Pi enter
ar
LEERJAAR 1
Pi enter
jk ex em
LEERJAAR 1
pl a
A-stroom
2 3 4 5 6 7 8 9
Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les. Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.
In
1
A-stroom
Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!
Philippe De Crock
Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.
Christophe Gryson Stijn Seys
Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in?
Jan Vanhee
Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!
MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels Eddy Magits Marieke Sarazin
10 11 12 13
ki
Leer zoals je bent
ISBN 978-90-306-9372-7
592752
vanin.be
1
2
3
4
5
6
aa r Leerjaar 1 A
In ki
jk e
xe m
pl
A-stroom
Philippe De Crock Christophe Gryson Stijn Seys Jan Vanhee MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels Eddy Magits Marieke Sarazin
aa r
pl
xe m
jk e
In ki
Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? Hoofdstuk 1 Getallen Hoofdstuk 2 Kijken en observeren Hoofdstuk 3 Natuurlijke getallen en deelbaarheid
Hoofdstuk 6 Aanzichten en perspectieven Hoofdstuk 7 Statistisch onderzoek Hoofdstuk 8 Gehele getallen
xe m
Hoofdstuk 9 Hoeken en rechten Hoofdstuk 10 Rationale getallen Hoofdstuk 11 Vlakke figuren Hoofdstuk 12 Formules
pl
Hoofdstuk 5 Positieve rationale getallen
aa r
Hoofdstuk 4 Meten en tekenen
In ki
jk e
Hoofdstuk 13 Ruimtefiguren
₄ ₇ ₂₉ ₇₁ ₁₁₇ ₁₄₉ ₂₁₅ ₂₄₁ ₂₅₉ ₃₁₁ ₃₃₉ ₄₀₅ ₄₇₃ ₅₀₅
Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een leuke cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijkse leven. Je leert formuleren in deďŹ nities, vaststellingen, rekenregels, eigenschappen of besluiten.
jk e
xe m
pl
aa r
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van enkele beelden of tekeningen verder kennis met het onderwerp waarover je iets leert.
In ki
Na elk stukje theorie kun je je kennis inoefenen. Het oefenmateriaal herken je aan de verticale lijn in de marge. Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk: ze zijn opgedeeld in Reeks A, B en C. Op diddit vind je extra oefeningen.
In de marge worden soms icoontjes gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis:
ICT
Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel of GeoGebra. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken. Duidt aan dat je op diddit beeldmateriaal (video of presentatie) vindt. Wijst op het gebruik van een rekenmachine. Je krijgt uitleg over de werking van je rekenmachine of mag een rekenmachine gebruiken in deze oefening.
€
Het eurosymbool geeft aan dat je werkt rond financiële geletterdheid.
R
Duidt aan dat je op diddit een eenvoudigere oefening kunt vinden.
XL
Geeft aan dat je op diddit extra uitdagende leerstof vindt. De leerstof bij dit icoon, die een grijze achtergrond heeft, is verdieping.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
xe m
pl
aa r
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
jk e
Deze aanduiding geeft aan dat je na dit hoofdstuk rekenoefeningen kunt maken die je vindt op diddit.
In ki
Tot slot kun je onder ‘Pienter problemen oplossen’ enkele leuke wiskundige problemen en raadsels oplossen.
Achteraan in het boek zitten vijf bladen met een cartoon. Die bladen kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter problemen oplossen, Pienter rekenen, Pienter remediëren, Pienter computeren en extra leerstof.
het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
aa r
Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.
pl
Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.
xe m
Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten. Onder ‘Portfolio’ vind je een digitale versie van de studiewijzer.
In ki
jk e
Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk ek en instructiefilmpjes). (o.a. een digitale versie van je boek
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
Getallengeschiedenis
1.2
Soorten getallen
1.3
Getallen in verzamelingen
1.4
Getallen in tabellen en diagrammen
1.5
Getallen en letters
Studiewijzer
₈ ₁₄ ₁₆ ₁₉ ₂₄ ₂₇ ₂₈
aa r
1.1
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
7
1.1
Getallengeschiedenis
1.1.1
Inleiding Wat valt op bij het lezen van deze krant?
THE DAILY PIENTER € zo’n groot wit en geel muntje
aa r
Woensdag, einde zomer, begin schooljaar
F C Barcelona alleen aan kop
Vandaag wordt het smoorheet en is het goed om heel veel water te drinken.
pl
Morgen wordt het nat en zwoel en zal je T-shirt plakkerig aanvoelen.
Overmorgen daalt het kwik een beetje en neem je het best een paraplu mee.
Vrouw zet veel baby’s op de wereld
Een vrouw uit India schonk het leven aan wel zeer veel baby’s tegelijk. De borelingen zijn allemaal niet veel groter dan een kleine meloen, maar volgens de artsen zijn ze allemaal gezond. Door van zoveel baby’s tegelijk te bevallen, is de vrouw wel zeer uitgeput. Het bevallen zelf duurde wel meer dan een volledige dag en een groot deel van de nacht. Enkele bladzijden verder kom je meer te weten.
In ki
1
jk e
xe m
FC Barcelona zorgde gisteren voor sensatie in Camp Nou door titelrivaal Real Madrid te verslaan met meer doelpunten. Messi scoorde iets voor de rustpauze. Na de rust ging het gelijk op, maar iets na de helft van de andere helft scoorde hij nogmaals en dan nog een keer. De wedstrijd werd gevolgd door zeer veel supporters. Deze overwinning bezorgt Barcelona enkele punten meer dan Real Madrid, waardoor ze dus aan de leiding komen. (GS)
tv-programma’s op de pagina voor de pagina voor de pagina voor de pagina voor de voorlaatste pagina
2 3
Olympische medailles Gisterennamiddag won de bekende Belgische hoogspringer Jimmy De Kikker de gouden medaille met een recordsprong. Hij brak het vorige heel hoge record door nog hoger te springen. De Duitse Maria Sprintz verbeterde haar eigen besttijd en won daarmee goud. De Finse Ole Loper won zilver door vlak na Sprintz te eindigen en haar landgenote Bitje Tragjör voor te blijven.
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Getallen zijn in ons leven echt onmisbaar geworden. Ook in het verleden hadden mensen behoefte aan systemen om een hoeveelheid uit te drukken. Zeker wanneer ze handel begonnen te drijven.
13
8
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
1.1.2 Streepjes trekken (turven) Een eenvoudige manier om aantallen voor te stellen, is streepjes trekken. Ook onze voorouders krasten streepjes op een steen of maakten inkervingen op een (kerf)stok. Om het telwerk te vereenvoudigen, groepeerde men die streepjes. Ⲑ ) lag Werken met groepjes van vijf (IIII het meest voor de hand.
aa r
1.1.3 Romeinse cijfers De Romeinen maakten gebruik van een soort optelsysteem. Zij gebruikten de volgende symbolen: V
X
L
C
D
1
5
10
50
100
500
M
1 000
pl
I
xe m
Elk getalteken heeft altijd dezelfde waarde. Er zijn afspraken wanneer je moet optellen of aftrekken. • Gelijke getaltekens na elkaar moet je optellen. XXX =
MM =
CCC =
• Getaltekens rechts van een grotere waarde moet je optellen. XXI =
DC =
LX =
jk e
• Getaltekens links van een grotere waarde moet je aftrekken. IX =
CD =
XL =
In ki
Voorbeelden
III
=
DCIX
=
IV
=
MDCLXXVI =
XIII
=
CDXLIV
=
Welke datum staat er op de steen?
In Europa bleef men met Romeinse cijfers rekenen tot het begin van de 17e eeuw. Toen pas werd dat stelsel volledig verdrongen door ons huidige tiendelige positiestelsel. De afbeelding van Gregor Reisch uit 1503 symboliseert de overwinning van de Arabische cijfers op de Romeinse. Boethius (links met Arabische cijfers) en Pythagoras (rechts met een abacus, een soort telraam) nemen het tegen elkaar op in een wiskundewedstrijd. Boethius, die al klaar is, kijkt grijnzend toe, terwijl Pythagoras nog volop aan het rekenen is.
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
9
1.1.4 Arabische cijfers Rond de vijfde eeuw na Christus ontstonden in Indië de Arabische cijfers. In het huidige talstelsel gebruik je tien getaltekens die daarvan afgeleid zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Met die tien cijfers kun je alle mogelijke getallen bouwen en voorstellen. De waarde van een cijfer is afhankelijk van de plaats van het cijfer in het getal. Daarom spreek je van een positiestelsel. (of 2 duizendtallen
In 37 621 heeft het cijfer 2 de waarde
(of 2
of 2 D).
aa r
In 12 350 heeft het cijfer 2 de waarde 2 000
of 2
).
Het is een positiestelsel met grondtal tien. Je spreekt van een tientallig of decimaal stelsel. Onder invloed van de Vlaamse wiskundige Simon Stevin werd de komma ingevoerd.
duizendtallen
jk e TD
H
T
E
,
t
h
d
In ki
1
D
komma
123,53 50,007 1 203,1
xe m
Noteer de volgende getallen in het schema:
of 2
pl
(of 2
In 54,324 heeft het cijfer 2 de waarde
2 3 4 5 6 7
Simon Stevin werd geboren in Brugge in 1548 en overleed in Den Haag in 1620. Hij probeerde wiskunde voor zo veel mogelijk mensen verstaanbaar te maken. Zijn werken verschenen dan ook niet in het Latijn, wat in die tijd gebruikelijk was, maar in het Nederlands. Het woord ‘wiskunde’ komt van zijn ‘wisconst’ (de kunst van het gewisse of zekere). Simon was naast wiskundige ook een verdienstelijke uitvinder, onder andere van de zeilwagen.
8 9 10 11 12 13
10
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
).
Oefeningen REEKS A 1
Zoek een situatie uit je omgeving die te maken heeft met de getallen. a) 13
Mijn huisnummer is 13.
b) 5 c) 38
2
Vul de hoofding van de tabel aan. Noteer daarna de getallen correct in de tabel. a) 3 030
b) 12 421
c) 4,056
d) 72 650,450
,
pl
E
xe m
a) b) c)
jk e
d)
3
aa r
d) 10
Vul aan.
In 458 102 is
1
het cijfer van de
In ki
5
0
4
Vul aan.
In 623,049 is
2
het cijfer van de
4 9
5
Noteer het cijfer van de eenheden. a) 358,25
b) 46,18
c) 457,1
d) 51,728
e) 2 020
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
11
REEKS B 6
Noteer de waarde van het cijfer 7 in elk van de getallen. a) 7 159
7
b) 0,367
b) 24 563
c) 25,63
e) 18 745
d) 0,213
e) 123,25
aa r
Schrijf alle mogelijke getallen van drie cijfers (zonder komma) door elk van de cijfers één keer te gebruiken. Natuurlijk kan zo’n getal niet beginnen met 0. a) 3 en 4 en 8
pl
b) 1 en 0 en 2 c) 1 en 1 en 8
xe m
d) 0 en 7 en 0
9
d) 25,07
Noteer de waarde van het cijfer 3 in elk van de getallen. a) 32 584
8
c) 247
Geef het kleinste en het grootste getal (zonder komma) dat je kunt vormen door elk van de volgende vier cijfers precies één keer te gebruiken. Natuurlijk kan zo’n getal niet beginnen met 0. kleinste
jk e
a) 5 en 8 en 3 en 2
grootste
b) 1 en 0 en 4 en 7 c) 1 en 1 en 3 en 1
In ki
1
d) 0 en 2 en 0 en 9
2 3 4 5
10
Geef het kleinste en het grootste kommagetal dat je kunt vormen door elk van de volgende vier cijfers precies één keer te gebruiken.
6
kleinste
7 8 9
a) 5 en 6 en 3 en 9 b) 1 en 5 en 4 en 7
10 11 12
c) 3 en 6 en 6 en 0 d) 2 en 2 en 2 en 8
13
12
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
grootste
11
Verwissel het cijfer van de duizendtallen met het cijfer van de tientallen. Wat gebeurt er? 83 614
❒ Het getal wordt groter. ❒ Het getal wordt kleiner. ❒ Het getal blijft gelijk.
❒ Het getal wordt groter. ❒ Het getal wordt kleiner. ❒ Het getal blijft gelijk.
f) XLII
b) MXL
g) MM
c) CDXLIV
h) LIV
d) MLXXIV
i) DCXXXII
e) XCI
j) CCLIX
aa r
a) XL
xe m
Wat is het kleinste getal dat je bij 514,76 moet optellen om het cijfer van de ... e) duizendtallen te veranderen?
b) honderdsten te veranderen?
f) honderdtallen te veranderen?
c) tientallen te veranderen?
g) eenheden te veranderen?
d) duizendsten te veranderen?
h) tienduizendsten te veranderen?
jk e
a) tienden te veranderen?
Wat is het kleinste getal dat je bij 215 703 moet optellen om het cijfer ... a) 7 in 9 te veranderen?
d) 1 in 6 te veranderen?
b) 3 in 0 te veranderen?
e) 0 in 1 te veranderen?
c) 5 in 6 te veranderen?
f) 2 in 5 te veranderen?
In ki
14
15
XL
❒ Het getal wordt groter. ❒ Het getal wordt kleiner. ❒ Het getal blijft gelijk.
Zet om naar Arabische cijfers.
REEKS C 13
32 687
pl
12
2 627
Wat is het kleinste getal zonder komma dat je van 215 703 moet aftrekken om het cijfer ... a) 7 in 6 te veranderen?
d) 1 in 0 te veranderen?
b) 3 in 0 te veranderen?
e) 0 in 9 te veranderen?
c) 5 in 4 te veranderen?
f) 2 in 1 te veranderen?
Soorten talstelsels
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
13
1.2
Soorten getallen
1.2.1 De natuurlijke getallen Hoeveel leerlingen zijn er in onze klas? Hoeveel kilogram bevat ĂŠĂŠn ton? Hoeveel dagen telt de maand augustus? Hoeveel spelers telt een voltallige voetbalploeg?
Definitie
aa r
Deze getallen noem je natuurlijke getallen. Natuurlijk getal
Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.
1.2.2 De gehele getallen
xe m
Het vriest 12 graden Celsius.
pl
Het resultaat van een aftrekking van natuurlijke getallen is niet altijd een natuurlijk getal.
De sportclub schreef 36 nieuwe leden in.
Een duikboot ligt 404 m onder de zeespiegel. Max woont op de vierde verdieping.
Definitie
jk e
Deze getallen noem je gehele getallen. Geheel getal
Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen. Het resultaat van een deling van gehele getallen is niet altijd een geheel getal.
In ki
1
2
1.2.3 De rationale getallen
3
Van een taart die in 6 verdeeld is, neem je 1 stuk.
4
Het vriest 2,5 graden Celsius.
5
Samira is een meter vierenzestig groot.
6
Je gooit 67 punten met je dartspijlen. 7
Je auto staat geparkeerd op de derde kelderverdieping 8
Deze getallen noem je rationale getallen.
9 10 11 12
Definitie
Rationaal getal Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, waarbij het tweede getal niet nul is.
13
14
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
Oefeningen REEKS B 16
Noteer eerst het passende getal. Plaats daarna een kruisje in de meest passende kolom. natuurlijk
geheel
rationaal
a) Je duikt 3 m onder de zeespiegel.
❒
❒
❒
b) De vos doodde twaalf kippen.
❒
❒
❒
c) Een derde van je stuk chocolade is op.
❒
❒
❒
d) De helft van de tijd is Els verstrooid.
❒
❒
❒
aa r
getal
e) Het vriest twee graden Celsius. f) De auto staat op de kelderverdieping geparkeerd. g) De kinderopvang is op de vierde verdieping.
i) Het prikbord is 2,25 m lang.
xe m
j) Dit seizoen scoorde Lowie al 18 doelpunten.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Kleur in het onderstaande rooster alle natuurlijke getallen. 5
7
3
22 3
−12
0
−1
7
13
82
9 4
17
24 5
36,7
47
19,1
0
6,2
14
18
12
−6
−3
22,6 27,4
1
124 −5,2
15
−1
0
jk e
29
2
−3
0
6
23,2
3 1
19 3
14
5,3
12
6
1 11
17 3 −2 5
9
−5
15,1
28
−7
73
0,12
50
7 3
5
−2,1
−4
9,3
10
−2
38
82
5,01
−6
8
−15,1
27
2
12
−7
0
3
30
−12
17
16,3
3
−11
−2 8
48,1
3,4
−18 84,6 8,7
4,32 −1,2
2
0
7
In ki
17
❒
pl
h) Waarom moet ik jou nog 20,75 euro?
❒
0
8
4
23
−37 −63
REEKS C
18
Omcirkel in de volgende rij: alle natuurlijke getallen in het groen, alle gehele getallen in het blauw, alle rationale getallen in het rood.
25
−
2 5
2,47
–14,79
–5
0 9
0,84
0
17 7
8 4
56
26,00
−
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
15
1.3
Getallen in verzamelingen
1.3.1 Verzamelingen Elementen van een verzameling Een verzameling is een groep van elementen die aan dezelfde eigenschap beantwoorden. In heel wat vakken maak je kennis met verzamelingen: • de verzameling van de zoogdieren, • de verzameling van de snaarinstrumenten,
• de verzameling van de elektrische geleiders, • de verzameling van de werkwoorden,
pl
• ...
aa r
• de verzameling van de primaire kleuren,
xe m
In de wiskunde benoem je een verzameling meestal met een hoofdletter. Voorbeeld: A is de verzameling van de bloemen.
Een roos is een element van de verzameling A.
roos
僆
A
Een eik is geen element van de verzameling A.
eik
僆
A
Voorstellingen van een verzameling
jk e
• omschrijving: je zegt waaraan het element moet voldoen om tot die verzameling te behoren. B is de verzameling van de leerlingen uit klas 1C die kleiner zijn dan 150 cm.
• opsomming: je somt de elementen van die verzameling op tussen accolades.
In ki
1
2 3
B = {Karel, Ines, Myriam, Jens, Jochen}
• venndiagram: je stelt de elementen voor met een stip binnen een gesloten lijn.
4 5
B
6
Jochen Jana
9
Ines Jana
12 13
16
Jens
Ines
8
11
Karel
Myriam
7
10
Kris
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
僆 僆
B, B,
dus moet de stip van Ines binnen het venndiagram. dus moet de stip van Jana buiten het venndiagram.
Deelverzamelingen M is de verzameling van de meisjes uit klas 1C die kleiner zijn dan 150 cm. Ook M kun je met een venndiagram aanduiden.
B
Alle elementen van de verzameling M behoren ook tot de verzameling B.
Karel
M Myriam Ines
M is een deelverzameling van B.
Jens Jochen
Duid L = {Kris, Jana} aan met een venndiagram. Niet alle elementen van de verzameling L behoren tot de verzameling B.
Kris Jana
1.3.2 Getallenverzamelingen
De verzameling van de
Q
De verzameling van de
getallen.
N={
}
getallen.
⺪={
}
Q={
}
xe m
⺪
opsomming
pl
omschrijving De verzameling van de
L⊄B
aa r
L is geen deelverzameling van B.
N
M傺B
getallen.
... duidt op de oneindigheid van een verzameling.
In ki
jk e
Plaats de getallen in het venndiagram.
6
−23
15 5
2,75
−4,2
0
2 3
−25,0
7,00
Opmerking N傺⺪傺Q Elk natuurlijk getal is geheel. Elk geheel getal is rationaal. Dus elk natuurlijk getal is ook rationaal. De symbolen N, ⺪ en Q zijn niet zomaar gekozen. N komt van natuurlijke getallen. ⺪ komt van het Duitse woord ’Zahl’, getal. Q vindt zijn verklaring in de definitie van een rationaal getal, het quotiënt van twee gehele getallen.
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
17
Oefeningen REEKS B H is de verzameling van de ijshockeyuitrusting, T van de tennisbenodigdheden en S van de sportartikelen. Stel H, T en S voor met een venndiagram. Vul daarna de tabel aan.
•
•
•
•
傺
S
❑
❑
H
傺
T
❑
❑
T⊄H
❑
❑
傺
❑
❑
❑
❑
T
T⊄S
xe m
pl
•
Plaats de getallen in het venndiagram.
In ki
1
2
•
21
24 12
–2,78 2 3
jk e
20
•
fout
H
S
•
juist
aa r
19
−
5,00
−26
3 2
0
+72
3,05
24 12
Plaats een vinkje als het getal tot de verzameling behoort. 1 2
−0,7
8
−3 4
2,9
−5
−9 5
0
−3,6
−8
僆
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
N
6
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
⺪
7
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Q
3 4 5
8 9 10 11 12
22
Vul in met ⊂ of ⊄. a) ⺪
Q
c) Q
⺪
e) N
⺪
b) ⺪
N
d) N
Q
f) Q
N
13
18
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
1.4
Getallen in tabellen en diagrammen
1.4.1 Getallen in tabellen Kassaprijs volwassene
Kassaprijs kind
Bellewaerde
31 euro
27 euro (1 m – 1,4 m)
Bobbejaanland
33 euro
31 euro (1 m – 1,4 m)
Plopsa Coo
25 euro
9,99 euro (0,85 m – 1 m)
Plopsaland De Panne
35,50 euro
9,99 euro (0,85 m – 1 m)
Walibi Belgium
36,50 euro
31,50 euro (1 m – 1,4 m)
Pretpark
bundel Aantal minuten in del bun in n s’e sm Aantal in bundel Hoeveelheid data Prijs voorheen (klant of niet) Prijs voor iedereen
Leuven Luik
128
57
29
97
114
78
95
91
158
128
Brugge
211
40
105
294
282 149
97
61
187
117
159
61
170
152 56
65
269
57
282
72
158
29
185
128
91 158
75
87
97
128
196
127
63
129
61
114
68
113
131
90
169
302
296
29
134
75
134 113 Wiskun de 302 131 Getallenken nis 296 90 Bewerkingen : cijferen 29 169 Bewer kingen: hoof drekenen 63 Mete114 n en meten d rekenen 167 39 Meetkunde 9 rland 68 Ne12de s 144 61 64
64
144
212
€ 70
€ 20
€ 50
€ 15
Oostende
Namen
56
196
97
228
Luik
158
282
149
269
87
Bastenaken
187
185
2 GB
1 84 %
2 87,6 %
185
Spelling 212 Ta 185 albeschouwing Begrijpend lezen Luisteren
71 %
Gemiddelde
80 %
96 %
100 % 61 %
84,5 % 88 %
80 %
71 %
100 % 96 %
71 %
90 %
75 %
96 % 87,5 %
88,5 %
61 % 86,5 %
92 %
87 %
83 %
85,8 %
85 %
90 % 80 %
87 % 84 %
xe m
Namen Oostende
40
294
282
127
1 GB
2 000 min. 10 000
aa r
Gent
72
105
65
211
61
pl
Charleroi
Leuven
Brugge Brussel
Gent
Aarlen Bastenaken
Charleroi
Antwerpen
Aarlen
Antwerpen
Bron: ParkWorld.be
228
KONG
KING 150 min. 10 000
Geef drie voorbeelden waarbij tabellen gebruikt worden voor het weergeven van gegevens. Laat je daarbij leiden door de bovenstaande afbeeldingen van tabellen. • •
jk e
•
Tabellen stellen gegeven getallen overzichtelijk voor. Een tabel bestaat uit horizontale rijen en verticale kolommen. Om de tabel juist te interpreteren, moet je aandachtig de titels van de rijen en de kolommen lezen.
In ki
Deze tabel stelt de keuze voor die de leerlingen maakten voor de sportdag. keuze sportdag
sporttak
aantal leerlingen
voetbal
17
volleybal
11
basketbal
38
fietsen
19
zwemmen
24
skeeleren
8
In deze tabel lees je onmiddellijk af hoe frequent leerlingen een bepaalde sporttak kiezen. Dit is een frequentietabel. HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
19
1.4.2 Getallen in diagrammen dotplot
lijndiagram 40
keuze sportdag
keuze sportdag
aantal leerlingen
aantal leerlingen
35 30 25 20 15 10 5 0
l ba
y lle
vo
vo
l ba
t
e sk
en en m ler e m e e sk zw
n
tse
fie
ba
staafdiagram
pl
20 15 10
al
b et
sk
ba
n
se
t fie
n re ele
en
m
em zw
e
sk
jk e
l vo
al
al
b ley
Een spreadsheet of digitaal rekenblad
In ki
6 7
Een spreadsheet of digitaal rekenblad is een computerprogramma. Het programma bestaat uit werkbladen met cellen. Die cellen zijn in rijen (1, 2, 3 ...) en kolommen (A, B, C ...) gerangschikt. Elke cel kan een getal, een tekst of een formule bevatten. Met een spreadsheet kun je gemakkelijk berekeningen uitvoeren. Zo bepaal je bijvoorbeeld gemakkelijk de som van een reeks getallen. Als je achteraf een getal in de reeks aanpast, past het rekenblad automatisch ook de som aan.
8 9 10 11
Spreadsheets gebruik je ook om diagrammen te tekenen. Het programma maakt een diagram naar keuze. Daarvoor selecteer je de cellen met de gegevens en het gewenste diagramtype.
12 13
20
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
n re
le ee
m
em zw
sk
keuze sportdag
voetbal volleybal 11 basketbal fietsen zwemmen
19
vo
5
en
n
se
t fie
17
24
b et
4
ba
xe m
aantal leerlingen
25
0
3
vo
tb
e sk
8
30
5
2
ba
y lle
keuze sportdag
35
1
al
l
ba
et vo
cirkeldiagram
40
ICT
l
aa r
al
b et
38
skeeleren
Oefeningen REEKS A Het lijndiagram toont de gemiddelde temperaturen van de eerste tien dagen van september. Vul de bijbehorende tabel aan. dag
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
1 4 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dag van de maand september
jk e
aantal leerlingen
xe m
We vroegen een aantal leerlingen hoeveel honden ze hebben als huisdier. Vul de tabel aan.
1
2 3 aantal honden
In ki
0
25
10
pl
0
24
temperatuur
aa r
temperatuur in °C
23
aantal honden
aantal leerlingen
0 1 2 3
4
4
Dit schijfdiagram stelt de dagindeling van Younes voor. Hoeveel uren besteedt Younes aan ... slapen
dagindeling
studeren school sport spel tv
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
21
REEKS B 26
Jarne heeft de afstanden die hij afgelopen week per dag fietste, in een staafdiagram gezet. a) Hoeveel kilometer fietste hij in het weekend?
16 14 afstnd in km
12 10
b) Op welke dag fietste hij het meest? Hoeveel kilometer fietste hij toen?
8 6 4 2 g
a nd
aa
m
g da
Het schema geeft een overzicht van een schoolpopulatie.
pl
27
c) Geef een mogelijke verklaring voor je antwoord op de vorige vraag.
ag dag ag dag rd rd s ij n r e e ns n t i v e zo a d nd o z o w d g da
aa r
0
a) Vul het schema aan. b) In welke graad zit het grootste aantal leerlingen?
xe m
totaal 847 leerlingen
eerste ste graad ad d 269 leerlingen
leerlingen
a) In welk jaar werden de meeste fietsen gestolen?
2 3
30
7 8
aantal fietsen
6
25 20
b) In welk jaar werden de meeste fietsen teruggevonden?
15 10 5 0
2013
2014
9
2015
2016 jaar
gestolen
10
teruggevonden 11 12 13
22
fietsdiefstallen
35
4 5
c) Hoeveel leerlingen zitten er meer in de derde dan in de eerste graad?
Het volgende staafdiagram toont het aantal fietsen dat in de loop van een jaar in een stad gestolen werd, samen met het aantal teruggevonden fietsen.
In ki
1
derde graad 283 leerlingen l
jk e
28
ttweede twe tw e de graad
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
2017
2018
2019
c) In welk jaar was het verschil tussen het aantal gestolen en teruggevonden fietsen het kleinst?
29
Plaats de letter van de omschrijving bij het bijbehorende lijndiagram. a) Bomen moet je goed verzorgen. Het knotten (= inkorten) van bomen is daarvan een voorbeeld. De takken van een knotwilg moeten elke vijf jaar geknot worden. Zo kan de onderstam de druk van de takken beter aan. Veel dieren vinden hun thuis op de afgeknotte boomstammen.
aa r
b) In onze bossen groeien heel wat boomsoorten die daar oorspronkelijk niet thuishoren. Ze vormen een bedreiging voor onze inlandse bomen. Daarom probeert men ze uit de bossen te verwijderen met de ‘ring’-techniek: men brengt een inkeping aan rond de stam. De boom wordt dus niet doorgezaagd. Alleen de sapstroom wordt onderbroken, zodat de boom langzaam afsterft. Dat ‘dode staande hout’ is een voedingsbodem voor zwammen, insecten, spechten ...
pl
c) De eik is een traag groeiende boom, die minimaal honderd jaar nodig heeft om een mooie stam te ontwikkelen. Daarna is de boom klaar om geoogst te worden. Men plant ook onmiddellijk een nieuwe eik. Het verdere leven van een mooi bos is zo gegarandeerd.
30
5
diagram 3
10
15
0
0
100
jk e
0
diagram 2
xe m
diagram 1
2
4
6
8
10
Een studiebureau heeft het aantal inbraken in onze stad gedurende de laatste twee jaar in twee verschillende diagrammen gegoten. diagram 1
250
216
200
214 aantal inbraken
In ki aantal inbraken
diagram 2
150 100 50
212 210 208 206
0
204 vorig jaar
dit jaar
vorig jaar
dit jaar
a) Wat is het verschil tussen de diagrammen?
b) Welk diagram zal de burgemeester kiezen om zijn beleid te verdedigen?
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
23
1.5
Getallen en letters Inleiding Letters gebruik je bij algemene formuleringen. Daarbij kunnen de letters alle mogelijke getallen voorstellen. Voorbeelden = 4 × zijde =4×z
de oppervlakte van een rechthoek
= basis × hoogte =b×h
tijdens een spel wordt je score verdubbeld
= 2 × de score =2×s
aa r
de omtrek van een vierkant
je leeftijd vermeerderd met 7
een derde deel van een bos bloemen het zesvoud van een getal
xe m
de som van twee getallen
pl
je spaargeld verminderd met 5 euro
Afspraken
Optellen en aftrekken
jk e
Bij een optelling en een aftrekking plaats je het liefst de letters vooraan.
k + 3, s − 5, a + b + 4, x + 12
Vermenigvuldigen
4⫻5
wordt 4 ⴢ 5 = 20
1
• Als er geen verwarring mogelijk is, mag de stip zelfs weg.
5ⴢa
wordt
5a
2
• Getallen in een product schrijf je vooraan.
mⴢ7
wordt
7m
3
• Letters in een product schrijf je in alfabetische volgorde.
cⴢa
wordt
ac
a:8
wordt
a 8
In ki
• Om verwarring met de letter x te vermijden, vervangen we het vermenigvuldigingsteken van de lagere school ( ⫻ ) door een stip.
4
Delen
5
De breukstreep krijgt de voorkeur op het deelteken.
6 7
Voorbeelden
8
7+a
wordt
bⴢl
wordt
a+6+b
wordt
zⴢ4
wordt
c:3
wordt
yⴢ6ⴢx
wordt
7⫻a
wordt
7ⴢaⴢ8
wordt
9 10 11 12 13
24
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
Oefeningen REEKS A Bereken de omtrek en de oppervlakte van een vierkant met gegeven zijde z. omtrek = 4 ⴢ z (cm)
z (cm)
32
a)
2
b)
6
c)
5
oppervlakte = z ⴢ z (cm 2) z ⴢ z=
4ⴢz=
aa r
31
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik een letter naar keuze). a) De lengte van de kast wordt gedeeld door 3.
c) Er gaat 8 euro van je belwaarde af.
pl
b) Je puntentotaal wordt verdrievoudigd.
d) Het wordt vier graden kouder dan vandaag.
xe m
e) De hoogte van de driehoek wordt verdubbeld. f) Je spaargeld brengt 65 euro intrest op.
REEKS B
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a).
jk e
33
a) een getal verminderd met 6 b) 3 meer dan een getal
c) het drievoud van een getal
In ki
d) de helft van een getal
e) 8 minder dan een getal f) een getal vermeerderd met 12
34
Vul aan met de juiste waarde. a
b
a)
2
1
b)
4
2
c)
5
3
d)
3
7
4a
2b
a+b
3a + b
6a + 2b
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
25
35
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a). Denk aan de afspraken. a) De prijs van een brood is gestegen met 20 cent. b) Je koopt twee appelen. c) Een middagje zee kostte je drie frisdrankjes. d) De inkt voor de printer is 5 euro goedkoper geworden. e) De trainer plaatste twaalf kegels voor een parcours.
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a). a) 5 minder dan de helft van een getal b) 8 meer dan het vijfvoud van een getal c) het viervoud van een getal verminderd met 17
REEKS C 37
xe m
e) 10 meer dan het dubbel van een getal
pl
d) een vierde deel van een getal vermeerderd met 2
aa r
36
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a en/of b). Denk aan de afspraken. a) De trainer plaatste twaalf kegels en drie bruggetjes voor een parcours.
jk e
b) Je koopt zes peren en vier bananen.
c) Je bestelt twee spuitwaters en een fruitsap. d) Je betaalt â‚Ź 15 voor een abonnement en â‚Ź 2 per fitnessbeurt. e) Els kocht in de solden een broek en twee rokjes.
In ki
1
2 3
38
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering (gebruik a).
4 5
a) de som van twee opeenvolgende getallen
6
b) zes meer dan de som van drie opeenvolgende getallen
7
c) een even getal
8 9
d) een oneven getal e) de som van twee opeenvolgende even getallen
10 11 12
f) de som van twee opeenvolgende oneven getallen g) de som van twee opeenvolgende veelvouden van vijf
13
26
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
STUDIEWIJZER Getallen voor de leerling
1.1 Getallengeschiedenis KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
De tabel van het positiestelsel met grondtal tien.
KUNNEN Romeinse cijfers omzetten naar Arabische cijfers. De waarde van een cijfer in een getal bepalen.
aa r
1.2 Soorten getallen −
+ −
+
−
+ −
+
KENNEN
−
+ −
+
KUNNEN
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
KENNEN
Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.
Een geheel getal is elk getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.
KUNNEN
pl
Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, waarbij het tweede getal niet nul is.
xe m
Getallen indelen bij natuurlijke, gehele of rationale getallen.
1.3 Getallen in verzamelingen De betekenis van
僆, 僆, 傺, ⊄ , N , ⺪ en Q.
jk e
Een verzameling geven door omschrijven en opsomming. Een verzameling voorstellen in een venndiagram.
1.4 Getallen in tabellen en diagrammen KUNNEN
In ki
Gegevens aflezen van een tabel.
Gegevens afleiden uit een staafdiagram, een lijndiagram, een cirkeldiagram en een dotplotdiagram.
1.5 Getallen en letters
KUNNEN
Letters die getallen voorstellen, gebruiken in algemene formuleringen. Afspraken in verband met letters en getallen toepassen.
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
27
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
pl
2. Elke minuu t verdubbelt de inhoud van een water tank. Na één uur is de tank vol. Na hoeveel m inuten was de tank halfvol?
3. Vul de geta llen 35, zodat het schem 47, 52, 68 en 101 aan a klopt. De betekent ‘is gr oter dan’.
In ki
1
jk e
xe m
lucifers weg, 1. Neem vier n drie vierkante zodat je maar overhoudt.
aa r
concreet materiaal
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
28
HOOFDSTUK 1 I GETALLEN
n zijn uurlijke getalle 4. Hoeveel nat 0 er groter dan 10 0? 00 1 n da en kleiner
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
Meetkunde observeren
2.2
De basisbegrippen van de meetkunde
2.3
De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten
Studiewijzer
₃₀ ₃₈ ₅₂ ₆₈ ₇₀
aa r
2.1
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
29
2.1
Meetkunde observeren
2.1.1 Kijklijnen Aan de hand van de kijklijnen kun je het gezichtsveld van een persoon bepalen.
onzichtbaar
het tafeltje met fotokader naast de kast
❒
❒
moeder
❒
❒
de plant
❒
❒
de televisie
❒
❒
pl
zichtbaar
2.1.2 Wat je ziet en wat er is
xe m
Vorm
aa r
Zijn de volgende voorwerpen voor Bram zichtbaar of onzichtbaar?
Wat is de echte vorm van het scherm?
jk e
Wat is de vorm van het scherm op de foto?
Grootte Definitie
Schaal
In ki
1
2
Schaal is een breuk met in de teller de afmeting op de tekening en in de noemer de afmeting in werkelijkheid.
3 4 5
Vader laat een ontwerp maken voor de inrichting van de woonkamer. Het is onmogelijk om dat ontwerp op ware grootte te tekenen. De binnenhuisarchitect heeft de woonkamer op schaal getekend.
6
Meet de lengte van de sofa op de tekening.
7 8
Lees de werkelijke lengte van de sofa af op de tekening.
9 10
1 600 mm
schaal =
11 12 13
30
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
afmeting op tekening = werkelijke afmeting
mm mm
=
2.1.3 Ruimtefiguren en vlakke figuren In de wereld om je heen zie je veel figuren uit de meetkunde. In de meetkunde onderscheid je ruimtefiguren en vlakke figuren. Ontdek ruimtefiguren en vlakke figuren op de onderstaande foto’s. Noteer de namen van die ruimtefiguren en vlakke figuren in de tabel. 3
2
aa r
1
5
4
8
xe m
6
pl
7
jk e
9
In ki
ruimtefiguren
vlakke figuren
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
31
2.1.4 Meetkundige figuren
In ki
1
jk e
Vlakke figuren
xe m
pl
aa r
Ruimtefiguren
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
32
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
Oefeningen REEKS A Bij het inschatten van een verkeerssituatie zijn kijklijnen erg belangrijk. Op de figuur belemmeren twee vrachtwagens telkens het zicht. Teken de kijklijnen om na te gaan of Viktor de aankomende en voorbijgereden auto kan zien. a)
onzichtbaar
auto 1
❒
❒
auto 2
❒
❒
zichtbaar
pl
zichtbaar
onzichtbaar
❒
❒
auto 2
❒
❒
xe m
auto 1
Welke schaduw is die van Anton?
In ki
jk e
2
b)
aa r
1
a) ❒
b) ❒
d) ❒
f) ❒
c) ❒
e) ❒
g) ❒
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
33
3
De vorm van een vlakke figuur op een foto of tekening komt niet altijd overeen met de vorm van die vlakke figuur in werkelijkheid. a) Verbind de stippen op de omheining op de afbeelding. b) Welke vlakke figuur heb je getekend?
4
aa r
c) Welke vlakke figuur zul je verkrijgen als je in de werkelijke situatie spijkers klopt op de plaats van de punten en ze verbindt met een touw?
Zijn de afbeeldingen een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid? b)
c)
d)
❒ vergroting ❒ verkleining
❒ vergroting
❒ vergroting
❒ verkleining
❒ verkleining
❒ verkleining
Leiden de gegeven schalen tot een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid? a)
1 10
❒ vergroting ❒ verkleining
In ki
1
❒ vergroting
jk e
5
xe m
pl
a)
b)
1 10 000
c)
❒ vergroting ❒ verkleining
500 1
d)
❒ vergroting ❒ verkleining
2 1
❒ vergroting ❒ verkleining
2
6
Duid de schaal aan die bij de foto hoort.
3 4 5 6
❒
1 30 000
❒ 30 000 1
7
1 300
❒ 1
❒ 300
❒ 3
❒
8 9 10
Schaal is een vergroting of een verkleining van de werkelijkheid. Geef van beide situaties een voorbeeld.
11
a) verkleining:
12
7
b) vergroting:
13
34
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
1
3
1
Schrijf onder elke ruimtefiguur de juiste naam. a)
9
b)
c)
Schrijf onder elke vlakke figuur de juiste naam. b)
c)
d)
10
xe m
pl
a)
d)
aa r
8
Op welke ruimtefiguren lijken de onderstaande voorwerpen? b)
c)
d)
c)
d)
In ki
jk e
a)
11
Welke vlakke figuren herken je in de foto’s?
a)
b)
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
35
Bij kerkramen, behangpapier, cadeauverpakking en in de kunst worden vlakken soms opgevuld met siermotieven. Die siermotieven bevatten terugkerende patronen die we ook vlakvullingen noemen. De ontwerpers van die vlakvullingen maken vaak gebruik van de traditionele vlakke figuren.
12
Welke vlakke figuren herken je in de vlakvullingen? b)
c)
xe m
pl
aa r
a)
REEKS B 13
Zichtbaar of onzichtbaar? Teken de nodige kijklijnen.
a) Kan Sefa (S) de brooddoos (B) op de koelkast in de keuken zien staan?
❒ ja
(M)
jk e
b) Kan moeder (M) Sefa (S) zien staan in de gang?
❒ nee
c) Kan Sefa (S) de plant in de woonkamer zien?
❒ ja
In ki
1
❒ ja
(S)
(B)
❒ nee
❒ nee
d) Kan Sefa (S) door een venster van de keuken naar buiten kijken?
2 3
❒ ja
❒ nee
4 5 6
14
Plaats de letter van de passende schaalaanduiding bij de figuur.
7 8 9 10 11 12
a)
1 100
13
36
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
b)
1 1
c)
1 15 000
d)
1 2 000
e)
1 40
f)
1 300
16
Vul de tabel in. afstand op tekening
schaal
a)
12 mm
1 3
b)
60 mm
2 1
c)
17 mm
1 8
afstand in werkelijkheid
d)
3 1
9 mm
e)
1 7
56 mm
aa r
15
Welke vlakke figuren herken je op de nationale vlaggen? b) Koeweit
c) Congo
d) Bahama’s
17
jk e
xe m
pl
a) Brazilië
Schrijf onder elke meetkundige ruimtefiguur de juiste naam. b)
c)
d)
In ki
a)
18
Schrijf onder elke meetkundige vlakke figuur de meest passende naam. a)
b)
c)
d)
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
37
2.2
De basisbegrippen van de meetkunde
2.2.1 Vlak, rechte en punt Tuinhuisjes bestaan in allerlei modellen en maten. Bij een groot bedrijf vind je zeker het model van je keuze.
aa r
Als jij gekozen hebt, komt het bedrijf het tuinhuis in je tuin plaatsen.
Vlak
Om het tuinhuis vlot te kunnen bouwen, maakt men in het bedrijf vooraf de vier zijvlakken.
pl
Ook in meetkunde spreken we van een vlak. Hier is het vlak oneindig uitgebreid.
xe m
Je duidt het vlak aan met een Griekse letter. Voorbeeld: ␣ (Je leest: ‘alfa’.)
Waar twee zijvlakken samenkomen, wordt een houten lat geplaatst. Voor een goede aansluiting moet die lat perfect recht zijn.
a
jk e
Rechte
Waar twee vlakken elkaar snijden, ontstaat een rechte. Een rechte is ‘een rechte lijn’ die oneindig ver doorloopt.
In ki
1
2 3
Je benoemt een rechte met een kleine letter. Voorbeeld: a
4 5
Punt
6 7
Waar twee rechten elkaar snijden, ontstaat een punt.
8
Je benoemt een punt met een hoofdletter.
9 10
Voorbeeld: A
11 12 13
38
Het punt waar twee houten latten samenkomen, wordt nog eens extra verstevigd.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
A
α
Vaststelling Teken een rechte a door het punt A. Teken nu ook de rechten b, c en d door het punt A. C
Hoeveel verschillende rechten kun je tekenen door het punt A? A
Teken een rechte e die tegelijk door de punten B en C gaat. B
Twee punten en een rechte
xe m
Door twee verschillende punten
pl
Vaststelling
aa r
Hoeveel verschillende rechten kun je tekenen die tegelijk door de punten B en C gaan?
Omdat de punten B en C de rechte e volledig bepalen, kun je die rechte e ook nog op een andere manier benoemen. of e =
In ki
jk e
e=
Binnen de meetkunde maak je een onderscheid tussen vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde. In de vlakke meetkunde werk je in één vlak. Wanneer je in meetkunde in één vlak werkt, dan wordt dat vlak heel vaak aangeduid met de Griekse letter (je leest: ‘pi’). Dat is de Griekse letter ‘p’. Men heeft die letter gekozen omdat het de eerste letter is van het Griekse woord ‘planum’, dat ‘vlak’ betekent.
In het Oude Griekenland bestudeerde men het vlak al rond 500 voor Christus. Wiskundigen uit die tijd verkondigden dat het vlak uit oneindig veel punten bestaat.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
39
2.2.2 Lijnstuk en halfrechte Lijnstuk a A
B
Door een rechte op twee plaatsen door te knippen, haal je een stuk uit de rechte. Het deel dat begrensd wordt door twee punten, noem je een lijnstuk. De twee punten waar je knipt, noem je de grenspunten. notatie: B
De rechte a noem je de drager van het lijnstuk.
pl
Halfrechte
grenspunten:
aa r
A
a
B
xe m
A
C
Door een rechte in twee stukken te knippen, verkrijg je twee halve rechten of twee halfrechten. Het punt waar je knipt, noem je het grenspunt. A
B
jk e
notatie:
grenspunt:
B
C
notatie: grenspunt:
De rechte a noem je de drager van de halfrechten.
In ki
1
2 3
2.2.3 Meetkunde en verzamelingen Onderlinge relatie vlak, rechte en punt
4 5 6 7
Als je een fragment van een foto sterk vergroot, merk je dat de foto uit kleine puntjes is opgebouwd. Bij beeldschermen en foto’s spreek je van pixels. Als de foto van goede kwaliteit is, zie je de afzonderlijke punten niet.
8
In meetkunde doet zich iets gelijkaardigs voor. Een vlak bestaat uit oneindig veel punten.
9 10
Als je in een vlak een rechte tekent, dan bestaat die rechte ook uit oneindig veel punten. Net zoals bij een foto zie je de afzonderlijke punten niet.
11 12 13
40
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
Onderlinge relatie punt en andere basisbegrippen van de meetkunde Een lijnstuk, een halfrechte, een rechte en een vlak zijn allemaal verzamelingen van punten. Een punt kan er al dan niet toe behoren. Punt – lijnstuk
Punt – halfrechte B
C A
B
A
F
E
D
A
僆
[CD ]
A behoort tot [EF.
A
僆
[EF
B behoort niet tot [CD ].
B
僆
[CD ]
B behoort niet tot [EF.
B
僆
[EF
Punt – rechte
aa r
A behoort tot [CD].
Punt – vlak
B
B a
A
A
A
僆
a
B behoort niet tot a.
B
僆
a
A behoort tot ␣.
A
僆
␣
B behoort niet tot ␣.
B
僆
␣
xe m
A behoort tot a.
pl
α
Onderlinge relatie lijnstuk, halfrechte, rechte en vlak
Een lijnstuk, een halfrechte, een rechte en een vlak zijn allemaal verzamelingen van punten. De ene kan een deelverzameling zijn van de andere. [AB] 傺 [AB
B
Alle punten van de halfrechte [AB behoren ook tot de rechte AB.
[AB 傺 AB
α
Alle punten van de rechte AB behoren ook tot het vlak ␣.
jk e
Alle punten van het lijnstuk [AB] behoren ook tot de halfrechte [AB.
In ki
A
AB
傺
␣
α
AB
[AB
[AB]
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
41
Oefeningen REEKS A 19
Punten en rechten
D C
a
b
F
E
A B
aa r
H c
a) Tot welke getekende rechte(n) behoren de punten? rechte(n)
A
b
xe m
D
Vul de tabel aan.
c
jk e
voorstelling
a)
Q
P
In ki
1
2
b)
π
3 4
benaming
❒ ❒ ❒ ❒
vlak
❒ ❒ ❒ ❒
vlak
❒ ❒ ❒ ❒
vlak
❒ ❒ ❒ ❒
vlak
rechte lijnstuk punt
rechte lijnstuk punt
5 6
c)
A
7 8 9
d) 10
C D
11
m
12 13
42
punt(en)
a
B
20
rechte
pl
punt
b) Welke getekende punten liggen op de rechte?
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
rechte lijnstuk punt
rechte lijnstuk punt
notatie
REEKS B 21
Vul in met = of ≠. c
A b
a) a
CD
b) c
BG
c) AE
AG
d) AC
AF
B a D
C E
F
aa r
G
22
pl
e) BD
Vervolledig de tabel.
benaming
notatie
xe m
figuur
FE
❒ rechte
a) A
B
❒ lijnstuk ❒ halfrechte ❒ rechte
jk e
b)
❒ lijnstuk ❒ halfrechte ❒ rechte
In ki
c)
E
d)
CD
F
❒ lijnstuk ❒ halfrechte ❒ rechte ❒ lijnstuk
[GH ]
❒ halfrechte e)
❒ rechte ❒ lijnstuk
IJ]
❒ halfrechte
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
43
23
Noteer het basisbegrip uit de meetkunde dat het best bij de omschrijving past. Geef daarbij ook de juiste notatie. a) de top van de kerktoren A C
D
b) de nok van het dak
B
D F
C a A
G
F
basisbegrip:
notatie:
notatie:
Juist of fout?
A
B
D
fout
a) BD is de drager van [BC.
❒
❒
b) C behoort tot BD].
❒
❒
c) [AB] en [AC hebben eenzelfde grenspunt.
❒
❒
d) B is een grenspunt van [AB en van [BC.
❒
❒
Vul in met ∈ of ∉.
In ki
1
juist
jk e
C
25 2
C
F
B
3
E
4
A
5 6
a D
7
K
8
H
9 10 11 12
b
G
13
44
H
pl
basisbegrip:
xe m
24
B
aa r
E
E
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
c
a) E
a
b) B
b
c) K
c
d) C
AB
e) E
DF
f) D
AH
g) H
DK
h) B
c
i) F
DE
j) B
AF
26
Vul in met ⊂ of ⊄. P
R N S M
[RT]
c) M
SN
d) RT
␣
e) [MS]
[MN]
f) [RT]
RT]
g) NS
MN]
h) PR
␣
i) RT
ST
j) [MT
␣
De constructie op de foto is bedoeld om één klimtouw en één schommel op te hangen. Beantwoord de vragen. A B
xe m
27
b) [RS
pl
α
␣
aa r
T
a) [MN]
C
K
D
E
F
H
G
I
J
jk e
L
M
bout
P Q
In ki
N
haak R
a) In welke punten die op de foto zijn aangeduid, bevestig je een haak?
b) In welke punten die op de foto zijn aangeduid, bevestig je een bout? c) Welke aangeduide punten hebben [AE] en [CF] gemeenschappelijk? d) Noem alle getekende lijnstukken waarvan J grenspunt is.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
45
28
Beantwoord de vragen aan de hand van de figuur. a) Het punt C verdeelt de rechte a in twee halfrechten. Noteer die halfrechten. a
A
b) Noteer vier verschillende halfrechten waartoe het punt C behoort.
C
c) Noteer drie verschillende lijnstukken waartoe het punt C behoort.
B
aa r
Teken en beantwoord de vragen.
pl
29
d) Noteer de drager van [AC] op vier verschillende manieren.
a) Teken b zodat b = BC.
b) Teken E zodat E tot a en tot BC behoort.
a
xe m
B
A
c) Teken een punt F van de rechte a.
d) Teken G zodat G tot BC behoort. e) Teken H zodat AH = AB.
D
a=
jk e
C
=
=
g) Benoem de rechte BC op drie andere manieren. BC =
=
=
In ki
1
f) Benoem de rechte a op drie andere manieren.
2
REEKS C
3 4
30
Vul de figuur aan.
5 6 7
B A
a) Teken de drager van [AC].
8 9
C
10 11 12 13
46
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
b) Teken D zodat D
僆
[AB].
c) Teken E zodat E
僆
[AB en E
d) Teken F zodat F
僆
[AC] en [AC = [AF.
e) Teken G zodat G
僆
[BC].
僆
[BA.
31
Omcirkel telkens twee passende symbolen. E A
F
D C B
R
G
aa r
P
L
K
N
[AB]
僆
b)
K
僆
c)
[KN
僆
d)
L
僆
e) f)
J
傺
⊄
PL
h)
[RC
僆
僆
傺
⊄
DF
僆
傺
⊄
FG
i)
KL
僆
僆
傺
⊄
HN
僆
傺
⊄
LH
j)
H
僆
僆
傺
⊄
[LN
僆
傺
⊄
[HK
k)
[GH]
僆
僆
傺
⊄
[JE]
[BP
僆
僆
傺
⊄
[LA
[BP ]
僆
僆
傺
⊄
[MA ]
l)
C
僆
僆
傺
⊄
[AG
m) N
僆
僆
傺
⊄
PE
[DH ]
僆
僆
傺
⊄
[EG
n)
僆
僆
傺
⊄
[RF]
[CD
In ki
g)
I
僆
jk e
a)
xe m
pl
M
H
32
Teken de punten zodat aan alle voorwaarden voldaan is.
[AB ]
傺
DE
[AF ]
傺
[AC]
D
僆
[BA
C
僆
[BG
E
僆
[AB]
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
47
2.2.4 Coördinaten Positie van een punt bepalen In de les technologische opvoeding moet Sybren van zijn leraar drie gaatjes boren in een vierkant metalen plaatje. De plaats van de gaatjes is belangrijk. De leraar noteert de volgende gegevens op het bord: l = afstand in millimeter van de linkerrand b = afstand in millimeter van de benedenrand
gaatje B
gaatje C
aa r
gaatje A l b
10
45
30
15
45
50
xe m
pl
Stel op de afbeelding de drie gaatjes voor door middel van stippen. Benoem ze met de letters A, B en C.
Coördinaat van een punt van een vlak
Zoals de leraar de plaats van een gaatje in het plaatje aan de hand van twee getallen kan bepalen, kun je ook de plaats van een punt in een vlak bepalen aan de hand van twee getallen.
y 9 8 7 6 5
2
4
• Een assenstelsel bestaat uit: een horizontale x-as en een verticale y-as.
B
• Het snijpunt van beide assen noem je de oorsprong. • De afstand tussen 0 en 1 is op beide assen gelijk.
In ki
1
jk e
Om de positie van een punt in een vlak te beschrijven, werk je met de coördinaat van het punt in een assenstelsel.
3 4 5 6
Punt A bepaal je door 1 op de x-as en 3 op de y-as.
A
3
Je noteert: (1, 3)
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
(1, 3) noemen we de coördinaat van A. Notatie: co (A) = (1, 3) of A (1, 3)
Een coördinaat van een punt bestaat uit twee getallen:
7
• het eerste coördinaatgetal of de x-coördinaat wordt afgelezen op de x-as;
8
• het tweede coördinaatgetal of de y-coördinaat wordt afgelezen op de y-as.
9 10
Voorbeeld
11
a) Bepaal de coördinaat van B.
12
b) Teken C (5, 2) in het assenstelsel.
13
48
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
co (B) = (
,
)
Oefeningen REEKS A
R
33
Bepaal de coördinaat van de punten die in het assenstelsel getekend zijn. a) co (A) = (
,
)
b) co (B) = (
,
)
c) co (C ) = (
,
)
d) co (D) = (
,
)
e) co (E ) = (
,
)
y 12
,
)
g) co (G ) = (
,
)
h) co (H ) = (
,
)
10
C
9 8
E
7 6
B
4 3
G
2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
pl
34
D
0
x
Plaats de punten met gegeven coördinaat in het assenstelsel. a) co (A) = (3, 7)
xe m
R
H
F
5
aa r
f) co (F) = (
A
11
y
12
b) co (B) = (8, 12)
11 10
c) co (C) = (9, 1) d) co (D) = (4, 0)
8 7 6
jk e
e) co (E) = (7, 2)
9
f) co (F ) = (11, 12) g) co (G ) = (5, 5)
In ki
h) co (H ) = (0, 6)
5 4 3 2 1 0
1
2
3
x
REEKS B
35
Teken de punten A (1,2), B (5,8), C (3,5) en D (4,7) in het assenstelsel. Beoordeel de uitspraken in de tabel. juist
fout
y 9 8 7 6
a) C
僆
[AB].
❒
❒
b) D
僆
[AB].
❒
❒
c) D
僆
AB.
❒
❒
d) B
僆
[AC.
❒
❒
5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
49
36
Noteer voor de gegeven coördinaat in welke straat van De Haan je terechtkomt. y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
aa r
2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
pl
a) (9, 10) b) (5, 1)
d) (9, 2) e) (23, 2)
37
jk e
f) (13, 11)
xe m
c) (2, 4)
Basisbegrippen van de meetkunde. a) Plaats de punten in het assenstelsel.
2 3
14
• A (4, 10)
13
• B (7, 2)
12
• C (1, 5)
11
In ki
1
• D (0, 4)
10
4
• E (10, 12)
9
5
• F (5, 9)
8
6
• G (11, 3)
7
7 8 9
6
b) Teken in het assenstelsel. • AB • [EF]
10
• [CB
11
• EG]
5 4 3 2 1 0
12 13
50
y
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
x
x
38
Zoek de schat. a) Op het domein worden uitkijktorens geplaatst in de volgende punten: • A (9, 4) • B (3, 12) • C (8, 10) • D (2, 4)
y 17 16 15 14
Hilke staat op uitkijktoren A en kijkt naar uitkijktoren B. Tobias staat op uitkijktoren C en kijkt naar uitkijktoren D. Hilke en Tobias zien allebei een vlaggenmast op hun kijklijn. De vlaggenmast staat in punt V. Bepaal de coördinaat van V.
13 12 11 10
aa r
9 8 7
co (V) = (
6 5
pl
3
1 1
2
3
xe m
2
4
5
6
7
8
9
x
10
co (S) = (
,
)
Jana wil niet vertellen hoe oud haar opa is. Ze geeft je een opdracht waaruit je de leeftijd van haar grootvader kunt afleiden. De opdracht luidt als volgt:
jk e
39
Als je in het assenstelsel de eerste twaalf letters van het alfabet met elkaar verbindt en daarna ook de laatste twaalf, dan kun je de leeftijd van mijn opa aflezen.
In ki
ICT
)
b) Als je de twee coördinaatgetallen van V verwisselt en elk coördinaatgetal deelt door 2, dan verkrijg je de coördinaat van het punt S. In het punt S ligt een schat begraven. Duid op de figuur de plaats aan waar de schat begraven ligt.
4
0
,
J (3 , 4) K (3 , 9) L (6 , 9) M (6 , 12) N (7 , 13) O (8 , 10) P (12 , 10) Q (12 , 3) R (8 , 3)
14 13 12 11
Hoe oud is de opa van Jana?
A (6, 10) B (2, 10) C (2, 3) D (6, 3) E (6, 7) F (3, 7) G (3, 6) H (5, 6) I (5, 4)
y
10 9 8
S (8 , 4) T (11, 4) U (11, 6) V (9 , 6) W(9 , 7) X (11, 7) Y (11, 9) Z (8 , 9)
7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
x
51
2.3
De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten
2.3.1 De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten in een vlak Op de camping bouwt Kris een cafetaria. Hij bouwt eerst een houten geraamte. In het voorvlak van het geraamte herken je verschillende lijnstukken. • Welke aangeduide lijnstukken zijn evenwijdig? D
F
C
• Hoeveel punten hebben [FJ] en [HK] gemeenschappelijk?
G H
AM
LK
Duid de gemeenschappelijke punten op de figuur aan en benoem ze. Hoe noem je de onderlinge ligging van [FJ] en [HK]?
I
pl
J
aa r
B
E
• Welke hoek vormen de lijnstukken [AB] en [AI]? De lijnstukken [AB] en [AI] staan bijgevolg loodrecht op elkaar.
lijnstukken
xe m
• Wat is de onderlinge ligging van de volgende lijnstukken op de foto? onderlinge ligging
lijnstukken
[CM] en [GI]
[DL] en [AJ]
jk e
Snijdende rechten ab
c
E
d e
D
B
F
C
In ki
1
onderlinge ligging
2
G
N
H
f
lijnstukken
onderlinge ligging
[BE] en [DL]
Door lijnstukken van het skelet van het gebouw te verlengen, verkrijg je de dragers van die lijnstukken. Die dragers zijn rechten. Hoeveel punten hebben de rechten f en d gemeenschappelijk?
g
3
AM
4 5 6
Definitie
LK
J
I
f en d zijn snijdende rechten.
Snijdende rechten
Snijdende rechten in een vlak zijn
a
7
S
8
b
9 10 11
Notatie: a 兾兾\ b
12
Het gemeenschappelijke punt (S) noem je het snijpunt van de rechten. Geef nog een voorbeeld van twee snijdende rechten op de figuur. Geef ook het snijpunt.
13
Snijdende rechten:
52
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
snijpunt:
Bijzonder geval: loodrechte rechten ab
E
c
Welke hoek vormen de snijdende rechten d en p? d
e
D B
F
C
H
N
AM Definitie
p en d zijn loodrechte rechten.
G
p
LK
J
I
Loodrechte rechten a
aa r
Loodrechte rechten in een vlak zijn
b
S
pl
Notatie: a ⊥ b Evenwijdige rechten c D B
G H
LK
J
a en b zijn disjuncte rechten.
I
jk e
Definitie
Hoeveel punten hebben de rechten a en b gemeenschappelijk?
d e F
C
AM
E
xe m
ab
Disjuncte rechten
In ki
Disjuncte rechten in een vlak zijn
Hoeveel punten hebben de rechten IH en IG gemeenschappelijk? IH en IG zijn samenvallende rechten.
Definitie
Samenvallende rechten Samenvallende rechten in een vlak zijn
Definitie
Evenwijdige rechten Evenwijdige rechten in een vlak zijn rechten die disjunct of samenvallend zijn.
a
a=b
b
Notatie: a 兾兾 b HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
53
Oefeningen REEKS A Wat is de onderlinge ligging van de aangeduide zijden bij de vlakke figuren? Vink alle juiste vakjes aan. a)
B
J
L
K
D
zijden
evenwijdig
snijdend
loodrecht
[AB ] en [CD ]
❒
❒
❒
[AD] en [CD]
❒
❒
[BC] en [CB]
❒
❒
b)
I
zijden
evenwijdig
snijdend
loodrecht
[IJ] en [KL]
❒
❒
❒
❒
[IL] en [JK]
❒
❒
❒
❒
[IL] en [KL]
❒
❒
❒
d)
F
xe m
E
aa r
A
H
G
M
O R Q
loodrecht
zijden
evenwijdig
snijdend
loodrecht
[EH] en [GH]
❒
❒
❒
[MN] en [PQ ]
❒
❒
❒
[EF] en [GH]
❒
❒
❒
[QR] en [MR]
❒
❒
❒
[GH] en [FG]
❒
❒
❒
[RQ] en [NO]
❒
❒
❒
jk e
snijdend
7 8
11 12
De W ae
D
K H
G Lambermont plaats F Ka ste els tra at I M P Pacificatiestraat
13
54
a) [UV] en [TW]
lp
E str. Verschansing
C
9 10
U Coquilhatstr.
Sc hil de rss tra at V
ld
A
po
6
laa
B
5
ts
Bepaal de onderlinge ligging van de lijnstukken. Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht.
Le o
4
41
P
evenwijdig
2 3
N
zijden
In ki
1
c)
C
pl
40
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
T Be eld ho uw er sst L ra N R at
Bo
uw
W S
J O
Q
Am
erik
ale
i
m
ee
ste
b) [KL] en [JL] c) [QR] en [RS] d) [MP] en [OP] rss
tr.
e) [GF] en [HI] f) [AB] en [BC]
42
Plaats de lijnstukken in de gevraagde kleur. Elk lijnstuk mag je maar één kleur geven. a) Kleur een paar evenwijdige lijnstukken groen. Kleur een paar loodrechte lijnstukken rood.
b) Kleur een paar evenwijdige lijnstukken groen. Kleur een paar snijdende lijnstukken rood. F
G
C
B D
aa r
A
H
J
E
I
Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ en ⊥.
xe m
43
pl
REEKS B
D
E
F
C
G
B
H
J
K
jk e
A
FG
f) GH
JK
b) BC
IJ
g) CD
IJ
c) FI
FG
h) GJ
BC
d) DE
IJ
i) JK
CD
e) AH
HK
j) BC
JK
Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ en ⊥.
In ki
44
I
a) GH
a
b
c
d
e
f
g
h
a b c
a
d e
b d
f g h
h
f e
c g
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
55
46
Juist of fout? juist
fout
a) Twee evenwijdige rechten hebben nooit een gemeenschappelijk punt.
❒
❒
b) Twee snijdende rechten kunnen loodrecht op elkaar staan.
❒
❒
c) Twee snijdende rechten staan altijd loodrecht op elkaar.
❒
❒
d) Twee snijdende rechten kunnen evenwijdig zijn met elkaar.
❒
❒
Zijn de rechten evenwijdig of niet? a)
b)
c)
aa r
45
a
a b
a b
c
兾兾
a en c
❒
b en c
❒
兾兾\
a en b
❒
❒
❒
a en c
❒
❒
❒
b en c
❒
❒
❒
a en b
兾兾
兾兾\
❒
❒
In Manhattan, een stadsdeel van New York, vallen de evenwijdigheid en de loodrechte stand van de straten op.
In ki
1
❒
兾兾
yy\
jk e
47
a en b
xe m
pl
c
b
2
a) Geef twee voorbeelden van evenwijdige straten.
3
•
en
4
•
en
5 6 7 8
•
en
•
en
c) Geef twee voorbeelden van niet loodrecht snijdende straten.
9 10 11 12 13
56
b) Geef twee voorbeelden van loodrechte straten.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
•
en
•
en
48
Zijn de rechten disjunct of samenvallend?
C
A
D
J
G
H
E
L
K
M
samenvallend
AB en CE
❒
❒
BD en HK
❒
❒
DG en JL
❒
❒
FG en FH
❒
❒
JK en LM
❒
❒
aa r
B
I
F
disjunct
AE en HK
In een meccanoplaatje kun je elk gaatje aanduiden met een letter en een cijfer. Op de oranje plaat is een staafje bevestigd in E3 en E8.
10 9 8 7 6
jk e
5
xe m
49
❒
pl
REEKS C
❒
4 3 2 1
In ki
A B C D E
F G H
I
J
a) We bevestigen een staafje met dezelfde lengte als het getekende staafje in H8. In welk gaatje moet je het uiteinde van het staafje bevestigen zodat • het staafje loodrecht staat op het getekende staafje?
• het staafje evenwijdig is met het getekende staafje? b) In welke gaatjes kun je de uiteinden van een staafje met dezelfde lengte als het getekende staafje bevestigen, als de staafjes de zijden van een vierkant zijn? In eenzelfde gaatje kun je verschillende staafjes bevestigen.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
57
2.3.2 De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten in de ruimte Bij deze constructie merk je heel wat houten dwarslatten op. Sommige liggen in eenzelfde vlak, andere liggen in verschillende vlakken. Elke dwarslat kun je beschouwen als een lijnstuk. In wat volgt, gaan we aan de hand van een balkmodel na wat de onderlinge ligging is van twee lijnstukken of twee rechten in de ruimte.
aa r
Lijnstukken en rechten in eenzelfde vlak evenwijdig
snijdend
α
B
pl
B C
A
xe m
A
bijzonder geval: loodrecht snijdend
α
C
De lijnstukken [AC] en [BD] in het zijvlak van de balk zijn snijdend.
D
De ribben [AD] en [CD] van de balk staan loodrecht op elkaar.
jk e
De ribben [AB] en [CD] van de balk zijn evenwijdig.
B C
A
D
D
α
Opmerkingen
In ki
1
• Bij de vlakke voorstelling van een ruimtefiguur komt de onderlinge ligging van lijnstukken en rechten op tekening niet altijd overeen met de onderlinge ligging in werkelijkheid. Zo staan de ribben [AD] en [CD] in werkelijkheid loodrecht op elkaar. Op de vlakke voorstelling zijn ze niet zo getekend.
2 3 4 5
• Op de voorstelling hiernaast zie je dat de ribben [AD] en [FG] in eenzelfde vlak liggen. Dat vlak is geen zijvlak van de ruimtefiguur. Liggen de volgende lijnstukken in eenzelfde vlak?
β
6 7
lijnstukken
8
[AF] en [DG]
❒ ja
❒ nee
9
[AB] en [EH ]
❒ ja
❒ nee
[EF ] en [CD]
❒ ja
❒ nee
[BC ] en [GH ]
❒ ja
❒ nee
10 11 12 13
58
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
F
in eenzelfde vlak?
E
H
G
B
A
D
C
De dragers van de ribben van een balk zijn rechten. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten in de ruimte.
c
rechten
d
a
onderlinge ligging
a en b
❒ evenwijdig
❒ snijdend
❒ loodrecht
b en c
❒ evenwijdig
❒ snijdend
❒ loodrecht
a en d
❒ evenwijdig
❒ snijdend
❒ loodrecht
c en d
❒ evenwijdig
❒ snijdend
❒ loodrecht
Lijnstukken en rechten in twee verschillende vlakken
Twee lijnstukken die niet in eenzelfde vlak liggen, zijn kruisend.
α
G E
H
Opmerkingen
Voorbeeld: [EB] en [AD]
C
A
Een bijzonder geval van kruisend is loodrecht kruisend. Daarbij vormen de kruisende lijnstukken onderling een hoek van 90º.
xe m
β
B
pl
F
aa r
b
Voorbeeld:
D
jk e
• Wanneer je rechten tekent en hun onderlinge ligging bekijkt, kan er een verschil in onderlinge ligging zijn op de vlakke voorstelling en in werkelijkheid. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten op de tekening en in werkelijkheid. onderlinge ligging
In ki
rechten
op tekening
in werkelijkheid
b
a en b a en c b en c
c a
• Kruisende rechten hebben geen enkel punt gemeenschappelijk en zijn bijgevolg ook disjunct. Er zijn twee verschillende soorten disjuncte rechten: Á disjuncte rechten die in eenzelfde vlak liggen, dat zijn evenwijdige rechten; Á disjuncte rechten die in een verschillend vlak liggen, dat zijn kruisende rechten.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
59
Oefeningen REEKS A 50
Wat is de onderlinge ligging van de aangeduide ribben bij de ruimtefiguren? Vink alle juiste vakjes aan. a)
b) B
C
A
T
F
aa r
D
J
ribben
evenwijdig
[AB] en [CD]
❒
❒
❒
[AD] en [AE] [FG] en [GH]
[BF] en [AB]
ribben
evenwijdig
❒
[JK] en [LM]
❒
❒
❒
❒
❒
[JM] en [ML]
❒
❒
❒
❒
❒
❒
[KL] en [TL]
❒
❒
❒
❒
❒
❒
[JT] en [TM]
❒
❒
❒
❒
❒
[JM] en [KL]
❒
❒
❒
In ki
1
51
2
A
5
D
E
H
Noteer de onderlinge ligging van de ribben.
B
C
F
6 7
❒
onderlinge ligging ribben op tekening
G
[AB] en [AD]
8 9
[AD] en [AE]
10
[GH ] en [EH]
11 12 13
60
snijdend loodrecht
Wat is het verschil in onderlinge ligging tussen de ribben van de kubus op de foto en in werkelijkheid?
3 4
snijdend loodrecht
jk e
[CG] en [DH]
M
pl
H
xe m
E
L
K
G
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
in werkelijkheid
52
Bepaal de onderlinge ligging van de lijnstukken die op de balk getekend zijn. Geef het meest passende antwoord. Kies uit evenwijdig, snijdend of loodrecht. a) [AD] en [AC] B
C
b) [BD] en [AC] c) [BC] en [CG] G
F
A
d) [DG] en [CH ]
D
e) [AC] en [AE] H
f) [DE] en [DG]
REEKS B Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥.
pl
53
c
a
d
In ki
jk e
e
54
a) a
b
b) a
c
xe m
b
aa r
E
c) a
d
d) b
e
e) c
d
f) d
e
g) e
c
h) b
d
Een deel van het tuinhuis is al geplaatst. Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥ .
C
B
J
M A D
E
K
N
Q
L
I
H
O F
P G
a) BC
AD
b) CD
DG
c) NQ
PQ
d) CE
FE
e) AD
IH
f) EF
GH
g) PQ
CD
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
61
55
De onderlinge ligging van twee lijnen in werkelijkheid komt niet altijd overeen met de onderlinge ligging op de foto. Dat zie je ook op de onderstaande foto. De rechten a en b zijn de dragers van de witte zijmarkeringen van de rechte weg. Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? • In werkelijkheid: a
b
• Op de foto:
a) AB
CD BC
b) IJ
g) AD
d) PQ
LM
h) CG
3
H
A
M
QR
E
Q
R
N
S
F
De piramide voor het Louvre in Parijs. Op het binnenaanzicht van de piramide zijn tien punten aangeduid op de stalen buizen. Beantwoord de vragen met de naam van de drager van een metalen buis. Gebruik de letters die op de tekening zijn aangeduid.
B
H
C
1
D
G
F E
I
J
3 2
De piramide voor het Louvre is 35 m breed en 21 m hoog. Ze bestaat uit een stalen constructie en glaswerk.
5
7
a) Op de foto van de binnenzijde van de piramide zijn drie vlakken zichtbaar. Noem alle punten die in eenzelfde vlak liggen. • vlak 1:
• vlak 2:
• vlak 3:
8 9 10
b) Noem twee paar evenwijdige stalen buizen.
c) Noem twee paar snijdende stalen buizen.
•
en
•
en
•
en
•
en
11 12 13
62
G
PQ
4
6
C
P
O
ON
J
K
D
L
xe m
PG
In ki
2
f) CF
c) DR
A
1
IK
jk e
57
e) AD
B I
aa r
Bekijk de foto van de rubikspuzzel. Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy, yy\ of ⊥ .
pl
56
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
58
De rechten a en b zijn de dragers van ribben van de kubus. Zijn de rechten a en b evenwijdig, loodrecht snijdend of loodrecht kruisend? a)
c)
e) a
a
a
b
b
b)
aa r
b
f)
d) a
b
b
Bepaal de onderlinge ligging van de rechten. Kies het meest passende antwoord uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend of loodrecht kruisend.
