Page 1

Interview with David Griffiths

'I write the way I talk' Jaargang 11 –april 2014

Nummer 44 Eureka! is een uitgave van de studievereniging De Leidsche Flesch in samenwerking met de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen van de Universiteit Leiden. De Leidsche Flesch is de studievereniging van de opleidingen Natuurkunde, Sterrenkunde, Wiskunde, Informatica en Informatica & Economie.

t Create your s e t Con

own logic puzzle MRI op de nanoschaal: extreme microscopie


Redactioneel

Inhoud

Lieve lezer, De Eureka! wordt gemaakt voor de Universiteit Leiden, en de meeste artikelen worden dan ook geschreven door professoren of studenten uit Leiden. Maar er gebeurt natuurlijk ook ontzettend veel interessants buiten onze universiteit. En als wij dan de kans krijgen om iemand als David Griffiths te interviewen, de schrijver van veel van de boeken die natuurkundestudenten gebruiken - kijk eens in je eigen kast, goede kans dat jij er ook een hebt staan - dan laten we die natuurlijk niet aan ons voorbij gaan! Behalve het interview bevat deze Eureka! meer internationale bijdragen. Zo is het geschiedenisartikel geschreven door John Bukowski, professor aan Juniata College in de Pennsylvania, en heeft Matthew Kenworthy, van oorsprong Brits (maar tegenwoordig gewoon professor in Leiden), een artikel geschreven getiteld ‘Seeing the Shadows of Extrasolar Planetary Rings’. Al deze internationale inbreng betekent wel dat deze Eureka! een groot aantal Engelstalige bijdragen bevat. Als redactie hebben wij de keuze gemaakt om ook Engelstalige stukken te plaatsen. Zouden we dit niet doen, dan zou onze blik immers erg beperkt blijven, simpelweg omdat niet over alle onderwerpen mensen zijn te vinden die daar iets in het Nederlands over kunnen schrijven. Gelukkig kunnen vrijwel alle wetenschappers Engels (zoals ze vroeger allemaal Latijn konden) en kunnen wij dus ook meekrijgen wat er in andere landen gebeurt. Mocht je toch ook graag artikelen in het Nederlands lezen dan hebben we het artikel van Erik Visse over zijn masteronderzoek over elliptische krommen en de bijdrage van Jelmer Wagenaar, getiteld ‘MRI op de nanoschaal’. Het culturele artikel is geschreven door Johan de Ruiter, die altijd de puzzel in de Eureka! verzorgt. Hij schrijft over het maken van puzzels en looft zelfs een prijs uit voor degene die de beste puzzel kan maken! Ook al kan ik, als redactielid, de puzzelprijsvraag niet winnen, ik ga toch een poging wagen om een puzzel te maken. En ondertussen denken we met de redactie alweer na over artikelen voor volgende Eureka!’s; hopelijk kunnen we snel weer een artikel van of interview met een internationale grootheid plaatsen (ik heb gehoord dat Stephen Hawking naar Nederland komt…). Ellen

Ellen Schlebusch

Hoofdredacteur Eureka! Masterstudent wiskunde

✉ 2

ellen@deleidscheflesch.nl

Eureka! nummer 44 – april 2014

24 The premier ornament of his time In 2013 cultural institutions across the Netherlands celebrated Huygensjaar, in honor of the 17th-century figures Constantijn and Christiaan Huygens. While many people seem to know much about Constantijn Huygens, they know less about his brilliant son Christiaan. In this article some light is shed on the life of Christiaan Huygens.  Lees verder op pagina 24

13 De rang van een elliptische kromme over een getallenlichaam Wanneer je geconfronteerd wordt met een vergelijking, is het natuurlijk om te vragen: ‘Wat voor een structuur heeft de verzameling van oplossingen?’. Deze vraag is niet alleen natuurlijk, het blijkt ook zeer interessante wiskunde voort te brengen. Lees verder op pagina 13


Nieuws

Seeing the shadows of extrasolar planetary rings 5

21

Logica in de praktijk Creating logic puzzles

David Griffiths is well-known amongst physics students for his books about electrodynamics and quantum mechanics, which are used for several courses in Leiden. During the symposium of De Leidsche Flesch we got a chance to interview this great physicist and ask him about his books, and teaching in general. Lees verder op pagina 21

8 10

De rang van een elliptische kromme over een getallenlichaam  13

Interview – David Griffiths



4

Fotoreportage:  het Academiegebouw

16

MRI op de nanoschaal: extreme microscopie 18 Interview with David Griffiths 21 Christiaan Huygens – the premier ornament of his time 24 De Leidsche Flesch

18

27

Uitslag puzzel en aankondiging wedstrijd 31 Colofon

31

MRI op de nanoschaal: extreme microscopie In het Kamerlingh Onnes Laboratorium probeert de Oosterkampgroep een microscoop te bouwen die plaatjes kan maken van eiwitten met atomaire precisie. Hiervoor wordt MRI (Magnetic Resonance Imaging) gecombineerd met AFM (Atomic Force Microscopy) bij extreem lage temperaturen.  Lees verder op pagina 18

Eureka! is een uitgave van de studievereniging De Leidsche Flesch in samenwerking met de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen van de Universiteit Leiden. De Leidsche Flesch is de studievereniging van de opleidingen Natuurkunde, Sterrenkunde, Wiskunde, Informatica en Informatica & Economie.

Eureka! nummer 44 – april 2014

3


4 Nieuws

Vier Leidse vakgebieden in top 30 QS World University Rankings, vakgebied farmacie in top 20 Vier Leidse vakgebieden staan in de top 30 van de QS World University Rankings die 26 februari uit is gekomen. Het betreft de vakgebieden farmacie, rechten, linguïstiek en geschiedenis & archeologie. De ranglijst is gebaseerd op wetenschappelijke reputatie, citaties en werkgeversimago.

Natuurwetenschappelijk Gezelschap nieuw leven ingeblazen Tijdens een speciale bijeenkomst op donderdag 20 maart 2014 onthulde het Natuurwetenschappelijk Gezelschap Leiden (NGL), voorheen het Natuurkundig Gezelschap Leiden, samen met de decaan haar nieuwe koers, een mijlpaal in hun 144-jarige bestaan. Eind 2013 heeft het NGL in samenwerking met de Faculteit W&N om een nieuwe koers te varen en haar zichtbaarheid te vergroten. De nieuwe doelstellingen zijn terug te vinden op de nieuwe website.

Leiden krijgt unieke internationale biotechtrainingsfaciliteit

Eureka! nummer 44 – april 2014

Natuurkundige John van Noort en taalkundige Marian Klamer hebben van NWO een Vici toegekend gekregen. Met deze subsidie van anderhalf miljoen kunnen ze een eigen onderzoeksgroep opzetten en promovendi aanstellen. Scheikundige Huib Ovaa en farmacoloog Jos Jonkers (werkzaam bij het NKI) hebben ook een Vici ontvangen. Zij hebben beiden een kleine aanstelling in Leiden.

v i

Op het Bio Science Park is op 24 februari het contract getekend voor de bouw van een unieke Biotech-trainingsfaciliteit voor werknemers in de (bio-)farmaceutische industrie. Wereldwijd bestaan er slechts vijf tot tien vergelijkbare faciliteiten. De Biotech-trainingsfaciliteit is voor de Universiteit Leiden, de stad en de sector een belangrijke aanwinst. 4

Twee Vici’s voor Leidse wetenschappers

Lichtpuntje in de zoektocht naar donkere materie De Leidse astrofysicus Alexey Boyarsky en zijn medewerkers hebben mogelijk een spoor van donkere materie geïdentificeerd dat leidt naar een nieuw deeltje: de steriele neutrino. Een onderzoeksgroep in Harvard deed dezelfde ontdekking op nagenoeg hetzelfde moment.


wetenschap

Seeing the Shadows of Extrasolar Planetary Rings Matthew Kenworthy

In 2007, an otherwise ordinary star faded away to near invisibility for several days, and then came back again. No human eyes saw this happen - the star is relatively faint and uninteresting to many astronomers and it has no special name, just a “phone number” that is made up from its position on the sky: 1SWASP J140747.93−394542.6. More incredibly, nobody could have known that this amazing event had happened for another five years. But four cameras around the world were taking a picture of the sky every few minutes and they recorded this unique event. The images were then stored on several computers around the world, and a computer program measured the light from this star along with over 60 million other stars that were being watched by the SuperWASP project. By plotting the flux from a star as a function of time you make a light curve, and these light curves allow astronomers to monitor stars and the change in the energy they produce.

Computer programs were written to look at the shape of these light curves for a very distinctive repeating pattern. They were searching for the dip in the light curve when an orbiting planet moves between the Earth and the star’s disk, typically a 1 to 3 percent drop in brightness lasting up to two or three hours, and repeating every few days. These planets are blasted by the light from their parent star as they orbit, their year lasting only a few days. Looking at 60 million light curves takes a long time (there are 31 million seconds in one year, so one light curve a second means two years with no sleep!). But computers do not get sleepy and they are cheap, so they were programmed to reject known Disk and Ring Eclipses astrophysical phenomena, such as variable and pulsating stars, binary stars that orbit each other, and stars that suddenly flare up in brightness. Any stars that showed no brightness changes at all were also rejected.

Periodogram Power

Periodogram of the light curve of J1407 out of transit. The peak at 3.2 days shows the optical variability due to starspots on the surface of J1407 rotating in and out of view.

P = 3.2 days

Data from

Then, in 2011, a graduate student at the University of Rochester identified J1407 as a very young star, barely 20 million years old. Young stars are known to spin rapidly and have starspots, so their light curves fluctuate with their rotation period. The SuperWASP archive was the ideal place to search for a light curve and confirm that J1407 was a young and rapidly rotating star, 9 and so the student typed in the coordinates and pulled up the light curve. To search a light curve for signs of variability, you take the light curve and perform a periodogram search - essentially a Fourier transform from the time domain to the frequency domain. Any sinusoidal signals in the

Geometry of the J1407 system. J1407 is the primary star, and J1407b is the companion that orbits the star. There are rings around J1407b.

Rings around J1407b

False Alarm Probability

The remaining light curves were passed to human eyes, and planets were duly discovered. But somewhere in the process, J1407 passed through all the nets and into the light curve archive, written as a pattern of magnetic zeros and ones on several hard drives, unexamined.

J1407b

The star J1407

The orbit of J1407b is seen nearly edge on to us

Rotational Period (days)

Eureka! nummer 44 – april 2014

5

Fig. 11.— Photometric coverage for periodic events at different


wetenschap

When you have ruled out the obvious, whatever crazy explanation remains, however strange, must be the truth

Direction of J1407’s motion behind the rings

How the rings change the light curve of J1407

Eric showed me the light curve back in 2012, and went through the list of reasons why the simple explanations didn’t fit, and so I began to agree with him. What he and his student had discovered was a giant ring system, and we were witnessing their shadows against the background star. The same dimmings happen when the Voyager and Huygens satellites passed behind Saturn and individual rings blocked the Sun, providing more detail about their structure and evolution than had ever been seen before.

