Pienter 4 - XL 5u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 en 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 Waarheidstabellen

Hoofdstuk 2 Tweedegraadsvergelijkingen

Hoofdstuk 3 Functies ����(����) = ���� ����

Hoofdstuk 4 Deelbaarheid bij veeltermen

Hoofdstuk 5 Goniometrie

Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 7 Tweedegraadsfuncties

Hoofdstuk 8 Telproblemen

Hoofdstuk 9 Analytische meetkunde

Hoofdstuk 10 Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 11 Grafen

Hoofdstuk 12 Transformaties van elementaire functies op voor

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

1.1

Inleiding

Stel dat je met twee vrienden een terrasje doet. Je vrienden bestellen een cola en jijzelf een fruitsapje. Als de ober bij het serveren zichzelf moeite wil besparen, vraagt hij eerst voor wie het fruitsap is. Op die manier kan hij besluiten voor wie de cola’s zijn. Logisch, toch?

Redeneren is een vorm van denken waarbij je besluiten trekt uit allerhande uitspraken. Als je, in de wiskunde of elders, een besluit (conclusie) afleidt uit een aantal gegevens (premissen), dan vormen de opeenvolgende stappen die van de gegevens tot het besluit leiden, een redeneerproces

Logica is het onderdeel binnen de wiskunde dat zich bezighoudt met de leer van het redeneren. Het woord ‘logica’ stamt af van het Griekse woord logos, dat ‘rede’ betekent.

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) was een Griekse filosoof en wetenschapper die, samen met Socrates en Plato, wordt beschouwd als een van de invloedrijkste filosofen in de westerse traditie. Hij wist de leer van de logica te systematiseren.

In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, maakte hij een onderscheid tussen de leer van de bewering, de definitie, de gevolgtrekking en het wetenschappelijk bewijs.

Centraal in zijn theorie staan de zogenaamde syllogismen, logische redeneringen waaruit je een conclusie afleidt.

Een van zijn bekendste syllogismen is het volgende: Alle mensen zijn sterfelijk. (eerste premisse) Socrates is een mens. (tweede premisse) Socrates is sterfelijk. (conclusie)

De leer van Aristoteles domineerde tweeduizend jaar lang de wetenschappelijke manier van redeneren in de westerse wereld. Zijn teksten werden, zelfs nog tot honderden jaren na zijn dood, door andere filosofen weerlegd, aangevuld, bewerkt en bediscussieerd.

Voorbeelden

Is de redenering waar of onwaar? Als ze onwaar is, geef dan een korte verklaring.

a) De afstandsbediening of de televisie werkt niet.

De televisie werkt wel, dus is het de afstandsbediening die niet werkt.

b) Het schilderij hangt niet in het museum als het gestolen is. Het schilderij hangt niet in het museum. Dus het is gestolen.

c) Ik kan in mijn jas en mijn jas kan in mijn boekentas. Ik kan dus in mijn boekentas.

waaronwaar

1.2 Proposities en connectieven

1.2.1

Proposities

Propositielogica is een tak binnen de wiskunde die zich bezighoudt met het redeneren met uitspraken die ofwel waar, ofwel onwaar zijn. Zulke uitspraken noem je proposities.

Voorbeelden van proposities

• Een gelijkbenige driehoek heeft minstens twee even grote hoeken. (waar)

• De aarde is een planeet. (waar)

• 12 – 8 = 5 (onwaar)

• De maand februari telt 30 dagen. (onwaar)

Definitie Propositie

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De volgende zinnen zijn geen proposities.

• Is er leven op Saturnus? Een vraagstelling is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of ze waar of onwaar is.

• Doe de deur dicht! Een bevel of zin in de gebiedende wijs is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of hij waar of onwaar is.

• Je hebt een mooie trui aan. Een subjectieve uitspraak of mening heeft betrekking op de persoonlijke smaak en voorkeur. Subjectieve uitspraken zijn geen proposities.

• n is een priemgetal. De uitspraak ‘n is een priemgetal’ is soms waar (n = 5) en soms onwaar (n = 8). De uitspraak is geen propositie, omdat je de waarde van n niet kent.

Voorbeelden

Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

Proefversie©VANIN

h)Ga naar je kamer! rrr Proefversie©VANIN

propositie geen propositie verklaring wo

a)1 + 1 = 2 rrr

b)Het is warm vandaag. rrr

c)De hoofdstad van Frankrijk is Parijs. rrr

d)3 is kleiner dan 2. rrr

e)Is 0 het kleinste natuurlijk getal? rrr

f)19 is een priemgetal. rrr

g)Anderlecht is beter dan Club Brugge. rrr

Het is in de omgangstaal niet altijd eenvoudig om de juiste woorden te vinden om een welbepaalde redenering weer te geven. Bovendien heeft iedereen een eigen taalgevoel.

Zo kan de ontvanger een boodschap soms anders interpreteren dan de zender bedoelde.

Stel, je belooft aan een kind het volgende: Alsjebraafbent,dankrijgjeeenzuurtjeofeenstukchocoladecake.

Wat kan het kind precies verwachten?

Kan het, als het braaf is, een zuurtje én een stuk chocoladecake krijgen?

Mag het, als het braaf is, zelf kiezen tussen een zuurtje of een stuk chocoladecake?

Krijgt het ook iets als het niet braaf is, of is dat uitgesloten?

Wat als het een heel klein beetje niet braaf is? Hoe braaf moet het eigenlijk zijn om iets te krijgen?

Om dergelijke onduidelijkheden te vermijden, stel je proposities voor in symbolentaal.

Een propositie stel je voor door een kleine letter: p, q, r

Als een propositie waar is, geef je dat weer met het getal 1.

Als een propositie onwaar is, geef je dat weer met het getal 0.

Je noemt de waarde 1 of 0 de waarheidswaarde van een propositie.

Samengestelde proposities verbinden enkelvoudige proposities met een connectief. benaming connectief je leest: de negatie ¬ niet de conjunctie

en de disjunctie

of de implicatie

als … dan de equivalentie

als en slechts als

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

Voorbeelden

p: Je bent braaf.

q: Je krijgt een zuurtje.

r: Je krijgt een stuk chocoladecake.

Formuleer in woorden.

¬p q ˄ r q ˅ r p ⇒ q p ⇔ q

Voor samengestelde proposities hangt de waarheidswaarde af van de waarheidswaarde van de verschillende enkelvoudige proposities (deeluitspraken).

Die waarheidswaarde bepaal je met waarheidstabellen.

Oefeningen

REEKS A

1 Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

propositie geen propositie verklaring wo

a)2 is het kleinste priemgetal. rrr

b)Je ziet er goed uit vandaag. rrr

c)Had dan gezwegen! rrr

d)Je wiskundeleerkracht is de beste leerkracht van de school. rrr

e)3 2 + 4 2 = 5 2 rrr

f)Een schildpad is een amfibie. rrr

g)Is Einstein geboren in de 20e eeuw? rrr

h)Ik ben getrouwd met het mooiste meisje van de wereld. rrr

i)De Duitse vlag bestaat uit de kleuren zwart, geel en blauw. rrr

j)Een jachtluipaard is het snelste landdier ter wereld. rrr

k)Een parallellogram heeft juist één paar evenwijdige zijden. rrr

l)Houd je mond! rrr

m)Een oneven macht van een negatief grondtal is altijd negatief. rrr

n)Hoe oud is jouw broer? rrr

o)Ik vind cola het lekkerst. rrr

p)De zon is groter dan de maan. rrr

q)Elke mens is sterfelijk. rrr

r)9 is een deler van 378. rrr

s) n is een even getal. rrr

t)(–7)–1 = 7 rrr

1.2.2 Negatie van een propositie

p: Pieter speelt voetbal.

q: Pieter speelt geen voetbal.

Beide uitspraken kunnen niet tegelijkertijd waar of onwaar zijn. Als de eerste propositie waar is, is de tweede propositie onwaar. Als de eerste propositie onwaar is, is de tweede propositie waar.

Je zegt dat q de negatie is van p

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

Het teken ¬ noem je het negatieteken.

Het negatieteken ¬ gaat, anders dan in de gewone omgangstaal, vooraf aan de uitspraak waarop het betrekking heeft. De propositie ‘Pieter speelt geen voetbal’ noteer je dus als volgt: ¬p

De negatie is eigenlijk een speciaal connectief.

Bij een negatie zijn er geen twee deeluitspraken, maar maak je van één propositie een iets complexere propositie. In de meeste naslagwerken over logica wordt de negatie wel als een connectief beschouwd.

De formule ¬p is waar als p onwaar is, en omgekeerd.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Negatie

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Voorbeelden

Formuleer de volgende proposities in woorden.

p: 9 is een oneven getal. ¬p:

q: De deur staat open. ¬q:

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten. ¬r:

s: De hoofdstad van Spanje is Barcelona. ¬s:

1.2.3 Conjunctie van twee proposities

p: Jules eet graag frietjes.

q: Marie eet graag stoofvlees.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees. Je noemt die nieuwe uitspraak de conjunctie van p en q

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q Het teken ˄ noem je het conjunctieteken.

Voor de conjunctie heb je een grotere waarheidstabel nodig. Er zijn namelijk vier mogelijke combinaties voor de waarheidswaarden van twee proposities p en q

De propositie ‘Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees’ kan enkel waar zijn als beide deeluitspraken p en q waar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Conjunctie

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

De propositielogica brengt enkele beperkingen met zich mee en kan niet alle nuances uit de omgangstaal weergeven. De zin ‘Jules en Marie gaan op reis’ kun je opsplitsen in ‘Jules gaat op reis’ en ‘Marie gaat op reis’. Daaruit blijkt niet of ze samen op reis gaan. Zo zit er ook een beperking in de weergave van de chronologie. In de spreektaal geeft ‘en’ vaak een tijdsvolgorde aan. Uit de zin ‘Jules kwam binnen en deed het licht aan’ kun je afleiden dat Jules binnenkwam alvorens hij het licht aandeed. Als er staat ‘Jules deed het licht aan en kwam binnen’, krijgt de zin een andere betekenis. Dat soort bijzonderheden kun je moeilijk uitdrukken in de propositielogica.

1.2.4 Disjunctie van twee proposities

p: Wassim gaat met de fiets naar school.

q: Nikolay gaat met de bus naar school.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school.

Je noemt die nieuwe uitspraak de disjunctie van p en q

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

Het teken ˅ noem je het disjunctieteken.

De propositie ‘Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school’ kan enkel onwaar zijn als beide deeluitspraken p en q onwaar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Disjunctie

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Een waarheidstabel van een enkelvoudige propositie p bevat twee mogelijke

waarheidswaarden: 1 of 0.

Een waarheidstabel van twee proposities p en q bevat vier mogelijkheden.

Beide proposities kunnen waar of onwaar zijn, p kan waar zijn en q onwaar, of omgekeerd.

Een waarheidstabel met drie proposities p, q en r bevat acht mogelijkheden.

Een waarheidstabel met vier proposities p, q, r en s bevat zestien mogelijkheden.

Algemeen wordt het aantal mogelijkheden in een waarheidstabel met n proposities bepaald door de formule 2 n

Besluit

Inclusieve disjunctie

• Personen die behoren tot de leeftijdscategorie 65+ of die behoren tot een van de risicogroepen, krijgen voorrang bij de inenting tegen COVID-19 en tegen de griep. Zal een persoon met diabetes uit de leeftijdscategorie 65+ ook voorrang krijgen?

• Personen uit de leeftijdscategorie 60+ of personen met een beperking krijgen korting bij de aankoop van een inkomticket voor de Efteling. Krijgt een man van 64 jaar met een beperking ook korting?

‘Of’ betekent in deze voorbeelden ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Je noemt die ‘of’ de inclusieve of

Proefversie©VANIN

In de logica gebruik je de inclusieve of ‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Exclusieve disjunctie

In de omgangstaal heeft het woord ‘of’ vaak een andere betekenis.

Een leerkracht laat zijn leerlingen de keuze:

De toets gaat maandag door of de toets gaat dinsdag door.

Geen enkele leerling verwacht de toets op zowel maandag als dinsdag.

‘Of’ betekent hier ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Je noemt die ‘of’ de exclusieve of.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

Een andere notatie voor de exclusieve of is: p ⊕ q

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

d)Wil je melk of suiker bij jouw koffie? Proefversie©VANIN

Voorbeelden

Welke ‘of’ wordt gebruikt? Vul in met ‘inclusief’ of ‘exclusief’.

a) 2 is een rationaal getal of een irrationaal getal.

b)Mensen met een hond of een kat moeten hun huisdieren binnenhouden bij oudjaar.

c)Je kunt kiezen tussen de studierichtingen wetenschappen of economie.

1.2.5 Implicatie van twee proposities

p: Het regent.

q: De straten worden nat.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: als het regent, dan worden de straten nat.

• ‘Het regent’ noem je het antecedens

• ‘De straten worden nat’ noem je het consequens

Je noemt die nieuwe uitspraak een implicatie

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

Het teken ⇒ noem je het implicatieteken.

De uitspraak is waar als het regent en de straten nat worden.

De uitspraak is onwaar als het regent en de straten niet nat worden.

Maar wat als het niet regent? De straten kunnen dan nog altijd nat worden, omdat het bijvoorbeeld sneeuwt of hagelt. Ook in dat geval is de uitspraak dus waar.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Implicatie

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Opmerking

Bij een implicatie mag je de twee proposities niet zomaar van plaats wisselen.

De uitspraak ‘als je jarig bent, dan krijg je een ruiker bloemen’ heeft een andere betekenis dan ‘als je een ruiker bloemen krijgt, dan ben je jarig’.

Voorbeeld

p: Julia snijdt uien. q: Julia moet huilen.

a) Formuleer de propositie in woorden.

p ⇒ q:

b) Wanneer is die uitspraak waar? Leg uit.

1.2.6 Equivalentie van twee proposities

p: Een driehoek is gelijkzijdig.

q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft. Je noemt die nieuwe uitspraak een equivalentie

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q Het teken ⇔ noem je het equivalentieteken.

De uitspraak is waar als de driehoek gelijkzijdig is en drie even grote hoeken heeft. De uitspraak is ook waar als de driehoek niet gelijkzijdig is en geen drie even grote hoeken heeft (denk aan een willekeurige driehoek met hoeken van 50º, 60º en 70º).

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie

Equivalentie

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Een equivalentie wordt ook weleens een bi-implicatie genoemd, omdat de implicatie in beide richtingen geldt.

De uitspraak ‘als er vrede is, dan is er geen oorlog’ (⇒) geldt ook in de andere richting: ‘als er geen oorlog is, dan is er vrede’ (⇐).

Je kunt dus stellen dat p ⇔ q.

1.2.7 Overzicht

Vul de waarheidstabel bij de verschillende connectieven aan.

1.2.8 Volgorde van de connectieven

Net als bij de volgorde van de bewerkingen, interpreteer je eerst de connectieven binnen de haakjes. Daarna geldt een afnemende prioriteit van de connectieven: ¬, ˄, ˅, ⇒, ⇔

Dat wil zeggen dat je ¬ altijd eerst interpreteert, daarna ˄ enzovoort.

Algemeen

Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels (van links naar rechts): ( ) , ¬ , ˄ , ˅ , ⇒⁄⇐ , ⇔

Voorbeeld

Als Veerle een blauwe broek draagt, dan draagt Nathalie geen rood T-shirt, en Sigrid draagt gele sokken als en slechts als Nathalie een rood T-shirt draagt.

a) Noteer de uitspraak in symbolen.

enkelvoudige proposities samengestelde propositie

p: q: In symbolen:

r:

Je interpreteert de twee deeluitspraken binnen de haakjes elk afzonderlijk.

In de deeluitspraak (p ⇒ ¬q) interpreteer je eerst ¬q, omdat ¬ voorrang heeft op ⇒

b) Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN Proefversie©VANIN

c) Wanneer is de uitspraak waar?

Oefeningen

REEKS A

2 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Het regent.

q: De zon schijnt.

a) p ˄ q

b) q ˅ r

c) p ⇒ r

d) ¬p ⇒ q

REEKS B

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten.

Proefversie©VANIN

3 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Dieter is ziek.

r: Dieter gaat naar school.

q: Dieter maakt zijn huiswerk. s: Mama gaat werken.

a) ¬p ⇒ r

b) r ⇔ s

c) ¬q ⇒ ¬r

d) ¬p ˄ q ⇒ r

e) ¬s ˄ ¬q ⇒ p

4 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Kevin geeft een pass aan Romelu. s: Dries trapt een hoekschop.

q: Romelu maakt een doelpunt. t: De scheidrechter fluit af.

r: Thibaut trapt de bal uit.

a) s ˄ p ⇒ q

b) r ⇒ t

c) ¬p ⇒ ¬q

d) ¬t ˄ r ⇒ q

e) s ˅ r ⇒ ¬t

5 Formuleer de enkelvoudige proposities in woorden. Noteer vervolgens de samengestelde propositie in symbolen.

a) Katleen of Mario komt naar het feest.

p:

q:

b) Jaouad speelt piano, maar Bart niet.

p:

q:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

In symbolen:

c) De zon schijnt en er is veel wind, maar het regent niet.

p:

q: r:

In symbolen:

d) Amina speelt graag badminton, maar traint niet graag.

p:

q:

e) Gianni kent Engels noch Duits.

p:

q:

In symbolen:

In symbolen:

f) Als An niet slaagt voor haar rijexamen, komt ze niet met de auto naar school.

p:

q:

In symbolen:

g) Als Iwan blij is, is Sofia dat niet en als Iwan niet blij is, is Sofia dat wel.

p:

q:

In symbolen:

6 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Je slaagt voor het proefwerk wiskunde.

q: Je maakt elke oefening in de cursus.

r: Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving. in symbolen

Proefversie©VANIN

a)Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving, maar je maakt niet elke oefening in de cursus.

b)Je behaalt een onvoldoende op het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de cursus maakt.

c)Elke oefening in de cursus of elke extra oefening in de elektronische leeromgeving maken, volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.

d)Het is niet waar dat je een onvoldoende behaalt voor het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de elektronische leeromgeving maakt.

7 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Jef speelt piano.

q: Myra speelt harp.

r: Hanneke speelt dwarsfluit.

s: Layla speelt klarinet. in symbolen

a)Als Jef geen piano speelt en Myra geen harp speelt, dan speelt Hanneke dwarsfluit.

b)Als Layla klarinet speelt of als Hanneke dwarsfluit speelt, dan speelt Myra geen harp.

c)Hanneke speelt geen dwarsfluit als en slechts als Layla geen klarinet speelt.

d)Layla speelt klarinet als Myra geen harp speelt.

e)Jef speelt geen piano en Myra speelt geen harp als Hanneke geen dwarsfluit speelt.

8 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

a) Als de maan van kaas is, dan dansen er muizen op de maan.

p:

q: pq

b) 5 is een priemgetal of 5 is een even getal.

p:

q: pq

c) Het is niet waar dat (–2)2 = 4.

p:

q: p

d) Als 3² = 9, dan 6 – 2 = 3.

p:

q: pq

In symbolen:

De uitspraak is

Proefversie©VANIN

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

e) Als het niet waar is dat de zon groter is dan de aarde, dan is elke smurf geel.

p:

q: pq

f) 2 = 5 als en slechts als 1 = –13.

p:

q: pq

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

9 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

p: 7 > 18

q: 18 is een even getal.

a) p ⇒ q

De uitspraak is

b) ¬r ˄ q

De uitspraak is

c) s ⇔ p

De uitspraak is

d) (p ⇒ s) ˅ (s ⇒ p)

De uitspraak is

e) (p ⇔ q) ˄ ¬r

De uitspraak is

f) (p ˄ ¬q) ˅ r

r: 11 0 = 1

s: 3 ∈ q

Proefversie©VANIN

De uitspraak is

10 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬p ˄ q

d) p ⇒ ¬q

Proefversie©VANIN

b) p ˅ ¬q

e) ¬(p ⇒ q)

c) ¬(p ˅ q)

f) ¬p ⇔ q

11 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬(p ˄ ¬q)

b) (p ⇒ q) ˅ ¬q

12 De ouders van Yassine doen vlak voor de proefwerken de volgende ware uitspraak: ‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone.’

Yassine krijgt na de proefwerken een nieuwe smartphone. Kun je daaruit besluiten dat hij geslaagd was voor wiskunde?

p:

q:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

13 In een rechtszaak doet een rechter de volgende uitspraak: ‘De eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt de waarheid niet.’

Een advocaat is het niet eens met de rechter. Wat moet hij dan aantonen?

p:

q:

In symbolen:

14 Een leerkracht wiskunde zegt tegen zijn leerlingen: ‘Het is niet waar dat iemand in de klas een onvoldoende heeft, of het is wél waar dat er gespiekt werd tijdens de toets.’ Achteraf zegt de leerkracht dat hij een leugen vertelde. Wat kunnen de leerlingen daaruit besluiten?

p:

q:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

REEKS C

15 Als het in Knokke minstens 27 ºC én zonnig is, dan zit het strand overvol. Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol. Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag?

A)Als het minstens 27 ºC was, dan was het zonnig.

B)Als het minder dan 27 ºC was, dan was het zonnig.

C)Als het minder dan 27 ºC was, dan was het niet zonnig.

D)Het was minder dan 27 ºC en het was niet zonnig.

E)Het was minder dan 27 ºC of het was niet zonnig.

JWO,editie2015,tweederonde

16 Als het niet waar is dat KV Oostende de beker of de competitie wint, dan wint KV Oostende de Europa League.

a) Vul aan.

p: q: r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

pqr

In symbolen:

Proefversie©VANIN

c) Wanneer is die uitspraak waar?

17 Als Elise en Noa de waarheid niet spreken, dan is het niet waar dat Louiz liegt.

a) Vul aan.

p: q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is die uitspraak waar?

18 Als het niet waar is dat Eliane een hond of Wesley een cavia heeft, dan heeft Hendrik geen kat.

a) Vul aan.

p: q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN

c) Wanneer is die uitspraak waar?

19 Het is niet waar dat het niet waar is dat het vierkant rood of de driehoek groen is, als en slechts als het niet waar is dat de cirkel blauw of het vierkant rood is.

a) Vul aan.

p:

q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is die uitspraak waar?

1.3 Logische raadsels

Drie vrienden zouden graag naar Schoolrock Festival gaan, maar twijfelen een beetje. ‘Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat, en Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat.’ Wie gaat er naar Schoolrock?

Mogelijkheid 1: • Nummer de verschillende uitspraken.

• Zet alle mogelijkheden in een tabel.

• Schrap de mogelijkheden die strijdig zijn met het gegeven.

Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat. (1) Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat. (2)

FlorAnaïsSeppe

gaatgaatgaat

gaatgaatgaat niet

gaatgaat nietgaat

gaatgaat nietgaat niet

gaat nietgaatgaat

gaat nietgaatgaat niet

gaat nietgaat nietgaat

gaat nietgaat nietgaat niet

Mogelijkheid 2: • Zet de uitspraak om naar een propositie in symbolen.

p: Flor gaat.

Proefversie©VANIN

• Stel een waarheidstabel op.

q: Anaïs gaat. In symbolen: (q ⇒ p) ˄ (r ⇔ ¬p)

r: Seppe gaat.

Oefeningen

REEKS B

20 Als Stijn vanavond televisie mag kijken, dan mag Thibe geen televisie kijken. Oscar mag enkel televisie kijken als en slechts als Thibe geen televisie mag kijken. Wie mag er vanavond televisie kijken? Los op met een waarheidstabel.

p:

q: In symbolen:

r:

Proefversie©VANIN

21 Van drie beweringen A, B en C weet je het volgende:

• Als A waar is, dan zijn B en C waar.

• Als B waar is, dan is er van A en C ten minste één waar.

• Als C waar is, dan is A waar en B onwaar.

Welke van de beweringen A, B en C zijn waar?

Lijst de verschillende mogelijkheden op in een tabel.

22 Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen.

Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor.

Welke van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

A) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

B) De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

C) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

D) De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

E) De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

Proefversie©VANIN

JWO,editie2020,tweederonde

23 Vijf vrienden spelen een spel. Een van hen is de mol en liegt altijd. De anderen spreken altijd de waarheid.

• Wout zegt: ‘Maarten of Jens is de mol.’

• Lisa antwoordt: ‘De mol is een man.’

• Jens zegt: ‘Lisa is de mol niet en ik ook niet.’

• Maarten stelt: ‘De mol is een vrouw.’

• Inneke beweert: ‘Ik ben de mol niet.’

Wie is de mol?

A)WoutB)Lisa C)Jens D)MaartenE)Inneke

JWO,editie2020,tweederonde

24 Een van drie broers Kwik, Kwek en Kwak heeft geld gestolen uit de spaarpot van zijn ouders. Nadat de ouders hun zonen confronteren met de feiten, besluiten ze dat Kwik en Kwek de hoofdverdachten zijn. De drie broers doen de volgende uitspraken:

• Kwik: ‘Kwek is schuldig en Kwak is onschuldig.’

• Kwek: ‘Als Kwik schuldig is, dan is Kwak ook schuldig.’

• Kwak: ‘Ik ben onschuldig, maar minstens een van de anderen is schuldig.’ Stel dat de onschuldige broers de waarheid spraken en de schuldige loog, wie heeft er dan geld gestolen uit de spaarpot van zijn ouders?

Proefversie©VANIN

25 Een ridder moet kiezen tussen drie koffers. Hij weet dat er goud in juist één koffer zit en dat op maar één koffer een ware uitspraak staat. In welke koffer zit het goud?

26 In een bos wonen drie kabouters: Smul, Smal en Boemel. Kabouter Smul staat erom bekend om altijd de waarheid te spreken, en kabouter Smal om altijd te liegen.

Kabouter Boemel is een twijfelaar: hij liegt soms en spreekt soms de waarheid.

Tijdens een mooie wandeltocht door het bos kom je hen tegen en stel je de volgende vraag: ‘Wie van jullie is de oprechte kabouter, wie de leugenaar en wie de twijfelaar?’

De linkse kabouter wijst naar de middelste en zegt: ‘Hij is de oprechte.’

De rechtse kabouter wijst naar de linkse kabouter en zegt: ‘Hij is de oprechte.’

De middelste zwijgt. Wie is wie?

Proefversie©VANIN

27 Voor je liggen vier kaarten: een 5, een 8, een blauwe kaart en een groene kaart.

Boven de kaarten staat: ‘Als een kaart een even getal heeft op één kant, dan is de andere kant van die kaart blauw.’

Welke kaart(en) moet je omdraaien om na te gaan of die uitspraak correct is?

Bron:www.nieuwsblad.be

1.4 Tautologieën en contradicties

1.4.1 Begripsvorming

Logische equivalentie

GEOGEBRA

Twee (enkelvoudige of samengestelde) proposities p en q zijn gelijkwaardig als en slechts als ze voor alle gevallen dezelfde waarheidswaarde hebben.

Je noemt de proposities logisch equivalent

Als je een equivalentieteken tussen twee gelijkwaardige proposities plaatst, verkrijg je altijd een ware uitspraak.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p is gelijkwaardig met q.

Tautologie

Als een getal oneven en een priemgetal is, dan is het getal oneven.

p: Een getal is oneven.

In symbolen: q: Een getal is een priemgetal.

Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een tautologie

Definitie Tautologie

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Contradictie

Een reëel getal is rationaal en irrationaal.

p: Een reëel getal is rationaal. In symbolen:

Vul de waarheidstabel aan.

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een contradictie

Definitie Contradictie

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

1.4.2 De wet van de uitgesloten derde

‘Elk getal is even of oneven’ is altijd een ware uitspraak. Er is geen derde mogelijkheid. p: Elk getal is even.

te bewijzen p ˅ ¬p is een tautologie.

bewijs p¬pp ˅ ¬p 1 0

Besluit Wet van de uitgesloten derde p ˅ ¬p

1.4.3 De wet van de dubbele negatie

‘De zon schijnt’ is gelijkwaardig met ‘het is niet waar dat de zon niet schijnt’. p: De zon schijnt.

te bewijzen p ⇔ ¬(¬p) bewijs

Proefversie©VANIN

Besluit Wet van de dubbele negatie

⇔ ¬(¬p)

1.4.4 Een implicatie noteren als een disjunctie

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone’ is gelijkwaardig met ‘je slaagt niet voor wiskunde of je krijgt een nieuwe smartphone’. p: Je slaagt voor wiskunde. q: Je krijgt een nieuwe smartphone.

te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

bewijs pqp ⇒ q¬p ¬p ˅ qp ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q 11 10 01 00

Besluit Een implicatie noteren als een disjunctie p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

1.4.5 Een equivalentie noteren als een conjunctie

‘Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft’ is gelijkwaardig met

‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot en als alle hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig’.

p: Een driehoek is gelijkzijdig. q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken. te bewijzen

bewijs

11 10 01 00

Besluit Een equivalentie noteren als een conjunctie

1.4.6 De wet van de contrapositie

‘Als het regent, dan worden de straten nat’ is gelijkwaardig met ‘als de straten niet nat worden, dan regent het niet’.

p: Het regent. q: De straten worden nat.

bewijzen

11 10 01 00

Proefversie©VANIN

Besluit Wet van de contrapositie

Opmerking

Een veelgemaakte fout is om te stellen dat p ⇒ q gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

Voorbeeld

p: n is een viervoud. q: n is een even getal.

a)Formuleer de proposities in woorden.

p ⇒ q:

¬p ⇒ ¬q:

b) Zijn die uitspraken waar of onwaar?

Proefversie©VANIN

Algemeen

Toon aan dat de propositie p ⇒ q niet dezelfde waarheidswaarden oplevert als ¬p ⇒ ¬q

pqp ⇒ qpq ¬p ¬q ¬p ⇒ ¬q

De twee uitspraken leveren niet dezelfde waarheidswaarden op. Je kunt dus besluiten dat p ⇒ q niet gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

In de omgangstaal betekent ‘als … dan …’ soms meer dan wat je strikt genomen zegt.

Als je vader zegt ‘Als je slaagt voor al je examens, dan krijg je een Nintendo Switch’, dan bedoelt hij (wellicht) impliciet ook ‘Als je niet slaagt voor al je examens, dan krijg je geen Nintendo Switch’.

Stel p: Je slaagt voor al je examens en q: Je krijgt een Nintendo Switch. Dan zegt je vader p ⇒ q, maar bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook ¬p ⇒ ¬q en zelfs q ⇒ p.

In de wiskunde kun je jezelf dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven en houd je je aan de regels van de logica.

1.4.7 De wetten van De Morgan

Voorbeeld 1

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt en dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano of Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano.

bewijs

q: Marie speelt harp.

Proefversie©VANIN

Je kunt besluiten dat de negatie van een conjunctie gelijk is aan de disjunctie van de negaties.

Voorbeeld 2

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt of dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano en Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano.

bewijs

q: Marie speelt harp.

Je kunt besluiten dat de negatie van een disjunctie gelijk is aan de conjunctie van de negaties

Besluit De wetten van De Morgan

Oefeningen

REEKS A

28 Vul de tabel aan.

implicatie contrapositie

a)Als ik ga werken, dan neem ik altijd de fiets.

b)

c)Als ik geslaagd ben voor mijn examen, dan geef ik een feestje.

d)

Proefversie©VANIN

Als de zon niet schijnt, dan is het donker.

Als ik niet volledig ontspannen ben, dan ben ik niet op vakantie.

e)Als Melissa mij een zoen geeft, dan krijg ik kriebels in mijn buik.

29 Gegeven: ‘Als de lift niet werkt, dan neem ik de trap.’

a) Stel dat die propositie waar is en ik de trap neem. Wil dat dan zeggen dat de lift kapot is?

p:

In symbolen: q: pq

b) Formuleer de contrapositie van die uitspraak in woorden.

30 Gebruik de wetten van De Morgan om de uitspraken om te vormen.

a) Het is niet waar dat Ariane tennis en basketbal speelt.

b) Het is niet waar dat Geert bruine of blauwe schoenen draagt.

c) Ik wil geen bruine suiker of geen siroop op mijn pannenkoek.

d) Maandag staat er geen toets gepland en dinsdag ook niet.

REEKS B

31 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

Proefversie©VANIN

a) p ⇒ (p ˅ q)

e) ¬p ⇒ (p ⇒ q)

b) (p ˄ q) ˅ p ⇔ p

f) (p ⇒ q) ˅ (q ⇒ p)

c) (p ˄ ¬p) ⇒ q

g) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

d) p ˄ q ⇔ q ˄ p

h) p ˄ (p ⇔ q) ⇒ q

32 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities contradicties zijn.

a) (p ⇒ q) ⇔ (p ˄ ¬q)

Proefversie©VANIN

b) (p ˄ q) ˄ (¬p ˅ ¬q)

33 Noteer de uitspraak eenvoudiger. Formuleer de wet waarop je steunt.

a) Het is niet waar dat jij geen leugenaar bent.

b) Als de elektriciteitsrekening niet betaald wordt vóór 31 maart, dan kunnen we geen televisie meer kijken.

c) Als ik niet mee kan op schoolreis, dan werden mijn kleren niet op tijd gewassen.

d) Het is niet waar dat het getal 2 niet het kleinste priemgetal is.

e) Als je naar de stad vertrekt met de auto, dan neem ik de bus, en als ik de bus neem, dan vertrek jij met de auto naar de stad.

f) Het is niet waar dat het niet waar is dat, als ik de weddenschap niet win, Club Brugge geen kampioen speelt.

34 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) (p ⇒ r) ˄ (q ⇒ r) ⇔ (p ˅ q ⇒ r)

Proefversie©VANIN

b) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

Net zoals je steunt op de eigenschappen van de bewerkingen in de getallenleer (commutatief, associatief …), gebruik je die eigenschappen ook in de propositielogica. Je kunt ze stuk voor stuk bewijzen met behulp van waarheidstabellen.

Enkele voorbeelden:

• De conjunctie is commutatief: p ˄ q ⇔ q ˄ p

• De equivalentie is associatief: [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)]

• De disjunctie is distributief ten opzichte van de conjunctie: p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r).

Het bewijs van die laatste eigenschap vind je in de voorgaande oefening.

1.5 Bewijstechnieken

1.5.1 Nodige en voldoende

voorwaarde

Eigenschap

Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

p: Een vierhoek is een ruit.

q: De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

Proefversie©VANIN

In symbolen: p ⇒ q

Het is voldoende dat een vierhoek een ruit is opdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, maar niet nodig, want er bestaan ook andere vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan (bv. een vlieger).

Het loodrecht op elkaar staan van de diagonalen is nodig opdat de vierhoek een ruit zou kunnen zijn.

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je q de nodige voorwaarde voor p

Besluit

Om een eigenschap te bewijzen, bewijs je de implicatie p ⇒ q Je neemt p als ‘gegeven’ en q als ‘te bewijzen’.

Kenmerk

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als de driehoek minstens twee even grote hoeken heeft. p: Een driehoek is gelijkbenig. In symbolen: p ⇔ q q: Een driehoek heeft minstens twee even grote hoeken.

Minstens twee even grote hoeken in een driehoek is een nodige (p ⇒ q) en een voldoende (p ⇐ q) voorwaarde voor gelijkbenigheid. Een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee gelijke hoeken, en omgekeerd zul je geen driehoek vinden met minstens twee gelijke hoeken die niet gelijkbenig is. Een eigenschap waarvan ook de omgekeerde eigenschap geldt, noem je een kenmerk of een (alternatieve) definitie.

Besluit Om een kenmerk te bewijzen, bewijs je de equivalentie p ⇔ q. Je bewijs bestaat uit twee stappen: je bewijst p ⇒ q en q ⇒ p

Oefeningen

REEKS B

35 Vul in met ‘voldoende’, ‘nodig(e)’ of ‘nodig(e) en voldoende’.

a) Opdat een driehoek gelijkzijdig is, is het dat hij gelijkbenig is.

b) Opdat een driehoek rechthoekig is, is het dat de stelling van Pythagoras geldt.

c) Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, is het dat het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.

d) Opdat een vierhoek een vierkant is, is het dat de vierhoek een parallellogram is.

e) Opdat twee driehoeken gelijkvormig zijn, is het dat de drie paar overeenkomstige zijden evenredig zijn.

f) Het middendoor snijden van de diagonalen is een voorwaarde opdat een vierhoek een vierkant is.

g) Opdat een lijnstuk een middenparallel is van een driehoek, is het om te stellen dat het lijnstuk evenwijdig is met en half zo lang is als de derde zijde.

h) Opdat een getal deelbaar is door 3, is het dat het getal deelbaar is door 9.

i) Dat een getal deelbaar is door 2 en ook door 3, is een voorwaarde opdat het getal deelbaar is door 6.

j) Opdat a en b snijdende rechten zijn, is het dat a en b loodrecht op elkaar staan.

Proefversie©VANIN

36 Vul de best passende pijl in. Kies uit: ⇒, ⇐, ⇔

a)Een getal is deelbaar door 3. Een getal is deelbaar door 6.

b)Twee driehoeken zijn congruent. Twee driehoeken hebben dezelfde oppervlakte.

c)Een driehoek is gelijkzijdig. Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

d) x + 2 = 4 x = 4 – 2

e)Een getal is een natuurlijk getal. Een getal is een geheel getal.

f) x ∈ r + x 2 ∈ r +

g)|PQ| = |QR| Q is het midden van [PR].

h)Een vierhoek is een rechthoek. Een vierhoek is een trapezium.

i) a is een irrationaal getal. a is een reëel getal.

j)De rechten a en b zijn evenwijdig. a = b

1.5.2 Rechtstreeks bewijs

Om een implicatie p ⇒ q te bewijzen, gebruik je in veel gevallen een rechtstreeks bewijs. Je vertrekt van het gegeven en steunt op definities, axioma’s en al bewezen eigenschappen om uit te komen bij wat je wilt bewijzen.

Definitie Rechtstreeks bewijs

Een rechtstreeks bewijs is een bewijs waarbij je een uitspraak bewijst door te steunen op definities, axioma’s en al bewezen eigenschappen.

Voorbeeld 1

gegeven

a < b met a, b ∈ r0 + te bewijzen

a 2 < b 2 bewijs

a < ba < b beide leden vermenigvuldigen met a ∈ r0 + beide leden vermenigvuldigen met b ∈ r0 +

a 2 < ab (1) ab < b 2 (2)

volgt uit (1) en (2) a 2 < ab < b 2

2 < b 2

besluit

Voorbeeld 2

Bewijs de volgende eigenschap: als drie natuurlijke getallen opeenvolgend zijn, dan is de som van die getallen altijd een drievoud.

gegeven

drie opeenvolgende getallen met n ∈ n te bewijzen bewijs

Proefversie©VANIN

besluit

1.5.3 Bewijs door tegenvoorbeeld

‘Alle kanaries zijn geel.’ Die uitspraak stelt dat een bepaalde eigenschap (geel) geldt voor alle kanaries. Als je één kanarie vindt die niet geel is, dan is die bewering ontkracht.

Elke rode kanarie zou dus een tegenvoorbeeld zijn van de bewering ‘alle kanaries zijn geel’.

Met een voorbeeld kun je een bepaalde bewering illustreren. Met een tegenvoorbeeld kun je een bepaalde bewering ontkrachten.

Definitie Tegenvoorbeeld

Proefversie©VANIN

Een tegenvoorbeeld is een uitzondering op een vooropgestelde regel.

Een tegenvoorbeeld is een specifiek geval van de falsificatie (= het vinden van een tegenbewijs) van de universele kwantor

Notatie: ‘∀’

Je leest: voor alle

Naast de universele kwantor bestaan ook deze kwantoren:

• de existentiële kwantor

Notatie: ‘∃’

Je leest: er bestaat

• de uniciteitskwantor

Notatie: ‘∃!’

Je leest: er bestaat juist één

Voorbeelden

• ∀ x ∈ r : x 2 – 9 = 0 is een onware uitspraak, omdat 2 een reëel getal is waarvoor geldt: 2 2 – 9 ≠ 0.

• ∃ x ∈ r : x 2 – 9 = 0 is een ware uitspraak, omdat 3 een reëel getal is waarvoor geldt: 3 2 – 9 = 0.

• ∀ a ∈ z, ∃! (–a) ∈ z : is een ware uitspraak, omdat elk geheel getal a + (–a) = –a + a = 0 juist één symmetrisch element voor de optelling heeft, namelijk zijn tegengestelde.

Zijn de volgende uitspraken waar of onwaar?

Geef een tegenvoorbeeld als de uitspraak onwaar is.

a)Als de diagonalen van een vierhoek loodrecht op elkaar staan, dan is de vierhoek een vierkant.

b)Elk priemgetal is oneven.

c)Alle vierkantswortels zijn irrationale getallen.

d)Alle getallen die deelbaar zijn door 4, zijn ook deelbaar door 2.

1.5.4 Bewijs uit het ongerijmde

Stel dat je voor een splitsing staat en weet dat een van de twee paden naar je vakantiebestemming leidt.

Je besluit het linkse pad te nemen, dat jammer genoeg na een tijd doodloopt.

Je keert terug en weet nu zeker dat het rechtse pad naar je bestemming leidt.

In het derde jaar bewees je dat 2 een irrationaal getal is.

Proefversie©VANIN

Definitie

Daarvoor ging je uit van de veronderstelling dat als 2 een rationaal getal was, je het kon schrijven als een onvereenvoudigbare breuk a b .

In het bewijs toonde je echter aan dat a en b even getallen zijn.

Als a en b even getallen zijn, kun je de breuk a b wél vereenvoudigen.

Je verkreeg een contradictie. Je kon daaruit besluiten dat je veronderstelling fout was.

Bewijs uit het ongerijmde

Een bewijs uit het ongerijmde is een bewijs waarbij je de negatie van het ‘te bewijzen’ neemt en die toevoegt aan de gegevens.

Je redeneert logisch verder tot je een contradictie verkrijgt.

Voorbeeld

Bewijs uit het ongerijmde dat er geen gehele getallen a en b bestaan waarvoor geldt dat 8a – 6b = 101.

gegeven

a, b ∈ z te bewijzen

8a – 6b ≠ 101 bewijs

Veronderstel dat er wél gehele getallen a en b bestaan waarvoor geldt dat 8a – 6b = 101.

Stap 1: 101 is een oneven getal.

Uit de gelijkheid 8a – 6b = 101 volgt dat 8a – 6b ook een oneven getal is. (1)

Stap 2: 8a – 6b = 2 ? (4a – 3b) de distributieve eigenschap

Je kunt concluderen dat 8a – 6b een even getal is. (2)

Uitspraak (2) is in tegenspraak met uitspraak (1). De veronderstelling moet dus fout zijn.

besluit

Er bestaan geen gehele getallen a en b waarvoor geldt dat 8a – 6b = 101.

Verklaring

De tegenspraak is hier van de vorm p ˄ ¬p en bijgevolg een contradictie p: 8a – 6b is een oneven getal. ¬p: 8a – 6b is een even getal. p ¬pp ˄ ¬p

1.6 Logische poorten

1.6.1 Logische poorten

Logische poorten zijn schakelingen of bouwstenen van elektronica. Ze zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten, zoals transistors, weerstanden en dioden.

Het belangrijkste kenmerk van logische poorten is dat ze meer dan één ingang kunnen bevatten, maar slechts één uitgang.

De verschillende poorten leveren lage of hoge spanningssignalen aan die uitgang. Die spanningssignalen stel je voor met 0 of 1.

Er zijn drie elementaire poorten

Proefversie©VANIN

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een andere naam voor een NIET-poort is ‘inverter’.

disjunctie (inclusieve OF)

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

Er bestaan verschillende systemen om poorten weer te geven:

• het ANSI-systeem (AmericanNationalStandardofIndustry), dat het meest gebruikt wordt;

• het IEC-systeem (InternationalElectrotechnicalCommission);

• het DIN-systeem (DeutscheInstitutfürNormung).

Met de drie elementaire poorten kun je nog andere poorten bouwen.

poort ANSI-symbool waarheidstabel verband met propositielogica

A B U

11 10 01 00 exclusieve OF A ˅ B = U

Proefversie©VANIN

11 10 01 00 negatie van de disjunctie ¬(A ˅ B) = U

11 10 01 00 negatie van de conjunctie ¬(A ˄ B) = U

1.6.2 Modeloefening 1

Een schakelaar en een drukknop werden verbonden met een lampje. Wanneer zal het lampje branden?

Het lampje zal branden als

Het lampje zal branden als

1.6.3 Modeloefening 2

Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

Proefversie©VANIN

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B uit staan en drukknop C niet is ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B aan staan en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, B uit staat en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C niet worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

Oefeningen

REEKS A

37 Onderzoek of het lampje zal branden.

Proefversie©VANIN

Het lampje zal

branden.

Het lampje zal wel/niet branden.

Het

38 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

Proefversie©VANIN

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C uit staan en drukknop B wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C aan staan en drukknop B niet wordt ingedrukt?

39 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan.

1.1 Inleiding

1.2 Proposities en connectieven

KENNEN

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

In de logica gebruik je meestal de inclusieve of.

‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

De exclusieve of betekent ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q

Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels: ( ), ¬, ˄

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in symbolen noteren.

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in woorden formuleren.

De waarheidswaarde van een (enkelvoudige of samengestelde) propositie bepalen met behulp van een waarheidstabel.

Vraagstukken oplossen met behulp van een waarheidstabel.

1.3 Logische raadsels

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Logische raadsels oplossen met behulp van een waarheidstabel.

Logische raadsels oplossen door een oplijsting te maken van de verschillende mogelijkheden.

1.4 Tautologieën en contradicties

KENNEN

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

Je kent de volgende logische wetten:

• de wet van de uitgesloten derde: p ˅ ¬p

• de wet van de dubbele negatie: p ⇔ ¬(¬p)

• de wet van de contrapositie: p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

Proefversie©VANIN

• de wetten van De Morgan: ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q ¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q

KUNNEN

De logische wetten gebruiken om proposities te herformuleren en/of eenvoudiger te schrijven.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een tautologie is.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een contradictie is.

Een implicatie noteren als een disjunctie en omgekeerd:

Een equivalentie noteren als een conjunctie en omgekeerd:

1.5 Bewijstechnieken

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q; q noem je de nodige voorwaarde voor p

Een rechtstreeks bewijs is een bewijs waarbij je een uitspraak bewijst door te steunen op definities, axioma’s en al bewezen eigenschappen.

Een tegenvoorbeeld is een uitzondering op een vooropgestelde regel.

Als je een uitspraak wilt bewijzen uit het ongerijmde, dan neem je de negatie van het ‘te bewijzen’ en voeg je die toe aan de gegevens. Je redeneert logisch verder tot je een contradictie verkrijgt.

1.6 Logische poorten

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

De waarheidswaarde bepalen van de uitgang (lamp) door de theorie van de logische poorten toe te passen.

De waarheidstabel van een logische schakeling opstellen.

De waarheidstabel van de verschillende logische poorten opstellen: NIET, OF, EN, XOF, NOF, NEN.

KENNEN

KUNNEN

Problemen uit JWO

1.De volgende uitspraak is onwaar: ‘Als de som van de cijfers van een natuurlijk getal n deelbaar is door 6, dan is n deelbaar door 6.’

Welk van de volgende waarden van n toont dat aan?

A) r 0 B) r 30 C) r 33 D) r 40 E) r 42

JWO,editie2016,eersteronde

Proefversie©VANIN

2.Een papierstrook wordt geplooid zodat er een hoek van 40º ontstaat, zoals op de figuur. Hoe groot is a? a

A) r 40º B) r 50º C) r 60º D) r 70º E) r 80º

JWO,editie2020,eersteronde

3. Voor alle positieve getallen x geldt dat 2 + 42x + 4x – 2 gelijk is aan …

A) r x B) r 2x C) r 2 x D) r 4 x E) r 22x

JWO,editie2018,eersteronde

HOOFDSTUK 2 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

Proefversie©VANIN

2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende 57

2.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 61

2.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen 71

2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking 84

2.5 Vraagstukken 91

2.6 Vergelijkingen herleidbaar tot tweedegraadsvergelijkingen 103

2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

2.1.1 Inleiding

Oplossing

Proefversie©VANIN

Werkwijze

Boer Jelle bakent een rechthoekig stuk weiland af met een lint van 134 meter.

Bereken de afmetingen van dat stuk weiland, als je weet dat de lengte 7 meter groter is dan de breedte.

• Keuze van de onbekende: Stel: de breedte is x

De lengte is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Een aantal probleemstellingen kun je oplossen met behulp van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Die techniek leerde je al in het tweede en derde jaar.

• Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Werk beide leden uit.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde dubbel zo lang als de andere.

Bereken de lengte van de twee rechthoekszijden, als je weet dat de oppervlakte 144 cm2 bedraagt.

Proefversie©VANIN

De bovenstaande probleemstelling kun je niet oplossen met een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Je stelt een vergelijking van de tweede graad in één onbekende op.

Oplossing

• Keuze van de onbekende: Stel: de kortste rechthoekszijde is x

De langste rechthoekszijde is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Aangezien een lengte een positief getal is,is slechts een van de verkregen oplossingen logisch, namelijk

2.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen

Definitie Tweedegraadsvergelijking

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r0 en b, c ∈ r

Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

Proefversie©VANIN

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn.

In dat geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking

Voorbeelden

a) Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen.

b) Noteer bij elke tweedegraadsvergelijking de coëfficiënten a, b en c

c) Duid met een kruisje aan welke tweedegraadsvergelijkingen volledig of onvolledig zijn.

2x 2 – 3x + 1 = 0

2.2.1 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0)

Inleiding

van een product naar een som van een som naar een product

Proefversie©VANIN

 (–x + 3) =

x (–10 + x) =

De distributieve eigenschap laat je toe om een gemeenschappelijke factor buiten de haakjes te plaatsen. Die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2 2x 2 – 7x = 0

x 2 – 16 x = 0 x (2x – 7) = 0 Een product is nul als een

x = 0 of 2x – 7 = 0

x = 0 of 2x = 7

x = 0 of x = 7 2 V = 0, 7 2

Let op!

Wat is er verkeerd aan de volgende methode?

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) op te lossen, kun je de gemeenschappelijke factor x afzonderen en elk van de factoren gelijkstellen aan nul.

2.2.2 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0)

Inleiding

van een product naar een som van een som naar een product

(x + 1) (x – 1) = x 2 – 9 =

(x – 6)  (x + 6) = 16 – x 2 =

(–4 – x)  (–x + 4) = –25 + x 2 =

Het merkwaardig product (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 laat je toe om het verschil van twee kwadraten te schrijven als een product.

Ook die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

9x 2 – 16 = 0

Proefversie©VANIN

methode 1

(3x + 4)  (3x – 4) = 0

methode 2

3x + 4 = 0 of 3x – 4 = 0 3x = – 4 of 3x = 4 x = –4 3 of x = 4 3 V = –4 3 , 4 3 {} 9x 2 = 16 x 2 = 16 9 x = –16 9 of x = 16 9 x = –4 3

Voorbeeld 2

3x 2 – 12 = 0

methode 1

3 x + 12 () 3 x – 12 () = 0

3 x + 12 = 0 of 3 x – 12 = 0

3 x = –12 of 3 x = 12

x = –12 3 of x = 12 3

x = –2 of x = 2

V = {–2, 2} 3x 2 = 12 x 2 = 4

methode 2

x = –4 of x = 4

x = –2 of x = 2 V = {–2, 2}

Voorbeeld 3

–2x 2 – 8 = 0

methode 1

–2x 2 – 8 = 0

Het linkerlid is geen verschil van twee kwadraten en dus niet ontbindbaar volgens deze methode.

V = [

methode 2

–2x 2 = 8

x 2 = –4

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

Proefversie©VANIN

V = [

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de volgende methodes:

• de formule van het verschil van twee kwadraten: a 2 – b 2 = (a + b) (a – b);

• de definitie van een vierkantswortel.

2.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0)

Voorbeeld

–2x 2 = 0

x 2 = 0

x = 0 V = {0}

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de definitie van een vierkantswortel. Er is telkens maar één oplossing: 0.

Een veelterm schrijven als het product van twee of meerdere factoren, noem je ontbinden in factoren

De veelterm 3x 2 + 5x kun je ontbinden in twee factoren en noteren als 3x 2 + 5x = x  (3x + 5).

Je noemt die veelterm ontbindbaar.

Oefeningen

REEKS A

1 Los de onvolledige vergelijkingen op door een gemeenschappelijke factor af te zonderen.

a)15x 2 – 3x = 0

b)5x 2 – 8x = 0

c)3x 2 + 4x = 0

e)4x – 12x 2 = 0

Proefversie©VANIN

d)–10x 2 + 6x = 0

f)–12x 2 – 15x = 0

g)81x 2 + 27x = 0

h)–25x 2 – 12x = 0

2 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. verschil van twee kwadraten

a)4x 2 – 9 = 0

b) x 2 – 16 = 0

c)36x 2 – 25 = 0

d)–1 + 49x 2 = 0

definitie vierkantswortel

Proefversie©VANIN

e)4 + 81x 2 = 0

3 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op.

a)3x 2 – 9x = 0

b)5x 2 – 20 = 0

c)2x 2 + 16 = 0

d)12x 2 + 4x = 0

e)–2x 2 + 5x = 0

g)–16x 2 = 4

Proefversie©VANIN

f)–25x 2 + 9 = 0

h)2x 2 = 9x

i)–16x 2 = –9

j)–4 – 3x 2 = 0

k)3x = –8x 2

l)–16x 2 = 4x

a) 2x 2 –1 2 = 0

f) 2 7 x 2 = 4x

Proefversie©VANIN

b) 3 4 x 2 + 1 2 x = 0

g) –9 8 + 1 2 x 2 = 0

c) –5 6 x 2 + 2 3 x = 0 h) 5 4 x 2 = –1 7 x 2

d) –1 5 x 2 – 4 = 0

i) –8 3 x 2 = 3 16

e) –5 3 x 2 = 0

j) –11 5 x 2 = 1 3 x

5 De lengte van een rechthoekig stuk land is driemaal de breedte.

De oppervlakte is 1 875 m2.

Bereken de afmetingen van dat stuk land.

Proefversie©VANIN

6 Een projectiel wordt vanaf de grond verticaal omhooggeschoten.

De hoogte h (in m) die het bereikt na t seconden wordt gegeven door de formule h = 90t − 5t 2

Na hoeveel seconden zal het projectiel opnieuw op de grond vallen?

7 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 243 m2 groter.

Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

8 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a)(x – 3) 2 = 25

–5  (x – 2) 2 – 20 = 0

Proefversie©VANIN

9 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

De Babyloniërs hebben ongeveer 4 000 jaar geleden een methode ontwikkeld om twee getallen te bepalen waarvan de som en het product gegeven zijn.

Voorbeeld: van twee getallen is de som 10 en het product 21. De getallen werden voorgesteld als 5 – x en 5 + x (twee getallen die even ver van 5 liggen), zodat geldt: (5 – x)  (5 + x) = 21.

Na uitwerking verkrijg je: 25 – x 2 = 21 of x 2 = 4.

Vermits de Babyloniërs nog geen negatieve getallen kenden, vonden ze: x = 2.

De twee gevraagde getallen zijn dus 3 en 7.

Proefversie©VANIN

10 Los op met de methode van de Babyloniërs.

a) Bereken twee getallen waarvan de som 22 en het product 112 is.

b) Bereken twee getallen waarvan de som 100 en het product 2 331 is.

2.3.1

De

methode

Inleiding

van de kwadraatafsplitsing

Werk uit.

Schrijf als het kwadraat van een tweeterm.

(x + 4) 2 = x 2 + 6x + 9 = = =

(x – 6) 2 = 16 – 8x + x 2 = = =

(5 + x) 2 = 4x 2 + 4x + 1 = = =

Het merkwaardig product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 laat je toe om sommige drietermen te schrijven als een kwadraat van een tweeterm Die methode kun je gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

x 2 – 4x + 4 = 0

x 2 + 2  x  (–2) + (–2) 2 = 0

(x – 2) 2 = 0 Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x – 2 = 0

x = 2 V = {2}

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 2

x 2 + 8x + 7 = 0

x 2 + 8x = –7 Je verandert de constante term van lid.

x 2 + 2 x 4 + 4 2 = –7 + 4 2 Je vermeerdert beide leden met 4 2

(x + 4) 2 = 9 Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x + 4 = –3 of x + 4 = 3

x = –7 of x = –1 V = {–7, –1}

Oefeningen

REEKS B

11 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van kwadraatafsplitsing.

a) x 2 + 10x + 25 = 0

b) x 2 – 6x + 9 = 0

c)16x 2 + 8x + 1 = 0

e) x 2 + 6x + 8 = 0

Proefversie©VANIN

d)9x 2 – 6x + 1 = 0

f) x 2 – 2x – 35 = 0

g)3x 2 + 24x – 27 = 0

h)2x 2 – 20x + 68 = 0

2.3.2 De formules opstellen

ax 2 + bx + c = 0

x 2 + b a x + c a = 0

x 2 + b a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 = –c a + b 2a 2

x + b 2a 2 = –c a + b 2 4a 2

met a ∈ r0 en b, c ∈ r

Je deelt beide leden door a

Je verandert de constante term van lid.

Proefversie©VANIN

Je maakt het dubbel product zichtbaar.

Je vermeerdert beide leden met b 2a 2

Je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

Je werkt het rechterlid verder uit. x + b 2a 2 = b 2 – 4ac 4a 2

Stel: D = b 2 – 4ac x + b 2a 2 = D 4a 2

Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief.

Daarom is de teller van het rechterlid (b 2 – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen.

Je noemt D = b 2 – 4ac de discriminant van de vergelijking

eerste geval: D > 0 tweede geval: D = 0derde geval: D < 0

De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief. V = [

2.3.3

Overzicht

Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac. D > 0

twee verschillende oplossingen: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen): geen reële oplossingen

Proefversie©VANIN

Als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat.

Als D = 0, spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen (x1 = x2).

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels

De formules die je in staat stellen om die wortels te berekenen, noem je wortelformules

2.3.4 Voorbeelden

a) x 2 – 3x – 10 = 0 c)–6x 2 + 13x + 5 = 0

b)16x 2 – 24x + 9 = 0 d)–3x 2 + 5x – 8 = 0

= b = c =

= D =

Stroomdiagram en Nassi-Schneiderman diagram

Oefeningen

REEKS A

12 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a) x 2 + 2x – 3 = 0

b) x 2 + 3x – 10 = 0

c) x 2 – x + 2 = 0

d) x 2 – 10x + 25 = 0

f)–x 2 + x + 6 = 0

Proefversie©VANIN

e)–x 2 + 3x – 2 = 0

g) x 2 – 4x – 5 = 0

h) x 2 + 28x + 196 = 0

i) x 2 – 12x + 40 = 0

j)–x 2 + 16x – 64 = 0

13 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a)2x 2 – 5x – 3 = 0

b)25x 2 + 70x + 49 = 0

c)3x 2 – 13x + 12 = 0

d)5x 2 + 15x + 17 = 0

e)6x 2 + x – 1 = 0

f)14x 2 – 3x – 5 = 0

Proefversie©VANIN

g)–3x 2 + 6x – 4 = 0

h)–64x 2 + 48x – 9 = 0

i)–12x 2 + 43x – 21 = 0

j)–9x 2 – 6x – 1 = 0

Los de tweedegraadsvergelijkingen

a) x 2 + x – 4 = 0

e) 12x  (x + 4) = 24x  (2 – x) – 5

Proefversie©VANIN

b)–4x 2 + 11x – 1 = 0

f) 3x 2 – 4 3 x + 4 = 0

c)28x = –49 – 4x 2

g) x 2 – 3x + 9 4 = 0

d)(4x – 1) 2 – 64 = 0 h) 3 8 x 2 –5 4 x + 15 2 = 0

a) 3x + x (x – 2) = 0

b)–121x 2 + 4 = 0

c) x  (11x – 3) = 5

e)(–3x + 6) 2 – 16 = 0

Proefversie©VANIN

d) 3x  (x – 1) = 4 – 3x

f)36x 2 – 96x + 64 = 0

g)–x 2 – 1 = 0

h)–10x 2 + 15x – 10 = 0

a) x 2 –1 5 31 2 x + 7 = 0

d) 2x 2 – (x + 2) (x – 3) = 6

Proefversie©VANIN

b) –1 2 –1 3 x + 4 + x 2 = 0 e) 14  (x – 4) – (x + 2) = (x + 2)  (x – 4)

c) –x –1 3 x + 4 –1 9 x = 0

f) (2x – 3) 2 + 17x  (x – 1) = 9

a)(x + 3) 2 – (2x – 1) 2 = 0

c)(3x – 5) 2 – (x – 4) 2 = 0

Proefversie©VANIN

b) (2x – 1) 2 – 16  (2 – 3x) 2 = 0 d) 4  (–5x – 1) 2 – 9  (1 + x) 2 = 0

18 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is.

a) x 2 + 6x – m = 0 heeft geen oplossingen.

e)2x 2 + 3x – m – 3 = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

Proefversie©VANIN

b) x 2 – 3x + 4m = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

f)–3mx 2 – 4x + 5 = 0 heeft geen oplossingen.

c) x 2 + mx + 4 = 0 heeft één oplossing.

g)8mx 2 + 2mx – 2 = 0 heeft één oplossing.

d) mx 2 – x + 3m = 0 heeft één oplossing.

h)(m – 2)x 2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 heeft geen oplossingen.

19 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters). a) x 2 + 7ax + 12a 2 = 0

x 2 – 4bx + 4b 2 – 25 = 0 b) x 2 + ax + a 2 = 0

Proefversie©VANIN

x 2 + bx –3 4 b 2 = 0 f)3x 2 – bx – 2b – 12 = 0 (b > –12)

c)

20 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters).

a) x 2 + ax – b 2 + ab = 0 (a – 2b > 0)

c) x 2 + ax – bx – ab = 0

Proefversie©VANIN

b) 4x 2 – 8ax – 9b 2 + 12ab = 0 (8a - 12b > 0) d) abx 2 + a 2 x – b 2 x – ab = 0

2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking

2.4.1 De formules opstellen

De tweedegraadsvergelijking

oplossingen

Proefversie©VANIN

Besluit Als de tweedegraadsvergelijking

2.4.2

Voorbeelden

Door gebruik te maken van S en P, is het mogelijk sommige eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen ‘uit het hoofd’ op te lossen. a) x 2 – 3x + 2 = 0

x 2 + 4x – 21 = 0

= ––3 1 = 3

x 2 + 9x – 20 = 0

Opmerkingen

• Als D < 0, dan kunnen de getallen S en P wel berekend worden, maar hebben ze geen reële betekenis.

• De som- en productmethode is vooral handig als de coëfficiënt van x 2 gelijk is aan 1 of –1.

• Als je niet onmiddellijk de oplossingen vindt, gebruik je beter de wortelformules.

2.4.3 Het omgekeerde vraagstuk

Gegeven: de som S en het product P van de reële getallen x 1 en x 2

Gevraagd: bepaal x 1 en x 2

Oplossing:

x 1 + x 2 = S en x 1  x 2 = P

⇓

Proefversie©VANIN

⇓ je vervangt x 2 door S – x 1

x 2 = S – x 1 x 1  (S – x 1) = P

⇓ de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling

x 1 S – x 1 2 = P

⇓ eigenschap gelijkheden

x 1 2 – Sx 1 + P = 0

x 1 is dus een oplossing van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0.

Analoog kun je aantonen dat ook x 2 een oplossing is van dezelfde vergelijking.

Besluit

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1 x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

Voorbeeld

De som van twee getallen is 1 9 en hun product is – 2 27 . Bepaal die getallen.

Oplossing:

De getallen zijn de oplossingen van

Wegwerken van de noemers:

D = x 1 = x 2 =

De gevraagde getallen zijn en

REEKS A

21 Los op met de som- en productmethode.

a) x 2 – 8x + 7 = 0

b) x 2 – 12x + 20 = 0

c) x 2 + 2x – 15 = 0

d) x 2 + 3x – 28 = 0

e) x 2 – 3x – 18 = 0

g) x 2 – 4x – 96 = 0

Proefversie©VANIN

f) x 2 + 4x – 12 = 0

h) x 2 + 13x + 36 = 0

i) x 2 + 14x + 40 = 0

j)–x 2 – 17x + 18 = 0

k)–x 2 + 9x + 70 = 0

l)–x 2 – 2x + 35 = 0

22 Bepaal twee getallen waarvan de som S en het product P gegeven zijn.

a) S = –9 en P = 3 2

De gevraagde getallen zijn

b) S = 6 en P = 0

d) S = –1 12 en P = –1 12

Proefversie©VANIN

De gevraagde getallen zijn en en

e) S = 1 36 en P = –5 72

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn en en

c) S = –1 en P = –3

f) S = – 0,5 en P = – 0,84

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn en en

23 Van de tweedegraadsvergelijkingen is telkens één oplossing gegeven. Bereken de andere oplossing zonder gebruik te maken van de discriminant.

Proefversie©VANIN

24 Bepaal een tweedegraadsvergelijking met de gegeven oplossingen. Werk de noemers weg. a)5 en – 4

25 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is.

a) x 2 – 3x + m = 0

e)3x 2 + 5mx – 9 = 0

–1 is een oplossing. Er zijn twee tegengestelde oplossingen.

1) D ⩾ 0: 2)

Proefversie©VANIN

b)–3x 2 + mx – 6 = 0

f)–5x 2 + 6x – 8m = 0

2 is een oplossing. Het product van de wortels is 16.

1) D ⩾ 0: 2)

c) x 2 + 2mx – 5 = 0

De som van de wortels is 8.

1) D ⩾ 0: 2)

d)–4x 2 – 3mx + 1 = 0

De som van de wortels is 2.

1) D ⩾ 0: 2)

g) x 2 – 8x + 2m = 0

Het product van de wortels is 6.

h)2x 2 – 7x – 3m = 0

De twee wortels zijn elkaars omgekeerde.

26 Welk besluit kun je trekken over de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking?

Noteer de juiste letter.

AEr zijn twee verschillende oplossingen, die allebei positief zijn.

BEr zijn twee verschillende oplossingen, die allebei negatief zijn.

CEr zijn twee verschillende oplossingen, waarvan één strikt positieve en één strikt negatieve.

DEr zijn twee verschillende oplossingen, die elkaars tegengestelde zijn.

EEr zijn twee verschillende oplossingen en een van de oplossingen is 0.

FEr is maar één positieve oplossing.

GEr is maar één negatieve oplossing.

HEr is maar één oplossing, namelijk 0.

Proefversie©VANIN

Antwoord: Antwoord:

Antwoord: Antwoord:

Antwoord: Antwoord:

Antwoord: Antwoord:

De discriminantformule afleiden via de eigenschap van de som en het product van de twee wortels

2.5 Vraagstukken

2.5.1 Voorbeeld 1

Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is gelijk aan 342. Bepaal die getallen.

Stel: x is het kleinste getal. Het grootste getal is dan .

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

2.5.2 Voorbeeld 2

Een kader is 20 cm lang en 12 cm hoog.

De foto is 84 cm 2 groot.

Bereken de breedte van het frame, als je weet dat het overal even breed is.

Stel: x is de breedte van het frame.

20cm

12cm

De afmetingen van de foto: de lengte is en de hoogte is

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

2.5.3 Voorbeeld 3

a) Verdeel het lijnstuk [AB ] in twee deellijnstukken [AC ] en [CB ], A x 1 CB zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk.

Stel: het kortste stuk = | CB | = 1; het langste stuk = | AC | = x

• Opstellen van de vergelijking: x 1 = x + 1 x

Een gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid. Het product van de uitersten is dan gelijk aan het product van de middelsten.

Je verkrijgt de volgende vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

b) Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1.

Stel: x is het gevraagde getal.

• Opstellen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1:

• Oplossen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1:

Vergelijking 2:

Vergelijking 2:

Beide vergelijkingen leveren dezelfde tweedegraadsvergelijking op, die je ook bij de verdeling van het lijnstuk verkreeg.

Die vergelijking heeft als oplossingen:

x 1 = x2 =

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

Het getal ϕ = 1 + 5 2 (‘phi’) noem je de gulden snede of goddelijke verhouding

Die verhouding werd voor het eerst wiskundig bepaald door Euclides, in de derde eeuw vóór Christus. Het getal duikt echter al veel vroeger op in de architectuur.

In de klassieke architectuur, en ook later, werd die verhouding gezien als de meest esthetische. Enkele beroemde voorbeelden:

• De grote piramide van Cheops: de hellingshoek van de schuine vlakken is 51º 50

De cosinus van die hoek is het omgekeerde van ϕ (of dus ook ϕ – 1).

• In het Parthenon, de oude Griekse tempel op de Akropolis in Athene, zijn bepaalde verhoudingen van afmetingen gelijk aan de gulden snede (zie figuur1).

• Het ‘geheim’ van de goede akoestiek in de Griekse theaters is de gulden snede.

De verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes is gelijk aan ϕ

• Vele gotische kathedralen, met als beroemdste voorbeeld de kathedraal van Laon in Frankrijk, vertonen, zowel in de torens als in de voorgevel, verhoudingen gelijk aan de gulden snede.

Proefversie©VANIN

Ook in de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Vooral in de renaissance werd de gulden snede gezien als een universeel schoonheidsideaal. De naam ‘goddelijke verhouding’ dateert dan ook uit die periode. Voorbeelden van het gebruik van de gulden snede zijn onder andere te vinden in de volgende beroemde werken:

• de Mona Lisa (zie figuur2);

• de renaissancetuinen in Frankrijk;

• de meeste beeldhouwwerken van Rodin;

• de vierkanten van Mondriaan.

Niet alleen in de wiskunde, de architectuur en de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Ook de natuur zelf levert haar bijdrage:

• de hoeken die waarneembaar zijn bij de spiralen die worden gevormd door de pitten van een zonnebloem of bij madeliefjes, zijn gelijk aan 360º/ϕ of 360º – 360º/ϕ;

• de verhoudingen van de volumes in de opeenvolgende kamers van schelpen (zie figuur3);

• de verhoudingen bij het menselijk lichaam (zie figuur4).

1,61811

1,618

1,618 1

Oefeningen

REEKS A

27 Los de vraagstukken op.

a)Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 1 482. Bereken die getallen.

c)De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 421. Bereken die getallen.

Proefversie©VANIN

Controle:

b)De som van een getal en zijn kwadraat is het vijfvoud van dat getal. Bereken dat getal.

Controle:

d)Van een natuurlijk getal is het kwadraat 552 meer dan het getal zelf. Bereken dat getal.

Controle:

Controle:

28 Het aantal judopartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, is gelijk aan n (n – 1) 2

a) Hoeveel partijen moeten er worden gespeeld in een competitie met tien spelers?

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel spelers hebben meegedaan aan een competitie waarin 496 partijen werden gespeeld?

Controle:

29 Het aantal diagonalen van een veelhoek wordt bepaald door de formule N = k (k – 3) 2 Daarbij is k het aantal zijden van de veelhoek en N het aantal diagonalen.

a) Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek?

b) Een veelhoek heeft 77 diagonalen. Hoeveel zijden heeft die veelhoek?

Controle:

30 De ene rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is 2 cm langer dan de andere. De schuine zijde is 10 cm. Bereken de rechthoekszijden.

Proefversie©VANIN

Controle:

31 Als je de zijde van een vierkant verdrievoudigt, dan wordt de oppervlakte 5832 m2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

32 Het verschil van twee natuurlijke getallen is 21. Hun product is 1 296. Bereken die getallen.

Controle:

33 De afgelegde weg s (in m) van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule

s = v 0  t + 1 2  a  t 2. Daarbij is v0 de beginsnelheid in m/s en a de versnelling in m/s2

Een voorwerp beweegt met een beginsnelheid van 10 m/s. De versnelling is 3 m/s2

a) Na hoeveel tijd heeft het voorwerp 100 m afgelegd? Rond af op 0,001 s.

Proefversie©VANIN

Controle:

b) Bereken de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval. Rond af op 0,01 m/s.

34 De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2  r 2 + 2  r h

Daarin is h de hoogte en r de straal van het grondvlak.

Bereken de straal van het grondvlak als de hoogte 12 cm en de oppervlakte 680 cm2 is.

Rond af op 1 mm nauwkeurig. h r

Controle:

35 Een stuk land bestaat uit twee aaneengesloten vierkante stukken. De zijde van het grote vierkant is 2 m langer dan het dubbel van de zijde van het kleine vierkant. De totale oppervlakte van beide vierkanten is 2 377 m2 Bereken de zijden van de vierkanten.

Proefversie©VANIN

Controle:

36 Op een trouwfeest wordt een champagnetoren gestapeld. Nadat de gasten aangekomen zijn, wordt er van bovenaf champagne gegoten, totdat alle glazen gevuld zijn.

Het aantal glazen per laag in die toren kun je berekenen met deze formule: aantal glazen per laag = 1 2 n 2 + 1 2 n (daarbij is n het nummer van de laag van bovenaf geteld).

Bereken in welke laag 45 glazen staan.

laag1

laag2

laag3

Controle:

37 Oma heeft een lappendeken gemaakt met 315 gelijke vierkante lapjes. Als ze vierkante lapjes had genomen met een zijde die 6 cm groter is, dan zou ze maar 140 lapjes nodig gehad hebben voor een even groot deken.

Wat is de oppervlakte van elk lapje en van het lappendeken?

Proefversie©VANIN

Controle:

38 De beroemde schrijver H. Gentemans heeft een nieuwe roman geschreven.

Een boekenwinkel bestelt een aantal boeken en betaalt daarvoor 930 euro.

Bij aankomst van de bestelling blijken er twee boeken meer te zijn dan er besteld waren. De totale prijs blijft hetzelfde, zodat de prijs per boek daalt met 0,50 euro.

Hoeveel boeken werden er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs?

Controle:

39 In een fabriek moeten 1 650 balpennen in dozen worden ingepakt. Als er in elke doos vijf balpennen meer konden, zouden er drie dozen minder nodig zijn. Bereken het aantal balpennen dat oorspronkelijk in één doos kon.

Proefversie©VANIN

Controle:

40 In een getal van twee cijfers is het cijfer van de eenheden vier meer dan het cijfer van de tientallen. Een tweede getal verkrijg je door in het eerste getal de cijfers van plaats te wisselen. Het product van die twee getallen is gelijk aan 5 605. Bepaal die getallen.

Controle:

41 De snelheid van de boot van Tom in stilstaand water is 15 km/h.

Hij vaart in een rivier 40 km stroomopwaarts en 40 km stroomafwaarts in 6 h.

Bereken de stroomsnelheid van het water in die rivier.

Proefversie©VANIN

Controle:

42 ABCD is een rechthoek met lengte 10 cm en breedte 3 cm. Bereken x zodat ∆BCP een rechthoekige driehoek is met ^ P = 90º.

Proefversie©VANIN

Controle:

2.6.1 Bikwadratische vergelijkingen

Definitie Bikwadratische vergelijking

Een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0, met a ∈ r0 en b, c ∈ r.

Voorbeeld 1

x 4 – 5x 2 + 4 = 0

t 2 – 5t + 4 = 0

D = (–5) 2 – 4  1  4 = 9

Proefversie©VANIN

Stel: x 2 = t

t 1 = 5 – 3 2 1 = 1 en t 2 = 5 + 3 2 1 = 4

x 2 = 1 of x 2 = 4

x = –1 of x = 1 of x = –2 of x = 2

V = {–2, –1, 1, 2}

Voorbeeld 2

x 4 – x 2 – 12 = 0

Stel:

Algemeen Om een bikwadratische vergelijking op te lossen, ga je als volgt te werk:

• Stel: x 2 = t.

• Bepaal de oplossingen t 1 en t 2 van de verkregen tweedegraadsvergelijking in t.

• Los de vergelijkingen x 2 = t 1 en x 2 = t 2 op.

2.6.2 Vergelijkingen van de vorm a [f (x)] 2 + b [f (x)] + c = 0

Voorbeeld 1

8x 6 + 7x 3 – 1 = 0

Stel: x 3 = t D =

Proefversie©VANIN

t 1 = en t 2 =

x 3 = of x 3 = x = of x = V =

Voorbeeld 2

(x 2 – 2x) 2 + 2  (x 2 – 2x) – 3 = 0 Stel: D = t 1 = en t 2 = = of =

Je krijgt twee tweedegraadsvergelijkingen: D = D =

Algemeen Om een vergelijking van de vorm a[f (x)] 2 + b[f (x)] + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk:

• Stel: f (x) = t

• Bepaal de oplossingen t 1 en t 2 van de verkregen tweedegraadsvergelijking in t.

• Los de vergelijkingen f (x) = t 1 en f (x) = t 2 op.

Oefeningen

REEKS B

43 Los de vergelijkingen op.

a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0

c) x 6 – 28x 3 + 27 = 0

Proefversie©VANIN

b)4x 4 – 29x 2 + 45 = 0

d) x 4 – 2x 2 – 8 = 0

Proefversie©VANIN

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen

2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende voor de leerling voor de leerkracht

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm

ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

Proefversie©VANIN

2.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen

• ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0)

KENNEN

methode: een gemeenschappelijke factor afzonderen

• ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0)

methode 1: a 2 – b 2 = (a + b) (a - b)

methode 2: definitie vierkantswortel

• ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0)

Er is één oplossing: 0.

KUNNEN

Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen.

2.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

D (discriminant) = b 2 − 4ac

• D > 0: twee verschillende oplossingen

KENNEN

• D = 0: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen)

• D < 0: geen reële oplossingen

KUNNEN

Een tweedegraadsvergelijking herkennen en oplossen

• door kwadraatafsplitsing;

• met de wortelformules;

• door ontbinding in factoren.

De best passende methode gebruiken.

De wortelformules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen, bewijzen.

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met ICT.

Een tweedegraadsvergelijking vereenvoudigen en in de standaardvorm brengen, indien nodig.

Een tweedegraadsvergelijking met lettercoëfficiënten oplossen.

Parameterwaarden berekenen zodat aan bepaalde voorwaarden voldaan is.

2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking voor de leerling

KENNEN

Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = –b a en P = x 1 x 2 = c a

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1 x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Een tweedegraadsvergelijking oplossen door de som en het product van de wortels te gebruiken.

Twee getallen bepalen als de som en het product van die getallen gegeven zijn. Een tweedegraadsvergelijking opstellen waarvan de oplossingen gegeven zijn.

2.5 Vraagstukken

KUNNEN

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een tweedegraadsvergelijking.

2.6 Vergelijkingen herleidbaar tot tweedegraadsvergelijkingen

KENNEN

Een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0 met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

KUNNEN

Vergelijkingen oplossen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking.

1.Twee vierkanten liggen in een groot vierkant, zoals op de figuur. Wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkant I en II?

Proefversie©VANIN

A) r 6 7 B) r 7 8 C) r 8 9 D) r 9 10 E) r 1

JWO,editie2022,eersteronde

2.Wat is de oppervlakte van het vierkant op de figuur? 4 1

A) r 5 B) r 6 C) r 7 D) r 8 E) r 9

JWO,editie2012,tweederonde

3.Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?

A) r 20 B) r 30 C) r 40 D) r 60 E) r 120

JWO,editie2020,eersteronde

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN

3.1 Basisbegrippen over functies

3.1.1 Inleiding

Een brandende kaars is 20 cm lang.

De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur.

GEOGEBRA

Na 1 uur is de hoogte

Na 3 uur is de hoogte

Na 7 uur is de hoogte

De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h):

y =

Vul de tabel in.

Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze.

x (h) y (cm)

Proefversie©VANIN

Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen.

dom f =

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as,

kun je het bereik van de functie aflezen.

Proefversie©VANIN

Definitie Domein

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

In symbolen

dom f = {x ∈ r | f (x) ∈ r}

Definitie Bereik

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

In symbolen

ber f = {f (x) | x ∈ dom f }

Praktisch domein en bereik

Als je rekening houdt met de context van de brandende kaars, kun je enkel argumenten kiezen die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan

Het praktisch domein van f is

Notatie: pdom f

Je kunt binnen diezelfde context ook enkel functiewaarden bereiken die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan .

Het praktisch bereik van f is .

Notatie: pber f

3.1.3 Nulwaarde van een functie

Voor welke waarde van de tijd x is de hoogte van de kaars nul?

Die waarde noem je de nulwaarde van de functie f

Hoe lees je de nulwaarde van de functie f af op de grafiek?

Proefversie©VANIN

Definitie Nulwaarde

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Voorbeeld

Bepaal de nulwaarde(n).

f (x) = 20 – 2xf (x) = x 2 – 9

3.1.4 Tekenschema en verloop van een functie

Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Voor welke waarden van x is f (x) > 0?

Voor welke waarden van x is f (x) = 0?

Voor welke waarden van x is f (x) < 0?

Je kunt dat voorstellen in een tekenschema van f (x).

tekenschema van f (x) tekenschema binnen de context van de kaars

• Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt?

De functie is stijgend / dalend.

Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen.

verloop van f verloop binnen de context van de kaars

Algemeen Tekenschema en verloop van een functie y x d c be a O • tekenschema

Proefversie©VANIN

verloop

3.1.5 Voorbeeld

Teken de grafiek van f (x) = 3x – 2.

Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarde, het tekenschema en het verloop van de functie.

x f (x)

• dom f = ber f =

• nulwaarde: • tekenschema

Oefeningen

REEKS A

1 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

tekenschema

Proefversie©VANIN

tekenschema

verloop

2 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

tekenschema

Proefversie©VANIN

verloop

verloop x f

3 Bepaal de nulwaarde(n).

a) f (x) = 5 – 2x 3 c) f (x) = 3x 2 – 6

b) f (x) = (x + 2) 2 d) f (x) = 3x + 1 2

3.2.1 Kenmerken xf (x) – 8 – 0,125 – 4 – 0,25 – 2 – 0,5 – 1 – 1 – 0,5 – 2

Proefversie©VANIN

Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool

Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken.

• dom f = ber f =

• nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as?

• nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie?

• tekenschema:

• verloop:

De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep.

• symmetrie:

De twee takken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van

De grafiek van f is een kromme.

Het symmetriemiddelpunt is de ( , ).

3.2.2

Asymptoten

Verticale asymptoot

De grafiek van f (x) = 1 x vertoont een onderbreking voor x = 0 omdat 0 niet tot het domein behoort.

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van 0.

Je kiest argumenten die naderen tot 0, zonder 0 te bereiken, en berekent de functiewaarden.

Notatie: x → 0

Je leest: x nadert tot 0.

Proefversie©VANIN

–

Als x tot 0 nadert, dan wordt f (x) groter in absolute waarde.

De grafiek komt dichter en dichter tot de y-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de y-as een verticale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

Horizontale asymptoot

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van – ∞ en + ∞.

Je kiest argumenten die heel groot en heel klein zijn en je berekent de functiewaarden.

Als x groter wordt in absolute waarde, dan nadert f (x) tot 0.

De grafiek nadert dichter en dichter tot de x-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de x-as een horizontale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

3.2.3 Voorbeeld

Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis.

Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x

Waarom is het verband tussen y en x een functie?

Proefversie©VANIN

Je noteert: f (x) = 1 x

dom f = ber f = pdom f = pber f =

Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001.

xf (x)

Waarom mag je de punten niet verbinden?

0 O

3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband

Voorbeeld

Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = vt, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h). t (h)12345612

v (km/h)

s=v ? t(km)

Het product v ? t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig

Er geldt: v =

Definitie

Omgekeerd evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x ? y constant is.

x ? y = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante

Proefversie©VANIN

Formule

GEOGEBRA

Besluit

Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).

Grafiek van een omgekeerd evenredig verband

v (km/h)

Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).

De grafiek is

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.

Oefeningen

REEKS A

4 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a) x 24610 y 3015106

Proefversie©VANIN

REEKS B

5 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel.

h (cm)4568

v (km/h)60484030

a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband:

c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v =

d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

6 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x

a)Vul de tabel aan.b) Teken de grafiek.

(euro)

Proefversie©VANIN

c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar.

d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar.

e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro.

7 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig?

8 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. 8 koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. 12 koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

a)Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is.

b)Geef de formule van het verband:

c)Vul de tabel aan. x 2 4 8 12 24 y 24 16

d)In hoeveel dagen grazen zes koeien het weiland af?

Proefversie©VANIN

REEKS C

Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt. Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt.

De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m).

9 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a .

a)Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar.

b)Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 m hangen?

c)Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

GEOGEBRA

Voorbeelden c > 1

< c < 1 xf (x) = 1 x g (x) = 4 x – 4– 0,25– 1 – 2– 0,5– 2 0| |

(x) = 1 xg (x) = 1 4x – 4– 0,25– 0,062 5 – 2– 0,5– 0,125 0| | 20,50,125 40,250,062 5 1 4

Proefversie©VANIN

–5–4–3–2–112345

–5–4–3–2–1 O 12345

Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 4.

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is uitgerekt met factor 4.

Om de grafiek van de functie g (x) = 1 4x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 1 4 .

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is samengedrukt met factor 4. Verticaal samendrukken met factor 4 is hetzelfde als verticaal uitrekken met factor 1 4

Algemeen

xf (x) = 1 x g (x) = –1 x

– 4– 0,25 0,25 – 2– 0,5 0,5

0| |

20,5–0,5 40,25–0,25 ? (– 1)

–5–4–3–2–1012345 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x y (–1) (–1)

Om de grafiek van de functie g (x) = –1 x

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1.

De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as

xf (x) = 1 x g (x) = –5 x

– 4– 0,25 1,25 – 2– 0,5 2,5

0| |

Proefversie©VANIN

20,5–2,5 40,25–1,25 ? (– 5)

–5–4–3–2–1012345 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x y (–5) (–5)

Om de grafiek van de functie g (x) = –5 x

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –5.

De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens:

• verticaal uitgerekt met factor 5;

• gespiegeld ten opzichte van de x-as

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c |

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Oefeningen

REEKS A

10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x .

Proefversie©VANIN

11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).

a) g (x) = 3 x c) g (x) = 1 4x verticale met factor verticale met factor –6–5–4–3–2–10

b) g (x) = 1 2x d) g (x) = 5 x verticale met factor verticale met factor

12 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f .

Proefversie©VANIN

REEKS B

13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c ∈ r0), als je weet dat:

a)het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.

c)het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.

d) het punt A 4 7 , 14 3 tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

14 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f.

–6–5–4–3–2–10

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

–6–5–4–3–2–10

Proefversie©VANIN

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop • verloop x f x f

–6–5–4–3–2–10

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

–6–5–4–3–2–10

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

• verloop x f x f

15 Maak gebruik van de grafieken van de functies f en g om de vergelijkingen op te lossen.

a)gegeven:

(x) = 1 x en g (x) = x

vergelijking:

1 x = x

b)gegeven:

f (x) = 1 x en g (x) = x 3

vergelijking:

1 x = x 3

–6–5–4–3–2–10

Proefversie©VANIN

x y f g

c)gegeven:

f (x) = 1 x en g (x) = 2x + 1

vergelijking:

1 x = 2x + 1

d)gegeven:

f (x) = 1 x en g (x) = – 3x

vergelijking:

1 x = – 3x

–6–5–4–3–2–10

x y f g

16 De getekende grafieken van de functie g zijn ontstaan door de grafieken van de functie f (x) = 1 x te spiegelen en/of te verschuiven. Bepaal het domein, het bereik, het tekenschema, het verloop en de vergelijking van de asymptoten van elke functie g. a) –6–5–4–3–2–10

8–7–4–3–2–10

Proefversie©VANIN

• dom g = ber g = • dom g = ber g =

• tekenschema • tekenschema

verloop

• VA: HA:

verloop

• VA: HA:

17 Bij de aankoop van een nieuwe smartphone is het belangrijk om kritisch naar de batterijduur te kijken. De stand-bytijd van een smartphone is de maximale tijd die de smartphone kan aanstaan zonder gebruikt te worden. Die is afhankelijk van het type toestel. Het spanningsverloop U (in V) van een batterij van een smartphone wordt gegeven door de functie U (t ) = 3,60 + 20 t – 50 . Daarbij is t de tijd (in h) na het opladen.

a) Teken met ICT de grafiek van de functie U, zonder rekening te houden met de werkelijkheid.

b) Bepaal de spanning van de batterij onmiddellijk na het opladen.

c) Met hoeveel procent neemt de spanning af tijdens de eerste dag na het herladen? Rond af op 0,01 %.

d) Geef het praktisch domein en bereik van de functie U

pdom U = pber U =

18 Een achtbaan is een constructie uit hout of staal waarover karretjes een parcours afleggen met hoge snelheid. Een karretje begint omhoog te rijden volgens de functie f en vervolgt daarna zijn weg volgens de functie g

Het voorschrift van f is f (x) = –0,68 ∙ (x – 4,37)2 + 13.

Het voorschrift van g is g (x) = 17 x – 4, 4 +2 , met x de horizontale verplaatsing (in m) en f (x) en g (x) de verticale verplaatsing (in m).

Proefversie©VANIN

a) Op welke hoogte bevindt het karretje zich in

• Het punt A?

• Het punt B?

b) Welke horizontale verplaatsing heeft het karretje gemaakt als het zich op een hoogte van 3 m bevindt?

3.3.3 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT

Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Hiervoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.

Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) op de druksensor.

Dat levert de volgende meetresultaten op:

V (ml)2017,51512,5107,55 p (kPa)97,65111,60130,20156,24195,30260,40390,60

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

Proefversie©VANIN

De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak. Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband.

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml).

b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml?

c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.

Oefeningen

REEKS B

19 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen. Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden.

p (euro)700 720 740 760 780 q 5 7145 5565 4055 2635 128

a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro).

b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

d) Geef de economische betekenis van de verticale asymptoot van de grafiek van het verband.

20 Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R (in V), hoe lager de stroomsterkte I (in A) door een geleider bij een gelijke spanning U (in V). Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in V).

Proefversie©VANIN

500 0,46

1 000 0,23

b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?

Als een duiker zich onder water bevindt, ademt hij de lucht in onder een grotere druk dan normaal.

Daardoor ontstaat meer stikstofgas in het bloed. Als de duiker te lang onder water blijft of te snel terug naar het oppervlak stijgt, kan de stikstof belletjes doen ontstaan in het bloed.

De duiker krijgt last van hoofdpijn, spierpijn en duizeligheid. In ernstige gevallen kan hij buiten bewustzijn raken of zelfs sterven. Dat verschijnsel noem je de ziekte van Caisson

Proefversie©VANIN

21 De tabel toont de maximale tijd t (in min) die een duiker onder water mag blijven als hij zich op een diepte d (in m) bevindt.

a)Vul de tabel aan. d (m) d 2 (m2) t (min)

b)Bepaal via regressie het verband tussen t en d 2

c)Hoelang mag een duiker onder water blijven, als hij zich op een diepte van 60 m bevindt? Rond af op 1 minuut.

d)Hoe diep mag een duiker gaan, als hij zuurstof heeft voor 1 h 30 min? Rond af op 0,1 m.

3.1 Basisbegrippen over functies

KENNEN

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Notatie: pdom f

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

• Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

3.2 De functie f (x) = 1 x

f (x) = 1 x

• De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f

• De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f

KUNNEN

De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.

Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

3.3 De functie f (x) = c x

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x ? y constant is.

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x is een (deel van een) hyperbool.

Proefversie©VANIN

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c |

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

KUNNEN

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen. Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen.

De grafiek van de functie f (x) = c x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen met en zonder ICT.

Met behulp van de grafiek van f (x) = c x onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij:

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

1.Op de figuur hieronder is van zes vierkanten de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het zevende vierkant?

Proefversie©VANIN

A) r 144B) r 169 C) r 196D) r 200E) r 225

JWO,editie2020,tweederonde

2.Drie buren leggen de oogst van hun moestuin samen.

• Annelies heeft drie tomaten en x paprika’s.

• Boudewijn heeft y tomaten en drie wortels.

• Claudia heeft vier tomaten, vijf paprika’s en z wortels.

Nadat ze de oogst verdeeld hebben, heeft iedereen drie tomaten, twee paprika’s en vier wortels. Er is geen overschot. Waaraan is x + y + z gelijk?

A) r 4 b) r 6 C) r 8 D) r 10E) r 12

JWO,editie2016,eersteronde

3.Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

A) r 2 B) r 3 C) r 4 D) r 5 E) r meer dan 5

JWO,editie2021,eersteronde

HOOFDSTUK 4 I DEELBAARHEID BIJ VEELTERMEN

Proefversie©VANIN

4.1 Veeltermen in één veranderlijke 138

4.2 De euclidische deling van twee veeltermen 142

4.3 Deling door x – a 153

4.4 Tweetermen van de vorm a 3 – b 3 en a 3 + b 3 ontbinden in factoren 167

Studiewijzer 169

Pienter problemen oplossen 170

Veeltermen in één veranderlijke

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

5.1.1

4.1.1 Veelterm

5.1 Veeltermeninéénveranderlijke

Veelterm

5.1.1 Veelterm

Definitie Veelterm

5.1.1 Veelterm

5.1.1

Veelterm

Definitie Veelterm

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Definitie Veelterm

Definitie Veelterm

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Eenveeltermiseensomvaneentermen.

Deveelterm5 a + 6 b 5iseendrietermindeonbekende(n)

Deveelterm5 a + 6 b 5iseendrietermindeonbekende(n)

Deveelterm6 x 3 + 5 x 2 + 3 x 7iseenviertermindeonbekende(n)

Deveelterm5 a +6 b −5iseendrietermindeonbekende(n)

In dit hoofdstuk werk je met veeltermen in één veranderlijke of onbekende.

Deveelterm5 a + 6 b 5iseendrietermindeonbekende(n)

Deveelterm6 x 3 + 5 x 2 + 3 x 7iseenviertermindeonbekende(n)

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Deveelterm6 x 3 +5 x 2 +3 x −7iseenviertermindeonbekende(n)

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Deveelterm6 x 3 + 5 x 2 + 3 x 7iseenviertermindeonbekende(n)

Je noteert zo’n veelterm met een letter, gevolgd door de onbekende tussen haakjes.

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke. Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Voorbeeld: v (x) = −2 x 2 + 5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

Voorbeeld

Indithoofdstukwerkjemetveeltermeninéénveranderlijke.

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Jenoteertzo’nveeltermmeteenletter,gevolgddoordeonbekendetussenhaakjes.

Voorbeeld: v (x) = −2 x 2 + 5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

Voorbeeld: v (x)= −2 x 2 +5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

v (x) = – 2 x 2 + 5 x is een veelterm in één veranderlijke x.

Voorbeeld: v (x) = −2 x 2 + 5 x iseenveelterminéénveranderlijke x.

5.1.2 Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

4.1.2 Herleiden en rangschikken van een veelterm

5.1.2 Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

5.1.2

Neemdeveelterm

Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

5.1.2 Herleidenenrangschikkenvanveeltermen

Neemdeveelterm g (x) = 4 x + 6 x 2 8 x 3 + 7 x 5 x 2 + x 3 8

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

Neemdeveelterm g (x)=4 x +6 x 2 −8 x 3 +7 x −5 x

Neemdeveelterm g (x) = 4 x + 6 x 2 8 x 3 + 7 x 5 x 2 + x 3 8

Herleiddegegevenveelterm:

• Een veelterm betekent dat je de gelijksoortige eentermen optelt.

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt. Herleiddegegevenveelterm:

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

• Eenveelterm herleiden,betekentdatjedegelijksoortigeeentermenoptelt.

Herleiddegegevenveelterm:

Herleiddegegevenveelterm:

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

• Een veelterm rangschikken betekent dat je de veelterm herschrijft naar dalende (of stijgende) machten van de veranderlijke.

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

• Eenveelterm rangschikken,betekentdatjedeveeltermherschrijft naardalende(ofstijgende)machtenvandeveranderlijke.

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Rangschikdeveeltermnaardalendemachtenvan x :

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

Eenveeltermwaarinalleopeenvolgendemachtenvandeonbekendevoorkomen,noemje volledig Isdegegevenveelterm g (x)volledig?

5.1.3 Getalwaardevaneenveelterm

4.1.3 Getalwaarde van een veelterm

5.1.3 Getalwaardevaneenveelterm

5.1.3 Getalwaardevaneenveelterm

5.1.3

Getalwaardevaneenveelterm

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a Degetalwaardevan f (x) = 2 x 2 + 7 x 9voor x = a schrijfjekortwegals f (a). f (−2) = f (4) =

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a Degetalwaardevan f (x) = 2 x 2 + 7 x 9voor x = a schrijfjekortwegals f (a). f (−2) = f (4) =

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a Degetalwaardevan f (x)=2 x 2 +7 x −9voor x = a schrijfjekortwegals f (a). f (−2)= f (4)=

Degetalwaardevaneenveeltermvoor x = a, ishetgetaldatjeverkrijgtdoordeonbekende x tevervangendoor a Degetalwaardevan f (x) = 2 x 2 + 7 x 9voor x = a schrijfjekortwegals f (a). f (−2) = f (4) =

f (– 2) = f (4) =

5.1.4 Graadvaneenveelterm

5.1.4 Graadvaneenveelterm

Definitie Graadvaneenveelterm

5.1.4 Graadvaneenveelterm

5.1.4 Graadvaneenveelterm

4.1.4 Graad van een veelterm

Definitie Graadvaneenveelterm

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Definitie Graadvaneenveelterm

Definitie Graadvaneenveelterm

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Notatie:gr ( f (x))

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Degraadvaneenveeltermin x isdehoogsteexponentvandeonbekende x indieveelterm.

Notatie:gr ( f (x))

Notatie:gr ( f (x))

Notatie:gr ( f (x))

(

(x)=5 x 3 −3 x +5 gr (g (x)) =

(x)=4 x +6 x 4 +5

(h (x)) =

(h (x)) =

(x)=7 x 6 +8

(

5.1.5 Coëfficiëntenrij

4.1.5 Coëfficiëntenrij

Gegeven: f (x)= −2 x −3 x 4 +6 x 3 +6

Jerangschiktdeveelterm: f (x)= −3 x 4 +6 x 3 −2 x +6

Jemaaktdeveeltermvolledig: f (x)= −3 x 4 +6 x 3 +0 x 2 −2 x +6

Derijgetallen−3,6,0,−2,6noemjede coëfficiëntenrij vandezeveelterm.

Noteerdecoëfficiëntenrijvan g (x)=− x 5 +8 x 3 + x −2 x 2 :

Proefversie©VANIN

4.1.6 Bewerkingen met veeltermen

5.1.6 Bewerkingenmetveeltermen

Optellenenaftrekkenvanveeltermen

Werkwijze • Werkdehaakjesuit.

• Herleiddeverkregensom.

Herleid de verkregen veelterm naar dalende machten van x

(7 x 2 −5 x +4)+(3 x −6) (3 x 3 −5)−(2 x 4 −5 x 3 x)

=7 x 2 −5 x +4+3 x −6 = = =

Vermenigvuldigenvaneeneentermeneenveelterm

Werkwijze

• Vermenigvuldigdeeentermmetelketermvandeveelterm.

Vermenigvuldig de eenterm met elke term van de veelterm (distributieve eigenschap).

• Teldeverkregenproductenop.

2 x (x 2 −2 x +3) −3 x 2 (2 x 4 −5 x 3 +3)

=2 x x 2 +2 x (−2 x)+2 x 3=

Vermenigvuldigenvanveeltermen

Werkwijze • Vermenigvuldigelketermvandeeneveeltermmetelketermvandeandereveelterm.

• Teldeverkregenproductenopenherleidhetresultaat.

Tel de verkregen producten op en herleid het resultaat, indien mogelijk.

(2 x +3) (x 3 −5) (− x 3 −3) (2 x 2 x +7)

=2 x x 3 +2 x (−5)+3 x 3 +3 (−5)

Oefeningen

REEKSA

1 Herleidenrangschiknaardalendemachtenvandeonbekende.

Proefversie©VANIN

+5 −7 −4−

a)3 x + 5 x 4 7 x 2 4 x =

b)−8 5a 3 + 2a 3a 3 + 6a 2 =

b)−8−5 +2 −3 +6

−3 +9 −7 −2 −5=

c)7 x 4 3 x 2 + 9 x 7x 2 2 x 3 5 =

d)− t 3 + 4 t 6 t 2 5 t 3 + t 9 t 2 =

2 Berekendegetalwaarden.

Bereken de getalwaarde.

a) f (x) = 2 x 2 + 3 x 5 f (−3) = f (2) =

b) g (b) = b 3 + 4 b 2 3 g (−2) = g (3) =

x x g h =

3 Bepaaldegraad.

a)gr(6 x 3 + 7 x 11) =

f (– 3) = g (3) = h (– 1) = i (– 2) =

c) h (y) = y 4 2 y 2 4 h (3) = h (−1) =

d) i (x) = x 5 + 2 x 3 i (−2) = i (2) =

e)gr (x (x 3 5)) =

b)gr(−8 x 2 + 9 x 3 7 x 2) = f)gr ((x + 2) (x 3)) =

+4 −6 −5 −9 )=2 +3 −5 (−3)= (2)= )=− +4 −3 (−2)= (3)= )= −2 −4 (3)= (−1)= )= +2 −3 (−2)= (2)= +7 −11)= −5) +9 −7 )= +2) −3)

c)gr(5 + 3 x 2 7 x 4) = g)gr((x 7) (x 2 + x)) =

4 Bepaaldecoëfficiëntenrij.

d)gr(x 4 5 x 3 3 x 4 + 9) = h)gr (x 2 (x 3 + 2) x) =

Bepaal de coëfficiëntenrij. Herleid en rangschik de veelterm eerst indien nodig.

a)−8 x 6 + x 5 3 x 4 + 2 x 3 6 x 2 + 7 x 3

b)2 x 5 4 x 3 + 6 x 2 x + 5

c)3 x 7 + 6 x 4 3 x 2 + 5 x 4 + 8 x 9

+6 +5 +6 −3 +5 +8 −9 g)gr

c)gr(5+3 −7 )= −7) ) −5 −3 +9)= +2) −3 +2 −6 +7 −3

R5 Werkuit,herleid,rangschikenbepaaldegraad.

5 Werk uit. Herleid en rangschik de verkregen veelterm. Bepaal de graad van die veelterm.

a)(x 2) (−2 x 2 3 x + 4)

−2) (−2 −3 +4) −5)

b)(7 x 8) (−3 x 2 + 5x)

c)(3 x x 2) (2 x 3 5)

Proefversie©VANIN

6 Werkuit,herleid,rangschikenbepaaldegraad.

a)(2 x 2 x + 3) (x 3 2 x 2 4)

b)(x + 3 x 2) (2 x x 3) (−5 x 2)

−8) +5 −5 +3) −2 −4) +3 (−5−

d) x 2 (x 5 x 2) x 3

Werk uit. Herleid en rangschik de verkregen veelterm. Bepaal de graad van die veelterm.

4.2 De euclidische deling van twee veeltermen

5.2 Deeuclidischedelingvantweeveeltermen

4.2.1

5.2.1 Destaartdeling

Inleiding

gehele getallen veeltermen in één veranderlijke

delingvannatuurlijkegetallen delingvaneenveeltermdooreeneenterm

• Bepaal x ∈ℤ zodat

4 ? x =28

Oplossing: x =7

JOBNAME:Pienter.4TSO.lwsPAGE:6SESS:689OUTPUT:FriMar3009:11:462018

7 noem je het quotiënt van de deling van het deeltal 28 door de deler 4.

• Bepaal x ∈ℤ zodat

4 ? x = 31

Er is geen geheel getal x te vinden dat aan de vergelijking voldoet.

Je zegt dat 31 niet deelbaar is door 4 in de verzameling van de gehele getallen.

d q + r = D

• Er geldt: 4 ? 7+3=31

5.2.2 Opgaandedeling

7 noem je het quotiënt q van de deling van het deeltal D = 31 door de deler d = 4.

Deeuclidischedelingvantweeveeltermen

Destaartdeling

• Bepaal een veelterm f (x) zodat

2x ? f (x)=6 x 2 +4 x

Oplossing: f (x)=3 x +2

3x +2 noem je het quotiënt van de deling van het deeltal 6 x 2 +4 x door de deler 2x

• Bepaal een veelterm f (x) zodat

2x ? f (x)=6 x 2 +4 x +3

Er is geen veelterm f (x) te vinden die aan de vergelijking voldoet.

Je zegt dat 6 x 2 +4 x +3 niet deelbaar is door 2x in de verzameling van de veeltermen.

• Er geldt: 2x ? (3x +2)+3=6 x 2 +4 x +3

3x +2 is het quotiënt q (x) van de deling van het deeltal D (x)=6 x 2 +4 x +3 door de deler d (x)=2x

De rest r van de deling is 3.

5.2 Deeuclidischedelingvantweeveeltermen

Criterium

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

De rest r (x) van de deling is 3.

4.2.2 De staartdeling van een veelterm door een eenterm

5.2.1 Destaartdeling

delingvannatuurlijkegetallen

(x)noemjedaneendelervanD(x).

Notatie:

Voorbeeld

Opgaandedeling

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

delingvaneenveeltermdooreeneenterm

deling van gehele getallen

delingvannatuurlijkegetallen delingvaneenveeltermdooreeneenterm

5.2.2 Opgaandedeling

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

4.2.3 De staartdeling bij de deling van twee veeltermen

5.2.3 Destaartdelingbijdedelingvantweeveeltermen

OmD(x)=5 x 4 −3 x 3 +7 x −9tedelendoor d (x)= x −2,kunjeookeenstaartdelinggebruiken.

Je rangschikt het deeltal en de deler naar dalende machten van x

• Jerangschikthetdeeltalnaardalendemachtenvan x Bijonvolledigeveeltermenschrijfjedeontbrekendemachtenvan x meteencoëfficiënt0.

Proefversie©VANIN

• Jedeeltdeeerstetermvanhetdeeltal(5 x 4)doordeeerstetermvandedeler(x).

Hetresultaatisdeeerstetermvanhetquotiënt.

• Jevermenigvuldigtdeeerstetermvanhetquotiënt(5 x 3)metdedeler(x −2).

Deverkregenveelterm(5 x 4 −10 x 3)trekjeafvanhetdeeltal.

• Jedeeltopnieuwdeeersteterm(7 x 3)doordeeerstetermvandedeler.

Hetresultaat(7 x 2)isdetweedetermvanhetquotiënt.

• Jeblijftdezewerkwijzeherhalentotdegraadvanderestkleinerisdandegraadvandedeler.

• q (x)=

• r (x)=

Controle: d (x) q (x)+ r (x)=

Daarinwerdvanuitvijfaxioma’sallewiskundesystematischafgeleid. 2000jaarlangwasditeenvandebelangrijkstewiskundewerken enwashetsamenmetdeBijbeleenvandemeestgedrukteboeken. In DeElementen behandeldehijonderandere:

Algemeen De euclidische deling van de veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, heeft als quotiënt de veelterm q (x) en als rest de veelterm r (x)

• detheorievandeelbaarheid;

• degrootstegemenedelereneenalgoritmeomdieteberekenen;

• eenbewijsdateroneindigveelpriemgetallenzijn.

D (x) = d (x) ⋅ q (x) + r (x) waarbij gr (r (x)) < gr (d (x)) of r (x) = 0

Als r (x) = 0, dan spreek je van een opgaande deling.

Proefversie©VANIN

Voorbeelden

Voorbeelden Voerdedelingenuit.

Opmerking

gr (q (x)) =gr (D(x)) −gr (d (x))

Stelling Bij de deling van een veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, bestaat er juist één quotiënt q (x) en juist één rest r (x).

Bewijs

Bewijs uit het ongerijmde: als je kunt aantonen dat het onmogelijk is dat er twee verschillende quotiënten zijn en twee verschillende resten, dan is er juist één quotiënt en juist één rest.

Stel: er bestaan twee quotiënten q 1 (x) en q 2 (x) en twee resten r 1 (x) en r 2 (x).

Eenstaartdelingiseenalgoritmeomeendelinguittevoeren. HetwoordalgoritmeiseenverbasteringvanhetOudengelsewoord algorism,datvanhetLatijnsewoordalgorismuskomt. Hetwoord‘algorisme’verweesoorspronkelijkalleennaarderegelsvoor hetrekenenmetArabischecijfers,maarevolueerdeinde18eeeuw naar‘algoritme’.Hetwoordalgoritmewordtnugebruiktvooralle eindigeproceduresomproblemenoptelossenoftakenuittevoeren. Heteerstealgoritmevooreencomputer,geschrevenin1842, istevindenindenotitiesvanAdaByron.

Dan: D (x)= d (x) q

of

(x)=0 D (x)= d (x) q 2 (x)+ r 2 (x) met gr (r 2 (x)) < gr (d (x)) of r 2 (x)=0

Zijwordtdaarombeschouwdalsdeeerstecomputerprogrammeur.

⇒ d (x) ? q 1 (x)+ r 1 (x)= d (x) ? q 2 (x)+ r 2 (

) ⇔ d (x) ? q 1 (x)+

) –

(

)=0 alle termen naar het linkerlid

⇔ d (x) ? [q 1 (x) – q 2 (x)] + r 1 (x) – r 2 (x)=0 de factor d (x) afzonderen

Omdat gr (r 1 (x) – r 2 (x)) < gr (d (x)) of r 1 (x) – r 2 (x) = 0

kunnen d (x) ? [q 1 (x) – q 2 (x)] en r 1 (x) – r 2 (x) niet tegengesteld zijn

⇒ d (x) [q 1 (x) – q 2 (x)] = 0 en r 1 (x) – r 2 (x) = 0

⇒ q 1 (x) – q 2 (x) = 0 en r 1 (x) – r 2 (x) = 0

d (x) ≠ 0

⇔ q 1 (x) = q 2 (x) en r 1 (x) = r 2 (x)

Conclusie: er bestaat juist één quotiënt q (x) en juist één rest r (x).

5.2.2 Opgaandedeling

5.2.2 Opgaandedeling

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

Eenopgaandedelingiseendelingwaarbijde

Kenmerk

Criterium

Criterium

D (x) is deelbaar door d (x) ⇔ D (x) = d (x) q (x)

)isdeelbaardoor

)isdeelbaardoor

d (x)noemjedaneendelervanD(x).

d (x)noemjedaneendelervanD(x).

Proefversie©VANIN

Notatie: d (

) D(

)

Notatie: d (x) D(x)

Voorbeeld

Voorbeeld

Voorbeeld

Toon aan dat D (x) = 2x 3 – 7x 2 + 16x – 15 deelbaar is door d (x) = 2x – 3.

–

(x) = ⇒ D (x) is deelbaar door d (x)

Controle: d (x) ⋅ q (x) = D (x)

Een veelterm ontbinden in factoren

HOOFDSTUK5 I ALGEBRAÏSCHREKENEN

Een veelterm ontbinden in factoren betekent dat je de veelterm schrijft als een product van veeltermen en eentermen die een lagere graad hebben dan de oorspronkelijke veelterm. Als de veelterm D (x) deelbaar is door de veelterm d (x), dan kan je D (x) schrijven als een product d (x) ? q (x). Dit product is een ontbinding in factoren van D (x).

• Ontbind D (x) = 6x 2 + 4x in factoren.

D (x) is deelbaar door 2x (zie § 4.2.1). Het quotiënt is

⇒ 6x 2 + 4x =

De veelterm 6x 2 + 4x is ontbonden in de factoren en

• Werk het product van de toegevoegde tweetermen uit:

(3x – 4) (3x + 4) =

De verkregen veelterm D (x)= kan je ontbinden in de factoren 3x – 4 en 3x +4 en is dus deelbaar door 3x – 4 en door 3x + 4.

• Bepaal het quotiënt van de deling van D (x) = 9x 2 – 25 door d (x) = 3x + 5.

9x 2 – 25 = (3x + 5) ⇒ q (x) =

Oefeningen

Oefeningen

REEKSA

7 Berekenhetquotiëntzonderstaartdeling.

a)8 x 5 +6 x 3 +24 2

b)7x 4 +5x 2 + x x

c)12 x 5 −72 x 2 +9 x 3x d)−2 x 4 −3 x 3 + x 2 x 2 e)4 x 7 −3 x 3 +12 x 2 2 x 2

Proefversie©VANIN

8 BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x).

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x).

D (x)

D (x)

a)D(x)=4x 2 −8 d (x)=2 x c)D(x)=2 x 4 −3 x 2 d(x)=4x 3

q (x)= en r(x)=

q (x)= en r (x)=

b)D(x)=−2 x 3 +3 x 2 +5 d (x)=6 x 2

D (x)

q (x)= en r (x)=

d)D(x)=4 x 3 −10 x 2 +7 xd (x)=−2 x

D (x)

q (x)= en r (x)=

Bepaalhetdeeltal.

Proefversie©VANIN

a) deeltal:

b) deeltal:

c) deeltal: d) deeltal: e) deeltal:

R 10 Berekenhetquotiëntenderestvandedelingvan D (x)door d (x).

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van (x) door d (x).

a)D(x)=28 x 2 +53 x +31 d (x)=4x +3

D (x)

q (x)=

r (x)=

b)D(x)=6 x 3 +16 x 2 x −6

D (x)

q (x)=

r (x)=

D (x)

D (x)

d)D(x)=6 x 2 +3x −8 d (x)=2 x −4

Proefversie©VANIN

q (x)=

r (x)=

D (x)

(x)=3 x +2e)D(x)=−4 x 3 +7 x 2 +7 x

q (x)=

r (x)=

D (x)

c)D(x)=6 x 2 +5 x +8 d (x)= x +4f)D(x)=−4 x 2 +2 x −5 d (x)= x 2 −1

q (x)=

r (x)=

q (x)=

r (x)=

R 11 BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x).Maakdeproef.

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x).

D (x)

a)D(x)=−3 x 3 −14 x 2 −16 x −7

d (x)= x 2 +4 x +3

Proefversie©VANIN

q (x)= en r (x)=

Proef:

D (x)

b)D(x)=−6 x 4 +7 x 3 −17 x 2 +11 x −8

d (x)=2 x 2 x +1

q (x)= en r (x)=

Proef:

R 12

BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x).Maakdeproef.

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x). Maak de proef.

D (x)

+

a)D(x)= x 5 x 3 +5 d (x)= x 3 +3

Proefversie©VANIN

q (x)= en r (x)=

Proef:

D (x)

3

b)D(x)= x 4 −3x 3 + xd (x)= x 2 + x +1

q (x)= en r (x)=

Proef:

Ontbind D (x) in

a) D (x) = x 4 + 2 x 3 – 2 x 2 + 7 x – 2 = (x 2 + 3x - 1) ? ( )

Proefversie©VANIN

b) D (x) = 4x 5 + 9 x 3 + 4 x 2 + 9 = (4x 2 + 9) ? ( )

14 Losop.

a)Bereken a en b zodat ax 3 + bx 2 +3 x +2deelbaarisdoor x 2 + x +1. Berekenhetquotiënt.

Proefversie©VANIN

Antwoord: a = en b = en q (x)=

b)Bereken a en b zodatbijdelingvan2 x 3 + ax 2 + bx +1door2 x 2 −3 x +1derest3 x −4is. Berekenhetquotiënt.

Antwoord: a = en b = en q (x)=

5.3.1

4.3.1

De regel van Horner

DeregelvanHorner

Jebepaalthetquotiëntenderestvandedelingvan2 x 3 −3 x 2 −4 x +2door x −3.

Proefversie©VANIN

Bijhetmakenvaneenstaartdelingrekenjeeigenlijkenkelmetdecoëfficiënten.

DeregelvanHorner

Jekuntdecoëfficiëntenschikkeninhetvolgendeschema.

2−3−42

3 2

2−3−42

Jelaatdeeerstecoëfficiëntvanhetdeeltalzakken.

Jevermenigvuldigtdatgetalmet a Hetverkregenproductschrijfje onderdetweedecoëfficiëntvanhetdeeltal. 3 6 2

2− 3−42

Jeteltdecoëfficiëntenhetproducteronderop. 3 6 23

2−3−42

3 6915 23517

2−3−42

Jeherhaaltdezewerkwijze voorallecoëfficiëntenvanhetdeeltal. Jezeteenverticaalstreepjevóórhetlaatstegetal.

Deverkregenrijisdecoëfficiëntenrijvanquotiëntenrest. q (x)= r (x)= gr (q (x)) = gr (r (x)) = 3 6915 23517

Dit algoritme om snel het quotiënt en de rest van een deling door x – a (met a ∈ r) te berekenen, staat bekend als de regel van Horner

Ditalgoritmeomsnelhetquotiëntenderestvaneendelingdoor x−a teberekenen, staatbekendals deregelvanHorner

Opmerking

Zorgeraltijdvoordathetdeeltaleenvolledigeveeltermis.

Voorbeelden

Voorbeelden

Voorbeelden

a) D(x)=3 x 3 −4 x 2 −9 x +10

D (x)

a) D(x)=3 x 3 −4 x 2 −9 x +10

d (x)= x −2

d (x)= x −2

c) D(x)= x 3 +1

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

b) D(x)= −2 x 2 +5 x +7

D (x)

b) D(x)= −2 x 2 +5 x +7

d (x)= x +3

d (x)= x +3

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

c) D(x)= x 3 +1

D (x)

d (x)= x −1

d (x)= x −1

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

Proefversie©VANIN

D (x)

d) D(x)= x 4 x 2 +2 x +5

d) D(x)= x 4 x 2 +2 x +5

d (x)= x +2

d (x)= x +2

q (x)=

q (x)=

r (x)=

r (x)=

WilliamGeorgeHorner (1786-1837)waseenBritsewiskundige. HijstudeerdeaandeKingswoodSchoolinBristol.Opzijnveertiendewerd hijdaarassistent-directeurenopzijnachttiendewerdhijerzelfsdirecteur. OpzijndrieëntwintigstestichttehijeeneigenschoolinBath. Hijisbekendomzijnschemaomveeltermentedelendoor x a, dathijpubliceerdein1830.

WilliamGeorgeHorner (1786-1837)waseenBritsewiskundige. HijstudeerdeaandeKingswoodSchoolinBristol.Opzijnveertiendewerd hijdaarassistent-directeurenopzijnachttiendewerdhijerzelfsdirecteur. OpzijndrieëntwintigstestichttehijeeneigenschoolinBath. Hijisbekendomzijnschemaomveeltermentedelendoor x a, dathijpubliceerdein1830.

de duivel) uit: met dat apparaat kon hij beelden laten bewegen (de voorloper van de film).

In1834vondhijookhet‘Daedalum’(wielvan deduivel)uit.Eenapparaatwaarmeehijbeelden konlatenbewegen(devoorlopervandefilm). Vreemdgenoegwerdzijnuitvindingvergeten. PasmeerdandertigjaarlaterwerderinAmerikaeenpatentopgenomen doorWilliamF.Lincoln.

Lincolnvervingdenaam‘Daedalum’door‘zoetrope’of‘levendwiel’.

In1834vondhijookhet‘Daedalum’(wielvan deduivel)uit.Eenapparaatwaarmeehijbeelden konlatenbewegen(devoorlopervandefilm). Vreemdgenoegwerdzijnuitvindingvergeten. PasmeerdandertigjaarlaterwerderinAmerikaeenpatentopgenomen doorWilliamF.Lincoln. Lincolnvervingdenaam‘Daedalum’door‘zoetrope’of‘levendwiel’.

Oefeningen

Oefeningen

REEKSA

15 BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x)metderegelvanHorner.

a)D(x)=5 x 3 +7 x 2 x +11

d (x)= x −2

q (x)=

r (x)=

b)D(x)= x 4 −2 x 3 +8 x 2 −16 x

d (x)= x +2

q (x)=

r (x)=

c)D(x)= x 4 −27

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x) met de regel van Horner. D ( ) D (x) D (x) D ( ) D (x) D (x)

d (x)= x −3

d)D(x)= x 5 +3 x 4 +2 x 3 +6 x 2 +7 x +21

d (x)= x +3

q (x)=

r (x)=

e)D(x)=− x 3 +9 x 2 −1

d (x)= x −4

q (x)=

r (x)=

f)D(x)=2 x 5 +10 x 4 + x 2 +2 x

d (x)= x +5

−190−1 4 −42080 −152079 2100120 −5−1000−515 2001−315

1−28−160 −2 −28−3296 1−416−4896 1000−27 3 392781 1392754 1326721 −3 −30−60−21 102070

q (x)= q (x)=

r (x)=

r (x)= 57−111 2 103466 5173377

16 BerekenhetquotiëntenderestvandedelingvanD(x)door d (x)metderegelvanHorner.

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x) met de regel van Horner.

a)D(x)= x 2 +3 x −9

d (x)= x 1 2

D (x)

d (x)= x −3

q (x)= q (x)=

r (x)= r (x)=

b)D(x)=4 x 3 −7 x +3

D (x D (x)

D (x)

) = + 3 9 ) = ) = ) = ) = ) = ) = 2 ) = ) =

d)D(x)= x 3 1 2 x 2 −8 x + 3 2

Proefversie©VANIN

e)D(x)= 6 5 x 4 −2 x 3 21 20 x + 9 4

d (x)= x + 3 2 d (x)= x 5 3 q (x)=

(x)=

D (x

x)= x 3

)= x +2

(x)=

(x)=

)=

17 Vervolledig het rekenschema van Horner en bepaal telkens het deeltal, de deler, het quotiënt en de rest. a)

D (x)=

d (x)=

q (x)=

r (x)=

Proefversie©VANIN

x) =

(x) =

(x) = r (x) =

D (x) = d (x) = q (x) =

r (x) =

18 Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x) met de regel van Horner (a ∈ r 0). a) D (x)= – 3ax 3 + ax 2 – 2ax +4a d (x)= x +2

d (x)= x – a

q (x) =

r (x)= b) D (x)=2ax 3 – a 2x 2 +3a 3x – a 4

q (x) =

r (x)=

5.3.2 Dereststelling

4.3.2 De reststelling

5.3.2 Dereststelling

Berekenderestvandedeling.

(−3 x 4 −8 x 3 −7 x 2 +5 x + 3):(x +2)

Berekenderestvandedeling. (−3 x 4 8 x 3 7 x 2 + 5 x + 3):(x + 2)

−3−8−753

−3−2−311−19

−2 646−22

r (x)=

r (x) =

Stel: f (x)=−3 x 4 −8x 3 −7 x 2 +5 x +3

Stel: f (x)=−3 x 4 −8x 3 −7 x 2 +5 x +3

Stel: D (x) = D (– 2).

(– 2)

Berekendegetalwaarde f (−2). f (−2) =

Berekendegetalwaarde f (−2). f (−2)=−3 (−2) 4 −8 (−2) 3 −7 (−2) 2 +5 (−2)+3 = = = −3−8−753 −2 646−22

−3−2−311−19

Proefversie©VANIN

Watsteljevast?

Wat stel je vast?

Watsteljevast?

Om de rest van een deling van een veelterm D (x) door x – a te berekenen, volstaat het dus om D (a) te berekenen.

Omderestvaneendelingdoor x−a teberekenen,volstaathetdusom f (a)teberekenen.

Reststelling

Reststelling

Omderestvaneendelingdoor x a teberekenen,volstaathetdusom f (a)teberekenen.

Reststelling

Reststelling Derestvandedelingvaneenveelterm f (x)door x−a isgelijkaan f (a).

Kenmerk De rest van de deling van een veelterm D (x) door x – a (met a ∈ℝ) is gelijk aan D (a).

Reststelling Derestvandedelingvaneenveelterm f (x)door x a isgelijkaan f (a).

Bewijs

f (x)=(x−a) q (x)+ r (x)

x a x a ) = (x a

Bewijs

Bewijs

gr (r (x)) 1of r (x)=0 ⇒ r (x) R

stel r (x)= r

Criterium

Criterium

D (x) = (x – a) q (x) + r (x) ⇓ gr (r (x)) < 1 of r (x) = 0 ⇒ r (x) ∈ r stel r (x) = r

f (x)=(x−a) q (x)+ r

f (x) = (x a) q (x) + r (x) gr (r (x)) 1of r (x) = 0 ⇒ r (x) R

stel r (x) = r

D (x) = (x – a) ? q (x) + r

f (a)=(a−a) q (a)+ r

f (x) = (x a) q (x) + r

f (a)=0 q (a)+ r

⇓ bereken de getalwaarde D (a)

f (a) = (a a) q (a) + r

f (a)= r

f (a) = 0 q (a) + r

f (a) = r

D (a) = (a – a) ? q (a) + r = 0 q (a) + r = r

Voorbeelden

Bepaalderestzonderdedelinguittevoeren.

Voorbeelden

Bepaalderestzonderdedelinguittevoeren.

Deelbaarheidscriterium

Eenveeltermisdeelbaardooreenandereveeltermalsderest0is.

Deelbaarheidscriterium

Kenmerk van deelbaarheid door x – a

Eenveeltermisdeelbaardooreenandereveeltermalsderest0is.

Eenveelterm f (x)isdeelbaardoor x−a alsenslechtsals

Een veelterm is deelbaar door een andere veelterm als en slechts als de rest 0 is.

f (a)=0.

Kenmerk Een veelterm D (x) is deelbaar door x – a (met a ∈ℝ) ⇔ D (a) = 0

Eenveelterm f (x)isdeelbaardoor x a alsenslechtsals

f (a) = 0.

5.3.3 Toepassing:demethodevandeonbepaaldecoëfficiënten

5.3.3 Toepassing:demethodevandeonbepaaldecoëfficiënten

Modeloefening1

Modeloefening 1

Modeloefening1

Bij deling van D (x)

Bijdelingvan f (x)= x 3 + ax 2 +16 x +21door x +3isderest0. Bepaaldecoëfficiënt a

Bijdelingvan f (x) = x 3 + ax 2 + 16 x + 21door x + 3isderest0. Bepaaldecoëfficiënt a

Jegebruiktdereststelling: f (−3)=(−3) 3 + a (−3) 2

Jegebruiktdereststelling:

D (– 3)

Proefversie©VANIN

= (−3) 3

Modeloefening2

Modeloefening 2

Modeloefening2

Bij deling van D (x)

Bijdelingvan f (x)= ax 3 + bx 2 +2x +1door x −2isderest1enbijdelingdoor x −3isderest4. Bepaaldecoëfficiënten a en b

Bijdelingvan f (x) = ax 3 + bx 2 + 2x + 1door x 2isderest1enbijdelingdoor x 3isderest4. Bepaaldecoëfficiënten a en b

Jegebruiktdereststelling:

Jegebruiktdereststelling:

D (2)

D (3)

Jeverkrijgthetstelsel

Je verkrijgt het stelsel S

Jeverkrijgthetstelsel

Je lost dit stelsel op om de waarde van a en b te vinden.

Modeloefening3

Modeloefening3

Bijdelingvan f (x)door x −2isderest3enbijdelingdoor x −4isderest5. Berekenderestvandedelingvan f (x)door(x −2) (x −4).

f (x)= q (x) d (x)+ r (x)

f (x)= q (x) (x −2) (x −4)+ r (x)

Bijdelingvan f (x)door x 2isderest3enbijdelingdoor x 4isderest5. Berekenderestvandedelingvan f (x)door(x 2) (x 4). f (x) = q (x) d (x) + r (x) f (x) = q (x) (x 2) (x 4) + r (x)

Aangeziengr(d (x)) =2isgr (r (x)) 1. r (x)isdusvandevorm ax + b

Aangeziengr(d (x)) = 2isgr (r (x)) 1. r (x)isdusvandevorm ax + b

f (x)= q (x) (x −2) (x −4)+(ax + b)

f (x) = q (x) (x 2) (x 4) + (ax + b)

Uithetgegevenhaalje: f (2)=3en f (4)=5.

Uithetgegevenhaalje: f (2) = 3en f (4) = 5.

Dus: a = b =

f (2) = q (2) (2 2) (2 4) + (2 a + b) = q (2) 0 + (2 a

f (2)= q (2) (2−2) (2−4)+(2 a + b)= q (2) 0+(2 a + b)=2 a + b =3

f (4)= q (4) (4−2) (4−4)+(4 =5

Jeverkrijgthetstelsel

Jeverkrijgthetstelsel 2 a + b 4 a + b MetICTvindjealsoplossingen a =1 b =1

Antwoord:derestvandedelingvan

Antwoord:derestvandedelingvan 1.

4.3.4 Deling van een veelterm door (x – a) ? (x – b)

Inleiding

Bij deling van een getal door 3 is de rest 2 en bij deling van dat getal door 5 is de rest 3. Als je dat getal deelt door 15 (= 3 5), dan is de rest altijd gelijk aan 8. Je ziet drie voorbeelden.

Proefversie©VANIN

Voor een veelterm D (x) de rest bij deling door (x – a) ? (x – b) bepalen aan de hand van de resten bij deling door x – a en door x – b.

Modeloefening

Bij deling van D (x) door x – 2 is de rest 3 en bij deling door x – 4 is de rest 5.

Bereken de rest van de deling van D (x) door (x – 2) ? (x – 4)

D (x) = d (x) ? q (x) + r(x)

D (x) = (x – 2) ? (x – 4) ? q (x) + r (x) ⇓ gr (r (x)) < gr (d (x)) =2 ⇒ gr (r

D (x) = (x – 2) ? (x – 4) ? q (x) + ax + b

De rest van de deling van D (x) door x – 2 is 3 ⇒ D (2) = 3 (reststelling)

D (2) = (2 – 2) (2 – 4) q (2) + a 2 + b = 3 ⇔ 0 (– 2) q (2) + 2a + b = 3 ⇔ 2a + b = 3

De rest van de deling van D (x) door x – 4

D (4) = (4 – 2) ? (4 – 4) ? q (4) + a ? 4 + b = 5 ⇔ 2 ? 0 ? q (4) + 4a + b = 5 ⇔ 4a + b = 5

Je lost het stelsel S 2a + b = 3 4a + b = 5 op.

(4) = 5

Dus: de rest van de deling van D (x) door (x – 2) ? (x – 4) is

Kenmerk van deelbaarheid door (x–a) ? (x–b)

Gegeven is de veelterm D (x) = 2x 4 – x 3 – 16x 2 – 3x + 18

• x + 2 is een deler van D (x) want

x – 3 is een deler van D (x) want

• (x + 2) ? (x – 3) = x 2 – x – 6

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door x 2 – x – 6.

Proefversie©VANIN

q (x) = r (x) =

Besluit:

Kenmerk Een veelterm D (x) is deelbaar door (x – a) (x – b), met a ≠ b

D (x) is deelbaar door x – a en door x – b

Bewijs

D (x) is deelbaar door (x – a) ? (x – b) ⇓ eigenschap deelbaarheid

D (x)=(x – a) ? (x – b) ? q (x)

Stel: q1 (x)=(x – b) q (x)

Dan: D (x)=(x – a) ? q1 (x)

Stel: q2 (x)=(x – a) ? q (x)

Dan: D (x)=(x – b) q2 (x)

⇒ D (x) is deelbaar door x – a en door x – b

D (x) is deelbaar door x – a ⇓ eigenschap deelbaarheid

D (x)=(x – a) ? q1 (x) (1)

D (x) is deelbaar door x – b ⇕ kenmerk vandeelbaarheid

D (b)=0 ⇔ (b – a) q1 (b)=0 ⇔ q1 (b)=0 b – a ≠ 0

⇒ q1 (x) is deelbaar door x – b

⇒ q1 (x)=(x – b) q (x) (2)

Uit (1) en (2) ⇒ D (x)=(x – a) ? (x – b) ⋅ q (x)

⇒ D (x) is deelbaar door (x – a) ? (x – b)

REEKSA

17 Berekenderestzonderdedelinguittevoeren. deeltal

a)2 x 3 +8 x 2 +5 x −17 x −1

x

18 Kleurdehokjeswaarineenveeltermstaatdiedeelbaarisdoor x

Watsteljevastbijdecoëfficiëntenvandeveeltermendiedeelbaarzijndoor

19 Bepaaldewaardevan p zodat d (x)eendelerisvan f (x).

21 Bepaal de waarde van d (x) een deler is van D (x).

19 Bepaaldewaardevan p zodat d (x)eendelerisvan f (x).

f (x) d (x) berekeningen p

f (x) d (x) berekeningen p

a) x 3 +5 x 2 px x −2

a) x 3 + 5 x 2 px x 2

b) x 4 + px 3 −3 x −15 x +3

b) x 4 + px 3 3 x 15 x + 3

JOBNAME:Pienter.4TSO.lwsPAGE:23SESS:682OUTPUT:FriMar3009:11:462018

c)2 x 4 −5 x 2 −8 x 3 + px x −4

c)2 x 4 5 x 2 8 x 3 + px x 4

d)7 x 3 +33 x 2 + px x +5

d)7 x 3 + 33 x 2 + px x + 5

22 Bepaal de waarde van zodat de rest van de deling van D (x) door d (x) gelijk is aan r. D ( )

20 Bepaaldewaardevan p zodatderestvandedelingvan f (x)door d (x)gelijkisaan r

20 Bepaaldewaardevan p zodatderestvandedelingvan f (x)door d (x)gelijkisaan r.

19 Bepaaldewaardevan p zodat d (x)eendelerisvan f (x).

D (x

f (x) d (x) r berekeningen p

f (x) d (x) r berekeningen p

Proefversie©VANIN

f (x) d (x) berekeningen p

a) x 3 +8 x 2 +7 x + px + 16

a) x 3 + 8 x 2 + 7 x + px + 16

a) x 3 + 5 x 2 px x 2

b)2 x 4 −2 x 3 + px 2 x −10 x 1−8

b)2 x 4 2 x 3 + px 2 x 10 x 1−8

b) x 4 + px 3 3 x 15 x + 3

c)4x 3 +8x 2 + px −3 x +211

c)4x 3 + 8x 2 + px 3 x + 211

c)2 x 4 5 x 2 8 x 3 + px x 4

d) px 4 +4 x 3 +3 x 2 −6 x −9 x 29

d) px 4 + 4 x 3 + 3 x 2 6 x 9 x 29

d)7 x 3 + 33 x 2 + px x + 5

23 Bepaal de coëfficiënten a en b.

a) De veelterm x 3 + ax 2 + bx – 12 is deelbaar door x + 2 en x – 2.

Antwoord: a = b =

b) Bij deling van x 3 + ax 2 + 11x + b door x – 1 en x – 2 is de rest telkens 5.

Proefversie©VANIN

Antwoord: a = b =

c) Bij deling van x 3 + ax 2 – bx – 5 door x + 2 en x + 3 is de rest telkens 7.

Antwoord: a = b =

d) Bij deling van ax 3 + bx 2 + 4x – 3 door x – 2 is de rest -7 en bij deling door x + 1 is de rest -4.

Antwoord: a = b =

24 Bepaal de rest van de deling.

a) Bij deling van D (x) door x + 1 is de rest 2 en bij deling door x – 2 is de rest 5.

Bepaal de rest bij deling van D (x) door (x + 1) ⋅ (x – 2)

Proefversie©VANIN

b) Bij deling van D (x) door x + 2 is de rest 3 en bij deling door x + 3 is de rest 2.

Bepaal de rest bij deling van D (x)door (x + 2) (x + 3)

C

25 Gegeven zijn de veeltermen D (x) = 3x 3 – 2x 2 – 19x – 6 en d (x) = x 2 – x – 6.

a) Toon aan dat d (x) deelbaar is door x + 2.

b) Ontbind d (x) in factoren.

c) Toon aan dat D (x) deelbaar is door d (x), zonder de deling uit te voeren.

Proefversie©VANIN

26 Toon aan dat D (x) = 3x 4 – 23x 2 – 36 deelbaar is door d (x) = x 2 – 9, zonder de deling uit te voeren.

27 Bepaal de rest van de deling van D (x) = –

=

+ 2

, zonder de deling uit te voeren.

4.4 Tweetermen van de vorm a 3 – b 3 en a 3 + b 3 ontbinden in factoren

Tweetermen van de vorm a 3 – b 3 voorbeeld algemeen

Gegeven is de veelterm D (x) = x 3 – 8

D (x) is deelbaar door x – 2

want D (2) = 2 3 – 8 = 8 – 8 = 0

Je deelt x 3 – 8 door x – 2 :

Proefversie©VANIN

Gegeven is de veelterm D (a) = a 3 – b 3

D (a) is deelbaar door a – b

want D (b) = b 3 – b 3 = 0

Je deelt a 3 – b 3 door a – b :

q (x) = x 2 + 2x + 4 x 3 – 8 = d (x) q (x) = (x – 2) (x 2 + 2x + 4)

Formule a 3 – b 3 = (a–b) (a 2 +ab+ b 2)

Tweetermen van de vorm a 3 + b 3 voorbeeld algemeen

Gegeven is de veelterm D (x) = x 3 + 8

D (x) is deelbaar door

want

Je deelt x 3 + 8 door :

Gegeven is de veelterm D (a) = a 3 + b 3

D (a) is deelbaar door

want

Je deelt a 3 + b 3 door :

q (x) = x 3 + 8 =

Formule a 3 + b 3 = (a+b) ? (a 2 -ab+ b 2)

q (a) = a 3 + b 3 =

Voorbeelden

x 3 + 64 = x 3 + 4 3 = 8x 3 – 1 =

Oefeningen

REEKS B

28 Ontbind in factoren.

a) 1 – x 3 =

b) 125 + x 3 =

c) 27x 3 – 8 =

d) 343x 3 + y 3 =

e) 1 8 x 3 + 1 27 =

f) – x 3 + 64y 3 =

g) 216x 3 –1 8 =

h) – 8 27 x 3 + 1 64 =

Proefversie©VANIN

REEKS C

29 Ontbind in factoren.

a) 8x 4 – 27x =

b) – x 3 – 27y 3 =

c) x 6 + y 6 =

d) x 6 – y 6 = =

e) 27x 7 – 8xy 3 =

STUDIEWIJZER Deelbaarheid bij veeltermen

4.1 Veeltermen in één veranderlijke

Een veelterm is een som van eentermen.

KENNEN

Proefversie©VANIN

De graad van een veelterm in x is de hoogste exponent van de onbekende x in die veelterm.

KUNNEN

Veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen.

4.2 De euclidische deling van twee veeltermen

KENNEN

D (x) is deelbaar door d (x) ⇔ D (x) = d (x) q (x).

De euclidische deling van de veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, heeft als quotiënt de veelterm q (x) en als rest de veelterm r (x) als en slechts als

D (x) = d (x) q (x) + r (x) waarbij gr (r (x)) < gr (d (x)) of r (x) = 0.

Bij de deling van een veelterm D (x) door de veelterm d (x), waarbij d (x) ≠ 0, bestaat er juist één quotiënt q (x) en juist één rest r (x).

KUNNEN

De euclidische deling van veeltermen in één veranderlijke uitvoeren.

De uniciteit bewijzen van quotiënt en rest bij een euclidische deling van veeltermen.

4.3 Deling door x – a KENNEN

De rest van de deling van een veelterm D (x) door x – a (met a ∈ r) is gelijk aan D (a).

Een veelterm D (x) is deelbaar door x – a (met

Een veelterm D (x) is deelbaar door (x – a) (x – b) , met a ≠ b als en slechts als D (x) is deelbaar door x – a en door x – b

0.

KUNNEN

De deling van een veelterm door x – a uitvoeren met de regel van Horner.

De reststelling bewijzen en toepassen.

Oefeningen oplossen met de methode van de onbepaalde coëfficiënten.

De rest bepalen bij deling van een veelterm door (x – a) (x – b) door gebruik te maken van de resten bij deling door x – a en door x – b

4.4 Tweetermen van de vorm a 3 – b 3 en a 3 + b 3 ontbinden in factoren

KUNNEN

Tweetermen van de vorm a 3 + b 3 en a 3 – b 3 ontbinden in factoren.

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Een getal heeft zeven cijfers. Het eerste cijfer is gelijk aan het aantal nullen in het getal, het tweede gelijk aan het aantal enen, het derde gelijk aan het aantal tweeën, enzovoort, tot aan het zevende cijfer, dat gelijk is aan het aantal zessen. Bepaal dat getal.

2. In de figuur staan drie cirkels en van twee ervan is de diameter gekend.

De oppervlakte van het blauwe gebied is gelijk aan de oppervlakte van het lichtrode gebied. Wat is de diameter van de derde cirkel? (JWO, tweede ronde 2023)

(a) 16 cm(b) 18 cm(c) 20 cm(d) 22 cm

3. Je koopt een broek en krijgt 25 % korting. Als trouwe klant van de winkel krijg je daarbovenop nog een extra korting van 15 %. Hoeveel procent korting krijg je in totaal?

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Proefversie©VANIN

6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 186

6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 197

6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 211

6.4 Spreidingsmaten

6.5 Symmetrische en scheve verdelingen

6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens

6.1.1 Gegevens

verzamelen

In 2014-2015 werd, in opdracht van de FOD volksgezondheid, een Belgische nationale voedselpeiling gehouden. Het doel van die peiling was om de voedingsinname en -gewoontes van de Belgische bevolking te onderzoeken.

3200personen

Proefversie©VANIN

1600mannen1600vrouwen

3-5jaar6-9jaar10-17jaar18-39jaar40-64jaar 500 kleuters 500 kinderen 1000 adolescenten 600 jongvolwassenen 600 volwassenen

Bron:CuypersK.,LebacqT.,TeppersE.(eds.), Voedselconsumptiepeiling2014-2015(WIV-ISP)

Over welk soort steekproef gaat het hier?

De populatie bij dat onderzoek was de volledige Belgische bevolking. Omdat het niet realistisch is om de volledige populatie te ondervragen, werd een steekproef getrokken. Daarvoor werden 3 200 personen geselecteerd en onderverdeeld in 64 groepen van 50 personen, verdeeld over alle provincies in België.

De ondervraagde personen (de respondenten) zijn de elementen van de steekproef. geslacht

manvrouw

vermageren22 %35 %

gewicht stabiel houden

44 %46 %

bijkomen5 %2 %

geen zorgen30 %18 %

Bron:CuypersK.,LebacqT.,TeppersE.(eds.), Voedselconsumptiepeiling2014-2015(WIV-ISP)

Het staafdiagram toont hoeveel procent van de ondervraagden minstens vijf dagen per week ontbijt. Welk soort gegevens zijn hier verwerkt?

Een andere vraag was hoeveel tijd men besteedt aan het ontbijt.

Welk soort gegevens levert dat kenmerk op?

Een van de kenmerken die men onderzocht, was de houding ten opzichte van het persoonlijke lichaamsgewicht.

Dat kenmerk leverde niet-geordende categorische gegevens op.

Het resultaat van de enquête vind je in de frequentietabel hiernaast.

minstens vijf dagen ontbijt per week

mannenvrouwen

Bron:CuypersK.,LebacqT.,TeppersE.(eds.), Voedselconsumptiepeiling2014-2015(WIV-ISP)

6.1.2 Categorische gegevens verwerken

Een frequentietabel opstellen

Een van de onderwerpen van de voedselconsumptiepeiling was het onderzoek naar de reden waarom mensen biologische producten kopen.

reden aankoop biologische producten

De producten zijn gezonder. 53 %

De smaak van de producten is beter.38 %

De kwaliteit van de producten is beter.38 %

De producten zijn beter voor het milieu.31 %

Bron:CuypersK.,LebacqT.,TeppersE.(eds.), Voedselconsumptiepeiling2014-2015(WIV-ISP)

Wat valt er op als je de percentages bekijkt?

Hoe komt dat?

Proefversie©VANIN

aan 60 mensen die in de supermarkt bioproducten kochten, werd gevraagd wat de belangrijkste reden was voor hun aankoop.

GZ = de gezondheid; SM = de smaak; KW = de kwaliteit; MI = het milieu.

Stel een frequentietabel op.

KWGZSMMIGZKW

SMKWMIGZSMMI

KWSMGZSMMIGZ

GZMIGZKWKWSM

KWGZSMGZGZMI

GZMIKWSMGZKW

KWSMMIGZMIGZ

KWGZGZKWSMKW

SMGZSMKWGZKW

KWSMMIGZKWMI

reden nifi

GZ

SM KW MI

• Hoeveel mensen die bioproducten kopen, doen dat niet vanwege het milieu?

• Hoeveel procent van de klanten koopt bio vanwege de smaak of de kwaliteit?

staafdiagram

belangrijksteredentotaankoopvanbioproductenbij60mensen

Proefversie©VANIN

GZ=gezondheid;SM=smaak;KW=kwaliteit;MI=milieu

cirkeldiagram

belangrijksteredentotaankoopvanbioproductenbij60mensen

GZ=gezondheid;SM=smaak;KW=kwaliteit;MI=milieu

Oefeningen

REEKS B

1 Op de site van Brussels Airport in Zaventem werken meer dan 20 000 mensen. Aan 80 van hen wordt gevraagd uit welk landsgedeelte ze afkomstig zijn.

VL = Vlaamse Gemeenschap; FR = Franse Gemeenschap; DU = Duitstalige Gemeenschap; BR = Brussel.

FRvLvLBRFRvLDUFRvLBR vLFRvLvLFRFRvLBRBRvL BRvLFRFRvLBRFRvLvLvL FRFRvLBRvLFRvLvLBRFR vLvLFRvLDUBRFRFRvLBR BRFRvLFRFRvLFRvLvLFR vLFRFRvLFRBRvLDUFRvL DUFRvLBRvLvLFRFRBRvL

a) Stel een frequentietabel op.

b) Teken met IcT een staafdiagram voor de absolute frequentie.

c) Teken met IcT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.

d) Hoeveel van de 80 respondenten zijn afkomstig uit de vlaamse Gemeenschap of Brussel?

e) Hoeveel procent is niet afkomstig uit de Franse Gemeenschap?

f) Op 1 december 2021 werkten 28 836 mensen op de site. Hoeveel daarvan zouden, volgens de steekproef, uit de Duitstalige Gemeenschap komen?

Proefversie©VANIN

g) Druk het verschil uit tussen het aantal werknemers uit de vlaamse Gemeenschap en het aantal werknemers uit de Franse Gemeenschap.

• in procentpunt:

• in procent:

Een frequentietabel opstellen

Groenten en fruit horen bij een gezonde levensstijl.

• De aanbevolen consumptie van fruit bedraagt twee stukken per dag.

• Slechts 9 % van de bevolking (3-64 jaar) voldoet aan de aanbeveling.

• Twee op de drie (64 %) jonge kinderen (3-5 jaar) halen wel de richtlijn voor fruit.

Bron:CuypersK.,LebacqT.,TeppersE.(eds.), Voedselconsumptiepeiling2014-2015(WIV-ISP)

aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten.

Stel een frequentietabel op.

• Welk deel van de leerlingen at gisteren twee stukken fruit?

• Hoeveel leerlingen aten gisteren drie of vier stukken fruit?

• Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van het waarnemingsgetal 3.

• Hoeveel procent van de ondervraagde leerlingen at gisteren minstens één stuk fruit?

• Is de steekproef die hier is uitgevoerd, een goede steekproef? Waarom (niet)?

Grafische voorstellingen

staafdiagram

fruitconsumptiebij48vierdejaars

Proefversie©VANIN

aantalstukkenfruitperdag

lijndiagram aantal leerlingen

fruitconsumptiebij48vierdejaars

aantalstukkenfruitperdag

cumulatief staaf- en lijndiagram

cumulatief relatief aantal leerlingen 041235

fruitconsumptiebij48vierdejaars aantalstukkenfruitperdag

REEKS B

Een vegetariër eet geen vlees en geen vis. Iemand die wel vis eet, maar geen vlees, is een pescotariër

Veganisten bannen alle dierlijke producten (dus ook melk, eieren, lederwaren …) uit hun leven. Mensen die, vanwege hun gezondheid of uit zorg voor het milieu, op sommige dagen geen vlees of vis eten, noem je flexitariërs

2 Aan 110 Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten.

Proefversie©VANIN

a) Stel een frequentietabel op.

b) Hoeveel procent van de gezinnen is vegetarisch?

c) Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van 2.

d) Hoeveel gezinnen eten meer dan de helft van de dagen geen vlees of vis?

6.1.4 Centrummaten bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens

(rekenkundig) gemiddelde mediaan modus

Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:

x = x i i = 1 n n

De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen, is het getal met rangorde n + 1 2

De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.

Proefversie©VANIN

je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de oorspronkelijke gegevens.

Welke centrummaten worden gebruikt in deze vier voorbeelden?

In vergelijking met 2010 is de consumptie van brood in 2020 afgenomen. De consumptie van fruit is gelijk gebleven.

Eenpersoonshuishoudens zijn het meest voorkomende huistype.

De helft van de tieners in Limburg leest minstens twee boeken per maand.

vruchtbaarheidsgraadwereldwijd

1960197019801990200020102020

Bron:data.worldbank.org

2019: vruchtbaarheidsgraad wereldwijd gehalveerd tot 2,4 (als het getal onder 2,1 zakt, begint de bevolking te krimpen)

Centrummaten uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen

Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten.

vul de frequentietabel aan.

xinificnicfi

07 110 29 314 48 511 68 76

Proefversie©VANIN

• Om het gemiddelde te berekenen, gebruik je de formule x = n i x i i = 1 k n

Daarbij is k het aantal verschillende gegevens.

x =

Schat het totale aantal gemaakte fouten, als er 150 leerlingen het dictee maken.

• De mediaan bepaal je met behulp van de cumulatieve frequentieverdeling.

Geef de betekenis van de mediaan:

• Wat is het meest voorkomende aantal fouten?

• De leerkracht trekt één punt af per gemaakte fout. Bereken het klasgemiddelde op 10.

• Welke centrummaat wordt beïnvloed als een van de leerlingen die zeven fouten maakte, tien fouten had gemaakt?

Oefeningen

REEKS B

3 Juist of fout? Duid aan met een vinkje en verklaar je antwoord. juistfout

a)De mediaan is niet vatbaar voor uitschieters.

Proefversie©VANIN

b) als de leerkracht na een toets zegt dat je bij de betere helft van de klas hoort, dan ligt je score boven het gemiddelde.

c) als je de punten van twee klassen van dezelfde richting voor een proefwerk wilt vergelijken, gebruik je de mediaan.

d) als je wilt aantonen dat een bepaald gegeven het meest voorkomt, gebruik je de modus.

e)Het is mogelijk dat alle gegevens, op één na, kleiner zijn dan het gemiddelde.

4 Welke centrummaat werd gebruikt bij de onderstaande onderzoeksresultaten?

a) Kinderen ontbijten vaker dan tieners.

b) De helft van de mensen heeft minstens drie cOvID-19-zelftesten gedaan in 2021.

c) Nederlanders zijn groter dan Belgen.

5 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken.

Proefversie©VANIN

a) vul de frequentietabel aan.

b) De helft van de bedienden dronk minstens koppen.

c) In een ander bedrijf werken 95 bedienden.

Schat hoeveel koppen koffie men daar per dag moet voorzien.

6 Het cirkeldiagram toont de grootte van de huishoudens in Vlaanderen in 2021. Het aantal huishoudens met meer dan zes personen werd niet opgenomen in het onderzoek.

a) Bepaal de modus.

b) Geef de betekenis van de modus.

e) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Hoe groot is het gemiddelde huishouden in vlaanderen?

d) Bepaal de mediaan.

6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens

6.2.1 Gegroepeerde

frequentietabel

Onderzoek naar de massa (in kg) van de zesdejaars in een school leverde de volgende resultaten op.

Op het staafdiagram zie je dat er maar liefst 33 verschillende waarden zijn, elk met een absolute frequentie gelijk aan 1, 2 of 3.

Daarom is het overzichtelijker om de gegevens in klassen te groeperen

• Een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open in zijn bovengrens.

Bijvoorbeeld: de klasse [45, 50[.

De grenzen van de klasse noem je de klassengrenzen

• Het klassenmidden mi is het gemiddelde van de klassengrenzen van de i-de klasse.

Bijvoorbeeld: het midden van de klasse [45, 50[ is 45 + 50 2 = 47,5.

• De klassenbreedte is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van de klasse.

je kiest voor alle klassen een gelijke klassenbreedte.

Bijvoorbeeld: de breedte van de klasse [45, 50[ is 50 – 45 = 5.

• Het aantal klassen is minimaal 5 en maximaal 15.

• Het kleinste gegeven behoort tot de eerste klasse en het grootste gegeven tot de laatste klasse.

[45, 50[47,5

Proefversie©VANIN

75[72,5

[75, 80[77,5 11 16,18 %4769,12 %

85[82,5

90[87,5

95[92,5 4

als je de resultaten onderbrengt in een gegroepeerde frequentietabel, zie je alleen nog dat er bijvoorbeeld zes gegevens tot de klasse [50, 55[ behoren. Wat die gegevens zijn, is niet meer zichtbaar. Dat houdt een verlies aan informatie in.

• Hoeveel leerlingen wegen tussen 65 kg en 70 kg?

• Geef de betekenis van de relatieve frequentie van de derde klasse.

• Hoeveel procent van de leerlingen weegt tussen 70 kg en 80 kg?

• Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de derde klasse.

• Hoeveel procent van de leerlingen weegt minstens 85 kg?

6.2.2 Grafische voorstellingen

Histogram

De frequentie bij de gegroepeerde gegevens over de massa van de zesdejaars stel je voor door een histogram

Een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens.

Op de horizontale as plaats je de klassen en op de verticale as de frequentie.

Proefversie©VANIN

massazesdejaars

aantal leerlingen 10 12 8 4 2 6 0

[45,50[[50,55[[55,60[[60,65[[65,70[[70,75[[75,80[[80,85[[85,90[[90,95[

massa(kg)

Frequentiepolygoon

Een frequentiepolygoon is een type lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens en dat de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt.

De frequentiepolygoon sluit aan op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).

Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse van de steekproef voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.

Op die manier ontstaat een veelhoek of polygoon.

massa zesdejaars massa (kg) procentueel aantal leerlingen

Een ogief is een type cumulatief lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens en dat de roosterpunten (a1 , 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.

Bij die grafische voorstelling wordt de cumulatieve frequentie van elke klasse toegekend aan de klassenbovengrens bi van de klasse, wat logisch is, gelet op de betekenis van de cumulatieve frequenties.

De klassenondergrens a1 van de eerste klasse is de klassenbovengrens van de klasse voorafgaand aan de eerste klasse van de steekproef. Die klasse geef je de cumulatieve frequentie 0 of 0 %.

massa zesdejaars

Proefversie©VANIN

cumulatieve relatieve frequentie

massa (kg)

Los de vragen op met behulp van het ogief.

• Hoeveel procent van de leerlingen weegt minder dan 68 kg?

• Hoeveel leerlingen wegen tussen 76 kg en 85 kg?

• vanaf welke massa behoort een leerling tot het zwaarste kwart?

Frequentietabel

Om de klassenfrequenties te bepalen, gebruik je de functie INTERvaL(gegevensmatrix;interval_verw).

Proefversie©VANIN

Die functie telt van een geselecteerd gebied (de gegevensmatrix) hoeveel elementen in een interval ]a, b] liggen, waarbij a en b twee opeenvolgende getallen zijn van de intervalverwijzing.

Omdat je in de statistiek met intervallen van de vorm [a, b[ werkt, moet je een hulpkolom gebruiken: per klasse voer je de werkelijke klassenbovengrenzen in.

Open het bestand ‘massa.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Geef de werkelijke klassenbovengrenzen (w.k.b.) in de G-kolom in.

• Selecteer in één keer alle cellen waarin het resultaat van de telling moet komen (dat noem je een matrix). je selecteert dus de cellen c12 tot en met c21.

• Formule: =INTERvaL(a1:j7;G12:G21).

• Druk Shift + Ctrl + Enter om de matrix te verwerken.

• Het resultaat van de telling komt in de geselecteerde cellen.

• Werk de frequentietabel verder af.

Histogram

Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de absolute freqenties en voeg een staafdiagram in.

• Om de staven tegen elkaar te plaatsen:

■ Rechtermuisklik op een van de staven.

■ Gegevensreeks opmaken.

■ Breedte tussenruimte: 0 %.

• Kies voor een randkleur met een ononderbroken streep.

Proefversie©VANIN

Frequentiepolygoon

Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

klasse minifi

[40,45[42,500,00%

[45,50[47,534,41%

[50,55[52,568,82%

[55,60[57,5710,29%

[60,65[62,568,82%

[65,70[67,51014,71%

[70,75[72,545,88%

[75,80[77,51116,18%

[80,85[82,5913,24%

[85,90[87,5811,76%

[90,95[92,545,88%

[95,100[97,500,00%

• voeg boven rij 12 en onder rij 21 een nieuwe rij in en verwijder de opmaak.

• voer een nieuwe fictieve eerste klasse [40,45[ in met klassenmidden 42,5 en een nieuwe fictieve laatste klasse [95,100[ met klassenmidden 97,5.

• je geeft deze twee extra klassen een frequentie 0 (0 %).

• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en voeg een lijndiagram met markeringen in.

• Selecteer voor de horizontale as de klassenmiddens.

• vink alle rasterlijnen aan.

• Zet de aspositie op de maatstreepjes.

• De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

• Sla het bestand op om verder te gebruiken bij het ogief.

Ogief

Open het bestand dat je verkregen hebt na de frequentiepolygoon en ga als volgt te werk.

klasse cfi k.b.

[40,45[ 0,00% 45

[45,50[4,41% 50

[50,55[13,24% 55

[55,60[23,53% 60

[60,65[32,35% 65

[65,70[47,06% 70

[70,75[52,94% 75

[75,80[69,12% 80

[80,85[82,35% 85

[85,90[94,12% 90

[90,95[100,00% 95

• Geef de fictieve eerste klasse [40,45[ de cumulatieve frequentie 0 (0 %).

• Maak een extra kolom aan met de klassenbovengrenzen (k.b.). De bovengrens van de eerste klasse is 45, van de laatste klasse 95.

• Selecteer de cellen met de cumulatieve relatieve frequenties en voeg een lijndiagram in.

• Selecteer voor de horizontale as de klassenbovengrenzen.

• De verdere afwerking is analoog als bij de frequentiepolygoon.

• Pas het maximum van de verticale as aan: 1,0 i.p.v. 1,2 en kies 0,1 als primaire eenheid en 0,05 als secundaire eenheid.

GEOGEBRA

Oefeningen

REEKS A

7 Aan 100 jongeren werd gevraagd hoeveel zakgeld (in euro) ze per maand krijgen. zakgeldpermaand aantal jongeren 051015202530354045505560

a) Welke klasse telt het grootste aantal jongeren?

b) Hoeveel jongeren krijgen tussen 30 en 40 euro zakgeld?

c) Hoeveel procent van de jongeren krijgt minder dan 10 euro zakgeld?

Proefversie©VANIN

lichaamslengtejongens

8 Tijdens het medisch onderzoek meet de verpleegster de lichaamslengte. De frequentiepolygoon toont de lichaamslengte (in cm) van een groep jongens. lengte(cm)

145150155160165170175180185190195200

b) Hoeveel jongens werden tijdens het onderzoek gemeten?

c) Hoeveel jongens zijn kleiner dan 170 cm?

d) Hoeveel procent van de jongens meet 190 cm of meer?

a) Maak een frequentietabel.

lengte (cm) nicni

9 In een postkantoor houdt men de wachttijden aan het loket bij. Het diagram geeft een overzicht van die wachttijden (in min).

wachttijden aan het loket

a) Hoe noem je deze grafische voorstelling?

b) Hoeveel procent van de mensen moet minder dan vijf minuten wachten aan het loket?

Proefversie©VANIN

cumulatief

c) Hoeveel procent van de mensen moet acht minuten of meer wachten aan het loket?

d) voor hoeveel procent van de mensen bedraagt de wachttijd drie tot zes minuten?

wachttijd (min)

10 Aan alle leerlingen van het vierde jaar van een school werd gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen.

afstandtotschool

afstand(km)

a) Hoeveel leerlingen zitten er in die school in het vierde jaar?

b) Hoeveel leerlingen wonen op 10 km of minder van school?

c) Hoeveel leerlingen wonen op 12 km of verder van school?

d) Hoeveel leerlingen wonen op een afstand van 6 tot 10 km van school?

e) Hoeveel procent van de leerlingen woont op minder dan 4 km van school?

f) De veertig leerlingen van het vierde jaar die het dichtst bij school wonen, wordt gevraagd deel te nemen aan een enquête. In die enquête vraagt men ook hoe ver de leerlingen van school wonen. Tot welke klasse behoort dan de leerling die het verst van school woont?

11 Gedurende een aantal dagen werd het aantal bezoekers van een website bijgehouden.

Proefversie©VANIN

a) vervolledig de frequentietabel.

b) Gedurende hoeveel dagen werd het bezoekersaantal bijgehouden?

c) Teken met IcT een histogram voor de absolute frequentie.

d) Gedurende hoeveel dagen telde men tussen 100 en 250 bezoekers?

e) Hoeveel dagen werden er 200 of meer bezoekers geteld?

f) Teken met IcT het ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

g) Hoeveel procent van de dagen tel je tussen 125 en 225 bezoekers?

12 Aan de bezoekers van een film in een bioscoop wordt de leeftijd (in jaren) gevraagd.

17253444423818164155573838181942 24214548654138181927241762434639

54414462241932243735415452403422 38242228294551403330212061324466

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. leeftijd minificnicfi [10, 20[

Proefversie©VANIN

b) Uit welke leeftijdsklasse komen de meeste filmbezoekers?

c) Hoeveel mensen tussen 40 en 60 jaar wonen de film bij?

d) Hoeveel procent van de bezoekers is jonger dan 40 jaar?

e) Bij een soortgelijke film zijn er 88 mensen aanwezig.

Schat hoeveel daarvan minstens 50 jaar zijn.

f) Teken met IcT een histogram voor de absolute frequentie.

g) Teken met IcT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.

h) Teken met IcT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

i) Hoeveel procent van de filmbezoekers is jonger dan 22 jaar?

j) Hoe oud zijn de 25 % oudste filmbezoekers?

k) Hoeveel procent meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen? Rond af op 0,1 %.

13 Op een examen wiskunde op 140 werden de volgende punten behaald. 1219412096100978869855310711293 9911190981047296648010785107101 9980110768872107647543856991 11388107938072915375 97917553

1118699809688916469

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. punten minificnicfi

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel leerlingen behaalden tussen 100 en 130?

c) Hoeveel leerlingen slaagden?

d) Teken met IcT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.

e) Teken met IcT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

f) Hoeveel procent van de leerlingen behaalde minder dan 75?

14 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald. 73100131959995112101124114118108

Proefversie©VANIN

a) Maak een frequentietabel. De benedengrens van de eerste klasse is 30 en de klassenbreedte is 15.

b) Hoeveel procent van de aardappelen weegt minder dan 90 g?

c) Hoeveel aardappelen wegen 120 g of meer?

d) Teken met IcT een histogram voor de absolute frequentie.

e) Teken met IcT een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie.

f) Teken met IcT het ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

g) Hoeveel aardappelen wegen minder dan 100 g?

15 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend.

4852504945623842415251495064725550465838 4228544847455040414847465258504457517253

4948464442504848473536424854524855555056 4147294534647534424648484750405754635558

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 5. snelheid (km/h) minificnicfi

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel auto’s werden gecontroleerd?

c) Hoeveel van de gecontroleerde voertuigen reden minstens 70 km/h?

d) Hoeveel procent reed minder dan 50 km/h?

e) Hoeveel auto’s reden 30 tot 45 km/h?

f) Teken met IcT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.

g) Teken met IcT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

h) Hoeveel procent van de auto’s reed minder dan 62 km/h?

Uit een onderzoek van het Wetenschappelijk Instituut voor volksgezondheid in België blijkt dat 55 % van de adolescenten op een weekdag de aanbevolen limiet van twee uur schermtijd op de smartphone overschrijdt. Op een weekenddag loopt dat percentage op tot 84 %.

16 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.

Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Je noteert de gegevens in een tabel met ruwe gegevens.

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met breedte 20.

schermtijd (min) minificnicfi

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel procent van de leerlingen is minder dan een uur per dag bezig met de smartphone?

c) Hoeveel leerlingen zijn langer dan twee uur per dag bezig?

d) Hoeveel procent is tussen een uur en twee uur bezig?

e) Teken met IcT:

• een histogram voor de relatieve frequentie;

• een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie;

• een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

f) Schat bij hoeveel leerlingen de schermtijd hoogstens anderhalf uur is.

g) Wat is de schermtijd van de 20 % leerlingen die het langst met hun toestel bezig zijn?

6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens

6.3.1

Het gemiddelde

aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311

1225421365311021218

614174819121724919 2312179321330131556 720338441124148231237

11133326819391781821

1029182252811218296

Bereken het gemiddelde met IcT:

Het gemiddelde uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen

Proefversie©VANIN

Formule

Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. Om het gemiddelde te bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel, vertegenwoordig je alle gegevens van een klasse door hun klassenmidden.

Daarbij is k het

frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse minini  mi

[0, 5[2,51537,5

[5, 10[7,518135

[10, 15[12,516200

[15, 20[17,510175

[20, 25[22,58180

[25, 30[27,56165

[30, 35[32,54130

[35, 40[37,54150

[40, 45[42,5285

831 257,5

klasse minini

[0, 10[533

[10, 20[1526

[20, 30[2514

[30, 40[358

[40, 50[452 83 x ≈ 1 257,5 83 ≈ 15,2 x ≈ 83 ≈

Wat stel je vast als je de gemiddelden vergelijkt?

6.3.2 De mediaan

Bereken voor de tabel met ruwe gegevens van de vorige pagina de mediaan met IcT:

De mediaan uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen

Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. je bepaalt dan eerst de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50%-grens) is gelegen.

Proefversie©VANIN

Die klasse noem je de mediaanklasse

frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse minicnicfi

[0, 5[2,5151518,07 %

[5, 10[7,5183339,76 %

[10, 15[12,5164959,04 %

[15, 20[17,5105971,08 %

[20, 25[22,586780,72 %

[25, 30[27,567387,95 %

[30, 35[32,547792,77 %

[35, 40[37,548197,59 %

[40, 45[42,5283100,00 %

klasse minicnicfi

[0, 10[533

[10, 20[1526

[20, 30[2514

[30, 40[358

[40, 50[452

De mediaan kun je benaderen door het klassenmidden te nemen van de mediaanklasse.

Me ≈ Me ≈

Ook nu zie je een mogelijk verlies aan nauwkeurigheid als de klassenbreedte groter wordt.

De mediaan uit het ogief benaderen

je kunt de mediaan ook schatten via het ogief, door gebruik te maken van de 50%-rechte.

Lineaire benadering van de mediaan

klasse cnicfi bovengrens

[5, 10[3339,76 %10

[10, 15[4959,04 %15

33 gegevens zijn kleiner dan 10 en 49 gegevens zijn kleiner dan 15. De mediaan is het getal met rangorde 84 2 = 42 en ligt dus tussen 10 en 15.

Proefversie©VANIN

Om de mediaan te bepalen, gebruik je lineaire interpolatie:

6.3.3 De modale klasse

Definitie Modale klasse

De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.

Voorbeeld

Bepaal de modale klasse bij de afstand van huis naar school:

REEKS A

17 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefening 14).

Proefversie©VANIN

a) Hoeveel weegt de zwaarste helft van de aardappelen?

b) je neemt 500 willekeurige aardappelen. Schat de totale massa op 1 g nauwkeurig.

c) vergelijk het gemiddelde en de mediaan. Wat kun je daaruit besluiten?

18 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. De maximale toegelaten snelheid is er 50 km/h (zie oefening 15).

4948464442504848473536424854524855555056 4147294534647534424648484750405754635558

a) Welke centrummaat gebruik je om te illustreren wat de snelheidsbeperking is?

Bereken die centrummaat.

b) Klopt de bewering dat meer dan de helft van de auto’s te snel reed?

19 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget (in euro) ze elke maand aan kleding besteden.

De resultaten worden weergegeven in de frequentietabel.

budget (euro) ni

[0, 100[ 15

[100, 200[73

[200, 300[38

[300, 400[26

[400, 500[19

[500, 600[14

[600, 700[8

[700, 800[4

[800, 900[2

[900, 1 000[1

a) Bereken het gemiddelde.

Proefversie©VANIN

b) Geef de betekenis van het gemiddelde.

c) Bepaal de mediaan.

d) Geef de betekenis van de mediaan.

e) Welke bedragen worden het meest besteed?

ICT

20 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023.

leeftijd (j) ni

[0, 10[ 1 240 172

[10, 20[1 358 845

[20, 30[1 404 025

[30, 40[1 533 931

[40, 50[1 510 095

[50, 60[1 583 282

[60, 70[1 413 090

[70, 80[1 012 409

[80, 90[512 632

[90, 100[126 343

[100, 110[2 733

a) vul de frequentietabel aan met IcT.

b) Bereken de gemiddelde leeftijd in België.

c) Bepaal de mediaan.

d) Geef de betekenis van de mediaan.

e) Wat is de modale klasse?

f) Hoeveel procent van de bevolking behoort tot die modale klasse?

ICT

21 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefening 16 en beantwoord de volgende vragen.

a) Geef een schatting van het totale aantal uren schermtijd per dag van de leerlingen van jouw klas (of jaar).

Proefversie©VANIN

b) De helft van de leerlingen van de klas (of het jaar) is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.

c) Welke centrummaat zou je gebruiken om het aantal minuten schermtijd van leerlingen van verschillende leeftijden te vergelijken?

d) Welke centrummaat gebruik je het best om je eigen schermtijd te vergelijken met de schermtijd van de ondervraagde leerlingen?

REEKS C

De as van een wiel wordt bevestigd in een kogellager. Een lager is een asblok waarin de as kan draaien en heeft als belangrijkste taak het verlagen van de wrijving tussen de verschillende onderdelen. Een kogellager bestaat uit een binnen- en een buitenring, met daartussen een rij bolvormige kogels. Bij de draaibeweging draaien de kogels mee, waardoor veel wrijving wordt voorkomen.

22 Een bedrijf maakt kogellagers die een diameter van 20,5 mm moeten hebben. Als controle wordt er een steekproef uitgevoerd bij 160 willekeurig gekozen kogellagers.

diameter (mm) ni

[20,0; 20,1[ 9

[20,1; 20,2[13

[20,2; 20,3[17

[20,3; 20,4[26

[20,4; 20,5[34

[20,5; 20,6[23

[20,6; 20,7[16

[20,7; 20,8[12

[20,8; 20,9[9

[20,9; 21,0[1

a) vul de frequentietabel aan met IcT.

b) Is de machine die de kogellagers maakt, goed afgesteld?

c) Bepaal de mediaan door lineaire interpolatie.

6.4.1 Inleiding

temperatuurverschil 2020 en 1981-2010

Bron:climate.copernicus.eu,2020

Tussen 1981-2010 en 2020 is de gemiddelde jaartemperatuur op aarde met 0,8 ºc toegenomen.

Mannen zijn gemiddeld 16 cm groter dan vrouwen.

De grootste Belgische vrouw is 204 cm groot.

Haar man is 14 cm kleiner.

overgewicht volwassenen

verdeling beroepsbevolking Vlaams Gewest naar maandelijks inkomen en geslacht

Proefversie©VANIN

Bron:RIVM,2019

De helft van de Nederlanders heeft een BMI die groter is dan 25 en is dus, volgens de norm, te zwaar.

Bron:Statbel,2021

Het gemiddelde netto maandelijkse inkomen in vlaanderen in 2020 bedroeg 1 903 euro.

Katten worden gemiddeld 14 jaar.

Een kwart wordt echter niet ouder dan 9 jaar en een kwart wordt zelfs ouder dan 17 jaar.

gemeenten met duurste bouwgrond

1antwerpen

479 euro/m2

2Leuven 417 euro/m2

3Koksijde 373 euro/m2

4Gent

5asse

6Grimbergen

7Ranst

8Bornem

euro/m2

euro/m2

euro/m2

9Middelkerke 303 euro/m2

10Knokke-Heist302 euro/m2

11Opwijk 302 euro/m2

Bron:Trends,2020

De gemiddelde prijs voor bouwgrond in vlaanderen is 263,70 euro per m2

De mediaanprijs is 224 euro per m2

De bovenstaande voorbeelden tonen dat de centrummaten geen totaalbeeld geven. Er moeten ook getallen bepaald worden die de spreiding weergeven ten opzichte van die centrummaten.

6.4.2 De variatiebreedte

Voorbeeld 1

De leerlingen van twee klassen van het vierde jaar hebben het voorbije weekend auto’s gewassen voor het goede doel.

Per gewassen auto kregen ze 10 euro.

De opbrengst voor beide klassen zie je in de tabel.

KLaS a

opbrengst (euro) 102030405060708090100 Me =

aantal leerlingen 36331

KLaS B

opbrengst (euro) 102030405060708090100 Me =

aantal leerlingen 13133 111

De twee klassen hebben dezelfde mediaan en ongeveer hetzelfde gemiddelde.

Waarin verschillen de gegevensrijen dan wel?

Definitie Variatiebreedte

De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

In het voorbeeld is

• de variatiebreedte voor klas a:

• de variatiebreedte voor klas B:

Dat geeft aan dat voor klas B de gegevens sterker gespreid zijn.

Een voordeel van de variatiebreedte is dat ze gemakkelijk te berekenen is.

Een nadeel is dat er slechts rekening gehouden wordt met de twee uiterste waarden en niet met de frequenties.

Voorbeeld 2

De histogrammen tonen rapportresultaten met dezelfde variatiebreedte R = wiskunderapportklasA

Proefversie©VANIN

[0,[20,40[20[[40,60[[60,80[[80,100[[20,40[[0,20[[40,60[[60,80[[80,100[

Leg uit waarin de ligging van de gegevens ten opzichte van het centrum van elkaar verschilt.

Kwartielen

aan 15 gezinnen werd gevraagd hoeveel smartphones er binnen het gezin zijn. je kunt de gegevensrij verdelen in vier delen met elk evenveel waarnemingsgetallen. middelste50%

Definitie Kwartielen

Van een geordende rij met n gegevens is:

het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %-grens);

het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %-grens);

het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75 %-grens).

Merk op: Q2 = Me

In het voorbeeld:

rangordewaarde betekenis

Q1 n + 1 4 = 4 2

Q2 n + 1 2 = 8 4

Q3 3 n + 1 4 = 12 5

Proefversie©VANIN

25 % van de gezinnen heeft hoogstens 2 smartphones. 75 % van de gezinnen heeft minstens 2 smartphones.

50 % van de gezinnen heeft hoogstens 4 smartphones. 50 % van de gezinnen heeft minstens 4 smartphones.

75 % van de gezinnen heeft hoogstens 5 smartphones. 25 % van de gezinnen heeft minstens 5 smartphones.

Kwartielen uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen je bepaalt de 25%-grens, de 50%-grens en de 75%-grens.

xi 012345678

ni 112323111

cni 1247912131415

cfi 6,67 %13,33 %26,67 %46,67 %60,00 %80,00 %86,67 %93,33 %100 %

25%grens 50%grens 75%grens

Op een analoge manier kun je een rij verdelen in 10 of 100 delen. je spreekt dan van decielen en percentielen

Kwartielen uit een tabel met ruwe gegevens berekenen

aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen.

Proefversie©VANIN

Bereken de kwartielen met IcT: Q1 = Me = Q3 =

Geef de betekenis van het eerste en derde kwartiel. EXCEL

je gebruikt de Excelfunctie ‘KWaRTIEL(matrix;kwartiel)’.

Kwartielen met GeoGebra

Kwartielen uit het ogief benaderen

Selecteer de cellen waarin de gegevens staan waarvan je het eerste of derde kwartiel wilt berekenen.

Druk op enter.

analoog aan de mediaan kun je de klasse bepalen waarin het eerste en derde kwartiel liggen, en daarvan het midden gebruiken om de kwartielen te benaderen.

Door gebruik te maken van het ogief, kun je nauwkeuriger werken.

afstandtotschool

6.4.4 De interkwartielafstand

Definitie Interkwartielafstand

De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.

Notatie

Proefversie©VANIN

6.4.5

IQR

Voorbeelden

• Het aantal smartphones binnen een gezin (zie 6.4.3): IQR =

• De afstand van thuis naar school (zie 6.4.3): IQR =

Het nadeel van de interkwartielafstand is dat alleen de spreiding van de middelste helft van de gegevens wordt bekeken.

je houdt geen rekening met de 25 % kleinste en de 25 % grootste gegevens.

De boxplot

De kwartielen vormen samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal de vijfgetallensamenvatting

De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

• een rechthoek (de box) die als basis de interkwartielafstand heeft;

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

• een vanaf de box getekende lijn (de plot) naar het minimum en het maximum.

Een boxplot verdeelt de gegevens in vier gebieden die elk een vierde (25 %) van de waarnemingsgetallen bevatten.

Opmerking

je kunt het gemiddelde via de boxplot schatten door het midden van de box te bepalen.

Voorbeeld 1

Uit een grootschalig onderzoek naar het eten van fruit bij vijftien- tot achttienjarigen in vlaanderen is gebleken dat een kwart van de ondervraagden hoogstens één stuk fruit per dag eet. De helft van de respondenten eet minstens twee stukken fruit en een kwart eet minstens vier stukken fruit per dag. Niemand eet meer dan zes stukken fruit per dag.

Bespreking:

Proefversie©VANIN

• De mediaan ligt links in de box en is dus op het eerste gezicht kleiner dan het gemiddelde.

• je ziet de grootste spreiding bij het derde en vierde kwart, en de kleinste spreiding bij het eerste en tweede kwart.

Voorbeeld 2

aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen (zie 6.4.3). Teken de boxplot met IcT en beantwoord de vragen.

• Schat het gemiddelde en controleer.

• Het werkelijke gemiddelde is 14,7 (zie 6.3.1).

• verklaar het verschil tussen je schatting en het werkelijke gemiddelde.

• Zet alle gegevens in één kolom.

• Selecteer de gegevens.

• Invoegen: Box en Whisker.

• voeg ‘Gegevenslabels’ toe.

• Pas de lay-out aan naar eigen voorkeur.

GEOGEBRA

Uitschieters

De hematocrietwaarde van menselijk bloed is de verhouding van het volume rode bloedcellen ten opzichte van het totale volume van het bloed. De hematocrietwaarde wordt uitgedrukt in procent. Rode bloedcellen zorgen voor het transport van zuurstof in het bloed, zodat een hoge hematocrietwaarde een belangrijk voordeel betekent voor duursporters.

van twaalf wielrenners is de hematocrietwaarde gemeten: 454744454943465645434448

Proefversie©VANIN

Bereken het gemiddelde en de mediaan: x = Me = Het is duidelijk dat het gegeven 56 het gemiddelde sterk beïnvloedt. verwijder de ‘uitschieter’ 56 uit de gegevensrij en bereken opnieuw het gemiddelde: x = Een handige methode om na te gaan of een gegeven een uitschieter is, is het IQR-criterium.

Het IQR-criterium voor uitschieters

Een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.

Toon aan dat het gegeven 56 volgens het criterium een uitschieter is.

Voorbeeld

Zijn er uitschieters bij de gegevens over de afstand van thuis naar school? (zie 6.4.3) tijd

25 % – 75 %

zonder

De box-and-whiskerplot werd voor het eerst gebruikt in 1977 door de amerikaanse statisticus john Tukey.

In het oorspronkelijke ontwerp strekten de horizontale lijnen (de ‘whiskers’) zich uit tot maximaal 1,5 keer de interkwartielafstand onder het eerste of boven het derde kwartiel.

De ‘zwakke uitschieters’ werden met kleine kringetjes op de tekening aangebracht en de ‘sterke uitschieters’ (meer dan 3 keer de interkwartielafstand onder Q 1 of boven Q 3 ) met kruisjes.

REEKS A

23 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken.

Proefversie©VANIN

a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.

b) Bereken het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis.

c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis.

d) Teken met IcT de boxplot en bespreek.

24 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefeningen 14 en 17).

73100131959995112101124114118108 5612582931431001137286128118102

941061329211111769108104111100102 968977108144117931071054614165

100106818113899569477105117133 98101125133103137711199277102105 10912831961001171195310713078107 141110799899139116129949897116

a) Wat is het verschil tussen de zwaarste en de lichtste aardappel?

b) Hoeveel weegt het zwaarste kwart van de aardappelen?

c) Zijn er uitschieters bij de gegevens?

Proefversie©VANIN

d) Teken de boxplot met IcT en bespreek.

e) ‘Er wegen meer aardappelen tussen 31 g en 93,75 g, dan tussen 117 g en 144 g.’ Klopt die bewering?

25 De boxplot toont de resultaten voor een toets wiskunde (op twintig punten).

7,014,010,013,019,0

a) Wat was beste score?

b) Bepaal de variatiebreedte.

c) vul in:

• De helft van de leerlingen behaalde hoogstens

• Een kwart van de leerlingen behaalde minstens

d) Geef een schatting van het klasgemiddelde.

26 Een onderzoek naar de leeftijd waarop vrouwen in België hun eerste kind krijgen, levert de volgende boxplot op.

Proefversie©VANIN

14,043,0 25,029,035,0

a) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

b) Bepaal het eerste kwartiel en geef de betekenis.

c) In de vS is er een vrouw die haar eerste kind kreeg op de leeftijd van 52 jaar. Is ze voor het onderzoek in België dan een uitschieter?

aantal leerlingen

27 De punten op tien voor een toets worden voorgesteld in een cumulatief lijndiagram. puntenop10

a) Een kwart van de leerlingen behaalde minstens

b) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis.

Proefversie©VANIN

28 Aan de schoolpoort werd de snelheid (in km/h) van de bromfietsen door de politie gecontroleerd. De resultaten worden weergegeven in het ogief.

snelheid(km/h)

a) De helft van de bromfietsen rijdt minstens

b) 25 % van de bromfietsen rijdt hoogstens ; een kwart minstens

29 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten (zie 6.1.4).

xini

a) Wat is de variatiebreedte?

b) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.

Proefversie©VANIN

c) Wat is de spreiding van de middelste helft van de leerlingen?

d) Teken met IcT de boxplot en bespreek.

30 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken (zie oefening 5).

xini a) Zijn er uitschieters bij de gegevens?

b) Me = 3 < x = 3,3 verklaar.

31 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget (in euro) ze elke maand aan kleding besteden (zie oefening 19).

budget ni a) vul in (maak gebruik van het ogief):

[0, 100[15

[100, 200[73

[200, 300[38

[300, 400[26

[400, 500[19

[500, 600[14

[600, 700[8

[700, 800[4

[800, 900[2

[900, 1 000[1

• Een kwart van de vrouwen besteedt minstens per maand.

• Een kwart van de vrouwen besteedt hoogstens per maand.

b) Welke voorstelling zou je gebruiken om te verduidelijken

waarom het gemiddelde groter is dan de mediaan?

Proefversie©VANIN

c) Teken die voorstelling met IcT en bespreek.

32 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023 (zie oefening 20). klasse ni a) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.

[0, 10[1 240 172

[10, 20[1 358 845

[20, 30[1 404 025

[30, 40[1 533 931

[40, 50[1 510 095

[50, 60[1 583 282

[60, 70[1 413 090

[70, 80[1 012 409

[80, 90[512 632

[90, 100[126 343

[100, 110[2 733

b) Rosa is 107 jaar. Kun je haar leeftijd als uitschieter beschouwen?

33 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.

Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 16 en 21 en beantwoord de vragen.

a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.

Proefversie©VANIN

b) Een kwart van de leerlingen is hoogstens minuten per dag bezig met de smartphone.

c) Een kwart van de leerlingen is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.

d) Teken de boxplot met IcT en bespreek.

Uitschieters verwijderen uit een rij waarnemingsgetallen is niet altijd een goede statistische methode.

• Uitschieters die ontstaan zijn door een meetfout of een verkeerde omzetting van eenheden, bijvoorbeeld van inches naar cm, verwijder je het best.

• Uitschieters die werkelijk afwijken van de andere gegevens, zoals een topprestatie in de sport, verwijder je beter niet.

34 Is het een goede statistische methode om de uitschieter te verwijderen in de volgende gevallen?

a)De lengte (in cm) wordt bepaald van 150 volwassen Belgische vrouwen. van één vrouw wordt een lengte van 204 cm genoteerd.

b)Men meet de temperatuur (in ºc) in de 55 klaslokalen van een school. In lokaal a104 wordt een temperatuur van 85 ºc gemeten.

c)Bij metingen van het ozongehalte in de zomer aan de kust liggen alle waarden tussen 62 en 184 µg/m3, behalve in Oostende, waar 265 µg/m3 wordt gemeten.

d)Bij een toets wiskunde heeft iedereen minstens 8 op 20. Leopold heeft gespiekt en heeft 0 op 20 gekregen.

6.4.7 Variantie en standaardafwijking

In een klas werd een toets gehouden. De resultaten zie je in de frequentietabel. je kunt voor elk resultaat kijken hoe ver het zich van het gemiddelde bevindt. voor elke xi verkrijg je zo de afwijking ten opzichte van het gemiddelde: xi − x

Het gemiddelde van die afwijkingen is nul omdat de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde zowel positief als negatief zijn. De positieve en negatieve afwijkingen neutraliseren elkaar.

Daarom kwadrateer je die afwijkingen en bereken je de gemiddelde kwadratische afwijking:

i = 1 k n

n i (x i – x )2

Proefversie©VANIN

je noemt die gemiddelde kwadratische afwijking ook de variantie, genoteerd s 2

De afwijkingen t.o.v. het gemiddelde worden zo groter gemaakt dan ze in werkelijkheid zijn. Een ander probleem is dat het resultaat niet meer dezelfde eenheid heeft als de waarnemingsgetallen zelf.

Een spreidingsmaat in dezelfde eenheid als de waarnemingsgetallen is de positieve vierkantswortel uit de variantie. Dat getal noem je de standaardafwijking.

Definitie Variantie en standaardafwijking

De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie.

Opmerkingen

• je rondt de standaardafwijking af op twee cijfers meer dan de gegevens.

• De enige betekenis die je voorlopig kunt geven aan de standaardafwijking, is dat het een soort ‘gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde’ weergeeft.

De standaardafwijking uit een tabel met ruwe gegevens berekenen

aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311

Proefversie©VANIN

x ≈ 14,7 (zie 6.3.1) Bereken de standaardafwijking met IcT: s ≈

EXCEL je gebruikt de Excelfunctie ‘STDEvP’. Selecteer de cellen waarin de gegevens staan waarvan je de standaardafwijking wilt berekenen. Druk op enter en rond af op twee cijfers meer dan de gegevens.

Standaardafwijking met GeoGebra

De standaardafwijking uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen

je gebruikt de formule s =

klasse

[0, 5[2,515

[5, 10[7,518

[10, 15[12,516

[15, 20[17,510

[20, 25[22,58

[25, 30[27,56

[30, 35[32,54

[35, 40[37,54

[40, 45[42,52

Voorbeeld

Op een toets wiskunde behaalden de elf leerlingen van de klas de volgende punten op twintig: 79101212131414161719 x ≈ s ≈

voor een toets Frans op vijftig waren de punten als volgt: 3739404242434444464749 x ≈ s ≈

De standaardafwijking is voor beide gegevensrijen hetzelfde. Toch is het duidelijk dat de relatieve spreiding ten opzichte van het gemiddelde in de tweede rij kleiner is dan in de eerste. je maakt de spreiding relatief door de standaardafwijking te delen door het gemiddelde.

Definitie Variatiecoëfficiënt

De variatiecoëfficiënt V = s x

De variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve spreiding van de waarnemingsgetallen ten opzichte van het gemiddelde. je drukt V meestal uit in procent.

Bereken de variatiecoëfficiënt in de bovenstaande voorbeelden.

V1 ≈?

Proefversie©VANIN

V2 ≈?

Gebruik van de variatiecoëfficiënt

• De variatiecoëfficiënt is vooral nuttig om het variëren van gegevensrijen te vergelijken waarbij verschillende eenheden zijn gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan centimeters en inches.

• Bij wetenschappelijk onderzoek wordt het resultaat van een studie betrouwbaar genoemd als V < 5 % en altijd verworpen als V > 30 %.

• Bij machines die nauwkeurig werk moeten verrichten, wordt een variatiecoëfficiënt van maximaal 5 % toegestaan.

Voorbeeld

In een onderzoek naar de invloed van de luchtweerstand op de snelheid waarmee een voorwerp valt, laat men 30 keer een bal van op een hoogte van 5 m vallen. je ziet de tijd (in s) die nodig is om de grond te bereiken. Levert het experiment betrouwbare informatie op?

1,121,151,031,181,091,111,151,051,111,16

1,021,091,131,151,111,061,101,071,121,13

1,081,161,121,141,051,101,111,081,141,15

6.4.9 De standaardscore

Voorbeeld

De gemiddelde schoenmaat van vrouwen in België is 39,0. De standaardafwijking is 1,62. In de verenigde Staten gebruiken ze andere maten. Daar is de gemiddelde schoenmaat bij vrouwen 6,78 met een standaardafwijking 0,873.

De Belgische Kristina heeft maat 41. Haar amerikaanse vriendin jennifer heeft maat 7,5. Wie heeft relatief gezien de grootste maat?

Om die vraag te beantwoorden, moet je de gegevens onafhankelijk maken van de meeteenheid. Dat doe je door de standaardscore of z-score te berekenen.

Definitie Standaardscore

De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal z i = x i – x s

De standaardscore drukt het verschil uit van een waarnemingsgetal ten opzichte van het gemiddelde in verhouding tot de standaardafwijking.

Beantwoord nu de vraag wie relatief de grootste schoenmaat heeft.

zK = zJ =

Proefversie©VANIN

Gebruik van de standaardscore standaardscore betekenis

z < –2

Meer dan 2 keer de standaardafwijking onder het gemiddelde: uitzonderlijk laag.

–2 < z < –1 Laag.

–1 < z < 1

Minder dan 1 keer de standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde: behorend tot de standaardgroep x – s, x + s []

1 < z < 2 Hoog.

z > 2

Meer dan 2 keer de standaardafwijking boven het gemiddelde: uitzonderlijk hoog.

Oefeningen

REEKS A

35 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd.

Proefversie©VANIN

a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking.

b) Yassin heeft maat 44. Bereken de standaardscore.

c) Geef de betekenis van die standaardscore.

36 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefeningen 14, 17 en 24).

a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking:

b) Hoe uitzonderlijk is een aardappel met een massa die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde?

37 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten (zie oefening 29).

xini

a) vul de frequentietabel aan.

b) Het gemiddelde aantal fouten is 3,4. Bereken de standaardafwijking.

c) Heeft iemand met zeven fouten een uitzonderlijk slecht dictee gemaakt? 07 110 29 314 48 511 68 76 73

38 Bepaalde doosjes met punaises zouden volgens het etiket 120 punaises bevatten. De fabrikant doet een steekproef bij 95 willekeurige doosjes punaises. Het resultaat zie je in de frequentietabel.

xini

Proefversie©VANIN

a) vul de frequentietabel aan.

b) Is de vulmachine goed afgesteld?

c) Werkt de machine voldoende nauwkeurig?

39 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. (zie oefeningen 20 en 32)

klasse mini

[0, 10[51 240 172

[10, 20[151 358 845

[20, 30[251 404 025

[30, 40[351 533 931

[40, 50[451 510 095

[50, 60[551 583 282

[60, 70[651 413 090

[70, 80[751 012 409

[80, 90[85512 632

[90, 100[95126 343

[100, 110[1052 733 11 697 557

a) vul de frequentietabel aan.

b) De gemiddelde Belg is 42,2 jaar. Bereken de standaardafwijking.

Proefversie©VANIN

c) Hoe oud moet je zijn om uitzonderlijk oud te zijn?

d) Zara heeft een standaardscore van 1,85. Bereken haar leeftijd.

40 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 16, 21 en 33 en beantwoord de vragen.

a) Bereken de standaardafwijking.

b) Bereken de variatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

c) Hoeveel procent van de gegevens ligt minder dan één keer de standaardafwijking van het gemiddelde verwijderd?

d) je bent dagelijks gemiddeld drie uur met je smartphone bezig. Bereken je standaardscore en geef de betekenis.

41 Een fabrikant maakt conservenblikken met gepelde tomaten. Op het etiket staat dat de inhoud 1 l is. Van een aantal blikken werd de inhoud (in ml) nagegaan.

inhoud (ml) minificnicfi

[970, 980[ 46

[980, 990[ 97

[990, 1 000[ 127

[1 000, 1 010[ 98

[1 010, 1 020[ 63

[1 020, 1 030[ 19

[1 030, 1 040[ 10

a) vul de frequentietabel aan.

b) Teken met IcT het ogief.

c) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

Proefversie©VANIN

d) Bepaal het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis.

e) Zijn er uitschieters bij de gegevens?

f) Staat de vulmachine goed ingesteld?

g) voorspel, zonder de boxplot te tekenen, waar de mediaan zal liggen in de box.

h) Werkt de vulmachine voldoende nauwkeurig?

i) Een blik tomaten heeft een standaardscore van –0,8. Bereken de inhoud.

42 De enige constante in de natuurkunde is de lichtsnelheid in het luchtledige. In 1882 verrichtten Michelson en Newcomb de eerste redelijk nauwkeurige metingen van die lichtsnelheid.

Daarvoor maten ze de tijd (in µs) die een lichtstraal nodig had om een afstand van 7 443,37 m te overbruggen. Dat was de afstand van hun laboratorium tot een spiegel aan het Washington-monument en terug. Je ziet hun resultaten in het histogram.

Proefversie©VANIN

a) Bereken het gemiddelde.

b) Bereken vanuit het gemiddelde een benadering voor de lichtsnelheid c in m/s.

c) Teken met IcT de boxplot en bespreek.

d) Bereken de standaardafwijking.

6.5 Symmetrische en scheve verdelingen

6.5.1 Symmetrische verdelingen

Voorbeeld 1

Proefversie©VANIN

veel zitten is niet gezond. Dat weet iedereen.

De Nationale Gezondheidsraad adviseert aan jongeren om minstens één uur per dag matig tot intensief te bewegen.

Matig intensieve lichamelijke activiteit, zoals wandelen, fietsen of paardrijden, zorgt voor een verhoogde hartslag en een versnelde ademhaling.

Zwaar intensieve lichamelijke activiteit zorgt ervoor dat je gaat zweten en soms buiten adem raakt.

Een aantal jaar geleden werd een onderzoek gedaan bij 570 jongeren tussen 12 en 18 jaar naar het aantal minuten matig tot zwaar intensieve lichamelijke activiteit.

matigtotzwaarintensiefbewegenbijadolescenten

0,057,033,045,090,0

aantalminutenperdag

De mediaan ligt perfect in het midden van de box en is gelijk aan het gemiddelde.

Beide centrummaten liggen ook in de modale klasse.

De spreiding bij het eerste en vierde kwart is helemaal gelijk.

je kunt daarom spreken van een symmetrische verdeling.

Besluit

Voorbeeld 2

je gooit 60 keer met twee dobbelstenen en telt de som van het aantal ogen.

60worpenmettweedobbelstenen

Het lijndiagram vertoont geen symmetrie. Dat wordt ook bevestigd door de centrummaten.

x ≈ 7,2Me = 7Mo = 6

Op het eerste gezicht zou je dus kunnen besluiten dat het experiment geen symmetrische verdeling oplevert.

23456789101112

somvandeogen

Met IcT kun je een experiment uitvoeren waarbij 6 000 worpen worden gesimuleerd.

je krijgt dan het volgende lijndiagram te zien.

6000worpenmettweedobbelstenen

je gebruikt de Excelfunctie ‘aSELEcTTUSSEN’. als laagste getal geef je 1 in en als hoogste getal 6. je kan daarna zowel naar rechts als naar onder doorvoeren, tot je 6000 cellen hebt.

relatief aantal worpen

23456789101112

somvandeogen

Dit experiment levert dus wel de verwachte symmetrie.

je ziet meteen dat het gemiddelde, de mediaan en de modus aan elkaar gelijk zijn, namelijk

vooraleer te besluiten of een verdeling wel of niet symmetrisch is, is het dus belangrijk dat de steekproef voldoende groot is.

Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x).

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.

6.5.2 De normale verdeling

Een bijzondere symmetrische verdeling is de normale verdeling

veel natuurlijke kenmerken, zoals de lengte van een mens, de inhoud van een fles melk of de massa van eieren, kunnen beschreven worden door een symmetrische verdeling met een klokvormige kromme als grafische voorstelling.

Die grafiek noemt men soms ook de gausscurve, naar de Duitse wiskundige carl Friedrich Gauss, ook wel de prins van de wiskunde genoemd.

De gausscurve bezit een aantal opmerkelijke eigenschappen.

Proefversie©VANIN

68 % van de gegevens ligt binnen het interval [x – s, x + s]. je noemt dat interval de standaardgroep

De 16 % van de gegevens die meer dan een standaardafwijking verwijderd zijn van het gemiddelde, noem je betrekkelijk hoog of laag.

95 % van de gegevens ligt binnen het interval [x – 2s, x + 2s].

De 5 % van de gegevens die meer dan twee standaardafwijkingen verwijderd zijn van het gemiddelde, noem je uitzonderlijk

99,7 % van de gegevens ligt binnen het interval [x − 3s, x + 3s].

De 0,3 % van de gegevens die meer dan drie standaardafwijkingen verwijderd zijn van het gemiddelde, noem je zeer uitzonderlijk

6.5.3 Rechtsscheve verdelingen

België telt ongeveer 50 000 dokters, 150 000 verpleegkundigen en 110 000 zorgkundigen.

Een zorgkundige is iemand die opgeleid is om verpleegkundigen bij te staan.

Bij de dokters is het aantal mannen en vrouwen ongeveer gelijk verdeeld.

Bij de verpleegkundigen en zorgkundigen is de overgrote meerderheid een vrouw.

Het histogram toont de leeftijdsverdeling bij de zorgkundigen.

Proefversie©VANIN

Besluit

leeftijdvandezorgkundigeninBelgië relatief aantal zorgkundigen

[15,25[[25,35[[35,45[[45,55[[55,65[

aren)

Bron:statbel.fgov.be(kerncijfers2021)

vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten:

x ≈ 38,8 Me = 37 modale klasse = [25, 35[

De mediaan is kleiner dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen boven de modale klasse. Er is dus een ‘staart naar rechts’.

Een dergelijke verdeling noem je rechtsscheef

Als een verdeling rechtsscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal boven de modale klasse.

Opmerking

Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: Mo < Me < x.

6.5.4

Linksscheve verdelingen

De frequentiepolygoon toont de geboortemassa (in g) van alle kinderen die vorig jaar in een bepaald vlaams ziekenhuis zijn geboren.

temassavan467baby's

Proefversie©VANIN

massa(g)

vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x ≈ 3

3 330

De mediaan is groter dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen onder de modale klasse. Er is dus een ‘staart naar links’.

Een dergelijke verdeling noem je linksscheef

Besluit

Als een verdeling linksscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal onder de modale klasse.

Opmerkingen

• Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: x < Me < Mo.

• Een boxplot is een handig instrument om een staart te illustreren.

Oefeningen

REEKS A

43 Van enkele voldoende grote steekproeven krijg je telkens het gemiddelde, de mediaan en de modus of modale klasse. Is de verdeling symmetrisch (S), linksscheef (L), rechtsscheef (R) of geen van de drie (G)?

a) x = 1 683Me = 1 630Mo klasse = [1 500, 1 600[

b) x = 54,3Me = 54,5Mo = 54

c) x = 1,7Me = 2Mo = 1

d) x = 39,3Me = 38,5Mo klasse = [36, 38[

e) x = 78,1Me = 78Mo klasse = [75, 80[

44 Tot welk soort verdeling zullen de volgende statistische onderzoeken leiden? Kies uit een symmetrische verdeling (S), een linksscheve verdeling (L) en een rechtsscheve verdeling (R).

a) De inkomstenverdeling (in euro per maand) van de 18- tot 25-jarigen in vlaanderen.

b)De duur (in weken) van een zwangerschap.

c)Het intelligentiequotiënt (IQ) van 12-jarigen.

d)De spanwijdte (in cm) van de vleugels van vlinders.

e) Het aantal gemaakte doelpunten per match in de eerste klasse van het Belgisch voetbal.

f)De leeftijd waarop een Belgische vrouw sterft.

g) De inhoud (in cl) van een bekertje koffie dat door een automatische vulmachine wordt gevuld.

45 Aan een aantal Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten (zie oefening 2).

aantaldagenindeweekzondervleesofvis relatief aantal gezinnen

Proefversie©VANIN

aantaldagen

a) Met welk soort verdeling heb je hier te maken?

b) Toon aan, zonder te berekenen, dat het gemiddelde groter is dan 1.

46 Je ziet vier boxplots die de verdeling van de leeftijden van de bewoners van vier verschillende appartementsblokken weergeeft. Welk soort verdeling hoort bij elk van die boxplots?

figuur a: figuur B:

figuur c: figuur D:

47 Van 90 kippeneieren wordt de massa (in g) bepaald. Toon aan dat de steekproef een symmetrische verdeling oplevert.

massa (g) ni

[45, 50[2

[50, 55[12

[55, 60[22

[60, 65[33

[65, 70[9

[70, 75[7

[75, 80[5

REEKS C

Proefversie©VANIN

48 Bij een onderzoek naar de levensduur van ledverlichting werd bij 80 ledlampen nagegaan hoelang (in h) ze ononderbroken kunnen blijven branden. Het resultaat van het onderzoek zie je in de frequentietabel. levensduur (h) ni

• Is de verdeling symmetrisch?

[20 000, 24 000[5

[24 000, 28 000[7

[28 000, 32 000[9

[32 000, 36 000[12

[36 000, 40 000[14

[40 000, 44 000[12

[44 000, 48 000[7

[48 000, 52 000[8

[52 000, 56 000[6

• voldoet de verdeling aan de voorwaarden voor een normale verdeling?

6.6.1 Spreidingsdiagram en trendlijn

Inleiding

af en toe online gamen verbetert de schoolresultaten van vijftienjarigen. Maar activiteiten op sociale media hebben een averechts effect.

Regelmatige lichaamsbeweging bevordert het geheugen.

minderhittedienaarderuimteontsnapt

30biljoentonCO2perjaar

meerhittedieterug naardeaardegaat nachtenwarmen snelleropdandagen minderzuurstofindelucht

meerfossielebrandstoenindelucht

Proefversie©VANIN

De toename van de gemiddelde temperatuur kan alleen verklaard worden door de menselijke invloed in rekening te brengen.

Tot nu toe heb je in dit hoofdstuk enkel met één statistische veranderlijke gewerkt. In dat geval spreek je van eendimensionale of univariate statistiek.

In de tweedimensionale of bivariate statistiek behandel je de mogelijke samenhang tussen twee veranderlijken. De ene veranderlijke kan de andere beïnvloeden, en omgekeerd. Ook de sterkte van het verband is belangrijk.

Om een benaderende formule te vinden voor het verband tussen de twee gemeten veranderlijken, gebruik je regressie. je maakte daar al kennis mee in de hoofdstukken over eerstegraadsfuncties en functies van de vorm f (x ) = c x

Regressie met Excel en GeoGebra

Rechter muisklik op één van de punten –trendlijn toevoegen.

Voorbeeld 1

aan 17 vrouwen werd de lengte en de schoenmaat gevraagd. Gebruik lineaire regressie om het verband te bepalen tussen de schoenmaat y en de lengte x (in cm).

Proefversie©VANIN

verband tussen lichaamslengte en schoenmaat bij 17 vrouwen schoenmaat

• De vergelijking van de trendlijn is

• Schat de schoenmaat van een vrouw van 175 cm.

• Schat de lengte van een vrouw met schoenmaat 42. Rond af op 1 cm.

Voorbeeld 2

Het risico op een verkeersongeval is, volgens een studie van het Instituut voor Mobiliteit van de universiteit Hasselt, even groot voor mannen als voor vrouwen.

De kans op een ongeval met doden of gewonden is wel afhankelijk van het geslacht.

De tabel toont de kans op een ziekenhuisopname bij een ongeval bij mannen.

Bepaal, via machtsregressie, het omgekeerd evenredig verband tussen de kans (in procent) en de leeftijd (in jaren).

leeftijd mi kans (%)

[15, 25[201,9

[25, 35[301,1

[35, 45[400,82

[45, 55[500,68

[55, 65[600,52

[65, 75[700,51

kans op een ziekenhuisopname bij een verkeersongeval bij mannen kans (%)

leeftijd (jaren)

als x de leeftijd (in jaren) is en y de kans (in procent) op een ziekenhuisopname bij een ongeval, dan geldt: y ≈ .

6.6.2 Lineaire regressie

Covariantie

Een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y). Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke.

als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een toenemende waarde van y hoort, dan spreek je van een positieve covariantie

als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een afnemende waarde van y hoort, dan spreek je van een negatieve covariantie

Proefversie©VANIN

Lineaire regressie

Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels.

Het verband tussen y en x noem je sterk als de punten, over het algemeen, vrij dicht bij de regressierechte liggen. als de punten vrij ver van de regressierechte verwijderd liggen, spreek je van een zwak verband.

De wiskundige methode om bij een dataset de best passende regressielijn te bepalen, is afkomstig van carl Friedrich Gauss. In 1801 stelde hij voor om de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen ten opzichte van de trendlijn (de zogenaamde ‘residuen’) te minimaliseren. y voorspeldewaarde residu waargenomenwaarde x Die methode (‘de kleinste-kwadratenmethode’) stelde astronomen in staat om heel nauwkeurig de baan van hemellichamen te bepalen.

6.6.3 De correlatiecoëfficiënt bij lineaire regressie

als je in het woordenboek de betekenis van het woord ‘correlatie’ opzoekt, dan vind je als uitleg: ‘de manier waarop iets samenhangt met iets anders’.

In de statistiek gebruikt men de correlatiecoëfficiënt r om de sterkte van die samenhang te bepalen. Er zijn meerdere definities van dat begrip, maar de meest gebruikte is de correlatiecoëfficiënt van Pearson (een Engelse statisticus die leefde van 1857 tot 1936).

De correlatiecoëfficiënt berekenen met ICT

Bereken de correlatiecoëfficiënt bij het verband tussen de schoenmaat en de lichaamslengte van zeventien vrouwen (voorbeeld 1 uit 6.6.1).

Proefversie©VANIN

Open het bestand ‘lengte en schoenmaat.xlsx’.

Om de correlatiecoëfficiënt te berekenen, gebruik je de functie ‘cORRELaTIE(matrix1;matrix2)’.

EXCEL

Betekenis van de correlatiecoëfficiënt

De correlatiecoëfficiënt is een getal tussen –1 en 1. als r > 0, dan is er een positief verband. als r < 0, dan is er een negatief verband.

Proefversie©VANIN

geen enkel verband sterk positief verband

zeer zwak positief verband zeer sterk negatief verband

zwak negatief verband uitzonderlijk sterk positief verband

matig positief verband perfecte negatieve correlatie

Oefeningen

REEKS B

49 Een kleine steekproef die zocht naar het verband tussen de lichaamslengte y (in cm) van een volwassen zoon en de lichaamslengte x (in cm) van zijn vader, leverde de volgende data op.

x (cm)176170167186178175183169172175188175180

y (cm)182177173184178179181176175180186174183

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x.

Proefversie©VANIN

b) Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

c) Schat de lengte van een zoon waarvan de vader 175 cm is. Rond af op 1 cm.

d) vergelijk die geschatte waarde met de gemeten waarde(n).

e) Schat de lengte van een vader van wie de zoon 190 cm groot is. Rond af op 1 cm.

f) Waarom is dat resultaat verrassend?

g) De vader van Ilan is 5 cm groter dan de vader van Millau. Schat hoeveel groter Ilan zal worden dan Millau. Rond af op 0,1 cm.

50 Hoe hoger de temperatuur, hoe meer dorst je hebt.

In de tabel zie je de gemiddelde dagtemperatuur x (in ºC) en het aantal liter water y dat in een warenhuis op die dag werd verkocht.

x (ºc)121415171820212325272830

y (l)6517137478058298919249801 0361 1021 1361 198

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x

Proefversie©VANIN

b) Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

c) Schat de verkochte hoeveelheid water als het 32 ºc is. Rond af op 1 l.

d) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband.

e) Geef de betekenis van het snijpunt met de y-as van de grafiek van het lineaire verband.

f) Op een kille dag heeft het warenhuis maar 500 liter water verkocht. Hoeveel graden was het die dag? Rond af op 0,1 ºc

g) Bij welke gemiddelde dagtemperatuur verkoopt het warenhuis minstens 1 000 l water?

51 Op een toets moesten de leerlingen invullen hoeveel minuten ze hadden gestudeerd voor de toets. Ze moesten ook een score van 1 (heel eenvoudig) tot 5 (heel moeilijk) geven over de moeilijkheidsgraad van de toets. In de tabel is x het aantal minuten studie, y de moeilijkheidsgraad en z de punten op 20 voor de toets.

x (min)309020110407050605080100606070503090

y (op 5)51515334421332442

z (op 20)817618915149121619121315111016

Proefversie©VANIN

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen

b) Noa heeft drie kwartier gestudeerd voor de toets. Schat hoeveel punten ze zal behalen.

c) Lars gaf een score 2 voor de moeilijkheidsgraad van de toets. Schat hoeveel minuten hij heeft gestudeerd. Rond af op 1 min.

d) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband tussen z en y

e) Tussen welke veranderlijken is het verband het sterkst?

52 Het percentage mensen dat aan ondervoeding lijdt, daalt wereldwijd. Tegelijk stijgt het percentage meisjes dat onderwijs kan genieten. De tabel toont de evolutie van het aantal meisjes x (in procent) dat op de basisschoolleeftijd naar school gaat en het aantal mensen y (in procent) dat ondervoed is.

jaar1970197919851993200120082019 x (%)65697578848691 y (%)2825,52318,51513,511

a) Druk de toename van het aantal schoolgaande meisjes tussen 1970 en 2019 uit

• in procentpunt:

• in procent:

b) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x

Proefversie©VANIN

c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van de trendlijn.

d) Hoeveel procent van de meisjes zou naar de lagere school moeten gaan opdat ondervoeding volledig de wereld uit zou zijn?

e) Bereken de sterkte van het verband tussen y en x.

Hunger Index (2019)

Zeer hoog (⩾ 50,0)

Hoog (35,0 - 49,9)

Redelijk hoog (20,0 - 34,9)

Redelijk laag (10,0 - 19,9)

Laag (⩽ 9,9)

Onvolledige gegevens, zorgwekkend

Geen of onvolledige gegevens

Global

STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek

6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens

Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:

Proefversie©VANIN

x = x i i = 1 n n

De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen is het getal met rangorde n + 1 2

De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.

KUNNEN

Statistische terminologie in verband met het verzamelen van gegevens beheersen. categorische gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen).

Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen).

De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen met IcT en vanuit een gegeven frequentietabel.

De centrummaten interpreteren in een context.

6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens

KENNEN

Een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open is in zijn bovengrens.

Een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven.

Een frequentiepolygoon is een gebroken lijn die de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt en die aansluit op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).

Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt. Een ogief is een gebroken lijn die de roosterpunten (a1, 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.

KUNNEN

Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen) en vragen beantwoorden vanuit de frequentietabel of een grafische voorstelling.

6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens

, met k het aantal verschillende klassen en

De mediaanklasse is de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50%-grens) is gelegen.

Proefversie©VANIN

De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.

KUNNEN

Het gemiddelde berekenen met IcT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel.

De mediaan berekenen met IcT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel (met behulp van het ogief).

De mediaan benaderen via lineaire interpolatie.

De modale klasse bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel.

De centrummaten interpreteren in een context.

6.4 Spreidingsmaten

De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

van een geordende rij met n gegevens is:

het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %);

het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %);

het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3  n + 1 4 (75 %).

Het tweede kwartiel is dus gelijk aan de mediaan.

De interkwartielafstand IQR is het verschil tussen het derde en eerste kwartiel.

De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

• een rechthoek die als basis de interkwartielafstand heeft;

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

• een vanaf de box getekende lijn naar het minimum en maximum.

Een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.

De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde.

De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie. s = n i (x i – x )2 i = 1 k n of s ≈ n i (m i –i = 1 k n x )2

De variatiecoëfficiënt V = s x

De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal

zi = x i – x s

KENNEN

De variatiebreedte, de kwartielen en de interkwartielafstand berekenen met IcT en vanuit een frequentietabel (met behulp van een ogief bij gegroepeerde gegevens) en interpreteren in een context.

Een boxplot met IcT tekenen en interpreteren.

Bepalen of een waarnemingsgetal een uitschieter is.

De standaardafwijkingen berekenen met IcT en vanuit een frequentietabel.

De variatiecoëfficiënt berekenen en interpreteren in functie van de variabiliteit van de gegevens.

De standaardscore berekenen en interpreteren.

4.5 Symmetrische en scheve verdelingen

als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x).

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.

als een verdeling rechtsscheef is, dan is de mediaan kleiner dan het gemiddelde en zijn beide groter dan de modus (Mo < Me < x).

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal boven de modale klasse.

als een verdeling linksscheef is, dan is de mediaan groter dan het gemiddelde en zijn beide kleiner dan de modus (x < Me < Mo).

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde onder de modale klasse.

Bepalen of een verdeling symmetrisch (in het bijzonder normaal verdeeld), rechtsscheef of linksscheef is.

4.6 Tweedimensionale statistiek

Een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y).

Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke.

Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels.

De correlatiecoëfficiënt geeft de sterkte weer van het verband dat bij een lineaire regressie hoort.

Proefversie©VANIN

Regressie gebruiken om bij een puntenwolk de best passende (lineaire) trendlijn te bepalen.

De correlatiecoëfficiënt met IcT berekenen en daarmee de sterkte van een lineair verband weergeven.

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Wat is het eerste cijfer na de komma dat verschilt van nul in de decimale ontwikkeling van 10 5010 ?

a) 1 B) 2c) 4 D) 5E) 9

JWO,editie2021,eersteronde

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ ...

3. Sep vertrekt met de fiets naar school.

Op de klok thuis is het dan 8.15 uur, maar die klok loopt een beetje achter. als hij op school komt, ziet hij op de schoolklok, die perfect werkt, dat het 8.40 uur is.

Sep fietst na school even snel als ’s morgens naar huis.

Hij vertrekt als het op de schoolklok 16.04 uur is. Bij zijn thuiskomst toont de klok thuis 16.17 uur.

Proefversie©VANIN

Hoeveel loopt de thuisklok achter?

❑ logisch nadenken

2. In een rechthoek met breedte 2 cm teken je een (rood) lijnstuk van 2,5 cm en een (groen) lijnstuk van 2,9 cm. Bereken de aangeduide afstand x