Pienter 3 - 4u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 & 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 2 De reële getallen

Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen

Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies

Hoofdstuk 6 Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen

Hoofdstuk 7 Gelijkvormigheid

Hoofdstuk 8 Eerstegraadsfuncties

Hoofdstuk 9 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 10 Vectoren

Hoofdstuk 11 De cirkel

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Proefversie©VANIN

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren

1.1.1 Op onderzoek

Vul de tabel verder in.

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?

1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek bestaat uit

• twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek): en

GEOGEBRA

• een schuine zijde of hypothenusa :

1.1.3

De stelling van Pythagoras

Stelling In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

GEOGEBRA

In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde

Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, a b c die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je pythagorische drietallen Het eenvoudigste pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.

De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.

Stelling Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

De 3-4-5-regel

Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.

• Bind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden.

• Vorm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft.

• Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.

Proefversie©VANIN

Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.

In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.

De pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken.

De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.

De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen.

De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten.

Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid.

Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.

Oefeningen

REEKS A

1 Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is.

Proefversie©VANIN

2 Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras.

3 Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a b c rechthoekigniet rechthoekig a)6

Proefversie©VANIN

4 Bereken de zijden van de rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand.

knoopafstandlengte van de zijden

a)rechthoekszijde:3stukken van 2 cm

rechthoekszijde:4stukken van 2 cm

schuine zijde: stukken van 2 cm

b)rechthoekszijde:3stukken van 5 cm

rechthoekszijde: stukken van 5 cm schuine zijde:5stukken van 5 cm

c)rechthoekszijde:3stukken van 15 mm rechthoekszijde:4stukken van 15 mm

schuine zijde: stukken van 15 mm

d)rechthoekszijde: stukken van 7 cm

rechthoekszijde:4stukken van 7 cm

schuine zijde:5stukken van 7 cm

5 Toon aan zonder te meten.

a) Parallellogram PLAK is een rechthoek. b) Parallellogram KLAP is een ruit.

Proefversie©VANIN

6 Toon zonder geodriehoek aan dat a ' b. a

7 Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.

a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm

c) rechthoekszijde: 12 dm = rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm rechthoekszijde: 16 dm = schuine zijde: schuine zijde:

b) rechthoekszijde: 15 m = d) rechthoekszijde: 90 mm = rechthoekszijde: 20 m = rechthoekszijde: 120 mm = schuine zijde: schuine zijde:

8 Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. a b c rechthoekigniet rechthoekig

a) 2 mm2,1 mm2,9 mm r r

b)4 cm7,5 cm8,5 cm r r

c)0,12 m0,35 m0,37 m r r

d)2,1 cm2,8 cm3,4 cm r r

e) 1,4 cm4,8 cm5 cm r r

Proefversie©VANIN

9 Onderzoek of nABC rechthoekig is. Zet een vinkje.

zijden rechthoekigniet rechthoekig

a) 16 m34 m30 m r r

b)4,5 cm7,5 cm6 cm r r

c)2,7 dm3,6 dm4,8 dm r r

d)18 cm32 cm24 cm r r

e) 78 m30 m72 m r r

10 Los op.

a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?

Antwoord:

b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?

Antwoord:

1.2 Meetkundige voorstellingen

1.2.1

De stelling van Pythagoras

Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C

Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek.

Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.

Proefversie©VANIN

De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b

= cm2 en c 2 = cm2

De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is

In symbolen:

1.2.2 De Pythagorasboom

1) Teken een willekeurig vierkant.

2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant.

3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek.

GEOGEBRA

4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant.

5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.

Proefversie©VANIN

Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.

De boom van Pythagoras noem je een fractaal.

Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen:

• zelfgelijkvormigheid: binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug;

• oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.

Oefeningen

REEKS B

11 Vul de ontbrekende maatgetallen van de oppervlakten van de vierkanten in.

Proefversie©VANIN

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

Stelling In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

tekening gegeven

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

• Op de schuine zijde van de driehoek teken je een vierkant met zijde c.

• Daaromheen teken je een vierkant met zijde a + b, zodat de hoekpunten van het vierkant met zijde c op de zijden van het grote vierkant liggen.

een rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c te bewijzen

bewijs

De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen:

oppervlakte groot vierkant=oppervlakte klein vierkant + oppervlakte vier driehoeken

⇓ definitie oppervlakte vierkant en driehoek

a

⇓ merkwaardig product en breuken vereenvoudigen

eigenschappen gelijkheden

besluit

a 2 + b 2 = c 2

De stelling van Pythagoras is een van de meest bewezen stellingen uit de vlakke meetkunde.

Momenteel zijn er meer dan 350 verschillende bewijzen voor die stelling bekend.

Oefeningen

REEKS B

13 Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening gegeven

Proefversie©VANIN

p Q R q P r te bewijzen bewijs

besluit

14 Vul het bewijs voor de stelling van Pythagoras aan.

tekening gegeven

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

bewijs

De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen.

oppervlakte trapezium=oppervlakte drie driehoeken

⇓ definitie oppervlakte trapezium en driehoek

(+ )( +) 2 abab = + 2

⇓ merkwaardige producten = ⇓ beide leden vermenigvuldigen met 2

besluit

15 Bewijs de stelling van Pythagoras.

tekening gegeven

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

bewijs

besluit

1.4 Rekenen met Pythagoras

1.4.1 Inleiding

Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin.

Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken.

Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn.

Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen.

Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.

Proefversie©VANIN

Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.

1.4.2 Algemeen

1.4.3

De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn.

Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn.

Voorbeelden

In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde?

(op 0,1 nauwkeurig)

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde? (op 0,1 nauwkeurig)

Oefeningen

REEKS A

16 Bereken x op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

17 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijderechthoekszijde bewerkingen schuine zijde

a) a = 4 cm b = 7 cm c =

b) a = 1,2 dm b = 0,8 dm c =

18 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de tweede rechthoekszijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijdeschuine zijde bewerkingen rechthoekszijde a) b = 3 cm

b) b = 1,5 dm c = 2,7 dm

19 Bereken x op 0,01 nauwkeurig.

40 x 35 x 28

Proefversie©VANIN

REEKS B

20 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c. a b c berekeningen

a) 5 9

c) 19,3041,60

d)7 8

e)23,41 78,22

f) 26128

g)6,504

h)315,10 426,90

i) 89,23130,08

j)4,327,18

21 Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

22 Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.

Antwoord:

23 Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.

Antwoord:

24 Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

25 Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord: De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.

26 Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.

Antwoord:

27 De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

28 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.

Antwoord:

29 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.

Antwoord:

30 Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm.

Antwoord:

31 Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

32 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.

Antwoord:

33 Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel door de hoekpunten van een vierkant met een zijde van 4 m. 4 m

Antwoord:

34 Bereken de oppervlakte van de gelijkbenige driehoeken (zonder de hoogte te meten).

Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

Antwoord:

Antwoord:

Antwoord:

REEKS C

35 De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van die rechthoek.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

36 Een ladder is 0,5 m langer dan een gebouw hoog is. Als je de voet van de ladder 2,5 m van de muur plaatst, komt de top van de ladder tegen de bovenkant van het gebouw. Hoe hoog is dat gebouw?

Antwoord: Rekenen met Pythagoras (vraagstukken)

1.5 Constructies

1.5.1 Constructie van een schuine zijde

Modeloefening 1: Construeer een lijnstuk c met lengte van 13 cm.

Stel 13 = 4+ 9 = 2+ 3 22 , dan is c = + 22ab met c = 13 cm, a = 2 cm en b = 3 cm.

Stap 1: Teken een lijnstuk a van 2 cm.

Stap 2: Construeer het lijnstuk b van 3 cm loodrecht op a in een grenspunt.

Stap 3: Verbind de vrije grenspunten. Het gevonden lijnstuk c is 13 cm.

1.5.2 Constructie van een rechthoekszijde

Modeloefening 2: Construeer een lijnstuk a met een lengte van 12 cm.

Stel 12 = 16 –4 = 4– 2 22 , dan is a = –22cb met a = 12 cm, b = 2 cm en c = 4 cm.

Stap 1: Teken een lijnstuk b van 2 cm en een loodrechte op b in een van de grenspunten.

Stap 2: Construeer een boog met een straal van 4 cm vanuit het andere grenspunt.