In ki
jk e
59
b
xe m
a
pl
a
B
E
b) BF en DH C
c) AD en GH
G
F
A
a) AC en BD
D
H
d) AB en BF e) CD en AH f) EG en BD g) AB en BA h) AD en EF
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
63
60
De rechten a en b zijn de dragers van ribben van de ruimtefiguur. Zijn de rechten a en b evenwijdig, snijdend of kruisend? a)
b)
c)
a
d) a
b
a
b a b
aa r
61
b
Teken een rechte b die de drager is van een ribbe van de ruimtefiguur. b) De rechte b kruist a.
xe m
A
a
Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de werkelijke onderlinge ligging van de rechten bij het afgebeelde huis.
In ki
1
a) AM en LK
2 3
C E
B
4
F G W
T
5 6
A
S
U
V
M
L
K
P
7
b) AI en BH
H X J Q
c) PQ en OR I
d) ST en VW e) AB en EF
8
O
R
f) AB en HI
9 10
g) HI en OR
11
h) PQ en BF
12 13
64
a
a
jk e
62
c) De rechte b snijdt a loodrecht.
pl
a) De rechte b gaat door A en is evenwijdig met a.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
REEKS C 63
Teken en benoem op de onderstaande afbeelding van de ladder twee evenwijdige, twee snijdende en twee loodrechte rechten. Gebruik de letters op de tekening. Je mag elke letter op de tekening maar één keer gebruiken in de benamingen. a) evenwijdige rechten
M
L
J
K
C
b) snijdende rechten
A
H
aa r
B
c) loodrechte rechten
I
Vul de correcte benamingen aan.
xe m
64
pl
DG E F
Liggen de rechten in hetzelfde vlak?
jk e
ja
nee
In ki
Hebben de rechten precies één punt gemeenschappelijk?
ja
nee
Snijdende rechten
Evenwijdige rechten
Staan de rechten loodrecht op elkaar?
Hebben de rechten geen enkel punt gemeenschappelijk?
ja
nee
ja
nee
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
65
2.3.3 Onderlinge ligging en verzamelingen a
b A
Om twee planken aan elkaar te bevestigen, kun je een nagel gebruiken. De nagel bevindt zich dan zowel in de eerste als in de tweede plank. Wiskundig zeg je dat A tot a en tot b behoort.
Definitie
Doorsnede van twee verzamelingen P
Q
aa r
De doorsnede van twee verzamelingen P en Q is de verzameling van alle elementen die tot P en tot Q behoren.
Notatie: P ∩ Q Snijdende rechten
a b
a ∩ b = {A}
a
xe m
A
pl
Snijdende rechten hebben juist één punt gemeenschappelijk.
b
A
Bij snijdende rechten is de doorsnede een singleton, een verzameling met één element.
jk e
Disjuncte rechten
Disjuncte rechten hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. a b
b
In ki
1
a
2 3 4
a ∩ b = Ø of a ∩ b = { }
Bij disjuncte rechten is de doorsnede de lege (ledige) verzameling.
5 6
Samenvallende rechten
7
Samenvallende rechten hebben alle punten gemeenschappelijk. a
8 9
a= b
10 11
a ∩ b=a=b
12 13
66
Bij samenvallende rechten is de doorsnede gelijk aan de samenvallende rechten.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
b
Oefeningen REEKS B 65
Geef telkens de doorsnede. c
d
a P
e
S
R
f
T h
b) e ∩ b
=
c) a ∩ g
=
d) d ∩ b
=
e) c ∩ d
=
g
f) b ∩ f
=
pl
66
=
aa r
b
a) a ∩ c
Stel de onderlinge stand van de rechten voor met een venndiagram. Arceer de lege gebieden. b)
c)
xe m
a) m
S
p
v w
jk e
n
q
In ki
REEKS C 67
Geef telkens de doorsnede. a
B
C
A
D
c
E G
L
H I K
b
F
a) a ∩ b
=
b) CD ∩ AE
=
c) AC ∩ DE
=
d) [BC ∩ [LC
=
e) c ∩ [DE ]
=
f) [KE] ∩ [HF ]
=
g) [DG ∩ KH
=
J
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
67
STUDIEWIJZER Kijken en observeren voor de leerling
2.1 Meetkunde observeren KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Schaal is een breuk met in de teller de afmeting op de tekening en in de noemer de afmeting in werkelijkheid.
KUNNEN Vragen beantwoorden in verband met vlakke en ruimtelijke situaties. Aan de hand van de schaal nagaan of het om een vergroting of een verkleining gaat.
aa r
Het begrip schaal gebruiken om lengten op een tekening om te rekenen naar de werkelijke lengte en omgekeerd.
Meetkundige ruimtefiguren (balk, kubus, cilinder, piramide, kegel en bol) herkennen.
2.2 De basisbegrippen van de meetkunde
xe m
KENNEN
pl
Vlakke figuren (driehoek, trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant en cirkel) herkennen.
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
Door twee verschillende punten gaat juist één rechte.
KUNNEN
De termen vlak, punt, rechte, lijnstuk en halfrechte correct gebruiken en noteren.
jk e
Punten in het vlak bepalen door middel van coördinaten.
2.3 De onderlinge ligging van lijnstukken en rechten KENNEN
Disjuncte rechten in een vlak zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. Samenvallende rechten in een vlak zijn rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben.
2
Evenwijdige rechten in een vlak zijn rechten die disjunct of samenvallend zijn.
3
Snijdende rechten in een vlak zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.
4
Loodrechte rechten in een vlak zijn snijdende rechten die onderling een hoek van 90° vormen.
In ki
1
5 6 7 8 9
Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen. Loodrecht kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen en onderling een hoek van 90° vormen. De doorsnede van twee verzamelingen P en Q is de de verzameling van alle elementen die tot P en tot Q behoren.
10 11 12 13
68
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
voor de leerling
−
KUNNEN
voor de leerkracht
+ −
+
In een vlakke figuur evenwijdige, snijdende en loodrechte lijnstukken herkennen. In een vlak evenwijdige en snijdende rechten herkennen. In een vlak loodrechte rechten herkennen. De symbolen 兾兾, 兾兾\ en ⊥ correct gebruiken. In een ruimtefiguur evenwijdige en snijdende lijnstukken herkennen. In een ruimtefiguur loodrechte lijnstukken herkennen. In de ruimte evenwijdige en snijdende rechten herkennen.
De doorsnede van twee rechten bepalen.
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter Rekenen
aa r
Op een ruimtefiguur kruisende en loodrecht kruisende rechten herkennen.
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
69
Pienter problemen oplossen
Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
aa r
concreet materiaal
ze 2. Verklaar de
pl
getal. Denk aan een Tel er 16 bij. 16 bij. tel onmiddellijk Trek nu 5 af en je met 11, Nu verminder eens met 7. en daarna nog gedachten l dat je eerst in ta ge et h u n Trek had af. 9 uitkomt? Wedden dat je
xe m
1. Hoeveel ke er wordt het ci jfer 1 gebruikt bij het nummeren van 100 tot en met 199?
In ki
1
jk e
3. Verplaats dr ie lucifers en h et oog, zodat de vis n aar de rechterkan t zwemt.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
70
HOOFDSTUK 2 I KIJKEN EN OBSERVEREN
‘goocheltruc’.
j een keten at winkelen bi 4. Marieke ga dt. dere actie hou die een bijzon l artikelen t tijdelijk enke De winkel bied € 0,95: die eindigen op aan met prijzen € 0,95 tot van minimaal 9,95. maximaal € 9 gekocht, heeft Marieke n le ke ti ar el Hoeve heeft betaald? als ze € 33,65
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
De natuurlijke getallen
3.2
Deelverzamelingen van N
3.3
Deelbaarheid
Studiewijzer
₇₂ ₇₈ ₈₄ ₁₁₄ ₁₁₆
aa r
3.1
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
71
3.1
De natuurlijke getallen
3.1.1 Definitie
Ik scoorde 76 punten.
aa r
Mijn postzegelverzameling telt 3 058 postzegels uit 93 verschillende landen.
Elk huis heeft een nummer.
jk e
xe m
pl
Zaalkorfbal wordt gespeeld door twee ploegen. Elke ploeg bestaat uit vier spelers en vier speelsters die verdeeld worden over de twee speelvlakken.
Deze olifant weegt 3 256 kg.
Definitie
Natuurlijk getal
In ki
1
2 3
Een natuurlijk getal is
4 5
De verzameling van de natuurlijke getallen noteer je kort met N.
6 7
De verzameling van de natuurlijke getallen kun je geven door opsomming of
8 9
N={
10 11 12 13
72
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
}
met een venndiagram.
3.1.2 Natuurlijke getallen ordenen Wat betekent dit verkeersbord?
v ⬎ 50
Wie 40 km per uur rijdt in deze zone, is niet in overtreding.
v ⬍ 50
Wie 50 km per uur rijdt in deze zone, is niet in overtreding.
v ⭐ 50
Symbolen ⫽
pl
⫽
aa r
Wie 80 km per uur rijdt in deze zone, is in overtreding. De snelheid (v) is groter dan 50.
⬍
⬎
⭓
xe m
⭐ Opmerking
Een snelheid tussen 40 en 50 km per uur kun je noteren als 40 ⬍ v ⬍ 50. Voorbeelden
jk e
Zijn deze beweringen juist of fout?
fout
2 ⬍ 5
❒
❒
8⭓9
❒
❒
5 ⫽ 6
❒
❒
7⭐7
❒
❒
In ki
juist
3.1.3 Natuurlijke getallen op de getallenas De natuurlijke getallen stel je voor op een getallenas. Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes? 0
1
Stel op de onderstaande getallenas de natuurlijke getallen 3 en 5 voor. Gebruik een meetlat. 0
1 HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
73
Oefeningen REEKS A
3
0
25
99
3 7
207,56
2 53
17
54,207
1 4
3
56
Vul in met ⬍ , ⬎ of = .
aa r
13,7
a) 504
495
c) 203
302
e)
b) 178
212
d) 512
78
f) 546
Orden de neerslaghoeveelheden van klein naar groot.
neerslag te Klerken in mm per maand
120 100 mm
80 60 40 20 JA 80
FE 70
MA 48
AP 51
ME 43
JN JL 50 99 maanden
jk e
0 neerslag
AU 82
SE 72
43 <
In ki
1
2 3
4
Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes?
4 5
a)
0
1
6 7 8
b)
32
33
9 10 11
c)
7
12 13
74
12
pl
2
Kleur alle vakjes met natuurlijke getallen.
xe m
1
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
10
OK 87
NO 62
DE 64
11
566
REEKS B Het aantal deelnemers aan een kamp van de jeugdbeweging vind je in het volgende staafdiagram. Los de bijbehorende vragen op. deelnemers aan het kamp
14 12 10 8 6 4 2 0
jongens meisjes
8
9
10
11
12 13 14 leeftijd in jaar
15
16
17
aa r
aantal deelnemers
5
pl
a) Welke leeftijdsgroep van de meisjes is het best vertegenwoordigd op kamp?
xe m
b) Bij welke leeftijd(en) zijn er meer meisjes dan jongens mee op het kamp?
c) Bij welke leeftijd(en) zijn er meer dan tien jongens mee op kamp?
6
jk e
d) Welke leeftijdsgroep van de jongens is het zwakst vertegenwoordigd?
Vul in met ⬍ , ⬎ of = . 3ⴢ7
26
In ki
a)
4ⴢ5
b) 14 + 5
7
c) 6 ⴢ 9
7ⴢ8
e) 32 ⴢ 2
8ⴢ8
d) 7 ⴢ 6
80 : 2
f) 56 : 2
4ⴢ7
Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes? a)
b)
c)
0
3
0
4
0
7
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
75
8
Stel de gegeven natuurlijke getallen voor op de onderstaande getallenassen. a) 5, 2 en 9 0
1
b) 3, 4 en 7 0
2
c) 2, 8 en 11
9
5
aa r
0
Noteer alle natuurlijke getallen die je in de plaats van n kunt zetten. a) 4 ⬍ n ⬍ 6
pl
b) 4 ⬍ n ⭐ 8
d) 42 ⭐ n ⭐ 47
REEKS C
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering. Maak gebruik van een letter en van de symbolen ⬍ , ⬎ , <, > of = .
jk e
10
xe m
c) 10 ⬍ n ⭐ 16
a) Om de finale te behalen, moet je topscore (s) boven de 150 punten liggen. b) Het openluchtzwembad opent pas zijn deuren bij een buitentemperatuur (t) van minstens 15 graden.
In ki
1
c) Als het vliegtuig beneden een hoogte (h) van 500 m vliegt, dan opent het landingsgestel zich automatisch.
2 3
d) Deze attractie mag bezocht worden vanaf een lichaamslengte (l) van 130 cm.
4
e) Je moet de minimumleeftijd (l) van 18 jaar hebben om een autorijbewijs te kunnen halen.
5 6 7 8 9
11
Vul in met ∈ of ∉. a) 6
N
d) −4
N
g)
17 3
N
b) 3,25
N
e) −8,2
N
h) 368
N
N
f)
33 3
N
i) 23,5
N
10 11 12
c)
4 63
13
76
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
Welke natuurlijke getallen horen op de invullijntjes? a)
0
20
b)
16
c)
100
20
180
aa r
12
d)
77
e)
105
13
xe m
pl
84
86
Hoeveel natuurlijke getallen liggen er tussen de gegeven getallen? a) 10 en 20
c) 100 en 1 000
Een wedstrijd torens bouwen ...
wedstrijd torenbouw 450
340
400
230
300
In ki
hoogte in cm
jk e
14
b) 10 en 100
150
200 100
0
a
b deelnemer
c
d
Brian, Salma, Jorne en Febe bouwen een toren. De toren van Brian is groter dan de toren van Salma. De toren van Jorne is kleiner dan de toren van Febe, maar groter dan Brians toren. Wie bouwt welke toren? toren a
toren c
toren b
toren d
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
77
3.2
Deelverzamelingen van N
3.2.1 Opsomming en omschrijving K en L zijn twee deelverzamelingen van N.
0
L
4
6
7 3
K
9
2
8
11
13
14
12 15
...
aa r
5
1
10
K is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 13. K 傺 N, want alle elementen van K zijn natuurlijke getallen.
pl
L is de verzameling van de natuurlijke getallen groter dan 2 en kleiner dan 6. L 傺 N, want alle elementen van L zijn natuurlijke getallen. Opsomming
xe m
Je somt de elementen van een verzameling op. De elementen schrijf je tussen accolades en tussen de elementen plaats je een komma. K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} L = {3, 4, 5} Omschrijving
Je omschrijft de voorwaarde(n) waaraan een element moet voldoen om tot die verzameling te behoren. 僆
N 兩 x ⬍ 13}
L = {x
僆
N 兩 2 ⬍ x ⬍ 6}
jk e
K = {x
兩 lees je als
In ki
1
2
Bijzondere deelverzamelingen van N
3
Een deelverzameling van N die vaak gebruikt wordt, is de verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul. Daarom krijgt die een eigen notatie:
4
Opsomming:
5
Omschrijving:
6 7
3.2.2 Bewerkingen met verzamelingen
8 9
Plaats de elementen van de verzamelingen A en B in het vlinderdiagram.
10 11 12
A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {7, 9, 11, 13}
13
78
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
A
B
De doorsnede van twee verzamelingen Duid het gebied van A doorsnede B in het rood aan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Opsomming : A ∩ B = {
}
Omschrijving : A ∩ B = {
}
Opmerking A∩B=B∩A De unie van twee verzamelingen Unie
aa r
Definitie
A
De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren.
Lees
pl
Notatie : A ∪ B
B
: A unie B
xe m
Duid het gebied van A unie B in het groen aan op het vlinderdiagram van de vorige bladzijde. Opsomming : A ∪ B = {
}
Omschrijving : A ∪ B = {
}
Opmerking
jk e
A∪B=B∪A
Het verschil van twee verzamelingen Verschil
A
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.
In ki
Definitie
B
Notatie : A B Lees
: A verschil B
Duid het gebied van A verschil B in het blauw aan op het vlinderdiagram. Opsomming : A B = {
}
Omschrijving : A B = {
}
Opmerkingen • BA={
}≠AB
• N 0 = N {0} HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
79
Oefeningen REEKS A Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. a) De verzameling A van de natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 9.
A=
b) De verzameling B van de natuurlijke getallen groter dan 17 en kleiner dan 23.
B=
c) De verzameling C van de natuurlijke getallen kleiner dan 12 en groter dan of gelijk aan 7.
C=
d) De verzameling D van de natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 8.
aa r
15
D=
E=
Vul in met â&#x2C6;&#x2C6; of â&#x2C6;&#x2030; als je weet dat F = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} G = {1, 2, 3} H is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 6. 6
F
6
G
6
3
F
0
F
3
G
0
G
H
0
H
jk e
16
xe m
pl
e) De verzameling E van de even natuurlijke getallen kleiner dan 12.
H
3
REEKS B
In ki
1
2
17
Vul aan.
3
a) S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) T = {8, 9, 10, 11, 12, ...}
4 5 6
In de verzameling S zitten alle natuurlijke getallen die
In de verzameling T zitten alle natuurlijke getallen die
Geef de verzameling S door omschrijving.
Geef de verzameling T door omschrijving.
7 8 9 10
S = {x 11 12 13
80
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
}
T = {x
}
19
Welke natuurlijke getallen voldoen aan de volgende voorwaarden? Vink telkens alle juiste antwoorden aan.
❒ ❒ ❒ ❒
alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 9 alle natuurlijke getallen kleiner dan 11 alle natuurlijke getallen kleiner dan 10 alle natuurlijke getallen groter dan 11
b) x ⭓ 7
❒ ❒ ❒ ❒
alle natuurlijke getallen groter dan 7 alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 7 alle natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 7 alle natuurlijke getallen groter dan 6
c) 2 ⬍ x ⬍ 9
❒ ❒ ❒ ❒
alle natuurlijke getallen groter dan 2 en kleiner dan 9 alle natuurlijke getallen tussen 3 en 8 alle natuurlijke getallen tussen 1 en 10 alle natuurlijke getallen tussen 2 en 9
d) 10 ⭐ x ⬍ 12
❒ ❒ ❒ ❒
alle natuurlijke getallen tussen 10 en 12 alle natuurlijke getallen groter dan 9 en kleiner dan 12 alle natuurlijke getallen tussen 9 en 12 alle natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 10 en kleiner dan 12
pl
aa r
a) x ⬍ 10
xe m
18
Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. a) K = {x
僆
N 0 兩 x ⭐ 5}
K=
b) L = {x
僆
N 兩 x ⬎ 9}
L=
N 兩 3 ⬍ x ⬍ 8}
M=
僆
jk e
c) M = {x
僆
N 兩 6 ⭐ x ⬍ 11}
N=
e) O = {x
僆
N 兩 35 ⬍ x ⭐ 41}
O=
In ki
d) N = {x
20
Geef de gevraagde verzameling door opsomming en omschrijving. opsomming
omschrijving
a) De verzameling P van de natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 7.
P=
P=
b) De verzameling Q van de natuurlijke getallen tussen 14 en 19.
Q=
Q=
c) De verzameling R van de natuurlijke getallen kleiner dan 19 en groter dan of gelijk aan 15.
R=
R=
d) De verzameling S van de natuurlijke getallen groter dan 42 en kleiner dan of gelijk aan 45.
S=
S=
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
81
Onze klas telt zeven meisjes en één jongen. Je vindt ze hieronder aangeduid met hun klasnummer. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A is de verzameling van de meisjes van onze klas.
aa r
21
pl
B is de verzameling van de meisjes van onze klas die een bril dragen.
xe m
a) Plaats op het vlinderdiagram de passende klasnummers. B
jk e
A
b) Arceer de lege gebieden.
c) Bepaal door opsomming.
In ki
1
A∩B ={
}
A∪B ={
}
AB ={
}
BA ={
}
2 3 4 5 6
d) Vul in met
傺
of ⊄.
7 8 9
A
B
A∩B
B
A
A
A∩B
A
AB
A∩B
A∪B
A∪B
AB
A∪B
A
BA
B
B
10 11 12 13
82
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
22
K = {5, 6, 7, 11, 13}
L = {5, 7, 9, 11}
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Bepaal door opsomming.
23
a) K ∩ L = {
}
d) K M = {
}
b) K ∪ M = {
}
e) L ∪ M = {
}
c) L M
}
f) M L
}
={
Q = {x ∈ N 兩 3 < x < 11}
={
R = {x ∈ N 兩 5 ⬍ x < 8}
S = {x ∈ N 兩 x > 6}
aa r
Bepaal door opsomming en omschrijving. opsomming
omschrijving
a) Q ∩ R b) S R
pl
c) R ∪ S
REEKS C
In klas 1A zitten negen leerlingen die hockey spelen. Zeven leerlingen spelen basketbal. Van die zeven leerlingen spelen er ook drie hockey. Zes leerlingen beoefenen geen van beide sporttakken.
jk e
24
xe m
d) S Q
a) Hoeveel leerlingen spelen er hockey, maar geen basket? b) Hoeveel leerlingen spelen er basket, maar geen hockey?
In ki
c) Hoeveel leerlingen telt klas 1A? Tip: Gebruik een vlinderdiagram.
25
Bepaal A en B door omschrijving als je weet dat: A \ B = {8, 9} B \ A = {11, 12} A ∪ B = {8, 9, 10, 11, 12} A=
B=
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
83
3.3
Deelbaarheid
3.3.1 Opgaande en niet-opgaande deling Michiel mag van zijn ouders zijn knikkers verkopen op de jaarlijkse rommelmarkt in het dorp. Michiel is dolenthousiast. Hij heeft 75 knikkers en vult meteen zakjes van 10 knikkers. Hoeveel volle zakjes verkrijgt hij?
aa r
Hoeveel knikkers blijven over?
Michiel vindt het jammer dat hij knikkers overhoudt, en hij besluit opnieuw te beginnen. Hij denkt eventjes na en verpakt ze per 15. Hoeveel volle zakjes verkrijgt hij?
pl
Hoeveel knikkers blijven over?
Opgaande deling
xe m
Niet-opgaande deling 75 : 10
is een niet-opgaande deling, omdat
75 : 10
=
75
= 10
Deeltal
= deler ⴢ quotiënt + rest
D
= d
rest
ⴢ
+ r
jk e
ⴢ q
+
75 is niet deelbaar door 10. 75 is geen veelvoud van 10.
In ki
1
2 3 4
Opmerking
Delen door 0 kan niet.
37 : 0 = ? want ? ⴢ 0 = 37
5 6 7 8 9 10
REKENMACHINE Bereken 77 : 8 =
11 12 13
84
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
rest
75 : 15
is een opgaande deling, omdat
75 : 15
=
75
= 15
Deeltal
= deler ⴢ quotiënt
D
= d
rest ⴢ
ⴢ q
75 is deelbaar door 15. 75 is veelvoud van 15.
Oefeningen REEKS A 26
23 : 6 = 3 rest 5 23 noem je
5 noem je
6 noem je 23 =
ⴢ
+
REEKS B
Tijdens de zomer helpt Kaatje in een golfclub. Ze krijgt 14 256 golfballetjes die ze per 24 in een doos moet stoppen. a) Hoeveel dozen kan ze vullen?
xe m
b) Hoeveel golfballetjes heeft ze over?
pl
27
aa r
3 noem je
c) Ze vult elke dag 30 dozen. Hoeveel dagen is ze bezig?
28
jk e
d) Hoeveel dozen vult ze de laatste dag?
Bepaal het quotiënt en de rest.
rest
soort deling
In ki
quotiënt
a) 7 859 : 36
b) 9 584 : 25 c) 6 916 : 28
29
Bepaal telkens het deeltal. deler
quotiënt
rest
a)
8
14
5
b)
11
26
7
c)
29
14
15
berekeningen
deeltal
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
85
3.3.2 Kenmerken van deelbaarheid Zet een kruisje als het natuurlijk getal links deelbaar is door het getal bovenaan de kolom. 2
5
10
4
25
100
3
9
12 24 115 70 500 120
aa r
88 1 640 75 333 1 600
pl
3 690 6 330
xe m
900
jk e
In ki
1
Een getal is deelbaar door ...
2 763
als 9
als
als 3
4
25
5
10
5
2
4
100
als
als
als
3
als
als
2
6 7 8 9
Opmerking Als je passend gebruik maakt van de kenmerken van deelbaarheid, kun je van heel wat delingen snel de rest bepalen zonder de deling uit te voeren. 637 : 3
6 + 3 + 7 = 16 Het veelvoud van 3 kleiner dan of gelijk aan 16, is 15. De rest is dus 1.
279 : 4
Het getal gevormd door de laatste twee cijfers is 79. Het veelvoud van 4 kleiner dan of gelijk aan 79, is 76. De rest is dus 3.
10 11 12 13
86
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
Oefeningen REEKS A 30
Zet een kruisje als het natuurlijk getal links deelbaar is door het getal bovenaan de kolom. 2
3
4
5
9
10
25
100
a) 763 b) 1 818 c) 9 360
aa r
d) 7 525 e) 0 f) 3 000 g) 828
pl
h) 364 i) 7 500
xe m
j) 875 k) 2 340 l) 1 800
jk e
m) 144
REEKS B 31
Carla heeft 2 486 pralines. Kan ze die in een doosje verpakken c) per drie?
In ki
a) per twee? b) per vier?
32
d) per vijf?
Vul, indien mogelijk, aan met één cijfer.
a)
65
b)
987
c)
16
d)
87
e)
46
is deelbaar door 9.
f)
445
0 is deelbaar door 25.
g)
83
is deelbaar door 5.
h)
5
is deelbaar door 3.
is deelbaar door 3.
i)
95
is deelbaar door 2.
is deelbaar door 4.
j)
731
is deelbaar door 4.
5
2
is deelbaar door 5. 2
is deelbaar door 9.
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
87
33
Bepaal de rest zonder de deling uit te voeren. rest 7 837 : 2
f)
456 : 2
b)
523 : 3
g)
4 826 : 3
c)
1 739 : 4
h)
237 : 4
d)
4 251 : 5
i)
891 : 9
e)
132 : 9
j)
132 : 25
a)
462
b) 54
d)
76
708
geeft bij deling door 3 rest 1.
8
geeft bij deling door 2 rest 0. geeft bij deling door 9 rest 4.
We hebben met de klas koekjes gebakken voor het goede doel, 789 om precies te zijn. Nu is er discussie over hoe we die moeten verpakken en verkopen.
jk e
35
c)
geeft bij deling door 4 rest 3.
pl
Vul aan met één cijfer. Geef alle mogelijkheden.
aa r
a)
xe m
34
rest
Arne zou ze per vier verpakken en verkopen aan € 4 per pakje. Basma zou ze per negen verpakken en verkopen aan € 9 per pakje. Cyriel zou ze per tien verpakken en verkopen aan € 10 per pakje. Dora zou ze per vijfentwintig verpakken en verkopen aan € 25 per pakje.
In ki
1
2
a) Met welke verdeling is het overschot aan koekjes het grootst? Hoeveel zijn er dan over?
3 4 5
b) We hopen natuurlijk dat alle pakjes verkocht worden. Met welke verdeling is de opbrengst het grootst? Hoe groot is de opbrengst dan?
6 7 8
c) Geef alle mogelijke verdelingen waarbij er geen koekjes over zijn.
9 10 11 12 13
88
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
3.3.3 Delers en veelvouden Michiel verdeelde de 75 knikkers in 5 zakjes van 15. is
75 is deelbaar door 5, is een opgaande deling.
want 75 : 5 =
van
5
75
Notatie: 5 兩 75
is
van
75 is niet deelbaar door 4,
is
van
rest
want 75 : 4 =
is een niet-opgaande deling.
4
Notatie: 4 ∕兩 75
75 van
aa r
is
Er zijn nog andere mogelijkheden om de 75 knikkers in gelijke zakjes te verdelen. Welke?
pl
Ook dat zijn allemaal delers van 75.
Delers zoeken
xe m
Overloop de natuurlijke getallen, beginnend bij 1. Onderzoek telkens of het getal een deler is van het gegeven getal. Als dat zo is, plaats je deler en quotiënt in een T-schema. Dat doe je tot het quotiënt kleiner is dan of gelijk is aan de deler. voorbeeld
probeer nu zelf
delers 36 36
2 3 4 6
18 2 9 6
In ki
jk e
1
delers 45
De verzameling van de delers van 36
De verzameling van de delers van 45
noteer je als del 36.
noteer je als
.
={
del 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
}
Opmerkingen
• Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf. voorbeeld: 7
僆
del 7
7 兩7
algemeen: a
僆
del a
a兩a
voorbeeld: 1
僆
del 21
1 兩 21
algemeen: 1
僆
del a
1 兩a
• 1 is een deler van elk natuurlijk getal.
• De verzameling van de delers van een getal is een deelverzameling van de natuurlijke getallen. voorbeeld: del 45
傺
N
algemeen: del a
傺
N
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
89
Veelvouden zoeken De veelvouden van een getal vind je door dat getal achtereenvolgens met alle natuurlijke getallen te vermenigvuldigen. voorbeeld
probeer nu zelf
De veelvouden van 6 zijn: 0, 6, 12, 18, 24, 30 ...
De veelvouden van 15 zijn:
De verzameling van de veelvouden van 6
De verzameling van de veelvouden van 15
noteer je als 6N.
noteer je als
aa r
. ={
6 N = {0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}
Opmerkingen
voorbeeld: 0
僆
6N
algemeen: 0
僆
aN
pl
• 0 is een veelvoud van elk natuurlijk getal.
}
xe m
• Elk getal, verschillend van 0, heeft oneindig veel veelvouden.
• De eerste elf veelvouden van 0 tot en met 10 ken je als de tafels van vermenigvuldiging. • De verzameling van de veelvouden van een getal is een deelverzameling voorbeeld: 15 N
傺
N
algemeen: a N
傺
N
jk e
van de natuurlijke getallen.
Even en oneven getallen
• De verzameling van de even getallen vind je door alle natuurlijke getallen achtereenvolgens te vermenigvuldigen met 2.
In ki
1
2
{
0
,
↓ⴢ2
3
1
,
↓ⴢ2
2
,
↓ⴢ2
3
,
↓ⴢ2
4
,
↓ⴢ2
5
,
...
}
=
↓ⴢ2
N ↓ⴢ2
4 5
{
0
,
,
,
,
,
,
...
}
=
2N
=
2N
6 7 8
• Door bij elk even getal 1 op te tellen, bekom je de verzameling van de oneven getallen. {
0
,
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
...
}
9
↓+1
10 11
{
1
↓+1 ,
↓+1 ,
12 13
90
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
↓+1 ,
↓+1 ,
↓+1 ,
↓+1 ,
...
}
=
2N+1
Oefeningen REEKS A 36
Bepaal telkens de eerste tien veelvouden a) van 5 b) van 9 c) van 7
aa r
d) van 6 e) van 8
pl
Adil heeft 24 blokjes naast elkaar gelegd en verkrijgt zo een rechthoek. Teken alle andere mogelijke schikkingen met 24 blokken die ook een rechthoek opleveren.
In ki
jk e
xe m
37
Dit is een grafische manier om de delers van een getal te bepalen. Als je juist en volledig werkt, vind je alle delers van 24. Delers 24:
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
91
R
38
Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. a) delers 16
b) delers 35
c) delers 15
d) delers 40
a) delers 16:
aa r
b) delers 35: c) delers 15:
a)
18
b)
7
c)
0
e)
4
44
12
f)
4
0
d)
24
Bepaal telkens de delers met behulp van een T-schema. a) delers 48
b) delers 100
c) delers 72
d) delers 84
In ki
1
21
6
jk e
REEKS B 40
12
Vul in met ‘is deler van’ of ‘is veelvoud van’.
xe m
39
pl
d) delers 40:
2 3 4 5 6 7 8 9
a) del 48 = {
}
b) del 100 = {
}
c) del 72 = {
}
d) del 84 = {
}
10 11 12 13
92
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
4
52
e)
3
1
i)
8
124
b)
3
24
f)
15
115
j)
3
84
c)
1
95
g)
78
78
k)
4
54
d)
0
35
h)
5
0
l)
11
222
Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. A = {x 僆 5N 兩 x ⭐ 27}
A=
B = {x 僆 del 12 兩 x
B=
C = {x 僆 2N + 1 兩 7 < x ⭐ 19}
C=
D = {x 僆 del 25 兩 x ≠ 27}
D=
jk e
REEKS C 43
僆 2N}
Vul in met ⊂ of ⊄. 14N
7N
d)
del 15
del 24
e)
5N
f)
In ki
a)
44
aa r
a)
pl
42
Vul in met 兩 of ∕兩 .
xe m
41
b)
del 8
c)
N0
2N + 1
g)
{1, 3, 5}
del 7
del 7
7N
h)
16 N
2N
2N + 1
3N
i)
del 8
4N
Geef alle mogelijke oplossingen voor x zodat: a)
x 僆 del 15
d)
x 僆 del 0
b)
x 僆 del 1
e)
x 僆 del x
c)
1 僆 del x
f)
x 僆 del 3x
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
93
3.3.4 Eigenschappen van deelbaarheid Deelbaarheid van een som
Deelbaarheid van een product
7 兩 42 omdat 42 =
5 兩 35 omdat 35 =
7 兩 56 omdat 56 =
5 兩 (35 ⴢ 8)
7 兩 (42 + 56) omdat 42 + 56 = 7 ⴢ 6 ⫹ 7 ⴢ 8
aa r
omdat 35 ⴢ 8 =
= 7 ⴢ 共6 ⫹ 8兲 ( ⴢ is distributief t.o.v. +)
=
= 7 ⴢ 14
(
)
=
Een deler van een natuurlijk getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal.
a 兩 b en a 兩 c dan
xe m
pl
Een deler van twee natuurlijke getallen is ook een deler van hun som.
a 兩 b dan
Om te weten of een product van twee of meer factoren deelbaar is door een getal, onderzoek je of één factor deelbaar is door dat getal.
6 兩 (42 + 66) omdat 6 兩 42 en 6 兩 66
8 兩 (48 ⴢ 13) omdat 8 兩 48
6 ∕兩 (42 + 37) omdat 6 ∕兩 37
8 ∕兩 (22 ⴢ 17) omdat 8 ∕兩 22 en 8 ∕兩 17
In ki
1
jk e
Om te weten of een som van twee of meer termen deelbaar is door een getal, onderzoek je of elke term deelbaar is door dat getal.
2 3 4 5
Toepassing
6
Met de eigenschappen kun je de deelbaarheid van getallen onderzoeken.
7 8 9
16 兩 512
omdat 16 兩 480 en 16 兩 32
dus
16 兩 (480 + 32) of 16 兩 512
17 兩 510
omdat 17 兩 51
dus
17 兩 (51 ⴢ 10)
10 11 12 13
94
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
of 17 兩 510
Oefeningen REEKS C Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Verklaar telkens het antwoord.
46
juist
fout
a) 60 + 24 is deelbaar door 6.
❑
❑
b) 42 + 84 is deelbaar door 7.
❑
❑
c) 74 + 48 is deelbaar door 8.
❑
❑
d) 76 + 49 is deelbaar door 7.
❑
❑
Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Verklaar door te splitsen in een som. juist
fout
a) 6 兩 108
❑
❑
b) 7 兩 189
❑
❑
❑
❑
❑
❑
c) 8 兩 188 d) 9 兩 306
jk e
Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Verklaar telkens het antwoord. juist
fout
a) 25 ⴢ 16 is deelbaar door 5.
❑
❑
b) 49 ⴢ 14 ⴢ 5 is deelbaar door 7.
❑
❑
c) 14 ⴢ 15 ⴢ 16 ⴢ 17 is deelbaar door 8.
❑
❑
d) 654 ⴢ 321 ⴢ 22 is deelbaar door 11.
❑
❑
In ki
bewering
48
verklaring
xe m
bewering
47
verklaring
aa r
bewering
pl
45
verklaring
Verklaar de volgende beweringen door het getal te schrijven als een product. bewering
verklaring
a) 7 兩 770 b) 11 兩 2 200 c) 6 兩 4 200 d) 8 兩 960
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
95
50
Deelbaarheidskenmerken van 2 en 5 verklaren. Verklaar dat 2 兩 738.
Verklaar dat 5 兩 965.
738 = 730 + 8
965 =
2 兩 730
want 2 兩 10 en dus 2 兩 73 ⴢ 10
兩
want
2兩8
want 2 ⴢ 4 = 8
兩
want
en dus 2 兩 730 + 8
en dus
Of een getal deelbaar is door 2, hangt dus uitsluitend af van het laatste cijfer van dat getal.
Of een getal deelbaar is door 5,
Deelbaarheidskenmerken van 4 en 25 verklaren.
732 = 700 + 32
Verklaar dat 25 兩 275. 275 =
want 4 兩 100 en dus 4 兩 7 ⴢ 100
4 兩 32
want 4 ⴢ 8 = 32
xe m
4 兩 700
en dus 4 兩 700 + 32
jk e
Of een getal deelbaar is door 4, hangt dus uitsluitend af van de laatste twee cijfers van dat getal.
兩
want
兩
want 兩
en dus
Of een getal deelbaar is door 25,
In ki 825
= 800 + 20 + 5
Verklaar dat 9 兩 342. 342
=
2
= 8 ⴢ 100 ⫹ 2 ⴢ 10 ⫹ 5
=
3
= 8 ⴢ 共99 ⫹ 1兲 ⫹ 2 ⴢ 共9 ⫹ 1兲 ⫹ 5
= 8 ⴢ 99 ⫹ 8 ⴢ 1 ⫹ 2 ⴢ 9 ⫹ 2 ⴢ 1 ⫹ 5
=
4 5
= 8 ⴢ 共3 ⴢ 33兲 ⫹ 8 ⫹ 2 ⴢ 共3 ⴢ 3兲 ⫹ 2 ⫹ 5
6
= 3 ⴢ 共8 ⴢ 33兲 ⫹ 3 ⴢ 共2 ⴢ 3兲 ⫹ 8 ⫹ 2 ⫹ 5
= =
= 3 ⴢ 共8 ⴢ 33 ⫹ 2 ⴢ 3兲 ⫹ 8 ⫹ 2 ⫹ 5
=
= 3-voud + 8 + 2 + 5
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
7
en dus
Deelbaarheidskenmerken van 3 en 9 verklaren. Verklaar dat 3 兩 825.
1
兩
pl
Verklaar dat 4 兩 732.
51
en dus
aa r
49
8 9 10 11
som van de cijfers Of een getal deelbaar is door 3, hangt dus uitsluitend af van de som van de cijfers van dat getal.
12 13
96
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
= Of een getal deelbaar is door 9,
3.3.5 Ontbinden in priemfactoren Definitie
Een priemgetal Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft. Voorbeelden 3 is een priemgetal 15 is geen priemgetal 1 is geen priemgetal
omdat 3 juist twee delers heeft, namelijk 1 en 3. omdat 15 meer dan twee delers heeft, namelijk 1, 3, 5 en 15. omdat 1 slechts één deler heeft, namelijk 1.
aa r
Je onthoudt de eerste acht priemgetallen:
Priemgetallen hebben de wiskundigen altijd al beziggehouden. De Franse monnik Marin Mersenne (1588-1648) vond een formule om priemgetallen te berekenen: n
32 – 1 = 31
xe m
25 – 1 =
pl
2 – 1 met n een priemgetal. Getallen van die vorm noemen we sindsdien mersennegetallen.
27 – 1 =
is een priemgetal.
is een priemgetal.
Maar 2 11 – 1 = 2 048 – 1 = 2 047 is geen priemgetal, want deelbaar door 23. Hoewel de formule niet helemaal sluitend is, worden mersennegetallen sindsdien toch gebruikt om steeds grotere priemgetallen te zoeken.
jk e
Nog altijd zoeken wiskundigen over de hele wereld met behulp van zeer krachtige computers naar steeds grotere mersennepriemgetallen. Er worden zelfs zeer grote geldprijzen uitgeloofd voor wie het grootste priemgetal ontdekt.
In ki
Wie op een internetzoekmachine “Mersenne priemgetallen” intikt, vindt een indrukwekkende lijst. Er zijn op dit moment 51 mersennepriemgetallen bekend. De meest recente vind je hieronder. • • • • • • • • • • • •
7 december 2018 26 december 2017 7 januari 2016 25 januari 2013 12 april 2009 6 september 2008 23 augustus 2008 4 september 2006 15 december 2005 28 februari 2005 15 mei 2004 17 november 2003
2 82 589 933 − 1 2 77 232 917 − 1 2 74 207 281 − 1 2 57 885 161 − 1 2 42 643 801 − 1 2 37 156 667 − 1 2 43 112 609 − 1 2 32 582 657 − 1 2 30 402 457 − 1 2 25 964 951 − 1 2 24 036 583 − 1 2 20 996 011 − 1
(met 24 862 048 cijfers) (met 23 249 425 cijfers) (met 22 338 618 cijfers) (met 17 425 170 cijfers) (met 12 837 064 cijfers) (met 11 185 272 cijfers) (met 12 978 189 cijfers) (met 9 808 358 cijfers) (met 9 152 052 cijfers) (met 7 816 230 cijfers) (met 7 235 733 cijfers) (met 6 320 430 cijfers)
Heel wat beveiligingsmechanismen zijn gebaseerd op priemgetallen.
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
97
Schrijf 84 en 210 als een product met zo veel mogelijk factoren verschillend van 1. 210
84 2 · 42 2 · 2 · 21 2·2·3·7
Wat stel je vast als je de factoren bekijkt?
pl
xe m
Een natuurlijk getal ontbinden in priemfactoren, is dat natuurlijk getal schrijven als een product van priemfactoren.
aa r
Priemgetallen zijn de bouwstenen van de getallen. Elk natuurlijk getal dat geen priemgetal is en dat groter is dan 1, kun je als een product van priemgetallen schrijven.
630 315 105 35 7 1
2 3 3 5 7
In ki
1
Werkwijze
jk e
Praktische schikking
• • • • • •
Zet het te ontbinden getal links van een verticale lijn. Zoek het kleinste priemgetal dat deler is van het gegeven getal. Plaats dat priemgetal rechts van de lijn. Deel het gegeven getal door het priemgetal. Zet het quotiënt van de deling onder het gegeven getal. Herhaal de vorige stappen met het quotiënt tot je 1 bekomt.
2 3
630 ⫽ 2 ⴢ 3 ⴢ 3 ⴢ 5 ⴢ 7
4
Ontbind de volgende getallen in priemfactoren.
5
330 =
6 7 8 9 10 11 12 13
98
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
63 =
64 =
Oefeningen REEKS B 52
De zeef van Eratosthenes Veel mensen hebben naar een methode gezocht om priemgetallen te vinden. Een van de beroemdste onder hen is de Griek Eratosthenes. Zijn methode wordt ‘de zeef van Eratosthenes’ genoemd. Je kunt die methode op het honderdveld hieronder toepassen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
aa r
Zeef van Eratosthenes
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Schrap 1, want dat is geen priemgetal.
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
pl
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
xe m
Ga naar het volgende getal.
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Is dat getal geschrapt?
NEE
Dat getal is een priemgetal. Schrap alle veelvouden van dat getal.
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
jk e
JA
In ki
Eratosthenes werd geboren in 276 voor Christus in Cyrene, Noord-Afrika (nu Libië) en stierf in 194 voor Christus in Alexandrië. Hij was een van de grootste wetenschappers van de oudheid; hij was dichter, atleet én wiskundige, en hij had de leiding over de bibliotheek van Alexandrië. Eratosthenes heeft de omtrek van de aardbol nauwkeurig gemeten en hij bedacht een systeem om priemgetallen te vinden.
53
Doordenkertje a) Bepaal twee opeenvolgende natuurlijke getallen die allebei priemgetallen zijn.
b) Bepaal drie opeenvolgende natuurlijke getallen die alle drie priemgetallen zijn.
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
99
REEKS C 54
Schrijf als een product van zo veel mogelijk factoren verschillend van 1. a)
24
c)
68
e)
93
d)
140
f)
204
R
55
27
Ontbind in priemfactoren. c) 336 =
e) 288 =
In ki
1
jk e
xe m
a) 96 =
pl
b)
aa r
2 â´¢ 12
b) 616 =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
100
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
d) 539 =
f) 945 =
56
Bepaal alle delers van de volgende getallen via ontbinding in priemfactoren. Opmerking: 1 is geen priemgetal, maar wel een deler van elk natuurlijk getal. b) Ontbind 126 in priemfactoren.
c) Ontbind 330 in priemfactoren.
Delers bestaande uit één priemfactor:
Delers bestaande uit één priemfactor:
Delers bestaande uit één priemfactor:
Delers bestaande uit twee priemfactoren:
Delers bestaande uit twee priemfactoren:
Delers bestaande uit twee priemfactoren:
jk e
xe m
pl
aa r
a) Ontbind 189 in priemfactoren.
Delers bestaande uit drie priemfactoren:
Delers bestaande uit drie priemfactoren:
Delers bestaande uit vier priemfactoren:
Delers bestaande uit vier priemfactoren:
Delers bestaande uit vier priemfactoren:
Bepaal de delers van 189. Rangschik ze van klein naar groot.
Bepaal de delers van 126. Rangschik ze van klein naar groot.
Bepaal de delers van 330. Rangschik ze van klein naar groot.
In ki
Delers bestaande uit drie priemfactoren:
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
101
3.3.6 De grootste gemeenschappelijke deler Definitie
De grootste gemeenschappelijke deler De grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen is het grootste natuurlijk getal dat deler is van beide getallen. Notatie: ggd De ggd bepalen door opsomming van de delers Werkwijze
aa r
• Noteer de verzameling van de delers van de gevraagde getallen. • Neem het grootste getal uit de doorsnede van beide verzamelingen. Voorbeeld ggd (12, 18) = ?
pl
del 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} del 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
ggd (12, 18) = 6
xe m
del 12 ∩ del 18 = {1, 2, 3, 6}
De ggd bepalen met het rekentoestel REKENMACHINE
In ki
1
jk e
Bereken ggd (126, 168) =
De ggd bepalen door ontbinden in priemfactoren
2 3 4 5 6
Werkwijze
• Ontbind de getallen in priemfactoren. • Maak het product van de gemeenschappelijke priemfactoren. • Gebruik telkens de priemfactor evenveel keer als bij het getal waar hij het minst voorkomt.
Voorbeeld
7
ggd (84, 280) = ? 8 9 10 11
84 42 21 7 1
2 2 3 7
12 13
102
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
280 140 70 35 7 1
2 2 2 5 7
84 = 2 ⴢ 2 ⴢ 3 ⴢ 7 280 = 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 5 ⴢ 7 ggd (84, 280) = 2 ⴢ 2 ⴢ 7 = 28
De ggd bepalen met het algoritme van Euclides Een algoritme is een recept, een opeenvolgende reeks instructies die leiden tot een bepaald doel.
stop
Trek het kleinste getal zo veel mogelijk keren van het grootste af.
Bij het algoritme van Euclides is het doel om de ggd van twee getallen te vinden. Om dat doel te bereiken, voeren we een aantal keren dezelfde opeenvolgende bewerkingen uit: • het kleinste getal zo veel mogelijk keren van het grootste aftrekken; • het grootste getal vervangen door het nieuwe getal.
nee
aa r
Is het resultaat 0?
Vervang het grootste getal door het nieuwe getal.
ja
stop
pl
Voorbeeld
Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van 1 200 en 840.
Vervang 1 200 door 360.
jk e
1 200 – 1 • 840 = 360
ggd (360, 840)
xe m
ggd (1 200, 840)
Is het resultaat 0?
nee
ja
In ki
stop
Vervang 840 door 120.
840 – 2 • 360 = 120
Is het resultaat 0?
nee
ja
ggd (360, 120)
360 – 3 • 120 =0
Is het resultaat 0? ja
stop
ggd (1 200, 840) = 120
De grootste gemeenschappelijke deler van 1 200 en 840 is 120.
Euclides was een Griekse wiskundige die leefde rond het jaar 300 voor Christus. Hij werkte in de biblitheek van Alexandrië, op dat moment een van de grootste bibliotheken ter wereld. Zijn boek ‘Elementen’ werd een van de belangrijkste werken uit de geschiedenis van de wiskunde. Het is samen met de bijbel een van de meest gedrukte boeken. In het boek ‘Elementen’ ligt de nadruk op de meetkunde, maar er is ook plaats voor getallenleer: deelbaarheid, priemgetallen en het algoritme om de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen te bepalen, komen aan bod.
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
103
Oefeningen REEKS A 57
Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door opsomming van de delers. a) 35 en 28
del 35 = del 28 =
b) 18 en 54
ggd (35, 28) =
del 18 =
c) 36 en 90
ggd (18, 54) =
aa r
del 54 = del 36 =
ggd (36, 90) =
pl
del 90 =
REEKS B
Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler uit het hoofd. a) ggd (6, 9) = b) ggd (9, 15) =
c) ggd (16, 24) =
e) ggd (30, 40) =
d) ggd (18, 27) =
f) ggd (8, 12)
In ki
1
2 3 4 5 6
Antwoordzin:
7 8 9 10
60
Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler. a)
ggd (216, 144) =
c)
ggd (700, 735) =
b)
ggd (324, 216) =
d)
ggd (88, 312)
11 12 13
104
=
Voor een tentenkamp van de Chiro hebben zich 28 meisjes en 35 jongens ingeschreven. Voor het bosspel wil de leiding gelijke groepen maken van enkel meisjes en enkel jongens. De groepen moeten wel zo groot mogelijk zijn. Hoeveel kinderen telt elke groep?
jk e
59
xe m
58
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
=
REEKS C 61
Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren. a)
420
270 420 = 270 = ggd (420, 270) = =
b)
216
144
aa r
216 =
144 =
ggd (216, 144) =
c)
297
175
pl
=
176
In ki 62
175 = ggd (297, 175) = =
440
jk e
d)
xe m
297 =
176 = 440 = ggd (176, 440) = =
Bepaal de ggd (168, 588, 80) door ontbinding in priemfactoren. 168
588
80 168 = 588= 80 = ggd (168, 588, 80) = =
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
105
63
Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler met het algoritme van Euclides.
c) ggd (1 470, 825) =
xe m
pl
aa r
a) ggd (315, 91) =
In ki
1
jk e
b) ggd (1 300, 388) =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
106
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
d) ggd (391, 506) =
64
Wat gebruik je het best? Vink aan en bereken. c) ggd (186, 224) =
a) ggd (18, 48) =
❑ opsomming
❑ ontbinden in priemfactoren
❑ ontbinden in priemfactoren
❑ algoritme van Euclides
❑ algoritme van Euclides
❑ uit het hoofd
❑ uit het hoofd
xe m
pl
aa r
❑ opsomming
d) ggd (1 480, 2 620) =
❑ opsomming
❑ opsomming
jk e
b) ggd (880, 1 760) =
❑ ontbinden in priemfactoren
❑ algoritme van Euclides
❑ algoritme van Euclides
❑ uit het hoofd
❑ uit het hoofd
In ki
❑ ontbinden in priemfactoren
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
107
3.3.7 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud Definitie
Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen is het kleinste, van nul verschillend, natuurlijk getal dat veelvoud is van beide getallen. Notatie: kgv Het kgv bepalen door opsomming van de veelvouden Werkwijze
Voorbeeld
aa r
• Noteer de verzameling van de veelvouden van de gevraagde getallen. • Neem het kleinste getal, verschillend van 0, uit de doorsnede van beide verzamelingen.
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 12 en 18. 12 N = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}
18N = {0, 18, 36, 54, 72, 90, ...}
pl
12 N ∩ 18N = {0, 36, 72, 108, 144, 180, ...} = 36N
xe m
kgv (12, 18) = 36
Het kgv bepalen met het rekentoestel REKENMACHINE
Het kgv bepalen door ontbinden in priemfactoren
In ki
1
jk e
Bereken kgv (36, 135) =
2 3 4 5 6 7
Werkwijze
• Ontbind de getallen in priemfactoren. • Maak het product van alle priemfactoren. • Gebruik telkens de priemfactor evenveel keer als bij het getal waar hij het meest voorkomt. Voorbeeld kgv (36, 135) = ?
8 9 10 11
36 18 9 3 1
2 2 3 3
3 3 3 5
36 = 2 ⴢ 2 ⴢ 3 ⴢ 3 135 = 3 ⴢ 3 ⴢ 3 ⴢ 5 kgv (84, 280) = 2 ⴢ 2 ⴢ 3 ⴢ 3 ⴢ 3 ⴢ 5 = 540
12 13
108
135 45 15 5 1
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
Oefeningen REEKS A 65
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door opsomming van de veelvouden. a) 8 en 6
8N = 6N = 8N ∩ 6N = 30 N =
aa r
b) 30 en 40
kgv (8, 6) =
40 N = 30N ∩ 40 N = c) 15 en 45
kgv (30, 40) =
15N =
pl
45N = 15N ∩ 45 N =
66
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud uit het hoofd. a) kgv (5, 8) =
c) kgv (5, 15) =
e) kgv (9, 27) =
d) kgv (4, 8) =
f) kgv (8, 12) =
jk e
b) kgv (7, 8) =
Yens en Ayla werken aan hun conditie. Ze lopen rondjes op de atletiekpiste. Yens doet 4 minuten over een rondje, Ayla 6 minuten. Ze starten gelijktijdig. Over hoeveel minuten zullen ze samen voorbij het startpunt lopen?
In ki
67
xe m
REEKS B
kgv (15, 45) =
Antwoordzin:
68
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. a)
kgv (600, 180) =
c)
kgv (700, 280) =
b)
kgv (180, 324) =
d)
kgv (280, 336) =
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
109
69
Kerim gaat om de 6 dagen op bezoek bij zijn opa. Zijn neef Kiran gaat ook, om de 14 dagen. Op 14 juni zijn ze allebei bij opa. Wanneer zullen ze er de volgende keer samen zijn?
Antwoordzin:
In het station van Diksmuide zijn er drie perrons. Op spoor 1 vertrekt om de 12 minuten een trein. Op spoor 2 vertrekt om de 15 minuten een trein. Op spoor 3 vertrekt om de 18 minuten een trein. ’s Morgens om 6u12 vertrekken de treinen gelijktijdig, elk vanaf hun eigen perron. Wanneer zullen er nog eens drie treinen gelijktijdig vertrekken?
Antwoordzin:
Een touw van 54 m en een touw van 78 m moeten in even lange stukken geknipt worden. De stukken moeten zo lang mogelijk zijn. Hoeveel stukjes touw verkrijg je? Hoe lang is elk stuk?
jk e
71
xe m
pl
aa r
70
In ki
1
Antwoordzinnen:
2 3 4 5 6 7
72
Drie auto’s rijden rondjes op hetzelfde circuit. De eerste doet 150 seconden over een ronde, de tweede heeft 180 seconden nodig en de derde 210 seconden per ronde. Wanneer rijden ze met zijn drieën naast elkaar, als ze om 13u00 samen vertrekken?
8 9 10 11 12
Antwoordzin:
13
110
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
73
Een fruitteler oogst 245 appels en 175 peren. Hij wil ze in gemengde pakketjes verkopen. Hoeveel gelijke pakketjes kan hij maximaal maken, zodat alle appels en peren gebruikt worden? Hoeveel appels en peren bevatten de pakketjes?
Antwoordzin:
Een getal levert bij deling door 2, 3, 4, 5 of 6 telkens rest 1 op. Wat is het kleinste getal dat voldoet aan die voorwaarde?
aa r
74
xe m
Twee tandwielen draaien ten opzichte van elkaar. Het kleinste tandwiel heeft 14 tanden. Het grootste tandwiel heeft 21 tanden. Hoeveel keer draait het kleinste tandwiel rond, voor de streepjes terug tegenover elkaar staan?
jk e
75
pl
Antwoordzin:
In ki
Antwoordzin:
REEKS C
76
Bepaal kgv (36, 54, 180) door ontbinding in priemfactoren. 36
54
180 36 = 54 = 180 =
kgv (36, 54, 180) = =
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
111
77
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud door ontbinding in priemfactoren. a)
70
98 70 = 98 =
kgv (70, 98) =
b)
128
192
aa r
=
128 =
192 =
pl
kgv (128, 192) =
78
xe m
=
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler door ontbinding in priemfactoren. 180
810
jk e
a)
In ki
1
180 = 810 = kgv (180, 810) = = ggd (180 , 810) =
2
=
3 4
b)
120
5
225
120 =
6
225 =
7
kgv (120, 225) =
8
=
9
ggd (120, 225) =
10
=
11 12 13
112
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
79
Weetje ... Het product van twee getallen is altijd gelijk aan het product van hun ggd en kgv. • We onderzoeken dat met het rekentoestel. product getallen
ggd
kgv
product ggd en kgv
a)
12 en 18
216
6
36
216
b)
35 en 245
c)
180 en 210
d)
99 en 102
aa r
getallen
jk e
xe m
pl
• Verklaar die eigenschap met een getallenvoorbeeld.
In ki
• Dat weetje kun je gebruiken om op een snelle manier het kgv van twee getallen te berekenen als je de ggd van die twee getallen al kent. En omgekeerd natuurlijk ook.
getallen
product getallen
ggd
a)
24 en 30
720
6
b)
60 en 110
c)
693 en 22
1 386
d)
75 en 135
675
kgv
product ggd en kgv
10
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
113
STUDIEWIJZER Natuurlijke getallen en deelbaarheid voor de leerling
3.1 De natuurlijke getallen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.
KUNNEN
3.2 Deelverzamelingen van N KENNEN
aa r
De verzameling van de natuurlijke getallen geven door opsomming en met een venndiagram. De symbolen ⬍ , ⬎ , = en ≠ passend gebruiken. De symbolen ⭐ en ⭓ passend gebruiken. Natuurlijke getallen ordenen en voorstellen op een getallenas.
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
xe m
pl
De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en tot B behoren. De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of tot B behoren. Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.
KUNNEN
Deelverzamelingen van N opsommen, omschrijven en voorstellen in een vlinderdiagram. Bewerkingen met deelverzamelingen van N uitvoeren.
3.3 Deelbaarheid
KENNEN
jk e
In ki
1
Een opgaande deling is een deling met rest 0. D=dⴢq Een niet-opgaande deling is een deling met rest niet 0. D = d ⴢ q + r met r ≠ 0 Een getal is deelbaar door 2 als het laatste cijfer deelbaar is door 2. Een getal is deelbaar door 5 als het laatste cijfer deelbaar is door 5. Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer 0 is. Een getal is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 4. Een getal is deelbaar door 25 als de laatste twee cijfers 00, 25, 50 of 75 zijn. Een getal is deelbaar door 100 als de laatste twee cijfers nullen zijn. Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9. Een deler van twee natuurlijke getallen is ook een deler van hun som en hun verschil. a 兩 b en a 兩 c ⇒ a 兩 b + c en a 兩 b − c met b ⬎ c Een deler van een getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal. a 兩 b ⇒ a 兩 bⴢc Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee verschillende delers heeft. De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee getallen is het grootste natuurlijk getal dat deler is van beide getallen. Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinste, van nul verschillend, natuurlijk getal dat veelvoud is van beide getallen.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
114
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
voor de leerling
−
KUNNEN
voor de leerkracht
+ −
+
pl
aa r
De rest bepalen bij een deling. De kenmerken van deelbaarheid toepassen. De delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen. De symbolen 兩 en ∕兩 passend gebruiken. De eigenschappen van deelbaarheid toepassen. Bepalen of een getal kleiner dan 100 een priemgetal is. Een getal kleiner dan 1 000 ontbinden in priemfactoren. De ggd van twee of meer getallen bepalen door opsomming. De ggd van twee of meer getallen bepalen met de rekenmachine. De ggd van twee of meer getallen bepalen door ontbinding in priemfactoren. Het kgv van twee of meer getallen bepalen door opsomming. Het kgv van twee of meer getallen bepalen met de rekenmachine. Het kgv van twee of meer getallen bepalen door ontbinding in priemfactoren. De ggd van twee getallen bepalen met het algoritme van Euclides. Ggd en kgv aanwenden om vraagstukken en problemen op te lossen. De verschillende algoritmen om de ggd te bepalen, vergelijken.
In ki
jk e
xe m
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
115
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok g verstandig g
...
rij. n staan op een 2. Tien kindere naast e di kinderen Als je van drie lt, op leeftijden te elkaar staan, de s 29 jaar. bekom je telken n links is 12 jaar oud. nd va Het tweede ki is 9 jaar. nd van rechts Het tweede ki n links? eerste kind va Hoe oud is het
xe m
pl
1. Een rijke A merikaanse co wboy laat bij zi overlijden dit te jn stament na. In de stallinge n stonden 17 prachtige pa Van al arden. mijn De zonen wild p aarden en de erfenis l de helft aat ik zo snel mogel na aan ijk verdelen, mijn ou maar daar kw dst am keer z oon, een e op keer ruzie va n. aan mi derde jn twee Gelukkig had oo de z oon en m Bill e een oplossing. negend en ea Hij leende zijn de jong an neven ste. een van zijn pa arden. a) Waarom m aakten de zon en altijd ruzie?
aa r
concreet materiaal
b) Hoe verdee lden de zonen de erfenis met de hulp van oo m Bill?
van oom Bill?
ke rij ter zo in dat el 3. Vul het roos alle cijfers van en elke kolom bevat. 1 tot en met 6 len met de symbo g in Houd reken n. aa st es kj en de va < en > die tuss
In ki
1
met het paard
jk e
c) Wat gebeu rde er
2 3 4 5
1-6
3
6
1
7
4
3
8 9
5
10
6
11
2 3
4
12 13
116
HOOFDSTUK 3 I NATUURLIJKE GETALLEN EN DEELBAARHEID
4. Een autobu s rijdt op de sn elweg. In de bus zitten zeven kindere n. Elk kind heeft zeven boeken ta ssen, met in elke bo ekentas een ka t. Elke kat heeft bovendien zeve n kittens, die ook in de bo ekentassen zitt en. Alles en iedere en is perfect ge zond en heeft de norm ale hoeveelhei d poten en benen gekreg en. Hoeveel poten en benen bevi nden er zich in de bu s?
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
Grootheden en eenheden
4.2
Meten van lijnstukken en hoeken
4.3
Lengtematen en hoekmaten
Studiewijzer
₁₁₈ ₁₂₁ ₁₃₇ ₁₄₇ ₁₄₈
aa r
4.1
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
117
4.1
Grootheden en eenheden Grootheden meet je en druk je uit met een maatgetal en een eenheid. b)
Hoeveel weegt deze persoon?
Hoe groot is de kleuter ongeveer? e)
Hoeveel zit er nog in de tank?
f)
xe m
pl
d)
c)
aa r
a)
Hoe warm is het?
jk e
Hoe groot is de hoek die de waterpas maakt?
Hoelang duurt de wedstrijd nog?
Welke grootheid wordt bij welke afbeelding gemeten? Vul de tabel met de passende letters, maatgetallen, eenheden en symbolen aan.
letter
In ki
1
maatgetal
eenheid
2 3 4
lengte
inhoud
5 6 7 8
massa
hoekgrootte temperatuur
9 10 11
tijd grootheid
12 13
118
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
hoofdeenheid
symbool
Oefeningen REEKS A Geef de meettoestellen die dezelfde grootheid meten, eenzelfde kleur. Vul in de legenda de passende kleur bij de grootheden aan.
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
1
lengte
massa
temperatuur
inhoud
hoekgrootte
tijd
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
119
Noteer de best passende grootheid.
REEKS B 3
xe m
pl
aa r
2
Schrijf na elke vraag de passende grootheid. a) Hoe groot is een rechte hoek?
jk e
b) Wanneer komt de trein aan? c) Hoeveel weegt je hond?
d) Hoeveel kan er in een flesje spuitwater? e) Hoe warm is het momenteel in Spanje? 1
In ki
f) Hoeveel soep heb je nodig?
2 3 4 5
4
Schrijf na elke vraag de passende eenheid en zijn symbool. a) De hoogte van ons huis is 6,5 ... .
6 7
b) Om soep te maken heb ik 2 ... water nodig.
8
c) Ik deed er maar 10 ... over om een post te tweeten.
9
d) In een emmer water kan er 10 ... .
10
e) Een stompe hoek meet meer dan 90 ... .
11 12
f) Om een pizza te bakken, stel je de oven in op 180 ... .
13
120
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
4.2
Meten van lijnstukken en hoeken
4.2.1 Meten van lijnstukken C
Mehdi wil een kader kopen voor de foto hiernaast. Daarvoor moet hij de lengte en de breedte van de foto meten. De lijnstukken [AB] en [CD] geven de afmetingen van de foto aan. Neem je meetlat en noteer de afmetingen. • Lengte van het lijnstuk [AB] = Notatie: 兩AB 兩 =
mm
aa r
mm
• Lengte van het lijnstuk [CD] = Notatie: 兩CD 兩 =
B
mm
Je drukt de lengte van een lijnstuk uit met een maatgetal en een eenheid.
pl
D A
mm
Het maatgetal is het getal dat de maat aangeeft. Je vindt het door te meten.
xe m
De eenheid is de lengte waarmee je vergelijkt. De grondeenheid is de meter (m). De millimeter (mm), die in het voorbeeld gebruikt wordt, is een afgeleide eenheid van de meter. Even lange lijnstukken
E
jk e
Meet de lijnstukken [KL], [PQ], [EF] en [GH]. Wat stel je vast als je de lengtes van de lijnstukken met elkaar vergelijkt?
L
K
F P Q
In ki
Notatie:
G
H
Even lange lijnstukken kun je ook met de passer bepalen. Om vanuit een punt R een lijnstuk te tekenen dat even lang is als [EF], ga je als volgt te werk:
• Plaats de passerpunt in E en open de passer tot het potlood in het punt F staat.
• Verplaats de passerpunt naar het punt R op de rechte a. • Plaats een boogje op de rechte a. In het snijpunt van a en het boogje duid je het punt S aan.
a
R
Je duidt even lange lijnstukken aan met eenzelfde merkteken. Je zet het merkteken op de lijnstukken. Voorbeelden van merktekens: Plaats gelijke merktekens op de even lange lijnstukken op deze bladzijde. HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
121
Meettoestellen
schuifmaat meetbereik: meetnauwkeurigheid:
15 cm 0,02 mm
aa r
5m 1 mm
xe m
pl
rolmeter meetbereik: meetnauwkeurigheid:
meetlat meetbereik: meetnauwkeurigheid:
30 cm 1 mm
schroefmaat meetbereik: meetnauwkeurigheid:
25 mm 0,01 mm
jk e
Meten met een schuifmaat
Een schuifmaat bestaat uit een vast deel met maataanduiding in mm en een verschuifbaar deel waarop een tweede verdeling (nonius) is aangebracht. 1
5
Meetresultaat:
In ki
4
Om te meten met de schuifmaat, lees je met de 0 van de nonius de maat af op het vaste deel. Daarna kijk je welk streepje van de nonius precies gelijk staat met een streepje van het vaste deel. Zo lees je het maatgetal op de nonius af.
2 3
6 7
Een steekpasser bestaat uit twee metalen benen die aan elkaar scharnieren. Je kunt er een cirkel of cirkelboog mee krassen op hout of metaal. De steekpasser wordt gebruikt om gelijke afstanden af te passen. Met behulp van een schroef stel je de vaste afstand in.
8 9 10 11
Bij navigatie op zee wordt de steekpasser gebruikt om afstanden op de zeekaart af te passen.
12 13
122
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
Oefeningen REEKS A 5
Schat de lengte van de volgende lijnstukken. Meet daarna de lijnstukken. lijnstuk
c)
D
E
兩AB 兩 = 15 mm
b)
兩CD 兩 = 80 mm
c)
兩EF 兩 = 63 mm
mm
mm
mm
xe m
Teken een lijnstuk met de gegeven lengte. a)
mm
mm
F
De lengte van de onderstaande lijnstukken is telkens gegeven. Plaats de notatie van het passende lijnstuk vóór de meetresultaten. a)
= 25 mm
In ki
7
C
mm
jk e
6
B
aa r
b)
A
gemeten lengte
pl
a)
geschatte lengte
b)
= 84 mm
c)
= 62 mm
d)
= 59 mm
e)
= 55 mm
f)
= 32 mm
g)
=
h)
= 76 mm
8 mm
K
C
L
G
B O
D
P N
A
H
I M E
J F
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
123
REEKS B Combineer de naam van een meetinstrument (1e kolom) met een foto (2e kolom) en een beroep (3e kolom). 1
I Een naaister heeft je heupomtrek nodig om een broek te maken.
b vouwmeter
2
II Een metselaar meet de lengte van het muurtje.
c schuifpasser
3
III Een leerlinge heeft de meetopdracht in haar boek gemaakt.
d meetlat
4
e rolmeter
pl xe m
IV Een timmerman heeft de lengte van de planken van de kist gemeten.
5
V Een metaalbewerker moet controleren of de doorboring heel precies is.
In ki
1
aa r
a lasermeter
jk e
8
2 3 4 5
f lintmeter
6
VI Een architecte komt de maten van de ramen controleren.
6 7 8 9 10
a
11 12 13
124
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
b
c
d
e
f
9
Duid de even lange lijnstukken aan met eenzelfde merkteken. Gebruik enkel je passer.
A
B
E
K
H D
C G
U N
M
J I
F T
R
V
S W O
Meet de lengte van de gebruiksvoorwerpen.
c) lucifer
A
B
兩AB 兩 =
兩EF 兩 =
jk e
In ki
mm
d) boor
G
D
兩GH 兩 =
mm
mm
H
Bekijk aandachtig de onderstaande lijnstukken en los de opdrachten op. a) Vul, zonder te meten, in met ⬍ , ⬎ of = .
<
A
<
C C
<
11
C
F
E
mm
b) geheugenkaart
兩CD 兩 =
L
X
xe m
a) naald
Z
pl
10
P
Y
aa r
Q
B
兩AB 兩
<
DD
兩CD 兩
b) Meet de lijnstukken [AB] en [CD] met de meetlat. 兩AB 兩 =
mm
兩CD 兩 =
mm
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
125
12
Benoem en meet. H D
K
J
E
C
F A
B
=
mm
=
mm
=
mm
lengte van het bed
=
mm
breedte van een nachttafeltje
=
mm
breedte van de kamerdeur
c)
breedte van de kleerkast
d)
breedte van het bed
e) f)
jk e
xe m
b)
In ki
Teken de lijnstukken [AB] van 40 mm en [AC] van 25 mm zodat C â&#x2C6;&#x2C6; AB maar C â&#x2C6;&#x2030; [AB].
3
14
Lees de correcte lengte af bij de schuifmaat.
5 6 7 8 9 10 11 12 13
126
pl
mm
breedte van een kleerkastdeur
2
4
lengte van het lijnstuk =
a)
REEKS C
1
lijnstuk
aa r
gevraagde lengte
13
G
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
A
4.2.2 Meten van hoeken Benamingen en notaties
C C
B B A A
• een hoekpunt:
• de benen van de hoek:
—C of C A —B of A — Notatie: B A
pl
Opmerkingen
In meetkunde wordt een hoek bepaald door:
aa r
Aan de hand van de kijklijnen kun je het gezichtsveld van de kat Thobias bepalen. De kijklijnen vormen een kijkhoek. Die hoek is een maat voor de grootte van het gezichtsveld.
xe m
• Als er verschillende hoeken zijn met hetzelfde hoekpunt, dan nummer je de hoeken. In de notatie van de hoek duid je het nummer aan met een index. Voorbeelden: — D 1, — D 2, — D3
2
1
3 D
• Vaak worden hoeken benoemd met een letter uit het Griekse alfabet. Voorbeelden: ␣ (alfa),  (bèta), ␥ (gamma), ␦ (delta)
jk e
α
γ
β
δ
In ki
De gradenboog
De grootte van een hoek druk je uit met een maatgetal en een eenheid. Het maatgetal vind je door de hoek te meten met de gradenboog. Een eenheid voor het meten van hoeken is de zestigdelige graad.
hoeklijn voor een hoek van 90°
aflezen van de maatgetallen van de hoeken hoeklijn voor een hoek van 45°
nulpunt
tekenrand van de geodriehoek = nullijn van de gradenboog
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
127
Een hoek meten met de gradenboog Werkwijze stap 1: Leg de geodriehoek met het nulpunt in het hoekpunt en de tekenrand langs een been van de hoek. stap 2: Lees het maatgetal van de hoek af bij het andere been. Let op • Soms moet je een been van de hoek verlengen om het maatgetal te kunnen aflezen. • Op de geodriehoek staan telkens twee hoekmaten vermeld. Gebruik de verdeling waarvan de 0 zich langs een been van de hoek bevindt.
—= A
aa r
A
º
Een hoek tekenen
jk e
— = 65º. Teken B
xe m
ICT
pl
— meet Je leest: De hoek A
B
2
stap 2: Leg de geodriehoek met het nulpunt in het hoekpunt en de tekenrand langs het getekende been van de hoek. stap 3: Plaats een puntje bij het maatstreepje van 65º.
stap 5: Teken het andere been van de hoek.
3 4
stap 1: Teken het hoekpunt en een been van de hoek.
stap 4: Leg de geodriehoek met de tekenrand langs het hoekpunt en het aanduidingspuntje van 65º.
In ki
1
B
Werkwijze
Hoeken meten en tekenen: probeer nu zelf
5 6
Meet — C.
Teken — D = 104º.
7 8 9
C
10 11 12
— C=
13
128
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
Oefeningen REEKS A Noteer het hoekpunt en de benen van de getekende hoeken. a)
b) B
c)
T
P
A
P
H
R
Q
C
N
hoekpunt:
hoekpunt:
hoekpunt:
benen:
benen:
benen:
benen:
pl
hoekpunt:
Teken de hoeken. —F a) DO
b) H — IK
D
c) O — PA
d) V— LA
A
I
jk e
O
A
V
P
H
L O
K
In ki
F
17
E
O
xe m
16
d)
aa r
15
Benoem de hoeken aan de hand van het hoekpunt en een index.
—C = a) B A b) G — EF =
e) D — EF =
B 1
—I = f) H G C
—D = c) A G
—I = g) E G
4 A
D 4 3
1
3 F E 2
2 1
2
4G
—F = d) G A
—C = h) I A
H
3
I
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
129
R
18
Meet de hoeken. a)
d)
A
—= A
aa r
D
— D=
e)
xe m
pl
b)
jk e
B
—= B
In ki
1
2
c)
— E=
f)
3
F
4 5 6 7 8 9
C
10 11 12
— C=
13
130
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
— F=
E
Teken de hoeken. d) — D = 72 º
— = 25 º b) B
e) — E = 110º
aa r
— = 60 º a) A
pl
19
In ki
jk e
xe m
R
c) — C = 105º
f) — F = 168º
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
131
REEKS B 20
Teken de hoek door de gepaste hulplijnen van de geodriehoek te gebruiken. — = 45º a) A
— = 90 º b) B
B
Teken een hoek met dezelfde hoekgrootte als de gegeven hoek.
pl
21
aa r
A
xe m
a)
A
b)
jk e
B
In ki
1
2 3 4
22
Noteer de aangeduide hoek door gebruik te maken van drie punten.
5
B
6
2 C
1
9 10
D γ
3 A
G
13
132
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
— C1
=
b)
— C4
=
F
c)

=
d)
␣
=
e)
— C3
=
f)
␥
=
4
11 12
β
α
7 8
a) E
23
Plaats, zonder te meten, de letter van het meetresultaat bij de bijbehorende hoek. A
a) 50º
C
b) 160º
E
c) 90º d) 80º e) 120º f) 10º
B
g) 100º
aa r
D
F
h) 150º
Bekijk de foto en meet de hoek die het gebouw met de grond vormt.
xe m
24
pl
i) 75º
a) de Toren van Pisa
b) de Puerta de Europa in Madrid
In ki
jk e
De toren is een vrijstaande klokkentoren bij de kathedraal van Pisa. De toren werd gebouwd in 1173. Het was de bedoeling om de toren recht te bouwen, maar al vrij kort na het begin van de bouw begon de toren over te hellen. De toren is ongeveer 56 m hoog en telt 297 treden.
T
R
Q
—R = PQ
De bouw van de torens werd voltooid in 1996. Het complex bestaat uit twee gebouwen die naar elkaar toe hellen. Elke toren telt 27 verdiepingen met kantoren. De torens vallen vooral op door de vreemde hoeken en de gebruikte bouwmaterialen: glas, graniet en metaal.
R
P
O
—R = TO
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
133
25
Een goede zithouding is belangrijk. Hieronder zie je de ideale zithouding achter de computer en in de auto. Meet de aangeduide hoeken. a) zithouding achter de computer
b) zithouding in de auto
A
B D
—= A
•
•
—= B
• — D=
•
— E=
•
— F=
•
Teken de hoek die de bal maakt met de horizontale. Het hoekpunt en het ene been van de hoek zijn gegeven.
b) De voetballer trapt de bal — = 42 º. omhoog volgens V
jk e
In ki G
2
c) De tennisspeler slaat de bal omlaag volgens — T = 24º. T
V
3 4
27
Benoem de aangeduide punten.
5 6 7
• E— FA = D— FE —C = A —2 • FA
8 9
A 2
10 11 12 13
134
—= G
pl
— C=
a) De golfspeler slaat de bal — = 65º. omhoog volgens G
1
F
aa r
•
G
xe m
26
E
C
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
1
28
Teken de kijkhoeken. a) fototoestel kijkhoek: 170º
pl
aa r
b) verrekijker kijkhoek: 9º
Teken een hoek — E die even groot is als de hoek — F gevormd door twee spaken van het fietswiel.
In ki
29
jk e
xe m
c) mens kijkhoek: 62º (verticaal)
F
30
E
Bepaal, zonder te tekenen en te meten, de hoek tussen de uur- en de minutenwijzer van een klok op de volgende tijdstippen. a) één uur:
c) twaalf uur:
b) drie uur:
d) vijf uur:
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
135
REEKS C Teken de gegeven punten in het assenstelsel. Meet daarna de gevraagde hoeken. y
co(A) = (2, 5) 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
co(B) = (11, 9) co(C) = (0, 13) co(D) = (12, 2)
—C = a) B A —D = b) B A c) A— DB = —D = d) C B
xe m
pl
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Hieronder zie je een bovenaanzicht van een schiettoren van een middeleeuwse burcht. Bepaal de maximale uitwijkingshoek die een pijl kan maken die vanuit de schiettoren wordt afgevuurd.
jk e
32
0
aa r
31
In ki
1
2 3 4 5
33
6
—X van 147º met 兩BX 兩 = 3 cm en meet daarna B X —C en B X —D. Teken A B
7
—C = BX
8
—D = BX
9 10 11
A
12 13
136
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
B
C
D
x
4.3
Lengtematen en hoekmaten
4.3.1 Lengtematen De maatgetallen op dit bord in Schotland zijn een maat voor de afstand naar de vermelde dorpen. De afstanden zijn uitgedrukt in mijl. In welke eenheid worden de afstanden die op wegwijzers in BelgiĂŤ vermeld staan, uitgedrukt?
aa r
1 mijl =
pl
Bij het vermelden van een lengtemaat is het dus belangrijk om altijd duidelijk de eenheid te vermelden. Om verwarring te voorkomen, werd internationaal beslist om de meter als hoofdeenheid van lengte te kiezen.
Lengtematen herleiden
xe m
Om grote en kleine lengten uit te drukken, werden veelvouden en onderverdelingen van de meter ingevoerd. Met de volgende tabel kun je een gemeten lengte omzetten van de ene eenheid naar een andere.
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
kilometer
hectometer
decameter
meter
decimeter
centimeter
millimeter
1 dm
1 cm
1 mm
jk e
1 000 m
1 hm
1 dam
1m
2
0
3
In ki
1 km
Voorbeelden a) 203 m
=
dm
b) 12,36 km =
m
c) 54,3 cm
m
=
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
137
Bewerkingen met lengtematen Als je bewerkingen met lengtematen uitvoert, moet je ervoor zorgen dat de meetresultaten in dezelfde eenheid staan. Voorbeeld Om wat geld te verzamelen voor het goede doel, organiseren Jan, Wouter en Bieke een estafetteloop. Jan loopt 1,5 km, Wouter 750 m en Bieke 500 m. Hoeveel meter hebben ze samen gelopen?
aa r
Inzicht in de lengtematen
Om een beter inzicht te krijgen in de lengtematen, is het handig een lengtemaat te vergelijken met een situatie die je goed kent. 1 km
• de afstand die je in ongeveer één kwartier al wandelend aflegt
• ongeveer de lengte van een voetbalveld •
1 dam
• ongeveer de lengte van een auto met caravan •
1m
xe m
1 hm
pl
•
• ongeveer de breedte van de deur van de klas
jk e
• 1 dm
• ongeveer de afstand tussen je gestrekte duim en wijsvinger •
1 cm
• ongeveer de breedte van een vingernagel van je duim
In ki
1
•
2 3 4
1 mm
• de dikte van een potloodlijn •
5 6 7 8 9 10 11 12 13
138
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
Lengtematen en schaal Bij het gebruik van schaal werk je vaak met het herleiden van lengtematen. Voorbeeld 0
5
10
15
20
25 km
wil zeggen dat 1 cm op tekening overeenkomt met in werkelijkheid.
Ook bij het omrekenen van schaal naar werkelijkheid of omgekeerd, maak je vaak gebruik van het herleiden van lengtematen. Voorbeeld 1 . 5 000 000 Bepaal de afstand in vogelvlucht tussen Brugge en Namen.
aa r
De schaal van de kaart is
• Afstand gemeten op de kaart:
pl
• Omrekenen naar de afstand in werkelijkheid:
km
xe m
• Afstand in werkelijkheid:
Andere lengtematen
In ki
jk e
Meten is van alle tijden. Vroeger baseerde men zich vooral op lichaamsdelen om een lengte-eenheid te kiezen. Op de afbeeldingen zie je daar een aantal voorbeelden van.
De inch wordt ook nu nog vaak gebruikt. Op sommige latten vind je de inch aan de ene kant en de centimeter aan de andere kant als eenheid. Eén inch is gelijk aan 2,54 cm. De lengte van de diagonaal van beeldschermen wordt meestal in inches uitgedrukt. Bereken de lengte van de diagonalen van de schermen hiernaast in centimeter.
computerscherm
15,6″ =
tablet
7″ =
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
139
4.3.2 Hoekmaten Hoekmaat: de zestigdelige graad Het is een internationale afspraak om de zestigdelige graad te gebruiken als hoekmaat. Je verwerft een beter inzicht in de uitdrukking van hoekgroottes, als je een aantal hoekgroottes vergelijkt met de hoeken die gevormd worden tussen de uur- en de minutenwijzer van een klok. Voorbeelden:
• twee uur :
º
• drie uur :
º
• vier uur :
º
aa r
• één uur : 30º
Zestigdelige graad: onderverdelingen
⬘
1º =
1⬘ =
pl
Voor meer nauwkeurige bepalingen van de hoekgrootte kun je de graad onderverdelen in minuten (⬘) en seconden (″). Die onderverdeling is gebaseerd op het zestigdelige talstelsel: ″
″
dus 1º =
voorbeeld
xe m
Som van zestigdelige hoekmaten berekenen
werkwijze
24º 48º
15⬘ 49⬘
36″ 32″
72º = 72º = 73º
64⬘ 65⬘ 5⬘
68″ 8″ 8″
stap 2: Bepaal achtereenvolgens de som van de seconden, de minuten en de graden.
jk e
+
stap 1: Noteer de hoeken zo dat de graden, de minuten en de seconden precies onder elkaar staan.
stap 3: Herleid de seconden naar minuten en seconden als de getalwaarde voor de seconden groter is dan 60.
In ki
1
2 3
stap 4: Herleid de minuten naar graden en minuten als de getalwaarde voor de minuten groter is dan 60.
4 5 6 7
REKENMACHINE
Bereken 13º 18⬘ 24″ + 15 º 43⬘ 57″ =
8 9 10 11 12 13
140
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
oefening
+
12º 34⬘ 87º 13⬘
52″ 15″
Oefeningen REEKS A
R
34
Plaats de lengtematen in de gevraagde eenheid.
457 cm
=
m
b)
2 km
=
m
c)
78,5 m
=
cm
d)
798 mm
=
m
e)
0,5 dm
=
mm
f)
0,05 km =
dm
cm
mm
Vul de meest passende lengte-eenheid in. Kies uit km, m, dm, cm of mm. lang.
f) De dikte van het cd-doosje is 0,8
.
b) De breedte van de deur is 0,82 c) De auto is 452
dik.
jk e
breed.
i) De atletiekpiste is 0,4
lang.
.
groot.
h) Ons huis is 8,24
e) Het cruiseschip is 0,268
In ki
g) Piet is 152
lang.
d) Een gewoon blad papier is 0,1
36
m
pl
cm
a) Het potlood is 1,7
R
10 m
xe m
35
a)
100 m
aa r
km
j) De lengte van mijn voet is 0,24
lang. .
Bepaal de werkelijke afstand. afstand op tekening
a)
4 cm
b)
20 mm
c)
10 cm
d)
120 mm
schaal
afstand in werkelijkheid
0
10
20
30
40
50 m
0
2
4
6
8
10 km
0
5
10
15
20
25 m
0
50
100
150
200
250 km
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
141
REEKS B
R
37
Voor een feestmaal worden een tafel van 180 cm lang en een tafel van 160 cm lang tegen elkaar geplaatst. Bepaal de lengte in meter van de op die manier gevormde feesttafel.
38
aa r
Antwoordzin:
Je zaagt een stuk van 34 cm van een plank van 2,87 m lengte. Bepaal de nieuwe lengte van de plank in cm.
R
40
xe m Antwoordzin:
Een boompje groeit 5 mm per week en is nu 14,78 dm groot. Hoe groot zal het boompje volgend jaar zijn? Bepaal de lengte van het boompje in meter.
In ki
1
Er wordt een menselijke ketting van 1,8 km gevormd. Elke persoon in de ketting neemt 90 cm in. Uit hoeveel personen bestaat de ketting?
jk e
39
pl
Antwoordzin:
2 3
Antwoordzin:
4 5 6 7
41
Een boekenplank is 2,24 m lang. Hoeveel ruimte blijft er nog over als we een reeks van dertig boeken die elk 45 mm dik zijn, op de plank plaatsen? Druk het antwoord uit in cm.
8 9 10 11 12
Antwoordzin:
13
142
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
42
De wegenkaart is getekend op schaal 1 : 100 000. Bepaal de werkelijke afstanden in vogelvlucht tussen de centra
van de volgende dorpen. a) Markegem en Wakken
b) Zulte en Grammene
c) Wontergem en Aarsele
aa r
d) Oostrozebeke en Oeselgem
Vul de tabel in.
R
afstand op tekening
a)
c)
d)
e)
f)
afstand in werkelijkheid
1 1 000 000
12 mm
0
2
4
6
km
8
10 km km
5m
1 200
mm
20 km
1
mm
cm
km
1 20 000
53 mm
In ki
b)
84 mm
schaal
jk e
43
xe m
pl
e) Olsene en Wielsbeke
500 000
0
5
10
15
20
25 km
255 km
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
143
44
Bepaal de schaal aan de hand van de gegevens in de tabel. afstand op tekening
a)
42 mm
8,4 km
=
b)
20 mm
10 m
=
c)
2 cm
10 m
d)
1 mm
1 km
m
pl
km
xe m
Bepaal de schaal, als je weet dat de auto in werkelijkheid 4,8 m lang is.
In ki
1
2
schaal
jk e
45
afstand in werkelijkheid
aa r
R
46
Schat de grootte van de aangeduide hoek.
3 4
a)
b)
c)
5 6
C
A
B
7 8 9 10
— ⫽ 65º ❒ A
— ⫽ 85º ❒ B
❒
11
— ⫽ 75º ❒ A
— ⫽ 95º ❒ B
❒ — C ⫽ 50º
12
— ⫽ 85º ❒ A
— ⫽ 110º ❒ B
❒ — C ⫽ 70º
13
144
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
— C ⫽ 30º
REEKS C 47
48
Plaats de lengtematen in de gevraagde eenheid. a)
78,41 m
=
dam
c)
0,78 hm
=
cm
b)
5 dam
=
dm
d)
82 m
=
hm
De afstanden op de wegwijzers zijn in mijl uitgedrukt. Zet de gevraagde afstanden om naar km. Rond af op 1 km.
aa r
a) Altrincham
pl
b) Chester
xe m
c) Marple
d) Cheadle
Op het plan staan de afmetingen in cm.
168
10
jk e
49
a) Bepaal de schaal waarop dit plan getekend is.
BADKAMER
In ki
210
15
110
90
140
OVERLOOP
15
20
90
95 WC
b) Teken op de overloop een kast tegen de muur. De kast is 1,4 m lang en 70 cm breed.
310
• Lengte op tekening: VELUX 105 x 140
• Breedte op tekening:
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
145
52
c) 125º 2⬘ 25″ + 14 º 57⬘ 48″
+
+
+
aa r
b) 38º 45⬘ 23″ + 98º 18⬘ 41″
a)
14º 28⬘ 17″ + 18º 19⬘ 24″
=
b)
7º 9⬘ 21″ + 140º 54⬘ 45″
=
c)
92º 7⬘ 8″ + 21º 0⬘ 57″
=
d)
78º 14⬘ 52″ + 21º 45⬘ 31″
=
pl
Bereken.
Bepaal, zonder te meten, de hoek tussen de uur- en de minutenwijzer bij een klok op de volgende tijdstippen.
In ki
1
a) 24º 18⬘ 25″ + 15 º 10⬘ 47″
xe m
51
Werk uit.
jk e
50
a)
14:20
b)
12:45
c)
9:50
d)
20:24
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
146
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
STUDIEWIJZER Meten en tekenen voor de leerling
4.1 Grootheden en eenheden KUNNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Grootheden herkennen en benoemen. Grootheden koppelen aan een maatgetal en een eenheid.
4.2 Meten van lijnstukken en hoeken KUNNEN Een lijnstuk tekenen tot op een millimeter nauwkeurig.
aa r
Een lijnstuk meten tot op een millimeter nauwkeurig. Het meest aangewezen meettoestel kiezen om een meting uit te voeren. Een hoek meten tot op een graad nauwkeurig.
Een hoek tekenen waarvan de hoekgrootte in graden gegeven is.
4.3 Lengtematen en hoekmaten KUNNEN
pl
Een hoek tekenen met dezelfde hoekgrootte als een gegeven hoek.
−
+ −
+
xe m
Een afstand op schaal omrekenen naar de afstand in werkelijkheid. Lengtematen herleiden naar de gevraagde eenheid.
De onderverdeling van de graad (minuten en seconden) gebruiken. De som van zestigdelige hoekmaten berekenen.
In ki
jk e
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
147
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig g
...
0 1
3
1 0
0 1
0
0
1 0
1
0
1
9
0
HOOFDSTUK 4 I METEN EN TEKENEN
0
1 0 1
0
1
1
0 0
n mijn de schaduw va t m ko r ve oe H nnestand uari, als de zo br fe in ge ra ga 30º is?
13
148
0
1 1
8
12
0
1
7
11
1
0
6
10
0 0
4 5
1
1
1
van 60º, n zonnestand ee j bi i, n ju In 3. uw rage een schad werpt mijn ga tuin. van 2 m in mijn
In ki
2
4. Binairo puzzel 4 – Vul het rooster zo in dat elke rij en elke kolom gevuld is met zes nullen en zes eentjes. – Niet meer dan twee nullen of twee eentjes mogen naast of onder elkaar staan. – Dezelfde rijen en kolommen zijn niet toegestaan. – Er is één unieke oplossing.
jk e
1
1
pl
2
e getalen even natuurlijk le al lt te la aï 2. M op. tot en met 100 en getallen t met alle onev da et do y rl be Kim . tot en met 99 tussen gt het verschil aa dr be Hoeveel ? hun uitkomsten
xe m
1. De cijfers 1 tot en met 9 m oeten in de velden va n het vierkant worden geplaa tst. De som van de cijfers op elke rij, kolom en diag onaal moet ge lij k zijn. De 1 en de 2 zi jn al gegeven.
aa r
concreet materiaal
0
1 1
1
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.1
De positieve rationale getallen
5.2
Bewerkingen met positieve
5.3
Rekentechnieken
Studiewijzer
₁₆₆ ₂₀₇ ₂₁₃ ₂₁₄
aa r
rationale getallen
₁₅₀
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter probemen oplossen
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
149
5.1
De positieve rationale getallen
5.1.1 Definitie De Finse dames hadden een balbezit van 60 %.
aa r
De EiďŹ&#x20AC;eltoren in Parijs is zonder tv-antenne 317,5 m hoog.
Een vijfde van de wereldbevolking is Chinees.
pl
2 % intrest op deze spaarrekening!
Twee zesden van een pizza
dement Stuur uw ren de hoogte in!
jk e
xe m
De eerste drie rolstoelatleten bereikten de ďŹ nish na goed twee en een half uur wedstrijd.
In ki
1
2 3 4 5
Definitie
Positief rationaal getal
Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is.
6 7 8 9
Opmerking Een positief rationaal getal kan verschillende gedaanten aannemen. 7 100
a) Een rationaal getal kun je als breuk noteren.
bv.
b) Een rationaal getal kun je als procent noteren.
bv. 7 %
c) Een rationaal getal kun je decimaal noteren.
bv. 0,07
10 11 12 13
150
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.1.2 De positieve rationale getallen in breukvorm Benamingen
7
T
→ →
100
N
→
Echte en onechte breuken onechte breuken
Een bakker verdeelt zijn taarten altijd in acht gelijke stukken. Vandaag verkocht hij vijf stukken. breuk
aa r
echte breuken
Deze week verkocht de bakker in totaal 21 stukken taart.
N
T
xe m
T
pl
breuk
N
Gemengde getallen
Onechte breuken kunnen ook als som van een natuurlijk getal en een echte breuk geschreven 4 25 = 3 + . Zo’n vorm noem je een gemengd getal. worden: 7 7 Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen: 27 = 4
jk e
19 = 6
12 = 7
48 = 5
Je gebruikt bij voorkeur onechte breuken. REKENMACHINE
7 in. 9
In ki Voer de breuk
Zet
18 om naar een gemengd getal. 7
Voer het gemengd getal 3 +
Zet 2 +
4 in. 7
4 om naar een onechte breuk. 5
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
151
Gelijke breuken
totaal aantal delen aantal gekleurde delen
Eigenschap van de breuken
:5
xe m
· 10
pl
Welk verband bestaat er tussen deze drie breuken?
aa r
breuk
–1 5
:5
· 10
Eigenschap
Gelijke breuk
jk e
Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk.
Breuken vereenvoudigen
Een breuk vervangen door een gelijke breuk met een kleinere teller en noemer, is een breuk vereenvoudigen. De gelijke breuk met de kleinste noemer is de onvereenvoudigbare breuk. Deel daarvoor de teller en de noemer door hun ggd.
In ki
1
2 3 4 5 6
Vereenvoudig de volgende breuken tot onvereenvoudigbare breuken.
8 = 12
3 = 9
27 = 54
7 8 9
REKENMACHINE Vereenvoudig de breuk
10 11 12 13
152
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
48 . 56
40 = 8
42 = 72
Gelijknamige breuken Definitie
Gelijknamige breuken Gelijknamige breuken zijn
Voorbeelden:
ongelijknamige breuken
vereenvoudigen
jk e
8 6 en 40 20
xe m
5 7 en 6 8
gelijke noemer
pl
3 2 en 5 7
aa r
Breuken met verschillende noemers noem je ongelijknamige breuken. Ongelijknamige breuken kun je gelijknamig maken. Als gelijke noemer gebruik je het kgv van de (vereenvoudigde) noemers.
gelijknamige breuken
2 5
=
3 7
=
5 6
=
7 8
=
8 = 40 6 = 20
In ki
De verschillende notaties van breuken: • de horizontale breukstreep (——) In de 7e eeuw werden breuken al voorgesteld door de teller boven de noemer te plaatsen. De breukstreep zelf kwam er maar bij rond 1200. • de dubbele punt (:) De dubbele punt werd voor het eerst gebruikt in 1633 als notatie voor breuken. • de obelus (÷) De obelus werd voor het eerst gebruikt in 1659 en bestaat enkel nog als toets op rekenmachines. • de diagonale breukstreep (/) Dit teken werd pas veel later ingevoerd om typografische redenen.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
153
Oefeningen REEKS A Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. d)
Welk deel van de afgebeelde kinderen is een jongen?
Welk deel van de afgebeelde appels is rood?
aa r
a)
pl
1
e)
jk e
xe m
b)
Welk deel van de snookerballen is rood?
In ki
1
2
Welk deel van de afgebeelde honden is licht van kleur?
c)
f)
Welk deel van de afgebeelde wagens is niet geel?
Welk deel van de taart is al verdwenen?
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
154
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
e)
b)
d)
f)
Bij welke figuren werd er
1 gekleurd? 3
Bij welke figuren werd er
3 gekleurd? 4
Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)
8 = 5
b)
a) 1 +
2 3
=
b) 3 +
5 6
=
In ki 5
6
19 = 2
c)
7 = 6
Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. c) 5 +
3 7
=
e) 5 +
3 4
d) 7 +
3 8
=
f) 4 +
9 = 10
jk e
4
aa r
c)
pl
3
a)
xe m
2
=
Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.
a)
4 5
=
b)
6 15
=
8
2
c)
15 9
=
d)
8 3
=
3
9
e)
28 56
=
f)
49 21
=
4
3
g)
24 45
=
h)
6 7
=
d)
65 = 125
8
56
Vereenvoudig met je rekenmachine tot een onvereenvoudigbare breuk.
a)
121 = 165
b)
35 = 280
c)
126 = 315
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
155
a)
8 12
=
c)
21 = 60
e)
12 = 36
b)
18 = 30
d)
14 = 63
f)
19 = 30
2 5
=
Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.
a)
b)
3 2 en 7 8
3 1 en 6 7
2 = 7
c)
3 = 8 1 = 6
d)
3 = 7
REEKS B
77 = 54
=
3 = 16
b)
65 = 14
c)
37 = 13
b) 37 +
5 6
jk e
2 = 13
=
c) 7 +
2 = 35
Bereken het aantal honden of katten. In een statistisch rapport over huisdieren in Vlaanderen lezen we: ‘Een gezin op vijf bezit minstens één hond, een op vier minstens één kat.’
In ki
1
7 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a) In klas 1Aa zitten 24 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis?
b) In klas 1Ab zitten 20 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één hond thuis? c) In klas 1Ac zitten 16 leerlingen. Hoeveel daarvan hebben dan, statistisch gezien, minstens één kat thuis? d) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één hond thuis? e) Hoeveel leerlingen van de drie klassen samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis? f) Hoeveel leerlingen van 1Ab en 1Ac samen hebben, statistisch gezien, minstens één kat thuis?
13
156
d)
83 = 15
Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken. a) 17 +
11
8 = 15
Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)
10
3 7 en 4 16
xe m
9
8 2 en 5 15
aa r
8
Vereenvoudig, indien mogelijk, deze breuken tot een onvereenvoudigbare breuk.
pl
7
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
d) 18 +
22 = 23
Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.
a)
b)
14
=
c)
28 60
d)
17
16 = 32
=
0 25
e)
7
f)
16
24 = 20
=
55 80
g)
h)
15
56 = 72
9
21
=
15 25
a)
64 = 56
c)
81 = 60
e)
b)
98 = 72
d)
28 = 84
f)
aa r
Vereenvoudig, indien mogelijk, tot een onvereenvoudigbare breuk. 54 = 30
g)
54 = 90
84 = 36
h)
84 = 64
pl
R
13
7
9
Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinst mogelijke noemer.
a)
b)
16 10 en 16 32
xe m
R
36 = 40
10 = 16
17 32 en 72 63
c)
16 = 32
jk e
12
32 = 72
d)
In ki
17 = 63
121 32 en 128 88
21 54 en 45 35
32 = 128 121 = 88
54 = 45 21 = 35
REEKS C
15
Bepaal de gevraagde breuk. 3 , 4 waarbij de som van teller en noemer 28 is.
a) Een breuk gelijk aan
9 , 7 waarbij het verschil tussen teller en noemer 22 is.
b) Een breuk gelijk aan
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
157
5.1.3 De positieve rationale getallen als procent
aa r
Procenten worden in het dagelijkse leven vaak gebruikt. Geef enkele voorbeelden.
Procent of percent (%) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘centum’ (honderd). Procenten zijn breuken met 100 als noemer. 1 100
13 % =
13 100
pl
Voorbeeld: 1 % =
Procenten kun je omzetten tot onvereenvoudigbare breuken. 1 2 = 100 50
10 % =
25 % =
100 % =
7 = 10
11 = 25
xe m
2%=
Breuken kun je omzetten tot procenten. 2 = = 100 5
%
jk e
REKENMACHINE
3 = 4
Zet 74 % om naar een onvereenvoudigbare breuk.
Zet
18 om naar procent. 40
In ki
1
2 3 4 5
7
Promille (‰) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘mille’ (duizend). Promilles zijn breuken met 1 000 als noemer.
8
Voorbeeld: 5 ‰ =
6
9
In België is het maximaal toegelaten alcoholgehalte voor bestuurders van voertuigen 0,5 ‰, wat overeenkomt met 0,5 gram per 1 000 ml bloed. Met een ademanalysetoestel (zie afbeelding) of een bloedproef wordt dat gehalte gemeten.
10 11 12 13
158
5 1 000
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a)
17
1%=
c) 40 % =
e) 60 % =
b) 10 % =
d) 50 % =
f) 80 % =
aa r
16
Duid de gevraagde procenten in kleur aan. b)
c)
15 %
50 %
30 %
Schrijf de breuken als procent. a)
1 2
=
100
=
1 = 10
In ki
b)
jk e
18
xe m
pl
a)
%
c)
1 = 4
e)
1 = 20
d)
1 = 5
f)
7 = 10
REEKS B
R
19
20
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk.
a) 36 % =
c) 24 % =
e) 16 %
=
b) 45 % =
d) 48 % =
f) 200 % =
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) 76 % =
b) 65 % =
c) 124 % =
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
159
22
Schrijf de breuken als procent. a)
3 5
=
c)
7 4
=
e)
12 = 5
b)
2 = 25
d)
7 = 50
f)
13 = 20
b)
222 = 300
c)
27 = 60
Schrijf de breuken als procent.
23
12 = 40
aa r
a)
Een hardloper heeft in het eerste deel van de wedstrijd drie vijfden van de totale afstand afgelegd. Hoeveel procent van de totale afstand heeft hij dan al afgelegd?
Antwoordzin:
24
pl
21
xe m
R
Hoeveel procent is gekleurd? a)
c)
jk e
b)
In ki
1
2 3
%
4
%
5 6 7 8
R
25
Schrijf de breuken als procent. a)
6 = 40
d)
24 = 30
b)
5 = 125
e)
33 = 44
c)
18 = 150
f)
12 = 40
9 10 11 12 13
160
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
%
5.1.4 De positieve rationale getallen decimaal Van breuk naar decimale schrijfwijze Als je een rationaal getal niet in zijn breukvorm laat staan, maar de deling uitvoert, dan vind je de decimale schrijfwijze van dat rationaal getal. Er zijn drie mogelijkheden: 15 = 3
25 = 10
8 = 33
aa r
Wat is het verschil tussen een decimaal getal en een decimale vorm?
Het deel dat herhaald wordt bij een decimale vorm, noem je de
2 11 2 99
= =
7 = 15 16 = 333
xe m
Voorbeeld:
pl
Noteer de periode tweemaal, gevolgd door drie puntjes.
jk e
Opmerking: • Begin de periode altijd zo vroeg mogelijk. • Houd de periode altijd zo kort mogelijk. • Houd er rekening mee dat je rekenmachine maar een beperkt aantal cijfers op het scherm kan tonen. Zo is het laatste cijfer veelal het resultaat van een afronding. Verklaring voor het bestaan van een periode
5,00000000 7 0,714285 714285 – 050 – 49 10 7 – 30 –28 20 –1460 –5640 –3550 –4910
5 = 5 : 7 = 0,714 285 714 285 ... 7
In ki
Alle mogelijke resten bij deling door 7 zijn voorgekomen in de staartdeling! Rest 5 herhaalt zich, zodat in het quotiënt ook de periode zich herhaalt. De periode (714 285) heeft in dit voorbeeld een lengte van 6 cijfers.
Begrenzen Bepaal met je rekenmachine de decimale schrijfwijze van 5 ligt tussen de grenzen 0 7 tussen de grenzen 0,7
5 . 7
en 1
en dichter bij 1.
en 0,8
en dichter bij 0,7.
tussen de grenzen 0,71
en 0,72
en dichter bij
tussen de grenzen
en
en dichter bij HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
161
Afronden Vader laat zijn wagen voltanken. Er kan 32,24 liter benzine bij in de tank. Eén liter benzine kost 1,234 euro. Hoeveel moet vader volgens je rekenmachine betalen?
Werkwijze
Een decimale vorm of een decimaal getal afronden
aa r
Hoeveel zal vader aan de pomphouder betalen?
705,369
afgerond op een honderdste
:
afgerond op de eenheid
:
xe m
Voorbeeld:
pl
Om een decimale vorm af te ronden, kijk je naar het cijfer rechts van de plaats waar je wilt afronden: • als het volgende cijfer kleiner is dan 5, behoud het vorige cijfer; • als het volgende cijfer groter is dan of gelijk aan 5, verhoog het vorige cijfer met 1.
afgerond op een tiental
:
afgerond op een honderdtal
:
Van decimale schrijfwijze naar breuk
jk e
Als je een decimaal getal wilt omzetten naar een breuk, dan ga je als volgt te werk: • in de teller noteer je het getal zonder komma; • in de noemer noteer je 1, 10, 100, 1 000 ... met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn; • vereenvoudig als het kan. 15,2 =
0,4 =
0,29 =
4,508 =
In ki
1
76 152 = 10 5
2 3
REKENMACHINE
Zet het getal 3,52 om naar een onechte breuk.
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Decimale vormen, kleiner dan 1, waarvan de periode onmiddellijk na de komma begint, kun je met de volgende werkwijze omzetten naar een onvereenvoudigbare breuk: • in de teller zet je de periode; • in de noemer zet je 9, 99, 999 ... met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn; • vereenvoudig als het kan. Voorbeeld: 0,212 1... =
13
162
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
7 21 = 99 33
Oefeningen REEKS A
28
5 8
=
c)
7 5
=
e)
13 = 9
b)
12 = 20
d)
8 = 11
f)
19 = 4
Begrens op twee cijfers na de komma. a)
1 8
ligt tussen
en
b)
2 3
ligt tussen
en
c)
13 ligt tussen 1 000
en dichter bij
en dichter bij
en
en dichter bij
Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. d) 0,03 =
jk e
a) 8,7 =
b) 1,5
=
e) 5,9
In ki
c) 1,07 =
29
aa r
a)
pl
27
Zet om naar de decimale schrijfwijze.
xe m
26
g) 0,05 =
=
h) 6,6
=
f) 6,8 =
i) 2,3
=
Rond de volgende getallen af.
opgave
afronden op de eenheid
afronden op een tiende
opgave
a) 25,14
d) 33,687
b) 358,217
e) 1,259
c) 0,02
f) 90,909
afronden op de eenheid
afronden op een honderdste
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
163
REEKS B
1 5
6 7
7 1
5 3
11 5
0 23
25 11
... natuurlijk getal.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
... decimaal getal.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
... decimale vorm.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
18 108 7 b) 4 0 c) 4 8 d) 9
a)
R
32
aa r
Noteer de volgende breuken decimaal. Vink daarna de juiste uitspraak aan. natuurlijk getal
decimaal getal
decimale vorm
=
❒
❒
❒
=
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
pl
31
Zet een vinkje als de uitspraak waar is. Als je deze breuken omzet naar de decimale schrijfwijze, dan verkrijg je een ...
❒
= =
xe m
30
❒
Zet de volgende getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk. d) 0,28 =
jk e
a) 8,88 =
g) 2,36 =
b) 3,45 =
e) 6,40 =
h) 0,56 =
c) 57,8 =
f) 12,6 =
i) 16,4 =
In ki
1
2 3
33
4
Zet om naar de decimale schrijfwijze.
a)
9 = 11
c)
49 = 15
e)
37 = 66
b)
38 = 111
d)
58 = 14
f)
58 = 22
5 6 7 8 9 10
34
Zet de volgende getallen om naar onvereenvoudigbare breuken. a) 3,456 =
c) 65,65 =
e) 7,856 =
b) 0,055 =
d) 12,054 =
f) 2,002 =
11 12 13
164
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
€
36
Bepaal de periode met behulp van je rekenmachine. a)
2 3
heeft als periode
e)
8 15
heeft als periode
b)
5 11
heeft als periode
f)
7 9
heeft als periode
c)
8 99
heeft als periode
g)
15 111
heeft als periode
d)
5 6
heeft als periode
h)
4 33
heeft als periode
Bereken de ontbrekende bedragen op het kasticket.
€
37
jk e
R
xe m
pl
€
aa r
35
Rond de volgende getallen af. afronden op de eenheid
In ki
opgave
afronden op een honderdste
opgave
a) 10,258
c) 456,159
b) 25,369
d) 183,640
afronden op een honderdtal
afronden op een tiental
REEKS C 38
Zet de volgende getallen om naar onvereenvoudigbare breuken. a) 0,66...
=
c) 0,646 4... =
e) 0,702 702... =
b) 0,565 6... =
d) 0,213 213... =
f) 0,818 1...
=
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
165
5.2
Bewerkingen met positieve rationale getallen
5.2.1 De optelling Decimale getalen
Breuken
Op het festival genoten zaterdag 8 037 toeschouwers van de opzwepende muziek. Zondag kwamen er 12 487 muziekliefhebbers opdagen. Hoeveel muziekfans mocht het festival verwelkomen?
Aya heeft een houten plint van 1,75 m en een van 2,32 m. Wat is de totale lengte van de plinten waarover Aya beschikt?
Mona en Karel bestellen één pizza. Mona eet één vierde van de pizza op. Haar vriend Karel verorbert twee vijfden. Welk deel van de pizza hebben ze samen opgegeten?
xe m
pl
aa r
Natuurlijke getallen
schatten
jk e
schatten
berekenen
berekenen
In ki
1
berekenen
werkwijze • Vereenvoudig als het kan. • Maak gelijknamig. • Tel de tellers op, behoud de noemer. • Vereenvoudig als het kan.
2
Benamingen
3
• De getallen die je optelt:
4
• Het resultaat van de optelling:
5 6
REKENMACHINE
7
Bereken 8
7 5 + = 12 8
9 10 11 12 13
166
Opmerking 0 heeft geen invloed op het resultaat.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Voorbeeld: 18,32 + 0 = 18,32 = 0 + 18,32
5.2.2 De aftrekking Decimale getallen
Breuken
Op de parkeerterreinen van de Heizel staan vandaag 8 007 wagens geparkeerd. Gisteren maakten 4 849 chauffeurs gebruik van de parking. Hoeveel wagens staan er vandaag meer geparkeerd dan gisteren?
Laïa geeft een pyjamafuif en koopt voor 36,35 euro aan verrassingspakjes. Febe organiseert ook een fuif. Ze heeft daarvoor 12,40 euro uitgegeven. Hoeveel minder heeft Febe uitgegeven?
schatten
schatten
19 van 24 een meter lang. Een andere 2 buis is van een meter lang. 3 Bereken het verschil in lengte tussen de twee buizen. Een koperen buis is
xe m
pl
aa r
Natuurlijke getallen
berekenen
berekenen
jk e
berekenen
werkwijze • Vereenvoudig als het kan. • Maak gelijknamig. • Trek de tellers af, behoud de noemer. • Vereenvoudig als het kan.
In ki
Benamingen
• De getallen die je aftrekt: • Het resultaat van de aftrekking:
REKENMACHINE
Bereken
17 5 − = 22 13
Opmerking Er is een verband tussen het optellen en het aftrekken. 8 − 2 = 6 omdat 8 = 2 + 6
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
167
Oefeningen REEKS A 39
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave
497 + 177
805 − 317
2 693 + 1 297
1 795 − 887
schatten
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 218,8 + 71,6
280
b) 583,23 – 309,68
250
c) 1 255,49 – 350,56
800
41
300
270
290
900
1 000
9 000
10 000
400
410
420
Simon heeft twee spaarrekeningen bij de bank: een van € 3 156,80 en een van € 764,50. Hij besluit het geld af te halen en alles op een nieuwe rekening te plaatsen die meer intrest oplevert. Hoeveel stort Simon op die nieuwe rekening?
jk e
€
8 000
xe m
d) 4 548,369 + 4 450,587 e) 788,88 – 390
290
pl
40
aa r
berekenen
Antwoordzin:
In ki
1
2
42
3 4
Een vrachtwagen is geladen met 6,5 ton stenen. Bij een klant wordt 3,7 ton afgeladen. Hoeveel ton blijft nog op de vrachtwagen liggen?
5 6 7
Antwoordzin:
8 9 10
43
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
11 12
a)
7 8 + = 5 5
13
168
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
b)
8 7 + = 15 15
c)
14 8 − = 12 12
d)
13 5 − = 14 14
7 2 − 8 5
=
e)
1 1 + 7 3
=
b)
7 5 + 12 8
=
f)
8 3 − 7 4
=
c)
7 1 − 10 5
=
g)
2 1 − 3 4
=
d)
5 6 + 8 7
=
h)
4 3 − 5 4
=
Bereken. a)
23 56 − = 3 36
REEKS B 46
Vul aan.
b)
a) De som van 23 en 68 is
21 7 − = 29 15
b) Het verschil van 82 en 25 is 82 en 25 noem je
Amin wil een iPod van 238 euro kopen. Hij heeft al 157 euro gespaard. Zijn oma geeft hem 40 euro extra. Hoeveel moet Amin nog sparen?
In ki
47
c)
jk e
23 en 68 noem je
€
17 38 + = 38 76
aa r
a)
pl
45
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
xe m
44
Antwoordzin:
48
Rangschik de cijfers 6, 8, 7 en 3 van groot naar klein en vorm zo een getal met vier cijfers. Rangschik daarna dezelfde vier cijfers van klein naar groot. Zo verkrijg je een nieuw getal. Wat is het verschil tussen beide getallen?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
169
49
De familie Decorte vertrekt op zomervakantie. Hun mobilhome heeft 51 064,2 km op de teller staan. De reisweg heen en terug bedraagt 3 256,3 km. Ter plaatse maken ze uitstappen voor een totaal van 897,5 km. Hoeveel km staat er op de teller als ze weer thuiskomen?
Antwoordzin:
Antwoordzin:
51
pl
aa r
Lars verzamelt postzegels. Hij heeft er 1 258. Joliska heeft 379 postzegels minder. Hoeveel postzegels hebben ze samen?
xe m
50
Zet in de uitkomsten de komma op de juiste plaats.
jk e
a) 79,227 + 190,653 = 2 6 9 8 8
b) 2 125,4 – 956,54 = 1 1 6 8 8 6
R
52
2
d) 11 111,111 – 2 222,222 = 8 8 8 8 8 8 9
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
In ki
1
c) 6 598,56 – 956,236 = 5 6 4 2 3 2 4
a)
2 1 + 14 3
=
e)
1 21 + 7 28
=
b)
2 21 − 3 42
=
f)
8 7 − 6 18
=
c)
12 2 + 16 5
=
g)
8 4 − 5 6
=
d)
7 8 − = 12 56
h)
12 1 − 36 4
=
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
170
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
53
Het leerlingenaantal van de vrije technische school van Wavergem zit in de lift. Dat kun je aflezen van dit lijndiagram. leerlingenaantal eerste graad 220
210 205 200 195 190 185 180 2009
2011
2013
aa r
aantal leerlingen
215
2015
2017
2019
pl
jaar
xe m
a) Hoeveel leerlingen waren er in 2011 ingeschreven? b) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2014? c) Wat was het leerlingenaantal in 2019?
jk e
d) Hoeveel leerlingen waren er in 2015 meer of minder dan in 2011? e) Hoeveel leerlingen telde de eerste graad in 2018 meer of minder dan in 2012?
In ki
f) Hoeveel leerlingen kreeg de eerste graad er in 10 jaar bij?
54
1 3 van een taart. Nabil eet van de taart. 8 4 Hoeveel blijft er over voor Tine? Jan eet
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
171
55
Lisa en haar ouders gaan met de fiets op vakantie. Van de totale afstand tot hun bestemming leggen 1 1 1 af, de tweede dag en de derde dag nog . ze de eerste dag 5 2 5 Welk deel van de weg moeten ze de vierde dag nog afleggen?
56
Een buschauffeur is vier dagen van dienst op lijn 43. Ze houdt nauwkeurig haar dagopbrengst in cash bij. Op maandag ontving ze € 168,50. Op dinsdag was dat € 19,25 minder. Op woensdag kreeg ze € 54,50 minder dan op dinsdag. Op donderdag was de opbrengst gelijk aan de som van de opbrengst van maandag en dinsdag. Hoeveel ontving de buschauffeur in totaal?
57
jk e
Antwoordzin:
xe m
pl
€
aa r
Antwoordzin:
Vul aan.
In ki
1
berekening
berekening
2 3
= 84
f)
2 − 5
=
1 10
b)
+ 27 = 213
g)
2 + 3
=
27 24
c)
− 98 = 1 206
h)
+
2 1 = 7 2
−
2 1 = 7 2
a) 116 −
4 5 6 7 8 9 10
d) 179 +
= 324
i)
e) 144 −
= 144
j)
11 12 13
172
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
1 + 2
=
3 6
59
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
63 52 + = 72 64
e)
143 64 − = 121 96
b)
52 18 − 20 45
=
f)
34 33 − = 51 99
c)
18 52 + 54 20
=
g)
78 28 − 52 77
d)
48 8 − 56 14
=
h)
14 15 + = 84 36
=
aa r
€
58
In de onderstaande tabel vind je de inkomsten van kruidenierszaak ‘Het Witte Loof’ tijdens een week in oktober.
pl
R
cash in euro
bancontact in euro
1 507,95
893,14
dinsdag
0
0
woensdag
1 298,30
517,12
donderdag
1 419,50
753,78
vrijdag
1 739,20
1 007,24
zaterdag
2 109,45
1 377,85
zondag
729,50
203,37
jk e
xe m
maandag
In ki
a) Hoe verklaar je de mindere opbrengst op zondag?
b) Waarom denk je dat dinsdag € 0 oplevert? c) Wat is de totale opbrengst in cash per week? d) Welke dag is een gouden dag voor ‘Het Witte Loof’? Hoeveel geld komt er dan binnen? e) Wat is het totaal aan inkomsten voor deze week?
f) Wat is het verschil tussen de cashinkomsten en de inkomsten met bancontact?
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
173
REEKS C 60
Vervolledig de tabel. 124
_
178
251
748
684
113
aa r
178
737
936
Vul bij de onderstaande cijferoefeningen de ontbrekende cijfers in. a)
4
+
1
9
7
7 −
5
7 7
2
7
3
4
Vervang de letter zodat je een ware uitspraak verkrijgt. 37 7 = 24 8
a =
f) f −
b) 16,4 + b = 25,75
b =
g) 375,12 + 653,278 = g
c) c – 65,56 = 157,639
c =
h)
d) 256,23 – d = 199,86
d =
i) 78,879 – i = 29,983
e =
j)
a) a + 27 = 63
In ki
1
2
b)
jk e
9
62
xe m
61
pl
299
f
=
g =
3 4 5
33 5 +h= 6 36
h =
6 7
i
=
j
=
8 9 10
e)
3 5 –e= 7 8
11 12 13
174
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
2 2 –j= 3 17
1
5.2.3 De volgorde van de bewerkingen Bereken 15 − (3 + 2) =
=
(15 − 3) + 2 =
=
15 − 3 + 2
=
=
Afspraak
Volgorde van de bewerkingen 1) Haakjes uitwerken 2) Optellen en aftrekken van links naar rechts
冉 冊
4 3 1 − − 5 4 2
= = =
jk e
=
xe m
a)
( ) ⫹, ⫺
pl
Voorbeelden
aa r
In de bovenstaande oefeningen komen dezelfde getallen en dezelfde bewerkingstekens voor. Toch verkrijg je door het gebruik van haakjes een ander resultaat. De volgorde waarin we de bewerkingen uitvoeren, is dus van belang.
b) (12,5 + 56,4) − (24,6 − 13,3) =
In ki
=
REKENMACHINE
Bereken 823,5 – (525,6 + 27,87) =
Bereken
冉 冊
2 6 1 + − = 3 7 4
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
175
Oefeningen REEKS A
64
Bereken. a) 5 + 18 − 3
c) (19 – 9) − 8
e) 12 – (8 – 3)
b) 18 + 7 – (23 – 5)
d) (17 – 9) – (8 – 2)
f) 12 – (6 + 3) + 9
Bereken. c)
d)
65
=
2 1 3 4 + + − 11 7 5 3
=
xe m
b) (67,4 + 138,2) – 96,73 =
€
冉 冊 冉 冊
3 7 5 + − 17 2 13
pl
a) 13,6 – (12,65 – 7,263) =
aa r
63
Kathleen krijgt van haar ma een briefje van 50 euro om boodschappen te doen. In de supermarkt betaalt ze 27,35 euro. Bij de bakker bedraagt de rekening 14,75 euro. Hoeveel moet Kathleen aan haar moeder teruggeven? Bereken op twee manieren. methode 2
jk e
methode 1
In ki
1
Antwoordzin:
2 3 4 5 6 7
REEKS B
R
66
Bereken.
a)
冉 冊
1 3 1 + − 2 5 4
8 9 10 11 12 13
176
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
b)
冉 冊
4 2 1 − − 3 3 4
c)
2 5 1 + − 7 28 4
67
De vader van Martine hield gedurende de laatste jaren de kilometerstand van zijn wagen nauwlettend in het oog. aantal kilometer per jaar 30 000
kilometer
25 000 20 000 15 000 10 000 5 000
2015
2016
aa r
0
2017 jaartal
2018
2019
pl
a) Bereken het totale aantal kilometer dat deze auto in vijf jaar tijd heeft afgelegd.
Zet, indien nodig, haakjes zodat een juiste uitspraak ontstaat. a) 100 – 5 + 55 = 40
d) 56 – 13 + 35 = 8
b) 45 – 7 + 12 = 50
e) 200 – 47 + 84 – 27 = 210
c) 640 – 480 + 60 = 100
f) 200 – 47 + 84 – 27 = 42
In ki
jk e
68
xe m
b) Wat is het verschil in kilometer tussen het totaal van de laatste twee jaar en het totaal van de eerste twee jaar? Schrijf in één uitdrukking en bereken.
REEKS C
€
69
Op het spaarboekje van Jorne staat € 549,85. Zijn oma stort € 60 voor zijn verjaardag. Daarna koopt Jorne twee computerspelletjes: het ene kost € 36,75 en het andere kost € 47,95. Hij koopt ook nog een nieuwe USB-stick van € 29,50. Hoeveel heeft Jorne uiteindelijk nog op zijn spaarrekening staan? Schrijf in één uitdrukking en bereken.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
177
5.2.4 De vermenigvuldiging Decimale getallen
Dit jaar gaan de leerlingen voor enkele dagen op studiereis naar Londen. De school rekent 198 euro per leerling aan. 53 leerlingen zullen zich laten overdonderen door de prachtige cultuurstad. Wat is de totale kostprijs van de schoolreis?
Nour wil haar kamer in een flashy nieuw kleurtje schilderen. Na heel wat meet- en rekenwerk weet Nour dat ze 7,5 liter verf nodig zal hebben. Eén liter verf kost 18,65 euro. Hoeveel zal Nour voor de verf moeten betalen?
schatten
In ki
1
jk e
berekenen
xe m
pl
aa r
Natuurlijke getallen
2 3
Benamingen
4
• De getallen die je vermenigvuldigt:
5
• Het resultaat van de vermenigvuldiging:
6 7 8
REKENMACHINE Bereken 12,23 ⴢ 36,059 =
9 10 11 12 13
178
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
schatten
berekenen
Breuken Het product van een natuurlijk getal met een breuk Een pizza wordt in zeven gelijke stukken verdeeld. Jan, Klaas en Korneel eten elk twee stukken. Welk deel van de pizza is er opgegeten? 3ⴢ
Het product van een natuurlijk getal met een breuk
aa r
Werkwijze
2 2 2 2 = + + 7 7 7 7 6 = 7 3ⴢ2 = 7
Om een natuurlijk getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer.
Voorbeelden 2 6 ⴢ 2 12 = = 5 5 5
3 = 7
xe m
Het product van twee breuken
b) 5 ⴢ
pl
a) 6 ⴢ
Een rijke Engelse graaf laat bij zijn dood een groot stuk grond na aan zijn trouwe personeel. Eén vijfde schenkt hij aan de butler, één vijfde aan de chauffeur en de overige drie vijfden aan de twee keukenmeiden.
butler
In ki Werkwijze
chauffeur
1 3 3 1ⴢ3 ⴢ = = 2 5 10 2 ⴢ 5
jk e
Welk deel ontvangt elke meid?
eerste meid
tweede meid
Het product van twee breuken Om het product van twee breuken te nemen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar.
Voorbeelden a)
4 7 4 ⴢ 7 28 ⴢ = = 5 3 5 ⴢ 3 15
b)
5 3 ⴢ = 6 10
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
179
Opmerking: kruiselings vereenvoudigen 1
1
2
2
\5 ⴢ 3/ = 1 5 3 ⴢ = 6 10 4 6/ ⴢ 10 \
b)
12 25 ⴢ = 35 24
c)
2 21 ⴢ 7 6
=
d)
7 ⴢ6 9
=
pl
12 3 ⴢ = 7 20
xe m
a)
aa r
Voorbeelden
Een breuk nemen van een getal Werkwijze
Een breuk nemen van een getal
jk e
Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.
2 van 24 wil zeggen: verdeel 24 in 3 gelijke delen en neem er 2 delen van. 3 Voorbeelden
In ki
1
2
a)
2 2 24 2 van 24 = ⴢ 24 = ⴢ = 3 3 3 1
b)
6 van 42 = 7
c)
5 2 van = 3 8
3 4 5 6 7 8 9 10
Opmerking Vermenigvuldigen met 1 heeft geen invloed op het resultaat.
11 12
Voorbeeld: 18,32 ⴢ 1 = 18,32 = 1 ⴢ 18,32
13
180
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A 70
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. 49 ⴢ 6
opgave
38 ⴢ 41
3,1 ⴢ 49
4,2 ⴢ 5,9
schatten
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 41 ⴢ 19
c) 52 ⴢ 19 d) 30 ⴢ 2,9
72
In ki b) 18,86 ⴢ 9,6
73
200
250
300
800
900
1 000
80
90
100
9 500
10 000
10 500
Bereken. Rond af op 0,01. a) 35,009 ⴢ 12,5 =
€
800
jk e
e) 98 ⴢ 103
700
xe m
b) 78 ⴢ 4
600
pl
71
aa r
berekenen
=
c) 607,946 ⴢ 0,07 = d) 803,15 ⴢ 57,62 =
Thuis wordt de stookolietank gevuld met 2 567 liter huisbrandolie voor de centrale verwarming. Eén liter huisbrandolie kost 0,697 euro. Hoeveel zal vader aan de stookolieleverancier moeten betalen?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
181
74
Noteer telkens het correcte aantal. a)
2 van de kleurpotloden 5
c)
3 van de pralines 4
pralines
7 van de sleutels 8
d)
1 van het aantal schoenen 6
xe m
pl
b)
aa r
kleurpotloden
schoenen
75
jk e
sleutels
Bereken. a)
In ki
1
1 van 66 is 2
b)
2
1 van 48 is 3
c)
4 van 65 is 5
e)
7 van 64 is 8
d)
5 van 56 is 7
f)
3 van 75 is 5
3 4 5 6
76
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
2 5 ⴢ 3 7
=
e)
3 ⴢ5 8
=
b)
8 7 ⴢ 9 5
=
f)
3 1 ⴢ 4 5
=
c)
6 5 ⴢ 7 7
=
g)
5 7 ⴢ 9 8
=
5 7
=
h) 6 ⴢ
4 5
=
7 8 9 10 11 12
d) 12 ⴢ
13
182
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
REEKS B
78
b) het aantal mensen
Tip: schat eerst de hoogte van de auto.
Tip: verdeel de foto in zes gelijke stukken.
Antwoord:
Antwoord:
aa r
a) de hoogte van het middelste gebouw
pl
€
Schat.
De sponsor van onze voetbalploeg heeft ons een nieuwe uitrusting beloofd. Bereken wat hij moet betalen voor 15 spelers. shirt
broek
kousen
sporttas
€ 16
€9
€ 18
In ki
jk e
€ 21
xe m
77
€
79
Antwoordzin:
Vissersclub ‘De Lustige Lijnvissers’ organiseert een tombola. Er worden 800 loten van 3 euro verkocht. De hoofdprijs is een volledige vissersuitrusting van 1 000 euro. Iedereen die een lot kocht, krijgt een sticker ter waarde van 1 euro. Hoeveel winst maakt de vissersclub?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
183
€
80
Voor een rockconcert worden er in voorverkoop 350 kaarten van 9 euro verkocht. Aan de kassa betalen 530 mensen de avond zelf 12 euro. Hoeveel is het totaal aan ontvangsten voor het concert?
Antwoordzin:
Om een nieuwe werkplaats te bouwen, gebruikt men 42 buizen van 5,4 m, 62 buizen van 3,75 m en 17 buizen van 7,9 m. De buizen kosten € 1,53 per meter. Bereken de totale kostprijs van de buizen.
aa r
81
pl
€
82
Bereken. a) 20 % van 80
is
20 ⴢ 80 = 100
is
jk e
b) 15 % van 160
xe m
Antwoordzin:
c) 40 % van 180
is
d) 80 % van 90
is
In ki
1
2 3
R
83
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
4 5
a)
8 7 ⴢ 3 4
=
e)
24 27 ⴢ = 9 8
b)
6 14 ⴢ 7 8
=
f)
22 3 ⴢ = 39 44
5 6
=
g)
36 57 ⴢ = 19 42
15 16 ⴢ = 25 24
h)
77 36 ⴢ = 81 42
6 7 8 9
c) 18 ⴢ
10 11 12
d)
13
184
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
85
Bereken. a)
2 van 108 9
is
c)
5 van 56 14
is
b)
7 van 96 8
is
d)
5 van 84 7
is
Hoeveel minuten is
2 van de helft van een uur? 3
aa r
84
pl
Antwoordzin:
Boer Jansens heeft kippen, varkens en koeien. Eén zesde van de dieren zijn kippen en twee vijfden zijn varkens. Hoeveel dieren heeft hij in totaal, als je weet dat hij 39 koeien bezit?
jk e
86
xe m
REEKS C
In ki
Antwoordzin:
87
Ilse kocht een taart. Op de verpakking staat dat die taart 1 567 kilocalorieën bevat. 1 1 1 van de taart en daarna nog . Ilse houdt het bij van de taart. Moeder eet eerst 7 5 4 Bereken het verschil in calorieën voor hen beiden. Rond het resultaat af op de eenheid.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
185
5.2.5 De deling Decimale getallen
Om extra geld in het laatje te krijgen, houdt de dansschool een pannenkoekenverkoop. De actie brengt in totaal 3 572 euro op. Hoeveel pakjes pannenkoeken werden er verkocht, als je weet dat één pakje 4 euro kost?
Liesbet koopt 3,5 m stof voor een nieuw kleedje. Ze betaalt 20,65 euro. Hoeveel kost de stof per meter?
schatten
schatten
pl
aa r
Natuurlijke getallen
berekenen
xe m
berekenen
jk e
Benamingen
• Het getal dat je deelt:
• Het getal waardoor je deelt:
• Het resultaat van een deling:
In ki
1
2
Opmerking
3
Er is een verband tussen vermenigvuldigen en delen.
4
28 : 4 = 7
5 6
omdat
28 = 4 ⴢ 7
Delen door nul 28 : 0 = ?
omdat
? ⴢ 0 = 28
7 8
Delen door 0 is onmogelijk!
9 10 11
REKENMACHINE Bereken 687,015 : 18,9 =
12 13
186
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Breuken Het omgekeerde van een breuk Definitie
Omgekeerde van een breuk Het omgekeerde van een breuk is de breuk die je verkrijgt door teller en noemer te verwisselen. Voorbeelden a) het omgekeerde van
5 is 9
c) het omgekeerde van
b) het omgekeerde van
3 is 4
d) het omgekeerde van 7
1 is 5
aa r
is
Opmerking
Het product van een getal met zijn omgekeerde is gelijk aan 1.
1
1
3 11 3\ ⴢ 11/ 1 ⴢ = = =1 11 3 1 11/ ⴢ 3\ 1 1
b) 7 ⴢ
xe m
a)
pl
Voorbeelden
=1
Breuken delen
Delen door een breuk betekent hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. 7 8 ⴢ =1 8 7
Als je een breuk deelt door zichzelf, is het quotiënt 1.
Als je een breuk vermenigvuldigt met zijn omgekeerde, is het product 1.
In ki
jk e
7 7 : =1 8 8
Werkwijze
dus 7 7 7 8 : = ⴢ 8 8 8 7
Een breuk delen door een breuk Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
Voorbeelden a)
5 7 : 9 8
b)
12 6 : = 7 49
=
c) 5 :
d)
15 = 8
14 :7 = 5
Onthoud: kruiselings vereenvoudigen kan enkel bij de vermenigvuldiging.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
187
Oefeningen REEKS A 88
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening. opgave
531 : 9
2 232 : 31
355,8 : 6
440,34 : 3
schatten
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de gegeven oefening benadert. a) 418 : 20 b) 3 549 : 40 c) 731,28 : 8
90
b)
80
90
100
90
100
110
40
50
60
d)
3 :5 = 4
8 7 : = 9 5
e)
5 7 : = 9 8
5 = 7
f)
2 7 : = 3 5
4
c) 8 :
5
27
2 5 : = 3 7
In ki
2 3
21
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
1
15
jk e
d) 2 506,9 : 40
xe m
89
pl
aa r
berekenen
6 7
REEKS B
8 9 10 11
91
Vul aan. a) 23 â´¢ 6 = 138 23 en 6 noem je 138 is
12
34 noem je 68 is
13
188
b) 68 : 2 = 34 2 noem je
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
€
92
Bereken telkens de prijs voor één artikel.
s esje 12 fl 9,60 € r o o v
vier kopjes voor € 10,40
93
Eén flesje kost
euro.
Lien wil een muziekinstallatie van 338 euro kopen. Ze heeft al 294 euro gespaard. Elke maand kan ze 4 euro opzijleggen. Hoeveel maanden moet Lien nog wachten om de muziekinstallatie van haar dromen te kunnen kopen?
xe m
pl
€
euro.
aa r
Eén kopje kost
Antwoordzin:
94
Bereken. Rond af op 0,01. =
jk e
a) 5 567 : 4,6 b) 78,89 : 43,72
=
d) 0,035 : 0,005 7 =
Een fruitboer wil 987 fruitbomen planten. Ze moeten in rijen van 36 staan. a) Hoeveel volledige rijen van 36 bomen kan de boer planten? b) Hoeveel bomen komt de boer te kort om een rij meer te kunnen planten?
In ki
95
=
c) 4,259 : 5,678
Antwoordzin: a) b)
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
189
Bereken deze vermenigvuldigingen en delingen. a) 2 510 ⴢ 10
=
g) 2 510 ⴢ 0,1
=
b) 23,7 ⴢ 100
=
h) 23,7 ⴢ 0,01
=
c) 0,52 ⴢ 1 000 =
i) 0,52 ⴢ 0,001 =
d) 2 510 : 10
=
j) 2 510 : 0,1
=
e) 23,7 : 100
=
k) 23,7 : 0,01
=
aa r
96
f) 0,52 : 1 000 =
Stefanie en Ellen vergelijken het verbruik van hun auto. Stefanie kan met een tankbeurt van 36 liter 264 km rijden. Ellen kan 282 km rijden met een tank van 40 liter. Wie rijdt het voordeligst?
pl
97
jk e
xe m
€
l) 0,52 : 0,001 =
Antwoordzin:
In ki
1
2 3
R
98
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
7 14 : 8 24
=
e)
75 50 : = 35 28
b)
90 30 : = 60 45
f)
12 45 : = 15 30
c)
4 16 : = 13 39
g)
48 :4 3
12 16
h)
36 24 : = 85 17
4 5 6 7 8 9
=
10 11
d) 12 :
=
12 13
190
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
€
99
500 euro wordt verdeeld onder vier personen. Niels krijgt een vierde. Eva ontvangt een derde van wat er nog rest. Sarah en Youssef verdelen wat overblijft in twee gelijke delen. Hoeveel krijgen ze elk?
Antwoordzin:
100
Toen oom Tom vorig jaar won met de lotto, kregen zijn broer en zus elk een vijfde van zijn winst. Hij hield 4 500 euro voor zichzelf. Hoeveel won oom Tom?
aa r
€
Een boom groeit elk jaar één meter. Jaarlijks wordt de boom voor een vijfde gesnoeid. Na de eerste snoeibeurt is de boom 1,5 m hoog. Hoe hoog zal de boom zijn na de vijfde snoeibeurt?
In ki
jk e
101
xe m
REEKS C
pl
Antwoordzin:
Antwoordzin:
102
Met welke breuk moet je
3 9 7 vermenigvuldigen om het quotiënt van en te verkrijgen? 8 14 28
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
191
5.2.6 Volgorde van de bewerkingen Bereken (20 – 8) ⴢ 2 =
=
20 – (8 ⴢ 2) =
=
20 – 8 ⴢ 2
=
=
Het is duidelijk dat er weer enkele afspraken nodig zijn.
Volgorde van de bewerkingen ( ), [ ]
1) Bewerkingen tussen haakjes 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
Voorbeelden a) 2 ⴢ 6 + 3 ⴢ 5
=
b) 2 ⴢ (6 + 3) ⴢ 5
⫹, ⫺
xe m
=
ⴢ, :
pl
3) Optellen en aftrekken van links naar rechts
aa r
Afspraak
=
=
c) 18 : [(17 + 4) : 7] =
jk e
= =
Opmerking
In ki
1
2
Als er in de teller (of in de noemer) van een breuk meerdere bewerkingen voorkomen, dan moet je ze beschouwen als bewerkingen die tussen haakjes staan.
3 4 5
(2 ⴢ 3 + 8) 2ⴢ3+8 = = 2 ⴢ (4 + 3) 关2 ⴢ (4 + 3)兴
6 7
REKENMACHINE
8 9
Bereken 251,3 ⴢ (562,3 − 69,8) =
10 11 12 13
192
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A Bereken. h) 2 ⴢ 3 + 5
o) 100 : (20 ⴢ 5)
b) 24 : 4 + 4
i) 2 ⴢ (3 + 5)
p) 2 ⴢ 3 ⴢ (18 : 9)
c) 40 – 3 ⴢ 8
j) (12 – 3) ⴢ 3
aa r
a) 12 – 6 : 3
q) 10 ⴢ (2,5 + 3,7)
d) 7 ⴢ 2 − 4
k) 4 ⴢ (5 + 3 + 8)
r) (0,2 + 0,8) ⴢ (0,5 + 1)
l) 40 : (24 – 14)
s) 36 : 2 – 18 : 3
jk e
e) 18 : 6 − 3
xe m
pl
103
In ki
f) 8 + 5 ⴢ 4
g) 6 −
1 3 ⴢ 2 4
m) 100 : 20 ⴢ 5
n)
冉5 − 31 冊 ⴢ 27
=
t) 18,9 – 37 : 10
u) 6 ⴢ
冉 冊 1 1 − 2 6
14 ⴢ 2 3 ⴢ 7
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
193
REEKS B
€
R
104
105
Voor haar verjaardag mag Karen met drie vriendinnen naar de bioscoop gaan. De tickets kosten € 7 per stuk. Ze koopt voor elk nog een cola (€ 2) en wat popcorn (€ 1,50). Hoeveel moet Karen betalen? Vink de goede antwoorden aan. ❐ 4 ⴢ 7 + 2 + 1,50
❐ 7 + 2 + 1,50 ⴢ 4
❐ 4 ⴢ 7 + 4 ⴢ 2 + 4 ⴢ 1,50
❐ (7 + 2 + 1,50) ⴢ 4
❐ 4 ⴢ (7 + 2 + 1,50)
❐ 7 + (2 + 1,50) ⴢ 4
Bereken. e) 20 – 5 ⴢ 3 + 6
pl
aa r
a) 9 ⴢ (12 – 9) : 3
g) 20 ⴢ 5 ⴢ (8 : 2) + 200 ⴢ 3
jk e
c) 5 ⴢ 2 + 27 : 3
f) 4 ⴢ 6 : 3 + 2 − 10
xe m
b) 2 + 3 ⴢ 12 : 4
In ki
1
h) 6 ⴢ (8 : 2 + 4)
d) [3 + (4 − 2)] ⴢ (6 + 2)
2 3 4 5 6 7 8 9
106
Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma. a) (32,93 – 18,9) ⴢ (207,38 + 15,36)
=
b) 32,93 + 18,9 ⴢ (207,38 + 15,36)
=
c) (32,93 − 18,9) ⴢ 207,38 + 15,36
=
10 11 12 13
194
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
R
107
Bereken. a) 4 ⴢ 12,5 + 2 ⴢ (6 : 0,2)
冉 冊
2 1 2 3 − ⴢ ⴢ 3 4 3 16
d)
冉 冊冉 冊 4 1 9 7 + − : 3 2 2 3
108
Bereken. 25 : 5 ⴢ 7 1 + 35 ⴢ 10 : 2 2
b)
38 + 2 ⴢ 8 2 ⴢ (5 + 4)
c)
48 − 3 ⴢ 8 1 − (18 − 9) ⴢ 6 6
In ki
jk e
a)
xe m
pl
aa r
b)
c) (2,3 + 6,4 – 5,6) ⴢ 2
REEKS C
109
Plaats voor, achter of tussen de getallen + , − , ⴢ of : om de berekening te laten kloppen. Plaats enkel haakjes waar nodig. a)
2
3
6
4
=
10
b)
5
7
2
6
=
1
c)
6
6
6
6
6
d)
5
5
5
5
5
6 =
=
31
31
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
195
5.2.7 Machten Decimale getallen
Tijdens de vakantie poetst Tim quads om een centje bij te verdienen. Maandag poetst hij twee quads. Het gaat steeds beter en sneller: elke dag verdubbelt het aantal quads dat hij kan poetsen. Hoeveel quads poetst hij op vrijdag?
Boer Teun moet zijn vierkante weide opmeten. Hij bepaalt nauwkeurig de zijde en meet 48,5 m. De oppervlakte van de weide bereken je door de zijde te vermenigvuldigen met zichzelf. Hoeveel vierkante meter bedraagt de oppervlakte van de weide?
aa r
Natuurlijke getallen
48,5 ⴢ 48,5 = 2 352,25
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎭
2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 = 32 5 factoren
2 factoren
pl
kun je kort schrijven als 2 = 32 5
2
2 lees je als twee tot de vijfde (macht)
xe m
48,5 lees je als 48,5 tot de tweede (macht) of 48,5 kwadraat
Nog enkele voorbeelden:
Nog enkele voorbeelden: 3
=
2
=
4 =4ⴢ4ⴢ4 3 =
3
=
=
0,2 =
=
1,5
4
jk e
Benamingen
2
kun je kort schrijven als 48,5 = 2 352,25
5
6 3 = 216
6 noem je het grondtal 3 noem je de exponent 216 noem je de macht
Bijzondere machten
→
3
→
2
→
3
2
2
→
→
→
2
→
1
→
→
4 5
Voorbeeld:
17
De nulde macht van een getal is
Voorbeeld:
28 =
7 8
Opmerking
9
0 0 is niet te berekenen, want: 0 3 = 0
30 = 1
10
02 = 0
20 = 1
01 = 0
10 = 1
11
? 0
12 13
196
1
De eerste macht van een getal is
6
0 =0 0
?
≠
0
0 =1
Je verkrijgt een tegenspraak, dus 0 is niet te berekenen. HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
2
0
=
4
=
2
=
→
=
2
5
=
2
=
In ki
1
= 0
REKENMACHINE 3
1) Bereken 67 =
2
2) Bereken 34,25 =
Breuken
b)
冉冊 2 5
=
3 3 ⴢ 4 4
=
9 16
=
32 42
aa r
冉冊
2
3 4
3
=
=
=
Een breuk tot een macht verheffen
Opmerking
xe m
Om een breuk tot een macht te verheffen,
pl
Werkwijze
a)
Als je een breuk tot een macht wilt verheffen, moet je de volledige breuk tussen haakjes zetten en de exponent erbuiten plaatsen. Als je geen haakjes gebruikt, slaat de exponent enkel op de teller van de breuk.
a)
jk e
Voorbeelden
冉冊 7 8
2
=
7 2 49 = 8 2 64
b)
7 2 49 = 8 8
In ki
Volgens een oud verhaal wilde de Indiase koning Shirham de uitvinder van het schaakbord, Sissa ben Dahir, rijkelijk belonen voor zijn uitzonderlijke prestatie. Toen de koning hem vroeg welke beloning hij voor zijn uitvinding zou wensen, antwoordde de slimme Sissa: ‘Majesteit, geef me één graankorrel om op het eerste vakje te leggen, twee om op het tweede vakje te leggen, vier om op het derde vakje te leggen, acht om op het vierde vakje te leggen, en laat mij zo, o koning, elk van de vierenzestig vakjes van het schaakbord bedekken.’ De koning was verbaasd over zo’n bescheiden verzoek, niet meer dan een handvol graan voor zo’n geweldige uitvinding! Stomverbaasd was hij toen de hofgeleerden hun berekeningen voorlegden ... 0 Op het eerste vakje ligt 1 korrel of 2 , 1 op het tweede vakje liggen 2 korrels of 2 , 2 op het derde vakje liggen 4 korrels of 2 , 3 op het vierde vakje liggen 8 korrels of 2 enzovoort. 63 Op het 64e en laatste vakje zouden dus 2 of 9 223 372 036 854 775 808 graankorrels moeten liggen. Voor alle 64 vakjes samen komt dat op een totaal van 18 446 744 073 709 551 615 graankorrels. Koning Shirham liet de dolgelukkige Sissa ben Dahir dan maar trouwen met zijn dochter, de prinses. En ze leefden nog lang en gelukkig ...
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
197
Oefeningen REEKS A Bereken telkens het kwadraat.
b) 1
2
=
f) 5
2
=
k) 10
=
g) 6
2
=
l) 11
2
=
m) 12
2
=
n) 13
2
=
c) 2
2
=
h) 7
d) 3
2
=
i) 8
2
=
e) 4
2
=
j) 9
2
=
Bereken. a) 0,6
2
=
c) 2,5
b) 0,2
2
=
d) 1,3
REEKS B Bereken. a) 48
0
b) 26
1
=
f) 0
jk e
112
c) 5
4
5
8
=
g) 1
=
h) 10
In ki
1
2
3
3
2
=
2
=
o) 14
2
=
pl
111
2
aa r
a) 0
3
=
5
=
=
e) 5,2
=
f) 0,1
=
k) 10
=
l) 456
=
m) 4
xe m
110
d) 2
3
=
i) 3
3
=
n) 1
e) 3
4
=
j) 2
4
=
o) 5
3
5
= 1
= =
4
=
3
=
2 3 4 5 6 7
113
Twee judoploegen van telkens zeven judokaâ&#x20AC;&#x2122;s moeten elkaar bekampen tijdens een toernooi. Hoeveel kampen moeten er plaatsvinden als elke judoka van de ene ploeg tegen elke judoka van de andere ploeg moet uitkomen? Noteer je berekening.
