9789140696908 by Smakprov Media AB

DELKURS 4

CordaNova är ett läromedel i matematik för kommunal vuxenutbildning på grundläggande nivå, delkurserna 1–4 (Kursplan enligt SKOLFS 2016:67). Läromedlet passar också utmärkt för gymnasieskolans introduktionsprogram samt för nyanlända i grundskolan och andra kurser i grundläggande matematik, t.ex. inom folkhögskolan.

DELKURS 4

Komponenter: CordaNova 1 och 2 i ett band är anpassat till delkurserna 1 och 2. Övningshäfte 2 ger extra övningar på delkurs 2. CordaNova 3 är anpassat till delkurs 3. CordaNova 4 är anpassat till delkurs 4. CordaNova är ett läromedel anpassat för ungdomar och vuxna som behöver stärka sina grundkunskaper i matematik. Språket är utformat för att studerande med invandrarbakgrund ska få stöd i sin språkutveckling i svenska. Kontexten i uppgifterna är inriktad på att utveckla förståelsen av matematiken och dess roll i samhället. Flera uppgifter är inriktade på att utveckla förmågan till resonemang och kommunikation.

DANIELSSON GABRIELSSON LÖFSTRAND

Övningshäfte 1 ger extra övningar på delkurs 1.

Mer material finns på www.gleerups.se.

ISBN 978-91-40-69690-8

789140 696908

RAGNAR DANIELSSON GERT GABRIELSSON BENGT LÖFSTRAND

DELKURS 4

Författare till detta läromedel är Ragnar Danielsson, Gert Gabrielsson och Bengt Löfstrand, alla tre med lång erfarenhet av undervisning i matematik för vuxna och ungdomar.

Gleerups Utbildning AB Box 367, 201 23 Malmö Kundservice tel. 040-20 98 10 Kundservice fax. 040-12 71 05 e-post info@gleerups.se www.gleerups.se

CordaNova, Delkurs 4 ©2017 Ragnar Danielsson, Gert Gabrielsson, Bengt Löfstrand och Gleerups Utbildning AB Gleerups grundat 1826 Projektledare Marcus Ander, Lars Åkerblom Redaktör Johnny Frid/Didacta Bildredaktör och illustrationer Rickard Ax/Didacta Formgivning Fridha Henderson/Didacta Omslag BrianAJackson/iStock och Didacta Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-40-696908 Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk om skolkopieringsavtal finns mellan skolhuvudmannen och Bonus Copyright Access. För information om skolkopieringsavtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/ rättsinnehavare. Prepress WikingTryck AB, Malmö 2018. Tryck GPS group, Slovenien 2018.

Innan du börjar… I CordaNova, Bok 4, får du arbeta med moment som ingår i grundläggande vuxenutbildning, Delkurs 4. Varje avsnitt har förklarande text med exempel och övningar. Övningarna är indelade i tre nivåer: • Utan stjärna • Med en stjärna • Med två stjärnor De tre nivåerna är tänkta att vara vägledande vid bedömningen av hur kraven för betygsnivåerna ska uppnås. Utan stjärna kan anses motsvara kraven för betyget E, en stjärna betyget C och två stjärnor betyget A. I slutet av varje kapitel finns Sammanfattning med det viktigaste från kapitlet. Blandade uppgifter där uppgifter blandas från hela kapitlet. Tester där det mest grundläggande från kapitlet testas motsvarande kraven för betyget E. Till en del kapitel finns tester både med och utan räknare. Facit finns i slutet av boken med svar och kommentarer till uppgifterna. Register finns i slutet av boken. Där kan du slå upp alla matematiska faktaord som förekommer i boken. Mer material finns på webben, se www.gleerups.se. Lycka till med dina mattestudier! November 2017 Författarna

CORDANOVA

INNEHÅLL DELKURS 4

1. TAL I OLIKA FORMER

4. GEOMETRI

2. POTENSER

4.1 Geometri i planet 4.2 Volym 4.3 Begränsningsarea 4.4 Volym av kon, pyramid och klot Sammanfattning Blandade uppgifter Test utan räknare Test med räknare

7 1.1 Tidiga talsystem 8 1.2 Bråk 14 1.3 Negativa tal 27 Sammanfattning 33 Blandade uppgifter 34 Test utan räknare 38 39 2.1 Potenser 40 2.2 Grundpotensform 50 Sammanfattning 62 Blandade uppgifter 64 Test utan räknare 67 Test med räknare 68

3. PROCENT OCH FÖRÄNDRINGSFAKTOR

69 3.1 Förändringsfaktor 70 3.2 Hur många procent är förändringen? 76 3.3 Procentuell jämförelse 87 Sammanfattning 89 Blandade uppgifter 90 Test utan räknare 93 Test med räknare 94

CORDANOVA

95 96 104 114 118 126 128 131 132

5. LIKFORMIGHET OCH SKALA 133 5.1 Likformighet 134 5.2 Areaskala och volymskala 142 5.3 Symmetri 145 5.4 Geometriska satser och bevis 148 Sammanfattning 153 Blandade uppgifter 154 Test utan räknare 157 Test med räknare 158

