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Theorie Mathematische Methoden 1. Semester

Kรถln, 2012/2013


Inhaltsverzeichnis Nachhaltiger Lernerfolg in Mathematik

1

1 Grundlagen 1.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 4 5

2 Matrizen und Vektoren 2.1 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . 2.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . 2.3 Operationen mit Matrizen und Vektoren 2.3.1 Addition von Matrizen . . . . . . 2.3.2 Skalarmultiplikation einer Matrix 2.3.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . 2.4 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . 2.5 Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . 2.6 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Rechengesetze für Matrixoperationen . . 2.8 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . 3 Funktionen in einer Variablen 3.1 Definitionsbereich, Wertebereich . . . . 3.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen 3.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . 3.4 Verkettung von Funktionen . . . . . . 3.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . 3.7 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Konvexität und Konkavität . . . . . . 4 Funktionen in mehreren Variablen 4.1 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . 4.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . 4.3 Partielle Elastizitäten . . . . . . . 4.4 Partielles Differential . . . . . . . 4.5 Totale Differenzierbarkeit . . . . . 4.6 Gradient . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . 4.8 Tangentialebene . . . . . . . . . . 4.9 Totales Differential . . . . . . . . 4.10 Homogene Funktionen . . . . . . 4.11 Ableitungsregeln . . . . . . . . . 4.12 Implizite Funktionen . . . . . . . 4.13 Konvexität und Konkavität . . .

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9 9 10 11 11 12 13 14 15 19 20 21

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23 23 24 25 28 29 30 33 34

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36 37 38 39 40 40 42 42 43 44 46 46 48 50


5 Extrema 5.1 Extrema bei reellen Funktionen in einer Variablen 5.2 Extrema bei reellwertigen Funktionen in mehreren 5.3 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . 5.3.1 Reduktionsmethode . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Methode von Lagrange . . . . . . . . . . . 6 Integralrechnung 6.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . 6.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . 6.7 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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53 53 58 60 61 62

. . . . . . . .

64 64 65 66 66 67 68 71 73

7 Differential- und Differenzengleichungen 76 7.1 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.2 Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Stichwortverzeichnis

83


Theorie: Grundlagen

1

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Grundlagen

Damit wir so richtig loslegen können, müssen zuerst mal die absoluten Basics sitzen. Hier eine kurze Zusammenfassung über das, was du nie vergessen sollst.

1.1

Rechenregeln

Zeichen

Bedeutung

{−3, 5}

Menge der Zahlen -3 und 5

(−3, 5)

offenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und 5

[−3, 5]

geschlossenes Intervall von -3 bis 5, inkl. -3 und 5

(−3, 5]

halboffenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und inkl. 5

N, R

Menge der natürlichen Zahlen, Menge der reellen Zahlen

R+ , R+ 0

Menge der positiven reellen Zahlen ohne 0 bzw. inkl. 0

{x ∈ R | x gerade}

Menge der x, Element von (∈) R, so dass (|) x gerade

A∪B

Menge A vereinigt mit Menge B

A∩B

Menge A geschnitten mit Menge B

A\B

Menge A ohne Menge B

A∧B

Aussage A und Aussage B, wahr genau dann wenn A und B wahr sind

A∨B

Aussage A oder Aussage B, wahr genau dann wenn A oder B wahr sind

¬A

nicht A, wahr genau dann wenn A falsch ist

A⇒B

aus A folgt B

A⇔B

A ist äquivalent zu B

. =

soll gleich sein

f ◦g

Verknüpfung f (g(x)), im Vergleich zu f · g = f (x) · g(x)

n P k=1 n Q

ak

a1 + a2 + a3 + . . . + an

ak

a1 · a2 · a3 · . . . · an

Summe von a1 bis an

Produkt von a1 bis an

k=1

-2-


Theorie: Grundlagen

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Beispiel. [−3, 5] ∪ [5, 8] = [−3, 8],

{x ∈ R | 0 < x < 6} = (0, 6)

Bruchrechnen

Erweitern:

a·c a = b b·c

Addieren:

a c a·d c·b a·d+c·b + = + = b d b·d d·b b·d

Multiplizieren:

a c a·c · = b d b·d

Doppelbrüche:

a b c d

Nicht vergessen zu kürzen!

=

a d a·d · = b c b·c

Potenzieren, Wurzelziehen Potenzieren • Definition: an = a . . · a} | · .{z n−mal

• Spezialfälle: a0 = 1, a1 = a; 0k = 0 für k > 0, 1k = 1 • Multiplikation: ak · al = ak+l • Division:

ak al

• Kehrwert:

= ak−l

1 ak

=

a0 ak

= a−k

• Potenzieren von Potenzen: (ak )l = ak·l • Ausklammern: ak · bk = (a · b)k Wurzelziehen √ 1 1 a = a n , insbesondere a = a 2 √ √ √ • Zusammenfassen von Wurzeln: n a · n b = n a · b √ m • Potenzen und Wurzeln: n am = a n

• Wurzelziehen:

√ n

• Rechnen mit Wurzeln: Wurzeln als Potenzen ausdrücken, dann Potenzregeln anwenden -3-


Theorie: Funktionen

2

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Funktionen in einer Variablen

2.1

Definitionsbereich, Wertebereich

Eine Funktion ist eine Abbildung f :D → W x 7→ f (x). Sie ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich D eindeutig ein Element im Wertebereich W zu. Falls der Wertebereich eine Teilmenge von R ist, sprechen wir von einer reellen Funktion. Wir bezeichnen die Teilmenge f (D) von W, d.h. die Elemente von W auf die f abbildet, als das Bild von f . Für eine Teilmenge V ⊆ W heißt die Menge der Elemente aus D, die nach V abgebildet werden, das Urbild von V und wird mit f −1 (V ) bezeichnet. Beispiel. 1. f : R → R ist keine Funktion, da für einen x-Wert verschiedene y-Werte existieren.

2. g : R → R ist keine Funktion, da nicht jeder x-Wert abgebildet wird.

-9-


Theorie: Funktionen

2.2

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Wichtige Eigenschaften von Funktionen

Im Folgenden betrachten wir eine Funktion f die vom Definitionsbereich D in den Wertebereich W abbildet, kurz f : D → W.

Was bedeutet injektiv, surjektiv und bijektiv? Die Funktion f : D → W heißt • injektiv , falls für zwei verschiedene Werte des Definitionsbereichs x1 , x2 ∈ D mit x1 6= x2 zwei verschiedene Werte des Bildbereichs angenommen werden, d.h. f (x1 ) 6= f (x2 ), • surjektiv , falls jedes Element des Wertebereichs W erreicht wird, also das Bild von f gleich dem Wertebereich entspricht, kurz: f (D) = W, • bijektiv , falls sie surjektiv und injektiv ist.

Bemerkung. Um die Injektivität einer Funktion zu untersuchen können wir auch annehmen, dass zwei beliebige Funktionswerte gleich sind, d.h. f (x1 ) = f (x2 ) und untersuchen dann, ob damit zwangsläufig Gleichheit der eingesetzten Definitionswerte gilt, also x1 = x2 . Ist dies der Fall, so ist die Funktion injektiv, andernfalls nicht.

-10-


Theorie: Funktionen in mehreren Variablen

3

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Funktionen in mehreren Variablen

Wir betrachten nun Funktionen f : Rn → R, die von n ∈ N Variablen x1 , x2 , . . . , xn abhängig sind und die in die reellen Zahlen abbilden. Beschränken wir uns zunächst auf den Fall n = 2, so können wir die Funktionen im 3dimensionalen Raum darstellen. Neben den x1 und x2 –Richtungen in der Ebene existiert eine z-Richtung, gegeben durch f (x1 , x2 ) = z. Also ordnet die Funktion f jedem Paar (x1 , x2 ) in der Ebene einen Wert in der Höhe z zu. Durch die Punkte (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) entsteht ein ”Gebirge” über der x1 x2 -Ebene.Oftmals schreiben wir x, y anstatt x1 , x2 .

Ein Beispiel für so ein ”Gebirge”

Wir erläutern zunächst allgemein den Begriff der reellwertigen Funktion in mehreren Variablen.

Was ist eine reellwertige Funktion in mehreren Variablen? Sei D eine Teilmenge des Rn , für n ≥ 2 dann heißt f : D → R,

(x1 , ..., x2 ) 7→ f (x1 , ..., x2 )

reellwertige Funktion in mehreren (n) Variablen. Die Funktion heißt reellwertig, da der Wertebereich R ist (und nicht Rm , m > 1). Andernfalls spricht man von einer vektorwertigen Funktion in mehreren Variablen.

Wie wir in dem einführenden Beispiel sehen, ist es sehr schwierig Funktionen in mehreren Variablen zu zeichnen oder sich vorzustellen. Als Hilfsmittel führen wir die Isoquanten oder auch Niveaulinien bzw. Höhenlinien ein. Punkte, die in dem “Gebirge” die gleiche Höhe aufweisen, werden mit einer sogenanten Isoquante (Höhenlinie) verbunden. Hierdurch ist es möglich ein -22-


Theorie: Funktionen in mehreren Variablen

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3-dimensionales Gebirge im bekannten x, y-Achsensystem darzustellen. Die Niveaulinien von f (x, y) sind die Kurven in der xy-Ebene, die durch f (x, y) = z0 fest gegeben sind. Man schneidet also das Gebirge auf der Höhe z0 mit der xy-Ebene.

Die Niveaulinien eines ”Gebirges” auf die xy-Ebene projiziert.

Die Isoquanten, Isobaren und Indifferenzkurven der Ökonomie sind nichts anderes als Niveaulinien. Man hat eine Funktion in zwei Variablen und nimmt diese als konstant an.

