HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

1.1

Gelijkvormige figuren

6

1.2

Gelijkvormigheidskenmerken bij driehoeken

20

1.3

Gelijkvormige driehoeken construeren

26

1.4

Bewijzen met gelijkvormigheidskenmerken

32

1.5

Rekenen in gelijkvormige driehoeken

41

1.6

Projectie

50

1.7

De stelling van Thales

58

1.8

Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken

Studiewijzer

76 91

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

5

1.1

Gelijkvormige figuren

1.1.1

Inleiding Een piramide wordt gesneden door vier snijvlakken. De doorsneden zijn rechthoeken, die hieronder getekend zijn. Meet van elke rechthoek de lengte en de breedte. Vul de meetresultaten in de tabel aan. 1 4

3

2

1

2 3

rechthoek

4

lengte

breedte

1

l1 =

mm

b1 =

mm

2

l2 =

mm

b2 =

mm

3

l3 =

mm

b3 =

mm

4

l4 =

mm

b4 =

mm

Vergelijk van twee van de rechthoeken de verhoudingen van de lengten en de breedten. rechthoeken 1 en 2

rechthoeken 1 en 3

rechthoeken 2 en 3

rechthoeken 3 en 4

l1 = l2

=

l1 = l3

=

l2 = l3

=

l3 = l4

=

b1 = b2

=

b1 = b3

=

b2 = b3

=

b3 = b4

=

1 2

Wat stel je vast?

3 4 5

Besluit

6

De rechthoeken

7

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.

8

zijn gelijkvormige figuren.

Notatie:

9 10

F1 âľ‘ F2

11 12

6

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

F2 F1

1.1.2 De gelijkvormigheidsfactor De verhouding van de lengten (breedten) van twee gelijkvormige rechthoeken noem je de gelijkvormigheidsfactor (g). • Rechthoek 1 is een verkleining van rechthoek 2. De gelijkvormigheidsfactor: g = 1

3

2

• Rechthoek 3 is een vergroting van rechthoek 2. De gelijkvormigheidsfactor: g =

Besluit

• Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor • Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor • Hoe noem je figuren waarvan de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan 1?

1.1.3 Gelijkvormigheidsfactor en schaal Een raam op een plan en het raam in werkelijkheid zijn gelijkvormige figuren. Op een plan lees je de werkelijke afmetingen en de gehanteerde schaal. De schaal is de gelijkvormigheidsfactor van het getekende raam ten opzichte van het werkelijke raam.

VAN IN

m

Bereken de werkelijke afmetingen van het raam. m

1 schaal: –– 50 m

Een pantograaf is een hulpmiddel bij het maken van tekeningen. Het is een verstelbaar parallellogram van hout, metaal of plastic. Een pantograaf wordt gebruikt om afbeeldingen vergroot of verkleind over te nemen. Je volgt de omtrekken van de na te tekenen afbeelding met een stift. Een potlood, aan het andere uiteinde van het toestel, tekent de figuur vergroot of verkleind na.

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

7

1.1.4 Overeenkomstige hoeken en zijden De volgende twee vierhoeken zijn gelijkvormig. Overeenkomstige hoeken Verbind de overeenkomstige hoeken.

B 54°

M

K 22° 238°

L 46° 238°

46°

— A

•

•

— K

— B

•

•

— L

— C

•

•

— M

— D

•

•

— N

54° D

A

N 22°

Vergelijk de hoekgroottes van de overeenkomstige hoeken.

C Besluit

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot.

Overeenkomstige zijden Verbind de overeenkomstige zijden. K

23 mm 13 mm L

B

M

28 mm

40 mm 47 mm

N

67 mm 1 2

A

22 mm

[AB] •

•

[KL]

[BC] •

•

[LM]

[CD] •

•

[MN]

[DA] •

•

[NK]

Bereken de verhoudingen van de overeenkomstige zijden.

D 39 mm

3 4 5 6

C Besluit

In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.

7 8

Afspraak 9

Je noteert de gelijkvormige figuren volgens de overeenkomstige hoeken. 10 11

ABCD ⵑ MNKL

12

8

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

Oefeningen REEKS A 1

Welke figuur is gelijkvormig met de originele figuur?

a c

e

d b

2

Zijn de Daltons gelijkvormige figuren? Verklaar je antwoord.

