Olimpiada DI AGH Matematyka

Page 1

CMYK

1.

Rafał Kalinowski Monika Pilśniak

2007/08 – 2015/16

czterech przedmiotów: matematyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej. Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http:/www.diament.agh.edu.pl/.

OGÓLNOPOLSKA

Olimpiada objęta jest patronatem: • Ministerstwa Edukacji Narodowej, • Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego,

Kolejny tom zawiera rozwiązania wszystkich zadań z matematyki z lat 2007/2008 – 2015/2016. Rozwiązania uzupełnione są komentarzami, które wyjaśniają sposób rozumowania. W wielu zadaniach właśnie sposób rozumowania jest ważniejszy niż rachunki. Mamy nadzieję, że ten zbiór zadań z matematyki pomoże uzdolnionym uczniom w przygotowaniu do kolejnych edycji Olimpiady i do studiów na kierunkach ścisłych i technicznych, nie tylko w AGH.

978-83-64506-42-0

9 788364 506420

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH

• Europejskiej Organizacji Badań Nuklearnych (CERN) w Genewie.

CMYK

matematyka

„Ogólnopolska Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH” jest trzystopniowym konkursem w zakresie

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH OGÓLNOPOLSKA

matematyka rozwiązania zadań z lat 2007/08 – 2015/16

Wydanie 1.

Recenzent: prof. dr hab. Mariusz Woźniak © Copyright by Rafał Kalinowski, Monika Pilśniak Wydział Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek

ISBN 978-83-64506-42-0

www.wydawnictwojak.pl Kraków 2017

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 2

2017-05-16 13:47:55

Od Autorów

Kolejny tom z serii Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” zawiera rozwiązania zadań z matematyki od pierwszej edycji 2007/2008 do roku szkolnego 2015/2016. Pragniemy zaznaczyć, że na ogół są to szkice rozwiązań z podaniem sposobu rozumowania, często z pominięciem niektórych szczegółów rachunkowych. Od uczestnika Olimpiady oczekuje się bardziej wyczerpujących uzasadnień. Wiele zadań, zwłaszcza z geometrii, można rozwiązać na kilka rozmaitych sposobów. Mając na uwadze objętość tomu, prezentujemy tylko jeden sposób, zwykle najkrótszy. Czasem analogiczne fragmenty różnych zadań rozwiązujemy różnymi metodami. W każdym etapie Olimpiady jest siedem zadań, przy czym pierwsze cztery są oceniane w skali do 10 punktów, a pozostałe trzy do 20. Na rozwiązanie zadań I etapu uczestnicy mają zwykle około siedmiu tygodni, więc niektóre z zadań mogą być pracochłonne. W II i III etapie czas na rozwiązanie zestawu wynosi 120 minut. Przed tematem każdego zadania w tym tomie podany jest rok szkolny, etap Olimpiady i numer zadania w zestawie, np. 2013/2014-II-5 oznacza 5. zadanie II etapu Olimpiady w roku 2013/2014. Dla wygody użytkowników załączamy spis tematów zadań według tradycyjnych działów szkolnej matematyki. Wiele zadań dotyczy kilku działów i takie zadania umieściliśmy w spisie tylko raz, na ogół w późniejszym dziale. Przeważają zadania, które wymagają umiejętności dedukcyjnych i dotyczą tych działów, które są istotne w kursach matematyki na uczelniach technicznych. Gorąco zachęcamy Czytelników tego podręcznika, aby zaczynali jego lekturę od tego właśnie spisu, bez możliwości spojrzenia na podane przez nas rozwiązania, a dopiero później porównywali je ze swoimi. Stosujemy notację używaną w szkołach średnich (nawet tę, która nie jest już powszechnie stosowana w matematyce od lat); wyjątkiem jest oznaczenie przez |A| liczby elementów skończonego zbioru A. W odpowiedziach do niektórych zadań z kombinatoryki podajemy wartość liczbową symbolu Newtona, bądź potęg o dużych wykładnikach – nie jest to jednak wymagane na Olimpiadzie. Będziemy wdzięczni za uwagi przesłane na adres: Rafal.Kalinowski@agh.edu.pl. Rafał Kalinowski Monika Pilśniak Kraków, 5 marca 2017

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 3

3

2017-05-16 13:47:55

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 4

2017-05-16 13:47:55

Spis treści

Zadania z lat 2007/2008.................................................................................................. 7 etap I................................................................................................................................ 9 etap II................................................................................................................................ 14 etap III................................................................................................................................ 19

Zadania z lat 2008/2009.................................................................................................. 25 etap I................................................................................................................................ 27 etap II................................................................................................................................ 32 etap III................................................................................................................................ 37

Zadania z lat 2009/2010.................................................................................................. 41 etap I................................................................................................................................ 43 etap II................................................................................................................................ 47 etap III................................................................................................................................ 52

