Noções de Matemática Vol 4 - Aref Antar Neto - Versão ISSUU

ISBN 978856065307-2

9 788560 653072

Aref Antar Neto José Luiz Pereira Sampaio Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte

COMBINATÓRIA MATRIZES E DETERMINANTES Noções de Matemática

VOLUME 4

Capa: Annysteyne Maia Chaves

CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte.

Câmara Brasileira do Livro, SP

C724

Combinatória, matrizes e determinantes: 2º grau / Aref Antar Neto. (et al.)

Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009.

(Noções de matemática; v.4)

1. Determinantes 2. Matemática (2º grau) 3.

Matrizes I. Antar Neto, Aref, 1949 -

17. CDD – 512.896 18.

– 512.943 17.

– 512.83

79-1367

Índices para catálogo sistemático: 1. Determinantes: Álgebra 512.83 (17.) 512.943 (18.)

2. Funções: Álgebra 512.896 (17.) 512.943 (18.)

www.VestSeller.com.br

Índice Parte I Capítulo 1. O conceito de matriz ........................................................................ 11 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

― Matriz ...................................................................................... 11 ― Ordem de uma matriz .............................................................. 11 ― Matriz Quadrada ..................................................................... 12 ― Notação geral.......................................................................... 12 ― Diagonal principal – diagonal secundária ................................. 13 ― Algumas matrizes importantes ................................................. 16 ― Igualdade de matrizes ............................................................. 18

Capítulo 2. Operações com matrizes ................................................................ 21 2.1 2.2 2.3 2.4

― Adição de matrizes .................................................................. 21 ― Multiplicação de uma matriz por um número real ..................... 24 ― Multiplicação de matrizes ........................................................ 31 ― A matriz inversa ...................................................................... 47 Exercícios Suplementares ....................................................... 60

Parte II Capítulo 3. Cálculo de determinantes ................................................................ 65 3.1 3.2 3.3 3.4

― Definições ............................................................................... 65 ― Menor e cofator ....................................................................... 69 ― Definição de determinante ....................................................... 70 ― Teorema de Laplace ............................................................... 72

Capítulo 4. Propriedades dos determinantes .................................................... 77 4.1 ― Determinante da matriz transposta .......................................... 77 4.2 ― Troca de filas .......................................................................... 78 4.3 ― Filas iguais .............................................................................. 80 4.4 ― Fila nula .................................................................................. 81 4.5 ― Multiplicação de uma fila por uma constante ............................ 82 4.6 ― Filas proporcionais .................................................................. 83 4.7 ― Adição de determinantes ......................................................... 89 4.8 ― Teorema de Cauchy ................................................................ 94 4.9 ― Adição de filas ......................................................................... 96 4.10 ― Abaixamento da ordem de um determinante .......................... 111 4.11 ― A matriz de Vandermonde ..................................................... 115

Capítulo 5. Outros temas importantes ............................................................. 121 5.1 ― Determinante do produto de matrizes .................................... 121 5.2 ― Comatriz ............................................................................... 121 5.3 ― Matrizes invertíveis ............................................................... 123 Exercícios Suplementares ..................................................... 129

Parte III Capítulo 6. Generalidades ............................................................................... 135 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

― Equações lineares................................................................ 135 ― Sistema de equações lineares .............................................. 137 ― Expressão matricial de um sistema linear ............................. 139 ― Classificação de um sistema linear ....................................... 142 ― Sistemas de Cramer............................................................. 143

Capítulo 7. Resolução de sistemas lineares: o escalonamento .................... 149 7.1 7.2 7.3 7.4

― Sistemas equivalentes ......................................................... 149 ― Sistemas escalonados ......................................................... 153 ― Método de eliminação de Gauss .......................................... 156 ― Sistemas homogêneos de equações lineares ....................... 167

Capítulo 8. Outros temas importantes ............................................................ 177 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

― Operações elementares sobre linhas.................................... 177 ― Matrizes equivalentes por linhas........................................... 177 ― Matriz escalonada ................................................................ 178 ― Característica de uma matriz ................................................ 180 ― Teorema de Rouché-Capelli ................................................. 183 Exercícios Suplementares .................................................... 189

Parte IV Capítulo 9. Processos básicos de contagem ................................................. 193 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

― Introdução ............................................................................ 193 ― Diagramas de árvore ............................................................ 199 ― Princípio fundamental da contagem (regra do produto) ......... 203 ― O problema do número de subconjuntos .............................. 215 ― O problema do número de funções....................................... 217 ― O problema do número de divisores ..................................... 219

Capítulo 10. Fatorial ........................................................................................ 222 10.1 ― Definição.............................................................................. 222 10.2 ― Função fatorial ..................................................................... 223

Capítulo 11. Combinações simples e arranjos simples ................................. 230 11.1 ― Introdução e conceitos iniciais .............................................. 230 11.2 ― Definições ............................................................................ 231 11.3 ― Arranjo ou combinação? ....................................................... 234 Capítulo 12. Cálculo do número de arranjos e combinações ........................ 237 12.1 ― Introdução ............................................................................ 237 12.2 ― Cálculo do número de arranjos ............................................. 237 12.3 ― Cálculo do número de combinações ..................................... 242 Capítulo 13. Problemas de arranjos e combinações ...................................... 247 13.1 ― Os problemas gerais ............................................................ 247 13.2 ― O problema do número de funções injetoras ......................... 259 13.3 ― O problema do número de submatrizes e menores ............... 262 Capítulo 14. Permutações simples.................................................................. 264 14.1 ― Definição .............................................................................. 264 14.2 ― O problema do número de funções bijetoras ......................... 272 Capítulo 15. Permutações com repetição ....................................................... 274 15.1 ― O conceito............................................................................ 274 15.2 ― Cálculo do número de permutações com repetição ............... 274 Exercícios Suplementares .................................................... 279

Parte V Capítulo 16. Números binomiais ..................................................................... 283 16.1 ― Introdução ............................................................................ 283 16.2 ― Definição de número binomial .............................................. 283 16.3 ― Soma dos números binomiais de mesmo numerador ............ 284 16.4 ― Números binomiais complementares .................................... 286 16.5 ― Números binomiais consecutivos.......................................... 290 16.6 ― Relação de Stifel .................................................................. 292 Capítulo 17. O triângulo de Pascal .................................................................. 296 17.1 ― O triângulo de Pascal ........................................................... 296 17.2 ― Uma nota histórica ............................................................... 299

Capítulo 18. Binômio de Newton ..................................................................... 301 18.1 ― Introdução: como desenvolver (x + a )n ................................ 301 18.2 ― Desenvolvimento de (x − a )n ............................................... 303 18.3 ― Fórmulas do termo geral ...................................................... 307 18.4 ― Algumas aplicações do Binômio de Newton.......................... 313 Exercícios Suplementares .................................................... 317