The change in the light curve depends on the ring edge and the diameter of the star

F lux

The same ring but different star and edge geometry

T ime How the rings make the light curve. The star J1407 is dimmed by the rings as the star moves behind them. At each ring edge, the light curve goes up or down depending on the amount of dust in the ring. If the ring edge is vertical, then the light curve changes quickly. If the ring edge is slanted to the direction of motion, the light curve changes slowly.

light curve show up as a sharp spike at the frequency of the rotation of the star. J1407 showed a distinct rotation signal at 3.2 days, confirming it as a young star. But the light curve showed something new, something that nobody had seen before. In May 2007, the star dropped to just 5% of its original flux for a week - this happens when something as large as the star moves in front of it and blocks the light. This happens when binary star systems have a larger, fainter companion in orbit around it. But what was so unusual was that the star brightened, but then dimmed again a week later, then brightened and dimmed one last time. And to add to the mystery, this pattern of dimming was repeated on the other side of the central eclipse. This caught the attention of Eric Mamajek, a professor at the University of Rochester 6

Eureka! nummer 44 – april 2014

only way to get those symmetric dimming events on either side of the main eclipse is to have a series of ring systems made of dust and ice that orbited around J1407b, similiar to the rings around Saturn, but much, much bigger in scale.

in the USA. He studied the curve, and tried to think of any known astrophysical explanation for this curious light curve. Could it be a disk orbiting around the central star? No, because it would be seen glowing in the infrared, and a space satellite called WISE saw no evidence of such a big disk. Could it be a cooler, red giant star orbiting a dense, blue neutron star or white dwarf? No, the system would glow in X-rays, and there were none seen. The evidence pointed to something that was at least as big as a star (and in fact some basic physics indicated it to be over 10 million miles in diameter, the typcial size of a larger star on the main sequence) orbiting J1407. This invisible object was called J1407b. When you have ruled out the obvious, whatever crazy explanation remains, however strange, must be the truth. And so for J1407 and its invisible companion, J1407b, the

Eric published his results, together with my periodogram analysis, in a paper in Astronomical Journal in 2012. The major ring events lasted several days, but when I looked closely at the light curve during each individual night, I became excited at what I could see. During many of the individual nights of data, J1407b showed evidence of individual sharp-edged rings passing in front of the star! I was amazed and at the time I couldn’t believe what I was seeing - this was an incredibly information rich light curve, and I thought immediately about how you could work out the structure of the ring system. Why are these sharp-edged rings important? In Saturn’s rings, sharp edged rings are created by the moons of Saturn. Rings are formed from individual particles, and they are all orbiting around Saturn in individual orbits. Particles close to Saturn move at faster orbital speeds than particles further away from the planet. When a moon orbits in the middle of the rings, its gravity pulls the ring particles out of their circular orbits and scatters them out of the rings - moons clear out gaps in the rings,


1.2

Normalised flux

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 −60

−40

−20

0

Time [MHJD-54222]

20

40

-52

-23

-22

-19

-17

-16

-15

-14

-13

-11

-10

-9

-8

-7

-6

+3

+5

+8

+9

+10

+11

+15

+16

+17

+24

+31

+32

+33

and sharp edges to a ring mean that a moon formed them. Looking at night - the 14th block in figure 4, you can see that there is a very rapid change in the light from the star - over 50% change in less than 4 hours. How could you block an object that is 750,000 km across in less than 4 hours? The only way to do it is to have a sharp edged ring move across the disk of the star at about 35 kilometers per second. These steep gradients in the light curve with the diameter of the star allow you to estimate the speed of the rings moving across them, and then the length of the eclipses from start to end (56 days) allows you to work out how big the disk system is. In the case of J1407b, the ring system is over 50 million km in diameter! In fact, what we think we are seeing at such a young age, is a disk of material that has only recently started to form satellites in its structure. These disks are thought to be a crucial part of the formation of planetary systems, and having the opportunity to see one is very exciting. At the last count, there

Nightly photometry. The light curve of J1407. The top panel shows an overview of the light curve, with time in days on the horizontal axis (in Heliocentric Julian days) and normalised stellar flux on the vertical axis. The midpoint of the eclipse is in May 2007. The lower plots show the change in the flux during selected nights. The small black triangles indicate zoomed boxes in the plot below. All zoomed boxes are the same size in the x-axis and y-axis, and the number shows the number of days before or after the centre of the eclipse. When the light curve changes its gradient, a new ring edge is beginning to move across the disk of J1407.

are at least 24 rings that we see in the system from the 2007 data. Tim van Werkhoven is an astronomy graduate student who analysed the light curve of this system. He removed a set of systematic errors in the original light curve data, and also removed the variability due to the rotation of the star. Once these two effects were cleaned out of the data, we discovered several more ring edges in the data, and we wrote our analysis in a paper submitted to an astronomy journal. What is next for this system? Currently there was only one eclipse event seen in the SuperWASP data - we don’t currently know when J1407b will orbit its star and come around for another eclipse. Currently we are asking several astronomers around the world to look at J1407 and look for the start of the next eclipse. When the next eclipse is confirmed to be starting, then we will contact several telescopes around the world and make sure that we get continuous 24 hour coverage of the star, and more excitingly, we will carry

Rings. One possible ring solution for J1407b. The different colours of red indicate how dense the rings are and the blue line is the path of J1407 behind the rings. Figure by Tim van Werkhoven.

out spectroscopy measurements of the star shining through the rings, so that we can measure spectral absorption lines and find out what these rings are made out of. Are they ice particles or rocky particles? Is there evidence of other impurities in the rings? More observations would help define the structure of the ring system and allow us to decide the mass and location of satellite moons in this system. Until then, we wait to hear from one of the telescopes, and we wonder when we will see this beautiful system in eclipse again…  !

In the case of J1407b, the ring system is over 50 million km in diameter!

About the author: Matthew Kenworthy The development of astronomical instruments to directly image and characterise them. With his research group he is looking for planets in young stellar systems, developing optics to remove the glare of bright stars to see their faint companions, and investigating new ways to detect planets and their ring systems.

✉ 

kenworthy@strw.leidenuniv.nl home.strw.leidenuniv.nl/~kenworthy

Eureka! nummer 44 – april 2014

7


Advertorial

Logica in de Praktijk Een kijkje in de keuken van een financiële modelbouwtaal De kredietcrisis heeft het belang van accreditatie in het proces van kredietverstrekking alleen maar groter gemaakt. Hiervoor is een grondige analyse vereist van zowel het financiële verleden als de toekomstverwachting van de kredietaanvrager. Topicus Finan voorziet hierin middels economische modellen. Met behulp van een relatief eenvoudige modeltaal zijn onze economen in staat om met beperkte IT-kennis geavanceerde analyses en prognoses te maken. Door: J. Blok MA, Topicus Finan johan.blok@finan.nl

8

StartAnalyse.Formula = IsDataAvailable(LeenBedrag) ⋀ IsDataAvailable(StudieDuur). Echter, de eigenschap of een variabele verplicht is, kan dynamisch zijn. In dat geval volstaat bovenstaande formule niet. Middels een formule kan de `verplicht’eigenschap (InputRequired) van een variabele afhankelijk gemaakt worden van de waarde van een andere formule. Collegegeldkrediet bijvoorbeeld, is alleen mogelijk voor hoger onderwijs en niet voor middelbaar beroepsonderwijs. Hiervoor dient ons model In deze modeltaal kunnen economen variabelen definiëren door aan een variabele verschillende eigenschap- uitgebreid te worden met de variabele HogerOnderpen en formules toe te kennen. De formules worden wijs en CollegeGeldKrediet. De laatste is verplicht als geformuleerd in een eenvoudige taal waarvan de syntax de eerste de waarde ‘true’ heeft: bestaat uit de gebruikelijke rekenkundige en logische CollegeGeldKrediet.InputRequired = Hogeroperatoren. Daarnaast kan een formule bestaan uit Onderwijs. De totale formule wordt dan: aanroepen van beschikbaar gestelde functies. Per variabele kan de econoom formules specificeren StartAnalyse.Formula = voor verschillende eigenschappen. Een voorbeeld IsDataAvailable(LeenBedrag) ⋀ hiervan is de eigenschap die uitdrukt of de gebruiker IsDataAvailable(StudieDuur) ⋀ verplicht is een waarde in te vullen voor deze varia- IsDataAvailable(HogerOnderwijs) ⋀ bele. Hiermee kan bijvoorbeeld gecontroleerd worden (IsInputRequired(CollegeGeldKrediet) → of de gebruiker wel voldoende gegevens heeft ingevuld IsDataAvailable(CollegeGeldKrediet)) om tot een zinnige analyse, prognose of accreditatie te De beperkte uitdrukkingsmogelijkheden van de kunnen komen. Een dergelijke controle kan in de modeltaal toege- modeltaal leveren voor deze functionaliteit nogal voegd worden door een variabele te definiëren met een omslachtige formules op. Bovendien zijn deze formuformule die voor elke verplichte variabele controleert les moeilijk te onderhouden en is dit onderhoud nogal of die ook ingevuld is. De modeltaal voorziet in een foutgevoelig. De vraag is hoe de modeltaal - die bewust functie om te controleren of een variabele een waarde een eenvoudige semantiek heeft - verrijkt kan worden heeft, namelijk IsDataAvailable(⟨variabele⟩). met een elegantere oplossing voor deze situaties zonNeem als voorbeeld het analyseren van de gevolgen der de taal uit te breiden met o.a. loopconstructies van het aangaan van een studielening. In het eenvou- zoals gebruikelijk in een iteratieve programmeertaal. digste geval dient ten minste het maandelijkse leen- Analyse van de uitdrukkingsmogelijkheden van de bedrag en de studieduur bekend te zijn. De volgende modeltaal met behulp van logica levert mogelijkerwijs aanwijzingen op voor een betere oplossing. formule bepaalt of de analyse gedaan kan worden:

Eureka! nummer 44 – april 2014


Logische Analyse

Predicatenlogica maakt een diepgaande analyse van de formule mogelijk door het juiste domein te kiezen. Het domein van een uitdrukking in predicatenlogica bestaat uit de verzameling objecten waarvan geprediceerd wordt. In ons geval ligt het voor de hand om het domein te laten bestaan uit alle variabelen die in een bepaald model gedefinieerd zijn. Voor ons voorbeeld definiëren we de objecten in het domein als a=LeenBedrag, b=StudieDuur, c=HogerOnderwijs, d=CollegeGeldKrediet. Vervolgens definiëren we de predicaten V en I die respectievelijk de functies IsInputRequired en IsDataAvailable representeren. In predicatenlogica ziet de controleformule (StartAnalyse.Formula) er dan als volgt uit: Ia ⋀ Ib ⋀ Ic ⋀ (Vc → Id). Met behulp van de kwantoren die predicatenlogica ons ter beschikking stelt, is het nu mogelijk om deze controle in een meer generieke vorm te formuleren: ∀x(Vx → Ix). Deze uitdrukking levert altijd de juiste uitkomst op voor de controleformule, ongeacht of de ‘verplicht’-eigenschap van een variabele dynamisch is of niet. Terug naar de modeltaal. Een oplossing voor ons probleem zou een equivalent van kwantificatie kunnen zijn. In zijn eenvoudigste vorm ziet een dergelijk equivalent in de modeltaal er als volgt uit: ForAll(IsInputRequired → IsDataAvailable). De functie ForAll levert alleen `true’ op als de expressie IsInputRequired → IsDataAvailable voor elke variabele ‘true’ oplevert. Hiermee is het echter niet mogelijk om kwantoren te nesten, aangezien niet aangegeven kan worden dat de expressie aan een bepaalde kwantificatievariabele is gebonden. Analoog aan predicatenlogica kan in de modeltaal daarom een kwantificatievariabele opgegeven worden: ForAll(X,

IsInputRequired(X) → IsDataAvailable(X)). Vergeleken met een taal zonder kwantoren, is het model veel gemakkelijker te lezen en te onderhouden. Toevoeging van een verplichte variabele vereist niet langer aanpassing van de formule. Toekomst

Niet alleen een slimme meid, maar ook een slimme oplossing is op haar toekomst voorbereid. De modeltaal is zo ontworpen dat alle variabelen in een hiërarchie staan. Een kleine modificatie zorgt er voor dat op eenvoudige wijze de controleformule alleen van toepassing is op een stukje van de variabelenboom: ForAll(X, SelectDescendants(⟨Variabele⟩), ⟨Expression⟩). Een goede theoretische achtergrond blijkt uitermate behulpzaam in de modderige praktijk. Juist de huidige financiële crisis vraagt om software van zodanige complexiteit dat alleen een hoog abstractieniveau leidt tot software engineering van voldoende kwaliteit.   !

