HS12_UK_MIKRO_ORDNER by Uniseminar

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Theorie Grundzüge der Mikroökonomik 1. Semester

Köln, 2012/2013

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

2 Präferenzen und Nutzen 2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Güterbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Präferenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Nutzenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Die Grenzrate der Substitution . . . . . . . . . . . 2.6 Beliebte Nutzenfunktionen und Präferenzordnungen

. . . . . .

1 1 1 2 7 11 12

3 Budgetrestriktionen 19 3.1 Budgetmenge und Budgetgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Komparative Statik der Budgetmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Konsumentenentscheidung 4.1 Annahmen . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intuition zur Nutzenmaximierung 4.3 Standardmethoden zur Lösung . . 4.4 Lösungsmethoden für Spezialfälle

. . . .

29 29 30 33 39

5 Nachfrage 43 5.1 Änderungen des Einkommens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Änderungen des Preises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Die Slutsky Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6 Konsumentenrente 60 6.1 Brutto- und Netto-Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2 Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3 Kompensatorische und Äquivalente Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7 Technologie 7.1 Die Produktionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Das Grenzprodukt eines Inputs . . . . . . . . . . 7.3 Technische Rate der Substitution . . . . . . . . . 7.4 Eigenschaften von Technologien . . . . . . . . . . 7.5 Skalenerträge einer Technologie . . . . . . . . . . 7.6 Langfristige und kurzfristige Produktionsfunktion

. . . . . .

71 71 74 76 78 81 85

8 Kostenminimierung 87 8.1 Lösung des Kostenminimierungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.2 Eigenschaften von Kostenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.3 Langfristige und kurzfristige Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 Angebot 99 9.1 Angebot bei vollkommener Konkurrenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.2 Die Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10 Monopol 10.1 Gewinnmaximierung eines Monopolisten . . . . . . . . 10.2 Exkurs: Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Monopolistische Gewinnmaximierung und Elastizitäten 10.4 Regulierung eines Monopols . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Preisdiskriminierung im Monopol . . . . . . . . . . . .

. . . . .

109 . 109 . 116 . 120 . 121 . 123

11 Marktangebot und –nachfrage 128 11.1 Individuelle Nachfragefunktion und Marktnachfragefunktion . . . . . . . . . . . 128 11.2 Individuelles Angebot und Marktangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 12 Marktgleichgewicht 12.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Experimentelle Evidenz . . . . . . . . 12.3 Steuern und Steuerinzidenz . . . . . 12.4 Mengensteuer auf der Nachfragerseite 12.5 Mengensteuer auf der Anbieterseite . 13 Pareto-Effizienz 13.1 Was bedeutet Effizienz? . . . . . 13.2 Effizienz des Marktgleichgewichtes 13.3 Effizienz bei Mengensteuern . . . 13.4 Effizienz im Monopol . . . . . . .

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135 . 135 . 136 . 140 . 141 . 142

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147 . 147 . 149 . 149 . 153

14 Wohlfahrtstheoreme 156 14.1 Einführung: Aussage und Interpretation der Wohlfahrtstheoreme . . . . . . . . . 156 14.2 Allgemeines Gleichgewicht und der 1. Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 15 Spieltheorie 167 15.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 15.2 Gleichgewichtskonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 15.3 Spiele in Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

15.4 Sequentielle Spiele in der Extensivform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 15.5 Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Stichwortverzeichnis

185

Theorie: Präferenzen und Nutzen

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Präferenzen und Nutzen

2.1

Einleitung

In vielen ökonomischen Modellen ist es notwendig, das Verhalten von Konsumenten (bzw. später auch anderer wirtschaftlicher Akteure) zu beschreiben. Die Kernidee hierbei ist, dass Konsumenten sich stets so entscheiden, dass sie • die am meisten bevorzugte Option wählen, • die sie sich leisten können. In diesem Kapitel widmen wir uns dem ersten Schritt: der Beschreibung dessen, wie stark welche Optionen bevorzugt werden. Hierzu verwenden wir die Konzepte der Präferenzen bzw. des Nutzens (wir werden sehen, dass diese beiden Konzepte miteinander verwandt sind). In späteren Kapiteln widmen wir uns dann dem zweiten Schritt: was sich ein Konsument leisten kann. Dies beschreibt man in der VWL mit der sogenannten Budgetmenge. Kennt man Präferenzen und Budgetmenge eines Konsumenten, lässt sich dann vorhersagen, wie sich der Konsument entscheiden wird.

2.2

Güterbündel

Nehmen wir der Einfachheit halber an, es gebe nur zwei Güter: Gut 1 und Gut 2. Nennen wir nun die Menge von Gut 1 x1 , und die Menge von Gut 2 x2 . Dann ist (x1 , x2 ) ein sogenanntes Güterbündel .

Definition 1. Güterbündel Ein Güterbündel ist ein Vektor, der die Menge jedes betrachteten Gutes auﬀührt.

Hinweis: Die Anzahl der Elemente eines Güterbündels hängt davon ab, wieviele Güter betrachtet werden. Wenn wir beispielsweise drei Güter 1, 2 und 3 betrachten würden, dann hätte ein Güterbündel die Form (x1 , x2 , x3 ). Kehren wir jedoch zum Zwei-Güter-Fall zurück, der in dieser Veranstaltung fast durchweg verwendet wird. Hat man nur zwei Güter, dann kann man Güterbündel in einem zweidimensionalen Diagramm gut veranschaulichen. Jedes Güterbündel entspricht hier schlicht einem Punkt im Koordinatensystem, bei dem auf der einen Achse die Menge des Gutes 1 und auf der anderen die Menge des Gutes 2 abgetragen werden.

-1-

Theorie: Präferenzen und Nutzen

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Abbildung 1: Man kann zweidimensionale Güterbündel im Koordinatensystem abbilden. Hier sind !"#$%&"'($)* z.B. x = (5, 2) und y = (2, 6) jeweils Güterbündel.

Menge von Gut 2!

y2=6!

Güterbündel" y=(y1,y2)=(2,6)! y!

Güterbündel" x=(x1,x2)=(5,2)! x2=2!

y1=2!

2.3

x1=5!

Menge von Gut 1!

Präferenzrelationen

Die Präferenzen eines Konsumenten geben nun an, wie er verschiedene Alternativen (typischerweise Güterbündel) nach Bevorzugung sortieren würde. Sie geben für jedes Paar von Alternativen x und y jeweils an, welches von beiden der Konsument bevorzugt, oder ob er indiﬀerent ist zwischen den beiden Alternativen.1 Mathematisch gesehen beschreibt man dies mit einer sogenannten Präferenzrelation. Man liest diese Relation wie folgt: • x

y: “Die Alternative x wird der Alternative y eindeutig vorgezogen”.

• x % y: “Die Alternative x wird der Alternative y schwach vorgezogen”. Dies bedeutet, dass der Konsument die zwei Alternativen x und y entweder gleich gut findet, oder x besser findet. • x ⇠ y: “Der Konsument ist indiﬀerent zwischen den Alternativen x und y.” (Er findet beide gleich gut). 1

Beachte hierbei, dass x und y auch Güterbündel sein können, d.h. mehr als ein Element haben können – im Zwei-Güter Fall also x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 )!

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Theorie: Technologie

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Technologie

Nachdem wir uns in den vergangenen Kapiteln dem Verhalten von Konsumenten – den Nachfragern auf einem Markt – gewidmet haben, beginnen wir nun mit der Betrachtung der Angebotsseite. In diesem Kapitel ähneln viele Konzepte und Methoden denen der Konsumententheorie, so dass viele Ergebnisse und Eigenschaften fast direkt aus der Konsumententheorie übernommen werden können. Zunächst beschäftigen wir uns mit der Frage, wie aus Inputs Outputs werden. Als Inputs18 bezeichnet man dabei diejenigen Güter, die in den Produktionsprozess einfließen (Rohstoﬀe, Arbeitsstunden, Maschinenarbeitsstunden etc.), während Outputs die Güter sind, die am Ende aus dem Produktionsprozess entstehen. Den Zusammenhang zwischen Inputmengen und erzielbaren Outputmengen bezeichnen wir in der VWL als die Technologie, die einem Produzenten zur Verfügung steht.

7.1

Die Produktionsfunktion

Die Technologie lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen (auf die wir hier nicht näher eingehen werden) in Form einer sogenannten Produktionsfunktion abbilden. Nehmen wir an, es gebe. . . • Inputs, deren Mengen im Inputbündel x = (x1 , x2 , . . . , xn ) zusammengefasst werden • Diese Inputs können zusammengefügt werden, um ein Outputgut zu erzeugen, dessen Menge mit y bezeichnet wird. Dann ist die Frage, wie viele Outputgüter man maximal mit einem bestimmten Inputbündel produzieren kann. Die Antwort auf diese Frage wird durch die Produktionsfunktion gegeben:

Definition 14. Produktionsfunktion Die Produktionsfunktion. . . f (x1 , x2 , . . . , xn ) . . . gibt für jedes Inputgüterbündel x = (x1 , x2 , . . . , xn ) jeweils die maximal mögliche Outputmenge an, die mit dem Inputbündel herstellbar ist.

Natürlich kann der Produzent auch Inputgüter verschwenden und eine Outputmenge y < f (x1 , x2 , . . . , xn ) produzieren. Deshalb ist die sogenannte Produktionsmöglichkeitenmenge gege18

Die Begriﬀe “Inputgut”, “Inputfaktor” und “Produktionsfaktor” sind synonym.

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Theorie: Technologie

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ben durch die Ungleichung y  f (x1 , x2 , . . . , xn ). Die Produktionsfunktion ist dann der eﬃziente Rand dieser Menge: y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Abbildung 29 verdeutlicht dies graphisch für einen Fall, wo es nur ein Inputgut x gibt. Abbildung 29: Die Produktionsfunktion ist der eﬃziente Rand der Produktionsmöglichkeitenmenge (hier die farblich markierte Fläche). Hier ist z.B. y¯ die maximale Outputmenge, die mit der Inputmenge x = x ¯ herstellbar ist. Fläche: " y ≤ f (x) (Produktions-Möglichkeiten" -Menge)! OutputMenge!

y €

y Effizienter Rand: Produktionsfunktion!

€ y = f (x) €

Inputmenge!

€ Wie oben in der Definition angedeutet, gibt es möglicherweise mehr als ein Inputgut. Eine € könnte zum€Beispiel so aussehen: Produktionsfunktion mit zwei Inputgütern Abbildung 30: Beispiel für eine Produktionsfunktion mit zwei Inputs. Hier ist die Outputmenge auf der vertikalen Achse, und die beiden Inputs Kapital und Arbeit (englisch: “labor”) sind auf den anderen beiden Achsen. In diesem Beispiel haben wir eine Produktionsfunktion, die wieder abfällt, wenn zu viele Inputs verwendet werden.

30 20 output 10 0 30

30 20

20 labour

capital

Man sieht schon hier recht deutlich, dass es fast unmöglich ist, eine Produktionsfunktion mit zwei Inputs per Hand zu zeichnen. Deshalb behilft man sich mit dem Konzept der sogenannten -72-

Theorie: Technologie

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Isoquanten. Analog zu den Indifferenzkurven aus der Konsumententheorie ist eine Isoquante eine “Höhenlinie” der Produktionsfunktion. Dies kann man sich wie auf einer Landkarte vorstellen, wo ja auch teils Höhenlinien von Bergen eingezeichnet sind. Im Unterschied zu Indifferenzkurven hat die Höhe der Isoquante hier jedoch eine konkrete Interpretation (y = 5 heisst z.B., dass genau 5 Outputgüter produziert werden). Bei Indifferenzkurven waren die absolute Höhe der Indifferenzkurve nicht interpretierbar, da Nutzen keine sinnvollen Einheiten hat (was heisst schon 3 “Nutz”?).

Definition 15. Isoquante Eine Isoquante zum Produktionsniveau f (x) = y ist eine Höhenlinie der Produktionsfunktion. Sie erfasst all diejenigen Inputbündel x, für die gilt: f (x) = y¯.

Abbildung 31 verdeutlicht dies nochmal graphisch: Abbildung 31: Produktionsfunktion (links) und eine Isoquante (rechts). In diesem Beispiel ist links die Produktionsfunktion eingezeichnet. Hierbei ist die Menge des Outputgutes mit q bezeichnet, und die Mengen der Inputs mit l (für Arbeit) bzw. k (für Kapital). Nun wird das Outputniveau auf einem bestimmten Niveau fixiert – graphisch ist dies durch die Ebene dargestellt, die die Produktionsfunktion schneidet. Die Schnittlinie zwischen der Ebene und der Produktionsfunktion ist die Isoquante – rechts ist sie im k-l Diagramm eingezeichnet. k 30

10 20

0 0

Falls eine Produktionsfunktion zwei Inputgüter hat, dann ist sie schnell ermittelt.

-73-

Theorie: Kostenminimierung

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Kostenminimierung

In Kapitel 8 haben wir die Gewinnmaximierung des Unternehmens in einem einzigen mathematischen Schritt durchgeführt. Hierzu haben wir den Gewinn des Unternehmens mittels optimaler Wahl der Inputmengen x1 und x2 maximiert, unter der Nebenbedingung, dass der Zusammenhang zwischen Input- und Outputmengen durch die Produktionsfunktion f (x1 , x2 ) gegeben ist: maxx1 ,x2

w1 x1

w2 x2

s.t. y = f (x1 , x2 )

Wir spalten diese Optimierung nun in zwei Schritte auf, die in diesem und im folgenden Kapitel behandelt werden: 1. Kostenminimierung bei gegebener Outputmenge (Kapitel 9): Welche Inputkombination minimiert die Kosten, die entstehen, um eine gegebene Outputmenge y zu erzeugen? min

x1 ,x2

w1 x1 + w2 x2

s.t. f (x1 , x2 ) = y

Wir erhalten hierbei die Faktornachfragefunktionen x1 (w1 , w2 , y) und x2 (w1 , w2 , y). Setzen wir dies in die Kostengleichung ein, erhalten wir die Kostenfunktion. . . c(w1 , w2 , y) = w1 x1 (w1 , w2 , y) + w2 x2 (w1 , w2 , y) . . . welche für jede Kombination aus Outputmenge y und Inputpreise w1 und w2 die geringstmöglichen Produktionskosten angibt. Allgemein bestimmt man die Kostenfunktion also dadurch, dass man. . . (a) für jede Outputmenge die optimalen (kostenminimalen) Inputmengen bestimmt (b) diese Inputmengen mit ihren jeweiligen Preisen multipliziert und (c) aufsummiert über Inputs, falls es mehr als einen Input gibt. Dies wird in diesem Kapitel behandelt. 2. Gewinnmaximierung über die Outputmenge (Kapitel 10): Wie sollte y optimalerweise gewählt werden? max y

9.1 9.1.1

c(w1 , w2 , y)

Lösung des Kostenminimierungsproblems Graphische Lösung

Zunächst lösen wir das Problem der Kostenminimierung graphisch. Wir wollen. . . -95-

Theorie: Kostenminimierung

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• zu einem gegebenen Outputniveau y • die minimalen Kosten ermitteln. Wir suchen nun nach graphischen Repräsentationen hiervon. • Graphisch korrespondiert jedes Outputniveau y im (x1 , x2 ) Diagramm zu jeweils einer Isoquante.23 Wir zeichnen also die Isoquante zum Niveau y ein, und suchen nun den kostenminimalen Punkt auf dieser Isoquante. • Zu jedem Kostenniveau c¯ gibt es eine Isokostengerade – auf dieser liegen alle diejenigen Inputbündel (x1 , x2 ), die genau c¯ kosten: w1 x1 + w2 x2 = c¯ w1 c¯ x1 + w2 w2

() x2 =

1 Wir stellen fest, dass die Steigung einer Isokostengerade w ist und dass diese Steigung w2 unabhängig von den Gesamtkosten c¯ ist. Nur der Achsenabschnitt wc¯2 der Geraden ändert sich mit variierendem c¯. Also sind Isokostengeraden zu verschiedenen Kostenniveaus c¯ Parallelverschiebungen voneinander – und je niedriger das Kostenniveau, desto weiter südlich liegt die Gerade im Diagramm. Siehe Abbildung 39.

