UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA Facultad de Ingeniería En Sistemas de Información y Ciencias de la Computación.
Algebra Lineal Ing. Noé Castillo Lemus
Texto Paralelo
Vanessa Zenayda Meda Betancourth 7490-21-11129
31 de octubre de 2021
Tabla de contenido INTRODUCCION............................................................................................................................ iii SEMANA 1 .......................................................................................................................................1 Teoría de Conjuntos ....................................................................................................................1 SEMANA 2 .......................................................................................................................................5 Estructuras Algebraicas ..............................................................................................................5 SEMANA 3 ..........................................................................................................................................9 Matrices ........................................................................................................................................9 SEMANA 4 .....................................................................................................................................13 Determinantes de matrices de 2*2 ..........................................................................................13 Determinantes de matrices 3*3 ...............................................................................................14 Matriz Inversa.............................................................................................................................15 SEMANA 5 .....................................................................................................................................16 Métodos de Resolución de Ecuaciones .................................................................................16 Método de sustitución ...............................................................................................................16 Método de reducción.................................................................................................................17 Método de igualación ................................................................................................................18 Ecuaciones Con 2 Incógnitas ..................................................................................................18 SEMANA 6 .....................................................................................................................................20 Ecuaciones de dos incógnitas utilizando Geogebra .............................................................20 Ecuaciones con 3 incógnitas ...................................................................................................22 Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 ......................................22 SEMANA 7 ........................................................................................................................................26 Definición de espacios vectoriales ..........................................................................................26 Definición de Operaciones en un espacio vectorial ..............................................................26 Suma resta y producto de vectores ........................................................................................26 SEMANA 8 .....................................................................................................................................28 Producto de vectores ................................................................................................................28 Magnitud de Vectores ...............................................................................................................29 Introducción Espacio R2 ...........................................................................................................29 SEMANA 9 .....................................................................................................................................33 i
Angulo entre dos vectores........................................................................................................33 Producto escalar y proyecciones en R2 .................................................................................33 Calculo del ángulo entre dos vectores y vectores paralelos ...............................................34 SEMANA 10 ...................................................................................................................................38 Definición de espacio R3 ..........................................................................................................38 SEMANA 11 ...................................................................................................................................42 Producto escalar y proyecciones en R3 .................................................................................42 Aplicaciones del producto cruz ................................................................................................43 Calculo del área de un paralelogramo en R3 ........................................................................43 SEMANA 12 ...................................................................................................................................45 Base ............................................................................................................................................45 Coordenadas ..............................................................................................................................45 Dependencia e independencia lineal ......................................................................................46 SEMANA 13 ...................................................................................................................................50 Dimensión de vectores por componentes ..............................................................................50 COMENTARIO................................................................................................................................ iv CONCLUSIONES ............................................................................................................................ v RECOMENDACIONES.................................................................................................................. vi ANEXO ........................................................................................................................................... vii GLOSARIO..................................................................................................................................... vii BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................. viii EGRAFIA ......................................................................................................................................... ix
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INTRODUCCION
Se presentan temas interesante y de gran interés dentro del tema de algebra lineal la cual es una rama de la matemática que estudia los vectores, matrices, y en su aspecto más formal el espacio vectorial y sus transformaciones lineales. Por ello es de gran interés que aprendamos todos los temas propuestos en este texto paralelo. De igual forma el álgebra nos ayuda a desarrollar habilidades de razonamiento abstracto necesarias para poder sobresalir en las matemáticas y en la ciencia en general.
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SEMANA 1 Teoría de Conjuntos Es una rama de las matemáticas (y de la lógica) que se dedica a estudiar las características de los conjuntos y las operaciones que pueden efectuarse entre ellos. La palabra conjunto nos da la idea de agrupación de objetos homogéneos de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes que pertenecen a la agrupación se les llaman ELEMENTOS del conjunto. Los conjuntos se pueden determinar de la siguiente manera:
Por comprensión o forma constructiva. Por extensión o de forma tabular.
De igual forma existen clases de conjuntos los cuales son los siguientes:
Conjunto Unitario
Conjunto Vacío
Conjunto Finito
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Conjunto Infinito
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Diferencia simétrica: La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.