Stap 3: Verbind het vrije grenspunt van b met het snijpunt van de boog met de loodrechte.

Het gevonden lijnstuk a is 12 cm.

Je kunt niet alle lijnstukken met een opgegeven lengte op die manier construeren.

Proefversie©VANIN

1.5.3

Toepassing

• Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1.

• De schuine zijde is dan 1+ 1 22 = 2

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

• De schuine zijde van die driehoek is 2+ 1 2 2 () = 3

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

Oefeningen

REEKS A

37 Construeer via de schuine zijde van een rechthoekige driehoek

a) een lijnstuk van 20 cm.

Proefversie©VANIN

b) een lijnstuk van 10 cm.

38 Construeer via een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek

a) een lijnstuk van 7 cm.

b) een lijnstuk van 5 cm.

REEKS B

39 Construeer

a) een lijnstuk van 11 cm.

b) een lijnstuk van 17 cm.

40 Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 8 cm.

a)via de schuine zijde

REEKS B

41 Bereken de andere rechthoekszijde. n 1 n 1 –2 + 2

b)via een rechthoekszijde

Proefversie©VANIN

Die eigenschap kun je ook gebruiken om een lijnstuk met een gegeven lengte te construeren.

Construeer

a) een lijnstuk van 5 cm.

b) een lijnstuk van 8 cm.

1.6 Afstand tussen twee punten

1.6.1

Afstand van een punt tot de oorsprong

Het punt A is aangeduid op de tekening.

co(A) = ( , )

Meet de afstand van A tot de oorsprong O

| OA | =

–1–2–3 –4

co(B) = (−5, 4)

Stel B voor in het assenstelsel.

Meet de afstand van B tot de oorsprong O

| OB | =

Proefversie©VANIN

Je kunt | OA | ook berekenen.

Je construeert het punt S, het snijpunt van een verticale rechte door A en de x-as.

Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek.

| OS | = | de x-coördinaat van A | =

| AS | = | de y-coördinaat van A | =

| OA |2 = | OS |2 + | AS |2

| OA |2 = +

| OA |2 =

| OA | =

Bereken | OB |.

Werkwijze De afstand van een punt tot de oorsprong verkrijg je door

• de som te berekenen van de kwadraten van de coördinaatgetallen van dat punt en

• de vierkantswortel van die som te bepalen.

co(A) = (xA , yA) ⇒ | OA | = + 22 xyAA

1.6.2 Afstand tussen twee punten

Voorbeeld

In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:

A met co(A) = ( , ) en B met co(B) = ( , )

• Je kunt de afstand tussen die twee punten meten: | AB | = cm.

Proefversie©VANIN

• Je kunt de afstand tussen de twee punten ook berekenen.

Je construeert het punt S, dat je verkrijgt als het snijpunt van een horizontale rechte door A en een verticale rechte door B

| AS | = want (verschil van de x-coördinaten)

| BS | = want (verschil van de y-coördinaten)

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABS

| AB |2 = | AS |2 + | BS |2

| AB | = || +| | 22 AS BS

| AB | = 4+ 6 22

| AB | = ≈

Formule

Algemeen

In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:

A met co(A) = (xA , yA) en

B met co(B) = (xB , yB).

| CB | = | yB − yA | en

| AC | = | xB − xA |

Je neemt van beide verschillen de absolute waarde omdat afstanden altijd positief zijn.

| AB |2 = | AC |2 + | CB |2

| AB | = || +| | 22 AC CB

| AB | = xx yy BA BA (– )+ (– ) 22 y x O 1

–

Proefversie©VANIN

– xA

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: | AB | = (– )+ (– ) 22 xx yy BA BA

Voorbeeld 1

Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5).

| AB | = =

Voorbeeld 2

Bereken | CD | op 0,01 nauwkeurig.

co(C) = co(D) = | CD | = =

Algemeen

Bijzondere gevallen

Afstand van een punt tot de oorsprong

5

co(O) = (0, 0) co(A) = (5, −2)

| OA | = (5 –0)+ (–2– 0) 22 = 5+ (–2) 22

= 25 +4 = 29 = 5,39

Proefversie©VANIN

Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = + 22 xyAA

Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat 12 34 5 x 1 y O B A –1

co(A)= (2, 1) co(B)= (2, −2)

| AB | = (2 –2)+ (–2– 1) 22 = 0+ (–2– 1) 22 = (–2– 1)2 = |–2 – 1| = |–3| = 3

Algemeen Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.

Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat –1 12 3 –2

AB y co(A) = (−2, 1) co(B) = (3, 1)

1

| AB | = (3– (–2)) + (1– 1) 22 = (3– (–2)) +0 22 = (3– (–2))2 = |3 – (–2)| = |3 + 2| = 5

Algemeen Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |.

Oefeningen

REEKS A

42 Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur.

Proefversie©VANIN

43 Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig.

a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2)

I AB I =

b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7)

I OC I =

c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1)

I DE I =

d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0)

I FO I =

e) [GH] met co(G) = (7, −3) en co(H) = (−7, 3)

I GH I =

f) [OI] met co(O) = (0, 0) en co(I) = (0, −6)

I OI I =

Proefversie©VANIN

REEKS B

44 Teken de driehoek LAT en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. co(L) = (4, –2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)

45 De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn.

Alle trajecten zijn recht.

De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen:

co(A) = (1, 2)

co(B) = (6, 3)

Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?

co(C) = (4, 11)

Proefversie©VANIN

Antwoord:

46 Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen:

co(X) = (5, 4)

co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3)

Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?

Antwoord:

47 Een full hd-monitor heeft een resolutie van 1 920 bij 1 080 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800).

Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.

Antwoord:

REEKS C

48 Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1)

Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

49 De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km.

Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? Rond af op 0,1 km. x y 1 O 1

Niels bevindt zich hier

Brugge

Roeselare

Gent

Turnhout

Antwerpen

Mechelen

Aalst

Brussel

Hasselt

Liège

Mons

Charleroi

Namur

Marche-en-Famenne

Antwoord:

Arlon

1.6.3 De vergelijking van een cirkel

Definitie van een cirkel

Alle punten P die zich op eenzelfde afstand r van het punt M bevinden, liggen op een cirkel met middelpunt M en straal r

Notatie

c (M, r) of c (M, |PM|)

Proefversie©VANIN

Definitie Een cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt.

V ergelijking cirkel

Vergelijking van een cirkel

Voorbeeld

V oorbeeld

|MP| = + – 3) 2 (x– 4) 2 (y = 2

De voorwaarde voor het punt P om op de cirkel c (M, 2) te liggen, kun je ook noteren als:

P (x, y) ∈ c (M, 2) ⇔ (x – 3) 2 +(y – 4) 2 = 4

Deze voorwaarde noem je de vergelijking van de cirkel c (M, 2)

Notatie

c (M, 2) ↔ + – 3) 2 (x– 4) 2 (y = 4 ↔ lees je als: heeft als vergelijking

A (5, 4) ligt op de cirkel want + – 3) 2 (5– 4) 2 (4 = 4

B (3,1) ligt niet op de cirkel want + – 3) 2 (3– 4) 2 (1 = 9 ≠ 4

Algemeen

Een vergelijking van de cirkel c (M, r) met co(M) = (xM, yM) noteer je als: c (M, r) ↔ + – x M) 2 (x – yM) 2 (y = r 2

Elk punt P (x, y) dat aan deze voorwaarde voldoet, behoort tot de cirkel c (M, r).