R Lucky Comics 2016 door Morris

3

Met computertechnieken kun je beelden vervormen. Welke beeldopname is gelijkvormig met de originele beeldopname? a

d

b

e

c

f

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

9

4

Van welke ruimtefiguren zijn grondvlak en bovenvlak gelijkvormige figuren? a)

e)

c)

❒

❒ f)

d)

b)

❒

5

❒

❒

❒

Welke figuren zijn gelijkvormig met de gegeven vijfhoek?

3

2

4

1 8 7

6

10

5

1

9

REEKS B

2 3

6

Welke doorsneden van de balk zijn gelijkvormig met de doorsnede door het vlak ␣?

4

α 1

5

4 3

6 7 8 9 10 11 12

10

2

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

7

Noteer de gelijkvormige figuren. Benoem ze volgens afspraak. B K

G

O

M

Y

N

X

F

A

E

H

L

J

I

D

J’ F’

A’

K’

Q’ S

U

S’

O’

H’

R’

T’ U’

B’ C’

G’

figuur

I’

is gelijkvormig met

T

R

N’

L’

M’

E’ D’

P’

Z

P

Q

C

W

V

V’

figuur

ⵑ

8

Juist of fout? Zet een vinkje. juist

fout

a) Alle vierkanten zijn gelijkvormig.

❒

❒

b) Alle rechthoeken zijn gelijkvormig.

❒

❒

c) Alle cirkels zijn gelijkvormig.

❒

❒

d) Alle gelijkzijdige driehoeken zijn gelijkvormig.

❒

❒

e) Alle gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig.

❒

❒

f) Alle ruiten zijn gelijkvormig.

❒

❒

g) Alle rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig.

❒

❒

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

11

9

Bepaal de vergrotingsfactor of verkleiningsfactor van het diddit-logo voor oefeningen. a)

10

b)

c)

Bepaal telkens de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van figuurtje 1. Noteer de gelijkvormigheidsfactor als een onvereenvoudigbare breuk.

a

b c

1 d

a)

11

b)

c)

d)

Werk de vierhoek A′B′C′D′ verder af zodat deze gelijkvormig is met vierhoek ABCD. Wat is de gelijkvormigheidsfactor?

1

C

2 3

B

B’

4 5

A 6

D

7 8

A’

9 10 11

Gelijkvormigheidsfactor: g =

12

12

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

e

e)

12

Bij sommige beeldschermen is de verhouding tussen de breedte en de hoogte 4:3. Bij andere beeldschermen is die verhouding 16:9.

a) Zijn beide beeldschermen gelijkvormig? Verklaar je antwoord.

❒ ja

❒ nee

b) Bereken in beide gevallen de breedte van het beeldscherm met een hoogte van 36 cm.

13

Op Pienterfoto.be kun je foto’s laten afdrukken. De tabel toont de formaten. formaat 9

8,9 cm × 13 cm

formaat 10

10 cm × 15 cm

formaat 13

12,7 cm × 19 cm

formaat 20

20,3 cm × 30,4 cm

formaat 30

30,2 cm × 45,3 cm

a) Welke formaten zijn volstrekt gelijkvormig? Formaat

en formaat

b) Noteer voor de overige formaten de aangepaste lengte zodat ze ook volstrekt gelijkvormig zijn met de formaten vermeld bij a). De breedte blijft behouden. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig. formaat

cm ×

cm

formaat

cm ×

cm

formaat

cm ×

cm

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

13

14

15

Teken een figuur die gelijkvormig is aan de gegeven figuur. Gebruik de gegeven gelijkvormigheidsfactor. a) g =

4 3

b) g =

3 4

Met een rooster kun je gelijkvormige figuren tekenen. Gebruik het rooster om de gegeven figuur te vergroten. Bepaal de gelijkvormigheidsfactor.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gelijkvormigheidsfactor: g =

11 12

14

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

16

Noteer voor de gegeven schaallijnen de gelijkvormigheidsfactor van de tekening op schaal ten opzichte van de werkelijkheid. 0

10

20

30

40

50 cm

0

1

2

3

4

5 km

0

25

50

75

100

125 m

a)

b)

c)

17

Noteer voor het stratenplan de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van de werkelijkheid. Bepaal ook de werkelijke lengte van de Dweersstraat. r Koute

