Dit leermiddel is onderdeel van de lesmethode Pienter van Uitgeverij VAN IN. Het is ontwikkeld met de intentie dat iedere leerling zich herkent en thuis voelt in beeld en tekst. Heb je op- of aanmerkingen, dan kun je contact opnemen met Uitgeverij VAN IN.
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën.
Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.
In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hun dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
Hoofdstuk 3 Machten van rationale getallen met natuurlijke exponent 97
Hoofdstuk 4 Hoeken
Hoofdstuk 5 Algebraïsch rekenen
Hoofdstuk 6 Congruente figuren
Hoofdstuk 7 Vergelijkingen en formules
Hoofdstuk 8 Driehoeken
Hoofdstuk 9 Evenredigheden
Hoofdstuk 10 Vierhoeken
Hoofdstuk 11 Machten van rationale getallen met gehele exponent 397
Hoofdstuk 12 Ruimtemeetkunde
Hoofdstuk 13 Merkwaardige producten
Hoe werk je met Pienter?
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een leuke cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
Een hoofdstuk getallenleer herken je aan een oranje titelpagina. Een hoofdstuk meetkunde herken je aan een blauwe titelpagina.
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van enkele beelden of tekeningen verder kennis met het onderwerp waarover je iets leert.
6.1.1
Op de foto’s herken je figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben. Die figuren noem je congruente figuren
Waar herken je nog congruente figuren in je omgeving?
6.1.2 Definitie
Definitie Congruente figuren
Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.
Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijks leven.
Je leert formuleren in definities, vaststellingen, rekenregels, eigenschappen of besluiten.
Notatie: F
F2 Lees:
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen.
Niet alle oefeningen zijn even moeilijk.
Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
Congruent is afgeleid van het Latijn ‘congruens’, wat zoveel betekent als ‘passend, samenhorend’.
REEKS A eenvoudige toepassingen
REEKS B basisniveau
Het symbool ≅ werd voor het eerst gebruikt door de Duitse filosoof en wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).
REEKS C verdiepingsniveau
REEKS X Op iDiddit vind je extra oefeningen.
Oefeningen
In de marge worden soms icoontjes gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis:
ICT Duidt aan wanneer je op iDiddit een ICT-hulpmiddel vindt, bv. een stappenplan voor het gebruik van Excel of GeoGebra.
Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
Wijst op het gebruik van een rekenmachine. Je krijgt uitleg over de werking van je rekenmachine of je mag een rekenmachine gebruiken in deze oefening.
R Duidt aan dat je op iDiddit een remediëringsoefening kunt vinden.
Duidt aan dat je op iDiddit een eenvoudigere oefening kunt vinden.
XL Geeft aan dat je op iDiddit extra uitdagende leerstof vindt.
XL
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
Geeft aan dat je op iDiddit extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
STUDIEWIJZER Spiegelen, verschuiven en roteren
STUDIEWIJZER Getallen
2.1 Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren
KENNEN
1.1
Getallengeschiedenis
Op het einde van elk hoofdstuk vind je een overzicht van wat je moet kennen en kunnen in een handige studiewijzer.
Spiegelingen, verschuivingen en rotaties noem je transformaties van het vlak.
KUNNEN
De tabel van het positiestelsel met grondtal tien.
In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een rotatie.
KUNNEN
2.2 Spiegelen om een as
Romeinse cijfers omzetten naar Arabische cijfers. De waarde van een cijfer in een getal bepalen.
KENNEN
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band.
Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas.
Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf.
Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
Een symmetrieas van een figuur is de spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band.
KUNNEN
Op het einde van elk hoofdstuk vind je een overzicht van wat je moet kennen en kunnen in een handige studiewijzer.
Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
Het spiegelbeeld van een punt ten opzichte van een rechte symbolisch noteren.
De symbolische notatie van een spiegeling verwoorden.
Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een spiegeling om een as, verklaren.
Symmetrieassen in vlakke figuren bepalen.
Pienter Rekenen
2.3 Verschuiven over een vector
Pienter Problemen Oplossen
KENNEN
Deze aanduiding geeft aan dat je na dit hoofdstuk rekenoefeningen kunt maken die je vindt op iDiddit.
Een vector wordt bepaald door een richting, een zin en een afstand.
Een verschuiving wordt bepaald door een vector.
KUNNEN
Deze aanduiding geeft aan dat je na dit hoofdstuk
Het schuifbeeld van een punt over een vector symbolisch noteren.
Pienter Problemen Oplossen
De symbolische notatie van een verschuiving verwoorden.
Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een verschuiving over een vector, verklaren.
2.4 Roteren over een hoek
Pienter Problemen Oplossen
KENNEN
Een rotatie wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek.
Het draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf.
elimineren logisch nadenken
1. Een trein rijdt met een snelheid van 70 km/h en nadert een tunnel van twee en een halve kilometer lang. De trein zelf is 300 meter lang. Hoelang (in minuten en seconden) zal het duren voordat de hele trein door de tunnel is, vanaf het moment dat hij met de voorkant de tunnel inrijdt, tot het moment dat de achterkant de tunnel uitkomt?
3. Tweeklokkengevennupreciesdezelfdetijd aan.Deenekloklooptvijfminutenperuur voor,deanderetienminutenperuurachter. Na hoeveel uur zullen de klokken weer preciesdezelfdetijdaangeven?
Op het einde van een hoofdstuk kun je enkele leuke wiskundige problemen en raadsels of vraagstukken uit de Kangoeroewedstrijd en Junior Wiskunde Olympiade oplossen.
KUNNEN
Op het einde van een hoofdstuk kun je enkele leuke
wiskundige problemen en raadsels oplossen. Je maakt gebruik van verschillende heuristieken.
Je maakt gebruik van verschillende heuristieken.
De symbolische notatie van een rotatie verwoorden.
2. Degrotedriehoekisverdeeldin twee kleinere driehoeken en een ruit. Indiefigurenstaandriegetallen. Diezijntelkenshetproductvan degetallenindehoekpuntenvan diefiguur. Degetallendiejemoetinvullen, vindjeonderdefiguur.
Het draaibeeld van een punt om een centrum over een georiënteerde hoek symbolisch noteren.
Op iDiddit wordt telkens de werking van het eerste probleem uitgelegd aan de hand van een instructiefilmpje.
Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een rotatie over een hoek, verklaren.
Op iDiddit wordt telkens de werking van het eerste probleem uitgelegd aan de hand van een instructiefilmpje.
Bij het onlinelesmateriaal op iDiddit vind je ook nog Verrijkingsoefeningen.
Bij het onlinelesmateriaal op iDiddit vind je ook nog Verdiepingsoefeningen. rekenoefeningen kunt maken die je vindt op iDiddit.
HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN 85
Hoeveel
zakgeld heeft ze dan nog over?
2 5 9 1 3 7 18 21 30
Soms is het handig dat je een videofragment, een 3D-beeld of een GeoGebra-toepassing zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina.
Soms is het handig dat je een videofragment, een 3D-beeld of een GeoGebra-toepassing zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina.
Achteraan in het boek zitten vijf bladen met een cartoon. Die bladen kun je gebruiken als voorblad voor je
eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter Problemen Oplossen, Pienter Rekenen, Pienter Remediëren, Pienter Computeren en Extra Leerstof.
Achteraan in het boek zitten vijf bladen met een cartoon. Die bladen kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor je afgedrukte bladen van Pienter Problemen Oplossen, Pienter Rekenen, Pienter Remediëren, Pienter Computeren en Extra Leerstof.
Mijn lesmateriaal
Het onlineleerplatform bij Pienter tweede jaar
Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals filmpjes, extra oefeningen ...
Extra materiaal
Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend videofragment zijn, extra bronnen of een Excel-bestand. Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof of de oefening onder de knie te krijgen.
Adaptieve oefeningen
In dit gedeelte kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau. Hier kun je vrij oefenen of de oefeningen maken die de leerkracht voor je heeft klaargezet.
Opdrachten
Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
Evalueren
Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.
Resultaten
Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen? Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.
Notities
Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud?
Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.
Meer weten?
Ga naar www.ididdit.be
HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK
1.1 Even herhalen
1.1.1 Wat is statistiek?
Statistiek is de wetenschap die gegevens (data) verzamelt, voorstelt en interpreteert.
Het doel is een beter inzicht krijgen in bepaalde verschijnselen.
Voorbeeld
Een reisbureau verzamelt gegevens over zijn klanten:
• Welke vakantiebestemmingen zijn populair?
• Hoeveel reizigers boeken hun vakantie via het internet?
Zo kan het reisbureau de nodige maatregelen nemen om zijn werking te verbeteren.
1.1.2 Gegevens verzamelen
In een klas doe je een onderzoek naar de gezinsvakantie van de leerlingen.
Zo’n onderzoek door vraagstelling noem je een enquête
Numerieke gegevens
Bepaalde gegevens of data druk je uit met een getal. Dat zijn numerieke data
Om de gegevens overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel.
In een frequentietabel zie je hoeveel keer elk gegeven voorkomt.
Je noemt dat aantal keer de frequentie van het gegeven.
Voorbeeld
Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?
aantal dagen03581522
aantal leerlingen321642
Categorische gegevens
Bepaalde gegevens of data druk je niet uit met getallen. Dat zijn categorische data
Om de gegevens overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel.
Voorbeeld
Naar welk land trok je met je gezin op vakantie?
bestemming BelgiëFrankrijkNederlandOostenrijkSpanjeTurkijegeen aantal leerlingen 2611323
1.1.3 Gegevens voorstellen
Data kun je op verschillende manieren met een diagram voorstellen.
Dotplot Staafdiagram
België FrankrijkNederlandOostenrijk Spanje Turkije geen
vakantiebestemming
BelgiëFrankrijkNederlandOostenrijk Spanje Turkije geen
Lijndiagram Cirkeldiagram
vakantiebestemming
BelgiëFrankrijkNederlandOostenrijk Spanje Turkije geen
Een spreadsheet of digitaal rekenblad
Een spreadsheet of digitaal rekenblad is een computerprogramma.
Het programma bestaat uit werkbladen met cellen.
Die cellen zijn in rijen (1, 2, 3 ...) en kolommen (A, B, C ...) gerangschikt.
Elke cel kan een getal, een tekst of een formule bevatten.
Met een spreadsheet kun je gemakkelijk berekeningen uitvoeren.
Zo bepaal je bijvoorbeeld gemakkelijk de som van een reeks getallen.
Als je achteraf een getal in de reeks aanpast, past het rekenblad automatisch ook de som aan.
Spreadsheets gebruik je ook om diagrammen te tekenen. Het programma maakt een diagram naar keuze.
Daarvoor selecteer je de cellen met de gegevens en het gewenste diagramtype.
vakantiebestemming
België Frankrijk Nederland Oostenrijk Spanje Turkije geen
1.1.4 Modus, gemiddelde en mediaan
De modus
Definitie De modus
De modus is het gegeven met de grootste frequentie.
Symbool: Mo
Voorbeeld
Vakantiebestemming: Mo =
Het gemiddelde
Definitie Het gemiddelde
Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van de getallen gedeeld door hun aantal.
Symbool: x
Opmerking
Je berekent het gemiddelde op één cijfer na de komma meer dan de gegeven getallen.
Voorbeeld
Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie? 000335888888151515152222
x =
Het gemiddelde bepalen uit een frequentietabel
Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?
aantal dagen03581522
aantal leerlingen321642
• Je berekent de som van het aantal dagen dat de leerlingen in totaal op vakantie waren met het gezin.
aantal dagen03581522
aantal leerlingen321642
som aantal dagen
• Je berekent het totaal aantal leerlingen.
aantal leerlingen321642
• Je berekent het gemiddelde.
De mediaan
Definitie De mediaan
De mediaan van een rij gerangschikte getallen is:
• het middelste getal als het aantal getallen oneven is;
• het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.
Symbool: Me
Om de mediaan van een rij getallen te bepalen, rangschik je de getallen van klein naar groot.
Voorbeeld
Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?
000335888888151515152222
Me =
De mediaan bepalen uit een frequentietabel
In een frequentietabel orden je de gegevens van klein naar groot.
Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?
aantal dagen03581522
aantal leerlingen321642
Je stelt de leerlingen voor op een gerangschikte rij van minst naar meest aantal dagen dat ze met het gezin op reis waren in de grote vakantie.
aantal dagenaantal leerlingen
0 3De eerste 3 leerlingen waren 0 dagen op reis.
3 2
De volgende twee leerlingen, de 4e en de 5e leerling, waren 3 dagen op reis.
5 1De 6e leerling was 5 dagen op reis met het gezin.
8 6De 7e tot en met de 12e leerling waren 8 dagen op reis.
15 4De 13e tot en met de 16e leerling waren 15 dagen op reis.
22 2
18 leerlingen is een even aantal.
De laatste twee leerlingen, de 17e en de 18e leerling, waren 22 dagen op reis.
De mediaan is het gemiddelde van het aantal dagen dat de 9e en de 10e leerling op reis gingen.
Hoeveel dagen ging de 9e leerling op reis?
Hoeveel dagen ging de 10e leerling op reis?
Bepaal de mediaan.
Me =
Oefeningen
REEKS A
1 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksvragen? numeriekcategorisch
a)Wat is je lengte? r r
b)Wat is je favoriete schoolvakantie? r r
c)Hoeveel uur per week sport je? r r
d)Wat is jouw voornaam? r r
e)Welke internetbrowser gebruik je het meest? r r
2 Je vraagt aan 20 mensen met welk vervoermiddel ze tijdens de vakantie op reis gaan. Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.
6 Een reisbureau vraagt aan 50 mensen wat hun favoriete vakantieverblijf is. Ze kunnen kiezen uit: hotel, B&B, vakantiehuisje of kamperen. hotel bed and breakfastvakantiehuisje kamperen
a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.
verblijfplaatshotel B&Bvakantiehuisjekamperen aantal
b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek?
r numerieke data r categorische data
c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.
d) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel.
e) Noteer een vraag die naar de modus bij dit onderzoek vraagt.
f) Bepaal de modus bij dit onderzoek.
7 Je vraagt aan 35 mensen hoeveel dagen van de week ze hun hobby beoefenen. Je noteert hun antwoorden in een frequentietabel. aantal dagenaantal mensen a) Bepaal de modus.
b) Bepaal het gemiddelde.
c) Bepaal de mediaan.
8 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeken? numeriekcategorisch
a) De gewichtsklassen in het judo.
Mogelijke gegevens: -36 kg, -40 kg, -44 kg.
b) De reeksen in de jeugdafdelingen van het volleybal.
Mogelijke gegevens: U11, U13, U15.
c) Massa die een gewichtheffer kan tillen.
Mogelijke gegevens: 171 kg, 183 kg, 198 kg.
9 Op camping ‘De adelaar’ doet de uitbater een onderzoek naar het kampeermiddel waarmee de Belgen en de Nederlanders naar de camping komen.
Belgen Nederlanders
a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het lijndiagram. tentvouwwagencaravanmobilhome
Belgen Nederlanders
b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek? r numerieke data r categorische data
c) Bepaal voor beide nationaliteiten de modus.
Belgen: Nederlanders:
d) Welke kampeermiddelen zijn bij de Belgen populairder dan bij de Nederlanders?
e) Hoeveel kampeerders uit België en Nederland samen komen met de mobilhome naar ‘De adelaar’?
f) Maak met ICT een staafdiagram van de gegevens.
1.2 Statistisch onderzoek
1.2.1 Wat is statistisch onderzoek?
Statistisch onderzoek voer je uit om een beter inzicht te krijgen in bepaalde verschijnselen.
Voorbeelden
• Natuurpunt wil de toestand van de tuinvogels door de jaren heen volgen.
Natuurpunt organiseert daarvoor jaarlijks een vogeltelweek voor scholen.
• Om zijn service te verbeteren, doet een webwinkel een onderzoek naar de klantentevredenheid.
Bij een statistisch onderzoek onderscheid je vier stappen:
• een onderzoeksvraag of onderzoeksopdracht formuleren;
• data verzamelen;
• data analyseren;
• data interpreteren.
1.2.2 Een onderzoeksvraag of een onderzoeksopdracht formuleren
Om data te verzamelen, is een goede onderzoeksvraag of onderzoeksopdracht belangrijk.
Voorbeelden
• Leerlingen tellen het aantal vogels op de speelplaats per soort.
• In welke mate zou je de webwinkel aanraden bij familie of vrienden?
Geef daarvoor een score van 0 tot 10.
1.2.3
Data verzamelen
Een onderzoeksvraag of -opdracht betreft vaak een grote groep. Die grote groep noem je de populatie
Voorbeelden
• Alle vogels in de Vlaamse tuinen.
• Alle klanten van de webwinkel.
Praktisch is het vaak onmogelijk om de volledige populatie te onderzoeken. Daarom verzamel je de gegevens bij een deel van de populatie. Dat noem je de steekproef. Voor de steekproef moet je met voldoende factoren rekening houden, zodat de steekproef een goede vertegenwoordiger is van de populatie. Je zegt dan dat de steekproef representatief is voor de populatie.
Voorbeeld
Als je een onderzoek doet naar de schoenmaat van 16-jarigen, moet je zowel jongens als meisjes bij het onderzoek betrekken.
1.2.4
Data analyseren
Nadat je data verzameld hebt, geef je de data weer in een tabel en in diagrammen. Bij bepaalde onderzoeken kun je dan ook de modus, het gemiddelde en de mediaan bepalen.
1.2.5
Data interpreteren
Je trekt besluiten uit je analyse van de data.
Voorbeeld
Welke maatregelen kan de webwinkel nemen om de klantentevredenheid te verbeteren?
Oefeningen
REEKS A
10 De directeur wil weten of er veel telaatkomers in zijn school zijn.
Hij wil ook weten op welke dagen leerlingen het vaakst te laat komen.
Het staafdiagram toont de telaatkomers in een willekeurige schoolweek.
a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het staafdiagram.
b) Bepaal het gemiddelde aantal telaatkomers per dag.
c) Bepaal de modus.
11 In opdracht van een supermarktketen doet een enquêtebureau een onderzoek naar de dag waarop mensen het liefst hun inkopen doen.
Bepaal de juiste stap in het statistische onderzoek.
A onderzoeksvraag formuleren
Bdata verzamelen
Cdata analyseren
Ddata interpreteren
• 500 gezinnen worden bevraagd.
• Op welke dag doe je het liefst jouw boodschappen?
• De supermarktketen zal in de toekomst ook op zondagvoormiddag haar deuren openen.
• Het enquêtebureau plaatst de data in een staafdiagram.
12 In een zak M&M’s zitten er niet van elke kleur evenveel M&M’s. Het cirkeldiagram toont de verdeling van de verschillende kleuren.
a) Omschrijf een goede onderzoeksopdracht om tot deze resultaten te komen.
b) In een zak van 250 g zitten gemiddeld 280 M&M’s. Vul de frequentietabel in voor een zak M&M’s van 250 g. Gebruik de gegevens uit het cirkeldiagram.
kleurbruinroodgeeloranjegroenblauw aantal
c) Vul de frequentietabel in aan de hand van eigen onderzoek van een zak M&M’s.
kleurbruinroodgeeloranjegroenblauwtotaal aantal % 100 %
d) Stel de gegevens uit vraag c voor met een cirkeldiagram. Gebruik ICT.
e) Stemmen de gegevens van jouw eigen onderzoek overeen met de data uit het gegeven cirkeldiagram?
13 Je doet een onderzoek naar de favoriete drank van je klasgenoten. Er is keuze uit de dranken op de drankkaart.
a) Formuleer een onderzoeksvraag voor dit onderzoek.
b) Stel de onderzoeksvraag aan je klasgenoten. Vul de resultaten in op de drankkaart.
DRANKKAART
plat water spuitwater cola limonade icetea
c) Maak een frequentietabel met de gegevens van de drankkaart.
d) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.
e) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.
f) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel.
g) Mogen we dit onderzoek veralgemenen naar de favoriete drank van alle Vlaamse leerlingen? Verklaar je antwoord.
14 Je hangt een thermometer op een vaste plaats op het schooldomein. Wekelijks lees je op hetzelfde tijdstip de temperatuur af.
a) Verwerk de gegevens in een tabel.
b) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.
c) Bepaal de gemiddelde temperatuur van de metingen.
d) Omschrijf de evolutie van de temperatuur over de verschillende metingen. Geef een verklaring voor die evolutie.
15 Je doet een onderzoek naar het aantal dagen per week dat leeftijdsgenoten hun hobby beoefenen.
a) Formuleer een onderzoeksvraag voor dit onderzoek.
b) Stel de onderzoeksvraag aan je klasgenoten. Noteer de gegevens in een frequentietabel.
aantal dagen01234567
aantal jongeren
c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.
d) Mogen we dit onderzoek veralgemenen voor al jouw Vlaamse leeftijdsgenoten? Verklaar.
e) Hoeveel dagen per week beoefenen de ondervraagde jongeren gemiddeld hun hobby?
16 In een school werd op een vrijdag aan 60 leerlingen gevraagd hoeveel schoolboeken (handboeken, schriften en ringmappen) ze die dag met zich mee hadden. Je vindt de resultaten in de tabel hieronder.
a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.
b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de frequentietabel.
c) Bepaal de modus.
d) Schat het gemiddelde en de mediaan aan de hand van het staafdiagram.
x = Me =
e) Bepaal met ICT het gemiddelde aantal boeken dat de leerling bij zich heeft.
f) Bepaal de mediaan met ICT.
g) Noem twee maatregelen die de school kan nemen om het aantal boeken dat een leerling elke dag met zich mee moet hebben, te verminderen.
17 Waarom is de steekproef niet representatief voor de populatie?
a) Om de favoriete voetbalclub van de Belgen te kennen, doet een enquêtebureau een rondvraag in West-Vlaanderen.
b) Om de gemiddelde schoenmaat van de 13-jarige Vlaming te kennen, wordt, verspreid over Vlaanderen, de schoenmaat van 2 000 jongens bepaald.
18 Als voetganger of fietser moet je de verkeersregels goed kennen. Doe een verkeerstest bij je leeftijdsgenoten en breng de resultaten in kaart. Stel je in de onderstaande situaties telkens in de plaats van de fietser.
a)
b)
c)
d)
r Ik moet wachten tot de wagen ingedraaid is.
r Ik ben verplicht om af te stappen en te voet op het zebrapad over te steken. Ik heb daarbij voorrang op de indraaiende auto.
r Het licht is groen, dus ik mag doorrijden op het fietspad.
r Omdat ik van rechts kom, heb ik voorrang op auto's die van links komen.
r Ik moet verplicht stoppen op het einde van de weg.
r Als de auto vertrokken is, mag ik doorrijden.
r Ik heb voorrang op de auto en mag gewoon doorrijden.
r Ik wacht tot het licht groen is en en rijd dan door.
r Het licht is groen, dus ik mag doorrijden op het fietspad.
r Ik mag doorrijden, maar moet voorrang verlenen als een auto wil indraaien.
r Ik moet afstappen en te voet op het zebrapad oversteken.
r Ik mag doorrijden op het rode fietspad. Ik heb voorrang op de wagen.
r Ik moet vertragen en voorrang verlenen aan de wagen, omdat die van rechts komt.
r Ik moet verplicht afstappen en op het zebrapad oversteken.
a) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas.
score aantal leerlingen
b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.
c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.
d) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel.
e) Is deze steekproef representatief voor jouw Vlaamse leeftijdsgenoten? Verklaar je antwoord.
f) Noem twee maatregelen die de Vlaamse regering kan nemen om de kennis van de verkeersregels bij jouw leeftijdsgenoten te verbeteren.
g) Bepaal de mediaan.
h) Bepaal de gemiddelde score van de leerlingen.
i) Hoeveel procent van de leerlingen scoort meer dan het gemiddelde?
1.3 Spreidingsmaat: variatiebreedte
1.3.1
Inleiding
In de staafdiagrammen vergelijk je de resultaten van de toets wiskunde in de klassen 2A en 2B.
• aantal leerlingen:16
• x = 6,0
• aantal leerlingen:16
• x = 6,0
• Mo = 6 • Mo = 6
• Me = 6 • Me = 6
Wat stel je vast?
Gemiddelde, modus en mediaan geven een indruk van het centrum van verzamelde gegevens. Het zijn centrummaten
Klas 2A en 2B hebben dezelfde centrummaten, maar toch is het beeld van de resultaten in beide klassen verschillend. In klas 2B liggen de resultaten meer verspreid.
Om dat weer te geven, gebruiken we een spreidingsmaat, namelijk de variatiebreedte
1.3.2 Definitie
Definitie De variatiebreedte
De variatiebreedte is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
Symbool: R (‘R’ komt van het Engelse woord ‘range’.)
Voorbeeld
Klas 2A
Klas 2B
grootste waarnemingsgetalkleinste waarnemingsgetalvariatiebreedte
Oefeningen
REEKS A
19 Bepaal de variatiebreedte bij de gegevensreeks.
tijd (min:s)13:1214:3615:2415:3812:5414:1513:5211:5714:05
leerlingLisaKeremEmmaArthurJamillaBritt
tijd (min:s)15:5414:4812:3813:2414:0713:58
a) Bepaal de gemiddelde looptijd van de leerlingen.
b) Bepaal de variatiebreedte.
1.4 Interpreteren bij statistisch onderzoek
1.4.1 Wat is statistisch onderzoek interpreteren?
Nadat je bij een statistisch onderzoek data hebt verzameld en geanalyseerd, kun je die analyse gebruiken om besluiten te trekken. Dat noem je interpreteren bij statistisch onderzoek.
1.4.2 Diagrammen interpreteren
Voorbeeld 1
Voor de sportdag kunnen de leerlingen kiezen uit acht sporten. Het cirkeldiagram toont de keuzes van de leerlingen.
Voor volgend schooljaar wil de school maar zes sporten plannen op de sportdag. Welke sporten haalt de school het best van de keuzelijst af?
Door het schrappen van twee sporten komen er vier begeleiders vrij. Aan welke twee sporten zullen de organisatoren die begeleiders het best toevoegen?
Voorbeeld 2
Een hogeschool doet een onderzoek naar het aantal eerstejaarsstudenten verpleegkunde. Daarbij maakt de school een onderscheid tussen jongens en meisjes.
De resultaten van het onderzoek vind je in het staafdiagram.
In de reclamewereld maakt men vaak gebruik van statistisch onderzoek om een product aan te bevelen.
In kleine lettertjes vind je dan meer informatie over het statistische onderzoek.
* Onder de merken douchegels en deodorants verkocht in de supermarkten. Opiniepeiling, 2018, IQVIA Operations Frankrijk, België, 50 dermatologen.
** Online studie uitgevoerd door Nielsen op een totaal van 5 000 consumenten in België eind 2018.
Oefeningen
REEKS A
25 Het diagram toont de top tien buitenlandse nationaliteiten van inwoners van het Vlaamse gewest. Zijn de uitspraken juist of fout?
Portugal
Turkije
Spanje
Frankrijk
Bulgarije
Italië
Marokko
Roemenië
Polen
Nederland
juistfout
a)In Vlaanderen wonen ongeveer tien keer zoveel Nederlanders als Spanjaarden en Portugezen samen. rr
b)Meer dan de helft van de inwoners met vreemde nationaliteit in Vlaanderen is Nederlander.
c)In Vlaanderen komen de inwoners met een vreemde nationaliteit maar uit tien verschillende landen.
d)Van de top tien van de buitenlandse nationaliteiten van inwoners van Vlaanderen komt ongeveer 10 % uit Roemenië. rr
26 Zijn de uitspraken in verband met de tabel juist of fout?
aantal inwoners per km2 in België aantal inwoners per km2 in België aantal inwoners per km2 in België
juistfout
a)Volgens de gegevens uit de tabel zal de Belgische bevolking in de toekomst blijven toenemen. rr
b)Tussen 1940 en 1950 was de toename van de Belgische bevolking over een periode van tien jaar het kleinst. rr
c)In 2000 telde België ruim twee keer zo veel inwoners als in 1920. rr
d)In de periode 1930-1940 nam het aantal inwoners per km2 evenveel toe als in de periode 1990-2000. rr
27 Bepaal voor elke uitspraak het bijbehorende cirkeldiagram.
a)Het boek telt 360 bladzijden. Ik heb al 270 bladzijden gelezen.
b)Deze limonade bevat 20 % vruchtensap.
c)Een op de tien boekentassen was te zwaar.
d)De maand juni telde vijftien regenachtige dagen.
e)Drie van de vijf jongeren waren al eens in Londen geweest.
f)Als je vier verpakkingen koopt, krijg je 30 % korting.
diagram
REEKS B
29 Het staafdiagram toont het aantal fietsen per inwoner in verschillende landen.
BelgiëCanada China
a) In welk Europees land zal de regering de bevolking het meest moeten stimuleren om zich meer met de fiets te verplaatsen?
b) Bepaal de modus.
c) Wat is een mogelijke verklaring voor het antwoord op vraag b?
d) In de Scandinavische landen wordt een goed fietsbeleid gevoerd. Toon dat aan met de gegevens uit het diagram.
e) Toon aan dat België ten opzichte van de andere Europese landen nog beter kan wat betreft het aantal fietsen per inwoner.
30 In een klas van 15 leerlingen hebben 11 leerlingen voor hun toets 10 op 10. Vier leerlingen hebben niet gestudeerd en behalen 0/10.
Welke centrummaat geeft het beste klasbeeld voor die toets? Verklaar je keuze.
31 Elk jaar zijn heel wat jonge fietsers bij een ongeval betrokken.
leeftijd fietser
a) In de lagere scholen wordt het dragen van een fluohesje sterk gepromoot. In het secundair onderwijs wordt daar veel minder aandacht aan besteed. Toon aan de hand van het diagram aan dat een campagne voor het dragen van een fluohesje ook in het secundair onderwijs niet zou misstaan.
b) 60 % van de Belgen is voorstander van het verplichten van een fietshelm voor kinderen onder de 14 jaar. Toon aan de hand van de gegevens uit het diagram aan dat dat een verstandige beslissing is.
c) Meer dan de helft van de fietsongevallen gebeurt tijdens een verplaatsing en niet tijdens sport en spel. Geef een mogelijke verklaring voor de sterke toename van het aantal gewonde fietsers vanaf de leeftijd van 12 jaar.
32 Karol wil een handelszaak in geschenkartikelen overnemen. Welke centrummaat in verband met de maandelijkse verkoopcijfers interesseert haar het meest? Verklaar je antwoord.
33 Bij een zeeklimaat lopen de temperatuurschommelingen tussen de seizoenen onder invloed van de nabijheid van de zee niet zo extreem uiteen als in een landklimaat. In een landklimaat zijn de verschillen tussen de temperatuur in de zomer en in de winter veel groter. Welke statistische maat gebruik je het best om het verschil tussen zee- en landklimaat te onderzoeken? Verklaar je antwoord.
34 Een bedrijf in artisanaal ijs heeft twee vulmachines. Met die machines vullen ze ijsbekers van 150 ml. Het bedrijf doet een onderzoek naar de juiste inhoud van de ijsbekertjes. De tabellen tonen de resultaten. vulmachine 1
2
a) Bepaal voor beide vulmachines de gemiddelde inhoud van de bekers.
• vulmachine 1: x = • vulmachine 2: x =
b) Bepaal voor beide vulmachines de mediaan.
• vulmachine 1: Me = • vulmachine 2: Me =
c) Kun je aan de hand van de centrummaten afleiden welke vulmachine bijgesteld moet worden? Verklaar je antwoord.
d) Welke statistische maat kun je gebruiken om na te gaan welke vulmachine dringend bijgesteld moet worden?
e) Bepaal voor beide vulmachines die statistische maat.
• vulmachine 1: = • vulmachine 2: =
35 In Pientergem houdt men het aantal geboorten gedurende een aantal jaren bij.
a) In welke jaren werden er evenveel jongens als meisjes geboren?
b) In welke jaren werden er meer meisjes dan jongens geboren?
20172018201920202021202220232024 jongens
meisjes
c) Hoeveel geboorten waren er in 2021 in Pientergem?
d) Toon aan de hand van het diagram aan dat Pientergem weinig jonge gezinnen aantrekt.
36 Van de buslijnen 32 en 50 wordt het aantal passagiers per rit bijgehouden.
a) Wat is het maximumaantal passagiers dat lijn 32 vervoert tijdens de gecontroleerde ritten?
b) Bepaal het minimumaantal passagiers tijdens de gecontroleerde ritten.
c) Welke passagiersaantallen komen bij beide buslijnen voor?
d) Welke buslijn is het meest rendabel? Motiveer je antwoord.
37 Wat wordt met het diagram voorgesteld? Vink aan.
r De minimum- en maximumtemperaturen in de zomer
r De minimum- en maximumtemperaturen in de winter
r De verkoop van ventilatoren en straalkachels in de zomer
r De verkoop van ventilatoren en straalkachels in de winter
38 Een uniseks naam is een naam die zowel voor een jongen als voor een meisje gebruikt wordt. Het staafdiagram toont een aantal populaire uniseks namen.
a) Welke naam is nagenoeg even populair voor jongens als voor meisjes?
jongens meisjes
b) Welke uniseks namen zijn populairder voor meisjes dan voor jongens?
c) Om te zien dat het bij deze uniseks namen gaat om een regel in plaats van een uitzondering, hanteer je de 85/15-regel. De naam moet dus zowel bij de jongens als bij de meisjes in minstens 15 % van de gevallen voorkomen. Welke uniseks namen uit het diagram vormen een uitzondering?
d) Als een kindje Sam heet, hoe groot is dan de kans dat het een meisje is? Schat je antwoord in procent.
Jules Lux Beau Charlie Robin Dani Sam
39 Het diagram geeft een overzicht van de leeftijden van de leerlingen van de pianoklas van de muziekacademie.
0 1 2 3 4 5 6 aantal 9 13
a) Vanaf welke leeftijd kun je in de academie starten met pianoles?
b) Hoeveel procent van de leerlingen van de pianoklas is vrouwelijk?
c) Verklaar de uitspraken aan de hand van het diagram:
• Vorig jaar begonnen twee vriendinnen na hun pensioen met het volgen van pianoles.
• Na het eerste jaar haakt al onmiddellijk een heel aantal leerlingen af.
• Elf jaar geleden was er een piek in de inschrijving van eerstejaarsleerlingen piano.
40 Hoeveel nieuwe fietsen werden er in 2023 in totaal verkocht?
STUDIEWIJZER Statistiek
1.1 Even herhalen
De modus is het gegeven met de grootste frequentie.
Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van de getallen gedeeld door hun aantal.
De mediaan van een rij gerangschikte getallen is:
• het middelste getal als het aantal getallen oneven is;
• het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.
KUNNEN
Soorten data onderscheiden: numeriek en categorisch.
Informatie uit tabellen en diagrammen halen.
Gegevens voorstellen met tabellen en diagrammen.
De modus, het gemiddelde en de mediaan van een gegevensreeks bepalen.
Het gemiddelde en de mediaan bepalen uit een frequentietabel.
1.2 Statistisch onderzoek
Bij een statistisch onderzoek onderscheid je vier stappen: een onderzoeksvraag of -opdracht formuleren, data verzamelen, data analyseren en data interpreteren. KUNNEN
Numerieke en categorische data verzamelen om een vraag te beantwoorden via een statistisch onderzoek.
Vragen over gegeven statistische data beantwoorden.
1.3 Spreidingsmaat: variatiebreedte KENNEN
De variatiebreedte is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
KUNNEN
Uit een tabel of diagram de variatiebreedte bepalen.
1.4 Interpreteren bij statistisch onderzoek
KUNNEN
Diagrammen interpreteren bij statistisch onderzoek. Centrummaten interpreteren bij statistisch onderzoek.
Variatiebreedte interpreteren bij statistisch onderzoek.
Samengestelde diagrammen interpreteren bij statistisch onderzoek.
Pienter Rekenen
Pienter Problemen Oplossen
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken
opsplitsen in deelproblemen
eenvoudigere getallen gebruiken
een patroon herkennen
1. Een trein rijdt met een snelheid van 70 km/h en nadert een tunnel van twee en een halve kilometer lang. De trein zelf is 300 meter lang.
