ProefstuderenWiskunde2025
Voorbereidingenvoorhetcollege ‘Waaromjekuntrekenenopjouwcomputer’ doorSanderHille(MI,UniversiteitLeiden)
Ditonderdeelvanproefstuderengaaterover,hoejecomputer,mobieloftabletin staatiswaardenuitterekenenvanallerleiveelgebruiktefuncties,zoalsworteltrekken,machtverheffen xα toteenwillekeurigre¨elemacht α,maarookvanzogenaamde‘transcendentefuncties’alssin x,cos x, ex enln x.Dateencomputerkan optellen,vermenigvuldigen,aftrekkenendelenis‘ingebakken’indechips.Om metdezeelementairerekenkundigebewerkingenwaardenvandergelijkefuncties uittekunnenrekenenopeenbetrouwbare,accuratemanieriswiskundiginzicht nodig.
Wezullenjeeerstbekendmakenmetwatnotatiediemogelijknieuwis,maardie veelwordtgebruiktomschrijfwerktebeprekenenduidelijkertemakenwatprecies bedoeldwordt.Datisietswatwiskundigenergopprijsstellen.
1.Som-notatie.
Hetkomtvaakvoor,datje(veel)getallenbijelkaarwiltoptellendieelkgegeven wordendooreenspecifiekeregeloffunctievoorschrift.Bijvoorbeeldde rekenkundigereeks:
waarbij n eengeheelgetalis, n ≥ 1.Wathoortopdestippeltjesingevuldte worden,wanneerbijvoorbeeld n =10?Inditgevalisdatvrijduidelijk.
Ompreciestekunnenaangevenwatdebetekenisisvandeuitdrukkingmaken wiskundigengebruikvande som-notatie.Daarbijgevenwijpreciesaanwatde k-determindesommoetzijn.Datkanjedoendooreenfunctie.Hierboven zijneenaantalveelgebruiktefuncties f (x)vaneenre¨elevariabele x genoemd.In plaatsvan x kanjeookeengeheelgetal k gebruiken: f (k).Voorderekenkundige reekshebbenweeenvoudig
Deschrijfwijze(1)wordtdanvervangendoor
Ditbetekentdatjeallewaarden f (k)bijelkaaroptelt,voorallegehelewaarden van k dievoldoenaan1 ≤ k ≤ n.Wesprekenaf,datdeuitkomstvandesom
0is,wanneerergeengehele k zijndievoldoenaandegegevengrenzen.Erisnu geenmisverstandmeermogelijk.
Opgave1.
Hieronderstaaneenaantaluitdrukkingeninsom-notatie.Schrijfdezeuitin‘losse termen’zoalsinvoorbeeld(1).Jehoeftnietdeuiteindelijkewaardevandesom uitterekenen.
Opgave2.
Hieronderstaannogeenaantaluitdrukkingeninsom-notatie.Nuisde‘bovengrens’ n variabel.Berekendeuitkomstvandesomnauitschrijveninlossetermen voor n =2, 3, 4en5.Kanjeeenfunctie f (n)van n bedenkendiedeuitkomst vandesomgeeftvooriedere n?
(Delaatsteiseenvoorbeeldvaneen meetkundigereeks.Inhetalgemeenis hetnietmogelijkomde somfunctie f (n) explicietuittedrukkenindebekende elementairefuncties).
2.KennismakingmeteenTaylor-Maclaurinreeks. Alsjeoppapiermeteengetalzoals √2rekent,gebruikjegeendecimalebenadering ervan.Jegebruiktdanalleen,datjeweetdat
Met Taylorreeksen ofdespecifiekevormdaarvandieookwel Maclaurinreeksen wordengenoemd,kanjedewaardevanfunctiesals f (x)= √1+ x benaderen voorwaardenvan x,rondbijvoorbeeld x =0.BrookTaylorheeftdezebedacht in1715.ColinMaclaurinheeftdezevervolgensveelgebruiktde18eeeuw,inhet bijzondervoorbenaderingenrond x =0.Dezebenaderingenhetendanvaakook Maclaurinreeksen.
Het Maclaurinpolynoomvangraad n vaneenfunctie f (x)isdeuitdrukking
Hierinstaat‘k!’voor ‘k-faculteit’:
0!=1,k!=1 2 (k 1) k
en f (k)(x)isde k-deordeafgeleidefunctievan f (x): f (1)(x)= f ′(x),f (2)(x)= f ′′(x),f (k+1)(x)= d dx f (k) (x)
Jekunt(4)zienalseensomvan n functiesvan x,iederetermisnamelijkeen specifiekveelvoudvanhet mononoom xk .Eensomvaneindigveelmonomenheet een polynoom
Opgave3. BerekenhetMaclaurinpolynoomvangraad3voordefunctie f (x)= √1+ x.
DeStellingvanTaylorgeeft,datdefunctiewaardevanbijvoorbeeld f (x)= √1+ x in x = a goedbenaderdkanwordenmetdewaardevanhetMaclaurinpolynoom in x = a voor a ‘dichtbij0endegraad n ‘voldoendegroot’.
Opgave4. Vul x =1inhetMaclaurinpolynoomvangraad3voor f (x)= √1+ x datjegevondenhebtinOpgave3.Vergelijkdeuitkomstvandesommetdewaarde √2 ≈ 1 414213562 datjerekenmachinegeeft.Hoegoedisdebenadering?Hoe goedisbenaderingwanneerjehetMaclaurinpolynoomneemtvangraad1ofvan graad2?