Parte VI Capítulo 19. Complementos da análise combinatória.................................... 321 19.1 ― Permutações circulares ........................................................ 321 19.2 ― Arranjos com repetição ........................................................ 324 19.3 ― Combinações com repetição ................................................ 327 Exercícios Suplementares .................................................... 333

Parte VII Capítulo 20. Noções de probabilidade ............................................................ 337 20.1 ― Experimento aleatório – resultados equiprováveis ................ 337 20.2 ― Espaço amostral – evento .................................................... 338 20.3 ― Probabilidade ....................................................................... 341 Capítulo 21. Soma de probabilidades ............................................................. 351 Capítulo 22. Produto de probabilidades ......................................................... 357 22.1 ― Exemplos iniciais.................................................................. 357 22.2 ― Probabilidade condicional..................................................... 359 22.3 ― Probabilidade da interseção ................................................. 362 Capítulo 23. Distribuição binomial .................................................................. 369 23.1 ― Introdução ............................................................................ 369 23.2 ― Expressão da distribuição binomial....................................... 371 Exercícios Suplementares .................................................... 375 Respostas dos exercícios propostos .................................... 377 Respostas dos exercícios suplementares ............................. 421

PARTE I Capítulo 1 – O conceito de matriz Capítulo 2 – Operações com matrizes

Capítulo

O conceito de matriz

1 1.1 – MATRIZ

A uma tabela de números, dispostos em linhas e colunas, colocados entre “colchetes”, damos o nome de matriz. Os números que a constituem são seus elementos.

Exemplos

 4 2º)   3 

 1 2  linha 1º)   0 3 

7 2  1 2−2 2 

2

 2 coluna

3 2     0 −3   4º)  1 −1  2   1 12 

1   1 −2 2 6   4 7 −3  3º)  1 10 3 5 −6     

As linhas são numeradas de “cima para para a direita”, assim: 6 −2   1   7 13   6  0 0 −2    5 6 1   



baixo” e as colunas, “da esquerda  1º linha  2º linha  3º linha  4º linha



1º 2º 3º coluna coluna coluna

1.2 – ORDEM DE UMA MATRIZ A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e o número de colunas que a constituem.

Para indicá-la, escreve-se em primeiro lugar o número de linhas e, em seguida, o número de colunas, colocando-se entre esses dois números o sinal  .

11

No 1º exemplo a matriz é de ordem 2  2 (lê-se: “dois por dois”); no 2º exemplo, a matriz é de ordem 2  3 (lê-se: “dois por três”); no 3º exemplo, a matriz é de ordem 3  4, e, no 4º exemplo, a matriz é 4  2.

Podemos então dizer que uma matriz de ordem m  n, ou simplesmente matriz m  n, é uma tabela de números distribuídos em m linhas e n colunas.

Observe, então, que o número de elementos que a constituem é m ∙ n.

1.3 – MATRIZ QUADRADA Matriz quadrada é uma matriz constituída pelo mesmo número de linhas e colunas.

Se uma matriz quadrada é de ordem n  n, isto é, possui n linhas e n colunas, diz-se que ela é uma matriz quadrada de ordem n.

Exemplos 1º) A matriz A = 3 é quadrada de ordem 1.

1 2º) A matriz B =  − 4  −7  3º) A matriz C =  2  −1

4  é quadrada de ordem 2.

2 3 −3   5  é quadrada de ordem 3.

9 14 

0

1.4 – NOTAÇÃO GERAL Para representarmos a matriz A, m  n, indicamos cada um de seus elementos com uma letra minúscula afetada de dois índices, que indicam a posição ocupada por este elemento na matriz.

Assim, um elemento genérico da matriz A será representado por: aij O primeiro índice, i, indica a linha a que esse elemento pertence, e o segundo índice, j, a coluna a que esse elemento pertence:   A=  

aij

    i-ésima linha  

 j-ésima coluna

Exemplos 1º) Na matriz de ordem 2  3: a12 a A =  11 a a 22  21

12

a13   a23 

a11 (lê-se: “a um um”) é o elemento que ocupa a 1a linha e a 1a coluna; a12 (lê-se: “a um dois”) é o elemento que ocupa a 1ª linha e a 2ª coluna; a 23 (lê-se: “a dois três”) é o elemento que ocupa a 2ª linha e a 3ª coluna.

2º) Na matriz 8 1    B =  2 3  , tem-se: 3 −2 

a11 = 8, a12 = 1, a21 = 2, a22 = 3, a31 = 3 e a32 = –2.

Em geral, a matriz A, de ordem m  n, é representada por:  a11 a12   a21 a22 A =  a31 a32  ...  ... a a  m1 m2

a13 a23 a33 ... am3

... a1n   ... a2n  ... a3n   ... ...  ... amn 

ou, com a notação abreviada:

A = aij  mn 1.5 – DIAGONAL PRINCIPAL – DIAGONAL SECUNDÁRIA Em uma matriz quadrada:

A = aij  nn o conjunto de seus elementos aij, tais que i = j, chama-se diagonal principal; o conjunto de elementos tais que i + j = n + 1 chama-se diagonal secundária:  a11  a21 A = a31   ... a  n1

 a11   a21  A =  a31  ...  an1

a12 a22 a32 ... an2

a13 ... a1n   a23 ... a2n  a33 ... a3n   ... ... ...  an3 ... ann   diagonal principal

a12 ... a1,n − 2

a1,n −1

a22 ... a2,n − 2

a2,n-1

a32 ... a3,n-2

a3,n −1

...

...

...

an2 ... an,n − 2

... an,n −1

a1n   diagonal secundária  a2n   a3n  ...   ann 

13

Exercícios Resolvidos 1.1)

Seja a matriz: 7 1 3   0 4 − 1 A=  4 3 −2     7 −2 −5 

a) b) c) d)

Qual é a sua ordem?

Quantos elementos ela possui?

Complete: a41 = ... a22 = ... a32 = ... a13 = ...

Se aij = 0, então i = ... e j = ...

Solução a) b) c) d) 1.2)

A matriz é constituída por 4 linhas e 3 colunas, sua ordem é 4  3.

Ela possui 4 · 3 = 12 elementos. a41 = 7, a22 = 4, a32 = 3 e a13 = 7.

Na matriz, a21 = 0 e daí, i = 2 e j = 1.

Construa a matriz A = aij  33 para a qual aij = i2 – j.