Abbildung 39: Isokostengeraden

x2! c w2 Steigung: − !

w1 w2

€ €

n K ied os rig te e n ! re

Isokostengerade zum Niveau! c

€ 23

c w1

Siehe Seite 73 für eine Erinnerung daran, wie man Isoquanten konstruiert.

-96-

€

x1!

Theorie: Kostenminimierung

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Wir suchen denjenigen Punkt auf einer Isoquanten, der dem geringstmöglichen Kostenniveau c¯ entspricht – dies ist gegeben durch diejenige niedrigstmögliche Isokostengerade, die die Isoquante gerade noch tangiert. Der Tangentialpunkt der Isokostengerade mit der Isoquante bestimmt also die kostenminimale Inputwahl zum Outputniveau y. Abbildung 40 verdeutlicht dies graphisch. Abbildung 40: Kostenminimierung: die kostenminimalen Faktornachfragen x1 (w1 , w2 , y) und x1 (w1 , w2 , y) liegen am Tangentialpunkt der Isoquanten mit der Isokostengeraden. 1 Dies ist bei diﬀerenzierbaren Produktionsfunktionen dort der Fall, wo die T RS = w w2 ist (die TRS ist die Steigung der Isoquanten).

x2!

Gepunktet: verschiedene" Isokostengeraden!

c(w1,w 2 , y ) w2

€

Optimum: " Tangentialpunkt! Isoquante zum Niveau! y

x 2 (w1,w 2 , y )

€ x1 (w1,w 2 , y )

9.1.2

€

c(w1,w 2 , y ) w1

x1!

€ Mathematische Lösung

€ Herleitung Wir gehen in unserer Lösung davon aus, dass die Produktionsfunktion streng monoton, quasikonkav und diﬀerenzierbar ist, damit wir die Diﬀerenzialrechnung verwenden können, um das Problem zu lösen. Zunächst der Ansatz:

min

x1 ,x2

w1 x1 + w2 x2

s.t. f (x1 , x2 ) = y

Wir stellen die Nebenbedingung nach 0 = . . . um, damit wir die Lagrange-Gleichung aufstellen können: L(x1 , x2 , ) = w1 x1 + w2 x2

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(f (x1 , x2 )

Theorie: Marktangebot und –nachfrage

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Marktangebot und –nachfrage

In diesem Kapitel gehen wir den Schritt von den individuellen Angebots- und Nachfragefunktionen von Wirtschaftsakteuren zu Markt-Angebot und Markt-Nachfrage. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass die individuellen Angebots- bzw. Nachfragefunktionen jeweils über die Mengen aufaddiert werden müssen. Man nennt diesen Vorgang des gruppiert Aufaddierens “Aggregation”.

12.1

Individuelle Nachfragefunktion und Marktnachfragefunktion

Aus den individuellen Nachfragefunktionen der einzelnen Nachfrager lässt sich eine Marktnachfragefunktion ableiten. Dies geschieht durch einfaches aufaddieren der individuellen Nachfragen. Im Ergebnis erhält man für jeden Preis die im gesamten Markt nachgefragte Menge. Formal: Nehmen wir an, wir haben zwei Nachfrager A und B, und betrachten ihre individuellen Nachfragen nach dem Gut j: B xA j (p1 , . . . , pn , m) und xj (p1 , . . . , pn , m)

Dann ist die Marktnachfrage X nach Gut i schlicht die Summe: B Xj (p1 , . . . , pn , m) = xA j (p1 , . . . , pn , m) + xj (p1 , . . . , pn , m)

Wichtig: Es darf immer nur über Mengen aufaddiert werden, niemals über Preise! Man muss also die individuellen Nachfragen immer zunächst in die Form x(p) = . . . bringen, bevor man sie aufaddiert. Falls man also die Nachfragen in inverser Form p(x) = . . . gegeben bekommt (was häufig der Fall ist), dann muss man die individuellen Gleichungen zuerst jeweils nach x umstellen, bevor man aufsummmieren darf. Dies zu vergessen ist leider ein häufiger Flüchtigkeitsfehler in Klausuren. Hat man mehr als zwei Nachfrager, dann wird es recht umständlich, die Summe der Nachfragen voll auszuschreiben. Die Definition verwendet deshalb die folgende Kurzschreibweise, welche das P Summenzeichen verwendet:

-136-

Theorie: Marktangebot und –nachfrage

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Definition 30. Marktnachfrage Wenn alle Nachfrager i = 1, . . . , n Preisnehmer sind, dann ist die Marktnachfrage nach Gut i ist die Summe der individuellen Nachfragen nach Gut i: Xi (p1 , . . . , pn , m) =

n X

xij (p1 , . . . , pn , m)

i=1

. . . wobei. . . • xij

0 gelten muss (die Nachfragen sind nicht negativ)

Die Interpretation der Marktnachfrage unterscheidet sich kaum von der Interpretation der individuellen Nachfrage. Sie gibt für jeden Preis an, wieviel insgesamt auf dem Markt nachgefragt würde. Da im Graphen typischerweise die Mengen auf der horizontalen Achse abgetragen werden, bedeutet dies, dass wir horizontal addieren müssen. Abbildung 57 verdeutlicht dies. Abbildung 57: Aggregation von individuellen Nachfragen zur Marktnachfrage Da über die Mengen (nicht über die Preise) addiert werden muss, wird horizontal Marktnachfrage! aufaddiert. Hierbei muss man darauf achten, wo die Nullstellen der individuellen Nachfragefunktionen sind. Diese verursachen “Knicke” in der Marktnachfragefunktion. Man sieht im Graphen ausserdem, dass die Marktnachfrage umso flacher wird, je mehr Nachfrager in den Markt eintreten.

€!

Nachfrager 1!

€!

Nachfrager 2!

€!

Nullstelle!

Marktnachfrage!

Knick!

Nullstelle!

Knick!

x1 + x 2

Um die Knicke in der Marktnachfragefunktion zu finden, muss man berücksichtigen, wo die Nullstellen der individuellen Nachfragefunktionen sind. Das folgende Kochrezept gibt hierzu ! ! ! eine Anleitung.

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Theorie: Marktangebot und –nachfrage

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Kochrezept 17. Bestimmung der Marktnachfrage aus individuellen Nachfragen 1. Alle individuellen Nachfragen zur Menge umstellen, d.h. in die Form xi (p) = . . . bringen 2. Die Nullstellen der individuellen Nachfragefunktionen bestimmen (ab welchem Preis würden die Nachfragen negativ?). Wenn es keine Nullstellen gibt, direkt aufsummieren (dann ist man fertig). Falls es Nullstellen gibt: 3. Die Nullstellen der Grösse nach sortieren und Intervalle dazwischen bilden: Null bis zur ersten Nullstelle, erste bis zweite Nullstelle, usw. 4. In den Intervallen zwischen den Nullstellen diejenigen individuellen Nachfragen aufaddieren, die im jeweiligen Intervall positiv sind.

Rechnen wir nun noch ein Zahlenbeispiel durch, um auch die Algebra des Kochrezeptes einmal gesehen zu haben: Beispiel: Aufaddierung individueller Nachfragen zur Marktnachfrage Angenommen, es gibt zwei Individuen, deren “Nachfragen” gegeben sind durch p(x1 ) = 30 und p(x2 ) = 50 2x2 . 1. Nach xi umstellen: x1 (p) = 30

x2 (p) = 25

0.5p

2. Nullstellen bestimmen: 0 = x1 (p) = 30

p () p = 30

0 = x2 (p) = 25

0.5p () p = 50

3. Nullstellen sortieren, Intervalle bilden, beginnend mit Null: (0, 30], (30, 50], (50, 1) 4. In den Intervallen aufaddieren:

-138-

Theorie: Stichwortverzeichnis

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Stichwortverzeichnis Äquivalente Variation, 69 Aggregation, 136 Angebot Elastizität, 127 Marktangebot, 139 Angebotskurve kurzfristige, 109 langfristige, 110 Bessermenge, 3 Budgetgerade, 19 Achsenabschnitt, 20 Steigung, 21 Budgetmenge, 19 Deadweight Loss, 159 Dominante Strategien, 178 Edgeworth Box, 167 Eﬃzienz Pareto-Eﬃzienz, 155–157 Einkommens-Konsumpfad, 44 Elastizität, 124 Angebotselastizität, 127 Bogenelastizität, 125 Einkommenselastizität der Nachfrage, 125 Kreuzpreiselastizität der Nachfrage, 125 Preiselastizität der Nachfrage, 125 Punktelastizität, 124 Engelkurve, 46 Erwarteter Nutzen, 188 Faktorexpansionspfad, 98 Fixkosten, 101 Frist kurze Frist, 104 lange Frist, 104 Güter, 43

Gewöhnliches Gut, 43 Giffen Gut, 43 Inferiores Gut, 43, 48 inferiores und Giffen-Gut: Zusammenhang, 59 Komplemente, 43, 50 Normales Gut, 43, 48 Substitute, 43, 50 Güterbündel, 1 Gemischte Strategie, 186 Gesetz der Nachfrage, 59 Gesetz von Angebot und Nachfrage, 144 Gewinn Darstellung im Diagramm, 111 Gleichgewicht allgemeines, 165 Grenznutzen, 9 Grenzprodukt, 75 Grenzrate der Substitution, 11 Marshall’sche Nachfrage, 34 Hauptsätze der Wohlfahrtsökonomik Erster, 157 Indifferenzkurve, 3 Innere Lösungen, 33 Isokostengerade, 96 Isoquante, 73 Verwendung bei der Kostenminimierung, 96 Kern einer Ökonomie, 170 Kompensatorische Variation, 68 Konsumentenrente, 60 Berechnung mittels Dreiecksformel, 65 Berechnung mittels Integral, 65 Brutto-Konsumentenrente, 61 Netto-Konsumentenrente, 63

-193-

Theorie: Stichwortverzeichnis Kontraktkurve, 173 Kosten, 101 Darstellung im Diagramm, 111 durchschnittliche Fixkosten, 101 durchschnittliche variable Kosten, 101 Durchschnittskosten, 101 Fixkosten, 101 Grenzkosten, 101 Kostenarten, 101 variable Kosten, 101 Kostenfunktion, 95, 101 Zusammenhang zu Skalenerträgen, 106 Kostenminimierungsproblem, 95 Graphische Lösung, 95 Mathematische Lösung, 97 Tangentialbedingung, 98 Marktangebot Definition, 139 Marktgleichgewicht, 141, 143 Definition, 141 Eﬃzienz, 157 komparative Statik, 145 Marktnachfrage Definition, 137 Marshall’sche Nachfrage Cobb-Douglas Präferenzen, 37 Grenzrate der Substitution, 34 Monopol, 117 Grenzerlös, 120 Natürliches, 130 Monopolist Gewinnmaximierungsproblem, 118 Monopolmenge im Diagramm, 123 Kochrezept, 122 Nachfrage Elastizität, 126 Gesetz der. . . , 59

uniseminar.eu Marktnachfragefunktion, 136 Nachfrageelastizität, 125 Nachfragefunktion inverse, 118 Nash-Gleichgewicht, 177 in dominanten Strategien, 178 in gemischten Strategien, 187 Kochrezept, 181 teilspielperfektes, 184 Numeraire, 23 Nutzenfunktion, 7 ordinale Eigenschaft, 8 Nutzenfunktionen Perfekte Komplemente, 15 Perfekte Substitute, 14 Cobb-Douglas, 12 Quasilineare Nutzenfunktionen, 17 Pareto-Eﬃzienz, 155, 157, 170 Marktgleichgewicht, 157 und Produzenten- und Konsumentenrente, 156 Pareto-Optimalität, 170 Pareto-Verbesserung, 170 Präferenzen, 2 Präferenzrelation, 2 Präferenzrelationen, 5 Konvexität, 5 strikte, 7 Monotonie, 5 Rationalität von. . . , 5 Transitivität, 4 Vollständigkeit, 4 Preis-Konsum-Kurve, 48 Preisdiskriminierung, 131 dritten Grades, 135 ersten Grades, 131 zweiten Grades, 133 Preisnehmer, 87 -194-

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Aufgaben Grundzüge der Mikroökonomik 1. Semester

Köln, 2012/2013

Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellungen 1.2 Präferenzen und Nutzen . . . 1.3 Budgetrestriktionen . . . . . . 1.4 Konsumentenentscheidung . . 1.5 Nachfrage . . . . . . . . . . . 1.6 Konsumentenrente . . . . . . 1.7 Technologie . . . . . . . . . . 1.8 Kostenminimierung . . . . . . 1.9 Angebot . . . . . . . . . . . . 1.10 Monopol . . . . . . . . . . . . 1.11 Marktangebot und –nachfrage 1.12 Marktgleichgewicht . . . . . . 1.13 Pareto-Eﬃzienz . . . . . . . . 1.14 Wohlfahrtstheoreme . . . . . . 1.15 Spieltheorie . . . . . . . . . . 2 Lösungen 2.2 Präferenzen und Nutzen . . . 2.3 Budgetrestriktionen . . . . . . 2.4 Konsumentenentscheidung . . 2.5 Nachfrage . . . . . . . . . . . 2.6 Konsumentenrente . . . . . . 2.7 Technologie . . . . . . . . . . 2.8 Kostenminimierung . . . . . . 2.9 Angebot . . . . . . . . . . . . 2.10 Monopol . . . . . . . . . . . . 2.11 Marktangebot und –nachfrage 2.12 Marktgleichgewicht . . . . . . 2.13 Pareto-Eﬃzienz . . . . . . . . 2.14 Wohlfahrtstheoreme . . . . . . 2.15 Spieltheorie . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

1 1 6 7 8 11 16 17 20 22 30 31 33 36 38

. . . . . . . . . . . . . .

42 42 50 54 61 64 74 79 85 87 98 99 108 114 121

Präferenzen und Nutzen: Lösungen

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Lösungen

2.2

Präferenzen und Nutzen

1. Aufgabe (a) Es ergeben sich folgende Präferenzrelationen für Frank: A F C, A F D, B F A, B F C, B F D, D F C Michael: A M B, A M D, C M A, C M B, C M D, D

(b) Frank würde Zustand B wählen, Michael C. (c) Die Relation gibt die Idee von Pareto Effizienz wieder. Die drei Zustände A, B, C sind Pareto effizient, da sich durch Abweichen von einem der Zustände nicht beide strikt besser stellen würden. Lediglich D ist nicht Pareto effizient, da A Zustand D von beiden strikt vorgezogen wird, d.h. A D. Achtung: Wir haben hier strikte Pareto Effizienz definiert, dass heißt etwas ist besser, wenn es für alle besser ist. Normalerweise benutzt man (schwache) Pareto Effizienz im Sinne von: alle mindestens so gut und mindestens einer besser. Für das obige Beispiel spielt die Unterscheidung jedoch keine Rolle. 2. Aufgabe Was passiert bei einer Abstimmung über Kapern und Schinken? Daniel und Laura ziehen Schinken vor, Markus nicht. Es steht also 2-1 und wir erhalten gemäß dem Mehrheitswahlrecht S K 1 . Aus ähnlichen Überlegungen erhalten wir K T und T S. Also erhalten wir S K T S, was offensichtlich nicht transitiv ist. Es ist wichtig zu erkennen, dass jeder der dreien den Ausgang der Wahl manipulieren kann, indem er eine bestimmte Folge von Wahlgängen auswählt. Überlässt man beispielsweise Markus die Organisation des Wahlverfahrens wird er folgendes tun: er möchte am liebsten Kapern. Also wird er vorschlagen, zuerst zwischen Thunfisch und Schinken abzustimmen (wie wir sehen wird Thunfisch gewinnen); den Sieger dieses Wahlganges lässt er gegen Kapern antreten (wie oben gezeigt wird also Kapern Thunfisch schlagen).

Die Relation ist hier anders definiert als normalerweise und zwar als gemeinsame Präferenz, die aus einer Abstimmung gemäß dem Mehrheitswahlrecht resultiert und nicht als individuelle Präferenz.

