__MAIN_TEXT__

Page 1

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

7.1

Vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende

7.2

6

Ongelijkheden van de eerste graad in één onbekende

Studiewijzer

28 45

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

5


7.1

Vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende

7.1.1 Definities Eerstegraadsvergelijking in één onbekende

Definitie

Een eerstegraadsvergelijking in één onbekende x is een vergelijking met standaardvorm ax + b = 0 (a en b zijn reële getallen en a ≠ 0). De vergelijking 3x + 6 = 0 is een eerstegraadsvergelijking met één onbekende. Waarom is −2 een oplossing van deze vergelijking? Waarom is 5 geen oplossing van deze vergelijking?

Oplossing van een vergelijking

Definitie

Het reëel getal k is een oplossing van de vergelijking ax + b = 0 ⇔ a ⴢ k + b = 0.

7.1.2 Oplossen van eerstegraadsvergelijkingen in één onbekende Voorbeeld 1 Een tuinarchitect krijgt de opdracht een rechthoekig grasperk aan te leggen waarvan de omtrek 160 m moet zijn. De lengte moet 30 m groter zijn dan de breedte. Bereken de lengte en de breedte van dit grasperk.

x

x + 30

Stel: x is de breedte van het grasperk. De lengte is dan x + 30. De omtrek is 2 ⴢ [x + (x + 30)] = 2 ⴢ (2x + 30) 1

Je verkrijgt een eerstegraadsvergelijking in x: 2 ⴢ (2x + 30) = 160. Om de gevraagde afmetingen te berekenen, moet je deze vergelijking oplossen naar x.

2 3

2 ⴢ (2x + 30) = 160

4 5 6 7 8 9 10 11

De breedte van het grasperk is Controle:

12

6

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

m, de lengte is

m.


Voorbeeld 2 Er kunnen ook vergelijkingen met irrationale getallen voorkomen.

x

x + 15

Dezelfde tuinarchitect krijgt een tijdje later een andere opdracht. Een grasperk moet bestaan uit een rechthoek waarvan de lengte 15 m groter is dan de breedte. Deze rechthoek wordt afgezoomd door twee halve cirkels die dezelfde diameter hebben als de breedte van het rechthoekige stuk. De totale omtrek moet 280 m zijn. Bereken de breedte en de lengte van het rechthoekige gedeelte van dit grasperk.

Stel: x is de breedte van het grasperk. De diameter van de halve cirkels is dan ook gelijk aan x. De lengte van de rechthoek is De omtrek van het grasperk is Je verkrijgt een eerstegraadsvergelijking in x:

Oplossing:

x≈

(Bereken x op 1 cm nauwkeurig.)

De breedte van het rechthoekige gedeelte van het grasperk is

m. De lengte is

m.

Algemeen Werkwijze

• • • • • •

Werk de haakjes uit. Zet alle termen op gelijke noemer. Vermenigvuldig beide leden met de gelijke noemer om die weg te werken. Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid, alle andere in het andere lid. Werk beide leden uit. Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, indien deze niet nul is.

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

7


REKENMACHINE actie

knoppen test

Open de Oplosser.

A

scherm

entry solve

enter

math

Zie je in het scherm al een vergelijking staan, dan verwijder je eerst de inhoud.

actie

knoppen

Verwijder de inhoud van het eerste veld (linkerlid van de vergelijking).

scherm

clear

Is het eerste veld leeg, voer dan het linkerlid van de vergelijking in. actie

knoppen L2

[

R {

2 L3

× θ catalog

0

3

K

L2

Z

2

( [

Voer het linkerlid in.

Z

scherm link

X,T,θ,n

memo

+

L entry solve

}

enter

)

Voer het rechterlid in en laat de vergelijking oplossen. knoppen L1

Verwijder indien nodig met clear de inhoud van het rechterlid en voer het gewenste in.

1

Y L6

1

Laat de vergelijking oplossen.

a-lock

alpha

V catalog

6

0

[

actie

scherm

entry solve

enter

entry solve

enter

2 3 4 5 6 7

Los de vergelijkingen op met de grafische rekenmachine. Rond af op 0,001 nauwkeurig.

8 9 10 11

2x + 5 = 11

x=

2x x + =x+1 3 2

x=

␲ ⴢ x + 冪3 = 5

x=

12

8

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


Oefeningen REEKS A 1

Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig. a) 3x + 5 = 7

f) 冪2 + x = 冪3

b) 3,3x – 2,4 = 4,2

1 3 g) 0,2x + = 2 4

c) ␲ – 2␲x = 3␲

h) 3x – 4冪3 = 1

d) 2x – 冪2 = 1

i) ␲x + 0,31 = 0

e) −

1 1 2 x+ = 5 3 2

j) 冪5x + 1 = 冪5

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

9


REEKS B

R

2

Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig. a) 3x + 15 = 22 − 10x

e) −3x + 冪8 = x − 3冪2

b) 5x −(2x − 8) = 4x + 23

f) 2,25x − 冪8 = 冪2 − 1,7x

c) 1,3x − 2,4 = −0,2x + 1,1

g) 2␲x + ␲ = 3␲ − ␲x

1 2 3 4

d)