3.1

Grenzwert und Stetigkeit

Um den Grenzwert von Funktionen in mehreren Variablen zu verstehen, benötigen wir zunächst einen neuen Abstandsbegriff. In R ist der Abstand zweier Punkte x, y durch den Absolutbetrag der Differenz, also durch |x − y| gegeben. Nun definieren wir die euklidische Norm zwischen zwei Punkten x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 wie folgt: p ||x − y|| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 Bevor wir den Begriff des Grenzwertes für Funktionen in mehreren Variablen einführen können, fehlt uns noch der Grenzwertbegriff für mehrdimensionale Folgen.

Wann konvergiert eine Folge in R2 Eine Folge {(xn , yn )}n∈N konvergiert gegen den Grenzwert (x0 , y0 ), falls die reellen Folgen {xn }n∈N und {yn }n∈N gegen x0 bzw. y0 konvergieren.

-23-


Theorie: Funktionen in mehreren Variablen

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Beispiel. Die Folge {(1 + n1 , 2 − lim 2 −

n→∞

1 n2

1 )} n2

konvergiert gegen (1, 2), denn lim 1 + n→∞

1 n

= 1 und

= 2.

Wann konvergiert eine Funktion in zwei Variablen? Sei f : R2 → R. f konvergiert gegen a ∈ R für (x, y) → (x0 , y0 ), falls für jede Folge {(xn , yn )}n∈N , die gegen (x0 , y0 ) konvergiert, gilt, dass die Folge der Funktionswerte {f (xn , yn )}n∈N gegen a konvergiert. Wir schreiben hierfür lim

f (x, y) = a.

(x,y)→(x0 ,y0 )

Nun können wir den Begriff der Stetigkeit für höherdimensionale Funktionen definieren.

Wann ist eine Funktion in zwei Variablen stetig? f : R2 → R heißt stetig in (x0 , y0 ), falls der Funktionsgrenzwert für (x, y) gegen (x0 , y0 ) gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist, d.h. lim (x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 ).

Wie auch im reellen Fall, sind Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten (Nennerfunktion 6= 0) und Zusammensetzungen stetiger Funktionen wieder stetig.

3.2

Partielle Ableitungen

Hängt eine Funktion von mehreren Variablen x und y ab, dann können partielle Ableitungen gebildet werden. Dabei werden die Variablen, nach welchen gerade nicht abgeleitet wird, wie Konstanten behandelt.

-24-


Theorie: Differential- und Differenzengleichungen

6

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Differential- und Differenzengleichungen

Differential- und Differenzengleichungen dienen zur Analyse dynamischer ökonomischer Modelle in • stetiger Zeit (Differentialgleichungen), • diskreter Zeit (Differenzengleichungen).

6.1

Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion, die von einer Variablen und einer oder mehreren ihrer Ableitungen abhängt.

Was ist eine Differentialgleichung? Sei y : R → R,

x 7→ y(x) =: y und x ∈ R, dann heißt F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n ) = 0,

mit F : Rn+1 → R Differentialgleichung der Ordnung n.

Bemerkung. Die Ordnung einer Differentialgleichung ist nach der höchsten auftretenden Ableitung von y benannt. Wir werden nun versuchen die unbekannte Funktion y für Differentialgleichungen 1. Ordnung zu bestimmen. Hierbei beschränken wir uns auf den Fall, dass die Differentialgleichung folgendermaßen aufgeschrieben werden kann: y 0 = f (x, y) = g(x)h(y), mit f : R2 → R und g, h : R → R. Wir untersuchen also lediglich Differentialgleichungen, deren rechte Seite (f (x, y)) nach Variablen getrennt werden kann in g(x)h(y). Im Allgemeinen sind Differentialgleichungen nicht eindeutig lösbar, es sei denn wir haben einen Startwert für eine Differentialgleichung gegeben, einen sogenannten Anfangswert.

-62-


Theorie: Differential- und Differenzengleichungen

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Wie löse ich eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrennten Variablen? Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form y 0 = f (x, y). 1. Trennung der Variablen: Im ersten Schritt trennen wir die rechte Seite nach den Variablen x und y und fassen alles was x bzw. y betrifft in den Funktionen g und h dy zusammen. Dann schreiben wir für y 0 = dx und erhalten: dy = g(x)h(y). dx 2. Umformen der Gleichung: Im zweiten Schritt formen wir die Gleichung, indem wir beide Seiten mit dx multiplizieren und teilen die Gleichung anschließend durch h(y). Dadurch erhalten wir 1 dy = g(x)dx. h(y) 3. Integrieren: (a) ohne Anfangsbedingung: Falls kein Anfangswert gegeben ist, bilden wir auf beiden Seiten das unbestimmte Integral und erhalten die Lösungen: Z Z 1 dy = g(x)dx + C, C ∈ R. h(y) (b) mit Anfangsbedingung: Falls ein Anfanswert y0 = f (x0 ) gegeben ist, integrieren wir die beiden Seiten mit den Grenzen y0 , y und x0 , x und erhalten die eindeutige Lösung: Zy

1 dt = h(t)

y0

Zx g(t)dt. x0

4. Auflösen nach y: Falls wir das Integral berechnen können, lösen wir die Gleichung schließlich nach y auf und sind fertig.

