Rekenwijzer

EV Eigen vaardigheden

Reken Wijzer

1VZ ]HU KLU )LYNO 7L[YH ]HU KLU )YVT :UPQKLYZ 6Y[^PU /\[[LU 4HYJ ]HU AHU[LU

Reken Wijzer

Een handreiking voor leraren

Jos van den Bergh Petra van den Brom Snijders Ortwin Hutten Marc van Zanten

COLOFON redactie Bataille Tekst Etc., Utrecht art direction Ineke de Graaff, Amsterdam opmaak binnenwerk Imago Mediabuilders, Amersfoort ontwerp omslag en binnenwerk Studio Fraaj, Rotterdam beeld omslag Studio Fraaj, Rotterdam

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Onderwijs Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 20 16 ISBN 978 90 06 95526 2 Tweede druk, eerste oplage, 2012 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2012 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze,

technisch tekenwerk Imago Mediabuilders, Amersfoort Frans Hessels, Almere

hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Inhoud Inleiding 7 1 Hele getallen 9 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4

Kennismaken met hele getallen 10 Betekenis van getallen 10 Waar wonen de getallen? 14 Structureren 15 Hoofdrekenen 23 Wat is hoofdrekenen? 23 Handig hoofdrekenen 27 Rekenen met ronde getallen 32 Kolomsgewijs en cijferend rekenen 33 Kolomsgewijs optellen en aftrekken 33 Kolomsgewijs en cijferend vermenigvuldigen 37 Kolomsgewijs en cijferend delen 39 Schattend rekenen 42 Afronden 43 Schattend optellen en aftrekken 45 Schattend vermenigvuldigen en delen 45 Schatten en rekenen 47

2 Gebroken getallen 51 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2

Kennismaken met breuken 52 Deel van geheel 52 Eerlijk (ver)delen 54 Meten 56 Deel van hoeveelheid 57 Gelijkwaardigheid 59 Gelijkwaardige breuken 59 Vergelijken en ordenen 61 Op de getallenlijn 63 Kennismaken met kommagetallen 66 Geld 67 Meten 68 Op de getallenlijn 69 Afronden en afbreken 71 Breuken en kommagetallen omzetten 73 Kommagetallen omzetten in breuken 74 Breuken omzetten in kommagetallen 75

2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3

Rekenen met breuken 77 Optellen en aftrekken 77 Vermenigvuldigen 83 Delen 91 Rekenen met kommagetallen 97 Optellen en aftrekken 97 Vermenigvuldigen 101 Delen 104

3 Verhoudingen en procenten 107 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 3.6.1 3.6.2 3.7 3.7.1 3.7.2 3.8

Kennismaken met verhoudingen 107 Evenredig verband 109 Verhoudingen, breuken, kommagetallen en procenten 111 Verhoudingstabel 114 Rekenen met een gegeven verhouding 115 Verhoudingen vereenvoudigen 117 Vergelijken met verhoudingen 119 Schaal 122 Rekenen met schaal 123 De schaal bepalen 124 Kennismaken met procenten 127 Standaardverhouding 127 Procenten geven informatie 127 Procenten als verdeling van een geheel 129 Deel van een geheel: bepalen van het deel 130 Deel van een geheel: bepalen van het geheel 132 Procenten in toe- en afnamesituaties 134 Toenamesituaties 134 Afnamesituaties 138 Kans 140

4 Meten en meetkunde 141 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

Kennismaken met meten 142 Grootheden en maten 142 Afgeleide maten 143 Het metriek stelsel 145 Meetinstrumenten 147 Referentiematen 148 Lengte 150 Lengte, breedte en diepte 150 Omtrek 152 Oppervlakte 155 Oppervlakte is meer dan lengte × breedte 155 Roosterfiguren 159 Oppervlakte van een cirkel 162

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9.1 4.10 4.10.1 4.10.2 4.10.3 4.11 4.11.1 4.11.2 4.12 4.12.1 4.12.2 4.13 4.14

Inhoud 164 Gewicht 168 Temperatuur 170 Tijd 172 Snelheid 173 Kennismaken met meetkunde 175 Meetkundige vormen en begrippen 176 Oriënteren 178 Plattegronden en bouwplaten: lokaliseren 179 Aanzichten: innemen van een standpunt 181 Richtingen en draaiingen: navigeren 184 Viseren en projecteren 186 Viseren 186 Projecteren 187 Transformeren 190 Omvormen van figuren 190 Lijnsymmetrie en puntsymmetrie 191 Construeren 193 Visualiseren en representeren 197

5 Verbanden 199 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 5.2.1 5.2.2

Tabellen en grafieken 199 Interpreteren van diagrammen en grafieken 201 Verschillende typen grafieken 205 Grafieken tekenen 209 Patronen en formules 214 Patronen 214 Woordformules 219

Bronvermelding 222 Register 224

Inleiding RekenWijzer is een uitgave die je voor twee doeleinden kunt gebruiken: voor het vergroten van je rekenvaardigheid en om je gecijferdheid uit te breiden.

Onder rekenvaardigheid verstaan we het goed (vlot en foutloos) kunnen uitrekenen van opgaven. Met gecijferdheid bedoelen we dat je persoonlijke betekenis kunt geven aan getallen en bewerkingen. Je maakt zodanig gebruik van de getallen, dat je een handige aanpak kunt kiezen om een opgave uit te rekenen. Ook ben je in staat in te schatten wanneer je moet kiezen voor hoofdrekenen en wanneer voor schattend rekenen, en in welke situaties je beter kunt cijferen of de rekenmachine kunt gebruiken.

Actualisering De eerste druk van RekenWijzer is door veel studenten gebruikt bij de voorbereiding op de verplichte starttoets rekenen op de pabo. Ook in verschillende mbo-opleidingen wordt het boek inmiddels gebruikt. De landelijke invoering van de referentieniveaus voor rekenen heeft consequenties voor alle opleidingen.

Deze tweede druk is een herziening van de eerste druk, waarin we rekening hebben gehouden met een bredere doelgroep en we optimaal aansluiten op de actuele ontwikkelingen binnen het middelbaar beroepsonderwijs en de pabo.

Het boek beslaat alle domeinen van het referentiekader en werkt van fundamenteel niveau 1F toe naar niveau 3F. De bijbehorende website paborekenwijzer.nl is uitgebreid met een groot aantal opdrachten op verschillende niveaus.

Referentiekader De tweede druk van RekenWijzer helpt je bij het ontwikkelen van je rekenvaardigheid en gecijferdheid tot het fundamentele niveau 3F van het referentiekader doorlopende leerlijnen taal en rekenen (Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus, 2009. Enschede: SLO). Zo bereid je je ook optimaal voor op de afronding van je mbo-opleiding of op de verplichte starttoets voor rekenen op de pabo. Hierna mag je jezelf ‘elementair gecijferd’ noemen.

Binnen de pabo-opleiding ontwikkel je vervolgens de gecijferdheid die van een leerkracht in het basisonderwijs verwacht wordt: de ‘professionele gecijferdheid’. Die is niet los te zien van de didactiek van rekenen-wiskunde, waarbij je leert leerlingen van de basisschool wegwijs te maken in de wereld van de getallen en de ruimte om ons heen. De didactiekuitgaven van ThiemeMeulenhoff werken toe naar die professionele gecijferdheid (zoals beschreven in Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs, 2009. Den Haag: HBO-raad), als vervolg op de gecijferdheid die in RekenWijzer aan bod komt.

Opzet boek De methode RekenWijzer bestaat uit een boek en de website www.paborekenwijzer.nl. Het boek is ingedeeld in vijf hoofdstukken: 1 Hele getallen 2 Gebroken getallen 3 Verhoudingen en procenten

4 Meten en meetkunde 5 Verbanden.

Binnen elk hoofdstuk werk je van niveau 1F toe naar niveau 3F. Startpunt van elk hoofdstuk is de begripsvorming omtrent het onderwerp. Door middel van duidelijke uitleg en veel uitgewerkte voorbeelden leer je de wiskundige inhoud begrijpen. We besteden veel aandacht aan de begripsvorming door het gebruik van contexten en modellen. Bovendien lichten we veelvoorkomende wiskundige begrippen extra toe. Ook geven we regelmatig tips en wijzen we op veelvoorkomende valkuilen. Opklimmend in moeilijkheidsgraad bieden we verschillende typen opdrachten aan waarmee je aan de beheersing van de stof kunt werken.

Website Op de website www.paborekenwijzer.nl vind je bij ieder hoofdstuk uit het boek: extra opdrachten bij iedere subparagraaf; ■ de uitwerkingen van de opdrachten in het boek; ■ digitale toetsen op verschillende niveaus.

■

Werkwijze Je bepaalt zelf aan welk hoofdstuk je werkt en welke deelgebieden je aandacht vragen. Natuurlijk kun je een hoofdstuk ook van voor naar achter doorwerken om je kennis en vaardigheden op te bouwen. Een andere werkwijze is om eerst de toetsen op de website te maken, om te bepalen waar je al goed in bent en welke onderdelen van een hoofdstuk je nog zou moeten oefenen.

Verwijzingen In de hoofdstukken verwijzen we regelmatig naar andere hoofdstukken en (sub)paragrafen, om de relatie tussen de onderliggende deelgebieden aan te geven. Daarbij maken we gebruik van de volgende symbolen: verwijst naar hoofdstuk 1: Hele getallen. verwijst naar hoofdstuk 2: Gebroken getallen. verwijst naar hoofdstuk 3: Verhoudingen en procenten. verwijst naar hoofdstuk 4: Meten en meetkunde. verwijst naar hoofdstuk 5: Verbanden.

Welke stappen je ook volgt om aan je rekenvaardigheid en gecijferdheid te werken, RekenWijzer is daarbij op diverse manieren een goede richtingwijzer.

Veel succes!

De auteurs, voorjaar 2012

1

Hele窶トetallen

Dit eerste hoofdstuk gaat over hele getallen. Gebroken getallen (breuken en kommagetallen) komen in hoofdstuk 2 aan de orde. Dat wil niet zeggen dat je in dit hoofdstuk geen kommagetallen tegenkomt. Rekenen met kommagetallen lijkt immers heel sterk op rekenen met hele getallen.

In paragraaf 1.1 zijn (ge)hele getallen zelf het onderwerp van studie, naast getalrelaties en redeneren op basis van eigenschappen van hele getallen.

Vervolgens komen de bewerkingen die je met getallen kunt uitvoeren aan de orde, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. We volgen daarbij de route van hoofdrekenen (paragraaf 1.2) via kolomsgewijs en cijferend rekenen (paragraaf 1.3) naar schattend rekenen (paragraaf 1.4).

9

1.1 Kennismaken met hele getallen Getallen kom je dagelijks overal om je heen tegen: in de supermarkt, op je mobieltje, op het station, en op tal van andere plaatsen. Zonder dat je je daar steeds bewust van bent, zijn er ook steeds getallen in je buurt die je niet kunt zien. Als je belt met je mobieltje wordt je stemgeluid bijvoorbeeld eerst vertaald in getallen, en daarna omgezet in elektromagnetische golven die naar de ontvanger gaan. In het toestel van de ontvanger worden de ontvangen getallen weer omgezet in geluid. Kortom: een wereld zonder getallen is ondenkbaar.

Om vlot te kunnen rekenen met die getallen is het handig als ze je ‘vrienden’ worden. Hier bedoelen we niets zweverigs mee. Het betekent dat je er veel voordeel van hebt als je de eigenschappen van sommige getallen kent. Waar denk je bijvoorbeeld aan bij het getal 99? Als je denkt aan een getal in de buurt van 100, kan dit je behulpzaam zijn bij opgaven als 8 × 99. In plaats van direct de regels voor het vermenigvuldigen van getallen toe te passen, kun je bedenken dat 8 × 100 = 800 een goede schatting voor de uitkomst moet zijn. Waarna je nog een kleine correctie toepast, namelijk 8 × 1 minder, kom je uit het hoofd uit op 792. Zo bestaan er veel eigenschappen van getallen die je allang kent, maar waarvan je je misschien niet bewust bent bij het rekenen.

Getallen komen in allerlei praktische situaties voor, en lang niet alleen omdat je er direct mee moet rekenen. Maar op het moment dat je er wel mee moet rekenen, helpt zo’n situatie je vaak om de juiste rekenstappen (denkstappen) te zetten.

1.1.1 Betekenis van getallen Brian Butterworth vertelt in zijn boek The mathematical brain (London: Macmillan, 1999) dat een volwassene in 1 uur ongeveer 1 000 getallen tegenkomt. Dat is per dag 16 000 getallen, en in 1 jaar bijna 6 miljoen.

Waar haalt Butterworth deze aantallen vandaan? Denk eens aan: ■ paginanummers in een boek; ■ de trein naar Utrecht vertrekt om 8:05 uur; ■ je pincode heb je per dag steeds vaker nodig; ■ huisnummer 92; ■ die nieuwe jeans kost maar € 39,90; ■ Utrecht-Ajax 6 - 4; ■ je hebt laatst een 8 voor een tentamen gehaald; ■ een bericht in de krant dat we op aarde inmiddels met 7 miljard mensen zijn.

10

Vaak worden de woorden ‘cijfers’ en ‘getallen’ ten onrechte als synoniemen gebruikt. Maar cijfers zijn de bouwstenen van getallen, zoals letters de bouwstenen van woorden zijn. Met de 10 cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 kunnen we alle denkbare getallen maken door een rijtje van die cijfers achter elkaar te plaatsen. Gaan we met die getallen rekenen, dan gebruiken we rekentaal, zoals som, verschil, product en quotiënt, voor achtereenvolgens een optelling, een aftrekking, een vermenigvuldiging en een deling.

Getallen kom je in verschillende betekenissen tegen: ■ Hoeveelheidsgetal: Henk drinkt dagelijks 3 kopjes koffie.

■ Telgetal: de derde loper kwam slechts enkele seconden na de winnaar binnen.

■ Naamgetal: Ingrid neemt dagelijks lijn 6 naar het station.

■ Meetgetal: naar het zwembad is het ruim 5 kilometer fietsen.

■ Rekengetal: 8 × 7 = 56.

1 Hele getallen

Context van getallen

Actualiteit Elk jaar in september presenteert de regering op Prinsjesdag de zogenoemde miljoenennota. Als je die van 2012 op de volgende bladzijde bekijkt, zie je dat de benaming miljoenennota eigenlijk achterhaald is. We zouden beter kunnen spreken van een miljardennota.

11

12

Opdracht 1.1

a Wat is het grootste (hele) getal dat je met 3 cijfers kunt schrijven? b Wat is het kleinste (hele) getal dat je met 3 cijfers kunt schrijven?

Opdracht 1.2

a Hoeveel dagen telt de maand mei? b Kun je een huis kopen voor 1 miljoen eurocent? c Gebruiken we voor het doorspoelen van het toilet per persoon iedere dag 6, 36 of 100 liter water?

a Schrijf op hoe de volgende 2 getallen uitgesproken worden: 1 459 en 1 000 569. b Welk opvallend verschil bemerk je in de uitspraak van de 2 getallen bij vraag a? c Schrijf in cijfers: elf miljard vierhonderd eenentwintigduizend zeshonderd dertien. d Schrijf ook in cijfers: anderhalf miljard.

Opdracht 1.4

Uit een folder: ‘De waterleidingmaatschappij van Overijssel levert jaarlijks 64 miljard liter water aan ruim een kwart miljoen huishoudens.’ a Schrijf de in deze zin genoemde getallen in cijfers. b Hoeveel liter water gebruikt ieder huishouden gemiddeld?

Opdracht 1.5

Onlangs ontdekte men in Engeland via DNA-onderzoek enkele verre nazaten van de Cheddar Man. Deze man moet ongeveer 7 000 v. Chr. hebben geleefd. Hoe oud zou de Cheddar Man nu ongeveer zijn als hij was blijven leven?

Opdracht 1.6

De periode waarin de wereldbevolking groeide van 6,5 miljard naar 7 miljard aardbewoners duurde iets meer dan 5 jaar. a Met hoeveel personen is de wereldbevolking in die periode gegroeid? b Hoeveel maal zo groot is de wereldbevolking dan de bevolking van Nederland (ongeveer)?

1 Hele getallen

Opdracht 1.3

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

13

1.1.2 Waar wonen de getallen?

De vraag waar de getallen wonen, wordt vaak gesteld. Het antwoord op die vraag draagt immers bij aan een beter getalbegrip. En getalbegrip is onmisbaar voor de ontwikkeling van de gecijferdheid.

Een belangrijk model of schema om getallen te laten zien, is de getallenlijn.

Getallen kun je goed positioneren op een getallenlijn met een vast gekozen begin- en eindpunt. Het doel van positioneren is dat je een beter beeld krijgt van de relatieve grootte van de geplaatste getallen.

Opdracht 1.7

Plaats de jaartallen die horen bij 4 belangrijke gebeurtenissen uit jouw leven op de getallenlijn.

1920

2020

Opdracht 1.8

a Welk getal is het grootst: 32 984, 103 294 of 32 894? b Welk getal ligt precies midden tussen 999 en 1 299? c Welk getal ligt precies midden tussen 1 001 en 9 009?

Opdracht 1.9

Welk getal ligt midden tussen

2 5

en 2? Licht je antwoord toe.

2 5

2

Opdracht 1.10

Zet de volgende getallen op volgorde van klein naar groot: 55 050 – 550 000 – 50 550 – 55 500 – 50 055

Opdracht 1.11

Teken een lijn met 100 als beginpunt en 10 000 als eindpunt. Plaats een pijl in het midden van dit lijnstuk. Welk getal hoort hierbij? Beschrijf je aanpak kort.

Opdracht 1.12

Joep maakt een tijdlijn. Elke centimeter stelt 1 jaar voor. a Hoe lang is dan 100 jaar ongeveer? b Hoe lang is dan 1 000 jaar ongeveer? c Hoe lang is dan 1 miljoen jaar ongeveer? d Hoe lang is dan 1 miljard jaar ongeveer?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

14

1.1.3 Structureren Wiskunde zou je kunnen typeren als de studie van structuren en patronen.

Het aanbrengen van structuur is een van de belangrijkste activiteiten binnen de wiskunde. Structuur aanbrengen in getallen kunnen kinderen al op jonge leeftijd leren.

Getallen maken

Opdracht 1.13

Zet de volgende rijtjes voort met twee getallen en beschrijf de regelmaat. a 3, 14, 25, 36, …, … d 3, 8, 23, 68, …, …. b 13, 26, 39, 52, …, … e 5, 6, 11, 17, …, …, 73 c 7, 16, 34, 70, …, …

Opdracht 1.14

Maak met behulp van precies 4 vieren en enkele van de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen de getallen 0 tot en met 10.

2 voorbeelden: ■ 4 × 4 – 4 × 4 = 0.

■ 4 + 4 + 4 : 4 = 9.

1 Hele getallen

Getalrelaties ontdekken en benutten levert kennis op over getallen en getalstructuren. Zo hangen de bewerkingen nauw samen met de eigenschappen van getallen. Wie als kind al zag dat een volle hand en nog drie vingers het getal 8 voorstelde, had weinig moeite met de sommen 5 + 3 = …, 3 + 5 = …, 8 – 3 = …, 8 – 5 = …, 5 + ... = 8, enzovoort.

Maak nu zelf de getallen 1 tot en met 8.

Opdracht 1.15

Bij darten start je met 501 punten. Elke beurt wordt je score afgetrokken, tot je precies op 0 uitkomt.

Bart staat op 378 en gooit met zijn 3 darts 17, 20 en dubbel 13. Wat is zijn stand aan het begin van de volgende beurt?

Opdracht 1.16

Probeer met de getallen 6, 7, 8 en 9 het getal 100 te maken. Dit lukt niet precies, maar hoe dichtbij kun je komen?

Opdracht 1.17

Hoe kun je met 4 vieren 17, 20, 24 en 80 maken (zie opdracht 1.14)?

15

Opdracht 1.18

Stel je voor dat je op 3 cijferkaartjes 1 cijfer mag schrijven. Je kiest bijvoorbeeld de cijfers 3, 5 en 9. Je gaat daarna met de kaartjes getallen maken door de kaartjes aaneen te schuiven. Je probeert zoveel mogelijk verschillende getallen te maken (getallen van 1 of 2 cijfers mogen ook). Als je een getal hebt gemaakt, schrijf je het op. Ten slotte tel je al die getallen op. Wat heeft de uitkomst te maken met je oorspronkelijke keuze?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

Tientallig splitsen We gaan nu getallen tientallig splitsen. Dit betekent: we schrijven getallen als de som van veelvouden van 1, 10 , 100, 1 000, enzovoort. Het getal 78 is bijvoorbeeld te schrijven als 7 × 10 + 8 × 1. En het getal 3 078 is te schrijven als 3 × 1 000 + 0 × 100 + 7 × 10 + 8 × 1.

Een getal bestaat uit een rijtje cijfers. De plaats of positie van een cijfer in dat rijtje bepaalt de waarde van dat cijfer. De 7 in 713 is 700 waard, terwijl de 7 in 371 maar 70 waard is. Deze manier van hoeveelheden noteren, mogen we een belangrijke uitvinding noemen. Een heel belangrijke plaats neemt het cijfer 0 in. In het vroegere Romeins of Egyptisch rekenen werd de 0 niet gebruikt, omdat de Romeinen en Egyptenaren de positionele schrijfwijze nog niet ontdekt hadden.

voorbeeld

In het getal 2 009 is de 2 2 000 waard. De twee 0’en zorgen voor de correcte positie van het cijfer 2; zonder de 0’en zou er 29 staan. Dus heel precies kun je van 2 009 zeggen dat dit getal bestaat uit 2 duizendtallen, 0 honderdtallen, 0 tientallen en 9 eenheden. Ofwel: 2 009 = 2 × 1 000 + 0 × 100 + 0 × 10 + 9 × 1.

Het getal 2,009 heet een kommagetal. Dit getal bestaat uit 2 eenheden, 0 1 + tienden, 0 honderdsten en 9 duizendsten. Ofwel: 2,009 = 2 × 1 + 0 × 10 1 1 0 × 100 + 9 × 1000 .

Opdracht 1.19 a Hoeveel is het cijfer 3 waard in 231,04? b Splits het getal tien miljoen vijfhonderdduizend acht in machten van 10. c Doe dit eveneens met de getallen 6 709, 10 × 6 709 en 100 × 6 709.

Wat merk je op?

Opdracht 1.20

16

Met de 4 cijfers 1, 2, 3 en 4 kun je 24 verschillende getallen maken als je steeds alle cijfers gebruikt. Het kleinste getal is 1 234 en het grootste is 4 321.

Wat is de uitkomst als je deze 24 getallen onder elkaar opschrijft en bij elkaar optelt?

Opdracht 1.21 a Betaal het bedrag € 3 088 met alleen briefjes van € 10 en losse euro’s.

Hoeveel briefjes van € 10 en hoeveel losse euro’s heb je nodig? b Betaal het bedrag € 556 met briefjes van € 100 en/of briefjes van € 10 en/of losse euro’s. Beschrijf een paar mogelijkheden. Gebruik als hulpmiddel een tabel met de volgende 3 kolommen: € 100, € 10 en € 1. c Doe hetzelfde voor € 1 056. Geef 5 verschillende mogelijkheden.

Je hebt alle eurobiljetten tot je beschikking: € 5, € 10, € 20, € 50, € 100, € 200 en € 500. Betaal € 3 090 op 8 manieren.

Opdracht 1.23

Achter een getal van 2 cijfers schrijven we het cijfer 0. Dit nieuwe getal is 423 groter. Beredeneer wat het oorspronkelijke getal is.

Opdracht 1.24

Maak van de cijfers 3, 4, 8 en 9 een getal van 4 cijfers dat zo dicht mogelijk in de buurt van 6 500 komt.

1 Hele getallen

Opdracht 1.22

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

Ontbinden We behandelen nu een ander soort splitsing dan de tientallige. Als je het getal 78 schrijft als 2 × 39, en 39 weer als 3 × 13, is het resultaat 78 = 2 × 3 × 13. Dit is de ontbinding van 78 in de (priem)factoren 2, 3 en 13.

Je zou getal 78 voor kunnen stellen als het aantal kubusjes van een blokkenbouwsel van 2 bij 3 bij 13 blokjes.

13

2 3 Als rekenzin schrijven we voor het getal 78 op: 78 = 2 × 3 × 13. De getallen 2, 3 en 13 zijn ondeelbaar; we noemen ze priemgetallen (of soms strookgetallen).

Onder ontbinden verstaan we dus het zoeken van getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het oorspronkelijk getal opleveren. Als je een getal kunt delen door bijvoorbeeld 3, dan noemen we 3 een deler. Het betekent dat de uitkomst van die deling een geheel getal oplevert. Zo kun je 54 delen door 3, want 54 : 3 = 18. Onder een priemgetal verstaan we een getal dat geen delers heeft, behalve het getal zelf en het getal 1. Dus 3 is een priemgetal, want je kunt het alleen delen door 1 en door 3. Ook 2 is een priemgetal, ofschoon het een even getal is. 1 is geen priemgetal; dat is zo (slim) afgesproken.

17

voorbeeld

Om 60 in factoren te ontbinden, zoek je eerst een deler. Wie ziet dat 60 = 10 × 6, gaat verder met 10 en 6. Omdat 10 = 2 × 5 en 6 = 2 × 3 en de factoren 2 , 3 en 5 niet verder gedeeld kunnen worden, zijn we klaar: 60 = 2 × 5 × 2 × 3 = 2 × 2 × 3 × 5. Aan de laatste schrijfwijze zie je dat het handig is om het ontbinden systematisch te doen: deel zo vaak door 2 tot het niet meer kan, dan door 3, door 5, enzovoort.

442 kun je door 2 delen: 442 = 2 × 221. 221 probeer je achtereenvolgens te delen door 3, 5, 7, 11 en 13. 221 = 13 × 17, dus 442 = 2 × 13 × 17.

Deelbaarheid Kennis hebben van de delers van een getal kan je aardig wat opleveren bij het rekenen met dat getal. Als je bijvoorbeeld weet dat 111 = 3 × 37, kun je dit gebruiken bij de keersom 27 × 37. Kijk maar: 27 × 37 = 9 × 3 × 37 = 9 × 111 = 999. Je ziet dat je hierbij ook gebruikmaakt van het feit dat je weet dat 27 = 9 × 3. Dit is tafelkennis waarover iedereen moet beschikken.

Als rekenaar is het handig een aantal deelbaarheidskenmerken paraat te hebben. Bijvoorbeeld: hoe kun je snel zien of een getal te delen is door 50?

Je kunt dan denken aan alle getallen van de tafel van 50, dus: 50, 100, 150, 200, 250, enzovoort. Het is nu eenvoudig in te zien dat als de laatste 2 cijfers van een getal 00 of 50 zijn, dit getal deelbaar is door 50.

In de volgende opdrachten komt een aantal andere deelbaarheidseigenschappen aan bod.

Opdracht 1.25 a Iemand zegt dat 78 niet deelbaar is door 2. Welke denkfout maakt deze persoon? b Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door twee: 24, 68, 1 007, 1 070, 98? c Maak de zin correct af: een getal is deelbaar door 2 als …

Opdracht 1.26

Om te bepalen of een getal deelbaar is door 4, hoef je de deling zelf niet helemaal uit te voeren. a Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 4: 30, 24, 72, 98, 200, 500, 124 300? b Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 4: 324, 2 712, 4 447, 93 736?

Opdracht 1.27

100 = 2 × 50 = 2 × 2 × 25 a Ontbind ook de getallen 10, 1 000, 10 000 en 1 000 000 tot het niet verder meer kan. b Ontbind het getal 210 tot het niet verder meer kan.

Opdracht 1.28 a Schrijf 3 opeenvolgende getallen op. Dus het tweede getal is 1 meer dan het eerste getal en het derde getal is 1 meer dan het tweede getal. 1 van de 3 getallen die je hebt opgeschreven, is deelbaar door 3. Welk getal is dat?

18

b Waarom is altijd 1 van 3 opeenvolgende getallen deelbaar door 3, welk begingetal je ook kiest?

Opdracht 1.29 a Wat is de rest als je de volgende getallen door 9 deelt: 10, 100, 1 000, 700, 1, 233? b Welke van de volgende getallen zijn deelbaar door 9: 702, 9 322, 12 345 654 321?

getal zijn.

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

1 Hele getallen

Opdracht 1.30 a Hoeveel priemgetallen onder de 100 zijn er? b Vind 3 opeenvolgende gehele getallen waarvan er 2 priemgetal zijn. c Vind 3 opeenvolgende gehele getallen groter dan 20 waarvan er 2 priem-

Figurale getallen Er zijn getallen die je in een meetkundig patroon (figuur) kunt uiteenleggen, bijvoorbeeld in een driehoek. Deze getallen heten driehoeksgetallen. Bij driehoeksgetallen kan dit zelfs op 2 manieren.

1

3

6

10

driehoeksgetallen Andere figurale getallen zijn bijvoorbeeld vierkantsgetallen en rechthoeksgetallen. Een rechthoeksgetal is een getal dat in een rechthoekig patroon kan worden uiteengelegd. Dit kan vaak op verschillende manieren, bijvoorbeeld 12 = 2 × 6 = 3 × 4.

12 = 2 x 6

12 = 3 x 4

Eigenlijk lukt dit voor elk getal, want desnoods neem je een rechthoekszijde van 1, zodat de rechthoek een ‘strook’ wordt. Een rechthoeksgetal dat alleen maar in een strookpatroon kan worden uiteengelegd, noemen we een strookgetal. Elk priemgetal is een strookgetal. Een vierkantsgetal is een bijzonder rechthoeksgetal, namelijk als alle zijden gelijk zijn. Ten slotte noemen we de kubusgetallen, die naar analogie met de vierkantsgetallen voorgesteld kunnen worden als een driedimensionaal bouwsel in de vorm van een kubus. 27 is bijvoorbeeld een kubusgetal dat bestaat uit 3 lagen van 3 rijen en 3 kolommen.

19

Opdracht 1.31 a Bepaal het 4de driehoeksgetal, het 5de driehoeksgetal en het 10de driehoeksgetal. b Bepaal de som van het 2de en het 3de driehoeksgetal, van het 3de en het 4de driehoeksgetal en van het 5de en het 6de driehoeksgetal.

Opdracht 1.32

Vierkantsgetallen nemen het patroon aan van een vierkant. Het 3de vierkantsgetal is 9, zoals te zien is in de afbeelding hieronder. Vierkantsgetallen noemen we ook wel kwadraten. Omdat 9 ook de uitkomst was van opdracht 1.31, gaan we op zoek naar een verband. a Laat zien dat 2 opvolgende driehoeksgetallen samen een vierkantsgetal vormen. b Welke 2 driehoeksgetallen zitten er in het vierkantsgetal 121?

Opdracht 1.33

Bepaal het verschil tussen het 5de en 4de vierkantsgetal, tussen het 7de en het 6de vierkantsgetal en tussen het 100ste en 99ste vierkantsgetal. Zie je een verband?

Opdracht 1.34

Laat zien dat getallen die op 2, 3, 7 of 8 eindigen geen vierkantsgetal kunnen zijn.

Opdracht 1.35

Zoek enkele rechthoeksgetallen tussen 50 en 75. Welk getal tussen 50 en 75 kan op de meeste manieren als rechthoeksgetal optreden?

Opdracht 1.36

Bepaal de som van de eerste 4 kubusgetallen, de som van de eerste 5 kubusgetallen en de som van de eerste 6 kubusgetallen. Welke vierkantsgetallen zijn dat?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

Recreatie Getalspelletjes zijn in ruime mate beschikbaar en kunnen ervoor zorgen dat getallen je ‘vrienden’ worden, zoals we aan het begin van dit hoofdstuk betoogden.

voorbeeld

20

Misschien ken je het spel 24game: je krijgt 4 getallen en moet proberen met die 4 getallen het getal 24 te ‘maken’. Dit doe je door de getallen allemaal precies 1 keer te gebruiken in een rekensom waarbij je vrij mag kiezen uit de 4 hoofdbewerkingen +, –, × en :.

Bijvoorbeeld:.

Opdracht 1.37

Kun je nog een derde oplossing vinden voor het spel uit het voorbeeld?

Opdracht 1.38

Vind ook minstens 3 verschillende oplossingen voor:

Opdracht 1.39

Los de volgende 24game-opgaven op.

a

1 Hele getallen

Een mogelijke oplossing is: (1 + 2) × (4 + 4) = 24. Maar ook mag: (2 + 4) × 4 × 1 = 24. Soms zijn er nog veel meer oplossingen. Door dit soort spelletjes vergroot je je rekenvaardigheid.

b

c

21

Opdracht 1.40

Je ziet een getallentrap. De opbouwregel is: 2 naast elkaar staande getallen hebben als som het erboven staande getal. Dus 5 = 2 + 3. Zo ontstaan alle treden van de trap. Een aantal treden is al ingevuld. Vul de trap verder in.

Bij de bovenste trede moet er 260 uitkomen (zo heb je dus een controle).

260 .. ..

..

..

..

12 5 2

Opdracht 1.41

..

..

7

3

.. ..

..

.. ..

4

.. ..

5

.. ..

4

..

3

2

Deze getallentrap is lastiger dan die bij opdracht 1.40. Hier is 1 + 3 = 4 al ingevuld. Vul de trap verder in.

36 ..

8 4 1

Opdracht 1.42

.. ..

..

3

12 ..

..

.. ..

..

Gooi in gedachten 3 pijltjes op dit dartbord. Je kunt op 2 manieren een score van precies 99 halen. Welke manieren zijn dat?

75

51 37

31

17

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

22

1.2 Hoofdrekenen De eerste manier van rekenen die kinderen leren, is hoofdrekenen. Tot en met groep 6 is ongeveer alle rekenen hoofdrekenen. Daarna doet het rekenen onder elkaar zijn intrede. Wie goed kan hoofdrekenen, heeft een stevige basis gelegd voor zijn rekenvaardigheid. In deze paragraaf maak je (opnieuw?) kennis met deze belangrijke rekenwijze.

Het antwoord op de vraag wat hoofdrekenen is, lijkt erg simpel, omdat iedereen er in het onderwijs dat hij heeft genoten mee te maken heeft gehad. Toch is er in de loop der tijden een verschillende betekenis aan hoofdrekenen gegeven. Wie nu een rekentoets op de computer maakt, mag bij het onderdeel hoofdrekenen geen papier gebruiken. Maar waarom eigenlijk niet?

Omdat het rekenen in je hoofd moet plaatsvinden, is de vaak gehoorde opvatting. Mag je dan ook cijferen in je hoofd?

Wij beschouwen in dit boek hoofdrekenen als handig en flexibel rekenen op basis van getalrelaties en rekeneigenschappen. Het is vanzelfsprekend dat je daarbij een tussenuitkomst mag opschrijven. Je zou kunnen zeggen dat we in deze opvatting van hoofdrekenen vooral het rekenen mét je hoofd, dus met verstand, bedoelen. Deze opvatting over hoofdrekenen wordt inmiddels breed gedragen, in Nederland maar ook daarbuiten. Hiertegenover staat het routineuze cijferen als een automatisme, waarbij het verstand als het ware ‘op nul’ gaat.

1 Hele getallen

1.2.1 Wat is hoofdrekenen?

Neem even de tijd op die je nodig hebt voor het volgende rijtje van 12 hoofdrekenopgaven. Noteer per opgave de tijd die je nodig hebt om deze te maken.

28 + 36 = …

567 + 34 = …

2 010 + 460 = …

143 – 65 = …

803 – 796 = …

2 980 – 620 = …

7 × 34 = …

4 × 249 = …

18 × 99 = …

84 : 7 = …

44 : 18 = …

1 000 : 125 = …

Aan het eind van deze paragraaf maak je deze opgaven nog een keer.

Het zou dan een stuk vlotter moeten gaan.

Waarom hoofdrekenen?

In het dagelijks leven wordt ons veel rekenwerk uit handen genomen door machines. Denk aan kassa’s in supermarkten, bij benzinepompen en op stations. Hoofdrekenen is een belangrijk element van gecijferdheid, maar het is ook van belang voor het vervolgonderwijs.

23

Hoofdrekenen kent verschillende vormen: van natuurlijke aanpakken via meer structuur naar gebruikmaking van algemene eigenschappen. Daarna komen cijferaanpakken in beeld, plus het verstandig gebruik van de rekenmachine. Hoofdrekenen leer je door het vaak te doen en door regelmatig stil te staan bij je eigen aanpak en die van een ander.

voorbeeld

Optellen en aftrekken 14 363 + 202 + 5 637 = …

Als je niet meteen gaat rekenen, maar eerst even goed naar de getallen kijkt, valt je (hopelijk) op dat het eerste en laatste getal samen precies 20 000 zijn.

Dan is de uitkomst bekend: 20 202.

7 589 – 611 = …

Er zijn natuurlijk verschillende aanpakken mogelijk. Een aanpak waar je misschien niet meteen aan denkt, is die waarbij je bij beide termen 11 optelt (en er daarna 600 afhaalt). Het verschil verandert daar niet van. Dus 7 589 – 611 = 7 600 – 622 = 7 000 – 22 = 6 978.

voorbeeld

Vermenigvuldigen Carla rijdt elke werkdag 32 kilometer naar haar werk en terug. Hoeveel kilometer rijdt ze per week?

Om het antwoord op deze vraag te vinden, leg je als het ware alle stukjes van 32 kilometer achter elkaar. Dat zijn er 2 per dag, dus 10 per week. Samen dus 10 × 32 = 320 kilometer.

Behalve bij herhaald optellen hoort vermenigvuldigen bij een rechthoekstructuur. Daarbij denk je dus niet achter elkaar, maar vooral onder elkaar.

Nog een paar voorbeelden: 17 × 21 = 10 × 21 + 7 × 21 = 210 + 147 = 357 38 × 999 = 38 × 1 000 – 38 × 1 = 38 000 – 38 = 37 962 (23 × 15) – (3 × 15) = 20 × 15 = 10 × 2 × 15 = 10 × 30 = 300 Delen Bij delen denkt men vaak aan het verdelen van een hoeveelheid over een aantal personen, maar delen is vooral ook bepalen hoe vaak iets ergens in past. Bijvoorbeeld: ■ Hoeveel briefjes van € 5 zitten er in € 195? 195 : 5 = …

■ Hoeveel doosjes van 4 zijn er nodig om 1 000 kerstballen in te pakken?

1 000 : 4 = …

■ En hoeveel doosjes van 8? 1 000 : 8 = de helft van het aantal doosjes hierboven.

voorbeeld

24

161 : 7 = (140 + 21) : 7 = 20 + 3 = 23. Denk bijvoorbeeld aan de vraag: hoeveel weken is 161 dagen?

Op het bordje in de lift staat: ‘Maximaal gewicht 1 800 kilogram of 25 personen’. Hoeveel weegt een persoon gemiddeld ongeveer volgens de fabrikant van de lift?

4 × 25 = 100, dus 1 800 : 25 = (18 × 100) : 25 = 18 × (100 : 25) = 18 × 4 = 72. Dus 72 kilogram.

Opdracht 1.43

Kees rijdt de eerste dag van zijn vakantie 768 kilometer. Op de volgende dagen rijdt hij respectievelijk 444, 232, 5 en 551 kilometer. Hoeveel kilometer rijdt Kees in totaal?

Door goed naar de getallen te kijken en die handig samen te nemen, kun je je veel rekenwerk besparen. Zie je hoe?

Opdracht 1.44

Na een weekendje Londen wisselt Tjalle £ 147 terug in euro’s. Hij had op vrijdag £ 685 gekocht. Hoeveel pond heeft hij dit weekend opgemaakt?

Opdracht 1.45

Ga vanaf 100 met stappen van 7 terug. Waar kom je uit?

1 Hele getallen

voorbeeld

Opdracht 1.46 a Bekijk de afbeelding. Hoeveel postzegels tel je?

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

~NL~

b Bekijk de afbeelding. Hoeveel puzzelstukjes telt deze puzzel?

25

c Bekijk de afbeelding. Hoeveel tegels zijn er afgebeeld?

d Bekijk de afbeelding. Hoeveel plaatsen zijn er in het theater?

Opdracht 1.47

Maak de volgende delingen uit het hoofd. a 600 : 4 = … e 750 : 30 = … b 270 : 6 = … f 1 200 : 15 = … c 596 : 4 = … g 2 400 : 16 = … d 729 : 9 = … h 615 : 15 = …

Opdracht 1.48

Op het bordje in de lift staat: ‘Maximaal gewicht 1 800 kilogram of 24 personen’. Hoeveel weegt een persoon gemiddeld ongeveer volgens de fabrikant van de lift?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

26

1.2.2 Handig hoofdrekenen Een goed ontwikkeld getalbegrip helpt bij het (leren) hoofdrekenen en omgekeerd helpt veelvuldig hoofdrekenen je getalbegrip verder te ontwikkelen.

Stel jezelf dus steeds eerst de vraag of de getallen je iets te zeggen hebben.

27 × 33 = …

Je kunt hier natuurlijk kiezen voor een cijferende aanpak onder elkaar, maar wat opvalt is dat beide getallen veelvouden van 3 zijn. Dat kan leiden tot 27 × 33 = 9 × 99, of tot 81 × 11, wat allebei gemakkelijker is dan de oorspronkelijke opgave. Als je bij de eerste van deze 2 mogelijkheden opnieuw naar de getallen kijkt, leidt dit tot 10 × 99 – 1 × 99 of 9 × 100 – 9 × 1. Dit laatste leidt eenvoudig tot 900 – 9 = 891.

voorbeeld

10 000 : 625 = …

Deler en deeltal verdubbelen en daarna door 1 000 delen: 10 000 : 625 = 20 000 : 1 250 = 40 000 : 2 500 = 80 000 : 5 000 = 160 000 : 10 000 = 160 : 10 = 16.

1 Hele getallen

voorbeeld

Hierna zetten we de belangrijkste eigenschappen van bewerkingen voor hoofdrekenen op een rijtje. Wie deze eigenschappen op een flexibele wijze kan inzetten, heeft daar profijt van. Bijvoorbeeld in het vervolgonderwijs bij algebra.

Eigenschappen van bewerkingen Wisseleigenschap voor optellen en vermenigvuldigen (commutatieve wet): 8×5=5×8

8+5=5+8 5

8 8

5

Schakeleigenschap voor optellen en vermenigvuldigen (associatieve wet): 16 + ( 4 + 5) = (16 + 4) + 5 16 × (4 × 5) = (16 × 4) × 5 In combinatie met wisseleigenschap geeft dit: 16 + (7 + 4) = 16 + (4 + 7) = (16 + 4) + 7 = 20 + 7 = 27 16 16

4

7 7

4

25 × (3 × 4) = 25 × (4 × 3) = (25 × 4) × 3 = 100 × 3 = 300

27

Verdeeleigenschap voor vermenigvuldigen en delen (distributieve wet): 3 x 14 = 3 × (10 + 4) = 3 × 10 + 3 × 4 = 30 + 12 = 42 4

10 3

3 × 19 = 3 × (20 – 1) = 3 × 20 – 3 × 1 = 60 – 3 = 57 32 072 : 8 = (32 000 + 72) : 8 = 32 000 : 8 = 72 : 8 = 4 000 + 9 = 4 009 9 × 56 = (10 – 1) × 56 = 10 × 56 – 1 × 56 = 560 – 56 = 504 Termen veranderen: 23 + 19 = 22 + 20 = 42

54 – 29 = 55 – 30 = 25

19 20

23 22

1 1

54 29

54 - 29

1 verGroten En verKleinen van vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal (GEK): 16 × 12 12 = 8 × 25 = 4 × 50 = 200 12

1 2

12

1 2

12

1 2

25

25

4

8 16

verGroten Of verKleinen van deeltal en deler bij delen of verhoudingen (GOK): 3 : 0,6 = 30 : 6 = 5

voorbeeld

0,42 : 5 = 42 : 500 = 84 : 1 000 = 0,084 0,43 : 5 = 0,86 : 10 = 0,086 1 3,27 : 2 = 6,54 : 1 = 6,54 3,27 1 2

6,54 1

28

Geautomatiseerd voorbeeld

360 + 600 = 960 (want 36 + 60 = 96) 7 × 7000 = 49 000 (want 7 × 7 = 49) 6 300 : 7 = 900 (want 63 : 7 = 9)

Vlot en handig 350 + 280 = 350 + 300 – 20 = 650 – 20 = 630 570 – 64 – 36 = 570 – (64 + 36) = 570 – 100 = 470 5 × 7 × 6 = 5 × 6 × 7 = 30 × 7 = 210 1 200 : 8 = (800 + 400) : 8 = 100 + 50 = 150

Opdracht 1.49

Los de opgaven op en noem de eigenschap(pen) die je hebt gebruikt. a 22,5 : 2,5 = … f 392 + 23 = … b 6 × 5,9 = … g 2 359 – 189 = … c 14 × 8 = … h 36 : 3 13 = … d 25 × 22 = … i 3 : 1 12 = … e 57 + 28 = … j 91 – 19 = …

Opdracht 1.50

Los de opgaven op en noem de eigenschap(pen) die je hebt gebruikt. a 289 + (140 + 111) = … g 19 × 23 = … b 1 005 + (117 + 95) = … h 36 × 15 = … c 1 014 – 186 = … i 24 × 75 = … d 6 708 – 999 = … j 204 : 17 = … e 1 024 – 45 – 24 = … k 4 12 : 1 12 = … f 750 – 128 – 122 = … l 0,15 : 0,03 =…

Opdracht 1.51

Deze opdracht bestaat uit een hoofdrekentoets van 16 sommen. Je mag er papier bij gebruiken. Het is de bedoeling dat je zo snel mogelijk de antwoorden geeft. Noteer ook de totaal benodigde rekentijd. a 408 : 8 = … i 9 × 24 = … b 11 × 11 = … j 65 + 88 = … c 4 × 36 = … k 1 week = … uren d 84 : 12 = … l 144 : 12 = … e 16 × 250 = … m 33 : 0,3 = … f 234 : 6 = … n 125 – 69 = … g 1 001 – 6 = … o 439 + 43 = … h 407 – 16 = … p 761 – 492 = …

1 Hele getallen

voorbeeld

Vul in: Aantal sommen goed: …

Benodigde tijd: …

De volgende sommen vind ik nog lastig: …

29

Opdracht 1.52 a 12 000 + 9 000 = … b 31 000 – 7 000 = … e 20 × 320 = … f 1 000 × 93 = … g 6 500 : 65 = … h 4 500 : 90 = …

c 820 000 + 82 000 = … d 820 000 – 82 000 = … i j k l

700 × 80 000 = …

4 000 × 150 = …

63 000 : 900 = …

4 000 000 : 8 000 = …

Opdracht 1.53 a 67 + 58 = … b 92 – 78 = … c 12 000 + 9 500 = … d 12 003 – 9 500 = …

e 249 + 249 = … f 10 000 – 40 = … g 23 + 869 + 77 + 31 = … h 736 – 37 – 63 = …

Opdracht 1.54 a 600 × 15 = … b 315 + 315 + 315 + 315 + 315 = … c 600 : 15 = …

d 8 × 5 × 7 = … e 4 × 17 × 25 = … f 125 × 19 × 8 = …

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

Met tussennotaties Soms lukt het niet de gehele opgave uit het hoofd te doen omdat je veel moet onthouden. Het is natuurlijk geen enkel bezwaar om even een tussenstap op te schrijven. Hierna werken we als voorbeeld enkele opgaven volledig uit, met alle gedachten erbij. Bedenk wel dat er vaak nog veel meer mogelijkheden zijn om tot een oplossing te komen.

voorbeeld

49 091 – 1 496 = …

Een rond getal aftrekken is eenvoudiger dan een willekeurig getal aftrekken.

Het aftrekgetal ligt dichtbij 1 500, dus als we beide termen met 4 vermeerderen, verandert het verschil niet: 49 091 – 1 496 = 49 095 – 1 500 = 49 595 – 2 000 = 47 595 (nog eens beide termen met 500 vermeerderd).

36 × 26 = …

26 kun je afronden op 25. Dat helpt, want 36 is deelbaar door 4.

36 × 26 = 36 × 25 + 36 × 1 = 9 × 4 × 25 + 36 = 9 × 100 + 36 = 936.

4 761,07 + 203,99 = …

Met kommagetallen werkt het net als met hele getallen, als je maar op de plaats van de komma let. De tweede term is bijna 204; dat is eenvoudig bij te tellen. 4 761,07 + 203,99 = 4 761,07 + 204 – 0,01 = 4 761,07 – 0,01 + 200 + 4 = 4 761,06 + 200 + 4 = 4 961,06 + 4 = 4 965,06.

17 × 31 – 62 = …

Als je goed naar de getallen kijkt, zie je 62: dat is het dubbele van 31.

17 × 31 – 62 = 17 – 31 – 2 × 31 = 15 × 31 = 15 × 30 + 15 × 1 = 450 + 15 = 465.

30

7 500 : 125 = …

Beide factoren zijn deelbaar door 5, en zelfs door 25. Dus 7 500 : 125 = 1 500 : 25 = 300 : 5 = 60.

156 : 4 = …

Zowel 100 als 56 zijn deelbaar door 4. Dus 156 : 4 = 100 : 4 + 56 : 4 = 25 + 14 = 39.

Opdracht 1.55 a 6 742 + 1 793 = … b 717,17 – 297,88 = … c 98 008 – 99 = …

d 398,8 + 254,4 = … e 1 000 – 137 + 27 = …

Opdracht 1.56 a 395 : 5 = … b 850 : 5 = … c 850 : 17 = …

d 1 632 : 8 = … e 13 013 : 13 = …

Opdracht 1.57 a 6 × 78 = … b 40 × 78 = … c 4 × 348 = …

d 12 × 15 = … e 19 × 21 = …

Opdracht 1.58 a 1 dag = … minuten b 1 week = … minuten

c 1 dag = … seconden d 1 week = … seconden

Opdracht 1.59

Sliertsom: kijk goed naar de vorige uitkomst. a 3 × 37 = … f 7×7=… b 6 × 37 = … g 7 × 14 = … c 27 × 37 = … h 7 × 140 = … d 37 × 21 = … i 7 × 143 = … e 15 × 37 = … j 11 × 13 = …

Opdracht 1.60 a 100 × 100 = … b 104 × 104 = … c 103 × 103 = …

k l m n o

1 Hele getallen

37 × 298 = …

298 is bijna 300. Dus 37 × 298 = 37 × 300 – 37 × 2 = 37 × 3 × 100 – 74 = 111 × 100 – 74 = 11 100 – 74 = 11 000 + 100 – 74 = 11 000 + 26 = 11 026.

7 × 11 × 13 = …

14 × 11 × 13 = …

123 × 7 × 11 × 13 = …

593 593 : 1 001 = …

628 628 : 2 002 = …

d 97 × 97 = … e 99 × 99 = …

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

31

1.2.3 Rekenen met ronde getallen Meestal rekenen we in dagelijkse situaties met ronde getallen, omdat je dat eenvoudig uit het hoofd kunt doen. Je zorgt dan zelf eerst dat de getallen waarmee je gaat rekenen rond zijn door ze af te ronden. Als je bijvoorbeeld 48 liter benzine hebt getankt waarmee je weer 639 kilometer kunt rijden, bedenk je hoe zuinig je auto is door te rekenen met 50 liter op 650 kilometer, ofwel 1 liter op 650 : 50 kilometer. Omdat 650 : 50 = 1 300 : 100 = 13, is de uitkomst dat je ongeveer 1 op 13 hebt gereden. Dit kan nog zuiniger als je wat minder vaak snel optrekt, denk je dan.

voorbeeld

600 × 50 = …

6 × 100 × 5 × 10 = 6 × 5 × 100 × 10 = 30 × 1 000 = 30 000 (6 × 5 en dan 3 nullen erachter)

Opdracht 1.61 a 20 × 50 = … b 80 × 500 = …

c 30 × 150 = … d 40 × 3 500 = …

Opdracht 1.62 a 650 : 50 = … b 1 800 : 20 = …

c 6 000 : 40 = … d 20 000 : 500 = …

Is het je gelukt de opdrachten 1.61 en 1.62 foutloos te maken? Heb je strategieën om het rekenen met nullen vlot en zeker te kunnen uitvoeren? Zo niet, dan is oefening gewenst, maar wel met inzicht.

Opdracht 1.63

Opdracht 1.64

32

Vul de tabel verder in.

1 pak 500 vel

Vel

1 doos 750 nietjes

Nietjes

1 2 5 20 50 100 2 000 100 000 5 000 000 … … … … …

500 … … … … … … … …

2 000 10 000 35 000 200 000 15 000 000

1 2 4 20 80 400 2 000 1 000 000 8 000 000 … … … … …

750 … … … … … … … …

450 000 225 000 67 500 3 750 90 000

Bij een popconcert in het Gelredome waren zo’n 50 000 bezoekers. Zij betaalden bij elkaar aan entreegeld ongeveer 3 miljoen euro. Hoeveel is dit gemiddeld per bezoeker?

De afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 385 000 kilometer. a Hoeveel uur was de Eagle in 1969 onderweg naar de maan bij een gemiddelde snelheid van 3 500 kilometer per uur? b Hoeveel dagen is dat?

Opdracht 1.66

Neem weer even de tijd op die je nodig hebt voor dit rijtje van 12 opgaven, dat je aan het begin van deze paragraaf ook al gemaakt hebt. Noteer weer de tijd die je nodig hebt om de opgaven te maken.

28 + 36 = …

143 – 65 = …

567 + 34 = …

803 – 796 = …

2 010 + 460 = …

2 980 – 620 = …

7 × 34 = …

4 × 249 = …

18 × 99 = …

84 : 7 = …

44 : 18 = …

1 000 : 125 = …

1 Hele getallen

Opdracht 1.65

Vergelijk je tijd met de tijd die je aan het begin van deze paragraaf nodig had. Ben je veel vlotter gaan rekenen?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

1.3 Kolomsgewijs en cijferend

rekenen

Bij hoofdrekenen nemen de getallen een belangrijke plaats in. Anders gezegd: hoofdrekenen gaat het best als de getallen meewerken. In situaties waarin dat niet direct het geval is, kun je je toevlucht nemen tot kolomsgewijs rekenen of cijferend rekenen, of de rekenmachine gebruiken. Bij kolomsgewijs rekenen maak je gebruik van de decimale splitsing van de getallen. Bij cijferen doe je dit ook, maar is het minder zichtbaar. Hierna komt eerst optellen en aftrekken, daarna vermenigvuldigen en tot slot delen aan bod. Eerst behandelen we steeds de kolomsgewijze aanpak en daarna de cijferende manier.

1.3.1 Kolomsgewijs optellen en aftrekken In de vorige paragraaf stond het handig en flexibel hoofdrekenen centraal.

Een rekenwijze die je toe kunt passen als handig rekenen niet direct voor de hand ligt, is cijferen. Cijferen is het volgens een vast recept rekenen met de cijfers van getallen.

33

Bij optellen gaat dit als volgt:

1 563 271 + 834 Bij aftrekken ziet dit er zo uit:

4 563 271 – 292 Bij cijferen reken je met de cijfers van een getal en let je niet op hun waarde.

Je rekent van rechts naar links, dus tegen de leesrichting in. Je past deze werkwijze toe als je met relatief grote getallen werkt en geen rekenmachine of ander hulpmiddel bij de hand hebt. Voor het toepassen van deze methode hoef je geen inzicht te hebben in de onderliggende rekenhandelingen. Je dient het wel vlot en foutloos te kunnen toepassen.

Voordat we deze techniek gaan oefenen, komt eerst nog een andere rekenwijze aan bod die als het ware tussen hoofdrekenen en cijferen inzit, het zogeheten kolomsgewijs rekenen. Kenmerk daarvan is dat je niet rekent met de losse cijfers van de getallen, maar met de positiewaarden van de getallen op basis van de tientallige splitsing: van groot naar klein, van links naar rechts: 563 271 + 700 130 4+ 834

= 500 + 200 = 60 + 70 =3+1 = 700 + 130 + 4 (700 → 830 → 834)

Links staat wat je noteert, rechts hoe je gedacht hebt. In de laatste stap rijg je de tussenuitkomsten uit het hoofd aan elkaar.

De kolomsgewijze aftrekking gaat als volgt: 563 271 – 300 = 500 – 200 10 tekort = 60 – 70 2 + =3–1 292 = 300 – 10 + 2 (300 → 290 → 292), waarbij de laatste stap weer hoofdrekenend wordt gedaan.

34

1 Hele getallen

Bij kolomsgewijs rekenen worden de getallen dus eigenlijk eerst tientallig gesplitst: 563 = 500 + 60 + 3 271 = 200 + 70 + 1 Daarna bewerk je de delen (optellen of aftrekken) om ze vervolgens weer bijeen te voegen tot 1 getal. Bij die bewerking kunnen bij een aftrekking eventueel tekorten ontstaan, die nadien geruisloos tot een uitkomst worden aaneengeregen.

We kunnen 3 voordelen noemen van deze aanpak: ■ het sluit goed aan bij hoofdrekenen op papier; ■ door te denken aan geld begrijp je de stappen die je doet beter; ■ door van links naar rechts te werken zie je van begin af aan hoe groot de uitkomst ongeveer is.

Sommige mensen reageren vaak verrast wanneer ze voor het eerst rekenen met tekorten zien. Het blijkt echter een mooie en zeer inzichtelijke werkwijze (afkomstig van leerlingen zelf), die met weinig oefening in de vingers te krijgen is. Bedenk bovendien dat je bij grotere getallen waarschijnlijk de rekenmachine zult inschakelen.

We geven nog 2 voorbeelden.

voorbeeld

657 388 – 300 30 tekort 1 + tekort 269

(= 600 – 300) (= 50 – 80) (= 7 – 8) (300 → 270 → 269) (= 300 – 30 – 1)

7 538 2 842 – 5 000 300 tekort 10 tekort 6+ 4 696 (= 5 000 – 300 – 10 + 6 = 4 696 (5 000 → 4 700 → 4 690 → 4 696)

Opdracht 1.67

Bereken kolomsgewijs en cijferend. a 639 b 467 c 546 427 + 784 + 235 – ... ... ...

d 328 126 – ...

e 345 258 – ...

35

Opdracht 1.68

Opdracht 1.69

Bereken cijferend en kolomsgewijs. a 678 b 427 c 945 427 + 1 874 + 223 – ... . ... ...

d 979

e 1 050

589 – ...

456 – ....

Vul de lege plaatsen in zodat de optellingen en aftrekkingen kloppen.

a

b

6 7 4 1 1

+

4

7

c 9 4 5

7 4 + 1 3 0

d –

7 2 2

7 9 5

e 1 0

9 –

3 9

4 5 5 9

Opdracht 1.70

In de letterpuzzel stelt elke letter een ander cijfer voor. Er staat dus 3 keer hetzelfde cijfer met onder de streep een getal dat weer op dat cijfer eindigt.

Een mogelijkheid is dus 0, maar 3 keer 0 is 0, dus dat klopt niet, want er moet een ander cijfer voor. Zoek de oplossing.

A A A+ BA

Opdracht 1.71

Dezelfde vraag als bij opdracht 1.70, maar nu voor de volgende optelling.

UV V+ VU

Opdracht 1.72 a De volgende aftrekking heeft heel veel oplossingen. Kun je er 2 vinden? b Kun je nog 1 oplossing vinden waarin het cijfer 0 niet voorkomt?

AFT REK – SOM Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

36

0

–

1.3.2 Kolomsgewijs en cijferend vermenigvuldigen Bij een vermenigvuldiging denk je vaak aan herhaald optellen.

voorbeeld

De droomreis kost € 731 en we gaan met 7 personen. Wat kost dit bij elkaar?

1 Hele getallen

€ 731 € 731 € 731 € 731 € 731 € 731 € 731 + ...

Je kunt de vermenigvuldiging 7 × 731 ook zien als een oppervlaktebepaling: 700

30

1

7

Deze kun je hoofdrekenend oplossen door 7 × 700 + 7 × 30 + 7 × 1 = 4 900 + 210 + 7 = 5 110 + 7 = 5 117 te doen. Je kunt dit ook onder elkaar opschrijven, zodat een kolomsgewijze vermenigvuldiging ontstaat: 731 7× 4 900 210 7+ 5 117 Ook wanneer je meercijferige getallen moet vermenigvuldigen, helpt het denken aan een rechthoek waarvan je de oppervlakte moet bepalen weer als een handig geheugensteuntje (45 × 63):

37

45 5

60

60 × 40 = 2400

60 × 5 = 300

63

40

3

3 × 40 = 120

3 × 5 = 15

Deze rechthoek kun je verder schematiseren tot een tabel: 45 × 63 = (40 + 5) × (60 + 3): × 60 3 Totaal

40 2 400 120 2 520

5 300 15 315

Totaal 2 700 135 2 835

Kolomsgewijs rekenend van boven naar beneden en van links naar rechts ziet deze vermenigvuldiging er dan zo uit: 45 63 × 2 400 (= 40 × 60) 120 (= 40 × 3) 300 (= 5 × 60) 15 + ( = 5 × 3) 2 835 Wie de tussenstappen niet allemaal meer nodig heeft, verkort het bovenstaande tot de traditionele cijferende aanpak, waarbij je ook de leesvolgorde loslaat: 45 63 × 135 2 700 + 2 835 Wanneer de getallen nog groter worden, gebruik je vaker je rekenmachine.

38

Bereken deze producten kolomsgewijs en cijferend. a 32 × 23 = … b 89 × 32 = …

Opdracht 1.74

Bereken de oppervlakte van een terrein van 124 × 35 meter cijferend of kolomsgewijs.

Opdracht 1.75

De vermenigvuldiging 49 × 89 wordt als volgt berekend: 40 × 80 + 9 × 9 = 3 281. Geef commentaar op deze uitwerking.

Opdracht 1.76

Vul de lege plaatsen (vakjes) in zodat de vermenigvuldigingen kloppen.

a

b

7

c

5

9 ×

d

3 6

6 ×

3

×

× 1

+

7 7

+

0

+

2

1 Hele getallen

Opdracht 1.73

4 8 +

1 3 6

Bij een vermenigvuldiging met kommagetallen laat je eerst alle komma’s weg en plaats je aan het eind de komma direct op de juiste plaats via een schatting.

voorbeeld

34,2 × 10,6 wordt 342 × 106 met als uitkomst 36 252. Je schat de uitkomst via 30 × 10 = 300. Dus de komma komt tussen 2 en 5: 362,52.

Opdracht 1.77

Doe net zoals in het voorbeeld bij de volgende vermenigvuldigingen: a 5,23 × 9,1 = … b 12,9 × 0,8 = …

Opdracht 1.78

Bepaal van de volgende producten zonder te rekenen of de uitkomst juist kan zijn of niet. Laat zien hoe je redeneerde. a 274 × 16 = 4 382 b 3 500 × 90 = 31 500 c 6,7 × 7,6 = 509,6 Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

1.3.3 Kolomsgewijs en cijferend delen Deelsommen met getallen met veel cijfers die je niet hoofdrekenend aankunt, maak je meestal op je rekenmachine. Maar handmatig is het ook goed mogelijk de uitkomsten te vinden, getuige de volgende voorbeelden.

39

voorbeeld

Een studente heeft over een periode van ruim 56 weken een aantal malen per week gewerkt in de horeca. In deze hele periode heeft zij € 14 567 verdiend. Wat verdiende zij gemiddeld per week?

Bij kolomsgewijs delen (ook wel de hapmethode genoemd), noteer je de bijbehorende deelsom met een streep eronder (of erboven) en dan naar beneden, dus 14 567 : 56. Nu komt het erop aan om zo groot mogelijke ‘happen’ van 56 af te halen van het begingetal 14 567. Dit zou als volgt kunnen: 200 × 56 = 11 200 (verdubbelen en twee nullen erachter) eraf halen, dan blijft over: 3 367.

50 × 56 = 2 800 (de helft van 5 600) eraf halen, dan blijft over: 567.

Nu kun je nog 10 × 56 eraf halen en resteert 7.

De uitkomst is dus 200 + 50 + 10 = 260 rest 7.

Wanneer je deze stappen onder elkaar noteert in een lange staart, kan dat er zo uitzien: 14 567 : 56 = 11 200 – 3 367 2 800 – 567 560 – 7

...

200 × 56 50 × 56 10 × 56 260 × 56

Dit voorbeeld kun je nog iets verkorten. Daarmee is direct het grote voordeel van kolomsgewijs delen zichtbaar: je hoeft niet per se de meest verkorte uitwerking op te leveren.

Sommige mensen vinden het prettig met een vermenigvuldigtabel te werken, zodat ze hun aandacht kunnen verdelen over 2 gescheiden processen. In het volgende voorbeeld kun je dit zien.

voorbeeld

De website van uitgever ThiemeMeulenhoff is de laatste 39 dagen precies 33 387 keer bezocht. Hoeveel bezoeken zijn dat gemiddeld per dag?

Ter voorbereiding bouwen we eerst een vermenigvuldigtabel op: 1 × 39 = 39 (weetje) 2 × 39 = 78 (verdubbelen) 4 × 39 = 156 (verdubbelen) 8 × 39 = 312 (verdubbelen) 10 × 39 = 390 (nulregel) 5 × 39 = 195 (halveren) 3 ×, 6 ×, 7 × en 9 × laten we even buiten beschouwing, maar zijn snel te vinden door 2 uitkomsten op te tellen of af te trekken.

40

Nu kan het opdelen beginnen: 33 387 : 39 31 200 – 800 × 39 2 187 1 560 – 40 × 39 627 624 – 16 × 39 (+ het dubbele van 312) 3 856 ×

Cijferend delen

1 Hele getallen

Natuurlijk zijn ook andere staarten mogelijk, bijvoorbeeld via de 5 ×- en 50 ×-happen. Maak weer je eigen keuze, want dit geeft het beste resultaat om een deling uit te rekenen en het vergroot je zelfvertrouwen.

Bij cijferend delen hanteren we een iets andere werkwijze. Zie het volgende voorbeeld, met daarnaast de meest verkorte kolomsgewijze versie.

voorbeeld

27 ⁄ 5751 \ 213 54 – 35 27 – 81 81 – 0

5751 : 27 = 5400 – 200 × 350 270 – 10 × 81 81 – 3× 0 213 ×

Nu de beide manieren naast elkaar staan, zie je dat de schema’s van de meest verkorte kolomsgewijze aanpak en de cijferende aanpak maar weinig van elkaar verschillen.

Wanneer de deling niet opgaat, dus als er een rest overblijft, kun je die rest opschrijven, maar je kunt ook tot 2 cijfers achter de komma doordelen alsof het een geldbedrag is.

voorbeeld

457 : 18 = …

360 – 97 90 – 7 5,4 – 1,6 1,44 – 0,16

20 × 18 5 × 18 0,3 × 18 0,08 × 18 + 25,38 × 18

(7 euro met 18 delen) (ieder 30 cent is 5,40) (1,60 delen met 18) (ieder 8 cent is 1,44)

Wat nu nog overblijft is 16 cent. Dat is gedeeld door 18 net geen 1 cent, dus je rondt je antwoord af tot 25,39.

41

Opdracht 1.79

Bereken de delingen kolomsgewijs en cijferend. a 912 : 24 = … b 7 968 : 83 = …

Opdracht 1.80

Deel door tot 2 plaatsen achter de komma. a 912 : 26 = … b 2 117 : 31 = …

Opdracht 1.81

Bepaal de rest bij deling van de volgende gevallen. a 10 : 7 = … rest … d 10 000 : 7 = … rest … b 100 : 7 = … rest … e 100 000 : 7 = … rest … c 1 000 : 7 = … rest … f 1 000 000 : 7 = … rest …

Opdracht 1.82

36 deelnemers aan de Postcodeloterij winnen gezamenlijk een bedrag van € 750 000. Hoe verdelen zij dat onderling?

Opdracht 1.83

In totaal schreven zich 106 750 eerstejaarsstudenten op 33 hbo-instellingen in voor een hbo-opleiding. Hoeveel studenten zijn dat gemiddeld per instelling?

Opdracht 1.84

De volgende situatie heeft als uitkomst 24 rest 16. Stel dat je 544 leerlingen moet vervoeren in busjes waar 22 leerlingen inpassen. Dan heb je 24 volle busjes nodig en nog 1 busje voor de overgebleven 16 leerlingen. a Bedenk zelf nog een tweede situatie voor de uitkomst 24 rest 16. b Merk je dat de uitkomsten gelijk zijn, maar dat dit niet geldt voor de situaties?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

1.4 Schattend rekenen Schattend rekenen is een relatief nieuw onderdeel van het programma. In veel dagelijkse situaties waarin gerekend moet worden, volstaat vaak een schatting, omdat het precieze antwoord door een machine (kassa) wordt gegeven. Om antwoord te geven op de vraag of € 50 genoeg is om 5 T-shirtjes van € 7,95 te kopen, hoef je de precieze totaalprijs niet te weten. Wie wil weten hoeveel vissen er in een meertje zwemmen, kan ze onmogelijk allemaal gaan vangen en dan tellen, maar door er enkele te vangen en een poosje later nog eens, kun je wel een idee krijgen van het aantal vissen in het meertje. Als de getallen waarmee je gaat rekenen al schattingen zijn, heeft het weinig zin daar heel precies mee te rekenen. Het aantal calorieën dat je op een dag verbruikt, kun je natuurlijk proberen heel precies bij te houden, maar veel zin heeft dit niet, omdat de getallen waarmee je rekent niet precies zijn. Een globale benadering volstaat in zo’n geval.

Je zou de indruk kunnen krijgen dat schattend rekenen eenvoudig is, omdat het niet precies hoeft. Maar in werkelijkheid vinden veel mensen het lastig om de oorspronkelijke getallen te vervangen door ronde getallen en rekenen 42

ze liever precies, waarna ze de einduitkomst afronden. Om schattend te kunnen rekenen, moet je dus eigenlijk al goed precies kunnen rekenen. Het belang van schattend rekenen moet je niet onderschatten. Het meeste rekenwerk dat mensen tegenwoordig nog zelf uitvoeren, is schattend. Vaak doen we het als controle op het geautomatiseerde rekenwerk in de winkel of elders.

1.4.1 Afronden

voorbeeld

1 Hele getallen

Soms pas je de getallen waarmee je gaat rekenen op zo’n manier aan dat het rekenwerk eenvoudig wordt en je uitkomst niet veel verschilt van de precieze uitkomst. Afronden van getallen doe je omdat het vaak niet nodig is met alle cijfers van een getal te rekenen. Afronden komt erop neer dat je het oorspronkelijke getal vervangt door het dichtstbijzijnde richtgetal. Dit zijn de getallen waarop je afrondt, zoals de hondersten als je op hondersten afrondt.

Je gaat 3,53261 afronden op tienden, op duizendsten en op helen.

Als je afrondt op tienden let je op alle tienden en kijk je welke daarvan het dichtst in de buurt ligt: 3,2 – 3,3 – 3,4 – 3,5 – 3,6. Het is duidelijk dat ons voorbeeldgetal 3,53261 het dichtst bij 3,5 ligt.

3,53261

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

Bij afronden op duizendsten geeft de decimaal van de tienduizendsten – de 6 – aan dat we 3,533 moeten hebben.

Bij afronding op helen ten slotte zoeken we in de verzameling van hele getallen en komen dan bij 4 uit, want het getal ligt net voorbij het midden.

3,53261

3,532

3,5325

3,533

3,53261

3

3,5

4

Een veelvoorkomende fout bij afronden is deze: rond 3,47965 af op helen.

De foute redenering is dan: 3,47965 → 3,4797 → 3,480 = 3,48 → 3,5 → 4. De afrondingsregel wordt als het ware een aantal keren achter elkaar toegepast.

Maar het oorspronkelijke getal 3,47965 ligt duidelijk dichter bij 3 dan bij 4, dus de correcte afronding op helen is 3.

43

voorbeeld

Tijdens de vakantie hebben we 4 183 kilometer gereden. In totaal hebben we 395 liter benzine gekocht. Volgens het boekje van de fabrikant verbruikt onze auto 1 op 15. Klopt dit wel?

Als we goed naar de getallen kijken, zien we dat we ongeveer 4 000 kilometer hebben gereden op 400 liter brandstof. Dit is 1 op 10. Dus de fabrikant heeft het verbruik veel gunstiger voorgesteld dan de werkelijkheid.

Opdracht 1.85 a Elke week spaart Ruud € 25 voor een nieuwe versterker. Die kost € 513.

Hoelang duurt het voordat Ruud voldoende geld bij elkaar heeft gespaard? b 6 lottowinnaars delen samen een prijzenpot van € 101 936,-. Hoeveel krijgt ieder ongeveer?

Opdracht 1.86

Geef van de aantallen kilometers aan waar ze ongeveer liggen op een getallenlijn. Kies voor elk aantal een geschikte getallenlijn. a 479 km b 2 651 km

0 km

100 km

0 km

1 000 km

0 km

10 000 km

Opdracht 1.87

Hoeveel mensen kunnen het precies zijn geweest? Licht je antwoord toe. a Ongeveer 35 000 mensen liepen dit jaar de Nijmeegse vierdaagse. b Ongeveer 35 000 mensen waren bij de inhuldiging van de kersverse wereldkampioen.

Opdracht 1.88

Geef van de aantallen inwoners aan waar ze ongeveer liggen op een getallenlijn. Kies voor elk aantal een geschikte getallenlijn. a 74 197 b 16 768 244 c 294 885

0

100 000

0

1000 000

0

10 000 000

Opdracht 1.89 a Rond 1 445 af op het dichtstbijzijnde duizendtal. b Rond 89 452 956 af op miljoenen. c Rond 4,547 af op 2 cijfers achter de komma. d Rond 4,547 af op 1 cijfer achter de komma.

44

Opdracht 1.90 Jeroen kreeg de afgelopen periode 3 proefwerken. De leraar van Jeroen geeft alleen hele cijfers voor een proefwerk en rondt het gemiddelde af op tienden.

Jeroen had een gemiddelde van 6,7 op zijn rapport. Welke cijfers kan Jeroen gehaald hebben voor de 3 proefwerken?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

Wanneer je afronden onder de knie hebt, worden ook de bewerkingen betrokken bij het schattend rekenen. Optellen en aftrekken met ronde getallen is erg eenvoudig, maar het lastige hierbij is dat je aan het eind steeds terug moet kijken op het effect van afronden. Er is dus ook wat redeneerwerk bij nodig.

Bij optellen is het effect van afronden soms te beheersen door de ene term naar boven en de andere naar beneden af te ronden, met als resultaat dat de afrondfouten elkaar enigszins opheffen. Bij aftrekken is het gewenst beide termen dezelfde kant op af te ronden om de afrondfout te verkleinen.

voorbeeld

1 Hele getallen

1.4.2 Schattend optellen en aftrekken

Op een kassabonnetje staan de volgende bedragen. Schat of je genoeg hebt aan € 20. € 4,35 € 3,80 € 2,95 € 1,25 € 0,89 € 5,70

Rond alle bedragen af op hele euro’s en tel ze op: 4 + 4 + 3 + 1 + 1 + 6 = 19.

Sommige mensen tellen alleen de euro’s op (dus laten alle eurocenten weg) en tellen er daarna voor elk bedrag nog 0,5 euro erbij. Dat wordt in dit geval 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 5 + 6 × 0,5 = 18, dus dat klopt ook redelijk goed.

1.4.3 Schattend vermenigvuldigen en delen Afrondfouten bij vermenigvuldigen kun je in de hand houden door de ene factor naar boven en de andere naar beneden af te ronden, zoals bij optellen ook het geval is. Bij delen gaat het als bij aftrekken: beide factoren naar boven of beide factoren naar beneden afronden. Schattend vermenigvuldigen en delen doe je bijvoorbeeld om te controleren of je geen fouten hebt gemaakt bij het intoetsen op je rekenmachine.

45

voorbeeld

Je koopt 5 broden van € 1,98. Heb je genoeg aan € 10?

5 × 2 = 10, dus € 10 is genoeg.

Je hebt € 50 in je portemonnee. Hoeveel dvd’s van € 7,95 kun je daarvoor kopen?

50 : 7,95 ≈ 50 : 8 = 6 en nog wat, dus je kunt er maximaal 6 kopen.

Opdracht 1.91

Zijn de uitkomsten van de bewerkingen groter of kleiner dan 1 000? a 3 476 – 1 890 c 803 + 210 – 51 b 265 + 767

Opdracht 1.92

Is het totaal aantal bezoekers over de 4 maanden meer dan Maand Januari Februari Maart April Totaal

Opdracht 1.93

1 4

miljoen?

Aantal bezoekers 13 847 27 633 46 531 108 752 …

Kies snel het goede antwoord en leg uit waarom je dat antwoord kiest.

7 937 + 2 973 = … a 9 910 b 10 910 c 11 910 534 – 265 = …

a 269

b 369

c 769

Opdracht 1.94

Janne rekent 614 × 35 uit op haar rekenmachine. Ze vindt als uitkomst 2 149.

Hoe zie je dat dit antwoord niet juist kan zijn?

Opdracht 1.95

Vul in. a 7 379 : 26 ≈ … b 256 × 3,9 ≈ …

Opdracht 1.96

In het theater staan in de grote zaal 24 rijen van elk 32 stoelen. Hoeveel zitplaatsen zijn dat ongeveer?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

46

1.4.4 Schatten en rekenen Soms heb je te maken met situaties waarin de gegevens onvolledig zijn. Je moet dan als het ware eerst zelf de getallen kiezen waarmee je gaat rekenen.

voorbeeld

De prijs van een shirtje in de uitverkoop ligt tussen € 11 en € 19. Hoeveel moet je ongeveer betalen voor 3 shirtjes?

Je rondt 3 × 11 af op 3 × 10 = € 30, en 3 × 19 op 3 × 20 = € 60. Je bent dus tussen € 30 en € 60 kwijt.

uit zo’n meting over schattend rekenen. Ze zijn afgenomen in het PPONonderzoek (PPON-brochure 15). Maak de opgaven om te zien hoe ver jij op dit moment bent. a Yvonne rekent uit op haar rekenmachine: 715,347 + 589,2 + 4,553 = 13091. Bij het opschrijven van het antwoord is ze de komma vergeten. Waar moet de komma staan? b Ik reken op de rekenmachine uit:

1 Hele getallen

Opdracht 1.97 Elke 5 jaar meet Cito het rekenniveau van groep 8. Hierna volgen 9 opgaven

Bij het opschrijven van het antwoord 40130435 ben ik de komma vergeten.

Waar moet de komma staan? c 0,497 × 48 is ongeveer … d 5 13 × 7 19 20 is ongeveer … e In de prijzenpot zit € 6 327,75. Er zijn 8 winnaars die dit bedrag met elkaar moeten delen. Hoeveel geld krijgt ieder dan ongeveer? Rond af op € 100. f 17 000 – 2 997 – 2 999 – 2 996 = …

Rond de getallen die je aftrekt eerst af. De uitkomst van deze aftrekking is iets meer dan … g Uitslag van de stemming over de aanleg van een nieuw fietspad: VOOR: 412 mensen.

TEGEN: 397 mensen.

Totaal aantal stemmers: 809 mensen Hoeveel procent ongeveer van het totaal aantal stemmers was tegen de aanleg van het fietspad? Kies uit: 0,5% – 2% – 50% – 200% – 400%. h Welk teken moet er op de stippen staan? 51 × 41 … 2000 Kies uit: <, > of = (< betekent: is minder dan, > betekent: is meer dan, = betekent: is evenveel als).

47

i Op een aantal cijfers van deze opgave is inkt terechtgekomen. Onder de opgave staan 3 antwoorden. 2 van de antwoorden zijn duidelijk fout en 1 is goed. Wat is het goede antwoord?

7 3 0 + . . .

Antwoorden: 700 – 400 – 1 090

Opdracht 1.98

Reken eens uit hoeveel dagen je oud bent (ongeveer).

Opdracht 1.99

Hier volgt een bekende anekdote die te maken heeft met schattend rekenen.

Iemand vraagt aan de suppoost in het museum hoe oud de dinosaurus is die er staat opgesteld. De suppoost antwoordt: ‘70 miljoen en 4 jaar,’ en vervolgt: ‘Ja, want toen ik hier 4 jaar geleden begon, zei men dat hij 70 miljoen jaar oud was …!’ Kan de suppoost goed rekenen, of juist niet?

Opdracht 1.100 Leg uit dat de uitkomsten kloppen. a Ongeveer 1 miljard + 1 miljoen = ongeveer 1 miljard. b Ongeveer 1 miljard – 1 miljoen = ongeveer 1 miljard.

Opdracht 1.101 a Bij een loterij werd voor € 7 385 aan loten verkocht. Een lot kostte € 5 per stuk. Hoeveel loten zijn er ongeveer verkocht? Kies uit: 2 000 – bijna 1 500 – bijna 1 000. b Op een topdag verkocht een handelaar op de markt 258 keukenhulpjes van € 7,95 per stuk. Hoeveel bracht deze verkoop ongeveer op? c De achtertuin is 9,65 meter diep en 7,15 meter breed. Hoeveel vierkante meter tegels zijn ongeveer nodig om de hele tuin te betegelen? d Hoeveel minuten duurt 1 week ongeveer? Kies uit: 1 200 000 – 40 000 – 10 000 – 130 000.

Opdracht 1.102 Als iemand in de Postcodeloterij € 9 miljoen wint en hij geeft elk uur (dag en nacht) € 100 uit, hoe lang duurt het dan voordat hij het hele bedrag heeft uitgegeven? Wat denk je in eerste instantie?

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

Referentiekennis Soms moet je bij schattend rekenen ook wat andere kennis inzetten. Bijvoorbeeld hoeveel dagen er in 1 jaar gaan, hoeveel kilometer de omtrek van de aarde ongeveer is, hoeveel inwoners Nederland heeft. We spreken dan van kennis van referentiematen.

48

Opdracht 1.103 Van de Harry Potter-boeken (in 64 talen) gingen in totaal al ongeveer 335 miljoen exemplaren over de toonbank. Als je al die boeken in gedachten op zou stapelen, reikt die stapel dan tot aan de maan? De gemiddelde afstand tussen de aarde en de maan is ongeveer 385 000 kilometer.

Opdracht 1.104 Het zonlicht heeft als het ons bereikt al de enorme afstand afgelegd van de

Opdracht 1.105 De afstand die het licht aflegt in 1 heel jaar noemen we ook wel 1 lichtjaar.

Dat is dus geen tijdmaat, maar een afstandsmaat. Hoeveel meter bedraagt 1 lichtjaar ongeveer?

1 Hele getallen

zon tot de aarde. Deze afstand bedraagt ongeveer 150 miljoen kilometer.

Hoe lang is het licht onderweg geweest, denk je, als je weet dat het een snelheid heeft van ongeveer 300 000 kilometer per seconde?

Opdracht 1.106 Bastiaan zit in groep 5. Zijn vader zegt dat Bastiaan ongeveer 5 miljoen minuten oud is. Klopt dit?

Opdracht 1.107 Geef aan welke uitspraken waar kunnen zijn en welke absoluut niet waar kunnen zijn. Geef bij beide uitspraken een korte toelichting:

a Voor het ophogen van mijn achtertuin met 20 centimeter heb ik 200 kubieke meter zand nodig. b De bevolkingsdichtheid in Nederland is gemiddeld ongeveer 350 inwoners per vierkante kilometer.

Opdracht 1.108 In opdracht 1.5 hadden we het al over de Cheddar Man. Deze man moet ongeveer 7 000 v. Chr. hebben geleefd. Op het Jeugdjournaal sprak men over zijn ‘over-over-over-over-over-over-grootvader’. Hoe vaak zou je het woord ‘over’ eigenlijk moeten gebruiken? Licht je antwoord duidelijk toe.

Ga naar de website voor antwoorden, extra opdrachten en toetsen.

49