16 2 6 x− =− x 5 5 3

5 6 7 8 9 10 11 12

10

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

h) 冪5x + 冪3 = 冪27 − 冪45x


REEKS C 3

Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,000 1 nauwkeurig. a)

␲ + x = −x + 3␲ 5 2 10

c)

3冉 x x − 冪2 冊 − + 冪8 = −3冪2 4 6

b)

25 1 1 (5 + 2x) = + (5x + 3) 3 12 4

d)

1 1 1 x + 冪3 + x − 冪3 = 2冪3 2 4 3

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

11


7.1.3 Vraagstukken Werkwijze

Vraagstukken oplossen • • • • •

Lees aandachtig het vraagstuk en bepaal de hoofdonbekende. Noteer die als x. Druk de eventuele nevenonbekenden uit in functie van x. Lees het vraagstuk opnieuw en zet de gegevens om in een vergelijking. Los de vergelijking op. Controleer je antwoord en formuleer een antwoordzin.

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2 2m 2m

Om zijn tuin verder af te werken, plaatst Enrico in totaal 15 m omheining rond de cirkelvormige waterput en de trapeziumvormige vijver. Bepaal de straal r van de cirkelvormige waterput op 0,01 m nauwkeurig.

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

3m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

2m

Thomas betaalt 5 euro per maand voor een smartphone-abonnement. Als dat bedrag verbruikt is, betaalt hij 0,20 euro per minuut die hij extra belt. In de maand december betaalt hij 7,40 euro. Hoeveel minuten heeft Thomas in december extra gebeld?

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


Oefeningen REEKS A 4

Los op. a) Als je een getal verdubbelt en daarna met 5 vermeerdert, dan is het resultaat gelijk aan het zevenvoud van het oorspronkelijke getal. Bepaal dit getal.

c) Als je het zesvoud van een getal vermeerdert met 冪18, dan verkrijg je 冪162. Bepaal dat getal.

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

b) De som van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 559. Bepaal die twee getallen.

3 d) Als je van een getal vermindert met 2 1 11␲ van dat getal, verkrijg je . 8 4 Bepaal dat getal.

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

13


REEKS B 5

Een elektricien knipt een 28 m lange draad in twee stukken, zodat het ene stuk 3 m langer is dan het andere. Bereken hoe lang elk stuk draad is.

antwoordzin:

6

Een arbeider krijgt per week een vast loon van 190 euro. Daarbovenop krijgt hij 0,85 euro per afgewerkt product. In één bepaalde week heeft hij 453,50 euro verdiend. Hoeveel producten heeft hij die week afgewerkt?

antwoordzin:

7

1 2

Een handelsreiziger heeft een vaste maandwedde van 1 100 euro. 3 van de verkoopprijs van de producten Daarboven krijgt hij 50 die hij verkocht. In de maand oktober heeft hij 2 709,20 euro verdiend. Voor welk bedrag heeft hij verkocht?

3 4 5 6 7 8 9 10 11

antwoordzin:

12

14

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


8

De omtrek van een rechthoek is 288 m. De lengte is 44 m langer dan de breedte. Bereken de afmetingen van deze rechthoek.

antwoordzin:

9

De ene scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is 10ยบ minder dan het dubbele van de andere scherpe hoek. Bereken beide hoeken.

antwoordzin:

10

Diesel kost op een gegeven moment 1,271 euro per liter. In een nieuwe auto wordt voor 50 euro diesel getankt. Hoeveel kilometer zal de chauffeur kunnen rijden, als het gemiddelde verbruik geraamd wordt op 7 liter per 100 km?

antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

15


11

Katja koopt een rokje in de soldenperiode. Ze krijgt 25% korting en betaalt 52,50 euro. Hoeveel zou het rokje gekost hebben zonder korting?

antwoordzin:

12

Jaak heeft een bedrag geleend bij een bank. Hij moet daarvoor 4,25% intrest per jaar betalen. Na ĂŠĂŠn jaar betaalt hij 7 881,30 euro terug (kapitaal + intrest). Hoeveel heeft Jaak geleend?

antwoordzin:

13 1

Een plank van 6,50 m lengte moet in twee stukken worden gezaagd, 3 zodat het kortste stuk van het langste stuk is. Bereken de lengte van beide stukken. 5

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

antwoordzin:

12

16

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


14

Een taart heeft een diameter van 16 cm en een hoogte van 4,5 cm. 3 De taart wordt in twee stukken verdeeld, zodat het volume van het ene stuk 4 van het volume van het andere stuk is. Bereken het volume van beide stukken taart.

antwoordzin:

15

Een belegd broodje is 18 cm lang. Xavier, Dennis en Lana willen het broodje in drie stukken verdelen, 3 zodat Xavier de helft krijgt van Lana en Dennis van Lana. 4 Hoe lang moet elk stuk broodje zijn?

antwoordzin:

16

Een touw van 1 m moet in twee stukken worden gesneden, zodat met elk stuk een vierkant kan gevormd worden. 2 De zijde van het ene vierkant moet zijn van de zijde van het andere vierkant. 3 Hoe moet het touw versneden worden?

antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

17


REEKS C 17

Een constructiebedrijf krijgt van een grote wijnhandelaar de opdracht een koperen vat te maken, zoals op de figuur is afgebeeld. De straal van het grondvlak moet 0,65 m zijn en de hoogte van het cilindervormige gedeelte moet anderhalve keer de hoogte van het kegelvormige gedeelte zijn. Het vat moet in totaal 2 500 liter wijn kunnen bevatten. Bereken de hoogte van de volledige constructie (op 0,01 m nauwkeurig). x r h 3 –x 2

18

Een wijnhandelaar mengt 25 liter wijn van 1,65 euro per liter met 35 liter duurdere wijn. Het mengsel kost 1,912 5 euro per liter. Wat is de kostprijs per liter van de duurdere wijn?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


19

Een wagen heeft een brandstoftank van 65 liter. De wagen verbruikt 7,2 liter benzine per 100 km 2 van in vlot verkeer en 8,6 liter per 100 km in stadsverkeer. De chauffeur rijdt gemiddeld 7 zijn kilometers in stadsverkeer. Hoeveel kilometer kan hij afleggen met een volle brandstoftank?

20

Caroline verdiende vorige maand 20,30 euro meer dan Karel. Deze maand kregen ze allebei opslag. Caroline kreeg 2,5 % opslag en Karel verdient nu 3 % meer dan vorige maand. Hun gezamenlijke maandelijkse inkomen bedraagt nu 3 983,12 euro. Hoeveel verdienden ze vorige maand elk?

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

19


21

Een cilindervormige ton heeft een straal van 0,5 m. Op een bepaald moment is de ton volledig gevuld met water. 1 2 Jan haalt van het water eruit, daarna haalt Yannick van wat overbleef uit het vat. 4 3 Nu is er nog 25 liter in het vat. Bereken de hoogte van de ton.

22

Een mountainbiker beklimt een helling met een gemiddelde snelheid van 11 km/h. Hij daalt dezelfde helling af met een gemiddelde snelheid van 43 km/h. Voor de afdaling heeft hij 8 minuten minder nodig dan voor de beklimming. Bereken de lengte van de helling.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


23

In een wetenschappelijke bibliotheek staan 400 boeken. Het aantal chemieboeken bedraagt 46% van het aantal fysicaboeken, het aantal fysicaboeken bedraagt 65% van het aantal wiskundeboeken en het aantal biologieboeken bedraagt 17% van het aantal chemieboeken. Hoeveel boeken van elke soort staan er in de bibliotheek? Rond telkens af op een geheel aantal boeken.

24

Als je alle leerlingen van een bepaalde richting in groepjes van 3 leerlingen verdeelt, dan blijft er 1 leerling over. Als je dezelfde leerlingen in groepjes van 7 leerlingen verdeelt, dan blijven er 4 leerlingen over. Het aantal groepjes van 3 leerlingen is 2 meer dan het dubbele van het aantal groepjes van 7 leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er in de richting?

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

21


25

26

1

1 1 In een moestuin wordt van de oppervlakte gebruikt voor prei, van de rest voor wortelen 5 10 5 en van wat dan nog overblijft voor aardappelen. Op het overblijvende stuk, 40 m 2, 9 worden andere groenten geteeld. Hoe groot is de moestuin?

De Griekse wiskundige Diophantus (3de eeuw na Christus) wordt wel eens ‘de vader van de algebra’ genoemd. Hij is vooral bekend van zijn boek Arithmetica, waarin hij niet minder dan 189 verschillende algebraïsche vergelijkingen, in meerdere veranderlijken, oploste. Hij aanvaardde echter enkel positieve rationale getallen als oplossing. Op zijn grafsteen staat de volgende tekst: "Hier ziet u het graf dat de overblijfselen van Diophantus bevat; God gaf hem jeugd gedurende een zesde deel van zijn leven. Na nog een twaalfde deel kreeg hij een bebaard gelaat. Na nog eens een zevende deel ontstak hij het huwelijksvuur en in het vijfde jaar kreeg hij een zoon. Een geliefd, maar helaas ongelukkig kind, dat half zo oud was als zijn vader werd toen het wrede lot hem uit het leven wegnam. De vader had de laatste vier jaar van zijn leven om over het verdriet heen te komen." Hoe oud werd Diophantus? Wanneer trouwde hij? Op welke leeftijd kreeg hij zijn zoon? Hoe oud werd die zoon?