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3. Aufgabe (a)

i. Falsch. Ansgar betrachtet beide Güter als „Güter“. ii. Richtig. Ansgar ist indiﬀerent zwischen Gut 1, Gut 2 und jeder beliebigen Linearkombination von Gut 1 und Gut 2. iii. Falsch. Ansgars Nutzenfunktion ist vom Typ u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 , daher ist GRS = ab konstant und negativ. iv. Falsch. Ansgars GRS ist konstant. v. Richtig. Ansgar erreicht durch zusätzlichen Konsum von Gut 1 oder Gut 2 einen höheren Nutzen.

(b)

i. Falsch. Bettina betrachtet die Güter als perfekte Komplemente. ii. Richtig. Bettinas Nutzenfunktion ist vom Typ u(x1 , x2 ) = min(ax1 , bx2 ). Die GRS ist für den horizontalen Verlauf der Indiﬀerenzkurve Null, für den vertikalen Verlauf nicht definiert. iii. Falsch. Die GRS ist entweder 0 oder

iv. Falsch. Zusätzlicher Konsum von Gut 1 erhöht nicht Bettinas Nutzen falls der Konsum von Gut 2 unverändert bleibt. v. Richtig. Falls Bettina (y1 , y2 ) dem Güterbündel (x1 , x2 ) vorzieht und (z1 , z2 ) dem dem Güterbündel (y1 , y2 ) vorzieht, so folgt daraus, dass Bettina (z1 , z2 ) auch gegenüber (x1 , x2 ) präferiert. (c)

i. Falsch. Cesar betrachtet Gut 1 als „Gut“. ii. Falsch. Zusätzlicher Konsum von Gut 1 erhöht Cesars Nutzen. iii. Richtig. Cesars Nutzenfunktion ist vom Typ u(x1 , x2 ) = x1 . Die GRS ist bei Cesar daher nicht definiert. iv. Falsch. Die GRS ist nicht definiert. v. Falsch. Zusätzlicher Konsum von Gut 1 hat keine Auswirkung auf Cesars Nutzenniveau.

(d)

i. Falsch. Zusätzlicher Konsum von Gut 1 erhöht Dagmars Nutzen. ii. Falsch. Dagmars Nutzenfunktion ist vom Typ Cobb-Douglas. Die GRS ist bei Dagmar daher immer negativ. iii. Falsch. Für fixes x2 nimmt die Steigung der Indiﬀerenzkurven zu. iv. Richtig. Dagmar präferiert jede Linearkombination zweier Ausstattungen (x1 , x2 ) und (y1 , y2 ), das heißt ↵(x1 , x2 ) + (1 ↵)(y1 , y2 ) (x1 , x2 ) und ↵(x1 , x2 ) + (1 ↵)(y1 , y2 ) (y1 , y2 ) mit 0 < ↵ < 1.

(e)

i. Falsch. Der Konsum von Gut 1 wirkt sich auf Elmos Nutzen aus. ii. Falsch. Die GRS ist nicht konstant. -44-

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iii. Richtig. Die Steigung der Indiﬀerenzkurve ist nicht ausschließlich negativ. iv. Falsch. Die Indiﬀerenzkurven stellen keine Funktion dar. v. Falsch. Elmo präferiert ein bestimmtes Güterbündel allen anderen Güterbündeln. Mehr oder weniger Konsum von Gut 1 oder Gut 2 lässt seinen Nutzen sinken. (f)

i. Richtig. Weniger Konsum von Gut 1 erhöht Fridas Nutzen. ii. Falsch. Die Indifferenzkurven sind keine Geraden. iii. Richtig. Die Steigung der Indifferenzkurve ist ausschließlich positiv, also nicht überall negativ. iv. Richtig. Die Steigung der Indifferenzkurve wächst in x1 . v. Richtig. Frida präferiert jede beliebige Linearkombination zweier Konsummöglichkeiten den Konsummöglichkeiten selbst.

(g) Man kann das, was diese Person sagt, umformulieren in: Mehr Gut 2 ist für mich immer strikt besser. Somit hat sie streng monotone Präferenzen hinsichtlich Gut 2. Hier wird keine Aussage über Gut 1 gemacht! Streng monotone Präferenzen bezüglich Gut 2 haben Ansgar, Dagmar und Frida. (h) Etwas knifflig, wenn man versucht, hier Indifferenzlinien zu zeichnen. Hier „sortiert“ die Person zuerst nach der Menge von Gut 1, bei gleicher Menge von Gut 1 nach der Menge von Gut 2. Zu diesen Präferenzen lassen sich keine Indifferenzlinien bestimmen. Dies sind sogenannte „lexikographische“ Präferenzen. Somit passt die Aufgabe auf keine der sechs Personen. (i) Diese Person findet gar keinen Konsum von Gut 1 besser als etwas Konsum von Gut 1. Beides wird jedoch übertroffen von richtig viel Konsum von Gut 1. Wir betrachten jetzt einfach den Verlauf einer Indifferenzlinie, auf der wir quasi in Richtung zunehmende Menge an Gut 1 „entlangwandern“ (nach rechts). Für gar kein Gut 1 hat man also einen bestimmten Wert von Gut 2, mit dem man ein gewisses Indifferenzniveau erreicht. Jetzt gibt man der Person etwas Gut 1. Das findet sie allerdings schlecht. Dementsprechend muss man sie für dieses zusätzliche Gut 1 entschädigen, indem man ihr zusätzliche Einheiten von Gut 2 gibt (weil sie hiervon mehr besser findet). Zuerst steigt also die Indifferenzlinie an. Man kann sich das so vorstellen, dass nur bei kleinen Mengen an Gut 1 dieses ein Ungut darstellt. Ab einem gewissen Punkt wandelt sich dies allerdings, so dass Gut 1 tatsächlich zu einem Gut wird (um im Beispiel zu bleiben: Ab einer gewissen Menge lohnt es sich, betrunken zu werden). Ab hier geriete man durch zusätzliche Mengen von Gut 1 auf ein höheres Indifferenzniveau, wenn man der Person nicht etwas von Gut 2 wegnähme. Somit muss die Indifferenzlinie ab dem Wert von x1 , bei dem es „zum Gut wird“ negativ sein. Indifferenzlinien sind also zuerst steigend, dann fallend. Das passt aber zu keiner der sechs Personen. -45-

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(j) Wir haben bereits festgestellt, dass Gut 1 für Frida ein Ungut ist (der Pfeil zeigt nach links und nach oben). Somit kommen nur noch die Antwortmöglichkeiten (i) und (iii) in Frage. Jetzt versuchen wir, Fridas Aussage in (i) in unsere Begriffe zu übersetzen: Bei geringen x1 ist sie bereit, für eine gegebene Steigerung ihrer Arbeitszeit eine relativ geringe Menge an zusätzlichem Konsum zu akzeptieren. Das heißt, bei kleinen x1 muss die Steigung der Indifferenzkurven relativ gering sein. Bei großen x1 muss sie hingegen durch hohe Konsumzuwächse für zusätzliche Arbeitszeit entschädigt werden. Das heißt, die Steigung der Indifferenzkurven nimmt in x1 zu, was genau zu Frida passt. In (iii) müsste analog die Steigung der Indifferenzkurven gerade abnehmen, das ist nicht der Fall. Somit ist (i) richtig. Die Aussage in (i) folgt offensichtlich aus der Konvexität von Fridas Präferenzen (und den daraus hervorgehenden konvexen Indifferenzlinien). Sie ist auch in der Hinsicht relativ realistisch, dass man für den Verzicht auf den letzten Rest an Freizeit, den man noch hat, eine höhere Bezahlung verlangen würde, als wenn man sonst den ganzen Tag frei hätte. 4. Aufgabe (a) Zum Ausrechnen der Indifferenzlinie setzt man zuerst Gunnars Nutzenniveau gleich einer Konstanten c, also:

↵ ln(x1 ) + (1

↵) ln(x2 ) = c

Um eine handhabbare Gleichung für Indiﬀerenzlinien zu erhalten, lösen wir nun nach x2 auf. Schritt für Schritt ergibt sich dann:

ln(x2 ) =

c 1

↵ ↵

↵

ln(x1 )