6. STATISTIK OCH SANNOLIKHETER

159 160 169 172 176

6.1 Rita och tolka diagram 6.2 Lägesmått 6.3 Spridningsmått 6.4 Sannolikheter 6.5 Statistik och sannolikhet med kalkylprogram 182 Sammanfattning 188 Blandade uppgifter 189 Test med räknare 192

7. ALGEBRA

193 7.1 Variabler och uttryck 194 7.2 Uttryck med flera variabler 200 7.3 Uttryck med bråk 202 7.4 Distributiva lagen 208 7.5 Faktorisering av uttryck 211 7.6 Parentesregler 214 Sammanfattning 217 Blandade uppgifter 218 Test utan räknare 221 Test med räknare 222

8. EKVATIONER OCH FORMLER 223 8.1 Ekvationslösning 224 8.2 Problemlösning med ekvation 235 8.3 Arbeta med formler 241 8.4 Andragradsekvationer 246 8.5 Ekvationer med parenteser 255 Sammanfattning 258 Blandade uppgifter 259 Test utan räknare 263 Test med räknare 264

9. GRAFER OCH RÄTA LINJENS EKVATION

265 9.1 Tolka grafer 266 9.2 Räta linjens ekvation 273 9.3 Räta linjen i koordinatsystemet 279 9.4 Räta linjens ekvation ur en graf 281 9.5 Tillämpningar med digital teknik 284 Sammanfattning 287 Blandade uppgifter 288 Test med räknare 294

10. PROGRAMMERING

295

FACIT

299

FORMLER

334

336

CORDANOVA

DELKURS 4

TAL I OLIKA FORMER 1.1 Tidiga talsystem Talområden

1.2 Bråk

Rangordning. Addition och subtraktion Multiplikation Division Multiplikation och division

1.3 Negativa tal

Addition och subtraktion Multiplikation och division

Sammanfattning Blandade uppgifter Test utan räknare Detta kapitel tar upp talsystemets historiska utveckling och behandlar bråkräkning och räkning med negativa tal. Bråk har introducerats i CordaNova delkurs 1 och 2 och grunderna i hur man räknar med bråk finns i CordaNova delkurs 3. I detta kapitel behandlas bråkräkning fullständigt. Negativa tal, tallinje samt addition och subtraktion med negativa tal har behandlats i CordaNova delkurs 3. I detta kapitel behandlas multiplikation och division med negativa tal. Några citat från centrala innehållet i delkurs 4: ”Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.” ”Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal.” ”Centrala metoder för beräkningar med tal i bråkform och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik.”

Viktiga begrepp • Naturliga tal

• Reella tal

• Negativa tal

• Bråk

• Hela tal

• Negativa tal

• Rationella tal TAL I OLIKA FORMER

1.1

TIDIGA TALSYSTEM

I de tidiga jägar- och samlarkulturerna var behovet av tideräkning – dagar, månvarv, solvarv – bakgrunden till att utveckla matematik. Vår kunskap om tidiga kulturer grundas på våra möjligheter att tolka symboler för ord och tal. De flesta av de tidiga kulturernas symboler har vi lärt oss att tolka, t.ex. egyptiernas hieroglyfer och babyloniernas kilskrift. De tidiga talsystemen byggs upp genom att symboler för tal upprepas, se t.ex. hur talet 333 skrivs med romerska siffror och hieroglyfer. Romerska siffror

Hieroglyfer

CCCXXXIII

C 100

X 10

100 10 1

I vårt positionssystem kan samma siffersymbol stå för olika värde. Sifferföljden 333 betyder ju i vårt talsystem 3 hundratal, 3 tiotal och 3 ental. Våra siffror härstammar från indisk och arabisk kultur, men siffrornas utseende har varierat under olika epoker och kulturer. Det var först på 1300-talet bland italienska köpmän som positionssystemet med arabiska siffror kom att ersätta det romerska talsystemet. Vårt talsystem kallas för decimalsystemet eller tiosystemet eftersom det utgår från talet 10. Det finns 10 olika siffror 0, 1, ..., 9. Varje position i en sifferföljd är tio gånger mer värd än positionen närmast till höger.

Bilden visar hieroglyfer. Hieroglyferna är ett av de äldsta skriftspråken och utvecklades under den egyptiska kulturen som uppstod för mer än 5 000 år sedan. Tolkningen av hieroglyfer föll dock i glömska under romarrikets tidevarv och det var först 1824 som man knäckte gåtan tack vare fyndet av Rosettastenen som hade samma text både på grekiska och med hieroglyfer.

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

TALOMRÅDEN De mest grundläggande talen är de som används för att ange antal. Dessa tal kallas de naturliga talen och betecknas med N.

Naturliga talen, N 0, 1, 2, 3, 4, ...

Bland de naturliga talen finns tal med en egenskap som fascinerat människor i alla tider. Dessa tal, de så kallade primtalen, är inte delbara med andra tal än 1 och sig självt. De tio första primtalen är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 29 Det finns oändligt många och oändligt stora primtal. Naturliga tal, som inte är primtal, kan skrivas som en produkt av primtal, t.ex. 18 = 2 · 3 · 3 Att faktorisera ett tal innebär att talet skrivs som en produkt av primtal.

EXEMPEL Exempel 1 Faktorisera talet 60.

