Matematika 8

Tematický okruh vymezený RVP

Číslo a proměnná

Závislosti, vztahy a práce s daty

Geometrie v rovině a v prostoru

Nestandardní aplikační úlohy a problémy

Rozšiřující učivo

Kapitola

Druhá mocnina a odmocnina

Výrazy

Lineání rovnice

Statistika

Vyjádření neznámé ze vzorce

Pythagorova věta

Kruh, kružnice

Válec

Množiny všech bodů dané vlastnosti

úlohy Pro chytvé hlavy

úlohy využívající více poznatků

úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit údaje doma

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Část kružnice, část kruhu

Počet řešení rovnice

Pojmy iracionální číslo a reálné číslo

(v kapitole Určování druhé odmocniny na

kalkulačce a pomocí tabulek)

Modus (v kapitole Aritmetický průměr, modus)

Medián

V učebnici jsou použity následující symboly:

úlohy pro práci s kalkulačkou nebo počítačem, resp. tabletem

náročnější úlohy, ve kterých použijete více poznatků

úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit údaje doma nebo na internetu

úlohy vhodné i pro práci s programem dynamické geometrie

na konci učebnice je uveden výsledek

symbolický zápis

čtení symbolického zápisu

upozornění, důležitá poznámka

Rozšiřující učivo pro žáky s hlubším zájmem o matematiku je označeno svislou čarou podél textu.

1 Opakování ze 7. ročníku

1.1 Přirozená čísla

1.2 Celá čísla

Racionální čísla

1.4 Poměr, úměrnost

Procenta, úroky

Shodnost, konstrukce trojúhelníků

1.7 Středová souměrnost, další shodná zobrazení

1.8 Čtyřúhelníky,

2 Druhá mocnina a odmocnina 2.1

soustavě

Opakování

5.2 Vzájemná poloha dvou kružnic (kruhů)

5.5 Obsah kruhu

5.6 Část kružnice, části kruhu

Číselné výrazy

6.2 Výrazy s proměnnými

6.3 Sčítání a odčítání výrazů

6.4 Násobení a dělení mnohočlenů jednočlenem

6.5 Násobení mnohočlenu mnohočlenem

6.6 Vzorce pro úpravu výrazů

6.7 Opakování

7 Válec

7.1 Válec, síť válce

7.2 Povrch a objem válce

7.3 Opakování

8 Lineární rovnice

8.1 Rovnost

8.3 Ekvivalentní úpravy rovnic

8.4 Rovnice

8.6 Slovní úlohy

9 Konstrukční úlohy 9.1 Množiny všech bodů dané vlastnosti

Jednoduché konstrukce

10 Statistika

Základní pojmy

1 Opakování ze 7. ročníku

1.1 Přirozená čísla

a) Seřaďte města podle počtu obyvatel a ukažte je na mapě. (Údaje jsou podle statistiky OSN z roku 2018.)

b) Zjistěte, o kolik měla Paříž méně obyvatel než Buenos Aires.

c) O kolik mělo Sao Paulo více obyvatel než Soul?

Město stát)

Počet obyvatel

Kalkata (Indie) 14 681 000

Buenos Aires (Argentina) 14 967 000

New York (USA)

18 819 000

Paříž (Francie) 10 901 000

Sao Paulo (Brazílie)

Tokyo (Japonsko)

Moskva (Rusko)

Soul (Jižní Korea)

21 650 000

37 400 068

12 410 000

9 963 000

Mexiko City (Mexiko) 21 581 000

Los Angeles (USA)

12 458 000

d) Zjistěte, zda se v současnosti pořadí států změnilo. Pokud ano, vytvořte k aktuální tabulce otázky a odpovídejte na ně.

Určete součet, rozdíl a součin čísel: 

a) 4 184 a 256

f) 6 242 a 517 2

d) 875 a 177

b) 2 607 a 391 e) 7 083 a 95

c) 1 825 a 690

Dělte a proveďte zkoušku: 

a) 66 792 : 92

b) 913 925 : 69

c) 148 392 : 23

d) 426 288 : 498

e) 756 336 : 168

f) 260 952 : 315

g) 404 510 : 4 258

h) 931 362 : 7 561

Pan Hrdlička chce oplotit obdélníkový pozemek o délce 200 m a šířce 156 m.

Jak daleko od sebe musí postavit kůly, aby byla mezi nimi všude stejná vzdálenost a aby spotřeboval co nejméně kůlů? 

8

Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

a) a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm;

b) ŽBCŽ = 52 mm, Ž®ABCŽ = 55°, Ž®BCAŽ = 60°;

c) ŽABŽ = 7 cm, ŽCAŽ= 6 cm, Ž®BACŽ= 50°;

d) ŽABŽ = 70 mm,ŽBCŽ = 40 mm,ŽCAŽ = 80 mm; e) a = 4 cm, b = 7 cm, γ = 45°; f) b = 68 mm, α = 55°, γ = 35°.

Proveďte úplné řešení konstrukční úlohy. V rozboru zapište, o jaký typ konstrukce trojúhelníka (sss, sus, usu) se jedná.

9

10

11

Bez použití úhloměru sestrojte trojúhelník CDE, je-li ŽCDŽ= 48 mm, ŽDEŽ= 63 mm, Ž®CDEŽ = 75°. 

Úlohu řešte také v programu dynamické geometrie.

Sestrojte trojúhelník ABC, víte-li: 

a) α : β : γ = 3 : 4 : 5, a = 6 cm, b) a : b : c = 2 : 5 : 3, o = 25 cm. (o – obvod trojúhelníka)

Sestrojte ∆PQR, jestliže jsou dány velikost strany QR a velikosti dvou přilehlých úhlů Ž®PQRŽ, Ž®QRPŽ. Údaje přeneste z učebnice do sešitu a potom proveďte konstrukci.

12 Jaká je vzdušná vzdálenost míst A, B, která jsou oddělena mořským zálivem? Využijte údajů na obrázku na další straně. (Řešte graficky. Zvolte vhodné měřítko, sestrojte pomocný trojúhelník a vzdálenost odměřte.) 

S využitím internetu a vhodného mapového portálu zformulujte pro spolužáky podobnou úlohu založenou na reálné situaci.

1.7 Středová souměrnost, další shodná zobrazení

5 Kruh, kružnice

5.1 Vzájemná poloha přímky a kružnice (kruhu)

Narýsujte do sešitu kružnici k se středem S a poloměrem 3 cm.

a) Vyznačte čtyři různé body A, B, C, D, jejichž vzdálenost od středu S je větší než 3 cm. Vybarvěte modře tu část roviny, jejíž každý bod X splňuje podmínku ŽSXŽ > 3 cm.

b) Vyznačte čtyři body K, L, M, N, jejichž vzdálenost od středu S je menší než 3 cm. Vybarvěte červeně tu část roviny, jejíž každý bod X splňuje podmínku ŽSXŽ < 3 cm.

c) Vyznačte čtyři body R, S, T, U, jejichž vzdálenost od středu S je rovna 3 cm.

Všechny body kružnice mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od daného bodu S je rovna danému kladnému číslu r.



 k(S; r) Kružnice k se středem S a poloměrem r.

ŽSXŽ = ŽSYŽ = ŽSZŽ = ŽSUŽ = r

1

2

3

Všechny body kruhu mají tu vlastnost, že jejich vzdálenost od daného bodu S je menší nebo rovna danému kladnému číslu r.

 K(S; r)

4



ŽSXŽ = r ŽSZŽ = r

ŽSYŽ < r ŽSUŽ < r

Kruh K se středem S a poloměrem r.

Kružnice k(S; r) je hraniční kružnicí kruhu

K(S; r).

Název poloměr se používá pro označení úsečky, jejímiž krajními body jsou střed kružnice a bod na kružnici, i pro číslo označující délku této úsečky (v prvém případě můžeme hovořit o délce poloměru). Musíme vždy dbát na to, aby bylo zřejmé, který z těchto dvou významů máme na mysli. Poloměr značíme písmenem r (z latinského „radius“).

Pokuste se vysvětlit, co si představujete pod pojmy půlkruh a půlkružnice. Oba útvary načrtněte.

Rozhodněte, zda platí: 

a) Bod E náleží kruhu L(T; r), ale nenáleží kružnici l(T; r).

b) Bod B náleží kruhu L(T; r), ale nenáleží kružnici l(T; r).

c) Střed kružnice náleží kružnici.

d) Střed kruhu náleží kruhu.

Použijte obrázek z předchozího příkladu. Vyberte z bodů A, B, C, D, E, F ty, které a) náleží kružnici l, b) náleží kruhu L. 

a) Vyznačte do sešitu 3 různé body A, B, C. Potom sestrojte kružnici k procházející těmito body. Má úloha vždy řešení? b) Řešte tutéž úlohu i pro 4 body. 

V případě, že dvě různé kružnice mají společný střed, nazýváme tyto kružnice soustředné. Jedná se o zvláštní případ dvou kružnic, z nichž jedna leží uvnitř druhé.

Část roviny omezená soustřednými kružnicemi se nazývá mezikruží.

13

14

Sestrojte soustředné kružnice s poloměry a) 3 cm a 4 cm, b) 20 mm a 35 mm, c) 2,5 cm a 15 mm a vybarvěte mezikruží.

Uveďte příklady ze svého okolí, kde se můžete setkat se soustřednými kružnicemi a mezikružím.

Vyfotografujte tato mezikruží (např. pomocí mobilního telefonu) a fotky ukažte spolužákům.

5.3 Thaletova věta

Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC:

a) a = 4,5 cm; b = 6 cm; c = 7,5 cm

b) a = 5 cm; b = 7 cm; γ = 90°

c) c = 6 cm; α = 40°; β = 50°

V každém z případů a), b), c) setrojte kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Co můžete říci o středu kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku?

1

Je dána kružnice k(S; 3 cm). Na kružnici zvolte tři různé body A, B, C tak, aby úsečka AB byla průměrem kružnice k. Co můžete říci o trojúhelnících CAS a BCS? Doplňte chybějící údaje do rámečků. Úlohu můžete řešit v programu dynamické geometrie.

ŽSAŽ = = = r

Ž® SCAŽ Ž® CASŽ

Ž® SBCŽ Ž® BCSŽ

Ž® ASCŽ + Ž® BSCŽ =

Vypočítejte velikost úhlu ACB z předcházejícího příkladu.

1. Označme: Ž®CABŽ = Ž®CASŽ = α, Ž®ABCŽ = Ž®SBCŽ = β, Ž®ACBŽ = γ.

2. ∆CAS je rovnoramenný, a proto Ž®SCAŽ = α.

3. ∆BCS je rovnoramenný, a proto Ž®SCBŽ = β.

4. ®ACB = ®SCA + ®SCB, a proto γ = α + β.

5. Součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven 180°, tj. v ∆ ABC.

α + β + γ = 180°

α + β + (α + β) = 180°

(α + β) + (α + β) = 180°

2(α + β) = 180°

(α + β) = 90°

Velikost úhlu ACB je rovna 90°. Úhel ACB je pravý.

Výsledek předchozí úlohy zachycuje tzv. Thaletova věta, pojmenovaná podle řeckého matematika Thaleta (1. pád Thalés) z Milétu, který žil na přelomu 7. a 6. století př. n. l.

Každý úhel ACB, kde A, B jsou krajní body průměru kružnice k a bod C různý od bodů A a B leží na kružnici k, je pravý.

3

Vypočítejte velikosti úhlů:  a) b) c)

Navíc se ukazuje, že body, které neleží na kružnici k, nemají vlastnost zmíněnou v Thaletově větě.

Vytknutí před závorku Příklad

Zapište výraz jako součin.

Najdeme největší číslo, které je obsažené ve všech koeficientech (najdeme největšího společného dělitele koeficientů).

Každý koeficient jím vydělíme.

Najdeme nejvyšší mocninu, která je obsažena ve všech jednočlenech. Každý jednočlen jí vydělíme.

Zkouška:

Roznásobením musíme dostat původní výraz.

D (5, 10) = 5 5x + 10

5x + 10 = 5(x + 2)

4x2 y + 8y

D (4, 8) = 4

4(x2y3 + 2y)

Ve všech členech je y1 x není ve všech členech

4y(x2y2 + 2)

5(x + 2) = 5x + 5 · 2 = = 5x + 10 4y (x2y2 + 2) = = 4y · x2y2 + 4y · 2 = = 4x2y3 + 8y

 Vytkneme-li celý člen, zbyde na jeho místě v závorce 1.

x + x2 = x (1 + x)

Vytkněte před závorku:

a) číslo 6 z výrazu 12 + 6a

b) číslo 2 z výrazu 8b – 10

d) výraz x z výrazu 6x + 5x2

e) výraz y2 z výrazu 3y2 – xy2

c) číslo 0,5 z výrazu 2c + 0,5 f) výraz xy z výrazu 2x2y2 – xy

Vytknutím upravte dvojčleny na součin:

a) 4x + 4y d) ab + ac g) 12xy + 5yz

b) 8p + 4q e) x2 – xy h) 27cd – 18ce

c) 6u – 3v f) de2 – de i) p3q – pq2

Rozložte mnohočleny na součin činitelů: 

a) 10m2n – 15 n2 d) 5a4b3 – 15a3b2 + 25a2 b4

b) 12x3y2 + 9x2y3 e) 2x3 – x2y – xy2

c) r4 – 3r3 + 6r2 – 5r f) 0,2 p3q3 – 0,6 p4q + 0,4p2q4

Vhodným vytknutím rozložte na součin: 

a) 5 (a + 4) – b (a + 4) d) 3 (4p – q) – 4p + q

b) k (m – 3) + 4 (m – 3) e) 3x – y – 2z (3x – y)

c) 8 (x + 7) – x – 7

6.5 Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Násobení mnohočlenu mnohočlenem Příklad

Prvním členem prvního dvojčlenu násobíme každý člen druhého dvojčlenu.

Druhým členem prvního dvojčlenu násobíme každý člen druhého dvojčlenu.

Vzniklé součiny sečteme.

(a + b) · (c + d) = = ac + ad + bc + bd (a + b) · (c + d) (x + y) · (2x + 1) (a + b) · (c + d) = = a · c + a · d + ... (x + y) · (2x + 1) = = x · 2x + x · 1 + ...

Dokážete vysvětlit, co znamená následující obrázek?

(a + b) · (c + d) = = ac + ad + bc + bd

Popsaným postupem vynásobte:

c) (b – 2) (b + 3) f) (8p – 1) (–6p – 2) 1 2 3

(a + b) (c – d)

(a – b) (c + d) Dávejte pozor na znaménka. (a – b) (c – d)

Roznásobte:

a) (r + s) (p + q) d) (2x + y) (3 + z) g) (c – 2) (6 – d)

b) (c – d) (e + f) e) (3a + 1) (4b + 2) h) (5x – 4) (–2y – 3z)

c) (m – n) (a – b) f) (7m + 2n) (k + 4) i) (10x – 7y) (7 + 6z)

Násobte dvojčlen dvojčlenem: 

a) (x + 1) (2x + 3) d) (5a + 6) (3 + 2a)

b) (z – 2) (3 – z)

e) (0,2u + 5) (5u – 2)

8.2 Rovnice

2 + 3 = 5

2 + x = 5 rovnost rovnice

Rovnice obsahuje výraz s proměnnou.

Proměnná v rovnici se nazývá neznámá. Označujeme ji písmenem.

Řešit rovnici znamená najít všechna čísla, která po dosazení za neznámou změní rovnici na platnou rovnost.

3x – 4 = 5

3x – 4 = 5

3x = 9 x = 3 řešení rovnice levá strana pravá strana (kořen rovnice) rovnice rovnice

L P

Zkouška:

Do levé i pravé strany rovnice dosadíme za neznámou nalezený kořen.

Bára vypočítala kořen 3.

L = 3x – 4 = 3 · 3 – 4 = 9 – 4 = 5

P = 5

L = P

Závěr Číslo 3 je kořenem rovnice

3x – 4 = 5.

Petr vypočítal kořen 4.

L = 3x – 4 = 3 · 4 – 4 = 12 – 4 = 8

P = 5

L =/ P

Číslo 4 není kořenem rovnice

3x – 4 = 5.

Petr udělal při řešení chybu. Musí počítat znovu.

Emil: „Číslo 0 je kořenem rovnice 2 + 2 m = 4 · m + √4.“ 1

Dosazením do levé a pravé strany zjistěte, kdo má pravdu: 

Adam: „Číslo 7 je kořenem rovnice 5(10 – x) + 4 = 26 – x.“

Bára: „Číslo –5 je kořenem rovnice 4y – 18 = y + 7.“

Cyril: „Číslo 0,8 je řešením rovnice 7a + 2,4 = (a + 1,2) · 4.“

Dana: „Číslo 1 2 je řešením rovnice 4 z + 1 = 5z + 6,5.“

8.3 Ekvivalentní úpravy rovnic

Ověřte, zda je číslo 7 kořenem rovnice: a) 5x + 2 = 37, b) 5x = 35.

Druhá rovnice vznikne úpravou první rovnice (odečtením čísla 2 od obou stran rovnice). Obě rovnice mají stejný kořen – jsou ekvivalentní.

5x + 2 = 37

5x = 35 

ekvivalentní rovnice

Úpravy, kterými získáme z dané rovnice rovnici ekvivalentní, se nazývají ekvivalentní úpravy.

L = P

L + 2 = P + 2

obecně: L + a = P + a

Ekvivalentní úprava Příklady x – 3 = 6

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo výraz.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo výraz.

K oběma stranám rovnice přičteme číslo 3. x – 3 = 6 / + 3 x – 3 + 3 = 6 + 3 x = 9

2x = x – 4

Od obou stran rovnice odečteme výraz x. 2x = x – 4 / – x

2x – x = x – x – 4 x = –4

2

Užitím ekvivalentních úprav řešte rovnice: a) x + 6 = 9 b)

23 + k = 14

m + 10 = –4 c + 1,4 = 5

10 Statistika

Statistika je část matematiky, která se zabývá zkoumáním tzv. hromadných jevů. To jsou vlastnosti většího počtu osob, zvířat, rodin, organizací, firem atd. Ze získaných údajů se po zpracování vyvodí závěry, které pomáhají rozhodovat při řízení státu, obcí, škol, firem ap.

10.1 Základní pojmy

Jirka se o přestávce s obavami ptal spolužáka Petra: „Učitel říkal, že průměrná známka z minulé písemky je v naší 8. A 2,6. Jak je to možné? Myslel jsem si, že jsem vypočítal všechno správně.“ Mohl mít Jirka práci bez chyby?

Písemnou práci psalo 21 žáků 8. A. Jejich výsledky jsou zaznamenány v tabulce:

Číslo

žáka Jméno žáka Známka

1. Honza 3

2. Andrea 2

3. Petr 2

4. Máša 4

5. Libuše 5

6. Martin 1

7. Dáša 3

8. Roman 2

9. Karel 5

10. Vašek 1

11. Dana 3

12. Milan 4

13. Helena 4

14. Pavel 3

15. Mirek 1

16. David 3

17. Milada 2

18. Aleš 2

19. Jirka 1

20. Jana 3

21. Klára 1

n O žácích 8. A jsme zjistili určité údaje – provedli jsme statistické šetření.

n Skupina, ve které jsme prováděli šetření, se nazývá statistický soubor.

n Každý člen této skupiny se nazývá statistická jednotka.

n Počet statistických jednotek v souboru se nazývá rozsah souboru.

 n rozsah souboru



V 8. A jsme u 21 žáků zjistili známku z písemné práce. statistický soubor ............

žáci 8. A, kteří psali písemnou práci statistická jednotka .......... jeden žák, který psal práci rozsah souboru ................ n = 21

V různých souborech bylo provedeno statistické šetření. 

Rozhodněte: n co je statistický soubor, n co je statistická jednotka, n jaký je rozsah souboru.

Zjišťovali jsme:

a) Jak dlouho trvá cesta do zaměstnání každému pracovníkovi firmy, která má 210 pracovníků.

b) Kolik dětí mají rodiny, které žijí v Jetelové ulici.

c) Z jaké země pochází každý ze 150 hostů ubytovaných v hotelu.

d) Jakou barvu očí mají členové rodiny Novákových.

e) Kolik žáků bylo 21. 3. nemocných v každé ze tříd základní školy.

f) Kolik žáků opakovalo ročník v každé ze 32 škol ve městě.

U každé statistické jednotky zjišťujeme určitou vlastnost (známka z matematiky, barva očí, počet dětí, ...). x znak x xi znak x nabývá hodnot xi (obměny znaku)

Zjišťovanou vlastnost nazýváme statistický znak.

U některých znaků se hodnoty dají vyjádřit číslem ... číselné (kvantitativní) znaky

Příklady

Znak (x)

U některých znaků se hodnoty nedají vyjádřit číslem, vyjadřují se slovy ... slovní (kvalitativní) znaky 2

Obměny znaku (xi)

Typ znaku známka z matematiky barva očí 1, 2, 3, 4, 5 modrá, hnědá, zelená atd.



číselný (kvantitativní) znak slovní (kvalitativní) znak

V některých dotaznících se i kvalitativní znaky označují číslem (např. pohlaví: muž – 0, žena – 1). I v tomto případě jde o slovní znak, protože číslo je jenom dohodnutou značkou, ne výsledkem nějakého měření.

Vraťte se k předchozí úloze a u každého šetření rozhodněte: n co je statistický znak, n jaké jsou obměny znaku, n o jaký znak se jedná (číselný – slovní).

ISBN 978-80-7373-175-5