Davon bilden wir auf beiden Seiten die Exponentialfunktion und es ergibt sich: x2 = e 1

c ↵

x1 1

↵ ↵

Das ist die Gleichung für verschiedene Indiﬀerenzlinien zum jeweiligen Nutzenniveau c. Da wir die Konstante c frei gewählt haben, können wir eine strikt positive Konc stante C > 0 für e 1 ↵ wählen. Beachte, dass der Wert strikt positiv sein muss, da die Exponentialfunktion nur auf strikt positive Werte abbildet. Daher ergibt sich: x2 = Cx1 1

↵ ↵

Untersuchen wir nur den zweiten Faktor. Man erkennt, dass der Exponent negativ -46-

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ist und strikt zwischen 0 (für ↵ ! 0) und 1 (↵ ! 1) liegt. Für beliebige ↵ ergeben sich daher Indifferenzkurven einer Cobb-Douglas Nutzenfunktion. Diese ähneln den Indifferenzkurven von Dagmar. Betrachten wir nun den Extremfall, dass ↵ ! 0, so ergibt sich x2 = d. In diesem Extremfall hat der Konsum vom Gut 1 keinen Einfluss auf die Nutzenfunktion von Gunnar. Die Indifferenzkurven laufen daher parallel zur x1 -Achse. Für den zweiten Extremfall ↵ ! 1 ergibt sich, dass der Konsum von Gut 2 keinen Einfluss auf Gunnars Nutzenniveau hat. Die Indifferenzlinien verlaufen folglich parallel zur x2 -Achse und ähneln in diesem Fall jenen von Cesar. (b) Die Grenzrate der Substitution kann als die Ableitung der Indifferezkurve nach x1 , 2 also dx berechnet werden oder aber wie folgt: dx1 @u @x1 @u @x2

GRS =

↵ x1

↵) x12

↵x2 (1 ↵)x1

(c) Wir berechnen nun die verschiedenen GRSi der angegebenen Nutzenfunktionen und vergleichen diese mit der in der vorherigen Aufgabe errechneten GRS. i. ↵ x1 1 ↵ x2

GRSa =

↵x2 = GRS (1 ↵)x1

und somit kann man mit dieser Funktion Gunnars Nutzenfunktion abbilden. ii. ↵x↵1 1 x12 ↵ (1 ↵)x↵1 x12 ↵

GRSb =

↵x12 (1

↵+↵

↵ (↵ 1) ↵)x1

↵x2 = GRS (1 ↵)x1

und somit lässt sich mit dieser Funktion Gunnars Nutzenfunktion abbilden. iii. ↵

GRSc =

1 ↵

ex1 ex2 ↵x↵1 ↵

1 ↵

ex1 ex2 (1

↵)x2 ↵

u(x1 , x2 )↵x↵1 1 = u(x1 , x2 )(1 ↵)x2 ↵

↵x↵2 (1 ↵)x11

↵

6= GRS.

Daher lässt sich mit dieser Funktion nicht Gunnars Nutzenfunktion abbilden. iv. GRSd =

u(x1 , x2 ) x↵1 u(x1 , x2 ) 1x2↵

↵x2 = GRS. (1 ↵)x1

Folglich lassen sich mit dieser Nutzenfunktion Gunnars Präferenzen darstellen.

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v. 1 ↵

GRSe =

1 ↵

x2 ↵ 1 ↵

x1 1 ↵↵ x2 ↵

1 2↵

↵ ↵x2 ↵ = (1 ↵)x1

↵

↵x2↵ = GRS. (1 ↵)x1

Also lassen sich auch mit dieser Nutzenfunktion Gunnars Präferenzen darstellen.

-48-

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(d) Zuerst müssen wir für die angegebenen Werte Gunnars GRS ermitteln und somit das Verhältnis, ab dem er zu tauschen bereit wäre. Dafür setzen wir x1 = 200, x2 = 300 und ↵ = 12 in die allgemeine GRS(x1 , x2 ) ein und erhalten: GRS(200, 300) =

1 300 2 1 )200 2

3 . 2

Diese Gleichung interpretieren wir folgendermaßen. Wir müssen Gunnar mindestens 2 Einheiten von Gut 1 geben, damit er bereit ist auf 3 Einheiten von Gut 2 zu verzichten. Gleichfalls gilt, dass wir Gunnar mindestens 3 Einheiten von Gut 2 geben müssen, damit er bereit ist auf 2 Einheiten von Gut 1 zu verzichten.2 Da wir Gunnar laut Aufabenstellung von Gut 2 anbieten und Gut 1 erhalten, ist Gunnar nur bereit die letzten beiden Handel anzunehmen. Das heißt wir bieten ihm entweder 4 Einheiten von Gut 2 gegen 2 Einheiten von Gut 1 oder wir bieten ihm 5 Einheiten von Gut 2 gegen 1 Einheit von Gut 1. Dies lässt sich bestätigen indem wir Gunnars Nutzen nach Handel (u(195, 301), u(196, 302), u(197, 303), u(198, 304), u(199, 305)) berechnen und mit seinem Nutzenniveau vor Handel (u(200, 300)) vergleichen. Achtung: Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass die Grenzrate der Substitution nur lokal verwendet werden kann, da es sich um marginale Tauschverhältnisse handelt. Es sind durchaus Nutzenfunktionen denkbar, bei denen wir bei Betrachtung der Grenzrate der Substitution an einer bestimmten Stelle einen Tausch annehmen, obwohl dadurch unser Nutzenniveau sinkt. Dies ist insbesondere dann denkbar, wenn es sich um nicht marginale Mengen handelt. (e) Wir haben an dieser Stelle drei Informationen. Erstens wissen wir, dass wir 200 Einheiten von Gut 1 besitzen. Zweitens wissen wir, dass wir 200 Einheiten von Gut 2 besitzen. Somit muss für uns gelten: GRS(200, 200) = (1 ↵200 . Drittens wissen ↵)200 wir, dass Gunnar mit dieser Ausstattung indiﬀerent ist bei dem Angebot von Gunnar eine Einheit von Gut 1 gegen 2 Einheiten von Gut 2 zu tauschen, das heißt dx2 = 2 2 und dx1 = 1. Da wir indiﬀerent sind, können wir GRS(200, 200) und dx gleichsetzen dx1 2

Dies wird deutlich, wenn wir uns das totale Diﬀerential von Gunnars Nutzenfunktion betrachten

du(x1 , x2 ) =

@u @x1 dx1

@u @x2 dx2

= 0. Wenn wir diesen Ausdruck nach dx1 =

@u @x2 @u @x1

dx2 =

2 3 dx2

auflösen,

können wir ablesen, wieviel von Gut 1 Gunnar bereit ist herzugeben, wenn wir ihm eine bestimmte Menge von Gut 2 anbieten. Wenn wir ihm beispielsweise 3 Einheiten von Gut 2 (dx2 = 3) anbieten, ist Gunnar bereit 2 Einheiten von Gut 1 herzugeben (dx1 = 2).

-49-

Extras

Pr端fungen

Prüfungen Grundzüge der Mikroökonomik 1. Semester

Köln, 2012/2013

Inhaltsverzeichnis Klausur vom 29.07.2009 - Sommersemester 2009 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 4

Klausur vom 28.09.2009 - Sommersemester 2009 13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Klausur vom 12.02.2010 - Wintersemester Aufgaben - Block A . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben - Block B . . . . . . . . . . . . . . Lösung - Block A . . . . . . . . . . . . . . . Lösung - Block B . . . . . . . . . . . . . . .

2009/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Klausur vom 26.03.2010 - Wintersemester Aufgaben - Block A . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben - Block B . . . . . . . . . . . . . . Lösung - Block A . . . . . . . . . . . . . . . Lösung - Block B . . . . . . . . . . . . . . .

2009/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

25 26 33 41 55

. . . .

67 68 77 85 101

Klausur vom 28.07.2010 - Sommersemester 2010 115 Aufgaben - Block A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Lösung - Block A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Klausur vom 28.09.2010 - Sommersemester 2009 Aufgaben - Block A . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben - Block B . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung - Block A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung - Block B . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

138 . 139 . 147 . 149 . 164

Klausur vom 29.07.2009 - Lösungen

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Lösungen 1/2

1. (30 Punkte) Die Nutzenfunktion eines Haushaltes lautet U = x1 3x2 . Der Haushalt verfügt über ein Einkommen von 90 Geldeinheiten. Die Preise für die Güter x1 und x2 betragen p1 = 2 und p2 = 3. a) Berechnen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes das Güterbündel, bei dem der Haushalt seinen Nutzen maximiert. (12 Punkte) Lösung Die Budgetrestriktion des Haushalts besagt, dass das für Konsum ausgegebene Geld dem Einkommen entsprechen muss, also m = p1 x1 + p2 x2 bzw. hier 90 = 2x1 + 3x2 . Die Lagrange-Funktion hat dann folgende Form: 1/2

L = x1 3x2 + ⁄(90 ≠ 2x1 ≠ 3x2 )

Die Bedingungen erster Ordnung sind dann: 1.

ˆL ˆx1

= 12 x1

ˆL ˆx2

ˆL ˆ⁄

= 3x1 ≠ 3⁄=0 ˙

≠1/2

1/2

3x2 ≠ 2⁄=0 ˙

= 90 ≠ 2x1 ≠ 32x2 =0 ˙

1. und 2. nach ⁄ auflösen ergibt: 1. ⁄ = 34 x1

≠1/2

1/2

x2 und 2. ⁄ = x1

Setzt man die beiden Gleichungen gleich, erhält man: 34 x1

≠1/2

1/2

x2 = x1

∆ x1 = 34 x2

Dies in Gleichung 3. eingesetzt, ergibt: 90 ≠ 2 · 34 x2 ≠ 3x2 = 0 ∆ 90 = 4, 5x2 ∆ x2 = 20

Die Nachfrage nach Gut 2 beträgt somit 20. Setzt man dies in x1 = 34 x2 ein, ergibt sich: x1 =

3 4

· 20 = 15

Der Haushalt fragt also 15 Einheiten von Gut 1 und 20 Einheiten von Gut 2 nach, wenn er seinen Nutzen maximiert. b) Leiten Sie algebraisch aus der Nutzenanalyse die Nachfragefunktion x1 = f (p1 ) her. Welche Menge x1 wird bei einem Preis von p1 nachgefragt? (8 Punkte) Lösung Die Lagrange-Funktion abgeleitet nach x1 besagt ˆL ˆx1

= 12 x1

≠1/2

3x2 ≠ p1 ⁄=0 ˙

Statt mit dem Zahlenwert 2 als Preis des ersten Gutes wird jetzt jedoch allgemeiner mit -4-

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p1 gerechnet. ∆ x1 = ⁄ =

≠1/2 3 x x2 2p1 1

1/2

Gleichsetzen mit 2. ⁄ = x1 x2 =

(siehe a)), ergibt:

2p1 x1 3

In die dritte Bedingung erster Ordnung einsetzen, ergibt: 90 ≠ p1 x1 ≠ 3 ·

2p1 x1 3

∆ 90 = p1 x1 + 2p1 x1

∆ 90 = 3p1 x1 ∆ x1 =

30 p1

c) Der Preis des Gutes x1 steigt. Stellen Sie grafisch den Substitutions-, den Einkommensund den Gesamteffekt für beide Güter dar, unter der Annahme, dass x2 ein inferiores Gut ist. Welche Vorzeichen haben die drei Effekte für die Güter x1 und x2 ? (10 Punkte) Lösung Bei inferioren Gütern wirken Einkommens- und Substitutionseffekt stets in entgegengesetzte Richtung.

Die Vorzeichen der drei Effekte für die Güter x1 und x2 sind: SE1 = x1 ≠ x1 < 0, EE1 = x1 ≠ x1 < 0 und GE1 = x1 ≠ x1 < 0 Õ

ÕÕ

SE2 = x2 ≠ x2 > 0, EE2 = x2 ≠ x2 < 0 und GE2 = x2 ≠ x1 > 0 Õ

ÕÕ

-5-

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2. (30 Punkte) Ein Unternehmen, welches unter den Marktbedingungen der vollständigen Konkurrenz anbietet, produziert 120 Mengeneinheiten eines Gutes x gemäß der Produktionsfunk1/2 1/2

tion x = 3r1 r2 . Die Preise für die Produktionsfaktoren betragen l1 = 4 und l2 = 16. Bei der Produktion des Gutes fallen zudem Fixkosten in Höhe von 200 Geldeinheiten an. a) Ermitteln Sie die kostenminimalen Mengen an Produktionsfaktoren, mit denen der Output von x = 120 produziert werden kann. (10 Punkte) Lösung Die kostenminimalen Mengen der Produktionsfaktoren lassen sich mit Hilfe der Lagrangemethode ermitteln. Die Ausgaben für die Produktionsfaktoren l1 r1 + l2 r2 stellen dabei die Zielgleichung dar, die Produktionsfunktion bei Herstellung von x = 120 Einheiten 1/2 1/2

120 = 3r1 r2

bildet die Nebenfunktion.

Die Lagrange-Gleichung hat demnach die Form: 1/2 1/2

L = l1 r1 + l2 r2 ≠ ⁄(3r1 r2 ≠ 120)

Die Bedingungen erster Ordnung sind dann: 1.

ˆL ˆr1

ˆL ˆr2

ˆL ˆ⁄

≠1/2 1/2 r2 =0 ˙

= l1 ≠ ⁄( 12 )3r1

1/2 ≠1/2

= l2 ≠ ⁄( 12 )3r1 r2

=0 ˙

1/2 1/2

= 3r1 r2 ≠ 120=0 ˙

1. und 2. nach ⁄ auflösen, ergibt: 1. ⁄ =

l1 ≠1/2 1/2 r2

1,5r1

und 2. ⁄ =

l2 1/2 ≠1/2 r2

1,5r1

Setzt man beide Gleichungen gleich, erhält man: l1 ≠1/2 1/2 r2

1,5r1

l2 1/2 ≠1/2 r2

1,5r1

∆ l1 r1 = l2 r2 ∆ r2 =

r 1 l1 l2

Einsetzen in 3. ergibt: 1/2

3r1 ( r1l2l1 )1/2 ≠ 120 = 0 ∆ 3r1 ( ll12 )1/2 = 120 ∆ r1 = ( ll21 )1/2 120 3

Einsetzen von l1 = 4 und l2 = 16 liefert: r1 =

16 120 4 3

= 80

Die Nachfrage nach Inputfaktor 1 ist somit bestimmt. Setzt man das Ergebnis in r2 =

r 1 l1 l2

ein, erhält man auch die Nachfrage nach Inputfaktor 2: r2 =

r 1 l1 l2

80·4 16

= 20

b) Zeigen Sie grafisch die Faktorintensitätslinie (Expansionspfad) für den oben genannten -6-

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Produktionsprozess und erläutern Sie, ob die Produktion r1 - oder r2 -intensiv stattfindet. (7 Punkte) Lösung Der Expansionspfad ist gegeben durch die Gleichung r2 =

l1 r l2 1

= 14 r1 . Die Produktion

ist r1 -intensiv, es wird eine 4-fach so große Menge des ersten Faktors eingesetzt wie vom zweiten Faktor.

c) Welche Arten von Skalenerträgen lassen sich unterscheiden und welche Form liegt bei der oben genannten Produktion vor? (7 Punkte) Lösung Man unterscheidet in konstante, steigende und sinkende Skalenerträge. Konstante Skalenerträge liegen bei einer Produktionsfunktion dann vor, wenn ein ⁄-facher Einsatz aller Inputfaktoren (d.h. man benutzt die ⁄-fache Menge aller Inputfaktoren zur Produktion), zu einem ⁄-fachen Output führt. Steigende Skalenerträge bei einer Produktionsfunktion bedeuten, dass ein ⁄-facher Einsatz aller Inputfaktoren, zu einem größeren als ⁄-fachen Output führt. Steigende (sinkende) Skalenerträge bei einer Produktionsfunktion bedeuten, dass ein ⁄facher Einsatz aller Inputfaktoren, zu einem höheren (geringerem) Output als dem ⁄fachen Output führt. Mathematisch lässt sich wie folgt bestimmen, welche Art von Skalenerträgen bei der hier genannten Produktionfunktion vorliegt: Man multipliziert den Input mit einem Faktor ⁄. 1/2

1/2

f (⁄r1 , ⁄r2 ) = 3(⁄r1 )1/2 (⁄r2 )1/2 = 3⁄1/2 r1 ⁄1/2 r2 -7-

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1/2 1/2

∆ f (⁄r1 , ⁄r2 ) = ⁄(3r1 r2 ) = ⁄f (r1 , r2 )

Ein ⁄-facher Einsatz der Inputfaktoren führt hier also zu einem ⁄-fachem Output. Somit liegen konstante Skalenerträge vor. d) Welchen Marktpreis muss das Unternehmen mindestens erzielen, um seine Vollkosten beziehungsweise seine variablen Kosten decken zu können? (6 Punkte) Lösung Die Vollkosten des Unternehmens setzen sich zusammen aus den Kosten für die eingesetzten Inputfaktoren und den Fixkosten F = 200. Es ergibt sich also c(r1 , r2 ) = 4 · r1 + 16 · r2 + 200 = 4 · 80 + 16 · 20 + 200 = 840.