Alternativ 1: 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5 Alternativ 2: 60 = 4 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5 Svar: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 Det finns flera alternativ att faktorisera talet 60. Oavsett i vilken ordning man gör faktoriseringen kommer man alltid fram till samma faktorer. Ju större ett tal är desto längre tid tar faktoriseringen. Även för en dator kan uppgiften bli övermäktig om man väljer ett tal med tillräckligt många siffror! Detta är något man utnyttjar vid kryptering, som är viktigt för bl.a. datasäkerheten.

TAL I OLIKA FORMER

Om vi utvidgar de naturliga talen till att även omfatta negativa hela tal får vi de hela talen, som betecknas med Z.

Hela talen, Z ... – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

De hela talen kan åskådliggöras på en tallinje. –4 –3 –2 –1

Ett heltal är mindre än alla andra heltal som ligger till höger på tallinjen, t.ex. – 3 < – 1 De negativa talen kom inte i bruk förrän i mitten av 1600-talet. Även en del framstående matematiker vid denna tid ansåg att användningen fick märkliga konsekvenser. Hur kan man t.ex. ge divisionen 12 en praktisk tolkning? –3 Multiplikation och division med negativa tal behandlas längre fram i detta kapitel. Idag uppfattar vi de negativa talen som en abstraktion som spelar en viktig roll vid lösning av ekvationer och i samband med tolkning av resultat vid användning av olika formler. I avsnittet Negativa tal ges exempel på detta. Behovet av att uppdela en enhet, t.ex. en myntenhet i mindre lika stora delar blev tidigt en nödvändighet. Detta gav upphov till de rationella talen, som betecknas med Q.

Rationella talen, Q Alla tal som kan skrivas som en kvot av hela tal.

Några exempel på rationella tal: 2 3 0,3 = 4 = 4 7 10 1

0,25 =

25 = 1 100 4

–5 = – 2,5 2 De rationella talen omfattar således även de hela talen som i sin tur också omfattar de naturliga talen. Även kvoter där negativa tal ingår tillhör de rationella talen, t.ex.

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

Med decimaltal menas de rationella tal som kan skrivas med ett bestämt antal decimaler, t.ex. 1 = 0,25 3 = 0,375 193 = 1,93 4 8 100 Andra rationella tal får ett oändligt antal siffror när de skrivs i decimalform, t.ex. 1 = 0,3333… 3

2= 0,285714 285714 ... 7

47 = 1,06 81 81 81 ... 44

Gemensamt för dessa tal är att decimalerna uppträder i perioder. Decimalutvecklingen övergår alltid till att bli periodisk, dvs. decimalerna upprepas i perioder på en, två, tre eller flera siffror. Finns det tal som inte återfinns bland de rationella talen? Hittills i kurserna har vi endast träffat på ett sådant tal, talet p. p = 3,141592653589793238462643383279502884197169399 ... Decimalutvecklingen av p är oändlig och siffrorna uppträder inte efter något mönster. Detta är ett exempel på ett irrationellt tal. Talet p utgör förhållandet mellan omkrets och diameter av en cirkel. Ett annat exempel på ett irrationellt tal uppstår som förhållandet mellan kvadratens diagonal och kvadratens sida. Detta tal kallas ”kvadratroten ur 2” och skrivs 2 .

Kvadratens diagonal = Kvadratens sida

Cirkelns omkrets =p Cirkelns diameter

2 = 1,414213562373095048801 ... I kap 8 kommer vi att se fler exempel på kvadratrötter. Det finns även andra typer av irrationella tal och antalet är oändligt. De rationella talen och de irrationella talen bildar tillsammans de reella talen, som betecknas med R.

Reella talen, R Alla rationella tal och irrationella tal.

Om du kommer att läsa matematik på gymnasienivå kommer du att träffa på ytterligare ett talområde – de komplexa talen. Men om vi håller oss till den här kursen kan man något förenklat säga att de reella talen omfattar alla tal.

TAL I OLIKA FORMER

UPPGIFTER 101 Faktorisera talet a 24

b 36

c 42

2 är 3 b rationella tal?

d 100

e 103

102 Vilka av talen –13, 0,8, 2p och a reella tal?

c hela tal?

103 Skriv rätt tecken < , > eller = mellan talen a –2 –3 b 2 0,285714 c 19 7 32

d naturliga tal?

0,59375 d 26 17

29 19

104 Vilka är de fem primtal som följer närmast efter 29?

105 I det romerska talsystemet skrivs tal med bokstäver efter följande huvudregler: • Siffror efter varandra adderas, t.ex. CXV = 115 (100 + 10 + 5) • En siffra som står före en siffra med högre värde subtraheras, t.ex. IX = 9 (10 – 1 = 9) • Högst tre lika siffror skrivs efter varandra, t.ex. LXXX = 80 men XC = 90

Vilka årtal finns på följande bilder? b

Gamla Riksbankshuset, Örebro.

Hus vid Torggatan i Åmål.

Klädmärke, EST = established.

TAL I OLIKA FORMER

Stadshuset i Eskilstuna.

