Pienter 5 & 6 (editie 2023) Uitgebreide analyse en algebra by VAN IN

VA N IN

IN Uitgebreide analyse en algebra

Derde graad D/A

Liesbeth Huys Dirk Taecke Thierry Van den Ouwelant MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Tom Van der Auwera Martine Verrelst Stephan Wellecomme

Via www.ididdit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter derde graad. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden. Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 2 schooljaren. Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be. Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden. Credits p. 9 Gateway Arch © Joseph Hendrickson / Shutterstock, p. 61 achtbaan © Nuttadol Kanperm / Shutterstock, p. 64, 110 en 126 vragen JWO en VWO © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, p. 81 Zuidertoren © Werner Lerooy / Shutterstock Eerste druk 2023 ISBN 978-94-647-0019-0 D/2023/0078/183 Art. 604933/01 NUR 120

Ontwerp cover: KaaTigo Ontwerp binnenwerk: fikfak Tekeningen: Dirk Vandamme Zetwerk: Crius Group

Inhoudsopgave 4

Hoe werk je met iDiddit?

Hoofdstuk 1

Tweedegraadsfuncties

Hoofdstuk 2

Afgeleiden

Hoofdstuk 3

De logaritmische schaal

111

Hoe werk je met Pienter?

Hoe werk je met Pienter? Voorbeeld 3start met een inhoudsopgave en een cartoon. Elk hoofdstuk Dat geeftBepaal je een eerste indruk van het hoofdstuk. de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = –2  (x – 1) + 8.

HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

f (x) = –2 · ( x – 1) + 8

1.1 1.2

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van 4 een realistische inleiding of een kort onderzoek 2 x kennis met het onderwerp dat aan bod–1zalO komen. 1 2 3 4 1.1

Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

1.3 1.4

Functies van de vorm f (x) = ax2

Functies van de vorm 2

f (x) = a  (x – a) + b

Functies van de vorm f (x) = ax 2 + bx + c

Studiewijzer

Pienter problemen oplossen

Situaties met ) = –2  (x – 1) + 8 De functie f (xvoorstellen heeft tweedegraadsfuncties twee nulwaarden: –1 en 3. 2

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2  (x – 1) + 8

Doorsnede van een rivierbedding twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–1, 0) en (3, 0). De parabool snijdt de x-as in (–1, 0) en (3, 0). d

GEOGEBRA

linkeroever 2

x 4

Gemeenschappelijk punt met de y-as

De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool.

1.1.1

Peilingen stellen de wetenschappers in staat om een model op te stellen voor de rivierbedding. 2 (x schattingen a  je – a) + b doen over Het gemeenschappelijk punt met de y-as van deOpfunctie f (x) =kun die manier –4 de breedte en de diepte van de rivier. bepaal je door x gelijk te stellen aan 0. –2

–6

Stel dat de diepte d (in m) van een rivier op x meter van de linkeroever wordt gegeven 1  (x – 8) 2 – 8. door het functievoorschrift d (x) =2 __ Bepaal het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = –2  (x – 1) + 8 8. Voorbeeld –8

• Hoe breed is de rivier?

f (x) = –2 · ( x – 1) + 8

• Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? 8 • Wat is die diepte?

1.1.3 • Algemeen Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever? Definitie

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Tweedegraadsfunctie

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax + bx + c, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r. O –1 1 2

1.1.2 Baan van een projectiel Zet een vinkje bij de voorschriften die bij een tweedegraadsfunctie horen. Besluit

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Hij volgt eenofbaan in de vorm van eenbepaal parabool. • De gemeenschappelijke punten (snijpunten raakpunt) met de x-as je 2 door de vergelijking a  (x – a) + b tweedegraadsfunctie? = 0 op te lossen. waarde a, b en c in het voorschrift De hoogte h (in m) vanvan de steen in functie van de tijd t (in s) De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden de functie. ja nee a b c wordt gegeven door het functievoorschrift t • Het snijpunt met de y-as bepaal je door x =2 0 te stellen. h (t) = –5t + 8t + 5. f (x) = 4x 2 – 3 ❒worp? ❒ • Hoe hoog bevindt de steen zich net voor de

De parabool snijdt de y-as in (0,om 6). naar f (x) = ax 2 + bx + c en noteer de waarde van a, b en c. Vorm de tweedegraadsfuncties h Een steen wordt van een gebouw geworpen.

f (x) = –x 2 + x – 4

❒

• Hoe hoog bevindt de steen zich na 1 s?

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES f (x) = (6x – 3)  (2x – 1)

Na elk stuk theorie kun je meteen ❒ oefenen. ❒ Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. (x) hoeveel = –2  (xseconden – 5) + 3 belandt de steen op de grond? Bepaal met ICT. • f Na Ze zijn opgedeeld in drie reeksen: VERDIEPING

❒

2 3

REEKS B

ICT 35 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen 15 werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar. Het laatste voorbeeld toont een tweedegraadsfunctie met een voorschrift van de vorm 2 ( ) ( ) f x = a  x – a + b . Die vorm van een tweedegraadsfunctie maakt het onderzoek naar In de voorbeelden van de rivierbedding en de baan van het projectiel is de graad van 2017 2018 2019 2020 2021 de functievoorschrift kenmerken van detelkens grafiek2.een We beperken ons in dit hoofdstuk dan ook het Hetstuk zijneenvoudiger. voorbeelden van tweedegraadsfuncties. 2 aantal jaren x na opstart 0 1 2 3 4 voornamelijk tot tweedegraadsfuncties van de vorm f (x) = a  (x – a) + b.

REEKS A

eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.1.4 Parabolen in het dagelijkse leven

❒

Oefeningen

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

winst w (in euro)

1 330

5 320

11 970

21 280

2022 5 33 250

a) Bepaal via regressie het verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.

b) Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?

Op iDiddit vind je extra oefeningen. Het Viaduc de Garabit, een spoorboogbrug over Parabola Rock in het Ergaki36Nature De Park tabel toont het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België ICT In de marge worden soms pictogrammen de rivier de Truyère in Frankrijk. in Sayan, Siberië. in een periode van vijf jaar en de leeftijd van de betrokkene x (x 18). gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.

ICT

2 936

2 610

2 223

1 815

1 255

1 035

Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal verkeersongevallen n en bv. Excel, GeoGebra …Een fontein van het Circuito Mágico de van de betrokkene x. Het Gateway Arch, een 192 m hoog monument delleeftijd Agua in in de Amerikaanse stad St. Louis.

het Parque de la Reserva, Lima (Peru).

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

b) Op welke leeftijd is het aantal het laagst? Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken jeongevallen aan een kader met vraagteken. Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?

c) Hoeveel verkeersongevallen per jaar gebeuren er bij de 60-jarigen?

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties 1.1

voor de leerling

Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift 2

f (x) = ax + bx + c, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r.

KUNNEN

–  + –  +

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.

1.2 Functies van de vorm f (x) = ax2

KENNEN

–  + –  +

De grafiek van de functie g (x) = ax (met a ∈ r 0) ontstaat door de grafiek van de functie ( )

•

De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x .

1 . Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor ____ |a| 2 De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x .

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’. Het is aan jou om aan de hand f x = x verticaal uit te rekken of samen te drukken. f verticaal uitgerekt met factor | a |. • Voor heuristieken van probleemoplossend denken de problemen op te lossen. | a | > 1 wordt de grafiek vanen VAN IN Plus Soms is het handig dat je extra lesinformatie of een videofragment zelf kunt bekijken of De coördinaat van de top is (0, 0). beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de KUNNEN –  + –  + pagina. Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.

Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

2 grafiek van de functie f (x) = ax herkennen. VAN INDePlus 2

De grafiek van de functie f (x) = ax tekenen met en zonder ICT. 2

Met behulp van de grafiek van f (x) = ax onderzoek doen naar: het functievoorschrift;

•

de coördinaat van de top;

•

de vergelijking van de symmetrieas;

•

het domein en het bereik;

•

de eventuele nulwaarden;

•

het tekenschema;

•

het verloop;

•

symmetrie.

•

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Het onlineleerplatform bij Pienter derde graad Mijn lesmateriaal Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals Excelbestanden, filmpjes, GeoGebra-toepassingen, extra oefeningen ...

Extra materiaal Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend audio- of videofragment zijn, een woorden- of begrippenlijst, een extra bron of een leestekst. Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof onder de knie te krijgen.

Adaptieve oefeningen In dit gedeelte kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau. Hier kun je vrij oefenen of de oefeningen maken die de leerkracht voor je heeft klaargezet.

Opdrachten Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Evalueren Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen? Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.

Notities Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud? Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.

Meer weten? Ga naar www.ididdit.be

HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.1

Situaties voorstellen

1.2

Functies van de vorm

f (x) = ax2

1.3

met tweedegraadsfuncties

Functies van de vorm 2

f (x) = a  (x – a)  + b

Studiewijzer

Pienter problemen oplossen

1.4

Functies van de vorm

f (x) = ax  2 + bx + c

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.1

Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

1.1.1

Doorsnede van een rivierbedding d

GEOGEBRA

linkeroever 2

–2 –4 –6

De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool. Peilingen stellen de wetenschappers in staat om een model op te stellen voor de rivierbedding. Op die manier kun je schattingen doen over de breedte en de diepte van de rivier.

Stel dat de diepte d (in m) van een rivier op x meter van de linkeroever wordt gegeven 1    ( x – 8)  2 – 8. door het functievoorschrift d (x) =  __ 8

–8

• Hoe breed is de rivier?

• Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? • Wat is die diepte?

• Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever?

1.1.2 Baan van een projectiel

Een steen wordt van een gebouw geworpen. Hij volgt een baan in de vorm van een parabool.

De hoogte h (in m) van de steen in functie van de tijd t (in s) wordt gegeven door het functievoorschrift 2 h (t) = –5t  + 8t + 5.

• Hoe hoog bevindt de steen zich net voor de worp?

• Hoe hoog bevindt de steen zich na 1 s?

• Na hoeveel seconden belandt de steen op de grond? Bepaal met ICT.

In de voorbeelden van de rivierbedding en de baan van het projectiel is de graad van het functievoorschrift telkens 2. Het zijn voorbeelden van tweedegraadsfuncties.

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.1.3 Algemeen Definitie

Tweedegraadsfunctie 2

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax + bx + c, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r. Zet een vinkje bij de voorschriften die bij een tweedegraadsfunctie horen. 2 Vorm de tweedegraadsfuncties om naar f (x) = ax + bx + c en noteer de waarde van a, b en c. tweedegraadsfunctie?

f (x) = 4x 2 – 3 3

f (x) = –x 2 + x – 4 f (x) = (6x – 3)  (2x – 1)

nee

waarde a, b en c in het voorschrift

f (x) = –2  (x – 5) + 3

Het laatste voorbeeld toont een tweedegraadsfunctie met een voorschrift van de vorm 2 f (x) = a  (x – a) + b. Die vorm van een tweedegraadsfunctie maakt het onderzoek naar de kenmerken van de grafiek een stuk eenvoudiger. We beperken ons in dit hoofdstuk dan ook 2 voornamelijk tot tweedegraadsfuncties van de vorm f (x) = a  (x – a) + b.

1.1.4 Parabolen in het dagelijkse leven

Het Viaduc de Garabit, een spoorboogbrug over de rivier de Truyère in Frankrijk.

Parabola Rock in het Ergaki Nature Park in Sayan, Siberië.

Het Gateway Arch, een 192 m hoog monument in de Amerikaanse stad St. Louis.

Een fontein van het Circuito Mágico del Agua in het Parque de la Reserva, Lima (Peru).

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.2

Functies van de vorm f (x) = ax 2

1.2.1 Grafiek van de functie f (x) = x2 Vul de tabel aan.

f (x)

–3

–2

–1

–0,5

0,5

6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

GEOGEBRA

Teken de grafiek.

• De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een dalparabool. • De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat .

De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking .

• De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas. In dit geval is de coördinaat van de top .

• De functie is dalend in en stijgend in . In de top bereikt de functie een minimum.

• dom f = ber f = nulwaarde:

• tekenschema:

f ( x)

Algemeen

verloop:

• symmetrieas: de y-as (x = 0);

• top: het punt (0, 0).

De grafiek van de functie f (x) = x  2 is een parabool met:

• holle zijde naar boven (dalparabool);

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.2.2 Grafiek van de functie f (x) = ax2

1    x Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = 2  x en h (x) =  __ 2 2 uit de grafiek van f (x) = x ? 2

x 2

f (x) = x

g (x) = 2  x

1    x h (x) =  _ 2 2

–4

–3

–2

–1

4,5

0,5

4,5

 2

1     _ 2

GEOGEBRA

f(x) = x 2

7 6 5 4

1 2

N 1 2

1 2

3 2

–4

–3

–2

–1

a > 1

O –1

x 2

0<a <1

Om de grafiek van de functie g (x) = 2  x 

1    x Om de grafiek van de functie h (x) =  __ 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk

punt van de grafiek vermenigvuldigen met 2.

punt van de grafiek vermenigvuldigen met __   1  . 2

Je verkrijgt een grafiek met

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk

een smallere opening dan die van f (x) = x . 2

Je zegt dat de grafiek van f (x) = x  verticaal is uitgerekt met factor 2.

een bredere opening dan die van f (x) = x . 2

Je zegt dat de grafiek van f (x) = x

verticaal is samengedrukt met factor 2.

• holle zijde naar ( parabool) • symmetrieas: • top:

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = –x en h (x) = –2  x 2

x 2

f (x) = x

g (x) = –x

h (x) = –2  x

–4

–3

–2

–1

–16

–9

–4

–1

–4

–9

–16

–32

–18

–8

–2

–8

–18

–32

 (–1)  ( –2)

VIDEO

uit de grafiek van f (x) = x ?

f(x) = x 2

4 3 2 1

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

–5

Om de grafiek van de functie g (x) = –x

a < 0

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk

Om de grafiek van de functie h (x) = –2  x

punt van de grafiek vermenigvuldigen met –1.

punt van de grafiek vermenigvuldigen met –2.

De grafiek van f (x) = x is achtereenvolgens:

De grafiek van f (x) = x is

gespiegeld ten opzichte van de x-as.

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk

• gespiegeld ten opzichte van de x-as; • verticaal uitgerekt met factor 2.

• holle zijde naar ( parabool) • symmetrieas: • top:

1 2 3

g(x) = –x 2

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Algemeen

De grafiek van de functie g (x) = ax (met a ∈ r   0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x verticaal uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |. 2 De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x . • Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor ____   1  . 2 | a | De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x . Als a > 0, is de grafiek een dalparabool. Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, 0).

1.2.3 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax  2 Voorbeeld

1   x2. Teken de grafiek van de functie g (x) =  __ 4

a) door de tabel met functiewaarden aan te vullen. g (x)

–4 –3 –2

10 9 8 7 6 5

4 3

–1

–5

2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2

x 1

b) met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x . • Duid enkele punten aan op de grafiek 2 van f (x) = x . Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm ( x, f ( x)) .

9 8 7

• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van deze punten met a . Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, a  f ( x)) .