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

22

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


UITBREIDING A

7.1.4 Bespreken van vergelijkingen Bijzondere vergelijkingen De vergelijkingen die je tot nu toe hebt opgelost, waren terug te brengen tot de standaardvorm ax + b = 0, met a ≠ 0. Als, na herleiding van de vergelijking, a wel gelijk aan 0 blijkt te zijn, dan zijn er twee mogelijkheden. • Identieke vergelijkingen 3 ⴢ (2x − 1) + x

=

7x − 3

6x − 3 + x

=

7x − 3

6x + x − 7x

=

−3 + 3

0ⴢx

=

0

−2 ⴢ (␲x + 3) + ␲ = ␲ ⴢ (1 − 2x) − 6

Waarom is elk reëel getal oplossing van deze vergelijkingen?

• Valse vergelijkingen −5 ⴢ (3 − 4x) + 9

=

2 ⴢ (10x − 7)

−15 + 20x + 9

=

20x − 14

20x − 20x

=

−14 + 15 − 9

0ⴢx

=

−8

2ⴢ

冪3

2

x−4

= 冪3 ⴢ (2 + x)

Waarom voldoet geen enkel reëel getal aan deze vergelijkingen?

Vergelijkingen in spijkerschrift (Babylon, ongeveer 1 800 vóór Christus)

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

23


UITBREIDING A

Bespreken van vergelijkingen met een parameter De vergelijking 2x + 16 = 0 heeft juist één oplossing, namelijk −8. Als je in deze vergelijking de coëfficiënt 2 vervangt door een letter m, dan verkrijg je de vergelijking mx + 16 = 0. Elke waarde van m levert je een andere vergelijking van de eerste graad op. Op dezelfde manier kun je ook de coëfficiënt 16 vervangen door een letter.

Een parameter is een letter die een vrij te kiezen reëel getal voorstelt. Als in een vergelijking een parameter voorkomt, noem je deze vergelijking een parametervergelijking. Om een parametervergelijking te bespreken, moet je rekening houden met alle mogelijkheden die zich kunnen voordoen, afhankelijk van de waarde van de parameter.

Voorbeelden mx − 5 = 3x − 5

mx + 16 = 0

mx − 3x = − 5 + 5

mx = − 16

(m − 3)x = 0 m≠0 x=−

m≠3

m=0

16 m

0 ⴢ x = − 16 Deze vergelijking heeft geen oplossingen en is dus een valse vergelijking.

De vergelijking heeft juist één oplossing.

x=

m=3

0 m−3

De vergelijking heeft juist één oplossing, namelijk 0.

0 ⴢ x=0 Elk reëel getal is oplossing van deze identieke vergelijking.

Een vergelijking kan ook meerdere parameters bevatten. Voorbeelden 4x + 2p = mx − 6

mx − p = 5x

1 2

mx − 5x = p

3

(m − 5)x = p

4 5 6

m≠5 x=

p m−5

7 8 9 10 11

m=5

De vergelijking heeft juist één oplossing.

0 ⴢ x=p • Als p = 0, dan krijg je een identieke vergelijking. • Als p ≠ 0, dan verkrijg je een valse vergelijking.

12

24

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


UITBREIDING A

Oefeningen REEKS C 27

Welke vergelijkingen zijn vals, welke zijn identiek? a) 5 ⴢ (x + 2) + 2x = 5 + 7x

d) 3 ⴢ (2x − 7) − 5 = 2 ⴢ (3x − 13)

b) 3 ⴢ 冉冪80x + 2冪10 冊 = 2冪5 ⴢ 冉6x + 3冪2 冊

e) 3x − 冉冪27 − 2x 冊 = 5 ⴢ 冉冪12 + x 冊

c)

2 x−2 − 3x = − ⴢ (7x + 1) 5 5

f)

4␲ ␲ 3␲ ⴢ (x − 6) + = ⴢ (6x − 41) 2 5 4

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

25


UITBREIDING A

28

Los de vergelijkingen op en bespreek. a) mx = 5

e) 5x + 7 = 2mx − 3

b) 3x = mx − 5

f) 7x + 18 = 3 ⴢ (6 − mx)

c) mx + 4 = 1 − x

g) m ⴢ (x − 4) = 4 ⴢ (x − m)

d) 6mx − 6 = 3x + 3

h) m ⴢ (x − 4) = − 3 ⴢ (x + 2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

26

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


UITBREIDING A

29

Bespreek de vergelijkingen. a) mx − 2 = p

c) 5 ⴢ (mx − 4p) = − 3p + 7

b) 3mx − 2p = 6

d) 2mx − 4 = x + 2p

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

27


BASIS A + B

7.2

Ongelijkheden van de eerste graad in één onbekende

7.2.1 Definitie Zijn de ongelijkheden waar of vals? Vink het goede antwoord aan. 1 1 ⬍ 3 2

❒ waar

❒ vals

(−6) 2 ⭐ 6 2

❒ waar

❒ vals

−冪2 ⬎ −冪3

❒ waar

❒ vals

␲ ⭓ 22 7

❒ waar

❒ vals

REKENMACHINE Met de grafische rekenmachine kun je nagaan of een ongelijkheid waar of vals is. actie

knoppen test

Een ongelijkheidsteken invoeren.