Um die Vollkosten zu decken, müssen die Erlöse des Unternehmens den Kosten entsprechen, also: px = 840 ∆ p · 120 = 840 ∆ pú = 7

Um die Vollkosten zu decken, muss das Unternehmen somit einen Marktpreis von pú = 7 realisieren. Die variablen Kosten des Unternehmens bezeichnen die Vollkosten abzüglich der Fixkosten in Höhe von F = 200. Es ergibt sich also cv (r1 , r2 ) = 4 · r1 + 16 · r2 + 200 ≠ 200 = 4 · 80 + 16 · 20 = 640.

Um die variablen Kosten zu decken, muss das Unternehmen demnach einen Erlös in Höhe von 640 erzielen: px = 640 ∆ p · 120 = 640 ∆ púú = 5 31

Dazu ist somit ein Marktpreis von púú = 5 13 nötig.

-8-

Klausur vom 29.07.2009 - Lösungen

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3. (30 Punkte) Der Marktmechanismus auf vollkommenen Wettbewerbsmärkten garantiert eine optimale Allokation der Ressourcen in einer Volkswirtschaft. Die Koordinationseffizienz von Martklösungen wird allerdings durch zeitlich verzögerte Anpassungen oder auch durch staatliche Eingriffe beeinträchtigt. a) Der Preis für Milch ist nach einem Anstieg im Jahr 2007 in den letzten Monaten stark gefallen. Erläutern Sie anhand eines geeigneten Modells die Marktpreisbildung auf diesem Markt (inkl. Grafik). (12 Punkte) b) Was kann der Staat tun, um den Milchpreis unmittelbar zu stabilisieren? Erläutern Sie die Auswirkungen grafisch und kennzeichnen Sie die Aufteilung der angebotenen Menge, die auf private Nachfrage und staatliche Nachfrage entfällt. (9 Punkte) c) Welche Änderungen ergeben sich für die Wohlfahrt (Konsumentenrente, Produzentenrente und Wohlfahrtsverlust), wenn der Staat zum Schutz vor einer Überfischung der Meere Fangquoten (maximale Menge an Fischen, die gefangen werden dürfen) beschließt? (9 Punkte) Diese Aufgabe ist in dieser Form nicht mehr klausurrelevant und auch zu Übungszwecken nur sehr bedingt geeignet, daher haben wir hier keine Musterlösung erstellt.

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4. (30 Punkte) Ein gewinnmaximierender Monopolist produziert mit der folgenden Kostenfunktion: K(x) = x3 ≠ 18x2 + 189x + 485. Das Marktverhalten des Monopolisten orientiert sich an der folgenden Nachfragefunktion: x = 36 ≠ (1/6)p.

a) Berechnen Sie die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination für den Monopolisten und errechnen Sie den dabei entstehenden Gewinn. (12 Punkte) Lösung Als erster Schritt ist es hier von Nöten, die Nachfragefunktion zu invertieren, d.h. in eine Form p(x) zu bringen. x = 36 ≠ (1/6)p ∆ p = 6 · 36 ≠ 6x = 216 ≠ 6x

Der Monopolist strebt danach seinen Gewinn zu maximieren. Seine Gewinngleichung ist dabei gegeben als: (x) = px ≠ K(x) = (216 ≠ 6x)x ≠ (x3 ≠ 18x2 + 189x + 485)

= 216x ≠ 6x2 ≠ x3 + 18x2 ≠ 189x ≠ 485

Die gewinnmaximale Ausbringungsmenge xú erhält man durch Maximieren dieser Funktion. (Alternativ lässt sich diese Aufgabe auch mit dem Ansatz Grenzerlös = Grenzkosten lösen.) ˆ ˆx

= 216 ≠ 12x ≠ 3x2 + 36x ≠ 189 = 0

∆ ≠3x2 + 24x + 27 = 0 ∆ x2 ≠ 8x ≠ 9 = 0

Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der p-q-Formel x1,2 = ≠ p2 ± Werte für p und q sind hier p = ≠8 und q = ≠9. Somit gilt: x1,2 = ≠ ≠8 ± 2

( ≠8 )2 ≠ (≠9) = 4 ± 2

∆ x1 = 4 ≠ 5 = ≠1 und x2 = 4 + 5 = 9

(4)2 + 9 = 4 ±

( p2 )2 ≠ q lösen. Die

16 + 9 = 4 ±

x1 ist negativ und wird daher verworfen. (Eine negative Ausbringungsmenge ist nicht möglich.) Die optimale Ausbringungsmenge beträgt somit xú = 9. Daraus folgt für den Preis: p = 216 ≠ 6xú = 216 ≠ 6 · 9 = 162

Einsetzen von xú in die Gewinnfunktion liefert dann den Gewinn (xú ) = (216 · 9 ≠ 6 · 92 ) ≠ (93 ≠ 18 · 92 + 189 · 9 + 485) = 1458 ≠ 1457 = 1

Der Gewinn des Unternehmen beträgt demnach

= 1.

b) Verändert sich die Lage des Cournot´schen Punktes, wenn es dem Monopolisten gelingt, die Fixkosten auf 150 Geldeinheiten zu senken? Begründen Sie Ihre Antwort! Wie verän-10-

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dert sich die Höhe des Gewinns? (6 Punkte) Lösung Der Cournot´sche Punkt bezeichnet die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination, die ein Monopolist wählen würde. Die Fixkosten beeinflussen den Cournot´schen Punkt allerdings nicht. Dies lässt sich mit einem Blick auf das Maximierungsproblem erkennen. Die Gewinngleichung wird maximiert und dazu abgeleitet. Die Fixkosten sind unabhängig von x und fallen bei der Ableitung somit (unabhängig von ihrem Wert) weg. Der Monopolist wählt somit die gleiche Preis-Mengen-Kombination. Allerdings ändert sich die Höhe des Gewinns, wenn die Fixkosten sinken. Der Monopolist könnte hier bei Fixkosten in Höhe von 150 einen Gewinn in Höhe von

(216 · 9 ≠ 6 · 92 ) ≠ (93 ≠ 18 · 92 + 189 · 9 + 150) = 336 erzielen. Der Gewinn steigt um den gleichen Wert um den die Fixkosten gesunken sind

= 336 ≠ 1 = 335.

(Schneller lässt sich dieser Wert bestimmen indem man die Differenz der alten und neuen Fixkosten bildet Falt ≠ Fneu = 485 ≠ 150 = 335.) c) Zeigen Sie ausgehend von der oben genannten Kosten- bzw. Nachfragefunktion grafisch die Wohlfahrtswirkungen eines Monopols im Vergleich zum vollkommenen Wettbewerb. Stellen Sie dabei auch grafisch dar, welcher Anteil der Konsumentenrente vom Monopolisten in Produzentenrente umgewandelt wird. Erläutern Sie kurz Ihre Vorgehensweise. (12 Punkte) Lösung Im Wettbewerb entspricht die Konsumentenrente den hier als KR, P R und KR beÕ

zeichneten Flächen. Die Produzentenrente ist in diesem Fall die Fläche P R. Im Monopolfall wird P R in Produzentenrente umgewandelt. Die Flächen KR und der Õ

Teil der Fläche P R, der rechts von der Monopolmenge liegt, fallen als Renten weg und bilden somit den Wohlfahrtsverlust.

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