9789147100330

Matematik och respekt

Liber

– matematikens mångfald och lyssnandets konst

-   

Tryck.nr 47-10033-0

– matematikens mångfald och lyssnandets konst

Best.nr 47-10033-0

Matematik och respekt

dervisa om matematik som grundar sig på respekt för elevernas matematikarbete, där dialogen om matematiska idéer är i fokus. Det behövs en prövande matematik, där lärare använder sig av elevers (och egna) autentiska frågor för att komma vidare i matematiken och utvecklar en lyssnande dialog kring en mångfald av sätt att lösa problem. Läraren behöver då utvidga sitt matematikkunnande i varierande riktningar, om frågor väckta av elever.

Att gå från dagens dominerande rätt-svar-paradigm till ett dialogiskt upptäckarparadigm, där elever upplever lärandet av matematik som en nyfikenhetsdriven upptäcktsresa, är ett stort steg. För det behövs mycket öppenhet och mod. Att ha tillgång till en sådan matematikdialog är en stor frihetskänsla för en elev.

Tvillingboken Matematik och respekt – i praktiken tar upp flera praktiska utvecklingsarbeten och aktiviteter som kan öppna den matematiska dialogen för elever och lärare. Båda böckerna vänder sig till blivande och verksamma matematiklärare, lärarutbildare samt andra intresserade av elevers möte med matematiken.

Bokens erfarenhetsbas är matematikundervisning, matematiksvårigheter i skolan och forskningsmatematik, genom att Ann-Louise Ljungblad är matematiklärare, specialpedagog samt doktorand i pedagogik, medan Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik.

  

M

atematik och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst beskriver ett sätt att se på och un-

ann-louise ljungblad och hĂĽkan lennerstad

Matematik och respekt – matematikens müngfald och lyssnandets konst

liber

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 1

22/10/11 3:45 PM

Innehåll Förord 4 1.

Mot ett nytt paradigm … 7

2.

Matematiska dialoger – ett mänskligt möte 35

3.

Demokrati, makt och matematik 53

4.

Matematiken lever i ett socialt och kulturellt samspel 65

5.

Matematikens källa – tillämpningarna 89

6.

Siff ror som tankeredskap 103

7.

Vad är så speciellt med matematiken? 130

8.

Två språk: matematiska och svenska 143

9.

Översättningar – en bro mellan språken 169

10.

Matematiska resonemang 182

11.

Synen på matematik 194

12.

Matematisk mångfald 216

13.

Ta skillnaderna seriöst 238

14.

Elever med särskild fallenhet för matematik 256

15.

Lärares och matematikers matematiksvårigheter 263

16.

Lyssnandets komplexitet 270

17.

Kreativitet, rädsla, mod och matematik 281

18.

Poesi och matematik 287

19.

Matematiken – vi – framtiden 297

Referenser 314 Register 323

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 3

22/10/11 3:45 PM

Förord vi som skrivit denna bokserie om elevernas möte med matematik har mycket olika bakgrund. Ann-Louise Ljungblad är matematiklärare och specialpedagog, med särskild inriktning mot komplext lärande i matematik, doktorand i pedagogik samt verksam som rådgivare på Specialpedagogiska skolmyndigheten. Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola och forskningsverksam huvudsakligen i matematik, men även i matematikdidaktik och om lärares praxiskunnande. Vi delar flera starka intressen som har gjort skrivarbetet lustfyllt och stundtals överraskande. Det ena är intresset för matematiken och för den mångfald av sätt att uppfatta och förhålla sig till matematiken som framkommer när man lyssnar på olika människors beskrivningar, vilket är otroligt fascinerande i sig. Det andra är en djup önskan om att eleverna ska må bra och verkligen känna att de utifrån sina egna förutsättningar lyckas i sina möten med matematiken. En vision om att skapa en positiv och framåtskridande atmosfär, där elever trivs och känner att de i en gemenskap kan lära och utveckla nytt matematiskt kunnande utifrån sina personliga förutsättningar.

Denna bok ingår i serien Matematik och respekt, med undertitel Matematikens mångfald och lyssnandets konst. Den andra delen har undertiteln I praktiken. Vi vänder oss till verksamma matematiklärare, speciallärare, specialpedagoger, lärarstudenter, matematiker, skolledare, skolpolitiker samt pedagogik- och didaktikforskare, men även till föräldrar, politiker, journalister och alla som har ett intresse eller engagemang för matematiken i skolan och för elevernas bästa. När vi i texten skriver matematiklärare innefattar det alla ovan nämnda lärarroller, oavsett om man går sin lärarutbildning och är ute på olika skolor i varierande arbetslag på sin verksamhetsförlagda utbildning eller om man som lärare arbetat ett par år eller har lång yrkestid bakom sig. Vi har en önskan om en inbjudande dialog kring att något fundamentalt måste förändras i matematikundervisningen. Vi tror att matematiktimmarna för elever kan vara mycket mera upptäckande av sätt att räkna och tänka matematiskt, på deras villkor, 4

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 4

22/10/11 3:45 PM

och som möter elevers mångfald på positiva och respektfulla sätt. Detta ger ett naturligt större intresse, kunskaper och skicklighet. Det finns ett flertal exempel på detta ute i praktiken, men de har dessvärre karaktären av undantag. Visst kan det kvalitativa matematiksamtalet och lärandet i stället vara regel i skolan! Vi är övertygade om det. Men detta är en bred och djup fråga som berör såväl skolans organisation, våra relationer i skolan, matematikens specifika egenskaper, som den historia och tradition som lett fram till var vi står i dag. Därför ger vi oss i kast med dessa frågor genom att försöka grunda våra resonemang på fyra plan: pedagogiskt, didaktiskt, kommunikativt samt matematiskt. Vi hoppas på en framtida yrkesövergripande ömsesidig dialog kring dessa tankar såväl som konkreta planer att driva skolans utveckling i nya riktningar.

Ett stort tack till Eva Riesbeck (lektor i matematikdidaktik), Carl Anders Säfström (professor i pedagogik) och Lars Mouwitz (adjungerad professor i yrkeskunnande och teknologi), som har läst delar av bokserien och på olika sätt gett många värdefulla förbättringsförslag. Vi tackar dem, men naturligtvis står vi som författare ensamma ansvariga för böckernas hela innehåll.