De ongelijkheid

1 1 ⬍ 3 2

2nd

A

math

a-lock

stat plot f1

invoeren.

2

Y

1

entry solve

enter

Bij een ware uitspraak geeft de rekenmachine 1 als uitkomst en bij een valse uitspraak 0.

3 4 5

Zet de zinnen om in symbolen.

6 7 8 9

a) Een getal is kleiner dan of gelijk aan 5. b) Het dubbele van een getal is groter dan dat getal verminderd met 7.

10 11

c) Een derde van een getal is kleiner dan de helft van dat getal vermeerderd met 冪2.

12

28

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

A

math

Y L1

1

1

Y L1

1 test

2nd

De ongelijkheid controleren.

L1

y=

alpha

L1

scherm

Y

L3

1 L5

U

θ

3 a-lock

5

alpha

L2

Z

2

stat plot f1

y=


BASIS A + B

De waarheidswaarde van de volgende ongelijkheden is afhankelijk van de waarde van x. Geef voor elke ongelijkheid één waarde voor x die aan de gegeven voorwaarde voldoet en één waarde voor x die niet aan de voorwaarde voldoet. x+3⬎2

x=

voldoet

x=

voldoet niet

冪3x ⬍ 5

x=

voldoet

x=

voldoet niet

␲ x ⭓ −4 + x

x=

voldoet

x=

voldoet niet

Als een bepaalde x-waarde voldoet aan een ongelijkheid, dan noem je dat getal een oplossing van de ongelijkheid. Hoeveel oplossingen zijn er voor elk van deze ongelijkheden?

Definitie

Ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende x is een ongelijkheid met standaardvorm ax + b ⬎ 0, ax + b ⭓ 0, ax + b ⬍ 0 of ax + b ⭐ 0 (a en b zijn reële getallen en a ≠ 0).

REKENMACHINE In het geheugen van de rekenmachine staat de letter x altijd voor een bepaald getal. De ingebrachte ongelijkheid wordt dan ook altijd gecontroleerd voor de op dat moment aan x toegekende waarde. Ken je aan x zelf een waarde toe, dan kun je zo controleren of x voldoet aan een ongelijkheid of niet. actie Ken een getalwaarde toe aan x, voer een ongelijkheid in en laat die controleren.

knoppen L2

Z

2 L3

rcl

X link

sto

entry solve

X,T,θ,n

θ

3

test

2nd

scherm

A

math

link

enter L3

memo

θ

L2

3

Z

2

+

X,T,θ,n

entry solve

enter

Bijvoorbeeld: x + 3 ⬎ 2

Commando’s die bij elkaar horen, kunnen ook zo op de grafische rekenmachine ingevoerd worden. Dat doe je door de commando’s, gescheiden door een dubbelpunt, na elkaar in te voeren. actie Voer de commando’s van hierboven, gescheiden door een dubbelpunt, na elkaar in.

knoppen L2

Z

2 memo

rcl

X link

sto “

+

L3

X,T,θ,n θ

3

i

a-lock

A

math

:

.

alpha test

2nd

scherm

L3

X,T,θ,n θ

3

link

L2

Z

2

entry solve

enter

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

29


BASIS A + B

Voorbeeld 1 Een voetbalvereniging huurt een kopieermachine bij een leasingbedrijf. Maandelijks moeten ze daarvoor 125 euro betalen en daarbovenop 1,5 eurocent per kopie. Ze willen niet dat hun jaarlijkse budget voor kopies meer dan 1 600 euro bedraagt. Hoeveel kopies mogen ze hoogstens per jaar nemen? Stel: x is het jaarlijkse aantal kopies. • vaste kosten per jaar: • variabele kosten per jaar: • totale jaarlijkse kosten: • op te lossen ongelijkheid:

Voorbeeld 2

2 4

4 x

x x

4

Voor welke waarden van x is de omtrek van het trapezium groter dan de omtrek van de driehoek? • omtrek driehoek: • omtrek trapezium: 1

• op te lossen ongelijkheid:

2 3

Als je in deze ongelijkheid x vervangt door 3, dan verkrijg je Het reëel getal 3 is een oplossing van de ongelijkheid.

, wat juist is.

Als je in deze ongelijkheid x vervangt door 1, dan verkrijg je Het reëel getal 1 is geen oplossing van de ongelijkheid.

, wat fout is.

6 7

Zijn er nog andere oplossingen van deze ongelijkheid?

8

Om ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende op te lossen, maak je gebruik van de eigenschappen van ongelijkheden.