Vergeleken met een taal zonder kwantoren, is het model veel gemakkelijker te lezen en te onderhouden. Eureka! nummer 44 – april 2014

9


CULTUREEL

Creating Logic Over the last decade, pencil-and-paper logic puzzles, like Sudoku, Nonogram and Kakuro, have gained widespread popularity. Today, there are countless publications entirely dedicated to logic puzzles, and it has become hard to imagine a newspaper that does not contain one. The majority of these puzzles are generated by computers, but there are a number of puzzle enthusiasts who prefer a more hands-on approach to puzzle construction. Eureka! puzzle maker Johan de Ruiter shares his experience. By Johan de Ruiter

In pencil-and-paper logic puzzles, you are given an incomplete diagram of some kind, which needs to be completed, along with a simple set of rules that need to be satisfied. Typically, there is exactly one solution. The puzzles do not depend on prior knowledge and are language-neutral, so people anywhere in the world can solve them (in the World Puzzle Championships this makes for a fair fight). Unlike riddles, the puzzles do not rely on a single clever insight, and even though they are combinatorial objects, they do not require a mathematical background to be solved. In most cases, no efficient algorithms for the general case are known. The Fun Factor

Good puzzles balance little tricks and clever insights with some degree of exhaustive search. Experience and intelligence help to “open up” a puzzle and to make incremental progress without having to pile up too many assumptions before a contradiction is reached and a conclusion can add to the knowledge of the puzzle. Usually, the more

Over de auteur:

assumptions have to be stacked upon one another, the more effort it takes to keep track, but the less significant the information gain will be in relation to the amount of effort spent. It is hard to pinpoint what exactly makes a puzzle fun, but when extensive backtracking is a necessity, it most certainly does not help the fun factor. A puzzle is fun to solve when there are sequences of interesting logical deductions that lead up to the solution. The puzzler might not discover a beautiful solving path if there are easier alternative approaches, which is something the puzzle maker should definitely watch out for, or if the puzzle is beyond their skill level, in which case they might have to resort to guessing or a brute force approach instead. The latter is not something the puzzle maker can do much about, but even the brute force attack can at times be a good exercise for a puzzler. Ensuring that there are acceptable alternative entry points is a way to keep a larger part of the audience entertained. As puzzlers make progress, their perception of the difficulty of a puzzle will fluc-

Johan de Ruiter received his MSc in Computer Science from Leiden University. He is co-founder of PuzzlePicnic.com and currently works as a software engineer in Palo Alto, California for imo.im - a start-up founded by Georges Harik, Google employee #7.

✉  10

johan.de.ruiter@gmail.com puzzlepicnic.com

Eureka! nummer 44 – april 2014

tuate. Whatever difficulty level you are aiming for, these fluctuations need to be within reason (the difficulty needs to be balanced), otherwise it will not be fun. For example, you should not have a five star opening, followed by fifteen minutes of mindless scribbling. Man versus Machine

Many logic puzzles are computer-generated, because it is easy to mass-produce them once the software has been written. However, automated puzzle creators are at a disadvantage when it comes to making puzzles that require creative insights, because the programmer most likely did not take into account every possible creative opportunity. For instance, when a generator is programmed around a couple of solution strategies, the generated puzzles might get less interesting once you know these strategies. Of course, a computer program can still be lucky, and come up with a puzzle that does encourage ingenuity beyond what the programmer prepared for. After all, the state space is usually finite, and everyone is essentially fishing in the same pond. For instance, extra solving paths often emerge when putting a puzzle together - these can actually be hard to avoid. They can only make a puzzle easier though, not harder. If the programmer only required the puzzle to have a unique solution, sidestepping the issue of a restricted number of solution strategies, anything can happen. But it also does not guarantee a reasonable solution path - there is a high probability that the puzzle will be too difficult or unbalanced. One approach


Puzzles to deal with these issues could be to have a person select the best among the generated puzzles. We distinguish between computer-generated and computer-assisted puzzle making. Depending on your programming abilities, you might be able to use a computer in other ways than as a puzzle generator. A program could, for example, save you time by computing how many solutions your grid still allows, while you focus on creating a nice solution path, or it could make sure alternative entry points do not go unnoticed when you give away more information. I once wrote a computer program just to determine whether 4x4 Kakuros could exist. The answer is yes, and they are a nice mathematical curiosity, but as puzzles they are not great (figure 1).

only because you have to prove the correctness, but you have a lot of creative freedom, and once you succeed (which might take several attempts, if it works out at all), you have created something others can now also enjoy.

the rest of the puzzle, so the 3 must go in the top right square, from which point onwards the puzzle fills up quickly. If we drop the given 2, however, this reasoning still stands, but the puzzle no longer has a unique solution.

When solving a puzzle, you can sometimes use the fact that there is a unique solution to make progress (although some purists puzzlers refuse to use this information). The reasoning goes like this: We observe that if condition P holds, it follows that there are at least two solutions. This contradicts the uniqueness assumption. Hence, P is false. When constructing a puzzle, it is important not to do this while trying to prove the uniqueness (you can still do it to evaluate the fun factor), as using the conclusion as a premise is a logical fallacy.

Puzzles are often built bottom-up, meaning that the puzzle maker starts with an empty grid, which has many solutions, and adds clues to narrow it down to just one solution. However, sometimes a puzzle is built top-down, meaning that the puzzle maker starts with a complete (unique) solution and repeatedly removes information, while preserving the uniqueness. Aesthetics

Creating a puzzle yourself is a fun challenge, in my opinion usually even more than solving a puzzle. It is harder to do, if

Let us examine the example 4x4 Sudoku in figure 2. Looking at the bottom two rows, using uniqueness, we can conclude that the 3 cannot go in the bottom right square, because then the 1’s and 2’s can be filled in in two distinct ways, without affecting

While building a puzzle, you are trying to satisfy a number of constraints. Some of these follow from the definition of the puzzle (the rules, the uniqueness requirement), others are self-imposed, like the fun factor and a certain difficulty level, but there are also self-imposed constraints that only serve to make the puzzle look better, or to give it some special property. These

Figure 1: Fill in different digits from 1 through 9 in each row and column, such that they sum up to the given numbers.

Figure 2: Fill in the digits 1 through 4 in each row, column and area.

Figure 3: Fill in the digits 1 through 9 in each row, column and area.

Uniqueness

Eureka! nummer 44 – april 2014

11


cultureel Figure 4: Replace the letters in these equations by digits from 0 to 9. Equal letters represent equal digits, and different letters represent different digits. No number has leading zeros.

Figure 5: Write a number in every cell. Equal numbers that are neighbors either horizontally or vertically, automatically belong to the same group. Every group needs to consist of exactly as many cells as this number indicates. This means you cannot have two groups with the same number sharing a border.

additional constraints form an extra challenge, so they are a way for a puzzle maker to display skill. A common theme is rotational symmetry. It makes a puzzle look clean. Symmetries and other patterns are more appropriate in puzzles than they are in solutions, because they might hint the solver too much, once they are discovered. Furthermore, symmetry in a puzzle should always be broken in some way, because otherwise there will be too much redundancy and the solver will have to write everything multiple times. Other examples of self-imposed constraints are anti-symmetry, equal numbers and special shapes. Anything is possible be creative! When making decisions on what information to give away, you are also introducing further limitations. At times, you will run into an impossibility, and you will have to deal with it, most often by undoing some of your work, sometimes by relaxing a constraint. One idea I think worked out well, is a Sudoku containing only the first x digits of π as givens in the correct order (figure 3). It is not obvious a priori that this is possible. You would not be able to do this for the number e = 2.718281828459045… or sqrt(2) = 1.414213562373095..., for instance, because in each of these numbers the 14th digit is a 0, and you need at least 17 givens to ensure a unique solution in a Sudoku. The fraction 22/7 = 3.142857142857… would not work, as it contains only 7 different digits, meaning in any solution you could replace all occurrences of the 6 with the 9 and vice versa to get another solution, which contradicts the uniqueness. In π, the first zero occurs only as the 33rd digit, and there turns out to be enough variation 12

Eureka! nummer 44 – april 2014

before that, to make it work. It was even possible to use all digits before the first 0, but only barely - you cannot squeeze them in 8 rows, but you can fit them in 9. To give another example, I once wondered if I could make an Alphametic puzzle (an equation in which digits are replaced by letters) of a DNA strand. Now, in DNA an A is always paired with a T, and a C is always paired with a G. This inherent symmetry can be problematic for the uniqueness, because for a given solution another solution might be found by simply switching the digits for each of the pairs. I broke the symmetry by reusing the A in DNA, and I made it work by having two equations form a single puzzle (figure 4). In October 2013, I wanted to make a puzzle in honor of my 4-month-old son, Adam. His name was already fixed, but it was something I thought I could work with. I could visualize each letter by drawing a subset of the grid lines of a grid with a width of five cells and a height of four, five or six cells. The 4x5 letters would make for a rather small puzzle, and a square composed of four 5x5 squares seemed a bit plain, but I liked the idea of filling an 11x11 square with four 6x5 letters rotated clockwise over 90 degrees and one extra

cell in the center. Only at this point I decided to make it a Fillomino puzzle. I had not seen a Fillomino puzzle with lines through it before, but these could serve as clues. I wanted to position the given numbers in a rotationally symmetric fashion, I did not want to give too many numbers away, and I was aiming for a fairly good fun factor. When enforcing rotational symmetry, decisions you make in some part of the puzzle directly affect other parts, so you will need to think ahead a lot. You will have to try things out, do and undo, and sometimes even start with a clean slate. For this puzzle, I twice cleared the grid entirely twice. The third time I eventually created something that worked (figure 5).

PuzzlePicnic.com Challenge

I am one of the founders of PuzzlePicnic.com, an online community for logic puzzle enthusiasts. We would like to challenge the readers of Eureka! to create and submit an original puzzle, using the puzzle design applet on this site. For more information about this challenge, and about the prizes, see page 31.  !


wetenschap

De rang van een elliptische kromme over een getallenlichaam Als je geconfronteerd wordt met een vergelijking is het natuurlijk om je af te vragen hoeveel oplossingen er zijn, en wat voor structuur de verzameling van oplossingen heeft. Zo'n vraag heeft eigenlijk pas zin als deze wat strikter gesteld wordt. De vergelijking x2 - 2 = 0 heeft bijvoorbeeld geen oplossingen over het lichaam Q, maar wel oplossingen over het lichaam R of over het tussenliggende lichaam Q(√2), dat we krijgen door aan Q een wortel van 2 toe te voegen zodanig dat het resultaat weer een lichaam is. Een lichaam zoals Q(√2) noemen we een getallenlichaam. De vragen hierboven zijn overigens niet alleen natuurlijk, ze blijken ook zeer interessante wiskunde voort te brengen. Immers vormen oplossingen van (polynomiale) vergelijkingen ook meetkundige structuren. In het vakgebied van de aritmetische meetkunde komen de getaltheorie en de meetkunde prachtig samen. Elliptische krommen

We bestuderen een elliptische kromme E over een getallenlichaam k. Dat betekent dat we een vergelijking van de vorm y2 = x3 + ax + b hebben waarbij a en b elementen van k zijn zodanig dat de kromme glad is. Denk hierbij aan een kromme zonder knikken of kruisingen. Meetkundig is het prettiger om deze vergelijking met een extra variabele uit te breiden zodat alle termen van gelijke graad zijn. We krijgen dan een nieuwe vergelijking y2z = x3 + axz2 + bz3. Omdat nu voor alle niet-nul λ ∈ k geldt dat als(x,y,z) een oplossing is dat (λx, λy, λz) ook een oplossing is, leggen we op onze ruimte een equivalentierelatie die eist dat dit soort punten `hetzelfde' zijn. Het gevolg is dat we weer in een vlak werken (nu met drie variabelen, en dus schijnbaar ingewikkelder), maar dat we in een zekere zin de oneindig verre punten ook tot ons vlak kunnen rekenen. Overigens is het gemakkelijk om de oude vergelijking weer terug te vinden: we kunnen immers de coördinaten van een oplossing zo schalen dat z = 1 geldt. Op het oneindig verre deel van ons vlak hebben we de punten toegevoegd die we niet kunnen schalen tot een oplossing van de oude vergelijking: dat

Door Erik Visse

zijn de punten met z = 0. Merk op dat voor een elliptische kromme er precies één zo'n punt is, namelijk (0, 1, 0). Dit speciale punt noteren we met O. De groepswet

In het vakgebied van de aritmetische meetkunde komen de getaltheorie en de meetkunde prachtig samen