Hur kan man på bästa sätt läsa böckerna i denna serie? Jo, i den praktiska delen beskriver vi ett antal matematikdialogiska utvecklingsarbeten som vi själva under många år drivit med elever och studenter inom såväl grundskola, särskola som universitet. Vi är alla lärare i dagens rådande kultur och vet genom dessa utvecklingsarbeten hur svårt det är att förändra sin lärarroll, dialog och undervisning. Men det är också otroligt spännande och inspirerande när man går in i förändringsarbeten och ser att det tillsammans med elever och kollegor går att skapa förbättringar.

Man kan förundras över att vår undervisningskultur fortfarande är så långt ifrån en levande matematikdialog och god förståelse för matematiken i skolan, trots att sådana mål har varit centrala för skolan sedan 50-talet och även tidigare. Vi menar att det finns en lång rad ganska djupgående orsaker bakom denna stora klyfta mellan skolans mål och den praktik de flesta elever upplever. Insikt om dessa orsaker är grunden för den praktiska boken, och det är dessa frågor vi synar närgånget och ur många synvinklar i den teoretiska boken. Här beskriver vi teoretiskt ingående våra reflektioner Förord 5

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 5

22/10/11 3:45 PM

kring och vår analys av hur ett dialogiskt upptäckarparadigm kan växa fram i vår kultur, utifrån elevernas synvinkel och med respekt för deras behov, i samspel med matematikens komplexitet. Det är upp till dig, kära läsare, om du vill börja med praktiken eller med teorin.

Ett grundantagande för oss författare är att alla elever får möjlighet att under hela sin skolgång känna sig välkomna och delta i en givande dialog om den egna matematiska verksamheten och vad den betyder – utifrån sina personliga förutsättningar. Detta är kärnan i vad vi menar med att mötas med respekt: att bli lyssnad på. Alla inblandade parter i skolmatematikens verksamheter behöver utveckla lyssnandet till varandra och se hur olika vi människor tänker i matematikarbetet, vi vill beskriva detta som skolmatematikens särskilda problem. Att lyssna kan vara svårt, särskilt när vi delar våra tankar om matematik, vilket gör detta till ett avancerat mål! Men vår förhoppning är att vi kan nå denna vision tillsammans. Du, kära läsare, får gärna bidra med dina erfarenheter och åsikter! För detta finns hemsidan www.matematikochrespekt.se som vi hoppas ska kunna utvecklas till en inspirerande mötesplats där erfarenheter kan utbytas.

Varmt välkommen!

Låt matematiken genljuda av verkliga problem, intensivt lyssnande och nyfikna, förutsättningslösa samtal och dialoger! Varje gång vi lyckas med det gör vi kulturen öppnare, vi visar att matematisk upptäckarglädje finns. Gemensamt kan vi göra matematiken alltmer framkomlig för nya generationer elever. Inte minst blir det betydligt mer spännande att vara lärare.

Författarna, Träslövsläge mars 2011

6

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 6

22/10/11 3:45 PM

1. Mot ett nytt paradigm … ”Do not worry about your difficulties in mathematics.

I can assure you that mine are still greater.” albert einstein

I denna inledning överblickar vi den här bokseriens resa. Den startar med elevers upplevelser av svårigheter att lära sig matematik och leder fram till matematikkulturens otillräckliga traditioner. Vi skissar på en övergång till ett nytt paradigm, där matematikdialogen är karaktäristisk, naturlig och självklar – för eleverna. Här lyfter vi samtidigt in begreppet ”respekt”, sett ur elevernas synvinkel: Respekt i den betydelsen att eleverna känner sig välkomna in i matematikdialogen som den unika person man är och med det tänkande man har tillgång till just nu.

Matematiken – abstrakt men ändå personlig Matematik kan kännas abstrakt och avlägset – men Matematiskt lärande kräver ligger trots detta mycket nära varje individ. Matemapersonliga, bildrika dialoger, tik handlar om hur du tänker. Matematikarbetet i eftersom matematik är skolan har ofta en stark inverkan på elevers uppfattmångskiftande ning om sig själva, sitt tänkande och sin potential att lära. Det kan till och med upplevas som att det är din förmåga att tänka som står på spel, om bedömningsaspekten med betyg spelar en dominerande roll i undervisningssammanhang. Det är väl belagt att elevers självförtroende kan påverkas negativt av matematik, mer än av andra ämnen (Linnanmäki, 2002).

Men hur kan då matematik uppfattas så här avlägset, som om det är något som inte berör oss personligen, eller behöver beröra oss? Dialog, lyssnande och bekräftelse är viktiga fundament vid lärande i alla ämnen.

Men i matematik är dessa storheter svagare än i andra ämnen, något 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 7

Mot ett nytt paradigm … 7

22/10/11 3:45 PM

som vi i denna bokserie utreder för att formulera vägar framåt. Vi menar i korthet att matematikens djupt inarbetade myt av att vara distanserad (kapitel 11), som sammanhänger bland annat med dess anseende och dess säregna formelspråk, har gett upphov till svårigheter att skapa goda möten och dialoger i arbetet med elever. I matematikdiskussioner är det vanligt att såväl elever som lärare känner sig osäkra att använda ett personligt språk, eftersom detta kan uppfattas som främmande för matematiken.

Om denna rädsla får bestämma, som lätt händer, stängs dialogen av. Här måste matematikkulturen bryta ny mark för att komma matematiken in på livet, så att den i grunden personliga och gärna bildrika matematiken kan ges sin naturliga plats. Viktigast är att utveckla en samtalskultur i matematik där nyfikenhet och prövande tankar av olika slag blir naturliga.

Det är en svår och långsiktig uppgift som ligger framför oss, där vi också måste våga se matematikens egenskaper på nya sätt. I öppnare dialoger med ökad autenticitet, hos såväl lärare som elever, kommer alltmer av matematikens särdrag att bli synliga. Det gör att vi behöver utveckla didaktisk kommunikativ kompetens att mötas i upptäckande dialoger, där samtalet ständigt ska kunna komma vidare i varierande riktningar.

Ytterst handlar det om hur eleverna ska komma till rätta med ett viktigt och svårtillgängligt ämne – matematiken.

Våra utgångspunkter – specialpedagogik och matematikforskning Denna bokserie har vuxit fram från såväl teori, praktik som forskning inom matematikkulturen och visade sig innehålla förbluffande paralleller och samstämmigheter. Här beskrivs erfarenheter som utgår från ett mångårigt arbete i grundskolan med elever i stora matematiksvårigheter, och hur man kan undersöka kommunikationssvårigheter som uppstår mellan lärare och elev. Här finns Ann-Louise Ljungblads erfarenhetsbakgrund.

