jaką pracę należy wykonać, aby wciągnąć ciało o masie 2 kg na równię pochyłą o kącie nachylenia 30°? Po osiągnięciu wierzchołka ciało zaczyna się zsuwać. Oblicz energię kinetyczną, jaką uzyska to ciało u podnóża równi. Wysokość równi wynosi 1 m, a współczynnik tarcia jest równy 0,2.

Zadanie 3 Ile ciepła wydzieli się podczas niesprężystego zderzenia dwóch kul: pierwszej o masie 0,1 kg i prędkości początkowej 6 m/s, oraz drugiej o masie 0,2 kg i prędkości początkowej 2 m/s.

Po zderzeniu prędkość drugiej kuli wynosi 1 m/s. Jak muszą być skierowane prędkości kul, aby analiza całego zderzenia miała sens fizyczny? Uwaga: po zderzeniu kule rozlatują się.

Zadania dodatkowe • 147

Podstawy Fizyki V 2020.indd 147

27.10.2020 15:10:24

Zadanie 4 Oblicz stosunek energii całkowitych satelity geostacjonarnego i identycznego satelity krążącego z pierwszą prędkością kosmiczną wokół Ziemi. Dlaczego mimo większej energii całkowitej satelity geostacjonarnego stosunek ten jest mniejszy od jedności? Dane są: przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi (9,81 m/s2), promień Ziemi (6370 km) oraz czas trwania doby (24 godziny).

Zestaw 3

(mechanika)

Zadanie 1 Ciało pchnięto z prędkością początkową 10 m/s w górę po równi pochyłej o kącie nachylenia 45°. Jaka będzie prędkość ciała, gdy zsunie się ono do punktu, w którym rozpoczął się ruch?

Współczynnik tarcia między ciałem i równią wynosi 0,6.

Zadanie 2 Ciało o masie 1 kg porusza się ruchem harmonicznym z częstotliwością 2 Hz i amplitudzie 2 cm. Oblicz: (a) okres drgań, (b) stałą sprężystości i maksymalną wartość siły sprężystości, c) prędkość ciała dla wychylenia równego połowie amplitudy, (d) całkowitą energię mechaniczną.

Zadanie 3 Kulka toczy się (bez poślizgu) po równi pochyłej o kącie nachylenia 30°. Oblicz przyspieszenie ruchu kulki. Ile wynosi prędkość końcowa kulki toczącej się z równi o wysokości 30 cm?

Zadanie 4 Jednorodna belka o masie 10 kg wisi na dwóch jednakowych linkach zaczepionych do jej końców i przymocowanych do sufitu. Oblicz zmianę siły naciągu linek, jeżeli jedną z nich przesuniemy równolegle o 1/4 długości belki w stronę jej środka i ponownie zaczepimy belkę do sufitu. Uwaga: cały czas linki wiszą pionowo.

Zestaw 4

(termodynamika i fizyka cząsteczkowa) Zadanie 1 Łódź podwodna ma masę 5 tysięcy ton i objętość 6 · 103 m3. Ile wody trzeba wpompować do komór balastowych, aby łódź mogła się zanurzyć? Gęstość wody wynosi 1 g/cm3.

Zadanie 2 W cylindrycznym naczyniu zamkniętym od góry tłokiem o masie 5 kg znajdują się 2 mole gazu w temperaturze 27°C. Ile będzie wynosiła objętość gazu po umieszczeniu naczynia w windzie poruszającej się w górę z przyspieszeniem g/2? Ciśnienie atmosferyczne wynosi 105 Pa. 148 • Zadania dodatkowe

Podstawy Fizyki V 2020.indd 148

27.10.2020 15:10:24

OLIMPIADA „O DIAMENTOWY INDEKS AGH” ZADANIA Z LAT 2007–2023

MECHANIKA 2007/8 1. Wyciąg linowy wciąga wózki z zaopatrzeniem po zboczu o nachyleniu 30°. Wózki poruszają się po szynach, na których siły tarcia można pominąć, a każdy wózek ma masę m = 80 kg. Jeden zestaw składa się z dwóch wózków połączonych liną.

Jaką siłą musi działać wyciąg w czasie transportu zestawu na górę ze stałą prędkością?

Jaka siła naciągu działa wtedy na linę łączącą wózki?

W czasie rozpędzania zestawu na początku ruchu przyspieszenie wynosi a = 0,1g (g – przyspieszenie grawitacyjne). Jakie są wtedy odpowiednie wartości sił? Czy zadanie da się prosto rozwiązać dla zestawu złożonego z N wózków?