B

g Brug

at estra

t traa riss t-Jo Sin

straat Brugge

at estra rugg

ts Proo

aat ersstr Dwe

t traa

t Ieperstraa

Ieperstraat

Ieperstraat

ra gest Bru g

at

t aa s tr ge rug B rte Ko

a) Gelijkvormigheidsfactor:

b) Werkelijke lengte van de Dweersstraat:

Ieperstraat

75 m

18

Madurodam is een Nederlandse miniatuurstad in Den Haag. 1 Alle maquettes in Madurodam zijn op schaal . 25 a) Het Koninklijk Paleis is een paleis op de Dam in de binnenstad van Amsterdam. Als je weet dat het paleis 52 m hoog is, hoe hoog is het schaalmodel in Madurodam dan?

b) De Erasmusbrug is een brug over de Nieuwe Maas in de haven van Rotterdam. Het schaalmodel in Madurodam heeft een hoogte van 5,56 m. Wat is de werkelijke hoogte van de Erasmusbrug?

c) Een vliegtuig van de Nederlandse luchtvaartmaatschappij KLM meet 2,8 m in Madurodam. Hoe lang is dat vliegtuig in werkelijkheid?

d) Hoe groot zou een maquette van jou in Madurodam zijn? • Werkelijke lengte:

cm

• Lengte in Madurodam:

cm

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

15

19

‘Matroesjka’ is de benaming van een serie gelijkvormige poppetjes die in elkaar passen. Bepaal van de onderstaande reeks de gelijkvormigheidsfactor van elk poppetje tot het poppetje x. a) a

b)

b x c

c)

d e

d) e)

20

Meet van elk van de wagentjes de lengte en de hoogte en bepaal de gelijkvormigheidsfactor van wagentjes B en C ten opzichte van wagentje A. wagen

lengte (mm)

hoogte (mm)

A A

B C B

C

21

• gelijkvormigheidsfactor van B : • gelijkvormigheidsfactor van C :

Gelijkvormigheid: omtrek en oppervlakte. a) Wat gebeurt er met de omtrek van een rechthoek wanneer

1

• je de rechthoek vergroot met gelijkvormigheidsfactor 2?

2 3

• je de rechthoek vergroot met gelijkvormigheidsfactor x?

4 5 6 7

b) Wat gebeurt er met de oppervlakte van een rechthoek wanneer • je de rechthoek vergroot met gelijkvormigheidsfactor 2?

8 9 10

• je de rechthoek vergroot met gelijkvormigheidsfactor x?

11 12

16

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

22

Voor het leggen van een nieuwe vloer gebruikt de tegellegger vier soorten tegels. De tegels worden in een bepaald patroon gelegd, zoals afgebeeld. 2 1

4

a) Noteer voor elke soort tegel de afmeting op de tekening van het legpatroon.

3

lengte (mm)

breedte (mm)

1 2 3 4 b) Welke tegelsoorten zijn gelijkvormig?

c) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor(en) van de gelijkvormige tegels.

23

Op het grondplan hieronder staan de exacte afmetingen in cm vermeld. Volgens welke schaal werd het grondplan getekend? Welke afmeting op de tekening klopt niet met de verkregen schaal?

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

17

REEKS C 24

Door middel van een centrum (O) en rechten door de hoekpunten kun je een veelhoek vergroten en verkleinen. a) Bepaal de gelijkvormigheidsfactor waarmee de vijfhoek ABCDE vergroot werd.

B’ C’ A’ B A

C E’

E

O

D’

D

b) Teken een figuur gelijkvormig aan de vierhoek KLIP met gelijkvormigheidsfactor 2. Gebruik X als centrum.

L I

K

25

P

X

Teken een doorsnede van de ruimtefiguur die het punt A bevat en gelijkvormig is met de doorsnede bepaald door het vlak ␣. a)

b)

1 2

α

3 4

α 5 6 7

A

8 9 10 11 12

18

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

A

26

Teken een doorsnede van de piramide die gelijkvormig is met de gegeven doorsnede. De gelijkvormigheidsfactor is 0,75.