Al lange tijd weten wiskundigen dat de oplossingen van een elliptische kromme over een getallenlichaam een abelse groep vormen, genoteerd met E(k). Dit betekent dat we op de verzameling oplossingen een abstracte optelling kunnen definiëren waarbij het punt O de rol van de nul speelt. In een plaatje is deze optelling het beste te begrijpen. Het is eenvoudig in te zien dat als men twee punten op een elliptische kromme neemt, dat de lijn door die twee punten de kromme in een uniek derde punt snijdt. Hierbij moeten de snijpunten met multipliciteit geteld worden, dus een raakpunt telt vaker mee. De optelling is nu zo gedefinieerd dat drie punten op een lijn optellen tot O. Min een punt is het punt gespiegeld in de y-as. In het plaatje geldt dus: p1 + p2 + p3 = O en p1 + p2 = –p3 = p4. Merk trouwens op dat deze abstracte optelling niet (direct) gekoppeld is aan de coöordinaten van een punt. In deze optelling zien we iets interessants: als we een punt P op de y-as nemen, dan is P blijkbaar zijn eigen inverse. Dus P + P = O geldt. Net zo kunnen er punten zijn die nul worden als we deze driemaal nemen, punten die viermaal zichzelf O opleveren, en zo verder. Maar er kunnen misschien ook punten zijn die als we ze bij zichzelf optellen nooit nul opleveren, zoals we gewend zijn van optelling in Z. Hier is dus de tweede vraag uit het begin van dit artikel relevant: wat voor een structuur heeft de oplossingsruimte? Eureka! nummer 44 – april 2014

13


wetenschap

Lichaam

Een algebraïsche structuur waarin men kan optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen door niet-nul elementen. Bijvoorbeeld Q, R of C, maar er zijn ook eindige lichamen zoals Z/pZ voor een priemgetal p. Getallenlichaam

Een eindig-dimensionale vectorruimte over Q dat zelf ook een lichaam is. Bijvoorbeeld Q(√2) of Q(i). Elliptische kromme

Een gladde kromme gegeven door een vergelijking y2 = x3 + ax + b, waarbij a, b elementen van een lichaam zijn. Abelse groep

Een algebraïsche structuur waarin men kan optellen. Denk aan Z, een lichaam, of een vectorruimte. Eindig-voortgebrachte abelse groep

Een abelse groep die men geheel kan verkrijgen door een eindig aantal elementen te nemen en die bij elkaar (en bij de uitkomsten) op te tellen of van elkaar af te trekken. Denk bijvoorbeeld aan een eindig-dimensionale vectorruimte (neem een basis) of Z (neem het element 1). Disjuncte banen

Een baan in een abelse groep definiëren we als de deelverzameling van elementen die men krijgt door een gekozen element steeds bij zichzelf op te tellen. Twee banen noemen we disjunct als ze geen elementen gemeenschappelijk hebben. Men kan hierover nadenken als twee wegen van elementen die elkaar niet snijden. Rang

Het maximale aantal disjuncte banen in een eindig-voortgebrachte abelse groep. De rang van Z is 1. Paring

Een paring van een abelse groep A naar een abelse groep B is een Z-bilineaire afbeelding [ , ] : A × A → B. Dat wil zeggen dat voor a, b, c ∈ A en n, m gehele getallen de gelijkheid [na + mb, c] = n[a, c] + m[b, c] geldt en analoog voor het tweede argument. Tweezijdige kern

Voor een paring [ , ] : A × A → B is de tweezijdige kern de deelverzameling van A gegeven door de elementen a ∈ A zodat voor alle b ∈ A geldt [a, b] = 0 en [b, a] = 0. 14

Eureka! nummer 44 – april 2014

De stelling van Mordell en Weil vertelt ons dat de abelse groep die gegeven wordt door de beschreven optelling zelfs een eindigvoortgebrachte abelse groep is.

De stelling van Mordell en Weil vertelt ons dat de abelse groep die gegeven wordt door de beschreven optelling zelfs een eindig-voortgebrachte abelse groep is. En voor eindig-voortgebrachte abelse groepen hebben we de structuurstelling die ons beschrijft hoe zo'n abelse groep er in het algemeen uitziet. Namelijk dat een abelse groep A eigenlijk te scheiden is in twee delen: de punten die voldoende vaak bij zichzelf opgeteld nul worden (de torsie-ondergroep) en de punten die nooit nul bereiken. Voor die laatste soort punten geldt dat als er een bestaat (wat vaak het geval is), dat er dan ook oneindig veel van bestaan. Immers, zij P zo'n punt, dan zijn ook 2P, 3P, en zo verder van dit soort punten. De interessante vraag hierbij is dan ook niet hoeveel het er zijn, maar wat het maximale aantal disjuncte banen is waar ze in liggen. Dit aantal is de rang van de eindig-voortgebrachte abelse groep. Het is in het algemeen niet bekend, gegeven een willekeurige elliptische kromme over een getallenlichaam, hoe zijn rang bepaald kan worden. Er bestaat een belangrijk vermoeden, die van Birch en SwinnertonDyer, dat informatie geeft over de rang in termen van zekere invarianten van de kromme. Het vermoeden is een van de nog openstaande Clay Millenium problemen en wordt beschouwd als een van de lastigste problemen in de moderne wiskunde. Het beste wat we tegenwoordig kunnen is de rang begrenzen. Mijn afstudeeronderzoek gaat over zo'n methode. De Selmergroepen

Met een elliptische kromme E over een getallenlichaam k kan men voor voor elk geheel getal n ≥ 2 is


teressante vraag hierbij is dan ook niet hoeveel het er zijn, maar wat het al disjuncte banen is waar ze in liggen. Dit aantal is de rang van de eindigabelse groep.

gemeen niet bekend, gegeven een willekeurige elliptische kromme over een m, hoe zijn rang bepaald kan worden. Er bestaat een belangrijk vermoeden, n Swinnerton-Dyer, dat informatie geeft over de rang in termen van zekere de kromme. Het vermoeden is een van de nog openstaande Clay Millenium (n) een zekereals groep de n-Selmergroep is in principe E(k)/n 2 E(k) ⊆ im(φ n)  ⊆ S (n2 ) (E/k). Dat wil wordt beschouwd een associëren, van de lastigste problemen Sin deErmoderne wiskunde. zeggen, we hebben een verzameling gevon(E/k). Deze groepen een handig middel om mis met de we tegenwoordig kunnen blijken is de rang begrenzen. Mijn niets afstudeeronderzoek den die in principe tussen E(k)/n 2 E(k) en de rang van E(k) te bepalen. Kies zo'n n en beschouw bovengrenzen methode. (n )

E(k)/nE(k), de abelse groep die we uit E(k) krijgen door S 2 (E/k) ligt. Als de tweede ongelijkheid die we op deze uit te delen naar alle n-vouden. Voor wie niet weet strikt is, dan kunnen we een betere bovenoepen wat dat betekent: denk aan een klok waarbij we zeg- manier kunnen grens voor r (hopen te) vinden dan die we sche kromme E over een getallenlichaam k kanaantal men voor voor elk geheel vinden. In de gen dat twee tijden gelijk zijn als ze een 12-voud vinden met de procedure zoals beschreven in een zekere associ¨ ren, dedan n-Selmergroep S (n) (E/k). Deze groepen uren groep verschillen. Weekrijgen (voor alleen de uren) de vorige paragraaf voor n2, maar alleen als praktijk is daar de abelse groep Z / 12Z. We kunnen gewoon optelwe een goede manier hebben om daadwerkendig middel om de rang van E(k) te bepalen. Kies zo’n n behoorlijk en beschouw echter len zoals we in Z doen en dan alle 12-vouden gelijk lijk im(φ n) te bepalen, of eigenlijk het aantal e abelse groep die we uit E(k) krijgen door uit te delenveel naarrekenkracht alle n-vouden. nemen aan 0. Zo geldt gewoon 1 + 1 = 2, maar ook elementen daarvan. Gelukkig is er een inteweet wat dat betekent: denk aan een klok waarbij we zeggen dat twee voor nodig. Er istijden 6 + 8 = 14 = 2. ressante eigenschap die im(φ n) vastlegt. Voor e een 12-voud aantal uren verschillen. We krijgen dan (voor alleen de uren) Het blijkt dat we E(k)/nE(k) kunnen opvatten als een daarnaast nog iedere n ≥ 2 bestaat er een paring op S (n) (E/k) p Z/12Z. We kunnen gewoon optellen zoals we in Z doen en dan alle 12deelverzameling van S (n)(E/k) hetgeen ons een onge- een andere waarvan im(φn) de tweezijdige kern is. Deze emen aan 0. Zo geldt + 1 = 2,van maar ook 8 = 14die = 2. lijkheid geeft voor gewoon het aantal1elementen beide ver-6 +manier (wel- paring heet de Cassels–Tate paring. (n) we E(k)/nE(k) deelverzameling van S zamelingen.kunnen Het is eenopvatten stelling datals #S (n)een (E/k) altijd ein- licht) minder (E/k) n ongelijkheid aantal elementen verzamelingen. In het geval waarin n een priemgetal is weten dig is. Alsgeeft we metvoor #V hethet aantal elementen van een van ver- beide rekenkracht (n) we hoe we de Cassels–Tate paring moeten zameling V noteren, dan krijgen we door de algemene ing dat #S (E/k) altijd eindig is. Als we met #V het aantal elementen kost. berekenen, namelijk als een oneindige som structuur van een eindig-voortgebrachte abelse groep eling V noteren, dan krijgen we door de algemene structuur van een eindigvan andere paringen, Tate lokale paringen te gebruiken via een aantal stappen de ongelijkheid abelse groep te gebruiken via een aantal stappen de ongelijkheid genoemd. Deze stelling laat het probleem eigenlijk in twee delen uiteen vallen: het #E(k)[n] · nr ≤ #S (n) (E/k) bepalen van wat we in de Tate paringen moe] notatie is voor de verzameling punten van E(k) die n-maal zichzelf Oten invoeren, wat we het `globale probleem' noemen, en het daadwerkelijk uitrekenen van waarbij E(k)[n] notatie is voor de verzameling punten aar r devan rang van E(k) is. Met deze ongelijkheid kan men een bovengrens deze Tate lokale paringen, wat we het `lokale E(k) die n-maal zichzelf O opleveren en waar r (n) oor eende n te kiezen en #S te bepalen.kanDoor probleem' noemen. Voor het geval n = 2 heeft rang van E(k) is. Met(E/k) deze ongelijkheid men dit voor steeds grotere men hopen betere (dat zeggen: bovengrenzen te vinden. Cassels in de jaren `90 al laten zien hoe de een bovengrens voorwil r vinden doorstriktere) een n te kiezen en Cassels–Tate paring berekend kan worden. #S (n)(E/k) te bepalen. Door dit voor steeds grotere n te Tate paring Voor de oneven priemgetallen weten we dit doen, kan men hopen betere (dat wil zeggen: striktere) uit recent onderzoek van onder andere een bovengrenzen te vinden. pe niets mis met de bovengrenzen die we op deze manier kunnen vinden. van mijn begeleiders. In mijn eigen afstuis daar echter behoorlijk veel rekenkracht voor nodig. Er is daarnaast deeronderzoek heb ik de Tate lokale paringen De Cassels–Tate paring e manier die (wellicht) minder rekenkracht kost. Over deze alternatieve bestudeerd en het lokale probleem opgelost, Er is in principe niets mis met de bovengrenzen die we mijn afstudeeronderzoek. Laten we nu voor een gekozen n ≥ 2 ook de groep dat wil zeggen: gegeven dat je weet wat je in op deze manier kunnen vinden. In de praktijk is daar eschouwen. is een afbeelding gegeven vermenigvuldiging met n van de paringen in moet vullen hebben we een echterEr behoorlijk veel rekenkracht voordoor nodig. Er is 2 E(k) en een afbeelding ϕ : S (n) (E/k) → S (n2 ) (E/k) zodanig aar E(k)/n formule voor de uitkomst daarvan. daarnaast nog een andere manier dien(wellicht) minder de diagram commuteert (hetgeen betekent dat opgaat twee manieren de pijlen rekenkracht kost. Over deze alternatieve methode Het globale probleem is nog onopgelost. Ik mijn afstudeeronderzoek. Laten we nu voor een gekohoop na mijn afstuderen daaraan verder te zen n ≥ 2 ook de groep E(k)/n 2E(k) beschouwen. Er is kunnen werken.  ! een afbeelding gegeven door vermenigvuldiging met 2 n van E(k)/nE(k) naar E(k)/n 2E(k) en een afbeelding φn : #S (n)(E/k) → #S (n2 )(E/k) zodanig dat het volgende diagram commuteert (hetgeen betekent dat op twee Erik Visse manieren de pijlen volgen hetzelfde resultaat geeft):

e resultaat geeft):

E(k)/nE(k) −−−−→ S (n) (E/k)     ϕn  ×n 2

E(k)/n2 E(k) −−−−→ S (n ) (E/k).

horizontale afbeeldingen de inclusies van E(k)/nE(k) in Hierin zijn de horizontale afbeeldingen de inclusies van E(k)/nE(k) in S (n)(E/k) en analoog voor n2.

