4 SYSTEMATISCHE NATUURKUNDE
Naam
Klas
4 HAVO
4 HAVO
Systematische Natuurkunde
Beste leerling,
Je gaat aan de slag met Systematische Natuurkunde. In de leerboeken van Systematische Natuurkunde vind je alles wat je nodig hebt voor je eindexamen en leer je het belang van natuurkunde voor de maatschappij begrijpen.
We wensen je veel succes en plezier met het vak natuurkunde!
Team Systematische Natuurkunde
COLOFON
Redactie
Lineke Pijnappels
Technische illustraties
Edwin Verbaal
Vormgeving
Studio Michelangela
Opmaak
Crius Group
Over ThiemeMeulenhoff
ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij die zich inzet voor het voortgezet onderwijs en beroepsonderwijs. De mensen van ThiemeMeulenhoff zijn er voor onderwijsprofessionals – met ervaring, expertise en doeltreffende leermiddelen. Ontwikkeld in doorlopende samenwerking met de mensen in het onderwijs om samen het onderwijs nog beter te maken.
We ontwikkelen lesmethodes die goed te combineren zijn met andere leermiddelen, naar eigen inzicht aan te passen en bewezen effectief zijn. En natuurlijk worden al onze lesmethodes zo duurzaam mogelijk geproduceerd.
Zo bouwen we samen met de mensen in het onderwijs aan een mooie toekomst voor de volgende generatie.
Samen leren vernieuwen.
www.thiememeulenhoff.nl
ISBN 978 90 06 99243 4
Editie 11, druk 1, oplage 1, 2025 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2025
Alle rechten voorbehouden. Tekst- en datamining, AI-training en vergelijkbare technologieën niet toegestaan. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
4 HAVO
Systematische Natuurkunde
Auteurs
Matthijs Alderliesten
Iulia Boamfa-Ivan
Maxime Jonker
Arjan Keurentjes
René de Jong
Hein Vink
Eindredactie
Harrie Ottink
Eindredactie digitaal Evert-Jan Nijhof
INHOUD
1.6
1.7
2
2.1
3
3.3
5 WARMTE EN TEMPERATUUR
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
en warmte-uitwisseling
6 GEBRUIK VAN ELEKTRICITEIT
6.1 Spanning en geladen deeltjes
6.2
6.3
6.4
6.5
LEERJAAR 5 HAVO (EDITIE 11)
Hoofdstuk 7 Onderzoeken en ontwerpen
Hoofdstuk 8 Arbeid en energie
Hoofdstuk 9 Trillingen en golven
Hoofdstuk 10 Medische beeldvorming
Hoofdstuk 11 Zonnestelsel en heelal
In je boek vind je
■ Theorie
■ Opgaven
■ Checklist begrippen en leerdoelen
■ Samenvatting
■ Eindopgaven
Ga
CHECKLIST BEGRIPPEN
Online vind je
■ Startvragen
■ Theorie
■ Verder werken (extra opgaven)
■ Zelftoets
Hoofdstuk 3 Krachten
3.5 AFSLUITING Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen. Samenvatting In dit hoofdstuk heb je kennisgemaakt met verschillende krachten. Een kracht heeft een grootte, een richting, een aangrijpingspunt en een werklijn. Verschuif je een kracht bij een rechtlijnige beweging langs de werklijn, dan verandert het gevolg van de kracht niet. Als twee of meer krachten werken op hetzelfde voorwerp, kun je alle krachten samenstellen tot één resulterende kracht. De resulterende kracht heeft hetzelfde gevolg als de afzonderlijke krachten samen. Maken de werklijnen van twee krachten een hoek met elkaar, dan gebruik je de parallellogrammethode om de resulterende kracht te construeren. In een tekening op schaal bepaal je de grootte van een kracht met behulp van metingen en de krachtenschaal. Een kracht ontbind je in twee krachten met de omgekeerde parallellogrammethode. Je moet dan de werklijnen van die twee krachten weten. Als een voorwerp op het punt staat te gaan bewegen of als het beweegt staan die werklijnen loodrecht op elkaar: één in een mogelijke bewegingsrichting en de andere loodrecht erop.
OPGAVEN MAKEN
150
■ De opgaven staan in je boek.
■ Met de Checklist begrippen en leerdoelen breng je voor jezelf in kaart in hoeverre je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en welke opgaven je nog eens gaat bestuderen.
■ In de Checklist zie je ook aan welk beheersingsniveau van TIMSS de opgaven gekoppeld zijn: weten, toepassen of redeneren. Meer uitleg hierover vind je op de volgende pagina.
■ Onder de Checklist zie je of je online kunt verder werken met extra opgaven die aansluiten bij de stof die je tot dan toe hebt behandeld.
HET HOOFDSTUK AFSLUITEN
■ De Afsluiting van het hoofdstuk begint met een samenvatting van de theorie. Je vindt hier ook een overzicht van alle formules. Je kunt zo alles nog eens op een rijtje zetten voor de toets.
■ Met de online zelftoets controleer je of je de leerstof beheerst.
■ De eindopgaven gaan over meerdere hoofdstukken en zijn op examenniveau. Maak ze als voorbereiding op een toets of examen.
1 Basisvaardigheden
In het verkeer staan vaak borden die de maximale snelheid aangeven.
Afhankelijk van het land is dit de snelheid in km/h of mph. Om in de wetenschap verwarring te voorkomen zijn er allerlei afspraken hoe je meetresultaten weergeeft.
Daarbij gaat het niet alleen om grootheden en eenheden maar ook om tabellen en diagrammen. Ook de nauwkeurigheid van een meetresultaat is van belang. In dit hoofdstuk staan de belangrijkste afspraken.
STARTVRAGEN
Wat weet je al over basisvaardigheden? Met de startvragen maak je kennis met dit onderwerp en kijk je wat je al weet.
1.1 MEETVAARDIGHEDEN
De prijzen van deze tomaten kun je niet zomaar vergelijken, omdat de hoeveelheid niet steeds gelijk is. Om resultaten in de wetenschap met elkaar te kunnen vergelijken, gebruikt iedereen hetzelfde stelsel van eenheden. Welk stelsel is dat?
LEERDOELEN
■ Ik kan aangeven of een waarneming kwalitatief of kwantitatief is.
■ Ik kan waarnemingen beschrijven met basisgrootheden of afgeleide grootheden en de bijbehorende grondeenheden of afgeleide eenheden.
■ Ik kan een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor beschrijven en toepassen.
■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met verhoudingen en percentages.
Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen
Kijk je in de klas om je heen, dan zie je dat niet iedereen even lang is. Je vergelijkt dan lengten met elkaar zonder ze te meten. Zo’n waarneming noem je een kwalitatieve waarneming.
Bij een kwalitatieve meting gebruik je geen getallen maar beschrijvingen, bijvoorbeeld ‘groter dan of gelijk aan’. Meet je met een meetlint hoe lang iemand is, dan doe je een kwantitatieve waarneming. Een kwantitatieve waarneming druk je uit in een getal, meestal met een eenheid. Bij het tellen van bijvoorbeeld het aantal toeschouwers doe je een kwantitatieve meting en is er geen eenheid.
Grootheid en eenheid
Een eigenschap die je kunt meten, noem je een grootheid. Lengte kun je meten. Daarom is lengte een grootheid. Andere voorbeelden van grootheden zijn tijd, temperatuur, snelheid en kracht.
Esther en Patrick meten ieder de lengte van negen leerlingen. De resultaten staan in de tabel van figuur 1.
1.1 Meetvaardigheden
Gemiddelde lengte
Esther 175 180 172 165 192 183 177 188 189 180
Figuur 1
In de tabel ontbreekt de eenheid. Daardoor lijkt het alsof Esther en Patrick verschillende dingen hebben gemeten.
Doe je een meting, dan moet je behalve de grootheid ook de eenheid vermelden. Zonder eenheid is een meting onvolledig. Elke meting van een grootheid druk je dus uit in een getal en een eenheid. In figuur 1 heeft Esther de eenheid cm gebruikt. De gemiddelde lengte die Esther heeft gemeten is 180 keer 1 cm. Je noteert ℓ = 180 cm. Er geldt dus:
grootheid = getal × eenheid
In boeken worden de symbolen van grootheden weergegeven met cursieve letters en de symbolen van eenheden met rechtopstaande letters.
De Griekse letter π (uitspraak pi) kom je tegen in formules zoals de omtrek en oppervlakte van een cirkel. Omdat π een getal is, wordt het met een rechtopstaand symbool weergegeven.
Het internationale eenhedenstelsel (SI)
Internationaal zijn afspraken gemaakt over de eenheid waarin je een grootheid noteert. Deze afspraken zijn vastgelegd in het internationale eenhedenstelsel, het Système International d’Unités, kortweg SI. Er zijn zeven basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Zie de tabel van figuur 2.
Basisgrootheid Symbool
Grondeenheid Symbool lengte ℓ meter m massa m kilogram kg tijd t seconde s
stroomsterkte I ampère A temperatuur T kelvin K lichtsterkte I candela cd hoeveelheid stof n mol mol
Figuur 2
De grootheden en eenheden uit figuur 2 vind je ook in Binas tabel 3 met daarbij een beschrijving van de definities van de grondeenheden. De definities zijn moeilijk te begrijpen. Zij hangen samen met bijzondere meettechnieken.
Afgeleide grootheid en eenheid
Alle andere grootheden dan de basisgrootheden noem je afgeleide grootheden. De bijbehorende eenheid heet een afgeleide eenheid. Een afgeleide eenheid kun je uitdrukken in de grondeenheden. Zie de tabel van figuur 3. In Binas tabel 4 staan veel afgeleide grootheden en de erbij behorende eenheden.
Afgeleide grootheid Symbool Afgeleide eenheid Symbool oppervlakte A vierkante meter m 2
volume V kubieke meter m 3
dichtheid ρ kilogram per kubieke meter kg /m 3
snelheid v meter per seconde m/s
Figuur 3
Voorvoegsel en vermenigvuldigingsfactor
Als voor een eenheid een voorvoegsel staat, dan is dat een vermenigvuldigingsfactor In de tabel van figuur 4a zie je de betekenis van veelgebruikte voorvoegsels. Ga je van een grote eenheid naar een kleine eenheid, dan vermenigvuldig je een aantal keren met tien. Andersom deel je. Zie figuur 4b. Wil je een aantal km omrekenen naar cm, dan zijn vijf stappen nodig. Je vermenigvuldigt dan vijf keer met factor 10. Dat betekent vermenigvuldigen met 100 000. Omrekenen van cm naar km betekent delen door 100 000.
1000 kilo k 100 hecto h 10 deca da 1 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m
Figuur 4
Op schaal
Op een landkaart vind je een lengteschaal. Die kan zijn weergegeven met een verhouding of met een lijnstukje met daarbij de werkelijke afstand. Zie figuur 5.
Figuur 5
1.1 Meetvaardigheden
In figuur 5a staat 1 : 50 000. Dat betekent dat 1 cm op de kaart overeenkomt met 50 000 cm in werkelijkheid.
In figuur 5b is de schaal 1 : 50 000 weergegeven met een lijnstuk, verdeeld in cm. Als 1 cm overeenkomt met 50 000 cm, dan komt 1 cm dus overeen met 500 m oftewel 0,5 km. Het lijnstuk van 5 cm komt dus overeen met 2,5 km
Rekenen met verhoudingen
De Markthal in Rotterdam is een complex met woningen over een markthal. Zie figuur 6.
Tussen de binnen- en de buitenboog bevinden zich de woningen. Jules en Loes willen de hoogte van het gebouw bepalen met behulp van de foto en een meetlint. Zie figuur 7.
Ze meten de breedte tussen de binnen- en de buitenboog aan de rechterkant en vinden 17,5 m. Op de foto is de breedte 1,9 cm. Deze meetwaarde komt dus overeen met 17,5 m in werkelijkheid. Dit kun je met een verkorte schrijfwijze als volgt weergeven: 1,9 cm ≙ 17,5 m.
Het teken ≙ betekent ‘komt overeen met’.
1,0 cm op de foto is dan gelijk aan 17,5 1,9 m. Dit noem je ‘het op 1 brengen’.
De hoogte van het gebouw op de foto is 4,4 cm. De werkelijke hoogte van het gebouw is dan
4,4 × 17,5 1,9 = 40,5 m
Kruisproduct
De meetwaarden met eenheden en de hoogte h kun je ook als volgt noteren:
1,9 cm ≙ 17,5 m
4,4 cm ≙ h
De meetwaarden en eenheden die bij elkaar horen staan onder elkaar. In de eerste kolom staan de getallen die horen bij ‘meten op de foto’, in de tweede kolom de getallen die horen bij de werkelijkheid. Dit betekent dat m de eenheid van h is.
De producten van de getallen die schuin tegenover elkaar liggen zijn gelijk:
1,9 × h = 4,4 × 17,5.
Zo’n vergelijking noem je het kruisproduct. Als drie van de vier waarden bekend zijn, kun je met het kruisproduct de onbekende waarde uitrekenen. Je deelt dan het product van de twee waarden die schuin tegenover elkaar staan door de derde bekende waarde. Zo geldt voor de berekening van de hoogte van het gebouw: h = 4,4 × 17,5 1,9 = 40,5 m.
Je ziet dat 4,4 × 17,5 1,9 op hetzelfde neerkomt als 4,4 × 17,5 1,9 bij ‘het op 1 brengen’.
Figuur 6
Figuur 7
Bij deze berekening is meteen duidelijk wat je op 100% moet stellen. Maar dat is niet altijd zo. Het is van belang dat je bij het rekenen met percentages eerst in beeld krijgt wat 100% voorstelt.
Voorbeeld 2 PERCENTAGE GASVERBRUIK
Amalia heeft de meterstanden van oktober en november opgenomen. Haar gasverbruik was in oktober 48 m 3 en in november 120 m 3
a Bereken het percentage gasverbruik in oktober ten opzichte van dat in november.
b Bereken met hoeveel procent het gasverbruik in november is gestegen ten opzichte van oktober.
Amalia verwacht dat het gasverbruik in december 25% hoger is dan in november.
c Bereken het gasverbruik in december dat Amalia verwacht.
Uitwerking
a Het percentage gasverbruik bereken je met het kruisproduct. In de vraag staat dat je het percentage (p) moet berekenen ten opzichte van het gasverbruik in november. Voor je berekening ga je uit van het gasverbruik in november. Dit zet je dus op 100%.
oktober 48 m 3 ≙ p
november 120 m 3 ≙ 100%
p = 48 × 100 120 = 40%
In oktober was het gasverbruik 40% van het gasverbruik in november.
b Het percentage gasverbruik bereken je met het kruisproduct. In de vraag staat dat je het percentage moet berekenen ten opzichte van het gasverbruik in oktober. Voor je berekening ga je uit van het gasverbruik in oktober. Dit zet je dus op 100%.
oktober 48 m 3 ≙ 100%
november 120 m 3 ≙ p
p = 120 × 100 48 = 250%
Het gasverbruik is in november gestegen met (250 100)% = 150%.
c Het gasverbruik bereken je met het kruisproduct. Boven de vraag staat dat het gaat om het percentage ten opzichte van het gasverbruik in november. Voor je berekening ga je uit van het gasverbruik in november. Dit zet je op 100%. Amalia verwacht dat het volume (V) aan gas dat ze verbruikt in december 25% hoger is. Dus in totaal 125%.
november 120 m 3 ≙ 100%
december V ≙ 125%
V = 120 × 125 100 = 150 m 3
Je kunt ook eerst 25% uitrekenen (= 30 m 3) en dit optellen bij de 120 m 3 van november.
OPGAVEN
1 In een klaslokaal zijn 25 leerlingen aanwezig, onder wie 11 jongens. De 11 jongens zijn over het algemeen groter en zwaarder dan de 14 meisjes. De gemiddelde leeftijd van de leerlingen is 15 jaar en 8 maanden.
a Welke waarnemingen zijn kwantitatief?
b Welke waarnemingen zijn kwalitatief?
2 Je ziet drie meetwaarden waarin de letter m vetgedrukt is.
Geef van iedere letter m de betekenis.
a ℓ = 2,1 m
b m = 2,0 kg
c t = 2,0 ms
3 Bekijk de volgende vijf uitdrukkingen:
I De stroomsterkte door het lampje is 1,2 ampère.
II De kracht moet 80 newton zijn.
III Het broodrooster heeft een vermogen van 850 watt.
IV Het volume van een luchtballon is 450 kubieke meter.
V Het maximaal toegestane geluidsniveau van een bromfiets is 97 decibel.
Uitdrukking I geef je als volgt weer in symbolen: I = 1,2 A.
a Noteer de andere uitdrukkingen in symbolen.
b Welke van de vijf eenheden is een grondeenheid?
4 Als je een telefoon koopt, let je op de geheugencapaciteit, het aantal megapixels van de camera en de capaciteit C van de batterij. Voor een batterij waar je lang mee kunt werken geldt: C = 5 Ah.
Ah is een afgeleide eenheid met A van ampère en h van uur.
a Geef twee kenmerken waaraan je kunt zien dat C een grootheid is.
Vaak wordt de capaciteit van een batterij uitgedrukt in mAh.
b Reken de capaciteit van de batterij om naar mAh.
c Reken de capaciteit van de batterij om naar grondeenheden.
5 Figuur 9 is een foto van Monique tijdens het parasailen.
De parachute zit vast aan de achterkant van de boot met een touw van 175 m lang.
Op de foto van figuur 9 is het touw aangegeven met een rode kleur.
Bepaal op welke hoogte Monique zich bevindt. Geef het antwoord in een geheel aantal meter.
Figuur 9
6 Jan heeft een computer op het oog van € 620,00. In een advertentie staat dat hij in de maand maart geen 21% btw hoeft te betalen.
a Toon aan dat Jan in maart € 512,40 betaalt.
b Heeft Jan 21% korting gekregen? Leg je antwoord uit.
7 In een supermarkt liggen allerlei soorten tomaten in verschillende verpakkingen. Welk gegeven heb je nodig om de prijzen met elkaar te kunnen vergelijken?
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ kwalitatieve waarneming
◯ kwantitatieve waarneming
◯ grootheid
◯ eenheid
◯ internationale eenhedenstelsel
◯ SI
◯ basisgrootheid
LEERDOELEN
◯ grondeenheid
◯ afgeleide grootheid
◯ afgeleide eenheid
◯ voorvoegsel
◯ vermenigvuldigingsfactor
◯ lengteschaal
◯ percentage
WETEN TOEPASSEN REDENEREN
Ik kan aangeven of een waarneming kwalitatief of kwantitatief is. 1ab
Ik kan waarnemingen beschrijven met basisgrootheden of afgeleide grootheden en de bijbehorende grondeenheden of afgeleide eenheden.
Ik kan een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor beschrijven en toepassen.
Ik kan berekeningen maken en redeneren met verhoudingen en percentages.
2ab, 3b, 4a 3a 7
2c, 4b 4c
5, 6a 6b
1.2 Rekenvaardigheden
Voor elke rij geldt dat er door 10 is gedeeld als je een kolom naar rechts opschuift.
In rij 5 zie je dat dan de exponent steeds met 1 afneemt. Kolom 4 geeft aan dat je 1 kunt schrijven als 10 0 .
Uit kolom 7 volgt 0,001 = 1 1000 = 1 10 10 10 = 1 10 3 = 10 3 .
De negatieve exponent 3 geeft dus aan dat je moet delen door 10 tot de macht +3.
De manier waarop de getallen zijn genoteerd in rij 5 is het meest overzichtelijk. Deze manier wordt in de natuurwetenschappen gebruikt.
De wetenschappelijke notatie
Het getal 0,051 kun je schrijven als: 5,1 × 0,01 = 5,1 × 10 2 = 5,1 ·10 2. De laatste manier van opschrijven noem je de wetenschappelijke notatie. Deze notatie bestaat uit een getal met slechts één cijfer ongelijk aan nul voor de komma, gevolgd door een macht van 10. In plaats van het maalteken gebruik je een verhoogde punt. Je bent overigens op het Centraal Examen niet verplicht om de wetenschappelijke notatie te gebruiken, tenzij het in de vraag staat.
Voorbeeld 3 WERKEN MET MACHTEN VAN TIEN
a Schrijf in de wetenschappelijke notatie. 8312
0,0079
b Schrijf zonder macht van tien.
3,61 10 2 1,81 ·10 4
Uitwerking
a 8312 = 8,312 × 1000 = 8,312 × 10 3 =
b 3,61 ·10 2 = 3,61 × 100 = 361 1,81 ·10 4 = 1,81 × 0,0001 = 0,000 181
Orde van grootte
Soms is het niet nodig of niet mogelijk om de waarde van een grootheid met een grote nauwkeurigheid op te geven. Dan noteer je alleen de orde van grootte. De orde van grootte geef je aan met uitsluitend een macht van 10. De orde van grootte leid je af met het volgende stappenplan:
■ Herschrijf het getal, indien nodig, in de wetenschappelijke notatie.
■ Laat de cijfers achter de komma weg.
■ Is het overgebleven cijfer kleiner dan vijf, dan rond je het af op 1, anders rond je af op 10.
■ Heb je afgerond op 10, herschrijf dan nogmaals in de wetenschappelijke notatie.
Voorbeeld 4 ORDE VAN GROOTTE BEPALEN
Bepaal de orde van grootte van de volgende gegevens.
a De straal van de dwergplaneet Ceres is 476 ·10 3 m.
b De massa van een elektron is 9,1 10 31 kg.
Uitwerking
a De orde van grootte leid je af met het stappenplan.
476 ·10 3 m = 4,76 ·10 5 m = 4 ·10 5 m
Dit rond je af naar 1 10 5 m
De orde van grootte is 10 5 m
b De orde van grootte leid je af met het stappenplan.
9,1 10 31 kg = 9 10 31 kg
Dit rond je af naar 10 ·10 31 kg = 1 × 101 ·10 31 = 1 ·10 30 kg.
De orde van grootte is 10 30 kg
In Binas tabel 6 staan allerlei gegevens uitgedrukt in machten van tien. Je kunt met tabel 6 controleren of de orde van grootte van een antwoord klopt met de werkelijkheid.
Rekenen met machten van 10
Bij het rekenen met machten van 10 gelden de volgende regels:
p = ( 1 10) p =
10 p 10 q = 10 p q
De eerste drie formules komen overeen met die in Binas tabel 36D als je de waarde 10 vervangt door a. De vierde formule is een combinatie van de eerste en de derde:
Voorbeeld 5 REKENEN MET MACHTEN VAN TIEN
Bereken en schrijf in de wetenschappelijke notatie. Doe dit zowel algebraïsch als met je rekenmachine. a 2 10 2
1.2 Rekenvaardigheden
Uitwerking
Macht van tien als voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor
Je kunt in plaats van een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor ook een macht van tien gebruiken. In Binas tabel 2 staat een tabel met vermenigvuldigingsfactoren. Een gedeelte van die tabel staat in figuur 11.
Figuur 11
Voorbeeld 6 MACHT VAN TIEN ALS VOORVOEGSEL
Schrijf met voorvoegsel.
a 3,5 ·10 3 m
b 0,0075 A
c 6,1 ·10 7 W
Uitwerking
a 3,5 ·10 3 m = 3,5 km
b 0,0075 A = 7,5 10 3 A = 7,5 mA
c 6,1 ·10 7 W = 61 ·10 6 W = 61 MW
1.2 Rekenvaardigheden
Goniometrische verhoudingen
Als in een rechthoekige driehoek twee grootheden bekend zijn, kun je de onbekende grootheden berekenen met de stelling van Pythagoras of met een van de drie goniometrische verhoudingen. De goniometrische verhoudingen kun je onthouden met het ezelsbruggetje sos-cas-toa. In een rechthoekige driehoek geldt:
a 2 + b 2 = c 2
stelling van Pythagoras
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde = a c sos
cos(α) = aanliggende zijde schuine zijde = b c cas
tan(α) = overstaande zijde aanliggende zijde = a b toa
Voorbeeld 8 REKENEN IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Mathieu fietst een helling op met een hellingshoek van 7,0°. Zie figuur 13.
De lengte van de helling is 12,3 km. Je mag ervan uitgaan dat het één lange rechte weg is.
a Toon aan dat Mathieu 1,5 km verticaal omhoog is gegaan.
b Bereken met de stelling van Pythagoras de horizontale verplaatsing van Mathieu.
7,0˚ 12,3 km
horizontale verplaatsing h
Figuur 13
Uitwerking
a De hoogte bereken je met een goniometrische verhouding. De hoogte is de overstaande zijde, dus:
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde
α = 7,0°
c = 12,3 km
Invullen levert: sin(7,0°) = h 12,3
h = 12,3 × sin(7,0°) = 1,5 km
b Stelling van Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2
a = h = 1,5 km
c = 12,3 km
Invullen levert: 1,5 2 + b 2 = 12,3 2
b 2 = 12,3 2 1,5 2 = 149
b = √ 149 = 12,2 km
OPGAVEN
8 Voer de berekeningen uit.
Noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie als dat mogelijk is.
a 10 2 × 10 4 =
b 10 2 × 10 4 =
c 10 4 10 7 =
d 2 10 3 × 3 10 4 =
9 Herschrijf in de wetenschappelijke notatie.
a 4506 m
b 0,000 001 53 m
c 961 ·10 3 m
d 0,075 10 2 m
e 4,4 ·10 5 × 2,5 ·10 3 =
f 254 × 25,0 =
g 3,85 ·10 2 250 ·10 4 =
h (2 10 4) 3 =
10 Schrijf zonder voorvoegsel. Noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie.
a 2,5 km
b 0,51 MPa
c 18,5 μm d 251 TJ e 33 mbar f 25 nm
11 Herschrijf zonder macht van 10 door gebruik te maken van een voorvoegsel.
a 9,4 10 6 A
b 6,11 ·10 12 s
c 1,85 10 8 m
d 2,36 ·10 7 W
12 Geef de orde van grootte van de meetwaarden.
a 9,4 ·10 6 A
b 6,11 ·10 12 s
c 853 μm
d 23,6 MW
13 Je fietst naar de top van de Mont Ventoux. De 22,5 km lange helling heeft een gemiddeld stijgingspercentage van 7,2%. Voor het stijgingspercentage geldt:
stijgingspercentage = hoogte horizontale afstand × 100%
a Voer de volgende opdrachten uit: – Schets een rechthoekige driehoek en geef hierin de hoogte, de horizontale afstand en de hellingshoek aan.
– Toon aan dat een stijgingspercentage van 7,2% hetzelfde betekent als hellingshoek
α = 4,1°
b Bereken hoeveel km je in hoogte bent gestegen na de beklimming van de Mont Ventoux. Geef je antwoord met één cijfer achter de komma.
De hoek die de stok maakt met de aarde is gelijk aan 34,0°. Met een afstandssensor meten Hedvig en Roland de lengte van de schaduw: ℓ = 367 m. Met behulp van een goniometrische verhouding berekenen ze vervolgens de hoogte van de molen.
a Bereken de hoogte die ze vinden met hun berekening. Hun leraar zegt dat de berekende hoogte niet helemaal juist is, omdat ze geen rekening houden met de dikte van de mast van de windmolen.
b Beredeneer of de berekende hoogte te groot of te klein is.
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ wetenschappelijke notatie
◯ orde van grootte
LEERDOELEN
◯ stelling van Pythagoras (formule)
◯ goniometrische verhoudingen (drie formules)
WETEN TOEPASSEN
Ik kan berekeningen maken met machten van 10. 8abcdefgh, 9abcd
Ik kan een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor beschrijven met een macht van 10 en omgekeerd. 11ab
10abcdef, 11cd, 14b
REDENEREN
Ik kan de orde van grootte van een getal bepalen. 12abcd 14a
Ik kan berekeningen maken in een rechthoekige driehoek.
13ab, 15a 15b
1.3 Formules en eenheden
1.3 FORMULES EN EENHEDEN
Rijd je met een Nederlandse auto in Engeland, dan moet je steeds je snelheid van km/h omrekenen naar mph om je aan de regels te houden. Je kunt ook een snelheidsmeter met beide eenheden laten inbouwen.
Hoe werk je bij natuurkunde met eenheden?
LEERDOELEN
■ Ik kan wiskundige bewerkingen uitvoeren met eenheden.
■ Ik kan berekeningen maken met de formules voor de omtrek en oppervlakte van een cirkel, een driehoek en een rechthoek.
■ Ik kan berekeningen maken met de formules voor het volume van een balk en een cilinder.
■ Ik kan berekeningen maken met de formules voor de oppervlakte en het volume van een bol.
■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor snelheid en dichtheid.
■ Ik kan grootheden, eenheden, symbolen, formules en gegevens opzoeken in een tabellenboek.
Machten van eenheden
Een formule is een verkorte schrijfwijze voor het verband tussen grootheden. Je vervangt dan vaak woorden door symbolen. Zo is er een afkorting voor ‘de eenheid van’: je gebruikt dan vierkante haken rond de grootheid. In plaats van ‘de eenheid van lengte is meter’ schrijf je: [ℓ] = m.
Een formule geeft het wiskundige verband tussen de grootheden. Er is dan ook een wiskundig verband tussen de bijbehorende eenheden. De rekenregels bij machten van 10 gelden ook bij machten van eenheden, zie de tabel van figuur 16. Daarin zie je de rekenregels met de machten van 10 en met de eenheid m.
Rekenregels
Machten van tien
Machten van meter
10 p = 1 10 p m p = 1 m p
10 p × 10 q = 10 p+q m p × m q = m p+q
(10 p) q = 10 p q
(m p) q = m p q
10 p 10 q = 10 p q m p m q = m p q
Figuur 16
Negatieve machten van eenheden
In Binas tabel 4 staat een overzicht van de meest voorkomende grootheden met symbool en eenheid. Daar vind je ook de uitspraak van de eenheid.
Op de site van Systematische Natuurkunde vind je een lijst met alle grootheden en eenheden die je tijdens het eindexamen moet kunnen gebruiken.
Veel van de eenheden in tabel 4 van Binas kun je afleiden uit de formules die het verband tussen de grootheden weergeven. Daarbij druk je een grootheid meestal uit in de grondeenheden in het SI, zoals bij snelheid en dichtheid.
De snelheid is de afstand die een voorwerp aflegt in 1 s. Het verband tussen afstand, snelheid en tijd vind je in Binas tabel 35A1.
s = v · t
■ s is de afstand in m.
■ v is de snelheid in m s 1 .
■ t is de tijd in s.
De eenheid van snelheid volgt uit de eenheden van afstand en tijd.
[s] = [v] · [t]
m = [v] · s
[v] = m s = m s 1 = m s 1
Opmerking
Noteer je de eenheid met een schuine streep, m/s, dan wordt dat bij het eindexamen goed gerekend.
1.3 Formules en eenheden
De dichtheid is de massa van 1 m 3 van een stof. De formule voor de dichtheid staat in Binas tabel 35C1. Druk je de massa en het volume uit in de grondeenheden, dan geldt:
ρ = m V
■ ρ is de dichtheid in kg m 3 .
■ m is de massa in kg.
■ V is het volume in m 3 .
Als je in Binas de dichtheid van een stof opzoekt, dan is de gebruikelijke eenheid kg m 3 Allerlei gegevens van stoffen vind je in Binas tabel 8 tot en met 12.
Rechthoek en balk
In figuur 17 zie je de figuren van een rechthoek en een balk. Voor een rechthoek moet je de formule voor de omtrek en de oppervlakte kennen. Voor een balk alleen de formule voor het volume. Er geldt:
O = 2ℓ + 2b
A = ℓ · b
V = ℓ b h
■ O is de omtrek in m.
■ A is de oppervlakte in m 2
■ V is het volume in m 3
■ ℓ is de lengte in m.
■ b is de breedte in m.
■ h is de hoogte in m.
Figuur 17
De eenheden van oppervlakte en van volume volgen uit de eenheden waarmee je die grootheden berekent:
[A] = [ℓ] · [b] = m · m = m 1+1 = m 2
[V] = [ℓ] · [b] · [h] = m · m · m = m 1+1+1 = m 3
1.3 Formules en eenheden
Cirkel, bol en cilinder
In opgaven kom je regelmatig een cirkel of bol tegen. In Binas tabel 36B staan de formules voor de diameter, de omtrek en de oppervlakte van een cirkel:
d = 2r
O = 2πr A = π r 2
■ d is de diameter in m.
■ O is de omtrek in m.
■ A is de oppervlakte in m 2 .
■ r is de straal in m.
Getallen en de constante π hebben geen eenheid.
Dus geldt [d] = [r] = m; [O] = [r] = m en [A] = [r] 2 = m 2 .
In Binas tabel 36B staan ook de formules voor de oppervlakte en het volume van een bol:
A = 4π r 2
V = 4 3 π r 3
■ A is de oppervlakte in m 2
■ V is het volume in m 3 .
■ r is de straal in m.
In Binas tabel 36B staan ook de formules voor de oppervlakte en het volume van een cilinder. Alleen de formule voor het volume moet je kunnen gebruiken:
V = π r 2 · h
■ V is het volume in m 3 .
■ r is de straal van de cirkel van het grondvlak in m.
■ h is de hoogte van de cilinder in m.
Formules combineren
Je kunt de formules bij de cirkel en de bol combineren met de formule voor de diameter. Voor de oppervlakte van een cirkel ontstaat dan de formule A = 1 4 π d 2. Deze formule vind je niet in Binas. Toch mag je hem zonder uitleg gebruiken in een toets, tenzij wordt gevraagd om de formule af te leiden.
1.3 Formules en eenheden
Herleiden tot grondeenheden
Eenheden zijn niet altijd uitgedrukt in de grondeenheden in het SI. Je kunt zo’n eenheid met behulp van Binas tabel 4 en/of 5 herleiden tot de grondeenheden in het SI.
Voorbeeld 12 EENHEID HERLEIDEN TOT GRONDEENHEDEN
De grootheid druk wordt vaak weergegeven in pascal met symbool Pa. Druk de eenheid Pa uit in de grondeenheden in het SI.
Uitwerking
Om eenheden te herleiden tot de grondeenheden van het SI maak je gebruik van Binas tabel 4.
In Binas tabel 4 zie je bij de grootheid druk dat de eenheid Pa gelijk is aan N m 2 . N is de eenheid van kracht. Bij kracht zie je dat de eenheid N gelijk is aan kg m s 2 Pa
Lezen van tabellen
De tabel van figuur 19 toont een deel van de gegevens van aluminium uit Binas tabel 8. In de eerste rij staat boven elke kolom de grootheid en eventueel de temperatuur en druk waarbij die grootheid is bepaald. In de tweede rij staan de bijbehorende eenheden. Daarvoor kan een macht van 10 staan. In die gevallen moet je de getallen uit de kolom vermenigvuldigen met deze macht om de juiste waarde voor de grootheid te krijgen. De dichtheid van aluminium is dus 2,70 10 3 kg m 3
Dichtheid T = 293 K
Elasticiteitsmodulus T = 293 K
Lineaire uitzettingscoëfficiënt
Soortelijke warmte T = 293 K Smeltpunt p = p0
Figuur 19
Voorbeeld 13 GEBRUIK BINAS
Er wordt een asfaltweg aangelegd met lengte 2,0 km, breedte 6,0 m en dikte 25 cm. Bereken hoeveel kg asfalt hiervoor nodig is.
Uitwerking
Hoeveel kg asfalt nodig is, bereken je met de formule voor dichtheid. ρ = m V ρ = 1,2 ·10 3 kg m 3 (zie Binas tabel 10A)
Het volume bereken je met de formule voor het volume van een balk.
V = ℓ b h
ℓ = 2,0 km = 2,0 ·10 3 m (eenheden afstemmen)
b = 6,0 m
h = 25 cm = 0,25 m
Invullen levert: V = 2,0 ·10 3 × 6,0 × 0,25 = 3,0 ·10 3 m 3
Invullen van ρ en V in de formule ρ = m V :
1,2 10 3 = m 3,0 ·10 3 m = 1,2 10 3 × 3,0 10 3 = 3,6 10 6 kg
Opmerking
De eenheden moet je op elkaar afstemmen. De dichtheid is uitgedrukt in de eenheid kg m 3. Daarom is voor de eenheid meter gekozen.
Omrekeningsfactor van eenheden voor tijd
In de tabel van figuur 20 staan vier veelgebruikte eenheden van tijd met hun symbool en de omrekeningsfactor naar seconde.
Eenheid
Symbool en omrekeningsfactor dag d = 86 400 s jaar y = 3,15 10 7 s
minuut
min = 60 s
uur h = 3600 s
Figuur 20
Deze omrekeningsfactoren staan ook in Binas tabel 5. Daar vind je van veelgebruikte eenheden de omrekeningsfactor. Zo’n omrekeningsfactor mag je gebruiken zonder uitleg.
Omrekeningsfactor van eenheden voor snelheid
De omrekeningsfactor van km h 1 naar m s 1 staat niet in Binas tabel 5. Die omrekeningsfactor is gelijk aan 3,6. Dit leid je als volgt af: km h 1 = km h = 1000 m 3600 s = 1000 3600 · m s = 1000 3600 m s 1
Hieruit volgt:
3600 km h 1 = 1000 m s 1
3,6 km h 1 = 1 m s 1
Dit betekent dat je door 3,6 moet delen als je km h 1 omrekent naar m s 1
Omgekeerd vermenigvuldig je met 3,6 als je m s 1 omrekent naar km h 1
Voorbeeld 14 EENHEID VAN SNELHEID OMREKENEN
Reken 72 km h 1 om naar m s 1 .
Uitwerking
Om km h 1 om te zetten naar m s 1 gebruik je een omrekeningsfactor. De omrekeningsfactor is 3,6.
Van km h 1 naar m s 1 moet je delen door 3,6: 72 km h 1 = 72 3,6 = 20 m s 1
OPGAVEN
16 Adriaan en Ahmet kijken naar de weerkaart van figuur 21. De lijnen zijn isobaren die punten met gelijke luchtdruk met elkaar verbinden.
Volgens Adriaan geven de getallen de druk aan in mbar. Ahmet zegt dat de getallen de druk aangeven in hPa (hectopascal).
Laat met behulp van Binas tabel 5 zien dat ze allebei gelijk hebben.
21
17 a Zoek de voortplantingssnelheid van geluid in lucht bij 20 ° C (= 293 K) op in Binas.
b Noteer die snelheid in de wetenschappelijke notatie.
c Druk die snelheid uit in km h 1 .
18 Voor de veerkracht geldt:
F v = C · u
■ F v is de veerkracht in N.
■ C is de veerconstante in N m 1 .
■ u is de uitrekking in m.
Een veer met een veerconstante van 12 N m 1 wordt 3,5 cm uitgerekt. Bereken de veerkracht.
19 Ricardo en Jeroen scheppen op over de topsnelheid van hun auto. Ricardo zegt dat zijn auto een topsnelheid heeft van 250 km h 1. De auto van Jeroen haalt 160 mph. Iris hoort het verhaal aan en zegt dat haar auto een snelheid haalt van 75 m s 1
Zet de auto’s in volgorde van aflopende snelheid. Licht je antwoord toe.
20 Als je een stof verwarmt, stijgt de temperatuur van die stof.
Voor de temperatuurstijging geldt:
Q = c m ∆ T
■ Q is de hoeveelheid toegevoerde warmte in J.
■ m is de massa in kg.
■ ∆ T is de temperatuurstijging in K.
■ c is de soortelijke warmte van de stof.
Leid de eenheid van de soortelijke warmte af.
Figuur
21 Alina vult een lege ballon met waterstofgas. De ballon wordt daardoor bolvormig met een diameter van 32 cm
a Bereken de massa van het waterstofgas in de ballon.
Alina laat de ballon buiten los. De ballon gaat omhoog en ondervindt daarbij een tegenwerkende kracht van de lucht. Voor deze kracht F w,lucht geldt:
F w lucht = c · r 2 · v 2
■ F w,lucht is de luchtweerstandskracht in N.
■ r is de straal van de ballon in m.
■ v is de snelheid van de ballon in m s 1 .
■ c is een constante.
Bij de snelheid van 2,2 m s 1 is F w lucht gelijk aan 86 mN
b Bereken de constante c met de eenheid uitgedrukt in de grondeenheden in het SI.
22 Een metalen cilinder weegt 6,68 kg. De hoogte van deze cilinder is gelijk aan de diameter.
De formule voor het volume van zo’n cilinder kun je dan weergeven met V = 1 4 π h 3
a Toon dat aan.
De hoogte van de cilinder is 10 cm. Het metaal van de cilinder is een legering.
b Bepaal met behulp van de dichtheid van welk metaal de cilinder is gemaakt.
1.3 Formules en eenheden
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ ‘de eenheid van’
◯ snelheid
◯ dichtheid
◯ omtrek rechthoek (formule)
◯ oppervlakte rechthoek (formule)
◯ volume balk (formule)
◯ omtrek driehoek (formule)
◯ oppervlakte driehoek (formule)
◯ diameter cirkel (formule)
LEERDOELEN
Ik kan wiskundige bewerkingen uitvoeren met eenheden.
Ik kan berekeningen maken met de formules voor de omtrek en oppervlakte van een cirkel, een driehoek en een rechthoek.
Ik kan berekeningen maken met de formules voor het volume van een balk en een cilinder.
Ik kan berekeningen maken met de formules voor de oppervlakte en het volume van een bol.
Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor snelheid en dichtheid.
◯ omtrek cirkel (formule)
◯ oppervlakte cirkel (formule)
◯ oppervlakte bol (formule)
◯ volume bol (formule)
◯ volume cilinder (formule)
◯ afstemmen van eenheden
◯ herleiden tot grondeenheden
◯ omrekeningsfactor
WETEN
18 20, 21b
22a
17b, 22a
21a
17c 19, 21a, 22b
Ik kan grootheden, eenheden, symbolen, formules en gegevens opzoeken in een tabellenboek. 17a
16, 19, 21a 22b
1.4 Meetonzekerheid en significante cijfers
Meetfout
Als er geen stroom door de ampèremeter gaat, moet de wijzer op nul staan. Is de nulstand niet goed ingesteld, dan meet je voortdurend een te hoge of een te lage waarde. Dit noem je een meetfout.
Je maakt ook een meetfout als je een meetinstrument verkeerd afleest. Een maatglas moet je aan de onderkant van de meniscus (het vloeistofoppervlak) aflezen. In figuur 24 lees je dan 3,50 mL af. Lees je voor het watervolume (aan de bovenkant van de meniscus) 3,69 mL af, dan heb je dus een meetfout gemaakt.
Meetwaarde en het juiste aantal cijfers
Figuur 24
Je meet de lengte van een blokje met behulp van een liniaal met mm-verdeling. Deze meting is nauwkeuriger dan een meting met een liniaal met cm-verdeling. Zie figuur 25.
Figuur 25
Bij de liniaal met cm-verdeling lees je af dat de lengte ligt tussen 6 en 7 cm. Tussen deze twee streepjes schat je de waarde en lees je 6,7 cm af. Hiermee bedoel je dan dat de gemeten waarde ligt tussen 6,65 cm en 6,75 cm. Je ziet dat de decimaal achter het laatste cijfer 5 omhoog of 5 omlaag gaat om de marges van de meetwaarde aan te geven.
Deze afspraak is algemeen. Als je de lengte van een lat meet en de lat is tot op de cm nauwkeurig drie meter, dan schrijf je dus niet op dat ℓ = 3 m. Iemand anders kan dan denken dat de lat ergens tussen de 2,5 m en 3,5 m lang is. Dat is erg onnauwkeurig. Je moet noteren: ℓ = 3,00 m. Dan geldt dat de lengte ligt tussen 2,995 m en 3,005 m.
Je kunt de uitkomst ook met een meetonzekerheid weergeven. Bij de liniaal met cm-verdeling schat je de lengte op 6,7 cm. De grootte van de meetonzekerheid in je schatting bepaal je door te kijken naar de afstand tussen de streepjes. Als richtlijn voor het bepalen van de meetonzekerheid neem je 1 10 deel van de kleinste schaal. De afstand tussen twee streepjes is 1 cm. De meetonzekerheid is dus 0,1 cm.
Voorbeeld 15 MEETONZEKERHEID
Tijdens een les over meetonzekerheid laat een docent het maatglas met mL-verdeling van figuur 26 zien. De klas moet het volume bepalen. René leest aan de onderkant van de meniscus af en ziet dat het watervolume ligt tussen 4,8 en 4,9 mL. Tussen deze twee streepjes schat René het volume op 4,83 mL.
a Tussen welke waarden ligt de gemeten waarde als René 4,83 mL noteert?
Figuur 26
Applet
Significante cijfers
In deze applet kun je oefenen met significante cijfers.
1.4 Meetonzekerheid en significante cijfers
Rekening houden met significante cijfers
Je gebruikt meetwaarden vaak om een andere grootheid te berekenen. De nauwkeurigheid van de uitkomst hangt dan af van de nauwkeurigheid van de meetwaarden. Bij de berekening gebruik je de volgende twee vuistregels:
■ Bij vermenigvuldigen en delen krijgt de uitkomst evenveel significante cijfers als de meetwaarde met de minste significante cijfers.
■ Bij optellen en aftrekken krijgt de uitkomst evenveel cijfers achter de komma als de meetwaarde met de minste cijfers achter de komma. Daarbij moeten alle gegevens naar dezelfde eenheid zijn omgerekend.
Voorbeeld 16 SIGNIFICANTE CIJFERS BIJ VERMENIGVULDIGEN EN DELEN
Je meet de lengte en de breedte van een tafelblad: ℓ = 153,3 cm en b = 82,5 cm. Bereken de oppervlakte van het tafelblad.
Uitwerking
De oppervlakte bereken je met de formule voor de oppervlakte van een rechthoek.
A = ℓ · b
ℓ = 153,3 cm
b = 82,5 cm
Invullen levert: A = 153,3 × 82,5 = 12 647,25 cm 2
Heb je de rekenmachine op de wetenschappelijke notatie ingesteld, dan staat op de display 1,264 725 10 4. Beide uitkomsten hebben te veel significante cijfers. De tabel van figuur 29 laat zien hoe je het juiste aantal significante cijfers bepaalt.
Actie
Bepaal van elke meetwaarde het aantal significante cijfers.
Toelichting Antwoord
Bepaal het kleinste aantal significante cijfers. 3
Bereken de uitkomst in de wetenschappelijke notatie.
Rond de uitkomst af op het juiste aantal significante cijfers. Houd bij de afronding rekening met het eerstvolgende significante cijfer.
Figuur 29
,264 725 10 4
Je moet op drie significante cijfers afronden. Het vierde cijfer is een 4. Hierdoor blijft het derde significante cijfer een 6. 1,26 ·10 4
Voor de oppervlakte van de tafel geldt daarom:
A = ℓ b = 153,3 × 82,5 = 1,264 725 10 4 = 1,26 10 4 cm 2
Voorbeeld 17 SIGNIFICANTE
CIJFERS BIJ OPTELLEN EN AFTREKKEN
Je meet drie lengtes: ℓ1 = 3,3 cm, ℓ2 = 5 dm en ℓ3 = 1,64 m. Bereken de totale lengte.
Uitwerking
Bij het bepalen van het aantal significante cijfers bij optellen en aftrekken moeten de eenheden op elkaar zijn afgestemd. Reken dus eerst de meetwaarden om naar dezelfde lengte-eenheid. Kies daarbij de grootste eenheid die voorkomt. De grootste lengte-eenheid is in dit geval meter. Maak in je notatie geen gebruik van machten van tien. De tabel in figuur 30 laat zien hoe je vervolgens het juiste aantal cijfers achter de komma bepaalt.
Actie
Reken elke meetwaarde om in meter en bepaal dan pas het aantal cijfers achter de komma.
Toelichting
ℓ1 = 3,3 cm = 0,033 m
ℓ2 = 5 dm = 0,5 m
Antwoord
ℓ3 = 1,64 m = 1,64 m 3 1 2
Bepaal het kleinste aantal cijfers achter de komma. 1
Bereken de uitkomst. 2,173
Rond de uitkomst af op het juiste aantal cijfers achter de komma. Houd bij de afronding rekening met het eerstvolgende cijfer achter de komma.
Figuur 30
Voor de totale lengte geldt daarom:
0,033 + 0,5 + 1,64 = 2,173 = 2,2 m
Je moet afronden op één cijfer achter de komma. Het tweede cijfer achter de komma is een 7. Hierdoor wordt het eerste cijfer achter de komma een 2. 2,2
Opmerking
1 Maak je in een antwoord meerdere berekeningen achter elkaar, dan rond je tussendoor af. Je noteert bij een berekening een cijfer meer dan de regels eisen.
Reken je bijvoorbeeld verder met de oppervlakte van de tafel in voorbeeld 16 dan noteer je 1,265 ·10 4
Alleen de uitkomst van de laatste rekenstap rond je af op twee cijfers meer dan de regels eisen. Daarna geef je het antwoord op de vraag met het juiste aantal significante cijfers.
2 Zoek je een waarde op in Binas dan rond je het getal af op één significant cijfer meer dan het getal met de minste significante cijfers in de berekening. Met het afgeronde getal voer je de berekening uit.
3 Bij optellen en aftrekken van meetwaarden kan het aantal significante cijfers anders worden dan in de oorspronkelijke gegevens.
62,8 m + 57,2 m = 120,0 m (en niet 120 m)
62,8 m 57,2 m = 5,6 m (en niet 5,60 m)
OPGAVEN
23 In figuur 31 zie je een deel van een maatglas. De schaalverdeling is in mL.
a Lees het volume van de vloeistof af.
b Bepaal de meetonzekerheid in de meting.
24 Je ziet een aantal meetwaarden.
Uit hoeveel significante cijfers bestaat elke meetwaarde?
a 43,27 cm
b 5,30 m
c 0,086 V
d 6,1 10 3 °C
e 0,400 ·10 2 s
f 2 uur, 5 min en 28 s
25 De getallen in deze opgave stellen meetwaarden voor. De eenheden zijn weggelaten. Voer de berekeningen uit. Noteer de uitkomsten in het juiste aantal significante cijfers.
a 2,37 × 3,42
b 6,70 × 0,35
c 6,60 + 2,48 10 1
d 39,67 14,7
e 76,58 + 23,4
f 5,30 ·10 1 8,5 ·10 2
g 173,45 82,6
h 0,45 1,258
26 Reken om en noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie.
a 4,5 mg = g
b 456,0 L = m 3
c 6,24 10 3 m s 1 = km h 1
d 0,567 N cm 2 = N m 2
27 Een blok hout heeft de afmetingen: ℓ = 24,2 cm, b = 6,8 cm en h = 3,2 cm. De massa van het blok is 311,3 g.
a Laat zien dat het volume van het blok gelijk is aan 5,3 ·10 2 cm 3 .
b Voer de volgende opdrachten uit: – Bereken de dichtheid van het hout in kg m 3. Geef het antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
– Van welke houtsoort is het blok gemaakt? Licht je antwoord toe.
28 Je hebt twee voltmeters. Elke meter heeft een meetbereik van 200 V. Dit betekent dat de meter maximaal 200 V kan meten.
Op voltmeter 1 staat de meetonzekerheid ‘3% full scale’. Dit betekent dat de meetonzekerheid bij elke meting 3% van 200 V is.
Op voltmeter 2 staat dat de meetonzekerheid ‘5% reading’ is. Dit betekent dat de meetonzekerheid gelijk is aan 5% van de afgelezen waarde.
Je leest op beide voltmeters de meetwaarde 72,4 V af.
a Toon aan dat de meetonzekerheid bij gebruik van voltmeter 2 gelijk is aan 4 V.
b Bepaal de meetonzekerheid bij gebruik van voltmeter 1.
De spanning van een blokbatterij is 9 V. Je wilt de meetonzekerheid in de meting van de spanning van de blokbatterij zo klein mogelijk houden.
c Welke meter moet je dan kiezen? Licht je antwoord toe.
Bij het meten van spanningen is er één spanning waarbij beide meters dezelfde meetonzekerheid hebben.
d Bereken bij welke spanning dat is. Geef je antwoord in drie significante cijfers.
Figuur 31
1.5 VAN METING NAAR DIAGRAM
Bij natuurkundig onderzoek doe je metingen. Vaak zoek je naar een verband tussen twee grootheden. Je noteert de metingen in een tabel. Vervolgens zet je die metingen uit in een diagram. Aan welke eisen moeten tabellen en diagrammen voldoen?
LEERDOELEN
■ Ik kan meetresultaten weergeven in de standaardvorm van een tabel en als meetpunten in de standaardvorm van een diagram.
■ Ik kan in een diagram met meetpunten het verband tussen de twee grootheden tekenen met een grafiek en aangeven of er sprake is van meetfouten.
■ Ik kan in een diagram de waarde van een grootheid aflezen of door interpoleren of extrapoleren bepalen.
■ Ik kan uit de grafiek in een diagram afleiden welk verband er is tussen twee grootheden, dat verband in een formule uitdrukken en de constante(n) in de formule bepalen.
Tabel met meetwaarden
Je onderzoekt het verband tussen de massa en het volume van een vloeistof. Je doet vloeistof in een maatglas, leest het volume af en meet de massa van het maatglas met de vloeistof. De meetresultaten van je onderzoek staan in de tabel van figuur 32. De vorm van deze tabel voldoet aan een aantal eisen. Dit noem je de standaardvorm van een tabel:
■ De bovenste rij van de tabel heet de kop van de tabel. In de kop van elke kolom staan de grootheid en de eenheid waarin de meetwaarde is uitgedrukt.
■ In de eerste kolom zet je de meetwaarden van de grootheid die jij verandert of instelt. Deze waarden staan in een logische volgorde, bijvoorbeeld oplopend. In de tweede kolom zet je waarden van de grootheid die je meet.
■ In een kolom staat altijd hetzelfde aantal cijfers achter de komma. Nullen achteraan mag je niet weglaten, want die zeggen iets over de nauwkeurigheid van de meting.
Dichtheid van vurenhout
Volume (cm 3)
0,0
20,1
Massa maatglas met vloeistof (g)
Figuur 32
Van tabel naar diagram
Om het wiskundige verband tussen de meetresultaten te kunnen zien, verwerk je de meetwaarden in een diagram. Dat is het totaal van assenstelsel, pijlen met bijschriften, meetpunten en grafiek.
Je kunt een diagram tekenen op papier, maar ook met je grafische rekenmachine of met een computerprogramma zoals Excel.
In figuur 33 staat het diagram van de meetwaarden in de tabel van figuur 32. Dit diagram noem je een (m,V)-diagram. De eerstgenoemde grootheid staat langs de verticale as. De vloeiende lijn die zo goed mogelijk het verband tussen de meetpunten weergeeft heet de grafiek. De wetenschappelijke naam voor de vloeiende lijn is de trendlijn.
Tekenen van een diagram
Figuur 33
De vorm van het diagram voldoet aan een aantal eisen. Dit noem je de standaardvorm van een diagram:
■ De assen staan loodrecht op elkaar.
■ Langs de horizontale as staat de grootheid die je verandert of instelt. Is de tijd een van de grootheden, dan is het gebruikelijk om die altijd op de horizontale as te plaatsen.
■ Langs de verticale as staat de grootheid die je meet.
■ Bij de assen staat een pijltje met daarbij de grootheid die is uitgezet. De eenheid staat er tussen haakjes achter.
■ Langs elke as breng je een schaalverdeling aan. De schaalverdeling begint in de meeste gevallen bij nul. De schaalverdeling kies je zodanig dat de grafiek het hele diagram vult. Soms begint een schaalverdeling niet bij nul en geef je de asonderbreking aan met een scheurlijn. Zie figuur 33.
■ Om ervoor te zorgen dat je punten op de grafiek gemakkelijk kunt aflezen, kies je per schaaldeel voor stapjes van 1, 2 of 5, eventueel vermenigvuldigd met een macht van tien.
■ Elk getallenpaar in de tabel geef je in het diagram weer als meetpunt. Zorg ervoor dat het meetpunt zichtbaar blijft als je er een lijn doorheen tekent.
■ Je tekent een vloeiende lijn die zo goed mogelijk het verband tussen de meetpunten weergeeft. Door de meetonzekerheid in een meting liggen meestal niet alle punten op de grafiek. Zorg er dan voor dat er evenveel punten boven als onder de grafiek liggen. Daardoor worden meetonzekerheden uitgemiddeld. Weet je zeker dat de grafiek een rechte lijn is, dan teken je een rechte lijn tussen de meetpunten, zoals in figuur 33.
Aflezen in een diagram
Niet de meetpunten zelf, maar de grafiek laat het gemeten verband tussen de twee grootheden zien. Aflezen op de grafiek levert een nauwkeurigere waarde op dan een meting. In figuur 33 lees je af dat bij een volume van 60 cm 3 een massa hoort van 208 g, en niet de gemeten waarde 209,8 g.
Er is geen meting verricht bij V = 50 cm 3. Met behulp van de grafiek kun je wel de bijbehorende massa aflezen: 200 g
Het bepalen van een tussenliggende waarde noem je interpoleren Wil je weten wat de massa is bij een volume van 110 cm 3, dan verleng je de grafiek. Zie figuur 34. Je leest dan 250 g af. Dit noem je extrapoleren
Figuur 34
Lineair verband
De grafiek in figuur 34 is een rechte lijn. Het verband tussen massa en volume noem je dan lineair. Volgens de wiskunde geldt voor een lineair verband: y = a · x + b. Hierin zijn y en x variabelen, a is de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal en b is de afsnijding van de verticale as: de waarde van y als x = 0.
Als je y vervangt door de massa m en x door het volume V, ontstaat m = a V + b. Hierin zijn a en b constanten.
Je ziet dat x hoort bij de grootheid die je instelt (hier V). Die noem je de onafhankelijke variabele. De grootheid die daardoor verandert, is y (hier m) en noem je de afhankelijke variabele
De constanten a en b zijn vaak karakteristiek voor het voorwerp dat onderzocht wordt. In dit geval is dat het bekerglas met de vloeistof. De waarde van een constante bepaal je met behulp van punten op de grafiek.
Andere verbanden
Je onderzoekt bij natuurkunde vaak welk verband er bestaat tussen twee grootheden. De grafiek in een diagram geeft het verband overzichtelijk weer. Is de grafiek een rechte lijn, dan herken je meteen een lineair verband of een recht evenredig verband. Ook voor drie kromme grafieken moet je het verband tussen de grootheden herkennen:
■ kwadratisch evenredig verband
■ omgekeerd evenredig verband
■ omgekeerd kwadratisch evenredig verband
De grafieken staan in de diagrammen van de tabel van figuur 37. Een verband leid je af door van twee punten op de grafiek de x-waarden en de y-waarden met elkaar te vergelijken.
Diagram
x-waarde
2 × zo groot 2 × zo groot 2 × zo groot
y-waarde 4 × zo groot 2 × zo klein 4 × zo klein
Verband kwadratisch evenredig verband omgekeerd evenredig verband omgekeerd kwadratisch evenredig verband
Functie y =
Figuur 37
Constante a bepalen
De waarde van de constante a kun je op twee manieren bepalen:
■ Met behulp van de gegevens in de tabel.
– Bereken de waarde van a voor elke meting.
– Bereken het gemiddelde van de uitkomsten.
■ Met behulp van de grafiek in het diagram.
– Kies twee punten op de grafiek die niet te dicht bij elkaar liggen.
– Bereken de waarde van a voor elk punt.
– Als de uitkomsten verschillend zijn, dan neem je nog een derde punt.
– Bereken het gemiddelde van de uitkomsten.
De erbij behorende eenheid volgt uit de eenheden van de variabelen in de formule.
Voorbeeld 20 EEN KWADRATISCH EVENREDIG VERBAND ANALYSEREN
In de tabel van figuur 38 staan de resultaten van een onderzoek naar het verband tussen de valafstand s en de valtijd t.
De valafstand is kwadratisch evenredig met de valtijd.
a Toon aan dat dit blijkt uit de gegevens in de tabel van figuur 38.
In figuur 39 zijn de metingen verwerkt in een (s,t)-diagram.
b Bepaal met behulp van figuur 39 de constante a in de formule voor het kwadratisch evenredig verband in twee significante cijfers.
s (m) t (s)
0,0 0,00
1,0 0,46
2,0 0,63
3,0 0,80
4,0 0,88
5,0 1,00
6,0 1,10
7,0 1,17
8,0 1,28
9,0 1,35
Figuur 38
Uitwerking
39
a Om een kwadratisch evenredig verband aan te tonen, moet je laten zien dat als x twee keer zo groot wordt, y vier keer zo groot wordt.
Op t = 0,46 s is de afstand 1,0 m. Op t = 0,88 s is de afstand 4,0 m
Als de afstand vier keer zo groot is, is de tijd (ongeveer) twee keer zo groot. Dit blijkt ook als je de tijden vergelijkt bij de afstanden 2,0 m en 8,0 m
Als de tijd twee keer zo groot wordt, wordt de afstand vier keer zo groot. Dus de valafstand is kwadratisch evenredig met de valtijd.
b De waarde van a bepaal je met behulp van de formule voor het kwadratisch evenredig verband en een of meer punten op de grafiek in het diagram. De eenheid van a bepaal je met de eenheden van de variabelen in de formule.
De algemene formule voor een kwadratisch evenredig verband is y = a · x 2 .
Op de y-as staat de valafstand s in m.
Op de x-as staat de valtijd t in s.
Invullen van s en t in de formule y = a x 2: s = a · t 2
Invullen van de eenheden voor s en t in de formule s = a · t 2: m = [a] s 2
[a] = m s 2
Figuur
De waarde van a bepaal je met een punt op de grafiek.
Op t = 1,20 s is de valafstand s gelijk aan 7,20 m
Invullen van s en t in de formule s = a · t 2:
7,20 = a × (1,20) 2
a = 5,0 m s 2
De waarde van a bepaal je bij een ander punt op de grafiek.
Op t = 0,40 s is de valafstand s gelijk aan 0,80 m.
Invullen van s en t in de formule s = a t 2:
0,80 = a × (0,40) 2
Ook hieruit volgt a = 5,0 m s 2 .
Dus a = 5,0 m s 2
Opmerking
Zijn de waarden van a niet (bijna) aan elkaar gelijk, dan bereken je a voor een derde punt. Vervolgens bereken je het gemiddelde van de drie waarden.
OPGAVEN
29 Om de waarde van een ohmse weerstand te bepalen meet Patrick de stroomsterkte als functie van de spanning. Het resultaat staat in figuur 40. Patrick weet dat bij een ohmse weerstand de grafiek in het (I,U)-diagram een rechte lijn door het punt (0,0) moet zijn.
Tijdens de metingen zijn twee meetfouten gemaakt.
Voer de volgende opdrachten uit: – Leg uit dat de getekende grafiek het verband tussen stroomsterkte en spanning goed weergeeft.
– Beschrijf welke meetfouten er gemaakt zijn.
Figuur 40
1.5 Van meting naar diagram
30 Nina en Birgit hebben de massa en het volume van verschillende blokjes marmer op twee manieren uitgezet in een diagram. Zie figuur 41. Ze keuren het diagram van figuur 41a af, omdat dit niet volledig voldoet aan de standaardvorm van een diagram.
Figuur 41
a Aan welke regel van de standaardvorm voldoet diagram 41a niet? Nina en Birgit zijn het niet eens over hoe de grafiek loopt in figuur 41b. Ze zien vier mogelijkheden. Deze staan in figuur 42.
Figuur 42
b Voer de volgende opdrachten uit:
Leg uit waarom de grafiek in het diagram een rechte lijn moet zijn. – Geef van elke mogelijkheid aan of deze goed of fout is. Licht je antwoord toe.
33 Ymke heeft het verband onderzocht tussen de weerstand R van een koperdraad en de diameter d van die draad. De resultaten staan in het diagram van figuur 47.
Figuur 47
a Laat zien dat de weerstand R omgekeerd kwadratisch evenredig is met de diameter d.
b Bepaal de weerstand RB bij een diameter van 8,0 mm
c Bepaal de weerstand RC bij een diameter van 1,0 mm.
Je kunt de grootte van de weerstanden RB en RC ook grafisch bepalen door de grafiek te extrapoleren. Je bepaalt de uiterste waarden door te kijken op welke manieren je de lijn kunt doortrekken. Voor weerstand RB kom je dan uit op een waarde tussen 1 mΩ en 3 mΩ.
Weerstand RB is dan het gemiddelde van deze twee waarden.
De meetonzekerheid bij weerstand RB is het verschil tussen het gemiddelde en een uiterste waarde. De meetonzekerheid voor weerstand RB is dus 1 mΩ.
Vier mogelijke meetonzekerheden voor weerstand RC zijn:
I 0,2 mΩ
II 1 mΩ
III 2 mΩ
IV 10 mΩ
d Bepaal met behulp van figuur 47 welke van deze meetonzekerheden hoort bij weerstand RC
34 In het (t,v)-diagram van figuur 48 staat de tijdsduur die nodig is om bij een bepaalde snelheid een afstand af te leggen.
a Toon aan dat het verband tussen de tijd en de snelheid gelijk is aan t · v = a
b Hoe noem je het verband tussen de tijd en de snelheid?
c Bepaal de waarde en de betekenis van constante a in de formule.
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ diagram
◯ trendlijn
◯ asonderbreking
◯ grafiek
◯ interpoleren
◯ extrapoleren
◯ lineair verband
LEERDOELEN
Ik kan meetresultaten weergeven in de standaardvorm van een tabel en als meetpunten in de standaardvorm van een diagram.
Ik kan in een diagram met meetpunten het verband tussen de twee grootheden tekenen met een grafiek en aangeven of er sprake is van meetfouten.
Ik kan in een diagram de waarde van een grootheid aflezen of door interpoleren of extrapoleren bepalen.
Ik kan uit de grafiek in een diagram of uit de meetwaarden in een tabel afleiden welk verband er is tussen de twee grootheden, die in een formule uitdrukken en de constante(n) in de formule bepalen.
◯ onafhankelijke variabele
◯ afhankelijke variabele
◯ recht evenredig verband
◯ kwadratisch evenredig verband
◯ omgekeerd evenredig verband
◯ omgekeerd kwadratisch evenredig verband
30a 31a
29, 31a 30b
31b 33bc
34b 31cd, 33a, 34ac 32
1.6 Examenwerkwoorden
1.6 EXAMENWERKWOORDEN
Je schoolcarrière sluit je af met een landelijk examen. In de examenvragen van natuurkunde kom je werkwoorden tegen waaruit je kunt afleiden hoe je een vraag moet beantwoorden. Welke werkwoorden zijn dat?
LEERDOEL
■ Ik kan de examenwerkwoorden beschrijven en toepassen.
Antwoord nakijken
Bij het nakijken van een antwoord op een vraag houdt je docent rekening met de betekenis van bepaalde werkwoorden die in de vraag staan. Is er bijvoorbeeld een opdracht waarbij je een berekening moet maken, dan krijg je alleen het volledige aantal punten als je een berekening hebt gegeven bij de uitkomst. Deze examenwerkwoorden komen ook bij wiskunde voor. Maar soms is de betekenis verschillend. In de lijst staat de betekenis voor natuurkunde.
Bereken
Je beantwoordt de vraag in de vorm van een berekening. De gegevens staan in de opgave en/of in Binas. Je mag niet alleen de uitkomst van de berekening geven. Je moet ook laten zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt.
Bepaal
Bij het beantwoorden van de vraag maak je voor minstens één gegeven gebruik van een grafiek, een figuur, een constructie of andere informatiebron. Ook nu mag je niet alleen de uitkomst geven. Je moet aangeven hoe je aan die gegevens bent gekomen. Voer je met de gegevens een berekening uit, dan geldt ook wat er bij ‘Bereken’ staat.
Toon
aan dat / laat
zien dat
Je laat aan de hand van een berekening en/of bepaling en/of redenering zien dat een gegeven waarde en/of bewering correct is. Je laat zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt. Nu is een conclusie niet nodig.
Schat
Je geeft de waarde van een grootheid aan, zonder deze exact te bepalen. Je kunt niet volstaan met alleen het geven van de uitkomst van de schatting. Uit je antwoord moet duidelijk blijken welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt.
Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers
Je geeft een uitkomst in het juiste aantal significante cijfers passend bij de gebruikte gegevens en de uitgevoerde berekening. Bij tussentijds afronden moet je minimaal het aantal significante cijfers van de uitkomst meenemen.
Noteer je antwoord in n significante cijfers
Je geeft een uitkomst in het gevraagde aantal significante cijfers. Bij tussentijds afronden moet je minimaal het aantal significante cijfers van de uitkomst meenemen.
OPGAVEN
35 Op de foto in figuur 49 zie je een molen. Schat de hoogte vanaf de grond tot de bovenkant van het dak van de molen. Geef het antwoord in twee significante cijfers.
Figuur 49
37 In figuur 52 is een cd verkleind weergegeven. Op het gedeelte tussen de buitenste zwarte lijn en de dikke zwarte lijn bevindt zich het spoor. De aftasting van het spoor gebeurt met een constante snelheid van 1,3 m s 1. Voor de snelheid geldt:
v = 2πR T
■ R is de straal van de doorlopen cirkel in m.
■ T is de tijd voor het doorlopen van een rondje in s. Het afspelen van de cd gebeurt van binnen naar buiten. Beredeneer of de tijd T tijdens het afspelen toeneemt, afneemt of gelijk blijft.
38 Xavier vult een glazen cilinder met 2,5 L water. Het grondvlak is een cirkel met binnendiameter 10,4 cm.
a Toon aan dat de oppervlakte van de cirkel gelijk is aan 84,9 cm 2. Geef je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
b Bereken de hoogte van het water in de cilinder.
39 De jan-van-gent is de grootste zeevogel van het Noordzeegebied. Hij leeft van vis, die hij vangt door middel van een duik vanuit de lucht. De ene keer laat hij zich vallen en de andere keer doet hij een krachtige vleugelslag tijdens de val. Laat hij zich alleen maar vallen, dan geldt voor het verband tussen de snelheid en de valhoogte:
v 2 = 19,6h
■ v is de snelheid in m s 1 .
■ h is de hoogte in m.
Bij een duik vanaf 30 m hoogte komt een jan-van-gent met een snelheid van ruim 100 km h 1 in het water terecht.
a Laat zien of deze jan-van-gent tijdens het duiken een vleugelslag heeft gemaakt.
Het getal 19,6 is een constante.
b Leid de eenheid van deze constante af.
40 Rien rijdt in een auto met een snelheid van 50 km h 1. Plotseling ziet hij een bal de weg oprollen en hij begint te remmen. Voor de stopafstand van deze auto geldt:
s = 0,06 v 2 + 0,8v
■ s is de stopafstand in m.
■ v is de snelheid in m s 1
Voor snelheden van 0 tot 100 km h 1 staat de stopafstand in het diagram van figuur 53.
a Bepaal de stopafstand bij een snelheid van 50 km h 1. Geef je antwoord in twee significante cijfers.
b Bereken de stopafstand bij een snelheid van 120 km h 1. Geef je antwoord in twee significante cijfers.
Figuur 52
Figuur 53
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
LEERDOELEN
WETEN TOEPASSEN REDENEREN
Ik kan de examenwerkwoorden beschrijven en toepassen. 36a 36b, 38ab, 40ab 35, 37, 39ab
VERDER WERKEN Je kunt online nog meer opgaven maken bij dit hoofdstuk. Je kunt kiezen tussen Oefenen en Uitdaging.
1.7 AFSLUITING
Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen.
Samenvatting
Een grootheid is een eigenschap die je kunt meten. Je drukt de grootheid uit in een getal en een eenheid. De grootheden en bijbehorende eenheden zijn vastgelegd in het SI. Een eenheid van een grootheid kun je afleiden uit een formule waarin deze grootheid voorkomt.
Meetwaarden noteer je vaak in de wetenschappelijke notatie: een getal met voor de komma één cijfer ongelijk aan nul, vermenigvuldigd met een macht van tien. In plaats van een macht van tien kun je ook een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor gebruiken.
Staat een meetwaarde in de wetenschappelijke notatie, dan kun je de orde van grootte afleiden door af te ronden naar de dichtstbijzijnde macht van tien.
Voor het rekenen met machten van tien geldt een aantal rekenregels. Deze rekenregels gelden ook voor machten van eenheden.
In iedere meting zit een meetonzekerheid. Het verkeerd instellen van een meetapparaat of verkeerd aflezen leidt tot meetfouten. Het aantal significante cijfers van het meetresultaat is een maat voor de nauwkeurigheid van de meting.
Bij vermenigvuldigen en delen van meetwaarden krijgt de uitkomst evenveel significante cijfers als de meetwaarde met de minste significante cijfers.
Bij optellen en aftrekken krijgt de uitkomst evenveel cijfers achter de komma als de meetwaarde met de minste cijfers achter de komma. Alle waarden moeten dan dezelfde eenheid hebben voor je gaat rekenen.
Voor het maken van tabellen en diagrammen zijn standaardvormen afgesproken. Diagrammen lees je af op de grafiek. Hierbij gebruik je interpoleren en extrapoleren.
Een verband tussen twee grootheden is lineair als de grafiek een rechte lijn is. Gaat de rechte lijn door het punt (0,0), dan is het verband recht evenredig. Als de ene grootheid n keer zo groot wordt, dan wordt de andere grootheid ook n keer zo groot. In de tabel van figuur 54 staan alle verbanden die je moet herkennen.
x-waarde
n × zo groot
n × zo groot
n × zo groot
n × zo groot
Figuur 54
y-waarde Verband
n × zo groot
n 2 × zo groot
n × zo klein
n 2 × zo klein
y is recht evenredig met x
y is kwadratisch evenredig met x
y is omgekeerd evenredig met x
y is omgekeerd kwadratisch evenredig met x
In (examen)vragen staan werkwoorden met een specifieke betekenis. Die geven aan op welke manier je de vraag moet beantwoorden.
Formules en tabellen
snelheid
dichtheid
omtrek rechthoek
oppervlakte rechthoek
volume balk
omtrek driehoek
oppervlakte driehoek
diameter cirkel
omtrek cirkel
oppervlakte cirkel
oppervlakte bol
volume bol
volume cilinder
lineair verband
recht evenredig verband
kwadratisch evenredig verband
omgekeerd evenredig verband
s = v · t
ρ = m V
O = 2ℓ + 2b
A = ℓ · b
V = ℓ b h
O = a + b + c
A = 1 2 basis hoogte
d = 2r O = 2πr
A = π r 2 = 1 4 π d 2
A = 4π r 2
V = 4 3 π r 3
V = π r 2 h
y = a · x + b
y = a · x
y = a x 2
y = a 1 x
omgekeerd kwadratisch evenredig verband y = a · 1 x 2 stelling van Pythagoras
goniometrische verhoudingen
a 2 + b 2 = c 2
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde
cos(α) = aanliggende zijde schuine zijde
tan(α) = overstaande zijde aanliggende zijde
■ Een deel van de formules kun je terugvinden in Binas tabel 35A1, 35C1, 36B en 36D.
■ In Binas tabel 1 tot en met 7 staan veel gegevens die betrekking hebben op de onderwerpen in dit hoofdstuk.
■ In Binas tabel 8 tot en met 12 staat een overzicht van de eigenschappen van verschillende stoffen.
ZELFTOETS Met de zelftoets test je of je de belangrijkste leerdoelen van dit hoofdstuk beheerst.
EINDOPGAVEN
41 Vuurtorens
Schiermonnikoog heeft twee vuurtorens: de Zuidertoren en de Noordertoren. Pita gebruikt een afstandssensor om de lengte van de schaduw van de Zuidertoren te meten. Een afstandssensor zendt een laserstraal uit en meet de tijd die de laserstraal nodig heeft om uiteindelijk weer terug te komen bij de sensor. Daarmee bepaalt de sensor de afstand tussen de sensor en het voorwerp en toont die op een display. Pita leest op het display 67,5 m af. De snelheid van het laserlicht vind je in Binas tabel 7A.
a Bereken de tijd in µs die de afstandssensor heeft gemeten. Geef het antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
De hoek tussen de rand van de schaduw van de top van de vuurtoren en de aarde is 25,0°.
b Toon met de gegevens in de opgave aan dat de hoogte van de Zuidertoren 31,5 m is.
Op hetzelfde tijdstip meet Jacob de lengte van de schaduw van de Noordertoren. Deze is 77,2 m.
c Bereken hoeveel procent groter de Noordertoren is ten opzichte van de Zuidertoren. Pita en Jacob hebben hun metingen uitgevoerd op 2 april 2024. In figuur 55 zie je het verband tussen de hoek die de zon met de horizon maakt en de tijd op deze dag.
55
d Op welk(e) tijdstip(pen) kunnen Pita en Jacob hun metingen hebben uitgevoerd? Licht je antwoord toe.
Figuur
42 Heien
Aan de rand van een stad zijn bouwvakkers bezig om met een heistelling heipalen de grond in te slaan. Zie figuur 56. Wende en Nick zien eerder het heiblok op de heipaal vallen dan dat ze de bijbehorende klap horen. Dat komt doordat de lichtsnelheid ongeveer een miljoen keer groter is dan de geluidsnelheid.
Wende en Nick meten hoe groot het tijdverschil is op verschillende afstanden van de heistelling. De afstand meten ze met een meetwiel. Zie figuur 57. De diameter van het meetwiel is 32,0 cm.
a Bereken de omtrek van het meetwiel in meter. Nick staat op 600 m afstand en loopt naar de heistelling toe. Wende begint bij de heistelling en loopt in de richting van Nick.
De resultaten van hun metingen staan in het diagram van figuur 58. De resultaten van Wende zijn weergegeven met een × en die van Nick met een •.
b Bepaal met behulp van de resultaten van Wende de snelheid van het geluid in lucht. Nick en Wende lopen allebei verder. Op een bepaald tijdstip horen ze een klap en op hetzelfde moment zien ze dat het heiblok op de heipaal neerkomt.
c Toon met behulp van de resultaten van Nick aan dat zij dan op 400 m van de heistelling staan.
Figuur 58
Figuur 56
Figuur 57
