Matematika 9 - Algebra - pracovní sešit

pro základní školy

9MATEMATIKA

PRACOVNÍ SEŠIT

algebra

Zpracovali: Mgr. Jitka Boušková, Mgr. Milena Brzoňová, Mgr. Josef Trejbal

Lektorovali: PaedDr. Eva Kučinová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Barbora Stušová

Schválilo MŠMT č. j. MSMT-3665/2022-4 dne 2. 6. 2022 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

Tento pracovní sešit je praktický doplněk učebnice MATEMATIKA PRO 9. ROČNÍK ZŠ a tvoří s ní závěrečnou část ucelené řady dvoudílných učebnic pro výuku matematiky na 2. stupni základních škol. Pracovní sešit se věnuje procvičení algebraického učiva 9. ročníku ZŠ, je přehledný, navazuje na učivo učebnice a je vybaven dostatečným množstvím úloh k procvičení a upevnění probraného učiva. Oddíl pod názvem „Pro bystré hlavy“ obsahuje náročnější zajímavé úlohy a úlohy rozšiřujícího učiva pro velmi zdatné počtáře.

Koncepce celé řady matematik vychází z osvědčené praxe škol, respektuje však také doporučení a záměry Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou koncepční řadu učebnic tvoří tyto publikace:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Vhodným doplňkem učebnic je řada sbírek cvičení a příkladů z matematiky (viz www.spn.cz).

úlohy podporující digitální gramotnost

ISBN 978-80-7235-631-7

3 O BSAH I. VÝPO Č ET NEZNÁMÉ ZE VZORCE 4 II. SOUS TAVA DVOU ROVNIC SE DV Ě MA NEZNÁMÝMI

Řešení lineárních rovnic – opakování učiva 8. ročníku 5 2. Jedna rovnice se dvěma neznámými ............................................................................. 9 3. Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými ............................................................... 10 4. Rovnice a jejich soustavy kolem nás ........................................................................... 16 III. FUNKCE 1. Opakování ............................................................................................................. 20 2. Pojem funkce ............................................................................................................... 21 3. Přímá úměrnost ............................................................................................................ 23 IV. LINEÁRNÍ FUNKCE ............................................... 25 V. KVADRATICKÁ FUNKCE – rozši ř ující u č ivo .............................................. 34 VI. LOMENÉ VÝRAZY – rozši ř ující u č ivo 1. Opakování ................................................................................................................. 37 2. Hodnota výrazu 38 3. Smysl lomeného výrazu 39 4. Krácení lomených výrazů 39 5. Rozšiřování lomených výrazů 41 6. Sčítání lomených výrazů 42

Odčítání lomených výrazů 43 8. Násobení lomených výrazů ...................................................................................... 44 9. Dělení lomených výrazů ........................................................................................... 45 10. Rovnice s neznámou ve jmenovateli ......................................................................... 47 VII. NEP Ř ÍMÁ ÚM Ě RNOST .............................................. 53 VIII. FINAN Č NÍ MATEMATIKA 55 IX. PRO BYSTRÉ HLAVY 57 Řešení úloh Pro bystré hlavy .......................................................................................... 70

1.

7.

4. Rovnice a jejich soustavy kolem nás

Na odměny ve školní soutěži bylo koupeno 25 mikrotužek. Dražší tužky byly za 50 Kč, lacinější za 35 Kč Celá zaplacená částka byla 1 115 Kč. Kolik kusů tužek od každého druhu bylo koupeno?

Honzík kupoval housky a rohlíky. V akci stojí houska 2,50 Kč a rohlík 2 Kč. Koupil 12 kusů pečiva a zaplatil 26 Kč. Kolik koupil housek a kolik rohlíků?

Do školní družiny koupili 22 sad pastelek. Větší sady stály 65 Kč, menší jen 50 Kč. Za všechny sady zaplatili 1 280 Kč. Kolik jednotlivých druhů sad pastelek koupili?

Paní Beránková si koupila květiny na jarní výsadbu. Begonie byly po 35 Kč a muškáty po 48 Kč. Za 25 sazenic zaplatila 1 070 Kč. Kolik sazenic begonií a kolik sazenic muškátů koupila?

Maminka koupila na oslavu Danových narozenin zákusky, jeden větrník stál 45 Kč a jeden indiánek 35 Kč. Za 15 zákusků zaplatila 645 Kč. Kolik koupila větrníků a kolik indiánků?

Adélka s Barborkou mají dohromady 34 bonbonů. Když Barborka dá Adélce 2 bonbony, budou mít stejně. Kolik bonbonů má Adélka a kolik Barborka?

16

1. 6. 5. 4. 3. 2.

Součet dvou celých čísel je 3 a jejich rozdíl 7. Urči neznámá celá čísla.

Součet dvou čísel je pětkrát větší než jejich rozdíl. První číslo je o 5 větší než druhé. Najdi je.

V továrně na výrobu elektrospotřebičů představují ženy 35 % všech jejích zaměstnanců

Zbytek jsou muži. Je jich o 252 více než žen. Kolik zaměstnanců má tato továrna?

Nápověda ke dvěma způsobům řešení:

a) Označíš-li počet žen proměnnou z, počet mužů proměnnou m a počet všech zaměstnanců proměnnou x, platí: z = 0,35x, m = 0,65x, m – z = atd.

b) Dané údaje můžeš též vyjádřit soustavou rovnic: z = 0,35(m + z), m – z = ... atd.

Vyhlídkový parník Poděbradská flotila plul s turisty po proudu Labe rychlostí 33 km h , zpět se vracel

proti proudu Labe rychlostí 27 km h

1. Vypočítej rychlost říčního proudu.

2. Jak velkou rychlostí by tento parník plul v klidné vodě přehradního jezera?

3. Za kolik hodin a minut by tento parník překonal a) po proudu vzdálenost 49,5 km, b) proti proudu vzdálenost 33 3 4 km, c) v klidné vodě přehradního jezera vzdálenost 15 km?

(Při plavbě po proudu se parník pohybuje rychlostí, která se rovná součtu jeho rychlosti v klidné vodě a rychlosti vodního proudu. Při plavbě parníku proti proudu se tyto dvě rychlosti odčítají.)

Z místa A vyjel v 8.00 hodin kamion rychlostí 60 km h . Z místa B, které je od A vzdálené 225 km, vyjelo proti němu osobní auto rychlostí 90 km h . Urči, kdy a jak daleko od místa A se vozidla setkají.

Dan a Honza bydlí od sebe 4 km. Domluvili se, že se sejdou na cestě mezi oběma domovy. Dan vyšel ve 14 hodin rychlostí 5 km h . Honza mu vyjel naproti na kole rychlosí 15 km h . V kolik hodin se setkali a jakou vzdálenost ujel Honza?

17

12. 11. 10. 9. 7. 

8.

III. FUNKCE

1. Opakování

Zapiš souřadnice bodů v pravoúhlé soustavě souřadnic: a) b)

Vytvoř podobné cvičení pro spolužáky např. pomocí programu GeoGebra. Obrázek zkopíruj, vlož jej do textového editoru a připiš zadání. Zkus zapojit fantazii, aby po spojení daných bodů vznikl nějaký obrazec.

Znázorni body v pravoúhlé soustavě souřadnic:

a) A [2; –2] B [6; 2] C [5; –5]

D [–3; – 4] E [– 4; –2] F [–1; 0]

G [– 4; +2] H [–2; 4] J [0; 5]

K [–2; –2] L [2; 3] M [3; 0]

N [0; 1] P [0; –3]

b) A [0; 5] B [1; 0] C [5; 0] D [0; –5] E [–1; 0] G [3; 3] H [2; 5] J [2; –3] K [4; – 4] L [2; – 6] M [– 4; –3] N [–3; –5] P [–5; –5] S [–2; –5] T [–2; 2]

Na grafu jsou na ose x vyznačeny ročníky ve škole, na ose y počty žáků. Urči z grafu, kolik je žáků v jednotlivých ročnících školy.

20

3. 2. 1.

–3 –4

B M G A E F H K N J L C D x 1 2 3 4 5 6 1 0 –1 –1 –2 –5 –2 –3 –4 –5 2 3 4 5 6 F –3 –4 x y 1 2 3 4 5 6 7 1 0 –1 –1 –2 –2 –3 –4 –5 –6 2 3 4 5 6 G E D B A L M H J K C –3 –4 y x 1 2 3 4 5 6 1 0 –1 –1 –2 –5 –2 –3 –4 –5 2 3 4 5 6 7 –3 –4 y x 1 2 3 4 5 6 1 0 –1 –1 –2 –5 –6 –2 –3 –4 –5 –6 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30 40 50 60 70 y x A B C D E F G H J K L M N A B C D E F G H J K L M

y

1. _____ 4. _____ 7. _____ 2. _____ 5. _____ 8. _____ 3. _____ 6. _____ 9. _____ [ ; ] [ ; ]

Na grafu je znázorněna vzdálenost, kterou automobil ujel za určitou dobu. Přečti z grafu:

a) jakou vzdálenost ujelo auto celkem, ....................................................

b) jaká byla celková doba jízdy automobilu,

c) jakou průměrnou rychlostí se automobil pohyboval, ....................................................

d) jakou rychlostí jel automobil během druhé hodiny jízdy, .................................................... e) jakou rychlostí jel automobil ve 30. minutě jízdy, f) jakou nejvyšší rychlostí se automobil pohyboval.

Na grafu je znázorněna rychlost tělesa jako funkce času. Na ose x je vyznačen čas t (v sekundách), na ose y rychlost v (v m s ). Přečti z grafu:

a) jak dlouho od začátku pohybu těleso zvyšovalo svoji rychlost, ..........................................

b) jak dlouho se těleso pohybovalo rovnoměrnou rychlostí 10 m s a jak dlouho rychlostí 5 m m s ,

c) jaké nejvyšší rychlosti těleso dosáhlo a v které to bylo sekundě od začátku pohybu. ..........................................

2. Pojem funkce

Zjisti, zda zapsané dvojice čísel v tabulce určují funkci:

21

a) b) c) d) e) f) 1. 5. 4. x 0 1 2 3 4 y 0 1 1 2 1 3 1 4 x –2 –1 0 1 2 y +2 +1 0 –1 –2 x 1 2 3 4 2 y 2 3 4 5 4 x –2 –3 –4 2 3 y 1 1 1 0 0 s[km] t[h] 1 2 3 0 20 40 60 80 100 120 v

t[s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 10 15 20 m s x 3 6 9 12 15 y 3 3 3 3 3 x 3 3 3 3 3 y 6 9 12 15 18

[ ]

Zkrať lomený výraz na základní tvar a urči, kdy má smysl:

a) 15x 2

4x 2 y 2

25x = b) =

15k4 m 2

3.

6xy2

17u 2 v 3

c) = d) =

18k4m3

51u2v4

Zkrať lomený výraz na základní tvar a urči, kdy má smysl:

6a(a + 2)

4a2(a + 2)

15y 2 z(y – z)

4.

5.

6.

7.

15x2(x + 4)

a) = b) = c) = d) =

10yz2(y – z)

20x(4 + x)

–12k2(2k + 3)

24k(2k + 3)

Zkrať lomený výraz na základní tvar a zapiš podmínky, za kterých má smysl:

(f – 1)2f 2 4f(1 – f)

3n(3n – 2)2

a) = b) =

(–15k2)(k – 5)

6n2(2 – 3n)

(–9g2)(9 – g)

c) = d) =

3k(5 – k)

(g – 9)(3g)3

Zkrať lomený výraz na základní tvar a zapiš podmínky, za kterých má smysl (mnohočleny v čitateli i ve jmenovateli nejprve uprav na součin):

8x 2 + 16

4z 2 + 5z

a) = b) =

4x2 + 8

4z3 + 5z

6m 2 – 21m 4m3 – 14m2 u + v u2 + 2uv + v2

c) = d) =

Zkrať lomený výraz na základní tvar. Zapiš podmínky, za kterých má smysl: a) = b) = c) = d) =

16 – 40a + 25a 2 25a2 – 16

2m 2 – 4mn + 2n 2 3m2 – 3n2 k2 – 4

3k2 – 6k 6x 2 – 9x 4x2 – 12x + 9

Zkrať lomený výraz na základní tvar a zapiš podmínky, za kterých má smysl: a) b) c) d)

x 3 + x 2 + (–x – 1) x2 + 2x + 1

ab – a – b + 1

ab + a – b – 1

4t + uv + ut + 4v 4t + 4v

8 + 4u – 2u 2 – u 3 u4 – 8u2 + 16

2.

  40

5. Rozšiřování lomených výraz

Rozšiř daný výraz výrazem v závorce a zapiš podmínky, kdy můžeme rozšíření provést:

a) 2 3b (4b) = b) 5c –2d (–3cd) =

c) 7k2 n (3kn) = d) 2m + 3 5 (4m) =

Rozšiř lomený výraz na daného jmenovatele a zapiš podmínky, kdy lze rozšíření provést:

a) 1 2 = 6ab2 b) 3d 2 4c = 12c2d 2

c) a = a2b d) 2 = 5xyz

Rozšiř lomený výraz na daného jmenovatele a zapiš podmínky, kdy lze rozšíření povést:

a) x + 2 7 = 7x2 b) = 10z2

c) u + t u – t = t – u d) =

5x + 3 x + 1 (x + 1)(x + 2) 9y + 4z 2z

Rozšiř výraz na daného jmenovatele a zapiš podmínky, kdy lze rozšíření provést:

a) a = a2 + a b) c – 3 = c + 3

c) d + 2 d – 1 = d 2 – 1 d) 7 + x 7 – x = x2 – 49

Rozšiř dané dva výrazy na společného jmenovatele:

a) 3x 2y = 4x

Lomené výrazy uprav na společného jmenovatele:

a) m m + 1 = m m – 1 = b) = = c) x x – y = y y – x = d) a a – 5 = 5 5 – a = 3p 2(p + 1) 2(p + 1) 3p

41

ů

7y

b) 2a 2 3b = a b2

d 2 = 3d 4c2 = d) 5k 6m2 = 3m 2 4k3 =

=

= c) 5c 2

6. 5. 4.

3. 2. 1. 

Tento pracovní sešit je praktickým doplňkem učebnice MATEMATIKA PRO 9. ROČNÍK ZŠ a tvoří spolu s ní závěrečnou část ucelené řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií.

Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice (algebře), druhá geometrii. Každou z nich doplňuje pracovní sešit. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)