Tópicos de Matemática IME - ITA - OLIMPÍADAS Vol. 3 - Versão ISSUU

ISBN 856065345-7

9 788560 653454

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

Carlos A. Gomes

TÓPICOS DE MATEMÁTICA Olimpíadas – ITA – IME

Volume 03 Geometria Plana

Editora VestSeller Fortaleza/CE 1ª Edição - Abril de 2016

1

2

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

É proibida a reprodução parcial ou total por quaisquer meios sem autorização prévia do autor. Os transgressores serão punidos nos termos da lei. Denuncie o plágio, cópias ilegais, pirataria pela internet, sites para download pirata, comunidades piratas na internet anonimamente através do correio eletrônico da editora: adm@vestseller.com.br Todos os direitos desta edição reservados a: © 2016 Carlos A. Gomes

Editor responsável: Renato Brito Bastos Neto Revisão Técnica: Renato Brito Bastos Neto Editoração: Renato Brito Bastos Neto Capa: Alex Souza Esta obra pode ser adquirida diretamente na LIVRARIA VESTSELLER através de sua página eletrônica www.vestseller.com.br

FICHA CATALOGRÁFICA: Preparada por Ruth Helena Linhares Leite e Luiza Helena de Jesus Barbosa.

M672 Gomes, Carlos A. Tópicos de Matemática / IME – ITA – Olimpíadas / Carlos A. Gomes - Fortaleza: Vestseller, 1ª edição 2016. 669p; v.3.

I. Produtos Notáveis II. Indução III. Geometria Plana ISBN: 978-85-60653-45-4 CDU 514

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

3

O autor O professor Carlos A. Gomes, é Bacharel em Matemática pela UFRN, Mestre em Matemática na Área de Probabilidade pela UFRN e atualmente doutorando em Matemática na área de Álgebras e grupos de Lie pelo IME-USP. Tem um apreço especial pelas Geometrias. É professor efetivo do Departamento de Matemática da UFRN, é Coordenador Regional da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática e Coordenador da OMRN - Olimpíada de Matemática do RN. Foi, por cerca de 20 anos, professor de diversos cursinhos Pré-Vestibulares das disciplinas de Matemática e Física e tem uma larga experiência com treinamentos para olimpíadas de Matemática e resolução de problemas.

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

5

Apresentação Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática em todo o mundo e em particular no Brasil.

A SBM – Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 a OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o governo federal lançou a OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso país.

Neste contexto é bastante natural que surja a

necessidade da elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam de apoio para a preparação dos alunos para estas competições.

Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos. Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim, muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas.

Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso país. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção “´TÓPICOS DE MATEMÁTICA – OLIMPÍADAS – ITA  IME” que consiste numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados pelos autores.

A ideia central do nosso trabalho é produzir uma obra que concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno iniciante de outra forma só teria

6

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

acesso caso consultasse várias fontes relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento num curto intervalo de tempo.

Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber:

Volume 01 – produtos notáveis, fatorações e desigualdades.

Volume 02 – indução matemática e teoria elementar dos números.

Volume 03 – geometria plana.

Volume 04 – trigonometria.

Volume 05 – combinatória e probabilidade.

Volume 06 – números complexos, polinômios e equações algébricas.

Volume 07 – geometria espacial.

Volume 08 – geometria analítica.

Volume 09 – conjuntos, funções, sequências e séries.

Volume 10 – matrizes determinantes e sistemas lineares.

Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA. Os leitores que quiserem fazer contato com os autores para críticas, sugestões bem para comunicar alguma errata eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email cgomesmat@yahoo.com.br Carlos A. Gomes.

Natal/RN, 04 de dezembro de 2015.

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

7

Prefácio A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais.

Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo.

Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas.

Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das médias. É de tirar o fôlego a cada página !

Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.

Prof. Renato Brito Fortaleza, 04 de Dezembro de 2015.

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

9

Dedicatória Dedico este trabalho a dois grandes mestres que foram os primeiros a publicar no Brasil dois magníficos livros de Geometria plana que ainda hoje influenciam fortemente alunos e professores por todo o país; Os professores e amigos Augusto César Morgado (In memoriam) e Eduardo Wagner, que tive o privilégio de conhecê-lo pessoalmente e que me influenciaram fortemente pelo gosto da Geometria.

Carlos A. Gomes

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

11

Índice

Introdução ........................................................................................................ 13 Capítulo 1. Resumo Teórico .............................................................................. 15 Capítulo 2. Questões ........................................................................................ 67 TRIÂNGULOS ................................................................................................... 68 POLÍGONOS..................................................................................................... 91 QUADRILÁTEROS ............................................................................................ 94 SEMELHANÇA.................................................................................................. 98 PITÁGORAS ................................................................................................... 105 LEI DOS SENOS E COSSENOS ..................................................................... 111 QUADRILÁTEROS INSCRITÍVEIS................................................................... 121 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA ................................................................. 126 ÁREAS............................................................................................................ 136 Capítulo 3. Resoluções.................................................................................... 181 Apêndice – Princípio da Boa Ordenação e Indução ...................................... 649 I. Pitágoras Trigonométrico .......................................................................... 650 II. Você sabia que lei dos cossenos vale para os senos? ............................... 651 IIII. Lei Dos Senos Para Os Cossenos ............................................................ 652 IV. Uma Bela Demonstração (Sem Palavras) Da Fórmula De Heron ............... 658 V. Heron para quadriláteros...brahmagupta! .................................................. 661 VI. Uma Soma Incrivelmente Invariante .......................................................... 665 Referências Bibliograficas ........................................................................... 670

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

13

INTRODUÇÃO Este é o terceiro volume da coleção MATEMÁTICA - IME – ITA – OLIMPÍADAS. Neste volume abordamos todo o conteúdo da GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA e a TRIGONOMETRIA BÁSICA DOS TRIÂNGULOS. A exemplo dos volumes anteriores, inicialmente temos um resumo teórico com os principais resultados da Geometria Euclideana Plana e Trigonometria dos triângulos, em seguida os enunciados dos cerca de 300 problemas propostos e por fim as resoluções detalhadas de todos esses problemas propostos. As resoluções foram minunciosamente produzidas e detalhadas para que o leitor possa ter uma verdadeira aula sobre o assunto em cada uma delas. Em algumas soluções há diversos comentários teóricos que ampliam o problema em questão ou descortinam um novo horizonte sobre o assunto. Ao final do livro há alguns Apêndices onde o leitor poderá ampliar seus conhecimentos sobre alguns temas tratados ao longo do livro. O livro foi produzido tentando manter o mesmo espírito dos dois volumes anteriores, a saber: ao estudar o livro o leitor terá um acesso rápido e direto a teoremas, problemas e situações que o mesmo só teria após ler diversas obras clássicas (e modernas) sobre o assunto aqui tratado, sendo pois, ao nosso ver, uma ponte de acesso mais rápido a diversos problemas clássicos e outros mais modernos sobre o tema aqui tratado. Convidamos então à todos para iniciar essa leitura, que levará a um passeio sobre o encantado mundo da Geometria e Trigonometria Clássica.

Carlos A. Gomes São Paulo, 19 de Outubro de 2015

Capítulo 1 – Resumo Teórico

Capítulo 1

Resumo Teórico

15

16

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA RESUMO TEÓRICO

ÂNGULO ENTRE RETAS PARALELAS Observe a figura abaixo onde as retas paralelas (r) e (s) são cortadas pela reta transversal (t).



Alternos internos: 1 e 3 ; 2 e 4



Alternos externos: 4 e 2 ; 3 e 1



Colaterais internos: 1 e 4 ; 2 e 3



Colaterais externos: 3 e 2 ; 4 e 1



Correspondentes: 1 e 1 ; 2 e 2 ; 3 e 3 ; 4 e 4

PROPRIEDADE: Os ângulos correspondentes e alternos são congruentes (e portanto possuem a mesma medida) e os colaterais são suplementares.

Capítulo 1 – Resumo Teórico

17

LEI ANGULAR DE THALES Num triângulo qualquer a soma das medidas dos ângulos interno s de um triângulo qualquer é 180°

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO       No triângulo ABC da figura abaixo:            

18

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA TEOREMA DA DESIGUALDADE TRIÂNGULAR

1.

Condição de existência (Teorema da desigualdade triangular) Dados três segmentos AB = c, AC = b e BC = a nem sempre podemos “fechar” um

triângulo ABC.

Pode-se demonstrar que a condição necessária e suficiente para que o triângulo ABC possa ser fabricado é a seguinte:

diferença dos outros dois  Qualquer lado  soma dos outros dois

2.

Algumas classificações

a)

Quanto aos lados: Escaleno  3 lados com medidas diferentes (3 ângulos de medidas diferentes) Isósceles  2 lados com medidas iguais (2 ângulos de medidas iguais – ângulos da

base) Equilátero  3 lados com medidas iguais (3° ângulos com medidas iguais a 60° cada um) b)

Quanto aos ângulos: Acutângulo: 3 ângulos com medidas menores do que 90°.

Retângulo: 1 ângulo reto. (=90°) Obtusângulo: 1 ângulo obtuso. (>90°)

Capítulo 1 – Resumo Teórico

19

Observações: 

Num triângulo o maior lado sempre está oposto ao maior ângulo (maior medida) e reciprocamente, isto é, o ângulo de maior medida sempre está oposto ao lado de maior medida.



Se conhecermos as medidas dos lados a, b e c de um triângulo ABC, mesmo sem conhecermos as medidas dos seus ângulos internos podemos identificar se ele é acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Fazemos assim:

Seja a a medida do maior lado. (note que se não houver maior lado é porque os lados são iguais sendo assim o triângulo é eqüilátero e portanto cada um dos seus ângulos internos mede 60°, sendo portanto um triângulo acutângulo). a  medida do maior lado. b, c  medidas dos outros dois lados. a2  b 2  c 2  Triângulo acutângulo  2 2 2 a  b  c  Triângulo retângulo  2 2 2 a  b  c  Triângulo obtusângulo

POLÍGONOS 3.

Elementos de um polígono



Vértice: é o ponto de interseção de dois lados adjacentes.



Lado: é o segmento de reta que une dois vértices consecutivos.



Diagonal: é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.



Ângulo Interno: é o ângulo da região interna formado por dois lados adjacentes.

20 

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA Ângulo Externo: é o ângulo da região externa formado por um lado e pelo prolongamento de um lado adjacente.

Observações: 

Note que um ângulo interno e um ângulo externo adjacente a ele são suplementares.



Polígono Regular: é o polígono que possui lados iguais (congruentes) e ângulos iguais (congruentes), isto é, um polígono regular é aquele que é

eqüilátero e

eqüiângulo.

Nomenclatura dos Polígonos - Alguns polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados. Assim temos:

4.

O

POLIGONO

N DE LADOS(GÊNERO)

Triângulo

3

Quadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6

Heptágono

7

Octógono

8

Eneágono

9

Decágono

10

Undecágono

11

Dodecágono

12

Pentadecágono

15

Icoságono

20

Número de Diagonais de um polígono convexo de n lados Cada vértice do polígono não forma diagonal com ele próprio e com os dois vértices

adjacentes, formando diagonal com todos os outros (n – 3) vértices do polígono. Assim sendo, de cada vértice de um polígono convexo de n lados partem n – 3 diagonais.

Capítulo 1 – Resumo Teórico

21

Cada diagonal é comum a dois vértices, então o total de diagonais de um polígono de n lados é dado por d 

5.

n  (n  3) 2

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si)

22

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA Traçando-se todas as diagonais de um dos vértices o polígono de n lados fica

dividido em n – 2 triângulos. A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é igual a soma dos ângulos internos dos triângulos. Então, Si = (n – 2).180°

6.

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se)

Observação: No caso dos polígonos equiângulos (todos os ângulos com medidas iguais) temos: ai 

o Si n  2  180 S 360  e ae  e  n n n n

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS TEOREMA DA BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO Dado um triângulo qualquer, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem um comprimento igual a metade do comprimento desse terceiro lado.

Capítulo 1 – Resumo Teórico

39

TEOREMA DE NAPOLEÃO Dado um triângulo ABC, construímos sobre cada um dos seus lados um triângulo equilátero conforme ilustra a figura abaixo:

o triângulo cujos vértices são os centros dos triângulos equiláteros que foram construídos sobre os lados do triângulo original também é um triângulo equilátero.

TEOREMA DE MORLEY Dado um triângulo ABC, mostre que as cevianas que trisecionam os ângulos internos do triângulo ABC intersectam-se duas a duas formando três pontos que são os vértices de um triângulo equilátero, conforme ilustra a figura abaixo:

68

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA QUESTÕES

Triângulos 1)

Considerando todos os triângulos de perímetro 15, mostre que em nenhum deles pode haver um cujo lado mede 8.

2)

Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38cm e 14cm, calcule seu perímetro.

3)

(Torneio das cidades) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo ABC. Mostre que

a3  b3  3abc  c3 .

4)

Se existe um triângulo de lados a,b e c mostre que existe um triângulo de lados

5)

a, b e c .

Seja ABC um triângulo. Se P é um ponto interior ao triângulo ABC, mostre que PA  PB  PC  AB  AC  BC .

6)

Dado um quadrilátero convexo ABCD prove que o ponto P do interior do quadrilátero para o qual a soma PA  PB  PC  PD é mínima é o ponto de interseção das diagonais do quadrilátero.

Capítulo 2 – Questões

73

21) Na figura abaixo, AB = AC, CBD = 20°, BCE = 50°, DCE = 30°. Determine a medida do ângulo BDE.

22) Na figura abaixo, AB = AC, BAC = 20°, CDB = 60° e BCE = 50°. Calcule a medida do ângulo BDE = .

90

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

71) Sendo ma , mb e mc as medidas das medianas relativas aos lados BC = a, AC = b e AB = c de um triângulo ABC, mostre que: m2a  m2b  m2c 

3 2 a  b2  c 2 4





72) Seja ABC um triângulo equilátero. Se M é um ponto do plano do triângulo AC, mostre que: MA  MB  MC

73) Seja ABC um triângulo equilátero. Se M é um ponto do plano do triângulo AC que não pertence a circunferência circunscrita ao triângulo ABC, mostre que sempre existe um triângulo cujos lados são MA. MB e MC. (esse triângulo é conhecido na literatura como triângulo de Pompeiu).

74) Com um segmento DE de tamanho 3, é possível dividir um triângulo ABC de lados 3, 4 e 5, de modo que as extremidades do segmento DE fiquem sobre os lados AB e BC do triângulo ABC? POLÍGONOS 75) Mostre que nenhum polígono convexo pode ter mais que dois ângulos internos de 30°.

76) Na figura abaixo ABCDE é um pentágono regular e ABPQ é um quadrado interno ao pentágono. Calcule a medida do ângulo DBQ = α.

Capítulo 2 – Questões

93

QUADRILÁTEROS 85) Se x, y e z são distâncias dos vértices B, C e D de um paralelogramo ABCD a uma reta r que contém o vértice A e é exterior a ABCD, mostre que y = x+z.

86) Uma reta r pertencente ao plano de um paralelogramo ABCD é exterior a ele.

Se A, B e C distam x,y e z, respectivamente de r, determine, em função de x, y e z a distância do vértice D a r.

87) As bases MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112cm, respectivamente.

Se a medida do ângulo MQP é o dobro da medida do ângulo PNM, determine da medida do lado PQ. 88) No trapézio ABCD, AB = CD, X é o ponto médio do segmento AB, BX = 1 e DXC = 90°. Qual é o perímetro do trapézio ABCD?

Capítulo 2 – Questões

97

96) Dois círculos, de raios R e r, respectivamente, são inscritos num quadrado ABCD de lado 1, conforme ilustra a figura a seguir

Calcule a soma R + r.

97) Mostre que o perímetro de um quadrilátero convexo é maior que a soma de suas diagonais e menor que o dobro da soma das suas diagonais.

98) Os ângulos A e B em um quadrilátero convexo ABCD são iguais e BC = 1, AD = 3. Prove que a medida de CD é maior do que 2.

SEMELHANÇA 99) Na figura abaixo o ponto M é o ponto médio do lado BC, NA é bissetriz do ângulo BAC e BN é perpendicular a NA. Sabendo que AB e AC medem, respectivamente, 14m e 19m, calcule o comprimento do segmento MN.

100

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

105) (UFRJ) Na figura a seguir, o círculo de raio 1cm rola da posição I para a posição F, sempre tangenciando o cateto AC do triângulo retângulo ABC. Na posição I o círculo também tangencia AB e na posição F ele é tangente a BC. Os lados do triângulo valem AC = 6cm, AB = 8cm e BC = 10cm. Determine a distância percorrida pelo centro do círculo.

106) Na figura abaixo os segmentos AO e AB são diâmetros das semicircunferências de centro E e O, respectivamente. Com centro no ponto B e raio BE é traçado o arco de circunferência EF. Sabendo-se que AE = EO = 1, determine a medida do raio da circunferência menor que tangencia os três arcos de circunferência indicados na figura.

110

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

127) (OPM) No triângulo ABC as medianas dos lados AB e AC são perpendiculares. Sabendo-se que AB = 6 e AC = 8, determine a medida do segmento BC.

LEI DOS SENOS E COSSENOS 128) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Se forem satisfeitas as relações 3a = 7c e 3b = 8c, qual o valor em graus, do ângulo oposto ao lado que mede a centímetros.

129) ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo equilátero de lado AB = 6.

Determine as medidas x e y dos segmentos DE e CF.

114

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

136) (CRUX-MATHEMATICORUM) Um quadrado cujo lado mede s está simetricamente inscrito num setor circular de 60°, cujo raio mede r, conforme ilustra a figura abaixo:

Calcule r/s.

137) Inscreve-se um polígono convexo de 12 lados num círculo de modo que ele possui, em alguma ordem, seis lados de comprimento comprimento

2

e seis de

24 . Qual a medida do raio dessa circunferência?

138) (OLIMPÍADA IBEROAMERICANA) Um ponto P dista 5, 7 e 8 dos vértices de um triângulo equilátero. Qual a medida do lado desse triângulo?

118

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

148) Uma circunferência inscrita num triângulo ABC toca AB no ponto D de modo que AD = 5 e DB = 3. Encontre a medida de BC, se  = 60°.

149) Sobre os lados de um triângulo ABC retângulo de lados AC = 6cm, AB  6 3 cm e BC = 12cm construímos três quadrados externos. Calcule a

medida dos lados do triângulo determinado pelos centros desses quadrados.

150) Uma circunferência inscrita num triângulo ABC toca AB no ponto D de modo que AD = 5 e DB = 3. Encontre a medida de BC, se  = 60°.

151) No triângulo ABC (obtusângulo) da figura abaixo, determine a medida b do lado AC.

120

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

QUADRILÁTEROS INSCRITÍVEIS 154) Na figura abaixo determine a medida do ângulo α sabendo que ABC é um triângulo retângulo em A, AM é bissetriz interna do ângulo do vértice A e MN é perpendicular à hipotenusa.

155) Mostre que um trapézio é inscritível em uma circunferência se, e somente se, ele é isósceles.

156) Prove que todo paralelogramo inscritível em uma circunferência é uma circunferência é um retângulo.

157) Na figura, o ponto C divide o arco ACB ao meio. Mostre que o quadrilátero DEFG é inscritível em uma circunferência.

124

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

164) Quatro circunferências de mesmo raio possuem um ponto O em comum, conforme ilustra a figura abaixo:

Sabendo de os segmentos AB, BC, CD e DA são tangentes a cada duas circunferências (conforme a figura acima), mostre que o quadrilátero ABCD é cíclico (inscritível).

165) Um quadrilátero convexo ABCD é formado pela justaposição de cinco quadriláteros convexos menores conforme ilustra a figura abaixo:

Mostre que, se os cinco quadriláteros menores são cíclicos, isto é, cada um deles pode ser inscrito num círculo, então o quadrilátero ABCD também é cíclico.

Capítulo 2 – Questões

125

166) Um quadrilátero ABCD é dito bicêntrico quando este é inscritível e circunscritível. Prove que a área máxima de um quadrilátero bicêntrico com perímetro fixo ocorre quando as duas circunferências são concêntricas.

167) Sejam ABC um triângulo e M o ponto médio do lado BC. Se D, E são os pés das alturas relativas aos lados AC, AB, respectivamente, prove que o quadrilátero BCDE é cíclico e que M é o centro a circunferência circunscrita a esse quadrilátero.

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 168) Considere um triângulo ABC e pontos X, Y e Z nos lados BC, AC e AB, respectivamente tais que A, B, C, X, Y e Z são todos distintos entre si. Mostre que as circunferências circunscritas aos triângulos AYZ, BZX e CXY têm um ponto M em comum (esse ponto é chamado de ponto de Miquel do triângulo ABC).

Capítulo 2 – Questões

127

172) No interior de um polígono regular de n lados de comprimento L, estão situados n círculos, todos de raio r,cada um tangente a dois círculos vizinhos e a dois lados consecutivos do polígono, Calcule, em função de L e e de n, o valor de r 173) (CRUX-MATHEMATICORUM) No interior de um círculo de raio R são construídos dois círculos menores de raios a e b, conforme ilustra a figura abaixo:

Se os dois círculos menores são tangentes ao círculo maior nos pontos P e Q e os dois círculos menores intersectem-se nos pontos S e T e além disso os pontos P, S e Q são colineares, mostre que R = a + b.

174) Seja M o centro da semicircunferência abaixo, determine  .

130

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

182) Na figura abaixo, estão desenhados dois círculos de raios 8cm e 6cm, cujos centros estão situados a uma distância 12 cm um do outro. Por P, um dos pontos de interseção dos círculos, passa um segmento de reta QR tal que as cordas QP e PR possuem o mesmo comprimento. Ache o quadrado do comprimento de QP.

183) Mostre, na figura abaixo, que GE = HF.

134

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

190) (OMRN) Uma formiga tem de caminhar do ponto A ao ponto B, veja figura a seguir.

Existem duas possibilidades: caminhar a partir de A ao longo do semi-círculo C ou ir ao longo dos semi-círculos desenhados no diâmetro, AB, do círculo maior.

Sabendo que o comprimento de uma circunferência é proporcional ao seu raio, qual é o caminho que a formiga deve escolher, se ela pretende percorrer o menor percurso?

191) (OMRN) Na figura abaixo os dois círculos com centros P e Q são tangentes externamente no ponto A.

Sabendo que o segmento BC é tangente a ambos os círculos. Determine a medida do ângulo

BAC

138

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

199) (OMRN)Na figura abaixo, suponha que todas os segmentos verticais são paralelas, que todas os segmentos horizontais são igualmente espaçados e que todos os ângulos são retos. Nessas condições, que fração da figura toda representa a parte hachurada?

200) (OMRN)Na figura abaixo, todas as medidas mostradas são em centímetros.

Qual é a área da região hachurada?

201) (UFPE)O retângulo ABCD ilustrado a seguir está dividido em seis quadrados e tem perímetro 21. Qual a medida da sua área?

Capítulo 2 – Questões

141

207) Na figura abaixo temos um quadrado dois semi-círculos e um quarto de círculo. Determine a razão

a , entre as medidas das áreas hachuradas. b

208) Na figura abaixo a medida da área do quadrado maior é 1.

Sabendo que o quadrado maior foi subdividido em quadrados menores, qual é a medida da área do quadrado pequeno hachurado?

144

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

213) No quadrado ABCD da figura abaixo foram traçados quadro arcos de círculo com centro nos vértices do quadrado e cujo raio coincide com o lado a do quadrado ABCD. Determine a medida da área da região hachurada.

214) Seja ABC um triângulo tal que os lados BC e AC medem respectivamente a e b. Sabendo que a área deste triângulo é dada por

1 2 a  b2 , calcule a 4





medida do ângulo ACB. 215. Prove a desigualdade de Weintzenbock: Num triângulo ABC,

 ABC 

3 2 a  b2  c 2 12





Ocorrendo a igualdade se, e somente se o triângulo for equilátero.

216) São dados no plano dois quadrados de lado 1 tais que o centro de um deles coincide com um vértice do outro. Determine os valores possíveis para a área da porção comum aos dois quadrados.

Capítulo 2 – Questões

149

233) (CRUX-MATHEMATICORUM) Os segmentos DE, CE, BF e CF dividem o retângulo ABC em regiões menores conforme ilustra a figura ao lado. Quatro destas regiões, dois triângulos e dois quadriláteros estão hachuradas na figura ao lado. As áreas destas quatro regiões hachuradas são 9, 35, 6 e x.

Determine o valor de x.

234) (OBM) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas indicadas na figura.

Então qual a razão a/b?

b a

Capítulo 2 – Questões

165

269) O triângulo ABC da figura a seguir tem área igual a 1. Cada um de seus lados foi dividido em três partes iguais. Calcule a área do triângulo sombreado.

270) (OMPLP-2012) Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência de centro O. Sabe-se que as diagonais AC e BD são perpendiculares. Sobre cada um dos lados do quadrilátero ABCD construímos semicírculos, externamente, como mostra a figura.

a)

Mostre que os triângulos AOB e COD têm a mesma área.

b)

Se AC = 8 cm e BD = 6 cm, determine a área da região sombreada.

180

Tópicos de Matemática – Olimpíadas – IME – ITA

TRIÂNGULOS 01) Considerando todos os triângulos de perímetro 15, mostre que em nenhum deles pode haver um cujo lado mede 8.

Resolução: De fato, suponha por absurdo que existisse um triângulo ABC cujas medidas dos lados fossem a, b e c  8 e que o seu perímetro fosse 15. Neste caso teríamos, a  b  8  15  a  b  7 . Mas, pelo teorema da desigualdade triangular, o comprimento de cada lado em um triângulo tem de ser menor que a soma dos comprimentos dos outros dois. Assim, deveríamos ter

8  c  a  b  7 , o que é uma contradição. Portanto não existe um triângulo de perímetro 15 com um dos seus lados medindo 8.

02) Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38cm e 14cm, calcule seu perímetro.

Resolução: Seja x o comprimento (em cm) do terceiro lado do triângulo considerado. Ora, como o triângulo é, por hipótese, isósceles temos duas possibilidades, a saber: 1°caso: x = 38.

Neste caso as medidas dos lados do triângulo, em cm, seriam 38, 38 e 14, o que é plenamente possível, pois 38 < 38 + 14 e 14 < 38 + 38, satisfazendo a desigualdade triangular. Portando, supondo x = 38 o perímetro do triângulo seria 2p = 38 + 38 + 14 = 90.

2°caso: x = 14.

Neste caso as medidas dos lados do triângulo, em cm, seriam 38, 14 e 14, o que não é possível pois 14 + 14 < 38, não obedecendo a desigualdade triangular.

Portanto se as medidas dos lados de um triângulo isósceles, em cm, são 38 e 14 o seu perímetro é de 90cm.

Capítulo 3 – Resoluções

309

78) (OMRN)Um retângulo de ouro é um retângulo de dimensões 1   onde 

5 1 é a conhecida razão auréa. Este tipo de retângulo goza da 2

propriedade de que ele pode ser dividido num quadrado e num retângulo semelhante ao retângulo original. Este processo continua infinitamente conforme ilustra a figura a abaixo:

Diante do exposto, mostre que: 1

1 2



1 4



1 6

 ...  

Resolução: Note que a soma 1 

1 2



1



4

1 6

corresponde a soma de uma

 ...

progressão geométrica infinita de primeiro termo 1 e razão 0  q 

1 2

 1.

Ora, como sabemos a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica infinita com razão q tal que q  1 é S 

1

1 

2



1 

4



1 

6

 ... 

1 1

1



a1 . Assim, 1 q

2 2

 1

2

Mas ocorre que, pelo enunciado o retângulo hachurado da figura do meio é semelhante ao retângulo da figura da esquerda, o que revela que os seus lados são proporcionais, ou seja,  1 1   2    1  2  1   1 

Capítulo 3 – Resoluções

423

158) Os lados BC e AD de um quadrilátero ABCD são paralelos. Um círculo encontra o lado AB em E e o lado CD em F. Prove que o quadrilátero AEFD é cíclico.

Resolução: De fato, como o quadrilátero BCFE é cíclico, segue que BCF  AEF   .

Por outro lado como BC//AD, segue que os ângulos internos dos vértices C e D

do

trapézio

ABCD

são

suplementares,

o

que

revela

que

BCF  ADF  180  BCF  180    . Assim, olhando para o quadrilátero

ADFE os ângulos internos dos vértices D e E são suplementares, pois

ADF   e ADF  180   , o que revela que o quadrilátero ADFE é cíclico, pois como sabemos um quadrilátero é cíclico se, e somente se os seus ângulos opostos são suplementares.

Apêndices

659

APÊNDICE 5 HERON PARA QUADRILÁTEROS...BRAHMAGUPTA! Augusto J. Macêdo e Carlos A. Gomes UFRN - Natal/RN (Publicado na RPM) É bastante conhecida a fórmula de Heron para determinar a pedida da área de um triângulo quando são conhecidas as medidas dos seus lados, abc (ABC)  p  p  a  p  b  p  c  , onde p  é o semi-perímetro.

2 Entretanto é pouco conhecida e divulgada no ensino médio a generalização dessa fórmula para um quadrilátero inscritível (fórmula de Brahmagupta) cujos lados medem a, b, c e d, que é dada pela expressão  ABCD 

p  a  p  b  p  c   p  d .

Ainda menos conhecida e

divulgada é a generalização dessa fórmula para um quadrilátero qualquer (inscritível ou não) cujos lados medem a, b, c e d e sendo também conhecido  , a média aritmética de dois ângulos opostos do quadrilétero

 ABCD  p  a  p  b  p  c   p  d  a  b  c  d  cos2  Esse pequeno artigo foi escrito pelo meu amigo prof. Augusto Macedo há 10 anos e só agora resolvi ressussitá-lo e divulgá-lo para todos os amantes da geometria !

1.

QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL Iniciemos analisando o quadrilátero inscritível abaixo:

ISBN 856065345-7

9 788560 653454