Romerska talsystemet I=1 V=5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

DELKURS 4

106 Sveriges kungar sedan 1818 har ingått i den Bernadotteska kungaätten med följande kungar: Karl ”den fjortonde” Johan, Oscar ”den förste”, Karl ”den femtonde”, Oscar ”den andre”, Gustav ”den femte”, Gustav ”den sjätte” Adolf och Carl ”den sextonde” Gustaf. Skriv kunganamnen med hjälp av romerska siffror. 107 Följande rationella tal har ensiffrig täljare och ensiffrig nämnare. Bestäm genom prövning med din räknare vilka talen är. a 0,11111 …

b 0,6666 …

c 0,2222 …

d 0,142857 142857 …

e 0,285714 285714 …

f 0,5555 …

108 Olof har en börs som en gång ägts av hans farfars farfars far Karl. Börsen innehåller 2 riksdaler, 56 skilling och 21 runstycken. Antag att Karl på sin tid hade velat dela beloppet i börsen lika mellan sina tre barn Kristina, Birgitta och Anders. Går det att dela mynten i börsen så att var och en får lika mycket? Förklara i så fall hur det ska gå till.

1 riksdaler

1 skilling = 1 riksdaler 1 runstycke = 1 skilling 48 12

109 Figuren visar C-durskalan i ettstrukna oktaven. Under varje not anges frekvensen i Hz (Hertz) dvs. i antalet svängningar per sekund. Kvoten mellan frekvenserna av de olika tonerna inom en oktav kan skrivas som ”enkla” bråk där täljare och nämnare är tal mindre än eller lika med 16. a Bestäm samtliga rationella tal i bråkform som erhålles som kvoter mellan var och en av tonerna i skalan och grundtonen c1. b Undersök vilka rationella tal i bråkform som man får om man bildar kvoter mellan närliggande toner.

c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 c2 264 297 330 352 396 440 495 528 TAL I OLIKA FORMER

1.2

BRÅK

RANGORDNING. ADDITION OCH SUBTRAKTION Bråk har introducerats i CordaNova delkurs 1 och 2 och grunderna i hur man räknar med bråk finns i CordaNova delkurs 3. Vi inleder med en kort repetition av grundläggande begrepp och metoder för addition och subtraktion.

TION

TI REPE

Sammanfattning från CordaNova delkurs 3 Förlängning

2 2⋅2 = 4 Multiplicera täljare och nämnare med samma tal. T.ex. = Förlängning med 2 3 3⋅2 6 Förkortning Dividera täljare och nämnare med samma tal.

93 3 9 T.ex. 15 = 15 3 = 5

Förkortning med 3

Addition och subtraktion med lika nämnare T.ex. 5 + 1 = 6 7 7 7 Addition och subtraktion med olika nämnare Förläng så att nämnarna blir lika.

T.ex. 3 – 1 = 9 – 2 = 7 4 6 12 12 12

UPPGIFTER 110 Sätt ut rätt tecken > eller < mellan talen genom att först skriva om talen till decimaltal (eller avrundade till decimaltal). Använd räknare. 2 3 6 4 2 1 5 9 a b c d 3 4 11 9 7 3 9 17 111 Lös uppgift 110 genom att först skriva om talen så att de får samma nämnare. Använd inte räknare.

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

112 A

a Vilken figur innehåller störst andel blått? Använd räknare. b Vilken figur innehåller minst andel blått? Använd räknare. Beräkna utan räknare 5 1 7 –1 5+ 9 5+3 113 a + b c d 8 8 10 5 8 16 7 7 2–1 5+3 3+ 5 114 a 3 – 2 b c d 3 7 7 8 8 12 3 1+1–1 3+4+5 2 – 2 – 1 c 115 a 2 – 2 + 1 b d 4 2 8 4 5 6 3 2 3 2 116 Karin har två burkar med samma sorts färg. Den ena burken innehåller 3/4 liter och den andra burken innehåller 2/3 liter. Karin vill hälla över all färg i en burk. Hon har tre tomma burkar som rymmer 1 liter, 1,5 liter respektive 2 liter. Vilken burk kan Karin ta? Använd inte räknare! 117 Ge exempel på ett bråk som är större än 5/9 men mindre än 5/7. 118 I ett parkområde ska man anlägga en skogsplantering. Man presenterar fyra olika alternativ, där det markerade området är skog. A

a I vilket eller vilka av alternativen upptar skogen ca 3/8 av parkområdet? b I vilket eller vilka av alternativen upptar skogsområdet ca 1/4 av parkområdet?

TAL I OLIKA FORMER

119 I denna uppgift ska du addera en följd av bråk, där antalet termer ökar efter ett visst mönster. 1 1 a Beräkna och svara i bråkform + 2 4 1+1+1 b Beräkna och svara i bråkform 2 4 8 c Varje nytt tal vi adderar är hälften av det föregående talet. Fortsätt beräkningen genom att lägga till ett nytt tal varje gång. Kan du upptäcka något mönster? Beskriv i ord. d Vad blir summan av de tio första talen? e Additionen kan pågå hur länge som helst. Summan blir då större och större. Kan den bli hur stor som helst? Motivera ditt svar.

MULTIPLIKATION I CordaNova delkurs 3 har vi visat hur ett bråk multipliceras med ett heltal. T.ex. 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6 Heltalet multipliceras med täljaren 7 7 7 Nu ska vi visar hur man multiplicerar två bråk. Niklas ska ta en bit tårta. Det finns en halv tårta kvar och Niklas tar Hur stor andel av en hel tårta tar Niklas, dvs. vad blir

Vi startade med en hel tårta som vi delar i två lika delar. Vi behåller den ena delen och har nu en halv tårta.