Besluit Vergelijking van een cirkel

De vergelijking van een cirkel met middelpunt M (xM, yM) en straal r is

(M, r)

Oefeningen

REEKS A

50 Stel de vergelijking op van de cirkel met gegeven middelpunt en straal. middelpuntstraal vergelijking

a) M (4, 7) r = 8

b) M (-8, 5) r = 2

c) M (0, 0) r = 7

d) M (-6, 0) r = 3

e) M 3 8 , 2 r = 5

REEKS B

51 Bepaal de coördinaat van het middelpunt en de straal van de cirkel met gegeven vergelijking. vergelijking middelpunt straal

a)(x – 7) 2 + (y – 4) 2 = 49

b)(x – 2) 2 + y 2 = 4

c) x 2 + y 2 = 36

d)(x – 1) 2 + (y + 8) 2 = 9

e) x 2 + (y + 0,8) 2 = 7

52 Duid de punten aan die op de cirkel c (M, r) ↔ (x – 4) 2 + (y + 2) 2 = 25 liggen.

r A (1, 3) r C (-1, -2) r E (1, 2) r G (0, 1) r B (9, 2) r D (1, -6)

F (8, -5)

H (9, 0)

53 Bepaal de vergelijking van de gegeven cirkel.

x y

Proefversie©VANIN

x y

54 Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M die het punt P bevat.

a) middelpunt: M (3, 7) punt van de cirkel: P (9, −1)

b) middelpunt: M (0, 0) punt van de cirkel: P (8, 15)

c) middelpunt: M (5, −12) punt van de cirkel: P ( 2, −3)

1.7 Pythagoras in de ruimte

1.7.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus

gegeven

GEOGEBRA

een kubus met ribbe 4 cm gevraagd

Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig. oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

De diagonaal is

1.7.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak

GEOGEBRA

Elke ribbe is 4 cm. gevraagd

Bereken de hoogte |EH| op 0,01 nauwkeurig. oplossing

antwoord

De hoogte is

Oefeningen

REEKS A

55 Bereken.

Proefversie©VANIN

gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd

| DF | oplossing

antwoord

| DF | =

56 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

| AE | oplossing

antwoord

| AE | ≈

REEKS B

57 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE ]. N is het midden van [FG ].

gevraagd

| MN | oplossing

Proefversie©VANIN

antwoord

| MN | ≈

58 Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

gegeven

een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de omtrek van nCEG oplossing

antwoord De omtrek van nCEG is

59 Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

60 Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?

Antwoord:

61 Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?

Antwoord:

REEKS C

62 Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig.

gegeven

een kubus met ribbe 3 cm gevraagd

de oppervlakte van nBGE oplossing

Proefversie©VANIN

63 Bewijs.

antwoord

De oppervlakte van nBGE is

gegeven een balk met ribben l, b en h te bewijzen

| DF | = lb++ 22 2h bewijs

besluit

| DF | = lb++ 22 2h

In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l 2 + b 2 + h 2 .

STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren

KENNEN

Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

Proefversie©VANIN

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

KUNNEN

De stelling van Pythagoras formuleren en toepassen.

1.2 Meetkundige voorstellingen

KUNNEN

Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.

Toepassingen op meetkundige voorstellingen van de stelling van Pythagoras verklaren.

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

De stelling van Pythagoras bewijzen.

KUNNEN

De stelling van Pythagoras bewijzen in een gewijzigde situatie.

1.4 Rekenen met Pythagoras

KUNNEN

Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen als twee zijden gegeven zijn.

De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.

1.5 Constructies

KUNNEN

Via de stelling van Pythagoras lijnstukken met een bepaalde lengte construeren.

1.6 Afstand tussen twee punten

KENNEN

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = yy xx(– )+ (– ) 22

Afstand van een punt tot de oorsprong.

Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = + 22 xyAA

Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.

Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r:

c(M, r) ↔ (x - xM)² + (y - yM)² = r²

KUNNEN

De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.

De vergelijking van een cirkel met gegeven middelpunt en straal opstellen.

1.7 Pythagoras in de ruimte

KUNNEN

De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.

Pienter problemen oplossen

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

Proefversie©VANIN

1. Plaats natuurlijke getallen in de piramide, zodat de som van de getallen in elke twee naast elkaar staande vakjes gelijk is aan het getal in het gemeenschappelijke vakje erboven.

2. Plaats natuurlijke getallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee naast elkaar staande vakjes gelijk is aan het getal in het gemeenschappelijke vakje erboven.

36 000 24 15

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Proefversie©VANIN

2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen

2.2 Vierkantswortels

2.3 De reële getallen

2.4 Irrationale getallen benaderen

2.5 Reële getallen ordenen

Pienter problemen oplossen

2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen

2.1.1 Inleiding

Proefversie©VANIN

De waarde (in euro) is een rationaal getal

Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven:

• Voorbeelden:

• Voorbeelden:

2.1.2 Een breuk omzetten naar de decimale schrijfwijze

Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer.

24 25 = 17 8 = 17 11 =

2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen

decimaal getal

Afspraken

decimale vorm

zuiver repeterend gemengd repeterend 29 20 =

Een decimaal getal is een begrensd kommagetal. 5 11 =

Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint. 17 6 =

Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.

• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die herhaald wordt.

Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76

• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode.

Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845

• Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes.

• Begin de periode zo vroeg mogelijk.

• Houd de periode zo kort mogelijk.

2.1.4 Een decimale schrijfwijze omzetten naar een breuk

Decimale getallen voorbeeld werkwijze

1,65 = 165 100 = 33 20

Stap 1: Noteer het getal als een breuk:

• de teller is het getal zonder komma;

• de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn.

Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Proefversie©VANIN

Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma voorbeeld werkwijze

0,454 5... = 45 99 = 5 11

Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk:

• de teller is de periode;

• de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.

Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma voorbeeld werkwijze

2,33...

= 2 + 0,33...

= 2 + 3 9

= 2 + 1 3

= 6 3 + 1 3

= 7 3

Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.

Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk:

• de teller is de periode;

• de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.

Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

Stap 4: Maak het geheel getal en de breuk gelijknamig.

Stap 5: Bepaal de som van de breuken.

Gemengd repeterende decimale vormen

voorbeeld werkwijze

2,161 212...

= 216,121 2... 1 100

= (216 + 0,121 2...) ? 1 100

= 216 + 12 99 ? 1 100

= 216 + 4 33 1 100

= 7 128 33 + 4 33 1 100

= 7 132 33 1 100

= 7132 3300

= 1783 825

Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.

Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.

Proefversie©VANIN

Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

GEOGEBRA

Om een decimale vorm om te zetten naar een breuk moet je minstens 8 keer de periode ingeven.

Oefeningen

REEKS A

1 Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan. decimaal getal zuiver repeterende decimale vorm gemengd repeterende decimale vorm

a)0,845

b)0,88...

c)1,141 4

d)3,243 624 36...

e)8,254 4...

f)16,232 322...

g)8,07

h)781,787 8...

i)0,478 925 925...

j)18,145 656

2 Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze.

a) 3 5 = f) 19 12 = k) 210 111 = b) 1 8 = g) 14 37 = l) 17 15 = c) 2 3 = h) 892 45 = m) 45 33 = d) 80 33 = i) 508 125 = n) 309 125 = e) 14 15 = j) 25 12 = o) 85 72 =

Proefversie©VANIN

3 Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze en bepaal telkens de periode. decimale schrijfwijze periode

a) 8 21

b) 7 13

c) 625 7

4 Schrijf de decimale getallen als een onvereenvoudigbare breuk.

a)0,29 = e)0,325 =

b)0,4 = f)1,18 =

c)2,7 = g)0,036 =

d)1,25 = h)4,064 =

Proefversie©VANIN

5 Schrijf de zuiver repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.

a)0,77... =

b)0,151 5... =

c)0,090 9... =

d)0,117 117... =

e)0,030 030... =

f)1,55... =

g)2,181 8... =

h)4,531 531... =

6 Schrijf de gemengd repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.

a)0,144... b)1,257 878... c)18,733...

7 Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk.

a)2,131 3...

d)72,727 2...

g)−0,123 44...

Proefversie©VANIN

b)−1,02

e)−0,212 312 3... h)50,505 5...

c)17,400...

f)2,757 5... i)−2,969 6...

8 Bepaal de periode van de zuiver repeterende decimale vormen.

a)

Proefversie©VANIN

b)

9 Toon aan dat 0,99... = 1.

10 Bepaal de som 2,366... + 5,633... zonder rekenmachine.

REEKS C

11 Bepaal het gevraagde cijfer.

a) het 100e cijfer na de komma in 5,123 123...

b) het 500e cijfer na de komma in de decimale vorm van 10 41

c) het 2 000e cijfer na de komma in de decimale vorm van 4 15

d) het 850e cijfer na de komma in 178,347 979 879 8...

2.2 Vierkantswortels

2.2.1 Inleiding

2.2.2 Definitie

Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2 Bereken de lengte van een zijde van een tegel.

Proefversie©VANIN

Definitie Vierkantswortel van een positief getal

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.