Zadania z lat 2010/2011.................................................................................................. 57 etap I................................................................................................................................ 59 etap II................................................................................................................................ 65 etap III................................................................................................................................ 70

Zadania z lat 2011/2012.................................................................................................. 75 etap I................................................................................................................................ 77 etap II................................................................................................................................ 84 etap III................................................................................................................................ 89

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 5

5

2017-05-16 13:47:55

Zadania z lat 2012/2013.................................................................................................. 95 etap I................................................................................................................................ 97 etap II................................................................................................................................ 105 etap III................................................................................................................................ 110

Zadania z lat 2013/2014.................................................................................................. 115 etap I................................................................................................................................ 117 etap II................................................................................................................................ 123 etap III................................................................................................................................ 128

Zadania z lat 2014/2015.................................................................................................. 133 etap I................................................................................................................................ 135 etap II................................................................................................................................ 140 etap III................................................................................................................................ 145

Zadania z lat 2015/2016.................................................................................................. 151 etap I................................................................................................................................ 153 etap II................................................................................................................................ 159 etap III................................................................................................................................ 165 Tematyczny spis treści...................................................................................................... 171 Liczby całkowite................................................................................................................. 171 Przekształcenia wyrażeń algebraicznych............................................................................ 173 Zadania z „treścią”.............................................................................................................. 174 Wielomiany i funkcje wymierne......................................................................................... 175 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne................................................................................ 178 Funkcje trygonometryczne.................................................................................................. 182 Ciąg arytmetyczny i geometryczny.................................................................................... 184 Granice i pochodna funkcji................................................................................................. 185 Geometria analityczna........................................................................................................ 189 Planimetria.......................................................................................................................... 193 Stereometria........................................................................................................................ 194 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa.............................................................. 197

6

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 6

2017-05-16 13:47:56

zadania z lat

2007/2008

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 7

2017-05-16 13:47:56

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a i ramienia b. Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczoną na jego ramię.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy wyso a2 2 b − 4 . Pokość h1 opuszczoną na podstawę: h1 = le trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i opuszczonej nań wysokości. Oznaczywszy przez h szukaną wysokość, stosujemy ten wzór na dwa sposoby i mamy równość 12 bh = 21 ah1 . Stąd h=

ah1 =a b

1−

a2 . 4b2

h1

b ·

h a

a

1−

a2 4b2 .

Rozwiąż nierówność |2x4 − 17| < 15.

Powyższa nierówność jest równoważna koniunkcji nierówności −15 < 2x4 − 17 < 15. Rozwiązaniem lewej nierówności x4 > 1 jest zbiór (−∞; −1)∪(1; +∞). Rozwiązaniem prawej nierówności x4 < 16 jest (−2; 2). Rozwiązaniem zadanej nierówności jest część wspólna tych dwóch zbiorów, tj. suma przedziałów (−2; −1) ∪ (1; 2). x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2).

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 9

2007/2008  •  etap I

9

2017-05-16 13:47:56

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = n 3 −

n6 − 5n3 .

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: √ √ (n3 − n6 − 5n3 )(n3 + n6 − 5n3 ) 5n3 5 √ √ = = an = n3 + n6 − 5n3 n3 + n6 − 5n3 1+ 1− Granicą tego ciągu jest liczba 52 , jako że limn→+∞

5 n3

5 n3

.

= 0.

5 2.

Na ile sposobów można rozmieścić k kul (k � 4, każda kula innego koloru) w k ponumerowanych pudełkach, tak aby a) żadne pudełko nie było puste? b) dokładnie jedno pudełko było puste? c) dokładnie k − 2 pudełka były puste?

a) Rozmieszczenie, w którym każda spośród k kul jest w innym pudełku, odpowiada permutacji tych kul. Jest ich zatem k!. b) Puste pudełko możemy wybrać na k sposobów. W jednym z pozostałych pudełek, które możemy wybrać na k − 1 sposobów, będą dwie kule, które możemy wybrać na k2 sposobów. Pozostałe k−2 kule możemy umieścić w pozostałych k−2 pudełkach na (k−2)! sposobów. Liczba rozmieszczeń jest zatem równa k(k−1) k2 (k−2)! = k! k2 . c) Dokładnie dwa pudełka mają być niepuste. Możemy je wybrać na k2 sposobów. Kule dzielimy na dwa niepuste podzbiory, pierwszy z nich umieszczamy w pierwszym wybranym pudełku, a drugi w drugim. Podzbiór do pierwszego pudełka możemy wybrać na 2k − 2 sposobów, albowiem liczba wszystkich podzbiorów zbioru k kul jest 10

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 10

2007/2008  •  etap I

2017-05-16 13:47:56

rĂłwna 2k , a nie moĹźemy tu wybrać ani zbioru pustego, ani peĹ‚nego (pozostaĹ‚e kule traďŹ Ä… automatycznie do drugiego pudeĹ‚ka). Z reguĹ‚y mnoĹźenia mamy k2 (2k − 2). b) k! k2 ,

a) k!,

c)

k 2

(2k − 2).

Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup do objętości kuli opisanej na nim.

Oba rysunki przedstawiajÄ… przekrĂłj ostrosĹ‚upa pĹ‚aszczyznÄ… zawierajÄ…cÄ… krawÄ™dĹş bocznÄ… i wysokość ostrosĹ‚upa. Niech a bÄ™dzie √ dĹ‚ugoĹ›ciÄ… krawÄ™dzi podstawy. WĂłwczas |EB| = a 63 jako 1/3 wysokoĹ›ci podstawy. C

Obliczamy wysokość hs ściany bocznej

hs = |BC| = |EB|2 + |CE|2 = a

hs

a

F r

S r A

B

E

13 . 12

Z podobieĹ„stwa trĂłjkÄ…tĂłw BCE i SCF mamy proporcjÄ™ √ a 63 hs = , a−r r skÄ…d obliczamy promieĹ„ kuli wpisanej r = a

Do wyznaczenia promienia R kuli opisanej wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trĂłjkÄ…ta AEO: √ 2 3 (a − R)2 + a = R2 , 3 skÄ…d R = 23 a. Stosunek objÄ™toĹ›ci kul jest rĂłwny szeĹ›cianowi stosunku dĹ‚ugoĹ›ci ich promieni, √ 3 13−1 czyli . 8 √

13−1 8

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 11

3

√ 13−1 12 .

C

hs

R D b

O R

A

E

B

.

2007/2008  •  etap I

11

2017-05-16 13:47:56

2007/2008 2015/2016

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 151

2017-05-16 13:49:00

Znajdź wszystkie rosnące ciągi (an ) o wyrazach całkowitych, takie że a2 = 2 oraz amn = am an dla wszystkich liczb naturalnych m, n.

Ponieważ a2 = a2·1 = a2 a1 , pierwszy wyraz ciągu jest równy a1 = 1. Stosując indukcję względem k, mamy a2k = (a2 )k = 2k dla każdego k ∈ N. Ciąg (an ) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, więc jedynym ciągiem spełniającym powyższy warunek jest ciąg, w którym an = n. Jedynym takim ciągiem jest ciąg wszystkich liczb naturalnych an = n.

Na ile sposobów można grupę 3k osób posadzić przy dwóch okrągłych stołach, jeżeli przy jednym stole jest 2k ponumerowanych krzeseł, a przy drugim k? A na ile sposobów można to zrobić tak, by ustalone dwie osoby siedziały obok siebie, jeżeli k � 2?

Krzesła przy obydwu stołach są ponumerowane, mamy zatem 3k ponumerowanych krzeseł. Liczba rozmieszczeń 3k osób jest więc równa (3k)!. Jeżeli k = 2, to dla ustalonych dwóch osób możemy wybrać dwa sąsiednie miejsca na 5 sposobów. Mogą one zająć każde z tych dwóch miejsc na dwa sposoby. Pozostałe cztery osoby mogą zająć miejsca na 4! sposobów. Niech k � 3. Pierwsza z dwóch ustalonych osób może wybrać jedno spośród 3k krzeseł. Druga z ustalonych osób może zająć jedno z dwóch sąsiednich miejsc. Pozostałych 3k − 2 może usiąść na 3k − 2 wolnych kresłach na (3k − 2)! sposobów. Na pierwsze pytanie: (3k)! Na drugie pytanie: 2 · 5! dla k = 2 i 6k(3k − 2)! dla k � 3.

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 153

2015/2016  •  etap I

153

2017-05-16 13:49:01

Rozwiąş nierówność

3x − 2x > 3x−2 .

Przekształcamy równanie do postaci równowaşnej przez 2x . Mamy x 9 3 > . 2 8 Logarytm o podstawie

3 2

8 9

¡ 3x > 2x i dzielimy obie strony

jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…, stÄ…d x > log 32

9 8

= 2 − log 32 2.

x ∈ (2 − log 32 2; +∞).

Oblicz granicę ciągu lim (2n −

n→∞

3 8n3 − 2n2 ).

Skorzystamy ze wzoru skrĂłconego mnoĹźenia na róşnicÄ™ szeĹ›cianĂłw, mnoşąc i dzielÄ…c n-ty wyraz ciÄ…gu przez tzw. niepeĹ‚ny kwadrat sumy. lim (2n −

n→∞

3 8n3 − 2n2 ) = lim

n→+∞ 4n2

= lim

n→+∞

4+23 8−

8n3 − (8n3 − 2n2 ) √ = 3 + 2n 8n3 − 2n2 + 3 (8n3 − 2n2 )2 2

2 n

+

3

8−

1 = . 2 6 2

n

1 6.

