Tópicos de Matemática IME - ITA - OLIMPÍADAS Vol. 1 - Versão ISSUU

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Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo.

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A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais.

Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas. Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das médias. É de tirar o fôlego a cada página ! Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.

Produtos Notáveis, Fatorações e Desigualdades ISBN 856065315-5

9 788560 653157


TÓPICOS DE MATEMÁTICA Olimpíadas – ITA – IME

Volume 01 Produtos Notáveis, Fatorações e Desigualdades

Carlos A. Gomes José Maria Gomes


Os autores Carlos A. Gomes O professor Carlos A. Gomes é Mestre em Matemática pela UFRN, na área de probabilidade, além de vários cursos realizados em várias instituições de ensino superior no Brasil, como UFPE, UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMAT-UFRN, além a sua larga experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas disciplinas de Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CEI, Hipócrates Colégio e Curso, Objetivo vestibulares, Anglo vestibulares, entre outras. É membro da SBM Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos sobre Matemática elementar em publicações especializadas como a RPM e Eureka e nos últimos anos tem se dedicado e se especializado nas olimpíadas de Matemática.

José Maria Gomes O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela UFRN e possui uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino, em Natal/RN, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos últimos tempos têm se dedicado as olimpíadas de Matemática, treinando, orientando alunos e elaborando materiais didáticos para este propósito.


Apresentação Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática em todo o mundo e em particular no Brasil. A SBM – Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 a OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o governo federal lançou a OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso país. Neste contexto é bastante natural que surja a necessidade da elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam de apoio para a preparação dos alunos para estas competições. Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos. Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim, muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas. Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso país. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção “´TÓPICOS DE MATEMÁTICA – OLIMPÍADAS – ITA − IME” que consiste numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados pelos autores. A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno iniciante de outra forma só teria acesso caso consultasse várias fontes relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento num curto intervalo de tempo. Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber: Volume 01 – produtos notáveis, fatorações e desigualdades. Volume 02 – indução matemática e teoria elementar dos números . Volume 03 – geometria e trigometria. Volume 04 – funções, equações funcionais ,sequências e séries. Volume 05 – combinatória e probabilidade. Volume 06 – números complexos, polinômios e equações algébricas.


Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA. Os leitores que quiserem fazer contato com os autores para críticas, sugestões bem para comunicar alguma errata eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email cgomesmat@yahoo.com.br

Carlos A. Gomes. José Maria Gomes.

Natal/RN, 04 de Fevereiro de 2010


Prefácio A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais. Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo. Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas. Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas

aparentemente

terríveis

fazendo

uso

de

ferramentas

elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das médias. É de tirar o fôlego a cada página ! Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.

Prof. Renato Brito Fortaleza, 09 de Fevereiro de 2010


Dedicatória Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho (Paulinho)

Carlos A. Gomes José Maria Gomes


Índice

Capítulo 1. Produtos notáveis e fatoração .......................................................... 13 I ― Resumo teórico ......................................................................... 15 II ― Questões ................................................................................... 15

Capítulo 2. Desigualdades elementares ............................................................. 27 I II

― Resumo teórico ......................................................................... 29 ― Questões ................................................................................... 30

Capítulo 3. Resoluções – Produtos notáveis e fatoração .................................. 41 Capítulo 4. Resoluções – Desigualdades ......................................................... 111 Apêndice – Polinômios simétricos .................................................................. 177 I II III IV

― ― ― ―

Polinômios simétricos .............................................................. 177 Exemplos resolvidos ............................................................... 178 Problemas Propostos .............................................................. 183 Resoluções.............................................................................. 184

Apêndice – Demonstrações − Desigualdades elementares ........................... 194 I II III IV V VI VII

― ― ― ― ― ― ―

Desigualdade de Bernoulli ...................................................... 194 Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica ......... 195 Desigualdade entre as médias harmônica e geométrica ......... 197 Desigualdade entre as médias aritmética e quadrática .......... 198 Um lema poderoso .................................................................. 199 Desigualdade de Cauchy-Schwarz ........................................ 201 Desigualdade de Young .......................................................... 202

Bibliografia ......................................................................................................... 204


Capítulo 1

Produtos notáveis e fatoração


Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME

15

Produtos notáveis e fatoração. Resumo teórico PRODUTOS NOTÁVEIS

(a+b)2 = a2+ 2ab+b2 (a−b)2 = a2−2ab +b2 (a+b+c)2 = a2+b2+c2 + 2(ab+ac +bc) (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a−b)3 = a3−3a2b+3ab2 −b3 FATORAÇÕES USUAIS

a x +a y = a (x + y) a2−b2 = (a +b)  (a −b)

( ) a +b = (a+b) (a −ab+b ) a3−b3 = (a−b) a2+ab+b2 3

3

Se

e

2

2

são

raízes

da x − .

ax2 +bx +c = a.(x −)  (

)

equação

ax2+bx +c = 0 ,

Questões Propostas 01) Fatore: a) x2 – 7yx + 12y2 b) x2 – 3yx – 4x + 12y c) x4 – 20x2 + 4 d) x4 – 4y4 e) x4 + y4 f) xn – yn para n inteiro positivo g) xn + yn para n ímpar positivo 02) Qual o valor das somas

S = 267 455 + 337 733 + 267 545 + 663 733 03) Qual o valor de

1234562 +123456 +123457 ?

então


16

1 - Produtos Notáveis e Fatoração

04) Qual o valor de

20082 −20072 + 20062 −20052 +... +22 −12 ?

05) Qual o valor da expressão

20012 − 1999 2001+ 992 2 ?

06) Determine o valor das expressões abaixo: a) b)

5932 6001−69 5932+ 6001 5931 20042 − 2010  20042 + 4008 − 3  (2005) (2001)  (2003)  (2006)  (2007)

(

)(

)

2903n −803n − 464n + 261n

07) (Eotvõs-1899) Mostre que divisível por 1897. 08)

é sempre

a +b + c = 0 mostre que a3 +b3 +c3 = 3abc. 40113 −20063 −20053 ? Qual o valor de (4011) (2006) (2005)

a) Se b)

09) (AIME) Simplifique

( 5 + 6 + 7)( 5 + 6 − 7)( 5 − 6 + 7)(− 5 + 6 + 7)

10) Mostre que

(

)(

) (

)(

1+ x + x2 + x3 +... + x1023 = (1+ x) 1+ x2 1+ x4 ... 1+ x256 1+ x512

)

11) (AIME-87) Calcule

(10 +324)(22 +324)(34 +324)(46 +324) (58 +324) (4 +324)(16 +324)(28 +324)(40 +324)(52 +324) 4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

12) Fatore:

3a2 −2ab −b2 b) a2 − 6a −b2 + 2b + 8 Se x + y + xy = 34 , determine o valor de x + y sabendo que x e y são a)

13)

inteiros positivos.


Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME

14) Dado que

17

4x − y = 2 4x + y , determine o valor de . 4x + 2y 5 4x − 2y

15) Fatore e simplifique, o quanto possível, a expressão

6a3 +18a2 −24a−72 . 9a2 +9a−54 16) Se

1 + 1 = 10 e x + y = 2, determine o valor de xy. x y

17) Se x + y = xy = 3, determine o valor de

x3 + y3.

18) Se

a +b = 1 e a2 +b2 = 2 , determine o valor de a3 + b3 .

19) Se

2  x + 1 = 3 , determine x3 + 1 .  x  x3

20) Determine

a6 + 16 , sabendo que a2 + 12 = 4. a a

21) Se x > 0 e

x + 1 = 5 , calcule x5 + 15 . x x

22) Se

1 x + 1 = 3 , determine x − . x x

23) Determine

x2 + y2 com x, y R e xy + x + y = 71 e x2y + xy2 = 880.

24) Determine o valor de

x2 + y2 , sabendo que xy = 6 e que

25) Sejam x e y números Determine o valor de

x2y + xy2 + x + y = 63.  x3 =13x +3y , reais tais que  y3 = 3x +13y 

(x − y ) . 2

2 2

com

xy.