In symbolen b is een vierkantswortel van a ⇔ b 2 = a (met a ∈ q+ en b ∈ q)

Opmerking

Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?

2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal

positieve vierkantswortel negatieve vierkantswortel

• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81.

( )2 = 81

• Besluit: noem je de positieve vierkantswortel van 81.

• Notatie: 81 =

Besluit

• Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81.

( )2 = 81

• Besluit: noem je de negatieve vierkantswortel van 81.

• Notatie: – 81 =

• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn: – de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a

– de negatieve vierkantswortel van a is − a

• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf.

• Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels.

Oefeningen

REEKS A

12 Bereken zonder rekenmachine.

a) 25 = f) 144 =

b) ––100 = g) 0,25 =

c) 169 = h) ––6 400 =

d) ––1 = i) 0,81 =

e) ––625 = j) 0,04 =

13 Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

a) 5 ≈ f) 98741 ≈

b) ––3 ≈ g) ––158 ≈

c) 490 ≈ h) ––965 ≈

d) ––2 ≈ i) 147,2 ≈

e) 1 258 ≈ j) ––954,26 ≈

Proefversie©VANIN

14 Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine.

ligt tussen de gehele getallen ... verklaring

a) 32 en

b) 250 en

c) ––12 en

d) ––184 en

15 Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig.

a)de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt

c)de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2

Proefversie©VANIN

b)de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2

d)de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2

16 Los de vergelijkingen op.

a) x 2 – 25 = 0

x 2 = 25

x = –25 of x = 25

x = –5 of x = 5

De oplossingen –5 en 5 noteer je in de oplossingsverzameling V = {–5, 5}.

b) x 2 + 7 = 71

d)5x 2 = 180

e)3x 2 – 63 = 300

c) x 7 2 = 28

f) x 3 2 + 14 = 62

De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874).

Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut.

De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal = 2 BMI m l

Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25. Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar.

Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.

17 Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m.

a) BMI = 24 m = 78 kg

b) BMI = 20 m = 60 kg

c) BMI = 28 m = 94 kg

d) BMI = 18 m = 50 kg

Proefversie©VANIN

Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’

Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel

Stel: r is de straal van de cirkel. x is de zijde van het vierkant.

Dan: x 2 =  ? r 2

18 Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig.

19 Inthe en Ruben zijn op zoek naar een geschikt stuk bouwgrond. Tijdens een wandeling zien ze op een stuk grond een bordje met de onderstaande gegevens. Bij navraag in de buurt komen ze enkel te weten dat de aanpalende stukken vierkant zijn. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond dat te koop is, op 0,01 m2 nauwkeurig.

657m 2

Proefversie©VANIN

l m

2

Een ‘wiskundige slinger’ bestaat uit een massa m die aan een staaf of kabel hangt met lengte l en waarvan de massa verwaarloosbaar is. Als de massa uit haar evenwichtstoestand wordt gebracht en daarna losgelaten, zal die heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht.

De periode van de slinger is de tijd die de massa nodig heeft om één keer heen en weer te bewegen.

Er geldt: T = 2 l g

T is de periode in seconden, l is de lengte van de slinger in meter en g is de valversnelling in m/s 2 (de toename van de snelheid van een vallend voorwerp, per seconde, onder invloed van de zwaartekracht).

20 Van een wiskundige slinger met lengte 4 m wordt de periode gemeten. Die bedraagt 4,014 s. Bepaal daaruit een benaderde waarde, op 0,01 nauwkeurig, voor de valversnelling.

21 De valversnelling op de maan is zes keer kleiner dan de valversnelling op de aarde. Wat zal de invloed daarvan zijn op de periode van een slinger op de maan ten opzichte van eenzelfde slinger (massa en lengte zijn gelijk) op aarde?

2.3 De reële getallen

2.3.1 Getallen die je al kent

Definitie Natuurlijk getal

Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

5 is een natuurlijk getal.

Notatie: 5 ∈ n

Lees: 5 is element van n

2.3.2 Uitbreiding getallen

Irrationale lengten

Geheel getal

Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.

−3 is een geheel getal.

Notatie: −3 ∈ z

Rationaal getal

Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.

Lees: −3 is element van z 3 4 is een rationaal getal.

Notatie: 3 4 ∈ q

Lees: 3 4 is element van q

Proefversie©VANIN

Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.

Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.

❒ natuurlijk getal ❒ geheel getal ❒ rationaal getal

De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?).

Irrationale getallen

Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode

Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen. Je noemt ze irrationale getallen

Definitie Irrationaal getal

Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode.

Voorbeelden

2 = 1,414 213 562 3...

0,123 456 789...

 = 3,141 592 653 589 793 238 46...

2.3.3 Rationale en irrationale vierkantswortels

rationale vierkantswortels irrationale vierkantswortels

• 121 = • 32 = • 1 4 = • 5 4 = • 6,25 = • 10,02 =

Besluit

Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel

• een rationaal getal als uitkomst.

Voorbeelden:

• een irrationaal getal als uitkomst.

Voorbeelden:

2.3.4

Reële getallen

De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen

Proefversie©VANIN

Definitie

Reëel getal

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De verzameling van de reële getallen noteer je als r

GEOGEBRA

2 is een reëel getal. Notatie: 2 ∈ r Lees: 2 is element van r Plaats de getallen in het venndiagram.

7,2537

–2,42,345… –7 0,22… –6 3 –12 3 1 3

Enkele bijzondere deelverzamelingen van r:

r0 : de reële getallen zonder 0

r+ : de positieve reële getallen

r - : de negatieve reële getallen

De irrationale getallen bevinden zich in r, maar niet in q:

2.3.5 Absolute waarde van een reëel getal

Definitie Absolute waarde

De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min).

Voorbeelden: –3 = 0, 12345 = – =

Proefversie©VANIN

2.3.6 Tegengestelde van een reëel getal

Definitie Tegengestelde

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.

Voorbeelden: –(–2 ) = –(+) = –(–1,246...) =

2.3.7 Omgekeerde van een reëel getal

Definitie Omgekeerde

Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).

Voorbeelden: 1 2 –1 = ()–1 = (–17 )–1 =

Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van  te onthouden: de piphilologie.

Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992):

'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!'

In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal  : 3,141 592 653 589 79. Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal  onthouden:

'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'

In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal  gelijkgesteld moest worden aan 3,2.

Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet. Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij.

Door de ‘uitvinding’ van  = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen. De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van een wiskundige: deze wees op de fouten die Goodwin gemaakt had om tot  = 3,2 te komen.

Oefeningen

REEKS A

22 Plaats de getallen in het venndiagram.

a)–12c)1,5e)0,33...g) –1 3 i)154k) 12

b)0 d) 3 4 f) –5 h)–1,232 3...j)5,024 6...l)–5 n z q r

Proefversie©VANIN

23 Noteer de passendste getallenverzameling. Kies uit n, z, q of r.

a)−5 ∈ f)1,232 3... ∈ k)  ∈

b)0,23 ∈ g)−1,5 ∈ l)0,047 47... ∈ c)4 585 ∈ h) –3 7 ∈ m)−8,113 ∈ d)0,135 79...

24 Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal?

a)1,233...

REEKS B

25 Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort.

26 Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje. A (m2) zijde rationaal zijde irrationaal A (m2) zijde rationaal zijde irrationaal

27 Schrijf zonder absolutewaardeteken.

a) –7 = d) – –3 7 = g) 1– 2 = b) 0,85 = e) 1– ,233 = h) –5 +1 2 = c) –3 = f) = i) –3– 7 4 =

28 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

a)–(–8) = d) –() –11 = b) –( 2 ) = e)–(+1,455...) = c) –() = f) 5 2 =

29 Bepaal het omgekeerde van de reële getallen. Schrijf je antwoord als een decimaal getal. Rond, indien nodig, af op 0,001 nauwkeurig.

a) 4 7 –1 = d) –1 4 –1 = g) (5 3 )–1 =

b)(–2)–1 = e)1,33...–1 = h) (–0,35)–1 = c) ( 2 )–1 = f)12–1 = i) 7 6 –1 =

Proefversie©VANIN

REEKS C

30 Vul de getallenverzameling in.

a) r  q = d) z \ n = b) n  z = e) r +  q =

c) z+  z –= f) r \ r + =

31 Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig.