TAL I OLIKA FORMER

Vi delar vår tårthalva i tre lika delar.

2 av den halva tårtan. 3

2⋅1 ? 3 2

Vi behåller två av dessa delar och har nu två tredjedelar av en halv tårta.

Vi ser att dessa delar utgör två sjättedelar av den ursprungliga tårtan, vilket är detsamma som en tredjedel av tårtan.

DELKURS 4

Vi har kommit fram till att

2⋅1 1 = 3 2 3

Detta resultat får man om man multiplicerar täljare med täljare och nämnare med nämnare. 2 ⋅ 1 = 2⋅1 = 2 = 1 3 2 3⋅2 6 3

Multiplikation av ett bråk med ett heltal Heltalet multipliceras med täljaren.

3 = 5⋅3 = 3 T.ex. 5 ⋅ 10 10 2

IGT!

VIKT

Multiplikation av två bråk 3 4 3⋅4 = 2 Täljare gånger täljare och nämnare gånger nämnare. T.ex. ⋅ = 2 9 2⋅9 3

EXEMPEL Exempel 2 2 3 Beräkna 3 ⋅ 4

2 3 ⋅ = 3 4 Svar:

2⋅3

3 ⋅ 42

1 2

Exempel 3 En flaska rymmer 2/3 liter. Den är fylld till 1/3 med saft. Hur mycket saft finns i flaskan?

Volym (l):

1 2 1⋅ 2 2 1 2 = av = ⋅ = 3 3 3⋅3 9 3 3

Svar: Det finns 2/9 liter saft i flaskan.

TAL I OLIKA FORMER

UPPGIFTER Beräkna utan räknare 5 ⋅ 14 5 ⋅ 14 3 ⋅ 5 c 120 a 3 ⋅ 2 b d 12 7 8 3 e 12 ⋅ 4 18

2 ⋅ 45 9

3 ⋅ 10 100

1 ⋅3 15

121 Den 36,8 cm höga och drygt 6 kg tunga FIFA World Cup-trofén tilldelas vart fjärde år det segrande herrlandslaget i fotbolls-VM. Trofén är gjord av 18 karat guld. Guldhalt anges i karat. En karat är 1/24 av vikten. Hur många kg guld finns det ungefär i FIFA World Cup-trofén?

122 a

2⋅3 1⋅6 2⋅6 4⋅7 b c d 3 4 3 7 3 7 5 8

123 a

5 ⋅ 10 5⋅3 9 ⋅5 5 ⋅ 6 c b d 8 6 4 10 8 9 7

17 ⋅ 5 3 5 ⋅ 12 124 a 7 ⋅ b c 2 ⋅ 3 d 4 34 14 3 22 3 125 En flaska olivolja rymmer liter. 8 a Hur mycket rymmer tre sådana flaskor? Svara i bråkform. 2 b Hur mycket finns det i en sådan flaska när den är fylld till ? 3 c Hur många cl rymmer flaskan? Svara i decimalform.

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

126 Talet 2/7 kan multipliceras med ett tal så att produkten blir lika med 1. Vilket är talet? Lös uppgiften genom resonemang och prövning. 127 a Bonden Pavo hade 100 skilling och 100 runstycken. Han växlade pengarna så att han fick så få mynt som möjligt. Vilka mynt hade han efter växlingen?

Mynt i Sverige efter 1776 års myntreform under Gustav III.

b Pigan Hanna hade 1 riksdaler och 24 runstycken som hon växlade till skilling. Hur många skilling fick hon? 1 riksdaler

128 Maria, Hilda och Cassandra har varit och fiskat. Maria fick 2/3 av antalet fiskar som Hilda fick. Hilda fick hälften av antalet fiskar som Cassandra fick.

1 skilling = 1 riksdaler 48

a Hur stor andel av Cassandras antal fiskar fick Maria? b Hur många fiskar fick var och en om Maria fick 4 fiskar?

1 runstycke = 1 skilling 12

TAL I OLIKA FORMER

DIVISION I CordaNova delkurs 3 har vi visat hur man dividerar ett bråk med ett heltal. 1 T.ex. 2 = 1 = 1 3 2⋅3 6

Heltalet multipliceras med nämnaren.

Nu ska vi visa hur man dividerar med bråk.

Emma har 4 liter sylt som hon ska hälla upp i burkar. Varje burk rymmer 2/3 liter. Hur många burkar behöver hon? Hur många gånger går 2/3 i fyra hela, dvs. vad blir 4 ? 2 3

Fyra hela har delats i tredjedelar. Varje färg består av 2/3. Det blir sex olika färger, dvs. 2/3 går sex gånger i fyra hela. Vi har kommit fram till att 4 = 6 2 3 Detta resultat kan vi även komma fram till genom att förlänga bråket med 3/2. Då blir nämnaren lika med 1. 4⋅ 3 4⋅ 3 4 = 2 = 2 = 4⋅ 3 = 4⋅3 = 6 2⋅3 1 2 2 2 3 3 2 3 Vi förlänger bråket med , som är en ”omkastning” av talen i kvotens nämnare. 2 3 Man kallar för inverterade talet till 2 . 2 3

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

4 = 4⋅ 3 = 4⋅3 = 6 2 2 2 3 2 3 Division med är detsamma som multiplikation med . 3 2 Så här skriver man mera kortfattat:

Division av ett bråk med ett heltal Heltalet multipliceras med nämnaren.