2. Ciało spoczywa na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia. Przy jakim kącie ciało zacznie się zsuwać z równi, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0,577?

3. Dwa ciała o masach 1 kg i 2 kg zwisają na nieważkiej linie z dwóch stron nieważkiego krążka, który obraca się bez tarcia. Oś obrotu krążka przyczepiona jest do wagi sprężynowej zawieszonej pod sufitem. Zrób stosowny rysunek i zaznacz na nim działające w układzie siły. Zapisz równania ruchu dla poszczególnych mas. Rozwiąż układ równań ruchu, obliczając przyspieszenie poruszających się ciał i naciąg liny. Jaki ciężar wskaże waga?

4. A. Wyprowadź wzory na czas trwania ruchu i zasięg rzutu ukośnego oraz oblicz te wielkości, jeżeli ciało rzucone jest pod kątem a = 30° do poziomu z prędkością początkową v0 = 10 m/s. Zrób stosowny rysunek z zaznaczeniem toru rzutu, zasięgu oraz trzech wektorów prędkości: początkowej, w maksymalnej wysokości i na końcu rzutu.

B. Porównaj zasięgi i całkowite czasy ruchów dla dwóch kątów wyrzutu a = 30° i b = 60°, dla zadanej prędkości początkowej. Zapisz i uzasadnij warunek, jaki muszą spełniać dwa różne kąty wyrzutów, aby odpowiadające im zasięgi były sobie równe. Opory ruchu należy pominąć. Do obliczeń przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego równą 10 m/s2.

5. Kula, o masie m i promieniu R oraz momencie bezwładności I = 2/5 mR2 toczy się po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu. Na swojej drodze napotyka zbocze o nachyleniu a = 30°, po którym toczy się pod górę. a) Oblicz opóźnienie kuli w trakcie jej ruchu po zboczu, przy założeniu, że toczy się ona bez poślizgu. b) Ile wynosi siła tarcia statycznego w trakcie tego toczenia się kuli po równi pod górę? c) Ile wynosi minimalna wartość współczynnika tarcia, potrzebna do utrzymania ruchu kuli bez poślizgu? d) Jaką maksymalną różnicę poziomów pokona środek masy kuli, jeżeli u podnóża zbocza jej prędkość liniowa wynosiła v0 = 3 m/s?

Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” • 155

Podstawy Fizyki V 2020.indd 155

27.10.2020 15:10:25

6. Do szklanej rurki o stałym przekroju S = 10 cm2, wygiętej w kształt litery U, wlano V = 0,8 litra cieczy. a) Oblicz okres oscylacji, dla których poziom cieczy pozostaje w pionowych odcinkach rurki. Pominąć siły oporu w trakcie ruchu cieczy. b) Cały układ wstawiamy do windy poruszającej się pionowo. Ile wynosi przyspieszenie windy i jaki jest jego zwrot, jeżeli okres oscylacji poziomu cieczy zwiększył się o 20%?

2008/9 7. Na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia umieszczamy na tej samej wysokości walec i kulkę. Współczynnik tarcia o powierzchnię równi dla obu ciał jest taki sam i wynosi 0,1. Porównaj czasy, po których oba ciała dotrą do podstawy równi (oblicz ich stosunek). Rozważ dwa przypadki: a) dla małych kątów nachylenia równi, kiedy ruch obu ciał odbywa się bez poślizgu, b) dla dużych kątów nachylenia równi, kiedy toczeniu się obu ciał po równi towarzyszy poślizg.

Wyznacz, dla jakiego zakresu kątów nachylenia równi realizowane są odpowiednio rozpatrywane przypadki (a) i (b).

8. Kra lodowa o jednorodnej grubości unosi się na spokojnej wodzie jeziora. Po wprawieniu jej w drgania pionowe o niewielkiej amplitudzie zmierzono, że oscyluje ona z częstotliwością 1 Hz. Oblicz grubość tej kry. Do obliczeń przyjmij stosunek gęstości masy lodu do gęstości masy wody równy 0,9. Pomiń efekty związane z napięciem powierzchniowym, lepkością i rozmiarami zbiornika.

9. Międzynarodowa Stacja Kosmiczna (ISS) o masie m krąży po prawie kołowej orbicie na wysokości H nad powierzchnią Ziemi. We wrześniu 2008 przybliżone wartości liczbowe wynosiły odpowiednio H = RZ/18 (RZ – promień Ziemi równy 6,38 Mm) oraz m = 300 ton. (aktualne parametry ISS znajdują się na stronach: http://spaceflight.nasa.gov/station/ isstodate.html oraz http://spaceflight.nasa.gov/realdata/tracking/index.html).