Beispiel. 1. Bestimme die Lösungsmenge für die Differentialgleichung y 0 = y. Lösung (a) Trennung der Variablen: Wir stellen fest, dass die rechte Seite nur von y abhängt, nicht von x. Daher definieren wir g(x) = 1 und h(y) = y, sodass g(x)h(y) = y. Somit -63-


Theorie: Differential- und Differenzengleichungen

erhalten wir

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dy = 1 · y. dx

(b) Umformen der Gleichung: Multiplizieren mit dx und dividieren durch h(y) liefert: 1 dy = 1dx, y wobei y 6= 0. (c) Integrieren: Da kein Anfangswert gegeben ist, bilden wir das unbestimmte Integral und erhalten: Z Z 1 dy = 1dx + C, C ∈ R. y (d) Auflösen nach y: Die Stammfunktionen von y1 und 1 sind ln(y) und x. Daher erhalten wir: ln(y) = x + C. Wir stecken nun beide Seiten in die e-Funktion und erhalten schließlich: y = ex+C = ex · eC = γex , mit γ = eC und daher γ > 0, reell. 2. Bestimme die Lösungsmenge für die Differentialgleichung y 0 = λy mit Anfangsbedingung y0 = 1, x0 = 0. Lösung (a) Trennung der Variablen: Wir stellen fest, dass die rechte Seite nur von y abhängt, nicht von x. Daher definieren wir g(x) = λ und h(y) = y, sodass g(x)h(y) = λy. Somit erhalten wir dy = λ · y. dx (b) Umformen der Gleichung: Multiplizieren mit dx und dividieren durch h(y) liefert: 1 dy = λdx, y wobei y 6= 0. (c) Integrieren: Da ein Anfangswert gegeben ist, bilden wir das bestimmte Integral und erhalten: Zy Z x 1 dt = λdt. t 0 1

(d) Auflösen nach y: Die Stammfunktionen von erhalten wir:

1 t

und 1 sind ln(t) und x. Daher

ln(t)|yt=1 = λ · t|xt=0 ln(y) − ln(1) = λx − 0 ln(y) = λx. -64-


Stichwortverzeichnis

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Stichwortverzeichnis Abhängigkeit, lineare, 81 Ableitungsregeln, 18 Addition Matrizen, 71 Allgemeine Tipps, 1 Anfangswert, 62, 67 Bestimmtes Integral, 51 bijektiv, 11 Bild, 10 Bildbereich, 10 Bruchrechnen, 3 Definitionsbereich, 10 Determinante, 45 Diagonalmatrix, 70 Differentialgleichung, 62 Differentialgleichung, homogen, 65 Differentialgleichung, inhomogen, 66 Differentialgleichungen, 62 Differenzengleichung, homogen, 67 Differenzengleichung, inhomogen, 68 Differenzengleichung, Stabilität, 68 Differenzengleichungen, 67 Differenzenquotient, 17 Doppeltes Integral, 59 einheitselastischer, 20 Einheitsmatrix, 71 elastischer, 20 Elastizität, 20 erweiterte Koeffizientenmatrix, 75 euklidische Norm, 24 Eulersche Formel, 33 Extrema, 39 Funktion in mehreren (n) Variablen, 23 Funktion in zwei Variablen, 23 Gauß-Jordan-Verfahren, 75 Gauss Algorithmus, Operationen, 77 Gleichungen, 5 globale Extrema, 39 Gradient, 29

Hesse-Matrix, 29 homogen vom Grade, 33 Homogene Funktion, 32 homogene Funktion, 33 homogene lineare Differentialgleichung, 65 Homogenitätsgrad, 33 implizite Funktionen, 34 inhomogene lineare Differentialgleichung, 66 injektiv, 11 Integral, 50 Integral, bestimmtes, 51 Integral, doppelt, 59 Integral, Eigenschaften, 52 Integral, Existenz, 59 Integral, uneigentlich, 57 Integration, Hauptsatz, 52 Integration, partielle, 53 Integrationsgrenzen, 51 Integrationskonstante, 50 integrierbare Funktion, 59 Inverse einer regulären Matrix, 79 Inverse Matrix, 79 Isoquanten, 23 Kettenregel, 18 Komposition, 15 konkav, 22 Konkavität, 21, 37 konvex, 22 Konvexität, 21, 37 kritischer Punkt, 40 Lagrange-Multiplikator, 48 Lagrangefunktion, 48 linear abhängig, 81 linear unabhängig, 81 Lineare Abhängigkeit, 81 Lineare Unabhängigkeit, 81 lokale Extrema, 39

marginale Funktion, 20 Matrix, 69 Matrix, quadratisch, 69 Höhenlinien, 23 Hauptsatz der Differential- und Integralrech- Matrix, Skalarmultiplikation, 72 Matrix, symmetrische, 70 nung, 52 Matrix, transponiert, 69 -83-


Stichwortverzeichnis

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Matrixmultiplikation, 73 Matrixoperationen, Rechengesetze, 80 Matrizen, 69 Matrizen, spezielle, 70 Maximum, 39 Methode von Lagrange, 48 Minimum, 39