Een figuur schalen Door een rechtermuisklik op een figuur, ingevoegd in een Worddocument, kun je in het geopende rolmenu het tabblad ‘Grootte’ openen. Als de hoogte-breedteverhouding vergrendeld is, kun je heel makkelijk een figuur gelijkvormig vergroten of verkleinen.

Als je die hoogte-breedteverhouding niet vergrendelt, wordt de figuur verticaal of horizontaal uitgerekt.

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

19

1.2

Gelijkvormigheidskenmerken bij driehoeken

1.2.1 Inleiding H B K

L

G D1

D3 C

D4

E

A D2 J F

D

I

• Welke driehoeken zijn gelijkvormig? • Welke hoeken zijn even groot? • Welke zijden zijn evenredig?

=

=

• Welke gelijkvormigheidsfactor hoort bij de gelijkvormige driehoeken? Definitie

Gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn. Notatie

1 2 3 4

B

⎧ A— = A—⬘ ⎪ ⎪ B— = B—⬘ ⎪ 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘ ⇔ ⎨ — C=— C⬘ ⎪ ⎪ 兩AB兩 兩BC兩 兩AC兩 ⎪ 兩A⬘B⬘兩 = 兩B⬘C⬘兩 = 兩A⬘C⬘兩 ⎩

A C B’

A’

C’

5 6

Kunstenaars gebruiken vaak gelijkvormige figuren. Zo herken je in het kunstwerkje hier afgebeeld heel wat gelijkvormige figuren.

7 8 9

Een kunstenaar die veel gebruikmaakt van gelijkvormige figuren is Peter Raedschelders.

10 11 12

20

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

1.2.2 Onderzoek Het tekenen van een driehoek, gelijkvormig aan een gegeven driehoek, kun je door meten en afpassen van gegevens. Onderzoek hoeveel gegevens minimaal nodig zijn.

Gegeven: driehoek PQR

Eén gegeven:

兩PR兩 3 = 兩P⬘R⬘兩 2

Teken een driehoek P⬘Q⬘R⬘ met zijde [P⬘R⬘]. Q

R’

R

P

P’

Is de driehoek P⬘Q⬘R⬘ altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

Twee gegevens:

兩PR兩 3 = en — P=— P⬘ 兩P⬘R⬘兩 2

Teken een driehoek P⬘Q⬘R⬘ met zijde [P⬘R⬘] en hoek — P ⬘.

Drie gegevens:

兩PR兩 兩PQ兩 3 = = en — P=— P⬘ 兩P⬘Q⬘兩 兩P⬘R⬘兩 2

Teken een driehoek P⬘Q⬘R⬘ met zijden [P⬘Q⬘], [P⬘R⬘] en hoek — P ⬘.

Q’

R’

P’

Is de driehoek P⬘Q⬘R⬘ altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

R’

P’

Is de driehoek P⬘Q⬘R⬘ altijd gelijkvormig met de driehoek PQR?

Door middel van goed gekozen gegevens kun je twee gelijkvormige driehoeken tekenen. Dat is een gelijkvormigheidskenmerk van driehoeken. Zo zijn er drie gelijkvormigheidskenmerken bij driehoeken te onderscheiden.

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

21

1.2.3 Gelijkvormigheidskenmerken Gelijkvormigheidskenmerk

Z Z H Z Z

Gelijkvormigheidskenmerk B’

B’ B

B

A

C

BASIS A

A’

Gelijkvormigheidskenmerk

Z Z H Z Z

冧

Z Z Z = = Z Z Z ⇒ 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘

兩AC兩 兩BC兩 兩AB兩 = = 兩A⬘B⬘兩 兩A⬘C⬘兩 兩B⬘C⬘兩 ⇓ 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘

B’ B

C A’

BASIS A

1 2

Gelijkvormigheidskenmerk HH

3

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

4

C’

5 6 7 8

Voor nABC en nA⬘B⬘C⬘ geldt: H

—= A —⬘ A

H

— C=— C⬘

9 10

冧

⇒ 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘

11 12

22

Met je huidige wiskundige bagage kun je het eerste kenmerk bewijzen.

