CMYK
1.
Rafał Kalinowski Monika Pilśniak
2007/08 – 2015/16
czterech przedmiotów: matematyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej. Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http:/www.diament.agh.edu.pl/.
OGÓLNOPOLSKA
Olimpiada objęta jest patronatem: • Ministerstwa Edukacji Narodowej, • Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego,
Kolejny tom zawiera rozwiązania wszystkich zadań z matematyki z lat 2007/2008 – 2015/2016. Rozwiązania uzupełnione są komentarzami, które wyjaśniają sposób rozumowania. W wielu zadaniach właśnie sposób rozumowania jest ważniejszy niż rachunki. Mamy nadzieję, że ten zbiór zadań z matematyki pomoże uzdolnionym uczniom w przygotowaniu do kolejnych edycji Olimpiady i do studiów na kierunkach ścisłych i technicznych, nie tylko w AGH.
978-83-64506-42-0
9 788364 506420
OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH
• Europejskiej Organizacji Badań Nuklearnych (CERN) w Genewie.
CMYK
matematyka
„Ogólnopolska Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH” jest trzystopniowym konkursem w zakresie
OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH OGÓLNOPOLSKA
matematyka rozwiązania zadań z lat 2007/08 – 2015/16
Wydanie 1.
Recenzent: prof. dr hab. Mariusz Woźniak © Copyright by Rafał Kalinowski, Monika Pilśniak Wydział Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie
Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek
ISBN 978-83-64506-42-0
www.wydawnictwojak.pl Kraków 2017
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 2
2017-05-16 13:47:55
Od Autorów
Kolejny tom z serii Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” zawiera rozwiązania zadań z matematyki od pierwszej edycji 2007/2008 do roku szkolnego 2015/2016. Pragniemy zaznaczyć, że na ogół są to szkice rozwiązań z podaniem sposobu rozumowania, często z pominięciem niektórych szczegółów rachunkowych. Od uczestnika Olimpiady oczekuje się bardziej wyczerpujących uzasadnień. Wiele zadań, zwłaszcza z geometrii, można rozwiązać na kilka rozmaitych sposobów. Mając na uwadze objętość tomu, prezentujemy tylko jeden sposób, zwykle najkrótszy. Czasem analogiczne fragmenty różnych zadań rozwiązujemy różnymi metodami. W każdym etapie Olimpiady jest siedem zadań, przy czym pierwsze cztery są oceniane w skali do 10 punktów, a pozostałe trzy do 20. Na rozwiązanie zadań I etapu uczestnicy mają zwykle około siedmiu tygodni, więc niektóre z zadań mogą być pracochłonne. W II i III etapie czas na rozwiązanie zestawu wynosi 120 minut. Przed tematem każdego zadania w tym tomie podany jest rok szkolny, etap Olimpiady i numer zadania w zestawie, np. 2013/2014-II-5 oznacza 5. zadanie II etapu Olimpiady w roku 2013/2014. Dla wygody użytkowników załączamy spis tematów zadań według tradycyjnych działów szkolnej matematyki. Wiele zadań dotyczy kilku działów i takie zadania umieściliśmy w spisie tylko raz, na ogół w późniejszym dziale. Przeważają zadania, które wymagają umiejętności dedukcyjnych i dotyczą tych działów, które są istotne w kursach matematyki na uczelniach technicznych. Gorąco zachęcamy Czytelników tego podręcznika, aby zaczynali jego lekturę od tego właśnie spisu, bez możliwości spojrzenia na podane przez nas rozwiązania, a dopiero później porównywali je ze swoimi. Stosujemy notację używaną w szkołach średnich (nawet tę, która nie jest już powszechnie stosowana w matematyce od lat); wyjątkiem jest oznaczenie przez |A| liczby elementów skończonego zbioru A. W odpowiedziach do niektórych zadań z kombinatoryki podajemy wartość liczbową symbolu Newtona, bądź potęg o dużych wykładnikach – nie jest to jednak wymagane na Olimpiadzie. Będziemy wdzięczni za uwagi przesłane na adres: Rafal.Kalinowski@agh.edu.pl. Rafał Kalinowski Monika Pilśniak Kraków, 5 marca 2017
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 3
3
2017-05-16 13:47:55
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 4
2017-05-16 13:47:55
Spis treści
Zadania z lat 2007/2008.................................................................................................. 7 etap I................................................................................................................................ 9 etap II................................................................................................................................ 14 etap III................................................................................................................................ 19
Zadania z lat 2008/2009.................................................................................................. 25 etap I................................................................................................................................ 27 etap II................................................................................................................................ 32 etap III................................................................................................................................ 37
Zadania z lat 2009/2010.................................................................................................. 41 etap I................................................................................................................................ 43 etap II................................................................................................................................ 47 etap III................................................................................................................................ 52
Zadania z lat 2010/2011.................................................................................................. 57 etap I................................................................................................................................ 59 etap II................................................................................................................................ 65 etap III................................................................................................................................ 70
