1.4
Constructies
1.4.1 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten kun je 冪n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren. Voorbeelden a) b = 冪27
b) c = 冪63
27 = 25 + 2
63 = 49 + 14 = 49 + 9 + 5
= 52 + 12 + 12
= 49 + 9 + 4 + 1
⎧ ⎨ ⎩
= 25 + 1 + 1
= 72 + 32 + 22 + 12 ⎧ ⎨ ⎩
2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a
a
2
2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
b
2
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
b c
5
b
2
3
27
7 b
1
a
2
a c
1
63
1
Stap 1: Schrijf het natuurlijk getal n als een som van een volkomen kwadraat en een tweede natuurlijk getal. Neem het volkomen kwadraat dat het dichtst bij het gegeven natuurlijk getal gelegen is en kleiner is dan dat gegeven natuurlijk getal. Stap 2: Splits dan dat tweede natuurlijk getal als een som van een volkomen kwadraat en een derde natuurlijk getal. Stap 3: Doe dit verder tot alle termen volkomen kwadraten zijn. Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.
1.4.2 Toepassing • Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1. • De schuine zijde is dan 冪1 + 1 = 冪2. 2
1 2
1
1
1
2
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.
冉 冊
• De schuine zijde van die driehoek is 冪 冪2
2
1
1
3
1
1 2
1
+ 12 = 冪3.
3 4 5
1
• ...
6
1
7
28
1
• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1
1