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

ZZZ ZZZ

Voor 䉭ABC en 䉭A⬘B⬘C⬘ geldt:

Gelijkvormigheidskenmerk HH

A

C’

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Voor 䉭ABC en 䉭A⬘B⬘C⬘ geldt:

—= A —⬘ A

A’

Gelijkvormigheidskenmerk

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

兩AC兩 Z Z 兩AB兩 = = Z Z 兩A⬘B⬘兩 兩A⬘C⬘兩

C

C’

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

A

H

ZZZ ZZZ

tekening

UITBREIDING A

Z Z 1.2.4 Bewijs van H Z Z gegeven B

䉭ABC en 䉭A⬘B⬘C⬘ A

—= A —⬘ en B —= B —⬘ met A

B’

te bewijzen

䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘

C’

A’ C

bewijs 1) Constructie: • • •

Teken het punt D op [AB] zodat 兩BD兩 = 兩B⬘A⬘兩. Teken een evenwijdige met de zijde [AC] door het punt D. Het snijpunt van die evenwijdige met de zijde [BC] noem je E.

2) Bewijs dat 䉭A⬘B⬘C⬘ ⬵ 䉭DBE: kenmerk

䉭A⬘B⬘C⬘

䉭 DBE

H

—⬘ A

=

— D

Z

兩A⬘B⬘兩

=

兩BD兩

H

—⬘ B

=

— B

verklaring DE 兾兾 AC, overeenkomstige hoeken constructie gegeven

Volgens kenmerk HZH is 䉭A⬘B⬘C⬘ ⬵ 䉭DBE. 3) Bewijs dat 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘: 䉭DBE is een verkleining van 䉭ABC met factor ⇓ 䉭ABC ⵑ 䉭DBE

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

䉭A⬘B⬘C⬘ ⬵ 䉭DBE

兩BD兩 兩AB兩

⇓ 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘

besluit 䉭ABC ⵑ 䉭A⬘B⬘C⬘

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

23

Oefeningen REEKS A 27

Volgens welk gelijkvormigheidskenmerk zijn de driehoeken gelijkvormig? d) 䉭RAT ⵑ 䉭DAL: a ⊥ AB en b ⊥ AB

a) 䉭ABC ⵑ 䉭PBQ: P is midden van [AB] en Q is het midden van [BC] B

❒ ZHZ Z

P

a

Z

❒ ZZZ ❒ HH

A

Z

ZZZ

❒ HH

T A

Z

❒ ZZZ

L

ZZZ

Q

❒ ZHZ

K

b

R

D

B

C

b) 䉭KAT ⵑ 䉭PAD: a 兾兾 KT

e) 䉭VLO ⵑ 䉭GUO: 兩VM兩 = 兩ML兩, 兩LU兩 = 兩UO兩 en 兩VG兩 = 兩GO兩 L

a T

❒ ZHZ Z

D

❒ ZHZ

Z

Z

U M

❒ ZZZ

❒ ZZZ

ZZZ

P

K

Z

ZZZ

O

❒ HH

G

❒ HH

V

A 1 2

c) 䉭PQR ⵑ 䉭AQB: b ⊥ a en c ⊥ a

f) 䉭BMP ⵑ 䉭DMG: B en P liggen op cirkel met middelpunt M D en G liggen op cirkel met middelpunt M

3 4

b

5

c

Z

B

6

ZZZ

8

Q P

A

a

❒ HH

P

R 12

24

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

Z

❒ ZZZ ZZZ

M

❒ HH

B

10 11

❒ ZHZ Z

Z

❒ ZZZ

7

9

G

❒ ZHZ

D

REEKS B 28

Zijn de driehoeken gelijkvormig? Verklaar je antwoord. a)

b)

O

6 cm B

U

2 cm 4 cm

M 2 cm T

T

40°

4 cm

3 cm

A 102°

3 cm

R A 2 cm

4 cm

P

K

❒ ja

❒ nee

❒ ja

6 cm

❒ nee

38°

T

29

30

Congruent of gelijkvormig? Vul het passende congruentie- of gelijkvormigheidskenmerk in. Voor twee driehoeken geldt dat ...

⬵

ⵑ

a)

twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

❒

❒

b)

drie paren overeenkomstige zijden gelijk zijn.

❒

❒

c)

twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

❒

❒

d)

drie paren overeenkomstige zijden evenredige lengten hebben.

❒

❒

e)

twee paren overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

❒

❒

f)

een paar overeenkomstige zijden en de twee paren aanliggende hoeken gelijk zijn.