Håkan Lennerstads verksamhet och erfarenhet återfinns inom forskning i olika områden i matematik, (universitetsutbildning i matematik partiella differentialekvationer och diskret matematik) och matematikdidaktik, samt reflektion över matematikens roll och karaktär både i forskningen 8

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 8

22/10/11 3:45 PM

och när den möter studenter och elever. Vi fann att begreppet ”dialog” när det gäller matematik En öppen matematisk dialog, ofta har en enkel fråga-svar-innebörd men inte så som elever känner att de kan mycket mer. Dessutom upplevde vi att ”lyssnande” delta i – vid behov ofta i matematiksammanhang återfinns långt ner på dagordningen. Vi fann också att många av de specifika tänkesätt som finns infogade i matematiken är både outtalade och styrande – kanske styrande just för att de är outtalade. Här vill vi synliggöra hur tänkesätten ser ut och fungerar.

I förskolan föds de nyfikna frågorna om matematik, som den intressanta frågan vi alla kanske har ställts oss någon gång: ”Finns det hur många tal som helst, eller tar de slut?” Dessa autentiska frågor utvecklas i den matematiska verksamheten under hela skoltiden, det viktiga är att de också når lärarna. Det gäller inte minst på universitetsnivå, där ämnessamtalen inte är så vanligt förekommande. Att tidigt synliggöra matematikens sidor på ett prövande sätt kan ge elever möjlighet att delta i upptäckande samtal om matematik. Vi menar att prövandet av matematiken bör starta i elevers frågor och seriöst diskutera dem, så att elever blir intresserade av att lära mer matematik.

Vi tar som utgångspunkt att barn och ungdomar uppfattar matematiken på personliga och mångfasetterade sätt. Detta är inte alls konstigt – både gruppen elever i svårigheter och gruppen forskande matematiker har högst varierande synsätt på sitt ämne, även inom grupperna. Denna utgångspunkt visar sig leda till en ganska annorlunda syn på matematik.

Huvudsyftena är både att barns och elevers relation med matematiken ska kännas intressant och lustfylld och att elever och studenter ska kunna nå goda matematikkunskaper, i en känsla av frihet där olikheter tillåts och respekteras. Vi kommer bland annat att beskriva hur elever i matematiksvårigheter ställer djupa frågor om matematik. Dessa frågor kan vidareutvecklas till nya tankar, svar och synsätt som kan ge lärarkollektivet en förbättrad förståelse för kritiska punkter i elevers matematiklärande.

I detta syfte önskar vi starta en diskussion med lärare kring uppfattningar om matematik. Syftet är att vi som lärarkollektiv gemensamt kan utveckla våra kommunikativa och didaktiska kompetenser samt nå en fördjupad 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 9

Mot ett nytt paradigm … 9

22/10/11 3:45 PM

insikt om matematikämnets specifika egenskaper – ur såväl elevers som lärares perspektiv.

Dialogen i matematik är svag Det mest grundläggande verktyget vi människor har för att tänka är språket, vårt modersmål. Detta gäller i synnerhet för att komma underfund med sådant som inte är uppenbart, varav det finns mycket i matematikämnet. Därför är det allvarligt att dialogen är så svag i matematikämnet.

Många undersökningar understryker att tyst ensamarbete länge har dominerat matematikverksamheten, dessutom i ökande grad under senare år (SOU, 2004; TIMSS, 2007). Orsaken kan sökas i en skolpolitisk inriktning mot individualisering som lett till mer ensamarbete, vilket gett matematikdialogen en allt svagare roll i skolan. Till detta ska läggas att matematiken är det mest abstrakta skolämnet, något som gör samtalet ännu viktigare. Utan samtal når man i ett abstrakt ämne sällan längre än till ytligt lärande. Matematikämnets processer i skolan, där avsaknad av dialog är en del, beskrivs på ett träffande sätt av Niklas Bremler kring begreppet ”det didaktiska kontraktet” (kapitel 2 och 4). Elever som inte uppvisar svårigheter i matematik har trots detta ofta svårt att beskriva hur de gör och hur de tänker. Det är uppenbart att den dialogfattiga traditionen är stark inom hela matematikkulturen.

Vi menar att ett abstrakt ämne kräver mer samtal, inte mindre! Vi ser denna svaga, nära nog obefintliga matematiska dialog som en sorts diagnos av matematikämnets allvarligaste problem. Problemet är inte lika allvarligt för andra skolämnen, både för att dialogen här är naturligt mer förekommande och för att behovet av dialog kan vara mindre när ämnet är mer konkret och vardagligt igenkännbart.

Den främsta uppgiften framöver blir att utveckla en samtalskultur i matematik som elever kan känna sig hemma i och våga arbeta inom, trots att arbetet stundtals kan vara mödosamt. Att det är svårt att få igång en givande matematikdialog har många orsaker, men i grunden utgår vårt tänkande ändå från vår egen matematikuppfattning. Hur samtalar vi i praktiken, på ett sätt så att den jag samtalar med efteråt beskriver det 10

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 10

22/10/11 3:45 PM

som ett värdefullt samtal? En dialog där man kan öppna sina tänkesätt, där människors frågor och invändningar tas på allvar. Här blir lyssnandet ett Elevers förväntan av att upptäcka matematik och lösa problem ytterligare viktigt fundament för att nå visionen – i dialog med andra om en upptäckande dialogkultur (kapitel 16).

Trots att matematisk dialog länge varit ett uttalat mål för skolan har skolpraktiken knappast kommit närmare denna målsättning, och målet är kanske mer avlägset än någonsin. Vår förklaring till detta är själva matematikkulturens ensidigt monologiska, skriftliga (icke-muntliga) karaktär, som inte undgår att sätta sin prägel på skolpraktiken. Det är dock möjligt att, med hjälp av insikt kring problemet och målmedvetet arbete, gemensamt utveckla lärande och undervisning i matematik mot en lyssnande dialogkaraktär.

En upptäckande dialog som ventilerar genuina matematiska problem som väcks av elever – och leder mot skolans kunskapsmål och gärna motiverar eleverna att uppnå dem. Ett exempel på en sådan praktik som pågått sedan 2002 är elevers arbete med matematikkartor, som återfinns i kapitel 2 i Matematik och respekt – i praktiken. Här arbetar och tänker elever i grupp om den matematik de kan och hur den hänger ihop, och formulerar det som en geografisk karta. Denna verksamhet drivs inte av strävan att finna rätt svar på specifika uppgifter, som matematik så ofta gör. I stället handlar det om att i grupp formulera sina uppfattningar om matematiska begrepp och sätt att räkna, och komma överens om en rimlig helhetsbild för detta.