8 9 10 11 12
Antwoordzin:
13
198
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
Bereken. a) b)
c)
=
d)
3
冉冊 冉冊 1 5
7 9
冉冊 冉冊
3
=
e)
=
f)
1 2
2
2 5
5
= 2
=
Bereken links, bereken rechts. Vul in met <, > of =. a)
2
3
3
b)
8
0
0
c)
0,01
2
2
6
冉冊 1 10
b)
冉冊 冉冊 2 8
8 14
3
= 2
=
d)
27
1
3
3
e)
4
2
2
4
3
f)
Bereken. a)
c)
d)
冉冊 4 6
4
82 4
冉冊 1 5
2
0,5
=
=
e)
62 18
f)
冉冊 6 18
2
= 2
=
Bereken. Antwoord telkens met een getal en in woorden. a) 10 0
=
b) 10 1
= 10
= tien
c) 10 3
=
=
In ki
jk e
117
=
aa r
116
2 3
2
pl
115
冉冊 冉冊 3 4
xe m
114
=
d) 10 6
=
=
e) 10 9
=
=
f) 10 12
=
=
REEKS C 118
Zoek een natuurlijk getal dat tussen 0 en 10 ligt en waarvan het dubbel de helft is van zijn kwadraat.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
199
5.2.8 Vierkantswortels Decimale getallen
Axel houdt van kampen bouwen. Samen met enkele vrienden wil hij een vierkant kamp maken. 2 Het moet een oppervlakte hebben van 16 m . Hoe groot moet de zijde van het kamp zijn om die oppervlakte te verkrijgen?
Vader wil een nieuwe douchecabine installeren. De vierkante douchebak heeft een oppervlakte 2 van 0,64 m . Hoeveel meter bedraagt de zijde van de douchebak?
冪16 = 4
omdat 16 = 4
pl
aa r
Natuurlijke getallen
冪0,64 = 0,8
2
xe m
冪16 lees je als
omdat 0,64 = 0,8 冪0,64 lees je als
de vierkantswortel van 16
de vierkantswortel van 0,64
Nog enkele voorbeelden:
Nog enkele voorbeelden:
冪81 =
omdat 81 =
冪0,25 =
omdat 0,25 =
omdat 36 =
冪1,21
omdat 1,21 =
=
jk e
冪36 =
Benamingen 冪16 = 4
16 noem je het grondtal
冪 noem je het wortelteken
4 noem je de vierkantswortel
In ki
1
2
Bijzondere vierkantswortels
3
冪1 =
omdat 1 =
4 5
REKENMACHINE
6 7
Bereken 冪3 136 =
8 9 10
Bereken 冪349,69 =
11 12 13
200
2
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
en
冪0 =
omdat 0 =
Breuken
冑
9 3 = omdat 16 4
Werkwijze
冉冊 3 4
2
=
9 . 16
Dat is hetzelfde als
冑
9 冪9 3 = = . 16 冪16 4
Vierkantswortel van een breuk Om de vierkantswortel van een breuk te nemen,
a)
冑
b)
冑
c)
冑
aa r
Voorbeelden 49 = 64
pl
36 = 100
xe m
27 = 12
Opmerking
Als je de vierkantswortel van een breuk wilt nemen, moet je de volledige breuk onder het wortelteken zetten. Als je dat niet doet, slaat het wortelteken enkel op de teller van de breuk. Voorbeelden
冑
16 冪16 4 = = 25 冪25 5
jk e
a)
b)
冪16
25
=
4 25
REKENMACHINE
冑
169 = 64
In ki
Bereken
Bereken
冪169
64
=
Het symbool 冪 komt voor het eerst voor in 1525 in het wiskundeboek ‘Die Coss’ van Christoff Rudolff. Volgens sommige geschiedkundigen heeft Rudolff het symbool 冪 aangenomen als wortelteken omdat het op de letter r gelijkt, de eerste letter van het Latijnse woord ‘radix’, dat ‘wortel’ betekent.
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
201
Oefeningen REEKS A
a) 冪81
=
d) 冪0
=
g) 冪100 =
b) 冪64
=
e) 冪144 =
h) 冪49 =
c) 冪9
=
f) 冪36 =
i) 冪4
Bereken. a) 冪134 689
=
c)
b) 冪2 992,09 =
Bereken.
a)
b)
=
冑
=
4 25
81 64
In ki
1
冑
d)
2
122
a)
5 6 7
b)
8 9 10
c)
冑 冑
144 = 169
63 7
d)
冑
d)
=
e)
147 = 3
f)
11 12 13
202
1 296 = 5 184
冪1 024
16
=
冑
=
e)
冑
冑
=
f)
冑
=
g)
=
h)
=
i)
16 49 16 81
49 = 100 36 = 121
Bereken.
3 4
c)
jk e
121
冑
xe m
REEKS B
=
aa r
120
Bereken.
pl
119
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
冪81
36 冪225
225 18 冪64
冪25
49
冑
0 8
冪121
11
=
=
=
5.2.9 Volgorde van de bewerkingen Ook machten en vierkantswortels krijgen hun plaats in de volgorde van de bewerkingen.
Afspraak
Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes
( ), []
2) Machten en vierkantswortels
a , 冪a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
ⴢ, :
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+, −
n
a) 2 + 3
aa r
Voorbeelden c) 2 3 : 冪16
3
=
=
=
pl
=
b) 2 ⴢ (3 2 + 4 ⴢ 2 0)
3 2 + 5 ⴢ (2 + 3) 22 − 4 : 2
xe m
d)
=
=
=
=
=
=
jk e
=
= =
Opmerking
In ki
Bij het vierkantswortelteken moet alles wat onder het wortelteken staat, eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat. 冪7 ⴢ 4 + 8
=
= =
REKENMACHINE Bereken 2 3 + ( 冪36 − 4) =
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
203
Oefeningen REEKS A Bereken.
2
b) 6 : 4
d)
2
2
+
2 3
h) 7 − 3
2
2
k) (27 : 9) 3
81 16
l) 3 ⴢ
jk e
Deze oefeningen zijn foutief opgelost. Duid de fouten aan. Bereken daarna op de correcte manier. fout
correct
a) 6 + 3 ⴢ 8 =9ⴢ8 = 72
6+3ⴢ8
b) 2 + 共3 + 4兲 2 = 2 + (3 + 16) = 2 + 19 = 21
2 + 共3 + 4兲 2
In ki
1
j) 冪26 − 1
冑
2
REEKS B 124
f) (2 + 5) 2
g) 25 : 5
冉冊 冉冊 1 2
i) 冪36 + 3
xe m
3
c) 2 − 2
e) 4 0 ⴢ 5 1
aa r
a) 2 2 ⴢ 5 2
= =
3 4 5 6
8 9 10 11
c) 12 + 7 2 ⴢ 3 − 6 = 12 + 14 ⴢ 3 − 6 = 26 ⴢ 3 − 6 = 78 – 6 = 72
12
=
2
12 + 7 ⴢ 3 − 6 = = = =
13
204
=
=
7
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
冑
pl
123
16 9
R
125
Bereken. a) 4 : 8 + 8
f) 6 2 + 7 ⴢ 冪4
b) 6 ⴢ (20 − 2 3)
g) (3 2 + 2 2) 2
aa r
2
h) 冪5 2 + 3 ⴢ 8
2
i) 冪2 ⴢ 3 + 5 ⴢ 6
jk e
d) (2 + 3 ⴢ 1) 3
xe m
pl
c) 4 : 2 ⴢ 4
In ki
e) (7 2 − 5) : 2
126
j) 2 4 : (2 3 : 4)
Bereken. Rond af op drie cijfers na de komma. a) (0,5) 2 + 0,23 ⴢ (0,97 + 1,6) =
d) 1,6 2 + 1,3 2 ⴢ (0,3 + 2 3)
=
b) (12,72 ⴢ 0,4) 2 − 0,22
=
e) (2,5 − 1,03) 2 + 16,337
=
=
f) 16 3 − (2,4 ⴢ 3 2)
=
3
c) 3,6 : 0,38 – 5,4
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
205
Bereken.
冑
b)
冉 冊 冉 冊
16 1 − 25 3
12 36
3
+
c)
5 1 − 9 3
d)
冉
冊
11 10 17 冪 − ⴢ 64 + 3 6 4
aa r
a)
冉 冑冊 4 − 3
1 4
2
128
Zoek tien verschillende bewerkingen met vier getallen. Gebruik in elke bewerking enkel het getal 4. Zorg ervoor dat de uitkomst telkens een ander getal van 0 tot en met 9 is. Het gebruik van haakjes is natuurlijk toegelaten. 0 =
(4 ⴢ 4) – (4 ⴢ 4)
In ki
1
jk e
REEKS C
xe m
pl
127
2
1
=
3
2 =
4
3 =
5 6
4 =
7
5 =
8
6 =
9
7
=
10 11
8 =
12
9 =
13
206
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.3
Rekentechnieken
5.3.1 Wisselen De optelling en de aftrekking Vul in met = of ≠.
0,7 + 2,5
1 1 + 2 3
1 1 + 3 2
a+b
b+a
3−4
aa r
2,5 + 0,7
4−3
2,5 − 0,7
0,7 − 2,5
1 1 − 2 3
1 1 − 3 2
pl
+
a−b
b−a
xe m
Besluit
+
Wisselen bij de optelling
Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. In symbolen:
jk e
De vermenigvuldiging en de deling
In ki
Vul in met = of ≠.
Besluit
8:2
2:8
4 ⴢ 0,5
0,5 ⴢ 4
0,1 : 10
10 : 0,1
3 1 ⴢ 4 2
1 3 ⴢ 2 4
3 1 : 4 2
1 3 : 2 4
aⴢb
bⴢa
a:b
b:a
Wisselen bij de vermenigvuldiging Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. In symbolen:
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
207
5.3.2 Schakelen Je leerkracht verdeelt de klas in drie groepen. Elke groep berekent de voor hen bestemde opgaven. groep 1
groep 3
(4 + 8) + 3 =
4 + (8 + 3) =
8–4–2 =
(8 – 4) – 2 =
8 – (4 – 2) =
6,2 ⴢ 5 ⴢ 2 =
(6,2 ⴢ 5) ⴢ 2 =
6,2 ⴢ (5 ⴢ 2) =
24 : 6 : 2 =
(24 : 6) : 2 =
Schakelen
aa r
4+8+3 =
24 : (6 : 2) =
pl
Besluit
groep 2
In symbolen:
Opmerking
xe m
Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen.
• 428 + 143 = 400 + 20 + 8 + 100 + 40 + 3 = (400 + 100) + (20 + 40) + (8 + 3) = 500 + 60 + 11 = 571
In ki
1
jk e
De eigenschappen ‘wisselen’ en ‘schakelen’ kun je handig gebruiken bij het hoofdrekenen.
2 3 4 5 6
• 25 ⴢ 24 = 25 ⴢ (4 ⴢ 6) = (25 ⴢ 4) ⴢ 6 = 100 ⴢ 6 = 600
7 8 9 10 11 12
• 16 + 35 + 14 = 16 + 14 + 35 = (16 + 14) + 35 = 30 + 35 = 65
13
208
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
5.3.3 Verdelen
campingweg
Op deze camping zijn de plaatsen netjes in twee groepen verdeeld, links en rechts van de campingweg.
2
aa r
+
3
4
manier 1
xe m
4 ⴢ (3 + 2) plaatsen = 4 ⴢ 5 plaatsen = 20 plaatsen
pl
Het aantal beschikbare plaatsen kun je op twee manieren berekenen.
manier 2
4 ⴢ 3 plaatsen + 4 ⴢ 2 plaatsen = 12 plaatsen + 8 plaatsen = 20 plaatsen
Je kunt dus besluiten dat 4 ⴢ (3 + 2) = 4 ⴢ 3 + 4 ⴢ 2. Die eigenschap heet verdelen.
Besluit
jk e
Op dezelfde manier kun je afleiden dat 4 ⴢ (3 − 2) = 4 ⴢ 3 − 4 ⴢ 2
Verdelen
In ki
De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). In symbolen: a ⴢ (b + c) = a ⴢ (b – c) =
Opmerking
Die eigenschap kun je handig gebruiken bij splitsen en verdelen bij hoofdrekenen. 17 ⴢ 12 = 17 ⴢ (10 + 2) = 17 ⴢ 10 + 17 ⴢ 2 = 170 + 34 = 204 25 ⴢ 19 =
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
209
Oefeningen REEKS A
schakelen
verdelen
a) 3 ⴢ 7 = 7 ⴢ 3
❒
❒
❒
b) 8 + (9 + 10) = (8 + 9) + 10
❒
❒
❒
c) 2 ⴢ (3 + 5) = 2 ⴢ 3 + 2 ⴢ 5
❒
❒
❒
d) (16 – 2) ⴢ 5 = 16 ⴢ 5 – 2 ⴢ 5
❒
❒
❒
e) 8 + 7 = 7 + 8
❒
❒
❒
f) 26 ⴢ 1 = 1 ⴢ 26
❒
❒
❒
g) (18 ⴢ 7) ⴢ 3 = 18 ⴢ (7 ⴢ 3)
❒
❒
❒
h) (6 + 5) ⴢ 7 = 6 ⴢ 7 + 5 ⴢ 7
❒
❒
❒
aa r
wisselen
pl
130
Vink de toegepaste eigenschap aan.
Gebruik de eigenschappen om de volgende oefeningen eenvoudig te berekenen. a) 2 ⴢ 7 ⴢ 5 b) 12 + 6 + 8 + 14 c) 13 ⴢ 7
=
= =
jk e
d) 19 ⴢ 8
=
xe m
129
REEKS B 131
In ki
1
Toon met de getallen 15 en 7 aan dat je bij een aftrekking niet mag wisselen.
2 3
132
Toon met de getallen 16, 8 en 4 aan dat je bij een aftrekking niet mag schakelen.
133
Bereken 16 ⴢ (5 + 3) op twee verschillende manieren.
4 5 6 7
manier 1
8
manier 2
9 10 11
134
Toon met de getallen 8, 7 en 5 aan dat je de vermenigvuldiging mag verdelen over de aftrekking.
12 13
210
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
136
Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen. a) 50 + 37 + 23
= 50 + (37 + 23) = 50 + 60 = 110
b) 27 + 38 + 23
=
c) 18 + 67 + 12 + 33
=
d) 37 + 25 + 43 + 15
=
e) 5 ⴢ 21 ⴢ 2
= 21 ⴢ 5 ⴢ 2 = 21 ⴢ (5 ⴢ 2) = 21 ⴢ 10 = 210
f) 25 ⴢ 6 ⴢ 4 ⴢ 2
=
g) 8 ⴢ 56 ⴢ 125
=
h) 4 ⴢ 2 ⴢ 6 ⴢ 125
=
Bereken door handig gebruik te maken van de eigenschappen.
b) 16 ⴢ 75 c) 32 ⴢ 125 ⴢ 2
=
=
=
jk e
d) 24 ⴢ 8 ⴢ 25
= 5 ⴢ 2 ⴢ 6 ⴢ 9 = 10 ⴢ 54 = 540
xe m
a) 5 ⴢ 12 ⴢ 9
Vink de toegepaste eigenschap aan.
wisselen
schakelen
verdelen
a) x + y = y + x
❒
❒
❒
b) m ⴢ (q ⴢ p) = (m ⴢ q) ⴢ p
❒
❒
❒
c) a ⴢ c + b ⴢ c = (a + b) ⴢ c
❒
❒
❒
d) r ⴢ (s – t) = r ⴢ s – r ⴢ t
❒
❒
❒
e) a ⴢ 7 = 7 ⴢ a
❒
❒
❒
In ki
137
R
138
aa r
135
pl
R
Bereken met de verdeeleigenschap. a) 5 ⴢ (10 + 7)
=
b) (80 – 3) ⴢ 6
=
c) 3 ⴢ (70 + 5)
=
d) (20 − 3) ⴢ 4
=
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
211
R
139
Los op door splitsen en verdelen. a) 42 ⴢ 9
= 42 ⴢ (10 – 1) = 420 – 42 = 378
b) 45 ⴢ 11
=
c) 8 ⴢ 98
=
d) 199 ⴢ 7
=
e) 127 ⴢ 8
=
141
Los op door splitsen en verdelen. = 17 ⴢ (3 − 0,01) =
b) 23 ⴢ 1,02
=
c) 32 ⴢ 3,98
=
d) 41 ⴢ 5,01
=
e) 27 ⴢ 3,03
=
xe m
pl
a) 17 ⴢ 2,99
jk e
140
Bereken met de verdeeleigenschap.
冉21 + 43 冊 = 2 3 b) 冉 + 冊 ⴢ 20 = 5 2 5 5 c) 12 ⴢ 冉 − 冊 = 4 6 7 d) 冉7 − 冊 ⴢ 9 = 3 a) 8 ⴢ
In ki
1
2 3 4 5
aa r
REEKS C
冉87 − 65 冊 ⴢ 48 = 2 5 f) 18 ⴢ 冉 + 冊 = 3 6 9 3 g) 冉 + 冊 ⴢ 56 = 14 4 6 2 h) 35 ⴢ 冉 − 冊 = 7 5 e)
6 7
142
Bereken met de verdeeleigenschap. De letters stellen positieve getallen voor.
8 9 10
a) 3 ⴢ (a + b)
=
d) (2f – 3) ⴢ 4
b) 6 ⴢ (k – 7)
=
e) 8 ⴢ (7a + 2b) =
c) (g + 13) ⴢ 5
=
f) (2x – 5y) ⴢ 9 =
=
11 12 13
212
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
STUDIEWIJZER Positieve rationale getallen voor de leerling
5.1 De positieve rationale getallen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Een positief rationaal getal is het resultaat van een deling van twee natuurlijke getallen, waarbij het tweede getal niet 0 is. Gelijknamige breuken zijn breuken met eenzelfde noemer.
KENNEN
pl
5.2 Bewerkingen met positieve rationale getallen
aa r
KUNNEN Breuken vereenvoudigen. Breuken gelijknamig maken. Procenten omzetten in onvereenvoudigbare breuken. Een breuk omzetten naar de decimale schrijfwijze. Een decimale schrijfwijze omzetten naar de breukvorm. Getallen passend afronden. De rekenmachine passend gebruiken.
xe m
De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes 2) Machten en vierkantswortels 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
( ), [ ] a n, 冪a ⴢ, : +, −
KUNNEN
jk e
De gepaste benamingen (som, termen, factoren ...) hanteren. Resultaten van bewerkingen schatten. Bewerkingen met natuurlijke, decimale getallen en breuken uitvoeren. Een rekenmachine passend gebruiken. De volgorde van de bewerkingen toepassen. Vraagstukken oplossen met behulp van de bewerkingen.
In ki
5.3 Rekentechnieken
KENNEN
Bij de optelling mag je de termen van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. a+b=b+a Bij de vermenigvuldiging mag je de factoren van plaats wisselen zonder dat het resultaat verandert. aⴢb=bⴢa Bij de optelling en de vermenigvuldiging mag je de haakjes van plaats veranderen zonder dat het resultaat verandert. Die eigenschap heet schakelen. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) = a ⴢ b ⴢ c De vermenigvuldiging mag je verdelen over de optelling (en de aftrekking). a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c
KUNNEN De eigenschappen wisselen, schakelen en verdelen gebruiken bij hoofdrekenen.
Pienter Rekenen HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
213
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig g
...
odig?
heeft hij dan n
aa r
xe m
len b) Hoeveel pa
pl
eide wer wil zijn w 1. Een landbou hij palen t oe rvoor m aa D . en n ei h om zelfde ij overal op de plaatsen die h kaar wil. afstand van el die hij ootste afstand a) Wat is de gr n ssen de pale ? kan nemen tu
2. Een tuin is rechthoekig en meet 30 m op Als ik met een 12 m. grasmaaier va n 30 cm maaibreedte w erk, hoeveel m eter moet ik da meer aďŹ&#x201A;eggen n dan wanneer ik met een grasmaaier va n 40 cm zou w erken?
42 m 18 m
24 m
66 m
jk e
In ki
1
ysteem ieuw kluisjess n n ee t er le al o l inst isjes voor 4. De schoo nummerde klu ge rd de o on h met zijn dicht. n. Alle kluisjes ge lin er le rd e spreken honde ingebruiknam n va g da te rs Op de ee lgende af: erlingen het vo de honderd le isjes openen. ling zal alle klu ud zijn De eerste leer die een veelvo s je is u kl de l De tweede za sluiten of wat n (wat open is le se is w om 2, van ). 3. In een ondo dicht is openen veelvoud zijn orzichtige doos uisjes die een kl le al l za zi e tt rd en vijf zwarte balle De de n en vijf witte len. Enzovoort. balleen n. van 3, omwisse eest zijn, a) Hoeveel ba gen langs gew llen moet ik er lin er le rd de blindelings uit Als alle hon en zijn? halen om min s zullen dan op je is u kl el st ve en n oe s twee ballen va h n dezelfde kleu r te hebben?
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b) Hoeveel ba llen moet ik er blindelings uit halen om min stens twee ballen va n een verschillende kleur te hebbe n?
12 13
214
HOOFDSTUK 5 I POSITIEVE RATIONALE GETALLEN
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
6.1
Camerastandpunten en aanzichten
6.2 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren Studiewijzer
aa r
6.3 Europese projectie
₂₁₆ ₂₂₄ ₂₃₄ ₂₃₉ ₂₄₀
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
215
6.1
Camerastandpunt en aanzichten Je fotografeert een beer vanuit verschillende camerastandpunten. Zo krijg je verschillende aanzichten van de beer.
1
Hiernaast zie je het bovenaanzicht van de beer.
2
6
3
aa r
5 4
camera
xe m
pl
Noteer bij elke foto hieronder het nummer van de camera waarmee de foto genomen is.
camera
camera
camera
camera
camera
De meest gebruikte aanzichten zijn het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht.
In ki
1
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
jk e
vooraanzicht
2 3 4 5 6
Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de blokkenstapeling. Houd rekening met de kleur van de blokken. De pijl duidt het vooraanzicht aan.
7 8 9 10 11 12 13
216
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
Oefeningen REEKS A 1
Noteer bij elk beeld het nummer van de camera waarmee het beeld is gemaakt.
a) 6
1
2
4
3
aa r
5
pl
camera
b)
camera
Vul in. Kies uit vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht.
In ki
2
jk e
camera
xe m
c)
a)
b)
c)
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
217
3
Duid van de blokkenstapeling het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan. vooraanzicht
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
pl
❒
aa r
bovenaanzicht
xe m
linkerzijaanzicht
4
Teken van elke blokkenstapeling het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. Houd rekening met de kleur van de blokken. a)
In ki
1
jk e
❒
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
2 3 4 5 6 7
b)
8 9 10 11 12 13
218
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
REEKS B Kobe neemt een foto van zijn vrienden. Duid de foto aan die door Kobe is genomen.
c) ❒
xe m
pl
a) ❒
aa r
5
b) ❒
jk e
Vink het juiste grondplan van het huis aan.
In ki
6
d) ❒
b) ❒
c) ❒
a) ❒
d) ❒
e) ❒
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
219
7
Je rijdt de wijk binnen via ingang A. Met welke ingang, 1 tot en met 9, op het grondplan komt ingang A overeen? 3
→
2
→
→
1
9→
→
4
→
5
7
A
→
→
→
8→
6
aa r
Ingang A komt overeen met ingang
Teken van elke blokkenstapeling het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. Houd rekening met de kleur van de blokken.
pl
8
op het grondplan.
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
b)
In ki
1
jk e
xe m
a)
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
vooraanzicht
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
2 3 4
c)
5 6 7 8 9 10 11 12 13
220
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
9
Welk huis hoort bij het gegeven vooraanzicht?
b) ❒
d) ❒
pl
Op het bovenaanzicht van de auto zijn een aantal onderdelen genummerd. Plaats die nummers bij het overeenkomstige onderdeel op de andere aanzichten van de auto.
1
xe m
10
c) ❒
aa r
a) ❒
2
8
jk e
7
3
6
4
In ki
5
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
221
11
Van een klein appartementsgebouw met vijf flats vind je hieronder de plattegronden. De gelijkvloerse en de eerste verdieping zijn identiek.
gelijkvloerse en eerste verdieping
L
tweede verdieping
M N
P
O
A
C
B
D Q
J I
E
aa r
leefruimte
R
K leefruimte
F
leefruimte
pl
S
schaal 1 : 200
xe m
H
schaal 1 : 200
In ki
1
jk e
a) Van welk appartementsgebouw zijn hierboven de grondplannen getekend?
2 3
❒
❒
❒
❒
4 5
b) Er moeten nog een aantal metingen gebeuren op het plan. op plan
6
in werkelijkheid
7 8 9
• De lengte van de keukenmuur [AB]:
=
mm
• De lengte van de slaapkamermuur [LM]:
=
mm
• De hoek C— D E van het dakgebinte:
=
º
10 11 12 13
222
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
12
Met welke toren op het grondplan komt de rode toren overeen?
2
3
6
1
7
5
4
10 8
9
11
De rode toren komt overeen met op het grondplan.
aa r
toren
13
pl
REEKS C
Schets het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van het nestkastje. linkerzijaanzicht
vooraanzicht
In ki
jk e
xe m
bovenaanzicht
14
Duid het juiste vooraanzicht aan van de blokkenstapeling waarvan het bovenaanzicht gegeven is.
bovenaanzicht
a) ❒
c) ❒
b) ❒
d) ❒
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
223
6.2
Vlakke voorstelling van ruimtefiguren
6.2.1 Inleiding Het is mogelijk om voorwerpen en figuren zodanig weer te geven in een plat vlak dat ze driedimensionaal lijken. Bij die weergave worden ruimte en diepte gesuggereerd.
aa r
Die vlakke voorstelling van ruimtefiguren noem je perspectief.
6.2.2 Soorten perspectief Eénvluchtpuntperspectief
P
pl
Bij éénvluchtpuntperspectief lopen alle vluchtlijnen naar een denkbeeldig punt (P).
xe m
Het voorvlak is naar de kijker gericht.
Isometrisch perspectief
jk e
In ki
1
Bij isometrisch perspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 30º ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je op ware grootte.
2 3
Een opstaande ribbe is naar de kijker gericht.
30°
30°
4 5
Cavalièreperspectief
6 7 8 9 10
Bij een cavalièreperspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 45º ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen worden getekend met een verkortingsfactor 0,5.
11
45°
Het voorvlak is naar de kijker gericht.
12 13
224
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
6.2.3 Het cavalièreperspectief wijkhoek (45°)
Bij een cavalièreperspectief bekijk je het lichaam recht op een zijvlak.
onzichtbare ribben in streepjeslijnen
Om diepte te suggereren, teken je de andere zichtbare vlakken onder een wijkhoek van 45º. De ribben van die vlakken teken je met verkortingsfactor 0,5. Gevolgen: • Evenwijdige lijnen stel je evenwijdig voor. • Evenwijdige lijnstukken die even lang zijn, stel je als even lange lijnstukken voor.
aa r
vluchtlijn met verkortingsfactor 0,5 ten opzichte van de werkelijke lengte
Afspraak:
Onzichtbare ribben stel je met streepjeslijnen voor. Voorbeeld
jk e
xe m
pl
Vul de voorstelling in cavalièreperspectief van een kubus met een ribbe van 4 cm aan. Het voorvlak van de kubus is al getekend.
In ki
Perspectief De eerste sporen van perspectief treffen we aan in de Griekse oudheid, rond 500 voor Christus. De Oude Grieken brengen dan al perspectieftekeningen op hun vazen aan. Ook de Romeinen beheersen de techniek van het perspectieftekenen. Maar met de ondergang van het Romeinse Rijk gaat de techniek een tijd verloren. Perspectief wordt als bedrieglijk omschreven. Pas in de renaissance (vijftiende eeuw) grijpen een aantal architecten terug naar het perspectieftekenen. De Italianen Filippo Brunelleschi (1377−1446) en Leon Battista Alberti (1407−1472) leggen de basis. Zij stellen een aantal regels voor perspectieftekenen op.
De term ‘cavalièreperspectief⬘ komt van het Franse ‘cavalier⬘. Bij militaire versterkingen is ‘cavalier⬘ een kunstmatige heuvel achter bouwwerken. De heuvel is hoger dan de bouwwerken, zodat men de vijand in aantocht kan zien. Het cavalièreperspectief is een voorstelling van hoe men de dingen ziet van op die heuvel.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
225
Oefeningen REEKS B In welk perspectief is de ruimtefiguur getekend? c)
b)
d)
e)
aa r
a)
f)
16
xe m
pl
15
Welke gele lijn is het langst op de foto? Bepaal je antwoord eerst zonder te meten. Controleer daarna het antwoord door meting. a) Welke lijn lijkt het langst?
jk e
2
1
In ki
1
❒ lijn 1
❒ lijn 2
b) Meten van de lijnen: • lijn 1:
mm
• lijn 2:
mm
2 3 4 5
17
Door even grote kubussen te stapelen, kun je de constructies verkrijgen. Hoeveel kubusjes worden gebruikt?
a)
b)
c)
aantal kubussen:
aantal kubussen:
aantal kubussen:
6 7 8 9 10 11 12 13
226
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
Bepaal de werkelijke lengte, breedte en hoogte van de balken, die in cavalièreperspectief getekend zijn. a)
mm
• breedte:
mm
• hoogte:
mm
• lengte:
mm
• breedte:
mm
• hoogte:
mm
pl
• lengte:
Het kastje is getekend in cavalièreperspectief op schaal 1 : 25. Bepaal de gevraagde afmetingen in werkelijkheid.
xe m
19
b)
aa r
18
a) hoogte van een poot van het kastje
c) hoogte van het kastje (met poten)
d) lengte van de lade
In ki
jk e
b) lengte van een poot van het kastje
20
Vervolledig de ruimtefiguren in cavalièreperspectief.
a)
b)
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
227
21
Maak een schets in cavalièreperspectief van de afgebeelde voorwerpen. afbeelding
voorbeeld
schets
aa r
a)
xe m
pl
b)
jk e
c)
In ki
1
REEKS C
2 3 4
22
Schets het cavalièreperspectief van de gegeven figuren.
a) een kubus
5 6 7 8 9 10 11 12 13
228
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
b) een balk
c) een balk die twee keer zo hoog als breed is
Schets het kastje in cavalièreperspectief.
24
Teken de ruimtefiguur in cavalièreperspectief.
b) balk met lengte 4 cm, breedte 3 cm en hoogte 2 cm
Bepaal het minimale en maximale aantal blokken dat mogelijk is in de stapeling.
In ki
25
jk e
xe m
pl
a) kubus met ribbe 3 cm
aa r
R
23
a)
b)
• minimaal aantal blokken:
• minimaal aantal blokken:
• maximaal aantal blokken:
• maximaal aantal blokken:
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
229
Een balkvormig appartementsgebouw heeft een hoogte van 40 m, een lengte van 24 m en een breedte van 20 m. Maak een voorstelling van de wolkenkrabber in cavalièreperspectief op schaal 1 : 1 000.
27
Schets een blokkenstapeling, waarvan de aanzichten gegeven zijn, in cavalièreperspectief.
In ki
1
jk e
vooraanzicht
xe m
pl
aa r
26
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
230
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
bovenaanzicht
linkerzijaanzicht
6.2.4 Ruimtecoördinaten Ook in de ruimte kun je een oorsprong bepalen om een assenstelsel op te bouwen.
h (cm)
48 b (cm)
30
Bij het serverkastje hiernaast kies je de oorsprong zodat je drie assen kunt bepalen die de lengte (l), de breedte (b) en de hoogte (h) van het kastje aanduiden. Bepaal de afmetingen van het serverkastje aan de hand van de gegevens op de figuur.
60
• lengte
=
• breedte
=
cm
• hoogte
=
cm
cm
aa r
l (cm)
pl
0
z
xe m
Met een 3D-assenstelsel kun je de coördinaat van een punt in de ruimte bepalen. Daarvoor gebruik je naast een x-as en een y-as ook een z-as.
A
jk e
1
1
y
O
1
In ki
x
Een coördinaat van een punt bestaat uit drie getallen: • Het eerste coördinaatgetal of de x-coördinaat wordt afgelezen op de x-as. • Het tweede coördinaatgetal of de y-coördinaat wordt afgelezen op de y-as. • Het derde coördinaatgetal of de z-coördinaat wordt afgelezen op de z-as.
Notatie: co (A) = (x, y, z) Bepaal de coördinaat van het punt A, dat getekend is in het assenstelsel hiernaast. co (A) = (
,
,
)
De techniek van coördinaten in de ruimte, ook wel 3D-coördinaten genoemd, wordt gebruikt bij neurochirurgie. Dat zijn operaties die op de hersenen worden uitgevoerd. Om moeilijk bereikbare plaatsen in de hersenen heel precies te kunnen aanduiden, maakt de chirurg een scan van de hersenen. Bij die scan wordt de positie aangegeven met coördinaten.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
231
Oefeningen REEKS B 28
Bepaal de coördinaat van de punten die in het assenstelsel getekend zijn. a)
b)
z
z
B
D
A
F
1
y
C
O 1
1
aa r
1
1
x
x
,
,
• co (B) = (
,
,
• co (C) = (
,
,
)
• co (D) = (
,
pl
• co (A) = (
,
)
)
• co (E) = (
,
,
)
)
• co (F) = (
,
,
)
xe m
29
O
y
E
1
Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van de ruimtefiguren. z
a)
z
b)
jk e
E
H
F
E H
F
G
G
1
1
O
In ki
1
A
1
B
2 3
x
1
D
4
1
y
O
x
D
C
A 1
B
y
C
5
• co (A) = (
,
,
)
• co (A) = (
,
,
)
6
• co (B) = (
,
,
)
• co (B) = (
,
,
)
7
• co (C) = (
,
,
)
• co (C) = (
,
,
)
8
• co (D) = (
,
,
)
• co (D) = (
,
,
)
9
• co (E) = (
,
,
)
• co (E) = (
,
,
)
10
• co (F) = (
,
,
)
• co (F) = (
,
,
)
11
• co (G) = (
,
,
)
• co (G) = (
,
,
)
12
• co (H) = (
,
,
)
• co (H) = (
,
,
)
13
232
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
30
Op de speelplaats staat een speleobox: een grote balk verdeeld in hokjes met gangen waar je in het donker de weg naar de uitgang moet zoeken. Je legt een weg af door de hokjes van de speleobox. Het punt vooraan, bovenaan rechts van elk hokje heeft een coördinaat. Bepaal de coördinaat van het punt vooraan, bovenaan rechts van elk van de omschreven hokjes. z
aa r
y
x
b) Je kruipt 1 hokje naar de achterzijde toe. c) Nu ga je 2 hokjes naar boven.
pl
a) Via de ingang kom je in het eerste hokje.
xe m
d) Je vervolgt je weg door 3 blokjes naar links te kruipen. e) Ten slotte kruip je nog 1 blokje naar voren toe.
REEKS C
Plaats de punten met de gegeven coördinaat in het assenstelsel.
jk e
31
b) • D (1, 6, 3) • E (0, 0, 5) • F (5, 4, 7)
In ki
a) • A (2, 5, 3) • B (6, 1, 7) • C (0, 6, 1)
z
1 1
x
O
z
1
y
1
1
O
y 1
x
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
233
6.3
Europese projectie Inleiding Een projectietekening is een tekening waarin je een driedimensionaal voorwerp weergeeft door verschillende aanzichten van dat voorwerp te tekenen. Bij de Europese projectie teken je het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht
ICT
vooraanzicht
linkerzijaanzicht
Een projectietekening bovenaanzicht
aa r
Om een projectietekening te maken, ga je als volgt te werk.
linkerzijaanzicht
xe m
pl
vooraanzicht
jk e
bovenaanzicht
Kleurafspraken
2
• vooraanzicht: geel • bovenaanzicht: rood • linkerzijaanzicht: blauw
In ki
1
3 4 5
Werkwijze
6
Stap 1
7 8
Stap 2 Je tekent de dragers van de zijden van het vooraanzicht als hulplijnen voor het boven- en linkerzijaanzicht.
9
Stap 3 Onder het vooraanzicht teken je het bovenaanzicht.
10 11 12
Je tekent het vooraanzicht.
Stap 4 Je tekent de dragers van de horizontale zijden van het bovenaanzicht als hulplijnen voor het linkerzijaanzicht. Vanaf het punt waar die dragers de schuine lijn van het sjabloon snijden, teken je een verticale hulplijn naar boven. Stap 5 Je tekent het linkerzijaanzicht naast het vooraanzicht.
13
234
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
Probeer nu zelf
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
Maak de projectietekening van de ruimtefiguur.
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
235
REEKS A 32
Slechts één projectietekening van de ruimtefiguur is juist. Duid de juiste projectietekening aan. b)
c)
xe m
pl
a)
aa r
❑
❑
❑
Duid de juiste Europese projectie van de ruimtefiguur aan.
jk e
33
b)
In ki
1
d)
2 3
❑
4
❑
5 6
a)
c)
e)
7 8 9 10 11 12
❑
13
236
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
❑
❑
REEKS B 34
Van welke ruimtefiguur is de Europese projectie getekend? b)
d)
❑
e)
❑
xe m
❑
❑
Teken het ontbrekende aanzicht. Vul de namen van de aanzichten in.
In ki
jk e
35
aa r
c)
pl
a)
❑
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
237
REEKS C 36
Maak een projectietekening van de ruimtefiguren. Gebruik de Europese projectie.
pl
aa r
a)
c)
In ki
1
jk e
xe m
b)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
238
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
STUDIEWIJZER Aanzichten en perspectieven voor de leerling
6.1 Camerastandpunten en aanzichten KUNNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van een 3D-object herkennen. Vlakke voorstellingen van ruimtelijke situaties interpreteren. Het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van een blokkenstapeling tekenen.
6.2 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren
aa r
KENNEN
−
+ −
+
xe m
Perspectief is een vlakke voorstelling van ruimtefiguren waarbij je ruimte en diepte suggereert. Soorten perspectief: éénvluchtpuntperspectief, isometrisch perspectief, cavalièreperspectief.
−
+ −
+
KUNNEN
−
+ −
+
KUNNEN
pl
Ruimtefiguren vanuit perspectieven onderscheiden. Soorten perspectieven onderscheiden. Perspectieven van ruimtefiguren interpreteren. Een kubus en een balk in cavalièreperspectief voorstellen. Punten in de ruimte door middel van ruimtecoördinaten bepalen.
6.3 Europese projectie
KENNEN
jk e
Een projectietekening is een tekening waarin je een driedimensionaal voorwerp weergeeft door verschillende aanzichten van dat voorwerp te tekenen. Kleurafspraken bij de Europese projectie: • vooraanzicht: geel, • bovenaanzicht: rood, • linkerzijaanzicht: blauw.
In ki
De Europese projectie van een ruimtefiguur herkennen. De Europese projectie van een ruimtefiguur tekenen.
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
239
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
B
C
D
E
F
G
H
I
J
‘sleutel’ het ge
heime woord.
K
N
M P
L
R
jk e
Q
O
3. Kraak de co de.
In ki
1
A
onderstaande
xe m
2. Ontdek met de
2
A
B
C
D
E
F
3
pl
aa r
oene, blauwe, drie gr ie dr , le ge ee en tw sloten zak zitt 1. In een afge ballen. te it acht w . vier zwarte en de zak nemen n lings balle uit de in jn dat je bl t oe m Je om zeker te zi en em n s en st moet je min Hoeveel ballen r hebt? n dezelfde kleu twee ballen va
T
S
U
V
X
W Z Y
de 6 liter water in 4. Davina giet . bovenste buis enveel rong gaat er ev Bij elke tweesp ide kanten. water naar be tten? zal vat B beva Hoeveel water
4 5 6 7 8 9 10 11
B·D=5 F+E=6
C+B=4 B+A=5
12 13
240
HOOFDSTUK 6 I AANZICHTEN EN PERSPECTIEVEN
F–C+B=4 A+E–B=3
A
B
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
7.1
Op onderzoek
7.2
Centrummaten:
₂₄₂
Studiewijzer
₂₄₈ ₂₅₇ ₂₅₈
aa r
gemiddelde, modus en mediaan
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter probemen oplossen
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
241
7.1
Op onderzoek
7.1.1 Wat is statistiek? Statistiek is de wetenschap die gegevens (data) verzamelt, voorstelt en interpreteert. Het doel is een beter inzicht krijgen in bepaalde verschijnselen. Voorbeeld
aa r
De spoorwegmaatschappij verzamelt gegevens over de treinreizigers: • Welke treinritten zijn druk en welke minder druk bevolkt? • Welke tickets of abonnementen worden het meest gebruikt? Zo kan de spoorwegmaatschappij de nodige maatregelen nemen om haar werking te verbeteren.
7.1.2 Gegevens verzamelen
Er zijn verschillende manieren om gegevens of data te verzamelen.
pl
Voorbeelden
xe m
• Aan de hand van een klantenkaart verzamelen warenhuizen gegevens over hun klanten. • Met een scanner tellen pretparken het dagelijkse aantal bezoekers van de nieuwe attractie. • In een onderzoek naar het koopgedrag tijdens de solden stelt men de koopjesjagers vragen. Zo’n vraagstelling noem je een enquête.
7.1.3 Numerieke en categorische data
Emma verzamelt gegevens over de hondjes Bobby, Rex en Lexy. Ze noteert de gegevens in een tabel.
jk e
aantal puppy’s
Bobby
3
Bobby
zwart
Rex
8
Rex
wit
Lexy
5
Lexy
bruin
In ki
1
kleur
2
lengte (cm)
3 4 5
gehoorzaamheid
Bobby
56
Bobby
goed
Rex
83
Rex
zeer goed
Lexy
34
Lexy
zwak
6 7 8
Bepaalde data, zoals lengte en aantal puppy’s, druk je uit met een getal. Dat zijn numerieke data. Geef nog twee voorbeelden van numerieke data.
9
•
•
10 11
Andere data, zoals kleur en gehoorzaamheid, druk je niet uit door middel van getallen. Dat noem je categorische data. Geef nog twee voorbeelden van categorische data.
12 13
242
• HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
•
7.1.4 Gegevens voorstellen ICT
In een klas doe je een onderzoek naar de schoenmaat van de leerlingen. Je noteert de resultaten in een tabel: klasnummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
schoenmaat
41
42
37
39
40
38
41
40
39
40
Frequentietabel
aantal leerlingen
37
1
38
1
39
2
40
3
41
2
xe m
pl
schoenmaat
aa r
Om de gegevens uit de tabel overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel. Je ordent de gegevens het best van klein naar groot.
42
1
In een frequentietabel zie je hoeveel keer elk gegeven voorkomt. Je noemt dat aantal keer de frequentie van het gegeven. Deze data kun je op verschillende manieren met een diagram voorstellen. Staafdiagram
jk e
Dotplot
In ki
aantal leerlingen
aantal leerlingen
4
37
38
39 40 schoenmaat
41
Lijndiagram
3 2 1 0
42
37
38
39 40 41 schoenmaat
42
Cirkeldiagram
aantal leerlingen
4 37 3
1 2
2
1 2
1 0
1
3 37
38
39 40 41 schoenmaat
42
38 39 40 41 42
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
243
Oefeningen REEKS A Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksvragen? numeriek
categorisch
a) Gooide je kruis of munt toen je het muntstuk opgooide?
❑
❑
b) In welke maand ben je geboren?
❑
❑
c) Wat is je massa?
❑
❑
d) Hoe tevreden ben je over je smartphone?
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
e) Hoeveel boterhammen eet je ’s morgens? f) Wat is jouw favoriete ploegsport? g) Wat is je leeftijd?
xe m
In ki
1
Een enquêtebureau vroeg aan 50 mensen welke internetbrowser ze het meest gebruiken. Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.
jk e
2
pl
h) Wat is de kleur van je ogen?
2 3 4 5 6
internetbrowser
Google Chrome
7 8 9 10
Microsoft Edge Mozilla Firefox Opera
11 12
Safari
13
244
aa r
1
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
aantal
REEKS B
ICT
3
Aan een groep kinderen vraag je in welke maand ze verjaren. januari
maart juni
augustus mei
juli
maart
maart
januari
mei
februari
augustus
december
juli
xe m
pl
aa r
a) Maak een frequentietabel met de antwoorden van de kinderen.
b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.
jk e
c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. d) In welke maand verjaren de meeste kinderen?
In ki
e) Hoeveel kinderen verjaren in de grote vakantie?
ICT
4
Onderzoek in de klas naar welk Europees land je klasgenoten het liefst op reis gaan. Kies uit de landen in de tabel. land
BelgiĂŤ
Duitsland
Frankrijk
ItaliĂŤ
Nederland
Spanje
aantal
a) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. b) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel. c) Naar welk land gaan de leerlingen het liefst op reis?
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
245
5
Welke diagrammen horen bij de tabellen? aantal B
A
B
D
C
A
3
A
2
C
B
A
A
A
D
B
3
B
7
C
D
D
B
A
B
C
5
C
2
C
C
D
D
C
A
D
1
D
1
aa r
A
diagram 1
diagram 4
5 4
5 4
2 1 0
A
B
C
D
8 7 6
3
2 1 0
2 1 0
A
B
C
D
A
diagram 5
jk e
In ki
5 4
3
diagram 2
2
diagram 7
pl
8 7 6
xe m
8 7 6
3
1
aantal
B
C
D
diagram 8
A
A
B
B
C
C
D
D A
3
B
C
D
4 5
diagram 3
diagram 6
diagram 9
6
8 7 6
8 7 6
9
5 4
5 4
10
3
3
2 1 0
2 1 0
7 8
11 12
A
B
13
246
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
ICT
6
Los zo veel mogelijk opgaven correct op binnen één minuut. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. Verwerk de bevindingen in een statistisch onderzoek. a) Los zo veel mogelijk opgaven op binnen de minuut. 2 2 : = 5 9
• het viervoud van 7 is
•
3 van 36 is 4 4 • 3ⴢ = 9 3 1 + = • 4 3
• Hoeveel procent is
• 4 ⴢ 7 ⴢ 25 =
• 24 =
•
3 ? 5
3 12 = 7 a
•
a=
Mijn score:
aa r
• 18 − 6 : 2 =
pl
10
xe m
b) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas.
c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. d) Maak een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. y
jk e 25
aantal leerlingen
In ki
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
score
6
7
8
9
x 10
e) Welke score werd het meest behaald? f) Hoeveel leerlingen behaalden juist de helft?
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
247
7.2
Centrummaten: gemiddelde, modus en mediaan Emma wil een indruk krijgen van haar eigen schoenmaat ten opzichte van de schoenmaten van haar medeleerlingen. Om een indruk te geven van het centrum van verzamelde gegevens, gebruik je centrummaten. De centrummaten die je daarvoor gebruikt, zijn gemiddelde, modus en mediaan.
7.2.1 Het gemiddelde Definitie
Het gemiddelde Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van die getallen gedeeld door hun aantal.
aa r
Symbool: x
In een klas doe je een onderzoek naar de schoenmaat van de leerlingen.
gemiddelde uit een frequentietabel schoenmaat
aantal leerlingen
37
1
38
1
39
2
40
3
41
2
42
1
klasnummer 1
2
xe m
pl
gemiddelde van een rij getallen
3
4
5
6
7
8
9
10
schoenmaat 41 42 37 39 40 38 41 40 39 40
41 + 42 + 37 + 39 + 40 + 38 + 41 + 40 + 39 + 40 10 x = 39,7
jk e
x=
10
1 ⴢ 37 + 1 ⴢ 38 + 2 ⴢ 39 + 3 ⴢ 40 + 2 ⴢ 41 + 1 ⴢ 42 10 x = 39,7 x=
Opmerking
Je berekent het gemiddelde op één cijfer na de komma meer dan de gegeven getallen.
In ki
1
2 3 4
7.2.2 De modus
Definitie
De modus
De modus is het gegeven met de grootste frequentie.
5
7
Symbool: Mo
37
1
38
1
39
2
10
40
3
11
41
2
12
42
1
8 9
13
248
4
schoenmaat aantal leerlingen
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
aantal leerlingen
6
Wat is de meest voorkomende schoenmaat?
3 2
Mo =
1 0
37
38
39 40 41 schoenmaat
42
7.2.3 De mediaan Definitie
De mediaan De mediaan van een rij gerangschikte getallen is: • het middelste getal als het aantal getallen oneven is; • het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is. Symbool: Me In de tabel vind je een overzicht van de lengten (in cm) van Lore en haar vriendinnen. Shana
Marie
Lieselot
Mieke
168
156
182
154
164
aa r
Lore
Bepaal de mediaan van de vijf meisjes. • Je rangschikt de resultaten:
pl
• Je bepaalt de mediaan:
xe m
In een klas doe je een onderzoek naar de schoenmaat van de leerlingen. mediaan van een rij getallen
mediaan uit een frequentietabel aantal leerlingen
37
1
38
1
10
39
2
schoenmaat 41 42 37 39 40 38 41 40 39 40
40
3
41
2
42
1
jk e
schoenmaat
2
3
4
5
6
7
8
In ki
klasnummer 1
9
Rangschik de schoenmaten van klein naar groot.
De gegevens in de frequentietabel zijn gerangschikt van klein naar groot.
10 leerlingen is een even aantal. De mediaan is het gemiddelde van de schoenmaat van de 5de en 6de leerling in de gerangschikte rij. Wat is de schoenmaat van de 5de leerling? Wat is de schoenmaat van de 6de leerling? Bepaal de mediaan. Me =
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
249
Oefeningen REEKS A 7
Bereken telkens het gemiddelde en de mediaan van de volgende getallenrijen. a) 8
6
7
5
9
c) 20
Rangschikking:
6
5
x=
1
kleur
aantal
blauw
0
pl d)
aantal
11
5
12
8
3
13
7
oranje
4
14
4
rood
2
15
1
2
Mo =
In ki
jk e
groen
7 6
7 6
3
5 4
5 4
4
3
5
2 1 0
7
A
B
C
D
E
Mo =
8
F
Mo =
1
2
3
4
5
6
7
8
f) A
9
B
10
C D
11
E 12
F
13
250
Mo =
3 2 1 0
c)
Me =
e)
2
6
50
leeftijd
geel
b)
10
x=
xe m
Me =
Bepaal de modus.
1
40
Rangschikking:
x=
a)
Me =
d) 30
Rangschikking:
8
17
aa r
Me =
0
22
Rangschikking:
x=
b) 8
25
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
Mo =
Mo = A
B
C
D
REEKS B
R
9
Bereken telkens het gemiddelde en de mediaan van de volgende getallenrijen. a) 14
12
17
12
18
19
12
14
17
11
15
Rangschikking:
x=
8
7
4
9
8
3
10
8
6
Rangschikking:
5
20
8
7
8
22
4
21
22
23
20
xe m
23
Me =
jk e
10
4
Me =
Rangschikking:
x=
9
pl
x=
c) 4
7
aa r
b) 7
Me =
De tabel geeft een overzicht van de winsten die een bedrijf boekte. winst × € 1 000
In ki
jaar
2008
4
2009
6
2010
14
2011
32
2012
30
2013
30
2014
28
2015
26
2016
26
2017
17
2018
14
a) Rangschik de winsten.
b) Bepaal de mediaan van de winsten.
c) Bereken het gemiddelde van de winsten.
d) In 2019 doet het bedrijf gouden zaken. Het ziet zijn winst verhogen tot € 97 000. Bereken nu opnieuw het gemiddelde en bepaal opnieuw de mediaan. Wat stel je vast?
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
251
Het staafdiagram toont het aantal kilometer dat Anthony per maand fietst.
dec em ber
em ber nov
aa r
sep
obe r
us ust
jun
a ug
km
okt
i
me i
t
il apr
rua feb
ma ar
ri
i ua r jan
a) Vul de tabel aan. maand
tem ber
afgelegde kilometers
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
juli
11
maand
km
mei
februari
juni
maart
juli
april
augustus
km
september oktober
pl
januari
maand
xe m
november december
b) Bereken het gemiddelde aantal kilometer dat Anthony per maand fietst. c) Duid het gemiddelde aan op het staafdiagram door middel van een horizontale lijn.
12
De uitbaatster van kinderboetiek â&#x20AC;&#x2DC;De Gevulde Pamperâ&#x20AC;&#x2122; houdt nauwkeurig de verkoopcijfers bij. dag
euro
aantal klanten
maandag
360
12
In ki
1
jk e
d) In welke maanden fietste Anthony meer dan het gemiddelde?
2 3
dinsdag
gesloten
woensdag
595
14
donderdag
480
11
vrijdag
640
9
6
zaterdag
964
17
7
zondag
4 5
8 9 10
a) Hoeveel klanten komen er gemiddeld per verkoopdag? b) Wat is de gemiddelde verkoop per verkoopdag?
11 12
c) Hoeveel spendeert de klant gemiddeld per aankoop?
13
252
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
gesloten
13
In de tien thuiswedstrijden van F.C. De Pottenstampers noteert de secretaris deze bezoekersaantallen: 1 226
936
972
1 080
672
1 385
837
1 035
1 103
1 216
a) Bereken het gemiddelde aantal toeschouwers per wedstrijd.
aa r
b) Als de ingangsprijs â&#x201A;Ź 9 per supporter bedraagt, wat zijn dan de gemiddelde inkomsten per wedstrijd?
pl
c) Bepaal de mediaan.
50
50
40
45
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
aantal deelnemers
aantal deelnemers
jk e
De plaatselijke jeugdbeweging viert dit jaar de tiende editie van haar zomerkamp. In de diagrammen vind je het aantal deelnemers over de verschillende jaren heen.
In ki
14
xe m
d) Tijdens de bekermatch lokt F.C. De Pottenstampers een recordopkomst van 3 459 toeschouwers. Bereken nu het gemiddelde en bepaal ook de mediaan.
40
35
30
8
9
10
editie zomerkamp aantal jongens aantal meisjes
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
editie zomerkamp aantal jongens aantal meisjes
a) Wat is het verschil tussen beide diagrammen? b) Welk diagram zal de jeugdbeweging gebruiken om haar zomerkamp te promoten? c) Bereken het gemiddelde aantal jongens dat aan het zomerkamp deelnam.
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
253
Bepaal gemiddelde, mediaan en modus van de gegevens in de frequentietabellen. a)
17
aantal
schoenmaat
aantal
punten
aantal
6
2
37
4
0
2
7
2
38
8
1
1
8
5
39
7
2
1
9
4
40
15
3
4
10
4
41
8
4
5
11
2
42
5
5
7
=
x
=
Me =
Mo =
Mo =
=
Me =
xe m
Me =
x
Mo =
Bereken telkens het ontbrekende getal. a) Van de getallen 8, 4, 3, 7 en
is 5 de mediaan.
b) Van de getallen 3, 7, 10, 9 en
is 8,0 het gemiddelde.
c) Van de getallen 3, 7, 4 en
is 5 de mediaan.
Jeroen, Bart, Kris, ma en pa rijden samen met de auto naar zee. Jeroen is 5 jaar, Bart 11 jaar, vader 40 jaar en moeder 39 jaar. De gemiddelde leeftijd van de personen in de auto is 22,0 jaar. Hoe oud is Kris?
In ki
1
leeftijd
jk e
16
c)
aa r
x
b)
pl
15
2 3 4
Antwoordzin:
5 6 7 8
18
In een klas zitten acht meisjes die gemiddeld 7 op 10 halen voor hun toets geschiedenis. Er zitten ook twaalf jongens in die klas die gemiddeld 6 halen. Waarom is het gemiddelde geen 6,5?
9 10 11 12 13
254
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
19
Het staafdiagram toont de leeftijden van de leden van de jeugdafdeling van de schaakclub. 9 8 7 aantal
6 5 4 3 2 1 0
6
7
8
9 leeftijd
10
11
12
jk e
xe m
pl
aa r
a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het staafdiagram.
b) Bepaal de gemiddelde leeftijd van de leden.
In ki
c) Bepaal de mediaan. d) Bepaal de modus.
20
Aan 100 koppels werd gevraagd hoeveel kinderen ze samen hebben. Je vindt de antwoorden in het cirkeldiagram. Vink aan.
0 kinderen 1 kind 2 kinderen
juist
fout
a) De mediaan en het gemiddelde zijn gelijk.
❑
❑
b) De modus is kleiner dan het gemiddelde.
❑
❑
c) De mediaan en de modus zijn gelijk.
❑
❑
d) Het gemiddelde is kleiner dan de mediaan.
❑
❑
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
255
REEKS C 21
Noteer telkens de stad die hoort bij het monument op de foto. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. Verwerk de bevindingen in een statistisch onderzoek.
8
jk e
Mijn score:
xe m
pl
aa r
ICT
a) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas.
In ki
1
2 3 4 5
b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. d) Bepaal de mediaan.
6 7
e) Bepaal de gemiddelde score van de leerlingen.
8 9
f) Hoeveel procent van de leerlingen scoort meer dan het gemiddelde?
10 11 12 13
256
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
STUDIEWIJZER Statistisch onderzoek voor de leerling
7.1 Op onderzoek KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Numerieke data zijn data die je uitdrukt met getallen. Data die je niet met getallen kunt uitdrukken, zijn categorische data. Diagrammen om gegevens voor te stellen: dotplot, staafdiagram, lijndiagram en cirkeldiagram.
KUNNEN
KENNEN
pl
7.2 Centrummaten: gemiddelde, modus en mediaan
aa r
Soorten data onderscheiden: numeriek en categorisch. Aan de hand van de nodige gegevens een frequentietabel opstellen. Gegevens voorstellen aan de hand van passende voorstellingswijzen: dotplot, staafdiagram, lijndiagram, cirkeldiagram. Data verzamelen om een vraag te beantwoorden via statistisch onderzoek.
−
+ −
+
−
+ −
+
xe m
Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van die getallen gedeeld door hun aantal. De modus is het gegeven met de grootste frequentie. De mediaan van een rij gerangschikte getallen is: • het middelste getal als het aantal oneven is; • het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.
KUNNEN
jk e
Het gemiddelde van een rij getallen berekenen. Het gemiddelde uit een frequentietabel berekenen. De modus bepalen aan de hand van een frequentietabel, een staafdiagram, een lijndiagram of een cirkeldiagram. De mediaan van een rij getallen bepalen. De mediaan uit een frequentietabel bepalen.
In ki
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
257
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
pl
2. Een rechthoe kig grasveld va n 10 m bij 6 m wordt omgeve n door een bo rd er van 1 m. Je maakt een schaap met ee n touw vast aan een paaltj e. Je zorgt ervo or dat het schaap een zo groot mogelijk oppervlak kan begrazen, maar niet aan de border kan. Teken de plaa ts waar je het paaltje kunt planten. Teken op schaa l 1 : 200.
xe m
is nog jn hond uit. Hij 1. Karim laat zi hij met een n huis. Terwijl 1 kilometer va uis wandelt, km/uur naar h 5 n va d ei h el sn d van et een snelhei m d on h de t hol terug naar uis, dan weer h r aa n r u /u 15 km n stuk ondertussen ee huis, zâ&#x20AC;&#x2122;n baasje (die n r dan wee aar ), is is u h j bi r dichte r verder. g, en zo alsmaa dan weer teru
aa r
concreet materiaal
In ki
1
hond
jk e
eter legt de Hoeveel kilom uiteindelijk af?
2 3 4 5 6 7 8 9
3. Elf steden m oeten onderlin g met directe pijpleidingen w orden verbonde n. Hoeveel pijple idingen moete n er worden aangelegd?
10 11 12 13
258
HOOFDSTUK 7 I STATISTISCH ONDERZOEK
llen heeft een atuurlijke geta n n va st lij n n 9 en een 4. Ee , een modus va 8 n va an ia ed m n 10. gemiddelde va aantal nst mogelijke Wat is het klei ? tallen in de lijst natuurlijke ge
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
8.1
De gehele getallen
8.2 Bewerkingen met gehele getallen
aa r
8.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen
8.4 De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen
pl
Studiewijzer
₂₆₀ ₂₆₉
₃₀₃ ₃₀₈ ₃₁₀
In ki
jk e
xe m
Pienter problemen oplossen
₂₉₀
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
259
8.1
De gehele getallen
8.1.1 Definitie Welk getal hoort bij de omschrijving?
pl
–1 500 000
Definitie
2018
2016
2019
In 2019 maakte het bedrijf plots 1 000 000 euro verlies.
Geheel getal
In ki
1
2015
In 2017 maakte het bedrijf 1 500 000 euro winst.
jk e
–1 000 000
2014
–500 000
2012
500 000
2013
1 000 000
xe m
1 500 000
0
In deze diepvries is het 18 graden onder nul.
De wortels van deze boom zitten vijf meter onder de grond.
2017
2 000 000
Julius Caesar werd vermoord in het jaar 44 voor Christus.
aa r
De kruin van deze boom is zes meter hoog.
2
Een geheel getal is
3 4 5 6 7 8
Opmerking +7
is een positief geheel getal.
Het toestandsteken is niet noodzakelijk.
Nul is zowel negatief als positief.
Een toestandsteken is niet noodzakelijk.
−12
9 10 11
0 = −0 = +0
12 13
260
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
De verzameling van de gehele getallen stel je voor met ⺪. De verzameling van de gehele getallen kun je geven door opsomming ⺪={
of
met een venndiagram.
}
8.1.2 Deelverzamelingen van ⺪ ⺪0
is de verzameling van de gehele getallen zonder 0; ⺪0 = {
}
is de verzameling van de positieve gehele getallen;
pl
⺪+
⺪+ = {
}=
xe m
⺪−
aa r
Deelverzamelingen van ⺪ die vaak gebruikt worden, zijn:
is de verzameling van de negatieve gehele getallen; ⺪− = {
}
jk e
− en dan natuurlijk ook nog ⺪+ 0 en ⺪ 0 .
In ki
Negatieve getallen werden voor het eerst gebruikt in China, in de eerste eeuw voor Christus. Om het onderscheid te maken tussen positieve en negatieve getallen, werden kleuren gebruikt: positieve getallen werden in het rood geschreven, negatieve in het zwart. In de zevende eeuw werden negatieve getallen in India ingevoerd, vooral om te kunnen rekenen met schulden. Vanaf de achtste eeuw namen de Arabieren die werkwijze over. Het duurde nog een paar honderd jaar vooraleer ook Europa kennismaakte met negatieve getallen via vertalingen van Arabische en Indische geschriften. In Europa botsten de negatieve getallen op nogal wat tegenstand. Van bewerkingen die leidden tot negatieve resultaten, zei men dat er geen oplossingen waren. Het idee dat er getallen bestonden die kleiner waren dan niets (0), werd als absurd bestempeld. Zo durfde Blaise Pascal (verantwoordelijk voor de eenheid van druk en de eerste rekenmachine) de negatieve getallen niet bij naam te noemen, omdat hij dacht dat ze het werk van de duivel waren. Pas in de 17e eeuw begon het verzet tegen de negatieve getallen geleidelijk aan af te nemen.
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
261
8.1.3 De absolute waarde
Definitie
Als het −5ºC is,
dan vriest het
graden Celsius.
Als er –23 euro op Niels’ rekening staat,
dan heeft hij
euro schulden.
Als je met de lift van verdieping 0 naar +2 gaat,
dan ben je
verdiepingen gestegen.
Absolute waarde
Lees: De absolute waarde van −5 is De absolute waarde van +7 is
=
Schrijf:
=
xe m
8.1.4 Tegengestelde getallen
Schrijf: 兩–5兩
pl
Notatie: 兩−3兩 = 3
aa r
De absolute waarde van een getal is
De getallen −7 en +7 hebben dezelfde absolute waarde, namelijk Getallen met dezelfde absolute waarde en een verschillend toestandsteken noem je tegengestelde getallen.
Tegengestelde
jk e
Definitie
Het tegengestelde van een geheel getal is
In ki
1
Notatie: −(−3)
2 3 4
Lees: Het tegengestelde van −5 is
5
Het tegengestelde van +7 is
6 7 8 9 10 11 12 13
262
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
Schrijf: −(−5)
=
Schrijf:
=
8.1.5 Ordenen en getallenas Bij de gehele getallen loopt de getallenas langs beide kanten oneindig ver door. De negatieve getallen zijn allemaal kleiner dan 0 en liggen dus vóór 0. Ga je naar rechts op de getallenas, dan worden de getallen steeds groter. Ga je naar links, dan worden ze steeds kleiner. –5 ...
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5
...
Opmerking
–8
2 –2
en maar
兩8兩
兩2兩
3
兩–8兩
兩–2兩
–3
5
en
兩3兩
兩5兩
兩–3兩
兩–5兩
aa r
8
–5
maar
De ordening van twee negatieve gehele getallen keert om als je de absolute waarde neemt. Voor alle negatieve getallen a en b geldt: a ⬍ b ⇒ 兩a兩
xe m
pl
兩b兩
8.1.6 Negatieve coördinaatgetallen
De negatieve getallen op de getallenas gebruik je om het assenstelsel uit te breiden. y
In ki
jk e
A
Op de verticale as staan de positieve getallen boven de oorsprong, de negatieve getallen onder de oorsprong.
1
–1 0 –1
Op de horizontale as staan de positieve getallen rechts van de oorsprong, de negatieve getallen links van de oorsprong.
x
1
Bepaal de coördinaat van A: co(A) = (
B
,
)
Bepaal de coördinaat van B: ,
co(B) = (
)
Teken de volgende punten: C (0, −8) D (−4, −2)
De horizontale en verticale as verdelen het vlak in vier stukken die je kwadranten noemt. Je spreekt over: het eerste (I), tweede (II), derde (III) en vierde (IV) kwadrant.
II (–, +) III (–, –)
E(−7, 4) F(3, 5) y
I (+, +)
x
IV (+, –)
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
263
Oefeningen REEKS A
Onze wagen staat ondergronds geparkeerd op niveau –2.
b)
−8
c)
−268
d)
+19
e)
−20
aa r
−2
Welk getal hoort bij de omschrijving? a)
Sara heeft 50 euro schulden bij Joppe.
b)
Onze hotelkamer bevindt zich op de derde verdieping.
c)
De thermometer geeft 12 graden onder nul aan.
d)
Het diepterecord duiken zonder luchtflessen bedraagt 152 meter.
e)
Thales van Milete werd geboren rond 624 voor Christus.
Kleur alle hokjes waarin een geheel getal staat.
jk e
3
a)
pl
2
Zoek telkens een situatie die te maken heeft met de volgende getallen.
xe m
1
0,2
2,36
5,98
−0,25
−6,35
−8,5
9,36
4,19
−8,9
−6,01
4,02
−2,5
5
25,0
−9
487
6,35
80
789
438
−759
6,98
3,6
−8
−0,5
5,9
4,6
5,89
−69
23,1
5,6
44,5
−1,89
4,8
648
0,85
56,6
−8,8
−8,5
−789
45,6
−6,9
65,9
–4,8
2
9,3
0
2,6
–4,5
−9,6
−9,11
147
89,5
−55,5
111,1
−0,85
3
4,67
−259
9,74
465
–4
–4,6
63
−5,8
1 000
−86
6,39
4
−0,5
2
−9,3
11,1
−8
7,35
−132
89,6
312,2
47
−8,9
5
−9,7
−69
−6,9
9,34
6
8,3
−56
7,9
−89,4
−632
45,2
6
−10,1
635
13
513
951
4,7
984
−658
−359
91
−9,35
7
6,8
8,9
−6,25
–4,87
23,5
−9,9
−0,6
−8,95
−99,1
4,6
8,92
In ki
1
8 9 10
4
Bepaal de absolute waarde.
11
a) 兩−5兩 =
c) 兩+7兩
12
b) 兩+2兩 =
d) 兩−9兩 =
13
264
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
=
e) 兩+9兩 =
g) 兩−25兩 =
兩−88兩 =
h) 兩+29兩 =
f)
6
Bepaal het tegengestelde. a) −(−6) =
c) −(+9) =
e) −(−25) =
g) −(−9) =
b) −(+5) =
d) −(+2) =
f) −(+8) =
h) −(+27) =
Bepaal de coördinaat van de gegeven punten in het assenstelsel. a)
co(A)
=(
,
)
b)
co(B)
=(
,
)
c)
co(C)
=(
,
)
y
D
d)
co(D)
=(
,
C
aa r
5
1
–1 0 –1
)
A
f)
co(F)
=(
,
)
,
B
pl
=(
xe m
co(E)
)
E
Plaats de punten waarvan de coördinaat gegeven is in het assenstelsel. a) b) c)
y
= (2, –4)
co(B)
= (7, 0)
co(C)
= (−2, −5)
co(D)
= (0, −4)
e)
co(E)
= (−1, 5)
f)
co(F)
= (−5, 0)
1 –1 0 –1
In ki
d)
co(A)
jk e
7
e)
x
F
1
x
1
REEKS B 8
Vul in met ⬍ , ⬎ of =. a)
−3
5
d)
5
+5
g)
−9
−8
j)
−8
−7
b)
7
2
e)
−12
−15
h)
+3
0
k)
−5
–4
c)
0
−9
f)
−30
−25
i)
+4
8
l)
8
−7
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
265
9
Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?
a)
–13
b)
–52
c)
−7 ⬍
−5, 8, −6, 0, 12 en −7
b)
45, −78, −1, −5, 4 en −35
c)
–4, −8, −5, −10, −7 en −6
d)
1, −1, 5, −5, 6, −9 en −3
xe m
a)
Vul in met ∈ of ∉ .
b)
c)
3 4
⺪
j)
−45
h)
0
⺪0
k)
6 3
i)
5
⺪+ 0
l) −1,4
−7
⺪
d) 0,5
⺪
g)
+2
⺪0
e)
8
⺪−
0
⺪+
f)
12
⺪+
In ki
2
1
pl
Rangschik de getallen van klein naar groot.
a) 1
–1
jk e
11
–2
–51
aa r
0
d)
10
–12
−
⺪− ⺪ ⺪− 0
3 4 5 6
12
Vul in met ⊂ of ⊄.
a)
N
⺪
f)
{−4, −3, −2, −1, 0}
⺪−
b)
⺪
⺪0
g)
⺪−
⺪+
c)
⺪+ 0
⺪+
h)
N0
⺪+
d)
⺪+
⺪
i)
⺪−
⺪0
e)
{0}
⺪+ 0
j)
{−12, −6, −3}
⺪− 0
7 8 9 10 11 12 13
266
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
13
Benoem en bepaal telkens de coördinaat op de gegeven figuur. y
,
)
b)
rode bal:
co(R) = (
,
)
c)
witte bal:
co(W)= (
,
)
d)
gele bal:
co(G) = (
,
)
e)
top van de keu (blauw):
co(B) = (
,
)
Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. 僆
⺪ 兩 −2 ⬍ x ⬍ 5}
A ={
B = {x
僆
⺪ 兩 −5 ⭐ x ⬍ 2}
B ={
C = {x
僆
⺪ 兩 −7 ⬍ x ⭐ −3}
D = {x
僆
⺪ 兩 −5 ⭐ x ⭐ −3}
E = {x
僆
⺪ 兩 −42 ⭐ x ⬍ −39}
0
x
1
}
}
pl
A = {x
1
aa r
co(Z) = (
C ={
}
D ={
}
E ={
}
xe m
15
zwarte bal:
Bereken. Zoek de passende coördinaat voor elk punt in de tabel. Zet de punten in het assenstelsel en verbind de punten A tot en met E en de punten G tot en met L in alfabetische volgorde.
A
7ⴢ8
=
D
145 – 86 =
G
154 −78 =
J
13 ⴢ 5
33 + 38 =
E
12 ⴢ 6
H
9ⴢ6
=
K
28 + 46 =
I
252 : 4 =
L
17 ⴢ 3
In ki
B
jk e
14
a)
C
=
201 : 3 =
50 →
(−1, 5)
60 →
(−2, −2)
70 →
→
(5, −3)
61
→
(−3, –4)
71
→
(−5, 4)
52 →
(4, 0)
62 →
(–4, 3)
72
→
(−5, −3)
53 →
(−3, 2)
63 →
(2, 1)
73
→
(4, −1)
54 →
(2, −3)
64 →
(4, –4)
74
→
(3, 2)
1
55 →
(–4, 2)
65 →
(5, 4)
75
→
(−3, 0)
0
56 →
(−5, −3)
66 →
(−1, 4)
76
→
(2, 4)
(−5, 3)
67
→
(−2, 4)
77
→
(–4, −2)
58 →
(3, 3)
68 →
(−2, 2)
78 →
(−1, −3)
59 →
(−2, −3)
69 →
(5, 3)
79
→
(−5, −2)
51
57
→
(2, 0)
=
=
y
1
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
x
267
REEKS C
18
−(+5)
−(−3)
d)
−18
兩−18兩
g)
−9
−(兩7兩)
b)
15
兩−25兩
e)
−(−5)
−5
h)
−8
−(兩−6兩)
c)
−(+5)
4
f)
+6
−(+8)
i)
–(兩−5兩)
−(−5)
Bepaal de coördinaat van het punt D zodat de vierhoek ABCD een rechthoek is. co(A) = (4, 7)
co(B) = (4, −5)
co(C) = (−1, −5)
⇒
co(D) = (
,
)
b)
co(A) = (−2, 6)
co(B) = (0, 6)
co(C) = (0, −2)
⇒
co(D) = (
,
)
c)
co(A) = (9, −8)
co(B) = (5, −8)
co(C) = (5, −5)
⇒
co(D) = (
,
)
,
)
Bepaal de coördinaat van de punten C en D zodat de vierhoek ABCD een vierkant is.
b)
co(A) = (–4, 4)
co(B) = (–4, –4)
3
co (C) = (
,
)
co(D) = (
Hoeveel oplossingen zijn hier mogelijk?
In ki
1
19
pl
a)
a)
2
aa r
a)
xe m
17
Vul in met ⬍ , ⬎ of = .
jk e
16
Bepaal.
a)
⺪+ ∪ ⺪−
=
f)
⺪\N
=
b)
⺪− 0 ∪ {0}
=
g)
− ⺪+ 0 ∩ ⺪
=
c)
⺪+ ∩ ⺪−
=
h)
⺪ + ∩ { −2, −1, 0, 1, 2 }
=
d)
⺪∩ N
=
i)
⺪0 ∪ ⺪−
=
e)
⺪ \ ⺪− 0
=
j)
⺪+ \ ⺪−
=
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
268
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
8.2
Bewerkingen met gehele getallen
8.2.1 De optelling Zet de zinnen om naar een optelling van twee gehele getallen. Bereken de som.
Bram heeft twee zichtrekeningen. De huidige rekeningstand op de ene rekening is −50 euro, op de andere −70 euro.
Het bedrijf maakte eerst 10 000 euro winst, gevolgd door een verlies van 2 500 euro in de tweede helft van het jaar.
Twee getallen met hetzelfde teken
Twee getallen met een verschillend teken Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:
xe m
Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk:
aa r
Op 15 januari was het ’s morgens −3 ºC. In de loop van de voormiddag steeg de temperatuur met acht graden.
pl
Werkwijze
Mo heeft zeventien cd’s. Voor zijn verjaardag krijgt hij er nog eens twee cadeau.
• bereken de som van de absolute waarden;
• bereken het verschil van de absolute waarden;
• behoud het teken.
• behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde.
jk e
Voorbeelden
(+7) + (−2) =
(−7) + (−2) =
(−7) + (+2) =
In ki
(+7) + (+2) =
Opmerkingen
• 0 heeft geen invloed op de optelling. (–4) + 0 =
0 + (+5) =
0 + (−3) =
(+7) + 0 =
• Als je een getal en zijn tegengestelde optelt, is het resultaat altijd 0. (+5) + (−5) =
(−6) + (+6) =
REKENMACHINE Bij het invoeren van negatieve getallen moet je er goed op letten dat je het toestandsteken ‘(−)’ en niet het bewerkingsteken ‘–’ indrukt. Voorbeeld: 6 + (−9) =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
269
Oefeningen REEKS A
22
(+5) + (+3) =
d)
(−9) + (−6) =
g)
(−6) + (+3) =
b)
(+7) + (−2) =
e)
(+8) + (+6) =
h)
(+3) + (−5) =
c)
(−8) + (+5) =
f)
(−7) + (−9) =
i)
(−2) + (−9) =
Bereken de som. a)
(−3) + (−12) =
f)
b)
(+16) + (+2) =
g)
c)
(–4) + (+18) =
d)
(−12) + (−9) =
i)
(−11) + (−15) =
e)
(−5) + (−17) =
j)
(+16) + (−16) =
(−177) + (−59) =
c)
(+157) + (+74) =
(−162) + (+175) =
d)
(+16) + (−162) =
Bereken. a) b)
In ki
1
2 3 4 5
aa r
a)
(+15) + (−19) =
pl
(+13) + (+14) =
h)
(−14) + (−12) =
xe m
21
Bereken de som.
jk e
20
REEKS B
R
23
Bereken de som.
a)
(−13) + (–48) =
f)
(−62) + (−25) =
b)
(+26) + (−12) =
g)
(+87) + (− 58) =
c)
(+14) + (+58) =
h)
(−36) + (–47) =
d)
(−32) + (−19) =
i)
(–48) + (+25) =
e)
(+59) + (−12) =
j)
0 + (–43) =
6 7 8 9 10 11 12 13
270
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
Kleur de letters bij de opgaven die leiden tot een negatieve som. A
(+465) + (−5 312)
I
(–4 569) + (+8 999)
Q
(−2 356) + (+6 987)
B
(−795) + (−9 359)
J
(+568) + (+3 189)
R
(+167) + (−3 915)
C
(+456) + (+1 516)
K
(−214) + (+365)
S
(+97 256) + (−9 582)
D
(+963) + (−782)
L
(+28 256) + (−8 998)
T
(−56 985) + (+100 000)
E
(–4 562) + (+9 875)
M
(−569) + (+9 299)
U
(+816) + (+3 879)
F
(+534) + (+1 223)
N
(−548) + (+6 354)
V
(−345) + (−7 812)
G
(−279) + (+862)
O
(−876) + (−735)
W
(–46 589) + (+87 002)
H
(+5 798) + (−2 999)
P
(+254) + (+6 845)
X
(−3 598) + (+6 548)
Maak een woord met de gekleurde letters:
Een wrak van een schip ligt 12 m onder de zeespiegel. De bergers halen het 8 m omhoog. Op welke diepte ligt het schip nu?
Antwoordzin:
Om een boompje te planten, heeft Karel een put van 50 cm gegraven. Het boompje is 135 cm lang. Hoeveel zal de boom boven de grond uitsteken?
jk e
26
xe m
pl
25
aa r
24
Antwoordzin:
Met Kerstmis was het ’s morgens −3 ºC. Tegen de middag was de temperatuur met 7 ºC gestegen. Hoe warm was het die middag?
In ki
27
Antwoordzin:
28
Een diepzeeduiker bevindt zich 5 m onder het wateroppervlak. Hij duikt nog 7 m dieper. Op welke diepte bevindt hij zich nu?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
271
8.2.2 De aftrekking Schrijf de zinnen als een aftrekking van twee gehele getallen. Bereken het verschil. Schrijf de zinnen ook als een optelling van twee gehele getallen met hetzelfde resultaat.
In de namiddag is het 14 ºC. ’s Avonds daalt de temperatuur met 6 ºC. (+14)
−
(+6)
=
–
=
(+14)
+
(−6)
=
+
=
=
+
=
–
=
+
=
xe m
Verschil van twee gehele getallen
aa r
–
Het verschil tussen een binnentemperatuur van 21 ºC en een buitentemperatuur van −3 ºC.
pl
Het verschil tussen een dagtemperatuur van −2 ºC en een nachttemperatuur van −7 ºC.
Vaststelling
Tijdens de dag is het 5 ºC onder nul. ’s Nachts daalt de temperatuur met 4 ºC.
Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en
jk e
In symbolen: a – b =
Je kunt elke aftrekking van gehele getallen schrijven als een optelling van gehele getallen.
Voorbeelden
In ki
1
2 3 4
Schrijf de aftrekkingen eerst als een optelling en bereken. (+7) – (+2) =
(+7) – (−2) =
=
=
(−7) – (−2) =
(−7) – (+2) =
=
=
5 6 7 8 9 10 11 12 13
272
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
Oefeningen REEKS A
a)
(+9) – (+2) =
e)
(+3) – (+8) =
b)
(−8) – (−7) =
f)
(+6) – (−9) =
c)
(−5) – (+9) =
g)
0 – (−9)
d)
(−5) – (−8) =
h)
a)
(+2) – (−8) = (+2) + (+8)
b)
(−3) – (+9) =
c)
(+5) – (−12) =
d)
(−7) − (−14) =
=
aa r (−8) − (+8) =
pl
Schrijf als een optelling en bereken.
=
e)
(−15) – (−8) =
=
=
f)
(−7) – (+5) =
=
=
g)
(+18) – (−7) =
=
=
h)
(−17) − (+8) =
=
jk e
30
Schrijf de aftrekking als een optelling.
xe m
29
REEKS B
In ki
R
31
Schrijf als een optelling en bereken.
a)
(−21) − (−33) =
f)
(+27) − (−19) =
b)
(−32) − (+17) =
g)
(−28) − (−11) =
c)
(+25) − (−18) =
h)
(−15) − (+23) =
d)
(−22) − (+28) =
i)
(−24) − (−23) =
e)
(−34) − (−16) =
j)
(−37) − (+29) =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
273
8.2.3 Praktische werkwijze voor de optelling en de aftrekking Bereken en schrijf de opgave daarna zo eenvoudig mogelijk.
(+7) + (+5)
(+5) – (−2)
(+6) + (–4)
(+2) – (+6)
= 12
=
=
=
=7+5
=
=
=
+ (+) →
− (−) →
Twee gelijke opeenvolgende tekens
Voorbeelden
− (+) →
Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een
xe m
vervang je door een
+ (−) →
pl
Regel voor het wegwerken van haakjes
aa r
Het wegwerken van de haakjes is de eenvoudigste manier om een som of een verschil te berekenen.
Werk de haakjes weg en bereken.
=
(+5) – (+7)
=5–7
=
(+5) – (−6)
=
=
(+3) + (−9)
=
=
jk e
=3+7
(−7) – (−5)
=
=
(−6) – (+8)
=
=
(−9) + (+5)
=
=
(−2) + (−7)
=
=
In ki
1
(+3) + (+7)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
274
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
Oefeningen REEKS A
34
d)
(−6) − (−2) =
b)
(+2) − (+4) =
e)
(+8) + (−5) =
c)
(−5) + (+1) =
f)
(−3) − (−7) =
Schrijf zonder haakjes en bereken.
aa r
(−7) + (−9) =
a)
(+11) + (−19) =
g)
b)
(−3) + (+17) =
h)
c)
(−8) + (−17) =
d)
(−16) + (+4) =
e)
(−15) − (−16) =
k)
(+19) − (−2) =
f)
(−17) − (+5) =
l)
(−12) + (−18) =
(−235) + (−375) =
c)
(+613) + (−219) =
(+361) – (−813) =
d)
(−256) – (–459) =
Bereken. a)
(−12) + (+7) =
i)
(+17) − (−3) =
j)
(−7) + (+15) =
In ki
b)
(−18) − (+15) =
pl
33
a)
xe m
R
Schrijf zonder haakjes.
jk e
32
REEKS B
35
Bereken het verschil tussen het grootste en het kleinste geheel getal van 3 cijfers.
Antwoordzin:
€
36
Op Peters bankrekening staat 234 euro. Voor gas en elektriciteit moet Peter 413 euro betalen. Wat is na die verrichting het nieuwe saldo op zijn rekening?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
275
Bereken telkens het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten temperatuur. dag
minimum
maximum
maandag
−2 ºC
+9 ºC
dinsdag
−1 ºC
+11 ºC
woensdag
+3 ºC
+13 ºC
donderdag
+2 ºC
+10 ºC
vrijdag
+1 ºC
+9 ºC
zaterdag
−2 ºC
+5 ºC
zondag
−7 ºC
−2 ºC
38
Een duikboot vaart op een diepte van 200 m. De boot stijgt 75 m. Op welke diepte vaart de duikboot verder?
De hoogste temperatuur in de schaduw, op 13 september 1922 in Libië gemeten, bedroeg 58 ºC. De laagste temperatuur werd op 21 juli 1983 in Vostok, in het zuidpoolgebied, gemeten en ligt 147 graden Celsius lager. Hoe koud was het daar?
In ki
1
jk e
Antwoordzin:
39
xe m
pl
Op welke dag is dat verschil het kleinst?
verschil
aa r
37
2 3 4
Antwoordzin:
5 6 7 8
40
De bekende Griekse wiskundige Pythagoras vierde zijn zesendertigste verjaardag in het jaar 539 voor Christus. In welk jaar werd hij geboren?
9 10 11 12
Antwoordzin:
13
276
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
41
In de Tongatrog (−9 055 m) in de buurt van Nieuw-Zeeland bevindt zich de hoogste zeeberg. Zijn top steekt 8 690 m boven de zeebodem uit. Op welke hoogte ten opzichte van de zeespiegel ligt de top van die zeeberg?
Antwoordzin:
42
Beantwoord de vragen met de gegevens uit het lijndiagram. temperatuur om het uur gemeten
aa r
8 7 6 5 4
–1 0 1 2 3 4 5
–5 –6 –7 –8
tijd (h)
jk e
Wat is het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten waarde?
Hoeveel graden steeg de temperatuur tussen 2 uur en 7 uur?
In ki
b)
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
–2 –3 –4
a)
pl
2 1 0
xe m
temperatuur (°C )
3
c)
43
Wat is het temperatuurverschil tussen 4 uur en 16 uur?
Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is.
a) b)
+ (−5) = 3 0+
+ (−8) = −5
c) d) e)
= −12
(−7) +
=0 + (−5) = −13
f)
−5 –
g) h)
−13 –
i) j)
= −7
k)
– (−7) = −5
l)
=2 – 13 = −16
−18 –
=1
+ (−5) = 12 −8 –
m) n) o)
= −15 – (−7) = 10
−9 +
= 12 – (−6)= −13
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
277
8.2.4 De vermenigvuldiging Zet de zinnen om naar een vermenigvuldiging van gehele getallen. Bereken het product.
Salma heeft gedurende 5 dagen iedere dag 15 bladzijden gestudeerd.
Hannes moet nog aan 2 van zijn vrienden 7 euro terugbetalen.
Bereken de volgende producten.
aa r
2 ⴢ (−7) = (−7) + (−7) = 1 ⴢ (−7) = (−7) = 0 ⴢ (−7) =
pl
−1 ⴢ (−7) = −2 ⴢ (−7) =
Voorbeelden (+7) ⴢ (+5) =
xe m
−3 ⴢ (−7) =
(−5) ⴢ (–4) =
(+6) ⴢ (−2) =
(−2) ⴢ (+8) =
(+) ⴢ (−) →
(−) ⴢ (+) →
jk e
Toestandsteken van het product (+) ⴢ (+) →
(−) ⴢ (−) →
Het product van twee factoren met
Het product van twee factoren met
2
eenzelfde teken is
een verschillend teken is
In ki
1
3 4
Kortere schrijfwijze van de vermenigvuldiging
5 6 7
(+8) ⴢ (+7) =
(−5) ⴢ (−9) =
8ⴢ7
=
(+3) ⴢ (−8) =
=
(−7) ⴢ (+3) =
3 ⴢ (−8)
= =
8 9 10 11
Opmerking 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. (−6) ⴢ 1 =
12 13
278
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
1 ⴢ (+7) =
1 ⴢ (−8) =
(+4) ⴢ 1 =
Oefeningen REEKS A
46
−5 ⴢ (−25)
59 ⴢ 16
32 ⴢ 489
32 ⴢ 566
−38 ⴢ (−8)
51 ⴢ 98
159 ⴢ 32
−5 ⴢ (−18)
6 ⴢ (−7)
–45 ⴢ (−8)
9 ⴢ 1 536
−56 ⴢ (−9)
423 ⴢ 7
51 ⴢ (−5)
−6 ⴢ (−9)
5 ⴢ 39
43 ⴢ 60
−2 ⴢ 8
−36 ⴢ (−3)
26 ⴢ 948
−8 ⴢ 19
−92 ⴢ (−2)
62 ⴢ 762
14 ⴢ 52
56 ⴢ 36
−5 ⴢ (−2)
7 ⴢ (−3)
77 ⴢ (−8)
25 ⴢ 348
557 ⴢ 47
−7 ⴢ (−23)
−74 ⴢ (−1)
−87 ⴢ (−5)
45 ⴢ 132
25 ⴢ (−9)
12 ⴢ (−3)
357 ⴢ 6
−2 ⴢ (−9)
−9 ⴢ (−11)
6 ⴢ 978
78 ⴢ 56
−78 ⴢ 6
−89 ⴢ (−1)
684 ⴢ 32
−3 ⴢ 16
−6 ⴢ (−55)
745 ⴢ 36
−12 ⴢ (−3)
81 ⴢ (−3)
951 ⴢ 25
156 ⴢ 823
87 ⴢ 367
−5 ⴢ (−19)
−2 ⴢ 325
11 ⴢ 222
78 ⴢ 32
45 ⴢ 65
−9 ⴢ (−13)
44 ⴢ 555
−98 ⴢ (−5)
35 ⴢ 981
8 ⴢ 63
−1 ⴢ (−1)
pl
Bereken het product. a)
2 ⴢ (–4) =
b)
−5 ⴢ 6
=
c)
1 ⴢ (−8)
=
d)
−7 ⴢ (−5) =
aa r
8 ⴢ 66
xe m
45
Kleur de hokjes met een negatief product.
e) 5 ⴢ (−8) =
i)
−3 ⴢ (−8) =
f) 9 ⴢ (−3) =
j)
5 ⴢ (−6) =
g) −7 ⴢ (−9) =
k)
−7 ⴢ 7
h) 7 ⴢ 8
l)
–4 ⴢ (−8) =
jk e
44
=
=
Bereken.
–53 ⴢ (−26) =
In ki
a) b)
–27 ⴢ (−73) =
c)
331 ⴢ (−7)
=
d)
–15 ⴢ 63
=
REEKS B
R
47
Bereken het product.
a)
12 ⴢ (−5)
=
f)
−3 ⴢ (−19) =
k)
14 ⴢ (−6)
b)
−16 ⴢ (–4) =
g)
−12 ⴢ 10
l)
−11 ⴢ (−4) =
c)
–15 ⴢ (−7) =
h)
−8 ⴢ (−15) =
m) −15 ⴢ (−9) =
d)
(−17) ⴢ 5
=
i)
7 ⴢ (−13)
=
n)
11 ⴢ (−13)
e)
11 ⴢ (−12)
=
j)
−19 ⴢ (–4) =
o)
−12 ⴢ (−8) =
=
=
=
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
279
465 ⴢ (−11)
=
H
−1 590
−89 ⴢ (−71)
=
S
−5 115
−144 ⴢ 60
=
D
8 512
98 ⴢ (−13)
=
R
−8 640
−78 ⴢ 35
=
T
−1 274
13 ⴢ (−210)
=
E
−2 730
36 ⴢ (−240)
=
O
6 319
Bereken. =
c) −11 ⴢ (−7) =
e) −12 + (−9) =
g) 6 ⴢ (−15)
b) −17 + (−15) =
d) 8 – (−12) =
f) −8 + 17
h) −2 – (−15) =
=
=
pl
a) −5 ⴢ 18
50
aa r
49
Schat het product en vind het wachtwoord.
Vul de tabel met gemiddelde minimummaandtemperaturen aan.
xe m
48
maand
1
land Canada
2
3
−13
-4
-6
Rusland
−13
−12
-2
jk e
Zweden
Groenland
Noorwegen
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
8
13
16
15
10
5
-1
-9
1
7
11
13
12
8
4
-1
-3
2
8
12
13
12
7
2
−3
−9
−23
−23
−17
−6
−1
3
3
−2
−6
−11
−7
−4
0
6
10
11
10
7
4
−2
−7
a) In Canada is het in januari gemiddeld twee keer zo koud als in Noorwegen in die maand.
2
b) In Rusland is het in maart gemiddeld drie keer zo koud als in Zweden in die maand.
In ki
1
c) In Groenland is het in december gemiddeld vier keer zo koud als in Zweden in januari.
3
d) In Groenland is het in januari gemiddeld vijf keer zo koud als in Noorwegen in maart.
4
e) In Canada is het in maart gemiddeld zes keer zo koud als in Zweden in november.
5 6
REEKS C
7 8 9
51
Noteer zo kort mogelijk. a)
(–4) ⴢ a
=
d)
a ⴢ (–b)
=
g)
−81 ⴢ (–c) =
b)
5 ⴢ (–b)
=
e)
(–a) ⴢ b
=
h)
(–a) ⴢ (–b) =
c)
(–b) ⴢ (−8) =
f)
16 ⴢ x
=
i)
–d ⴢ 0
10 11 12 13
280
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
=
−5
8.2.5 De deling Er is een verband tussen de vermenigvuldiging en de deling. a)
(+24) : (+8)
=3
omdat
b)
(−36) : (+3)
=
omdat
c)
(+32) : (−4)
=
omdat
d)
(−28) : (−7)
=
omdat
(+8) : (+4) =
aa r
Voorbeelden (−8) : (−2) =
(−6) : (+2) =
(+9) : (−9) =
pl
Toestandsteken van het quotiënt (−) : (−) →
(−) : (+) →
(+) : (−) →
xe m
(+) : (+) →
(+3) ⴢ (+8) = 24
Het quotiënt van twee factoren met
Het quotiënt van twee factoren met
eenzelfde teken is
een verschillend teken is
Opmerkingen
−25 : 2
僆
⺪
• Delen door 0 is onmogelijk.
−17 : 0
僆
⺪
In ki
jk e
• Het quotiënt van twee gehele getallen is niet altijd een geheel getal.
Schrijfwijze van de deling • Kortere schrijfwijze
(+28) : (+7) =
28 : 7
(−54) : (−9) =
=
(−27) : (+3) =
=
(+36) : (−4) =
−27 : 3
= =
• Breuknotatie Een deling kun je ook noteren met een breukstreep. −28 = −28 : 4 4 =
−72 −9
= =
56 −7
= =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
281
Oefeningen REEKS A 52
Schrijf in elk vakje het teken van het quotiënt. −3
:
−4
1
4
−2
−1
6
−6
3
−360 156
aa r
−252 468
54
a)
−36 : 4
=
d)
56 : (−8) =
g)
−64 : (−8)=
b)
28 : (−7) =
e)
24 : 3
h)
48 : (−6) =
c)
−54 : 6
i)
−45 : 9
=
Bereken.
=
−42 : (−6)=
b) −221 : (−13) =
=
c) 12 012 : (−77) =
Zet een vinkje als het quotiënt een geheel getal is. a) 36 : (−1)
❒
b) −39 : 6
❒
In ki
1
f)
jk e
a) −1 416 : (−24) =
55
pl
Bereken het quotiënt.
xe m
53
c) 72 : (−8)
❒
d) −45 : 0
2 3
REEKS B
4 5 6
R
56
Bereken het quotiënt. a)
−120 : (−5) =
f)
−68 : (–4) =
k)
48 : (−3)
=
b)
84 : 3
=
g)
−96 : (−8) =
l)
−24 : (−1) =
c)
−64 : 16
=
h)
0 : (−35)
m) −98 : 7
d)
−65 : 65
=
i)
−45 : (−3) =
n)
−84 : (−7) =
e)
−38 : 19
=
j)
42 : (−14) =
o)
92 : (−4)
7 8 9
=
=
10 11 12 13
282
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
=
❒
€
57
Het gaat niet altijd even goed met het bedrijf ‘Speelmobiel’. In het diagram vind je de maandresultaten voor het jaar 2018. 4 000 3 000 2 000 1 000 0
4 1
2
5
6
3
9 7
8
12 10
11
–1 000
aa r
–2 000 –3 000 –4 000
pl
a) In januari 2019 was het verlies de helft van het verlies in dezelfde maand van 2018. Hoeveel bedroeg het verlies?
xe m
b) In maart 2019 was het verlies een zevende van het verlies in dezelfde maand van 2018. Hoeveel bedroeg het verlies? c) In april 2019 maakten ze opnieuw winst. De winst was een derde van de winst in april 2018. Hoeveel bedroeg de winst?
Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?
a)
In ki
58
jk e
d) In juli 2019 was het verlies een vijfde van het verlies in dezelfde maand van 2018. Hoeveel bedroeg het verlies?
0
10
b)
c)
–72
d)
e)
–12
–52
–35
–18
0
0
–6
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
283
a)
−66 = 3
d)
42 3
=
g)
−91 −7
=
b)
−92 = 4
e)
−65 = −13
h)
76 −4
=
c)
−57 3
f)
78 −6
i)
84 12
=
=
Vul op de kortst mogelijke manier aan. Plaats alleen haakjes als het nodig is. −7 ⴢ
= −28
b)
e)
ⴢ (−4) = 16
f)
c)
−9 ⴢ
= 54
g)
d)
63 :
=–9
h)
REEKS C
−12 :
= −4
i)
ⴢ (−9) = 72 5ⴢ
j)
= −45
: (−8) = 7
−56 :
=8
k)
ⴢ (−8) = 0
l)
: (−6) = −9
Welke gehele getallen horen op de invullijntjes?
b)
c)
3
1
–17
d)
36
13
13
In ki
1
jk e
a)
2
: 6 = −7
aa r
a)
61
=
pl
60
Bereken het quotiënt.
xe m
59
–20
22
3 4 5
62
Vul aan.
6 7
a)
−140
= −35
d)
−72
=6
g)
−4
= −21
−84
j) −(
= −7 )
8 9
b)
10
−9
=9
e)
= −12
f)
11 12
c)
−6
13
284
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
−6 −128
= 12
h)
= −8
i)
7 78
= 15
k)
= −13
l)
81
−5
= −3
= 21
8.2.6 Machten Inleiding 53
= 5
(−1) =
Rekenregel
5ⴢ5ⴢ5
= 125
3
=
4
=
(−2) =
(−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) ⴢ (−1) =
(−3) =
Macht van een positief en negatief getal • Een macht van een positief getal is altijd
aa r
• Een macht van een negatief getal is positief als negatief als
0
.
.
Lees je als
jk e
Opmerking 3
᭙b 僆 ⺪: b 1 =
(−5) =
xe m
᭙ Lees je als
(−2) =
1
᭙a 僆 ⺪: a =
(−7) 0 =
:
pl
Bijzondere machten
(−2) ⴢ (−2) ⴢ (−2)
4
In ki
(−2) =
=
−2 3 =
=
=
−2 4 =
=
Voorbeelden 7
(−1) =
2
(−3) =
−4 3 =
−5 2 =
REKENMACHINE
Let goed op voor de haakjes bij het ingeven van machten in je rekenmachine. 2
Voorbeeld: (−36) =
Voorbeeld: −36 2 =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
285
Oefeningen REEKS A
2
d)
(−3) =
2
e)
(−1)
0
f)
(+7)
3
d)
(−4) =
4
e)
(+7)
(−3) =
b)
(+6) =
c)
(−2) =
a)
(−9) =
b)
(−8) =
c)
(+6) =
3
2
h)
(−1)
1
=
i)
(−8) =
4
6
=
2
8
g)
(+2) =
=
3
(−5) =
12
h)
(−2) =
i)
(−3) =
5
jk e
Kleur alle hokjes met een negatief resultaat.
共−2兲
4
共−7兲
2
33
(−14)
(−12)
3
In ki
1
(+4) =
=
6
f)
2
g)
5
Bereken.
REEKS B 65
3
aa r
a)
pl
64
Bereken de macht.
xe m
63
71
(−8)
3
12
−3 6
(−13)
4
12 3
1 17
8
75
(−15)
(−6)
4
2
(−5)
5
(−1)
−15 4
47
(−11) (−7)
2
(−9)
7
(−8)
7
2
1
2
(−1)
(−9)
2
11
(−13)
2
(−9)
3
(−12)
9
−2 11
13 9
−3 6
(−5)
8
0
(−2)
4
−9 8
(−7)
2
−5 2
33
68
(−6)
4
4 5 6
(−7) 85
(−2)
16 5
11 7
7 8 9 10 11
15 2 (−12)
(−9)
8
(−9)
5
−13
(−8)
6
(−11)
2
13 5
12 13
286
2
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
5
−4 4 8
3
87 (−1)
(−14) 8
−1 4
(−11)
3
35
(−6)
3
(−2)
6
−6 2
10
(−5)
6
(−2)
(−3)
1
(−7)
13
8
5
−4 8
(−11)
55
−3 5
85
4
−8 2
65
−12 2
(−8)
(−7)
(−7)
10
12 3
7
(−7)
8
(−9)
8
(−8)
6
67
Bereken. 2
g)
(−5) =
3
m) (−3) =
(+2) =
3
h)
(+4) =
3
n)
−4 3
=
c)
−3 3
=
i)
(−9) =
1
o)
−7 0
=
d)
(−7) =
j)
−2 5
=
p)
18
=
e)
−8 2
=
k)
52
=
q)
(−3) =
f)
(−3) =
l)
(−1)
=
r)
−6 2
a)
(−3) =
b)
2
1
Bereken.
3
=
a) −2 + 3 =
d) 2 2
=
g) (−2)
3
=
j) −2 − 3
b) 3 2
e) −3 2
=
h) 2 ⴢ 3
=
k) 2 ⴢ (−3) =
i) (−3) 2
=
l) 2 − 3
=
c) −2 ⴢ 3 2 =
f) −2 ⴢ (−3) =
=
=
xe m
REEKS C 68
6
0
aa r
66
pl
R
Schat het resultaat. Een van de dertig resultaten bij de mogelijke antwoorden is het juiste. Zet de letter van het passende antwoord naast de opgave.
jk e
opgave
− 401 2
mogelijke antwoorden
161 604
A
90 601
G
8 051
P
−160 000
A
−6 859
G
−19 587
P
−160 001
B
−98 181
K
−8 001
R
3
125 001
B
−48 181
K
160 004
R
−399 2
−159 201
D
−65 871
M
−3 027
S
−21 3
−132 651
D
−63 592
M
160 000
S
−160 801
E
−9 261
N
−162 001
T
−89 401
E
160 001
N
158 254
T
−299 2
25 431
F
90 001
O
−8 962
V
3
96 547
F
160 801
O
−14 826
V
2
2
In ki
(−301)
(− 402)
(−51)
(− 401) −20 4
(−19)
2
Welke korte zin kun je vormen met de verkregen letters?
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
287
8.2.7 Vierkantswortels Inleiding Er is een verband tussen machten en vierkantswortels. Omdat 7 2
= 49
is 7 een vierkantswortel van 49. 2
Omdat (−7) = 49
aa r
is −7 ook een vierkantswortel van 49.
Benamingen
冪49
7 noemen we de positieve vierkantswortel van 49.
=7
−冪49 = −7
−7 noemen we de negatieve vierkantswortel van 49.
pl
De positieve vierkantswortel van een getal noem je voortaan de vierkantswortel van dat getal.
冪121 =
Opmerking
xe m
Voorbeelden −冪144 =
冪25=
−冪36 =
jk e
• Vierkantswortels van negatieve getallen 冪−36 =
Negatieve getallen hebben geen vierkantswortels omdat
In ki
1
omdat
2 3 4
• Vierkantswortels van 0
5 6 7
−冪0 =
omdat
冪0 =
0 heeft maar één vierkantswortel, namelijk
.
8 9 10
REKENMACHINE Voorbeeld: −冪289 =
11 12 13
288
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
omdat
Oefeningen REEKS A
a)
冪16
=
d)
−冪100 =
g)
冪25
b)
−冪4
=
e)
冪81
h)
−冪36 =
c)
−冪9
=
f)
−冪49 =
i)
−冪64 =
a)
−冪256
=
d)
冪576
b)
−冪289
=
e)
−冪1 369 =
c)
冪441
=
f)
g)
−冪784
−冪961
=
=
h)
−冪529
=
i)
冪1 521
=
Bereken indien mogelijk. a)
−冪121
=
d)
−冪225
=
g)
−冪144
=
−冪400
=
e)
冪−196
=
h)
冪−900
=
f)
−冪10 000 =
i)
−冪−100
=
In ki
b)
jk e
71
=
aa r
Bereken de vierkantswortels.
REEKS B
R
=
=
pl
70
Bereken de vierkantswortel.
xe m
69
c)
冪−169
=
REEKS C
72
Omcirkel de opgave die hoort bij het gegeven resultaat. a) −17
b) 403
c) –45
冪−289
−冪219
冪162 409
−冪−172 409
−冪9 000
−冪2 025
−冪289
−冪200
冪152 409
冪161 348
−冪1 625
−冪2 690
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
289
8.3
Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen
8.3.1 Wisselen Optelling en aftrekking optelling 8 + (−7)
−7 + 8
=
−5 + (−9) =
=
8 – (−7) =
−7 – 8
=
−9 + (−5) =
−5 – (−9) =
−9 – (−5) =
Het verschil verandert als je de termen van plaats wisselt.
Je zegt: De optelling van gehele getallen is commutatief.
Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet commutatief.
Optelling is commutatief
aa r
De som verandert als je de termen van plaats wisselt.
pl
Besluit
aftrekking
De optelling van gehele getallen is commutatief.
xe m
In symbolen:
Vermenigvuldiging en deling
vermenigvuldiging 8 ⴢ (−2)
=
=
−3 ⴢ (−9) =
jk e
−9 ⴢ (−3) =
−2 ⴢ 8
−9 : (−3) =
Besluit
=
−3 : (−9) =
Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.
Je zegt: De deling van gehele getallen is niet commutatief.
Vermenigvuldiging is commutatief
4
De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief.
5
In symbolen:
6 7 8 9 10 11 12 13
290
−2 : 8
Het quotiënt verandert als je de factoren van plaats wisselt.
2 3
=
Het product verandert als je de factoren van plaats wisselt.
In ki
1
8 : (−2)
deling
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
8.3.2 Schakelen Optelling en aftrekking optelling −3 + 2 + 5
=
=
7 − (−4) − 2 =
=
(−3 + 2) + 5 =
=
[7 − (−4)] − 2 =
=
−3 + (2 + 5) =
=
7 − [(−4) − 2] =
=
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
Je zegt: De optelling van gehele getallen is associatief.
Je zegt: De aftrekking van gehele getallen is niet associatief.
Optelling is associatief
aa r
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
pl
Besluit
aftrekking
De optelling van gehele getallen is associatief.
xe m
In symbolen: Vermenigvuldiging en deling
vermenigvuldiging −3 ⴢ (−2) ⴢ (−4)
=
=
8 : (−4) : (−2)
=
=
=
[8 : (−4)] : (−2) =
=
8 : [−4 : (−2)]
=
jk e
[−3 ⴢ (−2)] ⴢ (−4) = −3 ⴢ [(−2) ⴢ (−4)] =
=
=
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
Je zegt: De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief.
Je zegt: De deling van gehele getallen is niet associatief.
In ki Besluit
deling
Vermenigvuldiging is associatief De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief In symbolen:
Opmerking De commutativiteit en de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging gebruik je veel bij hoofdrekenen. • −44 + 28 + (−36) = −44 + (−36) + 28 • −25 ⴢ [13 ⴢ (−4)]
=
[−44 + (−36)] + 28
=
−80 + 28
=
−52
=
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
291
8.3.3 Verdelen optelling verdelen
haakjes uitrekenen
verdelen
haakjes uitrekenen
−2 ⴢ [3 + (−5)]
−2 ⴢ [3 + (−5)]
−3 ⴢ [4 − (−2)]
−3 ⴢ [4 − (−2)]
=
=
=
=
=
=
=
=
Je mag de vermenigvuldiging verdelen over
Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking.
Distributiviteit
aa r
Je mag de vermenigvuldiging verdelen over
Distributiviteit
pl
Besluit
aftrekking
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen.
xe m
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen. In symbolen:
In symbolen:
Je kunt die eigenschap in twee richtingen toepassen:
jk e
• een factor vermenigvuldigen met een som (of verschil): a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c Los de volgende oefeningen op met de distributiviteit. −4 ⴢ (−5 + 8)
6 ⴢ [−3 − (−5)] =
In ki
1
=
2 3
−3 ⴢ (−a − 8)
=
4 5 6 7
• de gemeenschappelijke factor in een som (of verschil) afzonderen: a ⴢ b + a ⴢ c = a ⴢ (b + c) Als er in een som of een verschil in de verschillende termen eenzelfde factor voorkomt, kun je die met de distributiviteit afzonderen. −4 ⴢ 7 + (−4) ⴢ (−3)
= −4 ⴢ 7 + (−4) ⴢ (−3) = −4 ⴢ [7 + (−3)] = −4 ⴢ (7 − 3)
8 9 10 11
Zonder de gemeenschappelijke factoren af. 3 ⴢ (−8) + (−2) ⴢ (−8) = −4 ⴢ a + (−3) ⴢ a
12 13
292
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
=
Oefeningen REEKS A 73
Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave
schakelen
verdelen
−2 + 3 = 3 + (−2)
❒
❒
❒
b)
2 ⴢ (−5 + 3) = 2 ⴢ (−5) + 2 ⴢ 3
❒
❒
❒
c)
−7 ⴢ 8 = 8 ⴢ (−7)
❒
❒
❒
d)
4 + (−6 + 8) = [4 + (−6)] + 8
❒
❒
❒
e)
(−8 + 6) ⴢ 4 = – 8 ⴢ 4 + 6 ⴢ 4
❒
❒
❒
f)
- 4 ⴢ (−5 – 8) = [−4 ⴢ (−5)] − (−4 ⴢ 8)
❒
❒
❒
g)
[9 + (−4)] + (−8) = 9 + 关−4 + 共−8兲兴
❒
❒
❒
h)
−7 ⴢ 5 + 6 ⴢ (−7) = (5 + 6) ⴢ (−7)
❒
❒
❒
i)
−2 ⴢ [4 ⴢ (−3)] = (−2 ⴢ 4) ⴢ (−3)
❒
❒
❒
j)
−9 + (−5) = −5 + (−9)
❒
❒
❒
pl
aa r
a)
xe m
74
wisselen
Bereken door te verdelen.
b) −7 ⴢ 19 =
c) 12 ⴢ (−6) =
In ki
jk e
a) −8 ⴢ 13 =
REEKS B 75
Toon aan met een getallenvoorbeeld. a) Bij de aftrekking mag je niet wisselen. 9 – (−5) =
b) Bij de deling mag je niet schakelen. (−8 : 4) : (−2) =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
293
Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave
associatief
distributief
a)
−4 + (−8) + 7 = −4 + 7 + (−8)
❒
❒
❒
b)
−3 ⴢ (8 ⴢ 7) = (−3 ⴢ 8) ⴢ 7
❒
❒
❒
c)
−2 ⴢ (5 + 8) = −2 ⴢ 5 + (−2) ⴢ 8
❒
❒
❒
d)
−6 + [6 + (−2)] = (−6 + 6) + (−2)
❒
❒
❒
e)
(3 + 4) + 5 = 5 + (3 + 4)
❒
❒
❒
f)
5 ⴢ (−8 − 6) = 5 ⴢ (−8) − 5 ⴢ 6
❒
❒
❒
Schrijf een factor als een optelling of een aftrekking. Bereken met de distributiviteit. a)
−7 ⴢ 102 =
b)
−11 ⴢ (−15) =
d)
6 ⴢ (−53) =
g)
–43 ⴢ 21 =
e)
−67 ⴢ (−9) =
h)
99 ⴢ (−17) =
f)
−20 ⴢ 23 =
i)
−87 ⴢ (−99) =
jk e
In ki
1
xe m
pl
77
commutatief
aa r
76
2 3 4 5
c)
98 ⴢ (−8) =
6 7 8 9 10 11 12 13
294
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
78
Welke eigenschap herken je? opgave
−7 + (−6 + 4) = [−7 + (−6)] + 4
c)
[6 + (−4)] ⴢ 2 = 6 ⴢ 2 + (–4) ⴢ 2
d)
−9 ⴢ (−6) = −6 ⴢ (−9)
e)
−2 ⴢ 6 + (−2) ⴢ (−3) = −2 ⴢ [6 + (−3)]
Zonder de gemeenschappelijke factor af. a)
−5 ⴢ 8 + 4 ⴢ 8
=
d)
−9 ⴢ 8 – 4 ⴢ (−9) =
b)
7 ⴢ (−3) + (−3) ⴢ 4 =
e)
7 – 7 ⴢ (−8)
=
−2 ⴢ 4 – 8 ⴢ 4
f)
−5 + 4 ⴢ 5
=
=
In ki
c)
80
pl
b)
aa r
De optelling met gehele getallen is commutatief.
xe m
7 + (−8) = −8 + 7
jk e
79
a)
eigenschap
Bereken.
a) −73 ⴢ 9
=
f) −102 ⴢ (−23) =
b) 47 ⴢ (−11)
=
g) 99 ⴢ (−107)
=
c) −19 ⴢ 33
=
h) –42 ⴢ 201
=
d) −12 ⴢ (−15)
=
i)
1 002 ⴢ (−38) =
e) −81 ⴢ 21
=
j)
−101 ⴢ (−93) =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
295
REEKS C Vink de gebruikte eigenschap aan. opgave
associativiteit
distributiviteit
a)
–c + d = d + (–c)
❒
❒
❒
b)
k ⴢ (–l – m) = k ⴢ (–l ) – k ⴢ m
❒
❒
❒
c)
f ⴢ (–g + h) = f ⴢ (–g) + f ⴢ h
❒
❒
❒
d)
u + [v + (−w)] = (u + v) + (–w)
❒
❒
❒
e)
(x + y) + (–z) = x + 关y + 共−z兲兴
❒
f)
e ⴢ (−f ) = −f ⴢ e
❒
g)
–r ⴢ s + (–r) ⴢ t = –r ⴢ (s + t)
❒
h)
p ⴢ [q − (−r)] = p ⴢ q – p ⴢ (–r)
❒
❒
❒
❒
❒
pl
❒
❒
xe m
❒
Werk uit met de distributiviteit. a)
b)
c)
5 ⴢ (−7 − b)
d)
In ki
1
−4 ⴢ (−a + 8)
jk e
82
commutativiteit
aa r
81
−8 ⴢ [c + (−d)]
e)
共−g − h兲 ⴢ 共−w兲
e ⴢ [−3 + (−f)]
f)
−k ⴢ (−m + n)
2 3 4
83
Zonder de gemeenschappelijke factor af en bereken indien mogelijk.
5 6 7
a)
−7 ⴢ a + 9 ⴢ a
=
e)
f + (−7) ⴢ f
=
b)
2 ⴢ (−b) + (−b) ⴢ 3 =
f)
g ⴢ h + h ⴢ (–m)
=
c)
−8 ⴢ c + d ⴢ (−8) =
g)
−m + p ⴢ m
=
d)
–a ⴢ b + c ⴢ b
h)
−2 ⴢ b + b ⴢ 3 + b =
8 9 10 11 12 13
296
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
=
❒
8.3.4 Toepassingen op de eigenschappen van bewerkingen Tegengestelde van een som Het tegengestelde van een geheel getal vind je door dat getal te vermenigvuldigen met −1. Voorbeeld: −(8) = −1 ⴢ 8 = −8 → 8 en −8 zijn tegengestelde gehele getallen. Op dezelfde manier kun je met de distributiviteit het tegengestelde van een som bepalen. Voorbeeld: −(4 + 5) = −1 ⴢ (4 + 5) = (−1) ⴢ 4 + (−1) ⴢ 5 = −4 + (−5) Vaststelling
Het tegengestelde van de som van twee gehele getallen is de som
aa r
In symbolen: −(a + b) =
Gedurige som
pl
5 + (−4) + (−2) + 7 is een gedurige som. Het is een optelling met meer dan twee termen. Een gedurige som kun je op verschillende manieren oplossen. Je maakt gebruik van de associativiteit en de commutativiteit.
xe m
Voer de optellingen uit van links naar rechts.
5 + (− 4) + (−2) + 7 = (5 + 7) + [−4 + (−2)] = 12 + (−6) =6
jk e
5 + (−4) + (−2) + 7 = 1 + (−2) + 7 = −1 + 7 =6
Tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op en tel de verkregen sommen op.
Vereenvoudig de opgave en tel de positieve termen en de negatieve termen afzonderlijk op.
5 + (−4) + (−2) + 7 =5−4−2+7 = 12 − 6 =6
Opmerking
In ki
• 8 − 5 + 3 − 6 kun je ook schrijven als een gedurige som: Je kunt elke aftrekking als een optelling schrijven.
• Tegengestelde van een gedurige som: −[2 + 5 + (−6)] =
Haakjesregel
De haakjesregel gebruik je om haakjes in een gedurige som weg te werken. • Plusteken voor de haakjes Omdat het optellen van gehele getallen associatief is, mag je de haakjes gewoon weglaten. Voorbeeld: −5 + [6 + (−3)] = • Minteken voor de haakjes Je gebruikt het tegengestelde van een (gedurige) som om de haakjes weg te werken. Voorbeelden: −8 − (7 + 6) = −8 − 7 + (−6) = 9 − (−4 + 6 − 5) =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
297
Plusteken en minteken voor de haakjes
Besluit
Plusteken voor de haakjes:
Minteken voor de haakjes:
−6 − (−4 + 7)
=−6+4−7=
9 + (−4 + 8)
=
aa r
Schrijf de volgende gedurige sommen eerst zonder haakjes en bereken daarna de som.
−3 − [9 + (−6)] = =
pl
5 + (4 – 9)
Gedurig product
xe m
7 − [−9 − (−6)] =
Een gedurig product is een vermenigvuldiging met meer dan twee factoren. Voorbeeld: −2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) is een gedurig product. Een gedurig product kun je op twee manieren oplossen.
−2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = −14 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = 56 ⴢ (−3) = −168
In ki
1
jk e
Voer de vermenigvuldigingen uit van links naar rechts.
2
Tel het aantal negatieve factoren: • bij een even aantal is het product positief; • bij een oneven aantal is het product negatief. − 2 ⴢ 7 ⴢ (−4) ⴢ (−3) = −(2 ⴢ 7 ⴢ 4 ⴢ 3) = −(14 ⴢ 4 ⴢ 3) = −(56 ⴢ 3) = −168
3 4 5
Opmerking
Je kunt factoren van plaats wisselen (de vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief), en zo het vermenigvuldigen vereenvoudigen.
6 7 8
Bereken de producten. −2 ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ 4
−4 ⴢ 7 ⴢ (−25) ⴢ 共−5兲
8 ⴢ 7 ⴢ (−125) ⴢ 9
= −2 ⴢ (−5) ⴢ 3 ⴢ 4
=
=
=
=
=
=
=
=
9 10 11 12 13
298
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
Oefeningen REEKS B
5 + (−8) + (−9) + 8
=
b)
−9 + (−6) + (−8) + 7
=
c)
−3 + 2 + 5 + 5 + (−6)
=
d)
8 + (−7) + 9 + (−3) + 5
=
Bereken de gedurige sommen.
86
a)
7 + (−8 + 3)
b)
4 − (3 − 6)
c)
87
b)
−55 + 26 + (−87) + (−81) + 95 =
Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken.
−8 − (−5 + 2)
In ki
R
45 + (−26) + (−38) + 78 =
pl
a)
aa r
a)
xe m
85
Bereken de gedurige sommen.
d)
−(−13 + 16) + 7
g)
18 − (−17 − 12)
e)
−19 + (−15 + 9)
h)
−15 + (−13 + 15)
f)
5 + (−8 + 15)
i)
13 − (12 − 17)
jk e
84
Bereken de gedurige producten. a)
−1 ⴢ (−4) ⴢ (−2) ⴢ (−5) =
b)
−2 ⴢ (−4) ⴢ 5 ⴢ (−3)
=
c)
−10 ⴢ (−3) ⴢ 2 ⴢ 4
=
d)
5 ⴢ (−2) ⴢ 6 ⴢ (−1)
=
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
299
88
Bereken de gedurige producten. a)
25 ⴢ (−18) ⴢ (−12)
54 ⴢ (−8) ⴢ 47 ⴢ (−12)
b)
=
89
−8 ⴢ 9 ⴢ (−3) ⴢ 5 ⴢ (−7)
c)
=
=
Beantwoord de vragen bij het staafdiagram. gemiddelde maandelijkse temperatuur in Quebec (Canada)
25 temperatuur (in °C )
15 10 5 0 –5
1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
pl
–10
5
aa r
20
–15
xe m
maand
Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de zomermaanden juli en augustus.
b)
Bereken de gemiddelde temperatuur gedurende de eerste drie maanden.
c)
Bereken de gemiddelde jaarlijkse temperatuur.
In ki
1
jk e
a)
2 3 4
90
Bereken. a)
15 – (−5) + (−16) – 12
=
b)
−4 ⴢ (−9) ⴢ (−25) ⴢ 6
=
c)
−16 + 5 – 9 – 25 + 16
=
d)
−6 ⴢ (−5) ⴢ 4 ⴢ (−5) ⴢ 15
=
e)
−17 – 20 + (−14) – (−26) + 18
=
f)
125 ⴢ (−7) ⴢ (−8) ⴢ (−2) ⴢ (−6)
=
g)
20 + (−13) + (−15) + 13 + (−14)
=
5 6 7 8 9 10 11 12 13
300
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
12
91
Een stuntpiloot vliegt op een hoogte van 750 meter. Hij daalt 185 meter en schiet daarna pijlsnel 315 meter omhoog. Op die hoogte vliegt hij daarna verder. Op welke hoogte vliegt hij dan?
Antwoordzin:
92
De jaarresultaten van twee bedrijfjes werden in een tabel gezet. Beantwoord de vragen. 2015
2016
2017
2018
2019
VAN UIT
+ € 25 000
+ € 30 000
+ € 18 000
+ € 15 000
+ € 21 000
HET SCHRIFT
+ € 10 000
− € 2 500
− € 13 000
+ € 7 000
+ € 17 000
aa r
€
pl
a) In welk jaar maakte het bedrijf ‘HET SCHRIFT’ de grootste vooruitgang?
b) In welk jaar was het verschil tussen de resultaten van de bedrijven het grootst?
xe m
c) Bereken het gemiddelde resultaat van de eerste vier jaar van het bedrijf ‘HET SCHRIFT’.
d) Bereken het gemiddelde jaarresultaat van de twee bedrijven over de gegeven vijf jaar. VAN UIT:
93
jk e
HET SCHRIFT:
Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken. 8 + (9 − 15) − (−14 + 16)
b)
c)
d)
−(25 – 10) + (−15 – 17 + 23) – 25
=
=
=
=
In ki
a)
29 – (22 – 27) + (−15 + 30)
e)
−(−20 + 10 – 1) – (15 – 7 – 25)
=
=
=
=
−20 – (23 – 17) + (23 – 16)
f)
24 + (17 + 5) – (−8 – 13 + 15)
=
=
=
=
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
301
a)
3+4+5=3+(
)
c)
2+5–6=2+(
)
e)
2–8–6=2−(
)
b)
6+4+5=6−(
)
d)
8+3–5=8−(
)
f)
9–5–8=9+(
)
Bereken. a)
(−5) + 7 + 8 + (−9) + (−6)
=
b)
2 ⴢ (−4) ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ (−1)
=
c)
−8 + [6 + (−7)] + 5 – (6 + 3)
=
d)
−5 ⴢ (−1) ⴢ 7 ⴢ (−2) ⴢ (−1) ⴢ (−4)
=
e)
1 – (2 + 5) + 3 + 8 – (−9 + 8)
=
f)
2 ⴢ (−7) ⴢ (−8) ⴢ 3 ⴢ (−5) ⴢ 0 ⴢ (−1) ⴢ 4
=
Schrijf de gedurige producten zo eenvoudig mogelijk. a)
2aba(−3)
b)
−4x2(−x)
c)
=
jk e
=
97
xe m
REEKS C 96
aa r
95
Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de getallen uit de opgave.
pl
94
3(–x)(–y)2y (–x)6x =
Werk de haakjes weg en reken zo ver mogelijk uit. a)
In ki
1
4 – (a + 2)
b)
−12 + (–4 – a)
c)
(−24 + b) – (9 – a)
b)
– (–a + b) + (c – d)
c)
a – [b – (–c + d)]
c)
q+r–s
2 3 4
98
Werk de haakjes weg.
5
a)
6
a – (−b – c + d)
7 8 9 10 11 12
99
Vul aan tussen de haakjes. Gebruik de letters uit de opgave. a)
a–b+c =a+(
13
302
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
b) )
x+y+z =x−(
)
=q−(
)
8.4
De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen Inleiding
Volgorde van de bewerkingen
Afspraak
( ), [ ]
1) Bewerkingen tussen haakjes
a , 冪a n
2) Machten en vierkantswortels 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
= =
+, −
4 ⴢ (−8 + 5) : (−6)
−7 2 + (−8) ⴢ 6 : (−4)
=
=
=
=
=
=
jk e
Opmerking
xe m
Voorbeelden
=
ⴢ, :
pl
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
−2 + 5 ⴢ 4
aa r
De volgorde waarin je de bewerkingen uitvoert, kan het resultaat beïnvloeden. Bij de gehele getallen gebruik je dezelfde volgorde als bij de positieve getallen.
2
Alles wat onder het wortelteken staat, moet eerst uitgewerkt worden alsof het tussen haakjes staat. 2 − 冪3 + 6
−3 ⴢ 冪2 − 7 ⴢ (−2)
冪4 + 12 − 冪9 − (8 − 3)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
In ki
=
REKENMACHINE
Het is vaak gemakkelijker om eerst de oefening te vereenvoudigen en dan pas in te geven in je rekenmachine. Probeer maar eens met het onderstaande voorbeeld. Voorbeeld: (−4 ⴢ 冪6 + 9 : 3) : [5 − (−1)] =
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
303
Oefeningen REEKS A Bereken. f)
(−2) ⴢ (−5)
b)
−2 ⴢ (3 + 5)
g)
−6 − 冪9
c)
5 − 9 ⴢ (−2)
h)
3 ⴢ (−2) 3
d)
−8 − 4 : 2
e)
2
(−3) + 4 2
j)
k)
8 − (−8) : 4
l)
2 2 ⴢ (–4)
m) 6 + (−9) : 3
xe m i)
In ki
1
2
pl
−2 + 6 : 2
aa r
2
a)
jk e
100
12 : (−14 + 8)
n)
冪8 − (−1)
−8 ⴢ 冪16
o)
−42 : (−7) + (−5)
2 3 4
101
Bereken.
5 6 7
a)
−84 : 12 + (−15) =
f)
冪−4 + 60 : 3
b)
−冪864 : 6
=
g)
17 − 4 2 ⴢ (−29) =
c)
−4 3 − 38
=
h)
−35 − 5 3 ⴢ 12
d)
27 − (−8 ⴢ 13)
=
i)
−75 : 冪117 : 13 =
e)
−94 + 3 4
=
j)
冪5 3 − 2 2
=
8 9 10
=
11 12 13
304
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
=
REEKS B 102
Bereken. a)
3 ⴢ (−5) – 6 ⴢ 2
f)
(3 − 24) : (−24 : 8)
b)
13 ⴢ (−3) + 5 2 : 5
g)
−10 : (−2) – 冪4 ⴢ 5
c)
−4−冪18 − 2 ⴢ 7
pl
aa r
R
冪9 2 − 8 2 + 2 3
2 ⴢ [3 + (−6) : 3]
i)
−2 + 冪64 : (−2) ⴢ 2 2
j)
冪29 + [8 : (−9 + 7)]
In ki
d)
jk e
xe m
h)
e)
−25 ⴢ 冪8 + 2 ⴢ 4
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
305
104
Bereken. a)
[−47 − (35 − 73)] ⴢ 12
=
f)
[(−14 + 3 2) − 3 1] ⴢ (−2 3) =
b)
8 − [−23 + (−58)] : (−9) =
g)
冪−32 + 36 ⴢ 8 − 17
=
c)
−56 : [47 + (−2 3 ⴢ 5)]
h)
84 : 冪(25 − 37) : 共−3兲
=
d)
冪1 ⴢ (−7) + (−288) : (−9) =
i)
冪576 − 12 3 : (−37 + 61) =
e)
(138 − 242) : (−136 : 17) =
j)
−15 2 − 冪14 2 − (37 − 66) =
=
Schrijf de opgave als één uitdrukking en bereken.
aa r
103
Antwoordzin:
xe m
pl
a) Rita doet boodschappen. Ze koopt 6 flessen fruitsap aan € 1 het stuk, een bloemkool voor € 2, een zak aardappelen voor € 4 en voor € 7 hamburgers. Aan de kassa geeft ze een kortingsbon af ter waarde van € 1 voor het fruitsap. Hoeveel moet ze betalen?
jk e
b) Malik behaalde zes keer 8 en zeven keer 9 op 10 voor zijn taken van wiskunde. Helaas had hij ook een slechte dag waarop hij maar 1 op 10 behaalde voor een taak. Hoeveel behaalde Malik gemiddeld op die veertien taken?
Antwoordzin:
In ki
1
c) Oom Eddy is een verwoed kaarter. Vorige maand won hij twee keer 16 cent en één keer 22 cent. Hij verloor helaas ook drie keer 12 cent. Bereken zijn gemiddelde resultaat over de zes partijen.
2 3 4
Antwoordzin:
5 6 7 8 9
d) Pa wil tijdens de vakantie enkele klusjes afwerken. Hij gaat naar de doe-het-zelfzaak met het volgende boodschappenlijstje: twee zakken gips van € 8, zes gipskartonplaten van € 9, een emmer muurverf van € 56 en een nieuwe boormachine voor € 129. Voor vaderdag kreeg hij twee tegoedbonnen van € 25 voor deze winkel. Hij wisselt ze in. Hoeveel moet hij uiteindelijk betalen?
10 11
Antwoordzin:
12 13
306
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
Bereken. a)
−22 : 关冪144 + 5 : (−12 + 7)兴
c)
2 ⴢ (−4) – 3 ⴢ (−8 + 9)
b)
−冪12 2 − 80 − 冪6 − 42 : (−14)
d)
−冪196 + 5 ⴢ (−3) : 冪9 − 8 2
2
aa r
2
REEKS C 106
Bereken.
[5 2 − (25 − 3 3)] : 冪17 + (2 3 − 4 2)
c)
5 + 冪4 3 − 冪25 ⴢ 3 − (−3) ⴢ 5 + 10
d)
冪8 ⴢ [7 − (8 − 6)] + (−3 ⴢ 5)
In ki
jk e
a)
xe m
pl
105
b)
冪8 2 − 5 2 + 5 ⴢ 2 − (−5) ⴢ (−2) + 3
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
307
STUDIEWIJZER Gehele getallen voor de leerling
8.1 De gehele getallen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Een geheel getal is een natuurlijk getal voorzien van een toestandsteken. De absolute waarde van een geheel getal is dat getal zonder toestandsteken. Het tegengestelde van een geheel getal is het getal met dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken. Het symbool ⺪ als verkorte notatie voor de verzameling van de gehele getallen.
KUNNEN
KENNEN
pl
8.2 Bewerkingen met gehele getallen
aa r
Gehele getallen herkennen. De absolute waarde en het tegengestelde van een geheel getal bepalen. Gehele getallen ordenen. Gehele getallen voorstellen op een getallenas. Punten met negatieve coördinaatgetallen voorstellen in een assenstelsel.
−
+ −
+
−
+ −
+
In ki
1
jk e
xe m
Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen: • bereken je de som van de absolute waarden; • behoud je het teken. Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen: • bereken je het verschil van de absolute waarden; • behoud je het teken van het getal met de grootste absolute waarde. 0 heeft geen invloed op de optelling. Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. a − b = a + (−b) Twee gelijke opeenvolgende tekens vervang je door een plusteken. Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een minteken. Het product van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het product van twee factoren met een verschillend teken is negatief. 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is negatief. Een macht van een positief getal is altijd positief. Een macht van een negatief getal is: • positief als de exponent even is; • negatief als de exponent oneven is. Een positief geheel getal heeft een positieve en een negatieve vierkantswortel.
2 3 4 5
KUNNEN
6 7 8 9
Gehele getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Machten met een natuurlijke exponent van een geheel getal berekenen. Vierkantswortels van een (positief) geheel getal berekenen. Schatten van het resultaat van bewerkingen met gehele getallen. Vraagstukken met gehele getallen oplossen.
10 11 12 13
308
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
voor de leerling
8.3 Eigenschappen van bewerkingen met gehele getallen
−
KENNEN
voor de leerkracht
+ −
+
xe m
pl
aa r
De optelling van gehele getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 ⺪: a + b = b + a De vermenigvuldiging van gehele getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 ⺪: a ⴢ b = b ⴢ a De optelling van gehele getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 ⺪: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c De vermenigvuldiging van gehele getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 ⺪: (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) = a ⴢ b ⴢ c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling met gehele getallen. ᭙a, b en c 僆 ⺪: a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking met gehele getallen. ᭙a, b en c 僆 ⺪: a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c Het tegengestelde van een som van twee gehele getallen is gelijk aan de som van de tegengestelden van die twee getallen. −(a + b) = −a + (−b) = −a − b Als er tussen het eerste haakje en de eerste term binnen de haakjes geen teken staat, schrijf je op die plaats eerst een plusteken. Plusteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het plusteken weg en de tekens binnen de haakjes blijven behouden. Minteken voor de haakjes: we laten de haakjes en het minteken weg en de tekens binnen de haakjes veranderen.
KUNNEN
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
De eigenschappen van de bewerkingen herkennen en benoemen. De eigenschappen van de bewerkingen toepassen bij hoofdrekenen.
8.4 De volgorde van de bewerkingen met gehele getallen
jk e
KENNEN
De volgorde van de bewerkingen:
( ), [ ]
2) Machten en vierkantswortels
a n, 冪a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
ⴢ, :
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+, −
In ki
1) Bewerkingen tussen haakjes
KUNNEN
De volgorde van de bewerkingen toepassen in oefeningen en vraagstukken.
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
309
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
n boompjes wbedrijf werde u bo in tu n ee ze in 6 1. In obeerde men pr t rs Ee t. an gepl maar er ar te planten, rijen naast elka pjes over. in 8, in bleven 5 boom de planters ze en rd ee ob pr Daarna aar telkens n te planten, m 10 en in 12 rije a wat ompjes over. N bleven er 5 bo boompjes slisten ze om de be k er w n ke re n. elkaar te plante in 11 rijen naast er. ov es en boompj Zo bleven er ge geplant el boompjes er Bereken hoeve minder weet dat het er werden, als je . dan 1 000 zijn
aa r
concreet materiaal
2. Zoek de ze scijferige code met behulp va de onderstaan n de aanwijzinge n.
D D
xe m A+C=5
In ki
jk e
3. Vul het rast er zo in dat elke rij en elke kolo van 9 vakjes en m elk blok van 3 x 3 vakjes alle cijfers van 1 to t en met 9 beva t. Er is één unieke oplossing. Gokken is dus niet de juiste m ethode!
5
2
4
3 4 5
3
2
5
6
9
7
6
8 9 10 11
1 7
6 9
2 9
3
5
2
9
7
6
3
8 1 4
12 13
310
9
HOOFDSTUK 8 I GEHELE GETALLEN
3
1
C C
EE
B–D=5
1
B B
pl
A A
4
FF
E·F=6 B–E=3
in arels zitten er 4. Hoeveel badp e? piramidedoosj
B+C=6 A+D=6
dit
dige je een gelijkaar os do et h t da Stel g bevat. badparels hoo en ti n va e id m pira je dan? bevat het doos Hoeveel parels
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
9.1
Hoeken indelen volgens de hoekgrootte
9.2 De bissectrice van een hoek 9.4 Afstand Studiewijzer
aa r
9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen
₃₁₂ ₃₁₇ ₃₂₀ ₃₂₉ ₃₃₆ ₃₃₈
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
311
9.1
Hoeken indelen volgens de hoekgrootte
9.1.1 Inleiding Bepaal de grootte van de hoeken.
D A
aa r
— D=
—= G
xe m
pl
—= A
G
E
jk e
B
—= B
—= H
F
In ki
1
— E=
H
2 3
K
4
C
5 6 7
— C=
— F=
8 9 10
Op basis van de hoekgrootte kun je hoeken indelen.
11 12 13
312
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
— K=
9.1.2 Indeling Definitie
Nulhoek Een nulhoek is
Definitie
Scherpe hoek
Rechte hoek Een rechte hoek is
Definitie
Stompe hoek
Definitie
Gestrekte hoek
xe m
Een stompe hoek is
pl
Definitie
aa r
Een scherpe hoek is
Definitie
jk e
Een gestrekte hoek is
Inspringende hoek
In ki
Een inspringende hoek is
Definitie
Volle hoek
Een volle hoek is
Deel de hoeken uit de inleiding in volgens de hoekgrootte. — A
— F
— B
— G
— C
— H
— D
— K
— E
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
313
Oefeningen REEKS A 1
Welk soort hoek herken je? — A A
— B C
— C
F
D
aa r
— D
E
B
— E
2
Noteer de soort hoek.
— D = 98º
xe m
— = 109º A — = 90º B
— E = 89º
— C = 74º
— F = 180º
3
jk e
REEKS B
R
pl
— F
Welk soort hoek herken je?
In ki
1
— B
2 3
A
C
— C
4 5
B
— A
D
— D
6 7 8 9
R
4
Noteer de soort hoek. — = 95º A
— D = 360º
— = 0º B
— E = 175º
— C = 180º
— F = 90º
10 11 12 13
314
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
5
Welk soort hoek herken je? Gebruik geen inspringende hoek. —K TA K T
A
P
—P KA R
—M RA —P RA
M
aa r
—P TA —M KA
Welk soort hoek wordt gevormd tussen dij- en scheenbeen tijdens het stretchen? b)
c)
d)
In ki
jk e
xe m
a)
pl
6
7
Welk soort hoek is de kleinste hoek die gevormd wordt tussen de kleine en de grote wijzer? a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
315
8
Juist of fout? juist
fout
a) Een scherpe hoek is altijd kleiner dan 80º.
❒
❒
b) Alle stompe hoeken zijn even groot.
❒
❒
c) Alle gestrekte hoeken zijn even groot.
❒
❒
d) Een stompe hoek is altijd groter dan een rechte hoek.
❒
❒
9
Bepaal de hoekgrootte van de getekende hoeken. b)
pl
a)
aa r
REEKS C
A
xe m
B
—= A
10
—= B
Teken een hoek waarvan de hoekgrootte gegeven is.
b) — D = 325º
jk e
a) — C = 200º
In ki
1
2 3 4 5 6 7
11
Kleur de hoekgroottes van scherpe hoeken rood, van stompe hoeken groen en van inspringende hoeken blauw. 0º
90º
180º
0º
180º
90º
360º
0º
90º
0º
360º 180º
90º
180º 360º
180º 105º 360º
90º
360º
97º
90º
89º
25º
72º
90º
360º
90º
94º
360º
98º
180º 360º 210º 360º
78º
360º
90º
180º
90º
360º
0º
178º
90º
360º 180º 305º 187º 360º 180º
45º
62º
83º
360º
360º 180º
90º
100º 180º
0º
360º 195º
90º
360º
90º
14º
90º
90º
360º 145º 360º
90º
180º 245º 333º 199º 180º
39º
58º
7º
360º
190º 354º 182º 180º
8 9 10 11 12
0º
13
316
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
0º
90º
180º
0º
9.2
De bissectrice van een hoek
9.2.1 Inleiding
Op de klok is de secondewijzer niet afgebeeld.
A C
Bepaal de positie van de secondewijzer op de afbeelding.
aa r
B
—C. De grote en de kleine wijzer vormen B A Op het moment van de beeldopname deelt de secondewijzer die hoek in twee gelijke delen.
Definitie
pl
9.2.2 De bissectrice van een hoek De bissectrice van een hoek
xe m
De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
Een ander woord voor bissectrice van een hoek is deellijn. —. Voorbeeld: a is de deellijn van A
a
jk e
A
9.2.3 De bissectrice tekenen —. Teken de bissectrice b van B Werkwijze
In ki
ICT
stap 1: stap 2: stap 3: stap 4:
—. Meet de gegeven hoek B Deel de getalwaarde van de hoekgrootte door twee. Plaats een puntje bij het maatstreepje dat de helft van de hoek aangeeft. Teken de rechte b door het hoekpunt en het puntje bij het maatstreepje.
b
B
B
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
317
Oefeningen REEKS A 12
—? In welke situatie(s) is a de bissectrice van A a)
b)
c)
d)
a A
A a A
a
13
❒
Teken de bissectrice van de hoek.
❒
b)
jk e
xe m
a)
❒
pl
❒
a
aa r
A
A
In ki
1
B
2
REEKS B
3 4 5
14
Drie vliegtuigen vliegen in formatie. Teken de baan van het derde vliegtuig, als je weet dat die baan de deellijn is van de hoek gevormd tussen de banen van de getekende vliegtuigen.
6 7 8 9 10 11 12 13
318
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
15
Teken de bissectrice. b) De snijlijn verdeelt het stuk pizza in twee gelijke helften.
—B. —B zodat MC de bissectrice is van AM Teken AM
xe m
16
pl
aa r
a) De secondewijzer is de bissectrice van de hoek tussen de uur- en minutenwijzer.
C
jk e
M
In ki
A
REEKS C
17
Verdeel het overblijvende deel van de pizza in vier gelijke stukken.
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
319
9.3
Evenwijdige rechten en loodlijnen
9.3.1 Een evenwijdige rechte tekenen ICT
Teken b door A zodat b evenwijdig is met a. A A a
aa r
a
Hoeveel rechten kun je tekenen die door A gaan en evenwijdig zijn met a?
pl
Evenwijdige rechte
Vaststelling
xe m
Door een punt
9.3.2 Een loodlijn tekenen
Teken d door B zodat d loodrecht staat op c.
jk e
ICT
B
B
c
c
In ki
1
2 3 4 5 6
Hoeveel rechten kun je tekenen die door B gaan en die loodrecht staan op c?
7 8 9
Vaststelling
Loodlijn Door een punt
10 11 12
Opmerking
13
We plaatsen een merkteken ( ⾨) om de rechte hoek aan te duiden.
320
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
9.3.3 De middelloodlijn van een lijnstuk Definitie
De middelloodlijn van een lijnstuk De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk. De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek Als je een rechte tekent die door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat, dan noem je die rechte de middelloodlijn van het lijnstuk.
A
M
stap 2: Teken de loodlijn m op [AB] door M.
aa r
stap 1: Bepaal het midden M van [AB].
B
M
B
ICT
jk e
xe m
pl
A
Probeer nu zelf.
In ki
Teken de middelloodlijn m van [PQ].
P
Q
Opmerking We plaatsen merktekens om de rechte hoek en de even lange lijnstukken aan te duiden. HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
321
Oefeningen REEKS A
R
18
Teken met de geodriehoek door C een rechte b die evenwijdig is met a. a)
b)
a
a
C
R
19
aa r
C
Teken met de geodriehoek door C een rechte b die loodrecht staat op a. b)
pl
a) a
a
xe m
C
C
In welke situatie(s) is m de middelloodlijn van [AB]? a)
jk e
20
b)
m
B
In ki
1
c) m
A
d) A
A
B B
A
2
❒
3
m
m
❒
❒
B
❒
4 5 6 7
21
Teken met de geodriehoek de middelloodlijn m van [AB].
a)
b) A
8 9 10
A
B
11
B
12 13
322
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
REEKS B 22
Vliegtuig A vliegt in een rechte lijn richting Frankfurt. Een tweede vliegtuig stijgt op in Barcelona. Dat tweede vliegtuig volgt een rechtlijnige baan die evenwijdig is aan de baan van vliegtuig A. Boven welke steden vliegt het tweede vliegtuig? Poznarf Berlijn
Hannover Brussel
Wrockaw
Frankfurt
Bonn Le Havre Luxemburg Parijs
Krakow
Praag
Nantes Wenen
A Lyon
aa r
Graz
Bordeaux
Turijn
Bilbao
Milaan
Venetië
Ljubjana Zagreb
Genoa Marseille Monaco
San Marino
Barcelona
pl
Firenze
xe m
Het tweede vliegtuig vliegt boven
23
Onder een tegel van de badkamer ligt een gouden ketting begraven. Je vindt de juiste tegel door de opgave te volgen. 10 8 7 6 5
A
B
In ki
4
• a is evenwijdig met de lengterichting van het bad en gaat door A. • b staat loodrecht op de lengterichting van de kleerkast en gaat door B. • Het snijpunt van a en b noem je S. • c gaat door C en staat loodrecht op de muur waartegen de wastafel bevestigd is. • Het snijpunt van c en DS vertelt je onder welke tegel de ketting begraven ligt.
jk e
9
3
D
C
2
Onder welke tegel ligt de gouden ketting?
1
A
24
Sarajevo
B
C
D
E
F
G
H
I
J
De drie evenwijdigen a, c en d worden gesneden door b, die loodrecht staat op e. Duid in het onderstaande kader de uitspraken aan die zeker waar zijn. Zo vind je het sleutelwoord. a⊥b
B
b 兾兾\ c
I
a⊥c
N
c 兾兾 e
F
b 兾兾\ d
M
b⊥c
D
d⊥e
O
b 兾兾 d
J
b⊥d
K
c⊥d
Q
b 兾兾 c
C
a 兾兾 b
H
d 兾兾 e
E
a⊥d
P
a 兾兾 d
S
c⊥e
T
b 兾兾 e
R
c 兾兾 d
L
a 兾兾 e
G
a⊥e
A
sleutelwoord:
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
323
25
Het plan is getekend op schaal 1 : 100. Teken aan de hand van de instructies de muurtjes op het plan. a) Een muurtje van 1 m door A, loodrecht op de muur waaraan het toilet is bevestigd. b) Een muur van 2,50 m door B, evenwijdig aan de lengterichting van de snookertafel.
B
26
aa r
A
Vervolledig het patroon op de banner.
xe m
pl
a)
jk e
b)
REEKS C
In ki
1
2
27
Vervolledig de tekening en vul in.
3
a) Vervolledig de tekening aan de hand van de gegevens.
4
a
5
N
6
b
7 8 9
O M
• • • •
c 兾兾 a en M 僆 c d ⊥ MN en O 僆 d e 兾兾\ b en N 僆 e MN = f
b) Vul het meest passende symbool in. Kies uit 兾兾 , 兾兾\ of ⊥ .
10 11 12 13
324
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
• b
f
• c
f
• d
f
• a
b
• b
d
• c
d
9.3.4 Eigenschappen van evenwijdige rechten en loodlijnen Op de biljarttafel liggen telkens een rode bal (R), een gele bal (G) en een witte bal (W). Aan de hand van de instructies, die de richting van de banen van de ballen omschrijven, kun je de eigenschappen in verband met evenwijdige rechten en loodlijnen afleiden. Eigenschap 1 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.
R W
b
Teken de baan (c) van de rode bal die evenwijdig is met de baan (b) van de witte bal.
aa r
ICT
Wat is de onderlinge ligging van de baan (a) van de gele bal en de baan (c) van de rode bal? G
a 兾兾 b
冎
pl
a
Eigenschap
c 兾兾 b
dan a
c
xe m
In symbolen:
Evenwijdige rechten
Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte,
Eigenschap 2
jk e
ICT
De baan (a) van de gele bal staat loodrecht op de baan (b) van de witte bal.
In ki
G
W
Teken de baan (c) van de rode bal die loodrecht staat op de baan (b) van de witte bal.
R b
Wat is de onderlinge ligging van de baan (a) van de gele bal en de baan (c) van de rode bal?
a
In symbolen:
Eigenschap
a ⊥ b c ⊥ b
冎
dan a
c
Loodrechte rechten Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte,
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
325
ICT
Eigenschap 3 De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.
R
W
b
Teken de baan (c) van de rode bal die de baan (b) van de witte bal snijdt. Wat is de onderlinge ligging van de baan (c) van de rode bal en de baan (a) van de gele bal?
G
a
Snijdende rechten
c 兾兾\ b
冎
dan c
a
pl
Eigenschap
a 兾兾 b
aa r
In symbolen:
ICT
Eigenschap 4
xe m
Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt,
De baan (a) van de gele bal en de baan (b) van de witte bal zijn evenwijdig.
jk e
R
W
In ki
1
G
2
b
Teken de baan (c) van de rode bal die loodrecht staat op de baan (b) van de witte bal. Wat is de onderlinge ligging van de baan (c) van de rode bal en de baan (a) van de gele bal?
a
3 4 5
In symbolen:
a 兾兾 b c ⊥ b
6 7
Eigenschap
Loodrechte rechte
8 9
Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten,
10 11 12 13
326
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
冎
dan c
a
Oefeningen REEKS B 28
Bij een atletiekpiste stellen de lijnen a, b en c evenwijdige rechten voor. Je tekent de lijn d loodrecht op a. Wat is de onderlinge ligging van b en d? Verklaar je antwoord aan de hand van een eigenschap. a
b
c
â&#x20AC;˘ Onderlinge ligging van b en d:
aa r
â&#x20AC;˘ Eigenschap:
Evenwijdige rechte tekenen met de geodriehoek. A
xe m
29
pl
d
Soms is je geodriehoek te klein om de evenwijdige onmiddellijk te tekenen.
jk e
e
Leg uit hoe je met deze geodriehoek de evenwijdige aan e door A kunt tekenen. Er zijn twee manieren om dat te doen. Vermeld telkens de eigenschap die je gebruikt.
In ki
manier 1
eigenschap:
manier 2
eigenschap:
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
327
30
Vul het meest passende symbool in. Kies uit yy , yy\ of ⊥ . a) Als a ⊥ b en b ⊥ c, dan a
c.
b) Als a 兾兾 b en b 兾兾\ c, dan a
c.
c) Als a ⊥ b en b 兾兾 c, dan a
c.
d) Als a ⊥ b en b
c, dan a 兾兾 c.
e) Als a 兾兾 b en b
c, dan a 兾兾 c. b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.
f) Als a
REEKS C Zijn de volgende uitspraken altijd juist, soms juist of altijd fout?
aa r
31
altijd juist
soms juist
altijd fout
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
d) Als a 兾兾 b en a 兾兾\ c, dan b 兾兾\ c.
❒
❒
❒
e) Als a 兾兾\ b en a 兾兾\ c, dan b ⊥ c.
❒
❒
❒
f) Als a ⊥ b en a ⊥ c, dan b 兾兾 c.
❒
❒
❒
g) Als a 兾兾\ b en b 兾兾\ c, dan a 兾兾 c.
❒
❒
❒
a) Als a 兾兾 b en b 兾兾 c, dan a 兾兾 c.
pl
b) Als a ⊥ b en b 兾兾 c, dan a ⊥ c.
32
Hoe kan Harry aan de hand van een handzaag en een potlood controleren of de randen a en b van de plank evenwijdig zijn?
In ki
1
jk e
xe m
c) Als a 兾兾\ b en b ⊥ c, dan a ⊥ c.
2 3
a
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
328
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
b
9.4
Afstand
9.4.1 Afstand tussen twee punten ICT
Meet de afstand tussen A en B op de printplaat. A
De afstand tussen A en B bedraagt
mm.
mm
Notatie: d (A, B) = Opmerkingen
• Voor de keuze van de letter d in de notatie voor afstand denk je aan het Franse of Engelse woord voor afstand:
aa r
B
pl
• De afstand tussen A en B komt overeen met de lengte van het lijnstuk [AB].
xe m
d (A, B) = 兩AB 兩 =
mm
9.4.2 Afstand tussen een punt en een rechte ICT
Elise wandelt van E aan de vijver naar het tuinpad t. t
jk e
A B
E
In ki
C
Definitie
Op de figuur zijn drie mogelijke wandelwegen aangeduid. Meet de afstanden op de tekening. • d (E, A) =
mm
• d (E, B) =
mm
• d (E, C) =
mm
Welke wandelweg moet Elise nemen om via de kortste weg het tuinpad te bereiken?
Wat is de onderlinge ligging van het lijnstuk dat de kortste wandelweg voorstelt en t?
De afstand van een punt tot een rechte De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; dat is de afstand
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
329
Om de afstand van een punt A tot een rechte b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk: • Teken de loodlijn door A op b. A
• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je V. Het snijpunt van de loodlijn en de rechte noem je het voetpunt. • Meet de afstand tussen A en het voetpunt V. d (A, b) = d (A, V) =
b
mm
ICT
a
b B
aa r
9.4.3 Afstand tussen twee evenwijdige rechten
De breedte van de straat wordt bepaald door de afstand tussen a en b. Duid de juiste uitspraak aan.
❒ d (a, b) = d (A, B)
pl
A C
❒ d (a, b) = d (C, D)
xe m
❒ d (a, b) = d (E, F) D
E
d (a, b) =
mm
De afstand tussen twee evenwijdige rechten
jk e
Definitie
F
Hoeveel bedraagt de breedte van de straat op de tekening?
De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand
In ki
1
2 3 4
Om de afstand tussen de evenwijdige rechten a en b met de geodriehoek te bepalen, ga je als volgt te werk:
5
• Kies A op a.
6
• Teken de loodlijn door A op b.
7
• Het snijpunt van de loodlijn en b noem je B.
8
• Meet de afstand tussen A en B.
9
d (a, b) = d (A, B) =
a
b
mm
10 11
Opmerking
12
De afstand tussen twee snijdende rechten kun je niet bepalen. 13
330
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
Oefeningen REEKS A 33
Bepaal de afstand tussen A en B. a)
b) A
c)
d)
B
B
A
A
aa r
B
B
A
mm
mm
xe m
Bepaal op de kaart de afstand in vogelvlucht tussen de punten en het Albertkanaal, voorgesteld door de rechte a.
jk e
1
Merksem N12
4
5 5,5
O
N12
S
5
Berchem
R1 1
Borgerhout
M
E
Wijnegem
17
3
Schilde Vrieselhof
5
A13
Oelegem E34
V
Eenhoorn
6
W
18
19 4
Wommelgem
N116 3,5
B
Borsbeek
Drie Masten
a Bossensteen 3
2
In ki
Deurne
3
1
N1
34
mm
pl
mm
a) B
mm
c) S
mm
e) W
mm
b) M
mm
d) V
mm
f) E
mm
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
331
REEKS B 35
Bepaal de afstanden. a) d (A, B)
=
mm
e) d (A, D)
=
mm
b) d (A, C)
=
mm
f) d (C, B)
=
mm
c) d (D, E)
=
mm
g) d (C, D)
=
mm
d) d (B, B)
=
mm
h) d (B, E)
=
mm
A C D B
aa r
36
E
Afstand tussen twee punten op een elektronisch circuit
a) Benoem de punten B, C, D en E met behulp van de gegeven afstanden. d (A, B) = 73 mm
d (B, D) = 26 mm
d (A, C) = 45 mm
d (C, E) = 57 mm
pl
A
37
2
• d (A, D)
=
mm
• d (A, E)
=
mm
• d (B, C)
=
mm
• d (B, E)
=
mm
• d (C, D)
=
mm
De kaart van België is op schaal 1 : 4 000 000 afgebeeld. Bepaal de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen de steden.
In ki
1
jk e
xe m
b) Bepaal nu de volgende afstanden.
3 4
Gent
5
Turnhout
a) Turnhout en Arlon
Antwerpen
Brugge
Roeselare
Mechelen
Aalst
Hasselt
Brussel
6
Liège
7
Mons
8
Charleroi
Namur
Marche-en-Famenne
b) Hasselt en Brugge
9 10
Arlon
11 12 13
332
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
R
38
Bepaal de afstanden.
D
a
A
a) d (A, a) =
mm
e) d (B, c)
=
mm
b) d (B, a)
=
mm
f) d (D, a) =
mm
c) d (C, b)
=
mm
g) d (C, c)
=
mm
d) d (D, b) =
mm
h) d (E, b)
=
mm
b C B E
c
Teken A, B, C en D.
aa r
39
a) d (A, a) = 40 mm
pl
b) d (B, a) = 15 mm
c) d (C, a) = 34 mm
40
d) d (D, a) = 28 mm
xe m
a
Bepaal, indien mogelijk, de afstanden.
e
b
In ki
c d
41
f
jk e
a
a) d (a, b)
=
mm
f) d (c, d)
=
mm
b) d (a, c)
=
mm
g) d (d, d)
=
mm
c) d (a, f)
=
mm
h) d (e, f)
=
mm
d) d (b, c)
=
mm
i) d (b, e)
=
mm
e) d (b, d) =
mm
j) d (a, d) =
mm
De middellijn en een volle witte lijn op de rechterspeelhelft van het rugbyveld werden niet aangeduid. Teken de ontbrekende spellijnen met de geodriehoek.
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
333
42
Teken b, c, d en e.
a) d (b, a) = 20 mm b) d (c, a) = 10 mm c) d (d, a) = 25 mm d) d (e, a) = 32 mm
Het stratenplan van een deel van de Tuinwijk is getekend op schaal 1 : 1 000. Bepaal de gevraagde afstanden in werkelijkheid.
pl
43
aa r
a
a) de breedte van de Tulpenweg
Le lie str aa t
xe m
An jel ier en str aa t
b) de afstand tussen de Tulpenweg en de Rozendreef
Irisweg
Tulpenweg
c) de breedte van de Irisweg
44
Vul de tabel aan en teken a, b, A en B met de afmetingen uit de tabel.
In ki
1
jk e
Rozendreef
2 3
a
tekening b
A
B
4 5 6
a
b
3 cm
2 cm
1 cm
7 8
A
5 cm
9
B
1 cm
10 11 12 13
334
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
5 cm
45
Bepaal de afstanden.
A a B
b
C d c
D
F
E h
f
k) d (A, B) =
mm
b) d (A, b) =
mm
l) d (e, f) =
mm
c) d (b, c) =
mm
m) d (C, c) =
mm
d) d (A, C) =
mm
n) d (B, h) =
mm
e) d (a, c) =
mm
o) d (d, h) =
mm
f) d (d, g) =
mm
p) d (D, F) =
mm
g) d (F, e) =
mm
q) d (E, F) =
mm
h) d (D, g) =
mm
r) d (E, h) =
mm
i) d (F, h) =
mm
s) d (B, E) =
mm
mm
j) d (E, f) =
xe m
46
mm
pl
e
g
a) d (a, b) =
aa r
R
t) d (A, a) =
mm
Appelteler Joris vraagt aan 80 jongeren welk stuk fruit ze het liefst eten. Ze kunnen tussen vijf soorten fruit kiezen. Aan de hand van het diagram hieronder publiceert Joris de resultaten van het onderzoek. Het aantal jongeren wordt voorgesteld door de hoogte van het blokje per fruitsoort.
In ki
jk e
a) Vul de tabel in die de resultaten van het onderzoek weergeeft. fruitsoort
aantal jongeren
sinaasappel sinaasappel druif banaan kiwi appel
druif banaan kiwi appel totaal
b) Het diagram van appelteler Joris is misleidend. Waarom plaatst Joris de fruitsoorten niet van boven naar beneden in alfabetische volgorde?
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
335
STUDIEWIJZER Hoeken en rechten voor de leerling
9.1 Hoeken indelen volgens de hoekgrootte
−
KENNEN
voor de leerkracht
+ −
+
aa r
Een nulhoek is een hoek van 0º. Een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0º, maar kleiner dan 90º. Een rechte hoek is een hoek van 90º. Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90º, maar kleiner dan 180º. Een gestrekte hoek is een hoek van 180º. Een inspringende hoek is een hoek die groter is dan 180º, maar kleiner dan 360º. Een volle hoek is een hoek van 360º.
KUNNEN Een hoek indelen volgens de hoekgrootte. Een inspringende hoek tekenen.
KENNEN
pl
9.2 De bissectrice van een hoek
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
xe m
KUNNEN
De bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek. De bissectrice van een hoek herkennen. De bissectrice van een hoek gebruiken in toepassingen.
9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen
KENNEN
jk e
In ki
1
Door een punt gaat juist één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Door een punt gaat juist één rechte die loodrecht staat op een gegeven rechte. De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk. Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig. Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig. Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere. Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Een evenwijdige rechte met een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek. Een loodlijn op een gegeven rechte tekenen met de geodriehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen met de geodriehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk herkennen. De middelloodlijn van een lijnstuk gebruiken in toepassingen. Eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand toepassen.
11 12 13
336
KUNNEN
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
voor de leerling
9.4 Afstand KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
De afstand van een punt tot een rechte is de kortste afstand van dat punt tot die rechte; dat is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op die rechte. De afstand tussen twee evenwijdige rechten is de kortste afstand tussen die rechten; dat is de afstand van een punt van de ene rechte tot het voetpunt van de loodlijn door dat punt op de andere rechte.
KUNNEN
aa r
De afstand van een punt tot een rechte meten met de geodriehoek. De afstand tussen twee evenwijdige rechten bepalen met de geodriehoek.
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
337
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
aa r
1. Een derde va n een kudde be staat uit geiten. De rest van de dieren zijn schapen. Er zijn twaalf sc hapen meer da n geiten. Uit hoeveel dier en bestaat de kudde in totaal?
xe m
pl
soepen, verschillende ie dr t ed bi k ogelijke 2. Een ko rechten, drie m ge or vo e ijk el vier mog ijke desserts n en zes mogel hoofdgerechte aurant. aan in zijn rest en kun je in illende maaltijd ch rs ve el ve n uitgaat Hoe ellen, als je erva st be t n ra au st recht, het re ep, één voorge so n éé t an kl mt? dat elke één dessert nee en t ch re ge fd één hoo
jk e
In ki
1
ntwoordelijk sistent is vera as k ie zorgen st gi lo n 3. Ee Hij moet ervoor . n te ën ti pa voor veertien krijgt. de juiste pillen t ën ti pa ke el dat e pillen. oene en blauw ne (G) en Er zijn rode, gr rode (R), groe en em n n se en Twee m n. llen. blauwe (B) pille de en groene pi ro en em n n van wie er Drie mense blauwe pillen, en em n n se Negen men en. we pillen nem drie enkel blau pillen nemen en de ro sen die en m n ve ze jn emen. Er zi groene pillen n e di n se en m zeven m aan. de venndiagra Vul het volgen
2 3 4 5 6
17 19
+
R
–1
8 9 10 11
B
12 13
HOOFDSTUK 9 I HOEKEN EN RECHTEN
–4
G
7
338
4. Pl P aats de geta llen die onder de figuur st s aan, in de ci rkels op de hoe kpunten. De som van di e getallen op de d hoekpunte n is telkens het getal dat in de figuu r staat.
11
1
8
–11
7
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
10.1 De rationale getallen 10.2 Bewerkingen met rationale getallen
aa r
10.3 Eigenschappen van bewerkingen
₃₄₀ ₃₆₀
met rationale getallen
10.4 De volgorde van de bewerkingen met rationale getallen
pl
10.5 Procentberekening Studiewijzer
₃₈₇ ₃₉₂ ₄₀₁ ₄₀₄
In ki
jk e
xe m
Pienter problemen oplossen
₃₇₈
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
339
10.1
De rationale getallen
10.1.1 Definitie Welk getal hoort bij de omschrijving? Tijdens de solden kreeg je tot 50 % korting.
Door dit gesprek daalde mijn belsaldo met € 1,25.
aa r
–1,25 euro
De temperatuur daalde tot onder de drie graden.
Rationaal getal
jk e
Definitie
xe m
pl
Twee van de vijftien biljartballen zijn groen.
Eén achtste van de pizza is al verdwenen.
Een rationaal getal is
Opmerking
2
Alle gehele getallen kun je als het quotiënt van twee gehele getallen schrijven.
3
• −3 is een rationaal getal omdat
4
• 16 is een rationaal getal omdat
In ki
1
5 6
Alle gehele getallen zijn rationale getallen.
7 8 9 10
De verzameling van de rationale getallen noteer je kort als Q. Deelverzamelingen van Q die vaak gebruikt worden, zijn: • Q + is
11
• Q − is
12
• Q 0 is
13
340
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A 1
Zoek telkens een situatie die te maken heeft met de volgende getallen. a) −4,2
Volgens de thermometer is het buiten 4,2 graden onder nul.
b) −40 %
aa r
c) −15 d) 1,74
2
3 5
Welk getal hoort bij de omschrijving?
pl
e) −
xe m
a) Jonas heeft een schuld van twee euro en dertien cent. b) Drie van de zeventien leerlingen zijn afwezig.
c) De thermometer geeft zes en een halve graad onder nul aan.
jk e
d) Tijdens de koopjesperiode krijg je tot zeventig euro korting. e) Deze plank is twee meter en vijftien centimeter lang.
In ki
REEKS C
3
Bepaal.
a)
Q+ ∪ Q−
=
f)
− Q+ 0 \Q
=
b)
Q ∩ Q−
=
g)
− Q+ 0 ∩ Q
=
c)
Q0 \ Q+
=
h)
Q− \ Q+
=
d)
Q∪⺪
=
i)
Q+ ∪ N
=
e)
Q+ \ ⺪−
=
j)
Q ∩ ⺪0
=
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
341
10.1.2 Rationale getallen in breukvorm Benamingen −7
→
T
→ →
N
Positieve en negatieve breuken
aa r
8
positieve breuken
negatieve breuken
xe m
7 7 +7 –7 = =+ = +9 –9 9 9
pl
Je maakt gebruik van de tekenregels voor het delen van gehele getallen.
Teller en noemer hebben
5 –5 +5 –5 = = =− +8 –8 8 8
Teller en noemer hebben
jk e
Je noteert het minteken voor de breukstreep of voor de teller: niet
4 –4 4 , maar wel − of . −5 5 5
Echte en onechte breuken
echte breuken
In ki
1
兩N 兩
兩T兩
2
onechte breuken 兩T兩
兩N 兩
3 4
Voorbeelden:
Voorbeelden:
5 6
Negatieve onechte breuken schrijven als gemengde getallen:
7 8
冉 冊
15 –15 7 =− =− 1+ 8 8 8
Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen.
9 10
9 = 5
11 12 13
342
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
−
8 = 3
−32 = 5
−
27 = 4
Gelijke breuken .4
:2
. (–6)
: (–3)
.4
:2
. (–6)
: (–3)
–1 3
Gelijke breuken
Eigenschap
aa r
Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk.
Breuken vereenvoudigen
pl
Een breuk vereenvoudigen betekent dat je een breuk vervangt door een gelijke breuk met hoogstens één toestandsteken, waarvan de teller en de noemer een kleinere absolute waarde hebben.
xe m
Vereenvoudig de volgende breuken tot onvereenvoudigbare breuken. 4 = 8
−
3 = 9
–6 = 10
–9 = –12
–15 = 12
Gelijknamige breuken
Gelijknamige breuken
jk e
Definitie
In ki
Gelijknamige breuken zijn
Breuken met verschillende noemers, ongelijknamige breuken, kun je gelijknamig maken.
−
3 4 en wordt 7 2
en
8 −1 en − wordt 5 3
en
Tegengestelde en omgekeerde van een breuk tegengestelde van een breuk
omgekeerde van een breuk
Het tegengestelde van
–3 is 4
Het omgekeerde van
–3 is 4
Het tegengestelde van
2 is 5
Het omgekeerde van
2 is 5
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
343
Oefeningen REEKS A Welk deel van de rechthoek werd weggenomen?
5
b)
c)
d)
aa r
a)
Welk deel van de pizza werd opgegeten?
pl
4
b)
jk e
xe m
a)
In ki
1
2
6
Kleur alle hokjes waarin een negatieve breuk staat.
3 4 5 6 7 8
−
4 11
1 2
−5 −8
−
−5 7
23 −8
15 52
−
5 14
−
1 −7
5 9
−
2 5
−9 −7
15 16
−5 −8
−2 −3
35 −9
54 37
−
23 55
18 −7
−37 −22
−83 75 −
−13 −24
−
−8 −3
−
−3 47
73 72
−
57 46
−
−8 23
−
25 −9
−
−7 −6
1 987
95 −39
−
59 92
−
81 −17
7 9
−
35 44
−
−22 15
−41 62 2 9
−15 31
−2 −11
−4 −3
−
−
−7 32
−8 67
−88 −29
3 2
−
9 10 11 12
−33 −2
21 79
13
344
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
7 62
−38 21
123 22 −
−11 38
91 −43 −11 −35
−
−3 −2
38 −7
17 87
7
Vereenvoudig tot een onvereenvoudigbare breuk. a)
6 9
b) −
8
2 8
–3 15
=
c)
=
d) −
14 8
=
e)
−25 40
=
g)
=
f)
–28 35
=
h) −
=
54 63
=
Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinste noemer. 2 = 3 –3 2 en 3 4
–2 = 5 b)
−3 = 4
3 –2 en 5 7
c)
5 −2 en − 3 6
3 = 7
−
5 = 6
pl
REEKS B
−2 = 3
aa r
a)
1 4
−1 3
−
3 2
−25 30
−5 2
−8 20
xe m
Schrap alle paren gelijke breuken. Welke breuk blijft over? 3 8
−
3 4
−7 8
11 6
4 7
−2 7
3 5
4 3
3 7
−
2 5
2 3
−
5 6
−15 6
9 21
−7 2
−
49 14
−35 40
−
2 6
21 35
−24 −42
14 21
−
6 24
12 8
9 24
33 18
−
−
9 12
−16 56
jk e
9
42 56
De breuk die overblijft, is
Vul de ontbrekende teller of noemer aan, zodat er twee gelijke breuken ontstaan.
In ki
10
R
11
a)
–4 = 7
b)
−
11 = 14
21
33
c)
d)
18
24
=
6 13
=−
7 4
e)
56 = 64
f)
36
g)
−24 =−
48 20
h)
−17 = 17
51
23 =
0 37
Maak de breuken gelijknamig. Kies de kleinste noemer. − a) −
12 2 en − 9 42
2 9
−16 = 14
= b)
−
12 = 42
48 −16 en 14 56
48 = 56
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
345
12
Vul de tabel aan. breuk
2 7
− 8 13
tegengestelde −3 8
omgekeerde
−3 5
Juist of fout?
aa r
13
5 9
fout
a) Het tegengestelde van een echte breuk is ook een echte breuk.
❒
❒
b) Het omgekeerde van een negatieve breuk is altijd positief.
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
pl
juist
c) Het omgekeerde van een echte breuk is een onechte breuk. 2 –3 is . 2 3
xe m
d) Het tegengestelde van het omgekeerde van
e) Het tegengestelde en het omgekeerde van een breuk zijn soms gelijk.
Schrijf de volgende onechte breuken als gemengde getallen. a)
15
冉 23冊 =
a) − 1 +
2
b)
−7 = 3
c)
−8 = 5
d) −
11 = 2
Schrijf de volgende gemengde getallen als onechte breuken.
In ki
1
9 = 2
jk e
14
冉
b) − 2 +
冊
3 = 4
c) 3 +
4 = 7
冉
d) − 5 +
冊
7 = 8
3 4 5
REEKS C
6 7
16
Zoek een breuk waarvan de som van de teller en de noemer 18 is en waarvan de absolute waarde van het omgekeerde en het tegengestelde gelijk zijn.
8 9 10 11 12
Over welke breuk gaat het hier?
13
346
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
10.1.3 Rationale getallen als procenten
–70 % De verkoop van dure auto’s zakte met 8 %.
De weg heeft een dalingspercentage van 16 %.
aa r
De kledingzaak gaf kortingen tot −70 %.
Geef zelf een situatie waarin je procenten gebruikt.
Voorbeelden 1 100
7 100
xe m
1%=
pl
Procent of percent (%) komt van de Latijnse woorden ‘per’ (door) en ‘centum’ (honderd). Procenten zijn breuken met 100 als noemer.
−7 % = −
119 % =
−87 % =
Procenten kun je omzetten tot onvereenvoudigbare breuken. 1 5 =− 100 20
−20 % =
88 % =
jk e
−5 % = −
Breuken kun je omzetten tot procenten. 25 1 =− = −25 % 4 100
In ki
−
7 = 20
−2 = 5
eenheid
benaming
%
procent
per honderd
of
per
100
/ oo
promille
per duizend
of
per
1 000
ppm
parts per million
per miljoen
of
per
1 000 000
ppb
parts per billion
per miljard
of
per
1 000 000 000
ppt
parts per trillion
per biljoen
of
per
1 000 000 000 000
o
betekenis
De eenheden ppm, ppb en ppt worden vooral gebruikt om lage concentraties aan te duiden in de toegepaste chemie, zoals bij toxicologie en milieukunde.
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
347
Oefeningen REEKS A Schrijf de procenten als een breuk met noemer 100. a) −3 % =
b) −40 % =
c) 70 % =
Schrijf de breuken als procenten. 1 = 2
100
b)
=
−3 = 4
d) −15 % =
c) −
2 = 5
xe m
a) −
20
d) 89 % =
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk. a) −8 % =
19
c) −23 % =
aa r
18
b) −11 % =
pl
17
Hoeveel procent van de rechthoek werd weggenomen? b)
jk e
a)
In ki
1
2 3
21
Kleur de ovalen met hetzelfde rationaal getal in eenzelfde kleur.
4 5 6
–
–20 %
7
–
8 9 10
–50 %
11 12 13
348
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
3 6
7 10
–40 %
2 5
3 12
–6 12
–25 % –
–
–3 15
–70 %
REEKS B
a) −54 % =
d) −44 % =
g) 65 %
b) 18 %
=
e) −26 % =
h) −32 % =
k) 75 %
c) −16 % =
f) −48 % =
i) 74 %
l) −15 % =
Schrijf de breuken als procent. a) −
b)
21 70
c) −
24
d)
=
48 = 64
j) −28 % =
=
=
–36 = 45
e) −
27 = 54
f) −
56 = 80
c) −
68 = 85
Schrijf de breuken als procent. 13 = 65
b)
−17 = 68
jk e
a) −
d)
57 = 76
Beantwoord de vragen met de gegevens uit het diagram.
In ki
25
14 = 35
=
aa r
23
Schrijf de procenten als een onvereenvoudigbare breuk.
pl
R
22
xe m
R
We vroegen aan de 25 leerlingen van een klas wat er ’s morgens meestal op hun boterham ligt.
choco
speculoospasta
kaas
confituur
a) Hoeveel procent van de leerlingen eet ’s morgens choco? b) Hoeveel procent van de leerlingen eet ’s morgens kaas? c) Hoeveel procent van de leerlingen eet ’s morgens geen confituur?
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
349
a)
Lara heeft acht van de tien oefeningen correct opgelost.
b)
Er zijn drie van de twintig pralines uit de doos verdwenen.
c)
Zeven van de vijfentwintig leerlingen van de klas dragen een bril.
d)
Rachid scoorde zes van de acht doelkansen.
e)
Er ontsnapten drie van de honderdvijftig gedetineerden.
f)
Tom betaalde tijdens de solden maar de helft van de prijs.
aa r
27
Schrijf als procent.
Aan een aantal jongens en meisjes vroegen we welke smartphone ze momenteel gebruiken. De blauwe staven staan voor de resultaten van de jongens, de roze voor die van de meisjes.
pl
26
merk smartphone
xe m
140 130 120 110 90 80 70
jk e
aantal leerlingen
100
60 50 40 30 20
In ki
1
10
2 3
0
Samsung
One Plus
Apple
4
Acer
merk
5 6 7
a) Hoeveel jongens werden er ondervraagd? b) Hoeveel jongeren werden er ondervraagd?
8 9 10
c) Hoeveel procent van de jongens gebruikt een Samsung? d) Hoeveel procent van de meisjes gebruikt een Acer?
11 12
e) Hoeveel procent van de ondervraagden gebruikt een One Plus?
13
350
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Huawei
Andere
10.1.4 Rationale getallen in decimale schrijfwijze Van breuk naar decimale schrijfwijze Als je een rationaal getal niet in zijn breukvorm laat staan, maar de deling uitvoert, vind je de decimale schrijfwijze van dat rationaal getal. –18 = 6
–14 = 5
–19 = 3
Van decimale schrijfwijze naar breuk
aa r
Hoe noem je het deel dat herhaald wordt bij een decimale vorm?
−2,3 =
–23 10
−4,2 = −
xe m
pl
Als je een decimaal geschreven rationaal getal wilt omzetten naar een breuk, ga je als volgt te werk: • in de teller noteer je het getal zonder de komma; • in de noemer noteer je 1, 10, 100, 1 000 ... met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn; • vereenvoudig als het kan.
21 42 =− 10 5
0,81 =
−3,45 =
−2,4 =
0,005 =
jk e
Van procent naar decimale schrijfwijze −27 % =
–27 = −0,27 100
In ki
Praktisch: laat het procentteken weg en schuif de komma twee rangen naar links. −59 % =
−88 % =
93 % =
−125 % =
Van decimale schrijfwijze naar procent −0,31 =
–31 = −31 % 100
Praktisch: schuif de komma twee rangen naar rechts en plaats een procentteken. −0,14 =
−0,59 =
2,67 =
−1,3 =
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
351
Oefeningen REEKS A Zet om naar de decimale schrijfwijze. 3 = 8
c)
4 3
–8 = 2
d)
–6 = 5
a) −
b)
29
=
e)
–7 6
f) −
=
7 = 4
aa r
28
Zet de getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk.
b) −0,31 =
c) 0,83 =
d) −0,59 =
30
Zet de getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk.
a) −0,50 =
e) −0,02 =
d) 0,40
f) −0,05 =
=
Vul de tabel aan. procent
In ki
1
c) −0,75 =
jk e
b) −0,25 =
31
xe m
pl
a) −0,7 =
−15 %
14 %
−45 %
2 3
decimale schrijfwijze
−0,27
−0,51
0,87
4 5 6
REEKS B
7 8
R
32
Zet om naar de decimale schrijfwijze.
9 10
a)
−6 5
=
c) −
7 = 25
e)
−23 50
=
40 = 20
d) −
9 = 10
f)
13 20
=
11 12
b) −
13
352
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
34
Zet de getallen om naar een onvereenvoudigbare breuk.
a) −0,52 =
c) −1,76 =
e) −0,92 =
b) −1,5
d) 1,35
f) −2,1
45 = 36
b) −
56 = 32
−100 %
=
–51 = 68
104 %
−0,2
−5 %
−1,5
xe m
decimale schrijfwijze
0,07
Plaats de getallen met dezelfde waarde als het gegeven getal in de gekleurde vierkanten. −4 100
−0,25
−35 14
−25 %
In ki
jk e
−25 2
−10 250
−13 52
37
c)
Vul de tabel aan. procent
36
=
Zet om naar de decimale schrijfwijze. a) −
35
=
aa r
33
pl
R
−2 250
−4 250
−15 50
−25
−
50 4
−4 10
−
10 25
−2,5
−
−250
250 4
−1,5 %
−2,5 %
−250 %
−
72 56
25 %
−0,25 %
−1 25
−25 250
−
250 10
−14 56
0,15
25
−105 42
Bepaal de periode. a)
−2 heeft als periode 9
c) −
4 heeft als periode 15
b)
–7 heeft als periode 11
d) −
8 heeft als periode 55
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
353
10.1.5 Rationale getallen ordenen Decimale getallen ordenen Vul eventueel aan met nullen als de decimale delen niet evenveel cijfers bevatten. Vul in met ⬍ , = of ⬎ . 2,05
−2,4
−2,3
−1,2
56,87
65,78
−8,12
−8,013
Breuken ordenen
Vul in met ⬍ , = of ⬎ . 1 4
−1 4
−1 3
1 5
• Pienter ordenen
5 7
−9 8
−8 7
2 7
3 10
13 12
xe m
5 6
−
–7 3
6 5
12 13
–1 2
−5 9
pl
Vul in met ⬍ , = of ⬎ .
aa r
• Negatieve en positieve breuken
• Gelijknamige breuken
Vul in met ⬍ , = of ⬎ . –4 9
7 9
−
5 3
12 5
–4 3
1 7
8 7
–11 5
–5 9
–3 8
–1 4
–1 5
–4 7
–5 8
13 7
–24 13
25 8
–23 7
13 37
18 53
−
−
jk e
• Ongelijknamige breuken
Vul in met ⬍ , = of ⬎ . –16 24
In ki
1
14 21
−
2
−
3
3 11
−
2 9
−
−
4 5
Absolute waarde en ordenen
6 7
1 2
2 3
1 2
−2 maar 3
en
8 9
−
冏冏
冏冏
冏 冏
冏 冏
1 2
−1 2
2 3
−2 3
2,3
−2,3
1,8
en
兩 2,3 兩
−1,8 maar 兩 −2,3 兩
兩 1,8 兩
兩 −1,8 兩
10 11
De ordening van twee negatieve rationale getallen keert om als je de absolute waarde neemt.
12
᭙a en b 僆 Q −: a ⬍ b ⇒ 兩 a 兩
13
354
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
兩b兩
10.1.6 Rationale getallen op de getallenas Getallenas De rationale getallen die geen gehele getallen zijn, komen op de getallenas tussen de gehele getallen te liggen. De werkwijze is gelijkaardig aan de methode die je vroeger zag. Welke decimale getallen horen op de invullijntjes? –2
–1
aa r
Welke breuken horen op de invullijntjes?
0
–6 ; 0,8 5
xe m
Stel voor op de getallenas: −1; −0,4;
pl
–1
0
1
Rationale coördinaten
jk e
De rationale getallen op de getallenas gebruik je om het assenstelsel verder in te delen.
In ki
y
B
Bepaal de coördinaat van A:
A
co (A) = (
)
Bepaal de coördinaat van B:
1
0
;
;
co (B) = (
1
x
)
Teken de volgende punten: C (−2; 1,5)
冉
D 1,25;
–5 4
冊
E (0; −2) F
冉–94 ; 21 冊
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
355
Oefeningen REEKS A Schrijf het gekleurde deel in breukvorm. Vul aan met ⬍ of ⬎ . a)
41
−5,7
1,6
d)
−5,3
b)
−8,5
−9,6
e)
−2,8
−2,2
h)
−4,1
−4,08
c)
8,07
8,7
f)
7,3
7,25
i)
14,2
14,24
3 4 5 − 7 8 5
3 5 –2 3 8 4
16 21
–17 23
Vul in met ⬍ of ⬎ . 2 a) 3 7 b) − 3 17 c) 24
–7 11
In ki
1
42
d)
e) f)
g)
–9 5 –3 6 8 5
–11 5 –5 2 7 10
h)
9 14
11 15
c)
g)
i)
−
8 13
b)
Welke breuken horen op de invullijntjes?
3
–1
a)
4 5
b)
6
–1
0 0
7 8
43
Welke decimale getallen horen op de invullijntjes?
9 10
b)
13
356
–1
a)
11 12
−3,2
−3,02
Vul in met ⬍ of ⬎ . a)
2
8 5 –5 3 12 24
−
−5,4
pl
a)
xe m
40
Vul in met ⬍ of ⬎ .
jk e
39
b)
aa r
38
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
–1
0 0
−
REEKS B
R
44
45
Vul in met ⬍ , = of ⬎ . a) −
3 9
–12 30
e)
−0,87
b)
2,07
2,6
f)
−51 %
c)
−1,4
−23 %
g) −44,6
d)
−56 64
−63 72
h)
–8
–3
j)
–36 40
k) −76 %
12 23
l)
−
57 99 55 − 60 21 − 28 −17 5
13 4
pl
1
–2
jk e
d)
57 %
−4,64
xe m
–5
c)
i)
–7
0
b)
46
8 17
Welke rationale getallen horen op de invullijntjes?
a)
R
11 8 −8 17 −
aa r
R
0
Plaats op de getallenas. Gebruik een meetlat. –2 3
–8 3
In ki
a)
b)
c)
−5
−4,25
−2,8
−4,4
−3
−
0
–5 2 –3
−
–2
18 5
–5
d)
–1
–4
16 9
–7 3 –3
−
26 9 –2
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
357
47
Bepaal de coördinaat van de gegeven punten in het assenstelsel. a)
co (A) =
(
;
y
) 2
b)
co (B) =
(
;
)
c)
co (C) =
(
;
)
d)
co (D) =
(
;
)
e)
co (E) =
(
;
)
D
F A 1
C
0
x
1
aa r
–1
–1
co (F) =
(
;
)
g)
co (G) =
(
;
)
E
B
pl
f)
a)
b)
co (A) =
c)
y
(–4 ; −3,5)
co (B) =
co (C) =
5
冉134 ; 3,5冊
4 3
冉– 94 ; 27 冊
In ki
1
2
2 1
3 4
d)
co (D) =
(0 ; −2,25)
co (E) =
冉
f)
co (F) =
冉
g)
co (G) =
冉114 ; 0冊
–4
5 6
e)
7 8 9
17 3,75 ; − 4 –3 5 ; − 4 2
冊
冊
–3
–2
–1
0 –1 –2 –3 –4
10 11 12 13
358
G
Plaats de punten waarvan de coördinaat gegeven is, in het assenstelsel.
jk e
48
xe m
–2
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
–5
1
2
3
4
x
REEKS C 49
Rangschik de getallen die kleiner zijn dan −1 van klein naar groot. Welk woord verkrijg je met de bijbehorende letters? −
−
19 6
1,02
35 14
−
−8 11
−
5 5
−0,98
−11 4
−2,01
a
b
c
d
e
f
g
h
57 19
11 7
−6 12
−2 %
−7 2
−2,6
−81 83
−4 100
n
o
p
q
r
s
t
u
woord:
98 −24 % 97
0 37
j
k
l
m
10 99
−1
45 39
−1 7
−18 %
v
w
x
y
z
−9 10
i −
−
Wie heeft op het einde van het jaar de grootste afstand afgelegd?
pl
50
74 37
aa r
rangschikking:
−
leeftijd
Ahmed
14 jaar
Bartel
16 jaar
Cas
15 jaar
lengte
gelopen afstand
1,65 m
2,3 km / dag
1,71 m
16,2 km / week
1,67 m
839,7 km / jaar
jk e
naam
xe m
Ahmed, Bartel en Cas werken hard aan hun conditie en gaan daarom regelmatig lopen. Ze hebben het afgelopen jaar zorgvuldig bijgehouden hoeveel ze gelopen hebben. De resultaten vind je in de tabel hieronder.
Antwoordzin:
Welke rationale getallen horen op de invullijntjes?
In ki
51
–3
a)
–5
b)
0
–4
c)
1
–3
d)
e)
–1
–5
0
–2
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
359
10.2 Bewerkingen met rationale getallen 10.2.1 De optelling Even herhalen Werkwijze
Optellen van breuken
Optellen van gehele getallen
Voorbeelden
Twee getallen met een verschillend teken Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken het verschil van de absolute waarden; • behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde.
xe m
Twee getallen met hetzelfde teken Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken de som van de absolute waarden; • behoud het teken.
pl
Werkwijze
aa r
Om twee breuken op te tellen: • vereenvoudig de breuken als het kan; • maak de breuken gelijknamig; • tel de tellers op, behoud de noemer; • vereenvoudig het resultaat als het kan.
Schrijf als een optelling en bereken.
In ki
1
jk e
a) Peter eet eerst een vierde en daarna nog een vijfde van de pizza.
2
Welk deel van de pizza eet Peter op?
c) Tijdens het pokeren verloor Inge eerst de helft van haar fiches, maar daarna kon ze een derde van haar oorspronkelijke aantal fiches terugwinnen.
Welk deel van haar fiches verloor of won ze?
3 4 5 6 7 8
b) Yun downloadt twee liedjes van iTunes. De eerste keer gaat er € 1,29 van haar account. Het tweede liedje kost € 0,99.
d) Karel wandelde 3,7 km, maar moest dan een halve kilometer terugkeren omdat hij onderweg zijn zonnebril verloren had.
9 10 11
Welk bedrag gaat er in totaal van haar account?
12 13
360
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Hoe ver van de startpositie bevindt hij zich nu?
Opmerkingen • 0 heeft geen invloed op de optelling. 1 +0= 4
冉 51 冊 =
−2,3 + 0 =
0+ –
0 + (−3,4) =
• Als je een getal en zijn tegengestelde optelt, is het resultaat altijd 0. 2 + 5
冉−25冊 =
+ 4,7 = 0
aa r
10.2.2 De aftrekking Even herhalen
Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal.
pl
Je kunt elke aftrekking schrijven als een optelling.
xe m
Voorbeelden
Schrijf de aftrekkingen eerst als een optelling en bereken. +
冉 冊
2 1 − + 3 4
=
冉 冊
2 1 − + 3 4
=
+7,6 − (−2,3) =
jk e
−7,6 − (−2,3) =
−
In ki
10.2.3 Opeenvolgende tekens bij een optelling en een aftrekking + (+) →
− (−) →
+ (−) →
− (+) →
Twee gelijke opeenvolgende tekens
Twee verschillende opeenvolgende tekens
vervang je door een
vervang je door een
Werk de haakjes weg en bereken. −2,5 + (+ 1,3) = −
冉 冊
1 2 − – 2 5
=
5,7 − (+ 6,9)
=
冉 冊
=
2 −1 + 3 4
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
361
Oefeningen REEKS A
54
冉+ 47冊 − 冉−25冊 =
d)
(+3,5) − (+7,2) =
b)
(−2,7) + (−3,6) =
e)
冉−85冊 + 冉−58冊
=
c)
冉−29冊 − 冉 + 51 冊 =
f)
(−8) − (−3,5)
=
a)
(+8) + (−2,5)
b)
冉– 43冊 − 冉−23冊
c)
冉−57冊 + 冉– 27冊
=
d)
(−4,5) − (+3,3)
=
e)
冉+ 87 冊 − 冉+ 83 冊
=
=
f)
−3,4 + (−4,3)
=
2,18 − 7,58
=
In ki
1
b)
3
冉 冊
2 −7 − – 18 15
=
c)
−15,8 − (−6,48) =
e)
8,47 + (−11,26) =
d)
−9 5 + 11 12
f)
13 −8 − 19 13
=
4 5 6
REEKS B
7 8 9
55
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
–2 3 + 5 4
b)
3 2 − – 3 5
10 11 12
=
c)
−5 3 − 7 8
冉 冊=
d)
−7 1 + 6 9
13
362
=
Bereken. a)
2
pl
Schrijf zonder haakjes en bereken.
aa r
a)
xe m
53
Schrijf zonder haakjes.
jk e
52
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
=
冉 冊=
冉 冊
=
58
59
−12 6 − 16 9
=
e)
56 63 − 64 54
b)
−
=
f)
−8 12 + 28 12
=
c)
7 8 − – 56 21
冉 冊=
g)
−
42 27 + 56 54
=
d)
−15 16 + 48 20
冉 冊
h)
−
26 34 − 39 51
=
18 6 + 24 18
=
Bereken. a)
2,7 − 8,5
=
c)
−9 + 3,78
=
b)
−3,9 + 2,8 =
d)
2,4 + (−3,7) =
=
冉 冊
aa r
a)
e)
−2,8 − (−6) =
f)
−8,3 + 9,6 =
pl
57
Bereken. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
xe m
R
56
Omcirkel de waarde die het best het resultaat van de oefening benadert. a)
22,3 – (−13,2)
b)
−17,7 − 2,5
35
10
−10
−35
20
15
−20
−15
Schat eerst het resultaat. Maak daarna de berekening.
jk e
R
opgave
−45,56 − 89,25
−86,35 − (−63,17)
53,12 + (−64,84)
In ki
schatten
berekenen
60
Rhode wil een Nintendo Switch voor haar verjaardag. Van haar ouders kreeg ze € 100, van opa en oma de helft daarvan. Oom en tante sponsorden € 25. Hoeveel van haar spaargeld zal ze nog nodig hebben, als de console € 309,95 kost?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
363
61
Op 26 juni 1947 werd in Ukkel de hoogste temperatuur gemeten: 38,8 ºC. De laagste Belgische temperatuur werd op 20 januari 1940 in Rochefort gemeten. Berekoud was het toen: −30,1 ºC. Bereken het verschil.
Antwoordzin:
temperatuur (ºC)
januari
−12,3
februari
−10,8
maart
−6,2
april
0,9
mei
7,1
juni
12,4
juli
13,2
augustus
11,8
september
7,1
oktober november december
b)
1
−4,2
−8,4
Wat is het verschil tussen de maximale en de minimale gemeten waarde?
Wat is het temperatuurverschil tussen oktober en december?
Hoeveel graden steeg de temperatuur van maart tot en met juni?
In ki
c)
2,3
jk e
a)
pl
maand
aa r
In de tabel vind je de gemiddelde minimumtemperatuur per maand in Moskou.
xe m
62
2 3
d)
4
Hoeveel graden daalde de temperatuur van juli tot en met november?
5 6 7 8 9
63
Op Joppes verjaardagsfeest was er natuurlijk een verjaardagstaart. De jarige at een achtste van de taart, zijn zus een zesde. Hoeveel bleef er over voor de genodigden?
10 11 12
Antwoordzin:
13
364
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
REEKS C Vul aan. Plaats enkel haakjes als het nodig is.
a)
b)
−3,5 −
= − 3,7
c)
− (−4,8)
= −6,3
e)
= 8,3
d)
+ (−6,5)
= 3,9
f)
= −5,2
− 7,9 = −2,7
Bepaal de waarde van de letter zodat je een ware uitspraak verkrijgt.
a)
2 −1 +a= 4 5
a=
c) c −
冉−45冊 = −34
d) −3,1 − d = 1,5
冉 31 冊 = −56
c=
d=
e=
jk e
e) e + –
b=
xe m
b) b + (−3,6) = −7,2
Vervolledig de tabel. Antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
In ki
66
8,6 −
aa r
65
+ 2,3
pl
64
_
2 3
−1 4
4
−2
3 5 −5
−1 7 −
3 2 5
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
365
10.2.4 De vermenigvuldiging Even herhalen Werkwijze
Vermenigvuldigen met breuken Om een getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer. Om het product van twee breuken te maken, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar. Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.
aa r
Vermenigvuldigen van gehele getallen
Voorbeelden
(−) ⴢ (−) →
(+) ⴢ (−) →
(−) ⴢ (+) →
xe m
(+) ⴢ (+) →
Het product van twee factoren met een verschillend teken is
pl
Het product van twee factoren met eenzelfde teken is
Schrijf als een vermenigvuldiging en bereken.
Hoeveel taart is er opgegeten?
In ki
1
jk e
a) Jan, Piet, Joris en Korneel eten, samen met de jarige Koen, elk één achtste van de verjaardagstaart.
b) Bette heeft anderhalve euro schulden aan Silke. Ook Samira en Eluna hopen nog anderhalve euro van haar terug te krijgen.
Hoeveel schulden heeft Bette?
2 3 4
Opmerkingen
5
• Kruiselings vereenvoudigen
6 7 8 9 10 11 12
− 4 ⴢ 3 −12 −3 −4 3 ⴢ ⫽ ⫽ ⫽ 5 8 5ⴢ8 40 10 • 1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. −2 ⴢ1= 5
−3,2 ⴢ 1 =
1ⴢ
冉−35冊 =
1 ⴢ (–5,3) =
• Als je een getal en zijn omgekeerde vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 1. −
冉 冊
3 4 ⴢ – = 4 3
13
366
−1
4 ⴢ 3 −3 −4 3 ∕ ⴢ = = 5 8 52ⴢ 8∕ 10
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
0,5 ⴢ
=
Oefeningen REEKS A Kleur de hokjes met een positief product.
冉 冊
9 −3 ⴢ 7 2
−
−4,1 ⴢ (−2,3)
9 ⴢ 共−5,8兲 7
−
−5 ⴢ
冉 冊 −8 3,9 ⴢ 冉 冊 15 −2 7 ⴢ – 22 7
−9,1 ⴢ
a)
2 ⴢ (−1,4)
=
b)
−4,3 ⴢ 3
=
7 2
冉 冊
6 −3 ⴢ – 7 7 2 8 ⴢ 5 11
−4,2 ⴢ 11,3
c)
冉 冊 冉−8−3 冊 ⴢ 冉−29冊
−0,1 ⴢ (−4)
冉−29冊
11 1 ⴢ 12 2
冉– 92 冊 ⴢ 4,2
3 −5 ⴢ 7 −9
3,8 ⴢ (−6,9)
冉 冊
7 ⴢ 共–4,6兲 2
9 −5 ⴢ 16 12
e)
3,4 ⴢ (−2)
=
=
f)
−8,1 ⴢ (−2)
=
=
d)
−4 ⴢ 4,2
b)
3 −3 ⴢ – 4 7
=
c)
3ⴢ –
b)
7,8 ⴢ (−2,6) =
c)
−8,7 ⴢ
Bereken het product. 2 4 ⴢ 3 5
=
冉 冊
冉 85 冊
=
Bereken.
−7 17 ⴢ 25 8
In ki a)
71
6,3 ⴢ (−3,6)
Bereken het product.
a)
70
3,5 ⴢ
xe m
69
1 –4 ⴢ 9 5
jk e
68
8,1 ⴢ (−6,2)
冉−34冊 −7 冉– 118 冊 ⴢ 冉−13 冊
−7,52 ⴢ 6,9
冉 冊
−2,3 ⴢ 2,5
aa r
−2 4 ⴢ 3 5
pl
67
=
冉−23冊
=
Daisy is Amber, Brit en Claire elk € 3,20 schuldig. Hoeveel schulden heeft Daisy in totaal?
Antwoordzin:
72
Bereken. a)
2 van (−56) is 7
b)
8 van 90 is 12
c)
24 van (−65) is 30
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
367
REEKS B
74
Bereken het product. Als je antwoordt met een breuk, moet die onvereenvoudigbaar zijn.
冉 冊
冉 31 冊
a)
3 7 ⴢ – 3 8
=
i)
−3 ⴢ –
b)
−4,8 ⴢ 0,5
=
j)
−
c)
−4 25 ⴢ 5 3
=
k)
−1,5 ⴢ 26
=
d)
−0,1 ⴢ (−3,7)
=
l)
−0,8 ⴢ (−35)
=
e)
−16 ⴢ (−0,25) =
f)
63 56 ⴢ – 54 64
=
g)
−0,75 ⴢ 120
=
h)
−6 ⴢ
=
冉−718冊
aa r
m) −
冉 冊
96 72 ⴢ – = 84 78
−8 ⴢ1 17
=
o)
−52 51 ⴢ 65 68
=
p)
−54,8 ⴢ 0
=
pl
冉 冊
=
54 ⴢ (−56) = 80
n)
xe m
73
jk e
R
Liam kreeg € 10 van zijn vader om 4 kg mosselen te halen. Ze kosten € 2,65 per kilogram. Hoeveel komt hij te kort aan de kassa?
In ki
1
Antwoordzin:
2 3 4 5
R
75
Bereken.
6 7
冉 冊=
d)
24 −28 ⴢ – 36 35
冉 冊
=
e)
−
冉 冊
=
f)
−72 63 ⴢ 64 77
−
b)
56 −27 ⴢ – 28 57
c)
54 48 − – 56 42
8 9
冉 冊
18 −45 + = 42 63
a)
冉 冊=
18 −16 + 24 28
10 11 12 13
368
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
=
10.2.5 De deling Even herhalen Definitie
Het omgekeerde van een breuk Het omgekeerde van een breuk is
Werkwijze
Een breuk delen door een breuk
aa r
Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
(+) : (+) →
Voorbeelden
Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is
xe m
Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is
pl
Delen van gehele getallen
(−) : (−) →
(+) : (−) →
(−) : (+) →
Schrijf als een deling en bereken.
In ki
jk e
a) Lina wil boordstenen van 0,75 m lang rond een bloemperk met een omtrek van 6 m plaatsen.
Hoeveel boordstenen heeft ze nodig?
b) De gemiddelde dagtemperatuur was vandaag −4,8 ºC. De weerman zegt dat het morgen maar half zo koud zal zijn.
Wat zal de gemiddelde dagtemperatuur zijn?
Opmerkingen • Delen door 0 kan niet. • Kruiselings vereenvoudigen kan enkel bij de vermenigvuldiging. 2
8 4 6 4 4 4∕ 4 : = ⴢ ⫽ ⴢ ⫽ 3 4 3 6 3 6 ∕ 3 9
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
369
Oefeningen REEKS A Kleur alle hokjes met een negatief quotiënt. 7 2 : – 3 9
冉 冊
P
−8 : (−2,9)
K
−
冉 冊
6 –4 : 7 –5
R
–9 5 : −4 2
L
7,6 : (−1,7)
−7 :
5 8
I
−
M
1 2 : – 4 7
冉 冊
J
冉 冊
A
−7 −5 : 3 −7
aa r
76
Welk woord kun je vormen met de letters in de gekleurde hokjes?
−8,4 : 2
=
c)
−8,8 : (−4) =
e)
0,48 : (−6) =
b)
9,6 : (−3)
=
d)
−2 : 0,5
f)
−5,6 : (−7) =
b)
2 5 : 3 7
=
冉 冊
7 1 : – 5 4
=
In ki
1
79
=
Bereken het quotiënt. a)
2
pl
a)
xe m
78
Bereken het quotiënt.
jk e
77
冉 冊
=
冉 57冊
=
c)
5 −8 : – 9 2
d)
−3 : –
Bereken.
3
a)
4
−9 7 : 23 18
=
b)
9,52 : (−3,4) =
c)
−2,6 :
冉−57冊
5 6 7 8
80
Benzine kost € 1,375 per liter. Vader vult de tank van de auto en moet € 52,80 betalen. Hoeveel liter benzine heeft hij getankt?
9 10 11 12
Antwoordzin:
13
370
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
=
REEKS B
82
Bereken het quotiënt. Als je antwoordt met een breuk, moet die onvereenvoudigbaar zijn.
冉 冊
a)
9 3 : – 4 8
=
h)
−
b)
−20 : 0,1
=
i)
−9,4 : 0,1
=
c)
16 –4 : – 7 21
冉 冊
=
j)
−
48 : 36 20
=
d)
−48 : (−0,5)
=
k)
−5,6 : (−0,7) =
e)
−
冉 冊=
l)
f)
−12 : (−0,25) =
g)
35 63 : – 64 32
冉 冊
=
aa r −
冉 冊
91 65 : – = 77 88
冉 57冊
m) 15 : –
=
pl
12 24 : – 25 15
42 : 共−56兲 = 5
n)
−
冉 冊=
26 −34 : 39 51
xe m
81
Een duikboot bevindt zich vijftig meter onder de zeespiegel en zakt twee en een halve meter per minuut. Na hoeveel minuten geeft de dieptemeter een waarde van −70 m aan?
jk e
R
Antwoordzin:
83
Pieter staat € 75,50 in het krijt bij zijn ouders. Door tijdens de vakantie klusjes op te knappen, kan hij vier vijfden van zijn schuld aflossen. Hoeveel moet hij nog betalen?
In ki
€
Antwoordzin:
€
84
Arsen koopt tweehonderd gram bereid gehakt dat € 10,25 per kilogram kost. Hij heeft drie stukken van 50 cent en twee van 20 cent bij zich. Hoeveel heeft hij over of te kort?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
371
86
冉 冊=
35 −18 + 56 54
−56 ⴢ –
=
f)
−
32 35 − 48 42
=
c)
63 −65 − – = 78 72
冉 冊
g)
−28 21 : 36 30
=
d)
42 −54 : – = 84 49
冉 冊
h)
−64 63 + 96 99
=
−
b)
35 36 ⴢ – 49 45
冉 冊
=
De tabel geeft een overzicht van de maandresultaten voor de firma F.L.O.P. Vul aan. januari
€ 1 500
mei
februari
€ −2 000
juni juli
april
oktober
november
augustus
g =
−3 ⴢc 4
resultaat augustus =
h =
−d
resultaat september =
i =
e+f
resultaat oktober =
j =
d:
a+b+c
resultaat november =
k =
f−h
冉−13冊
resultaat december =
l =
b−g
1 500
resultaat februari =
b =
− 2 000
resultaat maart =
c =
3ⴢb
resultaat april =
d =
−1 ⴢc 2
resultaat mei =
e =
f =
a:
jk e
a =
resultaat juni =
december resultaat juli =
resultaat januari =
In ki
1
september
xe m
maart
2 3
冉 359 冊
e)
a)
aa r
€
Bereken.
pl
85
冉−34冊
Bereken de gemiddelde winst of verlies over het volledige jaar.
4 5
REEKS C
6 7
87
Vul aan. Plaats enkel haakjes als het nodig is.
8 9
ⴢ2
a)
c)
ⴢ
= 24
d)
: –
10 11
b)
−8 :
12 13
372
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
冉−54冊
= − 3,4
=
2 3
冉 27冊 = –35
e)
f)
5 : 6
= −1,2
: (−2,4) = −3 5
10.2.6 Machten Even herhalen • Benamingen 5 noem je
5 3 = 125
3 noem je
125 noem je
• Macht van een positief en een negatief getal Macht van een positief en een negatief getal
Rekenregel
aa r
Een macht van een positief getal is altijd Een macht van een negatief getal is positief als
pl
negatief als
• Macht van een breuk
xe m
Macht van een breuk
Werkwijze
Om een breuk tot een macht te verheffen,
• Bijzondere machten 0
=
1
᭙ a 僆 Q : a0 =
jk e
冉– 21 冊
᭙ a 僆 Q : a1 =
(0,3) =
Opmerkingen
冉– 21 冊 = 冉– 21 冊 ⴢ 冉– 21 冊 ⴢ 冉– 21 冊
=
冉– 21 冊
=
=
−
冉21 冊
=
=
−
14 2
In ki
3
−
冉21 冊
−
13 2
3
4
=
=
=
=
=
=
4
Voorbeelden a) Een vierkante tegel heeft een zijde van 30 cm. Wat is de oppervlakte van zo’n tegel?
b) Een kubusvormige doos heeft ribben van een halve meter. Wat is het volume van die doos?
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
373
Oefeningen REEKS A
(−8)
0
=
c)
(−7)
b)
(−9)
1
=
d)
−5 2
90
3 4
=
f)
(−3)
1,5 2
=
c)
0,6 3
=
b)
(−2,4) 3 =
d)
−1,1 3
=
Bereken. a)
冉35冊
b)
冉–27冊 =
0
3
=
g)
(−1)
=
h)
−2 4
c)
冉–59冊 =
e)
冉89冊
d)
冉65 冊
f)
冉– 43 冊 =
1
=
e)
(−1,2) 4 =
f)
−0,9 4 =
=
1
=
冉−12冊 =
h)
冉23冊
3
= 2
a) de oppervlakte van een vierkant tafelblad met een zijde van 78,5 cm (A = z 2)
b) de inhoud van een kubusvormige poef met een zijde van 52,3 cm (V = z 3)
3
=
c) de oppervlakte van een cirkelvormig tafelblad met een straal van 27,5 cm (A = r 2 ⴢ )
6 7 8 9 10
Antwoord:
12 13
374
=
g)
2
5
11
4
Bereken en rond af op 0,01.
In ki
2
−2 3
jk e
91
e)
a)
0
1
=
Bereken.
REEKS B
R
2
aa r
a)
pl
89
Bereken.
xe m
88
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Antwoord:
Antwoord:
Kleur de hokjes met een positief resultaat. Welk woord kun je vormen met de letters uit de gekleurde hokjes?
3
冉– 23冊 冉– 43 冊
−
(−1,1)
J
冉−29冊
C
冉– 27冊
D
−(8,1)
K
E
−
冉37冊
L
2
N
93
O
冉−37冊
−2 2 5
P
− 83
−1,1 8
Q
3
3
5
2
7
2
F
3
42 7
T
3
U
V
−
54 6
−(1,1) 6
M
1
W
R
−4 3 5
X
S
−9 2
Y
oplossing:
G
冉81 冊
−
−
冉92 冊
2
Z
jk e
(–4)
I
B
4
冉94 冊
冉−32冊
xe m
冉−25冊
H
(−4,3)
5
−3 2
2
A
aa r
冉41 冊
pl
92
In ki
REEKS C 93
94
Schrijf het grondtal eerst als een breuk en bereken.
a)
(−0,5) 3
=
=
c)
(−0,4)
b)
(0,75)
2
=
=
d)
(−1,5)
2
3
=
=
=
=
Bereken. 0
a)
(0,8)
b)
(−0,7) 1
2
=
c)
(−0,6)
=
e)
−0,2 4
=
d)
(−0,02) =
f)
(−0,1)
3
= 5
=
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
375
10.2.7 Vierkantswortels Even herhalen • Benamingen
5 −5
冪 noem je
144 noem je
冪144 = 12
12 noem je
noem je de positieve vierkantswortel van 25.
冪25
=
5
noem je de negatieve vierkantswortel van 25.
−冪25
=
−5
Vierkantswortel van een positief getal: 冪81
=
Vierkantswortel van een negatief getal: 冪−36 =
Werkwijze
Vierkantswortel van een breuk
omdat
omdat
pl
• Vierkantswortel van een breuk
aa r
• Vierkantswortel van een positief getal en vierkantswortel van een negatief getal
xe m
Om een vierkantswortel van een breuk te nemen,
• Bijzondere vierkantswortels 冪1 =
jk e
omdat
冪0 =
omdat
Opmerking
Als je de vierkantswortel van een breuk wilt nemen, moet je de volledige breuk onder het wortelteken zetten. Als je dat niet doet, slaat het wortelteken enkel op de teller van de breuk.
冑
冪49 7 49 ⫽ ⫽ 100 冪100 10
In ki
1
2 3
Voorbeelden
4
a) Een vierkante weide heeft een oppervlakte van 2 500 m 2.
5 6
冪49
100
⫽
7 100
b) Een vierkante tegel heeft een oppervlakte 1 m 2. van 4
7 8 9 10
Bereken de lengte van de zijde van de weide.
11 12 13
376
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Bereken de lengte van de zijde van de tegel.
Oefeningen REEKS A Bereken de vierkantswortel.
a)
d)
冪0
=
441 961
=
冑
289 = 361
b)
−
冪13,69 =
b)
冪4,84
c)
冪3 025
16
=
=
c)
− 冪7,84 =
冑
=
c)
冑
冑
=
d)
−
1 4
25 36
In ki
b)
jk e
Bereken de vierkantswortel.
a)
99
冪64 =
aa r
冑
REEKS B
R
c)
Bereken de vierkantswortel.
a)
98
− 冪9 =
Bereken en antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
97
b)
pl
96
冪36 =
xe m
95
16 81
=
e)
冑
冑
=
f)
−
9 4
49 = 100
冑
64 = 81
g)
冑
h)
冑
121 = 144
169 = 196
Bereken (indien mogelijk) en antwoord met een onvereenvoudigbare breuk.
a)
冑
=
d)
冑
b)
冑
=
e)
−
=
f)
−
c)
25 100
49 144
冪81
−21
400 = 16
冪196
28
冑
=
0 = 225
冑
13 = 52
g)
−
h)
冑
i)
冑
12 108
=
2 = 288
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
377
10.3 Eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen 10.3.1 Commutativiteit Optelling en aftrekking optelling
aftrekking
−1 −1 + 3 2
冉 冊
=
−1 −1 + 2 3
冉 冊
−1,4 + 0,8
=
0,8 + (−1,4) =
=
=
−1 −1 − 2 3
−1,4 − 0,8
=
0,8 − (−1,4) =
冉 冊
=
Het verschil verandert
als je de termen van plaats wisselt.
als je de termen van plaats wisselt.
Je zegt: De optelling van rationale getallen is commutatief.
Je zegt: De aftrekking van rationale getallen is niet commutatief.
Optelling en commutativiteit
pl
De som verandert
xe m
Besluit
冉 冊
aa r
Wat stel je vast?
−1 −1 − 3 2
De optelling van rationale getallen is commutatief. In symbolen:
Vermenigvuldiging en deling
jk e
vermenigvuldiging
冉 冊
−1 3 ⴢ 4 5
=
−2,1 ⴢ (−0,5) =
=
−0,5 ⴢ (−2,1) =
In ki
1
冉冊
−1 3 ⴢ 5 4
deling
3 −1 : 4 5
冉 冊
=
−1 3 : 5 4
冉冊
=
−2 : (−0,5)
=
−0,5 : (−2)
=
Wat stel je vast?
2 3 4
Het product verandert
Het quotiënt verandert
als je de factoren van plaats wisselt.
als je de factoren van plaats wisselt.
Je zegt: De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief.
Je zegt: De deling van rationale getallen is niet commutatief.
5 6 7 8 9 10
Besluit
Vermenigvuldiging en commutativiteit De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief. In symbolen:
11 12 13
378
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
10.3.2 Associativiteit Optelling en aftrekking optelling
aftrekking
冉 冊
−1 3 2 + + 2 4 3
=
1 2 −3 − − 5 4 2
冉−12 + 43 冊 + 32
=
冋 冉 冊册
冉 冊
=
2 −3 1 − − 5 4 2
−1 3 2 + + 2 4 3
冉
冊
1 2
=
=
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
Je zegt: De optelling van rationale getallen is associatief.
Je zegt: De aftrekking van rationale getallen is niet associatief.
Optelling en associativiteit
pl
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
xe m
Besluit
−
aa r
Wat stel je vast?
2 −3 − 5 4
=
De optelling van rationale getallen is associatief. In symbolen:
Vermenigvuldiging en deling
jk e
vermenigvuldiging
冉 冊
deling
冉 冊
=
1 −5 3 : : – 6 5 4
=
冉−25 ⴢ 41 冊 ⴢ 冉– 32冊
=
冉−56 : 53冊 : 冉– 41 冊
=
冋 冉 冊册
=
冋 冉 冊册
=
In ki
3 −2 1 ⴢ ⴢ – 5 4 2
3 −2 1 ⴢ ⴢ – 5 4 2
1 −5 3 : : – 6 5 4
Wat stel je vast?
Besluit
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
Het resultaat verandert als je haakjes invoert, van plaats verandert of weglaat.
Je zegt: De vermenigvuldiging van rationale getallen is associatief.
Je zegt: De deling van rationale getallen is niet associatief.
Vermenigvuldiging en associativiteit De vermenigvulding van rationale getallen is associatief. In symbolen:
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
379
10.3.3 Distributiviteit optelling verdelen
aftrekking
haakjes uitrekenen
冋 冉 冊册
verdelen
冋 冉 冊册
3 2 1 ⴢ + – 3 4 5
3 2 1 ⴢ + – 3 4 5
−
冉 冊
3 4 2 ⴢ − 2 5 3
−
=
=
=
=
=
=
=
Je mag de vermenigvuldiging verdelen over
pl
Je mag de vermenigvuldiging verdelen over
Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
Je zegt: De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking. Distributiviteit
xe m
Distributiviteit
冉 冊
3 4 2 ⴢ − 2 5 3
aa r
=
Wat stel je vast?
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de optelling van rationale getallen.
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van de aftrekking van rationale getallen.
In symbolen:
In symbolen:
jk e
Besluit
haakjes uitrekenen
Je kunt die eigenschap in twee richtingen toepassen. • een factor vermenigvuldigen met een som (of verschil): a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c Los de volgende oefeningen op met de distributiviteit.
冉31 − 2冊 1 a −5 ⴢ 冉 − 冊 2 3
In ki
1
2 3 4
−3 ⴢ
=
=
5 6 7
• de gemeenschappelijke factor in een som (of verschil) afzonderen: a ⴢ b + a ⴢ c = a ⴢ (b + c) Als er in een som of een verschil in de verschillende termen eenzelfde factor voorkomt, kun je die met de distributiviteit afzonderen.
8
Zonder de gemeenschappelijke factoren af. 9 10 11
− 12
4 26 + (−7) ⴢ 3 3
=
3 −2 ⴢa+ ⴢa 4 3
=
−7 ⴢ
冉 冊
13
380
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A
opgave
wisselen (commutativiteit)
schakelen (associativiteit)
verdelen (distributiviteit)
冉 冊
−1 3 3 −1 + = + 2 5 5 2
❒
❒
❒
b)
2,5 + (−3,2) + 7 = 2,5 + (−3,2 + 7)
❒
❒
❒
c)
4,8 ⴢ (−2,5) = −2,5 ⴢ 4,8
❒
❒
❒
d)
4ⴢ
❒
❒
e)
−2 3 7 −2 3 7 ⴢ ⴢ ⴢ = ⴢ 5 4 8 5 4 8
f)
−4 ⴢ (2 + 0,5) = −4 ⴢ 2 + (−4) ⴢ 0,5
冉 冊 冉
冊
❒
pl
冉−13 + 57冊 = 4 ⴢ 冉−13冊 + 4 ⴢ 57
aa r
a)
❒
xe m
101
Vink de toegepaste eigenschap aan.
❒
❒
❒
❒
❒
Gebruik de verdeeleigenschap om de volgende oefeningen te berekenen. a)
10 ⴢ (2,4 + 3,7)
=
2 ⴢ (−3,5 + 0,3)
=
In ki
b)
jk e
100
c)
102
100 ⴢ (2,5 − 1,42) =
Splits en verdeel om de volgende oefeningen te berekenen. a)
12 ⴢ 3,5
=
b)
9 ⴢ 1,2
=
c)
−6 ⴢ (−3,5) =
(10 + 2) ⴢ 3,5 =
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
381
REEKS B 103
Schrijf een factor als een optelling of een aftrekking. Bereken met de distributiviteit. a)
8 ⴢ 2,9
c)
−8,1 ⴢ (−7)
e)
6,9 ⴢ (−3)
b)
−6 ⴢ 3,9
d)
9 ⴢ (−7,8)
f)
−4 ⴢ (−9,8)
冉
冊
xe m
Welke eigenschap herken je?
冉 冊
a)
1 −2 1 3 1 −2 3 ⴢ + = ⴢ + ⴢ 3 5 4 3 5 3 4
b)
1 3 1 −2 3 −2 + + + = + 7 5 3 7 5 3
c)
冊
冉 冊
冉 冊
2 −2 8 −8 + – + – = 9 5 5 9
In ki
1
冉 冊 冉
jk e
104
pl
aa r
R
2
d)
3
冋 冉 冊册 = 冉−76 ⴢ 37冊 ⴢ 冉– 92 冊
2 −7 3 ⴢ ⴢ – 6 7 9
4 5 6
105
Zonder de gemeenschappelijke factor af.
7 8
a)
1 4 1 2 ⴢ + ⴢ 3 5 3 7
b)
−5 ⴢ
冉 冊
=
c)
−2 7 5 7 ⴢ − = ⴢ 4 8 9 8
2 3 − ⴢ 共−5兲 = 9 7
d)
5 5 + 共−6兲 ⴢ 7 7
9 10 11 12 13
382
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
=
10.3.4 Toepassingen op de eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen Alle toepassingen op de eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen met gehele getallen blijven gelden bij de rationale getallen. Tegengestelde van een som
冉
• − –
2 3 + 5 8
冊
冉 冊
2 3 + – 5 8
=
=
1 16 15 − = 40 40 40
aa r
• −(−5,4 + 2,3) =
Gedurige som
冉 冊
4 1 2 −3 + + + 3 5 4 5
=
xe m
•
= 8,5 − 3,25 = 5,25
pl
• 2,5 + 6 + (−3,25)
Opmerking
Je kunt termen van plaats wisselen en zo het optellen vereenvoudigen.
jk e
2,5 + (−7,3) + 4,5 + (−8,7) =
Haakjesregel
冉
2 −1 3 − − 3 4 5
冊
=
40 15 36 91 2 1 3 + + = + + = 3 4 5 60 60 60 60
In ki
•
• −7,8 − (2,3 − 6,1)
=
Gedurig product
• 1,3 ⴢ (−2) ⴢ 0,1 •
= −2,6 ⴢ 0,1 = −0,26
冉 冊
−5 6 4 9 ⴢ ⴢ ⴢ – = 3 2 3 10
Opmerking Je kunt factoren van plaats wisselen en zo het vermenigvuldigen vereenvoudigen. 2,5 ⴢ (–0,5) ⴢ 4 ⴢ (–8,8) =
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
383
Oefeningen REEKS B
b)
4 2 −2 9 + + – + 3 15 6 5
=
c)
4,7 − 8,6 + 9,3 − 7,4
=
d)
7 3 –8 1 2 + + + − 2 3 24 9 5
冉 冊
=
冉 冊
Werk de haakjes weg met de haakjesregel en bereken. a)
2,5 + (6,8 − 3,4)
b)
1 3 2 − − 3 4 5
冉 冊
c)
aa r
2,4 + 9,8 + 3,6 + (−7,8) =
pl
107
a)
−5,4 − (−2,8 + 5,6)
d)
冉 冊
1 3 −5 + − 4 3 2
e)
3,8 − (8,9 + 4,5)
f)
3 1 −4 − + 3 2 5
冉 冊
jk e
R
Bereken de gedurige sommen.
xe m
106
In ki
1
2 3 4 5 6
108
Bereken de gedurige producten en antwoord met een onvereenvoudigbare breuk. a)
15 −24 8 ⴢ ⴢ 18 16 10
冉 冊
=
b)
−
26 24 15 ⴢ ⴢ 5 39 18
=
c)
冉– 94 冊 ⴢ 86 ⴢ 冉−34冊 ⴢ 25
=
d)
−27 −18 40 5 ⴢ ⴢ ⴢ 48 6 25 9
冉 冊冉 冊
=
7 8 9 10 11 12 13
384
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
a)
2,5 + 3,9 + 4,5 + 4,2
b)
15 16 −9 12 ⴢ ⴢ – ⴢ 27 24 20 28
=
c)
8 ⴢ (−2,5) ⴢ 1,25 ⴢ 4 ⴢ 5
=
d)
49 30 −27 36 + + − 48 45 56 24
e)
63 56 72 52 ⴢ ⴢ ⴢ – 54 64 13 36
冉 冊
冉 冊
冉 冊
=
aa r
冉 冊
=
=
Bereken de gemiddelde maandtemperatuur.
pl
110
Bereken.
xe m
109
gemiddelde dagtemperatuur
6 5
jk e
4
2 1
In ki
temperatuur in °C
3
0
5
10
15
20
25
30
–1 –2 –3 –4
dagnummer
Antwoord:
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
385
111
Beantwoord de vragen bij het staafdiagram. Rond af tot op twee cijfers na de komma. neerslag gemeten per dag 3,5 3 2,5 2 1,5 1
vrijdag
donderdag
aa r
woensdag
maandag
dinsdag
0
zondag
0,5 zaterdag
neerslaghoeveelheid (in mm)
4
dag van de week
Hoeveel mm water viel er die week?
b)
Bereken hoeveel neerslag er die week gemiddeld per dag viel.
xe m
pl
a)
jk e
De hoeveelheid neerslag wordt gemeten met een pluviometer en wordt in mm uitgedrukt. Eén millimeter neerslag komt overeen met 1 liter op een horizontale oppervlakte van 1 m 2.
In ki
1
2 3
€
112
Peter heeft vorig jaar bijgehouden hoeveel geld er op het einde van elke maand op zijn rekening stond. december
november
oktober
september
augustus
juli
juni
mei
april
maart
6
februari
5
januari
4
7 8 9 10
bedrag 52,58 −26,95 72,68 43,96 −69,45 78,63 124,35 −83,5 25,93 65,89 −17,82 38,15 (in €)
Hoeveel stond er over het hele jaar gemiddeld op zijn rekening op het einde van de maand?
11 12 13
386
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
10.4 De volgorde van de bewerkingen met rationale getallen Inleiding De volgorde waarin je de bewerkingen uitvoert, kan het resultaat beïnvloeden. Bij de rationale getallen gebruik je dezelfde volgorde als bij de gehele getallen.
Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes
( ), [ ]
2) Machten en vierkantswortels
n a , 冪a
ⴢ, :
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+, −
Voorbeelden −2 2 9 + ⴢ 5 3 4
1
=
3
−2 ∕ 2 9 ∕ + ⴢ 5 ∕ 3 ∕ 4 1
2
−2 3 + 5 2
jk e
=
c)
−4 15 + 10 10
In ki
=
=
11 10
b) 8 + 32 : (−10)
冉 冊
4 −2 − 5 3
2
:
10 9
xe m
a)
aa r
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
pl
Afspraak
e)
4 − 3
=
=
=
=
=
=
=
=
d) 5 ⴢ (−6,2 + 3,4) : 7
冑
冉 冊
8 4 3 ⴢ : – 9 冪25 15
f) 8 ⴢ 2,5 − 冪9 + 3,2 ⴢ 5
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
387
Oefeningen REEKS A Bereken.
114
−4 + 2 ⴢ 1,5
b)
2,2 + 3,6 : (−2)
c)
7 5 −4 : − 6 9 8
Bereken. 1 2 9 + ⴢ 2 3 8
冉 冊
−7 ⴢ 8 − 4,7
e)
冉 冊
3 −5 + – 8 4
2
b)
−3 2 4 + : 8 3 9
d)
冉 冊
6 1 3 ⴢ − 9 5 4
f)
冑 冉 冊 4 −8 : 9 9
In ki
1
jk e
xe m
a)
c)
aa r
a)
pl
113
2 3 4 5 6 7 8 9
115
Bereken. 11 8 −3 + ⴢ 8 17 14
=
c)
34 冪289 : 15 25
b)
72 : 冪324 − 16,3
=
d)
1,2 2 + 6,8 ⴢ (−24,5) =
10 11
冉 冊
a)
12 13
388
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
=
REEKS B Bereken. a)
R
117
4 + 3,2 : (−8) ⴢ 5
b)
24,8 : (−2) − 6,3 ⴢ (−3)
c)
25 32 48 18 ⴢ – + : 15 27 36 45
Bereken. 2 5 6 3 + ⴢ − 3 4 9 8
冉
−5 ⴢ 2,2 ⴢ (−4) + 3,76
冊
e)
冉
冪64 −9 ⴢ − 20 6
冑
3 12
冊
冉 冊
−7 5 1 2 − ⴢ − 4 3 4 3
d)
冉 冊冉 冊
77 88 −63 54 : ⴢ – − 56 64 72 84
f)
冉 冊 冉 冊
4 23 + – 14 7
2
:
−2 4 21
In ki
b)
jk e
xe m
pl
a)
c)
aa r
116
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
389
118
Bereken.
冉 冊
a)
34 8 5 −4 − : + 7 28 56 51
=
d)
(−4,1) − 0,3 2 ⴢ 1,8 : 冪4
b)
15,6 ⴢ (−5) − 38,4 : (−2,4)
=
e)
5 25 2 5 : − ⴢ 8 24 3 3
c)
7 35 6 2 19 − + : 48 25 80 14 2
=
f)
3,2 2 − 4 ⴢ (−6,56) + 冪2,89 =
冉
冊
2
冑
13 52
=
=
€
119
aa r
REEKS C Haal de gegevens uit het staafdiagram. Schrijf de opgave als één uitdrukking en bereken. jaarresultaten aandelen
2
C&B
xe m
1
Daxio
pl
3
Apel
–1
EX
0
Boe
winst/verlies per aandeel in euro
4
–2
jk e
bedrijven
a) Ingrid heeft van elk bedrijf 10 aandelen. Hoeveel winst of verlies maakte ze vorig jaar?
b) Peter heeft 25 aandelen van Apel, 16 van Boe en 28 van C&B. Hoeveel winst of verlies maakte hij vorig jaar?
In ki
1
2 3 4 5
c) Wendy, een financieel expert, heeft enkel aandelen van Apel, C&B en Daxio. Van elk bedrijf heeft ze 100 aandelen. Hoeveel winst maakte ze vorig jaar?
6 7 8 9
d) Selim heeft van Apel 5 aandelen, van Boe 10, van C&B 15, van Daxio 20 en van EX 25. Hoeveel winst of verlies maakte hij vorig jaar gemiddeld per aandeel?
10 11 12 13
390
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Bereken.
冉 冊
冉
a)
28 48 −5 7 −16 −7 + − ⴢ − : 18 9 27 41 6 8
b)
−49 −2 56 −49 : + : ⴢ 84 3 64 56
冊
d)
−17 ⴢ 19
冉冑
冊
64 68 51 − : + 4 ⴢ (−2,25) 81 57 38
冉 冊 冑637 册
e)
− 冪7,3 + 2,9 ⴢ 3 :
冋 冉 冊册 63 −39 ⴢ 91 54
4
In ki
jk e
xe m
冋
pl
aa r
120
c)
冪49
23
:
冉 冊 冑 −21 − 32
冉 冊
26 10 39 + : – 9 45 20
f)
8 − 15
冑
4 2 3 6 20 5 2 5 + ⴢ + − : 2 3 冪49 21 5 18 18
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
391
10.5 Procentberekening 10.5.1 Procent berekenen van een getal Even herhalen Een breuk nemen van een getal
Werkwijze
Een breuk nemen van een getal Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal.
aa r
Voorbeelden 15
3 3 ⴢ 60 3 ∕ 45 van 60 = ⴢ 60 = = 45 = 4 4 4∕ 1 1
2 van 35 = 5
pl
Werkwijze
→ beginwaarde
Hij krijgt een korting van 25 %.
→ percentage
Hoeveel korting krijgt hij?
→ deel
xe m
Pepito Soleil koopt een paar clownschoenen van € 120.
methode 1 25 % van 120
25 van 120 100
jk e
=
1 van 120 = 4 =
methode 3
25 % van 120 = 0,25 ⴢ 120
100 % : 100
= 30
ⴢ 25
30 1 ⴢ∕ 120 4∕1
30 1
2
=
3
= 30
4
Antwoordzin: Pepito Soleil krijgt € 30 korting.
5 6 7 8
Werkwijze
Deel berekenen deel = percentage ⴢ beginwaarde
9 10 11
Voorbeeld Hoeveel behaalde Isaac op 40, als hij 85 % had voor zijn toets van Frans?
12 13
392
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
↓ 1%
In ki
1
methode 2
↓
↔ € 120 ↓
: 100
↔ € 1,20 ↓
25 % ↔ € 30
ⴢ 25
10.5.2 Percentage berekenen Werkwijze Michiel behaalt 34 op 40 voor zijn toets wiskunde. Hoeveel procent is dat? ↓ ↓ ↓ deel beginwaarde percentage methode 1
methode 2
34 17 85 = = = 0,85 = 85 % 40 20 100
40 ↔ 34 ↓ ↓ : 40 1 ↔ 0,85 ⴢ 100 ↓ ↓ ⴢ 100 100 ↔ 85
100 40
ⴢ
100 40
aa r
ⴢ
: 40
Antwoordzin: Michiel heeft 85 % voor zijn toets wiskunde. Percentage berekenen percentage =
deel beginwaarde
xe m
Voorbeeld
pl
Werkwijze
Marie kreeg € 15 korting op een bedrag van € 75. Hoeveel procent is dat?
10.5.3 Beginwaarde berekenen Werkwijze
jk e
In de klas zitten 14 meisjes. Dat is 56 % van het aantal leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? ↓ ↓ ↓ deel percentage beginwaarde
In ki
methode 1
14 : 56 % = 14 : 0,56 = 25 of
14 :
56 100 = 14 ⴢ = 25 100 56
methode 2 56 % ↔ 14 ↓ ↓ : 56 1 % ↔ 0,25 ⴢ 100 ↓ ↓ ⴢ 100 100 % ↔ 25 : 56
Antwoordzin: Er zitten 25 leerlingen in de klas.
Werkwijze
Beginwaade berekenen beginwaarde =
deel percentage
Voorbeeld Een korting van 30 % komt overeen met € 21. Bereken de oorspronkelijke prijs.
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
393
10.5.4 Samengevat deel berekenen
deel
= percentage ⴢ beginwaarde
percentage berekenen
percentage
=
beginwaade berekenen
beginwaarde =
D
deel beginwaarde
P
deel percentage
B
Een getal met een percentage verminderen
aa r
10.5.5 Een getal met een percentage verminderen of vermeerderen →
100 %
Ze krijgt 20 % korting.
→
−20 %
Hoeveel moet ze betalen?
→
80 %
methode 2
xe m
methode 1
pl
Laura koopt een nieuwe trui van € 30.
20 % van 30 = 0,20 ⴢ 30 = 6 30 − 6 = 24
80 % van 30 = 0,80 ⴢ 30 = 24
Antwoordzin: Laura betaalt € 24 voor de trui. Een getal met een percentage vermeerderen
→
100 %
Het btw-tarief voor fietsen bedraagt 21 %.
→
+21 %
Hoeveel moet hij betalen?
→
121 %
jk e
Jason wil een fiets van € 400 kopen.
methode 1
In ki
1
21 % van 400 = 0,21 ⴢ 400 = 84 400 + 84 = 484
2 3 4
methode 2 121 % van 400 = 1,21 ⴢ 400 = 484
Antwoordzin: Jason zal € 484 voor zijn nieuwe fiets moeten betalen.
5
btw: belasting over de toegevoegde waarde
6 7 8 9 10 11 12
€
De btw is een belasting op de verkoop van producten en diensten. Die belasting wordt in de meeste Europese landen toegepast, in België sinds 1971. Het basistarief is niet in alle landen hetzelfde. In België is het 21 %, terwijl het btw-tarief in Luxemburg bijvoorbeeld maar 15 % bedraagt. Er gelden een aantal uitzonderingen op het basistarief van 21 %: • 6 % voor basisproducten en geleverde diensten met een sociaal karakter, • 12 % voor goederen en geleverde diensten die vanuit economisch of sociaal oogpunt belangrijk zijn.
13
394
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
Oefeningen REEKS A
122
Bereken de gevraagde percentages. a)
1 % van 400
=
e)
20 % van 55
=
b)
100 % van 45
=
f)
75 % van 40
=
c)
50 % van 26
=
g)
80 % van 50
=
d)
10 % van 360
=
h)
25 % van 80
=
Los op.
c) Er zitten 24 leerlingen in onze klas. 25 % ervan draagt een bril. Hoeveel leerlingen dragen een bril?
xe m
pl
a) Otte krijgt een korting van 10 % op een aankoop van â&#x201A;Ź 150. Hoeveel korting krijgt hij?
Antwoord:
aa r
121
Antwoord:
jk e
b) Ayla moet 40 bladzijden studeren. Daarvan heeft ze al 75 % geleerd. Hoeveel bladzijden moet ze nog leren?
In ki
Antwoord:
d) Op een boek van â&#x201A;Ź 20 krijg je een korting van 10 %. Hoeveel moet je betalen?
Antwoord:
REEKS B
123
Bereken.
beginwaarde
percentage
a)
250
22 %
b)
56
c) d)
8% 85
60 %
deel
beginwaarde e)
42
f)
120
14
g)
80
h)
percentage
deel
28 %
35 72
45 % 15 %
27
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
395
124
Los op. a)
d)
Kaat behaalt 18 op 25 voor haar toets wiskunde. Hoeveel procent is dat?
Antwoord:
Antwoord:
e)
Na 350 km hadden we 25 % van de reisweg afgelegd. Wat was de totale afstand?
Van de 500 leerlingen van onze school doen er 350 aan sport. Hoeveel procent van de leerlingen is dat?
jk e
Antwoord:
a) 140 vermeerderd met 15 %
c) 350 vermeerderd met 21 %
b) 210 verminderd met 22 %
d) 420 verminderd met 33 %
In ki
1
Bereken.
f)
xe m
Pieter werd met 32 van de 40 stemmen gekozen tot voorzitter. Hoeveel procent van de stemmen is dat?
Antwoord:
125
Antwoord:
pl
Antwoord:
c)
Door een korting van 10 % moet Jorne € 15 minder betalen. Wat was de oorspronkelijke prijs?
aa r
b)
Op een broek die normaal € 50 kost, krijg je € 15 korting. Hoeveel procent korting is dat?
2
126
3
Hanne had 84 % voor haar toets Frans. Hoeveel punten behaalde ze op 175?
4 5
Antwoordzin:
6 7 8 9
127
Een boormachine van € 120 kun je tijdens de solden kopen voor € 96. Hoeveel procent korting heb je dan gekregen?
10 11 12
Antwoordzin:
13
396
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
€
128
Carl verdient € 8 per uur als jobstudent. Hoeveel zal hij verdienen na een loonsverhoging van 2,5 %?
Antwoordzin:
€
129
Sara krijgt 25 % korting op een trui die oorspronkelijk € 76 kostte. Hoeveel moet ze voor die trui betalen?
130
Door een korting van 8 % moet je € 26 minder betalen voor een spelconsole. Wat was de oorspronkelijke prijs?
pl
€
aa r
Antwoordzin:
€
131
Bereken.
R
xe m
Antwoordzin:
oorspronkelijk bedrag a)
c)
e) f)
14 700
g)
8 000
h)
€
132
2%
16
nieuw bedrag
14 %
240
In ki
d)
850
werkelijke korting
jk e
b)
procentuele korting
180 480 16 %
1 120
168
21 % 7 040 15 %
750
In een boekenwinkel krijgt Ayoub 15 % korting, waardoor hij € 1,38 minder moet betalen. Wat was de oorspronkelijke prijs? Hoeveel moet hij uiteindelijk betalen?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
397
133
Voor Club Brugge – Anderlecht zijn 24 950 mensen naar het stadion gekomen. 17 964 van hen supporteren voor Club. Hoeveel procent supportert voor Anderlecht?
Antwoordzin:
134
De catalogusprijs voor onze nieuwe wagen is € 21 995. Voor onze vorige wagen wil de garagist nog € 2 495 betalen. Bovendien wil hij op het resterende bedrag nog een korting van 5 % geven. Hoeveel moeten we uiteindelijk nog betalen voor onze nieuwe wagen?
pl
aa r
€
Er loopt een speciale actie in de plaatselijke doe-het-zelfzaak. Als je de winkel binnenkomt, krijg je twee stickers, een met −5 % en een met −10 % erop. Je mag zelf kiezen op welke producten je de stickers kleeft.
€5
In ki
1
135
jk e
€
xe m
Antwoordzin:
€ 65
–5 %
–10 %
€ 50
2 3 4 5
Joppe koopt de hierboven afgebeelde producten. Bereken het verschil tussen de maximale en de minimale totale prijs die hij moet betalen als hij beide stickers gebruikt.
6 7 8 9 10 11 12
Antwoordzin:
13
398
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
€
136
137
Zal de handelaar de procentuele of de werkelijke prijsstijging afficheren? Vink aan. procentueel
werkelijk
a) een prijsstijging van € 20 naar € 22
❒
❒
b) een prijsstijging van € 2 000 naar € 2 020
❒
❒
Beantwoord de vragen met de gegevens uit het staafdiagram.
aa r
resultaten toets aardrijkskunde 9 8
klas 1Aa klas 1Ab
6 5
pl
aantal leerlingen
7
4 3
xe m
2 1 0
3
4
5
6
7
8
9
10
behaalde punten
jk e
a) Hoeveel procent van de leerlingen van 1Aa behaalt 8 op 10 voor hun toets?
In ki
b) Hoeveel procent van de leerlingen van beide klassen samen behaalt 7 op 10?
c) Hoeveel procent van de leerlingen van 1Ab behaalt meer dan 6 op 10 voor hun toets?
d) Welke score werd door 16 % van de leerlingen van 1Aa behaald?
e) Het aantal leerlingen van 1Aa en het aantal leerlingen van 1Ab vormen samen 30 % van het totale aantal leerlingen waar deze leerkracht les aan geeft. Aan hoeveel leerlingen geeft deze leerkracht les?
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
399
REEKS C 138
De prijs van een zonnebril werd tijdens de koopjesperiode met 20 % verlaagd. Na de solden werd de prijs opnieuw met 20 % (van de soldenprijs) verhoogd. Tegen hoeveel procent van de oorspronkelijke prijs wordt de bril nu verkocht?
aa r
€
Antwoordzin:
Linde koopt een digitale miniketen. De verkoper geeft haar een korting van 10 %. Aan de kassa krijgt ze nog eens 5 % op het resterende bedrag omdat ze contant betaalt. Ze betaalt uiteindelijk € 213,75. Wat was de oorspronkelijke prijs van de miniketen?
pl
139
jk e
xe m
€
Antwoordzin:
In ki
1
2 3
€
140
Een fototoestel kostte vorige maand € 420. Nu staat het in de aanbieding voor € 399. De verkoper maakte vorige maand 20 % winst op het toestel. Hoeveel procent winst maakt hij nu nog op dat toestel?
4 5 6 7 8 9 10 11
Antwoordzin:
12 13
400
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
STUDIEWIJZER Rationale getallen voor de leerling
10.1 De rationale getallen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
KUNNEN
aa r
Een rationaal getal is elk getal dat je verkrijgt bij een deling van twee gehele getallen, waarbij het tweede getal niet nul is. Het symbool Q als verkorte notatie voor de verzameling van de rationale getallen. De benamingen van de verschillende delen van een breuk. Als je de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) eenzelfde van nul verschillend getal, dan verkrijg je een gelijke breuk. Gelijknamige breuken zijn breuken met eenzelfde noemer.
xe m
pl
Rationale getallen associëren met betekenisvolle situaties. Onechte breuken schrijven als gemengd getal en omgekeerd. Breuken vereenvoudigen tot onvereenvoudigbare breuken. Breuken gelijknamig maken. Het tegengestelde en het omgekeerde van een getal bepalen. Breuken als procenten schrijven en omgekeerd. Een breukvorm van een rationaal getal omzetten in de decimale vorm. Rationale getallen met een begrensde decimale vorm in breukvorm schrijven. Rationale getallen voorstellen op een getallenas. Punten in het vlak bepalen door middel van coördinaten. Rationale getallen ordenen. De symbolen =, ≠, <, ⭐ , >, ⭓ correct gebruiken en verwoorden.
10.2 Bewerkingen met rationale getallen
KENNEN
In ki
jk e
Om twee breuken op te tellen: • vereenvoudig de breuken als het kan; • maak de breuken gelijknamig; • tel de tellers op, behoud de noemer; • vereenvoudig het resultaat als het kan. Om twee gehele getallen met hetzelfde toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken de som van de absolute waarden; • behoud het teken. Om twee gehele getallen met een verschillend toestandsteken op te tellen, ga je als volgt te werk: • bereken het verschil van de absolute waarden; • behoud het teken van het getal met de grootste absolute waarde. 0 heeft geen invloed op de optelling. Het verschil van twee gehele getallen is de som van het eerste getal en het tegengestelde van het tweede getal. Twee gelijke opeenvolgende tekens vervang je door een plusteken. Twee verschillende opeenvolgende tekens vervang je door een minteken. Om een getal met een breuk te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je dat getal met de teller en behoud je de noemer. Om een product van twee breuken te maken, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar. Om een breuk te nemen van een getal, vermenigvuldig je de breuk met dat getal. Het product van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het product van twee factoren met een verschillend teken is negatief. HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
401
voor de leerling
−
KENNEN
voor de leerkracht
+ −
+
KUNNEN
aa r
1 heeft geen invloed op de vermenigvuldiging. Het omgekeerde van een breuk is een breuk die je verkrijgt door teller en noemer van plaats te verwisselen. Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Het quotiënt van twee factoren met eenzelfde teken is positief. Het quotiënt van twee factoren met een verschillend teken is negatief. Een macht van een positief getal is altijd positief. Een macht van een negatief getal is • positief als de exponent even is; • negatief als de exponent oneven is. Om een breuk tot een macht te verheffen, moet je de teller en de noemer tot die macht verheffen. Om een vierkantswortel van een breuk te nemen, moet je de vierkantswortel nemen van de teller en de noemer van die breuk.
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
jk e
xe m
pl
Bewerkingen met rationale getallen associëren met betekenisvolle situaties. Rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het verband tussen aftrekken en optellen verwoorden. Het verband tussen delen en vermenigvuldigen verwoorden. Machten met een natuurlijke exponent van een rationaal getal berekenen. Vierkantswortels van een (positief) geheel getal berekenen. De tekenregels bij rationale getallen toepassen. Schatten van het resultaat van bewerkingen met rationale getallen. Vraagstukken in verband met betekenisvolle situaties met rationale getallen oplossen. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.
10.3 Eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen KENNEN
In ki
1
De optelling van rationale getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 Q: a + b = b + a De vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief. ᭙a en b 僆 Q: a ⴢ b = b ⴢ a De optelling van rationale getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 Q: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c De vermenigvuldiging van rationale getallen is associatief. ᭙a, b en c 僆 Q: (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ (b ⴢ c) = a ⴢ b ⴢ c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling met rationale getallen.
2 3 4 5 6 7
᭙a, b en c 僆 Q: a ⴢ (b + c) = a ⴢ b + a ⴢ c De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de aftrekking met rationale getallen. ᭙a, b en c 僆 Q: a ⴢ (b − c) = a ⴢ b − a ⴢ c
8
KUNNEN
9 10 11 12
De eigenschappen van de bewerkingen herkennen en benoemen. De eigenschappen van de bewerkingen toepassen bij hoofdrekenen. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.
13
402
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
voor de leerling
10.4 De volgorde van de bewerkingen met rationale getallen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
De volgorde van de bewerkingen: 1) Bewerkingen tussen haakjes
( ),[ ]
2) Machten en vierkantswortels
a n , 冪a
3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
ⴢ, :
4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
+, −
KUNNEN
10.5 Procentberekening KENNEN
−
+ −
+
−
+ −
+
xe m
pl
deel = percentage ⴢ beginwaarde percentage = deel : beginwaarde beginwaarde = deel : percentage
aa r
De volgorde van de bewerkingen toepassen in oefeningen en vraagstukken. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.
KUNNEN
jk e
Procent nemen van een getal of een grootheid. Een breuk omrekenen naar een percentage. Berekenen van de beginwaarde als percentage en deel gegeven zijn. Een getal vermeerderen of verminderen met een percentage. Vraagstukken in verband met procentberekening oplossen. Vragen beantwoorden in verband met gegeven tabellen en diagrammen. Een rekenmachine doelgericht gebruiken.
In ki
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
403
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig g
... 2.
+
jk e
In ki
1
3. Bij een loteri j ten voordele van de sportclu b leggen alle deelnemer s € 20 in. De helft van h et ingelegde bedrag wordt na de loting gelijkmatig ve rdeeld onder tw eee vijfde van de de elnemers.
2 3
Hoeveel krijgen
de winnaars el
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
404
HOOFDSTUK 10 I RATIONALE GETALLEN
k?
+
+
= 18
+
=9
pl
xe m
n, : een grote kraa en an kr er at w 1. Je hebt drie een kleine. een normale en t je een erkranen moe at w ie dr e di Met n. uten, waterton vulle de ton in 5 min lt vu n aa kr e De grot ten, aan in 12 minu de normale kr uten. aan in 20 min en de kleine kr te vullen mett het om de ton rt u du g n la oe H lijk? erkranen tege alle drie de wat
aa r
concreet materiaal
×
–
×
–
de ht geeft de vier 4. Welk gewic
=6
=?
?
n weegschaal aa
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
11.1
₄₀₆ ₄₀₉ ₄₃₁ ₄₄₅ ₄₅₃ ₄₆₉ ₄₇₂
Veelhoeken
11.2 Driehoeken 11.4 Cirkels
aa r
11.3 Vierhoeken
11.5 Omtrek en oppervlakte Studiewijzer
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
405
11.1
Veelhoeken
11.1.1 Inleiding
xe m
pl
Om de blokken in het spel te stoppen, kijkt Elsje naar de vlakke figuren die ze op het blokkenspel herkent en die ze terugvindt op de ruimtefiguur.
aa r
Elsje krijgt een blokkenspel. Ze moet alle blokken in het spel proberen te krijgen. De blokken zijn ruimtefiguren.
In ki
1
ruimtefiguur wiskundige voorstelling
vlakke figuur
jk e
blokkendoos
2 3 4 5 6 7
Hieronder zijn enkele vlakke figuren getekend die je op verschillende blokkendozen vindt. Een vlakke figuur die enkel begrensd is door lijnstukken, noem je een Kleur ze hieronder.
8 9 10 11 12 13
406
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
Opmerkingen
Om een veelhoek te benoemen, vermeld je de opeenvolgende hoekpunten in wijzerzin.
xe m
hoekpunten
vijfhoek FRIET
pl
11.1.2 Benamingen
aa r
â&#x20AC;˘ Veelhoeken worden onderverdeeld in driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken ... â&#x20AC;˘ Sommige veelhoeken noem je regelmatige veelhoeken. Dat zijn veelhoeken met even lange zijden en even grote hoeken.
R
hoeken
I
F
zijden
E
jk e
T
In ki
Een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt, noem je een
11.1.3 Diagonalen in een veelhoek
figuur
soort veelhoek aantal diagonalen
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
407
Oefeningen REEKS A 1
Welk soort veelhoek herken je bij de onderdelen van de volgende gezelschapsspelen? onderdeel
soort veelhoek
2
Vul aan.
xe m
pl
aa r
spel
W
jk e
a)
A
In ki
2 3 4 5 6
soort veelhoek notatie
hoekpunten
7 8 9
hoeken zijden
10 11
diagonalen
12 13
408
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
L
D E
S
1
b)
F K E
N
11.2
Driehoeken
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
11.2.1 Inleiding
Waar herken je nog driehoeken in je omgeving?
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
409
11.2.2 Benamingen Verbind de punten T, A en S met elkaar. Vul aan. A
hoekpunten hoeken
T
zijden S
䉭
notaties
of 䉭
of 䉭
aa r
11.2.3 De som van de hoeken van een driehoek Meet de hoeken. Bepaal daarna de som. A
K
— A — T
— L
=
=
— A
=
=
— M
=
=
— —+ — K+A T =
In ki
1
2 3
Vaststelling
— —+ M — = L+A
Som van de hoeken van een driehoek De som van de hoeken van een driehoek is altijd gelijk aan
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
410
L
T
jk e
— K
xe m
pl
A
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
M
Oefeningen REEKS A 3
Vul aan. a) hoekpunten b) hoeken A
c) zijden F
P
d) notaties
aa r
of
REEKS B Bereken telkens de derde hoek van nFIT. — F a)
70º
b)
35º
c)
5
berekening
45º
40º
60º
— T
80º
50º
90º 30º
110º
In ki
e)
— I
jk e
d)
xe m
4
pl
of
Driehoek TIN is rechthoekig in het hoekpunt T. Vul de tabel aan. — I
a)
59º 21º
f) g)
32º
89º
d) e)
I
68º
b)
c)
— N
45º 76º
T
N
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
411
11.2.4 Indeling van de driehoeken Duid even lange zijden en even grote hoeken aan met een merkteken. B 140°
64 mm
64 mm
20°
A
20°
E
aa r
61 mm
43 mm
61 mm
70 mm 19°
I
xe m
M
pl
45°
F
60°
50 mm
50 mm
60°
jk e
In ki
50°
90°
40°
6
50°
7
57 mm
57 mm
9
70°
70°
11
P
39 mm
13
412
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
90 mm
43 mm
56 mm
4
12
132°
19°
Q
10
J
58 mm
U
2
5
29°
N
O
3
R
K
40 mm
50 mm
60°
8
H 45°
90°
61°
D
43 mm
G
100°
24 mm
1
C
120 mm
T
36 mm
L S
Indeling volgens de hoeken Scherphoekige driehoek
Rechthoekige driehoek
Stomphoekige driehoek
Een scherphoekige driehoek is een driehoek met
Een rechthoekige driehoek is een driehoek met
Een stomphoekige driehoek is een driehoek met
aa r
Definities
Welke driehoeken van de vorige bladzijde zijn scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig?
Gelijkbenige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
xe m
Definities
pl
Indeling volgens de zijden
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek met
jk e
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met
Ongelijkbenige driehoek
In ki
Welke driehoeken van de vorige bladzijde zijn gelijkbenig, gelijkzijdig, ongelijkbenig?
Opmerkingen
D
â&#x20AC;˘ Gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbenig, want
B Z
D is de verzameling van de driehoeken. B is de verzameling van de gelijkbenige driehoeken. Z is de verzameling van de gelijkzijdige driehoeken. â&#x20AC;˘ Welke soort driehoek is driehoek GHI?
en
Elke driehoek kun je indelen volgens de hoeken en tegelijk ook volgens de zijden. HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
413
Benamingen â&#x20AC;˘ Rechthoekige driehoek D
E
rechthoekszijden
schuine zijde
B
â&#x20AC;˘ Gelijkbenige driehoek
tophoek
benen
pl
U
aa r
top
De benen zijn even lang.
L
xe m
basis
I
basishoeken
De basishoeken zijn even groot.
jk e
Indeling volgens de hoeken en de zijden
Teken in de tabel, indien mogelijk, in elk vakje een driehoek. Duid de kenmerken aan. driehoeken
In ki
1
2 3
gelijkbenig
4 5 6 7
gelijkzijdig
8 9 10 11
ongelijkbenig
12 13
414
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
scherphoekig
rechthoekig
stomphoekig
Oefeningen REEKS A
7
Deel de driehoek ABC in volgens de hoeken. driehoek ABC is een
— B
— C
a)
20º
10º
150º
driehoek
b)
40º
90º
50º
driehoek
c)
60º
60º
60º
driehoek
d)
30º
60º
90º
e)
50º
100º
30º
Deel de driehoek ABC in volgens de zijden. 兩 AB 兩 5 cm
b)
5 cm
c)
3 cm
driehoek driehoek
兩 BC 兩
兩AC 兩
4 cm
5 cm
driehoek
4 cm
3 cm
driehoek
5 cm
6 cm
driehoek
jk e
a)
aa r
— A
pl
R
6
xe m
R
driehoek ABC is een
6 cm
6 cm
2 cm
driehoek
e)
6 cm
6 cm
6 cm
driehoek
In ki
d)
8
Vul het soort driehoek in.
volgens de hoeken volgens de zijden
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
415
REEKS B 9
Geef de meest passende benaming voor de driehoeken. b)
aa r
a)
volgens de hoeken
In de volgende ruimtefiguren zijn driehoeken gemarkeerd. Geef de meest passende benaming voor de driehoek.
xe m
10
pl
volgens de zijden
b)
c)
jk e
a)
volgens de hoeken volgens de zijden
In ki
1
2 3 4
11
Juist of fout?
juist
fout
a) Een driehoek met minstens twee even lange zijden is gelijkbenig.
❒
❒
b) Een gelijkbenige driehoek is altijd gelijkzijdig.
❒
❒
c) Elke driehoek heeft minimaal twee even lange zijden.
❒
❒
d) Iedere gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig.
❒
❒
e) Een driehoek met twee scherpe hoeken is altijd scherphoekig.
❒
❒
5 6 7 8 9 10 11 12 13
416
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
12
Geef de meest passende benaming. Driehoek MAF is gelijkbenig. M
A
b)
F
c)
— F
d)
[AF]
e)
— M
f)
A
Juist of fout?
juist
fout
a) Een driehoek kan meer dan één rechte hoek hebben.
❒
❒
b) Als een van de hoeken van een driehoek stomp is, dan zijn de andere scherp.
❒
❒
c) In een driehoek kan een hoek recht zijn en een andere scherp.
❒
❒
d) De drie hoeken van een driehoek kunnen even groot zijn.
❒
❒
e) Als een van de hoeken van een driehoek scherp is, dan is er altijd een van de andere hoeken stomp.
❒
❒
14
xe m
pl
13
[MA]
aa r
F
a)
Vul aan, als je weet dat nFOP gelijkbenig is.
a) b)
— O
— P
100º
150º 60º
In ki
c)
jk e
— F
d)
90º
e)
15
70º
Vul de juiste hoekgrootte in. a)
de tweede scherpe hoek in een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 37º
b)
een scherpe hoek van een gelijkbenige rechthoekige driehoek
c)
een tophoek van een gelijkbenige driehoek met een basishoek van 30º
d)
de basishoeken van een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 70º
e)
de tophoek van een gelijkbenige rechthoekige driehoek
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
417
REEKS C 16
—1 , A —2 en B — zonder te meten, als je weet dat B — = 2— — = 90º. Bereken A C en A
B D
1 2
Teken in het assenstelsel de volgende driehoeken. 䉭DEF met
co (A) = (−6, 2)
co (D) = (4, 1)
co (B) = (−6, −2)
co (E) = (13, 3)
co (C) = (−14, −2)
co (F) = (13, −1)
In ki
jk e
10
1
2 3
–15
䉭GHI met
䉭JKL met
co (G) = (−2, 7)
co (J) = (3, 7)
co (H) = (−8, 4)
co (K) = (7, 10)
co (I) = (−14, 7)
co (L) = (8, 7)
pl
䉭ABC met
xe m
17
C
aa r
A
–10
y
5
x –5
5
10
15
4 5
–5
6 7
䉭ABC
8 9 10
volgens de hoeken
11
volgens de zijden 12 13
418
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
䉭DEF
䉭GHI
䉭JKL
11.2.5 Tekenen van driehoeken ICT
De lengte van de drie zijden is gegeven. Teken 䉭ABC met 兩 AB 兩 = 4 cm, 兩 AC 兩 = 3,5 cm en 兩 BC 兩 = 3 cm. Teken [AB] met 兩 AB 兩 = 4 cm. Houd rekening met de wijzerzin voor de benaming.
A
4 cm
Stap 3
Neem een passeropening van 3 cm en teken een boogje vanuit punt B. Het snijpunt van de boogjes is het derde hoekpunt.
aa r
Stap 1
A
B
4 cm
Neem een passeropening van 3,5 cm en teken een boogje vanuit punt A.
3 cm
C
Teken nu zelf nABC.
In ki
jk e
Stap 2
xe m
pl
3,5 cm
B
A
B
3,5 cm
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
419
ICT
De lengte van een zijde en de grootte van twee hoeken aan die zijde is gegeven. — = 40º en — C = 60º. Teken 䉭ABC met 兩 AC 兩 = 4 cm, A Teken [AC] met 兩AC 兩 = 4 cm.
Stap 3
Teken — C = 60º. Waar de halfrechten elkaar snijden, vind je het derde hoekpunt van de driehoek.
aa r
Stap 1
B
C
A
— = 40º. Teken A
Teken nu zelf nABC.
jk e
In ki
1
xe m
4 cm
Stap 2
2 3 4 5
A
6 7 8 9 10 11 12 13
420
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
40°
4 cm
40°
pl
A
C
4 cm
60°
C
ICT
De lengte van twee zijden en de grootte van de hoek tussen die twee zijden is gegeven. — = 45º en 兩 AB 兩 = 4 cm. Teken 䉭ABC met 兩 AC 兩 = 5 cm, A Teken [AC] met 兩 AC 兩 = 5 cm.
Stap 3
Meet vanaf A 4 cm op het been van de hoek. Daar vind je het derde hoekpunt van de driehoek.
aa r
Stap 1
B
4 cm
A
C
A
5 cm
C
xe m
5 cm
pl
45°
— = 45º. Teken A
Teken nu zelf nABC.
In ki
jk e
Stap 2
45°
A
5 cm
C
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
421
Oefeningen REEKS A
ICT
18
Teken een driehoek met de volgende gegevens. d) een zijde van 4 cm, een zijde van 5 cm met een hoek van 60º ertussen
e) zijden van 3 cm, 4 cm en 2,5 cm
In ki
1
jk e
xe m
b) een zijde van 5 cm, een zijde van 3,5 cm met een hoek van 110º ertussen
pl
aa r
a) zijden van 3 cm, 4 cm en 5 cm
2 3
c) een zijde van 5 cm, aan die zijde een hoek van 65º en een hoek van 40º
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
422
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
f) een zijde van 3,5 cm, aan die zijde een hoek van 25º en een hoek van 110º
REEKS B
R
19
Maak eerst een schets en teken daarna nauwkeurig de driehoek. Let op de volgorde van de hoekpunten.
aa r
a) een driehoek RAT met 兩 RT 兩 = 4,5 cm, — R = 120º en — T = 20º
xe m
pl
b) een gelijkbenige driehoek KAT met basis 兩 AT 兩 = 4 cm en benen van 3 cm
In ki
jk e
c) een driehoek PAD met 兩 AD 兩 = 4 cm, 兩 PD 兩 = 3 cm en — D = 65º
d) een gelijkbenige driehoek LAM met basis 兩 LM 兩 = 4 cm en basishoeken van 30º
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
423
Teken de driehoeken. Maak eventueel eerst een schets op een kladblad. Let op de volgorde van de hoekpunten. d) driehoek DAS met 兩 DA 兩 = 4 cm, — D = 45º en — S = 65º
b) driehoek VIS met 兩 VS 兩 = 兩 IS 兩 = 4 cm en — S = 50º
e) een gelijkbenige driehoek KIP met tophoek — I = 100º en 兩 KP 兩 = 5 cm
aa r
a) driehoek VOS met 兩 VO 兩 = 兩 OS 兩 = 2 cm en 兩 VS 兩 = 3 cm
pl
20
In ki
1
jk e
xe m
R
2
c) een gelijkzijdige driehoek BIG waarvan de omtrek 12 cm is
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
424
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
f) een gelijkbenige driehoek KOE met basis [OE] en 兩 OE 兩 = 3,5 cm en een basishoek van 55º
21
Maak een driehoek met de getekende zijden. Gebruik enkel passer en liniaal.
22
aa r
REEKS C Je wilt een sjaal maken uit een stuk stof. Je tekent eerst een patroon: een driehoek met zijden 120 cm, 150 cm en 105 cm. Om een idee te hebben van de sjaal, teken je de driehoek vooraf op een blad op schaal 1 : 30.
pl
zijde 1 : zijde 2 :
23
jk e
xe m
zijde 3 :
Teken driehoek ROG.
In ki
— = 60º en G — = 100º a) — R = 20º, O
Wat stel je vast?
XL
— = 30º en 兩 RG 兩 = 3 cm b) 兩 RO 兩 = 4 cm, O
Wat stel je vast?
Driehoeken tekenen
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
425
11.2.6 Merkwaardige lijnen in een driehoek ICT
Middelloodlijn
m
A
Als je een rechte tekent die door het midden van een zijde van een driehoek gaat en die loodrecht op die zijde staat, noem je die rechte een middelloodlijn van de driehoek. C Definitie
B
Middelloodlijn Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die loodrecht door het midden van een zijde gaat.
Middelloodlijnen van een driehoek
pl
Vaststelling
Y
aa r
Teken alle middelloodlijnen van de ä&#x2030;XYZ.
ICT
Hoogtelijn
xe m
X
Definitie
jk e
Als je een rechte tekent die door een hoekpunt van een driehoek gaat en die loodrecht op de drager van de overstaande zijde staat, noem je die rechte een hoogtelijn van de driehoek.
Z
A
h
B
C
Hoogtelijn
Een hoogtelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.
In ki
1
2
Y
Teken alle hoogtelijnen van de ä&#x2030;XYZ.
3 4
Vaststelling
Hoogtelijnen van een driehoek
5 6 7 8
X
9 10 11
Opmerking Soms moet je de zijde verlengen om een hoogtelijn te tekenen.
12 13
426
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
Z
ICT
d
Deellijn A
Als je een rechte tekent die een hoek van een driehoek in twee gelijke hoeken deelt, noem je die rechte een deellijn van de driehoek. C Definitie
B
Deellijn Een deellijn (of bissectrice) van een driehoek is de rechte die een hoek van de driehoek in twee gelijke hoeken deelt. Y
Deellijnen van een driehoek
pl
Vaststelling
aa r
Teken alle deellijnen van de ä&#x2030;XYZ.
X
Zwaartelijn
xe m
ICT
Als je een rechte tekent die door een hoekpunt van een driehoek gaat en door het midden van de overstaande zijde, noem je die rechte een zwaartelijn van de driehoek.
Definitie
Zwaartelijn
Z
A
C
B
z
jk e
Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
Y
In ki
Teken alle zwaartelijnen van de ä&#x2030;XYZ.
Vaststelling
Zwaartelijnen van een driehoek
X
Z
Teken een driehoek op een stuk karton. Teken de drie zwaartelijnen van die driehoek. Plaats op het snijpunt een grote zwarte stip. Knip daarna de driehoek uit. Leg de driehoek met de stip op je wijsvinger. Het snijpunt van de drie zwaartelijnen is het zwaartepunt. Het zwaartepunt is het punt waar een voorwerp in evenwicht is.
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
427
Oefeningen REEKS A 24
Teken. a) het snijpunt van de zwaartelijnen in de driehoek LAT
c) het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek PEN
E
T
aa r
A
N
L
xe m
pl
P
b) het snijpunt van de deellijnen van de driehoek GOM
G
d) het snijpunt van de hoogtelijnen van de driehoek BIC
jk e
O
M C
In ki
1
2 3 4
REEKS B
5 6
25
Teken de drie hoogtelijnen van de driehoek. Wat stel je vast?
7
L
8 9 10 11 12
N
13
428
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
M
B
I
26
Vul in met zwaartelijn, hoogtelijn, middelloodlijn of bissectrice. In de driehoek KML is
K C
de rechte ML een de rechte BD een
B
de rechte LC een
L
A D
M
de rechte LA een
Juist of fout.
aa r
27
juist
fout
❒
❒
b) De middelloodlijn van een zijde van een driehoek gaat altijd door een hoekpunt van die driehoek.
❒
❒
c) Een zwaartelijn gaat altijd door het midden van een zijde van de driehoek.
❒
❒
altijd
soms
nooit
a) Het snijpunt van de middelloodlijnen ligt binnen de driehoek.
❒
❒
❒
b) Het snijpunt van de hoogtelijnen ligt binnen de driehoek.
❒
❒
❒
c) Het snijpunt van de bissectrices ligt binnen de driehoek.
❒
❒
❒
d) Het snijpunt van de zwaartelijnen ligt binnen de driehoek.
❒
❒
❒
Zijn deze uitspraken altijd, soms of nooit juist?
In ki
jk e
28
xe m
pl
a) Een hoogtelijn van een driehoek gaat altijd door een hoekpunt van een driehoek.
29
Teken:
– de zwaartelijn CZ in het blauw, – de hoogtelijn AK in het groen, – de middelloodlijn MD van [AB] in het rood, – de deellijn BF in het zwart. A
C
B
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
429
REEKS C 30
Teken een driehoek. a) De rechte a is een hoogtelijn van 䉭ABC.
b) De rechte a is een zwaartelijn van 䉭ABC. a
Teken:
– het snijpunt (Z) van de zwaartelijnen in het groen, – het snijpunt (H) van de hoogtelijnen in het blauw, – de rode rechte e door Z en H, – het snijpunt (M) van de middelloodlijnen in het zwart.
pl
31
C
A
B
In ki
1
jk e
xe m
ICT
aa r
a
2 3
Wat stel je vast?
4 5 6 7
De rechte die je nu getekend hebt, heet de rechte van Euler. De Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707–1783) ontdekte dat het hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt van een driehoek altijd op één rechte liggen.
8 9 10 11 12 13
430
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
11.3
Vierhoeken
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
11.3.1 Inleiding
Waar herken je nog vierhoeken in je omgeving?
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
431
11.3.2 Benamingen MELK is een vierhoek. Vul aan. hoekpunten
E
hoeken overstaande hoeken
en en
M
zijden en
aa r
overstaande zijden
en
K
L
diagonalen
pl
notaties
M
Meet de hoeken. Bepaal daarna de som.
N
—= M
º
—= N
º
—= O
º
— D=
º
—+O —+ N —+ — M D= D
In ki
1
jk e
O
xe m
11.3.3 De som van de hoeken van een vierhoek
2
De som van de hoeken van een vierhoek
Vaststelling
3
De som van de hoeken van een vierhoek is altijd gelijk aan
4 5 6
Verklaring
N
7 8
10
O
1 2
12
—+ O —1 + — N D1
=
+ = =
13
432
2
M
11
=
D
1 9
—+O —2 + — M D2
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
º
Oefeningen REEKS A 32
Vul aan. a) hoekpunten
A
b) hoeken c) overstaande hoeken
en en
d) zijden N
e) overstaande zijden
en
D
f) diagonalen
pl
g) notaties
33
en
aa r
T
Zijde of diagonaal in de vierhoek MOND? Vul aan. O
a)
关MO兴
b)
关DM兴
c)
关DO兴
d)
关DN兴
e)
关NM兴
f)
关NO兴
xe m
M
N
In ki
jk e
D
Deze foto toont een opstelling van philink-tafels. Die tafels zijn ontworpen door de Belgen Jeroen Theuns en Caroline Voet. Een philink-tafel is een vierhoek die bestaat uit drie even lange zijden en één hoek van 90º. De tafel is gemaakt van duurzame reuzenbamboe en is groen en wit gelakt. Door philink-tafels tegen elkaar te schuiven, kun je zeer veel verschillende vormen maken.
REEKS B
R
34
Bereken telkens de ontbrekende hoek in de vierhoek TONG. — T a)
160º
b)
20º
c) d)
80º
— O
— N
— G
60º
45º
145º
berekening
110º
90º
90º
135º
25º
130º
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
433
11.3.4 Indeling van de vierhoeken Teken in het assenstelsel de volgende vierhoeken. vierhoek EFGH co (E) = (15, 18) co (F) = (20, −15) co (G) = (−20, −15) co (H) = (−15, 15)
vierhoek IJKL co (I) = (−3, 10) co (J) = (−5, 7) co (K) = (−12, 7) co (L) = (−10, 10)
vierhoek MNOP co (M) = (10, 10) co (N) = (10, 7) co (O) = (3, 7) co (P) = (3, 10)
vierhoek QRST co (Q) = (0, −8) co (R) = (15, −10) co (S) = (0, −12) co (T) = (−15, −10)
vierhoek UVWX co (U) = (0, −20) co (V) = (−12, −20) co (W)= (−10, −15) co (X) = (10, −15)
y
pl
20
aa r
vierhoek ABCD co (A) = (2, 2) co (B) = (2, −2) co (C) = (−2, −2) co (D) = (−2, 2)
xe m
15
10
jk e
5
–20
In ki
1
–15
2
–10
–5
0
–5
–10
3 4 5
–15
6 7
–20
8 9 10
Welke verschillende soorten vierhoeken herken je?
11 12 13
434
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
x 5
10
15
20
Vul de definities verder aan. Definitie
Trapezium Een trapezium is een vierhoek met
Definitie
Parallellogram Een parallellogram is een vierhoek met
Ruit
aa r
Definitie
Een ruit is een vierhoek met
Rechthoek
pl
Definitie
Definitie
xe m
Een rechthoek is een vierhoek met
Vierkant
Een vierkant is een vierhoek met
jk e
Geef de meest passende benaming van elke vierhoek van de vorige bladzijde. vierhoek MNOP
vierhoek EFGH
vierhoek QRST
vierhoek IJKL
vierhoek UVWX
In ki
vierhoek ABCD
Opmerking
VH T P
RU
VK
... is de verzameling van alle ...
RE
VH
vierhoeken
T
trapezia
P
parallellogrammen
RU
ruiten
RE
rechthoeken
VK
vierkanten
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
435
11.3.5 Eigenschappen van vierhoeken vierhoek HART
vierhoek HEUP
is een
vierhoek MILT
is een
is een
A H
E
H R
P
L
U T
vierhoek DUIM
vierhoek NIER
is een
is een
is een
N
U
vierhoek BUIK
I
xe m
R
B
pl
D
aa r
T
M
I
M
I
U
K
I
E
Vink aan voor welke vierhoek de eigenschap van toepassing is.
2 3
parallellogram
rechthoek
ruit
vierkant
De overstaande zijden zijn even lang.
❒
❒
❒
❒
❒
Alle zijden zijn even lang.
❒
❒
❒
❒
❒
De overstaande hoeken zijn even groot.
❒
❒
❒
❒
❒
Alle hoeken zijn even groot.
❒
❒
❒
❒
❒
De diagonalen delen elkaar middendoor.
❒
❒
❒
❒
❒
De diagonalen zijn even lang.
❒
❒
❒
❒
❒
De diagonalen staan loodrecht op elkaar.
❒
❒
❒
❒
❒
In ki
1
trapezium
jk e
eigenschap
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
436
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
Oefeningen REEKS A 35
Geef de meest passende benaming voor de vierhoeken. In iedere vierhoek is ook een driehoek aangeduid. Geef de meest passende benaming voor die driehoek volgens de hoeken en de zijden. c)
e)
aa r
a)
soort vierhoek
䉭 volgens de zijden
f)
jk e
soort vierhoek
d)
xe m
b)
pl
䉭 volgens de hoeken
䉭 volgens de hoeken
In ki
䉭 volgens de zijden
36
Wat je ziet, is niet altijd wat er is. Welk soort vierhoek herken je?
a)
b)
Vierhoek op de tekening?
Vierhoek op de tekening?
Vierhoek in werkelijkheid?
Vierhoek in werkelijkheid?
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
437
37
Geef de meest passende benaming.
2
figuur 1:
1
figuur 2:
4
aa r
figuur 3:
figuur 4:
pl
3
REEKS B
a)
een vierhoek waarvan de overstaande zijden even lang zijn
b)
een parallellogram waarvan de vier hoeken recht zijn
c)
een ruit met één rechte hoek
d)
een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan
e) f) g)
een ruit waarvan de diagonalen even lang zijn een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen een trapezium met vier rechte hoeken
In ki
1
xe m
Schrijf na elke uitspraak de meest passende naam.
jk e
38
h)
2
een ruit waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan
3 4 5
39
Juist of fout?
6
juist
fout
7
a) Elke rechthoek is een ruit.
❒
❒
8
b) Er bestaan vierkanten die geen rechthoeken zijn.
❒
❒
9
c) Een vierkant is tegelijk ruit en rechthoek.
❒
❒
10
d) Elke vierhoek is een trapezium.
❒
❒
11
e) Iedere ruit met vier even grote hoeken is een vierkant.
❒
❒
12
f) Alle rechthoeken zijn trapezia.
❒
❒
13
438
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
REEKS C Geef de meest passende benaming van de vierhoek waarvan de diagonalen getekend zijn. Je mag de vierhoek niet tekenen.
41
b)
c)
d)
aa r
a)
Gegeven: A
C
B
D
pl
40
xe m
Gevraagd: kunnen [AC] en [BD] de diagonalen zijn van: een rechthoek ABCD die geen vierkant is?
b)
een parallellogram dat geen ruit en ook geen rechthoek is?
c)
een trapezium ABCD dat geen parallellogram is?
d)
een ruit ABCD die geen vierkant is?
e)
een vierkant ABCD?
een vierhoek ABCD die geen trapezium is?
In ki
f)
jk e
a)
42
Juist of fout?
juist
fout
a) Elk parallellogram met twee even lange diagonalen is een rechthoek.
❒
❒
b) Een vierhoek met twee even lange overstaande zijden is een parallellogram.
❒
❒
c) Elk parallellogram met één rechte hoek is een rechthoek.
❒
❒
d) Elke ruit met even lange diagonalen is een rechthoek.
❒
❒
e) Elke vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar middendoor snijden, is een ruit.
❒
❒
f) Elk parallellogram met even lange overstaande zijden is een rechthoek.
❒
❒
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
439
11.3.6 Tekenen van vierhoeken ICT
Bij het tekenen van vierhoeken is het ook belangrijk dat je goed met je geodriehoek overweg kunt. Met je geodriehoek kun je gemakkelijk evenwijdigen en loodlijnen tekenen. loodlijnen
• Teken een ruit met een hoek van 50º en zijden van 4 cm.
— van 120º en met 兩KN兩 = 5 cm en een zijde van 3 cm. • Teken een parallellogram VINK met hoek V
In ki
1
jk e
xe m
• Teken een rechthoek met zijden van 4 cm en 5 cm.
pl
aa r
evenwijdigen
2
Maak eerst een schets.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
440
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
Oefeningen REEKS A
ICT
43
Teken. d) een parallellogram met een hoek van 50ยบ en met zijden van 4 cm en 3 cm
e) een rechthoek waarvan de zijden 3,5 cm en 4,5 cm zijn
In ki
jk e
xe m
b) een vierkant met een zijde van 3 cm
pl
aa r
a) een rechthoek waarvan de zijden 3 cm en 5 cm zijn
c) een ruit met een zijde van 4 cm en een hoek van 130ยบ
f) een ruit met een zijde van 3 cm en een hoek van 60ยบ
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
441
REEKS B 44
Vervolledig de vierhoek. d) een trapezium met twee even lange zijden dat geen parallellogram is
e) een ruit die geen vierkant is
In ki
1
jk e
xe m
b) een parallellogram
pl
aa r
a) een vierkant
2
c) een trapezium
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
442
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
f) een rechthoek die geen vierkant is
R
45
Teken de vierhoeken. Maak eerst een schets. Let op de volgorde van de hoekpunten.
aa r
a) een vierkant GANS met 兩 GA 兩 = 3,5 cm
xe m
pl
b) een rechthoek HERT met 兩 HE 兩 = 5 cm en 兩 TH 兩 = 3,5 cm
In ki
jk e
c) een parallellogram KALF met — L = 70º, 兩 LF 兩 = 2 cm en 兩 KF 兩 = 4 cm
d) een ruit RUPS met 兩 UP 兩 = 1,5 cm en — S = 130º
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
443
46
Teken twee verschillende parallellogrammen waarvan een zijde 4 cm meet en de hoogte 2 cm is.
REEKS C Teken de vierhoeken. Maak eventueel eerst een schets op een kladblad. Let op de volgorde van de hoekpunten.
c) een parallellogram KRAB met 兩 KA 兩 = 6 cm en 兩 RB 兩 = 5 cm De lijnstukken 关KA兴 en 关RB兴 vormen een hoek van 35º.
b) een vierkant ORKA met 兩 OK 兩 = 4 cm
In ki
1
jk e
xe m
pl
a) een rechthoek WESP met 兩 WE 兩 = 3 cm en 兩 WS 兩 = 7 cm
aa r
47
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
444
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
d) een trapezium HOND — = 90º, 兩 HO 兩 = 4 cm, O — = 60º waarvan H en 兩 HD 兩 = 2 cm
11.4
Cirkels
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
11.4.1 Inleiding
Waar herken je nog cirkels in je omgeving?
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
445
11.4.2 Definitie Een tuinman krijgt de opdracht tien planten rond de fontein te plaatsen. De eigenaar van de tuin wil dat iedere plant op drie meter van het middelpunt van de fontein (F ) staat. Zoek tien mogelijke plaatsen.
Definitie
xe m
pl
aa r
F
Cirkel
jk e
Een cirkel is
11.4.3 Benamingen Vul aan.
In ki
1
M
2 3
m
4 5 6
关MI 兴
M
E
C
7 8 9
B
m
I
R
兩MI 兩 关EC 兴
兩EC 兩
10
Notatie: c(M, r) 11
关BR 兴
12 13
446
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
1m
Definitie
Straal van een cirkel Een straal van een cirkel is
Definitie
Koorde van een cirkel Een koorde van een cirkel is
Definitie
Middellijn van een cirkel
11.4.4 Middelpuntshoek van een cirkel
aa r
Een middellijn van een cirkel is
In ki
jk e
xe m
pl
Aan 360 inwoners van BelgiĂŤ werd gevraagd welke sport ze het liefst beoefenen.
fietsen zwemmen wandelen fitness voetbal joggen tennis turnen basketbal badminton
Bepaal het aantal inwoners dat de gegeven sport het liefst beoefent.
Definitie
fietsen:
basketbal:
voetbal:
zwemmen:
Middelpuntshoek van een cirkel Een middelpuntshoek van een cirkel is M
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
447
Oefeningen REEKS A Teken een cirkel met straal 2 cm. Duid een straal, een koorde en een middellijn aan.
49
Geef de juiste benaming.
xe m
pl
aa r
48
jk e
A
In ki
1
REEKS B
2 3
50
Teken en geef de notatie.
4 5
a) de cirkel c met middelpunt A en straal 2 cm
b) de cirkel c met middelpunt M en straal 1,5 cm
6 7 8 9 10 11 12
Notatie:
13
448
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
Notatie:
51
Geef de meest passende benaming. a) A b) [AE] c) IT d) [FS] e) 兩TI 兩 E
aa r
f) [AT] g) [TS]
52
Vul aan.
pl
a) Teken [AD] en [DE]. Dat zijn A
van deze cirkel.
D
xe m
b) Teken daarna de middellijn a die loodrecht staat op AE. Noem het rechtse snijpunt met de cirkel R en het linkse snijpunt N. van de cirkel.
c) [RN] is een
d) Teken nu [AR], [RE], [EN] en [NA].
E
van de cirkel.
jk e
Dat zijn
e) Welk soort figuur is AREN?
Een geit is vastgemaakt aan een paaltje met een touw van twee meter. De geit mag uiteraard niet in de moestuin komen. Arceer het deel van de moestuin waarin de geit schade kan aanrichten.
In ki
53
1m
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
449
54
Teken. b) c(B, 兩AB 兩 )
a) de cirkel die door A en B gaat en die 关AB 兴 als diameter heeft
B B A
aa r
Peter en Inne wonen samen. Peter werkt als politieman in Sint-Niklaas (P) en woont op maximaal 21,5 km van zijn werk. Inne staat voor de klas in Lede (I ) en woont hoogstens 13,5 km van haar werk. Arceer de gemeenten (of het deel) waar Peter en Inne kunnen wonen.
xe m
pl
55
A
Sint-Laureins
Assenede
Maldegem
Kaprijke
Zelzate
Eeklo
St.-GillisWaas
Wachtebeke Moerbeke
Sint-Niklaas P
jk e
Waarschoot
Evergem
Knesselare
Zomergem
Lokeren
Lovendegem
In ki
1
Deinze
2
Temse
Lochristi Hamme
Gent
Destelbergen Laarne
Zele Berlare
St.-MartensLatem De Pinte
Nazareth
3
Kruibeke
Waasmunster
Aalter
Nevele
Beveren
Stekene
Dendermonde Buggenhout
Melle Wetteren Wichelen Merelbeke I Lede
Lebbeke
Zulte
St.Aalst Gavere Oosterzele LievensHoutem Zingem Erpe-Mere Kruishoutem Zwalm Haaltert Denderleeuw Zottegem WortegemHerzele Oudenaarde Petegem
4 5 6
Horebeke Ninove
7 Kluisbergen
8
Lierde
Geraardsbergen
Ronse
9 10
0
11 12 13
450
Maarkedal
Brakel
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
5
10
15
20
25
30 km
Hoe lang is de langste koorde in een cirkel met straal 3 cm?
57
Sten doet mee aan een zoektocht. Hij moet zo snel mogelijk naar controlepost C gaan. Die ligt op precies 1 km afstand van de aardeweg a en op 3 km afstand van de kerk. Duid de controlepost aan.
aa r
56
a
pl
kasteelvijver
xe m
kerk
Sten
jk e
Meet de volgende middelpuntshoeken.
In ki
58
1 : 100 000
a)
b)
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
451
59
Vervolledig het schijfdiagram. Beantwoord de vragen.
Hoe gaan leerlingen naar school?
145 leerlingen
bus
65 leerlingen
fiets
90 leerlingen
te voet
40 leerlingen
trein
20 leerlingen
aa r
a) Hoeveel leerlingen werden er ondervraagd?
auto
pl
b) Welk vervoermiddel wordt het meest gebruikt om naar school te gaan?
xe m
c) Welk vervoermiddel wordt het minst gebruikt om naar school te gaan?
d) Welke vervoermiddelen worden meer gekozen dan te voet gaan?
e) Boven welke andere vervoermiddelen wordt de fiets verkozen?
60
Radio 2 Oost-Vlaanderen heeft een zendbereik van 40 km. De zender in Antwerpen is krachtiger en is nog te beluisteren op 60 km afstand. Radio 2 Vlaams-Brabant heeft een zendbereik van 50 km. In welk deel van Vlaanderen kun je naar de drie zenders luisteren? Arceer dat gebied.
In ki
1
jk e
f) Hoeveel van de ondervraagde leerlingen gaan er niet met de auto naar school?
2 3 4
= zendmast
5
ANTWERPEN
Brugge
6
Antwerpen
7 8
Gent WESTVLAANDEREN
9
LIMBURG OOSTVLAANDEREN
VLAAMSBRABANT Brussel Leuven
Hasselt
10
20 km 11
1 : 2 000 000
12 13
452
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
11.5
Omtrek en oppervlakte
11.5.1 Inleiding
pl
Dounia wil het gazon bemesten.
aa r
Bepalen de volgende omschrijvingen omtrek of oppervlakte?
jk e
xe m
Eleni zoekt een passende broek.
Bieke geeft de woonkamer een nieuwe kleur.
In ki
Anna loopt haar dagelijkse kilometers op de piste.
Rudy plaatst een sierlijst.
Guido kiest een nieuwe vloer.
Waar heb je nog omtrek en oppervlakte nodig in je omgeving? HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
453
Oefeningen REEKS A Bepalen de foto’s omtrek of oppervlakte? a)
d)
e)
xe m
pl
b)
aa r
61
f)
jk e
c)
In ki
1
2 3 4 5
62
Bepalen de uitdrukkingen omtrek of oppervlakte? omtrek
oppervlakte
a) De parking is volzet.
❒
❒
b) De speelplaats is veel te klein.
❒
❒
c) Er moet dringend een nieuwe lijst rond het prikbord.
❒
❒
11
d) Glenn maait het gras.
❒
❒
12
e) De tuinomheining moet vernieuwd worden.
❒
❒
6 7 8 9 10
13
454
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
11.5.2 Omtrek – lengtematen
pl
aa r
Hanne en Dieter kochten een huis. Om de tuin mooi af te bakenen, willen ze sierstenen plaatsen.
xe m
Wat is de omtrek van hun tuin?
1m
Notatie: omtrek = P =
m
Het symbool P voor omtrek komt van het woord perimeter. Dat is van oorsprong een Grieks woord dat letterlijk ‘rond meten’ betekent.
jk e
Het is makkelijker te onthouden als je denkt aan de Boulevard Périphérique rond Parijs. Die weg van 35 km volgt de weg van de vroegere stadswal.
In ki
De omtrek is een lengte. Je maakt gebruik van lengtematen. Met de volgende tabel kun je een gemeten lengte omzetten van de ene eenheid naar de andere. 1 000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
kilometer
hectometer
decameter
meter
decimeter
centimeter
millimeter
1 km
1 hm
1 dam
1m
1 dm
1 cm
1 mm
Voorbeelden a) De omtrek van een geodriehoek meet 3,9 dm of b) De omtrek van een atletiekpiste bedraagt 4 000 dm of c) Een buitenzwembadje heeft een omtrek van 10 m of
mm. m. cm. HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
455
11.5.3 Formules voor omtrek (P) Woordformule De omtrek van een vlakke figuur is de som van de lengtes van de zijden van die figuur.
Vul de tabel verder aan. parallellogram
rechthoek
aa r
b
s
l
pl
b
P=
xe m
P= ruit
vierkant
jk e
z
z
In ki
1
2
P=
3
P=
driehoek
cirkel
4 5
z1
6
r
7
z2
8
z3
9 10 11 12
P= 13
456
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
P=
d
Oefeningen REEKS A
R
63
Bepaal de omtrek van de volgende figuren. b)
R
64
P=
cm
pl
cm
xe m
P=
aa r
a)
Bereken de omtrek van de volgende figuren. a)
c)
2 cm
3 cm 2,1 cm
2 cm
jk e
4 cm
4 cm
P=
In ki
P=
cm
cm
b)
d)
3 cm
2 cm
3 cm
5 cm
P=
P=
cm
cm
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
457
REEKS B 65
Bereken de omtrek van de volgende figuren. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a)
c) 120 mm
20 m 15 mm
12 m
16 m
P=
b)
d)
aa r
P=
pl
13 mm
REEKS C
Bereken de omtrek van de volgende figuren. Meet op 0,5 cm nauwkeurig. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a)
In ki
1
P=
jk e
66
xe m
6m
P=
b)
c)
P=
P=
2 3 4 5 6
P=
7 8 9 10 11 12 13
458
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
11.5.4 Oppervlakte – oppervlaktematen Oppervlakte
xe m
pl
aa r
De tuin van Dieter en Hanne is afgewerkt. Nu is het terras aan de beurt. Om het terras aan te leggen, kopen ze grote tegels van 1 m op 1 m.
1m
Om de oppervlakte te bepalen, moet je vergelijken met een gepaste oppervlakte-eenheid, bijvoorbeeld één vierkante meter. × 1 m2 =
m2
jk e
Notatie: oppervlakte = A =
Het symbool A voor oppervlakte komt van het woord ‘area’. Dat is een Engels woord dat letterlijk ‘gebied’ betekent.
In ki
Oppervlaktematen
1 m2
0,01 m 2
0,000 1 m 2
0,000 001 m 2
vierkante kilometer
vierkante hectometer
vierkante decameter
vierkante meter
vierkante decimeter
vierkante centimeter
vierkante millimeter
1 km 2
1 hm 2
1 dam 2
1 m2
1 dm 2
1 cm 2
1 mm 2
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−
100 m 2
−−−−−−−−−−−−−−−
10 000 m 2
−−−−−−−−−−−−−−−
1 000 000 m 2
−−−−−−−−−−−−−−−
Bij oppervlakte maak je gebruik van oppervlaktematen. Met de volgende tabel kun je een gegeven oppervlakte omzetten van de ene eenheid naar de andere.
Voorbeelden a) 135 m 2 =
dm 2
b) 1,34 cm 2 =
mm 2
c) 4 dm 2 =
m2
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
459
Inzicht in de oppervlaktematen Om een beter inzicht te krijgen in oppervlaktematen, is het handig een oppervlaktemaat te vergelijken met een situatie die je goed kent.
1 m2
1 dm 2
1 cm 2
1 mm 2 Landmaten
• iets groter dan een voetbalveld • • ongeveer de oppervlakte van een aardrijkskundelokaal • • ongeveer de grootte van een halve deur
aa r
100 m 2
•
•
• ongeveer de grootte van een cd-doosje •
• de grootte van een toets van een toetsenbord van de computer
pl
10 000 m 2
• Bellewaerde is 0,5 km 2 groot.
•
• de grootte van het oog van een naald
xe m
1 km 2
•
100 m 2
1 m2
ha
a
ca
1 m2
1 dm 2
1 cm 2
1 mm 2 −−−−−−−−−−
2
0,000 001 m 2
centiare 2
−−−−−−−−−−
1 dam
−−−−−−−−−−
1 hm
are
In ki
1
−−−−−−−−−−
1 km
2
0,000 1 m 2
−−−−−−−−−−
hectare
2
0,01 m 2
−−−−−−−−−−
10 000 m 2
jk e
1 000 000 m 2
−−−−−−−−−−
Om de oppervlakte van percelen bouwgrond, landbouwgrond en bosgrond uit te drukken, gebruik je meestal landmaten.
3
BRUGGE
GENT
Goed onderhouden, mooi ingerichte villa
Zeer mooi gelegen winkel
4 5 6 7 8 9 10 11
PRIJS OP AANVRAAG
9 a 9 ca
2,04 a
12
m2
13
460
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
m2
11.5.5 Formules voor oppervlakte (A) Woordformule
De oppervlakte van een vlakke figuur is het aantal keer dat de gekozen oppervlakte-eenheid in de figuur voorkomt.
Vul de tabel verder aan. trapezium
parallellogram
rechthoek
b h
h
aa r
b
l
b
xe m
pl
B
A=
A= ruit
A=
vierkant
driehoek
z
jk e
d
h
In ki
D
A=
A=
cirkel
b
A= samengestelde figuur
Voor bepaalde figuren kun je de oppervlakte berekenen door ze op te delen in figuren waarvan er een oppervlakteformule bestaat.
r
A=
A=
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
461
Oefeningen REEKS A
R
67
Bepaal de oppervlakte van de volgende figuren. b)
cm 2
68
jk e
In ki
m2
e) 42,1 m 2
3
=
cm 2
f) 9 657 m 2 =
km 2
mm 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
d) 107 dm 2 =
cm 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
cm 2
dm 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
c) 5,47 m 2 =
m2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
m2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=
10 000 m 2 100 m 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
b) 13 cm 2
m2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
a) 600 dm 2 =
2
cm 2
Herleid tot de aangeduide oppervlaktemaat. km 2
1
A=
xe m
A=
R
pl
aa r
a)
4 5 6
69
Vul de passende oppervlakte-eenheid in.
7 8 9 10
a) Een stuk bouwgrond van 1 050 wordt verkocht aan 55 000 euro.
c) Met één liter verf kan Axel 700 schilderen.
b) Een deur is 1,6
d) Een postzegel is 4
11 12 13
462
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
REEKS B
R
70
Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. Rond af op 0,01 nauwkeurig. 2 cm
a)
c)
2 cm
3 cm
A=
b)
d)
3,5 cm
pl
1 cm 3 cm
aa r
A=
4 cm
71
A=
xe m
A=
Bereken de oppervlakte van deze figuren. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a)
c)
jk e
30 cm
In ki
50 cm
A= b)
70 cm
9m
A= d) 40 cm
60 cm 90 cm
A=
XL
A=
Coรถrdinaten en oppervlakte HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
463
72
Welke figuur heeft in elke reeks de grootste oppervlakte? Verklaar je antwoord. a) 1
2
3
b) 2
3
aa r
1
c) 2
3
Teken een parallellogram, een driehoek en een trapezium met dezelfde oppervlakte als het gegeven vierkant.
74
Bepaal de oppervlakte van de volgende figuren. a)
jk e
73
In ki
1
xe m
pl
1
b)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A=
12 13
464
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
cm 2
A=
cm 2
75
Hoe lang (in cm) is een zijde van een gelijkzijdige driehoek waarvan de omtrek 0,72 cm is? Antwoordzin:
76
Op circuskamp leren Annelies en Emile eenwieleren. Los de onderstaande vragen op. Rond af op 0,01 nauwkeurig.
pl
xe m
Ik kan met mijn eenwieler, met een straal van 30 cm, 5 omwentelingen trappen.
aa r
Ik kan met mijn eenwieler al 7 omwentelingen fietsen. Het wiel heeft een diameter van 50 cm.
Wie legt met zijn eenwieler de grootste afstand af? Annelies:
Op een draaimolen zit de kleine zus van Sybren op twee meter van de as. Welke afstand heeft ze afgelegd na 25 rondjes? Rond passend af.
In ki
77
jk e
Emile:
Antwoordzin:
78
Om een vierkant stuk grond met zijde 200 m te bemesten, heeft boer Karel ĂŠĂŠn uur nodig. Hoeveel uur zal hij nodig hebben om een vierkant stuk grond met zijde 600 m te bemesten?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
465
Er wordt een nieuw pretpark gebouwd. Hieronder vind je een grondplan. Geef iedere attractie de juiste plaats. Houd rekening met de voorziene oppervlakte.
schietattractie: 16 a
rollercoaster: 0,24 ha
avonturenrivier: 28 a 27 ca
zwiermolen: 2 000 ca
reuzenrad: 1 800 ca
theekopjes: 14 a
2
4
6
In ki
1
jk e
xe m
pl
aa r
79
2 3 4 5
1
5
6
3
7 8 9 10
1 : 2 000
11 12 13
466
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
REEKS C Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. b)
A=
A=
aa r
a)
pl
80
REKENMACHINE
xe m
Je rekenmachine heeft een geheugenfunctie. Op die manier kun je getallen bewaren en daarna opnieuw gebruiken.
Stop het getal 34 in het geheugen. Gebruik het daarna in de oefening: 20 + 34 =
jk e
Bereken de oppervlakte van de volgende figuur op twee verschillende manieren.
In ki
81
A=
A=
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
467
82
Zet de gevraagde oppervlaktematen om. a) Prachtig buitenverblijf
b) Vrijstaande villa met dubbele garage m
Totale oppervlakte 17 a 89 ca = 2
De woning is 101 m =
83
a
2
ca
Totale oppervlakte 0,33 ha =
a
ca =
Axelle is jarig. Ze wil op een originele manier de feesttaart in vier stukken verdelen. Is de verdeling eerlijk? De taart heeft een diameter van 20 cm.
2
aa r
1 3
pl
4
84
xe m
Antwoordzin:
Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. Meet op 0,5 cm nauwkeurig. Rond af op 0,01 nauwkeurig.
In ki
1
b)
c)
jk e
a)
2 3 4 5
A=
6 7 8 9 10 11 12 13
468
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
A=
A=
m2
STUDIEWIJZER Vlakke figuren voor de leerling
11.1 Veelhoeken KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Regelmatige veelhoeken zijn veelhoeken met even lange zijden en even grote hoeken.
KUNNEN
11.2 Driehoeken KENNEN
aa r
In situaties veelhoeken kunnen aanduiden. Veelhoeken voorzien van de meest passende benaming. De benamingen hoekpunten, hoeken, zijden, diagonalen correct gebruiken en noteren. Een vlakke figuur benoemen, rekening houdend met de wijzerzin.
−
+ −
+
−
+ −
+
In ki
jk e
xe m
pl
De som van de hoeken van een driehoek is altijd gelijk aan 180º. Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken. Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek. Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek. Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even lange zijden. Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even lange zijden. Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek met drie zijden die niet even lang zijn. Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die loodrecht door het midden van een zijde gaat. Een hoogtelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde. Een deellijn (of bissectrice) van een driehoek is de rechte die een hoek van de driehoek in twee gelijke hoeken deelt. Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde. De drie middelloodlijnen, de drie hoogtelijnen, de drie deellijnen en de drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
KUNNEN
De meest passende benaming voor een gegeven driehoek correct gebruiken in toepassingen. De benamingen rechthoekszijden, schuine zijde, top, tophoek, benen, basis, basishoeken correct gebruiken en noteren. Een driehoek tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoet. Middelloodlijnen, hoogtelijnen, deellijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen. Wanneer een bepaalde rechte binnen een driehoek gegeven is, het juiste begrip (middelloodlijn, hoogtelijn, deellijn of zwaartelijn) daaraan koppelen.
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
469
voor de leerling
11.3 Vierhoeken
−
KENNEN
voor de leerkracht
+ −
+
pl
KUNNEN
aa r
De som van de hoeken van een vierhoek is altijd gelijk aan 360º. Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken. Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken en vier even lange zijden. De overstaande zijden van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant zijn even lang. Alle zijden van een ruit en een vierkant zijn even lang. De overstaande hoeken van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant zijn even groot. Alle hoeken van een rechthoek en een vierkant zijn even groot. De diagonalen van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant snijden elkaar middendoor. De diagonalen van een rechthoek en een vierkant zijn even lang. De diagonalen van een ruit en een vierkant staan loodrecht op elkaar.
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
11.4 Cirkels
xe m
De meest passende benaming voor een gegeven vierhoek correct gebruiken in toepassingen. De benamingen overstaande zijden en overstaande hoeken correct gebruiken en noteren. Eigenschappen in verband met zijden, hoeken en diagonalen in een vierhoek, trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant kunnen gebruiken. Een vierhoek tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoet.
In ki
1
jk e
KENNEN
De cirkel is de figuur gevormd door alle punten van het vlak die op dezelfde afstand van een gegeven punt liggen. Een straal van een cirkel is een lijnstuk dat het middelpunt van de cirkel met een willekeurig ander punt van de cirkel verbindt. Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt. Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel. Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
470
KUNNEN
De benamingen middelpunt, middellijn, de straal, een straal, de diameter, een diameter, koorde en middelpunthoek correct gebruiken en noteren. De notatie c (M, r) correct gebruiken en noteren. Een cirkel bepaald door opgegeven gegevens tekenen. De grootte van middelpuntshoeken bepalen. Middelpuntshoeken van een cirkel tekenen.
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
voor de leerling
11.5 Omtrek en oppervlakte
−
KENNEN
voor de leerkracht
+ −
+
De omtrek van een veelhoek is de som van de lengtes van de zijden van die veelhoek. De oppervlakte van een vlakke figuur is het aantal keer dat de gekozen oppervlakte-eenheid in de figuur voorkomt. De formule voor de oppervlakte van een trapezium is A =
共B ⫹ b兲 ⴢ h 2
De formule voor de omtrek van een parallellogram is P = 2 ⴢ (b + s) De formule voor de oppervlakte van een parallellogram is A = b ⴢ h De formule voor de omtrek van een rechthoek is P = 2 ⴢ (l + b) De formule voor de oppervlakte van een rechthoek is A = l ⴢ b De formule voor de omtrek van een ruit is P = 4 ⴢ z Dⴢd 2 De formule voor de omtrek van een vierkant is P = 4 ⴢ z
De formule voor de oppervlakte van een vierkant is A = z 2 De formule voor de omtrek van een driehoek is P = z 1 + z 2 + z 3 De formule voor de oppervlakte van een driehoek is A =
bⴢh 2
pl
De formule voor de omtrek van een cirkel is P = 2 ⴢ r ⴢ
aa r
De formule voor de oppervlakte van een ruit is A =
De formule voor de oppervlakte van een cirkel is A = r 2 ⴢ
xe m
KUNNEN
−
+ −
+
jk e
Oppervlaktematen en landmaten herleiden naar de juist eenheid. In situaties kunnen aanduiden of je de omtrek of de oppervlakte van de figuur moet bepalen. De omtrek en oppervlakte van een driehoek, vierhoek en een cirkel berekenen. Een strategie ontwikkelen om de oppervlakte te berekenen van een samengestelde figuur en die berekening uitvoeren.
In ki
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
471
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig
...
xe m
Hoe snel heeft Bart gemiddeld gereden gedurende de volledige trip?
het kampvuur geren zit rond n jo l ta n aa n 2. Ee ing. erd. in een grote kr lgend genumm vo n ee op n de Ze wor recht nummer 9, zit Annemie, met 37. e, met nummer tegenover Tin die kring? ren zitten er in ge n jo el ve oe H
pl
1. Bart rijdt m et zijn fiets va n Pientergem naar Pienterzel e. Tijdens de hee nreis haalt hij een gemiddelde sn elheid van 20 km per uur. Tijdens de teru greis zit de win d goed en haalt hij een ge middelde snel heid van 30 km per uur.
aa r
concreet materiaal
jk e
In ki
1
en, bad leeg te mak een em zw et h m O 3. met twee pompen gebruiken we biet. verschillend de , is het mp 1 gebruiken po l ke en e w Als n uur leeg. zwembad in éé , is het mp 2 gebruiken Als we enkel po ie uur leeg. zwembad in dr zwembad het voordat het Hoelang duurt e pompen is, als we beid pt m po ge eg le en? samen gebruik
2 3 4 5 6 7 8
Hoe zag die er
uit?
9 10 11 12 13
472
4. Een dief is on tsnapt. Volgens Aaron had hij blond h aar, een blauwe ja s en een bril. Volgens Brech t bruin haar, ee n zwarte jas en een bril. Volgens Cem bl ond haar, een grijze jas en geen bril. Ze hebben alle drie maar één ding goed en samen heb ben ze de dief helemaal beschreven.
HOOFDSTUK 11 I VLAKKE FIGUREN
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
₄₇₄ ₄₈₈ ₅₀₃ ₅₀₄
12.1 Vergelijkingen en formules Studiewijzer
aa r
12.2 Regelmaat en formules
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
473
12.1
Vergelijkingen en formules
12.1.1 Gelijkheden 6 ⴢ 3 = 18 3ⴢ2=4+2 16 : 4 = 8 − 4
7 + 9 = 16 5 + 7 = 15 − 3 32 = 64 : 2
Al deze uitspraken noem je gelijkheden. Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.
5+7
Een gelijkheid bestaat uit twee delen.
5 + 7
15 − 3
⎫⎪ ⎬ ⎭⎪
⎫ ⎬ ⎭
tweede lid rechterlid
Eigenschap 1
xe m
pl
eerste lid linkerlid
=
aa r
Benamingen
15 – 3
5 + 7 = 15 − 3 en 共5 + 7兲 + 8 = 共15 − 3兲 + 8 Eigenschap
5 ⴢ 2 = 10 en 共5 ⴢ 2兲 − 7 = 10 − 7
Gelijkheid met termen
jk e
Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.
Eigenschap 2 1
In ki
6−1=3+2 en 共6 − 1兲 ⴢ 2 = 共3 + 2兲 ⴢ 2
2 3 4 5 6
Eigenschap
17 − 9 = 8 en 共17 − 9兲 : 4 = 8 : 4
Gelijkheid met factoren Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.
7 8
Opmerking
9
5 + 7 = 15 − 3 en 15 − 3 = 5 + 7
10 11 12
Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.
13
474
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
18 : 3 = 3 + 3 en 3 + 3 = 18 : 3
Oefeningen REEKS A Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a)
17 + 3 = 15 +
d)
b)
7 ⴢ 3 = 28 −
e)
c)
38 −
=7ⴢ5
2,5 +
b)
(1 +
ⴢ 7 = 28 : 2
= 1,25 + 9 + 1,25
c)
5+7 = 3
−4
3
pl
a)
) ⴢ 2 = (0,65 + 1,05) ⴢ 2
(16 + 7) − 5 = (25 −
xe m
d)
)−5
Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a)
2,5 +
b)
50 −
d)
13 − 17 = 2 ⴢ
= 21 : (−3)
e)
16 +
8−
f)
− (−15) +
1 23 = + 3 6
In ki
c)
= 17,8
jk e
3
Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt.
−7
36 : 9 =
f)
REEKS B 2
ⴢ 4 = 16 − 4
aa r
1
= −64 : 8 =
60 2
REEKS C
4
Plaats de juiste combinatie van getallen zodat je een gelijkheid verkrijgt. Kies uit de aangeboden getallen. 8
14 –
7
9
1
·7
12 –
12
16
5
3
:4
:3
15
14 –
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
475
12.1.2 Vergelijkingen Welk getal moet je bij 6 optellen om 10 te verkrijgen?
? + 6 = 10
?=
Van welk getal moet je 3 aftrekken om 14 te verkrijgen?
♣ − 3 = 14
♣=
Gelijkheden waarin een onbekend element (? of ♣) voorkomt, noem je vergelijkingen. In de wiskunde gebruik je meestal de letter x om het onbekende element voor te stellen.
Zet de volgende zinnen om in een wiskundige formulering. Gebruik x. vergelijking
het getal
x + 9 = 16
aa r
Als je een getal vermeerdert met 9, verkrijg je 16.
keuze voor x
Verminder je een getal met 7, dan krijg je −8 als resultaat. Het viervoud van een getal is 24. Deel je een getal door 6, dan verkrijg je 3.
pl
Op een fuif krijgt Alessio voor € 12 zes drankjes.
Benamingen
xe m
Na een fikse korting van € 15 kost je nieuwe T-shirt nu nog € 38.
Een vergelijking bestaat uit twee delen. x + 9
=
16
⎫ ⎬ ⎭
tweede lid rechterlid
x+9
16
jk e
⎫ ⎬ ⎭
eerste lid linkerlid
x noem je de onbekende. 9 en 16 zijn bekenden.
Vergelijkingen oplossen
In ki
1
Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt. De vergelijking x + 9 = 16 heeft als oplossing x = 7, omdat 7 + 9 = 16.
2 3 4 5 6 7
Abbu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi was een wiskundige en sterrenkundige uit het Irak van de 9e eeuw. Uit de titel van zijn boek Al-Jabr wa-al-Mugabilah is het woord 'algebra' ontstaan. De Arabische algebra was een algebra zonder symbolen of letters. Alles werd volledig in woorden beschreven. Zo werd een onbekende als 'ding' omschreven (in het Arabisch , spreek uit als 'sai'). In het Oudspaans werd dat als 'xe' vertaald en al snel verkortte men dat tot x.
8
René Descartes (1596-1650) was een Franse filosoof en wiskundige die verkondigde dat alle echte kennis op de wiskunde moest worden gebaseerd. In zijn boek La Géometrie beschreef hij meetkundige problemen met vergelijkingen. Hij suggereerde het gebruik van letters van het einde van het alfabet (zoals x, y en z) voor onbekende hoeveelheden.
9 10 11 12 13
476
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
Overbrengen van termen
1 4 2 4
1 2 GOUD x = ?
1 2 GOUD x = ?
1 4 2 4
1 2 GOUD x = ?
4
4
Als je bij een staaf goud 3 kg optelt, dan bekom je 11 kg.
Als je van beide leden van een gelijkheid 3 aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan. (eigenschap 1)
De klomp goud weegt 8 kg.
x + 3 = 11
x + 3 − 3 = 11 − 3
x=8
Praktische schikking x − 9 = 16 x − 9 + 9 = 16 + 9 x = 16 + 9 x = 25
aa r
x + 3 = 11 x + 3 − 3 = 11 − 3 x = 11 − 3 x=8 Controle: Overbrengen van termen
pl
Vaststelling
Controle:
Optellen in het ene lid wordt
xe m
in het andere lid, en omgekeerd.
x + a = b wordt
x=b−a
x − a = b wordt x = b + a
Overbrengen van factoren
jk e
GOUD x = ? 1 2x = ? GOUD GOUD x = ?
4 4 4
In ki
Drie goudstaven wegen 12 kg.
3x = 12
GOUD x = ? 1 2x = ? GOUD GOUD x = ?
1 2 GOUD x = ?
4 4 4
4
Als je beide leden van een gelijkheid deelt door eenzelfde getal, dan blijft de gelijkheid bestaan. (eigenschap 2)
De klomp goud weegt 4 kg.
3x : 3 = 12 : 3
x=4
Praktische schikking
3x = 12 3x : 3 = 12 : 3 x = 12 : 3 x=4
Controle: Vaststelling
x:4=5 x:4ⴢ4=5ⴢ4 x=5ⴢ4 x = 20 Controle:
Overbrengen van factoren Vermenigvuldigen in het ene lid wordt x ⴢ a = b wordt x = b : a
in het andere lid, en omgekeerd. x : a = b wordt x = b ⴢ a
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
477
Modeloefeningen b)
a) x − 18 = 5
Controle:
x = −20 4
c) −5x = 35
Controle:
Vergelijkingen van de vorm ax + b = c a) 2x + 3 = 11 2x = 11 − 3 2x = 8 x=8:2 x=4
Werkwijze
pl Controle:
Oplossen van vergelijkingen van de vorm ax + b = c Breng de bekende termen naar hetzelfde lid. Reken dat lid uit. Breng de bekende factor naar het andere lid. Bereken de onbekende. Controleer je gevonden oplossing.
In ki
jk e
a) b) c) d) e) 1
x − 8 = 12 5 x = 12 + 8 5 x = 20 5 x = 20 ⴢ 5 x = 100
xe m
Controle:
b)
aa r
Controle:
Voorbeelden
2 3
a) 2x + 4 = 8
b) 8x − 11 = 29
c)
x +3=6 6
4 5 6 7 8 9 10
Controle:
11 12 13
478
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
Controle:
Controle:
Oefeningen REEKS A Noteer als een vergelijking. a)
b)
1 2 GOUD x = ?
7
a)
Als je een getal verdubbelt, verkrijg je 14.
b)
Verminder je een getal met 10, dan verkrijg je 6.
c)
De helft van een getal is 8.
d)
Je verkrijgt 12 als je een getal vermeerdert met 7.
1 2x = ? GOUD GOUD x = ?
4 1 4
4 2 4
Los de vergelijkingen op.
In ki Controle:
8
GOUD x = ? 1 2x = ? GOUD GOUD x = ?
pl
Noteer als een vergelijking.
a) x − 8 = 12
R
4 2 4
d)
xe m
R
1 24 GOUD x = ?
jk e
6
1 4 2 4
c)
aa r
5
b) x + 3 = 17
c) x + 5 = 2
Controle:
Controle:
Los de vergelijkingen op.
a) 3x = 24
Controle:
b) x : 4 = 8
Controle:
c) −x = 6
Controle:
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
479
REEKS B
R
11
a) x − 17 = −8
b) x + 6 = −7
c) x − 2 = −8
Controle:
Controle:
Controle:
a) x : 5 = −4
b) −8x = 64
c) x : 12 = −4
Controle:
Controle:
Los de vergelijkingen op.
Los de vergelijkingen op. a) 12 = 4 + x
Controle: 2 4 = 3 3
In ki
1
Controle:
c) −2 = x − 18
e) x − 2 = −9
Controle:
Controle:
d) x +
jk e
b) x −
aa r
10
Los de vergelijkingen op.
pl
R
9
xe m
R
2 3 = 3 4
f) x −
2 = 15 3
2
Controle:
3
Controle:
Controle:
4 5 6
R
12
Een toegangsticket voor het toneel kost € 6. De kassa telt € 672 ontvangsten. Hoeveel toeschouwers genoten van het toneel?
7
Keuze voor x: 8 9
Vergelijking oplossen:
10 11 12
Antwoordzin:
13
480
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
Vergelijking:
13
Voor drie achtsten van de taart betaal je € 6. Hoeveel kost de volledige taart? Vergelijking:
Keuze voor x: Vergelijking oplossen:
Antwoordzin:
Los de vergelijkingen op. a)
x =4 4
c)
Controle:
15
Controle: x = −35 –7
f)
Controle:
Controle:
Los op met behulp van vergelijkingen. a) Als je een getal vermindert met 36, krijg je −15. Wat is dat getal?
c) Vermeerder je een getal met −18, dan krijg je −34. Wat is dat getal?
Vergelijking:
Vergelijking:
Vergelijking oplossen:
Vergelijking oplossen:
b) Het zevenvoud van een getal is −126. Wat is dat getal?
d) Zeven twaalfden van een getal is 14. Wat is dat getal?
Vergelijking:
Vergelijking:
Vergelijking oplossen:
Vergelijking oplossen:
In ki
R
5 3 x= 4 12
d) 2,5 − x = 7,5
jk e
Controle:
e)
xe m
Controle: b) 3 − x = 12
2 x=8 5
aa r
14
pl
R
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
481
REEKS C Los de volgende vergelijkingen op. d) 9x − 12 = −39
g) 5x − 2 = 13
Controle:
Controle:
Controle:
b) 2x − 4 = 14
e) 15 + 3x = 36
h) 3x + 18 = 51
Controle:
Controle:
c) 3x + 1 = 19
f) 3x + 2 = 5
17
pl
Controle:
i) 4 = 2x − 12
Controle:
jk e
Controle:
aa r
a) 2x + 1 = 7
xe m
16
Controle:
Los op met behulp van vergelijkingen. c) Het negenvoud van een getal verminderd met 14 is −32. Wat is dat getal?
1
Vergelijking:
Vergelijking:
2
Vergelijking oplossen:
Vergelijking oplossen:
b) Als je de helft van een getal met 9 vermindert, krijg je −47. Wat is dat getal?
d) Als je het tweevoud van een getal vermeerdert met 28 en die som vermindert met 17, krijg je 73. Wat is dat getal?
Vergelijking:
Vergelijking:
Vergelijking oplossen:
Vergelijking oplossen:
In ki
a) Het viervoud van een getal verminderd met 2 is 30. Wat is dat getal?
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
482
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
18
Los de volgende vergelijkingen op. a) −5 + 7 = x + 9
c) 10,5 + x = −7 + 2,5
e) 7,5 + x = 12,3 − 4,8
Controle:
Controle:
Controle:
5 4 1 +x= + 2 6 12
d)
3 7 2 +x= − 5 2 4
f) −
−7 7 x= 18 27
19
Controle:
Controle:
xe m
Controle:
pl
aa r
b) −
De omtrek van een cirkel bereken je met P = 2 ⴢ r ⴢ . Wat is de straal van een cirkelvormig terras met omtrek 20 m? Keuze voor x:
Vergelijking:
jk e
Vergelijking oplossen:
In ki
Antwoordzin:
20
Bereken x.
Vergelijking:
x
Vergelijking oplossen:
4
3
8
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
483
12.1.3 Formules Voorbeeld 1 Een rechthoek heeft een oppervlakte van 20 m 2. De breedte van de rechthoek is 2 m. Om de lengte van de rechthoek te berekenen, kun je op twee manieren te werk gaan: manier 1
manier 2
Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.
Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.
A=lⴢb 20 = l ⴢ 2
formule oppervlakte rechthoek gegevens invullen
20 =l 2 10 = l
vergelijking oplossen
A=lⴢb lⴢb=A A b 20 l= 2 l = 10
formule oppervlakte rechthoek formule omvormen naar l
aa r
l=
Voorbeeld 2
gegevens invullen
staat voor spanning staat voor weerstand staat voor stroomsterkte
gemeten in volt (V) gemeten in ohm (⍀) gemeten in ampère (A)
xe m
U R I
pl
Een basisformule uit de elektriciteit is de wet van Ohm: U = R ⴢ I.
Met de basisformule kun je de spanning berekenen als de weerstand en de stroomsterkte gegeven zijn. Zo is de spanning voor een weerstand van 12 ⍀ en een stroomsterkte van 3 A natuurlijk 36 V (12 ⴢ 3 = 36). Je kunt de formule ook gebruiken om de weerstand te berekenen als de spanning 15 V is en de stroomsterkte 3 A is.
Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.
Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.
jk e
manier 2
U=RⴢI 15 = R ⴢ 3
formule wet van Ohm gegevens invullen
15 =R 3 5=R
vergelijking oplossen
U=RⴢI RⴢI=U
In ki
1
manier 1
2 3
U I 15 R= 3 R=5
formule wet van Ohm formule omvormen naar R
R=
4
gegevens invullen
5 6
In 1821 legt de Duitse wetenschapper Georg Simon Ohm (1789-1854) de relatie tussen spanning, weerstand en stroom vast in de naar hem genoemde wet: U = R ⴢ I.
7 8
1 ampère
9 10
1 ohm 11
+ –
12
1 volt
13
484
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
Als een batterij 1 volt (V) levert en door een daarop aangesloten weerstand vloeit 1 ampère (A), dan is die weerstand 1 ohm (⍀).
Oefeningen REEKS A 21
Bereken met de wet van Ohm de spanning (U) in een stroomkring met weerstand (R) 15 ⍀ en stroomsterkte (I) 6 A. Formule: U = R ⴢ I
Antwoordzin:
Bereken het volume (V) van een klaslokaal met lengte (l) 9 m, breedte (b) 6 m en hoogte (h) 3 m. Formule: V = l ⴢ b ⴢ h
aa r
22
Een konijn loopt 10 meter per seconde. Wat is zijn snelheid in kilometer per uur? Formule: V = 3,6 ⴢ v met V voor de snelheid in km per uur en v voor de snelheid in m per seconde.
jk e
Antwoordzin:
xe m
23
pl
Antwoordzin:
REEKS B 24
Bereken met de wet van Ohm de weerstand bij een spanning van 240 V en stroomsterkte 6 A.
In ki
R
Antwoordzin:
R
25
Bereken met de oppervlakteformule van een parallellogram de hoogte, als je weet dat de oppervlakte 18 m 2 bedraagt en de basis 5 m meet.
Antwoordzin:
R
26
Bereken met de omtrekformule van een rechthoek de breedte, als de omtrek 50 cm bedraagt en de lengte 20 cm is.
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
485
27
Bereken de omtrek van het wiel met gegeven diameter op 0,1 nauwkeurig. d
omtrek
20 cm 25 cm 30 cm 35 cm
Temperatuur meet je bij ons in graden Celsius (ºC). De internationale eenheid voor temperatuur is echter de kelvin (K), genoemd naar de Engelse fysicus William Thomson Kelvin. Om temperatuur in de verschillende eenheden om te zetten, gebruik je de formule k = c + 273 met k de temperatuur in K en c de temperatuur in ºC.
pl
28
aa r
40 cm
xe m
a) Water kookt bij 100 ºC. Hoeveel kelvin is dat?
b) Het vriest buiten 4 ºC. Hoeveel bedraagt de temperatuur in kelvin?
c) Zet een temperatuur van 341 K om naar ºC.
jk e
d) 0 K is de absoluut laagst mogelijke temperatuur in het heelal. Hoeveel is dat in graden Celsius?
e) Het temperatuurverschil tussen deze ochtend en deze namiddag is 7 ºC. Wat is het verschil in K?
In ki
1
2 3 4
REEKS C
5 6 7
R
29
Vorm de oppervlakteformule van een ruit om naar een formule voor de grote diagonaal. Bereken daarna de grote diagonaal van een ruit met oppervlakte 37,5 cm 2 en een kleine diagonaal van 6 cm.
8
omvormen formule
9 10 11 12 13
486
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
berekening grote diagonaal
30
De formule I = K ⴢ p ⴢ t is een veelgebruikte formule in het bankwezen. I staat voor intrest (de vergoeding voor het lenen van een geldsom) K staat voor kapitaal (de bepaalde geldsom) p staat voor de intrestvoet (het percentage intrest op het kapitaal) t staat voor de tijd (uitgedrukt in jaren) Vorm de formule om naar wat gevraagd wordt. Vul nu de tabel aan.
I
K
t=
p
€ 5 000
a) € 37,50
c)
€ 280
€ 3 500
d)
€ 750
€ 4 000
3%
1,5 jaar
2,5 %
1 jaar
2 jaar
pl
b)
t
3,75 %
xe m
31
p=
K=
aa r
I=Kⴢpⴢt
Voor haar jaarabonnement in de fitnessclub betaalt Nancy € 25 en € 1,50 extra per fitnessbeurt. Op het einde van het jaar spendeerde Nancy in totaal (t) € 82 aan de fitness. Hoeveel keer (n) ging Nancy naar de fitnessclub?
In ki
jk e
t = 1,50 ⴢ n + 25
Antwoordzin:
32
In sommige landen drukt men de temperatuur uit in graden Fahrenheit. Met hoeveel graden Celsius (c) komt 77 graden Fahrenheit (f ) overeen? f = 1,8 ⴢ c + 32
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
487
12.2 Regelmaat en formules 12.2.1 Regelmaat ontdekken Regelmaat in een getallenrij In deze getallenrij is een duidelijke regelmaat te zien. Het volgende getal van de rij vind je door telkens drie bij het vorige getal te tellen. Vul de rij aan. 4
+3
7
+3
10
+3
13
+3
16
+3
19
+3
22
+3
25
+3
+3
+3
aa r
1
Ontdek in de volgende getallenrij de regelmaat. Vul de rij aan. 2
4
8
16
xe m
Regelmaat in een figurenrij
32
pl
1
In ki
1
jk e
Tijdens luchtshows vliegen straaljagers vaak in formatie. In de figurenrij zie je het patroon van de eerste drie formaties die tijdens een show overvlogen. Schets de volgende formatie.
2 3 4 5 6 7
Ontdek in de volgende figurenrij de regelmaat. Vul de rij aan.
8 9 10 11 12 13
488
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
Oefeningen REEKS A
13
19
25
b)
3
6
12
24
c)
96
89
82
75
d)
18
22
26
aa r
7
pl
a)
30
xe m
34
Ontdek in de volgende getallenrijen de regelmaat. Vul aan.
Ontdek in de volgende figurenrijen de regelmaat. Vul aan. a)
In ki
b)
jk e
33
c)
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
489
REEKS B
36
−2
4
−8
16
−32
b)
0
1
3
6
10
c)
−10
−13
−16
−19
d)
1
3
7
e)
−80
a)
3 4 5 6
b)
8 9 10 11 12 13
490
pl
−22
31
xe m
15
−60
−40
−20
Ontdek in de volgende figurenrijen de regelmaat. Vul aan.
2
7
aa r
a)
In ki
1
Ontdek in de volgende getallenrijen de regelmaat. Vul aan.
jk e
35
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
63
REEKS C In het jaar 1202 onderzocht Leonardo Pisano (1170-1250, ook wel Fibonacci, zoon van Bonaccio, genoemd) een probleem dat hem beroemd zou maken: hoe evolueert het konijnenbestand als je start met één koppel konijnen? Fibonacci stelde wel twee voorwaarden: 1 Konijnen zijn geslachtsrijp na een maand. 2 Elke worp bestaat netjes uit een mannetje en een vrouwtje, die elkaar over een maand erg aardig zullen vinden.
aantal paren
0
1
2
2
xe m
1
jk e
1
schematische voorstelling
3
4
37
We starten met één paar konijnen.
Na een maand is het paar geslachtsrijp. Het paar blijft zelf in leven en werpt één paar jongen. Het eerste paar blijft in leven en werpt een nieuw paar. Het tweede paar wordt geslachtsrijp.
In ki
3
uitleg
pl
aantal maanden
aa r
Ondanks die nogal eenvoudige voorstelling schreef Fibonacci geschiedenis met zijn uitkomst. De ‘rij van Fibonacci’ is sindsdien wetenschappers uit de meest uiteenlopende disciplines blijven verbazen.
De twee geslachtsrijpe paren blijven in leven en werpen elk een nieuw paar konijnen. Er komt ook één geslachtsrijp paar bij.
5
Vul de wereldberoemde rij van Fibonacci aan. 1
1
2
3
5
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
491
12.2.2 Regelmaat beschrijven met een formule Voorbeeld 1 Phaedra organiseert een tuinfeest. Ze plaatst een rij tafels met stoelen zoals in de tabel.
aantal tafels
1
2
a) b)
aa r
aantal stoelen Hoeveel gasten kan Phaedra uitnodigen als ze twaalf tafels naast elkaar plaatst? Hoeveel tafels heeft Phaedra nodig om 72 gasten uit te nodigen?
pl
Om die vragen te beantwoorden, stellen we een formule op tussen het aantal tafels (t) en het bijbehorende aantal stoelen (s).
letterformule
aantal stoelen s
jk e
a) Hoeveel gasten kan Phaedra uitnodigen als ze twaalf tafels naast elkaar plaatst?
Antwoord:
aantal tafels ⴢ 3
=
b) Hoeveel tafels heeft Phaedra nodig om 72 gasten uit te nodigen?
Antwoord:
In ki
1
=
xe m
woordformule
2
Voorbeeld 2
3
In de volgende getallenrij heeft elk getal een nummer gekregen. Ontdek de regelmaat. Stel een formule op die het verband aangeeft tussen het nummer (n) en het bijbehorende getal (g). Vul de tabel aan.
4 5 6 7 8
nummer (n) getal (g)
1
2
3
4
−4
−8
−12
−16
5
letterformule g=
9 10 11 12
Merk op: Het getal dat je invult onder
13
492
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
is de factor in de letterformule.
17
22
Voorbeeld 3 Ook Tommy heeft zin in een tuinfeest. Hij schikt de tafels net als Phaedra, maar plaatst de stoelen anders.
aantal tafels
1
2
aantal stoelen
aa r
a) Hoeveel gasten kan Tommy uitnodigen als hij negen tafels naast elkaar plaatst? b) Hoeveel tafels heeft Tommy nodig om 26 gasten uit te nodigen?
pl
Om die vragen te beantwoorden, stellen we een formule op tussen het aantal tafels (t) en het bijbehorende aantal stoelen (s). aantal stoelen
=
letterformule
s
=
aantal tafels
xe m
woordformule
b) Hoeveel tafels heeft Tommy nodig om 26 gasten uit te nodigen?
jk e
a) Hoeveel gasten kan Tommy uitnodigen als hij negen tafels naast elkaar plaatst?
Antwoord:
Antwoord:
In ki
Voorbeeld 4
In de volgende getallenrij heeft elk getal een nummer gekregen. Ontdek de regelmaat. Stel een formule op die het verband aangeeft tussen het nummer (n) en het bijbehorende getal (g). Vul de tabel aan.
nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
8
10
12
14
5
letterformule
17
22
g=
Merk op: Het getal dat je invult onder is de factor in de letterformule. Je moet die formule aanpassen aan de hand van het eerste getal uit de rij.
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
493
Oefeningen REEKS A Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. 1
2
3
4
getal (g)
5
10
15
20
b) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
4
5
6
7
REEKS B
7
8
letterformule g=
5
6
7
8
letterformule g=
Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. Bepaal zo de getallen met de gevraagde nummers. a) nummer (n)
1
2
3
4
4
8
12
16
jk e
getal (g)
b) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
−2
−4
−6
−8
5
letterformule
19
24 88
64
−40
−64
g=
5
letterformule g=
12
17
In ki
1
6
xe m
39
5
aa r
a) nummer (n)
pl
38
2 3
40
Ontdek in de volgende figurenrij de regelmaat. Vul de tabel aan.
4 5 6 7 8 9
nummer (n)
1
2
3
4
5
letterformules
10
aantal ♦ (v)
v=
aantal + (c)
c=
11 12 13
494
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
7
12
Een rechthoek heeft een breedte van 2 cm. Bereken telkens de gevraagde oppervlakte. Vul de tabel aan. lengte in cm (l)
2
3
4
5
6
oppervlakte (A)
42
letterformule
9
13 24
A=
48
Een sportclub koopt flesjes fruitsap van 33 cl voor € 0,95 per flesje. De flesjes worden tijdens de pauzes aan de sporters verkocht. Vul de tabel aan. aantal flesjes (n)
1
2
3
4
5
kostprijs (p)
letterformule
24
32
aa r
41
17,10
p=
xe m
pl
a) De sportclub ontvangt een factuur van € 45,60 van de leverancier van het fruitsap. Hoeveel flesjes heeft de sportclub aangekocht?
70,30
b) Door een speciale actie ontvangt de sportclub bij hun bestelling 12 gratis flesjes. Bij levering ontvangen ze in totaal 96 flesjes. Hoeveel moet de sportclub betalen?
43
Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. Bepaal zo de getallen met de gevraagde nummers.
In ki
R
jk e
c) De sportclub ontvangt een factuur van € 53,49. De secretaris van de club besluit onmiddellijk dat er een fout in de factuur geslopen is. Verklaar.
a) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
3
5
7
9
b) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
12
19
26
33
c) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
−5
−8
−11
−14
d) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
−4
−9
−14
−19
5
letterformule
19
21
15
24
13
16
17
25
g= 5
letterformule g=
5
letterformule g=
5
letterformule g=
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
495
44
Om het aantal diagonalen van een veelhoek te weten, kun je vertrekken vanuit deze tabel. Teken telkens de diagonalen in de veelhoek. Probeer de regelmaat te ontdekken. aantal hoekpunten (n)
aantal diagonalen (d)
aa r
figuur
8
45
100
Ganzen vliegen in formaties in de vorm van de letter V. Vul de tabel aan. formatienummer
1
2
3
In ki
1
12
jk e
REEKS C
xe m
n â´˘ (n â&#x2C6;&#x2019; 3) . 2 Bereken het aantal diagonalen van de volgende veelhoeken. d=
2
figurenrij
3 4
getallenrij
5 6 7
a) Geef de formule tussen het nummer van de formatie (n) en het bijbehorende aantal ganzen (g).
8 9
b) Hoeveel ganzen zal de 44ste formatie tellen?
10 11
c) Bestaat er een formatie met 36 ganzen?
12 13
496
aantal diagonalen (d)
pl
aantal hoekpunten (n)
Om het tekenwerk te vermijden, gebruik je het best de volgende formule:
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
4
a) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
−5
−3
−1
1
b) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
2
−1
−4
−7
c) nummer (n)
1
2
3
4
getal (g)
−4
−11
5
6
letterformule
12
33
g=
5
6
letterformule
12
6
letterformule
12
193
−109
−175
33
g=
5
27
33
−18 −25
−88
g=
−424
Een graspaadje met een breedte van 1 m wordt al omgeven door bloempotten. In de lengte van het graspaadje wordt om de meter een bloempot geplaatst.
xe m
pl
47
Zoek de regelmaat in de getallenrijen. Stel een formule op. Bepaal zo de getallen met de gevraagde nummers.
aa r
46
a) Vul de volgende tabel in.
1m
2m
3m
4m
5m
6m
jk e
lengte graspaadje
aantal bloempotten
In ki
b) Stel een formule op voor het berekenen van het aantal bloempotten (p) aan de hand van de lengte (l) van het graspaadje. p=
c) Bepaal nu het aantal bloempotten dat nodig is voor een graspaadje met de gegeven lengte. lengte graspaadje
10 m
18 m
25 m
50 m
1 dam
0,5 hm
0,08 hm
2 km
aantal bloempotten
d) Bereken het aantal bloempotten dat nodig is voor een paadje met een breedte van 1 m en met een oppervlakte van 76 m 2. De bloempotten worden op dezelfde manier geplaatst als op de tekening.
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
497
12.2.3 Formules voorstellen met grafieken Aan de hand van een formule kun je een tabel opstellen. In de ene kolom komt het nummer (n) en in de andere kolom het getal (g) dat bij het nummer hoort. Formule
g = 3n
Tabel n
g
n 5
2
6
aa r
1
g
3
7
4
8
pl
Grafiek g
xe m
Op de horizontale as stel je de nummers (n) voor. Op de verticale as stel je de bijbehorende getallen (g) voor.
In ki
1
jk e
De nummers en de bijbehorende getallen uit de tabel vormen coรถrdinaten van punten. Door de punten met een vloeiende lijn te verbinden, stel je de formule voor met een grafiek.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 2 1 0
1
12 13
498
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
2
3
4
5
6
7
8
9 n
Welke vorm heeft de grafiek van de formule g = 3n?
Oefeningen REEKS B
R
48
Maak een passende tabel bij de gegeven formules. Stel daarna de formules voor met een grafiek. g
formule 1 in het blauw g = 2n n
g
aa r
1 2 3
pl
4 5
jk e
xe m
formule 2 in het rood g=n+7
1
2
3
4
5
In ki
1
–3
6
7
8
9
1 2
4
2
–1 –2
g
3
3
0
n
5 n
formule 3 in het zwart g = −2n n
g
1 2 3 4 5
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
499
REEKS C 49
Rapid en Expres zijn twee koerierbedrijven. Bij Rapid wordt de prijs voor het afleveren van een pakje als volgt berekend: € 10 administratieve kosten en € 2 per kilometer. Expres rekent € 1,50 per kilometer en € 15 administratieve kosten aan. a) Vul de tabel aan. aantal km (k)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
prijs Rapid (r)
aa r
prijs Expres (g)
In ki
1
jk e
xe m
pl
b) Maak de bijbehorende lijngrafieken met horizontaal het aantal km en verticaal de te betalen prijs. Rapid teken je in het rood, Expres in het groen.
2 3 4 5 6 7 8
3 2
9
1
10
0
11 12 13
500
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
c) Bepaal de formules om de prijs te vinden als het aantal km (k) gegeven is. Prijs Rapid
:r=
Prijs Expres : g = d) Je verstuurt een pakje naar een bestemming op 150 km. Bereken de prijs bij de twee firma’s. Prijs Rapid
:
Prijs Expres : e) Hoeveel km ver kun je een pakje zenden met € 96? :
aa r
Met Rapid
Met Expres :
xe m
pl
f) Welke firma is de goedkoopste firma voor een bestemming van 7 km? Verklaar je antwoord.
g) Welke firma is de goedkoopste firma voor een bestemming van 20 km? Verklaar je antwoord.
In ki
jk e
h) Voor welk aantal km speelt het geen rol voor welke firma je kiest?
i) Het koeriersbedrijf Fast rekent € 2,50 per km om een pakje te bestellen. Het bedrijf rekent geen administratieve kosten aan. Teken de bijbehorende lijngrafiek in het blauw bij b.
j) Tot hoeveel km is Fast de goedkoopste oplossing om een pakje af te leveren? Verduidelijk je antwoord.
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
501
50
Driehoeksgetallen en vierkantsgetallen. a) Vul de tabel aan. nummer
1
figuur
•
getal
1
2
3
• •
3
1
2
3
figuur
•
• • • •
getal
1
4
xe m
De getallen die je verkrijgt, noem je vierkantsgetallen: n 2.
jk e
In ki
1
2
d) Wat stel je vast?
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
502
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
4
pl
nummer
n ⴢ (n + 1) . 2
aa r
b) Vul de tabel aan.
Voor de driehoeksgetallen gebruik je groen, voor de vierkantsgetallen gebruik je rood.
5
•
De getallen die je verkrijgt, noem je driehoeksgetallen:
c) Teken de grafieken met het nummer op de horizontale en het getal (aantal stippen) op de verticale as.
4
5
STUDIEWIJZER Formules voor de leerling
12.1 Vergelijkingen en formules KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
De eigenschappen van gelijkheden formuleren in woorden. De regels voor het overbrengen van termen en factoren bij vergelijkingen.
KUNNEN
pl
12.2 Regelmaat en formules
aa r
KUNNEN De eigenschappen van gelijkheden toepassen. Vergelijkingen van de vorm x + a = b en ax = b oplossen. Vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen. Vraagstukken oplossen met behulp van vergelijkingen. Opgegeven eenvoudige formules omvormen. Een grootheid berekenen uit een gegeven formule.
−
+ −
+
In ki
jk e
Pienter Rekenen
xe m
Regelmaat in een getallenrij en een figurenrij ontdekken en de rij aanvullen. Regelmaat in een getallenrij en een figurenrij beschrijven met een formule. Formules voorstellen met grafieken.
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
503
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok verstandig tandig
...
In ki
1
jk e
xe m
pl
aa r
die met nis en squash n te n va ix m 2. Padel is een Acht vrienden speeld wordt. ge s er el sp ee tw ooi. een padeltoern organiseerden nales gingen 1. In de klas va tfi ar de vier kw n Frie zitten 20 n va rs aa n in leerlingen. De w Tijdens de spor finale. tdag fietsen ze speelden naar de halve met een tandem. Precie ee halve finales tw de n s één derde va va rs aa De winn n de jongens zit met een m eisje op een fie de finale. ts . Juist de van Lien, helft van meisj Jens, Oona won es zit met een n va on w m Se jongen op n Oona, een fiets. on, Cas won va M n va on w s Ca van Slis en m, Achiel won Se n va on w a Oon Hoeveel jonge chiel. ns zitten er in de klas van Cas won van A Frie? nale? fin Wie speelde de
2 3 4 5 6
ten en er van 7 minu op dl n za n éé t 3. Je heb n. van 11 minute ies één zandloper n ganzenei prec ee ee m ar da je Hoe kun n koken? 15 minuten late uit. lle redenering Werk een zinvo
7 8 9 10 11 12 13
504
HOOFDSTUK 12 I FORMULES
4. Vier person en deden inko pen voor een Gilles kocht vo feestje. or 15 Yusuf zorgde vo ,60 euro hapjes. or wat drankjes en betaalde 13,05 euro. Marie zorgde vo or 2,40 euro ve rsiering en Lou maakte een de ise ssert van 9,95 euro. Achteraf hebbe n ze hun kosten allemaal verdeeld. Ze ra ken er echter niet aan uit aa ze elk nog iets n wie moeten betale n of van wie ze iets moeten on nog tvangen en hoe veel. Jij wordt aange steld als oploss er van hun probleem. Hoe pak je dat aan ?
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
13.1 Ruimtefiguren of lichamen 13.2 Ontwikkeling van ruimtefiguren
aa r
13.3 Oppervlakte van ruimtefiguren 13.4 Volume van ruimtefiguren Studiewijzer
₅₀₆ ₅₁₃ ₅₁₉ ₅₂₄ ₅₃₃ ₅₃₄
In ki
jk e
xe m
pl
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
505
13.1
Ruimtefiguren of lichamen
13.1.1 Even herhalen
jk e
xe m
pl
aa r
Noteer onder elke ruimtefiguur de correcte benaming.
13.1.2 Benamingen
In ki
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
506
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
13.1.3 Prisma In de hoekkast herken je een ruimtefiguur. Grondvlak, bovenvlak en zijvlakken zijn vlakke figuren. Welke? • grondvlak: • bovenvlak:
aa r
• zijvlakken: Bij deze ruimtefiguur zijn grond- en bovenvlak veelhoeken (driehoek, vierhoek, vijfhoek ...). De zijvlakken zijn rechthoeken. Je noemt deze ruimtefiguur een prisma. Opmerkingen
Voorbeelden
xe m
• Het grondvlak bepaalt het soort prisma.
pl
• Een balk en een kubus zijn ook voorbeelden van prisma’s. Grondvlak, bovenvlak en zijvlakken zijn vierkanten of rechthoeken.
vierzijdig prisma
zeszijdig prisma
In ki
jk e
driezijdig prisma
De wetenschapper Isaac Newton (1642-1727) was geboeid door het verschijnsel licht. Door een gaatje in een van zijn vensterluiken te maken, liet Newton een smalle bundel licht op de witte muur van zijn werkkamer vallen. Toen hij een driezijdig glazen prisma in de lichtbundel plaatste, maakte de witte plek op de muur plaats voor een heldere regenboog van kleuren. Het witte licht van de zon werd door het prisma ontleed in alle kleuren van de regenboog. Newton noemde de kleurenband op zijn muur ‘spectrum’. Dat woord betekent ‘verschijning’ in het Latijn. De kleuren van de regenboog heten de spectrale kleuren. Je kunt ze ook zien op een cd-schijfje of bij een olievlek op water.
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
507
Oefeningen REEKS A Op welke ruimtefiguren lijken de kaarsen? c)
b)
d)
e)
aa r
a)
f)
2
xe m
pl
1
Benoem de aangeduide onderdelen van de ruimtefiguren. a)
jk e
b)
In ki
1
2 3 4 5 6 7
3
Kleur van de ruimtefiguren het grondvlak geel, het bovenvlak groen en een zijvlak rood.
a)
8 9 10 11 12 13
508
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
b)
c)
d)
Welke vlakke figuren zijn de gekleurde vlakken van de ruimtefiguren in werkelijkheid? c)
b)
d)
e)
aa r
a)
f)
jk e
xe m
pl
4
In ki
REEKS B 5
Benoem van elke ruimtefiguur het groen gekleurde deel.
a)
c)
e)
b)
d)
f)
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
509
Geef de correcte benaming voor het gegeven onderdeel van de ruimtefiguur. T
R
S
O
S
b)
[TO]
c)
rechthoek NATJ
d)
zeshoek STRAND
e)
zeshoek FOUTJE
T E
J
Noteer de hoekpunten, ribben, grondvlak, bovenvlak en zijvlakken van de ruimtefiguur. O K
M
a)
hoekpunten
b)
ribben
A P
grondvlak
xe m
c)
S
d)
bovenvlak
e)
zijvlakken
Op welke ruimtefiguur lijken de verpakkingen? a)
c)
e)
d)
f)
In ki
1
jk e
8
aa r
U
F
7
A
N
D
a)
pl
6
2 3 4 5 6 7
b)
8 9 10 11 12 13
510
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
9
De balken zijn in cavalièreperspectief getekend. In welke gevallen is de gekleurde vlakke figuur in werkelijkheid een vierkant? a)
c)
❒
e)
❒ d)
f)
pl
aa r
b)
❒
❒
De balk is in cavalièreperspectief getekend. Maak een vlakke voorstelling op ware grootte van de vlakke figuur die in de balk is aangeduid.
In ki
jk e
10
❒
xe m
❒
11
David ontwerpt een hellend vlak om met zijn skateboard te oefenen. Het hellend vlak is in cavalièreperspectief voorgesteld op schaal 1 : 200. Bereken de werkelijke afmetingen van het blauw gekleurde vlak.
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
511
12
Bepaal het soort prisma. b)
pl
REEKS C
Bepaal het aantal ribben en het aantal vlakken waaruit de ruimtefiguren zijn opgebouwd.
xe m
13
c)
aa r
a)
ruimtefiguur balk
b)
piramide met vierkant grondvlak
c)
driezijdig prisma
d) e)
kubus
zeszijdig prisma
In ki
1
aantal vlakken
jk e
a)
aantal ribben
2 3 4
14
Welke vlakke figuren zijn de gekleurde vlakken bij de ruimtefiguren in werkelijkheid?
a)
5 6 7 8 9 10 11 12 13
512
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
b)
c)
d)
13.2 Ontwikkeling van ruimtefiguren 13.2.1 Inleiding Balkvormige archiefdozen zijn in de winkel te koop. Ze worden geleverd als een vlak stuk karton dat je moet vouwen. Dat vlakke stuk karton is de ontwikkeling van de archiefdoos.
xe m
pl
aa r
Op gelijkaardige wijze kun je de ontwikkeling van een meetkundige ruimtefiguur tekenen.
13.2.2 Ontwikkeling van een balk of een kubus Werkwijze
stap 1: Teken eerst een vlak dat je in ware grootte krijgt op de perspectieftekening.
jk e
stap 2: Bereken de lengtes van de aanliggende zijden. Houd rekening met de verkortingsfactor. stap 3: Teken die aanliggende zijden. ontwikkeling:
In ki
cavalièreperspectief:
XL
Ontwikkeling cilinder
XL
Ontwikkeling prisma HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
513
Oefeningen REEKS A Vink de correcte ontwikkelingen van een kubus aan. a)
b)
c)
❒
❒
Vink de correcte ontwikkelingen van een balk aan. b)
❒
❒
REEKS B 17
Van de ontwikkeling van een kubus is het bovenvlak gekleurd. Kleur bij elke ontwikkeling het grondvlak.
In ki
1
a)
c)
e)
b)
d)
f)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
514
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
d)
❒
jk e
❒
c)
xe m
a)
❒
pl
16
❒
d)
aa r
15
Vervolledig de ontbrekende ogen op de vlakken bij de ontwikkeling van de dobbelsteen. De som van de ogen van twee tegenoverliggende vlakken is altijd zeven.
19
Rond een kubusvormige geschenkdoos is een lintje gespannen. Welke van de ontwikkelingen hieronder is de correcte ontwikkeling van de geschenkdoos?
❒
b)
❒
c)
❒
d)
❒
Een kubus is in cavalièreperspectief getekend. In de ontwikkeling van de kubus zijn niet alle hoekpunten benoemd. Noteer bij elk onbenoemd hoekpunt de correcte letter.
In ki
20
jk e
xe m
pl
a)
aa r
18
F
B
B
C
E
A
G
H D
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
515
21
Vink de kubus aan waarvan de ontwikkeling gegeven is. a)
c)
❒
❒ d)
aa r
b)
❒
Welke kubus voldoet niet aan de gegeven ontwikkeling?
c)
xe m
a)
pl
22
❒
jk e
b)
In ki
1
2
23
Vul de ontwikkeling van de balk verder aan.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
516
❒
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
❒
e)
❒ d)
❒ f)
❒
❒
REEKS C 24
Teken een ontwikkeling van de ruimtefiguur. b) een balk met een lengte van 2 cm, een breedte van 1 cm en een hoogte van 3 cm
25
Teken twee verschillende ontwikkelingen van een kubus met een ribbe van 1,5 cm.
In ki
jk e
R
xe m
pl
aa r
a) een kubus met een ribbe van 2 cm
R
26
Teken de ontwikkeling van een balk met een hoogte van 2,5 cm, een lengte van 2 cm en een breedte van 1,5 cm.
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
517
Een geschenkdoos heeft een lengte van 45 cm, een breedte van 30 cm en een hoogte van 10 cm. Teken de ontwikkeling van de geschenkdoos op schaal 1 : 10.
28
Hoe lang moet een lint zijn om een kubusvormig pakje met ribbe 15 cm in te pakken? Het loshangende koordje met strik meet 60 cm.
29
Ontwikkel de balk. Breng daarna op de ontwikkeling de gekleurde delen aan. De ene helft is volledig gekleurd.
In ki
1
jk e
xe m
pl
aa r
27
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
518
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
13.3 Oppervlakte van ruimtefiguren 13.3.1 Oppervlakte van een kubus
aa r
z
In ki
jk e
xe m
pl
Teken een ontwikkeling van een kubus met een ribbe van 2 cm.
oppervlakte één vlak
ribbe = 2 cm
ribbe = z
A=
A=
A kubus =
A kubus =
aantal vlakken
oppervlakte kubus
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
519
13.3.2 Oppervlakte van een balk
h
l
b
jk e
xe m
pl
aa r
Teken een ontwikkeling van een balk met een hoogte van 3 cm, een breedte van 1 cm en een lengte van 2 cm.
In ki
1
breedte = b lengte = l hoogte = h
breedte = 1 cm lengte = 2 cm hoogte = 3 cm
2 3
oppervlakte grond- en bovenvlak
4 5
oppervlakte zijvlakken
6 7 8
oppervlakte balk
9
A=
A=
A1 =
A1 =
A2 =
A2 =
A balk =
A balk =
10 11 12 13
520
XL
Oppervlakte van een cilinder
XL
Oppervlakte van een prisma
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
Oefeningen REEKS A Noteer de naam van de ruimtefiguur. Bereken daarna de oppervlakte van de ruimtefiguur. a)
Naam ruimtefiguur: 7 cm
4 cm
Oppervlakte:
3 cm
b)
Naam ruimtefiguur:
pl
Oppervlakte:
xe m
8m
31
aa r
30
Bereken de oppervlakte van de ruimtefiguren. a) een kubus met een ribbe van 6 mm
jk e
R
In ki
b) een balk met hoogte 5 cm, lengte 6 cm en breedte 4 cm
REEKS B
32
Bereken de oppervlakte van de Rubiks kubus.
18 mm
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
521
33
Om verf te kopen voor het schilderen van een balkvormige kist, moet Yanka de oppervlakte van de kist kennen. De onderkant van de kist moet ze niet schilderen. Bereken die oppervlakte.
80 cm
1,20 m
aa r
70 cm
Hoeveel gele stof is nodig om de set van zes zachte kubussen te bekleden? Elke kubus heeft een ribbe van 12,7 cm.
35
De balk is in cavalièreperspectief getekend. Bepaal de oppervlakte van de balk.
jk e
xe m
pl
34
In ki
1
2 3 4 5 6 7
36
Bereken de oppervlakte van de buitenzijde van de bloembak. Denk eraan dat de bloembak open is aan de bovenzijde. De bloembak heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 55 cm en een hoogte van 62 cm.
8 9 10 11 12 13
522
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
REEKS C 37
Bereken de oppervlakte van de ruimtefiguur.
2 cm
aa r
4 cm
1 cm
5 cm 3 cm
pl
Voor het bouwen van een balkvormige kast wordt het onderstaande model in cavalièreperspectief getekend op schaal 1 : 50. Bereken de werkelijke oppervlakte van de kast.
In ki
jk e
xe m
38
39
Om de onderstaande ruimtefiguur te schilderen, wil Bram de volledige oppervlakte kennen. De maatgetallen zijn uitgedrukt in meter. Bepaal de oppervlakte op 0,01 m 2 nauwkeurig. Let wel: Bram moet de onderkant niet schilderen.
0,4 0,5
0,7 0,3 1,2
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
523
13.4 Volume van ruimtefiguren 13.4.1 Inleiding Kenneth moet een flesje van 25 cl uitschenken in een cilindervormig glas. Het glas heeft een grondvlak met een diameter van 7 cm en een hoogte van 15 cm. Kan Kenneth het flesje volledig in het glas gieten? Om die vraag te beantwoorden, moet je de inhoud of het volume (V) van het glas bepalen.
aa r
Net als bij lengte en oppervlakte zijn er eenheden om de inhoud uit te drukken.
13.4.2 Eenheid van volume
Internationaal werd beslist om de kubieke meter (m 3) als hoofdeenheid te kiezen.
pl
Om volumes van vloeistoffen uit te drukken, gebruik je meestal de liter (l).
liter
xe m
1 kubieke meter =
Zowel bij de eenheid kubieke meter als bij de eenheid liter bestaan er onderdelen en veelvouden van de eenheid. Daarmee kun je heel kleine of heel grote volumes uitdrukken. Aan de hand van een tabel kun je volumes omzetten van de ene eenheid naar de andere:
2 3
3
100 dm
3
1 hl
10 dm
3
1 dal
1 dm
3
100 cm
3
1l
1 dl
2
0
a) 2 dm 3 =
cm 3
b) 1,2 m 3 =
l
13.4.3 Inzicht in de inhoudsmaten We vergelijken een aantal inhoudsmaten met een situatie die je kent.
8
1 m3
9
1 dm 3 = 1 l
10
1 dl
de inhoud van een kopje
11
1 cl
de inhoud van een soeplepel
12
1 ml
de inhoud van een klein inktpatroon van een vulpen
13
524
1 cl 0
1 cm
3
1 ml 0
c) 525 dl =
6 7
3
100 mm
3
10 mm
3
Voorbeelden
4 5
10 cm
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1m
1 mm 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
10 m
1 cm 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
100 m
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1 dam
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3
1 dm 3
jk e
10 dam
1 m3
In ki
1
3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
100 dam
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1 dam 3
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
het volume van een kubus met een ribbe van 1 m de inhoud van een karton melk (tetrabrik)
m3
1 mm
3
13.4.4 Volume van ruimtefiguren Woordformule volume ruimtefiguur = oppervlakte grondvlak â´˘ hoogte We passen deze formule toe op een kubus, een balk en een cilinder:
aa r
kubus
V=
z
pl
balk
xe m
h
b
l
In ki
jk e
cilinder
V=
r
h
V=
Samengestelde figuur
Voor bepaalde ruimtefiguren kun je het volume berekenen door ze op te delen in figuren waarvan er een inhoudsformule bestaat.
V=
XL
Volume prisma
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
525
Oefeningen REEKS A
a) Ons huis heeft een volume van 500
d) Het volume van mijn schooltas is 35
b) Het volume van de vaatwasser is 300
e) Een gewone dobbelsteen is 1,7
c) De kleerkast heeft een volume van 1,5
f) Het volume van een luciferdoosje is 26
Vul de correcte inhoudsmaat in. Kies uit l, dl, cl en ml. a) inhoud inktpatroon printer: 40
d) inhoud injectiespuit: 10
b) inhoud regenwaterput: 10 000
e) inhoud blikje frisdrank: 33
Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid. a)
120 dm 3
=
cm 3
f)
845 l
=
cl
b)
0,005 m 3
=
dm 3
g)
25 cl
=
l
c) d)
5 000 dm 3
=
m3
h)
500 ml
=
l
485 cm 3
=
dm 3
i)
50 cl
=
ml
cm 3
j)
2 dl
=
ml
In ki
1
jk e
42
e)
2
f) inhoud emmer water: 1 000
xe m
c) inhoud grote fles frisdrank: 15
R
aa r
41
Vul de correcte inhoudsmaat in. Kies uit m 3, dm 3, cm 3 en mm 3.
pl
40
4 500 mm 3
=
3 4 5 6
R
43
Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid.
a)
2l
=
dm 3
f)
5 dm 3
=
cl
b)
5 000 l
=
m3
g)
0,5 m 3
=
l
c)
25 cl
=
dm 3
h)
5,52 cm 3
=
ml
d)
5 dl
=
dm 3
i)
0,25 dm 3
=
ml
e)
200 ml
=
cm 3
j)
2 cm 3
=
l
7 8 9 10 11 12 13
526
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
44
Bereken het volume van de ruimtefiguur. a)
R
7m
3m
4m
aa r
b)
3m
2m
a) een kubus met een ribbe van 70 cm
In ki
R
Bereken het volume van de ruimtefiguur.
jk e
45
xe m
6m
pl
Bereken het volume op 0,01 m 3 nauwkeurig.
c)
b) een balk met hoogte 4 m, lengte 8 m en breedte 6 m
c) een cilinder met straal van het grondvlak 8 mm en hoogte 14 mm Bepaal het antwoord op 0,01 mm 3 nauwkeurig.
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
527
REEKS B
a) 2 m 3 + 25 dm 3
=
=
dm 3
b) 0,5 dm 3 + 824 mm 3
=
=
mm 3
c) 45 cm 3 + 128 mm 3
=
=
cm 3
d) 250 cl + 3 dl
=
=
cl
e) 0,5 l + 20 cl
=
=
dl
f) 5 cl + 80 ml
=
=
cl
Arne wil 2 m 3 zand vervoeren met een kruiwagen met een inhoud van 80 liter. Hoeveel keer zal hij de kruiwagen moeten volscheppen vooraleer al het zand ter plaatse is?
Antwoordzin:
In ki
1
Een kubusvormig zitkussen heeft een zijde van 50 cm. Bereken het volume van de vulling van het zitkussen.
jk e
48
xe m
pl
47
Bereken de som.
aa r
46
2 3
Antwoordzin:
4 5 6 7
49
Een studentencontainer heeft een lengte van 9 m, een breedte van 3 m en een hoogte van 3 m. Bereken het volume van de studentencontainer.
8 9 10 11
Antwoordzin:
12 13
528
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
50
Een zuurstoftank voor het opslaan van vloeibare zuurstof heeft een diameter van 1,50 m en een hoogte van 4,20 m. Bereken het volume van de opslagtank op 0,001 m 3 nauwkeurig.
51
aa r
Antwoordzin:
Hoeveel liter water kunnen de afgebeelde vazen maximaal bevatten? Bepaal het antwoord op 0,001 l nauwkeurig. 10 cm x 7,5 cm x 20 cm
xe m
pl
a)
h 35 cm
J 15 cm
In ki
c)
11 cm
jk e
b)
52
Op de speelplaats van 20 m breed en 60 m lang staat na een stortbui anderhalve centimeter water. Hoeveel liter water is dat?
Antwoordzin:
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
529
53
Een balkvormige bak is 5 dm hoog en heeft een grondvlak van 2 m bij 40 cm. Hoeveel liter kan die bak maximaal bevatten?
Antwoordzin:
54
Een kubus heeft een ribbe van 10 cm. Verdubbel de afmeting van de ribbe. Bereken hoeveel keer de inhoud groter wordt.
Een zwembad is 15 m lang en 9 m breed. De gemiddelde diepte van het zwembad is 2 m. Het zwembad is volledig gevuld met water. Said pompt het zwembad leeg met een pomp (debiet: 9 m 3/h). Hoelang zal het duren tot hij al het water heeft weggepompt?
xe m
55
pl
aa r
Schets:
â&#x20AC;˘ Schatten van de tijd:
56
36 % van het totale volume van het cilindervormige aquarium is gevuld met water. Hoeveel liter water bevat het aquarium? Bepaal het antwoord op 0,1 l nauwkeurig.
In ki
1
jk e
â&#x20AC;˘ Berekening:
2 3
1,80 m
4 5
0,80 m
6 7 8 9
57
Schat het volume van de volgende lichamen. Gebruik daarvoor de inhoudsformules. a) het klaslokaal
=
b) een badkuip
=
c) een olievat
=
10 11 12 13
530
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
58
Uit een balk worden vier kubusjes met een zijde van 2 cm gesneden. Bereken het volume van de ruimtefiguur die zo ontstaat.
6 cm
24 cm
59
Hoeveel liter water kan deze vaas maximaal bevatten? Bepaal het antwoord op 0,1 l nauwkeurig.
pl
6 cm
aa r
10 cm
xe m
15 cm
18 cm
10 cm
jk e
10 cm
REEKS C
Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid.
In ki
60
61
a)
5 dam 3
=
m3
d)
0,5 m 3
=
dam 3
b)
256 m 3
=
dam 3
e)
0,046 dam 3
=
dm 3
c)
1 458 dm 3
=
dam 3
f)
0,2 dam 3
=
m3
Plaats de inhoudsmaten in de gevraagde eenheid. a)
0,25 hl
=
l
d)
0,245 hl
=
cl
b)
4 500 ml
=
dal
e)
0,098 dal
=
dl
c)
12 dal
=
hl
f)
45,7 dl
=
hl
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
531
Een aquarium is in cavalièreperspectief getekend op schaal 1 : 12. Hoeveel liter water kan het aquarium bevatten? Bepaal het antwoord op 0,01 l nauwkeurig.
63
De massadichtheid van hout bedraagt 950 kg/m 3. Hoeveel weegt een houten plank van 12 cm × 1,5 cm × 400 cm?
64
Vul de tabel met gegevens over balken in.
a)
4m
b)
18 cm
65
2m
cm
m
0,50 m
volume 48 m 3
m 45 cm
11,34 dm 3
0,25 m
254 l
Bereken de lengte van een cilindervormige watertank die 6 000 l water kan bevatten. De diameter van de tank bedraagt 2 m. Bepaal het antwoord op 1 cm nauwkeurig.
In ki
1
hoogte
jk e
c)
breedte
xe m
lengte
pl
aa r
62
2 3
66
4 5
Met een boor van J 15 mm boort Silke een gat door een houten balkje. De massadichtheid van hout bedraagt 950 kg/m 3. Hoeveel weegt het balkje na het boren van het gaatje? Bepaal het antwoord op 1 g nauwkeurig.
6 7 8
3,5 cm
9 10 11
1,5 cm 12
5 cm
13
532
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
STUDIEWIJZER Ruimtefiguren voor de leerling
13.1 Ruimtefiguren of lichamen KENNEN
voor de leerkracht
−
+ −
+
−
+ −
+
Benamingen van de onderdelen van een ruimtefiguur.
KUNNEN
aa r
Soorten ruimtefiguren herkennen. Vlakke figuren herkennen in de zijvlakken van een ruimtefiguur. Vlakke figuren herkennen in de diagonaalvlakken van een kubus en een balk. Vlakke figuren herkennen in de vlakke doorsnede van een ruimtefiguur.
13.2 Ontwikkeling van ruimtefiguren KUNNEN
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
−
+ −
+
13.3 Oppervlakte van ruimtefiguren
xe m
KENNEN
pl
In een gegeven ontwikkeling die van een kubus en een balk herkennen. Een ontwikkeling van een kubus en een balk tekenen.
Oppervlakte van een kubus met ribbe z: A = 6 ⴢ z2 Oppervlakte van een balk met breedte b, lengte l en hoogte h: A = 2 ⴢ 共l ⴢ b + h ⴢ b + h ⴢ l兲
KUNNEN
jk e
De oppervlakte van een kubus en een balk berekenen.
13.4 Volume van ruimtefiguren
KENNEN
In ki
1 kubieke meter (m 3) = 1 000 liter (l) Volume van een ruimtefiguur waarvan grond- en bovenvlak eenzelfde vlakke figuur voorstellen: V = oppervlakte grondvlak ⴢ hoogte Volume van een kubus met ribbe z : V = z3 Volume van een balk met breedte b, lengte l en hoogte h: V=lⴢbⴢh Volume van een cilinder met hoogte h en straal r van het grondvlak: V = ⴢ r2 ⴢ h
KUNNEN 3
3
3
3
Vlot werken met de inhoudsmaten: mm , cm , dm , m , ml, cl, dl en l. Vlot werken met de inhoudsmaten: dam 3, dal en hl. Het volume van een kubus, een balk en een cilinder berekenen. Volume van ruimtefiguren schatten.
Pienter Rekenen
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
533
Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal
filter
schets
patroon
schema/tabel
kennis
vereenvoudig
logisch nadenken
gok g verstandig g
...
xe m
pl
aa r
g van een balk n ontwikkelin ee dt or w on rt ngte van 5 cm thoekig stuk ka 3 cm en een le n va e dt ee br 1. Uit een rech n e van 8 cm, ee met een hoogt karton thoekige stuk ch re . et h en n ed va sn n ge etinge minimumafm den? a) Wat zijn de maakt kan wor ge g lin ke ik tw on waaruit de t stuk karton? erschot van da ov et h n va e tale oppervlakt b) Wat is de to
3. Een reisbure au organiseert een busreis voor 600 euro per persoon. Een vereniging schrijft zich m et 40 mensen in, op voorwaarde da t er geen buitenstaande rs in de bus ko men. Er kunnen ech ter 52 mensen in de bus. Bij het reisbure au komt men op het volgende idee : de vereniging wordt aangeboden da t elke extra pa ssagier voor iedereen een ko rting van 10 eu ro per persoon beteke nt.
In ki
1
jk e
2. Een balk va n 5 x 6 x 7 cm is opgebouwd uit blokjes van 1 x 1 x 1 cm. Alle zijvlakken van de balk w orden geverfd. Hoeveel blokje s zijn gedeelte lijk geverfd?
2 3 4 5 6 7 8
Bij welk aanta l extra passag iers is dat aanbod voor h et reisbureau het gunstigst?
9 10 11 12 13
534
HOOFDSTUK 13 I RUIMTEFIGUREN
de.
4. Kraak de co 2
8
6
rrect, maar Eén cijfer is co e. rkeerde positi staat op de ve
4
1
6
rrect en Eén cijfer is co te positie. staat op de juis
2
0
6
7
3
8
8
7
0
r jn correct, maa Twee cijfers zi e. rkeerde positi staan op de ve t.
Niets is correc
rrect, maar Eén cijfer is co e. rkeerde positi staat op de ve
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
PIENTER PROBLEMEN OPLOSSEN
Als je een probleem ‘pienter’ wilt oplossen, moet je dat probleem doordacht aanpakken. Werk in vier stappen:
Oriënteren
Formuleer het probleem in je eigen woorden.
2
Voorbereiden
Kies een manier om het probleem op te lossen (heuristiek).
3
Uitvoeren
4
Reflecteren
aa r
1
jk e
xe m
pl
Voer je gekozen heuristiek uit.
Controleer of je het probleem goed hebt aangepakt.
In ki
Heuristieken zijn manieren om problemen op te lossen. Het zijn algemeen bruikbare strategieën die de kans dat je een oplossing vindt, vergroten.
Enkele heuristieken: 1
Gebruik concreet materiaal.
2 Maak een schets. 3 Maak een schema/tabel. 4 Probeer met eenvoudige getallen. 5 Gok en probeer verstandig. 6 Filter de gegevens: scheid de noodzakelijke van de overbodige gegevens. 7 Zoek een patroon. 8 Gebruik je eerder opgedane kennis. 9 Denk logisch na.
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
PIENTER REKENEN
Overzicht Pienter Rekenen bestandsnaam
opmerkingen
1.
Ronde getallen
❑
2.
Hoofdrekenen
❑
3.
Rekenen met breuken
❑
4.
Procentberekening
❑
5.
Hoofdrekenen (optelling)
❑
6.
Tips bij het optellen van getallen
❑
7.
Hoofdrekenen (aftrekking)
❑
8.
Schaal
❑
9.
Hoofdrekenen (vermenigvuldiging)
❑
10. Ordenen
❑
11. Hoofdrekenen (deling)
❑
12. Slim ordenen van breuken
niet voor hoofdstuk 5
❑
13. Vermenigvuldigen
niet voor hoofdstuk 5
❑
14. Hoofdrekenen (vermenigvuldiging)
niet voor hoofdstuk 5
❑
pl
xe m
15. Delen
niet voor hoofdstuk 5
16. Hoofdrekenen (deling)
niet voor hoofdstuk 5
17. Delen met kommagetallen
niet voor hoofdstuk 5
In ki
❑
niet voor hoofdstuk 2
jk e
❑
aa r
❑
❑
18. Schaal
niet voor hoofdstuk 4
❑
19. Rekenen met negatieve getallen
niet voor hoofdstuk 8
❑
20. Hoofdrekenen (negatieve getallen)
niet voor hoofdstuk 8
❑
21. Bereken de ontbrekende term
het best net voor hoofdstuk 12
❑
22. Bereken de ontbrekende factor
het best net voor hoofdstuk 12
❑
23. Vermenigvuldigen met kommagetallen
niet voor hoofdstuk 5
❑
24. Omtrek en oppervlakte
niet voor hoofdstuk 11
❑
25. Oplossen van vergelijkingen
niet voor hoofdstuk 12
❑
26. Hoofdrekenen: megamix
niet voor hoofdstuk 10
R
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
PIENTER REMEDIÃ&#x2039;REN
R
Overzicht van alle remediĂŤringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
33
38
18
13
24
9
23
3
11
6
7
25
34
55
19
14
31
4
22
7
8
26
34
19
33
18
23
19
9
31
36
21
47
19
32
20
10
42
37
25
56
38
33
34
11
43
40
32
66
43
37
44
aa r
2
44
45
12
44
71
45
63
14
45
52
86
46
64
15
58
102
56
67
24
57
68
25
73
70
26
66
xe m
83 98
75
29
105
81
43
107
90
48
125
99
135
103
jk e In ki
45
pl
1
138
107
139
117 131
ICT
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
PIENTER COMPUTEREN
Overzicht Pienter Computeren
ICT
bestandsnaam
hoofdstuk
pagina
soort
1.4 Een digitaal rekenblad
1
20
Excel
❑
2.2 Coördinaten in een assenstelsel
2
51
GeoGebra
❑
4.2 Een hoek tekenen
4
128
GeoGebra
❑
6.3 Een projectietekening maken
6
234
Presentatie
❑
7.1 Gegevens voorstellen
❑
9.2 De bissectrice van een hoek tekenen
❑
9.3 Een evenwijdige rechte tekenen
❑
9.3 Een loodlijn tekenen
❑
9.3 De middelloodlijn van een lijnstuk tekenen
❑
aa r
❑
243
Excel
9
317
GeoGebra
9
320
GeoGebra
9
320
GeoGebra
9
321
GeoGebra
9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen: eigenschap 1
9
325
GeoGebra
❑
9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen: eigenschap 2
9
325
GeoGebra
❑
9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen: eigenschap 3
9
326
GeoGebra
❑
9.3 Evenwijdige rechten en loodlijnen: eigenschap 4
9
326
GeoGebra
❑
9.4 Afstand tussen twee punten
9
329
GeoGebra
9.4 Afstand tussen een punt en een rechte
329
GeoGebra
9.4 Afstand tussen twee evenwijdige rechten
9
330
GeoGebra
jk e
xe m
pl
7
9
❑
11.2 Tekenen van driehoeken
11
419
GeoGebra
❑
11.2 Middelloodlijnen van een driehoek
11
426
GeoGebra
❑
11.2 Hoogtelijnen van een driehoek
11
426
GeoGebra
❑
11.2 Deellijnen van een driehoek
11
427
GeoGebra
❑
11.2 Zwaartelijnen van een driehoek
11
427
GeoGebra
❑
11.2 Rechte van Euler
11
430
GeoGebra
❑
11.3 Tekenen van vierhoeken
11
440
GeoGebra
❑
In ki
❑
XL
In ki
jk e
xe m
pl
aa r
EXTRA LEERSTOF
XL
Overzicht Extra Leerstof bestandsnaam
hoofdstuk
pagina
Soorten talstelsels
1
13
❑
Driehoeken tekenen
11
425
❑
Coördinaten en oppervlakte
11
463
❑
Ontwikkeling cilinder
13
513
❑
Ontwikkeling prisma
❑
Oppervlakte van een cilinder
❑
Oppervlakte van een prisma
❑
Volume prisma
aa r
❑
513
13
520
13
520
13
525
In ki
jk e
xe m
pl
13