4 5 = 4 = 2 T.ex. 2 5⋅2 5

IGT! T K I V

Division med ett bråk Skriv om divisionen till en multiplikation: Multiplicera med det inverterade (omkastade) talet till nämnaren.

T.ex. 4 = 4 ⋅ 5 = 4 ⋅ 5 = 10 6 6 6 3 5 3 4 = 3 ⋅8 = 2 T.ex. 9 4 9 3 8

EXEMPEL Exempel 4 3 4 Beräkna 9 8

3 4 3 8 = ⋅ = 9 4 9 8 1

= 1

3⋅8

Täljaren är

Multiplicera täljaren med det inverterade talet till nämnaren.

4 ⋅ 93

3 9 och nämnaren är . 4 8

2 3

Förkorta med 3 och med 4 före multiplikationen. Täljaren blir 1·2 = 2 och nämnaren blir 1·3 = 3.

2 Svar: 3

TAL I OLIKA FORMER

UPPGIFTER 2 2 9 3 5 10 129 a b c 2 3 3 99 e 7 9

1 5 f 5

g 7 / 14 9

18 d 5 9 h 33 / 11 2

130 De fem bröderna Carlsson fick en vinst på 9 000 kr på V75. De delade vinsten lika och sedan delade var och en sin vinst med sin sambo. Vilket eller vilka uttryck anger hur mycket var och en fick till slut? 9000 9000 ⋅ 2 D 9000 / 2 9000 C A 5 B 2 5 5 5 2 131 Beräkna och skriv svaret som bråk 3 2 5 2 3 3 a b c d 7 3 2 7 10 4 3 3 27 8 20 9 5 32 3 / c 132 a b d 6 4 6 5 3 4 133 Kaj har 2 liter olja i en dunk. Han ska hälla över oljan i flaskor som rymmer 2/3 liter. Hur många flaskor går det åt? Lös uppgiften genom att ställa upp en division. 4 1 4 5 2 d 5 9 / 7 12 134 a b c 5 6 3 6 4

135 Johan har bakat en jättepizza. Han tar själv 1/9 av pizzan. Lös uppgifterna genom att ställa upp en bråkdivision. a Hur stor del av pizzan får var och en om två personer ska dela på återstoden av pizzan? b Hur många personer räcker återstoden av pizzan till om varje person ska ha 2/9 av pizzan? 22

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

136 På ett gods har man ett skogsområde som utgör 2/3 av den totala marken. Skogsområdet har planterats med olika träd så att varje träd sort upptar 2/9 av den totala marken. Hur många trädsorter finns det på skogsområdet? Visa hur uppgiften kan lösas genom division.

137 Talet 7 kan divideras med ett tal så att kvoten blir lika med 12. Vilket är talet? Lös uppgiften genom resonemang och prövning. 138 Vilken är den största kvot man kan få av två bråk med ensiffriga nämnare och täljare?

TAL I OLIKA FORMER

MULTIPLIKATION OCH DIVISION 139 a

5⋅1 3⋅2 2⋅9 b c 7 8 7 9 3 4

d 15 ⋅ 17 16 18

3 1 4 4 2 140 a b c 1 2 3 8 3 4

1 10 d 1 100

3 5/2 8 6 3/ 141 a 8 7 b c 6 11 7 142 Två bråk 2/3 och 4/5 är givna.

1 100 d 1 10

a Ställ upp en division med bråken, så att kvoten blir så stor som möjligt. Beräkna kvoten. b Multiplicera 3/4 med ett av de givna bråken så att produkten blir så stor som möjligt. Beräkna produkten. 1 1 1 5 5 5 143 a 5 ⋅ b c d 5 1 1 5 5 5 11 7 7 ⋅ 7 7 11 7 11 ⋅ 144 a b c d 11 11 11 7 7 7 11 11

145 I USA används ofta längdenheterna yard (yd), foot (ft) och inch (in). Sambanden visas i faktarutan. En av de populäraste sporterna i USA är basketboll. Planen har formen av en rektangel med sidorna 94 ft och 50 ft. Höjden upp till korgen ska vara 10 ft. Räkna om dessa mått till metersystemet. Använd räknare och svara i meter med två decimaler. 146 I en fotoklubb med 72 medlemmar är 1/3 av medlemmarna män. Av dessa är hälften under 20 år. Av kvinnorna är 1/3 under 20 år. a Hur stor andel av medlemmarna är män under 20 år? b För medlem under 20 år är det gratis att vara medlem. För övriga är medlemsavgiften 140 kr per år. Hur mycket pengar får föreningen in totalt per år i medlemsavgifter? Använd räknare. 24

TAL I OLIKA FORMER

1 in = 1/12 ft 1 ft = 1/3 yd 1 yd = 0,9144 meter

DELKURS 4

147 Johan har en burk med färg, som han ska hälla över i mindre burkar. För att räkna ut hur många burkar som går åt ställer han upp en division i sitt anteckningsblock. a Hur många liter färg finns i den stora burken och hur många liter rymmer en liten burk?

4 1 3

b Hur många burkar gick det åt?