Zadania z lat 2011/2012.................................................................................................. 75 etap I................................................................................................................................ 77 etap II................................................................................................................................ 84 etap III................................................................................................................................ 89
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 5
5
2017-05-16 13:47:55
Zadania z lat 2012/2013.................................................................................................. 95 etap I................................................................................................................................ 97 etap II................................................................................................................................ 105 etap III................................................................................................................................ 110
Zadania z lat 2013/2014.................................................................................................. 115 etap I................................................................................................................................ 117 etap II................................................................................................................................ 123 etap III................................................................................................................................ 128
Zadania z lat 2014/2015.................................................................................................. 133 etap I................................................................................................................................ 135 etap II................................................................................................................................ 140 etap III................................................................................................................................ 145
Zadania z lat 2015/2016.................................................................................................. 151 etap I................................................................................................................................ 153 etap II................................................................................................................................ 159 etap III................................................................................................................................ 165 Tematyczny spis treści...................................................................................................... 171 Liczby całkowite................................................................................................................. 171 Przekształcenia wyrażeń algebraicznych............................................................................ 173 Zadania z „treścią”.............................................................................................................. 174 Wielomiany i funkcje wymierne......................................................................................... 175 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne................................................................................ 178 Funkcje trygonometryczne.................................................................................................. 182 Ciąg arytmetyczny i geometryczny.................................................................................... 184 Granice i pochodna funkcji................................................................................................. 185 Geometria analityczna........................................................................................................ 189 Planimetria.......................................................................................................................... 193 Stereometria........................................................................................................................ 194 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa.............................................................. 197
6
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 6
2017-05-16 13:47:56
zadania z lat
2007/2008
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 7
2017-05-16 13:47:56
W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a i ramienia b. Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczoną na jego ramię.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy wyso a2 2 b − 4 . Pokość h1 opuszczoną na podstawę: h1 = le trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i opuszczonej nań wysokości. Oznaczywszy przez h szukaną wysokość, stosujemy ten wzór na dwa sposoby i mamy równość 12 bh = 21 ah1 . Stąd h=
ah1 =a b
1−
a2 . 4b2
h1
b ·
h a
a
1−
a2 4b2 .
Rozwiąż nierówność |2x4 − 17| < 15.
Powyższa nierówność jest równoważna koniunkcji nierówności −15 < 2x4 − 17 < 15. Rozwiązaniem lewej nierówności x4 > 1 jest zbiór (−∞; −1)∪(1; +∞). Rozwiązaniem prawej nierówności x4 < 16 jest (−2; 2). Rozwiązaniem zadanej nierówności jest część wspólna tych dwóch zbiorów, tj. suma przedziałów (−2; −1) ∪ (1; 2). x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2).
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 9
2007/2008 • etap I
9
2017-05-16 13:47:56
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = n 3 −
n6 − 5n3 .
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: √ √ (n3 − n6 − 5n3 )(n3 + n6 − 5n3 ) 5n3 5 √ √ = = an = n3 + n6 − 5n3 n3 + n6 − 5n3 1+ 1− Granicą tego ciągu jest liczba 52 , jako że limn→+∞
5 n3
5 n3
.
= 0.
5 2.