AB P R SQ D C

2.4 Irrationale getallen benaderen

2.4.1 Inleiding

Bereken 5

Rond af op het gegeven aantal decimalen. Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel. • 0,01 :

0,001 :

0,000 1 :

0,000 01 :

Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm. De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.

2.4.2 Afronden

Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing.

Voorbeeld

Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.

2.4.3 Wortelvormen

Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren.

Definitie Wortelvorm

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

Opmerking

• Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan.

• Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten.

Voorbeelden

3 2 , –7 145 , 1 3 15 ,

Benaderingen van  op 2 decimalen nauwkeurigop 6 decimalen nauwkeurigop 20 decimalen nauwkeurig

2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen

Interval

Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14h en 14h30 op een bank in het park. De tijd tussen 14h en 14h30 noem je een tijdsinterval

Proefversie©VANIN

Interval in r

Definitie Interval in r

Een interval in r is een ononderbroken verzameling van reële getallen.

Soorten intervallen

gesloten interval

Irrationale getallen benaderen

Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort.

Opmerkingen

• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval.

• Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen.

Voorbeeld

35 ≈ 5,916 079 783

Oefeningen

REEKS B

32 Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm.

a) 32 = f) –33(–14) =

Proefversie©VANIN

b) 17 0,5 = g) (– 4) 2,7 3 =

c) –2 8 = h) –0,12 (–12,8 ) =

d) 1 7 (– 4) = i) 1 8 –5 7 =

e) –3 4 7 = j) –12 15 –3 8 –1 =

33 Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

3,2 cm

2,6 cm afronding voor de controlemeting: meettoestel afronding meetlat op 1 mm schuifmaat op 0,02 mm

34 Vul de tabel in.

omschrijving interval soort interval

a) {x ∈ r | 3 ⩽ x ⩽ 11}

b) {x ∈ r | –4 < x < 8}

c) {x ∈ r | –1,5 ⩽ x < –0,75} d) ]4, 16[ e) [1,7; 8,5] f) –3 ,

35 In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen? irrationaal getal

a)7,123 456...

b) 8 0,01

c) 21 – 1 d) 148 10

e)−4,010 020 003... 0,000 1

f) 1214 – 0,001

36 Verbind een wortelvorm uit de eerste kolom met een wortelvorm uit de tweede kolom die een voorstelling is van hetzelfde irrationaal getal.

Proefversie©VANIN

REEKS C

37 Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien.

7,5 mm

2.5.1 Inleiding

Symbolen <

Proefversie©VANIN

Voorbeelden

2.5.2

Irrationale getallen voorstellen op een getallenas

Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren.

Voorbeelden

a) =27

27 =25+ 2

=25+1+ 1

=522+1+12

c

2 2 b a b b) =63

63 =49+ 14

=49+9+5

=49+9+4+ 1 =7 22+3+2+122

Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n

Stap 2: Splits dat tweede getal als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal.

Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn.

Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.

Stap 5: Pas de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas.

2.5.3 Abscis van een punt op de getallenas

Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas.

Proefversie©VANIN

Definitie Abscis van een punt

De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

Notatie: ab(A) = 0,5

0,5

Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk.

Besluit Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.

2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas

Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen:

• De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.

• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip:

• Bijzondere intervallen:

[–1, +∞[+∞: plus oneindig ]–∞, 2[−∞: min oneindig

Opmerking

Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.

[–1, + ∞[

REEKS A

38 Vul in met <, > of =.

Proefversie©VANIN

39 n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n.

40 Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a) 8

Proefversie©VANIN

41 Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken. 38 =

Proefversie©VANIN

42 Rangschik de irrationale getallen van klein naar groot. Met de bijbehorende letters op de ballonnen verkrijg je een woord.

Je vindt het woord:

43 Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis.

ab(A) = 2 ab(C) = –3 ab(E) = 2,8 ab(G) = 7 ab(I) = 9

ab(B) = −1,5 ab(D) = 3 4

F) = –7 3

H) = –9 5

) = 25

Proefversie©VANIN

44 Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas.

A) =

B) =

F) =

45 Stel de intervallen voor op de getallenas.

C) =

D) =

) =

H) =

I) =

J) =

Proefversie©VANIN

48 Wat is de abscis van de punten A en B?

Proefversie©VANIN

49 Noteer als een interval.

50 Rangschik de reële getallen van klein naar groot.

STUDIEWIJZER De reële getallen

2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen

KUNNEN

Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden.

De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden.

Decimale schrijfwijze omzetten naar breuk.

Breuk omzetten naar decimale schrijfwijze.

2.2 Vierkantswortels

Proefversie©VANIN

KENNEN

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.

KUNNEN

De vierkantswortels van een positief getal berekenen.

2.3 De reële getallen

KENNEN

Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode.

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken.

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.

Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.

Getallen voorstellen in een venndiagram.

KUNNEN

De absolute waarde van een reëel getal bepalen.

Het tegengestelde van een reëel getal bepalen.

Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.

2.4 Irrationale getallen benaderen

KENNEN

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

Een interval in r is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.

Werken met intervallen.

KUNNEN

Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties.

Irrationale getallen benaderen met intervallen.

2.5 Reële getallen ordenen

KENNEN

Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

KUNNEN

Proefversie©VANIN

Reële getallen ordenen.

Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.

Reële getallen voorstellen op een getallenas.

De invoering van de verzameling van de reële getallen uitleggen als een vervollediging van de getallenas.

De abscis van een punt op de getallenas bepalen.

Intervallen voorstellen op een getallenas.

Pienter problemen oplossen

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1.Bereken de zijde x van het vierkant. Gebruik daarvoor de gegevens op de tekening.

9 3 12 x x

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

Proefversie©VANIN

3. Een trein rijdt met een snelheid van 90 km/h en nadert een tunnel van 2,5 km lang. De trein is 250 mter lang. Bereken de tijd (in minuten en seconden) vanaf het moment dat de voorkant van de trein de tunnel in gaat, tot het moment dat de achterkant van de tunnel de trein verlaat.

2. Bereken de oppervlakte van de gekleurde driehoek, die bepaald wordt door de 4 vierkanten. De zijde van het kleinste vierkant is 1. 1

HOOFDSTUK 3 I DRIEHOEKSMETING VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK

Proefversie©VANIN

3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek 98

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen 123

Studiewijzer

Problemen uit JWO

143

144

3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek

3.1.1 Hellingen

Tijdens een fietstocht ziet Wouter een verkeersbord dat een helling van 20 % aangeeft.

Deel telkens het hoogteverschil door de horizontale verplaatsing.

Proefversie©VANIN

verplaatsing

hoogteverschil horizontale verplaatsing

Wat stel je vast?

De verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing noem je het hellingsgetal

In het voorbeeld is het hellingsgetal

Het hellingsgetal is de decimale schrijfwijze van het hellingspercentage

In het voorbeeld is het hellingspercentage

Hellingsgetal en hellingspercentage zijn typisch voor een hellingshoek.

Als de hellingshoek verandert, veranderen het hellingsgetal en het hellingspercentage.

In de praktijk is het niet zo gemakkelijk om de horizontale verplaatsing en het hoogteverschil te meten. In de landmeetkunde heeft men een speciaal meetinstrument om hellingshoeken te meten: een theodoliet.

Oefeningen

REEKS A

1 Bereken het hellingsgetal.

hoogteverschil horizontale verplaatsing hellingsgetal

Proefversie©VANIN

2 Bereken het hellingspercentage.

hoogteverschil horizontale verplaatsing hellingspercentage

REEKS B

3 Tijdens een beklimming overwint een fietser een hoogteverschil van 200 m bij een horizontale verplaatsing van 2,5 km.

Bereken het hellingsgetal van de helling die de fietser beklommen heeft.

Antwoord:

4 Jan overwint een hoogteverschil van 30 m bij een horizontale verplaatsing van 400 m. Bereken het hellingspercentage op 0,1 % nauwkeurig.

Antwoord:

3.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek

Algemeen

Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en een schuine zijde. Afhankelijk van de scherpe hoek kun je de rechthoekszijden een specifiekere naam geven.

• De aanliggende rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die aan de gegeven scherpe hoek ligt.

• De overstaande rechthoekszijde van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de rechthoekszijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt.