148 Stina har kokat 5 liter lingonsylt, som hon ska förvara i burkar som rymmer 2/3 liter. a Skriv ett uttryck för antalet burkar som går åt. b Hur många burkar behöver Stina?

149 Flaggor finns att köpa i bl.a. följande längder: 150, 200, 240, 300, 360 och 390 cm. Flaggans längd bör vara 1/4 av flaggstångens höjd. a Lisa har en flaggstång som är 9,5 m. Vilken flagga bör hon köpa?

5 2 9

Flaggans höjd förhåller sig till dess längd som 10 till 16. Bilden visar flaggans uppdelning.

b Hur hög är Lisas flagga?

c Vilken bredd har det gula fältet på Lisas flagga?

4 Flaggans uppdelning i olika fält

150 Den 31 december 2016 var Sveriges folkmängd 9 995 153. Folkmängden i Stor-Stockholm var 2 269 060. Försök att ungefärligt skriva Stor-Stockholms andel av hela Sveriges befolkning som ett bråk med ensiffrig nämnare. Pröva dig fram genom att testa olika bråk med räknaren. 151 Linus ska blanda ett glas saft. Han tar en del koncentrerad saft och nio delar vatten. När Linus smakar på saften konstaterar han att den är för mycket utspädd. Han läser på flaskan: ”Spädes 1 del saft med 3 delar vatten”. Hur många delar koncentrerad saft ska Linus tillsätta i glaset för att det ska bli rätt blandning?

TAL I OLIKA FORMER

152 Marta har två burkar målarfärg. Den ena innehåller 1 liter vit färg och den andra 1 liter svart färg. För att blanda till två grå nyanser häller hon först över 1/3 liter svart färg i den vita och blandar till en ljusgrå nyans. Därefter häller hon tillbaka 1/3 liter av blandningen till burken med svart färg och blandar till en mörkgrå nyans. Hur stor är andelen svart i den ljusgrå färgen jämfört med andelen vitt i den mörkgrå färgen? 153 Joel och Mia tränar simning 800 m, dvs. de simmar 32 längder i simbassängen. Joel brukar få ett försprång på 1/4 av totala sträckan innan Mia startar. Mia simmar fyra längder på samma tid som det tar för Joel att simma tre längder. Kommer Mia att hinna ifatt Joel? 154 Sven och Jonas har ett hus med en stor gräsmatta. Om Sven klipper gräset själv tar det 3 timmar. Om Jonas klipper hela gräsmattan själv tar det 2 timmar. Hur långt tid tar det för Sven och Jonas att klippa gräsmattan om de hjälps åt med var sin gräsklippare?

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

1.3

NEGATIVA TAL

ADDITION OCH SUBTRAKTION Negativa tal, tallinje samt addition och subtraktion med negativa tal har behandlats i CordaNova delkurs 3. Här följer en repetition. Negativa tal T.ex.

5 – 7 = –2 –3 – 2 = –5 –2 + 5 = 3

Teckenregler T.ex.

3 + (–2) = 3 – 2 3 – (–2) = 3 + 2

+ (–2) ersätts med –2 – (–2) ersätts med +2

UPPGIFTER 155 Beräkna utan räknare a 9 – 12 b –9 – 12 c 12 – (–9) d –9 – (–12) 156 Temperaturen i köket var 22 °C och temperaturen i frysen var –19 °C. a Skriv ett uttryck för temperaturskillnaden mellan köket och frysen. b Räkna ut temperaturskillnaden. 157 Beräkna utan räknare a 12 – 3 + 7

b – 3 + 12 – 8

c – 3 – (–5) – 1 d 4 – (–3) + (–12) 158 Det saknas tal i tabellen. Skriv in de saknade talen. Tal 1

Tal 2

Summan av talen

Differensen av talen

–3

–6

4 8

13 8

–5

TAL I OLIKA FORMER

159 I rutan saknas plus- eller minustecken. Skriv det saknade tecknet. a 3

6 = –3 b –4 2 = –2

c –3

6 = –9 d –3 5 – (–5) = 7

160 I rutorna saknas plus- eller minustecken för att likheten ska gälla. Det ska vara samma tecken i rutorna. Skriv de saknade tecknen.

a 3 c

5=8 2

b –2

10 4=2

5 = –3

MULTIPLIKATION OCH DIVISION Sven och Hans ändrar båda sin vikt. Sven bantar och minskar sin vikt med 2 kg per månad. Hans gör det motsatta, dvs. han ökar sin vikt med 2 kg per månad. Hur mycket kommer deras vikt att ha förändrats om 3 månader? För Hans (kg): 3 · 2 = 6 För Sven (kg): 3 · (–2) = –6

Om tre månader väger Hans 6 kg mer än i dag. Om tre månader väger Sven 6 kg mindre än i dag.

Hur mycket har deras vikt förändrats sedan 3 månader tillbaka? För Hans (kg): (–3) · 2 = –6 För Sven (kg): (–3) · (–2) = 6

För tre månader sedan vägde Hans 6 kg mindre än idag. För tre månader sedan vägde Sven 6 kg mer än idag.

I uttrycket står talet 2 för en viktökning med 2 kg per månad medan talet –2 står för en viktminskning med 2 kg per månad. Talet 3 står för 3 månader framåt i tiden medan talet –3 står för 3 månader tillbaka i tiden. Vi har beskrivit en tänkbar situation som kan förklara teckenreglerna vid multiplikation med negativa tal. Motsvarande regler gäller vid division.