Solução Observe que a definição dada: aij = i2 – j indica como se obtém um elemento qualquer de A: eleva-se o seu primeiro índice ao quadrado e desse quadrado subtraímos o seu segundo índice, então: 2 2 2  a11 a12 a13   1 − 1 1 − 2 1 − 3  0 −1 −2      2  2 A = a21 a22 a23  = 2 − 1 2 − 2 22 − 3  = 3 2 1  . a31 a32 a33  32 − 1 32 − 2 32 − 3  8 7 6   

1.3)

Construa a matriz A = aij  44 para a qual: i + j, se i  j  aij =  1, se i = j  0, se i  j  Solução Observe que na matriz quadrada de ordem 4: a11  a A =  21 a31  a41

14

a12

a13

a22

a23

a32

a33

a42

a43

a14   a24  a34   a 44 

os elementos para os quais i = j pertencem à diagonal principal, e eles todos são iguais a 1; aqueles para os quais i < j estão “acima da diagonal principal”, e para calculá-los somamos os seus índices; e, aqueles para os quais i > j estão “abaixo da diagonal principal”, e eles todos são iguais a zero.

Então: 1 3 4 5   0 1 5 6 A= 0 0 1 7    0 0 0 1 Exercícios Propostos 1.4)

Seja a matriz de ordem m  n:  600 621 ... 517    407 440 ... 330  A = aij  mn =   ... ... ... ...     706 850 ... 1000 

a) Quantos elementos ela possui? b) Complete: a21 = ... am2 = ... a1n = ... amn = ...

1.5)

Uma matriz possui 6 elementos. Qual é a sua ordem?

1.6)

Numa matriz quadrada de ordem n quantos elementos não pertecem à diagonal principal?

1.7)

Numa matriz, chama-se elementos internos aqueles que não pertecem à primeira ou à última linha ou coluna. Quantos elementos internos possui uma matriz 5  6?

1.8) 1.9)

Construa a matriz A = aij  32 para a qual aij = 3i – j2.

Construa a matriz A = aij  44 para a qual:  i, se i  j  aij =  0, se i = j  j, se i  j 

1.10) O símbolo delta de Kroneecker é definido por:

0, se i  j ij =  1, se i = j Construa a matriz A = aij  34 para a qual aij = 3i + j2 · ij.

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1.11) Seja a matriz quadrada de ordem n: A = aij  nn. Denomina-se traço da matriz A à soma a11 + a22 + a33 + ... + ann dos elementos da diagonal principal de A, indica-se: n

tr(A) = a11 + a22 + a33 + ... + ann =  aii i =1

Considere a matriz A = aij  33 para a qual aij = i ∙ j; determine tr(A).

1.6 – ALGUMAS MATRIZES IMPORTANTES 1º) Matriz linha É a matriz constituída por uma única linha.

Exemplos a) A = [–1 3] b) B = [4 4 –5 2] 2º) Matriz coluna É a matriz constituída por uma única coluna.

Exemplos 0   a) A =  3   −2

1 2   0 b) B =   7    −2    0

3º) Matriz diagonal É a matriz quadrada na qual os elementos que não pertecem à diagonal principal são iguais a zero.

Exemplos 2 0 0    a) A = 0 -1 0  0 0 6  0 0 0    c) C = 0 0 0  0 0 0 

16

b)

7  0 B= 0  0

0 0 0  5 0 0 0 0 0  0 0 8 

4º) Matriz identidade É toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

Será representada por I. Por exemplo:  1 0 0   I = 0 1 0  0 0 1

 1 0 I=  0 1

Se quisermos colocar em evidência que a sua Assim: 1 0  1 0  I2 =  I =  3 0 1 0 1   0 0

ordem é n, escrevemos In. 0  0 1

Para a matriz identidade In = aij  nn tem-se:

1, se i = j aij =   = ij 0, se i  j 5º) Matriz nula É a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Será representada por O. Por exemplo: 0 0 0 0  0 0    O= O =  0 0 0 0  0 0   0 0 0 0  Se quisermos colocar em evidência a sua ordem, escrevemos Omn. Assim:

0 0 0  O23 =   0 0 0  6º) Matriz transposta Seja a matriz A. Chama-se matriz transposta de A à matriz obtida de A, trocando-se, “ordenadamente” suas linhas por colunas (ou, o que conduz ao mesmo resultado: trocando-se suas colunas por linhas).

Indica-se a matriz transposta de A por At. Exemplo  2 Se A =   −1

 2 4 6   t  então A =  4 3 0   6 

−1   3  0  

17

Se A = aij  mn então A t = bij  nm onde para todo i, l  i  m bij = a ji  para todo j, l  j  n

1.7 – IGUALDADE DE MATRIZES Elementos correspondentes Sejam as matrizes A e B de mesma ordem m  n. Um elemento a da matriz A e um elemento b da matriz B dizem-se correspondentes se eles ocuparem a mesma posição nas respectivas matrizes.

Exemplo Nas matrizes de mesma ordem 2  2: a  b  a b A =  11 12  e B =  11 12  a21 a22  b21 b22 

os elementos a11 a12 a21 a22

e e e e

b11 b12 b21 b22

são correspondentes.

Observe que, na notação, elementos correspondentes tem índices iguais.

Definição As matrizes A e B são iguais, se, e somente se, tem mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais, indica-se: A=B Então:

A = aij  mn

B = bij  pq

m = p e n = q  A =B  para todo i, l  i  m aij = bij para todo j, l  j  n  

18

Capítulo

Operações com matrizes

2

2.1 – ADIÇÃO DE MATRIZES Definição Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem m  n.

Denomina-se soma de A com B à matriz C, de ordem m  n, cujos elementos são obtidos somando-se os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indica-se: C=A+B Exemplo

+

 1 2  0 6   1 + 0 2 + 6   1 8   + = =   −3 5 3 4  −3 + 3 5 + 4 0 9 Formalmente: Sejam as matrizes A = aij  mn e B = bij  mn A matriz C = A + B é tal que: para todo i, l  i  m C = cij  mn onde cij = aij + bij  para todo j, l  j  n Se as matrizes A e B tem mesma ordem, elas se dizem conformáveis para a adição.

Observe que existe A + B somente se A e B tem mesma ordem, isto é, se A e B são conformáveis para a adição.

As matrizes

2 A=  3 

e

 2 0 −3  B=   4 −1 5 

não tem mesma ordem; a adição de A com B não pode ser efetuada.

Diz-se que matrizes de ordens diferentes não são conformáveis para a adição.

21

2.7)

Determine as matrizes X e Y sabendo-se que:

 1 1 X+Y =   2 2 2 2 X−Y =    1 1 Solução Somando membro a membro as duas equações, resulta:

3 3  2X =   3 3  e daí: 3 1 3 3   2 X=  = 2 3 3   3  2

3 2  3 2 

Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta:

 −1 −1  2Y =    1 1 e daí:  1 − 1  −1 −1   2  Y=  =  2  1 1  1  2

2.8)

−

1 2 1 2

    

Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem m  n. Demonstre que: (A + B)t = At + Bt Solução Sejam A = [aij ]mn e B = [bij ]mn ; então:

A t = [ij ]nm onde ij = a ji Bt = [ij ]nm onde ij = b ji Seja A + B = [c ij ]mn onde c ij = aij + bij; então:

(A + B)t = [ ij ]nm onde ij = c ji Temos sucessivamente:

A t + Bt = [ij ]nm + [ij ]nm = [ij + ij ]nm = [a ji + b ji ]nm = = [c ji ]nm = [ ij ]nm = (A + B)t

28

2.3 – MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Requisito para a existência do produto de matrizes Para que o produto de duas matrizes exista, exige-se que os fatores que são multiplicados sejam conformáveis para a multiplicação; isto significa que o primeiro fator deve possuir tantas colunas quantas são as linhas do segundo fator.