Umkehrfunktion, Ableitung, 18 Unabhängigkeit, lineare, 81 unbestimmtes Integral, 50 Uneigentliches Integral, 57 unelastischer Bereich, 20 Ungleichungen, 6 Urbild, 10

Nebenbedingung, 47 Niveaulinien, 23 Nullmatrix, 71

Vektor, 69 Verkettung, 15

Partielle Ableitung, 25 partielle Ableitungen, 25 Partielle Differential, 27 partielle Differential, 27 partielle Elastizität, 27 Partielle Elastizitäten, 26 Partielle Integration, 53 Polynom 2. Grades, 5 Potenzen, 3 Produkteregel, 18, 33

Wertebereich, 10 Wurzel, 3 Zeilenvektor, 69 Zielfunktion, 47

quadrieren, 5 Quotientenregel, 18, 33 Rang, 74 Rechengesetze für Matrixoperationen, 80 Rechenregeln, 2 Reduktionsmethode, 47 relative Extrema, 39 Restriktion, 47 Rezept, partielle Integration, 54 Rezept, Substitution, 55 Spaltenvektor, 69 Stammfunktion, 50 stationärer Punkt, 40 stetig, 16 Substitution, 54 Substitutionsmethode, 47 surjektiv, 11 Tangente, 19 Tangentialebene, 30 Tipp, allgemeine, 1 total differenzierbar, 27 totale Differential, 31 Transponierte Matrix, 69 Umkehrfunktion, 12 -84-


Extras

Übungen

Prüfungen

Übungen


Ă&#x153;bungen Mathematische Methoden 1. Semester

KĂśln, 2012/2013


Inhaltsverzeichnis 1 Schulwissen

1

2 Dierenzierbare Funktionen einer Variablen

17

3 Lineare Algebra

39

4 Dierenzierbare Funktionen mehrerer Variablen

62

5 Extrema von Funktionen mehrerer Variablen

82

6 Integralrechnung

102

7 Dierentialgleichungen

116


Differenzierbare Funktionen einer Variablen

2

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Differenzierbare Funktionen einer Variablen

Aufgabe 2.1 Der Wiederverkaufswert W (in Tsd. Euro) eines IT-Systems sei in Abhängigkeit vom Alter A (in Monaten) des Systems durch folgende Funktion gegeben: W (A) = 10 ·

15 − A , A+2

A ≥ 0.

a) Nach wie vielen Monaten ist der Wiederverkaufswert auf Null abgesunken? b) Zu welchem Zeitpunkt beträgt der Wertverlust 60% des Anschaffungswertes des ITSystems? Lösung: a) Wir suchen die Nullstelle der Funktion W : ⇔

W (A) = 0

10 ·

15 − A =0 A+2

A = 15.

Also ist der Wiederverkaufswert nach 15 Monaten Null. b) Gesucht ist A ∈ R, sodass W (A) = 40%W (0). Da W (0) = 10 15 = 75 gilt: 2 W (A) = 0.4W (0)

10 ·

15 − A = 30 A+2

15 − A = 3(A + 2)

A = 2.25.

Nach 2.25 Monaten entspricht der Wertverlust 60% des Anschaffungswertes.

Aufgabe 2.2 Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen umkehrbar sind und geben Sie, wenn möglich, die Umkehrfunktion an: a) f1 (x) = 21 x5 − π, b) f2 (x) = ln(x + 1)2 , c) f3 (x) = x3 − x2 + 4,

x ∈ R, x ∈ R+ , x∈R

Lösung: a)

• Die Funktion ist streng monoton steigend, also bijektiv und somit umkehrbar.

-16-


Differenzierbare Funktionen einer Variablen • Setze f1 (x) = y :

1 5 x −π =y 2

• Vertausche x und y: b)

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f1−1 : R → R,

p 5 2y + π

x=

x 7→

√ 5 2x + π

• Die Funktion ist streng monoton steigend, also bijektiv und somit umkehrbar. • Setze f2 (x) = y : ln(x + 1)2 = y

√ ln(x + 1) = ± y

x = e±

y

−1

• Da nach Voraussetzung x > 0 gilt, ist in der letzten Gleichung nur die positive Lösung richtig. • Vertausche x und y:

f1−1 : R → R,

x 7→ e

x

−1

c) Die Funktion ist nicht streng monoton und somit nicht bijektiv, also auch nicht umkehrbar.

Aufgabe 2.3 Für die Produktion einer Menge x eines Gutes gelte die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 34−0.2x. Die Kostenfunktion lautet K(x) = 0.1x2 − 2x + 4. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion. Für welches x ist der Gewinn maximal? Lösung: Der Erlös ist E(x) = p(x) · x. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus Erlös abzüglich Kosten, also: G(x) = E(x) − K(x) = 34x − 0.2x2 − (0.1x2 − 2x + 4) = −0.3x2 + 36x − 4. Die Gewinnfunktion ist konkav, da es sich um eine umgedrehte Parabel handelt. Folglich liefert die Nullstelle der ersten Ableitung die Extremstelle !

G0 (x) = −0.6x + 36 = 0 x = 60. Folglich liegt an der Stelle x = 60 ein Gewinnmaximum vor.

-17-


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Aufgabe 2.4 Der Verkaufspreis für T-Shirts liegt abhängig von der angebotenen Menge x bei p(x) = 2 + 5e−0.0005x . Ein Händler kauft T-Shirts zum Preis von 500 e/1000 Stück, bedruckt sie zum Preis von 0.60 e/Stück und verkauft sie zu dem oben genannten Preis. Seine Fixkosten pro Monat sind 3000 e. Nennen Sie die Kostenfunktion, die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion. Wie hoch ist der Gewinn, wenn er in einem Monat 15000 T-Shirts verkauft? Lösung: Der Erlös ergibt sich aus Preis mal verkaufter Menge, ist also E(x) = p(x)x = (2 + 5e−0.0005x ) · x. Die Kostenfunktion setzt sich aus den variablen Kosten Kvar (x) = (0.5 + 0.6) · x und den Fixkosten Kf ix (x) = 3000 zusammen, so dass K(x) = Kvar (x) + Kf ix (x) = 1.1 · x + 3000. Daraus können wir die Gewinnfunktion ableiten G(x) = E(x) − K(x) = 2x + 5e−0.0005x x − (1.1 · x + 3000) = 0.9x + 5e−0.0005x x − 3000. Bei 15000 verkauften t-Shirts beträgt der Gewinn G(15000) = 10541, 48.

Aufgabe 2.5 Ermitteln Sie die Internet-Kostenfunktion, die die monatlichen Gesamtkosten K eines InternetAnschlusses in Abhängigkeit vom Transfervolumen T (in GB) pro Monat angibt. Man berücksichtige: • die Grundgebühr betrage 24.60 e pro Monat; • die ersten 10 GB Transfervolumen sind kostenlos; • zusätzliches Transfervolumen kostet 0.23 e/GB.

-18-


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Lösung: Die monatlichen Fixkosten sind Kf ix (T ) = 24, 60 und die variablen Kosten

Kvar (T ) =

 0,

falls 0 ≤ T ≤ 10

0.23(T − 10) falls T > 10.

Damit ergibt sich die Kostenfunktion

K(T ) = Kvar (T ) + Kf ix (T ) =

 24.6,

falls 0 ≤ T ≤ 10

24.6 + 0.23(T − 10) falls T > 10.

Aufgabe 2.6 Die Gewinnfunktion einer kleinen Sektkellerei in einer Periode hängt von der verkauften Menge x (in hl) ab. Der genaue funktionale Zusammenhang ist allerdings unbekannt. Der Kellermeister weiß lediglich, dass ab einer abgesetzten Menge von x = 1000 kein Verlust mehr erzielt wird, dass die fixen Kosten 1 Mio. e betragen und dass ab einer verkauften Menge von x = 4000 die Kosten für eine ausreichende Rohstoffbeschaffung so hoch wären, dass kein Gewinn mehr geschrieben wird. Modellieren Sie die Gewinnfunktion mit Hilfe einer quadratischen Funktion und bestimmen Sie, wann der Gewinn maximal wäre. Lösung: Gesucht ist eine quadratische Funktion, also ein Polynom vom Grad 2. Wir können der Aufgabenstellung die beiden Nullstellen der Gewinnfunktion entnehmen, nämlich G(1000) = 0,

G(4000) = 0.

Außerdem wissen wir, dass die Fixkosten 1 Mio. e betragen. Also ist G(0) = −1000000. Wir können das Polynom bis auf ein Vielfaches durch die Nullstellen bestimmen, sodass G(x) = a(x − 1000)(x − 4000),

G(x) = a(x2 − 5000x + 4000000),

wobei a ∈ R eine zu bestimmende Unbekannte ist. Diese können wir bestimmen, indem wir G(0) = −1000000 auflösen: G(0) = a(02 − 5000 · 0 + 4000000) = −1000000, Also ist die Gewinnfunktion 1 G(x) = − x2 + 1250x − 1000000. 4 -19-

1 a=− . 4


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Aufgabe 2.7 Die Produktionskapazität K (in Mengeneinheiten des zu produzierenden Gutes) eines Unternehmens, welches im Jahre 2004 (t = 0) gegründet wurde, sei im Zeitablauf t (in Jahren) durch folgende Funktion beschrieben: K : R+ → R,

K(t) =

38500 . 700 + (t − 20)2

a) Mit welcher Anfangskapazität startet das Unternehmen im Jahr seiner Gründung? b) In welchem Jahr erreicht das Unternehmen seine maximale Produktionskapazität? Ermitteln Sie zusätzlich die Höhe der maximalen Produktionskapazität. Lösung: a) Die Anfangskapazität K(0) ist K(0) =

38500 = 35. 700 + (0 − 20)2

b) Die Produktionsfunktion ist eine konkave Funktion. Dies kann durch Bilden der zweiten Ableitung oder Betrachten des Funktionsgraphen festgestellt werden. Also befindet sich das Maximum an der Nullstelle der Ableitung. Berechnen wir zunächst die Ableitung: 0 38500 0 2 −1 ) = (38500(700 + (t − 20) ) K (t) = 700 + (t − 20)2 −2 38500(2(t − 20) = −38500 700 + (t − 20)2 · 2(t − 20) = − (700 + (t − 20)2 )2 77000(t − 20) = − (700 + (t − 20)2 )2 

0

Nullsetzen liefert: K 0 (t) = 0

77000(t − 20) =0 (700 + (t − 20)2 )2

t = 20.

An der Stelle t = 20 liegt ein Produktionsmaximum vor. Dieses beträgt K(20) =

38500 38500 = = 55. 2 700 + (20 − 20) 700

-20-


Extras

Pr端fungen

Pr端fungen


PrĂźfungen Mathematische Methoden 1. Semester

KĂśln, 2012/2013


Inhaltsverzeichnis 1 Klausur SS 2000 1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2

2 Klausur WS 2000 2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5

3 Klausur SS 2001 3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8

4 Klausur WS 2001 10 4.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 Klausur SS 2002 13 5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Klausur WS 2002 16 6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 Klausur SS 2003 20 7.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8 Klausur WS 2003 25 8.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9 Klausur SS 2004 29 9.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 9.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10 Klausur WS 2004 35 10.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 10.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


11 Klausur SS 2005 39 11.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 11.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 12 Klausur WS 2005 44 12.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 12.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 13 Klausur SS 2006 49 13.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 13.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 14 Klausur WS 2006 57 14.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 14.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 15 Klausur SS 2007 Juli 64 15.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 15.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 16 Klausur SS 2007 September 72 16.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 16.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 17 Klausur SS 2008 80 17.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 17.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 18 Klausur WS 2008 91 18.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 18.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 19 Klausur SS 2009 101 19.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 19.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 20 Klausur WS 2009 111 20.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 20.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 21 Klausur SS 2010 123 21.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


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13.2

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Lösungen

Aufgabe 1 Bestimmen Sie Lage und Art der relativen Extrema der Funktion f (x, y) = x3 + 6y 2 − 75x − 24y + 100 Lösung: Die partiellen Ableitungen werden gleich Null gesetzt: fx (x, y) = 3x2 − 75 = 0 fy (x, y) = 12y − 24 = 0 Durch Umformen erhält man aus der ersten Gleichung 3x2 = 75 ⇔ x2 = 25 ⇔ x = ±5. Die zweite Gleichung liefert 12y−24 = 0 ⇔ y = 2. Die stationären Punkte lauten also (x, y) = (5, 2) und (x, y) = (−5, 2). Die Hesse-Matrix ist " # 6x 0 Hf (x, y) = 0 12 In (x, y) = (5, 2) liegt ein lokales Minimum, denn es gilt ∆1 (5, 2) = 6 · 5 = 30 > 0,

∆2 (5, 2) = 30 · 12 = 360 > 0

In (x, y) = (−5, 2) liegt kein Extremum, denn es ist ∆2 (3, 1) = 6 · (−5) · 12 = −360 < 0 Aufgabe 2 Es wird ein Produktionsprozess betrachtet, bei dem ein Gut mit den Produktionsfaktoren r und s hergestellt wird. Die Produktionsfunktion lautet: x = 5r2 s. Die Kosten sind gegeben durch K(r, s) = 6r + 12s. a) Bestimmen Sie nach der Lagrange-Methode die Minimalkostenkombination für eine Produktion von 80 Einheiten des Gutes. Lösung: Gesucht ist das Minimum der Kostenfunktion unter der Bedingung, dass x = 80 Einheiten produziert werden. Eine Lagrangefunktion ist also L(r, s, λ) = 6r + 12s + λ(5r2 s − 80).

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Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen ergibt Lr (r, s, λ) = 6 + 10λrs Ls (r, s, λ) = 12 + 5λr2 Lλ (r, s, λ) = 5r2 s − 80 Auflösen der ersten Bedingungen nach λ ergibt λ=−

3 5rs

λ=−

12 5r2

Gleichsetzen ergibt 12 3 = − 2 ⇔ 15r2 = 60rs ⇔ r = 4s 5rs 5r Einsetzen in die dritte Gleichung (die Nebenbedingung) ergibt −

5(4s)2 s − 80 = 0 ⇔ 80s3 = 80 ⇔ s = 1 3 . Damit wird das Daraus ergeben sich die anderen Parameter r = 4s = 4 und λ = − 20 Minimum der Kosten bei (r, s) = (4, 1) angenommen.

b) Um welchen Betrag ändern sich näherungsweise die Kosten der Minimalkostenkombination, wenn die Produktionsmenge x um 10 Einheiten erhöht wird? Lösung: Der Lagrangemultiplikator gibt an, wie sich die Kosten verändern, wenn die Kon3 · (10) = − 32 , stante in der Nebenbedingung variiert wird. Die Kosten steigen also um − 20 sinken also um 1.5 Euro. Aufgabe 3 Bestimmen Sie folgende Integrale a) Mittels Substitution 3

Z

4e4x−12 dx

0

Lösung: Wir substituieren u(x) = 4x − 12, dann ist du = 4dx und für die Grenzen ergibt sich u(0) = −12 und u(3) = 0. Damit lässt sich das Integral einfach berechnen Z

3 4x−12

4e

Z

0

eu du = [eu ]0−12 = 1 − e−12

dx = −12

0

b) Z

4

Z

7

dx dy 1

2

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Lösung: Z

4

Z

7

4

Z

[1x]72

1 dx dy = 1

2

Z

4

dy =

1

5 dy = [5x]41 = 20 − 5 = 15

1

Aufgabe 4 Gegeben ist die Funktion f (x, y) = x3 − xy − y + x2 a) Bestimmen Sie das partielle Differential nach y. Lösung: Das partielle Differential nach y lautet fy (x, y)dy = (−x − 1)dy b) Bestimmen Sie das totale Differential. Lösung: Das totale Differential ist die Summe der partiellen Differentiale, also df = fx (x, y)dx + (−x − 1)dy = (2x2 − y + 2x)dx + (−x − 1)dy c) Bestimmen Sie das totale Differential am Punkt (x, y) = (3, 1). Lösung: Einsetzen von (x, y) = (3, 1) in das totale Differential ergibt df (3, 1) = (2 · 32 − 1 + 2 · 3)dx + (−3 − 1)dy = 32dx − 4dy Aufgabe 5 Durch die Gleichung x5 + xy 2 = 10 ist implizit y als Funktion von x gegeben. a) Berechnen Sie

dy dx

Lösung: Sei G(x, y) = x5 + xy 2 − 10. D.h. y(x) ist implizit gegeben durch G(x, y) = 0. dy Nach dem Satz über implizite Funktionen ist die Ableitung y 0 (x) = dx gegeben durch dy Gx (x, y) 5x4 + y 2 =− =− dx Gy (x, y) 2xy b) Prüfen Sie, ob der Punkt P mit den Koordinaten (x, y) = (1, 3) auf der Funktion liegt. -53-


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Lösung: Einsetzen in G ergibt G(1, 3) = 15 + 1 · 32 − 10 = 0 Also ist f (1) = 3 und P liegt auf der Funktion. c) Berechnen Sie die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt P = (1, 3). Lösung: Die Ableitung wurde bereits in a) berechnet. Einsetzen von (x, y) = (1, 3) ergibt y 0 (1) = −

7 5 · 14 + 32 =− 2·1·3 3

d) Um welchen Wert wird sich y schätzungsweise verändern, wenn x von P ausgehend um 3 Einheiten verringert wird? Lösung: Der Funktionswert ändert sich approximativ um y 0 (1) · (−3) = 7 Einheiten. e) Ist es möglich, die Steigung der Funktion im Punkt (1, 0) anzugeben? Falls ja, tun Sie es! Falls nein, warum nicht? Lösung: Überprüfe zunächst, ob (x, y) = (1, 0) auf der Funktion liegt. Einsetzen in G ergibt G(1, 0) = 15 + 1 · 02 − 10 = −9 6= 0 Also liegt der Punkt nicht auf der Funktion und man kann die Steigung dort nicht angeben. Aufgabe 6 Gegeben sind die Vektoren und Matrizen   1   a = 0 1

  1   b = 1 0

  2   c = 1 4

a) Berechnen Sie Ab − c.

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 1 2 −2   A= 4 1 1  −1 3 0


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Lösung: 

          1 2 −2 1 2 3 2 1            Ab − c =  4 1 1  1 − 1 = 5 − 1 =  4  −1 3 0 0 4 2 4 −2 b) Begründen Sie, ob oder ob nicht die Vektoren a, b und c eine Basis des R3 sein können. Lösung: Überprüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Dazu darf folgendes Gleichungssystem nur die Lösung λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) = (0, 0, 0) haben.     1 1 2 0     0 1 1 λ = 0 1 0 4 0 Mit dem Gauß-Verfahren ergibt sich 1 1 2 0 0 1 1 0 1 0 4 0

III−I

1 ·III,II−III,I−2·III 3

1 1 2 0 0 1 1 0 0 −1 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

III+II

I−II

1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 3 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Die Lösung ist also λ = (0, 0, 0)T , die Vektoren a, b, c sind damit linear unabhängig und bilden eine Basis des R3 . c) Schreiben Sie ein Beispiel einer oberen 4 × 4-Dreiecksmatrix auf. Lösung: Eine obere 4 × 4-Dreiecksmatrix ist zum Beispiel  4  0  0  0

2 4 0 0

3 1 2 0

d) Schreiben Sie alle Einheitsvektoren des R4 auf.

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 9  0  1  8


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Lösung: Die Einheitsvektoren des R4 sind   1   0   0   0

  0   1   0   0

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  0   0   1   0

  0   0   0   1



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