DeEuler-karakteristiek:vanvormennaargetallen
F.Pasquotto
ProefcollegeBachelorWiskundeLeiden,28-11-2025
Inditproefcollegegaanwehethebbenoverde Eulerformule ende Euler-karakteristiek. WebeginnenmetdeEulerformuleendaarvoormoetenwewetenwateen graaf is.Eengraafiseenverzamelingvanpunteninhetvlak,diewe knopen noemen, ensegmentendiesommigevandiepuntenmetelkaarverbinden.Diesegmenten noemenwe ribben.Jekunteengraafzienalseensoortnetwerk:bijvoorbeeldeen metrokaart,waarbij destationsknopenzijnendemetrolijnenderibben.Alsjezo’n graafnetjesoppapierkunttekenenzonderdatderibbenelkaarkruisen,noemenwe heteen vlakkegraaf .Eengraafis verbonden alsjevanelkhoekpuntnaarelkander hoekpuntoverderibbenkuntlopen.Erzijndusgeen"eilanden"indegraaf.De ZwitsersewiskundigeLeonhardEulerontdekteinde18eeeuweenbijzondereregel voorzulkegrafen.Wegaanindeopgavendeformulezelfontdekken.
Een polyeder (ofveelvlak)iseenruimtelijklichaamdatdooreeneindigaantal veelhoekenwordtbegrensd,bijvoorbeeldeenkubusofeentetraëder.Steljevoordat jeeenpolyederkuntontvouwen,zodatallezijvlakkenaanelkaarinéénvlakliggen: danontstaatereenvlakkegraafendeformulevanEulerkloptnogsteeds-alsjede ribbenenhoekpuntenalseengraafbekijktdieopeenbolligt.Maarwatalsweeen graafhebbendienietopeenbolmaaropdeoppervlakvaneendonutligt?IsEuler’s formulenogsteedsgeldig?
DeEuler-karakteristiekverteltnietalleenhoeveelhoekpunten,ribbenenvlakken erzijn,maarvooralhoedevorminelkaarzit(de topologischeeigenschappen),opeen diepniveau—losvanafmetingen,hoekenoflengte.
1 Voorbereidendehuiswerkopgaven
Opgave1 Bekijkdezefiguren:
(a) Hoeveelhoekpunten(V),ribben(E)envlakken(F)zijner?Denkeraan:ookhet buitenstevlakteltmee!
(b) Berekenvoorelkefiguur V E + F .Watkomteruit?
(c) Formuleereenvermoeden:"Voorelkevlakkegraafgeldt V E + F = ."
Opgave2 Bekijknudezefiguur:
(a) Bereken V E + F voordezegraaf.Kloptjevermoeden?
(b) Kanjejevermoedenaanpassenzodathetnogsteedsklopt?
Opgave3 Een boom iseengraafdieverbondenisengeencykelsbevat(een cykel is eenpaddatinhetzelfdeknoopbeginteneindigt,zonderdatanderehoekpunten ofribbenherhaaldworden).Zo’ngraafheeftaltijdprecieséénvlak:alleenhet
buitenvlak.Hetisbekend(enkanmetbehulpvanmathematischeinductiebewezen worden)datvoorelkeboomgeldt: E = V 1.
(a) Tekeneengraafmet5knopenen6ribben,waarbij je2cykelshebt.Bereken V E + F .
(b) Verwijderéénribdieeencykelvormt.Berekenopnieuw V E + F :ishet veranderd?
(c) Herhaaldit:kanjedegraafvereenvoudigentoteenboom?Watgebeurtermet V E + F ?
Opgave4 Bereken,voordepolyedrahieronder, V E + F .
(a)piramide(vierkantepiramide)
(c)Ho-Mg-Znquasikristal(dodecaëder)
(b)dobbelsteen(kubus)
(d)voetbal(afgeknotteicosaëder)
Opgave5 Maarhoezithetmetl’ArchedelaDéfenseinParijs?
Veelpleziermetdeopgavenentotziensop28November!