Na ile sposobów można rozmieścić k kul (k � 4, każda kula innego koloru) w k ponumerowanych pudełkach, tak aby a) żadne pudełko nie było puste? b) dokładnie jedno pudełko było puste? c) dokładnie k − 2 pudełka były puste?
a) Rozmieszczenie, w którym każda spośród k kul jest w innym pudełku, odpowiada permutacji tych kul. Jest ich zatem k!. b) Puste pudełko możemy wybrać na k sposobów. W jednym z pozostałych pudełek, które możemy wybrać na k − 1 sposobów, będą dwie kule, które możemy wybrać na k2 sposobów. Pozostałe k−2 kule możemy umieścić w pozostałych k−2 pudełkach na (k−2)! sposobów. Liczba rozmieszczeń jest zatem równa k(k−1) k2 (k−2)! = k! k2 . c) Dokładnie dwa pudełka mają być niepuste. Możemy je wybrać na k2 sposobów. Kule dzielimy na dwa niepuste podzbiory, pierwszy z nich umieszczamy w pierwszym wybranym pudełku, a drugi w drugim. Podzbiór do pierwszego pudełka możemy wybrać na 2k − 2 sposobów, albowiem liczba wszystkich podzbiorów zbioru k kul jest 10
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 10
2007/2008 • etap I
2017-05-16 13:47:56
rĂłwna 2k , a nie moĹźemy tu wybraÄ&#x2021; ani zbioru pustego, ani peĹ&#x201A;nego (pozostaĹ&#x201A;e kule traďŹ Ä&#x2026; automatycznie do drugiego pudeĹ&#x201A;ka). Z reguĹ&#x201A;y mnoĹźenia mamy k2 (2k â&#x2C6;&#x2019; 2). b) k! k2 ,
a) k!,
c)
k 2
(2k â&#x2C6;&#x2019; 2).
DĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wysokoĹ&#x203A;ci ostrosĹ&#x201A;upa prawidĹ&#x201A;owego trĂłjkÄ&#x2026;tnego jest rĂłwna dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci krawÄ&#x2122;dzi podstawy. Oblicz stosunek objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci kuli wpisanej w ten ostrosĹ&#x201A;up do objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci kuli opisanej na nim.
Oba rysunki przedstawiajÄ&#x2026; przekrĂłj ostrosĹ&#x201A;upa pĹ&#x201A;aszczyznÄ&#x2026; zawierajÄ&#x2026;cÄ&#x2026; krawÄ&#x2122;dĹş bocznÄ&#x2026; i wysokoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ostrosĹ&#x201A;upa. Niech a bÄ&#x2122;dzie â&#x2C6;&#x161; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; krawÄ&#x2122;dzi podstawy. WĂłwczas |EB| = a 63 jako 1/3 wysokoĹ&#x203A;ci podstawy. C
Obliczamy wysokoĹ&#x203A;Ä&#x2021; hs Ĺ&#x203A;ciany bocznej
hs = |BC| = |EB|2 + |CE|2 = a
hs
a
F r
S r A
B
E
13 . 12
Z podobieĹ&#x201E;stwa trĂłjkÄ&#x2026;tĂłw BCE i SCF mamy proporcjÄ&#x2122; â&#x2C6;&#x161; a 63 hs = , aâ&#x2C6;&#x2019;r r skÄ&#x2026;d obliczamy promieĹ&#x201E; kuli wpisanej r = a
Do wyznaczenia promienia R kuli opisanej wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trĂłjkÄ&#x2026;ta AEO: â&#x2C6;&#x161; 2 3 (a â&#x2C6;&#x2019; R)2 + a = R2 , 3 skÄ&#x2026;d R = 23 a. Stosunek objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci kul jest rĂłwny szeĹ&#x203A;cianowi stosunku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci ich promieni, â&#x2C6;&#x161; 3 13â&#x2C6;&#x2019;1 czyli . 8 â&#x2C6;&#x161;
13â&#x2C6;&#x2019;1 8
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 11
3
â&#x2C6;&#x161; 13â&#x2C6;&#x2019;1 12 .
C
hs
R D b
O R
A
E
B
.
2007/2008â&#x20AC;&#x201A; â&#x20AC;˘â&#x20AC;&#x201A; etap I
11
2017-05-16 13:47:56
2007/2008 2015/2016
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 151
2017-05-16 13:49:00
Znajdź wszystkie rosnące ciągi (an ) o wyrazach całkowitych, takie że a2 = 2 oraz amn = am an dla wszystkich liczb naturalnych m, n.
Ponieważ a2 = a2·1 = a2 a1 , pierwszy wyraz ciągu jest równy a1 = 1. Stosując indukcję względem k, mamy a2k = (a2 )k = 2k dla każdego k ∈ N. Ciąg (an ) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, więc jedynym ciągiem spełniającym powyższy warunek jest ciąg, w którym an = n. Jedynym takim ciągiem jest ciąg wszystkich liczb naturalnych an = n.
Na ile sposobów można grupę 3k osób posadzić przy dwóch okrągłych stołach, jeżeli przy jednym stole jest 2k ponumerowanych krzeseł, a przy drugim k? A na ile sposobów można to zrobić tak, by ustalone dwie osoby siedziały obok siebie, jeżeli k � 2?
Krzesła przy obydwu stołach są ponumerowane, mamy zatem 3k ponumerowanych krzeseł. Liczba rozmieszczeń 3k osób jest więc równa (3k)!. Jeżeli k = 2, to dla ustalonych dwóch osób możemy wybrać dwa sąsiednie miejsca na 5 sposobów. Mogą one zająć każde z tych dwóch miejsc na dwa sposoby. Pozostałe cztery osoby mogą zająć miejsca na 4! sposobów. Niech k � 3. Pierwsza z dwóch ustalonych osób może wybrać jedno spośród 3k krzeseł. Druga z ustalonych osób może zająć jedno z dwóch sąsiednich miejsc. Pozostałych 3k − 2 może usiąść na 3k − 2 wolnych kresłach na (3k − 2)! sposobów. Na pierwsze pytanie: (3k)! Na drugie pytanie: 2 · 5! dla k = 2 i 6k(3k − 2)! dla k � 3.
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 153
2015/2016 • etap I
153
2017-05-16 13:49:01
RozwiÄ&#x2026;Ĺź nierĂłwnoĹ&#x203A;Ä&#x2021;
3x â&#x2C6;&#x2019; 2x > 3xâ&#x2C6;&#x2019;2 .
PrzeksztaĹ&#x201A;camy rĂłwnanie do postaci rĂłwnowaĹźnej przez 2x . Mamy x 9 3 > . 2 8 Logarytm o podstawie
3 2
8 9
¡ 3x > 2x i dzielimy obie strony
jest funkcjÄ&#x2026; rosnÄ&#x2026;cÄ&#x2026;, stÄ&#x2026;d x > log 32
9 8
= 2 â&#x2C6;&#x2019; log 32 2.
x â&#x2C6;&#x2C6; (2 â&#x2C6;&#x2019; log 32 2; +â&#x2C6;&#x17E;).
Oblicz granicÄ&#x2122; ciÄ&#x2026;gu lim (2n â&#x2C6;&#x2019;
nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
3 8n3 â&#x2C6;&#x2019; 2n2 ).
Skorzystamy ze wzoru skrĂłconego mnoĹźenia na róşnicÄ&#x2122; szeĹ&#x203A;cianĂłw, mnoĹźÄ&#x2026;c i dzielÄ&#x2026;c n-ty wyraz ciÄ&#x2026;gu przez tzw. niepeĹ&#x201A;ny kwadrat sumy. lim (2n â&#x2C6;&#x2019;
nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
3 8n3 â&#x2C6;&#x2019; 2n2 ) = lim
nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 4n2
= lim
nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
4+23 8â&#x2C6;&#x2019;
8n3 â&#x2C6;&#x2019; (8n3 â&#x2C6;&#x2019; 2n2 ) â&#x2C6;&#x161; = 3 + 2n 8n3 â&#x2C6;&#x2019; 2n2 + 3 (8n3 â&#x2C6;&#x2019; 2n2 )2 2
2 n
+
3
8â&#x2C6;&#x2019;
1 = . 2 6 2
n
1 6.
154
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 154
2015/2016â&#x20AC;&#x201A; â&#x20AC;˘â&#x20AC;&#x201A; etap I
2017-05-16 13:49:02
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 170
2017-05-16 13:49:14
TEMATYCZNY SPIS ZADAŃ
LICZBY CAŁKOWITE liczby całkowite
13 Rozłóż na czynniki wielomian W (x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x. Udowodnij, że wartość W (n) tego wielomianu dla dowolnej liczby naturalnej n jest podzielna przez 12. Dla jakich naturalnych n liczba W (n) nie jest podzielna przez 60?
27 Ile jest czwórek (x, y, z, t) liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie xy + yz + zt + tx = 2008?
28 Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, które nie są podzielne ani przez 9, ani przez 12?
59 Suma kwadratów trzech dodatnich liczb całkowitych a, b, c jest równa 2010. Ile jest wśród nich liczb parzystych?
77 Pary (x, y) liczb całkowitych spełniające równanie xy 2 − y 3 − xy + x2 + 5 = 0 są współrzędnymi wierzchołków pewnego wielokąta. Oblicz jego pole.
110 Udowodnij, że zbiór S = {6n + 3 : n ∈ N}, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, zawiera nieskończenie wiele kwadratów liczb całkowitych.
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 171
• LICZBY CAŁKOWITE •
171
2017-05-16 13:49:15
117 Udowodnij, że żaden element zbioru S = {6n + 2 : n ∈ N} nie jest kwadratem liczby całkowitej.
135 Niech p będzie dowolną liczbą pierwszą. Udowodnij, że reszta z dzielenia liczby p przez 30 nie jest liczbą złożoną.
145 Znajdź wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 7, przez które podzielna jest liczba L = 32016 + 4.
153 Znajdź wszystkie rosnące ciągi (an ) o wyrazach całkowitych, takie że a2 = 2 oraz amn = am an dla wszystkich liczb naturalnych m, n.
159 Wyznacz największą liczbę naturalną k, taką że liczba 2016! jest wielokrotnością liczby 10k .
165 Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniających równanie (x − 2y − 1)(x + 2y + 1) = 3.
172
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 172
• LICZBY CAŁKOWITE •
2017-05-16 13:49:15
PRZEKSZTAŁCENIA WYRAŻEŃalgebraicznych ALGEBRAICZNYCH przekształcenia wyrażeń
14 Sprowadź do najprostszej postaci (niezawierającej ujemnych wykładników ani ułamków piętrowych) wyrażenie (1 − x−1 )−2 − (1 + x−1 )−2 .
32 Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie (a3 + b3 )(a−1 − b−1 ) . + b−1 )[(a − b)2 + ab]
(a−1
84 √ √ Wykaż, że liczba a = 9 − 4 5 − 9 + 4 5 jest całkowita.
89
Niech a i b będą dwiema liczbami rzeczywistymi, przy czym a > b. Udowodnij, że a3 − b3 � ab2 − a2 b.
140 Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b spełniona jest nierówność b a + � 2. b a
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 173
• PRZEKSZTAŁCENIA WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH •
173
2017-05-16 13:49:16
ZADANIA z „treścią” Z „TREŚCIĄ” zadania
15 Cena akcji pewnej firmy spadła o 60%. O ile procent musi teraz wzrosnąć cena tych akcji, aby wróciła do poprzedniego poziomu?
20 Połowę drogi kierowca jechał autostradą z prędkością 120 km/h, a drugą połowę po drogach lokalnych ze średnią prędkością 60 km/h. Oblicz średnią prędkość całej podróży.
38 Znajdź liczbę, której 59% stanowi okresowy ułamek dziesiętny 2, 6(81).
44 Kran A napełnia basen wodą w ciągu 10 godzin, a kran B w ciągu 15 godzin. W ciągu ilu godzin napełniony zostanie basen, jeżeli oba krany będą działać jednocześnie?
85 Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 6 godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez 2 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby połowę całej pracy. W jakim czasie każdy automat może samodzielnie wykonać całą pracę?
123 Urządzenie I wykonuje pewną pracę w ciągu 20 godzin, a urządzenie II w ciągu 30 godzin. W jakim czasie wykonają tę pracę oba urządzenia, pracując jednocześnie?
129 Po zmieszaniu roztworów soli o stężeniach 8% oraz 20% otrzymano 12 litrów roztworu o stężeniu 16%. Oblicz objętości zmieszanych roztworów.
174
Olimpiada Matematyka I 2016.indd 174
• ZADANIA Z „TREŚCIĄ” •
2017-05-16 13:49:16