Oblicz energię kinetyczną tego obiektu kosmicznego. Jaką dodatkową energię musiałaby uzyskać Stacja, aby mogła ona opuścić strefę przyciągania ziemskiego? Jaką masę lodu można by stopić, gdyby wykorzystać taką energię do zamiany góry lodowej na zapasy słodkiej wody? Porównaj ten wynik z masą obserwowanych gór lodowych. Ciepło topnienia lodu wynosi 334 kJ/kg.

10. Piłeczki golfowe są wybijane pod stałym kątem 30° do poziomu, z miejsca odległego o x0 = 30 m od przeszkody, którą jest murowany płot o wysokości y0 = 3 m. W jakiej odległości od muru spadają piłeczki przelatujące tuż nad nim? Przyjąć, że szerokość muru oraz opory ruchu piłeczek są zaniedbywalnie małe.

11. Obręcz stacza się bez poślizgu lub z poślizgiem w zależności od kąta a nachylenia równi pochyłej (mogącego przyjmować wartości z zakresu od małych kątów aż do π/2). Zakładając, że prędkość początkowa obręczy jest równa zeru, oblicz prędkość liniową obręczy po pokonaniu przez nią stałej różnicy wysokości h. Zrób wykres zależności prędkości końcowej obręczy od kąta a. Załóż, że współczynnik tarcia obręczy o równię wynosi 156 • Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH”

Podstawy Fizyki V 2020.indd 156

27.10.2020 15:10:25

2021/22 43. Pięć identycznych kondensatorów o pojemności C0 = 2 µF połączono w baterię w taki sposób, że cztery kondensatory tworzą kwadrat ABCD, a piąty łączy punkty tego kwadratu wzdłuż przekątnej BD. Do wierzchołków leżących na drugiej przekątnej, AC, przyłożono napięcie U0 = 100 V. Po naładowaniu baterii kondensatorów odłączono ją od źródła zasilania. Następnie zwarto jeden z kondensatorów leżący wzdłuż boku AB kwadratu. Oblicz pojemność zastępczą układu między punktami AC, przed (CZ1) i po (CZ2) zwarciu kondensatora AB. Ile wynosi energia baterii kondensatorów przed i po zwarciu tego kondensatora?

44. Z drutu oporowego o całkowitej długości L wykonano prostokątną ramkę. Gdy do wierzchołków ramki leżących na jednej z przekątnych prostokąta podłączono źródło napięcia U1, woltomierz dołączony do wierzchołków leżących wzdłuż drugiej przekątnej wskazywał napięcie U2 = 0,5U1. Jaki jest stosunek długości dłuższego i krótszego boku ramki? Ile razy wzrośnie prąd wypływający ze źródła o napięciu U1 jeżeli zamiast woltomierza punkty leżące na drugiej przekątnej zostaną zwarte?

45. Próżniowy kondensator płaski po naładowaniu do napięcia U0 = 20 V i po odłączeniu od źródła napięcia został zanurzony do połowy swojej objętości w dielektryku o względnej przenikalności dielektrycznej równej ε = 5. Rozważ dwa wzajemnie prostopadłe sposoby ułożenia kondensatora w stosunku do powierzchni płynnego dielektryka, dla których okładki kondensatora są ustawione: A) pionowo, B) poziomo. Ile wynosi napięcie na okładkach kondensatora w każdym z rozważanych przypadków?

2022/23 46. Dwie grzałki o mocach znamionowych, liczonych dla napięcia zasilającego równego 20 V i zerowej wartości oporu wewnętrznego baterii zasilającej, wynoszących P1 = 100 W i P2 = 200 W, użyto do konstrukcji czajnika elektrycznego zasilanego z baterii o sile elektromotorycznej e = 20 V i oporze wewnętrznym Rw = 0,1 W. Oblicz moc czajnika, w którym wykorzystano tylko jedną z grzałek lub obie grzałki połączone ze sobą szeregowo albo równolegle. Wskaż połączenia, dla których moc tak skonstruowanego czajnika osiąga wartości ekstremalne.

47. W obwodzie prądu stałego z baterią o SEM równej e = 12 V i oporze wewnętrznym rw = 0,2 W wpięto żarówkę o nieznanym oporze R. Wiadomo, że moc wydzielona na baterii stanowi 1% całkowitej mocy obwodu. Jakie jest natężenie prądu płynącego w obwodzie?