6 5 4 3

1   x Bij het tekenen van de grafiek van g ( x) =  __ 4 vermenigvuldig je de y-coördinaat van 2

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1O

x 1

de gekozen punten telkens met factor . UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A 1

1   x . Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie f (x) = –  __ 2 2

f (x)

–3

–2

–1

3 1

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

–2 –3 –4 –5 –6

Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x). a) g ( x) = 1,5x2

verticale met factor 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1 O 1

1   x2 b) g ( x)= –  __ 4 verticale met factor

1   x2 c) g ( x)=  __ 5 verticale met factor

y –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1 O 1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 f –11 –12 –13

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 O 1

x 2

d) g ( x)= –3x2

verticale met factor y

x 2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12 f –13

x 2

REEKS B Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop. a)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1O

• f (x) =

• dom f =

x f ( x)

–2

O –1 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 –1.2 –1.4 –1.6 –1.8 –2 –2.2 –2.4 –2.6 –2.8

• dom f =

ber f =

• tekenschema:

y 7

6 5 4 3 2 1

–4

–3

–1 O –1

–2

• f (x) =

• dom f =

ber f =

• tekenschema:

• verloop:

f (x)

• verloop:

x f

• f (x) =

f (x)

0.4 0.2

–3

• verloop:

f ( x)

ber f =

• tekenschema: x

• dom f =

• verloop: x

x 1

• f (x) =

ber f =

• tekenschema:

y –4 –3 –2 –1–1O –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 f –12

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.3

Functies van de vorm f (x) = a  (x – a)  + b 2

1.3.1 Grafiek van de functie f (x) = (x – a)  2

GEOGEBRA

f (x) = x

g (x) = (x – 2)  2

h (x) = (x + 1) 

–4

–3

–2

–1

VIDEO

Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = (x – 2)  en h (x) = (x + 1)  uit de grafiek van f (x) = x ?

9 8

h(x) = (x + 1)

f(x) = x

g(x) = (x – 2)

7 6 5

–1

3 2 1

–1

–4

–3

–2

a < 0

–1

te verschuiven over een afstand 1.

de grafiek van f (x) = x   2 horizontaal naar rechts te verschuiven over een afstand 2.

• a =

• holle zijde naar ( parabool)

• a =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van g (x) = (x – 2)  ontstaat door

De grafiek van de functie g (x) = (x – a)  ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x   2 horizontaal te verschuiven over een afstand | a |.

De vergelijking van de symmetrieas is x = a. De coördinaat van de top is (a, 0).

a >0

• Voor a > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven. • Voor a< 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven.

De grafiek van h (x) = (x + 1)  ontstaat door

de grafiek van f (x) = x  2 horizontaal naar links

Algemeen

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.3.2 Grafiek van de functie f (x) = x  2 + b –4

–3

–2

–1

–3

–4

–3

GEOGEBRA

f (x) = x

g (x) = x  + 1

h (x) = x – 4

–4

VIDEO

Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = x  2+ 1en h (x) = x  2 – 4uit de grafiek van f (x) = x ?

h(x) = x – 4

f(x) = x

g(x) = x + 1

3 2

–4 –3

–2

–1

–4

–1

–2 – 4

–3

b < 0 2

b > 0

De grafiek van h (x) = x – 4ontstaat door

De grafiek van g (x) = x  2+ 1ontstaat door

te verschuiven over een afstand 4.

de grafiek van f (x) = x  2 verticaal naar boven te verschuiven over een afstand 1.

• b =

• holle zijde naar ( parabool)

• b =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

de grafiek van f (x) = x  2 verticaal naar beneden

Algemeen

–4

De grafiek van de functie g (x) = x  2 + bontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x  2 verticaal te verschuiven over een afstand b .

| |

• Voor b > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven. • Voor b< 0 wordt de grafiek van f naar beneden verschoven. De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, b).

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.3.3 Grafiek van de functie f (x) = a  ( x – a)  + b Voorbeeld 1

VIDEO

1    (x + 2)  2 – 2uit de grafiek Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y =  __ 2 2 met vergelijking y = x ? 2

y = x ↓

y = (x + 2)  ↓

1    (x + 2)  y =  _ 2 2

↓

GEOGEBRA

1     (x + 2)  2 – 2 y =  _ 2

y = (x + 2)2

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = 1 · (x + 2)2 2

–7

–6

–5

–4

–3

–2

y = 1 · (x + 2)2 – 2 2

–1

y = x2 x 1

–1 –2 –3 –4

1    (x + 2)  2 – 2is een parabool met De grafiek met vergelijking y =  __ 2

1 2 3

• holle zijde naar

( parabool)

• opening

die van y = x

• symmetrieas:

• top:

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Voorbeeld 2 2

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = –(x – 2)  – 3uit de grafiek 2 met vergelijking y = x ? 2

y = x

↓

y = (x – 2) 

y = –(x – 2)  ↓

↓

y = –(x – 2)  – 3

y = ( x – 2)2

y = x2

9 8 7 6

5 4 3 2 1

–4

–3

–2

–1

x 1

–2 –3 –4 –5

y = – (x – 2)2 – 3

–6

–7 –8

y = – (x – 2)2

–9

De grafiek met vergelijking y = –(x – 2)  – 3is een parabool met

• holle zijde naar

( parabool)

• opening

die van y = x

• symmetrieas:

• top:

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Algemeen

f (x) = x • | a |is omgekeerd evenredig met • verticale uitrekking (| a | > 1) of

de openingsbreedte.

samendrukking (| a | < 1)

• a > 0: dalparabool

de x-as als a < 0

• a < 0: bergparabool

• spiegeling ten opzichte van

(holle zijde naar boven)

(holle zijde naar beneden)

f (x) = a  x

horizontale verschuiving over | a |

• symmetrieas:

de rechte met vergelijking x = a

• naar rechts als a > 0

• co(top) = (a, 0)

• naar links als a < 0

f (x) = a  (x – a) 

| |

verticale verschuiving over b

• naar boven als b > 0

• co(top) = (a, b )

• naar beneden als b < 0

f (x) = a  (x – a)  + b

Besluit

Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = a  (x – a)  + b 2

  0) is een parabool De grafiek van de functie f (x) = a  (x – a)  + b(met a ∈ r met de volgende kenmerken: • a> 0: dalparabool; a< 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = a . ). • De top heeft als coördinaat (a, b

1 2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.3.4 Gemeenschappelijke punten met de assen Gemeenschappelijke punten met de x-as 2

 (x – a)  + b De gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = a 2

vind je door de vergelijking a  ( x – a)  + b = 0op te lossen.

Voorbeeld 1

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = –2  (x + 4)  .

y x

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–7

–1

–2

–3

–4 –5

f (x) = – 2 · ( x + 4)

–6

De functie f (x) = –2  (x + 4)  heeft één nulwaarde: –4.

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2  (x + 4) 

één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–4, 0).

De parabool raakt de x-as in (–4, 0).

Voorbeeld 2

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = 3  (x + 5)  + 12. y

25 20

15 2

f (x) = 3 · ( x + 5) + 12

10 5 x

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

De functie f (x) = 3  (x + 5)  + 12heeft geen nulwaarden.

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = 3  (x + 5)  + 12

geen punten gemeenschappelijk heeft met de x-as.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Voorbeeld 3 2

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = –2  (x – 1)  + 8. y

f (x) = –2 · ( x – 1) + 8

2 x O

–1

De functie f (x) = –2  (x – 1)  + 8heeft twee nulwaarden: –1 en 3. 2

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2  (x – 1)  + 8

twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–1, 0) en (3, 0). De parabool snijdt de x-as in (–1, 0) en (3, 0).

Gemeenschappelijk punt met de y-as 2

Het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = a  (x – a)  + b bepaal je door x gelijk te stellen aan 0.

Voorbeeld

Bepaal het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = –2  (x – 1)  + 8. y

f (x) = –2 · ( x – 1) + 8

2 x –1

De parabool snijdt de y-as in (0, 6).

Besluit

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je 2 door de vergelijking a  ( x – a)  + b = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

GeoGebra

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.3.5 Modeloefeningen Modeloefening 1 2 Vul de kenmerken van de parabool met vergelijking y = __   1    (x – 4)  aan. 3 • dalparabool/bergparabool 2

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x

• symmetrieas: • top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as: Modeloefening 2

1    (x + 3)  2 + __   9 . Teken de grafiek van de functie f (x) = –  __ 2 2 • vorm van de parabool: • symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as: • grafiek:

top

x –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

f (x)

O –1 –2

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A 4

Plaats elke parabool bij de juiste vergelijking en vul aan.

graf iek 1 graf iek 4

7 6 5 4 3

–9

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1    (x + 2)  – 2is grafiek y =  __ 2 • dalparabool/bergparabool

y = –2x  + 8is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• symmetrieas:

y = (x + 1)  is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x

• gemeenschappelijk punt met de y-as: 2

y = –(x – 2)  – 3is grafiek

• dalparabool/bergparabool 2

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

• symmetrieas:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x

graf iek 3

graf iek 2

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als 2 de parabool y = x ), de symmetrieas en de top van de parabolen. 2

a) y = 8x2

e) y = (x + 2)  + 1

vorm:

opening:

symmetrieas:

top:

opening:

b) y = (x – 1) 

f) y = 4  (x + 5)  – 6

vorm:

opening:

symmetrieas:

top:

1   x  2+ 5 c) y = –  __ 2

vorm:

2   (x – 7)  2 –  __ 1   g) y =  __ 3 2

opening:

symmetrieas:

top:

d) y = –3  (x + __  7  )  5

vorm:

5    + 6 h) y = –(x –  __ 2) vorm:

opening:

symmetrieas:

top:

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Plaats de juiste parabool bij elke vergelijking. y 7 6 5 4 VI

III

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

–4

–5 V

–6 –7

a) y = ( x + 1)  – 4

1    ( x + 1)  2 + 1 d) y = –  __ 2

1    (x + 1)  2 e) y = –  __ 2

f) y = 2  ( x + 1)  – 4

b) y = x – 4

c) y = ( x + 1)  + 1

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

REEKS B 7

Noteer het voorschrift van de tweedegraadsfunctie g, waarvan de grafiek ontstaat 2 door de grafiek van de functie f met voorschrift f (x) = x :

a) te spiegelen ten opzichte van de x-as.

b) 3 eenheden te verschuiven naar rechts. c) verticaal uit te rekken met factor 5 en 2 eenheden te verschuiven naar boven. d) achtereenvolgens verticaal uit te rekken met factor 2, te spiegelen ten opzichte van de x-as en 3 eenheden te verschuiven naar links.

e) achtereenvolgens verticaal samen te drukken met factor 3, vervolgens 5 eenheden te verschuiven naar rechts en tot slot 2 eenheden te verschuiven naar beneden.

f) 4 eenheden te verschuiven naar rechts en vervolgens te spiegelen ten opzichte van de x-as.

g) te spiegelen ten opzichte van de x-as en vervolgens 1 eenheid te verschuiven naar boven.

h) 1 eenheid te verschuiven naar boven en vervolgens te spiegelen ten opzichte van de x-as.

Hoe kan de grafiek van g verkregen worden uit de grafiek van f met voorschrift f (x) = x ? 2

a) g (x) = –2  (x + 6) 

b) g (x) = 3x  2 + 4

1    ( x – 1)  – 2 c) g (x) =  __ 2

d) g (x) = – (x + 3)  + 1

1   x  2 + 4 e) g (x) = –  __ 6

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as. 2

a) f (x) = –2x 

b) f (x) = (x – 1) 

1   x  + 5 c) f (x) = –  __ 5 2

2   1   d) f (x) = –(x + 2)  + __ 4

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as. 2

a) f (x) = 3  (x + 4)  + 2

b) f (x) = –3  (x + 4)  + 12

c) f (x) = –5  (x – 5)  + 20

3   (x – 5)  2 + __   1   d) f (x) =  __ 4 2 UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Teken de grafiek van de functie f (x) = (x – 2)  – 4.

a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

g) grafiek:

f (x)

f) bijkomende punten:

–4

x –3

–2

–1

–2

–3 1 –4

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Teken de grafiek van de functie f (x) = –2  (x – 3)  + 8.

a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

g) grafiek:

f (x)

f) bijkomende punten:

5 4 3 2 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

x 2

–1

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1    ( x + 1)  2 + __ Teken de grafiek van de functie f (x) =  __   4 . 3 3 a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas: c) top: d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

g) grafiek:

f (x)

f) bijkomende punten:

–4

1 x

–3

–2

–1

1 2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

O –1

Een golfer slaat tegen een golfbal. De hoogte h (in m) van de golfbal kan beschreven worden door de functie 1  (x – 120) 2 + 20. h (x) = – ____ 720 Daarbij is x de horizontale afstand (in m). a) Na hoeveel meter bereikt de golfbal zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich als deze 150 m ver is?

c) Na hoeveel meter belandt de bal terug op de grond?

Voor filmopnamen wordt een pop van op de top van de Taipei 101 naar beneden gegooid. 2 De hoogte h (in m) van de pop wordt gegeven door de functie h (t) = 509 – 5t . Daarbij is t de tijd in seconden.

a) Hoe hoog is het gebouw?

b) Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 s?

c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond? Rond af op 0,01 s.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

De Golden Gate Bridge is een hangbrug die San Francisco met het noorden verbindt. De kabels die tussen twee van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen 2 met vergelijking y = 0,000 39  (x – 640) + 2. Daarbij is x de afstand tot de linkerpijler en y de hoogte boven het wegdek (beide in m). a) Op welke hoogte zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?

b) Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?

c) Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek? Hoe hoog hangen ze op dat punt?

Een schip vuurt een kanonskogel af richting een vijandelijk schip.

De hoogte h (in m) van de kanonskogel kan beschreven worden 2

7 + 76. door de functie h (t) = –5  (t – __ 2) Daarbij is t de tijd (in s) na het afvuren van de kogel. a) Vul de tabel aan. t (s)

h (m)

b) Wanneer bereikt de kanonskogel zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?

c) Na hoeveel seconden bereikt de kanonskogel zijn doel, als je weet dat de kanonskogel het vijandelijk schip raakt op een hoogte van 12 m? Rond af op 0,01 s.

1 2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.3.6 Verloop en tekenschema Verloop VIDEO

Stel: f is een tweedegraadsfunctie. a>0

GEOGEBRA

a<0

De grafiek is een bergparabool.

De grafiek is een dalparabool.

• Als x < xT , daalt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).

• Als x < xT , stijgt de functie.

• Als x > xT , stijgt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).

• Als x > xT , daalt de functie.

• De functie f bereikt een minimale waarde als x = xT . Dat minimum is yT .

• De functie f bereikt een maximale waarde als x = xT . Dat maximum is yT .

