Voorbeeldpagina's Pienter 1 leerboek

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 1 SESS: 58 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 289A331E /een/vanin/340/098/101–4–

INHOUD

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Natuurlijke getallen Bewerkingen met natuurlijke getallen Eigenschappen van de bewerkingen Volgorde van de bewerkingen Lettervormen Werken met gegevens

Samenvatting

14 .

16 18 24 28 29 31 33

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 2 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 1BCC87BE /een/vanin/340/098/101–4–

Hoofdstuk 1 NATUURLIJKE GETALLEN Een stukje uit de Pienterkrant . . .

€ zo’n groot wit en geel muntje

De Pienterkrant

F C Barcelona alleen aan kop F.C.Barcelona zorgde gisteren voor sensatie in Camp Nou door titelrivaal Real Madrid te verslaan met meer doelpunten. Ronaldinho scoorde iets voor de rustpauze.

Na de rust ging het gelijk op maar iets na de helft van de andere helft scoorde hij nogmaals en dan nog een keer.

De wedstrijd werd gevolgd door zeer veel supporters. Deze overwinning bezorgt Barcelona enkele punten meer dan Real Madrid waardoor ze dus aan de leiding komen.

Woensdag, einde zomer, begin schooljaar Sudoku op de pagina voor de pagina voor de pagina voor de voorlaatste pagina.

Vandaag wordt het smoorheet en kan je beter heel veel water drinken.

Morgen wordt het nat en zwoel en zal je T-shirt plakkerig aanvoelen.

Overmorgen daalt het kwik een beetje en neem je beter een paraplu mee.

Vrouw baart zeer veel baby’s Een vrouw uit India schonk het leven aan wel zeer veel baby’s tegelijk. De borelingen zijn niet veel groter dan een kleine meloen, maar volgens de artsen zijn ze allemaal gezond. Door van zoveel baby’s tegelijk te bevallen is de vrouw erg uitgeput. Het bevallen zelf duurde wel meer dan een volledige dag en een groot deel van de nacht.

Getallen zijn onmisbaar

15 .

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 3 SESS: 60 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 44E96188 /een/vanin/340/098/101–4–

1.1

Natuurlijke getallen Op verkenning Gevraagd

a) Hoeveel zijvlakken heeft een dobbelsteen?

b) Hoeveel koeien zie je op de foto?

Oplossing a) Een dobbelsteen heeft 6 zijvlakken. b) Er staan 2 koeien op de foto.

6 en 2 zijn natuurlijke getallen.

Definitie

Natuurlijke getallen Natuurlijke getallen zijn getallen die je gebruikt om telresultaten of aantallen aan te duiden.

Alle natuurlijke getallen samen stel je voor als N. De natuurlijke getallen zijn 0, 1, 2, 3, . . .

0

• 12 僆 N

Je leest dit als: 12 is een natuurlijk getal.

• 2,5 僆 N

Je leest dit als: 2,5 is geen natuurlijk getal.

1 2

De natuurlijke getallen kan je voorstellen op een getallenas. Op een rechte kies je twee verschillende punten. Bij één van de punten schrijf je 0 en bij het andere 1.

3

De afstand tussen 0 en 1 is de lengte-eenheid of de ijk.

4 5 6 7 8 16 .

0

1

Als je naar rechts altijd dezelfde ijk afpast, vind je de punten die de natuurlijke getallen 2, 3, 4, 5 . . . voorstellen.

De getallenas is voorzien van een pijl: de natuurlijke getallen zijn van klein naar groot gerangschikt.

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 4 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 48AB4AA3 /een/vanin/340/098/101–4–

Omdat je schrijft van links naar rechts, rangschik je hier ook de getallen van links naar rechts.

Een getallenas kan je je voorstellen als een meetlat die aan één kant oneindig doorloopt.

Schrijf N bij de as als je natuurlijke getallen op de as plaatst.

Voorbeelden N 0

1

2

3

4

5

6

a) 2 komt voor 4 op de getallenas, omdat 2 kleiner is dan 4. notatie: 2 < 4. b) 6 komt na 3 op de getallenas, omdat 6 groter is dan 3. notatie: 6 > 3. c) 1 is kleiner dan 2 en 2 is kleiner dan 3 of 2 ligt tussen 1 en 3. notatie: 1 < 2 < 3.

Afspraak

Orde bij de natuurlijke getallen symbool = ⫽ > <

je leest dit als: is gelijk aan is niet gelijk aan is groter dan is kleiner dan

Simon Stevin werd geboren in Brugge in 1548 en overleed in Den Haag in 1620.

Stevin probeerde wiskunde verstaanbaar te maken voor zoveel mogelijk mensen. Zijn werken verschenen dan ook niet in het Latijn, wat in die tijd gebruikelijk was, maar in het Nederlands. Het woord ‘wiskunde’ komt van zijn ‘wisconst’ (de kunst van het gewisse of zekere).

Simon was naast wiskundige ook een verdienstelijke uitvinder, onder andere van de zeilwagen.

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

17

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 5 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 4C880EA2 /een/vanin/340/098/101–4–

1.2

Bewerkingen met natuurlijke getallen

1.2.1

Optelling en aftrekking Op verkenning Gevraagd a) Pienter staat op de tweede trede van een ladder.

Hij klimt nog vijf treden hoger.

Op welke trede staat Pienter nu?

b) Pienter krijgt een beetje hoogtevrees en gaat vier treden omlaag.

Op welke trede staat Pienter dan?

Oplossing a) Het antwoord vind je door 2 en 5 op te tellen.

2

+

5

=

7

Benamingen

term

term

som

plusteken 0

b) Het antwoord vind je door 4 van 7 af te trekken.

1 2 3

7

–

4

aftrektal aftrekker minteken term

6 7 8 18 .

3

Benamingen

4 5

=

term

verschil

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 6 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 62A3A0F0 /een/vanin/340/098/101–4–

Welke bewerkingen moet je uitvoeren om het antwoord te vinden? . . . + 6 = 19

aftrekking: 19 – 6 = 13

. . . – 6 = 13

optelling: 13 + 6 = 19

+6

13

19

–6 Eigenschap

Optelling en aftrekking De bewerkingen optelling en aftrekking zijn elkaars omgekeerde.

5–7=?

1.2.2

Het verschil is niet altijd een natuurlijk getal!

Vermenigvuldiging en deling Soms gebruik je letters in plaats van getallen: denk maar aan de formules voor omtrek en oppervlakte die je vroeger al leerde.

Voorbeeld De omtrek van een vierkant bereken je met de formule 4 × z, waarbij z de lengte van de zijde van een vierkant voorstelt.

In de wiskunde wordt de letter x vaak gebruikt, maar dan is er verwarring mogelijk met het maalteken.

Daarom wordt een punt als maalteken gebruikt.

Voorbeelden 4 × z = 4ⴢz 5 × 3 = 5ⴢ3

Op verkenning Pienter koopt een broodje gezond en betaalt hiervoor 3 euro.

Gevraagd a) Hoeveel moet hij betalen voor 5 broodjes? b) Bereken dit door een andere bewerking te gebruiken. c) Hoeveel broodjes heeft hij gekocht als hij 12 euro moet betalen?

Oplossing a) Het antwoord vind je door 3 te vermenigvuldigen met 5.

5 .

3 = 15 Benamingen

factor factor maalteken

Hoofdstuk 1 .

product

NATUURLIJKE GETALLEN

19

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 7 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 5B613F74 /een/vanin/340/098/101–4–

b) Je kunt een optelling van gelijke termen korter noteren als een vermenigvuldiging.

3+3+3+3+3=5.3 5 gelijke termen

= 15 Dit wil zeggen: 5 vermenigvuldigen met 3 is gelijk aan de optelling van 5 keer een 3. c) Het antwoord vind je door 12 te delen door 3.

12

:

3

=

4

Benamingen

deeltal deler deelteken factor

quotiënt

factor

15 : 2 = ?

Het quotiënt is niet altijd een natuurlijk getal!

Welke bewerkingen moet je uitvoeren om de onbekende te kunnen invullen? . . . ⴢ 4 = 100

deling:

100 : 4 = 25

. . . : 4 = 25

vermenigvuldiging:

25 ⴢ 4 = 100

.4

25

100

:4 Eigenschap

Vermenigvuldiging en deling De bewerkingen vermenigvuldiging en deling zijn elkaars omgekeerde.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 .

Wie verstaat er Afrikaans? Die snapt deze methode om de tafel van 9 te onthouden.

Hoe om die 9 ⫻-tafel te onthou: Wat is 9 ⫻ 7? Gebruik hierdie metode: Hou al 10 jou vingers in die lug voor jou uitgesprei met die handpalms weg van jou af. Laat sak nou die 7de vinger.

Daar is altesame 6 vingers links van die gesakte vinger en 3 vingers regs van die gesakte vinger.

Die antwoord is 63.

Gebruik nou dieselfde metode met 9 ⫻ 2, 9 ⫻ 3, 9 ⫻ 4, ens.

Dit werk elke keer!

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 8 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 44A8039C /een/vanin/340/098/101–4–

Opmerking: kan je delen door nul?

5:0=?

Je moet op de plaats van het vraagteken een getal invullen zodat ?ⴢ0 = 5 Je vindt geen getal waarmee je 0 kunt vermenigvuldigen zodat je 5 verkrijgt.

Je deelt niet door nul!

Definitie

Hoofdbewerkingen De vier hoofdbewerkingen zijn: de optelling, de aftrekking, de vermenigvuldiging en de deling.

Cijferen Als de termen grote getallen zijn, schrijf je de getallen het best onder elkaar.

372 + 237 =

5678 – 645 =

372 + 237

5687 – 645

609

5042

Als de factoren grote getallen zijn, schik je ze als volgt: 23 ⴢ 17 wordt

23

207 : 3

wordt

ⴢ 17

+

161 230 391

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

– –

207 18

3 69

27 27 0

21

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 9 SESS: 59 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 59E9E81A /een/vanin/340/098/101–4–

1.2.3

Machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Op verkenning Tijdens de vakantie poetst Pienter quads om een centje bij te verdienen. Maandag poetst hij 2 quads.

Dit gaat steeds beter en sneller, elke dag verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen.

Gevraagd Hoeveel quads poetst hij op vrijdag?

Oplossing Het antwoord vind je door

2.2.2.2.2

te berekenen.

5 factoren

Een product van gelijke factoren kan je korter noteren als een machtsverheffing.

In dit voorbeeld wordt dat: 2 5 = 32.

Afspraak

Machtsverheffing In 2 5 noem je:

2 het grondtal 5 de exponent 2 5 de macht

2 5 lees je als:

twee tot de vijfde (macht) of twee tot de macht vijf of de vijfde macht van twee

Opmerkingen • 7 0 = ? en 7 1 = ?

Probeer een regelmaat te zoeken.

7 3 = 7 ⴢ 7 ⴢ 7 = 343

0 1 2 3 4

72 = 7 ⴢ 7

= 49

71 = 7

=7

:7 :7

70 =1 Dus: 7° = 1 en 7 1 = 7 • 0 0 is niet te berekenen, want: 03 = 0 30 = 1 2 20 = 1 0 =0 1 10 = 1 0 =0 ?

?

0 =0 ⫽ 0 =1 Je verkrijgt een tegenspraak, dus 0 0 is niet te berekenen.

0

5

:7

0

6 • De exponent 1 wordt niet geschreven (4 1 = 4) 7 8 22 .

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 10 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: B4033407 /een/vanin/340/098/101–4–

• De tweede macht van een getal wordt ook het kwadraat van dat getal genoemd.

Voorbeeld Het kwadraat van 3 schrijf je als 3 2 4 2 lees je als: het kwadraat van 4 of 4 tot de tweede (macht) of 4 in het kwadraat of kortweg 4 kwadraat

Op verkenning Pienter houdt van kampen bouwen. Samen met enkele vrienden wil hij een kamp maken in de vorm van een vierkant. Het moet een oppervlakte hebben van 16 m 2.

Gevraagd Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn als Pienter en zijn vrienden deze oppervlakte willen?

Oplossing Het antwoord vind je door het getal te zoeken dat, als je het met zichzelf vermenigvuldigt, 16 als product heeft. Dit is 冪16 berekenen.

Afspraak

Vierkantsworteltrekking 冪16 = 4

Je leest dit als: de vierkantswortel van 16 is 4.

16 is het grondtal 冪 is het wortelteken.

Het symbool 冪 komt voor het eerst voor in 1525 in Die Cross van Christoff Rudolff.

Volgens sommige historici heeft Rudolff het symbool 冪 aangenomen als wortelteken, omdat het op de letter r gelijkt, de eerste letter van het Latijnse woord radix, wat wortel betekent.

Op het internet vind je meer informatie over Christoff Rudolff.

Welke bewerkingen moet je uitvoeren om de onbekende te kunnen invullen? . . . 2 = 100

vierkantswortel: 冪100 = 10

冪. . . = 10

kwadraat: 10 2 = 100

…2

10

100

√…

Eigenschap

Machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Het kwadraat en de vierkantswortel zijn elkaars omgekeerde.

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

23

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 11 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 44B94AF3 /een/vanin/340/098/101–4–

1.3

Eigenschappen van de bewerkingen Op verkenning +

0

1

2

3

4

–

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

0

X

X

X

X

1

1

2

3

4

5

1

1

0

X

X

X

2

2

3

4

5

6

2

2

1

0

X

X

3

3

4

5

6

7

3

3

2

1

0

X

4

4

5

6

7

8

4

4

3

2

1

0

.

0

1

2

3

4

:

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

0

X

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

1

X

1

X

X

X

2

0

2

4

6

8

2

X

2

1

X

X

3

0

3

6

9

12

3

X

3

X

1

X

4

0

4

8

12

16

4

X

4

2

X

1

Gevraagd Bij welke bewerking kan je de getallen van plaats verwisselen zonder dat de uitkomst verandert?

Oplossing bijv. 1 + 2 = 2 + 1

bijv. 1 ⴢ 2 = 2 ⴢ 1

Bij de optelling van twee natuurlijke getallen mag je de termen van plaats verwisselen. Deze eigenschap heet wisseleigenschap bij de optelling.

Bij de vermenigvuldiging van twee natuurlijke getallen mag je de factoren van plaats verwisselen. Deze eigenschap heet wisseleigenschap bij de vermenigvuldiging.

4

bijv. 1 – 2 ⫽ 2 – 1

bijv. 1 : 2 ⫽ 2 : 1

5

Bij de aftrekking van twee natuurlijke getallen mag je de termen niet van plaats verwisselen.

Bij de deling van twee natuurlijke getallen mag je de factoren niet van plaats verwisselen.

0 1 2

Eigenschap

3

6 7 8 24 .

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 12 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 7B6C96A7 /een/vanin/340/098/101–4–

Opmerkingen 1ⴢ2 = 2

0+2=2 De som van 0 en een natuurlijk getal is gelijk aan dat natuurlijk getal.

Het product van 1 en een natuurlijk getal is gelijk aan dat natuurlijk getal.

0ⴢ2 = 0 Het product van 0 en een natuurlijk getal is gelijk aan 0.

Op verkenning Verdeel de klas in twee groepen.

De eerste groep berekent de bewerkingen in de linkerkolom. De andere groep de bewerkingen in de rechterkolom.

Gevraagd Welke bewerkingen geven dezelfde uitkomsten?

GROEP 1

GROEP 2

(2 + 3) + 5 = (4 + 8) + 3 =

2 + (3 + 5) = 4 + (8 + 3) =

(2 ⴢ 3) ⴢ 5 = (4 ⴢ 8) ⴢ 3 =

2 ⴢ (3 ⴢ 5) = 4 ⴢ (8 ⴢ 3) =

(24 – 4) – 2 =

24 – (4 – 2) =

(24 : 4) : 2 =

24 : (4 : 2) =

Oplossing (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Eigenschap

Bij de optelling van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haakjes van plaats veranderen of weglaten. De volgorde waarin je optellingen uitvoert, speelt geen rol.

Deze eigenschap heet schakelen.

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haakjes van plaats veranderen of weglaten. De volgorde waarin je vermenigvuldigingen uitvoert, speelt geen rol. Deze eigenschap heet schakelen.

(24 – 4) – 2 ⫽ 24 – (4 – 2)

(24 : 4) : 2 ⫽ 24 : (4 : 2)

Bij de aftrekking van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haakjes niet van plaats veranderen of weglaten. De volgorde waarin je aftrekkingen uitvoert, speelt wel een rol.

Bij de deling van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haakjes niet van plaats veranderen of weglaten. De volgorde waarin je delingen uitvoert, speelt wel een rol.

Hoofdstuk 1 .

(2 ⴢ 3) ⴢ 5 = 2 ⴢ (3 ⴢ 5)

NATUURLIJKE GETALLEN

25

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 13 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 4E2F7EB6 /een/vanin/340/098/101–4–

Op verkenning Dries en Annelies willen hun cd-winkel uitbreiden. De winkel is nu 8 m bij 12 m.

Ze willen de breedte van de winkel verlengen met 5 m.

Gevraagd Hoeveel bedraagt de totale oppervlakte van de cd-winkel na de uitbreiding? Bereken de totale oppervlakte van de winkel op twee verschillende manieren.

8m

12 m 5m

Oplossing – eerste manier: totale oppervlakte = oorspronkelijke oppervlakte + bijkomende oppervlakte = 12 ⴢ 8 + 12 ⴢ 5 = 96 + 60 = 156 – tweede manier: totale oppervlakte = lengte ⴢ (oorspronkelijke breedte + bijkomende breedte) = 12 ⴢ (8 + 5) = 12 ⴢ 13 = 156 De totale oppervlakte is 156 m 2 12 ⴢ (8 + 5) = 12 ⴢ 8 + 12 ⴢ 5.

Eigenschap

Splitsen en verdelen Om een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met een som, kan je dit getal vermenigvuldigen met elke term van de som en de verkregen producten optellen.

Deze eigenschap heet splitsen en verdelen bij de optelling en de vermenigvuldiging.

De eigenschappen van bewerkingen kan je handig gebruiken bij het hoofdrekenen.

Voorbeelden b) 25 ⴢ 24 = 25 ⴢ (4 ⴢ 6) a) 428 + 143 = 400 + 20 + 8 + 100 + 40 + 3 = (400 + 100) + (20 + 40) + (8 + 3) = (25 ⴢ 4) ⴢ 6 = 500 + 60 + 11 = 100 ⴢ 6 = 560 + 10 + 1 = 600 = 571

0 1 2 3 4 5 6 7 8 26 .

c) 16 + 35 + 14 + 5 = (16 + 14) + (35 + 5) = 30 + 40 = 70

d) 18 ⴢ 40 = (10 + 8) ⴢ 40 = 10 ⴢ 40 + 8 ⴢ 40 = 400 + 320 = 720

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 14 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 4B9357C1 /een/vanin/340/098/101–4–

e) vermenigvuldigen met 11 of 101 of ...

47 ⴢ 11 = 47 ⴢ (10 + 1) 39 ⴢ 101 = 39 ⴢ (100 + 1) = 47 ⴢ 10 + 47 ⴢ 1 = 39 ⴢ 100 + 39 ⴢ 1 = 470 + 47 = 3 900 + 39 = 517 = 3 939 f) Vraagstuk: Jan wil een rechthoekig stuk grond laten omheinen (lengte = 68 m en breedte = 37 m).

Berekening

Antwoord

1) Hoeveel meter draad heeft Jan nodig?

2 ⴢ 68 + 2 ⴢ 37 = 2 ⴢ (68 + 37) = 2 ⴢ 105 = 210

210 m

2) Op 1 rol zit 20 meter draad.

Hoeveel rollen heeft Jan nodig?

210 : 20 = 10,5

11 rollen

3) De prijs per rol is 32 euro.

Hoeveel moet Jan betalen voor de draad?

11 ⴢ 32 = (10 + 1) ⴢ 32 = 320 + 32 = 352

352 euro

4) Een hoekpaal kost 18 euro.

Hoeveel moet Jan betalen voor de hoekpalen?

4 ⴢ 18 = 4 ⴢ (20 – 2) = 80 – 8 = 72

72 euro

5) Jan heeft ook nog 60 gewone palen nodig, 1 paal kost 15 euro. Hoeveel moet Jan betalen voor deze palen?

60 ⴢ 15 = 60 ⴢ 5 ⴢ 3 = (60 ⴢ 5) ⴢ 3 = 300 ⴢ 3 = 900

900 euro

6) Twee arbeiders werken elk 14 uur aan de omheining.

Ze vragen 25 euro per uur per man. Hoeveel moet Jan betalen voor het werk?

2 ⴢ 14 ⴢ 25 = (2 ⴢ 25) ⴢ 14 = 50 ⴢ 14 = 50 ⴢ (10 + 4) = 500 + 200 = 700

700 euro

7) Hoeveel moet Jan in het totaal betalen (werk + materiaal)?

352 + 72 + 900 + 700 = (350 + 70) + (2 + 2) + (900 + 700) = 420 + 4 + 1 600 = 424 + 1 600 = 400 + 1 600 + 24 = 2024

2 024 euro

Jan moet in totaal 2 024 euro betalen.

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

27

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 15 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 4F17AA26 /een/vanin/340/098/101–4–

1.4

Volgorde van de bewerkingen Op verkenning

Pienter en Pina staan voor een moeilijke oefening.

Ze weten niet goed hoe ze 5 + 3 ⴢ 3 moeten berekenen.

Pienter maakt eerst de som van 5 en 3 en vermenigvuldigt daarna met 3. Hij verkrijgt 24.

Pina vermenigvuldigt eerst 3 met 3 en telt er daarna 5 bij op. Zij verkrijgt 14.

Gevraagd Wie heeft het juiste resultaat?

Oplossing Ze rekenen het na met een wetenschappelijke rekenmachine, en hieruit blijkt dat Pina de juiste werkwijze heeft toegepast.

Het is nodig om afspraken te maken in verband met de volgorde waarin de bewerkingen moeten worden uitgevoerd.

0 1 2

Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) 2) 3) 4)

bewerkingen tussen de haakjes machtsverheffing en vierkantsworteltrekking vermenigvuldiging en deling van links naar rechts optelling en aftrekking van links naar rechts

3 4 5 6 7 8 28 .

Voorbeelden a) 36 + 7 ⴢ 2 = 36 + 14 = 50

de vermenigvuldiging heeft voorrang op de optelling

b) 3 ⴢ 2 3 : 冪16 = 3 ⴢ 8 : 4 = 24 : 4 =6

de machtsverheffing en de vierkantsworteltrekking de vermenigvuldiging en de deling van links naar rechts

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 16 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 52FE8A2B /een/vanin/340/098/101–4–

1.5

Lettervormen In formules gebruik je letters, waarbij de letters dan verschillende getallen kunnen voorstellen.

Zo is de omtrek van een vierkant gelijk aan 4 ⴢ z, waarbij z de lengte van de zijde voorstelt.

Afspraak

Lettervormen • Je mag het maalteken alleen weglaten als er geen verwarring mogelijk is. voorbeelden: 4 ⴢ a = 4a x ⴢ y = xy 4 ⴢ 5 wordt niet 45!

• De getalfactor wordt bij een product altijd eerst geschreven. Dus z4 = 4z • De factor 1 schrijf je niet. Dus 1b = b • De letters worden bij voorkeur in alfabetische volgorde geschreven.

Dus: ca = ac

• Letters in formules Bereken de inhoud (I) van een balkvormig doosje, als de lengte (l) 20 cm is, de breedte (b) 6 cm en de hoogte (h) 3 cm.

Inhoud balk = lengte ⴢ breedte ⴢ hoogte I balk = l ⴢ b ⴢ h = 20 ⴢ 6 ⴢ 3 = 360 De inhoud van het doosje is 360 cm 3.

• Letters in veralgemeningen Letters worden gebruikt bij algemene omschrijvingen waarbij de letters alle mogelijke getallen kunnen voorstellen.

Een getal vermeerderd met 6: Het dubbel van een getal:

a+6 2ⴢx = 2 x

De som van het drievoud van een getal en 12:

3p + 12

• Letters als onbekenden Welk getal moet je bij 6 optellen om 18 te verkrijgen?

Met behulp van een letter noteer je deze vraag als: 6 + m = 18, waarbij m de onbekende is.

In volgende hoofdstukken zal je dit leren oplossen.

De oplossing is niet zo moeilijk: m = 12

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

29

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 17 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 638C78A4 /een/vanin/340/098/101–4–

Letters als onbekenden a) Bepaal alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 5. notatie: x < 5 x kan de volgende natuurlijke getallen zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5 b) Bepaal alle natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 16. notatie: x > 16 x kan de volgende natuurlijke getallen zijn: 16, 17, 18, 19, 20, 21 . . . c) Bepaal alle natuurlijke getallen kleiner dan 7. notatie: x < 7 x kan de volgende natuurlijke getallen zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. d) Bepaal alle natuurlijke getallen groter dan 3. notatie: x > 3 x kan de volgende natuurlijke getallen zijn: 4, 5, 6, 7, 8 . . .

Het symbool ⭐ betekent kleiner dan of gelijk aan.

Het symbool ⭓ betekent groter dan of gelijk aan.

• Letters als veranderlijke Na een avondje uit nemen Tim en Tina een taxi.

De chauffeur vraagt 5 euro vaste kosten en 2 euro per gereden km. a) Hoeveel moeten ze de taxichauffeur betalen als ze een ritje van 16 km afleggen?

5 + 2 ⴢ 16 = 5 + 32 = 37 Tim en Tina moeten 37 euro betalen. b) Zoek een formule zodat de chauffeur gemakkelijk de prijs (P) kan bereken voor om het even welk aantal km (s). prijs P

= vast bedrag (5 euro) + 2 euro /km ⴢ aantal km. = 5 + 2ⴢs

c) Bereken met de formule de prijs voor een taxirit van 25 km.

P = 5 + 2ⴢs = 5 + 2 ⴢ 25 = 5 + 50 = 55 Een taxirit van 25 km kost 55 euro.

0 1 2

Getalwaarde van een lettervorm De getalwaarde van een lettervorm bereken je als je de letters door de gegeven getallen vervangt en de uitkomst bepaalt.

3

55 is de getalwaarde van P = 5 + 2 ⴢ s voor s = 25.

4

Voorbeeld Bereken de getalwaarde van de lettervorm 5ad voor a = 2 en d = 6.

5ad = 5 ⴢ a ⴢ d = 5ⴢ2ⴢ6 = 10 ⴢ 6 = 60 De getalwaarde van de lettervorm 5ad voor a = 2 en d = 6 is 60.

5 6 7 8 30 .

Definitie

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 18 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 5C78E535 /een/vanin/340/098/101–4–

1.6

Werken met gegevens Op verkenning Dit zijn de resultaten van een klas voor een toets wiskunde: 8, 9, 7, 6, 8, 1, 5, 5, 3, 9, 5, 7, 2, 7, 10, 10, 8, 6, 2, 7, 2, 7, 1, 8, 2.

Gevraagd a) Wat vind jij van deze resultaten? b) Wat is het klasgemiddelde? c) Wat is de mediaan? d) Behaalden de meeste leerlingen meer of minder dan 6 op 10?

Oplossing a) Tabel Om deze vraag te beantwoorden, kan je het best de gegevens overzichtelijk weergeven in een tabel.

Om van deze gegevens een tabel te maken kan je ze turven. Ⲑ 0 1 II 2 IIII 3 I 4 5 III 6 II 7 IIII

8 IIII

9 II

10 II

Daarna maak je van deze resultaten een tabel. Op de bovenste rij zet je de verschillende resultaten die bij de toets kunnen voorkomen, en op de onderste rij het aantal leerlingen die dit resultaat behaalden.

klasprofiel Resultaat (op 10)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Aantal leerlingen

0

2

4

1

0

3

2

5

4

2

2

← som is 25

b) Het gemiddelde Om het klasgemiddelde te berekenen tel je alle resultaten van de leerlingen op en deel je dit door het aantal leerlingen van de klas.

8 + 9 + 7 + 6 + 8 + 1 + 5 + 5 + 3 + 9 + 5 + 7 + 2 + 7 + 10 + 10 + 8 + 6 + 2 + 7 + 2 + 7 + 1 + 8 + 2 = 145 145 : 25 = 5,8 of korter (0 ⴢ 0 + 2 ⴢ 1 + 4 ⴢ 2 + 1 ⴢ 3 + 0 ⴢ 4 + 3 ⴢ 5 + 2 ⴢ 6 + 5⋅7 + 4 ⴢ 8 + 2 ⴢ 9 + 2 ⴢ 10) : 25 = 5,8 Het gemiddelde van de toets is 5,8.

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

31

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 19 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 398EE34F /een/vanin/340/098/101–4–

c) De mediaan

De mediaan is het middelste getal van een geordende rij getallen.

Hier is de mediaan: 1 1 2 2 2 2 3 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 10 10 ↑

12 getallen links

12 getallen rechts

Mediaan

De mediaan van de toets is 7.

Ander voorbeeld Dit zijn de leeftijden van de papa’s van de leerlingen uit een kleine klas: 37, 43, 48, 52, 40, 45, 48, 38, 34, 41.

Gevraagd Bereken de mediaan: 34, 37, 38, 40, 41, 43, 45, 48, 48, 52 41 + 43 = 41 2

Oplossing 0 De mediaan van de leeftijden van de papa’s is 41 jaar.

1 d) De meeste leerlingen behaalden meer dan 6/10.

2 Werkwijze 3 4 5 6 7 8 32 .

Om het gemiddelde van een aantal getallen te berekenen: • maak je de som van deze getallen, • deel je deze som door het aantal getallen.

Om de mediaan van een aantal getallen te berekenen: • orden je de getallen van klein naar groot, • a) is het aantal getallen oneven, dan is de mediaan gelijk aan het middelste getal, b) is het aantal getallen even, dan is de mediaan gelijk aan het gemiddelde van de twee middelste getallen.

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 20 SESS: 59 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 81C769FC /een/vanin/340/098/101–4–

Samenvatting Natuurlijke getallen Natuurlijke getallen Definitie

Natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen zijn getallen die je gebruikt om telresultaten of aantallen aan te duiden.

Getallenas

N 0

Afspraak

1

2

3

IJk

De ijk of de lengte-eenheid is de afstand tussen 0 en 1.

Orde

symbool = ⫽ > <

∈

12 ∈ N betekent dat 12 een natuurlijk getal is

僆

2,5 僆 N betekent dat 2,5 geen natuurlijk getal is

je leest dit als: is gelijk aan is niet gelijk aan is groter dan is kleiner dan

Bewerkingen met natuurlijke getallen Definitie

Benamingen

Hoofdbewerkingen

Optelling term, som

De vier hoofdbewerkingen zijn: de optelling, de aftrekking, de vermenigvuldiging en de deling.

2

+

5

term Benamingen

Aftrekking aftrektal, aftrekker, verschil

Eigenschap

Optelling en aftrekking

Benamingen

Vermenigvuldiging factor, product

.

7

term

7

–

4

aftrektal

aftrekker

term

term

som

=

3

verschil

De bewerkingen optelling en aftrekking zijn elkaars omgekeerde.

5

factor

Hoofdstuk 1

=

NATUURLIJKE GETALLEN

.

3

factor

=

15

product

33

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 21 SESS: 56 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 8A348702 /een/vanin/340/098/101–4–

Benamingen

Eigenschap

Deling deeltal, deler, quotiënt

12

:

3

deeltal

deler

factor

factor

=

4

quotiënt

Vermenigvuldiging en deling

De bewerkingen vermenigvuldiging en deling zijn elkaars omgekeerde.

Afspraak

Machtsverheffing grondtal, exponent, macht

In 2 3 is 2 het grondtal 3 de exponent 2 3 de macht

Afspraak

Vierkantsworteltrekking grondtal, wortelteken

冪16 = 4

Je leest dit als: de vierkantswortel van 16 is 4.

16 is het grondtal 冪 is het wortelteken

Eigenschap

Machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Het kwadraat en de vierkantswortel zijn elkaars omgekeerde.

Eigenschappen van de bewerkingen Eigenschap

Wisselen

Bij de optelling van twee natuurlijke getallen mag je de termen van plaats verwisselen. Deze eigenschap heet wisseleigenschap bij de optelling.

Bij de vermenigvuldiging van twee natuurlijke getallen mag je de factoren van plaats verwisselen. Deze eigenschap heet wisseleigenschap bij de vermenigvuldiging.

Schakelen 0

Bij de optelling van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haakjes van plaats veranderen of weglaten.

De volgorde waarin je optellingen uitvoert, speelt geen rol.

Deze eigenschap heet schakelen bij de optelling.

1 2 3 4 5 6 7 8 34 .

Bij de vermenigvuldiging van meer dan twee natuurlijke getallen mag je de haakjes van plaats veranderen of weglaten. De volgorde waarin je vermenigvuldigingen uitvoert, speelt geen rol. Deze eigenschap heet schakelen bij de vermenigvuldiging.

JOBNAME: PIE 1 ASO LB PAGE: 22 SESS: 59 OUTPUT: Thu Feb 5 13:55:24 2009 SUM: 6F089A3B /een/vanin/340/098/101–4–

Eigenschap

Optellen met 0

De som van 0 en een natuurlijk getal is gelijk aan dat natuurlijk getal.

Vermenigvuldigen met 1

Het product van 1 en een natuurlijk getal is gelijk aan dat natuurlijk getal.

Vermenigvuldigen met 0

Het product van 0 en een natuurlijk getal is gelijk aan 0.

Splitsen en verdelen

Om een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met een som, kan je dit getal vermenigvuldigen met elke term van de som en de verkregen producten optellen.

Deze eigenschap heet splitsen en verdelen bij de optelling en de vermenigvuldiging.

Volgorde van de bewerkingen Afspraak

Volgorde van de bewerkingen

1) 2) 3) 4)

bewerkingen tussen de haakjes machtsverheffing en vierkantsworteltrekking vermenigvuldiging en deling van links naar rechts optelling en aftrekking van links naar rechts

Lettervormen Definitie

Getalwaarde van een lettervorm

De getalwaarde van een lettervorm bereken je als je de letters door de gegeven getallen vervangt en de uitkomst bepaalt.

<

kleiner dan of gelijk aan

⭓

groter dan of gelijk aan

Werken met gegevens Werkwijze

Gemiddelde

Om het gemiddelde van een aantal getallen te berekenen: • maak je de som van deze getallen, • deel je deze som door het aantal getallen.

Mediaan

Om de mediaan van een aantal getallen te berekenen: • orden je de getallen van klein naar groot, • a) is het aantal getallen oneven, dan is de mediaan gelijk aan het middelste getal, b) is het aantal getallen even, dan is de mediaan gelijk aan het gemiddelde van de twee middelste getallen.

Hoofdstuk 1 .

NATUURLIJKE GETALLEN

35