Många forskare och författare har genom åren framhållit vikten av att elever deltar i samtal om matematik. Mest känd är Lev Vygotskij (1978, 1999), andra namn är Marit Johnsen-Høines (2000) och Gudrun Malmer (2002). I denna bokserie undersöks de kommunikativa hinder som kan uppstå i sådana samtal, och hur man kan komma förbi dem – företrädesvis sett ur elevers synvinkel. Vi vill också med respekt för det svåra yrke som det innebär att vara pedagog och didaktiker se dilemmat utifrån matematiklärarens ansvarsuppdrag. Förhoppningen är att vi lärare gemensamt ska kunna se nya möjligheter och utveckla matematikundervisningen i praktiken.

1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 11

Mot ett nytt paradigm … 11

22/10/11 3:45 PM

Respekt – äkta lyssnande Här kommer begreppet ”respekt” in, som vi medvetet tar utgångspunkt från ur elevernas Respekt – när elever verkligen perspektiv i skolpraktiken. Vi menar att elever känner sig välkomna att uttrycka möts med respekt när de upplever att deras sina tankar och frågor uppfattningar om matematik respekteras och i matematik verkligen besvaras. Det innebär bland annat att man som elev kan känna att det egna matematiska tänkandet även kan vara relevant för andra.

Elever möts med respekt om de upplever sig välkomna att uttrycka sitt eget personliga tänkande i ämnet. Så välkomna att det blir naturligt att uttrycka sina frågor och tankar. Man kan på ett konkret sätt erfara om elever möts med respekt genom att studera om de faktiskt fortsätter att – sällan eller ofta – formulera sitt matematiska tänkande.

Trygghet är fundamental för en öppen dialogisk atmosfär, men det behövs också en öppenhet mot utmaningar. Att lära något nytt handlar om ett växelspel mellan trygghet och otrygghet, eftersom nytt lärande stundtals kan skapa osäkerhet och förvirring. Därför behövs tillräcklig trygghet för att klara den otrygghet som det ibland kan innebära att lära sig något nytt och annorlunda. Genom öppna dialoger ges de inblandade parterna möjligheter att stödja varandra. Förmåga att delta i fungerande matematiska dialoger på flera nivåer är en av många viktiga matematiska kompetenser i vårt samhälle. Matematikkulturen kan framöver försöka öppna samtalet på nya utvecklande sätt och vitalisera elevers tänkande om vad matematiken är eller hur den fungerar.

Dagens matematikkultur Det finns många matematiklärare som i dag lyckas skapa en god samtalskultur eller försöker beforska problem inom den matematiska kommunikationen för att hitta nya vägar och driva skolutveckling. Låt oss titta på några spännande arbeten: Resonera mera i matten är en doktorsavhandling av Lovisa Sumpter (2009), där hon studerade hur gymnasieelever resonerar i 12

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 12

22/10/11 3:45 PM

matematik. Hon blev förvånad över hur imitativt eleverna resonerade när det gäller matematik och fann tre teman: 1. Säkerhet – jag gör det här för det är säkert.

2. Förväntningar – jag gör det här för att jag förväntas lösa uppgiften på det här sättet.

3. Motivation – som oftast handlar om en negativ motivation grundat på att ”jag klarar inte av att resonera själv”.

Dessutom fann hon att flickor tenderar att nedvärdera sig själva i sitt arbete utan någon uppenbar orsak. Hennes slutsats är att lärare måste få kunskap om hur elever resonerar för att komma fram till svar på matematikproblem, något som hon betonar att också lärarutbildningen måste ta fasta på. Vi ser här en intressant aktuell forskning som visar resultat av elevers upplevelse av den kultur de arbetat inom sedan de varit små.

Madeleine Löwings (2004) doktorsavhandling i matematikdidaktik visar hur lätt det är att elever och lärare talar förbi varandra.

Matematiklärandet måste enligt henne innebära att man bygger upp ett korrekt matematiskt språk, inte minst för att lärare och elever ska kunna kommunicera med ett minimum av missförstånd. ”Elever, lärare och lärarstudenter saknar ett gemensamt språk för att tala om matematik”, skriver Eva Riesbeck i sin uppmärksammade doktorsavhandling i matematikdidaktik (2008). Hon anger som ett koncentrat av sin avhandling följande citat av Stephen Lerman: “Learning mathematics or learning to think mathematically is learning to speak mathematically.”

Eva Riesbecks avhandling har inspirerat andra arbeten på detta tema, som till exempel Malin Mårtenssons och Kristina Sörenssons (2009) uppsats Lärarens betydelse för den muntliga kommunikationen i matematikundervisningen vid Malmö högskola. En slutsats i deras undersökning är att lärarna ofta finner det svårare att förverkliga 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 13

Mot ett nytt paradigm … 13

22/10/11 3:45 PM

den matematiska kommunikationen i sin undervisning än vad de väntat sig.

Träningsskolan Regnbågen i Falköping (www.spsm.se) har under flera år drivit ett kommunikativt skolutvecklingsprojekt, där man lyfte in siff rorna i klassrummet med tydligt matematikdidaktiskt fokus. Resultat är fascinerande! I en kultur där man av tradition inte har haft matematiska förväntningar visade sig elever lära matematiska ord och begrepp långt över pedagogernas förväntningar (kapitel 6).

Ja, exemplen kan göras många och det är förtröstansfullt. Ann Pihlgren (2008) som doktorerat om sokratiska samtal i klassrummet, på alla nivåer i grundskolan samt i förskolan, dock inte om matematik, säger följande: Det som oftast är orsaken till att ett dialogiskt samtal inte fungerar är att läraren faller tillbaka i gamla traditioner: man försöker disciplinera eleverna att föra samtal på ’rätt’ sätt, vara tysta eller ge dem vägledning ifråga om vad som är rätt eller fel. Men det går inte att arbeta så om ett jämställt arbete ska kunna uppstå.

Detta är en utmärkt illustration till en större dialogisk öppenhet som vi försöker utforska i denna bokserie. Ett förhållningssätt fritt från disciplinering av elevers sätt att uttrycka sig tycks vara särskilt svårt att uppnå i matematikämnet, vilket är ett skäl till att undersöka de förhållningssätt som i dag tycks vara en del av matematikkulturen. Det betyder givetvis inte att vi ska rösta om Pythagoras sats är sann eller inte. Det skolutvecklingsarbete vi vill driva mot ett nytt paradigm problematiserar hur matematikarbetet och matematikkulturen fungerar, men inte matematikens vetenskapliga sanningar som sådana.