4 5

9 10 11 12

30

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


BASIS A + B

7.2.2 Eigenschappen van ongelijkheden Je neemt de ongelijkheid 12 ⬎ 11. Je telt bij beide leden 6 op. Je verkrijgt: Je trekt van beide leden 13 af. Je verkrijgt:

Eigenschap

Als je beide leden van een ongelijkheid vermeerdert of vermindert met eenzelfde getal, dan blijft de ongelijkheid gelden. a ⭐ b ⇔ a+m ⭐ b+m

Je neemt de ongelijkheid 11 ⭐ 12. Je vermenigvuldigt beide leden met 3. Je verkrijgt: Je deelt beide leden door 2. Je verkrijgt:

Eigenschap

Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde positief getal, verschillend van nul, dan blijft de ongelijkheid gelden. m⬎0:

a⭐b ⇔ aⴢm⭐bⴢm

en

a⭐b ⇔

b a ⭐ m m

Je neemt de ongelijkheid 11 ⭐ 12. Je vermenigvuldigt beide leden met −5. Je verkrijgt: Je deelt beide leden door −2. Je verkrijgt:

Eigenschap

Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde negatief getal, verschillend van nul, dan keert het ongelijkheidsteken om. m⬍0:

a⭐b ⇔ aⴢm⭓bⴢm

en

a⭐b ⇔

b a ⭓ m m

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

31


BASIS A + B

7.2.3 Oplossen van ongelijkheden Voorbeeld 1 2x + 3

7

2x

7−3

2x

4

x

4 2

x

2

Alle reële getallen groter dan 2 zijn oplossingen van de ongelijkheid. De oplossingsverzameling V van de ongelijkheid is ]2, +∞[ . Deze verzameling bevat oneindig veel getallen. Je kunt deze verzameling op de getallenas voorstellen door een open halfrechte.

–1

0

1

2

Voorbeeld 2 Los op: −3x + 6 ⭓ x + 8

Oplossingsverzameling: V =

Voorstelling op de getallenas:

1 2 3 4 5 6 7

Werkwijze

• Werk de haakjes uit. • Zet alle termen op gelijke noemer. • Vermenigvuldig beide leden met de gelijke noemer om die weg te werken.

8

• Plaats alle termen die de onbekende bevatten in het ene lid, alle andere termen in het andere lid.

9

• Werk beide leden uit.

10 11

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, indien deze niet nul is. Vergeet het ongelijkheidsteken niet om te keren als de coëfficiënt negatief is.

12

32

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


BASIS A + B

REKENMACHINE actie

knoppen

Open de functie-editor.

stat plot f1

Voer de ongelijkheid in.

stat plot f1

scherm

y= L2

Z

2

y= test

2nd

link

memo

X,T,θ,n A

math

L5

O

7

L3

θ

3

+

U u

5

entry solve

enter

entry solve

Om de oplossing straks visueel sterker te laten ogen, kun je de tekenstijl aanpassen naar vet.

enter

Kies een geschikt grafisch venster. Voor de x-as zijn de instellingen gebonden aan de opgave. Meestal volstaat [−10, 10]. Voor de y-as kies je [−0,5; 1,5].

tbl set f2

Je kunt de ongelijkheid grafisch voorstellen.

table

window

f5

graph

• Voor de x-waarden waarvoor de ongelijkheid voldaan is, is de functiewaarde van de gedefinieerde functie gelijk aan 1. • Voor de x-waarden waarvoor de ongelijkheid niet voldaan is, is de functiewaarde van de gedefinieerde functie gelijk aan 0.

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

33


BASIS A + B

Oefeningen REEKS A 30

Los de ongelijkheden op. a) x + 7 ⭐ 8 V=

0

b) x − 6 ⬎ − 5 V=

0

c) 5x ⭓ 15 V=

0

d) 3x + 4 ⬎ − 8 V=

0

1 2

e) −2x + 5 ⭐ 7 V=

3 4 5

0

6 7

f) −5x + 7 ⭓ −3

8

V=

9 10

0

11 12

34

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


BASIS A + B

REEKS B

R

31

Los de ongelijkheden op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,01 nauwkeurig. a) 3x + 1 ⬎ ␲

V=

0

b) 6x − 5 ⭐ 冪2

V=

0

c) 2 ⴢ (−3x + 1) ⭓ x + 9

V=

0

d) −3 ⴢ (x + 8) − 5x ⬍ 4 ⴢ (x − 9) + 27

V=

0

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

35


BASIS A + B

REEKS C 32

Los de ongelijkheden op. Rond, indien nodig, je resultaten af op 0,01 nauwkeurig. a)

1 1 ⴢ (5x + 3) ⬎ − ⴢ (x − 5) 4 2

b) 冪8x + 冪72 ⭐ 冪18x − 冪50

1

c)

x + 2 4x − 3 − ⬍x−1 4 8

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

36

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

V=

V=

V=


BASIS A + B

7.2.4 Vraagstukken Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Een koppel is op reis en wenst een auto te huren. Verhuurfirma Carrent vraagt 55 euro per dag met onbeperkt aantal kilometers. Verhuurfirma Rentcar vraagt 38 euro per dag plus 0,20 euro per kilometer. Vanaf hoeveel kilometer is firma Carrent goedkoper?