Erik Visse begon met een studie natuurkunde voordat hij ontdekte hoe leuk wiskunde eigenlijk is. Na zijn bachelor in beide vakgebieden gehaald te hebben deed hij een master wiskunde in de richting van algebra, meetkunde en getaltheorie. Dit artikel schreef hij naar aanleiding van zijn onderzoek waarop hij afgelopen maart is afgestudeerd, onder begeleiding van David Holmes en Rachel Newton. Naast zijn studie was hij vrijwilliger voor (n) (E/k) en anaSen voorzitter van stichting Rino en heeft hij enkele commissies bij De Leidsche Flesch gedaan. In 20122013 was hij hoofdredacteur van Eureka!.

ϕn ) het beeld van ϕn noteren, dan hebben we de volgende ongelijkheden: met im(φn) het beeld van φn note(n2 ) (E/k). evisse@math.leidenuniv.nl ⊆ im(ϕn )Als ⊆ Swe Dat wil zeggen, we hebben een verzameling gevon2) ren, dan hebben we de (n volgende ongelijkheden: 2 (E/k) ligt. Als de tweede ongelijkheid cipe tussen E(k)/n E(k) en S unnen we een betere bovengrens voor r (hopen te) vinden dan die we vinocedure zoals beschreven in de vorige paragraaf voor n2 , maar alleen als manier hebben om daadwerkelijk im(ϕn ) te bepalen, of eigenlijk het aantal

Eureka! nummer 44 – april 2014

15


fotoreportage

Het

Tekst: Tom Warmerdam Foto’s: Pim Overgaauw

Academiegebouw

Het academiegebouw is voornamelijk bekend vanwege het groot auditorium en de promoties en oraties die er plaatsvinden. Er is echter nog veel meer te zien: een geheel van gangen en faculteitskamers huisvest bijvoorbeeld de grootste niet-museale portrettencollectie van Nederland. De receptiekamer inclusief serre en binnenplaats wordt veelvuldig gebruikt na afloop van een oratie of promotie. Samen met het bekende zweetkamertje en het klein auditorium, dat momenteel voor lezingen gebruikt wordt, vormt dit alles een geheel van faciliteiten voor de universiteit, waarin ook veel historie bewaard blijft.

Het groot auditorium werd vroeger gebruikt voor college. Studenten moesten staan.

Groot Auditorium

16

In het zweetkamertje mogen afgestudeerden hun naam op de muur schri jven. Tegenwoordig mag dit alleen nog met potlood. Eureka! nummer 44 – april 2014

Het Zweetkamertje


In het zweetkamertje vind je ook de handtekeningen van Beatrix en Nelson Mandela.

an Mand v g in n e k e t d n Ha

ela

Op de binnenplaats vind je de bustes van o.a. Dodoneus, Linnaeus, Clusius en Von Siebold.

De Binnenplaats

In de Togakamer kunnen professoren hun toga vinden middels een systeem met nummers. De Rector Magnificus heeft het "nummer" R.M.

De Togakamer Eureka! nummer 44 – april 2014

17


wetenschap

MRI op de nanoschaal extreme microscopie

Driedimensionale plaatjes met atomaire precisie met MRI-AFM

In het Kamerlingh Onnes Laboratorium probeert de Oosterkampgroep een microscoop te bouwen die plaatjes kan maken van eiwitten met atomaire precisie. Hiervoor wordt MRI (Magnetic Resonance Imaging) gecombineerd met AFM (Atomic Force Microscopy) bij extreem lage temperaturen. We zoeken de grenzen op van de kwantummechanica, laten kleine stukjes supergeleider zweven en zoeken antwoorden voor de fundamentele vastestoffysica. De MRI-AFM biedt zeer veel mogelijkheden en het is een grote uitdaging om alle technieken te combineren en te laten werken in één krachtige microscoop. Door Jelmer J.T. Wagenaar

Figuur 1: De MRI-AFM van de Oosterkampgroep. Het uiteindelijke experiment vindt plaats in het onderste kamertje, afgeschermd door supergeleidend materiaal. 18

Eureka! nummer 44 – april 2014

Inleiding

Het vloeibaar maken van helium door Kamerlingh Onnes in 1908 in Leiden leidde tot geweldige innovaties. Een voorbeeld is de MRI-scanner in het ziekenhuis, waar deze koude vloeistof in wordt gegoten om grote elektrische spoelen supergeleidend te maken. Ons onderzoek in het Kamerlingh Onnes Laboratorium – nu meer dan 100 jaar later – aan de MRI-AFM heeft veel overeenkomsten met de normale MRI-scanner. Wanneer er een MRIscan van je gemaakt wordt, word je in een grote magneet geschoven; deze magneet laat kleine minimagneetjes, de zogeheten ‘kernspins’ van waterstofatomen, dezelfde kant op wijzen. Een hoogfrequent signaal wordt op de atomen afgevuurd, die als reactie hoogfrequente signalen terugsturen. Door dit teruggestuurde signaal te meten kunnen we informatie krijgen over de omgeving van de waterstofatomen: zo is het zelfs mogelijk om kankerweefsel te onderscheiden van normaal weefsel. Omdat het sample, in dit geval een levend lichaam, niet erg koud is, bewegen de te meten kernspins continu. Alleen door extreem veel kernspins tegelijkertijd te meten kan genoeg signaal gedetecteerd worden. Maar doordat we zoveel kernspins tegelijk moeten meten, kunnen we niet preciezer meten dan enkele tienden van millimeters. Dit is een miljoen keer te grof voor


Over de auteur:

Jelmer Wagenaar studeerde natuurkunde in Leiden en studeerde in augustus 2013 af na het schrijven van een onderzoeksvoorstel getiteld “Exploring topological surface states with MRI-AFM”. De komende vier jaar kan hij dit onderzoeksvoorstel uitvoeren onder begeleiding van Tjerk Oosterkamp.

wagenaar@physics.leidenuniv.nl

het in kaart brengen van hoe een enkel eiwit in elkaar zit. Om heel precies te meten, meten we bij heel lage temperaturen. Maar dit alleen is niet genoeg: het gehele apparaat moet een stuk kleiner zijn om het hoogfrequente signaal beter te kunnen richten op de waterstofatomen. Ook de detector moet gevoelig genoeg zijn om het signaal van enkele atomen te kunnen meten. Om dit alles te bereiken, stelde Sidler in 1991 voor om de precisie van AFM te gebruiken om de resolutie van MRI te verbeteren. Hierbij tast normaal gesproken een naald een oppervlak af om dat met atomaire precisie in kaart te brengen. [1]. Kort daarna zijn de eerste MRI-AFM plaatjes gemaakt door Zuger en Rugar [2] en minder dan twintig jaar na de uitvinding is in 2009 een driedimensionaal plaatje gemaakt van een tabaksmozaïekvirus met een resolutie van 5 nanometer, zoals te zien is in figuur 2 [3]. Prof. Tjerk Oosterkamp heeft de afgelopen vijf jaar, in nauwe samenwerking met onder andere de fijnmechanische dienst, twee postdocs en promovendus Geert Wijts, een MRI-AFM in Leiden ontwikkeld. In 2011 wisten zij de werking van de MRIAFM te demonstreren met een meting aan Figuur 2: MRI-AFM plaatje van een tabaksmozaïekvirus gemeten door Degen e.a. [3] De resolutie van dit plaatje is 5 nanometer, nog niet voldoende om individuele atomen te kunnen onderscheiden.

Oosterkampgroep

De Oosterkampgroep houdt zich voornamelijk bezig met de ontwikkeling van de MRI-AFM. Op deze foto staan de groepsleden (van boven met de klok mee): Prof. Tjerk Oosterkamp, Arthur den Haan, Hiske Overweg, Bob van Waarde, Jelmer Wagenaar en Marc de Voogd.

physics.leidenuniv.nl/oosterkamp-group-home

elektronenspins waarvan de resultaten zijn gepubliceerd in Nature Communications. [4] Prof. Oosterkamp heeft recentelijk een Vici-subsidie ontvangen om de resolutie van de MRI-AFM verder te verbeteren zodat ook kernspins gedetecteerd kunnen worden. De werking van een MRI-AFM

De MRI-AFM uit de Oosterkampgroep is schematisch geschetst in figuur 4. Als detector wordt een klein magneetje gebruikt dat gemonteerd is op een heel slappe hefboom die zelf maar 0.1 millimeter lang is (figuur 3). Wanneer de magneet in de buurt komt van een spin, die zelf een kleine magneet is, wordt de magneet aangetrokken of afgestoten, afhankelijk van de richting van de spin. Door vervolgens met een hoogfrequent signaal, geleverd door een klein draadje (microwire), de richting van de spin precies om te laten draaien op de frequentie van de hefboom, kunnen we de hefboom laten slingeren op dezelfde manier zoals je iemand aanduwt op een schommel. In de enkele MRI-AFM’s die er zijn op de wereld, wordt het trillen van de hefboom veelal gemeten met een reflecterende laserbundel. Het nadeel hiervan is dat het licht het experiment opwarmt, waardoor de temperatuur niet zo laag is als zou kunnen. De Oosterkampgroep heeft

een techniek ontwikkeld die het mogelijk maakt de beweging van de hefboom te meten zonder het experiment op te warmen, waardoor bij extreem lage temperaturen gemeten kan worden. De techniek gebruikt een SQUID (Superconducting QUantum Interference Device) dat de heen en weer bewegende magneet op de hefboom detecteert met behulp van een klein supergeleidend oppikspoeltje, dat reageert op een veranderend magneetveld. Hierdoor zijn we in staat om experimenten uit te voeren bij een temperatuur van 10 milliKelvin, ofwel 1/100 ⁰C boven het absolute nulpunt. Huidig onderzoek

Momenteel wordt er een tweede MRI-AFM gebouwd naast de huidige in het Kamerlingh Onnes Laboratorium. De groepsleden houden zich bezig met verschillende experimenten. Eén onderzoek is het Lead Zeppelin project. Martin de Wit voerde tijdens zijn bachelorproject metingen uit aan een zwevend magneetje: een bolletje van supergeleidend materiaal tussen twee elektromagneten. Op deze wijze hoeft de magneet niet meer aan een hefboom vastgemaakt te worden en zou de detector veel gevoeliger kunnen zijn. Na het succes van Martin met zwevende stukjes lood, proberen we deze

Figuur 3: Een SEM afbeelding van de voor de experimenten gebruikte hefboom met op het einde een klein magnetisch bolletje. Het magneetje is enkele micrometers groot.

Eureka! nummer 44 – april 2014

19


wetenschap

Figuur 4: Een schematische weergave van de MRI-AFM uit de Oosterkampgroep. [4] De magneet, vastgeplakt aan een hefboom, wordt gedetecteerd door een oppikspoeltje dat zijn signaal doorstuurt naar een zeer gevoelige SQUID. Door een microwire wordt een hoogfrequent signaal gestuurd waarmee elektronenspins gemanipuleerd worden, om ze zo te kunnen detecteren.