Voorbeelden

Proefversie©VANIN

aanliggende rechthoekszijde van a : [AC ] aanliggende rechthoekszijde van a : overstaande rechthoekszijde van a : [BC ] overstaande rechthoekszijde van a :

aanliggende rechthoekszijde van b : aanliggende rechthoekszijde van b : overstaande rechthoekszijde van b : overstaande rechthoekszijde van b :

Opmerking

In driehoek ABC noem je

| AB | = c de lengte van de schuine zijde (sz) of hypothenusa;

| BC | = a de lengte van de aanliggende rechthoekszijde (arz) van b;

| CA | = b de lengte van de overstaande rechthoekszijde (orz) van b;

| AC | = b de lengte van de aanliggende rechthoekszijde (arz) van a;

| CB | = a de lengte van de overstaande rechthoekszijde (orz) van a.

In wat volgt gebruik je ook de termen schuine zijde, aanliggende rechthoekszijde en overstaande rechthoekszijde als je de lengte van die zijde bedoelt.

Oefeningen

REEKS A

5 Vul in.

Proefversie©VANIN

n KAT n MOL n VIS n REU schuine zijde

aanliggende rechthoekszijde van a overstaande rechthoekszijde van a aanliggende rechthoekszijde van b overstaande rechthoekszijde van b

6 Juist of fout?

Proefversie©VANIN

a) [AB] is de aanliggende rechthoekszijde van a in n ABC r r

b) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van b in n BCD. r r

c) [BC] is de schuine zijde in n BCD r r

d) [CD] is de overstaande rechthoekszijde van a in n ABC r r

e) [BD] is de aanliggende rechthoekszijde van b in n BCD r r

f) [AC] is de aanliggende rechthoekszijde van a in n ABC r r

g) [AC] is de schuine zijde in n ABC r r

h) [AD] is de aanliggende rechthoekszijde van a in n ACD. r r

i) [AC] is de overstaande rechthoekszijde van b in n ABC r r

j) [AB] is de schuine zijde in n ABC r r

7 In welke driehoek geldt de uitspraak?

Proefversie©VANIN

uitspraak geldt in driehoek

a) [HE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H3

b) [AL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ H2

c) [CL] is de schuine zijde.

d) [LE] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ L2

e) [LH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ C.

f) [CH] is de overstaande rechthoekszijde van ^ L3

g) [NL] is de schuine zijde.

h) [AH] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ H2

i) [NL] is de aanliggende rechthoekszijde van ^ N

j) [HL] is de overstaande rechthoekszijde van ^ N

3.1.3 Verhoudingen in rechthoekige driehoeken

Bij een constante hellingshoek is de verhouding van het hoogteverschil en de horizontale verplaatsing constant. Onderzoek de andere verhoudingen.

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

Vul de tabel verder in. Rond af op 0,1. sz (mm) arz van a (mm) orz van a (mm) a orzvan sz a

sz a

ar

n ABC 51 26 44 n DEF 38 19 33 n GHI 83 42 72

Wat stel je vast?

3.1.4 Definities

De verhoudingen van de lengten van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

Definitie Sinus Cosinus Tangens

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

Proefversie©VANIN

Voorbeelden

sos cas toa is een ezelsbruggetje om de definities van sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek te onthouden.

= verstaande chuine s o s

GEOGEBRA

Opmerkingen

• In een rechthoekige driehoek is zowel de sinus als de cosinus van een scherpe hoek altijd kleiner dan 1, omdat de schuine zijde de langste zijde is, en dus de noemer altijd groter is dan de teller. •

Proefversie©VANIN

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de sinus.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de cosinus.

Hoe groter de scherpe hoek, hoe de tangens

• In een rechthoekige driehoek is de sinus van de ene scherpe hoek gelijk aan de cosinus van de andere scherpe hoek (zijn complement).

sin a = BC AB = cos b

sin b = AC AB = cos a

Het woord sinus is Latijn en betekent ‘gebogen, kromme lijn’. De oudste bekende bron waarin men het heeft over de sinus van een hoek, is een Indisch boek uit de 5e eeuw.

Oorspronkelijk werd de sinus gebruikt als de lengte van een koorde in een cirkel. Leonard Euler (18e eeuw) gebruikte voor het eerst de sinus als verhouding.

De cosinus kwam er om de sinus van de complementaire hoek te berekenen. Edmund Gunter bedacht het woord ‘co-sinus’, dat al vlug vereenvoudigd werd tot ‘cosinus’ door John Newton rond 1660. Tegen 1675 had Jonas Moore het al afgekort tot ‘cos’.

‘Tangens’ komt van het Latijnse tangere, dat ‘raken’ betekent. Het woord is een idee van de Deense wiskundige Thomas Fincke en werd door hem voor het eerst gebruikt rond 1583.

Andere goniometrische getallen zijn: seca a 1 cos secans:

Leonard Euler (1707-1783)

3.1.5 Goniometrische getallen van een scherpe hoek berekenen

Zestigdelige graad: onderverdelingen

Hoeken worden uitgedrukt in zestigdelige graden.

Voor nauwkeurigere bepalingen van de hoekgrootte kun je de graad onderverdelen in minuten () en seconden (). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel:

Proefversie©VANIN

Voor de oorsprong van de zestigdelige onderverdeling moet je terug naar de Babylonische tijd, rond 2000 voor Christus.

De Babyloniërs kozen het grondtal zestig omdat het een groot aantal natuurlijke delers heeft, namelijk 12.

Hierdoor kunnen getallen in het zestigtallig stelsel gemakkelijk worden gedeeld in kleinere, gelijkwaardige delen.

Zo kan een graad gemakkelijk worden gedeeld in delen van 30 minuten, 15 minuten, 12 minuten, 10 minuten … Voor de Babyloniërs bestond een jaar uit 360 dagen.

Dankzij de Bruggeling Simon Stevin en zijn werk ‘De Thiende’, in 1585 uitgegeven, gebruiken wij nu het tientallig of decimaal talstelsel. Het zestigtallig talstelsel wordt enkel nog gebruikt voor tijdmeting en hoekmeting.

Goniometrische getallen berekenen met ICT

Met een wetenschappelijke rekenmachine kan je de sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek berekenen.

Voorbeelden

Bereken de goniometrische getallen. Rond af op 0,001.

• sin 82º ≈

• cos 38º4729 ≈

• tan 29º46 ≈

GEOGEBRA

Oefeningen

REEKS A

8 Vul in.

Proefversie©VANIN

10 Bereken op 0,001 nauwkeurig.

a) sin 20º ≈ d) cos 15º ≈ g) tan 10º ≈

b) sin 45º ≈ e) cos 38º ≈ h) tan 26º ≈

c) sin 89º ≈ f) cos 88º ≈ i) tan 48º ≈

Proefversie©VANIN

11 Welk goniometrisch getal gebruik je om de onbekende zijde x te berekenen?

a) A C B 13 21° x c) M L K 37° 59 x

REEKS B

12 Bereken op 0,001 nauwkeurig.

a) sin 6º 8 51 ≈ h) cos 14º 58 36 ≈

b) cos 28º 54 22 ≈ i) tan 59º 47 ≈

c) tan 29º 52 38 ≈ j) sin 4 ≈

d) sin 27º 29 ≈ k) sin 89º 57 12 ≈ e) tan 46º 48 ≈ l) tan 58º 38 ≈ f) cos 75º 9 ≈ m) cos 84º 58 29 ≈

g) tan 5º 32 55 ≈ n) sin 79º 52 37 ≈

13 Meet op 1 mm nauwkeurig, vul in en bereken op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Bereken de zijde x op 0,01 nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

REEKS C

15 Teken de hoek a.

a) sin a = 3 4

c) cos a = 2 5

Proefversie©VANIN

b) tan a = 5 15

d) tan a = 3 2

16 Aan welke voorwaarden moeten de zijden van de rechthoekige driehoeken voldoen? Wat stel je vast over de hoeken?

a) tan a > 1

b) cos a = cos b

c) sin a < cos a

d) tan b = 1

zijden: hoeken:

zijden: hoeken:

zijden: hoeken:

zijden: hoeken:

uitspraak juist fout verklaring

a) sin b = BU LU r r

b) BU CU = LU CL r r

c) cos a > sin a r r

d) tan a = LU CU r r

e) BC CU = BU LU r r

f) tan b = CU LU r r

g) BU CB = BU BL r r

h) cos a = BC BU r r

Proefversie©VANIN

i) tan a > tan b r r

j) BU BC = UL CU r r

3.1.6 Basiseigenschappen

Verband tussen tangens, sinus en cosinus

Bereken op 0,001 nauwkeurig.

sin 43º ≈ sin43º cos43º ≈ en tan 43º ≈

cos 43º ≈

Proefversie©VANIN

Wat stel je vast?

Eigenschap = a a a tan sin cos

tekening gegeven

rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º te bewijzen

tan a = sin cos a a

bewijs

sin a = a c en cos a = b c

⇓ delen van sin a door cos a sin a cos a = a c b c

⇓ rekenen met reële getallen sin a cos a = a c ? c b

⇓ vereenvoudigen

sin a cos a = a b

⇓ definitie tangens

sin a cos a = tan a

besluit

tan a = sin cos a a

GEOGEBRA

Eigenschap

De grondformule

Bereken zonder tussendoor af te ronden: (sin 43º)2 + (cos 43º)2 =

Opmerking

(sin a)2 noteer je ook als sin2 a. Analoog voor (cos a)2 en (tan a)2

sin2 25º 47 38 + cos2 25º 47 38 =

Wat stel je vast?

Proefversie©VANIN

sin2 a + cos2 a = 1

Die eigenschap noem je de grondformule van de goniometrie.

tekening gegeven α A C B a b c rechthoekige driehoek ABC met ^ C = 90º te bewijzen

bewijs

sin2 a + cos2 a = 1

sin a = a c en cos a = b c

sin2 a + cos2 a = a c 2 + b c 2 ⇓ rekenen met reële getallen

sin2 a + cos2 a = a 2 + b 2 c 2 ⇓ stelling van Pythagoras

sin2 a + cos2 a = 2 2 c c = 1

besluit

sin2 a + cos2 a = 1

Opmerking • sin2 a = 1 - cos2 a ⇒ sin a = 1 - cos2 a • cos2 a = 1 - sin2 a ⇒ cos a = 1 - sin2 a

Oefeningen

REEKS A

18 Vul in zonder a te berekenen.

Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. sin a

Proefversie©VANIN

REEKS B

19 Vul in zonder a te berekenen.

Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.

sin a cos a tan a

20 Vul in zonder rekenmachine. sin a cos a tan a

a) a = 30º 1 2 b) a = 45º 2 2

c) a = 60º 3 2

Proefversie©VANIN

21 Waarom zijn de beweringen fout?

a) sin a = tan cos a a

b) sin a = 3 4 ⇒ cos a = 1 4

c) 1 + sin2 a = cos2 a

Goniometrische getallen van een aantal bijzondere hoeken

3.1.7 Een hoek berekenen uit een goniometrisch getal

Bij sin a, cos a en tan a start je vanuit een hoek en verkrijg je een onbenoemd getal. Bij de omgekeerde (inverse) bewerkingen start je vanuit een onbenoemd getal en verkrijg je een hoekgrootte.

Proefversie©VANIN

Om een hoek te berekenen uit een goniometrisch getal gebruik je ICT. Deze bewerkingen worden op een wetenschappelijke rekenmachine aangeduid met sin-1, cos-1 en tan-1

Voorbeelden

• sin a = 0,75 ⇒ a = • cos a = 0,3 ⇒ a = • tan a = 2,64 ⇒ a =

GEOGEBRA

Oefeningen

REEKS A

22 Bereken de hoek a op 1º nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

23 Welk goniometrisch getal gebruik je om de hoek a te berekenen?

24 Bereken, indien mogelijk, op 1  nauwkeurig.

REEKS B

25 Bereken de hoek a op 1  nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord: Antwoord:

Antwoord: Antwoord:

Antwoord: Antwoord:

REEKS

C

26 Teken de hoek a zonder de hoek te meten. Tip: gebruik de formules voor sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek.

a) a = 30º

Proefversie©VANIN

b) a = 60º

c) a = 45º

Het licht plant zich rechtlijnig voort, zolang het in eenzelfde stof blijft. Bij overgang van de ene naar de andere stof buigt de lichtstraal af. Er treedt breking op aan het grensoppervlak van de twee stoffen. De stralen gaan in een andere richting verder.

De mate waarin een lichtstraal gebroken (afgebogen) wordt, is afhankelijk van de aard van de stof. Een dichte stof heeft een grote brekingsindex, een ijle stof een kleine.

Bij de overgang van een lichtstraal van stof A naar stof B geldt

Proefversie©VANIN

waarbij:

^ i = de invalshoek

^ r = de brekingshoek

nA = de brekingsindex van stof A

nB = de brekingsindex van stof B

Die wet staat bekend als de wet van Snellius, naar de Nederlandse wiskundige Willebrord Snell.

Enkele voorbeelden

27 Vul de tabel aan.

Stel de brekingsindex van lucht gelijk aan 1. ^ i overgang van ... berekeningen ^ r

a) 10º lucht naar water

b) 15º lucht naar glas

c) 20º glas naar diamant

stof

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

3.2.1

Inleiding

In een rechthoekige driehoek zijn er zes kenmerkende gegevens:

• de grootte van de drie hoeken (waarvan één hoek 90º is),

• de lengte van de drie zijden.

Omdat je hier alleen met rechthoekige driehoeken werkt, is de rechte hoek altijd gegeven.

Onderzoek welke gegevens nodig zijn om een rechthoekige driehoek volledig te bepalen.

In welke gevallen is het mogelijk om één welbepaalde driehoek te tekenen? Vink aan.

gegeven mogelijk niet mogelijk

a) de rechte hoek en een scherpe hoek r r

b) de rechte hoek en de schuine zijde r r

c) de rechte hoek en een rechthoekszijde r r

d) de rechte hoek en de twee scherpe hoeken r r

e) de rechte hoek en de beide rechthoekszijden r r

f) de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde r r

g) de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde r r

h) de rechte hoek, een rechthoekszijde en de schuine zijde r r

Hoeveel van de zes kenmerkende gegevens zijn minimaal nodig?

Eigenschap Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door: A

Proefversie©VANIN

In die gevallen kun je de overige elementen van de rechthoekige driehoek berekenen.

Dat heet een rechthoekige driehoek oplossen. Daarvoor gebruik je:

de som van de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras de definities van goniometrische getallen sin

3.2.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules.

som van de scherpe hoeken

= 90º stelling van Pythagoras

Proefversie©VANIN

Opmerking

Gebruik bij het oplossen van rechthoekige driehoeken bij voorkeur de gegevens, het liefst geen berekende waarde en nooit een afgeronde waarde.

Geval 1: de rechte hoek, een scherpe hoek en de schuine zijde zijn gegeven figuur gegeven oplossing

Geval 2: de rechte hoek, een scherpe hoek en een rechthoekszijde zijn gegeven

figuur gegeven

Proefversie©VANIN

Geval 3: de rechte hoek, de schuine zijde en een rechthoekszijde zijn gegeven

figuur gegeven

Geval 4: de rechte hoek en twee rechthoekszijden zijn gegeven

figuur gegeven

gevraagd

Oefeningen

REEKS A

28 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek ABC Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,1.

Proefversie©VANIN

29 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,1.

Proefversie©VANIN

REEKS

B

30 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek ABC. Rond de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01.

a = | AB | ≈ b = 34º 8 13 | BC | = 20,08 | AC | ≈ a) a = | AB | ≈ b = | BC | = 3,40 | AC | = 6,50 d) a = | AB | = 265,92 b = | BC | = 159,40 | AC | ≈ b) a = 54º 23 | AB | = 8,90 b = | BC | ≈ | AC |

a = | AB | ≈

= 21º 35 40 | BC | ≈ | AC | = 41,23

Proefversie©VANIN

31 Bereken de ontbrekende elementen van de rechthoekige driehoek. Rond de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01 cm.

a) O ^ = 90º

Q ^ = 23º 45 29

| PQ | = 46,00

c) Q ^ = 90º

| OP | = 8,45

| PQ | = 5,10

Proefversie©VANIN

b) P ^ = 90º

O ^ = 61º 52 14

| OQ | = 4,00

d) O ^ = 90º | OQ | = 6,50 | OP | = 7,25

32 Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1  nauwkeurig.

a) Een boom heeft een schaduw van 12 m.

De zon schijnt onder een hoek van 43º.

Hoe hoog is de boom?

m

Antwoord:

b) Van een skateramp zijn de lengte van de ramp en de lengte van de constructie gegeven.

Bereken de hellingshoek van die ramp.

4,6 m

6,1 m

c) Vanaf de top van een torentje wordt een kabel tot op de grond gespannen. Welke hoek maakt de kabel met de grond?

m

Proefversie©VANIN

Antwoord:

m

Antwoord:

d) Een ladder steunt tegen een muur op een hoogte van 4,3 m. Op de grond maakt de ladder een hoek van 70º.

Bereken de lengte van de ladder.

Antwoord:

4,3 m 70°

33 Bereken de afstanden op 1 cm nauwkeurig en de hoeken op 1  nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets.

a) De zon schijnt onder een hoek van 35º op een man van 1,80 m groot. Hoe lang is de schaduw van die man?

c) Tijdens een beklimming moet je 2 400 m fietsen om een hoogteverschil van 700 m te overbruggen. Wat is de hellingshoek?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

b) Een kabelbaan maakt een helling van 35º en overbrugt een hoogteverschil van 1 300 m. Hoe lang is die kabelbaan?

Antwoord:

d) Een vliegertouw is 50 m lang. Hoe hoog bevindt de vlieger zich, als het touw volledig ontrold is en een hoek van 30º met de grond maakt?

Antwoord:

Antwoord:

34 Om de afstand tussen de oevers van een kanaal te berekenen, werden de volgende metingen uitgevoerd. Bereken de afstand op 0,01 m nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

35 Studies wijzen uit dat een ladder die een hoek van 75º maakt met de grond, het veiligst staat. Een bedrijf dat ramen van hoge gebouwen wast, heeft een nieuw stel schuifladders van 8 m lang aangekocht. Hoe ver moet de onderkant van de ladder van het gebouw verwijderd zijn opdat de ladder het veiligst zou staan? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord:

36 Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. Maak telkens eerst een schets.

a) Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de diagonalen 12 cm lang zijn.

Antwoord:

b) Bereken de oppervlakte van een ruit met zijden van 24 cm en een stompe hoek van 115º.

c) Bereken de oppervlakte van een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm en een scherpe hoek van 25º.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

d) Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 13 cm.

Antwoord: Antwoord:

37 Bereken de ontbrekende elementen van de dakconstructie op 1 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

38 Een zwembad van 50 m lang begint met een diepte van 50 cm. a) Bereken de grootste diepte, op 0,1 m nauwkeurig, als de hellingshoek van de bodem 4º is. b) Bereken de hellingshoek, op 1  nauwkeurig, van de bodem opdat de grootste diepte 5 m zou zijn. a) b)

Antwoord:

REEKS C

39 Boven op een gebouw staat een vlaggenmast. Als je op 100 m afstand staat, zie je de top van het gebouw onder een hoek van 21 º en de top van de vlaggenmast onder een hoek van 23 º. Hoe lang is die vlaggenmast op 1 cm nauwkeurig?

Proefversie©VANIN

Antwoord:

40 Bereken de oppervlakte, op 0,01 cm2 nauwkeurig, van een rechthoek met diagonalen van 17 cm die elkaar onder een hoek van 35º snijden.

Antwoord:

3.2.3 Toepassingen in de ruimte

Modeloefening 1

gegeven

een kubus met ribbe 4 cm gevraagd

Bereken a op 1  nauwkeurig. oplossing

Proefversie©VANIN

Modeloefening 2

antwoord

De hoek a is

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak en ribben van 4 cm gevraagd

Bereken de hellingshoek a op 1  nauwkeurig. oplossing

antwoord

De hellingshoek a is

Oefeningen

REEKS A

41 Bereken de omtrek van n BGE op 0,01 cm nauwkeurig.

gegeven

een balk met l = 5 cm, b = 2 cm en h = 7 cm gevraagd de omtrek van n BGE oplossing

Proefversie©VANIN

42 Bereken de hoek b op 1  nauwkeurig.

antwoord De omtrek van n BGE is

gegeven

een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd de hoek b oplossing

antwoord De hoek b is

REEKS B

43 Bereken de hellingshoek a op 1  nauwkeurig.

gegeven

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

de hellingshoek a oplossing antwoord

De hellingshoek a is

44 Een piramide heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 m als grondvlak, opstaande ribben van 4 m en een hellingshoek van 65º. Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de hoogte van de piramide.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

45 Een kegel heeft een cirkel met diameter 3 m als grondvlak en een hoogte van 5 m. Bereken, op 1  nauwkeurig, de hellingshoek van de kegel.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

46 Pientere Bizon, een indiaan van 1,76 m groot, wil een nieuwe tipi opzetten. Hij vond enkele mooie rechte boomstammen van 2,50 m en sjort ze op 50 cm van de top samen. Wat is de minimale hoek met de grond waaronder hij de stammen moet zetten opdat hij rechtop zou kunnen staan in zijn tent? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

Antwoord:

REEKS C

47 Je plaatst een potlood van 20 cm diagonaal in een cilindervormige houder met een hoogte van 12 cm en een straal van 4 cm. Hoe ver steekt het boven de rand uit? Onder welke hoek staat het?

Bepaal de hoek op 1  nauwkeurig en de lengte op 0,01 cm nauwkeurig.

Proefversie©VANIN

Antwoord:

48 Bereken de hoek a op 1  nauwkeurig.

gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 6 cm gevraagd de hoek a oplossing

antwoord De hoek a is

STUDIEWIJZER Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek

3.1 Goniometrische getallen van een scherpe hoek

KENNEN

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

tan a = sin cos a a

sin2 a + cos2 a = 1 KUNNEN

De sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek berekenen met ICT.

De formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen. Met ICT een hoek berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is.

3.2 Rechthoekige driehoeken oplossen

Proefversie©VANIN

KENNEN

Een rechthoekige driehoek is volledig bepaald door:

• twee zijden en de rechte hoek,

• één zijde, één scherpe hoek en de rechte hoek.

KUNNEN

Ontbrekende elementen in een rechthoekige driehoek berekenen met behulp van de sinus, de cosinus, de tangens, de stelling van Pythagoras en de hoekensom.

In vlakke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

In ruimtelijke situaties vraagstukken oplossen waarbij ontbrekende elementen van een rechthoekige driehoek berekend moeten worden.

Problemen uit JWO

1. Een parallellogram heeft als langste zijde a en als kortste b Verder is het parallellogram samengesteld uit twee gelijkzijdige driehoeken en een parallellogram, die alle drie dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur).

De verhouding a b is gelijk aan …

A) r 1,2 B) r 1,5

JWO, editie 2010, eerste ronde

2. Onze leerkracht LO daagde onze klas uit om een fietstocht van 125 km af te leggen. We gingen akkoord, op voorwaarde dat er, naast het startpunt, dat ook het eindpunt is, nog vier stopplaatsen zouden zijn onderweg. De leerkracht maakte daarop een plan met verschillende routes die we zouden kunnen volgen. Hiernaast zie je een vereenvoudigde voorstelling van het plan

r 1,8

r 2

Proefversie©VANIN

r 2,4

(startpunt S; stopplaatsen A, B, C, D; afstanden in km).

We mochten met onze klas zelf bepalen welke trajecten we tussen de verschillende stopplaatsen zouden nemen, zolang de totale afstand maar precies 125 km was. Van welk van de volgende trajecten weet je zeker dat het in onze tocht vervat zat?

A) r Van S naar A over 27 km. D) r Van C naar D over 27 km.

B) r Van A naar B over 23 km. E) r Van D naar S over 28 km.

C) r Van B naar C over 26 km.

JWO, editie 2011, eerste ronde

3. Als p + q = 12, dan is p 2 + q 2 + 2p + 2q + 2pq gelijk aan …

A) r 144 B) r 168 C) r 192 D) r 240 E) r 288

JWO, editie 2012, eerste ronde

Proefversie©VANIN

Proefversie©VANIN