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SEMANA 2 Estructuras Algebraicas Existen dos tipos de operaciones: a) Operación Interna: llamamos operación interna en un conjunto A, a la operación que hace corresponder a cada par de elementos de AxA con un único elemento de A. b) Operación externa: llamamos operación externa en un conjunto A sobre otro conjunto K, a la operación que hace corresponder a todo par de elementos (a,k) de AxK un único elemento de A. Las Estructuras Algebraicas las podemos clasificar:
Semigrupo: A es un semigrupo, si (A,*) cumple la propiedad asociativa: si para todo a,b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b)*c=a*(b*c).
Monoide: Si (A,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por e: a*e=e*a=a.
Grupo: G es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.
Grupo conmutativo o abeliano: Si (G,*) es un grupo que cumple además la propiedad conmutativa.
Semianillo: Si (A,*,°) es un semianillo si se cumple que: 1) (A,*) es un monoide, es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro. 2) (A, °) es un semigrupo. 3) Se cumple la distributividad de ° respecto de *:a°(b*c)=(a°b)*(a°c).
Semianillo conmutativo: Si (A,*, °) es un semianillo y (A,°) es un semigrupo conmutativo. Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *,°) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.
Anillo: Si (A,*, °) es un semianillo y (A,°) es un semigrupo conmutativo. Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *,°) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.
Cuerpo: Llamamos cuerpo a la terna (K,*, °) que cumple: 1) (K,*, °) es un anillo 2) (K-{0},°) es un grupo. 5
Si además (K-{0},°) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (K, *, °) es un cuerpo conmutativo.
Espacio Vectorial: Diremos que (V,*v,●k) es un espacio vectorial si cumple 1) Si (K, *, ●) es un cuerpo. 2) (V, *) es un grupo conmutativo. 3) Se cumple la propiedad distributiva de ● sobre * por ambos lados. 4) Se cumple la propiedad pseudoasociativa: a●(b*c)=(a●b)●c 5) Existe elemento unidad.
Ejemplo de las propiedades algebraicas de un semigrupo:
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SEMANA 3 Matrices Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Son tablas con m filas y n columnas de números reales ordenados ( m,n pertenece N).
Matrices cuadradas: Tiene el mismo número de columnas que de filas, los elementos de la forma a constituyen la diagonal principal, la diagonal segundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matrices diagonales: Todo los elementos situados por encima y debajo de la diagonal principal son nulos.
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Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal tienen el mismo valor.
Matriz unidad o matriz identidad: Es una matriz cuadrada que tiene solamente 1s en la diagonal principal y 0s por todas partes.
Matriz columna: Es aquella matriz que está formada únicamente por una columna.
Tipos de ejercicios que se pueden hacer con matrices: Suma: Para poder sumar las matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3×2 y otra de 3×3, no se pueden sumar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la
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resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Resta: La resta de matrices es una operación lineal que consiste en sustraer los elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden. Multiplicación: Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
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SEMANA 4 Determinantes de matrices de 2*2 El determinante de una matriz siempre es igual al de su matriz traspuesta. El determinante del producto de dos matrices será siempre el mismo que el resultado del producto de sus determinantes. Este cambia de signo si se intercambian dos filas o columnas cualesquiera de una matriz.
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El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. En otras palabras, el determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por arriba en lado izquierdo de la X (diagonal principal). Después dibujamos la diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la X (diagonal secundaria). Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el mismo número de filas (m) y de columnas (n). Por tanto, m=n. La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Existen otras maneras más complejas para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor de 2×2. Estas formas se conocen como la regla de Laplace y la regla de Sarrus.
Determinantes de matrices 3*3 La regla de Sarrus dice que para calcular un determinante de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos.
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Matriz Inversa
Las matrices con inversa se denominan regulares o invertibles. En caso contrario, se denominan singulares. La invisibilidad de las matrices es un concepto clave en el álgebra matricial debido a sus múltiples aplicaciones. Como curiosidad, si una matriz es rectangular (distinto número de filas y de columnas), puede tener matrices inversas por uno u otro lado.
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SEMANA 5 Métodos de Resolución de Ecuaciones Existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, el de reducción y el de igualación. El objetivo de cualquiera de estos métodos es reducir el sistema a una ecuación de primer grado con una incógnita. La solución siempre será la misma, independientemente del método elegido.
Método de sustitución Este método despeja una de las dos incógnitas en función de la otra en una de las dos ecuaciones. Luego sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.
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Método de reducción Con este método se trata de eliminar una incógnita buscando sistemas equivalentes en donde los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos.
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Método de igualación En este método hay que despejar la incógnita x o y en las dos ecuaciones. Luego se igualan sus valores, obteniendo una ecuación lineal con una sola incógnita.
Ecuaciones Con 2 Incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y <x> e <y> son la incógnitas. Una solución es todo par de números que cumple la ecuación. Si una ecuación tiene dos o más variables o incógnitas, no es posible resolverla completamente. Lo que si puedes hacer es resolver la ecuación para solo una variable. El proceso consiste en simplificar todo lo que sea posible y dejar la incógnita que estas resolviendo a un lado de la ecuación y el resto, al otro lado.
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SEMANA 6 Ecuaciones de dos incógnitas utilizando Geogebra Como es de esperar, el método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema. Como vamos a trabajar con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x e y), la gráfica de cada ecuación es una recta. Como consecuencia, la intersección de las gráficas es un único punto (a, b) y la solución del sistema es 20
x = a e y = b. No obstante, si las rectas son paralelas (no se cortan), el sistema no tiene solución, y si son iguales hay infinitas soluciones. Para poder aplicar el método gráfico debemos saber representar las gráficas de las rectas.
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Ecuaciones con 3 incógnitas Una ecuación lineal con 3 incógnitas representa un plano en el espacio. Por lo tanto, un sistema con 3 ecuaciones con 3 incógnitas cada una de ellas representa 3 planos en el espacio. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 1. 2. 3. 4.
Elegir una variable y despejarla en una de las ecuaciones. Sustituir en las otras dos ecuaciones. Resuelvo el sistema de 2x2. Obtengo el valor de la variable que me falta
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SEMANA 7 Definición de espacios vectoriales Espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.
Definición de Operaciones en un espacio vectorial Puede definirse una gran variedad de operaciones de sumas entre vectores y de productos por un escalar. Recordemos que un espacio vectorial es el conjunto de vectores con dos operaciones que cumplen ciertas propiedades. Entonces, lo importante para que con las operaciones que definamos el conjunto sea un espacio vectorial es que dichas operaciones cumplan las propiedades.
Suma resta y producto de vectores La suma de vectores es formar una cadena de vectores donde el vector que engloba a todos los vectores es el vector de la suma. En otras palabras, la suma de vectores es la unión de vectores a través de juntar la parte delantera de un vector con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa.
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La noción de resta de vectores se emplea en las matemáticas. En este caso, el vector es una magnitud que se grafica como un segmento que tiene su origen en un punto A y se orienta hacia su extremo (el punto B)… Para realizar la resta de dos vectores s, lo que se hace es tomar un rector y sumarle el opuesto.
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SEMANA 8 Producto de vectores La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos.
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Magnitud de Vectores La magnitud de un vector es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q. Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud
Introducción Espacio R2 Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y. Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
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SEMANA 9 Angulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores es la capacidad del arco de la circunferencia que forman los segmentos de los vectores unidos por un punto. ... Dos vectores formarán un ángulo cuando ambos se estén multiplicando, es decir, cuando multipliquemos vectores los estaremos uniendo en un punto en común tal que formarán un ángulo.
Producto escalar y proyecciones en R2 En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual dimensión (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.
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Calculo del ángulo entre dos vectores y vectores paralelos Los vectores paralelos son aquellos vectores que tienen la misma dirección. Es decir, dos vectores son paralelos si están contenidos dentro de dos rectas paralelas. Por lo tanto, dos vectores paralelos forman entre ellos un ángulo de 0 o 180 grados. Además, el paralelismo de dos vectores solo depende de su dirección.
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SEMANA 10 Definición de espacio R3 Los vectores de la forma (1) constituyen el espacio R3. Para representar un punto en el espacio, se comienza por elegir un punto en R3. Se denomina a este punto el origen, denotado por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre sí, a las que se llama el eje x, y el eje y, y el eje z. Dichos ejes se pueden seleccionar de diferentes formas, pero la más común tiene los ejes x e y horizontales y el eje z vertical. Sobre cada eje se elige una dirección positiva y la distancia a lo largo de cada eje se mide como el número de unidades en esta dirección positiva a partir del origen.
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SEMANA 11 Producto escalar y proyecciones en R3 Desde el extremo del vector que queremos obtener la proyección trazamos una perpendicular del vector sobre el que queremos proyectarlo. Luego, en ese mismo vector, trazamos un nuevo vector desde el origen hasta el punto donde se corta con la recta perpendicular.
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Aplicaciones del producto cruz El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes.
Calculo del área de un paralelogramo en R3 El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.
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SEMANA 12
Base Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño
posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Coordenadas En un espacio vectorial V, fijada una base {v1,v2,. . . vn} , todo vector u∈V puede ponerse de forma única como combinación lineal de dicha base: u = α 1 v1 + α 2 45
v2 + . . . α n vn Los escalares α 1, α 2, . . . , α n se llaman coordenadas del vector u en la base {v1,v2,. . . vn}.
Dependencia e independencia lineal Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo también lo es. Dado un conjunto finito de vectores V1, V2 …, Vn, se dice que estos vectores son linealmente independientes si dada la ecuación a1v1+a2v2+…+anvn=0 esta se satisface únicamente cuando a1, a2, …, an son todos cero. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes. Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo 0. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.
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SEMANA 13 Dimensión de vectores por componentes El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante. ... Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.
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COMENTARIO En lo personal me gusto la manera de trabajar este texto paralelo ya que al realizarlo pude hacer memoria y practicar los temas propuestos en las clases de este semestre de la Universidad, donde pudimos estudiar sobre las matrices, y lo que son los vectores sobre como poder calcular la dimensión entre dos vectores, calcular el producto escalar y poder representarlos en un vector R. Otro tema que me gusto fue el método de resolución de ecuaciones que como es de esperar, se utiliza el método gráfico el cual consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema. Y así como estos temas hay más que debemos de seguir aprendiendo.
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CONCLUSIONES El álgebra aporta al perfil del ingeniero, la capacidad de desarrollar un pensamiento lógico y algorítmico al resolver problemas. Debemos contemplar la nueva matemática, convencernos de que el Algebra Lineal, hoy en día es una herramienta indispensable en su desarrollo profesional. Los ingenieros en potencia seremos aquellos que logremos acompañar la nueva matemática con las tecnologías actuales y física moderna. El uso de matrices y sus aplicaciones en diferentes áreas de ingeniería es algo valioso: permite una formulación simple y a la vez poderosa para dar solución a problemas, aunado a eso se tiene fácil acceso a diferentes instrumentos de manipulación de matrices como programas o calculadoras
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RECOMENDACIONES El álgebra nos puede ayudar en muchas cosas una de ellas es la matemática, por eso es importante incluirla y darle la misma importancia a el álgebra cuando se realiza el planteamiento del área de matemática, paralelamente con el español. Espero que este documento no solo se lo aplique como un tema más sino que lo utilicen de la mejor manera posible diariamente, siguiendo cada uno de los pasos planteados. Recomiendo que amplíen los ambientes de cada área para permitir desarrollar análisis simultáneamente.
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ANEXO
GLOSARIO Homogéneo: Que está formado por elementos con características comunes referidas a su clase o naturaleza, lo que permite establecer entre ellos una relación de semejanza y uniformidad. Conmutativo: Que debe regular las permutas o mantener la igualdad entre lo que se da y lo que se recibe. Bidimensional: Que tiene dos dimensiones. Traspuesta: Repliegue o elevación del terreno que impide ver lo que hay al otro lado. Ortonormal: si es un conjunto ortogonal y la norma (o módulo) de cada uno de sus vectores es igual a 1. Suplementario: Que sirve para suplir una cosa que falta o para completar, aumentar o reforzar una cosa en algún aspecto. Nulidad: Falta de valor, fuerza o efecto de una cosa por no estar hecha de acuerdo con las leyes.
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BIBLIOGRAFIA Lay, David c. ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES Pearson. Tercera edición. México, 2007 Boucheron Luc Bramaud. ALGEBRA LINEAL INTERACTIVA. Mc Graw Hill. Segunda edición. Venezuela, 1995. Grossman, Stanley I. ALGEBRA LINEAL. Mc Graw Hill. Quinta edición. México, 1996.
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EGRAFIA https://Teoriadeconjuntosysusclases https://estructurasalgebraicasysuclasificacion https://tiposdematrices https://Determinantes_de_matrices https://metodosderesoluciondeecuaciones https://ecuacionesalgebraicasusandogeogebra https://espaciosvectoriales https://producto,de,vectores https://anguloentredosvectores https://defiiciondeespacioR3 https://productoescalaryproyeccionesR3 https://definiciondeespaciosporcomponentes
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