Conclusie

MRI-AFM biedt veel mogelijkheden bin20

Eureka! nummer 44 – april 2014

Naast deze nuttige toepassing binnen de biofysica, kan de

MRI-AFM

mogelijk fundamentele vragen beantwoorden over de grenzen van de kwantummechanica

nen verschillende onderzoeksgebieden. Doordat magnetische resonantietechnieken worden gecombineerd met atomaire precisie, kunnen we proberen een driedimensionaal plaatje te maken van eiwitten. Naast deze nuttige toepassing binnen de biofysica, kan de MRI-AFM mogelijk fundamentele vragen beantwoorden over de grenzen van de kwantummechanica en kunnen we onderzoek doen naar slecht begrepen materialen zoals topologische isolatoren. Al deze vragen vormen een voldoende grote motivatie om deze ingewikkelde microscoop tot het extreme te laten gaan: MRI tot op de nanoschaal.  !

Referenties [1] J A. Sidles, Noninductive detection of single-proton magnetic resonance, Applied Physics Letters, 1991. [2] O. Zuger and D. Rugar, First images from a magnetic resonance force microscope, Applied Physics Letters, 1993. [3] C. L. Degen, M. Poggio, H. J. Mamin, C. T. Rettner, and D. Rugar, Nanoscale magnetic resonance imaging, Proceedings of the National Academy of Sciences, 2009. [4] A. Vinante, G. Wijts, O. Usenko, L. Schinkelshoek, and T. Oosterkamp, Mag-

Figuur 5: Links: We willen onze hefboom in een kwantumsuperpositie brengen met een enkele spin in diamant. Rechts: Om een perfecte resonator te krijgen, proberen we een supergeleidend bolletje tussen twee magneetvelden in te plaatsen, om zo het bolletje te laten zweven.

Figuur 6: Een voorgesteld experiment is om de oppervlaktetoestand van een topologische isolator te bestuderen. De inset laat het signaal zien van kernspins nadat deze zijn beschoten met hoogfrequente straling. Het terugvallen van de kernspins naar evenwicht gaat sneller wanneer er veel beweeglijke elektronen in de omgeving zijn wat bij het oppervlak van een topologische isolator het geval is.

netic resonance force microscopy of paramagnetic electron spins at millikelvin temperatures, Nature Communications, Dec. 2011.a

frequency

techniek nu te verbeteren om zo de perfecte resonator te maken. Wanneer we de resonator zodanig verbeterd hebben dat de detectie van afzonderlijke spins mogelijk is, kunnen we deze gebruiken voor experimenten waarin het magneetje in een kwantummechanische superpositie wordt gebracht. Immers, een spin kan tegelijkertijd omhoog of omlaag wijzen – een eigenschap die bijvoorbeeld aan de TU Delft wordt gebruikt om een kwantumcomputer te bouwen – en wanneer de spin zich in een dergelijke toestand bevindt, zal het magneetje tegelijkertijd worden aangetrokken en afgestoten. Hoe we moeten nadenken over een dergelijke tegenintuïtieve gang van zaken, namelijk een (grote) magneet die zich op twee plekken tegelijk bevindt en op die manier de wetten van de kwantummechanica alsook die van de algemene relativiteitstheorie zou moeten gehoorzamen (of juist allebei niet!), is iets waaraan Tjerk Oosterkamp samen met onder anderen theoretisch natuurkundigen Roger Penrose en Jan Zaanen heeft gewerkt en waaraan wij in de komende jaren metingen hopen te kunnen gaan doen. De kracht van de microscoop om magnetische resonantie-experimenten heel lokaal te kunnen uitvoeren kunnen we ook gebruiken binnen de vastestoffysica. We willen bijvoorbeeld de MRI-AFM gebruiken om speciale oppervlakken te bestuderen, waar gangbare huidige technieken tekortschieten. Interessant zijn bijvoorbeeld de recent ontdekte topologische isolatoren, die een oppervlak hebben dat stroom geleidt terwijl de rest van het materiaal dit niet doet, of het raakvlak van LAO/STO, dat bij milliKelvin temperaturen een tweedimensionaal supergeleidend elektrongas zou hebben. De MRI-AFM zou metingen kunnen verrichten aan zulke materialen zoals schematisch is weergegeven in figuur 6.

T1

time surface state

Topological Insulator


INTERVIEW

'I write

the way

I talk' Interview with David Griffiths

By: Erik Visse, masterstudent wiskunde and Kevin Widdershoven, bachelorstudent natuurkunde en geschiedenis. Pictures: Pim Overgaauw.

We meet Professor Griffiths down in the hall of the Huygens laboratory during the symposium of De Leidsche Flesch where he is speaking. He immediately comes across as a very pleasant and open person. We start the interview with the obvious questions about the books that Griffiths is most famous for with the local students. With our very first question we encounter the lively way in which he speaks. When asked about how his wonderful books came into existence, he tells us about how he, as a post-doc, was assigned to teach electrodynamics and had to use the prescribed book that both he and the students hated. He decided to hand out notes on the difficult or unclear passages. When he was teaching the same course over a time span of five years, these notes became more elaborate until he stopped using books altogether and switched to using only his notes. In the USA- at least in those times- it was normal for publishers to approach scientists, asking them if they were writing or would want to write a book. At first, Professor Griffiths tried to get rid of such people, but he went ahead with it when a publisher called and told him he wanted to print his electrodynamics course notes, mainly because he believed that the informal style would be

appreciated by students from other universities too. He explains that his style of writing is how it is because "I write the way I talk". This is definitely true and it makes the interview a very nice and friendly experience. Griffiths continues by telling us about the negative reactions he got from colleagues about his tone of writing, them believing it not to be scientific or formal enough. Griffiths disagrees and explains that the passive voice is very dull. He gives us an example about the measuring of the electron charge. One could say "the electron charge was measured", but why not say "I measured the electron charge" (in Millikan's case). The objectivity that the former sentence suggests is almost a lie. "It wasn't something that just happened." While his book on quantum mechanics is also derived from lecture notes, Griffiths did sit down to write his book on particle physics from scratch. But never would he dream of writing a textbook before having taught a subject at least four or five times. He explains: "Every time you teach a subject, you realise that you did many things wrong and for a book you want to get everything right." Unfortunately, this also means that Griffiths is not planning to write a book on optics or on Eureka! nummer 44 – april 2014

21


interview

thermodynamics, the two courses for which books are used that the local students complain about the most. Griffiths warns us that typos and small mistakes that occur in books are not necessarily the fault of the author, as it is common practice for publishers to take a perfect TeX-file and butcher it in order for it to fit their own standards. We ask Professor Griffiths which of his books he is most proud of. He explains that his electrodynamics book has seen so many editions so that he believes that he has found all mistakes and unclarities. He also states that this is the subject about which it is easiest to write a textbook for as everyone agrees what should be covered and in what order. "I don't think it would be a crime if everybody used my electrodynamics book- I think it would be terrible if everybody used my quantum mechanics book, because there are many different ways of teaching quantum mechanics and they all ought to be represented."

"I want a student to come out of my class thinking; 'I could do that'" About David Griffiths David Griffiths is emeritus professor at Reed College, Oregon. He is very famous throughout the world of physics students because of his books on electrodynamics, quantum mechanics and elementary particles. Since retiring from teaching, he has become more active in research where he studies open problems in classical subjects. He was a keynote speaker at the symposium that De Leidsche Flesch organised in November last year. 246 people were present during his talk that was filmed and simultaneously shown in a second room.

✉ 22

Eureka! nummer 44 – april 2014

Griffith@reed.edu 

academic.reed.edu/physics/faculty/griffiths.html


While talking about the quantum mechanics book, we recall the picture of a living cat on the front cover and a dead one on the back cover. ("No, no, it's sleeping.") Apparently there have been a dozen serious complaints from people who believe that a dead cat on the cover encourages cruelty to animals. When one of us remarks that his edition of the book doesn't have the cat pictured we take out the book and Griffiths is amazed. We seem to own an edition that he has never seen, that does not have the useful integrals and formulas inside the cover and what is worse: it is even missing a chapter. ("That's outrageous! Why did they do that?") While normally authors have no control over the cover design, someone from the publishing company called Griffiths and asked what he thought of printing a cat on the cover. Then he suggested the joke and thought nothing more of it until he got a physical copy of the book and recognised the picture from the front cover of the Scientific American. When Griffiths warned his publisher that they had to stop selling these books because of copyright infringement, the only response he got was not to worry about it. He still has no idea what that meant. "I'll tell you another nice story. One that has to do with Leiden." Several years ago Griffiths got an email from a student here who said she could not use her quantum mechanics book as her cat slept on the cover. We continue to talk about his general views on teaching, not necessarily his books. Griffiths tells us that he had both great role models and good examples of what horrible teaching is. In the first category he mentions his advisor Sidney Coleman, Norman Ramsey and Ed Purcell who wrote in Griffiths's opinion the greatest book on physics ever written. Griffiths stresses that this was at Harvard where people are hired because of their scientific accomplishments, not because they are good teachers. Being a good teacher might even be a black mark for the department because American universities consider time spent on preparing for lectures a waste compared to spending that time on research. Griffiths works at Reed College where this is actually the other way around. In colleges people are hired and promoted based on their strength in teaching. The fact that he retired three years ago makes for the curiosity that nowadays he is more involved in research than he ever was while still teaching. Over the course of his career there have been many interesting problems that

"Physics is hard and if I can make it at all easier, then I should do that" he did not have time for to study and which now again have risen to his attention, even in such a classical, seemingly finished subject as electrodynamics. One such problem is the radiation-reaction problem, which is also discussed near the end of Griffiths book. When a charged particle is accelerated, it gives off radiation, which costs energy. As a consequence, a charged particle is accelerated less relative to an uncharged particle when they are hit with the same force. The equation that describes this however, either admits runaway solutions (infinite acceleration) or pre-acceleration (starting to move before the causing force hits). Solutions to this are known, but only to either problem, not both. We finish the interview with a question that usually arises when talking to people who are very involved in teaching: we ask for Griffiths's best tip for students who want to become good teachers. His answer: "Remember all of the places where you had trouble because that are going to be the places where other people will get troubled." His second tip is to colleagues who are having trouble with their teaching and comes down to thinking everything through thoroughly from a basic point of view since too often people tend to give backward arguments. Griffiths concludes with his personal viewpoint. He wants to empower students: "I want a student to come out of my class thinking 'I could do that'. I never want them to come out thinking 'how the hell did he do that?' I think that intimidating or trying to impress the students is always a big mistake." It is this idea that lies in the basis of Griffiths's books. His aim is to have the students feel that the author is on their side. "Physics is hard and if I can make it at all easier, then I should do that." After having finished the interview, we ask him if he would sign our textbooks. He does sign our electrodynamics book, but he refuses to sign our faulty copy of the quantum mechanics book, saying he will contact his publisher about it.  ! Eureka! nummer 44 – april 2014

23


Geschiedenis

Christiaan Huygens – the premier ornament of his time

Figure 1. Huygens’s sketch accompanying his proof that the hanging chain does not take on the shape of a parabola.  