Schematische voorstelling:

x   T

x f

↘

y  T min

x  T

↗

y  T max

↘

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Tekenschema Stel: f is een tweedegraadsfunctie. VIDEO

GEOGEBRA

Dan: f (x) > 0 als de grafiek van f boven de x-as ligt. f (x) < 0 als de grafiek van f onder de x-as ligt. f (x) = 0 als de grafiek van f een gemeenschappelijk punt heeft met de x-as. • De functie heeft twee verschillende nulwaarden x  1 en x  2. Stel: x  1 < x  2 a > 0

x f ( x) +

x1 0

f ( x)

teken van a

f ( x) –

a < 0

–

tegengesteld teken van a

teken van a

• De functie heeft één nulwaarde x  1. a > 0

f ( x)

a < 0

teken van a

x f ( x)

x1 –

x1 0

teken van a

• De functie heeft geen reële nulwaarden. a > 0

y O

x x

f ( x)

x f ( x)

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

x f ( x)

a < 0

teken van a

–

Voorbeelden Bepaal het verloop en het tekenschema van de tweedegraadsfuncties. 2

a) f (x) = – x  + 2 verloop:

tekenschema:

x f

1    (x + 3)  b) f (x) = –  __ 3 2

f (x)

tekenschema:

verloop:

x f

x f ( x)

1    (x – 4)  – 8 c) f (x) =  __ 2 2

tekenschema:

verloop:

x f

f (x)

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A 18

Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. 2

a) f (x) = –2x  2+ 6

e) f (x) = –4  (x + 1)  + 10

x f

2 c) f (x) = (x – 1)  + __   5  2

x f

1 2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

23   4   x + __ h) f (x) = –  __   1  )  –  ___ 5 ( 8 80

d) f (x) = 3  (x + 5)  – 4

7     + ___ g) f (x) = –(x –  __   41  2) 4

1     f) f (x) = (x –  __ 3)

b) f (x) = (x + 3)  – 9

Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties. 2

a) f(x) = 2  (x – 1)  – 18

d) f (x) = (x – 4)  + 9

x f (x)

f ( x)

9  1    (x + 2)  2 –  __ e) f (x) =  __ 2 2

b) f (x) = –(x + 5) 

f (x)

c) f (x) = –2  (x + 4)  + 10

f (x)

3   (x + 3)  2 –  __ 1   f) f (x) =  __ 4 3

f (x)

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

REEKS B 20

Bepaal het verloop en het tekenschema van de tweedegraadsfuncties. 2

 2 )  – 3 a) f (x) = –(x + __ 5 verloop:

tekenschema:

x f

3   x –  __ 1     b ) f (x) =  __ 2 ( 3)

f (x)

tekenschema:

verloop:

x f

x f (x)

1    (x + 4)  2 + __   1   c) f (x) = –  __ 2 2

tekenschema:

verloop:

x 1

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

f (x)

1.3.7 Het voorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen 2

GEOGEBRA

Een tweedegraadsfunctie f (x) = a  (x – a) + b heeft als grafiek een parabool met vergelijking 2 y = a  (x – a) + b. Als de top en een extra punt van de parabool gegeven zijn, kun je op een vrij eenvoudige manier de vergelijking van deze parabool opstellen. Voorbeeld 1 Van een parabool p zijn de top T (–3, 2) en een punt A (3, 14) gekend. Bepaal de vergelijking van p.

Oplossing: p heeft als vergelijking y = a  (x – a) + b.

• co (T) = (a, b) = (–3, 2) ⇒ a = –3 en b = 2. • A(3, 14) behoort tot p

⇔

14 = a  (3 + 3) + 2 14 = 36a + 2

1  (x + 3) + 2. De vergelijking van p is dus: y = __ 3 2

⇔

De vergelijking is dus: y = a  (x + 3) + 2. 36a = 12 ⇔

1 a=_ 3

Voorbeeld 2

De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg. De glazen voorgevel heeft een parabolische vorm en is 72 m breed en 36 m hoog.

a) Bepaal de vergelijking van de voorgevel.

b) Bereken de hoogte van de gevel op 10 m van de linkerkant van het gebouw. Rond af op 0,01 m.

c) Hoe breed is de gevel 5 m boven de grond? Rond af op 0,01 m.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Bepaal de vergelijking van de parabolen met top T, die het punt A bevatten. a) co(T) = (0, 0)

co(A) = ( 1, 2)

b) co(T) = (0, 3)

co(A) = ( 1, 2)

c) co(T) = (–4, 0)

co(A) = ( –1, 9)

g) co(T) = (–3, 3)

d) co(T) = (2, 5)

co(A) = ( 0, 7)

f) co(T) = (2, –5)

co(A) = ( 3, 10)

co(A) = ( 4, 1)

h) co(T) = (5, 18)

2 3

e) co(T) = (–3, –8)

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

co(A) = ( –6, 0)

co(A) = ( 7, 34)

Bepaal de vergelijking van de parabolen. a)

y 4

y 1

3 2

–2

1 –3

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –3

–1 O –1

–4

–5 –6

–2

–7

–3

–8

–4

–9

–5

–4

–3

–2

–1 O –1

–6

5 4 3 2

–2

–3 –4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

–5

–2

x 1

–3

–6

–4

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

REEKS B 23

Kogelstoten is een onderdeel binnen de atletiek waarbij het de bedoeling is om een kogel over een zo groot mogelijke afstand weg te stoten. Een kogelstoter stoot de kogel weg volgens een parabolische baan. a) Bepaal de vergelijking van de parabool. y 4

De dwarse doorsnede van een rivierbedding heeft de vorm van een parabool. De rivier is 15 m breed en heeft een maximale diepte van 8 m.

b) Op welke hoogte werd de kogel losgelaten?

a) Bepaal de vergelijking van de parabool, waarbij x de afstand is tot de linkeroever en y de diepte (beide in meter).

b) Hoe diep is de rivier op 1 m van de linkeroever? Rond af op 0,01 m.

1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Nouri trapt een bal vanop de grond weg. De bal valt na 28 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 4 m.

a) Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Nouri en y de hoogte (beide in m).

REEKS C

De dwarsdoorsnede van een tunnel heeft de vorm van een parabool. Op de grond bedraagt de breedte van de tunnel exact 7 m. De maximale hoogte van de tunnel is 4,5 m. Bepaal de vergelijking van de parabool.

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich op een afstand van 10 m van Nouri? Rond af op 0,01 m.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

1.4

Functies van de vorm f (x) = ax  2 + bx + c

1.4.1 Grafiek van de functie f (x) = ax  2 + bx + c Voorbeeld 1:

Teken met ICT de grafiek van de functie f (x) = x  – 6x + 8.

• waarde a, b en c in het voorschrift: a = b = c =

r dalparabool r bergparabool

• symmetrieas:

• top:

• vorm van de parabool:

b   = • Bereken –  ___ 2a

Je ziet dat de waarde overeenkomt met

b   te berekenen. • De y-coördinaat van de top kun je bepalen door f (–  ___ 2a )

Voorbeeld 2:

Die is dan gelijk aan

Teken met ICT de grafiek van de functie f (x) = – 2x  – 4x + 6.

• waarde a, b en c in het voorschrift: a = b = c = • vorm van de parabool:

r dalparabool r bergparabool

• symmetrieas:

• top:

b   = • Bereken –  ___ 2a

Je ziet dat de waarde overeenkomt met

b   te berekenen. • De y-coördinaat van de top kun je bepalen door f (–  ___ 2a ) Die is dan gelijk aan

Besluit

. 2

Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = ax  + bx + c • a > 0: dalparabool

a < 0: bergparabool

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

1 2 3

b  . • De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –  ___ 2a b b • De top heeft als coördinaat –  ___ , f (–  ___ ) . ( 2a 2a ) UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

1.4.2 Gemeenschappelijke punten met de assen Gemeenschappelijke punten met de x-as VIDEO

De gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = ax  + bx + c vind je door de vergelijking a x   2 + bx + c = 0op te lossen. a x  2 + bx + c = 0

(met a ∈ r  0 en b, c ∈ r)

Je deelt beide delen door a.

x   2 + _   b x + _  c = 0 a a c x   2 + _   b x = –  _ a a

Je verandert de constante term van lid.

Je maakt het dubbel product zichtbaar.

c x   2 + 2  _   b  x = –  _ a 2a 2

Je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

c +  _ b   x   2 + 2  _   b  x + (   b ) _   = –  _ a ( 2a ) 2a 2a

Je vermeerdert beide leden met ( ___   b  )  . 2a

c+_ (x + _   b )   = –  _   b  2   a 2a 4a  2

Je werkt het rechterlid verder uit.

b  – 4ac   (x + _   b )   =  _ 2 2a 4a  2

D   (x + _   b )   =  _ 2 2a 4a 

Stel: D = b – 4ac.

Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief. 2 Daarom is de teller van het rechterlid (b  – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen. 2 Je noemt D = b  – 4ac de discriminant van de vergelijking. eerste geval: D > 0 2

D     b )   =  _ (x + _ 2 2a 4a  ____ ____ b b D ___ ____ ___   D 2   ⇔ ⇔ x +     = –   2   of x +     = ____ 2a 2a 4a  4a  _ _ √ √ D D b   = _____ b   = –  _____   of x +  ___     ⇔ x +  ___ ⇔ 2a 2a 2a 2a _ _ √ √ –b + D D –b –   of x =  ________   ⇔ x =  ________ ⇔ 2a 2a

√

⇔

tweede geval: D = 0 2

D     b )   =  _ x + _ 2 ( 2a 4a  2

0     b  )  =  ____ x + ___ 2 ( 2a 4a  2

  b  )  = 0 x + ___ ( 2a

b   = 0 x +  ___ 2a

derde geval: D < 0 2

D     b )   =  _ x + _ 2 ( 2a 4a 

De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief.

b   x = –  ___ 2a

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

Besluit

De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax   2 + bx + c = 0op te lossen. 2

Je berekent de discriminant D = b  – 4ac. D>0

twee verschillende oplossingen:

D=0

één oplossing (of twee samenvallende oplossingen):

_ _ –b – √ D –b + √ D ________ ________   en x   2 =     x   1 =   2a 2a

D<0

geen reële oplossingen

b x  1 = x   2 = –  _ 2a

De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie. Als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat. Als D = 0 spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen. Gemeenschappelijk punt met de y-as

Het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = ax  + bx + c bepaal je door x gelijk te stellen aan 0, dus ⇓

f (0) = a  0  + b  0 + c ⇓

uitwerken

f (0) = c

x vervangen door 0

f (x) = ax  2 + bx + c

Besluit

Het snijpunt met de y-as van de grafiek van de functie f (x) = ax  2 + bx + c is het punt met coördinaat (0, c).

Voorbeelden

Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as. f(x) = x   2 – 3x – 10

x-as: x  2 – 3x – 10 = 0 a = D=

1 2 3

b =

c =

f(x) = 16x  2 – 24x + 9

x-as: 16x  2 – 24x + 9 = 0 a = D=

y-as:

b =

Opmerking: als D = 0, dan valt het raakpunt met de x-as samen met de top. b  , 0 . Beiden hebben dan als coördinaat ( –  ___ 2a ) UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

c =

VERDIEPING

1.4.3 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax  2 + bx + c 2

Teken de grafiek van de functie f (x) = x  – 2x – 3.

b) symmetrieas:

c) top:

a) vorm van de parabool:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as: f) bijkomende punten:

top

f (x)

g) grafiek:

5 4 3 2 1 x

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

Oefeningen REEKS B 27

Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als 2 de parabool y = x ), de symmetrieas en de top van de parabolen. 2

a) y = x  2 – 6x + 2

e) y = 2x  – 8x + 7

vorm:

opening:

symmetrieas: top:

b) y = –x  2+ 2x – 5

1   x  2+ 3x f) y = –  __ 2 vorm:

opening:

vorm:

opening:

symmetrieas:

top:

vorm:

g) y = –x  2 + x – 3

opening:

symmetrieas:

top:

c) y = 2x  2 – 4x + 1

vorm:

1   x  2+ 4 d) y = –  __ 3 vorm:

h) y = x  2+ 7x + 6

opening:

symmetrieas:

top:

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

vorm:

Bereken de nulwaarde(n) van de tweedegraadsfuncties. a) f (x) = x  2+ 2x – 3

f) f (x) = – x  2 + x + 6

g) f (x) = x  2 – 4x – 5

b) f (x) = x  2+ 3x – 10

h) f (x) = x  2+ 28x + 196

c) f (x) = x  2 – x + 2

d) f (x) = x  2 – 10x + 25

i) f (x) = x  2 – 12x + 40

e) f (x) = –x  2+ 3x – 2

VERDIEPING

j) f (x) = –x  2+ 16x – 64

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

Bereken de nulwaarde(n) van de tweedegraadsfuncties. a) f (x) = 2x  2 – 5x – 3

f) f (x) = 14x  2 – 3x – 5

d) f (x) = 5x  2+ 15x + 17

i) f (x) = –12x  2+ 43x – 21

j) f (x) = –9x  2 – 6x – 1

2 3

e) f (x) = 6x  2 + x – 1

h) f (x) = –64x  2+ 48x – 9

c) f (x) = 3x  2 – 13x + 12

g) f (x) = –3x  2+ 6x – 4

b) f (x) = 25x  2+ 70x + 49

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Teken de grafiek van de functie f (x) = –x  2+ 6x + 7.

VERDIEPING

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas: c) top: d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

g) grafiek:

f (x)

f) bijkomende punten:

10 8 6 4 2

x –12

–10

–8

–6

–4

–2

–2 –4 –6 –8 –10

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

1   x  2+ 4x – 1. Teken de grafiek van de functie f (x) =  ___ 2

a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as: f) bijkomende punten:

f (x)

g) grafiek:

–8

–7

–6

–5

4 3 2 1 x –4

–10 –9

–3

–2

–1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–9

–10

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Bepaal, met behulp van ICT, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop. Rond alle afgelezen waarden, indien nodig, af op 0,01. a) f (x) = 3x  2 – 5x + 1

d) f (x) = –x  2+ 3x + 6

• dom f =

• ber f =

• tekenschema:

• verloop:

• tekenschema:

• verloop:

f (x)

x f

f) f (x) = –0,2x  2 + x + 0,4

• tekenschema:

• dom f = • ber f =

f ( x)

f (x)

• verloop:

c) f (x) = x  2 + __   1   x + 8 3 • dom f = • ber f =

• verloop:

x f

• ber f =

• tekenschema:

1   x  2+ 3x + 9 e) f (x) =  __ 4 • dom f =

• dom f =

f (x)

b) f (x) = –2x  2+ 6x – 1

• ber f =

f (x)

• verloop:

x f

f (x)

VERDIEPING

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

REEKS C 33

Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as. Rond, indien nodig, af op 0,01. 2

a) f (x) = x  2 + x – 4

e) f (x) = –4x  + 11x – 1

3  x2 –  __ 5  x + ___ b) f (x) =  __  15  8 4 2

c) f (x) = 3 x  – 4 √   3 x + 4

h) f (x) = x  2+ 9x + __  3  2

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

g) f (x) = –5x  + 22x – 1

37  x 1   x  2 –  ___ d) f (x) =  __ 3 9

f) f (x) = 11x  – 3x – 5

Bepaal het verloop en het tekenschema. Rond, indien nodig, af op 0,01. a) f (x) = 2x  2 – 7x – 30 • verloop:

• tekenschema:

x f (x)

VERDIEPING

b) f (x) = –4x  – 16x – 16 • verloop:

• tekenschema:

f ( x)

c) f (x) = – 6x  + 11x + 7

• verloop:

• tekenschema:

f (x)

d) f (x) = –3x  + 2x – 1 • verloop:

• tekenschema:

x f

f (x)

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

1.4.4 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT Het zuiver kwadratisch verband De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen. Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten: 0

r (m)

6,25

56,25

100

156,25

v (m/s)

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.