❒

❒

g)

twee paren overeenkomstige hoeken en een paar overeenkomstige zijden gelijk zijn.

❒

❒

kenmerk

Z Waarom is het gelijkvormigheidskenmerk HH niet H H naar analogie met Z het congruentiekenmerk HZH?

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

25

1.3

Gelijkvormige driehoeken construeren Aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken kun je gelijkvormige driehoeken construeren.

1.3.1 Modeloefening 1 B’

Construeer 䉭ABC die gelijkvormig is met 䉭A⬘B⬘C⬘ zodat —= A —⬘ • A • 兩AB兩 = 2 ⴢ 兩A⬘B⬘兩 • 兩AC兩 = 2 ⴢ 兩A⬘C⬘兩 A’

—= A —⬘ 1) A

C’

3) tekenen van de zijde [BC] B

A

A

2) 兩AB兩 = 2 ⴢ 兩A⬘B⬘兩 en 兩AC兩 = 2 ⴢ 兩A⬘C⬘兩

C

4) eindresultaat

B

A

1

B

C

A

C

2 3 4

1.3.2 Modeloefening 2 Construeer 䉭PQR die gelijkvormig is met 䉭P⬘Q⬘R⬘ met gelijkvormigheidsfactor

5

Q’

6 7 8 9 10 11

P’ R’

12

26

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

3 . 4

Oefeningen REEKS A 31

Construeer nDEF die gelijkvormig is met nABC. Gebruik hiervoor de gegevens van de tekening en de gegeven gelijkvormigheidsfactor. Vermeld het gelijkvormigheidskenmerk. a) g = 0,5

B

5 cm

4 cm

6 cm

A

C

gelijkvormigheidskenmerk: b) g = 2 A

4 cm 40° C

3 cm

B

gelijkvormigheidskenmerk: c) g = 1,5 B 2 cm

3 cm

A

4 cm

C

gelijkvormigheidskenmerk: d) g = 0,75 C 6 cm 20° B

4 cm

A

gelijkvormigheidskenmerk:

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

27

32

Construeer nDEF die gelijkvormig is met nABC. Gebruik de gegevens van de tekening. B 70°

50° A C

• Volgens welk gelijkvormigheidskenmerk is 䉭DEF gelijkvormig met 䉭ABC? • Hoeveel verschillende driehoeken met deze gegevens kun je tekenen die gelijkvormig zijn met de gegeven 䉭ABC?

REEKS B 33

Op de tekening herken je twee driehoeken die elkaar gedeeltelijk overlappen. Construeer deze driehoeken op schaal 3:2.

34

De omtrek van een venster in de vorm van een gelijkzijdige driehoek is 3,60 m. Teken het venster op schaal 1:50.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

28

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

35

Construeer nDEF die gelijkvormig is met nABC. Vermeld het gebruikte gelijkvormigheidskenmerk. a) 兩AB兩 = 25 mm

兩BC兩 = 12 mm

兩AC兩 = 18 mm

g=2

gelijkvormigheidskenmerk:

b) 兩AB兩 = 18 cm

兩BC兩 = 24 cm

— = 84º B

g=

1 6

gelijkvormigheidskenmerk:

36

c) 兩AB兩 = 16 m 兩AC兩 = 20 m

兩BC兩 = 12 m 1 g= 400

gelijkvormigheidskenmerk:

d) rechthoekige 䉭ABC met rechthoekszijden van 245 cm en 190 cm g = 0,02

gelijkvormigheidskenmerk:

Construeer nKOM waarvan de hoekpunten op de zijden van de rechthoek VIND gelegen zijn en die gelijkvormig is met nPAS in de rechthoek BULT. N U

A

L

I P

B

S

D

T

V

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

29

37

Construeer, indien mogelijk, een nDEF die gelijkvormig is met nABC en een nDEF die niet gelijkvormig is met nABC. Verklaar indien niet mogelijk. B 44 mm