18

1 - Produtos Notáveis e Fatoração

26) Determine a soma de todos os números reais x e y tais que

(1−x)2 +(x −y)2 + y2 = 31 . 27) Se a e b são números reais tais que que

a +b ab

1 a  b  9 , qual o menor valor

pode assumir?

28) a) Determine x, y e z tais que b) Determine x e y tais que

(x −1)2 +(y −2)2 +(z −3)2 = 0.

x2+ y2−2x − 4y +5 = 0.

29) Resolva, no universo dos números reais, a equação

(x −3)3 +(x −7)3 = (2x −10)3

30) Em R, resolva a equação 31) Se

x2+ x −18 = 0 .

ab = a −b , determine o valor da expressão a + b −ab . b a

2 1+ 12 + 12 + 12 +... + 12 +... =  . Acreditando 6 2 3 4 n 1 1 1 1 +... nisto calcule o valor da soma S =1+ 2 + 2 + 2 +... + 3 5 7 (2n−1)2

32) Demonstra-se que

33) Determine n  N tal que 211 +28 +2n seja um quadrado perfeito. 34) Se

a3 −b3 = 24 e a −b = 2, determine (a + b)2 .

35) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação x3 −8 = 0 . 36) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação x3 + x2 + x +1= 0 .


Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME

19

37) Calcule

2− 8

1 2−

Expressando a sua resposta

1 2−

1

2− 1 2−... a +b c na forma , d

com a, b, c e d

inteiros positivos. 38) Verifique que

a2 +b2 +c2 = ab+ac +bc  a = b = c

39) (AIME) Resolva o sistema

2a + b + c + d+ e = 6  a + 2b + c + d+ e = 12   a + b + 2c + d+ e = 24  a + b + c + 2d+ e = 48   a + b + c + d+ 2e = 96

40) (Torneio das cidades) Calcule:

1 2+

+

1 3+

1 4+

1+

1 ... + 1 2005

41) Determine a e b naturais tais que

1+

1 1 1 3+

1 4+

1 ... + 1 2005

22a −32b = 55 .

a +b = 6 , encontre o valor de a32 −b32 +12b a2 +b2 a4 +b4 a8 +b8 a16 +b16

42) Sabendo que

(

)(

)(

)(

)

43) Se a e b são inteiro consecutivos, mostre que a2 + b2 + (ab)2 é um quadrado perfeito. 44) Qual o maior valor de n, n  N para que n +10 .

n3 +100

seja divisível por


20

1 - Produtos Notáveis e Fatoração

45) Calcule o valor de

A = (1000000)  (1000001)  (1000002)  (1000003) +1.

a2 + 2b = 7 , b2 + 4c = −7 a2 +b2 + c2.

46) Se a, b e c são números reais tais que

c + 6a = −14 . Determine o valor de 2

x + y + xy =10

47) Se x e y são números reais tais que Determine o valor de x + y.

e

e

x2 + y2 = 40.

48) I. Qual das frações abaixo é a maior? a) c)

25038876541 . . . 25038876543 . . . 25038876545 . . . 25038876547 . . .

b) d)

25038876543 . . . 25038876545 . . . 25038876547 . . . 25038876549 . . .

II. Qual das frações abaixo é a menor? a) c)

250386765412 . . . 250384765412 . . . 250384765412 . . . 250383765412 . . .

b) d)

250386765412 . . . 250385765412 . . . 250385765412 . . . 250384765412 . . .

49) Simplifique: a) b)

50) Se

1 1 1 + + a − b a − c b − a b − c c − a ( )( ) ( )( ) ( )(c −b) a3 b3 c3 + + (a−b)(a−c) (b−a)(b−c) (c −a)(c −b) 0 a b

e

a2 +b2 = 6ab, determine o valor de a +b . a −b

51) Simplifique a expressão

A = 4+ 43 2 + 3 4 + 4−43 2 + 3 4 .

52) (OBM) Se  é uma das raízes da equação valor de

5 −5 .

x2+ x −1= 0 , determine o


Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME

53) a) Se

21

3a+3b+2c =3a+3c +2b=3b+3c +2a =0 , mostre que:

(a+b+c)3 = a3 +b3 +c3

b) Mostre que

(a+b+c)3 −a3 −b3 −c3 = 3(a+b)(a +c)(b +c)

54) a) Efetue o produto

(x +1) (x2+1) (x4+1) (x8+1) (x16+1) (x32+1) (x64+1)

b) Racionalize

(

)(

1

)(

)(

)(

) ( 2 +1)

64 2 +1  32 2 +1  16 2 +1  8 2 +1  4 2 +1 

55) Sejam x, y e z números reais tais que x + y + z = 0 e x + y, x + z, y + z ≠ 0, calcule o valor da expressão

x3 + y3 + z3 . (y + z)3 (x + z)3 (x + y)3

56) Resolva o sistema de equações

x + 3x − y = 3  x2 + y2   x + 3y y − =0  x2 + y2 57) Encontre todos os pares de inteiros x e y tais que

58) Fatore a expressão

(

x3 + y3 = (x + y)2 .

)

30 a2 +b2 +c2 +d2 +68ab−75ac −156ad−61bc −100bd+87cd . 59) Sejam x, y e z números complexos tais que

x + y + z = 3 e xyz = 4 . Calcule o valor de S= 1 + 1 + 1 . xy + z −1 yz + x −1 zx + y −1 2

2

2

x + y + z = 2,


22

1 - Produtos Notáveis e Fatoração

60) Resolva o sistema

x + y + z = 3 2 2 2 x + y + z = 3 x3 + y3 + z3 = 3 

61) Se a, b, c e d são números reais mostre que

(a +b )(c +d ) = (ac +bd) +(ad−bc) 2

2

2

2

2

62) Se ,  e  são as raízes da equação valor de 3 +3 +3 .

2

x3 +5x +8 = 0

determine o

63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que

a+b+c + d+ e = 8  2 2 2 2 2  a +b +c + d + e =16 Determine o valor mínimo de e.

x1, x2, ..., xn números inteiros tais que −1 xii  2, i = 1, 2, 3, ..., n, x1+ x2+... + xn =19 e x12+ x22+... + xn2 = 99. Sendo m e M os valores máximo e mínimo da expressão x13+ x23+... + xn3 , determine M o valor de . m

64) Sejam

65) Se x, y e z são números reais tais que

x + y + z = 1,

mostre que

x2 + y2 + z2  1 . 3 66) Resolva a equação

(x −5)(x −7)(x +6)(x +4) = 504.

67) Determine os racionais a, b e c tais que 3 3 2 −1 = 3 a + 3 b + 3 c . 68) Qual o valor numérico da expressão abaixo para

x  −3?

A = 9 − 6x + x2 + 9 + 6x + x2 69) Encontre todos os números reais x tais que

2x +3x − 4x + 6x −9x =1.


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29

Desigualdades elementares Resumo teórico Desigualdades das médias. Sejam x1, x2, ... xn números reais positivos, definimos:

MQ =

MA =

x12 +x22 +... + xn2 n

x1 + x2 +... + xn n

MG = n x1x2 ... xn

MH=

n 1 + 1 + ... + 1 x1 x2 xN

(MQ = Média Quadrática)

(MA = Média Aritmética) (MG = Média Geométrica)

(MH = Média Harmônica)

No capítulo 6 (Apêndice), demonstraremos que MH MG MA  MQ, onde a igualdade ocorre se, e somente se x1 = x2 = ... = xn .

Consequência da desigualdade

MG  MA

i. Se o produto de n números positivos for constante, a soma será mínima se todos os números forem iguais. ii. Se a soma de n números for constante, o produto será máximo quando todos forem iguais.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz Sejam x1, x2, ..., xn , y1, y2, ... yn números reais, então

(x1y1 + x2y2 +... + xnyn )2  (x12 + x22 +... + xn2 )(y12 + y22 +... + yn2 )

valendo a igualdade se, somente se,

x1 x2 x = = ... = n . y1 y2 yn


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31

07) Se x, y e z são números positivos. Qual o valor mínimo de

(x + y + z) 1x + 1y + 1z ? 

08) Qual o menor valor de xy + 2xz + 3yz para valores positivos de x, y e z tais que xyz = 48? 09) Se a, b e c são inteiros positivos que satisfazem a condição

a + b + c = 3 prove que abc é um cubo de um inteiro. b c a 10) Sejam x, y, z números reais tais que x ∙ y ∙ z = 32. Qual o menor valor da expressão x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 ?

11) Prove que

a2 + 3  2 . a2 + 2

12) (Baltic-way) Prove que se a, b ,c e d são números reais positivos, então temos:

a+c + b+d + c +a + d+b  4 a + b b + c c + d d+ a

13) Qual o valor mínimo de

f (x,y) = 12 + 18 + xy ? x y

14) Se x e y são positivos e x > y. Qual o menor valor de

f(x,y) = x +

8 y(x − y)

15) Encontre o menor valor da função definida pela lei

f(x,y,z) = x + 2y + 4z +12 y z x onde x, y e z são números reais positivos. 16) Encontre o valor mínimo da função definida pela lei

f(x,y) = 50 + 20 + xy x y onde x e y são reais positivos.


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35

48) (Novo México) Encontre o termo mínimo da sequência

7 + 96, 6 7

8 + 96, 6 8

9 + 96, ... , 95 + 96 6 9 6 95

49) Prove que a, b e c são números reais positivos então

(a2 +1) (b2 +1) (c2 +1)  8abc

50) Prove que para todo triângulo acutângulo onde  é um dos ângulos. Vale a relação tg+ cotg 2. 51) (IMO-95) Se a, b e c são números reais positivos e a ∙ b ∙ c = 1 prove que

1 + 1 + 1 3 . a (b + c) b3(c + a) c3(a +b) 2 3

52) Prove que se a + b = 1, onde a e b são números positivos 2 2 a + 1 + b + 1  25  a  b 2

53) Resolva o sistema:

 2 x + x = 2y  y + 2 = 2z  y  z + 2 = 2x  z

3 6 a  0, então a +b  3ab2 − 4 . 2 2 2 2 Demonstrar que x + y + z 12 se x + y + z = 6 .

54) Prove que se 55)

56) O volume de um paralelepípedo e 216cm3 e sua área total é 216cm2. Prove que o paralelepípedo é cubo. 57) Mostre que todo valor arbitrário a, b, c e d  R+ temos:

(a2 +a+1)(b2 +b+1) (c2 +c +1) (d2 + d+1)  81a b c d

58) Mostre que para todo a, b e c  + vale a desigualdade:

1 + 1 + 1  9 1+a 1+b 1+c 3+a+b+c


38

2 - Desigualdades elementares

81) Se x e y são números reais tais que Prove que 82) Sejam

xy  1.

x  1− y2 + y  1− y2 =1.

x2 + y2 =1.

x0

e

y0

números reais tais que x + y = 2 mostre que

83) (AMC-modificado) Se a, m e c são inteiros não negativos tais que a + m + c = 12. Qual o máximo valor de amc + am + mc + ca? 84) Prove que se

b a  0, b  0 e x  0, então ax +  2 ab. x

85) Se x + y = 4, determine

máx(mínx,y).

86) Prove que para todo a ≥ 0 e b ≥ 0

a3 + 2b3  3ab2

3  x  5. Prove que 2 2 x +1+ 2x −3 + 15−3x  2 19

87) (Olimpíada Chinesa-2003) Se

88) Se a, b, c e d são números reais positivos, mostre que

ab + cd  (a + d)(b +c)

89) Supondo que o polinômio

p(x) = x100 − 600x99 +a98x98 +... +a1x +a0

possua 100 raízes reais e que p(7) > 1, mostre que p possui pelo menos uma raiz maior do que 7. 90) Mostre que a raiz positiva da equação

x(x +1)(x +2)(x +3) ... (x +2009) =1 é menor do que

1 . 2009!