Jaka moc wydziela się na samej żarówce?

48. Dysponujemy kondensatorem płaskim o zmiennej pojemności równej początkowo C0 przy początkowej odległości między okładkami d0 = 1 mm. Kondensator naładowano do napięcia U0 = 100 V i odłączono od zasilacza. Na krótki czas okładki kondensatora zostały zwarte opornikiem zewnętrznym. Podczas tego zwarcia na oporniku wydzieliło się ciepło DW równe połowie energii początkowo zgromadzonej w kondensatorze. Jakie napięcie U1 ustali się na kondensatorze po odłączeniu opornika od okładek? Na jaką odległość d2 należy następnie rozsunąć okładki kondensatora, aby napięcie na nim wróciło do wartości U0? Przedstaw wszystkie sytuacje na wspólnym wykresie zależności napięcia od ładunku, U(Q), używając do opisu symboli C0, U0, U1.

Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” • 189

Podstawy Fizyki VI 2023.indd 189

11.10.2023 21:39:26

OPTYKA + FALE 2007/8 1. Na osi optycznej soczewki o ogniskowej f1 = 10 cm, w odległości x = 5 cm od jej środka, znajduje się źródło światła (żarówka o małym włóknie). Światło po przejściu przez soczewkę tworzy wiązkę rozbieżną. Mamy do dyspozycji drugą soczewkę skupiającą o ogniskowej f2 = 20 cm. Gdzie należy ustawić tę soczewkę, aby po przejściu przez obie soczewki światło tworzyło wiązkę równoległą? Czy da się napisać ogólny wzór podający ogniskową układu dwóch cienkich soczewek umieszczonych w odległości d od siebie?

2. Przeprowadź graficzną konstrukcję obrazu, jeżeli przedmiot świecący znajduje się w odległości 75 cm od zwierciadła wklęsłego o promieniu krzywizny 1 m.

3. Oblicz, w jakiej odległości od przedmiotu należy ustawić soczewkę skupiającą o ogniskowej równej 6 cm, aby uzyskać dwukrotne powiększenie obrazu. Rozważ dwa przypadki, kiedy powstają obrazy: rzeczywisty lub urojony. Oblicz położenia obrazów i przedstaw stosowne konstrukcje obrazów na rysunkach. Oblicz współczynnik załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka, jeżeli jej promienie krzywizny są sobie równe i wynoszą 5 cm.

4. Mamy do dyspozycji akwarium, w którym odległość między przeciwległymi ścianami wynosi l = 1 m. Na wewnętrznej stronie jednej ze ścianek naklejono przesłonę z centralnym otworem w kształcie koła o promieniu r = 1 cm. Akwarium wypełniono wodą o bezwzględnym współczynniku załamania nw = 4/3. Zadaniem eksperymentatora jest utworzenie ostrego obrazu otworu przesłony na przeciwległej ścianie akwarium za pomocą soczewki wykonanej ze szkła o bezwzględnym współczynniku załamania nsz = 3/2. a) Ile razy wzrośnie ogniskowa soczewki po zanurzeniu jej w wodzie? b) Ile wynosi minimalna zdolność skupiająca soczewki w powietrzu, aby zadanie dało się wykonać? c) Jeżeli w tym doświadczeniu użyjemy soczewki o ogniskowej w powietrzu fp = 6 cm, to w jakiej odległości od przesłony należy ustawić soczewkę w celu wykonania postawionego zadania? Oblicz średnicę otrzymanego obrazu.

2008/9 5. Dwuwypukła soczewka o jednakowych promieniach krzywizny wynoszących 15 cm wykonana jest ze szkła o współczynniku załamania 3/2. Przedmiot ustawiony w pewnej odległości od soczewki tworzy w powietrzu obraz rzeczywisty. Po zalaniu całego układu wodą obraz tego samego przedmiotu powstaje w odległości pięć razy większej niż w powietrzu. Współczynnik załamania wody wynosi 4/3.

Oblicz: a) ogniskowe soczewki w powietrzu i w wodzie, b) odległość przedmiotu od soczewki, c) odległości i powiększenia obrazów powstających w powietrzu oraz w wodzie.

Przedstaw (na oddzielnych rysunkach) konstrukcję obrazu powstającego w obydwu przypadkach, tj. w powietrzu oraz w wodzie.

190 • Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH”

Podstawy Fizyki VI 2023.indd 190

11.10.2023 21:39:26