Dynamic modeling of reservoirs operation
modelación dinámica en la operación de
RESUMEN
La gestión del agua en presas de almacenamiento es un ejercicio que demanda tomar en cuenta diversos escenarios, tanto climáticos –escurrimiento, temperatura, evaporación– como de demandas, a fin de que el administrador del sistema tome decisiones oportunamente y de la mejor manera posible. Debido al carácter no lineal de aportaciones y demandas, esto usualmente requiere de simuladores precisos y de fácil manejo. Las técnicas de simulación dinámica son una herramienta especialmente apropiada para este propósito, además de que permiten estudiar el efecto de las diversas decisiones propuestas. En este texto se presenta un modelo de simulación dinámica para presas y se aplica como caso de estudio a la presa La Boquilla, Chihuahua. Se expone la calibración del modelo y se ejemplifica su uso con escenarios de cambios en demanda, ingresos y evaporación.
PALABRAS CLAVE:
Modelación dinámica · Operación de embalses · Simulador operación de embalses
ABSTRACT
Water management in storage dams is an exercise that requires taking into account several scenarios, both over climate, runoff, temperature, evaporation; as well as over demands, in order that the administrator of the system makes timely decisions and in the best possible way. Due to the non-linear nature of contributions and demands, this usually requires precise and easy-touse simulators. Dynamic simulation techniques are a particularly appropriate tool for this purpose in order to study the effect of the different proposed decisions. In this text, a dynamic simulation model for dams is presented, and the La Boquilla, Chihuahua dam is applied as a case study. The calibration of the model is exposed and its use exemplified with scenarios of changes in demand, water income and evaporation.
KEY WORDS:
Dynamic modeling · Operation of reservoirs · Dam operation simulator
Martínez-Austria P. F. y Alcocer-Yamanaka V. H. Entorno udlap, núm. 10, 16-27, Enero 2020
Martínez-Austria P. F. y Alcocer-Yamanaka V. H. (2019).Modelación dinámica en la operación de embalses. Entorno UDLAP, 10
de 2019
Por: Polioptro F. Martínez-Austria · Víctor Hugo Alcocer-Yamanaka
gestión del agua en embalses
1. Almacenar los escurrimientos de los ríos
principal función problema
2. Distribuir de manera regulada entre los diversos usos del agua
Gestión del agua en embalses
Las variaciones climáticas naturales introducen una gran incertidumbre en la gestión de embalses, cuya función principal es –justamente– almacenar los escurrimientos de los ríos para distribuirlos de manera regulada entre los diversos usos del agua asociados a esa infraestructura hidráulica.
A la variación en el escurrimiento, producido por la precipitación aguas arriba, se suman las condiciones de precipitación y evaporación desde el embalse, que son función de la precipitación y la temperatura, pero también del volumen del agua en el embalse, que es uno de los factores en la toma de decisiones y del cual depende el nivel de la superficie libre del embalse.
LA ECUACIÓN
GENERAL QUE SE EMPLEA PARA EL FUNCIONAMIENTO DE EMBALSES ES LA DE CONSERVACIÓN DE LA MASA.
Un problema típico de los administradores del agua es determinar la cantidad de agua que será programada para extraer del embalse durante el siguiente año, lo que supone considerar diversos escenarios de variación del almacenamiento en función de la disponibilidad, las demandas y las salidas naturales de agua del vaso. Los administradores del embalse requieren, por lo tanto, de herramientas prácticas, y de sencilla operación, que les permitan analizar diferentes soluciones y escenarios de manera ex-
Determinar la cantidad de agua que será programada para extraer del embalse durante el siguiente año.
pedita, y hacer cambios si fuera necesario. Estas herramientas, sin embargo, deben ser suficientemente exactas, de tal modo que se minimicen las desviaciones entre las decisiones de operación y sus resultados.
Los enfoques adoptados para gestionar los recursos hídricos de embalses han sido –históricamente– muy diversos: simulación, técnicas de optimización, métodos probabilísticos, o la aplicación de «reglas de operación» que están basadas en condiciones típicas, promedio o de años extremos, registradas en el pasado (McCartney, 2007; Ortega-Gaucin, 2012).
La simulación dinámica puede proveer la metodología apropiada para construir modelos ad hoc de los embalses, suficientemente flexibles, precisos y de sencilla operación que permita analizar de forma rápida diversos escenarios y soporten la toma de decisiones.
La ecuación general que se emplea para el funcionamiento de embalses es la de conservación de la masa, conocida también como ecuación de continuidad. Para un cierto intervalo de tiempo, el almacenamiento de agua en el embalse será simplemente:
(1) dV I(t)-O(t) = dt
Que expresa el cambio de volumen almacenado (V) en el embalse en el tiempo t, siendo I(t) las entradas al embalse y O(t) las salidas, ambas función del tiempo.
Esta ecuación, aparentemente sencilla, no es de fácil solución debido a que –usualmente– las entradas y salidas son series de tiempo no lineales complejas, por lo que la ecuación no es integrable directamente. Por esta razón, la ecuación 1 se resuelve para intervalos de tiempo conocidos, Δt, y se puede escribir sencillamente:
(2) Vi+1 V +I -O =
Donde Vi+1 es el volumen almacenado en el embalse en el tiempo i+1, V el volumen almacenado en el tiempo anterior i, e I , o las entradas y salidas en el intervalo de tiempo entre i+1 e i, separados Δt. Para resolver la ecuación 2 es necesario conocer el volumen almacenado en el embalse al inicio de la simulación, las entradas y salidas de agua en el intervalo de tiempo en que se desea hacer la simulación de diversos escenarios de operación. El problema usualmente reside en el cálculo de las variables involucradas en los ingresos y salidas del embalse, así como la variación del almacenamiento en el tiempo, siendo estas últimas la variable de decisión del operador del embalse. Es necesario también conocer la topología del embalse, de manera que a cada ingreso le corresponde una elevación en el embalse y una superficie expuesta.
Los ingresos I(t) más importantes suelen ser los provenientes de la cuenca del almacenamiento, además de las transferencias de otros vasos de almacenamiento y de la precipitación que ocurre directamente en el embalse. Respecto de los ingresos por cuenca propia, éstos se obtienen de registros hidrométricos aguas arriba del vaso de almacenamiento.
De no existir estos datos, será necesario contar al menos con información de la precipitación en la cuenca aguas arriba, y mediante modelos lluvia-escurrimiento, deducir los caudales que entrarán al vaso de almacenamiento. Este procedimiento, desde luego, introduce las incertidumbres propias de la información meteorológica, de los tipos y usos del suelo, vegetación
LA SIMULACIÓN DINÁMICA PUEDE
PROVEER LA METODOLOGÍA
APROPIADA PARA CONSTRUIR
MODELOS AD HOC DE LOS EMBALSES, SUFICIENTEMENTE
FLEXIBLES, PRECISOS.
y otras variables que afectan el escurrimiento, así como las inherentes al método de cálculo de la relación lluvia-escurrimiento. Lo más conveniente es, por lo tanto, contar con datos hidrométricos.
Los ingresos, por otra parte, cambian en el tiempo por variabilidad climática natural o, cada vez con mayor frecuencia, por los efectos del cambio climático.
Para el caso de simulaciones a futuro, los ingresos se estiman con base en los parámetros estadísticos de los registros históricos. Se puede simular un registro histórico o, más comúnmente, se simulan condiciones normales (medias) o extremas (años con sequía o con precipitaciones intensas).
En el caso de considerar cambio climático, se tendrán que realizar estimaciones de la disminución esperada de los caudales. Esto puede lograrse con técnicas de downscaling de los modelos globales de circulación océanoatmósfera acoplados a la superficie de la cuenca en estudio, sumadas a modelos de lluviaescurrimiento que permitan calcular, dada una disminución en la lluvia, cuál será la disminución en escurrimiento. Para el análisis a largo plazo de los efectos del cambio climático no se requiere (y usualmente no es posible contar con la información suficiente) de cálculos más precisos. Así, se analizan escenarios probables, por ejemplo, disminuciones en el escurrimiento anual de 5, 10 o 20%, que son valores típicos esperados en cuencas de México (Martínez-Austria y Patiño-Gómez, 2010).
Martínez-Austria P. F. y Alcocer-Yamanaka V. H. Entorno udlap, núm. 10, 16-27,
Datos de precipitación
Las salidas de agua del almacenamiento, por su parte, son usualmente de los siguientes tipos:
SALIDAS NATURALES
Evaporación de agua del vaso de almacenamiento
Pérdidas por infiltración al interior del vaso de almacenamiento
Descarga de excedentes, usualmente por la obra de excedencias y a veces también por el desagüe de fondo
Las salidas por evaporación, como las entradas por precipitación, dependen de la superficie expuesta del almacenamiento, lo que a su vez es función del volumen almacenado y de la geometría del vaso, que se expresa en las curvas elevación-volumen-superficie.
SALIDAS NO NATURALES
Demanda de agua para fines de riego
Demanda de agua para uso municipal
Superficie del vaso
Evaporación
Demanda de agua para uso industrial
Descargas para mantener un caudal ecológico
Descargas para cumplir con demandas/ usuarios aguas abajo (compromisos y concesiones aguas abajo)
Los volúmenes demandados se obtienen de información histórica en la presa, si ya ha sido construida, o de los usos previstos, si se encuentra en etapa de proyecto o se hace una simulación de escenarios futuros.
Modelación dinámica de embalses
Los sistemas complejos, como un embalse en operación, están sujetos a una elevada incertidumbre, por lo que una de las técnicas más empleadas para su modelación son los simuladores dinámicos, que permiten estudiar y prever el comportamiento del sistema bajo diversos escenarios (Simonovic, 2009). Existen varios programas diseñados específicamente para la simulación de sistemas dinámicos. En este trabajo se empleará Vensim, que es uno de los de más amplio uso en la modelación de sistemas complejos en general y en recursos hídricos en particular (Goncalves y Giorgetti, 2013; Abadi-Khalegh, Shamsai y Goharnejad, 2015).
Inflamación en vaso
Demandas totales
Elevación en vaso
Almacenamiento en vaso
Lluvia en el vaso
Hidrograma de ingreso
Transferencias
Dado un almacenamiento inicial en el vaso, las variables se determinan o calculan de la siguiente manera: TRANSFERENCIAS
HIDROGRAMA
DE INGRESO
(en m por intervalo de tiempo).
Es un dato, tomado de la estación hidrométrica ubicada aguas arriba. En Vensim se ingresan directamente los datos, o bien pueden leerse desde una tabla de Excel.
(en m3 por intervalo de tiempo).
Volúmenes que le son transferidos directamente a la presa, de otros vasos u origen diferente al escurrimiento natural, y que no se han registrado en el hidrograma de entrada.
DATOS DE PRECIPITACIÓN
(lámina en m).
Datos de la estación meteorológica más cercana, y que serán utilizados para estimar la lluvia en el embalse. Si no existe una cercana deberá hacerse un cálculo hidrológico. En el modelo en Vensim se ingresan directamente los datos, o desde una tabla de Excel.
Es función de la precipitación que se da usualmente en lámina de lluvia, ésta se multiplica por la superficie del vaso y se obtiene la lluvia que ingresa directamente al vaso (m³, por intervalo de tiempo). Esta variable puede ser importante en vasos con superficies de almacenamientos grandes.
EN EL VASO (M)
(en m por intervalo de tiempo).
Dato inicial y calculado: dado un volumen de almacenamiento, se calcula la superficie del vaso, haciendo uso de las curvas elevación-volumensuperficie mediante el modelo de simulación. Las curvas elevación-volumen-superficie son específicas y conocidas para un embalse determinado. En el modelo en Vensim se ingresan las ecuaciones de las curvas elevación-volumen-superficie, o bien los datos en una tabla de Excel, en cuyo caso el programa realiza los cálculos de interpolación necesarios.
En cuanto a las salidas, éstas se pueden introducir al modelo de las siguientes maneras:
Volúmenes comprometidos
Salidas aguas abajo
Las demandas para diferentes usos del agua asociados a la presa se introducen como datos, ya sean datos históricos o los estimados para diferentes escenarios de operación.
SALIDAS POR EVAPORACIÓN
Derrames
Caudal ecológico
Se estiman a partir de los datos de evaporación de la estación meteorológica más cercana. La lámina de evaporación se multiplica por la superficie expuesta del embalse. Debido a la muy diferente superficie expuesta de un evaporímetro y la del embalse, los datos del primero se deben corregir para grandes superficies, mediante un coeficiente menor a 1.0, y que puede obtenerse del proceso de calibración del modelo. Los coeficientes de corrección se denominan usualmente «coeficientes de tanque».
Martínez-Austria P. F. y Alcocer-Yamanaka V. H.
Datos evaporación
Figura 1. Representación de un modelo en Vensim para simulación de un embalse.
ELEVACIÓN
LLUVIA EN VASO
DEMANDAS
Ingresos totales al vaso
Caso de estudio: modelo de la presa La Boquilla
Para validar la aplicación de los modelos de simulación dinámica se eligió como caso de estudio la presa La Boquilla, conocida también como Lago Toronto.
La presa La Boquilla se ubica en el estado de Chihuahua, en la cuenca del río Conchos, uno de los afluentes principales del río Bravo. Tiene una capacidad total de 2,903 hm³, con una capacidad útil de 2,790 hm³ y abastece, junto con la presa Francisco I. Madero al distrito de riego 005, Delicias. La superficie del vaso alcanza las 17,500 ha, por lo que la precipitación y evaporación tienen efectos importantes en el balance del embalse, como se verá más adelante en la calibración del modelo. La presa cuenta con un vertedor de demasías de cresta libre, con longitud de cresta de 720 m y ubicado en la elevación 1,317 msnm.
El clima en la cuenca de aportación, de 21,000 km², es semiárido, con una gran variabilidad sujeta a precipitaciones intensas, y en otras ocasiones a sequías de diferente duración. Los principales datos del modelo son el hidrograma de ingreso, las demandas y los datos de precipitación y evaporación, tomados de la estación meteorológica cercana. El modelo, dado un almacenamiento inicial, determina la elevación en el vaso (con los datos medidos de la curva elevación-capacidades) y a partir de ésta, se pueden estimar las pérdidas por evaporación, y el volumen de ingreso debido a la precipitación sobre el embalse. El factor evaporímetro, o coeficiente de tanque, se utiliza para corregir los datos del evaporímetro, medidos en una pequeña superficie, para el caso de grandes embalses. Su magnitud es menor a 1.0, si bien en la literatura se recomienda usar valores promedio de entre 0.6 y 0.8 (Molina Martínez et al.,
Datos evaporación
Evaporación
Datos de precipitación
Lluvia en el vaso
Inflamación en vaso
Superficie del vaso
Elevación en vaso
Ingresos totales al vaso
Hidrograma de ingreso
Transferencias
Almacenamiento en vaso
Demandas totales
Volúmenes comprometidos
Salidas aguas abajo
2005). Una de las ventajas de la simulación dinámica es que es posible calibrar un valor exacto y específico para el embalse en estudio. En el modelo, excepto la variable Almacenamiento en el vaso, que es una variable del tipo Level en Vensim, el resto de las variables son auxiliares. La información de ingreso al modelo se introduce desde tablas Excel, empleando la función get xls data Las curvas elevaciones-capacidades-superficie se pueden introducir de la misma forma (desde tablas Excel con información de la batimetría del vaso) o como ecuaciones. En este caso se ha preferido introducir directamente los datos de batimetría, para evitar errores de ajuste.
Un aspecto muy importante en la operación del modelo es el intervalo de tiempo usado en los cálculos. Se recomienda que este sea diario (Δt = 1 día), al menos en la etapa de calibración. Para simulaciones de largo plazo, por ejemplo varios años para estudiar los efectos del cambio climático, se puede usar un periodo de análisis mensual.
Calibración del modelo
Antes de su empleo en el análisis de escenarios y en la toma de decisiones, el modelo debe ser calibrado. En este caso, el modelo dinámico de la presa La Boquilla se calibró con información del año 2000. Los datos del volumen de ingreso y demandas diarias fueron tomados de la información proporcionada por la Comisión Nacional del Agua, mientras que los datos de evaporación y precipitación fueron tomados de la estación meteorológica ubicada en el sitio (estación 8085 La Boquilla).
Para comparar los resultados del modelo con la información real del embalse, se usaron datos de la Comisión Nacional del Agua del almacenamiento diario medido en la presa en ese año.
En la figura 3 se muestran los datos de precipitación y evaporación tomadas de la estación meteorológica cercana, y en la figura 4 el hidrograma de ingreso, en hectómetros cúbicos.
Los cálculos del modelo para los ingresos producidos por lluvia en el embalse y evapo-
LOS PRINCIPALES DATOS DEL MODELO SON EL HIDROGRAMA DE INGRESO, LAS DEMANDAS Y LOS DATOS DE PRECIPITACIÓN Y EVAPORACIÓN, TOMADOS DE LA ESTACIÓN METEOROLÓGICA CERCANA.
Derrames
Caudal ecológico
Martínez-Austria P. F. y Alcocer-Yamanaka V. H.
Figura 2. Modelo dinámico de la presa La Boquilla, elaborado en la plataforma Vensim.
Figura 3. Evaporación y precipitación, medidas en la estación meteorológica 8085 La Boquilla.
ración en el embalse se muestran en la figura
5. Estas cantidades no son despreciables pues suman 10.4040 y 77.0162 hectómetros cúbicos anuales, respectivamente. Estos valores son función de la superficie expuesta que depende en parte de las decisiones de operación tomadas.
Finalmente, el criterio de calibración del modelo es la correspondencia entre el volumen observado almacenado en la presa y el calculado con el modelo, como se muestra en la figura
6. Como puede observase, la correspondencia entre ambos es muy buena, el error absoluto promedio obtenido es de 1.1%, que se puede considerar satisfactorio.
Es de notar que el modelo es sensible al valor del coeficiente de evaporación empleado para extender los datos del evaporímetro a la superficie total del examen, para lo cual se usa el llamado «coeficiente de tanque (Ct)». De esta manera, la evaporación en el embalse será: (3) E e e S C t =
Donde e e es la evaporación medida en el evaporímetro, S la superficie del agua en el embalse y E la evaporación total en el embalse. En esta calibración, como se muestra en resumen en la tabla 1, el valor del coeficiente con el que se obtienen los mejores resultados es de 0.52.
OBSERVADO
CALCULADO coef evap 0.52
Tiempo (Días)
Almacenamiento en vaso
Tiempo (Días)
EL VOLUMEN ALMACENADO EN EL TRANSCURSO DEL AÑO Y EL ALMACENAMIENTO FINAL CAMBIARÁN, AFECTANDO EN DIFERENTE PROPORCIÓN EL AGUA DISPONIBLE PARA EL SIGUIENTE CICLO AGRÍCOLA.
Martínez-Austria P. F. y Alcocer-Yamanaka V. H. Entorno udlap, núm. 10, 16-27, Enero 2020
Figura 4. Hidrograma de ingreso. Días
Lluvia en vaso Evaporación en el vaso
Figura 5. Precipitación y evaporación totales en el vaso.
Figura 7. Análisis de sensibilidad del modelo respecto del coeficiente C , con una variación entre 0.4 y 0.7.
Figura 6. Resultados de calibración del modelo. Volumen almacenado en el vaso.
Tabla 1. Análisis de error de calibración para diferentes coeficientes de corrección de datos de evaporímetro.
a
Figura 8. Almacenamiento final versus inicial, obtenido con los datos meteorológicos, hidrométricos y de usos del agua del año 2000. Se muestran resultados para dos coeficientes de tanque, 0.4 ( ) y 0,6 ( ); así como el porcentaje de almacenamiento final (eje derecho), con un coeficiente de tanque de 0.6 ( ).
Para analizar la sensibilidad del modelo a cambios en el coeficiente de tanque Ct se puede hacer un análisis de sensibilidad en Vensim, utilizando la técnica de simulación de Montecarlo. En la figura 7 se muestra el resultado del análisis de sensibilidad para una variación de Ct entre 0.4 y 0.7, utilizando la técnica de Montecarlo con distribución de probabilidad uniforme. Como puede observarse, el error, a pesar de que el intervalo de análisis es amplio, no es significativo al final del periodo de análisis.
Aplicación a diversos escenarios de operación
Una vez calibrado el modelo, puede emplearse con confianza para el análisis de escenarios futuros y el apoyo a la toma de decisiones.
·Escenarios con diferente almacenamiento inicial Como ejemplo de aplicación considérese en primer término la situación en que los usos del agua no cambiarían en el año analizado, sin embargo, el almacenamiento inicial fuera diferente. En la figura 8 se muestra la relación entre el volumen inicial y el final, para las condiciones citadas. Se muestran las gráficas con dos coeficientes de tanque, de 0.4 y 0.6. Para almacenamientos iniciales reducidos, al haber menos superficie expuesta a la evaporación, los resultados son prácticamente iguales. Cuando el almacenamiento inicial es mayor, las pérdidas por evaporación se incrementan y, por tanto, las relaciones almacenamiento inicial vs. almacenamiento final divergen.
En el eje vertical izquierdo se puede ver el efecto del almacenamiento inicial sobre el final, en porcentaje de llenado del embalse, si se mantienen las mismas condiciones hidrometeorológicas y demanda del caso de estudio.
· Escenarios de cambios en demanda e ingresos
Considérense diversos escenarios en los que, con las mismas condiciones naturales en el
Figura 10. Cambios en el almacenamiento final ocasionados por diversos incrementos porcentuales en la demanda o con disminuciones porcentuales en los ingresos al almacenamiento.
P. F.
año analizado y volumen inicial, se decide incrementar la salida de agua de la presa. El volumen almacenado en el transcurso del año y el almacenamiento final cambiarán, afectando en diferente proporción el agua disponible para el siguiente ciclo agrícola.
En la figura 9 se muestran los resultados del almacenamiento en la presa considerando diferentes incrementos porcentuales en la demanda. En la figura 10 se muestra la variación del almacenamiento final con los incrementos propuestos en la demanda de agua al almacenamiento y con decrementos porcentuales de los volúmenes de ingreso al almacenamiento. Como puede observarse, los cambios en la oferta de agua y en la demanda, fundamentalmente por cambios en la superficie cultivada, producen modificaciones de diferente magnitud en el volumen almacenado final que, en todos los casos, para el año analizado, son mucho menores que la disponibilidad inicial. Dependiendo del almacenamiento objetivo al final del año, el tomador de decisiones puede, con el modelo de simulación, determinar el volumen que puede asignarse a los diferentes usos, con varios escenarios de ingreso, sea que se prevea un año normal, seco o húmedo.
CONCLUSIONES
La modelación dinámica es una herramienta poderosa en la simulación del funcionamiento de sistemas hídricos y, en particular, para la construcción de un instrumento de toma de decisiones, es un instrumento versátil y de sencilla aplicación, que permitiría a los operadores de embalses el análisis de escenarios y la simulación de las consecuencias de diferentes decisiones de operación. Es importante la calibración de los modelos de simulación, previo a su uso. La aplicación de la técnica de modelación dinámica se ha ilustrado con el caso de la presa La Boquilla, Chihuahua, empleando datos reales para la calibración del modelo, y ejemplificando las capacidades de análisis con diversos escenarios de gestión del almacenamiento.
Polioptro F. Martínez-Austria
Doctor en Ingeniería por la Universidad Nacional Autónoma de México. Autor de 192 publicaciones académicas, entre artículos científicos, libros y capítulos de libros. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores desde 1994. Actualmente es profesor de la udlap y director de la Cátedra unesco-udlap en Riesgos Hidrometeorologícos. Ha recibido diversos reconocimientos nacionales e internacionales. polioptro.martinez@udlap.mx
Víctor Hugo Alcocer-Yamanaka
Ingeniero civil con estudios de maestría y doctorado en Ingeniería Hidráulica por la Universidad Nacional Autónoma de México. Profesor y director de tesis de maestría y doctorado en la unam desde hace 20 años. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores desde el año 2007, y perito en hidráulica acreditado por el Colegio de Ingenieros Civiles de México. Ganador de los premios nacionales en ingeniería e hidráulica: Enzo Levi, Miguel A. Urquijo y José A. Cuevas, otorgados por el Colegio de Ingenieros Civiles de México y la Asociación Mexicana de Hidráulica. Actualmente es subdirector general técnico de la Comisión Nacional del Agua, desde el año 2015, siendo responsable principal de la operación y evaluación de las presas en nuestro país, y de la autorización y permisos para construcción de grandes obras de infraestructura hidráulica sobre bienes nacionales. Corresponsable del manejo de acuíferos y ríos en términos de cantidad y calidad del agua, y líder del sistema de información hidrológica nacional. yamanaka@conagua.gob.mx
REFERENCIAS
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•Martínez-Austria, P.F.; Patiño-Gómez, C., editores (2010). Atlas de vulnerabilidad hídrica de México ante el cambio climático. Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. México. isbn 978-607-7563-23-5.
•Molina, J.M., Martínez, V. y Baille, A. (2005). Coeficientes de tanque para proyectos de embalses de regulación de riego. Congreso aeipro Málaga.
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•Simonovic, S. P. (2009). Managing water resources. Methods and tools for a system approach París, Francia: Earthscan and unesco
Martínez-Austria
y Alcocer-Yamanaka V. H. Entorno udlap, núm. 10, 16-27, Enero 2020
Figura 9. Cambios en el almacenamiento en el embalse debidos
diversos incrementos porcentuales en la demanda.