Assim, se A é uma matriz de ordem m  n e B é uma matriz de ordem p  k, o produto A ∙ B só existe se n = p. Se n ≠ p, a multiplicação de A por B não pode ser efetuada, isto é, o produto A ∙ B não existe.

Definição Sejam as matrizes

A = [aij ]mn

e

B = [b jk ]np ,

conformável para a

multiplicação.

O produto de A por B, notado com A ∙ B, é a matriz de ordem m  p, C = [c ik ]mp , para a qual o elemento cik, que se encontra em sua i-ésima linha e em sua k-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha de A pelos “correspondentes” elementos da k-ésima coluna de B e somando-se os “produtos parciais” assim obtido: n

cik = ai1  b1k + ai2b2k + ai3b3k + ... + ain  bnk =  aijb jk j=1

Exemplos matriz B

matriz A

 a11 a12  1º) a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

3×4

 a14    a24     a34    são conformáveis

matriz A  B b12  * *   b21 b22    = * *  b31 b32  * c 32   b41 b42  3×2 4×2

b11

4

c 32 = a31  b12 + a32  b22 + a33  b32 + a34  b42 =  a3 jb j2 j=1

Observe que, para obtermos o elemento c 32 da matriz produto, multiplicamos os elementos da 3ª linha de A pelos “correspondentes” elementos da 2ª coluna de B, somando-se, então, os produtos assim obtidos.  1 2 4 3 4 2    e B = 2º) Sejam A =    4 1 5  ; então : 3 9 1   3 0 1 3 4 2  A B =  3 9 1 2×3

 1 2 4 c c    c   4 1 5  =  11 12 13  c c c 3 0 1  21 22 23  3×3 2×3

31

2 0    −2 3 0 1   1 −1 , calcule A ∙ B e B ∙ A. 2.25) a) Se A =   e B= −1 2   1 1 2 −1    1 3 

 1 −2 3  b) Se A =   e B=  4 0 2

 2 −1 −2     4 1 3  , determine A ∙ B e B ∙ A.  1 2 1 

1 −1 2.26) Se A =   , determine a matriz X tal que: A ∙ X = I2. 1 2 

Propriedades da multiplicação de matrizes 1ª) A multiplicação de matrizes não é comutativa.

Sejam as matrizes A e B. Se o produto A ∙ B existe, o produto B ∙ A pode não existir. Por exemplo, se A é de ordem 5  2 e B é de odem 2  3, existe A ∙ B, mas não existe B ∙ A (por quê?).

Mas, atenção! Mesmo que existam A ∙ B e B ∙ A, pode-se ter A ∙ B ≠ B ∙ A (veja o 4º exemplo, acima).

Então, para as duas matrizes A e B quaisquer, é falso que necessariamente: A∙B=B∙A Quando as matrizes A e B são tais que A ∙ B = B ∙ A, diz-se que A e B comutam.

Observe que uma condição necessária para que as matrizes A e B comutem é que sejam quadradas e de mesma ordem. Por exemplo, as matrizes:

a b  A=   c d

e

 1 0 I2 =   0 1

comutam, pois A ∙ I2 = I2 ∙ A (veja o 6º exemplo, acima).

2ª) A multiplicação de matrizes é associativa Sejam as matrizes: A = [aij ]mn, B = [b jk ]np

e C = [ckr ]pq

Então: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) Demonstração (opcional) Da definição de multiplicação, temos: n  A  B =   aijb jk   j=1 mp

Aplicando novamente a definição para as matrizes A ∙ B e C:

35

2.28) Se A é uma matriz quadrada, de ordem n. Define-se: A0 = In, se A ≠ O A1 = A Ap + 1 = Ap ∙ A, para p  * Note que da definição tem-se, por exemplo: A2 = A ∙ A A3 = A2 ∙ A = (A ∙ A) ∙ A A multiplicação de matrizes é uma operação associativa, o que nos permite escrever: A3 = (A ∙ A) ∙ A = A ∙ (A ∙ A) Na prática, é comum escrever-se: A3 = A ∙ A ∙ A notação que não gera ambiguidade, pois a associatividade da multiplicação permite que se determine A3 calculando (A ∙ A) ∙ A ou A ∙ (A ∙ A), alternativas que nos conduzem a um mesmo resultado.

Analogamente, a associatividade da multiplicação permite-nos escrever: A4 = A3 ∙ A A4 = (A ∙ A ∙ A) ∙ A = A ∙ (A ∙ A ∙ A) e, na prática, sem que se tenha qualquer ambiguidade, escreve-se: A4 = A ∙ A ∙ A ∙ A As considerações anteriores permitem-nos concluir que para p, inteiro e p  2, a notação Ap indica um produto de p fatores iguais a A:

Ap = A  A  A ... A p fatores

Para as definições acima, resolva os problemas:

1 −1 2 3 4 a) Se A =   , calcule A , A e A . 1 2  0 a  3 b) Dê todas as matrizes A =   que satisfazem A + A = O. b 0  Solução

1 −1 1 −1 a) A 2 = A  A =  . = 1 2  1 2  11+ ( −1) 1 1 ( −1) + ( −1)  2  0 −3  = =   1 ( −1) + 2  2  3 3   11+ 2 1

39

2.29) Uma matriz A, quadrada, diz-se involutiva quando A2 = I. Uma matriz diagonal, de ordem 2, é involutiva; determine-a Solução

a 0  Se A é diagonal (veja a página 9) então A =   ; e, se A é involutiva tem0 b  se:  a 0   a 0  a 2 0   1 0  = I2 =  A=   =  2 0 b 0 b      0 b  0 1 Então, a2 = 1 e b2 = 1, e daí as soluções:

 1 0  1 0   −1 0   −1 0   ,  ,  e  0 1 0 − 1 0 1        0 −1 2.30) Sejam as matrizes A = [aij ]mn e B = [b jk ]np . Demontre que: (A ∙ B)t = Bt ∙ At Solução Temos:

A t = [ij ]nm onde ij = a ji Bt = [ jk ]pn onde  jk = bkj n

Seja A  B = [cik ]mp onde cik =  (aij  b jk ) j=1

Então a matriz (A ∙ B) é de ordem p  m, e, nela, o elemento cik ocupa a i-ésima coluna e a k-ésima linha.

Por outro lado, a matriz Bt ∙ At também é de ordem p  m, e o elemento que nela igualmente ocupa a i-ésima coluna e a k-ésima linha é dado por: t

n

n

n

j=1

j=1

j=1

 (kj   ji ) =  (b jk  aij ) =  (aij  b jk ) = cik

Fica então demonstrada tese.

2.31) Use o Método da Indução Matemática para demonstrar que: n

 1 1  1 n   =  , para n  0 1   0 1

*

Solução Teorema 1 Para n = 1 a propriedade é válida.

41

2.35) a) Respeitada a conformabilidade para as matrizes A, B e C, demonstremos que: (A ∙ B ∙ C)t = Ct ∙ Bt ∙ At b) A, matriz quadrada de ordem n, é simétrica; P é uma matriz de ordem m  n. Demonstre que a matriz B = Pt ∙ A ∙ P é simétrica.

Solução a) A propriedade associativa permite-nos escrever: A ∙ B ∙ C = (A ∙ B) ∙ C. Então, aplicando o resultado do exercício 2.30 obtemos: (A ∙ B ∙ C)t = [(A ∙ B) ∙ C]t = Ct ∙ (A ∙ B)t = Ct ∙ (Bt ∙ At) = Ct ∙ Bt ∙ At b) Devemos demonstrar que Bt = B; de fato, o item anterior permite-nos escrever: Bt = (Pt ∙ A ∙ P)t = Pt ∙ At ∙ (Pt)t = Pt ∙ A ∙ P = B A é simétrica

1 1 2.36) Seja a matriz J =  . 1 1 a) Calcule J2, J3, J4 e Jp , para p  2, p  . b) Toma-se  = {M|M = x ∙ I2 + y ∙ J; (x;y)  2}; demonstre que  é estável para a multiplicação, isto é, que o produto de dois elementos (matrizes) de  também é elemento . c) A multiplicação comutativa em  ?

Solução

1 1 1 1 2 2 1 1 a) J2 = J  J =   =  = 2   = 2J 1 1 1 1 2 2       1 1 J3 = J2 ∙ J = (2 ∙ J) ∙ J = 2 ∙ J2 = 2 ∙ (2 ∙ J) = 22 ∙ J J4 = J3 ∙ J = (22 ∙ J) ∙ J = 22 ∙ J2 = 22 ∙ (2 ∙ J) = 23 ∙ J As igualdades acima “sugerem” que Jp = 2p–1∙J; vamos provar esse resultado usando o Método da Indução Matemática.

Teorema 1 O resultado vale para p = 2 (veja acima).

Teorema 2 Hipótese: suponhamos que o resultado é válido para p = k, isto é: Jk = 2k – 1 ∙ J Tese: demonstremos que o resultado é válido para p = k + 1, isto é: Jk+1 = 2k ∙ J Multiplicando-se, à direita, ambos os membros da hipótese, pela matriz J:

44

Analogamente, coloca-se o problema seguinte: dada uma matriz quadrada A, existe uma outra matriz B, conformável com A para a multiplicação, que satisfaz a condição: A∙B=B∙A=I onde I é a matriz identidade de ordem apropriada?

Se essa matriz existe diremos que é uma matriz inversa de A, e será representada com A–1.

Então, a definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa da matriz A, se e somente se: A ∙ B = B ∙ A = In A matriz quadrada A denomina-se não singular se e somente se A possui uma inversa. Se A não possui uma inversa, A denomina-se singular. Diz-se também que, se a matriz quadrada A possui uma inversa, A é invertível; se A não possui uma inversa, A não é invertível.

Exemplo

1  −2  1 2   ; então: Sejam as matrizes A =  e B =  3 −1 3 4  2   2  −2 1  1 2   1 0 = I A B =   1 =   3  2 3 4 −    0 1 2  2  −2 1    1 2 =  1 0 = I B A =  3 1     2  − 3 4  0 1  2 2  Observe que A ∙ B = B ∙ A = I2; então, B é uma inversa de A, ou A é invertível, ou A não é singular.

Teorema “Se a matriz A é invertível, então é única a matriz B tal que: A ∙ B = B ∙ A = I, isto é, se A possui uma inversa, essa inversa é única.”

Demonstração Admitamos que exista uma matriz H tal que: A∙H=H∙A=I Então: H = I ∙ H = (B ∙ A) ∙ H = B ∙ (A ∙ H) = B ∙ I = B, o que demonstra nossa tese.

48

Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n, invertível; então (At)–1 = (A–1)t Demonstração Temos: A ∙ A–1 = A–1 ∙ A = In Então, tomando as transpostas das matrizes iguais acima: (A ∙ A–1)t = (A–1 ∙ A)t = Itn (A ∙ A–1)t = (A–1 ∙ A)t = In (A–1)t ∙ At = At ∙ (A–1)t = In A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação acima, que (At)–1 = (A–1)t.

Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n, invertível e  um número real não nulo; então: 1 (  A)−1 =  A −1  Demonstração Temos: A ∙ A–1 = A–1 ∙ A = In Daí:

( ∙ A) ∙ (

1 −1 1  A ) = (  A −1 ) ∙ ( ∙ A) = I  

A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação 1 acima, que (  A)−1 =  A −1 . 

Exercícios Resolvidos 2.67) Definição Uma matriz quadrada, não singular, diz-se ortogonal quando A–1 = At.

 cos  −sen  a) Verifique que a matriz A =   é ortogonal. sen  cos   b) Se as matrizes, não singulares, A e B, são ortogonais então A ∙ B é matriz ortogonal. c) Se a matriz, invertível, A ortogonal, então a matriz A–1 é ortogonal.

54

Exercícios Suplementares

I.1)

4 −2  4 −2 x + y 5     3 2z 3 3 2 3  e B= Sejam a matrizes A =   0 0 4 x − y 4 −1     1   −6 z − t  −6 −3 1 

Se At = Bt, determine x, y, z e t.

I.2)

3 −4  Seja a matriz A =   . Determine a matriz X, sabendo-se que: 1 2  2 ∙ Xt – 3 ∙ A + I2 = O2

I.3)

2 1 0  0 0 2  Sejam as matrizes A =   e B=   . Determine as matrizes 1 2 1   6 4 2  X e Y, de ordem 2  3, tais que: 2∙X–Y=A X+3∙Y=B

I.4)

bc −b2   , então A2 = O. Verifique!

Se A =  c 2 −bc 

I.5)

 1 1 Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A =  . 0 0 

I.6)

Para cada número real  associa-se a matriz:

 cos  −sen   T =   sen  cos   Verifique que T ∙ T = T +  e T– = Tt.

I.7)

As matrizes quadradas de ordem n, A e B, comutam. Demonstre que: a) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 b) (A – B) ∙ (A2 + AB + B2) = A3 – B3

I.8)

60

A é uma matriz quadrada. Verifique que: 1 a) a matriz S = ∙ (A + At) é simétrica.

2 1 b) a matriz K = ∙ (A – At) é anti-simétrica.

2 c) Deduza então que toda a matriz quadrada pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica.

Capítulo

Cálculo de determinantes

3 3.1 – DEFINIÇÕES

Aqui, vamos descrever como se associa a uma matriz quadrada de ordem n, A = [aij], um número que se denomina determinante de A. Historicamente, os determinantes surgiram no século XVII, com os estudos sobre a resolução de um sistema de equações lineares.

Para uma matriz quadrada A, há um caminho preciso para se calcular o seu determinante: 1º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] o seu determinante é a1.

O determinante de A é notado com det A; então: det A = det [a11] = a11 Exemplo:

det [4] = 4

2º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2: a  a A =  11 12  a a  21 22 

o seu determinante é a11 ∙ a22 – a12 ∙ a21. a  a a a Para substituir a notação det  11 12  usa-se a notação 11 12 , na a a a a 21 22  21 22  qual se utilizam barras verticais “cercando” os elementos de A.

Então: det A =

a11 a12 a21 a22

= a11  a22 − a12  a21

Observe então que det A é o produto dos elementos da diagonal principal de A menos o produto dos elementos da diagonal secundária de A.

65

Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n  2, e seja aij um elemento qualquer de A. O número:

Aij = (−1)i+ j  Mij chama-se cofator do elemento aij.

Exemplos 1 2 3    Seja a matriz A =  4 5 6  :  0 2 −1 1 2 3    4 5 6   0 2 −1

A 22 = ( −1)2+ 2  M22 = ( −1)2+2 

1 2 3    4 5 6   0 2 −1

A 21 = ( −1)2+1  M21 = ( −1)2+1 

1 2 3    4 5 6   0 2 −1

A 33 = ( −1)3 +3  M33 = ( −1)3 +3 

1

3

0 −1

2

3

2 −1

= 1 ( −1) = −1

= ( −1)  ( −7) = 7

1 2 4 5

= 1 ( −3) = −3

3.3 – DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE Vimos até aqui a definição de determinantes para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.

Agora, a partir do conceito de cofator, definiremos determinante para uma matriz de ordem n, qualquer.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Defini-se: Para n = 1: A = [a11] e det A = a11 =a11 Para n  2:

a11 a12 a13 ... an1    a a a23 ... an2  A =  21 22 e det A = ................................    a1n an2 an3 ... ann 

a11 a12

a13 ... an1

a21 a22

a23 ... an2

................................ an1 an2

an3 n

A = a11 ∙ A11 + a12 ∙ A12 + a13 ∙ A13 + ... + a1n ∙ A1n =

 aij  Aij j=1

70

... ann

=

Capítulo

Propriedades dos determinantes

4

4.1 – DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA ➢

Propriedade P1 Seja a matriz quadrada A, de ordem n; então: det A t = det A

Demonstração Vamos nos utilizar do Método da Indução Matemática sobre n: Teorema 1 Para n = 1 a propriedade é imediata.

Teorema 2 Hipótese: suponhamos que para matrizes de ordem n = p – 1 a propriedade é válida.

Tese: demonstremos que a propriedade é válida para n = p.

Sejam então as matrizes: a11 a12 a13 ... a1p  a21 a22 a23 ... a2p  A = a31 a32 a33 ... a3p .................................  ap1 ap2 ap3 ... app 

        

b11 b12 b13 ... b1p    b21 b22 b23 ... b2p    e At = b31 b32 b33 ... b3p  .................................    bp1 bp2 bp3 ... bpp   

para todo i, 1 j  p onde bij = aij  para todo j, 1 j  p Desenvolvendo det A e det At através da 1ª linha : det A = a11∙A11 + a12∙A12 + a13∙A13 + ... + a1p∙A1p det At = b11∙B11 + b12∙B12 + b13∙B13 + ... + b1p∙B1p

(I)

77

4.3 – FILAS IGUAIS Elementos correspondentes Seja a matriz A, de ordem m  n. Dadas duas de suas linhas, um elemento de uma delas e um elemento de outra dizem-se correspondentes se pertencem à mesma coluna.

Por exemplo, na matriz: 1 2 3 x    A = 0 4 −1 a  5 7 9 0 

os elementos 0, 4, –1 e a da 2ª linha são os respectivos correspondentes dos elementos 5, 7, 9 e 0 da 3ª linha.

Diremos que numa matriz A linhas, de ordens diferentes, são iguais se os elementos correspondentes nessa linhas são iguais.

Por exemplo, na matriz: a x b c    A = 1 2 3 4 a x b c 

as 1ª e 3ª linhas são iguais.

Analogamente definimos elementos correspondentes em colunas e colunas iguais para uma matriz; por exemplo, na matriz:  1 3 1   A = 5 4 5  3 7 3 

os elementos 1, 5 e 3 da 1ª coluna são os respectivos correspondentes dos elementos 3, 4 e 7 da 2ª coluna; observe que as 1ª e 3ª colunas são iguais. ➢

Propriedade P3 Seja a matriz quadrada A, de ordem n, n ≥ 2.

Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais tem-se: det A = 0

Demonstração Em A = [aij ]nn, suponhamos que a i-ésima e k-ésima linhas sejam iguais, isto é: aij = akj, para todo j, l  j  n “Trocando-se”, então as posições dessas duas linhas, obtém-se a matriz B, tal que: I det B = – det A

80

Exemplo 1 2 a   det 2 4 b  = 0, pois 1ª e 2ª colunas são proporcionais. 3 6 c 

Exercícios Resolvidos

4.1)

a1 a2 a3    Considere a matriz A = b1 b2 b3  , c1 c 2 c 3  Determine: a3 a2  t a) det A b) D1 = b3 b2 c 3 c 2

com det A = –4

a1  b1 c1

a1

a2

a3

c) D2 = b1 b2 2c1 2c 2

2c 3

b3

Solução a) A propriedade P1 dá-nos: det At = det A = –4.

a3 a2 a1 P2 a1 a2 a3 b) D1 = b3 b2 b1 = – b1 b2 b3 = – det A = – (–4) = A c 3 c 2 c1 c1 c 2 c 3 trocam-se as posições

a1 a2 c) D2 = b1 b2 2c1 2c 2

4.2)

a3 P5 a1 a2 a3 b3 = 2 ∙ b1 b2 b3 = 2 ∙ det A = 2 ∙ (–4) = –8.

2c 3 c1 c 2 c 3

a) Seja a matriz quadrada A, de ordem n; k é um real.

Então: det (k ∙ A) = kn ∙ det A 1

2

4

b) Seja a matriz A = −1 −2 3 7 0 1 Calcule: det (5 ∙ A) e 5 ∙ det A.

85

4.25) Sejam as matrizes: a  b  a b A =  11 12  e B =  11 12  a21 a22  b21 b22  Se det(A + B) = det A + det B, demonstre que:  a11 a12  b11 a12   + =0 a21 a22  b21 a22  4.8 – TEOREMA DE CAUCHY ➢

Propriedade P8 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n  2.

A soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna), ordenadamente, pelos cofatores dos elementos correspondentes de qualquer outra linha (ou coluna), é igual a zero.

Demonstração Seja, então, a matriz:  a11  a21  ...   ap1 A=  ...  aq1   ...   an1

a12 a22 ... ap2 ... aq2 ... an2

a13 ... a1n   a23 ... a2n  ... ... ...   ap3 ... apn  ← linha p  ... ... ...  aq3 ... aqn  ← linha q  ... ... ...   an3 ... ann 

Em A, substituimos a q-ésima linha pela p-ésima linha obtemos a matriz:  a11  a21 B =  ap1   ap1   an1

a12 a13 ... a1n   a22 a23 ... a2n  ap2 ap3 ... apn ← linha p    bqk = apk, l ≤ k ≤ n ap2 ap3 ... apn ← linha q   an2 an3 ... ann 

Observe que os fatores dos elementos da q-ésima linha de B são ordenadamente iguais aos cofatores dos correspondentes elementos da q-ésima linha de A: Bq1 = Aq1, Bq2 = Aq2, Bq3 = Aq3, ... , Bqn = Aqn

94

Exemplo  2 −3 2 5    1 −1 1 2  Considere a matriz A =  3 2 2 1    1 1 −3 −1

Os cofatores dos elementos da 3ª coluna são: A13 = –5, A23 = 13, A33 = –1, A43 = 0 Somando-se os produtos dos elementos da 3ª coluna pelos respectivos cofatores: 4

 ai3  Ai3 = a13  A13 + a23  A23 + a33  A33 + a43  A 43 = i=1

= 2∙(–5) + 1∙(13) + 2∙(–1) + (–3)∙(0) = 1 = det A

Somando-se os produtos dos elementos da 1ª coluna pelos cofatores dos correspondentes elementos da 3ª coluna: 4

 ai1  Ai3 = a11  A13 + a21  A23 + a31  A33 + a41  A 43 = i =1

= 2∙(–5) + 1∙(13) + 3∙(–1) + 1∙(0) = 0 4.9 – ADIÇÃO DE FILAS Definição “Adicionar (ou somar) uma linha a outra (ou uma coluna a outra)” em uma matriz A, significa adicionar os elementos de uma delas ordenadamente aos elementos correspondentes da outra.

Por exemplo a matriz: 2 3 4 5    A = 0 4 7 2  3 1 7 2  adicionando-se a 2ª coluna à 4ª coluna, obtemos a matriz: 2 3 4 5 + 3    B = 0 4 7 2 + 4  3 1 7 2 + 1

Combinação linear de filas Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A = [aij ]nn

96

1 0 a a2

4.42) Verifique que:

0 1 b b2 1 0 c c2

= (b – d) (a – c) (b + d – a – c)

0 1 d d2

b2 + c 2 4.43) Verifique que:

ba ca

ab 2

ac 2

c +a cb

= 4 ∙ a2b2c2

bc 2

a +b

2

4.44) Se a, b e c são números reais positivos, calcule: 1 loga logb log ab 1 logb logc log bc 1 logc loga log ca 4.45) Se x + y = 2a, x – y = 2b e x + z = –a, calcule: 1 2a y x  1 2b − y 1 −a z 4.46) “Fazendo aparecer” zeros em uma fila conveniente, por aplicação do Teorema de Jacobi, verifique que: 3 2 5 −8 13 3 −2 18 2 5 −8 3 14 4 9 22 = − 2912 =−8 a) b) 5 −8 3 2 3 1 2 5 −8 3 2 5 0 −2 5 −3 5 3 7 2

c)

3 7 2 5 7 2 5 3 2 5 3 7

= −595

d)

2

3

1

−1

2

0

0

3

4

1

0

1

−1 2 − 2

= 69

1

4.47) Calcule o determinante: 1 1 1 1 1 1 + sen20º 1 1 (veja o exercício 4.31.)

1 1 1 + sen40º 1 1 1 1 1 + sen80º

109

4.55) Seja a matriz quadrada de ordem n:  1 1 1 ... 1     −1 0 1 ... 1  A n =  −1 −1 0 ... 1  Deduza que det An = 1.    ... ... ... ... ...  −1 −1 −1 ... 0    4.56) Verifique que: 1 1 1 1 1 + a1 1 1 1 1 + a2 ... ... ...

1 1 1

... ... ...

1 1 1

= a1  a2  a3  ...  an

... ... ... 1 + an

(Veja o exercício 4.30) 4.57) Verifique que: 1 + a1 1 1 1 1 + a2 1 1 1 1 + a3 ... ... ...

1 1 1

... ... ...

1 1 1

... ... ... 1 + an

 1 1 1  = a1a2a3 ...an  1 + + + ... +  a a a 1 2 n 

(Veja o exercício 4.30) 4.10 – ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UM DETERMINANTE Deduziremos agora um mecanismo que permite reduzir o cálculo de um determinante de uma matriz de ordem n a outro, de uma matriz de ordem n – 1; é a: Regra de Chiò Seja, então, a matriz de ordem n, n  2, na qual a11 = 1:  1  a21  A = a31  ...   an1 

a12

a13 ... a1j

a22

a23 ... a2j

a32

a33 ... a3 j

... an2

...

...

...

an3 ... anj

... a1n   ... a2n   ... a3n  ... ...  ... ann 

Aplicamos o Teorema de Jacobi sucessivamente: adicionando à 2ª coluna, a 1ª multiplicada por – a12 adicionando à 3ª coluna, a 1ª multiplicada por – a13 ............................................................................................. j – 1) adicionando à j-ésima coluna, a 1ª multiplicada por – aij ............................................................................................. n – 1)adicionando à n-ésima coluna, a 1ª multiplicada por – a1n 1) 2)

111

4

b)

2

1

5

−1 −3 4 0 = 270 1 5 −2 −1 5

1

2

2

5 3 7 2

c)

3 7 2 5 7 2 5 3

= − 595

2 5 3 7

4.62) Use a Regra de Chiò para calcular o determinante: 1 12

13

14

2 22

23

24

3 32

33

34

4 42

43

44

4.63) Use a Regra de Chiò para verificar que:

1 a a2 1 b b2 = (a − b)(b − c)(c − a) 1 c c2 4.64) Use a Regra de Chiò para verificar que: a a a a a b b b = a  (b − a)(c − b)(d − c) a b c c a b c d

4.11 – A MATRIZ DE VANDERMONDE Definição Toda matriz quadrada de ordem n, n ≥ 2, da forma: 1 1  1  x x x 2 3  1  2 2 2 x2 x3  x1  ... ... ...  n − 1 n − 1 x x2 xn3−1  1

1   xn   ... xn2  ... ...  ... xnn −1

...