154

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 154

2015/2016  •  etap I

2017-05-16 13:49:02

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 170

2017-05-16 13:49:14

TEMATYCZNY SPIS ZADAŃ

LICZBY CAŁKOWITE liczby całkowite

13 Rozłóż na czynniki wielomian W (x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x. Udowodnij, że wartość W (n) tego wielomianu dla dowolnej liczby naturalnej n jest podzielna przez 12. Dla jakich naturalnych n liczba W (n) nie jest podzielna przez 60?

27 Ile jest czwórek (x, y, z, t) liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie xy + yz + zt + tx = 2008?

28 Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, które nie są podzielne ani przez 9, ani przez 12?

59 Suma kwadratów trzech dodatnich liczb całkowitych a, b, c jest równa 2010. Ile jest wśród nich liczb parzystych?

77 Pary (x, y) liczb całkowitych spełniające równanie xy 2 − y 3 − xy + x2 + 5 = 0 są współrzędnymi wierzchołków pewnego wielokąta. Oblicz jego pole.

110 Udowodnij, że zbiór S = {6n + 3 : n ∈ N}, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, zawiera nieskończenie wiele kwadratów liczb całkowitych.

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 171

•  LICZBY CAŁKOWITE  •

171

2017-05-16 13:49:15

117 Udowodnij, że żaden element zbioru S = {6n + 2 : n ∈ N} nie jest kwadratem liczby całkowitej.

135 Niech p będzie dowolną liczbą pierwszą. Udowodnij, że reszta z dzielenia liczby p przez 30 nie jest liczbą złożoną.

145 Znajdź wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 7, przez które podzielna jest liczba L = 32016 + 4.

153 Znajdź wszystkie rosnące ciągi (an ) o wyrazach całkowitych, takie że a2 = 2 oraz amn = am an dla wszystkich liczb naturalnych m, n.

159 Wyznacz największą liczbę naturalną k, taką że liczba 2016! jest wielokrotnością liczby 10k .

165 Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniających równanie (x − 2y − 1)(x + 2y + 1) = 3.

172

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 172

•  LICZBY CAŁKOWITE  •

2017-05-16 13:49:15

PRZEKSZTAŁCENIA WYRAŻEŃalgebraicznych ALGEBRAICZNYCH przekształcenia wyrażeń

14 Sprowadź do najprostszej postaci (niezawierającej ujemnych wykładników ani ułamków piętrowych) wyrażenie (1 − x−1 )−2 − (1 + x−1 )−2 .

32 Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie (a3 + b3 )(a−1 − b−1 ) . + b−1 )[(a − b)2 + ab]

(a−1

84 √ √ Wykaż, że liczba a = 9 − 4 5 − 9 + 4 5 jest całkowita.

89

Niech a i b będą dwiema liczbami rzeczywistymi, przy czym a > b. Udowodnij, że a3 − b3 � ab2 − a2 b.

140 Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b spełniona jest nierówność b a + � 2. b a

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 173

•  PRZEKSZTAŁCENIA WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH  •

173

2017-05-16 13:49:16

ZADANIA z „treścią” Z „TREŚCIĄ” zadania

15 Cena akcji pewnej firmy spadła o 60%. O ile procent musi teraz wzrosnąć cena tych akcji, aby wróciła do poprzedniego poziomu?

20 Połowę drogi kierowca jechał autostradą z prędkością 120 km/h, a drugą połowę po drogach lokalnych ze średnią prędkością 60 km/h. Oblicz średnią prędkość całej podróży.

38 Znajdź liczbę, której 59% stanowi okresowy ułamek dziesiętny 2, 6(81).

44 Kran A napełnia basen wodą w ciągu 10 godzin, a kran B w ciągu 15 godzin. W ciągu ilu godzin napełniony zostanie basen, jeżeli oba krany będą działać jednocześnie?

85 Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 6 godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez 2 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby połowę całej pracy. W jakim czasie każdy automat może samodzielnie wykonać całą pracę?

123 Urządzenie I wykonuje pewną pracę w ciągu 20 godzin, a urządzenie II w ciągu 30 godzin. W jakim czasie wykonają tę pracę oba urządzenia, pracując jednocześnie?

129 Po zmieszaniu roztworów soli o stężeniach 8% oraz 20% otrzymano 12 litrów roztworu o stężeniu 16%. Oblicz objętości zmieszanych roztworów.

174

Olimpiada Matematyka I 2016.indd 174

•  ZADANIA Z „TREŚCIĄ”  •

2017-05-16 13:49:16

Go explore