In een squashclub betaal je 75 euro lidgeld per jaar en 3 euro per uur dat je speelt. Ook niet-leden mogen spelen, maar betalen 9 euro per uur. Vanaf hoeveel uur spelen komt het voordeliger uit om lid te worden van de club?

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de ongelijkheid

• opstellen van de ongelijkheid

• oplossen van de ongelijkheid

• oplossen van de ongelijkheid

• antwoordzin

• antwoordzin

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

37


BASIS A + B

Oefeningen REEKS A 33

Los op. a) Bepaal alle reële getallen waarvan het drievoud, verminderd met 8, groter is dan of gelijk is aan het dubbele van dat getal.

17 mag 5 aftrekken, opdat het resultaat kleiner 1 zou zijn dan . 8

b) Bepaal alle gehele getallen die je van

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de ongelijkheid

• opstellen van de ongelijkheid

• oplossen van de ongelijkheid

• oplossen van de ongelijkheid

• antwoordzin

• antwoordzin

REEKS B 34

Los op. a) Bepaal alle reële getallen waarvan de som van het getal met 15, kleiner is dan het viervoud van het getal.

1

b) Annemie heeft voor haar drie toetsen wiskunde respectievelijk 91 %, 86 % en 89 % behaald. Ze krijgt morgen een vierde toets. Hoeveel moet ze voor die vierde toets scoren om een gemiddelde van minstens 90 % te behalen?

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de ongelijkheid

• opstellen van de ongelijkheid

• oplossen van de ongelijkheid

• oplossen van de ongelijkheid

2 3 4 5 6 7 8 9 10

• antwoordzin

11 12

38

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

• antwoordzin


BASIS A + B

35

Foto’s afdrukken kost 0,20 euro per foto bij een fotograaf. Een firma die reclame maakt op het internet ontwikkelt foto’s voor 0,10 euro per foto, maar er moet 2,95 euro betaald worden voor verzending. Tot hoeveel foto’s is de fotograaf goedkoper?

antwoordzin:

36

Twee handelsvertegenwoordigers worden door hun werkgever als volgt betaald: • An verdient 1 500 euro per maand + 4 % op het verkoopbedrag. • Anosh verdient 1 300 euro per maand + 6 % op het verkoopbedrag. Vanaf welk verkoopbedrag (in euro) heeft Anosh een hoger maandinkomen dan An?

antwoordzin:

37

Jeroen haalt geld af in het buitenland. Als hij zijn Maestrokaart gebruikt, wordt 3 euro aangerekend plus 0,3 % van het afgehaalde bedrag. Gebruikt hij zijn Visakaart, dan wordt altijd 3,5 % aangerekend. Jeroen wil weten vanaf welk bedrag de Maestrokaart voordeliger is.

antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

39


BASIS A + B

REEKS C 38

Sarah koopt met haar zakgeld een boek voor 14,50 euro. Eén derde van wat overblijft, spendeert ze aan kleine cadeautjes. Eén vijfde van wat daarna overblijft, is voldoende om nog een koffie van 2,30 euro te gaan drinken. Hoeveel had Sarah minstens bij zich?

39

Peter vertrekt voor een fietstocht en rijdt gemiddeld 20 km/h. Joeri vertrekt 10 minuten later maar rijdt gemiddeld aan 25 km/h. Hoelang blijft Peter voorop?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

40

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


UITBREIDING A

7.2.5 Bespreken van ongelijkheden Bijzondere ongelijkheden De ongelijkheden die je tot nu toe hebt opgelost, waren terug te brengen tot een van de standaardvormen ax + b ⬎ 0, ax + b ⭓ 0, ax + b ⬍ 0 of ax + b ⭐ 0, met a ≠ 0. Als, na herleiding van de ongelijkheid, a wel gelijk aan 0 blijkt te zijn, dan zijn er twee mogelijkheden. • Eerste mogelijkheid 4 ⴢ (3x + 2) − 6

3 ⴢ (4x + 1)

3 ⴢ 冉1 + 2冪5x 冊 ⭓ 2 ⴢ 冉3冪5x − 2 冊 + 7

Waarom is elk reëel getal oplossing van deze ongelijkheden?

De oplossingsverzameling is R.

• Tweede mogelijkheid 2ⴢ

冉 冊 x −5 2

3 ⴢ (x + 4) − 2x

2␲ ⴢ (x − 2) + ␲x ⭐ 3 ⴢ (␲x − 25)

Waarom voldoet geen enkel reëel getal aan deze ongelijkheden?

De oplossingsverzameling is leeg. Deze ledige verzameling noteer je als ∅, dus V = ∅.

