Pienter 5 & 6 (editie 2023) Financiële algebra Thematische uitgave

Page 1

enter

FINANCIËLE ALGEBRA Derde graad

iDiddit

©VANIN

Financiële algebra

Derde graad

Liesbeth Huys

Dirk Taecke

MET MEDEWERKING VAN

Etienne Goemaere

Tom Van der Auwera

©VANIN

Martine Verrelst

Stephan Wellecomme

Via www.ididdit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter derde graad. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.

Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 2 schooljaren.

Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.

Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.

© Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2023

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Credits

©VANIN

p. 28, 44, 56, 78, 116 en 130 vragen JWO en VWO © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, p. 90 Rentebarometer

Immotheker Finotheker © Immotheker Finotheker, p. 98 kasteel © Traveller70 / Shutterstock, p. 100

computerscherm © Peerawich Phaisitsawan / Shutterstock, p. 102 Leningrentes in westerse geschiedenis

© De Standaard, p. 118 affiche © Beobank, p. 123 smartphone © Daniel Constante / Shutterstock, p. 125 laptop

© Oleg GawriloFF / Shutterstock

Eerste druk 2023

ISBN 978-94-647-0184-5

D/2023/0078/112

Art. 604037/01

NUR 120

Ontwerp cover: KaaTigo

Ontwerp binnenwerk: fikfak

Tekeningen: Dirk Vandamme

Zetwerk: Crius Group

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? 4 Hoe werk je met iDiddit? 6 Hoofdstuk 1 Enkelvoudige intrest 7 Hoofdstuk 2 Samengestelde intrest 29 Hoofdstuk 3 Beleggingen 45 Hoofdstuk 4 Annuïteiten 57 Hoofdstuk 5 Leningen op lange termijn 79 Hoofdstuk 6 Consumentenkrediet 117 ©VANIN

Hoe werk je met Pienter?

5.2 Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen

Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

voorbeeld algemeen

Je leent 250 000 euro. De looptijd is 20 jaar en de maandelijkse rentevoet is 0,33 %.

De waarde van het geleende kapitaal over 20 jaar

Je leent een bedrag V. Het aantal afbetalingen is n en de periodieke rentevoet is i

is 250 000 1,003 3 240 = 551 232,67 euro.

Het maandelijks te betalen bedrag is gelijk aan het termijnbedrag a van een postnumerando annuïteit waarvan de eindwaarde 551 232,67 euro is.

De waarde van V over n periodes is V u n, met u = 1 + i

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

Het periodiek te betalen bedrag is gelijk aan het termijnbedrag a van een postnumerando annuïteit waarvan de eindwaarde V u n is.

4.1 Definitie

4.1 Definitie

Voorbeelden

a 1,003 3 240 – 1 0,003 3 = 250 000 1,003 3 240 250 000 a 1,003 3 240 – 1 0,003 3 1,003 3 240

a u n – 1 i = V u n V a u n – 1 i u n

Voorbeelden

Formule Lening met constante afbetalingen V = a u n – 1 i u n

1) Op 15 maart komt Karl met zijn bank het volgende spaarplan overeen. Gedurende 10 jaar stort hij elk jaar 1 500 euro op een spaarrekening, te beginnen vanaf 15 maart van het volgende jaar. Elk gestort bedrag staat uit tegen 0,90 % samengestelde intrest.

1) Op 15 maart komt Karl met zijn bank het volgende spaarplan overeen. Gedurende 10 jaar stort hij elk jaar 1 500 euro op een spaarrekening, te beginnen vanaf 15 maart van het volgende jaar. Elk gestort bedrag staat uit tegen 0,90 % samengestelde intrest.

2) De ouders van Rodica storten elk trimester, vanaf de dag van haar geboorte, 200 euro op een rekening die 0,75 % samengestelde intrest per jaar opbrengt. Op haar achttiende verjaardag krijgt Rodica het volledige bedrag als verjaardagsgeschenk.

Beginwaarde van een postnumerando annuïteit

Je stort 10 jaar lang elk jaar postnumerando 500 euro tegen 1,10 % samengestelde intrest.

A 10 = 500 1,011 10 – 1 0,011 = 5 254,90

2) De ouders van Rodica storten elk trimester, vanaf de dag van haar geboorte, 200 euro op een rekening die 0,75 % samengestelde intrest per jaar opbrengt. Op haar achttiende verjaardag krijgt Rodica het volledige bedrag als verjaardagsgeschenk.

3) Kim en Tim hebben een huis gekocht en zijn daarvoor bij de bank een lening van 220 000 euro aangegaan tegen een jaarlijkse rentevoet van 3,60 %. Om die lening af te betalen, moeten ze 20 jaar lang elke maand 1 280,71 euro betalen. De eerste afbetaling gebeurt 1 maand nadat ze het geleende bedrag ontvangen hebben.

De eindwaarde na 10 jaar is 5 254,90 euro.

Welk eenmalig bedrag zou je moeten storten om hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen?

Je noemt dat bedrag de beginwaarde A 0 van de postnumerando annuïteit.

3) Kim en Tim hebben een huis gekocht en zijn daarvoor bij de bank een lening van 220 000 euro aangegaan tegen een jaarlijkse rentevoet van 3,60 %. Om die lening af te betalen, moeten ze 20 jaar lang elke maand 1 280,71 euro betalen. De eerste afbetaling gebeurt 1 maand nadat ze het geleende bedrag ontvangen hebben.

Definitie Annuïteit

A 0 1,011 10 = 5 254,90 ⇔ A 0 = 5 254,90 1,011 10 = 4 710,35

Een annuïteit is een rij gelijke periodieke stortingen, die allemaal uitstaan op samengestelde intrest.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Je zou 4 710,35 euro moeten storten om hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen.

Om de periodieke afbetalingen a van een lening met constante afbetalingen te berekenen, maak je een analoge redenering.

Benamingen

Besluit Het geleende bedrag is de beginwaarde van een postnumerando annuïteit.

of een afbetaling van een lening (schulddelging), zoals in voorbeeld 3. Dit hoofdstuk gaat over de kapitaalvorming. De leningen komen in de volgende hoofdstukken aan bod.

• Een annuïteit kan een vorm van sparen zijn (kapitaalvorming), zoals in voorbeeld 1 en 2, of een afbetaling van een lening (schulddelging), zoals in voorbeeld 3. Dit hoofdstuk gaat over de kapitaalvorming. De leningen komen in de volgende hoofdstukken aan bod.

• Het periodiek gestorte bedrag noem je het termijnbedrag van de annuïteit.

• Het periodiek gestorte bedrag noem je het termijnbedrag van de annuïteit.

• Als je de termijnbedragen op het einde van elke periode stort, dan spreek je van een postnumerando (of achteraf betaalde) annuïteit. Stort je bij het begin van elke periode, dan heb je te maken met een prenumerando (of vooraf betaalde) annuïteit.

• Als je de termijnbedragen op het einde van elke periode stort, dan spreek je van een postnumerando (of achteraf betaalde) annuïteit. Stort je bij het begin van elke periode, dan heb je te maken met een prenumerando (of vooraf betaalde) annuïteit.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 83

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Vul de tabel in.

Vul de tabel in.

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:

Oefeningen

termijnbedrag postnumerando/prenumerando voorbeeld 1

REEKS B

REEKS A eenvoudige toepassingen

REEKS B basisniveau

termijnbedrag postnumerando/prenumerando voorbeeld 1 voorbeeld 2 voorbeeld 3

8 Je leent 60 000 euro. De looptijd is 4 jaar en de afbetalingen gebeuren jaarlijks. De rentevoet is 3 %. Maak een aflossingsplan

a)voor een lening met constante afbetalingen.

• Berekening van het termijnbedrag:

REEKS C verdiepingsniveau

58 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 ANNUÏTEITEN

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep. Op iDiddit vind je extra oefeningen.

In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.

• Aflossingsplan: jaarafbetaling intrest aflossing saldo

©VANIN

ICT Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, bv. Excel, GeoGebra of Python.

b)voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

• Aflossingsplan: jaarafbetaling intrest aflossing saldo

FINANCIËLE ALGEBRA HOOFDSTUK 4 ANNUÏTEITEN 57 HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 4.1Definitie 58 4.2Hoofdformule voor eenpostnumerando annuïteit 59 4.3Voorbeelden 60 4.4Toepassingen op de hoofdformule 61 4.5Hoofdformule voor eenprenumerandoannuïteit 72 4.6Toepassingen op de hoofdformule 73 Studiewijzer 77 Pienter problemen oplossen 78 58 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6
voorbeeld 2 voorbeeld 3
1 2 3 4 5 6
GEOGEBRA
0 1 2 3 4
0 1 2 3

XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten scan-iconen tegenkomen. De iconen verwijzen naar een instructiefilmpje van de leerstof of een toepassing in GeoGebra op iDiddit.

STUDIEWIJZER Annuïteiten

4.1 Definitie voor de leerling voor de leerkracht KENNEN

Een annuïteit is een rij gelijke periodieke stortingen, die allemaal uitstaan op samengestelde intrest. KUNNEN

Het verschil uitleggen tussen post- en prenumerando annuïteiten.

4.2 Hoofdformule voor een postnumerando annuïteit

KENNEN

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

De eindwaarde van een postnumerando annuïteit is A n a u n

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’. Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

1 i met i = de rentevoet per periode, u = 1 + i = de rentefactor, a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

4.3 Voorbeelden

Achteraan in het boek zit een blad met een cartoon. Dat kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor extra leerstof.

KUNNEN

De hoofdformule van postnumerando annuïteiten toepassen om de eindwaarde te berekenen.

4.4 Toepassingen op de hoofdformule

KUNNEN

Door van lid te veranderen, het termijnbedrag berekenen als de eindwaarde, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn. Met ICT de eindwaarde, het termijnbedrag, de rentevoet en de looptijd berekenen als de andere waarden gegeven zijn.

4.5 Hoofdformule voor een prenumerando annuïteit

KENNEN

De eindwaarde van een prenumerando annuïteit is A9 n a u n – 1 i u met i = de rentevoet per periode, u = 1 + i = de rentefactor, a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

4.6 Toepassingen op de hoofdformule

KUNNEN

Door van lid te veranderen, het termijnbedrag berekenen als de eindwaarde, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn.

FINANCIËLE
ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 ANNUÏTEITEN
77
–  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
GEOGEBRA ©VANIN
VIDEO

Het onlineleerplatform

bij Pienter derde graad

Mijn lesmateriaal

Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals Excelbestanden, filmpjes, GeoGebra-toepassingen, extra oefeningen ...

Extra materiaal

Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend audio- of videofragment zijn, een woorden- of begrippenlijst, extra bronnen of een leestekst. Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof onder de knie te krijgen.

Adaptieve oefeningen

In dit gedeelte kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau. Hier kun je vrij oefenen of de oefeningen maken die de leerkracht voor je heeft klaargezet.

Opdrachten

Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Evalueren

Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen? Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.

Notities

Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud? Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.

Meer weten?

Ga naar www.ididdit.be

©VANIN
FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 7 HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1.1 Definitie 8 1.2 Hoofdformule 8 1.3 Voorbeelden 9 1.4 Toepassingen op de hoofdformule 10 1.5 Formules voor het eindkapitaal 18 1.6 Toepassingen op de formules voor het eindkapitaal 19 1.7 Toepassingen op enkelvoudige intrest 20 Studiewijzer 27 Pienter problemen oplossen 28 ©VANIN

1.1 Definitie

Het is onmogelijk om in dit leerwerkboek rekening te houden met de actuele rentevoeten. Je werkt met willekeurig gekozen percentages.

Als je 1 000 euro belegt tegen een jaarlijkse rentevoet van 1 %, dan verkrijg je na 1 jaar een intrest die gelijk is aan

1 000 ? 1 100 = 1 000 ? 0,01 = 10 (euro).

Het getal 0,01 is de decimale notatie van de rentevoet.

Na afloop van het eerste jaar kun je verder sparen.

Als de bank geen rekening houdt met de verworven intrest van het eerste jaar, ontvang je na het tweede jaar opnieuw 10 euro intrest. In dat geval spreek je van enkelvoudige intrest

Als de intrest van het eerste jaar bij het beginkapitaal wordt gevoegd, dan ontvang je na het tweede jaar

? 0,01 = euro intrest. Het kapitaal is dan uitgezet op samengestelde intrest

Definitie Enkelvoudige intrest

Een kapitaal staat uit op enkelvoudige intrest als de intrest altijd op hetzelfde kapitaal wordt berekend.

1.2 Hoofdformule

Je zet 400 euro uit op enkelvoudige intrest gedurende 3 jaar. De rentevoet is 1 %.

Na 1 jaar is de intrest 400 0,01 = 4 (euro).

Ook na het tweede en derde jaar ontvang je dezelfde intrest. De totale intrest is dus 4 ? 3 = 400 ? 0,01 ? 3 = 12 (euro).

Algemeen

Stel: het beginkapitaal = k, de looptijd in jaren = n, de intrest na n jaar = I, de jaarlijkse rentevoet = i (in decimale notatie)

Formule Enkelvoudige intrest

I = k i n

Opmerkingen

©VANIN

• Alle bedragen worden afgerond op 0,01 euro.

• De rentevoet is altijd jaarlijks, tenzij uitdrukkelijk anders wordt vermeld.

• Bij de berekening van de rentevoet rond je af op 0,000 001 = 0,000 1 %.

• De beleggingstijd wordt meestal uitgedrukt in jaren.

Soms gebruikt men semesters, trimesters (of kwartalen) en maanden. Een semester bestaat uit 6 maanden, een trimester uit 3 maanden. Er zijn dus 2 semesters in een jaar en 4 trimesters.

8 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
GEOGEBRA GEOGEBRA VIDEO

1.3 Voorbeelden

Voorbeeld 1

Jan zet 1 300 euro uit op enkelvoudige intrest tegen 0,90 %. Bereken de intrest na 4 jaar.

Gegeven: k = 1 300 i = 0,009 n = 4

Gevraagd: I

Oplossing: I = k ? i ? n =

Voorbeeld 2

Hoeveel intrest ontvangt Farida na 2 jaar en 3 maanden op 700 euro, als de rentevoet 0,75 % is? Gegeven: k = i =

Gevraagd: I

Oplossing: I = k ? i ? n =

Voorbeeld 3

Bereken de intrest die Xavier ontvangt na 3 trimesters voor een belegging van 2 300 euro,

a) als de rentevoet 0,25 % per trimester is.

Gegeven: k = i = (per trimester) n =

Gevraagd: I

Oplossing: I = k ? i ? n =

b) als de rentevoet 1 % per jaar is.

Gegeven: k = i = (per jaar) n =

Gevraagd: I

Oplossing: I = k i n =

Nominale omzetting

Omdat p % per jaar = p 2 % per semester = p 4 % per trimester = p 12 % per maand, zul je bij berekeningen met enkelvoudige intrest altijd het jaar als tijdseenheid gebruiken.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 9
n = 2 + 3 12 = 2 + 1 4 = 9 4
©VANIN

1.4 Toepassingen op de hoofdformule

1.4.1 Berekening van het beginkapitaal

Welk bedrag stond van 20 april tot 22 augustus op je spaarrekening, als de rentevoet 0,25 % en de intrest 2,38 euro bedroeg?

Gegeven: I = i =

Gevraagd: k

Oplossing: Je lost de vergelijking I = k ? i ? n op naar k

1.4.2 Berekening van de rentevoet

Sofie heeft 5 200 euro voor 4 maanden uitgezet op enkelvoudige intrest.

Op de vervaldag ontvangt ze 5,20 euro intrest.

Welke rentevoet heeft de bank gehanteerd?

Gegeven: k = I = n =

Gevraagd: i

Oplossing: Je lost de vergelijking I = k i n op naar i

10 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
n = 234 – 110 365 = 124 365
k
I i ? n =
=
EXCEL + DAGENKALENDER
i = = GEOGEBRA VIDEO I k · i · n ©VANIN

1.4.3 Berekening van de looptijd

In een financieel jaar brengt elke maand evenveel intrest op. Je beschouwt elk jaar dan als 12 maanden van 30 dagen en dus 360 dagen. Als je de intrest berekent met de kalender, reken je met 365 (of 366) dagen.

Voorbeeld 1

Hoelang moet je 4 000 euro tegen 0,70 % enkelvoudige intrest uitzetten om 60 euro intrest te verkrijgen?

Gegeven: k = 4 000 I = 60 i = 0,007

Gevraagd: n

Oplossing: Je lost de vergelijking I = k ? i ? n op naar n

rondt het aantal dagen altijd af naar boven.)

De beleggingstijd is 2 jaar, 1 maand en 22 dagen.

Voorbeeld 2

Asmina zet 1 415 euro op een spaarrekening. De rentevoet is 0,45 %. Na hoeveel tijd zal het kapitaal aangegroeid zijn tot 1 425 euro?

Gegeven: k = I = i = Gevraagd: n

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 11
n = I k ⋅ i = 60 4 000 ⋅ 0,007 ≈ 2,142 857 → 2 jaar 0,142 857... 12 ≈ 1,714 284 → 1 maand 0,714 284 ? 30 ≈ 21,43 → 22 dagen (Je
x 3,5 x 3,5 x x 80°1 ©VANIN
Oplossing:

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken de intrest.

a) beginkapitaal = 350 euro

rentevoet = 0,70 %

looptijd = 3 jaar

b) beginkapitaal = 1 460 euro

rentevoet = 0,50 % looptijd = 2 jaar en 6 maanden

c) beginkapitaal = 6 700 euro

rentevoet = 0,75 %

looptijd = 3 trimesters

d) beginkapitaal = 973 euro

rentevoet = 0,30 %

looptijd = 43 kalenderdagen

2 Bereken het beginkapitaal.

a) intrest = 127,60 euro

rentevoet = 1,10 % looptijd = 4 jaar

b) intrest = 1,10 euro

rentevoet = 0,40 % looptijd = 1 semester

c) intrest = 13,75 euro

rentevoet = 0,60 % looptijd = 10 maanden

d) intrest = 48,75 euro

rentevoet = 0,65 %

looptijd = 5 trimesters

12 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
©VANIN

3 Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

a) beginkapitaal = 500 euro intrest = 30 euro looptijd = 5 jaar

c) beginkapitaal = 1 490 euro intrest = 26,82 euro looptijd = 2 jaar en 1 trimester

b) beginkapitaal = 3 800 euro intrest = 4,75 euro looptijd = 5 maanden

d) beginkapitaal = 10 000 euro intrest = 332,50 euro looptijd = 3 jaar en 1 semester

4 Bereken de looptijd.

a) beginkapitaal = 500 euro rentevoet = 0,45 % intrest = 2,70 euro

c) beginkapitaal = 1 800 euro rentevoet = 0,90 % intrest = 52,75 euro

b) beginkapitaal = 2 450 euro rentevoet = 0,55 % intrest = 24,95 euro

d) beginkapitaal = 3 560 euro rentevoet = 1,10 % intrest = 216,50 euro

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 13

REEKS B

5 Arthur leent 3 000 euro tegen 4,90 %. Na een jaar en 7 maanden betaalt hij het bedrag terug. Hoeveel intrest moet hij betalen?

6 Khadija heeft op 1 januari 2 360 euro op haar spaarrekening staan. Hoeveel intrest heeft ze tegoed als ze op 23 juni het bedrag opvraagt? De rentevoet is 0,25 %.

7 Welk kapitaal moet je gedurende 7 trimesters op enkelvoudige intrest beleggen om 100 euro intrest te verkrijgen? De rentevoet is 0,55 %.

8 Op 17 april stort Younes een bepaald bedrag op zijn spaarrekening. Hij haalt het bedrag opnieuw af op 25 september en krijgt 1,38 euro intrest. Welk kapitaal heeft hij belegd, als je weet dat de rentevoet 0,25 % is?

9 Zoë wil een auto kopen en leent daarvoor 7 000 euro bij haar vriendin Kate. Na 2 jaar en 6 maanden betaalt ze het geleende bedrag terug en moet ze 437,50 euro intrest betalen. Welke rentevoet heeft Kate aangerekend?

14 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
©VANIN

10 Lukas schept op tegen zijn vrienden dat hij een goede investering heeft gedaan.

Een aandeel van 360 euro leverde hem na een trimester 6,75 euro intrest op. Hoeveel procent winst is dat op jaarbasis?

11 Irina doet een belegging van 3 500 euro. De rentevoet is 1,40 %.

Als ze het geld weer opvraagt, krijgt ze 208,25 euro intrest. Bereken de beleggingstijd.