1

...

...

xj

...

...

x 2j

...

...

... xnj −1

denomina-se matriz de Vandermonde.

115

Capítulo

Outros temas importantes

5 5.1 – DETERMINANTE DO PRODUTO DE MATRIZES Teorema de Binet

Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem; então: det (A ∙ B) = det A ∙ det B Aceitaremos o teorema sem demonstração.

Exemplo Sejam as matrizes:  1 2 A=  ;det A = − 2  3 4    det A  det B = 68 7 2    B =  ;det B = − 34  3 −4  

2 − 8  13 −6   1 2  7 2   7 + 6 Temos: A ∙ B =   = =  ;det (A  B) = 68 3 4 3 − 4 21 + 12 6 − 16 33 −10      5.2 – COMATRIZ Definição Seja a matriz quadrada de ordem n: A = [aij ]nn

Seja N a matriz definida por: N = [A ij ]nn

onde Aij é, em, A, o cofator do elemento aij.

Chama-se comatriz de A, e se indica com A*, a matriz transporta de N: A* = Nt

121

5.6)

 a a 1   Condição para que a matriz A = a 1 a  seja invertível.  1 a a 

Solução Deve-se ter det A ≠ 0 a a 1 2a + 1 a 1 P5 1 a 1 det A = a 1 a = 2a + 1 1 a = (2a + 1) 1 1 a = –(2a + 1)(a – 1)2 1 a a 1 a a 2a + 1 a a 1 1

Então, para que A seja invertível deve-se ter a  −

1 e a  1.

2

Exercícios Propostos 5.7)

A e B são matrizes quadradas de ordem n. a) É A ∙ B = B ∙ A? b) É det(A ∙ B) = det(B ∙ A)?

5.8)

Se A é não singular e A2 = A, determine det A.

5.9)

A e B são matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique que: det(At ∙ Bt) = det(A ∙ Bt) = det(At ∙ B)

5.10) Para as matrizes abaixo, determine A–1, se existir:  −1 2 − 3  2 1 −1     a) A =  2 1 0  b) A = 0 2 1  5 2 −3   4 −2 5   1 2 3   c) A =  −1 4 3   5 2 7 

5.11) Para as matrizes abaixo, determine A–1, se existir:  1 1 1  1 0 1     a) A = 0 1 1 b) A = 0 1 1 0 0 1  1 1 0  a 0 0    c) A = 0 a 0  ,a  0 0 0 a 

127

II.7)

Resolva a equação: 1+ x 2 3 4 1 2+x 3 4 =0 1 2 3+x 4 1 2 3 4+x

II.8)

Resolva a equação: 1 1 1 1 1 1− x 1 1 =0 1 1 2−x 1 1 1 1 3−x

II.9)

Verifique que:

sena sen3a sen3a senb sen3b sen3b = 0 senc sen3c sen3c II.10) Calcule o determinante: 0 1 1 1 1 1

−1 0

1

1

1

1

−1 −1 0

1

1

1

−1 −1 −1 0

1

1

−1 −1 −1 −1 0

1

−1 −1 −1 −1 −1 0 II.11) Verifique que: 0

0 x y z x 0 z y y z 0 x z y x 0

=

1

1

1

0

z

2

y2

1 z2

0

x2

1 y2

x2

0

1

II.12) Os números 546, 273 e 169 são divisíveis por 13; verifique que o determinante: 5 4 6 2 7 3 1 6 9

é divisível por 13, sem desenvolvê-los

130

Capítulo

6

Generalidades

6.1 – EQUAÇÕES LINEARES Definições A equação: x1 + 2x2 = 5 onde x1 e x2 são incógnitas, é um exemplo de equação linear a duas incógnitas.

Note que os expoentes das incógnitas são iguais a 1.

A equação: x1 + 3x2 – x3 = 10 é linear, a três incógnitas Numa equação linear não aparecem termos da forma 2x12 ou 3x1x2 ou –4 x 22 x 33 ; os expoentes das incógnitas são iguais a 1, e em cada termo da equação aparece no máximo uma incógnita. Uma equação como: 2x12 + 3x 2−1 + x12 x 2 − x 4 = 6

não é linear.

De um modo geral, uma equação da forma: a1x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b

na qual x1, x2, x3, ... , xn são incógnitas e a1, a2, a3 ..., an e b são números conhecidos, denomina-se equação linear a n incógnitas.

Os números a1, a2, a3 ..., an denomina-se coeficientes da equação e b é o seu termo constante.

Seja a equação linear: x1 + 2x2 – x3 = –6 (I) Se em (I) fizermos a substituição x1 = 1, x2 = –2, x3 = 3 a sentença: 1 + 2 ∙ (–2) – 3 = –6 é verdadeira.

Então, diremos que o conjunto de valores: x1 = 1, x2 = –2 e x3 = 3 é uma solução da equação.

135

6.2 – SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Definições Um par de equações como: 2x1 − 3x 2 = 1  5x1 + 2x 2 = 12

denomina-se sistema de 2 equações lineares a 2 incógnitas.

Note que o par de valores: x1 = 2 e x2 = 1 satisfaz cada uma das equações do sistema; diz-se então, que o conjunto de valores x1 = 2 e x2 = 1 é solução do sistema; o par x1 = 5 e x2 = 3 satisfaz a primeira equação do sistema, mas não satisfaz a segunda; esse par não é solução do sistema.

Generalizando, um sistema de m equações lineares a n incógnitas pode ser escrito assim: a11x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1  a21x1 + a22 x 2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2  S a31x1 + a32 x 2 + a33 x3 + ... + a3n xn = b3 .......................................................  am1x1 + am2 x 2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm

onde x1, x2, x3, ... xn são as incógnitas.

Os números aij e bi, l  i  m e l  j  n, são conhecidos.

O par de indíces (i; j) indica que aij é o coeficiente da incógnita xj na i-ésima equação; assim a32 é o coeficiente de x2 na 3ª equação.

O conjunto de valores: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, ... , xn = n é uma solução do sistema (S) se for solução das m equações de (S), isto é, satisfaz as m equações do sistema.

Quando não houver possibilidade de confusão, essa solução pode ser representada com: (1, 2, 3, ... , n) Observações 1º) É comum substituir-se a denominação sistema de equações lineares, simplesmente por sistema linear.

2º) Resolve um sistema linear é determinar todas as suas soluções.

Exemplos O sistema:  2x + 3y + 2z = 14  (S) 3x + 4y + 5z = 26  5x − 2y + 3z = 10 

137

ISBN 978856065307-2

9 788560 653072