De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband. r (m)

180 160 140 120 100 80 60 40 20

v (m/s) 55

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s).

b) Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt? 1 2 3

c) Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

Het kwadratisch verband Elk half uur wordt de concentratie (in mg/l) gemeten van een geneesmiddel toegediend in het bloed van een patiënt. De meetresultaten staan in de tabel. tijd t (h)

0,5

1,5

2,5

concentratie C (mg/l)

106

111

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.

De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top niet samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen C en t noem je een kwadratisch verband.

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

C (mg/l)

Je ziet dat de concentratie eerst stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt tot 0.

t (h)

0,5

1,5

2,5

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de concentratie C (in mg/l) en de tijd t (in h).

b) Wat is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed na 1 h 15 min?

c) Na hoeveel minuten is de concentratie het hoogst? Rond af op 1 min.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

VERDIEPING

Oefeningen REEKS B 35

Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen 15 werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar. 2017

2018

2019

2020

2021

2022

aantal jaren x na opstart

winst w (in euro)

1 330

5 320

11 970

21 280

33 250

ICT

a) Bepaal via regressie het verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.

b) Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?

De tabel toont het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België in een periode van vijf jaar en de leeftijd van de betrokkene x (x 18). x n

ICT

2 936

2 610

2 223

1 815

1 255

1 035

a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal verkeersongevallen n en de leeftijd van de betrokkene x.

b) Op welke leeftijd is het aantal ongevallen het laagst? Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?

c) Hoeveel verkeersongevallen per jaar gebeuren er bij de 60-jarigen?

1 2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Amerikaans onderzoek toont aan dat de kans op overlijden afhangt van het aantal uren slaap per nacht. De tabel geeft het aantal overlijdens n weer (per 100 000 mannen) bij een gemiddeld aantal uren slaap t. t (h)

1120

770

627

690

968

VERDIEPING

a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal overlijdens n en het gemiddeld aantal uren slaap t (in h).

b) Bij hoeveel uren slaap is het aantal overlijdens het kleinst? Rond af op 1 min.

c) Hoeveel overlijdens zouden er dan zijn?

REEKS C

Op een drukke dag moet je soms lang wachten voordat je toegang hebt tot een attractie in een pretpark. De tabel geeft een overzicht van het aantal mensen n in de wachtrij voor een achtbaan op een bepaald tijdstip t (in h). t (h)

282

361

405

406

364

a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal mensen n in de wachtrij en het tijdstip t (in h).

b) Op welk tijdstip stonden er de meeste mensen in de wachtrij? Rond af op 1 min.

c) Hoeveel mensen stonden er op dat moment?

d) Om hoe laat gaat het pretpark open? En wat is het sluitingsuur? Verklaar.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties 1.1

voor de leerling

Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift 2

  0 en b , c ∈ r. f (x) = ax  + bx + c, met a ∈ r

KUNNEN

–  + –  +

Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.

1.2 Functies van de vorm f (x) = ax2

KENNEN

–  + –  +

De grafiek van de functie g (x) = ax (met a ∈ r   0) ontstaat door de grafiek van de functie 2

f (x) = x verticaal uit te rekken of samen te drukken. •

Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |. 2

  1  . Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor ____ | a | 2 De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x .

•

De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x .

Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.

Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

De coördinaat van de top is (0, 0).

KUNNEN

De grafiek van de functie f (x) = ax herkennen. 2

De grafiek van de functie f (x) = ax tekenen met en zonder ICT. 2

Met behulp van de grafiek van f (x) = ax onderzoek doen naar: het functievoorschrift;

•

de coördinaat van de top;

•

de vergelijking van de symmetrieas;

•

het domein en het bereik;

•

de eventuele nulwaarden;

•

het tekenschema;

•

het verloop;

•

symmetrie.

•

1 2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

–  + –  +

1.3 Functies van de vorm f (x) = a  (x – a)  + b KENNEN

voor de leerling

voor de leerkracht

–  + –  +

De grafiek van de functie f (x) = a  (x – a)  + b(met a ∈ r   0) is een parabool met de volgende kenmerken: • a> 0: dalparabool; a< 0: bergparabool. • Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool. • De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = a . • De top heeft als coördinaat (a, b ). • De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je 2 door de vergelijking a  ( x – a)  + b = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie. • Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

KUNNEN

–  + –  +

Aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking 2 y = a  (x – a)  + ben de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek kunnen schetsen. De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen 2 van de functie met vergelijking y = a  (x – a)  + b.

De vergelijking van een parabool opstellen als de top en één punt gegeven zijn. Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen.

Het tekenschema van een tweedegraadsfunctie opstellen.

1.4 Functies van de vorm f (x) = ax  2 + bx + c

KENNEN

–  + –  +

De grafiek van de functie f (x) = ax  + bx + c(met a ∈r   0) is een parabool met de volgende kenmerken: • a > 0: dalparabool; a< 0: bergparabool. • Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool. b  . • De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –  ___ 2a b  , f –  ___ b   • De top heeft als coördinaat ( –  ___ 2a ( 2a )) • De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax  2 + bx + c = 0op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie. • Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

KUNNEN

–  + –  +

Aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = ax  2 + bx + cen de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek kunnen schetsen.

De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = ax  2 + bx + cen er de betekenis voor de grafiek van geven.

Met behulp van ICT onderzoek doen naar: • de coördinaat van de top; • de vergelijking van de symmetrieas; • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop; • symmetrie.

Een (zuiver) kwadratisch verband opstellen met behulp van regressie. UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

2. Brad, Leonardo, Antonio, Matt, Julia, George en Angelina sta an op een rij. Brad fluistert 643 152 in het oor van Leonardo. Leo nardo, Antonio, Matt, Julia en George veranderen elk één cijfer van het getal dat in hun oor gefluisterd wo rdt, en fluisteren dat nieuwe get al in het oor van de volgende in de rij. Welk van de volgende getalle n kan Angelina onmogelijk te horen krijgen?

bij de bakker met 1. Hasse betaalt n j het intoetsen va haar bankkaart. Bi er zien code kan de bakk haar viercijferige cijfer kiest dat ze het eerste ord, m van het toetsenb uit de eerste kolo m en uit de tweede kolo het tweede cijfer kolom. jfers uit de laatste de laatste twee ci ldoet des dat daaraan vo co al nt aa t he is Wat d eruitziet als het toetsenbor zoals in de figuur?

A) 12

B) 54

C) 72

D) 81

A) 983 666

B) 847 324

D) 152 643

E) 643 152

VWO, editie 2019-2020, eers

E) 108

tweede ronde JWO, editie 2023,

3. In een zeeslagpuzzel moet je de zes bootjes hieronder in het rooster zien te lokaliseren. Verschillende schepen mogen elkaar niet raken, ook niet diagonaal. De cijfers rondom het rooster geven aan hoeveel cellen in die rij of kolom bezet worden. Hoeveel bedraagt het weggelaten cijfer?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

JWO, editie 2023, tweede ronde

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

te ronde

C) 613 880

HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Gemiddelde verandering

2.2

Afgeleide van een functie in een getal

2.3

2.1

Afgeleide functie van een functie

103

Studiewijzer

108

Pienter problemen oplossen

110

2.4 Rekenregels voor afgeleiden

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.1

Gemiddelde verandering

2.1.1 Differentiequotiënt Het diagram toont de evolutie van de bevolking in België, in duizendtallen, sinds 1900. 11 650

12 000 10 840

11 000 9 190

9 000

8 512

8 092

8 000

10 045

9 801

7 406 6 694

7 000

bevolking in duizendtallen

10 000

6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

1900

1920

1930

1947

1960

1975

1992

2010

2023

x (jaartal)

jaartal

1920

1930

1947

1960

1975

1992

2010

2023

6 694

7 406

8 092

8 512

9 190

9 801

10 045

10 840

11 650

n (duizendtallen)

1900

• Bereken voor elk tijdsinterval de toename nnvan de bevolking in duizendtallen. • Waarom kun je de bevolkingsgroei in de verschillende periodes moeilijk met elkaar vergelijken?

• Bereken voor elke periode de gemiddelde aangroei _  nn . Rond af op 0,1. nx

• In welke periode is de bevolking gemiddeld het sterkst gestegen?

Definitie

Differentiequotiënt de verandering van de y-waarde ny ___________________________ Het differentiequotiënt = _   =            nx de verandering van de x-waarde

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.1.2 Differentiequotiënt van een functie Gegeven is de functie f (x) = _   1   x  2 – 2. 2 De grafiek stijgt sneller in [2, 4] dan in [0, 2]. VIDEO

7 D

4 3

teken je een koorde k1 tussen de punten A en B

en een koorde k2 tussen de punten B en C. y  B – y  A   = r c k  1 =  _ x  B – x  A

Om de gemiddelde hellingsgraad in deze intervallen te berekenen,

GEOGEBRA

1 −4

−3

−2

−1 −1

x 3

−5

rc k  2 =

−2

Die getallen geven de gemiddelde helling weer van de grafiek van f in de respectievelijke intervallen [0, 2] en [2, 4].

Lees de gemiddelde helling af van de grafiek van f in het interval [–4, 4].

Differentiequotiënt van een functie

Definitie

f (b) – f (a) ny Het differentiequotiënt van een functie f over het interval [a, b] is  _ = _   . nx b–a f

Het differentiequotiënt van f over het interval [a, b]

f(a)

is de gemiddelde verandering van f in [a, b] en is dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in dat interval.

Δy

f(b)

Δx

f (b) – f (a) ny _ _ =   is de richtingscoëfficiënt   nx b–a

van de koorde door de punten

P ( a, f (a)) en Q ( b, f (b))van de grafiek van f.

Voorbeeld

Bereken de gemiddelde helling van de grafiek van de functie f (x) = _   4 in [1, 4]. x

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.1.3 Toenamediagrammen Voorbeeld 1 Je ziet de evolutie van het aantal geboortes n in België tussen 1950 en 2020. VIDEO

x (jaartal)

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

142 970

155 520

141 119

124 794

123 554

114 883

129 173

113 739

160 000

aantal geboortes

150 000 140 000 130 000 120 000 110 000 100 000 1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

jaartal

• Bereken voor elk jaartal het verschil van het aantal geboortes ten opzichte van het vorige jaartal. • Dat verschil kun je grafisch voorstellen in een toenamediagram. 18 000

toename

16 000

• Hoe zie je of er een toename of een afname is van het aantal geboortes?

14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000

O 1950 1960 – 2 000

1970

1980

1990

2000

– 4 000 – 6 000 – 8 000

2010

x (jaartal) 2020

• In welke periode was de toename maximaal?

– 10 000

– 12 000 – 14 000 – 16 000

• In welke periode was de afname maximaal?

– 18 000

Algemeen

Een toenamediagram toont veranderingen van de afhankelijke veranderlijke y in intervallen met een gelijke breedte van de onafhankelijke veranderlijke x. • Kies een vaste stapgrootte nx. • Bereken voor elk interval met breedte nx de verandering ny. • Teken een diagram waarbij verticale lijnstukken de verandering tonen bij elk intervaleinde. De lijnstukken worden boven de horizontale as getekend bij een toename en onder de horizontale as bij een afname.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Voorbeeld 2 2 Gegeven is de functie f (x) = _   1    ( x + 1)  – 2. 2

• Teken een toenamediagram met stapgrootte 1 voor de verandering van f (x) in het interval [–4, 4]. x

–4

–3

–2

–1

f (x)

nf (x)

–6

–5

Δy

4 3 2 1

–4

–3

–4

–3

–2

–1–1O

–2

–1

–1 x

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

toenamediagram

grafiek

–2 –3 –4

• Hoe zie je aan het toenamediagram dat er een minimum is als x = – 1 ?

• Alle uiteinden van de lijnstukken liggen op één rechte r. Bepaal de vergelijking van die rechte.

• Bereken f (10) – f (9).

via het functievoorschrift

via de vergelijking van de rechte r

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Oefeningen REEKS A 1

De tabel toont de gemiddelde verkoopprijs p (in euro) van rijwoningen of halfopen bebouwingen in België. jaartal x

1978

1987

1994

2000

2004

2009

2017

2022

prijs p (euro)

32 200

35 800

60 500

79 700

101 300

172 277

216 775

255 178

ICT

a) In welke periode is de verkoopprijs gemiddeld het sterkst gestegen?

b) Schat de gemiddelde verkoopprijs in 2011. Rond af op 1 euro.

c) Voorspel de gemiddelde verkoopprijs in 2028. Rond af op 1 euro.

ICT

Faye maakt een fietstocht van 2 uur en noteert elk kwartier welke afstand ze al heeft afgelegd. a) In welk tijdsinterval reed ze gemiddeld het snelst? Verklaar.

s (km)

42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

b) Hoe snel (in km/h) reed Faye gemiddeld in dat tijdsinterval? t (min) 30

105

120

c) Bereken haar gemiddelde snelheid (in km/h) tijdens het eerste halfuur: het tweede uur:

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Bereken de gemiddelde helling van de grafiek van de functie f tussen de punten A en B en tussen de punten C en D. a)

f (x) = – (x – 2)  + 3

• tussen A en B :

2 1

x O

–1

4 B

–1 C

• tussen C en D :

–2

–3

5 4

1 f (x) =  _ 2x

y f

• tussen A en B :

3 2

–4

D x

A –2 –1 O –1 B –2

–3

• tussen C en D :

–3

–4

f (x) = 4  (_   1  )  2

8 7

• tussen A en B :

6 5

4 C

• tussen C en D :

2 1

–1

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

REEKS B 4

Welk toenamediagram hoort bij welke grafiek? 1.

5 4 3 2 1 –3

grafiek 1

3 2

x 1

–2

–2 –4

x 3

8 7 6 5 4 3 2 1

–3

10 toenamediagram A 9

–2

grafiek 5

–1 –1O

∆y

–3

2 1

–1 –1O –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

–2

–1

∆y toenamediagram E

x 1

–1 –2

∆y toenamediagram C

–1

–1 –1O

grafiek

diagram

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

16 ∆y 15 toenamediagram F 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1

–2

–1

grafiek 6

x –2

–1

∆y toenamediagram D

–2

–1–1O –2 –3 –4

–2

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

–4 –3 –2 –1–2O –4 –6

∆y toenamediagram B

VA –4

x 1

y grafiek 3

–3 –2 –1–2O

–5

8 7 6 5 4 3 2 1

–3

30 y 28 grafiek 4 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –1 O 1 2

–2

18 16 14 12 10 8 6 4 2

x 1

–3

grafiek 2

–1 O –1

–2 –3 –4 –5

–1 –1O

–2

ICT

Het totale vruchtbaarheidscijfer TVC is het gemiddeld aantal kinderen per vrouw tussen de leeftijd van 15 en 49 jaar. Het lijndiagram toont de evolutie van het TVC in het Vlaamse Gewest. 1,82

TVC

1,8 1,78 1,76 1,74 1,72 1,7 1,68 1,66 1,62 1,6 1,58 1,56 1,54 1,52

1,64

jaartal

1,5 2000

2003

2006

2009

2012

2015

2018

2021

a) Teken een toenamediagram met stapgrootte 3.

∆TVC

0,15 0,1

0,05

O 2000

2003

2006

2009

jaartal 2012

2015

2018

2021

–0,05 –0,1

–0,15

b) In welke periode was er de grootste toename van het TVC? c) In welk jaar was het TVC maximaal? d) In welke periode was er de grootste afname van het TVC? e) Voorspel het TVC in 2026. Rond af op 0,01.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Gegeven is de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = 2x – 3x – 12x + 5. y

35 30 f

25 20 15 10 5

x –2

–1

–5

–3

–10 –15 –20 –25 –30 –35

–40

a) Teken een toenamediagram met stapgrootte 1 in het interval [–3, 4]. 45

∆y

35 30 25 20 15 10

–2

–1

–3

x 1

–5

–10 –15

b) Hoe zie je aan het toenamediagram dat er een maximum is als x = –1 en een minimum als x = 2?

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Het toenamediagram toont de evolutie van het aantal leerlingen n in een school sinds 2013. De tellingen gebeurden telkens op 1 september van een bepaald jaar. 25

∆n

20 15 10 5 jaartal 2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

O –5 –10 –15 –20

a) Gedurende hoeveel jaren was er een toename van het aantal leerlingen?

b) In welk jaar waren er evenveel leerlingen als het jaar daarvoor? c) In welk jaar was de afname van het aantal leerlingen het grootst? d) In welke jaren waren er het minste leerlingen? e) In welk jaar waren er het meeste leerlingen?

f) Vul de tabel aan. x (jaartal)

2013

826

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

g) Met hoeveel procent is het aantal leerlingen gedaald tussen 2022 en 2023? Rond af op 0,01 %. h) Bereken de gemiddelde daling per jaar van het aantal leerlingen tussen 2013 en 2023.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

REEKS C 8

Je trapt een bal van op de grond weg. Het toenamediagram toont het hoogteverschil n h (in m) van de bal na t seconden. ∆h (m) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

0,2 0,1 O

0,3

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

–0,1 –0,2 –0,3 –0,4 –0,5

t (s) 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

–0,6 –0,7 –0,8

a) Vervolledig het toenamediagram.

b) Na hoeveel tijd bereikt de bal een maximale hoogte? Rond af op 0,1 s.

c) Bereken deze maximale hoogte.

d) Na hoeveel tijd valt de bal terug op de grond? Rond af op 0,1 s.

e) Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) van de bal gedurende de eerste 0,3 s.

f) Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) gedurende de laatste 0,1 s. g) Verklaar het verschil in teken tussen het antwoord op vraag e en vraag f.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.2

Afgeleide van een functie in een getal

2.2.1 Gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid Je laat een bal van een helling rollen. Het verband tussen de afgelegde weg s (in m) van de bal en de tijd t (in s) is zuiver kwadratisch.

s (m)

260 240 220 200

• Bepaal het functievoorschrift van de functie s.

180 160

140 120 80

100

60 40 20

t (s)

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal tijdens de eerste 6 s.

• Geef de grafische betekenis van de gemiddelde snelheid van de bal in [0, 6].

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal in [6, 8].

• Waarom is dat een betere benadering voor de ogenblikkelijke snelheid van de bal na 6 s?

• Om de ogenblikkelijke snelheid van de bal na 6 s te berekenen, moet je dus de gemiddelde snelheid van de bal berekenen in een interval [6, 6 + nt ], waarbij nt zo klein mogelijk is. Gebruik ICT en vul de tabel aan. Rond telkens af op 0,001 m/s. nt (s)

0,5

0,1

0,01

0,001

_  v (m/s)

→ ...

Besluit: de ogenblikkelijke snelheid v na 6 s is .

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.2.2 Gemiddelde en ogenblikkelijke helling Voorbeeld 1 GEOGEBRA

1   x + 3. Gegeven is de functie f (x) = –  _ 2

Bereken de gemiddelde helling van de grafiek

• tussen A en B :

B C

2 1

• tussen C en D :

D O

−3 −2 −1 −1

−2

De helling van de grafiek is overal gelijk. Deze helling is gelijk aan Voorbeeld 2 x

Gegeven is de functie f (x) = 2  .

7 6

Je neemt het punt A(1, 2) als uitgangspunt en berekent de gemiddelde helling van de grafiek over een interval [1, 1 + nx ] ( met nx > 0). Gebruik ICT en vul de tabel aan. Rond af op 0,01. 2

helling

5 4 3 2

0,5

Je ziet dat de grafiek sneller stijgt naarmate x groter wordt.

n x

x −2

−1

De gemiddelde helling van de grafiek van f is de richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten A(1, 2) en B( 1 + nx, f (1 + nx)). Je ziet dat deze koorde de grafiek van f beter benadert in de directe omgeving van A(1, 2) naarmate nx kleiner wordt. De beste benadering verkrijg je dus door n xonbeperkt tot 0 te laten naderen, zonder 0 te worden. Waarom mag nxniet 0 worden?

Die beste benadering noem je de raaklijn t  1aan de grafiek van f in het punt A(1, 2). Je berekent, met ICT, de richtingscoëfficiënt van de raaklijn op 0,01 nauwkeurig: 1

0,1

n x

0,01

0,001

→

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

rc t   1 ≈

Dat getal bepaalt de ogenblikkelijke helling van de grafiek van f in het punt A(1, 2).

2.2.3 Ogenblikkelijke verandering van een functie y

VIDEO

ta B

f(a + Δx)

f(a)

k f(a + Δx)

f(a)

a + Δx

B f(a + Δx)

f(a)

x a

a + Δx

a a + Δx

De gemiddelde verandering van een functie f over een interval [a, a + nx ] is

de gemiddelde helling van de grafiek van f tussen de punten A(a, f (a)) en B(a + nx, f (a + nx)) en is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de koorde k door A en B. f (a + nx) – f (a) f (a + nx) – f (a) ny Er geldt: rc k = _ = _______________ = ______________. (a + nx) – a nx nx

De ogenblikkelijke verandering van een functie f in a verkrijg je door de richtingscoëfficiënt te bepalen van de raaklijn ta aan de grafiek van f in het punt P(a, f (a)).

Die raaklijn is de limietstand van de koorde door A(a, f (a)) en B(a + nx, f (a + nx)) als nx onbeperkt naar 0 nadert, zonder 0 te bereiken. f (a + nx) – f (a) Je noteert: rc t a = lim (rc k) = lim ______________. nx → 0 nx → 0 nx Ogenblikkelijke verandering

Definitie

De ogenblikkelijke verandering van een functie f in een getal a ∈ dom f f (a + nx) – f (a) is het getal lim ______________ . nx → 0 nx

Voorbeeld

De afgelegde weg s (in m) van een auto t seconden na het begin van een trajectcontrole, wordt gegeven 1 t 2 + 30t. door de functie s(t) = – _ 6 De maximum toegelaten snelheid is 20 m/s. • Zal de chauffeur beboet worden als hij na 1 min het einde van de trajectcontrole passeert?

• De chauffeur passeert een flitscamera na 12 s. Zal de auto geflitst worden?

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.2.4 Afgeleide van een functie in een getal Definitie

Afgeleide van een functie in een getal De afgeleide van een functie f in een getal a ∈ dom f is f ( a + nx) – f (a)    f '(a) =   lim  ______________   , als dat getal bestaat. nx → 0 nx

df (a) Andere notaties voor de afgeleide van f in a zijn Df (a) en  _  . dx y

f '(a)is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t  a aan de grafiek van f in het punt A ( a, f (a)).

A +1

f(a)

+f ’(a)

f '(a)is een maatgetal voor de ogenblikkelijke helling van de grafiek van f in het punt A ( a, f (a)).

Voorbeeld

2 . Gegeven is de functie f (x) = –  _ x

• Bereken f '(–1).

• Geef de betekenis.

• B epaal de vergelijking van de raaklijn t  –1 aan de grafiek van f in het punt A(–1, f (–1)).

y 5 4

• Teken de raaklijn t  –1 op de figuur.

2 1

f −6

x −5

−4

−3

−2

−1 −1 −2 −3 −4

−5

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.2.5 Toepassingen op afgeleiden Afgeleiden in de fysica Het hoogste gebouw in België is de Zuidertoren in Sint-Gillis, Brussel. Stel dat je helemaal bovenaan het gebouw staat en je smartphone laat vallen. De hoogte h (in m) van de smartphone wordt gegeven 2 door de functie h (t) = 150 – 4,9  t . Daarbij is t de tijd (in s).

• Hoe hoog is de Zuidertoren?

• Bereken de (ogenblikkelijke) snelheid van de smartphone na 2 s.

• Na hoeveel tijd valt de smartphone op de grond? Rond af op 0,01 s.

• Bereken de gemiddelde snelheid van de smartphone gedurende de volledige valtijd. Rond af op 0,1 m/s.

• Tegen welke snelheid valt de smartphone op de grond? Rond af op 0,1 m/s.

• Vul de tabel aan met de berekende waarden en gebruik lineaire regressie om het verband te bepalen tussen v (in m/s) en t (in s). t (s)

v (m/s) • Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het verband.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Afgeleiden in de economie Definitie

Marginale functie De marginale kostprijs MK van een product is de verandering van de totale kostprijs TK als de productie met een eenheid toeneemt. De marginale opbrengst MO van een product is de verandering van de totale opbrengst TO als de verkoop met een eenheid toeneemt.

Marginale functies en afgeleiden y

De afgeleide f '(a)is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t  aaan de grafiek van f

+f ’ (a) f (a + 1) – f (a)

f(a)

in het punt A( a, f (a))en is dus zowel

een benadering voor f (a + 1) – f (a) als voor f (a) – f (a – 1).

+f ’ (a) f (a) – f (a – 1)

De marginale functie m  f van f beschrijft

Besluit

a+1

en dus: m   f (a) = f (a) – f (a – 1) ≈ f '(a)

a−1

hoe een bepaalde situatie ontstaat uit een vorige

Als q het aantal verkochte of geproduceerde eenheden is van een product, dan: MK(q) = TK (q) – TK (q – 1) ≈ TK '(q)

MO(q) = TO (q) – TO (q – 1) ≈ TO'(q) Voorbeeld

De firma Wis & Kunde verkoopt bedrukte T-shirts. De totale opbrengst TO (in euro) wordt gegeven door de functie 2

TO (q) = – 0,02  ( q – 1 000)  + 20 000.

Daarbij is q het aantal verkochte T-shirts (0 ⩽ q ⩽ 1 000).

• Benader, met afgeleiden, de marginale opbrengst van het 500ste T-shirt.

• Wat betekent dat?

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Oefeningen REEKS A 9

Bereken de (ogenblikkelijke) helling van de grafieken in de punten A en B. Rond, indien nodig, af op 0,01. a) f

1   x  2– 1 f (x) =  _ 4

8 7

• in A :

6 5 A

• in B :

2 1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 O −1

−2 −3

3 f (x) =  _ 2x

5 y

• in A :

3 2 1

O −5 −4 −3 −2 −1 −1 B

−2

• in B :

−3 −4

−2

1    3  f (x) =  _ 2

• in A :

• in B :

2 1 x

A −1

O −1

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Bereken de (ogenblikkelijke) helling van de grafieken in de punten A en B. Rond, indien nodig, af op 0,01. a)

1 x f (x) = _ 2

6 5

• in A :

3 2 1 −3

O −1 −1

−2

• in B :

−2 −3 −4

−5 −6

7 B

6 5 4

• in A :

• in B :

_ f (x) = 3 √ x

−1

f (x) = 2 sin x • in A :

−1

π 2

3π 2

2π

5π 2

−2 −3

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

• in B :

REEKS B 11

De oppervlakte A (in cm ) van een kubus met ribbe r (in cm) is gelijk aan A (r) = 6  r  . Bereken A '(10)en geef de betekenis.

De luchtwrijvingskracht Fw (in N) die een fietser ondervindt die tegen een snelheid v (in m/s) beweegt, is gelijk aan F  w = 0,45  v  2. Bereken F w'  (7) en geef de betekenis.

Het wekelijks aantal verkochte eenheden q van een bepaald product 400 . Daarbij is p de prijs (in euro). Benader, met afgeleiden, is gelijk aan q (p) =  _ p de afname van de verkoop als de prijs per stuk stijgt van 14 naar 15 euro.

Het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in Ω) van een draad 230 . bij een spanning van 230 V, wordt gegeven door de functie I(R) =  _ R Benader, met afgeleiden, de verandering van de stroomsterkte als de weerstand toeneemt van 49 naar 50 Ω. Rond af op 0,01 A.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan. 120 000 . Voor die kraan geldt: M (a) = _ a Daarbij is M de maximale massa (in kg) en a de armlengte (in m). Bereken M '(10) en geef de betekenis.

Rond af op 1 kg.

Het vermogen P (in kW) van een windturbine bij een windsnelheid v (in m/s) 3 wordt gegeven door de functie P (v) = 0,6  v . Bereken P'(15) en geef de betekenis. Rond af op 1 kW.

4 pr . Het volume V (in dm³) van een bol met straal r (in dm) is gelijk aan V (r) = _ 3 Benader, met afgeleiden, in welke mate het volume vermeerdert als de straal toeneemt 3 van 14 naar 15 dm. Rond af op 0,1 dm .

De massa m (in g) van het radioactieve Jodium-123 wordt gegeven door t de functie m (t) = 50  0,95 . Daarbij is t de tijd (in h). Bereken m'(12) en geef de betekenis. Rond af op 0,01 g.

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Je belegt 5 000 euro op samengestelde intrest tegen 2 % per jaar. t Het eindkapitaal K (in euro) na t jaren is gelijk aan K (t) = 5000  1,02 . Benader, met afgeleiden, de intrest die je krijgt tijdens het 5de jaar. Rond af op 0,01 euro.

Als je op de planeet Mars een voorwerp laat vallen van een hoogte van 50 m, 2 dan is de hoogte h (in m) van het voorwerp na t seconden gelijk aan h (t) = 50 – 1,86  t . Bereken de snelheid van het voorwerp na 3 s. Rond af op 0,01 m/s.

De totale opbrengst TO (in euro) van een bedrijf dat 3D-printers verkoopt, wordt gegeven 1  q – 400 2 + 80 000. door de functie TO (q) = – _ ( ) 2 Daarbij is q het aantal verkochte eenheden.

Benader, met afgeleiden, de marginale opbrengst van de 50ste printer. Rond af op 1 euro.

De concentratie C (in mg/l) van een medicijn in het bloed, t minuten nadat het is toegediend, 2 wordt gegeven door de functie C (t) = – 0,016 t + 2,32t. Bereken C '(100) en geef de betekenis. Rond af op 0,01 mg/l.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Berre rijdt 1,5 h met zijn auto. Zijn afgelegde weg s (in km) 3 2 na t uren wordt gegeven door de functie s (t) = 150 t – 50 t (0 t 1,5). Exact 1 h na zijn vertrek wordt hij geflitst. Hoe snel reed hij op dat moment? Rond af op 1 km/h.

REEKS C De hoogte h (in m) van een badmintonshuttle kan beschreven 2 worden door de functie h (t) = – 3  (t – 3) + 28. Daarbij is t de tijd (in s) nadat de shuttle is weggeslagen.

a) Van op welke hoogte is de shuttle vertrokken?

b) Bereken de gemiddelde snelheid van de shuttle tijdens de 2de seconde.

c) Bereken de ogenblikkelijke snelheid van de shuttle na 2 s. Rond af op 1 m/s.

Diego en Isabella runnen een schoonheidssalon. Hun dagelijkse opbrengst TO (in euro) 3 als ze x klanten over de vloer krijgen, is gelijk aan TO (x) = – 0,005 x + 0,15 x 2 + 30x – 150.

a) Bereken de gemiddelde opbrengst per klant als ze 30 klanten hebben op een dag.

b) Benader, met afgeleiden, de marginale opbrengst van de 30ste klant. Rond af op 0,01 euro.

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

De lengte l (in cm) van een kind tijdens zijn 1ste levensjaar wordt gegeven door de functie l (x) = – 0,132 1x 2 + 3,593 8x + 50,7. Daarbij is x de leeftijd in maanden (0 x 12). a) Bereken de gemiddelde lengtetoename per maand in het 2de halfjaar. Rond af op 0,01 cm.

b) Benader, met afgeleiden, de lengtetoename tijdens de 12de maand. Rond af op 0,01 cm.

Het afkoelen van een kopje thee hangt af van de temperatuur van de thee bij het inschenken en van de kamertemperatuur. t De functie u (t) = 70  0,82 + 20 geeft de temperatuur u (in ºC) van het kopje thee na t min.

a) Bereken de gemiddelde afname van de temperatuur gedurende de eerste 10 minuten. Rond af op 0,1 ºC.

b) Hoe snel koelt de thee af tijdens de 13de minuut? Rond af op 0,1 ºC.

De astronomische daglengte l (in h) in Ukkel wordt gegeven 2p  (x – 80) + 12,3. door de functie l (x) = 4,2  sin _ [ 365 ] Daarbij is x het dagnummer in een niet-schrikkeljaar.

a) Bereken de gemiddelde toename per dag van de daglengte tussen 1 januari en 21 maart (dag 80). Rond af op 0,1 min.

b) Benader, met afgeleiden, de toename van de daglengte op 21 maart. Rond af op 0,1 min.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt A. Teken daarna de raaklijn op de figuur. Rond, indien nodig, je berekeningen af op 0,01. a)

5 4 3

1    ( x + 2)  2+ 4 f (x) = –  _ 4

y A

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

x 1

–2 –3 –5 –6

–4

f (x) = 2  (_   5 )  4

5 4

2 1

1 2 3 4 5 6 7

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1O

–1

–1 –2 –3

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

f (x) = 3  sin(px)

2.3

Afgeleide functie van een functie

2.3.1 Voorbeeld • Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = _   1   x  2 – 1. 2 Bepaal grafisch de richtingscoëfficiënt van de getekende raaklijnen en vul de tabel in.

8 7

t−3

–3

f '(a)

–2

–1

t−2

Algemeen geldt dus: f '(a) = Dat verband tussen a en f '(a)

t−1

2 1

stelt je in staat om in elk punt van de grafiek

−4

van f de helling te bepalen.

−3

−2

−1

−1 −2

Het verband y = is zelf ook een functie, die je de hellingsfunctie of de afgeleide functie f ' van f noemt.

• Bepaal de afgeleide functie van de functie f (x) = – (x – 1)  + 4.

Teken de grafiek met ICT en bepaal de helling van de grafiek in de punten met x-coördinaat –1, 0, 1, 2 en 3. a

–1

f '(a)

3 2

op een rechte r met richtingscoëfficiënt . Bepaal de vergelijking van r :

De puntenkoppels (a, f '(a)) liggen

1 x −2

−1

−1 −2 −3

De functie met vergelijking is dus de hellingsfunctie van f.

Besluit: de functie met voorschrift f '(x) = is de afgeleide functie van f. GEOGEBRA

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.3.2 Definitie Afgeleide functie

Definitie

De afgeleide functie van een functie f is de functie met vergelijking y = f '(x).

Voorbeelden Gebruik de grafische betekenis om het voorschrift van de afgeleide functie te bepalen. functie

afgeleide functie

verklaring

f '(x) =

f (x) = 4x – 3

2 f (x) = _   1   x  + 3 2

f '(x) =

f (x) = 3

2.3.3 Afgeleide functie en toenamediagram

Gegeven is de functie f (x) = – (x – 2)  + 4. Je ziet de grafiek van f, een toenamediagram in [1, 3] met stapgrootte nx = 0,1en de grafiek van de afgeleide functie f '. 4

0,24 Δy 0,2

0,16 0,12

−2

4 3

0,04 O 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 x 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 −0,04

−0,08

−0,12 −0,16 −0,2

−0,24

f' 5

0,08

−1 O −1

−1

O −1

x 1

De eindpunten van de verticale lijnstukken van het toenamediagram liggen op de rechte met vergelijking y = – 0,2x + 0,41. De grafiek van de afgeleide functie is de rechte met vergelijking y = – 2x + 4. Wat merk je op? De functie f bereikt een extreme waarde als x = 2. Hoe merk je dat aan het toenamediagram?

Hoe merk je dat aan de afgeleide functie? 92

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

2.3.4 Afgeleide functie en verloop van een functie Je ziet telkens de grafiek van een functie f en van de afgeleide functie f '. Ga telkens na wat het verband is tussen het teken van de afgeleide f '(x)en het verloop van f. GEOGEBRA

• f '(x) < 0

• f '(x) > 0 ⇒

⇒

−1

–1

1 −2

Samenvattend:

−3

• f bereikt een relatief minimum in a.

VIDEO

⇒

−1 −2

f '(x)

–

10 8 f

6 4

−3

−2

−1

O −2

f '(x)

−4

–2

−6 −8

−10 −12

16 14 12 10 8 6 4 2

−1 −2O −4 −6 −8 −10

x 1

f '(x)

In A(2, –4) maakt de grafiek geen overgang van stijgen naar dalen of omgekeerd. Toch is de helling er gelijk aan 0. Je noemt het punt A een buigpunt voor de grafiek (er is een overgang van een bolle naar een holle kromme).

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Overzicht y f'

f '(x) > 0

A de functie is dalend

de functie is stijgend

c f

f '(x) < 0

–

↗

max

↘

min

↗

f '(x)

de functie is stijgend

de functie is dalend

f '(x) > 0

x c de functie is stijgend

f '(x) < 0

f '(x)

–

f '(x)

↘

buigpunt

↘

↗

buigpunt

↗

2 3

f '(x) > 0 A

f '(x) < 0

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Voorbeelden • Vul telkens het verloop van f aan. 4

x +

f '(x)

–2

x –

–

f '(x)

• Gegeven is de grafiek van een functie f. Welke van de grafieken A, B, C en D is de grafiek van de afgeleide functie f ' ? 18 16 14 12 10 8 6 4 2

grafiek A

18 y 16 14 12 10 8 6 4 2 O −5 −4 −3 −2 −1−2 −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 −18 −20 −22 −24 −26

−6 −5 −4 −3 −2 −1 −2

−5 −4 −3 −2 −1 −2

−4 −6 −8 −10 −12

−4 −6 −8 −10

−5 −4 −3 −2 −1 −2

grafiek C

−4 −6 −8 −10 −12

18 16 14 12 10 8 6 4 2

14 12 10 8 6 4 2

grafiek B 14 12 10 8 6 4 2

−4 −3 −2 −1 −2

x 5

y grafiek D

O 1

x 5

−4 −6 −8 −10

Het tekenschema van de afgeleide functie moet er als volgt uit zien:

f '(x)

• Schets de grafiek van een functie f waarvan het tekenschema van f ' gegeven is.

–1

f '(x) f

7 6 5 4 3 2 1

–

−3

−2

−1 −1O −2 −3 −4 −5 −6

x 1

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Oefeningen REEKS A Gegeven zijn de grafieken van 6 functies en van 6 afgeleide functies. Welke grafieken horen bij elkaar? 1.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1–1O –2 –3 –4

4 3 2 1 –3

–2

–1 –1O

4 3

x 1

8 7 6 5 4 3 2 1

–2

–1

–3

–6

x –3 –2 –1O

f d’

functie afgeleide functie

–1 –2

f b’

1 2 3 4 5 6 7

f ’c

–1 O

–1

9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1–1O –2 –3 –4

–4

–3

–5

–1

O –1

–2

O –1

–3

1 y

–1

O –1

–1

–2

N b.

4 y

f a’

–2

O –1

–1

8 7 6 5 4 3 2 1

f e’

x 1

2 –4

–3

–2

–1 –1O

y f ’f

x 1

–2

–3 –2 –1 O –1

y 3

–2 –3 –4 –5

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Bepaal het tekenschema van de afgeleide functie f '. a)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–8

–7

–6

–5

–4

–3

14 12 10

8 6

f '(x)

4 2

–4

–2 –3 –4

f '(x)

–1 –1O

–2

–3

–1 O –2

–2

–4

4 3 2 1

–1

O –1

–2

x f '(x)

–3 –4 –5

–6

6 5 4 3 2 1

f –2

–1

O –1 –2

x 1

x f '(x)

–3 –4 –5 –6

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Bepaal het verloop van de functie f. a)

y 1 x –4

–3

–2

–1

f’

–1

y f’ 1

–2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 O

–1

y 3

f’

–1

f’

x 1

f –1

2 3

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

Gegeven is het tekenschema van f '. Maak een schets van een mogelijke grafiek van f. a)

y 5 4 3 2 1

x f '(x)

–3

–2

–1

O –1

–2 –3

–4 –5

3 2 1

–

–1

–

f '(x)

–1

O –1

–

–4 –5

y 4 3 2 1 x –3

–2

–1

O –1 –2 –3 –4

4 y 3 2 1

–2

f '(x)

–3

–2

f '(x)

–2

1 +

–4

–

–3

–2

–1

O –1 –2 –3 –4 –5

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

REEKS B 34

Gegeven is de functie f (x) = 4 – x  2.

a) Teken met ICT de grafiek van de functie en bepaal de helling in enkele goed gekozen punten om het voorschrift van de afgeleide functie te bepalen. a

f '(a)

b) Bereken de helling van de grafiek in het punt A(5, f (5)).

c) In welk punt van de grafiek is de helling gelijk aan 1?

De afgelegde weg s (in m) van een remmende auto wordt gegeven 2 door de functie s(t) = – 3 t  + 20t. Daarbij is t de remtijd (in s).

a) Teken met ICT de grafiek van de functie en bepaal de snelheid na 0, 1, 2 en 3 s om het voorschrift van de snelheidsfunctie te bepalen. t

v (t)

b) Bereken de totale remafstand. Rond af op 0,1 m.

2 3

100

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

1    ( x + 1)  – 2. Gegeven is de functie f (x) =  _ 2 2

a) Teken met ICT de grafiek van de functie en bepaal de helling in enkele goed gekozen punten om het voorschrift van de afgeleide functie te bepalen. a

f '(a)

b) Bereken de helling van de grafiek in het punt A(– 7, f (– 7)).

c) Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in B ( 4, f (4)).

De firma Wis & Kunde verkoopt bedrukte T-shirts. De totale opbrengst TO (in euro) 2 wordt gegeven door de functie TO (q) = – 0,02  ( q – 1 000)  + 20 000. Daarbij is q het aantal verkochte T-shirts (0 q 1000).

a) Teken met ICT de grafiek van de functie en bepaal de marginale opbrengst van het 100ste, 200ste, 300ste en 400ste T-shirt om het voorschrift van de marginale opbrengstfunctie te bepalen. q

MO(q)

b) Bij welke verkoop is de marginale opbrengst gelijk aan 0? c) Wat is de economische betekenis daarvan?

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

101

REEKS C 38

Gegeven is het tekenschema van de functie f en van de afgeleide functie f '. Maak een schets van een mogelijke grafiek van f. a)

–3

x f (x)

–

4 3 2

–1

–5

–4

–3

–1 O –1

–2

–

f '(x)

–2

8 y 7

6 5

f (x)

2 1

–

f '(x)

x –4

–3

f (x)

f '(x)

–

5   _ – 2

f (x)

–

1 –2

–1

f '(x)

102

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

–3 –4

6 5 4 3 2 1

3 –

–2

–3

–1 O –1

9   _ 2 –

–

–1

–

–1

–2

–1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6

VERDIEPING

2.4

Rekenregels voor afgeleiden

2.4.1 Afgeleide van een constante functie y y=c

Gegeven is de functie f (x) = c.

De grafiek van f is een horizontale rechte met vergelijking y = c. De helling van de grafiek in elk punt is dus gelijk aan .

(c)' =

Rekenregel 1

2.4.2 Afgeleide van een eerstegraadsfunctie

4 y = ax + b

Gegeven is de functie f (x) = ax + b.

De grafiek van f is een schuine rechte met vergelijking y = ax + b.

De helling van de grafiek in elk punt is de richtingscoëfficiënt

x –2

–1

Rekenregel 2

–1

–2

van de rechte en is dus gelijk aan .

(ax + b)' =

Bijzonder geval

y=x

Gegeven is de functie f (x) = x.

De helling van de rechte met vergelijking y = x

(x)' =

(de eerste bissectrice) is inderdaad gelijk aan .

Rekenregel 3

x –1

–1

(x)' =

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

103

VERDIEPING

2.4.3 Afgeleide van een functie f (x) = xn (met n ∈ ℕ   0 \{1}) Afgeleide van f (x) = x  2

Gegeven is de functie f (x) = x  2.

y = x2

De grafiek is een parabool met vergelijking y = x   . De helling van deze grafiek is niet constant.

8 7

Om de afgeleide functie te bepalen, lees je de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen op de nevenstaande figuur af.

t−2

5 4

t−1

a f '(a)

–2

–1

(x  )' = ⇒ 2

O –1 –1

–3 t0 –2

–2

f '(a) =

Afgeleide van f (x) = x

Teken de grafiek met ICT en bepaal de helling van de grafiek in de punten met x-coördinaat –2, –1, 0, 1 en 2 door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn te bepalen. Vul de tabel in en teken de grafiek van de hellingsfunctie. a

f '(a)

–2

–1

( 1, ) behoort tot de grafiek f '(a) =

(x  )' = ⇒ 3

⇒

(x  n)' =

2 3

104

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –2

(met n ∈ n  0 \ {1 })

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

helling

a =

Je kunt dit veralgemenen tot de volgende rekenregel.

Rekenregel 4

De grafiek van de hellingsfunctie is een parabool met vergelijking y = ax  2.

–1

x 1

Gegeven is de functie f (x) = 2x  2.

y = 2x2

De grafiek van deze functie verkrijg je door de grafiek van de functie g (x) = x   2verticaal uit te rekken met een factor 2.

y = x2

5 4 3 2 1 –3

–2

–1

Gegeven zijn de functies f (x) = 2x  2 en g (x) = x.

f '(x) = en g'(x) = .

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Stel: h(x) = f (x) + g (x) = 2x  + x.

t−1

Vul de tabel in.

–2

–1

t−2 –3

–2

–1

O –1 –2

t0 x 1

h'(a)

O –1

(met r ∈ r  0)

2.4.5 Afgeleide van een som

·2

[r  f (x) ]' =

8 6

Rekenregel 5

De helling van de grafiek van f is dus overal het dubbele van de helling van de grafiek van g. (2x  ) ' = ⇒

VERDIEPING

2.4.4 Afgeleide van een reëel veelvoud

'(x) = ( 2x  + x)' = h 2

Rekenregel 6

[f (x) + g (x) ]' =

2.4.6 Voorbeelden

• Je laat een bal van een helling rollen. Het verband tussen de afgelegde weg s (in m) van de bal en 2 de tijd t (in s) wordt gegeven door de functie s(t) = 2,5 t  . Bereken de snelheid van de bal na 1,5 s. v(t) =

v (1,5) =

• Gegeven is de functie f (x) = 3  (x – 2)  – 6. Bepaal de helling van de grafiek in A( 4, f (4)). f (x) = 3  (x  2– 4x + 4)– 6 = f '(x) =

De helling in A ( 4, f (4)) is Paragraaf 2.4.7 – 2.4.9 vind je op iDiddit. UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

105

VERDIEPING

Oefeningen REEKS A 39

Bereken de afgeleide functie van de functie f. d) f (x) = 2x  2– 3x + 2

a) f (x) = – x + 2

2 b) f (x) = _   3  x  2

1   x  2 + x – 5 e) f (x) = –  _ 4

f) f (x) = 4x  – 3x  2

c) f (x) = 0,35x 

Bereken de afgeleide functie van de functie f. 2

a) f (x) = ( x – 3) 

d) f (x) = – 3  ( x – 4)  + 2

106

b) f (x) = 2  ( x + 1) 

2 c) f (x) = _   1    (x + 2)  – 3 2

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

VERDIEPING

REEKS B De afgelegde weg s (in m) van een auto t seconden na het begin van 1 t 2 + 30t. een trajectcontrole wordt gegeven door de functie s (t) = – _ 6

a) Bepaal de snelheidsfunctie.

Het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België in een periode van 5 jaar en 2 = 1,7x – 175x + 5 536. de leeftijd x van de betrokkene wordt gegeven door de functie n (x)= Bereken n’(30) en geef de betekenis.

b) Bereken de snelheid van de auto na 6 s.

De firma Wis & Kunde verkoopt bedrukte T-shirts. De totale opbrengst TO (in euro) 2 wordt gegeven door de functie TO (q) = – 0,02  (q – 1 000) + 20 000. Daarbij is q het aantal verkochte T-shirts (0 q 1000). Bepaal de marginale opbrengstfunctie.

Gegeven is de functie f (x) = – x + 2x 2 – 4x + 5. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in het punt A (2, f (2)).

Oefeningen 45-48 vind je op iDiddit. UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

107

STUDIEWIJZER Afgeleiden voor de leerling

2.1 Gemiddelde verandering KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

de verandering van de y-waarde ny ___________________________ =            Het differentiequotiënt = _   nx de verandering van de x-waarde

H et differentiequotiënt van een functie f over het interval [a, b] f (b) – f (a) ny   is  _ = _ nx b–a

Een toenamediagram toont veranderingen van de afhankelijke veranderlijke y in intervallen met een gelijke breedte van de onafhankelijke veranderlijke x. • Kies een vaste stapgrootte nx. • Bereken voor elk interval met breedte nxde verandering ny. • Teken een diagram waarbij verticale lijnstukken de verandering tonen bij elk intervaleinde. De lijnstukken worden boven de horizontale as getekend bij een toename en onder de horizontale as bij een afname.

KUNNEN

–  + –  +

Het differentiequotiënt, als maat voor een gemiddelde verandering, berekenen vanuit een tabel en vanuit een grafische voorstelling.

Het differentiequotiënt van een functie, als maat voor de gemiddelde helling van een grafiek, berekenen via het functievoorschrift of de grafiek.

Toenamediagrammen interpreteren en tekenen (met ICT).

2.2 Afgeleide van een functie in een getal

KENNEN

–  + –  +

De ogenblikkelijke verandering van een functie f in een getal a ∈ dom f f ( a + nx) – f (a)   . is het getal  lim  ______________    nx → 0 nx

f ( a + nx) – f (a) ,   De afgeleide van een functie f in een getal a ∈ dom fis f '(a) =   lim  ______________    nx → 0 nx als dat getal bestaat. f '(a)is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t  aaan de grafiek van f in het punt A( a, f (a)) en is dus een maatgetal voor de ogenblikkelijke helling van de grafiek van f in het punt. De ogenblikkelijke snelheid van een bewegend voorwerp is de afgeleide van de afgelegde weg: v (t) = s'(t).

De marginale kostprijs MK van een product is de verandering van de totale kostprijs TK als de productie met een eenheid toeneemt. De marginale opbrengst MO van een product is de verandering van de totale opbrengst TO als de verkoop met een eenheid toeneemt. Als q het aantal verkochte of geproduceerde eenheden is van een product, dan: MK(q) = TK(q) – TK(q – 1) ≈ TK '(q) MO(q) = TO(q) – TO(q – 1) ≈ TO'(q)

KUNNEN

De afgeleide van een functie in een getal berekenen als maat voor • de ogenblikkelijke helling van een grafiek in een punt en dus als richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt; • de ogenblikkelijke verandering van een functie in een getal en in het bijzonder als ogenblikkelijke snelheid of als marginale functie.

2 3

108

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

–  + –  +

voor de leerling

2.3 Afgeleide van een functie in een getal KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De afgeleide functie van een functie f is de functie met vergelijking y = f '(x).

KUNNEN

–  + –  +

De afgeleide functie van een functie grafisch bepalen. Het verband leggen tussen de afgeleide functie en een toenamediagram en tussen de afgeleide functie en het verloop.

2.4 Rekenregels voor afgeleiden r  f (x) ] = r  f '(x) (met r∈r   0) [ ' f (x) + g (x) ]' = f '(x) + g'(x) [

(c)' = 0

( ax + b)' = a

(x)' = 1

n n–1 (x  )' = n  x 

–  + –  +

KENNEN

(met n ∈ n   0 \ {1})

KUNNEN

–  + –  +

De afgeleide functie van een functie bepalen via de rekenregels.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

109

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

1. De rechthoek in de figuur is opgebouwd uit 9 vierkanten waarvan 5 met oppervlakte 1. Wat is de oppervlakte van die rechthoek?

1 1

B) 21,5

C) 22

D) 22,5

E) 24

A) 20

VWO, editie 2022-2023, eerste ronde

2. Brahim spreekt altijd de waarheid. Tim liegt altijd. Een van beiden zegt dat de andere zegt dat hij Tim is. Wie zegt dat?

3. In een computerspel Nortfite zijn er 2 soorten strijders: Norts, die elk bewapend zijn met 3 speren en 1 zwaard, en Fites, die elk 1 speer en 2 zwaarden hebben. Om het volgende level te bereiken, moet je een groep strijders langs 2 magische hindernissen sturen. Ze kunnen enkel voorbij de 1ste hindernis als ze samen hoogstens 11 speren hebben en enkel voorbij de 2de als ze samen hoogstens 17 zwaarden hebben. De strijders mogen onderweg geen wapens achterlaten. Wat is het grootst mogelijke aantal strijders waaruit jouw groep kan bestaan om het volgende level te halen?

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

JWO, editie 2021-2022, tweede ronde 1

2 3

110

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I AFGELEIDEN

E) 10

HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

De logaritmische schaal

112

3.2

Logaritmisch papier

121

3.1

125

Pienter problemen oplossen

126

Studiewijzer

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

111

3.1

De logaritmische schaal

3.1.1 Definitie Hieronder vind je een aantal afmetingen (in m): GEOGEBRA

hoogte legoblokje hoogte shetlandpony hoogte deur hoogte giraf

hoogte piramide van Cheops hoogte Eiffeltoren diepte wrak van de Titanic hoogte Mount Everest

0,01 0,88 2,10 4,20

147 300 3 800 8 849

• Hoeveel keer is de Mount Everest hoger dan een shetlandpony? Rond af op 1 eenheid.

• Hoeveel legoblokjes moet je stapelen om de hoogte van de piramide van Cheops te verkrijgen?

Als je de verschillende afmetingen op één getallenas wilt plaatsen, is een gewone, lineaire schaalverdeling niet praktisch. Dat komt omdat de waarden sterk in grootte verschillen. Daarom stel je de gegevens voor met een andere verdeling: de logaritmische schaalverdeling. +1

lineaire schaal:

−2

−1

· 10

logaritmische schaal:

10−2 = 0,01

10−1 = 0,1

100 =1

101 = 10

102 = 100

· 10

Als je bij een lineaire schaal één maatstreep naar rechts gaat, vergroot het bijhorende getal met één eenheid. Eén stap op de schaal betekent telkens een optelling met een vaste waarde, in dit geval 1.

Bij een logaritmische schaal zet je machten van 10 op gelijke afstanden uit. Op die manier kun je zowel hele kleine als hele grote getallen op de as plaatsen. Eén stap op de schaal betekent telkens een vermenigvuldiging met een vaste waarde, in dit geval 10. Opmerking Een nadeel van de logaritmische schaal is dat je er geen 0 en geen negatieve getallen op kunt plaatsen.

Definitie

Logaritmische schaal 0

Op een logaritmische schaal is de afstand van 1 (= 10 ) tot een ander getal x (met x ∈ r 0) gelijk aan |log x|.

1 2

112

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

3.1.2 Getallen aflezen van een logaritmische schaal Als je gegevens wilt aflezen van de logaritmische schaal als de lineaire schaal gegeven is, kun je de volgende werkwijze toepassen. GEOGEBRA

lineaire schaal

−1,2

−2

0,3 0

−1

logaritmische schaal

10−2

10−1

= 0,01

= 0,1

Vul in en rond af op 0,01. 0,3

2,00 a = 10  ≈

1,8

b = 10

100

101

102

= 10

= 100

–1,2

≈

c =

Is enkel een logaritmische schaal gegeven en is de tussenverdeling regelmatig, dan gebruik je de machten van 10 om de getallen af te lezen.

−1

−2

103

Vul in en rond af op 0,01. 0,6

a = 10  ≈ 3,98

b = 10

–2,1

≈

c =

Om het aflezen van waarden te vereenvoudigen, kun je gebruikmaken van de onderstaande schaalverdeling. Deze schaal zul je later ook gebruiken bij logaritmisch papier (zie § 3.2).

0.1

0.2

0.3 0.4 ...

4 ...

10 –1

30 40 ...

100

De hoofdindeling is dezelfde als bij een logaritmische schaal (..., 10  , 10  , 10  , 10  , …). De tussenverdeling is niet regelmatig zoals bij de eerste twee logaritmische schalen. Elk maatstreepje stelt een volgend geheel veelvoud van het vetgedrukte getal links ervan voor. Stel dat de afstand tussen de maatstreepjes 1 en 10 één cm voorstelt en je het getal 2 wilt aanduiden. Je berekent log 2 ≈ 0,30. Het getal 2 ligt op 0,30 cm van het getal 1. Analoog ligt 3 op 0,48 cm van het getal 1 (want log 3 ≈ 0,48).

Bij hogere machten van 10 zijn de tussenverdelingen in dezelfde verhouding opgedeeld. Zo is de afstand tussen 1, 2, 3 … gelijk aan de afstand tussen 10, 20, 30 … of aan de afstand tussen 100, 200, 300 …

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

113

3.1.3 Getallen plaatsen op een logaritmische schaal Gebruik de afmetingen (in m) van § 3.1.1. 147 300 3 800 8 849

hoogte piramide van Cheops hoogte Eiffeltoren diepte wrak van de Titanic hoogte Mount Everest

0,01 0,88 2,10 4,20

hoogte legoblokje hoogte shetlandpony hoogte deur hoogte giraf

Om deze gegevens op een logaritmische schaal te kunnen plaatsen, bereken je telkens eerst de logaritme van het bijhorende maatgetal. Rond af op 0,1. log 8 849 ≈ 3,9

legoblokje (l ) :

shetlandpony (s) :

deur (d ) :

giraf (g) :

Mount Everest (m) :

piramide van Cheops (c) :

Eiffeltoren (e) :

wrak van de Titanic (t) :

Als je de Mount Everest op een logaritmische schaal wilt plaatsen, maak je dus gebruik van de berekende logaritme: 3,9.

Je verdeelt het lijnstuk [10  , 10    ]in 10 gelijke delen die overeenkomen met 10  , 1 0  … Het getal voor de komma (3) is de macht van 10 op de logaritmische schaal. Het getal na de komma (9) is de tussenverdeling. 3

3,1

103,1

103,2

103,3

103,4

103,5

103,6

103,7

3,2

Mount Everest 103,8

103,9

103

104

Plaats de rest van de gegevens op de logaritmische schaal.

10−1

100

101

10−2

m 102

103

Opmerking Door de logaritmische schaalverdeling te gebruiken, gaat er informatie verloren. Wil je de hoogte van de Kemmelberg (154 m) toevoegen op de logaritmische schaal, dan krijg je log 154 ≈ 2,2 en lijkt die ‘even hoog’ als de piramide van Cheops.

1 2

114

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

104

3.1.4 Toepassingen De schaal van Richter

Voorbeeld

De Amerikaanse seismoloog Charles Richter ontwierp in 1935 een schaal om de sterkte van aardbevingen uit te drukken, de schaal van Richter. Die schaal meet de energie die vrijkomt bij een aardbeving of een zeebeving. De magnitude M geeft een indicatie van de zwaarte van de schok en wordt berekend 2  log __ 1 met de formule M =  __ (  2  E)– 3. Daarbij is E de vrijgekomen energie (in J). 3 De schaal van Richter is logaritmisch, dat betekent dat bij een toename van één magnitude-eenheid de grond 10 keer heviger trilt. Een aardbeving met een magnitude van 5 is dus 10 keer zwaarder dan een beving met magnitude 4, en 100 keer zwaarder dan een beving met magnitude 3.

De logaritmische schaal stelt de vrijgekomen energie voor van een aantal aardbevingen.

1013

1014

1015

1016

E1 1017

1018

1019

E (in J)

• I n 2011 vond in Japan een aardbeving plaats voor de kust van Fukushima. Lees op de logaritmische schaal de hoeveelheid vrijgekomen energie E  1 af (in J).

• Bereken de magnitude op de schaal van Richter.

• 10 jaar later vond daar opnieuw een aardbeving plaats met magnitude 7,1. Bereken de hoeveelheid vrijgekomen energie E  2(in J) van die beving. Rond af op 0,1. Plaats E  2op de logaritmische schaal. UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

115

Geluidssterkte in decibel Alle geluiden die je als mens waarneemt, zijn trillingen in de luchtdruk die het trommelvlies opvangt. Die geluidsdruk p wordt uitgedrukt in Pascal (Pa). Geluidssterkte of het geluidsdrukniveau L wordt uitgedrukt in decibel (dB). Mensen kunnen geluiden horen vanaf 0 dB en de pijngrens wordt bereikt bij 120 dB. Het verband tussen het geluidsdrukniveau L en de geluidsdruk p wordt berekend met de formule p L = 20  log ___ . ( p0 ) Daarbij is p 0 de geluidsdruk bij de gehoorgrens: p 0 = 0,000 02 Pa.

Voorbeeld

Een rijdende bromfiets produceert 75 dB.

• Bereken de geluidsdruk die één rijdende bromfiets produceert. Rond af op 0,000 1 Pa.

DECIBELSCHAAL

Pijngrens

Vuurwerk

Straalmotor

Sirene

• Bereken de geluidsdruk die drie rijdende bromfietsen produceren. Rond af op 0,000 1 Pa.

• Bereken de geluidssterkte die 3 rijdende bromfietsen produceren. Rond af op 0,1 dB.

Zeer luid

Trombone Helikopter Haardroger Vrachtwagen

Luid Matig tot stil Zwak

Auto Conversatie Koelkast Regen Geritsel van bladeren Gefluister Ademhaling

Andere toepassingen Logaritmische schalen worden ook gebruikt bij: • het meten van de zuurtegraad van een stof: de pH-schaal; • het bepalen van de helderheid van een hemellichaam: de magnitude; • het meten van elektromagnetische straling: de golflengte; • het meten van de snelheid van een besmetting in een populatie: het reproductiegetal; • …

1 2

116

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

Oefeningen REEKS A 1

Gegeven de logaritmische schaal: a

b 10−2

10−1

100

101

102

103

104

105

a) Bepaal de waarde van a, b en c. Rond af op 0,01.

a = b = c = _ b) Duid de getallen d = √ 2 , e = 0,75; f = 22,5 en g = 100 000 aan op de logaritmische schaal. d = e = f =

Bereken de massa (in kg) van de aangeduide dieren op de logaritmische schaal. Rond af op 0,1 kg. cavia 10−1

100

zeehond varken

101

nijlpaard orka

102

103

104

105

kat:

zeehond:

varken:

nijlpaard:

orka:

cavia:

kat

massa (in kg)

10−2

g =

Gegeven de logaritmische schaal:

0,1

100

1 000

104

a) Bepaal de waarde van a, b en c.

a = b = c =

b) Duid de getallen d = 30, e = 5 000 en f = 0,2 aan op de logaritmische schaal.

Bepaal met behulp van de logaritmische schaal de afstanden (in m) die sporters op de Olympische Spelen moeten afleggen. d 0,01

e 0,1

c 1

b 10

a 100

1 000

afstand (in km)

fietsafstand triatlon (a ) :

vrije slag (d ) :

loopafstand triatlon (b ) :

schietafstand met een militair geweer (e ) :

roeien (c ) :

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

117

REEKS B 5

Gegeven is het aantal inwoners van 5 landen in 2023: China: 1,4 miljard Mexico: 128 miljoen

België: 11,6 miljoen IJsland: 387 758

Monaco: 36 297

a) Plaats de inwonersaantallen op de logaritmische schaal. China (c ):

IJsland (i ):

Mexico (me ):

Monaco (mo ):

102

103

104

België (b ):

105

106

107

108

109

b) Stel dat over een aantal jaar zowel de bevolking van Monaco als van IJsland is verdubbeld. In welke mate zal de afstand tussen de 2 landen op de logaritmische schaal dan veranderen?

Een laborant kweekt een nieuwe bacteriesoort. Het aantal bacteriën groeit exponentieel. Bij het begin van de meting telt hij 500 bacteriën en elke dag wordt het aantal 8 keer groter.

a) Geef het verband tussen het aantal bacteriën n en de tijd t (in dagen).

b) Hoeveel bacteriën zijn er na 3 dagen? Duid met de letter b aan op onderstaande logaritmische schaal.

c) Hoeveel bacteriën zijn er na 5 h? Duid met de letter c aan op onderstaande logaritmische schaal.

d) Hoeveel bacteriën komen overeen met de letter d op de logaritmische schaal? Rond af op een eenheid.

e) Na hoeveel tijd wordt dat aantal bereikt? Rond af op 1 dag.

1 2

−2

118

−1

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

105

Op 6 februari 2023 werd Turkije getroffen door een aardbeving met magnitude 7,8 op de schaal van Richter. Op 21 november 2022 was er een aardbeving in Indonesië, die 160 keer zwakker was. a) Wat was de magnitude van deze beving op de schaal van Richter? Rond af op 0,1. b) Bereken de vrijgekomen energie (in J). Rond af op 0,1 J.

Tijdens een concert stijgt de geluidssterkte van 85 naar 95 dB. Hoeveel keer groter wordt de geluidsdruk? Rond af op 1 dB.

De pH is een maat voor de zuurtegraad (in mol/l) van een waterige oplossing. De schaal ligt tussen waarde 0 en waarde 14. Zure oplossingen hebben een pH lager dan 7, waarbij 0 extreem zuur is. Basische oplossingen hebben een pH hoger dan 7, waarbij 14 extreem basisch is. + De pH-waarde wordt berekend met de formule pH = –log [ H    ].

Daarbij is [H    ] de concentratie H  -ionen in een oplossing (in mol/l). Een toename van 1 op de pH-schaal betekent dat de oplossing 10 keer meer basisch is. +

Gegeven een logaritmische schaal van de H  -concentratie van een aantal producten: bloed

bier

10−6

10−8

10−4

cola

10−2

100

102

104

106

a) Bepaal de pH-waarde van bloed, bier en cola. bloed: bier:

cola:

b) Azijn heeft een pH-waarde van 3,5 en een tomaat een pH-waarde van 4. Duid azijn en tomaat aan op de logaritmische schaal. azijn: tomaat: UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

119

Autorijden is gevaarlijker dan borduren, dat weet iedereen. Hoe zit het met roken en bevriezing, of met skaten en Russische roulette? De wiskundige John Allen Paulos bedacht een veiligheidsindex, gebaseerd op statistisch onderzoek. Als gemiddeld 1 persoon in een groep van n deelnemers sterft door een bepaalde activiteit A, dan krijgt die activiteit een veiligheidsindex V  A = log n. Bij een rondje Russische roulette heb je 1 kans op 6 om te sterven, met andere woorden V  Russische roulette = log 6 ≈ 0,8. Hoe groter de veiligheidsindex, hoe veiliger de activiteit. Hoe lager de veiligheidsindex, hoe hoger het risico. Bij een toename van 1 op de veiligheidsindex daalt het veiligheidsrisico met factor 10. Gegeven de veiligheidsindex van Paulos: Russische roulette 100

101

alcohol 102

103

verkeersongeval fiets 104

105

blikseminslag 106

107

a) Wat is de kans dat iemand sterft bij een verkeersongeval?

b) De kans dat je sterft door een bijensteek is 1 op 6,3 miljoen. Plaats die kans op de veiligheidsschaal. Noteer met de letter b.

c) West-Vlaanderen telde op 1 januari 2023 ongeveer 1,2 miljoen inwoners. Hoeveel personen hebben dan kans om te overlijden na een blikseminslag?

d) Hoeveel keer kleiner is de kans dat iemand sterft door alcohol dan door Russische roulette? Rond af op 1 eenheid.

e) De kans dat iemand sterft door te rijden met een fiets is 126 keer kleiner dan door te roken. Bereken de veiligheidsindex van roken. Rond af op 0,1.

Plaats die kans op de veiligheidsschaal. Noteer met de letter r.

1 2

120

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

VERDIEPING

3.2

Logaritmisch papier

3.2.1 Inleidend voorbeeld

GEOGEBRA

Australië worstelt al meer dan 150 jaar met een konijnenplaag. Uit een recente studie blijkt dat de plaag veroorzaakt werd door 24 konijnen die in 1859 vanuit Engeland verscheept werden. Elk jaar werd dat aantal 3 keer zo groot. De waardentabel geeft een overzicht van het aantal konijnen k in functie van het aantal jaren n na 1859.

aantal jaren (n)

aantal konijnen (k)

• Vul de ontbrekende waarden in de tabel aan. 2

216

648

• Welk verband bestaat er tussen k en n ?

• Bepaal het functievoorschrift van het verband tussen k en n.

• Hoeveel konijnen zijn er na 3 jaar en 6 maand?

• Als de regering niks zou doen aan de konijnenplaag, na hoeveel jaar zouden er dan meer dan 1 miljoen konijnen zijn? Bepaal grafisch en rond af op 1 maand.

Als je de grafiek van dit verband tekent op een lineaire schaalverdeling, merk je dat de waarden van k steeds minder nauwkeurig af te lezen zijn. Dat komt door het snel stijgende aantal konijnen. Je kunt dat oplossen door logaritmisch papier te gebruiken. Je kunt één enkele of beide assen omzetten naar een logaritmische schaal.

Bij enkelvoudig logaritmisch papier is er een gewone lineaire verdeling voor de ene as en wordt voor de andere as een logaritmische schaal gebruikt. Bij exponentiële groei is het aan te raden om de y-as logaritmisch te maken. Als beide assen een logaritmische schaal hebben, spreek je van dubbellogaritmisch papier.

Besluit

Logaritmisch papier Bij logaritmisch papier gebruik je voor één of beide assen een logaritmische schaalverdeling. Als één as logaritmisch is, dan spreek je van enkelvoudig logaritmisch papier. Bij dubbellogaritmisch papier zijn beide assen logaritmisch.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

121

VERDIEPING

Teken de grafiek van het aantal konijnen k in functie van het aantal jaren n op enkelvoudig logaritmisch papier. k 106

105

104

100

1 000

• Welke soort grafiek krijg je?

• Z ijn de volgende uitspraken juist of fout? Verklaar je antwoord met behulp van de getekende grafiek. Na 9 jaar zijn er zijn meer dan 1 miljoen konijnen.

∙

Na 1 jaar en 6 maanden wordt de kaap van 100 konijnen overschreden.

∙

De stijging van het aantal konijnen tussen jaar 2 en 3 is groter dan de stijging tussen jaar 4 en 5.

Eigenschap

Exponentiële functies x

De grafiek van een exponentiële functie met vergelijking y = b  a  wordt op enkelvoudig logaritmisch papier, met een logaritmische schaal op de y-as, voorgesteld als een rechte.

1 2

122

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

VERDIEPING

Oefeningen REEKS A 11

Stellen de waardentabellen een exponentieel verband voor? Onderzoek door de grafiek te tekenen op enkelvoudig logaritmisch papier. a)

0,3

0,02

y 10

0,1

x y

10 11

–10

–5

–1

200

100 10 1

0,1

0,01

–12 –10 –8

–4

–2

–6

10 1

0,1

0,01 x 2

8 10 12 14 16 18 20 22 24

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

123

VERDIEPING

REEKS B 12

Gegeven: f ( x) = 10  5  en g ( x) = 5  1 0 

a) Als deze verbanden op enkelvoudig logaritmisch papier worden getekend, zijn dat dan stijgende of dalende rechten? b) Welke grafiek is het steilst als beide verbanden op enkelvoudig logaritmisch papier worden getekend?

Een bloemenkweker verzorgt zijn bloemen goed. De massa m (in g) van een tulp t na een tijd t (in weken) wordt beschreven door de functie m  t(t) = 40  1, 2  . y

m (in g)

100

x 8

18 t (in weken)

–2

a) Teken de grafiek van m  t .

b) De massa m  a van een anjer in functie van de tijd t kun je beschrijven t met de functie m  a(t) = 20  1,13  . Teken de grafiek van de functie.

1 2

124

c) Tulpen en anjers worden geplukt bij een massa van 100 g. Hoeveel weken verschil is er tussen het plukken van beide bloemen? Bepaal grafisch.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

STUDIEWIJZER De logaritmische schaal voor de leerling

3.1 De logaritmische schaal KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  + 0

Op een logaritmische schaal is de afstand van 1 (= 10 ) tot een ander getal x (met x ∈ r  0 )  gelijk aan |log x|. Praktische toepassingen van de logaritmische schaal: schaal van Richter, decibelschaal, pH-schaal …

KUNNEN

–  + –  +

Getallen op een logaritmische schaal kunnen aflezen.

3.2 Logaritmisch papier

Getallen op een logaritmische schaal kunnen plaatsen.

KENNEN

–  + –  +

Bij logaritmisch papier gebruik je voor één of beide assen een logaritmische schaal. Als één as logaritmisch is, dan spreek je van enkelvoudig papier. Bij dubbellogaritmisch papier zijn beide assen logaritmisch. x

De grafiek van een exponentiële functie met vergelijking f ( x) = b  a  wordt op enkelvoudig logaritmisch papier, met een logaritmische schaal op de y-as, voorgesteld als een rechte.

KUNNEN

–  + –  +

Gegevens op enkelvoudig logaritmisch papier kunnen voorstellen.

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

125

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

1. Een postkaart hangt pas stevig op een prikbord zodra er 2 duimspijkers door gestoken worden. Wat is het minimale aantal duimspijkers waarmee de volgende 6 postkaarten in deze positie stevig op het prikbord vastgeprikt kunnen worden?

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

A) 3

VWO, editie 2021-2022, eerste ronde

2. Op de onderstaande display staan dag, maand, jaar, uren, minuten en seconden aangegeven. Lins kijkt gedurende een minuut enkel naar het cijfer op de laatste positie van de display. Welk streepje ziet hij in die minuut het langst aan een stuk door oplichten?

JWO, editie 2022-2023, eerste ronde

3. Hilda, Paul, Leen, Jan en Greet wandelen over een heuvel. Op de kaart met hoogtelijnen zie je hun posities. • Jan staat hoger dan Greet, maar Greet kan hem niet zien omdat hij aan de andere kant van de heuvel staat. • Greet staat hoger dan Leen, maar Leen kan haar niet zien omdat ze aan de andere kant van de heuvel staat. • Paul en Hilda staan langs dezelfde kant van de heuvel. Waar staat Greet?

A) A

B) B

C) C

D) D

E) E

VWO, editie 2019-2020, eerste ronde

126

UITGEBREIDE ANALYSE EN ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I DE LOGARITMISCHE SCHAAL

D 80 m 60 m 40 m 20 m