12 Op 22 mei zet Aya 980 euro op haar spaarrekening. De rentevoet is 0,25 %.

Bij de afhaling heeft ze 0,48 euro intrest tegoed. Na hoeveel dagen heeft ze het bedrag afgehaald? Op welke datum was dat dan?

REEKS C

13 Robin beschikt over 2 400 euro.

Daarvan zet hij een kwart uit tegen 0,50 % en drie kwart tegen 0,60 %.

Bereken de totale intrest na 7 maanden.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 15
©VANIN

14 Meryem belegt een kapitaal tegen 0,85 %. Na 2 jaar vraagt ze een derde van het kapitaal op. Na 3 jaar ontvangt ze een totale intrest van 102 euro. Welk kapitaal heeft ze belegd?

©VANIN

15 Bij sommige beleggingen moet je 30 % belasting (roerende voorheffing) betalen op de intrest. Zo levert een belegging van 5 000 euro na 4 jaar een netto-intrest van 168 euro op. Bereken de brutorentevoet.

16 Yassin en Veerle kopen voor 240 000 euro een buitenhuis om te verbouwen. De verbouwingskosten bedragen 35 000 euro. Jaarlijks voorzien ze 1 500 euro aan belastingen en onderhoudskosten. Aan welke maandelijkse prijs moeten ze het eigendom verhuren om een opbrengst van 3 % te hebben?

17 Na hoeveel tijd zal een kapitaal dat je tegen 0,80 % enkelvoudige intrest belegt, met 1 20 zijn toegenomen?

16 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6

18 Je zet een kapitaal uit op enkelvoudige intrest. De intrest na 3 jaar en 4 maanden bedraagt 156,25 euro. Als je 500 euro meer had uitgezet, zou dat je 12,50 euro extra intrest opgeleverd hebben. Bereken het kapitaal en de rentevoet.

©VANIN

19 Jason zet gedurende 7 maanden 15 000 euro uit op enkelvoudige intrest tegen 0,25 %. Onmiddellijk daarop herbelegt hij het verkregen kapitaal voor 5 maanden. Op het einde van die periode is het oorspronkelijke kapitaal aangegroeid met 31,26 euro. Wat is de rentevoet van de laatste 5 maanden? Rond af op 0,01 % nauwkeurig.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 17

1.5 Formules voor het eindkapitaal

Definitie Eindkapitaal

Het eindkapitaal K van een belegging is de som van het beginkapitaal en de intrest.

Formule Eindkapitaal

K = k + I

Je stelt een formule op die het verband weergeeft tussen het begin- en eindkapitaal.

K = k + I = k + k ? i ? n = k ? (1 + i ? n)

Formule Verband tussen begin- en eindkapitaal

K = k ? (1 + i ? n)

Voorbeeld

GEOGEBRA

Tim zet 1 200 euro uit op enkelvoudige intrest tegen 0,55 %. Bereken zijn eindkapitaal na 2 jaar en 6 maanden.

Gegeven: k = i = n =

Gevraagd: K

Oplossing: methode 1 methode 2

K = k (1 + i n)

18 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
I
K = k + I
=
©VANIN

1.6 Toepassingen op de formules voor het eindkapitaal

De formule voor het eindkapitaal gebruik je enkel om het beginkapitaal te berekenen.

1.6.1 Berekening van het beginkapitaal

Welk bedrag moet je op 12 mei uitzetten tegen 0,25 % om op 24 oktober over 5 000 euro te beschikken?

Gegeven: K = i = n =

Gevraagd: k

Oplossing: K = k (1 + i n)

k = K 1 + i n =

1.6.2 Berekening van de rentevoet

Een aandeel van 750 euro is na 16 maanden 772,50 euro waard. Bereken de procentuele winst op jaarbasis.

Gegeven: k = I = K – k = n =

Gevraagd: i

Oplossing: i =

1.6.3 Berekening van de looptijd

Hoelang moet je 3 000 euro tegen 0,65 % enkelvoudige intrest uitzetten om het bedrag te laten aangroeien tot 3 100 euro?

Gegeven: k = I = K – k = i =

Gevraagd: n

Oplossing: n =

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 19
VIDEO ©VANIN

1.7 Toepassingen op enkelvoudige intrest

1.7.1 Zichtrekeningen

Een zichtrekening gebruik je voor dagelijkse verrichtingen, zoals betalen in een winkel, geld afhalen aan een bankautomaat of een factuur betalen. Een zichtrekening gebruik je niet om te sparen. Zoek op vanaf welke leeftijd je een zichtrekening kunt openen.

Een zichtrekening openen is gratis, maar de meeste banken vragen wel beheerskosten. Daarnaast betaal je meestal nog voor papieren overschrijvingen en geldverkeer in het buitenland.

Een zichtrekening is uniek, op naam en gekoppeld aan een rekeningnummer, ook wel het IBAN-nummer genoemd. Waarvoor staat de afkorting IBAN?

Elk IBAN-nummer start met een landcode (2 letters), gevolgd door een controlegetal (2 cijfers) en een nationaal rekeningnummer. Voor België bestaat dat nummer uit 10 cijfers. De eerste 3 cijfers ervan verwijzen naar de bankinstelling. De volgende 7 cijfers staan voor je nummer binnen de bank. De laatste 2 cijfers zijn een controlegetal.

Aan je zichtrekening is een bankkaart (of debetkaart) gekoppeld. Met een bankkaart kun je geld afhalen en aankopen doen, overal waar het logo van Bancontact / Mister Cash staat. Ook in het buitenland kun je ermee betalen. Bij een betaling of geldafhaling wordt het geld onmiddellijk van je zichtrekening gehaald of gedebiteerd.

Een veelgebruikte functie op je bankkaart is contactloos betalen. Tot welk bedrag kun je in België contactloos betalen?

Een andere soort betaalkaart is de kredietkaart (of Visa-kaart of Mastercard).

Vanaf welke leeftijd kun je een kredietkaart aanvragen? Wat is het grote verschil met een debetkaart?

©VANIN

Een derde soort betaalkaart is de prepaidbetaalkaart. Dat is een kaart die je oplaadt voor een bepaald bedrag. Je kunt maximaal het bedrag uitgeven dat je opgeladen hebt op de kaart.

Om een overzicht te bewaren van je verrichtingen, biedt de bank je rekeningafschriften aan. Je kunt die uittreksels afhalen bij een bankautomaat, ze online raadplegen of vragen dat ze je maandelijks worden toegestuurd (meestal dan wel tegen betaling).

20 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6

Een zichtrekening is niet belastingvrij. Je betaalt 30 % roerende voorheffing op de ontvangen intresten (de creditrente).

Als het saldo negatief is, rekent de bank een debetrente aan. Die intrest kan heel hoog zijn, tot 10 % bij sommige banken.

Voorbeeld

Bereken de debetrente op een negatief saldo van –127,38 euro van 14 mei tot 30 mei, als de bank je 9 % aanrekent.

De debetrente is

1.7.2 Spaarrekeningen

Een spaarrekening is een belegging op korte termijn. Het gespaarde bedrag is op elk moment weer opvraagbaar. Voor het beheer van je spaarrekening kan de bank kosten aanrekenen. De intresten, die elk trimester worden uitbetaald, zijn vrij van roerende voorheffing tot een bedrag van

De roerende voorheffing bedraagt 15 % en moet betaald worden op de intresten boven het grensbedrag. Bereken dat grensbedrag, als de rentevoet 0,20 % bedraagt.

Naast de basisrente, waarvoor een wettelijk plafond is geregeld, wordt meestal ook een getrouwheidspremie toegekend. De getrouwheidspremie is een intrest op bedragen die minstens 12 maanden op de spaarrekening staan. De verworven getrouwheidspremies worden ook trimestrieel op de spaarrekening gestort.

1.7.3 Termijnrekeningen

Een termijnrekening is een spaarrekening waarop je een bedrag vastzet voor een bepaalde tijd. Die looptijd kan variëren van een maand tot enkele jaren. Je kunt niet aan je geld tot het einde van de vastgestelde periode, tenzij je een verbrekingsvergoeding betaalt.

De intrest is hoger dan bij gewone spaarrekeningen en wordt maandelijks, trimestrieel of jaarlijks verrekend en op een zichtrekening of een spaarrekening geplaatst. Bij sommige banken kunnen de periodieke intresten ook gekapitaliseerd worden (de intrest wordt bij het kapitaal gevoegd). Op de verworven intresten wordt 30 % roerende voorheffing afgehouden.

1.7.4 Beschermingsfonds

©VANIN

In België bestaat er een beschermingsfonds voor deposito’s en financiële instrumenten. Als een bank in de problemen komt, ben je als klant beschermd tot een bepaald bedrag per persoon en per bank. Wat is dat beschermde bedrag?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 21

Oefeningen

REEKS A

20 Bereken het eindkapitaal.

a) beginkapitaal = 1 690 euro

rentevoet = 0,30 %

c) beginkapitaal = 10 000 euro

rentevoet = 0,50 %

looptijd = 2 jaar

b) beginkapitaal = 900 euro

rentevoet = 0,45 %

looptijd = 3 jaar en 3 trimesters

looptijd = 1 jaar en 5 maanden

d) beginkapitaal = 2 400 euro

rentevoet = 0,25 %

looptijd = 91 kalenderdagen

21 Bereken het beginkapitaal.

a) eindkapitaal = 1 224,25 euro

rentevoet = 0,75 %

looptijd = 5 jaar

b) eindkapitaal = 523,12 euro

rentevoet = 0,40 %

looptijd = 3 semesters

c) eindkapitaal = 3 896,32 euro

rentevoet = 0,55 %

looptijd = 2 jaar en 8 maanden

d) eindkapitaal = 2 378,13 euro

rentevoet = 0,20 %

looptijd = 47 kalenderdagen

©VANIN

22 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6

In de oudheid betaalde men niet. De mensen ruilden goederen met elkaar. Daarna kwam een tijd van dierentanden, schelpjes en zout als betaalmiddel. We hebben er de woorden ‘salaris’ (sal = zout) en ‘munt’ (moneta = schelp, geld) aan te danken.

De eerste munten zijn gemaakt in Lydië (Klein-Azië) rond 600 voor Christus. Papieren geld dateert uit het China van de veertiende eeuw.

22 Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

a) beginkapitaal = 1 500 euro

eindkapitaal = 1 557 euro looptijd = 4 jaar

c) beginkapitaal = 2 300 euro

eindkapitaal = 2 324,15 euro

looptijd = 1 jaar en 3 trimesters

b) beginkapitaal = 800 euro

eindkapitaal = 802,20 euro

looptijd = 11 maanden

d) beginkapitaal = 500 euro

eindkapitaal = 500,50 euro

looptijd = 1 semester

23 Bereken de looptijd.

a) beginkapitaal = 1 800 euro rentevoet = 0,85 %

eindkapitaal = 1 838,25 euro

c) beginkapitaal = 2 500 euro

rentevoet = 0,90 %

intrest = 2 600 euro

b) beginkapitaal = 650 euro

rentevoet = 0,50 %

eindkapitaal = 655 euro

d) beginkapitaal = 3 650 euro

©VANIN

rentevoet = 1,25 %

eindkapitaal: 4 000 euro

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 23

REEKS B

24 Als de overheid een factuur voor uitgevoerde werken of diensten niet op tijd betaalt, moet ze verwijlintresten betalen tegen een rentevoet van 8 %. Het bedrijf van Ibrahim heeft een factuur van 1 850 euro gestuurd die ten laatste op 1 februari moest worden betaald. De factuur wordt pas op 23 april betaald. Bereken hoeveel de overheid moet betalen.

25 Welk kapitaal moet je beleggen tegen 0,55 % enkelvoudige intrest om over 2,5 jaar over 5 000 euro te beschikken?

26 Hoeveel moet je op 28 juli op je spaarrekening storten om op 31 december over 2 000 euro te beschikken?

De rentevoet is 0,20 %.

27 Een kapitaal van 1 600 euro groeit in 10 maanden aan tot 1 602 euro. Bereken de rentevoet.

24 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
©VANIN

28 De zichtrekening van Andra stond van 18 maart tot 2 april 568,72 euro onder nul. De bank rekende haar 1,75 euro debetrente aan. Bereken de gehanteerde rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

29 Een kapitaal van 6 000 euro wordt op enkelvoudige intrest uitgezet tegen 0,90 % en afgehaald als het is aangegroeid tot 6 200 euro. Hoelang heeft het kapitaal uitgestaan?

30 Mijn zichtrekening kwam op 17 september 140,28 euro onder nul te staan. Ik moet 0,49 euro debetrente betalen tegen 8 %. Op welke datum werd mijn rekening weer positief?

REEKS C

31 Op 1 januari staat er 1 512,45 euro op de spaarrekening van Nicolas. Hij haalt op 14 februari 450 euro af. Op 22 augustus stort hij 300 euro. Welk bedrag staat er op 1 januari van het volgende jaar op zijn spaarrekening, als de rentevoet 0,25 % bedraagt?

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 25

32 Je belegt een bedrag gedurende 3 jaar tegen een brutorentevoet van 0,80 %. Na aftrek van 30 % roerende voorheffing ontvang je een eindkapitaal van 4 321,40 euro. Welk kapitaal heb je belegd?

33 Nur heeft een kapitaal belegd op enkelvoudige intrest.

Voor het eerste jaar ontvangt ze 0,45 % intrest en voor het tweede jaar 0,60 %. Het eindkapitaal na 2 jaar is 1 313,65 euro. Welk kapitaal heeft ze belegd?

©VANIN

26 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6

STUDIEWIJZER Enkelvoudige intrest

1.1

Definitie voor de leerling voor de leerkracht

Een kapitaal staat uit op enkelvoudige intrest als de intrest altijd op hetzelfde kapitaal wordt berekend.

1.2

Hoofdformule

De intrest op een kapitaal k na n jaar enkelvoudige intrest, tegen een rentevoet i, is gelijk aan I = k i n

1.3

Voorbeelden

De hoofdformule van enkelvoudige intrest toepassen.

1.4

Toepassingen op de hoofdformule

Door van lid te veranderen, het beginkapitaal, de rentevoet of de looptijd berekenen als de andere waarden gegeven zijn.

1.5

Het eindkapitaal K van een belegging is de som van het beginkapitaal en de intrest.

Het eindkapitaal van een kapitaal k na n jaar enkelvoudige intrest, tegen een rentevoet i, is gelijk aan K = k + I = k (1 + i n).

1.6 Toepassingen op de formules voor het eindkapitaal

Door van lid te veranderen, het beginkapitaal, de rentevoet of de looptijd berekenen als de andere waarden gegeven zijn.

1.7 Toepassingen op enkelvoudige intrest

Het verschil tussen een zicht-, spaar- en termijnrekening uitleggen.

Het verschil tussen een debet-, krediet- en prepaidbetaalkaart uitleggen.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 27
KENNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
Formules voor het eindkapitaal
KUNNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
©VANIN

1.

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

van elk dik omrand blok in met de cijfers 1, 2, 3, 4 en 5. Het totale aantal verschillende cijfers in één blok is gelijk aan het aantal vakjes in het blok. (Bijvoorbeeld: in een blok met drie vakjes moeten de cijfers 1, 2 en 3 staan.)

2. De mantel van een afgeknotte kegel wordt doorgeknipt zoals op de figuur. Welke van de vijf vlakke figuren is dan een correcte weergave van de doorgeknipte mantel?

28 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST 1 2 3 4 5 6
A) B) C) D) E) JWO, editie 2022,
eerste ronde
2 1 3 1 3 3 21 4 25 3
Vul de lege vakjes Vakjes met gelijke cijfers mogen elkaar niet raken.
©VANIN
FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 29
SAMENGESTELDE INTREST 2.1 Definitie 30 2.2 Hoofdformule 31 2.3 Voorbeelden 31 2.4 Toepassingen op de hoofdformule 32 2.5 Gelijkwaardige rentevoeten 40 Studiewijzer 43 Pienter problemen oplossen 44 ©VANIN
HOOFDSTUK 2 I

2.1 Definitie

Bij enkelvoudige intrest brengt een kapitaal na elke periode evenveel intrest op.

In het geval van samengestelde intrest wordt de intrest na elke periode bij het kapitaal gevoegd. De intrest wordt dus altijd groter.

Je bekijkt de groei van een kapitaal van 1 000 euro dat je uitzet tegen 1 %.

enkelvoudige intrest samengestelde intrest

• Bij enkelvoudige intrest verkrijg je elke waarde van K door optelling met een constant getal I = 10.

• Bij samengestelde intrest bereken je de verhouding van twee opeenvolgende eindkapitalen. Je

Bij samengestelde intrest verkrijg je elke waarde van K door vermenigvuldiging met een constant getal 1 + i = 1,01. Je noemt dat getal de rentefactor u: u = 1 + i.

Definitie Samengestelde intrest

Een kapitaal staat uit op samengestelde intrest als de intrest na elke periode (jaar, semester, trimester of maand) bij het kapitaal wordt gevoegd om zelf ook intrest op te brengen (‘de intrest wordt gekapitaliseerd’).

Opmerking

Als er bij een rentevoet geen specifieke kapitalisatieperiode wordt vermeld, gebeurt de kapitalisatie jaarlijks.

30 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6
I K nk I K 11 000101 010 11 000101 010 21 000101 020 21 01010,101 020,10 31 000101 030 31 020,1010,201 030,30 41 000101 040 41 030,3010,301 040,60
nk
ziet: 1
1
1
1 010 = 1 030,30 1 020,10 = 1 040,60 1 030,30 = 1,01 = 1 + 0,01 = 1 + i
010
000 =
020,10
+ 10 + 10 + 10 ? 1,01 ? 1,01 ? 1,01
©VANIN

2.2 Hoofdformule

Je ziet de grafische voorstelling van de groei van een kapitaal van 1 000 euro dat uitstaat tegen 1 %.

samengesteldeintrestenkelvoudigeintrest

De voorstelling van de groei van het eindkapitaal bij enkelvoudige intrest is een rechte. Enkelvoudige intrest is een voorbeeld van lineaire groei

Bij samengestelde intrest zie je een kromme met een helling die telkens toeneemt. In dat geval spreek je van exponentiële groei

Stel: je zet een kapitaal k uit gedurende n kapitalisatieperiodes tegen een rentevoet i.

Om het eindkapitaal K n te berekenen, maak je gebruik van je kennis van exponentiële groei.

Als een beginwaarde b exponentieel groeit tegen p % per periode, dan is de eindwaarde y

na x periodes gelijk aan y = b a x. Daarbij is a = 1 + p 100

Je vervangt nu y door K n, b door k, a door u en x door n

Dan: y = b a x → K n = k u n

Formule Samengestelde intrest

K n = k ? u n

2.3 Voorbeelden

Voorbeeld 1

Leila zet 1 250 euro uit tegen 0,85 % samengestelde intrest. Bereken het eindkapitaal na 4 jaar.

Gegeven: k =

Gevraagd: K n

Oplossing: K n = k ? u n ⇒ K 4 =

Voorbeeld 2

Abdi belegt 4 000 euro tegen 0,20 % per trimester. Bereken zijn eindkapitaal na 3 jaar.

Gegeven: k = u = (per trimester) n = 3 4 = 12

Gevraagd: K n

Oplossing: K n = k ? u n ⇒ K 12 =

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 31
250 i = 0,008 5 ⇒ u = 1,008 5 n
4
1
=
GEOGEBRA 5 0
1 400 1 450 1 500 1 550 1 150 1 200 1 250 1 300 1 350 1 000 1 050 1 100 eindkapitaal tijd in jaren
101520253035404550
VIDEO
©VANIN

2.4 Toepassingen op de hoofdformule

2.4.1 Berekening van het beginkapitaal

De ouders van Chiara willen op de dag dat ze 12 jaar wordt, een bedrag uitzetten, zodat ze op haar achttiende verjaardag 10 000 euro zal ontvangen. Hoeveel moeten ze uitzetten, als de rentevoet 0,90 % is?

Gegeven: K n = u = n =

Gevraagd: k

Oplossing: k = K n u n =

2.4.2 Berekening van de rentevoet

Je hebt 3 jaar geleden een aandeel van 1 100 euro gekocht. Dat is nu 1 177,66 euro waard. Bereken je jaarlijkse winst in procent. Rond af op 0,01 %.

Gegeven: k = K n = n =

Gevraagd: i

Oplossing: u n = K n k ⇒ u = n

K n k =

2.4.3 Berekening van de looptijd

Elisa zet 2 500 euro uit tegen 0,80 % samengestelde intrest. Ze is van plan om het kapitaal te laten staan tot het is aangegroeid tot 2 750 euro. Hoelang zal ze moeten wachten?

Gegeven: k = K n = u =

Gevraagd: n

Oplossing: u n = K n k ⇒ n ? log u = log K n k n = log K n k log u =

32 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6
i
=
VIDEO ©VANIN

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken het eindkapitaal.

a) beginkapitaal = 870 euro rentevoet = 0,55 % looptijd = 4 jaar

c) beginkapitaal = 2 600 euro rentevoet = 0,15 % per trimester looptijd = 3 jaar en 9 maanden

b) beginkapitaal = 1 300 euro rentevoet = 0,03 % per maand looptijd = 1 jaar en 2 maanden

d) beginkapitaal = 3 400 euro rentevoet = 0,30 % per semester looptijd = 4 jaar en 6 maanden

2 Bereken het beginkapitaal. Rond af op 1 euro.

a) eindkapitaal = 1 941,60 euro rentevoet = 0,30 % looptijd = 2 jaar

c) eindkapitaal = 2 272,59 euro rentevoet = 0,20 % per semester looptijd = 2 jaar en 6 maanden

b) eindkapitaal = 691,38 euro rentevoet = 0,15 % per trimester looptijd = 4 jaar

d) eindkapitaal = 1 402,25 euro rentevoet = 0,04 % per maand looptijd = 3 jaar en 4 maanden

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 33

3 Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

a) beginkapitaal = 1 250 euro

eindkapitaal = 1 287,92 euro

looptijd = 4 jaar (jaarlijkse kapitalisatie)

c) beginkapitaal = 2 100 euro

eindkapitaal = 2 117,08 euro

looptijd = 2 jaar en 3 maanden (maandelijkse kapitalisatie)

b) beginkapitaal = 700 euro

eindkapitaal = 714,83 euro

looptijd = 3 jaar (semestriële kapitalisatie)

d) beginkapitaal = 500 euro

eindkapitaal = 509,08 euro

looptijd = 4 jaar en 6 maanden (trimestriële kapitalisatie)

4 Bereken de looptijd.

a) beginkapitaal = 650 euro

rentevoet = 0,50 %

eindkapitaal = 663,10 euro

c) beginkapitaal = 1 400 euro

rentevoet = 0,05 % per maand

eindkapitaal = 1 445,51 euro

b) beginkapitaal = 2 300 euro

rentevoet = 0,30 % per semester

eindkapitaal = 2 377,05 euro

d) beginkapitaal = 500 euro

rentevoet = 0,10 % per trimester

eindkapitaal = 505,53 euro

©VANIN

34 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6

REEKS B

5 Kevin beweert dat als je 100 euro uitzet tegen 1 % samengestelde intrest, het kapitaal na 70 jaar is verdubbeld. Klopt die bewering?

6 Je zet 1 400 euro voor 5 jaar uit op samengestelde intrest tegen een trimestriële rentevoet van 0,15 %. Bereken hoeveel intrest je zult krijgen.

7 Welk bedrag moet Samira voor 10 jaar beleggen, tegen 1,10 % samengestelde intrest, om een eindkapitaal van 25 000 euro te verkrijgen?

8 Jeroen is nu 17 jaar en 3 maanden oud. Hij wil op zijn eenentwintigste verjaardag over 5 000 euro beschikken. Hoeveel moet hij daarvoor nu op samengestelde intrest uitzetten tegen een maandelijkse rentevoet van 0,05 %?

9 Je belegt 1 500 euro op samengestelde intrest. De intrest na 6 jaar is 82,84 euro. Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

©VANIN

10 Een bank maakt reclame dat een kapitaal na 20 jaar met een kwart is gegroeid. Welke rentevoet hanteren ze?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 35

11 Noa belegt 15 000 euro tegen 0,85 % samengestelde intrest. Na hoeveel tijd zal ze over 16 000 euro eindkapitaal beschikken?

12 Abdul belegt 7 000 euro tegen 0,35 % samengestelde intrest per semester. Hoelang zal het duren tot hij 500 euro intrest heeft verworven?

13 Kristina zet 2 500 euro uit op samengestelde intrest. Voor de eerste 3 jaar krijgt ze 0,45 % en voor de volgende 2 jaar 0,60 %. Bereken het eindkapitaal.

14 Je zet 2 500 euro uit voor 5 jaar tegen een rentevoet van 0,80 %. Hoeveel intrest verkrijg je meer bij samengestelde intrest dan bij enkelvoudige intrest?

©VANIN

15 Hoelang moet je een kapitaal uitzetten tegen 1 %, opdat het met de helft toeneemt

a) bij enkelvoudige intrest?

b) bij samengestelde intrest?

36 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6

16 Je belegt 3 000 euro tegen 0,65 % samengestelde intrest.

Hoeveel intrest brengt het kapitaal op tijdens het derde jaar van de belegging?

17 Robin belegt 1 750 euro gedurende 2 jaar tegen 0,03 % samengestelde intrest per maand.

Bereken de totale intrest die hij de laatste 4 maanden van de belegging verkrijgt.

18 Linda wil dat een kapitaal van 4 500 euro in 10 jaar uitgroeit tot 4 800 euro.

Welke rentevoet moet ze krijgen

a) bij enkelvoudige intrest? b) bij samengestelde intrest?

19 Een belegging van 10 000 euro op samengestelde intrest brengt na 4 jaar, na aftrek van 30 % roerende voorheffing, een netto-intrest van 211,66 euro op. Bereken de brutorentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

20 Op 1 januari stond op het spaarboekje van Louis een bedrag van 716,25 euro.

Om een nieuwe laptop te kopen, sluit hij op 12 maart van het volgende jaar het spaarboekje af.

Hij krijgt een totaalbedrag van 717,96 euro.

©VANIN

Bereken, op 0,01 % nauwkeurig, de gehanteerde rentevoet.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 37

REEKS C

21 Over 6 jaar en 5 maanden wil Ilan over 5 000 euro beschikken. Hoeveel moet hij daarvoor nu beleggen, als er voor de 6 jaar 0,95 % samengestelde intrest wordt verrekend en voor de laatste 5 maanden 0,25 %?

22 Welk kapitaal moet je tegen 0,60 % uitzetten om na 4 jaar 200 euro intrest te verkrijgen

a) bij enkelvoudige intrest?

b) bij samengestelde intrest?

23 Welk kapitaal moet Alexandra gedurende 8 jaar tegen 0,90 % samengestelde intrest uitzetten om, na aftrek van 30 % roerende voorheffing, een netto-intrest van 500 euro te verkrijgen?

©VANIN

38 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6

24 Samir zet 7 500 euro voor 7 jaar uit op samengestelde intrest. Voor de eerste 4 jaar is de rentevoet 0,75 %. Wat is de rentevoet voor de volgende 3 jaar, als hij na 7 jaar over een eindkapitaal van 7 938,07 euro beschikt? Rond af op 0,01 %.

25 Hoeveel langer moet je een kapitaal uitzetten tegen 0,35 % enkelvoudige intrest dan tegen samengestelde intrest, opdat het in waarde met 10 % zou toenemen?

26 Twee kapitalen, samen 50 000 euro, worden belegd tegen 0,90 % samengestelde intrest. Het eerste kapitaal wordt voor 5 jaar belegd, het tweede voor 8 jaar. De eindwaarden zijn gelijk. Bereken beide kapitalen.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 39

2.5 Gelijkwaardige rentevoeten

2.5.1 Definitie en formule

Je zet 100 euro uit tegen 0,02 % samengestelde intrest per maand. Tegen welke jaarlijkse rentevoet zou je dat kapitaal moeten uitzetten om na 1 jaar hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen?

methode 1

Het eindkapitaal na 1 jaar,

bij maandelijkse kapitalisatie, is

K 12 = 100 1,000 2 12 = 100,240 3.

Bij jaarlijkse kapitalisatie geldt:

100 ? u 1 = 100,240 3

u = 100,240 3 100 = 1,002 403

i = 0,002 403 = 0,240 3 %

methode 2

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan a n

De groeifactor per maand is 1,000 2.

Dus de groeifactor per jaar is:

1,000 2 12 = 1,002 403

⇒ u = 1,002 403

i = 0,002 403 = 0,240 3 %

De jaarlijkse rentevoet van 0,240 3 % noem je gelijkwaardig met de maandelijkse rentevoet van 0,02 %.

Definitie Gelijkwaardige rentevoet

Twee rentevoeten die betrekking hebben op verschillende kapitalisatieperiodes, zijn gelijkwaardig als de eindwaarden van hetzelfde kapitaal na 1 jaar gelijk zijn.

Notaties

Om een onderscheid te maken tussen de verschillende mogelijke kapitalisatieperiodes, noteer je: de jaarlijkse rentevoet = i de

©VANIN

Als je 1 euro voor 1 jaar uitzet op samengestelde intrest, dan is het eindkapitaal gelijk aan

40 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6
maandelijkse rentevoet
Stel: u = 1 + i, u 2 = 1 + i 2 , u 4 = 1 + i 4 , u 12 = 1 + i 12
K 1 = 1 ? u 1 = u bij jaarlijkse kapitalisatie, K 2 = 1 ? u 2 2 = u 2 2 bij semestriële kapitalisatie, K 4 = 1 ? u 4 4 = u 4 4 bij trimestriële
en K 12 = 1 ? u 12 12 = u 12 12 bij maandelijkse
semestriële rentevoet = i2 de trimestriële rentevoet = i4 de
= i12 Formule
kapitalisatie
kapitalisatie.
rentevoeten i, i2, i4 en i12 zijn gelijkwaardig als
u = u 2 2 = u 4 4 = u 12 12 GEOGEBRA VIDEO
Formule Gelijkwaardige rentevoeten De
en slechts als

2.5.2 Voorbeelden

• Bereken de jaarlijkse rentevoet die gelijkwaardig is met een maandelijkse rentevoet van 0,03 %. u

• Welke trimestriële rentevoet is gelijkwaardig met een jaarlijkse rentevoet van 0,60 %? u

©VANIN

• De semestriële rentevoet is 0,25 %. Bereken de gelijkwaardige maandelijkse rentevoet.

Bij enkelvoudige intrest worden rentevoeten die betrekking hebben op verschillende periodes, omgezet door vermenigvuldigen en delen. In dat geval spreek je van nominale rentevoeten Reële of actuariële rentevoeten worden omgezet met de formules voor samengestelde intrest. Tot 1992 gebruikten banken de verschillende soorten rentevoeten eerder willekeurig, naargelang het hun uitkwam. Dat was zeker het geval bij rentevoeten voor leningen. Daar is verandering in gekomen door de wet van 4 augustus 1992, gewijzigd door de wet van 13 april 1995, die de banken verplicht om actuariële rentevoeten te gebruiken bij kredietovereenkomsten.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 41
12 12
= u 12 12 ⇔ 1 + i = u 12 12 i = u
– 1 = 1,000 3 12 – 1 = 0,003 606 i = 0,360 6 %
4 4 = u ⇔ u 4 = 4√ u i 4 = 4√ u – 1 = i 4 =
u 12 12 = u 2 2 ⇔ u 12 = 12√ u 2 2 i 12 = 12√ u 2 2 – 1 = i 12 =

Oefeningen

REEKS A

27 Bereken de gelijkwaardige jaarlijkse rentevoet.

a) De maandelijkse rentevoet is 0,01 %.

b) De trimestriële rentevoet is 0,05 %.

28 Bereken de gelijkwaardige semestriële rentevoet.

a) De jaarlijkse rentevoet is 0,40 %.

b) De trimestriële rentevoet is 0,10 %.

29 Bereken de gelijkwaardige trimestriële rentevoet.

a) De jaarlijkse rentevoet is 0,55 %.

b) De maandelijkse rentevoet is 0,04 %.

30 Bereken de gelijkwaardige maandelijkse rentevoet.

©VANIN

a) De jaarlijkse rentevoet is 0,80 %.

b) De semestriële rentevoet is 0,35 %.

42 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6

STUDIEWIJZER Samengestelde intrest

2.1 Definitie voor de leerling voor de leerkracht

Een kapitaal staat uit op samengestelde intrest als de intrest na elke periode (jaar, semester, trimester of maand) bij het kapitaal wordt gevoegd (‘wordt gekapitaliseerd’) om zelf ook intrest op te brengen.

Het verschil uitleggen tussen enkelvoudige en samengestelde intrest.

2.2 Hoofdformule

Het eindkapitaal van een kapitaal k na n perioden samengestelde intrest, tegen een rentevoet i, is K n = k ? u n, met de rentefactor u = 1 + i

2.3 Voorbeelden

De hoofdformule van samengestelde intrest toepassen.

2.4 Toepassingen op de hoofdformule

Door van lid te veranderen, het beginkapitaal, de rentevoet of de looptijd berekenen als de andere waarden gegeven zijn.

2.5 Gelijkwaardige rentevoeten

Twee rentevoeten die betrekking hebben op verschillende kapitalisatieperiodes, zijn gelijkwaardig als de eindwaarden van hetzelfde kapitaal na 1 jaar gelijk zijn. De rentevoeten i, i

i

en i12 zijn gelijkwaardig als en slechts als

Een rentevoet omzetten van de ene periode naar de andere.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 43
KENNEN – 
– 
+
+
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
2,
4
u = u 2 2 = u 4 4 = u 12 12 KUNNEN –  + –  +
©VANIN

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Op de afbeelding zie je acht druklampen, waarvan de nummers 2, 4, 6 en 8 branden. Als je een lamp indrukt, verandert haar toestand en die van haar beide buren. Hoeveel lampen moet je minimaal indrukken om ervoor te zorgen dat alle lampen branden?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

A) 2 B) 4 C) 6D) 8

E) Het is onmogelijk om alle lampen tegelijkertijd te laten branden.

JWO, editie 2020, tweede ronde

3. Wat is de oppervlakte van het groene gebied?

2016,

44 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST 1 2 3 4 5 6
Pienter problemen oplossen
20 cm 10 cm A) 10 cm 2 B) 10p cm 2 C) 75 cm 2 D) 100 cm 2 E) 150 cm 2 Kangoeroe,
Wallabie 2. Bereken x = 256 100 ? 64 200 ____________ 1 024 199
editie
1 7 3 5 2 6 8 4
©VANIN
FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 45 HOOFDSTUK
BELEGGINGEN 3.1 Effecten 46 3.2 Obligaties 48 3.3 Intrestberekening 49 Studiewijzer 55 Pienter problemen oplossen 56
3 I
©VANIN

3.1 Effecten

Effecten zijn rechten die verhandelbaar zijn en een bepaalde geldwaarde vertegenwoordigen. De voornaamste soorten effecten zijn aandelen, obligaties, opties en futures (termijncontracten).

Je opent een effectenrekening bij een financiële instelling. Die effectenrekening is op naam. Tot 1 januari 2008 werden effecten op papier gedrukt en waren ze ‘aan toonder’.

Wat betekent ‘aan toonder’?

3.1.1 Aandelen

Door een aandeel te kopen, investeer je in een bedrijf.

Aandelen worden uitgegeven door een vennootschap (onderneming).

De aandeelhouders zijn dan economisch mede-eigenaar van die vennootschap en hebben stemrecht.

Er is geen vaste uitkering (intrest), maar het eventuele rendement komt van de waardestijging van het aandeel en van het dividend (de periodieke uitkering van de winst van de onderneming).

Aandelen kun je verhandelen op de effectenbeurs. Ze worden verhandeld aan hun koers

Die koers kan fluctueren. Je koopt dus het best een aandeel wanneer het laag staat, en verkoopt het opnieuw wanneer de koers hoog is.

©VANIN

De BEL 20-index bestaat uit de twintig meest verhandelde aandelen in België en wordt samengesteld door Euronext, de overkoepelende Europese beursmaatschappij.

Euronext past de BEL 20 aan op jaarlijkse basis.

Aandelen hebben een hoog risicogehalte, want de waarde van een bedrijf kan verminderen of het bedrijf kan failliet gaan.

Maar je hebt ook kans op een hoger rendement dan bij traditionele spaarvormen.

46 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 1 2 3 4 5 6
Effecten Bedrag/aantal Koers/ waarde Schatting Potentiële winst Kasbons 34 814,30 EUR Maxibon 5 jaar 3 % 020117 Brussels New Trad. Sys. (Euronext) 4 677,32 EUR100 % 4 677,32 EUR Maxibon 5 jaar 3 % 231216 Brussels New Trad. Sys. (Euronext) 5 736,96 EUR100 % 5 736,96 EUR Maxibon 5 jaar 2,6 % 281217 Brussels New Trad. Sys. (Euronext) 24 400,00 EUR100 % 24 400,00 EUR Totaal 34 814,30 EUR

3.1.2 Obligaties

Obligaties worden uitgegeven door de overheid, een onderneming of een bank. Obligaties zijn eigenlijk een schuldbewijs ten opzichte van de koper. Je leent geld aan een bedrijf, bank of overheid, die op zijn beurt het geld gebruikt om iets te financieren of om te investeren.

De koper ontvangt een periodieke rentevergoeding. Aan het einde van de looptijd wordt de nominale waarde (zonder waardeverlies of -winst) van de obligatie terugbetaald.

Daardoor zijn obligaties relatief veilige beleggingen met een vast rendement.

3.1.3 Opties en futures

Een optie is het recht om binnen een bepaalde periode en tegen een vooraf bepaalde prijs een bepaald goed (in dit geval een effect) aan te kopen (calloptie) of te verkopen (putoptie).

Voor dat recht moet je een bedrag betalen aan diegene die het recht verleent.

Een future (of termijncontract) is een financieel contract tussen twee partijen, dat bepaalt dat op een afgesproken tijdstip een product (effect) zal worden verhandeld tegen een vastgelegde prijs. Bij een future ligt de verkoop dus al vast, wat bij een optie niet het geval is.

3.1.4 Beleggingsfondsen

Beleggingsfondsen verzamelen verschillende personen die namens een groep beleggen in een portefeuille die zowel aandelen als obligaties bevat. Men noemt die fondsen soms ook ICB’s (Instellingen voor Collectieve Belegging). Omdat je belegt in verschillende effecten, spreid je je risico. Hoe meer risico je neemt, hoe meer rendement je zou kunnen krijgen. Elk fonds heeft een risicoscore van 1 (laag) tot 7 (hoog). Je kunt ook beleggen in een fonds dat op een beurs verhandeld wordt. Zulke fondsen heten ETF’s (Exchange Traded Funds).

3.1.5 Belastingen op effecten

Op intresten of dividenden moet je in België 30 % roerende voorheffing betalen. Die belasting wordt onmiddellijk afgehouden en doorgestort aan de fiscus.

3.1.6 Cryptocurrency’s

©VANIN

Cryptocurrency’s, zoals bitcoins, zijn digitale munteenheden waarin je kunt beleggen. Net zoals met geld kun je met cryptomunten goederen en diensten kopen.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 47

3.2 Obligaties

Een obligatie bestaat meestal uit twee delen:

• De mantel is het eigenlijke schuldbewijs van de uitgever ten opzichte van de koper. Op de mantel staan onder andere de waarde van de obligatie, de rentevoet en de looptijd.

• Het couponblad vertegenwoordigt de bruto-intresten. Op elke vervaldag, meestal elk jaar, geeft een coupon recht op een intrest op de waarde van de obligatie.

Je ziet een papieren versie ter illustratie.

De voornaamste soorten obligaties zijn staatsbons, kasbons en spaarverzekeringen.

staatsbons kasbons spaarverzekeringen

Staatsbons worden op vier vaste tijdstippen per jaar uitgegeven door de Belgische Staat.

Kasbons worden op alle tijdstippen van het jaar uitgegeven door een financiële instelling.

Er zijn geen taksen bij de aankoop op de primaire markt (dus bij obligaties die nieuw zijn).

De intresten zijn onderworpen aan 30 % roerende voorheffing.

Intrest: jaarlijkse inningIntrest: jaarlijkse inning of kapitalisatie

Spaarverzekeringen worden op alle tijdstippen van het jaar uitgegeven door een verzekeringsmaatschappij. De twee voornaamste soorten zijn de tak 21- en de tak 23-spaarverzekering.

Door sommige verzekeraars worden aankoop- en beheerskosten aangerekend.

Er geldt een vrijstelling van roerende voorheffing als de looptijd langer is dan 8 jaar of als er een overlijdensdekking van minstens 130 % is.

Intrest: kapitalisatie

Zoek op wat het verschil is tussen een tak 21- en een tak 23-spaarverzekering.

©VANIN

Eeuwigdurende obligaties zijn effecten zonder vastgestelde looptijd. Ze zijn ook ‘achtergesteld’, wat betekent dat de koper niet zeker is van zijn kapitaal bij een eventuele faling van het bedrijf dat de obligaties heeft uitgeschreven.

Converteerbare obligaties zijn effecten die uitgegeven zijn door een bedrijf. Ze kunnen worden omgezet in aandelen.

Step-upobligaties zijn effecten waarbij de rentevoet elk jaar stijgt.

48 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 1 2 3 4 5 6

3.3 Intrestberekening

3.3.1 Periodieke inning van de intrest

De intrest wordt jaarlijks geïnd bij staatsbons en bij kasbons zonder kapitalisatie Bij kasbons met periodieke uitbetalingen kun je de intrest maandelijks, trimestrieel of semestrieel innen.

Vaste rentevoet

TERUGBETALINGSPRIJS 100,00 % op de eindvervaldag EMITTENT Koninkrijk België VALUTA euro

COUPURES EUR 100 en veelvouden van EUR 100

INSCHRIJVINGSPERIODEvia uw bank: van 25.08.2022 tot en met 02.09.2022 via de Grootboeken: van 25.08.2022 tot en met 01.09.2022

LEVERING gedematerialiseerde effecten

TOEPASSELIJKE WETGEVING Belgische wetgeving NOTERINGSDATUM vanaf 12.09.2022

Bron: Federaal Agentschap van de Schuld

Adrian heeft een staatsbon van 2 000 euro met een looptijd van 5 jaar.

Couponwaarde: 2 000 ? 0,010 5 =

is 5 ? 14,70 = 73,50 (euro).

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 49
LOOPTIJD 5 jaar 8 jaar10 jaar EINDVERVALDAG 04.09.202704.09.203004.09.2032 BRUTORENTEVOET (jaarlijks) 1,05 %1,40 % 1,70 % NETTORENTEVOET (roerende voorheffing: 30 %) 0,735 %0,98 %1,19 % ISIN-CODE BE3871282120BE3871283136BE3871284142 UITGIFTEDATUM 04.09.2022 UITGIFTEPRIJS
100,00 %
De brutorentevoet
Bereken zijn totale netto-intrest na 5 jaar. 21 21 21 21 21 1,05 % e.i. 1,05 % e.i. 1,05 % e.i. 1,05 % e.i. 1,05 % e.i. 0 1 2 3 4 5
De
VIDEO
is 1,05 %.
21 Nettocouponwaarde: 0,70 21 = 14,70
totale netto-intrest
©VANIN

Progressieve rentevoet

Marina heeft een kasbon van 5 000 euro met een looptijd van 5 jaar. De rentevoet voor de eerste 3 jaar is 1,10 % en die voor de volgende 2 jaar 1,25 %.

Bereken de totale netto-intrest na 5 jaar.

Couponwaarde eerste drie coupons:

Nettocouponwaarde eerste drie coupons:

Couponwaarde laatste twee coupons:

Nettocouponwaarde laatste twee coupons:

50 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 1 2 3 4 5 6
1,25 % e.i. 1,25 % e.i. 1,10 % e.i. 1,10 % e.i. 1,10 % e.i. 0 1 2 3 4 5
De totale netto-intrest is 15 % 20 % 25 % 10 % 13 % 15 % 21 % 25 % 27 % 30 % 0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 % 19 6 2-19 67 19 6 7-19 84 19 8 4-19 90 19 9 0-19 94 19 94 19 9 5-20 11 20 12 20 1 3-20 15 20 16 evolutie
2017-...
van de roerende voorhe ng in België
©VANIN

3.3.2 Kapitalisatie van de intrest

Definitie Kapitalisatievoet

De kapitalisatievoet is het percentage dat je op de gekapitaliseerde intresten verkrijgt.

De intresten worden gekapitaliseerd bij kapitalisatiebons en bij spaarverzekeringen.

De kapitalisatievoet is daarbij altijd gelijk aan de rentevoet, zodat je bij berekeningen de hoofdformule voor samengestelde intrest kunt gebruiken.

Kapitalisatiebons

Joran bezit een kapitalisatiebon van 2 500 euro met een looptijd van 6 jaar. De rentevoet is 1,30 %. Bereken het netto-eindkapitaal. Rond telkens af op twee decimalen.

K6 =

De totale bruto-intrest na 6 jaar is I = K6 – k =

De totale netto-intrest is

Het netto-eindkapitaal is

Spaarverzekeringen

Spaarverzekeringen zijn vrijgesteld van roerende voorheffing als de looptijd langer is dan 8 jaar of als er een overlijdensverzekering is afgesloten.

Wie een overlijdensverzekering afsluit, duidt een ‘begunstigde’ aan. Bij overlijden wordt het volledige kapitaal van de spaarverzekering uitgekeerd aan de begunstigde, vermeerderd met alle verworven intresten, met een minimum van 130 % van het oorspronkelijke kapitaal.

De jaarlijkse premie die je voor die verzekering moet betalen, is afhankelijk van het verzekerde kapitaal, de looptijd, je leeftijd en je geslacht.

Asmin koopt een spaarverzekering van 6 000 euro met een looptijd van 8 jaar en 1 dag. De rentevoet is 1,35 %. Bereken de totale netto-intrest.

n = 8 + 1 365 = 2 921 365 ⇒ K n =

De totale bruto-intrest na 8 jaar en 1 dag is I =

Er is geen roerende voorheffing, dus de totale netto-intrest is euro.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 51
VIDEO

Oefeningen

REEKS B

1 Bereken de totale netto-intrest voor een kasbon van 1 500 euro met jaarlijkse inning van de intresten. De looptijd is 4 jaar en de rentevoet 0,95 %.

2 Alexander heeft een staatsbon van 3 000 euro met een looptijd van 8 jaar. De rentevoet is 1,40 %. Bereken de totale netto-intrest.

3 Bereken het netto-eindkapitaal voor een staatsbon van 4 500 euro. De rentevoet is 1,70 % en de looptijd 10 jaar.

4 Sarah heeft een spaarverzekering van 10 000 euro met een looptijd van 5 jaar en een overlijdensverzekering van 130 %. De rentevoet is 1,20 %. Bereken de totale netto-intrest na 5 jaar.

©VANIN

5 Bereken de totale netto-intrest voor een kapitalisatiebon van 8 000 euro met een looptijd van 12 jaar en een rentevoet van 1,55 %.

52 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 1 2 3 4 5 6

6 David koopt een kasbon van 1 200 euro met een progressieve rentevoet, zonder kapitalisatie. De rentevoet voor de eerste 4 jaar is 0,90 % en die voor het vijfde en zesde jaar 1,10 %. Bereken de totale netto-intrest.

7 Bereken het netto-eindkapitaal van een kasbon zonder kapitalisatie van 4 000 euro. De looptijd is 6 jaar. De rentevoet voor de eerste 3 jaar is 0,85 %. Daarna stijgt de rentevoet elk jaar met 0,10 procentpunt.

8 Noa heeft een kapitalisatiebon van 15 000 euro met een looptijd van 8 jaar en een rentevoet van 1,25 %. Bereken haar netto-eindkapitaal.

9 Om een extraatje te hebben bovenop hun pensioen, kopen George en Georgette 200 000 euro aan kasbons met maandelijkse uitbetalingen. De kasbons hebben een looptijd van 10 jaar en een rentevoet van 1,30 %. Hoeveel zullen ze maandelijks netto ontvangen?

10 Ibrahim heeft een spaarverzekering van 20 000 euro met een looptijd van 8 jaar en 1 maand. De rentevoet is 1,35 %. Bereken de totale netto-opbrengst.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 53
©VANIN

REEKS C

Het nettorendement R van een belegging is de jaarlijkse nettorentevoet, rekening houdend met belastingen, taksen en instapkosten.

11 Een kasbon van 1 600 euro met een looptijd van 6 jaar heeft een rentevoet van 1,20 %. Bereken het nettorendement.

12 Simon heeft een kasbon van 2 500 euro met een looptijd van 5 jaar en een progressieve rentevoet. Voor de eerste 3 jaren ontvangt hij 0,70 %, voor het vierde jaar 0,85 % en voor het vijfde jaar 1 %. Bereken het nettorendement.

13 Een kapitalisatiebon van 3 500 euro heeft een looptijd van 6 jaar en een rentevoet van 1,20 %. Bereken het nettorendement.

14 Voor een spaarverzekering van 5 000 euro met een overlijdensverzekering van 130 % worden 2 % instapkosten aangerekend. De looptijd van de bon is 5 jaar en de rentevoet 1,10 %. Bereken het nettorendement.

54 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

STUDIEWIJZER Beleggingen

3.1 Effecten voor de leerling voor de leerkracht

Het verschil uitleggen tussen aandelen, obligaties, futures, opties en beleggingsfondsen.

3.2 Obligaties

De intresten op obligaties zijn onderworpen aan 30 % roerende voorheffing.

In sommige gevallen is er een vrijstelling bij spaarverzekeringen.

Het verschil uitleggen tussen staatsbons, kasbons en spaarverzekeringen.

3.3 Intrestberekening

KENNEN

De intrest wordt jaarlijks geïnd bij staatsbons en bij kasbons zonder kapitalisatie.

De kapitalisatievoet is het percentage dat je verkrijgt op de gekapitaliseerde intresten.

De intresten worden gekapitaliseerd bij kapitalisatiebons en bij spaarverzekeringen.

De kapitalisatievoet is daarbij altijd gelijk aan de rentevoet, zodat je bij berekeningen de hoofdformule voor samengestelde intrest kunt gebruiken.

Spaarverzekeringen zijn vrijgesteld van roerende voorheffing

als de looptijd langer is dan 8 jaar of als er een overlijdensverzekering is afgesloten.

Het nettorendement R van een belegging is de jaarlijkse nettorentevoet, rekening houdend met belastingen, taksen en instapkosten.

De netto-intrest of het netto-eindkapitaal berekenen bij obligaties

• met periodieke inning van de intrest;

• met kapitalisatie van de intrest.

Het nettorendement van obligaties berekenen in eenvoudige gevallen.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 55
–  + –  +
KUNNEN
–  + –  +
KENNEN
–  + –  +
KUNNEN
–  + –  +
–  + –  +
KUNNEN
©VANIN

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Een fietser legt de afstand tussen A en B af in één uur. Op de terugweg is er fikse tegenwind, zodat hij twee uur nodig heeft om van B terug naar A te fietsen. Een andere fietser doet drie kwartier over de afstand van A naar B. Hoelang zal hij over de afstand van B naar A doen?

2. Vera is 41 geworden in 2023. Haar dochter Eva is dat jaar 14 geworden. Zoals je ziet, staan de cijfers in de omgekeerde volgorde.

• In welke jaren zal die omgekeerde volgorde van de cijfers van de leeftijden van moeder en dochter nog voorvallen?

• Als je het verschil van de leeftijden berekent, dan is het resultaat telkens een veelvoud van hetzelfde getal. Bepaal dat getal.

3. Het vierkant hieronder is verdeeld in 36 congruente vierkantjes. Welk deel van het vierkant is rood gekleurd?

56 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN 1 2 3 4 5 6
A) 7 ___ 18 B) 2 __ 5 C) 4 __ 9 D) 1 __ 2 E) 5 9 JWO, editie 2022, eerste ronde
©VANIN
FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 57
4.1 Definitie 58 4.2 Hoofdformule voor een postnumerando annuïteit 59 4.3 Voorbeelden 60 4.4 Toepassingen op de hoofdformule 61 4.5 Hoofdformule voor een prenumerando annuïteit 72 4.6 Toepassingen op de hoofdformule 73 Studiewijzer 77 Pienter problemen oplossen 78
HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN
©VANIN

4.1 Definitie

Voorbeelden

1) Op 15 maart komt Karl met zijn bank het volgende spaarplan overeen. Gedurende 10 jaar stort hij elk jaar 1 500 euro op een spaarrekening, te beginnen vanaf 15 maart van het volgende jaar. Elk gestort bedrag staat uit tegen 0,90 % samengestelde intrest.

2) De ouders van Rodica storten elk trimester, vanaf de dag van haar geboorte, 200 euro op een rekening die 0,75 % samengestelde intrest per jaar opbrengt. Op haar achttiende verjaardag krijgt Rodica het volledige bedrag als verjaardagsgeschenk.

3) Kim en Tim hebben een huis gekocht en zijn daarvoor bij de bank een lening van 220 000 euro aangegaan tegen een jaarlijkse rentevoet van 3,60 %. Om die lening af te betalen, moeten ze 20 jaar lang elke maand 1 280,71 euro betalen. De eerste afbetaling gebeurt 1 maand nadat ze het geleende bedrag ontvangen hebben.

Definitie Annuïteit

Een annuïteit is een rij gelijke periodieke stortingen, die allemaal uitstaan op samengestelde intrest.

Benamingen

• Het woord ‘annuïteit’ komt van het Latijnse annus, dat ‘jaar’ betekent. De stortingen kunnen ook semestrieel (semestrialiteiten), trimestrieel (trimestrialiteiten) of maandelijks (mensualiteiten) gebeuren. In de financiële wereld gebruikt men meestal alleen het woord ‘annuïteit’.

• Een annuïteit kan een vorm van sparen zijn (kapitaalvorming), zoals in voorbeeld 1 en 2, of een afbetaling van een lening (schulddelging), zoals in voorbeeld 3. Dit hoofdstuk gaat over de kapitaalvorming. De leningen komen in de volgende hoofdstukken aan bod.

• Het periodiek gestorte bedrag noem je het termijnbedrag van de annuïteit.

• Als je de termijnbedragen op het einde van elke periode stort, dan spreek je van een postnumerando (of achteraf betaalde) annuïteit. Stort je bij het begin van elke periode, dan heb je te maken met een prenumerando (of vooraf betaalde) annuïteit.

Vul de tabel in.

©VANIN

voorbeeld 1

voorbeeld 2

voorbeeld 3

termijnbedrag postnumerando/prenumerando

58 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6

4.2 Hoofdformule voor een postnumerando annuïteit

Adam komt op 4 augustus met zijn bank overeen dat hij elk jaar 1 000 euro op een rekening zal storten. De eerste storting zal gebeuren op 4 augustus van het volgende jaar en de laatste storting op 4 augustus 5 jaar later.

Elke gestorte 1 000 euro staat uit tegen 0,70 % samengestelde intrest. Over welke eindwaarde zal hij over 5 jaar beschikken?

De manier van berekenen van het inleidend voorbeeld kan je heel wat werk bezorgen. Denk bijvoorbeeld aan een annuïteit van 10 jaar met maandelijkse termijnbedragen. Je stelt daarom een formule op die de eindwaarde oplevert zonder dat je het eindkapitaal van elke afzonderlijke storting moet berekenen.

Stel: a = het termijnbedrag, n = het aantal stortingen, i = de rentevoet en A n = de eindwaarde

Formule Eindwaarde van een postnumerando annuïteit

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 59
1 000 1 000 1,0074 1 000 . 1,0073 1 000 . 1,0072 1 000 . 1,007 0 1 2 3 4 5 1 000 1 000 1 000 1 000 4 jaar 3 jaar 1 jaar 2 jaar De eindwaarde is 1 000 ? 1,007 4 + 1 000 ? 1,007 3 + 1 000 ? 1,007 2 + 1 000 ? 1,007 + 1 000 = 5 070,49 (euro). Formule
A n = a ? u n−1 + a ? u n−2 + ... + a ? u + a A n ? u = a ? u n + a ? u n−1 + ... + a ? u 2 + a ? u A n ? u = a ? u n + a ? u n−1 + ... + a ? u 2 + a ? u + a    A n − a A n ? u − A n = a ? u n − a A n ? (u − 1) = a ? (u n − 1) A n ? i = a ? (u n − 1) A n = a ? u n − 1 i
A n = a u n – 1 i GEOGEBRA VIDEO
©VANIN

4.3 Voorbeelden

Pensioensparen is een vorm van sparen op lange termijn. Dit zijn de twee bekendste soorten:

• De pensioenspaarrekening.

Dat is een fonds dat belegt in aandelen en obligaties. Het belegde kapitaal is niet beschermd, waardoor je geen gegarandeerd minimumrendement krijgt.

• De pensioenspaarverzekering.

Dat is een levensverzekering bij een verzekeringsmaatschappij waarbij je een jaarlijks minimumrendement krijgt. Het belegde kapitaal is beschermd.

Je krijgt een belastingvermindering voor je gestorte bedragen als je onder een bepaald plafond blijft (bijvoorbeeld voor aanslagjaar 2023: 990 euro). Eenmalig moet je wel een belasting betalen op je kapitaal en rendement: er wordt 8 % ingehouden, en dat op je zestigste verjaardag. Vraag je toch voor je zestigsteverjaardag het gespaarde bedrag op, dan wordt het bedrag belast aan een aanslagvoet van 33,31 %.

Voorbeeld 1

Op haar dertigste besluit Annelies om een pensioenspaarverzekering te openen. Ze ondertekent een contract om elk jaar postnumerando 900 euro te storten tot ze 65 jaar is. De verwachte jaarlijkse opbrengst is 1,50 %. Bereken de eindwaarde op haar vijfenzestigste.

Gegeven: a = 700

Gevraagd: A n

Oplossing: A

Voorbeeld 2

= 0,015

= 35

Vanaf 1 maart mag Milan aan het werk. Hij besluit om via een doorlopende opdracht op het einde van elke maand 250 euro naar zijn spaarrekening over te schrijven.

Over welk eindkapitaal zal Milan over 5 jaar beschikken, als de jaarlijkse rentevoet 0,50 % bedraagt?

Gegeven: a = i = n =

Gevraagd: A n

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van de eindwaarde:

60 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6
i
n
n
i
n = a u
– 1
=
i
12 = 12√ 1 + i – 1 = 12
1,005 – 1 =
A n = a ? u 12 n – 1 i 12 =
©VANIN

4.4 Toepassingen op de hoofdformule

4.4.1 Berekening van het termijnbedrag

Nieuwe auto’s zijn niet goedkoop. Daarom beslist Viktoria om nu al elke maand een bepaald bedrag te sparen, zodat ze binnen 4 jaar over 30 000 euro zal beschikken. Hoeveel moet ze elke maand postnumerando storten, als de jaarlijkse rentevoet 0,45 % bedraagt?

Gegeven: A n = i = n =

Gevraagd: a

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het termijnbedrag:

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 61
A n = a u 12 n – 1 i 12 ⇔ a = A n i 12 u 12 n – 1 a = ©VANIN

4.4.2 Berekeningen met ICT

De berekeningen om de looptijd te bepalen, zijn niet eenvoudig. Om de rentevoet te bepalen uit de formule, moet je bovendien een iteratie kunnen uitvoeren. Daarom zul je gebruikmaken van ICT om de looptijd en de rentevoet te berekenen.

Postnumerando annuïteiten met Excel

Berekening van de eindwaarde

Je stort gedurende 10 jaar elke maand postnumerando 150 euro. De rentevoet is 0,90 %. Bereken de eindwaarde.

Om de eindwaarde te bepalen, gebruik je de financiële functie TW. Excel beschouwt een annuïteit als een afbetaling van een lening. Daarom geef je het termijnbedrag in als een negatief getal.

Berekening van het termijnbedrag

Welk bedrag moet je trimestrieel postnumerando storten om over 7 jaar over 20 000 euro te beschikken? De jaarlijkse rentevoet is 0,85 %.

Om het termijnbedrag te bepalen, gebruik je de financiële functie BET. Je geeft de eindwaarde in als een negatief getal.

©VANIN

62 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6

Berekening van het aantal termijnbedragen

Hoeveel semestriële postnumerando stortingen van 3 000 euro moet je doen om een eindkapitaal van 35 000 euro te verkrijgen? De jaarlijkse rentevoet is 1 %.

Je gebruikt de financiële functie NPER. Let er ook hier op dat je ofwel het termijnbedrag, ofwel de eindwaarde als een negatief getal ingeeft.

Het aantal termijnbedragen moet een natuurlijk getal zijn.

Er zijn twee mogelijkheden.

• Je doet 11 stortingen met een hogere laatste storting:

A 11 = 3 000 ? 1,004 988 11 – 1 0,004 988 = 33 835,46

35 000 – 33 835,46 = 1 164,54

3 000 + 1 164,54 = 4 164,54

Je doet 10 stortingen van 3 000 euro en een elfde storting van 4 164,54 euro.

• Je doet 12 stortingen met een lagere laatste storting:

A 12 =

Berekening van de rentevoet

Lowie heeft de afgelopen 5 jaar elke maand postnumerando 250 euro gespaard.

Zijn eindkapitaal bedraagt 15 260,22 euro.

Bereken de jaarlijkse rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 63
Postnumerando annuïteiten met GeoGebra

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken de eindwaarde van de postnumerando annuïteit.

a) termijnbedrag = 700 euro per jaar rentevoet = 1,15 % per jaar looptijd = 10 jaar

b) termijnbedrag = 250 euro per trimester rentevoet = 0,30 % per trimester looptijd = 5 jaar

c) termijnbedrag = 100 euro per maand rentevoet = 0,01 % per maand looptijd = 8 jaar

d) termijnbedrag = 1 250 euro per semester rentevoet = 0,55 % per semester looptijd = 7 jaar

©VANIN

64 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6

2 Bereken de eindwaarde van de postnumerando annuïteit.

a) termijnbedrag = 220 euro per maand rentevoet = 0,95 % per jaar looptijd = 6 jaar

b) termijnbedrag = 2 500 euro per semester rentevoet = 0,60 % per jaar looptijd = 4 jaar

c) termijnbedrag = 500 euro per trimester rentevoet = 0,45 % per jaar looptijd = 3 jaar en 6 maanden

d) termijnbedrag = 150 euro per maand rentevoet = 0,40 % per jaar looptijd = 2 jaar en 10 maanden

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 65

3 Bereken het termijnbedrag van de postnumerando annuïteit. Rond af op 1 euro.

a) eindwaarde = 17 380,59 euro

rentevoet = 1,15 % per jaar looptijd = 10 jaar jaarlijkse stortingen

b) eindwaarde = 11 629,96 euro

rentevoet = 0,50 % per semester looptijd = 8 jaar semestriële stortingen

c) eindwaarde = 18 388,82 euro

rentevoet = 0,06 % per maand looptijd = 6 jaar maandelijkse stortingen

d) eindwaarde = 74 426,20 euro

rentevoet = 0,40 % per trimester looptijd = 15 jaar trimestriële stortingen

©VANIN

66 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6

4 Bereken het termijnbedrag van de postnumerando annuïteit. Rond af op 1 euro.

a) eindwaarde = 19 599,72 euro

rentevoet = 1,05 % per jaar looptijd = 7 jaar maandelijkse stortingen

b) eindwaarde = 73 879,43 euro

rentevoet = 1,60 % per jaar

looptijd = 12 jaar trimestriële stortingen

c) eindwaarde = 33 793,16 euro

rentevoet = 0,95 % per jaar looptijd = 5 jaar en 6 maanden semestriële stortingen

d) eindwaarde = 15 884,18 euro

rentevoet = 0,85 % per jaar looptijd = 4 jaar en 4 maanden maandelijkse stortingen

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 67
©VANIN

REEKS B

5 Jason is 30 jaar en doet aan pensioensparen. Elk jaar stort hij postnumerando 750 euro. De jaarlijkse rentevoet is 1,35 %. Welk bedrag zal hij ontvangen als hij 65 jaar is, na aftrek van 8 % belastingen?

©VANIN

6 Tine is op haar achttiende beginnen te werken en heeft sindsdien telkens op het einde van de maand 350 euro op haar spaarrekening gezet. Ze is nu 35 en besluit om het geld te gebruiken om een wereldreis te maken. Over welk bedrag beschikt ze, als de jaarlijkse rentevoet 0,90 % is?

7 Sommige banken bieden een kwartaalspaarrekening aan. Rayan opent zo’n rekening en stort op het einde van elk trimester 1 500 euro. De jaarlijkse rentevoet is 0,25 %. Bereken zijn eindkapitaal na 4,5 jaar.

8 Pieter en Petra hebben de voorbije 6 jaar op het einde van elke maand 500 euro op een woonspaarrekening gestort die 1 % intrest per jaar oplevert. De woning die ze willen kopen, kost 350 000 euro, maar ze krijgen 100 000 euro van hun ouders. Hoeveel moeten ze lenen?

68 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6

9 Welk bedrag moet je jaarlijks postnumerando storten om over 15 jaar over 50 000 euro te beschikken? De rentevoet is 1,25 %.

10 Stel dat je op je achttiende verjaardag het plan opvat om op je vijftigste miljonair te zijn. Hoeveel zou je dan op het einde van elke maand moeten sparen, als de jaarlijkse rentevoet 1,30 % is?

11 Gemma zet 25 000 euro voor 8 jaar uit tegen 1,15 % samengestelde intrest. Haar vriendin Maaike heeft zoveel startkapitaal niet, maar wil door postnumerando trimestriële stortingen hetzelfde eindbedrag verkrijgen. Hoeveel moet ze elk trimester storten?

12 Joerie spaart gedurende 4 jaar op het einde van elk jaar 1 000 euro tegen een rentevoet van 0,75 %. Hoeveel zou hij op het einde van elke maand moeten sparen om dezelfde eindwaarde te verkrijgen?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 69
©VANIN

13 Hoeveel jaarlijkse postnumerando stortingen van 5 000 euro moet je doen om een eindkapitaal van minstens 75 000 euro bijeen te sparen? Welk eindkapitaal verkrijg je dan? De rentevoet is 1,50 %. Los op met ICT.

14 Om 25 000 euro bijeen te sparen, stort je maandelijks postnumerando 300 euro. De jaarlijkse rentevoet is 1,25 %. Los de volgende vragen op met ICT.

a) Hoeveel stortingen moet je doen om minstens 25 000 euro te verkrijgen?

b) Hoeveel moet je de laatste keer storten om precies 25 000 euro te verkrijgen?

15 Danira stort 15 jaar lang elk jaar postnumerando 3 000 euro. Haar eindkapitaal is 50 588,20 euro. Bereken de rentevoet met ICT.

16 Kamiel spaart gedurende 10 jaar elk trimester 700 euro tegen een jaarlijkse rentevoet van 1,55 %. Welke jaarlijkse rentevoet zou hij moeten krijgen om een jaar eerder aan dezelfde eindwaarde te komen? Los op met ICT.

70 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

REEKS C

17 Op de spaarrekening van Jana staat op 1 januari een saldo van 1 638 euro. Ze beslist om elke maand postnumerando 150 euro bij te storten. Over welk bedrag beschikt Jana op 1 januari 3 jaar later?

De jaarlijkse rentevoet is 0,20 %.

Op een termijnrekening zet je een bedrag vast voor een bepaalde tijd. De intrest is onderworpen aan 30 % roerende voorheffing en wordt jaarlijks, semestrieel, trimestrieel of maandelijks op een spaarrekening gestort die gekoppeld is aan de termijnrekening.

18 Jannes heeft 5 000 euro op een termijnrekening staan. De looptijd is 4 jaar en de rentevoet 0,80 %.

Jaarlijks worden de intresten op een spaarrekening gestort met een rentevoet van 0,25 %. Bereken de totale netto-intrest.

©VANIN

19 Elif heeft een staatsbon van 1 500 euro met een looptijd van 6 jaar en een rentevoet van 1,10 %. Elk jaar wordt haar nettocouponwaarde op een spaarrekening gestort met een rentevoet van 0,30 %. Bereken haar totale netto-intrest.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 71

4.5 Hoofdformule voor een prenumerando annuïteit

Eva komt op 4 augustus met haar bank overeen dat ze elk jaar 1 000 euro op een rekening zal storten. De eerste storting zal onmiddellijk gebeuren en de laatste storting op 4 augustus 4 jaar later. Elke gestorte 1 000 euro staat uit tegen 0,70 % samengestelde intrest. Over welke eindwaarde zal ze over 5 jaar beschikken?

Stel: a = het termijnbedrag, n = het aantal stortingen, i = de rentevoet en

= de eindwaarde

Eindwaarde van een prenumerando annuïteit

72 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6
1 000 1 000 . 1,0075 1 000 1,0074 1 000 . 1,0073 1 000 . 1,0072 1 000 . 1,007 01 2 345 1 000 1 000 1 000 1 000 5 jaar 4 jaar 2 jaar 3 jaar 1 jaar De eindwaarde is 1 000 ? 1,007 5 + 1 000 ? 1,007 4 + 1 000 ? 1,007 3 + 1 000 ? 1,007 2 + 1 000 ? 1,007 = 5 105,99 (euro). Formule
9
A9 n = a ? u n + a ? u n – 1 + ... + a ? u 2 + a ? u = u (a u n – 1 + a u n – 2 + ... + a u + a) = u ? A n = a ? u n – 1 i ? u
A9 n = a u n – 1 i u GEOGEBRA VIDEO ©VANIN
A
n
Formule

4.6 Toepassingen op de hoofdformule

4.6.1 Berekening van de eindwaarde

Dimitri ondertekent een contract voor een spaarplan van 4 jaar. Hij zal elke maand 350 euro storten en doet meteen al de eerste storting. De jaarlijkse rentevoet is 0,65 %. Bereken zijn eindwaarde.

Gegeven: a = i = n =

Gevraagd: A9 n

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet: i 12 =

• Berekening van de eindwaarde: A9 n = a u 12 n – 1 i 12 u 12

4.6.2 Berekening van het termijnbedrag

Welk bedrag moet je jaarlijks prenumerando storten om over 10 jaar over een eindwaarde van 25 000 euro te beschikken? De rentevoet is 1,40 %.

Gegeven: A9 n = i = n =

Gevraagd: a

Oplossing:

A9 n = a ? u n

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 73
=
=
( u
)
= Prenumerando annuïteiten met GeoGebra ©VANIN
– 1 i ? u a = A9 n i
n
1
u

Oefeningen

REEKS A

20 Bereken de eindwaarde van de prenumerando annuïteit.

a) termijnbedrag = 1 200 euro per jaar rentevoet = 1,15 % per jaar looptijd = 8 jaar

b) termijnbedrag = 850 euro per semester rentevoet = 0,80 % per jaar looptijd = 6 jaar

c) termijnbedrag = 2 000 euro per trimester rentevoet = 0,35 % per jaar looptijd = 1 jaar en 9 maanden

d) termijnbedrag = 500 euro per maand rentevoet = 0,75 % per jaar looptijd = 5 jaar en 6 maanden

©VANIN

74 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6

21 Bereken het termijnbedrag van de prenumerando annuïteit. Rond af op 1 euro.

a) eindwaarde = 27 852,15 euro rentevoet = 1,15 % per jaar looptijd = 7 jaar jaarlijkse stortingen

b) eindwaarde = 15 134,45 euro rentevoet = 0,55 % per jaar looptijd = 3 jaar trimestriële stortingen

c) eindwaarde = 44 459,63 euro rentevoet = 1 % per jaar looptijd = 8 jaar en 6 maanden semestriële stortingen

d) eindwaarde = 29 210,24 euro rentevoet = 0,90 % per jaar looptijd = 5 jaar en 7 maanden maandelijkse stortingen

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 75

REEKS B

22 De ouders van Luna storten elke maand, vanaf de dag van haar geboorte, 150 euro op een rekening die 1,25 % samengestelde intrest per jaar opbrengt.

Op haar achttiende verjaardag krijgt Luna het volledige bedrag als verjaardagsgeschenk. Bereken hoeveel ze voor haar verjaardag zal krijgen.

23 Niels stort gedurende 10 jaar aan het begin van elk trimester 1 000 euro op zijn spaarrekening. Bereken zijn eindwaarde, als de jaarlijkse rentevoet 1,30 % bedraagt.

24 Door jaarlijkse prenumerando stortingen te doen, hoopt Natalia over 5 jaar over 20 000 euro te beschikken.

Bereken hoeveel ze jaarlijks moet storten, als de rentevoet 0,85 % is.

25 Hoeveel moeten je ouders, vanaf de dag van je geboorte, elke maand storten, opdat je op je twintigste verjaardag 50 000 euro zou krijgen?

De jaarlijkse rentevoet is 1,30 %.

76 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

STUDIEWIJZER Annuïteiten

4.1 Definitie voor de leerling voor de leerkracht

Een annuïteit is een rij gelijke periodieke stortingen, die allemaal uitstaan op samengestelde intrest.

Het verschil uitleggen tussen post- en prenumerando annuïteiten.

4.2 Hoofdformule voor een postnumerando annuïteit KENNEN

De eindwaarde van een postnumerando annuïteit is A n = a ? u n – 1 i , met i = de rentevoet per periode, u = 1 + i = de rentefactor,

a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

4.3 Voorbeelden

De hoofdformule van postnumerando annuïteiten toepassen om de eindwaarde te berekenen.

4.4 Toepassingen op de hoofdformule

KUNNEN

Door van lid te veranderen, het termijnbedrag berekenen als de eindwaarde, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn. Met ICT de eindwaarde, het termijnbedrag, de rentevoet en de looptijd berekenen als de andere waarden gegeven zijn.

4.5 Hoofdformule voor een prenumerando annuïteit

KENNEN

De eindwaarde van een prenumerando annuïteit is A9 n = a ? u n – 1 i ? u, met i = de rentevoet per periode, u = 1 + i = de rentefactor,

a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

4.6 Toepassingen op de hoofdformule

KUNNEN

Door van lid te veranderen, het termijnbedrag berekenen als de eindwaarde, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 77
–  + –  +
KENNEN
KUNNEN –  + –  +
–  + –  +
KUNNEN –  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
– 
– 
+
+
©VANIN

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. In een klas zitten 25 leerlingen. Ze spreken af dat, vooraleer ze het lokaal betreden, iedereen elke medeleerling een vuistje geeft. Hoelang duurt het tot de les kan beginnen, als je weet dat er gemiddeld 3 seconden tussen 2 vuistjes zitten?

2. Je krijgt een zak snoepjes. Op de eerste dag deel je de helft uit en eet er zelf ook eentje. Op de tweede dag deel je de helft van wat je over hebt, weer uit en eet je ook zelf een snoepje. Ook op de derde dag en vierde dag doe je hetzelfde. Nadat je op de vijfde dag weer de helft hebt uitgedeeld, heb je nog 1 snoepje over om zelf op te eten.

Hoeveel snoepjes zaten er oorspronkelijk in de zak?

3. In elk bolletje van de figuur moet je het getal 1, 2, 3, 4 of 5 plaatsen, zodat in elke rij, in elke kolom en in elke ketting van 5 verbonden bolletjes 5 verschillende getallen staan. Welk getal komt op de plaats van het vraagteken?

©VANIN

A) 1B) 2C) 3D) 4 E) 5

JWO, editie 2022, eerste ronde

78 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN 1 2 3 4 5 6
Pienter problemen oplossen
1 3 5 1 4 ?
FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 79
5.1 Hypothecaire kredieten 80 5.2 Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen 83 5.3 Toepassingen op de hoofdformule 84 5.4 Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen 92 5.5 Aflossingsplan voor een lening met constante kapitaalsaflossing 94 5.6 Aflossingsplannen opstellen met ICT 99 5.7 Het saldo berekenen 103 5.8 Opdracht 113 Studiewijzer 114 Pienter problemen oplossen 116
HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN
©VANIN

5.1 Hypothecaire kredieten

Leningen

Mensen lenen geld om verschillende redenen: om een woning, een auto of een computer aan te kopen, om studies te kunnen betalen, om een droomreis te maken of een ziekenhuisfactuur te betalen ...

Meestal worden die leningen maandelijks afbetaald, gespreid over verschillende jaren. Uitzonderlijk komt het voor dat je een lening per trimester, per semester of per jaar kunt afbetalen.

Elke afbetaling bestaat dan uit een gedeeltelijke terugbetaling van het geleende kapitaal (kapitaalsaflossing) en uit een gedeelte intresten (intrestlast).

Als een lening wordt aangegaan voor de aankoop, de bouw of de verbouwing van een onroerend goed (grond en/of woning), dan spreek je van een hypothecair krediet (of woonkrediet). De andere leningen heten consumentenkredieten

Als je een woonkrediet afsluit, gebruikt de bank het eigendom als onderpand. Bij wanbetaling heeft de bank het recht om het onroerend goed te laten verkopen om met de opbrengst de verschuldigde bedragen te innen. Er rust dus een hypotheek op het eigendom.

Om een onroerend goed te kunnen aankopen, moet je naar een notaris gaan. Die zal een authentieke akte opmaken van je aankoop.

Kosten

Voordat je een lening afsluit, is het belangrijk om te weten hoeveel kosten er verbonden zijn aan de aankoop van een woning en het onderschrijven van een lening. Een overzicht van de voornaamste kosten:

Kosten verbonden aan de aankoop

• Registratierechten: 3 % op de aankoopprijs van een enige en eigen gezinswoning. Als een woning minder dan 220 000 euro kost (een ‘bescheiden woning’), is er een vrijstelling van registratierechten op de eerste 80 000 euro. Koop je een tweede woning aan, dan bedragen de registratierechten 12 %.

• Ereloon van de notaris: wordt berekend in schijven. De schijven zijn degressief (het percentage neemt af naarmate de aankoopprijs van de woning stijgt) en gaan van 4,56 % op de eerste 7 500 euro tot 0,057 % op de bedragen hoger dan 250 095 euro.

©VANIN

• Administratieve kosten (aktekosten): voor het opzoekingswerk van de notaris (bijvoorbeeld vastgoedinformatie, fiscale en andere administratieve verplichtingen, kadastrale uittreksels). Die kosten kunnen verschillen van notaris tot notaris en van dossier tot dossier.

• Kosten overschrijving: na het verlijden van de akte van de woning (het voorlezen van de akte door de notaris in het bijzijn van de verkoper en koper en het ondertekenen door beide partijen) moet de notaris de akte registreren en overschrijven op het hypotheekkantoor.

• Btw: op het ereloon van de notaris en op de administratieve kosten moet je 21 % btw betalen.

80 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6

Kosten verbonden aan het woonkrediet

• Registratierechten: 1 % van het geleende bedrag.

• Hypotheekkosten: de akte moet ingeschreven worden op het hypotheekkantoor. Daarop wordt een inschrijvingsrecht geheven (0,30 % op het geleende bedrag). Ook het ereloon van de hypotheekbewaarder moet worden betaald.

• Ereloon notaris: ook hier wordt met schijven gewerkt, die gaan van 2 % tot 0,5 %.

• Administratieve kosten: schattingskosten en dossierkosten van de bank en de notaris.

• Op al die kosten is ook nog eens 21 % btw verschuldigd.

Een aantal kosten worden betaald door de verkoper: kosten voor het opvragen en controleren van kadastrale gegevens, stedenbouwkundige inlichtingen, bodemattest, EPC-attest ...

Simulatie van de kosten bij de aankoop van een woning in Vlaanderen

Voorwaarden

Niet iedereen kan zomaar een woonkrediet krijgen. De belangrijkste voorwaarden zijn:

• Het krediet wordt alleen toegestaan aan een ‘natuurlijk persoon’ (geen vennootschap) die in België verblijft en een onroerend goed wil kopen, bouwen of verbouwen.

• De verhouding tussen het geleende bedrag en de waarde van de woning noemt men de quotiteit De meeste banken rekenen een toeslag aan als de quotiteit hoger is dan 80 %.

• De ontvanger van het krediet moet solvabel zijn. Over het algemeen wordt daarvoor de 33 %-regel toegepast: het maandelijks af te betalen bedrag mag niet hoger zijn dan 1/3 van het gezinsinkomen.

• De aanvrager staat niet op de zwarte lijst van de Nationale Bank (de CKP: Centrale voor Kredieten aan Particulieren). Wie een betalingsachterstand van minstens drie maanden heeft, komt op die lijst. Voor sommige wanbetalingen is een maand al voldoende om op die zwarte lijst te komen, bijvoorbeeld na een ingebrekestelling via een aangetekend schrijven.

Voornaamste soorten hypothecair krediet

Leningen met constante afbetalingen

Elke maand wordt hetzelfde bedrag (kapitaal + intresten) afbetaald. Het kapitaalsgedeelte wordt groter in de tijd. Het intrestgedeelte wordt kleiner, omdat de schuld daalt. Ongeveer 1/3 van het kapitaal is afbetaald na de helft van de looptijd. Dat is de meest voorkomende vorm van afbetaling van een hypothecaire lening.

Leningen met constante kapitaalsaflossingen

Elke afbetaling bestaat uit een vast gedeelte kapitaalsaflossing (het geleende bedrag/looptijd) en een variabel deel intrest.

De afbetalingen worden steeds kleiner in de tijd. De helft van het kapitaal is terugbetaald na de helft van de looptijd. Die vorm van lenen is goedkoper dan een lening met constante afbetalingen, omdat de schuld sneller daalt.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 81
XL INTREST AFLOSSING KAPITAAL 0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 % 1265176101126151176201226 INTREST AFLOSSING KAPITAAL 1265176101126151176201226 ©VANIN

Leningen met eenmalige kapitaalsaflossing (‘bulletkredieten’)

Elke maand worden enkel intresten betaald.

Bij de laatste afbetaling wordt het geleende kapitaal volledig terugbetaald.

Budgetleningen

De eerste afbetalingen zijn lager. Daarna wordt het bedrag van de afbetaling geïndexeerd, afhankelijk van de stijging van het maandelijks inkomen.

Dit soort lening wordt dikwijls toegepast bij startende werknemers.

Leningen met lineaire aflossing van het kapitaal

Op basis van het inkomen wordt het bedrag van de eerste kapitaalsaflossing bepaald. Daarna stijgt het afgeloste bedrag van elke maand met een vaste coëfficiënt.

Looptijd en rentevoet

Hoe langer de looptijd is, hoe groter de intrestlast wordt, want het kapitaalsaldo daalt trager. Er is geen wettelijk vastgelegde termijn om te lenen, maar de meeste banken kiezen een looptijd tussen de 10 en 30 jaar. Voor de rentevoet bestaan verschillende systemen.

Hoe groter het risico is, hoe lager de rentevoet zal zijn. De meest voorkomende rentevoeten zijn:

vaste rentevoet variabele rentevoet

Een onveranderlijke rentevoet gedurende de volledige looptijd van de lening.

Enkele voorbeelden:

• 1/1/1: jaarlijkse aanpassing

• 5/5/5: vijfjaarlijkse herziening

• 10/5/5: de eerste 10 jaar vast; daarna wordt de rentevoet om de 5 jaar aangepast

De wet bepaalt dat de rentevoeten maximaal kunnen verdubbelen. Bij een daling is er geen ondergrens.

beperkt variabele rentevoet accordeonlening

Een variabele rentevoet met een vastgelegde maximale aanpassing, die men ‘cap’ noemt.

©VANIN

Een systeem met een variabele rentevoet, waarbij de looptijd van de lening kan worden aangepast als de rentevoet verandert of als een gedeelte bijgeleend wordt of vervroegd afbetaald.

Verzekeringen en fiscale voordelen

• Wie een woning bezit of huurt, kan daarvoor een brandverzekering afsluiten. Dat is verplicht als er een lening gekoppeld is aan de woning. Die verzekering dekt de schade aan de woning en de inboedel ten gevolge van een brand, waterschade, vandalisme, natuurrampen, een ontploffing, een aanrijding door een auto ...

• De meeste banken eisen een schuldsaldoverzekering bij het afsluiten van een lening. Zo’n verzekering betaalt het resterende saldo aan de kredietgever als de ontlener overlijdt. Je kunt de premie in één keer betalen of kiezen voor een jaarlijkse premie verspreid over twee derde van de looptijd.

82 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6

5.2 Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen

voorbeeld

Je leent 250 000 euro. De looptijd is 20 jaar en de maandelijkse rentevoet is 0,33 %.

De waarde van het geleende kapitaal over 20 jaar is 250 000 ? 1,003 3 240 = 551 232,67 euro.

algemeen

Je leent een bedrag V. Het aantal afbetalingen is n en de periodieke rentevoet is i

De waarde van V over n periodes is V ? u n, met u = 1 + i

Het maandelijks te betalen bedrag is gelijk aan het termijnbedrag a van een postnumerando annuïteit waarvan de eindwaarde 551 232,67 euro is.

a 1,003 3 240 – 1 0,003 3 = 250 000 1,003 3 240 250 000 = a ? 1,003 3 240 – 1 0,003 3 ? 1,003 3 240

Formule Lening met constante afbetalingen

Het periodiek te betalen bedrag is gelijk aan het termijnbedrag a van een postnumerando annuïteit waarvan de eindwaarde V u n is.

Beginwaarde van een postnumerando annuïteit

Je stort 10 jaar lang elk jaar postnumerando 500 euro tegen 1,10 % samengestelde intrest.

A 10 = 500 1,011 10 – 1 0,011 = 5 254,90

De eindwaarde na 10 jaar is 5 254,90 euro.

Welk eenmalig bedrag zou je moeten storten om hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen?

Je noemt dat bedrag de beginwaarde A 0 van de postnumerando annuïteit.

A 0 ? 1,011 10 = 5 254,90 ⇔ A 0 = 5 254,90 1,011 10 = 4 710,35

Je zou 4 710,35 euro moeten storten om hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen.

Om de periodieke afbetalingen a van een lening met constante afbetalingen te berekenen, maak je een analoge redenering.

©VANIN

Besluit Het geleende bedrag is de beginwaarde van een postnumerando annuïteit.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 83
a
V = a ? u n – 1 i u n
u n – 1 i = V u n
V = a u n – 1 i u n
GEOGEBRA

5.3 Toepassingen op de hoofdformule

5.3.1 Berekening van het geleende bedrag

Brian en Malika willen een huis kopen. Om te weten hoeveel ze kunnen lenen, berekenen ze een derde van hun maandelijks inkomen. Ze verdienen samen netto 4 800 euro per maand. Een bezoek bij de bank leert hun dat ze aan een jaarlijkse rentevoet van 3,60 % kunnen lenen.

a) Hoeveel kunnen ze hoogstens lenen als de looptijd 20 jaar is?

Gegeven: a = 1 600 i = 0,036 n = 240

Gevraagd: V

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het te lenen bedrag:

b) Hoeveel kunnen ze hoogstens lenen als de looptijd 30 jaar is?

V =

Definitie Kostprijs van een lening

De kostprijs van een lening is de som van alle intresten.

Bij een lening met constante afbetalingen is de kostprijs gelijk aan n a – V.

Bereken de kostprijs van de lening van Brian en Malika:

lening op 20 jaar:

lening op 30 jaar:

Besluit: als ze hun lening op 30 jaar afbetalen, kunnen ze meer lenen, maar ze betalen meer intresten.

84 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
V = a ? u 12 n – 1 i 12 u 12 n =
GEOGEBRA VIDEO ©VANIN

5.3.2 Berekening van het termijnbedrag

Lien en Loes gaan een woonkrediet aan van 230 000 euro. De looptijd is 25 jaar en de jaarlijkse rentevoet 3,85 %. Bereken hun maandelijkse termijnbedrag.

Gegeven: V = i = n =

Gevraagd: a

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het maandelijkse termijnbedrag:

a = V ? i 12 u 12 n u 12 n – 1 =

5.3.3 Berekeningen met ICT

Leningen

met Excel

Berekening van het geleende bedrag

Je kunt maandelijks 1 300 euro besteden aan de afbetaling van een lening met een looptijd van 20 jaar. De jaarlijkse rentevoet is 3,50 %. Hoeveel kun je hoogstens lenen?

Het geleende bedrag is de beginwaarde van een postnumerando annuïteit.

Die beginwaarde bereken je met de functie HW (‘huidige waarde’).

Let erop dat je het termijnbedrag ingeeft als een negatief getal.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 85
VIDEO

Berekening van het termijnbedrag

Hoeveel moet je maandelijks afbetalen voor een lening van 300 000 euro met een looptijd van 25 jaar, als de jaarlijkse rentevoet 3,75 % is?

Berekening van het aantal termijnbedragen

Je kunt hoogstens 1 250 euro per maand besteden aan de afbetaling van een lening van 250 000 euro. Hoelang moet je minstens afbetalen, als de jaarlijkse rentevoet 3,60 % is?

Berekening van de rentevoet

Je weet dat je buren een lening van 285 000 euro afbetalen met een looptijd van 30 jaar. Ze betalen maandelijks 1 165,71 euro af. Tegen welke jaarlijkse rentevoet hebben ze geleend? Rond af op 0,01 %.

Leningen met GeoGebra

86 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken het geleende bedrag voor een lening met constante afbetalingen. Rond af op 10 euro.

a) termijnbedrag = 19 535,65 euro per jaar rentevoet = 3,50 % per jaar looptijd = 15 jaar

b) termijnbedrag = 1 087,15 euro per maand rentevoet = 3,40 % per jaar looptijd = 20 jaar

c) termijnbedrag = 1 286,83 euro per maand rentevoet = 3,75 % per jaar looptijd = 30 jaar

d) termijnbedrag = 1 591,34 euro per maand rentevoet = 3,80 % per jaar looptijd = 25 jaar

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 87

2 Bereken het termijnbedrag voor een lening met constante afbetalingen.

a) geleende bedrag = 175 000 euro

rentevoet = 2,95 % per jaar looptijd = 15 jaar jaarlijkse afbetalingen

b) geleende bedrag = 250 000 euro

rentevoet = 3,60 % per jaar

looptijd = 25 jaar maandelijkse afbetalingen

c) geleende bedrag = 140 000 euro

rentevoet = 3 % per jaar looptijd = 10 jaar maandelijkse afbetalingen

d) geleende bedrag = 260 000 euro

rentevoet = 3,95 % per jaar looptijd = 20 jaar maandelijkse afbetalingen

88 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

REEKS B

3 Djamal en Irina kunnen hoogstens 1 500 euro per maand besteden aan de afbetaling van een lening met constante afbetalingen.

a) Hoeveel kunnen ze lenen als de looptijd 20 jaar is en de rentevoet 3,25 %?

b) Hoeveel meer kunnen ze lenen als de looptijd 30 jaar is en de rentevoet 3,80 %?

4 Joerie en Nathalie zijn van plan om een woning te kopen of te bouwen. Als eigen kapitaal kunnen ze gebruikmaken van de opbrengst van een woonspaarplan waarbij ze 8 jaar lang elk jaar postnumerando 10 000 euro hebben gestort tegen een jaarlijkse rentevoet van 1,50 %. Welke prijsklasse kunnen ze zich veroorloven, als je weet dat ze 1 850 euro per maand kunnen besteden aan de afbetaling van een lening en dat de bank hun een lening van 25 jaar aanraadt tegen een rentevoet van 3,50 %?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 89
©VANIN

5 Sofie leent 220 000 euro.

Als ze haar schuld in 20 jaar afbetaalt, wordt een rentevoet van 3,10 % gehanteerd. Betaalt ze 30 jaar af, dan is de rentevoet 0,40 procentpunt hoger.

a) Bereken het termijnbedrag als de looptijd 20 jaar is.

b) Bereken het termijnbedrag als de looptijd 30 jaar is.

c) Bereken het verschil in kostprijs van beide leningen.

6 Tussen mei 2022 en oktober 2022 steeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten van 2,26 % naar 3,16 %.

Bereken de stijging van de kostprijs van een lening van 280 000 euro met een looptijd van 20 jaar.

90 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
RentebarometerImmothekerFinotheker 20jaarrentevast Highcharts.com 3,25 % 3 % 2,75 % 2,5 % 2,25 % 2 % mei 2022juni 2022juli 2022augustus 2022september 2022oktober 2022 Hoogste: 3,16 % Laagste: 2,26 % ©VANIN

7 Koen en Karel gaan een hypothecair krediet aan van 325 000 euro met een looptijd van 25 jaar en constante maandelijkse afbetalingen. De jaarlijkse rentevoet is 3,80 %. Los de volgende vragen op met ICT.

a) Hoeveel moeten ze maandelijks afbetalen?

b) Bereken de kostprijs van de lening.

c) Hoeveel langer zou de lening moeten lopen als ze hoogstens 1 500 euro per maand willen afbetalen?

d) Hoeveel meer intresten zouden ze in dat geval betalen?

e) Vrienden van Koen en Karel hebben 300 000 euro geleend met een looptijd van 20 jaar en maandelijkse afbetalingen van 1 724,07 euro. Bereken de jaarlijkse rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

f) Stel dat Koen en Karel zouden wachten om een huis te kopen tot ze 100 000 euro gespaard hebben. Ze voorzien daarvoor maandelijkse prenumerando stortingen van 1 000 euro. Hoelang moeten ze dan sparen, als de jaarlijkse rentevoet 1,10 % is?

©VANIN

g) Welke jaarlijkse rentevoet zouden ze moeten krijgen om een half jaar vroeger over 100 000 euro te beschikken?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 91

5.4 Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen

Een aflossingsplan is een tabel waarbij voor elke afbetaling een overzicht wordt gemaakt van het nummer van de betaling, de afbetaling (het termijnbedrag), de intrest (het rentedeel), de aflossing (het kapitaaldeel) en het saldo.

Voorbeeld 1

Karel en Caroline kopen een stuk bouwgrond en lenen daarvoor 40 000 euro, die in vijf gelijke jaarlijkse afbetalingen moet worden gedelgd. De rentevoet is 3,70 %.

92 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
berekeningen Berekening van de afbetaling: a = V i ? u n u n – 1 = 40 000 0,037 ? 1,037 5 1,037 5 – 1 = 8 909,50 intrest aflossing saldo r1 = V i r1 = 40 000 ? 0,037 = 1 480 k1 = a – r1 k1 = 8 909,50 – 1 480 = 7 429,50 S1 = V – k1 S1 = 40 000 – 7 429,50 = 32 570,50 r2 = S1 ? i r1 = 32 570,50 0,037 = 1 205,11 k2 = a – r2 k2 = 8 909,50 – 1 205,11 = 7 704,39 S2 = S1 – k2 S2 = 32 570,50 – 7 704,39 = 24 866,11 aflossingsplan jaarafbetaling intrest aflossing saldo 0 40 000 18 909,50 1 480 7 429,50 32 570,50 28 909,50 1 205,11 7 704,39 24 866,11 38 909,50 48 909,50 58 909,50 0 44 547,50 4 547,50 40 000 Verband tussen de opeenvolgende aflossingen k1 u = 7 429,50 1,037 = 7 704,39 = k2 Bereken k2 ? u = Algemeen De aflossing bij de m-de afbetaling is k m = k 1 u m – 1 De intrest bij de m-de afbetaling is r m = a – k m GEOGEBRA VIDEO ©VANIN

Voorbeeld 2

Yusuf en Isabelle willen bouwen en hebben daarvoor een hypothecaire lening afgesloten van 340 000 euro. Ze betalen de lening maandelijks af in 25 jaar. De jaarlijkse rentevoet is 3,70 %.

a) Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

b) Vul het aflossingsplan voor de eerste vier afbetalingen aan.

c) Bereken hoeveel kapitaal en hoeveel intrest ze betalen bij de vijftigste afbetaling.

k 50 = k 1 u 12 49 =

r 50 = a – k 50 =

d) Bereken de kostprijs van de lening.

e) Als ze de lening in 20 jaar afbetaalden, zou de rentevoet 0,20 procentpunt lager zijn. Bereken hoeveel minder de lening hun dan zou kosten.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 93
maandafbetaling intrest aflossing saldo 0 340 000 1 2 3 4
©VANIN

5.5 Aflossingsplan voor een lening met constante kapitaalsaflossing

Karel en Caroline kopen een stuk bouwgrond en lenen daarvoor 40 000 euro, die in vijf jaarlijkse afbetalingen met constante aflossing van het kapitaal moet worden gedelgd. De rentevoet is 3,70 %.

Berekening van de jaarlijkse aflossing: k = V n = 40 000 5 = 8 000

94 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
berekeningen
intrest afbetaling saldo r1 = V ? i r1 = 40 000 0,037 = 1 480 a1 = k + r1 a1 = 8 000 + 1 480 = 9 480 S1 = V – k S1 = 40 000 – 8 000 = 32 000 r2 = S1 ? i r1 = 32 000 0,037 = 1 184 a2 = k + r2 a2 = 8 000 + 1 184 = 9 184 S2 = S1 – k S2 = 32 000 – 8 000 = 24 000 aflossingsplan jaarafbetaling intrest aflossing saldo 0 40 000 1 9 480 1 480 8 000 32 000 2 9 184 1 184 8 000 24 000 3 8 000 16 000 4 8 000 8 000 5 8 000 0 44 440 4 440 40 000 Elk jaar daalt de intrest met 8 000 ? 0,037 = 296 euro. 7 429,50 7 704,39 7 989,45 8 285,06 8 591,61 1 480,00 1 205,11 920,05 624,44 317,89 6 500 7 000 7 500 8 000 9 000 9 500 10 000 12345 CONSTANTE AFBETALINGEN 8 500 kapitaalintrest 8 0008 0008 0008 000 8 000 1 480 1 184 888 592 296 7 000 7 500 8 000 8 500 9 000 9 500 10 000 12345 CONSTANTE AFLOSSINGEN kapitaalintrest GEOGEBRA ©VANIN

Oefeningen

REEKS B

8 Je leent 60 000 euro. De looptijd is 4 jaar en de afbetalingen gebeuren jaarlijks. De rentevoet is 3 %. Maak een aflossingsplan

a) voor een lening met constante afbetalingen.

• Berekening van het termijnbedrag:

• Aflossingsplan:

b) voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

• Aflossingsplan:

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 95
jaarafbetaling intrest aflossing saldo 0 1 2 3 4
jaarafbetaling intrest aflossing saldo 0 1 2 3 4
©VANIN

9 Andreas en Naomi gaan een woonkrediet aan van 255 000 euro met een looptijd van 20 jaar en maandelijkse afbetalingen. De jaarlijkse rentevoet is 3,25 %.

a) Vul het aflossingsplan aan voor een lening met constante afbetalingen.

• Berekening van het termijnbedrag:

• Aflossingsplan:

b) Bereken de aflossing en de intrest bij de tweehonderdste afbetaling.

c) Vul het aflossingsplan aan voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

• Aflossingsplan:

d) Vergelijk de kostprijs van de lening in beide gevallen.

• Constante afbetalingen:

• Constante kapitaalsaflossing: de intrest daalt elke maand met

96 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
maandafbetaling intrest aflossing saldo 0 1 2 3
maandafbetaling intrest aflossing saldo 0 1 2 3
⇒ r 240 = ©VANIN

10 Annelies gaat een hypothecair krediet aan van 190 000 euro met een looptijd van 25 jaar en maandelijkse afbetalingen. De jaarlijkse rentevoet is 3,55 %.

a) Vul het aflossingsplan aan voor een lening met constante afbetalingen.

• Berekening van het termijnbedrag:

• Aflossingsplan:

b) Bereken de aflossing en de intrest bij de laatste afbetaling.

c) Vul het aflossingsplan aan voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

• Aflossingsplan:

d) Bereken de aflossing en de intrest bij de vijftigste afbetaling.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 97
maandafbetaling intrest aflossing saldo 0 1 2 3
maandafbetaling intrest aflossing saldo 0 1 2 3
©VANIN

REEKS C

11 Arthur en Camilla hebben in de Ardennen een kasteel gezien dat ze willen verbouwen tot een hotel.

Ze gaan daarvoor een krediet aan van 1 500 000 euro.

De looptijd is 30 jaar en de rentevoet 4 %.

Ze betalen de lening af met maandelijkse constante afbetalingen.

a) Bereken het termijnbedrag.

b) Bereken de intrest en de kapitaalsaflossing bij de honderdste afbetaling.

c) Bereken de kostprijs van de lening.

d) Hoeveel minder zou een lening met constante kapitaalsaflossing kosten?

©VANIN

e) Als ze 8 000 euro per maand konden afbetalen, in welke mate zou de leningsduur dan verkorten? Bereken met ICT.

98 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6

5.6 Aflossingsplannen opstellen met ICT

5.6.1 Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen

De familie Vanderlenen gaat een hypothecaire lening aan van 260 000 euro met een looptijd van 20 jaar en constante maandelijkse afbetalingen. De jaarlijkse rentevoet is 3,60 %.

De gegevens invoeren

• Gebruik de eerste rij van het Excelblad om een gepaste titel in te geven.

• De titels van het invoergebied typ je in de cellen A3 tot en met F3.

• In de cellen A4 tot en met D4 voer je de gegevens in.

• In cel E4 bereken je de maandelijkse rentevoet.

• Je wijzigt in het naamvak de celnamen A4, D4 en E4.

oude celnaamnieuwe celnaamVergeet niet om telkens op <ENTER> te drukken. A4 V D4 n E4 i

• In cel F4 laat je Excel het termijnbedrag berekenen.

• Wijzig de celnaam F4 in a

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 99
©VANIN

Het aflossingsplan opstellen

• De titels typ je in de cellen A6 tot en met E6.

• In cel A7 voer je het getal 0 in en in cel E7 het geleende bedrag V

• Maak in cel A8 gebruik van de logische functie ‘ALS’.

• Je voert de bewerking onbeperkt door naar onderen. Excel stopt automatisch bij 240.

• B8: =ALS(A7<n;a;” “). Voer door naar onderen.

• C8: =ALS(A7<n;E7**i;” “). Voer door naar onderen.

Vanaf cel C9 zie je telkens 0 verschijnen.

Dat is logisch, vermits je in cel E8 nog geen getal hebt ingevoerd.

• D8: =ALS(A7<n;B8-C8;” “). Voer door naar onderen.

Maak je geen zorgen over de getallen die verschijnen vanaf cel D9.

• E8: =ALS(A7<n;E7-D8;” “). Voer door naar onderen.

Je merkt dat ook alle cellen in de kolommen C en D zijn aangepast.

• Laat alle getallen van de kolommen B, C, D en E afronden op twee cijfers na de komma.

• Bereken de som van de afbetalingen, van de intresten en van de aflossingen:

B248: =SOM(B8:B247). Voer door naar rechts.

De kostprijs van de lening is

De opmaak van de tabel laten we over aan je eigen inspiratie. Je vindt de volledig afgewerkte tabel op iDiddit.

©VANIN

100 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6

5.6.2 Aflossingsplan voor een lening met constante kapitaalsaflossing

De familie Vanderlenen gaat een hypothecaire lening aan van 260 000 euro met een looptijd van 20 jaar en constante maandelijkse kapitaalsaflossingen. De jaarlijkse rentevoet is 3,60 %.

De gegevens invoeren

• Je voert de gegevens analoog in als bij de lening met constante afbetalingen.

• Wijzig de celnamen van de cellen waarin het geleende bedrag, het aantal stortingen en de maandelijkse rentevoet zijn ingevoerd.

oude celnaamnieuwe celnaam

• Bereken de constante maandelijkse aflossing in cel F4: =V/n.

• Wijzig de celnaam van F4 in ‘afl’.

Het aflossingsplan opstellen

• De titels typ je in de cellen A6 tot en met E6.

• In cel A7 geef je het getal 0 in en in cel E7 het geleende bedrag 165 000.

• A8: =ALS(A7<n;A7+1;” “). Voer door naar onderen.

• D8: =ALS(A7<n;afl;” “). Voer door naar onderen.

• E8: =ALS(A7<n;E7-D8;” “). Voer door naar onderen.

• C8:= ALS(A7<n;E7**i;” “). Voer door naar onderen.

• B8: =ALS(A7<n;D8+C8;” “). Voer door naar onderen.

• Bereken de som van de afbetalingen, van de intresten en van de aflossingen. De kostprijs van de lening is

©VANIN

Je vindt de volledig afgewerkte tabel op iDiddit.

Aflossingstabellen met GeoGebra

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 101
A4 V D4 n E4 i

Oefeningen

REEKS B

12 Stel met ICT een aflossingsplan op voor:

• een lening met constante afbetalingen;

• een lening met constante kapitaalsaflossing. Bereken telkens ook de kostprijs van de lening.

a) geleend bedrag = 125 000 euro jaarlijkse afbetalingen rentevoet = 3,15 % looptijd = 10 jaar

b) geleend bedrag = 275 000 euro maandelijkse afbetalingen

rentevoet = 3,80 % looptijd = 25 jaar

c) geleend bedrag = 320 000 euro maandelijkse afbetalingen rentevoet = 3,50 % looptijd = 20 jaar

d) geleend bedrag = 400 000 euro maandelijkse afbetalingen rentevoet = 4,10 % looptijd = 30 jaar

Bron: De Standaard, 13 januari 2020

102 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
Simon de Mirabello, een Lombardische koopman leent aan rente van 35% van Eduard III van Engeland De geldschieters, ca 1515, door Quinten Metsys (1466-1530) © belga Amadi / Rommel lenen van Koning Sigismund van Hongarije aan 18% rente James de Rothschild leent aan pauselijke schatkist tegen 6% Spaarobligaties VS 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% -5% Rentetrend in % Nominale leningrentes 1310 1369 1428 1467 1546 1605 1664 1723 1782 1841 1900 1959 2018 Leningrentes in westerse geschiedenis Spaanse Kroon Genua Pauselijke Staten VS Pahler/Rehlinger en Oostenrijkse leningen Koning van Denemarken Reële tarieven persoonlijke leningen Vlaanderen, Bourgondische Rijk en Staten-Generaal Franse Kroon Engelse Kroon Roomse Rijk en Habsburgse Rijk DS-Infografiek Bron: Bank of England
©VANIN

5.7 Het saldo berekenen

5.7.1 Inleiding

Kennis over het schuldsaldo heb je nodig bij berekeningen met een variabele rentevoet en in de volgende gevallen.

Volledig vervroegde terugbetaling

Als kredietnemer kun je ervoor kiezen om de lening vervroegd terug te betalen in één keer. Dat komt zelden voor, omdat een hypothecaire lening fiscale voordelen met zich meebrengt. Bij een volledig vervroegde terugbetaling verdwijnen die volledig.

Omdat de financiële instelling daardoor een deel van haar verwachte inkomsten mist, eist de bank meestal een vergoeding: de herbeleggingsvergoeding

De grootte van die herbeleggingsvergoeding is wettelijk bepaald en hangt af van de datum van de lening. Bij leningen van voor 2010 bedraagt de vergoeding hoogstens drie maanden intrest op het terugbetaalde saldo. Bij leningen na 2010 gaat het om 1 % van het vervroegd afgeloste kapitaal.

Een vervroegde aflossing kan gebeuren om twee redenen:

• De kredietnemer wil besparen op de resterende intresten en/of heeft voldoende middelen om het volledige saldo, of een gedeelte ervan, terug te betalen.

• De ontlener annuleert een krediet om (bij een andere bank) betere voorwaarden te verkrijgen. Als je overstapt naar een andere bank, moet je opnieuw schattingskosten, dossierkosten, notariskosten ... betalen.

Gedeeltelijk vervroegde terugbetaling

Gedeeltelijke terugbetalingen zijn minstens één keer per jaar toegestaan, maar moeten minstens 10 % van het oorspronkelijk geleende kapitaal bedragen. Ook hier moet je een herbeleggingsvergoeding betalen. Die bedraagt maximaal 6 maanden intrest op het gedeeltelijk vervroegde terugbetaalde kapitaal, tegen de rentevoet van het contract.

Heropname van kapitaal

Als je een hypotheek hebt afgesloten, kun je na een periode een deel van je afbetaalde bedrag opnieuw lenen bij je bank. Dat heet een heropname van je woonkrediet. Je kunt die heropname gebruiken om je huis te verbouwen, te renoveren of uit te breiden, of zelfs om een tweede woning aan te kopen. Je kunt het bedrag niet gebruiken om bijvoorbeeld een auto aan te kopen.

Je hoeft daarvoor niet naar de notaris en hebt bijgevolg geen extra notariskosten of hypotheekkosten. De bank rekent je enkel dossierkosten aan.

©VANIN

Het maximumbedrag van de heropname is beperkt tot het al afgeloste deel van je geleende bedrag. Wil je meer lenen, dan moet je een nieuwe lening afsluiten (met bijbehorende kosten, een hypotheek ...).

Met een heropname gaat meestal ook een wijziging van de rentevoet gepaard.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 103
GEOGEBRA

5.7.2 Formule voor de berekening van het saldo

voorbeeld

Je leent 250 000 euro. Maandelijks betaal je 1 462,78 euro af tegen een maandelijkse rentevoet van 0,30 %.

De waarde van het geleende kapitaal over 8 jaar is 250 000 ? 1,003 96 = 333 295,60 euro.

De waarde van de 96 afbetalingen is

1 462,78 1,003 96 – 1 0,003 = 162 457,51 euro.

Na 8 jaar is het saldo gelijk aan

333 295,60 – 162 457,51 = 170 838,09 euro.

algemeen

Je leent een bedrag V Periodiek betaal je een bedrag a af tegen een periodieke rentevoet i.

De waarde van V na k afbetalingen is V ? u k

De waarde van de k afbetalingen is a u k – 1 i .

Na k afbetalingen is het saldo gelijk aan

S k = V ? u k – a ? u k – 1 i

104 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
Saldo berekenen S k = V ? u k – a ? u k – 1 i ©VANIN
Formule

5.7.3 Vervroegde aflossing van het volledige kapitaal

Twaalf jaar geleden kochten Georgos en Michaël een huis. Ze leenden daarvoor 170 000 euro.

De looptijd is 25 jaar en de jaarlijkse rentevoet 4,50 %.

Ze betalen maandelijks 936,25 euro af.

Ze hebben onlangs een erfenis gekregen en hebben besloten om hun lopende hypothecair krediet ineens vervroegd af te lossen. Hoeveel moeten ze betalen, als de bank hun een herbeleggingsvergoeding van 1 % aanrekent?

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het saldo na 12 jaar:

S k = V u 12 k – a u 12 k – 1 i 12

• Berekening van de herbeleggingsvergoeding:

H = S k 0,01 =

• Het totaal te betalen bedrag is: T = S k + H =

5.7.4 Vervroegde aflossing van een gedeelte van het kapitaal

Ignace heeft een lening lopen van 195 000 euro met een looptijd van 20 jaar. De maandelijkse afbetalingen bedragen 1 039,90 euro en de jaarlijkse rentevoet is 2,60 %. Na 8 jaar besluit Ignace om 50 000 euro vervroegd af te lossen. Bereken het nieuwe termijnbedrag voor de resterende looptijd.

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het saldo:

S k 9 = – 50 000 =

• Berekening van het nieuwe maandelijkse termijnbedrag:

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 105
a9 = S k 9 ? i 12 u 12 n – k u 12 n – k – 1 =
©VANIN

5.7.5 Heropvraging van kapitaal

Pieter-Jan en Anneleen zijn 6 jaar geleden een lening aangegaan van 170 000 euro met een looptijd van 15 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 2,95 %. Ze betalen elke maand 1 166,74 euro af. Omdat ze renovatiewerken aan hun woning willen uitvoeren, doen ze een heropname van 40 000 euro.

a) De rentevoet wordt niet gewijzigd en ze beslissen om de leningsduur niet te verlengen. Hoeveel zullen ze vanaf nu elke maand moeten betalen?

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het saldo:

• Berekening van het nieuwe maandelijkse termijnbedrag:

b) Ze beslissen om hetzelfde termijnbedrag te blijven betalen, maar de leningsduur te verlengen. Hoelang zullen ze nog minstens moeten afbetalen? Bereken met ICT.

5.7.6 Variabele rentevoet

Ali en Fatima hebben 10 jaar geleden een woonkrediet geopend van 165 000 euro met een looptijd van 20 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 4,10 %.

Tot nu toe betaalden ze maandelijks 1 002,03 euro af.

Onlangs kregen ze bericht van de bank dat de rentevoet wordt verlaagd naar 3,35 %. Bereken het nieuwe maandelijkse termijnbedrag.

• Berekening van de oorspronkelijke maandelijkse rentevoet:

©VANIN

• Berekening van het saldo na 10 jaar:

• Berekening van de nieuwe maandelijkse rentevoet:

• Berekening van het nieuwe maandelijkse termijnbedrag:

106 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6

Oefeningen

REEKS A

13 Bereken het saldo.

a) geleend bedrag = 150 000 euro

looptijd = 10 jaar

jaarlijkse rentevoet = 3,60 % jaarlijks termijnbedrag = 18 127,23 euro saldo na 7 jaar:

b) geleend bedrag = 220 000 euro

looptijd = 20 jaar

jaarlijkse rentevoet = 3,75 % maandelijks termijnbedrag = 1 297,22 euro saldo na 11 jaar:

c) geleend bedrag = 285 000 euro

looptijd = 25 jaar

jaarlijkse rentevoet = 3,90 % maandelijks termijnbedrag = 1 477,96 euro saldo na 22 jaar:

d) geleend bedrag = 310 000 euro

looptijd = 15 jaar

jaarlijkse rentevoet = 3,50 % maandelijks termijnbedrag = 2 207,80 euro saldo na 9 jaar en 4 maanden:

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 107
©VANIN

REEKS B

14 Kaat en Pavel hebben sinds 15 jaar een hypothecair krediet van 180 000 euro lopen. De looptijd is 25 jaar en de jaarlijkse rentevoet 4,70 %.

Ze betalen maandelijks 1 010,95 euro af.

Omdat ze over voldoende spaargeld beschikken, besluiten ze om de lening vervroegd af te lossen. Hoeveel moeten ze betalen, als de bank hun een herbeleggingsvergoeding van 3 maanden intrest aanrekent?

15 Sarah heeft 6 jaar geleden een studio gekocht en heeft daarvoor 125 000 euro geleend. De looptijd van de lening is 15 jaar en de jaarlijkse rentevoet 2,75 %.

Ze betaalt elke maand 846,23 euro af.

Omdat ze een ruimere woning wil aankopen, besluit ze om haar studio te verkopen en met de opbrengst de lening vervroegd af te lossen.

Hoeveel moet ze betalen, als de bank haar een herbeleggingsvergoeding van 1 % van het vervroegd afgeloste kapitaal aanrekent?

108 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

16 Lana en Jana hebben 4 jaar geleden 240 000 euro geleend voor de aankoop van hun woning. De looptijd is 20 jaar en de jaarlijkse rentevoet 2,40 %.

Ze betalen maandelijks 1 257,04 euro af. Omdat ze een deel van hun aandelen hebben verkocht, besluiten ze nu om 75 000 euro vervroegd af te lossen.

a) Bereken het nieuwe maandelijkse termijnbedrag voor de resterende looptijd.

b) Als ze hetzelfde termijnbedrag willen blijven afbetalen, hoeveel afbetalingen moeten ze dan minder doen? Bereken met ICT.

c) De bank rekent een herbelegginsvergoeding van 4 maanden intrest aan. Welke herbelegginsvergoeding moeten ze betalen?

17 Victor en Ariadne betalen maandelijks 1 011,73 euro af voor een hypothecair krediet van 175 000 euro.

De looptijd is 25 jaar en de jaarlijkse rentevoet 5 %.

Na 17 jaar doen ze een heropname van 60 000 euro.

Hoeveel zullen ze gedurende de resterende looptijd maandelijks moeten afbetalen?

De rentevoet blijft ongewijzigd.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 109

18 John heeft 8 jaar geleden een woning gekocht en heeft daarvoor 150 000 euro geleend tegen een jaarlijkse rentevoet van 2,50 %. De looptijd van het krediet met constante maandelijkse afbetalingen is 15 jaar.

Omdat hij een bijgebouw wil zetten, doet hij een heropname van 55 000 euro.

Hoeveel meer zal hij daardoor maandelijks moeten betalen?

De rentevoet wordt voor het heropgenomen bedrag niet gewijzigd.

19 Bilal en Nisa hebben een woonkrediet van 220 000 euro met een looptijd van 20 jaar. De eerste 10 jaar betalen ze 1 247,92 euro af tegen een jaarlijkse rentevoet van 3,30 %. Na 10 jaar wordt de rentevoet aangepast tot 3,90 %.

a) Bereken het nieuwe maandelijkse termijnbedrag.

b) Bereken de kostprijs van de lening.

110 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

20 Een lening van 190 000 euro met constante maandelijkse afbetalingen heeft een looptijd van 25 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 2,30 %. Na 5 jaar wordt de rentevoet aangepast tot 3,75 %. Hoeveel meer zul je maandelijks moeten betalen?

REEKS C

21 Ashton en Jada zijn 10 jaar geleden een woonkrediet van 215 000 euro aangegaan met een looptijd van 20 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 3 %. De constante afbetalingen gebeuren maandelijks. Door een stijging van de rentevoet betalen ze nu 33,43 euro meer per maand. Met hoeveel procentpunt is de rentevoet gestegen? Gebruik ICT indien nodig.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 111

22 Jocelyne heeft een hypothecair krediet lopen van 340 000 euro met constante maandelijkse afbetalingen. De looptijd is 30 jaar en de jaarlijkse rentevoet 4,15 %. Na 14 jaar doet ze een heropname van 90 000 euro. Daarvoor rekent de bank een jaarlijkse rentevoet aan van 3,40 %.

a) Bereken hoeveel ze elke maand moet betalen tijdens de laatste 16 jaar.

b) Bereken de kapitaalsaflossing en de intrest bij de 250e afbetaling.

23 Je hebt een woonkrediet van 200 000 euro met constante maandelijkse afbetalingen van 1 090,67 euro. De looptijd is 20 jaar en de jaarlijkse rentevoet 2,85 %.

Na 10 jaar wordt de rentevoet aangepast tot 3,65 %. Je beslist om hetzelfde termijnbedrag te blijven betalen, maar de leningsduur te verlengen.

a) Bereken met ICT de nieuwe resterende looptijd van de lening.

b) Bereken het termijnbedrag van de laatste afbetaling.

112 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
©VANIN

5.8 Opdracht

Je wilt een woning van 290 000 euro aankopen. Het is je eerste en eigen woning. Je beschikt over 45 000 euro eigen middelen om de aankoopkosten, de kosten voor het woonkrediet en een deel van de aankoopprijs te betalen. De rest moet je dus lenen. Je kiest voor een lening op 20 jaar.

1) Maak een tabel en een schijfdiagram met de kosten verbonden aan de aankoop van je woning. Je kunt daarvoor te rade gaan op www.notaris.be.

2) Maak een tabel en een schijfdiagram met de kosten verbonden aan de lening.

3) Hoeveel zul je moeten lenen?

4) Zoek de rentevoeten op voor een lening met:

• een vaste rentevoet;

• een variabele rentevoet die jaarlijks aanpasbaar is (1/1/1);

• een variabele rentevoet 10/5/5.

Wat is de beste keuze?

5) Maak een aflossingsplan met ICT voor een lening met constante afbetalingen, met de vaste rentevoet uit vraag 4.

6) Maak een aflossingsplan met ICT voor een lening met constante kapitaalsaflossing, met de vaste rentevoet uit vraag 4.

7) Bereken in beide gevallen de kostprijs van de lening en vergelijk.

8) Hoeveel moet je per maand verdienen om de lening in beide gevallen aan te kunnen?

9) Stel dat er na 10 jaar een verhoging van 0,75 % komt. Werk voor de lening met constante afbetalingen twee mogelijkheden uit. Maak voor beide scenario’s een passende aflossingstabel met ICT.

• Je behoudt de looptijd en betaalt meer per maand. Hoeveel meer?

• Je behoudt het termijnbedrag en laat de leningsduur verlengen.

Hoeveel maanden moet je extra afbetalen?

• Welk bedrag zul je in dat geval bij de laatste afbetaling moeten betalen?

• Hoeveel zal de lening je dan meer hebben gekost?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 113
©VANIN

STUDIEWIJZER Leningen op lange termijn

5.1 Hypothecaire kredieten

Het verschil uitleggen tussen een hypothecair krediet en een consumentenkrediet.

Een overzicht geven van de verschillende kosten wanneer je een onroerend goed koopt en een woonkrediet aangaat.

Het verschil uitleggen tussen een lening met constante afbetalingen en een lening met constante kapitaalsaflossing.

Uitleggen wat leningen met vaste rentevoet, met variabele rentevoet en met beperkt variabele rentevoet zijn.

Uitleggen wat accordeonleningen zijn.

5.2 Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen

Als een schuld V door n gelijke termijnbedragen a moet worden afbetaald, dan is V = a ? u n

5.3 Toepassingen op de hoofdformule

De kostprijs van een lening is de som van alle intresten. Bij een lening met constante afbetalingen is de kostprijs gelijk aan n a – V

Het geleende bedrag berekenen als het termijnbedrag, de looptijd en de rentevoet gegeven zijn.

Het termijnbedrag berekenen als het geleende bedrag, de looptijd en de rentevoet gegeven zijn.

Met ICT het geleende bedrag, het termijnbedrag, de looptijd en de rentevoet berekenen als de andere waarden gegeven zijn.

De kostprijs van een lening met constante afbetalingen berekenen.

5.4 Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen

KENNEN

De kapitaalsaflossing bij de m-de afbetaling is k m = k 1 u m – 1

De intrest bij de m-de afbetaling is r m = a – k m

Een aflossingsplan opstellen en interpreteren voor een lening met constante afbetalingen.

114 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
KUNNEN –  + –  +
voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN –  + –  +
? u n
– 1 i
Daarbij is i de periodieke rentevoet en u = 1 + i
–  + –  +
KENNEN
KUNNEN –  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
KUNNEN
©VANIN

5.5 Aflossingsplan voor een lening met constante kapitaalsaflossing

Een aflossingsplan opstellen en interpreteren voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

5.6 Aflossingsplannen opstellen met ICT

Met ICT een aflossingsplan opstellen voor een lening met constante afbetalingen en voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

5.7 Het saldo berekenen

Het saldo van een lening met constante afbetalingen na k afbetalingen is S k = V u k – a u k – 1 i

Daarbij is V het geleende bedrag, i de periodieke rentevoet en n de looptijd van de lening.

Het saldo van een lening met constante afbetalingen berekenen.

Uitleggen wat een vervroegde aflossing van het kapitaal en een gedeeltelijke aflossing van het kapitaal zijn. Het begrip ‘herbeleggingsvergoeding’ uitleggen.

Uitleggen wat een heropvraging van kapitaal is.

Uitleggen wat een variabele rentevoet betekent.

Vraagstukken oplossen in verband met een volledig of gedeeltelijk vervroegde aflossing van het kapitaal.

Vraagstukken oplossen in verband met een heropvraging van kapitaal.

Vraagstukken oplossen in verband met een variabele rentevoet.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 115
voor de leerling voor de leerkracht KUNNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Baloe en Winnie smeren elk zo snel mogelijk vijftien broodjes. Na drie minuten heeft Baloe een derde van zijn broodjes gesmeerd en Winnie een vijfde van de zijne. Als beide beren aan hetzelfde tempo blijven smeren, hoeveel minuten na Baloe is Winnie dan klaar?

A) 3 minutenB) 5 minuten C) 6 minutenD) 9 minutenE) 15 minuten

JWO, editie 2022, eerste ronde

2. Zeven gymnasten maken een menselijke piramide zoals op de afbeelding. Ze hebben allemaal een verschillend nummer op de voorkant van hun gympak. Ze moeten zich opstellen voor de jury, zodanig dat elke gymnast enkel gymnasten met een hoger nummer ondersteunt. Hoeveel verschillende piramides kunnen ze vormen?

A) 24B) 48 C) 80 D) 180E) 360 VWO, editie 2022, tweede ronde

©VANIN

3. Op de figuur zie je een aantal rechthoeken, hun oppervlakte en de lengte van een zijde. Hoe lang is het lijnstuk met het vraagteken?

A) 3B) 4 C) 5 D) 6E) 9

JWO, editie 2021, eerste ronde

116 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN 1 2 3 4 5 6
42 7 54
8145 ?
FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 117 HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 6.1 Soorten consumentenkrediet 118 6.2 Begrippen 120 6.3 Looptijd en jaarlijks kostenpercentage 121 6.4 Berekening van het maandelijkse termijnbedrag 122 6.5 Voorbeelden 123 Studiewijzer 129 Pienter problemen oplossen 130 ©VANIN

6.1 Soorten consumentenkrediet

Elke lening die dient voor de aankoop of de financiering van roerend goed door een consument (natuurlijke persoon), is een consumentenkrediet. Zo’n krediet wordt vaak geopend voor kleinere bedragen die je in een kortere periode terugbetaalt. Er zijn veel verschillende vormen.

Verkoop op afbetaling

De consument betaalt een voorschot van minstens 15 % en komt met de verkoper overeen om het saldo plus intresten met vaste maandelijkse termijnbedragen af te betalen.

Verkoopprijs: € 14 990

Voorschot: € 2 998

Totale bedrag van de afbetaling: € 11 992

Duurtijd: 48 maanden

JKP: 4,99 %

Maandelijkse afbetaling: € 275,51

De kredietgever is de verkoper. Het doel van een verkoop op afbetaling is altijd de aankoop van een goed (auto, meubelen ...) of de levering van een dienst (gebruik van bepaalde goederen, software ...).

Lening op afbetaling

Een financiële instelling stelt een bedrag ter beschikking van een consument. Dat bedrag moet je, samen met de intresten, in vaste maandelijkse schijven afbetalen.

De kredietgever is een financiële instelling, die vertegenwoordigd wordt door een kredietbemiddelaar.

Het doel van een lening op afbetaling hoeft niet noodzakelijk een aankoop of een levering van diensten te zijn.

Je kunt bijvoorbeeld ook een lening op afbetaling aangaan om belastingen af te betalen.

De duur van de lening is wettelijk beperkt en hangt af van het bedrag van de lening: van 18 maanden voor een bedrag onder de 500 euro tot 120 maanden voor een bedrag onder de 37 000 euro.

©VANIN

118 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6
Ontdek onze persoonlijke lening
hond geen
het interieur LET OP, GELD LENEN KOST OOK GELD. Voorbeeld: lening op afbetaling van 5.000€ terugbetaalbaar in 36 maandaflossingen aan een Jaarlijks Kostenpercentage van 4,85% vaste actuariële debetrentevoet: 4,85%). Dit betekent 36 maandaflossingen van 149,28€, hetzij een totaal terug te betalen bedrag van 5.374,08€. *Enkel voor nieuwe kredietklanten. Lening op afbetaling voor particulieren, onder voorbehoud van aanvaarding van uw dossier en wederzijds akkoord. Jaarlijks Kostenpercentage (JKP) van 4,85% (vaste actuariële debetrentevoet: 4,85%), voor een bedrag van minimum 1.250 euro en maximum 7.500 euro. De wettelijke maximale terugbetalingstermijn is afhankelijk van het ontleende bedrag maar zal nooit minder zijn dan 12 maanden en nooit meer dan 42 maanden. Geldig op 01/07/2022, onder voorbehoud van wijzigingen. V.U.: Beobank NV/SA Kredietgever Koning Albert II-laan 2, 1000 Brussel BTW BE 0401.517.147 RPR Brussel IBAN BE77 9545 4622 6142 BIC CTBKBEBX PPP618N0822
Als uw
fan is van

Kredietopening

Een financiële instelling of een verkoper geeft aan de consument de mogelijkheid om over een kapitaalreserve te beschikken. Dat kapitaal kun je op elk ogenblik gebruiken of terugbetalen. Er is geen vaste maandelijkse afbetaling. Maandelijks betaal je intresten op het schuldsaldo. Een veelvoorkomende vorm is het onder 0 gaan op je zichtrekening, tot een vooraf bepaald maximaal bedrag. Dat soort flexibele lening gaat gepaard met hoge intresten.

Krediet gekoppeld aan een kredietkaart

Met kredietkaarten (Visa, Mastercard of American Express) kun je aankopen doen zonder dat het geld onmiddellijk van je rekening gaat. Pas op het einde van de maand (of de volgende maand) krijg je een afrekening en gaat het bedrag van je zichtrekening.

Er zijn ook heel wat winkelketens die een gratis kredietkaart aanbieden waarmee je aankopen kunt doen. Het geld betaal je later terug. De kredietkaart geeft recht op kortingen, maar de ketens rekenen hoge woekerintresten aan. Je loopt dus het risico om in de schulden te komen.

Financieringshuur (leasing)

©VANIN

Lease je nieuwe wagen vanaf

€ 195/maand all-in

Een leasingmaatschappij koopt een bepaald goed aan op vraag van de consument en geeft het voor een bepaalde periode in huur Op het einde van het contract kan de huurder het goed al dan niet aankopen tegen een vooraf afgesproken prijs: de residuwaarde

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 119
€ Let op: geld lenen kost ook geld!
Naar de actie
09/2308/28

6.2 Begrippen

De kredietovereenkomst

De kredietovereenkomst moet de volgende gegevens bevatten:

• de identiteit en het adres van de partijen (kredietgever, kredietnemer en kredietbemiddelaar);

• het kredietbedrag: het ontleende bedrag;

• de looptijd: het aantal maandelijkse afbetalingen;

• het termijnbedrag: het maandelijks af te betalen bedrag (kapitaal + intrest);

• de kostprijs van de lening: de som van alle debetintresten en kosten;

• het jaarlijks kostenpercentage JKP.

De kredietovereenkomst wordt afgesloten zodra ze ondertekend is met de vermelding

‘gelezen en goedgekeurd voor … op krediet’. Vroeger moest die tekst handgeschreven zijn, maar nu kan dat ook elektronisch.

Daarbij moeten ook de datum en het adres van de ondertekening worden vermeld.

Juridische verklaring

Kopieer de juridische verklaring hieronder. (Let op: dit veld is hoofdlettergevoelig.)

Gelezen en goedgekeurd

Gelezen en goed

Elke partij ontvangt een exemplaar van het contract en een exemplaar van het aflossingsplan.

De bedenktijd

Als de overeenkomst is afgesloten, biedt de wet nog een bedenktijd van veertien dagen. In die tijd kun je nog afzien van het krediet door een aangetekende brief te sturen naar de kredietinstelling. Bij sommige overeenkomsten is voorzien dat je dat ook via een eenvoudige e-mail kunt doen.

De borg

In het geval van betalingsachterstand heeft de kredietgever het recht om een deel van het loon van de kredietnemer in te houden. Dat heet loonsoverdracht

Het gebeurt ook dat de kredietgever vraagt dat iemand anders zich ertoe verbindt om het krediet terug te betalen als de kredietnemer dat niet meer kan. Die persoon wordt de borg genoemd.

120 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6
Volgende 1 2 3 4
©VANIN

6.3 Looptijd en jaarlijks kostenpercentage

De looptijd

Bij een consumentenkrediet bepaalt de wet een maximale terugbetalingsperiode, afhankelijk van het bedrag van het krediet.

kredietbedrag in euro maximale looptijd in maanden 501 tot 2 500 24

2 501 tot 3 700 30

3 701 tot 5 600 36

5 601 tot 7 500 42

7 501 tot 10 00048

10 001 tot 15 000 60

15 001 tot 20 000 84

20 001 tot 37 000 120

meer dan 37 000 180

Het jaarlijks kostenpercentage

Definitie Jaarlijks kostenpercentage

Het jaarlijks kostenpercentage (JKP) drukt uit, in procent, hoeveel intrest en kosten er jaarlijks worden betaald bij een consumentenkrediet.

In het hoofdstuk over woonkredieten heb je gezien dat er bij het afsluiten van een hypothecair krediet heel wat kosten worden aangerekend. Die kosten moet je apart betalen.

Bij consumentenkredieten moeten de zogenoemde toegevoegde kosten in het JKP zijn vervat, dus er mogen geen extra kosten worden aangerekend.

Het JKP van een consumentenkrediet is daarom meestal hoger dan de rentevoet bij een woonkrediet. In de tabel zie je het maximale JKP dat van toepassing is vanaf 1 juni 2021.

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 121
kredietbedrag in euro maximaal JKP verkoop en lening op afbetaling maximaal JKP financieringshuur tot 1 250 17,50 % 11,50 % 1 251 tot 5 000 12,50 % 8,50 % meer dan 5 000 10,00 % 8,00 % € 414,34 € 515,44 € 617,19 € 719,57 € 822,59 € 0,00 € 100,00 € 200,00 € 300,00 € 400,00 € 500,00 € 600,00 € 700,00 € 800,00 € 900,00 2430364248 totaal intresten
in maanden
looptijd
KOSTPRIJS LENING VAN 10 000 EURO MET JKP = 4
% ©VANIN

6.4 Berekening van het maandelijkse termijnbedrag

Je rekent de simulatie na voor een autofinanciering.

Kredietbedrag

30 000,00 EUR

Looptijd lening

48 maanden

Maandelijkse terugbetaling

667,24 EUR

JKP  i

3,29 %

Besluit Berekening van het maandelijkse termijnbedrag

Om het maandelijks af te betalen bedrag bij een consumentenkrediet te berekenen, beschouw je

• het JKP als een reële jaarlijkse rentevoet, die je omzet naar een gelijkwaardige maandelijkse rentevoet;

• de afbetalingen als termijnbedragen van een annuïteitslening, met het geleende bedrag gelijk aan het kredietbedrag.

Vóór de wet van 1991 gebruikte men het begrip lastenpercentage om de maandelijkse termijnbedragen van een consumentenkrediet te berekenen. Dat lastenpercentage was niet te vergelijken met de maandelijkse rentevoet (die men soms ook ‘lastenpercentage’ noemt) die je nu hanteert.

Neem het voorbeeld van hierboven. Het geleende bedrag is 30 000 euro en de looptijd is 48 maanden. Stel het lastenpercentage L = 0,27 %.

De berekening ging als volgt:

• Elke maand los je hetzelfde kapitaal af:

V n = 30 000 48 = 625

• De maandelijkse intrest is:

I = 30 000 ? 0,002 7 = 81

• De mensualiteit is 625 + 81 = 706 (euro).

©VANIN

Dat was dus een zeer misleidende manier van berekenen, omdat de intrest telkens opnieuw op het oorspronkelijke geleende kapitaal werd berekend.

Om het JKP te schatten, gebruikte men dan de formule JKP ≈ n n + 1 24 L

Hier wordt dat dan: JKP ≈ 48 49 24 0,27 % ≈ 6,35 % (!)

122 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6
• V = • n = • JKP = i = • i 12 = • a = V i u 12 n u 12 n – 1 = =
VIDEO

6.5 Voorbeelden

Verkoop op afbetaling

Bereken het termijnbedrag en de totale kosten van het krediet.

SMARTPHONE

Contant: 1 169 euro

Op afbetaling:

• Voorschot: 269 euro

• 12 maandelijkse betalingen

• JKP = 6,50 %

Lening op afbetaling

Bram is een echte fan van de Rode Duivels. Om zeker geen enkele match te missen op het voorbije WK 2022 in Qatar, had hij een verblijf van 4 weken geboekt en tickets gekocht voor 8 matchen. In totaal kostte dat hem 6 500 euro. Daarvoor is hij een lening op afbetaling van 5 000 euro aangegaan met een JKP van 8,50 % en 36 maandelijkse afbetalingen.

a) Bereken hoeveel hij elke maand afbetaalt.

©VANIN

b) Hoeveel intrest zal hij in die 3 jaar hebben betaald?

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 123
• V = • n = • JKP = i = • i 12 = • a = V i ? u 12 n u 12 n – 1 = = • n a – V =

Oefeningen

REEKS B

1 Julia gaat een lening op afbetaling aan van 2 500 euro. De looptijd is 18 maanden en het JKP is 8 %.

Bereken het maandelijks af te betalen bedrag en de kostprijs van de lening.

2 Controleer de juistheid van de aanvraag tot lening op afbetaling.

Kies je bedrag: € 17 000 - +

Kies je aflossing:

3 Omdat ze een nieuwe keuken willen installeren, gaan Louis en Louisa een lening op afbetaling van 20 000 euro aan.

De looptijd is 60 maanden en het JKP bedraagt 4,50 %.

Bereken het maandelijkse termijnbedrag en het totale bedrag aan intresten.

©VANIN

124 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6
€ 269,65 84 maanden € 302,65 72 maanden € 341,62 60 maanden € 411,99 48 maanden € 455,12 42 maanden € 552,50 36 maanden € 602,40 30 maanden € 744,22 24 maanden € 1 453,69 12 maanden
aanvraag:
000 Maandelijkse aflossing: € 269,65 Looptijd: 84 maanden JKP: 8,90 % Terug te betalen bedrag: € 22 649,76 Dien je aanvraag in >
Overzicht van je
Bedrag:
17

4 Farahnaz koopt een nieuwe auto. De contante waarde bedraagt 38 500 euro.

Ze betaalt een voorschot van 20 % en zal het krediet afbetalen met 72 maandelijkse afbetalingen. Het JKP bedraagt 3,40 %.

Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

5 Een dashboardcamera kost contant 221 euro. Je kunt die bestellen bij een grote onlinewinkel. Zij stellen 6 maandelijkse afbetalingen voor met een JKP van 10,50 %.

Je hoeft geen voorschot te betalen.

Hoeveel zal die dashcam uiteindelijk meer kosten?

6 Hoeveel kost deze laptop contant?

©VANIN

• Voorschot: 750 euro

• 30 maandelijkse betalingen van 115,28 euro

• JKP = 9 %

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 125

7 Op een bepaalde website kun je een opblaasbare jacuzzi op krediet kopen. Er wordt geen voorschot gevraagd en je betaalt 24 keer 43,42 euro. Er staat bij vermeld dat de totale kosten van het krediet 142,08 euro bedragen.

Bereken het JKP met ICT. Rond af op 0,01 %.

8 Xavi en Natalia willen een nieuw salon kopen. De contante waarde is 2 950 euro. De verkoper biedt twee mogelijkheden aan:

• Bij contante betaling krijgen ze 10 % korting.

• Bij aankoop op afbetaling is er een voorschot van 450 euro en zijn er 24 maandelijkse termijnbedragen tegen 0 % JKP.

Bereken met ICT het eigenlijke JKP. Houd rekening met de korting bij contante betaling. Rond af op 0,01 %.

©VANIN

126 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6

REEKS C

9 Sommige kredietverstrekkers maken reclame voor Light Car Financiering.

Je betaalt maandelijks een kleinere som af en op het einde van de looptijd betaal je een zogenoemde ‘restwaarde’.

Je ziet een simulatie voor een krediet van 28 000 euro met een looptijd van 60 maanden en een JKP van 4,39 %.

a) Onderzoek welke berekeningen men heeft gemaakt.

351,88 euro/maand

Totaal terug te betalen bedrag: 32 312,80 euro

Op het einde van het contract

moet u nog het restbedrag

betalen: 11 200,00 euro

Contacteer uw kredietspecialist

b) Bereken of deze oplossing goedkoper is dan een financiering met 60 gelijke afbetalingen en hetzelfde JKP.

©VANIN

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 127

10 Willy en Mariette willen een nieuwe keuken installeren. De keukenbouwer begroot de kosten op 22 500 euro, alles inbegrepen. Voor de betaling ervan kunnen ze 5 000 euro eigen middelen gebruiken. Het resterende bedrag lenen ze bij de bank. Die stelt hun een looptijd voor van 48 maanden en een JKP van 4,50 %.

a) Hoeveel moeten ze maandelijks afbetalen?

b) Bereken hoeveel kapitaal en hoeveel intrest ze betalen bij de twintigste afbetaling.

c) Na 34 afbetalingen hebben ze onvoorziene kosten, waardoor het voor hen moeilijk wordt om het maandelijkse termijnbedrag te blijven betalen. De vrederechter kent hun daarvoor betalingsfaciliteiten toe: de leningsduur wordt met 2 jaar verlengd. Hoeveel moeten ze vanaf nu maandelijks afbetalen?

d) Hoeveel meer intresten zullen ze uiteindelijk op die manier betalen?

128 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6
©VANIN

STUDIEWIJZER Consumentenkrediet

6.1 Soorten consumentenkrediet voor de leerling

Het verschil uitleggen tussen een verkoop op afbetaling, een lening op afbetaling, een kredietopening, een krediet gekoppeld aan een kredietkaart en een financieringshuur.

6.2 Begrippen

De begrippen ‘kredietbedrag’, ‘looptijd’, ‘termijnbedrag’, ‘jaarlijks kostenpercentage’ en ‘kostprijs van een lening’ uitleggen.

6.3 Looptijd en jaarlijks kostenpercentage

Het jaarlijks kostenpercentage (JKP) drukt uit, in procent, hoeveel intrest en kosten er jaarlijks worden betaald bij een consumentenkrediet.

6.4 Berekening

van het maandelijkse termijnbedrag

Om het maandelijks af te betalen bedrag bij een consumentenkrediet te berekenen, beschouw je

• het JKP als een reële jaarlijkse rentevoet, die je omzet naar een gelijkwaardige maandelijkse rentevoet;

• de afbetalingen als termijnbedragen van een annuïteitslening, met het geleende bedrag gelijk aan het kredietbedrag.

Het kredietbedrag berekenen als de contante waarde en het voorschot gegeven zijn.

Het termijnbedrag berekenen bij een consumentenkrediet als het kredietbedrag, de looptijd en het JKP gegeven zijn.

De kostprijs van een krediet berekenen.

Met ICT het JKP berekenen als het kredietbedrag, het termijnbedrag en de looptijd gegeven zijn.

de leerkracht

FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 129
KUNNEN –  + –  +
voor
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
©VANIN

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Vul het rooster zo in dat de uitkomst van elke horizontale en elke verticale som telkens 33 is. De negen in te vullen getallen moeten opeenvolgende natuurlijke getallen zijn, te beginnen bij 7.

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

2. Op de zijden van een rechthoek met oppervlakte 11 construeer je twee vierkanten. De som van de oppervlakten van die twee vierkanten is 71. Wat is het verschil tussen de lange en de korte zijde van de rechthoek?

3. Mieke, Lotte, Jef, Leo en Fleur zijn de 5 kinderen van Stijn.

Stijn heeft in totaal 15 kleinkinderen.

Mieke is de tante van 13, Lotte de tante van 12, Jef de nonkel van 11 en Leo de nonkel van 10 van die kleinkinderen. Hoeveel kinderen heeft Fleur?

A) 1 B) 2C) 3D) 4E) 5 JWO, editie 2020, eerste ronde

A) 11 2 B) 6 C) 13 ___ 2 D) 7E) 15 ___ 2 VWO, editie 2021, eerste ronde

130 FINANCIËLE ALGEBRA I HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET 1 2 3 4 5 6
Pienter problemen oplossen
+ + = 33 +++ + + = 33 +++ + + = 33 === 333333
©VANIN

EXTRA LEERSTOF

©VANIN

Overzicht Extra Leerstof bestandsnaam hoofdstuk pagina ❑ Simulatie van de kosten bij de aankoop van een woning in Vlaanderen 5 81 ©VANIN

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.