Interés Compuesto

FINANZAS INTERÉS COMPUESTO

OBJETIVOS •

Comprenderá el concepto de interés compuesto.

•

Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital,

valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tasas equivalentes. • Resolverá problemas de interés compuesto determinando el valor del dinero a través del tiempo:

INTERÉS COMPUESTO MONTO CAPITAL Y VALOR PRESENTE PLAZO TAZAS EQUIVALENTES

¿QUÉ SABES? • Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema ¿Qué interés compuesto produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 12% anual? • Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $16 350.00, a 11.52% en 240 días. • El arquitecto Juárez recibe un préstamo de $48 750.00 a dos años, si la tasa de interés es de 1.2% bimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años? • Un banco entrega al señor Juan Álvarez la cantidad de $2 255 000.00, por un préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%. ¿Cuál es el capital inicial del préstamo? • Una deuda de $8 400.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque cuyo importe es de $9 080.00, siendo la tasa de interés simple de 11.75%.¿Cuánto tiempo estuvo prestado? • Se descuenta un préstamo de $350 870.00 a un plazo de 180 días, con una tasa de descuento de 13% anual. ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?, ¿qué cantidad de dinero recibe? • Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor $683 656.00, con una tasa de descuento de 10% anual. Siendo la fecha de vencimiento el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía? • Juan Torres recibe la cantidad de $100 000.00 por un préstamo a pagar en 10 meses, con una tasa de descuento de 10.5% anual. ¿Qué cantidad de dinero se debe solicitar?

Introducción En la unidad de interés simple se estudió el caso en el que el capital permanece constante desde la fecha inicial de la operación hasta la fecha final. En el caso del interés compuesto el capital no permanece constante desde la fecha inicial hasta la final del plazo, ya que el capital va a cambiar al final de cada periodo (se agrega al capital inicial los intereses al término del periodo), este nuevo capital genera intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente mientras dure la operación financiera, entonces se dice que los intereses se capitalizan en cada periodo.

Monto Definición Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dos fechas consecutivas en la que los intereses se le adicionan al capital

M=C+I I = Cni

4.1 4.2

Problema resuelto 1. El abogado Martínez deposita $15 000.00 el día 2 de mayo de 2013 en ICA Banco. Él retirará su dinero dentro de un año. Al retirar el capital inicial también le entregarán los intereses generados en el periodo (M = C + I ). Solución Analicemos el problema, si el periodo es de un año por consecuencia el plazo también lo será y la tasa de interés T = 4% anual, la expresión matemática que cumple con estas características es la del interés simple.

I = 15 000(0.04)(1) = $600 M = 15 000 + 600 = $15 600 Entonces el 2 de mayo del 2014 el abogado Martínez recibirá $600.00 de intereses más los $15 000.00 que invirtió.

Si el abogado Martínez decide recibir sus intereses de manera mensual, en vez de cada año, entonces el periodo será de un mes. Si el plazo de la inversión es de un año, se tendrán 12 periodos de capitalización mensual, de esta manera el abogado Martínez recibirá 12 pagos de intereses al transcurso de un año, en lugar de un pago único de intereses al final del año.

Problema resuelto 2.Adela invierte un capital de $24 000.00 a 4% anual durante tres años en ICA Banco. ¿Qué cantidad recibe? a) Cuando es interés simple. b) Si es interés compuesto.

Solución a) Interés simple. Datos C = $24 000.00 T = 4% anual n = 3 años Incógnita I

Desarrollo I = Cni I = 24 000(3)(0.04) I = $ 2 880.00

El monto después de tres años será de: M = 24 000.00 + 2 880.00 = $26 880.00

b) Cálculo del interés compuesto. Monto inicial del primer año (M1) = Capital inicial + Intereses del primer año. El monto obtenido en el primer año (M1) se convertirá en el capital inicial del segundo año. M2=$25 958.40 El monto del segundo año (M2) se convertirá en el capital inicial del tercer año, como se observa en el cuadro 4.1

Interés Simple (IS) ≠ Interés Compuesto (IC) $26 880.00 ≠ $26 996.74 Entonces el: IS < IC El interés simple siempre será menor que el interés compuesto.

El comportamiento del capital se muestra en forma algebraica en el cuadro 4.2.

Del cuadro 4.2 se ve que los valores acumulados sucesivos forman una progresión geométrica [C(1 + i ), C(1 + i )2, C(1 + i )3,…] cuyo n-ésimo término es:

M = C (1 + i )n

4.3

Donde: C = Valor inicial, valor presente de M o valor descontado M. M = Valor compuesto de C, valor acumulado de C o monto. T = Tasa nominal de interés (anual). i = Tasa de interés en el periodo. n = Número total de periodos de capitalización que intervienen. (1 + i )n = Factor de acumulación o factor de interés compuesto. La ecuación 4.3, solo se puede aplicar en periodos de capitalización unitarios, algunos ejemplos: un mes, un bimestre, un semestre, un año. Problema resuelto 3. El costo del predial en la casa de don Jesús se incrementa en 6% al bimestre. ¿Cuánto tendrá que pagar en el próximo bimestre?, si su tarifa bimestral es de $930.00. Solución Datos C = $930.00 n = un bimestre T = 6% bimestral Incógnita M

Desarrollo M = 930.00

[1 + 0.06 ]

^1 = $985.80

Problema resuelto 4. En el taller de costura de doña Leonor la producción se incrementa en 3% mensual. Calcular la producción del taller de costura para el próximo mes, si actualmente produce 15 930 piezas mensuales. Datos C = 15 930 piezas n = un mes T = 3% mensual

Desarrollo M = 15 930 [1 + 0.03 ]1 = 16 408 piezas En la actualidad las instituciones financieras ofrecen diferentes planes de inversión con periodos de capitalización menores a un año (ver cuadro 4.3). A este número de veces que en un año los intereses se capitalizan se le conoce como frecuencia de capitalización y se denota por la letra p.

Problema resuelto 5. Encontrar la frecuencia de conversión de un depósito que paga 14% anual de interés capitalizable trimestralmente. Solución P=1año/(1 trimestre)=(12 meses)/(3 meses)=4 periodos de capitalización trimestral Tasa de interés por periodo (T) Para conocer el interés por periodo se utiliza la siguiente fórmula:

Interés por periodo (T )=

(Tasa de interés nominal) (Número de periodos de capitalización en un año)

Número de periodos El número total de periodos por año se encuentra de la siguiente forma

Problema resuelto 6. Determinar el interés de cada periodo de capitalización y el número de periodos de capitalización, si la tasa nominal es de 18% capitalizable bimestralmente, durante cuatro años. Primero encontrar el número de periodos de capitalización

Después calcular el interés por periodo:

Por último, se encuentra el número total de periodos de capitalización para los cuatro años: m = 6 × 4 = 24 periodos de capitalización bimestral durante cuatro años. Cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capital, se emplea la siguiente expresión:

M=C(1+i/p)np

4.4

M=Ce∫∞( n)

4.5

Donde: n = plazo en años j∞ = tasa de interés anual con componente continuo e = base de los logaritmos naturales = 2.718 Problema resuelto ¿Qué cantidad podrás tener dentro de dos años, si inviertes $20 800.00 en Banco Nacional y el interés que paga es de 0.75% bimestral? Solución Datos: C = $20 800.00 n = 2 años np = (2) (6) = 12 bimestres T = 0.75% bimestral Incógnita M Desarrollo: M = 20 800 [1 + 0.0075]12 = 20 800 (1.0938) M = $22 751.18

Problema resuelto 8. Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del: a) 28% capitalizable semestral (A.C.S.) b) 28% capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 28% capitalizable mensual (A.C.M.) Solución a) Datos: C = $ 3 545.00 T = 28% A.C.S. M C n = 2 años np = 2(2) = 4 Incógnita M

Desarrollo:

M = $5 987.36 b) Datos: C = $3 545.00 T = 28% A.C.T. M 3545 1 n = 2 años np = 2(4) = 8 Incógnita M

Desarrollo:

M = $6 091.00 c) Datos: C = $3 545.00 n = 2 años T = 28% A.C.M. np = 2(12) = 24 Incógnita M

Desarrollo: M = $6 166.17 Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral, mientras que esta a su vez tendrá mayor rendimiento que la semestral.

Problema resuelto 9. Encontrar el monto acumulado en tres años, si el capital es de $6 700.00 y se invierte a un tipo de interés del: a) 8% anual capitalizable semestral (A.C.S.) b) 8% anual capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 8% anual capitalizable mensual (A.C.M.) Solución

Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral; esta, a su vez, tendrá mayor rendimiento que la semestral.

Problema resuelto 10. El ingeniero Roberto Valero depositó $2 500.00 en una cuenta de ahorros en el banco Serfin el 10 de febrero de 1994, a 4.5% anual capitalizable diariamente (A.C.D.). ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta el 10 de febrero de 2013?

Solución

La diferencia es de tan solo $0.01. Por esta razón los bancos utilizan el tiempo exacto para la aplicación diaria. Problema resuelto 11. Una cuenta de ahorros en banco Aztek paga un interés 6.2% al año. El banco calcula el interés diariamente sobre el saldo diario mínimo y se deposita el último día de cada mes. ¿Calcular el interés de los siguientes movimientos en la cuenta de Elsa Calderón del 15 de febrero al 27 de junio de 2013?

Solución Desarrollo: I1 =1 000 (0.062)(16/365) = $2.718 I2 =1 002.718 (0.062)(26/365) = $4.428 I3 =1 807.146 (0.062)(4/365) = $1.228

I4 =1 808.374 (0.062)(30/365) = $9.215 I5 =1 817.58 (0.062)(31/365) = $9.571 I6 =1 827.16 (0.062)(15/365) = $4.657 I7 =1 831.82 (0.062)(11/365) = $3.425

4.3 Comparación del interés simple con el interés compuesto Con el siguiente ejemplo se podrá comparar la diferencia que existe en la cantidad de dinero recibido con el interés simple y la cantidad recibida con el interés compuesto. Con ello podemos observar sus diferencias.

Problema resuelto 12. Una persona invierte un capital de $10 000.00 a 10% anual durante cuatro años. a) Calcular el interés simple. b) Calcular el interés compuesto. Solución a) Cálculo del interés simple Datos: C = $10 000.00 T = 10% anual n = 4 años Incógnita I Desarrollo: I = Cni = 10 000(4)(0.10) = $4 000.00 El monto a cuatro años será: M = C + I = 10 000 + 4 000 = $14 000.00 b) Cálculo del interés compuesto Datos: Capital inicial $10 000.00 i = 0.10 anual n = un año Incógnitas I y M1 Desarrollo: I = C1ni = 10 000 (1) (0.10) = $1 000.00 El monto al primer año es: M1 = C + I = 10 000 + 1 000 = $11 000.00 El monto obtenido en el primer año (M1) se convierte en el capital inicial del segundo año (C2).

Datos: M1 = C2 = $11 000.00 i = 0.1 anual n = un año Desarrollo: I2 = 11 000 (1) (0.10) = $1 100.00 Monto final del segundo año es: M2 = 11 000 + 1 100 = $12 100.00 El monto del segundo año (M2) se convierte en el capital inicial en el tercer año (C3). Datos: M2 = C3 = $12 100.00 T = 0.1 anual n = un año Desarrollo: I3 = 12 100 (1) (0.10) = $1 210.00 Monto final al terminar el tercer año: M3 = 12 100.00 + 1 210.00 = $13 310.00 El monto del tercer año se convierte en el capital inicial en el cuarto año. Datos: M3 = C4 = $13 310.00 i = 0.10 anual n = un año Desarrollo: I4 = 13 310 (1) (0.10) = $1 331.00 Monto final al terminar el cuarto año: M4 = 13 310.00 + 1 331.00 = $14 641.00 Como observamos en los resultados del ejemplo, el interés compuesto es mayor que el interés simple, con un mismo capital, tasa y tiempo. La mejor forma de comparar los montos es dibujando la gráfica correspondiente.

El monto a interés compuesto crece en forma geométrica y su gráfica es una función exponencial, en donde para cada periodo existe un incremento que es mayor con respecto al periodo anterior, al hacer que la curva ascienda de izquierda a derecha cada vez con mayor velocidad. Su ecuación, como ya se indicó, es la de una función exponencial. M = C[1 + i]n En el interés simple el monto crece en progresión aritmética y la gráfica es una línea recta, en donde para cada periodo el incremento es constante. Su ecuación será la de una línea recta. M = C + (Ci ) n Y = b + mx El interés compuesto siempre será mayor que el interés simple, porque el primero gana intereses por sí mismo, mientras que el segundo no. Problema resuelto 13. Melisa Reyes deposita en su cuenta de ahorro en Banejército la cantidad de $5 000.00 a una tasa de 7% durante tres años. ¿Cuál será el monto al final de los tres años? Solución

Monto final al terminar el tercer año: M3 = 5 724.50 + 400.71 = $6 125.21

Problema resuelto 14. Calcular el monto de $10 000.00, pagaderos a cinco años y siete meses, a una tasa de 20% capitalizable semestralmente. a) Exacto b) Aproximado Solución a)

Datos: C = $10 000.00 n = 5 años 7 meses T = 20% A.C.S. n =M 5(121)0 +0 070 = 167 meses Desarrollo:

5 años y 6 meses = 11 semestres

4.4 Valor actual o presente El valor actual es un concepto muy utilizado en las matemáticas financieras, porque permite conocer el valor en un determinado momento, de una cantidad que se recibirá, que deba pagarse o que se desea reunir en un tiempo futuro. A partir de la fórmula de monto en interés compuesto.

M = C (1 + i )n

4.3

Despejando a C se tiene:

4.6

(1 + i )

O también puede escribirse como:

C = M(1 + i )-n C = M [(1 +

4.7

i np )p

4.8 4.9

C = M [(e)-(n)...)

Problema resuelto 15. ¿Qué cantidad tiene que depositar hoy en un fondo de inversión que paga 9.4% capitalizable mensualmente para tener $8 000.00 dentro de cuatro años?

Datos: M = $8 000.00 T = 9.4% A.C.M. C M np = 4 (12) = 48

Desarrollo:

Problema resuelto 16. Encuentra el valor presente de $20 000.00 a pagarse dentro de cuatro años a 4.2% compuesto. a) Diariamente b) Continuamente Solución Capitalización diaria: Datos: M = $20 000.00 T = 4.2% anual np = 4 (365) = 1 460

Desarrollo:

Capitalización continúa Datos: M = $20 000.00 i∞ = 0.042 anual n=4

Desarrollo:

Problema resuelto 17. ¿Cuál es el valor presente de $64 000.00 invertidos 18 meses antes, a una tasa de 22% capitalizable bimestralmente? Datos: M = $64 000.00 n = 18 meses T = 22% A.C.B. Incógnita C

Desarrollo:

El valor 18 meses antes de $64 000.00 a esa tasa de interés es de $46 283.67. 4.4.1 Tiempo El tiempo se puede calcular despejando “n” de la ecuación 4.4:

C = M [(1 +

i np ) p

4.4

Despejando a “n”

Aplicando logaritmos

Empleando la propiedad de logaritmos

Problema resuelto 18. Un capital de $11 873.15 produce intereses a una tasa de 20% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $19 459.55? Solución Datos: C = $11 873.15 M = $19 459.55 T = 20% A.C.M. Incógnita n Desarrollo

n = 2.4908 n = 2 años, 5 meses y 27 días Problema resuelto 19. ¿Cuánto tardarán $20 000.00 en acumular $36 000.00 de interés 4.9% capitalizable trimestralmente?

Solución Datos: C = $20 000.00 M = $36 000.00 T = 4.9% A.C.T.

Desarrollo

Incógnita n

n = 12.06897 n = 12 años y 25 días Problema resuelto 20. ¿En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del: a) 14%? b) 10%? c) 5%?

a) Datos: M = $1.00 C = $0.50 p = uno n T = 14% anual Incógnita n

b) Datos: M = $1.00 C = $0.50 p = uno n T = 10% anual Incógnita n b

Desarrollo

n = 5 años, 3 meses y 14 días

Desarrollo

n = 7 años, 3 meses y 8 día

c) Datos: M = $1.00 C = $0.50 p = uno n T = 5% anual Incógnita n

Desarrollo

n = 14 años, 2 meses y 14 días

En la capitalización diaria. • Se debe entender que el mes es de 30 días, sino se indica el nombre del mes en la redacción del problema. • Cuando en la redacción del problema dice el nombre del mes, se consideran los días calendario del mismo. Ejemplo: marzo número de días 31, febrero en año bisiesto 29 días. Problema resuelto 21. ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $89 999.00, para alcanzar la cantidad de $94 800.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 4% capitalizable trimestralmente? Desarrollo Solución Datos: C = $89 999.00 M = $94 800.00 n = 4% A.C.T. Incógnita n

n = 1 año, 3 meses y 20 días Problema resuelto 22. ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $21 000.00 a una tasa de 8% capitalizable continuamente y 6% capitalizable diariamente?

Solución Datos: C = $17 000.00 M = $21 000.00 j∞ = 8% A.C. Continua Incógnita n Fórmula: M = C e j∞(n)

Con tiempo exacto (365 días) Datos: j∞ = 6% A.C. Diaria Incógnita n

Desarrollo

n = 1 285.56 días n = 3.5222 años n = 3 años, 6 meses y 8 días

4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales 4.5.1 Cálculo de la tasa Es importante recordar que los periodos de la tasa de interés son periodos de capitalización y es en donde los intereses se acumulan al capital para que produzcan nuevos intereses. Problema resuelto 23. Banorte ofrece una tasa de interés de 4.6% capitalizable anualmente, mientras que Banco Aztek ofrece 4.6% con capitalización trimestral. ¿En qué banco es recomendable hacer la inversión?

Solución La respuesta es en el Banco Aztek, porque los intereses los pagan cada trimestre y al reinvertirse se ponen a trabajar el capital cuatro veces al año. Mientras que en Banorte solo se capitalizan los intereses una vez al año. Para comprobar el resultado anterior, se debe conocer la tasa real de interés que se obtiene con cada inversión. Para conocer esta tasa i es necesario despejarla de la ecuación de monto.

M = C (1 + i )n

4.11

Existen dos alternativas para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos.

Problema resuelto 24. Una inversión de $20 000.00 en 10 años cuadruplica su valor. Calcular la tasa anual. Solución Datos: C = $20 000.00 M = $80 000.00 n = 10 años Incógnita i

Desarrollo

= 0.4142 Anual T = 41.42% Anual

Problema resuelto 25. Una inversión de $82 350.00 a 16 meses alcanzó un monto de $88 640.00. Calcular la tasa anual. Datos: C = $82 350.00 M = $88 640.00 n = 16 meses Incógnita i

Desarrollo

i = 0.004611 Mensual T = 0.4611% Mensual T = 5.53% Anual 4.5.2 Tasas equivalentes Las tasas equivalentes son aquellas que producen el mismo interés durante un año con diferentes periodos de capitalización. Problema resuelto 26. ¿A qué tasa de interés compuesto mensualmente producirá el mismo monto, que a 9.5% capitalizable trimestralmente?

Solución Monto acumulado a un año tasa capitalizable mensualmente. Monto acumulado en un año a 9.5% anual capitalizable trimestral:

Igualando los montos:

i = 12 (1.007855 - 1) i = 12 (0.007855) i = 0.09426 anual convertible mensualmente

La tasa de 9.426% anual convertible mensualmente es equivalente a la tasa de 9.5% anual convertible trimestralmente. Problema resuelto 27. Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22% capitalizable mensualmente. Solución Monto acumulado a 22% convertible mensualmente

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente

Igualando los montos: i = (1.0560145 - 1)/0.25 i = (0.0560145)/0.25 i = 0.224 i = 22.4% anual trimestralmente.

convertible

La tasa de 22% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 22.4% anual capitalizable gtrimestralmente.

Problema resuelto 28. Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 6.8% capitalizable mensualmente. Solución Monto acumulado a 6.8% convertible mensualmente

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente

Igualando los montos: (1.00566667)4 - 1 = 0.3333i i = (1.02286 - 1)/0.3333 i = (0.02286)/0.3333 i = 0.06858 i = 6.858% anual convertible cuatrimestralmente.

La tasa de 6.8% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 6.858% anual capitalizable cuatrimestralmente.

4.5.3 Tasa efectiva La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en (p) periodos por año. [Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año] Dividiendo ambos términos entre C se tiene:

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.

Problema resuelto 29. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 12% capitalizable bimestralmente. Solución T = 12% A.C. Bimestral

e = 12.62% anual Es lo mismo invertir a 12% capitalizable bimestralmente que a 12.61% con capitalización anual. Problema resuelto 30. Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 25.9% anual capitalizable semestralmente. Solución T = 25.9% A.C. Semestral

e = 27.58% anual Es lo mismo invertir a 25.9% compuesto semestralmente que a 27.58% con capitalización anual. Problema resuelto 31. Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 32.7% anual capitalizable trimestralmente. Solución T = 32.7% A.C. trimestral

Problema resuelto 28. Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 6.8% capitalizable mensualmente. Solución Monto acumulado a 6.8% convertible mensualmente

Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente

Igualando los montos: (1.00566667)4 - 1 = 0.3333i i = (1.02286 - 1)/0.3333 i = (0.02286)/0.3333 i = 0.06858 i = 6.858% anual convertible cuatrimestralmente.

La tasa de 6.8% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 6.858% anual capitalizable cuatrimestralmente.

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.

e = 36.93% anual Es lo mismo invertir a 32.7% compuesto trimestralmente que a 36.93% con capitalización anual. 4.5.4 Tasa nominal La tasa nominal se aplica para todo el año y es convertible en (p) periodos.

Problema resuelto 32. Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 9%. Solución Datos: e = 9% p=6

Desarrollo

El 8.68% compuesto bimestralmente es equivalente a 9% de interés efectivo.

Problema resuelto 33. ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 18% capitalizable trimestralmente?

Solución

La tasa nominal de 17.74% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 18% capitalizable trimestralmente. Problema resuelto 34. ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente? Solución

La tasa nominal de 23.54% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente.

4.6 Ecuación de valor Una ecuación de valor en interés compuesto es la igualdad de dos conjuntos diferentes de obligaciones, la original y la propuesta en una fecha determinada en forma arbitraria; a la cual se le conoce como fecha focal, de comparación o fecha de evaluación (F.F.).

Para resolver un problema utilizando la ecuación de valor, es necesario seguir los pasos que se describen a continuación: 1. Identificar el primer conjunto de obligaciones, el conjunto original, el cual es intercambiado por un segundo conjunto de obligaciones, el propuesto, que es diferente al original en lo referente a pagos y vencimientos. 2. Trasladar los dos conjuntos de obligaciones a una fecha focal. 3. Plantear una ecuación de valor igualando los dos conjuntos de obligaciones, para ello, ambos conjuntos deben de referirse a una misma fecha focal (F.F.). a) Cualquier suma de dinero puede determinarse a futuro con:

M = C (1 + i )n b) Cualquier suma de dinero puede ser descontada, para poder anticipar su disponibilidad con:

C = M (1 + i )n

Problema resuelto 35. La compañía de bordados Viraza, S. A., tiene dos préstamos que debe pagar en fechas ya acordadas con Bancrédito. Después de realizar un minucioso estudio el nuevo administrador de la compañía decidió modificar la forma de pago a una sola exhibición, la cual fue fijada y acordada por ambas partes (F.F.). Solución a) Se tiene que fijar un punto en el tiempo (fecha focal). b) La fecha focal es propuesta por el administrador para cubrir la deuda en un solo pago, para ello, deberá trasladar a esta fecha (F.F.), las dos deudas, utilizando las expresiones de valor presente o el valor futuro (monto), según sea el caso. Ver figura 4.6.

En la figura 4.6, X1 y X2 representan las fechas de pago de las dos deudas de la compañía Viarza, F.F. ubica la nueva fecha de pago (único) la cual cubrirá las dos deudas originales y está fijada en común acuerdo por Bancrédito y la Compañía Viarza, las flechas representan el traslado de las deudas en el tiempo. Para trasladar el flujo X1 a la F.F. se utiliza la expresión de monto C = M (1 + i )n y para el flujo X2 se utiliza la expresión de valor presente

C = M (1 + i )-n En las ecuaciones de valor en interés compuesto los resultados del pago único o los pagos parciales no varían al cambiar la fecha focal. En el caso ya estudiado de las ecuaciones de valor en interés simple, al cambiar la fecha focal los resultados de los pagos van a ser diferentes. Problema resuelto 36. El restaurante Totto tiene una obligación de $92 500.00 que vence en nueve años, a una tasa de interés de 11% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de la deuda equivalente al final de: a) seis años? b) doce años? Solución Datos: a) T = 11% A.C.M. i = 0.009166 mensual Un pago de $92 500.00 n = 9 años n6 = 6 años Fecha focal: a los seis años de la fecha de contratación de la obligación.

Desarrollo

Datos: b) T = 11% A.C.M. i = 0.009166 mensual Un pago de $92 500.00 n = 9 años n12 = 12 años Fecha focal: a los doce años de la fecha de contratación de la obligación.

Desarrollo

Es importante hacer notar que C6 años años es equivalente a M12 años

Desarrollo

Problema resuelto 37. La fábrica de hielo del Atlántico debe $100 000 pagaderos al final de 18 meses y $150 000 pagaderos al final de cuatro años. La tasa de interés que aplicó Bancrédito fue de 24% convertible trimestralmente. El contador de la fábrica le propuso al administrador de la misma dos alternativas para liquidar en un pago el adeudo. La primera el día de hoy y la segunda dentro de dos años.

Desarrollo

Datos: b) T = 24% A.C.M. i = 0.06 trimestral Un pago x n6 = 18 meses = 6 trimestres n16 = 4 años = 16 trimestres Fecha focal: a los dos años = 8 trimestres.

Desarrollo

Problema resuelto 38. El Centro Sport debe pagar $37 000.00 dentro de tres meses y $17 400.00 en ocho. El Centro Sport acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el sexto mes a una tasa de 28% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único.

Datos: T = 28% A.C. Fecha focal: sexto mes.

Desarrollo Mensual Flujo 1 = Flujo 2

Problema resuelto 39. Para comprar un comedor con valor de $60 000.00, el Sr. José Soto decidió realizar dos pagos de $25 000.00, uno a los seis meses y el otro a doce. Los pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable trimestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $19 000.00, el segundo de $25 000.00 y el tercero por la diferencia; para este caso se acordó un interés de 24% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último pago? Solución T1 = 22% A. C. Trimestral T2 = 24% A.C. Trimestral Fecha focal: nueve meses.

Los pagos originales serían a los seis meses de:

25000 (1+ 0,055)2= $27825.62 y a los doce meses de:

25000 (1+ 0,055)4= $30970.61 Al renegociar la deuda, queda como se muestra en la gráfica 4.14.

Desarrollo

Problema resuelto 40. La casa de ropa deportiva Uribe compra mercancía con valor de $150 000. Acuerda con su acreedor realizar un pago de contado de $50 000 y $90 000 después de seis meses. La fábrica textil cobra intereses a 18% capitalizable mensualmente sobre saldos insolutos. ¿Qué pago final deberá realizar la casa de ropa deportiva al final de un año?

Solución Datos: T = 18% A.C.M. i = 0.015 mensual Deuda 150 000 - 50 000 = 100 000

Desarrollo

4.7 Tiempo equivalente El tiempo es equivalente cuando en una fecha determinada se puede cancelar, mediante un pago, la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen diferentes fechas de vencimiento.

Problema resuelto 41. La química Susana Altamirano tiene que pagar las siguientes obligaciones de $18 000.00, $25 000.00 y $30 000.00 con diferentes fechas de pago en 3, 9 y 12 meses, respectivamente.

La química acordó con el banco realizar un pago único en una fecha, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente.

Solución El pago único se determina a través del cálculo del tiempo equivalente. Para tener una idea más clara se grafica el problema, colocando los pagos en sus respectivas fechas de vencimiento y se ubica la fecha focal.

La fecha focal se determina de manera lógica, para este ejemplo se ubica en el doceavo mes, ya que en este, se cancelarán todas las obligaciones. El pago único será de 18 000 + 25 000 + 30 000 = $73 000 El tiempo entre el pago de $73 000 y la fecha focal en n, se obtiene planteando la siguiente ecuación de tiempo equivalente.

Desarrollo

Solución Datos: T = 18% A.C.M. i = 0.015 mensual Deuda 150 000 - 50 000 = 100 000

Desarrollo

Entonces, existen 3.372584 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente. Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (3 meses 11 días) = 8 meses y 19 días. El pago será de $73 000.00 y se realizará dentro de 8 meses y 19 días. Problema resuelto 42. El talabartero Ronaldo Montero es un pequeño fabricante de carpetas y llaveros de piel, requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Para ello, decidió contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente manera: $40 000.00 con vencimiento en seis meses, $60 000.00 a ocho y $90 000.00 en 12 meses. El talabartero Ronaldo decide renegociar su deuda para realizar un pago único, a una tasa de 20% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente.

La fecha focal se ubica en el doceavo mes, ya que en este se cancelarían todas las obligaciones. El pago único es de 40 000 + 60 000 + 90 000 = $190 000 El tiempo entre el pago de $190 000 y la fecha focal en n, se obtiene al plantear la siguiente ecuación de tiempo equivalente.

Entonces, existen 2.57805 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente. Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (2 meses 17 días) = 9 meses y 13 días. El pago único será de $190 000 y deberá pagarse dentro de 9 meses y 13 días.

Problema resuelto 43. La embotelladora de agua Alpina adeuda al Banco Nacional $45 000.00 con vencimiento en tres meses y $15 000.00 con vencimiento en nueve. La embotelladora desea liquidar la deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente si la tasa de interés es de 30% capitalizable mensualmente?

Solución

La embotelladora debe liquidar sus préstamos con un pago único de $60 000.00 dentro de cuatro meses y 13 días. Problema resuelto 44. El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero consiste en pagar de contado la cantidad de $248 500.00. El segundo es pagar un anticipo de $90 000.00 y el saldo en dos pagarés de $98 000.00 a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera en el banco el dinero a una tasa de 16% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene?

Solución

Valor actual de los dos pagares

Le conviene aceptar la primera propuesta, ya que tendrá un ahorro de $15 611.67 si compra ahora el automóvil. Problema resuelto 45. El señor Leonardo García firma un pagaré por la cantidad de $583 350.00, a plazo de trece meses, con una tasa de interés de 2% mensual. El señor García va a descontar el documento siete meses antes de su vencimiento, con una tasa de 1.8% mensual. ¿Cuál es el valor actual del documento? Solución Calcular el valor de vencimiento del pagaré. Datos: C = $583 350.00 T = 2% mensual n = 13 meses Incógnita M

Desarrollo: M = 583 350(1.02)13 = 583 350(1.2936) = $754 625.43

Se encuentra el valor actual a la fecha de descuento. Datos: M = $754 625.43 T = 1.8% mensual n = 7 meses Incógnita C

Desarrollo: = 754 625.43( 0.8826 ) $666 034.91

Descuento compuesto 754 625.43 - 666 034.91 = $88 590.52

4.8 Inflación Es importante saber de qué manera se incorpora la inflación a un análisis financiero, ya que hasta este momento se ha estudiado en los dos capítulos el manejo del dinero sin considerar la inflación, o considerando un incremento tan bajo en los precios de los bienes o servicios que prácticamente este problema no se toma en consideración. ¿Qué efecto tiene la inflación en el poder adquisitivo? La respuesta es, el valor del dinero disminuye, por tanto el poder de compra. Lo anterior también se puede entender con un ejemplo: si con $64.00 se compran ocho gomas y cada una cuesta $8.00 en el mes de enero, con los mismos $64.00 en diciembre del mismo año solo se podrá comprar siete gomas y cada una

¡costará $8.32. Entonces, el incremento en el precio de cada goma será 4% en un año; por tanto, la inflación para el caso de los gomas será 4% anual. En la economía de un país no solo se venden y producen gomas, también diferentes bienes y servicio. La inflación se representa por lo regular en términos del porcentaje que presenta la tasa de incremento de los precios en una quincena, mes o año, con respecto a los precios de la quincena, mes o año anterior. Problema resuelto 46. Supón que la tasa de inflación anual se mantiene constante desde enero de 2006 hasta enero de 2015 (6.35%). Encontrar el precio de una silla para escritorio de piel en el mes de enero del 2015, si en el mes de enero del año 2006 costaba $6 700.00. Solución Datos: l = 6.35% anual C = $6 700.00 n = 9 años Incógnita M

Desarrollo:

El costo de una silla de piel para escritorio en enero del año 2015 será de $11 660.36. La inflación es un problema económico que tiene causas muy complejas. • El incremento de monedas y billetes circulantes, sin un incremento de la producción de bienes y servicios equivalente • Cuando se recurre a la emisión de dinero para cubrir el déficit presupuestal del gobierno. • Si la demanda de un bien o servicio es mayor que la oferta los precios suben. Esto se debe al exceso de moneda circulante, ya que la gente tiene más dinero para comprar entonces la demanda aumenta. Al hablar de una inflación baja, se debe entender como el incremento mínimo en los precios de los bienes o servicios en un periodo determinado; por ejemplo, una inflación anual de 0.5% o de 1.2%. La tasa de inflación se calcula con la siguiente expresión.

l Tasa de inflación. I1 Índice de precios al inicio del periodo. I2 Índice de precios al final del periodo. Problema resuelto 47. Encontrar la tasa de inflación presentada de enero de 2009 a enero de 2014.

Solución

Desarrollo

Problema resuelto 48. ¿Qué tasa de inflación acumulada se tendrá a finales de 2016? Si la inflación en el mes de enero de 2016 fue de 0.3564%, suponer que la tasa de inflación es la misma para todo el año. Solución Datos: l = 0.3564% Incógnita l1

Desarrollo:

Problema resuelto 49. El señor Gómez desea comprar un refrigerador para su taller en el mes de enero de 2015, el refrigerador cuesta $8 400.00, un gasto imprevisto le impide comprar el refrigerador, por lo que se pregunta cuánto le costará en el mes de diciembre del mismo año, si la tasa anual acumulada constante fue de 4.76825% anual. Solución Datos C = $8 400.00 n = 1 año l = 4.76825% anual Incógnita I2 (M)

Desarrollo:

Problema resuelto 50. Encontrar la inflación en los dos primeros trimestres de 2015. Solución

La inflación acumulada en los dos primeros trimestres de 2015 es de 1.2476%. Problema resuelto 51. Este ejemplo muestra de qué manera se puede tomar una decisión para invertir el dinero en una institución bancaria con base al concepto de interés compuesto. El objetivo final de esta inversión será alcanzar a reunir la máxima cantidad de dinero a futuro para comprar o adquirir los bienes o servicios deseados. El historiador Arturo Moreno Camargo recibió la cantidad de $500 000.00 de una herencia. Él y su esposa María de los Ángeles analizaron en qué gastarían el dinero. Decidiendo utilizar $320 000.00 para realizar arreglos a su casa, $100 000.00 guardarlos para imprevistos y $80 000.00 invertirlos en una institución bancaria, con el objetivo de utilizar ese dinero para cuando su hijo Jesús Miguel ingresara a la universidad; ya que los costos de la inscripción, mensualidades y libros se incrementarán conforme trascurra el tiempo. En la actualidad Jesús Miguel tiene tres años de edad, para cuando ingrese a la universidad transcurrirán 15 años. Ellos deciden visitar tres instituciones financieras para decidir en cuál depositarán el dinero, la primera que visitaron fue Banorte. Esta les ofreció invertir a plazo fijo con interés de 12.5% capitalizable bimestralmente; la segunda fue Banejército, que ofreció invertir a plazo fijo con un interés de 11.6% capitalizable trimestralmente; el último, Bonos del Ahorro les ofreció ganar 15.6% capitalizable semestralmente. Suponiendo que las tres instituciones financieras ofrecen la misma liquidez. ¿Por cuál banco deben decidirse para invertir su dinero?, con el objetivo de que dentro de 15 años alcance el máximo monto. Considerar que la tasa de interés permanece constante durante todo el plazo y no hay inflación. Solución Se tienen que calcular las tres tasas anuales compuestas por mes para poder hacer la comparación. Pasos a considerar para tomar una decisión de inversión. • No es necesario conocer el capital con el que se cuenta. • Lo que sí es importante es conocer la tasa anual para cada alternativa que se tenga (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro). • La tasa anual se capitaliza con la misma frecuencia y debe ser equivalente a las alternativas presentadas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro).

Primero calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banorte.

Tasa i anual capitalizable cada mes

Tasa i anual capitalizable cada bimestre

Igualando M1 = M2

i = 12(0.01036) i = 12.43% anual convertible mensualmente Después calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banejército. Tasa i anual capitalizable cada mes

Tasa i anual capitalizable cada trimestre

i = 12(0.009574) i = 11.49% anual convertible mensualmente Por último, calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Bonos del Ahorro. Tasa i anual capitalizable cada mes

Tasa i anual capitalizable cada semestre Igualando M5 = M6

i = 12(0.012597) i = 15.12% anual convertible mensualmente La mejor opción en la que conviene invertir es la de Bonos del Ahorro, ya que la tasa que ofrece de 15.6% anual capitalizable cada semestre es equivalente a una tasa de 15.12% anual capitalizable mensualmente, esta tasa mensual fue la más alta de las tres alternativas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro). Para conocer la cantidad de dinero con que contarán dentro de 15 años, es necesario calcular el monto. Solución Datos: C = $80 000.00 T = 15.12% A.C. Mensual n = 15 años Incógnita M

Desarrollo:

M = 80 000[9.52415] M = $761 931.86 La cantidad de dinero con que contarán después de 15 años es de $761 931.86. Problema resuelto 52. El comerciante Luis Eduardo Chavarría Barbosa cuando llevó a cabo su testamento, como acto de personalísima voluntad en una de sus cláusulas estipuló que $800 000.00 de sus bienes se aplicara en un fondo de inversión de bajo riesgo. Este dinero deberá ser entregado en partes iguales a cada uno de sus hijos como beneficiarios al cumplir la edad de 24 años. Cuando el señor Chavarría falleció sus hijos tenían 15,18 y 21 años, respectivamente. El fondo de inversión generó en promedio intereses de 10% con capitalizaciones semestrales. Solución Datos: x el pago equitativo requerido Alejandro de 15 años recibirá $ x dentro de nueve años. Héctor de 18 años recibirá $ x dentro de seis años. Mónica de 21 años recibirá $ x dentro de tres años. La fecha focal para el cálculo de x se fija para hoy.

Desarrollo:

Fórmulas empleadas Capitalización anual:

Capitalización fraccionaria:

Cuando el periodo continuamente)

Valor actual o presente:

Tiempo:

Tasa:

Tasa efectiva:

Tasa nominal:

tiene

componente

continuo

(capitalización

Inflación: Tasa de inflación:

Tasa de inflación acumulada constante:

Tasa de inflación acumulada variable:

Tasa de inflación por periodo

Nomenclatura

GLOSARIO Actualizar. Conociendo el monto se desea saber el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, durante un plazo determinado (ir del futuro al presente). apitalizar. Es cuando se agrega el interés al capital al final de un determinado periodo (ir del presente al futuro). recuencia de capitalización de intereses. Periodo en el que se van a producir nuevos intereses (mes, bimestre, trimestre, semestre, etc.). A mayor frecuencia de capitalización mensual (12) bimestral (6) en un año, se obtienen más intereses. Interés compuesto. Es el capital al que se le acumulan los intereses devengados al final del periodo, este da origen a un nuevo capital sobre el que se generan nuevos intereses. Liquidez. Característica de ciertos activos que son fácilmente convertibles en efectivo; como son depósitos bancarios a la vista, activos financieros que pueden ser vendidos instantáneamente. Periodo de capitalización. Es un intervalo regular, en el que se generan intereses, los cuales se le agregan al capital al final de éste. Tasa efectiva. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que una tasa compuesta. Tasa nominal. Es la tasa de interés anual, sin tomar la capitalización. Valor actual o presente. Es el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, para llegar a tener un monto al final de un periodo dado. Problemas para resolver Frecuencia de conversión 4.1 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 18% capitalizable bimestralmente? 4.2 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 7% capitalizable mensualmente? 4.3 Si la tasa de interés es de 13.8% capitalizable trimestralmente durante dos años determinar: a) frecuencia de capitalización.

b) el interés por periodo. c) el número total de periodos de capitalización. 4.4 Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestralmente durante tres años determinar: a) frecuencia de capitalización. b) el interés por periodo. c) el número total de periodos de capitalización 4.5 ¿Qué cantidad podrá tener Lorena García dentro de cuatro años, si invierte $5 800.00 en Banorte y los intereses que paga son de 1.8% trimestral? 4.6 Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del: a) 28% anual capitalizable semestral (A.C.S.) b) 28% anual capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 28% anual capitalizable mensual (A.C.M.) 4.7 Se desea conocer el monto acumulado, cuando el capital es de $18 000.00, invertido a 18% anual capitalizable bimestralmente, siendo el plazo de 18 meses. 4.8 Se invierten $15 500.00 durante 24 meses a una tasa de 7.56%, para comprar una computadora portátil, encontrar el valor acumulado. 4.9 El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un interés de 9.7% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la tasa se modificó a 8% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años. 4.10 La bióloga Roxana Hernández obtuvo un préstamo bancario por $12 500.00 a un año y con un interés de 22% capitalizable bimestralmente. Ella decidió liquidarlo en forma anticipada habiendo transcurrido seis meses y medio. ¿Cuál será la cantidad que debe pagar? 4.11 La socióloga Alondra Rea invierte $19 500.00 en Banorte a un año y medio a una tasa de interés nominal de 4.5%. ¿Qué cantidad recibe al final del plazo? a) Con capitalización bimestral. b) Con capitalización continua. 4.12 Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestralmente durante tres años determinar:

a) Frecuencia de capitalización. b) El interés por periodo. c) El número total de periodos de capitalización. 4.13 ¿Cuál será el valor presente de $11 600.00 invertidos nueve meses antes, a una tasa de 24% capitalizable mensualmente? 4.14 ¿Cuál será el valor presente de $28 000.00 invertidos 14 meses antes, a una tasa de 18% capitalizable bimestralmente? 4.15 ¿Cuánto debe depositar la estudiante Alejandra Martínez, si desea tener un monto de $14 600.00, dentro de tres años a una tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de graduación? 4.16 El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero, es pagar de contado la cantidad de $125 000.00, y el segundo es pagar un anticipo de $50 000.00 y el saldo en dos pagarés de $45 210.00 cada uno a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera su dinero en un fondo de inversión a una tasa de 8.9% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene? 4.17 Calcular el valor actual de $69 572.00, pagaderos a un año ocho meses, con una tasa de 24% capitalizable cada tres meses. 4.18 Calcular el valor actual de $25 840.00, pagaderos a un año ocho meses, a una tasa de 20% capitalizable cada tres meses. 4.19 Calcular el valor actual de $45 000.00, pagaderos a ocho meses y 13 días, a una tasa de 24.6% capitalizable mensualmente. 4.20 La señora Amanda García firmó un pagaré por la cantidad de $11 349.00, a plazo de un año, con una tasa de interés de 1.5% mensual. La señora García piensa descontar el documento cinco meses antes de su vencimiento, con una tasa de 18% con capitalización mensual. ¿Cuál será el valor actual del documento a los cinco meses? Calcular el valor de vencimiento del pagaré 4.21 ¿En cuánto tiempo un capital de $700.00 se convierte en un monto de $1 000.00 a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente? 4.22 Un capital de $19 870.00 produce intereses a una tasa de 24% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $21 873.15?

4.23 ¿En cuánto tiempo se triplica un capital que se invierte al 23% capitalizable mensualmente? 4.24 En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del: a) 50% b) 30% c) 17% d) 14% e) 10% f) 5% 4.25 ¿En cuánto tiempo un capital de $5 700.00 se convierte en un monto de $7 000.00 a una tasa de 15% capitalizable diariamente? 4.26 ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $2 800.00, para alcanzar la cantidad de $3 999.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 8% capitalizable trimestralmente? 4.27 ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $19 000.00 a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente? 4.28 El administrador Ramón Mendieta depósito en una institución financiera $600 000.00 y después de tres años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución financiera a su inversión? 4.29 Una inversión de $10 000.00 en 10 años quintuplica su valor. Calcular la tasa anual. 4.30 Una inversión de $75 000.00 a 18 meses alcanzó un monto de $82 354.27. Calcular la tasa anual. 4.31 La tasa de 14.816% anual convertible mensualmente es equivalente a la de 15% anual convertible trimestralmente. 4.32 Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 21.8% capitalizable mensualmente. 4.33 Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 10.8% capitalizable mensualmente.

4.34 Encontrar la tasa de interés convertible bimestralmente a una equivalente de 8% capitalizable mensualmente. 4.35 Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestralmente. 4.36 Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 18% anual capitalizable semestralmente. 4.37 Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 12% anual capitalizable trimestralmente. 4.38 Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 10%. 4.39 ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente? 4.40 ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14% capitalizable trimestralmente? 4.41 ¿Qué cantidad debe pagarse en un trimestre para saldar una deuda de tres pagos mensuales de $1 000.00 dada una tasa de 12% capitalizable mensualmente? 4.42 La contadora Alma Robles debe pagar $3 000.00 dentro de tres meses y $7 400.00 dentro de seis. Acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el quinto mes a una tasa de 26.7% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único. 4.43 Un taller textil solicitará un préstamo de $2 000 000.00 dentro de dos años a pagar en uno y otro de $3 500 000.00 dentro de cuatro. La forma de pago será de la siguiente manera: el día de hoy paga $1 000 000.00 y posteriormente dos pagos iguales, el primero dentro de un año y el segundo a los tres años con una tasa de interés de 24% capitalizable bimestralmente. ¿Cuál fue el importe de cada pago? 4.44 Al adquirir un escritorio y tres libreros con valor de $30 000.00, el doctor Suárez decidió realizar dos pagos de $15 000.00, uno a los seis meses y el otro al año. Los pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable semestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $9 000.00, el segundo de $15 000.00 y el tercero por la diferencia, para este caso se acordó un interés de 24%

capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último pago? 4.45 El contador Salvador Rodríguez tiene que pagar las siguientes obligaciones de $5 000.00, $10 000.00 y $20 000.00 con diferentes fechas de pago de 3, 8 y 10 meses, respectivamente. El contador piensa realizar un pago único en una fecha determinada, con una tasa de 18% capitalizable mensualmente. 4.46 El ingeniero Pedro Morales es un pequeño fabricante de llaveros que requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Decide contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente forma: $20 000.00 con vencimiento en cinco meses, $30 000.00 a ocho meses y $40 000.00 con vencimiento en 12 meses. Al empresario le interesa realizar un pago único, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente. 4.47 La compañía productos de agrícola, adeuda al banco $35 000.00 con vencimiento a dos meses y $25 000.00 con vencimiento a seis meses. La compañía desea liquidar la deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente suponiendo un interés de 2% mensual? PROBLEMAS RETO Problemas complementarios de interés compuesto 1. Si la tasa de interés es de 10% capitalizable semestralmente durante tres años determinar: a) Frecuencia de capitalización. b) El interés por periodo. c) El número total de periodos de capitalización. 2. El director de la escuela invirtió $42 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un interés de 12% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la tasa se modificó a 15% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años. 3. ¿Cuánto debe depositar una persona, si desea tener un monto de $16 600.00, dentro de tres años a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de graduación? 4. ¿En cuánto tiempo un capital de $7 530.00 se convierte en un monto de $7 980.00 a una tasa de 15% capitalizable diariamente? 5. Una inversión de $7 000.00 en tres años triplica su valor. Calcular la tasa anual. 6. Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22.5% capitalizable mensualmente.

Bibliografía Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.

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