När vi började arbetet med denna bokserie, som först var tänkt att bli en mindre bok, var inriktningen mer mot en diskursändring. Men ju mer vi fördjupade oss, analyserade skilda perspektiv och diskuterade olika problem i dagens matematikundervisning, desto tydligare framträdde ett mönster av att en diskursändring inte var tillräcklig. Snarare upplevde vi att det krävs ett paradigmskifte. Det finns mycket gott och utvecklande 14

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 14

22/10/11 3:45 PM

i dagens rådande paradigm inom vilken vi alla arbetar. Dessa positiva sidor är en startpunkt för den öppnare attityd till matematik som vi förespråkar. Men vi måste också våga se att det krävs flera fundamentala förändringar, såväl nationellt som lokalt på skolorna. Det är anledningen till att vi ser behovet av att gemensamt stödja de goda, framåtskridande försöken – med en helhetssyn och nytt tänkande, så att vi ömsesidigt kan utveckla en humanare matematikkultur grundad på respekt för människors skilda sätt att uppleva matematik. Ett spännande, komplext och roligt Dialogen måste beröra elevers matematiska tänkande utvecklingsarbete som ligger framför oss!

Det framstår tydligt att den ensidigt samtalslösa matematikundervisningen dominerar starkt.

Att i allmänhet välkomna dialog hjälper inte, eftersom elever slutar att samtala om samtalet inte ger dem något ämnesmässigt relevant att gå vidare med, hur positiv attityd läraren än har. Breda ämneskunskaper i matematik behövs, självklart, men det räcker inte. I så fall hade dagens matematikkultur fungerat väl, eftersom matematiklärare har läst många poäng matematik vid universitetet. Men dessa matematikkunskaper och det sätt de uttrycks på måste också på allvar ”kugga i” elevers tänkande för att verka fullt ut. De måste beröra elevers matematiska tänkande. Elever behöver i någon mån kunna känna igen sitt tänkande i lärarens uttryckssätt, i alla fall ibland. Det är därför viktigt för elev och lärare med en mötesplats där en genuin matematikdialog blir möjlig och människors skilda upplevelser blir synliga. Med en mer nyansrik matematikuppfattning blir det lättare för lärare att möta vad elever formulerar om matematik och lära sig av det.

Vi menar att problemet i grunden har två sidor. Dagens matematikkultur har en ofullständig förståelse av matematikens karaktär (se kapitlen 7–11) – gamla myter spelar fortfarande en alltför stor roll. Det råder också en brist på detaljerad förståelse för hur matematik uppfattas av dagens elever. Dessa två avsaknader förstärker dessutom varandra. Alla lärare tar utgångspunkt i matematikkulturen med yrkeskategorier som matematiklärare, forskare i matematik, i matematikdidaktik och i pedagogik, samt lärarutbildare för matematiklärarutbildning. Andra kategorier som också är väsentliga 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 15

Mot ett nytt paradigm … 15

22/10/11 3:45 PM

i sammanhanget är föräldrar, elever, journalister och ingenjörer. Det är klart att dessa olika yrkeskulturer är mycket heterogena, och det finns stora skillnader i hur de uppfattar matematiken. Vi menar att det är helt centralt att man kan lära av varandra över yrkesgränser. Bristen på levande matematiksamtal antyder att man företrädesvis tar sin utgångspunkt i de egna perspektiven, och att utrymmet för elevers horisont som påbörjar sin matematiska upptäcktsresa inte är så stor.

Nya målsättningar Så vad behöver då förändras? Vi menar att för att väcka och odla en positiv dialogkultur Det krävs en stor variationsi matematik behöver läraren såväl goda materikedom att föra en mänsklig matikkunskaper, goda didaktikkunskaper som dialog – om och i matematik en god förmåga att ge värdefull samtalsrespons på elevernas matematikfrågor. Det sistnämnda är alltså ett professionellt praktiskt kunnande som utvecklas i en praktik, och är inte en inläst teoretisk kunskap även om detta naturligtvis kan stödjas av teori. Det är höga krav, som vi menar leder mot krav på ett väsentligt ökat samarbete mellan de ovan nämnda yrkesgrupperna inom matematikkulturerna. I lärarutbildningen vid universiteten och på högskolorna har vi en överensstämmande situation som den i skolan. Dialogkulturen är svag i matematikkurserna. För att utveckla så goda matematikkunskaper som möjligt behöver lärarstudenter föra kvalitativa dialoger om matematik med sina matematiklärare på universiteten.

Precis som elever behöver föra kvalitativa dialoger med sina lärare i skolan.

De blivande lärarna behöver erövra förmåga att hantera dialogen i sin framtida yrkesroll, både i medgång och i motgång. Förmåga att lyssna och föra utvecklande samtal befrämjas av god teori, men det räcker inte att stanna på ett teoretiskt plan i en professionell yrkesutbildning för lärare. Det krävs också att studenter får möjlighet att öva medvetet, systematiskt och långsiktigt på att bedriva matematikdialoger, när man läser matematik, matematikdidaktik och under sin verksamhetsförlagda utbildning. Detta gäller i synnerhet under de ”rena” matematikstudierna 16

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 16

22/10/11 3:45 PM

för att den potentiella dialogiska karaktären i ämnet ska bli synlig och kunna ta plats.

Angående lärarkompetens i dialogen om och i matematik menar vi således att det råder ett tomrum. De frågor om matematik som elever väcker när de ges möjlighet att uttrycka sig har mycket stor variation och bredd, för vilket en lärare behöver förmåga till stor ämnesmässig flexibilitet för att stimulera elevens möjlighet att tänka vidare. Det gör det därmed centralt att lärarstudenter får utrymme att träna detta, och det naturliga sammanhanget är under det egna matematiklärandet i lärarutbildningen. Det innebär en didaktisering av matematikkurserna, utan att tappa det matematiska ämnesinnehållet, innehållande ett frågande och lyssnande synsätt om de mest skilda matematiska frågor som kommer upp – givetvis sådana som har relevans för kursens innehåll. Det påvisar behovet av matematikkurser för lärare där förmågan till en öppen ämnesdialog tränas. Vi kallar sådana kurser dialogiska matematikkurser. Här förefaller det finnas ett tomrum i utbildningsstrukturen i Sverige, liksom i många andra västländer, som avspeglar hur matematikämnets tysta karaktär är infogad i den rådande matematiksynen. Från detta skiljer sig i viss mån den framgångsrika asiatiska matematikkulturen, där lärarna ofta utgår från att elever tänker på olika sätt, de lyssnar på eleverna och tillsammans diskuterar man skilda lösningar på matematiska problem (Stevenson & Stigler, 1992; Ma, 1999; Stigler & Hiebert, 1999), ett arbetssätt som vi bör kunna lära av i många hänseenden.

Ett mål för ett dialogiskt upptäckarparadigm är att lärarkåren utvecklar en förmåga att föra dialog om och i matematik, det vill säga i stor utsträckning möter elevers frågor med respons som elever tycker är intressant och leder framåt. Detta kräver en mycket stor bredd i det matematiska lyssnandet och en mer reflekterad kunskap i matematik.

Matematikens kultur är dominerande skriftlig Låt oss göra ett inledande försök att karaktärisera den rådande matematiksynen, som vi sedan fördjupar oss i längre fram i boken.

Matematiken kännetecknas av en skriftlig kultur där människor därmed mestadels kommunicerar indirekt. Dess muntliga kultur domineras 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 17

Mot ett nytt paradigm … 17

22/10/11 3:45 PM

starkt av envägskommunikation: elever/studenter lyssnar på lärare.

Tvåvägskommunikation – samtal där båda parter lyssnar på varandra – är mindre vanligt (se TIMSS 2007 som beskrivs i kapitel 11). I skolan tycks den muntliga tvåvägskommunikationen vara klart vanligast förekommande i förskolan och i grundskolans tidigare år, kanske beroende på att det här är betydligt lättare att förbinda det abstrakta med det konkreta, än senare i skolan.

Om genuin tvåvägskommunikation om matematik är ovanlig inom matematikkulturen så är det inte lätt för matematiklärare vid universitet och på högskolor att organisera kurser som övar kompetens och förtrogenhet att föra en kvalitativt god matematisk dialog – det matematikdialogiska tomrummet är nästintill en oundviklighet. Men detta tomrum kan upplösas om man formulerar det som ett gemensamt uttalat mål, och lärarna själva ser det som en eftersträvansvärd möjlighet att utveckla sin dialog och sitt lyssnande. Det vore ett paradigmskifte.

Vi menar inte att dialog måste vara en dominerande del av skolans matematikverksamhet. Men vi anser att det är synnerligen viktigt att elever känner att de har tillgång till en positiv samtalskultur i matematik när de behöver det. Och att läraren har kompetens, tid och möjlighet att föra utvecklande matematikdialoger utifrån elevernas frågeställningar.

En sådan samtalskultur leder på sikt till goda matematikkunskaper som eleven själv känner att hon eller han hanterar, ser som berikande och vill diskutera vidare kring. Det är en sådan matematisk samtalskultur vi vill vara med om att synliggöra och utveckla.

Vi talar om respekt för elevers tänkande när lärare använder deras autentiska frågor för att tänka och reflektera kring. Som beskrivits ovan Öka utrymmet för kvalitativa dialoger – där elevers är en del av vår definition av respekt att elever autentiska frågor upplever att deras tänkande blir bemött på ett diskuteras sätt så att man faktiskt fortsätter att ställa frågor vid behov. Att som elev återkommande behöva ta emot icke-svar liknande ”det är bara så” är inte acceptabelt. Det är dialogavstängande, eftersom det varken ger förklaring eller någon orsak till varför ett klarläggande inte kan ges. Dialogöppnande 18

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 18

22/10/11 3:45 PM

är i stället ett svar som ”det har jag just nu inget bra svar på, men jag kan återkomma när jag funderat vidare på det”. Här siktar svaret mot ett fortsatt samtal i framtiden. Det finns ingen möjlighet som matematiklärare att alltid kunna ge ett perfekt svar när frågan ställs. Sådan är inte matematiken, inte för någon matematiklärare. Det kan vara intressant att ta del av matematikern Richard Courants kommentar till David Hilberts föreläsningar. David Hilbert har ofta beskrivits som 1900-talets mest inflytelserika matematiker ( James, 2002).

Hilbert gjorde misstag och fastnade i bevis, så man hade möjligheten att observera hur han kämpade med ibland mycket enkla frågor, och hitta sätt att ta sig ur problemen. Det var mer inspirerande än underbart perfekta föreläsningar.

Den ”perfekta föreläsningen” är mycket bra för en del elever/studenter, men det finns också många alternativ som är bättre för andra ungdomar.

Erkänt skickliga presentatörer beskriver ofta hur viktigt det är att nå ett personligt möte med publiken, och då kan alltför stor perfektion vara ett hinder. I stället behövs goda möten – med närvaro och utbyte av olika tankar, nyfikenhet och prestigelöshet.

En inbjudande matematik Avgörande i att etablera en samtalande kultur i matematik är att det finns en öppenhet som En kultur där matematikens läraren bjuder in till. Läraren visar tydligt att samkaraktär ses som mångtydig, talet inte behöver vara slut. Det tar bara en tillfälutvecklingsbar – och kan lig paus, det kanske är tyst några minuter, några utforskas i en öppen atmosfär dagar eller några veckor, för att därefter börja igen.

Matematik är inte ett ämne där alla frågor har självklara svar, bara man läst på tillräckligt. Det är tvärtom ett ämne där det finns oändligt många knepiga och viktiga frågor, på alla nivåer och i olika avseenden. Elever behöver få rätt uppfattning om matematikens karaktär, inte en drömbild eller idealbild. Eleven bör inte få intrycket att matematikens alla problem är lösta eller att matematiken är 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 19

Mot ett nytt paradigm … 19

22/10/11 3:45 PM

lätt att tolka – utan i stället få uppleva matematikens öppna karaktär. Vi vill i denna bokserie granska möjligheterna att utveckla en sådan öppen, utforskande, lyssnande och bekräftande matematikkultur, som i praktiken visar elever respekt för deras tänkande. Vi menar att respekt för elevers tänkande förutsätter en annorlunda matematiksyn än den i dag rådande.

I motsats till beskrivningar som ”entydigt”, ”självklart” och ”färdigformulerat” går vi mot ”mångtydigt”, ”samtalsbart” och ”utvecklingsbart”.

Matematiskt lärande handlar till stor del om tänkande och kommunicerande gällande geometriska och kvantitativa begrepp. När en elev kommer till skolan och ska ta sig in i denna matematiska värld är det av vikt att elever redan i första klass upplever ”jag pratar och tänker matte” som naturligt. Men många elever uppfattar matematiken huvudsakligen som ett sätt att använda siff ror likt brickor i ett spel för att finna rätt svar.

Elevernas inställning ger en knivskarp bild av dagens matematikkultur, eftersom de inte kan ha fått den från något annat håll. Diskrepansen mellan vad kulturen formulerar i läroplanen och vad kulturen faktiskt förmedlar till eleverna är mycket stor. Kärnan i dilemmat anser vi är en bristfällig matematisk kommunikation. Dessa kommunikativa problem som återfinns i dagens undervisning måste tas på allvar och utvecklas i riktning mot ett nytt paradigm, och vi fördjupar oss grundligt i dessa problem i kapitlen framöver – framför allt utifrån elevernas perspektiv.

Utgå från elevers frågor i den matematiska dialogen Här bygger vi på en observation som många lärare diskuterat med oss och formulerat: i princip alla Dialogen utgår från elevers elever har möjligheter att klara av skolans matefrågor – alla frågor är välkomna matik. Svårigheter och dilemman kan hanteras om lärare har tillräcklig utbildning och lyckas möta elevernas skilda sätt att tänka, kommunicera och arbeta – då kan nya möjligheter öppna sig. Här finns naturligtvis samtidigt en resurs- och tidsaspekt: Hur ska en lärare hinna möta alla elever? Med trettio elever finns det en trettiondel av tiden för varje elev, om man enbart 20

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 20

22/10/11 3:45 PM

tänker ensamarbete och att läraren möter en elev i taget. Svårigheten att föra dialog uppstår om dialoger med två deltagare uppfattas som det enda alternativet. Men en dialog kan ha fler deltagare, vilket innebär samtal mellan elever och lärare i grupper av olika storlekar, och även en framväxande samtalskultur mellan elever. Men den matematiska dialogen ska inte tränga ut andra lärandeformer, eftersom även ensamarbete är viktigt för varje elev. Dialogen ska vara naturlig och finnas tillgänglig vid behov.

Angående vilket matematiskt tänkande som vi menar är viktigt att lyfta i dialogens form, så är det i första hand sådant som leder elever vidare i ämnet samt stimulerar nyfikenheten och som gör det möjligt för elever att klara matematiken i enlighet med rådande läroplaner. Idealet är att frågorna och tänkandet initieras av elever och känns igen av lärare.

För att nå dessa mål enligt läroplanen kan man tidvis behöva en dialog som leder långt utanför snäva måluppfyllelseramar. De som deltar i en dialog äger gemensamt samtalet – läraren deltar på jämlika villkor och bör försiktigt leda kommunikationen med didaktisk karaktär.

Problemet med dialogen i matematiken är djupgående. Naturvetenskapen har av tradition inte någon utvecklad syn på dialogen som verktyg.

Kanske gäller detta i synnerhet matematikämnet, som är mest formaliserat av alla vetenskaper. Dialog hör av tradition till humaniora där modersmålet vanligtvis är arbetsverktyget, man arbetar med textanalyser, och människan och hennes beteende tillhör fältet av studier. Vi menar att utvecklandet av en samtalskultur i matematikämnet bör ske i ett liknande pågående växelspel mellan elevers autentiska matematikfrågor och uttalade uppfattningar om matematik. Det är oerhört värdefullt för matematiklärare att analysera hur man didaktiskt medierar och förtolkar matematiska strukturer i ett sådant ömsesidigt kommunikativt växelspel (kapitel 4).

I humaniora är dialogens karaktär väl förstådd och har en central plats, till skillnad från i naturvetenskap och matematik. Dock är matematik ett ämne med tydlig humanistisk karaktär eftersom ämnet faktiskt handlar om mänskligt tänkande mer än om objekt i tillvaron runt omkring oss.

Matematiken handlar om människors behov av att beskriva och hantera det kvantitativa och geometriska, som återkommer i de mest skiftande uttryck och sammanhang i våra liv.

1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 21

Mot ett nytt paradigm … 21

22/10/11 3:45 PM

Vi har definierat respekt i matematiken som att elever känner att de får uttrycka sig på sitt unika Metaforisk frihet och sätt och tryggt vågar ställa alla möjliga och omöjhög uttrycksbredd! liga frågor, få respons på dem och kunna gå vidare för att hitta nya sätt att uttrycka sig i matematik.

Matematiklärandet blir därmed en bred och mångfasetterande process. Vi vill skapa förutsättningar för en matematisk dialog med hög uttrycksbredd (kapitel 2 och 17). En hög uttrycksbredd tillåter att matematiska tankar formuleras i former som kanske inte liknar dagens skolmatematik, till exempel med vardagserfarenheter eller olika metaforer.

Lärare lyssnar även på när elever beskriver dess uttrycksformer, och lärare och elev kan gå vidare och undersöka deras matematiska innehåll. En hög uttrycksbredd menar vi att elever behöver ha av två viktiga skäl, som båda är specifika för matematiken. Det första är att matematiken är generell och alltså har tillämpningar överallt. Det är därmed naturligt att använda metaforer från flera områden, eftersom matematiken finns i alla områden. Det andra är att matematiken är abstrakt, vilket gör det svårt att se matematiska betydelser. Denna svårighet behöver kompenseras med en större metaforisk frihet. Tyvärr tillåter den rådande matematiska traditionen inte en hög uttrycksbredd, snarare tvärtom: fokus ligger ofta mycket ensidigt på formellt räknande, och reflektion tycks inte ha med matematik att göra. Detta är också en orsak till att matematik ofta uppfattas som isolerat från verkligheten när det egentligen förhåller sig tvärtom – matematiken förekommer överallt i verkligheten. Matematikens formalism är en språklig dräkt, nästan en sorts förklädnad, som ger ett starkt avskiljande intryck. Men en hög uttrycksbredd innebär stor frihet för eleverna i sitt matematiska tänkande. Exempel på en upptäckt elever kan göra som ett resultat av ett fritt reflekterande är hur effektivt, tydligt och praktiskt det matematiska formella språket är. Sådana upptäckter är starka om de kommer från eleverna själva.

Det är viktigt att poängtera att dialoger med elever är oförutsägbara.

Kan detta vara förenligt med väl förberedda lektioner? Ja, det kan det, om man inte menar att förberedelser måste innebära att man följer en i förväg gjord detaljplan med moment som ska gås igenom och strikt 22

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 22

22/10/11 3:45 PM

hållas fast vid. Planering kan i stället gälla huvudmoment med utrymme för avvikelser i relation till vad som framkommer i dialogarbetet. För att skapa en öppen dialog behövs mindre detaljstyrning och större lyhördhet och flexibilitet. Läraren behöver fokusera på vilka matematiska begrepp man vill att eleverna ska förstå bättre och hur dessa hänger samman på olika sätt inom en matematisk struktur. Läraren behöver vara lyhörd för vilka missförstånd som kan uppkomma när eleverna ska lära just detta matematiska tema. Det är skillnad från en detaljstyrd lektion som strikt följer en läroboksförfattares eller matematiklärares eget sätt att tänka.

Faran med den detaljstyrda lektionen ligger i att eleverna kan uppfatta det som den ”rätta” vägen, som alla bör vandra. Men så enkelt är det inte när vi talar om matematiskt lärande för alla elever. Det finns både genvägar och omvägar, dessutom uppförsbackar och nedförsbackar i människors matematiska processtänkande.

Rätt-svar-paradigm eller dialogiskt upptäckarparadigm Man kan sammanfatta situationen i matematikundervisningen i två skilda paradigm: ett rätt-svar-paradigm och ett dialogiskt upptäckarparadigm. Namnen på paradigmen är valda utifrån hur elever upplever matematikverksamheten.

Ett rätt-svar-paradigm råder om elevernas förväntningar på matematikarbetet domineras av att det viktigaste är att finna rätt svar på matematiska frågor eller problem och att eleverna känner sig huvudsakligen ensamma i arbetet. Det är en upplevelse av att man bör finna rätt svar för att vara godkänd av skolan som institution. Detta paradigm kännetecknas företrädesvis av individuellt arbete och av instruktioner från läraren. Det kännetecknas också av att den individuella bedömningen spelar stor eller avgörande roll ur såväl elevens som lärarens synvinkel. Vi menar att detta paradigm dominerar i dag och har gjort så under lång tid.

Ett dialogiskt upptäckarparadigm råder om elevernas förväntningar på matematikarbetet handlar om att göra nya matematiska insikter och upptäcka nya sätt att lösa problem, och om detta upptäckande upplevs som något man 1.

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 23

Mot ett nytt paradigm … 23

22/10/11 3:45 PM

naturligt gör i kommunikationen med kamrater och lärare. I detta paradigm är det naturligt för eleverna att ge och ta, att se egna misstag såväl som insikter, liksom kamraters. Det handlar om upptäckande av nya matematiska förmågor och nya lösningssätt som man inte tidigare hade – en ökad personlig matematisk medvetenhet. Dialogen är här ett viktigt redskap. Det kommer att krävas ett utvecklat ömsesidigt samarbete med alla berörda i skolan för att ett liknande dialogiskt klimat ska kunna bli verklighet i klassrummet. Här är det kanske inte på ytan ett så välordnat klassrum, för upptäckandet är ofta en ojämn och oförutsägbar väg, där många individer deltar med sitt unika matematiska tänkande, vilket innebär ett ständigt prövande och ett formande av detta tänkande.

Vi har alltså valt begreppen rätt-svar-paradigm och dialogiskt upptäckarparadigm för att framhålla elevens synvinkel i matematikarbetet – om elever upplever ”rätt-svar” respektive ”upptäckande” som karaktäristiskt.

Det vi med dessa tankar kring ett nytt paradigm vill tillföra är: Hur elevens lärandeperspektiv samverkar med hur matematiken faktiskt arbetar i en fungerande och utvecklande dialog.

Begreppet ”respekt” i matematiken kopplar vi till hur eleven upplever sina möjligheter att uttrycka sina upplevelser och hela sitt tänkande av den matematik som man möter och förväntas lära sig. Detta är oerhört mycket lättare för eleven om denne får möjlighet att ta intryck av andra elever, som uttrycker sina personliga tankar och funderingar och sina beräkningar. Vi behöver därmed ett stort dialogutrymme. Elever kan inspirera varandra till variationer av formuleringar, särskilt som de stöds av en lärare med erfarenhet utifrån ett vidgat synsätt i denna riktning. Respekt är att faktiskt känna sig välkommen in i dialogen som den person man är och med det tänkande man för närvarande har tillgång till. Om en elev känner att hon eller han måste ställa om hela sin personlighet och bortse från frågor som faktiskt upplevs som angelägna menar vi att det är tveksamt om respekt återfinns i miljön. Då kan i stället matematiken få karaktären av ett rollspel som man hanterar genom att ”uppföra sig matematiskt”.

Man lär sig ytan. Genom att upptäcka vad detta uppförande består av och följa lärarens sätt att framträda kan eleven bli godkänd. Examinationen 24

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 24

22/10/11 3:45 PM

ISBN 978-91-47-10033-0 © 2011 Ann-Louise Ljungblad och Håkan Lennerstad och Liber AB

förläggare: Anna Maria Thunman redaktör: Magnus Winkler omslag: Birgitta Dahlkild omslagsfoto: Shutterstock ombrytning: Thomson Digital produktion: Jürgen Borchert

Första upplagan 1

repro: Thomson Digital, Indien tryck: Egypten 2012

kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/ universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/ rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

47-10033-0_Ljungblad_p001-322final.indd 2

22/10/11 3:45 PM

Matematik och respekt

Liber

– matematikens mångfald och lyssnandets konst

-   

Tryck.nr 47-10033-0

– matematikens mångfald och lyssnandets konst

Best.nr 47-10033-0

Matematik och respekt

dervisa om matematik som grundar sig på respekt för elevernas matematikarbete, där dialogen om matematiska idéer är i fokus. Det behövs en prövande matematik, där lärare använder sig av elevers (och egna) autentiska frågor för att komma vidare i matematiken och utvecklar en lyssnande dialog kring en mångfald av sätt att lösa problem. Läraren behöver då utvidga sitt matematikkunnande i varierande riktningar, om frågor väckta av elever.

Att gå från dagens dominerande rätt-svar-paradigm till ett dialogiskt upptäckarparadigm, där elever upplever lärandet av matematik som en nyfikenhetsdriven upptäcktsresa, är ett stort steg. För det behövs mycket öppenhet och mod. Att ha tillgång till en sådan matematikdialog är en stor frihetskänsla för en elev.

Tvillingboken Matematik och respekt – i praktiken tar upp flera praktiska utvecklingsarbeten och aktiviteter som kan öppna den matematiska dialogen för elever och lärare. Båda böckerna vänder sig till blivande och verksamma matematiklärare, lärarutbildare samt andra intresserade av elevers möte med matematiken.

Bokens erfarenhetsbas är matematikundervisning, matematiksvårigheter i skolan och forskningsmatematik, genom att Ann-Louise Ljungblad är matematiklärare, specialpedagog samt doktorand i pedagogik, medan Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik.

  

M

atematik och respekt – matematikens mångfald och lyssnandets konst beskriver ett sätt att se på och un-