波動方程映射法之光學類比推導
Paul T. Wu 吳祖諺
Abstract: 本文提出並示範一種稱為「波動方程映射法」的基礎理論工具。該方法基於一個核心洞見：許多物理 領域的基本方程在數學上與經典波動方程同構。利用這點，我們可以把一個領域裡已經解決好的問題，直接映 射到另一個領域，實現快速、直觀又嚴謹的推導。本文以量子力學中一維方位勢壘的透射率公式為例，放棄傳 統直接求解薛丁格方程的做法，改用一套精確的「光學－量子力學」對應框架，將波函數及其導數對應到光學 裡的電場和磁場。透過此類比，我們直接借用光學薄膜干涉的菲涅耳公式，巧妙地推導出與標準量子力學一致 的透射率公式。傳統推導常用散射矩陣理論、傳播子（格林函數）或路徑積分等量子力學的數學工具，雖然嚴 謹，但計算繁瑣且抽象，令未受過高等理論物理與數學方法訓練的初學者難以把握物理直觀且構成巨大障礙。 波動方程映射法的優勢就在於，它不必攀登那座數學高山，而是將問題映射到光學薄膜模型，利用現成的菲涅 耳公式這條捷徑，直接得到核心結果。這樣不僅計算更簡單，還讓「波動」的直覺圖像回歸，讓物理本身成為 理解的主角。最後，本文還將此光學類比與已有的傳輸線類比進行對照，說明二者的共通哲學基礎及各自的推 導簡潔性和物理直觀性，展現波動方程映射法作為一種通用方法論的潛力和教學價值。
方法名稱：我們將其稱為《波動方程映射法》
方法步驟：識別結構 → 構建框架 → 移植行動
方法簡介：一種通過識別不同物理系統背後共通的波動方程數學結構，將一個領域中已解決的成熟方案，精確 映射到另一個領域，從而實現快速推導與直觀理解的基礎理論工具。
在理論物理與應用數學中，許多看似截然不同的物理系統，其實是由同一數學結構支配。這一事實既有 趣，也蘊含著強大的方法論潛力。最典型的例子，就是形式為 ��′′ +��2��=0 的二階 ODE 波動方程，它同 時描述了從電磁傳輸線到量子波函數的各種現象[1]。以傳輸線模型為例，之所以能與量子力學建立連結， 是因為兩者間存在「數學同構」，它們擁有：
1. 相同的支配方程：波動方程。
2. 可類比的物理量：波函數 ⇄ 電壓，波函數導數 ⇄ 電流。
3. 可對應的屬性：特徵阻抗。
4. 相同的邊界條件：連續性。
5. 相同的守恒律：能量守恒 ⇄ 概率守恒。
因此，可以說電子阻抗與量子力學在數學深層結構上就像失散多年的孿生兄弟。不過，我們必須學會如何 系統性地辨識並利用這種同構，將一個領域的現成解法轉化為另一領域的利器。本文認為，關鍵在於建立 一套清晰的「類比準則」。基於此，我們首先確立了四大必要條件，並以此為基礎，提出「波動方程映射 法」的完整框架。接著，我們以量子力學一維方位勢壘為例，示範如何透過建構光學與量子力學的類比框 架，將薄膜光學中的菲涅耳公式作為現成工具引入，實現比傳統方法更簡潔、直觀且嚴謹的推導。為了類 比「一維量子位勢壘」問題，一個合格的候選物理模型必須擁有下文所包含的四個核心要素。
類比推導法之四大必要條件
1. 空間傳播性：系統的動力學必須發生在空間域，而非時間域，且要有明確的傳播方向（例如我們的 �� 方向）。
(
必要性：量子位勢壘問題本質是波在空間中遇到不同勢能。如果系統是時間振盪（如諧振子），就無法類 比「穿越」某個區域的概念。)
2. 介質的區段性與邊界：空間必須能分成多個均勻區段，且這些區段擁有不同本徵屬性。區段間的邊 界上必須有明確的物理條件。
(必要性：這對應於位勢壘前、中、後的三個區域，問題的關鍵就在這些邊界上發生。)
3. 波動性與特徵參數：系統的支配方程需是波動方程形式 ��′′ +��2��=0 的形式，且每個均勻區段有 一個關鍵特徵參數（類似波數 ��），由區段物理屬性決定。
(必要性：確保解為波的形式 ��±������，且波的行為會隨介質改變而變化。)
4. 守恒流與交互作用量：系統中要有守恒的流（如概率流、能量流），及一個關鍵交互作用物理量在 邊界上連續。通常需要兩個量：一個代表「勢」，另一個代表「流」。
(必要性：這是整個類比的核心之處。)
守恒流保證了我們可以定義反射率和透射率。在無耗散（即守恆）系統中，入射波的能量必須等於反射波 與透射波的能量之和，因此有能流比例式 ��+�� =1⇒|��������|2 +|��������|2 =1，其中 �� =|��������|2 為整體多界 面結構的能量反射率，�� =|��������|2 為整體多界面結構的能量透射率，而 �������� 與 �������� 分別是總振幅反射係 數與總振幅透射係數（均為複數，包含相位資訊）[2]。因此我們可以得出能量透射率方程 �� =1 |��������|2。這一關係在光學、水波以及量子力學等各類波動系統中均成立。交互作用量使我們得以在邊界上建 立相應的條件。在量子力學中，邊界條件要求波函數 ��(��) 及其一階空間導數 ��′(��) 皆為連續。我們需要 在其他波動模型中，尋找與這兩個量相對應的物理量。
能流比例方程之推導
能流比例式 ��+�� =1 的推導源於波動方程中的能量守恆原理。值得注意的是，波的能量流與概率流在數 學形式上具有嚴格的對應關係，然而它們所描述的物理意涵並不相同。為了闡明這一點，我們必須先介紹 概率流的定義。在一維定態散射問題中（如量子位勢壘穿透），或在電磁波於介質交界面的反射與透射分 析中，「能流」或「概率流」在穩態條件下是守恆的量。此處的「守恆」意指流量 �� 在空間上為常數，滿 足 ���� ���� =0。對於量子波 ��(��,��) ，「概率流」定義為 �� = ℏ 2����(��∗���� ���� ������∗ ���� )
對應於概率密度 |��|2 的傳輸率。在穩態情況下，��(��,��)=��(��)�� ��(�� ℏ)��，代入可得 �� 與時間無關。這與電 磁學中「坡印廷向量」定義的能流，在穩態條件下的守恆關係具有完全對應的數學結構。同樣地，這種守 恆結構在其他波動系統中也有嚴格的對應關係。例如，在本文的光學類比問題中，「複數電磁場振幅」所 定義的能流，在穩態條件下滿足與坡印廷向量相同形式的守恆方程；在流體力學中，「複數速度勢或水面
高程振幅」所定義的能流，也遵循類似的守恆關係；而在聲學中，「複數聲壓與粒子速度」所構成的能 流，其守恆形式亦與上述系統完全對應。
在一維定態概率流守恆情況下，由薛丁格方程可推導出連續性方程
在有限勢壘散射問題中，區域 ��(�� <0) 有式
其中 ��1 =√2���� ℏ2 。
區域 ������(�� >0) 有式
計算概率流：
1. 入射波 ��
2.
3. 透射波
現考慮在每一個區域内的概率流守恆。在區域 ��，總概率流為
在區域 ������，總概率流為
由 ���� =�������� 得
這正式是概率守恆的結果。雖然物理量不同（能量或概率），但在線性波動方程的框架下，經典波動與量 子力學波函數的守恆律都能推導出結果
��+�� =1⇔|��|2 + ��2 ��1 |��|2 =1
其中 ��
是均匀區域内的特徵阻抗（有區域 1 或 2 内的特徵阻抗）。例如在本文中的光學類比裏，波阻抗 為電場與磁場的比值 �� = �� �� =√�� �� （即橫向電波）或 �� ∝√ 1 ���� （即反比於折射率）。同樣地，在水波類比
裏，有 �� ∝√ℎ（水深）；在聲波類比裏，有 �� =����（密度×聲速）；在量子力學裏，有 �� ∝√1 ��（因為 �� ∝��|��|2）。當兩側材料相同 (��1 =��2) 時，就簡化為 |��|2 +|��|2 =1，即 ��+�� =1。
在類比意義上，經典波動裏的能流對應於量子力學裏的概率流。它們在數學上服從相同的守恆形式 ��+ �� =1。因此推導出的反射率與透射率公式具有相同結構。在物理本體上，一個是能量，一個是概率。在 統一的觀點上，無論是電磁波在介質中傳播、導波在傳輸線上傳播、水波在液體表面傳播，還是聲波在彈 性介質中傳播，波阻抗皆定義為：
�� =(推動量
響應量)統一 =(電場 磁場)電磁波 =(電壓 電流)導波 =( 聲壓
振動速度)聲波 =(水面高程或水壓
水平速度或流量)水波
本文所提出的「波動方程映射法」其有效性，早在 1988 年由 A. N. Khondker、Mohammad Khan 和 Mehdi Anwar 等人通過「傳輸線－量子力學」類比的成功案例得到初步驗證[1]。為了說明這方法不只是個例，而 是一個具備普適性的框架，我們進一步系統性地尋找其他同樣符合「四大必要條件」的物理模型，並對諧 振子、聲學管道、光學分層介質等候選系統進行了篩選分析（見下表）。
物理模型 空間傳播性 區段性與邊界
✔傳輸線（一
維分布參數電
路）
（1988 嘗試）
✔ 信號沿線傳 播 ✔ 不同特徵阻 抗的線段
✘諧振子 （嘗試不成） ✘ 時間振盪 ✘ 單一系統， 無空間邊界
✔聲波（一維
管道：管內聲
波）
（尚未嘗試）
✔光波（一維
分層介質：垂
直入射）
（本文嘗試）
✔水波（一維
水道：渠道水
波）
（尚未嘗試）
✔ 聲波沿管道
傳播 ✔ 管道截面積 /介質變化
✔ 光沿法線方
向傳播 ✔ 不同折射率 的介質層
✔ 水波沿水道 傳播 ✔ 水深/寬度 變化
波動性與特徵 參數 流守恆與交互 作用量 結論
✔ 電壓/電流 波動方程，波 數 ��
✔ 時間波動方 程，頻率 ��
✔ 聲壓波動方
✔ 功率守恒；
電壓 �� 和電流 �� 連續
✔ 完美符合
✔ 能量守恒， 但無空間邊界 互動 ✘ 不合格
程，波數 �� ✔ 聲能流守
恒；聲壓 �� 和
體積速度 �� 連
續
✔ 電場波動方
程，波數 �� ✔ 電磁能流守
恒；電磁場切
向分量 ���� 及
✔ 水波方程，
波數 ��
✔ 完美符合
���� 連續 ✔ 完美符合
✔ 波能流守
恒；水面高度
�� 和 ���� ���� 相關
量連續 ✔ 完美符合
結果顯示，光學模型在數學結構的完備性和物理圖像的直觀性上表現尤為出色。推導方式也更貼近人的直 覺，反射係數、薄膜干涉等基本概念比較容易理解，每一步的物理圖像都十分清晰。雖然計算量比傳輸線 法稍多，但它能讓我們直觀感受到波在位勢壘中來回反射和相互疊加的過程。因此，本文選擇光學模型作 為第二個範例，展示它在不同類比維度上的應用潛力。基於此選擇，我們以下依照三個步驟展開完整的映 射推導。
首先，我們建立一套精準的類比框架，明確兩個領域中物理量的對應關係；接著，在光學的工具庫中挑選 最合適的現成工具
描述薄膜干涉的菲涅耳公式體系；最後，進行嚴格的類比推導，將光學公式轉換到 量子力學語境，推導出目標的透射率表達式。
第一步：建立精確的「類比框架（字庫）」
由於光學模型完美符合前述四大必要條件，我們將其確立為推導量子位勢壘問題的理想類比系統。具體映 射關係由下表中的「光學－量子力學類比框架」定義，作為後續移植光學公式的翻譯指南。
光學模型 (源系統)
一維分層介質（光垂直入射）
支配方程：��2�� ����2 +(��2��2 ��2 )�� =0
數學同構的强制對應：��2��2 ��2
介質的折射率 ��1 或 ��2
區域 ��: 折射率 ��1∝��
區域 ����: 折射率 ��2∝��
區域 ������: 折射率 ��3 =��1
電場標量函數 ��(��)
磁場標量函數 ��(��)
光波阻抗 ��(��)= ��(��) ��(��)
在邊界處，��(��) 和 ��(��) 的切向分量連續
光的能流 → 電磁波功率密度向量（坡印廷）
註：我們會通過一個被封裝好的巧妙高階工具（即 菲涅爾振幅反射係數 ��）來避開了直接計算坡印廷 向量。它的推導過程（匹配 �� 和 �� 的邊界條
件）已在內部、隱式地滿足了坡印亭向量所代表的 能量守恆。
透射率 ����������������
第二步：鎖定現成工具 菲涅耳波動公式
量子力學模型 (目標系統)
一維方形位勢壘（粒子從左入射）
支配方程：��2�� ����2 +[2��(�� ��) ℏ2 ]��=0
數學同構的强制對應：2��(�� ��) ℏ2
波數 �� 或 ��
區域 ��: 波數 �� = √2���� ℏ
區域 ����: 波數 �� = √2��(�� ��0) ℏ
區域 ������: 波數 �� = √2���� ℏ
波函數 ��(��)
波函數導數 ��′(��) (與概率流相關)
量子波阻抗 ��(��)= ��(��) ��′(��)
在邊界處，��(��) 和 ��′(��) 連續
量子概率流 → 量子概率流密度向量
註：這是一個向量場，用來描述單位時間內，概率 在空間中流動的方向與速率。換言之，它告訴我們 在空間每一點，找到粒子的可能性正在往哪裡流 動，流得多快。
透射率 ����������������
在建立好類比框架後，我們接著要從光學理論中挑選一個封裝波動邊界互動行為的現成工具。這個工具必 須能直接描述波穿過具有特定阻抗和厚度的介質層後的行為。菲涅耳公式體系正好符合這個需求。該公式 組不僅提供了單一界面的反射與透射係數，其更強大的形式（即有效反射係數模型）更能精確地描述光在 夾層結構（介質 1－薄膜－介質 1）中的整體反射行為。這個物理情境和我們的「區域 I－位勢壘－區域 III」量子模型完全對應。因此，我們將直接採用這套光學公式作為推導起點，並透過類比框架，把它轉換 到量子力學的語境中進行運算。
在光學中，當光從介質 1（阻抗 ��1）垂直入射到介質 2（阻抗 ��2）時，其振幅反射係數和透射係數就會是 現成的（菲涅耳波動公式）。通過起點
就能得到以下結果：
註：本文中我們僅考慮 s 偏振光的「垂直入射」情況，因為多種物理系統在一維垂直入射的近似下共享相 同的數學結構。選擇 s 偏振光作為光學代表，是因為在這種條件下數學形式最簡潔，也能直接對應到量子 力學中的一維位勢壘問題。該方法不適用於斜入射、偏振效應或更高維度的波動問題，因為這些情況會引 入各領域特有的物理機制，破壞數學結構的同構性。
在垂直入射的特殊情況下，我們有 ���� =���� =0⇒cos(����)=cos(����)=1⇒��1 = 1 ��1 和 ��2 = 1 ��2 ，其中 ��1 對應入射介質，��2 對應透射介質。
註：對於電磁波，波阻抗 ��=√�� �� 。在非磁性介質中，�� ∝�� 1，其中 �� 是折射率。
第三步：執行類比推導 現在，我們把光學的工具移植到量子世界。
1. 定義量子波阻抗：
根據我們的類比字典，我們定義 ��(��)≡ ��(��) ��′(��)。對於一個向右傳播的平面波 ��(��)=��������，我們得到
因此，我們有區域 I 與 III 的量子阻抗
以及區域 II (位勢壘區) 的量子阻抗
2. 計算位勢壘層的有效反射係數： 在光學中，對於一層厚度為 ��、兩側為相同介質的薄膜，其有效振幅反射係數是一個現成公式
此為單一薄膜（三明治結構），法向入射的封閉式公式。公式的推導可將多次反射波纍加成幾何級數來求 解，如
透過將右手邊的幾何級數求和（首項為 1，公比為 ��21��
的幾何級數），可得
其中 �� 是薄膜的相位厚度；��0 = 2�� ��0 = �� �� 是真空波數；��2 是介質折射率；��12 是在介質 1→2 的振幅反
射係數；��12 是在介質 1→2 的振幅透射係數。在我們的類比框架中，由於 ��2 ∝��，故有 ��0��2 =��。根 據能量守恆與時間反演對稱性，投射係數與反射係數之間存在關係式 ��12��21 ��12��21 =1
由於介質對稱，位勢壘兩側的介質相同，故從位勢壘內部觀察，向左（區域 I）與向右（區域 III）的反 射行為完全一致，故有關係式
同樣地，基於邊界的可逆性，在同一介面（�� =0
）上，入射方向相反時，反射係數的符號也相反，故有
代入上式得
再利用
3. 計算光學透射率：
在光學中，對於垂直入射，功率透射率（也就是我們的目標）為：
這是一個廣義的通用公式。現在我們將量子波阻抗代入。
4. 代入量子波阻抗來完成推導： 首先，計算 ��12 得
接著，計算模平方
分子分母同時乘以
5. 還原為物理量：
將
最終，我們獲得目標公式
再次我們成功了這套波動方程映射法，在完全沒有直接求解薛定諤方程的前提下，將光學中關於薄膜透射 率的現成知識，通過精確的類比，整個搬運到了量子力學的一維方位勢壘的問題，並成功地推導出了量子 透射率公式。聲學模型同樣是進行類比推導的絕佳土壤。我們完全也能用聲學模型的現成公式（同樣涉及 阻抗 ��(��)=��(��)/��(��)= 聲壓/介質質點的振動速度），來推導量子位勢壘透射率。
結論
在探索過程中，我們也曾檢驗過古典力學內的彈簧與擺錘模型，透過移植諧振子的通用解及其能量表示法 來推導。儘管其支配方程同樣是二階線性微分方程，但因其本質是時間域上的孤立振盪（註：諧振子是一 個整體的、孤立的時域系統，缺乏空間上的邊界互動結構），無法構建空間傳播與邊界互動的類比，最終 未能實現有效映射。這一嘗試深刻地提醒到：數學形式的相似是必要的，但卻是不充分的。真正驅動波動 方程映射法的，是背後的整個物理結構框架，而非單一的方程形式。這場失敗的嘗試，其價值一點也不亞 於成功的推導。它讓我們對「何時可進行類比」有了更深刻的理解。
這正是本文的核心目的，透過具體案例，驗證一種基於數學同構性的方法論。這種方法論強調跨領域的物 理直覺，能為純粹的數學推導提供有效的啟發與理論支撐；反之亦然，數學的結構分析也能反過來深化我 們對物理現象的認識。二者相互印證，正彰顯了知識的統一性。它驗證了我們之前定義的 「類比推導法四 大條件」 是完全正確且完備的。同時，也證明了光學模型與量子位勢壘問題在數學上是同構的，并且展示 了這種跨領域思維的有用性。最終，我們用光學家的「菲涅耳公式」這把現成的箭，優雅地擊中了量子力 學的靶心。
其實在此必須再次説明，量子波並沒有「阻抗」這個物理概念。阻抗是電磁理論中的概念，量子力學裡並 不存在所謂的「量子波阻抗」。我們利用的不是物理上的相似，而是數學結構上的同構（本文所用之 �� 僅
為形式類比的符號，不代表任何可測物理量）。就像發現「計算人口增長」的公式和「複利計算」的公式 長得一模一樣，我們可以把金融工具拿來解決人口問題。同理，我們用電磁學的概念來詮釋量子力學，并 且做數學模型的類比與遷移，借用了電磁學中已解決的數學模型，快速攻克量子力學中結構相同的數學問 題。因為它們都是波，擁有共同性質，這也給了我們直觀的圖像。雖然物理本體不同（光子 vs 電子，電 磁場 vs 波函數），但它們都遵循「波動」的數學規律，這也解釋了為何它們的支配方程如此相似。
這是一場有趣的數學遊戲。我們發現了兩個不同物理世界背後的同一張數學藍圖。而「阻抗」正是這張藍 圖上一個關鍵且現成的組件。我們巧妙地把它「複製貼上」到量子力學問題中，繞過了繁瑣的重新計算。
這正是理論物理與應用數學中最有趣、最強大的技巧之一：識別不同問題背後的統一數學結構。
Reference
[1] A. N. Khondker, M. Khan, M. Anwar. Tunneling and the transmission line analogy, J. Phys. 21, 1988.
[2] Shen, L. C., & Kong, J. A. (1995). Electromagnetic wave theory (Ch. 4: Reflection and Transmission of Electromagnetic Waves). Cambridge, MA: MIT Press.