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

Vid multiplikation och division med negativa tal används teckenreglerna: 3 · 4 = 12

12 = 3 4

”Lika tecken ger plus.”

3 · (–4) = –12

–12 = – 3 4

”Olika tecken ger minus.”

(–3) · 4 = –12

12 = – 3 –4

”Olika tecken ger minus.”

(–3) ·(–4) = 12

–12 = 3 –4

”Lika tecken ger plus.”

IGT!

VIKT

UPPGIFTER 161 Beräkna utan räknare a 7 · (–3) b (–2) · 5 c (–3) · (–4) e

–12 –3

–9 3

33 –3

15 –3

–25 –2,5

–28 –7

162 Beräkna utan räknare

5 a –3 · 1 b c 4 · (–0,5) –5 e (–6) · (–4)

2,5 –5

–25 2,5

h (–24) · (–2)

163 Skriv tal i rutan så att beräkningen stämmer: a 2 ∙ c

b –5 ∙

= –10

∙ 3 = –9

= –30 ∙ (–8) = 32

164 Skriv tal i rutorna så att beräkningen stämmer. Det finns flera lösningar. Ge minst tre exempel. a

∙

∙ (–5) =

= 24

b d –3 ∙

∙

= –8 =

165 Beräkna utan räknare a 6 – (–3)

b 6 · (–3)

c 6 + (–3)

d –6 · (–3) TAL I OLIKA FORMER

166 Fyll i de värden som saknas i tabellen. Temperatur inne (°C)

Temperatur ute (°C)

Temperaturskillnad: inne – ute (°C)

20 – 7 = 13

–5

20 – (–5) =

–10

–9

167 a Skriv talet 5 som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal. b Skriv talet 5 som en kvot av två negativa tal. c Skriv talet 5 som en differens mellan två negativa tal.

EXEMPEL Exempel 5 Beräkna 4 – 2 ∙ (1 – 4) utan räknare

4 – 2 ∙ (1 – 4) = 4 – 2 ∙ (–3) = 4 + 6 = 10

Svar: 10

Observera prioriteringsordningen: 1. Parenteser 2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion Exempel 6 4 – 10 Beräkna 8–6

4 – 10 –6 = = –3 8–6 2

Svar: –3

(4 – 10) Observera att bråkstrecket fungerar som en osynlig parentes för täljare och nämnare: (8 – 6) Därför beräknas först 4 – 10 = –6 resp. 8 – 6 = 2 innan divisionen.

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

UPPGIFTER 168 Beräkna utan räknare a 5 · (–3) e

12 – 6 11 – 8

b (–7) · (–4)

c 5 – 4 · (2 – 6) d 4 · (3 – 7)

f (–7) · 4 – 3

g (–6 + 3) · 5

h –2 · (3 – 5)

3 –6 –6 – 4 g 2

169 Beräkna utan räknare 15 –8 a b –3 –2 e 5 – (–2)

f 8 · (– 2) + 7

170 Beräkna utan räknare

h (– 2) · (– 3) – 6 10 –5

a 7 + 2 · (– 3)

b 3 ⋅ (–2) –

c 9 – (– 2) + 2 · (– 3)

4 +1 d 2 – –2

171 a 7 – 3 · (5 – 8) c 4 · (6 – 12) – 3 · (– 7)

8 6 – 10

15 + 5 + 4 6 – 16

7–3 +3 d 4 – 11 – 13

172 Annika bor på fjärde våningen i ett sexvåningshus. Figuren visar knapparna i hissen. Annika går in i hissen och trycker på knapp 1E. Hissen åker då tre våningar ned. Denna hissfärd kan beskrivas med beräkningen: 4 – 3 = 1 Beskriv med ord den hissfärd som ges av beräkningen a 4 + 2 = 6

b 4 – 4 = 0

c 4 – 5 = –1

d –1 + 5 = 4

173 På den tomma platsen ska det stå ett plustecken eller ett minustecken. Vilket är det saknade tecknet? a –2 · 3 c –2 · (3

3 · 2 = –12 3) + 2 = –10

b –2 · 3

(–3) · 2 = –12

d –2 · 3

(2 – 3) = –5

TAL I OLIKA FORMER

174 På den tomma platsen ska det stå ett tal. Vilket är det saknade talet? a –2 – c 4 ·

= 2 – 6 + 1 + 8 = 3 + (1 – 4)

b –3 · (–2 +

) = (–2) · (–1,5)

d 9 + 3 · (6 – 8) = 5 – (

)–5

175 – Om man multiplicerar två tal som är mindre än 1 så blir alltid produkten också mindre än 1, sa Felix. – Nej, du har fel, sa Nina, produkten kan bli hur stor och hur liten som helst! Vem har rätt, Felix eller Nina? Motivera ditt svar!

TAL I OLIKA FORMER

DELKURS 4

DANIELSSON GABRIELSSON LÖFSTRAND

Övningshäfte 1 ger extra övningar på delkurs 1.

Mer material finns på www.gleerups.se.

ISBN 978-91-40-69690-8

789140 696908

RAGNAR DANIELSSON GERT GABRIELSSON BENGT LÖFSTRAND