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

41


UITBREIDING A

Bespreken van ongelijkheden met een parameter • Voorbeeld 1 mx − 3 ⭓ 5 In deze ongelijkheid komt een parameter m voor. De gegeven ongelijkheid bespreken, betekent dat je rekening moet houden met alle mogelijke reële waarden die m kan aannemen. mx − 3 ⭓ 5 mx ⭓ 8 m⬎0

m=0

x⭓

0x ⭓ 8

8 m

V=

V=

m⬍0 x⭐

8 m

V=

• Voorbeeld 2 3x − 4

⬍ 1 + mx

3x − mx ⬍ 1 + 4 (3 − m)x ⬍ 5 3 − m ⬎ 0, dus m ⬍ 3

3 − m = 0, dus m = 3

x⬍

0x ⬍ 5

V=

5 3−m

V=

1 2 3 4 5 6

• Het gelijkheidsteken ( = ) werd voor het eerst gebruikt door de Engelse arts Robert Recorde, in 1557. Hij beoefende wiskunde als hobby. Via zijn vele geschriften introduceerde hij de algebra in Engeland.

7 8 9

• De tekens voor ongelijkheden ( ⬍ , ⬎ , ...) werden ingevoerd door de Engelse astronoom Thomas Harriot (1560-1621).

10 11 12

42

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

3 − m ⬍ 0, dus m ⬎ 3 x⬎

V=

5 3−m


UITBREIDING A

Oefeningen REEKS C 40

Los de ongelijkheden op en bespreek. a) mx − 2 ⬍ 5

b) mx + 4 ⭐ 2

c) 5mx − 7 ⭐ 7

d) 8 ⬎ 4 − 2mx

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

43


UITBREIDING A

41

Los de ongelijkheden op en bespreek. a) mx − 2 ⬍ x − 2

b) 2x − 3 ⭓ mx + 1

c) 7mx + 5 ⭐ 2x − 6

1 2 3 4

d) −9mx + 4 ⬎ x − 3

5 6 7 8 9 10 11 12

44

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN


STUDIEWIJZER Vergelijkingen en ongelijkheden 7.1 Vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende KENNEN Een eerstegraadsvergelijking met één onbekende x is een vergelijking met standaardvorm ax + b = 0 (a en b zijn reële getallen en a ≠ 0). Het reëel getal k is een oplossing van de vergelijking ax + b = 0 ⇔ a ⴢ k + b = 0.

KUNNEN Vraagstukken oplossen en daarbij • in de opgave herkennen welke grootheden aan de orde zijn; • het probleem vertalen in een wiskundige vorm met algebraïsche bewerkingen; • verantwoord kiezen tussen schattend of benaderend rekenen en de rekenmachine; • de oplossing zinvol afronden en interpreteren. Vraagstukken oplossen die leiden tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende. Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende bespreken.

7.2 Ongelijkheden van de eerste graad in één onbekende KENNEN Een ongelijkheid van de eerste graad in één onbekende x is een ongelijkheid met standaardvorm ax + b ⬎ 0, ax + b ⭓ 0, ax + b ⬍ 0 of ax + b ⭐ 0 (a en b zijn reële getallen en a ≠ 0). Als je beide leden van een ongelijkheid vermeerdert of vermindert met eenzelfde getal, dan blijft de ongelijkheid gelden. a ⭐ b ⇔ a+m ⭐ b+m Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde positief getal, verschillend van nul, dan blijft de ongelijkheid gelden. m ⬎ 0 : a ⭐ b ⇔ a ⴢ m ⭐ b ⴢ m en a ⭐ b ⇔ a ⭐ b m m Als je beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde negatief getal, verschillend van nul, dan keert het ongelijkheidsteken om. m ⬍ 0 : a ⭐ b ⇔ a ⴢ m ⭓ b ⴢ m en a ⭐ b ⇔ a ⭓ b m m

KUNNEN Vraagstukken oplossen en daarbij • in de opgave herkennen welke grootheden aan de orde zijn; • het probleem vertalen in een wiskundige vorm met algebraïsche bewerkingen; • verantwoord kiezen tussen schattend of benaderend rekenen en de rekenmachine; • de oplossing zinvol afronden en interpreteren. Vraagstukken oplossen die leiden tot een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende en de oplossing grafisch voorstellen en symbolisch noteren. Ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende bespreken.

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

45


CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

46

HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN

Profile for VAN IN

Voorbeeldpagina's Pienter 3 tso leerplan ab deel 2  

Pienter is een duidelijke wiskundemethode voor de A-stroom en het tso, geschikt voor zowel theoretisch als praktisch georiënteerde leerlinge...

Voorbeeldpagina's Pienter 3 tso leerplan ab deel 2  

Pienter is een duidelijke wiskundemethode voor de A-stroom en het tso, geschikt voor zowel theoretisch als praktisch georiënteerde leerlinge...