John Bukowski, Juniata College (USA)

In 2013, cultural institutions across the Netherlands celebrated Huygensjaar, in honor of the 17th-century figures Constantijn and Christiaan Huygens. Most events were held in Den Haag, the Huygens family’s hometown, and Leiden, the city where Christiaan lived as a university student. While many people in the Netherlands seem to know much about Constantijn Huygens, they know less about his brilliant son Christiaan. Recently I gave a lecture about the work of Christiaan Huygens in the United States, and a colleague said to me, “[Christiaan] Huygens should be better known!” Of course I had to agree. Early life

Christiaan Huygens was born in Den Haag on April 14, 1629, as the second son of Constantijn Huygens and Susanna van Baerle. Constantijn was secretary to the Stadhouder Prins Frederik Hendrik, and as a result he had many important intellectual contacts and was somewhat wealthy. The Huygens family lived on the Lange Houtstraat in Den Haag for the first eight years of Christiaan’s life [3], until Christiaan’s mother died shortly after giving birth to her daughter Susanna in 1637. Following this, Constantijn and his five children moved nearby to an elegant house on the Plein, not far from the Mauritshuis. Unfortunately, the Huygenshuis no longer stands today. In addition to his position with the stadhouder, Constantijn was also known as a poet and a composer (in fact, a sign at the Constantijn Huygenslaan near Universiteit Leiden refers to him as “Dichter”). The Huygens children were provided a musical education, and Christiaan learned to play the viola da gamba, the harpsichord, and the lute. In 1644 Constantijn hired Jan Janszoon Stampioen de Jonge to teach mathematics to Christiaan and his older brother, also named Constantijn. Leiden and the hanging chain

In 1645 Christiaan and his brother enrolled at Universiteit Leiden to study law, and lived on the Steenschuur. During his two years in Leiden, Christiaan was given lessons in mathematics by Frans van Schooten, Jr., who was soon to become “Hoogleraar Wiskunde” at the 24

Eureka! nummer 44 – april 2014

university. [4] Through his father, Christiaan became involved in correspondence with the French monk (and mathematician) Marin Mersenne in late 1646. In his letters, the seventeen-year-old Huygens proved to Mersenne that the hanging chain did not take the form of a parabola, as had been generally thought in the early 17th century. Huygens began his argument by hanging equal weights at equal intervals along a weightless chain. He then used similar triangles and the geometric properties of parabolas to prove that the points of connection of Figure 3: Short musical composition by Christiaan Huygens. Copyright Universiteitsbibliotheek Leiden. Hug. 27, f. 52r.


Figure 2. Huygens’s sketch showing how to force the chain into the shape of a parabola.

this chain cannot all lie on the same parabola, which was his claim to Mersenne (see Figure 1). He followed this result by showing how to force the chain into the shape of a parabola, which Mersenne had requested. To do this, Huygens instead hung equal weights from a weightless chain at equal intervals along the horizontal axis (rather than along the chain itself, as he did earlier) (see Figure 2). This is in fact the basic principle behind the parabolic shape of the cables of a suspension bridge. See my article [2] for a more complete explanation of Huygens’s proof of the shape of the hanging chain. Important Work in the 1650s

During the 1650s Huygens did notable work in a variety of areas, and he started to become well-known. In 1654 Christiaan and his brother Constantijn began grinding lenses and constructing their own telescopes. [5] In 1655 Christiaan discovered the largest moon of Saturn, later named Titan. Soon he became the first person to understand and explain the rings of Saturn. In his honor, ESA and NASA gave the name Huygens to the space probe that landed on Titan in 2005. The Huygens brothers’ lenses can be seen at both the Museum Boerhaave in Leiden and the Huygensmuseum Hofwijck in Voorburg, near Den Haag. Next came the invention for which Huygens may be best known: the pendulum clock. Huygens discovered that in order to obtain a pendulum that has the same period regardless of amplitude, he needed to force the pendulum bob to follow the path of a cycloid instead of a circle. The Museum Boerhaave has a cycloidal pendulum clock that was owned by Huygens (although not built by him). Huygens was also involved in the early development of probability theory. Following up on the letters between Pascal and Fermat, in 1656 Huygens wrote “Van Rekeningh in Spelen van Geluck.” [6] The next

Figure 4: Hofwijck, the home of Constantijn and Christiaan Huygens in Voorburg.

year van Schooten translated it into Latin as “De ratiociniis in ludo aleae,” which is considered to be the first published work on probability. Music Theory

Given Huygens’s musical background, it is no surprise that he had an interest in music theory. Huygens (and others) knew that one could not develop a consistent tuning of the musical scale using widely-accepted whole number ratios for string lengths (or inversely, for frequencies), such as 2:1 for the octave and 3:2 for the fifth. In 1661 he used logarithms to derive the string lengths of the notes in a 31-tone scale. While Huygens was only interested in those notes that most closely matched those in the traditional 12-tone scale, others have used the entire Huygens 31-tone scale in their music. The twentieth-century Dutch physicist Adriaan Fokker widely promoted 31-tone music, and he designed a 31-tone organ that is currently housed at the Muziekgebouw aan’t IJ in Amsterdam. Among Huygens’s manuscripts at the Universiteitsbibliotheek Leiden is one musical composition, a short piece in 3/4 time in the key of e-minor (see Figure 3). Paris, Hofwijck, and a return to the hanging chain

Huygens spent many of the years from 1666 to 1681 in Paris, with trips home to Den Haag when he was ill. In Paris he was invited to organize the Académie des Sciences [1], and while there he met Gottfried Leibniz. Huygens served as a mentor to Leibniz, and when Huygens returned to the Netherlands they maintained a correspondence that continued for the rest of his life. Huygens’s father Constantijn died in 1687 at the age of 90 and was buried in the Grote Kerk in Den Haag. After his father’s death, Christiaan lived most of the rest of his life at Hofwijck, the house that Constantijn designed and built in Voorburg. The house still stands today as the Huygensmuseum Hofwijck (see Figure 4). Eureka! nummer 44 – april 2014

25


geschiedenis

Figure 5: Huygens’s sketch for use with trapezoidal rule to compute quadratures. Copyright Universiteitsbibliotheek Leiden. Hug. 7, f. 95r.

Figure 6

In 1690 the problem of the hanging chain made another appearance in the life of Huygens. Since Huygens and two others previously showed only that the chain did not take the shape of a parabola, Jacob Bernoulli asked readers of the Acta Eruditorum to find the actual shape of the curve. One year later, solutions from Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz, and Christiaan Huygens appeared in the Acta. It is worth noting that in a letter Huygens wrote to Leibniz in late 1690, he coined the Latin term catenaria to describe the curve (from the Latin catena, for “chain”) – this became the English word catenary. While Huygens was not able to derive an equation of the catenary in his paper, he described many properties of this curve, such as its arclength, radius of curvature, and evolute. For a particular special case, he computed the arclength of the catenary to within an error of 0.002%. To get this result, Huygens first related the arclength of the catenary to the quadrature of two auxiliary curves, which he computed using a trapezoidal rule with 40 subintervals (see Figures 5 and 6). Christiaan Huygens died on July 8 1695, and was buried next to his father in the Grote Kerk. Upon lear-

ning of Huygens’s death, Leibniz wrote, “The loss of the illustrious Monsieur Huygens is inestimable; few people knew him as well as I; in my opinion he equaled the reputation of Galileo and Descartes and aided theirs because he surpassed the discoveries that they made; in a word, he was one of the premier ornaments of our time.” [7] We are fortunate that Huygens left all his manuscripts and notebooks to Universiteit Leiden, where they are housed at the Universiteitsbibliotheek in the department “Bijzondere Collecties”. The American math historian Joella Yoder has recently published a complete catalog of the entire Huygens collection and a concordance with his printed works [8]. Hopefully with continued study of the Huygens manuscripts, as well as ongoing exhibitions at Museum Boerhaave and at Hofwijck, we can ensure that Christiaan Huygens will indeed become better known! Dank U

Special thanks to the Universiteitsbibliotheek Leiden for the use of the Christiaan Huygens Collection in my work and for the permission to reproduce the images of the manuscripts in this article.  !

References About the author: John Bukowski is Professor and Chair of the Department of Mathematics at Juniata College, a small liberal arts institution in Huntingdon, Pennsylvania, in the United States. He is an applied mathematician who enjoys studying the history of mathematics in the seventeenth and eighteenth centuries, particularly the work of Christiaan Huygens. He and his family were fortunate to live in Leiden during the 2012 spring semester. During that time, he worked with the Christiaan Huygens manuscripts and notebooks at the Universiteitsbibliotheek and taught History of Mathematics to 18 students at the Mathematisch Instituut.

✉ 

bukowski@juniata.edu faculty.juniata.edu/bukowski

26

Eureka! nummer 44 – april 2014

1. Henk J.M. Bos, Christiaan Huygens, in Lectures in the History of Mathematics, History of Mathematics 7, Amer. Math. Soc., 1993, pp. 59-81. 2. John Bukowski, Christiaan Huygens and the Problem of the Hanging Chain, College Math. J. 39 (2008) 2-11. This article can be accessed through JSTOR at http://www.jstor.org/stable/27646561 . 3. Ad Leerintveld, et al., Constantijn & Christiaan Huygens – Een Gouden Erfenis, Lecturis, 2013. 4. Gerrit van Dijk, Leidse hoogleraren Wiskunde 1575-1975, Universiteit Leiden, 2011. 5. Albert van Helden, De maan en ring: Christiaan Huygens en Saturnus, in Christiaan Huygens: Facetten van een genie, European Space Agency, 2004, pp. 18-23. 6. Rienk Vermij, Christiaan Huygens: De mathematisering van de werkelijkheid, Veen Magazines, 2004. 7. Joella Yoder, Christiaan Huygens’ Great Treasure, Tractrix 3 (1991) 1-13; quote translated from G.W. Leibniz letter to Basnage de Beauval, draft, 16/26 July 1695, in Oeuvres complètes de Christiaan Huygens 10 (1905) 721. 8. Joella G. Yoder, A Catalogue of the Manuscripts of Christiaan Huygens including a concordance with his Oeuvres Complètes, Brill, 2013.


De Leidsche flesch

Met bakken uit de hemel Lieve lezer, het afgelopen kwartaal zijn er een hoop mooie dingen gebeurd in en rondom de Flesschekamer. Zo hadden wij in november een groots symposium, waar de wereldberoemde David Griffiths langskwam om een lezing te geven. Nog nooit heeft een spreker zoveel stafleden uit hun kamers weten te trekken, de toestroom was enorm. Vele studenten hebben hun studieboeken nu voorzien van een prachtige handtekening. Hopelijk motiveert dat bij het studeren. De FooBar is daarnaast omgetoverd geweest tot een waar casino, waar de studenten vol hartenlust met munten konden smijten bij de roulette. Ook hebben we genoten van pannenkoeken, konden we schaatsen op het ijs en hebben we genoten van een vlammend kerstdiner. We hebben daarnaast nog gelasergamed in het Snellius: de collegezalen en gangen werden getransformeerd tot een waar oorlogsgebied, inclusief rookmachines en een stroboscoop.

De komende tijd blijven we in de internationale sferen, met een Tapas- en Sangría­avond en een excursie naar Antwerpen waar we onder andere een diamantlab en de haven een bezoekje zullen brengen. We zullen daarnaast weer kunnen genieten van een bar: de FooBar is gedurende de kerstvakantie en januari verbouwd en zal binnenkort eindelijk worden opgeleverd. De afgelopen weken was het flink improviseren met activiteiten, want met de kou werd het niet altijd gewaardeerd om glühwein in de tuin te drinken.

Ik ben zojuist terugkomen uit het prachtige Londen, waar we met zestig eerstejaars middenin het centrum Het voelt een beetje raar om te bedenken dat ik mijn zijn verbleven. We bezochten Imperial College en volgende voorwoord in een lentezonnetje zal schrijKings College, met als een van de hoogtepunten een ven. Hopelijk kan ik dan vertellen over het prachtige lezing verzorgd door John Ellis, een groot natuurkun- ledenweekend dat dan geweest zal zijn, waar we dan dige van de huidige tijd. Hij liet ons alvast een beetje genoten zullen hebben van het zonnetje en elkaars proeven van het magische 'CERN', waar we in mei gezelschap. naar toe zullen gaan. Een reis naar Londen is natuurlijk niet compleet zonder de nodige regenbui, iets waar Tot in de lente, we van hebben genoten toen we midden in Hyde Park stonden zonder beschutting. Tien minuten lang kwam Simone Cammel het met bakken uit de hemel, om vervolgens, toen wij h.t. Praeses net een pub in konden duiken, te stoppen.

Eureka! nummer 44 – april 2014

27


De Leidsche flesch

Interview met de JeuCommissie De JeuCommissie bestaat dit jaar voor het eerst. Kunnen jullie vertellen wat de commissie precies doet? Tom (Praeses): Wij organiseren spelletjesavonden, vaak met een bepaald thema. Rinse (Quaestor): Die avonden moet je zien in de meest brede zin van het woord. Je kan denken aan videogames, langdurende bordspellen zoals Risk en Monopoly, maar ook spelletjes die binnen twee minuten uit te leggen zijn, worden gespeeld. Vorige week hebben we een snelschaakavond georganiseerd waar men potjes van vijf minuten speelde tegen elkaar. Tom: Er zijn ook zogenoemde 'tabletopgames' zoals Warhammer. Dan moet je denken aan een landschap met poppetjes en dobbelstenen, heel veel dobbelstenen. Een beetje zoals Risk, maar dan met een landschap dat niet vlak is. Hebben jullie nog grote plannen voor rest van het collegejaar?

Julius (Ab-actis): We zijn van plan een Mario Kart-toernooi te organiseren. Op 30 mei komt de nieuwste versie van het spel uit. De week daarop willen we dan het toernooi houden, zodat mensen allemaal even onbekend zijn met het spel. Dan zijn er dus geen spelers die al jaren ervaring hebben met het spel en dus alles winnen. 28

Eureka! nummer 44 – april 2014

zijn we iets competitiever ingesteld en benaderen we een spel op een andere manier. We rekenen soms Erik (Assessor): We willen ook kansen uit en houden daar dan oudere consoles neerzetten om eer- rekening mee. dere varianten van het spel te kun- Erik: Ik kan me een keer herinnenen spelen. Het wordt dus echt een ren dat ik met een aantal anderen avond Mario Kart spelen op alle aan het Weerwolven was. Ik had consoles die je maar kan bedenken, beredeneerd dat het statistisch van de SNES tot aan de Wii U. gezien het beste was om mijn buurman te vermoorden, maar dat vonden sommigen moreel niet verantIn maart hebben jullie een woord. Dan zie je toch dat ik het activiteit samen met stuspel als bèta iets anders speelde. dentenvereniging 'Het DuiRinse: Het is moeilijk te zeggen, velsei'. Erik: Het Duivelsei is een vereni- want je kan alle bèta's niet over één ging die eigenlijk alles doet wat wij kam scheren. ook doen, maar dan in het groot. In maart komen ze langs met heel Is het lastig om een nieuwe veel spelletjes en ook mensen bui- commissie te zijn? Jullie ten De Leidsche Flesch zijn wel- hebben geen voorgangers kom. Het wordt echt een avond om om iets aan te vragen. nieuwe mensen te leren kennen Nee eigenlijk niet! en spellen te doen die leden niet Tom: We hebben twee heel erg eerder hebben gespeeld. Het Dui- ervaren commissieleden, dat helpt velsei heeft een heel breed scala aan veel. Samen hebben we ook genoeg spellen, dus het is erg leuk om een ideeën voor een heleboel avonden keer samen te werken. We hebben spelplezier. Het is fijn om vrijheid samen gekeken naar een gevarieerd te hebben en geen activiteiten te aanbod met coöperatieve spellen, 'moeten' organiseren ´omdat het maar ook juist competitieve games. vorig jaar zo gaaf was'. Rinse: De commissie moet volgend jaar zeker blijven. We hebben nog Denken jullie dat bèta's een heleboel ideeën waar mensen anders spelletjes doen dan nog veel leuke dingen mee kunnen andere studenten? doen! Misschien dat bèta's het leuk vinden om nieuwe dingen te doen met een tactisch element. Misschien


Verslag van NWERC Van 22 tot en met 24 november vond in Delft de Northwestern European Regional Contest (NWERC) plaats, de regionale voorronde van de International Collegiate Programming Contest (ICPC). In deze programmeerwedstrijd nemen 92 teams uit heel Noordwest-Europa het tegen elkaar op om een van de slechts drie beschikbare plaatsen te winnen voor de ICPC World Finals. Van de 92 teams komen er drie van de Universiteit Leiden. Door Josse van Dobben de Bruyn bevroren en worden er geen ballonnen meer uitgedeeld, om het nog even extra spannend te maken. Er kan nog van alles veranderen in het laatste uur, waardoor de prijsuitreiking altijd heel spannend is.

het team Geen Syntax dat vorig jaar de World Finals heeft gehaald door tweede te worden op de NWERC 2012. Zou het ons weer lukken?

Langzaam maar zeker wordt duidelijk dat we de top 3 toch echt niet gehaald Kort na de wedstrijd is het dan zo ver: hebben. Het team belandt op de achtde prijsuitreiking begint. Eerst legt de ste plaats, tot grote teleurstelling van jury de oplossingen van de opgaven de teamleden. Het winnende team uit uit. Vervolgens zien we het bevroren Delft heeft alle 10 de opgaven opgelost, Op vrijdagmiddag 22 november scorebord op het grote scherm. De en is daarin de enige. De twee andere arriveren honderden studenten uit opgaven die in de eerste vier uur zijn teams uit Leiden worden uiteindelijk Noordwest-Europa in Delft om zich opgelost, kleuren groen, alle inzen- 38ste en 79ste. Het is de vraag of Geen te registreren. Zaterdag nemen we dingen van het laatste uur kleuren Syntax volgend jaar nog bestaat, maar allemaal plaats in de collegebanken blauw. Van onder naar boven worden ook in de twee andere teams zit nog voor de openingsceremonie en is er alle teams langsgegaan. De blauwe genoeg potentie om volgend jaar flink een uitgebreide testsessie, waarin de vakjes knipperen even en worden dan te stijgen op het scorebord. We doen teams de gelegenheid krijgen om in groen of rood. In rap tempo worden dus volgend jaar gewoon weer een de wedstrijdzaal het systeem te testen. de teams 92 tot en met 13 afgehan- gooi naar de prijzen! De coaches mogen nu ook rondlo- deld. Pas bij de top 12 vertraagt de pen op de wedstrijdvloer om foto's te presentatie, omdat de beste 12 teams Als je mee wilt trainen voor de een medaille krijgen (4 goud, 4 zilver, NWERC (of voor de informatica maken en hun teams te assisteren. 4 brons). Twee van de drie Leidse olympiade op de middelbare school), Op zondagochtend is het dan zover: teams zijn inmiddels al langsgeko- neem dan contact op met bestuur@ om 9:30 uur begint de wedstrijd. De men, maar één staat nog met blauwe deleidscheflesch.nl. teams hebben nu vijf uur de tijd om opgaven in de top 12. Het betreft tien opgaven op te lossen. Ondertussen kunnen de coaches en toeschouwers meedoen aan de online wedstrijd. Al na zeven minuten is de eerste opgave opgelost door een team uit Oxford. Drie minuten later volgen enkele andere teams, waaronder een van de Leidse teams. De strijd barst los! Tot en met 13:30 uur zien de toeschouwers het live scorebord, waarop elke keer teams omhoog schieten als ze een opgave oplossen en weer omlaag vallen als ze worden ingehaald. De teams zelf krijgen bovendien een gekleurde ballon voor elke opgave die ze oplossen. Het laatste uur van de wedstrijd is het scorebord

Eureka! nummer 44 – april 2014

29


De Leidsche flesch

Koken met

RON Ingrediënten: 5 plakjes bladerdeeg (diepvries, ontdooid) 125 gram magere spekreepjes teentje knoflook 250 gram gesneden grotchampignons 300 gram champignonroerbakmix met ui en peterselie 4 eieren 200 gram roomkaas met kruiden (versgemalen) peper

Champignontaart Bereiden

Oven voorverwarmen op 200 graden. Spek op een laag vuur in een grote braadpan of wok ongeveer 5 minuten zacht uitbakken Ondertussen de bodem invetten en bekleden met het bladerdeeg (bakpapiertje eronder is handig). Vuur hoog zetten, uitgeperst teentje knoflook, de gesneden grotchampignons en de champignonmix toevoegen bij het spek en ongeveer 5 minuten roerbakken tot het meeste vocht verdwenen is. Even laten afkoelen. Eieren en roomkaas met royaal peper in grote kom goed door elkaar roeren. Groentemix erdoor mengen en het mengsel over het deeg verdelen. 35 - 45 minuten in de oven bakken en klaar ben je. Eet hem warm met een salade of laat afkoelen geef hem in stukjes bij de borrel. Eet smakelijk!

lage taartbodem (24 cm)

April 22 – 29 april

Diesweek

23 april

Diesborrel Mei 1 mei

Algemene Leden­ vergadering 2 mei

PION

30

Eureka! nummer 44 – april 2014

3 – 11 mei

Juli

15 mei

Algemene Leden­ vergadering

16 mei

RandomCie Water­ festijn

Studiereis naar Zwitserland Borrellezing door TOPdesk LIMO

22 mei

Zwembadjesborrel 23 mei

Kaleidoscoopdag

1 juli

2 juli


PuzzlePicnic.com

Challenge PuzzlePicnic.com is an online community for logic puzzle enthusiasts. On this site, people can create their own puzzles with a puzzle design applet, and others can solve these puzzles interactively. We would like to challenge the readers of Eureka! to create and submit an original puzzle, using the puzzle design applet. The top 3 creative, correct and fun puzzles submitted by June 15th will be awarded with 75, 50 and 25 euros. Include your name, email and affiliation with Leiden University in your submission, and specify ‘Eureka’. The Challenge is open to students, staff and alumni of Leiden University and will be judged by a team of experienced puzzle makers.

Colofon Eureka! jaargang 11, nummer 44, april 2013 Eureka! is een uitgave van een samenwerkingsverband tussen de Faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen aan de Universiteit Leiden en studievereniging De Leidsche Flesch en wordt ieder kwartaal gratis verspreid onder studenten en wetenschappelijk personeel van de opleidingen Natuurkunde, Wiskunde, Sterrenkunde en Informatica aan de Universiteit Leiden. De redactie behoudt zich het recht artikelen te wijzigen of niet te plaatsen. Anonieme artikelen worden in principe niet geplaatst.

Oplossing Puzzel #42 De winnaar van de puzzel van nummer 43 is Jaco Tetteroo. De prijs kan opgehaald worden op de Flesschekamer, Snellius kamer 301, waar het bestuur van De Leidsche Flesch elke werkdag aanwezig is.

Oplage ongeveer 2500

Ontwerp en vormgeving Balyon, Zoeterwoude

Redactieadres Eureka! Magazine p/a De Leidsche Flesch Niels Bohrweg 1 2333 CA Leiden eureka@ deleidscheflesch.nl

Druk Drukkerij De Bink, Leiden

Hoofdredactie Ellen Schlebusch Eindredactie Anna Freudenreich, Casper Remeijer, Erik Massop en Tom Warmerdam Rubrieksredactie: Ellen Schlebusch, Erik Visse, Kevin Widdershoven, Pim Overgaauw, Simone Cammel en Tom Warmerdam

Aan deze editie werkten verder mee: Rembrandt Donkersloot, Matthew Kenworthy, Johan de Ruiter, Jelmer Wagenaar, David Griffiths, John Bukowski, Josse van Dobben de Bruyn en Ron van Veen. Referenties Het is helaas niet altijd mogelijk referenties naar andere publicaties op te nemen. Wilt u meer weten, neemt u dan contact op met de redactie.

Adverteren Adverteren in de Eureka! is mogelijk door schriftelijk contact op te nemen met studievereniging De Leidsche Flesch, door te mailen naar bestuur@deleidscheflesch.nl. Abonnement Het is voor € 8,- per jaar mogelijk een abonnement te nemen op Eureka!. Neemt u hiervoor contact op met de redactie. Deadline Eureka! 45: 1 mei 2014 Copyright Eureka! en al haar inhoud © studievereniging De Leidsche Flesch. Alle rechten voorbehouden. ISSN 2214-4072

Eureka! nummer 44 – april 2014

31


Heb jij een profiel natuur en techniek of een profiel natuur en gezondheid? Wil je weten hoe het is om na het vwo een bèta studie in Leiden te volgen? Lees alles over onze studies op studereninleiden.nl

Bij ons leer je de wereld kennen

e nd u nk ca e r i r te mat ie gy S r e - Info nom nolo ogie d o l n n ku de - & Ec Tech Bio ppe r u tu skun tica ce & gy cha a lo ens N Wi ma en o i n r et o r Sc ch f n W e I ula e & T che c ole ienc eutis M c S mac e Lif -Far Bio

Eureka 44  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you