Hoelang (in minuten en seconden) zal het duren voordat de hele trein door de tunnel is, vanaf het moment dat hij met de voorkant de tunnel inrijdt, tot het moment dat de achterkant de tunnel uitkomt?
2. De grote driehoek is verdeeld in twee kleinere driehoeken en een ruit.
In die figuren staan drie getallen. Die zijn telkens het product van de getallen in de hoekpunten van die figuur. De getallen die je moet invullen, vind je onder de figuur.
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken
3. Twee klokken geven nu precies dezelfde tijd aan. De ene klok loopt vijf minuten per uur voor, de andere tien minuten per uur achter. Na hoeveel uur zullen de klokken weer precies dezelfde tijd aangeven?
4. Hanne geeft eerst 55 % van haar zakgeld uit en daarna 20 % van de rest. Hoeveel procent van haar zakgeld heeft ze dan nog over?
HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN
2.1 Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren
Welke veranderingen heeft de hond Grappo ondergaan?
Hond B is telkens het resultaat van een verandering van hond A.
De hond Grappo is
De hond Grappo is
De hond Grappo is
Spiegelingen, verschuivingen en rotaties zijn voorbeelden van transformaties
Transformatie komt van het Latijnse woord transformatio. Dat betekent vervorming, gedaanteverandering, verandering, verzetting, wijziging, wisseling. In het dagelijks leven gebruik je vaak transformatoren. Dat zijn toestellen die elektrische spanning veranderen in een andere spanning. De oplader van je smartphone bijvoorbeeld verlaagt de spanning van 230 V wisselspanning naar 3,7 V gelijkspanning.
Oefeningen
REEKS A
1 Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving of een rotatie? Vink aan.
a)
Ik herken een r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.
b)
Ik herken een r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.
In je omgeving word je vaak met spiegelingen geconfronteerd.
Ook Thomas merkte een spiegeling op toen hij de foto’s van zijn bezoek aan de zoo bekeek.
Zelf kun je héél makkelijk een figuur spiegelen.
Maak een vlek op een blanco blad. Vouw het blad dicht, zodat de vlek een afdruk geeft.
Als je het blad nu openvouwt, merk je dat de vlek gespiegeld is om de vouwlijn.
De vouwlijn is de spiegelas.
Vaststelling Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas.
2.2.2 Een punt spiegelen
Bepaal het beeld van het punt A door een spiegeling om de rechte x Noem het spiegelbeeld A9
Werkwijze
stap 1: Teken de loodlijn op de rechte x door het punt A. stap 2: Teken A9 op die loodlijn zodat d(A, x) = d(A9 , x).
Notatie: s x (A) = A9 (s komt van het woord spiegeling.)
Lees: Het spiegelbeeld van A om de spiegelas x is A9 .
Opmerkingen
• x is de middelloodlijn van [AA9 ], want AA9 ⊥ x en d(A, x) = d(A9, x).
• Het spiegelbeeld van een punt A wordt meestal A9 genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.
• Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf.
Voorbeelden
Zijn de onderstaande afbeeldingen gespiegeld? Verklaar.
x x
Gespiegeld? r ja r nee Gespiegeld? r ja r nee
Oefeningen
REEKS A
5 Soms zie je op een ziekenwagen het woord ‘ambulance’ eigenaardig geschreven staan. Wat is daar de reden voor?
6 Zijn de onderstaande afbeeldingen gespiegeld? Vink aan.
ja
ja
7 Welke stopborden zijn juist gespiegeld? Vink aan.
8 Is de driehoek correct gespiegeld om de gegeven spiegelas? Verklaar. a) b)
10 Welke figuur heeft een fout spiegelbeeld? Omcirkel. x x x
Gespiegeld? r ja r neeGespiegeld? r ja r nee
9 De rechtertekening zou het spiegelbeeld moeten zijn van de linkertekening. De tekenaar was echter verstrooid. Omcirkel de acht fouten op de rechtertekening.
11 De onderstaande klokken staan in spiegelbeeld. Hoe laat is het?
12 Vul in. notatie punt spiegelas spiegelbeeld
a) s a (A) = B
b) K a L
13 Schrijf in woorden.
a) s a (B) = B9
b) s x (P) = P9
14 Schrijf in symbolen.
a) Het spiegelbeeld van X om de spiegelas b is X9
b) Het spiegelbeeld van D om de spiegelas y is D9
15 Vink de juiste notaties aan.
r sb (P) = P9 r sb (Q) = Q9 r sb (R) = R9 r s a (P) = P9 r s a (Q) = Q9 r s a (R) = R9 r sd (P) = P9 r sd (Q) = Q9 r sd (R) = R9
a) s n (A) =
b) sk (D) =
c) s m (I) =
d) sj (C) =
e) sk (B) =
f) s m (G) =
17 Is de figuur F2 het beeld van de figuur F1 door een spiegeling? Teken indien mogelijk de spiegelas.
18 Teken, indien mogelijk, de spiegelas x zodat s x (A) = A9 en s x (B) = B9 . Teken daarna het beeld van C en D om de spiegelas x.
19 Je moet met de witte biljartbal de rode bal raken, zonder de gele bal te raken.
Daarvoor moet je via de band werken.
a)Waar moet de witte biljartbal (W) de bovenste korte band van de biljarttafel raken om de rode biljartbal (R) te raken?
b)Waar moet de witte biljartbal (W) de rechter lange band van de biljarttafel raken om de rode biljartbal (R) te raken?
2.2.3 Eigenschappen van spiegelen om een as
Hieronder is het spiegelbeeld van ABCD om de rechte a voorgesteld.
Oriëntatie of doorloopzin
s a(ABCD) = A9B9C9D9
Wat is de oriëntatie of doorloopzin van de hoekpunten? Vul aan met wijzerzin of tegenwijzerzin.
Bij ABCD doorloop je de hoekpunten van de figuur in wijzerzin, bij A9B9C9D9 in
Vaststelling Een spiegeling behoudt de oriëntatie of doorloopzin wel / niet.
Collineariteit
s a(B) = B9 s a(C) = C9 s a(Z) = Z9
B, C en Z liggen op éénzelfde rechte.
Drie of meer punten die op eenzelfde rechte liggen noem je collineair.
Schrap wat niet past: B9 , C9 en Z9 zijn wel / niet collineair.
Als Z ∈ BC dan is Z9 ∈ B9C9
Vaststelling Een spiegeling behoudt de collineariteit wel / niet.
Lengte of afstand
s a([AB]) = [A9B9]
Meet de lengte van [AB] en [A9B9] en vul aan. |AB| = mm en |A9B9| = mm
Als s a([AB]) = [A9B9] dan is |AB| |A9B9|.
Vaststelling Een spiegeling behoudt de lengte of afstand wel / niet.
Hoekgrootte
s a(AB ∧ C) = A9B ∧ 9C9
Meet de hoekgrootte van AB ∧ C en A9B ∧ 9C9 en vul aan. AB ∧ C = en A9B ∧ 9C9 =
Als s a(AB ∧ C) = A9B ∧ 9C9 dan is
Vaststelling Een spiegeling behoudt de hoekgrootte wel / niet.
Loodrechte stand
s a(AD) = A9D9 en s a(DC) = D9C9
Wat is de onderlinge ligging van AD en DC en van A9D9 en D9C9? Vul aan.
AD DC en A9D9 D9C9
Als AD ⊥ DC dan is s a(AD) s a(DC).
Vaststelling Een spiegeling behoudt de loodrechte stand wel / niet.
Evenwijdigheid
s a(AB) = A9B9 en s a(DC) = D9C9
Wat is de onderlinge ligging van AB en DC en van A9B9 en D9C9? Vul aan.
AB DC en A9B9 D9C9
Als AB ⫽ DC dan is s a(AB) s a(DC).
Vaststelling Een spiegeling behoudt de evenwijdigheid wel / niet.
Oppervlakte
Oppervlakte trapezium = (B + b) h 2
Oppervlakte ABCD = (|AB| + |CD|) |AD| 2 = (4 cm + 3 cm) 3 cm 2 = 10,5 cm2.
Meet de lengte van het spiegelbeeld van [AB], [CD] en [AD], vul aan en bereken.
Oppervlakte A9B9C9D9 = = cm2
Vaststelling Een spiegeling behoudt de oppervlaktewel / niet.
Besluit Een spiegeling behoudt:
• de oriëntatie of doorloopzin niet,
• de collineariteit,
• de lengte of afstand,
• de hoekgrootte,
• de loodrechte stand,
• de evenwijdigheid,
• de oppervlakte.
Oefeningen
REEKS A
20 Gegeven: sn([PQ]) = [P9Q9] en |PQ| = 4,5 cm. Vul aan.
a) |P9Q9| = cm
b) Welke eigenschap van de spiegeling heb je gebruikt om dit antwoord te vinden?
REEKS B
21 Verklaar met een eigenschap waarom EFGH niet het spiegelbeeld van parallellogram ABCD kan zijn.
a)
22 Youssef voert de opdracht uit door zo weinig mogelijk punten te spiegelen. Hij spiegelde telkens al twee punten.
Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de transformatie verder af te werken? Vink aan.
a) s m b) s m(ABCD)
Een spiegeling behoudt de r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
Een spiegeling behoudt de r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
23 Nina spiegelde telkens twee punten om de rechte m. Kan Nina de spiegeling verder afwerken zonder extra punten te spiegelen? Vink aan. Teken indien mogelijk.
24 Hoeveel punten heb je minstens nodig om het beeld van de volgende figuren te bepalen? Teken het beeld. Welke eigenschap(pen) heb je gebruikt? Vink aan. a)
Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?
Een spiegeling behoudt de r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?
Een spiegeling behoudt de r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
2.2.4 Symmetrieassen
Definitie Symmetrieas
m n o Wat is de betekenis van dit verkeersbord?
Welke spiegelas zorgt ervoor dat de figuur op zichzelf wordt afgebeeld?
Die spiegelas noem je een symmetrieas
Een symmetrieas van een figuur is een spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.
In symbolen:
m is een symmetrieas van een figuur F
Voorbeelden
Teken alle symmetrieassen van de verkeersborden. Noteer onder elk verkeersbord het aantal symmetrieassen.
Oefeningen
REEKS A
25 Teken alle symmetrieassen in de onderstaande tekeningen. a) b)
26 Teken alle symmetrieassen in de onderstaande vlakke figuren.
REEKS B
27 Teken alle symmetrieassen. a) c) e)
aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen: b) d) f)
aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen:
28 Vul aan tot een symmetrische figuur. a) b)
REEKS C
29 Kleur zo weinig mogelijk hokjes in zodat d1 en d2 symmetrieassen zijn.
2.3 Verschuiven over een vector
2.3.1 Inleiding
Seb, Léon en Oona zitten in een jeugdbeweging en moeten tijdens een spel de controlepost vinden. Ze kregen elk een eerste instructie mee: ‘Ga naar het kruispunt van de Zwanendreef en de Mostweg.’ Daar aangekomen krijgt elk een tweede instructie via sms toegestuurd.
Waar vinden Seb, Léon en Oona de controlepost?
Mostwe g
Zwanendreef
Zwanendreef
Colliemolendreef
Seb
Léon
Mostwe g
SMS 2 ‘GA NAAR HET BOS’
1 cm = 25 stappen
Kunnen de kinderen elk afzonderlijk de controlepost vinden? Oona
Seb, Léon en Oona hebben zowel een richting, een zin als een afstand gebruikt om de controlepost te vinden. Die drie wiskundige begrippen stel je samen voor door een vector
Vaststelling Vector
Een vector wordt bepaald door een richting, een zin en een afstand.
Notatie: ⟶ AA′
De verschuiving op een glijbaan wordt bepaald door een vector. De punten A en B worden verschoven over ⟶ AA′ zodat ⟶ AA′ = ⟶ BB′
Vaststelling
Een verschuiving wordt bepaald door een vector.
SMS 3 ‘ZET 75 STAPPEN’
2.3.2 Een punt verschuiven
Bepaal het beeld van het punt P door een verschuiving bepaald door de vector ⟶ AA′ Noem het schuifbeeld
Werkwijze
stap 1: Teken een rechte evenwijdig met AA9 door P richting stap 2: Bepaal de zin waarin je P moet verschuiven. zin
stap 3: Teken P9 op die evenwijdige zodat d(A, A9) = d(P, P9). afstand
Notatie: t ⟶ AA′(P) = P9 (t komt van het woord translatie, wat verschuiving betekent.)
Lees: Het schuifbeeld van P bepaald door de vector ⟶ AA′ is P9 .
Opmerking
Het schuifbeeld van een punt P wordt meestal P9 genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.
Voorbeelden
Is afbeelding 2 telkens het schuifbeeld van afbeelding 1? Verklaar.
Verschoven? r ja r nee Verschoven? r ja r nee Verschoven? r ja r nee
Oefeningen
REEKS A
30 Zijn de onderstaande figuren het schuifbeeld van elkaar? Vink aan.
31 De rechterfoto zou het schuifbeeld moeten zijn van de linkerfoto. De tekenaar was echter verstrooid. Omcirkel de acht fouten op de rechtertekening.
Welk woord zoeken we?
33 Vink de foutieve beweringen aan. Aan welke voorwaarde is niet voldaan?
r richting
r zin
r afstand
r richting
r zin
r afstand
r richting
r zin
r afstand
notatie punt vector schuifbeeld
a) P → RS Q
b) t ⟶ AA9(K) = L
35 Schrijf in woorden.
a) t→ AB(C) = D
b) t ⟶ PP9(A) = A9
36 Schrijf in symbolen.
a)Het schuifbeeld van P bepaald door → AB is Q
b) Het schuifbeeld van X bepaald door ⟶ VW is X9
37 Vul in.
38 Het punt P9 is het beeld van het punt P bepaald door een verschuiving. Teken de vector en het beeld van de overige punten.
39 Is de figuur F2 het beeld van de figuur F1 door een verschuiving? Teken indien mogelijk de vector.
r ja r nee r ja r nee
r ja r nee r ja r nee
REEKS C
40 Vul in.
GEOGEBRA
41 Teken de ontbrekende punten, als je weet dat t
42 In een trapezium ABCD is de grote basis [AD ] dubbel zo lang als de kleine basis [BC ]. Verbind het midden M van de grote basis met de hoekpunten B en C, zodat je drie driehoeken verkrijgt. Onderzoek welke driehoeken elkaars beeld zijn door een verschuiving. Bepaal ook telkens de verschuiving.
2.3.3 Eigenschappen van verschuiven over een vector
Hieronder is het schuifbeeld van ABCD door vector ⟶ VW voorgesteld.
Welke eigenschap van de verschuiving heb je gebruikt om dit antwoord te vinden?
REEKS B
44 Verklaar met een eigenschap waarom vierhoek KANT niet het schuifbeeld van vierhoek VIER kan zijn.
45 Davide voert de opdracht uit door zo weinig mogelijk punten te verschuiven.
Hij verschoof telkens al minimum één punt.
Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de transformatie verder af te werken? Vink aan. a) t ⟶ PQ b) t→ KL
Een verschuiving behoudt de r oriëntatie of doorloopzin r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
Een verschuiving behoudt de r oriëntatie of doorloopzin r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
46 Norah verschoof telkens een punt over de vector t ⟶ PQ . Kan Norah de verschuiving verder afwerken zonder extra punten te verschuiven?
Teken indien mogelijk. Verklaar.
47 Hoeveel punten heb je minstens nodig om het beeld van de volgende figuren te bepalen?
Teken het beeld. Welke eigenschap(pen) heb je gebruikt? Vink aan.
Hoeveel punten moet je minstens verschuiven?
Een verschuiving behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
r evenwijdigheid schuifbeeld
Hoeveel punten moet je minstens verschuiven?
Een verschuiving behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
r evenwijdigheid schuifbeeld
2.4 Roteren over een hoek
2.4.1 Georiënteerde hoek
Léon en Lola moeten de code van een brandkast proberen te kraken. Ze krijgen elk een envelop met een tip. Door het cijferslot op de juiste manier te roteren of te draaien, kunnen ze de code ontcijferen. Een verkeerde poging vernietigt helaas de inhoud.
ENVELOP 1
‘DRAAI OVER EEN HOEK VAN 144°’
Kunnen de kinderen elk afzonderlijk de code kraken? Lola
ENVELOP 2
‘DRAAI HET SLOT IN TEGENWIJZERZIN’
Welk getal moeten Léon en Lola draaien?
Er kan zowel in wijzerzin als in tegenwijzerzin over een bepaalde hoek geroteerd worden. Om de hoekgrootte en de draaizin voor te stellen, gebruik je een georiënteerde hoek
Definitie Georiënteerde hoek
Een georiënteerde hoek is een hoek die wordt bepaald door een hoekgrootte en een (draai)zin.
Notatie: AOB
Je spreekt over de georiënteerde hoek AOB ∧ met de halfrechte [OA als beginbeen en de halfrechte [OB als eindbeen.
Afspraak Positieve en negatieve zin
Wanneer er in tegenwijzerzin wordt geroteerd, spreek je van een positieve zin. Wordt er in wijzerzin geroteerd, dan spreek je van een negatieve zin.
Twee keer per jaar moet je de klok verdraaien. Gedurende de zomermaanden moet je de klok een uur vooruitzetten (in wijzerzin). In de wintermaanden draai je ze een uur terug (in tegenwijzerzin). De zomertijd loopt vanaf de laatste zondag van maart tot de laatste zondag van oktober. Een handig ezelsbruggetje: in het voorjaar gaat de klok vooruit.
2.4.2 Een punt roteren
Léon en Lola vinden in de brandkast twee tickets voor een pretpark. Bij het piratenschip worden ze met draaibewegingen geconfronteerd.
Vaststelling Een rotatie wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek.
In een pretpark kun je verschillende rotaties in één attractie opmerken. Bij de theekopjes wordt er om verschillende centra geroteerd. Zo merk je een centrum op bij ieder kopje, maar ook bij het centrum van de attractie. Deze extra factor vergroot de kans op misselijkheid.
Bepaal het beeld van het punt A door een rotatie om een centrum O over een georiënteerde hoek van −70°. Noem het draaibeeld A9
Werkwijze
stap 1: Teken de halfrechte [OA.
stap 2: Teken een even grote hoek als met [OA als beginbeen.
stap 3: Bepaal op het eindbeen een punt A9 zodat | OA | = | OA9 |
Notatie: r (O, )(A) = A9 (r komt van het woord rotatie.)
Lees: Het draaibeeld van A om het centrum O en over de georiënteerde hoek is A9
Opmerkingen
• Het draaibeeld van een punt A wordt meestal A9 genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.
• Het draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf.
Voorbeelden
Is afbeelding 2 telkens het draaibeeld van afbeelding 1 door de gegeven rotatie? Verklaar.
Geroteerd? r ja r nee Geroteerd? r ja r nee Geroteerd? r ja r nee
Oefeningen
REEKS A
53 Duid met blauw het centrum van de rotatie aan op de volgende illustraties.
54 Zijn de onderstaande figuren het draaibeeld van elkaar? Vink aan.
55 Zoek telkens het draaibeeld. Welk woord zoeken we?
r(M, )(A) = B f) s (B) = D b) t→ AE( ) = C g) r(M, 90°)( ) = D c) sHF ( ) = G h) t ⟶ GM(H) = d) r(F, 180°)(B) = i) sAB (E) = e) t (A) = B j) sAC ( ) = D
2.4.3 Eigenschappen van roteren over een hoek
Hieronder is het draaibeeld van ABCD om M over 100° voorgesteld.
Oriëntatie of doorloopzin
r(M, 100°)(ABCD) = A9B9C9D9
Wat is de oriëntatie of doorloopzin van de hoekpunten?
Vul aan met wijzerzin of tegenwijzerzin.
Bij ABCD zijn de punten in wijzerzin voorgesteld, bij A9B9C9D9 in
Vaststelling Een rotatie behoudt de oriëntatie of doorloopzin wel / niet.
Collineariteit
r(M, 100°)(B) = B9 r(M, 100°)(C) = C9 r(M, 100°)(Z) = Z9 B, C en Z liggen op éénzelfde rechte en zijn dus collineair.
Schrap wat niet past: B9 , C9 en Z9 zijn wel / niet collineair.
Als Z ∈ BC dan is Z9 ∈ B9C9
Vaststelling Een rotatie behoudt de collineariteit wel / niet.
Lengte of afstand
r(M, 100°)([AB]) = [A9B9]
Meet de lengte van [AB] en [A9B9] en vul aan. |AB| = mm en |A9B9| = mm
Als r(M, 100°) ([AB]) = [A9B9] dan is |AB| |A9B9|.
Vaststelling Een rotatie behoudt de lengte of afstand wel / niet.
Hoekgrootte
r(M, 100°)(AB ∧ C) = A9B ∧ 9C9
Meet de hoekgrootte van AB ∧ C en A9B ∧ 9C9en vul aan. AB ∧ C = en A9B ∧ 9C9 = Als r(M, 100°) (AB ∧ C) = A9B ∧ 9C9 dan is AB ∧ C A9B ∧ 9C9
Vaststelling Een rotatie behoudt de hoekgrootte wel / niet.
65 Verklaar met een eigenschap waarom SEB niet het draaibeeld van driehoek NIM kan zijn.
66 Dina voert de opdracht uit door zo weinig mogelijk punten te roteren. Ze roteerde telkens al minimum één punt.
Welke eigenschappen zal ze gebruiken om de transformatie verder af te werken? Vink aan.
a) r(0, -140°) b) r(0,90°)
Een rotatie behoudt de r oriëntatie of doorloopzin r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
Een rotatie behoudt de r oriëntatie of doorloopzin r collineariteit r loodrechte stand r lengte of afstand r evenwijdigheid r hoekgrootte r oppervlakte
67 Noah roteerde telkens minstens één punt om M over 45°. Kan Noah de rotatie verder afwerken zonder extra punten te roteren?
Teken indien mogelijk. Verklaar.
68 Hoeveel punten heb je minstens nodig om het beeld van de volgende figuren te bepalen?
Teken het beeld. Welke eigenschap(pen) heb je gebruikt? Vink aan.
a) r (0, −150°)(ˆ A)
b) r(A, -60°)(ABCD)
Hoeveel punten moet je minstens roteren?
Een rotatie behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
Hoeveel punten moet je minstens roteren?
Een rotatie behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
2.5 Spiegelen om een punt
2.5.1
Puntspiegeling
De hond Grappo wordt geroteerd om het punt O over een hoek van 180°.
Merk op dat je hetzelfde beeld krijgt als je ‘spiegelt9 om het punt O
Je spreekt daarom over een puntspiegeling met centrum O
Vaststelling Een rotatie met centrum O over een hoek van 180° is een puntspiegeling met centrum O.
ABC werd gespiegeld om het centrum O.
Bepaal het beeld van [AB ] door te spiegelen om het punt
GEOGEBRA
Werkwijze
stap 1: Teken de rechte OA
stap 2: Bepaal op de rechte een punt A9 zodat | OA | = | OA |9
stap 3: Herhaal de bovenstaande stappen voor de overige punten.
Notatie: sO (A) = A9 (s komt nog steeds van het woord spiegeling.)
Lees: Het spiegelbeeld van A om het centrum O is A9 .
Oefeningen
REEKS A
69 Vink de puntspiegelingen met centrum O aan.
REEKS B
70 Vul in. notatie puntcentrumbeeld
a) sP (K) = L
b) VTW
71 Schrijf in woorden.
a) sA (B) = B9
b) sO (G) = H
72 Schrijf in symbolen.
a) B9 is het spiegelbeeld van B om het centrum O
b) X is het spiegelbeeld van Y om het centrum Z
73 Is F2 telkens een puntspiegeling van F1 om het centrum O? Indien niet, verklaar. a) sO (F1) c) sO (F1)
r ja r nee r ja r nee b) sO (F1)
sO (F1)
REEKS C
r ja r nee r ja r nee
74 Duid het centrum O van de puntspiegeling aan.
2.5.2 Eigenschappen van spiegelen om een punt
Hieronder is het spiegelbeeld van ABCD om het centrum M voorgesteld.
Een puntspiegeling met centrum M is voorgesteld als een rotatie met centrum M over een hoek van 180°. Hierdoor gelden de eigenschappen van een rotatie ook voor een puntspiegeling.
Besluit
Een puntspiegeling behoudt:
• de oriëntatie of doorloopzin,
• de collineariteit,
• de lengte of afstand,
• de hoekgrootte,
• de loodrechte stand,
• de evenwijdigheid,
• de oppervlakte.
Het beeld van een rechte door een puntspiegeling
sM (AB) = A9B9
Wat is de onderlinge ligging van AB en A9B9? Vul aan.
AB A9B9
Als sM (AB) = A9B9 dan is AB sM (AB).
Vaststelling Het beeld van een rechte door een puntspiegeling is een rechte die is met de gegeven rechte.
Oefeningen
REEKS C
75 Nassad spiegelde telkens één punt om een centrum. Kan Nassad de spiegeling verder afwerken zonder extra punten te spiegelen? Indien ja, welke eigenschap(pen) kan hij gebruiken? Vink aan. Teken indien mogelijk.
a) sM c) sA
ja
Een puntspiegeling behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
r evenwijdigheid spiegelbeeld
b) sM
Een puntspiegeling behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
r evenwijdigheid spiegelbeeld
sM
Een puntspiegeling behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
r evenwijdigheid spiegelbeeld
Een puntspiegeling behoudt de r oriëntatie of doorloopzin
r collineariteit
r lengte of afstand
r hoekgrootte
r loodrechte stand
r evenwijdigheid
r oppervlakte
r evenwijdigheid spiegelbeeld
2.5.3 Samenvatting eigenschappen van transformaties
De transformaties (spiegelingen, verschuivingen en rotaties) voldoen aan een aantal eigenschappen. Vink de ware uitspraken in het overzicht aan.
een spiegeling behoudt een verschuiving behoudt een rotatie behoudt een puntspiegeling behoudt de oriëntatie of doorloopzin rrr r de collineariteit rrr r de lengte of afstand rrr r de hoekgrootte rrr r de loodrechte stand rrr r de evenwijdigheid rrr r de oppervlakte rrr r het spiegelbeeld van een rechte het schuifbeeld van rechte het draaibeeld van een rechte spiegelbeeld van een rechte om een punt
Een rechte is evenwijdig met de gegeven rechte bij … rrrr
Opmerking
Niet elke transformatie voldoet aan bovenstaande eigenschappen. Er zijn ook transformaties van het vlak waarbij de afstanden niet behouden blijven en het beeld een vergroting of verkleining is van de oorspronkelijke figuur.
Denk bijvoorbeeld aan het beeld van een projectiescherm.
2.5.4 Symmetriemiddelpunten
Wat is de betekenis van dit verkeersbord?
Definitie Symmetriemiddelpunt
Door een puntspiegeling kan de figuur op zichzelf worden afgebeeld.
Welk punt is het centrum van die rotatie?
Benoem dat punt met de letter O Dat punt noem je het symmetriemiddelpunt
Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.
In symbolen:
O is het symmetriemiddelpunt van een figuur F als
Voorbeelden
Duid indien mogelijk het symmetriemiddelpunt van de volgende verkeersborden aan.
Bij vriesweer zie je wel eens ijskristalletjes. Het kristal wordt gevormd doordat heel kleine (bevroren) waterdeeltjes zich rond een stofdeeltje vasthechten.
Onder een microscoop of een vergrootglas is de structuur goed zichtbaar. Je merkt niet alleen symmetrieassen, maar je ziet ook een symmetriemiddelpunt.
Oefeningen
REEKS A
76 Duid het symmetriemiddelpunt aan. Noteer de soort vlakke figuur. a) b) c) d)
soort vlakke figuur:soort vlakke figuur:soort vlakke figuur:soort vlakke figuur:
77 Duid, indien mogelijk, het symmetriemiddelpunt aan. a) d) g)
symmetriemiddelpunt?symmetriemiddelpunt?symmetriemiddelpunt? r ja r nee r ja r nee r ja r nee b) e) h)
symmetriemiddelpunt?symmetriemiddelpunt?symmetriemiddelpunt? r ja r nee r ja r nee r ja r nee c) f) i)
symmetriemiddelpunt?symmetriemiddelpunt?symmetriemiddelpunt? r ja r nee r ja r nee r ja r nee
REEKS B
78 Teken, indien mogelijk, alle symmetrieassen en symmetriemiddelpunten in de onderstaande letters. a) c) e)
f)
79 Het punt O is het symmetriemiddelpunt van een versieringsmotief. Vervolledig dit patroon. a)
REEKS C
80 Teken een vlakke figuur waarvan het punt O het symmetriemiddelpunt is.
2.6 Verband tussen coördinaten en transformaties
Zet de punten A (1, 3), B (4, –4) en C (–2, –3) in het assenstelsel.
GEOGEBRA
Vaststelling
Bepaal de coördinaat van het beeld door een spiegeling om de x-as
A (1, 3) B (4, –4) C (–2, –3)algemeen voor P (x, y) s
Bij een spiegeling om de x-as blijft de x-coördinaat ongewijzigd en verandert de y-coördinaat van teken.
Bepaal de coördinaat van het beeld door een spiegeling om de y-as
A (1, 3) B (4, –4) C (–2, –3)algemeen voor P (x, y) s
Vaststelling
Bij een spiegeling om de y-as blijft de y-coördinaat ongewijzigd en verandert de x-coördinaat van teken.
Oefeningen
REEKS C
81 Bepaal telkens de coördinaat van het beeld door een spiegeling om de x-as of y-as.
a) A (1, 6) s x (A ) = A9 ( , ) e) E (–25, 36) s y (E ) = E9 ( , )
b) B (5, –8) s x (B ) = B9 ( , ) f) F (0, –6) s y (F ) = F9 ( , )
c) C (–10, 6) s y (C ) = C9 ( , ) g) G (–2, –10) s x (G ) = G9 ( , )
d) D (–5, –12) s y (D ) = D9 ( , ) h) H (11, 11) s x (H ) = H9 ( , )
82 Zet de punten in het assenstelsel.
Bepaal telkens de coördinaat van het beeld van A en B door de verschuiving t→ PQ,
A (2, 3)
en
B (–1, 1) E (1, 4) F (3, 4) P (–4, 3) Q (–1, 2) V (–3, 1) W (–3, –2) A (2, 3) B (–1,
83 Bepaal telkens de coördinaat van het beeld van A en B door de verschuiving
en
–5)
B (–10, 4)
84 Zet de punten A (1, 3) en B (4, –4) in het assenstelsel.
Bepaal de coördinaat van het draaibeeld van A en B volgens r(O, ) met co (O) = (0, 0).
A (1, 3) B (4, –4) algemeen voor P (x, y)
85 Bepaal de coördinaat van het draaibeeld volgens r(O, ) met co (O) = (0, 0). a) A (–2, 5) r(O, 90°)(A) = A9 ( , ) d) D (–1, 4) r(O, –90°)(D) = D9 ( , ) b) B (3, 5) r(O, 180°)(B) =
( , ) e) E (6, 0) r(O, –180°)(E) = E9 ( , )
c) C (25, –36) r(O, 90°)(C) = C9 ( , ) f) F (–18, –10) r(O, –90°)(F) = F9 ( , )
STUDIEWIJZER Spiegelen, verschuiven en roteren
2.1 Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren
Spiegelingen, verschuivingen en rotaties noem je transformaties van het vlak.
In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een rotatie.
1.Bij ons op school komt 60 % van de leraren met de fiets. Dat zijn 45 leraren.
Slechts 12 % van de leraren gebruikt de wagen om naar school te komen.
Hoeveel leraren zijn dat?
A) r 8B) r 9 C) r 10 D) r 11 E) r 12
2.De toiletten op een school verbruiken 6 liter bij een grote boodschap en 3 liter bij een kleine boodschap.
Vandaag werd 450 liter verbruikt na 140 toiletbezoeken.
Hoeveel keer heeft iemand een grote boodschap gedaan?
A) r 10B) r 20C) r 30D) r 40E) r 50
3. 50 m ?
Simon de poes loopt op de rand van het zwembad. Wolfje zwemt lengtes in het zwembad.
Simon loopt 3 keer sneller dan Wolfje zwemt.
Wolfje zwemt 6 lengtes van 50 m, terwijl Simon 5 rondes loopt.
Hoe breed is het zwembad?
A) r 12 mB) r 15 mC) r 25 mD) r 30 mE) r 40 m
4.Een tafel heeft vier poten van 76, 77, 78 en 79 cm.
Aya wil de tafel horizontaal maken en zaagt van een aantal poten stukken af. Ze kan die stukken gebruiken om onder andere poten te plaatsen. Wat is de minimale totale lengte van de afgezaagde stukken?
A) r 2 cmB) r 3 cmC) r 4 cmD) r 5 cmE) r 6 cm
HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE
Een macht van een negatief getal is positief als negatief als
REKENMACHINE
Bereken (–2)5 =
Oefeningen
REEKS A
1 Schrijf als een macht. a) (–4) (–4) =
2 Schrijf als een product. a) (–4)3 =
( 4 7 )3 =
3 Vul aan.
(–0,5)2 =
) =
4 Bereken.
5 Bereken de volgende machten. Het grondtal vind je in het midden, de exponent op de spaak.
Wat stel je vast?
Tien tot de n-de macht schrijf je als een één met
6 Schrijf als een macht van tien. a) 10 000 = c) 100 = e) 10 = b) 100 000 000 = d) 10 000 000 = f) 1 000 000 000 =
7 Leid de piraat naar zijn schat. Je vindt de weg door de negatieve resultaten te volgen.
8 Bereken de volgende machten. a) 24 = g) –(–10)4 = b) –52 = h) –191 = c) (–3)3 =
9 Bereken de volgende machten. a) 63 = c) (–2)7 = e) –1,34 = b) ( 5 7 )2 = d) ( 3 8 )3 = f) –(–9 11 )2 =
10 Hieronder zie je een deel van de stamboom van onze leraar Wies Kundeneus.
Wies Kundeneus
ouders 1egeneratie grootouders 2egeneratie
Eddy Ingrid
Ann Philippe Marieke overgrootouders 3egeneratie
a)Hoeveel overgrootouders had Wies? Schrijf dat aantal als een macht van twee en bereken.
b)De voorouders van vier generaties terug noem je betovergrootouders. Hoeveel betovergrootouders had Wies? Schrijf als een macht van twee en bereken.
c)Schrijf het aantal voorouders 12 generaties terug als een macht van twee. Bereken dat aantal.
11 Is het resultaat 1 of –1?
REEKS C
12 Zoek de regelmaat in de getallenrij. Stel een formule op. Vul de tabel aan. nummer (n)12345letterformule912
Christophe
13 Vader is trots op z’n visvijver in de tuin. Op warme zomeravonden kan hij uren naar het wateroppervlak staren. Ook moeder wil haar zomeravonden aangenaam doorbrengen en plant een waterplant van 1 dm2 in de vijver.
Ze had dat beter niet gedaan, want de oppervlakte van die waterplant verdubbelt iedere week.
a) Vul het onderstaande schema verder aan.
week0123456
A (dm 2) 1
b) Elke oppervlakte kun je schrijven als een macht met eenzelfde grondtal. Vul aan met de juiste macht.
week0123456
A (dm 2)
c) Na hoeveel weken zal de vijver volledig bedekt zijn met waterplanten?
d) Na hoeveel weken zal de vijver half bedekt zijn met waterplanten?
14 Machten en regelmaat
a) Vul in.
b) Gebruik de voorgaande regelmaat en vul in.
c) Geef de letterformule.
n 2 =
3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal
3.2.1 Product
Inleiding
Het is soms mogelijk om het rekenwerk makkelijker en sneller te laten verlopen. Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur.
Je hoeft niet iedere ballon te kleuren.
Rekenregel
(10 10) (10 10 10 10 10 10)
Vaststelling:
Rekenregel Product van machten met hetzelfde grondtal
Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, moet je: ∙ het grondtal
de exponenten
Voorbeelden
Oefeningen
REEKS A
15 Schrijf de volgende producten als één macht en bereken.
Een macht van een positief getal is altijd positief.
Een macht van een negatief getal is positief als de exponent even is en negatief als de exponent oneven is.
De kwadraten van 0 tot en met 15.
KUNNEN
Een product van gelijke factoren schrijven als een macht.
Een macht schrijven als een product.
De benamingen grondtal, exponent en macht correct gebruiken.
Machten met een natuurlijke exponent van een rationaal getal berekenen.
3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal
KENNEN
Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, moet je:
∙ het grondtal behouden;
∙ de exponenten optellen.
Om machten met hetzelfde grondtal te delen, moet je:
∙ het grondtal behouden;
∙ de exponenten aftrekken.
Om een macht tot een macht te verheffen, moet je:
∙ het grondtal behouden;
∙ de exponenten vermenigvuldigen. KUNNEN
Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen.
Rekenregels voor het rekenen met machten met natuurlijke exponenten toepassen.
3.3 Bewerkingen met machten van letters KENNEN
Rekenen met machten met letters als grondtallen.
Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen.
Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten verklaren.
Pienter Rekenen
Pienter Problemen Oplossen
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken
opsplitsen in deelproblemen
eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
1. Je hebt een vijver en drie pompen. Met pomp A kun je in 20 minuten de vijver leegpompen.
Met pomp A en B tegelijk lukt het in 15 minuten.
Met pomp A en C tegelijk lukt het in 12 minuten.
Hoelang zal het duren om de vijver leeg te pompen, als je pomp B en C tegelijk hun werk laat doen?
2. Een bakker heeft 36 croissants, 48 boterkoeken en 60 chocoladekoeken. Hij wil pakketten maken met gelijke aantallen croissants, boterkoeken en chocoladekoeken in elk pakket. Wat is het grootste aantal pakketten dat hij kan maken, zodat er geen producten overblijven?
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken
3. We hebben met de klas 2 478 koekjes gebakken voor het goede doel. Die worden verdeeld over 100 zakjes. In de meeste zakjes komen 25 koekjes, maar in sommige slechts 24.
In hoeveel zakjes komen slechts 24 koekjes terecht?
4. Miro legt tegels in rijen. In de eerste rij legt hij één tegel, in de tweede rij drie tegels, in de derde rij vijf tegels … Als hij de tegels volgens dit patroon verder legt, hoeveel tegels bevat dan de tiende rij?
HOOFDSTUK 4 I HOEKEN
4.1 Complementaire en supplementaire hoeken 118
4.2 Aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken 124
4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn 132
Studiewijzer 148 Problemen uit Kangoeroe en JWO 150
Herhalingsoefeningen
4.1 Complementaire en supplementaire hoeken
4.1.1 Op onderzoek
In welke van de situaties hierboven is de som van de twee hoeken 90° (een rechte hoek)?
4.1.2 Definities
Definitie Complementaire hoeken
Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 90° (een rechte hoek) is.
A ∧ en B ∧ zijn complementair als A ∧ + B ∧ = 90°.
Van twee complementaire hoeken zeg je dat de ene hoek het complement is van de andere.
Het complement van 25° is
Het complement van A ∧ is B ∧ =
• Het complement van 45° is
• Het complement van 90° is
In welke van de situaties hierboven is de som van de twee hoeken 180° (een gestrekte hoek)?
Supplementaire hoeken
Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.
A ∧ en B ∧ zijn supplementair als A ∧ + B ∧ = 180°.
Van twee supplementaire hoeken zeg je dat de ene hoek het supplement is van de andere.
Het supplement van 25° is
Het supplement van A ∧ is B ∧ =
• Het supplement van 90° is
• Het supplement van 180° is
Oefeningen
REEKS A
1 Zijn de aangeduide paren hoeken complementair, supplementair of geen van beide? V ink aan.
a)
b)
r complementair
r supplementair
r geen van beide
r complementair r supplementair
r geen van beide
r complementair
r supplementair r geen van beide
c)
r complementair r supplementair r geen van beide
r complementair r supplementair r geen van beide
r complementair r supplementair r geen van beide
r complementair
r supplementair r geen van beide
r complementair r supplementair r geen van beide
r complementair
r supplementair r geen van beide
2 Bepaal het complement van de gegeven hoek.
a) Het complement van 10° is
b) Het complement van 36° is
3 Bepaal het supplement van de gegeven hoek.
a) Het supplement van 25° is
b) Het supplement van 162° is
c) Het complement van 62° is
d) Het complement van 90° is
c) Het supplement van 90° is
d) Het supplement van 0° is
4 Meet de hoeken. Welke paren zijn complementair en welke zijn supplementair?
complementaire hoeken:
supplementaire hoeken:
5 Meet de hoeken. Welke hoeken zijn supplementair?
A M ∧ 1 Twintig leerlingen vinden aardrijkskunde het leukste vak.
B M ∧ 2 M ∧ 2 en M ∧ 1 zijn aanliggend en complementair.
C M ∧ 3 M ∧ 3 is de helft van M ∧ 2 en aanliggend aan M ∧ 2
D M ∧ 4 M ∧ 4 en M ∧ 3 zijn aanliggend en complementair.
E M ∧ 5 M ∧ 5 en M ∧ 1 zijn overstaande hoeken.
F M ∧ 6 M ∧ 6 is het supplement van M ∧ 2 en aanliggend aan M ∧ 5
G M ∧ 7 De rest van de leerlingen verkiest geschiedenis.
22 Vul met de gegevens de ontbrekende punten B, C, D en E aan op de tekening.
• AM ∧ E en DM ∧ E zijn nevenhoeken.
• AM ∧ C en CM ∧ D zijn nevenhoeken.
• AM ∧ B en DM ∧ E zijn overstaande hoeken.
• BM ∧ D is een scherpe hoek.
23 Bepaal, zonder te meten, de hoekgrootte van alle hoeken. Verklaar telkens je antwoord. Noteer de hoeken in de tabel in de volgorde waarin je ze bepaald hebt.
24 Teken de deellijnen (bissectrices) van twee overstaande hoeken. Wat stel je vast?
Vaststelling:
25 Teken de overstaande hoek van de aangeduide hoek.
4.3.1 Benamingen
Hoeveel hoeken ontstaan er als een rechte twee evenwijdige rechten snijdt?
Duid de hoeken aan op de rechterfiguur.
Duid aan op de tekening.
Binnenhoeken liggen tussen de twee evenwijdige rechten.
Buitenhoeken liggen buiten de twee evenwijdige rechten.
Verwisselende binnenhoeken liggen aan weerszijden van de snijlijn tussen de twee evenwijdige rechten.
Verwisselende buitenhoeken liggen aan weerszijden van de snijlijn buiten de twee evenwijdige rechten.
Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Overeenkomstige hoeken zijn een binnenhoek en een buitenhoek aan dezelfde kant van de snijlijn.
Oefeningen
REEKS A
26 Geef de juiste benaming voor de aangeduide hoeken.
c) f) i)
27 Geef de juiste benaming voor de aangeduide hoeken.
28 Duid de juiste hoek aan met een boogje.
a)
A ∧ en B ∧ zijn verwisselende binnenhoeken.
c) A ∧ en B ∧ zijn overeenkomstige hoeken.
b) A ∧ en B ∧ zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
d) A ∧ en B ∧ zijn verwisselende buitenhoeken.
29 a ⫽ b en c ⫽ d. Vink de juiste benaming aan.
verwisselende binnenhoeken
verwisselende buitenhoeken
binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
overeenkomstige hoeken
REEKS C
30 Plaats de juiste index bij de hoeken.
A ∧ 3 en B ∧ 1 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
A ∧ 3 en B ∧ 2 zijn overeenkomstige hoeken.
A ∧ 3 en B ∧ 3 zijn verwisselende binnenhoeken.
A ∧ 4 en B ∧ 2 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
A ∧ 1 en B ∧ 2 zijn verwisselende buitenhoeken.
AB 1
GEOGEBRA
Eigenschappen onderzoeken
Onderzoeken
Teken een willekeurige rechte c die twee evenwijdige rechten a en b snijdt in respectievelijk A en B Nummer de vier hoeken die in A en B ontstaan, zodat de overeenkomstige hoeken hetzelfde nummer krijgen. Meet alle hoeken.
• Noteer alle paren overeenkomstige hoeken. Vergelijk de hoekgroottes.
W at stel je vast?
• Noteer alle paren verwisselende binnenhoeken. Vergelijk de hoekgroottes.
W at stel je vast?
• Noteer alle paren verwisselende buitenhoeken Vergelijk de hoekgroottes.
W at stel je vast?
• Noteer alle paren binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Maak de som van die hoeken
W at stel je vast?
• Noteer alle paren buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Maak de som van die hoeken
W at stel je vast?
Oefeningen
REEKS A
31 a ⫽ b. Bepaal de grootte van de aangeduide hoek zonder te meten.
REEKS B
32 a ⫽ b. Duid alle hoeken die even groot zijn als de gegeven hoek aan met blauw. Duid alle hoeken die supplementair zijn met de gegeven hoek aan met rood.
33 De parkeerstroken bepalen evenwijdige rechten.
Bepaal de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten.
34 a ⫽ b en c ⫽ d. Duid alle hoeken die even groot zijn als de gegeven hoek aan met blauw. Duid alle hoeken die supplementair zijn met de gegeven hoek aan met rood.
4.3.3 Eigenschappen bewijzen
Om zeker te weten dat je vaststelling altijd geldig is, moet je eigenlijk alle mogelijke gevallen tekenen en onderzoeken. Die werkwijze wordt ‘bewijzen door uitputting’ genoemd. Dat is niet alleen heel saai, maar gewoon onmogelijk. Je gaat dus op zoek naar andere methodes om de geldigheid van je vermoeden te bewijzen.
Verwoorden
Maak eerst een tekening. Duid het gegeven aan.
Je hebt een situatie onderzocht en hebt nu een vermoeden, ook wel hypothese genoemd. Die hypothese moet je correct kunnen verwoorden. Houd rekening met wat er gegeven is (opgave) en met wat je wilt aantonen (vermoeden).
in woorden in symbolen
Wat is er gegeven? (gegeven) • twee evenwijdige rechten
Wat wil je aantonen? (te bewijzen)
Zoek het verband tussen het gegeven en het te bewijzen. In dit geval is het te bewijzen een gevolg van het gegeven. Dat noem je een implicatie. notatie als ... dan ... ⇒
De formulering zelf noem je een eigenschap.
Eigenschap
Noteer het gegeven en het te bewijzen in één formulering. Als dan
Argumenteren
Om de eigenschap te bewijzen, gebruik je definities en eigenschappen die je vroeger zag en die handelen over evenwijdigheid en even grote hoeken. Som er hieronder enkele op.
Bewijzen
Na het voorbereidende werk kun je nu eindelijk beginnen aan het bewijs.
• stap 1: Je maakt een tekening en noteert het gegeven en het te bewijzen.
tekening gegeven ⫽ in A in B te bewijzen
• stap 2: Je noteert het bewijs waarmee je aantoont dat de eigenschap juist is.
bewijs tekening bewijs verklaring
Het beeld van een rechte door een verschuiving is een evenwijdige rechte.
• stap 3: Formuleer een besluit.
besluit
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn de overeenkomstige hoeken even groot.
Oefeningen
REEKS A
35 Formuleer telkens de eigenschap die de gelijkheid verklaart.
Gegeven: a ⫽ b, c snijdt a in A, en c snijdt b in B
36 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de verwisselende binnenhoeken even groot. Vul het bewijs aan. tekening gegeven
bewijs
bewijs verklaring
A ∧ 1 = B ∧ 1 (1)
B ∧ 1 = B ∧ 2 (2)
Dus is A ∧ 1 = B ∧ 2 (1) (2)
besluit
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan
REEKS B
37 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de verwisselende buitenhoeken even groot. Vul het bewijs aan.
tekening gegeven
bewijzen
bewijs
bewijs verklaring (1) (2)
besluit
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan
38 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Vul het bewijs aan.
tekening gegeven
a ⫽ b
c a in A
c b in B te bewijzen
A ∧ 1 en B ∧ 2 zijn supplementair.
bewijs
bewijs
verklaring
(1)
(2)
besluit
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan
39 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Vul het bewijs aan.
tekening gegeven A B
a ⫽ b
c a in A
c b in B te bewijzen
A ∧ 1 en B ∧ 2 zijn supplementair.
bewijs
bewijs verklaring
(1) (2)
besluit
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan
40 Is de uitspraak altijd, soms of nooit waar? Zet een vinkje in de passende kolom. uitspraak altijd waarsoms waarnooit waar
a)Overstaande hoeken zijn even groot.
b)Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken.
c)Bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn zijn de verwisselende binnenhoeken complementair.
d)Nevenhoeken zijn complementaire hoeken.
e)Overstaande hoeken zijn complementair.
f)Bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn zijn de overeenkomstige hoeken supplementair.
4.3.4 Omgekeerde eigenschap van overeenkomstige hoeken
Meet de overeenkomstige hoeken A ∧ 1 en B ∧ 1
Wat stel je vast over de overeenkomstige hoeken en de onderlinge ligging van de rechten?
Eigenschap Als bij twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde rechte de overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan
4.3.5 Kenmerk van overeenkomstige hoeken
Een eigenschap en de omgekeerde eigenschap vat je samen in een kenmerk.
Een kenmerk geldt in beide richtingen. Dat noem je een equivalentie notatie als en slechts als
Kenmerk Twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde rechte zijn evenwijdig als en slechts als
4.3.6 Kenmerken van hoeken bij twee evenwijdigen en een snijlijn
In het onderzoek bij 4.3.2 zie je dat je ook een kenmerk kunt opstellen voor de andere hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn.
Kenmerk Twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde rechte zijn evenwijdig als en slechts als
• de overeenkomstige hoeken
• de verwisselende binnenhoeken
• de verwisselende buitenhoeken
• de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
• de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Oefeningen
REEKS B
42 Bepaal zonder te meten in welke van de schetsen de rechten a en b evenwijdig zijn.
r evenwijdig r snijdend r evenwijdig r snijdend r evenwijdig r snijdend
r evenwijdig r snijdend r evenwijdig r snijdend r evenwijdig r snijdend
43 Verklaar met een eigenschap waarom a ⫽ b.
Gegeven: c
44 a ⫽ b en c ⫽ d. Bepaal de grootte van de aangeduide hoeken zonder te meten.
REEKS C
45 Als twee rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte en als twee overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan zijn die twee rechten evenwijdig. Vul het bewijs aan. tekening gegeven te bewijzen bewijs bewijs verklaring
besluit
4.1 Complementaire en supplementaire hoeken
KENNEN
Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 90° (een rechte hoek) is. Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.
KUNNEN
In een figuur complementaire en supplementaire hoeken benoemen. Een complementaire en een supplementaire hoek van een gegeven hoek tekenen.
De grootte van het complement en het supplement van een gegeven hoek bepalen.
4.2 Aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken
Aanliggende hoeken zijn twee hoeken
KENNEN
∙ die het hoekpunt gemeenschappelijk hebben;
∙ en die één been gemeenschappelijk hebben;
∙ en waarvan de niet-gemeenschappelijke benen aan weerszijden van het gemeenschappelijke been liggen.
Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.
Overstaande hoeken zijn twee hoeken
∙ die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben;
∙ en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.
Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen in vlakke situaties.
De overstaande hoek, een aanliggende hoek en een nevenhoek van een gegeven hoek tekenen.
De hoekgrootte van de overstaande hoek en een nevenhoek van een gegeven hoek bepalen.
4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn
KENNEN
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan
∙ zijn de overeenkomstige hoeken even groot;
∙ zijn de verwisselende binnenhoeken even groot;
∙ zijn de verwisselende buitenhoeken even groot;
∙ zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair;
∙ zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
Als bij twee rechten die gesneden worden door eenzelfde derde rechte
∙ de overeenkomstige hoeken even groot zijn of
∙ de verwisselende binnenhoeken even groot zijn of
∙ de verwisselende buitenhoeken even groot zijn of
∙ de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn of
∙ de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn die twee rechten evenwijdig.
KUNNEN
De verschillende soorten hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen en benoemen.
De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden.
De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verklaren.
De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn gebruiken om ontbrekende hoekgroottes bij vlakke figuren te berekenen.
De omgekeerde eigenschap van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden.
De omgekeerde eigenschap van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verklaren.
Pienter Rekenen
Problemen uit Kangoeroe en JWO
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken een schema/tabel maken
opsplitsen in deelproblemen
eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken
1.De pagina’s van het boek van Juliette zijn allemaal genummerd. De eerste pagina heeft nummer 1. De paginanummers bevatten 14 keer het cijfer 4. Welk paginanummer heeft de laatste pagina van haar boek?
A) r 46B) r 48C) r 50D) r 82E) r 134
2.Anke telt twee gehele getallen op en vindt 27. Benthe telt bij die som nog twee gehele getallen op en vindt 38. Caro telt bij die laatste som nog twee getallen en vindt 59. Hoeveel van de zes opeenvolgende getallen zijn even?
A) r 1B) r 2 C) r 3 D) r 4 E) r 5
3.Een grote rechthoek bestaat uit 9 gelijke rechthoekjes. De lengte van de rechthoekjes is 10 cm. Wat is de omtrek van die grote rechthoek?
A) r 44 cmB) r 64 cmC) r 76 cmD) r 80 cmE) r 90 cm
4.In een klas zitten 50 % meer jongens dan meisjes. Van de jongens is 62 % geslaagd en van de hele klas is 68 % geslaagd. Hoeveel procent van de meisjes is geslaagd?
Hij geeft telkens op zijn smartphone de bestelling door aan de barman.
De computer zet de bestelling om in een eenvoudig ticket.
Zo weet de barman precies wat hij moet klaarmaken. bestelling 1bestelling 2bestelling 3
aantal termen
De letters in lettervormen of algebraïsche vormen hebben geen vaste waarde.
De lettervormen met één term noem je eentermen
De lettervormen met meerdere termen noem je veeltermen
Zo spreek je over tweetermen, drietermen, viertermen ...
soort algebraïsche vorm
Eentermen en veeltermen zijn soorten algebraische vormen. Ze horen thuis in de algebra
Abbu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi was een wiskundige en sterrenkundige uit het Irak van de 9e eeuw. Uit de titel van zijn boek
Al-Jabr wa-al-Mugabilah is het woord ‘algebra’ ontstaan.
De Arabische algebra was een algebra zonder symbolen of letters.
Alles werd volledig in woorden beschreven.
Het was uiteindelijk René Descartes (1596-1650) die een volledig gebruik van symbolen en letters bereikte in zijn boek La Géometrie. Zijn algebra is een algebraïsche benadering van de meetkunde.
5.1.2 Getalwaarde van lettervormen
De getalwaarde van een lettervorm is het getal dat je verkrijgt als je de letters vervangt door de opgegeven waarden en de gegeven bewerkingen uitvoert.
Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen.
Afspraak Volgorde van de bewerkingen
1) Bewerkingen tussen haakjes ( ), [ ]
2) Machten en vierkantswortels a n , √ a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts ? , :
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts + , –
Bestelling 1
Bereken de getalwaarde van de eenterm 4c c € 2,00
Bestelling 2
€ 1,50
Bereken de getalwaarde van de tweeterm 3c + 2f c € 2,00 w € 1,50 f € 2,50 3c + 2f
Bestelling 3
Bereken de getalwaarde van de drieterm 4c + 2w + f
c € 2,00 w € 1,50 f € 2,50
€ 2,50 w € 2,00
€ 3,75 3c + 2f
Oefeningen
REEKS A
1 Noteer de lettervorm. Vul telkens de soort algebraïsche vorm in. beschrijving lettervorm soort
a)het product van 3 en k
b)het vierde deel van m
c)de omtrek van een vierkant met zijde z
d)de som van a en a 2
e)5a verminderd met 7
2 Vul de soort algebraïsche vorm in. Bereken telkens de getalwaarde als a = 2. lettervorm soort getalwaarde
a)2a
b) a + a 2
c)–3a
d)3 + 4a
e) a 3 + a 2 + a
3 De omtrek van een ruit bereken je met de eenterm 4z. Vul de tabel in. z omtrek z
a)2 cm
b)5 m
c)1,5 dm
4 Bereken de getalwaarde.
a) a – 7 voor a = 13 b) 2a + 13 voor a = 7 c) a 2 – 8 voor a = 3 d) (6 – a) 2 voor a = 4
5 Noteer de beschreven lettervorm. Vul telkens de soort algebraïsche vorm in.
beschrijving lettervorm soort a) b) c) d)
de som van het dubbel van a en het drievoud van b
het verschil van de kwadraten van x en y
het volume van een kubus met zijde z
de som van de vierde macht van a en de helft van b
6 Vul de tabel in.
omtrekformule
soort algebraïsche vorm
getalwaarde als x = 3 cm en y = 5 cm
7 Het volume van één kubus bereken je met de eenterm z 3 . Bereken het volume van deze kubusstapelingen.
a)5 cm10 cm
8 In een balk met vierkant grondvlak is z de zijde van het vierkant en h de hoogte van de balk. De oppervlakte bereken je met de tweeterm 2z 2 + 4zh. Vul de tabel in. z h 2z 2 + 4zh h z z
b)2 m40 dm
a)2 m4 m
9 Het volume van een cilinder bereken je met de eenterm r 2 ph Vul de tabel in. Bereken op 0,01 nauwkeurig. h r rh r 2 ph
b)2,5 cm5 cm
10 In een cirkelvormige vijver wordt een houten vlotter geplaatst. Bereken de resterende wateroppervlakte met de tweeterm r 2 p – z 2 op 0,01 nauwkeurig. rz r 2 p - z 2
a)6 m2,5 m
b)10 m3 m
11 Om de ideale lichaamsmassa van een volwassene te bepalen, wordt vaak gebruikgemaakt van de Body Mass Index (BMI). Hoewel deze index nog steeds veelvuldig wordt toegepast, plaatsen steeds meer onderzoekers er vraagtekens bij. De BMI houdt namelijk geen rekening met de verhouding tussen vet- en spiermassa, en geeft daardoor slechts beperkte informatie over de gezondheid van een individueel persoon.
BMI = m l 2 met m de massa in kg en l de lengte in m.
BMI betekenis
BMI < 18 ondergewicht
18 ⩽ BMI < 25 normaal gewicht
25 ⩽ BMI < 27 neiging tot overgewicht
27 ⩽ BMI < 30 overgewicht
30 ⩽ BMI < 40 zwaarlijvigheid
40 ⩽ BMI ernstige zwaarlijvigheid
a) Bereken de BMI van Jan, die 1,76 m meet en 69 kg weegt. Rond af op een tiende.
BMI =
Wat betekent dat voor het gewicht van Jan?
b) Bereken de BMI van Aïsha. Ze weegt 71 kg en is 164 cm lang. Rond af op een tiende.
BMI =
Wat betekent dat voor Aïsha?
c) Anne, die 1,78 m meet, heeft in de loop der jaren veel gewicht verloren. Vul de tabel aan.
massa102 kg96 kg91 kg87 kg83 kg79 kg
BMI
REEKS C
12 Een kostbare kristallen cilindervormige vaas wordt verpakt in een kubusvormige doos.
Bereken het volume van het nodige beschermpiepschuim dat zich rond de cilinder moet bevinden met de tweeterm z 3 – r 2 ph op 0,01 nauwkeurig. zrh z 3 ‒ r 2 ph
5.2.1
Eenterm
gelijkzijdige driehoekOm de omtrek van een gelijkzijdige driehoek te berekenen, gebruik je de omtrekformule P = 3a
3a is een eenterm.
Die eenterm is het product van de factoren 3 en a
a
Definitie Eenterm
Een eenterm is een product van getal- en letterfactoren met natuurlijke exponenten.
Voorbeelden
6z 2 , D d 2 , a , b ? h , x 3 en –8ab 4 zijn eentermen.
Benamingen
Een eenterm bestaat uit twee delen: de coëfficiënt en het lettergedeelte.
3 ⏟ a ⏟ coëfficiënt lettergedeelte
Enkele afspraken
• Het vermenigvuldigingsteken mag je weglaten. 3 a =
• Noteer eerst de coëfficiënt en dan het lettergedeelte alfabetisch. k ? 7d =
• Schrijf de eenterm altijd in zijn eenvoudigste vorm. 3
• Coëfficiënt 1 schrijf je niet.
• Exponent 1 schrijf je niet.
• Een factor met exponent 0 vervang je door 1.
5.2.2 Gelijksoortige eentermen
Definitie Gelijksoortige eentermen
Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.
Voorbeelden
3a, 17a en –4a zijn gelijksoortige eentermen.
6x 2 y 3, –4x 2 y 3 en 1 3 x 2 y 3 zijn gelijksoortige eentermen.
Oefeningen
REEKS A
13 Geef voor elke eenterm de coëfficiënt en het lettergedeelte.
16 Professor Wirrewar heeft hieronder enkele eentermen geschreven, maar hij heeft zich niet aan de juiste afspraken gehouden. Help de professor uit te zoeken welke termen gelijksoortig zijn door ze dezelfde kleur te geven. 4
17 Welke eenterm is niet gelijk aan –2ab 2?
18 Noteer de oppervlakte van de figuur als een eenterm.
a) z b) a b
19 Noteer het volume van de stapeling als een eenterm. a) z b) h r
20 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
a) x 4 = f)1y 1 =
b) y(–3)y = g)0b 0 =
c) aaaaa 8 a = h) a (–7) = d) –2 ? x 2 ? x 3 = i) 3 ? x 3 ? y ? 4 6 ? x = e) bbb(–2)b = j) d aa ad 2 7 -3 4 =
REEKS C
21 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
a) –7 4 ? 4 14 ? aaa 5b 0 c 1 = e) x 4 ? 0,3 ? yz 2 ? 10y 2 = b) x 2 0 a 0 x b 0 = f) b 3bc a 2 b 2 12 3 = c) –1 ? b 1 ? m 7 ? k 0 = g) g 0 ? 3(–4)d 3 g 1 f 4 (–2) = d) z -2 3 c 4 z 2b 3 = h) p (–5)p 2 h 3 (–4s) =
5.3 Rekenen met eentermen
5.3.1 Optellen en aftrekken van eentermen
Inleiding
Jorne is trainer van een jeugdvoetbalploeg. Hij heeft de training goed voorbereid. Hij verdeelt de spelers in drie groepen, die op hetzelfde moment aan het werk zijn. Voor elke oefening heeft hij een aantal ballen (b) en kegels (k) nodig. Vul bij elke oefening de gepaste eenterm aan.
oefening 1 oefening 2 oefening 3
ballen kegels
Noteer als een optelling van eentermen en werk uit.
a) Hoeveel ballen heeft Jorne voor alle oefeningen samen nodig?
b) Hoeveel kegels heeft Jorne voor oefening 2 en 3 samen nodig?
Werkwijze Om gelijksoortige eentermen op te tellen (af te trekken):
• tel je de coëfficiënten op (trek je de coëfficiënten af);
• behoud je het lettergedeelte.
Voorbeeld
Verklaring
5x + 3x afspraak letterrekenen
= 5 x + 3 x
= (5 + 3) ? x
= 8 ? x
= 8x
de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling
5 + 3 = 8 afspraak letterrekenen
c) Hoeveel ballen en kegels heeft Jorne voor oefening 1 samen nodig?
Niet-gelijksoortige eentermen kun je niet optellen (aftrekken).
Oefeningen
REEKS A
22 Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.
a)3x + 5x =
b)6m – 5m =
d)2p 3 – 4p 3 =
e)7y 7 + 3y 7 =
c)4a 2 + 6a 2 = f)3z 2 – 5z 2 =
REEKS B
23 Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.
a)3a + 2a + 5a = e)4a 3 – 5a 3 =
b)–4x 2 – 2x 2 + x 2 = f) 3 4 x 2 –7 4 x 2 =
c)3a + (–6a) – 2a = g)–5z 7 + 3z 7 =
d)4b 3 – 6b 3 + 2b 3 = h)0,6x – 3x – (–x) =
24 Vul de bewerkingstabellen in.
REEKS C
25 Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.
a) 2a 2b + 3a 2b – a 2b =
b)3a 2b + ab 2 – 2a 2b =
c)–5a 2 z 3 + ( -1 4 a 2 z 3) – a 2 z 3 =
d)–0,6x 2 z 4 –2 5 x 2 z 4 + 3x – 8x =
e)–a 3 c 4 + a 2 c + 7a 3 c 4 – 3,4a 2 c =
5.3.2 Eentermen vermenigvuldigen
Inleiding
Voor een voetbaloefening moet Jorne vierkante oefenzones afbakenen met kegels. De zijde van zo’n vierkante oefenzone wordt voorgesteld door de letter a
Noteer als een vermenigvuldiging van eentermen en werk uit.
a) Bepaal de totale lengte van de oefenrechthoek.
b) Bepaal de totale breedte van de oefenrechthoek.
c) Bepaal de oppervlakte van de oefenrechthoek.
Werkwijze Om eentermen te vermenigvuldigen:
• vermenigvuldig je de coëfficiënten;
• vermenigvuldig je de lettergedeelten.
Voorbeeld
= 5 ? x ? 6
= 5 ? 6 ? x
Verklaring
5x ? 6 afspraak letterrekenen de vermenigvuldiging is commutatief afspraak letterrekenen
= 30x
Opmerking
Maak bij het vermenigvuldigen van eentermen altijd het onderscheid tussen de coëfficiënt en de exponent. De coëfficiënten vermenigvuldig je, de exponenten tel je op.
6x 2 ? 2x 6 = 6 ? 2 ? x 2+6 = 12x 8
Nog enkele voorbeelden
–3a 4 5 2x (–3y) 2b 4b³ 5a n 2a 3n
5.3.3 Eentermen delen
28a 5 : (7a 3) = 28a 5 7a 3 = 28 7 a 5 a 3 =
Werkwijze Om eentermen te delen:
• deel je de coëfficiënten;
• deel je de lettergedeelten.
Voorbeelden
45x 7 9x 3
5.3.4 Macht van een eenterm
(2a 4) 3 = 2a 4 ? 2a 4 ? 2a 4 =
Werkwijze Om een eenterm tot een macht te verheffen:
• verhef je de coëfficiënt tot die macht;
• verhef je het lettergedeelte tot die macht.
Opmerkingen
a) Let altijd goed op de plaats van de haakjes als je een macht van een eenterm berekent.
(–c 3)
(–2a
b) Maak bij het berekenen van een macht van een eenterm altijd het onderscheid tussen de coëfficiënt en de exponent (5x 3)
Voorbeelden
x 2)
Oefeningen
REEKS A
26 Bereken het product van de volgende eentermen.
a) 6a 7a = d) 3x (–7) = b) –2x ? 3x = e) –2z 4 ? 3z 2 = c) 4x 2 ? (–2x) =
Een veelterm rangschikken betekent de veelterm schrijven naar de dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.
Voorbeelden
Rangschik de volgende veeltermen naar de dalende machten van x
7x 3 + 5x 5 – 6x 2 + 3 x 3 + 2x 5 – x 2 – 3 + x
= 5x 5 + 7x 3 – 6x 2 + 3 =
Oefeningen
REEKS A
45 Voor het deeg van een fruittaart heeft Kristl drie peren (p) en twee bananen (b) nodig. Bij de versiering van de taart gebruikt ze nog twee peren en één banaan. Vul de tabel aan.
bijbehorende eenterm
tel de eentermen op herleid nu de veelterm
46 Rangschik de veeltermen naar dalende machten van x gerangschikte veelterm
a)2x 7 – 7x 8 + 12
b)–6x – 2x 4 – 9
c)5 + 3x 7 – 2x
d)2x 3 + x – 5x 6
REEKS B
47 Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten.
a)5x – 3x + 2x = f)12a 3 – 5a 3 + 4a =
b)2a + 4 – a + 2 = g)7x – 12 – 12x + 3 =
c)7k – 3 – 4k = h)–3z 2 + 5z – 9z – 4z 2 =
d)5m + 7 – 8m = i) 4z 2 – 8z 4 + 15z 4 + 3 =
e)9x 2 – 4x + 6x 2 =
48 Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten van x.
REEKS C
49 Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten van x. Bereken daarna de getalwaarde als x = 2 en y = 3. –2 5 x 2 y 3 – 3x 4
5.5 Rekenen met veeltermen
5.5.1
Veeltermen optellen
Inleiding
Voor deze training heeft Jorne twee oefeningen voorbereid.
Naast een aantal ballen (b) en kegels (k) heeft hij ook hesjes (h) nodig.
Vul bij elke oefening de gepaste eenterm in. Vul daarna het nodige materiaal als een veelterm aan.
oefening 1 oefening 2
ballen
kegels
hesjes
materiaal
Noteer als een optelling van veeltermen en werk uit.
Hoeveel ballen, kegels en hesjes heeft Jorne voor beide oefeningen nodig?
Werkwijze Om veeltermen op te tellen
• laat je de haakjes weg;
• herleid je de verkregen veelterm.
Voorbeeld
Verklaring
(5x 2 + 3x – 12) + (2x 2 – 4x + 2) de optelling is associatief
= 5x 2 + 3x – 12 + 2x 2 4x + 2 de optelling is commutatief
52 Kelner Tom neemt twee bestellingen op. Voor de eerste tafel noteert hij de tweeterm 3w + c De tweede tafel bestelt 2w + 2b + c.
a) Noteer als een bewerking van veeltermen wat de barman moet klaarmaken. Werk die bewerking uit.
b) Hoeveel euro moet Tom in totaal ontvangen?
Antwoordzinnen:
53 Ten voordele van het Rode Kruis verkoopt men op de speelplaats soep, appels en donuts. De organisatoren voorzien 50 kommen soep (s), 75 appels (a) en 60 donuts (d).
Tijdens de pauze verkopen ze 43 kommen soep, 72 appels en 54 donuts.
verkoopprijsinkoopprijs
s € 0,60€ 0,28
a € 0,50€ 0,35
d € 0,75€ 0,63
a)Noteer met een veelterm wat de organisatoren voorzien.
b)Noteer met een veelterm wat er verkocht werd.
c)Bepaal met een bewerking van veeltermen de hoeveelheid die de organisatoren over hebben. Werk die bewerking uit.
d)Hoeveel euro brengt de verkoopactie op?
54 Werk uit, herleid en rangschik.
a) (a 2 + 7) – (3a 2 + a – 4) = =
b)(5z – z 6 + 4) + (z 6 – 3z) = =
c)(–x 3 + 2x) – (2x 2 – 3x + 5) =
d)(8k – 7) + (9k 5 + 4k – 8) =
e)(–2y + 9) – (9y 7 – 5y 2 – 4) =
Inleiding
10 m
De afstand tussen elke netpaal stelt
Jorne voor door de letter a.
Jorne beschikt over een rechthoekig oefenterrein van 10 m breed. Hij heeft nooit de tijd gehad om de lengte te meten. Hij ziet wel dat er in de lengte vijf netpalen aan de rand van het oefenterrein op een gelijke afstand van elkaar staan.
Naast de netpalen staan nog drie kleine paaltjes van een houten afsluiting op het naburige oefenveldje op een gelijke afstand van telkens 3 m.
We berekenen de oppervlakte van het rechthoekige oefenterrein op twee manieren.
methode 1
Je berekent meteen de oppervlakte van het volledige oefenveld.
a) Schrijf de totale lengte van het volledige oefenterrein als een veelterm.
b) Hoeveel bedraagt de breedte van het terrein?
c) Schrijf de oppervlakte als het product van een veelterm en een eenterm.
methode 2
Je berekent de oppervlakte van het donkergroene terrein en telt die samen met de oppervlakte van het lichtgroene oefenterrein.
a) Schrijf de oppervlakte van het donkergroene oefenterrein als een eenterm.
b) Bereken de oppervlakte van het lichtgroene terrein.
c) Noteer de som van de verkregen oppervlaktes.
Werkwijze Om een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm:
• vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm;
• tel je de verkregen producten op.
Voorbeeld
6a (5a + 7)
= 6a ? 5a + 6a ? 7
= 30a 2 + 42a
Verklaring
de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling
vermenigvuldigen van eentermen
Oefeningen
REEKS A
55 Werk uit.
a) 2 (3a + 4) =
b) 5x (3x – 2) =
c) (6b – 7) 8 =
d) (2z + 4) 3z =
e) –5k ? (–2k – 9) =
f) –2m ? (3m 3 + 7) =
REEKS B
56 Werk uit en rangschik naar dalende machten.
a) 2x 3 (3x 2 – 7x) = =
b) –5y ? (2y 4 – 3y 2 + 8) = =
c) (4z + 5z 2 – 9) (–2z) = =
d) 0,5a 2 ? (–4a 3 + 2a – 6) = =
e) (8m 4 – 5m 3 – m) 7m = =
f) –5k ? (3k 2 – 4k – 3) = =
g) (–7b 4 + 3b 2 – 6b) ? (–8b 2) = =
57 Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.
a) 5 (3x + 2) – (5x – 7) = =
b) (3x – 1) ? 5 – 6 ? (x – 3) = =
c) 2a (6a – 5) – 3 (2a + 1) = =
d) –4b2 ? (2b – 4) – 2b ? 3b = =
e) (x 4 – x) 6x + (– 3x 4 + x 2 – 3) = =
58 Bereken de leeftijd van Silke.
Noteer de tussenstappen als lettervormen en werk de lettervormen uit.
a)Vermenigvuldig x met 5.
b)Tel er vervolgens 9 bij op.
c)Trek nu 9x af.
d)Bij de verkregen veelterm tel je 4x 2 – 5x – 5.
e)Vermenigvuldig nu met 2.
f) Bereken de getalwaarde van die veelterm voor x = -1 2 Zo vind je de leeftijd van Silke.
REEKS C
59 Werk uit.
a) a (b + 6) =
b)2a ? (a 2b + b) =
c)3x 2 y ? (2xy 2 – 4 + 2y) =
d)(yz + 5y – 3z2) ? 2yz =
e)5ab (–2a + 7b – 4a 2b) =
5.5.4 Een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm
Inleiding
m
Op het einde van de training organiseert Jorne nog een oefenwedstrijd. Hij bakent een rechthoekig veld af.
Voor de lengte neemt hij de afstand tussen de tweede en de vijfde netpaal en 3 m extra.
Voor de breedte stapt hij de afstand tussen de eerste en de derde netpaal af en neemt 2 m extra.
We berekenen de oppervlakte van het rechthoekige veld op twee manieren. methode 1 methode 2
Je berekent meteen de oppervlakte van het volledige veld.
Je neemt de som van de deeloppervlaktes van het veld.
a) Schrijf de totale lengte van het wedstrijdveld als een veelterm.
a) Schrijf de oppervlakte van de blauwe rechthoek als een eenterm.
b) Schrijf de oppervlakte van de gele rechthoek als een eenterm.
b) Schrijf de totale breedte van het wedstrijdveld als een veelterm.
c) Schrijf de oppervlakte van de rode rechthoek als een eenterm.
d) Schrijf de oppervlakte van de groene rechthoek als een eenterm.
c) Bepaal de totale oppervlakte van het veld als een product van veeltermen.
e) Noteer de totale oppervlakte van het veld als een veelterm.
Werkwijze Om een veelterm te vermenigvuldigen met een veelterm:
• vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm;
• tel je de verkregen producten op;
• herleid en rangschik je de verkregen veelterm.
Voorbeeld
= (6x + 4) 2x + (6x + 4) 5
= 12x 2 + 8x + 30x + 20
Verklaring
(6x + 4) ? (2x + 5) de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling herleiden en rangschikken
= 12x 2 + 38x + 20
Oefeningen
REEKS A
60 Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.
a) (2a + 7) (3a + 4) =
b) (–2x + 7) ? (8 + 2x) =
c) (6y – 4) ? (5y + 3) =
d) (2z + 4) (–2 + 4z) =
e) (5m – 3) (–2m + 7) =
REEKS B
61 Bereken de oppervlakte A van de volgende rechthoeken met behulp van het product van een eenterm en een veelterm. Werk die producten uit en vul de tekeningen aan.
x x 7
62 Een bedrijf maakt ramen met patronen in gekleurd glas. Omdat niet elk glas in een raam even groot moet zijn, hebben ze de afmetingen erbij gevoegd in lettervormen.
Bereken de oppervlakte van het glas.
4x 2 3x 3
63 Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.
a) (x – 4) ? (x 3 – 2x 2 + 6) = =
b)(y 2 – 3) (y 2 – 6y + 7) = =
c)(a 3 – 5a 2 + 2a) (3a 2 – 4) =
d)(–7x + 6) ? (2x 7 – 5x 5 – x 3) = =
64 Bepaal het volume V van een balk met lengte x + 5, breedte x + 4 en hoogte 4. 4 x + 4
+ 5
– 2
65 Bepaal de oppervlakte A van een balk met lengte x + 2, breedte x – 2 en hoogte 6. 6
+ 2
66 Werk elke oefening uit. De antwoorden staan in de rechterkolom. Met de gevonden letters vorm je een uitdrukking.
68 Bereken de oppervlakte A van de volgende rechthoek met behulp van het product van twee tweetermen. Werk die producten uit en vul de tekening aan. y 5 x 11
69 Bepaal het volume V van een balk met lengte x + 5, breedte x + 3 en hoogte y
+ 3
+ 5
70 Bepaal de oppervlakte A van een balk met lengte x + 5, breedte x + 3 en hoogte y. y x + 3
71 Werk uit en herleid als het kan. Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen.
72 Werk uit.
a) a m ? (a n + ap) =
b)2x a (5x b + 7) =
c)(2x 3 + x 2) ? (x m + 3x n) =
d)(–a 4 – af) (a 2d – a + 3a 4) =
73 Werk uit en herleid als het kan. a) b) c) d) e) (2x 2k + x 2g − 3x 2k) − (x 2
Eentermen en veeltermen zijn soorten algebraïsche vormen.
KUNNEN
De getalwaarde van lettervormen berekenen.
5.2 Eentermen
KENNEN
Een eenterm is een product van getal- en letterfactoren met natuurlijke exponenten.
Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.
KUNNEN
De coëfficiënt en het lettergedeelte van een eenterm bepalen.
Een eenterm zo eenvoudig mogelijk schrijven, rekening houdend met de gemaakte afspraken.
5.3 Rekenen met eentermen
KUNNEN
Gelijksoortige eentermen optellen en aftrekken.
Eentermen vermenigvuldigen.
Eentermen delen.
Machten met een natuurlijke exponent van een eenterm berekenen.
Machten met een natuurlijke exponent berekenen van eentermen waarin letterexponenten voorkomen.
5.4 Veeltermen
Een veelterm is een som van eentermen.
KUNNEN
Een veelterm herleiden betekent de gelijksoortige eentermen van de veelterm optellen.
Een veelterm rangschikken betekent de veelterm schrijven volgens de dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.
5.5 Rekenen met veeltermen
KUNNEN
Twee- en drietermen in één letter optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.
Een eenterm vermenigvuldigen met tweetermen en drietermen.
Twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.
Twee- en drietermen met eenvoudige letterexponenten optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.
Pienter Rekenen
Pienter Problemen Oplossen
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken
opsplitsen in deelproblemen
eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
1. Liam snijdt een appeltaart in stukken. De helft van de stukken geeft hij aan zijn zus. Van de andere helft geeft hij drie vierde aan zijn broer.
Daarna blijven nog drie stukken taart over. In hoeveel stukken heeft Liam de taart gesneden?
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren
logisch nadenken
2. Een trein vertrekt om 10:00 uur vanuit station A en rijdt met een constante snelheid van 120 km/h naar station B. Tegelijkertijd vertrekt een auto vanuit station B en rijdt met een constante snelheid van 80 km/h naar station A. De afstand tussen station A en station B is 300 km. Op welk tijdstip en op welke afstand van station A zullen de trein en de auto elkaar ontmoeten?
3. Olivia is afwezig voor de toets Frans. De overige 20 leerlingen van de klas maken de toets en behalen een gemiddelde van 60 %. Olivia haalt de toets later in en hierdoor stijgt het gemiddelde van de klas met 1 %.
Hoeveel procent behaalde Olivia voor haar toets Frans?
4. Ontdek het patroon en vul het ontbrekende getal in.
HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN
6.1.1
Inleiding
Op de foto’s herken je figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben. Die figuren noem je congruente figuren
Waar herken je nog congruente figuren in je omgeving?
6.1.2 Definitie
Definitie Congruente figuren
Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.
Notatie: F1 ≅ F2 Lees:
Congruent is afgeleid van het Latijn ‘congruens’, wat zoveel betekent als ‘passend, samenhorend’.
Het symbool ≅ werd voor het eerst gebruikt door de Duitse filosoof en wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).
6.1.3 Congruente figuren door spiegeling, verschuiving en rotatie
Een congruente figuur ontstaat door een transformatie: een spiegeling, een verschuiving, een rotatie, een puntspiegeling.
r congruent r niet congruent r congruent r niet congruent b)
r congruent r niet congruent r congruent r niet congruent
2 Kleur bij de mozaïeken alle congruente figuren in eenzelfde kleur.
3 Duid op de foto een veelhoek aan die congruent is met de aangeduide veelhoek.
Pentomino’s zijn vormen die ontstaan door vijf vierkanten tegen elkaar te plaatsen.
Hiernaast zie je alle mogelijke pentomino’s.
4 Maak met de vier gegeven pentomino’s twee congruente figuren. Gebruik twee pentomino’s voor de eerste figuur en de twee andere voor de tweede figuur.
5 Verdeel de figuren in vier congruente figuren.
6 Door welke transformatie kan F naar F verplaatst worden?
7 Waarom zijn de smileys niet congruent? a) b)
REEKS C
8 Congruente vierhoeken in ruimtefiguren
a) Welk soort ruimtefiguren herken je?
b) Welke vlakke figuren zijn congruent?
9 Door welke transformatie kan F1 naar F2 verplaatst worden?
Noteer die transformatie. Maak de nodige aanduidingen op de figuur. a) b)
transformatie: notatie: transformatie: notatie:
10 Door welke combinatie van transformaties wordt F1 afgebeeld op F5? Duid de transformaties aan en vind het sleutelwoord.
Sleutelwoord:
11 Noteer de combinatie van twee transformaties waardoor F1 op F3 wordt afgebeeld.
6.2 Overeenkomstige hoeken en zijden
6.2.1 Inleiding
Om een ontbrekend stuk in de puzzel te passen, moet het stuk congruent zijn met de opening in de legpuzzel.
Je moet er bovendien voor zorgen dat je het stuk op de juiste manier in de legpuzzel inpast.
6.2.2 Overeenkomstige hoeken
De twee vierhoeken zijn congruent. Duid de overeenkomstige hoeken bij de vierhoeken aan.
Vaststelling
Meet de overeenkomstige hoeken. Wat stel je vast?
Overeenkomstige hoeken in congruente figuren zijn even groot.
Afspraak: we noteren de figuren volgens de overeenkomstige hoeken. ≅
6.2.3 Overeenkomstige zijden
De twee vierhoeken zijn congruent. Duid de overeenkomstige zijden bij de vierhoeken aan.
Vaststelling
Meet de overeenkomstige zijden. Wat stel je vast?
Overeenkomstige zijden in congruente figuren zijn even lang.
REEKS A
12 Verbind de overeenkomstige hoeken en zijden bij de congruente vijfhoeken.
13 Noteer de congruente figuren. Benoem ze volgens de afspraak.
vierhoek is congruent met vierhoek
14 Twee ruiten van de wagen moeten vervangen worden.
Bepaal de ruiten die congruent zijn met de ruiten van de auto.
Noteer van de congruente vierhoeken de overeenkomstige hoeken en zijden.
Benoem de vierhoeken volgens de afspraak.
BCFG ADEH
vierhoek ABCD ≅ vierhoek
overeenkomstige hoeken
overeenkomstige zijden
vierhoek EFGH ≅ vierhoek
overeenkomstige hoeken overeenkomstige zijden
15 Pieter en Jolien moeten de congruente trapezia noteren volgens de afspraak van de overeenkomstige hoekpunten. Hieronder zie je de antwoorden van Pieter en Jolien. Wie heeft de correcte oplossing?
W MR A
O KD U
Antwoord Pieter: WARM ≅ OUDK
Antwoord Jolien: WARM ≅ UOKD
r Pieter heeft het juist.
r Jolien heeft het juist.
r Beiden hebben het juist.
r Beiden hebben het fout.
16 Teken driehoek ABC met | AB | = 5 cm, | BC | = 7 cm en | AC | = 9 cm. M is het midden van [AB ], N is het midden van [AC ] en P is het midden van [BC ]. Verbind de middens. Noteer de congruente driehoeken.
REEKS C
17 Teken de diagonalen van de vierhoek ABCD. Noem het snijpunt S. Noteer alle congruente driehoeken die daardoor ontstaan.
6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken
6.3.1
Congruente driehoeken
Welke driehoeken zijn congruent?
Welke hoeken zijn even groot?
Welke zijden zijn even lang?
Definitie Congruente driehoeken
Congruente driehoeken zijn twee driehoeken waarvan de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden even lang zijn.
Notatie: ABC ≅ A9B9C9
In symbolen:
6.3.2 Op onderzoek
Je moet een driehoek tekenen die congruent is met een gegeven driehoek. Dat kun je door gegevens te meten en af te passen. Met de onderstaande opdracht bepaal je het minimumaantal gegevens dat je daarvoor nodig hebt.
Gegeven: driehoek TAM
GEOGEBRA T 9 M 9
Twee gegevens: | TM | = | T9M9 | en T ∧ = T ∧ 9
Teken een driehoek T9A9M9 met zijde [T9M9 ] en hoek T ∧ 9
TM T 9 M 9
Is T9A9M9 altijd congruent met TAM?
Eén gegeven:
| TM | = | T9M9 |
Teken een driehoek T9A9M9 met zijde [T9M9 ]
Is T9A9M9 altijd congruent met TAM?
Drie gegevens: | TM | = | T9M9 |, T ∧ = T ∧ 9 en | TA | = | T9A9 |
Teken een driehoek T9A9M9 met zijde [T9M9 ], hoek T ∧ 9 en zijde [T9A9 ]. T 9 A 9 M 9
Is T9A9M9 altijd congruent met TAM?
Met drie goedgekozen gegevens heb je twee congruente driehoeken kunnen tekenen. Dat is een congruentiekenmerk van driehoeken.
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als twee paar overeenkomstige zijden even lang en de ingesloten hoeken even groot zijn.
In symbolen:
Congruentiekenmerk HZH
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als een paar overeenkomstige zijden even lang is en de aanliggende hoeken even groot zijn.
In symbolen:
Congruentiekenmerk Zijde Zijde Zijde (ZZZ)
Congruentiekenmerk Zijde Zijde 90° (ZZ 90°)
Congruentiekenmerk ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als drie paar overeenkomstige zijden even lang zijn.
In symbolen:
Congruentiekenmerk ZZ 90°
Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als en slechts als een paar overeenkomstige rechthoekszijden even lang is en de schuine zijden even lang zijn.
In symbolen:
REEKS A
18 Volgens welk congruentiekenmerk zijn de driehoeken congruent?
r ZHZ r ZZZ
r HZH r ZZ 90°
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90° b) d) f)
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
19 Plaats de nodige merktekens, zodat de driehoeken TOP en DAL congruent zijn volgens het gegeven congruentiekenmerk.
a) ZZZ b) ZHZ c) HZH
20 Volgens welk congruentiekenmerk zijn de driehoeken congruent?
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90° r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90° r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
21 Vul in.
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90° r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
22 Kun je aan de hand van de gegevens op de tekening besluiten dat de driehoeken congruent zijn? Verklaar je antwoord.
a)
r De driehoeken zijn zeker congruent.
r De driehoeken zijn niet noodzakelijk congruent.
b)
r De driehoeken zijn zeker congruent.
r De driehoeken zijn niet noodzakelijk congruent.
23 Weet de timmerman met de volgende gegevens genoeg om het houten raam te maken? Verklaar je antwoord.
a) Het driehoekige houten kader heeft twee zijden van 120 cm en een zijde van 170 cm.
r voldoende gegevens r onvoldoende gegevens
Verklaring:
b) Het driehoekige houten kader heeft een zijde van 120 cm, een zijde van 170 cm en een hoek van 88°.
r voldoende gegevens r onvoldoende gegevens
Verklaring:
24 Je krijgt voor twee driehoeken ABC en DEF de volgende gegevens. Zijn die driehoeken altijd congruent? Zo ja, volgens welk kenmerk? Geef ook de juiste notatie voor de congruente driehoeken.
gegevens congruent? kenmerk?
a)
r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
d) A ∧ = 45° | AC | = 4 cm C ∧ = 58° D ∧ = 58° | DE | = 4 cm E ∧ = 45° r ja r nee ≅ r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90° e) A ∧ = 90° | AC | = 10 cm | AB | = 8 cm F ∧ = 90° | DF | = 10 cm | EF | = 8 cm r ja r nee ≅ r ZHZ r ZZZ r HZH r ZZ 90°
REEKS C
25 ABC ≅ PQR, A ∧ = P ∧ = 90° en | AB | = | PQ |.
Bepaal het ontbrekende gegeven en vermeld het congruentiekenmerk. Geef alle mogelijkheden.
≅ PQR ⇕
≅ PQR ⇕
6.4 Congruente driehoeken tekenen
6.4.1
Inleiding
GEOGEBRA
De Bermudadriehoek is een denkbeeldige driehoek tussen Miami, de Bermuda-eilanden en Puerto Rico in het westelijke deel van de Atlantische Oceaan. Het gebied werd in het midden van de twintigste eeuw bekend omdat er op mysterieuze wijze boten en vliegtuigen verdwenen. Er bestaan tal van bovennatuurlijke, maar ook wetenschappelijke verklaringen voor dat fenomeen.
Teken de Bermudadriehoek ABC van kaart 1 over op kaart 2. Je mag enkel je passer en liniaal gebruiken.
Welk congruentiekenmerk heb je gebruikt bij het overtekenen van de driehoek?
Vaststelling Congruentiekenmerken
Je kunt de congruentiekenmerken bij driehoeken gebruiken om driehoeken over te tekenen.
6.4.2
Voorbeeld
Teken een driehoek POT die congruent is met de driehoek DAM Gebruik daarbij de gegevens die op de tekening zijn aangeduid.
GEOGEBRA
Welk congruentiekenmerk heb je gebruikt bij het overtekenen van de driehoek?
Bahama's
Bahama's
FLORIDA
Oefeningen
REEKS A
26 Teken een driehoek DEF die congruent is met de driehoek ABC Vermeld het congruentiekenmerk dat je daarvoor gebruikt.
GEOGEBRA
27 Teken DEF zodat DEF ≅ ABC. Gebruik het aangeduide congruentiekenmerk. Vul de gegevens in die je gebruikt.
GEOGEBRA
28 Teken twee driehoeken met de gegevens. Zijn de driehoeken altijd congruent? Verklaar je antwoord.
a) | AB | = 3 cm, | BC | = 5 cm en B ∧ = 50° | A9B9 | = 3 cm, | B9C9 | = 5 cm en B ∧ 9 = 50°
b) | AB | = 6 cm, | BC | = 4 cm en A ∧ = 30° | A9B9 | = 6 cm, | B9C9 | = 4 cm en A ∧ 9 = 30°
Driehoeken ABC en A9B9C9 zijn zeker congruent. r ja r nee
Verklaring:
Driehoeken ABC en A9B9C9 zijn zeker congruent. r ja r nee
Verklaring:
29 Teken de Polynesische driehoek over op de tweede landkaart. Vermeld het congruentiekenmerk dat je daarvoor gebruikt.
Solomon Eil. Nauru Kiribati Hawaii
Wallis Futuna Vanuatu
Nieuw-Caledonië Fiji
Tuvalu Tokelan
Verenigde Staten evenaar
Zuid-Amerika
Tahiti
Paaseiland Cook Eil. Tonga
Nieuw-Zeeland
Solomon Eil. Nauru Kiribati Hawaii
Wallis Futuna Vanuatu
Nieuw-Caledonië Fiji
Tuvalu Tokelan
Verenigde Staten evenaar
Tahiti
Paaseiland Cook Eil. Tonga
Nieuw-Zeeland
congruentiekenmerk:
Zuid-Amerika
30 Teken twee driehoeken met de volgende gegevens:
| AB | = 47 mm, | BC | = 62 mm en A ∧ = 90°
| A9B9 | = 47 mm, | B9C9 | = 62 mm en A ∧ 9 = 90°
Zijn de driehoeken ABC en A9B9C9 zeker congruent? Verklaar je antwoord.
REEKS C
31 Vul het ontbrekende gegeven in en teken zo een driehoek A9B9C9 die congruent is met driehoek ABC, en een driehoek A B C die niet congruent is met driehoek ABC
congruent niet congruent = 67° = 67°
6.5 Bewijzen met congruentiekenmerken
Aan de hand van de congruentiekenmerken en wiskundige eigenschappen kun je bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn.
6.5.1
Modeloefening 1
tekening
vierhoek GRAP met | GR | = | GP | en | RA | = | PA |
GRA ≅ GPA
bewijs GRA GPA verklaring Z = Z = Z =
besluit
Volgens kenmerk ZZZ is GRA ≅ GPA.
6.5.2 Modeloefening 2
We bewijzen dat de diagonaal van een parallellogram dat parallellogram altijd in twee congruente driehoeken verdeelt.
AD ⊥ AB en BC ⊥ AB | AD | = | BC | ABD ≅ BAC ABD BAC verklaring
besluit
Volgens kenmerk is ≅
33 Bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
is bissectrice van B A ∧ C
bewijs besluit
kenmerk
34 In een gelijkbenige driehoek verdeelt de hoogtelijn uit de tophoek de driehoek in twee congruente driehoeken. Bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
gelijkbenige driehoek BED : | BE | = | ED | EL is de hoogtelijn vanuit de tophoek E ∧
bewijs besluit
Volgens kenmerk is
REEKS C
tekening gegeven
verklaring
te bewijzen
35 In een gelijkbenige driehoek verdeelt de zwaartelijn uit de tophoek de driehoek in twee congruente driehoeken. Bewijs. MOL : | MO | = | OL | verklaring
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is
6.5.3 Bewijzen dat twee zijden even lang zijn of twee hoeken even groot zijn
Voorbeeld
Een vlieger is een vierhoek met twee paar opeenvolgende zijden met dezelfde lengte.
Bewijs dat in een vlieger twee overstaande hoeken even groot zijn.
• stap 1: Je maakt een tekening en noteert wat gegeven en wat te bewijzen is. Op de tekening duid je twee driehoeken aan waarvan je kunt bewijzen dat ze congruent zijn.
tekening gegeven te bewijzen bewijs
L VA M vlieger VLAM
• stap 2: Je noteert het bewijs waarmee je aantoont dat de driehoeken congruent zijn. verklaring
• stap 3: Eens je bewezen hebt dat de driehoeken congruent zijn, kun je besluiten dat alle overeenkomstige zijden van die driehoeken even lang zijn. Ook alle overeenkomstige hoeken van de driehoeken zijn even groot. Dat volgt uit de definitie van congruente driehoeken.
besluit
Volgens kenmerk is
Oefeningen
REEKS B
36 Bewijs.
tekening gegeven
bewijs
te bewijzen
vierhoek KROM R ∧ 1 = R ∧ 2 M ∧ 1 = M ∧ 2 | KR | = | OR | verklaring
besluit def. ≅
kenmerk is
37 Bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
cirkel met middelpunt B A, C, D en E liggen op de cirkel.
AC| = |DE| verklaring
besluit
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
verklaring
besluit def. ≅
Volgens kenmerk is
39 Bewijs dat de hoeken tussen de spaken van het reuzenrad even groot zijn.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
kenmerk
40 In de tweede eeuw na Christus bedacht de Romeinse landmeter Marcus Junius Niptus een methode om de breedte van een rivier te meten zonder die over te steken.
Bewijs dat Junius Niptus met zijn methode de juiste breedte van de rivier kon bepalen.
tekening
Hij ging als volgt te werk:
• Op de oever aan de overkant koos hij een herkenningspunt, bijvoorbeeld een boom (punt A).
Daarna plaatste hij op zijn oever een stok (punt B), zodat het denkbeeldige lijnstuk [AB ] loodrecht op zijn oever stond.
• Daarna plaatste hij vanaf de stok 10 m verder langs dezelfde oever een wijnvat (punt C).
Nog eens 10 m verder plaatste hij een mijlsteen (punt D).
• Vanaf de mijlsteen ging hij loodrecht van de oever weg, tot hij de boom en het wijnvat op één rechte lijn zag.
Daar plaatste hij een stokje (punt E).
De afstand van dat stokje tot de mijlsteen was de breedte van de rivier.
gegeven te bewijzen bewijs besluit
41 Bewijs dat de muurtjes even hoog zijn.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
T is het midden van [PK ] | TU | = | TA | verklaring
besluit def. ≅
Volgens kenmerk is
REEKS C
42 Vul de tekening aan en bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
ABC
AM is zwaartelijn in ABC
P is het voetpunt van de loodlijn uit B op AM
Q is het voetpunt van de loodlijn uit C op AM
| CQ | = | BP |
bewijs
besluit
6.6 Even grote hoeken
6.6.1
Constructie
Construeer met passer en liniaal een hoek B ∧ die even groot is als de hoek A ∧
Werkwijze
stap 1: Teken een boog met middelpunt A die beide benen van A ∧ snijdt.
stap 2: Noem de snijpunten P en Q
stap 3: Teken met dezelfde passeropening een boog met middelpunt B die het eerste been van B ∧ snijdt.
stap 4: Noem het snijpunt R
stap 5: Pas | QP | af vanuit R op de boog die je laatst tekende.
stap 6: Noem het snijpunt van de bogen S
stap 7: Teken [BS, het tweede been van B ∧
Welk congruentiekenmerk gebruik je om een hoek te construeren die even groot is als een gegeven hoek?
6.6.2 Bewijs
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Oefeningen
REEKS A
43 Construeer met passer en liniaal B ∧ , die even groot is als A ∧
REEKS B
44 Construeer DEF, zodat ABC ≅ DEF Gebruik het aangeduide congruentiekenmerk. Vul de gegevens in die je gebruikt.
6.7 Middelloodlijn van een lijnstuk
6.7.1 Even herhalen
Definitie Middelloodlijn van een lijnstuk
De middelloodlijn van een lijnstuk is
6.7.2 Eigenschap
Op kamp organiseert de leiding een spel met kegels. Wanneer een leider een letter roept, moeten Tom en Stef zo snel mogelijk naar de kegel met die letter lopen. Om het spel eerlijk te laten verlopen, plaatst de leiding de kegels op de middelloodlijn van [ST ]
Meet de afstanden van beide lopers tot de kegels.
Waarom verloopt het spel eerlijk als de leiders de kegels op de middelloodlijn van het lijnstuk [ST ] plaatsen?
Eigenschap Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk
tekening gegeven te bewijzen
m is middelloodlijn van [ST ] A behoort tot m. | AS | = | AT |
bewijs
besluit
6.7.3 Omgekeerde eigenschap
Lisa huurt een huisje in het vakantiedomein
Dolblij. De huisjes A, B, C, D, E, F, G en H zijn nog beschikbaar. Lisa wil dat het huisje in vogelvlucht even ver van de toiletten (T) als van de speeltuin (S) verwijderd is.
Uit welke huisjes kan Lisa haar keuze maken?
Verbind de punten van de huisjes die aan Lisa9s voorwaarde voldoen.
Teken de middelloodlijn van [ST ]. Wat stel je vast?
Elk punt dat even ver ligt van de grenspunten van een lijnstuk,
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
6.7.4 Kenmerk van de middelloodlijn
De eigenschap en de omgekeerde eigenschap worden samengevat in één kenmerk.
Kenmerk Middelloodlijn van een lijnstuk
Een punt behoort tot de middelloodlijn van een lijnstuk als en slechts als het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk.
In symbolen: A ∈ middelloodlijn van [ST ] ⇔
6.7.5 Constructie van de middelloodlijn
Constructie
stap 1 stap 2 stap 3
Werkwijze
stap 1: Kies een passeropening, groter dan de helft van het lijnstuk. Teken een passerboog met middelpunt A boven en onder het lijnstuk.
stap 2: Teken met dezelfde passeropening een boog met middelpunt B boven en onder het lijnstuk. Noem de snijpunten van de bogen P en Q.
stap 3: Teken PQ, de middelloodlijn van [AB ]
Verklaring
De punten P en Q liggen even ver van de grenspunten A en B
⇓ (kenmerk middelloodlijn)
P en Q behoren tot de middelloodlijn van [AB ]
⇓ (twee punten bepalen een rechte)
PQ is dus de middelloodlijn van [AB ]
Voorbeelden
Construeer de middelloodlijn van het gegeven lijnstuk.
Oefeningen
REEKS A
45 Construeer met passer en liniaal de middelloodlijn van [AB ]
REEKS B
46 Construeer de middellijn van het sportveld.
47 Verdeel, zonder te meten, de lasagne in acht gelijke stukken.
48 Yoeri en Katleen zoeken een woonplaats die in vogelvlucht even ver van Leest als van Aartselaar ligt. In welke van de plaatsen die met een rode stip zijn aangeduid, kan het koppel zich vestigen?
Bepaal het antwoord zonder te meten.
49 In de tuin wil Yasin een boom planten, zodat de boom op gelijke afstand staat van de drie bomen die er al staan. Construeer de positie van de boom die Yasin plant.
Bepaal de werkelijke afstand van de nieuwe boom tot de drie bestaande bomen.
50 De omgeschreven cirkel van een driehoek.
Gegeven: ABC
a) Construeer het punt M dat op gelijke afstand ligt van de drie hoekpunten van de driehoek.
b) Teken een cirkel met middelpunt M die door de drie hoekpunten van de driehoek gaat. Deze cirkel die door de drie hoekpunten van een driehoek gaat, noem je de omgeschreven cirkel van de driehoek
c) Construeer de omgeschreven cirkel van DEF
C
51 Hieronder wordt de constructie van een loodlijn door een gegeven punt op een gegeven rechte voorgesteld. Verklaar de constructie.
Constructie van de loodlijn door het punt P op de rechte a:
stap 1: Teken met een passeropening, groter dan de afstand van het punt tot de rechte, twee bogen met middelpunt P die de rechte a snijden. Noem de snijpunten R en S
stap 2: Teken onder de rechte a een boog met middelpunt R en straal |RP|.
stap 3: Teken met dezelfde passeropening onder de rechte a een boog met middelpunt S Het snijpunt van de bogen noem je Q PQ is de loodlijn door het punt P op de rechte a
stap 1 stap 2 stap 3
Verklaring van de constructie:
52 Construeer het punt B zodat m de middelloodlijn is van [AB ]. Verklaar de constructie.
Verklaring van de constructie:
6.8 Bissectrice van twee snijdende rechten
6.8.1 Even herhalen
Definitie Bissectrice van een hoek
De bissectrice of deellijn van een hoek is
6.8.2
Een bissectrice van een paar snijdende rechten
Definitie Bissectrice van een paar snijdende rechten
Een bissectrice (of deellijn) van een paar snijdende rechten is een bissectrice van een hoek gevormd door de snijdende rechten.
6.8.3
Eigenschap
Bij een spel met kegels op kamp moeten twee jongeren vanaf eenzelfde kegel zo snel mogelijk naar een verschillende aardeweg lopen. Om het spel eerlijk te laten verlopen, plaatst de leiding de kegels op de bissectrice van de hoek gevormd door de aardeweggetjes.
Op de tekening zie je dat de leiders de kegels op de bissectrice van BO ∧ S plaatsen. Meet de afstanden van de kegels tot elke aardeweg.
f aardeweg
Eigenschap
Waarom plaatsen de leiders de kegels op de bissectrice van BO ∧ S?
Elk punt van een bissectrice van een paar snijdende rechten
In symbolen: P ∈ bissectrice van f en g (f g) ⇒
bewijs
besluit
6.8.4 Omgekeerde eigenschap
P behoort tot b. b is bissectrice van de rechten f en g (f g).
BO ∧ P = SO ∧ P
d(P, g) = | PQ |
d(P, f ) = | PR | | PQ | = | PR |
te bewijzen
De tuinman moet bomen planten. Elke boom moet even ver van beide graspaadjes staan.
Eigenschap Elk punt dat even ver ligt van twee snijdende rechten,
Welke bomen heeft de tuinman op de juiste plaats gezet?
Verbind de bomen die op de juiste plaats staan.
Teken de bissectrice van de hoek gevormd door de graspaden f en g Wat stel je vast?
54 Construeer de snijlijn om het stuk pizza in twee gelijke stukken te verdelen.
Verdeel in gelijke stukken. Maak enkel gebruik van je passer en liniaal.
b)in acht gelijke stukken
56 Construeer de bissectrices van de snijdende rechten.
Hoeveel bissectrices worden bepaald door twee snijdende rechten?
Wat is de onderlinge ligging van de deellijnen van twee snijdende rechten?
57 Bepaal, zonder te meten, de kleinste hoek tussen de bissectrices p en q.
58 Een gsm-operator wil een gsm-mast plaatsen die even ver ligt van beide wegen. Op welke van de aangeduide punten kan de gsm-operator de mast plaatsen?
Bepaal het antwoord zonder te meten.
59 Bepaal het punt waar Joop een boom moet planten, als die boom op gelijke afstand moet staan van de tuinpaden (t en p). De boom moet ook op 5 m van het snijpunt S staan.
60 De ingeschreven cirkel van een driehoek.
Gegeven: ABC
a) Construeer het punt M dat op gelijke afstand ligt van de drie zijden van de driehoek.
b) Teken een loodlijn vanuit het punt M, loodrecht op AC Het snijpunt van deze loodlijn met AC noem je V
c) Teken een cirkel met middelpunt M en straal |MV |. Deze cirkel raakt aan de drie zijden van de driehoek. De cirkel die aan de drie zijden van een driehoek raakt, noem je de ingeschreven cirkel van de driehoek
d) Construeer de ingeschreven cirkel van DEF
61 Bepaal de plaats van de punten die even ver liggen van a en b en even ver van A en B.
62 In een driehoekige houten plank moet Lien een gaatje boren dat even ver ligt van de drie zijden van de houten plank. Construeer de plaats waar Lien het gaatje moet boren.
REEKS C
63 Bissectrices van nevenhoeken staan loodrecht op elkaar. Toon aan met een figuur en verklaar. figuur verklaring
STUDIEWIJZER Congruente figuren
6.1 Congruente figuren
KENNEN
Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.
Een congruente figuur ontstaat door een transformatie: een spiegeling, een verschuiving, een rotatie, een puntspiegeling.
Een congruente figuur kan ontstaan door een combinatie van verschillende transformaties.
Congruente figuren herkennen.
KUNNEN
Transformatie herkennen waardoor een figuur op een congruente figuur verplaatst wordt.
Combinatie van transformaties herkennen waardoor een figuur op een congruente figuur verplaatst wordt.
6.2 Overeenkomstige hoeken en zijden
KENNEN
Overeenkomstige hoeken in congruente figuren zijn even groot.
Overeenkomstige zijden in congruente figuren zijn even lang.
KUNNEN
Overeenkomstige hoeken en zijden in congruente figuren aanduiden.
Congruente veelhoeken benoemen volgens de overeenkomstige hoeken.
6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken
Congruente driehoeken zijn twee driehoeken waarvan de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden even lang zijn.
Congruentiekenmerk ZHZ
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als twee paar overeenkomstige zijden even lang en de ingesloten hoeken even groot zijn.
Z |
Z
Congruentiekenmerk ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als drie paar overeenkomstige zijden even lang zijn.
Z | AB | = | A9B9 |
Z
Z
Congruentiekenmerk HZH
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als een paar overeenkomstige zijden even lang is en de aanliggende hoeken even groot zijn.
H A ∧ = A ∧ 9
Z | AC | = | A9C9 | ⇔ ABC ≅ A9B9C9
H
Congruentiekenmerk ZZ 90°
KENNEN
Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als en slechts als een paar overeenkomstige rechthoekszijden even lang is en de schuine zijden even lang zijn.
1.De groene weg en de zwarte weg vormen samen zeven gelijkzijdige driehoeken.
De lengte van de groene weg is 20 km.
Hoe lang is de zwarte weg?
A) o 25 kmB) o 30 kmC) o 35 kmD) r 40 kmE) o 45 km
2.Op tafel liggen de volgende drie kaarten: 989
Door ze te verplaatsen en te draaien, kun je verschillende getallen vormen, zoals 989, 998 en 689. Hoeveel getallen kun je zo met die kaarten maken?
A) o 6 B) o 9 C) r 12 D) o 15E) o 18
3.Lies spreekt met haar vriendinnen een namiddag af.
De 12 meisjes eten gemiddeld 1,5 cupcakes.
Er zijn 2 meisjes die geen enkele cupcake eten.
De anderen eten 1 of 2 cupcakes.
Hoeveel meisjes eten juist 2 cupcakes?
A) r 2 B) r 5 C) r 6 D) r 7 E) r 8
4.Een kubus is opgebouwd uit 27 identieke kubusjes.
Hoeveel kubusjes moet je minstens wegnemen, opdat de oppervlakte van het bouwwerk kleiner kan worden?
A) r 1B) r 2 C) r 3 D) r 4 E) r 6
HOOFDSTUK 7 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES
7.1 Gelijkheden
7.2 Vergelijkingen
7.3 Formules
Studiewijzer
Pienter Problemen Oplossen
Herhalingsoefeningen
7.1 Gelijkheden
7 + 9 = 16 6 3 = 18
5 + 7 = 15 – 3 3 2 = 4 + 2
32 = 64 : 2 16 : 4 = 8 – 4
Al deze uitspraken noem je gelijkheden Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.
Benamingen
Een gelijkheid bestaat uit twee delen:
5 + 7 ⏟ eerste lid linkerlid = 15 – 3 ⏟ tweede lid rechterlid
Eigenschap 1
5 + 7 = 15 – 3 en (5 + 7) + 8 = (15 – 3) + 8
Eigenschap Gelijkheid met termen
Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.
Vaststelling Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.
Oefeningen
REEKS A
1 Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a) 7 + = 23 c) : 4 = 13
– 8 = 17 d) 35 – = 8
REEKS B
2 Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt.
–14 + = 9
(–7) = 84
65 : = –5
3 Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt.
REEKS C
4 Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. Formuleer de gebruikte eigenschap. eigenschap a) 7 + = 3 + 4 + 8 b) 3 4 ( 1 2 + 3 2 ) = 3 4 (1 + ) c) 2 8 –3 4 = 4 –3 4
: (–8) = 12
7.2 Vergelijkingen
7.2.1 Vergelijkingen
Definitie Vergelijking
Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal.
Meestal gebruik je de letter x om het onbekende element voor te stellen.
Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt.
De vergelijking x + 3 = 8 heeft als oplossing x = 5, omdat 5 + 3 = 8.
7.2.2 Vergelijkingen oplossen
Vergelijkingen van de vorm x + a = b
Werkwijze Overbrengen van termen
Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.
+ a = b wordt x = b – a x – a = b wordt x = b + a
Vergelijkingen van de vorm a x = b (a ≠ 0)
Werkwijze Overbrengen van factoren
Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.
x a = b wordt x = b : a
x : a = b wordt x = b a
Vergelijkingen van de vorm a x + b = c (a ≠ 0)
Werkwijze Vergelijkingen a x + b = c (a ≠ 0) oplossen
1) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid.
2) Reken dat lid uit.
3) Breng de bekende factor naar het andere lid.
4) Bereken de onbekende.
Voorbeelden
a) x – 5 = –12
Voorbeeld
x + 6 = 18
Controle:
Voorbeeld
3 x = 27
Controle:
Voorbeeld
4 x + 5 = 37
Controle:
Controle: b) –6 x = 42 Controle: c) x 2 – 7 = 11 Controle:
7.2.3 Vraagstukken oplossen met een vergelijking
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2
Na een korting van € 15 kost je nieuwe T–shirt nog € 38. Hoeveel kostte het T–shirt eerst?
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
Op een fuif krijgt Nabil voor € 15 zes drankjes. Hoeveel kost één drankje?
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
• controle
• antwoordzin
Voorbeeld 3
Tijdens een optocht in een safaripark zie je een stoet olifanten. Elke olifant houdt de staart van de vorige vast. In het midden van de stoet is er een bord van 7 m vastgemaakt aan de staart van de ene olifant en de slurf van de volgende. Elke olifant is 3 m lang. Hoeveel olifanten lopen er mee als de hele stoet 31 m lang is?
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
REEKS A
5 Los de vergelijkingen op.
a) x + 5 = 18
e) –7 + x = –1
i) x 3 = –15
Controle:
b) x – 11 = 24
Controle:
f) 2 x = –38
Controle:
j) 8 = x + 4
Controle:
c) 7 x = 56
Controle:
g) x 5 = 15
Controle:
k) –17 + x = –41
Controle:
d) x : 4 = 12
Controle:
h) 14 + x = –5
Controle:
l) x 7 = –14
Controle:
Controle:
Controle:
6 Noteer als een vergelijking.
a) Als je een getal vermeerdert met 12 verkrijg je 65.
b) Het zesvoud van een getal is 45.
c) Het dubbel van een getal, vermeerderd met 4, is 38.
d) De helft van een getal is 98.
e) Als je een getal met vier vermenigvuldigt en er drie bij optelt, krijg je 19.
f) Het verschil tussen het drievoud van een getal en 6 is 13.
g) Verminder je de helft van een getal met 8, dan verkrijg je 86.
h) De som van een getal en zijn helft is 24.
i) Tel je bij het vijfvoud van een getal de helft van dat getal op, dan verkrijg je 48.
j) Met een korting van 12 euro kost een trui nog 54 euro.
k) Voor een karton met 24 flesjes frisdrank betaalt Joren 18 euro.
l) Voor een fles frisdrank van 3 euro en een aantal taartjes van 2 euro betaalt Silke 11 euro.
7 Los op met een vergelijking.
a) Vermeerder je een getal met 12, dan verkrijg je 37. Bepaal dat getal.
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
b) Het drievoud van een getal is 54. Bepaal dat getal.
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
8 Los de vergelijkingen op.
a) –3x = 24
c) –x + 3 = 14
e) 11x = 42
Controle:
b) x : (–5) = 10
Controle:
d) x – 6 = –12
Controle:
f) 8x = 14
Controle:
9 Los de vergelijkingen op.
a) 2x + 1 = 7
Controle:
Controle:
Controle:
b) 2x – 4 = 14
Controle:
c) 9x – 12 = 69
Controle: e) 5x – 2 = 13
Controle:
d) 15 + 3x = 36
Controle: f) 3x + 18 = 51
Controle:
Los de vergelijkingen
a) 7x + 3 = 18
Controle: c) x 6 + 3 = 2
Controle: b) –2x + 9 = –31
Controle: e) –7 = 3x + 5
Controle: d) 23 – 4x = 21
Controle:
–x 2 + 1 = –5
Controle:
11 Los de vergelijkingen op. Verbind de vergelijkingen die dezelfde oplossing hebben.
oplossing oplossing
12 Los op met een vergelijking.
a) Als je een getal vermindert met 36, verkrijg je –15. Wat is dat getal?
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
b) In een driehoek is een hoek 38° en een andere hoek 55°. Bepaal de grootte van de derde hoek.
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
c) Voor een activiteit verdeelt de leiding van de jeugdbeweging de deelnemers in groepjes van 6. Er zijn precies 12 groepjes. Hoeveel deelnemers zijn er?
d) Een rechthoek is 15 m lang. Hoeveel meter is de breedte, als de oppervlakte 90 m 2 bedraagt?
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
13 Los de vergelijkingen op.
a) 0,5x – 3,2 = 4,8 b) 5,26 – 3x = 28,36 c) 5,1 = 1,8 + 0,3x
14 Het negenvoud van een getal verminderd met 14 is –32. Wat is dat getal?
Antwoordzin:
15 Bepaal telkens de massa (in kg) van één goudklomp. Stel voor elke balans een vergelijking op en los die op. a)
vergelijking:
vergelijking oplossen: weegt
vergelijking:
vergelijking oplossen: weegt
16 Als je de helft van een getal met 9 vermindert, krijg je –47. Wat is dat getal?
Antwoordzin:
17 Voor elke deling met natuurlijke getallen geldt D = d q + r. Bereken met behulp van een vergelijking het quotiënt (q), als je weet dat het deeltal (D) 1 029 is, de deler (d) 14 is en de rest (r) 7 is.
Antwoordzin:
18 Een plank van 2,30 m zaag je in zeven gelijke stukken. Je houdt nog 6 cm over. Hoe lang zijn de gelijke stukken?
Antwoordzin:
7.2.4 Vergelijkingen met breuken
Met de werkwijze die je leerde, kun je ook vergelijkingen met breuken oplossen.
4 5 x + 1 2 = 3 4
Bij vergelijkingen met breuken kun je ook de noemer wegwerken door elke term van het linker– en het rechterlid op gelijke noemer te zetten. Als elke term van het linker– en rechterlid op dezelfde noemer staat, dan mag je die noemer weglaten.
1) Werk de noemers weg door elke term gelijknamig te maken.
2) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid.
3) Reken dat lid uit.
4) Breng de bekende factor naar het andere lid.
5) Bereken de onbekende.
Voorbeelden
REEKS B
19 Los de vergelijkingen op.
20 Als Minthe drie vierde van haar spaargeld samenlegt met een bedrag van 75 euro dat ze van haar ouders krijgt, dan kan ze een PlayStation van 450 euro kopen. Hoeveel spaargeld bezat Minthe?
Antwoordzin:
7.2.5 Vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm ax + b = c (a ≠ 0)
Vergelijkingen waarbij de onbekende x in beide leden van de vergelijking voorkomt
Voorbeelden
a) 3x – 7 = x + 5
3x – x = 5 + 7
2x = 12
x = 12 : 2
x = 6
Controle: 3 6 – 7 = 6 + 5 = 11
Vergelijkingen met haakjes
Voorbeelden
a) 16 – 3(x + 4) = 25
16 – 3x – 12 = 25
–3x = 25 – 16 + 12
–3x = 21
x = 21 : (–3)
x = –7
Controle: 16 – 3 (–7 + 4) = 25
Opmerking
b) 5x + 12 = 4x – 4
Controle:
b) 6 – (x + 3) = 12
Controle:
Sommige vergelijkingen met haakjes kun je op twee verschillende manieren oplossen. manier 1 manier 2
2 (x + 9) = 24
2x + 18 = 24
2x = 24 – 18
2x = 6
x = 6 : 2
x = 3
2 (x + 9) = 24
x + 9 = 24 : 2
x + 9 = 12
x = 12 – 9
x = 3
Werkwijze
Vraagstukken
Voorbeeld 1
Papa is een kwarteeuw ouder dan Saartje. Samen zijn ze 45 jaar. Hoe oud is Saartje?
Schematische voorstelling
Saartje
45 jaar
Voorbeeld 2
Het schooltoneel werd bijgewoond door 325 personen. Volwassenen betaalden € 3 en kinderen jonger dan 14 jaar € 2. De kassa telde € 870 aan inkomsten. Hoeveel volwassenen genoten van het toneel?
Papa 25 jaar aantal kaarten
• keuze van de onbekende
leeftijd Saartje
leeftijd papa
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
€ 2
€ 3
Totaal opbrengst
• keuze van de onbekende
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• controle
• antwoordzin
Vergelijkingen: algemeen
1) Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.
• controle
• antwoordzin
2) Werk de noemers weg door elke term gelijknamig te maken.
3) Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere in het andere lid.
4) Werk beide leden uit.
5) Breng de bekende factor naar het andere lid.
6) Bereken de onbekende.
Oefeningen
REEKS B
21 Los de vergelijkingen op.
a) 2x + 4 = x
b) 3x + 6 = x
c) –8x – 12 = –2x
22 Los de vergelijkingen op.
a) 3 (x + 7) = 27
d) 12x + 120 = 15x
e) 18 – 4x = 2x
f) 4x = –30 – x
c) –2 (2x + 1) = –10
b) 6 (2x + 7) = 18
d) –3 (6x – 2) = 24
23 Los de vergelijkingen
a) 16 + (x – 5) = –4
e) 6x – 2 (x – 2) = –12
b) 12 – (x + 4) = 6
f) –5x – (–3 – 6x) = –21
c) 5x + 3 (x – 2) = 10
g) 2 + (–3x – 5) = –(–x – 3)
d) 5x + 3 (2x – 4) = 10
h) 28 + 2 (5x – 2) = 6 (2x + 2)
24 Verdeel € 7 000 onder drie personen. Jan krijgt tweemaal zoveel als Pol. Tom krijgt de helft van Jan. Hoeveel krijgt elk?
Antwoordzin:
25 De omtrek van de figuur bedraagt 72 m. Bereken de waarde voor x.
7 m xx 7 m 7 m
7 m7 m
Antwoordzin:
26 De tweede zijde van een driehoek is 5 cm langer dan de eerste. De derde zijde is 8 cm korter dan de tweede. De omtrek van de driehoek is 47 cm. Hoeveel cm is elke zijde?
Antwoordzin:
27 Verdeel € 550 onder twee personen. Het deel van de eerste is € 50 minder dan driemaal dat van de tweede. Hoeveel krijgt elk?
Antwoordzin:
28 Het zesvoud van een getal is 28 meer dan het dubbel van dat getal. Bepaal dat getal.
Antwoordzin:
29 Oma, moeder en dochter zijn samen 112 jaar oud. Moeder is vijfmaal zo oud als haar dochter en oma is dubbel zo oud als moeder. Hoe oud zijn ze nu?
Antwoordzin:
30 Visar is de spits van zijn elftal. De drie voorbije competities scoorde hij in totaal 51 keer. In het eerste seizoen maakte hij negen doelpunten minder dan in het derde. In het tweede seizoen scoorde hij de helft van het derde seizoen. Hoeveel goals scoorde Visar in elk van de laatste drie competities?
Antwoordzin:
31 Carl heeft schapen en duiven. Hij telt 86 koppen en 196 poten. Hoeveel schapen en duiven bezit Carl?
Antwoordzin:
32 Opa koopt voor zijn 17 kleinkinderen smartphonecovers. De covers kosten € 12 of € 15. Hij moet € 222 betalen. Hoeveel covers van € 12 kocht opa?
Antwoordzin:
33 Om een vraagstuk op te lossen met behulp van vergelijkingen, kies je meestal de kleinste waarde voor de onbekende, maar dat is niet noodzakelijk.
Verdeel € 500 onder Kris en Lina. Kris krijgt € 50 meer dan Lina. Hoeveel krijgt elk?
• keuze van de onbekende
Kris: Lina: x
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• keuze van de onbekende
Kris: x Lina:
• opstellen van de vergelijking
• oplossen van de vergelijking
• antwoordzin
• antwoordzin
34 In een gelijkbenige driehoek meet een been 6 cm langer dan de basis. Hoe lang zijn de zijden van die gelijkbenige driehoek, als de omtrek 207 cm is?
35 Zes jaar geleden was vader vier keer zo oud als Els. Nu zijn ze samen 57 jaar. Hoe oud zijn ze nu?
Antwoordzin: Het symbool ‘=’ werd voor het eerst gebruikt in 1557. Robert Recorde (1510–1558) gebruikte het in zijn boek The Wetstone of Witte. Zo hoefde hij niet telkens ‘is gelijk aan’ te schrijven. Niet iedereen wilde zijn symbool meteen overnemen. Sommigen schreven ⫽ of xx, anderen gebruikten ae van het Latijnse woord 'aequalis', dat 'gelijk' betekent. Robert Recorde omschreef zijn symbool als ‘twee evenwijdigen die even lang zijn’. Recorde stierf in de gevangenis, waar hij opgesloten zat voor hoge schulden.
36 Pieter moet 30 vraagstukken oplossen. Hij krijgt € 0,50 per juist antwoord, maar moet 20 cent betalen voor elk foutief antwoord. In totaal ontvangt hij € 8. Hoeveel vraagstukken loste Pieter juist op?
Een architect wil een rechthoekig raam van 3,75 m2 in een huis plaatsen. Bereken de lengte van het raam, als je weet dat de breedte 1,25 m moet zijn.
manier 2
Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.
A = l b l b = A
l = A b
l = 3,75 1,25
l = 3
formule oppervlakte rechthoek
formule omvormen naar l gegevens invullen
Antwoordzin: De lengte van het raam is 3 m.Antwoordzin: De lengte van het raam is 3 m.
Voorbeeld 2
De architect wil ook een rechthoekig raam met omtrek 12 m in het huis plaatsen.
Bereken de breedte van het raam, als je weet dat de lengte 4 m moet zijn.
manier 1
Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.
P = 2 (l + b)
12 = 2 (4 + b)
12 = 8 + 2b
2b + 8 = 12
2b = 12 – 8
2b = 4
b = 2
formule omtrek rechthoek gegevens invullen vergelijking oplossen
Antwoordzin: De breedte is 2 m.
manier 2
Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.
P = 2 (l + b)
P = 2l + 2b
2l + 2b = P
2b = P – 2l
b = P – 2l 2
b = 12 – 2 4 2
b = 2
formule omtrek rechthoek
formule omvormen naar b gegevens invullen
Antwoordzin: De breedte is 2 m.
Oefeningen
REEKS A
38 Los op.
a) Bereken met de oppervlakteformule van een parallellogram de hoogte, als je weet dat de oppervlakte 18 m 2 bedraagt en de basis 6 m is.
b) Een klaslokaal is 12 m lang en 2 m hoog. Bereken de breedte van het lokaal, als je weet dat het volume van de klas 144 m 3 is.
Antwoordzin:
REEKS B
Antwoordzin:
39 Een basisformule uit de elektriciteit is de wet van Ohm: U = R I.
U staat voor spanning gemeten in volt (V).
R staat voor weerstand gemeten in ohm ().
I staat voor stroomsterkte gemeten in ampère (A).
a) Bereken de spanning als de weerstand 12 en de stroomsterkte 3 A bedraagt.
b) Bereken de weerstand als de spanning 15 V is en de stroomsterkte 3 A.
Antwoordzin:
Antwoordzin:
In 1821 legt de Duitse wetenschapper Georg Simon Ohm (1789-1854) de relatie tussen spanning, weerstand en stroom vast in de naar hem genoemde wet: U = R l.
1 ampère
1 ohm
+–
1 volt
Als een batterij 1 volt (V) levert en door een daarop aangesloten weerstand 1 ampère (A) vloeit, dan is die weerstand 1 ohm ().
40 Bereken op 1 mm nauwkeurig
a) de straal van een cirkel met omtrek 125,6 cm.
b) de grote diagonaal van een ruit met oppervlakte 9,75 cm² en kleine diagonaal 3 cm.
Antwoordzin:
Antwoordzin:
41 Voor haar jaarabonnement in de fitnessclub betaalt Marie € 30 en € 2,50 per fitnessbeurt (n). De totale kostprijs (t) voor haar fitnesshobby vind je door de formule: t = 2,50 n + 30.
a) Marie ging dit jaar al 18 keer naar de fitness. Hoeveel kostte dat haar tot nog toe?
Antwoordzin:
b) Hoeveel kost dat haar gemiddeld per beurt?
c) Als ze op het einde van haar abonnement in totaal € 125 gespendeerd heeft, hoeveel keer ging Marie dan naar de fitnessclub?
Antwoordzin:
Antwoordzin:
d) Hoeveel kost dat haar nu gemiddeld per beurt?
Antwoordzin:
42 In sommige landen drukt men de temperatuur uit in graden Fahrenheit. De formule om graden Celsius (°C) om te zetten in graden Fahrenheit (°F) is f = 1,8 c + 32 met f de temperatuur in °F en c de temperatuur in °C.
a) Hoeveel bedraagt een buitentemperatuur van 21 °C in graden Fahrenheit?
b) Met hoeveel graden Celsius komt 59 graden Fahrenheit overeen?
Antwoordzin:
Antwoordzin:
43 Je hebt je zinnen gezet op een coole laptop van € 860. Je telt je spaarcenten en beschikt over € 385. Je besluit elke maand € 25 extra te sparen voor die laptop.
a) Stel een formule op voor de kostprijs van de laptop (k), je spaargeld (s), je maandelijkse betalingen (m) en het aantal betalingen (t).
c) Hoeveel maanden moet je sparen als je voor een laptop van € 735 kiest?
b) Hoeveel maanden moet je nog extra sparen?
Antwoordzin:
d) Als je de laptop van € 860 wilt betalen in vijf maanden, hoeveel moet je dan elke maand extra opzij leggen?
Antwoordzin:
Antwoordzin:
44 De afstand die een auto nodig heeft om te stoppen (de stopafstand) is gelijk aan de som van de reactieafstand en de remafstand.
De reactieafstand is het aantal meter dat wordt afgelegd tussen het moment dat de bestuurder het gevaar ziet en het moment dat hij het rempedaal indrukt.
De reactieafstand wordt benaderd met de formule 3 s 10 met s de snelheid in km per uur.
De remafstand is het aantal meter dat wordt afgelegd vanaf het ogenblik dat de bestuurder het rempedaal indrukt en het moment dat de wagen stilstaat.
De remafstand wordt benaderd met de formule s 2 200 met s de snelheid in km per uur.
STOPAFSTAND
REACTIEAFSTAND
REMWEG
bestuurder ziet het gevaar de auto staat stil
bestuurder drukt het rempedaal in
a) Bereken de stopafstand voor de volgende snelheden.
b) Onder invloed van alcohol vergroot de reactieafstand. De basisformule wordt verdubbeld en vermeerderd met 5 m. Wat is nu de formule voor de reactieafstand?
reactieafstand =
c) Bereken met de nieuwe formule hoeveel de snelheid van een chauffeur onder invloed bedraagt bij een reactieafstand van 50 m.
Antwoordzin:
45 Vorm de oppervlakteformule van een driehoek om naar de hoogte. Bereken daarna de hoogte van de gevraagde driehoek.
omvormen formuledriehoeken
m 2
dm 2
dm 2
m
46 Met de formule t = g –h 300 vind je een benadering van de temperatuur op verschillende hoogtes. g is de grondtemperatuur in °C, h is de hoogte in m en t is de temperatuur in °C op de gegeven hoogte.
a) Vorm de formule om naar de grondtemperatuur g
c) Vorm de formule om naar de hoogte h
b) Op een hoogte van 1 030 m is het 11 °C. Bereken de grondtemperatuur op één tiende nauwkeurig.
d) De grondtemperatuur bedraagt 15 °C. Een flink stuk hoger is het 9 °C. Bereken de hoogte.
Antwoordzin:
Antwoordzin:
47 Temperatuur kun je uitdrukken in graden Celsius (°C), kelvin (K) of graden Fahrenheit (°F). Met de volgende formules moet je in staat zijn om van de ene eenheid naar de andere om te schakelen.
k = c + 273 f = 1,8 c + 32
met k de temperatuur in K, c de temperatuur in °C en f de temperatuur in °F
a) Vorm de formule k = c + 273 om naar c
b) Met hoeveel graden Celsius stemt 182 K overeen?
c) Vorm de formule f = 1,8 c + 32 om naar c
d) Met hoeveel graden Celsius stemt 82 °F overeen?
e) Stel een formule op om de temperatuur in °F om te zetten naar een temperatuur in K.
f) Met hoeveel kelvin stemt 104 °F overeen?
48 De oppervlakte van een trapezium bereken je met de formule A = (B + b) h 2 . Vorm de formule telkens om naar de gevraagde grootheid. h = B = b =
Gebruik de omgevormde formules om de tabel aan te vullen.
STUDIEWIJZER Vergelijkingen en formules
7.1 Gelijkheden
KENNEN
Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.
∀a, b ∈ q: a = b ⇔ b = a
Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.
∀a, b, c ∈ q: a = b ⇔ a + c = b + c en ∀a, b, c ∈ q: a = b ⇔ a – c = b – c
Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.
2. Je hebt 96 rode kralen en 120 blauwe kralen. Je wilt deze kralen in gelijke armbanden verdelen, waarbij elke armband hetzelfde aantal rode en hetzelfde aantal blauwe kralen heeft, zonder kralen over te houden. Wat is het maximale aantal armbanden dat je kunt maken? Hoeveel rode en blauwe kralen zitten er dan in elke armband?
3. Vier spelers van een basketbalploeg scoren tijdens een bepaalde match gemiddeld 6 keer. Houd je ook rekening met het aantal rake worpen van de vijfde speler, dan neemt het gemiddeld aantal rake worpen van de spelers met één toe. Hoeveel keer scoorde de vijfde speler?
4. In een mand fruit zitten appels en peren. In totaal zitten er 44 stukken fruit in de mand. Als je 2 appels uit de mand haalt, zitten er dubbel zoveel peren als appels in de mand. Hoeveel peren en hoeveel appels zaten er oorspronkelijk in de mand?
HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN
8.1 Eigenschappen van driehoeken 276
8.2 Kenmerk van gelijkbenige driehoeken
8.3 Symmetrie in een driehoek 293
8.4 Classificatie van driehoeken
Studiewijzer 304
Problemen uit Kangoeroe en JWO 306
Herhalingsoefeningen
8.1 Eigenschappen van driehoeken
8.1.1 Som van de hoeken van een driehoek
Op onderzoek
Wat stel je vast in verband met de som van de hoeken van een driehoek?
Eigenschap De som van de hoeken van een driehoek is
Bewijs tekening gegeven
Teken door A de rechte a ⫽ BC
bewijs
De drie hoeken vormen samen een gestrekte hoek.
besluit
De som van de hoeken van een driehoek is
Oefeningen
REEKS A
1 Meet de hoeken van de driehoeken. Maak de som van de hoekgroottes. Formuleer daarna de eigenschap die je met deze voorbeelden aantoont.
Eigenschap:
REEKS B
2 Bepaal de derde hoek zonder te meten.
4 Teken, indien mogelijk, de driehoek USB. a) | US | = 4 cm, U ∧ = 60° en B ∧ = 40°
| US | = 3 cm, | SB | = 4 cm en | BU | = 5 cm b) | BS | = 4 cm, | UB | = 5 cm, U ∧ = 50°
S ∧ = 60°, | BU | = 4 cm, B ∧ = 80°
5 Bereken de gevraagde hoeken.
6 In GSM is GT een bissectrice. T ligt op [MS ] en T ∧ 1 < T ∧ 2, G ∧ = 48° en M ∧ = 73°. Maak een schets. Bereken de gevraagde hoeken.
C
7 Vul aan.
Een buitenhoek van een driehoek is een hoek die gevormd wordt door een zijde en het verlengde van een andere zijde.
Elke driehoek heeft buitenhoeken.
Meet de binnenhoeken en de buitenhoeken van de driehoek hiernaast.
Welk verband vind je?
In een driehoek is de hoekgrootte van een buitenhoek gelijk aan
tekening bewijs
(som van de hoeken in een driehoek) (nevenhoeken)
8 Bepaal de gevraagde hoek zonder te meten.
8.1.2 Verband tussen hoeken en zijden in een driehoek
Op onderzoek
Meet de hoeken en de zijden van de gegeven driehoeken.
GEOGEBRA
Eigenschap
Noteer onder elke hoek de overstaande zijde.
Kleur in de bovenstaande tabel:
• de grootste hoek en de langste zijde in het geel,
• de kleinste hoek en de kortste zijde in het groen.
In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek
Opmerkingen
In een rechthoekige driehoek is In een stomphoekige driehoek is
8.1.3 Driehoeksongelijkheid
Op onderzoek
Teken, indien mogelijk, een driehoek met de volgende gegevens.
a) 50 mm, 35 mm en 25 mmb) 60 mm, 35 mm en 25 mmc) 70 mm, 35 mm en 25 mm
De langste zijde is r groter dan r groter dan r groter dan r gelijk aan r gelijk aan r gelijk aan r kleiner dan r kleiner dan r kleiner dan de som van de lengtes van de twee andere zijden.
Eigenschap De lengte van een zijde van een driehoek is altijd kleiner dan de som van de lengtes van de twee andere zijden van die driehoek.
Voorbeeld
| AB | < | AC | + | CB | | BC | < | AC | <
Die eigenschap staat bekend als de driehoeksongelijkheid
Verklaring
Teken de hoogtelijn h uit C op [AB ] D is het snijpunt van h en [AB ]
In de rechthoekige ADC is | AD | < | AC | (verband tussen zijden en hoeken in een driehoek)
In de rechthoekige BCD is | DB | < | CB | (verband tussen zijden en hoeken in een driehoek)
Dus is | AD | + | DB | < | AC | + | CB | of | AB | < | AC | + | CB |
Dus in ABC is | AB | < | AC | + | CB |
Oefeningen
REEKS A
9 Meet de zijden van de driehoeken. Controleer de driehoeksongelijkheid.
REEKS B
10 Rangschik de hoeken van klein naar groot zonder te meten.
11 Juist of fout?
Er bestaat een driehoek met juistfout
a) een hoek van 55°, een hoek van 65° en een hoek van 75°. rr
b) een zijde van 4 cm, een zijde van 5 cm en een zijde van 6 cm. rr
c) twee stompe hoeken. rr
d) drie zijden van 8 cm. rr
e) een hoek van 120°, een zijde van 8 cm en een zijde van 6 cm. rr
f) meer dan één scherpe hoek. rr
g) een zijde van 9 cm en twee zijden van 43 mm. rr
h) maar één scherpe hoek. rr
12 Bepaal telkens de gevraagde hoek.
RO | = 3 cm
OK | = 4 cm
KR | = 5 cm
Kleur het vakje met de grootste hoek.
DA | = 8 cm | AS | = 5 cm | SD | = 9 cm | PE | = 17,5 cm | ET | = 13,8
Kleur het vakje met de op een na grootste hoek.
13 Begrens de lengte van [AB ] op 1 mm nauwkeurig.
Kleur het vakje met de kleinste hoek.
a) | BC | = 4 cm en | CA | = 5 cm ⇒ < | AB | < b) | BC | = 8,2 cm en | CA | = 5,2 cm ⇒ < | AB | <
14 Kleur de waarde die het dichtst de correcte waarde van | AB | benadert.
a) ABC met A ∧ = 40° en B ∧ = 50°, | BC | = 7 cm en | AC | = 10 cm.4 cm8 cm12 cm
b) ABC met B ∧ = 49° en C ∧ = 58°, | BC | = 76 mm en | AC | = 60 mm.50 mm70 mm90 mm
c) ABC met A ∧ = 100° en C ∧ = 40°, | BC | = 89 mm en | AC | = 58 mm.38 mm58 mm98 mm
8.2 Kenmerk van gelijkbenige driehoeken
8.2.1
Gelijkbenige driehoeken
Voorbeelden
Gelukk ig heb ik twee even lange benen. Anders was deze driehoek niet gelijkbenig.
Definitie Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is
Benamingen
8.2.2 Eigenschap van gelijkbenige driehoeken
Op onderzoek
Teken de twee driehoeken. Meet daarna de hoeken.
ONE met twee zijden van 5 cm
TWO met twee zijden van 4 cm
GEOGEBRA
Eigenschap
Als een driehoek gelijkbenig is, dan
Bewijs tekening gegeven
Teken de bissectrice b van de tophoek A ∧ D is het snijpunt van [BC ] en b ABC | AB | = | AC |
bewijs verklaring
besluit
Als een driehoek gelijkbenig is, dan
8.2.3 Omgekeerde eigenschap van gelijkbenige driehoeken
Op onderzoek
Teken de twee driehoeken. Meet daarna de zijden.
ONE met twee hoeken van 70° TWO met twee hoeken van 45°
Eigenschap
GEOGEBRA def. ≅
Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan
Bewijs
tekening gegeven
Teken de bissectrice van A ∧
Noem het snijpunt met de zijde [BC ] het punt D. ABC B ∧ = C ∧
te bewijzen | AB | = | AC |
bewijs verklaring
Volgens kenmerk is ≅
besluit
Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan
8.2.4 Kenmerk van gelijkbenige driehoeken
De eigenschap en de omgekeerde eigenschap van gelijkbenige driehoeken vat je samen in het kenmerk van gelijkbenige driehoeken.
Kenmerk
Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken van de driehoek even groot zijn.
Het kenmerk van gelijkbenige driehoeken is dus ook van toepassing op gelijkzijdige driehoeken.
Eigenschap
Als in een driehoek de drie zijden even lang zijn, dan zijn de drie hoeken even groot.
Als in een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is die driehoek gelijkzijdig.
Kenmerk
Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de drie hoeken van de driehoek even groot zijn.
Hoe groot zijn de hoeken van een gelijkzijdige driehoek?
Oefeningen
REEKS A
15 Duid, zonder te meten, de gelijke hoeken aan met eenzelfde merkteken. Verklaar je werkwijze.
Verklaring:
16 Bepaal, zonder te meten, welke driehoeken gelijkbenig zijn.
r gelijkbenig r ongelijkbenig r gelijkbenig r ongelijkbenig r gelijkbenig r ongelijkbenig
REEKS B
17 Bepaal de hoeken zonder te meten.
18 Bereken de gevraagde hoeken van de gelijkbenige driehoek ELF met basis [EL ].
b)
19 Bereken de gevraagde hoeken van de gelijkbenige driehoek ZES. met basis [ZE ] met basis [ES ]
20 Teken
a) een gelijkbenige driehoek met een basis van 45 mm en een basishoek van 65°.
c) een gelijkbenige driehoek met een been van 5 cm en een basishoek van 60°.
b) een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 70° en een basis van 5 cm.
d) een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een schuine zijde van 6 cm.
21 Juist of fout?
juistfout
a) Een gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn. rr
b) Sommige stomphoekige driehoeken zijn gelijkbenig. rr
c) Alle gelijkbenige driehoeken hebben gelijke, scherpe basishoeken. rr
d) Een gelijkbenige driehoek kan drie scherpe hoeken hebben. rr
e) Een driehoek met twee hoeken van 57° is gelijkbenig. rr
22 Bereken de gevraagde hoeken.
23 Bepaal x zonder te meten.
a)
2x x
b) 4x x
24 De rechten a en b zijn evenwijdig. Bereken de grootte van de aangeduide hoeken.
REEKS C
25 Teken
a) een gelijkbenige driehoek met een basis van 4 cm waarvan de tophoek een buitenhoek heeft van 140°.
b) een gelijkbenige driehoek met een basis van 4 cm waarvan een basishoek een buitenhoek heeft van 140°.
8.3 Symmetrie in een driehoek
8.3.1
Merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek
Op onderzoek
Teken de gevraagde merkwaardige lijnen in de onderstaande driehoeken:
• de hoogtelijn h uit het hoekpunt A in het blauw,
• de middelloodlijn m van de zijde [BC ] in het zwart,
• de zwaartelijn z uit het hoekpunt A in het groen,
• de deellijn d van de hoek A ∧ in het rood.
ABC is ongelijkbenig.
ABC is gelijkbenig.
Eigenschap In een gelijkbenige driehoek zijn
samenvallende rechten.
Teken alle hoogtelijnen, middelloodlijnen, zwaartelijnen en deellijnen in de driehoek.
Wat stel je vast?
In een gelijkzijdige driehoek kun je elke hoek als tophoek beschouwen. De eigenschap geldt dus voor elke merkwaardige lijn van een gelijkzijdige driehoek.
8.3.2 Symmetrie in een gelijkbenige driehoek
Op onderzoek
Teken alle symmetrieassen in de volgende driehoeken.
Eigenschappen over merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek bewijzen.
Eigenschappen over symmetrie in een driehoek bewijzen.
Merkwaardige lijnen in (gelijkbenige) driehoeken tekenen.
Symmetrieas(sen) in (gelijkbenige) driehoeken tekenen.
Driehoeken tekenen waarvan de symmetrieas gegeven is.
Driehoeken tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoen.
8.4 Classificatie van driehoeken
KENNEN
Driehoeken classificeren op basis van de eigenschappen van zijden en hoeken.
Driehoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen.
KUNNEN
De meest passende benaming geven voor een driehoek volgens de hoeken.
De meest passende benaming geven voor een driehoek volgens de zijden.
Driehoeken tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoen.
Pienter Rekenen
Problemen uit Kangoeroe en JWO
1. 10 cm 6 cm
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken een schema/tabel maken opsplitsen in deelproblemen eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken
Khadija tekent 14 identieke groene rechthoeken. Lena gomt een driehoek weg met basis 10 cm en hoogte 6 cm. Wat is de oppervlakte van het groene gebied?
A) o 10 cm²B) r 12 cm²C) o 14 cm²D) o 15 cm²E) o 21 cm²
2.We noemen een positieve deler van een natuurlijk getal een echte deler van dat getal, indien hij verschillend is van 1 en van het getal zelf. Voorbeeld: de echte delers van 10 zijn 2 en 5. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die 25 als grootste echte deler hebben?
A) r 1 B) r 2 C) r 3 D) r 4 E) r 5
3.Het tafelkleed van tante Alesia heeft een regelmatig patroon van lichtgroene vierkantjes. Hoeveel procent van het tafelkleed is donkergroen?
A) r 16 %B) r 24 %C) r 25 %D) r 32 %E) r 36 %
4.In de figuur zien we vierkanten met oppervlakte 9 cm², 16 cm² en 25 cm². Bepaal de oppervlakte van de gekleurde driehoek.
9.1 Verhouding en evenredigheid
9.2 Eigenschappen van evenredigheden
9.3 Evenredige grootheden
9.4 Toepassingen op recht evenredige grootheden 336
2 eenheden citroensap, – 1 eenheid grenadine. Schud en zeef in een longdrinkglas.
De cocktail bestaat uit 11 eenheden, waarvan 5 eenheden suikerwater.
Je zegt dat de verhouding van het suikerwater tot de volledige hoeveelheid cocktail 5 11 is of dat het suikerwater ten opzichte van de totale hoeveelheid cocktail zich verhoudt als 5 11
Wat is de verhouding van:
• het veenbessensap tot de volledige hoeveelheid cocktail?
• het citroensap tot de volledige hoeveelheid cocktail?
• de grenadine tot de volledige hoeveelheid cocktail?
Een verhouding is een quotiënt dat het verband tussen twee grootheden weergeeft.
Voorbeelden
Om een heerlijke cocktailsaus te maken, heb je de volgende ingrediënten nodig: 5 eenheden mayonaise, 3 eenheden ketchup, 1 eenheid whisky, cayennepeper en een scheutje room.
Wat is de verhouding van: • de hoeveelheid ketchup tot de hoeveelheid mayonaise?
• de hoeveelheid whisky tot de hoeveelheid ketchup?
• de hoeveelheid mayonaise tot de hoeveelheid cocktailsaus?
9.1.2 Wat is een evenredigheid?
Wil je een grotere hoeveelheid van hetzelfde drankje, dan zal de verhouding tussen de verschillende ingrediënten altijd gelijk moeten zijn. Een teveel of een tekort aan een ingrediënt geeft niet het gewenste resultaat. De verhouding van de hoeveelheid veenbessensap, citroensap en grenadine tot de totale hoeveelheid is respectievelijk 3 11 , 2 11 en 1 11
Je past nu de hoeveelheden aan voor vier personen. Hoeveel eenheden veenbessensap, citroensap en grenadine zijn er nodig?
Vul de tabel aan.
veenbessensap3 citroensap2 grenadine1 totale hoeveelheid 11 totale hoeveelheid 11 totale hoeveelheid 11
De verhouding van de hoeveelheid veenbessensap tot de totale hoeveelheid blijft zowel voor één persoon als voor vier personen dezelfde:
De verhouding van de hoeveelheid citroensap tot de totale hoeveelheid blijft zowel voor één persoon als voor vier personen dezelfde:
Die gelijkheden van twee verhoudingen noem je evenredigheden.
Definitie Evenredigheid
Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen. a b = c d met b ≠ 0 en d ≠ 0.
Lees
a staat tot b zoals c staat tot d of a verhoudt zich tot b zoals c zich verhoudt tot d of a en b verhouden zich zoals c en d
De verhouding van de hoeveelheid grenadine tot de totale hoeveelheid blijft zowel voor één persoon als voor vier personen dezelfde:
Benamingen = ac bd eerste term tweede term derde term vierde term uiterste termen middelste termen
Oefeningen
REEKS A
1 Druk uit met een verhouding.
het aantal voetballen ten opzichte van het totale aantal ballen
het aantal basketballen ten opzichte van het totale aantal ballen
het aantal golfballen ten opzichte van het totale aantal ballen
het aantal volleyballen ten opzichte van het totale aantal ballen
het aantal tennisballen ten opzichte van het totale aantal ballen
het aantal tennisballen ten opzichte van het totale aantal ballen
het aantal gebodsborden ten opzichte van het totale aantal verkeersborden
het aantal verbodsborden ten opzichte van het totale aantal verkeersborden
3 Schrijf als een evenredigheid.
a) 3 verhoudt zich tot 8 zoals 9 zich verhoudt tot 24. =
b) 5 staat tot 6 zoals 30 tot 36. =
c) 2 en 6 verhouden zich zoals 8 en 24. =
REEKS B
4 Wat is de verhouding van
a) een kwartier ten opzichte van een volledig uur?
b) het aantal doelmannen van een voetbalploeg ten opzichte van het totale aantal voetballers?
c) een week in de maand april tot het aantal dagen van die maand?
d) het aantal lesuren wiskunde tot het totale aantal lesuren per week?
e) 250 gram suiker ten opzichte van één kilogram suiker?
5 Zet de verhoudingen die een evenredigheid vormen in eenzelfde kleur.
6 Vul aan.
a) In 1 3 = 4 12 is 3 de ... term.
b) In 2 7 = 6 21 zijn 7 en 6 de ... termen.
c) In 12 15 = 16 20 zijn 12 en 20 de ... termen.
d) In 27 36 = 12 16 is 16 de ... term.
7 Zoek de ontbrekende teller of noemer in de volgende evenredigheden.
a) 3 4 = 12 c) –9
b) 1 5 = 20 d) 15 –27 = –54 f)
9.2 Eigenschappen van evenredigheden
Eigenschappen van evenredigheden
Vul de tabel in.
Wat stel je vast? 3 9 = 4 12 – 6 15 = – 8 20 middelste termen en en uiterste termen en en
Wissel de middelste termen van plaats.
Wissel de uiterste termen van plaats.
Eigenschap In een evenredigheid mag je de middelste en de uiterste termen van plaats verwisselen.
product middelste termen
product uiterste termen
Eigenschap Hoofdeigenschap van evenredigheden
In een evenredigheid is het product van de uiterste termen gelijk aan het product van de middelste termen.
Opmerking: Deze eigenschap wordt ook soms de gelijkheid van kruisproducten genoemd. In symbolen: ∀a en c
Een onbekende x berekenen
Voorbeelden
Toepassing
Voor mooi pleisterwerk voeg je aan een zak van 25 kg pleistergips 16 liter water toe.
Hoeveel liter water voeg je toe aan 15 kg pleistergips?
Berekening: 16 25 = x 15
Antwoordzin:
Een middelevenredige berekenen
Definitie Middelevenredige
x is een middelevenredige van de getallen a en b ⇔ a x = x b .
x noem je een middelevenredige omdat de middelste termen in de evenredigheid x zijn.
Wat is de middelevenredige van de getallen 4 en 36?
De middelevenredige stel je voor door x
Berekening: 4 x = x 36 opstellen van de evenredigheid 4 36 = x x hoofdeigenschap van evenredigheden 144 = x 2 x = √ 144 of x = –√ 144
x = 12 of x = –12
Antwoordzin: 12 of –12 is een middelevenredige van de getallen 4 en 36.
Oefeningen
REEKS A
8 Pas de hoofdeigenschap toe op de evenredigheid. a) 2 6 = 9 27
9 Bereken x door de hoofdeigenschap toe te passen.
REEKS B
10 Bereken x door de hoofdeigenschap toe te passen.
x 35 = 15 –21
x 24 = –21 –36
11 Om voor zes personen moussaka te maken heb je 750 g lamsgehakt, drie courgettes en 600 g tomatenpulp nodig.
a) Hoeveel gram lamsgehakt heb je nodig voor 20 personen?
750 6 = x 20
b) Voor hoeveel personen kun je moussaka maken met 1 kg tomatenpulp?
600 6 = 1 000 x
Antwoordzin:
Antwoordzin:
12 In een klas verhoudt het aantal leerlingen dat een bril draagt zich tot het aantal leerlingen zonder bril als 2 tot 7. Er zijn 14 leerlingen die geen bril dragen. Duid op de bril het glas met de juiste evenredigheid aan.
13 In de school van Noone zitten voornamelijk meisjes. Het aantal meisjes tot het aantal jongens verhoudt zich als 5 tot 3. Hoeveel meisjes zitten in de school, als je weet dat er 435 jongens zijn?
Antwoordzin:
14 De hoogte van de deur van een huis verhoudt zich tot de hoogte van het huis als 3 op 10. Het huis is 6,5 m hoog. Bereken de hoogte van de deur.
Antwoordzin:
15 Lasse wil zijn vrienden trakteren op een cocktail die bestaat uit vijf eenheden kokosmelk en twee eenheden mangosap. Hij mengt zes flessen kokosmelk van 75 cl met mangosap. Hoeveel flessen van 1 liter mangosap moet hij kopen?
Antwoordzin:
16 De breedte en de hoogte van sommige televisietoestellen verhouden zich als 4 : 3. Hoe hoog is een beeldscherm met een breedte van 72 cm?
Antwoordzin:
17 In het schoolrestaurant verhoudt het aantal vegetarische maaltijden zich tot het aantal niet-vegetarische maaltijden als 2 tot 5. Vandaag eten er in totaal 350 leerlingen in het restaurant. Met welke evenredigheid bereken je hoeveel leerlingen vegetarisch eten? Vink aan.
18 Bepaal de middelevenredigen van de volgende getallen. a) 4 en 9
21 Hoe verdeel je 360 munten in twee hoeveelheden die zich verhouden als 5 en 7?
Antwoordzin:
22 De omtrek van een rechthoekig stuk bouwgrond is 140 m. De breedte en de lengte verhouden zich als 3 en 4. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond.
Antwoordzin:
9.3.1 Recht evenredige grootheden
Voorbeeld
Tijdens de veertiendaagse van het Rode Kruis worden elk jaar pleisters verkocht.
Een pleister kost 10 euro. Twee pleisters kosten 20 euro, drie pleisters 30 euro ...
Hoe meer pleisters je koopt, hoe meer je moet betalen.
aantal pleisters (n)prijs (p) in euro quotiënt
Het quotiënt van de prijs en het aantal pleisters is constant. Die constante noem je de evenredigheidsfactor
Wanneer de verhouding van twee grootheden constant is, spreek je over recht evenredige grootheden. Het aantal pleisters en de prijs zijn recht evenredig.
Definitie Recht evenredige grootheden
Recht evenredige grootheden zijn grootheden waarvan het quotiënt constant is.
Het verband tussen die grootheden kun je met een tabel, een formule en een grafiek voorstellen.
Tabel Grafiek
Vul de tabel aan.
Teken de punten in het assenstelsel en verbind.
Formule: p n = 10 of
roosterpunten liggen op één rechte door de oorsprong.
9.3.2 Omgekeerd evenredige grootheden
Voorbeeld
Vader vult het zwembad van Gilles.
Door de kraan van één tuinslang volledig open te draaien, wordt het zwembad van Gilles in 24 minuten gevuld.
Hoelang duurt het om het zwembad te vullen als hij twee extra tuinslangen (met eenzelfde debiet) gebruikt?
Hoe meer tuinslangen er gebruikt worden, hoe minder tijd er nodig zal zijn om het zwembad te vullen.
aantal tuinslangen (n)tijd (t) in minuten product 1 24
Het product van de tijd en het aantal tuinslangen is constant
Die constante noem je de evenredigheidsfactor
Wanneer het product van twee grootheden constant is, spreek je over omgekeerd evenredige grootheden. Het aantal tuinslangen en de tijd zijn omgekeerd evenredig.
Definitie
Omgekeerd evenredige grootheden
Omgekeerd evenredige grootheden zijn grootheden waarvan het product constant is.
Het verband tussen die grootheden kun je met een tabel, een formule en een grafiek voorstellen.
Tabel
Vul de tabel aan.
De roosterpunten liggen op een hyperbool.
Teken de punten in het assenstelsel en verbind.
Grafiek
9.3.3 Niet alle grootheden zijn evenredig
Voorbeeld
Vader heeft nieuwe scheermesjes nodig.
Eén scheermesje kost 2,50 euro. Als hij er drie koopt, krijgt hij een vierde gratis.
Hoeveel betaalt hij voor 4 mesjes?
Tabel Grafiek
Vul de tabel aan.
Teken de punten in het assenstelsel en verbind.
78 9 10
Het quotiënt van de grootheden is hier duidelijk niet altijd gelijk en de roosterpunten liggen niet op één rechte. Het aantal scheermesjes en de prijs zijn hier niet evenredig.
Hoe meer zielen, hoe meer vreugd ...
Hoe sneller je gaat, hoe minder je ziet ...
Hoe vettiger, hoe prettiger ...
Hoe meer bus, hoe meer bos ...
Hoe meer geld op zak, hoe meer je uitgeeft ...
Oefeningen
REEKS A
23 Meer of minder? Recht (RE) of omgekeerd (OE) evenredig? Vink aan.
meerminderREOE
a) Hoe meer boeken je koopt, hoe ... je zult moeten betalen.
b) Hoe minder mensen helpen, hoe ... tijd er nodig is om een klus te klaren.
c) Hoe meer mensen van een brood eten, hoe ... elk zal kunnen eten.
d) Hoe minder kilometers je met de wagen rijdt, hoe ... brandstof je wagen nodig zal hebben.
e) Hoe minder toegangskaarten verkocht worden, hoe ... opbrengst er zal zijn.
REEKS B
24 Zijn de volgende grootheden recht, omgekeerd of niet evenredig? Vink aan. recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig
a) het aantal bezoekers van een concert en de inkomsten van de organisatoren rrr
b) de snelheid waarmee je rijdt en de tijd die nodig is om je bestemming te bereiken rrr
c) het aantal toeschouwers en het inkomgeld van de wedstrijd rrr
d) het aantal erfgenamen en het deel dat elk krijgt rrr
e) de massa van een persoon en z’n schoenmaat rrr
f) de oppervlakte van één tegel en het aantal tegels dat nodig is om het terras te betegelen rrr
g) de afmetingen op een plan en de afmetingen in werkelijkheid rrr
h) de tijd die je besteedt aan je toets wiskunde en het aantal punten op 20 rrr
i) de loopsnelheid en de hoeveelheid zweet rrr
j) de grootte van een stuk taart dat iedere feestvierder van een taart krijgt en het aantal feestvierders rrr
25 Zijn de grootheden x en y recht (RE), omgekeerd (OE) of niet evenredig (NE)? Kleur in. a) x 5102040
y 153060120 y 61224120
x 7142128
3579
x 1248
y 6432168 y 1369
26 Zijn de grootheden x en y recht evenredig? Vink aan.
27 Zijn de grootheden x en y recht (RE), omgekeerd (OE) of niet evenredig (NE)? Kleur in. a) y = 4 x REOENE d) x y = 8 REOENE b) y = 3 x REOENE e) 3 y = x REOENE c) y = 5 x + 3 REOENEf) y + 5 = x REOENE
28 Een labo doet onderzoek naar auto’s op zonne-energie. Bij welke auto’s zijn de tijd en de afstand recht evenredig? auto tijd (in s)01361015
1
2
3
29 Zijn de grootheden recht (RE) of omgekeerd (OE) evenredig? Kleur in. Bereken aan de hand van de formule de ontbrekende waarden.
30 De grootheden x en y zijn recht evenredig. Bepaal een evenredigheidsfactor. Stel een formule op en bereken de ontbrekende waarden.
31 De grootheden in de omschrijving zijn evenredig. Welke formule hoort bij de omschrijving?
a) Voor zijn verjaardag brengt Jitse voor elke leerling van zijn klas drie mandarijnen mee.
x = aantal leerlingen in de klas van Jitse
y = aantal mandarijnen dat Jitse moet meebrengen
b) Maryam betaalt haar boodschappen met muntstukken van twee euro.
x = prijs van de boodschappen
y = aantal muntstukken van 2 euro
c) Een pompoen van twee kilogram wordt verdeeld onder een aantal personen.
x = aantal personen
y = massa pompoen per persoon (in kg)
d) Een budget voor de jeugdwerking in de stad wordt verdeeld over de drie jeugdbewegingen die in de stad actief zijn.
x = budget voor de jeugdwerking
y = bedrag dat elke jeugdbeweging krijgt
32 Het diagram toont de stopafstand van een auto die remt bij een droog en een nat wegdek.
bij een droog wegdek bij een nat wegdek
a) Hoeveel bedraagt de stopafstand bij een droog wegdek bij een snelheid van 50 km/h?
b) Vanaf welke snelheid (op 10 km/h nauwkeurig) bedraagt de stopafstand bij een nat wegdek meer dan 100 m?
c) Is de stopafstand bij een droog wegdek recht evenredig met de snelheid?
d) Is de stopafstand bij een nat wegdek recht evenredig met de snelheid?
33 Vul de tabel aan. Teken de grafische voorstelling. Stel een formule op.
a) Het bad wordt gevuld met water. Per minuut stijgt het water 2 cm.
tijd (t) in minhoogte (h) in cm
formule:
b) De oppervlakte van een rechthoek bedraagt 60 cm².
lengte (l) in cmbreedte (b) in cm 1 2
formule:
c) Je sportclub organiseert een filmavond. De inkomprijs bedraagt 4 euro per persoon. Per drankje betaal je 2 euro.
aantal drankjes (n)prijs (p) in €
formule:
34 Zijn de grootheden recht, omgekeerd of niet evenredig? Vul aan en kleur in.
a) Je verzamelde met je klas 150 euro voor de studiereis.
aantal klasgenoten (n) bedrag per persoon (b) controle
275 euro
350 euro
437,50 euro
530 euro
formule:
recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig
b) Het aantal omwentelingen van een wiel en de afgelegde weg. aantal omwentelingen (n) afgelegde weg (s) controle
10,5 m
21 m
31,5 m
52,5 m
formule: recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig
evenredig
c) De temperatuur in de woonkamer wordt op verschillende hoogtes gemeten.
hoogte (h) temperatuur (t) controle
0,3 m20 °C
0,5 m20,5 °C
1 m21,5 °C
2 m22 °C
formule: recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig
d) Met de klas steun je de Damiaanactie. Een pakketje stiften kost 8,5 euro.
aantal (n) bedrag (b) controle
18,50 euro
434 euro
759,50 euro
1085 euro
formule: recht evenredig omgekeerd evenredig niet evenredig
35 De grootheden x en y zijn omgekeerd evenredig. Stel een formule op en bereken de ontbrekende waarden.
a) xy b) xy c) xy 12,5 5 2
formule:
formule: formule:
9.3.4 Vraagstukken op recht evenredige grootheden
Voorbeeld
Je wilt je tuin wat kleur geven en koopt een aantal bloembollen. In een tuincentrum betaal je voor 20 bloembollen 14 euro.
Je buur heeft in dezelfde winkel 12 van die bloembollen gekocht.
Hoeveel heeft je buur dan voor 12 bloembollen moeten betalen?
Werkwijze
aantal bloembollenkostprijs (in euro)
recht evenredig (RE) omgekeerd evenredig (OE)
aantal bloembollenkostprijs (in euro)
stap 1: Noteer de twee veranderlijke grootheden uit de opgave.
stap 2: Duid aan of het om recht of omgekeerd evenredige grootheden gaat.
stap 3: Stel een schema op. De gegevens schrijf je onder de juiste grootheid. Het gevraagde stel je voor door x
stap 4: Bereken het gevraagde.
Bij recht evenredige grootheden is het quotiënt van die grootheden constant.
Voor 12 bloembollen heeft je buur 8,40 euro betaald.
De regel van drie
stap 5: Formuleer het antwoord.
Vraagstukken over recht evenredige grootheden kun je ook met de regel van drie oplossen.
Om voor 8 personen oliebollen te bereiden, heb je 50 g gist nodig. Hoeveel gram gist voorzie je om voor 20 personen oliebollen te maken?
Werkwijze
stap 1: In de linkerkolom noteer je de gegeven grootheid, in de rechterkolom de gevraagde grootheid, met daaronder de gegevens. stap 2: De gegeven grootheid herleid je naar 1 en daarna bepaal je de overeenkomstige waarde voor de gevraagde grootheid. stap 3: Bereken het gevraagde.
REEKS A
36 Los op.
a) Om vier wraps te bereiden, heb je 350 gram gehakt nodig. Hoeveel gehakt moet je verwerken in tien wraps?
c) Als je drie seconden na de bliksem de donder hoort, dan is het onweer 945 m van je verwijderd. Hoe ver bevindt het onweer zich als je de donder zeven seconden na de bliksem hoort?
Antwoordzin:
b) Josse doet een vakantiejob en verdient op twee weken 436 euro. Hoeveel zal hij na vijf weken verdiend hebben?
Antwoordzin:
d) De wieken van een windmolentje draaien in acht minuten 1 568 keer rond. Hoeveel omwentelingen doen de wieken in 45 minuten?
Antwoordzin:
Antwoordzin:
37 Een zak schapenkorrels van merk A kost 9,95 euro.
Voor een zak van merk B betaal je 8,25 euro. Welk merk is het voordeligst?
Antwoordzin:
REEKS B
38 Welke verpakking is voordeliger?
Antwoordzin:
39 In een snoepwinkel koopt Hasse 280 g schepsnoep voor 2,94 euro.
19,36
Haar vriendin bestelt online een snoepdoos van een halve kilo voor 5,99 euro.
Waar zou jij jouw snoep kopen?
Hoeveel kan je besparen als je vijf kilo snoep wilt kopen?
Antwoordzin:
Voorbeeld 1
De stad Ieper telt ongeveer 15 000 huishoudens. Ieder huishouden krijgt een brief met richtlijnen voor de jaarlijkse rally van Ieper. In het stadhuis staan vier kopieerapparaten, die samen in 27 minuten alle kopieën kunnen maken. Een van de toestellen liet het helaas afweten. Hoelang zal het nu duren om alle kopieën te maken?
aantal kopieerapparaten tijd (in minuten)
recht evenredig (RE) omgekeerd evenredig (OE)
aantal apparatentijd (in minuten)
4 27 = 3 x
3 x = 4 27 x = 4 27 3 x = 36
Met drie kopieerapparaten zal het 36 minuten duren om alle kopieën te maken.
Werkwijze
stap 1: Noteer de twee veranderlijke grootheden uit de opgave.
stap 2: Duid aan of het om recht of omgekeerd evenredige grootheden gaat.
stap 3: Stel een schema op. De gegevens schrijf je onder de juiste grootheid.
Het gevraagde stel je voor door x
stap 4: Bereken het gevraagde. Bij omgekeerd evenredige grootheden is het product van de grootheden constant.
stap 5: Formuleer het antwoord.
Voorbeeld 2
Gust legt de afstand van thuis naar school af met een snelheid van 27 km/h in 20 minuten. Hoelang doet z’n zus Lotte erover, als ze fietst met een snelheid van 18 km/h?
Antwoordzin:
Oefeningen
REEKS A
40 Los op.
a) De verzamelreeks van de grootste striphelden bestaat uit 12 boxen. In elke box zitten 60 strips. Hoeveel strips zou elke box bevatten als het een 15delige reeks moest worden?
c) Drie personen verdelen de hoofdprijs en winnen elk 175 euro met een wedstrijd uit de krant. Als er zeven winnaars waren, hoeveel zou ieder dan krijgen?
Antwoordzin: Antwoordzin:
b) Voor het aanleggen van een pad in kasseien hebben vijf arbeiders negen dagen nodig. Hoelang duurt hetzelfde werk met drie arbeiders?
d) Rik heeft voldoende veevoeder om 32 koeien 18 dagen te voeren. Hoeveel dagen komt hij toe met dezelfde hoeveelheid veevoeder voor 72 koeien?
Antwoordzin: Antwoordzin:
41 De vrachtwagen van Silke heeft 45 liter benzine verbruikt na 250 km. Hoeveel verbruikt de vrachtwagen om 10 km af te leggen?
Antwoordzin:
42 Liesbeth gaat op reis en heeft haar spaargeld aangesproken. Als ze 10 dagen op reis wil, mag ze dagelijks maximaal 156 euro spenderen. Hoeveel mag ze per dag uitgeven als ze 12 dagen op reis wil?
Antwoordzin:
43 Als er 120 personen naar het optreden komen, moeten de organisatoren minimaal 3,50 euro inkom vragen om uit de kosten te geraken. Hoeveel inkom moeten ze vragen als er maar 100 personen worden verwacht?
Antwoordzin:
44 Uit een vat haal je 198 glazen bier van 25 cl. Hoeveel glazen van 33 cl kun je tappen?
Antwoordzin:
45 Om een muur van 3,5 m × 2,5 m te schilderen, heb je 3,5 liter verf nodig gehad. Hoeveel verf heb je nu nog nodig om een muur van 1,5 m × 2,5 m te schilderen?
Antwoordzin:
46 Een schapenkweker heeft momenteel 150 schapen. Met het voeder in de schuur kan hij de schapen nog twaalf dagen van eten voorzien. Hoeveel schapen moet hij verkopen om voor vijftien dagen voldoende eten te hebben?
Antwoordzin:
47 Een loper heeft drie uur nodig om een afstand af te leggen met een gemiddelde snelheid van 12 km/h. Hoeveel tijd heeft een auto nodig om dezelfde afstand af te leggen met een gemiddelde snelheid van 60 km/h?
Antwoordzin:
48 Om de bekerfinale voetbal in het Koning Boudewijnstadion te zien, wil de directeur een autobus van 45 plaatsen inleggen. Als de bus helemaal vol zit, moet iedereen 7,60 euro vervoerskosten betalen. Op de dag van de finale haken 7 personen af. Hoeveel moet iedereen meer betalen dan eerst voorzien?
Antwoordzin:
49 Om een podium op te bouwen, voorziet de podiumbouwer anderhalf uur als er met 6 personen gebouwd kan worden. Hoeveel extra manschappen moet de podiumbouwer zien te vinden om het werk zeker in één uur af te hebben?
Antwoordzin:
50 Een stok die 1,3 m boven de grond uitsteekt, heeft een schaduw van 85 cm. Wat is de hoogte van een boom die op datzelfde moment een schaduw heeft van 3,35 m? Rond af op 0,01 nauwkeurig.
Antwoordzin:
51 In een opvangcentrum verblijven 1 345 vluchtelingen. Er is genoeg voorraad voorzien om iedereen 20 dagen eten te geven. Er vertrekken 198 mensen en er komen 22 nieuwe mensen bij. Hoeveel dagen kan men iedereen dan van eten voorzien?
Antwoordzin:
52 Waterpomp A heeft een debiet van 125 liter per minuut en pompt een vijver leeg in 4 uur. Wanneer zal pomp B, met een debiet van 80 liter per minuut, de vijver weer gevuld hebben, als het nu 10.20 u. is?
Antwoordzin:
53 De bromfiets van Melissa heeft een benzinetank van negen liter en verbruikt 3,2 liter per 100 km. Na het voltanken heeft ze al 216 km gereden. Hoe ver kan ze nu nog rijden?
Antwoordzin:
REEKS C
54 Een atletiekpiste wordt aangelegd door 12 arbeiders in 33 dagen van 8 werkuren. Hoeveel dagen duurt het werk met 4 extra arbeiders en met voor iedere arbeider werkdagen van 9 werkuren?
Antwoordzin:
55 Acht kippen leggen acht eieren in acht dagen. Hoeveel eieren leggen zestien kippen in zestien dagen?
Antwoordzin:
56 Vier laserprinters kunnen 384 facturen afdrukken in 12 minuten. Hoeveel minuten duurt het om met zes printers 432 facturen af te drukken?
Antwoordzin:
9.4.1 Schaal
Schaalmodellen
In MiniEuropa werden bekende Europese gebouwen op schaal nagebouwd. Rechts zie je de Arc de Triomphe in Parijs en links de kleine versie in MiniEuropa.
schaal = afmetingen op het schaalmodel afmetingen in werkelijkheid
Die constante verhouding is de evenredigheidsfactor. In dit geval is dat Bepaal de ontbrekende afmetingen.
afmetingen op het schaalmodel afmetingen in werkelijkheid 1 m
m
m 1,8 m
Gelijkvormige figuren
Welke foto heeft dezelfde vorm als het origineel? Bepaal de gevraagde verhoudingen.
Wat stel je vast?
Oefeningen
REEKS A
57 Bepaal de gebruikte schaal.
origineel schaal
REEKS B
58 Alle maquettes in Mini-Europa zijn gebouwd op schaal 1 : 25. Los de volgende vragen op.
a) Hoe hoog is de Big Ben, als je weet dat hij in MiniEuropa 3,28 meter hoog is?
b) Wat is de lengte van het Parthenon, als die lengte in MiniEuropa 2,8 meter bedraagt?
c) Wat is de breedte van de Brandenburger Tor in MiniEuropa, als je weet dat die breedte in werkelijkheid 65 meter bedraagt?
d) Wat is de hoogte van de toren van Pisa in MiniEuropa, als je weet dat die hoogte in werkelijkheid 55 meter is?
e) Wat is de hoogte van het Atomium in MiniEuropa, als je weet dat die hoogte in werkelijkheid 100 meter is?
59 In Ieper kun je de Menenpoort, die 40 m breed is, bezichtigen. Blinden en slechtzienden kunnen op een miniatuurversie voelen hoe de Menenpoort eruitziet. De miniatuurversie werd gemaakt in brons op schaal 1 : 50. Hoe breed is de maquette?
Antwoordzin:
60 Het plan van ons huis is getekend op schaal 1 : 50. Op dat plan is onze woonkamer 16 cm lang. Wat is de werkelijke lengte van de woonkamer in m?
Antwoordzin:
61 Is de rechthoek gelijkvormig aan het origineel? Vink aan. Bepaal de schaal bij de gelijkvormige rechthoeken.
origineel
schaal
62 Je downloadt een afbeelding van het internet met afmetingen 2 040 × 1 360. Is die gelijkvormig met een fotokader van 10 cm op 15 cm?
Antwoordzin:
REEKS C
63 Welke balk is een schaalmodel van B1? Vink aan en bepaal de schaal.
Schaal:
9.4.2
Massadichtheid
De massadichtheid of soortelijke massa van een stof is een maat voor de massa van een bepaald volume van een stof.
De massadichtheid wordt uitgedrukt in kg/m3 of kg/dm3
Voorbeeld
De massa m (bij een kamertemperatuur van 20 °C) van verschillende volumes V baksteen is in de tabel voorgesteld.
Het quotiënt van de massa en het volume is constant. Die constante is de massadichtheid (��). Bij massadichtheid zijn de grootheden massa en volume recht evenredig.
Formule: �� = m V
Onderstaande tabel geeft een overzicht van de massadichtheid van een aantal vaste stoffen en vloeistoffen uitgedrukt in kg/dm3.
• De massadichtheid van water is 1 kg/dm3. Eén liter water weegt dus precies 1 kg.
• Stoffen met een massadichtheid kleiner dan 1 kg/dm3 drijven op water.
• De massadichtheid moet berekend worden bij een constante temperatuur. Bepaalde stoffen zetten bij een hogere temperatuur immers uit waardoor het volume verandert.
Oefeningen
REEKS A
64 Bepaal de massa van 3,5 dm3 glas.
Zoek hiervoor de massadichtheid van glas op in de tabel.
volume (in dm3) massa (in kg)
Antwoordzin:
65 Welk volume heeft een stuk piepschuim met een massa van 0,6 kg?
Zoek hiervoor de massadichtheid van piepschuim op in de tabel.
volume (in dm3) massa (in kg)
Antwoordzin:
66 Een halve m3 van een stof weegt precies 3,68 ton.
Hoeveel ton weegt 2,2 m3 van deze stof? Rond af op 0,01 nauwkeurig.
volume (in ) massa (in )
Antwoordzin:
REEKS B
67 Een volle kubus kurk met een inhoud van 3 dm3 weegt 0,72 kg.
Hoeveel gram weegt dan een wijnkurk met een volume van 50 cm3?
volume (in cm3) massa (in kg)
Antwoordzin:
68 De grote betonblok weegt 34 kg. Hoeveel weegt de kleinere versie van deze betonblok? Rond af op de eenheid.
69 Je boort met een boor met diameter 3 cm in een balkvormig stuk aluminium. Hoeveel gram weegt het stuk? Rond af op de eenheid.
Antwoordzin:
REEKS C
70 De olympische medailles hebben een diameter van 85 mm en een dikte van 9,2 mm. Wat is het verschil in massa (g) tussen een gouden en een zilveren medaille? Rond af op de eenheid.
Antwoordzin:
Voorbeeld
Tijdens de zomervakantie trekken jullie naar het zuiden. Pa legt een afstand (s) van 90 km af in een tijd (t) van 1 uur.
tijd (t) in uur afgelegde weg (s) in kilometer quotiënt s t = v
Het quotiënt van de afgelegde weg en de tijd is constant. Die constante is de snelheid (v). Bij een constante snelheid zijn de grootheden afgelegde weg en tijd recht evenredig.
Formule: v = s t
Tabel
Vul de tabel aan.
GEOGEBRA
Grafiek
Teken de punten in het assenstelsel en verbind. t in uur s in km coördinaat
Oefeningen
REEKS B
71 Bij welke van de onderzochte wagens zijn tijd en afstand recht evenredig? Vink aan.
wagentijd (in uur)00,511,52510RE
aafstand (in km)015304560150300 r
bafstand (in km)0255075100250500 r
cafstand (in km)03570115140350700 r
dafstand (in km)04590135270450900 r
eafstand (in km)0601201802406001 200 r
72 Welke grafieken stellen een constante snelheid voor? Vink aan.
a) s t c) s t
constante snelheid r constante snelheid r
b) s t d) s t
constante snelheid r constante snelheid r
73 Bepaal van elke fietser de snelheid. 34 5 21
t(inuur)
Snelheid Amber:
Snelheid Brahim:
Snelheid Cyriel:
Snelheid Dina:
74 Karim doet mee aan een wandeltocht. Het verloop van zijn snelheid vind je in de grafiek. Zijn de uitspraken juist of fout?
s (in km)
(in uur) juistfout
a)Hij wandelt gedurende drie uur aan precies 5 km/h. rr
b)Zijn hoogste snelheid is 10 km/h. rr
c)Hij rust tussendoor anderhalf uur. rr
d)Zijn gemiddelde snelheid is 5 km/h. rr
Diagrammen
STUDIEWIJZER Evenredigheden
9.1 Verhouding en evenredigheid
KENNEN
Een verhouding is een quotiënt dat het verband tussen twee grootheden weergeeft.
Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen.
3. Welk getal hoort op de plaats van het vraagteken?
2. 60 % van de leerlingen van klas 2A heeft een hond als huisdier. Als de leraar vraagt wie een hond als huisdier heeft, steken 15 leerlingen hun hand in de lucht. Hoeveel leerlingen zitten er in klas 2A?
4. Timo fietst met een snelheid van 18 km/h. Hij vertrekt om 14.30 uur. Hij wil een afstand van 27 km afleggen. Hoe laat komt Timo op zijn bestemming aan?
HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN
10.1 Som van de hoeken van een vierhoek
Op onderzoek
Emme heeft foto’s ingelijst. Meet de hoeken van de kaders. Maak de som van de hoeken.
Eigenschap
De som van de hoeken van een vierhoek is
Bewijs tekening gegeven
Verdeel de vierhoek in twee driehoeken.
vierhoek ABCD te bewijzen
bewijs
(som van de hoeken van een driehoek) (som van de hoeken van een driehoek)
(de optelling is commutatief) besluit
De som van de hoeken van een vierhoek is
Oefeningen
REEKS A
1 Meet de hoeken van de vierhoeken. Maak de som van de hoekgroottes. Formuleer de eigenschap die je met deze voorbeelden aantoont.
Eigenschap:
REEKS B
2 Bepaal de vierde hoek zonder te meten. a)
3 Juist of fout?
Er bestaat een vierhoek juistfout
a) met twee stompe hoeken.
b) met meer dan twee scherpe hoeken.
c) waarvan de som van de hoeken groter is dan 360°.
d) met maar één scherpe hoek.
e) met drie stompe hoeken.
f) met juist één rechte hoek.
4 Bereken de vierde hoek van de vierhoek KERS.
5 Bereken de gevraagde hoeken.
REEKS C
6 ABCD is een vierhoek. Bereken de hoeken.
7 Som van de hoeken van een veelhoek.
Om de som van de hoeken van een veelhoek te bepalen, verdeel je de veelhoek in een aantal driehoeken, door vanuit één hoekpunt alle diagonalen te tekenen.
De som van de hoeken van een driehoek is altijd
aantal hoekpunten:
aantal driehoeken:
som van de hoeken:
aantal hoekpunten:
aantal driehoeken: som van de hoeken: b) d)
aantal hoekpunten:
aantal driehoeken:
som van de hoeken:
In hoeveel driehoeken kan je een n-hoek verdelen?
aantal hoekpunten:
aantal driehoeken:
som van de hoeken:
Hoe bereken je de som van de hoeken van een n-hoek?
In een n-hoek is de som van de hoeken (hoekensom) gelijk aan
8 Bereken de som van de hoeken in de volgende veelhoeken. a) twaalfhoek b) twintighoek c) honderdhoek
Inleiding
Definitie Trapezium
Een trapezium is Benamingen
De evenwijdige zijden
• grote basis:
• kleine basis:
Eigenschap
Bijzondere trapezia
De opstaande zijden: en
Teken en meet de diagonalen van de trapezia. Wat stel je vast?
De diagonalen van een gelijkbenig trapezium
Oefeningen
REEKS A
9 Kleur de trapezia.
REEKS B
10 Teken telkens een trapezium waarvan de gegeven lijnstukken zijden zijn.
a) een rechthoekig trapezium b) een gelijkbenig trapezium
11 Teken twee gelijkbenige trapezia. Meet daarna de hoeken.
a) b)
Wat stel je vast?
In een gelijkbenig trapezium zijn de hoeken aan eenzelfde basis
12 Bepaal de ontbrekende hoeken van de trapezia zonder te meten.
Welke eigenschappen gebruik je om de hoeken te bepalen?
13 Bewijs de eigenschap.
In een gelijkbenig trapezium zijn de diagonalen even lang.
tekening gegeven
ABCD is een gelijkbenig trapezium met
AB DC
• AB ⫽ CD
• | AD | = | BC |
te bewijzen
| AC | = | BD | bewijs
besluit
In een gelijkbenig trapezium zijn de diagonalen even lang.
10.3 Parallellogram
10.3.1 Inleiding
Definitie Parallellogram
Een parallellogram is
Op onderzoek
• zijden
GEOGEBRA
Eigenschap
Teken een willekeurig parallellogram. Meet de zijden.
In een parallellogram zijn
Teken een vierhoek ABCD met | AB | = | CD | = 5 cm en | BC | = | AD | = 4 cm
Als in een vierhoek
GEOGEBRA
Eigenschap
• hoeken
Teken een willekeurig parallellogram. Meet de hoeken.
Teken een vierhoek ABCD met A ∧ = C ∧ = 70° en B ∧ = D ∧ = 110°.
Eigenschap
In een parallellogram zijn
• diagonalen
Teken een willekeurig parallellogram. Teken de diagonalen en bepaal van elke diagonaal het midden.
Als in een vierhoek
Teken een vierhoek ABCD met S als snijpunt van de diagonalen en | AS | = | CS | = 25 mm en | BS | = | SD | = 35 mm.
In een parallellogram
Als in een vierhoek
10.3.2 Zijdenkenmerk van een parallellogram
Eigenschap
Als een vierhoek een parallellogram is, dan zijn de overstaande zijden even lang.
tekening
Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.
| AB | = | CD | en | BC | = | DA | te bewijzen te bewijzen
| AB | = | CD | en | BC | = | DA |
ABCD is een parallellogram. bewijs bewijs
Teken de diagonaal [AC].
ABC CDA verklaring
H A ∧ 1 = C ∧ 1
verwisselende binnenhoeken bij
AB ⫽ CD en snijlijn AC
Z | AC | = | AC | gemeenschappelijke zijde
H C ∧ 2 = A ∧ 2
verwisselende binnenhoeken bij AD ⫽ BC en snijlijn AC
volgens kenmerk HZH is
ABC ≅ CDA ⇓ def. ≅ | AB | = | CD | en | BC | = | DA |
Teken de diagonaal [AC].
ABC CDA verklaring
Z | AB | = | CD | gegeven
Z | BC | = | DA | gegeven
Z | CA | = | AC | gemeenschappelijke zijde
volgens kenmerk ZZZ is ABC ≅ CDA ⇓ def. ≅ A ∧ 1 = C ∧ 1 en C ∧ 2 = A ∧ 2 ⇓
omgekeerde eigenschap bij twee evenwijdigen en een snijlijn
AB ⫽ CD en BC ⫽ DA ⇓ def. parallellogram
ABCD is een parallellogram. besluit besluit
ABCD is een parallellogram ⇒ | AB | = | CD | en | BC | = | DA |
| AB | = | CD | en | BC | = | DA | ⇒ ABCD is een parallellogram.
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn.
ABCD is een parallellogram ⇔ | AB | = | CD | en | BC | = | DA |
10.3.3 Hoekenkenmerk van een parallellogram
Eigenschap
Kenmerk
Als een vierhoek een parallellogram is, dan zijn de overstaande hoeken even groot.
tekening
gegeven
ABCD is een parallellogram.
Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.
tekening
gegeven
A ∧ = C ∧ en B ∧ = D ∧ te bewijzen te bewijzen
A ∧ = C ∧ en B ∧ = D ∧
ABCD is een parallellogram. bewijs bewijs
BC ⫽ DA definitie AB ⫽ CD parallellogram
binnenhoeken aan dezelfde kant van ⇓ de snijlijn bij twee ⇓ evenwijdigen en een snijlijn zijn supplementair
A ∧ + B ∧ = 180° B ∧ + C ∧ = 180°
A ∧ = 180° – B ∧
Op dezelfde manier kun je bewijzen dat B ∧ = D ∧ A ∧ + B ∧ + C ∧ + D ∧ = 360°
som van de hoeken van een vierhoek
∥ gegeven
( A ∧ + B ∧) + ( A ∧ + B ∧) = 360°
2 ⋅ ( A ∧ + B ∧) = 360°
⇓ beide leden : 2
A ∧ + B ∧ = 180° ⇓
AD ⫽ BC
Op dezelfde manier kun je bewijzen dat AB ⫽ CD
AD ⫽ BC en AB ⫽ CD
supplementaire binnenhoeken aan dezelfde kant van een snijlijn bepalen twee evenwijdigen
⇓ def. parallellogram
ABCD is een parallellogram.
besluit besluit
ABCD is een parallellogram.
⇒ A ∧ = C ∧ en B ∧ = D ∧
Een vierhoek is een parallellogram
A ∧ = C ∧ en B ∧ = D ∧
⇒ ABCD is een parallellogram.
als en slechts als de overstaande hoeken even groot zijn.
ABCD is een parallellogram ⇔
A ∧ = C ∧ en B ∧ = D ∧
10.3.4 Diagonalenkenmerk van een parallellogram
Eigenschap
Kenmerk
Als een vierhoek een parallellogram is, dan snijden de diagonalen elkaar middendoor.
tekening
gegeven
ABCD is een parallellogram.
M is het snijpunt van [AC] en [BD].
Als in een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor snijden, dan is die vierhoek een parallellogram.
tekening
gegeven
M is het snijpunt van [AC ] en [BD ] | AM | = | MC | en | BM | = | MD | te bewijzen te bewijzen
| AM | = | MC | en | BM | = | MD |
ABCD is een parallellogram. bewijs bewijs
verwisselende binnenhoeken bij
AB ⫽ CD en snijlijn AC
Z | AB | = | CD | overstaande zijden van een parallellogram zijn even lang
H B ∧ 2 = D ∧ 2 verwisselende binnenhoeken bij
AB ⫽ CD en snijlijn BD ABC CDA verklaring
volgens kenmerk HZH is AMB ≅ CMD ⇓ def. ≅
| AM | = | MC | en | BM | = | MD |
Z | AM | = | CM | gegeven
H M ∧ 1 = M ∧ 2 overstaande hoeken
Z | MB | = | MD | gegeven
volgens kenmerk Op dezelfde manier ZHZ is kun je aantonen dat AMB ≅ CMD BMC ≅ DMA ⇓ def. ≅ ⇓ A ∧ 1 = C ∧ 1 A ∧ 2 = C ∧ 2 omgekeerde ⇓ eigenschap bij ⇓ twee evenwijdigen en een snijlijn
AB ⫽ CD en BC ⫽ DA ⇓ def. parallellogram
ABCD is een parallellogram. besluit besluit
ABCD is een parallellogram.
⇒ | AM | = | MC | en | BM | = | MD |
| AM | = | MC | en | BM | = | MD |
⇒ ABCD is een parallellogram.
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de diagonalen elkaar middendoor snijden.
ABCD is een parallellogram M is het snijpunt van [AC] en [BD]
en | BM | = | MD |
Oefeningen
REEKS A
14 Noteer de overstaande zijden en de overstaande hoeken van het parallellogram. overstaande zijden en en overstaande hoeken en en
15 Bepaal de lengte van de andere zijden (opgave a) en de grootte van de andere hoeken (opgave b) van het parallellogram zonder te meten.
Formuleer de eigenschap die je daarvoor gebruikt. a) H 5 cm 3 cm A
REEKS B
b)
P 45° 135°
O
16 Juist of fout? juistfout
a) Een vierhoek met even lange diagonalen is een parallellogram.
b) Er bestaan parallellogrammen met vier scherpe hoeken.
c) De diagonalen van een parallellogram snijden elkaar middendoor.
d) Er bestaan parallellogrammen met vier verschillende zijden.
e) Een vierhoek met vier even lange zijden is een parallellogram.
f) Er bestaan parallellogrammen met juist één stompe hoek.
g) In parallellogram VONK stelt [ON] een zijde voor.
17 Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een parallellogram is? Vink aan.
a) d) g)
r parallellogram r parallellogram r parallellogram
b) e) h)
r parallellogram r parallellogram r parallellogram
c) f) i)
r parallellogram r parallellogram r parallellogram
18 Teken een parallellogram en beantwoord de vragen.
Met welke eigenschap kun je die vaststelling verklaren?
Meet alle hoeken.
Wat stel je vast als je de groottes van de hoeken aan eenzelfde zijde optelt?
19 Bereken de overige hoeken van het parallellogram RUPS.
d) 130°h)39°
20 Teken
a) een parallellogram MELK met
| ME | = 3 cm, | EL | = 4 cm en E ∧ = 60°
c) een parallellogram WIJN met | WN | = 4 cm, | JN | = 5 cm en W ∧ = 60°
b) een parallellogram BIER met | BE | = 5 cm en | IR | = 3 cm.
d) een parallellogram COLA met | CL | = 6 cm, | CO | = 4 cm en | CA | = 3 cm.
21 Constructie van een parallellogram
gegeven
• c1 (M, 2 cm)
• middellijn AB van c1 (M, 2 cm)
• c2 (M; 1,5 cm)
• middellijn CD (CD AB) van c2 (M; 1,5 cm)
Teken de vierhoek ACBD.
Welke vierhoek is ACBD?
Welke eigenschap pas je toe in deze constructie?
22 Vierhoek SLAK is een parallellogram. Bereken de gevraagde hoeken.
LQ is de deellijn van L ∧ en KP is de deellijn van K ∧
REEKS C
23 Bereken.
a) parallellogram REST met een omtrek van 96 cm en | RE | = 3 ⋅ | ES | Bereken | ST |
b) parallellogram STER met | ST | + 2 | TE | = 10 cm en | ER | + 3 ⋅ | TE | = 12 cm Bereken | RS |
10.4.1 Inleiding
Definitie Rechthoek
Een rechthoek is
Eigenschap
Elke rechthoek is ook een parallellogram. Verklaar die uitspraak.
Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram, gelden dus ook voor een rechthoek.
In een rechthoek zijn de overstaande zijden
Eigenschap In een rechthoek zijn de overstaande hoeken
Eigenschap
De diagonalen van een rechthoek
Het omgekeerde van die eigenschappen is niet altijd geldig.
10.4.2 Eigenschap van de diagonalen van een rechthoek
Op onderzoek
Meet de diagonalen van de rechthoeken.Meet de diagonalen van de vierhoeken.
tekening gegeven AB DC ABCD is een rechthoek. te bewijzen | AC | = | BD | bewijs ACD BDC verklaring
Z | AD | = | BC | overstaande zijden in een rechthoek
H D ∧ = C ∧ definitie rechthoek
Z | DC | = | CD | gemeenschappelijke zijde
Volgens kenmerk ZHZ is ACD ≅ BDC ⇒ | AC | = | BD | besluit
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.
Oefeningen
REEKS A
24 Meet de zijden en de hoeken van de rechthoeken. Plaats gelijke merktekens. Formuleer de eigenschappen die je met deze voorbeelden aantoont.
Eigenschap 1:
Eigenschap 2:
25 Teken en meet de diagonalen van de rechthoek GENK. Bepaal het midden S van de diagonalen. Plaats gelijke merktekens. Formuleer de eigenschappen die je met dit voorbeeld aantoont.
26 Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een rechthoek is? Vink aan.
r rechthoek r rechthoek r rechthoek
b) e) h)
r rechthoek r rechthoek r rechthoek
c) f) i)
r rechthoek r rechthoek r rechthoek
27 Juist of fout?
a) Een vierhoek met even lange diagonalen is altijd een rechthoek.
b) Ieder parallellogram is een rechthoek.
c) Een vierhoek met even lange overstaande zijden is altijd een rechthoek.
d) De diagonalen van een rechthoek snijden elkaar middendoor.
e) Iedere rechthoek is een parallellogram.
f) In een rechthoek zijn de overstaande hoeken even groot.
g) In de rechthoek BOEM stelt [OM] een diagonaal voor.
juistfout
a) een rechthoek PINK met | PN | = 5 cm.
b) een rechthoek DUIM met | DU | = 4 cm en | UM | = 6 cm
29 Welke figuren zijn de voorstelling van de diagonalen van een rechthoek? Vink aan. a) b) c) d)
30 Teken
r rechthoek r rechthoek r rechthoek r rechthoek
a) een vierhoek met diagonalen van 4 cm die geen rechthoek is.
b) een vierhoek met twee paar even lange overstaande zijden die geen rechthoek is.
31 Hoeveel rechthoeken kun je tekenen waarvan alle hoekpunten op c (M, 2 cm) liggen?
a) [AB] is een zijde van de rechthoek.
b) [AB] is een diagonaal van de rechthoek.
c) [AB] is een zijde van de rechthoek.
32 Teken
a) een cirkel die door alle hoekpunten van de rechthoek ABCD gaat.
b) een rechthoek ABCD waarvan alle hoekpunten op de cirkel liggen.
33 Bereken de gevraagde hoeken in de rechthoek
34 Lasse wil een tuinhuisje van 3 meter bij 4 meter zetten. Voor de betonnen grondplaat moet hij eerst een rechthoekige put van 30 cm diep graven. Met enkele stokken en een touw zet hij eerst een rechthoek uit. Kan hij met de onderstaande metingen controleren of de put rechthoekig is?
Vink aan en verklaar kort je antwoord.
a) Hij meet de zijden en controleert of de overstaande zijden 3 en 4 meter zijn. r juist r fout
b) Hij meet de diagonalen en controleert of die even lang zijn. r juist r fout
c) Hij meet de zijden en controleert of de overstaande zijden 3 en 4 meter zijn en hij meet de diagonalen en controleert of die even lang zijn. r juist r fout
REEKS C
35 Bereken.
a) Rechthoek POST heeft een omtrek van 24 cm en | PO | = 3 ⋅ | OS | Bereken | PO |
b) Rechthoek STOP heeft een oppervlakte van 1 125 cm 2 en | ST | = 5 ⋅ | TO | Bereken | ST |
36 Bewijs de eigenschap.
Een parallellogram waarvan de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek.
tekening gegeven
ABCD is een parallellogram.
| AC | = | BD | S is het snijpunt van de diagonalen.
te bewijzen
ABCD is een rechthoek.
bewijs
besluit
Een parallellogram waarvan de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek.
37 Teken de rechthoek.
Rechthoek BLAD heeft een omtrek van 16 cm en 15 | BL | = 9 | LA |
berekeningen:
Definitie Ruit
Eigenschap
Een ruit is
Elke ruit is ook een parallellogram. Verklaar die uitspraak.
In een ruit zijn de overstaande zijden
Eigenschap In een ruit zijn de overstaande hoeken
Eigenschap De diagonalen van een ruit
Het omgekeerde van die eigenschappen is niet altijd geldig.
Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram, gelden dus ook voor een ruit.
10.5.2 Eigenschap van de diagonalen van een ruit
Op onderzoek
Onderzoek de onderlinge ligging van de diagonalen van de ruiten.
Onderzoek de onderlinge ligging van de diagonalen van de vierhoeken.
Eigenschap
Wat stel je vast?
De diagonalen van een ruit
Wat stel je vast?
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
In symbolen: ABCD is een ruit ⇒ [AC ] ⊥ [BD ]
Bewijs
tekening gegeven
GEOGEBRA def. ≅ nevenhoeken
Als in een vierhoek de diagonalen
ABCD is een ruit. S is het snijpunt van de diagonalen.
te bewijzen [AC ] ⊥ [BD ]
bewijs ASD ASB verklaring
Z | AS | = | AS | gemeenschappelijke zijde
Z | SD | = | SB | in een ruit snijden de diagonalen elkaar middendoor
Z | DA | = | BA | definitie ruit
Volgens kenmerk ZZZ is ASD ≅ ASB ⇒ S ∧ 1 = S ∧ 2 ⇒ S ∧ 1 = S ∧ 2 = 90°
besluit
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
Oefeningen
REEKS A
38 Meet de zijden en de hoeken van de ruiten. Plaats gelijke merktekens. Formuleer de eigenschappen die je met deze voorbeelden aantoont.
Eigenschap 1:
Eigenschap 2:
39 Teken en meet de diagonalen van de ruit. Plaats gelijke merktekens. Bepaal het midden S van de diagonalen. Onderzoek de onderlinge ligging van de diagonalen. Formuleer de eigenschappen die je met dit voorbeeld aantoont.
Eigenschap:
Eigenschap:
40 Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een ruit is? Vink aan.
41 Juist of fout?
ruit
ruit
ruit
ruit
ruit
juistfout
a) Elke ruit is een parallellogram.
b) De diagonalen van een ruit kunnen even lang zijn.
c) Een parallellogram met even lange diagonalen is altijd een ruit.
d) Een vierhoek met loodrechte diagonalen is altijd een ruit.
e) Een ruit heeft twee paar evenwijdige zijden.
f) In een ruit snijden de diagonalen elkaar middendoor.
g) In de ruit VLAM is [LM] een zijde.
a) een ruit EPOS met een omtrek van 20 cm.
c) een ruit SOEP met | SE | = 6 cm en | OP | = 4 cm.
b) een ruit POES met | PE | = 6 cm en | PO | = 4 cm.
d) een vierhoek POSE die geen ruit is met | PS | = 6 cm, | OE | = 4 cm en [PS ] ⊥ [OE ]
43 Teken
a) een ruit waarvan [AB ] een zijde is.
b) een ruit waarvan [AB ] een diagonaal is.
42 Teken
44 Bewijs de eigenschap.
Een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan, is een ruit.
tekening
gegeven
ABCD is een parallellogram.
[AC ] ⊥ [BD ]
S is het snijpunt van de diagonalen. te bewijzen
ABCD is een ruit.
bewijs
besluit
Een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan, is een ruit.
45 Ruit ABCD heeft een omtrek van 60 cm, een oppervlakte van 216 cm 2 en 3 | AC | = 4 | BD |. Teken de ruit op schaal 1 6
Berekeningen:
Definitie Vierkant
Een vierkant is Elk vierkant is ook een parallellogram. Verklaar die uitspraak.
Eigenschap
Eigenschap
Eigenschap
Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram, gelden dus ook voor een vierkant.
In een vierkant zijn de overstaande zijden
In een vierkant zijn de overstaande hoeken
De diagonalen van een vierkant
Het omgekeerde van die eigenschappen is niet altijd geldig.
10.6.2 Kenmerk van de diagonalen van een vierkant
Eigenschap
• Een vierkant is een rechthoek, want een vierkant heeft
De eigenschappen van de diagonalen van een rechthoek gelden dus ook voor een vierkant.
• Een vierkant is een ruit, want een vierkant heeft
De eigenschappen van de diagonalen van een ruit gelden dus ook voor een vierkant.
a) een rechthoek VERF met een oppervlakte van 16 cm2 en loodrechte diagonalen.
b) een ruit INKT met een omtrek van 14 cm en even lange diagonalen.
51 In een vierkante tuin wordt een grasveld aangelegd. Op vier meter rechts van elk hoekpunt wordt een paaltje in de grond geslagen. Door die paaltjes te verbinden, verkrijg je een vierhoekig grasveld.
Teken alle mogelijke symmetrieassen van de volgende vierhoeken. Bepaal het aantal. Vink aan of de symmetrieassen diagonalen of middelloodlijnen van de vierhoek zijn.
Een vierkant is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken en vier even lange zijden.
In een vierkant zijn de overstaande zijden even lang.
In een vierkant zijn de overstaande hoeken even groot.
De diagonalen van een vierkant snijden elkaar middendoor.
Een vierhoek is een vierkant als en slechts als de diagonalen en elkaar middendoor snijden en even lang zijn en loodrecht op elkaar staan.
KUNNEN
Het diagonalenkenmerk van een vierkant bewijzen.
De eigenschappen toepassen om vierkanten te tekenen.
10.7
Symmetrie in een vierhoek
Een symmetrieas van een figuur is de as van een spiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.
De middelloodlijn van de basissen van een gelijkbenig trapezium is de symmetrieas van dat gelijkbenig trapezium.
De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn de symmetrieassen van die rechthoek.
De diagonalen van een ruit zijn symmetrieassen van die ruit.
De diagonalen en de middelloodlijnen van de zijden van een vierkant zijn de symmetrieassen van dat vierkant.
Het symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van een puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.
Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram is het symmetriemiddelpunt van dat parallellogram.
KUNNEN
Eigenschappen over de symmetrie in een vierhoek bewijzen.
De eigenschappen toepassen om vierhoeken te tekenen.
10.8 Classificatie van vierhoeken
KUNNEN
Vierhoeken classificeren op basis van de eigenschappen van zijden en hoeken, hun diagonalen en het aantal symmetrieassen.
Pienter Rekenen
Problemen uit Kangoeroe en JWO
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken opsplitsen in deelproblemen eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken
1.In driehoek ABC is BH de hoogtelijn uit B en AD de deellijn van A ∧ De scherpe hoek tussen AD en BH is dubbel zo groot als de hoek D A ∧ B Hoe groot is de hoek C A ∧ B?
A) r 40°B) r 45°C) r 60°D) r 75°E) r 90°
2.Astor heeft zondagavond 66 luizen in zijn haar. Elke ochtend behandelt hij zijn haar, waardoor het aantal luizen drie keer kleiner wordt en er nog drie extra sterven. ’s Avonds is het aantal luizen verdubbeld en is er één extra bijgekomen.
Op welke ochtend is Astor na de behandeling van al zijn luizen verlost?
A) r woensdagB) r donderdagC) r vrijdagD) r zaterdagE) r zondag
3. 8 cm
De tekening toont een uitgevouwen balk. Wat is het volume van die balk?
4.Een rechthoekige puzzel van 1 000 stukjes telt 25 stukjes op elke verticale lijn en 40 op elke horizontale lijn. Hoeveel procent van de stukjes ligt op de rand?
A) r 11 %B) r 11,4 %C) r 12 %D) r 12,6 %E) r 13 %
HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
GEHELE EXPONENT
11.1 Machten met een gehele exponent
Macht van een product en van een quotiënt
11.1 Machten met een gehele exponent
11.1.1 Inleiding
Hieronder vind je een aantal foto’s. De centrale foto A werd op een afstand van 1 m gemaakt. Alle andere foto’s zijn dichter of verder genomen.
Plaats de letter van de foto bij de overeenstemmende afstand op de volgende pagina.
Grote getallen kun je schrijven als een macht van tien met een positieve exponent. Ook kleine getallen kun je schrijven als een macht van tien, maar dan met een negatieve exponent.
een harde schijf van 1 terabyte aluminiumfolie van 11 micrometer dik een elektriciteitscentrale van 800 megawatt
voorvoegselsymboolmacht van 10voorvoegselsymboolmacht van 10
11.1.2 Machten met een negatieve exponent
Vul de tabel aan.
REKENMACHINE
Bereken 2 –3 = Vul de tabel aan.
Definitie Macht met een negatieve exponent
Lees: a tot de min nde (macht) of de min nde macht van a
Twee tot de min derde of de min derde macht van twee
Voorbeelden
11.1.3 Machten met een gehele exponent
Machten met positieve en negatieve exponenten vormen samen machten met gehele exponenten.
2 Vul aan. machtsverheffing grondtal exponent a) 10 –4 b) (–2)–3
3 Bereken de volgende machten van 10. a) 10 –1 = b) 10 –2 = c) 10 –4 =
Tel het aantal nullen bij de decimale vorm. Wat stel je vast?
4 Schrijf als een macht van 10. a) 0,1 = b) 0,001 = c) 1 000 000 =
REEKS B
5 Schrijf als een macht van tien of van twee met een negatieve exponent.
a) 1 8 = c) 1 4 = e) 1 32 = b) 1 1 000 = d) 1 100 000 = f) 1 10 =
6 Schrijf met een positieve exponent en bereken.
7 Is het resultaat 1 of −1?
8 Schrijf indien nodig met een positieve exponent en bereken.
9 Noteer als een macht van 10.
REEKS C
10 Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord. juistfout
a) 2 –3 is een negatief getal. N I
b) 2 –3 = –8 D C
c) ( 1 2 ) −3 = − 8 H N d) ( 4 7 ) 2 = ( 7 4 ) −2 M A e) ( 5 6 ) −2 = − 36 25 P S
Woord:
11 Vul in.
( 5 4 ) = 16 25
(–2) = ( 1 8 )
12 Schrijf met een positieve exponent en bereken indien mogelijk. De letters stellen rationale getallen verschillend van nul voor. a) (– a) –3 = b) ( 2 b ) –2 = c) ( c 3 ) –4 =
11.2 Bewerkingen van machten met hetzelfde grondtal
De rekenregels voor machten met hetzelfde grondtal met een positieve exponent gelden ook voor negatieve exponenten.
11.2.1 Product
Rekenregel Product van machten met hetzelfde grondtal
11.2.2 Quotiënt
Rekenregel Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal
11.2.3 Macht
Rekenregel Macht van een macht
Oefeningen
REEKS A
13 Schrijf de volgende producten als één macht en bereken.
14 Schrijf de volgende quotiënten als één macht en bereken.
15 Schrijf als één macht en bereken.
16 Schrijf als één macht en bereken.
REEKS B
17 Schrijf als één macht en bereken.
18 Schrijf als één macht en bereken.
19 Is het resultaat 1 of −1?
20 Schrijf als één macht en bereken.
(–2,4) : (–2,4)–1
21 Schrijf als een bewerking met machten van hetzelfde grondtal en bereken.
a) 2 3 1 32
0,01 : (–10)7
22 Schrijf als één macht met een positieve exponent. De letters stellen rationale getallen verschillend van nul voor.
(b 3)–1
23 Schrijf als één macht. De letters stellen gehele getallen verschillend van nul voor.
11.3.1 Macht van een product en van een quotiënt met getallen
Inleiding
Kleur telkens de zeepbel met dezelfde waarde als de opgave onder de cartoon.
Om een product tot een macht te verheffen, moet je
Voorbeelden (2 5)3 (5 3)–2 = =
Opmerking
Deze rekenregel kun je gebruiken om grote getallen makkelijker tot een macht te verheffen.
400 2 =
Rekenregel Vul aan.
(2 : 3)3 = ( 2 3 ) 3
Vaststelling: ( 2 3 ) 3 = 2 3
Om een quotiënt tot een macht te verheffen, moet je
Voorbeelden ( 5 6 ) 2 ( 2 5 ) −3 = =
Opmerking
Om een breuk tot een macht met negatieve exponent te verheffen, pas je eerst de definitie van machten met een negatieve exponent toe. ( 3 2 ) −2 = ( 2 3 ) 2 =
11.3.2
Macht van een product en van een quotiënt met letters
Macht van een product
Voorbeeld
Verklaring Rekenregel
Voorbeeld
Verklaring
Oefeningen
REEKS A
24 Schrijf als een product van machten en bereken.
(10 2)2
25 Schrijf als een quotiënt van machten en bereken.
REEKS B
26 Schrijf als een product of quotiënt van machten en bereken.
(5 5)2
(4 2)3
(7 5)2
27 Schrijf als een macht van een product en bereken.
(3 7)–2
28 Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Zoek daarna het woord. juistfout
a) 2 6 7 = ( 2 7 ) 6
b) 10 5 = 5 5 2 5
juistfout
f) (4 5)2 = 200
g) ( 1 10 ) 8 ( 1 10 ) 5 = ( 1 10 ) 13
c) 5 3 : 9 3 = ( 5 9 ) 3 RU h) (–2 5)3 = –1 000
d) (2 3)3 = 2 6 DE i) (3–2) 3 = 3 6
e) ( 1 2 ) 7 : ( 1 2 ) 3 = ( 1 2 ) 10 KY
Woord:
REEKS C
29 Schrijf als een product of quotiënt van machten. Bereken indien mogelijk. De letters stellen rationale getallen verschillend van 0 voor.
a) (a b)3 d) (2a)4 g) (3c)–2
b) ( x y ) 4 e) ( 2b 3 ) 3 h) ( 1 4d ) −3 c) (b k)2 f) (5m) 3 i) ( 2k 4z ) −2
30 Schrijf als een product of quotiënt van machten. De letters stellen gehele getallen verschillend van 0 voor.
a) (5m) p c) (– 3d 2)p e) ( 2f 3 ) p
b) ( 4 5 ) p d) ( 1 e p ) q f) (– 7kp)q
Inleiding
enkele gegevens over de aarde wetenschappelijke schrijfwijze
tot de zon
Definitie
Wetenschappelijke schrijfwijze
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer vóór de komma en een bijbehorende macht van tien.
Omzetten naar wetenschappelijke schrijfwijze grote getallen kleine getallen 527,6 2 rangen = 5,276 10 2
31 Omcirkel de wetenschappelijke schrijfwijze van het gegeven getal.
a) 9 300
b) –40 802
c) 0,003 02
d) –0,380
32 Noteer de getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze.
a) De snelheid van geluid in de lucht bedraagt 0,33 km per seconde.
b) Een raket moet minstens een snelheid van 40 000 km per uur bereiken om aan de zwaartekracht te ontsnappen.
c) Een liter bloed bevat 1 350 000 rode bloedcellen.
d) De snelheid van het licht bedraagt 299 790 000 km per seconde.
e) De middellijn van een uraniumatoom is 0,000 000 000 25 m.
f) De massa van één waterstofatoom is 0,000 000 000 000 000 000 000 001 675 gram.
33 Schrijf als een decimaal getal.
a) De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 1,42 10 8 km.
b) De straal van de aarde bedraagt gemiddeld 6,37 10 6 m.
c) Een ei weegt gemiddeld 5,3 10 –2 kilogram.
d) Een el (oude lengtemaat te vergelijken met de lengte van een onderarm) is 6,88 10 –1 m.
34 In een composthoop van 4 000 liter zitten bacteriën die zich om de zes uur verdubbelen. Bij een onderzoek op vrijdag vindt men in één liter compost 100 000 bacteriën. Hoeveel bacteriën zitten er in de composthoop die vrijdag?
35 Yoghurt is een levend product. Het moet minstens 1 10 7 bacteriën per milliliter bevatten. Hoeveel bacteriën zitten er in 1 m 3 yoghurt?
Antwoordzin:
36 Bereken. Maak gebruik van de rekenregels van machten. Noteer je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
37 De afstand van de aarde tot de zon bedraagt 1,5 10 8 km. De afstand van Neptunus tot de zon bedraagt 4,5 10 9 km. Hoeveel keer staat Neptunus verder van de zon dan de aarde?
Antwoordzin:
38 De langste cartoon ooit werd in India gemaakt en is 6,8 10 3 m lang. Een rechthoekige cartoon uit je krant heeft een lengte van 12,5 cm. Hoeveel keer kan zo’n cartoon in de langste cartoon ooit?
Antwoordzin:
STUDIEWIJZER Machten van rationale getallen met gehele exponent
De benamingen grondtal, exponent en macht correct gebruiken.
Machten met een gehele exponent van een rationaal getal berekenen.
11.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal
KENNEN
Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen.
Rekenregels voor het rekenen met machten met gehele exponenten toepassen.
Rekenregels voor het rekenen met machten verklaren.
Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen.
11.3 Macht van een product en van een quotiënt
KENNEN
Om een product tot een macht te verheffen, moet je iedere factor tot de macht verheffen.
Om een quotiënt tot een macht te verheffen, moet je deeltal en deler tot de macht verheffen. ∀
Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen.
Rekenregels voor het rekenen met machten met gehele exponenten toepassen.
Rekenregels voor het rekenen met machten verklaren.
Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen.
11.4 Wetenschappelijke schrijfwijze
KENNEN
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één van nul verschillend cijfer vóór de komma en een bijhorende macht van tien.
KUNNEN
Decimale schrijfwijze omzetten naar wetenschappelijke schrijfwijze.
Wetenschappelijke schrijfwijze omzetten naar decimale schrijfwijze.
Berekeningen uitvoeren met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze.
Pienter Rekenen
Ach man, loop toch naar de maan ...
Pienter Problemen Oplossen
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken
opsplitsen in deelproblemen
eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
1. Jurgen is nu vier keer zo oud als Cem.
Over 20 jaar zal hij dubbel zo oud zijn als Cem.
Hoe oud is Jurgen nu?
2. Bepaal een getal dat het dubbel is van de som van de cijfers van dat getal.
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken
3. Op de figuur zie je twee overlappende vierkanten. Het grote vierkant (met zijde 5) is zo geplaatst dat het hoekpunt precies in het symmetriemiddelpunt van het kleinere vierkant (met zijde 4) staat.
Een van de zijden van de rode vierhoek is 3.
Wat is de oppervlakte van de rode vierhoek?
4. Silke is jarig en trakteert.
Ze heeft 85 snoepjes en verdeelt die eerlijk onder haar vriend(inn)en. Ze deelt zo veel mogelijk snoepjes uit, en dat zijn er zeker meer dan één per persoon. Na het uitdelen houdt Silke nog acht snoepjes over.
Aan hoeveel vriend(inn)en heeft Silke snoepjes uitgedeeld?
HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE
12.1 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren
12.1.1 Inleiding
Bij stoeptekeningen geven kunstenaars een tweedimensionale voorstelling van de driedimensionale werkelijkheid. Dat zorgt voor prachtige kunstwerken. De vlakke voorstelling van een ruimtelijke situatie noem je perspectief
Bij éénvluchtpuntperspectief lopen alle vluchtlijnen naar een denkbeeldig punt (P).
Het voorvlak is naar de kijker gericht.
Bij isometrisch perspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 30° ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je op ware grootte.
Een opstaande ribbe is naar de kijker gericht.
Bij cavalièreperspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 45° ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je met een verkortingsfactor 0,5.
Het voorvlak is naar de kijker gericht.
12.1.3 Verlies aan informatie bij de vlakke voorstelling van ruimtefiguren
Vorm en grootte
De kubus is in cavalièreperspectief getekend.
• Bepaal het soort vlakke figuur. figuurop tekening in werkelijkheid
ABCD
ADHE
• Bepaal de gevraagde hoekgroottes. hoekop tekening in werkelijkheid
• Bepaal de gevraagde lengtes. lengteop tekening in werkelijkheid
| AD | | AB |
Vaststelling Bij een perspectieftekening komen vorm, hoekgrootte en lengte niet altijd overeen met de werkelijkheid.
cavalièreperspectief isometrisch perspectief
Lengte en hoekgrootte op de tekening komen overeen met lengte en hoekgrootte in werkelijkheid. Lengte en hoekgrootte op de tekening komen niet overeen met lengte en hoekgrootte in werkelijkheid.
Verborgen informatie
De blokkenstapeling geeft niet al haar geheimen prijs. Dat zie je wanneer je de blokkenstapeling vanuit een ander camerastandpunt bekijkt. Het beertje dat achter de muur verscholen zit, is niet zichtbaar op de eerste figuur.
Oefeningen
REEKS A
1 In welk soort perspectief is de kubus getekend?
r éénvluchtpuntperspectief r isometrisch perspectief r cavalièreperspectief
r éénvluchtpuntperspectief r isometrisch perspectief r cavalièreperspectief
2 In welk soort perspectief is de ruimtefiguur getekend?
REEKS B
3 Vervolledig de voorstelling van de balk in cavalièreperspectief. De onzichtbare ribben worden in streepjeslijnen voorgesteld.
r éénvluchtpuntperspectief r isometrisch perspectief r cavalièreperspectief
4 Door even grote kubussen te stapelen, krijg je een blokkenconstructie zoals afgebeeld. Hoeveel kubusjes worden minstens gebruikt?
6 Bij de voorstellingen van de ruimtefiguren in cavalièreperspectief zijn bepaalde ribben en hoeken in het grijs aangeduid. Duid die ribben/hoeken in het groen aan als de lengte/hoekgrootte op de tekening overeenkomt met de werkelijke lengte/hoekgrootte. In het andere geval duid je de ribben/hoeken in het rood aan.
a) kubus b) balk
7 Welk soort perspectief kun je op de volgende tekeningen herkennen?
8 In welk soort perspectief is de ruimtefiguur getekend?
9 De afbeelding werd in 1754 door William Hogarth gemaakt. Ze was bedoeld om mensen in perspectief te leren tekenen. Hij waarschuwde: ‘Wie een ontwerp maakt zonder kennis van perspectief, stelt zich bloot aan dwaasheden zoals op deze afbeelding.’
Zoek op de tekening drie dwaasheden in verband met perspectief.
10 De kubus in cavalièreperspectief is foutief getekend. Ontdek de fout van de tekenaar.
11 De kubus in isometrisch perspectief is foutief getekend. Ontdek de fout van de tekenaar.
12 Een luciferdoosje meet 40 mm × 28 mm × 13 mm. Duid de meest correcte weergave van het doosje in cavalièreperspectief aan.
13 Perspectief kan erg misleidend zijn. Beantwoord de vragen en je zult merken dat je ogen je vaak bedriegen.
• Vul in met < , > of = .
Bepaal het antwoord zonder te meten.
| TA | | FL |
• Meet [TA ] en [FL ]
| TA | = mm
| FL | = mm
• Besluit:
• Welk van de drie auto’s op de foto is het langst?
Bepaal het antwoord zonder te meten.
• Meet de lengte van elke auto. auto a: mm auto b: mm auto c: mm
• Besluit:
14 De kubus is in perspectief voorgesteld. Welk soort driehoek, ingedeeld volgens de zijden, is ABC op de tekening en in werkelijkheid?
op tekening in werkelijkheid
15 Bepaal de gevraagde afmetingen van het huis, dat in cavalièreperspectief op schaal 1 : 150 getekend is.
a) hoogte van de garagepoort m
b) breedte van de deur m
c) hoogte van het venster in de gevel van de deur m
d) breedte van het venster in de gevel van de deur m
16 Tijdens een partijtje voetbal belandt de bal in de doolhof. 1
a) De bal is op de plattegrond van de doolhof aangeduid. Duid op de tekening de positie van de bal aan met een stip.
b) Kleur op de plattegrond de zitbanken die niet zichtbaar zijn op de tekening.
c) Duid op de plattegrond de kortste weg aan die Joppe moet volgen om vanaf ingang 1 de bal terug te halen.
17 Bij de vlakke weergave van een blokkenstapeling kunnen bepaalde blokjes verborgen zijn. Bepaal het minimum- en maximumaantal blokjes dat je kunt gebruiken om de blokkenstapeling te bouwen. Elk blokje moet ondersteund zijn.
In 1525 verscheen te Nürnberg een werk van Albrecht Dürer waarin hij een methode beschrijft om in perspectief te tekenen. Dürer maakte daarbij gebruik van een raam dat in gelijke vakken is verdeeld. De kunstenaar brengt datgene wat hij in het raam ziet, over op een blad dat voorzien is van vakjes die corresponderen met de vakjes op het raam.
18 Welk soort perspectief kun je bij de stoeptekeningen herkennen?
19 Een figuur toont een aantal gestapelde boeken.
Bij figuur 1 is een deel van de figuur bedekt en bij figuur 2 zie je de volledige figuur.
figuur 1:
Een deel van de boekenstapeling is bedekt. Uit hoeveel boeken bestaat de stapeling?
figuur 2:
Verbeter de figuur, zodat je altijd een boekenstapeling van drie boeken ziet, ook als je het deel van de figuur bedekt zoals bij figuur 1.
20 In een balk, voorgesteld in cavalièreperspectief, is een driehoek getekend.
a) Welke zijden van EAG zijn op de perspectieftekening op ware grootte voorgesteld?
b) Welk soort driehoek, ingedeeld volgens de hoeken, is EAG?
• op tekening:
• in werkelijkheid:
c) Teken op de voorstelling van de balk een tweede driehoek met dezelfde oppervlakte als EAG. Benoem de driehoek.
21 Teken de ruimtefiguur in cavalièreperspectief.
a) een kubus met ribbe 30 mm
b) een balk met lengte 50 mm, breedte 20 mm en hoogte 30 mm
22 Teken de balk, die in isometrisch perspectief getekend is, in cavalièreperspectief. De onzichtbare ribben worden voorgesteld door streepjeslijnen.
23 Om gemakkelijk in isometrisch perspectief te kunnen tekenen, maak je gebruik van isometrisch papier. Teken de ruimtefiguren in isometrisch perspectief.
a) een kubus met ribbe 2 cm
b) een balk met lengte 30 mm, breedte 20 mm en hoogte 15 mm
12.2 Aanzichten van ruimtefiguren
12.2.1 Inleiding
Wanneer je een huis wilt bouwen, maakt de architect een plan met verschillende aanzichten
Aanzichten zijn vlakke voorstellingen van het huis, waarbij hij het huis vanuit bepaalde camerastandpunten weergeeft.
Noteer bij de onderstaande aanzichten van het huis de juiste benaming.
Kies uit voorgevel, achtergevel, linkerzijgevel en rechterzijgevel.
Wanneer je een ruimtefiguur vanuit verschillende camerastandpunten bekijkt, verkrijg je aanzichten van de ruimtefiguur.
Aanzichten bieden het voordeel dat je alle afmetingen correct op de tekening kunt meten. Dat is bij een perspectieftekening niet altijd het geval.
De meest gebruikte aanzichten zijn vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht.
Bij bepaalde perspectieftekeningen wordt het vooraanzicht aangeduid met een pijl.
Aanzichten van een blokkenstapeling
vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht
Bij de blokkenstapelingen zijn alle blokken binnen eenzelfde laag in dezelfde kleur.
12.2.3 Verlies aan informatie bij aanzichten van ruimtefiguren
Van een blokkenstapeling zijn het vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht gegeven. vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht
Duid de blokkenstapelingen aan die horen bij de gegeven aanzichten. r r r r
Wat stel je vast?
Vaststelling Aanzichten bieden ons niet altijd voldoende informatie om een ruimtefiguur correct in perspectief weer te geven.
Oefeningen
REEKS A
24 Plaats, indien mogelijk, het aanzicht bij het huis.
25 De jongen of het meisje ziet het vooraanzicht van het voorwerp. Wat zien wij? Kies uit vooraanzicht, achteraanzicht, linkerzijaanzicht en rechterzijaanzicht.
26 Duid van de blokkenstapeling het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan. vooraanzicht
29 Schets het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de meubels.
a) vooraanzichtbovenaanzichtlinkerzijaanzicht
b)
vooraanzichtbovenaanzichtlinkerzijaanzicht
30 De balk is in cavalièreperspectief getekend. Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de balk. Respecteer de afmetingen.
vooraanzichtbovenaanzichtlinkerzijaanzicht
31 De blokkenstapelingen zijn in cavalièreperspectief getekend. Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht.
37 Bij elk aanzicht van het huis maakte de tekenaar fouten. Spoor de fouten op en omcirkel ze op het aanzicht.
a) voorgevel c) rechterzijgevel
b) linkerzijgevel d) achtergevel
38 Duid het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan.
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
39 Van een dobbelsteen is de som van de ogen van de tegenoverliggende vlakken gelijk aan zeven. Het vooraanzicht en het linkerzijaanzicht van een dobbelsteen, zoals op de foto, zijn gegeven. Teken het bovenaanzicht van die dobbelsteen.
REEKS C
vooraanzicht linkerzijaanzicht bovenaanzicht
40 In de balk, die is voorgesteld in cavalièreperspectief, is een driehoek getekend. Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van deze ruimtefiguur.
a) vooraanzichtbovenaanzichtlinkerzijaanzicht
b) vooraanzichtbovenaanzichtlinkerzijaanzicht
41 Van een balk zijn twee aanzichten gegeven. Teken het ontbrekende aanzicht. vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht a)
42 Van een blokkenstapeling is het bovenaanzicht gegeven. De getallen geven aan hoeveel kubusjes op elkaar gestapeld zijn. Teken het vooraanzicht en het linkerzijaanzicht van de blokkenstapeling.
43 Van een balk zijn drie aanzichten gegeven. Teken de balk in cavalièreperspectief. Respecteer de afmetingen.
a) vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht
b) vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht
44 Van een blokkenstapeling zijn het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht gegeven. Teken twee mogelijke blokkenstapelingen in cavalièreperspectief.
De rechte c ligt in het vlak a en de rechte e ligt in het vlak b. Beide rechten liggen in een verschillend vlak en hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.
Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen.
12.3.3 Verlies aan informatie
De rechte c ligt in het vlak a en de rechte f ligt in het vlak b. Beide rechten vormen onderling een hoek van 90°.
Loodrecht kruisende rechten zijn kruisende rechten die onderling een hoek van 90° vormen.
Wanneer je rechten tekent en hun onderlinge ligging bekijkt, kan er een verschil in onderlinge ligging zijn op de vlakke voorstelling en in werkelijkheid.
3D-BEELD
q r p
Bepaal de onderlinge ligging van de rechten op de vlakke voorstelling en in werkelijkheid. op tekeningin werkelijkheid
q en r p en r
Bij een perspectieftekening komt de onderlinge ligging van rechten niet altijd overeen met de werkelijkheid.
REEKS A
45 Wat is de onderlinge ligging van de aangeduide rechten?
evenwijdig snijdend loodrecht snijdend kruisend loodrecht kruisend g en h rrrrr
f en g rrrrr f en h rrrrr
e en f rrrrr
46 Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid.
3D-BEELD
a) m s g op tekeningin werkelijkheid g en s m en s g en m
b) p s g op tekeningin werkelijkheid
g en p p en s g en s
47 Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend.
op tekening in werkelijkheid
a) GK en EN
b) GA en NK
c) RM en MI
d) RU en IM
e) DG en AE
f) EN en RU
g) DK en KM
h) GA en UI
48 Op het huis zijn een aantal punten aangeduid. Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend.
49 Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend. op tekeningin werkelijkheid
50 De balk is in isometrisch perspectief voorgesteld.
Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend. op tekeningin werkelijkheid
a) AB en CD
b) EF en DH
c) AE en AD
d) BF en EH
e) FG en CG
REEKS C
51 Een achtzijdig prisma is in perspectief voorgesteld.
Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit samenvallend, evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend. op tekeningin werkelijkheid
a) CD en IJ
b) AB en DE
c) GF en JK
d) OP en MN
e) AI en DL
f) EF en CK
12.4 Kegel, piramide en bol
12.4.1 Inleiding
Lieze krijgt op school de opdracht om foto’s te zoeken waarop voorwerpen te zien zijn die aan een kegel, een piramide of een bol doen denken. Welke foto’s kan Lieze voor die opdracht gebruiken?
12.4.2 Vlakke voorstelling van een kegel, piramide en bol
a) Een piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde z van 4 cm. De hoogte s van een zijvlak bedraagt
5 cm.
Bereken de oppervlakte van de piramide.
b) De straal r van het grondvlak van een kegel is 3 cm. De schuine hoogte s van de kegel is 6 cm.
Bereken de oppervlakte van de kegel.
Bepaal je antwoord op 0,01 cm 2 nauwkeurig.
d) Een voetbal heeft een diameter van 23 cm.
Bereken, op 0,01 cm 2 nauwkeurig, de oppervlakte van de voetbal.
c) Bereken de oppervlakte van een bol met een straal van 8 cm.
Bepaal je antwoord op 0,01 cm 2 nauwkeurig.
e) Om de mantel van een kegelvormige feesthoed te schilderen, berekent Ines de oppervlakte van de mantel. De feesthoed heeft een straal van 8 cm en een schuine hoogte van 25 cm.
Bepaal je antwoord op 0,01 cm 2 nauwkeurig.
Oppervlakte piramide, kegel en bol (uitbreiding)
12.5 Symmetrie in ruimtefiguren
12.5.1 Inleiding
12.5.2
Symmetrie om een vlak
Bepaalde vlakke figuren, bijvoorbeeld een vierkant, zijn symmetrisch.
Een spiegelas beeldt dan de figuur op zichzelf af. Die spiegelas noem je de symmetrieas.
Ook sommige ruimtefiguren zijn symmetrisch. Je spreekt dan niet van een symmetrieas, maar van een symmetrievlak
Zo’n symmetrievlak stelt een spiegel voor. Het deelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn.
Een symmetrievlak in een ruimtefiguur verdeelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn.
voorbeelden
tegenvoorbeeld
12.5.3
Symmetrie om een punt
Er bestaan vlakke figuren met een symmetriemiddelpunt. Dat is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt. Ook bepaalde ruimtefiguren hebben een symmetriemiddelpunt
voorbeelden
tegenvoorbeeld
Oefeningen
REEKS A
61 Is het vlak a een symmetrievlak van de ruimtefiguur?
Het volume van drie kegels is hetzelfde als het volume van een cilinder waarvan het grondvlak en de hoogte dezelfde zijn als die van de kegel.
Het volume van drie piramides is hetzelfde als het volume van een prisma waarvan het grondvlak en de hoogte dezelfde zijn als die van de piramide.
Het volume van vier kegels is hetzelfde als het volume van een bol waarvan de straal dezelfde is als die van het grondvlak van de kegel. De kegel heeft ook dezelfde hoogte als de straal van de bol.
REEKS A
67 De ruimtefiguur is voorgesteld in cavalièreperspectief. Bepaal het volume van de ruimtefiguur.
68 Van een cilinder zijn het bovenaanzicht en het vooraanzicht gegeven. Bepaal het volume van de cilinder. Bepaal het antwoord op 0,1 cm 3 nauwkeurig. bovenaanzicht vooraanzicht
69 Bereken het volume van de ruimtefiguur. Bepaal het antwoord op 0,1 cm 3 nauwkeurig.
70 Hoeveel water kan de vaas bevatten? Antwoord in liter op 0,01 l nauwkeurig.
Antwoordzin:
Antwoordzin:
71 Hoeveel cilindervormige glazen kun je vullen met een fles melk van 1 liter?
Je vult het glas tot 15 mm van de rand.
Schat eerst het antwoord en controleer daarna aan de hand van een berekening.
• schatten:
Antwoordzin:
• berekenen:
72 Een karton melk heeft een lengte van 90 mm en een breedte van 57 mm.
Bereken de minimale hoogte van het melkkarton zodat het 1 liter melk kan bevatten.
Bepaal het antwoord op 1 mm nauwkeurig.
Antwoordzin:
73 Van een ruimtefiguur zijn het bovenaanzicht en het vooraanzicht gegeven.
De aanzichten zijn getekend op schaal 1 : 50. Bereken het volume van de ruimtefiguur.
bovenaanzicht vooraanzicht
REEKS C
74 Bereken het volume van de gegeven ruimtefiguren. Bepaal het antwoord op 0,001 mm 3 nauwkeurig.
75 Een Egyptische piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 110 m. Ze is 60 m hoog. Bereken het volume van de piramide.
Antwoordzin:
76 Een voetbal heeft een straal van 11 cm. Bepaal het volume in liter van de voetbal. Schat eerst het antwoord en controleer daarna door het antwoord te berekenen op 0,01 l nauwkeurig.
• schatten:
• berekenen:
Antwoordzin:
77 Een kegelvormig ijshoorntje heeft een cirkelvormige opening met een straal van 25 mm en het is 150 mm hoog. Bereken het volume van het ijshoorntje. Bepaal het antwoord in liter op 0,001 l nauwkeurig.
Antwoordzin:
78 Een toren met een totale hoogte van 56 m heeft een piramidevormig dak dat 12 m hoog is. Het grondvlak van de toren is een vierkant met een zijde van 5 m. Bereken het totale volume van de toren. Bepaal het antwoord op 1 m 3 nauwkeurig.
Antwoordzin:
79 Een stenen toren is cilindervormig, met een metalen dak in de vorm van een halve bol met een straal van 1 m. De toren is in totaal 8 m hoog. Bereken het totale volume van de toren. Bepaal het antwoord op 1 m 3 nauwkeurig.
Antwoordzin:
80 Op een bouwwerf staat een silo die bestaat uit een cilindervormig gedeelte met een hoogte van 4,3 m en een grondvlak met een diameter van 1,8 m. Het onderste gedeelte heeft de vorm van een kegel met een hoogte van 1,2 m. Bereken hoeveel kubieke meter mortel je in de silo kunt opslaan. Bepaal het antwoord op 0,01 m 3 nauwkeurig.
Antwoordzin:
81 De inhoud van een piramide is 9,234 liter. De piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 27 cm. Bereken de hoogte van de piramide. Duid ook de hoogte aan op de voorstelling van de piramide.
Antwoordzin:
82 Joris smelt twaalf bolvormige kaarsen. Hoeveel kegelvormige kaarsen kan hij met het gesmolten kaarsvet gieten? De straal van het grondvlak van de kegel is dezelfde als de straal van de bol en de hoogte is het dubbel van de straal van het grondvlak.
Antwoordzin:
83 Het bouwwerk, hieronder afgebeeld, bestaat uit een kegel op een balk met een vierkant grondvlak met een zijde van 60 mm. Het volume van het bouwwerk is 232,686 cm 3 en de totale hoogte van het bouwwerk is 120 mm. Bereken de hoogte (h1) van de balk en de hoogte (h2) van de kegel. Duid die hoogtes aan op de tekening.
Antwoordzin:
12.1 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren
Bij een perspectieftekening komen vorm, hoekgrootte en lengte niet altijd overeen met de werkelijkheid.
KUNNEN
Vanuit een vlakke weergave een beeld vormen van een ruimtefiguur.
Het soort perspectief herkennen bij de vlakke voorstelling van een ruimtefiguur.
Aangeven welke informatie verloren gaat in een tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie.
12.2 Aanzichten van ruimtefiguren
KENNEN
Aanzichten bieden ons niet altijd voldoende informatie om een ruimtefiguur correct in perspectief weer te geven.
KUNNEN
Aan de hand van een perspectieftekening de aanzichten van een ruimtefiguur bepalen.
Aan de hand van gegeven aanzichten een correct beeld vormen van een ruimtefiguur.
Aangeven welke informatie verloren gaat bij een tweedimensionale voorstelling met aanzichten van een driedimensionale situatie.
12.3 Onderlinge ligging van rechten in de ruimte
KENNEN
Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen.
Loodrecht kruisende rechten zijn kruisende rechten die onderling een hoek van 90° vormen.
Bij een perspectieftekening komt de onderlinge ligging van rechten niet altijd overeen met de werkelijkheid.
KUNNEN
Aan de hand van een perspectieftekening de onderlinge ligging van twee rechten bepalen op een tekening en in werkelijkheid.
12.4 Kegel, piramide en bol
KUNNEN
Aan de hand van een schets of een tekening een kegel, een piramide en een bol herkennen.
Aan de hand van aanzichten een kegel, een piramide en een bol herkennen.
Aan de hand van een ontwikkeling een kegel en een piramide herkennen.
Met een formularium de oppervlakte van een piramide, een kegel en een bol berekenen.
12.5 Symmetrie in ruimtefiguren
KENNEN
Een symmetrievlak in een ruimtefiguur verdeelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn.
Een symmetriemiddelpunt is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.
Het symmetriemiddelpunt in een ruimtefiguur herkennen.
12.6 Volume van ruimtefiguren
Volume van een kubus met zijde z:
V = z 3
KENNEN
Volume van een balk met lengte l, breedte b en hoogte h:
V = l b h
Volume van een cilinder met straal van het grondvlak r en hoogte h:
V = ? r 2 ? h
Volume van een prisma met oppervlakte van het grondvlak A g en hoogte h:
V = A g ? h
Volume van een kegel met straal van het grondvlak r en hoogte h:
V = 1 3 ? ? r 2 ? h
Volume van een piramide met oppervlakte van het grondvlak A g en hoogte h:
V = 1 3 ? A g ? h
Volume van een bol met straal r:
V = 4 3 ? ? r 3
KUNNEN
Het volume van een kubus, een balk en een cilinder berekenen.
Het volume van een prisma berekenen.
Met een formularium het volume van een kegel berekenen.
Met een formularium het volume van een piramide berekenen.
Met een formularium het volume van een bol berekenen.
Pienter Rekenen
Problemen uit Kangoeroe en JWO
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken opsplitsen in deelproblemen eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren
logisch nadenken
1. Bachir kleeft 7 dobbelstenen aan elkaar, zoals op de figuur.
Telkens kleeft hij een zijvlak op een zijvlak met hetzelfde aantal ogen. Hoeveel ogen staan op de buitenkant van deze ruimtefiguur?
A) r 85 B) r 90C) r 95 D) r 105E) r 125
2.Twee zijden van een driehoek hebben lengte 1 en 6.
De omtrek is ook een geheel getal.
Hoe groot is de omtrek van die driehoek?
A) o 11B) o 12C) r 13D) o 14 E) o Zo’n driehoek bestaat niet.
3.Vier punten liggen op een rechte.
Jan berekent de afstand tussen elk duo punten.
Hij rangschikt de afstanden van klein naar groot: 2, 3, k, 11, 12 en 14. Welk getal stelt k voor?
r 5 B) r 6 C) r 7 D) r 8 E) r 9
4. Een gelijkbenige driehoek ABC heeft tophoek ˆ A = 104°.
Bepaal de hoek tussen de zijde [AB] en de deellijn (bissectrice) van ˆ C. A) r 52°B) r 55°C) r 56°D) r 57°E) r 58°
HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN
13.1 Product van twee tweetermen
13.2 Het kwadraat van een tweeterm
13.3 Het product van twee toegevoegde tweetermen
13.4 Merkwaardige producten
Studiewijzer
Pienter Problemen Oplossen
Herhalingsoefeningen
13.1.1 Inleiding
Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.
a) (m + 5) (k – 6)
d) (x − 5) (x + 5)
b) (x + 3) (x + 3)
e) (x − 3) (x + 7)
c) (x + 2) (y + 2) r f) (a – 2) (a – 2)
Bij sommige vermenigvuldigingen van tweetermen is zowel de opgave als het resultaat speciaal. Vink het vakje naast die merkwaardige producten aan.
13.1.2 Benamingen
• Producten van de vorm (a + b) (a + b), kort (a + b) 2 , producten van de vorm (a − b) (a − b), kort (a − b) 2 , noem je het kwadraat van een tweeterm
Voorbeelden: (x + 3) 2 en (2y − 6) 2 zijn kwadraten van een tweeterm.
• Producten van de vorm (a + b) (a − b) noem je het product van toegevoegde tweetermen. a en a noem je de gelijke termen en b en −b noem je de tegengestelde termen.
Voorbeeld: (2x + 3) (2x − 3) noem je het product van toegevoegde tweetermen, waarbij 2x en 2x de gelijke termen zijn en 3 en −3 de tegengestelde termen zijn.
Oefeningen
REEKS A
1 Welke producten zijn merkwaardig? Vink aan.
a) (a + 7) (b + 7) r e) (x + 2y) (2x + y) r
b) (2x + 3) (2x − 3) r f) (x − a) (x − a) r
c) (b + 3c) (b + 3c) r g) (2p − 6) (2p − 6)
d) (3x − 7) (3x − 8) r h) (5k + 3) (5k − 3)
2 Vink de kwadraten van een tweeterm aan.
a) (a − 17) (a + 17) r e) (3x + 2y) (3x + y) r
b) (6x + 3) (6x + 3) r f) (8x − a) (8x − a)
c) (b 2 + 3c) (b 2 + 3c) r g) (2p − 6) (2p − 6) r
d) (3x − 1) 2 r h) (5k + 3) (5k − 3) r
3 Vink de producten van toegevoegde tweetermen aan.
a) (a + 7) (b − 7) r e) (2x + 2y) (2x − y)
b) (2x + 3) (2x − 3) r f) (x 2 − 6a) (x 2 + 6a) r
c) (b + 3c) (b + 3c) r g) (2
(2
d) (3x − 7) (3x − 7) r h) (6y − 5) (6y + 5) r
REEKS B
4 Kleur de tweetermen die toegevoegd zijn aan de gegeven tweeterm in dezelfde kleur.
5 Onderstreep in de onderstaande producten van toegevoegde tweetermen de gelijke term in het groen en de tegengestelde term in het rood.
a – b is een tweeterm. (a – b) 2 is het kwadraat van die tweeterm.
(a – b) 2 = (a − b) (a − b) = = =
kwadraat dubbel kwadraat eerste term product tweede term
13.2.2
Voorbeelden
(p + 3) 2 = =
(2a − b) 2 = = (−4 − 5k) 2 = =
Meetkundige betekenis
Jo en Sanya hebben een tuin in de vorm van een vierkant. Daarin hebben ze een vierkant grasveld aangelegd met zijde a Langs twee zijden is er een strook voor struiken en bloemen aangebracht met een breedte b. Bereken de oppervlakte van de totale tuin op twee manieren.
methode 1
Je berekent meteen de oppervlakte van de volledige tuin.
methode 2
Je neemt de som van de deeloppervlaktes van de tuin. a a b ba a b b 12 34
a) Hoe groot is de zijde van de totale tuin?
b) Bereken de oppervlakte van de totale tuin. vorm oppervlakte 1 2 3 4 totale oppervlakte
Oefeningen
REEKS A
6 Vul aan.
ab a 2 b 2 2ab
a)3 x
b) k −3
7 Werk uit volgens de formule.
a) (x − y) 2 =
b) (a + 5) 2 =
c) (a + 3) 2 =
d) (a − 1) 2 =
e) (3 + x) 2 =
REEKS B
8 Werk uit volgens de formule.
a) (3x + 4y) 2 =
b) (2a + 3) 2 =
c) (–a + 10) 2 =
d) (−3x − 4y) 2 =
e) (−5b − 2) 2 =
f) (–a + 7b) 2 =
g) (7x + 5y) 2 =
h) (8c – 9) 2 =
i) (–x – 5y) 2 =
j) (3a – 6b) 2 =
ab a 2 b 2 2ab
c)5x 2y
d)−3y 4z
9 Plaats bij elke opgave de juiste oplossing uit de tabel rechts.
a) (– 2x – 3y) 2 =
b)(2x – 3y) 2 =
c)(2x + 3y) 2 =
d) (3y – 2x) 2 =
e) (–3x – 2y) 2 =
10 Werk uit volgens de formule.
a) (x 2 – 5y) 2 =
b) (7x + y 3) 2 =
c) (x 3 + 9y) 2 =
d) (a 3 – b 4) 2 =
e) (–6x – y 3) 2 =
f) (-3a + a3) 2 =
REEKS C
11 Werk uit volgens de formule.
a) (2 − 3c 3) 2 =
b) (5k 3 + 4m 5) 2 =
c) (4x 2 y + 3y 2) 2 =
d) (−4a 2b + 5a 2) 2 =
e) (−0,3p 2 − 0,5pq 2) 2 =
f) ( 1 5 x 3 y 4 3 2 x 2 y 3) 2 =
12 Bereken telkens de totale oppervlakte van het grote vierkant.
b) 25x 2 16y 2 36a 2 18ab
De totale oppervlakte van de figuur is:
De totale oppervlakte van de figuur is: ( + ) 2 ( + ) 2
13 De zijde van een vierkant met zijde 4a vergroot met 3. Hoeveel vergroot de oppervlakte van het vierkant?
Klein vierkant:
a 3
14 Werk uit volgens de formule.
a) (x p + y m) 2 = b) (2x k − xy3) 2 = c) (2a m − 3apb2) 2 =
Groot vierkant:
Antwoordzin:
15 Vul aan tot een ware uitspraak. a) ( + ) 2 = 25a 2 + + 49
x
13.3.1 Formule (
Formule Product van twee toegevoegde tweetermen
kwadraat kwadraat gelijke term MIN tegengestelde term
Voorbeelden
(x + 2) (x – 2) =
= (2a – 3b) (2a + 3b) =
13.3.2 Meetkundige betekenis
Pieter en Karel hebben een vierkant grasveld aangelegd met zijde a. In dat grasveld richten ze een vierkante moestuin in met zijde b Bereken de oppervlakte van het overgebleven grasveld op twee manieren.
methode 1 methode 2
De oppervlakte van het grasperk is
De oppervlakte van het grasperk is
Oefeningen
REEKS A
16 Duid de gelijke termen aan in het groen en duid de tegengestelde termen aan in het rood. Werk uit volgens de formule.
Soms kun je merkwaardige producten handig gebruiken bij het hoofdrekenen. • Het kwadraat van een tweeterm
Het product van twee toegevoegde tweetermen
REEKS A
22 Kleur de vakjes met een product van twee toegevoegde tweetermen. (7y + 3) (3 + 7y)(2 + x) (x + 2)(8 – 3a) (3 + 8a)(x – 5y)
(x – 5y) (a + b) (a + b) (2a + b) (2a – b)(a + 12) (12 – a) (–2x + 8) (8 – 2x) (3a – b) (b + 3a) (4a + 6) (–4a – 6)(2a + 3) (2a + 3) (x + 4y)
+
x – y)
– q) (p – q)
23 Werk uit met de formules van merkwaardige producten.
a)(6 + a) 2 = b)(x – 8) 2 =
c) (x + 7) (x – 7) =
d) (2a – b) (2a – b) =
e) (x + 3y) (x + 3y) =
f) (2a + 5) (2a – 5) =
g) (x + 4y) (– x + 4y) =
h) (x – 5y) 2 =
i) (6a – 7) (7 + 6a) =
j) (8x + 5) (5 + 8x) =
24 Werk uit met de formules van merkwaardige producten.
a) (2x − 4c) (2x + 4c) =
b) (a 2 – 4c) 2 =
c) (−3x + 2y) (3x + 2y) =
d) (m 3 –1 6 n) (m 3 + 1 6 n) =
e) ( 1 4 5x) ( 1 4 5x) =
f) ( 1 3 5x) ( 5x + 1 3 ) =
g) (−0,3a + 3) (−0,3a − 3) =
h) (−5c − 1) (−5c − 1) =
i) (x 2 1 5 ) ( 1 5 x 2) =
j) (– 0,1x – y 2) 2 =
25 Deze vierkante fotolijst heeft als zijde x. De breedte van de lijstrand is 5 cm.
Bepaal de oppervlakte van de foto’s die in deze lijst passen.
De oppervlakte van de foto's is 5 cm x
A = = =
26 Van de ene zijde van een vierkant snijd je 12 cm af. De andere zijde maak je 12 cm langer. Wat gebeurt er met de oppervlakte van de figuur? Maak een schets en bereken.
Antwoordzin:
27 Bepaal het volume van de onderstaande balk.
x–y
28 Bepaal de totale oppervlakte van de onderstaande balk.
x+y
30 Gebruik de merkwaardige producten handig bij het hoofdrekenen.
Gelijke termen en tegengestelde termen in toegevoegde tweetermen herkennen.
13.2 Het kwadraat van een tweeterm
KENNEN
KUNNEN
Het kwadraat van een tweeterm berekenen.
Het kwadraat van een tweeterm toepassen bij oppervlakteberekeningen.
Het kwadraat van een tweeterm toepassen bij letterexponenten.
13.3 Het product van twee toegevoegde tweetermen
KENNEN
Het product van twee toegevoegde tweetermen berekenen.
Het product van twee toegevoegde tweetermen toepassen bij letterexponenten.
13.4 Merkwaardige producten
Merkwaardige producten berekenen.
KUNNEN
Merkwaardige producten handig gebruiken bij het hoofdrekenen.
Merkwaardige producten toepassen bij oppervlakte− en inhoudsberekeningen.
Pienter Rekenen
Pienter Problemen Oplossen
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
een schets maken
een schema/tabel maken
opsplitsen in deelproblemen
eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen
1. Een fabriek produceert schoenen. 4 machines maken in 6 uur 480 schoenen. Hoeveel schoenen maken 7 machines in 9 uur?
2. Het getal in de gekleurde driehoek is het gemiddelde van de getallen in de andere driehoeken.
Welke getallen ontbreken, als je weet dat de waarde in de ene lege driehoek het drievoud is van de waarde in de andere?
het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren
logisch nadenken
3. In de visvijver van Mathis zitten op dag 1 twee bacteriën. Het aantal bacteriën in de visvijver verdubbelt elke dag. In de visvijver van Maithé zitten op dag 1 vier parasieten. Dat aantal verviervoudigt elke dag. Hoeveel keer meer parasieten zitten er op dag 5 in de vijver van Maithé dan bacteriën in de vijver van Mathis?
4. Honderd Belgen worden ondervraagd over hun vakantiebestemming van het afgelopen jaar. 70 van hen zeggen buiten België op vakantie te zijn geweest, terwijl 53 binnen België op vakantie zijn geweest. Precies 17 mensen zijn helemaal niet op vakantie geweest. Hoeveel van die honderd mensen zijn zowel binnen als buiten België op vakantie geweest?
PIENTER PROBLEMEN OPLOSSEN
Als je een probleem ‘pienter’ wilt oplossen, moet je dat probleem doordacht aanpakken. Werk in vier stappen:
