Reële functies en algebra Leerjaar 5 TSO
Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels
Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? Hoofdstuk 1 Grafieken en tabellen Hoofdstuk 2 Verbanden tussen grootheden Hoofdstuk 3 Tweedegraadsvergelijkingen Hoofdstuk 4 Tweedegraadsfuncties Hoofdstuk 5 Exponentiële functies Hoofdstuk 6 De sinusfunctie Hoofdstuk 7 Functies met meervoudig voorschrift Hoofdstuk 8 Hellingen en veranderingen
₄ ₅ ₂₇ ₈₅ ₁₀₉ ₁₆₉ ₁₈₃ ₁₈₅ ₁₈₇
Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.
Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen. Er zijn drie reeksen oefeningen:
REEKS A
eenvoudige toepassingen
REEKS B
basisniveau
REEKS C
verdiepingsniveau
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep. Interessante weetjes of achtergrond herken je aan een kader met vraagteken. Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden.
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken. Ook het contractwerk helpt je bij het studeren.
Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform
.
Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt. Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: • extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, • instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
1.1
Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren
1.2
Stijgen en dalen in een interval
1.3
Periodieke verschijnselen
Studiewijzer
₆ ₉ ₂₁ ₂₇
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
5
1.1
Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren
1.1.1
Modeloefening 1 De tabel geeft de evolutie van het aantal werklozen in Vlaanderen tussen 2008 en 2018. jaar
aantal werklozen
2008
1 68 889
2009
202 806
20 10
208 242
20 1 1
1 95 009
20 1 2
204 439
20 1 3
22 1 903
20 1 4
233 349
20 1 5
232 927
20 1 6
224 780
20 1 7
2 1 3 506
20 1 8
1 98 357
verschil
aantal werklozen (× 1000)
Je ziet de grafiek die de evolutie weergeeft. 240 230 220 210 200 190 180 170 160 2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
jaartal
• In welke periode(n) steeg het aantal werklozen? 1 2 3 4 5
• In welke periode(n) daalde het aantal werklozen? • In welk jaar was er de grootste stijging ten opzichte van het vorige jaar? Hoe zie je dat op de grafiek? • In welk jaar was er de grootste daling ten opzichte van het vorige jaar? Hoe zie je dat op de grafiek?
6
• Hoeveel jaren waren er met meer dan 200 000 werklozen?
7
• In welk jaar was het aantal werklozen het hoogst?
8
• In welk jaar waren er minder dan 190 000 werklozen?
6
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
Tabellen grafisch voorstellen met de grafische rekenmachine • Voer de gegevens in 2 lijsten in. Á Maak de werklijsten leeg met het TI84-programma WISLIJST.
L1
list
Á Druk
Y
(Bewerken)
1
stat
Á Voer de gegevens in onder L 1 (jaar) en L 2 (aantal werklozen)
• Kies de juiste statistische plot: stat plot f1
Á Verwijder eventueel de functievoorschriften uit het menu
y=
stat plot f1
(
Á Kies L1
Á Druk
2nd
y=
)
Y
1 entry solve
Á Activeer Aan door op
enter
te drukken entry solve
Á Kies het tweede grafiektype en druk
enter L1
Á Zorg dat naast XList L 1 staat: L 1 selecteer je met
Y
1
2nd L2
Á Zorg dat naast YList L 2 staat: L 2 selecteer je met format f3
Á Druk
zoom
w
2nd
Z
2
Q
9
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
7
1.1.2 Modeloefening 2 De Bel-20 is de leidende index voor Euronext Brussel (Beurs van Brussel). Hij bestaat uit maximaal 20 aandelen, die door de marktautoriteiten van Euronext gekozen worden op basis van een aantal criteria. De Bel-20 is opgericht op 18 maart 1991. De index wordt elk jaar op 1 maart aangepast, en er dient steeds een reservelijst voorradig te zijn om op elk moment een aandeel, dat bijvoorbeeld door een overname van de beurs verdwijnt, te kunnen vervangen. Opvallend is de grote aanwezigheid van de zogenaamde rentegevoelige aandelen in Brussel. De index telt veel bedrijven uit de sector van de financiële diensten en holdings en vertegenwoordigers uit de industrie. Bij de minste beweging van deze aandelen beweegt dus ook de Beurs van Brussel.
De grafiek geeft de waarde van de Bel-20 (uitgedrukt in ‘punten’) op 4 augustus.
• Wat lees je af op de verticale as? • Wat was de maximale waarde van de Bel-20 op 4 augustus? Om hoe laat werd die maximale waarde bereikt? • Om hoe laat bereikte de Bel-20 zijn minimale waarde op 4 augustus? Hoeveel bedroeg die minimale waarde? • Tussen welke waarden schommelde de Bel-20 op 4 augustus tussen 13 h en 16 h? 1 2 3
• Vanaf welk uur bleef de waarde van de Bel-20 op 4 augustus nagenoeg constant?
4 5 6
• Bereikte de Bel-20 die dag de waarde 3 080 punten? Hoe zie je dat op de grafiek?
7 8
8
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
1.2
Stijgen en dalen in een interval
1.2.1 Intervallen Definitie
Interval Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.
benaming en notatie
voorbeeld
betekenis
[−2, 6]
−2 ⭐ x ⭐ 6 alle reële getallen tussen −2 en 6, −2 en 6 inbegrepen
]4, 9[
4⬍x⬍9 alle reële getallen tussen 4 en 9, 4 en 9 niet inbegrepen
]−∞, 5 关
x⬍5 alle reële getallen kleiner dan 5, 5 niet inbegrepen
]11, +∞ 关
x ⬎ 11 alle reële getallen groter dan 11, 11 niet inbegrepen
]−5, 7]
−5 ⬍ x ⭐ 7 alle reële getallen tussen −5 en 7, −5 niet inbegrepen en 7 wel inbegrepen
[8, 10[
8 ⭐ x < 10 alle reële getallen tussen 8 en 10, 8 wel inbegrepen en 10 niet inbegrepen
]−∞, 9]
x⭐9 alle reële getallen kleiner dan 9, 9 wel inbegrepen
[−7, +∞[
x ⭓ −7 alle reële getallen groter dan −7, −7 wel inbegrepen
gesloten interval [a, b]
open interval ]a, b[
halfopen interval [a, b[ ] a, b]
Opmerkingen • In een interval [a, b], [a, b [, ]a, b ] of ]a, b [ noem je a de ondergrens en b de bovengrens. De ondergrens is altijd kleiner dan de bovengrens. • −∞ is kleiner dan elk reëel getal. +∞ is groter dan elk reëel getal. • −∞ en +∞ zijn geen reële getallen, het zijn symbolen. −∞ en +∞ kunnen dus nooit tot een interval in R behoren. HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
9
1.2.2 Voorbeeld In de grafiek wordt de windsnelheid, in km/h, weergegeven in Ukkel op 1 november tussen 8 uur en 20 uur. windsnelheid Ukkel op 1 november 20 19
windsnelheid (km/h)
18 17 16 15 14 13 12 11 10
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
tijdstip (h)
• Vul de tabel aan. tijdstip
8
10
11
13
15
16
17
19
20
windsnelheid
• In welke tijdsintervallen nam de windsnelheid toe? • In welke tijdsintervallen nam de windsnelheid af? • Wat was de maximale windsnelheid? Op welke tijdstippen werd die maximale windsnelheid bereikt? • Wat was de minimale windsnelheid? Op welke tijdstippen werd die minimale windsnelheid bereikt? Je kunt het verloop van de windsnelheid tussen 8 uur en 20 uur in tabelvorm weergeven: tijdstip
8
20
1 2
windsnelheid MAX
3 4
MIN
• Gedurende hoeveel uur lag de windsnelheid hoger dan 18 km/h?
5 6
• Tussen welke tijdstippen daalde de windsnelheid het snelst?
7
• Mag je uit deze grafiek afleiden dat om 21 uur de windsnelheid nog toegenomen was?
8
10
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
Oefeningen REEKS A 1
De tabel geeft de evolutie van het aantal faillissementen in BelgiĂŤ in de periode 2008-2017.
jaar
aantal faillissementen
2008
8 476
2009
9 420
20 10
9 570
20 1 1
10 224
20 1 2
10 587
20 1 3
1 1 740
20 1 4
10 7 36
20 1 5
9 762
20 1 6
9 1 70
20 1 7
9 968
verschil
a) Teken, met ICT, de evolutie van het aantal faillissementen tussen 2008 en 2017. b) In welk jaar waren er het meeste faillissementen? Hoeveel waren er dat? c) In welk jaar waren er het minste faillissementen? Hoeveel waren er dat? d) In welk jaar was er de grootste stijging ten opzichte van het vorige jaar? e) In welk jaar was er de grootste daling ten opzichte van het vorige jaar? f) Hoe zie je op de grafiek dat de toename van het aantal faillissementen van 2009 naar 2010 het kleinst was?
g) Geef het verloop van het aantal faillissementen tussen 2008 en 2017. jaar aantal faillissementen
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
11
2
De tabel geeft het aantal huwelijken en echtscheidingen in BelgiĂŤ van 2000 tot en met 2016.
jaar
aantal huwelijken
aantal echtscheidingen
2000
45 1 23
27 002
200 1
42 1 10
29 3 1 4
2002
40 434
30 628
2003
41 777
3 1 355
2004
43 296
3 1 405
2005
43 1 4 1
30 840
2006
44 8 1 3
29 1 89
2007
45 56 1
30 08 1
2008
45 6 1 3
35 366
2009
43 303
32 606
20 10
42 1 59
28 903
20 1 1
4 1 00 1
27 522
20 1 2
42 1 98
26 1 45
20 1 3
37 854
24 87 2
20 1 4
39 879
24 3 10
20 1 5
45 005
24 667
20 1 6
44 7 25
23 583
a) In welk jaar was het aantal huwelijken het laagst?
b) In welk jaar was het aantal echtscheidingen het hoogst?
c) Met hoeveel is het aantal huwelijken gemiddeld per jaar afgenomen van 2008 tot en met 2013?
d) Omschrijf de evolutie van het aantal echtscheidingen.
e) Teken, met ICT, de evolutie van het aantal huwelijken en het aantal echtscheidingen tussen 2000 en 2016.
f) In welke jaren lag het aantal huwelijken hoger dan 45 000?
g) In hoeveel jaren lag het aantal echtscheidingen lager dan 28 000? 1 2 3 4
h) In welk jaar was er de grootste daling van het aantal echtscheidingen t.o.v. het vorige jaar?
5 6 7 8
12
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
REEKS B Het waterpeil van een rivier is niet altijd hetzelfde. Het stijgt na regenval en daalt in periodes van droogte. Het debiet van een waterloop is de hoeveelheid water die per seconde passeert op een bepaald punt in een rivier. Het debiet wordt uitgedrukt in kubieke meter per seconde. Het debiet is afhankelijk van de seizoenen, maar ook van de oppervlakte van het stroombekken. Bovendien verschilt het debiet van een rivier ook nog eens van streek tot streek. De debietschommelingen van een waterloop tijdens het jaar noem je het regime.
De grafiek geeft het debiet weer van Maas en Schelde. debietwaarden Maas en Schelde
800
debiet Maas 700
debiet Schelde 600
debiet (m3/s)
3
500 400 300 200 100 0
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
maand
a) Wat is de gemiddelde waarde van het debiet van de Maas in januari? b) In welke periode blijft het debiet van de Maas nagenoeg constant?
c) In welke maand bereikt het gemiddelde debiet van de Maas een minimale waarde? d) Maak een schatting van de waarde van het debiet van de Schelde in juni: e) In welke maand is de toename van het debiet van de Schelde het grootst? f) In de wintermaanden is het debiet van de rivieren groter dan in de zomer. Verklaar.
g) Waarom is het debiet van de Maas in elke periode van het jaar groter dan dat van de Schelde?
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
13
4
De grafiek geeft het debiet weer van de IJzer tussen 6 november en 16 november. IJzer te Roesbrugge-Haringe(Q) (46810102) 20.00
m3/s
Uur 18.00
15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11 15/11
16.00 14.00
m3/s
12.00 10.00
3,33 3,26 3,18 3,10 3,05 3,00 2,97 2,96 2,94
gemiddelde dagwaarden
8.00 6.00 4.00 2.00 0.00
6/11 00:00
14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00
7/11 00:00
8/11 00:00
9/11 00:00
10/11 00:00
11/11 00:00
12/11 00:00
13/11 00:00
14/11 00:00
15/11 00:00
16/11 00:00
6/11 7/11 8/11 9/11 10/11 11/11 12/11 13/11 14/11
1,98 2,03 1,95 1,97 2,05 8,92 15,57 8,30 5,29
a) Tussen welke tijdstippen steeg het debiet van de IJzer?
b) In de periode van 6 november 0 h tot 11 november 0 h bleef het debiet nagenoeg constant. Hoeveel bedroeg het debiet in die periode?
c) Op welke tijdstippen, bij benadering, bedroeg het debiet 8 m 3/s?
d) Maak een schatting van de waarde van het debiet van de IJzer op 12 november om 12 h.
e) Gedurende welke tijd, bij benadering, bedroeg het debiet meer dan 6 m 3/s?
f) Op welk tijdstip bereikte het debiet zijn maximale waarde? 1 2
g) Duid op de grafiek de gemiddelde dagwaarde van het debiet aan voor 11 november. 3 4
h) Hoeveel bedroeg de gemiddelde debietwaarde op 15 november tussen 14 h en 22 h?
5 6 7
i) Om hoe laat was op 15 november het debiet 3 m 3/s?
8
14
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
Een windroos is een kruis dat de windrichtingen aanduidt. Een windroos kan teruggevonden worden op een kompas of onder een windhaan. De windrichting wordt weergegeven in graden of in windstreken. De gradenverdeling loopt van 0° tot 360°. De tabel geeft de relatie weer tussen de windstreken en het aantal graden op de windroos. 0º
Noord-Noord-Oost
22º 30⬘
Noord-Oost
45º
Oost-Noord-Oost
67º 30⬘
Oost
90º
Oost-Zuid-Oost
112º 30⬘
Zuid-Oost
135º
Zuid-Zuid-Oost
157º 30⬘
Zuid
180º
Zuid-Zuid-West
202º 30⬘
Zuid-West
225º
West-Zuid-West
247º 30⬘
West
270º
West-Noord-West
292º 30⬘
Noord-West
315º
Noord-Noord-West
337º 30⬘
De grafiek geeft de windrichting gedurende 24 uur. 500 450 400 350 graden
5
Noord
300 250 200 150 100 50 0
18:00
21:00
23:00
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
tijd
a) Uit welke richting kwam de wind om 12 h? b) Uit welke richting kwam de wind om 23 h? c) Hoeveel graden draaide de wind tussen 6 h en 9 h? d) Hoe draaide de wind tussen 18 h en 23 h? e) Was er vandaag een zuidenwind waar te nemen? f) Kun je de windkracht aflezen op de grafiek?
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
15
Armoede is volgens de definitie van de Verenigde Naties het niet kunnen voorzien in de eerste levensbehoeften. Zij ontstaat wanneer een persoon of een groep mensen onvoldoende betaalmiddelen heeft om in de primaire levensbehoeften te kunnen voorzien. De bestaansmiddelen hiervoor zijn wel aanwezig, maar ze kunnen als gevolg van schaarste onbetaalbaar worden. Primaire levensbehoeften omvatten zaken als schoon en drinkbaar water, voedsel, kleding, huisvesting en gezondheidszorg. Zij gelden als noodzakelijk om een menswaardig leven te kunnen leiden. De overgang tussen armoede en welstand wordt aangeduid door de armoedegrens. 6
De eerste tabel geeft het overzicht van de Belgische bevolking die leefde onder de armoedegrens in 2016. De tweede tabel geeft de evolutie van het armoederisico weer in een aantal landen van de Europese Unie van 2010 tot en met 2015. % van de bevolking onder de armoedegrens (2016)
Armoederisico (in %)
Mannen
Vrouwen
België
14,4 %
16,5 %
15,5 %
0-15 jaar
15,2 %
19,3 %
17,2 %
16-64 jaar
14,0 %
16,0 %
15,0 %
65 jaar en ouder
15,2 %
15,5 %
15,4 %
Actief-werkend
4,8 %
4,6 %
4,7 %
Niet-actief:
24,4 %
24,4 %
24,4 %
Werkloos
46,3 %
45,4 %
45,9 %
Gepensioneerd
14,2 %
12,5 %
13,3 %
Andere niet-actieven
31,8 %
32,2 %
32,0 %
Opleidingsniveau: laag
25,3 %
26,6 %
26,0 %
Opleidingsniveau: gemiddeld
12,4 %
15,9 %
14,1 %
6,7 %
6,8 %
6,8 %
Opleidingsniveau: hoog
Totaal
2010
2012
2013
2014
2015
2016
Europese Unie
16,5
16,8
16,7
17,2
17,3
−
België
14,6
15,3
15,1
15,5
14,9
15,5
Duitsland
15,6
16,1
16,1
16,7
16,7
−
Frankrijk
13,5
14,1
13,7
13,3
13,6
−
Luxemburg
14,5
15,1
15,9
16,4
15,3
−
Nederland
10,3
10,1
10,4
11,6
11,6 12,8 (p)
Verenigd Koninkrijk
17,1
16
15,9
16,8
16,7
a) Hoeveel procent van de Belgische bevolking leeft in een huishouden dat over een inkomen beschikt dat lager is dan de armoedegrens? b) In welke groep is het aandeel dat leeft onder de armoedegrens het grootst, als we kijken naar de verdeling per geslacht? c) Welke groep is de meest ‘kwetsbare’ groep? d) Wat is de meest kwetsbare groep volgens het opleidingsniveau? Hoe groot is het aandeel van deze groep dat leeft onder de armoedegrens? e) In welke groep is de kans het kleinst dat ze onder de armoedegrens leven? f) Hoe groot was het armoederisico in de Europese Unie in 2015? 1 2
g) In welk land was de toename van het armoederisico in 2015 procentueel het grootst in vergelijking met 2010?
3 4
h) Hoe groot was deze toename, op 0,01 % nauwkeurig?
5 6
i) In welk land is het armoederisico het kleinst?
7
j) In welke land(en) bleef het armoederisico in 2015 stabiel t.o.v. 2014?
8
16
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
−
De diagrammen geven de klimatologische gemiddelden voor Antwerpen en Elsenborn, in een periode van 30 jaar. Elsenborn (België)
Jaar 776 9,6
150 130 110 90 70 50 30 10 –10
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 –5
J F M A M J J A S O N D N in mm 140 112 103 91 98 103 106 101 96 110 124 142 T in °C –2,1 –1,2 1,0 4,8 8,8 12,0 13,6 13,4 10,9 6,8 2,0 –1,1
Temperatuur in °C
J F M A M J J A S O N D N in mm 62 49 48 49 60 70 80 80 73 71 67 67 T in °C 2,2 3,1 5,3 8,8 12,3 15,6 17,0 16,9 14,3 10,1 6,0 3,2
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Temperatuur in °C
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Neerslag in mm
Antwerpen - Deurne (België) Neerslag in mm
7
Jaar 1326 5,7
a) Omschrijf wat op beide diagrammen kan worden afgelezen.
b) Wat betekenen de jaarcijfers (776 en 9,6 voor Antwerpen; 1 326 en 5,7 voor Elsenborn)?
Wat kun je daaruit besluiten?
c) In welke maand mag men het meeste regen verwachten? In Antwerpen:
In Elsenborn:
d) Welke maand is de warmste? In Antwerpen:
In Elsenborn:
e) In welke maanden regent het in Antwerpen meer dan in Elsenborn?
f) In welke periode is de gemiddelde maandtemperatuur in Antwerpen hoger dan 10 ºC?
g) Zoek op het internet de gegevens op voor Antwerpen van het voorbije jaar en vergelijk.
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
17
8
De ouders van Thibaut hebben om de 2 jaar op zijn verjaardag zijn lengte gemeten. De resultaten zie je in de tabel. leeftijd
lengte (cm)
0
52
2
98
4
109
6
1 24
8
1 37
10
1 50
12
1 62
14
1 72
16
1 78
18
1 82
lengtetoename (cm)
a) Maak, met ICT, een grafische voorstelling van het verband tussen de lengte en de leeftijd.
b) Thibaut groeide het snelst gedurende zijn eerste 2 levensjaren. In welke periode van 2 jaar heeft hij de op ĂŠĂŠn na grootste groei gekend?
namelijk
c) Hoeveel centimeter is hij gemiddeld gegroeid per jaar tussen zijn 2de en zijn 8ste verjaardag?
d) In welke periode van 2 jaar groeide hij het traagst?
e) Bepaal grafisch hoe groot Thibaut was toen hij 9 jaar was.
f) Deel de lengte op zijn 18de door de lengte op zijn 8ste verjaardag.
Als de lengte op zijn 8ste verjaardag 100% is, dan is de lengte op zijn 18de verjaardag In 10 jaar tijd is Thibaut dus met
% gegroeid.
g) Met hoeveel procent is hij gegroeid tussen zijn 4de en 14de verjaardag? 1 2 3 4 5
h) Vanaf welke leeftijd, op 0,5 jaar nauwkeurig, is hij groter dan 155 cm?
6 7 8
18
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
%.
9
De tabel geeft een klimatologisch overzicht te Ukkel van 2010 tot en met 2017. 20 10
20 1 1
20 1 2
20 1 3
20 1 4
20 1 5
20 1 6
20 1 7
zonneschijnduur (in uren)
1 556
1 782
1 529
1 5 10
1 634
1 7 34
1 57 2
1 559
gemiddelde temperatuur (ºC)
9,7
1 1,6
10,6
10, 1
1 1,9
1 1,3
10,7
1 1,3
neerslagtotaal (mm)
914
815
97 7
8 16
784
743
942
749
aantal neerslagdagen
20 1
1 87
212
1 80
1 83
1 98
1 90
209
aantal hittedagen (⬎ 30ºC)
7
2
4
6
2
7
6
7
aantal vorstdagen (⬍ 0ºC)
74
28
37
58
10
33
43
37
a) In welk jaar heeft de zon het minst geschenen? b) Is de ‘opwarming van de aarde’ duidelijk uit deze tabel af te lezen? c) In welk jaar viel er het meeste neerslag? d) In welk jaar viel er gemiddeld per neerslagdag het meeste neerslag?
e) In welk jaar viel er neerslag op minder dan de helft van de dagen? f) Tijdens welke zomers had je de meeste dagen met een temperatuur hoger dan 30 ºC?
Merk je dit ook aan de gemiddelde temperatuur?
g) Welke winter was de strengste?
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
19
10
De tabel geeft weer hoeveel procent van de Vlaamse bevolking de bioscoop bezoekt. De rijen van de tabel geven de resultaten per leeftijdsklasse. De kolommen tonen hoeveel procent van de mensen • regelmatig de bioscoop bezoekt (meerdere keren per maand); • af en toe de bioscoop bezoekt (maximum 1 keer per maand); • nooit de bioscoop bezoekt. leeftijdsklasse
klassenmidden
regelmatig
af en toe
nooit
[5, 25[
15
22,2 %
74,6 %
3,2 %
[25, 35[
30
4,7 %
7 7,3 %
1 8,0 %
[35, 45[
40
1,7 %
70,7 %
27,6 %
[45, 55[
50
1,6 %
54,5 %
43,9 %
[55, 65[
60
2,5 %
33,5 %
64,0 %
[65, 7 5[
70
0,5 %
1 7,9 %
8 1,6 %
[7 5, 95]
85
0,0 %
9,7 %
90,3 %
a) Hoeveel procent van de min 25-jarigen bezoekt regelmatig de bioscoop? b) Voor welke leeftijdsklasse is het percentage mensen dat af en toe de bioscoop bezoekt het grootst?
c) Bij de mensen die nooit de bioscoop bezoeken zie je een stijgende trend. Tussen welke leeftijdsklassen is de stijging het grootst?
d) Teken, met ICT, het verloop van de percentages voor de mensen die af en toe de bioscoop bezoeken door gebruik te maken van de klassenmiddens. e) Hoe zie je dat het percentage mensen van 35 jaar die regelmatig de bioscoop bezoeken, ongeveer gelijk is aan het aantal mensen van 50 die dit doen?
1 2 3 4
f) Eén op de tien mensen ouder dan 75 jaar bezoekt nog de bioscoop. Klopt deze bewering?
5 6
Waarom (niet)?
7 8
20
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
1.3
Periodieke verschijnselen Veel verschijnselen vertonen een terugkerend patroon. Dit zijn periodieke verschijnselen. Denk maar aan een staande klok, wisselstroom, eb- en vloedwerking, astronomische verschijnselen, de ademhaling van mens en dier, ... Voorbeeld: eb en vloed De tabel geeft de hoogte van het zeewater in Oostende. OPTOS-BCZ MODEL - GETIJDENTABEL OOSTENDE
datum 13 november 14 november 14 november 15 november 15 november 16 november 16 november 17 november 17 november 18 november 18 november
hoogwater h:min m (UTC) (TW) …:… …:… 0:30 4,58 12:40 4,81 1:00 4,72 13:30 4,89 1:50 4,98 14:10 5,28 2:30 4,68 15:20 4,57 3:30 4,24 16:20 5,14
laagwater h:min m (UTC) (TAW) 18:40 -0,01 NN 6:50 0,15 NN 19:10 0,22 NN 7:40 0,13 NN 19:50 0,47 NN 8:10 0,62 NN 20:40 0,79 NN 9:20 0,11 NN 21:40 0,21 NN 10:00 0,33 NN 22:10 1,19 NN
De Tweede Algemene Wateraanpassing (TAW) is de referentiehoogte waartegenover hoogtemetingen in België worden uitgedrukt. Een TAW-hoogte van 0 meter is gelijk aan het gemiddeld zeeniveau bij eb te Oostende. De Tweede Algemene Wateraanpassing dateert uit 1947 en werd uitgevoerd door het Nationaal Geografisch Instituut. In Nederland gebruikt men het Normaal Amsterdams Peil (NAP) dat 2,3 meter hoger ligt dan de TAW.
Het verband tussen de tijd, in h, en de hoogte, in m, van het zeewater is een periodiek verband. Als je een aantal keren na elkaar nagaat hoe laat het hoogwater en laagwater is, dan kom je tot de vaststelling dat er ongeveer 12 uur zit tussen 2 opeenvolgende hoogwaterstanden (of laagwaterstanden). Het getal 12 is de periode. Bij natuurverschijnselen heb je soms te maken met afwijkingen ten opzichte van een zuiver periodiek verband. Links zie je het mathematisch model toegepast op de gegeven waarden. Hierbij neem je 14 november 00h00 op de x-as als beginwaarde. Rechts zie je het realistisch model. 8
y BMM OPTOS-BCZ MODEL OOSTENDE VOORSTELLING — Waterstand (m TAW)
— Zonder wind (m TAW)
— Waarschuwing
— Alarm
In situ data (c) Meetnet Vlaamse Banken - afdeling KUST
2
x 40
60
80
100
120
5 4 3 2 1 0 –1
09
20
6
/1 10 6: 09 /1 00 11 8: 10 /1 00 10 6: 10 /1 00 11 8: 11 /1 00 10 6: 11 /1 00 11 8: 12 /1 00 10 6: 12 /1 00 11 8: 13 /1 00 10 6: 13 /1 00 11 8: 14 /1 00 10 6: 14 /1 00 11 8: 15 /1 00 10 6: 15 /1 00 11 8: 16 /1 00 10 6: 16 /1 00 11 8: 17 /1 00 10 6: 17 /1 00 11 8: 18 /1 00 10 6: 18 /1 00 11 8:0 0
4
HOOGTE VAN DE WATERSTAND (m TAW)
7
6
–2
Definitie
Tijden in UTC (wintertijd: lokale tijd=UTC+1 : zomertijd: UTC+2)
Periodiek verband Een periodiek verband is een verband tussen 2 grootheden waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt. De periode is de lengte van een interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet.
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
21
Oefeningen REEKS A 11
Bepaal de periode. a)
e)
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6
7
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
f)
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x 1
2
3
4
5
6
7
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
g)
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x 1
2
3
4
5
6
7
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
periode:
d)
h)
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
1
x
3 1
2
3
4
5
6
7
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
–2
–2
5
–3
–3
–4
–4
6
–5
–5
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
6
x
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
periode:
22
5
y
5
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
8
4
periode:
c)
periode:
3
x
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
periode:
7
2
y
5
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
4
1
periode:
b)
2
x
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
periode:
1
y
5
periode:
x
12
Bepaal de periode. y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
x 1
2
3
4
5
6
7
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
periode:
13
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
x 1
2
3
4
5
6
7
periode:
Duid de periode aan bij de wisselspanningen. a)
b) V
0
c) V
t
V 0
0
t
t
REEKS B 14
In een ziekenhuis toont een computerscherm het cardiogram van een patiënt. 0,25 seconden
a) Bepaal de periode.
b) Onder de ‘pols’ versta je het aantal hartslagen per minuut. Bepaal de ‘pols’ van de patiënt.
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
23
Bioritmen zijn 3 natuurlijke, regelmatige cycli in ons lichaam die ons lichamelijk, emotioneel en intellectueel beïnvloeden. De cycli van bioritmen beginnen bij de geboorte. Het intellectuele bioritme regelt het geheugen, het denkvermogen en het gezond verstand. In de positieve fase ben je goed geconcentreerd en kun je snel en effectief studeren. In de negatieve fase gaat dat allemaal minder goed. Het emotionele bioritme staat in verband met de ups en downs van je emoties en gevoelens. Het fysieke bioritme regelt lichamelijke kracht, energie, weerstand en herstel van ziekte. In de positieve fase is je conditie opperbest. In het negatieve deel van de cyclus ben je bevattelijker voor een verkoudheid of een griep.
15
Bepaal de periode voor elk van de bioritmen. • het intellectuele bioritme
februari 1
3
5
7
9
11
15
17
19
21
23
25
27
29
2
4
De periode is
dagen.
13
15
17
19
21
23
25
27
29
2
4
De periode is
dagen.
13
15
17
19
21
23
25
27
29
2
4
De periode is
dagen.
13
• het emotionele bioritme
februari 1
3
5
7
9
11
• het fysieke bioritme
1
februari 2
1
3
5
7
9
3 4 5 6 7 8
24
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
11
REEKS C Een wisselspanning is een spanning die wisselt van polariteit en dus periodiek positief en negatief is en dat in tegenstelling tot gelijkspanning die niet in de tijd varieert. Het lichtnet is een voorbeeld van wisselspanning. In Europa heeft het lichtnet een spanningsverloop met een effectieve spanning van 230 V en een frequentie van 50 Hz (dat betekent dat er per seconde 50 maal een maximum bereikt wordt). In de elektrotechniek verstaat men onder de effectieve waarde van een zuivere periodieke wisselspanning de waarde van een constante spanning die in een weerstand gemiddeld hetzelfde elektrisch vermogen ontwikkelt als het oorspronkelijk signaal. Om in de tijd veranderende en periodiek terugkerende verschijnselen, zoals wisselspanning, zichtbaar te maken, is de oscilloscoop een veelgebruikt instrument. De grafiek toont het verloop van de wisselspanning van 50 Hz. spanning (V)
16
400 300 200 100 0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025 0,03
0,035
0,04 tijd (s)
–100 –200 –300 –400
a) Bepaal de periode. b) Wat is het verband tussen de periode en de frequentie? c) In de elektriciteitsleer wordt aangetoond: effectieve waarde =
maximale waarde
Bereken de maximale waarde als de effectieve waarde 230 V is.
冪2
d) Duid de effectieve waarde van de wisselspanning aan op de figuur. Na hoeveel seconden wordt die effectieve waarde bereikt?
e) Na hoeveel seconden wordt een minimale spanning bereikt?
f) Na hoeveel seconden wordt een maximale spanning bereikt?
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN
25
STUDIEWIJZER Grafieken en tabellen 1.1 Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren KUNNEN Van een gegeven grafiek of vanuit een tabel of door samenvoegen van informatie uit beide de volgende karakteristieken aflezen en vaststellen: • de uitgezette grootheden en de gebruikte eenheden aflezen • een functiewaarde of origineel bepalen • stijgen en dalen in een interval bespreken • een maximum en/of minimum in een interval bepalen Vragen beantwoorden in aanvaardbare, realistische situaties, waarvoor het aflezen en interpreteren van een of ander aspect uit de grafiek en/of de tabel noodzakelijk is. Een grafiek manueel tekenen met behulp van gegevens uit een tabel. Een grafiek opmaken met ICT.
1.2 Stijgen en dalen in een interval KENNEN Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.
KUNNEN Intervallen noteren en de betekenis ervan geven. Stijgen en dalen van een grafiek van een functie noteren met intervallen.
1.3 Periodieke verschijnselen KENNEN Een periodiek verband is een verband tussen 2 grootheden waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt. De periode is de lengte van een interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet.
KUNNEN De periodiciteit van een periodieke functie bepalen.
CONTRACTWERK
1 2 3 4 5 6 7 8
26
HOOFDSTUK 1 I GRAFIEKEN EN TABELLEN