91) (Ibero) Determine , ,  e  sabendo que são as raízes da equação

4x4 −ax3 +bx2 −cx +5 = 0 e que  +  +  +  =1. 2 4 5 8


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43

RESOLUÇÕES Produtos notáveis e fatoração 01) Fatore: a) x2 – 7yx + 12y2 Resolução 1:

x2 −7xy +12y2 = x2 −3xy − 4xy +12y2 = = x(x −3y) − 4y(x −3y) = = (x −3y)(x − 4y) Resolução 2: Uma outra saída é enxergar a expressão como um trinômio do 2º grau na variável x (ou y). Assim,

x2 −7xy +12y2  = (−7y)2 − 4112y2 = 49y2 − 48y2 = y2   = y Assim os zeros do trinômio do segundo grau seriam

7y  y 4y = . 2 3y

Como todo trinômio do 2º grau ax2 +bx + c pode ser escrito na forma a x −r1 x −r2 , onde r1 e r2 são seus zeros, segue que

(

2

x

)(

)

−7xy +12y2 pode ser escrito na forma

(x −4y)(x −3y) .

b) x2 – 3yx – 4x + 12y Resolução:

x2 −3xy − 4x +12y = x(x − 4) −3y(x − 4) = (x − 4)(x −3y) c) x4 – 20x2 + 4 Resolução:

( )

2

x4 −20x2 + 4 = x2 − 4x2 + 4−16x2 =

(

)

(

)(

)

= x2 −2 −(4x)2 = x2 − 4x −2 x2 + 4x −2 2


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09) (AIME) Simplifique

( 5+

)( 5 +

6+ 7

)( 5 −

6− 7

51

)(

)

6+ 7 − 5+ 6+ 7

Resolução: Note que

( 5+

)( 5 +

6+ 7

E que

(− 5 +

) (

) ( )

2 2 6 − 7 =  5 + 6 − 7  = 4 + 2 30  

=  7 + 6 −

)( 5 − 6 + 7) = 2 2   5)  7 −( 6 − 5) = ( 7) −( 6 − 5) 

(− 5 +

)( 5 −

6+ 7

(

6+ 7

) ( ) (

)

2 2 6 + 7 =  7 − 6 − 5  =−4 + 2 30  

Assim,

( 5 + 6 + 7)( 5 + 6 − 7)( 5 − 6 + 7)(− 5 + = (2 30 +4)(2 30 −4) =120−16 =104

10) Mostre que

(

)(

)

6+ 7 =

) (

)(

1+ x + x2 + x3 +... + x1023 = (1+ x) 1+ x2 1+ x4 ... 1+ x256 1+ x512

Resolução:

S =1+ x + x2 + x3 +... + x1023 xS = x + x2 + x3 + x4 +... + x1024 Assim,

S− xS = 1+ x + x2 + x3 +... + x1023 − x + x2 + x3 + x4 +... + x1024 = 1− x1024

(

)(

)

S(1− x) =1− x1024 S = 1− x 1− x

1024

Ou seja,

)


Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME

83

59) Sejam x, y e z números complexos tais que x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 3 e xyz = 4. Calcule o valor de

S=

1 + 1 + 1 . xy + z −1 yz + x −1 zx + y −1

Resolução: Note que x + y + z = 2  z – 1 = 1 – x – y

xy + z −1= xy +1− x − y = (x −1)(y −1) Analogamente é fácil concluir que

yz + x −1= (y −1)(z −1)

zx + y −1= (z −1)(x −1) Assim,

S=

S=

1 + 1 + 1 xy + z −1 yz + x −1 zx + y −1

1 1 1 + + = x + y + z −3 x − 1 y − 1 y − 1 z − 1 z − 1 x − 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) (x −1)(y −1)(z −1)

Como x + y + z = 2 segue que

S=

x + y + z −3 = −1 x − 1 y − 1 z − 1 x − 1 y ( )( )( ) ( )( −1)(z −1)

S=

−1 −1 = (x −1)(y −1)(z −1) xyz −(xy + xz + yz) +(x + y + z) −1

S=

−1 −1 = xyz −(xy + xz + yz) +(x + y + z) −1 5 −(xy + xz + yz)

Por outro lado,

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) 22 = 3 + 2(xy + xz + yz)  xy + xz + yz = 1 2 Finalmente,


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113

RESOLUÇÕES Desigualdades elementares

01) Se x  R e x > 0, prove que

x + 1  2. x

Resolução: Aplicando a desigualdade MA MG obtemos:

x+ 1 x  x 1  x + 1  2 2 x x 02) Para todos os valores as variáveis x, y, z e w, reais positivas. Qual é o menor valor da expressão

f (x, y, z, w) = x + y + z + w ? y z w x

Resolução: Aplicando a desigualdade MA MG temos:

x+y+ z +w y z w x  4 x y z  w  x + y + z + w  4 4 y z w x y z w x Assim o valor mínimo assumido pela expressão é 4. 03) Para x > 0 qual o valor mínimo de

y = x2 + 1. x

Resolução: Inicialmente vamos reescrever a expressão de tal modo que possamos cancelar a variável x.

y = x2 + 1  y = x2 + 1 + 1 x 2x 2x Agora, finalmente podemos aplicar desigualdade MA MG:


130

4 - Resoluções - Desigualdades elementares

30) Se a, b, x e y são números reais não negativos e a5 + b5 1 e x5 + y5 1 prove que a2x3 + b2y3 1. Resolução: Basta observar que:

a2x3 = 5 a5  a5  x5  x5  x5 e b2  y3 = 5 b5  b5  y5  y5  y5 Aplicando MA MG temos:

a5 +a5 + x5 + x5 + x5  55 a10  x15 2a5 +3x5  5a2x3 (i)

b5 +b5 + y5 + y5 + y5  55 b10  y15 2b5 +3y5  5b2y3 (ii) Adicionando (i) e (ii) temos:

(

) (

) (

)

(

2 a5 +b5 +3 x5 + y5  5 a2x3 + b2y3 21+31 5 a2x3 + b2y3

)

Portanto, a2x3 + b2y3 1. 31) Se a e b são positivos prove que

(

)

8 a4 +b4  (a +b)4 .

Resolução: Usando o poderoso lema se x, a, b e y são números reais e x > 0 e y > 0, então:

(a+b)2  a2 + b2 x+y

x

y

Segue imediatamente que: 4

4

a4 +b4 = a + b  1 1 4 (a+b)  8 a4 +b4

(

( )

a2 +b2 2

)

 a +b   (a +b)4  2  =  2 8 2

32) Encontre o maior valor de x2y se x e y são números reais positivos satisfazendo a equação 6x + 5y = 45. Resolução: Reescrevendo a expressão 6x + 5y = 45 temos: 6x + 5y = 45  3x + 3x + 5 = 45


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143

47) (Rússia-02) Se x, y e z são números reais positivos cuja soma vale 3. Prove: x + y + z  xy + yz + zx. Resolução: Multiplicando a desigualdade por 2 e adicionando x2 + y2 + z2 a inequação original temos:

x2 +2 x + y2 +2 y + z2 +2 z  x2 + y2 + z2 +2xy +2yz +2yz Lembrando que x + y + z = 3, temos:

x2 +2 x + y2 +2 y + z2 +2 z  (x + y + z)2  (x2 + 2 x) +(y2 +2 y) +(z2 +2 z)  9 Aplicando MA MG temos:

x2 + 2 x = +x2 + x + x  33 x2  x  x = 3x

y + 2 y =+y + y + y  2

2

33 y2 

y  y = 3y

(i)

(ii)

z2 + 2 z =+z2 + z + z  33 z2  z  z = 3z (iii) Adicionando (i), (ii) e (iii)

x2 + y2 + z2 +2( x + y + z)  3(x + y + z)  9 Está demonstrado!

48) (Novo México) Encontre o termo mínimo da sequência

7 + 96, 6 7

8 + 96, 6 8

9 + 96, ... , 95 + 96 6 9 6 95

Resolução: Aplicando MA MG temos:

n + 96  2 6 n Portanto a igualdade ocorre quando:

n 96 = 4 6 n


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