88° 24 mm

29° A

50 mm

63° C

a) 䉭DEF heeft een hoek van 88º en een hoek van 63º. gelijkvormig

niet gelijkvormig

b) 䉭DEF heeft een hoek van 88º, een zijde van 25 mm en een zijde van 12 mm. gelijkvormig

niet gelijkvormig

1 2 3

c) 䉭DEF heeft een zijde van 6 mm en een zijde van 12 mm. gelijkvormig

4 5 6 7 8 9 10 11 12

30

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

niet gelijkvormig

38

De hoekpunten van nTON liggen op een cirkel met straal 2 cm. Construeer nBAL waarvan de hoekpunten op een cirkel met straal 3 cm liggen zodat nBAL z nTON. O

N T

REEKS C De Bermudadriehoek is een denkbeeldige driehoek tussen Florida, de Bermuda-eilanden en Puerto Rico. Er wordt gezegd dat in dit gebied abnormaal veel scheeps- en vliegtuigrampen en verdwijningen gebeuren, al is dat niet wetenschappelijk aangetoond. Verklaringen van ooggetuigen spreken ook vaak over storingen in apparatuur, meestal van magnetische aard. Columbus zou reeds problemen hebben ondervonden in de driehoek, althans volgens de vele sensatieboeken over dit gebied. De meest plausibele verklaring zou kunnen zijn dat dit gebied een van de meest bevaren en overvlogen gebieden van de wereld is, en dat ongelukken dus waarschijnlijker zijn door zowel de frequentie als de dichtheid van het verkeer.

39

Teken de Bermudadriehoek op de kaart met schaal 1 : 15 000 000. Bepaal ook de schaal van kaart 1. kaart 1

B

kaart 2

FLORIDA Atlantische Oceaan Miami

A

FLORIDA Bahama's

Atlantische Oceaan Miami

CUBA Santiago

C

HAITI DOMINICAANSE San Juan REPUBLIEK PUERTO RICO

Bahama's CUBA Santiago

HAITI DOMINICAANSE San Juan REPUBLIEK PUERTO RICO

schaal 1 : 15 000 000

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

31

1.4

Bewijzen met gelijkvormigheidskenmerken

1.4.1 Inleiding • Teken in 䉭ABC een evenwijdige met de zijde [AC] die de zijde [AB] snijdt in D en de zijde [BC] snijdt in E. • Meet alle hoeken en zijden van 䉭ABC en 䉭DBE. Noteer de resultaten in de tabel.

B

䉭ABC

䉭DBE

兩AB兩 =

—= A

兩DB兩 =

— D =

兩BC兩 =

—= B

兩BE兩 =

—= B

兩AC兩 =

—= C

兩DE兩 =

— E =

A

C

• Zijn 䉭ABC en 䉭DBE gelijkvormig? Verklaar je antwoord.

1.4.2 Gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen Meetresultaten volstaan niet om te besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Je bewijst de gelijkvormigheid van driehoeken aan de hand van wiskundige eigenschappen en de gelijkvormigheidskenmerken. tekening

gegeven

B

䉭ABC: DE 兾兾 AC D is het snijpunt van [AB] en DE. E is het snijpunt van [BC] en DE.

D 1

A

2

E

te bewijzen 䉭ABC ⵑ 䉭DBE

3

C

4

bewijs

5 6

䉭

en 䉭

gelijkvormigheidskenmerk:

7 8 9 10 11 12

32

besluit Volgens kenmerk HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

is 䉭ABC ⵑ 䉭DBE.

1.4.3 Gelijkheid van hoeken bewijzen tekening

gegeven

B F E D

\\ 兩AD兩 = 兩DE兩 = 兩EF兩 = 兩FB兩 en 兩AG兩 = 兩GH兩 = 兩HI兩 = 兩IC兩

\\

\\ te bewijzen

\\ A

/ G

/ H

— — D=B

/ I

/ C

bewijs en 䉭

䉭

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit is 䉭

Volgens kenmerk

ⵑ䉭

def ⵑ Δ

⇒

— — D=B

1.4.4 Evenredigheid van lengten bewijzen tekening

gegeven PQ ⊥ a en ST ⊥ a R is het snijpunt van PS en a.

S Q a

R

T

te bewijzen 兩PQ兩 兩RQ兩 = 兩ST兩 兩RT兩

P

bewijs 䉭

en 䉭

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit Volgens kenmerk

is 䉭

ⵑ䉭

def ⵑ Δ

⇒

兩PQ兩 兩RQ兩 = 兩ST兩 兩RT兩

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

33

Oefeningen REEKS A 40

Bewijs. B

tekening

gegeven

A

兩AC兩 = 兩BC兩 en 兩CE兩 = 兩CD兩

\

/

te bewijzen C

\\

//

䉭ABC ⵑ 䉭DEC

D E

bewijs 䉭

en 䉭

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit is 䉭ABC ⵑ 䉭DEC.

Volgens kenmerk

41

Bewijs. tekening

gegeven B

Q

C

1

S P

2

A

3

R

D

䉭

en 䉭

7 8 9

11

besluit Volgens kenmerk

12

34

䉭PBQ ⵑ 䉭SDR

gelijkvormigheidskenmerk:

6

10

te bewijzen

bewijs

4 5

rechthoek ABCD:

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

is 䉭PBQ ⵑ 䉭SDR.

PQ 兾兾 RS

42

Bewijs. tekening

gegeven D

c2

G

cirkels c 1 en c 2 met hetzelfde middelpunt M

c1 M

te bewijzen F

S

䉭DMF ⵑ 䉭GMS

bewijs 䉭

en 䉭

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit is

Volgens kenmerk

43

Bewijs. tekening

gegeven

A

䉭BAS:

TM 兾兾 BS

T

te bewijzen B

M

兩AB兩 兩AT兩 = 兩AS兩 兩AM兩 S

bewijs 䉭

en 䉭

gelijkvormigheidskenmerk:

besluit Volgens kenmerk

is 䉭

ⵑ䉭

def ⵑ Δ

⇒

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

35

REEKS B 44

Bewijs. tekening

gegeven U

TL en UK zijn hoogtelijnen in 䉭TUF.

L

te bewijzen K

T

F

— — T=U

bewijs

besluit is 䉭

Volgens kenmerk

45

def ⵑ Δ

⇒

ⵑ䉭

Bewijs. tekening

gegeven P

K

R

parallellogram KROM: OP ⊥ KR en KL ⊥ RO te bewijzen

L M

兩KR兩 ⴢ 兩PR兩 = 兩RO兩 ⴢ 兩RL兩

O

1 2

bewijs

3 4 5 6 7 8 9 10 11

besluit Volgens kenmerk def ⵑ Δ

⇒

12

36

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

is 䉭

ⵑ䉭

46

Bewijs. tekening

gegeven

O

L

E

parallellogram BOEK: L is het snijpunt van BL en OE. S is het snijpunt van OK en BL.

S

te bewijzen B

K

兩OS兩 兩LS兩 = 兩KS兩 兩BS兩

bewijs

besluit Volgens kenmerk

is 䉭

ⵑ䉭

def ⵑ Δ

⇒

47

Twee gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig als ze even grote tophoeken hebben. Bewijs. tekening

gegeven

te bewijzen

bewijs

besluit Volgens kenmerk

is 䉭

ⵑ䉭

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

37

48

Twee loodlijnen, elk op een van de benen van een hoek, vormen eenzelfde hoek met de deellijn van de hoek. Bewijs. tekening

gegeven

te bewijzen

bewijs

besluit Volgens kenmerk

49

is 䉭

ⵑ䉭

def ⵑ Δ

⇒

In een scherphoekige nABC snijden de hoogtelijnen uit B en C elkaar. —. Bewijs dat de kleinste hoek die ze met elkaar vormen, gelijk is aan de hoek A tekening

gegeven

1

te bewijzen

2 3

bewijs 4 5 6 7 8 9 10 11

besluit Volgens kenmerk

12

38

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

is 䉭

ⵑ䉭

def ⵑ Δ

⇒

REEKS C 50

Als je van een ruit de lengte van de diagonalen verdubbelt, dan wordt ook de lengte van de zijden verdubbeld. Bewijs. tekening

G

B

A

E

C

J

F

H

D

I

gegeven

te bewijzen

bewijs

besluit

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID

39

51

Bewijs de eigenschap. In een driehoek verdeelt de bissectrice van een hoek de overstaande zijde in stukken die evenredig zijn met de aanliggende zijden. tekening

b B

A S

C

gegeven — en snijdt AC in S. 䉭ABC: b is bissectrice van B te bewijzen

bewijs • Construeer een evenwijdige aan BC door het punt A. • Gelijkvormige driehoeken:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

besluit

10 11 12

40

HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID